Objetivos: Presentar los conceptos de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Estudiar el movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta y representarlo gráficamente. 01/04/2012 Roberto Gil Aguilar 1 * Aunque cada uno de estos aviones es bastante grande, a su distancia su movimiento puede ser analizado como partícula * La mecánica es una rama de las ciencias físicas que se ocupa del estado de reposo o movimiento de cuerpos sometidos a la acción de fuerzas. La ingeniería considera en su estudio a dos áreas de estudio a la estática y dinámica. La estática se ocupa del equilibrio de un cuerpo que está en reposo o que se mueve con velocidad constante. La dinámica, la cual se ocupa del movimiento acelerado de un cuerpo, se presentará en dos partes cinemática y cinética Cinemática.- Trata sólo los aspectos geométricos del movimiento. Cinética.- Analiza las fuerzas que provocan el movimiento. 01/04/2012 Roberto Gil Aguilar 2 Históricamente, los principios de dinámica se desarrollaron cuando fue posible medir el tiempo con precisión por Galileo Galilei (1564-1642). Fue uno de los primeros contribuyentes importantes a este campo. Su trabajo consistió en experimentos con péndulos y cuerpos en caída libre. Sin embargo, las aportaciones más significativas en dinámica las realizó Isaac Newton (1642-1727), quien se destacó por su formulación de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la gravitación universal. Poco después que se postularan estas leyes, Euler, D Alembert, Lagrange y otros desarrollaron técnicas importantes para su aplicación. 01/04/2012 Roberto Gil Aguilar 3 * * En la ingeniería hay muchas otro problemas; cuyas soluciones requieren la aplicación de los principios de la dinámica. Por lo común el diseño estructural de cualquier vehículo, ya sea un automóvil, o un avión, requiere considerar el movimiento al cual se somete. Esto también es cierto para muchos dispositivos mecánicos como motores eléctricos, bombas, herramientas móviles, manipuladores industriales y maquinaria. Además, las predicciones de los movimientos de los satélites artificiales, proyectiles y naves espaciales, están basados en la teoría de la dinámica. Conforme se presenten más avances tecnológicos, habrá incluso una mayor necesidad de saber como aplicar los principios de esta materia. 01/04/2012 Roberto Gil Aguilar 4 * Supongamos que un punto se mueve a lo largo de un camino, en un cierto instante se hallará en P. Esta posición se determina en el sistema de coordenadas por el vector de posición de P y se escribe: ��� ������ = ������ +������ +������ Trayectoria o x y z P 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 5 ��� ������ * La velocidad en un punto, por definición es la variación de posición por unidad de tiempo o y Z X Trayectoria P Q op r ÷ ÷ OQ r t r dt d lim r v 0 t op P A A = = ÷ A ÷ ÷ El desplazamiento Δ��� es independiente de la posición del origen de coordenadas, la Velocidad v P también lo será. k v j v i v v z y x P + + = 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 6 Δr * dt dv a P P = 01/04/2012 Roberto Gil Aguilar 7 Movimiento Rectilíneo 01/04/2012 7 Posición. La trayectoria rectilínea de una partícula se define por medio de un solo eje de coordenadas «s» , figura 12-1 a El origen O en la trayectoria es un punto fijo y a partir de él se utiliza la coordenada de posición «s» para especificar la ubicación de la partícula en cualquier instante dado. La posición es un vector tiene tanto dirección y magnitud. Desplazamiento. De la partícula se define como el cambio de su posición . Por ejemplo si la partícula se mueve de un punto a otro figura 12-1 b, el desplazamiento es ∆��� = ��� ′ −��� 01/04/2012 8 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 8 Velocidad. Si la partícula recorre una distancia Δs durante el intervalo de tiempo ∆���, su velocidad Promedio durante ese intervalo será ��� ������������ = ∆��� ∆��� Si tomamos valores de ∆��� cada vez más pequeños, la magnitud de ∆��� se Reduce cada vez más. Por tanto la velocidad instantánea es un vector definido como. ��� = lim ∆���→0 ∆��� ∆��� = …………………………… (1) Aceleración. Siempre que se conoce la velocidad de la partícula en dos puntos, su aceleración promedio durante el intervalo Δ��� se define como: ��� ������������. = ∆��� ∆��� La aceleración instantánea en el instante t es un vector que se determina Al tomar valores cada vez más pequeños de Δt y valores cada vez más Pequeños para de Δv ��� = lim ∆���→0 ∆��� ∆��� = …………………… (2) * * Conocida v(t) Cuando se da la velocidad en función del tiempo, puede hallarse la aceleración por derivación y la posición se obtiene por integración dt dv a(t) y dt dx ) t ( v = = dt ) t ( v x - x dt ) t ( v ds da cual Lo dt dx ) t ( v t t 0 t t x x 0 0 0 } } } = = = 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 9 La posición se halla, como antes, integrando la velocidad * dt ) t ( a v - v sea o dt ) t ( a dv da cual Lo a(t) dt dv t t 0 t t v v 0 0 0 } } } = = = 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 10 * Ahora se conoce la velocidad en función de la posición y podemos hallar ésta en función del tiempo integrando la ecuación * dx ) x ( a 2 v v sea o dx ) x ( a vdv entonces Integrando a(x) dx dv v dt dx dx dv dt dv x x 2 0 2 x x v v 0 0 0 } } } = ÷ = = = = 0 t t x x t - t dt v(x) dx da nos cual Lo ) x ( v dt dx 0 0 = = = } } 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 11 * Una vez conocida la velocidad en función del tiempo, podemos integrarla para obtener la posición en función del tiempo. De otra manera, se puede hallar la velocidad en función de la posición integrando la ecuación * 0 t t v v t - t dt a(v) dv da cual Lo ) v ( a dt dv 0 0 = = = } } 0 x x v v x - x dx a(v) dv v da cual Lo ) v ( a dx dv v dt dx dx dv dt dv 0 0 = = = = = } } 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 12 01/04/2012 Roberto Gil Aguilar 13 Análogamente, la integración da: * | | ) t - (t a 2 1 ) t - (t v dt ) t t ( a v x - x y ) t t ( a dt a v v 2 0 0 0 t t 0 0 0 0 t t 0 0 0 + = ÷ + = ÷ = = ÷ } } ) x - 2a(x v - v 0 2 0 2 = 01/04/2012 13 El automóvil de la figura se desplaza en línea recta de modo que durante un corto tiempo su velocidad está definido por ��� = (3��� 2 + 2���) pies/s, donde t está en segundos. Determine su posición y aceleración cuando t = 3 s. Cuando t = 0, s = 0. Solución Posición: Como la velocidad está en función del tiempo. ��� = ������ ������ = 3��� 2 +2��� ������ = 3��� 2 + 2��� ��� 0 ��� 0 ������ ��� 0 ��� = ��� 3 +��� 2 0 ��� ��� = ��� 3 +��� 2 Cuando t = 3s s = 36 pies Aceleración: ��� = ������ ������ = ��� ������ 3��� 2 +2��� = 6��� +2 Cuando t = 3s a = 20 pies/s 2 01/04/2012 Roberto Gil Aguilar 14 Ejemplo 01 Se dispara un pequeño proyectil verticalmente hacia abajo en un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Debido a la resistencia aerodinámica del fluido, el proyectil experimenta una desaceleración de ��� = −0.4��� 3 ���/���, donde v está en m/s. Determine la velocidad del proyectil y su posición 4 s después de su disparo. Velocidad.- la aceleración está en función de la velocidad ��� = ������ ������ = −0.4��� 3 ������ −0.4��� 3 = ������ ��� 0 ��� 60 1 −0.4 1 −2 1 ��� 2 60 ��� = ��� −0 ; 1 0.8 1 ��� 2 − 1 (60) 2 = ��� ��� = 1 (60) 2 + 0.8��� −1/2 ���/��� En este caso se toma la raíz positiva, puesto que el proyectil continuará moviéndose hacia abajo. Cuando t = 4 s v = 0.559 m/s Posición.- ��� = ������ ������ = 1 (60) 2 +0.8��� −1/2 ; ������ ��� 0 = 1 (60) 2 +0.8��� −1/2 ������ ��� 0 ��� = 2 0.8 1 (60) 2 +0.8��� 1/2 0 ��� = 1 40 1 (60) 2 + 0.8��� 1/2 − 1 60 ��� Cuando t = 4 s ; s = 4.43 m 01/04/2012 Roberto Gil Aguilar 15 * Ejemplo 02 3.- Un punto material se mueve a lo largo del eje y con una aceleración a(t)= 5 sen ωt m/s 2 siendo ω = 0.7 rad/s. En el instante inicial (t = 0), el punto se halla 2m por encima del origen moviéndose hacia abajo con una velocidad de 5 m/s. a). Determinar la velocidad y la posición del punto en función del tiempo b). Representar gráficamente la posición, la velocidad y la aceleración c). Determinar el desplazamiento δ del punto entre t = 0 s y t = 4 s. d). Determinar la distancia total recorrida por el punto entre t = 0 s y t = 4 s. SOLUCIÓN | | RTA t 7 . 0 t) (0.7 sen 0.7 5 - 5t - 2 y(t) : tiene se ahora Integrando 0. t cuando m/s 5 - v inicial condición la satisfaga que manera de n integració de constante la tomado ha se Donde RTA 1 - t) (0.7 cos 0.7 5 - 5 - v(t) Integrando t) (0.7 sen 5 a(t) dt dv a) ( ¸ ( ¸ ÷ = = = = = = 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 16 Aquí se ha representado la posición, velocidad y aceleración del punto. La aceleración es positiva durante los primeros 4 s y por tanto la pendiente de la gráfica de la velocidad también lo será positiva. La velocidad es negativa durante los primeros 1.8 s y durante este tiempo también será negativa la pendiente de la gráfica de la posición. Después de t = 1.8 s la velocidad es positiva así como también la pendiente de la gráfica de la posición. En t = 1.8 s la velocidad es nula; v(t) = dy/dt = 0 La posición pasa por su valor mínimo 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 17 * d).- La distancia recorrida entre t = 0 s y t = 4 s es mayor que el desplazamiento ya que el punto se ha movido primero por debajo del origen y después por encima de el. El lugar donde el punto invierte el sentido de su movimiento se halla determinado cuando dy/dt = 0 ( lo que es igual cuando v(t) = 0 ) RTA m 5.15 y(0) - y(4) y = = o | | | | | | RTA m 16.87 11.011 5.858 ) 809 . 1 ( y ) 4 ( y y(0) - y(1.809) s Entonces s 1.809 t da cual lo 0 1 - t) (0.7 cos 7 . 0 5 5 ) t ( v = + = ÷ + = = = ÷ ÷ = 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 18 Solución a) Como se da la aceleración en función de la posición * RTA x - 1 2 v(x) obtiene se Luego 0 x x cuando m/s 2 v v dadas s condicione las Utizando ) x x ( 2 2 v v da cual Lo dx x) 4 (- dx a(x) dv v integració por velocidad la Entonces v dx dv dt dx dx dv dt dv ) x ( a 2 0 0 2 0 2 2 0 2 = = = = = ÷ ÷ = ÷ = = = = = } } } 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 19 * dt 2 x - 1 dx forma la en escribir puede se Que (a) x 1 2 ) x ( v dt dx 2 2 = ÷ = = RTA ) 2 t 2 cos( 2 dt dx v(t) posición la de directa derivacón por bien o ) 2 t 2 cos( 2 ) 2 t 2 ( sen 1 2 x - 1 2 v(x) (a) ec. la en do sustituyen obtiene se tiempo del función en velocidad la de ecu. La RTA 2) - (2t sen 4 - x 4 - a(t) : n aceleració la se obteniendo 1s t cuando 0 x que manera de n integració de const. la tomado ha se Donde RTA 2) - (2t sen x(t) o const t 2 x sen tiene se ecuación esta Integrando 2 2 1 - ÷ = = ÷ = ÷ ÷ = = = = = = = + = 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 20 Representación gráfica de los resultados 2) - (2t sen x(t) = ) 2 t 2 cos( 2 dt dx v(t) ÷ = = 2) - (2t sen 4 - x 4 - a(t) = = 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 21 * m A v 2 1 k a g m 2 + µ ÷ = | | cuerpo) del regimen de velocidad de monbre el recibe valor Este m/s. 24.9 de constante un valor a tiende velocidad la y pequéño muy hace se l exponencia término el bola la cayendo ir al que (Obsérvese abajo hacia nte positivame miden se y e v donde RTA. 001614 . 0 e - 1 v sea O 0 y ) 81 . 9 ( lm ) v 01583 . 0 81 . 9 ln( 0.03166 1 - obtiene se y dx 0.01583v - 9.81 vdv integrar e reordenar puede se relación Esta dx dv v dt dx dx dv dt dv a(v) velocidad la de función en dada n viene aceleració la Como 2 / 1 y 0.03166 - 2 y o v 0 2 ( ( ¸ ( ¸ = = = ÷ ÷ = = = = } } solución Bibliografía INGENIERIA MECANICA DIMANICA William F. Riley Leroy D. Sturges 01/04/2012 ROBERTO GIL AGUILAR 22 * La mecánica es una rama de las ciencias físicas que se ocupa del estado de reposo o movimiento de cuerpos sometidos a la acción de fuerzas. La ingeniería considera en su estudio a dos áreas de estudio a la estática y dinámica. La estática se ocupa del equilibrio de un cuerpo que está en reposo o que se mueve con velocidad constante. La dinámica, la cual se ocupa del movimiento acelerado de un cuerpo, se presentará en dos partes cinemática y cinética Cinemática.- Trata sólo los aspectos geométricos del movimiento. Cinética.- Analiza las fuerzas que provocan el movimiento. Roberto Gil Aguilar 2 01/04/2012 Lagrange y otros desarrollaron técnicas importantes para su aplicación. las aportaciones más significativas en dinámica las realizó Isaac Newton (1642-1727).* Históricamente. Poco después que se postularan estas leyes. Sin embargo. quien se destacó por su formulación de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la gravitación universal. Su trabajo consistió en experimentos con péndulos y cuerpos en caída libre. D Alembert. Fue uno de los primeros contribuyentes importantes a este campo. Euler. los principios de dinámica se desarrollaron cuando fue posible medir el tiempo con precisión por Galileo Galilei (1564-1642). Roberto Gil Aguilar 3 01/04/2012 . habrá incluso una mayor necesidad de saber como aplicar los principios de esta materia. ya sea un automóvil. o un avión. Roberto Gil Aguilar 4 01/04/2012 . Esto también es cierto para muchos dispositivos mecánicos como motores eléctricos. las predicciones de los movimientos de los satélites artificiales. manipuladores industriales y maquinaria. Conforme se presenten más avances tecnológicos. Además. bombas. Por lo común el diseño estructural de cualquier vehículo. cuyas soluciones requieren la aplicación de los principios de la dinámica. proyectiles y naves espaciales.* En la ingeniería hay muchas otro problemas. requiere considerar el movimiento al cual se somete. herramientas móviles. están basados en la teoría de la dinámica. Esta posición se determina en el sistema de coordenadas por el vector de posición de P y se escribe: 𝑟𝑂𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 y ROBERTO GIL AGUILAR 5 01/04/2012 . en un cierto instante se hallará en P.* z Trayectoria P o x 𝑟𝑂𝑃 Supongamos que un punto se mueve a lo largo de un camino. la Velocidad vP vP vxi v y j vzk también lo será.Z Trayectoria P Δr Q rop rOQ o X * y La velocidad en un punto. * aP dv P dt ROBERTO GIL AGUILAR 6 01/04/2012 . por definición es la variación de posición por unidad de tiempo vP d r op dt t 0 lim t r El desplazamiento Δ𝑟 es independiente de la posición del origen de coordenadas. La trayectoria rectilínea de una partícula se define por medio de un solo eje de coordenadas «s» . el desplazamiento es Roberto Gil Aguilar ∆𝑠 = 𝑠 ′ − 𝑠 7 01/04/2012 . De la partícula se define como el cambio de su posición . Desplazamiento. La posición es un vector tiene tanto dirección y magnitud. Por ejemplo si la partícula se mueve de un punto a otro figura 12-1 b.Movimiento Rectilíneo Posición. figura 12-1 a El origen O en la trayectoria es un punto fijo y a partir de él se utiliza la coordenada de posición «s» para especificar la ubicación de la partícula en cualquier instante dado. la magnitud de ∆𝑠 se Reduce cada vez más. Si la partícula recorre una distancia Δs durante el intervalo de tiempo ∆𝑡.Velocidad. 𝑣 = lim ∆𝑠 ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑠 = …………………………… (1) Aceleración. Por tanto la velocidad instantánea es un vector definido como. Siempre que se conoce la velocidad de la partícula en dos puntos. = ∆𝑣 ∆𝑡 La aceleración instantánea en el instante t es un vector que se determina Al tomar valores cada vez más pequeños de Δt y valores cada vez más Pequeños para de Δv ∆𝑣 𝑎 = lim = …………………… (2) ∆𝑡→0 ∆𝑡 ROBERTO GIL AGUILAR 8 01/04/2012 . su velocidad Promedio durante ese intervalo será 𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∆𝑡 Si tomamos valores de ∆𝑡 cada vez más pequeños. su aceleración promedio durante el intervalo Δ𝑡 se define como: 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚. puede hallarse la aceleración por derivación y la posición se obtiene por integración v( t ) dx dt Lo cual da ds v( t )dt x0 t0 x t x .* v( t ) dx dt y a(t) dv dt * Conocida v(t) Cuando se da la velocidad en función del tiempo.x0 v( t ) dt t0 t ROBERTO GIL AGUILAR 9 01/04/2012 . v0 v0 v dv a ( t ) dt t0 t a ( t ) dt t0 t La posición se halla.* dv a(t) dt Lo cual da o sea v . como antes. integrando la velocidad ROBERTO GIL AGUILAR 10 01/04/2012 . * dv dv dx dv v a(x) dt dx dt dx Integrando entonces o sea 2 v2 v0 2 v0 v vdv a ( x ) dx x0 x a ( x ) dx x0 x * Ahora se conoce la velocidad en función de la posición y podemos hallar ésta en función del tiempo dx integrando la ecuación v( x ) dt Lo cual nos da x0 x dx v(x) dt t .t t0 t 0 ROBERTO GIL AGUILAR 11 01/04/2012 . t t0 t 0 * Una vez conocida la velocidad en función del tiempo. podemos integrarla para obtener la posición en función del tiempo. De otra manera.* dv a ( v) dt Lo cual da v0 v dv a(v) dt t .x 0 a(v) x 0 ROBERTO GIL AGUILAR 12 01/04/2012 . se puede hallar la velocidad en función de la posición integrando la ecuación dv dv dx dv v a ( v) dt dx dt dx Lo cual da v v v0 x dv dx x . t 0 ) Análogamente.v 0 2a(x .x 0 ) Roberto Gil Aguilar 13 01/04/2012 . la integración da: 2 v 2 .* v v0 t a dt a ( t t t0 0 t 0 ) y x .x0 v t0 a ( t t 0 ) dt 1 a (t .t 0 ) 2 2 v 0 (t . Cuando t = 0.Ejemplo 01 El automóvil de la figura se desplaza en línea recta de modo que durante un corto tiempo su velocidad está definido por 𝑣 = (3𝑡 2 + 2𝑡) pies/s. Determine su posición y aceleración cuando t = 3 s. Solución Posición: Como la velocidad está en función del tiempo. s = 0. donde t está en segundos. 𝑣 = 𝑠 0 𝑑𝑠 = 3𝑡 2 + 2𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑠 = 𝑠 Cuando t = 3s Aceleración: 𝑎 = Cuando t = 3s a = 20 pies/s2 Roberto Gil Aguilar 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑠 0 0 3𝑡 2 + 2𝑡 𝑑𝑡 𝑡 0 = 𝑡 3 + 𝑡 2 𝑠 = 𝑡 3 + 𝑡 2 s = 36 pies = 𝑑𝑡 3𝑡 2 + 2𝑡 = 6𝑡 + 2 𝑑 14 01/04/2012 . Cuando t = 4 s v = 0.8𝑡 (60)2 𝑚/𝑠 En este caso se toma la raíz positiva. donde v está en m/s.8 𝑣 2 = 𝑡 − 0 .43 m 15 01/04/2012 .8𝑡 −1/2 𝑑𝑡 1/2 0 1 1 = + 0.la aceleración está en función de la velocidad 𝑎 = 𝑑𝑣 = 3 60 −0.* Ejemplo 02 Se dispara un pequeño proyectil verticalmente hacia abajo en un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s..𝑣 = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑠 1 (60)2 + 0. Roberto Gil Aguilar 𝑡 1 0 (60)2 1/2 𝑡 + 0.8𝑡 40 (60)2 − 1 𝑚 60 s = 4.559 m/s Posición.4𝑣 1 1 1 𝑣 −0.8𝑡 0. Debido a la resistencia aerodinámica del fluido.4𝑣 3 𝑚/𝑠.8 (60)2 Cuando t = 4 s . puesto que el proyectil continuará moviéndose hacia abajo. el proyectil experimenta una desaceleración de 𝑎 = −0.4 −2 𝑣 2 60 𝑣 𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = −0. Determine la velocidad del proyectil y su posición 4 s después de su disparo.8𝑡 −1/2 . 𝑠 𝑑𝑠 0 = 2 1 𝑠 = + 0.. Velocidad.4𝑣 3 𝑑𝑡 0 1 1 0. −1/2 − 1 (60)2 = 𝑡 𝑣 = 1 + 0. el punto se halla 2m por encima del origen moviéndose hacia abajo con una velocidad de 5 m/s.Un punto material se mueve a lo largo del eje y con una aceleración a(t)= 5 sen ωt m/s2 siendo ω = 0. Representar gráficamente la posición. a). SOLUCIÓN a) dv a(t) 5 sen (0.5 m/s cuando t 0.5 la condición inicial v . la velocidad y la aceleración c). d). Determinar la velocidad y la posición del punto en función del tiempo b).3. Determinar el desplazamiento δ del punto entre t = 0 s y t = 4 s.7 rad/s.7 Donde se ha tomado la constante de integración de manera que satisfaga v(t) . En el instante inicial (t = 0).7 y(t) 2 .7 t) dt Integrando 5 cos (0.7 0 . Integrando ahora se tiene : 5 sen (0.5t - RTA ROBERTO GIL AGUILAR 16 01/04/2012 .1 RTA 0.7 t) t 0. Determinar la distancia total recorrida por el punto entre t = 0 s y t = 4 s.7 t) .. 8 s y durante este tiempo también será negativa la pendiente de la gráfica de la posición. En t = 1. v(t) = dy/dt = 0 La posición pasa por su valor mínimo ROBERTO GIL AGUILAR 17 01/04/2012 .Aquí se ha representado la posición. La velocidad es negativa durante los primeros 1. Después de t = 1. La aceleración es positiva durante los primeros 4 s y por tanto la pendiente de la gráfica de la velocidad también lo será positiva. velocidad y aceleración del punto.8 s la velocidad es positiva así como también la pendiente de la gráfica de la posición.8 s la velocidad es nula. La distancia recorrida entre t = 0 s y t = 4 s es mayor que el desplazamiento ya que el punto se ha movido primero por debajo del origen y después por encima de el.809 s Entonces v( t ) 5 s y(1.y(0) 5.* y y(4) .809) .809) 5.7 lo cual da t 1.87 m RTA ROBERTO GIL AGUILAR 18 01/04/2012 .15 m RTA d).7 t) ..011 16.858 11. El lugar donde el punto invierte el sentido de su movimiento se halla determinado cuando dy/dt = 0 ( lo que es igual cuando v(t) = 0 ) 5 cos (0.1 0 0.y(0) y( 4) y(1. x2 RTA ROBERTO GIL AGUILAR 19 01/04/2012 .* Solución a) Como se da la aceleración en función de la posición a (x) dv dv dx dv v dt dx dt dx Entonces la velocidad por integració v dv a(x) dx (.4 x) dx Lo cual da 2 v2 v0 2 2( x 2 x 0 ) 2 Utizando las condiciones dadas v v 0 2 m/s cuando x x 0 0 Luego se obtiene v(x) 2 1. x 2 2 1 sen 2 ( 2 t 2) 2 cos( 2 t 2) o bien por derivacón directa de la posición v(t) dx 2 cos( 2 t 2) dt RTA o x(t) sen (2t .4 sen (2t . (a) v(x) 2 1 .x 2 2 dt (a) Integrando esta ecuación se tiene sen -1 x 2 t const obteniendose la aceleración : a(t) .4 x .2) RTA La ecu.2) cuando t 1s RTA Donde se ha tomado la const. de la velocidad en función del tiempo se obtiene sustituyendo en la ec.* dx v( x ) 2 1 x 2 dt Que se puede escribir en la forma dx 1. de integración de manera que x 0 ROBERTO GIL AGUILAR 20 01/04/2012 . 4 x .2) v(t) dx 2 cos(2 t 2) dt a(t) .4 sen (2t .x(t) sen (2t .2) Representación gráfica de los resultados ROBERTO GIL AGUILAR 21 01/04/2012 . * m 1 a k v 2 A m g 2 solución Como la aceleración viene dada en función de la velocidad dv dv dx dv a(v) v dt dx dt dx Esta relación se puede reordenar e integrar v 0 9. Este valor recibe el monbre de velocidad de regimen del cuerpo) ROBERTO GIL AGUILAR 22 01/04/2012 . donde v e y se miden positivamente hacia abajo (Obsérvese que al ir cayendo la bola el término exponencial se hace muy pequéño y la velocidad tiende a un valor constante de 24.0.0.03166 1/ 2 - Bibliografía INGENIERIA MECANICA William F.03166 y v 0.e . Sturges DIMANICA O sea 1 .01583v vdv 2 dx o y y se obtiene 1 ln(9.81) y 0 0.81 0. Riley Leroy D.001614 RTA.9 m/s.81 .01583v 2 ) lm(9.