Tema 1Movimiento Armónico Simple 1.1 Conceptos de movimiento oscilatorio: el movimiento armónico simple (MAS). 1.2 Ecuación general del MAS. 1.3 Cinemática del MAS. 1.4 Dinámica del MAS. 1.5 Energía del MAS. 1.6 Aplicación al caso del resorte. 1.1. Conceptos de movimiento oscilatorio: el movimiento armónico simple (M.A.S.). Movimiento oscilatorio, vibratorio o periódico: movimiento caracterizado por: 1. recorrer la misma trayectoria, siempre en torno a la posición de equilibrio; 2. tardar el mismo tiempo (periodo) en recorrer la trayectoria; 3. estar originados por las fuerzas recuperadoras. Posición de equilibrio: lugar en el que el móvil que oscila no recibe fuerza y donde se quedaría en reposo si se dejase inicialmente. Periodo: tiempo que tarda un móvil en completar una oscilación completa en los movimientos oscilatorios. Estos movimientos se llaman periódicos. Fuerza recuperadora: fuerza que origina los movimientos oscilatorios y que siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio, donde es nula. Amortiguamiento: fenómeno consistente en que un movimiento oscilatorio se ve frenado por rozamientos hasta detenerse. Movimiento armónico simple (M.A.S.): en un movimiento oscilatorio que se caracteriza porque se puede representar matemáticamente mediante las funciones seno o coseno. 1.ϕ0 es la fase inicial.x(t) recibe el nombre de elongación. las cuerdas vocales.2. es el argumento de la función trigonométrica.1 se muestran dos ejemplos típicos de movimiento oscilatorio. . En la figura 1. etc. Ejemplos de movimientos oscilatorios son el del péndulo. Dos ejemplos de movimiento oscilatorio. representa el valor máximo de la elongación.A es la amplitud.T es el periodo. Su unidad son los segundos.Tema 1: Movimiento Armónico Simple Física 2º Bachillerato Posición de equilibrio Figura 1. Se mide en metros. Ecuación general del MAS La ecuación general de un MAS es: ⎛ 2π ⎞ x(t) = A sen⎜ t + ϕ0 ⎟ T ⎝ ⎠ donde: . representa la separación del móvil de la posición de equilibrio. ⎝ T ⎠ Se mide en radianes. La elongación siempre estará comprendida entre –A y +A. Se mide en metros. el de una cuerda de un instrumento musical. Tema 1-2 . representa el tiempo necesario para que ocurra una oscilación completa. .⎜ t + ϕ 0 ⎟ recibe el nombre de fase. ⎛ 2π ⎞ . el de una masa conectada a un muelle. permite calcular la posición inicial del oscilador y se mide en radianes. . una regla con un extremo fijo y el otro libre. 1. 2 muestra un ejemplo de MAS donde se han tomado los valores siguientes (A=5m.44) Tema 1-3 . de modo que en cada instante se conoce la posición de la partícula.44rad). que se mide en rad/s y se relaciona con la anterior mediante la expresión: ω = 2π f = 2π T Haciendo uso de estas expresiones el MAS se puede expresar de las siguientes formas siendo la última las más usual: x(t) = A sen(2π f t + ϕ0 ) x(t) = A sen(ωt + ϕ0 ) La gráfica posición-tiempo de un MAS consiste en representar en el eje vertical la separación de la posición de equilibrio (elongación) y en el eje horizontal el tiempo.79 t + 0. T=8s. f= 1 T Otra magnitud muy importante es la frecuencia angular o pulsación (ω).Colegio Sagrado Corazón x(t) 6 5 T 4 3 A 2 x(t) 1 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 t -2 -3 A -4 -5 -6 Figura 1. se mide en hercios (Hz) y representa el número de oscilaciones que tienen lugar en un segundo. con lo que la ecuación del MAS resulta ser: x(t) = 5 sen(0.2. ϕ0=0. Representación de un MAS La magnitud inversa del periodo se denomina frecuencia lineal o simplemente frecuencia (f). La figura 1. La representación matemática de un MAS también se puede expresar en función del coseno e incluso un mismo MAS admite las dos representaciones mediante los cambios: π⎞ ⎛ x(t) = A sen(ωt + ϕ 0 ) = A cos⎜ ωt + ϕ 0 − ⎟ = A cos(ωt + ϕ' 0 ) 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ x(t) = A cos(ωt + ϕ 0 ) = A sen⎜ ωt + ϕ 0 + ⎟ = A sen(ωt + ϕ' 0 ) 2⎠ ⎝ 1. al ser el movimiento es rectilíneo. Se considerarán las velocidades positivas en el sentido izquierda→derecha (o abajo→arriba) y las negativas en el contrario. está en el mismo lugar en el que empezó y va a iniciar otro ciclo idéntico al anterior. es decir. la supera y pasa por x(t)=2.13m de manera que es ese instante ha completado un ciclo completo. Tema 1-4 . Cinemática del MAS Se ha visto en el apartado anterior que la posición de un móvil que tiene un MAS se puede expresar de forma general mediante: x(t) = A sen(ωt + ϕ0 ) Sabiendo que la velocidad de cualquier móvil se puede calcular mediante la derivada de la posición y teniendo en cuenta que. Después la partícula retorna y alcanza la posición de equilibrio y continúa hacia el otro extremo de su trayectoria moviéndose hacia valores negativos hasta llegar a x(t)=–5m.Tema 1: Movimiento Armónico Simple Física 2º Bachillerato Inicialmente la partícula está en la posición: x(0) = 5 sen (0.44 ) ≅ 2. La partícula ha tardado 8 segundos en completar el ciclo. Los valores negativos sólo significan estar por debajo del eje o a la izquierda de la posición de equilibrio si el movimiento es horizontal. queda definido por una sola coordenada: v(t) = dx(t) dt Sustituyendo y operando se obtiene: v(t) = A ω cos(ωt + ϕ0 ) expresión que permite calcular la velocidad del móvil en cualquier instante.3.13m a medida que aumenta ‘t’ se va alejando de ella hasta que llega al extremo superior donde la posición vale 5m. Después el móvil vuelve a la posición de equilibrio. Colegio Sagrado Corazón Aplicando a la expresión anterior la definición de aceleración para movimientos rectilíneos: a(t) = dv(t) dt se obtiene: a(t) = − Aω 2 sen(ωt + ϕ 0 ) a(t) = −ω 2 x(t) El signo de la aceleración sigue el mismo criterio que el de la velocidad. la velocidad y la aceleración de un móvil que describe un MAS. La aceleración está disminuyendo porque la fuerza va siendo menor conforme el móvil se aproxima a la posición de equilibrio. (b) → El móvil está retornando al origen y su velocidad está aumentando. Por simplicidad se ha supuesto que la fase inicial sea nula. su velocidad es máxima y su aceleración es nula (ya que en la posición de equilibrio la fuerza recuperadora vale cero). La velocidad es negativa para indicar el sentido de la misma. Tema 1-5 .3 están representadas la posición. Esta condición se tiene que cumplir en cualquier MAS. La aceleración es máxima porque está en el extremo de la trayectoria. (a) → El móvil llega a un extremo de su trayectoria [x(t)=A]. es decir. y en ese punto su velocidad es cero porque se detiene para volver. La aceleración aumenta conforme el móvil se acerca al extremo de su trayectoria. la posición. donde la fuerza recuperadora es máxima. de manera que en el instante inicial el móvil está pasando por el origen. (d) → El móvil se va acercando a [–A] y su velocidad va disminuyendo porque la aceleración lleva sentido contrario a la misma. Todas las expresiones anteriores cambian si la ecuación de la posición está expresada por la función coseno: x(t ) = A cos(ωt + ϕ 0 ) v (t ) = A ω sen(ωt + ϕ 0 ) a(t) = − A ω 2 cos(ωt + ϕ 0 ) = −ω 2 x(t) Como se puede observar la aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario. su velocidad es máxima y la aceleración es nula porque no hay fuerza recuperadora. (c) → El móvil está pasando por el origen. velocidad y aceleración. El análisis detallado del movimiento consiste en describir en diferentes puntos el estado de vibración. La figura 1. en los movimientos oscilatorios existe una fuerza recuperadora que es la que origina el movimiento. Posición. 1. que varía entre +Aω y –Aω y se mide en m/s. velocidad y aceleración de un MAS Las tres gráficas representan: .4 Dinámica del MAS Como ya se ha dicho.3. que toma valores entre +Aω2 y –Aω2 y se mide en m/s2.Tema 1: Movimiento Armónico Simple Física 2º Bachillerato 4 2 x(t) 0 -2 0 2 4 6 8 10 12 -4 4 2 v(t) 0 -2 0 2 4 6 8 10 12 -4 4 2 a(t) 0 -2 0 2 4 6 8 10 12 -4 a) b) c) d) Figura 1.la segunda la velocidad.la primera la elongación que oscila entre +A y –A. . .la tercera es la aceleración. se mide en m. Si se aplica la ley fundamental de la dinámica al movimiento armónico simple de una partícula se obtiene lo siguiente: Tema 1-6 . 3. Las fuerzas recuperadoras suelen ser elásticas o gravitatorias por lo tanto son conservativas. por lo tanto. Es nula en la posición de equilibrio (x=0) y máxima en los extremos (x=±A). La energía cinética del oscilador armónico simple se puede calcular partiendo de la expresión general de la energía cinética sustituyendo la velocidad del MAS: Tema 1-7 . por lo que existen variaciones de energía cinética. Sentido de la fuerza recuperadora 1. lo que significa que existe una energía potencial asociada a los movimientos del oscilador. Siempre apunta a la posición de equilibrio.5 Energía del MAS Se ha visto ya cómo en los movimientos oscilatorios existen fuerzas y desplazamientos. Es directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario. 2. 1. las fuerzas recuperadoras deben realizar trabajo sobre la masa que oscila. En estos movimientos tiene lugar una transformación continua entre energía cinética y energía potencial.Colegio Sagrado Corazón F = ma ( F = m − ω2 x ) F = −mω 2 x F=−Cx Del resultado obtenido se extraen las características de la fuerza recuperadora. Además. ya que los signos de ‘x’ y ‘F’ son contrarios. 3. x(t) 7 1 6 r F r F x(+) ⇒ F(-) r Fmáx x(+) ⇒ F(-) 5 r F 2 x(-) ⇒ F(+) r F t 4 r Fmáx 3 Figura 1. la velocidad del oscilador varía entre cero y un valor máximo. Representación de las energías cinética. la velocidad es máxima. Sabemos que en la posición de equilibrio (x=0).Tema 1: Movimiento Armónico Simple Física 2º Bachillerato Ec = Ec = Ec = 1 mv 2 2 1 m(Aω cos(ωt + ϕ 0 ))2 2 ( ) 1 mω 2 A 2 − A 2 sen 2 (ωt + ϕ 0 ) 2 con lo que se obtiene la expresión de la energía cinética del oscilador: Ec = ( 1 mω 2 A 2 − x 2 2 ) La energía mecánica del oscilador es la suma de la energía cinética más la energía potencial. En este caso: Em = 1 mω 2 A 2 2 La expresión de la energía potencial se obtiene a partir de la diferencia entre la energía mecánica y la cinética. por lo que la energía cinética debe ser máxima y la potencial nula. Tema 1-8 . potencial y mecánica en un oscilador armónico. Ep = Em − Ec Ep = ( 1 1 mω 2 A 2 − mω 2 A 2 − x 2 2 2 Ep = ) 1 mω 2 x 2 2 La representación gráfica de las tres energías sería: E Em Ep Ec 0 -6 –A 0 x A6 Figura 1.4. Sistema muelle-masa oscilante Tema 1-9 . Los resultados obtenidos son plenamente aplicables al caso de la masa suspendida del muelle y las oscilaciones sean verticales.6 Aplicación al caso del resorte Un ejemplo muy frecuente de MAS es el caso de una masa ‘m’ conectada a un muelle de constante elástica ‘k’ que oscila en un plano horizontal. durante ese instante. Figura 1. Cuando se alcanza el extremo la partícula se detiene y. al estar en reposo Ep Nula. mientras que disminuye su energía potencial. 1. su energía cinética se anula mientras que la energía potencial es máxima. la energía cinética va disminuyendo. la velocidad es máxima. y las oscilaciones son cada vez menores hasta que finalmente el oscilador se detiene. Durante todo el movimiento la energía está continuamente transformándose de cinética a potencial y viceversa pero el valor total permanece constante ya que no se tienen en cuenta las fuerzas de rozamiento. y la energía potencial es nula porque no actúan las fuerzas recuperadoras. Al mismo tiempo la energía potencial aumenta al alejarse la partícula de la posición de equilibrio. Posición Posición de equilibrio Extremos Puntos intermedios Ec Máxima.5 . ya que la fuerza se va haciendo mayor. al no haber fuerzas Máxima. por lo que la energía cinética es máxima. al ser la velocidad máxima Nula. al ser nula la velocidad Intermedia Intermedia En todo caso la suma Ec+Ep es constante ya que la energía mecánica se conserva En los osciladores amortiguados la energía no se conserva porque actúan fuerzas de rozamiento que van restando energía al sistema. por lo tanto.Colegio Sagrado Corazón Las transferencias de energía tienen lugar del siguiente modo: cuando la partícula se va aproximando al extremo de la trayectoria va perdiendo velocidad y. En la posición de equilibrio. A medida que la partícula se vuelve a acercar a la posición de equilibrio aumenta su velocidad (ya que la fuerza actúa en el sentido del movimiento) y por lo tanto también aumenta su energía cinética. ω= 2π k = T m ⇒ T = 2π m k Para calcular la energía del oscilador se sustituye la expresión de la frecuencia angular en las expresiones obtenidas en el apartado anterior y se obtiene para la energía cinética: Ec = ( 1 k A2 − x2 2 para la energía mecánica: Em = 1 2 kA 2 Ep = 1 2 kx 2 y para la energía potencial: Tema 1-10 ) .Tema 1: Movimiento Armónico Simple Física 2º Bachillerato Dado que el movimiento tiene lugar en una sola dimensión se prescinde del carácter vectorial y se emplearán solamente las expresiones escalares. La fuerza que ejerce el muelle sobre la masa vale: F = −kx Aplicando la ley fundamental de la dinámica se obtiene: F = −kx = ma − kx = m( −ω 2 x) k m ω= Aplicando la conocida relación entre pulsación y periodo se puede obtener la relación entre el periodo (T) y las características del sistema (k y m) y comprobar cómo el periodo de oscilación depende únicamente de la masa y de la constante elástica del muelle. la frecuencia angular y la fase inicial. x(T/4) = A.I. Determina la amplitud si inicialmente la partícula está en la posición x(0)=0.52 ⎟.35rad. Sol. 8. a(10–2) = –150. 4s] 6. A = 0.2rad 3.25m hacia la derecha de la posición de equilibrio. Sol. ω = 6rad/s. el periodo. 3T/4. v (t ) = 1. Sol. x(1) = 0. x(t) = 3 cos(πt) (S. Si la distancia entre ambas posiciones es 20cm calcula la posición de la partícula tras 1s y 1.) Usa el intervalo t→[0s.A.05s. ϕ0 = 0. Calcular las expresiones de la posición.I. la frecuencia lineal. la velocidad y la aceleración. f = 7. T/2. ϕ0 = 2rad.95Hz. Sol. 7.4π cos(40πt).16Hz. x(1.58m 4.5 sen⎜ t + 0.) calcula: la amplitud. CINEMÁTICA DEL MAS. x(t) = 10–2 sen(40πt).52 sen⎜ t + 0. 9.) Sol.72) = 0. Sol.52 ⎟ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ 11. f = 0. calcular las ecuaciones que rigen el movimiento. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima la aceleración. Calcular el valor de dichas magnitudes en el instante t=10–2s. la fase inicial. x(10–2) = 0. v(10–2) =0. entre dos puntos separados 5m.39m/s. 2. a(t) = –16π2 sen(40πt). Una masa oscila con un M. T = 0.2m. x (t ) = 2. ¿Cómo cambiaría la solución del problema anterior si la masa estuviera a la izquierda de la posición inicial? Tema 1-11 . A = 23m. v(t) = 0. ϕ0 = 0.I. x(0) = 0m. x(T)=0m. A = 20m. x(3T/4) = –A. La ecuación de un MAS es la siguiente: x(t)=20 cos (45t + 0.15 rad. Sol.S. Representa en un gráfico el valor de la elongación (eje vertical) frente al tiempo (eje horizontal) para el siguiente MAS. 10.A.062m. la fase y la frecuencia del siguiente MAS: x(t) = 23 sen (6t+2) (S. Explica ayudándote de una gráfica dichos valores.Colegio Sagrado Corazón Relación de ejercicios ECUACIÓN GENERAL DEL MAS 1.) ⎝ T ⎠ para los valores de tiempo 0.15) (S. Comprueba qué valores se obtienen en la expresión ⎛ 2π ⎞ x(t) = A sen⎜ t ⎟ (S.1s en ir al centro de la misma. ω = 45 rad/s. velocidad y la aceleración de una partícula que se mueve con un M. La fase inicial de una partícula que describe un MAS es 0.I. Determina la fase inicial sabiendo que en el instante inicial estaba 6cm a la derecha del origen. a(t ) = −1.52 ⎟.0095m. T = 1. Una partícula oscila con un MAS de 30cm de amplitud. Si tarda 4s en ir de un extremo a otro y en el instante inicial estaba a 1. Calcula la amplitud. ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ Sol. b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por la posición de equilibrio. x(T/2) = 0. a) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario. 5.1848m/s2. de 10mm de amplitud y 20Hz de frecuencia. y T.2m. el periodo.96 cos⎜ t + 0. Una partícula inicia un MAS en el extremo izquierdo de su trayectoria y tarda 0. T/4.72s de iniciar el movimiento.S.14s. 3 ⎝ ⎠ 13. Una partícula describe un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f. Calcula. Calcula la expresión del MAS correspondiente a un movimiento que tarda 3s en ir de un extremo al otro de la trayectoria si la distancia entre extremos es 10cm y en el instante inicial el móvil está a 3cm del extremo de la izquierda. los cambios de energía cinética y de energía potencial durante una oscilación. el movimiento de la partícula es armónico simple. b) En un movimiento armónico simple la amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la energía.05 sen⎜ t − 0. a) x(t) = 0.43m/s2.6J. En otro instante de la oscilación la energía cinética es 0. Tema 1-12 . x (t ) = 0. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. de frecuencia 20Hz.2Kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje x. velocidad máxima. v(t) = – 0. Demuestra que en un MAS la velocidad se puede calcular mediante la expresión: v = ω A2 − x2 ENERGÍA DEL MAS. 15. ⎛π ⎞ Sol.023 sen(40πt). con ayuda de una gráfica. 14. además. la velocidad y la aceleración máximas. moviéndose hacia la derecha. razonando las respuestas: a) Si la aceleración de una partícula es proporcional a su desplazamiento respecto de un punto y de sentido opuesto. amáx =355. ¿Qué ocurre con las siguientes magnitudes? Frecuencia. la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y comente sus características. 18. sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por la posición x = 10 cm.1 cos (4πt). periodo. b) Explique. 19.87·10–3J. a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula y calcule su aceleración máxima. potencial y mecánica de una partícula que vibra con movimiento armónico simple. y su velocidad es máxima. b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio. amáx = 0.4π sen(4πt). 17. alejándose como máximo 10cm a un lado y a otro de la posición de equilibrio (x = 0).Tema 1: Movimiento Armónico Simple Física 2º Bachillerato 12. Una partícula de 50g vibra a lo largo del eje X. 16. a) Represente gráficamente las energías cinética. Sol.052m/s.96·10–2J.41⎟ . Una partícula de 0. a) x(t) = 0. vmáx = 0.2J y la energía potencial es 0. energía total. a) ¿Qué características debe tener una fuerza para que al actuar sobre un cuerpo le produzca un movimiento armónico simple? b) Represente gráficamente el movimiento armónico simple de una partícula dado por: y = 5 cos ( 10 t + π/2 ) (S I) y otro movimiento armónico que tenga una amplitud doble y una frecuencia mitad que el anterior. Ec = 2. a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la partícula en función del tiempo. b) ¿Se duplicaría la energía mecánica de la partícula si se duplicase la frecuencia del movimiento armónico simple? Razone la respuesta. Supóngase que se duplica la amplitud de un MAS. b) Ep = 9. a) Represente en un gráfico la posición.055m/s2. Sol. En el instante inicial la partícula pasa por el origen. b) Explique cómo varían la amplitud y la frecuencia del movimiento y la energía mecánica de la partícula al duplicar el periodo de oscilación. El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencilla entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante: a = -16 π2x. 20. 18m/s.075 sen(2..Colegio Sagrado Corazón APLICACIÓN AL CASO DEL RESORTE 21. x = 0. EcP = EcP’ =1.. sujeto al extremo libre de un resorte horizontal fijo por el otro extremo.5t – 0. a) .13J.se reduce la constante elástica a la mitad? c) .1 cos (12. Ep = 0.63N/m. b) Ec = 1. b) EpP = EpP’ = 3.41).35N. a) x(t) = 0.se reduce la amplitud a la mitad? 22. Sol. b) Em = 0. 27. b) Las energías cinética y potencial cuando pasa por los puntos P y P’ situados a 2. b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble. Sol. 25. b) Calcular la energía total del sistema y el punto en el que la energía cinética y la potencial valen lo mismo. efectúa oscilaciones armónicas de 0.053m. a) Em = 1.97·10–3J. Un cuerpo de masa 1. b) el módulo de la velocidad a los 2s de iniciarse el movimiento. produciéndose un alargamiento del resorte de 10cm y en esta posición se suelta el cuerpo. c) F = 0. Se aplica al bloque una fuerza de 30N.38J. c) v = 0.2kg. Calcula: a) La energía total del sistema. b) v = 0. ¿Cómo se modifica la energía total de un oscilador formado por una masa conectada a un muelle si.5kg se conecta a un muelle. unido al extremo de un resorte.07J.48·10–2J.. Calcular para qué valor de x la energía cinética es igual a la potencial en un sistema masa-muelle. 26. oscilando con una frecuencia de 0.. a) Calcular la ecuación que describe el MAS si en el instante inicial la masa está 3cm a la izquierda de la posición de equilibrio.5J.1πs de período y su energía cinética máxima es de 0. Calcular: a) la constante elástica del muelle.88·10–2J. b) Calcule las energías cinética y potencial cuando la elongación es de 5cm. c) La fuerza que ejerce el muelle en el punto P. d) El periodo de las oscilaciones.se reduce la masa a la mitad? b) . Un muelle (k=25N/m) conectado a una masa (m=4kg) oscila entre dos puntos separados 15cm. k = 80N/m.92s 24. A Sol. x = 2 23.3cm de la posición de equilibrio.3cm y –2. Un objeto de 0. a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica del resorte.25t)..8Hz. Un cuerpo de masa 0.. a) x(t) = 0.4kg se conecta a un muelle de constante elástica 15Nm–1. a) k = 12... Sol. El sistema oscila en la horizontal con una amplitud de 5cm.17m/s Tema 1-13 . se separa 6cm de la posición de equilibrio y se suelta. Sol. ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble. Sol. d) T = 1. a) x(t) = 0.11 sen(20t). Sobre un plano horizontal sin rozamiento se encuentra un bloque de masa m=2kg. c) el módulo de la velocidad cuando está a 1cm del extremo derecho de la trayectoria. a) Escriba la ecuación de movimiento del bloque. que inicia un movimiento armónico simple.