Ecuaciones DiferencialesCurso: 100412A_471 Unidad 2 Actividad Fase 3 - Diseño y construcción Resolver problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior Presentado a: Yenifer Elizabeth Galindo Tutora Entregado por: Isneydi Gómez Baquero Código: 1039687950 Luis Enrique González Código: 1031143669 Jhon Alejandro Rueda Código: 1031144451 Sergio Antonio García Código: 1033700421 Jefferson Duban Medina Código: 1032390635 Grupo: 100412_288 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ABRIL DE 2018 BOGOTA CONTENIDO INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 3 OBJETIVOS ................................................................................................................................... 4 DESARROLLO ACTIVIDAD INDIVIDUAL .............................................................................. 6 Isneydi Gómez Baquero ....................................................................................................... 6 Luis Enrique González ......................................................................................................... 8 Jhon Alejandro Rueda ........................................................................................................ 11 Sergio Antonio García ....................................................................................................... 14 Jefferson Duban Medina .................................................................................................... 16 DESARROLLO ACTIVIDAD GRUPAL 1 ................................................................................. 22 DESARROLLO ACTIVIDAD GRUPAL 2 ................................................................................. 24 CONCLUSIONES ........................................................................................................................ 26 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................Error! Bookmark not defined. INTRODUCCIÓN El trabajo que se consolida a continuación hace parte del desarrollo de la fase 3 denominada en la cual nosotros los estudiantes en proceso de formación fortalecemos nuestros conocimientos en la aplicación y asociación de las Ecuaciones diferenciales de orden superior, Ecuaciones lineales de segundo orden, ecuaciones de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior. Se desarrollan series de ecuaciones de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior entre otros, a fin de poder diferenciar las situaciones en que sean requeridas dentro de las actividades laborales y profesionales que se desarrollen a futuro. Se puede evidenciar el desarrollo de un total de diez ejercicios de carácter individual y dos en aporte colaborativo que permite contextualizar las aplicaciones de los conceptos base aprendidos a lo largo del desarrollo de la fase en mención. OBJETIVOS Objetivo general Aplicar los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de primer orden, orientado a la construcción de un conocimiento autónomo que conduzca a la solución de problemas en situaciones reales. Objetivos específicos Elaborar un plan de trabajo donde se establezca las responsabilidades y actividades a desempeñar por cada integrante del grupo colaborativo. Comprender y reconocer ecuaciones diferenciales de orden superior, mediante el desarrollo de los ejercicios propuestos por el docente. Analizar y debatir las propuestas presentadas como alternativa de solución para resolver de manera concisa la problemática planteada. PLAN DE TRABAJO TABLA 1: PLAN DE TRABAJO - GRUPO 288 Preguntas Preguntas para Datos Estudiante Rol actividad realimentar individual Identificación: 1039687950 Nombre: Isneydi Gómez B Evaluador Pregunta 1 y 2 Pregunta 3 y 4 CEAD: José Acevedo y Gómez Identificación: 1032390635 Nombre: Jefferson Medina Entregas Pregunta 3 y 7 Preguntas 1 y 6 CEAD: José Acevedo y Gómez Identificación: 1.031.144.451 Nombre: Jhon Alejandro Rueda V. Alertas Pregunta 4 y 10 Preguntas 5 y 9 CEAD: José Acevedo y Gómez Identificación: 1.033.700.421 Nombre: Sergio Antonio Garcia Revisor Pregunta 5 y 6 Pregunta 7 y 8 CEAD: José Acevedo y Gómez Identificación: 1.031.143.669 Nombre: Luis Enrique González R. Evaluador Pregunta 8 y 9 Pregunta 2 y 10 CEAD: José Acevedo y Gómez DESARROLLO ACTIVIDAD INDIVIDUAL Isneydi Gómez Baquero ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, describa el procedimiento que justifique su respuesta. 1. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma 𝑦 ´´ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ´ + 𝑎2 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. 𝑔(𝑥) = 0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial 4𝑦 ´´ + 4𝑦 ´ + 5𝑦 = 0 son: −𝑡⁄ A. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es 𝑦 = 𝑒 2 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝑡) B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución es 𝑦 = 𝑒 −𝑡 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝑡) C. Soluciones iguales y reales cuya solución es 𝑦 = 𝐶1 𝑒 √2𝑥 +𝐶2 𝑥𝑒 √2𝑥 D. Soluciones distintas y reales cuya solución es 𝑦 = 𝐶1 𝑒 √2𝑥 +𝐶2 𝑥𝑒 √2𝑥 2. Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir 𝑦 = 𝑥 𝑚 , 𝑦 ′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 , 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 y luego se encuentran las raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es: 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑐2 𝑥 𝑛 , 𝑠𝑖 𝑚 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑐2 𝑥 𝑚 𝑙𝑛𝑥, 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛 𝑦ℎ = 𝑥 ∝ (𝑐1 cos(𝛽𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥)), 𝑠𝑖 𝑚 𝑦 𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 ∞ + 𝑖𝛽. Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación 𝑥 2 𝑦’’ + 𝑥𝑦’ + 𝑦 = 2𝑥 es: A. 𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥). B. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 𝑙𝑛𝑥 C. 𝑦ℎ = 𝑐1 + 𝑐2 𝑙𝑛𝑥 D. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 −1 Luis Enrique González ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUÉ. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 11+√61 11−√61 𝑥 𝑥 8. La solución particular de la ecuación 3𝑦 ′′ − 11𝑦 ′ + 5𝑦 = 0 es 𝑦 = 𝑐1 𝑒 6 + 𝑐2 𝑒 6 PORQUE su ecuación asociada tiene raíces imaginarias. Solución 3𝑦 ′′ − 11𝑦 ′ + 5𝑦 = 0 ; a = 3; b = − ; c = 5 La ecuación característica es: 3𝑚2 − 11𝑚 + 5 = 0 Para hallar las raíces aplicamos la formula cuadrática −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑚= 2𝑎 Remplazamos −(−) ± √(−11)2 − 4(3)(5) 𝑚= 2(3) ±√121 − 60 𝑚= 6 ±√61 𝑚= 6 Luego las raíces son: +√61 −√61 𝑚1 = ; 𝑚2 = 6 6 La solución de la ecuación diferencial es: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚2𝑥 + 𝐶2𝑚2𝑥 11 + √61𝑥 11 − √61𝑥 𝑦 = 𝑐1 𝑒 + 𝑐2 𝑒 6 6 La respuesta correcta es C. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. 9. La solución del problema de valor inicial 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ − 10𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = 12 es 𝑐1 = 2 𝑐2 = −1 PORQUE la solución particular de la ecuación es 𝑦 = 2𝑒 5𝑥 − 𝑒 −2𝑥 Solución 𝑦− 3𝑦 ′ − 10𝑦 = 0 La ecuación característica es: 𝑚2 − 3𝑚 − 10 = 0 (𝑚 − 5)(𝑚 + 2) = 0 Igualamos a cero para hallar las raíces 𝑚− 5 = 0 ;𝑚 + 2 = 0 𝑚1 = 5 2=−2 La solución de la ecuación diferencial es: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚2𝑥 + 𝐶2𝑒 𝑚2𝑥 𝑦= 𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶2𝑒 −2𝑥 Luego remplazamos las condiciones iniciales 𝑦 = 𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶 −2𝑥 ; 𝑦 (0)=1 2𝑒 1 = 𝐶1 𝑒 5(0) + 𝐶2𝑒 −2 (0) 1 = 𝐶1 + 𝐶2 𝐶1 = 1−𝐶2 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 Luego para obtener la segunda ecuación, procedemos a derivar 𝑦′ = 5 𝐶1 𝑒 5𝑥 − 2 𝐶 −2𝑥 ; 𝑦′ (0)=12 2𝑒 12 = 5 𝐶1 𝑒 5(0) − 2 𝐶 −2(0) 2𝑒 12 = 5 𝐶1 − 2 𝐶2 Luego remplazamos la primera ecuación 12 = 5(1 − 𝐶2 ) − 2 𝐶2 12 = 5 − 5 𝐶2 − 2 𝐶2 12 − 5 = −5 𝐶2 − 2 𝐶2 7 = −7 𝐶2 𝐶2= 7 −7 𝐶; 1 1 = 𝐶1 + 𝐶2 1 = 𝐶1 ± 1 𝐶1 = 2 Final mente la solución particular seria: 𝑦 = 2𝑒 5𝑥 − 𝑒 −2𝑥 La respuesta correcta es la A. Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Jhon Alejandro Rueda Pregunta 4 Una ecuación diferencial no homogénea de orden superior es de la forma: 𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦 𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛 − 1(𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥), cuya solución general se escribe como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular. 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑦𝑐se determina haciendo 𝑔(𝑥) = 0 para convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes. Esta es la llamada solución asociada 𝑦𝑐 y se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es la llamada solución particular 𝑦𝑝 . Dicha solución depende de la forma de la función g(𝑥). De acuerdo con lo mencionado anteriormente una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea 𝑦´´ + 4𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑒𝑠: 𝑡 A. 𝑦𝑝 = − (4) 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑡 B. 𝑦𝑝 = (4) 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑡 C. 𝑦𝑝 = (4) 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑡 D. 𝑦𝑝 = − (4) 𝑠𝑒𝑛2𝑡 SOLUCIÒN: Para hallar la solución particular nos fijamos en el tipo de función que está al lado derecho, oséa 𝑠𝑒𝑛2𝑡 y proponemos una solución 𝑦𝑝 en la que pondremos una constante por el seno t y otra constante por el coseno t ya que siempre debemos poner seno y coseno donde hay una función trigonométrica de la forma seno o coseno según sea el caso, luego derivamos dos veces ya que es una ecuación de segundo orden. Siendo así: 𝑦𝑝 = 𝐴 𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐵𝑡 cos 2𝑡 Debido a que es una función del tipo seno, (usamos coeficientes indeterminados) Luego lo que hacemos es sustituir esta solución particular en nuestra ecuación y para esto necesitamos hallar la segunda y la primera derivada. Primera derivada: 𝑦𝑝= 𝐴 𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐵𝑡 cos 2𝑡 𝑦´𝑝 = 𝐴(𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 2𝑡 cos 2𝑡) + 𝐵(𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡) Segunda derivada: 𝑦´𝑝 = 𝐴(𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 2𝑡 cos 2𝑡) + 𝐵(𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 2𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡) 𝑦´´𝑝 = 𝐴(4𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 4𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡) + 𝐵(−4𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 4𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡) Posteriormente sustituimos estas expresiones en nuestra ecuación diferencial 𝑦´´ + 4𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝐴(4𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 4𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡) + 𝐵(−4𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 4𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡) + 4(𝐴𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐵 𝑡 cos 2𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 Ahora desarrollo la multiplicación 𝐴∗ 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝐴 ∗ 4𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 𝐵 ∗ 4 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝐵 ∗ 4𝑡 cos 2𝑡 + 4𝐴𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 4𝐵 𝑡 cos 2𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 Luego simplificamos 𝐴∗ 4𝑐𝑜𝑠2 𝑡 − 𝐴 ∗ 4𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 𝐵 ∗ 4 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝐵 ∗ 4𝑡 cos 2𝑡 + 4𝐴𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 4𝐵𝑡 cos2t = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝐴∗ 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝐵 ∗ 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 4𝐴 𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 4𝐵 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Posteriormente hacemos la comparación de coeficientes del lado izquierdo y derecho −4𝐴 = 1 porque el coeficiente del lado derecho es 1 4B = 0 porque en el lado derecho no aparece ningún cos Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones A=-1/4 B= 0 Ahora sustituimos estos valores en la solución particular que empezamos 𝑦𝑝 = 𝐴 𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐵𝑡 cos 2𝑡 1 𝑦𝑝 = − 𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 0 ∗ cos 2𝑡 4 1 𝑦𝑝 = − 𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 4 𝑡 Esto es igual a decir: 𝑦𝑝 = − (4) 𝑐𝑜𝑠2𝑡 SOLUCIÓN A Pregunta 10 ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUÉ. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 10. El conjunto de funciones 𝑓1 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥, 𝑓2 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥, 𝑓3 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥, 𝑓4 (𝑥) = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥, es 𝜋 𝜋 linealmente dependiente en el intervalo (− 2 , 2 ) PORQUE 𝑐1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑐4 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐1 = 𝑐2 = 1, 𝑐3 = −1, 𝑐4 = 1 SOLUCIÒN: R/= Son dependientes cuando el wronskiano da 0. Y bien como lo está explicando solo tenemos que comprobar que esa combinación lineal da 0, no siendo cero todos los escalares. 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ) − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 0 Donde en el último paso hemos utilizado una identidad trigonométrica 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 Sergio Antonio García ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique 5. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + 𝐶3 𝑦3 y después se calcula el wronskiano 𝑊(𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), 𝑦3 (𝑥)). Posteriormente se determina 𝑓(𝑥), para poder encontrar 𝑢1 𝑢2 y 𝑢3 , y poder hallar la 𝑊1 𝑊2 𝑊3 solución particular mediante la integración de 𝑢1 ´ = , 𝑢2 ´ = y 𝑢3 ´ = , donde : 𝑊 𝑊 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑦3 0 𝑦2 𝑦3 𝑦1 0 𝑦3 ′ 𝑊 = | 𝑦1 𝑦2′ 𝑦3′ |, 𝑊1 = | 0 𝑦2′ 𝑦3′ |, 𝑊2 = | 𝑦1′ 0 𝑦3′ | 𝑊3 = ′′ 𝑦1 𝑦2′′ 𝑦3′′ 𝑓(𝑥) 𝑦2′′ 𝑦3′′ 𝑦1′′ 𝑓(𝑥) 𝑦3′′ 𝑦1 𝑦2 0 | 𝑦1′ 𝑦2′ 0 | 𝑦1′′ 𝑦2′′ 𝑓(𝑥) Una solución particular es 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 + 𝑢3 𝑦3 y la solución general de la ecuación diferencial es entonces 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 . Con base en lo anterior, los valores para 𝑊1 , 𝑊2 y la solución general de la ecuación 𝒚′′ + 𝒚′ = 𝒔𝒆𝒄𝒙 son respectivamente: 1. 𝑊1 = −𝑇𝑎𝑛𝑥, 𝑊2 = 1 2. 𝑦 = 𝐶1 𝐶𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 𝐶𝑜𝑠𝑥. 𝐿𝑛|𝑆𝑒𝑐𝑥| + 𝑥𝑆𝑒𝑛𝑥 1 3. 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝑒 𝑥 + 4 𝑒 −𝑥 4. 𝑊1 = 2𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 , 𝑊2 = 2𝑥𝑒 𝑥 6. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial 4𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 17𝑦 = 0, 𝑦(0) = −1, 𝑦′(0) = 2, las raíces de la ecuación auxiliar y la solución al problema 𝑦 corresponden a: −𝑥⁄ 3 1. 𝑦 = 𝑒 2 (− cos 2𝑥 + 4 𝑠𝑒𝑛2𝑥) −1 −1 2. 𝑟1 = + 2𝑖; 𝑟2 = − 2𝑖 2 2 −1 1 3. 𝑟1 = − 2𝑖; 𝑟2 = 2 + 2𝑖 2 −𝑥⁄ 3 4. 𝑦 = 𝑒 2 (cos 2𝑥 − 4 𝑠𝑒𝑛2𝑥) Jefferson Duban Medina Cardenas EJERCICO 3: La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma 𝑎2 𝐷2 𝑦(𝑥) + 𝑎1 𝐷𝑦(𝑥) + 𝑎0 𝑦(𝑥) = 𝑔(𝑥), es 𝑦 = 𝑟1 𝑢1 + 𝑟2 𝑢2 En donde 𝑢1 𝑦 𝑢2 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑟1 = 𝑤 𝑤 ∫ 𝑤1 𝑑𝑥 , 𝑟2 = ∫ 𝑤2 𝑑𝑥 . Para ello, los Wronskianos 𝑢1 𝑢2 0 𝑢2 𝑢 0 𝑤 = |𝑢′ 𝑢2′ |, 𝑤1 = | |, 𝑤3 = | 1′ | 1 𝑔(𝑥) 𝑢2′ 𝑢1 𝑔(𝑥) Con base en lo anterior, la solución de la ecuación 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 1 es: 1 𝐴. 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −4𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥 − 12 1 𝐵. 𝑦 = 𝑐1 𝑒 4𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 4 4 𝐶. 𝑦 = 𝑐1 𝑥 4 + 𝑐2 𝑥 + 3 1 𝐷. 𝑦 = 𝑐1 𝑥 −4 + 𝑐2 𝑥 −1 − 3 Desarrollo: Como primer paso resolvemos la ecuación homogénea de coeficientes constantes: 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 1 Igualamos la ecuación a 0 Proponemos una solución de tipo exponencial: 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 0 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 Vamos a buscar el valor de 𝑟 y sustituimos la función en la ecuación: 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 𝑦 ′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 𝑦 ′′ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 Sustituimos los valores en la ecuación diferencial: 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 − 5𝑟𝑒 𝑟𝑥 + 8𝑒 𝑟𝑥 = 0 (𝑟 2 − 5𝑟 + 4)𝑒 𝑟𝑥 = 0 𝑟 2 − 5𝑟 + 4 = 0 Obtenemos una ecuación de segundo grado: 𝑟 2 − 5𝑟 + 4 = 0 Resolvemos por factorización: (𝑟 − 1)(𝑟 − 4) = 0 𝑟−1=0 𝑟=1 𝑟−4=0 𝑟=4 Sustituimos en la solución que propusimos al comienzo del ejercicio: 𝑦1 = 𝑒 𝑥 𝑦2 = 𝑒 4𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 4𝑥 La letra C = Constante arbitraria. Organizamos la expresión: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 4𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 Como segundo paso resolvemos la ecuación por medio del método de coeficientes indeterminados: 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 1 Buscamos una solución particular de la ecuación homogénea: 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑦′𝑝 = 𝐴 𝑦 ′′ 𝑝 = 0 0 − 5𝐴 + 4(𝐴𝑥 + 𝐵) = 𝑥 −5𝐴 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 = 𝑥 Ordenamos los términos: 4𝐴𝑥 + (−5𝐴 + 4𝐵) = 𝑥 Igualamos los coeficientes del polinomio del lado izquierdo con los coeficientes del polinomio del lado derecho: 4𝐴 = 1 −5𝐴 + 4𝐵 = 0 Resolvemos el sistema de ecuaciones: 1 𝐴= 4 1 −5𝐴 ( ) + 4𝐵 = 0 4 1 − 1 + 4𝐵 = 0 4 1 4𝐵 = 1 4 1 𝐵= =1 1 El resultado para la solución particular homogénea es: 1 1 𝑦𝑝 = 𝑥+1= 4 4 Ahora sumamos el resultado de la solución homogénea con el resultado que obtuvimos por medio del método de coeficientes indeterminados y tenemos que: Solución general: 1 𝑦 = 𝐶1 𝑒 4𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 4 Hallamos el Wronskiano general: 𝑦1 = 𝑒 4𝑥 , 𝑦2 = 𝑒 𝑥 𝑦1 𝑦2 𝑤 (𝑦1 , 𝑦2 ) = |𝑦′ 𝑦′2 | 1 4𝑥 𝑤 (𝑒 4𝑥 , 𝑒 𝑥 ) = | 𝑒 4𝑥 𝑒 𝑥 | = 𝑒 5𝑥 − 4𝑒 5𝑥 = −3𝑒 5𝑥 4𝑒 𝑒𝑥 El resultado obtenido es diferente de 0 y me dice que las dos funciones 𝒚𝟏 = 𝒆𝟒𝒙 , 𝒚𝟐 = 𝒆𝒙 son linealmente independientes. Calculamos el Wronskiano 𝑊1 : 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 1 0 𝑒𝑥 𝑤1 = | | = 0 − 𝑒 𝑥 = −𝑒 𝑥 1 𝑒𝑥 Calculamos el Wronskiano 𝑊2 : 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 1 4𝑥 𝑤2 = | 𝑒 4𝑥 0| = 𝑒 4𝑥 − 0 = 𝑒 4𝑥 4𝑒 1 Con los resultados obtenidos de los 3 Wronskianos vamos a hallar: 𝑢′1 𝑢′2 Entonces tenemos que: 𝑤 = −3𝑒 5𝑥 𝑤1 = −𝑒 𝑥 𝑤2 = 𝑒 4𝑥 𝑤1 −𝑒 𝑥 𝑢′1 = = = −3𝑒 4𝑥 𝑤 −3𝑒 5𝑥 𝑤2 𝑒 4𝑥 𝑢′2 = = 5𝑥 = −3𝑒 𝑥 𝑤 −3𝑒 EJERCICIO 7: Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma 𝑎2 (𝑥)𝐷2 𝑦(𝑥) + 𝑎1 (𝑥)𝐷𝑦(𝑥) + 𝑎0 (𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑥) Se procede sustituir 𝑦 = 𝑥 𝑚 , 𝑦 ′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 , 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑢1 + 𝑐2 𝑢2 , y luego, con la ayuda de los Wronskianos 𝑢1 𝑢2 0 𝑢2 𝑢 0 𝑤 = |𝑢′ 𝑢2′ |, 𝑤1 = | |, 𝑤3 = | 1′ | 1 𝑔(𝑥) 𝑢2′ 𝑢1 𝑔(𝑥) Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, los Wronskianos w1 y w2 de la ecuación diferencial: 𝑥𝑦’’ − 𝑦’ = 𝑥 son: 1. 𝑊1 = 2𝑥 2. 𝑊1 = −𝑥 3 3. 𝑊2 = 1 4. 𝑊2 = 𝑥 Desarrollo: Como primer paso reemplazamos en la ecuación: 𝑥𝑦’’ − 𝑦’ = 𝑥 𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑦 ′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 𝑥 𝑥𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 − 𝑚𝑥 𝑚−1 = 𝑥 𝑚(𝑚𝑚−1 )𝑥 𝑚−1 − 𝑚𝑥 𝑚−1 = 𝑥 𝑚2 − 𝑚 − 𝑚 = 0 𝑚2 − 2𝑚 = 0 −𝑏 ± √𝑏 2 − 4(1)(0) 2 ± √4 = =0 2(1) 2 Hallamos los valores para 𝑚1 y 𝑚2 : 2 + √4 4 𝑚1 = = =2 2 2 2 − √4 𝑚2 = =0 2 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 2 Solución particular: 𝑦𝑝= 𝑢𝑦1 + 𝑢𝑦2 𝑦1 𝑢′1 + 𝑦2 𝑢′2 = 0 𝑦𝑝= 𝑢1 (1) + 𝑢2 𝑦2 𝑦′1 𝑢′1 + 𝑦′2 𝑢′2 = 0 Hallamos los Wrosnkianos: 2 𝑢′ 0 |1 𝑥 | | 1 | = | | 0 2𝑥 𝑢′2 𝑥 Wrosnkiano W: 2 𝑤 = |1 𝑥 | = 2𝑥 0 2𝑥 Wrosnkiano 𝑤1: 2 𝑤1 = |1 𝑥 | = −𝑥 3 0 2𝑥 Wrosnkiano 𝑤2 : 1 0 𝑤2 = | |=𝑥 0 𝑥 La solución del ejercicio es la opción 2 y 4. DESARROLLO PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL Problema: El circuito de la figura muestra un Resistor R = 5 Ohmios en serie con un condensador C = 0.02 Faradios, conectados a una fuente de voltaje de 100 voltios. Si cuando t = 0 la carga Q en el condensador es de 5 Coulombios, determine Q y la corriente I cuando t > 0. Datos del ejercicio: 𝑅 = 5 𝑂ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠 𝐶 = 0.02 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑒 (𝑡) = 100 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 0 𝑄 = 5 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑜𝑠 Desarrollo: Al conectar un condensador con una capacidad de 0.02 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 y una resistencia 𝑅 = 5 𝑂ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠 a una fuerza electromotriz de una 𝑒(𝑡) = 100 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠, y al cerrarse el circuito se produce una corriente eléctrica de I. La ecuación utilizada para un voltaje constante 𝑒(𝑡) = 100 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠 y una condición inicial para 𝑡=0 𝑄𝑜 = 5 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑜𝑠 es la siguiente: −𝑡 𝑅𝐶 Tenemos que: −𝑡 𝑞(𝑡) = 𝑒(𝑡) ∗ 𝐶 + (𝑄𝑜 − 𝑒(𝑡) ∗ 𝐶)𝑒 𝑜ℎ𝑚𝑠 ∗ 0.02 𝐹 5 −𝑡 𝑞(𝑡) = 100 𝑣𝑜𝑙𝑡 ∗ 0.02 𝐹 + (5 𝑐𝑏 − 100𝑣𝑜𝑙𝑡 ∗ 0.02 𝐹) ∗ 𝑒 1⁄ 10 𝑞(𝑡) = 2 + 3(𝑒) −10𝑡 𝑞(𝑡) = 2 + 3(𝑒) Para t mayor que cero 𝐼(𝑡) = 𝑑𝑞(𝑡)/𝑑𝑡 −10𝑡 La corriente para 𝑡 > 0 = 𝐼(𝑡) = −30 (𝑒) DESARROLLO SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL Situación y solución planteada: Cuando tenemos una masa de 5 Kg que se une a un resorte de constante k= 5 N/m y a un amortiguador de constante c = 26 N.s/m, y la soltamos desde el punto x0 = -0.1 m, con velocidad v0 = 1.94 m/s, podemos determinar la Posición, Velocidad y Aceleración de la masa en el tiempo 𝑡 ≥ 0. Asi: La posición x(t) de m, con respecto a la posición de equilibrio, está dada por la solución de Problema de Valor Inicial 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 5 2 + 26 + 5𝑥 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝑥(0) = −0.1 𝑦 𝑥 ′ (0) = 1.94 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Se puede proponer como solución 𝑥 = 𝑒 𝑟𝑡 . La solución de dicha ecuación parte de su ecuación característica así: 5𝑟 2 + 26𝑟 + 5 = 0 , de allí obtenemos las dos raíces utilizando la ecuación cuadrática −5; −26 ± √676 − 4(5)(5) −26 ± 24 𝑟1,2 = = ={ 1 2(5) 10 − 5, La solución general de la ecuación diferencial que corresponde a la masa es: −𝑡 −5𝑡 𝑥 (𝑡) = 𝑐1 𝑒 + 𝑐2 𝑒 5; Y su velocidad está dada por: 1 −𝑡 𝑣(𝑡) = −5𝑐1 𝑒 −5𝑡 − 𝑐2 𝑒 5. 5 Como en el tiempo 𝑡 = 0 𝑠, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥0 = −0.1 𝑚, 𝑐𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣0 = 1.94 𝑚⁄𝑠, entonces tenemos sustituyendo en las dos ecuaciones previas −0.1 = 𝑐1 + 𝑐2 ; 𝑦 1.94 = −5𝑐1 − 0.2𝑐2 Para resolver este sistema podemos usar el método de Cramer dando el siguiente resultado −0.1 1 | | 0.02 − 1.94 −1.92 𝑐1 = 1.94 −0.2 = = = −0.4; 1 1 −0.2 + 5 4.8 | | −5 −0.2 1 −0.1 | | 𝑐2 = −5 1.94 = 1.94 − 0.5 = 1.44 = 0.3. 1 1 −0.2 + 5 4.8 | | −5 −0.2 Con estos resultados, podemos calcular la posición, y derivando tendemos la Velocidad y la aceleración de la masa en 𝑡 ≥ 0 −𝑡 𝑥(𝑡) = −0.4𝑒 −5𝑡 + 0.3𝑒 5 𝑚; −𝑡 𝑣(𝑡) = 2𝑒 −5𝑡 − 0.06𝑒 5 𝑚/𝑠; −𝑡 𝑎(𝑡) = −10𝑒 −5𝑡 + 0.012𝑒 5 𝑚⁄𝑠 2. CONCLUSIONES Desarrollamos de manera individual y correcta las dos preguntas tipo saber pro, que cada uno de nosotros escogimos, socializamos con nuestro grupo de trabajo, no se repitió con alguna enviada anteriormente por otro compañero y lo enviamos por el foro de trabajo colaborativo Fase 3: Diseño y construcción. Vemos como el cálculo nos muestra no solo en números si no también en la vida diaria las ecuaciones diferenciales, entendemos que es un tema muy extenso que nos ayudan a resolver problemas que involucran magnitudes de los cuales sus valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes. Referencias Felipe, M. P. (27 de Octubre de 2016). Variación de Parámetros (Ej 1) | Ecuaciones Diferenciales Paso a Paso. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=Enq-s94-nmY MateFacil. (31 de Marzo de 2017). 123. EDO no homogénea, COEFICIENTES INDETERMINADOS, polinomio. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=q4APozO_iy4 MateFacil. (29 de Enero de 2017). 86. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (segundo orden, homogénea) EJERCICIO RESUELTO. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=cPV8pU8e2C8 https://www.youtube.com/watch?v=OD7olnR0EkE https://www.youtube.com/watch?v=ITHn8JKv1sA https://www.youtube.com/watch?v=UgUIVIqiWaY https://es.slideshare.net/pricilavanessa/dependencia-lineal-e-independencia