Prédio da reitoria da Universidade Estadual do ParáPROFESSOR : OCIVALDO PINHEIRO Aluno(a) : _______________________________________ 1 TRIGONOMETRIA A trigonometria teve origem no estudo das relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triangulo. medem b e c. tgα = Cateto Oposto a α Cateto Adjacent e a α Exemplos: Temos: b sen B = a c a e sen C = c a b a cos B = tg B = b c e cos C = e tg C = c b Observação: (1) Onde destacamos os elementos: • Â → ângulo reto (900) • B e C → ângulos agudos (menores que 900) • BC → Hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto. Tais relações são chamadas de relações trigonométricas no triângulo retângulo. Razão/ Ângulos sen cos 30º 45º 60º 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 3 sen α = Cateto Oposto a α Hipotenusa Chama-se co-seno de α ao quociente entre a medida do cateto adjacente ao ângulo de medida ( α ) e a medida da hipotenusa. a2 = b2 + c2 Ângulos Notáveis Os valores que estão na tabela a seguir serão utilizados nos exercícios da seqüência. Suas aplicações práticas estão presentes na navegação. a seguir. sen α = cos β 0 α + β = ⇒ 90 sen β = cos α ângulos complementares (2) não esqueça das relações métricas no triângulo retângulo. Chama-se seno de α ao quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo de medida ( α ) e a medida da hipotenusa. Assim o triângulo ABC. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é qualquer triângulo que possui um ângulo reto (90º). nas engenharias e em outros ramos do conhecimento humano. definimos as seguintes razões trigonométricas. Observe o significado da palavra trigonometria: TRIGONO = TRIANGULAR e METRIA = MEDIDA TRIÂNGULO RETÂNGULO INTRODUÇÃO Nesta aula e na seguinte vamos mostrar como as medidas dos lados de um triângulo estão relacionadas com seus ângulos. Chama-se tangente de α ao quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo de medida ( α ) e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. é retângulo em A. entre as quais destacamos o Teorema de Pitágoras. respectivamente) Sendo α a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. tg 1 cos α = Cateto Adjacent e a α Hipotenusa 2 . principalmente o triângulo retângulo. tem medida a) • AC e AB →catetos (lados que formam o ângulo reto. qual era aproximadamente a altura da árvore? 3) (PUC-RS) De um ponto A no solo. em metros. Sabendo que o pé da escada está afastado 6m da base da parede. a altura do prédio é. em metros. a altura da colina. em função dos lados a e b e do ângulo formado por eles: B 5) (VUNESP) Uma rampa lisa de 20m de comprimento faz ângulo de 30º com o plano horizontal. alcançada pela escada. é igual a: TESTES 1) (UFPA) No triângulo retângulo da figura abaixo.APLICAÇÕES 1) (PRISE) O mastro ( CD ) de um navio é preso verticalmente por cabos de aço fixo na proa (A) e no popa (B). conforme mostra a figura abaixo. mantém seu tronco perpendicular ao solo formando com ele um triângulo retângulo. Uma pessoa que sobe esta rampa inteira eleva-se verticalmente: a) 17m b) 10m c) 15m d) 5m e) 8m a α b C A 3 . a altura do mastro é: a) 2 3 m b)5 3 m c) 8 3 m d)10 3 m e)20 3 m 2) Uma árvore partida pelo vento. visam-se a base B e o topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina. Se o bastão mede 4m de comprimento. Se a parte que branda faz um ângulo de 600 com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 10m de sua base. Se o cabo BC mede 10 3 m então. respectivamente. sob ângulo de 30º e 45º.II e III 3) (UFSC) Uma escada com 10m de comprimento foi apoiada em uma parede que é perpendicular ao solo. aproximadamente: a) 51m b) 49m c) 47m d) 45m e) 43m a) 3 b) 2 c)2 3 d) 2 ( 3 +1) e) 2 ( 3 + 3) 4) Determine a área S do triângulo seguinte. qual o valor de tg B ? a) 3/5 b) 3/4 c) 4/5 d) 4/3 e) 3 2) (UFPA) No triângulo retângulo temos: I) sen t = 1/2 II) cos t = III) tg t = 2 2 5 A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são): a) I b) II c) III d) II e III e) I. determine a altura. 4) (USF-SP) De acordo com as indicações da figura abaixo. e o outro. Pelo Posto passa uma rodovia C. a 4 km do cruzamento. informou que α =2 β e que a distância entre os aeroportos de Marabá e Rondon do Pará é de 210km. um barqueiro cobra R$ 0. é: a) 2 /8 b) 2 /4 c) 3 /2 d) 2 e) 2 2 9) (UFOP-MG) Sabendo que em um triângulo retângulo os ângulos são α e β . conhecedor da área. Quanto ele recebe em cada transporte? a) 20 10 3 b) 3 c) 10 5 3 d) 3 e) 5 13) (FCAP) Um rapaz com 1m e 70 cm de estatura. 10) (CESESP) Do alto de uma torre de 50m de altura. avista-se a praia sob um ângulo de 45º em relação ao plano horizontal. em quilômetros. encontre as medidas dos catetos. localizada numa ilha. Rondon do Pará e Tucuruí.. é: a) 60 b) 120 c) 40 d) 100 e) 12 11) (UNAMA-2001) Os vértices do triângulo retângulo assinalado no mapa correspondem aos aeroportos das cidades de Marabá. Somando as distâncias que os dois nadaram. a distância aproximada entre os aeroportos de Marabá e Tucuruí é de: a) 210 3 km b) 105Km c) 70 3 Km d) 420Km 12) (UEPA) Na figura do painel. Nessas condições . MN= 20m.192 a) 26.20 por metro navegado.. segundo um ângulo de 30º. em pé sobre uma plataforma de50cm de altura.0m d) 23. a altura mais aproximada desta torre ? Dado tg 50º = 1. o valor de a + b. um observador avista a base de um outro edifício B.5m b) 26. Se a distância do observador à torre é 20m. segundo o ângulo de 60º e o seu topo. encontramos: a) 15 3 m b) 5(2 + 3 m) c) 5 + 3 m d) 15m e) nda 7) (FCAP) Dado tg α = 2/5. perpendicular à rodovia B. sob um ângulo de 60º. A distância do posto de gasolina à rodovia B. é: 8) (VUNESP) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. a hipotenusa mede 5cm e sen β = 2sen α . em m2.5m e) 25. avista o topo de uma torre sob o ângulo de 50º com a horizontal. indo através de C. Para transportar material da praia até a ilha. a área do triângulo NOP. tg β = 6/5. a altura do edifícios B.0m 14) (UEPA) Do topo de um edifício A. Sendo 60 3 m a distância entre os dois edifícios. Ambos atingem o mesmo ponto do lado oposto da piscina. Qual é dentre as alternativas abaixo. Um deles atravessa a piscina perpendicularmente. conforme figura no painel.6) Dois nadadores localizados do mesmo lado de uma piscina retangular estão a 5m um do outro. é: 4 .0m c) 24. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A. Um piloto de táxi-aéreo. verifica que o ângulo NBA é 45º. demonstre que: 15) (UNAMA) Durante o Círio de Nazaré-97.5m do nível da pista.574 cos35º= 0. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60º.a) 180m b) 120 3 m c) 120m d) 90 3 m e) 90m 18) (Unicamp-SP) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia em salinas . é erguido verticalmente um mastro de 5m de altura. Se a medida do ângulo ADB é 60º e a medida do ângulo ACB é 30º. vê o topo do mastro com um ângulo de elevação de 35º. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. no mesmo plano. c) O ângulo θ. um helicóptero sobrevoava a procissão fazendo filmagens. O romeiro B. marcou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C. GABARITO 1) D 2) B 3) 8m 4) A 5) B 6) B 7) A 8) E 9) 5 e 2 5 10) R$ 10. D e B são colineares e os triângulos ABD e ABC são retângulos em B. com seu campo visual situado a 1.700 a) 0. cobrindo a distância AB = 1200m. quando em B.AD representa sua sombra às 9h da manhã.AC representa sua sombra às 8h da manhã.571 20) (VUNESP)Na figura os pontos C. olha e vê o helicóptero sob um ângulo de 60º com a horizontal. um banhista vai de um ponto A a um ponto B. Uma pessoa. b) Calcule a distancia em que se encontra o navio da praia 19) (CESUPA) No centro de uma pista circular de 8m de diâmetro.819 tg = 0. b) A medida de AD. Determine essa largura e explique o raciocínio. Com base nesses dados e considerando os ângulos assinalados. O romeiro A observou o helicóptero sob um ângulo de 30º com a horizontal.273 b) 1 c) 2. Medindo AD = 40m. .097 d) 3 e) 4. sabendo-se que o helicóptero encontrava-se à frente dos romeiros? 16) (UNAMA) Na figura do painel: . . determinou o ponto D no prolongamento CA de forma que o ângulo CDB fosse de 90º. de modo que o ângulo ABC fosse 60º. calculou a largura do rio.00 11) A 12) A 13) B 14) C 15) 150m 16) a) 60 3 b) 60 c) 15º 17) 120m 18) a) 5 . pede-se: a) A medida de AC. Qual a altura do helicóptero no momento da observação pelos romeiros. distante 200 3 m de A e no instante. A quantos metros da beira da pista está tal pessoa? Dados: sen35º = 0.AB representa a altura de um edifício de 60m. a) AD = DC b) CD = 2DB 17) (Unicamp-SP) Para medir a largura AC de um rio um homem usou o seguinte procedimento. aA b c = = c senA senB senC B * Normalmente. a base 6cm e o ângulo oposto à base mede 1200. 2) Em um trinaâgulo isósceles. Para resolvê-lo. Com o professor Ocivaldo faça a resolução. cujo enunciado vem a seguir: Em qualquer triângulo. Sabendo que a 3ª linha mede 100m. Qual é a distância entre os dois navios nesse instante? 6 . Agora estudaremos a resolução de triângulos quaisquer e para isso é necessário conhecer a lei dos senos e a lei dos cossenos. No mesmo instante.O triângulo AOB é obtusângulo e a resolução deste problema consite em determinar a medidado lado AB. utiliza-se a lei dos senos quando são fornecidos dois ângulos e um lado do triângulo Aplicações 1) Estamos em condições. de tal modo que o ângulo AFB =600. qual é a distância entre as árvores. Lei dos Senos Vamos analisar a seguinte situação-problema: Duas árvores localizam-se em lados opostos de um lago. um outro navio se encontra num ponto B distante 15 milhas do farol. Calcule a medida dos lados congruentes do triângulo. Lei dos Co-Senos Vejamos outra situação problema: Um navio se encontra num ponto A. vamos estudar a lei dos senos. O ângulo entre as linhas de visão de um observador que vê é de 1200 e o ângulo formado por por uma dessas linhas e a linha que une as árvores é de 450. as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. distante 10 milhas de um farol F. agora de resolver a situação-problema colocada no inicio deste capitulo. ou seja: C b) 600(3 3 ) m ≅ 780m 19) B b a RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER INTRODUÇÃO Já estudamos a resolução de triângulos retângulos. as distância da casa e do galpão ao transformador de energia 4) (UEPA-2007) Três cidades A. observamos que o nosso problema consite em determinar a medida de um lado de um triângulo. Sejam x e y. em linha reta. enuciada a seguir: “Em qualquer triângulo. menos o duplo produto desses lados pelo co-seno do ângulo formado por ele” C b a 2) (UEPA-2009) Preocupado com a falta de área verde em sua cidade. dirigindo-se para o cruzamento C. Já existem duas estradas. um prefeito resolveu aproveitar um terreno triangular. sen 720 = 0. para construir uma praça. conforme representado na figura abaixo: A c a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C B * Normalmente.5m e) 14m Exercícios 1) Numa fazenda. o galpão fica 50 metros distante da casa. (Use: sen 300 = ½.5m c) 13m d) 13. o menor ângulo formado entre AB e BC é de 120°. ) 3) (UEPA – 2005) A figura abaixo mostra o corte lateral de um terreno onde será construída uma rampa reta.98. AC . Sabendo-se que as medida determinadas pela 7 .conforme mostra a figura abaixo.95) Pelo desenho. Tendo escolhido o caminho mais curto (AC). quantos metros essa pesso vai andar para ir de A até C? (Use: cos 1200 = -1/2 . sen 780 0. utiliza-se a lei dos co-senos quando são fornecidos dois lados e o ângulo formado por eles. localizado no cruzamento de duas ruas. calcule as medidas x e y indicadas. A figura ao lado um levantamento topográfico feito por uma empresa de engenharia. Então. o valor do comprimento da rampa deve ser de: a)12m b)12. quando conhecemos as medidas dos outros dois e do ângulo oposto ao lado cuja medida se quer encontrar. A distância de A a B é de 6m. que ligam as cidades A à B e B à C. a) 250 500 b) 250 c) 300 d) 300 e) 2) Uma pessoa encontra-se no cruzamento A. que se encontra na parte mais alta do terreno. B e C precisam ser interligadas para que seus moradores possam comercializar os produtos por eles produzidos. Nessas condições. o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Aplicações 1) Agora estamos em condições de resolver junto com o professor Ocivaldo a situação-problema colocada no inicio deste tópico. respectivamente. de B a C é de 10m e. Sendo que as prefeituras das cidades A e C desejam construir uma nova estrada para ligá-las. Para resolvê-lo precisamos estudar a lei dos cossenos. que servirá para o acesso de veículos à casa. em linha reta. m(ABC) = 600 e m(BAC) = 750.empresa de engenharia foram: AB = 100 km. para ligar estas cidades é: B a) 100 km d) 50 km b) 100 km e) 50 km c) 75 km 8 . que deve ser considerada para a construção de uma estrada. a distância entre as cidades A e C.