LAUREATE INTERNATIONAL UNIVERSITIESUNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI UNIDADE I – INTEGRAIS Referencial didático para o desenvolvimento da disciplina de Cálculo Integral Professora: Maricélia Soares. Curso: Engenharia de Produção SÃO PAULO 2014/2 Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu UNIDADE 1 – INTEGRAIS O Cálculo Diferencial e Integral foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. É o resultado de um trabalho coletivo, que envolveu muitos personagens, durante um longo período de tempo, mas, em particular, tem grande embasamento nas contribuições de Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes. O Cálculo auxilia em vários conceitos e definições na Matemática, Química, Física Clássica, Física Moderna, Economia, dentre outras áreas. O estudante de Cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da Matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O Cálculo tem inicialmente três "operaçõesbase", ou seja, possui áreas fundamentais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais. 2 1. Introdução A integral representa um dos conceitos mais importantes da Matemática. Ela segue duas linhas com interpretações distintas: trata-se de um procedimento inverso à diferenciação e é um método eficaz no cálculo de áreas sob uma curva. Inicialmente trataremos da integração indefinida, que consiste no processo inverso da derivação, e suas técnicas operatórias. Em seguida, veremos a integral definida – que é a integral propriamente dita – e sua relação com o problema de determinar a área de uma figura plana, depois o Teorema Fundamental do Cálculo, que é peça chave de todo Cálculo Diferencial e Integral, pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração. Finalmente, estenderemos o conceito de integral para funções contínuas por partes e abordaremos as integrais impróprias. 2. Integral Indefinida 2.1. Definição 1: Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f(x)), se, para todo x I, temos F´(x) = f(x). Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo I. Exemplos: a) F(x) = 1 x3 2 2 é uma primitiva da função f ( x ) = x2, pois F´(x) = 3x x f ( x ) . 3 3 b) As funções G(x) = 1 x3 3 4 , H(x) = ( x 3) também são primitivas da função f ( x ) = x2, pois G´(x) = H´(x) = 3 3 f (x) . c) A função F(x) = 1 sen (2 x ) c , onde c é uma constante, é primitiva da função f ( x ) cos(2 x ) . 2 d) A função F(x) = 1 1 é uma primitiva da função f(x) = 3 em qualquer intervalo que não contém a origem, 2 2x x pois, para todo x 0, temos F´(x) = f(x). 3 Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais de uma primitiva. Temos, então, os seguintes teoremas associados. 2.2. Teoremas Teorema 1: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função G(x) = F(x) + c também é primitiva de f(x). Demonstração: Como F(x) é primitiva de f(x), temos que F´(x) = f(x). Assim: G´(x) = (F(x) + c)´ = F´(x) + 0 = f(x), o que prova que G(x) é uma primitiva de f(x). Teorema 2: Se f´(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I. Demonstração: Sejam x, y I, x < y. Como f é derivável em I, f é contínua em [x, y] e derivável em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio, existe z (x, y), tal que: f ´(z) f ( y) f ( x ) . yx Como f´(z) = 0, vem que f(y) – f(x) = 0 ou f(y) = f(x). Sendo x e y dois pontos quaisquer de I, concluímos que f é constante em I. Teorema 3: Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante c tal que G(x) – F(x) = c, para todo x I. Demonstração: Se H(x) = G(x) e F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo I, temos F´(x) = G´(x) = f(x), para todo x I. Assim: H´(x) = G´(x) – F´(x) = f(x) – f(x) = 0, para todo x I. Pelo Teorema 2, existe uma constante c, tal que H(x) = c, para todo x I. Logo, para todo x I, temos G(x) – F(x) = c. Pelo Teorema 3, concluímos que, se F(x) é uma particular primitiva de f, então toda primitiva de f é da forma G(x) = F(x) + c, onde c é uma constante. Assim, o problema de determinar as primitivas de f se resuma em achar uma primitiva particular. Exemplo: Sabemos que [sen(x)]´= cos(x). Assim, F(x) = sen(x) é uma primitiva da fundação f(x) = cos(x) e toda primitiva de f(x) = cos(x) é da forma G(x) = sen(x) + c, para alguma constate c. 4 -1. 1. Propriedades da integral definida 5 . decorre que: (i) (ii) f(x)dx F(x) c F´(x ) f ( x ).2. f(x)dx representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando). 3. 0. o símbolo é chamado sinal de integração. 2. De acordo com esta notação. f(x) é função integrando e f(x) dx integrando. 2. a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por: f(x)dx F(x) c.4. Observamos que o valor da constante. A figura abaixo mostra uma família de primitivas da função integrando f(x) = x + 1. Definição 2: Se F(x) é uma primitiva de f(x). para a figura apresentada assumiu os valores c = -3. -2. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração.3. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. Da definição de integral indefinida. Sejam f e g: I . Então.5. e k um número real não nulo. funções contínuas em I. são válidas as seguintes propriedades operatórias: (i) k f(x)dx (ii) [f(x) g(x)]dx (iii) = k f(x)dx = f(x)dx g(x)dx [f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx Exemplos: x 3 3x 2 2x c 3 2 a) 2 2 (x 3x 1)dx x dx 3 xdx 2 dx b) x 3 5x 2 3 x2 3 2 dx ( x 5 3x )dx 5x c x2 2 x c) x (5 d) (5e x 4 dx 5x )dx 5 x dx 4 4 ln( x ) c x x ln(5) 3 cos x )dx 5 e x dx 3 cos( x )dx 5e x 3sen ( x ) c 1 2 2 e) ( x x )dx x dx x 2 dx x 3 2x x c 3 3 2. Tabela de Integrais Imediatas 6 . e u 6. cos ec(u ) cot g(u )du cos ec(u ) c 12. calcular a integral e. 8. du ln u c u u m 1 3. sec(u ) tg(u )du sec(u ) c 11.O processo de integração exige muita intuição. du du u `e c sec u 2 ( u )du cot g ( u ) c 2 ( u )du tg ( u ) c du arcsen ( u ) c 1 u2 du arctg( u ) c 2 du u 2 1 du 1 u 2 du u 1 2 arc sec(u ) c ln u u 2 1 c ln u u 2 1 c Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais. 1. cos(u )du sen (u ) c 4. Podemos obter uma tabela de integrais. 1 u 14. 13. chamadas imediatas. em seguida. u 15. 16. sen (u )du cos(u ) c 7. a partir das derivadas das funções elementares. du u c 2. derivar as respostas para conferir os resultados. podemos calcular a integral indefinida de algumas funções. Exemplos: x 3 1 x 4 c 3 1 4 a) 3 x dx b) cos( x )dx sen ( x ) c c) x 2 dx d) (3x 4) 2x c n 2 2 dx (9 x 2 24 x 16)dx 3x 3 12 x 2 16 x c 1 3 5 3 1 1 (1 x ) 2 1 2x x 2 4 2 4 2 dx dx ( x 2 2 x 2 x 2 )dx 2x 2 + x 2 x 2 c 2 x x x x 2 x c e) 1 3 5 3 5 x x2 Exercícios de Fixação Nos exercícios de 1 a 10. 7 . pois conhecendo apenas a derivada de uma dada função nós queremos descobrir a função. 9. m u a c ln a a u 5. u du c (m é constante -1) m 1 cos ec 10. 11) 12) x2 x 2 1 dx 19) x2 1 x 2 dx 20) sen ( x ) dx 13) cos 2 ( x ) t x t 3 t 4 t 5 t dt 1 3 21) 2 22) sec t 5 dx x 2 2e t dt x (cos 3 x 1)dx 14) 9 dx 1 x2 23) x2 1 x 2 1 dx 15) 4 dx x x2 24) 16) 8x 4 9 x 3 6 x 2 2 x 1 dx x2 25) 17) et 2 26) x ln x 2 27) (x . que satisfaça F(1) = 1. x2 8 . 2 1 1 .dx 1) x 2) 3) (ax 3 9t 2 bx 3 3c)dx 4 1 4) 5) (2x 1 dt t3 x 2 x x 3 sen 7) 2y 8) 3t 2 9) x dx 3) 2 dx dx 2 (x) 6) 10) 1 dy 2 y 2dt 3 3 x dx x 5 2x 2 1 dx x4 Nos exercícios de 11 a 27. que se anule no ponto x = 2.1) ( x 1) 2 dx 18) 4 1 t dt t cos tgd 28) Encontrar uma primitiva F. da função f(x) = 29) Determinar a função f(x) tal que 2 3 x x f (x )dx x 30) Encontrar uma primitiva da função f ( x ) 2 3 1 8( t 2) 6 t 2 e t 4 16t ln(x ) 2 3 dt 3 dt t3 dx . 1 cos(2 x ) c . calcular as integrais indefinidas. 31) Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade 1 f (x )dx sen ( x ) x cos(x ) 2 x 2 .(3x 1) dx 2 5 d) x dx e) Resposta: Resposta: x3 3x 2 c 3 2 3x 4 4 x 3 x 2 c 4 3 2 Resposta: 5 ln | x | c 6 dx x Resposta: x3 6 ln | x | c 3 f) (sen( x ) cos( x))dx Resposta: cos( x ) sen( x) c x2 1 x 2 5 x dx 3 x g) h) i) 3 Resposta: x dx x 2 dx 2 1 x 1 Resposta: 3 4 x4 / 3 1 2x2 x3 5 x 2 c 3 2 c Resposta: arctg ( x) x3 c 3 j) 2e x dx k) (sen( x) 5e x )dx Resposta: 2e x c Resposta: cos( x) 5e x l) 2 x dx Resposta: m) (3 x 4 5 x 2 n) x 1 x dx 3x 4 p) x 2 dx q) x3 dx r) 2 x3 dx x 2 1 1 s) 3 1 x 2 dx dx 2x c ln(2) Resposta: Resposta: 2 o) x) dx c 3 5 5 3 1 2 x x x c 5 3 2 2 x3 / 2 2 x1 / 2 c 3 Resposta: 3x 4 c x 1 c x 1 c Resposta: 2x2 1 c Resposta: 4x2 3 Resposta: x5 / 3 c 5 Resposta: 9 . determinar f 32) Encontrar uma função f tal que f ´(x ) sen ( x ) 0 e f(0) = 2. obtenha as integrais indefinidas. 4 c . 4 Resposta: x c a) 2 x3dx 2 b) ( x 2 3 x ) dx c) ( x x ). 33) Utilizando a tabela de integrais. Esse processo é análogo à Regra da Cadeia para derivação e pode ser justificado como segue. Métodos ou Técnicas de Integração 3. Método de Integração por Substituição ou Mudança de Variável Algumas vezes.1. é possível determinar a integral de uma dada função aplicando uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável. 10 . Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F´(x) = f(x).3. (1) Fazendo u = g(x). temos: [ F(g ( x ))]´ F´(g ( x )) g´(x ) f (g ( x )) g´(x ) . devemos então definir uma função u = g(x) conveniente. vamos resolver alguns exemplos. Primeiramente fazemos a mudança de variável. Temos. de forma conveniente: u x 3 1 . apesar de haver outras formas possíveis de resolução. então: f (g ( x )) g´(x )dx F(g( x )) c . vem: f (g( x )) g´(x )dx f (u )du F(u ) c.Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Para melhor ilustrar. de tal forma que a integral obtida seja mais simples. Na prática. Pela Regra da Cadeia. F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) g´(x). Consequentemente: du 3x 2 dx Assim temos: dx du2 3x x2 x 2 du 1 du 1 1 3 dx x3 1 u 3x 2 3 u 3 ln(u ) c 3 ln(x 1) c 11 . isto é. Podemos considerar a função composta Fg. du = g´(x) dx e substituindo (1). Exemplos: a) cos( x 2 ) xdx Primeiramente fazemos a mudança de variável: u x 2 Consequentemente: du 2 x dx Assim temos: b) xe x2 cos( x 2 dx ) xdx cos( u ) x du 2x du du 1 1 1 cos(u ) cos( u )du sen (u ) c sen ( x 2 ) c 2x 2 2 2 2 dx Primeiramente fazemos a mudança de variável: u x 2 Consequentemente: du 2 x dx Assim temos: c) xe x2 dx xe u dx du 2x du du 1 u 1 1 2 e u e du e u c e x c 2x 2 2 2 2 x2 x 3 1 dx Vamos resolver esta integral pelo método da substituição. ( x 3 3)10 dx 2 7 2 4) dx p) 1 dx 2x 2x x2 3 x2 x3 1 dx dx 12 . 2 dx 2du x x dx sen u 2du 2 sen u du 2 cos(u ) c 2 cos c 2 2 sen Exercícios de Fixação 01. de forma conveniente: u Consequentemente: du Assim temos: 1 dx 2 x .( x 3) dx 2 2 5) 8 dx n) o) .d) x dx 2 sen Primeiramente fazemos a mudança de variável.( x d) 2 2 x. Resolver as seguintes integrais usando o método da substituição: a) x.( x b) x c) x. utilizando o método da substituição: 1 a) 4 3x dx b) 5 x dx 1 c) e 2 x dx e) esen( x ) cos( x) dx f) x 1 g) 1 ln( x) dx x 3 1 ln | 4 3x | c 3 Resposta: ln | 5 x | c 1 2x e c 2 1 Resposta: e 2 x 3 c 2 Resposta: d) e 2 x 3dx x2 Resposta: dx Resposta: esen( x) c Resposta: Resposta: 1/ 2 2 3 x 1 c 3 2 (1 ln( x ))3 / 2 c 3 13 .( x 3 2 x 1) 4 dx 1 2x dx 2 1 02. (2 x 7) dx e) f) ( x 3) 2 dx g) x 3 x 4 5 dx x q) 3 r) x 5 2 dx 2 dx x2 3 h) (x 2x dx 3) 3 s) (x i) 3x 2 (x 3 3) 2 dx t) (3x u) x dx v) x x) 3x 2 2 x 3 dx y) ex 1 e x dx z) 3x 2 2 x x 3 x 2 1 dx j) (x 3 4 x dx 3) 2 2x 3 dx 2 3x ) 3 (x k) l) 2 x2 ( x 3 1) 4 dx m) 1 ( x 1) 1 2 dx 2 2x 1 dx x 3) 2 2 2). Calcule as integrais. 14 . Temos: [f(x) g(x)]´ = f(x) g´(x) + g(x) f´(x) ou f(x) g´(x) = [f(x) g(x)]´ g(x) f´(x).2. A parte chamada dv deve ser algo que possamos integrar e a parte chamada u deve ser usualmente algo que é simplificado por derivação. que é um produto entre um polinômio por uma função trigonométrica. tais como f(x) = xcos(x). conforme segue. A técnica de integração por partes é oriunda da regra do produto para derivação. Método de Integração por Partes O método de integração por partes se aplica particularmente bem aos produtos de diferentes tipos de funções. a diferencial dada deve ser pensada como um produto udv. Ao utilizar este método. Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I.h) (3 x 2 i) 1) 3 dx 4x 2 x 2 3 dx j) x 2 1 k) 5 l) 2 2 x dx 4 x (1 2 x 2 )2 dx x2 1 Resposta: 3 3 (3x 1)5 c 5 2 2 Resposta: ( x x) c 2 Resposta: Resposta: 3 ( x 2) 3/ 2 1 3/ 2 (1 2 x 2 ) Resposta: dx s) ( x3 3)3x 2 dx 2 5 x 1 3 / 2 c 3 1 Resposta: 2 x 1 3 / 2 c 3 1) 210 x dx x ln(2 x 2 3) c Resposta: x) dx x 3 2 dx q) (5 x 2 r) 2 x 1 dx o) 3x 2 2 Resposta: x 1 c 5 x 1 dx n) (2 x 1)( x 2 4 1 3x2 1 c 24 Resposta: m) 3(3 x 1) 4 dx p) Resposta: Resposta: c c (5 x 2 1)3 c 3 x2 1 c 3 2 Resposta: ( x 3) c 2 3. escolhemos u = x e dv = e 2 x dx . vem: u dv u v v du Vejamos alguns exemplos. obtemos: 15 . costumamos fazer: u = f(x) du = f´(x) dx e v = g(x) dv = g´(x) dx. Todas elas podem ser representadas por uma única constante c.Integrando ambos os lados dessa equação. Exemplos: a) x e 2 x dx Antes de resolver essa integral. Temos: u=x dv = e 2 x dx Aplicamos a fórmula da integração por partes du = dx v= e 2 x dx 1 2 x e 2 u dv u v v du . Na prática. já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. obtemos: f ( x ) g´(x )dx [f ( x ) g( x )]´dx g( x ) f ´(x )dx ou ainda. Substituindo em (1). que introduziremos no final do processo. Nesse exemplo. f ( x ) g´(x )dx f ( x ) g( x ) g( x ) f ´(x )dx (1) Observamos que na expressão (1) deixamos de escrever a constante de integração. queremos salientar que a escolha de u e dv são feitas convenientemente. x e 2 x 1 1 dx x e 2 x e 2 x dx 2 2 Calculando a última integral. vem: x e 2 x dx 1 2 x 1 2 x xe e c 2 4 Observamos que. b) x cos( x ) dx Temos que: u=x du = dx dv = cos( x )dx v= cos( x )dx sen ( x ) Aplicamos a fórmula da integração por partes u dv u v v du . obtemos: x2 x2 1 x2 x x2 x2 1 1 dx ln(x ) dx ln( x ) c x 2 ln(x ) c 2 2 x 2 2 2 4 2 2 d) (3x 7) cos( x ) dx 16 . obtemos: x cos( x ) dx x sen ( x ) sen( x )dx x sen ( x ) cos( x ) c c) x ln( x ) dx Temos que: u = ln(x) du = dv = xdx v= Aplicamos a fórmula da integração por partes x ln(x ) dx ln(x ) 1 dx x x dx x2 2 u dv u v v du . se tivéssemos escolhido u = e 2 x e dv = x dx. o processo nos levaria a uma integral mais complicada. Temos que: u = x2 du = 2x dx dv = sen(x) dx v= Aplicamos a fórmula da integração por partes x 2 sen(x) dx cos( x ) u dv u v v du . obtemos: dx ( 2 x 1) e x 2e x dx ( 2 x 1) e x 2e x e x ( 2 x 3) c 2 f) x sen ( x ) dx Neste exemplo. Fazemos: u=x du = dx dv = cos(x) dx v= cos(x) dx sen ( x ) 17 . obtemos: (3x 7) cos( x ) dx (3x 7) sen ( x ) 3 sen ( x )dx (3x 7) sen ( x ) 3 cos( x ) c x e) (2 x 1) e dx Temos que: u = 2x – 1 du = 2 dx dv = ex dx v= Aplicamos a fórmula da integração por partes (2x 1) e x e x dx e x u dv u v v du . vamos aplicar o método duas vezes. obtemos: sen ( x ) dx x 2 cos( x ) cos( x ) 2 xdx x 2 cos( x ) 2 x cos( x )dx A integral x cos( x ) dx deve ser resolvida também por partes.Temos que: u = 3x + 7 du = 3 dx dv = cos(x) dx v= Aplicamos a fórmula da integração por partes cos( x ) dx sen ( x ) u dv u v v du . Curiosidade Ao utilizarmos o método de integração por partes em uma integral do tipo f ( x ) g( x )dx . obtemos: 2 sen ( x ) dx x 2 cos( x ) 2 x sen ( x ) sen ( x )dx 2 sen ( x ) dx x 2 cos( x ) 2 x sen ( x ) 2 cos( x ) c 2 sen ( x ) dx 2 x sen ( x ) ( x 2 2) cos( x ) c 3. a qual descreveremos abaixo.1.Aplicamos a fórmula da integração por partes x x x u dv u v v du novamente.2. Cálculo da Integral de ln(x) Seja a integral ln( x )dx . Pelo método de Integração por Partes. sempre devemos escolher quem será a função u entre as funções f(x) e g(x) do integrando acima. obtemos: 1 ln(x ) dx ln(x ) x x x dx ln(x ) x dx ln(x ) x x c x (ln(x ) 1) c 3.2. Surge então a pergunta: "Como fazer esta escolha?" Uma sugestão que funciona bem na maioria das vezes é escolher as funções u e dv através do acróstico LIATE que foi publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revista American Mathematical Monthly. temos: u = ln(x) du = dv = dx v= Fazendo as devidas substituições em 1 dx x dx x u dv u v v du . Considere o acróstico com as funções elementares abaixo: Logarítmicas Inversas de Algébricas Trigonométricas Trigonométricas Exponenciais 18 .2. c) Na integral x arcsen ( x ) dx . Procure exercícios de integração por partes e verifique a validade deste acróstico. pois I precede A no acróstico acima. escolhemos u = arcsen(x) (inversa trigonométrica) e dv = x dx (algébrica). b) Na integral x 2 ln( x ) dx . Vejamos alguns exemplos: a) Na integral x cos( x ) dx . escolhemos u = ln(x) (logarítmica) e dv = x2 dx (algébrica). A precede T. Exercícios de Fixação 01. pois no acróstico acima. Resolver as seguintes integrais usando a técnica da integração por partes: a) x sen (5x )dx b) ln(1 x )dx c) t e d) ( x 1) cos(2x )dx e) x ln(3x )dx f) cos g) e h) i) cosec j) x 4t 3 dt xdx cos x x dx 2 x ln(x )dx 2 3 xdx cos (ax )dx 19 . pois L precede A no acróstico acima. escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E.As letras do acróstico LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções e a estratégia que deve ser adotada é a de escolher como função u. a função cuja letra inicial está mais próxima de L e para formar a diferencial dv. escolhemos u = x (algébrica) e dv = cos(x) dx (trigonométrica). e x dx i) x. cos x sen x c c) x. nx x. e Resposta: e x .sen 5x c 5 25 2.sen x 2 cos x 2 ) c 2 Resposta: x 2 cos x 2 x. sen x . n x c 3 3 Resposta: 1 x .sen 3 x Resposta: cos 2 x. x . sen x dx x2 1 .k) x cosec l) arc cotg(2x )dx 2 ( x )dx m) e n) ln (ax b) sen bx dx ax ax b dx o) x 3 1 x 2 dx 02.tg x n cos x c Resposta: Resposta: 1 2X 1 e .sen 5x dx n) cos o) Resposta: 3 x dx x .n x x 2 c 2 4 Resposta: x. sec j) x. e x dx Resposta: e x . cos x dx Resposta: x. x c 3 9 Resposta: 20 . utilizando o método de integração por partes: b) x.( x 2 2x 2) c . cos 5x . sen x c 3 2 4 Resposta: x.( x 1) c a) x. cos x sen x c d) x.e k) x l) x 3 2 2 2x x dx dx cos x 2 dx sen x dx m) x. nx dx x3 1 . x c 2 2 1 2 ( x . nx dx e) x 2 f) x 2 g) x dx . nx dx Resposta: sen 2 x dx h) x. cos x c x 1 . senx 2. Calcule as integrais. cos x c 2 2 Resposta: ( x 1).e x c Resposta: x. irredutíveis.3. como um produto de fatores lineares reais. Fatores Lineares Algumas integrais. Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio e de uma fração racional própria. Neste caso. Um polinômio em x é uma função da forma: a0xn + a1xn-1 + . cujo integrando consiste numa fração racional. Método de Integração por Frações Parciais 3. de modo que a integração seja. onde os coeficientes são constantes. caso contrário. q(x ) onde p(x) e q(x) são polinômios reais com q 0. ou mesmo diretamente. da forma ax + b e fatores de segundo grau. mais simples. é chamada de fração racional. Sendo assim. Todo polinômio de coeficientes reais pode ser expresso. Se o grau de f(x) g( x ) for menor que o grau de g(x). A decomposição é feita a partir da fatoração do polinômio q(x) que aparece no denominador. se dois polinômios do mesmo grau são iguais. são facilmente integráveis por substituição ou por partes. necessariamente. associando a cada fator linear ou quadrático irredutível uma ou mais frações parciais.. a 0 0 e n é um inteiro positivo que também pode ser nulo. uma função do tipo f ( x ) p( x ) . pelo menos teoricamente. podemos decompor a fração que define o integrando em frações parciais. F(x) é uma fração racional própria. da forma ax2 + bx + c..3. ou seja.3. qualquer que seja o valor atribuído à variável nos dois polinômios são iguais. + an-1x + an. Por exemplo: 21 . O método consiste em reescrever a fração do integrando numa soma de outras frações mais simples. Mas isso nem sempre ocorre e o integrando pode não ser facilmente calculado ou mesmo impossível por estes métodos.1. onde f(x) e g(x) são polinômios. Uma função F( x ) f (x) . F(x) é denominada imprópria. Podemos ter quatro casos distintos. onde n Z. dispomos de dois métodos: Método Geral: Observando em (2) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da AB0 . corresponde a uma fração parcial da forma A . Fazemos 1 A B x 4 x2 x2 2 (1) Temos então que: 1 = A(x + 2) + B(x – 2) 1 = Ax + 2A + Bx – 2B 1 = x(A + B) + (2A – 2B) (2) Agora. 4 4 22 . pelo menos teoricamente. 4 2 Primeiramente. Para isso. vamos determinar as constantes A e B. Caso 1: Fatores Lineares Distintos A cada fator linear da forma ax + b que aparece uma vez no denominador de uma fração racional própria. obtemos: A = 1 1 eB= . dependendo de como os denominadores se apresentam. onde A é uma constante a determinar. ax b Exemplos: a) Calcular a integral x dx . 2 A 2B 1 igualdade.x3 x x 2 2 x 1 x 1 Toda fração racional própria pode ser expressa. fatoramos o denominador: x 2 4 ( x 2) ( x 2) . cujos denominadores são da forma: (ax b) n e (ax 2 bx c) n . Vejamos cada caso individualmente. podemos montar um sistema de equações: Resolvendo o sistema. como uma soma de frações mais simples: frações parciais. Agora. obtendo: Para x = 0: 1 = -6A A = 1 6 23 . vamos determinar as constantes. vamos observar os denominadores das frações parciais. substituímos estes valores em (2). x 2 6x Primeiramente. obtemos: A = 6A 1 1 3 2 . Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0. obtendo: Para x = 2: 1 = 4A + 0 A = 1 4 Para x = -2: 1 = 0 – 4B B = 1 4 Veja que são os mesmos valores encontrados no método geral. podemos montar um sistema de equações: A 3B 2C 1 . 6 10 15 Método Abreviado: Na igualdade (1). temos: b) Calcular a integral x 3 x dx 1 x 2 ln c. substituímos estes valores em (2). Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 2 e x = -2. vamos reescrever a integral como: dx 2 x 4 x 1 1 4 4 dx 1 x2 x 2 4 dx 1 dx x2 4x2 dx 1 1 ln( x 2) ln( x 2) c 4 4 4 2 Pelas propriedades dos logaritmos. 4 4 x 2 2 x 1 dx . fatoramos o denominador: x 3 x 2 6 x x ( x 2) ( x 3) .B= eC= . que aparecem no segundo membro.Método Abreviado: Na igualdade (1). Para isso. Fazemos x 1 A B C 2 x x 6x x x 2 x 3 3 (1) Temos então que: x + 1 = A(x – 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x – 2) (2) x + 1 = (A + B + C)x2 + (A + 3B – 2C)x – 6A (3) Agora. dispomos de dois métodos: Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da ABC0 igualdade. vamos observar os denominadores das frações parciais. Assim. que aparecem no segundo membro. Assim. Resolvendo o sistema. x = 2 e x = –3. . Para isso. Veja que o fator que se repete é (x – 1). Exemplos: a) Calcular a integral x 3 3x 5 dx . . fatoramos o denominador: x 3 x 2 x 1 ( x 1) ( x 1) 2 . fazemos: 3x 5 A B C (1) 2 x x x 1 x 1 x 1 ( x 1) 2 3 Temos então que: 3x + 5 = A(x – 1)2 + B(x + 1)(x – 1) + C(x + 1) (2) 3x + 5 = (A + B)x2 + (C – 2B)x + (A – B + C) (3) Agora. temos: (x x 1 dx ln 3 x x 2 6x 1 x6 (x 3 10 2) 2 15 3) c. vamos reescrever a integral como: x 1 dx x 3 x 2 6x x 3 x 3 1 3 2 6 10 15 dx x x 2 x 3 x 1 1 dx 2 6 x 6x dx 3 x 10 dx 2 dx x 2 15 x 3 x 1 1 3 2 dx ln( x ) ln(x 2) ln( x 3) c 2 6 10 15 x 6x Pelas propriedades dos logaritmos. pois (x – 1) 2 = (x – 1)(x – 1).. x2 x 1 Primeiramente.. An são 2 ax b (ax b) (ax b) n constantes a determinar. dispomos de dois métodos: 24 . . vamos determinar as constantes. Agora. Como aparece duas vezes..Para x = 2: 2 + 1 = 10B B = 3 10 Para x = -3: -3 + 1 = 15C C = 2 15 Veja que são os mesmos valores encontrados no método geral. A2. Caso 2: Fatores Lineares Repetidos A cada fator linear da forma ax + b que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria. corresponde a uma soma de n frações parciais da forma A1 A2 An . onde A1.. vamos reescrever a integral como: 3x 5 dx 3 x x2 x 1 x 3 x 3 1 1 4 2 2 x 1 x 1 ( x 1) 2 3x 5 1 dx 2 2 x x 1 dx 1 dx dx dx x 1 2 x 1 4 (x 1) 2 3x 5 1 1 4 dx ln(x 1) ln(x 1) c 2 2 2 x 1 x x 1 Pelas propriedades dos logaritmos: x 3 3x 5 4 1 x 1 dx ln c 2 x 1 2 x 1 x x 1 b) Calcular a integral x 4 x 3 3x 2 2 x 2 dx .B= e C = 4. x 3 x 2 2x Veja que neste caso. Agora.Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da AB0 igualdade. Vamos supor x = 0: 5 = A– B + C 5= 1 B+4 2 B= 1 2 Veja que são os mesmos valores encontrados no método geral. Assim. substituímos estes valores em (2). Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = –1 e x = 1. 25 . vamos observar os denominadores das frações parciais. obtendo: Para x = -1: 2 = 4A A = 1 2 Para x = 1: 8 = 2C C = 4 Ainda falta determinar a constante B. podemos montar um sistema de equações: B C 3 . ABC5 Resolvendo o sistema. atribuímos qualquer valor para x e substituímos os valores já determinados para A e C. Para isso. obtemos: A = 1 1 . o integrante é uma fração em que o numerador tem grau maior do que o denominador. que aparecem no segundo membro. 2 2 Método Abreviado: Na igualdade (1). substituímos estes valores em (2). vamos reescrever a integral como: x 4 x 3 3x 2 2 x 2 1 3 1 dx ( x 2)dx dx 3 2 x x 1 x 2 x x 2x x 4 x 3 3x 2 2 x 2 dx ( x 2)dx x 3 x 2 2x x 4 x 3 3x 2 2x 2 x2 dx 2 x ln( x ) ln( x 1) 3 ln( x 2) c 2 x 3 x 2 2x dx x dx dx x 1 3 x 2 Pelas propriedades dos logaritmos: ( x 2) 3 x 4 x 3 3x 2 2 x 2 x2 dx 2 x ln c 2 x 3 x 2 2x x ( x 1) 26 . vamos observar os denominadores das frações parciais. que aparecem no segundo membro. x = 1 e x = –2. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0. Fazemos a divisão: x 2 6x 2 x 4 x 3 3x 2 2 x 2 3 ( x 2 ) x x 2 2x x 3 x 2 2x x 4 x 3 3x 2 2x 2 x 2 6x 2 ( x 2 ) x ( x 1) ( x 2) x 3 x 2 2x Fazemos: x 2 6x 2 A B C (1) x ( x 1) ( x 2) x x 1 x 2 Temos então que: x 2 6x 2 A ( x 1) ( x 2) B x ( x 2) C x ( x 1) (2) Método Abreviado: Na igualdade (1). Assim. obtendo: Para x = 0: 2 = -2A A = -1 Para x = 1: -3 = 3B B = -1 Para x = -2: 18 = 6C C=3 Agora. 3.3. vimos a técnica para integrar quando o integrante é uma fração racional e o denominador é um fator linear. corresponde a uma fração parcial da forma Ax B . 3 1 x Primeiramente.3. Vamos ver agora como proceder se o denominador da fração racional do integrante é um fator quadrático irredutível. Exemplo: a) Calcular a integral x2 dx . 27 . onde A e B são constantes a ax bx c 2 determinar. Fatores Quadráticos Irredutíveis No item 3.2.1 sobre Integração por Frações Parciais. fatoramos o denominador: x 3 1 ( x 1) ( x 2 x 1) . Caso 3: Fatores Distintos do Segundo Grau A cada fator do segundo grau irredutível da forma ax2 + bx + c que aparece uma vez no denominador de uma fração raciona própria. vamos reescrever a integral como: x2 1 1 dx 2 dx 3 1 x 1 x x 1 x x2 dx 3 1 x dx x 1 x 2 dx x 1 1 Completando quadrado. vamos determinar as constantes. então: du 2 2u A integral: 1 3 u 4 du 2 2arctg 3 c . temos que: x x 1 x 2 2 2 3 . 4 Assim: x2 dx ln( x 1) 3 1 x 1 1 x 2 2 3 4 dx Fazemos integração por substituição. Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos A B 1 os membros da igualdade. Agora. Fazemos: x2 2 A Bx C (1) 2 3 x 1 x 1 x x 1 Temos então que: x 2 2 A( x 2 x 1) ( Bx C)( x 1) (2) x 2 2 (A B) x 2 ( A B C) x ( A C) (3) Agora. concluímos: 3 2u x2 dx ln( x 1) x3 1 2arctg 3 c 3 Retornando à variável x: 28 . B = 0 e C = –1. para o denominador do integrando. AC2 Resolvendo o sistema. obtemos: A = 1. podemos montar um sistema de equações A B C 0 . Dessa forma. onde: u x x2 dx ln( x 1) 3 1 x 1 3 u 4 1 2 du dx . B = 1. fatoramos o denominador. onde A1... Como aparece duas vezes. C = –1 e D = –1. obtemos: A = 0. Bn são constantes a determinar. Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos A0 2A B 1 os membros da igualdade. A2.. An e B1. vamos determinar as constantes.. podemos montar um sistema de equações: 3A 2B C 1 3B D 2 ... Agora. vamos reescrever a integral como: x2 x 2 x 2 2x 3 2 dx x 2 dx 2x 3 x ( x 1) 2 2x 3 2 dx 29 . B2.. fazemos: x2 x 2 x 2 2x 3 2 Ax B Cx D 2 x 2x 3 ( x 2x 3) 2 (1) 2 Temos então que: x 2 2 x 3 (Ax B)( x 2 2 x 3) Cx D (2) x 2 2 x 3 Ax 3 (2A B) x 2 (3A 2B C) x (3B D) (3) Agora. Veja que o fator que se repete é o x 2 2x 3 . ax 2 bx c n . corresponde a uma soma de n frações parciais da forma: A 1 x B1 2 ax bx c A 2 x B2 ax 2 bx c 2 A n x Bn . 2x 1 x2 2 c dx ln( x 1) arctg 3 1 3 3 x Caso 4: Fatores Repetidos do Segundo Grau A cada fator do segundo grau irredutível da forma ax2 + bx + c que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria. . .. Exemplo a) Calcular a integral x2 x 2 x 2 2x 3 2 dx . Primeiramente. Resolvendo o sistema. aplicamos o método de integração por substituição. para resolver as duas integrais.Para a primeira integral. Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por frações parciais: a) b) c) d) e) x 1 dx 3 x x 2 2x k) x 3 3x 1 dx x 4 4x 2 l) 2x 3 dx x2 x m) x 1 dx 3 x x 2 4x 4 n) 2x 3. encontrando: x x2 x 2 2 2x 3 2 dx x 1 2 1 arctg c 2 2 2( x 2 x 3) 2 Exercícios de Fixação 01. completamos quadrado e. x 1 2 x 4 10 x 2 3x 1 dx x2 4 o) 3x 1 dx ( x 2 4) 2 6x 2 2x 1 dx 4x 3 x x 3 1 dx 3x 2 1 x x 1 2 2 dx x 2 3x 7 dx 30 . 4. pode ser transformado numa integral trigonométrica mais familiar. Integração por Substituição Trigonométrica Há meios diferentes para integrar uma função e para cada integral. Para os três casos acima. Somente resolvendo diversos exemplos para podermos nos familiarizar com cada um desses métodos. devemos identificar qual o melhor dos métodos a aplicar. utilizamos as identidades trigonométricas: 31 .f) x g) h) x 1 3 x 2 2x x3 1 x 2 x 2 x 2 3 dx p) dx q) 1 dx 4 x j) 2x x 4 3x 3 5x 2 4 x 17 dx x 3 x 2 5x 3 r) 5x 2 dx 2 4 i) 2x 4 2x 1 dx 2x 5 x 4 s) 4 x 11 dx 2 7x 4 t) 1 dx ( x 2) 2 x 1 5x 2 11x 5 dx x 3 4 x 2 5x 2 x 4 10x 2 3x 1 dx x2 4 3. utilizando substituições trigonométricas ou com o emprego de uma nova variável. um integrante que contenha uma das formas: (I) a2 x2 (II) a2 x2 (III) x2 a2 sendo a uma constante positiva e não tendo nenhum outro fator irracional. No caso de integração por substituição trigonométrica. pois: 2 a 2 x 2 a 2 a 2 tg 2 () a 2 x 2 a 2 1 tg 2 () Pela identidade trigonométrica dada em (2). obtemos: a 2 x 2 a 2 sec 2 () . Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima. x a tg() substitui a 2 x 2 a 2 a tg () a 2 x 2 por a sec() . obtemos: a 2 x 2 a 2 cos 2 () . 32 . Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima. obtemos: a 2 x 2 a cos() . obtemos: a 2 x 2 a sec() . justificando a substituição. x a sen() substitui a 2 x 2 por a cos() . pois: a 2 x 2 a 2 a sen () 2 a 2 x 2 a 2 a 2 sen 2 () a 2 x 2 a 2 1 sen 2 () Pela identidade trigonométrica dada em (1). Caso I: Para uma integral que envolva um radical do tipo a 2 x 2 .(1) 1 sen 2 () cos 2 () (2) 1 tg 2 () sec 2 () (3) sec 2 () 1 tg 2 () Vamos ver cada um desses casos separadamente. fazemos a mudança de variável de x para θ. Observando o triângulo retângulo: Temos que: tg () x a x a tg () Assim. Caso II: Para uma integral que envolva um radical do tipo a 2 x 2 . A substituição deve ser apropriada e fica melhor observada no triângulo retângulo: Temos que: sen () x a x a sen() Assim. justificando a substituição. fazemos a mudança de variável de x para θ. o radical aparece no cateto adjacente a θ. o radical ficará sempre no lado do triângulo que não é utilizado pela relação trigonométrica: Caso I: Usa-se x = asen(θ). o radical aparece na hipotenusa. fazemos a mudança de variável de x para θ. logo. Observando o triângulo retângulo: Temos que: sec() x a x a sec ) Assim. Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima.Caso III: Para uma integral que envolva um radical do tipo x 2 a 2 . podemos montar uma tabela: Veja que. pois: x 2 a 2 a sec() a 2 2 x 2 a 2 a 2 sec 2 () a 2 x 2 a 2 a 2 sec 2 () 1 Pela identidade trigonométrica dada em (3). logo. Com base nos resultados obtidos. obtemos: x 2 a 2 a 2 tg 2 () . justificando a substituição. x a sec() substitui x 2 a 2 por a tg () . obtemos: x 2 a 2 a tg () . para representar graficamente as substituições sugeridas no triângulo retângulo. 33 . Caso II: Usa-se x = atg(θ). Caso III: Usa-se x = asec(θ). o radical aparece no cateto oposto a θ. Vejamos alguns exemplos para ilustrar o método. logo. Observando o triângulo retângulo. a Portanto.Exemplos: a) Calcule a integral a2 x2 dx . devemos encontrar as relações trigonométricas que aparecem no resultado acima. cotg() x a2 x2 x e cos() a2 x2 . Assim: cos ec() a . reescrever o resultado em termos da variável original x. escrevemos: sen () x x a sen() a dx a cos()d a 2 x 2 a cos() Assim: a2 x2 dx x cos 2 () a2 x2 dx a d x sen () a2 x2 1 sen 2 () dx a d x sen () a2 x2 dx a x a2 x2 dx a x cos ec() sen() d a2 x2 dx a ln(cos ec() cot g()) a cos() c x a cos() a sen () a cos()d 1 sen () d sen () Devemos agora. reescrevendo a integral e fazendo as substituições adequadas. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo: Assim. x Esta é uma integral do tipo I. temos: a a2 x2 dx a ln x x a 2 x 2 a x a2 x2 dx x a2 x2 dx a 2 x 2 ln a a 2 x 2 a ln( x ) c x a x a 2 x 2 a ln a2 x2 c a a 2 x 2 c x 34 . dx b) Calcular a integral 2 a x2 . Observando o triângulo. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo: Assim. encontramos as relações: sec() Assim: dx a2 x2 a2 x2 dx 2 a x 2 e tg() x a a2 x2 x c a a ln dx a2 x2 a a 2 x 2 x c a ln ln a 2 x 2 x ln(a ) c Como c é uma constante arbitrária e ln(a) também é uma constante. escrevemos: sec() x x a sec() a dx a sec() tg()d 35 . reescrever o resultado em termos da variável original x. Esta é uma integral do tipo II. x Esta é uma integral do tipo III. agora. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo: Assim. podemos reescrever o resultado como: dx 2 a x 2 ln a 2 x 2 x c c) Calcular a integral x2 a2 dx . escrevemos: x x a tg () a tg () dx a sec 2 ()d a 2 x 2 a sec() Assim: dx a2 x2 dx 2 a x2 a sec 2 () d a sec() sec()d ln(sec() tg ()) c Vamos. a x 2 a 2 c a x 2 a 2 a arctg x2 a2 a x 2 a 2 c a . Observando o triângulo encontramos as relações: tg () Assim: x2 a2 dx a x x2 a2 dx x d) Calcular a integral x x2 a2 a arctg a dx 2 16 x 2 e arctg x 2 a 2 . escrevemos: sen () x x 4 sen () 4 dx 4 cos()d 16 x 2 4 cos() Assim: x x dx 2 16 x 2 dx 2 16 x 2 4 cos() 4sen () 1 16 2 4 cos() d d 2 () sen 36 . Vamos fazer a representação no triângulo retângulo: Assim. Esta é uma integral do tipo I.x 2 a 2 a tg () Assim: x2 a2 dx x x2 a2 dx a tg 2 ()d x x2 a2 dx a x x2 a2 dx a tg () a () c x a tg () a sec() a sec() tg()d sec 2 () 1 d Vamos reescrever o resultado em termos da variável original x. escrevemos: tg () x x 2 tg () 2 dx 2 sec 2 ()d 4 x 2 2 sec() Assim: x x x x dx 2 4 x2 dx 2 4 x2 dx 2 4x 2 dx 2 4 x2 2 sec 2 () 2tg() 1 4 1 cos ec 2 () cos()d 4 1 cos ec() c 4 2 2 sec() d sec() d 2 () tg Reescrevendo o resultado em termos da variável x e utilizando as relações observadas no triângulo retângulo. reescrevemos o resultado em termos da variável original x. encontramos a relação: cot g () 16 x . x 37 . 2 Observando o triângulo retângulo. fazemos: cos ec() 4 x2 . Vamos fazer a representação no triângulo retângulo: Assim.x x dx 2 16 x 2 dx 2 16 x 1 16 2 cos ec 2 ()d 1 cot g () c 16 Agora. assim: x x dx 2 16 x 2 16 x 2 c 16 x e) Calcular a integral x dx 2 4 x2 . Esta é uma integral do tipo II. obtemos: x x dx 3 2 x 25 dx 3 2 x 25 1 1 ( sen () cos()) c 125 2 1 ( sen () cos()) c 250 Agora. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo: Assim. Observando o triângulo retângulo. encontramos as relações: sen () x 2 25 5 . escrevemos: sec() x x 5 sec() 5 dx 5 sec() tg()d x 2 25 5 tg () Assim: x x x x dx 3 2 x 25 dx 3 2 x 25 dx 3 2 x 25 dx 3 2 x 25 5 sec() tg() 5 sec() 125 sec 1 125 sec 1 125 cos 3 5tg() d 5 sec() tg() d 3 () 5tg() d 2 () 2 ()d Integrando cos2(θ). cos() e arctg x x 5 . representamos o resultado em termos da variável original x. 2 x 25 38 . Esta é uma integral do tipo III. Assim: x x dx 2 4 x2 dx 2 f) Calcular a integral 4 x2 x 4 x2 c x 1 4 4 x2 c 4x dx 3 x 2 25 . temos: y a Quando x = a. que significa draga. Se girarmos essas duas partes em torno do eixo y. temos: y a ln a a2 x2 dx a ln x a 2 x 2 x a2 x2 c a 2 x 2 a 2 x 2 que é a equação da tractriz. 0) com a outra extremidade do fio na origem. vamos determinar a equação da tractriz. então uma outra parte da curva é gerada. que é uma curva definida pela trajetória de um objeto arrastado ao longo de um plano horizontal por um fio de comprimento constante quando a outra extremidade do fio se move ao longo de uma reta no plano. conforme figura abaixo. Vamos considerar um plano formado por eixos ortogonais xy e o objeto comece no ponto (a. y = 0 e c = 0. O coeficiente angular da tangente é dado pela fórmula: dy a2 x2 dx x Separando as variáveis e usando o resultado do exemplo (a). a superfície resultante será uma pseudo-esfera. A palavra tractriz provém do latim tractum. 39 . Se esta se move para cima ao longo do eixo y: O fio será sempre tangente à curva e o comprimento da tangente entre o eixo y e o ponto de contato será sempre igual a a. x Se as extremidades do fio movem-se para baixo no eixo y. Assim: x x dx 3 x 2 25 dx 3 x 2 25 1 arctg 250 1 5 x 2 25 arctg 2 250 x 5 x 2 25 x 2 25 5 c x x 5 c x 2 25 g) Para ilustrar o uso desse método. com forma de uma “corneta dupla”. Resolver as seguintes integrais usando a técnica de substituição trigonométrica: a) x3 9 x2 dx x2 b) c) x d) x e) 9 4 x 2 dx a2 x2 dx x2 f) 4 g) h) a 3 x2 2 dx dx 2 x2 9 dx 4 x2 4 x2 4 x2 2 dx dx x2 40 .Exercícios de Fixação 01. cos(2 x ) 2 cos 2 ( x ) 1 sen ( x ) x 1 cos( x ) 2 33. sen 2 ( x ) cos 2 ( x ) 1 14. cos 2 ( x ) cos 2( x ) sen 2 ( x ) 31. tg ( x ) cos( x ) sen ( x ) 6. sec 2 ( x ) 1 tg 2 ( x ) 27. sec( x ) cos( x ) 11. sec 2 ( x ) tg 2 ( x ) 1 cot g ( x ) sen ( x ) cos( x ) 22. tg ( x ) tg ( x ) 1 cos( x ) x 35. 36. cos(2 x ) cos 2 ( x ) sen 2 ( x ) 30. sen ( x ) sen ( x ) 28. sen ( x ) cot g ( x ) 23. cos( x ) cos( x ) 29. sen ( x y) sen ( x ) cos( y) sen ( y) cos( x ) 41 . cos 2 ( x ) 1 sen 2 ( x ) sen ( x ) 4. cos ec 2 ( x ) 1 cot g 2 ( x ) cos( x ) 9. cos ec( x ) sen ( x ) 1 2. tg ( x ) cos( x ) 5. cos ec 2 ( x ) sen 2 ( x ) 1 20. sec 2 ( x ) cos 2 ( x ) 1 1 2 18. sen 2 ( x ) 1 cos 2 ( x ) 15.4x k) x l) x m) n) o) 3 x2 a2 2 2 3 ) 2 dx a 2 x 2 dx dx 3 x2 a2 (x dx 2 a2) x2 3 x2 4 x 2 dx 5x + 4 3 3 x2 1 dx Tabela: Identidades Trigonométricas 1. 21.dx i) x j) (1 . sec ( x ) 1 cos 2 ( x ) 17. cot g ( x ) sen ( x ) 1 cos ec( x ) 2 16. sen cos ec 2 ( x ) cot g 2 ( x ) 1 37. cos ec ( x ) sen 2 ( x ) 19. cos(2 x ) 1 2sen 2 ( x ) 32. cos 2 2 8. sen ( x ) 1 cos(2 x ) 2 1 cos(2 x ) 25. cos ( x ) 2 2 x 2 1 cos( x ) 2 cos( x y) cos( x ) cos( y) sen ( x ) sen ( y) 38. tg 34. cos( x ) sen ( x ) tg ( x ) cos( x ) 7. sen ( x ) 3. 1 10. sec( x ) cos( x ) 1 2 24. 7ª Ed. 2001. 2001. 525p. BIVENS. James.12. 6ª Ed. sen (2 x ) 2sen ( x ) cos( x ) sen ( x y) sen ( x ) cos( y) sen ( y) cos( x ) 1 sen ( x ) Referências Bibliográficas [01] ANTON. 2002. ed. Cálculo A: funções. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 2ª Ed. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. GONÇALVES. [02] BRADLEY. [04] GUIDORIZZI. 4ª Ed. DAVIS. Rio de Janeiro : LTC. Cálculo com geometria analítica. Earl W. cos( x ) 1 sec( x ) 13. Rio de Janeiro: LTC. 1995. 2007. Mirian Buss. 42 . Irl. 2006. 448 p. Gerald L. 39. limite. Hamilton Luiz. São Paulo: Makron Books. cos ec( x ) 26. [06] SWOKOWSKI. Um curso de cálculo. [03] FLEMMING. 5. Stephen. Revista e Ampliada. Diva Marília. 8ª Ed. Cálculo. Howard. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. derivação e integração. Porto Alegre: Bookman. [05] STEWART.
Report "1. Apostila Unidade I - Integral Indefinida e Técnicas de Integração(1) (1).doc"