1-1 Number Theory (Notes 6-Up)

June 16, 2018 | Author: Sandra Miller | Category: Numbers, Rational Number, Real Number, Decimal, Ratio


Comments



Description

Concepts and Objectives1‐1 Number Theory Unit 1 Functions and Relations Number Theory (Obj. #1) Identify subsets of real numbers Simplify expressions using order of operations Identify real number axioms Rational Numbers (Obj. #2) Convert between fractions and decimals Number Systems What we currently know as the set of real numbers was  only formulated around 1879.  We usually present this  as sets of numbers. Number Systems The set of natural numbers ( ) and the set of integers  ( ) have been around since ancient times, probably  prompted by the need to maintain trade accounts.   Ancient civilizations, such as the Babylonians, also used  ratios to compare quantities. One of the greatest mathematical advances was the  introduction of the number 0.   Properties of Real Numbers For all real numbers a, b, and c: Closure Property a + b ∈ ab ∈ Properties of Real Numbers The properties are also called axioms. 0 is called the additive identity and 1 is called the  multiplicative identity. Notice the relationships between the identities and the  inverses (called the additive inverse and the  multiplicative inverse). Saying that a set is “closed” under an operation (such as  multiplication) means that performing that operation on  numbers in the set will always produce an answer that is  also in the set – there are no answers outside the set. Identity Property a + 0 = a a i 1 = a Commutative Property a + b = b + a ab = ba Inverse Property a + (–a) = 0 1 a   i   =1  a Associative Property (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) Distributive Property a(b + c) = ab + ac Properties of Real Numbers Examples The set of natural numbers ( ) is not closed under the  operation of subtraction.  Why? Order of Operations Parentheses (or other grouping symbols, such as square  brackets or fraction bars) – start with the innermost set,  following the sequence below, and work outward. Exponents Multiplication working from left to right Division Addition working from left to right Subtraction –20 ÷ 5 = –4.  Does this show that the set of integers is  closed under division? Order of Operations Use order of operations to explain why Order of Operations Work the following examples without using your calculator. 1. 2. 3. ( −3) ≠ −32 2 −2  i  5 + 12 ÷ 3 −4 ( 9 − 8 ) + ( −7 )( 2) 3 −8 + ( −4 )( −6 ) ÷ 12 4 − ( −3) Absolute Value The absolute value of a real number a, denoted by |a|, is  the distance from 0 to a on the number line.  This  distance is always taken to be nonnegative. ⎧ x          if x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x       if x < 0 Absolute Value Properties For all real numbers a and b: 1. a ≥ 0 2. 3. 4. 5. −a = a a   i   b = ab a b = a (b ≠ 0) b a+b ≤ a + b Absolute Value Example: Rewrite each expression without absolute  value bars. 1. 2. 3. Rational Numbers The Greeks, specifically Pythagoras of Samos, originally  believed that the lengths of all segments in geometric  objects could be expressed as ratios of positive integers. A number is a rational number ( ) if and only if it can be  expressed as the ratio (or quotient) of two integers. Rational numbers include decimals as well as fractions.   The definition does not require that a rational number  must be written as a quotient of two integers, only that it  can be. 3 −1 2− π x x , if x < 0 Examples Example:  Prove that the following numbers are  rational numbers by expressing them as ratios of  integers. Irrational Numbers Unfortunately, the Pythagoreans themselves later  discovered that the side of a square and its diagonal  could not be expressed as a ratio of integers. Prove        is irrational. 2 2 Proof (by contradiction):  Assume         is rational.  This  means that there exist relatively prime integers a and b such that a a2 2 = ⇒2= 2 b b 2b2 = a2 , therefore, a is even 1. 2‐4  2. 64‐½ 3. 4π π 4. 0.9 6.3 5. 20.3 6. –5.4322986 Irrational Numbers This means there is an integer j such that 2j=a. 2 2b2 = ( 2 j ) 2b2 = 4 j 2 b2 = 2 j 2 ⇒ b  is even If a and b are both even, then they are not relatively  2 prime.  This is a contradiction.  Therefore,         is  irrational. n Theorem:  Let n be a positive integer.  Then         is either  an integer or it is irrational. Real Numbers The number line is a geometric model of the system of  real numbers.  Rational numbers are thus fairly easy to  represent: What about irrational numbers?  Consider the following: (1,1) • 2 Real Numbers In this way, if an irrational number can be identified  with a length, we can find a point on the number line  corresponding to it. What this emphasizes is that the number line is  continuous—there are no gaps. Intervals Name of  Interval finite, open finite, closed finite, half­ open Notation Inequality  Description (a, b) [a, b] (a, b] [a, b) a < x < b a≤x≤b a < x ≤ b a ≤ x < b Number Line Representation a b a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b infinite, open (a, ∞) a < x < ∞ (‐∞, b) ‐∞ < x < b [a, ∞) a ≤ x < ∞ (‐∞, b] ‐∞< x ≤ b infinite,  closed Finite and Repeating Decimals If a nonnegative real number x can be expressed as a  finite sum of of the form d1 d2 dt + + ... + t 10 102 10 where D and each dn are nonnegative integers and            0 ≤ dn ≤ 9 for n = 1, 2, …, t, then D.d1d2…dt is the finite  decimal representing x. x = D+ Finite and Repeating Decimals If the decimal representation of a rational number does  not terminate, then the decimal is periodic (or  repeating).  The repeating string of numbers is called the  period of the decimal. a It turns out that for a rational number        where b > 0,  b the period is at most b – 1. Finite and Repeating Decimals Example: Use long division (yes, long division) to find  462 the decimal representation of             and find its period. 13 Finite and Repeating Decimals The repeating portion of a decimal does not necessarily  start right after the decimal point.  A decimal which  starts repeating after the decimal point is called a  simple­periodic decimal; one which starts later is called a  delayed­periodic decimal. Type of Decimal Examples General Form What is the period of this decimal? terminating simple­periodic delayed­periodic 0.5, 0.25, 0.2, 0.125, 0.0625 0.d1 d2 d3 ...dt ( dt ≠ 0) 0.3, 0.142857, 0.1, 0.09, 0.076923 0.16, 0.083, 0.0714285, 0.06 0.d1 d2 d3 ...dp 0.d1 d2 d3 ...dt dt +1 dt + 2 dt + 3 ...dt + p Decimal Representation If we know the fraction, it’s fairly straightforward  (although sometimes tedious) to find its decimal  representation.  What about going the other direction?   How do we find the fraction from the decimal, especially  if it repeats? We’ve already seen how to represent a terminating  decimal as the sum of powers of ten.  More generally, we  can state that the decimal 0.d1d2d3…dt can be written as M , where M is the integer d1d2d3…dt. 10t Decimal Representation For simple‐periodic decimals, the “trick” is to turn them  into fractions with the same number of 9s in the  denominator as there are repeating digits and simplify: 0.3 = 3 1 = 9 3 0.09 = 9 1 = 99 11 0.153846 = 153846 2 = 999999 13 To put this more generally, the decimal                          0.d1d2d3 ...dp M can be written as the fraction                 , where M is the  p 10 − 1 integer d1d2d3…dp. Decimal Representation For delayed‐periodic decimals, the process is a little  more complicated.  Consider the following: What is the decimal representation of         ? 1 12 0.083 Decimal Representation It turns out you can break a delayed‐periodic decimal  into a product of terminating and simple‐periodic  decimals, so the general form is also a product of the  general forms:   0.d1d2d3 ...dt dt +1dt +2dt +3 ...dt + p The decimal                                                      can be written  N as the fraction                           , where N is the integer             10t 10p − 1 1 1 1 is the product of what two fractions?    i   12 4 3 Notice that the decimal representation has  characteristics of each factor. ( ) d1d2d3…dtdt+1dt+2dt+3…dt+p – d1d2d3…dt . Decimal Representation Example: Convert the decimal                              to a  0.467988654 fraction.
Copyright © 2018 DOKUMEN.SITE Inc.