Primer Cuatrimestre de 2016Departamento de Tecnología y Administración Carrera: Ingeniería en Informática Asignatura: Física I Guía Teórico-Práctica Nº 10 [Mecánica Rotacional] Partículas y Cuerpo Rígido Elaboración: Gustavo Montero Juan Cruz Moreno Paulina Armagno Física I Índice Dinámica rotacional de la partícula............................................................................................... 3 Momento angular ..................................................................................................................... 3 Torque o Momento de una fuerza ............................................................................................ 4 Variación del momento angular y su relación con los torques ................................................. 5 Completitud de la definición de Estado de Equilibrio ............................................................... 7 Ejercicios y Problemas propuestos........................................................................................... 9 Dinámica del Cuerpo Rígido ........................................................................................................ 12 Modelo de Cuerpo rígido ........................................................................................................ 12 Momento angular para un cuerpo rígido en rotación ............................................................ 12 Algunos momentos de inercia................................................................................................. 14 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos ............................................................................ 14 Energía Cinética de un cuerpo en rotación ............................................................................. 17 Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil ................................................................... 23 Trabajo y Potencia en movimiento rotacional ........................................................................ 24 Teorema del Trabajo y la Energía Cinética en el movimiento rotacional ............................... 25 Ejercicios y Problemas propuestos.......................................................................................... 26 2 Física I Dinámica rotacional de la partícula Momento angular Todas las magnitudes asociadas al movimiento rotacional que hemos visto hasta aquí son análogas a las magnitudes estudiadas en el movimiento lineal o de traslación de una partícula. Una de esas magnitudes -a partir de la cual hemos formulado la Segunda Ley de Newton- es la cantidad de movimiento y su análogo para el movimiento rotacional es el momento angular, una cantidad vectorial que se define a partir de su relación con el momento lineal (o cantidad de movimiento) de igual forma que lo hacen el momento y la fuerza para una partícula. Pero vayamos con calma, definamos primero el momento angular. Para una determinada masa constante ?, velocidad ?⃗, cantidad de movimiento ?⃗ y vector posición ?⃗ relativo al origen O de un sistema de Coordenadas asociado a un Marco de Referencia inercial, definimos el momento angular ?⃗⃗ de la siguiente forma: ?⃗⃗ = ?⃗ × ?⃗ que se lee como el momento angular ?⃗⃗ es el producto vectorial entre la posición ?⃗ y la cantidad de movimiento ?⃗. Al igual que lo visto en el caso de la velocidad angular, debemos entender al resultado de este producto vectorial como el de un vector perpendicular al plano que contiene a los vectores ?⃗ y ?⃗ (Figura 1), en el sentido que da la “regla de la mano derecha”, y cuyo módulo está dado por Figura 1: Representación vectorial del momento angular de una partícula. |?⃗⃗| = |?⃗| |?⃗| ??? ∅ siendo ∅ el ángulo comprendido entre la dirección del vector posición y el de la cantidad de movimiento. El momento angular representa el estado dinámico El momento rotacional así como la cantidad de movimiento el momento angular se expresa en las lineal (o momento lineal) representa el estado dinámico siguientes unidades: traslacional. [?⃗⃗] = (?) (?? ? )=??? ? El estado dinámico representa el estado dinámico rotacional de la partícula, está expresando cómo está rotando una dada partícula alrededor de un eje. Como vemos, su módulo plantea cuán rápido está rotando: dos partículas de igual masa rotando a la misma distancia del 3 Física I eje tendrán diferente módulo de momento angular de acuerdo a cuál se mueva más rápido (considerando |?⃗|) y en qué dirección se mueve (considerando ??? ∅). pero el módulo de ⃗⃗⃗⃗⃗ ?2 debe ser mucho más grande que el de ⃗⃗⃗⃗⃗ ?3 para cerrarla de igual modo. pero en este caso no se trata de un movimiento traslacional. nos permitirán cerrar la puerta. Sin embargo conociendo solo el módulo del momento angular no puedo saber si la partícula rota muy rápido cerca del eje (gran valor de |?⃗| y escaso valor de |?⃗|) o rota muy despacio pero muy lejos (pequeño |?⃗| y gran valor de |?⃗| ). menos esfuerzo de nuestra parte) es aplicar una fuerza lo más lejos posible del eje de rotación (Figura 2). La magnitud y dirección de la fuerza son importantes. sino más bien de que una fuerza hace que un cuerpo rote por un punto describiendo un movimiento circular. Torque o Momento de una fuerza Hasta este punto hemos estudiando las características de los movimientos circulares. ⃗⃗⃗⃗⃗2 y ⃗⃗⃗⃗⃗ sabemos que las fuerzas ? ?3 aplicadas perpendiculares al panel de la puerta. Del estudio de la dinámica. pero es algo que aplicamos constantemente. sabemos que una fuerza neta provoca un cambio en la cantidad de movimiento de los cuerpos (formalizado en la Segunda ley de Newton). Por otro lado el signo de nos indica en qué sentido gira la partícula respecto al eje: dextrógiro (en el sentido de las agujas del reloj) o levógiro (en el sentido contrario a las agujas del reloj). Esta idea puede parecer confusa ahora. Es por eso que los picaportes se sitúan lo más alejado posible de las bisagras!! 4 . vista anteriormente. intuitivamente nosotros sabemos que para cerrar una puerta no basta con aplicar una fuerza sino dónde y cómo la aplicamos. De manera similar. Por ejemplo. pero también lo es la posición en la que se aplica la fuerza sobre el cuerpo (punto de aplicación) respecto al eje de rotación sobre el cual girará el cuerpo. Es que la forma más efectiva (la que requiere ⃗⃗⃗⃗⃗? ? ⃗⃗⃗⃗⃗? ? ⃗⃗⃗⃗⃗? ? ⃗⃗⃗⃗⃗? ? ⃗⃗⃗⃗⃗? ? ⃗⃗⃗⃗⃗? ? Figura 2: ¿Cuál es la manera de abrir una puerta con el menor esfuerzo posible?. sin preguntarnos por las causas. Es decir una fuerza ⃗⃗⃗⃗ ?1 aplicada sobre el canto de la puerta en la dirección del panel de la puerta no nos permitirá cerrarla. Y de manera similar. de manera tal que el módulo del torque resulta en el producto entre la fuerza aplicada y el brazo efectivo de palanca (Figura 3). el signo ?⃗ respecto al Sistema de Coordenadas. el módulo del vector está dado por |?⃗| = |?⃗| |?⃗ | ??? ? donde ? es el ángulo que forman los vectores ?⃗ y ?⃗ . La cantidad |?⃗| ??? ? se conoce también como brazo efectivo de palanca. expresada como ?⃗ = ?⃗ × ?⃗ que similarmente implica que el toque ?⃗ es el producto vectorial entre la posición ?⃗ y la fuerza ?⃗ . o mejor planteado: para cambiar el estado rotacional de un objeto. Definiremos entonces la esa acción del entorno particular como torque o momento de una fuerza.Física I En definitiva lo que estamos identificando es que para poner a rotar a un cuerpo. Diremos 5 . Variación del momento angular y su relación con los torques En la sección anterior establecimos que los cambios de estado rotacionales de un cuerpo están asociados a los torques del entorno sobre él. Profundicemos un poco en esta idea. Como en el caso del momento angular. una fuerza paralela o antiparalela al vector ?⃗ no genera torque porque es cuando ??? ? tiene valor nulo. donde ?⃗ representa la posición del punto en el cual se aplica la fuerza respecto al eje de rotación. El torque es entonces un vector de dirección perpendicular al plano que contiene a los vectores ?⃗ y ?⃗ y cuyo sentido queda definido por la “regla de la mano derecha”. Con esta definición está claro que las unidades del torque están dadas por [?⃗] = (?)(?) = ? ? De la definición de torque podemos establecer ciertas conclusiones: El mayor torque lo logramos con fuerzas aplicadas perpendicularmente a la posición. necesitamos una acción del entorno – una fuerza – pero aplicada con características particulares. A su vez. ⃗?⃗ ? ??? ? θ ⃗⃗ ? θ Figura 3: Vista del plano del torque de una fuerza. hecho evidente ya que es cuando alcanza el máximo valor la función ??? ?. donde se observa el brazo de palanca. evidencia si la fuerza actúa en el sentido dextrógiro (como las agujas del reloj) o levógiro (contrario al giro de las agujas del reloj). ?? tenemos a partir de la definición de momento angular: ??⃗⃗ ?(?⃗ × ?⃗) ??⃗ ??⃗ = = ( × ?⃗) + (?⃗ × ) ?? ?? ?? ?? pero sabemos que ??⃗ ?? = ?⃗ con lo cual tenemos el término ?⃗ × ?⃗. es necesario entender que estas acciones no pueden estar aplicadas en la dirección que une la partícula con el eje de rotación. Esta expresión (A) es análoga a la Segunda Ley de Newton para la dinámica traslacional: Deducción: Si planteamos la variación del momento angular de un cuerpo modelizado como partícula respecto del tiempo. que resulta nulo porque el vector ?⃗ es por definición siempre paralelo al vector ?⃗ (al ser paralelo el ángulo comprendido entre ellos es 0). Esto es algo que ya vimos en la definición de torque. La expresión (A) nos dice claramente que el estado rotacional (dado por el momento angular) de una partícula en rotación permanecerá constante o invariable en el tiempo 6 . Esta idea se expresa matemáticamente como ∑ ?⃗⃗⃗? = ? ??⃗⃗ ?? (?) Valen algunas importantes aclaraciones acerca de esta expresión: Cuando establecimos que eran las acciones del entorno aplicadas sobre el objeto de estudio. Por otro lado tenemos por la Segunda Ley de Newton que ??⃗ ?? = ∑? ⃗⃗⃗ ?? .Física I que las acciones del entorno aplicadas sobre el objeto de estudio modelizado como partícula cambian el estado dinámico rotacional del mismo respecto al eje de rotación considerado. es decir la derivada ⃗⃗ ?? . por lo que tenemos entonces ??⃗⃗ ??⃗ = (?⃗ × ) = ?⃗ × ∑ ⃗⃗⃗ ?? = ∑ ?⃗⃗⃗? ?? ?? ? ? Es decir en definitiva ∑ ?⃗⃗⃗? = ? ??⃗⃗ ?? ∑ ⃗⃗⃗ ?? = ? ??⃗ ?? Razón por la cual la expresión (A) es conocida como la Segunda Ley de Newton para la dinámica de las rotaciones. ya que si ?⃗ y ?⃗ son paralelos o antiparalelos el torque resulta nulo. Ejemplo 1 Un plomero aficionado. de Estudio. que no puede aflojar una junta. Diremos que un objeto modelizado como partícula se encuentra en estado de equilibrio dinámico cuando simultáneamente su cantidad de movimiento ?⃗ y su momento angular ?⃗⃗ permanecen constantes. Además del obvio significado matemático.Física I salvo que actúe un momento externo neto sobre la misma. le agregamos un significado físico: representa la frontera entre el entrono (dado por los torques) y el objeto de estudio (dado por su cambio de estado rotacional). Se debe considerar que la expresión (A) es válida sólo en Marcos de Referencia Inerciales. El utilizar la expresión (A implica también tener en cuenta cuál es el eje de rotación. respecto al cual se define el estado dinámico rotacional. podemos completar el concepto de estado de equilibrio en Dinámica. ensarta un tramo de tubo en el mango de su llave de tuercas y aplica todo su 7 . podemos resignificar el signo igual. Completitud de la definición de Estado de Equilibrio Considerando que hemos definido las funciones de estado que representan el estado del objeto de estudio modelizado como partícula en movimientos de traslación y rotación alrededor de un eje. es decir ?⃗ = ????????? y ?⃗⃗ = ????????? (B) De acuerdo a la Segunda Ley de Newton y su equivalente en rotaciones. que es donde está definido el concepto de fuerza. debemos enfatizar que la Un objeto modelizado como partícula se encuentra en definición de equilibrio es la dada estado de equilibrio dinámico cuando simultáneamente por la expresión (B). porque se ⃗ ⃗⃗ y su momento angular ? su cantidad de movimiento ? desprende de observar al Objeto permanecen constantes. La condición dada por la expresión (C) es una consecuencia de que se cumpla (B). el estado de equilibrio tiene como consecuencia que simultáneamente también se cumple: ∑? ⃗⃗⃗ ∑? ⃗⃗⃗ ?? = 0 y ?? = 0 (C) Al igual que cuando definimos anteriormente equilibrio dinámico en traslaciones. El momento ejercido por una fuerza externa sobre una partícula en rotación será equivalente a la variación del momento angular respecto al tiempo. Al igual que en muchas expresiones anteriormente estudiadas. El objetivo del plomero es “aflojar” la tuerca. despreciamos la interacción con la Tierra. Consideraremos a la llave sin masa (si no deberíamos considerar el torque del peso de la llave también) y nuestro objeto de estudio será el extremo de la llave sobre la cual aplicamos la fuerza con el pié. El extremo de la llave es lo que modelizaremos como partícula. Por lo que tendremos |?⃗| = (0.8 ?)(900 ?) ??? 109° |?⃗| = 680 ? ? 8 . Haremos algunas aproximaciones que modelizarán nuestra situación. es decir hacerla girar sobre un eje que pasa por su centro. es decir que rotar la llave alrededor del dentro de las pinzas conlleva a girar la tuerca. Comenzaremos realizando un diagrama de cuerpo aislado.80 m. La distancia del centro de la junta al punto donde actúa el peso es de 0. Al no tener masa. por lo que la única fuerza aplicada sobre la partícula será la del pie (?⃗?−? ). para lograr un mejor entendimiento de todas las magnitudes que entran en juego en esta situación: ? ? ⃗⃗ ? ⃗⃗?−? ? ? ? Para determinar el módulo del momento de la fuerza aplicada usamos la definición ya planteada: |?⃗| = |?⃗| |?⃗ | ??? ? De acuerdo al diagrama podemos identificar que ? = ? + 90° = 109°. Estudiaremos entonces la rotación de la llave alrededor del eje que pasa por el centro de las pinzas (es el mismo eje que pasa por el centro de la tuerca). Calcule la magnitud y la dirección del momento que el plomero aplica en torno al centro de la junta. El giro de la tuerca es exacatmente el mismo que el de la pinzas de la llave. está fuerza es la que pondrá a girar nuestra partícula alrededor del eje (que significa que girará la tuerca). y el mango y el tubo forman un ángulo de 19° con la horizontal. Es claro entonces que este problema está enmarcado en la Dinámica rotacional.Física I peso de 900 N al extremo del tubo parándose sobre él. Con lo cual tenemos ? = ? ??? ? ? = (0. de la cual colgamos masas de valores M1 y M2 a) Suponiendo que M1 = M2 ¿Cómo harías para lograr que esta balanza no se incline hacia ningún lado?¿Y si M1 < M2 ? 9 . ⃗⃗ ? ⃗?⃗ ⃗⃗ ? Ejercicio de Aplicación I Dos fuerzas ?⃗1 y ?⃗2 se aplican sobre dos nudos de una varilla sin masa. apelando al conocimiento dela función ???? (?) tenemos que ??? ? = ??? ?.8 ?) ??? 109° Por lo que |?⃗| = |?⃗ | ? = 680 ? ? es decir el resultado que encontramos previamente. Al rotar el vector ?⃗ para alinearse con ?⃗?−? encontramos que la dirección de ?⃗ es la que corresponde a un vector “que sale de la hoja” hacia a vos. ¿Qué consideraciones estás haciendo? Rta: |?⃗| = 28 ?? . De acuerdo al diagrama y a la definición de brazo de palanca. Calcule el momento de la fuerza neta alrededor del punto O para las dos fuerzas aplicadas como en la figura.Física I Alternativamente podríamos haber llegado al mismo resultado determinando el brazo de palanca ?. La varilla gira en sentido horario Ejercicios y Problemas propuestos Ejercicio 1 Tenemos una balanza cuyos brazos tienen masa despreciable. Para definir la dirección del vector ?⃗ utilizamos la regla de la mano derecha. observamos que ? = ? ??? ? Sin embargo. La varilla y las dos fuerzas están en el plano de la página. M1 y M2? ¿Por qué? d) ¿Qué condiciones establecerías ahora para decir que la balanza está “en equilibrio”? e) ¿Cómo harías para lograr que esta otra balanza esté “en equilibrio”? ¿Qué relación plantearías ahora entre R1. que pesa 300 N. M2 y M3? ¿Por qué? R2 R3 M3 f) M2 R1 M1 ¿Qué cambiaría si consideramos que la barra no tiene masa?¿Por qué? Ejercicio 2 En la figura se esquematiza un subibaja en el que están sentados una nena. R3. M1.Física I R2 R1 M1 M2 b) ¿Qué modelo estás usando para representar a la balanza? ¿Por qué? c) ¿Qué relación plantearías entre R1. R2. R2. ¿Qué modelo estás usando para representarlo? ¿Por qué? ¿Cómo se podría lograr que el sube y baja esté en equilibrio? ¿Por qué? Calculá los torques individuales que producen los pesos de la niña y el niño sobre el sube y baja. y un nene de 600 N de peso. ¿En qué estado está el sube y baja? ¿Por qué? 10 . ¿Qué modelo estás usando? ¿Por qué? Considerá ahora al subibaja como objeto de estudio. Indicá las fuerzas que están actuando sobre él en un esquema adjunto. Indicá las fuerzas que están actuando sobre cada uno de ellos en un esquema adjunto. ¿Cuál es el torque alrededor de O producido por esta fuerza?¿Cuál es el módulo de ?⃗??−? ? c) Repetir los cálculos anteriores para ángulos de 60° y 20°. ¿Qué podés decir de la fuerza de tu músculo al variar el ángulo? O A B 11 . Las distancias marcadas corresponden a A= 3.Física I Calculá la posición respecto del punto de apoyo a la que se debe sentar otro niño de 400 N para que el sube y baja esté en equilibrio. Despreciando el peso del antebrazo determinar: a) ¿Cuál es el torque producido por la masa de 10 kg alrededor de la articulación del codo (punto O )? b) El bíceps branquial ejerce una fuerza ?⃗??−? sobre el antebrazo en el punto A de manera tal que el antebrazo se encuentra en equilibrio. 6m 3m Ejercicio 3 El antebrazo de la figura está a 90° con respecto al brazo y sostiene en la mano una masa de 10 kg.3 cm y B=33 cm. esta vez modelizadas a través de torques.Física I Dinámica del Cuerpo Rígido Modelo de Cuerpo rígido Hemos establecido la cinemática y la dinámica rotacional para una partícula y sistema de partículas. Sin embargo. ya que podemos definir una función de estado para rotaciones que es el momento angular. angular de una de las partículas (de masa ?? ) que conforma el sistema puede definirse como: ?? = ?? ?? ?? ??? ? 12 . que la rotación alrededor del centro longitudinal de su barra. Esta definición implica que los cuerpos rígidos no pueden deformarse. Y de manera análoga a lo establecido en la Segunda ley de Newton. así como no era un problema estudiar la traslación de un cuerpo. Notablemente identificamos una simetría entre los cambios de estados dinámicos rotacionales y traslacionales. En la sección anterior se definió la variable que caracteriza al estado dinámico de una partícula en rotación como el momento angular de la siguiente manera: ?⃗⃗ = ?⃗ × ?⃗ Cuyo módulo está dado por: |?⃗⃗| = |?⃗| |?⃗| ??? ∅ Hemos definido el cuerpo rígido como un sistema de muchas partículas donde cada una de ellas se mueve con la misma velocidad angular respecto al Figura 4: Modelización y análisis de un eje rotación elegido. El modelo elegido para estos casos es el de cuerpo rígido. Claramente no es lo mismo la rotación de un cilindro alrededor de un eje que pase por el centro de sus tapas. Para poder analizar esto debemos modelizar al objeto de estudio de manera tal que su forma y distribución de masa pueda ser reflejada. no ocurre lo mismo para la rotación. que consiste en pensar al objeto de estudio como un sistema de partículas en el cual todas las partículas que lo componen mantienen constante la distancia entre ellas. Los sólidos son fácilmente modelizables como cuerpos rígidos dentro de ciertas consideraciones. Es que la rotación de un objeto involucra no solo a la masa sino al eje a partir del cual rota. los cambios de estado dinámicos en rotaciones son también debidas a acciones netas del entorno. Si pensamos que el momento cuerpo rígido en rotación. Momento angular para un cuerpo rígido en rotación Nos interesa ahora analizar el estado dinámico para un cuerpo rígido en rotación. Veremos en las próximas secciones cómo podemos estudiar la cinemática y la dinámica rotacional para los objetos modelizables como cuerpos rígidos. (?? ?? ) ?? Dado que la velocidad angular ? ⃗⃗ es la misma para todas las partes infinitesimales del cuerpo se puede escribir ?????? = ∑ ? ?? ?? 2 ⇒ ?????? = ? ∑ ?? ?? 2 ?????? = ? ∫ ?? ? 2 (?) Donde hemos hecho “el paso al continuo”. es decir pensar que el sistema está compuesto por masas infinitesimales. tanto el momento angular como la velocidad angular son vectores que tendrán la misma dirección (ya que el momento de inercia es una magnitud escalar). con lo cual la sumatoria se convierte en integral. el ángulo ? entre la posición y la velocidad resulta ? = 90° . Por lo cual. con lo cual la expresión anterior queda reducida a: ?????? = ∑ ?? . se conoce como momento de inercia (?). ? Sin embargo. Tenemos entonces el momento angular para el cuerpo rígido definido como ?⃗⃗ = ? . lo que se expresa matemáticamente como: 13 . (?? ?? ) Sabiendo que ?? = ?? ?? escribimos la expresión anterior en términos del módulo de la velocidad angular: ?????? = ∑ ?? . ?? ?? ⇒ ?????? = ∑ ?? . el módulo del momento angular de un cuerpo rígido en rotación se puede definir a partir de su momento de inercia y su velocidad angular de la siguiente manera: ? = ?. El término ∫ ?? ? 2 (?). la expresión anterior no está completa ya que. ? ⃗⃗ Retomemos la idea planteada anteriormente en la que se analiza que los cambios de estado rotacionales de un cuerpo modelizado como partícula están asociados a los torques del entorno sobre él. bien sabemos. y se trata de una magnitud escalar que define la distribución de la masa de un cuerpo alrededor de su eje de rotación.Física I se puede definir entonces el momento angular total como la sumatoria de cada una de sus partes: ?????? = ∑ ?? ?????? = ∑ ?? ?? ?? ??? ? Como la velocidad ?⃗? siempre es tangente a la trayectoria. Algunos de las expresiones de los momentos de inercia para cuerpos geométrico se encuentran en la Tabla 1. Si el sistema en rotación podemos definirlo como la suma de varios cuerpos o figuras regulares conocidas.Física I ∑ ?⃗⃗⃗? = ? ??⃗⃗ ?? Podemos realizar el mismo análisis pero para un cuerpo modelizado ahora como cuerpo rígido. 14 . Si variamos el momento angular respecto del tiempo ⃗⃗ ?? ?? obtendremos: ??⃗⃗ ?(?. el signo “=” puede interpretarse en un sentido físico: representa la frontera entre el entorno y el objeto de estudio. entonces el momento de inercia del sistema será la suma de los momentos de inercia de cada uno de los cuerpos del sistema. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos Si cualquiera de los cuerpos anteriores no girara sobre su eje baricéntrico sino que el eje de rotación se desplazara una distancia r respecto del centro entonces deberíamos calcular el nuevo momento de inercia para esta figura. podemos reescribir la expresión anterior de la siguiente manera: ?? ∑ ⃗⃗⃗ ?? = ?. Como ⃗⃗⃗⃗ ?? es la aceleración angular ?⃗. por lo tanto si Figura 5: Teorema de ejes paralelos. ?⃗ ? Esta expresión debe entenderse de manera similar a la correspondiente para partículas. Diremos que el torque neto o sumatoria de todos los torques del entorno sobre un cuerpo rígido generan un cambio de estado determinado por el producto de su momento de inercia por la aceleración angular que posee el cuerpo. Se ha dicho que el momento de inercia da cuenta de la distribución de la masa del cuerpo alrededor del su eje de rotación. Como antes. ? ⃗⃗) ??⃗⃗ ?? ⃗⃗ = ⇒ =? ?? ?? ?? ?? Donde hemos considerado que el momento de inercia no cambia con el tiempo. Algunos momentos de inercia Cuando el cuerpo que estamos analizando es una figura geométrica regular su momento de inercia es relativamente sencillo de calcular y el resultado de la integral se puede encontrar en varias tablas. Cuerpo rígido en rotación con respecto a un eje no baricéntrico. ?= 2 ?? 2 3 Varilla delgada con el eje en un extremo ?= 1 ??2 3 Tabla 1. Cilindro hueco de pared delgada Cilindro sólido 1 ? = ?? 2 2 ? = ?? 2 Placa rectangular con el eje por el centro. Cilindro hueco 1 ? = ?(?12 + ?22 ) 2 ?= Esfera sólida 2 ? = ?? 2 5 Varilla delgada con el eje por el centro 1 ? = 12 ??2 1 ?(?2 + ? 2 ) 12 Esfera hueca de pared delgada. La expresión para el nuevo momento de inercia será: ? = ??? + ?? 2 Siendo ?⃗ el desplazamiento desde el eje que pasa por el centro de masas (baricéntrico) al nuevo eje de rotación. Para calcular el nuevo Momento de Inercia en estas situaciones usaremos el teorema de los ejes paralelos. En las varillas. Momento de Inercia de algunos cuerpos geométricos respecto a diferentes ejes. 15 . L es su longitud. no el módulo de su momento angular.Física I cambiamos de lugar el eje de rotación claramente el momento de inercia cambiará. también conocido como Teorema de Steiner (Figura 5). y con m a la masa de cada una de las partículas que lo componen. Se identifica con M a la masa total del cuerpo. Física I Deducción del Teorema de Steiner para cálculos de diferentes Momentos de Inercia En principio ubiquemos en un plano x.dm 2 2 I 0 xCM yCM .dm y´ Definición del centro de masa ´CM .dm I 0 xCM x´ yCM y´ .dm r´2 .dm I 0 x 2 y 2 .dm 2 2 2 2 I 0 xCM 2 xCM .dm x´2 y´2 .y el plano de rotación del cuerpo en cuestión y los puntos para el CM.dm 2 2 I 0 d 2 .x´ x´2 yCM 2 yCM .dm I 0 I CM r´2 m Teorema de Steiner o de los ejes paralelos 16 . y´2 xCM .dm 2 xCM x´..M CM .dm y´.dm El momento de inercia respecto del centro de masa es 2 2 I CM xCM yCM . o sea cero I 0 xCM yCM . y´ y´2 .dm El segundo término es 2.x´.M.dm 2 yCM .dm y x´. La expresión general para calcular I es I r 2 . para una porción del cuerpo a la que llamaremos dm y pondremos el origen sobre el nuevo eje de rotación separado una distancia D respecto al eje baricéntrico de rotación. yCM y´.M desde y´CM y x´CM serían las posiciones del C.dm x´2 y´2 . tenemos 1 1 ?? = ?2 ∫ ? 2 (?) ?? = ??2 2 2 Es decir la Energía Cinética de un cuerpo rígido en rotación está dada por 1 ?? = ??2 2 Ejemplo 2 Una puerta de madera sólida de 1m de ancho y 2m de alto tiene las bisagras en un lado y una masa total de 40kg. podemos expresar la rapidez de cada partícula en términos de la rapidez angular ?? = ?? ?? por lo que nos queda entonces 1 ?? = ∑ ?? (?? ?? )2 2 ? En un sistema de partículas rígido. todas las partículas giran alrededor del eje con la misma velocidad angular ?. Nuestro estudio comienza un instante antes de que el lodo impacte sobre la puerta y termina un instante después de esa colisión. para pasar de un sistema discreto de partículas a un cuerpo rígido. es golpeada en su centro por un puñado de lodo pegajoso con masa de 0. por lo que la energía cinética del sistema será entonces 1 ?? = ?2 ∑ ?? ?? 2 2 ? Haciendo nuevamente el “paso al continuo”. que viaja en dirección perpendicular a la puerta a 12m/s justo antes del impacto. Calcule la rapidez angular final de la puerta.Física I Energía Cinética de un cuerpo en rotación Hemos definido la energía cinética ?? de un sistema de partículas como la sumatoria de cada una de las energías cinéticas individuales: 1 1 ?? = ∑ ?? ? 2 ? = ∑ ?? ? 2 ? 2 2 ? ? Para un cuerpo que rota. que inicialmente está abierta y en reposo. Es decir: Inicio del estudio: Instante antes de la colisión lodo-puerta Fin del estudio: Instante después de la colisión lodo-puerta 17 . La puerta. ¿Es apreciable el aporte del lodo al momento de inercia? Tomaremos como sistema de estudio al formado por la puerta y el lodo.5kg. el momento final del sistema es el momento de inercia del sistema por la velocidad angular del mismo. es decir: 1 ??+? = ?? ? 2 + ?? ? 2 3 Donde ?? es la masa de la puerta (la cual se modeliza como una Varilla delgada con el eje en un extremo). Al no haber momentos de fuerzas externas identificamos que el momento angular del sistema se conserva: ?⃗⃗??????? ? = ?⃗⃗??????? ? El momento angular del sistema es la suma de los momentos angulares de las partículas que lo componen: ?⃗⃗??????? = ?⃗⃗?????? + ?⃗⃗???? Como nos interesa la rotación del sistema alrededor del eje que determinan las bisagras. al momento angular inicial del sistema no contribuye el momento angular de la puerta porque está se encuentra sin rotar. tendremos |?⃗⃗???? ? | = (0. En definitiva ?⃗⃗??????? ? = ?⃗⃗???? ? El momento angular inicial del lodo estará dado por el correspondiente al de una partícula rotando a 0. ?? es la masa del lodo. o sea ?⃗⃗???? ? = 3 ?? ?2 ?̆ ?2 Por otro lado. ? es el ancho de la puerta y ? la distancia del barro al eje de rotación. ?⃗⃗??????? ? = ??+? ? ⃗⃗ Donde ??+? será el momento de inercia del sistema (puerta + barro) respecto al eje que pasa por las bisagras.5 ?? 12 ? ?2 ) ???(90° ) = 3 ?? 2 ? ? Apelando nuevamente a que ∅ = 90° y utilizando la regla de la mano derecha identificamos que el vector ?⃗⃗???? tiene dirección paralela al eje de rotación y con sentido hacia ? el techo (hemos asumido que el impacto del lodo gira la puerta cerrándola).5 ?) (0.5 m del eje ?⃗⃗???? ? = ?⃗ × ?⃗ Cuyo módulo está dado por: |?⃗⃗???? ? | = |?⃗| |?⃗| ??? ∅ Considerando que el impacto es perpendicular a la superficie de la puerta (∅ = 90° ). El cálculo del momento de inercia del sistema nos da entonces 18 .Física I El choque es interno al sistema por lo que no hay torques externos. y b) la tensión en el alambre en ambos lados de la polea. nuevamente apelando a la regla de la mano derecha.28x103 kg m2/s Ejemplo 3 Una caja de 12 kg que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción está unida a una masa de 5 kg con un alambre delgado y ligero que pasa por una polea sin fricción.25 ?? ?2 ??+? = (40 ??)(1 ?)2 + (0.5 ?)2 = + ≅ 13.223 ???/? ?= 13. es decir ?⃗⃗??????? ? = ??+? ? ?̆ Al plantear la conservación del momento angular obtenemos ?⃗⃗??????? ? = ?⃗⃗??????? ? ?⃗⃗???? ? = ??+? ? ⃗⃗ 3 ?? ?2 ?̆ = (13.46 ?? ?2 3 ?? Ejercicio de Aplicación II Una mujer de masa igual a 50 kg está parada en el borde de un disco grande de 4 m de radio y 110 kg de masa. Inicialmente el sistema se X sostiene para que no se mueva y en un determinado momento t1 se libera permitiendo el movimiento. que gira a 0.46 ?? ?2 3 3 2 El sentido del vector velocidad angular es también hacia el techo.5 m. esto implica que la acción del 19 . La diferencia con situaciones similares anteriores es que la polea tiene masa no despreciable.5 ??)(0.Física I 1 40 ?? ?2 0. Calcule la magnitud del momento angular total del sistema mujer-disco. Rta: 5. Calcule a partir de t1 a) la aceleración de la caja.46 ?? ?2 ) ? ?̆ ?2 Con lo cual ?2 ? 2 = 0. (Suponga que la mujer puede tratarse como un punto). Y X Identificamos que tenemos dos cajas moviéndose de manera conjunta a partir del alambre que los une. La polea tiene la forma de un disco sólido uniforme con masa de Y 2 kg y diámetro de 0.5 rev/s alrededor de un eje que pasa por su centro. para lo cual modelizamos las cajas como partículas con masa y la polea como cuerpo rígido. Análisis para la caja A Caja A Tierra Y ?⃗?? Alambre ?⃗??? Superficie Caja A x ?⃗?? Análisis para la caja B Y ?⃗?? ? Caja B Caja B Tierra Alambre x ?⃗?? Para la polea Y ?⃗??? ? Alambre A Polea Gancho Alambre B ?⃗?? x Tierra ?⃗?? ?⃗???? 20 .Física I alambre no es solo la de hacer conjunto el movimiento de las cajas sino que también pone a rotar la polea. Primero realizaremos el diagrama de cuerpo libre sobre cada caja y sobre la polea. sabemos que ?⃗?? ? = −?⃗?? ? ? ?⃗?? ? = −?⃗?? ? ? y Primero determinaremos los valores de las tensiones producidas por las cajas sobre la polea. gira en sentido horario. estas fuerzas no generan torques. donde M es la masa de la polea y R su radio. El módulo de la aceleración que adquiere cada uno de los cuerpos es la misma ya que el alambre es inextensible. Como la masa de cada caja se mantiene constante podemos reducir la Segunda ley de Newton sobre cada caja a: ∑ ?? = ??? ∑ ?? = ??? Considerando que la Caja A se mueve solo sobre en el eje horizontal X y a caja B sobre el eje vertical Y. Es decir usaremos las expresiones: ∑ ?⃗? = ? ??⃗ ?? ∑ ⃗⃗⃗ ?? = ? ??⃗⃗ ?? Identifiquemos algunas cuestiones de nuestro problema: Cuando consideremos los torques sobre la polea. Además. no tendremos en cuenta la sumatoria de las acciones de la Tierra y el Gancho dado que como están aplicadas sobre el centro de la polea. implica que las cajas se trasladarán pero no rotarán y la polea rotará pero no se trasladará. como el alambre no desliza sobre la polea sino que la hace rotar. y en su versión para rotaciones en el caso de la polea. de la siguiente manera: ?=?? 1 2 El momento de inercia de la polea viene dado por I = MR2 .Física I El movimiento que se dará. para luego calcular la aceleración de la misma. en su versión para traslaciones en el caso de las cajas. Por la modelización de fuerzas de cuerdas y alambres. tenemos ∑ ?? = ?? ?? para la Caja A ∑ ?? = ?? ?? para la Caja B Determinaremos las fuerzas ?⃗?? ? y ?⃗?? ? mediante el análisis de fuerzas sobre los ejes: ??? ? = ?? ? para la Caja A −?? ? + ??? ? = −?? ? para la Caja B −?? ? + ??? ? = −?? ? 21 . Aplicaremos la Segunda Ley de Newton. esta aceleración se encuentra relacionada con la aceleración angular α de la polea. 81 m/s2 ) 1 5kg + 12 kg + 2 2kg ? = 2. trabajaremos con el módulo de los torques. obtendremos las tensiones ?⃗?? ? y ?⃗?? ? : ??? ? = ?? ? = (12 ??)(2.72 ?/? 2 ) = 35.72 m/s2 Una vez obtenido el módulo de la aceleración del sistema.6 ? ??? ? = ?2 (? − ?) = (5 ??)(9.72 ?/? 2 ) = 32.Física I ?? ? − ?? ? = ??? ? Considerando que las fuerzas que realizan torques lo hacen perpendiculares al vector de posición que indica donde se aplica (es decir ∅ = 90°). introduciendo las fuerzas ?⃗?? ? ? y ?⃗?? ? ? : ∑ ? = ?? 1 ? (??? ? ? − ??? ? ? )? = ( ?? 2 ) 2 ? 1 ? (??? ? − ??? ? )? = ( ?? 2 ) 2 ? 1 ??? ? − ??? ? = ?? 2 1 (?? ? − ?? ?) − ?? ? = ?? 2 1 ?2 ? + ?1 ? + ?? = ?2 ? 2 1 (?2 + ?1 + ?) ? = ?2 ? 2 ?=( ?= ( ?2 1 ?2 + ?1 + 2 ? )? 5 kg ) (9.81 ?/? 2 − 2. Calcularemos el módulo del momento de la fuerza total de la polea.4 ? Es decir el resultado es 22 . 0 N y radio de 0. Esto se cumple aun si el centro de masa se acelera. La polea es un disco sólido uniforme y está apoyada de un gancho unido al techo. el movimiento del cuerpo es de traslación y rotación combinadas. que pasa por una polea sin fricción de 50. es decir la energía cinética total debido al movimiento del cuerpo es la suma de un término 23 . como si el martillo fuera una partícula situada en el centro de masa. En cualquiera de las dos imágenes se puede observar que tanto la moneda como el martillo tienen movimiento de rotación y de traslación. La figura ilustra esto para el movimiento de un martillo que se lanza: el centro de masa del bastón sigue una parábola.300 m. En tal caso. de modo que no está en reposo en ningún marco inercial. ¿Qué fuerza ejerce el techo sobre el gancho? Rta: 239N Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil Podemos extender nuestro análisis de la dinámica del movimiento rotacional a algunos casos en los que se mueve el eje de rotación. La clave para entender estas situaciones es la siguiente: cada posible movimiento de un cuerpo rígido puede representarse como una combinación de movimiento traslacional del centro de masa y rotación alrededor de un eje de rotación.Física I ?⃗?? ? = 32. por lo tanto tiene asociadas también las energías de estos movimientos y estas energías cinéticas pueden sumarse. Otros ejemplos de movimientos de traslación y de rotación combinados son una pelota que rueda cuesta abajo y un yo-yo que se desenrolla.6 ? ?̆ ?⃗?? ? = −35.4 ? ?̆ Ejercicio de Aplicación III Dos pesos están conectados por un cordón flexible muy ligero. diremos entonces que el trabajo en rotaciones resulta ℒ = ∫ ? ?? 24 . definimos a los procesos mecánicos como las acciones sostenidas en el tiempo. el punto externo sobre el que se aplicó la fuerza se movió una distancia ?? = ? ??. Supongamos que una fuerza tangencial ?⃗??? actúa en el borde de un disco pivoteado. El trabajo realizado por la niña sobre el disco será entonces ℒ = ∫ ???? ?? = ∫ ???? ? ?? = ∫ ???? ?? = ∫ ? ??. realizamos torques sobre el engranaje central. Algo similar ocurre en otras situaciones de la vida real. Considerando el ángulo en radianes. En general. la rueda gira un ángulo infinitesimal ?? alrededor de un eje fijo. que estudiado a lo largo de un intervalo implica un trabajo sobre él. En un dado tiempo infinitesimal ??. La misma idea puede aplicarse en rotaciones. La expresión completa queda entonces 1 1 ?? ????? = ?? ????????ó? + ?? ??????ó? = ???? 2 + ??2 2 2 Trabajo y Potencia en movimiento rotacional Cuando estudiamos movimientos traslacionales. por ejemplo. Por ejemplo cuando pedaleamos una bicicleta. Expresaremos el trabajo en términos del momento de la fuerza y el desplazamiento angular.Física I 1 ?? ????? = ???? 2 2 asociada al movimiento traslacional del centro de masa y un término asociado a la rotación 1 ?? ??? = 2 ??2 . donde hemos identificado como ???? = ? al torque que realiza la niña sobre el disco. como el eje de un motor que gira. una niña que corre empujando una calesita. ∆? ∆? que obviamente es un escalar medido en Watt. el trabajo resultará: ?2 ?2 ℒ = ∫ ? ?? = ? ∫ ?? = ? (?2 − ?1 ) = ? ∆? ?1 ?1 De manera análoga también al movimiento traslacional. es decir los trabajos). podremos definir la Potencia realizada por un torque externo constante durante un intervalo de tiempo ∆? como ?= ℒ ? ∆? = =?? . Teorema del Trabajo y la Energía Cinética en el movimiento rotacional Es de esperar que si hemos planteado de manera análoga la deducción del trabajo en rotaciones y de la energía cinética en rotaciones. y se aplique a la misma distancia ? del centro de giro. tenemos que ?2 ?2 ? = ∫ ? ? ?? = ? ∫ ? ?? = ??2 |?21 = ??2 2 − ??1 2 = ∆?? ??? ?1 ?1 25 .Física I En el caso en que la fuerza no cambie de módulo. donde estamos evidentemente usando que estamos modelizando al objeto de estudio (por eso tomamos el momento angular como ?⃗⃗ = ?? ⃗⃗ ) y que el Momento de Inercia no cambia con el tiempo. Si además usamos la definición del módulo de la velocidad angular ? = ??⁄??. siempre sea tangencial. la ?? ??? ) y el entorno (representado por los acciones sostenidas. Sin más preámbulos tenemos entonces que el Teorema de Trabajo y la Energía Cinética en el movimiento rotacional es ℒ ????? ??? = ∆?? ??? En esta expresión se siguen cumpliendo que el signo “=” representa la frontera entre el objeto de estudio (representado por su cambio de estado. Deducción: Expresando el trabajo total ?2 ?2 ℒ ????? ??? = ∑ ℒ? ??? = ∑ ∫ ?? ?? = ∫ ∑ ?? ?? = ? ? ?1 ?1 ? Utilizando la Segunda Ley de Newton en rotaciones. tengamos una expresión para el teorema del Trabajo y la Energía Cinética en rotaciones. Usando por otro lado que ?? = ? ??. tenemos ?2 =∫ ?1 ?2 ?? ?? ?? = ∫ ?? = ?? ?1 ?? Donde hemos usado una propiedad matemática de las derivadas. Ejercicio 5 Unos ingenieros están diseñando un sistema en el que una masa m. vertical o en el plano que lo deseen. Dicha masa está unida con un alambre delgado y muy ligero que inicialmente se encuentra enrollado alrededor del borde del tambor. y a su vez. que gira sobre un eje fijo horizontal montado sobre unos rodamientos sin fricción. donde la aceleración debida a la gravedad es de 3. imparte energía cinética a un tambor uniforme giratorio. a) Si el sistema se opera en Marte.Física I Ejercicios y Problemas propuestos Ejercicio 4 Un cable ligero. El cable no resbala y hace girar al cilindro cunado se desenrolla. pero debe utilizarse en Marte. al caer. Este sistema se probó en la Tierra. Suponiendo que la banda no resbala ni en el eje ni en la rueda.71 m/s2. a) ¿Qué velocidad tiene un punto en la banda? b) ¿Qué velocidad angular tiene la rueda en rad/s? Problema 1 La esfera de la Muerte es un atracción de circo en la que uno o varios motociclistas entran a la jaula y giran con las motos en forma horizontal. El motor de la aspiradora gira el eje a 60 rev/s. ¿qué distancia tendría que caer la misma masa para impartir la misma cantidad de energía cinética al tambor? b) ¿Con qué rapidez se moverá la masa de 15 kg en Marte justo cuando el tambor gane 250 J de energía cinética? Ejercicio 6 La banda de una aspiradora pasa por un eje con 0. piñón y cadena de una bicicleta. Si el cilindro estaba inicialmente en reposo. calcule su a) velocidad angular final y b) la velocidad tangencial final del cable.12 m de diámetro. que se conecta mediante otro eje al rodillo que saca el polvo de la alfombra que se está intentando limpiar. imparte 250 J de energía cinética al tambor.45 cm de radio y una rueda con 2 cm de radio. En las pruebas en la Tierra. Una fuerza de magnitud constante de 9 N tira del extremo libre del cable a lo largo de una distancia de 2 m realizando un trabajo. la banda gira la rueda. acá tienes 26 . No hay fricción considerable en el eje del tambor y todo el sistema parte del reposo. cuando m es de 15 kg y se le permite caer una distancia de 5 m. un cilindro sólido de 50 kg de masa y 0. La disposición de estas piezas es similar a la que se puede observar en el conjunto de corona. flexible y que no se estira está enrollado en el tambor de un malacate. Si la búsqueda está difícil.com/watch?v=iLliw7qPBs El objetivo de este problema es definir qué variables están involucradas en el fenómeno observado. acá tenés algunos links que te pueden servir para comenzar: 27 . Problema 2 Investigar cómo funciona el sistema KERS de los autos de Fórmula 1. estimar valores para estas variables y relacionar las ecuaciones del movimiento circular con las leyes de la dinámica para poder estimar cuál sería la velocidad mínima necesaria que debería desarrollar la moto para girar en un plano horizontal y en un plano vertical a la esfera y un valor aproximado de la aceleración que debería desarrollar la moto para poder dar una vuelta completa en el plano vertical partiendo del reposo.com/watch?v=KXbaSH8Hjyk o http://www.Física I un link para poder ver lo que ocurre dentro de la jaula: http://www.youtube.youtube. net/posts/autos-motos/12634136/Formula-1-funcionamiento-del-DRS-yKers. las dimensiones de las ruedas que utilizan estos autos y calcular cuántas vueltas darán las ruedas para completar una carrera. etc. Hallar el momento provocado por este bloque sobre el brazo de la grúa (respecto al punto A).org/wiki/Freno_regenerativo http://www.youtube. a) Un pintor sube una escalera de 2m de longitud (L) y parado a una distancia de ¾ de L como se muestra en la figura el sistema se encuentra en equilibrio. depende de los puntos de apoyo que se consideren.wikipedia. Algunas de ellas generan momentos y otras no.com/inside_f1/understanding_the_sport/8763. de los valores de las fuerzas.com/watch?v=9N-NKLz3mvo http://es. Ejercicio 7 Todas las imágenes que se presentan a continuación representan distintas situaciones donde actúan fuerzas sobre un sistema. 28 . Representar el sistema indicando todas las fuerzas y puntos de apoyo aparecen. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el piso y la escalera es de 0.Física I http://www. Averiguar las dimensiones de algunos de los circuitos de fórmula 1.html En base a la energía máxima que pueden acumular las baterías.formula1. el objetivo es familiarizarse con la fórmula para calcular el momento de una fuerza. los puntos de apoyo y los momentos que se realizan sobre el sistema y hallar el valor de cada uno de ellos. Cada ejercicio plantea una descripción en particular. hallar el valor de R2 y el momento generado por cada una de las fuerzas presentadas.html http://www.taringa. identificar las fuerzas. La masa del pintor es de 85kg y el peso de la escalera de 50N.5. estimar qué velocidad deberá alcanzar al auto para generar esa energía eléctrica a partir de energía cinética y qué dimensiones podrían tener los volantes de inercia en el caso que no acumulen la energía en baterías. b) que Sabiendo que la grúa sostiene un bloque de hormigón de 10 Toneladas. la conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la energía mecánica. Considerando las siguientes dimensiones del equipo: 29 . El equipo PASCO con el cual trabajamos las experiencias de laboratorio cuenta con un péndulo balístico cuyas dimensiones podemos determinar experimentalmente. Calcule la velocidad de traslación del peñasco al llegar al pie de la colina. ¿Qué cambia si en vez de usar la llave que se muestra en la figura usaras una llave cruz? ¿Cuál de las dos te conviene más utilizar? Ejercicio 8 Una roca esférica. la mitad inferior está cubierta de hielo y no hay fricción. El objetivo de este ejercicio es poder calcular la velocidad con que fue disparada el proyectil a partir de analizar el sistema suponiendo la conservación del momento angular. Ejercicio 9 Un péndulo balístico es un dispositivo que se utiliza para determinar la velocidad de disparo de un proyectil.Física I c) Calcular el momento que realiza la fuerza F. Efectuar una serie de disparos y acordar entre todos los estudiantes un ángulo de apertura determinado. La mitad superior de la colina es lo bastante áspera como para que la roca ruede sin resbalar. sólida y uniforme parte del reposo y baja rodando por la ladera de una colina de 50 m de altura. sin embargo. definir partes del sistema donde las fuerzas realicen momento y vincular distintos cuerpos a través de cadenas y fuerzas de rozamiento para analizar el movimiento del sistema completo.longitud de la barra de oscilación .Considerar la conservación de la cantidad de movimiento del sistema proyectil bloque.Física I . En el siguiente link tendrás un explicación detallada para entender el funcionamiento y el correcto uso de los cambio de la bicicleta. 30 . Darles valores adecuados a la situación real a cada una de las fuerzas definidas. En la foto. Analizar las fuerzas que actúan sobre la bicicleta al pedalear. debajo de la bicicleta. c) Hallar la velocidad de disparo del proyectil. b) ¿Cuáles son los datos necesarios para llegar al cálculo que se desea? Buscar la ecuación para el período del péndulo físico para poder calcular el momento de inercia del sistema.Considerar la conservación de la energía mecánica del bloque entre el inicio del movimiento y el momento en que este alcanza su altura máxima.masa del bloque: . en terreno llano y en un pendiente. hay una regla de 1m de largo que podrás utilizar como referencia para definir algunas de las longitudes que intervienen en este fenómeno. Para esto deberás tener las siguientes consideraciones en el orden en que se presentan: . antes y luego del impacto.Plantear la conservación del momento angular del bloque en el mismo intervalo utilizado para evaluar la energía mecánica.masa del proyectil: .ángulo de apertura a) desarrollar las ecuaciones necesarias para calcular la velocidad de salida del proyectil. Problema 3 El objetivo de este ejercicio es que a partir de una situación cotidiana puedas definir un sistema. . Calcular el momento realizado sobre el plato de la bicicleta y la velocidad que se podría alcanzar luego de pedalear una cuadra. analizar que fuerzas actúan sobre él.masa de la barra de oscilación . . Física I http://labicikleta.com/como-usar-los-cambios-de-tu-bicicleta/ Con el uso de una regla o un calibre podés medir los diámetros de los piñones y los platos de la bicicleta. Problema 4 ¿Cuál es la relación entre las imágenes que observas a continuación? Imagen 1 Imagen 2 31 . Física I Imagen 3 Imagen 4 32 .