UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADEscuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. 1 Código 100410 TRABAJO COLABORATIVO 3 CALCULO DIFERENCIAL PRESENTADO A: OSCAR JAVIER GRACIA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CEAD ZIPAQUIRA MAYO DE 2015 INTRODUCCIÓN Por medio del presente trabajo se pretende dar solución a los 10 ejercicios que corresponden a la fase 3 del trabajo colaborativo de la asignatura Cálculo Diferencias que son problemas que contiene situaciones relacionadas con los temas de derivada de una función y sus aplicaciones. y=x 2−2 x−3 para x =1 Se reemplaza el valor de x en la ecuación: 2 . Código 100410 EJERCICIOS PROPUESTOS Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva: 1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. 2 3 Código 100410 y=( 1 ) −2 ( 1 )−3 y=1−2−3 y=−4 Ya se tiene el valor de la coordenada o sea el punto de tangencia (abscisa y la ordenada) y=−4 (ordenada) x=1(abscisa) Ahora para hallar la ecuación de la recta tangente.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. se deriva la variable y respecto de la variable x: Se toma la función: 2 y=x −2 x−3 dy =2 x−2 derivada deducida de : dx Derivada de X2 y 2 x 2−1 y ' =2 x Derivada de -2x y=−2 x y ' =−2 Derivada de -3 y=−3 . si f ( x )=x 4− 1 −ln 4 halle el valor de f ' ( 1 ) . 4 x Solución: Derivamos la función: f ( x )=x 4 −x−4−ln 4 3 −5 f ' ( x )=4 x + 4 x −0 } 3 f ' ( 1 )=4 (1) + 4 5 (1) 3 f ' ( x )=4 x + 4 x5 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería ' curso: Calculo diferencial. teniendo en cuenta los puntos de tangencia (x1. y1= 1. 4 Código 100410 y =0 Ahora se halla la pendiente de la recta tangente mT: mT =f ' ( x )=2 ( 1 )−2 mT =0 Para hallar la ecuación de la recta tangente se emplea el modelo punto pendiente.-4) y la pendiente de la recta mT= 0: y− y 1=m ( x−x 1 ) y−(−4 )=m ( x−1 ) y−(−4 )=0 y=4 2. f ( x )=sen 2 (2 x ) Solución: Aplicamos regla de la cadena: f ' ( x )=2 sen ( 2 x )∗cos ( 2 x )∗(2) f ' ( x )=4 sen ( 2 x ) cos ( 2 x ) 7 ln x 4. f ( x ) = x ex Código 100410 5 . f ( x )= 3 ln x Solución: Aplicamos propiedad de logaritmos: f ( x )= 7 lnx 3 lnx Simplificamos: f ( x )= 7 3 Ahora derivamos la función: f ' ( x )=0 5.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. 4 f ' ( 1 )=4 (1)+ 1 f ' ( 1 )=4+ 4 f ' ( 1 )=8 Hallar la derivada de las siguientes funciones: 3. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. 4∗cos ( 2 x ) . mirando que para el cos2x = -2sen . Hallar la tercera derivada de: f ( x )=2 sen (2 x) Derivamos la función: f ' (x)=2∗sen ( 2 x ) Sabemos que según la tabla de derivadas para el (senx)’ = cosx. 6 Código 100410 Solución: Aplicamos la regla de la derivada de un cociente: f ( x )= ( 1 ) e x −x e x 2 ( ex ) x x f ( x )= e −x e 2x e f ( x )= e x (1−x ) e2 x f ( x )= 1−x ex 6. Derivamos por segunda vez partiendo de (2x). hacemos la respectiva derivación f ' (x)=2∗(2 cos ( 2 x )) f ' ( x )=4∗cos ( 2 x ) Obtendríamos la primera derivada. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. Hallar la segunda derivada de: f ( x )=e lnx Solución: Derivamos por primera vez aplicando la regla del producto: 1 f ' (x)=e x lnx+ e x x ( f ' (x)=e x lnx+ 1 x ) Derivamos por segunda vez aplicando nuevamente la regla del producto: ( f ' ' ( x )=e x lnx+ 1 1 1 + ex − 2 x x x ) ( 1 1 1 f ' ' ( x )=e x lnx+ + − 2 x x x ( ) ) 7 . '' f ( x )=4∗cos ( 2 x ) Código 100410 Remplazamos. Derivamos por tercera vez siguiendo el mismo procedimiento anterior. f ' ' ( x )=4∗(−2 sen ( 2 x )) f ' ' ( x )=−8 sen ( 2 x ) Obtendríamos la segunda derivada. x 7. Sen2x = cos2x f ³ ( x )=−8 sen ( 2 x ) f 3 ( x )=−8∗(2cos ( 2 x ) ) f ³ ( x )=−16 cos ( 2 x ) A si obtendríamos la tercera derivada. Las coordenadas del punto crítico. De la curva f ( x )=x −x . Derivamos con respecto a x e igualamos a cero: f ' (x)=2 x−1=0 2 x −1=0 2 x =1 8 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. 2 1 f ( x )=e lnx+ − 2 x x '' ( x Código 100410 ) x 2+ 2 x−8 lim 8. Usando L’Hopital hallar el límite de: x→ 2 x2 −x−2 Solución: d 2 ( x + 2 x−8 ) dx lim x→ 2 d ( x2 −x−2 ) dx lim x→ 2 2 x+2 2 x −1 ¿ 2(2)+2 2(2)−1 ¿ 4+ 2 4−1 ¿ 6 3 ¿2 2 9. Hallar: a. La x del denominador la pasamos al numerador y se nos presenta un cambio de signo en el exponente. . ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica. Los puntos de inflexión si los hay. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. 9 Código 100410 Ahora remplazamos en la función: 1 1 2 1 = − 2 2 2 f ()() f ( 12 )= 14 − 12 f ( 12 )= −14 b. 10.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería 1 x= 2 curso: Calculo diferencial. Cr ( x )=100000000 x−1+100 x +50 Derivamos la función. tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo? Formula del costo total del pedido C(x) Cr ( x )= 100000000 +100 x +50 x Problema de optimización. Solución: Tomamos la primera derivada y derivamos nuevamente: f ' (x)=2 x−1 f ' ' (x )=2 La segunda derivada es una función constante por lo tanto no hay puntos de inflexión. x 2=1000000 Para despejar x sacamos raíz cuadrada a ambos lados sabiendo que al lado derecho quedaría con más o menos. Cr ´ ( x )=−100000000 x −2 +100 Ahora hallamos los puntos críticos tomamos la derivada. 100− 100000000 =0 x2 Ahora la fracción que esta negativa la pasamos al otro lado para volverla positiva. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. x ²=¿ ± √ 1000000 √¿ Solucionamos. 100= 100000000 x² Pasamos la x al otro lado y nos quedaría. 2 x= 100000000 100 Nos quedaría. 100 x2=100000000 Despejamos x2. 10 Código 100410 Al exponente le restamos -1 y por esta razón nos queda menos 2. La prima de x y la igualamos a o Cr ´ ( x )=0 −2 −100000000 x + 100=0 Reescribimos la ecuación de la siguiente forma para que el exponente quede positivo. https://www. x=1000 El pedido de bultos para solicitar con el mínimo de costo a la fábrica es de 1000. Obtenido https://www. se observó que las técnicas usadas requieren un dominio del algebra básica y de las funciones trigonométricas. j.youtube. (16 de diciembre de 2013). (13 de junio de 2012). e. (t.be de YouTube: León.c. m.: universidad nacional abierta y a distancia.) Bogotá d. Julioprofe. Obtenido . 11 Código 100410 x=± 1000 Y como nos pide la cantidad mínima de bultos eliminaríamos el signo menos.com/watch?v=5z-p5souhgm de YouTube: YouTube. Recuperado el 26 de febrero de 2015.youtube. e. f.com/watch?v=etjzsdcmpge&feature=youtu. Módulo cálculo diferencial. YouTube. ed.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería curso: Calculo diferencial. CONCLUSIONES Una vez terminada la fase 3 del trabajo colaborativo se determinó la variedad de opciones que nos brinda el cálculo diferencial para resolver problemas que contienen temas ligados a la derivación de funciones y sus aplicaciones. escuela de ciencias básicas. (2010). BIBLIOGRAFÍA Duran.