Departamento De Ciencias CICLO: 2014-0Cajamarca Tema: INTERVALOS, INECUACIONES LINEALES Y SUS APLICACIONES INTERVALOS Definición: Se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos. Ejemplo de Intervalo: | | b , a I = ; donde a es el extremo inferior del intervalo, b es el extremo superior del mismo y b a < . OBSERVACIONES Conviene recordar: b a < se lee “a menor que b”, es una desigualdad estricta. a b > se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta. b a s se lee “a menor o igual que b”, es una desigualdad no estricta. Si a b y b a s s , entonces se puede concluir que: a = b. Cuando a y b no son iguales se escribe: b a = . PROPIEDADES Propiedad transitiva, si b a s y c b s , entonces c a s , dicho lo mismo de otro modo: c b a además y , c a c b y b a si s s s ¬ s s d b c a entonces d, c y b a Si + s + ¬ s s . Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número, positivo, la desigualdad no varía, esto es: c b c a 0 c y b a si · s · ¬ > s Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, cambia el sentido de la desigualdad, esto es: c b c a 0 c y · > · ¬ < s b a si . Departamento De Ciencias CICLO: 2014-0 Cajamarca Si dos números cualesquiera, del mismo signo, cumplen una determinada desigualdad; sus inversos cumplen la desigualdad contraria, esto es: b a ab b a 1 1 0 si > ¬ > . s CLASES DE INTERVALOS: EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Grafica los siguientes intervalos. a. [-3,4] b. ]-9,-1] c. [-2,7[ d. ]-1,5[ Solución: -3 4 a. -9 -1 b. -2 7 c. -1 5 d. Departamento De Ciencias CICLO: 2014-0 Cajamarca 2. Dados los intervalos: A= [-2,6] y B=]-4,4[ Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones. a) AUB b) AB c) AB d) A c Solución Al graficar en la recta real el intervalo A y B, se tiene: -4 4 6 -2 -4 6 a. 4 6 b. El intervalo solución es ,. El intervalo solución es [4;6]. -2 4 c. -2 6 d. El intervalo solución es ,. El intervalo solución es · ÷ · ; 6 2 ; . INECUACIONES A veces se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual, hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad. Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación: Peso de la furgoneta+ peso de 4 cajones no es menor que 415 kg 875 + 4(x)> 415 DEFINICIÓN: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinadas valores de la incógnita o incógnitas. Departamento De Ciencias CICLO: 2014-0 Cajamarca INECUACIONES DE PRIMER GRADO Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Una inecuación de primer grado es una expresión de la forma: 0 < +b ax , 0 > +b ax , 0 > +b ax ó 0 s +b ax donde 0 = a . Se resuelve despejando la incógnita x . Ejemplo 1: Resolver la inecuación: 5 2 3 3 2 > ÷ + + x x Solución: El mínimo común múltiplo de los denominadores es 6. 5 6 ) 3 ( 3 ) 2 ( 2 > ÷ + + x x 5 6 9 3 4 2 > ÷ + + x x 5 6 5 5 > ÷ x ¬ 30 5 5 > ÷ x 5 30 5 + > x ¬ 35 5 > x 35 5 x > ¬ 7 > x Es decir, el conjunto solución de la inecuación planteada es el intervalo | · + , 7 . Ejemplo 2: Resolver la inecuación x x x 2 ) 3 ( 2 1 3 2 3 ÷ ÷ < | . | \ | + Solución: x x x 2 ) 3 ( 2 1 3 2 3 ÷ ÷ < | . | \ | + ( 3) 4 3 2 2 x x x ÷ ÷ + < 3 3 3 2 2 x x ÷ ÷ + < 6 4 3 3 x x + < ÷ ÷ 6 3 4 3 x x + < ÷ ÷ Departamento De Ciencias CICLO: 2014-0 Cajamarca 9 7 x < ÷ 7 9 x ÷ < El conjunto solución es 7 , 9 ÷ ÷· Ejemplo 3: Dada la inecuación 1 2 7 2 + < + x x . Resuelva e indique su conjunto solución. Solución: 1 7 2 2 < + ÷ x x 1 7 < (Esto es falso) Por lo tanto: Ejemplo 4 Resolver la inecuación 8 3 2 7 1 x x x ÷ s ÷ < ÷ Solución: 8 3 2 7 4 x x x ÷ s ÷ < ÷ 8 3 2 7 x x ÷ s ÷ . 2 7 1 x x ÷ < ÷ 8 7 2 3 x x + s + . 2 7 1 x x ÷ < ÷ 15 5x s . 3 x s El conjunto solución es: | ) 3, 6 Departamento De Ciencias CICLO: 2014-0 Cajamarca EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL I En los siguientes problemas resuelva cada desigualdad y haga la grafica del conjunto solución 1. 3 1 3 x x ÷ > + 2. 2 2 3 x x ÷ > + 3. 2( 3) 8 x ÷ + < 4. 3(1 ) 12 x ÷ ÷ < 5. 4 3(1 ) 3 x ÷ ÷ s 6. 8 4(2 ) -2x x ÷ ÷ s 7. 1 ( 4) x+8 2 x ÷ > 8. 1 3 4 > ( 2) 2 x x + ÷ 9. 1 2 4 x x > ÷ 10. 2 3 6 x x > + 11. 0 2 6 4 x s ÷ s 12. 4 2 2 10 x s + s 13. 5 4 3 2 x ÷ s ÷ s 14. 3 2 2 9 x ÷ s ÷ s NIVEL II Resolver las siguientes inecuaciones y haga la gráfica del conjunto solución 1. 2 4 3 1 4 x x ÷ + ÷ < 2. 6 3 2 3 x x ÷ + > ÷ 3. 2 9 3 5 1 2 3 x x + + > + 4. 10 5 ) 6 ( 5 ÷ > ÷ + x 5. 4 2 3 1 3 4 x x ÷ + > + 6. 6 3 11 14 2 6 5 4 5 5 x x x + < + > ÷ 7. 2 1 3 2 5 x x x + s ÷ s + 8. 2 1 4 x x ÷ > + 9. 2 1 6 2 5 6 2 3 4 x x x x ÷ ÷ + + + > + 10. 4 3 2 8 5 x ÷ ÷ < < 11. 1 3 2 1 7 2 2 7 3 x x x ÷ ÷ ÷ < s ÷ 12. 1 2 1 1 4 3 6 x x x + ÷ ÷ > + 13. 16 2 8 10 2 5 + < + < ÷ x x x 14. 2 3 4 5 2 8 x x x ÷ ÷ s + < + 15. 3 1 4 1 3 5 1 s ÷ s ÷ x 16. (2 3)( 3) (2 1)( 2) x x x x + ÷ > ÷ + 17. 3 1 2 4 2 5 3 3 12 x x x + ÷ ÷ ÷ > 18. 4 8 3 2 5 2 2 14 ÷ ÷ ÷ < ÷ + x x x 19. x x x x ) 1 ( 1 3 2 ÷ < + + 20. 2 2 1 3 ) 1 ( 2 4 ÷ ÷ < + ÷ x x 21. 8 ) 2 )( 2 ( ) 2 ( 2 + ÷ + > ÷ x x x 22. 2 ( 2) ( 5) 5 x x x ÷ < ÷ ÷ 23. 1 12 6 4 5 3 < ÷ ÷ ÷ x x 24. 3 6 2 6 3 15 x x x ÷ ÷ + s Facultad De Ingeniería Departamento De Ciencias CICLO: 2014-0 Cajamarca APLICACIONES DE LAS INECUACIONES LINEALES La resolución de problemas expresados con palabras algunas veces puede implicar desigualdades, como lo ilustran los siguientes problemas. 1. Utilidad Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un periodo dado, sin importar la producción) son $70 000. Si el precio de venta de un calentador es $35. ¿Cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades? Estrategia Tengamos en cuenta que Debe encontrarse el ingreso total y después determinar cuándo su diferencia es positiva. 2. Utilidad La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600 000, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. 3. Producción y Utilidades Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y mano de obra por unidad son de $8 y además, existen costos fijos de $4000 por semana. ¿Cuántas unidades deberá producir si desea obtener utilidades semanales de al menos $3000? 4. Utilidad de Fabricante Un fabricante de aparatos de alta fidelidad puede vender todas las unidades producidas al precio de $150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $15,000 y costos por unidad de $100 en materiales y mano de obra. Determine el número de aparatos de alta fidelidad que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito de obtener utilidades semanales de al menos $1000. 5. Utilidad Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo total del material es de $2.50 y el de mano de obra de $4. El costo fijo constante, sin importar el volumen de ventas, es de $5 000. Si el precio para una mayorista es de $7.40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades. 6. Utilidad Un constructor debe decidir si renta o compra una máquina excavadora. Si renta la máquina el pago mensual sería de $600 (con base en un año), y el costo diario (gas, aceite y conductor) sería de $60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo anual sería de $4000, y los costos por operación y mantenimiento serían de $80 por Utilidad=Ingreso Total-Costo Total Facultad De Ingeniería Departamento De Ciencias CICLO: 2014-0 Cajamarca cada día que la máquina sea utilizada. ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que usar la máquina para justificar la renta en lugar de la compra? 7. Renta versus Compra Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una máquinaexcavadora. Si fuese a rentar máquina, el costo de la renta sería de $3000 mensuales (sobre la base de un año)y el costo diario (gas aceite y operador) sería de $180 por cada díaque la máquina se utilice. Si fuese a comprarla, sus costos fijos anuales serian de $20 000 y los costos diarios de operación y mantenimiento serian de $230 por cada día que la maquina se utilizara. ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que utilizar al constructor la máquina para justificar la renta en lugar de la compra? Estrategia Se determinarán expresiones para el costo anual de la renta y el costo anual de lacompra, así se encontrará cuando el costo de la renta es menor que el de la compra. 8. Publicaciones Una editorial determina que el costo de publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es $1.40 por revista. El ingreso por publicidad es 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10 000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben venderse de modo que se obtengan utilidades? 9. Decisión de producción Un fabricante puede vender todas las unidades que produce a un precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12,000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo.¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades? 10. Utilidad Para que un negocio logre utilidad, su ingreso, R, debe ser mayor que los costos en que incurre, C . Esto es, se obtendrá una utilidad cuando R C > (el punto de equilibrio de un negocio es cuando R C = ). Una empresa que fabrica naipes tiene una ecuación de costo semanal de 1525 1, 7 C x = + , y una ecuación de ingresos semanales de 4, 2 R x = , en donde x es el número de cajas de naipes fabricadas y vendidas en una 11. Gasto Una estudiante tiene $360 para gastar en un sistema estereofónico y algunos discos compactos. Si compra un estéreo que cuesta $219 y el costo de los discos es de $18.95 cada uno, determine el mayor número de discos que puede comprar. 12. Renta versus renta Una compañía A renta autos en $250 dólares por semana, sin ningún cargo por kilometraje recorrido. Un auto similar puede ser rentado en la compañía B por $150 dólares por semana, más $0.25 por cada kilometraje recorrido. ¿Cuántos kilómetros se deben manejar en una semana para que el pago por la renta del auto en la compañía B sea mayor que el pago de la compañía A?