0problemas Calculo II 2009

March 25, 2018 | Author: a a a | Category: Derivative, Integral, Sphere, Laplace Transform, Pi


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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRIDESCUELA POLIT ´ ECNICA SUPERIOR Departamento de Matem´aticas PROBLEMAS DE C ´ ALCULO II GRADOS DE INGENIER ´ IA INDUSTRIAL Y DE TELECOMUNICACION CURSO 2008–2009 Colecci´on elaborada por Arturo de Pablo Domingo Pestana Jos´e Manuel Rodr´ıguez Elena Romera ´ Indice 1 C´alculo diferencial en varias variables. 1 1.1 Funciones de varias variables. L´ımites y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Derivadas. Diferenciabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Funciones vectoriales y operadores diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Regla de la cadena y derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Estudio local de funciones de varias variables. 11 2.1 Derivadas de orden superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Extremos de funciones de varias variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Integraci´on en IR n 17 3.1 Integral m´ ultiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Cambios de variables en la integral m´ ultiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Integrales de l´ınea y de superficie 25 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Integrales sobre superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Teorema de Green, Stokes y Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales 34 5.1 Integrales eulerianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2 Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3 Ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 1 C´alculo diferencial en varias variables. 1.1 Funciones de varias variables. L´ımites y continuidad. Problema 1.1 Indica si los siguientes conjuntos de IR 2 son abiertos o cerrados o ninguna de las dos cosas. Se˜ nala en cada caso el interior y la frontera y da una representaci´on gr´afica: i) A = ¦ (x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, y < 0 ¦. ii) B = ¦ (x, y) : x = 1, 1 < y < 2¦. iii) C = ¦ (x, y) : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 2x¦. iv) D = ¦ (x, y) : 2x + 3y −5 = 0 ¦. v) E = ¦ (x, y) : x 2 + 3y 2 ≤ 2 ¦. vi) F = ¦ (x, y) : x 2 + 3y 2 < 2 ¦. vii) G = ¦ (x, y) : x 2 −3y 2 = 2 ¦. viii) ¦(x, y) : y > x 2 ¦. Problema 1.2 Estudia si los siguientes conjuntos son abiertos, si son cerrados y si son com- pactos: (1) ¦(x, y) ∈ IR 2 : 5 < x < 7, 0 < y < 1¦ , (2) ¦(x, y) ∈ IR 2 : x > 0¦ , (3) ¦(x, y) ∈ IR 2 : 5 ≤ x ≤ 7, 0 < y < 1¦ , (4) ¦(x, y) ∈ IR 2 : 5 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 1¦ , (5) ¦x ∈ IR N : |x| > 3¦ , (6) ¦x ∈ IR N : |x| ≥ 3¦ , (7) ¦x ∈ IR N : |x| = 5¦ , (8) ¦x ∈ IR N : |x| < 3¦ , (9) ∅ , (10) IR N . Soluci´on: (1) abierto, (2) abierto, (3) ninguna de las tres cosas, (4) cerrado y compacto, (5) abierto, (6) cerrado, (7) cerrado y compacto, (8) abierto, (9) abierto, cerrado y compacto, (10) abierto y cerrado. Problema 1.3 Halla el interior, la clausura y la frontera de los conjuntos del ejercicio anterior. Problema 1.4 i) Halla f(1, y/x) si f(x, y) = 2xy x 2 +y 2 . ii) Halla f(x, y) si f(x +y, y/x) = x 2 −y 2 . iii) Halla f(x) y g(x, y) si f(x −y) +g(x, y) = x +y con g(x, 0) = x 2 . iv) La misma pregunta si f( √ x −1) +g(x, y) = √ y con g(x, 1) = x. Soluci´on: ii) x 2 (1 −y) 1 +y ; iii) f(x) = x −x 2 , g(x) = x 2 +y 2 −2xy + 2y. Problema 1.5 Halla el dominio de las siguientes funciones: i) f(x, y) = x 2 −y 2 , ii) f(x, y) = _ x 2 −4y 2 , 1 iii) f(x, y) = x 3 −y 2 x −y , iv) f(x, y) = (x 2 +y 2 −1) 1/2 , v) f(x, y) = 1/xy, vi) f(x, y) = arcsen(x +y), vii) f(x, y) = e x/y , viii) f(x, y) = log(xy), ix) f(x, y) = 1 cos(x −y) , x) f(x, y) = cos _ 1 x −y _ , xi) f(x, y) = arcsen(x +y), xii) f(x, y) = e x/y , xiii) f(x, y) = log(xy), xiv) f(x, y, z) = _ 9 −y 2 1 + _ 4 −(x 2 +z 2 ) . xv) f(x, y) = log(1 +x) + log(1 +y) log(1 −x) + log(1 −y) . xvi) f(x, y) = log (1 +x)(1 +y) (1 −x)(1 −y) . Soluci´on: xv) ¦[x[, [y[ < 1, xy ,= x +y¦; xvi) ¦[x[, [y[ < 1¦ ∪ ¦[x[, [y[ > 1¦. Problema 1.6 Halla la imagen de las cinco primeras funciones del problema anterior. Soluci´on: i) [0, ∞); ii) IR −¦0¦; iii) [−π/2, π/2]; iv) (0, ∞); v) IR. Problema 1.7 Dibuja las curvas de nivel f(x, y) = c especificadas para las funciones: i) f(x, y) = xy, c = 1, −1, 3; ii) f(x, y) = log(x −y), c = 0, 1, −1; iii) f(x, y) = (x +y)/(x −y), c = 0, 2, −2. 2 Problema 1.8 Estudia los siguientes l´ımites: i) lim (x,y)→(0,0) x x 2 +y 2 ii) lim (x,y)→(2,4) x +y x −y iii) lim (x,y)→(0,0) xy 2 x 2 +y 2 iv) lim (x,y)→(0,0) tg x y v) lim (x,y)→(0,0) xy x 2 +y 2 vi) lim (x,y)→(0,0) xy 2 (x 2 +y 2 ) 3/2 vii) lim (x,y)→(0,0) y 2 x 2 −y 2 viii) lim (x,y)→(0,0) sen(xy) xy ix) lim (x,y)→(0,0) x 3 −y 2 x 2 +y 2 x) lim (x,y)→(0,0) x 4 +y 4 x 2 y 2 + (x −y) 2 . Problema 1.9 Se considera la funci´on f(x, y) = x 4 −y x 4 −y 3 . Los puntos (0, 0) y (1, 1) no pertenecen a su dominio. Estudia si pueden definirse f(0, 0) y f(1, 1) de forma que f sea continua en dichos puntos. Problema 1.10 Estudia la continuidad de las siguientes funciones: i) f(x, y) = _ xy x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); ii) f(x, y) = _ _ _ xy _ x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); iii) f(x, y) = _ _ _ x 4 +x 2 y −y 3 _ x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); iv) f(x, y) = _ _ _ x 2 +y 3 x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); v) f(x, y) = x 4 −y 4 x 2 +y 2 , (x, y) ,= (0, 0), f(0, 0) = 0; vi) f(x, y) = x +y 2 x 2 +y 2 , (x, y) ,= (0, 0), f(0, 0) = 0; vii) f(x, y) = cos(xy) e x + e y ; viii) f(x, y) = _ _ _ sen(x −y) e x −e y si x ,= y 1 si x = y; ix) f(x, y) = _ _ _ x 2 y x 4 −y 2 si y ,= ±x 2 0 si y = ±x 2 ; 3 x) f(x, y) = _ (x +y) sen(1/x) sen(1/y) si xy ,= 0 0 si xy = 0. Indicaci´on: En el apartado viii) saca factor com´ un e y en el denominador. Soluci´on: Son continuas en todos los puntos de IR 2 las funciones ii), iii), v), vii). Son continuas en IR 2 ¸ ¦(0, 0)¦ las funciones i), iv), vi). El resto de las funciones son continuas s´olo en los puntos: viii) _ IR 2 ¸ ¦y = x¦ _ ∪ (0, 0); ix) IR 2 ¸ ¦y = ±x 2 ¦; x) _ IR 2 ¸ ¦xy = 0¦ _ ∪ (0, 0) ∪ _ ∪ k∈ZZ\{0} ¦( 1 kπ , 0), (0, 1 kπ )¦ _ . Problema 1.11 Sea la funci´on f(x, y) = _ _ _ x 3 y x 6 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) . i) Calcular el l´ımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de las rectas y = λx. ii) Calcular el l´ımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la curva y = x 3 . iii) ¿Es f continua en (0, 0)? Problema 1.12 Sea ϕ : IR → IR continua con derivada continua, y sea la funci´on f(x, y) = _ _ _ ϕ(x) −ϕ(y) x −y si x ,= y ϕ (x) si x = y. Estudia la continuidad de f. Problema 1.13 Sea F : A ⊂ IR n → IR m una funci´on que verifica [[F(x) −F(y)[[ ≤ K[[x −y[[ α para todo x, y ∈ A y constantes K > 0 y 0 < α ≤ 1. Demuestra que F es continua en A. 1.2 Derivadas. Diferenciabilidad. Problema 1.14 Calcula la matriz derivada de las siguientes funciones: i) f(x, y) = 3x 2 −xy +y ii) f(x, y) = x 3 e −y iii) f(x, y) = log(x 2 +y 4 ) iv) f(x, y) = (g(x)) 2 h(y) v) f(x, y) = _ 1 −(x 2 +y 2 ) vi) f(x, y, z) = xe y 2 +ye z vii) f(x, y, z) = xseny +y senz +z senx viii) f(x, y, z) = sen(x +xy +z 2 ) ix) f(x, y, z) = z xy 2 x) f(x, y, z) = (g(x, y)) 2 (h(x, z)) 3 xi) f(r, θ) = r 2 senθ + cos 2 θ xii) f(ρ, ϕ, θ) = ρ 3 senϕcos θ 4 Problema 1.15 Sea la funci´on f(x, y) = _ _ _ x 2 y 2 x 4 +y 4 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). i) Prueba que existen ∂f ∂x (0, 0) y ∂f ∂y (0, 0). ii) Prueba que f no es continua en (0, 0). Problema 1.16 Sea f(x, y) = _ _ _ 2xy x 2 +y 2 , (x, y) ,= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) i) Demuestra que f no es diferenciable en (0, 0). ii) Demuestra que las derivadas parciales ∂f ∂x y ∂f ∂y existen en (0, 0) pero ∂f ∂x no es continua en (0, 0). Problema 1.17 Sea la funci´on f(x, y) = _ x 2 +y 2 . i) Demuestra que ∂f ∂x no est´a definida en (0, 0). ii) ¿Es f diferenciable en (0,0)? Problema 1.18 Sea la funci´on f(x, y) = _ _ _ xy 2 x 2 +y 4 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) . i) Calcular el l´ımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de las curvas x = λy 2 . ii) Calcular las derivadas parciales de f en (0, 0). iii) ¿Es f continua en (0, 0)? Problema 1.19 i) Estudia la continuidad de la funci´on f(x, y) = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ x 2 y 4 x 2 +y 2 (x, y) ,= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ii) Calcula las derivadas parciales en (0, 0) y estudia all´ı la diferenciabilidad. Problema 1.20 Sea la funci´on h(x, y) = _ _ _ x 2 y 2 x 4 +y 4 , (x, y) ,= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Demuestra que tanto ∂h ∂x (0, 0) como ∂h ∂y (0, 0) existen y sin embargo la funci´on h no es continua en (0, 0). 5 Problema 1.21 Demuestra que las siguientes funciones son diferenciables: i) f(x, y) = x 2 +y 2 ii) f(x, y) = xy iii) f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 iv) f(x, y, z) = sen(x +y +z) v) f(x, y) = e x seny vi) f(x, y) = (x 2 +y 2 )e −xy vii) f(x, y) = x x 2 +y 2 en (x, y) ,= (0, 0). Problema 1.22 Estudia la existencia de derivadas parciales y la diferenciabilidad en (0, 0) de las siguientes funciones: i) f(x, y) = _ _ _ xy _ x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); ii) f(x, y) = _ _ _ x 3 −y 3 x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). Problema 1.23 Sea la funci´on f(x, y) = [xy[ α . i) Si α > 1/2. Prueba que f(x, y) = es diferenciable en (0, 0). ii) Si α = 1/2, calcula ∂f ∂x y ∂f ∂y en (0, 0). iii) Demuestra que en este caso f no es diferenciable en (0, 0). Problema 1.24 Halla la ecuaci´on del plano tangente a la gr´afica de las siguientes funciones en los puntos (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )) indicados: i) f(x, y) = x −y + 2, (x 0 , y 0 ) = (1, 3); ii) f(x, y) = x 2 + 4y 2 , (x 0 , y 0 ) = (2, −1); iii) f(x, y) = log(x +y) +xcos y, (x 0 , y 0 ) = (1, 0); iv) f(x, y) = _ x 2 +y 2 , (x 0 , y 0 ) = (1, 1/2). Soluci´on: i) x −y −z = −2; ii) 4x −8y −z = 16; iii) 2x +y −z = 1; iv) 2x +y − √ 5z = 0. Problema 1.25 Halla la ecuaci´on del plano tangente a las siguientes superficies en los puntos (x 0 , y 0 , z 0 ) indicados: i) x 2 +y 2 +z 2 = 3, (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 1, 1); ii) x 3 −2y 3 +z 3 = 0, (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 1, 1); iii) e z cos xcos y = 0, (x 0 , y 0 , z 0 ) = (π/2, 1, 0); iv) e xyz = 1, (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 2, 0). Soluci´on: i) x +y +z = 3; ii) x −2y +z = 0; iii) x = π/2; iv) z = 0. 6 1.3 Funciones vectoriales y operadores diferenciales. Problema 1.26 Calcula la matriz jacobiana de las siguientes funciones: i) A(x, y, z) = (x y , z); ii) b(x, y) = sen(xseny); iii) C(x) = _ x + e x , x 2 , cos x _ ; iv) D(x, y) = (xe y + cos y, x, x + e y ); v) E(x, y, z) = (x + e z +y, yx 2 ); vi) F(x, y, z) = (xye xy , xseny, 5xy 2 ); vii) g(x, y, z, t) = x 2 log t +x √ z −ty. Problema 1.27 i) Sea T : IR 3 → IR 2 definida por T(x, y, z) = (x −3y +2z, 2x +y −2z). Calcula la matriz jacobiana DT. ii) Demuestra que toda aplicaci´on lineal T A : IR n −→ IR m x −→ Ax con A una matriz mn, es diferenciable en todo punto a ∈ IR n y que DT A (a) = A. iii) Sea T : IR 3 → IR definida por T(x, y, z) = 2x 2 −6xy +xz −y 2 +yz + 3z 2 . Calcula las matriz jacobiana DT. iv) Demuestra que toda forma cuadr´atica T Q : IR n −→ IR x −→ ¸Qx, x) = x T Qx con Q una matriz n n sim´etrica, es diferenciable en todo punto a ∈ IR n y que DT Q (a) = 2Qa. Problema 1.28 Calcula el jacobiano (el determinante de la matriz derivada) de la transfor- maci´on de i) coordenadas polares a cartesianas (IR 2 ), ii) coordenadas cil´ındricas a cartesianas (IR 3 ), iii) coordenadas esf´ericas a cartesianas (IR 3 ), iv) coordenadas cil´ındricas a esf´ericas (IR 3 ). Problema 1.29 Sea una part´ıcula de masa m = 3 que se mueve sobre una trayectoria s(t) = (e t , e −t , cos t) de acuerdo a la ley de Newton (fuerza = masa aceleraci´on). i) Calcula la fuerza que act´ ua sobre la part´ıcula en el instante t = 0. ii) Si en el instante t = 1 se suelta la part´ıcula (desaparece el campo de fuerzas), y ´esta sale por la tangente, calcula en qu´e punto se encuentra en el instante t = 2. 7 Problema 1.30 Sea una part´ıcula de masa m que se mueve sobre una trayectoria r(t) en IR 3 de acuerdo a la ley de Newton, en un campo de fuerza F = −∇V , donde V es una funci´on dada de energ´ıa potencial. i) Demostrar que la energ´ıa total (cin´etica + potencial) E(t) = 1 2 m[[r (t)[[ 2 +V (r(t)) es constante en el tiempo. ii) Demostrar que si la part´ıcula se mueve sobre una superficie equipotencial, entonces el m´odulo de la velocidad es constante. Problema 1.31 Demostrar que las siguientes trayectorias satisfacen la relaci´on s (t) = F(s(t)) para los correspondientes campos (son l´ıneas de flujo) i) s(t) = (t 2 , 2t −1, √ t), F(x, y, z) = (y + 1, 2, 1 2z ); ii) s(t) = (e 2t , 1 t , log t), F(x, y, z) = (2x, −y 2 , y); iii) s(t) = ( 1 1 −t , log t, e t 1 −t ), F(x, y, z) = (x 2 , x x −1 , z(1 +x)). Problema 1.32 Calcula la divergencia y el rotacional de los siguientes campos i) F(x, y) = (3x 2 y, x 3 +y 3 ); ii) F(x, y, z) = (yz, xz, xy); iii) F(x, y, z) = (yz, −xz, xy)/(x 2 +y 2 +z 2 ). Problema 1.33 Escribe la divergencia y el rotacional de cada uno de los campos siguientes: i) v(x, y) = xi +yj +zk, ii) v(x, y, z) = x x 2 +y 2 +z 2 i + y x 2 +y 2 +z 2 j + z x 2 +y 2 +z 2 k, iii) v(x, y, z) = xi + 2yj + 3zk, iv) v(r) = r −2 r, donde r = (x, y, z) (posici´on) y r = |r| (distancia al origen). Problema 1.34 Sea x ∈ IR n , x ,= 0, r = [[x[[ y k una constante; i) si f(x) = r k , calcula ∇f; ii) si F(x) = r k x, calcula div F; iii) si F(x) = r k x, y n = 3, calcula rot F; iv) si f(x) = r k , calcula ∆f. Soluci´on: i) kr k−2 x; iv) k(k +n −2)r k−2 . Problema 1.35 Prueba las siguientes identidades que aparecen en an´alisis vectorial, si f y F son de clase C 2 (esto implica que las derivadas cruzadas son iguales, es decir, ∂ 2 f/∂x i ∂x j = ∂ 2 f/∂x j ∂x i ): 8 i) rot(∇f) = 0; (∇(∇f) = 0). ii) div(rot F) = 0; (∇ (∇F) = 0). iii) ∇(fg) = f∇g +g∇f; iv) div(fF) = f divF +F∇f; (∇ (fF) = f∇ F +F ∇f). v) div(f∇g −g∇f) = f∆g −g∆f; (∇ (f∇g −g∇f) = f∇ 2 g −g∇ 2 f). 1.4 Regla de la cadena y derivadas direccionales. Problema 1.36 Halla la derivada direccional en el punto dado en la direcci´on indicada: i) f(x, y) = x 2 +y 3 en (1, 1) en la direcci´on de (1, −1). ii) f(x, y) = x + sen(x +y) en (0, 0) en la direcci´on de (2, 1). iii) f(x, y) = xe y −ye x en (1, 0) en la direcci´on de (3, 4). iv) f(x, y) = 3x x −y en (1, 0) en la direcci´on de (1, − √ 3). v) f(x, y, z) = x 2 y +y 2 z +z 2 x en (1, −1, 1) en la direcci´on de (1, −1, 2). vi) f(x, y) = x 2 y +xy 2 en (1, 1) en la direcci´on de (−1, 3). vii) f(x, y, z) = log _ x 2 +y 2 +z 2 en (2, 0, 1) en la direcci´on de (1, 2, 0). viii) f(x, y, z) = e x cos(yz) en (0, 0, 0) en la direcci´on (2, 1, −2). ix) f(x, y) = 2x 3 y−3y 2 en (2, 1) en la direcci´on (a, √ 1 −a 2 ). Halla a para que sea m´axima. x) f(x, y, z) = xy +yz +zx en (1, 1, 2) en la direcci´on (10, −1, 2). Soluci´on: ix) a = 12 13 . Problema 1.37 Sea f(x, y) = e x+2y . Halla el conjunto de puntos (x, y) ∈ IR 2 tales que la derivada direccional de f en el punto (x, y) en la direcci´on del vector (4, 3) sea igual a 2e. Soluci´on: ¦x + 2y = 1¦. Problema 1.38 Sea f(x, y) = 1+sen(3x+y). ¿Existe alg´ un vector v ∈ IR 2 tal que la derivada direccional de f en el punto (0, 0) en la direcci´on del vector v sea igual a 1? Soluci´on: v = (0, 1), v = (3/5, −4/5). Problema 1.39 Sea la funci´on f(x, y) = x 2 −y 2 x 2 +y 2 . i) Calcula en qu´e direcci´on es nula la derivada direccional de f en el punto (1, 1). ii) La misma pregunta para un punto (x 0 , y 0 ) arbitrario del primer cuadrante. iii) Utiliza el apartado anterior para describir las curvas de nivel de f. Problema 1.40 Consideremos las funciones f (x, y) = (tg y x −x +y, log y + 1 x ) g(t, s) = (t cos s, e t , s −2t) h(u, v, w) = uv 2 e w F = h ◦ g ◦ f . 9 i) Calcula Df , Dg, Dh, DF. ii) Calcula el plano tangente a la gr´afica de F en el punto (1, 0, F(1, 0)). iii) Calcula la derivada direccional de F en ese punto en la direcci´on de α = (3, −4). Soluci´on: ii) y −z = 1; iii) −4/5. Problema 1.41 Sea la funci´on f(x, y) = _ _ _ x 2 y x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). i) Prueba que f es derivable en (0, 0) en cualquier direcci´on. ii) Prueba que f no es diferenciable en (0, 0). Problema 1.42 La temperatura en cada punto de una hoja de metal viene dada por la funci´on T(x, y) = e x cos y +e y cos x. i) ¿En que direcci´on crece la temperatura m´as r´apidamente a partir del punto (0, 0)? ii) ¿En que direcci´on decrece la temperatura m´as r´apidamente a partir del punto (0, 0)? Problema 1.43 La densidad de una bola de metal centrada en el origen viene dada por la funci´on ρ(x, y, z) = ke −(x 2 +y 2 +z 2 ) , k constante positiva. i) ¿En que direcci´on crece la densidad m´as r´apidamente a partir del punto (x, y, z)? ii) ¿ En que direcci´on decrece la densidad m´as r´apidamente a partir del punto (x, y, z)? iii) ¿Cu´ales son los coeficientes de variaci´on de la densidad en (x, y, z) en las direcciones i, j, k? Problema 1.44 i) Sea h(x, y) = 2e −x 2 +e −3y 2 la altura de una monta˜ na en la posici´on (x, y) ∈ IR 2 . ¿En qu´e direcci´on desde (1, 0) se deber´ıa comenzar a caminar para escalar lo m´as r´apido posible? ii) Supongamos que la temperatura en cada punto (x, y, z) ∈ IR 3 viene dada por la funci´on T(x, y, z) = e −x +e −2y +e −3z . ¿En qu´e direcci´on debe moverse una persona situada en el punto (1,1,1) con el fin de enfriarse lo m´as r´apido posible? Soluci´on: i) (−1, 0). Problema 1.45 i) Dada F(x, y) = (x 2 + 1, y 2 ) y G(u, v) = (u +v, u, v 2 ), calcula D(G◦ F)(1, 1). ii) Calcula mediante la regla de la cadena dh dx donde h(x) = f(x, u(x), v(x)) ∂h ∂x donde h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y), w(x)) ∂h ∂z donde h(x, y, z) = f(u(x, w(y, z)), v(w(y, z), z)) . 10 iii) Dada f ∈ C 1 (IR), definimos z(x, y) = f(x +y) +f(x −y). Calcula ∂z ∂x y ∂z ∂y . iv) Dadas las funciones u = log(x +y), v = arctg(x/y), z = e uv , calcula ∂z ∂x y ∂z ∂y . v) Calcula h (0) si h = f ◦ s, donde f(x, y, z) = log(1 +x 2 + 2z 2 ) 1 +y 2 , s(t) = (t + 1, 1 −t 2 , sent). Soluci´on: v) 1/2. Problema 1.46 Escribe en coordenadas polares la expresi´on x ∂u ∂y −y ∂u ∂x . Soluci´on: ∂u ∂θ . Problema 1.47 i) Estudia la continuidad de la funci´on f(x, y) = _ _ _ (x −y) 2 x 2 +y 2 (x, y) ,= (0, 0) 1 (x, y) = (0, 0). ii) Calcula, si existen, las derivadas parciales en el (0, 0) y explica la relaci´on con el apartado anterior. iii) Sea g(u, v, w) = (sen(uv), 1 w cos(uv)). Calcula la derivada direccional de h = f ◦ g en (π, 1/2, 2) en la direcci´on del vector (1, 1, 1). 2 Estudio local de funciones de varias variables. 2.1 Derivadas de orden superior. Problema 2.1 Sea la funci´on f(x, y) = _ _ _ xy(x 2 −y 2 ) x 2 +y 2 si (x, y) ,= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). i) Calcula las derivadas parciales fuera del origen. ii) Demuestra que ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0. iii) Demuestra que ∂ 2 f ∂x∂y (0, 0) = 1, mientras que ∂ 2 f ∂y∂x (0, 0) = −1. Explica lo que ocurre. Problema 2.2 Calcula la matriz hessiana de las funciones: i) f(x, y) = log(x 2 +y 3 ); 11 ii) f(x, y) = x 2 cos y +y 2 senx; iii) f(x, y) = x y ; iv) f(x, y) = arctg(xy); v) f(x, y) = arctg(x/y); vi) f(x, y, z) = sen(x +z y ); vii) f(x, y, z) = (x +y)(y +z)(z +x). Problema 2.3 i) Sea T : IR 3 → IR definida por T(x, y, z) = 2x 2 − 6xy + xz − y 2 + yz + 3z 2 . Calcula las matrices jacobiana y hessiana DT y HT. ii) Demuestra que toda forma cuadr´atica T Q : IR n −→ IR x −→ ¸Qx, x) = x T Qx con Q una matriz n n sim´etrica, es dos veces diferenciable en todo punto a ∈ IR n y que DT Q (a) = 2Qa, HT Q = D 2 T Q (a) = 2Q. Problema 2.4 i) Prueba que las siguientes funciones de IR 2 , a) u(x, y) = arctg(y/x), b) u(x, y) = log(x 2 +y 2 ), son arm´onicas, es decir, satisfacen la ecuaci´on de Laplace ∆u = 0 en su dominio. ii) Si u(x, y) = f(r), con r = _ x 2 +y 2 (u es una funci´on radial), prueba que se verifica ∆u = f (r) + 1 r f (r). iii) Si u(x, y) = f(r, θ) (coordenadas polares), prueba que se verifica ∆u = ∂ 2 f ∂r 2 + 1 r ∂f ∂r + 1 r 2 ∂ 2 f ∂θ 2 . iv) Rehaz el primer apartado con estas f´ormulas. Problema 2.5 i) Prueba que las siguientes funciones u(x, y, z) = (x 2 +y 2 +z 2 ) −1/2 , en IR 3 u(x, y, z, w) = (x 2 +y 2 +z 2 +w 2 ) −1 , en IR 4 , son arm´onicas (∆u = 0) en su dominio. ii) Calcula k ∈ IR para que la funci´on u(x) = r k con x ∈ IR n , r = [[x[[, sea arm´onica para x ,= 0. 12 iii) Si u(x) = f(r), (u es una funci´on radial), prueba que se verifica ∆u = f (r) + n −1 r f (r). Problema 2.6 Demuestra que u(x, y) = x 2 y 2 x +y satisface la ecuaci´on diferencial: x ∂u ∂x +y ∂u ∂y = 3u. Problema 2.7 Demuestra que u = x 2 y +y 2 z +z 2 x satisface la ecuaci´on diferencial: ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z = (x +y +z) 2 . Problema 2.8 Demuestra que las siguientes funciones satisfacen la ecuaci´on de Laplace: ∂ 2 f ∂x 2 + ∂ 2 f ∂y 2 = 0 i) f(x, y) = x 3 −3xy 2 , ii) f(x, y) = e −y cos x, iii) f(x, y) = log _ x 2 +y 2 . Problema 2.9 Demuestra que las siguientes funciones satisfacen la ecuaci´on de ondas: ∂ 2 f ∂t 2 −c 2 ∂ 2 f ∂x 2 = 0 i) f(x, t) = (Ax +B)(Ct +D). ii) f(x, t) = g(x −ct) donde g es cualquier funci´on dos veces derivable. Problema 2.10 Encuentra soluciones del tipo f(x, t) = cos(kx − ωt) de las ecuaciones en derivadas parciales (k, ω son constantes): i) ∂ 2 f ∂t 2 = c 2 ∂ 2 f ∂x 2 , (ecuaci´on de ondas, con c constante); ii) ∂ 2 f ∂t 2 = c 2 ∂ 2 f ∂x 2 −h 2 f, (ecuaci´on de Klein–Gordon, con c, h constantes). Problema 2.11 Encuentra soluciones del tipo u(x, t) = e −λt senkx de la ecuaci´on (λ, k son constantes) ∂u ∂t = µ ∂ 2 u ∂x 2 , (ecuaci´on del calor, con µ constante). Problema 2.12 Encuentra soluciones del tipo v(x, t) = λsech 2 (kx−ωt) de la ecuaci´on (λ, k, ω son constantes) ∂v ∂t + ∂ 3 v ∂x 3 +v ∂v ∂x = 0, (ecuaci´on K-dV, con v constante). 13 Problema 2.13 Considera la ecuaci´on de ondas ∂ 2 f ∂t 2 = c 2 ∂ 2 f ∂x 2 (c es una constante). i) Demuestra que el cambio de variables f(x, t) = u(ξ, η), con ξ = x + ct, η = x − ct, la convierte en la ecuaci´on ∂ 2 u ∂η∂ξ = 0. ii) Comprueba entonces que dado cualquier par de funciones ϕ 1 y ϕ 2 de una variable (derivables dos veces), la funci´on f(x, y) = ϕ 1 (x + ct) + ϕ 2 (x − ct) es soluci´on de la ecuaci´on de ondas. iii) Esboza la gr´afica de f si ϕ 1 (ξ) = _ 1 + cos ξ si [ξ[ ≤ π 0 si [ξ[ > π , ϕ 2 (η) = 0. Problema 2.14 Para la ecuaci´on ∂u ∂t + 3 ∂u ∂x = 0, i) demuestra que u(a + 3t, t) es constante para cada a ∈ IR; ii) si u(x, 0) = x 2 , calcula u(5, 1). Soluci´on: ii) 4. Problema 2.15 En la teor´ıa de la relatividad de Einstein, se define la transformaci´on de Lorentz mediante f(x, t) = u(ξ, η), con _ ξ = γ (x −vt) η = γ _ t − v c 2 x _ , donde γ = (1 −v 2 /c 2 ) −1/2 , v ∈ IR. i) Calcula la matriz jacobiana de la transformaci´on. ii) Comprueba que la transformaci´on de Lorentz deja invariante la ecuaci´on de ondas, es decir, ∂ 2 f ∂t 2 −c 2 ∂ 2 f ∂x 2 = 0 ⇐⇒ ∂ 2 u ∂η 2 −c 2 ∂ 2 u ∂ξ 2 = 0. 2.2 Extremos de funciones de varias variables. Problema 2.16 Halla los puntos cr´ıticos y determina los valores extremos locales de las si- guientes funciones de dos variables: i) f(x, y) = x 2 + 2y 2 −4y, ii) g(x, y) = x 2 −xy +y 2 + 2x + 2y −6, iii) h(x, y) = 3x 2 + 2xy + 2x +y 2 −y + 4, iv) k(x, y) = 8x 3 −24xy +y 3 . Problema 2.17 Calcula los extremos de la funci´on f(x, y) = e −x 2 +εy 2 para ε = 0, 1, −1. Problema 2.18 Calcula los extremos de las siguientes funciones en los recintos que se especi- fican: 14 i) f(x, y) = x 3 y 3 en IR 2 ; ii) f(x, y) = x 4 y 4 en IR 2 ; iii) f(x, y) = x 2 +xy +y 2 −3x −6y en IR 2 ; iv) f(x, y) = x −y 1 +x 2 +y 2 en IR 2 ; v) f(x, y) = [x[ +[y[ en A = ¦(x, y) : [x[ ≤ 1, [y[ ≤ 1¦; vi) f(x, y) = x 2 +2xy+y 2 en A = ¦(x, y) : [x[ ≤ 2, [y[ ≤ 1¦ y en B = ¦(x, y) : x 2 +y 2 ≤ 8¦. Soluci´on: i) (x, 0) y (0, y) son puntos de silla (f no tiene m´aximos ni m´ınimos); ii) (x, 0) y (0, y) son m´ınimos globales (f no tiene m´aximos); v) (0, 0) es el m´ınimo global y (±1, ±1) son los m´aximos globales; vi) (x, −x) son los m´ınimos globales tanto en A como en B; (2, 1) y (−2, −1) son los m´aximos globales en A; (2, 2) y (−2, −2) son los m´aximos globales en B. Problema 2.19 Estudia si las siguientes funciones tienen un extremo (local o global) en el origen (0, 0): i) f(x, y) = x 4 + 2xy 3 +y 4 + 2xy; ii) g(x, y) = _ xy +xy 3 sen(x/y) si y ,= 0 0 si y = 0. Indicaci´on: En el apartado ii) ac´ercate a (0, 0) por dos rectas distintas, de forma que la funci´on compuesta con las rectas tenga un punto m´aximo en 0 por una de ellas y un punto m´ınimo en 0 por la otra. Soluci´on: Las dos funciones tienen un punto de silla en (0, 0). Problema 2.20 Sea la funci´on φ : IR n → IR definida por φ(x) = re −r , r = [[x[[. i) Halla los extremos locales y globales de φ en los casos n = 1 y n = 2. ii) Estudia la diferenciabilidad de φ en esos puntos. Problema 2.21 Dado el conjunto de pares de valores ¦(x i , y i ), i = 1, . . . , N¦, construimos la funci´on de dos variables f(m, b) = N i=1 (y i −mx i −b) 2 . Encuentra los valores de m y b que minimizan f. (M´etodo de m´ınimos cuadrados para aproximar el conjunto de puntos ¦(x i , y i )¦ mediante la recta y = mx +b). 2.3 Extremos condicionados. Problema 2.22 Maximiza x 2 +y 2 en la curva x 4 + 7x 2 y 2 +y 4 = 1. Problema 2.23 Maximiza xyz en la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 1. Problema 2.24 Minimiza x + 2y + 4z en la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 1. Problema 2.25 15 i) Calcula el m´ınimo de la funci´on f(x, y) = x 2 +y 2 en el conjunto A = ¦xy = 1¦. ii) Calcula el m´aximo y el m´ınimo de la funci´on f(x, y) = xy en el conjunto A = ¦x 2 +4y 2 = 4¦. Soluci´on: i) los puntos m´ınimos son (1, 1) y (−1, −1); ii) los puntos m´aximos son ( √ 2, 1/ √ 2 ) y (− √ 2, −1/ √ 2 ); los puntos m´ınimos son ( √ 2, −1/ √ 2 ) y (− √ 2, 1/ √ 2 ). Problema 2.26 Calcula los extremos de las siguientes funciones sujetas a las restricciones que se especifican: i) f(x, y) = xy sujeto a 2x + 3y −5 = 0; ii) g(x, y, z) = xyz sujeto a x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1; iii) h(x, y, z) = x 2 y 4 z 6 sujeto a x +y +z = 1, x, y, z > 0; iv) u(x, y) = log x x + log y y sujeto a x +y = 1 x, y > 0. Problema 2.27 Calcular los m´aximos y m´ınimos absolutos de la funci´on f(x, y) = x 2 +y 2 + 6x −8y + 25 en el conjunto D = ¦x 2 +y 2 ≤ 16¦. Problema 2.28 Encuentra los extremos de las siguientes funciones en los conjuntos que se indican: i) f(x, y, z) = x +y +z en S = ¦ 2x 2 + 3y 2 + 6z 2 = 1 ¦; ii) f(x, y) = x 2 +y 2 −2x −2y + 2 en T = ¦ y/2 ≤ x ≤ 3 − √ 2y, 0 ≤ y ≤ 2 ¦; iii) f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 en U = ¦ (x, y, z) ∈ IR 3 / z ≥ x 2 +y 2 −2 ¦. Soluci´on: i) el punto m´aximo es (1/2, 1/3, 1/6) y el punto m´ınimo es (−1/2, −1/3, −1/6); ii) el punto m´aximo es (3, 0) y el punto m´ınimo es (1, 1); iii) no existe m´aximo y el punto m´ınimo es (0, 0, 0). Problema 2.29 Encuentra los valores m´aximo y m´ınimo de la funci´on f(x, y, z) = x+2y +3z en la elipse x 2 +y 2 = 2, x +z = 1. Soluci´on: M = 7, m = −1. Problema 2.30 Halla la distancia del punto (2, 2, 2) a la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 1. Problema 2.31 Calcula la distancia del punto (4, 4, 10) a la esfera (x−1) 2 +y 2 +(z+2) 2 = 25: i) geom´etricamente; ii) utilizando multiplicadores de Lagrange. Soluci´on: 8. Problema 2.32 Representa un n´ umero positivo a como producto de cuatro factores positivos cuya suma sea m´ınima. 16 Problema 2.33 Un fabricante puede producir tres productos distintos en cantidades Q 1 , Q 2 , Q 3 respectivamente, y genera un beneficio igual a P(Q 1 , Q 2 , Q 3 ) = 2Q 1 + 8Q 2 + 24Q 3 . Halla los valores de Q 1 , Q 2 , Q 3 que maximizan el beneficio si la producci´on est´a sujeta a la restricci´on Q 2 1 + 2Q 2 2 + 4Q 2 3 = 4.5 10 9 . Problema 2.34 La producci´on de una compa˜ n´ıa es una funci´on Q = f(K, L) = K α L 1−α , donde 0 < α < 1, K es la cantidad de capital invertido y L es la cantidad de trabajo usado. El precio del capital es p y el del trabajo q. Calcula la proporci´on entre el capital y el trabajo que hay que utilizar para maximizar la producci´on usando un presupuesto B. Soluci´on: K L = αq (1 −α)p . Problema 2.35 Demuestra que los puntos cr´ıticos de la funci´on f(x 1 , . . . , x n ) = n i,j=1 a ij x i x j , con la restricci´on n i=1 x 2 i = 1, son los autovectores de la matriz sim´etrica (a ij ). (Los puntos cr´ıticos de f(x) = ¸Ax, x) con la restricci´on [[x[[ = 1 son los autovectores de A). 3 Integraci´on en IR n 3.1 Integral m´ ultiple. Problema 3.1 Calcula _ _ Q f en los siguientes casos: i) f(x, y) = xy(x +y), Q = [0, 1] [0, 1], ii) f(x, y) = x 3 + 3x 2 y +y 3 , Q = [0, 1] [0, 1], iii) f(x, y) = sen 2 xsen 2 y, Q = [0, π] [0, π], iv) f(x, y) = sen(x +y), Q = [0, π/2] [0, π/2], v) f(x, y) = xseny −ye x , Q = [−1, 1] [0, π/2], vi) f(x, y) = _ [y −x 2 [, Q = [−1, 1] [0, 2]. Problema 3.2 Dibuja la regi´on de integraci´on Q y calcula _ _ Q f en los siguientes casos: i) f(x, y) = x 2 −y, Q = ¦(x, y) ∈ IR 2 , x ∈ [−1, 1], −x 2 ≤ y ≤ x 2 ¦, ii) f(x, y) = 2x −sen(x 2 y), Q = ¦(x, y) ∈ IR 2 , x ∈ [−2, 2], [y[ ≤ [x[¦, iii) f(x, y) = xy −x 3 , Q = ¦(x, y) ∈ IR 2 , x ∈ [0, 1], −1 ≤ y ≤ x¦, iv) f(x, y) = y senx, Q = ¦(x, y) ∈ IR 2 , [x[ +[y[ ≤ 1¦. 17 Problema 3.3 Sea f : Q = [0, 1] [0, 1] −→ IR definida por f(x, y) = _ 0 0 ≤ x < 1/2 1 1/2 ≤ x ≤ 1 . Prueba que f es integrable y que _ Q f = 1 2 . Problema 3.4 i) Prueba, sin resolver la integral, que 4π ≤ _ D (x 2 +y 2 + 1) dxdy ≤ 20π , donde D es el disco de radio 2 centrado en el origen. ii) Sea A el cuadrado [0, 2] [1, 3] y sea f(x, y) = x 2 y. Prueba, sin hacer la integral, que 0 ≤ _ A f(x, y) dxdy ≤ 48 . iii) Mejora esta ´ ultima estimaci´on y prueba que 3 ≤ _ A f(x, y) dxdy ≤ 25 . Indicaci´on: utiliza una partici´on de A en cuatro cuadrados iguales. Problema 3.5 En los siguientes casos, calcula de forma aproximada, mediante sumas superi- ores e inferiores, la integral _ R f(x, y) dA, donde R = [0, 4][0, 2]. Usa una partici´on formada por ocho cuadrados de lados iguales. Calcula tambi´en de forma exacta la integral doble y compara los resultados. i) f(x, y) = x +y ii) f(x, y) = xy iii) f(x, y) = x 2 +y 2 iv) f(x, y) = 1/[(x + 1)(y + 1)]. Soluci´on: i) 16 < I < 32, (I = 24); ii) 6 < I < 30, (I = 16); iii) 32 < I < 80, (I = 160/3); iv) 77/72 < I < 25/8, (I = log 3 log 5). Problema 3.6 Representa la imagen de f en el cuadrado Q = [0, 1] [0, 1] y calcula _ Q f para los siguientes casos: i) f(x, y) = _ 1 −x −y si x +y ≤ 1 0 si x +y ≥ 1 ii) f(x, y) = _ 1 si x = y 0 en el resto iii) f(x, y) = _ x +y si x 2 ≤ y ≤ 2x 2 0 en el resto iv) f(x, y) = _ x 2 +y 2 si x 2 +y 2 ≤ 1 0 en el resto. Soluci´on: i) 1/6; ii) 0; iii) (21 −8 √ 2)/40; iv) π/8. Problema 3.7 Demuestra que dos pir´amides con la misma base y la misma altura tienen el mismo volumen. Calcula mediante integraci´on dicho volumen. 18 Problema 3.8 Un cono se obtiene uniendo todos los puntos de una regi´on plana S con un punto no situado en el plano de S. Designando por A el ´area de S y con h la altura del cono, prueba que: i) El ´area de la secci´on producida por un plano paralelo a la base y a distancia t del v´ertice es (t/h) 2 A si 0 ≤ t ≤ h. ii) El volumen del cono es 1 3 Ah. Problema 3.9 Calcula _ D (x 2 +y) dxdy, donde D = ¦ (x, y) ∈ IR 2 : [x[ +[y[ ≤ 1 ¦. Soluci´on: 1/3. Problema 3.10 Calcula _ 1 0 _ 1 0 f(x, y) dxdy, donde f(x, y) = max([x[, [y[). Soluci´on: 2/3. Problema 3.11 Calcula, mediante una integral doble, el ´area limitada por las curvas y = x, y = 2 −x 2 . Soluci´on: 9/2. Problema 3.12 Determina el recinto de integraci´on y cambia el orden de integraci´on en las siguientes integrales: i) _ 3 0 _ √ 25−x 2 4x/3 f(x, y)dy dx ii) _ 1 0 _ y 0 f(x, y)dxdy iii) _ π/2 0 _ sen(x/2) −sen(x/2) f(x, y)dy dx iv) _ e 1 _ log x 0 f(x, y)dy dx. Soluci´on: i) ¦0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ 3y/4¦ ∪ ¦4 ≤ y ≤ 5, 0 ≤ x ≤ _ 25 −y 2 ¦; ii) ¦0 ≤ x ≤ y, x ≤ y ≤ 1¦; iii) ¦−1/ √ 2 ≤ y ≤ 0, −2 arcseny ≤ x ≤ π/2¦ ∪¦0 ≤ y ≤ 1/ √ 2 , 2 arcseny ≤ x ≤ π/2¦; iv) ¦0 ≤ y ≤ 1, e y ≤ x ≤ e¦. Problema 3.13 Sobre el recinto R = ¦(x, y) ∈ IR 2 / x 2 + (y − 1) 2 ≤ 1, x ≥ 0¦, se consideran las funciones f(x, y) = 1 √ 1 −x 2 y g(x, y) = sen(y − 1). Aplica el teorema de Fubini a _ R f e _ R g en las dos ordenaciones posibles. Calcula las integrales en el orden m´as adecuado. Soluci´on: _ R f = 2, _ R g = 0. Problema 3.14 Halla el valor de la integral _ π 0 _ π x seny y dy dx. Soluci´on: 2. Problema 3.15 Calcula 19 i) _ 1 0 _ 1 0 _ 1 0 (x 2 +y 2 +z 2 ) dxdydz, ii) _ 1 0 _ 1 0 _ 1 0 (x +y +z) 2 dxdydz. Soluci´on: i) 1; ii) 2. Problema 3.16 Calcula las siguientes integrales en los recintos que se indican: i) _ W x 3 dV , donde W = [0, 1] [0, 1] [0, 1]. ii) _ W e −xy y dV , donde W = [0, 1] [0, 1] [0, 1]. iii) _ W (2x + 3y +z) dV , donde W = [1, 2] [−1, 1] [0, 1]. iv) _ W ze x+y dV , donde W = [0, 1] [0, 1] [0, 1]. Problema 3.17 Calcula las siguientes integrales y esboza la regi´on de integraci´on. i) _ W x 2 cos xdV , donde W es la regi´on limitada por los planos z = 0, z = π, y = 0, y = 1, x = 0 y x +y = 1. ii) _ 1 0 _ 2x 0 _ x+y x 2 +y 2 dz dy dx. Problema 3.18 Halla los vol´ umenes de las regiones limitadas por: i) z = x 2 + 3y 2 , z = 9 −x 2 . ii) x 2 + 2y 2 = 2, z = 0, x +y + 2z = 2. Problema 3.19 Demuestra las identidades i) _ x 0 _ t 0 F(u) dudt = _ x 0 (x −u)F(u) du ii) _ x 0 _ v 0 _ u 0 f(t) dtdudv = 1 2 _ x 0 (x −t) 2 f(t) dt. 3.2 Cambios de variables en la integral m´ ultiple. Problema 3.20 Usa una transformaci´on lineal para calcular _ S (x−y) 2 sen 2 (x+y) dxdy, siendo S el paralelogramo de v´ertices (π, 0), (2π, π), (π, 2π) y (0, π). Soluci´on: 13π 4 /48. Problema 3.21 Calcula _ D (y −x) dxdy, siendo D la regi´on del plano limitada por las rectas y = x + 1, y = x −3, y = (7 −x)/3 e y = 5 −x/3. Soluci´on: −8. 20 Problema 3.22 Sea la aplicaci´on definida por _ x = u +v y = v −u 2 . Calcula: i) el jacobiano J(u, v); ii) la imagen S en el plano XY del tri´angulo T en el plano UV de v´ertices (0,0), (2,0) y (0,2); iii) el ´area de S; iv) la integral _ S (x −y + 1) −2 dxdy. Soluci´on: i) 1 + 2u; iii) 14/3; iv) 2 + (π −6 arctg(5/ √ 3)) √ 3/9. Problema 3.23 Calcula la integral doble _ _ D log(x 2 + y 2 ) dxdy donde D es el recinto del primer cuadrante del plano comprendido entre las curvas x 2 +y 2 = 1, x 2 +y 2 = 4. Problema 3.24 Halla la integral de la funci´on f(x, y) = y 4 b 4 _ x 2 a 2 + y 2 b 2 __ 1 + x 2 a 2 + y 2 b 2 _ +xy 2 sobre el recinto D = _ x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 _ , donde a y b son constantes positivas. Soluci´on: 3πab(1 −log 2)/8. Problema 3.25 Halla la integral de la funci´on f(x, y) = x _ x 2 +y 2 e √ x 2 +y 2 sobre los recintos E = ¦ x 2 + (y −1) 2 ≤ 1 ¦ y H = ¦ x 2 + (y −1) 2 ≤ 1, x ≥ 0 ¦. Soluci´on: _ E f = 0, _ H f = 2. Problema 3.26 Sobre el recinto R = ¦(x, y) ∈ IR 2 / x 2 +(y −1) 2 ≤ 1, x ≥ 0¦, halla la integral de la funci´on h(x, y) = _ 2y 2 +x 2 y . Soluci´on: _ R h = 1 +π/2. Problema 3.27 Calcula _ D dxdy xy , donde D es el dominio plano limitado por las curvas x 2 +y 2 = ax, x 2 +y 2 = a x, x 2 +y 2 = by , x 2 +y 2 = b y , siendo 0 < a < a , 0 < b < b . Indicaci´on: Efect´ ua un cambio de variable adecuado, de forma que el nuevo dominio sea el rect´angulo [a, a ] [b, b ]. 21 Soluci´on: log(a /a) log(b /b) (el valor absoluto del jacobiano de la transformaci´on inversa es x 2 y 2 /(x 2 +y 2 ) 2 ). Problema 3.28 Calcula la integral _ S xdxdy 4x 2 +y 2 , donde S es la regi´on del primer cuadrante limitada por los ejes coordenados y las elipses 4x 2 +y 2 = 16, 4x 2 +y 2 = 1. Soluci´on: 3/4. Problema 3.29 Si R es la regi´on limitada por el plano z = 3 y el cono z = _ x 2 +y 2 , calcula i) _ R _ x 2 +y 2 +z 2 dxdydz , ii) _ R _ 9 −x 2 −y 2 dxdydz . Soluci´on: i) 27π(2 √ 2 −1)/2; ii) 54π −81π 2 /8. Problema 3.30 Calcula _ W f(x, y, z) dxdydz , en los siguientes casos: i) f(x, y, z) = e −(x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 , y W es la regi´on que queda bajo la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 y sobre el cono z = _ x 2 +y 2 . ii) f(x, y, z) = z e x 2 +y 2 +z 2 , y W = ¦ x 2 +y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 1 ¦. iii) f(x, y, z) = _ 1 −x 2 −y 2 + xyz 3 1 +z 2 , y W = ¦ a 2 ≤ x 2 +y 2 +z 2 ≤ 1 ¦, 0 < a < 1. Soluci´on: i) π(2 − √ 2)(1 −e −27 )/3; ii) π(e −1) 2 /4; iii) πa 2 (2 −a 2 ). 3.3 Aplicaciones. Problema 3.31 Calcula las siguientes ´areas: i) ´area de la regi´on A = ¦(x, y) ∈ IR 2 : x, y > 0, a 2 y ≤ x 3 ≤ b 2 y, p 2 x ≤ y 3 ≤ q 2 x, ¦, donde 0 < a < b y 0 < p < q. ii) ´area encerrada por las curvas xy = 4, xy = 8, xy 3 = 5 y xy 3 = 15. Soluci´on: i) (b −a)(q −p)/2; ii) 2 log 3. Problema 3.32 Calcula los siguientes vol´ umenes: i) volumen de la intersecci´on del cilindro x 2 +y 2 ≤ 4 y la bola x 2 +y 2 +z 2 ≤ 16; ii) volumen de la intersecci´on de los cilindros x 2 +y 2 ≤ 4 y x 2 +z 2 ≤ 4; iii) volumen del s´olido limitado por los seis cilindros z 2 = y, z 2 = 2y, x 2 = z, x 2 = 2z, y 2 = x e y 2 = 2x; iv) volumen del s´olido limitado por los conos z = 1 − _ x 2 +y 2 y z = −1 + _ x 2 +y 2 ; v) volumen de la regi´on limitada por el paraboloide z = x 2 + y 2 y el cilindro x 2 + y 2 = 4 en z ≥ 0; vi) volumen de la regi´on limitada por x 2 +y 2 +z 2 ≤ 2, x 2 +y 2 ≤ z y z ≤ 6/5; vii) volumen de la regi´on limitada por las superficies z = x 2 +y 2 , z = 2(x 2 +y 2 ), y = x e y 2 = x. 22 Soluci´on: i) 32π(8 −3 √ 3)/3; ii) 128/3; iii) 1/7; iv) 2π/3; v) 8π; vi) 493π/750; vii) 3/35. Problema 3.33 Calcula el volumen del s´olido limitado por las superficies y = z 2 , 2y = z 2 , z = x 2 , 2z = x 2 , x = y 2 , 2x = y 2 . Indicaci´on: Efect´ ua un cambio de variable de forma que el nuevo recinto de integraci´on sea el cubo [1, 2] 3 . Soluci´on: 1/7. Problema 3.34 Calcula el volumen del s´olido limitado por el elipsoide x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1. Soluci´on: 8π. Problema 3.35 Calcula el volumen del s´olido limitado por el elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. Estudia el caso particular a = b = c = r. Soluci´on: i) 4πabc/3; ii) 4πr 3 /3. Problema 3.36 Calcula el volumen comprendido entre el cilindro ρ = 4 cos θ, la esfera ρ 2 +z 2 = 16 y el plano z = 0. (Las ecuaciones est´an expresadas en coordenadas cil´ındricas.) Problema 3.37 Sea S una regi´on del plano limitada por las curvas que se indican. Calcula la masa y el centro de gravedad de S suponiendo que la densidad es constante: i) y = x 2 , x +y = 2, ii) y + 3 = x 2 , x 2 = 5 −y, iii) y = sen 2 x, y = 0, x ∈ [0, π], iv) y = senx, y = cos x, x ∈ [0, π/4]. Problema 3.38 Calcular el momento de inercia respecto del eje vertical del s´olido V = _ x 2 +y 2 +z 2 ≤ 4, z ≥ _ x 2 +y 2 _ (suponiendo la densidad constante ρ). Problema 3.39 El cuadrado Q de v´ertices (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) representa una l´amina de densidad constante. Calcula el momento de inercia respecto de la recta x = y. Problema 3.40 Sea M el cuadrado [−1, 1] [−1, 1]. Calcula su masa total suponiendo que la densidad en el punto (x, y) ∈ M es [x −y[. Problema 3.41 Determina las coordenadas del centro de gravedad de la placa M = ¦(x, y) ∈ IR 2 , 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3¦ cuya densidad viene dada por la funci´on f(x, y) = xy. 23 Problema 3.42 Una placa met´alica viene representada por el conjunto del plano: P = ¦(x, y) ∈ IR 2 , [y[ ≤ x ≤ 1¦ y su densidad en P es f(x, y) = y 2 . Calcula el centro de gravedad y los momentos de inercia con respecto a los ejes. Problema 3.43 Una l´amina de espesor despreciable est´a limitada por la par´abola y = 2x−x 2 en el intervalo [0, 2]. La densidad en cada punto viene dada por la funci´on f(x, y) = (1−y)/(1+ x). Calcula el ´area, la masa, el centro de gravedad y los momentos de inercia respecto a los ejes. Problema 3.44 i) Calcula el ´area del conjunto D = ¦ x = r cos 3 t, y = r sen 3 t, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ t ≤ π/2¦ = ¦ x 2/3 +y 2/3 ≤ 1, x, y ≥ 0¦. ii) Calcula las coordenadas del centro de masas de D si tiene densidad 1. Soluci´on: i) 3π/32; ii) x CM = y CM = 256/(315π). Problema 3.45 El primer octante de la esfera x 2 +y 2 +z 2 = c 2 se corta con el plano x a + y b = 1, 0 < a, b ≤ c. Halla la masa de los dos s´olidos resultantes sabiendo que la densidad en cada punto es ρ(x, y, z) = z. Soluci´on: abc 2 /4 −a 3 b/24 −ab 3 /24 y πc 4 /16 −(abc 2 /4 −a 3 b/24 −ab 3 /24). Problema 3.46 Halla la masa de la l´amina correspondiente a la porci´on del primer cuadrante del c´ırculo x 2 + y 2 ≤ 4, si la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia entre el punto y el centro del c´ırculo. Soluci´on: 4πα/3, donde α es la constante de proporcionalidad. Problema 3.47 La temperatura en los puntos del cubo [−1, 1] 3 es proporcional al cuadrado de la distancia al origen. i) Calcula la temperatura media del cubo. ii) Encuentra en qu´e puntos del cubo la temperatura coincide con la media. Soluci´on: i) α, donde α es la constante de proporcionalidad; ii) la esfera unidad. Problema 3.48 Calcula el centro de masas de un s´olido semiesf´erico de radio R si su densidad en cada punto es el cuadrado de la distancia del punto al centro. Soluci´on: (0, 0, 5R/12). Problema 3.49 Un helado de cucurucho est´a formado por un cono de barquillo de ´angulo α y una semiesfera de helado de radio R. El cucurucho y el helado tienen densidades constantes ρ c y ρ h respectivamente. Determina el cociente ρ h /ρ c para que el centro de masas del helado est´e situado en el plano que separa el helado del barquillo. Soluci´on: 3 tg 2 α. 24 Problema 3.50 Sea la funci´on I(p, r) = _ R dxdy (1 +x 2 +y 2 ) p , siendo R el disco de radio r centrado en el origen. ¿Para qu´e valores de p tiene I(p, r) l´ımite finito cuando r → ∞? Soluci´on: πp 2−2p /(p −1) si p > 1. Problema 3.51 i) Calcula la integral _ D r e −(x 2 +y 2 ) dxdy, siendo D r el disco centrado en el origen y radio r. ii) Si Q a,b es el rect´angulo [−a, a] [−b, b], demuestra la estimaci´on _ D r 1 e −(x 2 +y 2 ) dxdy ≤ _ Q a,b e −(x 2 +y 2 ) dxdy ≤ _ D r 2 e −(x 2 +y 2 ) dxdy, para ciertos r 1 y r 2 . iii) Tomando el l´ımite a, b → ∞, demuestra la f´ormula _ ∞ −∞ e −x 2 dx = √ π. iv) Deduce que _ IR 3 e −x 2 −y 2 −z 2 dxdydz = π 3/2 . v) Deduce que _ IR n e −x 2 d n x = π n/2 . Soluci´on: i) π(1 −e −r 2 ); ii) r 1 = min¦a, b¦, r 2 = (a 2 +b 2 )/4. 4 Integrales de l´ınea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra i) f(x, y) = 2xy 2 sobre el primer cuadrante de la circunferencia de radio R. ii) f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 a lo largo del arco de h´elice circular r(t) = (cos t, sent, 3t), desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 6π). Soluci´on: i) 2R 4 /3; ii) 2π √ 10(5 + 120π 2 + 1296π 5 )/5. Problema 4.2 Determina la longitud y la masa de un hilo cuya forma es el arco de par´abola y = x 2 desde (0, 0) hasta (2, 4) y cuya densidad es ρ(x, y) = x. Soluci´on: La longitud es √ 17 + (log(4 + √ 17))/4 y la masa es (17 3/2 −1)/12. Problema 4.3 En los ejercicios que siguen, calcula la integral de l´ınea del campo vectorial f a lo largo del camino que se indica: i) f (x, y) = (x 2 −2xy, y 2 −2xy), a lo largo de la par´abola y = x 2 desde (−1, 1) a (1, 1), 25 ii) f (x, y) = (x 2 +y 2 , x 2 −y 2 ), a lo largo de la curva y = 1 −[1 −x[,desde (0, 0) a (2, 0), iii) f (x, y, z) = (y 2 −z 2 , 2yz, −x 2 ), a lo largo del camino descrito por r(t) = (t, t 2 , t 3 ), con t ∈ [0, 1], iv) f (x, y, z) = (2xy, x 2 +z, y), a lo largo del segmento que une (1, 0, 2) con (3, 4, 1) Problema 4.4 Se considera la funci´on vectorial f(x, y) = (x 2 , y). Calcula la integral de l´ınea de f desde (1, 0) hasta (−1, 0) a lo largo de: i) El segmento que une ambos puntos. ii) Los dos recorridos posibles del rect´angulo [−1, 1] [−1, 1]. iii) La semicircunferencia superior que une ambos puntos. Problema 4.5 Calcula: i) _ g (x −y)dx + (x +y)dy, siendo g el segmento que une (1,0) con (0,2). ii) _ C x 3 dy −y 3 dx, siendo C la circunferencia unidad. iii) _ Γ dx +dy [x[ +[y[ , siendo Γ el cuadrado de v´ertices (1,0), (0,1), (−1, 0) y (0, −1), recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj. iv) _ ρ (x + 2y)dx + (3x − y)dy siendo ρ la elipse de ecuaci´on x 2 + 4y 2 = 4, recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. v) _ R y 3 dx −xy 2 dy x 5 , siendo R la curva x = √ 1 −t 2 , y = t √ 1 −t 2 , −1 ≤ t ≤ 1. Soluci´on: i)7/2; ii) 3π/2; iii) 0; iv) 2π; v) −π/2. Problema 4.6 Calcula: i) _ γ y dx−xdy +z dz, siendo γ la curva de intersecci´on del cilindro x 2 +y 2 = a 2 y el plano z −y = a en sentido antihorario. ii) _ γ F, siendo F(x, y, z) = (2xy + z 2 , x 2 , 2xz) y γ la intersecci´on del plano x = y con la esfera x 2 +y 2 +z 2 = a 2 , recorrida en sentido positivo. iii) _ γ F, siendo F(x, y, z) = (y, z, x) y γ la curva intersecci´on de x 2 +y 2 = 2x con x = z. Soluci´on: i) −2πa 2 ; ii) 0; iii) 0. Problema 4.7 Una part´ıcula de masa m se mueve desde 0 hasta 1 describiendo la curva: r(t) = (t 2 , sent, cos t), t ∈ [0, 1]. Halla la fuerza total que act´ ua sobre la part´ıcula sabiendo que viene dada por la expresi´on f (t) = mr (t) (segunda ley de Newton). Calcula tambi´en el trabajo total realizado por dicha fuerza. 26 Problema 4.8 Halla el valor de b > 0 que minimiza el trabajo producido al mover una part´ıcula sometida al campo de fuerzas F(x, y) = (3y 2 + 2, 16x), desde (−1, 0) hasta (1, 0), a lo largo de la semielipse b 2 x 2 +y 2 = b 2 , y ≥ 0. Soluci´on: El trabajo m´ınimo es 8(2 −π)/3, para b = 4/3. Problema 4.9 Considera el campo de fuerzas F(x, y) = (cxy, x 6 y 2 ), a, b, c > 0. Calcula el par´ametro a en t´erminos de c para que el trabajo producido al mover una part´ıcula a lo largo de la par´abola y = ax b desde x = 0 hasta x = 1 no dependa de b. Soluci´on: a = _ 3c/2 Problema 4.10 Calcula el trabajo producido al mover una part´ıcula sometida al campo de fuerzas (en polares) F(r, θ) = (−4 senθ, 4 senθ), a lo largo de la curva r = e −θ desde el punto (1,0) hasta el origen. Soluci´on: 8/5. Problema 4.11 Sea F(x, y, z) = (seny +z, xcos y + e z , x +ye z ). i) Prueba que la integral sobre cualquier curva cerrada, regular a trozos, vale 0. ii) Obt´en el potencial de F, es decir, encuentra φ tal que F = ∇φ. Soluci´on: ii) φ(x, y, z) = x(seny +z) +ye z . Problema 4.12 Calcula _ γ F, siendo F(x, y, z) = (2xze x 2 +y 2 , 2yze x 2 +y 2 , e x 2 +y 2 ) y γ la curva en IR 3 dada por r(t) = (t, t 2 , t 3 ), 0 ≤ t ≤ 1. Soluci´on: e 2 . Problema 4.13 Sea la curva en IR 3 , γ(t) = _ e t 2 +t(1 −e) −1, sen 5 (πt), cos(t 2 −t) _ , t ∈ [0, 1], y el campo vectorial F(x, y, z) = (y +z +x 4 senx 5 , x +z + arctg y, x +y + sen 2 z). i) Halla _ γ F. ii) ¿Existe f tal que ∇f = F? En caso afirmativo halla f. Soluci´on: i) 0; ii) f(x, y, z) = xy +xz +yz − 1 5 cos x 5 +y arctg y − 1 2 log(1 +y 2 ) + z 2 − 1 4 sen2z. Problema 4.14 Sea la curva en IR 3 , Γ = ¦ x 2 + y 2 = 1, z = y 2 − x 2 ¦, y el campo vectorial F(x, y, z) = (y 3 , e y , z). i) Halla _ Γ F. ii) ¿Existe f tal que ∇f = F? Soluci´on: i) −3π/4; ii) No. 27 Problema 4.15 Determinar a y b de manera que el campo vectorial w(x, y) = e 2x+3y _ (a senx +a cos y + cos x), (b senx +b cos y −seny) _ sea conservativo, y calcular la funci´on potencial correspondiente. Soluci´on: a = 2, b = 3; ϕ(x, y) = e 2x+3y (senx + cos y) +C. Problema 4.16 Considera el campo vectorial F(x, y) = _ log(xy) x , log(xy) y _ , definido para x > 0, y > 0, y sean a > 0, b > 0 dos constantes. i) Calcula _ γ F siendo γ el arco de la hip´erbola xy = a con x 1 ≤ x ≤ x 2 . ii) Si A es un punto (cualquiera) de la hip´erbola xy = a, B es un punto (cualquiera) de la hip´erbola xy = b, y γ es una curva (cualquiera) de clase C 1 , contenida en el primer cuadrante que une A con B, prueba que _ γ F = 1 2 log(ab) log(b/a) . Soluci´on: i) F = ∇f, con f(x, y) = 1 2 _ log(xy) _ 2 +c, _ γ F = 0. 4.2 Integrales sobre superficies. Problema 4.17 Calcula el ´area de las siguientes superficies: i) esfera de radio R; ii) cono circular parametrizado por r(u, v) = (ucos v, usenv, u), donde 0 ≤ u ≤ a y 0 ≤ v ≤ 2π. iii) porci´on del paraboloide z = x 2 +y 2 que se encuentra en el cilindro x 2 +y 2 = a 2 ; iv) porci´on del cilindro x 2 +z 2 = 16 limitada por el cilindro x 2 +y 2 = 16. Soluci´on: i) 4πR 2 ; ii) πa 2 √ 2; iii) π((1 + 4a 2 ) 3/2 −1)/6; iv) 128. Problema 4.18 Halla el ´area de la superficie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 situada fuera de los cilindros x 2 +y 2 = ±ax. Problema 4.19 i) Deduce la f´ormula del ´area de la superficie de revoluci´on obtenida al girar la gr´afica y = f(x), 0 < a ≤ x ≤ b, alrededor del eje vertical: A = 2π _ b a x _ 1 + (f (x)) 2 dx, con la parametrizaci´on s(r, θ) = (r cos θ, r senθ, f(r)), donde a ≤ r ≤ b y 0 ≤ θ ≤ 2π. 28 ii) Obt´en el ´area de la superficie del toro obtenido al girar la gr´afica (x−R) 2 +y 2 = c 2 , 0 < c < R. iii) Deduce la parametrizaci´on correspondiente para obtener la f´ormula an´aloga en el caso de girar la gr´afica y = f(x), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje horizontal. Soluci´on: ii) 4π 2 Rc; iii) s(x, θ) = (x, f(x) cos θ, f(x) senθ)). Problema 4.20 Sea el conjunto de IR 3 , W = ¦1 ≤ z ≤ (x 2 + y 2 ) −1/2 ¦. Demostrar que W tiene volumen finito pero su frontera tiene ´area infinita. Soluci´on: V = π. Problema 4.21 Se consideran la superficie S = ¦ (x, y, z) ∈ IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, y ≥ 0 ¦ orientada con la normal exterior a la esfera unidad, y la funci´on F(x, y, z) = (x +z, y +z, 2z). i) Calcula _ S F n. ii) Calcula _ S rot F n. Soluci´on: i) 8π/3; ii) π. Problema 4.22 Calcula _ S F n en los siguientes casos, donde n denota la normal exterior en los apartados i) iii) iv), y la normal que apunta hacia arriba (con tercera componente positiva) en el apartado ii): i) F(x, y, z) = (x 2 , y 2 , z 2 ) y S la frontera del cubo 0 ≤ x, y, z ≤ 1. ii) F(x, y, z) = (xy, −x 2 , x+z) y S la porci´on del plano 2x+2y+z = 6 situada en el primer octante. iii) F(x, y, z) = (xz 2 , x 2 y −z 2 , 2xy +y 2 z) y S la semiesfera superior z = _ a 2 −x 2 −y 2 . iv) F(x, y, z) = (2x 2 + cos yz, 3y 2 z 2 + cos(x 2 + z 2 ), e y 2 − 2yz 3 ) y S la superficie del s´olido engendrado por el corte del cono z ≥ _ x 2 +y 2 y la bola x 2 +y 2 +z 2 ≤ 1. Soluci´on: i) 3; ii) 27/4; iii) 0; iv) 0. Problema 4.23 Halla el momento de inercia respecto de un di´ametro de una l´amina esf´erica homog´enea de masa m y radio a. Soluci´on: πma 4 /4. 4.3 Teorema de Green, Stokes y Gauss. Problema 4.24 Calcula _ γ (5 − xy − y 2 )dx − (2xy − x 2 )dy siendo γ el cuadrado de v´ertices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1), directamente y aplicando el teorema de Green. Soluci´on: 3/2. 29 Problema 4.25 Sea f una funci´on derivable en IR. Sean P(x, y) = e x 2 − y 3 + e xy , Q(x, y) = f(y), y γ la frontera del cuadrado [0, 1] [0, 1] recorrida en sentido positivo. Calcula _ γ Pdx +Qdy. Soluci´on: (1 −log(e + 3) + log 4)/3. Problema 4.26 Calcula _ Γ xy dx + sen 2 (e cos y ) dy, donde Γ es la curva y = e −x 2 , para x ∈ (−∞, ∞). Indicaci´on: aplica la f´ormula de Green a la misma integral sobre la curva Γ R , formada por el segmento (−R, R), la funci´on y = e −x 2 en el mismo intevalo, y los segmentos verticales que unen ambos, recorrida en sentido positivo; a continuaci´on toma el l´ımite cuando R → ∞. Soluci´on: 0. Problema 4.27 Sean las funciones P(x, y) = y/(x 2 + y 2 ) y Q(x, y) = −x/(x 2 + y 2 ). Sea C una curva cerrada, regular a trozos, que no pasa por el origen, con C = ∂D. i) Demuestra que ∂Q ∂x = ∂P ∂y . ii) Si (0, 0) ∈ D, prueba que _ C P dx +Qdy = ±2π. iii) Si (0, 0) / ∈ D, calcula _ C P dx +Qdy. Soluci´on: iii) 0. Problema 4.28 Eval´ ua _ γ −y dx + (x −1) dy (x −1) 2 +y 2 , siendo γ una curva cerrada, simple, regular a trozos, que contiene al punto (1,0) en su interior. Soluci´on: iii) ±2π. Problema 4.29 i) Sea A el ´area de un dominio D, acotado por C curva cerrada, simple, regular a trozos, y orientada en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj). Prueba que A = 1 2 _ C −y dx +xdy , y que en coordenadas polares es A = 1 2 _ C r 2 (θ) dθ. ii) Calcula el ´area interior al bucle que forma la curva parametrizada como s(t) = (t 2 −1, t 3 −t). 30 iii) Calcula el ´area de la cardioide en polares r(θ) = a(1 −cos θ), (0 ≤ θ ≤ 2π). Soluci´on: ii) 8/15; iii) 3πa 2 /2. Problema 4.30 i) Calcula _ D (x + 2y)dxdy, donde D es el dominio acotado por el intervalo [0, 2π] y la arcada de la cicloide x = t −sent, y = 1 −cos t, con 0 ≤ t ≤ 2π. ii) Calcula _ D xy 2 dxdy, donde D es el dominio limitado por el astroide x = cos 3 t, y = sen 3 t, 0 ≤ t ≤ π/2 y los ejes. iii) Calcula _ D y 2 dxdy, donde D es el dominio limitado por la curva x = a(t −sen 2 t), y = a sen 2 t, 0 ≤ t ≤ π, y la recta que une sus extremos. Soluci´on: i) −2π(3π + 2); ii) 8/2145; iii) 0. Problema 4.31 Sean a, b > 0. i) Prueba (por integraci´on directa) que: _ π/2 0 dt a 2 cos 2 t +b 2 sen 2 t = π 2ab . ii) Usando el apartado anterior y derivando bajo el signo integral, prueba que _ π/2 0 sen 2 t (a 2 cos 2 t +b 2 sen 2 t) 2 dt = π 4ab 3 . iii) Usando el apartado anterior, prueba que _ γ y 3 dx −xy 2 dy (x 2 +y 2 ) 2 = π , siendo γ la elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 recorrida en el sentido de las agujas del reloj. Problema 4.32 Sea D un dominio de IR 2 limitado por la curva cerrada regular C, y sean u, v ∈ ( 2 (D). Si n es la normal unitaria exterior a la curva, utiliza el teorema de Green para obtener las siguientes identidades: i) _ C ∂u ∂n ds = _ D ∆udxdy ii) _ C v ∂u ∂n ds = _ D (v∆u −∇u ∇v) dxdy iii) _ C _ v ∂u ∂n −u ∂v ∂n _ ds = _ D (v∆u −u∆v) dxdy 31 Problema 4.33 Utilizando el teorema de Stokes calcula la integral _ S rot F en los siguientes casos, donde S est´a orientada seg´ un la normal exterior: i) F(x, y, z) = (x 2 y 2 , yz, xy) y S el paraboloide z = a 2 −x 2 −y 2 , z ≥ 0. ii) F(x, y, z) = ((1 −z)y, ze x , xsenz) y S la semiesfera superior de radio a. iii) F(x, y, z) = (x 3 +z 3 , e x+y+z , x 3 +y 3 , ), y S = ¦ x 2 +y 2 +z 2 = 1, y ≥ 0 ¦. Soluci´on: i) 0; ii) −πa 2 ; iii) 0. Problema 4.34 Considera el campo vectorial F(x, y, z) = _ y , x 2 , (x 2 +y 4 ) 3/2 sen(e √ xyz ) _ . Calcula _ S rot F n, donde n denota la normal interior al semielipsoide S = ¦(x, y.z) : 4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36 , z ≥ 0¦ . Soluci´on: 6π. Problema 4.35 Sea F(x, y, z) = (2y, 3z, x) y T el tri´angulo de v´ertices A(0, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(1, 1, 1). i) Da una orientaci´on a la superficie del tri´angulo T y la inducida en la frontera. ii) Calcula la integral de l´ınea del campo F sobre la frontera de T. Soluci´on: i) n = (1, 0, −1); la frontera se recorre de A a B y de B a C; ii) −1. Problema 4.36 Se consideran la funci´on F(x, y, z) = (y sen(x 2 +y 2 ), −xsen(x 2 +y 2 ), z(3−2y)) y el dominio W = ¦(x, y, z) ∈ IR 3 / x 2 +y 2 +z 2 ≤ 1, z ≥ 0¦. Calcula _ ∂W F. Soluci´on: 1. Problema 4.37 Verificar el teorema de Stokes para: i) F(x, y, z) = (y 2 , xy, xz), en el paraboloide z = a 2 −x 2 −y 2 , z ≥ 0. ii) F(x, y, z) = (−y 3 , x 3 , z 3 ) en S = ¦ z = y, y ≥ 0, x 2 +y 2 ≤ 1 ¦. Soluci´on: i) 0; ii) 3π/4. Problema 4.38 Un campo de vectores en IR 3 es de la forma F(x, y, z) = (P 1 (x, y)+P 2 (x, z), x+ Q(y, z), R(x, y, z)), con P 1 , P 2 , Q, R ∈ ( 2 (IR 3 ). Si Γ h es el contorno de la secci´on del cilindro x 2 +y 2 = 1 a la altura h, demostrar que _ Γ h F es independiente de h. Problema 4.39 Calcula la integral _ S F, donde i) F(x, y, z) = (18z, −12, 3y), y S es la regi´on del plano 2x + 3y + 6z = 12 situada en el primer octante. ii) F(x, y, z) = (x 3 , x 2 y, x 2 z), y S es la superficie cerrada que consta del cilindro x 2 +y 2 = a 2 , 0 ≤ z ≤ b, y sus tapas superior e inferior. 32 iii) F(x, y, z) = (4xz, −y 2 , yz), y S es la superficie que limita el cubo 0 ≤ x, y, z ≤ 1. iv) F(x, y, z) = (x, y, z), y S es una superficie cerrada simple. Soluci´on: i) 24; ii) 5πa 4 b/4; iii) 3/2; iv) 3[Ω[, donde S = ∂Ω. Problema 4.40 Sea S el cuadrado de v´ertices (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (0, 1, 1) (orientado con la normal de primera coordenada positiva). Se considera tambi´en el campo vectorial F(x, y, z) = (xy 2 , 2y 2 z, 3z 2 x). Calcular _ S rot F n de dos maneras distintas (utilizando el Teorema de Stokes). Problema 4.41 Se considera la superficie S = ¦x 2 + y 2 + z 2 = 1, y ≥ 0¦ (orientada seg´ un la normal exterior a la esfera unidad), y el campo vectorial F(x, y) = (x +z, y +z, 2z). i) Calcular _ S rot F n. ii) Calcular _ S F n. Problema 4.42 Calcula el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (y 2 , yz, xz) a trav´es de la superficie del tetraedro acotado por x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1, orientada seg´ un la normal exterior. Soluci´on: 1/12. Problema 4.43 Supongamos que la temperatura en cada punto del espacio sea proporcional al cuadrado de la distancia al eje vertical, y consideremos el dominio V = ¦ (x, y, z) ∈ IR 3 : x 2 +y 2 ≤ 2z, z ≤ 2 ¦. i) Calcula el volumen de V . ii) Calcula la temperatura promedio en V . iii) Calcula el flujo del gradiente de temperatura a trav´es (y hacia fuera), de ∂V . Soluci´on: i) 16π/3; ii) α (la constante de proporcionalidad); iii) 32απ. Problema 4.44 Sea S la esfera de radio a orientada con su vector normal exterior, y sea el campo vectorial F(x, y, z) = (senyz +e z , xcos z +log(1 +x 2 +z 2 ), e x 2 +y 2 +z 2 ). Calcula _ S F n. Soluci´on: 0. Problema 4.45 Sea S = S 1 ∪ S 2 , donde S 1 y S 2 son las superficies S 1 = ¦ x 2 +y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 ¦ S 2 = ¦ x 2 +y 2 + (z −1) 2 = 1, z ≥ 1 ¦, y sea el campo vectorial F(x, y, z) = (zx +z 2 y +x, z 3 yx +y, z 4 x 2 ). i) Calcula _ S rot F n utilizando el teorema de Stokes. 33 ii) Calcula la misma integral utilizando el teorema de la divergencia. Soluci´on: 0. Problema 4.46 Sea h : IR 2 → IR una funci´on diferenciable. Halla _ ∂Ω F n, donde n es el vector normal unitario interior a ∂Ω, y F(x, y, z) = _ e y 2 +z 2 + _ x 0 e t 2 +y 2 _ t 2 +y 2 dt, sen(x 2 + e z ), h(x, y) _ , Ω = ¦ (x, y, z) ∈ IR 3 : x 2 +y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ _ x 2 +y 2 , x ≥ 0, y ≥ 0 ¦. Soluci´on: π(1 −e). Problema 4.47 Considera el campo vectorial F(x, y, z) = _ y e z , _ x 0 e −t 2 +cos z dt , z(x 2 +y 2 ) _ . Calcula _ ∂Ω F n, donde n denota la normal exterior a la frontera del dominio Ω = ¦(x, y, z) : x 2 +y 2 +z 2 < a 2 , x 2 +y 2 < z 2 ¦ . Soluci´on: (8 −5 √ 2)πa 5 /60. 5 Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales 5.1 Integrales eulerianas. Problema 5.1 Demuestra las siguientes propiedades de la funci´on gamma Γ(x) = _ ∞ 0 t x−1 e −t dt, x > 0. i) Γ es continua y derivable. Calcula Γ n) (x). ii) Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(1/2) = √ π. iii) Γ(x + 1) = xΓ(x). iv) Deduce de lo anterior que lim x→0 + Γ(x) = +∞. v) Si n ∈ IN, Γ(n + 1) = n!. vi) Si n ∈ IN, Γ _ n + 1 2 _ = (2n)! 2 2n n! √ π. Problema 5.2 Demuestra las siguientes propiedades de la funci´on beta β(p, q) = _ 1 0 x p−1 (1 −x) q−1 dx, p, q > 0. 34 i) β(p, q) = β(q, p). ii) β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p +q) . iii) Si q > 1, entonces β(p, q) = q −1 p +q −1 β(p, q −1). iv) Si m, n ∈ IN, (m+n + 1) β(m+ 1, n + 1) = _ m+n n _ −1 . v) β(p, q) = _ ∞ 0 t p−1 (1 +t) p+q dt. vi) β(p, q) = 2 _ π/2 0 cos 2p−1 t sen 2q−1 t dt. vii) β(1/2, 1/2) = π; y como consecuencia, Γ(1/2) = √ π. Problema 5.3 Utilizando las funciones beta y gamma, calcula las siguientes integrales i) _ a 0 x 2 _ a 2 −x 2 dx (a > 0) ii) _ 1 0 _ t −t 2 dt iii) _ 1 0 log p (1/x) dx (p > −1) iv) _ ∞ 0 dx (1 +x) √ x , v) _ ∞ 0 4 √ x (1 +x) 2 dx vi) _ ∞ 0 dx 1 +x 3 , vii) _ ∞ 0 x 2 e −x 4 dx viii) lim n→∞ _ ∞ 0 e −x n dx, vii) ´area de la regi´on H = ¦ [x[ n +[y[ n ≤ a n ¦. Problema 5.4 Determina para qu´e valores de α es convergente la integral _ π/2 0 tg α xdx reduci´endola a una funci´on euleriana. Calc´ ulala en los casos en que sea convergente. Problema 5.5 i) Demuestra la f´ormula para a, b, c > −1, _ D x a y b (1 −x −y) c dxdy = Γ(a + 1)Γ(b + 1)Γ(c + 1) Γ(a +b +c + 3) , donde D es el tri´angulo limitado por la recta x +y = 1 y los ejes coordenados. ii) Como aplicaci´on del apartado anterior, prueba que, para p, q, r > 0, _ Ω x p−1 y q−1 z r−1 dxdydz = Γ(p)Γ(q)Γ(r) Γ(p +q +r + 1) , con Ω el tetraedro Ω = ¦ x, y, z ≥ 0, x +y +z ≤ 1 ¦. 35 iii) Demuestra la f´ormula _ V x p−1 y q−1 z r−1 dxdydz = a p b q c r 8 Γ(p/2)Γ(q/2)Γ(r/2) Γ((p +q +r + 2)/2) , siendo V el interior al elipsoide en el primer octante V = _ x, y, z ≥ 0, x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 _ . iv) Calcula el volumen interior al elipsoide. Indicaci´on: i) utiliza el cambio de variable u = x + y, v = y x +y , y la relaci´on existente entre las funciones beta y gamma. iii) haz un cambio de variable que transforme elipsoides en planos. Soluci´on: iv) 4πabc/3. 5.2 Transformada de Laplace. Problema 5.6 Si f : [0, ∞) −→ IR es integrable, y tiene crecimiento exponencial (es decir, [f(t)[ ≤ c e αt , para todo t > T, donde c, α, T son ciertas constantes que dependen de f), la transformada de Laplace de f se define mediante L(f)(s) = _ ∞ 0 e −st f(t) dt . i) Prueba que L(f)(s) converge para s ∈ (α, ∞) y que es continua en dicho intervalo. ii) Prueba que si [f(t)[ ≤ c e αt , para todo t > 0, entonces ¸ ¸ L(f)(s) ¸ ¸ ≤ c s −α , s > α. Problema 5.7 i) Prueba que si f(t) ≡ 1, L(f)(s) = 1/s, para s > 0. ii) Integrando por partes, prueba que si f(t) = t n , (n ∈ IN), entonces L(f)(s) = n! s n+1 , s > 0 . iii) Usando la funci´on gamma, prueba que si f(t) = t −1/2 , entonces L(f)(s) = _ π s . ¿Contradice esto el ´ ultimo apartado del ejercicio anterior? iv) Usando la funci´on gamma, prueba que si f(t) = t b , con b > −1, entonces L(f)(s) = Γ(b + 1) s b+1 . Problema 5.8 Prueba las siguientes propiedades de la transformada de Laplace: i) L(αf +βg) = αL(f) +β L(g), α, β ∈ IR. 36 ii) Si se define f = 0 para t < 0, entonces si a > 0 se tiene, L(f(t −a))(s) = e −as L(f)(s) . iii) L(e −at f(t))(s) = L(f)(s +a), a ∈ IR. iv) L(f(at))(s) = 1 a L(f(t)) _ s a _ , a > 0. Problema 5.9 Usando las propiedades anteriores calcula la transformada de Laplace de las funciones siguientes, indicando en cada caso su dominio. i) f(x) = e ax , (a ∈ IR), ii) f(x) = xe ax , (a ∈ IR), iii) f(x) = x b e ax , (a ∈ IR, b > −1), iv) f(x) = sen(ax), (a ∈ IR), v) f(x) = cos(ax), (a ∈ IR), vi) f(x) = e −ax cos(bx), (a, b ∈ IR), vii) f(x) = e −ax sen(bx), (a, b ∈ IR), viii) f(x) = sen 2 x, ix) f(x) = cos 2 x. Soluci´on: i) 1/(s −a), s > a; ii) 1/(s −a) 2 , s > a; iii) n!/(s −a) n+1 , s > a; iv) a/(s 2 +a 2 ), s > 0; v) s/(s 2 +a 2 ), s > 0; vi) (s +a)/(b 2 + (s +a) 2 ), s > −a; vii) b/(b 2 + (s +a) 2 ), s > −a; viii) 2/[s(s 2 + 4)], s > 0; ix) (s 2 + 2)/[s(s 2 + 4)], s > 0. Problema 5.10 Sea f una funci´on continua en [0, ∞) con crecimiento exponencial. i) Prueba que si f es derivable en (0, ∞) y f es continua, entonces L(f )(s) = s L(f)(s) −f(0) . ii) Deduce a partir de i) que si f es continua, entonces L(f )(s) = s 2 L(f)(s) −s f(0) −f (0) . iii) Prueba que L(f) es derivable y que d ds [L(f)(s)] = −L(t f(t))(s) . iv) M´as a´ un, prueba que L(f) tiene derivadas de todos los ´ordenes y que d n ds n [L(f)(s)] = (−1) n L(t n f(t))(s) . Problema 5.11 Usando el ejercicio anterior si es necesario, halla la transformada de Laplace de las siguientes funciones, indicando en cada caso su dominio: i) f(x) = x n (n ∈ IN), 37 ii) f(x) = xe x , iii) f(x) = xcos(ax) (a ∈ IR), iv) f(x) = x 2 sen(ax) (a ∈ IR), v) f(x) = sen 3 x, vi) f(x) = cos 3 x. Indicaci´on: v) 4 sen 3 x = 3 senx −sen3x; vi) 4 cos 3 x = 3 cos x + cos 3x Soluci´on: i) n!/s n+1 , s > 0; ii) 1/(s −1) 2 , s > 1; iii) (s 2 −a 2 )/(s 2 +a 2 ) 2 , s > 0; iv) (6as 2 −2a 3 )/(s 2 +a 2 ) 3 , s > 0; v) 6/[(s 2 + 1)(s 2 + 9)], s > 0; vi) (s 3 + 7s)/[(s 2 + 1)(s 2 + 9)], s > 0. Problema 5.12 Prueba que si f es continua en [0, ∞) y tiene crecimiento exponencial, entonces lo mismo es v´alido para la funci´on g(x) = _ x 0 f(t) dt y que L(g)(s) = 1 s L(f)(s) . Problema 5.13 Utiliza las propiedades de la transformada de Laplace para probar que si f(x) = _ ∞ x sent t dt , entonces L(f )(s) = arctg s − π 2 , L(f)(s) = arctg s s . Problema 5.14 Calcula la transformada de Laplace de la funci´on f(x) = x _ x 0 e −at sen(bt) dt , a, b ∈ IR. Soluci´on: b(3s 2 + 4as +a 2 +b 2 )/(s 2 ((s +a) 2 +b 2 ) 2 ). Problema 5.15 i) Expresa la transformada de Laplace de la funci´on f(x) = x α , (α > −1), con ayuda de la funci´on gamma. ii) Halla la transformada de Laplace de las funciones a) f(x) = e x √ x , b) f(x) = x α e ax (a ∈ IR, α > −1). Soluci´on: i) Γ(α + 1)/s α+1 ; ii.a) _ π/(s −1); ii.b) Γ(α + 1)/(s −a) α+1 . 38 Problema 5.16 Halla la funci´on cuya transformada de Laplace es i) 1 s 2 −1 ii) 1 (s + 1) 2 iii) 1 s(s + 1) 2 iv) 1 s n (n ∈ IN) v) 1 (s −1) 2 (s 2 + 1) vi) 4s + 12 s 2 + 8s + 16 vii) s e −πs/2 s 2 +a 2 viii) 1 √ s . Soluci´on: i) senh x = (e x − e −x )/2; ii) xe −x ; iii) 1 − (x + 1) e −x ; iv) x n−1 /(n − 1)!; v) 1 2 ((x − 1)e x + cos x); vi) 4(1 −x)e −4x ; vii) cos(a(x −π/2)) si x ≥ π/2, 0 si x < π/2; viii) 1/ √ πx. Problema 5.17 Calcula la integral I = _ ∞ 0 sens s ds siguiendo los pasos: i) Sustituye en la expresi´on de la integral 1/s por la correspondiente expresi´on integral respecto de su antitansformada de Laplace. ii) Calcula la transformada de Laplace de la funci´on seno. iii) Comprueba que la integral impropia _ ∞ 0 dx 1 +x 2 es convergente y halla su valor. iv) ¿Cu´anto vale I? Problema 5.18 Sea f : (0, ∞) −→ IR una funci´on continua a trozos y con crecimiento expo- nencial. i) Prueba que si f es peri´odica de per´ıodo P, es decir tal que f(x + P) = f(x) para todo x > 0, entonces L(f)(s) = 1 1 −e −Ps _ P 0 e −st f(t) dt . ii) Como aplicaci´on de la f´ormula del apartado anterior, calcula la transformada de Laplace de la funci´on f(x) = x −[x], donde [x] denota la parte entera de x. Indicaci´on: i) Divide la integral que define L(f) en dos trozos, uno de 0 a P, y el otro de P hasta infinito, y efect´ ua un cambio de variable adecuado en el segundo trozo de forma que puedas usar el hecho de que f es peri´odica. Soluci´on: ii) 1 s ( 1 s − 1 e s −1 ). 39 5.3 Ecuaciones diferenciales. Problema 5.19 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial i) _ y −3y = e 2t y(0) = 1 ii) _ y + 3y = sen2t y(0) = 0 iii) _ y −5y = cos 3t y(0) = 1/2 iv) _ y −5y = e 5t y(0) = 1/2 v) _ y + 2y +y = e −t y(0) = 0, y (0) = 1 vi) _ y −y = e 2t y(0) = 0, y (0) = 1 vii) _ y + 16y = cos 4t y(0) = 0, y (0) = 1 viii) _ y + 2y +y = e −3t y(0) = 1, y (0) = 0 ix) _ y −6y + 9y = t 2 e 3t y(0) = 2, y (0) = 6 x) _ y + 4y + 6y = 1 + e −t y(0) = 0, y (0) = 0 xi) _ y + 2y + 5y = 3e −t sent y(0) = 0, y (0) = 3. Soluci´on: i) y(t) = 2e 3t −e 2t ; ii) y(t) = (2e −3t −2 cos 2t + 3 sen2t)/13; iii) y(t) = (22e 5t −5 cos 3t + 3 sen3t)/34; vi) y(t) = (e 2t −e −t )/3; vii) y(t) = [(2 +t) sen4t]/8; viii) y(t) = (e −3t + 3e −t + 6te −t )/4; ix) y(t) = (24 +t 4 )e 3t /12; x); y(t) = (1 + 2e −t −3e −2t cos( √ 2 t) −2 √ 2 e −2t sen( √ 2 t))/6. Problema 5.20 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial, para t > 0: i) _ y (t) −4y (t) −5y (t) = 3 y(0) = y (0) = 0, y (0) = 1. ii) _ x (t) +x (t) −6x (t) = 0 x(0) = x (0) = 0, x (0) = 1. Problema 5.21 Resuelve, para ω ,= ω 0 , el problema de valores iniciales _ _ _ x +ω 2 0 x = k senωt , t > 0 x(0) = x (0) = 0 que describe las oscilaciones forzadas de una masa en un resorte no amortiguado. ¿Qu´e pasa si ω = ω 0 ? Indicaci´on: L −1 { 1 (s 2 +k 2 ) 2 } = 1 2k 3 (sin kt − kt cos kt). Problema 5.22 Definimos la funci´on de Heaviside (o de salto) mediante H(t) = _ 1 si t ≥ 0 0 si t < 0. i) Prueba que L(f(t −a) H(t −a))(s) = e −as L(f(t))(s), a ∈ IR. 40 ii) Resuelve el problema de valores iniciales _ y + 16y = f(t) y(0) = 0, y (0) = 1 con f(t) = _ cos 4t si 0 ≤ t < π 0 si t ≥ π. Soluci´on: ii) y(t) = _ 2+t 8 sen4t si 0 ≤ t < π 2+π 8 sen4t si t ≥ π. Problema 5.23 Encuentra la funci´on f(x) que satisface la condici´on inicial f(0) = −1 y la ecuaci´on f (x) + _ x 0 f(t) dt = x 2 −x + 2. Soluci´on: f(x) = 2x −1. Problema 5.24 Si f y g son continuas en [0, ∞), con f(x) = g(x) = 0 para x < 0, se define la convoluci´on mediante (f ∗ g)(x) = _ ∞ 0 f(y) g(x −y) dy = _ x 0 f(y) g(x −y) dy. i) Prueba que la convoluci´on es conmutativa, es decir, f ∗ g = g ∗ f. ii) Prueba que si f ´o g es derivable (aunque la otra no lo sea), entonces f ∗ g es derivable, y calcula (f ∗ g) . iii) Prueba que si f y g tienen crecimiento exponencial tambi´en lo tiene su convoluci´on y que se verifica la f´ormula L(f ∗ g) = L(f) L(g) . iv) Halla L(f ∗ g) si f(x) = e x , g(x) = senx, si x ≥ 0, (= 0 si x < 0). v) Halla la funci´on cuya transformada de Laplace es a) 1 (s −1)(s −4) b) 1 (s 2 +a 2 ) 2 . vi) Halla la funci´on f(x) que verifica la igualdad f(x) + _ x 0 f(y) e x−y dy −3x 2 + e −x = 0. Soluci´on: ii) (f ∗ g) = f ∗ (g ) = (f ) ∗ g; iv) 1/[(s −1)(s 2 + 1)]; v.a) 1 3 (e 4t −e t ); v.b) 1 2a 3 (senat −at cos at); vi) f(x) = 3x 2 −x 3 + 1 −2e −x . 41
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