UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios yMediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 TRABAJO COLABORATIVO FASE 2 CALCULO INTEGRAL INTEGRANTES: ADRIANA NATHALI CUELTAN CC: 1.126.455.295 YILIBETH CASTELLON C.C: 1.042.435.322 ESTEBAN RODOLFO MARIN C.C: 16896740 EDWIN G. CASTILLO C.C: 1.112.619.137 EIDER ALEXANDER CORTES ALBERTO CHARRIS ARAUJO C.C: 85457387 GRUPO: 100411_385 TUTOR: ALVARO JAVIER ROJAS BARACALDO UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICIAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ABRIL 10 DE 2016 1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 INTRODUCCION La integración es el proceso contrario de la derivación, y su desarrollo consiste en el cálculo de las anti derivadas, para este cálculo se utilizan diversos métodos y técnicas, entre las cuales están: la integración directa, integración por sustitución, integración por partes, integración por funciones trigonométricas, integración por sustitución trigonométrica, integración por fracciones parciales. En el Presente Trabajo vamos a poner en práctica los conocimientos adquiridos en la unidad 2 del curso de cálculo integral, para el desarrollo de problemas con integrales a través del uso de las técnicas antes mencionadas. 2 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ∫ ∫ ( ∫ ) ( ) Entonces: RTA: ∫ ∫ 2. √ Ajustamos la integral en los puntos no definidos; Hay un límite indefinido entre los límites en: 0 ∫ ∫ ∫ √ ( √ ∫ √ √ ( ) 3 ) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 ∫ 3. Por sustitucion: u= -5X du= 5dx Reemplazamos Integrando Remplazamos: ∫ 4 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 4. ∫ √ Integral 1 ( ) ( ) ( ) Por partes tenemos que ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) Integral 2 ( ) Remplazamos ( ) 5 ) ) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 ( ) ( )( ) Unimos integrales 1 y 2 ( ) ( ) ( ( ) ) Para resolver diferentes tipos de integrales es indispensable tener en cuenta las propiedades básicas de las integrales (integrales intermediaras) y las diferentes técnicas o métodos de integración como integración inmediata con sustitución, integración por cambio de variable, integración por racionalización e integración por sustitución trigonométrica. Evaluar las siguientes integrales. 6 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 5. ∫ √ Aplicamos ley de la integración por sustitución ∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ) ( ) √ ∫ ( ) Se quita la constante ∫ Aplicamos ley de la suma (∫ ∫ ) ∫ ∫ ( ) Aplicamos ley de la sustitución en la ecuación u = √ (√ (√ ) Simplificamos ( √ ) Por último se le agrega una constante a la solución ( √ ) 7 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 ∫ ( √ ∫ 6. ) √ √ √ Se calcula la integral indefinida ∫ √ (√ √ √ √ ) Calculamos los límites ∫ √ √ ∫ √ (√ ) √ (√ ) √ ∫ ∫ 7. (√ ) √ √ √ (√ ) √ √ ( ) ( ) Calculamos la integral indefinida: ∫ ( ) ( ) ( Se calcula límite 8 ( ) ) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ( ) ( )) ( Simplificamos y obtenemos ( ) ∫√ 8. ( ) Aplicamos ley de integración por sustitución ∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) √ Sacamos la constante ∫ √ Se aplica ley integración por sustitución 9 ( )) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 ∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) √ ( ) Simplificamos ∫ √ Por consiguiente se aplica ley de integración por sustitución ∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ Sacamos la constante ∫ ∫ ( ) ( ) √ ( ) ( √ √ Ahora se usa la siguiente identidad 10 ) ( ) ( ) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 ∫ √ ( ) ( ( ) ( )√ √ ( ) ∫ ( ) ( ) ( )√ Simplificamos ∫ Aplicamos ley integral de una constante ( Sustituimos en la ecuación ( ) ) Simplificamos nuevamente ( ) Por ultimo añadimos una constante a la solución 11 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 ( ) ∫√ 9. ( √ ) Aplicamos ley de integración por sustitución ∫ ( ( )) ( ) √ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) Sacamos la constante: ∫ ∫ ( ) ∫ Aplicamos ley de integración por sustitución ∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ Aplicamos la regla de la integración: ∫ | | 12 ( | |) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 |√ | |√ ∫ | ( √ |√ √ ) | ∫√ 10. Aplicamos ley de integración por sustitución ∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( )√ ( ) ( ) ∫ ( )√ ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ( ) ( ) 13 ( )) ( ) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 ( ( ( )) ( ( ))) (√ ∫ (√ √ ( ) ∫ 11. Aplicamos la integración por partes: ∫ ∫ ( ) ( ( )) ∫ ( ) ( ( ) ( )) ( ) ∫ Sacamos la constante ( ) ( ) ( ∫ ) Aplicamos nuevamente integración por partes: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ( 14 ∫ ∫ ( ) ( ) )) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 Por lo tanto ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) Despejamos ∫ ( ( ) ( ) ( )) Por ultimo agregamos una variable a la solución ( ( ) ( )) ∫ 12. ∫ Se toma la fracción parcial de: ∫ Ahora aplicamos la regla de la suma: ∫ ∫ | ∫ | | ∫ | | | | | Agregamos una constante a la solución | | | 15 | ( ) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 CONCLUSIONES. Se identificó el proceso de la evaluación de integrales impropias y su forma de resolverlas identificando la propiedad utilizada. La estrategia permanente de aprendizaje basado en problemas nos permite adquirir Conocimientos para resolver situaciones en nuestro contexto social y económico, Comprendiendo la fundamentación de la integral definida. El trabajo en equipo permite afianzar, aprender y comprender los conceptos y herramientas del cálculo integral para poder así aplicarlos en la solución de problemas en diferentes disciplinas. El cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados. Identificamos, interpretamos de manera apropiada las diferentes teorías, definiciones y teoremas del cálculo integral para lograr resolver los ejercicios propuestos. Se logra fortalecer conocimientos del proceso de cálculo integral. 16 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas VIMEP Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería 100411 – Cálculo integral Trabajo Colaborativo Fase 2 BIBLIOGRAFÍA. Guía Integrada De Actividades Rubrica Analítica De Evaluación Trabajo Colaborativo Fase 2 Guía Para La Solución De Problemas 1 A 4 Fase 2 Guía Para La Solución De Problemas 5 A 8 Fase 2. Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales. Alicante: Digitalia. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2048/login?url=http://search.ebscohost.com/logi n.aspx?direct=true&db=nlebk&AN=318092&lang=es&site=ehostlive&ebv=EB&ppid=pp_Cover Casteblanco, C. (2015, octubre, 15). Métodos de integración Parte I. [Video]. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral100411_version_A VA/Video_tutoriales/Metodos_de_integracion_Parte_I.mp4 Bojacá, E. (2014, junio, 24). Integración por partes – Fenómeno de recurrencia. [Video]. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral100411_version_A VA/Video_tutoriales/Integracion_por_partes_recurrencia_Edgar_Bojaca.mp4 Casteblanco, C. (2015, octubre, 15). Métodos de integración Parte II. [Video]. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral100411_version_A VA/Video_tutoriales/Metodos_de_integracion_Parte_II.mp4 17