0problemas Calculo II 2009

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRIDESCUELA POLIT ´ ECNICA SUPERIOR Departamento de Matemáticas PROBLEMAS DE C ´ ALCULO II GRADOS DE INGENIER ´ IA INDUSTRIAL Y DE TELECOMUNICACION CURSO 2008–2009 Colección elaborada por Arturo de Pablo Domingo Pestana José Manuel Rodr´ıguez Elena Romera ´ Indice 1 Cálculo diferencial en varias variables. 1 1.1 Funciones de varias variables. L´ımites y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Derivadas. Diferenciabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Funciones vectoriales y operadores diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Regla de la cadena y derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Estudio local de funciones de varias variables. 11 2.1 Derivadas de orden superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Extremos de funciones de varias variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Integración en IR n 17 3.1 Integral m´ ultiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Cambios de variables en la integral m´ ultiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Integrales de l´ınea y de superficie 25 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Integrales sobre superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Teorema de Green, Stokes y Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales 34 5.1 Integrales eulerianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2 Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3 Ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 1 Cálculo diferencial en varias variables. 1.1 Funciones de varias variables. L´ımites y continuidad. Problema 1.1 Indica si los siguientes conjuntos de IR 2 son abiertos o cerrados o ninguna de las dos cosas. Se˜ nala en cada caso el interior y la frontera y da una representación gráfica: i) A = ¦ (x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, y < 0 ¦. ii) B = ¦ (x, y) : x = 1, 1 < y < 2¦. iii) C = ¦ (x, y) : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 2x¦. iv) D = ¦ (x, y) : 2x + 3y −5 = 0 ¦. v) E = ¦ (x, y) : x 2 + 3y 2 ≤ 2 ¦. vi) F = ¦ (x, y) : x 2 + 3y 2 < 2 ¦. vii) G = ¦ (x, y) : x 2 −3y 2 = 2 ¦. viii) ¦(x, y) : y > x 2 ¦. Problema 1.2 Estudia si los siguientes conjuntos son abiertos, si son cerrados y si son com- pactos: (1) ¦(x, y) ∈ IR 2 : 5 < x < 7, 0 < y < 1¦ , (2) ¦(x, y) ∈ IR 2 : x > 0¦ , (3) ¦(x, y) ∈ IR 2 : 5 ≤ x ≤ 7, 0 < y < 1¦ , (4) ¦(x, y) ∈ IR 2 : 5 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 1¦ , (5) ¦x ∈ IR N : |x| > 3¦ , (6) ¦x ∈ IR N : |x| ≥ 3¦ , (7) ¦x ∈ IR N : |x| = 5¦ , (8) ¦x ∈ IR N : |x| < 3¦ , (9) ∅ , (10) IR N . Solución: (1) abierto, (2) abierto, (3) ninguna de las tres cosas, (4) cerrado y compacto, (5) abierto, (6) cerrado, (7) cerrado y compacto, (8) abierto, (9) abierto, cerrado y compacto, (10) abierto y cerrado. Problema 1.3 Halla el interior, la clausura y la frontera de los conjuntos del ejercicio anterior. Problema 1.4 i) Halla f(1, y/x) si f(x, y) = 2xy x 2 +y 2 . ii) Halla f(x, y) si f(x +y, y/x) = x 2 −y 2 . iii) Halla f(x) y g(x, y) si f(x −y) +g(x, y) = x +y con g(x, 0) = x 2 . iv) La misma pregunta si f( √ x −1) +g(x, y) = √ y con g(x, 1) = x. Solución: ii) x 2 (1 −y) 1 +y ; iii) f(x) = x −x 2 , g(x) = x 2 +y 2 −2xy + 2y. Problema 1.5 Halla el dominio de las siguientes funciones: i) f(x, y) = x 2 −y 2 , ii) f(x, y) = _ x 2 −4y 2 , 1 iii) f(x, y) = x 3 −y 2 x −y , iv) f(x, y) = (x 2 +y 2 −1) 1/2 , v) f(x, y) = 1/xy, vi) f(x, y) = arcsen(x +y), vii) f(x, y) = e x/y , viii) f(x, y) = log(xy), ix) f(x, y) = 1 cos(x −y) , x) f(x, y) = cos _ 1 x −y _ , xi) f(x, y) = arcsen(x +y), xii) f(x, y) = e x/y , xiii) f(x, y) = log(xy), xiv) f(x, y, z) = _ 9 −y 2 1 + _ 4 −(x 2 +z 2 ) . xv) f(x, y) = log(1 +x) + log(1 +y) log(1 −x) + log(1 −y) . xvi) f(x, y) = log (1 +x)(1 +y) (1 −x)(1 −y) . Solución: xv) ¦[x[, [y[ < 1, xy ,= x +y¦; xvi) ¦[x[, [y[ < 1¦ ∪ ¦[x[, [y[ > 1¦. Problema 1.6 Halla la imagen de las cinco primeras funciones del problema anterior. Solución: i) [0, ∞); ii) IR −¦0¦; iii) [−π/2, π/2]; iv) (0, ∞); v) IR. Problema 1.7 Dibuja las curvas de nivel f(x, y) = c especificadas para las funciones: i) f(x, y) = xy, c = 1, −1, 3; ii) f(x, y) = log(x −y), c = 0, 1, −1; iii) f(x, y) = (x +y)/(x −y), c = 0, 2, −2. 2 Problema 1.8 Estudia los siguientes l´ımites: i) lim (x,y)→(0,0) x x 2 +y 2 ii) lim (x,y)→(2,4) x +y x −y iii) lim (x,y)→(0,0) xy 2 x 2 +y 2 iv) lim (x,y)→(0,0) tg x y v) lim (x,y)→(0,0) xy x 2 +y 2 vi) lim (x,y)→(0,0) xy 2 (x 2 +y 2 ) 3/2 vii) lim (x,y)→(0,0) y 2 x 2 −y 2 viii) lim (x,y)→(0,0) sen(xy) xy ix) lim (x,y)→(0,0) x 3 −y 2 x 2 +y 2 x) lim (x,y)→(0,0) x 4 +y 4 x 2 y 2 + (x −y) 2 . Problema 1.9 Se considera la función f(x, y) = x 4 −y x 4 −y 3 . Los puntos (0, 0) y (1, 1) no pertenecen a su dominio. Estudia si pueden definirse f(0, 0) y f(1, 1) de forma que f sea continua en dichos puntos. Problema 1.10 Estudia la continuidad de las siguientes funciones: i) f(x, y) = _ xy x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); ii) f(x, y) = _ _ _ xy _ x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); iii) f(x, y) = _ _ _ x 4 +x 2 y −y 3 _ x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); iv) f(x, y) = _ _ _ x 2 +y 3 x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); v) f(x, y) = x 4 −y 4 x 2 +y 2 , (x, y) ,= (0, 0), f(0, 0) = 0; vi) f(x, y) = x +y 2 x 2 +y 2 , (x, y) ,= (0, 0), f(0, 0) = 0; vii) f(x, y) = cos(xy) e x + e y ; viii) f(x, y) = _ _ _ sen(x −y) e x −e y si x ,= y 1 si x = y; ix) f(x, y) = _ _ _ x 2 y x 4 −y 2 si y ,= ±x 2 0 si y = ±x 2 ; 3 x) f(x, y) = _ (x +y) sen(1/x) sen(1/y) si xy ,= 0 0 si xy = 0. Indicación: En el apartado viii) saca factor com´ un e y en el denominador. Solución: Son continuas en todos los puntos de IR 2 las funciones ii), iii), v), vii). Son continuas en IR 2 ¸ ¦(0, 0)¦ las funciones i), iv), vi). El resto de las funciones son continuas sólo en los puntos: viii) _ IR 2 ¸ ¦y = x¦ _ ∪ (0, 0); ix) IR 2 ¸ ¦y = ±x 2 ¦; x) _ IR 2 ¸ ¦xy = 0¦ _ ∪ (0, 0) ∪ _ ∪ k∈ZZ\{0} ¦( 1 kπ , 0), (0, 1 kπ )¦ _ . Problema 1.11 Sea la función f(x, y) = _ _ _ x 3 y x 6 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) . i) Calcular el l´ımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de las rectas y = λx. ii) Calcular el l´ımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la curva y = x 3 . iii) ¿Es f continua en (0, 0)? Problema 1.12 Sea ϕ : IR → IR continua con derivada continua, y sea la función f(x, y) = _ _ _ ϕ(x) −ϕ(y) x −y si x ,= y ϕ (x) si x = y. Estudia la continuidad de f. Problema 1.13 Sea F : A ⊂ IR n → IR m una función que verifica [[F(x) −F(y)[[ ≤ K[[x −y[[ α para todo x, y ∈ A y constantes K > 0 y 0 < α ≤ 1. Demuestra que F es continua en A. 1.2 Derivadas. Diferenciabilidad. Problema 1.14 Calcula la matriz derivada de las siguientes funciones: i) f(x, y) = 3x 2 −xy +y ii) f(x, y) = x 3 e −y iii) f(x, y) = log(x 2 +y 4 ) iv) f(x, y) = (g(x)) 2 h(y) v) f(x, y) = _ 1 −(x 2 +y 2 ) vi) f(x, y, z) = xe y 2 +ye z vii) f(x, y, z) = xseny +y senz +z senx viii) f(x, y, z) = sen(x +xy +z 2 ) ix) f(x, y, z) = z xy 2 x) f(x, y, z) = (g(x, y)) 2 (h(x, z)) 3 xi) f(r, θ) = r 2 senθ + cos 2 θ xii) f(ρ, ϕ, θ) = ρ 3 senϕcos θ 4 Problema 1.15 Sea la función f(x, y) = _ _ _ x 2 y 2 x 4 +y 4 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). i) Prueba que existen ∂f ∂x (0, 0) y ∂f ∂y (0, 0). ii) Prueba que f no es continua en (0, 0). Problema 1.16 Sea f(x, y) = _ _ _ 2xy x 2 +y 2 , (x, y) ,= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) i) Demuestra que f no es diferenciable en (0, 0). ii) Demuestra que las derivadas parciales ∂f ∂x y ∂f ∂y existen en (0, 0) pero ∂f ∂x no es continua en (0, 0). Problema 1.17 Sea la función f(x, y) = _ x 2 +y 2 . i) Demuestra que ∂f ∂x no está definida en (0, 0). ii) ¿Es f diferenciable en (0,0)? Problema 1.18 Sea la función f(x, y) = _ _ _ xy 2 x 2 +y 4 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) . i) Calcular el l´ımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de las curvas x = λy 2 . ii) Calcular las derivadas parciales de f en (0, 0). iii) ¿Es f continua en (0, 0)? Problema 1.19 i) Estudia la continuidad de la función f(x, y) = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ x 2 y 4 x 2 +y 2 (x, y) ,= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ii) Calcula las derivadas parciales en (0, 0) y estudia all´ı la diferenciabilidad. Problema 1.20 Sea la función h(x, y) = _ _ _ x 2 y 2 x 4 +y 4 , (x, y) ,= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Demuestra que tanto ∂h ∂x (0, 0) como ∂h ∂y (0, 0) existen y sin embargo la función h no es continua en (0, 0). 5 Problema 1.21 Demuestra que las siguientes funciones son diferenciables: i) f(x, y) = x 2 +y 2 ii) f(x, y) = xy iii) f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 iv) f(x, y, z) = sen(x +y +z) v) f(x, y) = e x seny vi) f(x, y) = (x 2 +y 2 )e −xy vii) f(x, y) = x x 2 +y 2 en (x, y) ,= (0, 0). Problema 1.22 Estudia la existencia de derivadas parciales y la diferenciabilidad en (0, 0) de las siguientes funciones: i) f(x, y) = _ _ _ xy _ x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); ii) f(x, y) = _ _ _ x 3 −y 3 x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). Problema 1.23 Sea la función f(x, y) = [xy[ α . i) Si α > 1/2. Prueba que f(x, y) = es diferenciable en (0, 0). ii) Si α = 1/2, calcula ∂f ∂x y ∂f ∂y en (0, 0). iii) Demuestra que en este caso f no es diferenciable en (0, 0). Problema 1.24 Halla la ecuación del plano tangente a la gráfica de las siguientes funciones en los puntos (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )) indicados: i) f(x, y) = x −y + 2, (x 0 , y 0 ) = (1, 3); ii) f(x, y) = x 2 + 4y 2 , (x 0 , y 0 ) = (2, −1); iii) f(x, y) = log(x +y) +xcos y, (x 0 , y 0 ) = (1, 0); iv) f(x, y) = _ x 2 +y 2 , (x 0 , y 0 ) = (1, 1/2). Solución: i) x −y −z = −2; ii) 4x −8y −z = 16; iii) 2x +y −z = 1; iv) 2x +y − √ 5z = 0. Problema 1.25 Halla la ecuación del plano tangente a las siguientes superficies en los puntos (x 0 , y 0 , z 0 ) indicados: i) x 2 +y 2 +z 2 = 3, (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 1, 1); ii) x 3 −2y 3 +z 3 = 0, (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 1, 1); iii) e z cos xcos y = 0, (x 0 , y 0 , z 0 ) = (π/2, 1, 0); iv) e xyz = 1, (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 2, 0). Solución: i) x +y +z = 3; ii) x −2y +z = 0; iii) x = π/2; iv) z = 0. 6 1.3 Funciones vectoriales y operadores diferenciales. Problema 1.26 Calcula la matriz jacobiana de las siguientes funciones: i) A(x, y, z) = (x y , z); ii) b(x, y) = sen(xseny); iii) C(x) = _ x + e x , x 2 , cos x _ ; iv) D(x, y) = (xe y + cos y, x, x + e y ); v) E(x, y, z) = (x + e z +y, yx 2 ); vi) F(x, y, z) = (xye xy , xseny, 5xy 2 ); vii) g(x, y, z, t) = x 2 log t +x √ z −ty. Problema 1.27 i) Sea T : IR 3 → IR 2 definida por T(x, y, z) = (x −3y +2z, 2x +y −2z). Calcula la matriz jacobiana DT. ii) Demuestra que toda aplicación lineal T A : IR n −→ IR m x −→ Ax con A una matriz mn, es diferenciable en todo punto a ∈ IR n y que DT A (a) = A. iii) Sea T : IR 3 → IR definida por T(x, y, z) = 2x 2 −6xy +xz −y 2 +yz + 3z 2 . Calcula las matriz jacobiana DT. iv) Demuestra que toda forma cuadrática T Q : IR n −→ IR x −→ ¸Qx, x) = x T Qx con Q una matriz n n simétrica, es diferenciable en todo punto a ∈ IR n y que DT Q (a) = 2Qa. Problema 1.28 Calcula el jacobiano (el determinante de la matriz derivada) de la transfor- mación de i) coordenadas polares a cartesianas (IR 2 ), ii) coordenadas cil´ındricas a cartesianas (IR 3 ), iii) coordenadas esféricas a cartesianas (IR 3 ), iv) coordenadas cil´ındricas a esféricas (IR 3 ). Problema 1.29 Sea una part´ıcula de masa m = 3 que se mueve sobre una trayectoria s(t) = (e t , e −t , cos t) de acuerdo a la ley de Newton (fuerza = masa aceleración). i) Calcula la fuerza que act´ ua sobre la part´ıcula en el instante t = 0. ii) Si en el instante t = 1 se suelta la part´ıcula (desaparece el campo de fuerzas), y ésta sale por la tangente, calcula en qué punto se encuentra en el instante t = 2. 7 Problema 1.30 Sea una part´ıcula de masa m que se mueve sobre una trayectoria r(t) en IR 3 de acuerdo a la ley de Newton, en un campo de fuerza F = −∇V , donde V es una función dada de energ´ıa potencial. i) Demostrar que la energ´ıa total (cinética + potencial) E(t) = 1 2 m[[r (t)[[ 2 +V (r(t)) es constante en el tiempo. ii) Demostrar que si la part´ıcula se mueve sobre una superficie equipotencial, entonces el módulo de la velocidad es constante. Problema 1.31 Demostrar que las siguientes trayectorias satisfacen la relación s (t) = F(s(t)) para los correspondientes campos (son l´ıneas de flujo) i) s(t) = (t 2 , 2t −1, √ t), F(x, y, z) = (y + 1, 2, 1 2z ); ii) s(t) = (e 2t , 1 t , log t), F(x, y, z) = (2x, −y 2 , y); iii) s(t) = ( 1 1 −t , log t, e t 1 −t ), F(x, y, z) = (x 2 , x x −1 , z(1 +x)). Problema 1.32 Calcula la divergencia y el rotacional de los siguientes campos i) F(x, y) = (3x 2 y, x 3 +y 3 ); ii) F(x, y, z) = (yz, xz, xy); iii) F(x, y, z) = (yz, −xz, xy)/(x 2 +y 2 +z 2 ). Problema 1.33 Escribe la divergencia y el rotacional de cada uno de los campos siguientes: i) v(x, y) = xi +yj +zk, ii) v(x, y, z) = x x 2 +y 2 +z 2 i + y x 2 +y 2 +z 2 j + z x 2 +y 2 +z 2 k, iii) v(x, y, z) = xi + 2yj + 3zk, iv) v(r) = r −2 r, donde r = (x, y, z) (posición) y r = |r| (distancia al origen). Problema 1.34 Sea x ∈ IR n , x ,= 0, r = [[x[[ y k una constante; i) si f(x) = r k , calcula ∇f; ii) si F(x) = r k x, calcula div F; iii) si F(x) = r k x, y n = 3, calcula rot F; iv) si f(x) = r k , calcula ∆f. Solución: i) kr k−2 x; iv) k(k +n −2)r k−2 . Problema 1.35 Prueba las siguientes identidades que aparecen en análisis vectorial, si f y F son de clase C 2 (esto implica que las derivadas cruzadas son iguales, es decir, ∂ 2 f/∂x i ∂x j = ∂ 2 f/∂x j ∂x i ): 8 i) rot(∇f) = 0; (∇(∇f) = 0). ii) div(rot F) = 0; (∇ (∇F) = 0). iii) ∇(fg) = f∇g +g∇f; iv) div(fF) = f divF +F∇f; (∇ (fF) = f∇ F +F ∇f). v) div(f∇g −g∇f) = f∆g −g∆f; (∇ (f∇g −g∇f) = f∇ 2 g −g∇ 2 f). 1.4 Regla de la cadena y derivadas direccionales. Problema 1.36 Halla la derivada direccional en el punto dado en la dirección indicada: i) f(x, y) = x 2 +y 3 en (1, 1) en la dirección de (1, −1). ii) f(x, y) = x + sen(x +y) en (0, 0) en la dirección de (2, 1). iii) f(x, y) = xe y −ye x en (1, 0) en la dirección de (3, 4). iv) f(x, y) = 3x x −y en (1, 0) en la dirección de (1, − √ 3). v) f(x, y, z) = x 2 y +y 2 z +z 2 x en (1, −1, 1) en la dirección de (1, −1, 2). vi) f(x, y) = x 2 y +xy 2 en (1, 1) en la dirección de (−1, 3). vii) f(x, y, z) = log _ x 2 +y 2 +z 2 en (2, 0, 1) en la dirección de (1, 2, 0). viii) f(x, y, z) = e x cos(yz) en (0, 0, 0) en la dirección (2, 1, −2). ix) f(x, y) = 2x 3 y−3y 2 en (2, 1) en la dirección (a, √ 1 −a 2 ). Halla a para que sea máxima. x) f(x, y, z) = xy +yz +zx en (1, 1, 2) en la dirección (10, −1, 2). Solución: ix) a = 12 13 . Problema 1.37 Sea f(x, y) = e x+2y . Halla el conjunto de puntos (x, y) ∈ IR 2 tales que la derivada direccional de f en el punto (x, y) en la dirección del vector (4, 3) sea igual a 2e. Solución: ¦x + 2y = 1¦. Problema 1.38 Sea f(x, y) = 1+sen(3x+y). ¿Existe alg´ un vector v ∈ IR 2 tal que la derivada direccional de f en el punto (0, 0) en la dirección del vector v sea igual a 1? Solución: v = (0, 1), v = (3/5, −4/5). Problema 1.39 Sea la función f(x, y) = x 2 −y 2 x 2 +y 2 . i) Calcula en qué dirección es nula la derivada direccional de f en el punto (1, 1). ii) La misma pregunta para un punto (x 0 , y 0 ) arbitrario del primer cuadrante. iii) Utiliza el apartado anterior para describir las curvas de nivel de f. Problema 1.40 Consideremos las funciones f (x, y) = (tg y x −x +y, log y + 1 x ) g(t, s) = (t cos s, e t , s −2t) h(u, v, w) = uv 2 e w F = h ◦ g ◦ f . 9 i) Calcula Df , Dg, Dh, DF. ii) Calcula el plano tangente a la gráfica de F en el punto (1, 0, F(1, 0)). iii) Calcula la derivada direccional de F en ese punto en la dirección de α = (3, −4). Solución: ii) y −z = 1; iii) −4/5. Problema 1.41 Sea la función f(x, y) = _ _ _ x 2 y x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). i) Prueba que f es derivable en (0, 0) en cualquier dirección. ii) Prueba que f no es diferenciable en (0, 0). Problema 1.42 La temperatura en cada punto de una hoja de metal viene dada por la función T(x, y) = e x cos y +e y cos x. i) ¿En que dirección crece la temperatura más rápidamente a partir del punto (0, 0)? ii) ¿En que dirección decrece la temperatura más rápidamente a partir del punto (0, 0)? Problema 1.43 La densidad de una bola de metal centrada en el origen viene dada por la función ρ(x, y, z) = ke −(x 2 +y 2 +z 2 ) , k constante positiva. i) ¿En que dirección crece la densidad más rápidamente a partir del punto (x, y, z)? ii) ¿ En que dirección decrece la densidad más rápidamente a partir del punto (x, y, z)? iii) ¿Cuáles son los coeficientes de variación de la densidad en (x, y, z) en las direcciones i, j, k? Problema 1.44 i) Sea h(x, y) = 2e −x 2 +e −3y 2 la altura de una monta˜ na en la posición (x, y) ∈ IR 2 . ¿En qué dirección desde (1, 0) se deber´ıa comenzar a caminar para escalar lo más rápido posible? ii) Supongamos que la temperatura en cada punto (x, y, z) ∈ IR 3 viene dada por la función T(x, y, z) = e −x +e −2y +e −3z . ¿En qué dirección debe moverse una persona situada en el punto (1,1,1) con el fin de enfriarse lo más rápido posible? Solución: i) (−1, 0). Problema 1.45 i) Dada F(x, y) = (x 2 + 1, y 2 ) y G(u, v) = (u +v, u, v 2 ), calcula D(G◦ F)(1, 1). ii) Calcula mediante la regla de la cadena dh dx donde h(x) = f(x, u(x), v(x)) ∂h ∂x donde h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y), w(x)) ∂h ∂z donde h(x, y, z) = f(u(x, w(y, z)), v(w(y, z), z)) . 10 iii) Dada f ∈ C 1 (IR), definimos z(x, y) = f(x +y) +f(x −y). Calcula ∂z ∂x y ∂z ∂y . iv) Dadas las funciones u = log(x +y), v = arctg(x/y), z = e uv , calcula ∂z ∂x y ∂z ∂y . v) Calcula h (0) si h = f ◦ s, donde f(x, y, z) = log(1 +x 2 + 2z 2 ) 1 +y 2 , s(t) = (t + 1, 1 −t 2 , sent). Solución: v) 1/2. Problema 1.46 Escribe en coordenadas polares la expresión x ∂u ∂y −y ∂u ∂x . Solución: ∂u ∂θ . Problema 1.47 i) Estudia la continuidad de la función f(x, y) = _ _ _ (x −y) 2 x 2 +y 2 (x, y) ,= (0, 0) 1 (x, y) = (0, 0). ii) Calcula, si existen, las derivadas parciales en el (0, 0) y explica la relación con el apartado anterior. iii) Sea g(u, v, w) = (sen(uv), 1 w cos(uv)). Calcula la derivada direccional de h = f ◦ g en (π, 1/2, 2) en la dirección del vector (1, 1, 1). 2 Estudio local de funciones de varias variables. 2.1 Derivadas de orden superior. Problema 2.1 Sea la función f(x, y) = _ _ _ xy(x 2 −y 2 ) x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). i) Calcula las derivadas parciales fuera del origen. ii) Demuestra que ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0. iii) Demuestra que ∂ 2 f ∂x∂y (0, 0) = 1, mientras que ∂ 2 f ∂y∂x (0, 0) = −1. Explica lo que ocurre. Problema 2.2 Calcula la matriz hessiana de las funciones: i) f(x, y) = log(x 2 +y 3 ); 11 ii) f(x, y) = x 2 cos y +y 2 senx; iii) f(x, y) = x y ; iv) f(x, y) = arctg(xy); v) f(x, y) = arctg(x/y); vi) f(x, y, z) = sen(x +z y ); vii) f(x, y, z) = (x +y)(y +z)(z +x). Problema 2.3 i) Sea T : IR 3 → IR definida por T(x, y, z) = 2x 2 − 6xy + xz − y 2 + yz + 3z 2 . Calcula las matrices jacobiana y hessiana DT y HT. ii) Demuestra que toda forma cuadrática T Q : IR n −→ IR x −→ ¸Qx, x) = x T Qx con Q una matriz n n simétrica, es dos veces diferenciable en todo punto a ∈ IR n y que DT Q (a) = 2Qa, HT Q = D 2 T Q (a) = 2Q. Problema 2.4 i) Prueba que las siguientes funciones de IR 2 , a) u(x, y) = arctg(y/x), b) u(x, y) = log(x 2 +y 2 ), son armónicas, es decir, satisfacen la ecuación de Laplace ∆u = 0 en su dominio. ii) Si u(x, y) = f(r), con r = _ x 2 +y 2 (u es una función radial), prueba que se verifica ∆u = f (r) + 1 r f (r). iii) Si u(x, y) = f(r, θ) (coordenadas polares), prueba que se verifica ∆u = ∂ 2 f ∂r 2 + 1 r ∂f ∂r + 1 r 2 ∂ 2 f ∂θ 2 . iv) Rehaz el primer apartado con estas fórmulas. Problema 2.5 i) Prueba que las siguientes funciones u(x, y, z) = (x 2 +y 2 +z 2 ) −1/2 , en IR 3 u(x, y, z, w) = (x 2 +y 2 +z 2 +w 2 ) −1 , en IR 4 , son armónicas (∆u = 0) en su dominio. ii) Calcula k ∈ IR para que la función u(x) = r k con x ∈ IR n , r = [[x[[, sea armónica para x ,= 0. 12 iii) Si u(x) = f(r), (u es una función radial), prueba que se verifica ∆u = f (r) + n −1 r f (r). Problema 2.6 Demuestra que u(x, y) = x 2 y 2 x +y satisface la ecuación diferencial: x ∂u ∂x +y ∂u ∂y = 3u. Problema 2.7 Demuestra que u = x 2 y +y 2 z +z 2 x satisface la ecuación diferencial: ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z = (x +y +z) 2 . Problema 2.8 Demuestra que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de Laplace: ∂ 2 f ∂x 2 + ∂ 2 f ∂y 2 = 0 i) f(x, y) = x 3 −3xy 2 , ii) f(x, y) = e −y cos x, iii) f(x, y) = log _ x 2 +y 2 . Problema 2.9 Demuestra que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de ondas: ∂ 2 f ∂t 2 −c 2 ∂ 2 f ∂x 2 = 0 i) f(x, t) = (Ax +B)(Ct +D). ii) f(x, t) = g(x −ct) donde g es cualquier función dos veces derivable. Problema 2.10 Encuentra soluciones del tipo f(x, t) = cos(kx − ωt) de las ecuaciones en derivadas parciales (k, ω son constantes): i) ∂ 2 f ∂t 2 = c 2 ∂ 2 f ∂x 2 , (ecuación de ondas, con c constante); ii) ∂ 2 f ∂t 2 = c 2 ∂ 2 f ∂x 2 −h 2 f, (ecuación de Klein–Gordon, con c, h constantes). Problema 2.11 Encuentra soluciones del tipo u(x, t) = e −λt senkx de la ecuación (λ, k son constantes) ∂u ∂t = µ ∂ 2 u ∂x 2 , (ecuación del calor, con µ constante). Problema 2.12 Encuentra soluciones del tipo v(x, t) = λsech 2 (kx−ωt) de la ecuación (λ, k, ω son constantes) ∂v ∂t + ∂ 3 v ∂x 3 +v ∂v ∂x = 0, (ecuación K-dV, con v constante). 13 Problema 2.13 Considera la ecuación de ondas ∂ 2 f ∂t 2 = c 2 ∂ 2 f ∂x 2 (c es una constante). i) Demuestra que el cambio de variables f(x, t) = u(ξ, η), con ξ = x + ct, η = x − ct, la convierte en la ecuación ∂ 2 u ∂η∂ξ = 0. ii) Comprueba entonces que dado cualquier par de funciones ϕ 1 y ϕ 2 de una variable (derivables dos veces), la función f(x, y) = ϕ 1 (x + ct) + ϕ 2 (x − ct) es solución de la ecuación de ondas. iii) Esboza la gráfica de f si ϕ 1 (ξ) = _ 1 + cos ξ si [ξ[ ≤ π 0 si [ξ[ > π , ϕ 2 (η) = 0. Problema 2.14 Para la ecuación ∂u ∂t + 3 ∂u ∂x = 0, i) demuestra que u(a + 3t, t) es constante para cada a ∈ IR; ii) si u(x, 0) = x 2 , calcula u(5, 1). Solución: ii) 4. Problema 2.15 En la teor´ıa de la relatividad de Einstein, se define la transformación de Lorentz mediante f(x, t) = u(ξ, η), con _ ξ = γ (x −vt) η = γ _ t − v c 2 x _ , donde γ = (1 −v 2 /c 2 ) −1/2 , v ∈ IR. i) Calcula la matriz jacobiana de la transformación. ii) Comprueba que la transformación de Lorentz deja invariante la ecuación de ondas, es decir, ∂ 2 f ∂t 2 −c 2 ∂ 2 f ∂x 2 = 0 ⇐⇒ ∂ 2 u ∂η 2 −c 2 ∂ 2 u ∂ξ 2 = 0. 2.2 Extremos de funciones de varias variables. Problema 2.16 Halla los puntos cr´ıticos y determina los valores extremos locales de las siguientes funciones de dos variables: i) f(x, y) = x 2 + 2y 2 −4y, ii) g(x, y) = x 2 −xy +y 2 + 2x + 2y −6, iii) h(x, y) = 3x 2 + 2xy + 2x +y 2 −y + 4, iv) k(x, y) = 8x 3 −24xy +y 3 . Problema 2.17 Calcula los extremos de la función f(x, y) = e −x 2 +εy 2 para ε = 0, 1, −1. Problema 2.18 Calcula los extremos de las siguientes funciones en los recintos que se especifican: 14 i) f(x, y) = x 3 y 3 en IR 2 ; ii) f(x, y) = x 4 y 4 en IR 2 ; iii) f(x, y) = x 2 +xy +y 2 −3x −6y en IR 2 ; iv) f(x, y) = x −y 1 +x 2 +y 2 en IR 2 ; v) f(x, y) = [x[ +[y[ en A = ¦(x, y) : [x[ ≤ 1, [y[ ≤ 1¦; vi) f(x, y) = x 2 +2xy+y 2 en A = ¦(x, y) : [x[ ≤ 2, [y[ ≤ 1¦ y en B = ¦(x, y) : x 2 +y 2 ≤ 8¦. Solución: i) (x, 0) y (0, y) son puntos de silla (f no tiene máximos ni m´ınimos); ii) (x, 0) y (0, y) son m´ınimos globales (f no tiene máximos); v) (0, 0) es el m´ınimo global y (±1, ±1) son los máximos globales; vi) (x, −x) son los m´ınimos globales tanto en A como en B; (2, 1) y (−2, −1) son los máximos globales en A; (2, 2) y (−2, −2) son los máximos globales en B. Problema 2.19 Estudia si las siguientes funciones tienen un extremo (local o global) en el origen (0, 0): i) f(x, y) = x 4 + 2xy 3 +y 4 + 2xy; ii) g(x, y) = _ xy +xy 3 sen(x/y) si y ,= 0 0 si y = 0. Indicación: En el apartado ii) acércate a (0, 0) por dos rectas distintas, de forma que la función compuesta con las rectas tenga un punto máximo en 0 por una de ellas y un punto m´ınimo en 0 por la otra. Solución: Las dos funciones tienen un punto de silla en (0, 0). Problema 2.20 Sea la función φ : IR n → IR definida por φ(x) = re −r , r = [[x[[. i) Halla los extremos locales y globales de φ en los casos n = 1 y n = 2. ii) Estudia la diferenciabilidad de φ en esos puntos. Problema 2.21 Dado el conjunto de pares de valores ¦(x i , y i ), i = 1, . . . , N¦, construimos la función de dos variables f(m, b) = N i=1 (y i −mx i −b) 2 . Encuentra los valores de m y b que minimizan f. (Método de m´ınimos cuadrados para aproximar el conjunto de puntos ¦(x i , y i )¦ mediante la recta y = mx +b). 2.3 Extremos condicionados. Problema 2.22 Maximiza x 2 +y 2 en la curva x 4 + 7x 2 y 2 +y 4 = 1. Problema 2.23 Maximiza xyz en la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 1. Problema 2.24 Minimiza x + 2y + 4z en la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 1. Problema 2.25 15 i) Calcula el m´ınimo de la función f(x, y) = x 2 +y 2 en el conjunto A = ¦xy = 1¦. ii) Calcula el máximo y el m´ınimo de la función f(x, y) = xy en el conjunto A = ¦x 2 +4y 2 = 4¦. Solución: i) los puntos m´ınimos son (1, 1) y (−1, −1); ii) los puntos máximos son ( √ 2, 1/ √ 2 ) y (− √ 2, −1/ √ 2 ); los puntos m´ınimos son ( √ 2, −1/ √ 2 ) y (− √ 2, 1/ √ 2 ). Problema 2.26 Calcula los extremos de las siguientes funciones sujetas a las restricciones que se especifican: i) f(x, y) = xy sujeto a 2x + 3y −5 = 0; ii) g(x, y, z) = xyz sujeto a x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1; iii) h(x, y, z) = x 2 y 4 z 6 sujeto a x +y +z = 1, x, y, z > 0; iv) u(x, y) = log x x + log y y sujeto a x +y = 1 x, y > 0. Problema 2.27 Calcular los máximos y m´ınimos absolutos de la función f(x, y) = x 2 +y 2 + 6x −8y + 25 en el conjunto D = ¦x 2 +y 2 ≤ 16¦. Problema 2.28 Encuentra los extremos de las siguientes funciones en los conjuntos que se indican: i) f(x, y, z) = x +y +z en S = ¦ 2x 2 + 3y 2 + 6z 2 = 1 ¦; ii) f(x, y) = x 2 +y 2 −2x −2y + 2 en T = ¦ y/2 ≤ x ≤ 3 − √ 2y, 0 ≤ y ≤ 2 ¦; iii) f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 en U = ¦ (x, y, z) ∈ IR 3 / z ≥ x 2 +y 2 −2 ¦. Solución: i) el punto máximo es (1/2, 1/3, 1/6) y el punto m´ınimo es (−1/2, −1/3, −1/6); ii) el punto máximo es (3, 0) y el punto m´ınimo es (1, 1); iii) no existe máximo y el punto m´ınimo es (0, 0, 0). Problema 2.29 Encuentra los valores máximo y m´ınimo de la función f(x, y, z) = x+2y +3z en la elipse x 2 +y 2 = 2, x +z = 1. Solución: M = 7, m = −1. Problema 2.30 Halla la distancia del punto (2, 2, 2) a la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 1. Problema 2.31 Calcula la distancia del punto (4, 4, 10) a la esfera (x−1) 2 +y 2 +(z+2) 2 = 25: i) geométricamente; ii) utilizando multiplicadores de Lagrange. Solución: 8. Problema 2.32 Representa un n´ umero positivo a como producto de cuatro factores positivos cuya suma sea m´ınima. 16 Problema 2.33 Un fabricante puede producir tres productos distintos en cantidades Q 1 , Q 2 , Q 3 respectivamente, y genera un beneficio igual a P(Q 1 , Q 2 , Q 3 ) = 2Q 1 + 8Q 2 + 24Q 3 . Halla los valores de Q 1 , Q 2 , Q 3 que maximizan el beneficio si la producción está sujeta a la restricción Q 2 1 + 2Q 2 2 + 4Q 2 3 = 4.5 10 9 . Problema 2.34 La producción de una compa˜ n´ıa es una función Q = f(K, L) = K α L 1−α , donde 0 < α < 1, K es la cantidad de capital invertido y L es la cantidad de trabajo usado. El precio del capital es p y el del trabajo q. Calcula la proporción entre el capital y el trabajo que hay que utilizar para maximizar la producción usando un presupuesto B. Solución: K L = αq (1 −α)p . Problema 2.35 Demuestra que los puntos cr´ıticos de la función f(x 1 , . . . , x n ) = n i,j=1 a ij x i x j , con la restricción n i=1 x 2 i = 1, son los autovectores de la matriz simétrica (a ij ). (Los puntos cr´ıticos de f(x) = ¸Ax, x) con la restricción [[x[[ = 1 son los autovectores de A). 3 Integración en IR n 3.1 Integral m´ ultiple. Problema 3.1 Calcula _ _ Q f en los siguientes casos: i) f(x, y) = xy(x +y), Q = [0, 1] [0, 1], ii) f(x, y) = x 3 + 3x 2 y +y 3 , Q = [0, 1] [0, 1], iii) f(x, y) = sen 2 xsen 2 y, Q = [0, π] [0, π], iv) f(x, y) = sen(x +y), Q = [0, π/2] [0, π/2], v) f(x, y) = xseny −ye x , Q = [−1, 1] [0, π/2], vi) f(x, y) = _ [y −x 2 [, Q = [−1, 1] [0, 2]. Problema 3.2 Dibuja la región de integración Q y calcula _ _ Q f en los siguientes casos: i) f(x, y) = x 2 −y, Q = ¦(x, y) ∈ IR 2 , x ∈ [−1, 1], −x 2 ≤ y ≤ x 2 ¦, ii) f(x, y) = 2x −sen(x 2 y), Q = ¦(x, y) ∈ IR 2 , x ∈ [−2, 2], [y[ ≤ [x[¦, iii) f(x, y) = xy −x 3 , Q = ¦(x, y) ∈ IR 2 , x ∈ [0, 1], −1 ≤ y ≤ x¦, iv) f(x, y) = y senx, Q = ¦(x, y) ∈ IR 2 , [x[ +[y[ ≤ 1¦. 17 Problema 3.3 Sea f : Q = [0, 1] [0, 1] −→ IR definida por f(x, y) = _ 0 0 ≤ x < 1/2 1 1/2 ≤ x ≤ 1 . Prueba que f es integrable y que _ Q f = 1 2 . Problema 3.4 i) Prueba, sin resolver la integral, que 4π ≤ _ D (x 2 +y 2 + 1) dxdy ≤ 20π , donde D es el disco de radio 2 centrado en el origen. ii) Sea A el cuadrado [0, 2] [1, 3] y sea f(x, y) = x 2 y. Prueba, sin hacer la integral, que 0 ≤ _ A f(x, y) dxdy ≤ 48 . iii) Mejora esta ´ ultima estimación y prueba que 3 ≤ _ A f(x, y) dxdy ≤ 25 . Indicación: utiliza una partición de A en cuatro cuadrados iguales. Problema 3.5 En los siguientes casos, calcula de forma aproximada, mediante sumas superi- ores e inferiores, la integral _ R f(x, y) dA, donde R = [0, 4][0, 2]. Usa una partición formada por ocho cuadrados de lados iguales. Calcula también de forma exacta la integral doble y compara los resultados. i) f(x, y) = x +y ii) f(x, y) = xy iii) f(x, y) = x 2 +y 2 iv) f(x, y) = 1/[(x + 1)(y + 1)]. Solución: i) 16 < I < 32, (I = 24); ii) 6 < I < 30, (I = 16); iii) 32 < I < 80, (I = 160/3); iv) 77/72 < I < 25/8, (I = log 3 log 5). Problema 3.6 Representa la imagen de f en el cuadrado Q = [0, 1] [0, 1] y calcula _ Q f para los siguientes casos: i) f(x, y) = _ 1 −x −y si x +y ≤ 1 0 si x +y ≥ 1 ii) f(x, y) = _ 1 si x = y 0 en el resto iii) f(x, y) = _ x +y si x 2 ≤ y ≤ 2x 2 0 en el resto iv) f(x, y) = _ x 2 +y 2 si x 2 +y 2 ≤ 1 0 en el resto. Solución: i) 1/6; ii) 0; iii) (21 −8 √ 2)/40; iv) π/8. Problema 3.7 Demuestra que dos pirámides con la misma base y la misma altura tienen el mismo volumen. Calcula mediante integración dicho volumen. 18 Problema 3.8 Un cono se obtiene uniendo todos los puntos de una región plana S con un punto no situado en el plano de S. Designando por A el área de S y con h la altura del cono, prueba que: i) El área de la sección producida por un plano paralelo a la base y a distancia t del vértice es (t/h) 2 A si 0 ≤ t ≤ h. ii) El volumen del cono es 1 3 Ah. Problema 3.9 Calcula _ D (x 2 +y) dxdy, donde D = ¦ (x, y) ∈ IR 2 : [x[ +[y[ ≤ 1 ¦. Solución: 1/3. Problema 3.10 Calcula _ 1 0 _ 1 0 f(x, y) dxdy, donde f(x, y) = max([x[, [y[). Solución: 2/3. Problema 3.11 Calcula, mediante una integral doble, el área limitada por las curvas y = x, y = 2 −x 2 . Solución: 9/2. Problema 3.12 Determina el recinto de integración y cambia el orden de integración en las siguientes integrales: i) _ 3 0 _ √ 25−x 2 4x/3 f(x, y)dy dx ii) _ 1 0 _ y 0 f(x, y)dxdy iii) _ π/2 0 _ sen(x/2) −sen(x/2) f(x, y)dy dx iv) _ e 1 _ log x 0 f(x, y)dy dx. Solución: i) ¦0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ 3y/4¦ ∪ ¦4 ≤ y ≤ 5, 0 ≤ x ≤ _ 25 −y 2 ¦; ii) ¦0 ≤ x ≤ y, x ≤ y ≤ 1¦; iii) ¦−1/ √ 2 ≤ y ≤ 0, −2 arcseny ≤ x ≤ π/2¦ ∪¦0 ≤ y ≤ 1/ √ 2 , 2 arcseny ≤ x ≤ π/2¦; iv) ¦0 ≤ y ≤ 1, e y ≤ x ≤ e¦. Problema 3.13 Sobre el recinto R = ¦(x, y) ∈ IR 2 / x 2 + (y − 1) 2 ≤ 1, x ≥ 0¦, se consideran las funciones f(x, y) = 1 √ 1 −x 2 y g(x, y) = sen(y − 1). Aplica el teorema de Fubini a _ R f e _ R g en las dos ordenaciones posibles. Calcula las integrales en el orden más adecuado. Solución: _ R f = 2, _ R g = 0. Problema 3.14 Halla el valor de la integral _ π 0 _ π x seny y dy dx. Solución: 2. Problema 3.15 Calcula 19 i) _ 1 0 _ 1 0 _ 1 0 (x 2 +y 2 +z 2 ) dxdydz, ii) _ 1 0 _ 1 0 _ 1 0 (x +y +z) 2 dxdydz. Solución: i) 1; ii) 2. Problema 3.16 Calcula las siguientes integrales en los recintos que se indican: i) _ W x 3 dV , donde W = [0, 1] [0, 1] [0, 1]. ii) _ W e −xy y dV , donde W = [0, 1] [0, 1] [0, 1]. iii) _ W (2x + 3y +z) dV , donde W = [1, 2] [−1, 1] [0, 1]. iv) _ W ze x+y dV , donde W = [0, 1] [0, 1] [0, 1]. Problema 3.17 Calcula las siguientes integrales y esboza la región de integración. i) _ W x 2 cos xdV , donde W es la región limitada por los planos z = 0, z = π, y = 0, y = 1, x = 0 y x +y = 1. ii) _ 1 0 _ 2x 0 _ x+y x 2 +y 2 dz dy dx. Problema 3.18 Halla los vol´ umenes de las regiones limitadas por: i) z = x 2 + 3y 2 , z = 9 −x 2 . ii) x 2 + 2y 2 = 2, z = 0, x +y + 2z = 2. Problema 3.19 Demuestra las identidades i) _ x 0 _ t 0 F(u) dudt = _ x 0 (x −u)F(u) du ii) _ x 0 _ v 0 _ u 0 f(t) dtdudv = 1 2 _ x 0 (x −t) 2 f(t) dt. 3.2 Cambios de variables en la integral m´ ultiple. Problema 3.20 Usa una transformación lineal para calcular _ S (x−y) 2 sen 2 (x+y) dxdy, siendo S el paralelogramo de vértices (π, 0), (2π, π), (π, 2π) y (0, π). Solución: 13π 4 /48. Problema 3.21 Calcula _ D (y −x) dxdy, siendo D la región del plano limitada por las rectas y = x + 1, y = x −3, y = (7 −x)/3 e y = 5 −x/3. Solución: −8. 20 Problema 3.22 Sea la aplicación definida por _ x = u +v y = v −u 2 . Calcula: i) el jacobiano J(u, v); ii) la imagen S en el plano XY del triángulo T en el plano UV de vértices (0,0), (2,0) y (0,2); iii) el área de S; iv) la integral _ S (x −y + 1) −2 dxdy. Solución: i) 1 + 2u; iii) 14/3; iv) 2 + (π −6 arctg(5/ √ 3)) √ 3/9. Problema 3.23 Calcula la integral doble _ _ D log(x 2 + y 2 ) dxdy donde D es el recinto del primer cuadrante del plano comprendido entre las curvas x 2 +y 2 = 1, x 2 +y 2 = 4. Problema 3.24 Halla la integral de la función f(x, y) = y 4 b 4 _ x 2 a 2 + y 2 b 2 __ 1 + x 2 a 2 + y 2 b 2 _ +xy 2 sobre el recinto D = _ x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 _ , donde a y b son constantes positivas. Solución: 3πab(1 −log 2)/8. Problema 3.25 Halla la integral de la función f(x, y) = x _ x 2 +y 2 e √ x 2 +y 2 sobre los recintos E = ¦ x 2 + (y −1) 2 ≤ 1 ¦ y H = ¦ x 2 + (y −1) 2 ≤ 1, x ≥ 0 ¦. Solución: _ E f = 0, _ H f = 2. Problema 3.26 Sobre el recinto R = ¦(x, y) ∈ IR 2 / x 2 +(y −1) 2 ≤ 1, x ≥ 0¦, halla la integral de la función h(x, y) = _ 2y 2 +x 2 y . Solución: _ R h = 1 +π/2. Problema 3.27 Calcula _ D dxdy xy , donde D es el dominio plano limitado por las curvas x 2 +y 2 = ax, x 2 +y 2 = a x, x 2 +y 2 = by , x 2 +y 2 = b y , siendo 0 < a < a , 0 < b < b . Indicación: Efect´ ua un cambio de variable adecuado, de forma que el nuevo dominio sea el rectángulo [a, a ] [b, b ]. 21 Solución: log(a /a) log(b /b) (el valor absoluto del jacobiano de la transformación inversa es x 2 y 2 /(x 2 +y 2 ) 2 ). Problema 3.28 Calcula la integral _ S xdxdy 4x 2 +y 2 , donde S es la región del primer cuadrante limitada por los ejes coordenados y las elipses 4x 2 +y 2 = 16, 4x 2 +y 2 = 1. Solución: 3/4. Problema 3.29 Si R es la región limitada por el plano z = 3 y el cono z = _ x 2 +y 2 , calcula i) _ R _ x 2 +y 2 +z 2 dxdydz , ii) _ R _ 9 −x 2 −y 2 dxdydz . Solución: i) 27π(2 √ 2 −1)/2; ii) 54π −81π 2 /8. Problema 3.30 Calcula _ W f(x, y, z) dxdydz , en los siguientes casos: i) f(x, y, z) = e −(x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 , y W es la región que queda bajo la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 y sobre el cono z = _ x 2 +y 2 . ii) f(x, y, z) = z e x 2 +y 2 +z 2 , y W = ¦ x 2 +y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 1 ¦. iii) f(x, y, z) = _ 1 −x 2 −y 2 + xyz 3 1 +z 2 , y W = ¦ a 2 ≤ x 2 +y 2 +z 2 ≤ 1 ¦, 0 < a < 1. Solución: i) π(2 − √ 2)(1 −e −27 )/3; ii) π(e −1) 2 /4; iii) πa 2 (2 −a 2 ). 3.3 Aplicaciones. Problema 3.31 Calcula las siguientes áreas: i) área de la región A = ¦(x, y) ∈ IR 2 : x, y > 0, a 2 y ≤ x 3 ≤ b 2 y, p 2 x ≤ y 3 ≤ q 2 x, ¦, donde 0 < a < b y 0 < p < q. ii) área encerrada por las curvas xy = 4, xy = 8, xy 3 = 5 y xy 3 = 15. Solución: i) (b −a)(q −p)/2; ii) 2 log 3. Problema 3.32 Calcula los siguientes vol´ umenes: i) volumen de la intersección del cilindro x 2 +y 2 ≤ 4 y la bola x 2 +y 2 +z 2 ≤ 16; ii) volumen de la intersección de los cilindros x 2 +y 2 ≤ 4 y x 2 +z 2 ≤ 4; iii) volumen del sólido limitado por los seis cilindros z 2 = y, z 2 = 2y, x 2 = z, x 2 = 2z, y 2 = x e y 2 = 2x; iv) volumen del sólido limitado por los conos z = 1 − _ x 2 +y 2 y z = −1 + _ x 2 +y 2 ; v) volumen de la región limitada por el paraboloide z = x 2 + y 2 y el cilindro x 2 + y 2 = 4 en z ≥ 0; vi) volumen de la región limitada por x 2 +y 2 +z 2 ≤ 2, x 2 +y 2 ≤ z y z ≤ 6/5; vii) volumen de la región limitada por las superficies z = x 2 +y 2 , z = 2(x 2 +y 2 ), y = x e y 2 = x. 22 Solución: i) 32π(8 −3 √ 3)/3; ii) 128/3; iii) 1/7; iv) 2π/3; v) 8π; vi) 493π/750; vii) 3/35. Problema 3.33 Calcula el volumen del sólido limitado por las superficies y = z 2 , 2y = z 2 , z = x 2 , 2z = x 2 , x = y 2 , 2x = y 2 . Indicación: Efect´ ua un cambio de variable de forma que el nuevo recinto de integración sea el cubo [1, 2] 3 . Solución: 1/7. Problema 3.34 Calcula el volumen del sólido limitado por el elipsoide x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1. Solución: 8π. Problema 3.35 Calcula el volumen del sólido limitado por el elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. Estudia el caso particular a = b = c = r. Solución: i) 4πabc/3; ii) 4πr 3 /3. Problema 3.36 Calcula el volumen comprendido entre el cilindro ρ = 4 cos θ, la esfera ρ 2 +z 2 = 16 y el plano z = 0. (Las ecuaciones están expresadas en coordenadas cil´ındricas.) Problema 3.37 Sea S una región del plano limitada por las curvas que se indican. Calcula la masa y el centro de gravedad de S suponiendo que la densidad es constante: i) y = x 2 , x +y = 2, ii) y + 3 = x 2 , x 2 = 5 −y, iii) y = sen 2 x, y = 0, x ∈ [0, π], iv) y = senx, y = cos x, x ∈ [0, π/4]. Problema 3.38 Calcular el momento de inercia respecto del eje vertical del sólido V = _ x 2 +y 2 +z 2 ≤ 4, z ≥ _ x 2 +y 2 _ (suponiendo la densidad constante ρ). Problema 3.39 El cuadrado Q de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) representa una lámina de densidad constante. Calcula el momento de inercia respecto de la recta x = y. Problema 3.40 Sea M el cuadrado [−1, 1] [−1, 1]. Calcula su masa total suponiendo que la densidad en el punto (x, y) ∈ M es [x −y[. Problema 3.41 Determina las coordenadas del centro de gravedad de la placa M = ¦(x, y) ∈ IR 2 , 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3¦ cuya densidad viene dada por la función f(x, y) = xy. 23 Problema 3.42 Una placa metálica viene representada por el conjunto del plano: P = ¦(x, y) ∈ IR 2 , [y[ ≤ x ≤ 1¦ y su densidad en P es f(x, y) = y 2 . Calcula el centro de gravedad y los momentos de inercia con respecto a los ejes. Problema 3.43 Una lámina de espesor despreciable está limitada por la parábola y = 2x−x 2 en el intervalo [0, 2]. La densidad en cada punto viene dada por la función f(x, y) = (1−y)/(1+ x). Calcula el área, la masa, el centro de gravedad y los momentos de inercia respecto a los ejes. Problema 3.44 i) Calcula el área del conjunto D = ¦ x = r cos 3 t, y = r sen 3 t, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ t ≤ π/2¦ = ¦ x 2/3 +y 2/3 ≤ 1, x, y ≥ 0¦. ii) Calcula las coordenadas del centro de masas de D si tiene densidad 1. Solución: i) 3π/32; ii) x CM = y CM = 256/(315π). Problema 3.45 El primer octante de la esfera x 2 +y 2 +z 2 = c 2 se corta con el plano x a + y b = 1, 0 < a, b ≤ c. Halla la masa de los dos sólidos resultantes sabiendo que la densidad en cada punto es ρ(x, y, z) = z. Solución: abc 2 /4 −a 3 b/24 −ab 3 /24 y πc 4 /16 −(abc 2 /4 −a 3 b/24 −ab 3 /24). Problema 3.46 Halla la masa de la lámina correspondiente a la porción del primer cuadrante del c´ırculo x 2 + y 2 ≤ 4, si la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia entre el punto y el centro del c´ırculo. Solución: 4πα/3, donde α es la constante de proporcionalidad. Problema 3.47 La temperatura en los puntos del cubo [−1, 1] 3 es proporcional al cuadrado de la distancia al origen. i) Calcula la temperatura media del cubo. ii) Encuentra en qué puntos del cubo la temperatura coincide con la media. Solución: i) α, donde α es la constante de proporcionalidad; ii) la esfera unidad. Problema 3.48 Calcula el centro de masas de un sólido semiesférico de radio R si su densidad en cada punto es el cuadrado de la distancia del punto al centro. Solución: (0, 0, 5R/12). Problema 3.49 Un helado de cucurucho está formado por un cono de barquillo de ángulo α y una semiesfera de helado de radio R. El cucurucho y el helado tienen densidades constantes ρ c y ρ h respectivamente. Determina el cociente ρ h /ρ c para que el centro de masas del helado esté situado en el plano que separa el helado del barquillo. Solución: 3 tg 2 α. 24 Problema 3.50 Sea la función I(p, r) = _ R dxdy (1 +x 2 +y 2 ) p , siendo R el disco de radio r centrado en el origen. ¿Para qué valores de p tiene I(p, r) l´ımite finito cuando r → ∞? Solución: πp 2−2p /(p −1) si p > 1. Problema 3.51 i) Calcula la integral _ D r e −(x 2 +y 2 ) dxdy, siendo D r el disco centrado en el origen y radio r. ii) Si Q a,b es el rectángulo [−a, a] [−b, b], demuestra la estimación _ D r 1 e −(x 2 +y 2 ) dxdy ≤ _ Q a,b e −(x 2 +y 2 ) dxdy ≤ _ D r 2 e −(x 2 +y 2 ) dxdy, para ciertos r 1 y r 2 . iii) Tomando el l´ımite a, b → ∞, demuestra la fórmula _ ∞ −∞ e −x 2 dx = √ π. iv) Deduce que _ IR 3 e −x 2 −y 2 −z 2 dxdydz = π 3/2 . v) Deduce que _ IR n e −x 2 d n x = π n/2 . Solución: i) π(1 −e −r 2 ); ii) r 1 = min¦a, b¦, r 2 = (a 2 +b 2 )/4. 4 Integrales de l´ınea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra i) f(x, y) = 2xy 2 sobre el primer cuadrante de la circunferencia de radio R. ii) f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 a lo largo del arco de hélice circular r(t) = (cos t, sent, 3t), desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 6π). Solución: i) 2R 4 /3; ii) 2π √ 10(5 + 120π 2 + 1296π 5 )/5. Problema 4.2 Determina la longitud y la masa de un hilo cuya forma es el arco de parábola y = x 2 desde (0, 0) hasta (2, 4) y cuya densidad es ρ(x, y) = x. Solución: La longitud es √ 17 + (log(4 + √ 17))/4 y la masa es (17 3/2 −1)/12. Problema 4.3 En los ejercicios que siguen, calcula la integral de l´ınea del campo vectorial f a lo largo del camino que se indica: i) f (x, y) = (x 2 −2xy, y 2 −2xy), a lo largo de la parábola y = x 2 desde (−1, 1) a (1, 1), 25 ii) f (x, y) = (x 2 +y 2 , x 2 −y 2 ), a lo largo de la curva y = 1 −[1 −x[,desde (0, 0) a (2, 0), iii) f (x, y, z) = (y 2 −z 2 , 2yz, −x 2 ), a lo largo del camino descrito por r(t) = (t, t 2 , t 3 ), con t ∈ [0, 1], iv) f (x, y, z) = (2xy, x 2 +z, y), a lo largo del segmento que une (1, 0, 2) con (3, 4, 1) Problema 4.4 Se considera la función vectorial f(x, y) = (x 2 , y). Calcula la integral de l´ınea de f desde (1, 0) hasta (−1, 0) a lo largo de: i) El segmento que une ambos puntos. ii) Los dos recorridos posibles del rectángulo [−1, 1] [−1, 1]. iii) La semicircunferencia superior que une ambos puntos. Problema 4.5 Calcula: i) _ g (x −y)dx + (x +y)dy, siendo g el segmento que une (1,0) con (0,2). ii) _ C x 3 dy −y 3 dx, siendo C la circunferencia unidad. iii) _ Γ dx +dy [x[ +[y[ , siendo Γ el cuadrado de vértices (1,0), (0,1), (−1, 0) y (0, −1), recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj. iv) _ ρ (x + 2y)dx + (3x − y)dy siendo ρ la elipse de ecuación x 2 + 4y 2 = 4, recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. v) _ R y 3 dx −xy 2 dy x 5 , siendo R la curva x = √ 1 −t 2 , y = t √ 1 −t 2 , −1 ≤ t ≤ 1. Solución: i)7/2; ii) 3π/2; iii) 0; iv) 2π; v) −π/2. Problema 4.6 Calcula: i) _ γ y dx−xdy +z dz, siendo γ la curva de intersección del cilindro x 2 +y 2 = a 2 y el plano z −y = a en sentido antihorario. ii) _ γ F, siendo F(x, y, z) = (2xy + z 2 , x 2 , 2xz) y γ la intersección del plano x = y con la esfera x 2 +y 2 +z 2 = a 2 , recorrida en sentido positivo. iii) _ γ F, siendo F(x, y, z) = (y, z, x) y γ la curva intersección de x 2 +y 2 = 2x con x = z. Solución: i) −2πa 2 ; ii) 0; iii) 0. Problema 4.7 Una part´ıcula de masa m se mueve desde 0 hasta 1 describiendo la curva: r(t) = (t 2 , sent, cos t), t ∈ [0, 1]. Halla la fuerza total que act´ ua sobre la part´ıcula sabiendo que viene dada por la expresión f (t) = mr (t) (segunda ley de Newton). Calcula también el trabajo total realizado por dicha fuerza. 26 Problema 4.8 Halla el valor de b > 0 que minimiza el trabajo producido al mover una part´ıcula sometida al campo de fuerzas F(x, y) = (3y 2 + 2, 16x), desde (−1, 0) hasta (1, 0), a lo largo de la semielipse b 2 x 2 +y 2 = b 2 , y ≥ 0. Solución: El trabajo m´ınimo es 8(2 −π)/3, para b = 4/3. Problema 4.9 Considera el campo de fuerzas F(x, y) = (cxy, x 6 y 2 ), a, b, c > 0. Calcula el parámetro a en términos de c para que el trabajo producido al mover una part´ıcula a lo largo de la parábola y = ax b desde x = 0 hasta x = 1 no dependa de b. Solución: a = _ 3c/2 Problema 4.10 Calcula el trabajo producido al mover una part´ıcula sometida al campo de fuerzas (en polares) F(r, θ) = (−4 senθ, 4 senθ), a lo largo de la curva r = e −θ desde el punto (1,0) hasta el origen. Solución: 8/5. Problema 4.11 Sea F(x, y, z) = (seny +z, xcos y + e z , x +ye z ). i) Prueba que la integral sobre cualquier curva cerrada, regular a trozos, vale 0. ii) Obtén el potencial de F, es decir, encuentra φ tal que F = ∇φ. Solución: ii) φ(x, y, z) = x(seny +z) +ye z . Problema 4.12 Calcula _ γ F, siendo F(x, y, z) = (2xze x 2 +y 2 , 2yze x 2 +y 2 , e x 2 +y 2 ) y γ la curva en IR 3 dada por r(t) = (t, t 2 , t 3 ), 0 ≤ t ≤ 1. Solución: e 2 . Problema 4.13 Sea la curva en IR 3 , γ(t) = _ e t 2 +t(1 −e) −1, sen 5 (πt), cos(t 2 −t) _ , t ∈ [0, 1], y el campo vectorial F(x, y, z) = (y +z +x 4 senx 5 , x +z + arctg y, x +y + sen 2 z). i) Halla _ γ F. ii) ¿Existe f tal que ∇f = F? En caso afirmativo halla f. Solución: i) 0; ii) f(x, y, z) = xy +xz +yz − 1 5 cos x 5 +y arctg y − 1 2 log(1 +y 2 ) + z 2 − 1 4 sen2z. Problema 4.14 Sea la curva en IR 3 , Γ = ¦ x 2 + y 2 = 1, z = y 2 − x 2 ¦, y el campo vectorial F(x, y, z) = (y 3 , e y , z). i) Halla _ Γ F. ii) ¿Existe f tal que ∇f = F? Solución: i) −3π/4; ii) No. 27 Problema 4.15 Determinar a y b de manera que el campo vectorial w(x, y) = e 2x+3y _ (a senx +a cos y + cos x), (b senx +b cos y −seny) _ sea conservativo, y calcular la función potencial correspondiente. Solución: a = 2, b = 3; ϕ(x, y) = e 2x+3y (senx + cos y) +C. Problema 4.16 Considera el campo vectorial F(x, y) = _ log(xy) x , log(xy) y _ , definido para x > 0, y > 0, y sean a > 0, b > 0 dos constantes. i) Calcula _ γ F siendo γ el arco de la hipérbola xy = a con x 1 ≤ x ≤ x 2 . ii) Si A es un punto (cualquiera) de la hipérbola xy = a, B es un punto (cualquiera) de la hipérbola xy = b, y γ es una curva (cualquiera) de clase C 1 , contenida en el primer cuadrante que une A con B, prueba que _ γ F = 1 2 log(ab) log(b/a) . Solución: i) F = ∇f, con f(x, y) = 1 2 _ log(xy) _ 2 +c, _ γ F = 0. 4.2 Integrales sobre superficies. Problema 4.17 Calcula el área de las siguientes superficies: i) esfera de radio R; ii) cono circular parametrizado por r(u, v) = (ucos v, usenv, u), donde 0 ≤ u ≤ a y 0 ≤ v ≤ 2π. iii) porción del paraboloide z = x 2 +y 2 que se encuentra en el cilindro x 2 +y 2 = a 2 ; iv) porción del cilindro x 2 +z 2 = 16 limitada por el cilindro x 2 +y 2 = 16. Solución: i) 4πR 2 ; ii) πa 2 √ 2; iii) π((1 + 4a 2 ) 3/2 −1)/6; iv) 128. Problema 4.18 Halla el área de la superficie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 situada fuera de los cilindros x 2 +y 2 = ±ax. Problema 4.19 i) Deduce la fórmula del área de la superficie de revolución obtenida al girar la gráfica y = f(x), 0 < a ≤ x ≤ b, alrededor del eje vertical: A = 2π _ b a x _ 1 + (f (x)) 2 dx, con la parametrización s(r, θ) = (r cos θ, r senθ, f(r)), donde a ≤ r ≤ b y 0 ≤ θ ≤ 2π. 28 ii) Obtén el área de la superficie del toro obtenido al girar la gráfica (x−R) 2 +y 2 = c 2 , 0 < c < R. iii) Deduce la parametrización correspondiente para obtener la fórmula análoga en el caso de girar la gráfica y = f(x), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje horizontal. Solución: ii) 4π 2 Rc; iii) s(x, θ) = (x, f(x) cos θ, f(x) senθ)). Problema 4.20 Sea el conjunto de IR 3 , W = ¦1 ≤ z ≤ (x 2 + y 2 ) −1/2 ¦. Demostrar que W tiene volumen finito pero su frontera tiene área infinita. Solución: V = π. Problema 4.21 Se consideran la superficie S = ¦ (x, y, z) ∈ IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, y ≥ 0 ¦ orientada con la normal exterior a la esfera unidad, y la función F(x, y, z) = (x +z, y +z, 2z). i) Calcula _ S F n. ii) Calcula _ S rot F n. Solución: i) 8π/3; ii) π. Problema 4.22 Calcula _ S F n en los siguientes casos, donde n denota la normal exterior en los apartados i) iii) iv), y la normal que apunta hacia arriba (con tercera componente positiva) en el apartado ii): i) F(x, y, z) = (x 2 , y 2 , z 2 ) y S la frontera del cubo 0 ≤ x, y, z ≤ 1. ii) F(x, y, z) = (xy, −x 2 , x+z) y S la porción del plano 2x+2y+z = 6 situada en el primer octante. iii) F(x, y, z) = (xz 2 , x 2 y −z 2 , 2xy +y 2 z) y S la semiesfera superior z = _ a 2 −x 2 −y 2 . iv) F(x, y, z) = (2x 2 + cos yz, 3y 2 z 2 + cos(x 2 + z 2 ), e y 2 − 2yz 3 ) y S la superficie del sólido engendrado por el corte del cono z ≥ _ x 2 +y 2 y la bola x 2 +y 2 +z 2 ≤ 1. Solución: i) 3; ii) 27/4; iii) 0; iv) 0. Problema 4.23 Halla el momento de inercia respecto de un diámetro de una lámina esférica homogénea de masa m y radio a. Solución: πma 4 /4. 4.3 Teorema de Green, Stokes y Gauss. Problema 4.24 Calcula _ γ (5 − xy − y 2 )dx − (2xy − x 2 )dy siendo γ el cuadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1), directamente y aplicando el teorema de Green. Solución: 3/2. 29 Problema 4.25 Sea f una función derivable en IR. Sean P(x, y) = e x 2 − y 3 + e xy , Q(x, y) = f(y), y γ la frontera del cuadrado [0, 1] [0, 1] recorrida en sentido positivo. Calcula _ γ Pdx +Qdy. Solución: (1 −log(e + 3) + log 4)/3. Problema 4.26 Calcula _ Γ xy dx + sen 2 (e cos y ) dy, donde Γ es la curva y = e −x 2 , para x ∈ (−∞, ∞). Indicación: aplica la fórmula de Green a la misma integral sobre la curva Γ R , formada por el segmento (−R, R), la función y = e −x 2 en el mismo intevalo, y los segmentos verticales que unen ambos, recorrida en sentido positivo; a continuación toma el l´ımite cuando R → ∞. Solución: 0. Problema 4.27 Sean las funciones P(x, y) = y/(x 2 + y 2 ) y Q(x, y) = −x/(x 2 + y 2 ). Sea C una curva cerrada, regular a trozos, que no pasa por el origen, con C = ∂D. i) Demuestra que ∂Q ∂x = ∂P ∂y . ii) Si (0, 0) ∈ D, prueba que _ C P dx +Qdy = ±2π. iii) Si (0, 0) / ∈ D, calcula _ C P dx +Qdy. Solución: iii) 0. Problema 4.28 Eval´ ua _ γ −y dx + (x −1) dy (x −1) 2 +y 2 , siendo γ una curva cerrada, simple, regular a trozos, que contiene al punto (1,0) en su interior. Solución: iii) ±2π. Problema 4.29 i) Sea A el área de un dominio D, acotado por C curva cerrada, simple, regular a trozos, y orientada en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj). Prueba que A = 1 2 _ C −y dx +xdy , y que en coordenadas polares es A = 1 2 _ C r 2 (θ) dθ. ii) Calcula el área interior al bucle que forma la curva parametrizada como s(t) = (t 2 −1, t 3 −t). 30 iii) Calcula el área de la cardioide en polares r(θ) = a(1 −cos θ), (0 ≤ θ ≤ 2π). Solución: ii) 8/15; iii) 3πa 2 /2. Problema 4.30 i) Calcula _ D (x + 2y)dxdy, donde D es el dominio acotado por el intervalo [0, 2π] y la arcada de la cicloide x = t −sent, y = 1 −cos t, con 0 ≤ t ≤ 2π. ii) Calcula _ D xy 2 dxdy, donde D es el dominio limitado por el astroide x = cos 3 t, y = sen 3 t, 0 ≤ t ≤ π/2 y los ejes. iii) Calcula _ D y 2 dxdy, donde D es el dominio limitado por la curva x = a(t −sen 2 t), y = a sen 2 t, 0 ≤ t ≤ π, y la recta que une sus extremos. Solución: i) −2π(3π + 2); ii) 8/2145; iii) 0. Problema 4.31 Sean a, b > 0. i) Prueba (por integración directa) que: _ π/2 0 dt a 2 cos 2 t +b 2 sen 2 t = π 2ab . ii) Usando el apartado anterior y derivando bajo el signo integral, prueba que _ π/2 0 sen 2 t (a 2 cos 2 t +b 2 sen 2 t) 2 dt = π 4ab 3 . iii) Usando el apartado anterior, prueba que _ γ y 3 dx −xy 2 dy (x 2 +y 2 ) 2 = π , siendo γ la elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 recorrida en el sentido de las agujas del reloj. Problema 4.32 Sea D un dominio de IR 2 limitado por la curva cerrada regular C, y sean u, v ∈ ( 2 (D). Si n es la normal unitaria exterior a la curva, utiliza el teorema de Green para obtener las siguientes identidades: i) _ C ∂u ∂n ds = _ D ∆udxdy ii) _ C v ∂u ∂n ds = _ D (v∆u −∇u ∇v) dxdy iii) _ C _ v ∂u ∂n −u ∂v ∂n _ ds = _ D (v∆u −u∆v) dxdy 31 Problema 4.33 Utilizando el teorema de Stokes calcula la integral _ S rot F en los siguientes casos, donde S está orientada seg´ un la normal exterior: i) F(x, y, z) = (x 2 y 2 , yz, xy) y S el paraboloide z = a 2 −x 2 −y 2 , z ≥ 0. ii) F(x, y, z) = ((1 −z)y, ze x , xsenz) y S la semiesfera superior de radio a. iii) F(x, y, z) = (x 3 +z 3 , e x+y+z , x 3 +y 3 , ), y S = ¦ x 2 +y 2 +z 2 = 1, y ≥ 0 ¦. Solución: i) 0; ii) −πa 2 ; iii) 0. Problema 4.34 Considera el campo vectorial F(x, y, z) = _ y , x 2 , (x 2 +y 4 ) 3/2 sen(e √ xyz ) _ . Calcula _ S rot F n, donde n denota la normal interior al semielipsoide S = ¦(x, y.z) : 4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36 , z ≥ 0¦ . Solución: 6π. Problema 4.35 Sea F(x, y, z) = (2y, 3z, x) y T el triángulo de vértices A(0, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(1, 1, 1). i) Da una orientación a la superficie del triángulo T y la inducida en la frontera. ii) Calcula la integral de l´ınea del campo F sobre la frontera de T. Solución: i) n = (1, 0, −1); la frontera se recorre de A a B y de B a C; ii) −1. Problema 4.36 Se consideran la función F(x, y, z) = (y sen(x 2 +y 2 ), −xsen(x 2 +y 2 ), z(3−2y)) y el dominio W = ¦(x, y, z) ∈ IR 3 / x 2 +y 2 +z 2 ≤ 1, z ≥ 0¦. Calcula _ ∂W F. Solución: 1. Problema 4.37 Verificar el teorema de Stokes para: i) F(x, y, z) = (y 2 , xy, xz), en el paraboloide z = a 2 −x 2 −y 2 , z ≥ 0. ii) F(x, y, z) = (−y 3 , x 3 , z 3 ) en S = ¦ z = y, y ≥ 0, x 2 +y 2 ≤ 1 ¦. Solución: i) 0; ii) 3π/4. Problema 4.38 Un campo de vectores en IR 3 es de la forma F(x, y, z) = (P 1 (x, y)+P 2 (x, z), x+ Q(y, z), R(x, y, z)), con P 1 , P 2 , Q, R ∈ ( 2 (IR 3 ). Si Γ h es el contorno de la sección del cilindro x 2 +y 2 = 1 a la altura h, demostrar que _ Γ h F es independiente de h. Problema 4.39 Calcula la integral _ S F, donde i) F(x, y, z) = (18z, −12, 3y), y S es la región del plano 2x + 3y + 6z = 12 situada en el primer octante. ii) F(x, y, z) = (x 3 , x 2 y, x 2 z), y S es la superficie cerrada que consta del cilindro x 2 +y 2 = a 2 , 0 ≤ z ≤ b, y sus tapas superior e inferior. 32 iii) F(x, y, z) = (4xz, −y 2 , yz), y S es la superficie que limita el cubo 0 ≤ x, y, z ≤ 1. iv) F(x, y, z) = (x, y, z), y S es una superficie cerrada simple. Solución: i) 24; ii) 5πa 4 b/4; iii) 3/2; iv) 3[Ω[, donde S = ∂Ω. Problema 4.40 Sea S el cuadrado de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (0, 1, 1) (orientado con la normal de primera coordenada positiva). Se considera también el campo vectorial F(x, y, z) = (xy 2 , 2y 2 z, 3z 2 x). Calcular _ S rot F n de dos maneras distintas (utilizando el Teorema de Stokes). Problema 4.41 Se considera la superficie S = ¦x 2 + y 2 + z 2 = 1, y ≥ 0¦ (orientada seg´ un la normal exterior a la esfera unidad), y el campo vectorial F(x, y) = (x +z, y +z, 2z). i) Calcular _ S rot F n. ii) Calcular _ S F n. Problema 4.42 Calcula el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (y 2 , yz, xz) a través de la superficie del tetraedro acotado por x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1, orientada seg´ un la normal exterior. Solución: 1/12. Problema 4.43 Supongamos que la temperatura en cada punto del espacio sea proporcional al cuadrado de la distancia al eje vertical, y consideremos el dominio V = ¦ (x, y, z) ∈ IR 3 : x 2 +y 2 ≤ 2z, z ≤ 2 ¦. i) Calcula el volumen de V . ii) Calcula la temperatura promedio en V . iii) Calcula el flujo del gradiente de temperatura a través (y hacia fuera), de ∂V . Solución: i) 16π/3; ii) α (la constante de proporcionalidad); iii) 32απ. Problema 4.44 Sea S la esfera de radio a orientada con su vector normal exterior, y sea el campo vectorial F(x, y, z) = (senyz +e z , xcos z +log(1 +x 2 +z 2 ), e x 2 +y 2 +z 2 ). Calcula _ S F n. Solución: 0. Problema 4.45 Sea S = S 1 ∪ S 2 , donde S 1 y S 2 son las superficies S 1 = ¦ x 2 +y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 ¦ S 2 = ¦ x 2 +y 2 + (z −1) 2 = 1, z ≥ 1 ¦, y sea el campo vectorial F(x, y, z) = (zx +z 2 y +x, z 3 yx +y, z 4 x 2 ). i) Calcula _ S rot F n utilizando el teorema de Stokes. 33 ii) Calcula la misma integral utilizando el teorema de la divergencia. Solución: 0. Problema 4.46 Sea h : IR 2 → IR una función diferenciable. Halla _ ∂Ω F n, donde n es el vector normal unitario interior a ∂Ω, y F(x, y, z) = _ e y 2 +z 2 + _ x 0 e t 2 +y 2 _ t 2 +y 2 dt, sen(x 2 + e z ), h(x, y) _ , Ω = ¦ (x, y, z) ∈ IR 3 : x 2 +y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ _ x 2 +y 2 , x ≥ 0, y ≥ 0 ¦. Solución: π(1 −e). Problema 4.47 Considera el campo vectorial F(x, y, z) = _ y e z , _ x 0 e −t 2 +cos z dt , z(x 2 +y 2 ) _ . Calcula _ ∂Ω F n, donde n denota la normal exterior a la frontera del dominio Ω = ¦(x, y, z) : x 2 +y 2 +z 2 < a 2 , x 2 +y 2 < z 2 ¦ . Solución: (8 −5 √ 2)πa 5 /60. 5 Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales 5.1 Integrales eulerianas. Problema 5.1 Demuestra las siguientes propiedades de la función gamma Γ(x) = _ ∞ 0 t x−1 e −t dt, x > 0. i) Γ es continua y derivable. Calcula Γ n) (x). ii) Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(1/2) = √ π. iii) Γ(x + 1) = xΓ(x). iv) Deduce de lo anterior que lim x→0 + Γ(x) = +∞. v) Si n ∈ IN, Γ(n + 1) = n!. vi) Si n ∈ IN, Γ _ n + 1 2 _ = (2n)! 2 2n n! √ π. Problema 5.2 Demuestra las siguientes propiedades de la función beta β(p, q) = _ 1 0 x p−1 (1 −x) q−1 dx, p, q > 0. 34 i) β(p, q) = β(q, p). ii) β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p +q) . iii) Si q > 1, entonces β(p, q) = q −1 p +q −1 β(p, q −1). iv) Si m, n ∈ IN, (m+n + 1) β(m+ 1, n + 1) = _ m+n n _ −1 . v) β(p, q) = _ ∞ 0 t p−1 (1 +t) p+q dt. vi) β(p, q) = 2 _ π/2 0 cos 2p−1 t sen 2q−1 t dt. vii) β(1/2, 1/2) = π; y como consecuencia, Γ(1/2) = √ π. Problema 5.3 Utilizando las funciones beta y gamma, calcula las siguientes integrales i) _ a 0 x 2 _ a 2 −x 2 dx (a > 0) ii) _ 1 0 _ t −t 2 dt iii) _ 1 0 log p (1/x) dx (p > −1) iv) _ ∞ 0 dx (1 +x) √ x , v) _ ∞ 0 4 √ x (1 +x) 2 dx vi) _ ∞ 0 dx 1 +x 3 , vii) _ ∞ 0 x 2 e −x 4 dx viii) lim n→∞ _ ∞ 0 e −x n dx, vii) área de la región H = ¦ [x[ n +[y[ n ≤ a n ¦. Problema 5.4 Determina para qué valores de α es convergente la integral _ π/2 0 tg α xdx reduciéndola a una función euleriana. Calc´ ulala en los casos en que sea convergente. Problema 5.5 i) Demuestra la fórmula para a, b, c > −1, _ D x a y b (1 −x −y) c dxdy = Γ(a + 1)Γ(b + 1)Γ(c + 1) Γ(a +b +c + 3) , donde D es el triángulo limitado por la recta x +y = 1 y los ejes coordenados. ii) Como aplicación del apartado anterior, prueba que, para p, q, r > 0, _ Ω x p−1 y q−1 z r−1 dxdydz = Γ(p)Γ(q)Γ(r) Γ(p +q +r + 1) , con Ω el tetraedro Ω = ¦ x, y, z ≥ 0, x +y +z ≤ 1 ¦. 35 iii) Demuestra la fórmula _ V x p−1 y q−1 z r−1 dxdydz = a p b q c r 8 Γ(p/2)Γ(q/2)Γ(r/2) Γ((p +q +r + 2)/2) , siendo V el interior al elipsoide en el primer octante V = _ x, y, z ≥ 0, x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 _ . iv) Calcula el volumen interior al elipsoide. Indicación: i) utiliza el cambio de variable u = x + y, v = y x +y , y la relación existente entre las funciones beta y gamma. iii) haz un cambio de variable que transforme elipsoides en planos. Solución: iv) 4πabc/3. 5.2 Transformada de Laplace. Problema 5.6 Si f : [0, ∞) −→ IR es integrable, y tiene crecimiento exponencial (es decir, [f(t)[ ≤ c e αt , para todo t > T, donde c, α, T son ciertas constantes que dependen de f), la transformada de Laplace de f se define mediante L(f)(s) = _ ∞ 0 e −st f(t) dt . i) Prueba que L(f)(s) converge para s ∈ (α, ∞) y que es continua en dicho intervalo. ii) Prueba que si [f(t)[ ≤ c e αt , para todo t > 0, entonces ¸ ¸ L(f)(s) ¸ ¸ ≤ c s −α , s > α. Problema 5.7 i) Prueba que si f(t) ≡ 1, L(f)(s) = 1/s, para s > 0. ii) Integrando por partes, prueba que si f(t) = t n , (n ∈ IN), entonces L(f)(s) = n! s n+1 , s > 0 . iii) Usando la función gamma, prueba que si f(t) = t −1/2 , entonces L(f)(s) = _ π s . ¿Contradice esto el ´ ultimo apartado del ejercicio anterior? iv) Usando la función gamma, prueba que si f(t) = t b , con b > −1, entonces L(f)(s) = Γ(b + 1) s b+1 . Problema 5.8 Prueba las siguientes propiedades de la transformada de Laplace: i) L(αf +βg) = αL(f) +β L(g), α, β ∈ IR. 36 ii) Si se define f = 0 para t < 0, entonces si a > 0 se tiene, L(f(t −a))(s) = e −as L(f)(s) . iii) L(e −at f(t))(s) = L(f)(s +a), a ∈ IR. iv) L(f(at))(s) = 1 a L(f(t)) _ s a _ , a > 0. Problema 5.9 Usando las propiedades anteriores calcula la transformada de Laplace de las funciones siguientes, indicando en cada caso su dominio. i) f(x) = e ax , (a ∈ IR), ii) f(x) = xe ax , (a ∈ IR), iii) f(x) = x b e ax , (a ∈ IR, b > −1), iv) f(x) = sen(ax), (a ∈ IR), v) f(x) = cos(ax), (a ∈ IR), vi) f(x) = e −ax cos(bx), (a, b ∈ IR), vii) f(x) = e −ax sen(bx), (a, b ∈ IR), viii) f(x) = sen 2 x, ix) f(x) = cos 2 x. Solución: i) 1/(s −a), s > a; ii) 1/(s −a) 2 , s > a; iii) n!/(s −a) n+1 , s > a; iv) a/(s 2 +a 2 ), s > 0; v) s/(s 2 +a 2 ), s > 0; vi) (s +a)/(b 2 + (s +a) 2 ), s > −a; vii) b/(b 2 + (s +a) 2 ), s > −a; viii) 2/[s(s 2 + 4)], s > 0; ix) (s 2 + 2)/[s(s 2 + 4)], s > 0. Problema 5.10 Sea f una función continua en [0, ∞) con crecimiento exponencial. i) Prueba que si f es derivable en (0, ∞) y f es continua, entonces L(f )(s) = s L(f)(s) −f(0) . ii) Deduce a partir de i) que si f es continua, entonces L(f )(s) = s 2 L(f)(s) −s f(0) −f (0) . iii) Prueba que L(f) es derivable y que d ds [L(f)(s)] = −L(t f(t))(s) . iv) Más a´ un, prueba que L(f) tiene derivadas de todos los órdenes y que d n ds n [L(f)(s)] = (−1) n L(t n f(t))(s) . Problema 5.11 Usando el ejercicio anterior si es necesario, halla la transformada de Laplace de las siguientes funciones, indicando en cada caso su dominio: i) f(x) = x n (n ∈ IN), 37 ii) f(x) = xe x , iii) f(x) = xcos(ax) (a ∈ IR), iv) f(x) = x 2 sen(ax) (a ∈ IR), v) f(x) = sen 3 x, vi) f(x) = cos 3 x. Indicación: v) 4 sen 3 x = 3 senx −sen3x; vi) 4 cos 3 x = 3 cos x + cos 3x Solución: i) n!/s n+1 , s > 0; ii) 1/(s −1) 2 , s > 1; iii) (s 2 −a 2 )/(s 2 +a 2 ) 2 , s > 0; iv) (6as 2 −2a 3 )/(s 2 +a 2 ) 3 , s > 0; v) 6/[(s 2 + 1)(s 2 + 9)], s > 0; vi) (s 3 + 7s)/[(s 2 + 1)(s 2 + 9)], s > 0. Problema 5.12 Prueba que si f es continua en [0, ∞) y tiene crecimiento exponencial, entonces lo mismo es válido para la función g(x) = _ x 0 f(t) dt y que L(g)(s) = 1 s L(f)(s) . Problema 5.13 Utiliza las propiedades de la transformada de Laplace para probar que si f(x) = _ ∞ x sent t dt , entonces L(f )(s) = arctg s − π 2 , L(f)(s) = arctg s s . Problema 5.14 Calcula la transformada de Laplace de la función f(x) = x _ x 0 e −at sen(bt) dt , a, b ∈ IR. Solución: b(3s 2 + 4as +a 2 +b 2 )/(s 2 ((s +a) 2 +b 2 ) 2 ). Problema 5.15 i) Expresa la transformada de Laplace de la función f(x) = x α , (α > −1), con ayuda de la función gamma. ii) Halla la transformada de Laplace de las funciones a) f(x) = e x √ x , b) f(x) = x α e ax (a ∈ IR, α > −1). Solución: i) Γ(α + 1)/s α+1 ; ii.a) _ π/(s −1); ii.b) Γ(α + 1)/(s −a) α+1 . 38 Problema 5.16 Halla la función cuya transformada de Laplace es i) 1 s 2 −1 ii) 1 (s + 1) 2 iii) 1 s(s + 1) 2 iv) 1 s n (n ∈ IN) v) 1 (s −1) 2 (s 2 + 1) vi) 4s + 12 s 2 + 8s + 16 vii) s e −πs/2 s 2 +a 2 viii) 1 √ s . Solución: i) senh x = (e x − e −x )/2; ii) xe −x ; iii) 1 − (x + 1) e −x ; iv) x n−1 /(n − 1)!; v) 1 2 ((x − 1)e x + cos x); vi) 4(1 −x)e −4x ; vii) cos(a(x −π/2)) si x ≥ π/2, 0 si x < π/2; viii) 1/ √ πx. Problema 5.17 Calcula la integral I = _ ∞ 0 sens s ds siguiendo los pasos: i) Sustituye en la expresión de la integral 1/s por la correspondiente expresión integral respecto de su antitansformada de Laplace. ii) Calcula la transformada de Laplace de la función seno. iii) Comprueba que la integral impropia _ ∞ 0 dx 1 +x 2 es convergente y halla su valor. iv) ¿Cuánto vale I? Problema 5.18 Sea f : (0, ∞) −→ IR una función continua a trozos y con crecimiento exponencial. i) Prueba que si f es periódica de per´ıodo P, es decir tal que f(x + P) = f(x) para todo x > 0, entonces L(f)(s) = 1 1 −e −Ps _ P 0 e −st f(t) dt . ii) Como aplicación de la fórmula del apartado anterior, calcula la transformada de Laplace de la función f(x) = x −[x], donde [x] denota la parte entera de x. Indicación: i) Divide la integral que define L(f) en dos trozos, uno de 0 a P, y el otro de P hasta infinito, y efect´ ua un cambio de variable adecuado en el segundo trozo de forma que puedas usar el hecho de que f es periódica. Solución: ii) 1 s ( 1 s − 1 e s −1 ). 39 5.3 Ecuaciones diferenciales. Problema 5.19 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial i) _ y −3y = e 2t y(0) = 1 ii) _ y + 3y = sen2t y(0) = 0 iii) _ y −5y = cos 3t y(0) = 1/2 iv) _ y −5y = e 5t y(0) = 1/2 v) _ y + 2y +y = e −t y(0) = 0, y (0) = 1 vi) _ y −y = e 2t y(0) = 0, y (0) = 1 vii) _ y + 16y = cos 4t y(0) = 0, y (0) = 1 viii) _ y + 2y +y = e −3t y(0) = 1, y (0) = 0 ix) _ y −6y + 9y = t 2 e 3t y(0) = 2, y (0) = 6 x) _ y + 4y + 6y = 1 + e −t y(0) = 0, y (0) = 0 xi) _ y + 2y + 5y = 3e −t sent y(0) = 0, y (0) = 3. Solución: i) y(t) = 2e 3t −e 2t ; ii) y(t) = (2e −3t −2 cos 2t + 3 sen2t)/13; iii) y(t) = (22e 5t −5 cos 3t + 3 sen3t)/34; vi) y(t) = (e 2t −e −t )/3; vii) y(t) = [(2 +t) sen4t]/8; viii) y(t) = (e −3t + 3e −t + 6te −t )/4; ix) y(t) = (24 +t 4 )e 3t /12; x); y(t) = (1 + 2e −t −3e −2t cos( √ 2 t) −2 √ 2 e −2t sen( √ 2 t))/6. Problema 5.20 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial, para t > 0: i) _ y (t) −4y (t) −5y (t) = 3 y(0) = y (0) = 0, y (0) = 1. ii) _ x (t) +x (t) −6x (t) = 0 x(0) = x (0) = 0, x (0) = 1. Problema 5.21 Resuelve, para ω ,= ω 0 , el problema de valores iniciales _ _ _ x +ω 2 0 x = k senωt , t > 0 x(0) = x (0) = 0 que describe las oscilaciones forzadas de una masa en un resorte no amortiguado. ¿Qué pasa si ω = ω 0 ? Indicación: L −1 { 1 (s 2 +k 2 ) 2 } = 1 2k 3 (sin kt − kt cos kt). Problema 5.22 Definimos la función de Heaviside (o de salto) mediante H(t) = _ 1 si t ≥ 0 0 si t < 0. i) Prueba que L(f(t −a) H(t −a))(s) = e −as L(f(t))(s), a ∈ IR. 40 ii) Resuelve el problema de valores iniciales _ y + 16y = f(t) y(0) = 0, y (0) = 1 con f(t) = _ cos 4t si 0 ≤ t < π 0 si t ≥ π. Solución: ii) y(t) = _ 2+t 8 sen4t si 0 ≤ t < π 2+π 8 sen4t si t ≥ π. Problema 5.23 Encuentra la función f(x) que satisface la condición inicial f(0) = −1 y la ecuación f (x) + _ x 0 f(t) dt = x 2 −x + 2. Solución: f(x) = 2x −1. Problema 5.24 Si f y g son continuas en [0, ∞), con f(x) = g(x) = 0 para x < 0, se define la convolución mediante (f ∗ g)(x) = _ ∞ 0 f(y) g(x −y) dy = _ x 0 f(y) g(x −y) dy. i) Prueba que la convolución es conmutativa, es decir, f ∗ g = g ∗ f. ii) Prueba que si f ó g es derivable (aunque la otra no lo sea), entonces f ∗ g es derivable, y calcula (f ∗ g) . iii) Prueba que si f y g tienen crecimiento exponencial también lo tiene su convolución y que se verifica la fórmula L(f ∗ g) = L(f) L(g) . iv) Halla L(f ∗ g) si f(x) = e x , g(x) = senx, si x ≥ 0, (= 0 si x < 0). v) Halla la función cuya transformada de Laplace es a) 1 (s −1)(s −4) b) 1 (s 2 +a 2 ) 2 . vi) Halla la función f(x) que verifica la igualdad f(x) + _ x 0 f(y) e x−y dy −3x 2 + e −x = 0. Solución: ii) (f ∗ g) = f ∗ (g ) = (f ) ∗ g; iv) 1/[(s −1)(s 2 + 1)]; v.a) 1 3 (e 4t −e t ); v.b) 1 2a 3 (senat −at cos at); vi) f(x) = 3x 2 −x 3 + 1 −2e −x . 41

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