Nombre: Erika Cerezo 10mo “C” Fecha: 29 de Junio 2010 SeptiembreCurso; Colegio: 17 de Casos de Factorización Caso 1. Factorización por factor común (caso monomio): Se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C. Ejemplo: Descomponer (o factorizar) en factores a 2 + 2ª . El factor común (FC) en los dos términos es a por lo tanto se ubica por delante del paréntesis a( ). Dentro del paréntesis se ubica el resultado de: a2 2a a 2 2a + = + = a + 2 , por lo tanto: a (a+2). Así: a 2 + 2a = a (a + 2) FC FC a a Caso 2. Factorización por factor común (caso polinomio) Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. Ejemplo: Descomponer x (a + b ) + m (a + b ) Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que se pone (a + b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b ), o sea: x ( a + b) m(a+ b) =x y =m ( a + b) ( a+ b) y se tiene: x (a + b ) + m (a + b ) = (a + b )(x + m ) Caso 3. Factorización por factor común (caso agrupación de términos) Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir: ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)\, = a(b+c)+d(b+c)\, = (a+d) (b+c)\, Ejemplo: Descomponer ax + bx + ay + by Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y . Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+): ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by ) términos con el factor común a y el 2o. Caso 4. la expresión dada no se puede descomponer por este método. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. Se resuelve por medio de dos paréntesis. Colegio: 17 de Hay varias formas de hacer la agrupación. con el factor común b.2x ) = (5y .20x y + 25y 2 = (2x . .20x y + 4x 2 que es una expresión idéntica a 4x 2 . Ejemplo: Descomponer 4x 2 + 25y 2 .Nombre: Erika Cerezo 10mo “C” Fecha: 29 de Junio 2010 Septiembre = x (a + b ) + y (a + b ) = (a + b )(x + y ) Curso. se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Al ordenar el trinomio: 4 x2 = 2 x y 25 y 2 = 5 y . y 3er.5y ) = (2x . Diferencia de cuadrados Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. por lo que en el ejemplo anterior también se tiene: 4x 2 . el resultado nos da r+1 factores.5y )2 Es importante destacar que cualquiera de las dos raíces puede ponerse como minuendo. uno negativo y otro positivo. El binomio así formado. con la condición de que los dos términos agrupados tengan algún factor común. En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o.2x )2 = 25y 2 .2x )2 porque al desarrollar este binomio resulta: (5y . sean exactamente iguales.20x y + 25y 2. O en una forma mas general para exponentes pares: Y utilizando una productoria podemos definir una factorizacion para cualquier exponente.5y )(2x .20x y + 25y 2 = (5y . Si esto no es posible.2x )(5y . Caso 5. así: 4x 2 . (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b). y 4o.20x y. y: ax + bx + ay + by = (ax + ay ) + (bx + by ) = a(x + y ) + b (x + y ) = (x + y )(a + b ) Este resultado es idéntico al anterior. ya que el orden de los factores es indiferente. y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo. que es la raíz cuadrada del trinomio. ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x. Colegio: 17 de Ejemplo: Caso 6. después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio. o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos. en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto. Si los dos factores binomios tienen en medio signos iguales. o sea x: x 2 + 5x + 6 = (x )(x ) .Nombre: Erika Cerezo 10mo “C” Fecha: 29 de Junio 2010 Septiembre Curso. y el menor es el segundo término del segundo binomio. En el primer factor. 2 Ejemplo: Factorizar x + 5x + 6 Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x 2. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio. mismos que serán los segundos términos de los binomios. y en el segundo factor. se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Ejemplo: resolviéndolo nos queda: Aplicamos diferencia de cuadrados: Caso 7. Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio). se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. después de x. el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente. Cubo perfecto de Binomios Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que: . entonces: x 2 + 5x + 6 (x + )(x + ) Dado que en estos binomios hay signos iguales. después de x. Dichos números son 2 y 3. se escribe el signo que resulta de multiplicar (+ 5x) por (+ 6).Nombre: Erika Cerezo 10mo “C” Fecha: 29 de Junio 2010 Septiembre Curso. y como (+) por (+) da (+). así: Para factorizar una expresión de esta forma. dejando el segundo término igual pero en parentesis y dejando todo esto en una fracción. buscamos dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar): Quedando de la siguiente manera: Ejemplo: La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. (en este caso el 4) y se multiplica por toda la expresión. luego: x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Caso 8. En el segundo binomio. Suma o diferencia de potencias a la n La suma de dos números a la potencia n. osea que tiene raíz cuadrada exacta. Usando como denominador el término que estamos multiplicando. primero se coge el término al lado de x 2. Que dando de la siguiente manera: Caso 10. se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5x tiene signo (+). Colegio: 17 de En el primer binomio. ósea sin una parte literal. Trinomio de la forma ax2 + bx + c En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto. multiplicándolo con el 1 Luego separamos en dos fracciones el término Y después procedemos a eliminar las fracciones Caso 9. Colegio: 17 de decir que debe cumplir con las siguientes Debe tener cuatro términos. Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último . Raíz cúbica de un monomio: esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. Ejemplos: .Nombre: Erika Cerezo 10mo “C” Fecha: 29 de Junio 2010 Septiembre y es características: • • • • Curso.