METODO DE LA M.El método simplex puede aplicarse a un problema de minimización si se modifican los pasos del algoritmo. Consideraciones Generales: 1. En general se recurre a las variables artificiales cuando al menos una de las restricciones en el modelo matemático original es del tipo mayor o igual (≥), esto con el fin de obtener la solución básica factible inicial. 2. Las variables artificiales proporcionan un artificio matemático para obtener un primera solución básica. Estas variables son ficticias y no tienen una interpretación física directa en términos del problema original (costos). 3. Se debe expresar el modelo original en la forma estándar (llevar las desigualdades a igualdades). 4. Sumar del lado izquierdo de cada ecuación, correspondiente a las restricciones del tipo mayor o igual (≥) una variable (artificial) no negativa. Dicha adición no causa una alteración en las restricciones. 5. Los indicadores de las variables artificiales son todos negativos o iguales a cero (0) en la tabla final. Esto siempre debe ser válido para una solución óptima (factible). 6. Una vez, conocidas las consideraciones generales procedemos con los pasos normales del método simplex. Algoritmo del Método de la Técnica de la M. 1. Pasar a la forma estándar el modelo matemático, restando las variables de excedente ( holgura o flojas) por cada restricción. 2. Agregar variables artificiales en cada restricción. 3. En la fila de los indicadores (función objetivo), tiene coeficiente nulos para las variables de holgura y M para las variables artificiales, en donde M es un numero imposiblemente elevado para asegurar que las variables artificiales se excluirán de la solución óptima. 4. En la función objetivo no deben aparecer variables básicas, por lo que se hace necesario eliminar las variables artificiales de la F.O.( quitas las M de las columnas artificiales). Para retirar las M de las columnas de variables artificiales se suman M veces (coeficientes de la fila1 + fila 2 + fila 3+… fila n) a la fila de la función objetivo. Esto da como resultado la tabla inicial. 5. Cuando una solución contiene variables artificiales básicas menor o igual a cero (0), estamos ante una solución factible con respecto al modelo matemático original. 6. Si el problema no tiene solución factible, cuando menos una variable artificial será positiva en la solución óptima. Ejemplo. Pasos para resolver el Método Simplex (Técnica de la Gran M): 1. Se deben llevar a igualdades las desigualdades cada una de las restricciones y la función objetivo (Igualando a O). Agregamos restamos las variables de holgura de acuerdo al número de restricciones que tengamos y Sumamos variables artificiales por cada condición mayor o igual que tengamos en el modelo matemático original. Ejemplo: Forma Estándar: Igualando a O: Min Z = 20X1 + 30X2 +16X3 - 20X1 – 30X2 –16X3 - Z = 0 Sujeto a: Sujeto a: 2,5X1 + 3X2 + X3 ≥ 3 2,5X1 + 3X2 + X3 – S1 +A1= 3 se suman todos los coeficientes de las restricciones. sobre todo. Este método es utilizado. 3. Escribir la tabla inicial simplex. Ya construida la tabla inicial. donde: X1. donde se vacían cada uno de los coeficientes de las variables. X2. Igualar la Función Objetivo a cero. Para eliminar las emes. a. una fila para cada restricción y la primera fila con los coeficientes de la función objetivo. para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. 4. con el fin de que todos los indicadores de Z queden positivos. Construir la tabla inicial simplex (0). X2 y X3 ≥ 0 2. c. y el resultado se coloca delante de cada indicador de la fila Z. X3. Pasos para el desarrollo del método simplex: 1. y las emes (M) desaparezcan de las Columnas de la variable artificial con el fin de encontrar nuestra primera solución básica factible. El método está diseñado de manera que la función objetivo no disminuya (o aumente) en un modelo de maximización (o minimización) y generalmente aumentará (o disminuirá) en cada iteración. Convertir las desigualdades en igualdades. y nuestra primera solución básica factible. Se deben eliminar las emes (M) de la tabla previa que se encuentran como coeficientes de las variables artificiales. X2 y X3 ≥ 0 Con X1. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. b. A2=4 y Z=7M. Procedimiento-Método Símplex El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. Hallar una solución básica factible inicial. .X1 + 3X2 +2X3 ≥ 4 X1 + 3X2 +2X3 –S2 +A2 = 4 Con X1. El método del simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. encontramos la 1ª Solución Básica Factible. con el fin de encontrar nuestra tabla O. (en las columnas aparecerán todas las variables del problema y. columna por columna (variable por variable) con emes. los coeficientes de las igualdades obtenidas. S1 y S2 = 0. en las filas. A1=3. se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote. 6. entonces se elige uno cualquiera de ellos. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución. Para todos los problemas de maximización y minimización. significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Si todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos. b. Entonces se repite el proceso. Para escoger la variable de decisión que entra en la base. Para determinar la razón de cada renglón. observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base. esto ocurre si todos los coeficientes de la ecuación son no negativos (= 0). Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior. Prueba de optimidad: determinar si la solución básica factible inicial es óptima. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero. el proceso termina. Una coincidencia se anula arbitrariamente. Para cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a 1. abajo de la que se tiene. a. Si en los elementos de la primera fila hay un coeficiente negativo. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. 9. lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex. indica la fila de la variable de holgura que sale de la base. Si es así. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote 4. En la intersección de la fila pivote y columna pivote se encuentra el elemento pivote.2.(Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote) Ó renglón nuevo = renglón antiguo . Esta fila se llama fila pivote 5. c. se divide todo el renglón entre el número pivote. Para el resto de las filas: Nueva fila= (Vieja fila) . significa que se ha alcanzado la solución óptima. 3. Si en la primera fila no existiese ningún coeficiente negativo. Por tanto. b. c. hemos llegado a la solución óptima. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza. la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor a.( coeficiente de la columna pivote X renglón pivote nuevo) 8. Se determina la nueva solución básica factible construyendo una nueva tabla en la forma apropiada de eliminación de Gauss. es que en la primera fila no haya elementos negativos (para el caso de maximización). Problema de programación lineal (PL) . para el caso de maximización. nos fijamos en la primera fila. la variable que sale es la variable básica que tiene la razón más pequeña (positiva). siempre que estos últimos sean mayores que cero. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo. entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. de otra manera se lleva a cabo otra iteración para obtener la nueva solución básica factible inicial. entonces Nueva fila del pivote = renglón o fila pivote antigua / número pivote 7. Para cada entrada positiva b en la columna pivote. que se resultan en el valor óptimo es la solución óptima. una variable activa) es la razón a/b. . se llaman las variables decisión. El valor de una variable que no aparece como una etiqueta de renglón (es decir. y escriba las restricciones en forma estándar como muestra enfrente en el ejemplo. Entre estas razones de prueba. y un conjunto de valores de x. La etiqueta original es la variable saliendo y la nueva etiqueta es la variable entrando. (Si hay más que una candidata. . seguimos los siguientes pasos: Paso 1. . (llamada la función ojectiva). Convierta las desigualdades en igualdades por introducir variables de holgura por cada una de las restricciones. Escoja la columna pivote: Encuentre el número negativo mayor (en valor absoluto) en el último renglón (excluyendo la entrada más hacia la derecha). . y sustituya la etiqueta de la columna pivote por la etiqueta del reglón pivote. Paso 5. en la que a es la entrada de la última columna del renglón y a es la entrada de aquel renglón cuya columna tiene la misma etiqueta. y. sujeta a unas restricciones lineales de la forma Ax + By + Cz + . . Vaya a Paso 3.Un problema de programación lineal es un problema en cual debemos hallar el valor máximo o mínimo de una expresión lineal ax + by + cz + . z. escoja alguna. Escriba la tabla inicial simplex. Restricciones no estándar . . donde a es la entrada de la última columna (valores solución) del renglón. Paso 6. La entrada correspondiente b es el pivote. escoja la más pequeña. .≤ N o Ax + By + Cz + . Su columna es la columna pivote. . calcule la razón a/b. Método simplex para problemas de maximización estándar Para solucionar un problema de maximización estándar por el método simplex. Use el pivote para despejar la columna en la manera normal descrito en el tutorial del método Gauss Jordan. Paso 2. z. . El valor más grande o más pequeño de la función objetiva se llama el valor óptimo. entonces está terminado: la corriente solución básica maximiza la función ojectiva (la solución básica está descrito más abajo). Las variables x. .) Si no hay números negativo en último renglón son cero (excluyendo la entrada más hacia la derecha). iguale a cero a todas las variables que no aparecen como etiquetas de renglones (estas son las variables inactivas). para convertirlas en igualdades.≥ N. Solución básica Para obtener la solución básica que corresponde a alguna tabla del método simplex. y. . . Paso 3. Escoja el pivote en la columna pivote: El pivote debe ser una entrada positiva. Paso 4. x + 2y + z ≥ 4 4x . siga los siguientes pasos: . . x + 2y + z ≥ 4 4x . escoja el pivote en un renglón estrellado. visita el tutorial para problemas general de programación lineal. entonces las reglas para pivotar son diferentes a las mostradas más arriba.4y ≤ 12.4y + 8z sujeta a 3x .2y + 5z ≤ 20 x ≥ 0. Método Simplex para problemas de minimización Para solucionar un problema de minimización por el método simplex. Si encuentra uno. Para algunos ejemplos interactivos. Si no.Para solucionar un problema PL con restricciones de la forma Ax + By + . ha ya solucionado al juego. use el método descrito más arriba para solucionar problemas estándar de maximización. y pivote. y ≥ 0. Si hay algunos renglonges estrellados. Fase II: Use el método para problemas PL estándar. .≥ N con N positiva. Nota: Si la razón más pequeña ocurre en un renglón estrellado y también en un renglón no estrellado.4y ≤ 12. comprueba otra vez para ver cual renglones necesitan estrellas. Después de pivotar. Use razones de prueba como más arriba para encontrar el pivote en su columna (excluyendo el último renglón como de costumbre). las estrategias óptimas son las estrategias puras que pasan por un punto de silla. se convierte el problema en un problema de maximización por negar la función objetiva: En vez de minimizar c. se maximiza p = -c. Inicio de página Ejemplo El problema PL de minimización: Minimizar C = 3x + 4y . Si permanece algunas entradas a la izquierda del último renglón después de Fase I. busque a puntos de silla. encuentre la entrada positiva más grande. Estrellar cada renglón que da un valor negativo a la variable asociada activa (salvo la variable ojectiva. La solución básica que corresponde a la primera tabla no estará factible porque algunas de las variables activas serán negativas.8z sujeta a 3x . tiene que empezar con Fase I: Fase I: Llevándose a la región factible (Deshaciéndose de las estrellas) En el primero renglón estrellado. y ≥ 0. que puede ser negativa). sustraiga una variable de excedente del lado izquierdo en vez de añadir una variable de holgura.2y + 5z ≤ 20 x ≥ 0. Repita hasta que permanece no renglones estrellados. z ≥ 0 puede ser reemplazar por el siguiente problema de maximización: Maximizar P = -3x . y después avance a Fase II. Inicio de página Solucionar un juego matriz por el método simplex Para solucionar un juego por el método simplex: Antes de empezar. z ≥ 0. Fase 2: Resolver a través del Método Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase1. por tanto utilizaremos una variable auxiliar "y" que incluiremos en el lado izquierdo de la restricción y que servirá como variable básica inicial. Añada un número fijado k a cada pago para que todos se vuelven no negativos. Luego se debe resolver utilizando el Método Simplex un nuevo problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares. Ejemplo Simplex de 2 Fases Considere el siguiente modelo de Programación Lineal: FASE 1: Al agregar S1 como variable de exceso en la restricción 1 resulta evidente que no se dispone de una solución básica factible inicial. de modo de obtener una solución básica factible. Reduzca a la matriz del pagos por predominio. Se actualiza la tabla utilizando el método simplex: . Configura y solucione al asociado problema de programación lineal pos el método simplex. no existe solución factible. Si el valor óptimo alcanzado al finalizar la Fase 1 es cero ir a la Fase 2. Esto define el problema inicial de la Fase 1 junto a su tabla. Luego la variable X2 entra a la base (costo reducido negativo) y claramente "y" deja la base. Fase 1: Consideramos un problema auxiliar que resulta de agregar tantas variables auxiliares a las restricciones del problema. Obtenga las estrategias óptimas y el valor esperado como sigue: Estrategia columna Escriba la solución del problema PL como un vector columna. En caso contrario. Normalice por dividir cada entrada del vector solución por la suma de las Método Simplex de 2 Fases Esta estrategia algoritmica se aplica cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar no se dispone de una solución básica factible inicial. En el siguiente artículo nos concentraremos en el análisis de la primera alternativa a través de un enfoque teórico – práctico. Dado que X2 es variable básica al finalizar la Fase 1 buscamos dejar esta misma variable como básica al iniciar la Fase 2. las cuales suelen ser discutidas en cursos de Investigación Operativa (Investigación de Operaciones). Ejemplo Método Simplex de Dos Fases Considere el siguiente modelo de Programación Lineal usando el Método Simplex de Dos Fases. por tanto podemos continuar la Fase 2. De esta forma se obtiene la tabla inicial de la Fase 2. En consecuencia el problema que define la Fase I del Método Simplex de Dos Fases es: . Método Simplex de Dos Fases El Método Simplex de Dos Fases permite abordar la resolución de aquellos modelos de Programación Lineal que luego de ser llevados a su forma estándar no permite obtener una solución básica factible inicial en las variables del modelo. Notar que el valor de la función objetivo al finalizar la Fase 1 es cero. El valor óptimo V(P)=-30. Para ello multiplicamos por -3 la fila 1 y luego la sumamos a la fila 2. FASE 2: Se elimina la columna asociada a la variable artificial "y" y se actualiza el vector de costos reducidos considerando la función objetivo original. Para enfrentar esta situación existen distintas estrategias algorítmicas entre las que destacan el Método Simplex de Dos Fases y el Método de la M Grande.Con esta tabla finaliza la Fase 1. con solución óptima X1=0 y X2=10. lo cual tiene como efecto adicional que cambia el sentido de la desigualdad. En este sencillo ejemplo se llega inmediatamente a la tabla final de la Fase 2. Fase I (Método Simplex de Dos Fases) En este caso resulta conveniente multiplicar por -1 la primera restricción de modo que el lado derecho sea positivo. primero multiplicando por -1 la fila 1 y sumándola a la fila 3. Esto se obtiene de Min{2/1. tomando la estructura de la variable básica saliente X5). Entre las variables no básicas la que tiene costo reducido negativo es X2. 10/1}=2. Para actualizar la tabla sumamos la fila 2 a la fila 3 (de modo que el costo reducido de X1 se transforme en cero) y luego multiplicamos por 1/2 la fila 2 y la sumamos a la fila 1 (para que de esta forma X1 sea básica asociada a la fila 2. por ejemplo. X2 y X3. Luego estaos en condiciones de confeccionar la tabla inicial de la Fase I donde las variables auxiliares X4 y X5 tienen costo reducido igual a uno (dado sus respectivos coeficientes en la función objetivo de dicha fase). por tanto dicha variable entra a la Base y mediante el criterio de factibilidad o mínimo cuociente se determina aquella variable básica que deja la base. determinando que X5 sale de la base. . Notar ahora que las variables básicas son X4 y X5 y las variables no básicas son X1. La variable básica que deja la base se obtiene de Min{8/2}=4. Luego de concluir la iteración se dispone ahora de dos variables no básicas con costo reducido negativo: X1 y X3. donde las variables no básicas tienen costos reducidos mayores o iguales a cero y el valor de la función objetivo es igual a cero.Donde X3 es variable de exceso y X4 y X5 son variables artificiales de la restricción 1 y 2 respectivamente. A continuación se llevan a cero los costos reducidos de X4 y X5. Se verifica que se concluye la Fase I del Método Simplex de Dos Fases. Por tanto X4 sale de la base y se realiza una iteración. Esta situación se detecta cuando se dispone de una solución básica que satisface las condiciones de no negatividad. Para ello se realizan operaciones filas. Teniendo en consideración un criterio de rapidez de convergencia se privilegia la entrada a la base de X1 al tener ésta el costo reducido más negativo. para luego multiplicar por -1 la fila 2 y sumarla a la fila 3. . obteniéndose lo siguiente: Del procedimiento anterior resulta que la variable no básica X3 tiene costo reducido y por tanto ingresa a la base. para lo cual se suma la fila 2 a la fila 3 y luego se multiplica por 3 la fila 1 y se suma a la fila 3. En esta etapa se elimina las columnas asociadas a las variables auxiliares utilizadas en la Fase I del método (en el ejemplo las variables X4 y X5) y se actualiza el vector de costos reducidos considerando la función objetivo del problema original en formato de minimización. Cabe recordar que las variables básicas finalizadas la Fase I son X2 y X1 y luego de la actualización de la fila de costos reducidos (fila 3) será necesario llevar sus respectivos costos reducidos a cero.Fase II (Método Simplex de Dos Fases) A continuación se da inicio a la Fase II del Método Simplex de Dos Fases. Por tanto se concluye la Fase II del Método Simplex de Dos Fases con solución óptima X1=0. además de enfrentarnos a una solución básica factible para X2 y X3. Con ello se realiza una iteración del método obteniendo la siguiente tabla: Observar que la variable no básica X1 tiene costo reducido igual a 2 (que satisface las condiciones de no negatividad). La variable básica que deja la base se obtiene de Min{4/1/2}=8 y por tanto X1 abandona la base. esto es MIN -X1– 3X2. X2=10 y X3=8 y valor óptimo V(P)=30.