FRECUENCIA COMPLEJAFUENTES SINUSOIDALES • Una fuente de tensión sinusoidal (independiente o dependiente) produce una tensión que varia sinusoidalmente con el tiempo. • Una fuente de corriente sinusoidal (independiente o dependiente) produce una corriente que varia sinusoidalmente con el tiempo. Figura 1. Tensión sinusoidal FRECUENCIA COMPLEJA FUENTES SINUSOIDALES • Periodo T – tiempo necesario para que la función sinusoidal recorra todo su posible rango de valores. • Frecuencia f – es el reciproco del periodo T. • Frecuencia angular ω – • Vm – amplitud máxima de la tensión sinusoidal FRECUENCIA COMPLEJA FUENTES SINUSOIDALES • Angulo de fase Φ – ángulo que determina el valor de la función sinusoidal en t = 0 Si se cambia el ángulo de fase Φ, la función sinusoidal se desplaza a lo largo del eje temporal. Este desplazamiento no tiene efecto sobre Vm ni ω. Si Φ se reduce a cero, la función sinusoidal se desplaza Φ/ω unidades de tiempo hacia la derecha. FRECUENCIA COMPLEJA FUENTES SINUSOIDALES Angulo de fase Φ – ángulo que determina el valor de la función sinusoidal en t = 0 Si Φ es positivo, la función sinusoidal se desplaza hacia la izquierda. Si Φ es negativo, la función sinusoidal se desplaza hacia la derecha. de Vm. El valor rms de la tensión sinusoidal solo depende de la amplitud maxima de v. . es decir. FRECUENCIA COMPLEJA Valor rms El valor rms de una función periodica se define como la raíz cuadrada del valor medio de la función al cuadrado. FRECUENCIA COMPLEJA RESPUESTA SINUSOIDAL ECUACION DE MALLA Componente de régimen permanente Componente transitoria . . • El ángulo de fase de la señal de respuesta. difiere del ángulo de fase de la fuente. • La amplitud máxima de la respuesta de régimen permanente. • La frecuencia de la señal de respuesta es idéntica a la frecuencia de la señal aplicada. FRECUENCIA COMPLEJA RESPUESTA SINUSOIDAL Señal aplicada o entrada Solución de régimen permanente • La solución de régimen permanente es una función sinusoidal al igual que la señal aplicada. difiere de la amplitud máxima de la fuente. que relacional la función exponencial con la función trigonométrica. FRECUENCIA COMPLEJA FASORES Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y la fase de una función sinusoidal. El concepto de fasor se basa en la identidad de Euler. . Parte real de la función exponencial Parte imaginaria de la función exponencial Tensión sinusoidal de entrada Si la tensión de entrada es en función del seno entonces hay que transformarla a función coseno. ya que la respuesta depende de ω. FRECUENCIA COMPLEJA FASORES Numero complejo que aporta la información de amplitud y de ángulo de fase de la tensión sinusoidal dada TRANSFORMACION EN FASOR Fasor correspondiente a Vm cos (ωt + Φ) La transformación en fasor transfiere la función sinusoidal del dominio del tiempo al dominio de los numeros complejos o dominio de la frecuencia. . FRECUENCIA COMPLEJA FASORES Forma polar del fasor Forma rectangular del fasor Notación de ángulo del fasor . se multiplica el fasor por ejωt y luego se extrae la parte real del producto. FRECUENCIA COMPLEJA TRANSFORMACION FASORIAL INVERSA El paso de un fasor a su correspondiente expresión en el dominio del tiempo se denomina transformación fasorial inversa. . Para encontrar la transformación fasorial inversa. FRECUENCIA COMPLEJA FASORES TRANSFORMACION FASORIAL TRANSFORMACION FASORIAL INVERSA . FRECUENCIA COMPLEJA ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Resistor Circuito equivalente en el dominio del tiempo de un resistor. TRANSFORMACION FASORIAL FASOR . . FRECUENCIA COMPLEJA ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Resistor Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia de un resistor. La tensión y la corriente en los terminales de una resistencia están en fase. FRECUENCIA COMPLEJA ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Bobina Circuito equivalente en el dominio del tiempo de una bobina. TRANSFORMACION FASORIAL FASOR . En una bobina: • La tensión esta adelantada con respecto a la corriente en 90°. Existe un desfase de 90° entre la tensión y la corriente. FRECUENCIA COMPLEJA ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Bobina Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia de una bobina. • La corriente esta atrasada con respecto a la tensión en 90° . FASOR . FRECUENCIA COMPLEJA ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Condensador Circuito equivalente en el dominio del tiempo de un condensador. FRECUENCIA COMPLEJA ELEMENTOS PASIVOS DE UN CIRCUITO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Condensador Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia de un condensador. En un condensador: • La tensión esta atrasada con respecto a la corriente en 90°. • La corriente esta adelantada con respecto a la tensión en 90° . Existe un desfase de 90° entre la tensión y la corriente. FRECUENCIA COMPLEJA CONCEPTO DE IMPEDANCIA Las relaciones tensiones-corrientes de los elementos pasivos de un circuito en el dominio de la frecuencia son: Si expresamos estas relaciones como la razón entre la tensión y la corriente fasorial tenemos: De estas e expresiones obtenemos la Ley de Ohm en forma fasorial: Impedancia . • Se dice que la reactancia es inductiva cuando X es positiva. FRECUENCIA COMPLEJA CONCEPTO DE IMPEDANCIA La impedancia Z es una cantidad compleja y se expresa en forma rectangular como: Resistencia: Parte Reactancia: Parte real de la imaginaria de la impedancia impedancia La reactancia X puede ser positiva o negativa. . • Se dice que la reactancia es capacitiva cuando X es negativa. La admitancia Y es el inverso de la impedancia Z. FRECUENCIA COMPLEJA CONCEPTO DE ADMITANCIA La admitancia Y de un elemento (o circuito) es la razón entre la corriente fasorial y la tensión fasorial a través de el. Conductancia: Parte Susceptancia: Parte real de la admitancia imaginaria de la admitancia . FRECUENCIA COMPLEJA CONCEPTO DE IMPEDANCA Y ADMITANCIA . Transformar el circuito del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia a través de la Transformación Fasorial. 2. Obtener la solución del circuito en el dominio de la frecuencia utilizando las diferentes técnicas de análisis de circuitos. FRECUENCIA COMPLEJA Pasos en la aplicación de la Transformación Fasorial en circuitos eléctricos: 1. Transformar la solución del dominio de la frecuencia al domino del tiempo a través de la Transformación Fasorial Inversa. 3. . . FRECUENCIA COMPLEJA Ejemplos: Calcular i(t) si Vs=750 cos (5000t + 30) V. i1. . i2 e i3 si Is= 8 cos ( 200000t ) V. FRECUENCIA COMPLEJA Ejemplos: Calcular v. FRECUENCIA COMPLEJA Ejemplos: Encuentre el circuito equivalente de Thevenin . Si σ = ω = 0 . FRECUENCIA COMPLEJA Frecuencia compleja Función senoidal amortiguada exponencialmente 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑒 𝜎𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) σ es una cantidad real y negativa. entonces 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚cos(𝜔𝑡 + 𝜃) Voltaje sinusoidal . entonces 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos 𝜃 = 𝑉0 Voltaje constante CD Si σ = 0 . entonces 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑒 𝜎𝑡 cos𝜃 = 𝑉0𝑒 𝜎𝑡 Voltaje exponencial . Si ω = 0 . FRECUENCIA COMPLEJA Frecuencia compleja Función senoidal amortiguada exponencialmente 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑒 𝜎𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) σ es una cantidad real y negativa. Caso CD 𝑣 𝑡 = 𝑉0 𝑣 𝑡 = 𝑉0𝑒 (0)𝑡 La frecuencia compleja s de una fuente CD es s=0 Fasor V0 0° . FRECUENCIA COMPLEJA Frecuencia compleja 𝑓 𝑡 = 𝑲𝑒 𝒔𝑡 K y s son constantes complejas Se define la frecuencia compleja s como el factor que multiplica a t en una representación exponencial compleja. FRECUENCIA COMPLEJA Frecuencia compleja 𝑓 𝑡 = 𝑲𝑒 𝒔𝑡 K y s son constantes complejas Caso exponencial 𝑣 𝑡 = 𝑉0𝑒 σ𝑡 La frecuencia compleja s de una fuente exponencial es s=σ Fasor V0 0° . FRECUENCIA COMPLEJA Frecuencia compleja 𝑓 𝑡 = 𝑲𝑒 𝒔𝑡 K y s son constantes complejas Caso senoidal 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚cos(𝜔𝑡 + 𝜃) La frecuencia compleja s de una fuente senoidal es s = jω Fasor Vm θ° . FRECUENCIA COMPLEJA Frecuencia compleja 𝑓 𝑡 = 𝑲𝑒 𝒔𝑡 K y s son constantes complejas Caso senoidal amortiguado exponencialmente 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑒 𝜎𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) La frecuencia compleja s de una fuente senoidal amortiguada exponencialmente es s = σ + jω Fasor Vm θ° . FRECUENCIA COMPLEJA Frecuencia compleja 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 Parte real de s Parte imaginaria de s Frecuencia neperiana Frecuencia radian Nepers por segundo Radianes por segundo . Resistencia Inductor Capacitor 𝑽 𝑽 𝑽 𝟏 𝒁= =𝑹 𝒁 = = 𝒔𝑳 𝒁= = 𝑰 𝑰 𝑰 𝒔𝑪 . FRECUENCIA COMPLEJA Impedancia de los elementos pasivos del circuito con la frecuencia compleja. FRECUENCIA COMPLEJA Ejemplos: Calcular i(t) si 𝒗𝒔 = 𝟕𝟓𝟎𝒆−𝟐𝟓𝟎𝟎𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝟓𝟎𝟎𝟎𝒕 + 𝟑𝟎 𝑽 . FRECUENCIA COMPLEJA Respuesta natural y el plano s Función de transferencia Se define la función de transferencia H(s) de una red como el cociente de la respuesta Y(s) a la salida y la excitación a la entrada. suponiendo que todas las condiciones iniciales son nulas. H(s) . . hay cuatro posibles funciones de transferencia. Puesto que la entrada y la salida pueden ser la corriente o la tensión en cualquier lugar del circuito. FRECUENCIA COMPLEJA Respuesta natural y el plano s Función de transferencia La función de transferencia depende de lo que se define como entrada y salida. . FRECUENCIA COMPLEJA Respuesta natural y el plano s Función de transferencia La función de transferencia depende de lo que se define como entrada y salida. hay cuatro posibles funciones de transferencia. Puesto que la entrada y la salida pueden ser la corriente o la tensión en cualquier lugar del circuito. se denominan polos de H(s). ─z2. FRECUENCIA COMPLEJA Respuesta natural y el plano s Función de transferencia La función de transferencia debe expresarme como un cociente de dos polinomios factorizados: H(s) Donde K es una constante. se denominan ceros de H(s). ─zn. ─pm. es decir ─z1. ─p2. son los valores de s para los que H(s) toma un valor infinitamente grande. • Las raíces del polinomio del denominador. es decir ─p1. . • Las raíces del polinomio del numerador. son los valores de s para los que H(s) se hace cero. FRECUENCIA COMPLEJA Respuesta natural y el plano s La respuesta natural del circuito se obtiene de los polos de la función de transferencia y va a tener la siguiente forma: H(s) Tensión 𝒗𝟎𝒏 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝒑𝟏𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝒑𝟐𝒕 + ⋯ + 𝑨𝒎𝒆−𝒑𝒎𝒕 Corriente 𝒊𝒏 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝒑𝟏𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝒑𝟐𝒕 + ⋯ + 𝑨𝒎𝒆−𝒑𝒎𝒕 . FRECUENCIA COMPLEJA Respuesta natural y el plano s La respuesta natural del circuito se obtiene de los polos de la función de transferencia y va a tener la siguiente forma: H(s) Tensión 𝒗𝒏 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝒑𝟏𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝒑𝟐𝒕 + ⋯ + 𝑨𝒎𝒆−𝒑𝒎𝒕 Corriente 𝒊𝟎𝒏 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝒑𝟏𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝒑𝟐𝒕 + ⋯ + 𝑨𝒎𝒆−𝒑𝒎𝒕 . FRECUENCIA COMPLEJA Ejemplos: Calcular i0n(t) .