Definitiva12/05/2006 22:29 Page 1 Prado Esta obra ha sido escrita para cubrir las matemáticas universitarias previas al Cálculo, y su objetivo es presentar y discutir conceptos que ayuden posteriormente a comprender las ideas fundamentales del Cálculo Diferencial e Integral. Con este texto el alumno podrá desarrollar sus habilidades matemáticas hasta el grado de que pueda plantear estrategias y resolver problemas utilizando las herramientas básicas que proporciona el texto. Por esto nuestra propuesta didáctica se basa en aprender matemáticas mediante la solución de situaciones reales o simuladas, esto surge como resultado de la experiencia de los autores en la enseñanza de las matemáticas universitarias. En forma paralela hemos incorporado prácticas de exploración computacional que utilizan el paquete Excel. Dichas prácticas tienen dos objetivos, el primero es que los conceptos matemáticos se exploren utilizando tecnología y, el segundo, que la herramienta sirva para resolver problemas más complejos. Visítenos en: www.pearsoneducacion.net Precálculo Enfoque de resolución de problemas Precálculo Enfoque de resolución de problemas Carlos Daniel Prado Pérez Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México Ma. de Lourdes Quezada Batalla Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México Rubén Dario Santiago Acosta Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México José Luis Gómez Muñoz Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México Gerardo Pioquinto Aguilar Sánchez Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México Blanca Rosa Ruiz Hernández Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey Guillermo Rodríguez López Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Guadalajara Araceli Florido Segoviano Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Querétaro Revisión técnica Leopoldo Zúñiga Silva Doctor en Ciencias en Matemática Educativa Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología, Instituto Politécnico Nacional (CICATA-IPN) Director del Departamento de Físico Matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Ciencias Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus San Luis Potosí Eudaldo Rubio Güemes Director Académico Rectoría de la Zona Metropolitana de la Ciudad de México Tecnológico de Monterrey Lázaro Barajas de la Torre Director Académico Rectoría de la Zona Centro Tecnológico de Monterrey Datos de catalogación bibliográfica PRADO, SANTIAGO, AGUILAR, RODRÍGUEZ, QUEZADA, GÓMEZ, RUIZ y FLORIDO Precálculo. Enfoque de resolución de problemas PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006 ISBN: 970-26-0671-3 Área: Universitarios Formato: 20 × 25.5 cm Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de producción: Diseño de interiores y portada: Páginas: 672 Enrique Quintanar Duarte e-mail:
[email protected] Felipe Hernández Carrasco Rodrigo Romero Villalobos Kariza, S. A. de C.V. PRIMERA EDICIÓN, 2006 D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5º Piso Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0671-3 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 08 07 06 05 Contenido Unidad 1. Problemas de conteo (conjuntos) 1.1 El lenguaje de conjuntos El lenguaje de conjuntos Diagramas de Venn 1.2 Problemas de conteo Cardinalidad de conjuntos Probabilidad de eventos 1 2 3 5 13 14 20 Unidad 2. Expresiones algebraicas 29 2.1 Productos notables Productos notables o especiales 30 31 2.2 Factorización Factorización por agrupamiento y el máximo común divisor Factorización de trinomios cuadrados perfectos Factorización de otros productos notables Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2 + bx + c 42 43 45 47 49 2.3 División de expresiones algebraicas División de expresiones algebraicas División sintética 59 60 64 vi Contenido 2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas Dominio de una fracción algebraica Simplificación de expresiones racionales Multiplicación y división de fracciones algebraicas 72 73 74 75 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas Mínimo común denominador de una suma o resta de fracciones Suma y resta de fracciones Fracciones complejas 83 84 86 89 2.6 Exponentes enteros Exponentes enteros 98 99 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales Radicales 112 113 2.8 Números complejos El conjunto de los números complejos Operaciones con números complejos 129 131 132 Unidad 3. Ecuaciones 147 3.1 Ecuaciones lineales Ecuación lineal 148 149 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones lineales con varias variables Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas Métodos de solución Tipos de solución Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones 159 162 164 166 174 177 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales Ecuaciones cuadráticas La fórmula general Ecuaciones con radicales 201 202 203 212 3.4 Ecuaciones polinomiales Funciones polinomiales Resolución y factorización de una ecuación polinomial Las posibles raíces de una función polinomial 224 226 227 233 179 186 vii Contenido Unidad 4. Desigualdades 251 4.1 Desigualdades Definición de las relaciones < , >, ≤ , ≥ y notación de intervalos Ejemplos sobre las definiciones de desigualdades Ejemplos sobre intervalos Propiedades de las desigualdades Ejemplo de la demostración de una propiedad Solución de desigualdades Resolución de problemas que involucran desigualdades 252 253 254 257 258 260 260 267 4.2 Valor absoluto Ejemplos de la aplicación del concepto de valor absoluto de un número real Definición de distancia entre dos puntos de una recta numérica real Ejemplos de cómo determinar la distancia entre dos puntos en la recta numérica real Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades Algunas propiedades del valor absoluto 278 Unidad 5. Trigonometría 280 281 281 281 283 291 5.1 Ángulos Ángulos Medida en grados y en radianes Conversión de grados a radianes y viceversa Longitud de un arco circular y el área de un sector circular 292 293 295 298 302 5.2 Funciones trigonométricas Definición de las funciones trigonométricas 316 317 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales Manejo de ángulos especiales: 0°, ±90°, ±180° Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos Manejo de ángulos especiales: ±30°, ±60°, ±45° Identidades de paridad 333 334 336 339 341 5.4 Identidades fundamentales Identidades fundamentales o básicas Demostración de otras identidades 351 354 357 viii Contenido Unidad 6. Geometría analítica 6.1 Recta Líneas rectas: ecuación, gráfica, pendiente, intersecciones con los ejes Líneas paralelas y líneas perpendiculares Gráfica de sistemas de desigualdades lineales Distancia de un punto a una recta 371 372 373 383 388 392 6.2 Circunferencia Ecuaciones de la circunferencia Circunferencias, circunferencias degeneradas y circunferencias complejas 405 406 6.3 Parábola Parábola 419 420 6.4 Elipse Elipse Más sobre elipses 432 433 439 6.5 Hipérbola Hipérbola Asíntotas, hipérbolas degeneradas y gráficas de hipérbolas 453 454 457 Unidad 7. Funciones 412 473 7.1 Conceptos básicos de funciones Concepto de función Variable dependiente, variable independiente, dominio e imagen de una función Formas de representación para una función Efectos geométricos en la gráfica de una función 474 475 7.2 Modelación Planteamiento matemático de relaciones funcionales 499 500 7.3 La función lineal La función lineal Crecimiento y decrecimiento Modelación de funciones lineales 512 513 513 514 7.4 La función cuadrática Análisis de la gráfica de una función cuadrática Modelación de problemas que dan lugar a una función cuadrática 525 526 530 476 477 479 ix Contenido 7.5 Funciones que forman parte de una cónica Graficación de funciones Análisis de crecimiento y decrecimiento Modelación de problemas Graficación de funciones seccionadas Modelación de problemas 540 541 541 552 556 559 7.6 Funciones polinomiales Funciones potenciales Funciones polinomiales Máximos y mínimos de funciones polinomiales 573 574 578 585 7.7 Funciones racionales Funciones racionales 601 602 7.8 Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas Otras funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas inversas 613 614 623 629 Presentación El siglo que ahora vivimos se caracteriza, entre diversas cualidades, por cambios que ocurren en todos los ámbitos del quehacer humano. El advenimiento de las tecnologías de información está transformando nuestras vidas de manera inusitada al darnos grandes posibilidades de acceso a información y, sobre todo, de interacción con personas de todos los lugares del mundo. Las computadoras que se desarrollaron inicialmente con finalidades de cómputo se han transformado adicionalmente en poderosos instrumentos de comunicación, organización y acceso a información, provocando que la rapidez de los cambios se esté acelerando, por lo que saber hacer frente a esta dinámica situación constituye ahora un factor clave para el éxito en la vida. Para dar respuesta al creciente cúmulo de información, y lograr transformarla en conocimientos que impulsen el desarrollo de la sociedad, se necesita mantenerse al día aprendiendo por cuenta propia o por otros medios. Lograr este tipo de aprendizaje requiere asegurar la existencia de bases fundamentales constituidas por conocimientos esenciales, particularmente los provenientes de los diversos campos de la matemática. Es, en este contexto, que me complace presentar este libro que tiene como propósito asegurar el aprendizaje de los conocimientos matemáticos esenciales para abordar de manera exitosa los diversos dominios de la matemática requeridos en el nivel universitario. El libro ha sido el resultado de la colaboración de profesores entusiastas de diversos campus del Tecnológico de Monterrey, que basados en su experiencia, incluyeron actividades individuales y de colaboración relacionadas con la vida diaria, que permitirán estimular en los alumnos el desarrollo de cualidades necesarias para desempeñarse con éxito en su futura vida profesional. Los autores han enfatizado el aprendizaje significativo considerando los diversos estilos de aprendizaje de los estudiantes, con el fin de conducirlos a profundizar en el análisis del conocimiento y orientarlos a la observación, planteamiento y resolución de xii Presentación problemas. Adicionalmente se ha aprovechado el uso de tecnologías computacionales basadas en hojas de cálculo, para así asegurar la comprensión de los conceptos y aprovechar aplicaciones computacionales no especializadas, de amplia disponibilidad. Se trata así de un libro en el que los estudiantes aprenderán a partir del “hacer”, lo que a su vez les formará “ser”, dándoles una formación analítica. No se trata solamente de lo que podrán hacer con las matemáticas, sino lo que las matemáticas harán por quienes las estudien. Lázaro Barajas de la Torre Director Académico Rectoría de la Zona Centro Tecnológico de Monterrey Prólogo Distingue lo que puede servir en el problema que estés tratando; más tarde, al resolver otros problemas, intenta descubrir el modelo general que subyace en el fondo de la situación concreta que afrontas. GEORGE POLYA Escribimos este trabajo pensando en que tú, como estudiante universitario, requieres, además del conocimiento, las habilidades que desarrolla una ciencia tan antigua y útil como las matemáticas. Consideramos que lograrás el éxito en su estudio teniendo un bagaje mínimo de conocimientos y una mente abierta. Ayudará, por supuesto, tu gusto por el trabajo y tu deseo, tal vez apenas incipiente, de aprender. Nos gustaría que intentes ser de las personas que responden bien a los desafíos y que, además de escuchar, te guste participar activamente en el quehacer matemático. Por esta razón, consideramos que, por un juicio preconcebido, no debes pensar que esta ciencia poco te ofrecerá para tu formación profesional. El libro de matemáticas que tienes en tus manos incluye temas de muchas áreas de la disciplina. En cada uno discutimos conceptos y presentamos ejemplos suficientemente elaborados, que te ayudarán a resolver problemas más complejos. Nuestra intención es que desarrolles tus habilidades matemáticas hasta el grado en que seas capaz de plantear estrategias y resolver problemas utilizando las herramientas básicas que ofrece el texto. Por lo tanto, nuestra propuesta didáctica se basa en el aprendizaje de las matemáticas mediante la solución de situaciones reales o simuladas, cuyo fundamento es nuestra experiencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias, y en las investigaciones que hemos realizado sobre las estrategias de aprendizaje que utilizan los estudiantes, así como en las metodologías didácticas que fomentan aprendizajes y habilidades intelectuales de alto nivel. xiv Prólogo En cada una de las secciones, encontrarás que el texto muestra situaciones que ofrecen la posibilidad de visualizar la utilidad de los conceptos discutidos. Estos problemas pertenecen a muy diversas áreas; algunos de ellos han sido planteados y resueltos por la humanidad desde tiempos remotos; en tanto que otros más tienen que ver con cuestiones que corresponden a nuestros tiempo y circunstancias. Nuestra propuesta incluye, por lo tanto, el principio de que “aprende mejor quien reconoce la importancia de aprender lo que aprende”. La obra se escribió para cubrir las matemáticas universitarias previas al cálculo. Nuestro objetivo consiste en presentar y discutir conceptos que ayuden posteriormente a comprender las ideas fundamentales del cálculo diferencial e integral. En forma paralela incorporamos prácticas de exploración computacional que utilizan el paquete Excel. Dichas prácticas tienen dos objetivos: el primero es que los conceptos matemáticos se exploren utilizando tecnología, y el segundo, que la herramienta sirva para resolver problemas más complejos. También hemos buscado un adecuado equilibrio entre el trabajo individual y el trabajo en equipos pequeños. Para el primero se proponen actividades rutinarias de solución de ejercicios; mientras que para el segundo se sugieren actividades más ambiciosas que, por su complejidad, requieren de un estudio colectivo. El texto inicia con un capítulo sobre conjuntos. La importancia del tema reside en que buena parte del saber matemático actual se basa en este concepto. Marcamos el capítulo con el principio de que los símbolos, más que una danza de entes extraños, deben ofrecer la posibilidad de transitar entre el lenguaje de las matemáticas y el lenguaje coloquial, con la finalidad de que tengan significado para el estudiante. El capítulo 2 trata de las operaciones básicas del álgebra elemental. Mantenemos nuestra idea fundamental de que el simbolismo matemático es un medio para lograr un fin. En este caso, la función del álgebra no consiste en hacer desfilar símbolos, sino en convertir o transformar expresiones de una en otra forma, la que sea más útil, para resolver el problema que tengamos entre manos. Por lo tanto, partimos de la idea de que una competencia adecuada en matemáticas tendrá que ver con la posibilidad de efectuar transformaciones entre una forma algebraica y otra. En el capítulo 3 hacemos nuestra la concepción de uno de los científicos más grandes de todos los tiempos; a saber: “El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema del lenguaje coloquial al idioma algebraico (Newton)”. Por esta razón el capítulo 3 se dedica en su totalidad al estudio de las ecuaciones, desde las lineales hasta las más elaboradas, como las ecuaciones polinomiales y las que implican radicales. Las desigualdades también juegan un papel preponderante en las aplicaciones. Por ello, el capítulo 4 aborda su estudio partiendo de las definiciones, propiedades y notaciones básicas, hasta algunas posibles aplicaciones. En el capítulo 5 tratamos con la materia prima de los conceptos relacionados con fenómenos periódicos y diversas relaciones angulares; es decir, la trigonometría, que en su forma más básica estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Sin embargo, las aplicaciones modernas abarcan varios tipos de problemas que tienen poco o nada que ver con esto, como, por ejemplo, fenómenos periódicos como el sonido, la luz, las ondas eléctricas, los ciclos en las finanzas y los movimientos planetarios. De las aplicaciones mismas se intuye la importancia de este capítulo. El capítulo 6 está dedicado a un tema en extremo importante: la geometría analítica. Nuevamente tenemos aquí el interés de presentar los conceptos más significativos, sin perder de vista la potencial utilidad de una de las herramientas matemáticas más poderosas en la aplicación de diversas áreas. Prólogo Finalmente, el capítulo 7 se dedica al estudio de las funciones. Tal vez éste sea uno de los capítulos más interesantes que componen el libro, a causa de la riqueza de sus aplicaciones, que van desde asuntos cotidianos hasta aplicaciones que sorprenden por lo inesperado. Cabe indicar que este capítulo, junto con el resto del material, ofrece una excelente introducción al cálculo. Discutimos varios modelos que involucran funciones, gráficas y tablas numéricas, de las que conjeturamos métodos que después aparecerán relacionados con el importantísimo concepto de derivada del cálculo diferencial, que no se presenta en este trabajo. No han sido pocas las dificultades que hemos enfrentado para escribir esta obra; sin embargo, esperamos que lo que aquí encuentres sea novedoso; quizá no tanto en cuanto al desarrollo de la teoría presentada, pero sí en el enfoque de varios de sus temas y en la presentación de muchos de sus problemas, que se pensaron para darle un alto grado de significancia a los conocimientos. xv Unidad Problemas de conteo (conjuntos) Contenido de la unidad 1.1 El lenguaje de conjuntos 1.2 Problemas de conteo Introducción a la unidad ¿Te interesa la política? ¿Te interesa saber quién va a gobernar tu país, afectando con sus decisiones tu vida diaria? Las encuestas son herramientas muy importantes para conocer la opinión y las preferencias de la gente. Desde hace varios años, cada elección política viene precedida por una lluvia de encuestas en la televisión y en los periódicos sobre la “intención de voto” para cada candidato. De hecho, al final de la elección las “encuestas de salida” de los medios de comunicación anuncian al ganador mucho antes que se den a conocer los resultados oficiales. Si la diferencia entre los votos ganados por cada candidato es grande, los resultados de las encuestas predicen con seguridad quién es el ganador. Sin embargo, en casos donde la elección es muy cerrada, los resultados de las encuestas no coinciden con el resultado oficial final. El ejemplo más famoso es el de la elección presidencial del año 2000 en Estados Unidos, cuando algunos medios de comunicación internacionales, basándose en sus encuestas, informaron erróneamente que el candidato Al Gore le había ganado a George W. Bush la presidencia de ese país. Tal situación deterioró fuertemente la credibilidad del público internacional, tanto en los medios de comunicación como en la elección misma. Como verás, es muy importante saber qué se puede asegurar y qué no al interpretar los resultados de una encuesta. Los temas de teoría de conjuntos que estudiarás en esta unidad sirven precisamente para organizar e interpretar los resultados de las encuestas, incluso en términos de probabilidades. De hecho, muchos de los ejercicios de conjuntos comienzan “Se realizó una encuesta en…”. Cabe mencionar que la importancia de la unidad va todavía más lejos, ya que las matemáticas, básicas o avanzadas, tienen su fundamento en la teoría de conjuntos. 2 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) 1.1 El lenguaje de conjuntos Admitámoslo, el estudio de las matemáticas es una locura divina del espíritu humano, un refugio ante la urgencia aguijoneante de los sucesos apremiantes. Alfred North Whitehead Introducción n En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. En matemática a tal colección se le llama conjunto, en tanto que a los objetos que lo componen se les llama elementos. En consecuencia, el concepto de conjunto es simplemente una generalización de una idea que ya es algo común en la cotidianidad. Más aún, el desarrollo moderno de la matemática reposa sobre el concepto de conjunto, así que si supieras un poco de teoría de conjuntos tendrías una comprensión mucho mayor del lenguaje de las matemáticas. Es razonable pensar que lo que lees no tiene sentido para ti, en tanto no veas de manera clara alguna posible utilidad de este lenguaje; por ello, considera la siguiente situación: Competencia automotriz A una revista de automovilismo le interesa estudiar la preferencia que la gente de la zona metropolitana tiene sobre las marcas de automóviles disponibles en el mercado. De manera particular, se desea fijar la atención en las marcas Ford, Chevrolet y Chrysler. Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos un auto de modelo reciente, mostró la siguiente información: 801 poseen un Ford, 900 un Chevrolet, 752 un Chrysler, 435 un Ford y un Chevrolet, 398 un Ford y un Chrysler, 412 un Chevrolet y un Chrysler, 310 uno de cada una de las tres marcas y el resto alguno de las marcas restantes. La simple lectura del párrafo anterior en lenguaje coloquial servirá para ver la maraña que se ha formado. La organización de datos y relaciones, en tales términos, no parece tarea sencilla; sin embargo, la teoría de conjuntos te será útil para organizar la maraña, te ayudará a sintetizar su información y, lo que es más importante aún, te facultará para interpretarla. 3 1.1 El lenguaje de conjuntos Objetivos Al terminar la sección, serás capaz de “traducir” una expresión que involucre conjuntos y sus operaciones al lenguaje común y viceversa. El lenguaje de conjuntos Igual que ocurre con el estudio de cualquier otro lenguaje, iniciaremos el estudio del lenguaje de las matemáticas estableciendo un vocabulario básico que contiene las palabras que son esenciales en la construcción de los enunciados propios de nuestra ciencia. Las matemáticas constituyen un lenguaje exacto, que requiere palabras sencillas, aunque bien definidas, y la estricta observancia de sus reglas. Una frase en matemáticas debe transmitir un mensaje exacto a quien la lea. Frases cuyo significado no es claro y aquellas que admiten más de una interpretación no pueden ser toleradas en este lenguaje. El escritor de una frase matemática tiene que saber lo que quiere decir,y estar seguro de que la frase expresa el mensaje que desea transmitir. Como regla general, las frases en matemáticas, breves y sencillas, se expresan por medio de símbolos. Un símbolo en matemáticas, traducido al lenguaje coloquial, puede requerir muchas palabras. En consecuencia, una frase matemática sería muy breve en comparación con la frase que ha de construirse en otro lenguaje para decir lo mismo. Dentro de esta búsqueda por sintetizar ideas, el lenguaje de conjuntos constituye un poderoso recurso. La siguiente tabla te ofrece un resumen del vocabulario básico de la teoría de conjuntos; en la tercera columna encontrarás una breve “traducción” de los símbolos al lenguaje coloquial: Tabla 1.1 Vocabulario básico del lenguaje de conjuntos símbolo nombre matemático traducción U Conjunto universal Colección de números, objetos o ideas “del mismo tipo” que abarca la totalidad de elementos en una discusión particular. xH U (léase: x pertenece a U) Pertenencia Cada número, objeto o idea que comprende U es llamado elemento de U. Es costumbre designar a los elementos con minúsculas. A Conjunto A es una parte de U determinada por una ley de elegibilidad.1 Es costumbre designar a los conjuntos con mayúsculas. xx A (léase: x no pertenece a A) No pertenencia Número, objeto o idea que “no pasa” la ley de elegibilidad que define al conjunto A. 4 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) A´ o Ac (léase: A complemento) Complemento de A en U Ac es el conjunto de todos los elementos que estando en U no pasan2 la ley de elegibilidad que define al conjunto A. A ⊃ B (léase: A es un subconjunto de B) Inclusión de conjuntos 3 Se escribe ⊃ cuando cada elemento de A pertenece también a B. A=B Igualdad de conjuntos Cada elemento de A pertenece a B y viceversa. ∅ Conjunto vacío Es el único subconjunto de U que carece de elementos. A ∪ B (léase: A unión B, o bien, “A o B”) Unión de conjuntos Este nuevo conjunto se forma con los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. A ∩ B (léase: A intersección B, o bien, “A y B”) Intersección de conjuntos Este conjunto4 se forma con los elementos que son comunes tanto a A como a B. A − B (léase: A diferencia B, o bien, complemento de B respecto de A) Diferencia de conjuntos Este conjunto consta de los elementos que pertenecen a A, pero no a B. 1 La ley de elegibilidad para un conjunto A debe estar definida claramente, de tal modo que: • sea posible examinar a cada elemento de U y decidir si pertenece o no pertenece a A, • cada elemento de U pertenece al conjunto A o no pertenece a A. Se usan llaves para colocar los elementos de un conjunto o la ley de elegibilidad del conjunto. Por ejemplo: A = {2, 4, 6, 8} = {x H N :x es un número par menor que 10}, aquí N = conjunto de todos los números naturales, o enteros positivos; en el ejemplo, “x es un número par menor que 10” es la ley de elegibilidad. 2 Cada elemento del conjunto universal debe pertenecer ya sea a A o a su complemento Ac. 3 A ⊃ B equivale a B ⊃ A, A ⊃ B; también se lee: A está contenido en B, mientras que B ⊃ A se lee: B contiene a A. 4 Si A ∩ B = ∅ se dice que A y B son ajenos entre sí. Lo anterior significa que no tienen elementos en común. Los siguientes son resultados básicos de la teoría de conjuntos: 1. En toda discusión se tiene que: ∅ ( A ( U. 2. A y B son ambos subconjuntos de A ∪ B; esto es, A ⊃ A ∪ B y B ⊃ A ∪ B. 3. A ∩ B es subconjunto tanto de A como de B, es decir, A ∩ B ⊃ A y A ∩ B ⊃ B. 5 1.1 El lenguaje de conjuntos 4. A − B ⊃ A, además los conjuntos, A − B, A ∩ B y B − A son mutuamente ajenos, es decir, la intersección de dos cualesquiera de ellos es el conjunto vacío. 5. A ∪ Ac = U, mientras que A ∩ Ac = ∅. 6. A − B = A ∩ Bc. 7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); a éstas se les conoce como leyes distributivas. 8. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc; a éstas se les conoce como leyes de De Morgan. Diagramas de Venn Las ideas de conjunto y subconjunto, así como las operaciones referentes a la combinación de ambos pueden ilustrarse gráficamente por medio de los llamados diagramas de Venn (en honor a John Venn, matemático y lógico inglés). En dichos diagramas se representa al conjunto universal U con un rectángulo y se usan regiones encerradas por curvas simples (generalmente círculos), dibujadas dentro del rectángulo, para representar los conjuntos que intervienen. A continuación se muestran representaciones gráficas de algunas de las operaciones de conjunto que ya fueron descritas. Intersección de conjuntos A Unión de conjuntos B B Complemento de la unión de A con B A B Conjunto diferencia: B-A Conjunto diferencia: A-B A A B A B A unión B menos la intersección de A y B A B 6 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) Ejemplos Ejemplo 1 Convierte a lenguaje de conjuntos las siguientes proposiciones textuales: a) x no pertenece a A. b) B es un conjunto que contiene al conjunto A. c) d es un elemento de A y B. d) A no es subconjunto de B o C. a) x x A b) B ⊃ A c) d H A ∩ B d) A X B ∪ C solución Ejemplo 2 Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {2, 4, 8, 9}, D = {4, 5}, E = {2, 4} y F = {2}. Sea X un conjunto desconocido. Determina cuáles de los conjuntos A, B, C, D, E o F pueden ser iguales a X si se conoce la siguiente información: 1. X ⊃ A y X ⊃ B, 2. X X B y X ⊃ C, 3. X X A y X X C, 4. X ⊃ B y X X C solución 1. El único conjunto que es subconjunto de A y de B es D; C, E y F no son subconjuntos de B porque 2 H C, E, F, pero 2 x B. 2. El conjunto X puede ser igual a C, E o F, pues éstos son subconjuntos de C y, como ya se vio, no son subconjuntos de B. 3. Sólo B no es subconjunto de A ni de C. D y A son subconjuntos de A; C, E y F son subconjuntos de C. Por lo tanto, X = B. 4. Tanto B como D son subconjuntos de B, pero no son subconjuntos de C. Los demás conjuntos dejan de cumplir al menos una de las condiciones. Por lo tanto, X = B o X = D. Ejemplo 3 Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1, x2), en donde xi es el resultado del i-ésimo dado i = 1, 2. Determina: a) La colección de todos los resultados que componen al conjunto universo U de esta situación. b) Sea A el conjunto que consta de todas las parejas (x1, x2), tales que la suma de los números de los dos dados es 10. Escribe al conjunto A usando su ley de elegibilidad, después indica las parejas de resultados de U que lo componen. 7 1.1 El lenguaje de conjuntos c) Si B es el conjunto que consta de las parejas (x1, x2), tales que el primer dado aparece con un número mayor que el segundo, describe al conjunto B usando su ley de elegibilidad, después indica las parejas de U que lo componen. d) Determina el conjunto que cumple las condiciones en (b) y en (c). e) Encuentra el conjunto que cumple con la condición en (b), pero no en (c). solución a) U = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (2, 1),..., (2, 6),..., (6, 1),..., (6, 6)} b) A = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10} = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} c) B = {(x1, x2) H U :x1 > x2} = {(2, 1), (3, 1), (3, 2),..., (6, 4), (6, 5)} d) A ∩ B = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10, x1 > x2} = {(6, 4)} e) A − B = {(x1, x2) H U :x1 + x2 = 10, x1 ≤ x2} = {(4, 6), (5, 5)} Ejemplo 4 Una fábrica produce fusibles para uso doméstico. Su departamento de control de calidad decide tomar dos cajas, llamadas caja 1 y caja 2, de un lote de la producción de la última semana. Si un fusible es defectuoso, se le asigna la letra D; si no lo es, la letra N. Al examinar dos fusibles, uno de cada caja, se producen parejas cuyas componentes son D o N. Por ejemplo, (D, N) significa que el fusible de la primera caja resultó defectuoso, mientras que el fusible de la segunda caja no resultó defectuoso. Sea A1 el conjunto en donde el primer fusible es defectuoso, A2 el conjunto en donde el segundo fusible es defectuoso. Escribe en la notación de conjuntos y determina todos los elementos que corresponden a cada una de las siguientes descripciones: a) Al conjunto universal de la situación. b) Al conjunto que describe que exactamente uno de los dos fusibles extraídos es defectuoso. c) Al conjunto que describe que ninguno de los dos fusibles extraídos es defectuoso. d) Al conjunto que describe que al menos uno de los dos fusibles es defectuoso. e) Al conjunto que describe que el número de fusibles defectuosos sea uno como máximo. solución a) U = {(D, D), (D, N), (N, D), (N, N)} b) Notamos que A1 = {(D, D), (D, N)} y que A2 = {(D, D), (N, D)}. Ahora bien, A1c , por ejemplo, significa que A1 no se cumple, es decir, que el fusible extraído de la caja 1 es no defectuoso. Por lo tanto, la descripción coloquial de este inciso corresponde a: (A1 ∩ Ac2 ) ∪ (Ac1 ∩ A2) en el lenguaje de conjuntos. Se tiene, en consecuencia: (A1 ∩ Ac2 ) ∪ (Ac1 ∩ A2) = {(D, N), (N, D)} c) La descripción de este inciso corresponde a Ac1 ∩ Ac2 ={(N, N)}. d) Ahora la descripción corresponde a: A1 ∪ A2 = {(D, D), (D, N), (N, D)}. e) La última descripción corresponde al conjunto: Ac1 ∪ Ac2 ={(N, D), (N, N), (D, N)}. 8 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) Ejemplo 5 Una compañía de seguros se interesa en la distribución de edades de las parejas. Sea x la edad del marido y y la edad de la esposa. Cada observación da como resultado una pareja de números (x, y). Considera como conjunto universal U al primer cuadrante del plano x, y, de manera que cada punto con x > 0 y y > 0 es un elemento de U. Primera parte Describe cada uno de los siguientes conjuntos: a) El conjunto A: “el marido es mayor de 40”. b) El conjunto B: “el marido es mayor que la esposa”. c) El conjunto C: “la esposa es mayor de 40”. Segunda parte “Traduce” al español cada uno de los siguientes enunciados del lenguaje de conjuntos, donde A, B y C son los conjuntos de la primera parte. a) A ∩ B; ¿tiene la esposa más de 40 años? b) A ∩ Bc; ¿es la esposa mayor o menor de 40 años? c) A ∩ C; ¿quién tiene más edad: el esposo o la esposa? d) A ∪ C; ¿son los dos menores de 40 años? e) (A ∪ B)c ∩ C; ¿por qué se puede reducir este conjunto a Ac ∩ C? solución Primera parte a) El conjunto A está representado por todos los puntos del primer cuadrante a la derecha de la recta vertical x = 40. b) B está representado por la zona angular del primer cuadrante entre el eje x y la bisectriz y = x. c) El conjunto C está representado por todos los puntos del primer cuadrante colocados por encima de la recta horizontal y = 40. Segunda parte a) A ∩ B: el marido es mayor de 40 años y mayor que su esposa. No puede afirmarse nada respecto de la edad de la esposa. b) A ∩ Bc: el marido es mayor de 40, pero no mayor que su esposa; por lo tanto, la esposa tiene más de 40 años. c) A ∩ C: la mujer y el marido son mayores de 40 años. Con esta información no puede precisarse quién es mayor. d) A ∪ C : por lo menos uno de ellos es mayor de 40 años. La pregunta debe responderse negativamente. e) Por una de las leyes de De Morgan: (A ∪ B)c ∩ C = Ac ∩ Bc ∩ C : el marido tiene menos de 40 años o el marido es menor que la mujer y ella tiene más de 40 años; por lo tanto, si el marido tiene menos de 40 años y la mujer más de 40 años, luego el marido es menor que la mujer; entonces podemos prescindir de Bc. 9 1.1 El lenguaje de conjuntos Ejercicios y problemas 1. Si A = {x H N :3x = 9} y b = 3, ¿es b = A? 2. Si M = {r, s, t}, indica cuáles de las afirmaciones son correctas o incorrectas. Si alguna es incorrecta, señala por qué lo es: a) r H M, b) r ⊃ M, c) {r} H M, d) {r, s} ⊃ M 3. Sea A un subconjunto de B y B un subconjunto de C. Suponiendo que a H A, b H B, c H C y, además, d x A, e x B, f x C, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) a H C, b) b H A, c) c x A, d) d H B, e) e x A, f) f x A 4. Un juego de azar, similar al juego de la ruleta, arroja 12 posibles resultados numerados como 1, 2, 3,…, 12. Dos jugadores, Antonio y Blanca, participan y deciden jugar con los números: {1, 2, 3, 4} y {3, 5, 6}, respectivamente; esto es, si en el juego sale alguno de los números elegidos entonces el jugador correspondiente gana. Cabe decir que entre más números escojan, más costosa será su partida. Determina cada uno de los siguientes conjuntos. a) El conjunto universal y los conjuntos de números con los que ganan Antonio o Blanca. b) El conjunto de números con los que no ganan ni Antonio ni Blanca. c) El conjunto de números con los que gana exactamente uno de los jugadores. d) El conjunto de números con los que gana por lo menos uno de los jugadores. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Competencia automotriz Una revista de automovilismo está interesada en estudiar la preferencia que la gente de la zona metropolitana tiene en cuanto a las marcas de automóviles disponibles en el mercado. De manera particular, se desea fijar la atención en las marcas Ford, Chevrolet y Chrysler. Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos un auto de modelo reciente, mostró la siguiente información: 801 tienen un Ford, 900 un Chevrolet, 752 un Chrysler, 435 un Ford y un Chevrolet, 398 un Ford y un Chrysler, 412 un Chevrolet y un Chrysler, 310 un auto de cada una de las tres marcas y el resto de los encuestados algún auto de las marcas restantes. Usen notación de conjuntos y sus operaciones para trasladar, al lenguaje matemático, cada una de las siguientes descripciones dadas en el lenguaje coloquial: El conjunto de propietarios: a) De sólo una marca de vehículo. 10 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) b) De exactamente dos marcas de vehículo. c) Que no poseen ninguna de las tres marcas de vehículo. d) Con al menos un vehículo de alguna de las tres marcas. e) De un vehículo cuando mucho de dos marcas. 2. De la vacuidad a la infinitud Si A = {1, 2, 3,…} y B = ∅ . Realicen los siguientes pasos: a) Tomen los números 1 y 2 de A y colóquenlos en B. b) Cuando falte 1/2 hora para terminar su clase de matemáticas, saquen el número mayor de B, tomen los números 3 y 4 del conjunto A y colóquenlos en B. c) Un 1/4 de hora antes de que termine su clase de matemáticas, saquen el número mayor de B, tomen los números 5 y 6 del conjunto A y colóquenlos en B. d) Cuando falte 1/8 de hora antes de que termine su clase de matemáticas, saquen el número mayor de B, tomen los números 7 y 8 del conjunto A y colóquenlos en B. Si este procedimiento continúa así, ¿cuál es el conjunto B al terminar la clase? Una vez hallado el conjunto B, describan sus elementos a través de una ley de elegibilidad adecuada. 3. Preferencias televisivas En esta actividad organizarás con tu equipo cierta información conforme a los siguientes lineamientos: a) Cada miembro del equipo (considerando equipos con cuatro integrantes en promedio) hará una entrevista a 20 personas e investigará sus preferencias televisivas en el horario de 9 a 10 de la noche. De manera más específica, investigará si la persona entrevistada ve algún programa de TV Azteca, Televisa o televisión privada (sin distingo de la señal contratada). b) Respondan a las siguientes preguntas: • ¿Cuántas personas ven en el citado horario algún programa únicamente de TV Azteca? ¿De Televisa? ¿Cuántos ven sólo televisión privada? • ¿Hay personas que ven dos programas de televisoras diferentes? ¿Hay quienes ven de los tres tipos de televisión? • ¿Hay personas que no ven televisión? c) Sean A: el conjunto de personas que ven TVAzteca, B: el conjunto de personas que ven Televisa y C: el conjunto de personas que ven televisión privada. El símbolo N(X) (léase: cardinalidad del conjunto X) representa el número de elementos que contiene el conjunto X. Coloquen la información del inciso (a) en un diagrama de Venn adecuado. • Determinen la cardinalidad de cada uno de los siguientes conjuntos: A − (B ∪ C); (A ∪ B ∪ C)c; A ∩ B ∩ C; A ∩ B • Sin utilizar símbolos matemáticos, expresen en sus propias palabras el significado de cada uno de los conjuntos del punto anterior. 11 1.1 El lenguaje de conjuntos 1. Indica la opción que contiene una descripción que no define a un conjunto. a) A es el conjunto de los múltiplos de 2. b) B es el conjunto de los números interesantes. c) C es el conjunto de matrículas de estudiantes del ITESM. d) D es el conjunto de los números x que satisfacen la ecuación x + 4 = 5. 2. Sea U = {copa, basto, espada, oro}, determina la opción que contiene la afirmación falsa. a) basto ∈ { basto, espada} b) {espada, oro} ⊃ U c) Si A = {copa, basto}, B = {copa, basto, espada}, entonces: A − B = ∅ d) {copa, espada, oro} ∈ U 3. Este problema refiere su descripción a la del problema 4 de la sección de ejercicios y problemas. Así, sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; supón ahora que juegan tres jugadores, cada uno de ellos decidiendo su juego, según se indica a continuación: A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}, B = {4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}, C = {7 , 8 , 9} . Elige la opción que contiene al conjunto que especificado en español se da a continuación: “el juego es ganado exactamente por uno de los jugadores”. a) {10, 11, 12} b) {1, 2, 3} c) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} d) {1, 2, 3, 10, 11, 12} 4. Para los conjuntos de las columnas A y B, relaciona los que son iguales. Columna A a) A = { 2 n +1: n es un número natural} b) A = { x : x fue presidente de México antes de 1815} c) A = { 4 n: n es un número natural} d) A = { x: x satisface la ecuación 2x2 + x − 1 = 0} Columna B i. A = {Guadalupe Victoria, Vicente Guerrero} ii. A = {1/2, −1} iii. A = {2 n: n es un número natural} iv. A = {2k: k es un número natural par} v. ∅ vi. A = {2 n −1: n es un número natural mayor o igual a 2} vii. A = {2 n −1: n es un número natural} viii. A = {Guadalupe Victoria} 12 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. No, A = {3}, pero hay una diferencia fundamental entre un elemento x y el conjunto {x}. 2. a) Correcta b) Incorrecta. El símbolo ⊃ vincula a dos conjuntos, pero r no es un conjunto, sino un elemento de M. c) Incorrecta. El símbolo ∈ vincula a un elemento con un conjunto, pero {r} es un subconjunto de M, no un elemento de M. d) Correcta. 3. a) b) c) d) e) f) A es un subconjunto de C. Luego a ∈ A implica a ∈ C, así la afirmación es verdadera. Como el elemento b ∈ B puede no ser elemento de A, la afirmación es falsa. El elemento c ∈ C podría ser un elemento de A; por lo que c ∉ A podría no ser verdadera. El elemento d, que no está en A, puede no estar en B; así que la afirmación podría no ser verdadera. Como e ∉ B y A ⊃ B, e ∉ A es verdadera. Ya que f ∉ C y A ⊃ B, f ∉ A es verdadera. 4. Si U designa al conjunto universal de la situación, A representa el conjunto de números con los que gana Antonio y B el conjunto de números con los que gana Blanca; entonces: a) b) c) d) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 5 , 6} A c ∩ Bc = ( A ∪ B)c = {7, 8 , 9 , 10 , 11 , 12} ( A ∩ Bc ) ∪ ( A c ∩ B) = {1 , 2 , 4 , 5 , 6} A ∪ B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. b) d) b) (a, vi), (b, v), (c, iv), (d, ii) 13 1.2 Problemas de conteo 1.2 Problemas de conteo -—¡Ya lo tengo! -—gritó-—¡Es un juego de niños! ¿Cómo lo sabes? —preguntó el señor Bockel. -—¡Ooooh!-— respondió Robert-—, se calcula sólo. Y tocó la estrellita bajo su camiseta y pensó, agradecido, en su diablo de los números. Hans Magnus Enzensberger, El diablo de los números Introducción n La demografía es una ciencia donde se analizan elementos de la dinámica poblacional como la natalidad y la mortalidad. En esta área suele usarse la teoría de conjuntos como la base de un sistema de clasificación que considera sexo, edad, composición urbano-rural, etcétera. Más aún, el conocimiento del número de elementos que tienen los conjuntos usados permite, a los gobernantes, planear nuevos programas en salud, educación y seguridad, entre otros. Con la siguiente situación, conocerás el potencial que tiene el contar los elementos de un conjunto. Relación entre alfabetización, edad y sexo Resultados del XII Censo Nacional de Población y Vivienda, efectuado en México en el 2000, muestran que la dinámica poblacional depende del sexo y la edad. Por ejemplo, para edades comprendidas entre ocho y 14 años se tiene mayor proporción de hombres que de mujeres, en tanto que para edades superiores la proporción cambia notablemente. Resultados relacionados con la alfabetización muestran una situación similar. En la tabla siguiente se muestran los resultados clasificados por sexo, edad y grado de alfabetización. De acuerdo con la información presentada ¿cuántos hombres y cuántas mujeres mayores de ocho años no saben leer ni escribir? Considerando que la muestra es representativa de la población, ¿cuál es la probabilidad de que un hombre, seleccionado al azar, sea mayor de 14 años y no sepa leer ni escribir? Para responder tales preguntas necesitaremos contar el número de elementos con un conjunto finito y calcular la probabilidad de que suceda un conjunto de resultados en un experimento aleatorio. 14 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) Sexo (total) Alfabetización (porcentaje) Hombre Mujer Hombre Mujer Población de 8 a 14 años 7,707,486 7,522,440 94.9% 95.6% Población de 15 años y más 30,043,824 32,798,814 92.5% 88.6% Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Definir el concepto de cardinalidad de un conjunto finito. • Determinar la cardinalidad de conjuntos finitos dados. • Resolver problemas de conteo, utilizando diagramas de Venn y el concepto de cardinalidad. • Utilizar diagramas de Venn para resolver problemas de probabilidad de eventos. Cardinalidad de conjuntos Considera los siguientes conjuntos: A = {−2, −1, 7, 9, 11, 55} B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} Claramente el conjunto A consta de seis elementos y el conjunto B de un número infinito de elementos. Es posible contar los elementos del conjunto B estableciendo una relación con el conjunto de los números enteros positivos. Por ejemplo, el primer número es el 1, el segundo es el 3, el tercero es el 5, el cuarto el 7 y así sucesivamente. La diferencia entre los dos conjuntos es el número de elementos que lo forman; para distinguirlos, contamos con la siguiente definición: Definición a) Un conjunto A es finito si contiene n elementos diferentes a1, a2, a3,.., an. Decimos entonces que su cardinalidad, o número de elementos que lo forman, es N(A) = n. b) Un conjunto A es infinito si tiene un número infinito de elementos. Decimos entonces que su cardinalidad es N(A) = ∞. 15 1.2 Problemas de conteo Los conjuntos finitos tienen las propiedades siguientes: Si A, B y C son conjuntos finitos, entonces: 1. A ∪ B y A ∩ B son finitos. 2. Si A y B son ajenos, entonces N (A ∪ B) = N(A) + N(B) ⊃ 3. Si A B, entonces N (A) ≤ N(B) 4. N ( A − B) = N ( A) − N ( A ∩ B) 5. N ( A ∪ B) = N ( A) + N ( B) − N ( A ∩ B) 6. N ( A ∪ B ∪ C ) = N ( A) + N ( B) + N (C ) − N ( A ∩ B) − N ( A ∩ C ) − N ( B ∩ C) + N ( A ∩ B ∩ C) Las propiedades 1, 2 y 3 son evidentes por sí mismas. La propiedad 6 es una generalización de la propiedad 5, así que sólo mostraremos las propiedades 4 y 5. Demostración de la propiedad 4. Para demostrar la propiedad 4, considera que: A = ( A − B) ∪ ( A ∩ B) Aplicamos la operación de cardinalidad y la propiedad 2, entonces tenemos: N ( A) = N (( A − B) ∪ ( A ∩ B)) = N ( A − B) + N ( A ∩ B) Finalmente, despejamos N(A − B) de la última relación para obtener: N ( A − B) = N ( A) − N ( A ∩ B) Demostración de la propiedad 5. La propiedad 5 se deduce, considerando que: A ∪ B = ( A − B) ∪ ( B − A) ∪ ( A ∩ B) Al calcular la cardinalidad, tenemos: N ( A ∪ B) = = = = N (( A − B) ∪ ( B − A) ∪ ( A ∩ B)) N ( A − B) + N ( B − A) + N ( A ∩ B) N ( A) − N ( A ∩ B) + N ( B) − N ( A ∩ B) + N ( A ∩ B) N ( A) + N ( B) − N ( A ∩ B), donde hemos usado las propiedades 2 y 4. 16 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) Ejemplos Ejemplo 1 Juan y Carlos encuestaron a 350 mexicanos sobre sus preferencias para visitar Cancún y Acapulco en las vacaciones. Cancún recibió 210 menciones, mientras que Acapulco recibió sólo 195. Doce de los encuestados mencionaron que no les gustaría visitar ninguno de los dos lugares. ¿A cuántos les gustaría visitar los dos lugares? ¿A cuántos les gustaría visitar sólo Cancún? solución Sean U = conjunto de todos los encuestados, A = conjunto de las personas que desean visitar Acapulco, y C = conjunto de las personas que desean visitar Cancún. De los datos del problema, tenemos que: N ( A) = 195, N (C ) = 210, N (U ) = 350, N (U − ( AUC)) = 12, N ( AUC ) = 350 − 12 = 338 El diagrama de Venn ilustra la situación: A, 195 U, 350 C, 210 A-C A∩C C-A Si usamos la propiedad 5, se tiene: N ( A ∪ C ) = N ( A) + N (C ) − N ( A ∩ C ), 338 = 195 + 210 − N ( A ∩ C ), de donde se concluye que: N ( A ∩ C ) = 195 + 210 − 338 = 67. Concluimos que 67 personas quieren visitar los dos lugares. Para determinar el número de personas que quieren visitar sólo Cancún usamos N(C − A) = N(C) − N(C ∩ A) = 210 − 67 = 143. Es decir, 143 personas quieren visitar sólo Cancún. 17 1.2 Problemas de conteo Ejemplo 2 De 400 estudiantes que estudian inglés o francés en una escuela prestigiada, 60 toman clases de inglés y francés simultáneamente. Si se sabe que hay tres veces más estudiantes que estudian inglés que francés, ¿cuántos estudiantes estudian francés? ¿Cuántos no estudian inglés? solución Consideremos que: x = número de quienes estudian sólo inglés. y = número de los que estudian inglés y francés. z = número de quienes estudian sólo francés. El diagrama de Venn siguiente ilustra las condiciones del problema: I F x De los datos, tenemos: y z N ( I ∪ F ) = 400, N ( I ∩ F ) = 60, N ( I ) = 3 N ( F ). De la figura, establecemos el sistema de ecuaciones: y = 60, x + y + z = 400, x + y = 3( y + z ). El sistema se reduce a: x + z = 340, x + 60 = 3(60 + z ). Despejando x de la primera ecuación y sustituyendo el resultado en la segunda ecuación, se obtiene: x = 340 − z, 340 − z + 60 = 3(60 + z ). 18 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) Despejando z se tiene: 400 − z = 180 + 3z, 400 − 180 = z + 3z, 220 = 4 z, z = 220 / 4, z = 55. El valor de x lo obtenemos usando x = 340 − z, x = 340 − 55 x = 285. Entonces, el número de alumnos que estudian francés es N(F) = y + z = 60 + 55 = 115. El número de alumnos que no estudian inglés es z = 55. Ejemplo 3 Se aplicó una encuesta a 1200 personas sobre sus pasatiempos favoritos. Los resultados indican que: a 720 les gusta el cine, 620 escuchan música, 700 hacen ejercicio, 420 hacen ejercicio y les gusta el cine, 314 escuchan música y les gusta el cine, 220 hacen ejercicio y escuchan música y sólo 17 realizan las tres actividades. a) ¿A cuántas personas no les gusta el cine, no escuchan música y no hacen ejercicio? b) ¿Cuántas personas no escuchan música, pero sí van al cine y hacen ejercicio? solución Sean: C = conjunto de personas que van al cine. M = conjunto de personas que escuchan música. E = conjunto de personas que hacen ejercicio. Y las variables ai: a1 = N (C ∩ M c ∩ E c ), a2 = N (C c ∩ M ∩ E c ), a3 = N (C c ∩ M c ∩ E ), a4 = N (C ∩ M ∩ E c ), a5 = N (C c ∩ M ∩ E ), a6 = N (C ∩ M c ∩ E ), a7 = N (C ∩ M ∩ E ). 19 1.2 Problemas de conteo En el diagrama de Venn siguiente hemos colocado las variables ai C, 720 M, 620 a1 a2 a4 a7 a6 a5 a3 E, 700 De los datos, sabemos que: a7 = 17 Usando nuevamente los datos del problema, se tiene: a4 + a7 = 314, a5 + a7 = 220, a6 + a7 = 420, de donde es simple determinar que: a4 = 297, a5 = 203, a6 = 403. El primer diagrama de Venn se simplifica como sigue. C, 720 M, 620 a1 a2 297 17 403 203 a3 E, 700 Usando nuevamente los datos y a1 + 297 + 17 + 403 = 720, a2 + 297 + 17 + 203 = 620, a3 + 403 + 17 + 203 = 700, se obtiene que: a1 = 3, a2 = 103, a3 = 77. 20 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) Finalmente para responder a las dos preguntas, observamos que: a) C c ∩ M c ∩ Ec = conjunto de personas que no les gusta el cine, no escuchan música y no hacen ejercicio, y N(C c ∩ M c ∩ Ec) = 1200 − 3 − 103 − 77 − 403 − 297 − 203 − 17 = 97. b) C ∩ M c ∩ E = conjunto de personas que no escuchan música pero sí van al cine y hacen ejercicio, y N(Mc ∩ C ∩ E) = a6 = 403. Probabilidad de eventos Consideremos el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Este conjunto puede representar los resultados posibles al lanzar un dado. Cada uno de los resultados tiene una probabilidad 1 1 P= = de ocurrir. Nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de que salga un 6 N ( S) 3 N ( A) número par al lanzar un dado? En ese caso, la respuesta es P( A) = = . La pro6 N ( S) babilidad es una forma de determinar la proporción de ocurrencias de un cierto resultado con respecto a todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Definimos algunos conceptos de probabilidad que nos serán útiles posteriormente. Definición 1. El espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio. 2. Un evento A es un subconjunto del espacio muestral. 3. La probabilidad del evento A, en espacios donde todos los resultados son igualmente probables, es: P( A) = N ( A) casos a favor = N ( S ) casos posibles La probabilidad de un evento A tiene propiedades similares a la función cardinalidad. La razón es que la probabilidad y la cardinalidad de un conjunto A son proporcionales. Enunciamos, sin demostración, las propiedades de la probabilidad de un evento A: Si A, B y C son eventos y S es el espacio muestral, entonces: 1. P(S) = 1 2. 0 ≤ P(A) ≤ 1 21 1.2 Problemas de conteo 3. P(A) + P(Ac) = 1 4. Si A B, entonces P(A) ≤ P(B) 5. P( A − B) = P( A) − P( A ∩ B) ⊃ 6. P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) 7. P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P( A ∩ B) − P( A ∩ C ) − P( B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C ) Ejemplos Ejemplo 4 La probabilidad de que un esposo vote en la próxima elección presidencial es 0.7, la probabilidad de que su esposa vote es 0.6, la probabilidad de que los dos voten es 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que a) ninguno vote? b) un esposo vote y su esposa no? solución Sean A y B los eventos A = el esposo vota y B = la esposa vota De los datos del problema, se tiene que P(A) = 0.7, P(B) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.45. Entonces P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = 0.7 + 0.6 − 0.45 = 0.85 a) Para responder la pregunta a), usamos: P(ninguno vote) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0.85 = 0.15 b) para responder la pregunta b), observamos que: P(un esposo vote y su esposa no) = P(A ∩ Bc) = P(A) − P(A ∩ B) = 0.7 − 0.45 = 0.25 22 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) Ejemplo 5 Se aplicó una encuesta a 750 personas en septiembre de 2004 sobre inseguridad en el Distrito Federal. A los encuestados se les hicieron las preguntas: P1: ¿Ha sido víctima alguna vez de algún delito? P2: ¿Ha notado aumento en la inseguridad? P3: ¿La autoridad hace lo suficiente para reducir la inseguridad? Después de capturar las respuestas, se encontró que 277 personas respondieron afirmativamente la pregunta P1, 293 la pregunta P2 y 270 la pregunta P3. Además, 120 respondieron afirmativamente las preguntas P1y P2, 132 la P2 y la P3, 125 la P1 y la P3, y 74 las tres preguntas. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que a) una persona haya sido víctima alguna vez, declare que no se esté haciendo lo suficiente y que haya notado aumento en la inseguridad? b) una persona no haya sido víctima, declare que se esté haciendo lo suficiente por las autoridades y que no haya notado aumento en la inseguridad? solución Consideremos que los conjuntos A, B y C son los formados por aquellos que respondieron afirmativamente a las preguntas P1, P2 y P3. El número de personas que respondieron afirmativamente alguna de las tres preguntas se calcula usando: N ( A ∪ B ∪ C ) = N ( A) + N ( B) + N (C ) − N ( A ∩ B) − N ( A ∩ C ) − N ( B ∩ C) + N ( A ∩ B ∩ C) = 277 + 293 + 270 - 120 - 132 - 125 + 74 = 537 Trabajando de forma similar al ejemplo 3, se obtiene el diagrama de Venn: A, 277 B, 293 106 46 115 74 51 58 87 C, 270 Finalmente, para responder a las dos preguntas observamos que: a) A ∩ B ∩ Cc es el evento deseado y P( A ∩ B ∩ C c ) = N( A ∩ B ∩ Cc ) 46 = N ( S) 750 b) Ac ∩ Bc ∩ C es el evento deseado y P( A c ∩ Bc ∩ C ) = N ( Ac ∩ Bc ∩ C) 87 = N ( S) 750 23 1.2 Problemas de conteo Ejercicios y problemas 1. Si N(A ∪ B) = 280, N(A ∩ B) = 120 y N(A) = 3N(B), determina cuántos elementos tiene cada uno de los conjuntos A y B. 2. En un grupo de 100 estudiantes se tienen 30 que estudian preparatoria, 20 mujeres y 10 mujeres que estudian preparatoria. ¿Cuántos estudiantes son hombres que no estudian preparatoria? 3. En una encuesta realizada entre 1000 personas sobre sus preferencias electorales, 440 contestaron estar a favor del partido revolucionario, 470 a favor del partido nacional y 260 declararon no estar a favor de ninguno de los dos partidos. ¿Cuántos de los entrevistados están a favor sólo del partido revolucionario? 4. De 3000 alumnos que asisten a una escuela profesional, 368 utilizan sólo su automóvil, 548 usan el transporte escolar, 274 usan el transporte urbano y su automóvil, 714 usan su automóvil, 184 usan sólo el transporte escolar, 156 usan el transporte urbano y su automóvil pero no el transporte escolar y 1438 no usan ningún medio de transporte. a) ¿Cuántos alumnos utilizan solamente el transporte urbano? b) ¿Cuántos alumnos utilizan su automóvil o el transporte escolar, pero no el transporte urbano? c) ¿Cuántos alumnos utilizan sólo uno de los tres medios de transporte mencionados? d) ¿Cuántos alumnos utilizan los tres medios de transporte? 5. Una universidad tiene 1050 alumnos de primer ingreso. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física, 388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción, y todos llevan al menos una de las tres asignaturas. a) ¿Cuántos alumnos cursan física y matemáticas pero no redacción? b) ¿Cuántos alumnos cursan matemáticas y no llevan física ni redacción? 6. La probabilidad de que una persona escuche música o lea un libro es de 0.4. Si la probabilidad de que lea un libro es de 0.2 y la probabilidad de que escuche música es de 0.3, ¿cuál es la probabilidad de que lea un libro y no escuche música? 7. En una encuesta aplicada a 5000 personas se encontró que 330 no trabajan ni estudian, 2607 sólo trabajan y 220 trabajan y estudian. Si se escoge una al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie pero no trabaje? b) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie? 8. En cierta población hay tres periódicos, el Imparcial, la Crónica y Últimas Noticias. Al Imparcial están suscritas el 60% de las familias de esa población, a la Crónica el 40%, a Últimas Noticias el 30%; al Imparcial y la Crónica el 20%, al Imparcial y a Últimas Noticias el 10%, a la Crónica y a Últimas Noticias el 20% y a los tres periódicos el 5% de la población. Determina la probabilidad de que una familia seleccionada al azar a) esté suscrita al menos a uno de los tres periódicos. b) no esté suscrita a ningún periódico. 24 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) 9. En una encuesta aplicada a 102 trabajadores de una fábrica, se obtuvo la siguiente información: Todos los hombres tenían más de 20 años y había 52 mujeres. En total, 62 personas tenían más de 20 años, 25 mujeres estaban casadas, 15 de las quienes dijeron estar casadas superaban los 20 años y 10 de las mujeres casadas tenían más de 20 años. Supón que seleccionas una persona al azar, calcula la probabilidad de que: a) sea casada b) sea una mujer soltera de más de 20 años c) sea un hombre casado d) tenga menos de 20 años 10. En una encuesta aplicada a 180 personas, se obtuvo la siguiente información: 48 tienen por lo menos casa propia, 87 tienen por lo menos automóvil, 120 tienen por lo menos televisión, 52 tienen sólo automóvil y televisión, una tiene sólo casa propia, tres tienen sólo automóvil y 44 no tienen ninguna de las tres cosas. Calcula la probabilidad de que un empleado, seleccionado al azar, a) tenga automóvil, casa propia y televisión b) tenga casa propia y televisión pero no automóvil c) tenga televisión pero no casa propia ni automóvil d) tenga automóvil o televisión Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Relación entre alfabetización, edad y sexo a) Construye un diagrama de Venn con los datos proporcionados en el inicio de la sección. b) Determina, si es posible, el número de hombres y mujeres mayores de ocho años que no saben leer ni escribir. c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar no sepa leer ni escribir? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea hombre mayor de 14 años y no sepa leer ni escribir? e) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre seleccionado al azar sea mayor de 14 años y no sepa leer ni escribir? 2. El examen Recientemente se aplicó un examen de precálculo con tres problemas A, B y C. Sólo 25 alumnos resolvieron al menos un problema. De aquellos alumnos que no resolvieron el problema A, el número de quienes resolvieron el problema B fue el doble de los que resolvieron el problema C. El número de quienes resolvieron el problema A fue uno más de quienes resolvieron el problema A y al menos otro problema. De todos los alumnos que sólo resolvieron 25 1.2 Problemas de conteo exactamente un problema, la mitad no resolvió el problema A. Exactamente 12 alumnos resolvieron el problema A o el C. ¿Cuántos alumnos resolvieron el problema B? 3. El conjunto potencia El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. a) Determina el conjunto potencia de A = {1, 2, 3, 4, 5} y el número de elementos que lo forman. b) ¿Cuántos subconjuntos de cuatro elementos tiene el conjunto potencia de A? c) ¿Cuántos subconjuntos del conjunto potencia de A no tienen como elemento al 2 y al 3? d) Responde las preguntas a), b) y c) considerando al conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 1. En una universidad hay 100 estudiantes que estudian alemán o francés. Se sabe que 50 estudiantes se matricularon para alemán y 70 para francés. Indica cuál de las opciones siguientes contiene la fracción de estudiantes que estudian alemán solamente. a) b) c) d) 3/10 5/10 2/10 3/5 2. Indica cuál de las opciones dadas a continuación contiene N(A − B). a) N ( A) + N ( A ∩ B) b) N ( A) − N ( A ∩ B) c) N ( A) + N ( A ∪ B) d) N ( B) − N ( A ∩ B) 3. Una fábrica de prendas de vestir produce camisas. Doce inspectores revisan 10,000 prendas y encuentran 25 con la tela rayada, 20 ligeramente rotas, 20 descoloridas, seis con rayas y ligeramente rotas, cinco rayadas y descoloridas, cuatro rotas y descoloridas, y sólo una con los tres defectos. Indica el número de camisas que tienen al menos un defecto. a) b) c) d) 1 13 51 38 26 Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos) 4. Diversos estudios de la Secretaría de Turismo establecen que un turista que visita la ciudad de México tiene una probabilidad de 0.74 de visitar la Basílica de Guadalupe, de 0.70 de ir al Palacio de las Bellas Artes, de 0.62 de visitar Santa Fe, de 0.52 de visitar la Basílica e ir a Bellas Artes, de 0.44 de ir a Bellas Artes y visitar Santa Fe, de 0.46 de visitar la Basílica y Santa Fe y de 0.34 de visitar la Basílica, Santa Fe y Bellas Artes. Indica cuál de las siguientes opciones representa la probabilidad de que un turista cualquiera realice al menos una de estas actividades: a) b) c) d) 0.32 0.64 0.98 0.06 5. Considera la siguiente situación: La Delegación Mexicana para los Juegos Olímpicos de Sydney estuvo formada por 205 deportistas. Entre ellos hubo 135 atletas con estudios superiores de licenciatura, 146 que asistían al menos por segunda vez a unos Juegos Olímpicos y 84 eran mujeres, 30 eran mujeres con licenciatura, 35 eran mujeres que asistían por segunda vez y 110 eran atletas con licenciatura que asistían por segunda vez. Encuentra en la columna B las respuestas a las preguntas que aparecen en la columna A: Columna A a) ¿Número de mujeres con licenciatura asisten por segunda vez? b) ¿Número de hombres con licenciatura asisten por segunda vez? c) ¿Número de mujeres sin licenciatura asisten por primera vez? d) ¿Número de hombres sin licenciatura asisten por primera vez? Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. N(A) = 300, N(B) = 100 2. 60 3. 270 Columna B que que que que i. 25 ii. 29 iii. 11 iv. 10 v. 15 vi. 20 vii. 5 viii. 100 1.2 Problemas de conteo 4. 5. 6. 7. 8. a) 490 b) 624 c) 1042 d) 118 a) 382 b) 208 0.1 a) 0.3686 b) 0.4126 a) 0.85 b) 0.15 9. a) b) c) d) 10. 27 25/102 2/102 5/102 40/102 a) 1/9 b) 1/12 c) 33/180 d) 0.75 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. a b c c (a, iv), (b, viii), (c, ii), (d, vii) Unidad Expresiones algebraicas Contenido de la unidad 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Productos notables Factorización División de expresiones algebraicas Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas Suma y resta de fracciones algebraicas Exponentes enteros Exponentes fraccionarios y radicales Números complejos Introducción a la unidad ¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres? Seguramente nunca, porque un cinco no es un objeto real, es una abstracción mental, una idea. Esto se hace más evidente cuando convivimos con una niña muy pequeña que apenas está aprendiendo a contar. La mamá, o el hermano mayor, o la tía, repite una vez y otra con la niña “uno, dos, tres…”, contando pelotas, piezas de un rompecabezas o las teclas de un pianito. Quizás, al principio, para la niña sólo será un juego, una cancioncita que se repite en orden a la vez que se señalan objetos; tendrá que pasar algún tiempo antes de que pueda abstraer la idea de cantidad. Por ejemplo, si a cinco manzanas le quitamos dos manzanas, quedan tres manzanas. Si a cinco pasteles le quitamos dos pasteles, quedan tres pasteles. Como esto sigue siendo cierto para cualquier tipo de objeto que contemos, diremos que si a cinco le quitamos dos, quedan tres. ¿Cinco qué? ¿Cinco manzanas? ¿Cinco pasteles? ¿Cinco juguetes? No importa, si a cinco le quitas dos, quedan tres. Pero un cinco no es un objeto; jamás encontrarás un cinco tirado en la calle. Lo que si podrías encontrar tirado es un papel donde estuviera escrito el símbolo que utilizamos para representar la idea abstracta de cinco, es decir, un papel que tuviera escrito un “5”. Eso nos lleva a otro paso más en la abstracción que la niña tendrá que dar; cuando llegue a la escuela, ya ni siquiera dirá la frase con palabras: “si a cinco le quitas dos, quedan tres”; en lugar de eso utilizará símbolos: 5 – 2 3. ¿Por qué debe esforzarse la pequeña en aprender tales abstracciones y simbología? Porque son útiles para la vida diaria. Cuando sea más grande y vaya a comprar cinco refrescos de a ocho pesos cada uno, y pague con un billete de 100 pesos, tendrá que trabajar con esas abstracciones para saber si le dieron el cambio correcto. Si ella no aprendiera a manejar los números, entonces sería víctima fácil de los estafadores. Cuando aprendes álgebra, te encuentras en una situación similar a la de la niña. Te enfrentarás con nuevas abstracciones y simbología. Por ejemplo, en lugar de decir “si a un número cualquiera le sumo cinco y le quito tres, 30 Unidad 2: Expresiones algebraicas obtengo el mismo resultado que si a ese mismo número le sumo dos”, ahora escribirás x 5 – 3 x 2. Manejar la simbología algebraica permite trabajar con relaciones complejas más fácilmente que si tuviéramos que usar sólo palabras. Por ejemplo, intenta explicar la siguiente expresión sin usar simbología algebraica: (x y)2 x2 2xy y2. Si te preguntas: ¿Por qué debo esforzarme en aprender estas abstracciones y símbolos?, parte de la respuesta es similar al caso de la niña: porque el álgebra te será útil para resolver problemas en tu vida profesional. Algunos de los ejercicios que resolverás en esta unidad te darán una idea de las aplicaciones del álgebra: “El dilema del gerente de compras”, “La demanda de la señora Celia Reyes Lujano”, “El problema del agricultor” y “¿Exponentes fraccionarios en la inflación?”. Más aún, el álgebra tiene relación con la música y el arte, como aprenderás en “Arte por medio de radicales, la proporción áurea”. Si no aprendieras a manejar el álgebra, perderías una herramienta muy importante para un profesionista, independientemente de la carrera que quieras estudiar. Hay otra razón también muy importante para aprender álgebra. ¿Por qué en la escuela nos hicieron leer poemas, si pocos de nosotros seremos poetas? Porque la poesía es uno de los logros más bellos de la humanidad; en consecuencia, debe ser parte de la formación de todo ser humano. ¿Por qué aprender álgebra, si pocos de nosotros vamos a ser matemáticos? Por la misma razón. 2.1 Productos notables La matemática es el faro mediante el cual lo que antes se veía tenue ahora surge con trazos firmes y marcados. Irving Fisher Introducción La palabra álgebra proviene de ilm al-jabr w´al muqabala, título de un libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe Al Juarismi. La traducción fonética de al-jabr en el latín popular, llevó al nombre de la rama de las matemáticas que ahora conocemos como álgebra; disciplina donde se usan letras para denotar números arbitrarios y símbolos para combinarlos a través de la suma, la resta, el producto, la división y la potenciación. Pero el simbolismo sólo es un medio para un fin; la función del álgebra no consiste en hacer desfilar símbolos, sino en convertir o transformar expresiones de una forma en otra, la que sea más útil, para resolver el problema que tengamos entre manos. Por lo tanto, una competencia adecuada en matemáticas estará relacionada con la posibilidad de efectuar transformaciones entre una forma alge- 2.1 Productos notables braica y otra. ¿Qué determina que una expresión algebraica sea más útil que otra? La respuesta depende, en general, de la situación que se trate. No obstante, es preciso señalar que prácticamente cualquier estudio o aplicación de las matemáticas, por simple o técnica que sea, requerirá de tales transformaciones. Te presentamos una situación que requiere, según analizarás en uno de los problemas, una de tales transformaciones. La antigua disputa En tiempos de la vieja Rusia, se cuenta que dos mercaderes vendieron una partida de toros, recibiendo por cada animal tantos rublos como toros había en la partida. Con el dinero recibido compraron un rebaño de ovejas, pagando 10 rublos por cada oveja, y un corderito. Al partirse el rebaño en dos mitades, uno recibió una oveja más, y el otro, el corderito. Sin embargo, esto provocó una fuerte disputa entre ellos, que se arregló compensando al dueño del corderito con un rublo. La pregunta es: ¿fue suficiente esta compensación para que el reparto fuese equitativo? Ésta y otras situaciones completamente diferentes pueden ser analizadas con la ayuda de las transformaciones algebraicas de las que hemos hablado. Objetivos Al terminar esta sección, serás capaz de: 1. Reconocer y desarrollar los productos notables. 2. Ponderar la utilidad del lenguaje algebraico cuando el lenguaje coloquial ya no es útil. 3. A través de los productos notables, identificar las transformaciones algebraicas adecuadas que te permitan la solución de problemas. Productos notables o especiales Con frecuencia se denomina al álgebra la aritmética de las operaciones simbólicas; al decir operaciones se quiere subrayar a la suma, la resta, el producto, la división y la elevación a potencias de expresiones algebraicas. En esta sección trabajaremos con las tres primeras, bajo la consideración de los así llamados productos notables; término empleado para señalar a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin efectuar las operaciones indicadas. No obstante que estudiarás una parte introductoria del álgebra, te será necesario tener presentes algunos de sus principios, dos de los cuales te presentamos a continuación: Regla de los signos El producto o la división de dos cantidades de signos iguales es positivo, el producto o la división de dos cantidades de signos contarios es negativo. 31 32 Unidad 2: Expresiones algebraicas Leyes básicas de exponentes Por el momento, sólo necesitaremos de las siguientes leyes de exponentes, donde a, b, m y n son cantidades cualesquiera: 1. a m a n = a m +n . 2. ( a m ) n = a mn . 3. ( ab) m = a m b m . Con base en las tres leyes anteriores, estableceremos sin dificultad la veracidad de los siguientes resultados, que son los productos notables que más frecuentemente aparecen en el desarrollo y la factorización de expresiones algebraicas. Tabla 2.1 Productos notables i. Binomio al cuadrado: ( a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ii. Binomio al cuadrado: ( a − b) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 iii. Binomios conjugados: ( a + b)( a − b) = a 2 − b 2 iv. Cubo de un binomio: ( a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 v. Cubo de un binomio: ( a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 vi. Producto de dos binomios: ( x + a)( x + b) =x 2 + ( a + b) x + ab vii. Diferencia de cubos: ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3 viii. Suma de cubos: ( a + b)( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 ix. Diferencia de potencias enésimas: ( a − b)( a n−1 + a n−2 b + a n−3 b 2 + + ab n−2 + b n−1 ) = a n − b n x. Cuadrado de un trinomio: ( a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc Nota: Observa que en el desarrollo ix. de la tabla anterior, el segundo factor del miem- bro izquierdo puede ser escrito en la forma: a n−1b 0 + a n−2 b + a n−3 b 2 + + ab n−2 + b n−1 , Como puedes observar los exponentes de a comienzan con n 1y decrecen hasta llegar a 0, mientras que los de b empiezan en 0 y crecen hasta n 1; asimismo, que la suma de los exponentes de a y b en cada término es n 1. 33 2.1 Productos notables El desarrollo en x. tiene una generalización: el cuadrado de un polinomio cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos, más el doble producto de cada término con cada uno de los que le siguen. Como se señaló, es posible verificar cada uno de los resultados anteriores e incluso en algunos casos dar una interpretación geométrica sencilla. A manera de ejemplo, ilustramos dos de las igualdades que se han establecido: I II IV III Figura 2.1 Considera el cuadrado de la figura 2.1 y supón que tiene lado a b, donde a es el valor del lado en el cuadrado IV y b el lado del cuadrado II. Si A es el área total del cuadrado, y AI, AII, AIII y AIV son las áreas mostradas en la figura anterior; entonces,: A = ( a + b) 2; también: A = AI + AII + AIII + AIV 2 2 ab + b + ab + a = a 2 + 2 ab + b 2 ; por lo tanto: ( a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 . Si en la misma figura 2.1, tomamos ahora al valor de a como al valor del cuadrado más grande y como b al lado del cuadrado II; entonces: AIV = A − AI − AII − AIII = a 2 − ( a − b)b − b 2 − ( a − b)b, = a 2 − ab + b 2 − b 2 − ab + b 2 = a 2 − 2 ab + b 2 , como AIV = ( a − b) 2 , concluimos que: ( a − b) 2 = a 2 − 2 ab + b 2. 34 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejemplos En cada uno de los siguientes ejemplos, desarrolla la expresión usando el producto notable que corresponda: Ejemplo 1 [ x 2 + x + 1][ x 2 + x − 1] solución [ x 2 + x + 1][ x 2 + x − 1] = [( x 2 + x ) + 1][( x 2 + x ) − 1], asociando términos (binomios conjugados) = ( x 2 + x ) 2 − 12, (iii) = ( x 2 ) 2 + 2( x 2 )( x ) + x 2 − 1, binomio al cuadrado (i) = x 4 + 2 x 3 + x 2 − 1, uso de las leyes de exponentes (a), (b). Ejemplo 2 (a − b + c − d )2 solución ( a − b + c − d ) 2 = ( a) 2 + ( − b) 2 + (c) 2 + ( − d ) 2 + 2( a)( − b) + 2( a)(c) + 2( a)( − d ) +2( − b)(c) + 2( − b)( − d ) + 2(c)( − d ), (generalización de x), ver nota anterior, = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2 ab + 2 ac − 2 ad − 2 bc + 2 bd − 2cd , uso de la regla de los signos. Ejemplo 3 ( x a +1 + 8)( x a +1 + 9) solución ( x a +1 + 8)( x a +1 + 9) = ( x a +1 ) 2 + (8 + 9) x a +1 + 8 ( 9 ) , una extensión del resultado (vi) = x 2 a +2 + 17 x a +1 + 72, ley de exponentes (b). Ejemplo 4 ( x 2 − y 2 )( x 12 + x 10 y 2 + x 8 y 4 + x 6 y 6 + x 4 y 8 + x 2 y10 + y12 ) , escribe el resultado en la forma ( x k − y k )( x k + y k ), para cierto valor de k. 35 2.1 Productos notables solución ( x 2 − y 2 )( x 12 + x 10 y 2 + x 8 y 4 + x 6 y 6 + x 4 y 8 + x 2 y10 + y12 ) ( x 2 − y 2 )(( x 2 ) 6 + ( x 2 )5 y 2 + ( x 2 ) 4 ( y 2 ) 2 + ( x 2 )3 ( y 2 )3 + ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 4 + x 2 ( y 2 )5 + ( y 2 )6 ), ley de exponentes = ( x 2 ) 7 − ( y 2 ) 7, de acuerdo al resultado (ix) con n 7 = x 14 − y14 = ( x 7 − y 7 )( x 7 + y 7 ), ley de exponentes (b) y diferencia de cuadrados. Ejemplo 5 ( xy + 2)( x 2 y 2 − 2 xy + 4) solución ( xy + 2)( x 2 y 2 − 2 xy + 4) = ( xy)3 + 2 3, utilizando (viii) = x 3 y 3 + 8, por la ley de exponentes (c). Ejercicios y problemas 1. Determina si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. En caso de que la proposición sea falsa, proporciona su corrección; si, por el contrario, la proposición es verdadera fundamenta su veracidad: a) ( x + 1)( x + 1) − ( x + 1)( x − 1) = ( x 2 + 1) − ( x 2 − 1) = 2 b) x ( x + 1)3 + ( x + 1)3 = 1 + 4 x + 6 x 2 + 4 x 3 + x 4 c) [( a − 3)( a + 2)]2 = a 4 + a 2 + 36 d) Con la finalidad de que a[ x 3 − ( x − 1)3 ] + b[ x 2 − ( x − 1) 2 ] + c , sea igual a 4 x 2 + x se requiere que a = 43, b = 52 y c = 76 e) El coeficiente de x2 en 3( x − my) 2 + 2( x − my)( x + my) − 4( mx + y) 2 es 5 − 4 m. 2. Desarrolla cada una de las siguientes operaciones, sin recurrir al producto directo, sino utilizando alguno de los productos notables i)- x): a) ( x 4 + 1)( x 2 + 1)( x 2 − 1) . 36 Unidad 2: Expresiones algebraicas b) ( a 2 − a + 1)( a 2 + 1 + a)( a 4 + a 2 + 1) . c) −( x + y + z )( x + y − z ). 4 3 2 2 3 4 d) ( x − 2 y)( x + 2 x y + 4 x y + 8 xy + 16 y ) . e) ( x 3m +3 + y 2 m +1 )( x 6 m +6 − x 3m +3 y 2 m +1 + y 4 m +2 ). 3. 4. 4 3 Una esfera de radio r centímetros tiene un volumen de π r . ¿Cuánto aumentará el volumen si el ra3 dio se incrementa en un centímetro? Considera la figura 2.2, en el cuadrado: OA OB n. Por otro lado, cada Bj es un cuadrado de lado j. Si también usamos Bj para referirnos al área del rectángulo correspondiente, se te pide hallar una forma cerrada para la suma de áreas (véase el problema Una mente brillante, de la sección de Problemas para trabajar en equipo): B1 + B2 + + Bn. Considera el siguiente procedimiento: a) Desarrolla ( k + 1)3 − k 3, luego escribe el resultado en la forma: ak 2 + bk + c, para ciertos valores de las constantes a, b, c. b) En la igualdad ( k + 1)3 − k 3 = ak 2 + bk + c , asigna a k sucesivamente los valores 1, 2, …, n, luego escribe las ecuaciones resultantes, una debajo de la otra. c) Suma en forma ordenada el miembro izquierdo de una ecuación con el de la ecuación que está inmediatamente debajo de ésta y simplifica, en cuanto al miembro derecho; sólo podrás escribir sumas en forma abierta. 2 2 2 d) En el miembro derecho quedarán las sumas abiertas: 1 + 2 + + n, y 1 + 2 + + n ; relaciona este hecho con la suma B1 + B2 + + Bn , luego determina la respuesta pedida. B 4 B4 3 B3 2 B2 1 B1 0 1 2 3 4 A Figura 2.2 37 2.1 Productos notables Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. La antigua disputa Lean nuevamente el problema presentado en la introducción (La antigua disputa). Fundamentando una respuesta con todo detalle y claridad, argumenten en favor o en contra acerca de si el reparto que se describe en este problema es equitativo o no. 2. Una mente brillante El título de este problema poco tiene que ver con la obra cinematográfica que en honor del matemático John Forbes Nash produjo Hollywood, pero es el calificativo con el que uno se tiene que referir a la inteligencia de uno de los hombres que la historia ha señalado como a una de las mentes más brillantes de la antigüedad; nos referimos a Arquímedes. Algunos historiadores atribuyen las fórmulas para la suma de los primeros enteros positivos y la de sus cuadrados a este genio de la antigua Grecia. La fórmulas que discutirás en este problema eran conocidas por los matemáticos árabes de la Edad Media, que tradujeron, honraron y preservaron las obras de Arquímedes durante esos oscuros siglos durante los cuales la mayoría de los europeos no sabía leer o escribir ni nada de matemáticas; los pocos que sabían leer y escribir vivían en monasterios y estaban sumergidos en una vida de piedad. B n Ln 4 3 L3 2 1 0 1 2 3 Figura 2.3 4 n A 38 Unidad 2: Expresiones algebraicas Consideren la figura 2.3, los cálculos que realizarán llevaron a los matemáticos árabes hace más de mil años a determinar una hermosa fórmula que se aplica, por ejemplo, en el campo del cálculo integral. El argumento depende de los cuadrados B1, B2, B3, …, que se construyen como sigue. Comenzando en el punto O, tracen segmentos sucesivos de longitudes 1, 2, 3, etcétera, y uno de longitud n, que se extiende hasta el punto A. Hagan lo mismo en el segmento OB perpendicular a OA, de modo que OA = OB = 1 + 2 + + n (una suma como ésta se conoce como abierta porque se usa la notación de puntos suspensivos para sugerir muchos términos que están presentes, pero no se escriben). En este problema, su trabajo consiste en hallar una forma cerrada para la suma: 3 1 + 2 3 + + n 3. Apóyense en la guía que se desglosa en los siguientes puntos: a) Escriban S = 1 + 2 + + n, y debajo de esta expresión nuevamente a S, pero en la forma: S = n + (n − 1) + + 1. Ahora, sumen el primer término de la primera expresión con el primer término de la segunda, el segundo con el segundo y así sucesivamente. ¿Cuál es el valor de las sumas indicadas? A partir de su respuesta, determinen una forma cerrada (esto es, una expresión equivalente para 1 + 2 + + n, pero en la que ya no aparecen los puntos suspensivos) para la suma 1 + 2 + + n. La fórmula que deben obtener es de la forma: ( an + b)(cn + d ) , para ciertos valores k constantes de a, b, c, d, k. b) Sea “C” el área del cuadrado con lados OA, OB. Usando el resultado del inciso anterior, determinen una expresión cerrada para el cálculo de C. c) Ahora, sean L1, L2, etcétera, las regiones en forma de “L” que se muestran en la figura; designemos, por las mismas letras, los valores de sus áreas. Entonces: C = L 1+ L 2 + + L n. Usen el hecho de que L k puede descomponerse en dos rectángulos, como se ve en la figura 2.3, para probar que L k = k 3; de este modo: C = 13 + 2 3 + n 3. Determinen una expresión cerrada para C del tipo: ciertos enteros positivos. rn p + sn p−1 + tn p−2 , donde r, s, t, p, l son l 3. Números pitagóricos Desde hace miles de años, un antiguo método empleado por agrimensores y constructores de pirámides egipcias, se basaba en que los triángulos, en los que la relación de sus lados es 3: 4: 5, son rectángulos (puesto que: 3 2 + 4 2 = 5 2 ). Hay infinidad de números enteros y positivos a, b, c que satisfacen la relación a 2 + b 2 = c 2 ; a este tipo de números se les conoce como números pitagóricos. El trabajo de su equipo consiste en determinar la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si a, b, c son número pitagóricos, también lo son pa, pb y pc, donde p es un factor entero positivo. Nota: Si la proposición es verdadera, se seguirá que en caso de que a, b y c tengan un factor común, éste puede ser simplificado. 2.1 Productos notables b) Con la finalidad de que a, b y c no tengan factores comunes en la relación , es necesario que si a es par entonces b sea impar (y viceversa). c) Hay números pitagóricos a, b, c, tales que a, b son impares y c es par. 1. Descubre la opción que contiene el único desarrollo algebraico correcto. a) b) c) d) (2 − x )(2 − x ) = 4 − x 2 (2 x − 5) 2 = 4 x 2 + 25 ( x − 2)3 = x 3 − 8 + 6 x 2 − 12 x ( −1 + x ) 2 = 1 − 2 x + x 2 2. Determina la opción que contiene un error algebraico. a) ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 3) = x 4 − x 2 − 12 b) x 3 + 8 = ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) c) ( x + y)( x + y) = x 2 + y 2 2 2 2 d) (2 x − 3 y) = 4 x − 12 xy + 9 y 3. Un cubo de lado a aumenta en dos unidades, ¿cuánto aumenta el volumen del cubo? a) b) c) d) 6 a 2 + 12 a + 8 3a 2 + 3a + 8 8 6a 2 + 8 4. Lee cada uno de los siguientes textos y determina cuál de ellos es incorrecto: a) Al multiplicar dos cantidades con la misma base, se suman los exponentes de estas cantidades. b) El producto de la diferencia de dos cantidades a y b, por la suma de las mismas cantidades, produce una diferencia de cuadrados. c) Si al cuadrado de la suma de a y b se le resta el cuadrado de b, se obtiene el cuadrado de a, más el doble producto de a y b. d) La diferencia del cubo de a más b menos el cubo de a menos b da como resultado dos veces el cubo de b. 39 40 Unidad 2: Expresiones algebraicas 5. Encuentra, en la columna B, los desarrollos de las operaciones que aparecen en la columna A. Columna A Columna B a) ( x 2 − 1)( x 2 + 3) i. x 4 + 2 x 2 y + y 2 − x 2 b) ( x + 3)( x 2 + 9)( x − 3) ii. x 4 − 3 x 2 + 2 c) ( x 2 − x + y)( y + x + x 2 ) iii. x 4 + 18 x 2 + 81 d) (x2y3 8)(x2y3 + 6) iv. x 4 − 81 v. x 4 y 6 − 2 x 2 y 3 − 48 vi. x 4 + y 2 − x 2 4 2 vii. x + 2 x − 3 viii. x 4 y 9 − 48 x 2 y 3 − 2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) El desarrollo es incorrecto, puesto que ( x + 1)( x + 1) ≠ x 2 + 1; en efecto: ( x + 1)( x + 1) = ( x + 1) 2. Así, la corrección es: ( x + 1)( x + 1) − ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1) 2 − ( x 2 − 1) = x2 + 2x + 1 − x2 + 1 = 2x + 2 b) El desarrollo es correcto, en efecto: x ( x + 1)3 + ( x + 1)3 = x ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1) + x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x 4 c) La proposición es falsa, desarrollando: [( a − 3)( a + 2)]2 = [a 2 − a − 6]2 = a 4 + a 2 + 36 − 2 a 3 − 12 a 2 + 12 a = a 4 − 2 a 3 − 11a 2 + 12 a + 36 ≠ a 4 + a 2 + 36 41 2.1 Productos notables d) La proposición es verdadera, si desarrollamos: a[ x 3 − ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1)] + b[ x 2 − ( x 2 − 2 x + 1)] + c = a[3 x 2 − 3 x + 1] + b[2 x − 1] + c si sustituimos los valores dados para a, b y c, la última expresión se convierte en: 4 5 7 4 5 7 3 x 2 − 3 x + 1 + [2 x − 1] + = 4 x 2 − 4 x + + 5 x − + 3 2 6 3 2 6 [ ] = 4 x 2 + x. e) La proposición es verdadera, ya que al desarrollar la expresión algebraica dada, encontramos: 3( x − my) 2 + 2( x − my)( x + my) − 4( mx + y) 2 = (5 − 4 m 2 ) x 2 − 14 mxy + ( m 2 − 4) y 2 2. a) x 8 − 1 b) 1 + 2 a 2 + 3a 4 + 2 a 6 + a 8 c) − x 2 − 2 xy − y 2 + z 2 d) x 5 − 32 y 5 e) x 9 m +9 + y 6 m +3 3. 4 π (3r 2 + 3r + 1) 3 4. B1 + B2 + + Bn = n(n + 1)(2 n + 1) 6 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. d c a d (a, vii), (b, iv), (c, i), (d, v) 42 Unidad 2: Expresiones algebraicas 2.2 Factorización Debemos hacer la ciencia lo más sencilla posible. Pero no más sencilla. Albert Einstein Introducción n En la sección anterior establecimos expresiones para productos notables que permiten desarrollar la multiplicación de dos expresiones algebraicas de forma ágil y rápida. Por ejemplo, al multiplicar las expresiones 4x + 3y y 4x − 3y utilizamos el producto notable de binomios conjugados para obtener ( 4 x + 3 y)( 4 x − 3 y) = ( 4 x ) 2 − (3 y) 2 = 16 x 2 − 9 y 2 . En esta relación 4x + 3y y 4x − 3y son factores del producto 16x2 − 9y2. Nuestro interés, en esta sección, es desarrollar métodos que permitan resolver el problema inverso, es decir, determinar los factores de una expresión algebraica dada. La utilidad de la factorización se ilustra en la siguiente situación. Espectaculares en la Autopista del Sol La empresa “Carteleras y Espectaculares S. A. de C. V.” recientemente firmó un contrato con “Caminos y Puentes Federales” para construir y colocar 60 espectaculares gigantes en la Autopista del Sol, que conecta la ciudad de México con el puerto de Acapulco. En el contrato se especifica que: “cada espectacular deberá ser del tipo estructural de dos vistas y con dimensiones que no sobrepasen 15 metros de largo y 8 metros de alto, con la condición adicional de que el ancho no debe sobrepasar el doble del largo”. Espectacular vacío en la Autopista del Sol. Figura 2.4 43 2.2 Factorización Actualmente existe una diferencia de opinión entre las dos empresas porque los espectaculares que fueron colocados fueron de dimensiones diferentes y “Caminos y Puentes Federales” considera que no cumplen las disposiciones del contrato. En el reporte entregado por “Carteleras y Espectaculares” se señala que los diferentes tipos de espectaculares colocados fueron: • Cuarenta espectaculares con un área de contenido de 32 metros cuadrados, con márgenes laterales de 0.2 metros y márgenes superior e inferior de 0.1 metros y con ancho igual al doble del largo. • Doce espectaculares con márgenes iguales a 0.1 metros en todos los lados, ancho dos veces el alto y área de 105.12 metros cuadrados • Ocho espectaculares con márgenes iguales a 0.2 metros en todos los lados, ancho dos veces el alto y área de 112.48 metros cuadrados ¿Cuál de las dos empresas tiene razón? Margen lateral Margen superior Contenido del espectacular Margen inferior Figura 2.5 Diseño de un espectacular. Objetivos Al terminar la sección deberás ser capaz de: • Identificar y factorizar un trinomio cuadrado perfecto. • Identificar y factorizar una diferencia de cuadrados. • Identificar y factorizar una diferencia de cubos. • Identificar y factorizar una suma de cubos. • Factorizar una expresión dada Factorización por agrupamiento y el máximo común divisor En el trabajo con la aritmética de números enteros resultan útiles el máximo común divisor y la propiedad distributiva ab + ac = a(b + c). El máximo común divisor (mcd) de una colección de números enteros se utiliza cuando queremos encontrar el mayor número 44 Unidad 2: Expresiones algebraicas que los divide . Por ejemplo, 8 es el mcd de 16 y 24. La propiedad distributiva sirve para factorizar una suma o resta de números. Para expresiones algebraicas existen equivalentes del mcd y de la propiedad distributiva que resultan útiles en el proceso de factorización por agrupación. Definición ✓ Un monomio m(x) es factor común de un polinomio p(x) si todos los términos que componen el polinomio tienen a m(x) como un factor. En ese caso se puede escribir p(x) = m(x)n(x) ✓ El máximo común divisor (mcd) de p(x) es el factor mcd (x) que incluye todos los factores comunes de todos los términos del polinomio. Por ejemplo, el monomio 4xy es un factor común del polinomio 4xy2 + 8x2y3. En efecto, de acuerdo con la propiedad distributiva ab + ac = a(b + c) se tiene que: 4 xy 2 + 8 x 2 y 3 = 4 xy * y + 4 xy * 2 xy 2 = 4 xy( y + 2 xy 2 ) Sin embargo, el mcd es 4xy2 puesto que 4xy2 es un factor común de los dos términos del polinomio. Ejemplos Ejemplo 1 Factorizar el polinomio 4xy + 8xy2 + 2x2y. solución El monomio 2xy es factor de todos los términos del polinomio. En efecto, tenemos que 4 xy = 2(2 xy) 8 xy 2 = 4 y(2 xy) 2 x 2 y = x (2 xy). Usando este resultado para factorizar el polinomio obtenemos: 4 xy + 8 xy 2 + 2 x 2 y = 2(2 xy) + 4 y(2 xy) + x (2 xy) = 2 xy(2 + 4 y + x ) 45 2.2 Factorización Ejemplo 2 Factorizar el polinomio 6x2y3 + 3x3y3 + 3x4y3 + 9x2y4 determinando su máximo común divisor. solución El término 3x2y2 es el mcd del polinomio debido a que es el mayor de todos los factores comunes del polinomio. Usando este resultado para factorizar el polinomio tenemos: 6 x 2 y 3 + 3 x 3 y 3 + 3 x 4 y 3 + 9 x 2 y 4 = 2(3 x 2 y 3 ) + x (3 x 2 y 3 ) + x 2 (3 x 2 y 3 ) + 3 y(3 x 2 y 3 ) = (2 + x + x 2 + 3 y)(3 x 2 y 3 ) Ejemplo 3 ¿Qué número tiene la propiedad de que la suma de ese número más dos veces su recíproco es igual a 3? solución Sea x el número, su recíproco es 1/x. Debemos encontrar un número x con la propiedad de que x+ 2 =3 x Multiplicando por x se tiene x2 + 2 = 3x, escribiendo todos los términos en el lado izquierdo se tiene x2 − 3x + 2 = 0. Factorizamos el polinomio de la siguiente forma x 2 − 3x + 2 = x 2 − 2 x − x + 2 = x ( x − 2) − ( x − 2) = ( x − 1)( x − 2) De tal suerte que se debe cumplir que (x − 1) (x − 2) = 0. El producto de dos términos es igual a cero, si y sólo si, al menos uno de los dos factores es igual a cero, entonces, x = 1 y x = 2. Cualquiera de estos dos números cumple la condición pedida, por lo tanto, esos son los números buscados. Factorización de trinomios cuadrados perfectos Los trinomios cuadrados perfectos son expresiones algebraicas que se obtienen de la suma o diferencia de cuadrados. Los productos notables ( a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ( a − b) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 permiten determinar si una expresión es o no un trinomio cuadrado perfecto. Concretamente, un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que puede expresarse como el cuadrado de un binomio. 46 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejemplos Ejemplo 1 Factoriza el trinomio cuadrado perfecto x2 + 6xy + 9y2. solución Escribimos el polinomio como: )2 x 2 + 6 xy + 9 y 2 = x 2 + 2( x )(3y) + ( 3 y a2 a b2 b = ( x + 3y) 2 donde se identificó x ↔ a y 3y ↔ b . Ejemplo 2 Determina si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, en caso de que lo sean factorízalos. a) x 2 + 4 xy + y 2 b) 4 x 4 + 20 x 2 + 25 c) 16 x 2 y 2 z 2 + 24 xyzt + 9t 2 solución a) x2 + 4xy + y2 no es un trinomio cuadrado perfecto porque el segundo término no es 2xy. b) El polinomio 4x4 + 20x2 + 25 es un trinomio cuadrado perfecto porque podemos identificar que a ↔ 2 x 2 , b ↔ 5 , luego: 4 x 4 + 20 x 2 + 25 = ( 2 x 2 ) 2 + 2 (2 x 2 )(5 ) + 52 a2 2 = (2 x + 5) 2 a b2 b 2 c) El polinomio 16x2y 2z 2 + 24xyzt + 9t 2 también es un trinomio cuadrado perfecto. En este caso identificamos a ↔ 4 xyz , b ↔ 3t . La factorización resulta 16 x 2 y 2 z 2 + 24 xyzt + 9t 2 = ( 4 xyz ) 2 + 2 y( 4 xyz 3t ) + ( 3t ) 2 )( a2 2 = ( 4 xyz + 3t ) 2 a b b2 47 2.2 Factorización Ejemplo 3 Encuentra las raíces de la ecuación 36x2 + 48x3 + 16x4 = 0. solución Para resolver la ecuación factorizamos primero el factor 4x2, luego identificamos 3 ↔ a , 2x ↔ b . El proceso es el siguiente: 36 x 2 + 48 x 3 + 16 x 4 = 4 x 2 (9 + 12 x + 4 x 2 ) = 4 x 2 (32 + 2( 3)(2 x ) + ( 2 x )2 ) a2 2 a = 4 x (3 + 2 x ) 2 b b2 Finalmente los factores se igualan a cero para obtener las raíces x = 0, x = −3/2. Factorización de otros productos notables Los siguientes productos notables se pueden usar para factorizar diversas expresiones algebraicas a 2 − b 2 = ( a + b)( a − b) ( a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 a 3 + b 3 = ( a + b) a 2 − ab + b 2 3 a −b 3 ( = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) ) Cuando se usan estos resultados en el proceso de factorización conviene identificar primero a y b. Ejemplos Ejemplo 1 Factoriza la expresión x4 − 81y4. solución Claramente tenemos una diferencia de cuadrados, identificamos x 2 ↔ a , 9 y 2 ↔ b y obtenemos x 4 − 81y 4 = ( x 2 ) 2 − (9 y 2 ) 2 usando diferencia de cuadrados, 2 2 2 2 = ( x − 9 y )( x + 9 y ) usando nuevamente diferencia de cuadrados = ( x − 3 y)( x + 3 y)( x 2 + 9 y 2 ) 48 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejemplo 2 Factoriza la expresión 8x3 - 27y3. solución Tenemos una diferencia de cubos, identificamos 2x ↔ a , 3y ↔ b y obtenemos 8 x 3 − 27 y 3 = ( 2 x 3 y )3 − ( )3 a3 b3 ⎤ ⎛ ⎞⎡ = ⎜ 2x − 3y⎟ ⎢( 2 x 2 x )(3 y) + ( 3 y ) 2 + ( )2 ⎥ ⎥ ⎝ a a b ⎠ ⎢ a2 b b2 ⎦ ⎣ 2 2 = (2 x − 3 y)( 4 x + 6 xy + 9 y ) Ejemplo 3 Factoriza la expresión 8a3 + 36a2 + 54a + 27. solución Escribimos el polinomio como 8a 3 + 36 a 2 + 54 a + 27 = (2 a)3 + 3(2 a) 2 (3) + 3(2 a)(3) 2 + (3)3 = (2 a + 3)3 Ejemplo 4 Factoriza la expresión a6 - (y + a)6. solución Se observa que tenemos una diferencia de cuadrados primero y después diferencia y suma de cubos. En efecto, la factorización se puede efectuar como sigue: a 6 − ( y + a) 6 = 3 ( a 3−( y + a) ) ( a −( y + a ))( a2 + a ( y + a )+( y + a )2 ) 3 ( a 3+( y + a) ) ( a +( y + a ))( a2 − a ( y + a )+( y + a )2 ) = ( a − ( y + a))( a + a( y + a) + ( y + a) 2 )( a + ( y + a))( a 2 − a( y + a) + ( y + a) 2 ) = ( − y)( a 2 + ay + a 2 + y 2 + 2 ay + a 2 )( y + 2 a)( a 2 − ay − a 2 + y 2 + 2 ay + a 2 ) = ( − y)(3a 2 + 3ay + y 2 )( y + 2 a)( a 2 + ay + y 2 ) 2 49 2.2 Factorización Ejemplo 5 Dos enteros pares consecutivos tienen la propiedad de que el cubo del mayor menos el cubo del menor es igual a 8, encuentra esos números. solución Sean 2x y 2x + 2 los dos pares consecutivos. De acuerdo con el problema se tiene que (2 x + 2)3 − (2 x )3 = 8 Desarrollando la diferencia de cubos y colocando todos los términos del lado izquierdo se tiene (2 x + 2)3 − (2 x )3 = 8, (2 x )3 + 3(2 x ) 2 (2) + 3(2 x )(2) 2 + 2 3 − (2 x )3 = 8, desarrollando los productos 8 x 3 + 24 x 2 + 24 x + 8 − 8 x 3 = 8, 24 x 2 + 24 x = 0, simplificando 24 x ( x + 1) = 0, factorizando Finalmente, las raíces son x = 0 y x = −1. Los números pares consecutivos son 0 y 2. Otro par de números que cumple la condición es −2 y 0. Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2 + bx + c Para factorizar términos de la forma ax2 + bx + c es conveniente recordar el resultado del producto ( ax + r )( ax + s) = a 2 x 2 + (r + s)ax + rs El método es simple, Método para factorizar trinomios ✓ Primero se multiplica y divide la expresión por el coeficiente a para obtener: 1 2 2 a x + bax + ac a ✓ Se buscan números r y s que cumplan b = r + s , ac = rs . ✓ Finalmente tenemos que 1 ax 2 + bx + c = ( a 2 x 2 + bax + ac) a 1 = ( ax + r )( ax + s) a ( ) 50 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejemplos Ejemplo 1 Factoriza la expresión x2 − 5x + 6 solución Como el coeficiente de x2 es 1, proponemos directamente la factorización como x 2 − 5x + 6 = ( x − )( x ) El signo propuesto es el signo del coeficiente de x, en este caso es − porque el coeficiente es −5 x 2 − 5x + 6 = ( x − )( x − ) El segundo signo propuesto es el signo del producto del coeficiente de x con el término independiente. En este caso es − porque el producto es −30. x 2 − 5 x + 6 = ( x − r )( x − s) Buscamos dos números r y s tales que la suma: (−r) + (−s) sea −5 y el producto (−r) (−s) sea 6. x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3) Los números r, s se obtienen por prueba y error buscando entre los divisores del número 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Por ejemplo, si r = −1 y s = −6, (−r) (−s) = 6 pero (−r) + (−s) es 7. En cambio, los números r = 2 y s = 3 cumplen las dos condiciones. Ejemplo 2 Factoriza la expresión 3x2 + 5xy − 2y2. solución Seguimos el proceso siguiente: 1 9 x 2 + 5(3 x ) y − 6 y 2 3 1 = (3 x + ___ y)(3 x − ___ y) 3 3 x 2 + 5 xy − 2 y 2 = ( ) Y proponemos dos números r y s que cumplan r + (−s) = 5 y r(−s) = −6. Los números que cumplen ambas condiciones son r = 6, s = 1. Tenemos entonces que: 3 x 2 + 5 xy − 2 y 2 = 1 (3 x + 6 y)(3 x − y) 3 = ( x + 2 y)(3 x − y) 51 2.2 Factorización Ejemplo 3 Factoriza la expresión 4x4 − 6x2 − 4. solución El proceso de factorización se muestra a continuación 1 ( 4 x 2 ) 2 − 6( 4 x 2 ) − 16 4 1 = 4x2 − r 4x2 + s 4 ( ( 4x 4 − 6x2 − 4 = )( ) ) donde r y s cumplen − r + s = −6, ( − r )s = −16 . Los valores que satisfacen estas condiciones son: r = 8 y s = 2. Finalmente se tiene 1 4x2 − 8 4x2 + 2 4 = ( x 2 − 2)( 4 x 2 + 2) 4x 4 − 6x2 − 4 = ( )( ( )( )( ) = x − 2 x + 2 4x2 + 2 ) En el último paso hemos usado el producto notable de binomios conjugados. Ejemplo 4 Un granjero tiene 250 metros de cerca para delimitar un área rectangular. Un lado del terreno se encuentra al lado de un terreno previamente cercado de forma que es posible aprovechar la cerca existente. Si el área a cercar es de 7200 metros cuadrados determina las dimensiones del terreno. Cerca existente x x y Figura 2.6 solución Los 250 metros servirán para cercar el terreno. De la figura se tiene: 2 x + y = 250 y = 250 − 2 x 52 Unidad 2: Expresiones algebraicas El área de la región es A = xy. Usando la relación anterior se tiene que A = xy = x (250 − 2 x ) = 250 x − 2 x 2 En nuestro problema se afirma que el área es de 7200 metros cuadrados, entonces: 7200 = 250 x − 2 x 2. El problema se reduce a determinar las raíces de la ecuación anterior. Aplicamos nuestro método de factorización para obtener 1 4 x 2 − 250(2 x ) + 14400 2 1 = (2 x − 90)(2 x − 160) 2 = ( x − 45)(2 x − 160) 2 x 2 - 250 x + 7200 = ( ) Tenemos dos posibles soluciones al problema. La primera solución se obtiene al considerar que x = 45, entonces y = 250 − 2(45) = 160. La segunda solución se obtiene cuando x = 50 y y = 250 − 2(80) = 90. Ejemplo 5 La utilidad U ( x ) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por U ( x ) = 80 x − x 2 . Determina el número de unidades que deben producirse y venderse para obtener una utilidad de $1600. solución El problema se reduce a resolver la ecuación 1600 = 80 x − x 2, transponiendo y factorizando se tiene: 0 = x 2 − 80 x + 1600 = ( x − 40)( x − 40) = ( x − 40) 2 De donde la única solución es x = 40 unidades. Ejemplo 6 Un bateador de béisbol golpea una pelota con el bat. La pelota describe aproximadamente la trayectoria y = 20x − 5x2 Donde y es la altura de la pelota y x es la distancia recorrida. ¿A qué distancia del bateador se encuentra la pelota cuando la altura es 15 metros? 53 2.2 Factorización solución Substituyendo los datos del problema resulta que 15 = 20 x − 5 x 2 , transponiendo y factorizando se tiene: 0 = 5 x 2 − 20 x + 15 = 5 x2 − 4x + 3 = 5( x − 3)( x − 1) ( ) La altura de la pelota es de 15 metros a una distancia de 1 ó 3 metros del bateador. Ejercicios y problemas 1. Factoriza los expresiones algebraicas siguientes 3 3 a) 2 xy + 4 x y f ) x 4 + 3x 3 + x 2 + 3x b) 4( x + 3) + a( x + 3) g) xy + 3 x 2 + 6 x + 2 y c) 11( a + 4b) − b( a + 4b) h) w( x + 4 y) − 5z(2 x + 8 y) + 3( x + 4 y) 2 d) x + 3 x − 2 xy − 6 y i) y 5 + 4 y 4 + y + 4 2 e) u + 6u + uv + 6v j) 4 a 2 mx + 8a 2 nx − 2 a 2 my − 4 a 2 ny 2. Factoriza las siguientes expresiones determinando primero su máximo común divisor. 4 2 2 2 3 5 k) 8 x y − 4 x y + 2 x y n) 15 xy + 25 yz + 10 xyz 5 4 4 5 5 5 l) 7 x y + 2 x y − 3 x y o) 8a + 4 ab + 2 ab 2 + ab 3 2 3 3 4 2 m) 12 abc − 16 a bc − 24 a b c 3. Encuentra la factorización de los siguientes trinomios cuadrados perfectos 2 p) 4 x − 12 x + 9 s) x 2 y 2 + 4 xyz + 4 z 2 2 2 q) 16 + 8 xy + x y t) 9u 2 + 24u(v + w ) + 16(v + w ) 2 4 2 r) 16 x − 40 x + 25 54 Unidad 2: Expresiones algebraicas 4. Usa los productos notables para diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos para factorizar las siguientes expresiones algebraicas. 2 u) 25 x − 625 x) (2 x + y)3 − (2 x − y)3 4 4 v) 16 y x − 81 y) (2 x + y)3 + (2 x − y)3 3 w) 8( x − y) − 64 5. Aplica el método para factorizar trinomios cuadrados para factorizar las siguientes expresiones. 2 z) 2 x − 5 x − 12 ee) 4 x 2 y 2 + 7 xy − 2 2 aa) 3 x + 8 x − 35 ff ) 3 x 2 + 5 xy + 2 y 2 2 bb) 6 x − 5 x − 21 gg) 4 y 2 + 9 x 2 y + 2 x 4 2 cc) 4 x − 2 x − 2 hh) −5b 2 − 13bxyz + 6 x 2 y 2 z 2 2 dd) 2 x − 14 x − 120 ii) 8 x 6 + 22 x 3 y 2 + 5 y 4 6. Resuelve las siguientes ecuaciones usando factorización. 2 jj) x − 9 x + 8 = 0 2 kk) x − x − 6 = 0 2 ll) 2 x + 2 x − 12 = 0 2 mm) 3 x − 10 x + 8 = 0 2 nn) 3 x − 16 x − 35 = 0 oo) 6 x 2 − 15 x − 21 = 0 pp) 4 x 2 + 7 x − 2 = 0 qq) 15 x 2 + x − 6 = 0 rr) 2 x 2 + 14 x − 120 = 0 ss) 9 + 9 y + 2 y 2 = 0 7. Un cuerpo en caída libre tiene altura dada por h = 29.4 − 4.9t − 4.9t2 metros. tt) Determina cuándo el cuerpo chocará contra el piso. uu) ¿En qué momento la altura será de 19.6 metros? 8. Un granjero va a cercar un terreno rectangular de área 48 metros cuadrados: si el largo es dos unidades mayor que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? ¿Cuál es el perímetro del terreno? 9. El cuadrado de un número más siete veces el mismo número es igual a 18, encuentra el número. 10. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 280 metros y un área de 4500 metros cuadrados, ¿qué dimensiones tiene el terreno? 55 2.2 Factorización Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones. 1. La situación presentada en la introducción: “Espectaculares en la Autopista del Sol” 2. “La empresa de cable”. La empresa “Televisión por Cable S. A. de C. V.” tiene actualmente 20,000 suscriptores que pagan una renta mensual de $200.00 por el servicio. Su departamento de “Estudios de Mercado” realizó una encuesta que reveló que por cada $2.50 de disminución en la renta se tendrían 500 suscriptores más. ¿Cuál es el ingreso actual? Si se realiza una reducción de $2.50 ¿cuál sería el ingreso? Si hicieras una reducción de $5.00 ¿cuál sería el ingreso? Supón que x es el número de reducciones en la renta, escribe una ecuación para calcular el ingreso. e) Usa la ecuación que obtuviste para determinar el número de reducciones que tendrías que hacer para obtener un ingreso de $4,000,000 ¿cuántos suscriptores se tienen en ese caso?. f) Con la misma ecuación determina el número de reducciones necesarias para tener un ingreso de $4,375,000 ¿cuántos suscriptores se tienen en ese caso?. g) Repite el inciso anterior cuando se tiene un ingreso de $4,468,750 y cuando el ingreso es $4,500,000. h) ¿Cuál debería ser el valor de la renta si la empresa quiere tener un ingreso máximo? a) b) c) d) 3. “Marcos de pinturas” En el monumento a la Madre, cerca del cruce entre Insurgentes y Reforma, en la ciudad de México, pintores de todas las edades y condiciones socioculturales muestran sus pinturas todos los fines de semana. Algunos de ellos indican que las pinturas resaltan por los enmarcados y márgenes alrededor de ellas. Un buen enmarcado, para un cuadro horizontal, debe tener alto igual a 1.5 veces el ancho y 3 centímetros de margen en cada lado. Si un amante de la pintura compra tres pinturas al óleo con áreas de 1.49985, 5.99985, y 3.37485 metros cuadrados, ¿cómo debe solicitar los enmarcados para que resalten sus cuadros? Figura 2.7 Otro Blues, ¡por favor!, Ivonne López (2000) Figura 2.7 56 Unidad 2: Expresiones algebraicas 1. Factoriza la expresión x3 − 4x2 − x + 4 a) ( x − 1)( x + 1)( x − 4) b) ( x 2 + 1)( x − 4) c) ( x − 2) 2 ( x + 1) d) ( x − 2)( x + 2)( x − 1) 2. Señala la opción donde aparece la factorización de la expresión x3 − 8. e) ( x + 2)( x 2 − 2 x − 4) f) ( x − 2)( x 2 − 2 x + 4) g) ( x + 2)( x 2 + 2 x + 4) h) (x − 2)(x2 + 2x + 4) 3. Factoriza la expresión 25x2 − 60x + 36 i) (5 x + 6)(5 x − 6) j) (5 x + 9)(5 x − 4) k) (5 x − 6) 2 l) (5 x + 6) 2 4. Dos números enteros positivos pares consecutivos son tales que la suma de sus cuadrados es igual a 100. Indica la opción que contiene la multiplicación de esos dos números pares a) 12 b) 48 c) 80 d) 36 5. Encuentra en la columna B un factor de los polinomios que aparecen en la columna A. Columna A a) b) c) d) 3 3 8a − 27b 16 a 4 − 81b 4 4 a 2 − 8ab + 3b 2 4 a 2 + 2 ab − 12 b 2 Columna B i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. 2 a + 3b 3a − 2 b 2 a − 3b 2a − b 4 a 2 + 9b 2 2 a − 4b a + 2b 4 a 2 + 6 ab + 9b 2 2.2 Factorización Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) 2 xy( y 2 + 2 x 2 ) b) ( 4 + a)( x + 3) c) (11 − b)( a + 4b) d) ( x − 2 y)( x + 3) e) (u + v)(u + 6) f) ( x 3 + x )( x + 3) g) ( x + 2)( y + 3 x ) h) ( w − 10 z + 3)( x + 4 y) i) ( y 4 + 1)( y + 4) j) 2 a 2 (2 x − y)( m + 2 n) 2. k) mcd = 2 x 2 y 2 ; 2 x 2 y 2 ( 4 x 2 − 2 + xy 3 ) l) mcd = x 4 y 4 ; x 4 y 4 (7 x + 2 y − 3 xy) m) mcd = 4 abc; 4 abc(3 − 4 ac 2 − 6 a 2 b 3c) n) mcd = 5 y; 5 y(3 x + 5z + 2 xz ) o) mcd = a; a( 4 + b 2 )(2 + b) 3. p) (2 x − 3) 2 q) ( 4 + xy) 2 r) ( 4 x 2 − 5) 2 s) ( xy + 2 z ) 2 t) (3u + 4v + 4 w ) 2 4. u) 25( x − 5)( x + 5) v) (2 xy − 3)(2 xy + 3)( 4 x 2 y 2 + 9) w) 8( x − y − 2)( x 2 − 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y + 4) x) 2 y(12 x 2 + y 2 ) y) 4 x ( 4 x 2 + 3 y 2 ) 5. z) (2 x + 3)( x − 4) aa) ( x + 5)(3 x − 7) bb) (2 x + 3)(3 x − 7) 57 58 Unidad 2: Expresiones algebraicas cc) ( 4 x + 2)( x − 1) dd) (2 x + 10)( x − 12) ee) ( xy + 2)( 4 xy − 1) ff ) ( x + y)(3 x + 2 y) 2 2 gg) (2 x + y)( x + 4 y) hh) (3 xyz + b)(2 xyz − 5b) 3 2 3 2 ii) ( 4 x + y )(2 x + 5 y ) 6. jj) 1, 8 kk) 3, −2 ll) −3, 2 mm) 2, 4/3 nn) 7, −5/3 oo) pp) qq) rr) ss) −1, 7/2 −2, 1/4 3/5, −2/3 5, −12 −3, −3/2 7. tt) t = 2 seg. uu) t = 1 seg. 8. Ancho = 6m, largo = 8m, perímetro = 28m. 9. x = 2; x = −9 10. 90 y 50 metros. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. a d c b (a; iii, viii), (b; iii, i, v), (c; iii, iv), (d; iii, vii) 59 2.3 División de expresiones algebraicas 2.3 División de expresiones algebraicas La matemática es la ciencia del orden y medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes Introducción n En sus orígenes, el principal uso del álgebra fue para resolver problemas relacionados con el comercio, principalmente de los mercaderes del Mar Mediterráneo. En el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (11801250), más conocido como Fibonacci. Alrededor del 1202 escribió su célebre obra Liber Abaci (El libro del ábaco), en donde se encuentran expuestos: el cálculo de números, según el sistema de numeración posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales, como la regla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas sobre la determinación de calidad de las monedas; problemas de progresiones y ecuaciones; raíces cuadradas y cúbicas. En esta sección revisaremos algunas estrategias algebraicas que usaremos para resolver problemas como: El dilema del gerente de compras Carlos Montes de Oca, licenciado en administración de empresas recién egresado de la Universidad, trabaja como gerente de compras en una gran tienda departamental, que regularmente vende 600 refrigeradores por año. Los refrigeradores se piden a la fábrica por lotes de 100 y se entregan en una bodega cercana para almacenarlos, mientras se venden a cada cliente individualmente. Si no hay “periodos pico” durante el año, si los aparatos se venden de forma regular, el inventario promedio a la mano en la bodega en cualquier tiempo será de 50 refrigeradores. Consecuentemente, la tienda incurre en costos corrientes sustanciales, debidos a derechos de almacenamiento, seguro e interés sobre el efectivo para pagar el inventario. Para bajar estos costos corrientes, el gerente puede decidir pedir los refrigeradores en lotes más pequeños, volviendo a hacerlo tan pronto como sea necesario a intervalos regulares. Para determinar el tamaño de los pedidos, deben considerarse otros factores, además de los gastos corrientes, ya que cada vez que los refrigeradores se vuelven a ordenar se hacen gastos extras, tales como papel, mano de obra, tarifas de carga, embalaje, etcétera. En efecto, órdenes más pequeñas redundarán en la necesidad de volver a pedir más a menudo, con lo que se incrementarían los costos de pedido, mientras que los costos corrientes han sido reducidos. 60 Unidad 2: Expresiones algebraicas Tomando en cuenta ambos tipos de gastos, Carlos necesita decidir qué tan grandes deben ser las órdenes (número de refrigeradores pedidos) que debe pedir a la tienda departamental si quiere conservar sus costos totales en un mínimo. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Dividir dos expresiones cualesquiera. • Utilizar la división sintética, cuando el divisor sea de la forma adecuada. División de expresiones algebraicas La división es la operación inversa de la multiplicación. Es posible también definir la división con el postulado siguiente: Dados dos números cualesquiera a y c, a ≠ 0, existe un número b y sólo uno, tal que ab = c c Este número b está dado por b = , a ≠ 0, que se lee “b es igual a c, dividido entre a a”; de aquí, se dice que b es el cociente obtenido al dividir el dividendo c entre el divisor a. Nota: La operación de división puede indicarse por medio de una línea horizontal, una línea oblicua, con el símbolo ÷ o, simplemente, con dos puntos: Entonces, c , c , c ÷ a a a y c : a tienen el mismo significado. En seguida mostraremos la manera de dividir dos expresiones algebraicas, pero antes revisaremos algunas reglas y leyes importantes: Regla de los signos de la división El cociente de dos números es positivo o negativo, según el dividendo y el divisor tengan signos iguales o contrarios, respectivamente. Por lo tanto, si a, b y c son todos positivos, escribiremos c −c −c c b= = = ; −b = a −a a −a Leyes de los exponentes m a am a) Para m entero y positivo tenemos ⎛ ⎞ = m . ⎝ b⎠ b am = a m−n . an c) Si a y b son ambos diferentes de cero, m, n, r y s son números enteros y poambr sitivos, tales que m > n y r > s; entonces n s = a m−n b r − s . a b b) Para a ≠ 0, m y n enteros positivos tales que m > n, 2.3 División de expresiones algebraicas División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio, luego se suman los cocientes obtenidos. Esto es: a+b+c a b c = + + m m m m Guía para dividir un polinomio entre otro a) Se ordenan el dividendo y el divisor, según las potencias descendentes de una misma literal. b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; el resultado es el primer término del cociente. Se multiplica todo el divisor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo. c) El residuo obtenido del paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el proceso del paso 2, para obtener el segundo término del cociente. d) Se repite este proceso hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior que el del divisor. Nota: Si en una división A es el dividendo, B es el divisor, Q el cociente y R el residuo, tenemos: • Si R = 0, la división es exacta, luego escribimos A = Q , de donde A = BQ. Esta B igualdad muestra que la división exacta se comprueba verificando que el dividendo es igual al producto del divisor y el cociente. • Si R ≠ 0, la división puede convertirse en exacta si el dividendo original es disminuido en R. Entonces, escribimos A − R , de donde A − R = BQ y A = BQ + R. B La última relación muestra que cualquier división se comprueba verificando que el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo. Observa que de manera equivalente: A R =Q+ B B Ejemplos Efectúa las siguientes divisiones: Ejemplo 1 (8a b ) ÷ (−4ab ) 3 4 2 61 62 Unidad 2: Expresiones algebraicas solución Dividimos término a término, para obtener: 8a 3 b 4 8 a3 b 4 = ⋅ ⋅ = −2 a 2 b 2 . −4 ab 2 −4 a b 2 Ejemplo 2 ( 7 x y z ) ÷ (2 x y ) 3 2 2 3 solución Dividiendo término a término, obtenemos: 7x 3 y2 z 7 x 3 y2 z 7x . = ⋅ ⋅ ⋅ = 2 x 2 y3z 2 x 2 y3 z 2 y Ejemplo 3 (−4m n ) ÷ (−2m n) 5 4 3 solución Dividimos término a término, y obtenemos: −4 m 5 n 4 −4 m 5 n 4 = ⋅ ⋅ = 2m 2 n3. −2 m 3 n −2 m 3 n Ejemplo 4 (3a b x − 4a b y − 5a b ) ÷ (2a b) 3 2 4 3 2 3 2 solución 3a 3 b 2 x − 4 a 4 b 3 y − 5a 2 b 3 3a 3 b 2 x 4 a 4 b 3 y 5a 2 b 3 , dividimos cada término entre 2a2b = − − 2a 2 b 2a 2 b 2a 2 b 2a 2 b = 3abx 5b 2 , y simplificamos. − 2a 2 b 2 y − 2 2 Ejemplo 5 (m n x − 5m n y + 9m n z) ÷ (3m n) 4 3 5 3 4 2 2 solución m 4 n 3 x − 5m 5 n 3 y + 9 m 4 n 2 z m 4 n 3 x 5 m 5 n 3 y 9 m 4 n 2 z ; dividimos cada término entre = − + 3m 2 n 3m 2 n 3m 2 n 3m 2 n = m 2 n 2 x 5m 3 n 2 y − + 3m 2 n z ; y simplificamos. 3 3 63 2.3 División de expresiones algebraicas Ejemplo 6 (m 2 ) ( ) − 5m 3 + 9 m − 7 ÷ m 2 + m − 1 . solución Primero ordenamos el dividendo y el divisor, con potencias descendentes de m; la operación se hace como sigue: como: −5m 3 = −5m m2 ) 2 −5m + 6 (cociente) m + m − 1 −5m 3 + m 2 + 9m − 7 − ( −5m 3 − 5m 2 + 5m) restamos − 5m( m 2 + m − 1) 6m 2 + 4m − 7 −(6 m 2 + 6 m − 6) restamos 6( m 2 + m − 1) − 2 m − 1 (residuo) como 6m 2 =6 m2 Comprobación: ( m 2 + m − 1)( −5m + 6) + ( −2 m − 1) = −5m 3 + m 2 + 9m − 7. Es posible escribir el resultado como: −5m 3 + m 2 + 9m − 7 −2 m − 1 2m + 1 = −5m + 6 + 2 = −5m + 6 − 2 m2 + m − 1 m + m −1 m + m −1 Ejemplo 7 (x 4 ) ( − x 3 y − x 2 y 2 + 7 xy 3 − 6 y 4 ÷ x 2 + xy − 2 y 2 ) solución El dividendo y el divisor están ordenados con potencias descendentes de x; la operación se hace como sigue: x 2 − 2 xy + 3 y 2 (cociente) ) x 2 + xy − 2 y 2 x 4 − x 3 y − x 2 y 2 + 7 xy 3 − 6 y 4 − (x 4 + x 3 y − 2 x 2 y2 ) − 2 x 3 y + x 2 y 2 + 7 xy 3 − 6 y 4 −( −2 x 3 y − 2 x 2 y 2 + 4 xy 3 ) 3 x 2 y 2 + 3 xy 3 − 6 y 4 −(3 x 2 y 2 + 3 xy 3 − 6 y 4 ) 0 (residuo) Comprobación: ( x 2 + xy − 2 y 2 )( x 2 − 2 xy + 3 y 2 ) = x 4 − x 3 y − x 2 y 2 + 7 xy 3 − 6 y 4 . Podemos escribir el resultado como: x 4 − x 3 y − x 2 y 2 + 7 xy 3 − 6 y 4 = x 2 − 2 xy + 3 y 2. x 2 + xy − 2 y 2 64 Unidad 2: Expresiones algebraicas División sintética Hay un método para efectuar rápidamente la división de un polinomio entre un binomio de la forma x − a; a esta división se le conoce como división sintética. Antes de indicar en qué consiste tal método, enunciaremos el teorema en el que se fundamenta: Teorema del residuo Si el polinomio P(x) se divide entre x − a, siendo a una constante independiente de x, el residuo es igual a P(a). P( x ) P( a ) . = Q( x ) + x−a x−a Explicaremos el método de división sintética efectuando la división del polinomio 6x3 − 8x2 − 4x − 14 entre x − 2. De acuerdo con la sección anterior, la división algebraica ordinaria es: La representación algebraica del teorema es: 6 x 2 + 4 x + 4 (cociente) ) x − 2 6 x 3 − 8 x 2 − 4 x − 14 − (6 x 3 − 12 x 2 ) 4 x 2 − 4 x − 14 −( 4 x 2 − 8 x ) 4 x − 14 −( 4 x − 8) − 6 (residuo) Procederemos ahora a abreviar el esquema anterior, tanto como sea posible. Como los polinomios se escriben ordenados con potencias descendentes de x, es posible omitir tales potencias y conservar solamente sus coeficientes. Además, el coeficiente de x en el divisor es la unidad, el primer término de cada producto parcial es una repetición del término que sigue inmediatamente después de él; por lo tanto, puede ser omitido. También, el segundo término de cada residuo parcial es una repetición del término que está sobre él en el dividendo, por lo cual es posible omitirlo. Por comodidad, omitimos el primer término del divisor y colocamos el término constante a la derecha del dividendo. De igual manera, ya que cada coeficiente del cociente, con excepción del primero, está representado por el primer coeficiente del residuo parcial, resulta que todo el cociente puede omitirse. Con todas estas omisiones, la división se reduce a lo siguiente: 6 − 8 − 4 − 14 | −2 −( −12) 4 −( −8) 4 −( −8) −6 Escribiendo en tres líneas todo lo anterior, y repitiendo el coeficiente principal en la tercera línea, tenemos: 6 −8 −4 − 14 | −2 ↓ − ( −12) − ( −8) − ( −8) 6 4 4 −6 65 2.3 División de expresiones algebraicas Si cambiamos el signo del término que representa al divisor, sumaremos los productos parciales en lugar de restarlos. Lo anterior es deseable pues, de acuerdo con el teorema visto al inicio de la sección, el residuo obtenido como resultado de la división es el valor de P(x), cuando el valor de x es 2 y no −2. Por lo tanto, la forma final de la división queda así: 6 − 8 − 4 − 14 | 2 ↓ + 12 + 8 +8 6 +4 +4 | −6 El cociente 6x2 + 4x + 4 se construye utilizando la tercera línea, mientras que el residuo, separado de esta línea tal como se indica, es −6. Guía para la división sintética Para dividir un polinomio P( x ) = c0 x n + c1 x n−1 + c2 x n−2 + + cn entre x − a, se procede como sigue: a) En la primera línea se escriben en orden los coeficientes c0, c1, c2,…, cn del dividendo P(x); el número a va separado y a la derecha. Si alguna potencia de x no aparece en P(x), su coeficiente se escribe como cero: c0 ↓ c0 c1 c2 c n |a b) Se incluye el coeficiente principal c0 como primer término de la tercera línea y se multiplica por a, escribiendo el producto c0a en la segunda línea debajo de c1. Se suma c1 con el producto c0a y se anota la suma c1 + c0a, en la tercera línea. Se multiplica esta suma por a, se escribe el producto en la segunda línea debajo de c2 y se suma con c2, escribiéndose la suma en la tercera línea. Se continúa así hasta que se usa como sumando cn, escribiéndose la suma en la tercera línea. c0 ↓ c0 c1 c2 c0 a a(c0 a + c1 ) (c0 a + c1 ) c2 + a(c0 a + c1 ) cn |a | residuo c) El último número de la tercera línea es el residuo; los números anteriores son los coeficientes del cociente, correspondientes a potencias descendentes de x, es decir: Cociente = c0 x n−1 + (c0 a + c1 ) x n−2 + (c2 + a(c0 a + c1 )) x n−3 + 66 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejemplos Obtén el cociente y el residuo, usando división sintética: Ejemplo 1 Divide −x2 + x3 − x −3 entre x − 3. solución Primero ordenamos los términos del dividendo con las potencias en forma descendente, es decir: x3 − x2 − x − 3. Además, como vamos a dividir entre x − 3, tomaremos a = 3. La operación queda como: 1 −1 3 2 1 Concluimos que −1 6 5 −3|3 15 | 12 x3 − x2 − x − 3 tiene como cociente x2 + 2x + 5 y residuo 12. x−3 Ejemplo 2 Divide 2x4 + 3x3 − 10x − 3 entre x − 1. solución Como el dividendo carece del término de x2, ponemos el coeficiente cero en ese lugar. Además, como vamos a dividir entre x − 1, tomamos a = 1. La operación queda así: 2 3 2 5 2 4 0 5 5 − 10 5 −5 − 3 |1 −5 | −8 3 Concluimos que 2 x + 3 x − 10 x − 3 tiene como cociente 2x3 + 5x2 + 5 − 5 y residuo −8. x −1 Ejemplo 3 Divide x3 − 3x2 + 2x − 5 entre x + 3. solución El dividendo ya tiene los coeficientes de x arreglados en forma descendente. Como vamos a dividir entre x + 3 = x −(−3), debemos tomar a = −3. La operación queda como: 1 1 3 2 −3 −3 −6 2 18 20 − 5 | −3 − 60 | − 65 Por lo cual, x − 3 x + 2 x − 5 tiene como cociente x2 − 6x + 20 y residuo −65. x+3 67 2.3 División de expresiones algebraicas Ejemplo 4 Divide x5 + 2x3 + 6x − 35 entre x + 4. solución Ahora, el dividendo carece de los términos x4 y x2; en consecuencia, hay que poner los coeficientes cero en esos lugares. Además, como vamos a dividir entre x + 4 = x − (−4), tomamos a = −4. La operación queda así: 1 0 −4 −4 1 2 0 16 − 72 18 − 72 6 − 35 | −4 288 − 1176 294 | −1211 5 3 Entonces, x + 2 x + 6 x − 35 tiene como cociente x4 − 4x3 + 18x2 − 72x + 294 y residuo −1211. x+4 Ejercicios y problemas 1. En una división exacta el dividendo es x3 + 3x2y + xy2 − 2y3 y el cociente es x2 + xy − y2. Halla el divisor. 2. Efectúa la división indicada y comprueba el resultado: ( ) (50r + 10r − 35r ) ÷ (5r ) ( x − 4 x + 10 x − 12 x + 9) ÷ ( x − 2 x + 3) ( x y + 4 x y + 10 x y − 7 xy + 9 y ) ÷ ( x y + 4 xy (r + 2r s − 4rs + s ) ÷ (r + 2rs + s ) a) 12 m 3 n 3 − 6 m 2 n 2 + 18mn ÷ ( −6 mn) b) c) d) e) 3 4 2 3 2 5 4 4 2 2 2 2 2 4 2 5 4 2 6 2 2 − y3 ) 2 3. En cada uno de los ejercicios siguientes, obtener el cociente y el residuo usando la división sintética ( ) (5r − 20r + 15r + 20) ÷ (r − 3) (a + 5a − 10a − 8a + 2) ÷ (a + 2) (n + 2n + 7n − 8n + 5n + 5n + 3) ÷ (n + 1) 3 2 a) m − 8m + 18m + 7 ÷ ( m − 5) b) c) d) 3 2 4 3 5 2 2 4 3 6 68 Unidad 2: Expresiones algebraicas Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. El dilema del gerente de compras (la situación de la introducción). Carlos Montes de Oca, licenciado en administración de empresas recién egresado de la Universidad, trabaja como gerente de compras en una gran tienda departamental que regularmente vende 600 refrigeradores por año. Los refrigeradores se piden a la fábrica por lotes de 100 y se entregan en una bodega cercana para almacenarlos, mientras se venden a cada cliente individualmente. Si no hay “periodos pico” durante el año y si los aparatos se venden de forma regular, el inventario promedio a la mano en la bodega en cualquier tiempo será de 50 refrigeradores. Consecuentemente la tienda incurre en costos corrientes sustanciales, debidos a derechos de almacenamiento, seguro e interés sobre el efectivo para pagar el inventario. Para bajar tales costos corrientes, el gerente puede decidir pedir los refrigeradores en lotes más pequeños, volviendo a pedir tan pronto como sea necesario a intervalos regulares. Para determinar el tamaño de los pedidos deben considerarse otros factores, además de los gastos corrientes, ya que cada vez que los refrigeradores se vuelvan a ordenar se harán gastos extras, tales como papel, mano de obra, tarifas de carga, embalaje, etcétera. Obviamente, órdenes más pequeñas redundarán en la necesidad de volver a pedir más a menudo, lo que incrementaría los costos de pedido mientras que los costos corrientes han sido reducidos. Tomando en cuenta ambos tipos de gastos, Carlos necesita decidir qué tan grandes deben ser las órdenes (número de refrigeradores pedidos) que tiene que pedir a la tienda departamental si quiere conservar sus costos totales en un mínimo. Carlos ha pedido ayuda a sus profesores de la Universidad, quienes le han sugerido que considere lo siguiente: a) Determinar los costos corrientes anuales. Carlos sabe que tiene que considerar los costos anuales por refrigerador y el número promedio de refrigeradores. b) Obtener los costos de pedido. Carlos se ha informado que debe considerar los costos de entrega y el número de entregas en el año, además de que los costos de entrega constan de costos de pedido fijos y de costos variables, que se originan al recibir cada entrega c) Determinar los costos totales mediante los costos corrientes y de pedidos anuales. d) Carlos desea comprobar los costos totales considerando que el costo anual corriente por refrigerador es de $400, el valor de los costos de pedidos fijos es de $200 y que el costo de remesa de refrigerador es de $250, obteniendo el tamaño óptimo del lote y el costo total que este pedido originaría. 2. El ingeniero industrial Felipe Guzmán trabaja en la compañía HTS y necesita conocer el cos- to promedio de producción en cualquier tiempo; ha observado que el número de mercancías producidas en la compañía, durante un turno de 10 horas, está dado por n(t) = t + 3, pero también ha investigado que el costo total en dólares por producir n(t) mercancías está dado por c(t) = 5t2 + 17t + 6; por último, le han informado que el costo promedio de producción está c( t ) dado por a(t ) = . A Felipe le han pedido que informe qué sucede con el costo promen(t ) dio de producción a las 10 horas y cuál es el costo promedio por mercancía en ese momento. 69 2.3 División de expresiones algebraicas 3. La compañía “Hardware y Software S.A.” produce discos compactos vírgenes y grabados. Ana- lizando sus archivos han deducido que el costo promedio en dólares por disco para una pro13 x + 100 ducción de x discos grabados está dada por la función f ( x ) = . ¿Aproximadamente, x cuál es el costo promedio si el número de discos es muy grande? ¿Cuál será el costo promedio para 20 discos compactos? 4. La compañía Silva-Form diseña una caja para almacenar archivos; la caja con base cuadra- da debe ser cerrada y con capacidad de 108 cm3. El gerente de la compañía tiene pensado hacer la caja de cartón, por lo que requiere conocer la cantidad de cartón necesaria para hacer cada caja en términos del lado de la base. Determina la cantidad de cartón que se requiere para elaborar una de estas cajas. 0.8t + 1000 ; t ≥ 15 da la concentración N(t) en el cuerpo, en partes 5t + 4 por millón, de una cierta dosis de medicamento, después de t horas. Realiza el cociente y explica qué representan el cociente y el residuo. 5. La función N (t ) = ( ) 1. Indica la opción que contiene el cociente y el residuo de 8 + 5 x 3 + 2 x 4 − 2 x ÷ ( x + 3) utilizando división sintética. a) Cociente: 2 x 3 + 11x 2 + 31x ; residuo: 101. b) Cociente: 2 x 3 + 11x 2 + 33 x + 97 ; residuo: 283. c) Cociente: 2 x 3 + x 2 − 5 x ; residuo: 23. d) Cociente: 2 x 3 − x 2 + 3 x − 11; residuo: 41. 2. Halla la opción que contiene el cociente y el residuo de (x 4 ) ( ) y + 4 x 3 y 2 + x 2 y 2 + 2 x 2 y 3 + 3 x 3 y 3 − xy 4 − x 2 y 4 ÷ x 2 y + 3 xy 2 − y 3 . a) Cociente: x 2 − 3 xy 2 + 2 y − 10 y 3 + xy ; residuo: y 2 + y − 10 y 3 + xy 3 + 3 xy 2 . b) Cociente: x 2 + y − 10 y 3 + xy + 3 xy 2; residuo: y 4 − 10 y 6 − 3 xy 3 + 33 xy 5 . c) Cociente: x 2 + 3 xy 2 + y − 10 y 3 ; residuo: y 2 + y − 10 y 3 + xy 3 + 3 xy 2 . d) Cociente: x 2 + 3 xy 2 − 2 y + 10 y 2 + x 2 y ; residuo: y 3 − y − 2 y 3 + x 2 y 2 + xy 2. 70 Unidad 2: Expresiones algebraicas 3. Determina la solución del problema: La población P en cientos de habitantes de la ciudad de 130 + 510 t + 500 t 2 Cuernavaca está dada por P(t ) = , donde t está dado en meses. Encuentra 2t + 1 la población en cualquier tiempo. a) P(t) = 65 + 250t b) P(t) = 65t + 5 + 250t2 c) P(t) = 250t + 130 d) P(t) = 130 + 25t 4. Indica la opción que representa la solución del problema: La cantidad total de pulgadas de 2 at 2 + 9at + 4 a , at + b donde a y b son constantes positivas que dependen de la situación geográfica. Encuentra la cantidad total de pulgadas R (t) de lluvia para la región del Pacifico, si se sabe que en esa región a = 2 y b = 8. lluvia durante una tormenta de t horas de duración, se calcula así: R(t ) = a) 2t − 7 b) 2t + 8 c) t + 3 d) 2t + 1 5. Encuentra, en la columna B, las soluciones de las operaciones que aparecen en la columna A. Columna A a) b) c) d) Columna B ( x + 3x + 4 x y + 2 x y + x y + y ) ÷ ( x + 3x − 2 xy + y ) ( x + 5x y − x y − 5x y + x y − xy ) ÷ ( x − xy ) (−2 x y + x y + 2 x y − x y + x y − y ) ÷ ( x y − y ) (4 x − 2 x y − 4 x y + 2 x y + x y − xy ) ÷ ( y x − 2 x y + 4 x ) 5 4 8 4 3 2 4 7 7 4 4 6 2 2 5 3 3 2 2 3 4 4 3 4 5 3 2 2 3 5 4 6 3 2 2 6 3 2 8 2 3 8 5 2 5 i. x5 + 3x + y2 ii. x2 + 2xy + y2 iii. x2 + y2 iv. x5 − 2x2 + y5 v. x2 – y3 vi. x5 + y5 vii. x5 + 5xy2 + y4 viii. x2 + 2xy2 2.3 División de expresiones algebraicas 71 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. x + 2y 2. a) −2m2n2 + mm − 3 b) 10r2 + 2r − 7 c). x2 − 2x + 3 d) Cociente: x3 + xy2 + 6y3; residuo −30xy5 + 15y6 e) Cociente: r2 − 2rs + 5s2; residuo: −4s4 − 4rs2 − 8rs3 3. a) Cociente: m2 − 3m + 3; residuo: 22 b) Cociente: 5r2 − 5r; residuo: 20 c) Cociente: a3 + 3a2 − 16a + 24.; residuo: −46 d) Cociente: 5n5 − 4n4 + 11n3 − 19n2 + 21n − 16.; residuo: 19 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. d) b) c) d) (a, ii), (b, vii), (c, iv), (d, v) 72 Unidad 2: Expresiones algebraicas 2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas La matemática: el inconmovible fundamento de todas las Ciencias y la generosa fuente de beneficios para los asuntos humanos. Isaac Barrow Introducción Pocas tecnologías han disfrutado alguna vez de una celebridad similar a la de una estrella de cine, como la que los superconductores recibieron en la década de 1980. La historia se inicia con la Ley de Ohm, que en teoría eléctrica nos indica que I = V , donde R representa la resistencia (en ohms) del conR ductor, V la diferencia de potencial (en volts) en los terminales del conductor e I la corriente (en amperes) que circula por el conductor. La resistencia de ciertas aleaciones se aproxima a cero conforme la temperatura se acerque al cero absoluto (alrededor de −273° C), en tanto que la aleación se convierte en superconductor de electricidad. Si la tensión V es fija, entonces para dicho superconductor, a medida que R se aproxime a 0, la corriente aumentará sin límite. Los superconductores permiten usar corrientes muy altas en plantas generadoras y motores. También tienen aplicaciones en el transporte terrestre de alta velocidad (trenes levitantes de hasta 500 kph), donde los intensos campos magnéticos producidos por imanes superconductores elevan los trenes, con lo cual se evita la fricción entre las ruedas y la vía; quizá la aplicación más importante de los superconductores se realice en los circuitos para computadoras, en los cuales se produce muy poco calor. La siguiente situación es sólo un esbozo que marca la utilidad del álgebra en la práctica tecnológica: ¿Álgebra en los circuitos eléctricos? La empresa Tecnologías Oxido Metálicas, S.A. (MetOx), se encarga de producir circuitos eléctricos para los cuales es necesario determinar la corriente I(t); tarea del todo simple si, a cierto conocimiento algebraico, se añade la investigación de los ingenieros que han investigado que para determinados circuitos del modelo C520T el voltaje está dado por V (t ) = 2t + 1 2t y la resistencia, por R(t ) = . 3t − 1 5t + 3 73 2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Encontrar los valores de las variables para los cuales una fracción dada no está definida. • Reducir a su mínima expresión una fracción dada. • Multiplicar y dividir fracciones dadas. Dominio de una fracción algebraica Una expresión racional o fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios. Por ejemplo, si A es el dividendo y B es el divisor (no nulo), el cociente A / B es una fracción. Aquí, A recibe el nombre de numerador y B el de denominador; esto es, A ← numerador . B ← denominador x2 − 9 5 Por ejemplo: 2 , y 2 son fracciones algebraicas. x + x−6 8 x+2 Dominio de una fracción algebraica El dominio de una expresión racional es el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida. Puesto que no se puede dividir entre cero, cualquier número que haga el denominador cero no está en el dominio de una fracción algebraica. Considera los siguientes ejemplos: Ejemplos Determina el dominio de las fracciones racionales siguientes: 5 x+2 x x−6 El denominador es cero si x = 0 x = −2 x=6 x = 2 y x = −3 Para ninguna x y = x3 Dominio Toda x tal que x ≠ −2 Toda x tal que x≠6 Toda x tal que Toda x x ≠ 2 y x ≠ −3 Expresiones racionales 1 x Toda x≠0 x2 − 9 x2 + x − 6 x 2 + 16 x2 + x + 4 x 3 − 2 x 2 y + 16 y 2 y − x3 Toda x y y tales que y ≠ x3 74 Unidad 2: Expresiones algebraicas Simplificación de expresiones racionales Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos, o totalmente simplificada, cuando no hay ningún factor común al numerador y al denominador. De acuerdo con el siguiente teorema: El valor de una fracción no varía si el numerador y el denominador se multiplican (o dividen) por una misma cantidad no nula, para ac a c a simplificar expresiones racionales, consideraremos que = * = ; a este proceso bc b c b se le llama cancelación de factores comunes. Ejemplos Ejemplo 1 20 x 4 − 14 x 3 + 2 x 2 10 x 4 − 17 x 3 + 3 x 2 solución Primero factorizamos el numerador y el denominador, luego cancelamos los factores comunes entre ellos: ( ( ) ) 2 2 1 x 2 (5 x − 1)( 4 x − 2) 4 x − 2 20 x 4 − 14 x 3 + 2 x 2 x 20 x − 14 x + 2 si x ≠ 0 y x ≠ = = = 2 4 3 2 2 2 5 10 x − 17 x + 3 x x (5 x − 1)(2 x − 3) 2 x − 3 x 10 x − 17 x + 3 Ejemplo 2 −6 x 3 − x 2 + 2 x −2 x 4 + 7 x 3 − 3 x 2 solución Primero factorizamos el numerador y el denominador, luego cancelamos sus factores comunes: ( ( ) −x 6x2 + x − 2 − x (2 x − 1)(3 x + 2) −6 x 3 − x 2 + 2 x 3 x + 2 si x ≠ 0 y x ≠ 1 = = = 4 3 2 2 2 2 2 −2 x + 7 x − 3 x − x (2 x − 1)( x − 3) x ( x − 3) − x 2 x − 7x + 3 ) Ejemplo 3 5x 4 − 4 x 3 10 x 4 − 23 x 3 + 12 x 2 solución Factorizamos el numerador y el denominador, luego cancelamos los factores comunes: x 3 (5 x − 4 ) x 3 (5 x − 4 ) 5x 4 − 4 x 3 x 4 = = = si x ≠ 0 y x ≠ 10 x 4 − 23 x 3 + 12 x 2 x 2 10 x 2 − 23 x + 12 x 2 (2 x − 3)(5 x − 4) (2 x − 3) 5 ( ) 2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas Multiplicación y división de fracciones algebraicas El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción cuyo numerador y denominador son, respectivamente, el producto de los numeradores y el producto de los denomia c ac nadores de las fracciones dadas. Es decir: × = b d bd El cociente de dos fracciones es igual al producto del dividendo por el recíproco del divisor; esto es: a c a d ad ÷ = × = b d b c bc dividendo De manera equivalente: a b divisor ÷ c d = ad recíproco y a b ÷ c d = ad bc Ejemplos Efectúa la operación indicada y simplifica: Ejemplo 1 7 x 2 y 3a 2 b × 6 ab 2 10 xy 2 solución Multiplicamos los numeradores y los denominadores: 7 x 2 y 3a 2 b 21a 2 bx 2 y × = 2 2 6 ab 10 xy 60 ab 2 xy 2 Para simplificar el resultado, factorizamos el numerador y el denominador, posteriormente eliminamos los factores comunes; resulta: 7 x 2 y 3a 2 b 21a 2 bx 2 y 7ax × = = 2 2 2 2 6 ab 10 xy 60 ab xy 20 by Ejemplo 2 x x −1 × x 2 + 3x − 4 x 2 − x − 6 75 76 Unidad 2: Expresiones algebraicas solución Multiplicamos los numeradores y los denominadores: x x −1 x2 − x × 2 = 2 x + 3x − 4 x − x − 6 x + 3x − 4 x 2 − x − 6 ( 2 )( ) Para simplificar el resultado, factorizamos el numerador y el denominador, finalmente eliminamos los factores comunes; resulta: x ( x − 1) x x −1 x2 − x x × = = = 2 2 2 2 x + 3x − 4 x − x − 6 ( x − 1)( x + 4)( x + 2)( x − 3) ( x + 4)( x + 2)( x − 3) x + 3x − 4 x − x − 6 ( )( ) si x ≠ 1. Ejemplo 3 x 2 − 4 x + 3 x 2 − 5x + 6 ÷ x 2 + 5x + 6 x 2 + x − 6 solución Invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación: x2 − 4x + 3 x2 + x − 6 × x 2 + 5x + 6 x 2 − 5x + 6 Ahora, multiplicamos los numeradores y los denominadores: ( ( )( )( ) ) x2 − 4x + 3 x2 + x − 6 x2 − 4x + 3 x2 + x − 6 × = x 2 + 5x + 6 x 2 − 5x + 6 x 2 + 5x + 6 x 2 − 5x + 6 Finalmente, factorizamos numerador y denominador, con la finalidad de eliminar los factores comunes: ( ( )( )( ) ) )( )( ) ) x2 − 4x + 3 x2 + x − 6 x2 − 4x + 3 x2 + x − 6 ( x − 1)( x − 3)( x − 2)( x + 3) x − 1 = = × = x 2 + 5x + 6 x 2 − 5x + 6 ( x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 2) x + 2 x 2 + 5x + 6 x 2 − 5x + 6 Otra forma de hacer el cociente es: ( ( x2 − 4x + 3 x2 + x − 6 x 2 − 4 x + 3 x 2 − 5x + 6 ( x − 1)( x − 3)( x − 2)( x + 3) x − 1 = = ÷ 2 = 2 2 2 x + 5x + 6 x + x − 6 ( x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 2) x + 2 x + 5x + 6 x − 5x + 6 77 2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas Ejemplo 4 5 x 2 + 12 x + 4 25 x 2 + 20 x + 4 ÷ x 4 − 16 x2 − 2x solución 5 x 2 + 12 x + 4 x2 − 2x × x 4 − 16 25 x 2 + 20 x + 4 Invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación: Multiplicamos los numeradores y los denominadores: ( ( )( ) ) 5 x 2 + 12 x + 4 x 2 − 2 x 5 x 2 + 12 x + 4 x2 − 2x × = x 4 − 16 25 x 2 + 20 x + 4 x 4 − 16 25 x 2 + 20 x + 4 )( Para simplificar el resultado, factorizamos el numerador y el denominador, posteriormente eliminamos los factores comunes; resulta: ( ( )( ) ) 5 x 2 + 12 x + 4 x 2 − 2 x 5 x 2 + 12 x + 4 x2 − 2x x (5 x + 2)( x + 2)( x − 2) = 2 = × = 4 2 4 2 x − 16 25 x + 20 x + 4 ( x + 4)( x − 2)( x + 2)(5 x + 2) 2 x − 16 25 x + 20 x + 4 x 2 ( x + 4)(5 x + 2) )( O bien: ( ( )( ) ) ( 5 x 2 + 12 x + 4 x 2 − 2 x x (5 x + 2)( x + 2)( x − 2) 5 x 2 + 12 x + 4 25 x 2 + 20 x + 4 = 2 ÷ = 2 = 4 2 x 4 − 16 x2 − 2x x − 16 25 x + 20 x + 4 x + 4 ( x − 2)( x + 2)(5 x + 2) (x )( ) x 2 ) + 4 (5 x + 2 ) Ejemplo 5 6 x 2 − 5x − 6 2 x 2 − 3x ÷ x2 − 4 x+2 solución 6 x 2 − 5x − 6 x+2 ; de aquí: × 2 x2 − 4 2 x − 3x 6 x 2 − 5 x − 6 ( x + 2) Invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación: 6 x 2 − 5x − 6 x+2 × 2 = 2 x −4 2 x − 3x ( (x 2 )( ) 2 − 4 2 x − 3x ) Factorizamos y simplificamos: 6 x 2 − 5 x − 6 ( x + 2) (3 x + 2)(2 x − 3)( x + 2) 6 x 2 − 5x − 6 x+2 3x + 2 = = × = x2 − 4 2 x 2 − 3x x ( x − 2)( x + 2)(2 x − 3) x ( x − 2) x 2 − 4 2 x 2 − 3x ( O bien: ( ( )( ) ) ) 6 x 2 − 5 x − 6 ( x + 2) (3 x + 2)(2 x − 3)( x + 2) 6 x 2 − 5x − 6 2 x 2 − 3x 3x + 2 = = ÷ = x2 − 4 x+2 x ( x − 2)( x + 2)(2 x − 3) x ( x − 2) x 2 − 4 2 x 2 − 3x ( )( ) 78 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejercicios y problemas 1. Determina el dominio de las fracciones algebraicas siguientes: a) x−3 x2 + 4x + 3 b) x+y 2 x − 3 xy + y 2 c) a2 − b2 a 2 + 3ab + 2 b 2 d) x −1 x + 2 x + 10 2 2 2. Simplifica las fracciones siguientes: 2 a) 9 x + 6 x − 3 12 x 2 − 12 b) 4 x 3 + 16 x 2 2 x 3 + 6 x 2 − 8x c) x 4 − y4 x + 2 x y − x 2 y 2 − 2 xy 3 d) y3 − 1 y6 − 1 4 3 3. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica: a) 4 x 4 + 32 x 3 + 64 x 2 x2 − 1 × 3 3 2 2 x + 6 x − 8x x + 64 2 2 b) x + 2 x − 3 × x − 3 x − 10 2 x + 4x + 4 x2 − 1 3 2 4 3 2 c) x − x − 6 x ÷ x + 5 x + 4 x 2 2 x +x−2 x + 4x − 5 d) y3 − 1 y2 + y + 1 ÷ y2 − 1 y2 + 2 y + 1 2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Resuelvan el problema de la introducción a esta sección: ¿Álgebra en los circuitos eléc- tricos? La empresa Tecnologías Oxido Metálicas, S.A. (MetOx), se encarga de producir circuitos eléctricos para los cuales es necesario determinar la corriente I(t); tarea del todo simple si, a cierto conocimiento algebraico, se añade la investigación de los ingenieros que han investigado que para determinados circuitos del modelo C520T el voltaje está dado por 2t + 1 2t y la resistencia por R(t ) = . Determinen la corriente I(t). V (t ) = 3t − 1 5t + 3 2. La compañía Tecnologías Genéticas, S.A. ha encontrado que el número de bacterias de una ⎛ 3t 2 + 1⎞ colonia en cualquier tiempo t está dado por n = 10000⎜ 2 ⎟ , donde t es el tiempo. Los ⎝ t +1 ⎠ genetistas desean saber cuál es el número de bacterias en que se estabilizará la colonia; han investigado con diversos especialistas sobre cómo determinar el nivel de estabilización y algunos de ellos les han sugerido hacer el cociente y luego analizar qué sucede a medida que se incremente el tiempo. Completen los detalles descritos por los especialistas. 1. Indica la opción que contiene el dominio de la fracción a) Toda x tal que x ≠ 0 y x ≠ − 2 3 3 x 2 + x − 10 6 x 3 − x 2 − 15 x b) Toda x tal que x ≠ 0 y x ≠ − 5 3 c) Toda x tal que x ≠ 0; x ≠ − 3 2 y x ≠ 5 3 d) Toda x tal que x ≠ 3 5 y x ≠ − 3 2 2. Halla la opción que contiene la simplificación de a) x x −2 b) x−2 3x + 2 2 8 x 3 − 26 x 2 + 15 x 8 x 4 − 42 x 3 + 67 x 2 − 30 x 79 80 Unidad 2: Expresiones algebraicas c) x−5 x2 − x d) 1 x−2 3. Halla la opción que contiene la simplificación de 12 x 3 − 28 x 2 − 5 x 15 x 2 + x − 2 × 4 x 2 − 4 x − 15 18 x 2 − 3 x − 1 a) 3 x2 + 1 2x + 3 b) 5x 2 + 2 x 2x + 3 c) 3x 2 + x 4x + 1 d) 2x − 1 3x + 2 4. Halla la opción que contiene la simplificación de a) 3x − 2 6x − 5 b) 5x − 1 x2 + 4 c) 3x 2 − 2 2x + 1 15 x 2 + 8 x − 12 5 x 2 + x − 6 ÷ 4 3x 3 + 4 x 2 − 4 x x − 4x2 2 d) x − 2 x x −1 5. Indica la opción que representa la solución del siguiente problema. La cantidad total de pulgadas at R(t) de lluvia durante una tormenta de t horas de duración se calcula por R(t ) = , donde t+b a y b son constantes positivas que dependen de la situación geográfica. Además, la intensidad I(t) R(t ) de la lluvia en (pulg/hora) está definida por I (t ) = . Encuentra la intensidad I(t) de la lluvia t para la región del Pacífico, si se sabe que en esa región a = 2 y b = 8. t +8 t 2t b) t +8 a) 81 2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones algebraicas c) 2 t +8 d) 2 t + 8t 2 6. Encuentra, en la columna B, la simplificación que corresponde a la expresión de la columna A. Columna A Columna B a) x4 + 2x3 + x + 2 x 3 + 5x 2 + 8x + 4 i. 3x + 2 x−3 b) 4 x 4 − 8x 3 − 9 x 2 − 8x − 3 2 x 4 − 5x 3 − 5x 2 + 5x + 3 ii. x2 − x + 1 x+2 c) x 4 − 16 2 x 3 − 4 x 2 − 8 x + 16 ÷ 2 x 3 − 4 x 2 + 8 x − 16 4 x 2 − 2 x − 12 iii. 2 x + 3 2x − 4 d) x3 − 8 x3 + 2x2 + 4x ÷ 3 2 x − 3x + 2 x x3 − 1 iv. x2 + x + 1 x2 v. x+3 x+2 vi. 4 x − 3 x Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) b) c) d) Toda x tal que x ≠ −1 y x ≠ −3. Toda x, y tales que x ≠ y y 2x ≠ y. Toda a y b tal que a ≠ −2b y a ≠ −b. Toda x. vii. x +1 x2 + x + 1 viii. 2x2 + x + 1 x2 − 1 82 Unidad 2: Expresiones algebraicas 2. a) 3x − 1 4( x − 1) b) 2x x −1 c) x 2 + y2 x 2 + 2 xy d) 1 y +1 3 3. a) 2 x ( x + 1) x 2 − 4 x + 16 b) ( x − 5)( x + 3) ( x + 2)( x + 1) c) ( x + 5)( x − 3) x ( x + 1)( x + 4) d) y + 1 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. c) d) b) d) c) (a, ii), (b, viii), (c, iii), (d, iv) 83 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas No es necesario introducirse mucho en los rompecabezas de problemas que conduzcan a ecuaciones simples, para convencerse de la utilidad del simbolismo algebraico. Cada símbolo distinto acude, como una mano amiga, para ayudar a desenredar la maleza. Herbert Westren Turnbull Introducción n Aun cuando los fenómenos electrostáticos fundamentales eran conocidos en la época de Charles Coulomb (1736-1806), todavía no se conocía la proporción en la que esas fuerzas de atracción y repulsión variaban. Fue este físico francés quien, tras poner a punto un método de medida de fuerzas sensibles a pequeñas magnitudes, lo aplicó al estudio de las interacciones entre pequeñas esferas dotadas de carga eléctrica. El resultado final de la investigación experimental fue la ley que lleva su nombre y describe las características de las fuerzas de interacción entre cuerpos cargados. La utilidad del lenguaje algebraico es palpable en diversas áreas de las ciencias puras y aplicadas. Como caso sencillo, baste decir por el momento que el álgebra ha logrado describir, con unos cuantos símbolos, lo que de otra manera, esto es, con el lenguaje coloquial, abarcaría una extensión considerable. El caso de la ley de Coulomb en español se expresa así: La ley de Coulomb Cuando se consideran dos cuerpos cargados (supuestos puntuales), la intensidad de la fuerza atractiva o repulsiva que ejercen entre sí es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, dependiendo además dicha fuerza de la naturaleza del medio que les rodea. En la sección de problemas, te pediremos que discutas con tu equipo cómo la misma ley puede expresarse de una manera muy concisa en lenguaje algebraico. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Encontrar el mínimo común denominador de una suma o una resta de fracciones dadas. • Sumar o restar fracciones dadas. • Reducir a su mínima expresión una fracción compleja dada. 84 Unidad 2: Expresiones algebraicas Mínimo común denominador de una suma o resta de fracciones Un polinomio que es divisible exactamente entre otro se llama un múltiplo de este último. Un polinomio que es múltiplo de dos o más polinomios se conoce como múltiplo común de estos polinomios. El múltiplo común de dos o más polinomios, con el menor grado posible, se llama mínimo común múltiplo de dichos polinomios, al que se generalmente se le designa con la abreviatura M.C.M. El mínimo común múltiplo de una suma o una resta de fracciones es igual al producto de todos los factores de los diferentes polinomios de los denominadores, tomando cada factor con el máximo exponente que aparezca. Ejemplos Ejemplo 1 Encuentra el M.C.M. de x2 − y2, x2 − 2xy + y2, x3 − y3. solución Primero escribimos cada polinomio en forma factorizada: x 2 − y 2 = ( x − y)( x + y) x 2 − 2 xy + y 2 = ( x − y) 2 ( x 3 − y 3 = ( x − y) x 2 + xy + y 2 ) ( ) Los factores diferentes son ( x + y), ( x − y) y x 2 + xy + y 2 . El mayor exponente de ( x − y) es 2 y el de los otros factores es 1. Por lo tanto, ( M.C.M. = ( x − y) ( x + y) x 2 + xy + y 2 2 Nota: Generalmente conviene conservar el M.C.M. en su forma factorizada. Ejemplo 2 Encuentra el M.C.M. de x3 − 27, x2 − 6x + 9, x2 − 9, 2x2 − 3x − 9. solución Primero escribimos cada polinomio en forma factorizada: ( x 3 − 27 = ( x − 3) x 2 + 3 x + 9 ) ) 85 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3) 2 x 2 − 3 x − 9 = ( x − 3)(2 x + 3) Los factores diferentes son (x − 3), (x + 3), (2x + 3) y (x2 + 3x + 9). El mayor exponente de (x − 3) es 2 y el de los otros factores es 1. Por lo tanto, M.C.M. = (x − 3)2 (x + 3)(2x + 3)(x2 + 3x + 9) Ejemplo 3 Encuentra el M.C.M. de x3 − 2x2 − 3x, x2 + x − 2, x3 − x2 − 6x. solución Primero escribimos cada polinomio en forma factorizada: x3 − 2x2 − 3x = x(x − 3)(x + 1) x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2) x3 − x2 − 6x = x(x − 3)(x + 2) Los factores diferentes son x, (x − 1), (x + 1), (x + 2) y (x − 3). Todos los factores tienen como exponente 1. Por lo tanto, M.C.M. = x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3) Ejemplo 4 Encuentra el M.C.M. de los denominadores de: x 3 2x + 2 − 2 . x − 1 x − 2x + 1 x − 1 3 solución Primero tenemos que buscar el M.C.M de x3 − 1, x2 − 2x + 1, x2 − 1; para ello escribimos cada polinomio en forma factorizada. x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 x2 − 1 = (x − 1)(x + 1). Los factores diferentes son (x + 1), (x − 1) y (x2 + x + 1). El mayor exponente de (x − 1) es 2 y el de los otros factores es 1. Por lo tanto, M.C.M. = (x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1) 86 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejemplo 5 Encuentra el menor denominador común (M.C.M. de los denominadores) de: 1 x 2 + + x 3 − 2 x 2 − 3x x 2 + x − 2 x 3 − x 2 − 6 x solución De acuerdo con el ejemplo 3, el M.C.M. = x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3). Luego, el menor denominador común es x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3) Suma y resta de fracciones Si dos fracciones tienen denominador común, entonces su suma o diferencia se obtiene como: a b a±b ± = m m m Este método puede utilizarse para obtener la suma algebraica de tres o más fracciones que tengan un denominador común. Si dos o más fracciones no tienen un denominador común, entonces pueden ser transformadas en otras fracciones equivalentes que sí lo tengan, lo cual permite operar como en el caso anterior. Así, si b y d son diferentes; entonces, a c ad bc ad ± bc ± = ± = b d bd bd bd Al transformar dos o más fracciones dadas en fracciones equivalentes con denominador común, conviene usar su menor denominador común; esto es el M.C.M. (mínimo común múltiplo) de los denominadores. Ejemplos Calcula las sumas algebraicas de fracciones: Ejemplo 1 Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado tanto como sea posible: 2x 1 1− x − + x 2 − 4 x − 2 x 2 + 3x + 2 87 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas solución 2x 1 1− x ; para ello, debemos obtener el − + 2 x − 4 x − 2 x + 3x + 2 M.C.M. de x2 − 4, x − 2. x2 +3x +2. Escribimos cada polinomio de manera factorizada: Encontramos el denominador común de 2 x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) x − 2 = (x − 2) 2 x + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) Los factores diferentes son (x − 2), (x + 1) y (x + 2). Todos los factores tienen como exponente 1. Por lo tanto, el M.C.M. = (x − 2)(x + 1)(x + 2), expresión que es el menor denominador común. Ahora, transformamos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el menor denominador común: 2 x ( x + 1) 2x 2x 2x2 + 2x = = = x 2 − 4 ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2)( x + 1) ( x − 2)( x + 2)( x + 1) 1( x + 1)( x + 2) 1 x 2 + 3x + 2 = = x − 2 ( x − 2)( x + 2)( x + 1) ( x − 2)( x + 2)( x + 1) 1− x 1− x − x 2 + 3x − 2 (1 − x )( x − 2) = = = x 2 + 3 x + 2 ( x + 2)( x + 1) ( x − 2)( x + 2)( x + 1) ( x − 2)( x + 2)( x + 1) En consecuencia, la suma de fracciones queda como: ( ) ( ) ( ) 2 x 2 + 2 x − x 2 + 3x + 2 + − x 2 + 3x − 2 2x 1 1− x 2x − 4 − + = = x 2 − 4 x − 2 x 2 + 3x + 2 x − 2 x + 2 x + 1 x 2 − ( )( )( ) ( )( x + 2)( x + 1) = 2( x − 2 ) 2 2 = = ( x − 2)( x + 2)( x + 1) ( x + 2)( x + 1) x 2 + 3x + 2 Una vez teniendo el menor denominador común, es posible operar de otra manera: 2 x ( x + 1) − 1( x + 1)( x + 2) + (1 − x )( x − 2) 2x 1 1− x − + 2 = x − 4 x − 2 x + 3x + 2 ( x − 2)( x + 2)( x + 1) 2 = = (2 x 2 ) ( ) ( + 2 x − x 2 + 3x + 2 + − x 2 + 3x − 2 ( x − 2)( x + 2)( x + 1) )= 2x − 4 ( x − 2)( x + 2)( x + 1) 2( x − 2 ) 2 2 = = 2 − + + + 2 2 1 + 2 1 + 3 x x x x x x x+2 ( )( )( ) ( )( ) Ejemplo 2 Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado tanto como sea posible: x 3 2x + 2 − 2 x − 1 x − 2x + 1 x − 1 3 88 Unidad 2: Expresiones algebraicas solución En el ejemplo 4 de la sección anterior, encontramos que el menor denominador común es (x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1). Transformamos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el menor denominador común: x ( x − 1)( x + 1) x x x3 − x = = = x 3 − 1 ( x − 1) x 2 + x + 1 ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 ( ) ( ( ) ) ( ) 3( x + 1) x 2 + x + 1 3 3 3x 3 + 6 x 2 + 6 x + 3 = = = x 2 − 2 x + 1 ( x − 1)2 ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 ( ( ) ) ( ) 2 x ( x − 1) x 2 + x + 1 2x 2x 2x4 − 2x = = = x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 ( ) ( ) Luego, la suma de fracciones queda como: ( ) ( ) ( ) ) x 3 − x + 3x 3 + 6 x 2 + 6 x + 3 − 2 x 4 − 2 x x 3 2x −2 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 3 = + − = x3 − 1 x2 − 2x + 1 x2 − 1 ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 ( ( ) Otra forma de hacer la suma algebraica es: ( ) ( ) x ( x − 1)( x + 1) + 3( x + 1) x 2 + x + 1 − 2 x ( x − 1) x 2 + x + 1 x 3 2x + − = x3 − 1 x2 − 2x + 1 x2 − 1 ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 = = (x 3 ) ( ( ) ( ( x − 1) ( x + 1)( x + x + 1) − x + 3x 3 + 6 x 2 + 6 x + 3 − 2 x 4 − 2 x 2 2 ) ) −2 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 3 ( x − 1)2 ( x + 1) x 2 + x + 1 ( ) Ejemplo 3 Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado tanto como sea posible: 1 x 2 + + x 3 − 2 x 2 − 3x x 2 + x − 2 x 3 − x 2 − 6 x solución En el ejemplo 5 de la sección anterior, encontramos que el menor denominador común es x(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3). Transformamos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el menor denominador común: 1( x − 1)( x + 2) 1 1 x2 + x − 2 = = = x 3 − 2 x 2 − 3 x x ( x − 3)( x + 1) x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) 89 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas x ( x )( x − 3)( x + 1) x x x 4 − 2 x 3 − 3x 2 = = = x 2 + x − 2 ( x − 1)( x + 2) x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) 2( x − 1)( x + 1) 2 2 2x2 − 2 = = = 2 x − x − 6 x x ( x − 3)( x + 2) x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) 3 Luego, la suma de fracciones queda como: ( ) ( ) ( x 2 + x − 2 + x 4 − 2 x 3 − 3x 2 + 2 x 2 − 2 1 2 x + + = x 3 − 2 x 2 − 3x x 2 + x − 2 x 3 − x 2 − 6 x x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) = ) x4 − 2x3 + x − 4 x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) O bien, sumando directamente: 1( x − 1)( x + 2) + x ( x )( x − 3)( x + 1) + 2( x − 1)( x + 1) 1 x 2 + 2 + 3 = 2 2 x − 2 x − 3x x + x − 2 x − x − 6 x x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) 3 = (x 2 ) ( ) ( + x − 2 + x 4 − 2 x 3 − 3x 2 + 2 x 2 − 2 x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) 4 x − 2x3 + x − 4 = x ( x − 3)( x + 1)( x − 1)( x + 2) Fracciones complejas Una fracción compleja es aquella que contiene una o más fracciones, ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Para reducir a su mínima expresión una fracción compleja dada, se pueden usar dos métodos: • Transformar el numerador y el denominador en fracciones simples (en caso de ser necesario); luego, proceder como en la división. O bien: • Obtener una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones. ) 90 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejemplos Reduce las siguientes fracciones a su mínima expresión: Ejemplo 1 Reduce a su mínima expresión la siguiente fracción compleja: x x − x−y x+y y x + x−y x+y solución Usamos el primer método: Reducimos el numerador y el denominador en fracciones simples: x ( x + y) − x ( x − y) x 2 + xy − x 2 + xy 2 xy x x − ( x − y)( x + y) = ( x − y)( x + y) = ( x − y)( x + y) x−y x+y = y x y x + y) + x ( x − y) xy + y 2 + x 2 − xy y2 + x 2 ( + x−y x+y ( x − y)( x + y) ( x − y)( x + y) ( x − y)( x + y) Si dividimos ahora el numerador entre el denominador y simplificamos, tenemos: 2 xy y2 + x 2 2 xy( x − y)( x + y) 2 xy ÷ = = 2 2 2 x − y x + y x y x + y − ( )( ) ( )( ) ( x − y)( x + y) x + y x + y2 ( ) ( ) Con el segundo método: Multiplicamos el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones, que en este caso es (x − y)(x + y): ⎛ x x ⎞ x x − − ⎜ ⎟ ( x − y)( x + y) x ( x + y) − x ( x − y) x 2 + xy − x 2 + xy 2xy xy x − y x + y ⎝ x − y x + y⎠ = = = = 2 2 2 y x y( x + y) + x ( x − y) xy + y + x − xy x + y 2 ⎛ y x ⎞ + x y x y + + − ( ) ( ) ⎜ ⎟ x − y x + y ⎝ x − y x + y⎠ Ejemplo 2 Reduce a su mínima expresión la siguiente fracción compleja: 2 x −1 + x −1 x +1 x +1 1+ x −1 91 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas solución Primer método: Reducimos el numerador y el denominador en fracciones simples: 2 x2 + 3 2 x − 1 2( x + 1) + ( x − 1)( x − 1) 2 x + 2 + x − 2 x + 1 + ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x −1 x +1 = = = x +1 x −1+ x +1 2x 1( x − 1) + ( x + 1) 1+ x −1 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) Dividimos el numerador entre el denominador, y simplificamos: ( ) ( ) x 2 + 3 ( x − 1) x2 + 3 x2 + 3 2x ÷ = = ( x − 1)( x + 1) ( x − 1) 2 x( x − 1)( x + 1) 2 x( x + 1) Segundo método: Multiplicamos el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones, que en este caso es (x − 1)(x + 1): x − 1⎞ 2 x −1 ⎛ 2 + ( x − 1)( x + 1) + ⎝ 2( x + 1) + ( x − 1)( x − 1) 2x + 2 + x2 − 2x + 1 x − x + 1⎠ 1 x −1 x +1 = = = 2 x +1 ⎛1 + x + 1⎞ x − 1 x + 1 ( x − 1)( x + 1) + ( x + 1)( x + 1) x − 1 + x 2 + 2 x + 1 1+ ( ) ( ) ⎝ x −1 x − 1⎠ x2 + 3 x2 + 3 = 2 = 2 x + 2 x 2 x ( x + 1) ( ) Ejemplo 3 Reduce a su mínima expresión la siguiente fracción compleja: 1 ( x + h)2 − 1 x2 h solución Primer método: Reducimos el numerador y el denominador en fracciones simples: 2 x 2 − ( x + h) h( −2 x − h) 1 1 −2 xh − h 2 x 2 − x 2 − 2 xh − h 2 2 − 2 2 2 2 2 2 2 2 x + + x h + x x h x x h x x h + x 2 ( x + h) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = h h h h h Dividimos el numerador entre el denominador: h( −2 x − h) h( −2 x − h) (−2 x − h) 2 ÷h = 2 = 2 2 2 x ( x + h) hx ( x + h) x 2 ( x + h) 92 Unidad 2: Expresiones algebraicas Segundo método: Multiplicamos el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones que en este caso es (x + h)2x2: ⎛ 1 1⎞ 2 1 1 2 ⎜ + 2 − x 2 ⎟ x ( x + h) 2 − 2 x h ( ) ⎝ ⎠ ( x + h) x = 2 h hx 2 ( x + h) 2 = x 2 − ( x + h) x 2 − x 2 − 2 xh − h 2 2 = 2 2 hx ( x + h) hx 2 ( x + h) = h( −2 x − h) (−2 x − h) 2 = 2 2 hx ( x + h) x 2 ( x + h) Ejemplo 4 Reduce a su mínima expresión la siguiente fracción compleja: 1 x+ 1 1+ x 1+ 1− x solución En este ejemplo sólo usaremos el primer método. Reducimos los denominadores en fracciones simples y simplificamos cada fracción: 1 1 x+ 1+ x 1+ 1− x = = = 1 x+ 1 1(1 − x ) + (1 + x ) 1− x 1 1 x+ 2 1− x = 1 1− x x+ 2 1 1 2 = = x (2) + (1 − x ) x + 1 x + 1 2 2 93 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas Ejercicios y problemas 1. Indica la manera de obtener el menor denominador común de una suma o una resta de fracciones. 2. Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado: a) 3 x x −1 − + 2 x 2 − 11x + 15 2 x 2 − 9 x + 10 x 2 − 5 x + 6 b) 2 1 3 − + 2 x 2 − 3 x + 1 2 x 2 − 7 x + 5 4 x 2 − 12 x + 5 c) x−2 5x − 2 3x − 1 + − 2 x 2 − 5 x + 2 5 x 2 − 12 x + 4 6 x 2 − 5 x + 1 3. Reduce a su mínima expresión las fracciones complejas siguientes: 1 1 − x +1 x a) 1 1− x 2+ x −1 1 1 3 − 3 x b) ( x + h) h x 4 − 1− x x −1 1 1 c) + x+2 4− x−3 x −1 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Escriban en lenguaje matemático la Ley de Coulomb, enunciada en la introducción de esta sección de la siguiente manera: Cuando se consideran dos cuerpos cargados (supuestos puntuales), la intensidad de la fuerza atractiva o repulsiva que ejercen entre sí es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, dependiendo además dicha fuerza de la naturaleza del medio que les rodea. 94 Unidad 2: Expresiones algebraicas Posteriormente proporciona la posición en que la fuerza neta es cero para una partícula de carga −1, que está dada en una recta de coordenada en x = −2. Si una partícula de carga +1 está en la posición x entre −2 y 2: 2. Adolphe Quetelet (1796-1874), director del Observatorio de Bruselas de 1832 a 1874, fue el primero que intentó ajustar una expresión matemática a los datos del crecimiento humano. La fórmula de Quetelet para personas de sexo masculino de Bruselas se puede expresar como: h+ h +t h = at + 0 4 hM − h 1+ t 3 donde h0 es la estatura de nacimiento, hM es la estatura final de un adulto, t es su edad en años y a es una constante. a) Determina si la fórmula funciona para personas nacidas en México: para ello, investiga los datos de h0 y hM, considera diversos valores de a para 0.5 < a < 0.6, y realiza una tabla con todos los valores posibles de t. b) Compara los resultados obtenidos en el punto anterior con datos reales de la población mexicana. c) ¿A qué edad se alcanza 90%, 70% y 50% de la estatura de la edad adulta? 3. La empresa Tecnologías Óxido Metálicas, S.A. (MetOx), se encarga de producir circuitos eléctricos. En los circuitos C728T, el voltaje de salida está definido por: ⎛ RXi ⎞ Vsalida = Ientrada ⎜ − ⎟ ⎝ R − Xi ⎠ donde: y ⎛V ⎞ Ientrada = ⎜ entrada ⎟ ⎝ Zentrada ⎠ ⎛ R 2 − X 2 − 3 RXi ⎞ Zentrada = ⎜ ⎟ R − Xi ⎝ ⎠ Los ingenieros necesitan determinar una fórmula para Vsalida en términos de Ventrada; para ello, les han sugerido considerar que R sea igual a X. Completen los detalles requeridos para obtener la citada fórmula. 95 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 1. Indica la opción que contiene la solución: a) x−2 x 3 − 2 x 2 − 5 x + 12 b) 7x − 3 x − 3x − 2 c) 3x − 7 x 3 − 5x 2 + 7x − 1 d) 27 − 32 x 10 x − 59 x 2 + 47 x − 10 5 2 3 + − −2 x 2 + 11x − 5 −5 x 2 + 27 x − 10 10 x 2 − 9 x + 2 2 3 x 1 − x −1 x +1 2 2. Halla la opción que contiene la simplificación: 3− 2x 1− x +1 x2 + 1 a) 5x 2 + 4 x − 1 b) x −1 x − 2x c) x2 − 1 3x 2 + 2 x d) x2 + 2x −5 + 4 x 2 3. Indica la opción que representa la solución al siguiente problema: La fórmula de contracción de Lorentz, en teoría de la relatividad, relaciona la longitud L de un objeto que se mueve a una velocidad de v m/s, con respecto a su observador, con su longitud L0 en reposo. Si c es la ⎛ v2 ⎞ 1 velocidad de la luz, entonces L 2 = L 20 ⎜1 − 2 ⎟ . ¿Para qué velocidades L = L0 ? Escribe tu c ⎝ ⎠ 2 respuesta en términos de c: a) 3 c 2 b) 3 c 2 96 Unidad 2: Expresiones algebraicas c) 3 c 4 d) 2 c 3 4. Indica la opción que representa la solución al siguiente problema: Cuando dos resistores R1 y R2 se conectan en paralelo, la resistencia neta R está dada por 1 = 1 + 1 . Si R 1 =10 ohms . ¿Qué valor de R hará que la resistencia neta sea de 2 ohms? R R1 R2 2 a) 2 5 b) 5 4 c) 5 2 d) 4 5 5. Encuentra, en la columna B, las simplificaciones de las expresiones que aparecen en la columna A: Columna A Columna B x2 − 1 x−2 1 + − a) x − 4 x + 3 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 3 x 2 − 1 2 x 2 5 − + b) 2 x 2 − 3 x + 1 2 x 2 + x − 1 x 2 − 1 4 3 − x x−3 c) 2 5− 1 2− x+4 3 4− x−5 d) 5 3− 8 2− x−2 x 4 − 2 x 2 + 3x − 4 i. ( x − 1)2 x 2 − 2 x − 3 ( x3 ii. x − 2 8 x 2 − 94 x + 276 iii. x 2 − 31x + 130 2 x 2 − 17 x − 84 iv. 8 x 3 + 3 x 2 − 81x v. x 2 − 84 x + 76 x 2 − 131x + 30 x 2 + 9x − 3 vi. 2 x 3 − x 2 − 2 x + 1 x2 + x − 3 vii. x + x 2 + x + 1 3 x 2 − 7x − 8 viii. x 3 + 3 x 2 − 18 x ) 2.5 Suma y resta de fracciones algebraicas 97 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. El menor denominador común de una suma o un resta de fracciones es igual al producto de todos los factores de los diferentes polinomios de los denominadores, tomando cada factor con el máximo exponente que aparezca. 2. a) −x2 + x + 1 −2 x + 15 x 2 − 37 x + 30 b) 12 − 5 x 5 − 17 x + 16 x 2 − 4 x 3 c) 1 x−2 a) 2 − 3x −x + x2 + 2x3 3 3. 2 2 b) −3 x − 3 xh −3 h x 3 ( x + h) c) − (3x − 1)( x + 4)( x + 2) x 3 + 3x 2 − 7 x + 3 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. d 2. a 3. b 3. c 4. (a, i), (b, vi), (c, iv), (d, iii) 98 Unidad 2: Expresiones algebraicas 2.6 Exponentes enteros El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide. Jean D’Alambert Introducción n El álgebra se vale de símbolos y convenciones para representar cantidades y operaciones con éstas. La evolución de la ciencia matemática, en general, y del álgebra, en particular, no dejan duda respecto de que el simbolismo ha sido uno de los principales promotores del desarrollo de la misma. Gracias al simbolismo, el matemático o el usuario de tal ciencia llega a escribir expresiones largas de manera compacta, para que el ojo perciba al instante y la mente retenga lo que se dice. Parte de este simbolismo corresponde al tema de exponentes, con los cuales analizaremos aplicaciones vinculadas a asuntos tales como los sistemas de numeración y la notación científica, tan útil al hablar de cantidades muy grandes o muy pequeñas. Cabe señalar que la actual notación para exponentes se remonta apenas al siglo XVI, con Francois Vieta, quien logró la liberación de la aritmética y el álgebra por medio de la notación algebraica. Te presentamos una situación real (que podrás consultar en la dirección electrónica indicada) donde el uso de exponentes es insoslayable. La demanda de la señora Celia Reyes Lujano (Fuente: http://www.esmas.com/noticierostelevisa/mexico/371812.html) “CIUDAD DE MÉXICO, México, jun. 17, 2004.- Celia Reyes Lujano abrió, hace 16 años, dos cuentas en el Banco del Atlántico. Una por 5 millones de viejos pesos, con un interés anual del 124%, la otra por $54,072,400.00, también de viejos pesos, con un rendimiento del 149%. Sus inversiones tenían una cláusula de renovación automática, con reinversión de intereses. En 1998, la señora Celia Reyes decidió retirar su dinero, más los intereses generados. El banco no aceptó pagar la cantidad exigida por su cliente. La señora Reyes inició una demanda mercantil. En el 2001, después de un largo proceso, un juez determinó que el Banco del Atlántico debía pagar. El contrato estipula un interés de más del 100% anual. El apoderado legal de la señora Reyes estimó que la suma podría alcanzar los 450 mil millones de pesos, cantidad que supera por mucho el valor del banco. 99 2.6 Exponentes enteros Los abogados del Banco del Atlántico aseguraron que la cantidad a pagar no supera los dos millones de pesos. Javier Sáinz, abogado del Banco del Atlántico, expresó: Es absurdo que a la señora la estén engañando con la idea de que con cerca de 60 mil nuevos pesos, ahora ella tenga derecho a 45 mil millones de pesos, digo, ni el Banco de México los tiene en sus arcas. Desde 1998, la demanda ha recorrido todas las instancias; entre ellas, tres diferentes juicios de amparo que promovió el banco. Actualmente un juez de primera instancia analiza un incidente de liquidación, en el que se pide se liquide a la señora el monto actualizado del capital e intereses de su inversión. El caso aún llevará tiempo; ambas partes en el conflicto pueden apelar la decisión del juez y, posteriormente, buscar un amparo”. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Dar significado a las potencias de una variable cuando el exponente sea un número entero. • Reconocer las leyes que rigen las transformaciones algebraicas con exponentes enteros. • Aplicar tus conocimientos a diferentes contextos donde es imprescindible el uso de potencias con exponentes enteros. Exponentes enteros Desde la antigüedad, los números han formado parte de la vida del hombre; en sus inicios, con fines utilitarios para realizar trueques y actividades diversas vinculadas, principalmente, con la agricultura y la astronomía. Más tarde, en la medida en que el conocimiento humano fue evolucionando y haciéndose más complejo, la matemática llamó la atención por la belleza de sus estructuras. La figura 2.8 era llamada por los griegos gnomon (escuadra) y la utilizaban para la construcción de los números cuadrados. Los griegos descubrieron que si sumaban en forma consecutiva los números impares, obtendrían siempre números cuadrados; esto es: 1 = 1⋅1 1 + 3 = 4 = 2⋅2 1 + 3 + 5 = 9 = 3⋅3 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4⋅4 … Figura 2.8 Es posible que el descubridor de esta ley (tal vez Pitágoras) se haya inspirado en la figura gnomon para hacerla evidente. Observa que cada número cuadrado surge al añadir, al número anterior, un grupo de puntos en la forma de L. Por ejemplo, 4 se construye al agregar 100 Unidad 2: Expresiones algebraicas el grupo de tres puntos en forma de L al punto inicial. El siguiente número cuadrado, el 9, sale al aumentar al número cuadrado 4 el siguiente grupo de cinco puntos en forma de L, y así sucesivamente. Figura 2.9 Uno de los ejemplos más sencillos de la comodidad del simbolismo algebraico está en los exponentes. Con ello, las igualdades anteriores pueden ser escritas de la siguiente manera: 1 = 1⋅1 = 12 1 + 3 = 4 = 2⋅2 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 3⋅3 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4⋅4 = 42 … En la expresión 32 = 9, por ejemplo, el número 2 es el exponente, el 3 es la base y el 9 se conoce como una potencia del número 3. El exponente se coloca arriba y a la derecha de la base para indicar que la cantidad a la que se aplica, 3 en este caso, se multiplicará por sí misma dos veces. Por supuesto que esta idea puede extenderse; así, 35 indicaría que el 3 se multiplicaría por sí mismo cinco veces; esto es, 35 = 3⋅3⋅3⋅3⋅3 De manera general, an con n, un entero positivo, indica que a se multiplica por sí mismo n veces. Pero los exponentes son más útiles que esto; por ejemplo, si deseamos multipli⎛ ⎞⎛ ⎞ n m n+m ⋅ a ⋅ a ⋅ a car a ⋅ a a⎟ ⎜ a a⎟ = a ⋅ a = a . a , entonces tendríamos: ⎜ a a por a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n veces m veces m veces n veces n + m veces En general, si m y n son números enteros positivos, a ⋅ a m = an+m (i). 3⋅3⋅3⋅3⋅3 Supongamos ahora que deseamos expresar con exponentes; para ello, 3⋅3⋅3⋅3 35 escribiríamos 4 . Además, si quisiéramos calcular el valor de la expresión original, 3 n 101 2.6 Exponentes enteros tendríamos que suprimir del numerador y denominador cuatro veces el número 3, así que obtendríamos: 3 = 31 = 35 − 4 1 Es decir, llegamos al mismo resultado si al 5 le restamos 4. Esta resta nos indica el número de factores que quedan después de la simplificación. En términos generales, si m y n son enteros positivos, y si m es mayor que n, entonces am = a m−n an (ii). Pero también llega a darse el caso en el que nos encontremos con una expresión como la siguiente: 3⋅3⋅3⋅3 ; 3⋅3⋅3⋅3⋅3 4 con exponentes escribiríamos: 35 . En esta ocasión, al suprimir los factores del nume3 1 1 rador y el denominador, reduciríamos la expresión a = 1 . Expuesto de manera gene3 3 ral, si m y n son enteros positivos, y si n es mayor que m, entonces: am 1 = n− m (iii). n a a Analicemos ahora qué ocurre con una expresión como cribiríamos 3⋅3⋅3⋅3⋅3 . Con exponentes es3⋅3⋅3⋅3⋅3 35 . Si como en los casos anteriores restáramos los exponentes, tendríamos: 35 35 = 3 5− 5 = 3 0 35 Con la finalidad de extender lo que ya hemos descubierto sobre exponentes, será pre5 ciso convenir un significado para una expresión como 30. Sabemos que 30 = 35 = 1 ; 3 luego, parece que lo más natural sería establecer de manera general que si a ≠ 0, entonces a0 = 1. Todavía se puede decir más: supongamos que en un cálculo hallamos una expresión como 35 ⋅ 35 ⋅ 35 ⋅ 35 De acuerdo con lo que se ha señalado, 35 ⋅ 35 ⋅ 35 ⋅ 35 = (35)4. Pero también, 35 ⋅ 35 ⋅ 35 ⋅ 35 = (3 3) ⋅ (3 3) ⋅ (3 3) ⋅ (3 3) = 3 3 = 35( 4 ) 20 veces 5 veces 5 veces 5 veces 5 veces 4 veces 102 Unidad 2: Expresiones algebraicas Este ejemplo es esencia de otra ley de exponentes: si m y n son enteros positivos, entonces (am)n = amn (iv). Hay otro resultado sobre exponentes de gran utilidad. Supongamos que tenemos una expresión como 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3, es decir: 24 ⋅ 3 4. Como el orden en el que aparecen los factores no importa, es correcto escribir 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) = (2 ⋅ 3)4. Este hecho significa que, si m es un entero positivo, entonces: (ab)m = am bm (v). Aunque no lo mostraremos, cabe la aclaración de que una ley similar a la (v) en el producto se cumple para el cociente; esto es: m m ⎛ a ⎞ = a (vi). ⎝ b⎠ bm Ahora, extendemos el trabajo precedente a cualquier exponente entero, sea positivo o negativo. Lo único que requerimos es darle significado a una expresión como am, con m negativo; los casos m = 0 y m entero positivo han sido discutidos ya. El significado que buscamos es muy sencillo, ya que si a ≠ 0 y m < 0, entonces: am = (a−1)−m, de acuerdo con (iv), donde −m es un entero positivo; de aquí: a m = ⎛ 1 ⎞ ⎝ a⎠ −m . A partir de esto puede deducirse que las leyes (i)-(vi) son váli- das también para números enteros cualesquiera. Es conveniente notar también que: 1 am = ⎛ ⎞ ⎝ a⎠ −m = 1− m 1 = − m , (vii); −m a a así, un factor del numerador (denominador) puede llevarse al denominador (numerador) cambiando el signo de su exponente. Te presentamos en síntesis los resultados que se han discutido hasta aquí: Leyes de exponentes En lo que sigue, suponemos que m y n son números enteros, y que a y b son números reales positivos arbitrarios, entonces: a) am an = am + n d) (am)n = amn m b) a n = a m−n = n1− m a a e) ambm = (ab)m c) a0 = 1; a ≠0 m m f) ⎛ a ⎞ = a ⎝ b⎠ bm g) a m = 1 a−m 103 2.6 Exponentes enteros Ejemplos Ejemplo 1 Distribuye y usa las leyes de los exponentes en la siguiente expresión para transformarla en otra equivalente que contenga sólo exponentes positivos: (− xy ) ( x 3 −2 2 − y −3 ) solución (− xy ) ( x 3 −2 2 ) ( ) − y −3 = ( −1) − 2 x −2 y 3 −2 ( x 2 − y − 3 ); usamos e) = x − 2 y − 6 ( x 2 − y − 3 ), por d); además, ( −1) − 2 = 1 ( −1) 2 =1 = x − 2 x 2 y − 6 − x − 2 y − 6 y − 3, se distribuyeron y acomodaron los factores = x 0 y − 6 − x − 2 y − 9, por a) = 1 1 , por c) y g) − y6 x 2 y9 = x 2 y 9−6 − x 2 − 2 y 9−9 x 2 y 3 − 1 , por b) y c). = x 2 y9 x 2 y9 Ejemplo 2 3 8 −5 −2 Escribe la expresión ⎛⎜ a ⋅ c ⋅ b ⋅ d ⎞⎟ ⎝ b3 ⋅ d 4 a 4 ⋅ c 4 ⎠ d, con exponentes positivos. −2 como un cociente (si se requiere) de potencias de a, b, c y solución ⎛ a 3 ⋅ c 8 b −5 ⋅ d −2 ⎞ ⎜ 3 4⋅ 4 4 ⎟ a ⋅c ⎠ ⎝ b ⋅d ⎛ c4 1⎞ = ⎜ 8 6 ⋅ 1⎟ ⎝ b ⋅d a ⎠ −2 −2 , simplificando = c 4( − 2 ) (1) − 2 ⋅ 1( − 2 ) , usando d), e) y f) 6(− 2) b a ⋅d = c−8 1 a 2 ⋅ b16 ⋅ d 12 , por g). ⋅ −2 = −12 b ⋅d a c8 8( − 2 ) −16 −2 ⎛ c 8− 4 1 ⎞ = ⎜ 3−( −5) 4−( −2 ) ⋅ 4−3 ⎟ , de acuerdo con b) ⋅d a ⎠ ⎝b 104 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejemplo 3 Determina la división de a−4 + 2 + 3a−2 entre a−4 − a−2 + 1; escribe tu respuesta usando sólo exponentes positivos. solución Notamos que: a − 4 + 2 + 3a − 2 ⎛ a − 4 + 2 + 3a − 2 ⎞ ⎛ a 4 ⎞ (estamos usando un factor igual a 1; véase sección anterior). =⎜ ⎟⎜ ⎟ a−4 − a−2 + 1 ⎝ a−4 − a−2 + 1 ⎠ ⎝ a4 ⎠ = 2 a 4 + 3a 2 + 1 , se distribuyó y se utilizaron las leyes a) y c) a4 − a2 + 1 Elaborando la división de estos polinomios, determinamos que: a − 4 + 2 + 3a − 2 2 a 4 + 3a 2 + 1 5a 2 − 1 = = 2 + a−4 − a−2 + 1 a4 − a2 + 1 a4 − a2 + 1 Ejemplo 4 Simplifica la siguiente expresión, transformándola en una equivalente que sólo tenga exponentes positivos: x −1 + y −2 x −2 y −2 + x −1 y −2 + xy −1 x −1 y −1 solución Como indicamos en la sección anterior, una estrategia cómoda y rápida para simplificar expresiones de este tipo consiste en determinar los denominadores que sería deseable no tener dentro de los cocientes de los dos términos anteriores. Una vez localizados, tomamos el producto de todos ellos y multiplicamos numerador y denominador por el producto formado. De esta manera, observamos que es conveniente multiplicar el primer término por x y2 y el segundo por x2 y2, luego: x −1 + y −2 x −2 y −2 + x −1 y −2 ⎛ x −1 + y −2 ⎞ ⎛ x y 2 ⎞ ⎛ x −2 y −2 + x −1 y −2 ⎞ ⎛ x 2 y 2 ⎞ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ 2 2 ⎟ ⎟ +⎜ xy −1 x −1 y −1 x −1 y −1 ⎝ xy −1 ⎠ ⎝ x y 2 ⎠ ⎝ ⎠⎝ x y ⎠ = y 2 + x 1 + x , usando las leyes a) y c) + x2 y xy = y 2 + 2 x + x 2 , tomando como M.C.M. a x2 y x2y 105 2.6 Exponentes enteros Ejemplo 5 En las áreas científicas, es común trabajar con números muy grandes o muy pequeños, que se escriben en la forma a × 10n, en donde a es un decimal tal que 1 ≤ a < 10. A esta escritura se le conoce como notación científica. La notación científica permite determinar (sin contar ceros) las magnitudes relativas de números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, uno de los números primos más grandes conocidos es 244497 − 1. Verificar que este número era primo le llevó a una de las computadoras más rápidas del mundo 60 días. La máquina era capaz de realizar 2 × 1011 cálculos por segundo. Usa la notación científica para estimar el número de cálculos requeridos para realizar tal hazaña. solución En 60 días hay 60 × 24 × 3600 = 5.184 × 106 segundos. Si la máquina era capaz de realizar 2 × 1011 cálculos por segundo, entonces el número total de cálculos que realizó fue: (5.184 × 10 )(2 × 10 ) = 1.0368 × 10 6 11 18 cálculos, equivalente al número 10,368 seguido de 14 ceros. Dato curioso: Se sabe que un libro normal de 100 páginas llega a contener aproximadamente 800, 000 dígitos. Para darnos una mejor idea de la magnitud del número hallado en la solución y de las ventajas de la notación científica, imagina que intentamos escribir en un libro los números 1, 2, 3,…, 1.0368 × 1018. Si pudiéramos (y quisiéramos) hacer esto, nos daríamos cuenta que necesitaríamos 1, 296, 000, 000, 000 volúmenes. Ejercicios y problemas 1. Escribe las siguientes expresiones como un cociente (si se requiere) de potencias de a, b, c y d, con exponentes positivos: ( a) a 4 b 3c 5 ) (a 2 −3 b − 4c6 ⎛ b5 ⋅ c6 ⎞ a4 ⋅ b6 ⋅ ⎜ 2 3⎟ ⎝ d ⋅ (2 a ) ⎠ b) d −3 ⋅ c −4 ) −3 106 Unidad 2: Expresiones algebraicas 2. Simplifica las siguientes expresiones y transfórmalas en otras equivalentes que sólo contengan exponentes positivos: ( xy ) −1 − 2 a) x b) x ⎛ x ⎞ ⋅ ⎜ −1 ⎟ ⎝y ⎠ −3 −1 + x − 2 1 + x −1 + x −2 x +1 −2 −1 −2 c) x −−22( xy) + y ⎛ y ⎞ + 2 xy −1 + x 0 ⎝ x⎠ −1 −1 −1 −2 ⎡ −1 ⎤ ⎡ −2 ⎤ d) ⎢ x −1 + y −1 ⎥ ÷ ⎢ y −2 + x −2 ⎥ + x −3 + y −3 ⎣x − y ⎦ ⎣y − x ⎦ ( ) 0 3. Algunos asuntos de astronomía: a) Las distancias cósmicas se miden en años luz, donde un año luz es la distancia que recorre un rayo de luz en un año. Investiga la velocidad de la luz y determina el valor aproximado de un año luz en kilómetros; expresa tu resultado usando notación científica. b) En la actualidad se tiene una buena estimación del número de estrellas que conforman la Vía Láctea. Encuentra este número y exprésalo con notación científica. c) También se conoce una estimación del diámetro de la Vía Láctea; expresa este diámetro en kilómetros usando notación científica. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. La demanda de la señora Celia Reyes Lujano (Fuente: http://www.esmas.com/noticierostelevisa/mexico/371812.html) “CIUDAD DE MÉXICO, México, jun. 17, 2004- Celia Reyes Lujano abrió, hace 16 años, dos cuentas en el Banco del Atlántico. Una por 5 millones de viejos pesos, con un interés anual del 124%, la otra por $54’072, 400.00, también de viejos pesos, con un rendimiento del 149%. Sus inversiones tenían una cláusula de renovación automática con reinversión de intereses. En 1998, la señora Celia Reyes decidió retirar su dinero, más los intereses generados. El banco no aceptó pagar la cantidad exigida por su cliente y entonces la señora Reyes inició una demanda mercantil. En el 2001, después de un largo proceso, un juez determinó que el Banco del Atlántico debía pagar. El contrato estipula un interés de más del 100% anual. El apoderado legal de la señora Reyes estimó que la suma podría alcanzar los 450 mil millones de pesos, cantidad que supera, por mucho, el valor del banco. Los abogados del Banco del Atlántico aseguraron que la cantidad a pagar no supera los dos millones de pesos. Javier Sáinz, abogado del Banco del Atlántico, expresó: ‘Es absurdo que a la señora la estén engañando con la idea de que con cerca de 60 mil nuevos 2.6 Exponentes enteros pesos, ahora ella tenga derecho a 45 mil millones de pesos, ni el Banco de México los tiene en sus arcas’. Desde 1998, la demanda ha recorrido todas las instancias; entre ellas, tres diferentes juicios de amparo que promovió el banco. Actualmente un juez de primera instancia analiza el incidente de liquidación, en el que se pide se liquide a la señora el monto actualizado del capital e intereses de su inversión. El caso aún llevará tiempo; ambas partes en el conflicto pueden apelar la decisión del juez y, posteriormente, buscar un amparo. a) Investiguen y expliquen los conceptos de interés simple y compuesto. Señalen en qué radica su diferencia. b) Den su punto de visto sobre el asunto de la señora Reyes. Investiguen el plazo que se acordó entre la señora y el banco para la capitalización de intereses. Estimen el monto que el banco le debe a la señora Reyes. c) ¿Cuál sería el saldo de la señora Reyes si los vencimientos reales hubieran tenido vencimiento cada siete días? ¿Qué infieren de sus cálculos? d) Investiguen las deudas que por Fobaproa y deuda externa tiene México. Comparen estas cantidades con el monto que demanda la señora Reyes. ¿Qué conclusiones obtienen de tal situación y de todas las preguntas formuladas? e) Den su punto de vista acerca de esta disputa, fundamentado su opinión a partir de sus cálculos. 2. El problema del agricultor El siguiente problema es un “clásico” y se remonta a épocas tan antiguas como lo son las culturas babilónica y egipcia. Una versión del problema del agricultor aparecía descrita en una de las tablillas cuneiformes descubiertas en las cercanías del río Tigris en Sumeria (actualmente Irak), unos 6,000 años atrás. Ni los caldeos ni los egipcios lograron grandes avances en álgebra; no obstante, se apreciará en el citado problema el nivel de su cultura matemática. Adaptada a nuestra cultura y lenguaje, les ofrecemos una versión del problema del agricultor: Un labrador sabe que cada año puede cosechar el triple del grano que haya sembrado en primavera; si siembra un tercio de barril de semilla, entonces recogerá un barril completo de la misma. El sembrador sabe además que requiere para su propio consumo alimenticio un barril anual de semilla. De esta manera, si él sembrara exactamente un tercio de barril en primavera de cierto año, obtendría de su cosecha un barril de grano que utilizaría para su consumo del siguiente año; sin embargo, ya no le quedaría semilla para sembrar. Por lo tanto, el campesino debe sembrar algo más que un tercio de barril de grano, pero ¿cuánto más? De manera más específica, ¿cuánto grano debe sembrar en la primavera para obtener el suministro adecuado de comida para el siguiente año, con suficiente sobrante de grano para sembrar nuevamente? Si respondemos que necesitamos 13 + 19 , entonces obtendríamos en la cosecha un barril para consumo y otro tercio de barril para sembrar; sin embargo, en este caso, ya no tendría grano para sembrar en un siguiente año. Si estas condiciones se mantienen permanentemente, ¿cuánto grano debería sembrar un campesino de 20 años en la primera ocasión para que al momento de su muerte (justo al cumplir 80 años) no falte ni sobre semilla? Discutan el problema y resuélvanlo justificando sus afirmaciones. 3. Trucos usando números Vladimir, un viejo ruso adicto a las apuestas, le decía a un amigo: he pensado un número entero entre 1 y 1000. Adivínalo, haciéndome como máximo 10 preguntas a las que sólo responde- 107 108 Unidad 2: Expresiones algebraicas ré con “sí” o “no”, y yo te daré la mitad de mis bienes si aciertas. Si fallas, tú me darás en efectivo el valor que tengan estos bienes. Si fueras el amigo de Vladimir, ¿aceptarías la apuesta? Para tener una respuesta fundamentada a la pregunta anterior, consideren y discutan la siguiente información: Hay sistemas numéricos posicionales y no posicionales. El ejemplo más conocido de un sistema no posicional es el sistema de los números romanos. En este sistema se tiene una colección determinada de símbolos principales, en tanto que todo número se representa como una combinación de tales símbolos. Por ejemplo, el número 888 se escribe en este sistema como DCCCLXXXVIII. En este caso, el significado de cada símbolo no depende del lugar que ocupa. En la representación del número 888, la cifra X aparece tres veces y siempre vale lo mismo, diez unidades. Pero, si hablamos de nuestro usual sistema decimal, una cantidad como 888 se representa como combinación de potencias de 10, con coeficientes que toman valores del 0 al 9; así: 888 = 8 ⋅ 10 2 + 8 ⋅ 101 + 8 ⋅ 10 0 Decimos que el número 888 está representado en base 10 (decimal). Con no menos éxito, podríamos representar todo número como combinación de potencias de otro número entero positivo (con excepción del 1), que no sea el número 10. Si tomamos un número p, como base del sistema de numeración, un número N se representaría como la combinación de potencias de p con coeficientes que toman valores de 0 a p − 1 en la forma: N = ak ⋅ p k + ak −1 ⋅ p k −1 + + a1 ⋅ p1 + a0 ⋅ p 0 Afirmamos que N se ha representado en la base p, y escribimos: N = ( ak ak −1 a0 ) p Elaboren una respuesta al reto que propone Vladimir; apóyense en la siguiente guía: a) Discutan cómo escribir los números (3287)10 = 3287 y (1000)10 = 1000 en el sistema binario N = (ak ak − 1 … a0)2. Noten que cada aj puede tomar únicamente los valores 0 y 1. Describan un método general para representar un número en sistema decimal a otro en una base diferente. Asuman que uno de ustedes es el amigo de Vladimir. Formulen a Vladimir las siguientes preguntas: • 1a. pregunta: divide el número entre 2, ¿da resto la división? Si la respuesta es “no”, anota la cifra 0; si la respuesta es “sí”, escribe la cifra 1. • 2a. pregunta: divide entre 2 el cociente obtenido en la primera división, ¿da resto la división? De nuevo, escribe 0 si la respuesta es “no” y 1 si la respuesta es “sí”. • Las demás preguntas serán del mismo tipo: ”divide entre 2 el cociente obtenido en la división anterior”. Todas las veces escribe 0, si la respuesta es “no”, y 1, si la respuesta es “sí”. b) Indiquen qué se logra con las preguntas formuladas en el inciso anterior. ¿Qué ocurriría si en lugar de formular 10 preguntas, sólo se formularan ocho preguntas? 109 2.6 Exponentes enteros c) Señalen si es posible adivinar el número. Si acaso lo es, propongan una estrategia para adivinar cualquier número entero entre 1 y 1000. Si no es posible, expliquen por qué no es posible. d) Si la respuesta al inciso anterior fue afirmativa, prueben entre los miembros de su equipo su propuesta de solución. 1. Indica la opción que contiene la igualdad correcta. ( a) a b 2 ) 3 =a3b5 b) ( a + b) 4 = a 4 + b 4 c) ⎛ a ⎞ ⎝ b⎠ −3 = b3 a3 d) a m b n = ( ab) m+n 2. Considera las siguientes proposiciones y determina si son verdaderas o falsas. En caso de que alguna sea falsa, corrígela, con la finalidad de que se convierta en una proposición verdadera. 3 a) (2 a) = (2 a − a)3 = a 3 a3 ( −1 2 b) − a b c) ( a + b) ) −1 −a3 b6 1 1 = + a b −3 = −2 d) ( −−32a)− 2 = ⎛ b ⎞ ⎝ 3⎠ a b 2 3. Simplifica las siguientes expresiones; responde usando sólo exponentes positivos: a) 2 r 2 s − 1v 0 3 −1 r 4 s − 2 v − 3 b) 2 −1 x 3 y − 3 z 2 4 0 x −1 y −1 z 4 4. Realiza las operaciones indicadas, simplifica tu resultado y exprésalo usando sólo exponentes positivos: a) 2 ( x + 1) − 3 ( x − 1) − 3 ( x + 1) − 4 ( x − 1) 2 110 Unidad 2: Expresiones algebraicas b) 3 ( x + 3) − 2 ( x − 2) 2 − 2 ( x + 3) − 3 ( x − 2) 3 c) ( x + 2) − 4 − 4 ( x + 2) − 5 ( x + 1) d) 6 (2 x − 1) −1 (3 x + 2) − 2 (2 x − 1) − 2 (3 x + 2) 2 5. Encuentra, en la columna B, la expresión que se corresponda con la que se ha dado de la columna A. Columna A Columna B i. b−5 a) a−t a−r 0 b) ⎛⎜ b ⎞⎟ −1 ⎝b ⎠ 5 3a − 4 2 ii. 27x3a − 9 y b 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ c) ⎜ 9 x 2 a −1 ⎟ ⎜ ya −1 ⎟ ⎝ 3x ⎠ ⎝x ⎠ b d) a x −1a x +1 2 iii. a2x iv. b5 v. 27xa − 7 y 2b vi. art 2−1 vii. ax viii. a−(r + t) Respuestas a los Ejercicios y problemas 17 18 1. a) a 8b c 11 10 b) a b c d 8 2. a) 1 x6y 2 b) x + x + 1 x 111 2.6 Exponentes enteros ⎞ ⎛ c) ⎜ x2 − y ⎟ ⎝ x + xy ⎠ d) 2 2 xy x ( + y)2 3. a) 9.4608 × 1012 kilómetros. b) Se estima que hay 100 mil millones de estrellas = 1 × 1011 = 1011 estrellas. c) El diámetro d de la Vía Láctea se estima en 100, 000 años luz, esto es: d = (105)(9.4608 × 1012) = 9.4608 × 1017 kilómetros. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. c) 2. a) Es falsa; en realidad (2 a)3 a3 3 2a =⎛ ⎞ =8 ⎝ a⎠ b) La proposición es verdadera. c) Es falsa; de hecho ( a + b) −1 = d) La proposición es verdadera. 3 3. a) 6 s v 2 r x4 b) 2 y 2 z2 ( x − 5)(1 − x ) ( x + 1) 4 2 b) ( x − 2) ( x + 13) ( x + 3) 3 4. a) c) − 3 x + 25 ( x + 2) d) 2 (3 x + 2)(3 x − 5) (2 x − 1) 2 5. (a, viii), (b, iv), (c,v), (d, iii) 1 a+b 112 Unidad 2: Expresiones algebraicas 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales En cuanto a las matemáticas, no puedo informar de imperfecciones, salvo que los hombres no entienden en grado suficiente las excelencias de las mismas. Francis Bacon Introducción n Las conexiones matemáticas son tan diversas como fascinantes; lo mismo se les haya en la ciencia aplicada y teórica que en la música y las bellas artes. Te presentamos, a manera de introducción, un concepto que tiene que ver con matemáticas (de manera particular, con radicales), pero también con el arte clásico. El concepto del que hablamos se llama proporción áurea o proporción sagrada (según se le refiere en el papiro de Rhind, escrito hacia el año 1650 a. C.); con ella se erigió la Gran Pirámide en Gizeh y se desarrolló la arquitectura griega, en tanto que el arte renacentista la utilizó en la pintura y la escultura. Arte por medio de radicales, la proporción áurea El descubrimiento de la longitud de la diagonal del cuadrado de lado 1, esto es 2 , fue como una ducha de agua helada para las matemáticas griegas. Sin embargo, gracias al desarrollo lógico de la matemática, la aparición de este tipo de cantidades, llamadas por los griegos inconmensurables, les dio a éstos un concepto geométrico de gran valor y un hermoso número: la proporción áurea, para ser utilizada a través de los años en las obras artísticas más hermosas que ha creado el hombre y que aún en la actualidad sirven para nuestro regocijo; dicha proporción se construye a partir del rectángulo áureo, o de oro. En la sección Problemas para resolver en equipo, hablaremos más abundantemente de esta proporción; por el momento baste decir que los radicales han sido ampliamente usados en muchas áreas del saber humano y que, más allá de esto, han tenido incluso vertientes que van hacia lo sagrado, lo filosófico y lo estético. 113 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Definir y operar símbolos de la forma an con n un número racional. • Transformar cualquier potencia de la forma an con n un número racional en forma de radical y viceversa. • Resolver problemas que involucran exponentes fraccionarios. • Enunciar, aplicar y simplificar radicales a partir de las leyes que los rigen. Radicales n Todo número real positivo a determina un número real positivo único b = a (léase “b es igual a la raíz enésima de a”) para todo entero positivo n. Entonces, b está definido como aquel número real positivo cuya enésima potencia bn es igual con a. Es costumbre 2 que en el caso de que n = 2 se escriba simplemente b y no b ; además, hacemos no1 tar que b = b . Para precisar nuestras definiciones, fijemos nuestra atención en 3 . De acuerdo con lo indicado en el párrafo anterior, sabemos que: 3 3= ( 3) 2 =3 Ahora bien, el miembro derecho de la ecuación puede escribirse como 31. Si quisiéramos conservar la validez de las leyes de exponentes para este caso, nos interesaría saber qué notación de exponentes adoptaríamos para 3 . Digamos que esta notación fuera 3a; entonces: 3a 3a = 3a + a = 32 a = 31; esto es, tendríamos 2a = 1 o1 a = 1/2. Así, lo que sugiere este razonamiento es que adop1 n temos la notación 3 = 3 2 ; de manera más general, tomamos b como b n . A n b se le llama radical; a b, expresión subradical, y a n, índice o grado del radical. Los cálculos con radicales no son muy usuales en la práctica y generalmente tanto en las matemáticas como en sus aplicaciones se prefiere ver al radical en forma de exponente 1 n fraccionario, según se ha indicado; esto es: b = b n (léase: “la raíz enésima de b es igual a b elevado a la potencia 1 entre n”). Buscando preservar las leyes de exponentes expuestas en la sección anterior, parece razonable definir una potencia fraccionaria de la siguiente manera: m a n ( ) = am 1/ n 1 = ⎛a n⎞ ⎝ ⎠ m La extensión de esta definición de potencia con exponente racional, a la potencia an para todo número real positivo a y todo número real n, queda más allá del alcance de este texto; no obstante, vale la pena señalar que las leyes de exponentes que se han discutido para el caso de exponentes enteros siguen siendo válidas para exponentes reales. De manera más especifica, tenemos: 114 Unidad 2: Expresiones algebraicas Leyes de exponentes para las potencias de números reales positivos ( ) m n m+n a) a a = a d) a m n g) a m = 1 a−m = amn m b) a = a m−n = 1 an a n− m e) a m b m = ( ab) c) a 0 = 1 ; a ≠ 0 m f ) ⎛ a⎞ = a m ⎝ b⎠ b m m donde a y b son números reales positivos arbitrarios y n y m son números reales cualesquiera. Las leyes para exponentes, en el caso de que los exponentes sean fraccionarios, pueden expresarse a través de radicales de la siguiente manera: Leyes de exponentes fraccionarios expresadas con radicales ⎧n n n ⎪ ab = a b ⎪ ⎨ ⎪ n m a = mn a ⎪ ⎩ ; a = b n n ; a m a= n n mn a b am+n Notas: n n 1 b a = ab n 2 Hemos indicado que en el radical n a , a debe ser positivo; no obstante, en el caso en el que n sea impar, es posible definir n a de la siguiente manera. Si a < 0, entonces a = −d con d positivo. Si n es impar: 1 a 1 n = (− d ) 1 n = −d 1 n 3 La expresión a reales. 4 2 2 En general A ≠ A; sin embargo, en todo caso: A = A , el valor absoluto de A que se define de la siguiente manera: ⎧ A si A ≥ 0 A =⎨ ⎩− A si A < 0 n , con a negativo y n real, no tiene sentido en general en los números 115 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales Por otro lado, en general sí se cumple que 5 ( A) 2 =A x no debe confundirse con ± x . En el primer radical, se asume que la cantidad es positiva; en el segundo se trata en realidad de dos cantidades, una positiva y otra negativa. Si nos referimos al valor negativo de la raíz cuadrada de x, debemos escribir − x . Ejemplos Ejemplo 1 Simplifica el siguiente radical: 3 −27a 4 b 5 c 6 solución Simplificación: Se dice que el radical nes: n a está simplificado cuando satisface las siguientes condicio- a) El subradical no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice n del radical. b) El subradical no contiene fracciones. c) El índice del radical es el menor posible. La simplificación pedida es: 3 −27a 4 b 5 c 6 = 3 ( −3)3 a 3 ab 3 b 2 c 6 = 3 ( −3)3 a 3 b 3c 6 = −3abc 2 3 3 ab 2 ab 2 Ejemplo 2 Determina la suma indicada y simplifica tu resultado: 4 784 − 4 14 4 + 49 4 4 solución Observamos que los radicales de la expresión no tienen el mismo índice; en consecuencia, buscaremos transformar los términos a radicales del mismo índice. 116 Unidad 2: Expresiones algebraicas 2 4 784 − 4 4 (14) 4 14 4 4 4 + 49 = 2 ⋅ 49 − + 4 49 4 4 4 4 = 2 4 49 − 4 4 2 2 ⋅ 72 4 + 49 4 = 2 4 49 − 4 4 49 + 4 49 4 = − 4 49 = − 7 2 = − 7 Ejemplo 3 Efectúa la operación 3 3 7 + 22 ⋅ 7 − 22 solución 3 3 7 + 22 ⋅ 7 − 22 = 3 (7 + 22 )( 7 − 22 ) = 3 49 − ( 22 ) 2 = 3 27 = 3 Ejemplo 4 Racionalizar el denominador de una fracción dada significa transformar esa fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea racional. Aunque no es usual, es posible hablar también de racionalizar el numerador. Racionaliza el denominador en la operación: 2 − 6 5+2 6 solución La técnica estándar para racionalizar el denominador consiste en multiplicar numerador y denominador por el factor de racionalización del denominador; esto es, un factor que convierte una expresión con radicales a otra de tipo racional. Por ejemplo, si la expresión con radicales es de la forma, a − b , su factor de racionalización es la expresión conjugada entrelaza a los dos radicales. Tenemos: a + b ; ésta difiere de la primera en el signo que 2 − 6 ⎛ 2 − 6 ⎞⎛ 5 − 2 6 ⎞ , =⎜ ⎟ ⎟⎜ 5 + 2 6 ⎝ 5 + 2 6 ⎠⎝ 5 − 2 6 ⎠ (nota que el segundo factor es en realidad igual a 1) 117 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales = = ( 6) − 2 ( 6) 10 − 9 6 + 2 52 2 2 2 22 − 9 6 = 22 − 9 6 1 Ejemplo 5 Calcula el valor de x2 + 2x − 4 cuando x = −1 + 3 solución ( Sustituyendo: −1 + 3 ) 2 ( ) + 2 −1 + 3 − 4 = 1 − 2 3 + 3 − 2 + 2 3 − 4 = −2 Ejemplo 6 8 − 2x2 + 2 4 − x2 2 2 Simplifica la expresión 1 − x + 2 x2 4−x 1− 4 solución 8 − 2x2 + 2 4 − x2 2[ 4 − x 2 + 4 − x 2 ] = 2 x2 x 2 2 1− + + 1− 2 2 2 x 4−x 4−x 4 − x2 1− 4 4 = = 2 [4 − x 2 + 4 − x 2 ] x2 4 1− + 2 4−x 4 − x2 2 4 − x 2 [4 − x 2 + 4 − x 2 ] 2 4−x +4−x 2 = 2 4 − x2 118 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejercicios y problemas 1. Establece el valor de verdad (verdadero o falso) de cada una de las siguientes proposiciones. x 2 = x, para todo número x a) b) a aa 2 −a = a a−1 c) x4 + 2x2 + 1 = x2 + 1 d) x −1 = x − 1 , únicamente para x mayor que 1 x −1 e) x + 2 y + ( x − 2 y)2 = 2 x para todo valor de x y y 2. Escribe cada una de los siguientes expresiones usando exponentes fraccionarios no negativos, simplifica tu resultado: a) b) c) d) 4 3 x2 4 a 2 3 b 5 , con a, b, c y d positivos c−2d 2 5 x 4 3 z2 a ⋅a 6 y 3 , con x, y, y z positivos −2 3 a5 + a 3 −5 6 a2 ⋅ a −1 2 3. Racionaliza el denominador y encuentra la forma simplificada para x > 0, y > 0. a) x 2 − xy x+ y b) x 2 − y2 x− y c) d) x −1 − x +1 x −1 + x +1 x+ x 1+ x + x 4. Simplifica: a) 2 450 + 9 12 − 7 48 − 3 98 119 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales b) 3 3 108 + c) ( a − b) 1 3 1 625 + 3 1715 − 4 3 32 10 7 a+b a−b 1 − ( a + b) + (2 a − 2 b) a−b a+b a−b 5. Elabora las operaciones indicadas y reduce el resultado lo más que sea posible. a) Multiplica b) Multiplica c) Divide 3 d) a + x − a − x por 3 a+x − a−x a 2 b 2 por 2 4 3a 3 b 43 1 4 a b entre 2 a2 5 10 ( a + b) 2 3 2 2 ⎧ 3 6. Utiliza las fórmulas: ⎨a − b = ( a − b)( a + ab + b ) para racionalizar el denominador de las siguien3 3 2 2 ⎩a + b = ( a + b)( a − ab + b ) tes expresiones: a) b) c) 131 − a 5−3 a−6 x −8 3 x + 3 8 x + 3 64 2 a6 − 6 a 4 + a 2 3 6 + 3 36 7. El área superficial S del cuerpo humano (en pies cuadrados) se puede estimar a partir de la estatura h (en pulgadas) y el peso w (en libras) usando la expresión: S = 0.1091 w 0.425 h 0.725 Esta fórmula se usa para estimar el contenido total de grasa del cuerpo. a) Calcula el área superficial de un individuo de 6 pies de estatura que pesa 175 libras. Los incisos b)-d) requieren cuando menos la lectura del enunciado del problema ¿Exponentes fraccionarios en la inflación? de la sección de Ejercicios para trabajar en equipo. b) ¿Cuál es el efecto sobre el área superficial de un cuerpo, si se produce un 10% de aumento en el peso? c) Si en un periodo de seis meses, un adolescente incrementa su estatura en un 6.5% y su peso en un 7%, ¿cuál es el efecto sobre el área superficial de su cuerpo? d) Si un joven incrementa en un 3% su estatura, ¿cómo debe variar su peso a fin de mantener el valor de su área superficial? 8. La velocidad v (en metros por segundo) necesaria para que un satélite permanezca en órbita alrededor de la Tierra está dada por la fórmula: 120 Unidad 2: Expresiones algebraicas v= 4 × 1014 d donde d es la distancia del satélite al centro de la Tierra en metros. Calcula la velocidad de un satélite que está a 5.2 × 107 metros del centro de la Tierra. 9. La fórmula v = 12 L estima la velocidad v (en pies por segundo) a la que avanzaba un automóvil, a partir de la longitud L (en pies) de las marcas que deja al frenar sobre piso mojado. a) ¿Qué tan rápido iba un automóvil si sus marcas son de 50 pies? b) ¿Qué tan rápido iba un automóvil si sus marcas son de 100 pies? 10. En la Primera Guerra Mundial, las potencias centrales, no anticipando una guerra prolongada, comenzaron a preocuparse por la salud de sus pueblos. Necesitaban una medición rápida de la desnutrición. Se encontró experimentalmente que para alguien saludable, el cubo de la altura de una persona sentada es aproximadamente 10 veces su peso en gramos. A partir de esta idea formularon una razón llamada peledisi, que se calcula con la fórmula: peledisi = 10 × ( peso en gramos) × 100% talla sentado en centímetros 3 La talla sentado en centímetros es la distancia desde lo alto de la cabeza a la silla. Un adulto bien alimentado tiene un peledisi muy cercano al 100%, el peledisi de un adulto desnutrido es menor del 100% y el de una persona obesa es superior al 100%. a) Describe la nutrición de un adulto cuyo peso es de 77,000 gramos y cuya altura (sentado) es de 100 cm. b) Determina tu propio peledisi, describe tu estatus de nutrición. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Arte por medio de radicales, la proporción áurea La proporción áurea, que escribiremos con la letra φ , encontró lugar tanto en el arte griego como en el renacentista. Por ejemplo, la relación entre el alto y el ancho del frente del Partenón en Atenas, construido en el siglo V a. C. es muy aproximada a la proporción φ. El hecho de que un rectángulo cuyos lados estén en la proporción φ (lo que se llama rectángulo áureo) sea agradable al ojo humano es algo que se ha sabido durante siglos. En el siglo XIX, psicólogos, encabezados por Adolf Zeising, ensayaron con el gusto de los humanos en lo referente a la forma del rectángulo. Se descubrió que preferimos la forma de un rectángulo similar al rectángulo áureo. 121 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales Con la finalidad de que conozcan algunas de las hermosas relaciones que giran en torno a la proporción áurea, discutan los siguientes puntos: a) Inicien con un rectángulo cuyos lados BC, AB midan 1 y 2, respectivamente (en general, es suficiente que los lados se encuentren en la proporción 1:2). Tracen la diagonal del rectángulo; así, el rectángulo quedará dividido en dos triángulos; llamen a uno de éstos ABC (véase la figura 12.10). ¿Cuánto miden los lados de este triángulo? b) Tomen a C como eje de rotación, giren los segmentos CB y CA hasta dejarlos alineados con el segmento EF; esto es, los vértices A y B deberán coincidir con los puntos E y F, respectivamente. ¿Cuánto mide el segmento EF? Observen que al girar el segmento CB, como se ha indicado, el segmento AB coincidirá con el segmento DF. c) Con los lados EF y FD, construyan un nuevo rectángulo. Los griegos definieron la proporlongitud ( EF ) ción áurea como: φ = , ¿cuál es el valor de φ ? longitud ( DF ) E C A F B D Figura 2.10 Construcción de la figura áurea E S R F U V T D Figura 2.11 ¿Qué sucede si se sustrae un cuadrado de un rectángulo áureo? 2. En la figura 2.11, el rectángulo SDFE tiene lados de longitudes SD igual a 5 + 1 y DF de longitud 2. Si ERTS es un cuadrado con lados de longitud igual a la del segmento AB de la figura 2.10, ¿es áureo el rectángulo RFDT? Si en el rectángulo RFDT repetimos el proceso anterior, quitando un cuadrado de longitud UV, entonces quedará el rectángulo UVDT. ¿Es áureo este rectángulo? ¿Qué infieren de sus respuestas? Expliquen. 122 Unidad 2: Expresiones algebraicas a) ¿Cuál es la proporción entre el área del rectángulo EFDS y la del rectángulo RFDT? Respondan la misma pregunta con los rectángulos RFDT y UVDT. Escriban su respuesta en términos de φ. b) Sea φ´ el recíproco cambiado de signo de φ; determinen el valor de φ´; si es necesario, racionalicen el denominador. c) El valor de φ 2 puede expresarse en la forma aφ + b; determinen los valores de a y b. d) A partir del inciso anterior, infieran una relación entre φ n, φ n − 1 φ n − 2 y calculen entonces las primeras ocho potencias de φ, expresen sus resultados por medio de radicales. 3. Algo de ganadería con radicales En la ganadería hay dos términos relacionados con el cuidado de los animales; éstos son: ración alimenticia de sostén y ración de producción. El primero se refiere a la cantidad mínima de alimento que cubre, de manera exclusiva, el número de calorías que consume el funcionamiento de los órganos internos y el restablecimiento de las células que perecen, mientras que el segundo tiene que ver con el alimento destinado a la producción ganadera. Para el primero de ambos términos, la ciencia veterinaria ha determinado los siguientes principios: • Que la ración alimenticia de sostén es proporcional a la superficie externa del cuerpo del animal. • Las superficies (s) de cuerpos semejantes son proporcionales al cuadrado de sus medidas lineales (l). • Los pesos de cuerpos semejantes son proporcionales al cubo de sus medidas lineales. Haciendo uso de estas observaciones, un veterinario determinó que un buey de 630 kilogramos requiere 13, 500 calorías para su ración alimenticia de sostén. a) A partir de la información anterior, determinen las calorías necesarias para cubrir la ración alimenticia de sostén de un buey que pesa 420 kilogramos. b) Si un médico veterinario tuviera a su cargo el cuidado de 100 cabezas de ganado, no sería práctico repetir los cálculos del inciso a) animal por animal; por ello, deduzcan una fórmula que permita determinar el número de calorías de la ración alimenticia de sostén para un animal que pese p kilogramos. 4. ¿Exponentes fraccionarios en la inflación? Un estudiante de economía ajustó, apoyándose en una técnica de la estadística conocida como regresión lineal y en los precios a los consumidores de tres productos de la canasta básica: leche, huevo y arroz, un modelo simplificado que proporciona el consumo mensual (C) de carne (en kilogramos), en términos de los precios de los tres productos señalados. Sus cálculos lo llevaron a la expresión: C = A x − 0.3 y − 0.2 z − 0.5 Aquí, A es una cierta constante, x es el precio del litro de leche, y y z los precios del kilogramos de huevo y arroz, respectivamente. C1 − C0 × 100% puede ser usada para determinar la variación porcentual en La expresión r = C0 el consumo de carne. Su trabajo consiste en determinar lo siguiente: 123 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales a) El cambio porcentual en el consumo mensual de carne si el litro de leche aumentara en un 3%, el kilogramo de huevo disminuyera en un 2% y el precio del kilo de arroz se incrementara en un 1%. Interpreten su resultado. b) Si el precio de la leche disminuyera un 2% por litro y el kilo de arroz incrementara su precio en un 4%, ¿en qué porcentaje debería variar el precio del kilogramo de huevo con la finalidad de mantener el consumo de carne en su nivel? 5. Conexiones numéricas asombrosas Una fracción como 17 puede escribirse en la forma: 15 17 2 1 1 = 1+ = 1+ =1+ 1 15 15 15 7+ 2 2 Las características de la última fracción son: • El numerador y denominador son números de un solo dígito, • Está escrita como un número entero más una fracción con un numerador y denominador cada uno de los cuales es menor a 10. Una fracción como la que se ha descrito, con las características señaladas, se conoce como fracción continua. Cuando una fracción continua (como la anterior) termina, se le llama fracción continua finita; en caso contrario, se le conoce como fracción continua infinita. Con la finalidad de simplificar nuestra notación, escribimos: 17 = [1; 7, 2] 15 aquí, el primer 1 se separa con punto y coma del resto para indicar que es un número entero. Una fracción como [1;1 , 2 , 1 , 2 ,...] = 1 + 1 1+ 2+ 1 1+ 1 1 2+ 1 según se ha dicho, es una fracción continua infinita. Dada la repetición de los números 1 y 2, se acostumbra escribir: • • [1;1 , 2 , 1 , 2 ,...] = [1;1, 2 ] a) Construyan una fracción continua infinita que represente al número para ofrecer una estimación de este número. 2 . Usen sus cálculos 124 Unidad 2: Expresiones algebraicas (Sugerencia: Escriban 2 = 1+ ( ) 2 − 1 . Ahora, noten que 2 en la forma simplifiquen y escriban a, b, c y d. Sustituyan reiteradamente a + ción continua correspondiente). 2 =a+ ⎛ 2 + 1⎞ 2 − 1 = ( 2 − 1)⎜ ⎟, ⎝ 2 + 1⎠ b ; deberán hallar los valores de c+d 2 b en lugar de c+d 2 2 , de aquí resulta la frac- b) También existe el concepto de radical continuo. Un radical continuo es una expresión de la forma: L = n + n + n + n + A “L” se le conoce como límite del radical continuo. Eleven al cuadrado L y resten n al resultado, deduzcan un método que permita escribir un número L en forma de radical continuo; apliquen su método al número 9. c) Escriban la proporción áurea (vean el problema Arte por medio de radicales, la proporción áurea) como radical continuo. Usen el inciso g) del citado problema para escribir su resultado sin el empleo del símbolo φ ni de su valor equivalente con radicales. 1. Indica la opción que contiene la proposición verdadera. 2 n a n b = n ab b) n a+b =n a +n b c) n am = a) n d) m np am p a n− m a = a 2. Señala la opción que contiene la proposición falsa: a) ( x + y) b) a b ( ) x+ y =x xa = b x 3 2 +y 3 2 125 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales ( x − y)2 c) Para x < y: x + =y 1 = 3+ 2 3− 2 d) . 3. Determina la forma más simple de las siguientes expresiones: a) 3 x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 1 b) a − 2 b + a 2 b 3 4 + x 0 , con a = 4, b = 16, x = 3. 1 −3 5 1 , con a = 4, b = 8, x = 32, y = 7. a − 3b 3 c) + 5 y − −1 2 + x 0 2 b x4 a 2 b3 3 d) 1 − 3 0 4 1 + 5 12 4. Encuentra en la columna B las transformaciones de las expresiones correspondientes que aparecen en la columna A. Columna A Columna B a) ( x + y) ÷ ( x ( b) 2 a 2 ÷ 8a − 2 ⎛ 4 x −2 ⎞ c) ⎜⎝ 9 x 2 ⎟⎠ d) 6 3 x 21 −1 2 1 ) 3 1 + y 3) −1 i. 4 ii. x 6 x 2 ⎛ 8x 3 ⎞ ÷⎜ ⎟ ⎝ 27 y 3 ⎠ a2 −1 3 iii. x 2 3 −x 1 3 3 iv. x y v. 2 a2 vi. x 2 3 x vii. x viii. x2 2 3 +y 2 3 1 y 3 +y 2 3 126 Unidad 2: Expresiones algebraicas Respuestas a los Ejercicios y problemas x 2 ≥ 0 . Si 1. a) Siendo x un número real, x x 2 = x , para todos los valores en x; entonces con = −1, tendríamos que (−1)2 = −1 , o sea 1 = −1 , lo que resulta absurdo. En realidad, ≥ 0, x 2 = − x para x < 0. Un resultado válido para ambos casos es x 2 = x , para x x2 = x . b) La proposición es verdadera, en efecto: a a a2 − a =a a2 − a a = a a−1 c) La proposición es verdadera ya que: x4 + 2x2 + 1 = (x 2 ) +1 2 = x2 + 1 = x2 + 1 x −1 = x −1 x −1 no tiene sentido si el denominador es 0; esto es si x = 1. Por lo tanto, para x > 1 d) La proposición es verdadera. x − 1 no es un número real si x < 1. Asimismo, 1 x −1 1− 1 = ( x − 1) 2 = ( x − 1) 2 = x − 1 x −1 e) Esta proposición es falsa. Por ejemplo, con x = 2, y = 4: x + 2y + ( x − 2 y)2 = 2 + 8 + (2 − 8) 2 = 16 mientras que 2x = 4. El error radica en considerar que ( x − 2 y)2 que 2. a) x 1 1 b) a 1 c) x 6 4 10 1 z d) 5 b 6c d 2 a 3 y 3 8 = x − 2y . ( x − 2 y)2 = x − 2 y , en realidad se cumple 2.7 Exponentes fraccionarios y radicales 3. a) x ( x− y ( b) ( x + y) ) x+ y ) x2 − 1 − x c) 2 d) x + x 1 + x + x2 4. a) 9 2 − 10 3 b) 3 4 +3 3 5 2 c) 2 a − b 5. a) 3a − x − 3 a 2 − x 2 b) 2 a 12 27a 5 b11 c) d) 86 2 a2b2 a 3 a+b 6. a) 25 + 5 b) 3 3 a − 6 + 3 ( a − 6) 2 x −2 c) a 2 − 3 6 7. a) Tomando 1 pie como12 pulgadas, S ≈ 21.7611 b) El área superficial aumenta aproximadamente un 4.13 %. c) El área superficial aumenta aproximadamente un 7.725 %. d) Disminuyendo su peso en un 4.93%. 8. 2.774 × 103 9. a) Aproximadamente iba a 24.49 pies por segundo. b) Aproximadamente iba a 34.64 pies por segundo. 10. a) Desnutridos, peledisi ≈ 91.65% 127 128 Unidad 2: Expresiones algebraicas Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. c) 2. a) 3. a) x + y b) 18 43 c) 1 64 d) 5 3 − 4 5 10 4. (a, iii), (b, v), (c, iv), (d, ii) 129 2.8 Números complejos 2.8 Números complejos El Divino Creador ha encontrado ocasión de manifestar su sublime inteligencia en esta maravilla del análisis, este portento del mundo ideal, este anfibio entre el ser y el no ser que llamamos raíz imaginaria de la unidad negativa. Leibnitz Introducción El concepto de número ha evolucionado a la par con el desarrollo de la humanidad. Los números naturales surgen prácticamente en épocas prehistóricas por la necesidad innata que tenemos los seres humanos de contar. Todas las culturas, de una forma u otra, han requerido desarrollar el concepto de número. Babilonios, egipcios y griegos descubrieron los números racionales en procesos donde se requerían proporciones y los números irracionales en el cálculo de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. A pesar de tales avances, no se desarrolló la comprensión de los números negativos y se tuvo que esperar hasta el siglo XV para que fueran aceptados. Sin superar plenamente las dificultades conceptuales que planteaban los números negativos, los números complejos aparecieron al considerar el cálculo de sus raíces cuadradas. La necesidad de establecer un marco para el desarrollo de los complejos se hizo patente cuando Tartaglia y Cardano (matemáticos italianos del siglo XV) tuvieron que utilizarlos cuando buscaban fórmulas generales de raíces de ecuaciones polinomiales cúbicas. En 1799, Gauss (matemático alemán) proporcionó el impulso requerido para su consolidación, al utilizarlos en su primera demostración del Teorema Fundamental del Álgebra. Actualmente los números complejos son una herramienta básica para el trabajo de ingenieros y científicos, quienes los utilizan en infinidad de aplicaciones. Por ejemplo, los ingenieros electricistas los utilizan para analizar circuitos eléctricos, así como para formular la teoría de señales y sistemas, entre otras cosas. El siguiente ejemplo nos muestra las enormes posibilidades que se abren con su uso: La impedancia En el análisis de circuitos de corriente alterna se utiliza el análisis fasorial, consistente en representar cada uno de los elementos de un circuito (resistencias, capacitores e inductancias) en forma de impedancias (ZR, ZC, ZL, respectivamente) para, después, aplicar la Ley de Ohm y obtener los voltajes VR, VC, VL, lo mismo que las corrientes (I) que circulan por el circuito. Las impedancias de cada elemento se muestran en la figura 2.12. 130 Unidad 2: Expresiones algebraicas Z R = R; Resistencia i ZC = − ; 2πf C Z L = i 2πf L; Capacitor R V Inductancia C Impedancias de los elementos de un circuito L Figura 2.12 Circuito serie Por ejemplo, para el circuito serie de la figura 2.12, la Ley de Ohm establece que: I= V V = = ZT Z R + ZC + Z L R − V i + 2πf Li 2πf C donde • • • • • • • , ZT es la impedancia total. V es el voltaje de la fuente de corriente alterna medida en voltios. R es la resistencia medida en ohms. C es el valor del capacitor o condensador medido en farads. L es la inductancia medida en henries. I es la corriente que circula en el circuito y está medida en amperes. f es la frecuencia de la fuente y sus unidades son los hertz. (Nota: usualmente en ingeniería eléctrica la unidad imaginaria se denota por j = −1, en tanto se reserva el símbolo i para la corriente. Nosotros usaremos la convención usual y denotamos la corriente con el símbolo I.)Si se desea conocer el voltaje de cada uno de los elementos del circuito (resistencia, capacitor, inductancia) se aplica nuevamente la Ley de Ohm. En el caso de la resistencia, se tiene: RV VR = Z R * I = i R− + 2π f Li 2π f C . Para el voltaje en el capacitor, obtenemos: VC = ZC * I = − iV ⎛ ⎞ i + 2π f Li⎟ 2π f C⎜ R − 2π f C ⎝ ⎠ De la misma forma se obtiene el voltaje en la inductancia: . 2π f LV i i + 2π f L i R− 2π f C . Este tipo de circuitos se conocen como filtros y son la base de los ecualizadores utilizados en cualquier sistema de audio. VL = Z L * I = 2.8 Números complejos Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Describir el conjunto de los números complejos. • Realizar operaciones de suma, resta, producto y cociente entre números complejos. • Representar gráficamente números complejos en el plano. • Determinar el conjugado de un número complejo. • Obtener raíces cuadradas de números negativos reales. • Obtener raíces cuadradas de números complejos. El conjunto de los números complejos Como se indica en la introducción, los números complejos surgen al considerar raíces de números negativos. Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una ecuación como x2 9 0 no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para tratar con tales situaciones, debemos aceptar la existencia de soluciones del tipo x = −9 y extender el conjunto de los números reales a un conjunto mayor, el conjunto de los números complejos. Más aún, es necesario definir la unidad imaginaria i = −1 y aceptar que las reglas para trabajar con radicales son válidas en los complejos, para escribir la raíz de cualquier número negativo en términos de la unidad i. Por ejemplo, x = −9 es posible simplificarla así: x = 9 −1 = 3i . Cualquier raíz cuadrada de un número negativo puede llevarse a esta forma. Con el número i lograríamos construir todo el sistema de los números complejos, para lo cual requerimos la siguiente definición: Definición Un número complejo es una expresión de la forma z a bi, donde a y b son números reales que se conocen como parte real y parte imaginaria de z, y se denotan a Re (z) y b Im(z), respectivamente. El conjunto de los números complejos está formado por todos los números de la forma z a bi. Por ejemplo, en el número z 4 3i la parte real es 4 y la parte imaginaria es 3. Cualquier número complejo z a bi, se puede visualizar en el plano cartesiano asociándole el punto (a, b). En la figura siguiente se muestran los números z 4 3i, zc 4 3i, zc 4 3i y z 4 3i. 131 132 Unidad 2: Expresiones algebraicas Los números 4 + 3i, 4 – 3i, 4 + 3i, – 4 – 3i. 5 Im z 4 3 2 1 Re z 0 –5 –4 –3 –2 –1–1 0 1 2 3 4 5 –2 –3 –4 –5 Figura 2.13 Representación gráfica de números complejos Operaciones con números complejos Entre números complejos es posible realizar diferentes operaciones: suma, resta, producto, cociente. Tales operaciones se establecen a continuación: Suma y resta La suma de los números complejos z a bi y w c di es el número z w (a c) (b d)i. La resta de los números complejos z a bi y w c di es el número z w (a c) (b d)i. Es decir, para sumar (restar) dos números complejos z y w se suman (restan) la parte real de z con la parte real de w y la parte imaginaria de z con la parte imaginaria de w. Por ejemplo, ( 4 + 3i ) + (2 + 8i ) = ( 4 + 2) + (3 + 8)i = 6 + 11i; ( 4 + 3i ) − (2 + 8i ) = ( 4 − 2) + (3 − 8)i = 2 − 5i . En la siguiente figura se muestran la suma y la resta de dos números complejos; hemos incluido el segmento dirigido del origen a cada punto para volver evidente el significado geométrico de la suma y de la resta. 133 2.8 Números complejos Suma de números complejos 12 10 Resta de números complejos 10 z1 + z2 Im z 8 z1 −z2 6 8 z2 z2 4 6 2 0 4 −2 2 0 Im z z1 0 −z 1 2 4 5 6 0 −4 Re z 3 z1 7 −6 1 2 3 z1 −z2 −z Figura 2.14 Suma y resta de números complejos Producto El producto z * w, o simplemente z w, de los números complejos z a bi y w c di es el número complejo. z * w = ( a + bi )(c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc)i No es necesario memorizar la fórmula, ya que se obtiene el mismo resultado si consideramos esta multiplicación como un producto de binomios y remplazamos i2 por 1. Por ejemplo 3 + 2i x 4 + 5i 12 + 8i + 15i + 10i 2 12 + 23i − 10 esto es, (3 2i) (4 5i) 2 23i. En la siguiente ilustración se muestra el resultado del producto: Re z 4 5 134 Unidad 2: Expresiones algebraicas Producto de números complejos 25 Im z z1*z2 20 15 10 z2 5 0 z1 0 −z 1 2 3 Re z 4 5 Figura 2.15 Producto de números complejos Antes de definir el cociente, hay que definir el conjugado y la magnitud de un número complejo. Definición El conjugado de un número complejo z a bi es z a bi. La magnitud de un número complejo z a bi es el número real || z ||= a 2 + b 2 No es difícil mostrar la siguiente propiedad: Propiedad 2 Si z a bi es un número complejo, entonces || z || = z.z En efecto, mediante una multiplicación directa se tiene: z * z = ( a + bi ) * ( a − bi ) = a 2 + abi − abi − b 2 i 2 = a 2 + b 2 =|| z ||2 Enunciamos otras propiedades de la magnitud sin demostración: 135 2.8 Números complejos Propiedades Si z y w son números complejos, entonces: • || z + w ||≤|| z || + || w || • || z * w ||=|| z || * || w || Ahora definamos el cociente de dos números complejos: Cociente El cociente z / w , de los números complejos z a bi y w c di 0, es el número complejo z a + bi ac + bd + (bc − ad )i = = w c + di c2 + d 2 Tampoco es necesario memorizar esta fórmula, ya que el cálculo se reduce a multiplicar y dividir por el conjugado de w, así como a realizar las operaciones necesarias, obser– es un número real. En efecto, vando que w * w z a + bi a + bi c − di ac + bd + (bc − ad )i = = . = w c + di c + di c − di c2 + d 2 1+ i . Multipliquemos y dividamos por el 3 + 4i conjugado de 3 4i. Obtenemos, después de realizar varias simplificaciones: Por ejemplo, simplifiquemos el cociente 1+ i 1 + i 3 − 4i = . 3 + 4i 3 + 4i 3 − 4i 3 + 3i − 4i − 4i 2 = 9 + 16 3 + 3i − 4i + 4 = 9 + 16 7−i = 25 7 1 i = − 25 25 Con tales operaciones se puede demostrar que el conjunto de los números complejos cumple las siguientes propiedades: 136 Unidad 2: Expresiones algebraicas Propiedades de la suma Propiedades del producto Cerradura Si z1 y z2 son complejos, también lo es su suma. Cerradura Si z1 y z2 son complejos, también lo es su producto. Conmutatividad z1 z2 z2 z1 Conmutatividad z1 * z2 z2 * z1 Asociatividad z1 (z2 z3) (z1 z2) z3 Asociatividad z1 *(z2 * z3) (z1 * z2)* z3 Existencia del 0 Existe un número complejo, el cero 0 0 0i, con la propiedad de que z 0 0 z z Existencia del 1 Existe un número complejo, llamado uno 1 1 0i, con la propiedad de que z*1 1* z z Existencia del inverso aditivo Para cualquier número complejo z, existe un único número complejo(z), llamado inverso aditivo de z, tal que z (z) 0 Existencia del inverso multiplicativo Para cualquier número complejo z 0, existe un inverso multiplicativo único 1 z , = llamado inverso z || z ||2 de z, tal que z * Ejemplos Ejemplo 1 Si z1 2 3i y z2 8 6i y determina a) z1 z2 b) z1 4z2 c) 2z1 z2 d z1 * z2 e) z1 / z2 solución Haciendo las operaciones indicadas, se tiene: a) z1 + z2 = (2 + 3i ) + (8 − 6i ) = (2 + 8) + (3 − 6)i = 10 − 3i b) z1 + 4 z2 = (2 + 3i ) + 4(8 − 6i ) = (2 + 3i ) + (32 − 24i ) = 34 − 21i c) 2 z1 − z2 = 2(2 + 3i ) − (8 − 6i ) = ( 4 + 6i ) − (8 − 6i ) = −4 + 12i 2 d) z1 * z2 = (2 + 3i ) * (8 − 6i ) = 16 + 24i − 12i − 18i = 16 + 12i + 18 = 34 + 12i e) z1 2 + 3i 2 + 3i 8 + 6i 16 + 24i + 12i − 18 −2 + 36i = = * = = = −0.02 + 0.36i z 2 8 − 6i 8 − 6i 8 + 6i 64 + 36 100 z =1 || z ||2 137 2.8 Números complejos Ejemplo 2 Si z1 3 4i y z2 2 5i, calcula || z1 + z2 || y || z1 || + || z2 || solución Haciendo las operaciones indicadas, se tiene: a) z1 z2 (3 4i) (2 5i) 5 i y la magnitud es || z1 + z2 ||= 25 + 1 = 26 ≈ 5.099 b) || z1 || + || z2 ||=|| 3 + 4i || + || 2 − 5i ||= 9 + 16 + 4 + 25 = 25 + 29 ≈ 5 + 5.385 = 10.385 Ejemplo 3 Determina k de forma que el cociente 8 + ki sea un número: k + 2i a) real b) imaginario puro; esto es, un número complejo sin parte real. solución Haciendo la división, se tiene: 8 + ki 8 + ki k − 2i = * k + 2i k + 2i k − 2i 8k + k 2 i − 16i − 2 ki 2 = k2 + 4 8k + ( k 2 − 16)i + 2 k = k2 + 4 10 k + ( k 2 − 16)i = k2 + 4 a) Para obtener un número real, se requiere que k2 16 ó k 4. b) Para que el resultado sea imaginario puro se necesita que k 0. Ejemplo 4 Grafica en el plano z, z2, z3, z4, z5, z6 z7 y z8 si z = 1 1 + i 2 2 solución Primero calculemos las potencias pedidas de z: 1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ 1 i i 1 ⎛ 1 + + z2 = ⎜ i⎟ ⎜ i⎟ = + + − = i ⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠ 2 2 2 2 138 Unidad 2: Expresiones algebraicas 1 ⎞ 1 i ⎛ 1 + − z3 = z * z2 = z * i = ⎜ i⎟ i = ⎝ 2 2 ⎠ 2 2 z 4 = z 2 * z 2 = i * i = −1 1 1 − z5 = z * z 4 = −z = − i 2 2 z 6 = z 2 * z 4 = i( −1) = −i i 1 ⎞ 1 ⎛ 1 z 7 = z * z 6 = z( −i ) = ⎜ i⎟ ( − i ) = + − ⎝ 2 2 ⎠ 2 2 8 4 4 z = z * z = ( −1) * ( −1) = 1 En la gráfica siguiente se muestran los puntos. Claramente forman un octágono regular: Potencias de z = 2−1/2 +2−1/2 i 1.5 Im z 1 0.5 −1.5 1 −11 0 0 −0.5 . −0.5 Re z 0.5 1 1.5 5 −1 −1.5 Figura 2.16 Potencias de z = 1 1 + i 2 2 Ejemplo 5 Determina números reales a y b, tales que meros obtenidos en el plano complejo. i = a + bi . Posteriormente, muestra la posición de los nú- solución Elevando al cuadrado y simplificando se tiene: i = ( a + bi ) 2 = ( a + bi )( a + bi ) i = a 2 − b 2 + 2 abi Tomando en cuenta el hecho de que dos números complejos son iguales, si son iguales sus correspondientes partes real e imaginaria, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: 139 2.8 Números complejos a2 − b2 = 0 2 ab = 1 De la primera ecuación se tiene: b = ±a Sustituyendo en la segunda ecuación. Resulta: ±2 a 2 = 1 a2 = ± 1 2 Sólo consideramos el signo positivo porque a es real; esto implica que b a. Obtenemos: a=± 1 2 Los números complejos buscados son: z1 = 1 1 + i ≈ 0.7071 + 0.7071i 2 2 y z2 = − 1 1 − i ≈ −0.7071 − 0.7071i 2 2 En la siguiente figura se muestran los números complejos i, 0.7071 0.7071i, 0.7071 0.7071i: Los números i, 0,7071 + 0,7071i, 0,7071 – 0,7071i. 1 Im z 0.5 Re z 0 –1 –0.5 0 0.5 1 0.5 –1 Figura 2.17 Los puntos i, 0.7071 0.7071i, 0.7071 0.7071i 140 Unidad 2: Expresiones algebraicas Ejemplo 6 Determina las raíces cuadradas del número complejo 3 4i y muestra sus posiciones en el plano. solución Queremos determinar un número complejo z = a + bi, tal que: 3 + 4i = a + bi Elevando al cuadrado y simplificando, tenemos: 3 + 4i = ( a + bi ) 2 = ( a + bi )( a + bi ) 3 + 4i = a 2 − b 2 + 2 abi Usando el hecho de que dos números complejos son iguales, si son iguales sus correspondientes partes real e imaginaria, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: a2 − b2 = 3 2 ab = 4 De la segunda ecuación, se tiene: b= 2 a Sustituyendo en la primera ecuación, resulta: 2 ( 2 a 2 − ⎛ ⎞ = 3; ⎝ a⎠ 4 a 2 − 2 = 3; a a 4 − 4 = 3a 2 ; a 4 − 3a 2 − 4 = 0; a 2 − 4 a 2 + 1 = 0; )( multiplicando por a 2 se tiene simplificando obtenemos factorizando se tiene ) Como a es real, sólo debemos considerar el caso: a2 − 4 = 0 cuya solución es: a = ±2 Finalmente, usamos la relación entre a y b para obtener: b= 2 2 = = ±1 a ±2 Así que los números complejos buscados son: z1 = 2 + i y z2 = −2 − i 141 2.8 Números complejos En la figura siguiente se muestran los números complejos 3 4i, 2 i, 2 i. Los números 2 + i, −2 − i, 3+4i 5 Im z 4 3 2 1 −3 −2 −1 0 0 Re z 1 2 3 4 −1 −2 Figura 2.18 Los puntos 3 4i, 2 i, 2 i. Ejercicios y problemas 1. Realiza las siguientes operaciones, luego expresa cada número en la forma: z = a + bi: a) (3 + 5i ) + (2 − 3i ) b) (3 + i )(5 − i ) f) 3 + 4i 2 + 3i 1 g) (1 − i )5 c) (3 − 2i )(3 + 2i )i h) ⎛ 1 + i ⎞ ⎝ 3 + 4i ⎠ d) (5 − 2i )(1 + 5i ) i) (2 + 5i )3 2 e) (1 − i ) (i + 4) − (2 + i )(5 + 3i ) 2 4 j) (1 + i )(1 −3i ) (1 + 2i ) 142 Unidad 2: Expresiones algebraicas 2. Escribe los siguientes números en la forma z a bi: ⎛ i 5 − i −8 ⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝ 2i ⎠ 1+ i⎞ b) ⎛ ⎝1− i⎠ 4 c) ⎛⎜ 1 − i ⎞⎟ ⎝ 3 + i⎠ 4 ⎛ ⎞ d) ⎜ 3 + i ⎟ ⎝ −1 + i ⎠ 4 4 3. La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el módulo de uno de ellos es 5. Calcula ambos números. 4. Calcula la magnitud de los siguientes números: a) z = 8 − 6i b) z = c) z = i(5 − 10i )(2 + i ) 3+i 2−i d) z = 2 + 2i 3 −i 5. Sea z = k + i . Calcula el valor de k para que z 2 i. 2+i 6. Sea z (3 6i)(4 ki). Calcula el valor de k para que z sea un número imaginario puro. 7. Determina las raíces cuadradas de los números a) z 3 4i b) z 4 3i c) z 15 8i 8. Una raíz cuadrada de un número complejo es 1 i. Calcula dicho número y su otra raíz cuadrada. 9. Demuestra que para dos números complejos cualquiera se cumple que || z1 + z2 ||2 + || z1 − z2 ||2 = 2 || z1 ||2 +2 || z2 ||2 10. Calcula m y n para que se cumpla la igualdad: 4m − 2 i = 3 − 5i 1+ ni Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. La impedancia, presentada en la introducción. a) En la situación se habla de los siguientes términos: impedancia, Ley de Ohm, circuito serie, filtro. Investiguen el significado de cada uno de ellos. 143 2.8 Números complejos b) Se tiene un circuito serie RLC con los datos de los incisos siguientes. Para cada inciso determinen la impedancia total, la corriente I y los voltajes VR, VC, VL, así como sus magnitudes. Supongan que el voltaje de entrada es V 2 voltios de corriente alterna y que la frecuencia es f 1 /(2p)hertz. i. R 4Ω, C 3 farads, L 5 henries ii. R 2Ω, C 5 farads, L 4 henries iii. R 3Ω, C 2 farads, L 2 henries iv. R 4.5Ω, C 2.5 farads, L 2.5 henries v. R 4.8Ω, C 3 farads, L 5.1 henries. c) Un semáforo compacto de bajo consumo se diseñó utilizando los elementos básicos de la electrónica de potencia. Para armarlo, se requiere de un condensador (capacitor) de 330x109 F, otro de 220x109 F y uno más de 150x109 F. Desafortunadamente tienes cinco capacitores sin su valor impreso y el laboratorio no cuenta con un puente de impedancias, con el cual podría resolverse el problema. Para determinar el valor de cada uno de los capacitores, se arma el circuito de la figura 2.19. Se prueban cada uno de los capacitores y se obtienen los datos de ⎟⎜VC⎟⎜, que aparecen en la figura. Determinen si los capacitores que encontraron servirían para terminar el semáforo. Capacitor Voltaje medio en cada capacitor. ⎟⎜Vc ⎟⎜ (volts) 1 8.82 R 2 4.15 33K 3 5.69 4 11.54 5 16.86 V 24V 60Hz ¿? C Figura 2.19 Medición de condensadores o capacitancias 2. Graficando potencias de números complejos a) Consideren el número complejo z i; sus primeras cuatro potencias son z2 1, z3 i, z4 1. Elaboren una figura donde muestres los cuatro puntos en el plano complejo. ¿Qué figura se forma? ¿Cambia la figura si consideramos potencias superiores? b) Determinen las primeras ocho potencias del número complejo z 0.7071 0.7071i y grafíquenlas en el plano complejo. ¿Qué figura se forma? 144 Unidad 2: Expresiones algebraicas c) Determinen las primeras seis potencias del número complejo z 0.5 0.866025i. ¿Qué figura forman? d) Para los siguientes números complejos calculen las primeras 20 potencias y coloquen los puntos en el plano complejo. ¿Qué figura forman? i. z 3 4i ii. z 1 i iii. z = 1 1 + i 2 2 iv. z = 2 1 − i 3 5 v. z = 5 3 − i 6 6 e) Calculen ahora la magnitud de todos los números complejos que utilizaste. ¿Qué relación guardan las magnitudes con las figuras? f) Seleccionen tres números complejos y grafiquen su primeras 20 potencias en el plano complejo. Intenten determinar la gráfica sin hacer el cálculo. 1. Realiza la operación ( 4 − 3i )(3 + i ) a) 9 13i b) 15 13i c) 15 13i d) 15 4i 2. Simplifica la operación a) i b) i 2 c) i 2 d) i /2 3−i i * 4i − 2 1 + i 145 2.8 Números complejos 3. Encuentra una raíz cuadrada del número z 3 4i a) 2 i b) 2 i c) 2 i d) 1i /2 4. Calcula z10 si z 1 i a) 32(1 i) b) 32(1 i) c) 32i d) 32i 5. Encuentra la forma simplificada z a bi, en la columna B de la operación indicada en la columna A. Columna A Columna B a) (i 2)3 i. 0.5 2.5i b) 3 − i 1+ i 13i c) i+5 d) (3 + 4i )(1 − 2i ) ii. 5 10i iii. 2 11i iv. 0.5 2.5i v. 2 i vi. 1 2i vii. 10 11i viii. 5 10i Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) 5 2i b) 16 2i c) 13i d) 15 23i e) 15 19i f) (18 i) /13 146 Unidad 2: Expresiones algebraicas g) (1 i) /8 h) (48 14i) /625 i) 142 65i j) (52 36i) /125 2. a) 1 b) 1 c) (1 + 3 i ) / 8 d) 2 − 2 3 i 3. 3 4i, 3 4i 4. a) 10 b) 2 c) 25 d) 1 5. k 5 i 6. k 2 7. a) 2 i, 2 i 3 i 3 i ; − − + 2 2 2 2 c) 4 i, 4 i b) 8. El número es 2i y la otra raíz cuadrada es 1 i. 9. Considera z1 a bi y z2 c di y muestra ⎟⎜z1 z2⎟⎜2 (a c)2 (b d)2 y ⎟⎜z1 z2⎟⎜2 (a c)2 (b d)2. Al sumar estos dos términos y al desarrollar se obtiene el resultado pedido. 10. m 2, n 1. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. a 2. d 3. c 4. d 5. (a, iii), (b, vi), (c,iv), (d, ii) Unidad Ecuaciones Contenido de la unidad 3.1 Ecuaciones lineales 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales 3.4 Ecuaciones polinomiales Introducción a la unidad “Llama a la llama para que no se queme con la llama”. Es evidente que la primera “llama” en esta frase es una conjugación del verbo llamar, la segunda es un conocido animal andino y la tercera se refiere a fuego. Sin embargo, las tres se escriben exactamente igual. En todos los idiomas hay ejemplos similares, como también los hay en la simbología algebraica. Quizá te sorprenda averiguar que el signo “igual a” (=) tiene diferentes significados. Por ejemplo, en una expresión del tipo (x + a)2 = x2 + 2ax + a2, indica una identidad, ya que (x + a)2 es idéntico a x2 + 2ax + a2 para cualquier pareja de números a y x. Por otro lado, una expresión del tipo x2 + 8x + 16 = 0, aunque parece similar a la anterior, no es una identidad, ya que sólo es cierta cuando x vale −4, en tanto que es falsa para cualquier otro valor de x. Este tipo de expresión se llama ecuación. Imagínate que una identidad es una aseveración: “el lado izquierdo es idéntico al lado derecho”; por otro lado, una ecuación es una pregunta: “¿Para qué valores de x es el lado izquierdo igual al derecho?” Decimos que resolvemos una ecuación cuando respondemos esa pregunta. Es muy importante que aprendas a plantear y resolver ecuaciones en problemas prácticos. Ernest Mach, un famoso científico del siglo XIX, dijo que el álgebra se caracteriza por un aligeramiento de la mente, porque en la solución de un problema, después de construir la ecuación, te puedes “olvidar” de toda la situación práctica para concentrarte en la expresión matemática; todo lo que no es necesario para resolver el problema deja de interferir con tu mente. Otro famoso científico, Isaac Newton, escribió que El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema del lenguaje coloquial al idioma algebraico. Desafortunadamente no hay una receta infalible para construir la ecuación o las ecuaciones que corresponden a cada problema práctico. Necesitas imaginación e intuición; por lo tanto, requieres mucha práctica y mucho esfuerzo. Como suele suceder en muchos casos, aprenderás más de los errores que de los aciertos. Sin embargo, todo el tiempo que utilices planteando y resolviendo ecuaciones será una valiosa inversión, que te permitirá resolver problemas prácticos en tu vida profesional. 148 Unidad 3: Ecuaciones 3.1 Ecuaciones lineales El álgebra es el instrumento intelectual que se creó para dilucidar el aspecto cuantitativo del mundo. Alfred North Whitehead Introducción n El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema del lenguaje coloquial al idioma algebraico, escribió Newton, en 1707, en su manual de álgebra titulado Aritmética universal. El ejemplo que sigue servirá para mostrarte la enorme utilidad que ofrece el aprendizaje del álgebra: Un reparto equitativo Una empresa que administra servicios informáticos obtuvo ganancias por $140,000.00 en el año fiscal y desea repartir la utilidad entre sus cinco socios. Para decidir qué cantidad corresponde a cada socio, se pretende considerar dos aspectos: el capital aportado y el número de clientes captados por cada socio. La siguiente tabla muestra la distribución por socio. Socio Antonio López Capital aportado Clientes captados $ 10, 000.00 4 Bernardo Sánchez $ 8, 000.00 10 Carmen Martínez $ 50, 000.00 0 Damián Leyva $ 14, 000.00 6 Eunice Bautista $ 18, 000.00 15 Los socios han acordado aplicar alguno de los siguientes criterios para el reparto de las ganancias: 149 3.1 Ecuaciones lineales 1. Repartir el 50% de la utilidad en proporción al capital aportado y el otro 50% en relación con el número de clientes captados. 2. Repartir usando el criterio anterior, pero definiendo cualquiera otra relación porcentual. 3. Repartir en relación con el producto de los dos índices, lo cual quiere decir que Carmen, aunque aportó la mayor cantidad de capital, por no haber captado clientes no le tocaría reparto de ganancias. Las siguientes son sólo algunas de las cuestiones que el álgebra, así como de manera particular el planteamiento adecuado y las correspondientes soluciones de ecuaciones lineales, podrían responder: 1. Si los socios adoptan el primer criterio, ¿cuánto correspondería a cada socio? 2. ¿Cuál de los socios, Bernardo Sánchez o Antonio López, se beneficiaría más con un reparto de ganancias de acuerdo con el 40% en proporción al capital y 60% en relación con el número de clientes captados? Tal vez la solución de problemas como el anterior harían probablemente que coincidieras con la opinión de Ernest Mach, un famoso científico del siglo XIX, quien dijo que el álgebra se caracteriza por un aligeramiento de la mente. En efecto, en la solución de un problema como el propuesto nos “olvidamos” de toda la situación física para concentrarnos en la expresión matemática. Todo cuanto fuese improcedente para resolver el problema dejará de interferir con nuestra mente. Objetivos Al terminar esta sección, serás capaz de: • Determinar la solución de una ecuación lineal. • Definir el concepto de ecuación equivalente y usarlo para resolver ecuaciones lineales. • Plantear y resolver problemas donde sea necesario el uso de ecuaciones lineales. Ecuación lineal Una ecuación lineal es una ecuación de la forma: ax + b = 0 , ( a ≠ 0 ) La única solución de la ecuación lineal es: x= −b a 150 Unidad 3: Ecuaciones que se obtiene al transformar la ecuación original en ecuaciones equivalentes (ecuaciones que tienen la misma solución) hasta obtener el valor de la variable x. También se −b dice que el conjunto solución de la ecuación lineal es ⎧⎨ ⎫⎬ ⎩ a ⎭ El procedimiento ordinario para la resolución de las ecuaciones lineales más complicadas consiste en trasladar al primer miembro de la ecuación todos los términos que contienen a x como factor, y al segundo todas las constantes. Entonces la ecuación se escribiría en la forma: cx = d en donde d y c son constantes y c no es 0. En este caso, la única solución será x = d/c. Ejemplos Ejemplo 1 Resolver la ecuación: (x + 1)(2x + 3) = 2x2 + 8 x + 5 solución Desarrollando el producto del miembro izquierdo, se obtiene: 2 x 2 + 5x + 3 = 2 x 2 + 8x + 5 eliminando el término 2x2, resulta: 5x + 3 = 8x + 5 trasponiendo 8x y la constante 3, se tiene: 5x − 8x = 5 − 3 simplificando y despejando x, obtenemos la solución de la ecuación lineal. −3 x = 2, x = −2 / 3 ⎧ −2 ⎫ así, el conjunto solución de la ecuación es ⎨ ⎬ . ⎩3 ⎭ Ejemplo 2 Determinar la raíz de la ecuación siguiente: 3 4 = x − 5 2 − 3x 151 3.1 Ecuaciones lineales solución Primero multiplicamos ambos términos por (2 − 3 x )( x − 5) ; simplificando, se obtiene: 3(2 − 3 x ) = 4( x − 5) 6 − 9 x = 4 x − 20 −9 x − 4 x = −20 − 6 −13 x = −26 −26 x= −13 x=2 Ejemplo 3 Despejar x en la ecuación: ay 2 x + y 2 − 2 ay + 2 ax = ayx − 4 ay + 2 a + ax + 2 ay 2 + y − 1 solución Se trasladan al primer miembro todos los términos en x y al segundo todos los que no lo contienen, con lo cual se obtiene: ay 2 x + 2 ax − ayx − ax = − y 2 + 2 ay − 4 ay + 2 a + 2 ay 2 + y − 1 factorizando los términos con x, resulta: ( ay 2 + 2 a − ay − a) x = − y 2 + 2 ay − 4 ay + 2 a + 2 ay 2 + y − 1 después de factorizar el término del lado derecho y simplificar la solución es: y 2 (2 a − 1) − y(2 a − 1) + (2 a − 1) a( y 2 − y + 1) (2 a − 1)( y 2 − y + 1) = a( y 2 − y + 1) 2a − 1 = a x= Ejemplo 4 Raúl visitó Atenas en los Juegos Olímpicos de 2004. Al llegar al aeropuerto rentó un automóvil compacto por $750 diarios, más $5 por kilómetro recorrido. Si Raúl tiene un presupuesto de $1,800 por día, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer cada día? 152 Unidad 3: Ecuaciones solución El costo de recorrer x kilómetros, considerando la renta del auto, es: C( x ) = 750 + 5 x como el presupuesto de Raúl es de $1,800, se tiene: 1800 = 750 + 5 x 1800 − 750 = 5 x 1800 − 750 x= 5 x = 210 por lo tanto, Raúl puede recorrer 210 km. Ejemplo 5 La edad de Jorge es el triple de la edad de su hijo Gerardo. La edad que tenía Jorge hace cinco años era el doble de la edad Gerardo dentro de 10 años. ¿Cuáles son las edades actuales de Jorge y Gerardo? solución Supongamos que x es la edad de Gerardo; la primera condición indica que Jorge tiene una edad tres veces mayor, es decir, la edad de Jorge es 3x. El mismo Jorge tenía una edad de 3x − 5 hace cinco años. La edad de Gerardo dentro de 10 años será x + 10. La segunda condición del problema se puede escribir como: 3 x − 5 = 2( x + 10) reuniendo los términos con la variable en el lado izquierdo y simplificando, se tiene: 3 x − 5 = 2 x + 20 3 x − 2 x = 20 + 5 x = 25 es decir, Gerardo tiene 25 años y Jorge 75. 153 3.1 Ecuaciones lineales Ejercicios y problemas 1 1 =2+ 1. Considera las ecuaciones: x + 1 = 2 y x + 1 + . ¿Tienen el mismo conjunto solux −1 x −1 ción? −b 2. Se ha indicado que el conjunto solución de la ecuación ax + b = 0, (a ≠ 0) es ⎧⎨ ⎫⎬ , ¿qué ocurre si a ⎭ ⎩ a = 0? 3. Encuentra el valor de x que resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 3 = 2 x − 5 5 + 2x 7 − 6x b) = 3 4 c) 3 x − 5(1 − x ) = x − 2( x + 1) + 4 4 2 d) = x 5x − 3 3 4 e) = x − 5 2 − 3x 2 5 f) + 4 = +1 3x x 6x 3x + 1 g) = 4x − 5 2 + 2x 4x − 1 2x + 1 = h) 2x + 3 x 3 ( x + 1 ) − ( x − 1)3 = 6 x ( x − 3) + 2 i) 1 1 3 j) + = 2 x+2 x−3 x − x−6 4. Carlos y Juan pueden levantar una barda en seis horas trabajando conjuntamente. Juan trabaja dos veces más rápido que Carlos. Si solamente trabaja Carlos, ¿en cuánto tiempo terminará de levantar la barda? 5. Un estudiante gasta $500 en herramientas necesarias para producir velas de diferentes tipos. Si para elaborar cada vela requiere además de $8 en material y si la puede vender en $15. ¿Cuántas velas debe producir para obtener una ganancia de $550? 6. Juan invierte una cantidad al 7% de interés anual, invierte el doble de esa cantidad al 6% anual. Su ingreso total anual por concepto de intereses generados por las dos inversiones es de $44,650. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 7. Un fabricante gasta $20,000 en herramientas necesarias para producir cierto artículo doméstico. Si producir cada artículo requiere de $2 en material y mano de obra y todo artículo producido se puede vender a $2.50. ¿Cuántos artículos debe producir el fabricante para obtener $25,000 de utilidad? 154 Unidad 3: Ecuaciones 8. Juan se dedica a la compra-venta de autos usados. En su última operación compró dos automóviles Chevy y se gastó $80,000, posteriormente los vendió obteniendo una utilidad total de $5,400. Si ganó en uno 8% y perdió en el otro 2% del precio de compra. ¿Cuánto le costó cada automóvil? 9. En la tienda de la esquina se ofrece 30% de descuento en el frasco de café “La Oaxaqueña” y, aun así, se obtiene una utilidad del 10%. Si al tendero le cuesta $28 el artículo, ¿cuál debe ser el precio con el que debe marcar el frasco? 10. Francisco ha decidido invertir una cantidad en el Banco Nacional a una tasa de interés del 6% anual, y el doble de esa cantidad en el Banco Mundial a una tasa del 8%. Si al terminar el año tiene una ganancia de $22,000, ¿cuánto invirtió en cada banco? 11. Raúl sale de la ciudad de México hacia Acapulco a las 6 de la mañana a una velocidad constante de 80 km/h. Una hora después sale del mismo lugar y también dirigiéndose a Acapulco su amigo Carlos. Si Carlos mantiene una velocidad constante de 110 km/h, ¿a qué distancia alcanzará a Raúl? 12. La tienda de electrodomésticos redujo el precio de una televisión de color en un 25%, ¿cuál es el precio original de la televisión si el precio de la oferta es de $1,200? 13. Carlos elaboró un libro de matemáticas para la empresa editora Pearson. La compañía ofrece un pago único de $60,000 o $5,000 más 10% de regalías por copia vendida. Si el precio de venta del libro es de $180 y se esperan vender 3000 copias del libro, ¿qué plan le sugieres elegir a Carlos? 14. El club de tenis “Océano Pacífico” ofrece dos planes de pago para sus miembros. El plan I es un pago mensual de $250, más $10 pesos por hora de renta de la cancha. El plan II no tiene pagos mensuales, pero la hora de renta de la cancha es de $18.50, ¿cuántas horas tendrá que jugar Jorge para que le convenga el plan I? 15. Una tienda de electrónica se encuentra en liquidación de equipos. La primera semana reduce sus precios en un 10%, en la segunda semana reduce $50 cada artículo que vende. Si Raúl compró una calculadora graficadora por $490 durante la segunda semana, encuentra el valor original de la calculadora. 16. Encuentra dos números tales que su suma sea 508 y el triple del menor exceda al mayor en 100. 17. Determina dos enteros consecutivos con la propiedad de que la diferencia de sus cuadrados sea 57. 18. El largo de un jardín es el doble del ancho. Si el largo se disminuye en seis metros y el ancho aumenta en cuatro metros, la superficie del jardín no cambia. Determina las dimensiones del jardín. 19. Juan compró un perro y su collar en $5,400, si el perro costó ocho veces más que el collar determine el valor del perro y del collar. 20. Armando y Manuel, trabajando juntos, pueden hacer una puerta de madera en ocho horas, pero si Armando requiere 12 horas para construir la misma puerta trabajando solo, ¿cuánto tiempo necesita Manuel para elaborar una puerta sin ayuda de Armando? 3.1 Ecuaciones lineales Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes: 1. Un reparto equitativo, presentado en la introducción de la sección. 2. Lo que el álgebra puede hacer por el anticongelante. Ocasionalmente las fábricas de automóviles cometen errores que resultan muy costosos para sus empresas. Por ejemplo, recientemente una fábrica de automotores no cumplió con las normas de concentración de anticongelante al llenar equivocadamente los radiadores, con capacidad de 10 litros, de un lote de 1000 autos compactos. Se utilizó una mezcla que contenía 20% de anticongelante y 80% de agua. No obstante, una especificación de fabricación señala que, de los 10 litros, el 50% debe ser anticongelante y el otro 50% debe ser agua. Para corregir este error es necesario extraer parte de la mezcla y reemplazarla con anticongelante para que la mezcla resultante cumpla con la citada especificación. a) El supervisor de turno propone manejar la situación de la siguiente manera: sacar cinco litros de la mezcla y sustituirlos por cinco litros de anticongelante. ¿Qué inconveniente le encuentras a esta solución? ¿Cuál es el costo del reemplazo de la mezcla según la propuesta del supervisor? b) Discute alternativas a la solución propuesta por el supervisor; además indica ventajas y desventajas. La discusión debe incluir aspectos económicos y éticos de las alternativas propuestas. c) Halla la estrategia que reduzca el costo de la empresa al mínimo y que cumpla con las especificaciones de la fábrica. d) Calcula el ahorro entre las propuestas de los incisos a) y c). 3. La tumba de Diofanto. En la tumba de Diofanto (matemático griego) se escribió el siguiente epitafio. Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar la duración de su vida. La primera sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además otra duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Éste entregó su cuerpo y su existencia habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. a) ¿A qué edad murió Diofanto? b) ¿A qué edad murió su hijo? c) ¿Cuántos años duró su matrimonio? d) ¿Cuál era la edad de Diofanto cuando nació su hijo? e) ¿Cuándo se cubrió de vello su barba? f) ¿Cuánto duró su infancia? 155 156 Unidad 3: Ecuaciones 1. Indica la opción que contiene la solución de la ecuación x + 3 = 2x − 5. a) −8 b) −2 c) 8 d) 8/3 2. Halla la opción que contiene el conjunto solución de la ecuación: 2x 3 −2= x −1 x +1 a) {−1, 1} b) No tiene solución c) {0, 3/2} d) {5} 3. Una mezcla de 16 litros de alcohol y agua contiene un 25% de alcohol. Escoge la opción que indica el número de litros de alcohol que deben añadirse para obtener una mezcla que contenga el 50% de alcohol. a) 8 litros b) 6 litros c) 10 litros d) 7 litros 4. Determina dos enteros consecutivos con la propiedad de que la diferencia de sus cuadrados sea 151. a) 85 y 86 b) 74 y 75 c) 84 y 85 d) 75 y 76 5. Encuentra en la columna B las soluciones de las ecuaciones lineales que aparecen en la columna A. 157 3.1 Ecuaciones lineales Columna A Columna B a) 3( x + 5) − 4 x + 2 = x − 21 i. x = 1 4( x + 7) 3(5 x + 4) + = 9x 3 7 5 2 c) = 2( x − 5) 7 − x 7x − 3 2 3 d) 2 = + x + x x x +1 ii. x = −5 b) iii. x = 19 iv. x = 55/9 v. x = 2.5 vi. x = 0.666 vii. x = 2 viii. x = −5/7 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. No. La primera ecuación tiene solución x = 1; la segunda no tiene solución. 2. La ecuación se reduce a b = 0. 3. a) x = 8 b) x = 1/26 c) x = 7/9 d) x = 2/3 e) x = 2 f) x = 13/9 g) x = −5/23 h) x = −1/3 i) x = 0 j) x = 2 4. 18 horas 5. 150 6. $235,000 y $470,000 7. 90,000 8. $70,000 y $10,000 158 Unidad 3: Ecuaciones 9. $44.00 10. $100,000 y $200,000 11. A 293.33 km de la Ciudad de México 12. $1,600 13. Aceptar los $60,000 14. 30 o más horas 15. $600 16. 152 y 356 17. 28 y 29 18. 12 y 24 metros 19. $600 y $4,800 20. 24 horas Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. c d a d (a, iii), (b, vii), (c, iv), (d, v) 159 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Con las rectas no hay una segunda vez, si se encuentran será solamente una vez; si reinciden, es para siempre y desde siempre. Introducción El álgebra dio lugar a un cambio radical en las condiciones del trabajo matemático, porque permitió reemplazar, mediante el trazo escrito, ciertos usos de la memoria humana. Pero no fue esa su única aportación, el álgebra también hizo posible la determinación de patrones de conducta de ciertos problemas, que nos permite caracterizarlos y resolverlos de manera más general a partir del análisis de las variables que intervienen, es decir, su uso no se restringe a la manipulación algebraica, sino a la modelación y caracterización de fenómenos en los que intervienen más de una incógnita. En el trabajo matemático, de manera frecuente encontramos que la relación entre dos cantidades está dada a través de una fórmula. Así, sabemos que para conocer cuánto mide el contorno de un círculo se parte de la fórmula: p = 2πr, y de medir su radio. Si el radio de la circunferencia que nos interesa es de un metro, su perímetro o contorno será de 2π metros o de 6.28 metros, aproximadamente, pero si el radio es de 4.5 metros, su perímetro o contorno será de 9π metros o, de forma aproximada, de 28.27 metros, es decir, hacemos uso de una relación entre dos variables, en donde el cambio en una introduce una modificación en la otra: una de ellas “varía” conforme “varía” la otra. A una de tales variables la denotamos r (radio) y a la otra p (perímetro). Círculos Radio (m) Perímetro aprox. (m) 0.3 1.88496 1 6.28319 1.5 9.42478 2 12.56637 2.34 14.70265 10 62.83185 21.3 133.83185 160 Unidad 3: Ecuaciones Para analizar mejor este fenómeno, tenemos que ser capaces de imaginarnos que hay muchos círculos con diferente radio y, por lo tanto, también con diferente perímetro. La ecuación p = 2πr establecería la relación entre el radio y el perímetro de todos los círculos que podamos imaginar que existen. En la siguiente tabla te esbozamos algunos de los círculos que nos imaginamos, ¿es posible que te imagines más? Sin embargo, hay muchas relaciones en las que una variable puede modificar a otra. Así, si nuestro interés no hubiera estado en el contorno del círculo, sino en la superficie del círculo, entonces nos hubiéramos concentrado en el análisis de otra variable y requeriríamos de otra fórmula, la del área: a = πr2. Necesitaremos también la existencia imaginaria de muchos círculos. Pero, en este caso, aprovechemos los ya imaginados. Círculos Radio (m) Área aprox. (m2) 0.3 0.28274 1 3.14159 1.5 7.06858 2 12.56637 2.34 17.20210 10 314.15926 21.3 1425.30917 Aunque las relaciones son diferentes (¿por qué podemos considerarlas matemáticamente diferentes?), una de las variables es la misma: el radio del círculo, es decir, al variar el radio de un círculo, varía también su perímetro, pero lo mismo ocurre con su área. Observemos y comparemos los valores del área con los valores del perímetro en los diferentes círculos: • En los círculos con radio de 0.3, de 1 y de 1.5, el perímetro es mayor que su área. (¿Te esperabas eso?) • En un círculo con un radio de 2, el perímetro y el área son iguales. • En los círculos con radio de 2.34, 10 y 21.3, el perímetro es menor que su área. (¿Ocurrirá lo mismo con otros valores mayores a estos?) Esta comparación propicia más preguntas; por ejemplo, ¿hay otros círculos con radio diferente a 2 metros para los que su área y su perímetro sean iguales? O bien, ¿cómo probaríamos la hipótesis de que en círculos en donde su radio tenga valores mayores a dos, siempre el área será mayor que su perímetro? La discusión que tuvimos es insuficiente para responder tal tipo de cuestiones, que se resuelven a través del análisis matemático de las relaciones 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales establecidas, y que, aunque importante, no se puede restringir a un análisis aritmético, porque requiere un trabajo algebraico más profundo. En esta situación hipotética con diferentes círculos, observamos que en una misma circunstancia podemos manejar diferentes tipos de variables y de relaciones, dependiendo de cuál sea nuestro interés. Así, por ejemplo, tal vez estemos interesados en rodear con un hilo una circunferencia con cierto radio (en tal caso, nos importará el perímetro) o en saber cuánto papel requerimos para recortar un círculo con un cierto radio (en tal caso, nos concentraríamos en el área) o por el valor del radio que hace que el área y la circunferencia sean iguales, por simple curiosidad. A partir de una sola situación es posible establecer muchas variables y muchas relaciones, lo que va a guiar nuestro análisis será el contexto en el que estemos insertos. También en este análisis observamos que las ecuaciones que describen el área y el perímetro son diferentes. La diferencia principal es que a pesar de que ambas tienen una misma variable, el radio, en las fórmulas que usamos, ésta aparece con diferente exponente. Esto es, el grado de la ecuación del perímetro es 1; en cambio, el grado de la ecuación del área es 2 (porque en este último caso la variable radio está elevada al cuadrado, algo que no ocurre en la primera fórmula). En este apartado nos restringiremos al análisis de ecuaciones lineales, es decir, aquellas en donde las relaciones entre las variables establecidas tengan como grado máximo 1; sin embargo, introduciremos un análisis algebraico que permita sondear problemas con dos o más variables y que logren conducir al análisis de otras ecuaciones con mayor grado. El siguiente problema servirá como preámbulo para el estudio de las ecuaciones lineales y para distinguir el tipo de problemas que es posible resolver a través de ellas. Moira y Eris Moira salió de Acapulco en su automóvil a las 6:00 de la mañana de ayer, con una velocidad de 80 km/h, hacia el DF, que está a 434 kilómetros de Acapulco por la carretera libre. Al mismo tiempo que Moira salía de Acapulco, Eris salió en su automóvil del DF hacia Acapulco, con una velocidad de 60 km/h. Ambas viajaron por la carretera libre y mantuvieron sus velocidades constantes. Algunas de las preguntas que nos podemos hacer en el contexto aritmético son las siguientes: 1. Dos horas después de haber salido, a las 8:00 de la mañana, ¿a qué distancia estaba Moira de Acapulco? ¿Del DF? ¿A qué distancia se hallaban separadas Eris y Moira en la carretera? Contesta las mismas preguntas cuando las jóvenes tengan cuatro horas de haber salido, a las 10:00 de la mañana. Desde la perspectiva algebraica, nuestras preguntas serían: a) t horas después de haber salido, ¿a qué distancia estaba Moira de Acapulco? ¿Del DF? ¿A qué distancia estaba Eris del DF? ¿De Acapulco? ¿Qué distancia separaba a Eris y a Moira en la carretera? ¿Qué valores puede tomar t para que estas expresiones tengan sentido? ¿A qué horas corresponden del día de ayer? 161 162 Unidad 3: Ecuaciones Nuestras preguntas son: • ¿A qué hora se cruzaron Eris y Moira en la carretera? ¿A qué distancia de Acapulco ocurrió su feliz encuentro? Objetivos Al terminar esta sección, serás capaz de: • Definir e identificar un sistema de ecuaciones lineales en un contexto dado. • Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por diferentes métodos. • Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. • Resolver problemas que requieran el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones lineales con varias variables Las ecuaciones lineales también son llamadas ecuaciones de primer grado, porque el grado máximo de cualquiera de sus términos es 1. Tales ecuaciones relacionan entre sí una o más variables. Comenzaremos el análisis con las ecuaciones lineales más simples: con las que tienen dos variables. Una ecuación que puede escribirse de la forma: ax + by + c = 0 con a y b ≠ 0 es una ecuación lineal con dos variables. A esta forma se le llama forma general. A una ecuación lineal con dos variables también se le denomina ecuación de primer grado con dos incógnitas, porque el grado máximo de esta ecuación es 1 y porque las variables, en ciertos casos, fungen como incógnitas, es decir, como números desconocidos. Del mismo modo, existen otras formas en las que comúnmente encontramos a la ecuación lineal; entre ellas: y = ax + b o bien ax + by = c Una ecuación lineal con dos variables tiene un número infinito de soluciones. Todos aquellos valores, tanto para x como para y, que hacen que se cumpla la igualdad. Así, por ejemplo, en la ecuación: y − 2x = 3 la igualdad se cumple cuando x = 1 y y = 5 (¡compruébalo!, sustituye ambos valores en la ecuación), pero también cuando x = −1 y y = 1 o cuando x = −35 y y = −67. Las soluciones de las ecuaciones de dos variables, entonces, están dadas por dos valores, uno para cada una de las variables, a los que comúnmente se les escribe en forma de pares 163 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales ordenados: (1, 5), (−1, 1) y (−35, −67), donde el primer elemento se corresponde con la variable x y el segundo con la y. Hay muchos más pares ordenados que cumplen con esa igualdad: (0.1, 3.2), (π, 2π + 3), (−1.41, 0.18)...; como habíamos dicho, un número infinito de soluciones. Aunque es necesario escribir las soluciones de las ecuaciones en forma de pares ordenados, una solución queda automáticamente establecida cuando una de las dos variables queda definida. Así, por ejemplo, cuando definimos a x con valor 3, y debe tener valor 9 para que la igualdad se cumpla; la solución sería (3, 9). Si y toma el valor de 10, entonces x debe valer 3.5; en ese caso, la solución sería (3. 5, 10). No sería posible representar todas las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas de manera aritmética, pues nunca terminaríamos de numerarlas todas. Hay una forma más sencilla de representar muchos de estos pares ordenados, aunque difícilmente todos, que es a través de su representación gráfica. La representación gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una línea recta (de ahí el nombre de estas ecuaciones), en donde cada punto de la gráfica representa un par ordenado. Cada punto de la gráfica representa un par ordenado, así que una recta es la unión de un número muy grande de pares ordenados; por lo tanto, también representa muchas soluciones de la ecuación y − 2 x = 3 Pero hay una sola forma de representar todos los pares posibles: «para cualquier valor de x, y valdrá 2x + 3», puesto que para conocer cuánto vale y, dado el valor de x, bastará con sustituir x en 2x + 3. De modo que una forma más general de escribir todas las soluciones de la ecuación será a través de la misma ecuación: y = 2x + 3 10 Gráfica de y − 2x = 3 6 4 (−1, 1) −8 −6 −4 (3, 9) 8 (1, 5) 2 −2 −2 2 4 6 8 10 −4 (−4, −5) −6 −8 −10 Figura 3.1 Gráfica de la recta y − 2x = 3 164 Unidad 3: Ecuaciones Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas Dos ecuaciones de primer grado, con dos variables o incógnitas consideradas conjuntamente, forman un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. Suele escribirse en la forma: a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Nuestro objetivo en un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas generalmente es conocer el valor de incógnitas que hace que las dos ecuaciones se cumplan. El par ordenado que satisface ambas ecuaciones será la solución del sistema de ecuaciones. Por ejemplo, si elegimos otra ecuación diferente a la manejada antes: 3 x + 4 y = 24 Ésta también tendrá un número infinito de pares ordenados, que harán que la igualdad se cumpla: (0, 6), (2, 4.5), (−1, 6.75), (4, 3) (8, 0), ..., y también tendrá como gráfica una línea recta: 10 8 (−1, 6.75) 6 4 (0, 6) (2, 4.5) 2 −8 −6 −4 −2 −2 (8, 0) 2 4 6 8 10 −4 3 + y = 24 −6 −8 −10 Figura 3.2 Gráfica de la recta 3x + 4y = 24 Cada una de las dos ecuaciones, tanto y − 2 x = 3 como 3 x + 4 y = 24 , tienen un número infinito de soluciones y una línea recta como representación gráfica, pero sólo una 165 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales solución común. Es decir, hay un solo par de números que hacen que las dos igualdades se cumplan. Esto se vislumbra mejor si graficamos ambas ecuaciones en un solo sistema de ejes cartesianos. Se observa que cada una de las gráficas es independiente, pero tienen un punto en común, que es aquel en el que ambas rectas se intersecan. Por lo tanto, todos los pares ordenados que constituyen cada recta son diferentes, excepto uno de ellos, que estará dado por las coordenadas del punto de intersección de las rectas: 3x + 4y = 24 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 y − 2x = 3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 Figura 3.3 Único punto en común a las dos rectas (sus coordenadas serán el único par ordenado que cumplirá con las dos ecuaciones). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La intersección de las rectas y − 2x =3, 3x + 4y = 24. A través de la gráfica, incluso podemos determinar, de manera aproximada, cuáles con las coordenadas de ese punto y, por lo tanto, el valor aproximado de x y y con el que las dos igualdades se cumplen. En resumen, en un sistema de ecuaciones de dos variables el objetivo principal es encontrar: 1. Las coordenadas del punto en el que se intersecan las dos rectas. 2. El valor de x y el valor de y, que hacen que las dos igualdades se cumplan. El principio básico es que ambas ecuaciones tienen un número infinito de soluciones (tantos como puntos tiene su gráfica), pero queremos conocer aquella solución que sea común a las dos ecuaciones (o un punto común a las dos gráficas). 166 Unidad 3: Ecuaciones Métodos de solución Como ya mencionamos, una forma aproximada de conocer el punto común a las dos rectas es a través de la gráfica de las dos ecuaciones. Aparentemente el punto común a las dos gráficas que nos ocupan es (1, 5). Comprobémoslo: El par ordenado (1, 5) debe satisfacer las ecuaciones; por lo tanto, si sustituimos x = 1 y y = 5, en ambas ecuaciones, se debe cumplir la igualdad: • y − 2x = 3 5 = 2(1) + 3 5=5 • 3 x + 4 y = 24 3(1) + 4(5) ≠ 24 23 ≠ 24 Sí cumple con la igualdad No cumple con la igualdad Por lo tanto, el punto (1, 5) no es solución para las dos ecuaciones, sino sólo para la primera. A pesar de ello, el punto (1,5) está muy próximo a una solución de la segunda ecuación, puesto que 23 es cercano a 24. De modo que podemos probar otras aproximaciones a través de una tabla, proponiendo valores cercanos a 1 para x y encontrando cuál sería el valor de y que satisface cada una de las ecuaciones. Es necesario, para ello, despejar y de ambas ecuaciones. x x 0.9 1 1.1 1.2 y = 2x + 3 y = 2x + 3 4.8 5 5.2 5.4 y – x 3 x 4 5.325 5.25 5.175 5.1 y=6− En esta tabla se muestran diversas soluciones para ambas ecuaciones. Ninguna de esas soluciones es la solución del sistema de ecuaciones, puesto que ninguno de los pares ordenados son iguales en ambas ecuaciones; sin embargo, se deduce que un valor de 1.1 para x es una mejor aproximación a la solución que 1, puesto que (1.1, 5.2) está más próximo a (1.1, 5.175) que (1, 5) a (1, 5.25). De manera que encontraríamos una mejor aproximación si damos valores a x, ahora alrededor de 1.1, de la misma forma que lo hicimos alrededor de 1. Aun cuando el método gráfico es muy útil para comprender uno de los significados de la solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, no nos proporciona una solución muy precisa. El método aritmético brinda una solución más exacta, pero es necesario un tanteo sistemático para encontrarla. El álgebra, en cambio, nos proporciona métodos con los que es posible hallar de una manera más rápida esa solución. Todos los métodos algebraicos se basan en reducir el problema a una ecuación que tenga una sola incógnita, siguiendo el principio básico de que buscamos la solución 167 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales que sea común a ambas ecuaciones, y tienen nombres que siguen al pie de la letra el procedimiento que se debe llevar. Método de igualación El método consiste en igualar las dos ecuaciones. Para ello, es necesario despejar previamente la misma variable de ambas ecuaciones. Ejemplifiquemos el procedimiento: La primera ecuación es: La segunda ecuación es: y − 2x = 3 3 x + 4 y = 24 Despejamos y: Despejamos y: y=6− y = 2x + 3 3 x 4 Recordemos que las y de ambas ecuaciones deben ser iguales: y=y Por lo tanto: 2x + 3 = 6 − 3 x 4 De aquí, ya podemos despejar x: 3 x = 6−3 4 11 x=3 4 12 x= 11 2x + Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones donde y está despejada: y = 2x + 3 12 y = 2⎛ ⎞ + 3 ⎝ 11 ⎠ y= 57 11 Comprobemos la solución en las ecuaciones originales: 57 12 − 2⎛ ⎞ = 3 ⎝ 11 11 ⎠ 12 57 3⎛ ⎞ + 4⎛ ⎞ = 24 ⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠ 57 24 − =3 11 11 36 228 + = 24 11 11 33 =3 11 264 = 24 11 168 Unidad 3: Ecuaciones La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado: ⎛ 12 , 57 ⎞ ⎝ 11 11 ⎠ es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. ( ) En forma decimal, la solución es 1.09, 5.18 , muy próxima a la que ya habíamos encontrado. Pero como la solución es un número decimal periódico, no es posible encontrar la solución exacta a través del método numérico, sólo hallaremos aproximaciones. El procedimiento seguido hubiera sido el mismo si originalmente hubiéramos despejado x en ambas ecuaciones. Método de sustitución El método consiste en sustituir una de las dos variables en la otra ecuación. Para ello, al menos una de las dos ecuaciones debe tener despejada una de las dos variables. Veamos un ejemplo diferente: La primera ecuación es: La segunda ecuación es: 4 x − 3 y = 11 11x + 6 y = 16 Despejamos x de la primera ecuación: 3 11 y+ 4 4 Sustituimos x en la segunda ecuación: x= 3 11 11⎛ y + ⎞ + 6 y = 16 ⎝4 4⎠ Despejamos y de esta ecuación resultante: 33 121 y+ + 6 y = 16 4 4 33 121 y+ + 6 y = 16 4 4 33 121 y + 6 y = 16 − 4 4 57 57 y=− 4 4 y = −1 Sustituimos el valor de y para encontrar el valor de x en la primera ecuación ya despejada: x= 3 11 ( −1) + 4 4 x=2 169 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Comprobemos la solución en las ecuaciones originales: 4(2) − 3( −1) = 11 11(2) + 6( −1) = 16 8 + 3 = 11 22 − 6 = 16 La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado: (2, −1) es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. En este método hubiéramos podido escoger cualquiera de las dos ecuaciones para despejar cualquiera de las dos incógnitas y después sustituir en la otra ecuación. Pero hay que tener cuidado de despejar de una ecuación y sustituir en la otra ecuación. Si se sustituye en la misma ecuación de la que se despeja, no se involucran las dos ecuaciones en la solución; por lo tanto, sólo se destruirá el proceso realizado, porque la igualdad resultante será cierta para cualquier valor de la variable. Método de suma y resta, reducción o eliminación La intención en este método es reducir el sistema a una ecuación con solución obvia. Una de las dos variables se elimina sumando o restando una ecuación a la otra. Para lograrlo, es necesario reemplazar una o ambas ecuaciones originales del sistema con ecuaciones equivalentes, en donde la incógnita que se quiere reducir esté en condiciones de que, al sumarlas o restarlas, efectivamente la incógnita sea eliminada. Ilustremos este método con otro ejemplo: La primera ecuación es: 5 x = 13 − 3 y La segunda ecuación es: 7 x = 5 y + 18 Es conveniente que las ecuaciones estén en la forma ax + by = c: 5 x + 3 y = 13 7 x − 5 y = 18 Se analizan ambas ecuaciones y se selecciona la variable que se vaya a “eliminar”. El criterio de selección habrá de definir cuál de las dos variables ofrece mayor facilidad para que, al ser multiplicada por un factor, se logre que tenga coeficientes simétricos en las dos ecuaciones del sistema. En este caso, los coeficientes de y tienen signo contrario, así que para que al ser sumadas ambas ecuaciones se elimine la variable y, será necesario multiplicar cada una de las ecuaciones por un número, de manera que esta variable tenga el mismo coeficiente, pero de signo contrario. Se multiplica la ecuación por 5: 25 x + 15 y = 65 Se multiplica la ecuación por 3: 21x − 15 y = 54 170 Unidad 3: Ecuaciones Las ecuaciones resultantes son equivalentes a las originales; entonces, lo importante es que la variable y tiene coeficientes simétricos, por lo que al sumar ambas ecuaciones se “eliminará” la variable y: + 25 x + 15 y = 65 21x − 15 y = 54 46x = 119 De la ecuación resultante, ya es posible despejar x: x = 119 46 119 ⎞ 5⎛ = 13 − 3 y ⎝ 46 ⎠ 595 = 13 − 3 y 46 3y = 595 − 13 46 3y = 3 46 y= 1 46 Comprobemos la solución en las ecuaciones originales: 1 119 ⎞ 5⎛ = 13 − 3⎛ ⎞ ⎝ 46 ⎠ ⎝ 46 ⎠ 1 119 ⎞ 7⎛ = 5⎛ ⎞ + 18 ⎝ 46 ⎠ ⎝ 46 ⎠ 595 3 = 13 − 46 46 833 5 = + 18 46 46 595 595 = 46 46 833 833 = 46 46 La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado: ⎛ 119 , 1 ⎞ ⎝ 46 46 ⎠ es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. Este método es el menos rutinario, porque exige un análisis previo de las ecuaciones, pero una vez que te has familiarizado con él resulta el más fácil de realizar, pues el despeje de la incógnita no eliminada es inmediato. Método de determinantes Este método hace uso de herramientas matemáticas que permiten la solución de sistema de ecuaciones de manera rutinaria y general: las matrices, y más específicamente del concepto de determinante. 171 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Una matriz es un arreglo de números que permitirá representar un sistema de ecuaciones de manera simplificada a través de los coeficientes de sus variables. En general, los coeficientes de la variable x se colocan en la primera columna y los de la variable y en la segunda columna. Asimismo, los coeficientes de la primera ecuación están en el primer renglón y los de la segunda ecuación en el segundo renglón, de manera que la ubicación de los números permite reconstruir fácilmente el sistema de ecuaciones. Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema de ecuaciones: ⎡2 3 ⎤ ⎢1 −5⎥ ⎣ ⎦ 2 x + 3y = 7 x − 5 y = −3 De manera general, la matriz de un sistema de dos por dos (dos ecuaciones con dos incógnitas), se representa de la siguiente manera: Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema: a1 x + b1 y = c1 ⎡ a1 ⎢a ⎣ 2 a2 x + b2 y = c2 b1 ⎤ b2 ⎥⎦ Cabe decir que para usar este método debemos tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. ⎡ a1 El valor del determinante de una matriz de dos por dos, ⎢ ⎣a2 za con la letra D y está dado por el número a1b2 − a2b1 b1 ⎤ , se simbolib2 ⎥⎦ Una forma de recordar cómo se calcula el valor del determinante de una matriz de dos por dos es: Entonces, el determinante de la matriz del sistema del ejemplo anterior sería: Matriz del sistema: ⎡2 3 ⎤ ⎢1 −5⎥ ⎣ ⎦ Ds = −10 − (3) = −13 172 Unidad 3: Ecuaciones Pero, ¿cuál es el objetivo de calcular ese número? ¿Qué nos indica el −13? La regla de Cramer establece que para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones es necesario establecer varias matrices: la matriz del sistema y una matriz por cada variable que tengamos. El valor de cada variable estará dado por el cociente del determinante de la matriz de esa variable entre la matriz del sistema. Para justificar la validez del método bastaría con resolver un sistema general de ecuaciones por cualquiera de los métodos estudiados. Las matrices de las variables se construyen sustituyendo la columna asignada a la variable en cuestión dentro de la matriz del sistema por la columna de los términos independientes del sistema de ecuaciones. Así, para el sistema de ecuaciones que nos ocupa la matriz de cada una de sus variables será: Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema: x 2 x + 3y = 7 y ⎡2 3 ⎤ ⎢1 −5⎥ ⎣ ⎦ x − 5 y = −3 Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema: x 2 x + 3y = 7 ⎡7 3⎤ ⎢−3 −5⎥ ⎣ ⎦ Matriz de la variable y: y ⎡2 3 ⎤ ⎢1 −5⎥ ⎣ ⎦ x − 5 y = −3 Matriz de la variable x: Los determinantes de cada uno de estas matrices serían: Matriz de la variable x: ⎡7 3⎤ ⎢−3 −5⎥ ⎣ ⎦ Dx = −35 − (−9) = −26 Matriz de la variable y: ⎡2 7 ⎤ ⎢1 −3⎥ ⎣ ⎦ Dy = −6 − (7) = −13 ⎡2 7 ⎤ ⎢1 −3⎥ ⎣ ⎦ 173 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Por lo tanto, de acuerdo con la Regla de Cramer, la solución del sistema de ecuaciones sería: x= −26 −13 =2 y y= =1 −13 −13 Comprobemos la solución en las ecuaciones originales: 2 x + 3y = 7 x − 5 y = −3 2(2) + 3(1) = 7 2 − 5(1) = −3 La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado: (2,1) es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. La solución general a un sistema de ecuaciones por el método de determinantes se resume de la siguiente forma: Sistema de ecuaciones: a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Del sistema Matriz: Determinante: ⎡ a1 ⎢a ⎣ 2 De la variable ‘x’ b1 ⎤ b2 ⎥⎦ Ds = a1b2 − a2b1 ⎡ c1 ⎢c ⎣ 2 Solución: x= ⎡ a1 ⎢a ⎣ 2 b1 ⎤ b2 ⎥⎦ Dx = c1b2 − c2b1 x= De la variable ‘y’ Dy = a1c2 − a2c1 Dx Ds c1b2 − c2 b1 a1b2 − a2 b1 La ventaja de esta generalización es que se observa claramente la condición indispensable para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a1b2 − a2 b1 ≠ 0 La presentación de tantos métodos de solución alude a las diferentes formas en que se puede mostrar un sistema de ecuaciones. Regularmente hay un método por el cual el sistema de ecuaciones de interés se logra resolver de una manera más fácil, por lo que constituye un reto saber seleccionar cuál es el método más simple en cada caso particular. Sin embargo, en forma de recomendación general, es preferible hacer uso del método de suma y resta en los casos más complicados y el de determinantes en caso de que los coeficientes de las variables sean otras variables (o parámetros). c1 ⎤ c2 ⎥⎦ y= y= Dy Ds a1c2 − a2 c1 a1b2 − a2 b1 174 Unidad 3: Ecuaciones Tipos de solución La condición que se establece a partir de la generalización de la solución de un sistema de ecuaciones cuestiona el tipo de soluciones que se podrían hallar. ¿Será posible encontrar un sistema de ecuaciones en donde no ocurra que a1b2 − a2 b1 ≠ 0 ? ¿Qué pasa con los otros métodos cuando esto ocurre? ¿Qué significado tiene tal condición? Sabemos que hay dos situaciones bajo las cuales la condición no se cumple: 1. Una de ellas es cuando el sistema de ecuaciones a resolver está constituido por ecuaciones equivalentes y, por lo tanto, el sistema es dependiente. La gráfica de ambas ecuaciones es la misma línea recta. Lo anterior significa que cualquier par ordenado que sea solución de una de las ecuaciones, también lo será de la otra ecuación, por lo que para el sistema de ecuaciones habrá muchas soluciones, tantas como soluciones tenga cada ecuación por separado: un número infinito. 2. La otra ocurre cuando el sistema es inconsistente. Esto significa que no existe una solución que haga que ambas se cumplan. En tal caso, la gráfica del sistema de ecuaciones serán dos rectas paralelas que nunca se juntan; por lo tanto, el sistema de ecuaciones no tiene solución. Daremos un ejemplo para cada caso, usando diferentes métodos de solución. Sistema de ecuaciones dependientes 3x + 2 y = 4 6 x − 8 = −4 y Veremos qué ocurre cuando intentamos resolver este sistema por varios métodos. Método de igualación Método de eliminación Método de determinantes Método numérico y gráfico Despejamos x de ambas ecuaciones: Acomodamos ambas ecuaciones: Acomodamos ambas ecuaciones: Elaboramos una tabla con distintas soluciones de ambas ecuaciones 4 − 2y 3 8 − 4y x= 6 x= 3x + 2 y = 4 3x + 2 y = 4 6x + 4y = 8 6x + 4y = 8 y1 = 4 − 3x 2 x –3 –2 y1 6.5 5 y2 = 8 − 6x 4 y2 6.5 5 175 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Igualamos las dos ecuaciones: 4 − 2y 8 − 4y = 3 6 Multiplicamos por (−2) la primera ecuación para eliminar x: Obtenemos la matriz del sistema y su determinante: −6 x − 4 y = −8 ⎡3 2 ⎤ ⎢6 4 ⎥; Ds = 3*4 − 6*2 ⎣ ⎦ 6x + 4y = 8 Despejamos y: 6( 4 − 2 y) = 3(8 − 4 y) 24 − 12 y = 24 − 12 y –1 0 1 2 3 3.5 2 0.5 –1 –2.5 3.5 2 0.5 –1 –2.5 Ds = 0 Sumamos ambas ecuaciones: −6 x − 4 y = −8 La gráfica de ambas ecuaciones es: 4 6x + 4y = 8 3 0=0 2 1 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 −2 −3 Cualquier valor de y hace cierta la igualdad resultante. Al simplificar se eliminan ambas variables. El determinante del sistema es 0, por lo tanto, el cociente de las soluciones sería 0. No es posible despejar la variable. Da lugar a una igualdad Resulta una indeterque será siempre cierta. minación matemática. Cualquier solución de la primera ecuación, es solución también de la segunda. La gráfica de ambas ecuaciones es la misma. Conclusión: El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones. Esto significa que: 1. Todos los pares ordenados que satisfacen una ecuación también lo harán con la otra. 2. Todos los puntos que pertenezcan a la recta de una ecuación también pertenecerán a la otra. Sistema de ecuaciones inconsistente x + 2y = 8 5 x + 8 = −10 y Veremos qué ocurre cuando intentamos resolver este sistema por varios métodos: 176 Unidad 3: Ecuaciones Método de igualación Despejamos x de ambas ecuaciones: Método de eliminación Método de determinantes Acomodamos ambas ecuaciones: Acomodamos ambas ecuaciones: x = 8 − 2y x + 2y = 8 x + 2y = 8 −8 − 10 y x= 5 5 x + 10 y = −8 5 x + 10 y = −8 Igualamos las dos ecuaciones: Multiplicamos por (−5) la primera ecuación para eliminar x: Obtenemos la matriz del sistema y su determinante: −5 x − 10 y = −16 ⎡1 2 ⎤ ; Ds = 1*10 − 5*2 ⎢5 10 ⎥ ⎣ ⎦ 8 − 2y = −8 − 10 y 5 5 x + 10 y = −8 Método numérico y gráfico Elaboramos una tabla con distintas soluciones de ambas ecuaciones: y2 = x –3 –2 –1 0 1 2 3 Ds = 0 Despejamos y: Sumamos ambas ecuaciones: 5(8 − 2 y) = −8 − 10 y −5 x − 10 y = −16 8− x 2 y1 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 −8 − 5 x 10 y2 0.7 0.2 –0.3 –2.5 –1.3 –1.8 –2.3 La gráfica de ambas ecuaciones es 4 x + 2y = 8 3 5 x + 10 y = −8 40 − 10 y = −8 − 10 y y1 = 2 0 = −24 1 −4 10y − 10y = −8 − 40 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 −2 0 = −48 −3 5x + 8 − 10y −4 Ningun valor de y Al simplificar se hace cierta la eliminan ambas igualdad resultante. variables. El determinante del sistema es 0. Ninguna solución de la primera ecuación es solución de la segunda. No es posible Da lugar a una despejar la variable. igualdad que nunca será cierta. Resulta una indeterminación matemática. Las gráficas de las ecuaciones son líneas paralelas. Conclusión: El sistema de ecuaciones no tiene solución. Esto significa que: 1. Ningún par ordenado hará que se cumplan las dos ecuaciones. 2. Las rectas no se cortan en ningún punto, son paralelas. Entonces, dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos esperar tres resultados, dependiendo del tipo de sistema de ecuaciones con el que nos encontremos: 1. Tendrá una solución si el sistema de ecuaciones es consistente y las ecuaciones que lo forman son independientes. 2. No tiene ninguna solución si el sistema de ecuaciones es inconsistente. 177 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 3. Tendrá un número infinito de soluciones si el sistema es consistente, pero las ecuaciones que lo forman son dependientes. No es posible diferenciar un sistema inconsistente de uno dependiente por el método de determinantes, pero sí hacerlo explorando el sistema con algún otro método. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas La forma general de una ecuación lineal con tres variables es una ecuación que puede escribirse así: ax + by + cz + d = 0 con a, b, c ≠ 0 Una ecuación lineal con tres variables, lo mismo que una de dos variables, tiene un número infinito de soluciones. Todos aquellos valores, para x, y y z que hacen que se cumpla la igualdad. Esta vez cada solución es una terna ordenada: (x, y, z). Su gráfica se traza en un sistema coordenado de tres ejes y es un plano. z x Figura 3.4 y La gráfica de una ecuación lineal de tres variables es un plano Por ejemplo, algunas de las ternas ordenadas que son solución a la ecuación −4 x − 4 y + z + 7 = 0 son (1, 2, 5), (1, 0, −3), (2, 1, 5) y (3, 0, 5), en tanto que el plano de arriba es su representación gráfica. 178 Unidad 3: Ecuaciones Tres ecuaciones de primer grado con tres variables o incógnitas consideradas conjuntamente forman un sistema de ecuaciones lineales con tres variables. Suele escribirse de la forma: a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 El objetivo en un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas generalmente es conocer el valor que tomará cada una de las tres incógnitas para que las tres ecuaciones se cumplan; así, la terna ordenada que satisface las tres ecuaciones será la solución del sistema de ecuaciones. La gráfica de cada ecuación por sí misma es un plano, de modo que la terna ordenada solución al sistema será el punto de intersección de los tres planos. z x Figura 3.5 y La gráfica de tres planos que representan tres ecuaciones lineales. El punto de intersección es la solución del sistema de ecuaciones Sin embargo, como en el caso del sistema de ecuaciones con dos incógnitas, es posible que el sistema de ecuaciones con tres incógnitas sea inconsistente, consistente-independiente y consistente-dependiente. La complejidad de los tipos de soluciones que encontramos es mayor porque son más las posibilidades de intersección de los tres planos: 1. Puede ocurrir que los tres planos coincidan, sean los mismos. Esto significará que las ecuaciones son equivalentes; por lo tanto, el sistema será dependiente y tendrá un número infinito de soluciones porque todas las ternas ordenadas que satisfagan una de las ecuaciones lo harán con las otras dos. 2. Otra posibilidad es que dos de los planos coincidan y el tercero sea paralelo. En tal caso, las primeras dos ecuaciones son equivalentes; por lo tanto, dependientes e inconsistentes con la tercera ecuación. El sistema no tendrá solución porque no hay puntos comunes a los tres planos. 3. Los tres planos pueden ser distintos y paralelos. En tal caso, el sistema es inconsistente y no tiene solución, porque no hay puntos comunes a los tres planos. 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 4. Dos planos pueden ser coincidentes y el tercero cortarlos. Entonces, las dos ecuaciones correspondientes a los planos coincidentes son dependientes y consistentes con la tercera ecuación. En tal caso hay un número infinito de soluciones, dadas por los puntos que satisfacen a la recta en que se cortan los dos planos. 5. Los tres planos se cortan en una misma recta; el dibujo sería semejante a las hojas de una revista. En éste las tres ecuaciones son consistentes, pero dependientes (a pesar de no haber equivalencia), porque el sistema es redundante, puesto que se podría eliminar una ecuación sin afectar el conjunto solución. El número de soluciones es infinito, dadas por los puntos de la recta común a los tres planos. 6. Los tres planos pueden corresponder a las caras de un prisma triangular: se cortan por pares. El corte de cada par de planos es una línea recta que será paralela a la recta formada por otro par de planos. Así, con el corte de los tres planos se forman tres rectas paralelas; por lo tanto, el sistema es independiente, pero inconsistente. El sistema no tiene solución porque no hay puntos comunes a los tres planos. 7. Dos planos pueden ser paralelos y el tercero cortarlos. Así, el sistema es inconsistente e independiente. El sistema no tiene solución porque no hay puntos comunes a los tres planos. 8. Los tres planos pueden cortarse en un punto único, como ocurre con las caras de una pirámide triangular o con las tres paredes perpendiculares de una recámara o una caja. En tal caso, el sistema es consistente e independiente, y tiene una única solución. Dependiendo del tipo de solución, es posible resumir los tipos de soluciones en cuatro casos: 1. No hay ninguna solución cuando se presenta algún tipo de inconsistencia, es decir, cuando no hay puntos comunes a los tres planos y, por lo tanto, no hay valores posibles para las tres variables que hagan que las tres ecuaciones sean ciertas (casos 2, 3, 6 y 7). 2. La solución es un plano cuando las tres ecuaciones son dependientes entre sí, es decir, cuando la gráfica de las tres ecuaciones es un mismo plano; por lo tanto, todas las ternas ordenadas que satisfacen una de las ecuaciones también serán solución de las otras dos. En este caso se afirma que el sistema tiene un número infinito de soluciones y la gráfica de esas soluciones será un plano (caso 1). 3. La solución es una línea recta cuando dos de las ecuaciones que constituyen el sistema tienen algún tipo de dependencia, pero no hay inconsistencia (casos 4 y 5). Las ternas ordenadas que están sobre esa línea recta serán las soluciones al sistema de coordenadas; por lo tanto, también tiene un número infinito de soluciones. 4. La solución es una terna ordenada cuando los tres planos se interceptan (caso 8). En tal caso, el sistema es consistente e independiente. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas Los métodos para encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas son muy parecidos a los vistos para las ecuaciones con dos incógnitas. La lógica que se sigue es la misma: cada ecuación tiene un número infinito de soluciones y tratamos de encontrar alguna solución común a las tres ecuaciones. Como ya se analizó, es posible encontrar diferentes soluciones y darse cuenta de qué tipo de solución se trata. 179 180 Unidad 3: Ecuaciones Dada la complejidad que implica el manejo algebraico de tres incógnitas, reduciremos la exposición de los métodos de solución a dos casos: por reducción o suma y resta, y por determinantes, que son los más sencillos y los más útiles para tratar sistemas de ecuaciones con más incógnitas. Método de suma y resta, reducción o eliminación El principio será el mismo que en el caso de dos variables, sólo que ahora nuestra primera intención es reducir un sistema de tres incógnitas a un sistema de dos incógnitas para, posteriormente, resolver este último sistema, como ya se describió. La mecánica consiste en eliminar una de las tres variables sumando o restando parejas de ecuaciones, dando lugar a un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, que se podrá resolver de la forma vista. Ilustremos este método con un ejemplo. Encontraremos la solución al sistema de ecuaciones: 2 x + 2 y = −2 z −4 y + x + 7 = 5z −3 x + 2 y + 9 z = 4 Es conveniente que las ecuaciones estén en la forma ax + by + cz = d: 1. 2 x + 2 y + 2 z = 0 2. x − 4 y − 5z = −7 3. −3 x + 2 y + 9 z = 4 Se analizan las tres ecuaciones y se selecciona la variable que se vaya a “eliminar”. El criterio de selección es definir cuál de las tres variables ofrece mayor facilidad para que, al ser multiplicada por un factor, se logre que tenga coeficientes simétricos en dos de las ecuaciones del sistema. En este caso, los términos de y tienen el mismo coeficiente en dos de las ecuaciones (la primera y la tercera) y el coeficiente de la segunda es múltiplo de las otras dos. Así, uno de nuestros pares de ecuaciones será el formado por la primera y la tercera ecuaciones; el otro estaría constituido por las ecuaciones primera y tercera (aunque también podríamos haber escogido la segunda y la tercera ecuaciones). Par de ecuaciones 1ª y 3ª: Par de ecuaciones 1ª y 2ª: 2 x + 2 y + 2z = 0 2 x + 2 y + 2z = 0 x − 4 y − 5z = −7 −3 x + 2 y + 9 z = 4 La primera ecuación se multiplica por el factor (−1), luego se suman y se elimina la variable y: La primera ecuación se multiplica por el factor (2), luego se suman y se elimina la variable y: −2 x − 2 y − 2 z = 0 −3 x + 2 y + 9 z = 4 4. –5x + 7z = 4 4 x + 4 y + 4z = 0 x − 4 y − 5z = −7 5. 5x −z = −7 Las ecuaciones resultantes tienen dos incógnitas: x y z, así que volvemos a buscar la forma de reducir una de las dos incógnitas para despejar la otra. En este caso, los coeficientes de x son simétricos, de modo que al sumarlas se eliminará esa variable, es decir, no necesitamos multiplicar por un factor para que al sumarlas se eliminen. 181 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales −5 x + 7z = 4 5 x − z = −7 6 z = −3 De la ecuación resultante, ya es posible despejar z: 1 2 z =− Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones intermedias (4 o 5) para conocer x. En este caso, por facilidad, se sustituirá en la ecuación 5: 1 5 x − ⎛ − ⎞ = −7 ⎝ 2⎠ 5 x = −7 − 1 2 x=− 15 2(5) x=− 3 2 Sustituimos las dos incógnitas ya conocidas en alguna de las tres ecuaciones originales. Por facilidad, sustituiremos en la ecuación 1: 1 3 2⎛ − ⎞ + 2 y + 2⎛ − ⎞ = 0 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ −3 + 2 y − 1 = 0 2y − 4 = 0 2y = 4 y=2 Comprobemos los valores encontrados para las tres variables en las tres ecuaciones originales: 2 x + 2 y = −2 z 3 1 2⎛ − ⎞ + 2(2) = −2⎛ − ⎞ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ −3 + 4 = 1 1=1 −4 y + x + 7 = 5z 3 1 −4(2) + ⎛ − ⎞ + 7 = 5⎛ − ⎞ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 3 5 +7=− 2 2 3 5 −1 − = − 2 2 −8 − − 5 5 =− 2 2 −3 x + 2 y + 9 z = 4 3 1 −3⎛ − ⎞ + 2(2) + 9⎛ − ⎞ = 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 9 9 +4+− = 4 2 2 4=4 182 Unidad 3: Ecuaciones La igualdad se cumple en las tres ecuaciones; por lo tanto, la terna ordenada: es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. ⎛ − 3 , 2, − 1 ⎞ ⎝ 2 2⎠ Como se observa, este método también permite resolver sistemas de ecuaciones con más incógnitas; la mecánica sería la misma: reducir el sistema de ecuaciones hasta llegar a una solución obvia. Así, un sistema con cuatro incógnitas y cuatro ecuaciones se reduciría a un sistema con tres incógnitas y tres ecuaciones; ese sistema se volvería a reducir a un sistema de dos incógnitas con dos ecuaciones y así sucesivamente hasta despejar fácilmente una de las incógnitas. No está por de más recordar que si en el proceso no es posible despejar las incógnitas, el sistema no tendrá solución o tendrá un número infinito de soluciones, dependiendo del tipo de indefinición a la que se llegue, de la misma forma que ocurre con un sistema de dos incógnitas con dos ecuaciones. Si resulta una igualdad obvia, el sistema tendrá alguna modalidad de dependencia y un número infinito de soluciones; si no hay un valor de la variable que haga que la ecuación resultante sea cierta, el sistema tendrá algún tipo de inconsistencia y ninguna solución. Método de determinantes La Regla de Cramer, ya definida, es cierta para cualquier sistema de ecuaciones con más de dos incógnitas. De modo que nuestra preocupación ahora será encontrar las matrices y los determinantes, tanto del sistema como de cada una de las incógnitas en un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Las matrices del sistema y de las incógnitas se encuentran de la misma manera que se describió en el caso de un sistema de ecuaciones de dos incógnitas. Es conveniente que el sistema de ecuaciones tenga el orden en que serán ordenadas las variables en las matrices; también, sólo es posible usar este método cuando hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Sistema de ecuaciones original: x − 2y + 5z = 0 Matriz del sistema: −2x − 2y − z = −1 4x + 2y + z = 1 De manera general, la matriz de un sistema de tres por tres (tres ecuaciones con tres incógnitas) se representa de la siguiente manera: Sistema de ecuaciones original: Matriz del sistema: a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 Obtener el valor del determinante de una matriz de tres por tres es un poco más complicado que para una matriz de dos por dos. El determinante está dado por: Ds = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a2b1c3 − a1b3c2 183 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Para recordar cómo se calcula el valor del determinante, es necesario modificar la matriz original. Se repiten los dos primeros renglones; así, calcular el determinante será cuestión de multiplicar las ternas formadas por las diagonales. Se suman los productos de cada columna y el resultado de la columna del lado izquierdo se resta al resultado de la columna del lado derecho. En general, el proceso se ilustra de la siguiente manera: El determinante de la matriz del sistema del ejemplo anterior sería: −40 = (4)(−2)(5) −2 = (1)(2)(−1) 4 = (−2)(−2)(1) 1 −2 5 −2 −2 −1 −38 (1)(−2)(1) = −2 (−2)(2)(5) = −20 (4)(−2)(−1) = 8 −14 Determinante del sistema: Ds = −14 − (−38) = 24 Las matrices de las variables se construyen sustituyendo la columna asignada a la variable en cuestión dentro de la matriz del sistema por la columna de los términos independientes del sistema de ecuaciones. Así, para el sistema de ecuaciones que nos ocupa, la matriz de x se obtiene sustituyendo la columna 0, −1 y 1 (términos independientes del sistema) por la columna correspondiente a los coeficientes de x en la matriz del sistema (recuerda que en esta matriz están ordenados: x, y, z). Matriz del sistema: Matriz de la variable x: Matriz de la variable y: Matriz de la variable z: A continuación se calculan los determinantes de cada una de estas matrices: 184 Unidad 3: Ecuaciones De la variable x: −10 = (1)(−2)(5) 0 = (0)(2)(−1) 2 = (−1)(−2)(1) 0 −2 5 −1 −2 −1 (0)(−2)(1) = 0 (−1)(2)(5) = −10 (1)(−2)(−1) = 2 −8 −8 Determinante de x: Dx = −8 − (−8) = 0 De la variable y: −20 = (4)(−1)(5) −1 = (1)(1)(−1) 0 = (−2)(0)(1) 1 0 5 −2 −1 −1 (1)(−1)(1) = −1 (−2)(1)(5) = −10 (4)(0)(−1) = 0 −21 −11 Determinante de y: Dy = −11 − (−21) = 10 De la variable z: 10 = (4)(−2)(0) −2 = (1)(2)(−1) 4 = (−2)(−2)(1) 1 −2 0 −2 −2 −1 (1)(−2)(1) = −2 (−2)(2)(0) = 0 (4)(−2)(−1) = 8 2 6 Determinante de z: Dz = 6 − 2 = 4 Por lo tanto, de acuerdo con la Regla de Cramer, la solución del sistema de ecuaciones sería: 0 10 5 4 1 y z= x= = 0, y = = = 24 24 12 24 6 Comprobemos la solución en las ecuaciones originales: x − 2y + 5z = 0 5 1 0 − 2⎛ ⎞ + 5⎛ ⎞ = 0 ⎝ 6⎠ ⎝ 12 ⎠ − 5 5 + =0 6 6 0=0 − 2x − 2y − z = −1 4x + 2y + z = 1 5 1 −2(0) − 2⎛ ⎞ − = −1 ⎝ 12 ⎠ 6 5 1 4(0) + 2⎛ ⎞ + = 1 ⎝ 12 ⎠ 6 − 5 1 − = −1 6 6 −1 = −1 5 1 + =1 6 6 1=1 185 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales La igualdad se cumple en las ecuaciones; por lo tanto, la terna ordenada: ⎛ 0, 5 , 1 ⎞ ⎝ 12 6 ⎠ es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. La solución general a un sistema de ecuaciones por el método de determinantes se resume de la siguiente forma: Sistema de ecuaciones: a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 Matriz Determinante Solución ⎡ a1 ⎢a ⎢ 2 ⎢⎣ a3 b1 b2 b3 c1 ⎤ c2 ⎥⎥ c3 ⎥⎦ Ds = a1b2 c3 + a2 b3c1 + a3 b1c2 − a3 b2 c1 − a2 b1c3 − a1b3c2 De la variable x ⎡ d1 ⎢d ⎢ 2 ⎢⎣ d3 b1 b2 b3 c1 ⎤ c2 ⎥⎥ c3 ⎦⎥ Dx = d1b2 c3 + d2 b3c1 + d3 b1c2 − d3 b2 c1 − d2 b1c3 − d1b3c2 x= Dx Ds De la variable y ⎡ a1 ⎢a ⎢ 2 ⎢⎣ a3 b1 b2 b3 c1 ⎤ c2 ⎥⎥ c3 ⎥⎦ Dy = a1d2 c3 + a2 d3c1 + a3 d1c2 − a3 d2 c1 − a2 d1c3 − a1d3c2 y= Dy Ds De la variable z ⎡ a1 ⎢a ⎢ 2 ⎢⎣ a3 b1 b2 b3 d1 ⎤ d2 ⎥⎥ d3 ⎥⎦ Dz = a1b2 d3 + a2 b3 d1 + a3 b1d2 − a3 b2 d1 − a2 b1d3 − a1b3 d2 z= Dz Ds Del sistema Claramente se observa que para que haya una solución de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas se debe cumplir que Ds ≠ 0 , es decir, a1b2 c3 + a2 b3c1 + a3 b1c2 − a3 b2 c1 − a2 b1c3 − a1b3c2 ≠ 0. En caso contrario, el sistema de ecuaciones tendría muchas soluciones . o ninguna y deberá analizarse por otro método. Hay que tener cuidado al aplicar el método de determinantes a sistemas de ecuaciones con un número de incógnitas superior a tres, ya que si bien es cierto que tanto la Regla de Cramer como la obtención de las matrices del sistema y de cada una de las variables se extiende a sistemas mayores a los tratados, el cálculo del determinante de las matrices es diferente. La regla expuesta para la obtención del determinante aquí tratado sólo es cierta para las matrices de tres por tres y de dos por dos. La obtención del determinante de matrices superiores pertenece al campo del álgebra lineal y las reglas a seguir pueden ser consultadas en esa área de la matemática. 186 Unidad 3: Ecuaciones Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones Ejemplos Ejemplo 1: ¡Taxi! En el aeropuerto de una cierta ciudad dos compañías se disputan los clientes interesados en viajar del aeropuerto a cualquier sitio de la urbe. La compañía “Viaje Seguro” cobra por kilómetro recorrido 3.50 pesos por kilómetro y 25 pesos de cuota inicial. En cambio, la compañía “Los Pequeños Aquiles” ofrece un costo por kilómetro recorrido de 2.60 pesos, pero cobra una cuota inicial de 40 pesos. ¿En cuál de las dos compañías convendrá viajar? solución Organizamos la información que se nos proporciona de las dos compañías. Viaje seguro Cuota inicial Cuota por kilómetro recorrido Los pequeños Aquiles $ 25.00 $40.00 $3.50 $2.60 La compañía “Los Pequeños Aquiles” cobra una alta cuota inicial, pero ofrece un menor costo por cada kilómetro recorrido que la compañía “Viaje Seguro”, que a cambio de cobrar una cuota superior por cada kilómetro recorrido cobra una menor cuota inicial. Lo anterior significa que la respuesta a la pregunta de cuál es la compañía en la que conviene viajar dependerá del número de kilómetros que el usuario necesite recorrer. Si el pasajero viajará grandes distancias, le convendrá la compañía “Los Pequeños Aquiles”, porque cobra una menor cuota por kilómetro recorrido y él recorrerá muchos; en cambio, si el usuario recorrerá una distancia corta, le convendrá usar la compañía que cobra menor cuota inicial. Para que nuestra respuesta sea consistente, es necesario ocuparse de contestar qué significa “grandes distancias” y “distancia corta”, es decir, hay que preocuparse por resolver cuántos kilómetros tendrá que recorrer el usuario para que la compañía “Viaje Seguro” deje de ser conveniente para él y le convenga usar la compañía “Los Pequeños Aquiles”. Observamos que el número de kilómetros es nuestra variable independiente. El costo del viaje depende de ello; por lo tanto, se pueden establecer las ecuaciones del costo del viaje en función del número de kilómetros recorridos para cada compañía: Viaje seguro Los pequeños Aquiles Distancia recorrida (km) d d Costo del viaje (en pesos) 25 + 3.5d 40 + 2.6d 187 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Para observar mejor la tendencia de las dos compañías, se puede recurrir a una tabla y a la gráfica de ambas ecuaciones. Observamos que la variable independiente es la distancia recorrida y la dependiente es el costo del viaje, de modo que la primera irá en el eje de las abscisas y la segunda en el eje de las ordenadas. Distancia recorrida d (km) Viaje seguro 25 + 3.5d (pesos) Pequeños Aquiles 40 + 2.6d (pesos) 0 25.0 40.0 80 2 32.0 45.2 70 4 39.0 50.4 6 46.0 55.6 8 53.0 60.8 50 10 60.0 66.0 40 12 67.0 71.2 14 74.0 76.4 16 81.0 81.6 18 88.0 86.8 20 95.0 92.0 22 102.0 97.2 24 109.0 102.4 26 116.0 107.6 90 C = 25 + 3.5d “Viaje seguro” Costo del viaje C = 40 + 2.6d “Los pequeños Aquiles” 60 30 20 10 distancia recorrida 5 Figura 3.6 10 20 25 Intersección de las rectas del ejemplo “Taxi” Tanto en la tabla como en la gráfica observamos que el costo por el viaje es superior en la compañía “Los Pequeños Aquiles”, si la distancia recorrida está entre 0 y 16 kilómetros aproximadamente; a partir de ahí, la compañía “Viaje Seguro” comienza a ser más cara para el usuario que debe recorrer una distancia mayor a 16 kilómetros aproximadamente. Es decir, la cota que buscamos está alrededor de los 16 kilómetros, pero no la conocemos con exactitud porque la tabla o la gráfica no nos lo permiten. Podríamos hacer una tabla más precisa, pero también recurrir a la herramienta matemática estudiada en este apartado. Observamos que la cuota que buscamos es donde ambas compañías cobran lo mismo, es decir, donde el costo es igual para las dos, que también es el punto de intersección de las rectas que describen el comportamiento de ambas. De modo que nos encontramos ante un sistema de ecuaciones del que queremos conocer el valor de sus variables que hace que ambas ecuaciones se cumplan. Resolveremos el sistema de ecuaciones por el método de suma y resta, aunque ya sabemos que es posible usar cualquiera otro que se nos facilite. La ecuación del costo del viaje para la compañía “Viaje seguro” es: La ecuación del costo del viaje para la compañía “Los pequeños Aquiles” es: C = 25 + 3.5d C = 40 + 2.6 d 188 Unidad 3: Ecuaciones Nos conviene eliminar la variable C porque tiene coeficiente 1 en ambas. Basta con multiplicar por (−1) cualquiera de las dos ecuaciones para eliminar la variable. Multiplicaremos por (−1) la ecuación de la compañía “Los pequeños Aquiles” y la sumaremos con la ecuación de la compañía “Viaje seguro”. C = 25 + 3.5d − C = −40 − 2.60 d 0 = −15 + 0.9d De la ecuación resultante, ya es posible despejar d: d = 15 50 = ≈ 16.667 0.9 3 Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para conocer C 50 C = 25 + 3.5⎛ ⎞ ⎝ 3⎠ C= 250 ≈ 83.333 3 Comprobemos la solución en las ecuaciones originales: C = 25 + 3.5d C = 40 + 2.6 d 250 50 = 25 + 3.5⎛ ⎞ ⎝ 3⎠ 3 250 50 = 40 + 2.6⎛ ⎞ ⎝ 3⎠ 3 250 175 = 25 + 3 3 250 130 = 40 + 3 3 250 250 = 3 3 250 250 = 3 3 La igualdad se cumple en ambas ecuaciones; por lo tanto, el par ordenado: ⎛ 50 250 ⎞ , es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. ⎝ 3 3 ⎠ El resultado es algo que ya esperábamos, porque teníamos una idea de cuál sería la solución por la tabla y la gráfica que elaboramos, de modo que podemos estar seguros que esa solución no sólo es correcta desde la perspectiva matemática, sino también en el contexto del problema. Por lo tanto, la solución al problema propuesto será: Si el usuario de los taxis recorre una distancia menor a 16.67 kilómetros, le convendrá usar la compañía “Viaje seguro”; en cambio, si el usuario necesita recorrer una distancia superior a 16.67 kilómetros le convendrá usar la compañía “Los pequeños Aquiles”. Cuando el usuario desea recorrer 16.67 kilómetros, le dará lo mismo usar cualquiera de las dos compañías, ya que ambas le cobrarán lo mismo: 83.33 pesos. Nota: La solución obtenida en el sistema de ecuaciones por sí misma no es la solución al problema, es necesario transformar el resultado y darle un sentido dentro del contexto del problema. 189 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 2 En la línea 2 La ecuación de una parábola vertical tiene la forma general y = ax + bx + c . Si sabemos que la gráfica de la parábola que está dibujada a la derecha pasa por los puntos (3,4) (−2,5) (8,5), ¿cuál sería la ecuación de esta parábola? 12 y 8 (–2,5) (8,5) 4 (3,4) x –8 Figura 3.7 –4 0 4 0 8 12 16 La gráfica de la parábola que pasa por los puntos (3, 4), (−2, 5) y (8, 5) solución Es obvio que la parábola dibujada pasa por muchos más puntos que los que nos proporcionan; sin embargo, la información que proporcionan esos tres puntos es suficiente para resolver nuestro problema. 2 Si sabemos que la forma de la parábola es y = ax + bx + c , nuestro problema se reduce a encontrar el valor de los coeficientes a, b y c, puesto que, al sustituirlos en la forma general, encontraríamos la ecuación de esa parábola. Por otro lado, si conocemos que los puntos proporcionados pasan por la parábola dibujada, entonces esos puntos harán que la igualdad sea cierta al sustituirlos en la ecuación. Es decir, el punto (8, 5), por ejemplo, nos proporciona la información de que y = 5 cuando x = 8 y eso debe ser cierto también en la ecuación. De manera que es posible sustituir cada punto en la forma general de la parábola: Punto y = ax 2 + bx + c (8, 5) 5 = a(8) + b(8) + c (3, 4) (−2, 5) Simplificación 2 5 = 64 a + 8b + c 2 4 = 9a + 3b + c 2 5 = 4a − 2b + c 4 = a(3) + b(3) + c 5 = a( −2) + b( −2) + c 190 Unidad 3: Ecuaciones Si observamos las ecuaciones resultantes, son tres ecuaciones con tres incógnitas. Las incógnitas son los valores de los coeficientes de la ecuación de segundo grado, es decir, justo lo que queremos conocer para encontrar la ecuación de la parábola. Nuestro problema se reduce, entonces, a resolver ese sistema de ecuaciones de tres por tres. Podemos emplear determinantes o suma y resta, pero aquí usaremos el método de suma y resta. Las ecuaciones en cuestión son: 1. 5 = 64 a + 8b + c 3. 5 = 4a − 2b + c 2. 4 = 9a + 3b + c En este caso, la variable c tiene coeficiente 1 en las tres ecuaciones; es la que nos conviene reducir en primera instancia. Seleccionamos la ecuación más sencilla (la tercera), la multiplicamos por (−1) y se la sumamos a las otras dos. De manera que haremos dos pares de ecuaciones: la primera con la tercera y la segunda con la tercera para reducir el sistema. Par de ecuaciones 1ª y 3ª: 4. Par de ecuaciones 2ª y 3ª: 5 = 64 a + 8b + c −5 = −4 a + 2 b − c 0 = 60a + 10b 5. 4 = 9a + 3b + c −5 = −4 a + 2 b − c −1 = 5a + 5b Las dos ecuaciones resultantes las volvemos a sumar para eliminar otra incógnita. Nos conviene eliminar la incógnita b, dividiendo entre (−2) la ecuación 4, con lo que lograremos que los coeficientes de ambas ecuaciones sean simétricos. + 0 = −30 a − 5b −1 = 5a + 5b − 1 = −25a De la ecuación resultante, ya es posible despejar a: a = 1 25 Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones intermedias (4 o 5) para conocer b. En este caso, por ser la más sencilla, se sustituirá en la ecuación 4: 0 = 60a + 10b 1 0 = 60⎛ ⎞ + 10 b ⎝ 25 ⎠ −10 b = b=− 12 5 6 25 191 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Sustituimos las dos incógnitas conocidas en alguna de las tres ecuaciones originales. Por facilidad, sustituiremos en la ecuación 3: 5 = 4a − 2b + c 1 6 5 = 4⎛ ⎞ − 2 ⎛ − ⎞ + c ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ 4 12 + +c 25 25 4 12 c = 5− − 25 25 109 c= 25 5= Comprobemos la solución en las tres ecuaciones originales: 5 = 64 a + 8b + c 4 = 9a + 3b + c 5 = 4a − 2b + c 6 109 1 5 = 64⎛ ⎞ + 8⎛ − ⎞ + ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ 25 6 109 1 4 = 9⎛ ⎞ + 3⎛ − ⎞ + ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ 25 6 109 1 5 = 4⎛ ⎞ − 2 ⎛ − ⎞ + ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ 25 5= 64 48 109 − + 25 25 25 125 5= 25 5=5 4= 9 18 109 − + 25 25 25 100 4= 25 4=4 5= 4 12 109 + + 25 25 25 125 5= 25 5=5 La igualdad se cumple en las tres ecuaciones; por lo tanto, la terna ordenada: ⎛ 1 , − 6 , 109 ⎞ ⎝ 25 25 25 ⎠ es la solución al sistema de ecuaciones propuesto. De manera que esos serán los valores de los coeficientes a, b y c. La ecuación de la parábola dibujada será: 1 2 6 109 y= x − x+ 25 25 25 De modo que si sustituimos x = 3, esperamos que nos dé y = 4, mientras que si sustituimos x = −2, esperamos que nos dé y = 5. Esta comprobación es equivalente a la que realizamos al sustituir los valores de a, b y c en las tres ecuaciones, al finalizar el proceso de resolver el sistema de ecuaciones, de manera que es posible afirmar que dentro del contexto del problema la solución encontrada es cierta. La ecuación encontrada también se puede escribir como: x 2 − 6 x − 25 y + 109 = 0 , porque todos los términos de su lado derecho tienen como denominador a 25, de modo que es posible multiplicarla por 25 para simplificarla. Después sólo la igualamos a 0. 192 Unidad 3: Ecuaciones Ejercicios y problemas 1. Dada la ecuación x - 2 y + 3z = 5 : a) Verifica si (1, 2, 0) es una solución o no a esa ecuación. b) Verifica si (1, 4, 4) es una solución o no a esa ecuación. c) Verifica si (−3, 2, 4) es una solución o no a esa ecuación. d) Encuentra la solución en donde se cumpla que (x, 0, 0). e) Encuentra la solución en donde (2, y, 3). f) Encuentra todas las soluciones (x, y, z), en donde x = 2, y = −1. 2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x + 2y + z = 6 3x − y + z = 2 Di cuáles de las siguientes ternas ordenadas son soluciones al sistema y cuáles no: a) (1, 2, −1) b) (1, 2, 1) c) (0, 0, 6) d) (−2, 0, 8) e) (1, 1, −2) f) (4, 4, 6) g) Encuentra otra solución al sistema. 3. Clasifica cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones como consistentes, inconsistentes e independiente o consistente y dependiente. En cada caso, indica cuáles serían sus soluciones. a) y=x x + y =1 n = 2m b) 6 m − 3n = 0 c) 2a + b = 1 3a + 2 b = 2 d) 5 p − 2q = 4 e) 15 p − 6q = 1 2 x − 3y = 1 8 x − 12 y = 7 x+y+4=0 1 1 2 f) x− y+ =0 2 6 5 g) y − x + z = −1 3z + y − 2 x = 8 6 x − 2 z + 4 y = −4 h) 3 y = 5 x 5y = x i) 3m + n = 2 3m + 3n = 1 j) 3r − 2 s = 6 14 s = 21r − 42 193 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 3q + 2 p q + 6 + =2 5 7 k) 2 p − 5q p + 7 + =1 3 4 − x + 3y + z = 0 l) −3 y + 5 x − z = 0 4z + 2 x = 3 −x + z − y = 0 −4 y − 6 x − 6 z = −20 m) 3z + 3 x + 2 y = 10 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Para ello, utiliza un cambio de variable; supón que 1 1 m = y que n = x y 3 2 − = −1 x y a) 7 6 − = −2 x y 5 1 + =3 x y b) 1 2 + =1 2x y 5. Encuentra un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas que tenga como única solución el punto (−2, 1). Verifica que el sistema efectivamente tenga este punto como solución. 2 6. La ecuación de una parábola vertical tiene la forma general y = ax + bx + c . Si sabemos que la parábola pasa por los puntos (2, 16) (0, −6) (1, 2), ¿cuál es la ecuación? 7. Dos cuadrados son tales que el lado del más grande mide el doble del lado del otro, ¿cuánto mide el lado de ambos cuadrados si el perímetro del cuadrado más grande es de 60 metros? 8. Un ama de casa recuerda que la receta de un pastel pedía tanta azúcar como mantequilla y el doble de harina que de azúcar. Sabe que por cada kilogramo de masa que haga, el pastel le alcanzará para 20 personas. ¿Cuántos kilogramos de cada ingrediente necesita para 100 personas? (Supón que la masa del pastel está hecha únicamente por la mezcla de los tres ingredientes mencionados.) 9. Cuando una balsa navega contra la corriente, avanza 30 kms/h y cuando navega a favor de la corriente, recorre 60 kilómetros cada hora. Suponiendo que la balsa y la corriente llevan la misma velocidad, tanto de ida como de regreso, ¿cuáles son las velocidades de la balsa y de la corriente? 10. Tres amplificadores y cinco bocinas cuestan $19,500. Cinco amplificadores y ocho bocinas cuestan $32,000. ¿Cuál es el precio de cada bocina y de cada amplificador? 11. En la elaboración de un producto se pueden seguir dos procedimientos obteniendo la misma calidad en el artículo producido. La inversión inicial requerida en el primer proceso es de $100,000.00 y en el otro es de $50,000.00. En el primero el costo de elaboración de cada artículo es de $4.00 y en el segundo es de $7.00. ¿En cuál de los dos procesos convendrá invertir? 12. Dos velas del mismo largo están hechas de materiales distintos, tales que una de ellas se consume uniformemente hasta terminarse en cuatro horas, en tanto que la otra se consume en seis horas. Ambas miden 120 centímetros ¿A qué hora deben prenderse ambas velas para que a las 5:00 de la tarde la vela más grande mida el doble que la otra? 194 Unidad 3: Ecuaciones 13. Tu compañero de cuarto es corredor de distancia. Corre a una velocidad media constante de 12.8 km/h y cada mañana se entrena. Una mañana, dos horas después de que él salió a correr, tú decides alcanzarlo, pero en tu coche, por la misma ruta que él sigue a una velocidad de 60 kilómetros por hora. ¿Cuánto tiempo tardarás en darle alcance a tu amigo? ¿A qué distancia de tu casa lo encontrarás? 14. Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de lujo. Para hacer una válvula estándar son necesarios cinco minutos en el torno y 10 en la prensa taladora; para la válvula de lujo son necesarios nueve minutos en el torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está disponible cuatro horas y la prensa siete. ¿Cuántas válvulas de cada tipo deben hacerse para utilizar las dos máquinas todo el tiempo posible? 15. Seis hombres planean alquilar una avioneta para ir de pesca al Lago del Oso en Canadá, repartiéndose la cuota en forma equitativa. Descubrieron que si iban tres personas más, la cuota de cada uno se reduciría en 150 pesos. ¿Cuál es el costo total del vuelo? 16. Los alumnos del último semestre están organizando un baile de bienvenida a los alumnos de nuevo ingreso. Decidieron contratar dos grupos de rock y las condiciones de pago que imponen los grupos son: a) El primer grupo cobra $30,000, más el 40% de lo recaudado por las entradas b) El segundo grupo cobra $64,500, más el 10% de lo recaudado por las entradas. Los partidarios del primer grupo piensan que lo que deben hacer es manipular el precio de las entradas de tal forma que el primer grupo gane más que el segundo. ¿Cuánto es lo menos que tienen que cobrar por persona para que eso se cumpla, si estiman que habrá 500 personas que pagarán su entrada? 17. En una oficina se necesita una fotocopiadora y tienen dos opciones: una que cuesta $20,000.00 y otra, de mayor calidad, que cuesta $40,000.00. Con la primera fotocopiadora se obtienen 1000 copias por hora y con la segunda, 1500. El costo de producción por cada copia es de $0.1 con la primera fotocopiadora y de $0.05 con la fotocopiadora más cara. Tomando en cuenta todas las características mencionadas, ¿cuál de las dos fotocopiadoras conviene comprar? Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes: 1. Moira y Eris, presentado al inicio de la sección. 2. A flor de piel Una empresa fabrica carteras y maletines con el mismo tipo de piel. Asimismo, para su fabricación, ha especializado a un grupo de trabajadores que se dedican exclusivamente a la elaboración de estos dos tipos de productos. Contesta las siguientes preguntas utilizando la información que se te proporciona: a) Para fabricar una cartera utiliza un metro cuadrado de piel y tres metros cuadrados para un maletín. En total, dispone de 27 metros cuadrados de piel. Aprovechando al máximo la piel disponible, ¿es posible producir siete carteras y tres maletines? ¿Es posible producir ocho carteras y siete maletines? ¿Es posible producir 12 carteras y cinco maletines? ¿Hay más posibilidades de producción? 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales b) Para fabricar una cartera, los trabajadores de la empresa ocupan dos horas y para fabricar un maletín, una hora. La empresa dispone de 34 horas de trabajo efectivo de los trabajadores por semana, ¿cuántos maletines y carteras es posible producir para aprovechar lo más posible el tiempo disponible de los trabajadores? Proporciona algunas posibilidades de producción. c) ¿Cuántos maletines y cuántas carteras se deben producir para aprovechar al máximo el material disponible y las horas de trabajo? 3. Tiro al blanco Por mutación, un virus está siendo cada vez más fuerte y no alcanza con un solo rayo para matarlo. Hay que enviarle dos rayos de manera simultánea para destruirlo. a) Si el virus aparece ahora en el punto de coordenadas (2, 3), propón dos ecuaciones de dos rayos que lo alcancen y dibuja su grafica. Verifica algebraicamente que los rayos alcancen al virus. b) Un virus aparece en el punto (−1, 3) y los rayos que emiten las fuentes son tales que además de pasar por ese punto, el primero de ellos para por el punto (−2,4) y el segundo por (0,1). ¿Cuáles son las ecuaciones de los rayos que alcanzan al virus? 1. Una compañía renta automóviles por 350 pesos el día, más 10 pesos por kilómetro recorrido. Otra compañía cobra 300 pesos diarios más 12 pesos el kilómetro recorrido. Si necesitas rentar uno por cinco días, ¿qué distancia debes recorrer para tener ventaja económica si rentas uno en la segunda compañía? a) Debes recorrer más de 25 kilómetros por día o bien, más de 125 kilómetros en cinco días. b) Debes recorrer exactamente 25 kilómetros por día, o bien, 125 kilómetros en cinco días. c) Debes recorrer menos de 25 kilómetros por día, o bien, menos de 125 kilómetros en cinco días. d) No es posible obtener ventaja por rentar un auto en la segunda compañía. e) Siempre se va a tener ventaja por rentar en la segunda compañía. 195 196 Unidad 3: Ecuaciones 2. Relaciona los siguientes sistemas de ecuaciones con su correspondiente solución: 2 x − 3y = 1 a) −5 − 2 x = 7 y i. Ninguna solución. −4 x − 2 = 6 y b) 1 + 3 y = −2 x ii. Una solución, el punto ⎛ 4 , − 1 ⎞ ⎝ 7 7⎠ iii. Un número infinito de soluciones. 7x − 3 = y c) 3 y − 21x = 9 iv. Una solución, el punto ⎛ − 2 , − 3⎞ ⎝ 5 5⎠ y = 1 − 2x d) x = 1 + 3 y 3. Encuentra las ecuaciones de dos rectas que se corten en el punto (3,1). 4. Dado el siguiente sistema de ecuaciones, indica cuáles de las siguientes ternas son soluciones para ese sistema: x + z + 3y + 4 = 0 z + 2 y + 3x = 5 a) (−2, 0, −2) b) (5, 1, −12) c) (3, −3, 2) d) (1, 2, −11) e) (1, 2, −2) f) (4, −1, −5) g) (2, −5, 9) h) (1, 1, −8) 5. Cada una de las siguientes gráficas mostradas representan tres ecuaciones lineales con tres variables. Indica cuál de esos sistemas de ecuaciones tiene: a) Una sola solución. b) Un número infinito de soluciones definidas por una línea recta. c) Un número infinito de soluciones definidas por un plano. d) Ninguna solución. 197 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 1. 2. z z 3. z y x y x y x 4. 7. 8. z y Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) No lo es. b) Sí lo es. c) Sí lo es. z y y x 9. z x x 6. x y x z 5. z z y y x 198 Unidad 3: Ecuaciones d) La solución es (5, 0, 0). e) La solución es (2, 3, 3). f) Sólo hay una solución z = 2. 1 ⎛ 1 : 2, −1, ⎞ 3 ⎝ 3⎠ a) No es solución. b) Sí es solución. c) No es solución. d) Sí es solución. e) No es solución. f) No es solución. g) Una solución muy sencilla de encontrar es (4, 4, −6). En forma general, cuando x = cualquier valor de y, los valores de z serán iguales en ambas ecuaciones. 3. 1 1 a) Es consistente; su solución es ⎛ , ⎞ ⎝ 2 2⎠ b) Es consistente y dependiente, tiene un número infinito de soluciones. c) Es consistente; su solución es (0, 1). d) Es inconsistente; no tiene solución. e) Es inconsistente; no tiene solución. f) Es consistente; su solución es (0, 0). 5 1 g) Es consistente; su solución es ⎛ , − ⎞ ⎝ 6 2⎠ h) Es consistente y dependiente; tiene un número infinito de soluciones. i) Es consistente; su solución es (1, 1). 8 12 j) Es consistente; su solución es ⎛ − , − ⎞ ⎝ 5 5⎠ 27 25 45 k)Es consistente; su solución es ⎛ , − , ⎞ ⎝ 7 7 7⎠ 1 3 l) Es consistente; su solución es ⎛ 0, − , ⎞ ⎝ 4 4⎠ m) Es consistente y dependiente; tiene un número infinito de soluciones. 4. 1 1 a) m = − , n = − , por lo tanto: x = −2, y = −4 2 4 b) m = 10 7 19 19 , n = , por lo tanto: x = , y = 19 19 10 7 −4 + 3 y para 2 199 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 5. Hay un número muy grande de soluciones, lo importante es proponer dos ecuaciones que sean ciertas cuando x = −2 y y = 1, y que verifiquen que la solución del sistema es el punto que se proporciona. Un ejemplo de una ecuación cuya solución es (−2, 1) es 2x + 3y = −1 porque 2(−2) + 3(1) = −1. 6. La ecuación es: y = 3x2 + 5x − 6. 7. El cuadrado más grande tiene por lado 15 metros; el otro, 7.5 metros. 8. Se necesitan 1.25 kilogramos de mantequilla, 1.25 kilogramos de azúcar y 2.5 kilogramos de harina. 9. La balsa lleva una velocidad de 45 km/h y la corriente de 15 km/h. 10. El precio de cada bocina es de $1,500 y el de cada amplificador es de $4,000.00. 11. Si el número de artículos producidos es menor a 16,666 artículos es preferible invertir en el segundo proceso, pero si la cantidad de artículos producidos es mayor a 16,666 artículos es preferible invertir en el primer proceso. 12. A las 2:00 de la tarde. 13. A las 0.5423 horas, a 32.54 kilómetros de tu casa. 14. 12 válvulas estándar y 20 válvulas de lujo. 15. El costo total del vuelo es de 2,700 pesos. 16. El precio de entrada debe ser de $230 pesos por persona. 17. Si se tendrá un tiempo de trabajo superior a 800 horas, conviene invertir en la fotocopiadora más cara, pero si la fotocopiadora trabajará menos de 800 horas, será conveniente la primera fotocopiadora. Si se laborarán 800 horas, el costo de comprar una u otra fotocopiadoras será el mismo. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. c 2. (a, iv), (b, iii) (c, i) (d, ii) 200 Unidad 3: Ecuaciones 3. Hay un número muy grande de soluciones, lo importante es proponer dos ecuaciones que sean ciertas cuando x = 3 y y = 1, así como que verifiquen que la solución del sistema es el punto que se proporciona. Un ejemplo de una ecuación cuya solución es (3,1), donde 2x + 3y = 9, porque 2(3) + 3(1) = 9. En general, la familia y = 1 + m(x − 3) pasa por el punto (3, 1), sin importar el valor de m. Así que sólo se deben seleccionar dos valores de m para hallar la solución al problema. 4. b, c, f y g 5. a: la gráfica 8; b: las gráficas 4 y 5; c: la gráfica 1; d: las gráficas 2, 3, 6 y 7 201 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales En el empleo de símbolos y en el razonamiento con éstos es donde se reconoce la transición de la aritmética al álgebra, aunque en realidad no haya línea divisoria alguna. Morris Kline Introducción n El estudio de las ecuaciones puede remontarse a épocas tan remotas como las que corresponden a los egipcios y babilonios. Problemas que de no ser por el álgebra hubieran sido muy laboriosos, han sido resueltos de manera exacta con la ayuda del simbolismo algebraico. No obstante, por increíble que parezca, la idea de involucrar símbolos en la solución de ecuaciones (práctica que luego se extendió a otras áreas de las matemáticas) es reciente. La introducción de la simbología algebraica se atribuye a François Vieta (1540-1603), quien siendo abogado y trabajando para los reyes de Francia encontró en las matemáticas un pasatiempo fascinante al que dedicó un trabajo intenso. Vieta tuvo plena conciencia de su hazaña, consistente en introducir símbolos para las cantidades que en otros tiempos sólo se habían manejado numéricamente. Es por este simbolismo que las matemáticas logran vincularse a muy diversos contextos, a la generación de procedimientos de carácter general y a la obtención de respuestas exactas. La siguiente situación te ofrece un encuentro, de muchos posibles, entre las matemáticas y nuestra realidad: Las mejores ganancias de una empresa vía cuadráticas “Vulcano”, S.A. de C.V., es una empresa que renueva llantas en la zona de Xalostoc. Su gerente desea aumentar las utilidades, pero está indeciso en cuanto a reducir el precio de venta unitario de cada llanta, con lo cual ganaría clientes, o a incrementarlo, con el riesgo de perderlos. Actualmente para la empresa cada llanta tiene un costo de renovación total (incluyendo costos fijos y costos variables) que depende del nivel de producción. Se sabe que el costo unitario de renovación es de 85 pesos, pero que por cada 50 llantas más éste se reducirá progresivamente en 2.50 pesos por cada unidad renovada. Asimismo, se sabe que en promedio la empresa vende 800 llantas a un precio de 170 pesos y estima que por cada incremento en el precio de venta unitario de 5 pesos, venderá siete llantas menos (en promedio) por mes. Por cuestión de costos, el gerente está cuidando además no tener llantas almacenadas; esto es, todo lo que produzca la empresa se deberá vender. 202 Unidad 3: Ecuaciones ¿Cómo fundamentar una recomendación al gerente para que cumpla su objetivo? Ésta y otras situaciones te ayudarán a ver al álgebra, y de manera más específica a la solución de ecuaciones, como una poderosa herramienta para resolver problemas. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Reconocer y resolver una ecuación cuadrática. • Determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática y su relación con los coeficientes de la ecuación. • Aplicar ecuaciones cuadráticas en la solución de problemas que así lo requieran. • Resolver ecuaciones con radicales y aplicar los correspondientes métodos en la solución de problemas que así lo requieran. Ecuaciones cuadráticas Definiciones básicas Sea f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, c son números complejos con a ≠ 0 un polinomio de grado 2. Si reemplazamos x por el número complejo r, el resultado se denomina valor de f(x) en x = r, y se designa como f(r). Si f(r) es el número complejo 0, r se llama una raíz o 0 de f(x). Una ecuación del tipo f(x) = 0 siempre conlleva la siguiente pregunta: ¿cuáles son los números complejos r tales que f(r) = 0? Los valores que satisfagan esta ecuación serán llamados raíces o soluciones de la ecuación. Una respuesta a la ecuación f(x) = 0 no será completa a menos que se den todas las raíces; diremos entonces que se ha resuelto la ecuación cuando se han encontrado todas sus raíces. Por otro lado, si f(x) y g(x) son dos polinomios en x de grado 2, la ecuación f(x) = g(x) debe traducirse en la pregunta: ¿cuáles son los números complejos r tales que f(r) y g(r) tienen el mismo valor? La pregunta formulada es equivalente a la siguiente: ¿qué valores complejos r satisfacen la ecuación f(x) − g(x) = 0? Es probable que la segunda pregunta sea más fácil de resolver que la primera, por ello requerimos de la siguiente definición: Definición Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen exactamente las mismas raíces. 203 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales Con esta base diremos que una ecuación es una ecuación cuadrática si a través de transformaciones algebraicas puede llevarse a la forma: f(x) = ax2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0. La fórmula general Hay una fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, fórmula que se genera a través del siguiente principio: Principio de completación de cuadrados La expresión x2 + px se convierte en cuadrado perfecto si se le suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. El resultado de tal operación genera un trinomio cuadrado perfecto en x menos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. En símbolos, el principio anterior es: 2 2 ⎡ p ⎤ p x 2 + px = ⎢ x 2 + px + ⎛ ⎞ ⎥ − ⎛ ⎞ ⎝ 2⎠ ⎦ ⎝ 2⎠ ⎣ 2 2 p p = ⎛x + ⎞ −⎛ ⎞ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠ Apliquemos ahora este principio a la ecuación cuadrática. Factoricemos primero el coeficiente a; observa que es preciso que el coeficiente de x2 sea igual a 1. Tenemos entonces: b f ( x ) = ax 2 + bx + c = a ⎡⎢ x 2 + x + a ⎣ c⎤ a ⎥⎦ 2 Sumando y restando la cantidad ⎛ b ⎞ , dentro del corchete y reagrupando, se tiene: ⎝ 2a ⎠ 2 2 ⎡⎧ b b ⎫ c b ⎤ f ( x ) = a ⎢⎨ x 2 + x + ⎛ ⎞ ⎬ + − ⎛ ⎞ ⎥ ⎝ 2a ⎠ ⎭ a ⎝ 2a ⎠ ⎥ a ⎢⎣⎩ ⎦ Reconociendo el término entre llaves como un trinomio cuadrado perfecto se tiene: 2 ⎡ b 4 ac − b 2 ⎤ f ( x ) = a ⎢⎛ x + ⎞ + ⎥ 2a ⎠ 4a 2 ⎦ ⎣⎝ Utilizando el producto notable de la diferencia de cuadrados obtenemos: 2 ⎡ b b 2 − 4 ac ⎤ f ( x ) = a ⎢⎛ x + ⎞ − ⎥ 2a ⎠ 4a 2 ⎦ ⎣⎝ ⎡ b b 2 − 4 ac ⎤ ⎡ b b 2 − 4 ac ⎤ = a⎢ x + + − ⎥⎢x + ⎥ 2a 2a 2a 2a ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 204 Unidad 3: Ecuaciones En resumen, tenemos la: Fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado La ecuación de segundo grado puede resolverse identificando la última ecuación en la forma f(x) = a(x − r1)(x − r2) donde: r1 = − b + b 2 − 4 ac , − b − b 2 − 4 ac r2 = 2a 2a Observa que si conoces la factorización de una ecuación cuadrática, en términos de factores lineales, entonces conoces las raíces de la ecuación. En efecto, si tienes la factorización definida como f(x) = ax2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2) = 0 las raíces de la ecuación son: x = r1 y x = r2 El siguiente es un resultado que clasifica las raíces de acuerdo con su naturaleza: Naturaleza de la raíces de una ecuación cuadrática (coeficientes a, b, c reales) La cantidad Δ = b2 − 4ac que aparece en el radical de la fórmula de segundo grado recibe el nombre de discriminante y determina la naturaleza de las raíces; a saber: a) Si Δ = 0, entonces las raíces r1, r2 son reales e iguales a r1 = r2 = −b 2a b) Si Δ > 0, entonces Δ será un número real positivo; en consecuencia, r1 y r2 son reales y diferentes. c) Si Δ < 0, definimos Λ = −Δ; entonces, las raíces son: r1 = Δ = Λ i , donde −b Λ , −b Λ + i r1 = + i 2a 2a 2a 2a Es decir, las raíces son números complejos conjugados. Λ es positivo y 205 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales Observa que, independientemente de la naturaleza de las raíces, siempre se cumple que: r1 + r2 = y − b + b 2 − 4 ac − b − b 2 − 4 ac −2 b − b + = = 2a 2a 2a a ⎛ − b + b 2 − 4 ac ⎞ ⎛ − b − b 2 − 4 ac ⎞ r1r2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2a 2a ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ −b b 2 − 4 ac ⎞ ⎛ − b b 2 − 4 ac ⎞ =⎜ + − ⎟⎜ ⎟ 2a 2a ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ 2 ⎛ b 2 − 4 ac ⎞ −b =⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ 2 2 b b − 4 ac = 2 − 4a 4a 2 4 ac = 2 4a c = a 2 donde hemos usado el producto notable de la diferencia de cuadrados y simplificaciones sucesivas. En resumen, tenemos la siguiente relación: Relación entre las raíces de una ecuación cuadrática y sus coeficientes Si r1 y r2 son raíces de la ecuación cuadrática f(x) = ax2 + bx + c = 0, entonces se cumple que: r1 + r2 = −b c y r1 r2 = a a Es posible una interpretación geométrica acerca de la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática. Concretamente, si hacemos y = f(x) = ax2 + bx + c, su representación gráfica en el plano cartesiano corresponderá en cualquier caso a una parábola vertical. Ya que el cálculo de raíces se realiza a través de la ecuación cuadrática: y = f(x) = 0, debemos interpretar las soluciones de esta ecuación como las intersecciones (si las hay) de la parábola con el eje x. La figura 3.8 muestra los tres casos posibles; observa que en el último caso no hay intersección con el eje x. 206 Unidad 3: Ecuaciones f (x) = 2x2 + x − 2 = 2(x − 1)(x + 2) 10 f (x) = 2x2 − 4x + 2 = 2(x − 1)2 10 y 5 −4 −2 0 f (x) = 2x2 + x + 2 10 y 5 0 2 x 4 −4 −2 0 5 0 2 x 4 −4 0 −2 −5 −5 −5 −10 −10 −10 a) caso Δ > 0 Figura 3.8 y b) caso Δ = 0 0 2 x 4 c) caso Δ < 0 Posibles intersecciones de una parábola con el eje x Observa que en la figura 3.8.a (una parábola que abre hacia arriba) el valor más pequeño de y se encuentra en el punto medio entre las dos raíces r1 y r2. Es decir, el valor mínimo que puede obtener la función y = f(x) es: r +r −b ymin = f ⎛ 1 2 ⎞ = f ⎛ ⎞ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2a ⎠ 2 −b −b = a⎛ ⎞ + b⎛ ⎞ + c ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ b2 b2 − +c 4a 2a b2 =− +c = 4a b 2 − 4 ac =− 4a = En el caso de la figura 3.8b el valor mínimo es 0. Para el caso de la figura 3.8.c, no se tienen raíces reales; sin embargo, el valor mínimo también se puede calcular usando: b 2 − 4 ac 4a De manera similar, si la parábola abriera hacia abajo, entonces se tendría un valor máximo para y, dado por: r +r b 2 − 4 ac ymax = f ⎛ 1 2 ⎞ = − ⎝ 2 ⎠ 4a ymin = − Pasemos ahora a discutir el concepto de irreducibilidad de una expresión cuadrática. Recordemos que p(x) y q(x) son factores (o divisores) de f(x) si f(x) = p(x)q(x). Es claro que todo polinomio tiene factorizaciones triviales del tipo: f(x) = a[a−1 f(x)] 207 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales para cualquier número a ≠ 0. Por lo tanto, todo polinomio tiene a todos los múltiplos constantes distintos de 0 como factores triviales. Esto nos permite hacer la siguiente definición: Definición (factores irreducibles) Si un polinomio no tiene más factorizaciones que las triviales, se dice que es un polinomio irreducible; en caso contrario, afirmamos que el polinomio es reducible. A partir del discriminante puede establecerse el siguiente criterio para decidir la irreducibilidad de una expresión cuadrática. De manera concreta: Criterio de irreducibilidad para expresiones cuadráticas Un polinomio f(x) = ax2 + bx + c, con coeficientes reales, es irreducible en el campo de los números reales (es decir, no puede factorizarse usando polinomios de grado 1 con coeficientes reales) si y sólo si Δ = b2 − 4ac < 0. De otra manera: el polinomio f(x) = ax2 + bx + c es reducible (puede factorizarse en los reales) si y sólo si Δ = b2 − 4ac ≥ 0, en cuyo caso, si r1 y r2 son las raíces (reales) de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces: f(x) = ax2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2). Ejemplos Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2x2 − 4x + 8 = 5x2 + 2x − 5 solución Trasponiendo términos, se obtiene la ecuación equivalente: 3x2 + 6x − 13 = 0 En esta ecuación: a = 3, b = 6 y c = −13, luego Δ = b2 − 4ac = 36 + 156 = 192 = 3(82) Por lo tanto, las raíces son: r 1, 2 = 4 −6 ± 8 3 3 = −1 ± 6 3 208 Unidad 3: Ecuaciones Ejemplo 2 Determina los valores de k para los cuales la ecuación 9k x2 − 60x + 6k + 1 = 0 tiene raíces iguales. solución Para que la ecuación tenga raíces iguales se requiere que el discriminante sea 0. Tenemos entonces que: Δ = b2 − 4ac = 3600 − 4(9k)(6k + 1) = 36(100 − k − 6k2) = 0 De donde se infiere que: 6k2 + k − 100 = 0 Aplicando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, obtenemos las raíces: k= −1 ± 1 + 2400 −1 ± 49 ⎧⎪ 425 = = ⎨− 12 12 ⎩⎪ 6 Para el caso k1 = 4, la ecuación inicial se convierte en 36x2 − 60x + 25 = 0. Esta ecuación tiene, en efecto, dos raíces reales e iguales: r1 = r2 = 5 6 (¡verifícalo!). −25 , la ecuación inicial se convierte en: 25x2 + 40x + 16 = 0, que tiene, como se espera, 6 dos raíces reales iguales: r1 = r2 = − 4 5 (¡verifícalo!). Con k2 = Ejemplo 3 Un tren recorre 400 kilómetros con una velocidad constante. Si la velocidad hubiera sido 20 kms/h mayor, el tiempo empleado hubiera sido de dos horas menos. Calcula la velocidad del tren. solución Sea v la velocidad (en realidad rapidez) del tren en kms/h. En el caso de velocidad constante, sabemos d d que ν = o t = , donde d es la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido. El tiempo necesario t v para recorrer los 400 kilómetros a la velocidad original es de 400 horas. Si se aumenta la velocidad ν en 20 kms/h, cambia el tiempo que se necesita para hacer el recorrido. Este tiempo es ahora, con la ve400 locidad modificada: horas. ν + 20 Si tomamos la diferencia de estos dos tiempos, el resultado es de dos horas. En términos algebraicos, esto significa que: 400 400 − =2 ν ν + 20 Multiplicando ambos miembros de la ecuación por v(v + 20), tenemos: 400(v + 20) − 400v = 2v(v + 20) 209 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales desarrollando se obtiene: 400v + 8000 − 400v = 2v2 + 40v Finalmente, trasponiendo términos y simplificando, hallamos la ecuación equivalente: v2 + 20v − 4000 = 0 Al resolver esta ecuación, usando la fórmula general, encontramos: ν1 = −10(1 + 41 ) ≈ −74.0312 y ν 2 = 10( −1 + 41 ) ≈ 54.0312 ; ambos valores en kms/h. El valor ν 2 = 10( −1 + 41 ) satisface la ecuación original y las condiciones del problema. El valor de v1 satisface la ecuación original, pero no el contexto del problema; por esa razón, debe ser rechazado. Nota: Es común encontrar, al resolver problemas de este tipo, que haya raíces que cumplen las condiciones algebraicas del problema, pero físicamente sean inaceptables, como en este problema. Te aconsejamos analizar las respuestas para determinar si las soluciones son o no viables o aceptables. Ejemplo 4 Dados los siguientes polinomios de grado 2, determina si son reducibles o no en los reales. En caso de que lo sean, encuentra su factorización: a) g(x) = x2 − 2x − 1 b) h(x) = 9x2 + 24x + 16 c) f(x) = (x − 5)(x + 1) − 2(x − 2)2 solución Para determinar si los polinomios son reducibles o no, usaremos el criterio de irreducibilidad. a) En este caso, Δ = (−2)2 −4(1)(−1) = 8 > 0; por lo tanto, sí es posible factorizar la expresión cuadrática. Consideremos la ecuación: x2 − 2x − 1 = 0 aplicando la fórmula general, obtenemos las raíces: r1 = 1 + 2 y r2 = 1 − 2 Luego: g( x ) = x 2 − 2 x − 1 = ( x − 1 − 2 )( x − 1 + 2 ) Observa que esta factorización no hubiera podido obtenerse por ninguno de los casos de factorización estudiados hasta ahora. 210 Unidad 3: Ecuaciones b) En este caso, Δ = (24)2 − 4(9)(16) = 0; por lo tanto, sí es posible factorizar la expresión cuadrática. Consideremos la ecuación 9x2 + 24x + 16 = 0, cuyas raíces son: r1 = r2 = −4 3 luego: 4 ⎤⎡ 4 ⎤ 4 ⎡ h( x ) = 9 x 2 + 24 x + 16 = 9 ⎢ x − ⎛ − ⎞ ⎥ ⎢ x − ⎛ − ⎞ ⎥ = 9 ⎡⎢ x + ⎤⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎣ ⎝ 3⎠ ⎦ 3⎦ ⎣ ⎣ 2 c) Si desarrollamos y simplificamos, encontramos que: f(x) = x2 − 4x − 5 − 2(x2 − 4x + 4) = −x2 + 4x − 13 El discriminante asociado a la ecuación cuadrática -x2 + 4x − 13 = 0 es: Δ = 42 − 4(−1)(−13) = −36 < 0 de donde concluimos que el polinomio es irreducible. Ejemplo 5 Calcula el valor de k que satisfaga la condición dada: a) En la ecuación (k + 1)x2 + (k + 8)x + 10 = 0, la suma de sus raíces debe ser 4. b) En la ecuación (k − 1)x2 − 5x + 10 = 0, una de las raíces debe ser el recíproco de la otra. solución a) Los coeficientes de la ecuación son a = k + 1 y b = k + 8. Sabemos que la suma de las raíces cumple: −b r1 + r2 = a Por lo tanto, −( k + 8) =4 k +1 de aquí: −k − 8 = 4k + 4, o k = −12 5 De acuerdo con nuestros cálculos, se esperaría que al sustituir este valor de k en la ecuación, la suma de las raíces de la ecuación resultante sea, en efecto, 4. Haciendo la sustitución indicada, tenemos que la ecuación resultante es: −7 2 28 x + x + 10 ó −7x2 + 28x + 50 = 0 5 5 211 3.3: Ecuaciones cuadráticas y con radicales Las raíces de esta ecuación pueden ser escritas como: 14 + 546 14 − 546 y r2 = 7 7 r1 = luego: r1 + r2 = 14 − 546 14 + 546 28 + = =4 7 7 7 b) Identificamos primero los coeficientes de la ecuación a = k − 1 y c = 10. Sabemos que el producto de las raíces cumple que: c r1 r2 = a En el caso que nos ocupa, se tiene: r1r2 = 10 k −1 De acuerdo con la condición del enunciado, si r1 es una raíz, entonces r2 = 1/r1 debe ser la otra raíz. Tenemos que el producto de estas raíces es 1. Por lo tanto: 10 =1 k −1 en consecuencia: k = 11 A manera de comprobación, si sustituimos este valor de k en la ecuación, ésta se convierte en: 10x2 − 5x + 10 = 0 o 2x2 − x + 2 = 0 las raíces de esta ecuación son: r1 = Observa ahora que: 1 − 15 i 1 + 15 i y r2 = 4 4 1 4 = r1 1 − 15 i ⎛ ⎞ ⎛ 1 + 15 i ⎞ 4 =⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 − 15 i ⎝ ⎠ ⎝ 1 + 15 i ⎠ 4(1 + 15 i ) 1 − ( 15 ) 2 i 2 4(1 + 15 i ) = 16 1 + 15 i = 4 = r2 = Con esto se comprueba el resultado. 212 Unidad 3: Ecuaciones Ecuaciones con radicales Una ecuación con uno o más radicales que contienen a la incógnita se conoce como ecuación con radicales. Por ejemplo: x+6 + x−4 =6 es una ecuación con radicales. Sólo consideraremos aquí ecuaciones en las que intervienen raíces cuadradas y cuya solución dependa de ecuaciones lineales o cuadráticas. En este caso, es importante señalar un convenio respecto de los signos de los radicales. Este convenio es un acuerdo sobre notación: Convenio de notación Si no hay signo escrito antes de una raíz cuadrada, deberá asumirse en todo caso que significa raíz cuadrada positiva. Si se desea la raíz cuadrada negativa, debe escribirse el signo menos delante del radical. Así, la raíz cuadrada positiva de x debe escribirse como x , la raíz cuadrada negativa se escribe − x , y ambas raíces se escriben como ± x . Para resolver una ecuación con radicales, debe tomarse en cuenta que la idea fundamental es la eliminación del o los radicales que aparecen en la ecuación. El siguiente procedimiento suele ser útil para dicho fin. Procedimiento para resolver ecuaciones con radicales Trasponiendo términos, aislamos un radical dejándolo solo en un miembro de la ecuación, después elevamos al cuadrado ambos lados de ésta. El método, conocido como aislamiento del radical, puede ser repetido para cada uno de los radicales restantes. Para evitar que aparezcan ecuaciones de cuarto grado, hay que aislar con cuidado el radical. En muchas ocasiones, al resolver ecuaciones con radicales aparecen soluciones extrañas. Éstas parecen ser soluciones de la ecuación, pero en realidad no lo son. Por ello, se tienen que comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación original. También es importante observar que existen ecuaciones con radicales sin solución. Por ejemplo, la ecuación x − 3 − 2 x + 2 = 2 no tiene solución. 213 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales Ejemplos Ejemplo 1 Resuelve la siguiente ecuación y determina si aparecen raíces extrañas: x + 2 + 2x + 5 = 5 solución El primer paso es aislar uno de los radicales; trasponiendo se tiene: x + 2 = 5 − 2x + 5 Si elevamos al cuadrado resulta: ( x + 2 = 5 − 2x + 5 ) 2 = 30 − 10 2 x + 5 + 2 x Otra vez, si aislamos el radical que aparece en la ecuación, hallamos: 10 2 x + 5 = 28 + x Elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos que 100(2x + 5) = 784 + 56x + x2 simplificando obtenemos: x2 − 144x + 284 = 0 Al resolver esta ecuación, encontramos las raíces: x1 = 2 y x2 = 142. A manera de comprobación, al sustituir x1 = 2 en la ecuación , hallamos que: 2 + 2 + 2( 2 ) + 5 = 5 es una proposición verdadera; luego x1 = 2 sí es solución de la ecuación. Por otro lado, si sustituimos x2 = 142, se tiene: 142 + 2 + 2(142) + 5 ≠ 5 Esto es, x2 = 142 es una solución extraña. Por lo tanto, la única solución de esta ecuación es x1 = 2. Ejemplo 2 Verifica que la ecuación x − 3 − 2 x + 2 = 2 no tiene solución. 214 Unidad 3: Ecuaciones solución Trasponiendo para aislar un radical, resulta: x − 3 − 2 = 2x + 2 Si ahora elevamos al cuadrado, tenemos: x − 3 − 4 x − 3 + 4 = 2x + 2 Aislando nuevamente el radical y simplificando, hallamos que: −4 x − 3 = x + 1 de donde se obtiene después de elevar al cuadrado y simplificar: 16(x − 3) = x2 + 2x + 1 o x2 − 14x + 49 = (x − 7)2 = 0 Resolviendo esta última ecuación, encontramos que sus raíces son x1 = x2 = 7. Ahora sustituimos x = 7 en la ecuación original; obtenemos: 7 − 3 − 2( 7) + 2 = 2 − 4 ≠ 2 De aquí concluimos que la ecuación dada no tiene solución. Ejemplo 3 Racionaliza la siguiente ecuación, es decir, transfórmala en una ecuación sin radicales. ( x − 3) 2 + y 2 + ( x + 3) 2 + y 2 = 10 solución Trasponiendo términos para aislar un radical, tenemos: ( x − 3) 2 + y 2 = 10 − ( x + 3) 2 + y 2 Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior, hallamos que: ( x − 3) 2 + y 2 = 100 − 20 ( x + 3) 2 + y 2 + ( x + 3) 2 + y 2 Si desarrollamos y simplificamos, deducimos que: −6 x = 100 − 20 ( x + 3) 2 + y 2 + 6 x Si aislamos nuevamente el radical y dividimos entre 4 ambos miembros de la ecuación, tenemos: 5 ( x + 3) 2 + y 2 = 3 x + 25 215 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales Ahora elevamos al cuadrado ambos miembros; obtenemos: 25x2 + 150x + 225 + 25y2 = 9x2 + 150x + 625 Simplificando, nos da: 16x2 + 25y2 = 400 Ejemplo 4 Resuelve la ecuación: x+3 x−3 −2 =1 x−3 x+3 solución Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por x − 3 x + 3 , hallaremos que: x + 3 − 2( x − 3) = x − 3 x + 3 −x + 9 = x2 − 9 Elevando al cuadrado, tenemos: x2 − 18x + 81 = x2 − 9 de donde −18x = −90; esto es, x = 5. Si ahora sustituimos este valor: ⎛ 2 ⎞ 5+3 5−3 −2 = 2 − 2⎜ ⎟ =1 5−3 5+3 ⎝2 2⎠ Esto es, x = 5 es la única solución de la ecuación. Ejercicios y problemas 1. Para los incisos a)-e), considera la ecuación cuadrática f(x) = ax2 + bx + 3 = 0, y supón que sus raíces son r1 y r2. a) ¿Existe algún número complejo r ≠ r1, r2 tal que f(r) = 0? Argumenta tu respuesta. 1 b) Si la suma de las raíces de una ecuación cuadrática es 4 y su producto es 3 , determina los valores de los coeficientes a, b en la ecuación. c) Aplica el criterio del discriminante y, sin resolver la ecuación, determina la naturaleza de sus raíces. 216 Unidad 3: Ecuaciones d) Resuelve la ecuación resultante f(x) = ax2 + bx + 3 = 0. e) El polinomio cuadrático f(x) = ax2 + bx + 3, ¿es reducible o irreducible (en los reales)? En caso de que el polinomio sea reducible, factorízalo. 2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x2 − 4x + 1 = 0 b) 2 x2 − 4x + 2 2 = 0 c) 2x2 = x − 1 d) 2x4 − 13x2 − 7 = 0 (sugerencia: sustituye u = x2 y resuelve la ecuación cuadrática resultante). 2 e) 2 ⎛ x − 2 ⎞ − 3⎛ x − 2 ⎞ + 2 (sugerencia: sustituye u = x − y resuelve la ecuación cuadrática re⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x x sultante). 3. Una piscina tiene forma rectangular de 12 metros de ancho por 15 de largo y está rodeada de una zona verde. El pasillo que rodea a la piscina tiene un ancho uniforme y el área total de la zona verde es de 52 metros cuadrados. Calcula el ancho del pasillo. Piscina Pasillo Figura del problema 3 4. Un comerciante compra cierto número de bolsas de dulces por 180 pesos y las vende todas, menos seis, con una ganancia de 2 pesos por cada bolsa. Si con el dinero recaudado en la venta ahora puede comprar 30 bolsas de dulces más, calcula el precio al que el comerciante está comprando cada bolsa de dulces. 5. Dos ebanistas, Luis y Manuel, juntos, barnizan un comedor en 10 días. Trabajando por separado, Luis tarda cinco días más que Manuel. Encuentra el número de días que tardarían cada uno de ellos en barnizar un comedor si trabajaran separados. 217 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales 6. Resuelve el siguiente verso originario de la India, que traducido al español dice: Regocíjanse los monos divididos en dos bandos: su octava parte al cuadrado en el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada, en total? 7. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales: a) x2 + 6x = x + 2x b) x + 16 − x = 2 c) 4−x 2 x − 8 x + 32 = 3 5 2 2 d) x − 6 x − x − 6 x − 3 = 5 8. Un barco se encuentra en el punto A y otro en el B, exactamente 10 kilómetros al norte de A. El barco que está en el B navega hacia el este a una velocidad de 2 kms/h. El barco que se encuentra en el A es capaz de navegar a 5 kms/h, y su capitán desea interceptar a la otra nave en un cierto punto C. Si el capitán sabe que las velocidades de ambos navíos se mantendrán constantes durante su trayecto: a) Determina la ecuación con radicales que resulta de la situación descrita. b) Resuelve la ecuación y encuentra la distancia x a la que se encontrarán los navíos que salen de A y B, siendo x la distancia desde B hasta un punto C al este de B. B C 10 A Figura del problema 8 218 9. Unidad 3: Ecuaciones En el Caribe mexicano existe una isla reservada a la fauna y flora silvestres del lugar. La isla se encuentra a 40 kms en línea recta del punto D más cercano sobre una playa recta. Una empresa de turismo organiza un recorrido que parte del punto C, situado a 200 kilómetros del punto D, hasta un punto B ubicado sobre la playa a x kilómetros del punto D. El recorrido sigue después por mar hasta la isla. El recorrido sobre agua se hace a 20 kms/h en promedio, mientras que sobre tierra se lleva a cabo a una velocidad de 60 kms/h. Determina la ubicación del punto B entre D y C, donde la empresa debe planear el embarco, con la finalidad de que el tiempo total de recorrido sea de nueve horas. Isla 40 200 − x x D B C Figura del problema 9 10. En la siguiente figura, AD = 10, BE = 2 y ED mide el triple de lo que mide el segmento AB. Determina cuánto mide el segmento AB. D 10 E 2 A B Figura del problema 10 C 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. La situación: Las mejores ganancias de una empresa vía cuadráticas, que fue presenta- da en la introducción de esta sección. La actividad de tu equipo consistirá en formular una propuesta detallada para lograr el objetivo del gerente; para ello, deberán escribir un reporte con sus cálculos, conclusiones y recomendaciones. La siguiente guía les ayudará a precisar una recomendación fundamentada para esta situación. Sean: U: n: m: p: las utilidades mensuales de la empresa. el número de incrementos de 5 pesos sobre el precio actual de venta. el número de llantas vendidas por la empresa. el precio de venta unitario de cada llanta. a) Determinen una ecuación lineal que vincule el costo de cada llanta con m. b) Señalen cómo calcular las utilidades en términos de n; escriban su resultado en la forma de un polinomio de segundo grado del tipo: U = an2 + bn + c. c) Encuentren la ecuación lineal que vincula el precio de venta unitario p con n, entonces escriban a U en la forma:U = ap2 + bp + c. d) ¿Cuál es el monto de las ganancias actuales? Si esto es posible, ¿a qué precio se debe fijar la venta de las llantas con la finalidad de incrementar las ganancias en un 6%? e) Determinen las raíces de la ecuación cuadrática U = 0. El punto medio de estas dos raíces proporcionará un valor máximo o mínimo para U. ¿Qué deducen? ¿Pueden mejorarse las utilidades actuales? Si la respuesta a la última pregunta es afirmativa, ¿con qué precio se logra esta máxima utilidad? ¿A cuánto asciende la utilidad máxima? De acuerdo con sus cálculos, cuánto está dejando de percibir la empresa mensualmente en la actualidad. f) Los asesores del gerente han comentado que un medio para encontrar U = ap2 + bp + c consiste en registrar las utilidades durante un lapso de tres meses para precios de venta p variables. Encuentren por este medio la expresión U = ap2 + bp + c, dado que la empresa ha determinado que: U(170) = 68000, U(175) = 71092.50 y U(180) = 74119.80. g) Aplica tus conocimientos, busca una empresa como la descrita en este problema, investiga los datos que correspondan y haz un estudio como el precedente con esos datos. 2. El álgebra en las leyes del Universo De acuerdo con la Ley de Gravitación Universal de Newton, la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos. ¿A qué distancia de la Tierra se localiza el punto o los puntos donde la Tierra y la Luna atraen a un satélite artificial con la misma fuerza, suponiendo que éste se encuentra sobre la recta que une los centros de la Tierra y la Luna? 219 220 Unidad 3: Ecuaciones 3. ¿Dónde poner las marcas? Cónica, S.A. de C.V., es una empresa que se dedica a la manufactura de productos de papel, y entre otros productos fabrica “conitos” para beber. Con la finalidad de optimizar en tiempo y costo sus procesos de manufactura, la gerencia de producción ha decidido construir los mencionados conos cortando un sector circular limitado por los puntos A y B, sobre la circunferencia de un círculo de papel de radio R. Después del corte, se unen los puntos A y B (véase la figura del problema). Con el propósito de construir los conos de mayor volumen, se necesita determinar dónde colocar las marcas para los puntos A y B; esto es, hay que determinar cuántos grados debe tener el arco del sector circular mostrado en la figura. El gerente de producción y su equipo de trabajo tienen las siguientes ideas para determinar las marcas. Completen los detalles y escriban un reporte con cálculos, resultados, conclusiones y su respuesta a la pregunta formulada en esta situación. Ideas generadas por el equipo de producción: a) b) c) d) Sea x el perímetro de la circunferencia de la base del cono. Determinen la relación entre r y x. Encuentren la relación existente entre la altura del cono (H) y el perímetro x. Expresen el volumen del cono en términos de x. La gerencia no está segura de los siguientes tres principios que un miembro del equipo planteó: i. El mayor valor de una cantidad K que depende de x se alcanza simultáneamente cuando K2 es máxima. ii. Si una cantidad L se divide en dos partes, de manera que L = m + n, entonces el producto mn resulta máximo cuando m = n = L/2. (Nota: A partir de esto se intuye que, si L = m1 + m2 + ⋅⋅⋅ + mp, donde L es constante, entonces el producto m1m2 ⋅⋅⋅ mp resulta máximo cuando…) iii. El producto X′(a − X)s resulta máximo si: X r = a− X s (Sugerencia: Multipliquen la expresión Xr(a − X)s por 1 . Deben observar que el resultado r s r s r s de este producto: X ( a − X ) , alcanza su valor máximo cuando lo hace la expresión inicial rr ss X r (a − X )s con (d, ii). Xr(a − X)s; relacionen ahora el producto r r ss Refuten o validen los tres principios anteriores. e) El gerente ha decidido aceptar las sugerencias del inciso anterior, después de aplicarlas enx contró que las cantidades ⎛ ⎞ ⎝ 2π ⎠ 2 2 x y R 2 − ⎛ ⎞ están en una relación de 2 a 1. Discutan ⎝ 2π ⎠ la validez de esta afirmación y el contenido de la conclusión a la que ha llegado la gerencia. 221 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales A partir de esto, determinen su utilidad en la solución de la situación planteada. A B r H C A=B R C Círculo de radio R para la manufactura de conos. Los puntos A y B se han unido para formar el cono. Figura del problema para trabajar en equipo 3 1. Elige la opción que contiene la proposición verdadera: a) Si una raíz de ax2 + bx + c = 0 es el doble de la otra, entonces: 2b2 = 4ac. b) Si x = r es una raíz de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces la división de ax2 + bx + c entre x + r produce un residuo igual a 0. c) Una ecuación cuadrática tiene una raíz igual a 0 si y sólo si su término independiente es 0. b 2 2c d) La suma de los cuadrados de las raíces de ax2 + bx + c = 0 es igual a 2 + a a 2. Hallar la opción que contiene la proposición falsa: a) Si los coeficientes de ax2 + bx + c = 0 son reales, a y b son ambos positivos y c es negativo, entonces una raíz es positiva y la otra negativa. b) La suma de los recíprocos de las raíces de ax2 + bx + c = 0 es igual a −2b ac c) La ecuación x2 − 2x + 5 = 0 cuadrática tiene a 1 + 2i como una de sus raíces. d) El polinomio cuadrático f(x) = x2 + 2x + 2 es irreducible en el campo de los números reales, pero no en el campo de los números complejos. 222 Unidad 3: Ecuaciones 3. Elige la opción que contiene el valor de k con el cual puede asegurarse que la ecuación (k + 4) x2 − 1 = (2k + 2) x − k, tenga raíces iguales. a) k = 5 b) k = −3 ± 11 i 2 c) k = 7 d) k = −1 ± 13 2 4. Relaciona cada pregunta en la columna B con su respuesta en la columna A. Columna A Columna B a) Valor de a con el cual la ecuación ax2 + 16x + 2 tiene solución única. b) Valor entero que no puede tomar el discriminante en la ecuación ax2 + bx + c = 0, con a, b, c enteros y b par. c) Solución positiva de la ecuación 4x 3 + =0 2x − 1 2x + 1 i. 16 ii. 1 8 iii. 23 iv. − 22 v. 1 3 7 vi. 32 vii. d) Valor de b con el cual la ecuación 2x − bx + 4 = 0 tiene una raíz igual a −3. 2 viii. −15 1 4 4 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) Si r1 y r2 son raíces de la ecuación cuadrática, entonces: f(x) = ax2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2), luego: f(r) = a(r − r1)(r − r2); como r ≠ r1, r2, concluimos que es imposible que f(x) = 0. b) a = 9, b = −36 c) Δ = b2 − 4ac = (−36)2 − 4(9)(3) = 1188 > 0; por lo tanto, las raíces r1 y r2 son reales y diferentes. d) r2 = 6 − 33 6 − 33 y r2 = 3 3 2 e) El polinomio es reducible; en efecto: f ( x ) = 9 x − 36 x + 3 = (3 x − 6 − 33 )(3 x − 6 + 33 ) 223 3.3 Ecuaciones cuadráticas y con radicales 2. a) 2 ± 3 b) r 1= r2 = 2 c) 1± 7 i 4 d) x = ± 7 ; x = ± 2 i 2 e) x = −1, x = 2, x = 1 ± 3 3. El ancho del pasillo es de 0.902614 metros. 4. Cada bolsa de dulces costó 3 pesos. 5. Luis tardaría 22.8 días, mientras que Manuel tardaría 17.8 días. 6. Hay dos soluciones posibles, 48 o 16 monos. 7. a) x = 0 y x = 2 b) x = 0 c) x = 1 es la única solución. d) x = 7 y x = −1 8. a) x 2 = 100 + x 2 5 b) x = 4.4 kilómetros. 9. El desembarco debe planearse en el punto B ubicado a 162.734 kilómetros del punto D 10. 2.31386 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. c b a (a, vi), (b, iii), (c, viii), (d, iv) 224 Unidad 3: Ecuaciones 3.4 Ecuaciones polinomiales Hay verdades fundamentales, pero improductivas, hasta que alguien da con su formulación científica. De ahí el culto a las ecuaciones, que traducen al lenguaje de la vigilia los barruntos oníricos. Sólo los poetas y los sabios son capaces de dar ese salto de una a otra dimensión. Y lo dan apoyados en un humilde verso o en una breve fórmula algebraica. J. J. Millás Introducción En ingeniería, negocios, economía o las ciencias en general se llega a encontrar modelos que involucran funciones polinomiales de tercero o cuarto grados o mayores. Así, por ejemplo, la función a(x) = −0.0915x3 + 1.771x modela la concentración aproximada de alcohol en la sangre que hay en promedio en una persona x horas después de haberlo ingerido. Algunas de las preguntas que haríamos a partir de esta formulación son: ¿A qué hora ese sujeto habrá digerido toda la cantidad de alcohol que ingirió? Dos horas después de haber ingerido el alcohol, ¿cuál será la concentración del mismo en su sangre? La solución a este tipo de preguntas involucra el análisis de funciones de grado mayor a dos y, con ello, la solución de ecuaciones de grado superior a dos. Hasta aquí hemos resuelto ecuaciones de primero y segundo grados, que no son más que casos particulares de las ecuaciones polinomiales; sin embargo, la solución de ecuaciones polinomiales no es tan simple como la solución de ecuaciones de primero o segundo grados. La solución de las ecuaciones polinomiales de tercero y cuarto grados fue descubierta hasta el siglo XVI y fueron muchos los matemáticos que trabajaron en ello. Se considera que el comienzo del periodo moderno de la matemática comenzó en el momento cuando se lograron resolver las ecuaciones cúbica y cuártica. Las fórmulas halladas tuvieron la virtud de estimular el desarrollo del álgebra y jugaron un papel relevante en el desarrollo posterior de los números complejos. En su libro Ars magna, Jerónimo Cardano describe la forma de resolver cualquier ecuación de tercero y cuarto grados, siguiendo un número finito de pasos mediante las cuatro reglas aritméticas; sin embargo, la solución requiere de un cambio de variable más o menos complicado y, tal como la conocemos ahora, del manejo de operaciones con números complejos. La solución a la ecuación de tercer grado es adjudicada a Niccolo Tartaglia y la solución de la ecuación de cuarto grado a Luigi Ferrari, aunque en ambos casos también se considera la participación de Cardano. La matemática tuvo que esperar alrededor de tres siglos a que llegaran dos matemáticos muy jóvenes: Niels Hen- 225 3.4 Ecuaciones polinomiales rik Abel y Evariste Galois, para demostrar que no era posible resolver ecuaciones de grados superiores a cuatro con un número finito de pasos. En resumen, hoy sabemos que no hay una fórmula para resolver ecuaciones de grado superior a cuatro, así como que los procedimientos para resolver ecuaciones de tercero y cuarto grados requieren nociones matemáticas complejas no propias de este grado de estudios. Eso no significa que las funciones polinomiales nos sean totalmente inaccesibles; en este apartado nos concentraremos en el estudio de aquellas ecuaciones polinomiales cuyas raíces sean números racionales o ecuaciones que sea posible simplificar hasta una ecuación de segundo grado. De tal suerte, será necesario fundamentar diversos resultados matemáticos que permitan analizar y clasificar las raíces de las ecuaciones a tratar. El siguiente problema servirá como preámbulo para el estudio de las funciones polinomiales y del tipo de problemas que podemos resolver a través de ellas. “De allá pa’ca” Carlitos se encuentra en una mecedora en el frente de su casa, desde donde observa a un vendedor ambulante que pasa varias veces por la misma calle en una camioneta anunciando sus productos con un altavoz. Tomando en cuenta que el vendedor modificaba su aceleración de forma constante, la ecuación que describe la posición del vendedor (x) con respecto al tiempo (t) sería la siguiente: x = −t 3 + 9t 2 − 16t En donde el tiempo está medido en minutos, a partir de que el vendedor pasa frente de la casa de Carlitos, y la posición del vendedor está medida en metros con respecto a la casa de Carlitos. 1. De acuerdo con esto, ¿cuántas veces pasa el vendedor frente a su casa y cuanto tiempo después de haber pasado la primera vez? 2. Su amiga Lulú vive a 20 metros a la derecha de su casa, pero Carlitos no alcanza a observar si el vendedor pasó frente a su casa. ¿Se puede usar la información que tenemos para saber si pasó o no pasó frente a la casa de Lulú? Si así fue, ¿cuántos minutos después pasó el vendedor frente a la casa de Lulú? ¿Pasa una sola vez? Objetivos Al terminar esta sección, serás capaz de: • Definir e identificar una función polinomial. • Plantear y resolver ecuaciones polinomiales con soluciones racionales. • Enunciar y aplicar los teoremas del factor, de las n raíces y de la raíz racional en el análisis de las funciones polinomiales. • Resolver problemas que dan lugar a ecuaciones polinomiales. 226 Unidad 3: Ecuaciones Funciones polinomiales Las funciones polinomiales se definen sólo en términos de suma, resta y multiplicación. Así, una función polinomial tiene la forma: p( x ) = an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + ...a1 x + a0 donde an, an−1, an−2,... a1, a0 son números reales o complejos y n es un entero no negativo. Una función polinomial está definida por dos variables, una de las cuales está igualada a un polinomio de grado n definido por la otra variable. El grado de la función polinomial es el grado del polinomio. Así, por ejemplo: y = 3x 2 + 5x + 3 5 3 p( x ) = 3 x − 9 x + 4 x − 8 p( x ) = 4x − 3 x + 4x − 5 2 es una función polinomial de grado 2 es una función polinomial de grado 5 no es una función polinomial Como observarás, las ecuaciones de segundo grado, ya estudiadas, no son más que un caso particular de las funciones polinomiales. Las funciones polinomiales dan lugar a ecuaciones polinomiales cuando hay un intención explícita de resolver, es decir, de encontrar los valores de alguna variable que hagan cierta esa igualdad. Si en la ecuación primera, y = 3 x 2 + 5 x + 3 , quisiéramos conocer cuánto vale x cuando y = 5, entonces igualaríamos la ecuación a 5. La función se transformaría en la siguiente ecuación: 3 x 2 + 5 x − 2 = 0 , que resolveríamos por alguno de los métodos ya tratados. Así, una ecuación polinomial tiene la forma: an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + ...a1 x + a0 = 0 donde an, an−1, an−2,... a1, a0 son números reales o complejos y n es un entero no negativo. Las ecuaciones polinomiales más comunes son aquellas que se forman cuando queremos conocer las raíces de una función polinomial. Una raíz o solución de una función polinomial p(x) es aquel valor de x que hace que el polinomio sea igual a 0. Generalmente a la raíz de un polinomio se le denota con la letra r. 227 3.4 Ecuaciones polinomiales Resolución y factorización de una ecuación polinomial Como ya lo mencionamos, no hay un método general para resolver cualquier ecuación polinomial; el método que se analizará aquí sólo permitirá obtener la solución de las ecuaciones de grado superior a 2, cuya solución sea un número entero o fraccionario, o cuando se trate de una ecuación polinomial que pueda ser reducida a una ecuación de segundo grado. Nuestro método se basa principalmente en la factorización de polinomios. Para introducirnos en este tema, será necesario que redefinamos primero algunos aspectos importantes ya vistos; para ello, se partirá de la solución de una ecuación de segundo grado. Para resolver una ecuación de segundo grado; por ejemplo, 3 x 2 + 7 x + 4 = 0 , escogeríamos tres caminos familiares: completar trinomio cuadrado perfecto, con fórmula general o factorizándola. Indudablemente la forma más sencilla de hacerlo es por factorización, cuando el trinomio es factorizable. En este caso sí lo es: 3 x 2 + 7 x + 4 = (3 x + 4)( x + 1) (3x + 4)( x + 1) = 0 por lo tanto: Puesto que el producto está igualado a 0, tenemos la seguridad de que la igualdad se cumplirá si igualamos cada uno de los factores a 0, es decir: 1. Si 3 x + 4 = 0 , entonces se cumple la igualdad 2. Pero si x + 1 = 0 , también se cumple la igualdad De estas dos igualdades, conocemos los valores de x que hacen que la igualdad original 4 se cumpla. Despejando, obtenemos que x vale − , o bien, que x vale −1. Pero también 3 es cierto que es posible ignorar las bondades de la factorización y resolverla por fórmula general; entonces: x= ( 7 ) 2 − 4 (3)( 4) −7 ± −7 ± 1 x= 6 2(3) obtenemos los valores que hacen que la igualdad se cumpla: x=− 4 o x = −1 3 De esta otra forma, encontramos las respuestas (que son las mismas que habíamos obtenido), pero no factorizamos el trinomio. Sin embargo, una vez con las respuestas, conoceremos los factores porque podemos partir exactamente al revés, es decir, si sabemos 4 que x = − y x = −1, son las soluciones de una ecuación de segundo grado, también 3 sabemos que tenemos dos igualdades, que es posible despejar e igualar a 0: 228 Unidad 3: Ecuaciones x=− 4 3 x = −1 x +1 = 0 3 x = −4 3x + 4 = 0 Pero como 0 por 0 es 0, y cada una de las ecuaciones que tenemos está igualada a 0, también se cumpliría que: (0)(0) = 0 (3x + 4)( x + 1) = 0 ¿Qué obtuvimos? La ecuación original factorizada. Es decir, usamos una nueva manera de factorizar una ecuación conociendo sus raíces. Pongamos otro ejemplo en el que realmente no conozcamos la ecuación. Ejemplos Ejemplo 1 7 Si sabemos que las soluciones de una ecuación de segundo grado son y −3, ¿se podría encontrar una 2 ecuación de la que provengan? solución 7 y x = −3 , de manera que también es cierto que 2 2 x − 7 = 0 y x + 3 = 0 ; por lo tanto, la ecuación original estaría dada por (2 x − 7)( x + 3) = 0 , la cual, Las soluciones las escribiríamos como x = efectuando la multiplicación de los factores, quedaría: 2 x 2 − x − 21 = 0 . De este modo, conociendo las soluciones, no sólo es posible factorizar la ecuación, sino también conocer una de las ecuaciones de las que provengan. Pero, ¿por qué dice que es sólo “una” de las ecuaciones de las que provenga? Porque en realidad las soluciones provendrían de otra ecuación; por ejemplo, de 8 x 2 − 4 x − 84 = 0 , porque la factorización de la ecuación sería: 4(2 x − 7)( x + 3) = 0 , y sus soluciones serían las mismas. Además, la ecuación estaría influida por otro factor, como −1; así, la ecuación sería −2 x 2 + x + 21 = 0 y su factorización: −(2 x − 7)( x + 3) = 0 . En realidad, dadas las soluciones de una ecuación cuadrática, hay un número infinito de ecuaciones de las que provendría (¡imagínate! cualquier número puede ser otro factor); aquí nos contentaremos con que provenga de la más sencilla. 229 3.4 Ecuaciones polinomiales Ejemplo 2 Proporciona una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones los números 1.234 y −4.567. La ecuación que obtuviste, ¿es factorizable? solución Las soluciones las escribiremos como x = 1.234 y x = −4.567 , de manera que también es cierto que: x − 1.234 = 0 y x + 4.567 = 0 por lo tanto, la ecuación original estaría dada por ( x − 1.234)( x + 4.567) = 0 , la cual, desarrollada, quedaría: x 2 + 3.333 x − 5.635678 = 0 . Observemos que en otras circunstancias hubiese sido factible pensar que no es posible factorizarla, porque hubiera sido realmente difícil encontrar dos números que multiplicados dieran −5.635678 y sumados 3.333; sin embargo, ahora sabemos que sí es posible factorizarla y que sus factores serían ( x − 1.234) y ( x + 4.567) , así como que si sólo hubiéramos conocido la ecuación hubiese podido factorizarla resolviéndola primero por fórmula general. Ejemplo 3 ¿De qué grado es la ecuación que tiene como única solución a x = 3 repetida dos veces? solución Si la solución está repetida dos veces, significa que hay dos factores iguales, es decir, la ecuación provendría del desarrollo de ( x − 3)( x − 3) = 0 , o bien, ( x − 3)2 = 0 , y sería x 2 − 6 x + 9 = 0 ; por lo tanto, la ecuación que tiene como solución a x = 3 repetida dos veces debe ser de segundo grado. Ejemplo 4 ¿Cuál sería el grado de una ecuación polinomial del que sabemos que sus soluciones son x = 4 , x = 5 y x = 6 , y no son repetidas? solución Si tenemos tres soluciones no repetidas, el polinomio debe provenir del desarrollo del siguiente producto: ( x − 4)( x − 5)( x − 6) = 0 ; por lo tanto, tiene tres factores en los que se involucra la variable x, de manera que el polinomio tiene que ser de grado 3. Sus factores serían: ( x − 4) , ( x − 5) y ( x − 6). Ejemplo 5 ¿Qué diríamos de un polinomio del que sabemos que dos de sus soluciones son 7 y −4? 230 Unidad 3: Ecuaciones solución Esas dos soluciones las escribiremos como: x = −4 y x = 7, de manera que también es cierto que: x+4=0 y x−7=0 Pero esta vez no es posible asegurar que la ecuación está dada por ( x + 4)( x - 7) = 0 , porque no sabemos si la ecuación sólo tiene esas dos soluciones o más (en el enunciado no lo especifican). Si la ecuación sólo tuviera esas dos soluciones, estaría dada por ese producto, pero de otra manera sólo afirmaríamos que ( x + 4) y ( x - 7) son dos de sus factores y que no podemos conocer los demás. ¿Qué se concluye de estos ejemplos? Puntualicemos: 1. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, pasaría lo mismo con una ecuación de la que provengan, porque cada una de las soluciones se transforma en uno de los factores de la ecuación. 2. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, se conocería el grado de la ecuación, porque cada una de las soluciones se convierte en un factor que es posible desarrollar para hallar la ecuación. Analicemos cada una de estas conclusiones por separado: 1. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, pasaría lo mismo con una ecuación de la que provengan, porque cada una de las soluciones se transforma en un factor de la ecuación. Si se conocen las soluciones x = a, x = b y x = c, se sabrá que ( x − a)( x − b)( x − c) = 0 es una ecuación con esas soluciones. De tal manera que si esa ecuación polinomial proviene de una función f ( x ) = ( x − a)( x − b)( x − c) , los valores de x = a, x = b y x = c harán que esa función sea igual a 0. Esto último lo escribiremos de la sigueinte forma: f ( a) = 0 , f (b) = 0 y f (c) = 0 , es decir, a, b y c son raíces de la función f(x). Así, si se conocen las raíces de una función polinomial, es posible conocer una función de las que provengan, pero el resultado más importante es que si conocemos una de las raíces de una función polinomial, ocurre lo mismo con uno de los factores de esa función. A este importante resultado se le llama teorema del factor, el cual, al pie de la letra, nos dice: 231 3.4 Ecuaciones polinomiales Teorema del factor Si f (c) = 0, entonces ( x − c) es un factor de la función polinomial f, que también se cumple en sentido inverso, es decir, si ( x − c) es un factor de una función polinomial f, entonces f (c) = 0 . 2. Si se conocen todas las soluciones de una ecuación polinomial, ocurriría lo mismo con el grado de la ecuación, porque cada una de las soluciones se convierte en un factor que es posible desarrollar para hallar la ecuación. Si se conocen las soluciones x = a, x = b y x = c, se sabrá que f ( x ) = ( x − a)( x − b)( x − c) es una función con raíces a, b y c, y que el grado del polinomio está dado por la multiplicación de sus factores: f ( x ) = x 3 − ax 2 − bx 2 − cx 2 + abx + acx + bcx − abc ; por lo tanto, el grado de la función polinomial es 3. Del mismo modo, si se sabe que la función tiene cuatro raíces, x = a, x = b, x = c y x = d, también se sabrá que cuatro son sus factores f ( x ) = ( x − a)( x − b)( x − c)( x − d ) y que, por lo tanto, el grado de la función es 4. Podemos esperar que una función con n soluciones tenga n factores y que sea de grado n. La reflexión inversa resulta interesante; si una función es de grado n, ¿significa que tiene n soluciones? Recordemos el ejemplo 3; en éste las soluciones de una ecuación de segundo grado son iguales, pero finalmente hay dos soluciones. ¿Qué otro caso se puede tener? Es posible que las soluciones estén dadas por números complejos, de manera que considerando una ampliación, en el sentido de que las raíces de los números complejos pueden ser iguales o distintas, reales o complejas, se da lugar a otro importante teorema, el Teorema de las n raíces: Teorema de las n raíces Todo polinomio f(x) de grado n ≥ 1, con coeficientes reales o complejos, puede expresarse como producto de n factores lineales; por lo tanto, tiene n raíces no necesariamente distintas. Pero estos dos teoremas, ¿qué utilidad tienen en la solución de las ecuaciones polinomiales? ¿Cómo se encuentran las raíces de una polinomial de tercer grado como f ( x ) = 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 ? De acuerdo con lo desarrollado, las raíces de f ( x ) = 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 se encuentran cuando f ( x ) = 0 , de modo que las raíces se hallarán si resolvemos la ecuación polinomial 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 = 0 . Por el teorema de las n raíces, se sabe que tiene tres 232 Unidad 3: Ecuaciones raíces y tres factores. De modo que si factorizamos la ecuación será posible encontrar las raíces, pero ¿cómo se factoriza? Vayamos paso a paso: Por el Teorema del factor, si se conoce una raíz de la función polinomial f (x) = 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 , se tendrá un factor del polinomio. Pero ¿cómo conoceremos una raíz? Se llega a hacer una tabla en donde se le dé valores a x y se calcule el valor de f(x), hasta obtener un 0. Los valores deberán ser positivos y negativos. La tabla obtenida se muestra a continuación: x f(x) 0 30 1 12 -1 32 2 -4 -2 0 De acuerdo con la tabla, x = −2 es una raíz de la función polinomial; por lo tanto, uno de los factores del polinomio es ( x + 2) . Se gana un factor, pero ¿cómo se obtienen los otros dos? Si uno de los factores del polinomio 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 es ( x + 2) , hay algún otro polinomio Q(x) (que no conocemos) que, multiplicado por ( x + 2) , sea igual a 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 , de modo que es posible establecer la siguiente igualdad: 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 = ( x + 2)Q( x ) Esto significa que sí se puede conocer a Q(x): Q( x ) = 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 x+2 La división que hay que efectuar para conocer Q(x) sería una división sintética, porque el divisor tiene la forma x − a: 3 −8 −13 30 −6 28 −30 3 −14 15 0 −2 El polinomio resultante es Q( x ) = 3 x 2 − 14 x + 15 ; por lo tanto: ( ) 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 = ( x + 2) 3 x 2 − 14 x + 15 El polinomio de segundo grado es factorizable: 3 x 2 − 14 x + 15 = (3 x − 5)( x − 3) , por métodos conocidos. De modo que el polinomio de tercer grado queda factorizado de la siguiente forma: 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 = ( x + 2)(3 x − 5)( x − 3) 233 3.4 Ecuaciones polinomiales Es posible obtener las raíces del polinomio original f ( x ) : f ( x ) = 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 = 0 f ( x ) = ( x + 2)(3 x − 5)( x − 3) = 0 de donde: x = −2 , x = 5 y x=3 3 5 y x = 3 , en tanto que el polino3 mio queda factorizado como f ( x ) = ( x + 2)(3 x − 5)( x − 3) . Concluiremos que para resolver una ecuación de tercer grado será necesario encontrar una solución; de esa manera, nuestro problema se reduce a una ecuación de segundo grado, que puede ser resuelto por métodos conocidos. El problema real es cómo conocer una solución o raíz; más aún, cuando la ecuación que se desee resolver sea de grado superior a 3, porque en tales casos, para llegar a tener una ecuación de segundo grado es necesario conocer dos o más raíces. Entonces las raíces del polinomio son x = −2 , x = Las posibles raíces de una función polinomial En el ejemplo que se resolvió, la primera solución se encontró a través de una tabla en donde se le dieron valores a x y se evaluó la función hasta encontrar el valor de x que hiciera que f fuera 0. Pero, ¿no hay una manera más simple? ¿Cómo saber hasta dónde seguir evaluando? Hay formas de simplificar esa evaluación; sin embargo, el método exige un tanteo que se puede sistematizar y simplificar, pero que sigue siendo un tanteo. Analizaremos varios casos para concluir en la manera de simplificar este procedimiento. Analicemos el polinomio resuelto y su factorización: 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 = ( x + 2)(3 x − 5)( x − 3) Lo anterior es fácilmente demostrable porque bastará con efectuar la multiplicación de los tres binomios; si el resultado es el polinomio de la izquierda, la factorización será correcta. Hay que observar que el término independiente, 30, forzosamente debe provenir del producto de 2 por −5 por −3 ,y que las soluciones están de alguna manera condicionadas por esos números, de manera que en este caso no hubiese sido posible que el polinomio tuviera como raíz entera el número 7, porque de esa forma uno de los factores sería (x −7); por lo tanto, tendría que haber números enteros que, multiplicados por −7, dieran como producto 30, lo que no puede ser. De modo que los términos independientes de los factores del polinomio están condicionados por los factores del término independiente del polinomio. Como las raíces enteras están dadas por el inverso de los términos independientes de los binomios de primer grado, éstas también quedan condicionadas por los factores del término independiente. Así, las raíces enteras posibles de la función polinomial g( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 5 sólo pueden ser 1,−1, 5, −5, porque los factores ( x − 5) ( x + 5), ( x − 1) , o ( x + 1) sí serían factores del polinomio 3 x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 5 . Hay que observar que 5 y 1 son los factores del término independiente del polinomio. ¿Qué ocurre con las raíces fraccionarias? En el resultado obtenido: 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 = ( x + 2)(3 x − 5)( x − 3) 234 Unidad 3: Ecuaciones 5 proviene del factor (3 x − 5) . Observa que el 3x es indis3 pensable porque el producto de x por 3x por x, en los tres factores, debe regresar al 3x3 del polinomio y el coeficiente 3 luego se convierte en el denominador de la raíz fraccionaria. De manera que si una ecuación polinomial tiene un factor de la forma ( ax − b) , entonces a debe ser factor del coeficiente del término de mayor grado del polinomio, así como b un factor de su término independiente, en tanto que su raíz es de la forma b . A a este resultado se le conoce como Teorema de la raíz racional, el cual se enuncia de la siguiente forma: La raíz fraccionaria x = Teorema de la raíz racional Si el número racional p , escrito en su mínima expresión, es una raíz del polinomio: q f ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + ...a1 x + a0 con coeficientes enteros, entonces p debe ser factor de a0 (el término constante de f(x)) y q un factor de an (el coeficiente del término de mayor grado de f(x)). 1 fuera raíz de la función f(x) = 3x2 − 2 8 x 2 − 13 x + 30 , porque el factor (2x − 1) no puede ser factor del polinomio De modo que no hubiera sido posible que x = 3 x 3 − 8 x 2 − 13 x + 30 . Hay que observar que 2 no es factor del coeficiente del término de grado mayor. De acuerdo con este teorema, las raíces racionales (enteras y fraccionarias) posibles de una función polinomial estarían dadas por la fracción simplificada que resulta del cociente de todas las posibles combinaciones de los factores del término independiente entre los factores del coeficiente del término de mayor grado. Ejemplo Las posibles raíces racionales de la función g( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 5 están dadas por: Factores del término independiente: 1, 5. Factores del término de mayor grado: 1, 3. Posibles raíces enteras (dadas por los factores del término independiente): 1, −1, 5, −5. Posibles raíces fraccionarias (dadas por la fracción simplificada del cociente de los factores del tér1 1 5 5 mino independiente entre los factores del término de grado mayor): , − , , − . 3 3 3 3 235 3.4 Ecuaciones polinomiales Se sabe que el número de raíces de la ecuación es 4 (porque es de cuarto grado) y el número de posibilidades que se encontraron son 8. De manera que para conocer exactamente cuáles de todas ellas son las raíces de la función polinomial, hay que evaluar cada una en la función hasta encontrar un 0. Ciertamente aún son muchas las posibilidades, lo que implica muchas evaluaciones, pero son menos que las que se tendría si no hubiera forma de discriminar entre todas las posibilidades que hay en el conjunto de los números racionales. Se puede afirmar que en ese conjunto de números encontrados están todas las soluciones racionales posibles de la ecuación dada, de manera que si la función se evalúa en todos esos valores y ninguno proporciona un 0 para la función, entonces la función tratada no tendrá ninguna raíz en el conjunto de los números racionales; por lo tanto, sus soluciones estarán en el conjunto de los números irracionales (decimales infinitos no periódicos) o de los complejos. El método que se está describiendo, por lo tanto, no servirá para hallar las raíces del polinomio dado. Es necesario que al menos haya un número de raíces racionales tal que el polinomio sea llevado a un producto en donde uno de los factores sea de segundo grado, porque este tipo de ecuaciones sí logran resolverse aún cuando la naturaleza de sus soluciones sea compleja o irracional. En el ejemplo que nos ocupa, esto es posible si dos de sus raíces son racionales, porque el polinomio es de grado 4. Si el polinomio fuera de quinto grado, sería necesario que al menos tres de sus raíces fueran de naturaleza racional. Por ello, se concluye que si la función polinomial es de grado n y si al menos n-2 de las raíces del polinomio no son de naturaleza racional (entera o fraccionaria), el método que se proporciona no servirá para hallar las soluciones. Ahora que ya sabemos cuáles son las posibles soluciones de la función g(x) = 3x4 − 2x3 − 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 5 , nos dedicaremos a buscar cuáles de esas posibilidades son realmente sus raíces. Ya mencionamos que para lograrlo se debe evaluar hasta encontrar un 0, pero hay una forma más sencilla de hacer esa evaluación que haciendo directamente la sustitución en la función; esto es: efectuando la división. 1 5 1 5 Sabemos que las posibles raíces racionales de esa función son: 1, −1, 5, −5, , − , , − . Esco3 3 3 3 jamos una de ellas, por ejemplo la primera: Si 1 es una de las raíces del polinomio, entonces ( x − 1) sería factor del polinomio; por lo tanto, al efectuar la división de la función g(x) entre ( x − 1) , su residuo tendría que ser 0. Si ( x − 1) no es factor del polinomio, entonces al efectuar la división el residuo no sería 0; por lo tanto, 1 no sería raíz del polinomio. De manera que si sustituimos el valor en la función y nos da como resultado un 0, será equivalente a realizar la división entre el polinomio y el factor posible y que el residuo nos dé 0. Realizar la división es más sencillo que sustituir la posible raíz en el polinomio, porque esto último requiere elevar un número a una potencia varias veces; en cambio, si se usa una división sintética (porque los divisores serán de la forma ( x − a) ) las únicas operaciones que se realizarán son la suma, la resta y la multiplicación. Efectuaremos las divisiones con cada una de las posibles raíces hasta encontrar una que en efecto lo sea: 1. Para la posible raíz x = 1, el factor sería ( x − 1) , así que la división de 3 x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 5 entre (x − 1) es: 3 3 −2 3 1 −2 1 −1 −2 −1 −3 −5 −3 −8 1 El residuo resultante es −8; por lo tanto, ( x − 1) no es factor de g(x). 236 Unidad 3: Ecuaciones 2. Para la posible raíz x = −1 , el factor sería ( x + 1) , así que la división de 3 x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 5 entre ( x + 1) es: 3 3 −2 −3 −5 −2 5 3 −2 −3 −5 −5 5 0 −1 El residuo resultante es 0; por lo tanto, ( x + 1) es factor de g(x) y 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 es el otro factor: ( ) 3 x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 5 = ( x + 1) 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 Como observamos, al encontrar una raíz podemos tener dos factores, uno de primer grado y otro de tercer grado. El problema se ha reducido un grado, pero todavía queda un polinomio de tercer grado por resolver, para lo cual hay que utilizar el mismo método. En este caso, las posibles raíces son iguales que las del polinomio anterior, porque el coeficiente del término de mayor grado es 3 y el término independiente es 5, así que continuaremos haciendo más divisiones sintéticas con los valores que ya tenemos. Como x = 1 no resultó ser raíz de g(x), tampoco lo será del polinomio 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 , así que comenzaremos la evaluación con x = −1 , porque es posible que el polinomio tenga factores repetidos. 3. Para la siguiente posible raíz x = −1 , el factor sería ( x + 1) , así que la división de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 entre ( x + 1) es: 3 3 −5 −3 −8 3 −5 8 −11 11 −26 −1 El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, ( x + 1) no es factor de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5. 4. Para la siguiente posible raíz x = 5 , el factor sería ( x − 5) , así que la división de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 entre ( x − 5) es: 3 3 −5 15 10 3 −5 50 265 53 260 5 El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, ( x − 5) no es factor de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 . 5. Para la siguiente posible raíz x = −5 , el factor sería ( x + 5) , así que la división de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 entre ( x + 5) es: 3 −5 3 −5 −15 100 −515 3 −20 103 520 −5 El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, ( x + 5) no es factor de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 . 237 3.4 Ecuaciones polinomiales 6. Para la siguiente posible raíz x = 1 entre ⎛ x − ⎞ es: ⎝ 3⎠ 1⎞ 1 ⎛ , el factor sería x − , así que la división de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 ⎝ 3⎠ 3 3 1 3 3 −5 4 3 5 9 −5 −4 − 5 3 1 3 40 9 − 1 El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, ⎛ x − ⎞ no es factor de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 . ⎝ 3⎠ 1 1 7. Para la siguiente posible raíz x = − , el factor sería ⎛ x + ⎞ , así que la división de ⎝ 3 3⎠ ⎛ x + 1⎞ 3 2 es: 3 x − 5 x + 3 x − 5 entre ⎝ 3⎠ 3 3 −5 3 −1 2 − −6 5 − 20 3 −5 − 1 3 5 3 1 El residuo de esta división no es 0; por lo tanto, ⎛ x + ⎞ no es factor de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 . ⎝ 3⎠ 8. Para la siguiente posible raíz x = 5⎞ ⎛ 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 entre ⎝ x − ⎠ es: 3 3 3 5⎞ 5 ⎛ , el factor sería ⎝ x − ⎠ , así que la división de 3 3 −5 3 −5 5 0 5 0 3 0 El residuo de esta división es 0; por lo tanto, ⎛ x − ⎝ otro factor. Así: 5 3 5⎞ es factor de 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5 y 3 x 2 + 3 es el 3⎠ 5 3x 3 − 5x 2 + 3x − 5 = ⎛ x − ⎞ 3x 2 + 3 ⎝ 3⎠ ( ) 238 Unidad 3: Ecuaciones ( ) 4 3 2 3 2 Como: g( x ) = 3 x − 2 x − 2 x − 2 x − 5 = ( x + 1) 3 x − 5 x + 3 x − 5 5⎞ 2 ⎛ 4 3 2 3x + 3 Entonces: g( x ) = 3 x − 2 x − 2 x − 2 x − 5 = ( x + 1) x − ⎝ 3⎠ ( ) 5 g( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 5 = ( x + 1)⎛ x − ⎞ 3 x 2 + 1 ⎝ 3⎠ ( ( ) ) 4 3 2 2 Reacomodando factores: g( x ) = 3 x − 2 x − 2 x − 2 x − 5 = ( x + 1)(3 x − 5) x + 1 ( ) Igualando el último factor a 0, x 2 + 1 , se obtienen las dos raíces que nos hace falta conocer: x2 + 1 = 0 x = −1 x = ± −1 x = ±i Por lo tanto, las raíces de g(x) son: x = −1 , x = 5 , x = −i y x = i . La función g(x) en el conjunto 3 ( ) de los números reales queda factorizado como: g( x ) = ( x + 1)(3 x − 5) x 2 + 1 Ejemplos Ejemplo 1 Encuentra las raíces y los factores de la siguiente función polinomial: f ( x ) = 4 x 4 − 7 x 2 + 5 x − 1 . solución Lo primero que habrá que analizar es cuáles son las posibles raíces de la función f(x): Factores del término independiente: 1. Factores del término de mayor grado: 1, 2, 4. Posibles raíces enteras (dadas por los factores del término independiente): 1, −1. Posibles raíces fraccionarias (dadas por la fracción simplificada del cociente de los factores del tér1 1 1 1 mino independiente entre los factores del término de grado mayor): , − , , − . 4 2 2 4 239 3.4 Ecuaciones polinomiales Después, habrá que ver cuáles de esas posibles raíces son efectivamente raíces de la función polinomial. Para ello, recurriremos a la división sintética. Hay que hacer notar que el polinomio es de cuarto grado; por lo tanto, esperamos cuatro factores y cuatro raíces. a) Para la posible raíz x = 1 , el factor sería ( x − 1) , así que la división de 4 x 4 − 7 x 2 + 5 x − 1 entre ( x − 1) es: 4 0 4 4 4 −7 4 −3 5 −3 2 −1 2 1 1 El residuo resultante es 1; por lo tanto, ( x − 1) no es factor de f(x) ni x = 1 es su raíz. b) Para la posible raíz x = −1 , el factor sería ( x + 1) , así que la división de 4 x 4 − 7 x 2 + 5 x − 1 entre ( x + 1) es: 4 4 0 −4 −4 −7 4 −3 5 3 8 −1 −8 −9 −1 El residuo resultante es −9; por lo tanto, ( x + 1) no es factor de f(x) ni x = −1 es su raíz. c) Para la posible raíz x = 1 1 , el factor sería ⎛ x − ⎞ , así que la división de 4 x 4 − 7 x 2 + 5 x − 1 entre ⎝ 2 2⎠ ⎛ x − 1 ⎞ es: ⎝ 2⎠ 4 4 El residuo resultante es 0; por lo tanto, y x= 0 −7 5 −1 2 1 −3 1 2 −6 2 0 1 2 ⎛ x − 1⎞ es factor de f(x); su otro factor es 4 x 3 + 2 x 2 − 6 x + 2 ⎝ 2⎠ 1 es su raíz. Así, obtenemos que: 2 1 4 x 4 − 7x 2 + 5x − 1 = ⎛ x − ⎞ 4 x 3 + 2 x 2 − 6 x + 2 ⎝ 2⎠ ( ó 1 4 x 4 − 7 x 2 + 5x − 1 = ⎛ x − ⎞ 2 2 x 3 + x 2 − 3x + 1 ⎝ 2⎠ ó 4 x 4 − 7 x 2 + 5 x − 1 = (2 x − 1) 2 x 3 + x 2 − 3 x + 1 ) ( ) ( ) 240 Unidad 3: Ecuaciones Las posibles raíces del polinomio de tercer grado tienen que ser subconjunto de las raíces del polinomio anterior, de cuarto grado, en tanto que los valores que ya probamos que no son raíces del polinomio de cuarto grado, pero tampoco pueden ser raíces del polinomio de tercer grado, así que continuaremos evaluando a partir de donde nos quedamos, porque lo que sí llegaría a ocurrir es que la raíz esté repetida. d) Para la posible raíz x = ⎛x − ⎝ 1 1 , el factor sería ⎛ x − ⎞ , así que la división de 2 x 3 + x 2 − 3 x + 1 entre ⎝ 2 2⎠ 1⎞ es: 2⎠ 2 2 1 −3 1 1 1 −1 2 −2 0 1 2 3 2 El residuo resultante es 0; por lo tanto, ⎛ x − 1 ⎞ es factor de 2 x + x − 3 x + 1 ; su otro factor es ⎝ 2⎠ 1 2 x 2 + 2 x − 2 y x = es una raíz doble. Así, obtenemos que: 2 1 2 x 3 + x 2 − 3x + 1 = ⎛ x − ⎞ 2 x 2 + 2 x − 2 ⎝ 2⎠ ( ) ó 1 2 x 3 + x 2 − 3x + 1 = ⎛ x − ⎞ 2 x 2 + x − 1 ⎝ 2⎠ ó 2 x 3 + x 2 − 3 x + 1 = (2 x − 1) x 2 + x − 1 ( ( ) ( ) ) Como: f ( x ) = 4 x 4 − 7 x 2 + 5 x − 1 = (2 x − 1) 2 x 3 + x 2 − 3 x + 1 , entonces: ( ) f ( x ) = (2 x − 1) 2 x 3 + x 2 − 3 x + 1 ( ) f ( x ) = (2 x − 1)(2 x − 1) x 2 + x − 1 El siguiente factor es de segundo grado, pero como no es posible factorizarlo en los racionales (no hay dos números racionales que multiplicados den 1 y que sumados o restados den −1), hay que recurrir a otros métodos para encontrar las dos raíces que faltan. Para hallar las raíces, es necesario igualar a 0 la función polinomial: (2 x − 1)(2 x − 1)( x 2 + x − 1) = 0 Así, el factor cuadrático queda igualado a 0; por lo tanto, es resoluble a través de la fórmula general: x2 + x − 1 = 0 x= −1 ± ( 1 ) 2 − 4 (1)( −1) 2(1) 241 3.4 Ecuaciones polinomiales −1 ± 5 2 x ≈ 0.618 x ≈ −1.618 x= Por lo tanto, las raíces de f(x) son: x ≈ 0.618 , x ≈ −1.618 , x = 1 1 y x = . La función f(x) en el 2 2 ( ) conjunto de los números racionales, queda factorizada como f ( x ) = (2 x − 1)(2 x − 1) x 2 + x − 1 Ejemplo 2 Encuentra el valor de k, tal que f ( x ) = x 3 − kx 2 + kx + 3 tenga como factor a (x − 3). solución Si (x – 3) es factor de f(x), entonces x = 3 es una raíz de f(x). Esto es, f(3) = 0, de manera que se llega a establecer la siguiente igualdad: f (3) = 33 − k 32 + k 3 + 3 = 0 27 - 9k + 3k + 3 = 0 30 - 6k = 0 k= 30 =5 6 La función quedaría de la siguiente forma: f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 5 x + 3 Ejemplo 3 De un cubo de juguete, se sabe que se podría duplicar su volumen si se modifican las dimensiones de sus caras de la siguiente manera: a una de las aristas se le incrementa una longitud de seis centímetros, a otra de las aristas se le incrementan 12 centímetros y a la tercera arista se le disminuye cuatro centímetros. ¿Cuál es la longitud de la arista del cubo original? solución Interpretemos la información que se proporciona. Se tiene un cubo con una cierta longitud de arista, a la que denominaremos con la letra a. Como es un cubo, sus tres aristas miden lo mismo. Si a ese cubo se le modifican las aristas de diferente manera, se duplica su volumen. Una de las aristas se incrementa en seis, la otra en 12 y a la tercera se le disminuyen cuatro centímetros; como la arista original mide a, entonces la primera de las aristas mediría a + 6, la otra a + 12 y la otra a − 4; la figura resultante quedaría de la siguiente forma: 242 Unidad 3: Ecuaciones a + 12 a a a−4 a a+6 Figura 3.9 La transformación de un cubo de lado a a un paralelepípedo de longitudes a − 4, a + 6 y a + 12 Para conocer la longitud de la arista del cubo original, a, usaremos la información que permite relacionar a las dos figuras: El volumen del poliedro con las aristas modificadas es el doble del volumen del cubo. Si el V1 es el volumen del cubo original y V2 es el volumen del poliedro, la relación quedaría: V2 = 2V1 El volumen de ambas figuras también se puede expresar en función de sus aristas: V1 = a 3 y V2 = ( a + 6)( a − 4)( a + 12) Así, la relación entre sus volúmenes quedará establecida de la siguiente forma: (a + 6)(a − 4)(a + 12) = 2 a 3 Se ha definido una ecuación. Desarrollándola y simplificándola, queda de la siguiente forma: a 3 + 14 a 2 − 288 = 2 a 3 − a 3 + 14 a 2 − 288 = 0 Es una ecuación de tercer grado. Para resolverla, recurriremos a la división sintética. Como es de tercer grado, basta con conocer una de sus raíces para resolverla por completo, porque uno de los factores resultantes será de segundo grado; además, será posible recurrir entonces a la fórmula general. Sus posibles raíces son los factores de 288, que son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72, 96,144, 288. Probaremos en números tanto negativos como positivos: Para la posible raíz a = 1 , el factor sería (a − 1) es: (a − 1) , así que la división de − a 3 + 14 a 2 − 288 entre 243 3.4 Ecuaciones polinomiales −1 −1 14 −1 13 Para la posible raíz a = −1 , el factor sería (a + 1) es: −1 −1 14 1 15 Para la posible raíz a = 2 , el factor sería (a − 2) es: −1 −1 14 −2 12 0 −288 13 13 13 −275 1 No es factor (a + 1), así que la división de − a 3 + 14 a 2 − 288 entre 0 −288 15 15 15 −273 −1 No es factor (a − 2) , así que la división de − a 3 + 14 a 2 − 288 entre 0 −288 24 48 24 −240 1 No es factor Para la posible raíz a = −2 , el factor sería ( a + 2) , así que la división de − a 3 + 14 a 2 − 288 entre (a + 2) es: −1 −1 14 0 −288 2 −32 64 16 −32 −224 −2 No es factor Para la posible raíz a = 3 , el factor sería ( a − 3) , así que la división de − a 3 + 14 a 2 − 288 entre (a − 3) es: −1 −1 14 −3 11 0 −288 33 99 33 −189 3 No es factor Para la posible raíz a = −3 , el factor sería ( a + 3) , así que la división de − a 3 + 14 a 2 − 288 entre (a + 3) es: −1 −1 14 0 −288 3 −51 153 17 −51 −135 Para la posible raíz a = 4 , el factor sería (a − 4) es: −3 No es factor (a − 4) , así que la división de − a 3 + 14 a 2 − 288 entre 244 Unidad 3: Ecuaciones −1 −1 14 −4 10 0 −288 40 160 40 −128 4 No es factor Para la posible raíz a = −4 , el factor sería ( a + 4) , así que la división de − a 3 + 14 a 2 − 288 entre (a + 4) es: −1 −1 14 0 −288 4 −72 288 18 −72 0 El residuo resultante es 0; por lo tanto, −4 Sí es factor (a + 4) es factor de − a 3 + 14 a 2 − 288 ; su otro factor es − a 2 + 18a − 72 y a = −4 es una raíz. Así, obtenemos que: ( ) − a 3 + 14 a 2 − 288 = ( a + 4) − a 2 + 18a − 72 = 0 El polinomio de segundo grado se puede factorizar así: − a 2 + 18a − 72 = −( a − 12)( a − 6) . En consecuencia, el polinomio original quedará de la siguiente manera: − a 3 + 14 a 2 − 288 = −( a + 4)( a − 12)( a − 6) = 0 Por lo tanto, las soluciones a la ecuación serán: a = −4 , a = 12 y a=6 ¿Cuál de estas tres soluciones es la que proporciona el resultado al problema? Debemos interpretar cada una de ellas en el contexto del problema: a = −4 : No hay posibilidad de interpretación del signo negativo en términos de la longitud de la arista. Esta solución no tiene sentido en el contexto del problema. a = 12 : Si la arista del cubo es de 12, el volumen del cubo sería V1 = 123 = 1728. El poliedro tendría aristas de longitud: 12 + 12 = 24, 12 + 6 = 18 y 12 − 4 = 8, de manera que su volumen sería: V2 = (24)(18)(8) = 3456. Se cumple que V2 = 2V1 porque 3456 = 2(1728). La arista del cubo sí puede medir 12 centímetros. a=6 Si la arista del cubo original es de 6, el volumen del cubo sería V1 = 63 = 216. El poliedro tendría aristas de longitud: 6 + 12 = 18, 6 + 6 = 12 y 6 − 4 = 2; de manera que su volumen sería V2 = (18)(12)(2) = 432. Se cumple que V2 = 2V1 porque 432 = 2(216). La arista del cubo sí puede medir seis centímetros. El problema tiene dos soluciones: la arista puede medir seis o 12 centímetros. 245 3.4 Ecuaciones polinomiales Ejercicios y problemas 1. Basándote en los teoremas del factor, del residuo y de la raíz racional, contesta los siguientes incisos: a) Proporciona una función polinomial del menor grado posible, cuyas raíces sean 0.345, 4.1 y −9. b) Proporciona una función polinomial del menor grado posible, cuyas raíces sean 1 + 3 , 1 − 3 , 5 y −7 . c) Proporciona una función polinomial del menor grado posible, cuyas raíces sean 1 + 3i , 1 − 3i y −4 . d) Proporciona una función polinomial de grado 3 que tenga tres raíces racionales repetidas. e) Proporciona una función polinomial de grado 3 que tenga una raíz entera y dos irracionales distintas. f) Proporciona una función polinomial de grado 3 que tenga dos raíces complejas y una racional. 4 3 2 g) ¿Es y = −4 raíz de f ( y) = 5 y + 21y − y − 17 y + 12 ? Justifica tu respuesta. h) ¿Es x = 7 raíz de f ( x ) = x 4 + 2 x 3 − 8 x 2 − 17 x + 12 ? Justifica tu respuesta. i) ¿Es (z + 3) factor de f (z) = 2z4 − z3 − 18z2 − 7? Justifica tu respuesta. n n j) ¿Es ( x − c) factor de la función f ( x ) = x − c ? Justifica tu respuesta. k) ¿Es posible que x = respuesta. 3 sea una raíz de f ( x ) = 4 x 4 + 8 x 3 − 141x 2 − 288 x − 108 ? Justifica tu 2 l) ¿Es posible que la función f ( x ) = x 4 − 8 x 3 + 23 x 2 − 28 x + 12 tenga raíces fraccionarias? De ser así, menciona cuáles fracciones serían raíces de esa función. De no serlo, justifica tu respuesta. m) ¿Es posible que la función f ( x ) = 4 x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 − 10 x − 3 tenga raíces fraccionarias? De ser así, menciona cuáles fracciones serían raíces de esa función. De no ser así, justifica tu respuesta. n) ¿Cuánto debe valer el parámetro k para que la función f ( x ) = x 3 − kx 2 − 2 x + 5 tenga como factor a ( x − 1) ? 3 2 o) ¿Cuánto debe valer el parámetro k para que la función f ( x ) = x − kx − 2 x + 5 tenga como factor a ( x + 2) ? p) ¿Cuánto debe valer el parámetro k para que la función f ( x ) = x 4 − kx 3 + kx 2 + 1 tenga como factor a ( x + 1) ? q) Encuentra la función polinomial de cuarto grado para la que se cumple que si x = −1 ; la función vale 48, en tanto que tres de sus cuatro raíces son x = 1 y la cuarta es x = 2 . 2. Encuentra las raíces de las siguientes funciones y factoriza cada una de las funciones: a) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 2 x + 12 246 Unidad 3: Ecuaciones b) f ( x ) = x 4 − 8 x 3 + 23 x 2 − 28 x + 12 c) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 13 x − 10 d) f ( x ) = 4 x 4 + 8 x 3 − 141x 2 − 288 x − 108 f) f ( x ) = 4 x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 − 10 x − 3 g) f ( x ) = 2 x 4 + 9 x 3 − 13 x 2 − 144 x − 70 h) f ( x ) = 3 x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 − 9 x − 10 3. Una compañía encontró que el año pasado sus utilidades, determinadas por la cantidad de productos vendidos, estuvieron dadas por la siguiente relación G(n) = n 3 − 46n 2 − 539n − 1176 en donde los ingresos, i, están dados en pesos y el número de unidades, n. ¿Con cuantas unidades vendidas la compañía tuvo utilidades nulas? A partir de ese momento, ¿la compañía comenzó a tener ganancias o pérdidas? 4. Un tanque sobre el que actúan tres llaves, dos llenándolo y una vaciándolo, está cambiando su nivel de agua, de manera que dicho nivel varía conforme pasa el tiempo, de acuerdo con la siguiente función: h(t ) = t 3 − 2t 2 − 2t + 15 , en donde h está dada en centímetros y t en minutos. Si el tanque tiene una altura total de 100 centímetros, ¿en qué momento se llena? Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes. 1. De allá pa’ca, presentado en la introducción de la sección. 2. El tinaco Un tinaco de 208 centímetros de altura, que abastece el agua de una casa, tiene dos salidas que son utilizadas en estos momentos. Al mismo tiempo se llena con la llave del agua proveniente de la cisterna. Una de las llaves que lo vacían lo hace con velocidad variable y la otra con velocidad constante, de manera tal que la ecuación de la altura del agua en el tanque en función del tiempo está dada por la siguiente expresión: h(t ) = −t 3 + 12t 2 − 21t + 110 a) ¿Será posible que en algún momento se llene el tanque? Si es así, proporciona el momento cuando ocurre. b) ¿Se vaciará el tanque? Si es así, proporciona el momento cuando ocurre. c) Con la información proporcionada por las respuestas anteriores, describe cuál esperas que sea el comportamiento de la altura del agua del tanque. 247 3.4 Ecuaciones polinomiales 1. Relaciona las funciones polinomiales de la derecha con la columna de la izquierda. 4 3 2 a) f ( x ) = 4 x − 4 x + 5 x − 4 x + 1 3 2 b) f ( x ) = 11x − 2 x + 33 x − 6 4 3 2 c) f ( x ) = 2 x − 23 x + 31x − 230 x + 110 4 3 2 d) f ( x ) = 2 x + 3 x − 7 x + 3 x − 9 3 2 e) f ( x ) = 3 x + 5 x − 4 x − 4 f) f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 g) f ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 h) f ( x ) = 2 x 3 − 11x 2 + 18 x − 9 i. f(x) es divisible entre ( x − 3) . ii. f(x) tiene tres raíces enteras iguales. iii. f(x) tiene cuatro raíces que no pueden ser fracciones. iv. Es posible que una de las raíces enteras de f(x) sea x = −11 . v. f(x) tiene como factor a ( x + 1) . vi. f(x) tiene cuatro raíces y los únicos valores que pueden dar lugar a una raíz entera son 1 y −1. vii. f(x) es divisible entre (2 x + 3) . i) f ( x ) = 3 x 3 − 5 x 2 + x + 1 j) f ( x ) = x 4 + 6 x 3 + 10 x 2 + 6 x + 9 2. Encuentra la raíz de las funciones de la columna de la izquierda y relaciónalas con la naturaleza de sus raíces en la columna de la derecha. a) f ( x ) = 4 x 4 − 4 x 3 + 5 x 2 − 4 x + 1 3 2 b) f ( x ) = 11x − 2 x + 33 x − 6 4 3 2 c) f ( x ) = 2 x − 23 x + 31x − 230 x + 110 d) f ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 e) f ( x ) = 2 x 3 − 11x 2 + 18 x − 9 f) f ( x ) = 3 x 3 − 5 x 2 + x + 1 g) f ( x ) = x 4 + 6 x 3 + 10 x 2 + 6 x + 9 i. f(x) tiene una raíz entera y dos complejas. ii. f(x) tiene dos raíces enteras iguales y dos complejas. iii. f(x) tiene dos raíces enteras y una fraccionaria. iv. f(x) tiene una raíz fraccionaria y dos raíces complejas. v. f(x) tiene dos raíces enteras iguales y una fraccionaria. vi. f(x) tiene una raíz entera, una raíz fraccionaria y dos complejas. vii. f(x) tiene dos raíces complejas y dos fraccionarias iguales. 3. ¿Para qué valores de k el polinomio f ( x ) = x 3 + k 2 x 2 − 4 kx − 5 es divisible entre ( x − 2) ? 4. Se quiere duplicar la capacidad de una cisterna en forma de cubo. Si se sabe que se logra si se incrementa el tamaño de dos de sus aristas, una de ellas en tres metros y la otra en seis centímetros, y la otra arista se disminuye en dos metros, ¿cuáles son las dimensiones de la cisterna actualmente? 248 Unidad 3: Ecuaciones Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) La función polinomial es f ( x ) = x 3 + 4.555 x 2 + 38.5905 x + 12.7305 . 4 2 b) La función polinomial es f ( x ) = x − 41x + 66 x + 70 . 3 2 c) La función polinomial es f ( x ) = x + 2 x + 2 x + 40 . 3 3 3 2 2 2 3 d) El polinomio debe ser de la forma: f ( x ) = ( ax + b) = a x + 3a bx + 3ab x + b , donde a y b pueden ser cualquier número entero positivo o negativo. e) El polinomio debe ser de la forma: f ( x ) = ( x − a)( x − b)( x − c) , en donde a es un número entero y b y c dos racionales (por ejemplo, el número π ó 5 ). f) El polinomio debe ser de la forma: f ( x ) = ( ax − b)( x − c + di )( x − c − di ) , en donde a, b, c y d son números enteros. g) Sí, porque al hacer la división sintética de 5 y 4 + 21y 3 − y 2 − 17 y + 12 entre (y + 4) el residuo es 0. h) No, ningún factor de 12 es 7. i) No, para que ( z + 3) sea factor, z = −3 tendría que ser raíz y 3 no es un factor de 7. j) Sí, porque al evaluar la función f ( x ) = x n − c n en x = c , la función es 0. k) Sí, porque 3 es factor de 108 y 2 es factor de 4. l) No es posible porque el coeficiente del término de cuarto grado es uno. 3 1 3 1 m) Sí es posible. Sus posibles raíces fraccionarias son ± , ± , ± , ± . 2 4 4 2 n) k = 4 o) k = 1 4 p) k = − q) 1 2 f ( x ) = 2 x 4 − 10 x 3 + 18 x 2 − 14 x + 4 2. a) Raíces: x = 2 , x = 2 + 10 , x = 2 − 10 ( ) Función factorizada: f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x − 6 . b) Raíces: x = 3 , x = 2 , x = 2 , x = 1 2 Función factorizada: f ( x ) = ( x − 3)( x − 2) ( x − 1) 249 3.4 Ecuaciones polinomiales c) Raíces: x = 2 , x = 2 + i , x = 2 − i ( ) 2 Función factorizada: f ( x ) = ( x − 2) x − 4 x + 5 d) Raíces: x = − 1 3 , x = − , x = −6 , x = 6 2 2 Función factorizada: f ( x ) = (2 x + 1)(2 x + 3)( x + 6)( x − 6) 1 1 e) Raíces: x = − , x = − , x = −3 , x = 1 2 2 2 Función factorizada: f ( x ) = (2 x + 1) ( x + 3)( x + 1) f) Raíces: x = 1 , x = −7 , x = 1 + 3i , x = 1 − 3i 2 ( ) 2 Función factorizada: f ( x ) = x − 2 x + 10 (2 x − 1)( x + 7) −1 + i 3 x = −1 − i 3 5 g) Raíces: x = , x = −2 , x = , 2 2 3 ( ) Función factorizada: f ( x ) = x 2 + x + 1 (3 x − 5)( x + 2) 3. Con 56 unidades. A partir de ese momento la compañía comienza a tener utilidades positivas, es decir, tiene ganancias. Antes sólo tenía pérdidas. 4. A los cinco minutos. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. (a, vi), (c, v), (d, vii), (f, iv), (g, ii), (h, i) y (j, iii). Sobran: ii, v y ix 2. (a, vii), (b, iv), (c, vi), (f, i), (e, iii), (f, v), (gi, ii) 3. k = 1 3 y k= 2 2 4. Puede tener una arista de 6 o de 3 metros Unidad 4 Desigualdades Contenido de la unidad 4.1 Desigualdades 4.2 Valor absoluto Introducción a la unidad ¿Te gustaría invertir en la bolsa de valores? ¡El objetivo sería que obtuvieras las mayores ganancias posibles! Para ello, tendrías que considerar: ¿De cuánto dinero dispones? ¿Qué cantidad estarías dispuesto a arriesgar en las diferentes opciones de inversión, considerando los riesgos y las posibles ganancias? ¿En qué tiempo de inversión mínima debes colocar tu dinero? Tales consideraciones se pueden describir por medio de desigualdades. Expresiones del tipo 3000x + 7000y ≤ 500,000 indicarían, por ejemplo, que lograrías invertir, a lo más, una cantidad de medio millón de pesos en dos tipos de acciones A y B de alguna empresa, donde $3,000 sería el precio por acción del tipo A y $7,000 sería el precio por la acción tipo B. ¿Te sorprende saber que las matemáticas que estudias son útiles para ganar dinero? Además de su aplicación en las inversiones, las desigualdades sirven para resolver problemas de optimización y toma de decisiones en ingeniería, economía, administración de empresas, finanzas y negocios. La aplicación detallada de las desigualdades en optimización es estudiada por la investigación de operaciones, que forma parte del currículo de muchas carreras de negocios e ingeniería. En esta unidad, estudiarás los conceptos básicos de desigualdades y los aplicarás para resolver problemas relacionados con la optimización. 252 Unidad 4: Desigualdades 4.1 Desigualdades Yo protesto sobre todo del uso que se hace de una cantidad infinita como cantidad completa, lo que en matemáticas jamás está permitido. El infinito es sólo una forma de hablar, en la que propiamente debería hablarse de límites. Carl Friedrich Gauss Introducción n Hasta ahora la mayor parte del trabajo se ha realizado con ecuaciones o igualdades, así como la solución de sistemas de ecuaciones lineales. En esta sección se combinarán algunas nociones introductorias de funciones, sistemas de ecuaciones lineales que, junto con alguna información sobre desigualdades, ayudarán a resolver problemas prácticos reales en el campo de la ingeniería, de la economía, de la administración, de las finanzas y de los negocios, todo encaminado a la optimización y a la toma de decisiones. El siguiente problema muestra una aplicación del uso de las desigualdades: Invertir en la bolsa de valores Una empresa internacional dispone de $210,000 dólares para invertir en la bolsa de valores. Su asesor financiero le recomienda dos tipos de acciones. Las acciones tipo A, que tienen un rendimiento del 10% anual, y las del tipo B, con un rendimiento del 8% anual. La empresa, junto con su asesor financiero, deciden invertir un máximo de $130,000 dólares en las acciones de tipo A y por lo menos $60,000 en las acciones de tipo B. Además, el asesor financiero quiere que la inversión del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B, debido a la incertidumbre y al riesgo existente entre una y otra acciones. La empresa quiere determinar la distribución de la inversión para obtener el máximo rendimiento anual. Al terminar la sección se te pide que resuelvas con tu equipo este problema; para ello, deberán investigar lo relacionado con la programación lineal y su solución mediante el método gráfico para dos variables. 253 4.1 Desigualdades Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Trazar números reales sobre la recta numérica y definir su orden mediante el uso correcto de los símbolos de desigualdades mayor que > o menor que <. • Identificar correctamente desigualdades lineales. • Enunciar y aplicar las propiedades de las desigualdades. • Encontrar el conjunto solución de una desigualdad de primer grado con una variable. • Resolver desigualdades lineales, cuadráticas y algunas racionales expresando el resultado en forma de desigualdad, gráfica en la recta numérica, intervalo y conjunto solución (C. S.). • Resolver problemas reales que involucren el uso de desigualdades. Definición de las relaciones < , >, ≤ , ≥ y notación de intervalos En particular, el sistema de los números reales denotado con la letra R, consta de un conjunto de elementos, una o más relaciones que establecen cierta comparación entre los elementos del conjunto y una o más operaciones (en este caso, la adición (+) y la multiplicación (×)), además de una lista de reglas básicas que rigen el comportamiento de los elementos bajo estas operaciones. Algunos sinónimos para el término regla son axiomas, postulados, propiedades y teoremas. Aquí el término relación se define intuitivamente como la comparación entre los elementos del sistema de los números reales y se lleva a cabo entre un par de ellos a la vez, conforme a unas reglas determinadas llamadas propiedades, que definiremos después. Quizá te preguntes, ¿qué rige el comportamiento de los números reales? La estructura de cualquier sistema matemático y en particular del sistema de los números reales tiene reglas, igual y como ocurre con las reglas de un deporte. Ahora examinemos las “reglas” llamadas axiomas de orden. El grupo de axiomas de orden es un concepto por el cual se establece una ordenación entre los números reales. Tal ordenación permite decidir, dados dos números reales, cuál es mayor o menor. Los axiomas de orden nos ayudarán, a partir del concepto intuitivo de número positivo que tenemos, a definir los conceptos de las relaciones “mayor que” y “menor que” desde el concepto de número positivo. Consideremos el conjunto de los números reales positivos denotado por R + . El lector debe ser capaz de inferir que el con+ junto R + es un subconjunto de los números reales R ⊂ R . Pediremos que este + ( ) conjunto R cumpla con las siguientes tres “reglas”, llamadas axiomas de orden: Axioma 1. Si a, b ∈ R + , también ( a + b) ∈ R + y ( ab) ∈ R + . + + Axioma 2. Para todo a ∈R y a ≠ 0 , a ∈ R , o bien, − a ∈ R pero no ambos. Axioma 3. 0 ∉ R + , es decir, el 0 no es considerado número positivo. Una vez establecidos estos axiomas de orden, definiremos los símbolos <, >, ≤ y ≥, llamados, respectivamente (y leídos de izquierda a derecha cada uno), menor que, mayor que, 254 Unidad 4: Desigualdades menor o igual que y mayor o igual que. Los símbolos <, >, ≤ y ≥ se conocen como símbolos de desigualdad. Además, con los axiomas de orden se logran demostrar todas las reglas usuales del cálculo de desigualdades, de las cuales las más importantes se tratan en el siguiente apartado de esta sección 4.1. Definiciones de menor que y mayor que, menor o igual que y mayor o igual que 1. Si a y b son números reales, entonces a es menor que b, lo que se escribe así: a < b , si y sólo si existe un número real positivo k, tal que a + k = b , o bien, b − a = k . Es importante que el lector observe que se ha dado una definición equivalente, la cual establece: a < b si y sólo si b − a es positivo. Obsérvese también que esta relación se describe diciendo que b es mayor que a o como b > a . 2. Si a es mayor que b, se escribe a > b , lo que significa que hay un número real positivo k, tal que a − k = b , o bien, a − b = k , es decir, a > b si y sólo si a − b es positivo. De tales dos definiciones, tenemos los siguientes casos especiales: a) a > 0 si y sólo si a es positivo. b) a < 0 si y sólo si a es negativo. c) Si a ≥ 0, se dice que a es no negativo, lo que significa que a es positivo o 0. Esto último permite definir: 3. La desigualdad a ≤ b se lee como a es menor o igual a b, es decir; a < b o a = b, lo que se define así: a ≤ b si y sólo si existe un número real no negativo, tal que a + k = b . Esta definición difiere de la definición 1 en que k ahora puede ser 0. De manera análoga, la desigualdad a ≥ b se define como b es mayor o igual a a. Las desigualdades simultáneas x > a y x < b se escriben generalmente, en forma breve, como a < x < b . De manera análoga se dan interpretaciones para a ≤ x < b , a < x ≤ b y a ≤ x ≤ b. Tales definiciones no te ofrecerán una visión clara a menos que tengas experiencia en su uso, por lo que te ofrecemos los siguientes ejemplos: Ejemplos sobre las definiciones de desigualdades a) 6 > 4 , dado que 6 − 4 = 2 es positivo. b) −8 < −3 , dado que −3 − ( −8) = −3 + 8 = 5 es positivo. ( ) c) − 2 < 1 , dado que 1 − − 2 = 1 + 2 es positivo. d) 3 > 0 , dado que 3 − 0 = 3 es positivo. 255 4.1 Desigualdades e) −7 < 0 , dado que 0 − ( −7) = 0 + 7 es positivo, o bien; −7 − 0 = −7 , en donde −7 es negativo. f) 4 ≤ 7 , dado que 7 − 4 = 3 es positivo o 0. Note el lector que es posible que dé 0. g) −5 ≥ −5 , dado que −5 − ( −5) = −5 + 5 = 0 es 0 o positivo. Los últimos dos ejemplos son casos especiales de las siguientes propiedades generales: a > 0 si y sólo si a es positivo. a < 0 si y sólo si a es negativo. Como recordarás, hay una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos de una recta, llamada recta numérica o recta de los números reales, lo cual significa que: 1. Cada punto de la recta dada se asocia con uno y sólo un número real. 2. Cada número real se asocia con uno y sólo un punto de la recta dada. Así que los símbolos de desigualdades < y > tienen una interpretación geométrica en la recta real o recta numérica. Si a < b , significa que a esta a la izquierda de b; si c > d significa que sobre la recta de los números reales c está a la derecha de d, como se muestra en la siguiente figura: a d b c Un concepto relacionado con este tema es el de intervalo, que ofrece una conveniente notación para las desigualdades. Si consideramos un conjunto continuo sobre la recta numérica, es decir, un conjunto que incluya todos los puntos que corresponden a los números racionales e irracionales, comprendido entre dos números (y posiblemente los incluya a ellos también), entonces nos referiremos a este conjunto como un intervalo de la recta numérica; éste será representado por una línea continua. Se muestran estos conceptos en la siguiente tabla: Tabla 4.1 Notación de intervalo ( a , b) Intervalo abierto Notación de desigualdad a<x<b Gráfica (1) Recta numérica o real ( ( a b Gráfica (2) Recta numérica o real Conjunto solución C.S = {x ∈ R a < x < b} a b Se lee: “El conjunto solución es igual al conjunto de números reales, tales que x > a y x < b” 256 Unidad 4: Desigualdades Notación de intervalo Notación de desigualdad [a, b) a≤x<b Intervalo semicerrado o semiabierto (a, b] a<x≤b Intervalo semiabierto o semicerrado [a, b] a≤x≤b Gráfica (1) Recta numérica o real [ ) a b ) [ a b [ [ a b Gráfica (2) Recta numérica o real a Intervalo infinito semicerrado *El símbolo x ≥ a ∞ (se lee “infinito”) no es un número. Nunca se Cuando se escribirá escribe a≤x≤∞ [a, ∞) , se refiere a un intervalo que empieza en a y continúa de manera indefinida hacia la derecha. Nunca se escribirá [a, ∞] . [ a C.S. = {x ∈ R a ≤ x < b} Se lee: “El conjunto solución es igual al conjunto de números reales, tales que x ≥ a y x < b ” C.S. = {x ∈ R a < x ≤ b} a b Se lee: “El conjunto solución es igual al conjunto de números reales, tales que x > a y x ≤ b ” C.S. = {x ∈ R a ≤ x ≤ b} a Intervalo cerrado [a, ∞) * b Conjunto solución b Se lee: “El conjunto solución es igual al conjunto de números reales, tales que x ≥ a y x ≤ b ” C.S. = {x ∈ R x ≥ a} a Se lee: “El conjunto solución es igual al conjunto de números reales tales que x ≥ a ” 257 4.1 Desigualdades Notación de intervalo Notación de desigualdad (a, ∞) x>a Intervalo infinito abierto Nunca se escribirá (a, ∞] . (−∞, b) (−∞, b] Gráfica (2) Recta numérica o real ( a Nunca se escribirá a<x≤∞ x<b Intervalo infinito abierto Nunca se escribirá [−∞, b) Gráfica (1) Recta numérica o real ) Nunca se escribirá − ∞≤x<b b Conjunto solución C.S. = {x ∈ R x > a} Se lee: “El conjunto solución es igual al conjunto de números reales, tales que x > a ” a C.S. = {x ∈ R x < b} b Se lee: “El conjunto solución es igual al conjunto de números reales, tales que x < b ” . [ x<b Intervalo infinito Nunca se semicerrado escribirá −∞ ≤ x ≤ b Nunca se escribirá [−∞, b]. b C.S. = {x ∈ R x ≤ b} b Se lee: “El conjunto solución es igual al conjunto de números reales, tales que x ≤ b ” Si un intervalo no tiene “límite derecho” (o “límite superior”), como es el caso del conjunto de todos los números reales mayores que 4, es decir, {x ∈ R x > 4}, escribiremos (4, ∞) . Toma en cuenta que el símbolo ∞ no es un número, sólo es un símbolo. Se presenta una situación similar cuando {x ∈ R x < 4} ; en este caso escribimos (− ∞, 4) . Ejemplos sobre intervalos En los siguientes ejemplos escribiremos los intervalos de la columna izquierda en notación de desigualdad, graficaremos en la recta numérica y daremos una breve explicación del conjunto que representa dicho intervalo: 258 Notación de intervalo (− ∞,3] Unidad 4: Desigualdades Notación de desigualdad Gráfica recta numérica o real Descripción del conjunto x≤3 La desigualdad x ≤ 3 denota a todos los números reales menores o iguales a 3. −2 −1 0 1 2 3 4 5 [−3, 4) −3 ≤ x < 4 −5 −4 −3 −2 −1 0 ⎛ 1 , 5⎞ ⎝ 2 3⎠ 1 2 3 4 5 1 5 <x< 2 3 La desigualdad −3 ≤ x < 4 significa que x ≥ −3 y a la vez x < 4 . Esta doble desigualdad denota a todos los números reales entre −3 y 4, incluyendo a −3, pero no a 4. 1 5 < x < de2 3 nota a todos los números rea1 5 les, tales que x < y x < 2 3 La desigualdad −1 0 1/2 1 5/3 2 3 Esta doble desigualdad indica todos los números reales comprendidos entre pero sin incluirlos. (−2, ∞) x > −2 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 1 5 y , 2 3 La desigualdad x > −2 denota a todos los números reales mayores a −2 sin llegar a ser −2. En la sección de ejercicios y problemas se te pedirá que, a partir de la desigualdad o el conjunto solución, escribas la notación de intervalos. Propiedades de las desigualdades El conjunto solución de una desigualdad es el conjunto de todos los números reales del conjunto de sustitución que hacen verdadera la desigualdad. Cualquier elemento del conjunto solución se llama solución de la desigualdad. Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución. Al igual que en el proceso de solución en las ecuaciones de la unidad anterior, se deben realizar las operaciones y “reglas” con desigualdades que produzcan una desigualdad equivalente más simple, y continuar el proceso hasta que se logre una desigualdad cuya solución sea evidente. Para resolver desigualdades se necesita enunciar y demostrar ciertas “reglas”, a las que llamamos propiedades de las desigualdades. 259 4.1 Desigualdades De los axiomas de orden expuestos se pueden deducir o demostrar estas reglas del cálculo con desigualdades, entre las cuales las más importantes se enuncian a continuación como propiedades de las desigualdades: Propiedades 1. Propiedad de la tricotomía. Exactamente una de las siguientes relaciones se verifica para dos números reales cualesquiera a y b: a = b o a < b ó a > b. 2. Propiedad transitiva. Si a < b y b < c , entonces a < c para todos los números reales a, b y c. 3. Propiedad aditiva. Si a < b , entonces a + c < b + c , para cualesquiera números reales a, b y c. 4. Propiedad multiplicativa. ⎧a) Si a < b y c > 0, entonces ac < bc para cualquier a, b ∈ R ⎨b) Si a < b y c < 0, entonces ac > bc para cualquier a, b ∈ R ⎩ ⎧Observa la ⎪ ⎨ diferencia ⎪⎩entre a) y b) 5. Propiedad del recíproco. ⎧ ⎪a) Si a < b , entonces ⎪ ⎨ ⎪ ⎪b) Si a < b , entonces ⎩ 1 1 ⎧ < siempre que ab < 0 ⎪ Observa la a b ⎪ ⎨ diferencia ⎪entre a) y b) 1 1 > siempre que ab > 0 ⎪ a b ⎩ 6. Propiedad del cuadrado. Si a ≠ 0 entonces a 2 > 0 . Las propiedades también se cumplen para desigualdades similares si se invierten los signos de las desigualdades o se cambian < por ≤ y > por ≥. Las propiedades aplicadas a las operaciones con desigualdades son similares a las propiedades de campo de los números reales que se aplican en las ecuaciones. Cuando trabajes con desigualdades, debes tener especial cuidado con el uso de las propiedades de multiplicación (o división). El sentido de la desigualdad se invierte cuando se multiplican (o dividen) ambos lados de la proposición de una desigualdad por un número negativo. Es útil conocer una demostración de la propiedad multiplicativa; por tal razón, te la presentamos en el siguiente ejemplo: 260 Unidad 4: Desigualdades Ejemplo de la demostración de una propiedad Demostración de la propiedad multiplicativa inciso a). Si a < b, entonces por definición de <, b − a > 0 (es decir, b − a es positivo). Si c > 0 , por el axioma de orden 1, se puede multiplicar (b − a) por c obteniéndose (b − a) c > 0 . Pero (b − a) c = bc − ac; por lo tanto, bc − ac > 0 , lo cual significa que bc > ac o equivalentemente ac < bc . Ahora te ofrecemos la demostración de la propiedad multiplicativa del inciso b); para ello utilizamos la forma alterna de la definición de la desigualdad <. Hacemos esto con el objeto de señalar que en matemáticas hay diferentes esquemas para hacer las cosas correctamente, todas ellas válidas cuando se usan de forma adecuada las “reglas”. Demostración de la propiedad multiplicativa inciso b). Si a < b , entonces, por definición de <, hay un número positivo k, tal que a + k = b . Ahora, si multiplicamos ambos miembros de a + k = b por un número negativo c (c < 0) , se obtiene ac + kc = bc , es decir, −kc , siendo kc negativo (ya que k es positivo y c es negativo), por lo que −kc es positivo. Por lo tanto, por definición de <, se tiene que bc < ac , o bien, ac > bc . Solución de desigualdades Las propiedades presentadas en el apartado anterior se utilizan cuando se requiere resolver desigualdades de números reales que comprendan a sus conjuntos solución. En gran medida, las desigualdades se resuelven de la misma manera que las igualdades, pero ahora teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades. Veamos el proceso en los siguientes ejemplos. Ejemplos Ejemplo 1 Resuelve la desigualdad lineal: a) Desigualdad b) Gráfica c) Intervalo d) Conjunto solución (C. S.) 2x − 5 4x y expresa la solución en forma de: +7≥2+ 4 3 solución 2x − 5 4x +7≥2+ 4 3 12⎛ ⎝ 2x − 5 4x + 7⎞ ≥ 12⎛ 2 + ⎞ ⎝ ⎠ 4 3⎠ 3(2 x − 5) + 84 ≥ 24 + 4( 4 x ) 6 x − 15 + 84 ≥ 24 + 16 x 6 x + 69 ≥ 24 + 16 x 261 4.1 Desigualdades 6 x − 16 x ≥ 24 − 69 −10 x ≥ −45 x≤ −45 −10 a) En forma de desigualdad el conjunto solución es: x ≤ 9 2 b) En forma gráfica: −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 9/2 5 c) En forma de intervalo: ⎧ d) El conjunto solución es: C.S. = ⎨ x ∈ R x ≤ ⎩ 9⎫ ⎬ 2⎭ Ejemplo 2 Resuelve la desigualdad lineal −1 < 5 − 3 x ≤ 8 y expresa su solución en forma de: 4 a) Desigualdad b) Gráfica c) Intervalo d) Conjunto solución (C. S.) solución Procedemos de manera similar al ejemplo 1, sólo que aquí hay que despejar la variable x de la parte de en medio; para ello hay que hacer que su coeficiente sea 1. 3 x≤8 4 3 −1 − 5 < 5 − x − 5 ≤ 8 − 5 Restamos 5 4 3 −6 < − x ≤ 3 4 4 4 3 4 ⎛ (−6)⎝ − ⎞⎠ > − ⎛⎝ − ⎞⎠ x ≥ 3⎛⎝ − ⎞⎠ 3 3 4 3 −1 < 5 − ⎛ Se multiplicó cada miembro por − 4 . El signo de las desigualdades cambió⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎝ porque se multiplicó en ambos lados por un número negativo. ⎠ 262 Unidad 4: Desigualdades ⎧Se acostumbra por notación dejar las desigualdades 8 > x ≥ −4 ⎨ ⎩apuntando hacia la izquierda −4 ≤ x < 8 ( Sólo se reescribió, y es equivalente a la expresión anterior ) a) En forma de desigualdad, el conjunto solución es: −4 ≤ x < 8 . b) En forma gráfica: −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 c) En forma de intervalo: [ −4, 8) d) El conjunto solución es: C.S. = {x ∈ R − 4 ≤ x < 8} Ejemplo 3 Resolver la desigualdad racional 1 > 2 y expresar la solución en forma de: 3x a) Desigualdad b) Gráfica c) Intervalo d) Conjunto solución (C. S.) solución Para determinar el conjunto de valores x, esta variable debe estar en el numerador. Para cumplir el objetivo de que la variable x esté en el numerador, podemos usar la propiedad 5 inciso a) o inciso b). ¿Cómo saber cuál de estas posibilidades usar? Para contestar la pregunta, debes notar que el 2 del lado derecho 1 1 de la desigualdad es positivo y como es mayor que 2, también debe de ser positivo; así que 1 3x 3x es positivo, por lo que 3x tiene que ser positivo; por lo tanto, los valores de x son necesariamente positivos. En consecuencia, hay que escoger la propiedad 5 inciso b); tenemos que: 1 3x 1 1 > 2 equivale a < , es decir: 3 x < , 3x 1 2 2 1 1 1 si multiplicamos por el inverso multiplicativo de 3: x < ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ó x < . ⎝ 3⎠ ⎝ 2 ⎠ 6 1 1 Recuerda que los valores de x son positivos, por lo que x > 0. Además x < , por lo cual 0 < x < ; 6 6 aquí decimos que los valores de x son tales que x es mayor que 0 y menor que un sexto. Expresamos la solución en forma de: 263 4.1 Desigualdades a) Desigualdad: 0 < x < 1 6 b) Gráfica: −1/6 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 1 c) Intervalo: ⎛ 0 , ⎞ ⎝ 6⎠ 1⎫ ⎧ d) Conjunto solución: C.S. = ⎨ x ∈ R 0 < x < ⎬ 6⎭ ⎩ Ejemplo 4 Encuentra todos los valores reales de x para los que se cumple: −19 < 2. x−6 solución La desigualdad a resolver es de forma racional (cociente de polinomios). Hay diferentes técnicas para resolver desigualdades racionales, la que aquí seguiremos consiste en analizar los signos que describiremos a continuación. Para aplicar las propiedades de las desigualdades correctamente es necesario determinar si el denominador x − 6 es positivo o negativo, en tanto que automáticamente se descarta x = 6 (¿por qué?). Después tendríamos que analizar varios casos cuyo procedimiento sería un poco engorroso; por lo tanto, lo haremos de la siguiente manera: −19 < 2 ( Pasamos todos los miembros no nulos al miembro izquierdo) x−6 −19 − 2 < 0 (Combinamos el primer miembro para obtener una fracción simple) x−6 −(2 x + 7) −19 − 2( x − 6) 2x + 7 −19 − 2 x + 12 −2 x − 7 < 0; < 0; <0 ; < 0; − <0 x−6 x−6 x−6 x−6 x−6 2x + 7 ⎤ 2x + 7 >0 > ( −1) 0; ⎥ x−6 ⎣ x−6 ⎦ (−1)⎡⎢− −19 < 2 es equivalente a resolver la desigualdad Nota: Resolver la desigualdad dada originalmente x−6 2x + 7 >0 racional x−6 Ahora buscamos los valores de x que hagan que el miembro izquierdo sea mayor estrictamente que 0 (es decir, positivo). ¿Cómo deben ser los signos del numerador 2x + 7 y del denominador x − 6 para que su cociente sea positivo? Ambos, numerador y denominador, deben tener el mismo signo. 264 Unidad 4: Desigualdades Con esta técnica de análisis de signos debes determinar dónde es positiva, negativa o nula la expresión racional. Los valores de x, donde la expresión racional se anula o se indefine (el numerador es 0), se llama valor crítico. 2x + 7 ⎫ = 0 entonces 2 x + 7 = 0 ⎪ x−6 ⎪ ⎬ ⎪ 2x + 7 es indefinida si x − 6 = 0 ⎪ x−6 ⎭ Nota: Un valor crítico en una expresión racional se presenta cuando el numerador o el denominador es cero. Análisis de signos para 2x + 7: Punto crítico 2x + 7 es positivo cuando 2x + 7 = 0 x=− 2x + 7 es negativo cuando 2x + 7 > 0 7 2 x>− 2x + 7 < 0 7 2 x<− 7 2 Te mostramos a continuación un resumen de este análisis de signos sobre la recta numérica real: signo de 2x + 7 − − − − − + + + + + x −7/2 Valor crítico Por lo que 2x + 7 es negativo para todos los valores de x a la izquierda de −7/2 y es positivo para todos los valores de a la derecha de −7/2. Análisis de signos para x − 6 Punto crítico x – 6 es positivo cuando x – 6 es negativo cuando x−6=0 x−6>0 x−6>0 x=6 x>6 x<6 265 4.1 Desigualdades signo de x − 6 − − − − − + + + + + x 6 Valor crítico Por lo tanto, x − 6 es negativo para valores de x a la izquierda de 6 y positivo para valores de x a la derecha de 6. Combinando los resultados, llegamos a una solución simple del problema original. Para determinar la solución de forma fácil se toman en cuenta los siguientes pasos: ⎧⎪ x = − 7 Paso 1. Obtienes los valores críticos: ⎨ 2 ⎩⎪ x = 6 Paso 2. Señalas los valores críticos en una recta numérica real: −5 −4 −2 −1 0 −7/2 1 2 3 4 5 6 ( ) Paso 3. De izquierda a derecha, determinas los intervalos: − ∞, − 7 2 ; ( − 7 2 , 6) ; (6, ∞) Paso 4. Elaboras una tabla como la siguiente, escogiendo cualquier valor del intervalo que te permita determinar el signo de la desigualdad a resolver. Intervalo (− ∞, − 7 2) ( − 7 2 , 6) (6, ∞) Valor de prueba x = −4 x=0 x=7 Signo de 2x + 7 –– + + Signo de x − 6 __ __ + Signo resultante de 2x + 7 x−6 + __ + 266 Unidad 4: Desigualdades −19 < 2 son los valores de x para los cuales el signo resultante es positivo. Así, la x−6 solución de esta desigualdad es la unión − ∞, − 7 2 ∪ (6 , ∞) . Las soluciones de ( ) Notas: 1 2 En general, definiremos como valor crítico o valor extremo de la expresión (ax + b) al valor de x para el cual ax + b = 0. La expresión ax + b = 0 tiene un signo a la izquierda del valor crítico en una recta numérica real y el signo opuesto a la derecha ( a ≠ 0) . Ejemplo 5 Resuelve la desigualdad cuadrática 2x2 − 9 ≤ 3x. solución Debes escoger la técnica de solución con la cual te sientas más cómodo, es decir, cuando resuelvas desigualdades cuadráticas o desigualdades racionales como las del ejemplo 4, podrás usar una tabla o un diagrama de análisis de signos; cuidado, la idea es no usar ambos. Aquí tenemos: 2x2 − 9 ≤ 3x, desigualdad dada. 2x2 − 3x − 9 ≤ 0, un miembro de la desigualdad se hace 0 trasponiendo términos. 3 y x = 3. Los puntos correspondientes 2 en una recta numérica determinan los intervalos que no se traslapan: − ∞, − 3 2 ; ( − 3 2 , 3) ; (3, ∞) . Hallamos ahora los valores críticos x. Estos valores son: x = − ( −5 −4 −2 −1 0 1 2 3 4 5 ) 6 −3/2 Observa que la parte de un enunciado de desigualdad se satisface en los puntos críticos o extremos. Como en el ejemplo 4, hacemos ahora el correspondiente análisis de signos, de donde obtenemos la siguiente tabla. 267 4.1 Desigualdades ( − ∞ , − 3 2] Intervalo [− 3 2 , 3] [3 , ∞) Valor de prueba x = −2 x=0 x=4 Signo de 2x + 3 –– + + Signo de x − 3 __ __ + Signo resultante de (2 x + 3)( x − 3) = 2 x 2 − 3x − 9 + __ + Ahora podemos dar la solución: − 3 ≤ x ≤ 3 : Notación de desigualdad. 2 [− 3 2 , 3] : Notación de intervalo. −5 −4 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −3/2 : Gráfica. 3 ⎫ ⎧ C.S = ⎨ x ∈ R − ≤ x ≤ 3⎬ : Conjunto solución. 2 ⎭ ⎩ Resolución de problemas que involucran desigualdades Se pueden resolver muchos problemas prácticos usando técnicas algebraicas; de hecho, no hay un método de resolución que funcione para resolver todos los problemas de la misma forma. Sin embargo, se logran formular estrategias para organizar el planteamiento de un problema, llegar a una solución e interpretar. Lee con atención la siguiente guía: Estrategia para resolver problemas I. Entender el problema: 1. Lee el problema con detenimiento (tantas veces como sea necesario), hasta que lo entiendas, sepas lo que vas a encontrar y lo que tienes como datos. 268 Unidad 4: Desigualdades 2. Haz diagramas, “dibuja” la situación con figuras para determinar los datos y las incógnitas o variables; éstas últimas las encontrarás en la pregunta o los cuestionamientos del enunciado. Preguntas que te pueden ayudar: ¿Qué estoy tratando de encontrar? ¿Qué datos podría necesitar? II. Elaborar y llevar a cabo un plan: 1. Busca las fórmulas y/o ecuaciones que relacionen los datos con las incógnitas o variables. 2. Representa mediante una variable, por ejemplo “x”, una de las incógnitas y trata de representar todas las demás (si es que las hay) en términos de x. Éste es un paso importante, por lo que debes realizarlo con cuidado. 3. Formula una desigualdad (o ecuación) que relacione las incógnitas con los datos. 4. Resuelve la desigualdad y escribe las respuestas de todas las partes de problema propuesto. Preguntas que te pueden ayudar: ¿Cuáles estrategias podría utilizar para resolver el problema? ¿Cómo puedo llevar a cabo correctamente las estrategias que he seleccionado? III. Encontrar la respuesta y comprobarla: 1. Verifica e interpreta todas las soluciones en términos del problema original y no sólo en cuanto a la desigualdad formulada en el punto 3 (se pudo haber cometido un error al establecer la desigualdad en ese punto). Preguntas que te pueden ayudar: ¿Concuerda la solución propuesta con los datos? ¿Es razonable la respuesta? ¿Se ha determinado con claridad la respuesta? Ejemplo de una aplicación resuelta con una desigualdad Ejemplo 1 Una compañía A renta autos en $250 dólares por semana, sin ningún cargo extra por kilometraje recorrido. Un auto similar puede ser rentado en la compañía B por $150 dólares por semana, más $0.25 por cada kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros se deben manejar en una semana para que el pago por la renta del auto en la compañía B sea mayor que el pago de la compañía A? 269 4.1 Desigualdades solución Compañía B Renta de autos Compañía A DATOS $150 dlls a la semana + $0.25 por kilómetro recorrido $250 dlls por semana INCÓGNITA FORMULACIÓN ⎧ ⎪ 150 + 0.25 x > 250 ⎪ 0.25 x > 250 − 150 ⎪ Resolvemos la desigualdad: ⎪⎨ 0.25 x > 100 ⎪ 1 1 ⎪ (0.25 x ) > (100) 0.25 ⎪ 0.25 ⎪⎩ x > 400 Respuesta e interpretación: Se deben manejar más de 400 kilómetros a la semana para que el pago por la renta del auto sea mayor en la compañía B. 270 Unidad 4: Desigualdades Ejercicios y problemas Expresa los siguientes intervalos como una desigualdad en la variable x (si esto es posible) y grafica en la recta numérica real. 1. (−5, 7] 4. ⎛− ∞ , 4⎤ ⎝ 3 ⎥⎦ 2. [−8, 4] 3. (− ∞, ∞) 5 5. ⎡ , 8⎞ ⎢⎣ 2 ⎠ 6. ⎡− 3 , ∞ ) ⎢⎣ 2 Escribe cada una de las siguientes desigualdades en notación de intervalos y grafica en la recta numérica real. 7. x > 5 3 8. − 10. −4 ≤ x ≤ 4 11. 7 2 <x≤ 2 3 9. x ≤ 3 ≤ x<3 2 12 5 12. −7 < x < 8 Expresa las siguientes gráficas como una desigualdad en la variable x y en forma de intervalo: 13. 14. −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 3 −1/2 15. 16. −2 −1 0 1 2 3 4 −1 0 1 3/5 17. 18. −3 −2 −1 0 1 −1/6 0 1/6 1/3 1/2 2/3 Resuelve cada una de las siguientes desigualdades y expresa las soluciones en términos de intervalos: 19. 5x − 1 ≥ 2x + 4 20. −4 < 5x + 6 ≤ 21 21. 2x + 5 ≤ 3x − 7 22. 5x − 2 ≥ 14 − 3x 23. 6x − 5 ≤ −10x − 4 24. −2 ≤ x − 5 < 7 271 4.1 Desigualdades 25. 6 ≤ −3(2x − 4) < 12 26. 3(x − 1) − 2(x + 3) < 4x 27. 3(1 − 2x) < −2(x + 3) − 4 28. −9 < 2x + 1 ≤ 1 29. −2 ≤ 4 − 2(x + 3) ≤ 5 30. 4x − 3 < −2(1 − x) 31. 3(4x − 1) ≥ 2(x + 4) 32. 7x − 8 < 2 − 2 − 3x 33. 4 − 3x ≥ 13 34. 2 x − 3 ≥ −1 3 35. 5 2 x − <1 4 3 36. 4 − 2 x > 15 7 38. 1 x + 5 ≥ −6 4 39. 37. 5 − 40. 4 − 2x < −x − 2 5 43. 9 + 1 1 x ≥4− x 2 3 46. 2 x + 3 5 > −x 4 8 41. 0 ≤ 4 − 1 x<2 3 7 x ≤ 18 3 6x − 2 1 ≤− 3 4 42. 3 ≤ 2x − 3 <7 5 x 1+ x ≤ 4 3 45. x−3 x −1 > 4 2 47. x x−2 x − ≤ −4 3 2 4 48. x x−4 −3> +1 7 3 x ≤4 1− x 44. −2 − 49. 1 −3< 4 x 50. 1 <3 2x 51. 52. 4 ≥0 3x + 2 53. −2 >0 4 − 3x 54. 55. 3− x ≤0 x+5 56. 2x ≥1 x+3 57. 58. x+3 ≥0 x −1 59. −5 >0 10 x + 3 60. x2 > 9 12 (1 − x )2 >0 3x + 1 ≤1 x+4 61. x2 + 1 > 2x 62. 2x > 3x2 − 16 63. 5x2 + 13x − 6 < 0 64. x2 ≤ 4x 65. x2 + 6x ≥ 0 66. 3x2 − 13x > 10 67. x2 + 5x ≤ 0 68. x2 < 10 − 3x 69. 70. 3 2 ≤ x−3 x+2 2 1 ≥ x +1 x − 2 Establece y resuelve las desigualdades adecuadas para los siguientes problemas: 71. Para que una operación comercial sea rentable se requiere que el precio de venta de los artículos sea, cuando menos, un 30% mayor que el costo. Un comerciante está vendiendo una cierta marca de tostador a un precio de $199.90. Determina el intervalo sobre el que varían los precios a los que otro comerciante puede ofrecer el mismo artículo, si éste desea venderlo a un precio inferior y si el costo en este caso es de $146.75. 272 Unidad 4: Desigualdades 72. El propietario de una casa desea recibir por ella no menos de $2,000,000.00, y la ofrece a una agencia de bienes raíces que cobra una comisión del 6%. Casas similares se ofrecen a un precio total inferior a $2,500,000.00. ¿Cuál es el intervalo de precios a los que podría ofrecerse la casa? ¿Cuál es el intervalo de variación de las comisiones de los corredores si la casa se vendiera? 5 73. La ecuación C = ( F − 32) relaciona las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit y Celsius. 9 ¿Qué valores de F corresponden a los valores de C, tales que 30 ≤ C ≤ 40? 74. Vas a invertir $25,000, una parte al 14% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que puedes invertir al 14% para hacer que el pago de intereses al cabo de un año sea al menos de $3,600? 75. Para que una empresa obtenga utilidades, es evidente que el ingreso R debe ser mayor que el costo total C, es decir, R > C. Si una compañía distribuye CD vírgenes y su ecuación de costos totales (transporte, almacenamiento y etiquetado individual de cada CD) es C = 300 + 5.5x y su ecuación de ingresos (precio de venta por cantidad vendida de CD’s) R = 8x, donde es el número de CD vendidos a la semana, ¿Cuántos discos se deben vender para que la compañía obtenga utilidades? 76. Un fabricante tiene un costo fijo de $10,000 y un costo unitario de fabricación de $21.00. Si el precio de venta es de $32.00 por unidad, su utilidad unitaria es de $11.00 y su utilidad total es R = −10,000 + 11x, donde x indica el número de unidades vendidas. ¿Para qué valores de x la utilidad total es de por lo menos $54,000? Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes. 1. Resuelvan el problema Invertir en la bolsa de valores, presentado en la introducción de esta sección. 2. Demuestren las propiedades de las desigualdades 1, 2, 3, 5 y 6, utilizando las propiedades demostradas, los axiomas de campo de los números reales y los tres axiomas presentados en esta sección. 3. Discutan la falacia en el siguiente razonamiento; determinen el error: Razonamiento: Supongan que x > y, x > 0, y > 0 (es decir, x y y son positivos). x>y xy > y2 xy − x2 > y2 − x2 x(y − x) > (y − x)(y + x) x>y+x 0>y Pero se supuso que y > 0, ¿cuál es el error? 273 4.1 Desigualdades −3 −2 −1 0 1 1. Indica la desigualdad que corresponde a la gráfica: a) −3x < x ≤ 1 b) −3 > x ≤ 1 c) −3 ≤ x < 1 d) x ≥ 3 2. Indica la opción que contiene la gráfica correcta que describe la desigualdad: x < −4: a) b) −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 d) c) −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 e) −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 3. Señala la opción que contiene la desigualdad que expresa el intervalo: ⎡ 2 , ∞⎞ : ⎢⎣ 3 ⎠ a) 2 <x<∞ 3 b) 2 ≤x 3 c) x < 2 3 d) x ≤ 2 3 4. Encuentra la opción que contiene la solución a la desigualdad: 8 ≤ 7 − 3x ≤ 16. a) −3 ≤ x ≤ − 1/3 b) −23/3 ≤ x ≤ −5 d) x ≥ −1/3 e) x ≥ −3/5 y x ≤ −3 c) x ≤ −3 o x ≥ −1/3 5. Determina la opción que proporciona la solución a la desigualdad: 2(4 −3x) ≥ 10 + 4(x + 1). a) x ≥ 1/5 b) x ≥ −1/5 d) x ≥ 3/5 e) x ≥ 3/10 c) x ≤ −3/5 6. Halla la opción que da el conjunto solución de la desigualdad: a) x < −2/3 b) x > 2/3 d) x > 1 e) x < 1 2x − 1 4x − 3 . < −2 2 c) x < 2/3 0 1 274 Unidad 4: Desigualdades 7. Determina la opción que proporciona el conjunto solución de 3x2 ≥ 4x + 4. 2 a) ⎛ − ∞ , − ⎤ ∪ [2 , ∞) ⎝ 3 ⎥⎦ 3 1 b) ⎛ − ∞ , − ⎤ ∪ ⎡ , ∞⎞ ⎝ ⎠ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2 c) − ∞ , − 2 ∪ ⎡ , ∞⎞ ⎢⎣ 3 ⎠ ( ] 1 3 d) ⎛ − ∞ , − ⎤ ∪ ⎡ , ∞⎞ ⎝ ⎠ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 8. Halla la opción que da el conjunto solución de la desigualdad: 12 3 a) ⎛ − ∞ , − ⎤ ∪ ⎛ − , ∞⎞ ⎥ ⎝ ⎠ 7⎦ ⎝ 2 8 b) ⎛ − ∞ , − ⎤ ∪ ⎝ 3 ⎥⎦ ⎡− 3 , ∞⎞ ⎢⎣ 2 ⎠ x−2 ≤ 2. 2x + 3 8 2 c) ⎛ − ∞ , − ⎤ ∪ ⎛ − , ∞⎞ ⎥ ⎝ ⎝ ⎠ 3⎦ 3 8 3 d) ⎡− , − ⎞ ⎢⎣ 3 2⎠ 9. Cada desigualdad (ai) tiene su solución en alguno de los incisos (bj). Determina todos los pares que se correspondan entre las dos columnas: (a1) x2 − 16 < 0 (b1) x < 4 (a2) 14 − 3x > 2 (b2) x ≤ −2 o x ≥ 2 (a3) 4x ≥2 2x + 3 (b3) −4 < x < 4 (a5) x2 ≤ 4 (b4) x ≤ − 3 2 (b5) x ≥ −1 (a6) 4 − 3x ≤ -(1 + 8x) (b6) −1 < x < 2 (a7) x < x + 2 (b7) −2 ≤ x ≤ 2 (a4) 2x + 3 ≤ 0 2 2 (a8) x 2 − 4 ≥ 0 x +4 (a9) 1 − x ≤ 2 (b8) x < − 3 2 (b9) x ≤ −1 (a10) −5 ≤ 3 − 2x ≤ 9 (b10) −3 ≤ x ≤ 4 10. Una compañía tiene que fabricar un total de 5000 unidades de un producto entre sus dos plantas A y B. En la planta A el costo por unidad combinados trabajo y material es de $2.50, mientras que para la planta B es de $3.00. Los costos fijos en la planta A son de $6,000 y en la planta B son de $8,000. La compañía ha decidido que entre las dos plantas sean asignados no más de $28,000 para los costos totales. Determina la opción que proporciona el mínimo número de unidades que debe producir la planta A. a) 1871 b) 2000 c) 2500 d) 2545 e) 2546 275 4.1 Desigualdades Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. −5 < x ≤ 7 2. −8 ≤ x ≤ 4 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 3. R. Todos los reales no se expresan en desigualdad. −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 5. 1 2 3 5 ≤ x<8 2 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 4 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 4. x ≤ 2 3 4 4 3 −1 0 6. x ≥ − 3 2 −5 −4 8 1 1/2 1 −2 −1 0 5/2 2 4/3 1 2 3 3 4 5 6 3/2 8. ⎛ − 7 , 2 ⎤ ⎝ 2 3 ⎥⎦ 7. ⎛ 5 , ∞⎞ ⎝3 ⎠ 0 1 2 −4 5/3 3 12 ⎤ ⎛ 9. − ∞ , ⎥ ⎝ 5⎦ −1 −7/2 −3 −2 −1 0 2/3 1 10. [−4, 4] 0 1 2 3 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 12/5 3 11. ⎡ , 3⎞ ⎢⎣ 2 ⎠ 0 12. (−7, 8) 1 2 3 4 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 3/2 1 1 13. x ≥ − , ⎡− , ∞⎞ ⎢ ⎠ 2 ⎣ 2 14. −1 < x 3; (−1, 3] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 276 Unidad 4: Desigualdades 15. x < 4; (− ∞, 4) 16. −1 ≤ x ≤ 17. x > −3; (−3, ∞) 18. − 19. x ≥ 5 3 20. −2 < x ≤ 3 1 16 22. x ≥ 2 23. x ≤ 25. 0 < x ≤ 1 26. x > −3 28. −5 < x ≤ 0 29. − 31. x ≥ 11 10 7 ≤x≤0 2 32. x < 1 4 3 3 ⎡ 3 ; ⎢−1 , ⎤⎥ 5 ⎣ 5⎦ 1 1 1 1 < x < ;⎛ − , ⎞ 6 2 ⎝ 6 2⎠ 21. x ≥ 12 24. 3 ≤ x < 12 27. x > 13 4 30. x < 1 2 33. x ≤ 17 3 34. x ≥ 3 35. x < 37. x < −35 38. x ≥ −44 39. x ≤ 41. 12 ≥ x > 6 42. 9 ≤ x < 19 44. x ≥ −4 45. x < −7 47. x ≥ 12 48. x < −14 1 50. ( − ∞, 0) ∪ ⎛ , ∞⎞ ⎝6 ⎠ 4 51. ( − ∞, ] ∪ (1, ∞) 5 40. x < − 14 3 43. x ≤ −6 46. x > − 1 24 1 49. ( − ∞, 0) ∪ ( , ∞) 7 52. − 2 <x 3 53. 36. x ≥ −6 4 <x 3 5 24 54. (− ∞, 1) ∪ (1, ∞) 55. (− ∞, −5) ∪ [3, ∞) 56. (− ∞, −3) ∪ [3, ∞) 58. (− ∞, −3) ∪ [1, ∞) 59. x < − 61. (− ∞, 1) ∪ (1, ∞) 8 62. ⎛ −2, ⎞ ⎝ 3⎠ 3 10 3 57. ⎛ −4, ⎤ ⎝ 2 ⎥⎦ 60. (− ∞, −3) ∪ (3, ∞) 2 63. ⎛ −3, ⎞ ⎝ 5⎠ 277 4.1 Desigualdades 64. [0, 4] 65. (− ∞, −6) ∪ [0, ∞) 66. ⎛ − ∞, − 2 ⎞ ∪ (5, ∞) ⎝ 3⎠ 67. [−5, 0] 68. (−5, 2) 69. (−1, 2) ∪ [5, ∞) 70. (− ∞, −12) ∪ (-2, 3) 71. $190.78 ≤ precio de venta del tostador ≤ $199.90 72. $ 2,120,000 ≤ precio de la casa ≤ $2,500, 000, 6% ≤ 7.075% 73. 86 ≤ F ≤ 10 74. Al menos $20,000 debes invertir al 14% para obtener al menos $3,600 de intereses. 75. Se deben vender más de 120 CD 76. Para x ≥ $5,818.18 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. c 2. b 3. b 4. a 5. c 6. b 7. a 8. b 9. a1 − b3 a2 − b1 a3 − b8 a4 − b4 a5 − b7 a6 − b9 a7 − b6 a8 − b2 a9 − b5 a10 − b10 10. b 278 Unidad 4: Desigualdades 4.2 Valor absoluto De la misma manera que las flores nos brindan múltiples propiedades naturales: belleza, color, aroma, etc., también el número nos brinda mucho más que un simple “valor absoluto”; éste sostiene además un valor relativo (la forma de la fracción) y su localización específica dentro del esquema general de los números. Domingo Gómez1 Introducción Es muy frecuente, en el cálculo diferencial e integral, tener que trabajar con desigualdades. Son de particular interés las que se relacionan con el concepto de valor absoluto. En esta introducción comenzamos con una definición geométrica del valor absoluto. Si x es la coordenada de un punto de la recta numérica real, la distancia (no dirigida) de x al origen es una cantidad no negativa que se representa por |x| y se denomina valor absoluto de x. Por ejemplo, si |x| = 4, x puede ser −4 o 4. ⫺6 ⫺5 ⫺4 ⫺3 ⫺2 ⫺1 0 1 2 3 4 Más formalmente, el valor absoluto se define de la siguiente manera: Valor absoluto de un número real x ⎧ x si x > 0 ⎪ x = ⎨ 0 si x = 0 ⎩⎪− x si x < 0 Domingo Gómez es autor del libro La quinta operación aritmética, revolución del número. “…. aun los matemáticos de tiempos ancestrales tenían a su alcance la herramienta aritmética más simple: la media racional (la quinta operación aritmética) para la resolución de problemas relacionados con ecuaciones de grados superiores”. 1 279 4.2 Valor absoluto Así, el valor absoluto de un número nunca es negativo, siempre es un número positivo o 0; por ejemplo, |4| = 4, |−4| = −(−4),|0| = 0. De este modo, |x − 3| es siempre positivo o bien 0 para cualquier valor de x. Como ya se mencionó, el valor absoluto puede interpretarse sobre la recta numérica como la distancia entre el número 0 y el número x, sin tomar en cuenta el signo del número. Es decir, el valor absoluto de un número llega a considerarse como el valor numérico. Ambas definiciones del valor absoluto, la geométrica como la formal, son útiles, como verás en esta sección. Contabilidad: prueba de discrepancia de un presupuesto El servicio de contabilidad de una empresa internacional efectuó una revisión para ver si los gastos reales de un departamento se diferenciaron de los costos hechos en un presupuesto por más de $500 dólares o el 5%. Los costos hechos en un presupuesto y los costos reales se muestran en la siguiente tabla: Tabla 4.2 Rubro o apartado Costos presupuestados: b Costos reales: a Impuestos $37,640.00 $37,335.80 Reparaciones $62,550.50 $64,205.00 Renta de equipo $15,350.00 $15,350.00 Mantenimiento $2,150.20 $1,805.00 El encargado de contabilidad hizo la diferencia entre la cantidad del costo real y la cantidad del costo presupuestado para cada rubro: Tabla 4.3 Rubro o apartado Diferencia: a – b Impuestos 37,335.80−37,640.00 = −304.20 Reparaciones 64,205.00−62,550.50 = 1,654.50 Renta de equipo 15,350.00−15,350.00 = 0.00 Mantenimiento 1,805.00−2,150.20 = −345.20 Para llevar a cabo una prueba de discrepancia de un presupuesto, al encargado de contabilidad sólo le interesa saber cuánto es la diferencia entre el costo real 280 Unidad 4: Desigualdades y el costo presupuestado; por ello, no importa si el costo presupuestado es mayor o menor que el costo real. El contador diseña la tabla 4.4 para determinar si el costo real pasa “la prueba de discrepancia de un presupuesto”. Tabla 4.4 Prueba de discrepancia de un presupuesto Rubro o apartado Discrepancia = |a – b| 5% del costo presupuestado 0.05b Diferencia de $500 dólares Sí o no La diferencia es más del 5% del costo presupuestado Impuestos Reparaciones Renta de equipo Mantenimiento Observa que si una diferencia de la tabla 4.3 es negativa, ésta se hace positiva en la tabla 4.4. Otra manera de observarlo es: si un número en la tabla 4.3 es negativo, el contador usa su parte opuesta (inverso aditivo) en la tabla 4.4; por otro lado, si un número en la tabla 4.3 es positivo o 0, el contador no lo cambia. Más tarde, en la sección de problemas para trabajar en equipo se les pedirá que reflexionen sobre el significado del signo (positivo o negativo) de las diferencias en la tabla 4.3 y que completen los espacios de la tabla 4.4 para determinar si el costo real pasa “ la prueba de discrepancia del presupuesto”. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Aplicar el concepto de valor absoluto a la distancia entre dos puntos de una recta numérica. • Resolver ecuaciones que contienen valores absolutos. • Resolver desigualdades que contienen valores absolutos. Ejemplos de la aplicación del concepto de valor absoluto de un número real De acuerdo con la definición dada en la introducción de esta sección, tenemos: 1. |8| = 8, ya que 8 es un número positivo. 281 4.2 Valor absoluto 2. 2 − 1 = 2 − 1 , ya que ( 2 − 1 es positivo. ) 3. 1 − 2 = − 1 − 2 = 2 − 1, ya que 1 − 2 es negativo. 4. |3 − π| = −(3 − π) = 3 − π, ya que es negativo. 5. − 3 3 3 3 = −⎛ − ⎞ = , ya que − es negativo. ⎝ ⎠ 4 4 4 4 Se pueden generalizar los resultados de los ejemplos 2 y 3, así como podemos demostrar la siguiente propiedad del valor absoluto: |b − a| = |a − b|. En efecto, si por ejemplo b − a > 0 (b − a es positivo), entonces −(b − a) = (a − b) < 0 (a − b es negativo), por lo que tenemos: ⎧b − a = b − a → b−a = a−b ⎨ ⎩ a − b = −( a − b ) = b − a El caso b − a < 0 es similar. Definición de distancia entre dos puntos de una recta numérica real Sean A y B dos puntos de la recta numérica real, con coordenadas a y b, respectivamente. La distancia entre A y B (llamada también longitud del segmento de recta que une A con B) está dada por: d(A , B) = |b − a|. Dado que |b − a| = |a − b|, se observa que d(A , B) = d(B , A), por lo que para calcular la distancia entre dos puntos de una recta numérica real, no importa cómo se marquen los dos puntos (el punto A puede estar a la izquierda o derecha del punto B). También se observa que si A es el origen, entonces d(0 , B) = |b − 0| = |b|; luego |b| es igual a la distancia del punto al origen. Ejemplos de cómo determinar la distancia entre dos puntos en la recta numérica real Usa el valor absoluto para determinar la distancia entre los puntos que se indican: 1. d ( −11, 5) = 5 − ( −11) = 5 + 11 = 16 = 16 2. d ( −125, − 75) = −75 − ( −125) = −75 + 125 = 50 = 50 16 13 ⎞ 13 16 13 − 80 67 67 3. d ⎛ , = − = = − = ⎝ 3 15 ⎠ 15 3 15 15 15 Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades Con frecuencia se encuentran ecuaciones y desigualdades con valor absoluto, algunas de las cuales tienen interpretación geométrica directa. 282 Unidad 4: Desigualdades Considera la ecuación con valor absoluto |x − 5| = 3. Geométricamente |x − 5| representa la distancia entre x y 5, por lo que |x − 5| = 3 indica que x es un número real cuya distancia desde 5 es 3. Esto es, 3 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 x = 5 − 3 = 2, o bien, x = 5 + 3 = 8, equivalente a: x − 5 = −3, o bien, x − 5 = 3 equivalente a: ⎧ x − 5 = −3 → x = 5 − 3 = 2 x − 5 = 3 ↔ x − 5 = ±3 ⎨ ⎩x − 5 = 3 → x = 5 + 3 = 8 Ahora bien, si requerimos resolver la desigualdad |x − 5| < 3, usamos la idea geométrica de que x es un número cuya distancia a 5 es menor que 3; es decir, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 o 2 < x < 8 o en forma de intervalo (2, 8). Ahora observa que esto se llega a hacer analíticamente así: x − 5 < 3, equivale a − 3 < x − 5 < 3, de aquí que − 3 + 5 < x < 3 + 5, 2 < x < 8 Generalizaremos y demostraremos estos resultados más adelante. Para una desigualdad como 0 < x − 5 < 3 , interpretamos que x es un número cuya distancia a 5 es menor que 3, pero el número real x no puede ser igual a 5. Por lo que: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 o 2 < x < 8 y x ≠ 5. Por último, si analizamos geométricamente la desigualdad |x − 5| > 3, x es un número real cuya distancia a 5 es mayor que 3, es decir, 283 4.2 Valor absoluto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( ) En forma equivalente: x < 2 o x > 8, en tanto que en forma de intervalo − ∞ , 2 ∪ (8 , ∞). Resumimos las propiedades utilizadas en la siguiente tabla: Forma (d > 0) x−c = d x−c <d Interpretación geométrica La distancia entre x y c es igual a d. La distancia entre x y c es menor que d. 0< x−c <d La distancia entre x y c es menor que d pero x ≠ c x−c >d La distancia entre x y c es mayor que d. Equivalencia (sin valor absoluto) Gráficas d c⫺d d c c⫺d c⫺d c⫺d c⫹d c c c c⫹d c⫹d c⫹d Algunas propiedades del valor absoluto Propiedad 1. Con a > 0, |x| = a, si y sólo si x = ±a. Demostración: Hay que demostrar dos cuestiones. Primero, que la igualdad |x| = a implica los dos resultados x = a y x = −a, recíprocamente, que si x = ±a implica |x| = a. x−c=±d Lo que resulta en dos puntos: x − c = d y x − c = −d o bien x=c−d x=c+d −d < x − c < d, por lo que: c−d<x<c+d −d < x − c < d, pero x ≠ c. por lo que: c−d<x<c+d yx≠c x − c < −d o bien x − c > d, resulta: x < c − d o bien x>c+d 284 Unidad 4: Desigualdades ⎧x = x = a ⎪ Supuesto que |x| = a por definición de valor absoluto se tiene ⎨o bien . ⎪− x = x = a → x = − a ⎩ Lo cual prueba la primera parte de la propiedad 1. Para probar el recíproco, supóngase que x = ±a. Si x es positivo, entonces |x| = x = a; si, por el contrario, x es negativo, entonces |x| = −x = a y x = −a, ya que a es positiva y −a negativa. Significado geométrico de esta propiedad: |x| = a si y sólo si x es un número que está a una distancia a del 0, es decir, x = a, o bien, x = −a. Propiedad 2. Para a > 0, |x| < a si y sólo si −a < x < a. Demostración: Al igual que en la propiedad 1, hay que probar dos cuestiones. Primero, supón que |x| < a. Como x = |x| (si x es positivo), o bien, x = −|x| (si x es negativo), tenemos x < a y −x < a, por lo que x < a y x > −a ; intersecando estos dos conjuntos solución −a < x < a. Para demostrar el recíproco, supón que −a < x < a. Si x > 0 se tiene |x| = x < a; si, por el contrario, x < 0, entonces |x| = −x < a. En ambos casos se tiene que |x| < a, lo que demuestra la propiedad 2. Significado geométrico: |x| < a representa a todos los números reales x, tales que su distancia al origen es menor que a. en este intervalo 0 ⫺a a De la misma forma: |x| ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a. Propiedad 3. Para a > 0, |x| > a si y sólo si x < −a o bien x > a. La interpretación geométrica de la desigualdad |x| > a es que ésta representa a todos los números reales x que están a una distancia mayor que a del origen: La demostración es similar a la de la propiedad 1, por lo cual la omitimos. Asimismo, |x| ≥ a equivale a x ≤ −a o x ≥ a. |x|> a ⫺a 0 a 285 4.2 Valor absoluto Ejemplos de solución de ecuaciones y desigualdades que contienen valor absoluto Ejemplo 1 Resuelve la ecuación |3x + 4| = 8. solución |3x + 4| = 8, la ecuación dada. 3x + 4 = ± 8, propiedad 1. 3 x + 4 = ±8 , ⎧3 x + 4 = 8 implica: ⎨ ⎩3 x + 4 = −8 4 3 x = −4 x= resolviendo las ecuaciones para x De este modo, la ecuación tiene dos soluciones: x = 4 y x = −4. 3 Ejemplo 2 Resuelve la desigualdad |5 − 2x| ≤ 9. solución |5 − 2x| ≤ 9, desigualdad dada. −9 ≤ 5 − 2x ≤ 9, propiedad 2. −9 − 5 9−5 , resolviendo para x ≥x≥ −2 −2 7 ≥ x ≥ −2, simplificando o −2 ≤ x ≤ 7. De esta forma, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo cerrado [−2, 7]. Gráficamente: ⫺4 ⫺3 ⫺2 ⫺1 0 Ejemplo 3 Resuelve la desigualdad |2x − 1| > 3. 1 2 3 4 5 6 7 286 Unidad 4: Desigualdades solución |2x − 1| > 3, entonces: 2x − 1 < −3 o 2x − 1 > 3, propiedad 3. 2x < −2 o 2x > 4, se resuelve para x x < −1 o x > 2. En consecuencia, el conjunto solución de la desigualdad |2x − 1| > 3 es (− ∞, −1) ∪ (2, ∞). Gráficamente: ⫺4 ⫺3 ⫺2 ⫺1 0 1 2 3 4 5 6 7 Ejercicios y problemas Simplifica y escribe sin signos de valor absoluto, dejando los radicales en su forma más simple: 1. − 3 4 2. 5 3. 2 − 7 4. |−8 − (−2)| 5. ||−5|−|−3|| 6. −1 −1 7. |π − 9| 8. |2−|−12|| 9. x −1 , x ≠ 1 1− x Encuentra la distancia entre los números dados: 10. −7 y 15 11. 12 y 3 12. 7 y − 1 15 21 13. −38 y −59 14. − 11 y − 3 8 10 15. −2.6 y −1.7 16. |2x| = 3 17. |6x + 9| = 13 18. |x − 4| = 0.01 19. |5x − 7| = 11 20. |x − 5| = −2 Resuelve las siguientes ecuaciones: 287 4.2 Valor absoluto Resuelve las siguientes desigualdades y expresa las soluciones en términos de intervalos: 21. |x| < 3 22. |x| ≥ 5 23. |x + 3| < 0.001 24. |x + 2| + 0.1 ≥ 0.2 25. |2x + 5| < 4 27. |7x + 2| > −2 28. |2x − 3| ≤ 4 26. − 1 6 − 5 x + 2 ≥ 1 3 29. |3x − 4| ≤ 0 30. |3x − 9| > 0 31. 2 − 3 x ≥ 2 5 33. 1 >2 x+7 32. 3 <2 5 − 2x 34. 1 < |x − 2| < 4 Determina los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes expresiones: 35. |x + 7| = −(x − 7) 36. |2x + 3| = 2x + 3 37. |5x − 1| = −(5x − 1) 38. |4x + 3| = 4x + 3 39. |x − 10| = x − 10 40. |2 − 3x| = −(2 − 3x) Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes: 1. Contabilidad: prueba de discrepancia de un presupuesto. Reflexionen sobre el significado que tiene el signo (positivo o negativo) de las diferencias en la tabla 4.3 y que completen los espacios de la tabla 4.4, para determinar si el costo real pasa “la prueba de discrepancia del presupuesto”. Den una interpretación de los resultados que obtengan al completar la tabla 4.4. 2. Demuestren la propiedad conocida con el nombre desigualdad del triángulo; esto es, si x y y son números reales cualesquiera, entonces |x + y| ≤ |x| + |y|. Nota: Esta propiedad se denomina desigualdad del triángulo, porque cuando se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado en un triángulo es menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos. 3. Demuestren o refuten cada una de las siguientes afirmaciones del valor absoluto. a) |−x| = |x| b) |x2| = x2 2 c) x = x d) |xy| = |x||y| e) x = x y y 288 Unidad 4: Desigualdades 1. Determina la opción que contiene la simplificación de −|−15| −15. a) 0 c) 15 b) −30 d) 30 2. Señala la opción que da la distancia entre los puntos A y B cuyas coordenadas son a= a) 12 7 y b=− 5 15 29 15 b) − 29 15 c) 42 15 d) 43 15 3. Elige la opción que equivale al siguiente intervalo representado en la recta numérica: ⫺5 ⫺4 ⫺3 ⫺2 ⫺1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a) |x + 2| ≤ 6 b) |x − 2| < 6 c) |x − 4| ≤ 4 d) |x − 2| ≤ 6 4. Determina la opción que equivalente al enunciado “La distancia entre z y −5 es menor que 12”. a) |z − 5| < 12 b) |z + 5| ≤ 12 c) |z + 5| ≤ 12 d) |z − 5| ≤ 12 5. Señala la opción que proporciona el conjunto solución de la desigualdad |4x + 5| < 9. a) ⎛ − ∞ , − 7 ⎞ ∪ (1 , ∞) ⎝ 2⎠ b) ⎛ −1 , 7 ⎞ ⎝ 2⎠ d) ⎛ − 7 , 7 ⎞ ⎝ 2 2⎠ e) ⎛ − 7 , 1⎞ ⎝ 2 ⎠ c) (−1, 1) 6. Determina la opción que contiene el conjunto solución de la desigualdad 2 − 5 x ≥ 3 . 4 a) ⎡−2 , 14 ⎤ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ b) − ∞ , − 2 ∪ ⎡14 , ∞⎞ ⎢⎣ 5 ⎠ d) [− ∞, −2] ∪ [2, ∞] e) [−2, 2] ] ( c) [−2, ∞] 7. Cada desigualdad (ai), de las escritas a continuación, equivale exactamente a una desigualdad (bj). Por ejemplo, |x| < 5 si y sólo si −5 < x < 5; por lo tanto (a1) tiene como solución a (b2). Determina todos los pares equivalentes: (a1) |x| < 5 (b1) −1 ≤ x ≤ 0 (a2) |x − 2| ≤ 5 (b2) −5 < x < 5 (a3) |3 − 2x| < 1 (b3) x > 5 o x < −3 289 4.2 Valor absoluto 1 1 <x< 6 4 (a4) |2x + 1| ≤ 1 (b4) (a5) |x − 1| > 4 (b5) −3 ≤ x ≤ 7 (a6) |x + 1| ≥ 6 (b6) 1 < x < 2 (a7) |5 − x−1| < 1 (b7) x ≤ −7 o x ≥ 5 8. Decide si la afirmación de cada uno de los siguientes incisos es verdadera o falsa. En cada caso razona la decisión: a) x < 7 implica |x| < 7 b) |x − 3| ≤ 2 implica −1 ≤ x ≤ 5 c) |1 + 3| ≤ 1 implica − 2 ≤ x ≤ 0 3 d) No existe un número real x para el que |x − 4| = |x − 5| Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. 3 4 2. 4. 6 5. 2 6. −1 7. 9 − π 8. 10 9. 1 5 3. 7 −2 10. 22 11. 9 12. 18 35 13. 21 14. 43 40 15. 0.9 16. x = 3 3 ;x=− 2 2 19. x = 18 4 ;x=− 5 5 22. (− ∞, −5) ∪ [5, ∞) 17. x = 2 11 ; x=− 3 3 18. x = 4.01; x = 3.99 20. No existe solución, pues un valor absoluto nunca es negativo. 21. (−3, 3) 23. (−3.001, −2.999) 24. (− ∞, −2.1] ∪ [−1.9, ∞) 290 Unidad 4: Desigualdades 25. ⎛− 9 , − 1⎞ ⎝ 2 2⎠ ⎡3 9⎤ 26. ⎢ , ⎥ ⎣5 5⎦ 4 3 27. R. Para todos los valores de x reales, el valor absoluto será mayor que cualquier número negativo. ⎡ 1 7⎤ 28. ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦ 29. x = 8⎤ ⎛ 31. ⎝ − ∞, − ⎥ ∪ [ 4, ∞) 3⎦ 7 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 32. ⎝ − ∞, ⎠ ∪ ⎝ , ∞⎠ 4 4 ⎛ 15 13 ⎞ 33. ⎝ − , − ⎠ 2 2 34. (−2, 1) ∪ (3, 6) 35. (−∞, −7) ⎡ 3 ⎞ 36. ⎢− , ∞⎠ ⎣ 2 1 37. ( − ∞, ] 5 ⎡ 3 ⎞ 38. ⎢− , ∞⎠ ⎣ 4 39. [10, ∞) 30. (− ∞, 3) ∪ (3, ∞) 3 40. [ , ∞) 2 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. b d d b e b a1 – b2 a2 – b5 a3 – b6 a4 – b1 a5 – b3 a6 – b7 a7 – b4. 8. a) falsa b) falsa c) verdadera d) falsa Unidad 5 Trigonometría Contenido de la unidad 5.1 Ángulos 5.2 Funciones trigonométricas 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales 5.4 Identidades fundamentales Introducción a la unidad En marzo y abril de 1996, estudiantes de 16 a 18 años en Suecia, Dinamarca, Alemania y España se esforzaron durante varios días por conseguir fotografías del cometa Hyakutake. Intentaban obtener fotos simultáneas desde diferentes países. Esto fue muy difícil porque las condiciones climáticas no son las adecuadas durante esos meses en Europa. No era posible que lo hicieran en otros meses, porque el cometa Hyakutake sólo estuvo cerca de la Tierra en marzo y abril de ese año. Después de mucho esfuerzo, una noche en particular lograron obtener fotos simultáneas desde Dinamarca y Portugal. Las dos fotos tomadas desde diferentes lugares son distintas porque el cometa estaba mucho más cerca de la Tierra que la otra estrella que se ve en la fotografía. Con la ayuda de la trigonometría, los estudiantes lograron determinar qué distancia había en ese momento entre el cometa y nuestro planeta. Su resultado fue sólo 13% distinto del resultado de los científicos profesionales, un gran logro para estudiantes de 16 a 18 años. Puedes consultar este trabajo en la siguiente página de Internet: http://www.amtsgym-sdbg.dk/as/ags2.htm (febrero, 2005). Como ves, la trigonometría que estudiarás en esta unidad tiene aplicaciones muy interesantes. 292 Unidad 5: Trigonometría 5.1 Ángulos Los decimales no calculados de π, duermen en un misterioso reino abstracto, donde gozan de una débil realidad, hasta que no son calculados, no se convierten en algo plenamente real, e incluso entonces su realidad es mera cuestión de grado. William James, The Meaning of Truth Introducción n La trigonometría tuvo su origen en las investigaciones de los griegos; aproximadamente aparece antes del año 100 a. C. Los griegos usaron la trigonometría para resolver problemas de astronomía, navegación y geografía; prácticamente surge de la necesidad de la medición indirecta de distancias y ángulos de la esfera celeste. La palabra trigonometría, que deriva del griego y significa “medida de triángulo”, fue usada por primera vez como título de un texto por el matemático alemán Pitiscus en el año 1600 d. C. En su forma más básica, la trigonometría es el estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, pero ahora las aplicaciones modernas abarcan varios tipos de problemas, que tienen poco o nada que ver con ángulos o triángulos; por ejemplo, fenómenos periódicos como el sonido, la luz, las ondas eléctricas, los ciclos en las finanzas y los movimientos planetarios. Las funciones trigonométricas se relacionaron en la antigüedad con el cálculo de triángulos y tenían como dominio los ángulos en este contexto. Se estudiarán los ángulos y su medida en esta sección, con la finalidad de estudiar las funciones trigonométricas. Agricultura: costo de la semilla de maíz híbrido Un agricultor planea probar una nueva variedad de maíz híbrido, para lo cual dispone de un terreno similar al de la parte sombreada de la figura 5.2. Para determinar el costo de la semilla a utilizar, el agricultor necesita conocer primero el área del sector circular disponible. La empresa a la que el agricultor le comprará la semilla estima que el costo por metro cuadrado es de 3 pesos. ¿Cuál es el área disponible para sembrar? ¿Cuál es el costo de la semilla que se debe utilizar? La primera cuestión puede ser respondida gracias a una ecuación o fórmula del área para un sector de círculo; para utilizar tal fórmula se requiere que el ángulo esté medido en la unidad de radianes. 293 5.1 Ángulos B 4m Terreno A 11 m Figura 5.1 Figura 5.2 En esta sección se explica cómo un ángulo medido en grados se llega a expresar en radianes y viceversa, así que al finalizar la sección responderás las cuestiones planteadas en el problema introductorio. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Utilizar el concepto, la notación y clasificación de los ángulos. • Utilizar correctamente las unidades de medida de los ángulos en grados y en radianes. • Convertir grados a radianes y viceversa. • Aplicar las fórmulas de longitud de un arco circular y la fórmula del área de un sector circular. Ángulos Hay dos maneras de definir un ángulo; una de ellas es estática , que se utiliza en geometría plana, donde un ángulo se define como el conjunto de puntos determinados por dos rayos (o segmentos de rectas), /1 y /2, cuyo origen es común O (figura 5.3). Ambos rayos (o segmentos) que forman un ángulo se llaman lados de éste, en tanto que el extremo u origen común se conoce como vértice. Los ángulos se denotan con letras griegas, como θ, α, β y γ, o con tres puntos del ángulo (unos sobre cada lado y otro en el vértice), si A y B son puntos en /1 y /2, como en la figura 5.4, se considera el ángulo AOB, o bien, ∠AOB. En resumen, esta manera de definir al ángulo lo considera como dos segmentos finitos con un punto extremo en común. A θ O Figura 5.3 1 B Figura 5.4 294 Unidad 5: Trigonometría La otra forma de definir un ángulo, la dinámica, es usada en la trigonometría. En ésta, se interpreta a los ángulos como rotaciones de rayos (o semirrectas). Así, para formar un ángulo θ, se comienza con un lado, llamado lado inicial, en posición fija; después, un segundo lado llamado lado terminal, parte de la misma posición del lado inicial y gira en el plano alrededor del vértice O hasta que alcance su posición final. Una rotación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo y una rotación en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj produce un ángulo positivo. La amplitud de la rotación en uno u otro sentidos no está restringida, es decir, se podría hacer que el lado inicial diera varias vueltas o revoluciones en cualquier sentido alrededor de O, antes de llegar a la posición del lado terminal, como indican las flechas curvas de las figuras 5.5a y 5.5b. Hay muchos ángulos con los mismos lados inicial y terminal. Dos cualesquiera de ellos se llaman ángulos coterminales [figura 5.5c]. lado inicial lado terminal θ θ lado terminal lado inicial Figura 5.5a θ positivo Figura 5.5b θ negativo lado terminal α β lado inicial Figura 5.5c. α y β son ángulos coterminales Si se introduce un sistema de coordenadas rectangulares, se dice que un ángulo está en posición normal (posición canónica) si su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje x positivo. Si el lado terminal de un ángulo en posición normal coincide con un eje coordenado, se le llama ángulo cuadrantal. Si no coincide, entonces se refiere al ángulo en términos del cuadrante al que pertenece (figura 5.6). 295 5.1 Ángulos y y y θ θ θ Figura 5.6a θ es un ángulo cuadrantal Figura 5.6b θ es un ángulo en el III cuadrante Figura 5.6c θ es un ángulo en el II cuadrante Medida en grados y en radianes Así como los segmentos de recta se miden en pulgadas, pies, millas, centímetros, metros, los ángulos se miden también en diferentes unidades. Las dos unidades usadas comúnmente para medir ángulos son el grado y el radián. Medida en grados El ángulo en posición normal, que se obtiene con una revolución (rotación) completa en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, mide 360 grados, 1 lo que se escribe así: 360°. Un ángulo generado por 360 de una rotación completa mide 1 grado (1°). El símbolo ° denota grados. Ciertos ángulos reciben nombres especiales. En la siguiente tabla se dan definiciones de estos ángulos especiales: Terminología Definición Ejemplos Ángulo llano θ. θ = 180° (media rotación). 180° Ángulo agudo θ. 0° < θ < 90° 15°; 39°; 87° Ángulo obtuso θ. 90° < θ < 180° 102°; 98°, 176° Ángulos complementarios α, β α + β = 90° 30° y 60°; 53° y 37°; 12° y 78° Ángulos suplementarios α, β α + β = 180° 117° y 63°; 17° y 163° 296 Unidad 5: Trigonometría En este libro, la notación θ = 70° especifica un ángulo θ cuya medida es 70°. También se dice que es un ángulo de 70°, en lugar de un ángulo que mide 70°. Si se necesitan menores medidas de un grado, se emplean décimos, centésimos y milésimos de grado. Para esto, también se puede dividir un grado en 60 partes iguales, que se llaman minutos y se representan por′ (una comilla en la parte superior), y dividir cada minuto en 60 partes iguales, llamadas segundos, lo que se representa así:′′ (dos comillas en la parte superior), tal como se divide una hora. Así; 1° = 60′ y 1′ = 60′′. La notación θ = 13°25′17′′ indica un ángulo θ cuya medida es 13 grados, 25 minutos y 17 segundos. La medida en grados de los ángulos se emplea extensamente en áreas como la topografía, la navegación y el diseño de equipo y piezas mecánicas. En aplicaciones científicas que requieren del cálculo diferencial o integral, se utiliza otra unidad de medida en radianes (rad). Para definir un ángulo cuya medida en radianes sea 1, considérese una circunferencia de radio r. Un ángulo central de una circunferencia es aquél cuyo vértice se encuentra en el centro de la circunferencia. Si es el ángulo central que se muestra en la figura 5.7, se dice que el arco QP subtiende a θ, o que θ está subtendido por el arco QP o que el ángulo θ determina el arco QP. P s r Q Figura 5.7 Ángulo central Si la longitud del arco QP, denotada por s es igual al radio r de la circunferencia, entonces θ tiene la medida de un radián, o mide un radián; todo esto se resume en la siguiente definición: Medida en radianes Sea θ un ángulo central en una circunferencia de radio r > 0 y la longitud del arco subtendido en la circunferencia es s, la medida en radianes de θ estará dada por s θ= . r Nota: r y s deben medirse con las mismas unidades. 297 5.1 Ángulos θ= s radianes r s r θ Si s = r, entonces θ= r radián r r r 1 radián Nota: las unidades con las que se mide la longitud del arco y el radio se cancelan; por lo tanto, queda un número “sin dimensiones” o puro. Por tal razón, a menudo se omite la palabra radián cuando se trabaja con medida de ángulos, a menos que se desee tener más claridad; por ejemplo, en física la velocidad y la aceleración angular se expresan casi siempre indicando las unidades como rad/s y rad/s2, respectivamente. Así, si un ángulo mide 7 rad, se escribe θ = 7; no habrá confusión si se usan medidas en radianes o en grados, ya que si θ está en grados, y su medida es 7, es escribe θ = 7°, y no θ = 7. En geometría lo anterior se demuestra mediante proporciones que si r1 y r2 son radios de dos circunferencias concéntricas (es decir, tienen el mismo centro) con el mismo ángulo central θ, y si s1 y s2 son los respectivos arcos subtendidos por θ en cada circunferencia, entonces: s1 s 2 = r1 r2 298 Unidad 5: Trigonometría Por lo tanto, la medida en radianes de un ángulo no depende de la magnitud de la circunferencia. Conversión de grados a radianes y viceversa Para hallar la relación entre grados y radianes, considérese la rotación completa de un S segmento de recta OP en sentido contrario a las manecillas del reloj (figura 5.8). Como la circunferencia de un círculo es 2πr, la longitud del arco interceptado es 2πr. La medida de θ = 360° en radianes es: θ= 2π r = 2 π rad , es decir, 2π rad = 360° ≈ 6.28 rad r O bien, π rad = 180° ≈ 3.1415 rad s = 2πr O r P θ = 360° Figura 5.8 Este resultado da las siguientes relaciones: Relaciones entre grados y radianes 1. 180° = π rad. π 2. 1° = rad ≈ 0.0175 rad. 180 ° 180 ⎞ 3. 1 rad = ⎛ ≈ 57.2958° ⎝ π ⎠ Conviene recordar estas relaciones, sobre todo que 180° = π rad, porque se puede obtener la medida en radianes de muchos ángulos especiales a partir de ella. En la siguiente tabla se dan algunos ejemplos: 299 5.1 Ángulos Ángulo (en grados) 90° Razonamiento 90 es la mitad de 180 Cálculos Si se divide180 entre 2, también se divide π entre 2. π 1 = ⋅π 2 2 Ángulo (en radianes) π 2 60° 60 es un tercio de 180 Si se divide 180 entre 3, también se divide π entre 3. π 1 = ⋅π 3 3 π 3 45° 45 es un cuarto de 180 Si se divide 180 entre 4, también se divide π entre 4. π 1 = ⋅π 4 4 π 4 30° 30 es un sexto de 180 Si se divide 180 entre 6, también se divide π entre 6. π 1 = ⋅π 6 6 π 6 120° 120 es dos tercios de 180 Si se multiplica 180 por 2/3, también se multiplica π por 2/3 2 ⋅π 3 2π 3 270° 270 es tres medios de 180 Si se multiplica 180 por 3/2, también se multiplica π por 3/2 3 ⋅π 2 3π 2 1° 1 es un ciento ochentavo de 180 Si se multiplica 180 por 1/180, también se multiplica π por 1/180 1 ⋅π 180 π 180 La última fila de la tabla se usa para convertir cualquier ángulo medido en grados a radianes. 1° = π radianes 180 300 Unidad 5: Trigonometría La siguiente tabla muestra cómo convertir de grados a radianes: Para convertir de Multiplíquese por Grados a radianes π 180 Ejemplos ⎛ π ⎞= π 1. 12° = 12 rad. ⎝ 180 ⎠ 15 π ⎞ 7π 2. 7° = 7⎛ rad. = ⎝ 180 ⎠ 180 π ⎞ 23π 3. 345° = 345⎛ rad. = ⎝ 180 ⎠ 12 ⎛ π ⎞ = 5π 4. 225° = 225 rad. ⎝ 180 ⎠ 4 ⎛ π ⎞ = 5π 5. 150° = 150 rad. ⎝ 180 ⎠ 6 De manera similar, es posible convertir ángulos medidos en radianes a grados. Para esto, estúdiense los siguientes ejemplos: Ángulo (en radianes) Razonamiento Cálculos 2 ⋅180 3 Ángulo (en grados) 2π 3 Dos tercios de π 7π 7 veces π (7)180 1260° 1 Se tiene que π = 180°. Divídase cada lado de la igualdad por π. 180 ÷ π ⎛ π ⎞° ⎝ 180 ⎠ 120° La última fila de la tabla anterior nos da una equivalencia útil en la conversión de radianes a grados. 1 rad = 180° π 301 5.1 Ángulos La siguiente tabla muestra cómo convertir de medida de radianes a grados: Para convertir de Multiplíquese por Ejemplos 180° π Radianes a grados 180° ⎞ 900 1. 5 rad = 5⎛ grados ≈ 286.5° = ⎝ π ⎠ π 180° ⎞ 108 2. 0.6 rad = 0.6⎛ grados ≈ 34.4° = ⎝ π ⎠ π 3. 4π 4 π ⎛ 180° ⎞ rad = = 240° 3 3 ⎝ π ⎠ 4. 7π 7π ⎛ 180° ⎞ rad = = 315° 4 4 ⎝ π ⎠ 5. 11π 11π ⎛ 180° ⎞ rad = = 330° 6 6 ⎝ π ⎠ Se puede aplicar el razonamiento anterior para formar la siguiente tabla, que muestra las medidas en radianes y grados de algunos ángulos especiales; es importante recordar tales correspondencias, ya que ellas (y sus múltiplos) se usan mucho en los temas de trigonometría. Radianes 0 π 6 π 4 π 3 π 2 Grados 0 30 45 60 90 2π 3 3π 4 5π 6 π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 180° = π 7π 4 11 π 6 2π 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 Algunos de estos ángulos especiales se muestran en su posición normal en la figura 5.9. 90° = —2π— 5π 3 y 60° = —3π— 45° = —4π— 30° = —6π— 360° = 2π 270° = —2π— Figura 5.9 302 Unidad 5: Trigonometría Longitud de un arco circular y el área de un sector circular En el cálculo diferencial e integral casi siempre se usa la medida en radianes, porque es una medida que involucra unidades de longitud y relaciona ángulos, radios y longitud de arco. Debido a ello, las fórmulas que usan medidas en radianes tienden a ser más simples, a diferencia de las fórmulas que emplean medidas en grados, que son por lo general más complicadas. Ejemplo de fórmulas medidas en radianes son: longitud de arco, área de un sector circular, velocidad y aceleración angular. El siguiente resultado muestra la relación entre la longitud de un arco circular y el ángulo central medido en radianes que subtiende. De hecho, la fórmula de longitud de arco es un simple despeje de la definición de un ángulo θ medido en radianes. Fórmula de la longitud de un arco circular Si un arco de longitud s en una circunferencia de radio r subtiende un ángulo central θ (en radianes), entonces. s = rθ θ rad Por definición, un ángulo medido en radias nes está dado por la ecuación θ = ; desr pejando s, se tiene la ecuación s = rθ. La fórmula es una proposición que se demuestra en geometría plana. En la figura 5.10a se muestra un arco de longitud s y el ángulo central θ correspondiente. En la figura 5.10b se muestra un arco de longitud s1 y ángulo central θ1 en la misma circunferencia de radio r. Si se utilizan radianes, de acuerdo con la geometría plana, la razón de las longitudes de arco es igual a la razón de las medidas de los ángulos, es decir, s θ = s1 θ1 Considerando el caso especial en el cual θ1 mide 1 rad, de acuerdo con la definición s1 = r; por lo tanto: s θ = , despejando s, s = rθ. r 1 r r Figura 5.10a θ1 r Figura 5.10b s1 303 5.1 Ángulos La figura 5.11 representa regiones sombreadas formadas por círculos y ángulos centrales medidos en radianes, conocidos como sectores circulares. El área de cada sector es una fracción del área de cada círculo. θ=π θ = 2π Ángulo: 1 rotación = 2π Área: π θ =— 2 3π θ=— 2 1/2 rotación = π 1/4 rotación = π/2 3/4 rotación = 3π/2 (1/2) π r2 (1/4) π r2 (3/4) π r2 π r2 Figura 5.11 Fórmula del área de un sector circular Si θ es un ángulo central, medido en radianes, de una circunferencia de radio r, y si 2 A es el área del sector circular subtendido por θ, entonces A = 1 r 2 θ = r θ . 2 2 Esta fórmula se demuestra de manera similar a la anterior. En general, hay un resultado en geometría plana que establece: Área del sector valor del ángulo central en radianes = Área del círculo rotación completa = 2 π rad Área del sector θ = 2 πr 2π 2 ⎛ θ ⎞ Área del sector = π r ⎝ 2π ⎠ ( Área del sector = A = ) r2 θ 2 Nota: Al aplicar las fórmulas anteriores, es importante asegurarse que θ esté medido en radianes. 304 Unidad 5: Trigonometría Ejemplos Ejemplo 1 Encuentra, en cada caso, la medida del ángulo en grados y represéntalo en posición normal; considera que el ángulo de una rotación completa corresponde a 360°. a) 5 en rotación en el sentido del movimiento 6 de las manecillas del reloj. b) 2 en rotación contraria del movimiento 3 de las manecillas del reloj. solución a) 5 (−360°) = 5 (−60°) = −300° 6 b) 2 (360°) = 2 (120°) = 240° 3 y Cuadrante II y Cuadrante I Cuadrante II −360° Cuadrante III Cuadrante I 240° Cuadrante IV Cuadrante III Cuadrante IV Ejemplo 2 a) Convierte 135°14′12′′ a grados decimales. b) Convierte −22.569° a la forma grados, minutos y segundos. solución ° a) 135°14 ′12 ′′ = ⎛135 + 14 + 12 ⎞ ≈ 135.2367° ⎝ 60 3600 ⎠ con cuatro cifras decimales de aproximación. b) −22.569° = −(22° + 0.569(60)′) = −22°34.14′ = −(22° + 34′+ 0.14(60)′′) ≈ −22.34°8′′ Se te recomienda que intentes realizar estas conversiones en un solo paso con una calculadora científica. 305 5.1 Ángulos Ejemplo 3 Encuentra, para cada caso, el ángulo coterminal positivo más pequeño: a) 870° b) −135° solución Haz un diagrama para cada ángulo, luego sumar o restar 360°, hasta obtener un ángulo cuyo valor se encuentre entre 0° y 360°. a) b) y y 150° 870° 225° −135° -135° + 360° = 225° −135° y 225° son ángulos coterminales. 870° − 360° = 510° 510° − 360° = 15° 870° y 150° son ángulos coterminales. Ejemplo 4 Determinar dos ángulos coterminales (uno positivo y uno negativo) de: a) θ = π 9 b) θ = 4π 3 solución a) π 19π + 2π = 9 9 π 17π − 2π = − 9 9 b) 4π 10 π + 2π = 3 3 4π 2π − 2π = − 3 3 306 Unidad 5: Trigonometría Ejemplo 5 Encuentra, si es posible, un ángulo complementario y un ángulo positivo suplementario de los ángulos: a) π 3 b) 3π 4 solución a) Complementario π π π − = 2 3 6 Suplementario π − b) Complementario π 2π = 3 3 3π π > 4 2 Suplementario π − 3π π = 4 4 Ejemplo 6 ¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo central subtendido por un arco de 720 pulgadas en una circunferencia de 12 pies de radio? solución Nótese que las unidades de longitud son diferentes. Primero hagamos la conversión a unidades comu⎛ ⎞ 1ft nes. Se sabe que 1 pie = 1 pie = 12 pulgadas. Por lo tanto, 720 pulgadas⎜ ⎟ = 60 ft. ⎝ 12 pulgadas ⎠ Por definición de un ángulo medido en radianes, tenemos que: θ= s 60 ft = = 5 rad r 12 ft Ejemplo 7 Expresa los siguientes ángulos dados en radianes a sus medidas en grados, sin usar calculadora. a) 7π . 3 b) − 11π . 30 solución 180° ⎞ a) Se usa la relación θ° = ⎛ θ ⎝ π ⎠ 180° ⎞ 7π θ° = ⎛ = 420° ⎝ π ⎠ 3 180° ⎞ b) Se usa la relación θ° = ⎛ θ ⎝ π ⎠ 180° ⎞ ⎛ 11π ⎞ θ° = ⎛ − = −66° ⎝ π ⎠ ⎝ 30 ⎠ 307 5.1 Ángulos Ejemplo 8 Expresa los siguientes ángulos dados en grados a sus medidas en radianes como múltiplos de π, sin usar calculadora. a) −20° b) −240° solución π ⎞ a) Se usa la relación θ = ⎛ θ° ⎝ 180° ⎠ π ⎞ b) Se usa la relación θ = ⎛ θ° ⎝ 180° ⎠ π ⎞ 4π θ° = ⎛ (−240°) = − ⎝ 180° ⎠ 3 π ⎞ π θ° = ⎛ (−20°) = − ⎝ 180° ⎠ 9 Ejemplo 9 Convierte de grados a radianes. Da la respuesta con una aproximación de tres cifras decimales. a) 532° b) 0.54° solución π ⎞ a) 532° = 532⎛ ≈ 9.285 radianes ⎝ 180 ⎠ π ⎞ b) 0.54° = 0.54⎛ ≈ 0.009 radianes ⎝ 180 ⎠ Ejemplo 10 Convierte de radianes a grados. Da la respuesta con una aproximación de tres cifras decimales. a) π . 7 b) − 5π . 11 solución a) π π ⎛ 180 ⎞ = ≈ 25.714° 7 7⎝ π ⎠ b) − 5π 5π ⎛ 180 ⎞ =− ≈ 81.818° 11 11 ⎝ π ⎠ Ejemplo 11 Encuentra con tres cifras decimales la medida de: a) Un ángulo de 125°23′, en radianes b) Un ángulo de 5 radianes, en grados 308 Unidad 5: Trigonometría solución 180° ⎞ a) Se convierte primero 125°23′ a grados decimales Se usa la relación θ° = ⎛ θ ⎝ π ⎠ π ⎞ 180 ⎞ y después se usa la relación θ = ⎛ θ° : 5 rad = 5⎛ ≈ 286.479° ⎝ π ⎠ ⎝ 180° ⎠ ° 23 125°23′ = ⎛125 + ⎞ ≈ 125.383 ° ⎝ 60 ⎠ π ⎞ 125.383⎛ ≈ 2.188 rad ⎝ 180 ⎠ Ejemplo 12 Aplicación de la fórmula de longitud de un arco circular. Una banda conecta una polea de 2 pulgadas con otra de 5 pulgadas. Si la polea menor gira 5 radianes, ¿cuántos radianes girará la polea mayor? solución Para resolver el problema, primero se hace un esquema: P 5 das a lg pu 2 das a lg pu Q Cuando la polea menor gira 5 rad, el punto de su circunferencia recorre la misma distancia (longitud de arco) que la que viaja al punto P de la circunferencia mayor. Para la polea menor: θ= s ; s = r θ = (2)(5) = 10 pulgadas. r Para la polea mayor: θ= s 10 = = 2 radianes. Por lo tanto, cuando la polea menor gira 5 rad la polea mayor gira 2 rad. r 5 309 5.1 Ángulos Ejemplo 13 Aplicación de la fórmula de longitud de un arco circular. Encuentra la distancia entre dos ciudades. Supón que la Tierra es una esfera de radio 4000 millas y que las ciudades están sobre el mismo meridiano (una ciudad está al norte de la otra). Ciudad Latitud Miami Erie 25°46′37′′ N 42°7′15′′ N solución Para resolver el problema primero se hace un esquema: El ángulo central es la diferencia en latitudes. θ = 42° 7′15′′ − 25° 46′ 37′′ Erie 4000 θ 7 15 ⎞ ⎛ 46 37 ⎞ = ⎛ 42 + + − 25 + + ⎝ 60 3600 ⎠ ⎝ 60 3600 ⎠ 4000 π ⎞ = 16.3438 ° = 16.3438 ⎛ ≈ 0.28525 radianes. ⎝ 180 ⎠ La distancia entre las ciudades se encuentra calculando la longitud de arco. s = r θ = 4000(0.28525) = 1141 millas. Las ciudades están aproximadamente a 1141 millas de distancia Ejemplo 14 Aplicación de la fórmula del área de un sector circular. Determina el área del sector sombreado de la figura. 120° Miami 310 Unidad 5: Trigonometría solución A= A= r2 θ es la fórmula del área de un sector circular. 2 (9)2 ⎛⎝ 2 2π ⎞ 3 ⎠ , r = 9 cm, θ = 120° = 2π rad 3 A ≈ 84.82 cm2 Ejercicios y problemas Encuentra la medida en radianes de un ángulo central θ subtendido por un arco s en una circunferencia de radio r; en cada ejercicio se dan r y s: 1. 2. 3. 4. r = 4 cm, s = 24 cm. r = 18 cm, s = 27 cm. r = 12 pies, s = 30 pies. r = 7 pulg., s = 42 pulg. Calcula la medida exacta, en radianes, del ángulo dado (en términos de π): 5. 8. 11. 14. 95° 120° −135° 100° 6. 210° 9. 450° 12. 72° 15. 54° 7. 54° 10. 150° 13. −60° 16. 225° Encuentra el valor exacto, en grados, del ángulo dado: 2π 3 18. 5π 6 19. − 20. − π 2 21. 11π 4 22. 7π 23. − 5π 2 24. π 16 25. 26. 11π. 27. 5π 3 28. − 17. 3π 4 π 9 7π 2 311 5.1 Ángulos Expresa el ángulo en forma decimal, con precisión de tres cifras decimales: 29. 184°31′7′′ 30. 5°51′33′′ 31. 258°39′52′′ 32. 254°8′29′′ Expresa el ángulo θ en términos de grados, minutos y segundos, al segundo más cercano (notar que el ángulo está dado en radianes): 33. θ = 3 34. θ = 2.5 35. θ = 1.8 36. θ = 5 Indica si el ángulo pertenece al I, II, III o IV cuadrante o es un ángulo cuadrantal. Considera todos los ángulos en posición o normal (o posición estándar) en un sistema de coordenadas rectangulares (recuerda que si no tiene unidades, se trata de radianes); en algunos ejercicios puede ayudar un dibujo: 37. 270° 40. −1 43. 13π 4 46. − 3π 4 38. −200° 41. −5 44. 23 π 3 47. 820° 39. −60° 42. −π 45. − 3π 2 48. −560° π ? Considera todos los ángulos en posición o normal (o posición 6 estándar) en un sistema de coordenadas cartesianas: ¿Qué ángulos son coterminales con el de 49. 390° 52. − 11π 6 π 6 50. −330° 51. − 53. −690° 54. 750° ¿Qué ángulos son coterminales con el de 135°? Considera todos los ángulos en posición o normal (o posición estándar) en un sistema de coordenadas cartesianas: 55. − 58. 3π 4 11π 4 56. −225° 57. − 7π 4 59. −135° 60. − 5π 4 Si un arco circular de la longitud dada s, subtiende al ángulo central θ de una circunferencia, calcula el radio de ésta: 61. s = 14 cm, θ = 6 62. s = 4 km, θ = 22° 312 Unidad 5: Trigonometría En los siguientes ejercicios se manejan datos de ángulos centrales con el radio de la circunferencia indicado. Determina el área correspondiente a cada sector de la circunferencia, expresando la respuesta con una aproximación de una cifra decimal: 63. r = 7.6 cm, θ = 50° 65. r = 12.3 m, θ = 64. r = 15 ft, θ = 24° π 5 Calcula la longitud del arco que subtiende el ángulo central dado θ en una circunferencia de diámetro d; después, usa este resultado para calcular el área del sector determinado por θ: 66. d = 15 m, θ = 55°. 67. d = 120 cm, θ = 2.5. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, resuelve los problemas siguientes: 1. Agricultura: costo de la semilla de maíz híbrido presentado en la introducción de la sec- ción. 2. Un problema de ingeniería. Una bicicleta tiene una llanta delantera de 50 cm de diámetro y una llanta trasera de 35 cm de radio, ¿con que ángulo gira la llanta delantera (en radianes) cuando la trasera gira 9 radianes? 1. Determina el cuadrante en el cual se encuentra el lado terminal del ángulo θ = c) III 6π : 5 a) I b) II d) IV e) El lado terminal está en uno de los ejes coordenados. 2. Determina el cuadrante en el cual se encuentra el lado terminal del ángulo θ = 215°: a) I b) II c) III d) IV e) El lado terminal está en uno de los ejes coordenados. 313 5.1 Ángulos 3. ¿Cuáles de los siguientes ángulos son coterminales al ángulo θ = − a) 5π 12 b) 17π 12 c) − 7π ?: 12 19π 12 d) Tanto a) como c) 4. ¿Cuáles de los siguientes ángulos son coterminales al ángulo θ = −73°?: a) 107° b) 287° d) 17° c) −253° 5. Determina cuál de los siguientes ángulos es un ángulo complementario a θ = a) 5π 7 b) 16π 7 c) − 10π 7 6. Determina cuál de los siguientes ángulos es un ángulo suplementario a θ = a) 29π 15 b) 13π 30 c) 16π 15 2π : 7 d) 3π 14 π : 15 d) 14π 15 7. ¿Cuáles de los siguientes ángulos son coterminales al ángulo θ = −73°?: a) 107° 8. Convierte a grados: a) 82° b) 287° c) −253° d) 17° c) 36° d) 75° c) 286.48° d) 450° 5π : 12 b)150° 9. Convierte a grados: 2.5 rad: a) 143.24° b) 0.04° 10. Convierte a radianes: 25°: a) 5π 36 b) 36 5π c) 4500 π d) 5π 18 11. Convierte a grados decimales: −13°42′15′′: a) −13.95° b) −12.05° c) −13.7042° d) −12.2958° 12. Convierte a grados, minutos y segundos: 178.463°: a) 178°77′50′′ b) 178°46′30′′ c) 178°7′12′′ d) 178°27′47′′ 13. Un ángulo central θ de una circunferencia de radio 16 cm subtiende un arco de 19.36 cm. Encuentra θ: a) 47.3519° b) 1.21° c) 69.3279° d) 0.8264° 314 Unidad 5: Trigonometría 14. Encuentra la longitud de arco s que se muestra en la figura: a) 3.49 pulg b) 37.22 pulg c) 27.93 pulg d) 17.41 pulg s r = 5 pulg r 40° 15. Una circunferencia de radio r tiene un ángulo central θ = 15°, el cual subtiende un arco de longitud 23 pulgadas. Encuentra r: a) 105.27 pulg b) 41.16 pulg c) 94.98 pul d) 87.85 pulg 16. Encuentra el área de un sector circular que, subtendido por un ángulo central de 15°, dé una circunferencia de diámetro de 20 pulgadas. a) 5π 36 b) 36 5π c) 4500 π d) 5π 18 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. 6 rad 2. 1.5 rad 3. 2.5 rad 5. 19π rad 36 6. 7π rad 6 7. 3π rad 10 9. 5π rad 2 10. 5π rad 6 11. − 3π rad 4 4. 6 rad 8. 2π rad 3 12. 2π rad 5 315 5.1 Ángulos 13. − π rad 3 14. 5π rad 9 15. 3π rad 10 16. 5π rad 4 17. 120° 18. 150° 19. −135° 20. −90° 21. 495° 22. 1260° 23. −450° 24. 11.25° 25. 20° 26. 1980° 27. 300° 28. −630° 29. 184.518° 30. 5.859° 31. 258.664° 32.354.141° 33. 171°53′14′′ 34. 143°14′22′′ 35. 103°7′56′′ 36. 286°28′44′′ 37. cuadrantal 38. II 39. IV 40. I 41. I 42. cuadrantal 43. III 44. IV 45. cuadrantal 46. II 47. II 48. II π 49, 50, 53 y 54 son coterminales a 6 56, 58 y 60 son coterminales a 135°. 61. r = 2.33 cm 62. 10.419 km 63. 25.20 cm2 64. 47.12 pies2 65. 47.53 m2 66. s = 7.2 m, A = 27 m2 67. s = 150 cm, A = 4500 cm2 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. c c b b a a b d a a c d c c c a 316 Unidad 5: Trigonometría 5.2 Funciones trigonométricas El libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático, cuyos caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales sería imposible entender una sola palabra, y se andaría siempre como en un laberinto oscuro. Galileo Galilei Introducción n Se empezará por presentar las funciones trigonométricas con dominio en los números reales, es decir, funciones cuyos dominios son medidas de cualquier ángulo en posición normal y luego se definirán las funciones trigonométricas con dominio angulares, como ha ocurrido históricamente, con el objeto de ir de lo general a lo particular. Para entender lo que se conoce como funciones trigonométricas y lo que significan bajo este enfoque, se necesita relacionar o poner en correspondencia el valor del ángulo en posición normal y ciertas razones que involucran las coordenadas de cualquier punto del lado terminal en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. El siguiente problema es un ejemplo de cómo se lograrían utilizar las funciones trigonométricas. Se espera que al final de la sección sea capaz de resolverlo en forma colaborativa. Después de la excursión, verifican la altura vertical aproximada de la cara de Abraham Lincoln Un grupo de estudiantes viajó de excursión al sur de Dakota y planearon una visita para ver el Monumento Rushmore. Un estudiante experto en fotografía investigó algo sobre la construcción de dicho monumento y descubrió que, al pie de la montaña, la altura vertical aproximada donde empieza la cara de Lincoln es de 500 pies; con este dato y con sus conocimientos de fotografía hizo cálculos para obtener los ángulos para colocar el tripié y la cámara fotográfica de modo que su ángulo de inspección (ángulo de elevación) de la cara de Lincoln fuera la más grande posible; los resultados que obtuvo fueron los que se presentan en la figura: ¿Cuál es la altura aproximada en metros de la cara de Abraham Lincoln? 317 5.2 Funciones trigonométricas y ? ? 59.98986° 56.5049° 407 pies Nota: El diagrama no está a escala Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Calcular las seis funciones trigonométricas de cualquier ángulo. • Dada una función trigonométrica de un ángulo, obtener el valor de las otras funciones trigonométricas de ese mismo ángulo. Definición de las funciones trigonométricas Considérese la figura 5.12, donde P(x, y) y P1(x1, y1) son dos puntos del lado final de un ángulo θ. La distancia del origen O(0, 0) al punto P se obtiene mediante la ecuación 2 2 d (O , P) = r = x 2 + y 2 , similarmente sea r1 = d (O , P1 ) = x1 + y1 . Por geometría plana se puede establecer que los triángulos ΔOPQ y ΔOP1Q1 son semejantes y que las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales, de donde se deducen las siguientes igualdades: y y1 x x1 y y1 = = = y r r1 r r1 x x1 318 Unidad 5: Trigonometría y x y , y sólo dependen del ángulo θ y r r x no de la elección o de la posición del punto del lado terminal del ángulo en posición normal. De lo anterior se establecen relaciones o correspondencias, que resultan ser funciones y que se conocen como funciones trigonométricas. Así, Las razones y P1(x1, x1) r1 P(x, y) y1 r y O(0, 0) x y y x θ → —, r θ→— r y θ→— x Q1 Q x1 Significa correspondencia o se relaciona con El triángulo rectángulo que se forma al bajar una perpendicular desde el punto P(x, y) al eje horizontal se le llama triángulo de referencia, asociado con el ángulo θ (véase la figura 5.13). Será común en la sección que sigue referirse a este triángulo. En la figura 5.14 se muestran triángulos de referencia: Figura 5.12 Lado terminal Triángulo de referencia Ángulo de referencia x Lado inicial: eje x positivo y P(x, y) x y r O Figura 5.13 y θ r P(x, y) x O y θ x y O y P(x, y) r θ y O θ x y r P(x, y) Figura 5.14 319 5.2 Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas Sea P(x, y) cualquier punto (que no sea el origen, es decir; (x, y) ≠ (0, 0)) sobre el lado terminal de un ángulo θ en posición normal y r = x 2 + y 2 la distancia del origen O al punto P. Se definen las funciones seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente de la siguiente manera: seno θ = sen θ = y r coseno θ = cos θ = tangente θ = tan θ = secante θ = sec θ = y , x≠0 x r , x≠0 x x r r , y≠0 y x cotangente θ = cot θ = , y ≠ 0 y cosecante θ = csc θ = Nota: r = x 2 + y 2 siempre es positivo y diferente de 0, quienes pueden tener signos positivo o negativo son los valores de x y y. Conociendo el valor y el cuadrante en que se encuentra una de las funciones trigonométricas del ángulo θ, se pueden encontrar los valores de las otras funciones. Por esta razón, es importante que el lector conozca los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes. En la figura 5.15 se encuentran los signos de los valores x, y y la tabla muestra los signos de las funciones trigonométricas obtenidos por la definición de ellas; considérese siempre que r > 0: Cuadrante II Cuadrante I x<0 y>0 x>0 y>0 x<0 y<0 x>0 y<0 Cuadrante III Cuadrante IV I II III IV sen θ + + − − cos θ + − − + tan θ + − + − csc θ + + − − sec θ + − − + cot θ + − + − Figura 5.15 Por último, es frecuente usar el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos. Sólo para recordar, el teorema establece que en un triángulo rectángulo c2 = a2 + b2 (véase figura 5.16), o bien: 320 Unidad 5: Trigonometría (hipotenusa)2 = (cateto adyacente)2 + (cateto opuesto)2 c hipotenusa b Cateto opuesto θ a Cateto adyacente Figura 5.16 Por ejemplo, para determinar los valores de funciones trigonométricas en un triángulo dado o en un triángulo de referencia, primero se usa el teorema de Pitágoras para determinar el lado que falta, o bien, la hipotenusa. Ejemplos Ejemplo 1 Determinar el valor exacto de las seis funciones trigonométricas del ángulo dado θ y el punto P que se muestra se encuentra en el lado final. a) b) y ) P(− 3, 1 y θ θ P(8, −15) 321 5.2 Funciones trigonométricas solución a) x = − 3 , y = 1, r = ( − 3 y 1 = r 2 sen θ = cos θ = x 3 =− r 2 tan θ = y 1 3 =− =− x 3 3 ) 2 + 12 = 3 + 1 = 2 b) El valor de r también se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras: 2 csc θ = r =2 y x = 8, y = −15, r = 82 + ( −15) = 289 = 17 sec θ = r 2 =− x 3 sen θ = y 15 =− r 17 csc θ = r 17 =− y 15 2 3 3 cos θ = x 8 = r 17 sec θ = r 17 = x 8 x =− 3 y tan θ = y 15 =− x 8 cot θ = x 8 =− y 15 =− cot θ = Ejemplo 2 El lado final de un ángulo en posición normal contiene al punto P dado. En cada caso, determinar el valor exacto de las seis funciones trigonométricas del ángulo. a) P(4, 10) b) P(−5, −12) solución a) b) x = 4, y = 10, x = −5, y = −12, r = 4 + 10 = 116 = 4(29) = 2 29 r= 2 2 sen θ = 10 5 29 = 29 2 29 csc θ = 2 29 = 10 cos θ = 4 2 29 = 29 2 29 sec θ = 2 29 29 = 4 2 cos θ = tan θ = 10 5 = 4 2 cot θ = 4 2 = 10 5 tan θ = 29 5 (−5)2 + (−12)2 = 169 = 13 −12 12 =− 13 13 csc θ = 13 13 =− −12 12 −5 5 =− 13 13 sec θ = 13 13 =− −5 5 −12 12 = −5 5 cot θ = −5 5 = −12 12 sen θ = Ejemplo 3 Suponer que el ángulo θ se encuentra en posición normal. Determinar el cuadrante donde se encuentra el ángulo para el que secθ < 0 y cotθ > 0 322 Unidad 5: Trigonometría solución r como r > 0, secθ < 0 cuando x < 0, entonces se puede encontrar en los cuadranx tes II o III. Si se tiene que cotθ > 0, x, y, deben ser positivas o negativas a la vez; en este caso, el ángulo puede estar en los cuadrantes I o III. Por lo tanto, el lado final del ángulo se encuentra en el cuadrante III. Se tiene que secθ = Ejemplo 4 Suponer que el ángulo se encuentra en posición normal. Determinar el cuadrante donde se encuentra el ángulo para el que senθ < 0 y cosθ < 0. solución senθ < 0; entonces, θ se encuentra en el cuadrante III o en el cuadrante IV. cos θ < 0; entonces, θ se encuentra en el cuadrante II o en el cuadrante III. senθ < 0 y ; cosθ < 0; entonces, θ se encuentra en el cuadrante III. Ejemplo 5 Encontrar el valor de las cinco funciones trigonométricas restantes del ángulo θ, dado que θ se encuen3 tra en el cuadrante III y senθ = − . 5 solución De la función senθ = − 3 −3 = , se tiene que: 5 5 x = −3, r = 5 (véase la figura). Por lo tanto, se puede encontrar el valor de x mediante el teorema de Pi2 2 tágoras o la ecuación r = x + y : x2 +(−3)2 = 52 y x = 25 − 9 2 θ x2 = 16 −3 x = ±4, es decir; x = 4 o x = −4 5 Como θ se encuentra en el III cuadrante, se tiene que x = −4; de esto, se obtiene que: sen θ = y 3 =− r 5 csc θ = r 5 =− y 3 P(−3, −4) −4 323 5.2 Funciones trigonométricas cos θ = x 4 =− r 5 sec θ = r 5 =− x 4 tan θ = y 3 = x 4 cot θ = x 4 = y 3 Ejemplo 6 Encontrar el valor de las cinco funciones trigonométricas restantes del ángulo θ, dado que senθ > 0 y secθ = −2. solución r 2 = −2 = , se tiene que x = −1, r = 2 y senθ > 0; se concluye que el ángulo θ x −1 se encuentra en el cuadrante II (véase la figura). Por lo tanto, se puede encontrar el valor de y median- De la función secθ = te el teorema de Pitágoras o la ecuación r = x 2 + y 2 ; (−1)2 + y 2 = 2 2 y2 = 4 − 1 y2 = 3 y = ± 3 , es decir; y = 3 o y = − 3 Pero como el ángulo θ se encuentra en el cuadrante II, se tiene que y = 3 . Se tiene que: y sen θ = y 3 = r 2 csc θ = r 2 = y 3 cos θ = x 1 =− r 2 sec θ = r 5 =− x 4 y 3 = =− 3 x −1 cot θ = tan θ = x 4 = y 3 3 P(−1,− 3) 2 θ −1 324 Unidad 5: Trigonometría Ejemplo 7 En cada caso, encontrar el ángulo de referencia θ′ y dibujar un diagrama. a) θ = −245°. b) −72° solución a) El ángulo de referencia se mide con respecto al eje horizontal. θ = −245° θ′ = 245° − 180° θ′ = 65° y b) θ = −72° θ′ = |−72°| = 72° y θ′ = 65° −72° θ′ = 72° −245° Ejemplo 8 En cada caso, encontrar el ángulo de referencia θ′ y dibujar un diagrama: a) θ = 3.5. b) 5.8. solución a) b) y y θ = 3.5 θ′ = 3.5 − π θ′ ≈ 0.3584 3.5 θ′ ≈ 0.3584 θ = 5.8 θ′ = 2π − 5.8 θ′ ≈ 0.4832 θ′ ≈ 0.4832 325 5.2 Funciones trigonométricas Ejercicios y problemas Evalúa cada una de las seis funciones trigonométricas (si esto es posible) del ángulo θ en posición normal, cuyo lado terminal pasa por los puntos cuyas coordenadas se indican. Da las respuestas en la forma más simplificada posible. ( 1. P(12, −5) 2. P(6, 8) 3. P −1 , 3 4. P(−2, −2) 5. P(−3, 4) 6. P(10, 0) 7. P(0, 8) 8. P(−4, −3) 9. P ( 11. P(5, 5) 10. P(7, −7) ) ) 3 ,1 12. P(0, −10) Los siguientes ejercicios se refieren a un ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en el cuadrante dado. En cada caso se proporciona una función trigonométrica; encuentra las cinco funciones trigonométricas restantes. Expresa las respuestas en la forma más simple posible: 3 ; cuadrante IV 2 13. sen θ = − 4 ; cuadrante III 5 14. cos θ = 15. tan θ = − 3 ; cuadrante IV 4 16. cos θ = − 17. sen θ = −0.6; cuadrante IV 19. sec θ = − 21. cot θ = 13 ; cuadrante II 5 5 ; cuadrante III 4 23. csc θ = − 4 ; cuadrante III 3 8 ; cuadrante II 10 18. tan θ = 1.2; cuadrante III 20. csc θ = − 2 ; cuadrante III 22. cot θ = −3; cuadrante II 24. sec θ = 13 ; cuadrante IV 12 Encuentra el valor de las otras cinco funciones trigonométricas de un ángulo θ, dada la información que se indica. Puede ser útil dibujar un triángulo de referencia: 25. sen θ = 3 y cos θ < 0 5 27. cot θ = − 4 y sen θ < 0 3 29. tan θ = − 2 y cos θ > 0 26. sec θ = − 5 y cot θ > 0 2 28. tan θ = − 4 y sen θ < 0 3 30. csc θ = − 9 y tan θ > 0 2 326 Unidad 5: Trigonometría Encuentra la medida faltante del triángulo de referencia que se muestra y evalúa las seis funciones trigonométricas del ángulo θ: 31. 32. y y θ −5 4 θ 6 −2 33. 34. y 3 y 5 θ ?5 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, resuelve los siguientes problemas. 1. Resuelvan el problema: Después de la excursión, verifican la altura vertical aproximada de la cara de Abraham Lincoln, presentado en la introducción de la sección. 2. En los siguientes ejercicios tendrán que investigar primero temas tales como: función lineal, y obtención de coordenadas a partir de la ecuación lineal; después discutirán la manera de resolver el problema, argumentando y fundamentando sus respuestas. El lado final de un ángulo θ en posición normal coincide con la recta y = 5x y se encuentra en el cuadrante III. Determinen las seis funciones trigonométricas de θ. 327 5.2 Funciones trigonométricas 3. Discutan los siguientes ejercicios; justifiquen las respuestas: a) Determinen el valor de csc(−80°), si csc 280° = −1.015. b) Determinen el valor de tan(−195°), si tan 165° = −0.267. c) Expliquen por qué no se permite que el punto P(x, y) esté en el origen, cuando se trata de definir funciones trigonométricas. d) Si P(x, y) es un punto sobre la recta del lado final de un ángulo en posición normal, con medida θ. • Identifica un punto sobre la recta del lado final de un ángulo cuyo valor es (180° + θ) y se encuentra en posición normal. • ¿Cómo es sen(180° + θ) en relación con sen θ? • ¿Cómo es cos(180° + θ) en relación con cos θ? • ¿Cómo es tan(180° + θ) en relación con tan θ? 4. ¿Cuáles funciones trigonométricas no están definidas cuando el lado terminal del ángulo coincide con el eje vertical, positivo o negativo? 5. ¿Cuáles funciones trigonométricas no están definidas cuando el lado terminal del ángulo coincide con el eje horizontal, positivo o negativo? 1. Encuentra el valor de csc θ para el ángulo θ que se muestra a la derecha. a) − 7 8 b) − 8 7 c) − 7 113 y θ d) − 113 7 P(8, −7) 2. Determina el cuadrante en el cual se encuentra el ángulo θ si: tan θ < 0, sen θ > 0. a) I b) II c) III d) IV 328 Unidad 5: Trigonometría 3. Dado que senθ = − a) − 2 6 5 1 y tan θ < 0, encuentra el valor de cos θ. 5 b) − 26 5 26 5 c) 4. Halla el valor de tanθ si el ángulo θ se encuentra en el cuadrante I y sec θ = 8 17 a) b) 17 8 9 17 c) d) 2 6 5 9 . 8 17 9 d) 7 π ≤ θ ≤ π. 5. Encuentra el valor de tan θ, dado que cos θ = − , 8 2 a) − 1 7 b) − 7 113 113 c) − 7 15 15 d) − 15 7 6. Halla el valor de sen θ si el punto P(−7. −9) se encuentra en el lado terminal del ángulo θ en posición estándar. a) − 130 7 b) − 130 9 7. Determina el ángulo de referencia de θ = a) 11π 30 b) 9 130 c) − d) − 7 130 19π . 15 7π 30 c) 4π 15 d) 49π 15 8. Determina el ángulo de referencia de θ = −155°. a) −25° b) 205° c) −335° d) 25° c) 10 − 3π d) 10 9. Determina el ángulo de referencia de θ = 10 rad. a) 2π − 10 b) 3π − 10 10. Encuentra el valor de sec θ, del ángulo θ en posición estándar con lado terminal sobre la recta 2y + 3x = 0 en el segundo cuadrante. a) 13 2 b) 2 13 c) 13 3 d) − 13 2 329 5.2 Funciones trigonométricas Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. P(12, −5) 2. P(6, 8) 5 sen θ = − 13 13 csc θ = −5 8 sen θ = 10 10 csc θ = 8 cos θ = 12 13 sec θ = 13 12 cos θ = 6 10 sec θ = 10 6 tan θ = −5 12 cot θ = 12 −5 tan θ = 8 6 cot θ = 6 8 sen θ = − cos θ = 2 8 −2 8 tan θ = 1 sen θ = 4 5 csc θ = 5 4 8 −2 cot θ = 1 cos θ = −3 5 sec θ = 5 −3 tan θ = 4 −3 cot θ = −3 4 sec θ = 7. P(0, 8) csc θ = 1 sec θ = no es posible tan θ = no es cot θ = 0 posible sen θ = −7 98 csc θ = 98 −7 7 98 sec θ = 98 7 tan θ = −1 cot θ = −1 cos θ = ( 2 3 sec θ = 2 −1 cot θ = −1 3 ) 3 ,1 sen θ = −3 5 csc θ = 5 −3 sen θ = cos θ = −4 5 sec θ = 5 −4 cos θ = tan θ = 3 4 cot θ = 4 3 1 2 3 2 1 tan θ = 3 csc θ = 2 sec θ = 2 3 cot θ = 3 12. P(0, −10) sen θ = 5 50 csc θ = 50 5 cos θ = 5 50 csc θ = 50 5 tan θ = csc θ = csc θ = no es posible sec θ = 1 cot θ = no es posible cos θ = 1 tan θ = 0 9. P 11. P(5, 5) 10. P(7, −7) 3 −1 sen θ = 0 8. P(−4. −3) sen θ = 1 cos θ = 0 3 2 −1 cos θ = 2 6. P(10, 0) 8 −2 csc θ = ) sen θ = tan θ = 5. P(−3. 4) 4. P(−2, −2) ( 3. P −1 , 3 4 −3 tan θ = −1 cot θ = −3 4 cot θ = −1 sen θ = −1 cos θ = 0 tan θ = no es posible csc θ = −1 sec θ = no es posible cot θ = no es posible 330 Unidad 5: Trigonometría 13. sen θ = − sen θ = − 4 ; cuadrante III 5 4 5 3 ; cuadrante IV 2 14. cos θ = csc θ = − 5 4 sen θ = − 1 2 csc θ = −2 2 3 cos θ = −3 5 sec θ = 5 −3 cos θ = 3 2 sec θ = tan θ = 4 3 cot θ = 3 4 tan θ = −1 3 cot θ = − 3 15. tan θ = − 3 ; cuadrante IV 4 16. cos θ = − 8 ; cuadrante II 10 sen θ = −3 5 csc θ = 5 −3 sen θ = 3 5 csc θ = 5 3 cos θ = 4 5 sec θ = 5 4 cos θ = −4 5 sec θ = 5 −4 tan θ = 3 −4 cot θ = −4 3 tan θ = − 3 4 cot θ = − 4 3 17. sen θ = −0.6; cuadrante IV 18. θ = 1.2; cuadrante III sen θ = −3 5 csc θ = 5 −3 sen θ = −12 244 csc θ = 244 −12 cos θ = 4 5 sec θ = 5 4 cos θ = −10 244 sec θ = 244 −10 tan θ = −3 4 cot θ = 4 −3 tanθ = 19. sec θ = − 13 ; cuadrante II 5 12 sen θ = 13 13 csc θ = 12 −5 cos θ = 13 13 sec θ = −5 12 tan θ = −5 −5 cot θ = 12 6 5 cot θ = 5 6 20. csc θ = − 2 ; cuadrante III sen θ = −1 2 csc θ = − 2 cos θ = −1 2 sec θ = − 2 tan θ = 1 cot θ = 1 331 5.2 Funciones trigonométricas 5 21. cot θ = ; cuadrante III 4 22. cot θ = −3; cuadrante II sen θ = −4 41 csc θ = 41 −4 sen θ = 1 10 csc θ = 10 1 cos θ = −5 41 sec θ = 41 −5 cos θ = −3 10 sec θ = 10 −3 tan θ = 4 5 cot θ = 5 4 tan θ = 4 23. csc θ = − ; cuadrante III 3 sen θ = −3 4 csc θ = cos θ = − 7 4 sec θ = tan θ = 3 7 25. sen θ = cot θ = 1 −3 cot θ = −3 13 ; cuadrante IV 12 24. sec θ = 4 −3 4 − 7 7 3 3 y cos θ < 0 5 sen θ = − 5 13 csc θ = 13 −5 cos θ = 12 13 sec θ = 13 12 tan θ = −5 12 cot θ = 12 −5 26. sec θ = − 5 y cot θ > 0 2 sen θ = 3 5 csc θ = 5 3 sen θ = −1 5 csc θ = − 5 cos θ = −4 5 sec θ = 5 −4 cos θ = −2 5 sec θ = − tan θ = 3 −4 cot θ = −4 3 tan θ = 1 2 cot θ = 2 27. cot θ = − 4 y sen θ < 0 3 28. tan θ = − 5 2 4 y sen θ < 0 3 sen θ = −3 5 csc θ = 5 −3 sen θ = −4 5 csc θ = 5 −4 cos θ = 4 5 sec θ = 5 4 cos θ = 3 5 sec θ = 5 3 tan θ = −4 3 cot θ = 3 −4 tan θ = − 3 4 cot θ = − 4 3 332 Unidad 5: Trigonometría 29. tan θ = − 2 y cos θ > 0 sen θ = − 2 3 cos θ = 1 3 9 y tan θ > 0 2 sen θ = −2 9 csc θ = 9 −2 sec θ = 3 cos θ = − 77 9 sec θ = 9 − 77 1 tan θ = 2 77 cot θ = 77 2 csc θ = tan θ = − 2 30. csc θ = − cot θ = 3 − 2 − 2 31. 32. sen θ = 4 20 csc θ = 20 4 sen θ = − 11 6 csc θ = 6 − 11 cos θ = −2 20 sec θ = 20 −2 cos θ = −5 6 sec θ = 6 −5 cot θ = tan θ = −2 −1 2 33. tan θ = 11 5 cot θ = 5 11 34. sen θ = 3 5 csc θ = 5 3 sen θ = −12 15 csc θ = 15 −12 cos θ = − 2 5 sec θ = 5 − 2 cos θ = 9 15 sec θ = 15 9 tan θ = 3 − 2 cot θ = − 2 3 tan θ = −12 9 cot θ = 9 −12 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. d 3. d 5. d 7. c 9. c 2. b 4. b 6. c 8. d 10. a 333 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales …aplicaciones muy simples en apariencia dan nacimiento a las ideas de las teorías más abstractas. Marquis de Condorcet Introducción n Ciertos ángulos surgen con frecuencia en la naturaleza y en la ingeniería debido a la simetría involucrada. Por ejemplo, en las estructuras de algunos puentes se observan ángulos de 30, 45, 60 y 90 grados. Para cualquier múltiplo entero de 30°, 45°, 60°, 90°, π π π π , , o (estos ángulos son llamados 6 3 4 2 ángulos especiales), si la función trigonométrica está definida se logra calcular su valor exacto sin usar una calculadora o una tabla. Con un poco de práctica se llegan a determinar mentalmente estos valores. Para otros ángulos se utiliza una calculadora. En muchos casos, es más conveniente trabajar con valores exactos que con valores aproximados. El siguiente problema muestra cómo puede aproximarse la distancia o altura de un objeto sin el uso de una calculadora o tabla de valores de funciones trigonométricas. Distancia aproximada a la que estuvo Juan del volcán Fujiyama En su último viaje a Japón, Juan puso en práctica sus conocimientos de trigonometría y calculó la distancia aproximada a la que estuvo del centro del Fujiyama. Resulta que Juan lleva a todas partes un goniómetro artesanal que elaboró con un transportador, un hilo a plomo y un tubo de más o menos 15 a 20 centímetros de largo, como lo ilustra el siguiente dibujo: Transportador Tubo Hilo a plomo Figura 5.17 Transportador Hilo a plomo Tubo 334 Unidad 5: Trigonometría El transportador y el tubo están unidos formando un todo solidario en relación con el movimiento, de modo que, al inclinar el tubo para mirar el extremo superior de un edificio, en este caso de la cumbre del volcán Fujiyama, el hilo a plomo marca en la gradación del transportador el ángulo de elevación. Juan no traía calculadora, pero afortunadamente el ángulo de elevación de su altura de observación a la cumbre marcó 30° (resultó un ángulo especial) y la altura aproximada del Fujiyama, según la conversión de unidades que hizo Juan, la consideró de 3776 metros (véase la figura 5.18). ¿Cuál fue la estimación de la distancia a la que se encontraba Juan del centro de la base del Fujiyama? Recuérdese que dicha estimación la hizo sin el uso de una calculadora, ¿cómo estimó Juan la distancia? 30° 3 776 m 1.80 m Distancia a la que está Juan Figura 5.18 Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Utilizar los conceptos de razón trigonométrica y relaciones trigonométricas de triángulos rectángulos para calcular funciones trigonométricas de ángulos especiales. • Definir y aplicar la relación existente entre la función trigonométrica con argumento negativo con la misma función trigonométrica, pero de argumento positivo. Manejo de ángulos especiales: 0°, ±90°, ±180° Para múltiplos de 90° (equivalente a múltiplos de π rad), el triángulo de referencia se de2 genera en un segmento de recta vertical u horizontal. Recuérdese que estos ángulos son llamados cuadrantales o cuadrangulares, ya que tienen su lado terminal sobre un eje coordenado. Es fácil encontrar las coordenadas de un punto que pertenece a un eje coorde- 335 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales nado. Dado que cualquier punto que no sea el origen sirve para calcular la función trigonométrica, conviene elegir puntos que estén a una unidad del origen (véase la figura 5.19). y (0, 1) (−1, 0) (0, 1) En cada caso: r = 1 (0, −1) Figura 5.19 Comprueba los valores de la siguiente tabla. Observa que, para ciertos valores de θ, algunas funciones tienen valores no definidos. ¿Por qué? En cada caso, hay que representar mentalmente la ubicación del lado terminal del ángulo en relación con la figura 5.19. Con un poco de práctica, es posible hacer mentalmente el cálculo: 0 π 2 π 3π 2 2π 0° 90° 180° 270° 360° senθ = y r 0 1 0 −1 0 cosθ = x r 1 0 −1 0 1 tanθ = y x 0 No definido 0 No definido 0 cscθ = r y No definido 1 No definido −1 No definido secθ = r x 1 No definido −1 No definido 1 cotθ = x y No definido 0 No definido 0 No definido 336 Unidad 5: Trigonometría Las funciones trigonométricas de otros ángulos agudos (ángulos mayores que 0, pero menores que 90°) pueden determinarse mediante el empleo de relaciones geométricas. Para explicar esto, primero definamos las razones trigonométricas de triángulos rectángulos: Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos Para un ángulo θ en un triángulo rectángulo (figura 5.20), las funciones trigonométricas, llamadas también razones trigonométricas, se definen como sigue: ten po Hi θ Cateto opuesto usa Razones trigonométricas Cateto adyacente sen θ = Cateto opuesto Hipotenusa csc θ = Hipotenusa Cateto opuesto cos θ = Cateto adyacente Hipotenusa sec θ = Hipotenusa Cateto adyacente tan θ = Cateto opuesto Cateto adyacente cot θ = Cateto adyacente Cateto opuesto Figura 5.20 1 1 1 sec θ = para todo ángulo (o núcot θ = cos θ tan θ sen θ mero real), donde la función trigonométrica está definida. Éstas son llamadas identidades recíprocas. Obsérvese que: csc θ = Si el triángulo de referencia de un ángulo dado es rectángulo con ángulos de 30° y 60°, o bien, de 45°, es posible encontrar con exactitud un punto distinto del origen cuyas coordenadas estén en el lado terminal del ángulo dado. Ya que el triángulo de referencia tiene una función muy importante en esta forma de calcular los valores de las funciones trigonométricas, se mencionan nuevamente el triángulo de referencia y el ángulo de referencia en esta sección. Para formar un triángulo de referencia del ángulo θ, se baja una perpendicular desde el punto P(x, y) del lado terminal de θ al eje horizontal. El ángulo de referencia θ′ es el ángulo agudo comprendido entre el lado terminal de θ y el eje horizontal; además, siempre se considera positivo. 337 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales y θ θ′ y (x, y) ≠ (0, 0) P(x, y) Figura 5.21 Un triángulo rectángulo con ángulos de 30° y 60° forma la mitad de un triángulo equilátero, como se indica en la figura 5.22. Puesto que todos los lados de este triángulo son iguales, se puede aplicar el teorema de Pitágoras para obtener una relación útil entre los tres lados del triángulo original. En la figura 5.23 se muestran triángulos con diferentes valores de a, en tanto que el triángulo que se muestra en la parte izquierda es el más sencillo de recordar y el que se usa más comúnmente. 30° 30° c c Triángulo equilátero usado comúnmente b 60° 60° a a c b = c2 − a2 30° 30° 2 2 3 60° 60° 1 = (2 a) 2 − a 2 = 3a 2 = a 3 a>0 c = 2a 1 2 Figura 5.22 338 Unidad 5: Trigonometría a= 1 – 2 a=1 30° 30° π – 6 2a π – 6 1 a 3 El triángulo usado comúnmente y el más fácil de recordar proviene del triángulo equilátero cuyos lados miden 2 30° a 3 – 2 2 3 60° 60° π π – 3 – 3 60° 1 1 – 2 a Figura 5.23 En la figura 5.24 se muestra el triángulo rectángulo de 45°; utilizando el teorema de Pitágoras se obtienen las medidas de los lados. En la figura 5.25 se muestran triángulos con diferentes valores de a, mientras que el triángulo que se muestra en la parte izquierda es el más sencillo de recordar y el que se usa más comúnmente. Cuadrado usado comúnmente 1 c= a +a 2 2 = 2a2 45° π – 4 c =a 2 a a>0 45° π 45° 2 1 π – 4 1 45° π – 4 – 4 a 1 Figura 5.24 1 a=– 2 45° a 2 π – 4 45° π a 45° π – 4 c – 4 a 2 π – 4 – 4 1 2 2 1 = – – 2 45° 2 45° π 45° π – 4 2 2 1 = – – Figura 5.25 1 El triángulo usado comúnmente y el más sencillo de recordar proviene del triángulo equilátero cuyos lados miden 2 339 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales En las figuras 5.22 y 5.25 los triángulos de la izquierda son los que se deben recordar. Los otros triángulos se pueden obtener a partir de éstos, multiplicando o dividiendo la longitud de cada lado entre una misma cantidad no nula. Si un ángulo tiene un triángulo de referencia de 30° y 60° o de 45°, es posible usar las figuras 5.22 y 5.25 para determinar las coordenadas exactas de un punto en el lado terminal diferente del origen (0, 0). Mediante las razones trigonométricas señaladas en el punto 2 de esta sección y los signos de las funciones trigonométricas, se pueden encontrar los valores exactos de cualquiera de las seis funciones trigonométricas del ángulo indicado, como se muestra en los ejemplos de esta y la siguiente secciones. Manejo de ángulos especiales: ±30°, ±60°, ±45° De los triángulos especiales vistos en el punto anterior: 30° 2 3 60° 1 se pueden obtener valores importantes de las funciones trigonométricas, usando como referencia estos triángulos. sen60° = 3 Cateto opuesto = 2 Hipotenusa 3 2 Cateto opuesto = ( π6 ) = Cateto adyacente 1 3 = 3 3 cos Cateto opuesto = ( π3 ) = Cateto adyacente 3 = 3 1 tan 2 2 3 = 3 3 csc Hipotenusa = ( π3 ) = Cateto opuesto csc Cateto opuesto 1 = 2 Hipotenusa adyacente = ( π6 ) = Cateto Hipotenusa adyacente 1 = ( π3 ) = Cateto Hipotenusa 2 cos tan sen30° = Hipotenusa 2 = =2 ( π6 ) = Cateto opuesto 1 sec60° = Hipotenusa 2 = =2 Cateto adyacente 1 sec cot60° = Cateto adyacente 1 3 = = Cateto opuesto 3 3 cot30° = sen45° = Cateto opuesto 1 2 = = Hipotenusa 2 2 csc Hipotenusa = ( π6 ) = Cateto adyacente 2 2 3 = 3 3 Cateto adyacente 3 = = 3 Cateto opuesto 1 Hipotenusa = ( π4 ) = Cateto opuesto 2 = 2 1 340 Unidad 5: Trigonometría adyacente = ( π4 ) = Cateto Hipotenusa cos tan45° = 1 2 = 2 2 sec45° = Cateto opuesto 1 = =1 Cateto adyacente 1 cot Hipotenusa 2 = = 2 Cateto adyacente 1 adyacente 1 = =1 ( π4 ) = Cateto Cateto opuesto 1 Para valores exactos de funciones trigonométricas de ángulos (o números reales) más generales, cuyos ángulos de referencia son los ángulos especiales de 30°, 60° o 45°, se procede de la siguiente manera: se localiza el ángulo, se determina el cuadrante del lado final para conocer el signo de la función trigonométrica y se utilizan los triángulos especiales para sacar el valor. Por ejemplo, calcular el valor exacto de: ⎛ 7π ⎞ a) cos ⎝ 4⎠ 5π b) sen⎛ ⎞ ⎝ 3⎠ c) tan 210° d) sec(−240°)s 5π e) csc⎛ − ⎞ ⎝ 6⎠ f) cot 135° Cada ángulo (o número real) tiene un triángulo de referencia de 30° y 60° o uno de 45°, como se ve en las gráficas. 7π π 1 2 a) cos⎛ ⎞ = cos⎛ ⎞ = = ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2 2 π ; el co4 seno es positivo en el cuadrante I y en el cuadrante IV; por esta razón, 7π π cos⎛ ⎞ = cos⎛ ⎞ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ El ángulo de referencia es 5π π 3 b) sen⎛ ⎞ = −sen⎛ ⎞ = − ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 2 5π = 300° tiene como ángulo 3 π de referencia al ángulo = 60° ; el se3 no es negativo en el cuadrante IV; por 5π π esta razón, sen⎛ ⎞ = −sen⎛ ⎞ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ El ángulo y y 5π – 3 7π – 4 π – 3 π – 4 341 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales 1 3 = 3 3 c) tan 210° = tan 30° = El ángulo de referencia de 210° es 30°; la tangente es positiva en el cuadrante III; por esta razón, tan 210° = tan 30° d) sec( −240°) = −sec60° = − 2 = −2 1 El ángulo −240° tiene como ángulo de referencia al ángulo 60°; la secante es negativa en el cuadrante II; por esta razón, sec(−240°) = −sec60° y y 210° 60° 30° −240° 5π π 2 e) csc⎛ − ⎞ ° = − csc⎛ ⎞ = − = −2 ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ 1 5π El ángulo de referencia de − = −150° 6 π es = 30° ; la cosecante es negativa en 6 el cuadrante III; por esta razón, 5π π csc⎛ − ⎞ ° = − csc⎛ ⎞ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ El ángulo 315° tiene como ángulo de referencia al ángulo 45°; la cotangente es negativa en el cuadrante II; por esta razón, cot315° = −cot45° y 45° y π – 6 f) cot315° = − cot45° = − 1 = −1 1 135° − 5π – 6 Identidades de paridad Una identidad es una igualdad de expresiones que se cumple para cualquier valor de cada variable en una expresión trigonométrica; a esta variable se le llama argumento de la función trigonométrica. Así, el dominio de cada variable en una expresión trigonométri- 342 Unidad 5: Trigonometría ca es el conjunto de los números reales o de los ángulos para la cual la expresión tiene un significado llamado argumento de la función trigonométrica. En esta sección se estudia la relación que existe entre la función trigonométrica con argumento negativo con la misma función trigonométrica, pero de argumento positivo. Para esto, sea P(x, y) un punto en el lado terminal de un ángulo central θ en una circunferencia de radio 1, luego identifíquese un punto sobre la recta del lado final del ángulo central −θ; después de la aplicación de las definiciones de las funciones trigonométricas se pueden responder las siguientes preguntas: 1. ¿Cómo es sen(−θ) en relación con sen(θ)? 2. ¿Cómo es cos(−θ) en relación con cos(θ)? 3. ¿Cómo es tan(−θ) en relación con tan(θ)? 4. ¿Cómo es csc(−θ) en relación con csc(θ)? 5. ¿Cómo es sec(−θ) en relación con sec(θ)? 6. ¿Cómo es cot(−θ) en relación con cot(θ)? (0, 1) y r =1 θ (−1, 0) (x, y) (1, 0) θ (x, − y) (0, −1) Figura 5.26 Puesto que los puntos circulares (x, y) y (x, −y) son simétricos con respecto al eje horizontal (figura 5.26), se tienen las siguientes relaciones o propiedades de los signos llamadas identidades de paridad: sen(−θ) = −y = −sen θ El seno es una función impar cos(−θ) = x = cos θ El coseno es una función par tan( −θ) = −y y = − = − tan θ x x La tangente es una función impar csc( −θ) = 1 1 = − = − csc θ −y y La cosecante es una función impar sec( −θ) = 1 1 = = sec θ x x La secante es una función par cot( −θ) = x x = − = − cot θ −y y La cotangente es una función impar 343 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales Ejemplos Ejemplo 1 Evalúa las seis funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos dados sin usar calculadora: a) 225° b) +225° solución a) El ángulo de referencia del ángulo 225° es 45°, en tanto que 225° se encuentra en el cuadrante III. sen 225° = −sen 45° = − 2 2 csc 225° = 1 =− 2 sen225° cos 225° = − cos 45° = − 2 2 sec 225° = 1 =− 2 cos 225° cot 225° = 1 =1 tan 225° tan 225° = tan 45° = 1 b) El ángulo de referencia del ángulo −225° es 45°; −225° se encuentra en el cuadrante II. Sin embargo, es posible usar las identidades de paridad. sen ( −225°) = −sen 225° = 2 2 csc ( −225°) = 1 = 2 sen( −225°) cos ( −225°) = cos 225° = − 2 2 sec ( −225°) = 1 =− 2 cos( −225°) cot( −225°) = 1 = −1 tan( −225°) tan ( −225°) = − tan 225° = −1 Ejemplo 2 Evalúa las seis funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos dados sin usar calculadora. a) 4π 3 b) 2π 3 solución a) El ángulo de referencia 4π es π , en tanto que 4π se encuentra en el cuadrante III. 3 3 3 sen 4π π 3 = −sen = − 3 3 2 csc 4π 1 2 3 = =− 4π 3 3 sen 3 344 Unidad 5: Trigonometría cos 4π π 1 = − cos = − 3 3 2 tan 4π π = tan = 3 3 3 4π 1 = = −2 4π 3 cos 3 4π 1 3 = = cot 4π 3 3 tan 3 sec b) El ángulo de referencia de 2 π es π , en tanto que 2 π se encuentra en el cuadrante II. 3 3 3 sen 2π π 3 = sen = 3 3 2 cos 2π π 1 = − cos = − 3 3 2 tan 2π π = − tan = − 3 3 3 2π 1 2 3 = = 2π 3 3 sen 3 1 2π sec = = −2 2π 3 cos 3 csc cot 2π 1 3 = =− 2π 3 3 tan 3 Ejemplo 3 Usar el hecho de que sen t = 1 y evaluar las funciones: 3 a) sen(−t) b) csc(−t) solución Usando las identidades de paridad 1 y el hecho de que sen t = . 3 a) sen ( −t ) = −sen t = − Usando las identidades de paridad 1 y el hecho de que csc t = sen t 1 3 b) csc ( −t ) = − csc t = − Ejemplo 4 Resuelve para x 25 60° x 1 1 = − = −3 1 sen t 3 345 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales solución tan 60° = 3= x= 25 x 25 x 25 25 3 = ≈ 14.43 3 3 Ejercicios y problemas Calcula el valor exacto (si existe) de las siguientes funciones trigonométricas sin usar calculadora. 1. cot 45° 2. sen 0° 4. cot(−60°) 5. cos 7. tan 90° 8. sec(−30°) 3π c 2 3. sec 0° 6. sen 3π 4 9. cos 510° 10. sec 45° 11. sen 150° 12. csc 60° 13. tan 90° 14. sec(−270°) π 15. cot ⎛ − ⎞ ⎝ 4⎠ 4π 16. tan⎛ − ⎞ ⎝ 3⎠ 11π ⎞ 17. sec⎛ ⎝ 6 ⎠ π 18. cos⎛ − ⎞ ⎝ 6⎠ 19. cos 0° 20. cot 330° 21. csc 150° 22. sec 300° ⎛ 2π ⎞ 23. cos ⎝ 3⎠ ⎛ 3π ⎞ 24. cot ⎝ 2⎠ 25. cot 225° 26. cos 120° 27. cot 90° 28. tan 60° 29. tan 690° 30. csc(−540°) 31. cot 0° 32. cos 30° 33. sen 45| ⎛ 8π ⎞ 34. cos ⎝ 3⎠ 19π ⎞ 35. cot ⎛ − ⎝ 6 ⎠ 36. csc(−π) 346 Unidad 5: Trigonometría 37. Resuelve para y: 12 y 30° Usa las identidades convenientes para hallar el valor de la función trigonométrica que se pide: 38. Encuentra sen(−x) si se sabe que sen x = − 1 2 39. Encuentra tan(−x) si se sabe que tan x = − 3 40. Encuentra cos(−x) si se sabe que cos x = 1 2 41. Encuentra sec(−x) si se sabe que secx = 1 42. Encuentra csc(−x) si se sabe que csc x = −1 43. Encuentra cot(−x) si se sabe que cot x = 5 Con una identidad para ángulos negativos, calcula el valor exacto. 3π 44. cos⎛ − ⎞ ⎝ 4⎠ 7π 45. csc⎛ − ⎞ ⎝ 6⎠ 3π 46. sen⎛ − ⎞ ⎝ 2⎠ 47. tan(−π) 48. tan(−45°) 49. csc(−45°) π 50. sec⎛ − ⎞ ⎝ 3⎠ ⎛ π⎞ 51. cos − ⎝ 3⎠ ⎛ 5π ⎞ 52. sec − ⎝ 6⎠ 53. cot(−225°) 54. (sen(−30°)) 55. cot(−135°) Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, resuelve los siguientes problemas, utilizando una estrategia de resolución de problemas: 1. Resuelve el problema: Distancia aproximada a la que estuvo Juan del volcán Fujiyama, que aparece en la introducción de esta sección. ¿A qué distancia estuvo Juan del Fujiyama? 347 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales 2. Construye un goniómetro artesanal y úsalo para determinar la altura de un edificio. El go- niómetro es un instrumento muy antiguo utilizado para medir ángulos. Sus aplicaciones llevan implícitos los conceptos matemáticos desarrollados por los antiguos griegos. Para construirlo, debes consultar sitios en Internet o en la biblioteca, así como seleccionar el material necesario y distribuir las tareas entre los integrantes de tu equipo de trabajo. Una vez que lo construyan, deberán utilizarlo para medir la altura de un edificio o un monumento importante de tu ciudad. 3. Discute el siguiente problema con los integrantes de tu equipo. Escribe tus argumentos a fa- vor de cada una de tus respuestas. Problema Usa la figura para encontrar la distancia de los lados opuestos de la tuerca hexagonal como función (en términos) de r. r 60° y x 1. Encuentra el valor exacto de cot(−150°): a) 3 b) − 1 2 c) − 1 3 d) 1 8π 2. Encuentra el valor exacto de sen⎛ − ⎞ : ⎝ 3⎠ a) − 3 2 b) − 1 2 c) 1 2 d) 3 2 348 Unidad 5: Trigonometría ⎛ 7π ⎞ 3. Encuentra el valor exacto de sec : ⎝ 4⎠ b) 1 3 a) 1 c) 3 2 d) 2 d) 3 d) 2 2 4. Encuentra el valor exacto de csc(225°): a) − 3 2 b) 3 2 c) − 2 d) 2 5π 5. Encuentra el valor exacto de tan⎛ ⎞ : ⎝ 6⎠ a) 3 2 b) − 3 3 c) −1 7π 6. Encuentra el valor exacto de sen⎛ ⎞ : ⎝ 6⎠ 3 3 b) 3 2 7. Encuentra el valor exacto de tan(−210°): a) − c) − 1 2 1 2 8. Encuentra x del triángulo rectángulo mostrado a la derecha: 7 a) 7 b) −14 c) 7 3 d) 2 3 a) 1 b) − 3 d) − c) 3 3 7 30° x 9. Simplifica la expresión: a) −tan x cos( − x ) : sen( − x ) b) cot x c) tanx d) −cot x 10. Determina si la siguiente proposición es verdadera o falsa, dando una justificación a tu respuesta: sen 60° 60° ⎞ = sen⎛ = sen 2° ⎝ 30° ⎠ sen 30° a) Verdadero b) Falso 349 5.3 Funciones trigonométricas de ángulos especiales Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. cot 45° = 1 2. sen 0° = 0 4. cot( −60°) = − π 3 7. tan 90° = indefinido 5. cos 3. sec 0° = 1 3π =0 2 8. sec( −30°) 6. sen 2 3 3 3π 2 = 4 2 9. cos 510° = − 3 2 11. sen 150° = 1/2 12. csc 60° = 1/2 13. tan 90° = indefinido 14. sec(−270°) = indefinido π 15. cot ⎛ − ⎞ = −1 ⎝ 4⎠ ⎛ 4π ⎞ = − 3 16. tan − ⎝ 3⎠ ⎛ 11π ⎞ = 2 3 17. sec ⎝ 6 ⎠ 3 π 3 18. cos⎛ − ⎞ = ⎝ 6⎠ 2 19. cos 0° = 1 20. cot 330° = − 3 21. csc 150° = 2 22. sec 300° = 2 ⎛ 2π ⎞ = − 1 23. cos ⎝ 3⎠ 2 3π 24. cot ⎛ ⎞ = 0 ⎝ 2⎠ 25. cot 225° = 1 26. cos 120° = − 1 2 27. cot 90° = 0 28. tan 60° = 3 29. tan 690° = − 3 3 30. csc(−540°) = indefinido 31. cot 0° = indefinido 32. cos 30° = 8π 1 34. cos⎛ ⎞ = − ⎝ 3⎠ 2 19π ⎞ 35. cot ⎛ − =− 3 ⎝ 6 ⎠ 36. csc(−π) = indefinido 37. y = 6 38. 1 2 39. 1 2 41. 1 42. 1 10. sec 45° = 40. 2 3 2 33. sen 45° = 3 2 2 350 Unidad 5: Trigonometría 2 2 43. −5 44. − 46. 1 47. 0 48. −1 49. − 2 50. 2 51. 52. − 2 3 3 53. −1 54. − 45. 2 1 2 1 2 55. 1 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. a 2. a 3. d 4. c 5. b 6. c 7. d 8. c 9. d 10. b 351 5.4 Identidades fundamentales 5.4 Identidades fundamentales Así como en la naturaleza no hay un punto medio entre la verdad y la falsedad, también en las pruebas rigurosas debe uno establecer su objetivo sin ninguna duda, o si no hacer peticiones de principio de manera excusable. No hay oportunidad de mantenerse de pie invocando limitaciones, distinciones, distorsiones verbales o cualquiera otra acrobacia mental. Uno debe, con pocas palabras y al primer salto, convertirse en César o nada. Galileo Galilei Introducción En matemáticas, uno se encuentra con expresiones, ecuaciones y fórmulas complicadas de las seis funciones trigonométricas. Es importante lograr escribir una expresión trigonométrica complicada en una forma más sencilla o más conveniente. Para hacerlo, se requieren dos cosas: dominar bien el álgebra y conocer las identidades trigonométricas fundamentales. En matemáticas hay dos tipos de ecuaciones en las que intervienen funciones trigonométricas. Unas se llaman identidades y las otras ecuaciones condicionales. En general, a la ecuación f(x) = g(x) (léase “f de x es igual a g de x”) se le llama identidad si se cumple la igualdad para cualquier número real x donde estén definidas tanto f como g. Si la ecuación f(x) = g(x) se cumple para algunos valores de x y para otros no, cuando se sustituye x, se le conoce como ecuación condicional. Por ejemplo, en trigonometría: 1. 1 + tan2 x = sec2 x es una identidad, ya que la ecuación se cumple para cualquier valor de la variable x, donde x toma valores en el dominio de definición de las funciones tangente y secante. 2. 2 cos x − 1 = 0 es una ecuación (condicional) trigonométrica, ya que la igualdad sólo se cumple para algunos valores de x. En tal caso, la igualdad se cumple sólo si π 5π y si x = para el caso particular de que 3 3 π 0 ≤ x ≤ 2π. Pero, por ejemplo, para x = , 4 π 2 π ⎛ ⎞ −1 ≠ 0 cos = = ; sin embargo, 2 cos . ⎝ 4⎠ 4 2 x= 352 Unidad 5: Trigonometría De esta manera, se observa que la ecuación 2 cos x − 1 = 0 sólo se cumple para algunos valores de x del dominio de la función coseno; por dicha razón, se le llama ecuación condicional. 3. 1 + csc x ; cos x + cot x la expresión no es considerada como ecuación, porque no tiene el signo de igualdad, aunque sí es catalogada o nombrada como simple expresión trigonométrica. Las identidades trigonométricas forman una parte importante de cualquier desarrollo de la trigonometría. La importancia de las identidades radica en que facilitan, con mucha frecuencia, el trabajo de evaluación de funciones de una función dada o de una expresión que contiene varias funciones. Un ejemplo es el de la propiedad recíproca: sec θ = 1 , vista en la sección anterior, la cosθ cual permite la evaluación de la función secante, para un ángulo cuyo valor del seno es conocido. El uso y la aplicación más comunes de las identidades trigonométricas son en la misma matemática, como se plantea en el siguiente problema: Uso de la trigonometría para eliminar un parámetro En el tema de curvas planas y ecuaciones paramétricas se pide trazar la curva representada por: ⎧ x = 3 cos t ⎨ y = 4sen t ⎩ 0 ≤ t ≤ 2π A las ecuaciones x = 3 cos t y y = 4sen t se les denomina ecuaciones paramétricas, en tanto que a t se le llama parámetro. El conjunto de puntos (x, y) obtenido cuando t varía en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π se le conoce como la gráfica de las ecuaciones paramétricas. El par formado por las ecuaciones paramétricas y su gráfica recibe el nombre de curva plana, mismo que se denota por C. Para trazar la gráfica, primero se despejan cos t y sen t: cos t = x y 3 sen t = y 4 Despejar cost y sent. A continuación, se utiliza la identidad fundamental: cos2t + sen2 t = 1, para llegar a una ecuación que sólo involucre a “x” y a “y”. cos2t + sen2 t = 1 2 Identidad trigonométrica 2 ⎛ x⎞ + ⎛ y⎞ = 1 ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ Sustituir x 2 y2 + =1 9 16 Ecuación rectangular 353 5.4 Identidades fundamentales Esta ecuación rectangular permite ver que la gráfica es una elipse centrada en (0, 0), con vértices en (0, 4) y (0, −4), así como eje menor de longitud 2b = 6 (figura 5.27); ambas deducciones aún no han sido vistas, pero el lector las puede consultar en la sección 6.4 de la siguiente unidad. Hasta este momento sólo es posible entender que la trigonometría llega a usarse en temas de la misma matemática. La gráfica de esta elipse se traza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj cuando t varía de 0 a 2π. ¿Por qué? y π t=– 2 t=π t=0 x t = 3π – 2 Figura 5.27 Al finalizar esta sección, resolverás en forma colaborativa ejercicios similares. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Usar las identidades fundamentales para encontrar valores de una función trigonométrica. • Convertir expresiones trigonométricas a formas equivalentes usando las identidades fundamentales. • Conocer la diferencia entre una expresión, una ecuación condicional y una identidad. • Resolver identidades trigonométricas, usando las siguientes técnicas: - Con un lado a la vez. No “cruzar” del signo igual. - Algebraicas como combinación de fracciones, factorización de expresiones, racionalizando denominadores y completando el binomio al cuadrado. - De identidades fundamentales. - De conversión de todos los términos a senos y cosenos. 354 Unidad 5: Trigonometría Identidades fundamentales o básicas En la sección anterior se presentaron seis identidades fundamentales; a saber, las recíprocas y las de los ángulos negativos. En esta sección se presentan 11 identidades fundamentales o básicas y tres más que, aunque no son básicas, son muy útiles en cálculo. Tales identidades se usan con mucha frecuencia, por lo que deben recordarse y memorizarse de forma razonada. Identidades fundamentales 1. Identidades recíprocas: csc θ = 1 sen θ 1 cos θ sec θ = cot θ = 1 tan θ 2. Identidades de cociente o identidades de tangente y cotangente: tan θ = sen θ cos θ cot θ = cos θ sen θ 3. Identidades pitagóricas: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 4. Identidades para negativos o para los inversos aditivos, también llamadas identidades de paridad: sen( −θ) = −sen θ cos( −θ) = cos θ tan( −θ) = − tan θ 5. Identidades no básicas, pero útiles en cálculo que se sugiere sean aprendidas: sen 2 θ = 2sen θ cos θ cos 2 θ = 1 + cos2θ 2 sen 2 θ = 1 − cos2θ 2 1. Demostración Las identidades recíprocas se obtienen directamente de las definiciones de las funciones trigonométricas. A continuación se ofrecen dos formas de demostrarlas: Funciones trigonométricas definidas para cualquier ángulo. Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos o ángulos agudos 1 1 r = = = csc θ , para sen θ ≠ 0 sen θ y y r 1 1 hipotenusa = = = csc θ cateto opuesto sen θ cateto opuesto hipotenusa 1 1 r = = = sec θ , para cos θ ≠ 0 cos θ x x r 1 1 hipotenusa = = = sec θ cos θ cateto adyacente cateto adyacente hipotenusa 355 5.4 Identidades fundamentales 1 1 x = = = cot θ , para tan θ ≠ 0 tan θ y y x 1 1 cateto adyacente = = = cot θ cateto opuesto tan θ cateto opuesto cateto adyacente 2. Demostración Para demostrar la identidad de la tangente, se aplican las definiciones de las funciones trigonométricas, en tanto que para comprobar la identidad de la cotangente se emplean una relación recíproca y la identidad de la tangente. Funciones trigonométricas definidas para cualquier ángulo. Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos o ángulos agudos. y sen θ r y = = = tan θ , para cos θ ≠ 0 cos θ x x r cateto opuesto sen θ cateto opuesto hipotenusa = = = tan θ cos θ cateto adyacente cateto adyacente hipotenusa cot θ = cos θ 1 1 = = tan θ sen θ sen θ cos θ para tan θ ≠ 0 3. Demostración Las identidades pitagóricas se llaman así por el primer paso en su demostración. De acuerdo con la figura: b2 + a2 = c2 2 teorema de Pitágoras. 2 ⎛ b⎞ + ⎛ a⎞ = 1 ⎝ c⎠ ⎝ c⎠ se divide todo entre c2 sen θ + cos θ = 1 definiciones de sen θ y cos θ 2 2 Funciones trigonométricas definidas para cualquier ángulo. 2 2 y x x 2 + y2 r 2 sen 2 θ + cos 2 θ = ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ = = 2 =1 ⎝ r⎠ ⎝ r⎠ r2 r Cateto opuesto = b Hipotenusa = c θ Cateto adyacente = a 356 Unidad 5: Trigonometría 4. Demostración Para demostrar la identidad pitagórica 1 + tan2θ = sec2θ, se aplica la identidad demostrada como sigue: sen 2 θ + cos 2 θ 1 = cos 2 θ cos 2 θ se divide entre cos2θ sen 2 θ cos 2 θ 1 + = cos 2 θ cos 2 θ cos 2 θ ecuación equivalente 2 2 ⎛ sen θ ⎞ + ⎛ cos θ ⎞ = ⎛ 1 ⎞ ⎝ cos θ ⎠ ⎝ cos θ ⎠ ⎝ cos θ ⎠ 2 propiedad de los exponentes tan2θ + 1 = sec2θ identidades de tangente y recíproca Para demostrar 1 + cot2θ = csc2θ, se divide sen2θ + cos2θ = 1 entre ambos miembros como sigue: sen 2 θ + cos 2 θ 1 = 2 sen θ sen 2 θ se divide entre sen2θ sen 2 θ cos 2 θ 1 + = sen 2 θ sen 2 θ sen 2 θ ecuación equivalente 2 2 ⎛ sen θ ⎞ + ⎛ cos θ ⎞ = ⎛ 1 ⎞ ⎝ sen θ ⎠ ⎝ sen θ ⎠ ⎝ sen θ ⎠ 2 propiedad de los exponentes 1 + cot 2 θ = csc 2 θ identidades de cotangente y recíproca 5. Demostración Las identidades de paridad o de ángulo negativo fueron demostradas en la sección anterior. 6. Demostración: Las demostraciones de las identidades no fundamentales, tales como: Identidades para el doble de un ángulo Identidades para la mitad de un ángulo sen2 θ = 2 sen θ cos θ cos 2 θ = 1 + cos2θ 2 cos2 θ = cos 2 θ − sen 2 θ = 1 − 2sen 2 θ = 2cos 2 θ − 1 sen 2 θ = 1 − cos2θ 2 tan 2 θ = 1 − cos2θ 1 + cos2θ tan2θ = 2tan θ 1 − tan 2 θ se dejan como trabajo de investigación y discusión en equipo. 5.4 Identidades fundamentales Demostración de otras identidades Las identidades básicas de la trigonometría y las técnicas del álgebra sirven para verificar o comprobar otras ecuaciones trigonométricas, que también son identidades. Generalmente, esto se hace transformando un miembro de la ecuación en la forma expresada en el segundo miembro. A menudo resulta útil transformar cada lado o cada miembro de la ecuación de manera independiente en una forma equivalente que sea la misma para los dos miembros, pero tal procedimiento es el más recomendado sólo cuando resulta complicado, como ocurre en la primera forma mencionada. Cuando se trabaja con expresiones trigonométricas, con frecuencia es conveniente convertir una forma en otra equivalente que resulte más útil. Esta sección fue diseñada para lograr experiencia en este proceso. Las 11 identidades fundamentales que se dieron en la tabla de la sección anterior se usarán frecuentemente, por lo que se deben aprender antes de seguir adelante. Para llegar a ser eficiente en el uso de identidades, es importante que el lector resuelva muchos problemas por sí mismo. Aunque no hay un método fijo de demostración que sirva para todas las identidades, existen ciertos pasos que ayudan en muchos casos. Sugerencias para demostrar identidades 1. Se comienza con el miembro más complicado de la identidad para transformarlo en el más simple. 2. Se intenta hacer operaciones algebraicas como multiplicación, factorización, combinación de fracciones con otras más simples y descomposición de fracciones simples; también se sugiere hacer sustituciones utilizando identidades básicas. 3. Si fallan otros pasos, expresar cada función en términos de senos y cosenos, lo cual a menudo resulta muy útil, y después realizar operaciones algebraicas apropiadas. 4. En cada paso, hay que tomar en cuenta al otro miembro de la identidad. Con frecuencia, lo anterior sugiere lo que hay que hacer para llegar a él. Se advierte que si una identidad (supuesta, a menos que ya haya sido demostrada como identidad) contiene fracciones, no deben multiplicarse ambos miembros por el mínimo común denominador. Es importante advertir también que no todas las ecuaciones que contengan funciones trigonométricas son identidades, lo cual es posible demostrar produciendo un contraejemplo, mediante la asignación de valores a la variable que se está considerando. Lo anterior lleva a una ecuación donde los valores de los dos miembros de la misma no son iguales, como se ilustra en el ejemplo 8. 357 358 Unidad 5: Trigonometría Ejemplos Ejemplo 1 Demuestra la identidad cscx − cosx cotx = senx solución 1 cos x − cos x senx senx Identidad recíproca e identidad cociente = 1 − cos 2 x senx Álgebra = sen 2 x senx Identidad pitagórica, despejando sen2x csc x − cos x cot x = = senx. Álgebra (ley de los exponentes) Ejemplo 2 Demuestra la identidad cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x 1 − tan 2 x solución cos 2 x − sen 2 x cos 2 x − sen 2 x = sen 2 x 1 − tan 2 x 1− cos 2 x = = Identidad cociente, todo a senos y cosenos cos 2 x − sen 2 x cos 2 x − sen 2 x cos 2 x Álgebra cos 2 x − sen 2 x cos 2 x 2 1 cos x − sen 2 x = cos 2 x Ejemplo 3 Demuestra la identidad Álgebra (división de fracciones) Álgebra (simplificación de fracciones) (sec 2 ) x − 1 cot x tan x senx + cos x = senx 359 5.4 Identidades fundamentales solución 1 ⎞ tan 2 x ⎛ ⎝ tan x ⎠ = tan x senx + cos x senx senx + cos x cosx (sec 2 ) x − 1 cot x = Identidad pitagórica, despejando tan2x, identidad recíproca e identidad cociente tan x sen x + cos 2 x cos x Álgebra 2 senx cos x = 1 cos x = Identidad pitagórica e identidad cociente senx cos x cos x 1 Álgebra (división de fracciones) = senx Álgebra (simplificación) Ejemplo 4 Demuestra la identidad sen 3t + cos 3 t = 1 − sent cos t sent + cos t solución ( 2 2 sen 3t + cos 3 t (sen t + cos t ) sen t − sen t cos t + cos t = sent + cos t sent + cos t ( ) ) Álgebra (factorización) = sen 2 t + cos 2 t − sen t cos t Álgebra (división y prop., asociativa) = 1 − sen t cos t Identidad pitagórica Ejemplo 5 Demuestra la identidad 1 + sec x = csc x senx + tan x 1 1+ 1 + sec x cos x = senx + tan x senx + senx cos x solución Identidad recíproca e identidad cociente 360 Unidad 5: Trigonometría cos x + 1 cos x = cos x senx + senx cos x Álgebra (suma de fracciones) = cos x + 1 cos x senx + senx Álgebra (división de fracciones) = cos x + 1 senx (cos x + 1) Álgebra (factorización) = 1 senx Álgebra (simplificación de fracciones) = csc x Identidad recíproca Ejemplo 6 Demuestra la identidad 1 + senx 1 − senx − = 4 tan x sec x 1 − senx 1 + senx solución 1 + senx 1 − senx (1 + senx ) (1 + senx ) − (1 − senx )(1 − senx ) − = 1 − senx 1 + senx (1 − senx )( 1 + senx ) Álgebra (suma de fracciones) = 1 + 2senx + sen 2 − 1 + 2senx − sen 2 x 1 − sen 2 x Álgebra (productos notables) = 4senx cos 2 x Álgebra (simplificación), identidad pitagórica = 4senx 1 cos x cos x Álgebra (combinación de fracciones) = 4 tan x sec x Ejemplo 7 Demuestra la identidad cos x = 1 − tan( − x )sen( − x ) cos( − x ) Identidad cociente, identidad recíproca 361 5.4 Identidades fundamentales 1 1 − tan( − x )sen( − x ) = − [( − tan x )( −senx )] cos( − x ) cos x Identidades de paridad = sec x − tan x senx Álgebra, identidad recíproca senx = sec x − senx cos x Identidad cociente = sec x − sen 2 x cos x Álgebra = sec x − 1 sen 2 x cos x 1 Álgebra (combinación de fracciones) = sec x − sec x sen 2 x ( = sec x 1 − sen 2 x ) Álgebra (factorización) = sec x cos 2 x = Identidad recíproca Identidad pitagórica, despejando cos2x 1 cos 2 x cos x Identidad cociente = cos x Álgebra Ejemplo 8 Demuestra que la expresión 2senx cosx = senx no es una identidad. solución Se debe encontrar un valor para el cual ambos miembros estén definidos, pero que no sean iguales entre sí. Si se prueba el valor x = 0, se tiene que: 2sen 0 cos 0 = sen 0 2(0)(1) = 0 0=0 Para este valor no resulta un contraejemplo que muestre que no se trata de una identidad. Para x = π , se obtiene la siguiente contradicción: 2 π π π 2sen⎛ ⎞ cos⎛ ⎞ = sen⎛ ⎞ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2(1)(0) = 1 0 ≠1 esto muestra que 2senx cosx = senx no es una identidad. 362 Unidad 5: Trigonometría Ejercicios y problemas Demuestra las siguientes identidades: 1. csc θ − cot θ = 3. sen θ 1 + cos θ cos 2 x − sen 2 x = cos 2 x 1 − tan 2 5. (1 + sen θ)(1 − sen θ) = ( )( 1 sec 2 θ ) 7. 1 − sen 2 θ 1 + tan 2 θ = 1 9. (cot θ + csc θ)( tan θ − sen θ) = sec θ − cos θ 2. sec x − tan x = 4. cos x 1 + sen x cos α 1 − sen α = 1 + sen α cos α 2 2 2 2 6. sec θ csc θ = sec θ + csc θ 8. sen θ + cos θ = 1 + tan θ cos θ 10. cot θ + tan θ = csc θ sec θ 11. cos 2 θ sec 2 θ − 1 = sen 2 θ 12. csc θ = cot θ sec θ 1 + cos 2 θ = 2 csc 2 θ − 1 sen 2 θ 14. cos 2 t + sen t = csc t sen t ( 13. ) 15. (sen x + cos x ) = 1 + 2sen x cos x 16. cos 2 x − sen 2 x = 1 − 2sen 2 x 17. csc 2 x − cot 2 x = 1 18. sec 2 y − tan 2 y = 1 2 19. 1 − cos 2 y = tan 2 y (1 − sen y)(1 + sen y) 20. cot( − x ) cos( − x ) − sen ( − x ) = − csc( − x ) 21. sec( −t ) = − csc t tan( −t ) 22. csc( −t ) cos( −t ) = − cot( − x ) 23. sen 2 x + 4sen x + 3 3 + sen x = cos 2 x 1 − sen x 2 24. cos x − 3cos x + 2 = 2 − cos x sen 2 x 1 + cos x 25. cos 3 θ − sen 3θ = 1 + cos θ sen θ cos θ − sen θ 26. 1 − cot 2 x = cot 2 x tan 2 x − 1 27. sen θ 1 + cos θ = 1 − cos θ sen θ 28. tan x 1 = sen x − 2 tan x cos x − 2 sen x 29. cos x − 1 + cos x = cos x − csc x + cot x 31. 2sen 2 x + 3 cos x − 3 2 cos x − 1 = sen 2 x 1 + cos x 33. cot x + sec x = cos x + tan x sen x 1 − cos u 2 30. (cot u − csc u) = 1 + cos u 32. tan u + sen u sec u + 1 = tan u − sen u sec u − 1 34. tan x − cot x = 1 − 2 cos 2 x tan x + cot x 363 5.4 Identidades fundamentales 35. sec 4 x − 2 sec 2 x tan 2 x + tan 4 x = 1 37. 36. tan x 1 = sen x − 2 tan x cos x − 2 1 + cos x sen x + = 2 csc x sen x 1 + cos x Demuestra que las siguientes ecuaciones no son identidades. Determina un número en el dominio de t o θ para el cual sea falsa la ecuación: 38. cot θ = tan θ 39. tan 2 t + cot 2 t = −1 40. tan 2 t + cot 2 t = −1 41. cos 2 θ + 2sen θ = 1 42. 3 cos 2 θ + cos θ − 2 = 0 43. (cos θ + sen θ)2 = cos2θ + sen2θ 44. 1 − cos 2 t = sen t 2 45. sec t = tan t + 1 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, resuelve los siguientes problemas: 1. Resuelvan el problema Uso de la trigonometría para eliminar un parámetro, que aparece en la introducción de esta sección. Consulten la unidad sobre cónicas para identificar las curvas definidas por las ecuaciones paramétricas siguientes, con el nombre que la denomine, es decir, parábola, elipse, circunferencia o hipérbola. a) ⎧ x = 3 sen t ⎨ y = 4 cos t ⎩ b) ⎧⎨ x = 2 + 2 sen t ⎩ y = 3 + 2 cos t c) ⎧⎨ x = 4 sec t ⎩ y = 3 tan t 2. Investiguen y discutan la demostración de las siguientes identidades: Identidades para el doble de un ángulo Identidades para la mitad de un ángulo sen2 θ = 2 sen θ cos θ cos 2 θ = cos2 θ = cos 2 θ − sen 2 θ = 1 − 2sen 2 θ = 2cos 2 θ − 1 sen 2 θ = tan2θ = 2tanθ 1 − tan 2 θ 1 + cos2θ 2 1 − cos2θ 2 1 − cos2θ tan 2 θ = 1 + cos2θ 364 Unidad 5: Trigonometría 1. Elige la opción correcta que verifique la siguiente identidad: a) cos x csc x cos x csc x = cot 2 x 1 − csc 2 x = cos x csc x 1 ⎞ = cos x ⎛ tan 2 x 2 ⎝ sen x ⎠ cot x cos x csc x − 1 csc 2 x = cos x − = b) cos x csc x = tan x . cot 2 x 1 csc x cos x sen x = cos x sen 2 x sen x cos 2 x = sen x cos x = tan x = tan x c) cos x csc x cos x csc x = cot 2 x 1 − tan 2 x = cos x − d) Todas las verificaciones son correctas. csc x tan 2 x ⎛ 1 ⎞ ⎝ sen x ⎠ = cos x − ⎛ sen x ⎞ ⎝ cos x ⎠ = cos x − 1 cos x ⋅ sen x sen x cos x sen x = tan x = 2. Elige la opción correcta que verifique la siguiente identidad: a) sec 2 x − tan 3 x = sec 2 x tan x − tan 3 x cot x ( = tan x sec 2 x − tan 2 x = tan x (1) = tan x b) ) sec 2 x − tan 3 x = tan x . cot x sec 2 x − tan 3 x (cot x ) sec 2 x − tan 3 x = cot x cot x 1 ⎞ sec 2 x − tan 3 x ⎛ ⎝ tan x ⎠ = cot x sec 2 x − tan 2 x cot x 1 = cot x = tan x = 365 5.4 Identidades fundamentales c) sec 2 x 1 + tan 2 x − tan 3 x = − tan 3 x d) Todas las verificaciones son correctas. cot x cot x tan 2 x 1 = + − tan 3 x cot x cot x = tan x + tan 3 x − tan 3 x = tan x . 3. Elige la opción correcta que verifique la siguiente identidad: sen x − cos x sec x − cos x = sen x tan x b) cos x sen x − cos x sec x − cos x = 1 tan x a) cot x = (sec x − cos x ) cot x = sen x − cos x = cos x . tan x 1 ⎛ cos x ⎞ cos x ⎞ − cos x ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ cos x sen x sen x ⎠ cos 2 x 1 = − sen x sen x cos x ⎞ = (sec x − cos x )⎛ ⎝ sen x ⎠ = sec xsen x − cos 2 x = 1 − cos 2 x = sen x 1 − cos 2 x sen x sen 2 x = sen x = = sen x sen x − cos x sec x − cos x = 1 tan x c) cot x d) Todas las verificaciones son correctas. = (sec x − cos x ) cot x = 1 ⎛ sen x ⎞ sen x ⎞ − cos x ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ cos x cos x cos x ⎠ = sen x − sen x cos x = sen x − sen x cos x = sen x (1 − cos x ) = sen x (1) = sen x 366 Unidad 5: Trigonometría 4. Expresa 1 + csc x en términos de seno y coseno; luego simplifica el resultado. cos x + cot x a) -sen x b) cos x 5. Simplificar completamente a) − 1 − sen t 1 + sen t c) sec x d) csc x e) 1 cot 2 x 1 − sen t cos t − . cos t 1 + sen t b) 1 1 d) cos t (1 + sent ) c) 0 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. csc θ − cot θ = 1 1 1 − cos θ − = sen θ tan θ sen θ 1 − cos 2 θ 1 − cos θ 1 + cos θ = * = sen θ 1 + cos θ sen θ1 + cos θ 2 sen θ sen θ = = sen θ(1 + cos θ) 1 + cos θ 3. 2. 1 sen x 1 − sen x − = cos x cos x cos x 1 − sen x 1 + sen x 1 − sen 2 x = * = = cos x 1 + sen x cos x (1 + sen x ) cos 2 x cos x = = cos x (1 + sen x ) 1 + sen x sec x − tan x = 4. 2 2 2 2 cos x − sen x cos x − sen x = = cos 2 x cos 2 x − sen 2 x 1 − tan 2 cos 2 x 5. cos α cos α 1 − sen α cos α(1- sen α ) = * = = 1 + sen α 1 + sen α 1 − sen α 1- sen 2 α cos α(1- sen α ) 1 − sen α = = cos 2 α cos α 6. (1 + sen θ)(1 − sen θ) = 2 2 = 1 − sen θ + sen θ − sen θ = 1 − sen θ = 1 = cos 2 θ = sec 2 θ 7. sec 2 θ csc 2 θ = (1 + tan 2 θ)(csc 2 θ) = sen 2 θ 1 csc 2 θ + tan 2 θcsc 2 θ = csc 2 θ + = cos 2 θ sen 2 θ 1 = csc 2 θ + = sec 2 θ + csc 2 θ cos 2 θ 8. (1 − sen θ)(1 + tan θ) = cos 2 2 2 2 cos θ + sen θ = 1 2 θ + cos 2 θtan 2 θ = sen θ + cos θ sen θ cos θ = + = 1 + tan θ cos θ cos θ cos θ 367 5.4 Identidades fundamentales 9. 10. (cot θ + csc θ)(tan θ − sen θ) = cot θ + tan θ = = cot θtan θ - cot θsen θ + csc θtan θ - csc θsen θ tan θ cos θsen θ sen θ sen θ = − + − tan θ sen θcos θ sen θ sen θ = 1 − cos θ + sec θ -1 = sec θ − cos θ 11. = cos θ sen θ cos 2 θ + sen 2 θ + = sen θcos θ sen θ cos θ 1 = cscθ secθ sen θcos θ 12. cos 2 θ cos θ sec θ − 1 = − cos 2 θ cos 2 θ = 1 − cos 2 θ = sen 2 θ 2 ( ) 2 1 csc θ sen θ cos θ = = = cot θ 1 sec θ sen θ cos θ 13. 14. 1 + cos 2 θ cos 2 θ 2 = θ + = csc 2 θ + cot 2 θ csc sen 2 θ sen 2 θ = csc 2 θ + csc 2 θ − 1 = 2 csc 2 θ − 1 cos 2 t + sen t sen t cos 2 t + sen 2 t 1 = = = csc t sent sent 15. 16. (sen x + cos x ) 2 2 2 = sen x + 2 sen x cos x + cos x = 1 + 2sen x cos x cos 2 x − sen 2 x = 1 − sen 2 x − sen 2 x = 1 − 2sen 2 x 17. 18. csc 2 x − cot 2 x = 1 cos 2 x − 2 sen x sen 2 x 2 1 − cos x sen 2 x = = =1 sen 2 x sen 2 x sec 2 y − tan 2 y = 19. 20. 1 sen 2 y − 2 cos y cos 2 y 1 − sen 2 y cos 2 y = = =1 cos 2 y cos 2 y 2 1 − cos y (1 − sen y)(1 + sen y) sen 2 y sen 2 y = = 1 + seny − seny − sen 2 y 1 − sen 2 y sen 2 y = = tan 2 y cos 2 y 21. sec( −t ) sec(t ) cos t = =− sent cos t tan( −t ) − tan(t ) 1 =− = − csc t sent cot( − x ) cos( − x ) − sen ( − x ) cos 2 x + sen 2 x = − cot x cos x + senx = sen 2 x 1 = = csc x = − csc( − x ) sen 2 x 22. csc( −t ) cos( −t ) cos( −t ) cos( −t ) = = = − cot( − x ) sen( −t ) − sen(t ) 368 Unidad 5: Trigonometría 23. 24. sen 2 x + 4senx + 3 ( senx + 3)( senx + 1) = cos 2 x 1 − sen 2 x ( senx + 3)( senx + 1) 3 + senx = = (1 + senx )(1 − senx ) 1 − senx cos 2 x − 3cosx + 2 (cos x − 2)(cos x − 1) = sen 2 x 1 − cos 2 x (2 − cos x )(1 − cos x ) 2 − cosx = = (1 + cos x )(1 − cos x ) 1 + cosx 25. 26. cos θ − sen θ cos θ − sen θ (cos θ - sen θ)(cos 2 θ + cos θsen θ + sen 2 θ) = cos θ − sen θ = (cos 2 θ + sen 2 θ) + cos θsen θ = 1 + cos θ sen θ sen 2 x − cos 2 x 1 − cot x sen 2 x = = 2 2 tan x − 1 sen x − cos 2 x cos 2 x 2 cos x = = cot 2 x sen 2 x 27. 28. sen θ sen θ 1 + cos θ = = * 1 − cos θ 1 − cos θ 1 + cos θ sen θ(1 + cos θ) sen θ(1 + cos θ) = = = 1 − cos 2 θ sen 2 θ 1 + cos θ = sen θ senx tan x cos x = senx − 2 tan x senx cos x − 2 senx cos x senx 1 = = senx cos x − 2 senx cos x − 2 29. 30. 3 3 2 (cot u − csc u)2 = cot 2 u − 2 cot u csc u + csc 2 u sen x sen x 1 − cos x cos x − = cos x − * 1 + cos x 1 + cos x 1 − cos x 1 − cos x sen x (1 − cos x ) = cos x − = cos x − 1 − cos 2 x sen x 1 cos x = cos x − + = cs x − csc x + cot x sen x sen x 1 cos 2 u cos u −2 + = 2 2 sen u sen u sen 2 u cos 2 u − 2 cos u + 1 (1 − cos u)(1 − cos u) = = (1 − cos u)(1 + cos u) sen 2 u 1 − cos u = 1 + cos u = 31. 32. 2sen 2 x + 3 cos x − 3 2sen 2 x − 2 + 3 cos x − 1 = sen 2 x sen 2 x 2 −2 1 - sen x + 3 cos x − 1 −2 cos 2 x + 3 cos x − 1 = = sen 2 x sen 2 x (2 cos x − 1)(cos x − 1) (2 cos x − 1)(cos x − 1) = = 1 − cos 2 x (1 − cos x )(1 + cos x ) 2 cos x − 1 = 1 + cos x sen u + sen u cos u tan u + sen u cos u = tan u − sen u sen u − sen u cos u cos u sen u(1 + cos u) 1 +1 sec u + 1 cos cos u u = = = senu(1 − cos u) 1 − 1 sec u − 1 cos u cos u ( ) 369 5.4 Identidades fundamentales 33. 34. cos x + tan x cos x 1 = + sen x sen x cos x cos 2 x + sen x 2 cos x + sen x cos x + tan x cos x = = = cos sen x x sen x cos x sen x cos x sen x cos x − tan x − cot x cos x sen x = tan x + cot x sen x + cos x cos x sen x sen 2 x − cos 2 x = = 1 − cos 2 x − cos 2 x 1 = 1 − 2 cos 2 x 35. 36. cot x + sec x = sec 4 x − 2 sec 2 x tan 2 x + tan 4 x ( = sec 2 x − tan 2 x ) 2 =1 sen x 1 + cos x (1 + cos x ) 2 + sen 2 x + = sen x 1 + cos x sen x + sen x cos x 1 + 2 cos x + cos 2 x + sen 2 x 2 + 2 cos x = = sen x + sen x cos x sen x (1 + cos x ) 2(1 + cos x ) = = 2 csc x sen x (1 + cos x ) 37. sen x tan x cos x = sen x − 2 tan x sen x cos x − 2 sen x cos x sen x 1 = = sen x (cos x − 2) cos x − 2 38. 39. cot θ = tan θ tan 2 t + cot 2 t = −1 tan 2 π + cot 2 π = no existe cot( π 2) = 0 ( ) tan π 2 = no definida 40. 41. cos 2 θ + 2sen θ = 1 π π cos 2 + 2sen = 2 2 2 tan 2 t + cot 2 t = −1 tan 2 π + cot 2 π = no existe no es identidad. 42. 43. 3 cos 2 θ + cosθ − 2 = 0 π π 3 cos 2 + cos − 2 = -2 2 2 (cos θ + sen θ)2 = cos 2 θ + sen 2 θ (cos 36 + sen36)2 = 1.95 no es identidad. no es identidad cos 2 36 + sen 2 36 = 1 370 Unidad 5: Trigonometría 44. 45. 1 − cos 2 t = sen t sec t = tan 2 t + 1 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. b d e c c Unidad 6 Geometría analítica Contenido de la unidad 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Recta Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola Introducción a la unidad Es impresionante ver brincar a los jugadores profesionales de basquetbol. A veces parecen flotar en el aire. En la realidad, su cuerpo sigue una trayectoria parabólica. Todo objeto que sea lanzado, si la resistencia del aire es despreciable, sigue ese tipo de trayectoria. Las parábolas aparecen además en muchas otras situaciones de la vida diaria, como en las antenas que reciben la señal de televisión por satélite en tu casa y también en los faros de tu automóvil. La parábola es una de las curvas cónicas. Tales curvas son la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Se llaman cónicas porque se obtienen al cortar un cono en diferentes posiciones. Es muy importante estudiarlas, ya que aparecen continuamente en las aplicaciones tecnológicas, en campos tan diversos como los negocios, el deporte, la visión de robots y la astronomía. Fue en el siglo XVII cuando René Descartes, un filósofo y científico francés, descubrió como se relacionan estas curvas con las ecuaciones algebraicas. Es decir, Descartes descubrió la geometría analítica que vas a estudiar en esta unidad y que, además, describe con precisión los saltos de tu jugador favorito de basquetbol. 372 Unidad 6: Geometría analítica 6.1 Recta Las matemáticas son el lenguaje con el cual Dios escribió el Universo Galileo Galilei Introducción n 5 6 4 3 4 2 1 −2 0 −1 2 2 −2 −3 x 4 6 −2 0 2 x 4 6 −2 En la práctica, existen situaciones en las cuales la relación entre dos variables establecen un cambio constante. Unas veces, cuando una variable aumenta, la otra también lo hace proporcionalmente. Otras veces, cuando una variable aumenta, la otra disminuye siempre en la misma proporción. A este tipo de dependencia entre dos variables se conoce como relación lineal; y se representa en matemáticas a través de ecuaciones lineales en dos variables, cuya característica principal es que su gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. Te presentamos dos ejemplos para aclarar este tipo de relaciones: Primera situación El señor Gómez L. tiene una rutina de ejercicio. Cada tercer día se dirige en auto a la pista que está a dos kilómetros de su casa y camina durante una hora en línea recta a una velocidad constante de 50 metros por minuto. 373 6.1 Recta Observa cómo en este caso, a medida que aumenta la variable t, la distancia d también aumenta siempre en la misma proporción. Segunda situación La empresa “Patito, S. A de C. V.”, produce dos artículos “chunche tipo A” y “chunche tipo B”. Cada artículo A requiere de 3 horas de mano de obra para su elaboración, mientras que cada artículo B necesita de 2 horas de mano de obra para fabricarse. Esta semana la empresa dispone de 60 horas para fabricar estos productos. Nota como en este caso, entre más artículos de un tipo se produzcan, menos del otro tipo se pueden hacer, esto es, entre más aumente una variable, la otra disminuye. 30 20 −4 −22 2 x 4 −20 −30 Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Identificar y determinar la ecuación de una línea recta. • Graficar e interpretar cada parte de una ecuación lineal. • Utilizar ecuaciones lineales para resolver problemas prácticos. Líneas rectas: ecuación, gráfica, pendiente, intersecciones con los ejes Las relaciones lineales son las más simples que se pueden dar entre dos variables; se encuentran prácticamente en cualquier rama del saber humano. Su principal característica es que su gráfica es una línea recta y, recíprocamente, la ecuación correspondiente a una línea recta es una relación lineal. 374 Unidad 6: Geometría analítica Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación de la forma:: Ax + By = C con A, B y C constantes, y A y B no ambas 0. Consideremos, por ejemplo, la relación que encontraremos en la segunda situación de la introducción: 2x + 3y = 60, que representa la relación lineal entre el número de chunches tipos A y B que se pueden producir. Si se tiene un pedido de 15 chunches tipo A, entonces x = 15; al sustituir en la ecuación (2), obtenemos es decir, 2(15) + 3y = 60 30 + 3y = 60 de aquí podemos despejar el valor para y, que en este caso es de y = 10. En otras palabras, cuando se producen 15 chunches tipo A, se pueden producir 10 chunches tipo B. Brevemente decimos que la pareja ordenada (15, 10) es una solución de la ecuación lineal 2x + 3y = 60, o que (15, 10) satisface esta ecuación. Podemos obtener otras soluciones si damos valores a una variable y despejamos de la ecuación el valor correspondiente para la otra variable. De esta forma, si y = 12, entonces al sustituir en la ecuación lineal tenemos: 2x + 3(12) = 60 2x + 36 = 60 2x = 24 Así, x = 12, lo que significa que cuando se producen 12 chunches tipo B se pueden producir 12 chunches tipo A. De este modo, (12, 12) es otra solución de la ecuación lineal (2). Si, por un momento, no tomamos en cuenta que en este problema las variables x y y solamente pueden tomar valores enteros positivos o 0, es posible tabular las soluciones para construir la gráfica de la relación lineal que, como mencionamos, siempre es una línea recta: x y 5 50/3 15 10 20 20/3 36 −4 … … Si graficas todas las soluciones de la ecuación, incluyendo números fraccionarios y negativos, obtienes la gráfica de la relación. Por ejemplo, para la ecuación (2), su gráfica es, 375 6.1 Recta 25 20 y 15 10 5 −10 0 10 20 x −5 30 40 Existen dos soluciones importantes: si producimos solamente chunches tipo A, entonces y = 0 y la solución es (30, 0), pero si producimos chunches tipo B, x = 0, la solución es (0, 20). Estas soluciones son importantes porque en la gráfica representan las intersecciones de la recta con el eje x. En general, para determinar la intersección de una línea recta con el eje x, basta sustituir y = 0 en la ecuación y resolver para x. Análogamente, para determinar la intersección de una línea recta con el eje y, basta sustituir x = 0 en la ecuación y resolver para y. En las ecuaciones lineales Ax + By = C, a veces es conveniente despejar la variable y, y=− C A x+ B B Esta última expresión se conoce como la forma punto pendiente de la ecuación lineal, que es costumbre escribirla como: y = mx + b… (3) A C y b = . El coeficiente m se conoce como la pendiente de la recta, en B B tanto que b es la ordenada al origen. A la forma Ax + By = C, se le conoce como la forma general de la recta. La pendiente es una ‘medida’ de la inclinación de la recta. Formalmente, la pendiente es la tangente del ángulo positivo que forma la recta con el eje x. con m = − θ m = tan θ 376 Unidad 6: Geometría analítica Una propiedad importante de la pendiente es que para determinar este coeficiente m en una recta que no sea vertical, basta tener dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) que estén sobre la recta: m= y2 − y1 ……(4) x 2 − x1 No importa qué puntos utilicemos, la pendiente siempre es igual a la razón de la diferencia de abscisas entre la diferencia de ordenadas, esto es, mide la proporción entre lo que se eleva a lo que se avanza o recorre horizontalmente: m= elevación avance Ejemplos Ejemplo 1 ¿Cuál es el significado geométrico de una pendiente m = 3/2? solución Significa que por cada tres unidades de elevación vertical, se recorren dos unidades horizontalmente hacia la derecha o, lo que es equivalente, se recorren dos unidades a la derecha por cada tres hacia arriba. (véase la figura). 3 2 Ejemplo 2 ¿Cuál es el significado geométrico de una pendiente m = −3/2? 377 6.1 Recta solución Una pendiente m = −3/2 significa que por cada tres unidades recorridas hacia arriba, se recorren dos unidades hacia la izquierda, o que por cada tres unidades que se bajan verticalmente, se recorren dos unidades horizontalmente hacia la derecha. ó 3 −3 2 −2 Ejemplo 3 Determina el significado geométrico de la pendiente de la ecuación lineal −10x + 5y = 20 solución Primero despejamos y: −10x + 5y = 20 5y = 20 + 10x y = 4 + 2x Vemos de esta forma que la pendiente es m = 2 = 2/1, lo que quiere decir que para cada avance vertical hacia arriba de dos unidades se tiene un avance horizontal hacia la derecha de una unidad 2 1 Observa que debido al significado geométrico de la pendiente, si la pendiente es positiva, la recta se inclina hacia la derecha, mientras que si la pendiente es negativa la recta se inclina hacia la izquierda. m>0 m<0 378 Unidad 6: Geometría analítica ¿Qué sucede desde el punto de vista geométrico cuando la pendiente de una recta es 0? La respuesta es simple, si la pendiente es 0, m = 0 = 0/1, por lo que por cada avance horizontal hacia la derecha, no hay avance hacia arriba, es decir, la recta no tiene inclinación, es una recta horizontal. m=0 Por cierto, en este caso la forma punto pendiente de la ecuación es y = b. En otras palabras, no aparece la variable x para la ecuación de una línea horizontal. Otro caso importante lo constituyen las líneas rectas verticales. Para éstas, la pendiente no existe y en la ecuación no aparece la variable y. La ecuación es de la forma x = k con k una constante. El coeficiente b que aparece en la forma punto pendiente (3), representa la intersección de la recta con el eje y. Así como para determinar la pendiente de una línea recta bastan dos puntos, también para construir su gráfica es suficiente trazar dos puntos por los que pase la recta para dibujar la misma. De la misma forma, la ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos por los que pase la recta: Si (x1, y1) y (x2, y2) son puntos de una recta que no es vertical, entonces su ecuación está determinada por: y − y1 = m(x − x1)… (5). con m = y2 − y1 x 2 − x1 Por cierto, no importa el orden en que consideren los puntos, esto es, también una ecuación de la recta es y − y2 = m(x − x 2). Por ejemplo, para determinar una ecuación de la recta con los puntos (2, 5) y (4, 8). Ejemplo 4 Determina la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 8), luego dibuja la gráfica de la misma. solución Comenzamos calculando la pendiente: m= 8−5 3 = 4−2 2 379 6.1 Recta Ahora sustituimos en (5) con (x1, y1) = (2, 5) (a propósito, es indistinto cuál de los dos puntos se elija, si se elige (x1, y1) = (4, 8), ¡el resultado es el mismo!): 3 ( x – 2) 2 3 y – 5 = x – 3 2 y – 5 = Al despejar, obtenemos la forma punto pendiente, 3 y =x + 2 2 Si multiplicamos por 2 cada lado de esta ecuación y pasamos los términos con variables juntos obtenemos la forma general: 3x − 2y = −2 Para la gráfica, como mencionamos, basta con dibujar dos puntos. Podemos utilizar los puntos dados originalmente, (2, 5) y (4, 8). Otra forma consiste en trazar su gráfica a partir de las intersecciones con los ejes coordenados. 12 10 8 6 4 2 −2 0 2 x 4 6 Ejemplo 5 Dada la ecuación lineal 2x + 3y = 12, determina la forma punto pendiente, la pendiente, las intersecciones con los ejes coordenados, tres puntos por los que pase la recta y dibuja la misma. 380 Unidad 6: Geometría analítica solución La forma punto pendiente se obtiene despejando y: 2x + 3y = 12 3y = 12 − 2x 2 y = 4 – x 3 Así la pendiente es m = −2/3, y la intersección con el eje es b = 4 o el punto (0, 4). La intersección con el eje x la obtenemos al sustituir y = 0 y despejar para x: 0 = 4 – 2 x 3 2 x = 4 3 x=6 Por lo que obtenemos el punto (6, 0). Podemos utilizar estos puntos para obtener la gráfica: 6 3 2 1 −2 2 4 x 6 8 Ya tenemos dos puntos de la recta, (0, 4) y (6, 0). Para determinar otros puntos, damos un valor para x y despejamos para y. Elegimos, por ejemplo, x = 3, entonces y = 4− (2/3) (3) = 4 − 2 = 2, es decir, un tercer punto por el que pasa la recta es (3, 2). Ejemplo 6 Si la pendiente de una recta es m = 1/3 y la recta pasa por el punto (10, 4), determina la ecuación general de la recta y su gráfica. 381 6.1 Recta solución Directamente utilizamos la fórmula (5) con los datos dados: y – 4 = 1 ( x – 10) 3 Como no nos piden la forma punto pendiente, no despejamos y, sino que multiplicamos cada lado de la ecuación por 3: 3y − 12 = x − 10 Ahora escribimos las variables del lado derecho y las constantes del lado izquierdo: −x + 3y = −10 + 12 Así, la ecuación general de la ecuación es −x + 3y = 2 Ahora, para trazar su gráfica, tabulamos dos puntos; por ejemplo, las intersecciones con los ejes coordenados: x y 0 2/3 −2 0 2 1.5 1 0.5 −4 −2 0 −0.5 2 x 4 382 Unidad 6: Geometría analítica Ejemplo 7 Determina la ecuación y dibuja la gráfica de la recta que pasa por los puntos (−3, 3), (4, 3) solución Utilizamos la fórmula (4) para encontrar la pendiente: m= 3−3 0 = =0 4 − ( −3) 7 Puesto que la pendiente es 0, la recta es horizontal y su ecuación es y = 3 (y = la ordenada de cualquier punto de la recta). Observa que ésta es a la vez la forma general y forma punto pendiente de la ecuación de la recta. Para dibujar la gráfica, utilizamos los puntos dados: 4 3.5 3 2.5 −4 0 −2 2 x 4 Ejemplo 8 Encuentra la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, −2) y (4, 3) solución Primero que nada, nota que la fórmula (4) para la pendiente no puede aplicarse porque se indetermina al dividir por 0: m= 3 − ( −2) 5 = 4−4 0 383 6.1 Recta La razón de lo anterior es que esta recta es vertical. Pero sabemos que la ecuación de una recta vertical es x = k; en este caso, x = 4 (la abscisa de cualquier punto). Esta es la única forma general de la ecuación y no hay forma punto pendiente. 5 4 2 1 0 − 3.5 4 x 4.5 5 − − Líneas paralelas y líneas perpendiculares Puesto que la pendiente de una línea recta es una medida de su inclinación, si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces su inclinación es la misma; por lo tanto, son rectas paralelas. El recíproco también es cierto para rectas no verticales: si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales. Establecemos esto en el siguiente resultado: Teorema Las rectas no verticales y = m1x + b1 y y = m2x + b2 son paralelas, si y sólo si m1 = m2 Las rectas perpendiculares entre sí poseen también una relación entre sus pendientes, que estableceremos a continuación sin demostración. Teorema Las rectas y = m1x + b1 y y = m2x + b2, m1 ≠ 0 y m2 ≠ 0 son perpendiculares si y sólo si m2 = −1/m1 Dos líneas rectas que nos son paralelas ni perpendiculares reciben el nombre de rectas oblicuas. 384 Unidad 6: Geometría analítica Ejemplos Ejemplo 1 Determina si las rectas L1: y = 2x − 8 y L2: 4x − 2y = 5 son paralelas, perpendiculares u oblicuas. solución Determinamos primero las pendientes. Para la recta L1, directamente vemos que m1 = 2, mientras que para la pendiente de la recta L2, debemos despejar y: 4x − 2y = 5 2y = 4x − 5 y = 5 4 5 x − = 2x − 4 2 4 Vemos de esta forma que m2 = 2. Así que las rectas son paralelas. 10 5 −4 −2 2 x 4 6 0 −5 −10 −15 Ejemplo 2 Determina la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto (−2, 1) y que es a) Paralela a la recta 4x − 2y = 12 b) Perpendicular a la recta 4x − 2y = 12 385 6.1 Recta solución Al despejar y de 4x − 2y = 12, encontramos que la recta dada tiene pendiente m = 2 a) Como nos piden la recta paralela, m = 2 es también la pendiente de la recta que buscamos. Utilizamos ahora la fórmula (5): y − 1 = 2(x + 2) y = 2x + 5 15 10 5 −4 2 −2 x 4 −10 −15 b) Buscamos ahora la recta perpendicular; si m es la pendiente de esta recta, entonces m = −1/2 de acuerdo con el teorema anterior. Por lo tanto, la ecuación es: 1 y – 1 = − ( x + 2) 2 y =− 1 x 2 10 5 2 − −5 −10 4 6 8 386 Unidad 6: Geometría analítica Ejemplo 3 Determina la ecuación general de la recta que pasa por (6, −7), que es perpendicular a la recta que pasa por los puntos P(2, −3) y Q(−1, −1) solución Determinamos primero la pendiente de la recta que pasa por P y Q: m= 2 −1 − ( −3) =− 3 −1 − 2 Por lo tanto, la recta perpendicular tiene pendiente − 1 = 3 . Utilizamos ahora la fórmula (5): m 2 y – (–7) = 3 ( x – 6) 2 Multiplicamos esta ecuación por 2: 2y + 14 = 3x − 18 De esta forma, la ecuación buscada es −3x + 2y = −32 o 3x − 2y = 32 5 12 14 −5 −10 −15 −20 Ejemplo 4 Encuentra la ecuación punto pendiente de la recta que es a) paralela, b) perpendicular a la recta y = −2 y que pasa por el punto (3, 7). 387 6.1 Recta solución La recta dada es horizontal, por lo que su pendiente es m = 0 a) Si queremos la ecuación de la recta paralela, simplemente igualamos y con la ordenada del punto por donde pasa la recta. Así, su ecuación es: y = 7 8 6 4 2 −4 −2 0 2 x 4 −22 −4 b) Como la recta perpendicular a una recta horizontal es vertical, no tiene pendiente y su ecuación, según vimos, es simplemente x igual a la abscisa: x = 3 8 6 4 2 −4 −2 0 2 4 x 6 8 −2 −4 Ejemplo 5 Determina la ecuación de la bisectriz del segmento que une los puntos A(2, −1), B(−4, −3) 388 Unidad 6: Geometría analítica solución ⎛ 2 − 4 , −1 − 3 ⎞ El segmento tiene punto medio M ó M(−1. −2). Por lo que buscamos una ecuación de ⎝ 2 2 ⎠ la recta que pasa por M y es perpendicular a la recta que pasa por A y B. 1 La pendiente de la recta que pasa por A y B es m = , por lo que la pendiente de la recta que buscamos 3 es −1/m = −3. Finalmente, de acuerdo con la fórmula (5), la ecuación es: y + 2 = −3(x + 1) ó y = −3x − 5 6 4 −6 −4 2 −2 x 4 6 − −4 −6 −8 Este tipo de rectas bisectrices nos serán de utilidad en la sección sobre circunferencia. Gráfica de sistemas de desigualdades lineales 1 Consideremos la recta y =x + 1, que consiste de los puntos (x, y), que hacen verdadera 2 la relación. Esta recta divide al plano cartesiano en tres regiones: la parte de arriba de la recta, la parte de abajo de la recta y la parte sobre la recta, lo que presentamos en la figura: y y 2 −6 −4 −2 0 y 2 0 2 4 6 x −6 −4 −2 0 2 0 2 4 6 x −6 −4 −2 0 −2 −2 −2 −4 −4 −4 0 2 4 6 x 389 6.1 Recta Como la región encima de la recta tiene ordenada mayor, la región está representada por 1 1 la desigualdad y > x + 1. De la misma forma, y < x + 1 representa la región de 2 2 1 abajo de la línea recta, mientras que y =x + 1 representa los puntos sobre la línea 2 recta. Debido al principio de tricotomía, o bien y < mx + b o bien y = mx + b o bien y > mx + b. Toda recta no vertical divide al plano en tres regiones: la región que está por encima de la recta dada por y > mx + b, la región que está por debajo de la recta dada por y < mx + b y la región que está exactamente sobre la recta dada por y = mx + b. Si la recta es vertical, las regiones en que queda dividido el plano son: la parte a la derecha de la recta, la parte la izquierda de la recta y la parte sobre la recta. Ejemplos Ejemplo 1 Dibuja la región dada por: a) y = 2x − 2, b) y < 2x − 2, c) y ≤ 2x − 2, d) y ≠ 2x − 2 solución a) La región consiste en todos los puntos que están sobre la recta, lo que representamos con la línea: x y 1 0 2 2 y 2 −6 −4 −2 0 x 0 2 4 6 −2 −4 b) En este caso, como la ordenada y es menor que 2x − 2, la región consiste de los puntos que están por debajo de la recta y no incluye los puntos de la recta. Esto se representa con la línea recta punteada (para indicar que no se incluye) y sombreando la región. 390 Unidad 6: Geometría analítica y 2 −6 −4 −2 0 x 0 2 4 6 −2 −4 c) Para este caso, recordemos que el símbolo ≤ representa una de dos opciones: y < 2x − 2, o bien y = 2x − 2, pero ambos casos son precisamente los anteriores, así que la región corresponde a la unión de los mismos. En otras palabras, la región consta de los puntos en el plano cartesiano que están por debajo de la recta y también de los puntos de la recta. Representamos esto sombreando la región, igual que en el inciso anterior, pero la recta no es punteada, sino completa para representar que también se incluye. y 2 −6 −4 −2 0 x 0 2 4 6 −2 −4 d) y ≠ 2x − 2 representa que o bien y < 2 x − 2, o bien y > 2x − 2, es decir, la región consiste de los puntos del plano que están encima de la recta y debajo de la recta, pero no sobre la recta. En este caso la representación consiste en sombrear todo el plano y dibujar la recta con una línea punteada para representar que no se incluye. y 2 −6 −4 −2 0 −2 −4 x 0 2 4 6 391 6.1 Recta Ejemplo 2 Representa la gráfica de 3( x – 2) – 2 y ≥ 2x − 4 + y 3 solución Primero simplificamos la ecuación y obtenemos y ≤ (7/9)x −14/9. De esta forma podemos ver que la región consiste de los puntos del plano que están debajo de la recta incluyendo los puntos de ésta: y 2 −6 −4 −2 0 x 0 2 4 6 −2 −4 Ejemplo 3 Dibuja la región dada por las desigualdades a) y < 2x + 1, y < 3 − x, b) y ≥ 2x + 1, y < 3 − x solución a) La región está dada por dos desigualdades, así que su gráfica corresponde a la intersección de la gráfica de cada desigualdad. En otras palabras, la región consiste en los puntos en el plano que simultáneamente están por debajo de la rectas y = 2x + 1 y y = x + 3 y 2 −6 −4 −2 0 −2 −4 x 0 2 4 6 392 Unidad 6: Geometría analítica b) Nuevamente es la intersección de las regiones dadas por y ≥ 2x + 1 (puntos encima de la recta incluyendo ésta) y por y < 3 − x (puntos debajo de la recta sin incluir ésta). y 2 −6 −4 −2 0 x 0 2 4 6 −2 −4 Distancia de un punto a una recta En esta sección estableceremos la fórmula para la distancia de un punto P(x0, y0) a una recta dada L: Ax + By = C. Para ello, lo primero es advertir que, al hablar de distancia, nos referimos a la menor distancia de P a L. Tal distancia se logra midiendo el segmento de recta que hay entre P y la intersección Q, de la recta perpendicular a L que pasa por P. P L Q Por ejemplo, si queremos calcular la distancia del punto P(−2, 1) a la recta L: 3x − 4y = 12, 3 primero encontraremos la forma punto pendiente de L: y = x − 3 . Así, la pendiente de 4 4 5 la recta ortogonal a L que pasa por P es y = − x − . Determinamos las coordenadas 3 3 393 6.1 Recta ⎧ y = 3 x−3 16 4 del punto intersección Q al resolver el sistema ⎪⎨ La solución es x = 25 4 5 ⎪y = − x − 3 3 ⎩ y =− 63 La distancia del punto a la recta es la distancia de P a Q: 25 2 2 16 63 22 d = ⎛ + 2⎞ + ⎛ − − 1⎞ = ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ 5 Si repetimos este proceso para la recta Ax + By = C y para el punto P(x0, y0), obtendremos la siguiente fórmula: d = Ax 0 + By0 − C A2 + B2 ...(6) Ejemplos Ejemplo 1 Calcula la distancia del punto P(2, 3) a la recta L: 3x − 4y = 12 solución Sustituimos en la fórmula (6): d = 3(2) − 4(3) − 12 2 3 +4 2 = 18 5 Ejemplo 2 Calcula la distancia del punto (−2, 5) a la recta L que pasa por los puntos M(2, −2) y N(−3, 4). solución Primero determinamos la ecuación de la recta L. En tal caso la ecuación es 6x + 5y = 2, por lo que al aplicar la fórmula (6) tendremos: D = 6( −2) + 5(5) − 2 2 6 +5 2 = 11 61 394 Unidad 6: Geometría analítica Ejercicios y problemas 1. Describe con tus palabras qué es la pendiente de una línea recta. 2. Describe qué es la forma punto pendiente de la ecuación de una línea recta. 3. Explica el significado del coeficiente b en la forma punto pendiente de la ecuación de una línea recta. 4. Describe cómo se dibuja una línea recta a partir de su ecuación. 5. Explica por qué no hay forma punto pendiente para la ecuación de una línea recta vertical. 6. Señala cuál es la pendiente de una recta vertical. 7. Determina la forma punto pendiente y la forma general de la recta que: a) Pasa por los puntos (2, −1), (−2, 1) b) Tiene pendiente m = 2/5 y pasa por el punto (4, −3) c) Interseca al eje x en x = 2 y al eje y en y = 4 d) Pasa por el origen y por (−3, −3) e) Pasa por (−2, 4) y (−8, −9) f) Pasa por (−3, 1) y por (5, 4) g) Pasa por (−3, 5) y por (−3, 2) h) Pasa por (2, 5) y por (−2, 5) 8. Encuentra la forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es a) Paralela al eje x b) Perpendicular al eje x c) Paralela a 3x − 7y = 21 d) Perpendicular a 3x − 7y = 21 e) Paralela a y = 2 − 3x f) Perpendicular a y = 2 − 3x g) Paralela a y = 4 h) Perpendicular a y = 4 i) Paralela a x = −5 j) Perpendicular a x = −5 9. Bosqueja la gráfica de la recta que: a) Pasa por (3, 2) y (1, −4) b) Cruza al eje x en 9 y es perpendicular a 3x + 6y = 7 c) y = 3 − 4x d) y = 4x − 3 6.1 Recta 395 10. Determina si los puntos P y Q dados pertenecen o no la recta dada. a) P(1, 7), Q(−3, 1), y = 2x + 5 b) P(2, 1), Q(1, 2), y = 2 c) P(2, 1), Q(1, 2), x = 2 d) P(4, −1), Q(2, 2), x + y = 3 e) P(1, −1), Q(0, 3), 3x − 2y = 1 f) P(1, 5), Q(2, 3), x + 2y = 1 11. Determina si las rectas dadas son perpendiculares, paralelas u oblicuas. a) y = 3x + 4, −3x + 9y = 18 b) 4x − 3y = 2, 3x + 4y = 5 c) 4x − 7y = 0, 2x − 14y = −2 12. Bosqueja la gráfica de la región dada: a) y > 2x + 5, y < 3x + 1 b) y ≥ 3x − 1, y < 3x + 2 c) y < 2x + 7, y < 3 − x d) x > 0, y > 0 e) y < x/2 + 1, x ≥ 0, y ≥ 0 13. A Juan le toma 50 minutos podar 40 metros cuadrados de jardín, pero a su primo le toma hacerlo sólo 40 minutos. Determina la relación existente entre el número de minutos que puede trabajar cada uno para podar 40 metros cuadrados. 14. La empresa “Productos Patito” produce artículos con un costo de $13 c/u. La empresa tiene costos diarios fijos (luz, renta, salarios, etcétera) que ascienden a $300 y planea vender cada artículo producido a $19 c/u. a) Determina la relación lineal que existe entre la ganancia, I, de la empresa y el número, n, de artículos producidos diarios. b) Grafica esta relación. c) Describe el significado de la pendiente y la ordenada al origen. 15. La longitud, L (en centímetros), de un feto de 12 semanas o más de edad, se puede establecer como L = 1.53 E − 6.7 aproximadamente, con E igual a la edad en semanas. Dibuja esta relación y describe el significado de la pendiente y de la ordenada al origen. Determina la longitud del feto a las 15 semanas. 16. Una máquina se deprecia linealmente. Si su valor hace cuatro años era de $ 180,000 y ahora vale $100,000. a) Determina la ecuación que describe el valor V (en miles de pesos) de la máquina en términos del tiempo t (en años). b) Calcula el valor de la máquina el año pasado. c) Calcula el valor de la máquina para el próximo año. 396 Unidad 6: Geometría analítica 17. Calcula la distancia del punto P(3,−4) a la recta que a) Pasa por los puntos A(4, −2) y B(1, 2) b) Tiene pendiente m = −2/7 y pasa por (1, 1) c) Es perpendicular a x = 2 y pasa por el origen. 18. Un avión está a 22 kilómetros de la pista en donde aterrizará y vuela a una altura de 3 kilómetros. Determina la pendiente de su descenso. 19. La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°. Si es un triángulo rectángulo determina la relación que existe entre los valores en grados de los ángulos no rectos y grafica esta relación. ¿Por qué sólo hay gráfica en el primer cuadrante? 20. En cierto curso se realizarán dos exámenes, el primero tiene un peso del 35% y el segundo del 65%. La escala de calificaciones en cada examen es de 1 a 100. Si x y y representan las calificaciones del primero y segundo exámenes, respectivamente, y un alumno quiere obtener una calificación de 70, escribe la relación lineal que hay entre x y y, luego dibuja esta relación. 21. Determina la ecuación de la recta en cada caso: a) b) 2 c) 4 3 2 2 −2 d) e) f) (2, 3) 2 5, −2 (2, 4) 397 6.1 Recta 22. Dada la gráfica de la región, determina la desigualdad que la representa: a) y 2 x 0 −6 −4 0 −2 2 4 6 −2 −4 b) y 2 −6 −4 −2 0 x 0 2 4 6 −2 −4 23. Determina las desigualdades que representa el área sombreada en las gráficas. (3, 2) (3, 2) ((6, 1) (6, 1) (− −2) (−1, −2) (3, 2)) (3, 2) (6, 1) (− −2) (−1, −2) (6, 1) 398 Unidad 6: Geometría analítica 2 2 3 3 (3, 2) 2 3 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. La empresa “Patito, S. A de C. V.”, produce dos artículos “chunche tipo A”. Cada artículo A requiere de tres horas de mano de obra para su elaboración, mientras que cada artículo B necesita de dos horas de mano de obra para fabricarse. a) Determina la relación entre las cantidades de cada tipo de chunche que puede elaborar la empresa si cuenta esta semana con 60 horas para mano de obra. b) Grafica la relación que encontraste en el inciso anterior. c) ¿Por qué la gráfica está sólo en el primer cuadrante? d) Encuentra la pendiente de esta recta y di cuál es su significado. 2. Una avioneta está a cuatro kilómetros del aeropuerto y se encuentra a una altura de 500 metros sobre el suelo. Determina la pendiente de su trayectoria para que la avioneta pueda aterrizar en el aeropuerto. 3. El valor de una máquina se deprecia linealmente. Hoy vale $45,000 y en 10 años valdrá $100, a) Expresa el valor de la máquina como función del número de años. b) Bosqueja la gráfica. c) Determina su dominio. 4. El señor Gómez L. tiene una rutina de ejercicio. Cada tercer día se dirige en auto a la pista que está a 2 kilómetros de su casa y camina durante una hora en línea recta a una velocidad constante de 50 metros sobre minuto. El señor Gómez L. comienza a caminar a las 6:00 horas. Determina la ecuación lineal que describe la distancia a su casa en términos del tiempo t desde las 6:00 horas y hasta las 7:00 horas. 399 6.1 Recta 1. Indica la opción que contiene una ecuación de la recta que pasa por los puntos P(4, −1) y Q(−2, 5). a) x + y = 3 b) x + y = 5 c) x − y = 3 d) x − y = 5 2. Halla la opción que contiene la ecuación general de la recta que es perpendicular a 5x − 3y = 15, y que pasa por el punto P(9, −2). a) 3x + 57 = 37 b) −3x + 5y = 17 c) 3x + 5y = 17 d) −3x + 5y = 37 3. Calcula la distancia del punto P(2, 1) a la recta 6x + 8y = −5. a) 2 b) 2.5 c) 3 d) 3.5 4. Elige cuál de las gráficas representa la región dada por y < 2x + 1, y > 1 − 0.8x. a) y 2 −6 −4 −2 0 −2 −4 x 0 2 4 6 400 Unidad 6: Geometría analítica b) y 2 −6 −4 x 0 −2 0 2 4 6 −2 −4 c) y 2 −6 −4 −2 0 x 0 2 4 6 2 4 6 −2 −4 d) y 2 −6 −4 −2 0 x 0 −2 −4 5. Encuentra en la columna B las pendientes de las rectas que aparecen en la columna A. Columna A a) 3x − 6y = 5 b) Pasa por P(−3, 1), Q(2, −2) c) Perpendicular a 3x + 5y = 4 d) Paralela a 4x + 2y = 0 e) Perpendicular a x = 1 Columna B i. 4 ii. 1/2 iii. −3/5 iv. 0 v. −2 vi. 3/5 401 6.1 Recta Respuestas a los Ejercicios y problemas 7. a) y = −x/2, x + 2y = 0; b) y = 2x/5 − 23/5, 2x − 5y = 23; c) y = −2x + 4, 2x + y = 4; d) y = x, x − y = 0; e) y = 13x/6 + 25/3, 13x − 6y = 50; f) y = 3x/8 + 17/8, 3x − 8y = −17; g) x = −3, h) y = 5. 8. a) y = −3; b) x = 2; c) y = 3x/7 − 27/7; g) y = −3; h) x = 2; i) x = 2; d) y = −7x/3 − 7/3; e) y = −3x + 3; f) y = −x/3 − 11/3; j) y = −3. 9. a) b) 5 10 4 5 2 −2 x 4 3 6 0 2 −5 1 −10 0 −15 2 4 −1 c) x 6 8 10 d) 20 10 10 −4 −4 −2 0 2 −2 4 x −10 0 2 x 4 −10 −20 10. a) P 11. a) oblicuas b) Q c) P b) perpendiculares d) P c) oblicuas e) ninguno f) ninguno 402 Unidad 6: Geometría analítica y 12. a) 20 −60 −40 −20 x 0 0 20 40 60 −20 b) y 20 −60 −40 x 0 −20 0 20 40 60 −20 y c) 20 −60 −40 x 0 −20 0 20 40 60 −20 d) y 20 −60 −40 −20 0 −20 x 0 20 40 60 403 6.1 Recta e) y 20 −60 −40 0 −20 0 20 40 60 x −20 13. 4x/5 + y = 40, con x = número de minutos que trabaja Juan, y = números de minutos que trabaja su primo. 14. a) I = 6n − 300; b) 200 100 20 0 40 n 60 80 −100 −200 −300 c) m = ganancia neta por artículo producido y vendido, ordenada al origen = pérdida si no se produce ningún artículo. 15. 20 18 16 14 12 12 13 14 15 x 16 17 18 m = cantidad de centímetros que crece el feto por semana, b = no tiene significado. En 15 semanas, el feto mide 16.25 centímetros. 16. a) V = −20t + 180, con t = 0 hace cuatro años; b) 120,000; c) 80,000. 17. a) d = 2; b) d = 13/5; c) d = 4. 18. m = 3/22. 404 Unidad 6: Geometría analítica 19. α + β = 90∞, con α y β los ángulos del triángulo diferentes a 90°. 20. 0.35x + 0.65y = 70 100 80 60 y 40 20 0 50 100 x 150 200 21. a) y = −2x/3 + 2; b) y = −2x + 4; c) y = x + 2; d) y = −4x/5 + 2; e) y = 3x/2; f) y = 4 22. a) y ≤ −6x/7 + 6; b) y ≥ −x /2 + 2 23. a) y ≥ x/3 + 3, y ≤ x − 1; b) y ≤ x/3 + 3, y ≥ x −1; c) y ≤ x/3 + 3, y ≤ x − 1; d) y ≥ x/3 + 3, y ≥ x − 1; e) y ≥ −2x/2 + 2; f) y < −2x/2 + 2; g) y ≤ −2x/2 + 2, x ≥ 0, y ≥ 0; h) x ≤ 3 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. a c b d (a, ii), (b, vi), (c, iii), (d, v) (e, iv) 405 6.2 Circunferencia 6.2 Circunferencia No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela. Albert Einstein Introducción n 4 2 −4 −2 0 2 4 −2 −4 ¿Cuántos puntos tiene una circunferencia? Una circunferencia es la curva cuyos puntos están a la misma distancia de un punto fijo que llamaremos centro de la circunferencia. A la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se le llama el radio de la circunferencia. De acuerdo con la definición, una circunferencia es una curva que está formada por una infinidad de puntos, cada uno a un radio de distancia del centro. Seguramente has visto artículos que utilizamos en la vida diaria con forma de círculo o de una circunferencia. ¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia? La región encerrada por una circunferencia recibe el nombre de círculo. Esta región tiene la propiedad de que entre las figuras de igual perímetro, es la que tiene mayor área. A pesar de que son conceptos distintos, algunos autores acostumbran llamar círculo a la circunferencia; en general, el contexto en que se usa aclara si se trata del borde del círculo (circunferencia) o si se trata del interior de la circunferencia (círculo). Las circunferencia es la segunda curva cónica que estudiaremos; la primera curva cónica fue la recta. 406 Unidad 6: Geometría analítica Objetivos Al terminar esta sección, serás capaz de: • Reconocer la ecuación de una circunferencia y podrás graficarla. • Determinar la ecuación de una circunferencia de acuerdo a distintos tipos de datos. Ecuaciones de la circunferencia Dado que la circunferencia consiste de puntos equidistantes del centro de la misma, podemos construir fácilmente su ecuación. Sea C(h, k) el centro de una circunferencia de radio R, entonces si P(x, y) es un punto de la circunferencia, la distancia de C a P es R, es decir, ( x − h)2 + ( y − k )2 = R C(k, k) R P(x, y) Si elevamos al cuadrado cada lado de la ecuación, obtendremos lo que se conoce como la forma centro-radio o forma estándar de la ecuación de la circunferencia: ( x − h)2 + ( y − k )2 = R 2 … (1) Así, por ejemplo, (x − 2)2 + (y − 3)2 = 8, es la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 3) y de radio 8. Podemos desarrollar los paréntesis en la ecuación anterior; obtendremos: x 2 − 4 x + 4 + y2 − 6y + 9 = 8 ó 2 2 x + y − 4x − 6y + 5 = 0 407 6.2 Circunferencia Esta última ecuación es conocida como la forma general de la ecuación de la circunferencia. Si procedemos de la misma forma, para la forma (1), encontraremos la forma general (2) de la ecuación de la circunferencia con C = −2h, D = −2k, y F = h2 + k2 − R2 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 … (2) En los ejemplos desarrollaremos algunos casos para pasar de una a otra forma de la ecuación. También veremos cómo encontrar la ecuación de una circunferencia a partir de algunos datos conocidos, como son: a) Centro y radio. b) Tres puntos sobre la circunferencia. c) Dos rectas tangentes a la circunferencia, con sus puntos de tangencia. d) Una recta tangente con su punto de tangencia, otro punto sobre la circunferencia. e) Una recta tangente, el punto de tangencia y el radio, etcétera. Ejemplos Ejemplo 1 Determina la ecuación, centro, radio y la ecuación general de la circunferencia que tiene centro en C(4, −7) y radio 5. solución De acuerdo con (1), la ecuación centro radio es: 2 2 ( x − 4)2 + ( y − ( −7))2 = 52 ó ( x − 4) + ( y + 7) = 25 Para obtener la ecuación general, simplemente desarrollamos el paréntesis y simplificamos: x 2 + y 2 − 8 x + 14 y + 16 + 49 = 25 De esta forma obtenemos: x 2 + y 2 − 8 x + 14 y + 40 = 0 Ejemplo 2 Determina el centro y el radio de la circunferencia definida por x2 + y2 −10x + 2y + 17 = 0 408 Unidad 6: Geometría analítica solución Para cambiar de la forma general a la forma centro radio, basta completar el cuadrado para x y para y. x 2 + y 2 − 10 x + 2 y + 17 = 0 ( x 2 − 10 x ) + ( y 2 + 2 y) + 17 = 0 Para x sumamos 25 a cada lado de la ecuación y para y sumamos 1 a cada lado: ( x 2 − 10 x + 25) + ( y 2 + 2 y + 1) + 17 = 25 + 1 ( x − 5)2 + ( y + 1)2 + 17 = 26 ( x − 5)2 + ( y + 1)2 = 9 Esta ecuación nos indica que el centro es C(5, −1) y el radio es 3. 2 1 0 2 x 4 6 8 −1 y−2 −3 −4 Ejemplo 3 Bastan tres puntos para determinar la ecuación de una circunferencia. Determina la ecuación en su forma general de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,−1), B(−4, −3) y C(0, 3). solución Tenemos dos métodos de solución. El primero radica en observar que cada uno de los puntos satisface la ecuación (2), por lo que al sustituir las coordenadas de A, B y C obtenemos respectivamente las ecuaciones ⎧ (2)2 + ( −1)2 + D(2) + E( −1) + F = 0 ⎧ 5 + 2D − E + F = 0 ⎪ ⎪ 2 2 ó ⎨( −4) + ( −3) + D( −4) + E( −3) + F = 0 ⎨25 − 4 D − 3E + F = 0 ⎪ (0)2 + (3)2 + D(0) + E(3) + F = 0 ⎪ 9 + 3E + F = 0 ⎩ ⎩ 409 6.2 Circunferencia 22 4 75 ,E = Al resolver este sistema de ecuaciones lineales 3 × 3, obtenemos D = y F=− , por lo 7 7 7 que la ecuación en su forma general es: x 2 + y2 + 22 4 75 =0 x+ y− 7 7 7 El segundo método de solución consiste en recordar que la intersección de dos mediatrices de dos cuerdas no paralelas se intersecan en el centro de la circunferencia. De esta forma, el centro corresponde a la –– –– intersección de las rectas bisectrices de los segmentos de recta AB y BC, en tanto que el radio lo calculamos como la distancia del centro a uno de los puntos A o B o C. –– La bisectriz del segmento AB la calculamos anteriormente: en el ejemplo 5 el punto 2 correspondiente a rectas paralelas y perpendiculares de la sección 6.1. La ecuación que encontramos ahí fue y = −3x − 5. –– Calculamos ahora la ecuación de la bisectriz del segmento BC. La pendiente de este segmento es: m= 3 − ( −3) 3 = 0 − ( −4) 2 –– por lo que la pendiente de la bisectriz es −2/3 (por ser perpendicular al segmento AC ). El punto medio del segmento tiene coordenadas: ⎛ 0 − 4 , 3 − 3 ⎞ = (–2, 0) ⎝ 2 2 ⎠ Al utilizar la fórmula punto pendiente, obtenemos: 2 2 4 y = – ( x + 2) ó y = – x + 3 3 3 Calculamos la intersección de las bisectrices al igualar sus ecuaciones: −3 x − 5 = − de donde obtenemos x = − 2 4 x+ 3 3 11 2 , y = − , que corresponden precisamente a las coordenadas del centro de 7 7 la circunferencia. El radio es entonces la distancia del centro al punto A: R = 2 2 ⎛ 2 + 11⎞ + ⎛ −1 + 2 ⎞ = ⎝ ⎝ 7⎠ 7⎠ 650 49 Por lo que la forma punto centro de la ecuación de la circunferencia es: 410 Unidad 6: Geometría analítica 2 2 ⎛ x + 11⎞ + ⎛ y + 2 ⎞ = 650 ⎝ ⎝ 7⎠ 7⎠ 49 3 2 y 1 x −5 −4 −3 −2 −1 1 0 −1 2 −2 −3 −4 Ejemplo 4 Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 3, que es tangente en el punto P(2, 3) a la recta 1 L: y = x + 2 2 solución Como conocemos el radio, bastará determinar las coordenadas del centro C(h, k). Puesto que la recta L es tangente a la circunferencia, el centro de la circunferencia se encuentra sobre la recta que es perpendicular a L y que pasa por el punto de tangencia P, que llamaremos S. La recta S tiene pendiente m = −2, por lo que su ecuación es: y − 3 = −2(x − 2) S: y = 7 − 2x Buscamos, de esta forma, las coordenadas del punto C(h, k), de tal forma que cumpla dos condiciones: a) que esté sobre la recta perpendicular, S, y b) que su distancia a la recta tangente, L, sea igual al radio. Cada condición nos da lugar a una ecuación: k = 7 − 2h −h + 2k − 4 ( −1)2 + (2)2 (a) =3 (b) (para la ecuación (b), recuerda que la forma general de L es −x + 2y = 4). Sustituimos la ecuación (a) en la (b) y despejamos el valor de h: − h + 2( 7 − 2 h ) − 4 ( −1)2 + (2)2 =3 411 6.2 Circunferencia 10 − 5h =3 5 10 − 5h = 3 5 Elevamos cada lado de la ecuación al cuadrado para quitar el valor absoluto: (10 − 5h)2 = 45 Al resolver esta ecuación cuadrática, obtenemos dos valores para h: h=2+ 3 5 5 y h=2− 3 5 5 Al sustituir cada valor de h en la ecuación (a), obtenemos dos valores para k: k = 3− 6 5 5 k = 3+ y 6 5 5 De esta forma, obtenemos dos soluciones: 6 ⎞ 3 C1 ⎛ 2 + 5, 3 − 5 ⎝ 5 ⎠ 5 y 6 ⎞ 3 C2 ⎛ 2 − 5, 3 + 5 ⎝ 5 ⎠ 5 Por lo tanto, existen dos circunferencias tangentes a L en el punto P de radio 3: 2 2 ⎛ x − 2 − 3 5⎞ + ⎛ y − 3 + 6 5⎞ = 9 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 2 y Es fácil darnos cuenta en la gráfica que efectivamente existen dos soluciones. 8 6 y 4 2 −4 −2 0 −2 2 2 ⎛ x − 2 + 3 5⎞ + ⎛ y − 3 − 6 5⎞ = 9 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 4 x 6 8 412 Unidad 6: Geometría analítica Circunferencias, circunferencias degeneradas y circunferencias complejas Establecimos en la parte anterior que la ecuación general de una circunferencia es la ecuación (2): x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Nos preguntamos si todas las ecuaciones de la forma (2) corresponden a una circunferencia. La respuesta es no, depende de los valores de D, E y F. Para ver esto, completamos los cuadrados para tratar de recuperar la forma centro radio de la circunferencia: x 2 + y 2 + Dx + Ey = − F 2 2 2 2 D E D E x 2 + Dx + ⎛ ⎞ + y 2 + Ey + ⎛ ⎞ = ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ − F ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 2 2 2 ⎛ x + D⎞ + ⎛ y + E ⎞ = D + E − 4F ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠ 4 (3) Si el número D2 + E2 − 4F > 0, entonces tenemos una circunferencia de radio D2 + E 2 − 4 F Si el número D2 + E2 − 4F < 0, entonces no hay circunferencia, puesto que la cantidad del lado izquierdo en (3) es positiva, mientras que la expresión del lado derecho es negativa. Llamaremos a este caso, circunferencia compleja o circunferencia imaginaria. Si la cantidad D2 + E2 − 4F = 0, entonces la ecuación (3) corresponde a un solo punto: D E C⎛ − , − ⎞ Este caso es conocido como la circunferencia degenerada. ⎝ 2 2⎠ Ejemplos Ejemplo 1 Determina si la ecuación x2 + y2 + 2x − 3y + 5 = 0 corresponde a una circunferencia, una circunferencia degenerada o una circunferencia imaginaria. solución En este caso, D = 2, E = −3 y F = 5, por lo que D2 + E2 − 4F = (2)2 + (−3)2 − 4(5) = −7. Esto significa que la ecuación corresponde a una circunferencia imaginaria. Ejemplo 2 21 = 0 corresponde a una circunferencia, una circunfe4 rencia degenerada o una circunferencia imaginaria. Determina si la ecuación x 2 + y 2 − 4 x + 3 y + 413 6.2 Circunferencia solución 21 . Así, D2 + E2 − 4F = 4. Esto nos indica que la ecuación correspon4 de a una circunferencia de radio 2. Su ecuación centro radio se obtiene de completar los cuadrados (o de la fórmula (3)): Tenemos, D = −4, E = 3 y F = 2 3 ( x − 2)2 + ⎛⎝ y + ⎞⎠ = 4 2 0 1 x 2 3 4 −1 y −2 −3 Ejemplo 3 65 = 0 corresponde a una circunferencia, una circunferen4 cia degenerada o una circunferencia imaginaria. Determina si la ecuación x 2 + y 2 + x − 8 y + solución Como D = 1, E = − 8 y F = 65/4, entonces D2 + E2 −4F = 0, por lo que este caso corresponde a una cir⎛ 1 ⎞ cunferencia degenerada, es decir, un solo punto, C − , 4 ⎝ 2 ⎠ 414 Unidad 6: Geometría analítica Ejercicios y problemas 1. Describe con tus palabras qué es un círculo y qué es una circunferencia. 2. Describe qué significa que una recta sea tangente a una circunferencia. 3. Escribe cuál(es) es(son) la(s) diferencias entre la ecuación general y la ecuación centro radio de una circunferencia. 4. Describe con tus palabras, cómo se pasa de la forma general a la forma centro radio de una circunferencia. 5. Determina la ecuación, en su forma general, de la circunferencia con el centro y el radio dados. a) C(2, −1), R = 3 b) C(1/2, −3), R = 1/2 c) C(−3, 2), R = 1 d) C(1/2, 1/2), R = 4 e) C(0, 2), R = 4 f) C(3, 0), R = 3 6. Determina la ecuación centro radio de la circunferencia dada. a) x2 + y2 − 4x + 2y + 20 = 0 b) x2 + y2 + x − 2y + 1 = 0 c) x2 + y2 + 2x − y + 5 = 4 d) x2 + y2 + 4x − 6y − 2 = 0 e) 2x2 + 2y2 − 8x + 4y + 2 = 0 f) −x2 − y2 − 4x − 6y + 3 = 0 7. Clasifica la circunferencia en real, degenerada o compleja. a) −x2 − y2 − 4x + 6y + 1 = 0 b) 4x2 + 4y2 − 4x + 8y + 4 = 0 c) x2 + y2 + x − 2y + 1 = 0 d) x2 + y2 + 4x − 6y + 13 = 0 e) x2 + y2 + 6x − 4y + 14 = 0 8. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q, R dados. a) P(0, 0), Q(1, −1) y R(2, 3) b) P(1, 1), Q(2, 2) y R(−2, 1) c) P(1, 0), Q(0, 1) y R(1, 1) d) P(0, −2), Q(−2, −1) y R(0, 0) 6.2 Circunferencia 415 9. Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 4, que es tangente en el punto P(1, −1) a la recta L: y = x − 2 10. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coordenados en los puntos A(2, 0) y B(0, 2) 11. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coordenados en los puntos A(−2, 0) y B(0, −2) 12. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coordenados en los puntos A(−2, 0) y B(0, 2) 13. Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coordenados en los puntos A(2, 0) y B(0, −2) 14. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 2) y que es tangente al eje x 15. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(−1, 3) y que es tangente a la recta 4x − 3y = 5 16. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(4, −2) y que pasa por el punto P(0, −1) 17. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(−1, 2) y que pasa por el punto P(2, −3) 18. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 0) y que pasa por el punto P(1, 4) 19. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 1) y que es tangente a la recta 3x + 4y = 0 20. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, −2) y que es tangente a la recta x + 3y = −1 Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Encuentren un método para determinar las rectas tangentes a una circunferencia desde un punto P. Por ejemplo, determina las rectas tangentes a la circunferencia (x − 3)3 + (y − 2)2 = 1 que pasan por el punto (5, 6). 2. Determinen cómo encontrar la ecuación de una circunferencia que sea tangente a los ejes coordenados en el primer cuadrante, dado el radio R. 3. Determinen la ecuación de la recta tangente a la circunferencia con centro en C(0, 3) y radio 2, que tiene pendiente 2. 416 Unidad 6: Geometría analítica 1. Indica la opción que contiene la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, −3) y radio 4. a) b) c) d) x2 + 4x + y2 − 6y + 9 = 0 x2 − 6x + y2 + 4y − 9 = 0 x2 − 4x + y2 + 6y − 3 = 0 x2 + 6x + y2 − 4y + 3 = 0 2. Halla la opción que contiene la ecuación centro-radio de la circunferencia x 2 − 6x + y2 − y + 1 =0 4 3 a) ⎛ x − 3⎞ + y − 1 2 = 9 ( ) ⎝ 2⎠ 2 1 9 b) ( x − 3)3 + ⎛ y − ⎞ = ⎝ ⎠ 2 4 c) ⎛ x + ⎝ 3 9 3⎞ 2 + ( y + 1) = ⎠ 4 2 2 1⎞ 3 ⎛ =9 d) ( x − 3) + y − ⎝ 2⎠ 3. Halla la ecuación de la circunferencia de radio 2 que es tangente en el punto P(1, −1) a la recta L: 4x + 3y – 1 = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 19 65 a) ⎛ x − ⎞ + ⎛ y − ⎞ = 4 ⎝ ⎝ 17 ⎠ 17 ⎠ 23 19 b) ⎛ x − ⎞ + ⎛ y − ⎞ = 4 ⎝ ⎝ 17 ⎠ 17 ⎠ c) ⎛ x + 65 ⎞ + ⎛ y − 19 ⎞ = 4 ⎝ ⎝ 17 ⎠ 17 ⎠ d) ⎛ x + 19 ⎞ + ⎛ y − 23 ⎞ = 4 ⎝ ⎝ 17 ⎠ 17 ⎠ 4. Clasifica la circunferencia como real, degenerada o compleja 2x2 + 2y2 − 8x + 12y + 26 = 0 a) real b) degenerada c) compleja 417 6.2 Circunferencia 5. Encuentra en la columna B las clasificaciones de las ecuaciones que aparecen en la columna A. Columna A a) x 2 − Columna B 4 47 =0 x + y2 − y + 3 36 b) x 2 − x + y 2 + 4 y + 17 =0 4 c) x 2 − 6 x + y 2 − y + 45 =0 4 d) x 2 + y 2 − y − i. ii. iii. iv. v. Circunferencia de radio 4 Circunferencia compleja Un punto: C(1/2, −2) Circunferencia de radio 2 Un punto P(−2 ,1/2 ) 63 =0 4 Respuestas a los Ejercicios y problemas 5. a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9; b) (x − 1/2)2 + (y + 3)2 = 1/4; c) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 1; + (y − 1/2)2 = 16; e) x2 + (y − 2)2 = 16; f) (x − 3)2 + y2 = 9 d) (x − 1/2)2 6. a) (x − 2)2 + (y + 1)2 = 25; b) (x + 1/2)2 + (y − 1)2 = 1/4; c) (x + 1)2 + (y − 1/2)2 = 1/4; 2 2 2 2 d) (x + 2) + (y − 3) = 15; e) (x − 2) + (y + 1) = 4; f) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 16 7. a) real b) real; c) imaginaria 8. a) 5x2 + 5y2 − 19x − 9y = 0; x − 7y + 4 = 0; 9. (x − 1 − 8) + (y + 1 + 8 ) 2 10. (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4 11. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 12. (x + 2)2 + (y − 2)2 = 4 13. (x − 2)2 + (y + 2)2 = 4 14. (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4 15. (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4 16. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 17 2 d) degenerada e) imaginaria b) x2 + y2 + x − 7y + 4 = 0; ( = 4 y x −1+ 8 c) x2 + y2 − x − y = 0; ) + (y + 1 − 8 ) 2 2 =4 d) x2 + y2 + 418 Unidad 6: Geometría analítica 17. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 18. (x – 2)2 + y2 = 17 19. (x – 2)2 + (y − 1)2 = 4 20. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 9/10 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. c d a b (a, iv), (b, iii), (c, ii), (d, i) 419 6.3 Parábola 6.3 Parábola He fallado una y otra vez en mi vida, es por eso que he triunfado. Michael Jordan Introducción ¿Qué tienen en común los faros de los autos recientes y los proyectiles? ¿Y los faros de autos recientes con las antenas parabólicas? Quizás es más fácil contestar la segunda pregunta, pues los tres artículos mencionados tienen en común a las parábolas. Los faros y las antenas parabólicas son esencialmente paraboloides de revolución o al menos una parte de paraboloides de revolución; esto es, la superficie que resulta de girar una parábola sobre su eje de simetría, mientras que la trayectoria de un proyectil es siempre una parábola. Las parábolas se pueden aplicar en problemas tan distintos como los siguientes: • Una empresa produce su artículo más vendido a $7 por pieza. Si vende cada artículo a x pesos, sabe que los consumidores comprarán 30−x artículos. ¿A qué precio debe vender cada artículo con la finalidad de obtener la mayor ganancia? • Cuando una persona tose, el radio de la tráquea disminuye para aumentar la velocidad del aire que pasa por ella. La velocidad, V, del aire y radio, R, de la tráquea es V(R) = KR2 (R0 − R), con K, una constante positiva, y R0, el radio normal de la tráquea. ¿Para qué valor de R es mayor la velocidad del flujo de aire? En esta sección estudiaremos la tercera curva cónica: la parábola. 25 100 20 50 15 −4 10 −2 0 0 −50 5 −4 −2 2x 4 −100 2 4 420 Unidad 6: Geometría analítica Objetivos Al terminar esta sección, serás capaz de: • Reconocer las partes de una parábola y su definición. • Reconocer y manejar la ecuación de una parábola en sus diferentes formas. • Determinar la ecuación de una parábola dadas algunas condiciones. Parábola La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma distancia a una recta fija D, llamada directriz, y a un punto fijo F, llamado foco. P D F A la recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se le llama eje, en tanto que al punto en donde corta el eje de simetría a la parábola se le llama vértice. Directriz P Eje de simetría F Vértice La cuerda que es paralela a la directriz, y que pasa por el foco, se le llama el lado recto (latus rectum). 421 6.3 Parábola Directriz P F Vértice Lado recto Por facilidad, sólo estudiaremos parábolas verticales y parábolas horizontales. Para encontrar la ecuación, considerando primero la parábola que tiene el vértice en el origen y que su foco esté sobre el eje y, digamos que F(0, a) con a > 0. Entonces la directriz tiene ecuación y = −a, puesto que la distancia del vértice V(0, 0) a la directriz es igual que la distancia del vértice al foco. De esta forma, si un punto P(x, y) está sobre la parábola, entonces su distancia a la directriz es y + a, mientras que su distancia al foco es 2 x 2 + ( y − a) , por lo que 2 x 2 + ( y − a) = y + a Si elevamos al cuadrado y simplificamos, obtendremos: 2 x 2 + ( y − a) = ( y + a) 2 x 2 + y 2 − 2 ay + a 2 = y 2 + 2 a x 2 = 4 ay …(1) Debido a esta ecuación, vemos que la parábola es simétrica respecto de su eje, que abre hacia arriba, y que su lado recto mide 4a. Si a es negativa, la ecuación es la misma, pero la parábola abre hacia abajo. El lado recto mide en este caso 4a. De la misma forma es posible encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en F(0, a): y 2 = 4 ax … (2) Para encontrar la ecuación de cualquier parábola vertical u horizontal, basta trasladar las ecuaciones que encontramos. Así, la parábola vertical con vértice en V(h, k) y foco en F(h, k + a) tiene ecuación: ( x − h)2 = 4 a( y − k ) …(3) Para la parábola horizontal con vértice en V(h, k) y foco en F(h + a, k) con a > 0, su ecuación es: 422 Unidad 6: Geometría analítica ( y − k )2 = 4 a( x − h) …(4) Las formas (3) y (4) de la ecuación de una parábola se conocen como formas estándar. Si se desarrollan los paréntesis y se escriben los términos de un solo lado se obtiene la forma general de la parábola. Por ejemplo, para el caso de la parábola vertical (3), tenemos x 2 − 2 hx + h 2 = 4 ay − 4 ak x 2 − 2 hx + h 2 − 4 ay + 4 ak = 0 x 2 + Dx + Ey + F = 0 …(5) en donde D = –2h, E = –4a y F = h2 + 4ak Para el caso de parábola horizontal, la ecuación en forma general es: y 2 + Dy + Ex + F = 0 …(6) Para obtener la forma estándar a partir de la ecuación general, se completa el cuadrado. Es importante observar que no toda ecuación de la forma (5) o (6) representa una parábola: si completamos el cuadrado en la ecuación (5), obtendremos: 2 2 D D x 2 + Dx + ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ + Ey + F = 0 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 2 ⎛ x + D ⎞ − D + Ey + F = 0 ⎝ 2⎠ 4 2 2 ⎛ x + D ⎞ = D − Ey − F ⎝ 2⎠ 4 2 2 ⎛ x + D ⎞ = − E⎛ y − D − 4 F ⎞ ⎜ ⎝ 2⎠ 4 E ⎟⎠ ⎝ Lo anterior requiere, desde luego, que E ≠ 0. En este caso, diremos que la ecuación (5) representa una parábola real. Si E = 0, entonces la ecuación (5) puede representar dos rectas paralelas: x=± D2 − 4 F D − 4 2 siempre y cuando D2 – 4F > 0. Si D2 – 4F = 0 (y E = 0), la ecuación (5) representa una D sola recta vertical: x = − . Llamamos a estos casos de rectas parábolas degeneradas. 2 Finalmente, cuando D2 – 4F < 0, la ecuación (5) no representa ninguna figura en el plano. Decimos entonces que se trata de una parábola compleja o una parábola imaginaria. 423 6.3 Parábola Ejemplos Ejemplo 1 Determina la ecuación, en su forma general, de la parábola con vértice en V(2, 3) y foco en F(2, 1) solución Utilizamos la ecuación (3), donde h = 2, k = 3 y k + a = 1, es decir, a = –2. De esta forma, la ecuación es: ( x − 2)2 = 4( −2)( y − 3) Al desarrollar y pasar todos los términos del lado izquierdo de la ecuación, obtenemos la forma general: x 2 − 4 x + 4 = −8 y + 24 x 2 − 4 x + 8 y − 20 = 0 5 4 3 2 1 −4 −2 0 −1 2 4 x 6 8 −2 −3 Ejemplo 2 Determina la longitud del lado recto de la parábola del ejercicio anterior. solución El lado recto corresponde al segmento de línea paralelo a la directriz que pasa por el foco. En este caso, la directriz es horizontal. Por ello, los extremos del lado recto corresponden a las intersecciones de la recta horizontal y = 1 con la parábola. Tales intersecciones se obtienen sustituyendo y = 1 en la ecuación x 2 − 4 x + 8(1) − 20 = 0 x 2 − 4 x − 12 = 0 ( x + 2)( x − 6) = 0 424 Unidad 6: Geometría analítica El lado recto es el segmento de línea que une los puntos (–2, 1) con (6, 1), por lo que su longitud es de ocho unidades. 5 4 3 2 1 −4 −2 0 −1 2 4 x 6 8 −2 −3 Una alternativa. Como mencionamos en la teoría, el lado recto mide |4a|, por lo que en este caso corresponde a |4(–2)| = 8 unidades. Ejemplo 3 Encuentra la ecuación, en su forma estándar, así como el vértice y el foco de la parábola horizontal que pasa por los puntos P(3, 1), Q(0, 3) y R(8, 11) solución Como la parábola es horizontal, sustituimos los puntos dados en la ecuación (5) y obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: ⎧ (1)2 + D(1) + E(3) + F = 0 ⎪ 2 ⎨ (3) + D(3) + E(0) + F = 0 ⎪(11)2 + D(11) + E(8) + F = 0 ⎩ ó ⎧ D + 3E + F = −1 ⎪ 3 D + F = −9 ⎨ ⎪11D + 8 E + F = −121 ⎩ Al resolver este sistema, obtenemos D = –10, E = –4, F = 21, por lo que la ecuación general de la parábola es: y 2 − 10 y − 4 x + 21 = 0 Para determinar el vértice y el foco, debemos encontrar la forma estándar de la ecuación. Para esto, basta escribir los términos en y en el lado izquierdo y los demás en el lado derecho de la ecuación, así como completar el cuadrado: y 2 − 10 y = 4 x − 21 y 2 − 10 y + 25 = 4 x − 21 + 25 ( y − 5)2 = 4( x + 1) 425 6.3 Parábola Vemos que el vértice es V(–1, 5) y el foco es F(0, 5) 10 8 x6 4 2 0 2 4 y 6 8 10 Ejemplo 4 Clasifica las ecuaciones como parábola real, degenerada o compleja: a) x2 – 4x – 5 = 0 b) x2 – 4x + 9 = 0 c) x2 – 4x – 4y = 0 solución a) Al completar el cuadrado obtenemos: x2 − 4x + 4 − 9 = 0 ( x − 2)2 = 9 x = ±3 + 2 Por lo que la ecuación representa dos rectas verticales, x = 5 y x = −1 (parábola degenerada). b) Completamos el cuadrado: x2 − 4x + 4 + 5 = 0 ( x − 2)2 = −5 Por lo que la ecuación no representa ninguna gráfica (parábola compleja). c) Completamos el cuadrado: x2 − 4x + 4 − 4 − 4y = 0 ( x − 2)2 = 4( y + 1) Vemos que la ecuación representa una parábola real con vértice en V(2, −1) y que abre hacia arriba. 426 Unidad 6: Geometría analítica 5 4 y 3 2 1 −2 0 2 −1 4 x 6 Ejercicios y problemas 1. Describe qué es una parábola. 2. ¿Por qué es una curva cónica? 3. Describe qué son el foco y la directriz de una parábola. 4. Describe qué es un paraboloide. 5. Describe por qué se utilizan los paraboloides. 6. ¿Qué propiedad importante tienen las parábolas? 7. Determina el foco, la directriz y el vértice de la parábola: 2 a) ( y + 2) = 8( x − 4) 2 b) ( y − 4) = 6( x − 3) 2 c) ( y + 5) = −16( x + 2) 2 d) ( y − 7) = ( x + 2) e) ( x − 2)2 = −8( y + 4) f) ( x − 4)2 = 4( y − 1) g) ( x − 5)2 = 2( y + 2) 2 h) ( y + 8) = 1 ( x + 7) 2 427 6.3 Parábola 8. Determina el vértice, el foco y la directriz de la parábola. a) y 2 − 8 y − 16 x + 3 = 0 b) x 2 − 4 x + 20 y + 10 = 0 c) y 2 − 2 y − 6 x − 2 = 0 d) x 2 − 6 x + 4 y − 3 = 0 9. Determina la ecuación de la parábola vertical que pasa por los puntos P, Q y R. a) P(1, −2), Q(2, −3), R(3,−4) b) P(0, −2), Q(1, −1), R(–1, −1) c) P(−3, 2), Q(−2, 1), R(−1, 2) d) P(1, 2), Q(2, 3), R(3, 2) 10. Determina una ecuación de la parábola que interseca al eje y en 4, y al eje x en −2 y en 1 11. Determina una ecuación de la parábola que tiene foco en F(4, −3) y directriz y = −7 12. Determina una ecuación de la parábola que tiene foco en F(4, −3) y directriz y = 1 13. Determina una ecuación de la parábola que tiene foco en F(4, −3) y directriz x = 0 14. Determina una ecuación de la parábola que tiene foco en F(4, −3) y directriz x = 8 15. Determina una ecuación de todos los puntos en el plano que equidistan del punto P(−3, 4) y de la recta y = 8 16. Determina una ecuación de todos los puntos en el plano que equidistan del punto P(2, −1) y de la recta x = 6 17. Una empresa produce su artículo más vendido a $7 por pieza. Si puede vender cada artículo a x pesos, sabe que los consumidores comprarán 30−x artículos. ¿A qué precio debe vender cada artículo con la finalidad de obtener la mayor ganancia? 18. Una empresa de TV por cable tiene actualmente 3,000 suscriptores que pagan al mes $50. La empresa sabe que por cada $0.5 que disminuya la cuota mensual, tendrá 60 nuevos suscriptores. Determina la cuota mensual que se requiere para que la empresa tenga el mayor ingreso posible. 19. Cuando una persona tose, el radio de la tráquea disminuye para aumentar la velocidad del aire que pasa por ella. La velocidad, V, del aire y radio, R, de la tráquea es V(R) = KR(R0 − R), con K, una constante positiva, y R0, el radio normal de la tráquea. ¿Para qué valor de R es mayor la velocidad del flujo de aire? 20. El administrador de una empresa sabe que el costo de producir q unidades de su producto es: C = q 2 − 200 q + 9600 Determina qué cantidad debe producir con la finalidad de obtener el menor costo y cuál es este costo menor. 428 Unidad 6: Geometría analítica 21. Se va a cercar un área rectangular de descanso para automovilistas en cierta carretera. Se tienen 10,000 metros de cerca para vallar el área y sólo se pondrá valla en tres lados (no hay cerca en la parte que da a la carretera). Determina las dimensiones del terreno de mayor área que se puede cercar. Carretera 22. Determina la trayectoria de un proyectil que se dispara desde el suelo y recorre 2 kilómetros horizontalmente antes de llegar de nuevo al suelo. La mayor altura del proyectil es de 500 metros. 23. Determina el foco de un espejo parabólico para telescopio que mide 6 metros de diámetro y tiene una profundidad de 0.5 metros. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Newton fue quien encontró la propiedad de las parábolas de que los rayos paralelos al eje de simetría se reflejan en el foco. La idea de este ejercicio es que pruebes lo anterior para la parábola y = x2. ¿Cómo lograrlo? Primero, dada la ley física que afirma que “el ángulo de incidencia es igual al ángulo de refracción” para un haz luminoso, basta ver que el ángulo de una recta vertical (haz paralelo al eje de simetría) es igual al ángulo de la recta que pasa por el foco y por el punto de incidencia. Así que lo que debes hacer en equipo es: a) Determina las coordenadas del foco F de la parábola y = x2. b) Para el punto P(a, b) sobre la parábola, determina la ecuación de la recta tangente, T, a la misma en P. c) Calcula el ángulo entre la T y la recta vertical que pasa por P. d) Determina una ecuación de la recta, L, que pasa por P y F. e) Calcula el ángulo entre L y T. 2. ¿Cómo determinarías la ecuación de una parábola si conoces las coordenadas del vértice y el lado recto? 3. Supón que tienes una antena parabólica o un faro de automóvil. Determina el foco del paraboloide, es decir, determina el foco de la parábola que la genera. 4. Encuentra las ecuaciones de la rectas que pasan por P(2, 1) y que intersecan a la parábola y – 4x = y2 en exactamente un punto 429 6.3 Parábola 1. Indica la opción que contiene la ecuación de la parábola con vértice en V(2, –5) y foco F(0, –5) 2 a) ( y + 5) = 4( x − 2) 2 b) ( y − 5) = −4( x + 2) 2 c) ( y − 5) = 8( x + 2) 2 d) ( y + 5) = −8( x − 2) 2. Halla la opción que contiene la forma estándar de la ecuación de la parábola 5 x2 − x − 4y + = 0 4 1 2 1 a) ⎛ x − ⎞ = −4⎛ y + ⎞ ⎝ ⎝ 2⎠ 4⎠ 1 2 1 b) ⎛ x − ⎞ = ( y − 4) ⎝ 2⎠ 4 1 2 1 c) ⎛ x − ⎞ = 4⎛ y − ⎞ ⎝ ⎝ 2⎠ 4⎠ 1 2 1 d) ⎛ x − ⎞ = − ( y − 4) ⎝ 2⎠ 4 3. Encuentra el lado recto de la parábola que pasa por los puntos P(2, 19), Q(1, 12) y R(–1, 4). a) 2 b) 1 1 c) 2 d) 1 4 4. Encuentra en la columna B la ecuación de la parábola dada en la columna A: Columna A Columna B 1 2 1 i. ⎛ x − ⎞ = 2⎛ y − ⎞ ⎝ ⎝ 2⎠ 3⎠ a) y = x2 + 4x + 7 1 2 b) ⎛ y − ⎞ = 4⎛ x − ⎝ ⎝ 3⎠ 1⎞ 2⎠ ii. y 2 − 2 19 =0 y − 4x + 3 9 430 Unidad 6: Geometría analítica c) x 2 − x − 2 y − 11 =0 24 iii. (y + 1)2 = x + 3 1⎞ 2⎠ iv. (x + 2)2 = y − 3 2 d) ( y − 1) = 1⎛ x − ⎝ v. x = vi. y = 1 2 y − y +1 2 1 2 7 x − 2x + 3 2 Respuestas a los Ejercicios y problemas 7. a) V(4, −2), F(6, −2), x = 2; b) V(3, 4), F(9/2, 4), x = 3/2; c) V(−2, −5), F(−6, −5), x = 2; d) V(−2, 7), F(−7/4, 7), x = −9/4; e) V(2, −4), F(2, −6), y = −2; f)) V(4, 1), F(4, 2), y =0; g) V(5, −2), F(5, −7/4), y = −9/4; h) V(−7, −8), F(−57/8, −8), x = −55/8 8. a) V(−13/16, 4), F(77/16, 4), x = 51/16; b) V(2, −3/10), F(2, −53/10), y = 47/10; 3), F(5/18, 3), x = 49/18; d) V(3, 3), F(3, 2), y = 4 c) V(11/9, 9. a) No hay parábola, los puntos están alineados; b) x2 –y −2 = 0; c) x2 + 4x – y – 5 = 0; d) x2 −4x + y+1=0 10. x2 + x + y/2 – 2 = 0 11. (y + 5)2 = 8(x − 4) 12. (y + 1)2 = −8(x − 4) 13. (x − 2)2 = 8(y + 3) 14. (x − 6)2 = −8(y + 3) 15. (x + 3)2 = −8(y − 6) 16. (y + 1)2 = −8(x − 4) 17. 37/2, es decir, 18 o 19 artículos 18. 75 19. Ro/2 6.3 Parábola 431 20. 100 21. 2,500 por 5,000 metros 22. Si el origen está en el punto donde se dispara y el disparo es en el primer cuadrante, la altura del proyectil es y = K x(x − 2) kilómetros, para una constante positiva K que depende de la fuerza del disparo. 23. Si se coloca el espejo de forma vertical abriendo hacia arriba con el vértice en el origen, su ecuación es y = x2/18. Su foco está nueve metros arriba del origen. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. d c b (a, iv), (b, ii), (c, i), (d, v) 432 Unidad 6: Geometría analítica 6.4 Elipse The best way to learn mathematics is to do mathematics. Paul Halmos Introducción La órbita de la Tierra alrededor del Sol no es una circunferencia, por lo que la distancia que tenemos al Sol cambia diariamente. ¿Cuál es la mayor distancia y cuál es la menor distancia de la Tierra al Sol? ¿Te imaginas una mesa de billar en la cual al tirar desde cierta posición inicial siempre aciertas un punto dado, sin importar hacia dónde dirijas tu tiro? (véase el problema de equipo 3). Las preguntas anteriores tienen que ver con el tema de esta sección: elipses. 3 y −3 −2 2 1 − −1 x 2 3 −2 −3 Objetivos Al terminar esta sección, serás capaz de: • Reconocer la definición de elipse. • Reconocer las diferentes partes de una elipse. • Graficar una elipse con centro en el origen dada su ecuación. • Obtener la ecuación de una elipse dados datos suficientes. 433 6.4 Elipse Elipse La elipse se define como el lugar geométrico de todos los puntos P del plano cartesiano que tienen la propiedad de que la suma de las distancias de P a dos puntos fijos, F1 y F2, llamados focos, es una constante. La recta que pasa por los focos se conoce como eje principal de la elipse y a la recta perpendicular al eje principal que pasa por el punto medio de los focos se le llama eje secundario. El centro de la elipse es la intersección de los ejes principal y secundario. Centro Eje pprincipal Eje principal Eje secundario Las intersecciones de los ejes principal y secundario con la elipse se conocen como los vértices de la elipse. El segmento de recta que va de un vértice al otro sobre el eje principal se llama eje mayor, en tanto que al segmento de recta que va de un vértice al otro sobre el eje secundario se le conoce como eje menor. Eje mayor F1 F2 F2 F1 Eje menor A la cuerda que pasa por un foco, y es perpendicular al eje mayor, se le llama lado recto (latus rectum). Una elipse tiene dos lados rectos. F1 Lado recto t F2 Lado recto L 434 Unidad 6: Geometría analítica A la distancia entre los focos se le llama distancia focal. Para obtener la ecuación de la elipse, primero consideramos el caso cuando el centro de la elipse está en el origen y los focos están sobre el eje x: F1(−c, 0), F2(c, 0) con c > 0. Entonces, si P(x, y) es cualquier punto de la elipse, la suma de las distancias de P a F1 y de P a F2 es una constante que, por conveniencia, llamaremos 2a. De esta forma, tenemos: ( x + c)2 + y 2 + ( x − c)2 + y 2 = 2 a Para obtener una manera más manejable de la ecuación, vamos a eliminar los radicales. Primero despejamos un radical y elevamos al cuadrado cada lado: ( x − c)2 + y 2 = 2 a − ( x + c)2 + y 2 ⎛ ⎝ 2 ( x − c)2 + y 2 ⎞⎠ = ⎛⎝ 2 a − ( x + c)2 + y 2 ⎞⎠ 2 ( x − c)2 + y 2 = 4 a 2 − 4 a ( x + c)2 + y 2 + ( x + c)2 + y 2 Despejamos el radical para elevar nuevamente al cuadrado: cx a 2 2 cx + y 2 ⎞⎠ = ⎛ a + ⎞ ⎝ a⎠ ( x + c)2 + y 2 = a + ⎛ ⎝ ( x + c)2 x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = a 2 + 2cx + c2 x 2 a2 Escribimos las variables en el lado izquierdo de la igualdad: c2 x 2 + y2 = a2 − c2 a2 a2 − c2 x 2 + y2 = a2 − c2 a2 x2 − ( ) Ahora dividimos cada lado de la ecuación entre a2 − c2: x2 y2 + 2 =1 2 a a − c2 Puesto que 2a > 2c, entonces a2 − c2 > 0, que se acostumbra denotar como b2 = a2 − c2. Así, obtenemos lo que se conoce como la forma estándar de la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen y focos F1(−c, 0), F2(c, 0) sobre el eje x: x 2 y2 + = 1… (1) a2 b2 Los vértices de la elipse son los puntos (±a, 0) y (0, ± b). El eje mayor mide 2a, mien2 tras que el eje menor mide 2b. El lado recto mide 2 b (ejercicio 16). La distancia foa cal es 2c (recuerda que b2 = a2 − c2). 435 6.4 Elipse Análogamente, para la elipse (vertical) con centro en el origen y focos F1(0, −c), F2(0, c) sobre el eje y, la forma estándar de su ecuación es: x 2 y2 + = 1 … (2) b2 a2 Los vértices de la elipse son los puntos (0, ± a) y (±b, 0). El eje mayor mide 2a, mien2 tras que el eje menor mide 2b. El lado recto mide 2 b (ejercicio 16). La distancia focal a es 2c (recuerda que b2 = a2 − c2). Si la elipse tiene centro en C(h, k) simplemente trasladamos los ejes para encontrar su ecuación. Así, para la elipse horizontal con centro en C(h, k), su ecuación en forma estándar es: ( x − h)2 a2 + ( y − k )2 b2 = 1… (3) Los vértices son (h ± a, k) y (h, k ± b). De la misma forma, la elipse vertical con centro en C(h, k) tiene ecuación (en forma estándar): ( x − h)2 b2 + ( y − k )2 a2 = 1… (4) Los vértices son, en este caso, (h ± b, k) y (h, k ± a) Ejemplos Ejemplo 1 Determina los vértices, los focos y la longitud de los lados rectos; luego, dibuja la elipse dada por 9x2 + 16y2 = 144 solución Dividimos cada lado de la ecuación por 144 para encontrar la forma estándar de la ecuación: 9 x 2 16 y 2 144 + = 144 144 144 x 2 y2 + =1 4 2 32 Como a = 4 y b = 3, la elipse es horizontal con centro en el origen. Sus vértices son (4, 0), (−4, 0), (0, 3) y (0, −3) Para determinar los focos, recuerda que b2 = a2 − c2 o c = a 2 − b 2 , por lo que en este caso, c = 4 2 − 33 = 7 , De esta forma, los focos son F1(– 7 , 0) y F2( 7 , 0) 436 Unidad 6: Geometría analítica El lado recto =mide 2 b 2 2( 9 ) 9 = = a 4 2 3 y 2 1 −4 −2 0 2 −1 4 x −2 −3 Ejemplo 2 Encuentra la forma estándar de la ecuación de la elipse que tiene focos en F1(0, −4) y F2(0, 4), así como vértices en V1(0, 5) y V2(0, −5). Bosqueja su gráfica. solución Se trata de una elipse vertical puesto que los focos están sobre el eje y. En este caso, la distancia focal es ocho unidades, por lo que c = 4, en tanto que el eje mayor mide 10 unidades, a = 5. Así, tenemos que b = a 2 − c 2 = 25 − 16 = 3. Por lo tanto, la ecuación es x 2 y2 + =1 32 5 2 4 y 1 − −2 −4 x 2 3 437 6.4 Elipse Ejemplo 3 Determina la ecuación de la elipse que tiene centro en C(3, −2), focos F1(−2, −2) y F2(8, −2) y vértices en V1(−3, −2) y V2(9, −2). Bosqueja su gráfica. solución Esta elipse es horizontal con distancia focal de 10 unidades y eje mayor de 12 unidades, por lo que c = 5 y a = 6. En este caso, b = 36 − 25 = 11. Utilizamos la ecuación (3): ( x − 3)2 36 + ( y + 2)2 11 1 2 −2 4 x =1 6 8 0 −1 −2 y −3 −4 −5 Ejemplo 4 Encuentra la forma estándar de la ecuación de la elipse dada por 49x2 + 24y2 − 98x − 96y − 1031 = 0 y grafícala. solución Primero completamos los cuadrados en las variables x y y: 49 x 2 − 98 x + 24 y 2 − 96 y − 1031 = 0 [ ] [ 49[ x − 2 x + 1 − 1] + 24[ y ] 49 x 2 − 2 x + 24 y 2 − 4 y − 1031 = 0 2 [ [ ] 2 ] − 4 y + 4 − 4 − 1031 = 0 ] 49 ( x − 1) − 1 + 24 ( y − 2) − 4 − 1031 = 0 2 2 49( x − 1) + 24( y − 2) = 1176 2 2 438 Unidad 6: Geometría analítica Al dividir cada lado de la ecuación por 1176, obtenemos la forma estándar: ( x − 1)2 24 + ( y − 2)2 49 =1 24 y b = 7 Vemos que se trata de una elipse vertical con centro en C(1, 2) y con a = 8 y 6 4 2 −4 −2 0 −2 2 x 4 6 −4 Ejemplo 5 Encuentra una ecuación del lugar geométrico de todos los puntos medios de las ordenadas de la circunferencia x2 + y2 = 64 solución Las ordenadas de la circunferencia tienen ecuación y = 64 − x 2 , por lo que los puntos medios tienen 1 ecuación y = 64 − x 2 o 2 y = 64 − x 2 . Al despejar, obtenemos: 2 x 2 y2 + =1 64 16 8 6 4 2 −8 −6 −4 −2 0 −2 −4 −6 −8 2 4 6 8 439 6.4 Elipse Más sobre elipses En la sección anterior vimos la forma estándar de una elipse. Si multiplicamos cada lado de la ecuación por el producto de los denominadores y desarrollamos los paréntesis, obtendremos la forma general de la ecuación. Así, por ejemplo, en el caso de una elipse horizontal con centro en C(h, k) (fórmula (3)) obtenemos: ⎡ ( x − h)2 ( y − k )2 ⎤ 2 2 a2b2 ⎢ + ⎥=a b 2 2 a b ⎢⎣ ⎥⎦ b 2 ( x − h) + a 2 ( y − k ) = a 2 b 2 2 2 b 2 x 2 − 2 b 2 hx + b 2 h 2 + a 2 y 2 − 2 a 2 ky + a 2 k 2 − a 2 b 2 = 0. De esta forma, llegamos a la ecuación general. Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + F = 0 … (5) con A = b2, B = a2, C = −2b2h, D = −2a2k, y F = b2h2 + a2k2 − a2b2 Para regresar de la ecuación general (5) a la forma estándar, basta completar los cuadrados (tal como lo hicimos en el ejemplo 4 anterior): Ax 2 + Cx + By 2 + Dy + F = 0 D C A⎡⎢ x 2 + x ⎤⎥ + B⎡⎢ y 2 + y ⎤⎥ + F = 0 B ⎦ A ⎣ ⎦ ⎣ 2 2 2 2 ⎡ ⎡ C C ⎤ D D D ⎤ C A⎢ x 2 + x + ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎥ + B⎢ y 2 + y + ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎥ + F = 0 ⎝ 2A⎠ ⎝ 2A⎠ ⎦ ⎝ 2B⎠ ⎝ 2B⎠ ⎦ B A ⎣ ⎣ 2 2 2 2 ⎡ ⎡ D⎞ D ⎤ C⎞ C ⎤ A ⎢⎛ x + − ⎛ ⎞ ⎥ + B⎢⎛ y + −⎛ ⎞ ⎥+F = 0 ⎝ 2A⎠ ⎦ ⎝ 2B⎠ ⎦ 2A⎠ 2B⎠ ⎣⎝ ⎣⎝ 2 2 2 2 2 2 C⎞ D⎞ C D + B⎛ y + = A⎛ ⎞ + B⎛ ⎞ − F A⎛ x + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2A 2B 2A 2B⎠ 2 2 C⎞ D⎞ C D + B⎛ y + = A⎛ ⎞ + B⎛ ⎞ − F A⎛ x + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2A 2B 2A 2B⎠ Es importante resaltar que no toda ecuación de la forma (5) corresponde a una elipse. 2 2 C D La ecuación (5) corresponde a una elipse solamente si la cantidad A⎛ ⎞ + B⎛ ⎞ − F > 0. ⎝ 2A⎠ ⎝ 2B⎠ Decimos, entonces, que la ecuación (5) representa en este caso una elipse real. 2 2 C D C D Si A⎛ ⎞ + B⎛ ⎞ − F = 0, la ecuación (5) representa un punto: ⎛ − ,− ⎞ ⎝ 2A⎠ ⎝ 2B⎠ ⎝ 2 A 2B⎠ En este caso, decimos que la ecuación representa una elipse degenerada. 440 Unidad 6: Geometría analítica 2 2 ⎛ C ⎞ + B⎛ D ⎞ − F < 0, Si A la ecuación no representa nada en el plano. Decimos ⎝ 2A⎠ ⎝ 2B⎠ en este caso que se trata de una elipse compleja o una elipse imaginaria. Cerramos esta sección mencionando, sin demostración, dos propiedades importantes de las elipses. 1. La elipse también se puede definir en términos de una directriz y un foco: Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano que tiene la propiedad de que la distancia de cualquier punto a un punto fijo F, llamado foco, es igual a una constante, entre 0 y 1, multiplicada por su distancia a una recta fija, L, llamada directriz. A la constante entre 0 y 1 se le llama excentricidad de la elipse y se le denota con la letra e. Una elipse tiene dos directrices: para la elipse de ecuación, x 2 y2 + = 1; a2 b2 las rectas x = e= a2 a2 son las directrices de la elipse y la excentricidad es y x=− c c c . a 2. Las elipses tienen la propiedad, para cualquier punto P en la elipse, de que el ángulo entre la recta que pasa por P y el foco F1 y la recta tangente a la elipse en P, es igual al ángulo que forman la recta tangente con la recta que pasa por P y el foco F2. α P α F1 F2 Ejemplos Ejemplo 1 Determina qué tipo de elipse representa la ecuación 3x2 + 4y2 − 6x + 4y + 4 = 0 441 6.4 Elipse solución 2 2 [ ] [ C D Podemos utilizar el signo de A⎛ ⎞ + B⎛ ⎞ − F, pero preferimos completar los cuadrados en ca⎝ 2A⎠ ⎝ 2B⎠ da variable: ] 3 x 2 − 2 x + 4 y2 − y + 4 = 0 1 1 3 x 2 − 2 x + 1 − 1 + 4 ⎡⎢ y 2 + y + − ⎤⎥ + 4 = 0 4 4⎦ ⎣ [ ] 2 ⎡ 1 1⎤ 3 ( x − 1)2 −1 + 4 ⎢⎛ y + ⎞ − ⎥ + 4 = 0 2⎠ 4⎦ ⎣⎝ [ ] 2 1 2 3( x − 1) + 4⎛ y + ⎞ = 0 ⎝ 2⎠ Vemos así que la ecuación representa una elipse degenerada; esto es, representa solamente un punto: ⎛1, − 1 ⎞ . ⎝ 2⎠ Ejemplo 2 Clasifica la elipse dada por la ecuación 14x2 + 2y2 + 7x − 6y + 6 = 0 solución Completamos el cuadrado en cada variable: 1 14 ⎡⎢ x 2 + 2 ⎣ x ⎤⎥ + 2 y 2 − 3 y + 6 = 0 ⎦ [ ] 2 2 ⎡ ⎡ 1 1⎤ 3 9⎤ 14 ⎢⎛ x + ⎞ − ⎥ + 2 ⎢⎛ y − ⎞ − ⎥ + 6 = 0 4⎠ 16 ⎦ 2⎠ 4⎦ ⎣⎝ ⎣⎝ 2 2 1 3 5 14⎛ x + ⎞ + 2⎛ y − ⎞ = − ⎝ ⎝ 4⎠ 2⎠ 8 Vemos de esta forma que se trata de una elipse compleja. Ejemplo 3 Determina la excentricidad y las ecuaciones de las directrices de la elipse: 7x2 + 3y2 + 28x − 6y + 10 = 0 442 Unidad 6: Geometría analítica solución Completamos los cuadrados para determinar la ecuación en forma estándar: [ ] [ ] − 4] + 3[( y − 1) − 1] + 10 = 0 7 x 2 + 4 x + 3 y 2 − 2 y + 10 = 0 [ 7 ( x + 2)2 2 7(x + 2)2 + 3(y − 1)2 = 21 Al dividir cada lado por 21, obtenemos: ( x + 2)2 3 2 y − 1) ( + =1 7 Es decir, se trata de la elipse vertical con centro en C( −2, 1) y a = 7 , b = 3 y c = 2 De esta forma, la excentricidad es e = centro de la elipse: y = k ± 2 c = . Las directrices se deben trasladar de acuerdo con el a 7 7 5 a2 7 9 ; en este caso, y = 1 + = y y = 1 − = − 2 2 c 2 2 5 4 3 y 2 1 −4 −3 x 1 −2 −3 443 6.4 Elipse Ejercicios y problemas 1. Describe con tus palabras qué es una elipse. 2. Describe qué es el lado recto de una parábola y de una elipse. 3. ¿Qué lugar geométrico representa la ecuación (5) si A = 0 o si B = 0? 4. Describe qué son los vértices de una elipse. 5. Describe qué es la excentricidad de una elipse. 6. ¿Qué son el eje mayor y el eje menor de una elipse? 7. Escribe con tus palabras que es una directriz 8. Qué propiedad consideras más importante para una: a) parábola, b) elipse. 9. Determina la ecuación estándar de la elipse. a) 9 x 2 + 16 y 2 + 36 x − 32 y − 92 = 0 b) x 2 + 9 y 2 − 6 x + 198 y + 1089 = 0 c) 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x + 12 y + 8 = 0 d) 2 x 2 + 3 y 2 + 2 x − 2 y − 31 =0 6 1 2 1 2 2 x + y + x + y +1 = 0 4 9 3 f) 4 x 2 + 9 y 2 + 4 x − 6 y − 34 = 0 e) g) 2 x 2 + 12 x + y 2 = 1 10. Bosqueja la gráfica de la elipse y encuentra focos, vértices y lados rectos: a) x 2 y2 + =1 4 9 b) x 2 y2 + =1 81 49 c) x 2 y2 + =1 20 10 d) ( x − 1)2 9 + ( y − 2)2 16 =1 ( x + 3)2 ( y + 5) e) + =1 2 10 25 f) 2( x − 4) + 10( y + 1) = 40 2 2 444 Unidad 6: Geometría analítica g) 5( x + 1) + 3( y − 2) = 60 2 2 2 h) 2( x + 3) + y 2 = 40 11. Encuentra la ecuación general de la elipse dada. a) x 2 y2 + =1 4 9 b) ( x − 1)2 c) ( x + 3)2 9 + ( y − 2)2 16 2 y + 5) ( + 10 25 =1 =1 d) 2( x − 4) + 10( y + 1) = 40 2 2 2 e) 2( x + 3) + y 2 = 40 12. Clasifica si la ecuación dada representa una elipse real, degenerada o compleja. a) 4 x 2 + 9 y 2 − 4 x − 6 y + 22 = 0 b) x 2 + 9 y 2 + 6 x + 18 y + 18 = 0 c) 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x + 12 y + 8 = 0 d) 4 x 2 + 2 y 2 + 4 x − 2 y + 3 =0 2 3 =0 2 f) 4 x 2 + 2 y 2 − 24 x + 8 y + 46 = 0 e) 4 x 2 + 2 y 2 + 4 x − 2 y − 13. Determina las ecuaciones de las rectas directrices de la elipse. a) ( x − 1)2 9 2 y + 3) ( + 16 =1 b) 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x + 12 y + 8 = 0 c) ( x + 2)2 10 + ( y − 1)2 20 =1 d) 2 x 2 + 3 y 2 + 2 x − 2 y − 31 =0 6 e) 4 x 2 + 2 y 2 − 24 x + 8 y + 24 = 0 f) 4 x 2 + 3 y 2 − 6 y − 9 = 0 445 6.4 Elipse 14. Determina la ecuación en forma estándar de la elipse que a) Tiene focos F1(0, 3)y F2(0, −3) y vértices (0, −4) y (0, 4) b) Tiene vértices (−4 ,0 ), (4, 0), (0, −2), (0, 2) c) Tiene vértices (1 ,5 ), (7, 5), (4, 3), (4, 7) d) Tiene vértices (−4 , −3 ), (0, −3), (−2, 1), (−2, −7) e) Tiene centro en C(3, −7) y tiene lado mayor de 12 unidades y lado menor de ocho unidades f) Tiene focos F1(−7, 0) y F2(7, 0) y vértices (9, 0) y (−9, 0) g) 4x2 + 2y2 −24x + 8y + 24 = 0 h) 4x2 + 3y2 − 6y − 9 = 0 15. Encuentra los extremos de los lados rectos de una elipse horizontal con centro en el origen. 16. Determina la longitud de los lados rectos de una elipse horizontal con centro en el origen. 17. Encuentra los extremos de los lados rectos de una elipse vertical con centro en el origen. 18. Determina la longitud de los lados rectos de una elipse vertical con centro en el origen. 19. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los puntos (1, 0) y (5, 0) es siempre igual a 8. Determina la ecuación de la curva que describe el punto. 20. Un punto se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (0, −2) y (0, 4) es siempre igual a 10. Determina la ecuación de la curva que describe el punto. 21. Prueba que las elipses 22. Prueba que las elipses 23. La elipse ecuación. ( x − 2)2 9+d ( x − h)2 a2 + d + + ( y − 5)2 25 + d ( y − k )2 b2 + d = 1 tienen los mismos focos para cualquier número d > 0 = 1 tienen los mismos focos para cualquier número d > 0 ⎛ 4 2⎞ x 2 y2 + = 1 tiene eje mayor de longitud 18 y pasa por el punto P⎜1, . Encuentra la a2 b2 3 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 5 3⎞ 24. Una elipse vertical pasa por el punto P⎜1, 2 + y tiene eje mayor de longitud 10. Determina su 2 ⎟⎠ ⎝ ecuación si su centro es C(3, 2) 25. Determina la ecuación de la elipse que tiene radio menor 6 y focos F1(3, 2) y F2(3, −1) 26. Un segmento de recta se mueve en el primer cuadrante de tal manera que sus extremos siempre están sobre los ejes coordenados. Si el segmento mide 10 centímetros, determina la ecuación de la gráfica que describe el punto del segmento que está a dos unidades del extremo que tiene contacto con el eje y. 446 Unidad 6: Geometría analítica Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse en la cual el Sol está situado en uno de los focos. Es por esto que la distancia de la Tierra al Sol varía a lo largo del año. Si la distancia máxima al Sol es de 152,100,000 kilómetros, y la distancia mínima es de 147,100,000 kilómetros, determina la ecuación de la elipse que describe la rotación de la Tierra. x 2 y2 + = 1, determina la pendiente de la recta tangente en el punto P(4, 25 16 12/5). Para esto, primero sustituye la forma punto pendiente de la recta en la ecuación 16x2 2. Dada la elipse + 25y2 = 400. Después, utiliza el discriminante de la ecuación cuadrática en x que te queda. 3. Las elipses tienen la propiedad de que para cualquier punto P en la elipse, las rectas que pasan por P y algunos de los focos, forman el mismo ángulo con la recta tangente en P. Pruex 2 y2 ba que esto es cierto para la elipse + = 1 en el punto P(4, 12/5). 25 16 Por esto, si tuvieras una mesa de billar con forma de elipse, al tirar desde un foco hacia cualquier lugar, la pelota rebotaría siempre en dirección al otro foco.) 1. Indica la opción que contiene la ecuación de la elipse con focos F1(3, −1) y F2(−5, −1), así como eje mayor de 16 unidades. a) ( x + 1)2 b) ( x + 1)2 c) ( x + 1)2 d) ( x + 1)2 64 48 48 64 + + + + ( y − 1)2 48 ( y − 1)2 64 ( y + 1)2 64 ( y + 1)2 48 =1 =1 =1 =1 447 6.4 Elipse 2. Halla la opción que contiene la ecuación de la elipse que tiene vértices (−3, −3), (−7, −3), (−5, −2) y (−5, −4) a) ( x + 5)2 + b) ( x + 5)2 c) ( x − 5)2 2 2 ( y + 3)2 2 =1 + ( y + 3) = 1 2 + ( y − 3) = 1 2 2 d) ( x − 5) + ( y − 3)2 2 =1 3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos que tienen ordenada un tercio de la ordenada de x2 + y2 = 144 a) x2 y2 + =1 16 144 b) x 2 y2 + =1 16 9 c) x 2 y2 + =1 9 16 d) x 2 y2 + =1 144 16 4. Encuentra la ecuación de la elipse con lado mayor de 10, lado menor de 8 y centro en C(1, 2). a) ( x − 2)2 b) ( x − 1)2 c) d) 16 16 ( x − 1)2 25 ( x − 2)2 25 + + + + ( y − 1)2 25 ( y − 2)2 25 ( y − 2)2 16 ( y − 1)2 16 =1 =1 =1 =1 448 Unidad 6: Geometría analítica 5. Encuentra en la columna B la ecuación equivalente que aparece en la columna A. Columna A 2 Columna B 2 a) 9 x + 4 y − 36 x + 24 y + 36 = 0 c) 16 d) ( x + 3)2 16 + ( y − 2)2 9 ( y − 2) + =1 2 =1 9 ( y − 1)2 i. ( x + 2) iv. ( x + 1)2 v. 9 x 2 + 4 y 2 − 18 x + 24 y + 25 = 0 =1 9 36 2 ( x − 2)2 ( y + 3) + =1 ii. 4 9 iii. 9 x 2 + 16 y 2 + 54 x − 64 y + 289 = 0 b) 36 x 2 + 4 y 2 + 72 x − 40 y − 8 = 0 ( x + 3)2 2 4 + + ( y − 5)2 =1 36 vi. 4 x 2 + 9 y 2 + 24 x − 36 y + 36 = 0 vii. ( x + 3)2 16 + ( y − 2)2 =1 9 Respuestas a los Ejercicios y problemas 9. a) ( x − 2)2 16 + ( y − 1)2 9 2 =1 ( x + 3)2 19 / 2 + ( x − 3)2 9 + ( y − 11) = 1 2 c) ( x + 1)2 3 + ( y + 2)2 2 2 2 ⎛ x + 1⎞ ⎛ y − 1⎞ ⎝ ⎝ 2⎠ 3⎠ + =1 d) 3 2 g) b) e) ( x + 2) 4 2 + ( y + 3) 9 2 =1 =1 2 ⎛ x + 1⎞ ⎛ y − 1⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 2 3⎠ + =1 f) 9 4 y2 =1 19 10. a) Vértices: (±2, 0), (0, ±3), focos: (0, ± 5 ), LR = 8/3 3 2 y −2 −1 1 0 −1 −2 −3 1 x 2 449 6.4 Elipse b) Vértices: (±9, 0), (0, ±7), focos: ( ± 32 , 0), LR=98/9 6 y 4 2 −8 −6 −4 −2 0 2 4 −2 x 6 8 −4 −6 c) Vértices ( ± 20 , 0), (0, ± 10 ), focos ( ± 10 , 0), LR = 20 3 y 2 1 −4 −2 0 2 −1 4 x −2 −3 d) Vértices : (−2, 2), (4, 2), (1, −2), (1, 6) focos : (1, ± 7), = LR 9 / 2 6 4 y 2 −2 −1 0 −2 1 2 x 3 4 450 Unidad 6: Geometría analítica e) Vértices : (−3, 0), (−3, −10), ( −3 − 15 , −5), ( −3 + 15 , −5) focos : ( −3, 5 ± 15 , 0), LR = 4 x −6 −5 4− −3 −2 −1 0 −2 −4 −6 y −8 10 f) Vértices: (4, −3), (4, 1), (4 − 20 , −1), (4 + 20 , −1), focos : (0, −1), (8, −1), LR = 4 / 15 1 0 2 4 x 6 8 −1 y −2 −3 g) Vértices: ( −1, 2 ± 20 ), ( −1 ± 12, 2), focos : ( −1, 2 ± 8 ), LR = 4 / 5 6 4 y 2 −4 −3 −2 −1 x 0 −2 1 2 451 6.4 Elipse h) Vértices: ( −3 ± 20, 0), ( −3, ± 40 ), focos: (−3, ± 20 ), LR = 40 6 4 y 2 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 x 0 1 -2 -4 -6 11. a) 9x2 + 4y2 −36 = 0 b) 16x2 + 9y2 − 32x − 36y − 92 = 0 c) 25x2 + 10y2 −150x + 100y + 225 = 0 d) 2x2 + 10y2 −16x + 20y + 2 = 0 e) 2x2 + y2 +12x − 22 = 0 12. a) Imaginaria b) Degenerada 16 7 13. a) y = 3 ± b) x = 1 ± 3 x 2 y2 + =1 7 16 14. a) ( x − 3)2 e) 144 b) ( y + 7)2 + 64 x 2 ( y − 1) + =1 3 4 2 h) 15. y = ± 16. 2 b2 a 17. x = ± 18. 2 19. b2 a b2 a b2 a ( x − 3)2 16 + y2 =1 12 d) Degenerada d) x = − c) y = 1 ± 40 x 2 y2 + =1 16 4 =1 y c) Real ( x − 3)2 64 c) + ( x − 4)2 9 ( y + 7)2 144 + =1 ( y − 5)2 4 1 ±3 2 =1 e) Real f) Imaginaria f). x = 1 ± 4 e) x = −2 ± 2 2 d) x 2 y2 + =1 f) 3 2 ( x + 2)2 4 g) + ( y + 3)2 16 ( x − 3)2 5 =1 2 y + 2) ( + 10 =1 452 Unidad 6: Geometría analítica x 2 ( y − 1) 20. 25 + 16 = 1 2 21. Focos F(2, 5±4) 22. Focos F(h ± c2, k) o F(h, k ± c2) con c2 = a2 − b2 23. 24. x 2 y2 + =1 9 8 ( x − 3)2 16 2 y − 2) ( + 25 =1 2 25. ( x − 3) 9 2 ⎛ y − 1⎞ ⎝ 2⎠ + =1 45 / 4 2 26. x y2 + =1 4 64 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. d b d c (a, ii), (b, iv), (c, iii), (d, vi) 453 6.5 Hiperbóla 6.5 Hipérbola No entre aquí quien no sepa geometría. Máxima escrita en la entrada a la escuela de Pitágoras Introducción ¿Qué tienen en común algunos telescopios con algunos cometas y con el sistema de radionavegación Loran? Acertaste: las hipérbolas. Algunos cometas sólo se acercan al Sol una vez en su existencia, tienen órbitas hiperbólicas, con el Sol como uno de sus focos. En una hipérbola, si se dirige un haz de luz en dirección de un foco, éste se reflejará antes de llegar a él en dirección del otro foco. Tal propiedad se utiliza en algunos telescopios (como los del tipo Cassegrain). El sistema de radionavegación Loran (Long Range Navigation) se basa también en propiedades de las hipérbolas, que es nuestro tema en esta sección. 6 y 4 2 −8 −6 −4 −2 0 2 4 −2 −4 −6 Objetivos Al terminar esta sección, serás capaz de: • Reconocer la definición de hipérbola. • Identificar las diferentes partes de una hipérbola, así como su gráfica. • Conocer y determinar la ecuación de una hipérbola, dados suficientes datos. x 6 8 454 Unidad 6: Geometría analítica Hipérbola Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos en el plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F1 y F2, llamados focos, es constante. A la recta que pasa por los focos se le llama eje real de la hipérbola y a la mediatriz de este eje que pasa por el punto medio entre los focos se le conoce como eje imaginario. La intersección del eje real con el eje imaginario se llama el centro de la hipérbola. Eje real Eje imaginario F1 Eje real Eje imaginario F1 F2 F2 Las intersecciones del eje real con la hipérbola son los vértices de la hipérbola. Observa que el eje imaginario no tiene ningún punto en común con la hipérbola. La semirrecta que va de un vértice al otro se conoce como eje transverso. La distancia entre los dos focos se llama distancia focal y la denotaremos, al igual que en la elipse, como 2c. Si P es cualquier punto sobre la hipérbola, las longitudes de los segmentos de recta que van de los focos a P se llaman radios vectores. Para determinar la ecuación estándar de la hipérbola, consideremos el caso en que los focos son F1(–c, 0) y F2(c, 0) con c > 0, es decir, los focos están sobre el eje x y el centro de la hipérbola está en el origen. Análogamente al caso de la elipse, llamaremos 2a a la diferencia de la distancias de un punto P(x, y) a los focos. Nota que de acuerdo con la definición de hipérbola, 2a < 2c (distancia interfocal), es decir, a < c. Tenemos, de esta forma: ( x + c)2 + y 2 − ( x − c)2 + y 2 = ±2 a. Para eliminar los radicales primero despejamos uno y elevamos al cuadrado. En seguida simplificamos y despejamos el radical restante para elevar nuevamente al cuadrado: ( x + c)2 + y 2 = ±2 a + ( x − c)2 + y 2 ⎛ ⎝ 2 ( x + c)2 + y 2 ⎞⎠ = ⎛⎝ ±2 a + ( x − c)2 + y 2 ⎞⎠ 2 455 6.5 Hipérbola x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4 a 2 + x 2 ± 4 a 4cx − 4 a 2 = ±4 a ( x − c)2 + y 2 − 2cx + c 2 + y 2 ( x − c)2 + y 2 Ahora, dividimos entre 4 cada lado de la ecuación, elevamos al cuadrado y simplificamos: (cx − a ) 2 2 = ⎛⎝ ± a ( x − c)2 + y 2 ⎞⎠ 2 c 2 x 2 − 2 a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 − 2 a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 c2 x 2 + a4 = a2 x 2 + a2c2 + a2 y2 Reacomodamos tales términos escribiendo los que tienen a las variables del lado izquierdo: c2 x 2 − a2 x 2 − a2 y2 = a2c2 − a4 (c 2 ) ( − a2 x 2 − a2 y2 = a2 c2 − a2 ) Dividimos entre a2(c2 – a2) cada lado: x2 y2 − 2 =1 2 a c − a2 Como c > a, entonces c2 – a2 > 0; llamaremos b2 a esta cantidad. Tenemos así que la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen es: x 2 y2 − = 1 … (1) a2 b2 Los lados rectos de la hipérbola se obtienen al sustituir x = ± c y al despejar y en esta 2b 2 , así ecuación (1). Obtenemos, de esta forma, que los lados rectos tienen longitud a ⎛ 2b 2 ⎞ ⎛ ⎛ 2b 2 ⎞ 2b 2 ⎞ c , − como extremos ⎜ − c, − ⎟ y ⎟ y ⎜ − c, ⎟ para el lado recto izquierdo, y ⎜⎝ a ⎠ a ⎠ a ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 2b 2 ⎞ ⎜ c, ⎟ para el lado recto derecho. ⎝ a ⎠ Los vértices de esta hipérbola son V1(−a, 0) y V2(a, 0), el eje transverso tiene longitud 2a y su eje conjugado (perpendicular al eje transverso) tiene longitud 2b. De la misma forma, para una hipérbola con centro en el origen y focos sobre el eje y, la ecuación estándar es: y2 x 2 − = 1 … (2) a2 b2 En esta ecuación, F1(0, –c) y F2(0, c) con c > 0 son los focos y b2 = c2 – a2. Los lados 2b 2 rectos tienen longitud , en tanto que los vértices son V1(0, −a) y V1(0, a), su eje a transverso tiene longitud 2a y su eje transverso 2b. 456 Unidad 6: Geometría analítica Si el centro de la hipérbola no está en el origen, simplemente trasladamos los ejes para obtener la nueva ecuación. Así, en forma estándar, la ecuación de la hipérbola (horizontal) con centro en C(h, k) y focos en F1(h–c, k) y F2(h + c, k) con c > 0, es: ( x − h)2 a2 − ( y − k )2 b2 = 1… (3) La ecuación en forma estándar de la hipérbola (vertical) con centro en C(h, k) y focos en F1(h, k – c) y F2(h, k + c) con c > 0, es: ( y − k )2 − ( x − h)2 a2 b2 = 1… (4) Ejemplos Ejemplo 1 Determina la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos F1(0, –3) y F2(0, 3), con un vértice en V1(−2, 0). solución Se trata de una hipérbola vertical, por lo que utilizaremos la fórmula (2), con b2 = c2 – a2 = 9 – 4 = 5: y2 x 2 − =1 9 4 10 y −8 −6 −4 −2 5 0 −5 −10 2 4 x 6 8 457 6.5: Hipérbola Ejemplo 2 Determina una ecuación de la hipérbola con centro en C(2, 3), distancia focal 8 y vértice en V2(2, 4) solución Se trata de una hipérbola horizontal con c =8/2 = 4, a = 1 y b2 = 16 – 1 = 15, por lo que al aplicar la fórmula (3), obtendremos: 2 ( x − 2) − ( y − 3)2 15 =1 10 8 6 y 4 2 0 −2 −2 4 2 6 x −4 Asíntotas, hipérbolas degeneradas y gráficas de hipérbolas Cuando desarrollamos los cuadrados en la forma estándar de la ecuación de una hipérbola, obtenemos la forma general de la ecuación de la hipérbola. Podemos evitar las fracciones si multiplicamos toda la ecuación por a2b2. Por ejemplo, para la ecuación (3), al multiplicar y desarrollar, obtendremos: ( x − h)2 a2 − ( y − k )2 b2 =1 b 2 ( x − h) − a 2 ( y − k ) = a 2 b 2 2 2 b 2 x 2 − a 2 y 2 − 2 b 2 hx + 2 a 2 ky + b 2 h 2 − a 2 k 2 − a 2 b 2 = 0 Si llamamos A = b2, B = a2, C = −2b2h, D = 2a2k, y E = b2h2 – a2k2 − a2b2, obtenemos la forma general: 458 Unidad 6: Geometría analítica Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0… (5) Observa que A y B son positivos. Al igual que en la elipse, para obtener la forma estándar, a partir de la forma general, completamos los cuadrados. Por ejemplo, para la forma general dada por (5), obtendremos: Ax 2 + Cx − By 2 + Dy + E = 0 C D A ⎡⎢ x 2 + x ⎤⎥ − B⎡⎢ y 2 − y ⎤⎥ + E = 0 B ⎦ A ⎦ ⎣ ⎣ 2 2 2 2 ⎡ ⎡ C C ⎤ D D D ⎤ C A⎢ x 2 + x + ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎥ − B⎢ y 2 − y + ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎥ + E = 0 ⎝ 2A⎠ ⎝ 2A⎠ ⎦ ⎝ 2B⎠ ⎝ 2B⎠ ⎦ B A ⎣ ⎣ 2 2 ⎡ ⎡ D⎞ D2 ⎤ C⎞ C2 ⎤ A ⎢⎛ x + − − B⎢⎛ y − − ⎥ ⎥+E =0 2 2A⎠ 4A ⎦ 2B⎠ 4 B2 ⎦ ⎣⎝ ⎣⎝ 2 2 D⎞ D2 C 2 C⎞ A⎛ x + − B⎛ y − =− + − E … (6) ⎝ ⎝ 2 A⎠ 2B⎠ 4B 4A Como A y B son positivos, (6) representa la ecuación de un hipérbola horizontal si D2 C 2 D2 C 2 − −E<0 − − E > 0, y representa la ecuación de una hipérbola vertical si 4B 4A 4B 4A (ambos casos se conocen como hipérbolas reales). D2 C 2 ¿Qué sucede si − − E = 0 ? De ocurrir lo anterior, no tendremos una hipérbo4B 4A la sino dos rectas. Decimos, en este caso, que la ecuación (5), o la (6), representa una hipérbola degenerada. Así, una hipérbola degenerada representa dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola. Estas rectas, que son importantes para graficar una hipérbola, se conocen como las asíntotas de la hipérbola. Por ejemplo, para la hipérbola dada por la ecuación (3), las asíntotas se obtienen igualando a 0 y factorizando: ( x − h)2 2 y − k) ( − =0 a2 b2 ⎡ x − h − y − k ⎤⎡ x − h + y − k ⎤ = 0 ⎢⎣ a b ⎥⎦ ⎢⎣ a b ⎥⎦ De esta forma, las asíntotas son las rectas do, las rectas: y= x−h y−k x−h y−k = y =− ; simplificana b a b b bh b bh x+k− yy=− x+k+ … (7) a a a a 459 6.5 Hipérbola Para la hipérbola horizontal dada por (1), tenemos que las asíntotas son: y= b b x y y = − x …(8) a a b b y − . Es a a decir, para trazarlas, podemos dibujar el rectángulo con centro en el centro de la hipérbola horizontal, así como de largo 2a y altura 2b. Las diagonales de este rectángulo son las asíntotas. Observa que las pendientes de las rectas asíntotas en ambos casos son: Asíntotas de una hipérbola horizontal C 22b 2a Para el caso de una hipérbola vertical, trazamos el rectángulo de largo 2b y altura 2a, con centro en el centro C de la hipérbola. Las rectas que contienen a las diagonales corresponden a las asíntotas. Asíntotas hipérbola vertical C 2a 2b El nombre de asíntota es porque estas rectas tienen la propiedad de que la hipérbola y las rectas están cada vez más cercanas (sin coincidir nunca) a medida que nos alejamos del centro de la hipérbola, es decir, casi no hay diferencia entre las rectas y las ramas de las hipérbola cuando consideramos valores de x muy grandes en valor absoluto. Para trazar la gráfica de una hipérbola, nos ayudamos con las asíntotas y algunos puntos que tabulamos. Una hipérbola horizontal y una vertical, se dice que son conjugadas si tienen las mismas asíntotas. 460 Unidad 6: Geometría analítica Ejemplos Ejemplo 1 Dibuja la hipérbola x 2 y2 − =1 9 4 solución 2 2 x y y = − x, que podemos trazar al dibujar el rectángulo con centro en el ori3 3 gen de largo 6 y altura 4, así como alargar sus diagonales. Las asíntotas son y = 6 y 4 2 −10 −5 0 −2 5 x 10 −4 −6 Los vértices de esta hipérbola son V1(−3, 0) y V2(3, 0) y sus focos son F1 ( ) ( 13 , 0 y F2 − 13 , 0 ) Ejemplo 2 Dibuja la hipérbola y2 x 2 − =1 4 9 solución Se trata de la hipérbola conjugada de la hipérbola del ejemplo anterior. Sus asíntotas son, por lo tanto, las mismas, pero sus vértices son V1(0, −3) y V2(0, 3) y sus focos son F1 0, 13 y F2 0, − 13 ( ) ( ) 461 6.5 Hiperbóla 6 y 4 2 −10 0 −5 5 −2 x 10 −4 −6 Ejemplo 3 Traza juntas la hipérbola 2 ( y − 2) 2 ( x + 1) − = 1 y su conjugada. 25 16 solución La ecuación de la hipérbola conjugada es ( x + 1)2 16 − ( y − 2) 2 = 1; ambas tienen su centro en C(−1, 2), 25 en tanto que las rectas asíntotas tienen ecuaciones, de acuerdo con (7), y = 15 10 y 5 −10 −5 0 −5 −10 5 x 10 5 13 5 3 x+ yy=− x+ 4 4 4 4 462 Unidad 6: Geometría analítica Ejemplo 4 Determina los focos, los vértices y el lado recto de la hipérbola 9x2 – 16y2 – 36x – 96y – 252 = 0. Dibuja su gráfica. solución Completamos los cuadrados para encontrar forma estándar de la ecuación: 9 x 2 − 36 x − 16 y 2 − 96 y − 252 = 0 [ ] [ ] 9 x 2 − 4 x − 16 y 2 + 6 y − 252 = 0 [ ] [ ] 9 ( x − 2) − 4 − 16 ( y + 3) − 9 − 252 = 0 2 2 9( x − 2) − 16( y + 3) = 144 2 2 Dividiendo cada lado entre 144, obtenemos: ( x − 2)2 16 − ( y + 3)2 9 =1 Se trata entonces de la hipérbola horizontal con centro en C(2, −3) y vértices en V1(−2, −3) y V1(6, −3). 2b 2 9 Los focos son F1(−3, −3) y F2(7, −3). Sabemos, de la primera sección, que el lado recto mide = a 2 4 2 −8 −6 −4 2 −2 − −4 y −6 −8 −10 4 6 x 8 10 12 463 6.5 Hipérbola Ejercicios y problemas 1. Describe con tus palabras qué es una hipérbola. 2. Describe qué es el lado recto de una hipérbola 3. ¿Qué son los radios vectores de una hipérbola? 4. ¿Qué es una asíntota? ¿Qué propiedad tiene? 5. Describe con tus palabras el método para trazar la gráfica de una hipérbola. 6. ¿Qué es una hipérbola conjugada? 7. Determina la ecuación de la hipérbola que a) Tiene distancia focal 6, centro en el origen y un vértice en V(0, 2) b) Tiene un vértice en V1(4, 0), un foco en F1(−7, 0) y centro en el origen c) Tiene centro en C(−2, 4), un vértice en V(0, 4) y un foco en F(2, 4) d) Tiene centro en C(3, 4), a = 3 y b = 2 e) Tiene asíntotas y = ± 3 x. y centro en el origen. 4 f) Tiene centro en C(1, −3) y a = 4, c = 5 8. Determina las asíntotas de la hipérbola dada y traza su gráfica a) x 2 y2 − =1 16 9 ( y + 2)2 b) ( x − 1)2 c) ( y + 2)2 − ( x − 1)2 d) ( x + 3)2 e) ( x − 3)2 f) ( y + 1)2 16 − 9 25 4 4 9 16 − ( y + 1)2 4 =1 =1 =1 − ( y + 2) = 1 2 2 − ( x + 2) = 1 464 9. Unidad 6: Geometría analítica Determina la hipérbola conjugada de la hipérbola dada y dibuja su gráfica. a) x 2 y2 − =1 16 9 ( y + 2)2 b) ( x − 1)2 c) ( y + 2)2 − ( x − 1)2 =1 d) ( y + 1)2 − ( x + 3)2 =1 e) ( x − 3)2 16 − 9 16 4 4 9 25 =1 − ( y + 2) = 1 f) ( x + 2)2 − ( 2 y + 1) =1 4 10. Determina la ecuación de la hipérbola horizontal que tiene centro en C(3, 0), eje transverso de cuatro unidades y eje conjugado de seis unidades. 2 11. Determina la ecuación de la hipérbola vertical que tiene centro en C(−2, 2), eje transverso de dos unidades y eje conjugado de ocho unidades. Problemas para trabajar en equipo En equipo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Investiguen en qué consiste el sistema de radionavegación Loran y qué propiedades de las hipérbolas son utilizadas. Actualmente se utiliza el sistema Loran−C. Determinen qué son las líneas Loran y cuál es el número mínimo de estaciones necesario para determinar la posición. 2. Para la hipérbola x 2 y2 − = 1, prueben la propiedad de reflexión de un haz luminoso. Ne9 4 cesitarán saber que si el punto P(x, y) está sobre la rama derecha de la hipérbola, la recta tangente en P tiene pendiente m = 2x 3 x2 − 9 y si P(x, y) está sobre la rama izquierda de la hi- pérbola, la pendiente de la recta tangente en P es m = − 2x 3 x2 − 9 465 6.5 Hipérbola x 2 y2 − = 1. Esto es, pruea2 b2 ben la propiedad de reflexión de un haz luminoso. Necesitarán conocer la pendiente de esta hipérbola en cualquier punto. Consigan el dato con tu profesor o con alguno de tus compañeros de semestres superiores. 3. Realicen lo mismo que en el ejercicio anterior para la hipérbola 1. Indica la opción que contiene la ecuación del lugar geométrico de los puntos en el plano cuya diferencia de su distancia a los puntos P(−3 , 0) y Q (3, 0 ) es 4 a) y2 x 2 − =1 5 4 b) x 2 y2 − =1 5 4 c) y2 x 2 − =1 4 5 d) x 2 y2 − =1 4 5 2. Halla la opción que contiene la ecuación de la elipse que tiene vértices V1(3, 0) y V2(3, 2) y focos F1(3, −2) y F2(3, 4). a) ( y + 1) − 2 b) ( y − 3) − 2 c) ( y + 3) − 2 d) ( y − 1) − 2 ( x + 3)2 8 ( x − 1)2 8 ( x + 1)2 8 ( x − 3)2 8 =1 =1 =1 =1 3. Cuál de las siguientes opciones contienen una asíntota de la hipérbola a) y = 2 x + 3 4 ( x + 2)2 4 − ( y − 4)2 16 =1 466 Unidad 6: Geometría analítica b) y = 2x + 8 c) y = 1 x +8 2 d) y = 1 3 x− 2 4 ( x − 3)2 4. Determina la longitud del lado recto de la hipérbola 16 − ( y − 2)2 8 =1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 5. Encuentra en la columna B la ecuación equivalente a la ecuación dada en la columna A. Columna A a) ( x + 2) 4 2 − Columna B ( y − 2) 2 4 i. x 2 − y 2 + 4 x + 4 y − 4 = 0 =1 ii. 9 x 2 − 4 y 2 + 24 x + 36 y + 36 = 0 ( x + 2)2 ( y + 3) b) − =1 2 4 9 iii. 9 x 2 − 4 y 2 + 36 x + 24 y − 36 = 0 c) 3 x 2 − 4 y 2 + 6 x + 16 y − 25 = 0 d) 3 x 2 − 4 y 2 − 12 x − 8 y − 4 = 0 iv. ( x − 2)2 v. ( x + 1)2 vi. ( x − 1)2 4 4 4 ( y + 1)2 − − − 3 ( y − 2)2 3 ( y + 2)2 3 =1 =1 =1 Respuestas a los Ejercicios y problemas 7. a) y2 x 2 − =1 4 5 b) x 2 y2 − =1 16 33 c) ( x + 2)2 4 − ( y − 4)2 12 =1 d) ( x − 3)2 9 − ( y − 2)2 4 =1 ó 467 6.5 Hipérbola ( y − 2)2 − ( x − 3)2 =1 ( y + 3)2 − ( x − 1)2 =1 4 9 9 8. a) y = ± 16 e) y2 x2 x2 y2 − 2 − 2 =1 2 =1 ó 2 a a ⎛ 3 a⎞ ⎛ 3 a⎞ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ f) ( x − 1)2 16 3 x 4 6 y 4 2 −10 0 −5 5 10 x −2 −4 −6 b) y = −2 ± 3 ( x − 1) 4 8 6 y −10 −5 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −12 5 x 10 − ( y + 3)2 9 = 1, ó 468 Unidad 6: Geometría analítica c) y = − 3 5 3 11 x− , y y= x− 4 4 4 4 6 4 2 −10 −5 5 0 x 10 −2 −4 y −6 −8 −10 d) y = − 2 1 2 11 x− , y= x+ 5 5 5 5 4 2 −15 −10 x y 5 −5 10 0 −2 −4 −6 e) y = − 1 1 1 7 x− , y= x− 2 2 2 2 2 −4 2 −2 −2 y −4 −6 4 x 6 8 10 469 6.5 Hipérbola 6 f) y = 2 x + 3, y = −2 x − 5 y −6 −4 2 x 2 −2 2 −2 −4 −6 6 −8 9. a) y2 x 2 − =1 9 16 8 6 y 4 −10 −5 0 5 − 10 x − −6 −8 b) ( y + 2)2 − ( x − 1)2 9 16 =1 6 4 2 −10 −5 5 5 −4 y −6 −8 −10 x 10 470 Unidad 6: Geometría analítica c) ( x − 1)2 16 − ( y + 2)2 9 =1 6 4 2 −8 −4 −6 2 −2 x 4 6 8 10 y− −8 −10 d) ( x + 3)2 25 2 y + 1) ( − 4 =1 4 2 y x −15 −10 5 −5 10 0 −2 −4 4 −6 e) ( y + 2) − 2 ( x − 3)2 4 =1 2 −6 −4 −2 2 0 −2 y −4 −6 4 6 x 8 10 12 471 6.5 Hipérbola f) ( y + 1)2 4 2 − ( x + 2) = 1 4 2 −5 −4 −3 x −2 −1 1 y 2 0 −2 −4 −6 6 10. ( x − 3)2 4 − 2 11. ( y − 2) − y2 =1 9 ( x − 2) 2 =1 16 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. d d b c (a, i), (b, iii), (c, v), (d, iv) Unidad 7 Funciones Contenido de la unidad 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Conceptos básicos de funciones Modelación La función lineal La función cuadrática Funciones que forman parte de una cónica 7.6 Funciones polinomiales 7.7 Funciones racionales 7.8 Funciones trigonométricas Introducción a la unidad En las unidades anteriores de este libro, has estudiado aplicaciones de la teoría de conjuntos, álgebra, trigonometría y geometría analítica, en áreas tan diversas como los negocios, la ingeniería, la política y muchas otras, sin exagerar la importancia de las matemáticas en el mundo moderno. En tales aplicaciones siempre hay relaciones de dependencia. Por ejemplo, la ganancia de un negocio depende del precio del producto, la velocidad de un automóvil de la potencia del motor y el precio de un terreno de sus dimensiones. Por eso, es importante describir en forma precisa las dependencias. El concepto de función indica ese tipo de relación, una correspondencia que describe cómo una cantidad depende de otra. Dichas correspondencias pueden ser descritas por medio de un modelo matemático que es muy útil para resolver de manera precisa el problema específico o inclusive para efectuar predicciones. Hay ocasiones cuando el modelo corresponde en forma exacta a la situación, como cuando se relaciona el área de un terreno con sus dimensiones. En otras ocasiones, como cuando se interpretan datos de mediciones en los laboratorios o de las encuestas, hay que recurrir a técnicas de regresión para lograr generar un modelo aproximado. En esta unidad vas a estudiar ambos tipos de modelos. Los conceptos de función y modelación que aprenderás son importantes por sus aplicaciones y también porque son la conexión con las matemáticas avanzadas que estudiarás en tu carrera profesional: el cálculo diferencial e integral. 474 Unidad 7: Funciones 7.1 Conceptos básicos de funciones No puede haber un lenguaje más universal y más simple, más libre de errores y oscuridades… más digno de expresar las relaciones invariables de las cosas naturales que las matemáticas. Joseph Fourier Introducción Si eres de quienes gustan de las bebidas gaseosas, seguramente te disgustaría que tu refresco favorito tuviera menor cantidad de gas o simplemente no tuviera, como cuando se deja destapado el envase durante un tiempo. Alguna vez te has preguntado cómo hacen los productores de refrescos para obtener ese efecto gaseoso. Este tipo de bebidas, además de contener un jarabe, traen disuelta una determinada cantidad del gas dióxido de carbono (CO2), responsable del gustado efecto gaseoso. Como dicho gas no es soluble en agua en condiciones normales, el proceso de fabricación exige aumentar la presión a la cual el gas es inyectado en el jarabe, así como disminuir la temperatura. Sólo con estas medidas es posible disolver la cantidad necesaria del CO2, en virtud de que la solubilidad de cualquier gas depende de ambos factores. Así que para la industria refresquera es indispensable conocer la manera precisa en que está relacionada la solubilidad del CO2 con la presión y la temperatura. La relación entre la solubilidad y la presión de este gas a una determinada temperatura es un ejemplo de función, que, como tal, puede ser descrita con toda precisión por medio de un planteamiento matemático, que servirá para manipular adecuadamente las variables con la finalidad de obtener las características que requiere un refresco en particular. Es posible enumerar muchos ejemplos más, aplicables también a ciencias como la física, la biología, la economía, la administración, la sociología y, por supuesto, las matemáticas. Así que sea cual sea la profesión que te interese, el concepto de función será muy valioso. En esta unidad revisaremos los aspectos fundamentales de las funciones, sus gráficas y sus aplicaciones. Asimismo, estudiaremos funciones más importantes como la función lineal, la función cuadrática, las funciones que forman parte de una cónica, las funciones polinomiales, las funciones racionales, las funciones radicales, las funciones seccionadas y con valor absoluto, así como las funciones trigonométricas. 475 7.1 Conceptos básicos de funciones El concepto de función es uno de los más importantes y fundamentales para las matemáticas; éste se basa en la idea de la correspondencia. En muchas situaciones, observamos que hay una correspondencia entre una cantidad y otra, es decir, una depende de la otra; por ejemplo: • • • • • • • A cada persona le corresponde una fecha de nacimiento. A cada platillo del menú de un restaurante le corresponde un precio. A cada libro en una biblioteca le corresponde una clave. A cada teléfono le corresponde un número telefónico. A cada producto farmacéutico le corresponde una formulación. A cada triángulo le corresponde un área. A cada número entero le corresponde su inverso aditivo. De manera similar al ejemplo de los refrescos, todas estas correspondencias reúnen una serie de características propias de una función. El concepto de función indica una relación, una conexión, una asociación entre dos cantidades o una correspondencia que describe cómo una variable cambia con respecto a otra. Como función, dichas correspondencias pueden describirse usando un modelo matemático que sería muy útil para resolver de manera precisa un problema específico o inclusive para realizar predicciones, como veremos en esta sección y en la siguiente. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Definir el concepto de función. • Definir e identificar la variable dependiente, la variable independiente, el dominio y la imagen de diversas funciones. • Identificar las diferentes representaciones y notaciones de una función. • Identificar, aplicar y realizar efectos geométricos a la gráfica de una función. Concepto de función Una función (f) es una regla que produce una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un elemento y sólo uno del segundo. Por ejemplo, para calcular el área (A) de un cuadrado de longitud (x), hay que aplicar la fórmula: A = x2 476 Unidad 7: Funciones x A = x2 x Figura 7.1 Aquí la función es la regla “elevar la longitud x al cuadrado”, dado que produce una correspondencia tal que a cada valor de longitud x le corresponde un solo valor de A. (véase tabla 7.1). En esta tabla se muestran algunos cálculos de área, donde apreciamos que no hay un valor de x que no tenga un valor de A asociado. Tabla 7.1 x (cm) 1 A (cm2) 1 2 4 3 9 4 16 Variable dependiente, variable independiente, dominio e imagen de una función En general, para cualquier función se llama dominio (D) al primer conjunto, el cual está definido en el campo de los números reales. A cada elemento asociado con un elemento del dominio en el segundo conjunto se le conoce como imagen, dada su dependencia con el elemento del dominio según la regla de correspondencia, por lo que al conjunto de imágenes se le conoce como conjunto imagen (I). Ningún elemento del dominio puede quedarse sin su asociado en el conjunto imagen y no puede tener más de uno En el ejemplo anterior, el dominio corresponde al conjunto de todos los valores posibles de la longitud. Como no hay unidades de longitud negativas, los valores del dominio sólo pueden ser los números reales no negativos, lo que representamos así: D = [0, + ∞) 477 7.1 Conceptos básicos de funciones Para la imagen, consideramos los valores de A obtenidos al sustituir en la fórmula del área los valores del dominio; como tampoco hay unidades de área negativa, la imagen queda así: I = [0, + ∞) Ya que la función relaciona a cada elemento del dominio con un solo elemento del conjunto imagen, representaríamos a la función como un conjunto de pares ordenados (x, y), en donde no puede haber dos parejas distintas que tengan el mismo primer elemento. A x y y se les llama variables de la función; específicamente a x, variable independiente y a la y, variable dependiente. La razón es que x llega a tomar un valor arbitrario (siempre y cuando pertenezca al dominio de la función); mientras que la y está definida en términos de x, mediante la regla de correspondencia explícita, que en la mayoría de las ocasiones es una expresión matemática. La notación utilizada para indicar que y es una función (f) de x es f(x), que se lee f de x o f en x. Otra notación adecuada para establecer el conjunto de pares ordenados de una función es: f = {(x, y) | y = f(x)} Formas de representación para una función Para comprender su comportamiento, las funciones pueden ser representadas en cuatro formas. Cada representación describe de una manera particular a la función, por lo que a menudo es conveniente pasar de una forma de representación a otra, mismas que son: 1. Verbal. Consiste en una descripción de la función con palabras, para denotar la relación entre la variable dependiente e independiente. Por ejemplo: a) La cantidad de pintura empleada para pintar una cerca depende del área de ésta. b) La estatura de un niño depende de su edad. En teoría, cualquier función puede ser expresada de forma verbal; sin embargo, en algunos casos este tipo de descripción resulta inoperante. 2. Algebraica. Hace uso de una expresión algebraica, para describir con precisión la manera en que están relacionadas las variables. Permite calcular el valor de y para un valor determinado de x; a tal proceso se le conoce como evaluación de funciones. Ejemplo de funciones representadas algebraicamente: a) f(x) = x + 2 b) g( x ) = x c) h( x ) = x +1 x d) i(x) = 2x 3. Numérica. Se obtiene por medio de una tabla de valores. Esta representación es muy útil cuando el dominio y la imagen de la función son conjuntos discretos. 478 Unidad 7: Funciones La siguiente tabla es un ejemplo de representación numérica muy práctica , dado que las variables dependiente e independiente de la función toman valores discretos y no continuos: Tabla 7.2 País Número de habitantes en 2004 en millones China 1,300 India 1,087 Estados Unidos 294 Japón 128 México 106.2 Alemania 82.4 Reino Unido 59.3 Datos tomados de 2004 World Population Data Sheet of the reference population of bureau 4. Visual. Mediante una gráfica observamos el comportamiento de una función, principalmente cuando no se tiene la expresión algebraica. Con esta representación se puede emplear la curva para hacer predicciones, o bien, es posible encontrar la ecuación que satisface la gráfica o por lo menos a parte de ella. A continuación se da la definición de gráfica de una función: Definición “Sea f una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x , y) en el plano cartesiano para los cuales y = f(x)”. La técnica para graficar una función depende en gran medida del tipo de función. Cabe agregar que en algunos casos es útil hacer una tabla de valores donde estén representados los valores de x y los correspondientes de y. En caso de tener una gráfica, es posible determinar si corresponde o no a la gráfica de una función; para ello, empleamos la prueba de la recta vertical. Esta prueba consiste en trazar rectas verticales sobre la gráfica y observar su intersección con el gráfico; si una de las rectas corta al gráfico en más de un punto, éste no corresponde a la gráfica de una función (véase la figura 7.2). 479 7.1 Conceptos básicos de funciones Este criterio se sustenta en la idea de que cada intersección de la recta vertical con el gráfico representa el valor de y para un valor de x; al haber más de una intersección hay más de un valor de y para x, lo cual no corresponde al concepto de función. a) b) Figura 7.2 Prueba de la recta vertical. En a), la gráfica no corresponde a una función, dado que una recta vertical corta en dos puntos al gráfico; en b), el gráfico sí corresponde a una función, ya que cualquier recta vertical corta en un solo punto al gráfico Efectos geométricos en la gráfica de una función Modificaciones en la regla de correspondencia de una función producen efectos geométricos importantes en su gráfica. A tales efectos se les conoce como transformaciones gráficas. Para comprender el comportamiento de algunas funciones resulta muy útil estar familiarizados con dichas transformaciones. Consideremos que la función corresponde a f(x). Las principales transformaciones, denotadas como g(x), son: 1. Desplazamientos verticales (sólo afecta a los valores de y): c > 0; la gráfica de f ( x ) se desplaza c unidades hacia arriba g( x ) = f ( x ) + c ⎧⎨ ⎩c < 0; la gráfica de f ( x ) se desplaza c unidades hacia abajo y y g(x) x x a) f(x) f(x) b) Figura 7.3 g(x) 480 Unidad 7: Funciones a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = f(x) + 2 sobre f(x). Observa que cada punto de la gráfica f(x) ha sido desplazado dos unidades hacia arriba para obtener la gráfica de g(x). En b) la transformación g(x) = f(x) − 2 produjo el efecto de desplazar cada punto de f(x) dos unidades hacia abajo. 2. Desplazamientos horizontales (sólo afecta a los valores de x): c > 0; la gráfica de f ( x ) se desplaza c unidades hacia la izquierda g( x ) = f ( x + c ) ⎧ ⎨c < 0; la gráfica de f ( x ) se desplaza c unidades hacia la derecha ⎩ g(x) Figura 7.4 . f(x) f(x) g(x) a) b) a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = f(x + 2) sobre f(x); observa que cada punto de la gráfica de f(x) ha sido desplazado dos unidades hacia la izquierda para obtener la gráfica de g(x). En b), la transformación g(x) = f(x − 2) hace que cada punto de f(x) sea desplazado dos unidades hacia la derecha. 3. Expansiones y contracciones verticales (sólo afectan a los valores de y): g(x) = cf(x) Para c > 1, la gráfica se expande en y y no se “refleja” respecto del eje x; si 0 < c < 1, la gráfica se contrae en y y no se refleja en x. Si −1 < c < 0, la gráfica se contrae en el eje y y se refleja con respecto al eje x. Finalmente, si c < −1 la gráfica se expande en el eje y y se refleja con respecto al eje x. y f(x) y g(x) g( g(x) f(x) Figura 7.5 a) x x b) 481 7.1 Conceptos básicos de funciones a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = 2f(x) sobre la gráfica de f(x); observa que para obtener la gráfica de g(x) cada valor de y se ha duplicado, mientras los de x no han sido afectados; en b), cada valor de y se ha dividido a la mitad, de acuerdo con la regla de correspondencia g(x) = (1/2) f(x). 4. Expansiones y contracciones horizontales (sólo afecta a los valores de x): c > 1; la gráfica se contrae sobre el ejex x y no se refleja en el eje y g( x ) = f (cx )⎧ ⎨0 < c < 1; la gráfica se expande sobre el ejex x y no se refleja en el eje y ⎩ y f(x) y f(x) g(x) g(x) x x a) b) Figura 7.6 a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = f(2x) sobre la gráfica de f(x). Observa que la gráfica de f(x) se contrajo a la mitad en la gráfica g(x). En b), la transformación g(x) = f(x/2) se ha expandido sobre el eje x por un factor de 2. 5. Reflexiones: − f ( x ); la gráfica de f ( x ) es reflejada sobre el eje x; cada valor de y cambia de signo g( x ) = ⎧⎨ ⎩ f ( − x ); la gráfica de f ( x ) es reflejada sobre el eje y; cada valor de x cambia de signo y y f(x) g(x) x x g(x) g(x) a) f(x) b) Figura 7.7 482 Unidad 7: Funciones a) Efecto geométrico de la transformación g(x) = −f(x). La gráfica de f(x) ha sido reflejada sobre el eje x, dado que cada valor de y de la gráfica f(x) ha cambiado de signo para obtener la gráfica de g(x). En b), cada valor de x ha cambiado de signo haciendo que la gráfica de f(x) se refleje sobre el eje y. Ejemplos Ejemplo 1 ¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde a una función? En caso de ser función, indica cuál es la variable dependiente y cuál la independiente. a) b) c) d) e) El auto de cada persona en una ciudad. La madre biológica de cada ser humano La cantidad de agua de una piscina El número de bacterias en un momento determinado La carrera estudiada por un alumno solución La descripción a) no corresponde a una función, dado que cada persona puede tener más de un auto. La descripción b) sí es función, pues cada ser humano sólo puede tener una madre biológica y sólo una. No hay ningún humano que no haya tenido una madre biológica. La variable independiente es cada individuo y la dependiente es la madre biológica. La descripción c) también es ejemplo de función, puesto que para cada piscina se requerirá un volumen de agua y sólo uno. La variable independiente es la piscina y la dependiente es el volumen de agua. La descripción d) también es función, ya que para un tiempo determinado hay un número de bacterias y sólo uno. El tiempo es la variable independiente y la dependiente es el número de bacterias. La descripción e) no es función, pues cada alumno puede estudiar más de una carrera. Ejemplo 2 ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? a) b) c) d) {(−2, 3), (−2, 4), (−1, 0), (0, 0), (2, 8), (5, 3)} {(−10, 10), (−9; 9), (−8, 8),(−7, 7), (−6, 6)} {(4, −3), (6, −12), (8, −3), (10, 3)} {(−11, 2), (−7, 3), (−9, 0),(−9, 2), (−7, 2),(−11, 4)} solución Las relaciones a) y d) no son funciones, dado que tienen elementos del dominio asociados con más de un elemento del conjunto imagen; por ejemplo, en a) el −2 tiene asociados al 3 y al 4. Las relaciones en los incisos b) y c) sí corresponden a funciones. 483 7.1 Conceptos básicos de funciones Ejemplo 3 Identifica, para la función expresada algebraicamente, la variable dependiente y la variable independiente, así como su dominio e imagen. f(x) = 3x + 2 solución La expresión de la función indica que para hallar la imagen de un valor particular de x, debemos multiplicarlo por 3 y al resultado sumarle dos unidades. La variable independiente es x y la dependiente es f(x). El dominio de una función se encuentra, por lo general, de forma analítica. Considerando que el dominio de la función corresponde a los valores posibles de x, evaluamos valores posibles de x en la expresión; además, observamos que ésta queda definida en los reales para cualquier valor de x. Recuerda que en caso de que al evaluar un valor determinado de x, en la expresión algebraica de la función correspondiente, se obtenga división entre 0, o bien, la raíz de índice par de números negativos; el valor de x no puede ser incluido en el dominio de la función, ya que tales situaciones no están definidas en el campo de los números reales. Por lo anterior el dominio es el conjunto de los números reales (R), denotado por D = R. Para hallar la imagen de una función es aconsejable deducir, a través de la observación de la gráfica de dicha función, si se cuenta con los elementos para graficarla. También resulta útil aplicar la prueba de la recta horizontal, que consiste en trazar una recta horizontal a lo largo de la gráfica e identificar el mínimo o máximo valor de la variable independiente. Otro método para identificar la imagen de la función, consiste en analizar los valores de y generados al evaluar algunos valores de x del dominio; al emplear este método, valores de x negativos o positivos generan valores de la variable dependiente, que de igual forma son números reales positivos o negativos. Se deduce entonces que la imagen es el conjunto de los números reales, denotado por I = R. Ejemplo 4 Dada la función f(x) = 3x + 2, evalúa: a) b) c) d) e) f (0) f(1/2) f(−2) f(a) f(a + h) solución a) Evaluar f(0) significa aplicar la regla f con x = 0; en otras palabras, calcular el valor de y para x igual a 0. Así, para evaluar f(0), se debe sustituir x en la expresión por 0, como muestra la siguiente expresión: f(0) = 3(0) + 2 = 0 + 2 = 2 484 Unidad 7: Funciones De esta forma, la función evaluada en 0 es igual a 2, que debe interpretarse como el valor de y es 2, cuando x es igual a 0. Para las evaluaciones restantes, se procede de forma similar: 1 3 3 4 7 b) f (1 / 2) = 3( ) + 2 = + 2 = + = 2 2 2 2 4 c) f (−2) = 3(−2) + 2 = −6 + 2 = −4 d) f (a) = 3(a) + 2 = 3a + 2 e) f (a + h) = 3(a + h) + 2 = 3a + 3h + 2 Ejemplo 5 Emplea la prueba de la recta vertical para identificar cuál(es) de la(s) siguiente(s) gráfica(s) corresponde(n) a la gráfica de una función: 5 y 10 5 −5 −5 10 b) y x −10 d) y 10 −10 −10 c) x 10 10 −10 10 −10 x a) y x −10 Figura 7.8 solución Las gráficas a) y b) son gráficas de una función, dado que ninguna recta vertical intercepta a la gráfica en más de un punto. Las gráficas c) y d) no corresponden a la gráfica de una función, dado que una recta vertical intercepta a las gráficas en más de un punto; en el caso de c), en dos, y en b) en una infinidad de puntos. 485 7.1 Conceptos básicos de funciones Ejemplo 6 Dada la gráfica f(x), traza las transformaciones indicadas por la regla de correspondencia: a) g(x) = f (x − 2) b) h(x) = 2f (x) c) i(x) = f (2x) d) j(x) = f (x) + 3 e) k(x) = f (−x) f) m(x) = (1/2) f (x + 1) − 2 f(x) Figura 7.9 solución a) La regla de correspondencia g(x) = f (x – 2) corresponde a un desplazamiento horizontal hacia la derecha en dos unidades, lo cual significa que cada punto deberá ser desplazado a la derecha. Por ejemplo, el punto (0,0) de f (x) corresponde al punto (2,0) de g(x), lo cual hace que la gráfica de f (x) se desplace dos unidades a la derecha. Observa que sólo los valores de x son modificados. La gráfica correspondiente es: f(x) g(x) Figura 7.10 b) La regla de correspondencia h(x) = 2f (x) indica una expansión vertical, lo cual significa que cada valor de y deberá ser multiplicado por 2. Por ejemplo, el punto (5/2,4) de f (x) corresponde al punto (5/2,8) de h(x), lo que hace que la gráfica de f (x) se alargue al doble verticalmente, como se muestra en la gráfica: f(x) Figura 7.11 g(x) 486 Unidad 7: Funciones c) La regla de correspondencia i(x) = f (2x) representa una contracción horizontal a la mitad, lo cual significa que cada valor de x deberá ser dividido entre 2. Por ejemplo, el punto (2,0) de f (x) corresponde al punto (1,0) de i(x), lo que hace que la gráfica de f (x) se contraiga horizontalmente a la mitad. La gráfica correspondiente es: f(x) g(x) Figura 7.12 d) La regla de correspondencia j(x) = f (x) + 3 indica un desplazamiento vertical hacia arriba en tres unidades, lo cual significa que cada valor de y será aumentado en tres unidades, haciendo que la gráfica de f (x) sea desplazada hacia arriba. Por ejemplo, el punto (0,0) de f (x) corresponde al punto (0,3) de j(x). La gráfica de dicha transformación es: g(x) f(x) Figura 7.13 e) La regla de correspondencia k(x) = −f (x) representa una reflexión sobre el eje x, lo cual significa que cada valor de y cambia de signo. Por ejemplo, el punto (5/2,−4) de f (x) corresponde al punto (5/2,4) de k(x); la gráfica es: g(x) f(x) Figura 7.14 487 7.1 Conceptos básicos de funciones f ) La regla de correspondencia m(x) = (1/2) f (x + 1) − 2 representa varias modificaciones, tanto un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en una unidad como una contracción vertical y un desplazamiento vertical hacia abajo. Por ejemplo, el punto (0,0) de f (x) corresponde al punto (−1, −2) de m(x), como se aprecia en la siguiente gráfica: m(x) f (x) Figura 7.15 Ejercicios y problemas 1. Identifica cuáles de las siguientes correspondencias son ejemplos de funciones: a) b) c) d) e) El peso de una persona. El número de hijos de un matrimonio. La matrícula de un auto. La empresa para la cual trabaja un individuo. El deporte que practica un atleta. 2. Identifica las variables dependiente (VD), independiente (VI), dominio (D) e imagen (I) de las siguientes funciones expresadas con palabras, en forma numérica, algebraica o gráfica: a) b) c) d) e) f) La cantidad de pintura para pintar una superficie. La estatura de las mujeres en función de la edad. El volumen de un cubo como función de su lado. {(−10, 10), (−9; 9), (−8, 8), (−7, 7), (−6, 6)}. {(4, −3), (6, −12), (8, −3), (10, 3)}. altura sobre el nivel del mar en km 0 5 10 20 30 40 Temperatura de la atmósfera °C 20 −55 −57 −50 −45 −20 488 Unidad 7: Funciones g) f ( x ) = x + 1 h) g( x ) = 1 x −1 i) y x Figura 7.16 j) y x Figura 7.17 k) Figura 7.18 3. Identifica el dominio y la imagen de las siguientes funciones: a) f(x) = −2x + 4 b) g(x) = x2 − x + 3 x −1 x−4 d) i(x) = −4 c) h( x ) = e) j ( x ) = x − 1 f ) k(x) = x4 − 1 489 7.1 Conceptos básicos de funciones 4. Dadas las siguientes funciones, evalúa f(0), f (−3), f (−x), f (x + 1), f (a), f (h), f (a + h), 2f (a) a) f(x) = x − 2 b) f ( x ) = 1 x c) f ( x ) = x + 1 d) f(x) = 2x2 + 1 5. Dadas las funciones f(x) = x − 2; h(x) = x2 − 4, encuentra: a) f (x) b) h(−x) c) 2f(−x) + 1 d) h(x + 1) −2 e) f(a) - 2h(a) t − 1⎞ t + 2⎞ 6. Si A(x) = 2x + 3 y B(x) = 3x − 2, encuentra A⎛ × B⎛ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ 7. a) Dada la gráfica de la función f(x). i. ii iii. iv. v. Determina dominio e imagen de f(x) Determina f(0) Encuentra f(−1) Encuentra f(4) toda x tal que f(x) < 0 vi. Encuentra 2 f (9) f (1) b) Dada la gráfica de la función g(x). i. ii. iii. iv. v. vi. Figura 7.19 y Determina dominio e imagen de g(x) Evalúa g(3) Encuentra g(−1) Evalúa g(8) toda x tal que g(x) < 0 Encuentra g(6)/g (1) x Figura 7.20 490 Unidad 7: Funciones 8. Dada la gráfica de f(x), dibuja las transformaciones indicadas: a) g(x) = −2f(x + 1) b) h(x) = f(2x) −3 c) i(x) = (1/2) f(−x) d) j(x) = −f(x/ 2) + 2 f(x) Figura 7.21 9. Identifica la regla de correspondencia para las gráficas indicadas con respecto a f(x), empleando los desplazamientos horizontales y verticales, así como las expansiones, contracciones y reflexiones. f(x) h(x) h(x) f(x) g(x) g(x) a) b) Figura 7.22 10. Encuentra el dominio y la imagen de la función g(x) = 2f (x) + 1, sabiendo que el dominio de f(x) es [−2, 5] y la imagen es [−5, 5]. 11. Encuentra el dominio e imagen de la función g(x) = −3f(x/2), sabiendo que el dominio de f(x) es [−2, 5] y la imagen es [−5, 5]. 7.1 Conceptos básicos de funciones Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Realiza un resumen de todas las características para identificar una función y las diferentes formas de representarlas, destacando las ventajas de cada una de ellas; luego, busca dos ejemplos de funciones en tu área de interés profesional. Identifica la variable dependiente e independiente, así como el dominio y la imagen de las funciones. 2. Realiza en casa el siguiente experimento y lleva los datos obtenidos para contestar las preguntas en equipo: i. Coloca dos tazas de agua del grifo (a temperatura ambiente) en un recipiente. ii. Utiliza un termómetro para medir la temperatura del agua (tiempo cero). iii. Empieza a calentar el agua con flama baja de una estufa (precaución, dado que puede estar muy caliente) y registra en una tabla la temperatura que alcanza después de 2, 4, 8, 10 y 15 minutos. iv. Con los datos obtenidos responde con tu equipo las preguntas: a) ¿La relación entre la temperatura y el tiempo de calentamiento corresponde a una función? b) Si es función, identifica la variable dependiente e independiente, dominio e imagen. c) ¿De qué manera podrías emplear esta información para predecir el tiempo que llevará calentar el agua hasta que hierva? d) Compara los resultados de tu equipo con los de otros y de manera grupal discute las coincidencias o discrepancias. 3. Para la siguiente descripción identifica la variable dependiente e independiente, la manera en que están relacionadas las variables para representar correctamente la función en las cuatro formas (algebraica, numérica, visual y verbal). Utiliza una notación adecuada para la función y define el dominio y la imagen de la función. Discute las características destacables al usar cada uno de los cuatro tipos de representación de funciones. La solubilidad del CO2 a una determinada presión a la temperatura de 20°C se muestra en la siguiente tabla: 491 492 Unidad 7: Funciones P (atm) S (g/100 mL) a 20°C 1.0 0.161 1.5 0.242 2.0 0.322 2.5 0.403 3.0 0.483 3.5 0.564 4.0 0.644 4.5 0.725 5.0 0.805 5.5 0.886 6.0 0.966 1. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es función? a) {(1, −2), (2, 2), (3, 5/2), (4, 12)} b) {(1, 3), (2, 3), (3, 10), (4, 10)} c) {(1, −3), (1, 2), (3, 5/2), (4, 12)} d) {(−15, −2), (−3, 0), (2, −15), (6, −8)} 2. ¿Cuál de las siguientes gráficas no corresponde a la gráfica de una función? a) b) c) Figura 7.23 d) 493 7.1 Conceptos básicos de funciones 3. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde al dominio de la función cuya gráfica se muestra en la figura?: a) [3, + ∞) b) [4, + ∞) c) (−∞, + ∞) d) (−∞, 3] Figura 7.24 4. Si f(s) = s2 + 6s, f(x + 4) es: a) x2 + 14x + 44 b) x2 + 16x + 40 c) x2 + 16x + 44 d) x2 + 14x + 40 5. ¿Cuál es la opción que contiene el dominio y la imagen de la función que se muestra a continuación?: a) Dom: R, imagen: (−2, + ∞) b) Dom: R, imagen: R c) Dom: (−2, ∞], imagen: (−2, ∞) d) Dom: R, imagen: [−2, + ∞) 5 y 5 −5 x −5 Figura 7.25 6. Un punto P(−2, 1) pertenece a la función f(x). ¿Qué opción contiene el punto Q(−2, ?) de la función g(x) = f (x) − 5?: a) (−7, 1) b) (−2, 6) c) (−2, −4) d) (3, 1) 494 Unidad 7: Funciones 7. Si f(x) = x2, ¿cuál de las siguientes gráficas corresponde a g(x) = −f(x − 3) − 1? 10 y 10 10 −10 y 10 −10 x −10 −10 a) b) 10 y 10 10 −10 y 10 −10 x c) −10 d) −10 Figura 7.26 8. Dada la gráfica de f(x), encuentra en la columna B la gráfica de las transformaciones gráficas de f (x) que aparecen en la columna A: f(x) Figura 7.27 495 7.1 Conceptos básicos de funciones Columna A a) g(x) = 2f(x/ 2) Columna B i. b) h(x) = (−1/2) f (x + 1) c) i(x) = f(−x) − 2 d) j(x) = f(x − 2) + 2 ii. iii. iv. v. 496 Unidad 7: Funciones Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) Es función. b) Es función. c) Es función. d) No es función. e) No es función. 2. a) VI = superficie, VD = cantidad de pintura, D = [0, + ∞), I = [0, + ∞) b) VI = edad, VD = estatura en m, D = [0, 18], I = [0, 2.2]. Nota que el 18 corresponde a la edad promedio máxima en la que se detiene el crecimiento longitudinal de las mujeres y 2.2 la altura en metros registrada a la fecha para la mujer más alta c) VI = longitud de la arista, VD = volumen del cubo, D = [0, + ∞), I = [0, + ∞) d) D = {−10, −9, −8, −7, −6}, I = {10, 9, 8, 7, 6} e) D = {4, 6, 8, 10}, I = {−3, −12, −3,3} f) D = {0, 5, 10, 20, 30, 40}, I = {−57, −55, −50, −45, −20, 20} g) VI = x, VD = f(x), D = [−1, + ∞); I = [0, + ∞) h) VI = x, VD = g(x), D = (−∞, 1) ∪ (1, + ∞); I = (−∞, 0) ∪ (0, + ∞) i) VI = x, VD = h(x), D = (−∞, + ∞); I = (−∞, + ∞) j) D = (−∞, + ∞); I = [−2, + ∞) k) D = (−∞, −1) ∪ (−1, + ∞); I = (−∞, 1) ∪ (1, + ∞) 3. a) D = R; I = R b) D = R; I = [9/4, + ∞) c) D = (−∞, 4) ∪ (4, + ∞); I = (−∞, 1) ∪ (1, + ∞) d) D = R; I = {−4} e) D = [1, + ∞); I = [0, + ∞) f ) D = R; I = [0, + ∞) 4. a) f(0) = −2, f(−3) = −5, f(−x) = −(x + 2), f(x + 1) = x − 1, f(a) = a − 2, f (h) = h − 2, f(a + h) = a + h − 2, 2 f(a) = 2(a − 2) b) f(0) = IND, f(−3) = −1/3, f(−x) = −1/x, f(x + 1) = 1/(x + 1), f(a) = 1/a, f (h) = 1/h, f (a + h) = 1/(a + h), 2 f(a) = 2/a 497 7.1 Conceptos básicos de funciones c) f(0) = 1, f(−3) = IND, f ( − x ) = − x + 1 , f ( x + 1) = x + 2 , f ( a) = a + 1 , f (h) = h + 1 , f ( a + h) = a + h + 1 , 2 f ( a) = 2 a + 1 d) f (0) = 1, f(−3) = 19, f(−x) = 2x2 + 1, f(x + 1) = 2(x + 1)2 + 1, f (a) = 2a2 + 1, f(h) = 2h2 + 1, f(a + h) = 2(a + h)2 + 1, 2 f(a = 2(2a2 + 1) 5. Dadas las funciones, f(x) = x − 2; h(x) = x2 − 4, encuentra: a) f (x) = x − 2 b) h(−x) = x2 − 4 c) 2f(−x) + 1 = −(2x + 3) d) h(x + 1) −2 = x2 + 2x − 5 e) f(a) − 2h(a) = 6 + a − 2a2 6. 3t2 + 10t + 8 7. a) i. D = [0, + ∞), I = [0, + ∞) ii. f(0) = 0 iii. f(−1): No existe iv. f(4) = 2 v. No existe un valor de x, tal que f(x) < 0 vi. 2 f(−2)/f(1) = 2(3)/1 = 6 b) i. D = (− ∞, 2] ∪ [4, + ∞), I = (− ∞, 0] ∪ {3} ii. g(3): No existe iii. g(−1) = −3 iv. g(8) = 3 v. (−∞, 2) vi. g(6)/g(1) = 3/(−1) = −3 8. f(x) f(x) h(x) g(x) a) b) Figura 7.28 498 Unidad 7: Funciones f(x) f(x) h(x) g(x) c) 9. d) a) g(x) = −f(x); h(x) = f(x + 4) + 2 b) g(x) = −f(x) − 3; h(x) = f(x + 3) 10. D = [−2, 5]; I = [−9, 11] 11. D = [−4, 10]; I = [−15, 15] Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. c b c d d c a (a, v), (b, i), (c, ii), (d, iii) 499 7.2 Modelación 7.2 Modelación No hay enigmas. Si un problema puede plantearse, también puede resolverse. Ludwing Wittgenstein Introducción n La representación matemática de una función describe con precisión la manera en que las variables están relacionadas en una situación o un fenómeno particular. Resulta muy útil aislar aspectos esenciales de lo que estudiamos para después predecir su comportamiento, resolver un problema particular o analizar situaciones análogas. El siguiente ejemplo ilustra la importancia de plantear matemáticamente la función en la resolución de un problema o de una situación. Fabricación de una caja de cartón Supón que se va a construir una caja abierta a partir de una pieza rectangular de cartón que mide 20 por 30 cm, cortando cuadros idénticos en cada esquina (cuyo lado es x) y doblando los lados como se muestra en la figura 7.29. x x x 20 − 2x x x x x x 30 − 2x Figura 7.29 ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir? ¿De qué tamaño debiera ser el cuadro recortado para obtener la caja de mayor volumen? 500 Unidad 7: Funciones ¿Qué relación hay entre el volumen de la caja y la longitud del cuadro recortado? Para contestar las preguntas, se podrían realizar recortes de piezas de cartón hasta obtener la caja de mayor volumen, o bien, encontrar la relación entre el volumen de la caja y la longitud del cuadro recortado, y luego expresarla con una fórmula matemática. En principio, parecería menos complicado realizar los recortes, pero con seguridad después de muchos intentos y piezas de cartón, desearíamos encontrar una fórmula en donde un simple cálculo minimizara los esfuerzos y el tiempo invertido. De hecho, la mejor manera de resolver dichas preguntas es realizar un planteamiento matemático, ya que no sólo se resolverían las preguntas en el menor tiempo y con la mínima cantidad de material, sino que además la fórmula sería aplicable a una pieza de cartón de dimensiones distintas a la planteada inicialmente. El reto es realizar el planteamiento matemático de la relación entre las variables. En esta sección revisaremos algunos ejemplos de funciones simples, donde se realizarán planteamientos mediante una serie de pasos sugeridos y aplicando los conceptos de función revisados en la sección anterior. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Plantear diferentes situaciones en las que se perciba la relación funcional entre dos variables. • Identificar en este proceso la variable independiente, la dependiente, lo mismo que conceptos tales como dominio e imagen de la función. Planteamiento matemático de relaciones funcionales Un modelo o planteamiento matemático de una situación donde se percibe una relación funcional entre dos variables se conoce también como modelación. El proceso consiste en encontrar una función o fórmula que exprese la manera en que se relacionan las variables. En la sección siguiente se ejemplifica la modelación de una función a partir de una colección de datos. Cuando desees modelar una función a partir de una colección de datos, debes dibujar una gráfica de dispersión (para mostrar la colección de puntos) y después trazar la curva de ajuste (elegir una curva que quede lo más cerca posible de los puntos). Sin embargo, si la relación entre las variables está expresada en el enunciado y no tienes mucha experiencia, te resultará útil seguir los pasos que a continuación te describimos, aunque el proceso puede resultar complejo si la relación entre las variables no es sencilla. 501 7.2 Modelación 1. Identifica las variables: Lee y analiza la situación para identificar a la variable dependiente, a la independiente y a las cantidades constantes. 2. Introduce una notación: Asigna una letra o un símbolo a la cantidad buscada y a las demás variables. 3. Relaciona cantidades: Emplea la información proporcionada para obtener ecuaciones que las relacionen. En ocasiones es muy valioso emplear un diagrama. 4. Elimina variables innecesarias: Utiliza las relaciones existentes entre las variables y manipúlalas, con la finalidad de eliminar varias de ellas; deberás conservar a aquellas que deseas relacionar. Una vez encontrada la relación funcional entre las variables, determinarás su dominio y su imagen de manera análoga a como se indicó en la sección 7.1; no olvides que estamos revisando funciones y que ahora buscamos contestar preguntas relativas a predicciones. Ejemplos Ejemplo 1 Expresa el radio de un círculo como función de su área. Identifica la variable dependiente y la variable independiente, así como el dominio y la imagen de la función. Siguiendo los pasos sugeridos antes: solución 1. Dado que la situación requiere expresar el radio en función del área, la variable independiente es el área; por lo tanto, la dependiente es el radio. 2. La notación sería: para el radio r y para el área A, pero puede emplearse cualquiera otra. 3. La relación entre ambas cantidades está dada por la fórmula del área de una circunferencia, la cual es A = πr2. En esta ocasión no es necesario el diagrama. 4. Como se desea que el radio esté en función del área, sólo se requiere despejar a r; de esta manera, la fórmula que expresa a r como función de A es: r ( A) = A π Este modelo de la relación entre el área y el radio permite encontrar el radio para un valor del área específico, basta sustituir dicho valor en la regla de correspondencia o fórmula. Como los valores del área y del radio son no negativos, sus valores numéricos están restringidos; encontrando las restricciones, el dominio y la imagen de la función quedan definidos. El dominio de la función corresponde al conjunto de todos los valores posibles del área. Como no hay unidades de área negativas, ni la raíz par de números negativos está definida en el campo de los números reales, el dominio está restringido a los números no negativos; lo anterior se expresa así: D = [0, + ∞) 502 Unidad 7: Funciones La imagen de la función corresponde al conjunto de todos los valores posibles del radio, definidas por la función r(A); como no hay unidades de longitud negativas, la imagen es I = [0, + ∞). Ejemplo 2 Un rectángulo tiene un área de 16 m2. a) Expresa el perímetro P del rectángulo como una función de la longitud x de uno de sus lados. b) Define el dominio e imagen de la función. c) Encuentra el perímetro del rectángulo cuando la longitud del lado x es igual a 3 m. solución a) La variable independiente es la longitud x, dado que la situación requiere expresar el perímetro en función del lado. Por lo tanto, la dependiente corresponde al perímetro, mientras que 16 es una constante. Aunque la notación ya está indicada en la descripción, existe otra variable que resulta útil identificar: el otro lado del rectángulo, al cual denotaremos con la letra y. En este caso es conveniente el diagrama para visualizar a cada una de las variables y la manera en que se relacionan. x y Figura 7.30 La relación entre todas las variables está dada por las fórmulas del perímetro y del área de un rectángulo: P = 2x + 2y (1) A = xy (2) Como se desea encontrar la relación entre el perímetro y el lado x, debemos manipular las fórmulas para eliminar la variable y, lo cual sólo es posible al despejar y de (2) y sustituir el valor de A por 16, de manera que: y= 16 x Al sustituir y en (1), obtenemos la expresión: P = 2x + 2(16) x 503 7.2 Modelación Simplificando la expresión, obtenemos: P( x ) = 2 x + 32 x b) La fórmula obtenida corresponde a la modelación de la relación funcional entre la variable dependiente y la independiente, a la vez que expresa al perímetro en función de la longitud de uno de sus lados, de manera que con dicha fórmula es posible encontrar el valor del perímetro para un valor específico de la longitud x. Dada la naturaleza de la regla de correspondencia obtenida, hay que tomar en consideración que un valor de 0, de la longitud x, no puede ser incluido, por lo que el dominio de la función corresponde al conjunto de todos los valores posibles de x; como no hay unidades de longitud negativas, el dominio es D = (0, + ∞); en las secciones siguientes daremos un método que nos permitirá concluir que I = [16, + ∞). c) Para encontrar el valor del perímetro cuando el lado es igual a 3 m, sustituimos en la fórmula encontrada: 32 P(3) = 2(3) + 3 P(3) = 16.6 m Ejemplo 3 El costo de impresión de una revista es conjuntamente proporcional a su número de páginas y al número de ejemplares impresos. a) Escribe la relación funcional si el costo de impresión es de $60,000 para 4,000 copias de una revista de 120 páginas. b) ¿Cuál es el costo de impresión para 5,000 copias de una revista de 92 páginas? solución a) Siguiendo los pasos recomendados para encontrar la fórmula que modela esta relación: El costo depende del número de páginas y del número de revistas, por lo que es la variable dependiente. En este caso, hay dos variables independientes, el número de páginas y las copias impresas. La notación que emplearíamos para costos es C, para el número de páginas P y para el número de revistas impresas R. De acuerdo con los datos, C varía proporcionalmente a P y a R, lo que significa que hay una constante, k, multiplicada por el producto de P y R; esto es: C = kPR Sustituyendo los datos conocidos, encontraremos k: k= k= C PR 60, 000 1 = ( 4, 000)(120) 8 504 Unidad 7: Funciones Sustituyendo k en la ecuación de costo: C= 1 PR 8 b) Para conocer el costo de la impresión de 5,000 revistas con 92 páginas, basta con sustituir los datos en la fórmula encontrada, de manera que el costo es: C= 1 (92)(5, 000) = $57, 500 8 Ejemplo 4 Un granjero tiene 2,400 pies de cerca y desea rodear un campo rectangular limitado por un río recto sobre cuya frontera no se pondrá cerca. Expresa el área A como función del ancho x del terreno rectangular. solución a) Dado que la situación requiere expresar el área en función del ancho x, la variable independiente es el ancho; por lo tanto, la dependiente es el área. b) La notación ya está indicada, aunque puede emplearse cualquiera otra. c) Considera el siguiente diagrama: x x y Figura 7.31 La relación entre ambas cantidades está dada por la fórmula del área y el perímetro de un rectángulo; para el área la fórmula es: A = xy (1) Para el perímetro, hay que tomar en cuenta que no requiere cerca del lado del río; por lo tanto: P = 2x + y (2) Como se desea expresar el área en función del ancho x, se requiere manipular las ecuaciones para eliminar a la variable y, lo cual es posible sustituyendo el valor del perímetro, que es un dato conocido en la ecuación (2), y despejar a la y: 2400 = 2x + y y = 2400 − 2x 505 7.2 Modelación Para obtener A (x) basta con sustituir y en la ecuación (1) y simplificar: A = x(2400 − 2x) A(x) = 2x(1200 − x) Esta fórmula representa al área como función de x. Nota que por el contexto del problema: A(x) = 2x(1200 − x) ≥ 0, con x > 0 Resolviendo tal desigualdad, concluimos que D = [0, 1200]. A partir de nuestro estudio de cónicas (en particular de la parábola), deducimos que I = [0, 720,000]. Ejemplo 5 Dos barcos zarpan simultáneamente de un puerto. Uno navega hacia el sur a una velocidad de 15 millas/hora y el otro navega hacia el norte a 20 millas/ hora. a) Expresa la distancia d entre los barcos como función del tiempo t de salida transcurrido desde la salida. b) Calcula la distancia entre ambos barcos después de las primeras dos horas. solución a) Dado que la situación requiere expresar a d como función de t, la variable independiente es el tiempo y la dependiente es la distancia ente los barcos. La notación ya está indicada, aunque puede emplearse cualquiera otra. Es conveniente el empleo de un diagrama como el de la figura 7.32 para identificar claramente las relaciones entre las variables. d1 d Barco 1 puerto d2 Barco 2 Figura 7.32 506 Unidad 7: Funciones La distancia entre ambos barcos, después de zarpar simultáneamente, es igual a la suma de las distancias recorridas por cada barco en un tiempo determinado. Por esa razón, es necesario encontrar la ecuación de la distancia de cada barco en función del tiempo. d = d1 + d2 (1) d1 = 20t d2 = 15t Sustituyendo en la ecuación (1) la distancia de cada barco, encontramos la relación entre d y t: d = 20t + 15t = 35t b) Para encontrar la distancia entre ambos barcos después de las primeras dos horas, basta con sustituir el tiempo: d = 35(2) d = 70 millas Ejercicios y problemas 1. Expresa el volumen (V) de un cubo, como función de su área (A). Identifica a la variable independiente y a la dependiente; a la vez, determina el dominio y la imagen de la función. 2. Expresa el área (A) de un triángulo equilátero como una función de la longitud (x) de uno de sus lados. 3. Una caja rectangular abierta con un volumen (V) de 12 m3 tiene una base cuadrada. Expresa el área (A) de la superficie de la caja como una función de la longitud (l) de un lado de la base. ¿Cuál es la superficie de la caja si el lado de la base fuera de 1 m? 4. La altura de un triángulo rectángulo es de 5 metros. Encuentra la hipotenusa (h), como una función de la base (b). Establece el dominio y la imagen de la función. 5. El área (A) de un rectángulo es de 64 pulgadas cuadradas. Expresa el perímetro (P) como una función del ancho (x). Encuentra el dominio de la función. 6. La presión (P) de una muestra de gas es directamente proporcional a la temperatura (T) e inversamente proporcional a su volumen (V). 507 7.2 Modelación a) Escribe una expresión para la relación anterior, si 100 L de gas ejercen una presión de 1 atmósfera a una temperatura de 400 K (temperatura absoluta en la escala Kelvin). b) Si la temperatura incrementa a 500 K y se reduce el volumen a 80 L, ¿cuál es la presión del gas? 7. A veces, en fisiología humana se utiliza un cilindro circular como representación sencilla de una extremidad humana. a) Expresa el volumen v del cilindro en términos de su longitud l y el cuadrado de su circunferencia C. b) Supón que la circunferencia promedio de un brazo humano es de 22 cm y la longitud promedio es de 27 cm. Calcula el volumen del brazo. 8. El dueño de una clínica veterinaria quiere construir una perrera con cuatro corrales individuales e iguales. La ley establece que cada corral debe tener una puerta de 3 pies de ancho y un área de 50 pies cuadrados. a) Si x es el ancho de corral, expresa la cantidad total de malla (m) (excluyendo puertas) requerida para construir la perrera como función de x. b) ¿Cuál es la cantidad de malla que requerirá si el ancho de cada corral es de 6 pies? v2 pesos; en donde v 5 corresponde a la velocidad en kilómetros/hora. Otros costos fijos son de $400 por hora. Escribe el costo 9. El costo que un tren gasta de combustible por hora en su recorrido es de (C) total de un viaje de 500 kilómetros como una función de la velocidad v. 10. La población de salmón que sobrevive hasta llegar a su edad adulta, como función del número de salmones ponedores de huevos, está dada por la regla de correspondencia: R( S ) = 4500 S S + 500 a) ¿Cuál debe ser el número de salmones ponedores que se requieren para que la población sobreviviente sea de 3,000 salmones? b) ¿Cuál será la expresión de S como función de R? 11. La densidad D de la capa de ozono a altitudes “x” entre tres y 15 kilómetros durante el invierno en Edmonton, Canadá, se determinó, a nivel experimental, por medio de la regla de correspondencia: D(x) = 0.0833x2 − 0.4996x + 3.5491 a) ¿Cuál es densidad de la capa de ozono a una altura de ocho kilómetros? b) ¿Cuál es la expresión de x como función de D? 508 Unidad 7: Funciones Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Realiza una lista de todas las características necesarias para modelar una función a partir de los datos de un enunciado. Busca un ejemplo de función en tu área de interés y encuentra su modelo matemático. Elabora preguntas relacionadas con la situación: Luego, determina el dominio y la imagen de la función hallada. 2. Revisa el problema Fabricación de una caja de cartón, que se describe en la introducción de esta sección. Escribe la regla de correspondencia para el volumen V, como una función del cuadro de lado x. 1. La fórmula K = C + 273 expresa la relación funcional entre los grados centígrados (°C) y los grados kelvin (°K). Para cada inciso, determina la opción que contiene la afirmación correcta. a) La variable dependiente es: i. K ii. C iii. 273 ii. [−273, + ∞) iii. (− ∞, + ∞) b) El dominio de la función es: i. [0, + ∞) b) La imagen de la función corresponde a: i. [0, + ∞) ii. [−273, + ∞) iii. (− ∞, + ∞) 2. Un automóvil parte del reposo y viaja por una carretera recta nivelada. La distancia en metros recorrida está dada por la fórmula d(t) = 10t2, donde t es el tiempo en segundos. En cada uno de los siguientes incisos, determina la afirmación correcta: a) La distancia recorrida por el automóvil a los 11 segundos. i. 10 m ii. 1210 m iii. 40 m 509 7.2 Modelación b) La expresión del tiempo en función de la distancia corresponde a: i. t ( d ) = d 10 ii. t ( d ) = 10 d iii. t ( d ) = d t iv. t ( d ) = d 10 c) El dominio de la función es: i. [0, + ∞) ii. [1, + ∞) iii. (− ∞, + ∞) 3. La fórmula que expresa el área “A” de un círculo como función de su perímetro “P” es: i. A(P) = 2πr2 ii. A( P) = P2 2 iii. A( P) = πP 2 4 iv. A( P) = P2 4π 4. El perímetro de un rectángulo es de 150 pulgadas. La diagonal mayor del rectángulo “D” como una función de su ancho “w” corresponde a: i. w2 + 5625 ii. 5625 − 150 w iii. 2 w 2 + 5625 i v 2 w 2 + 5625 − 150 w . 5. La presión de un gas ideal es directamente proporcional a la cantidad de gas “n” e inversamente proporcional al producto del volumen “V”, así como la temperatura absoluta “T ”, siendo “R” la constante de proporcionalidad; en consecuencia: p= nR VT a) ¿Cuáles son las variables independientes? b) ¿Cuál es la imagen de la función? c) ¿Qué le pasará a la presión al aumentar la cantidad de gas, si permanecen constantes las demás variables? 6. Un acuario de base rectangular mide 1.5 pies de altura y ha de contener un volumen de 6 pies3. La expresión de la superficie “S” del acuario como función de la longitud de uno de los lados de la base “x” del acuario corresponde a: a) S( x ) = 7 x + 12 x b) S( x ) = 4 + 12 + 3x x c) S( x ) = 4 x + 15 x d) S( x ) = 4 + 3 + 12 x x 510 Unidad 7: Funciones Respuestas a los Ejercicios y problemas ⎛ A⎞ 1. V ( A) = ⎝ 6⎠ 2. A( x ) = 3/ 2 . La variable independiente es A, la dependiente V. D = [0, + ∞), I = [0, + ∞) 3x 2 4 3. A(l ) = l 2 + 48 ; A(1) = 49 l 4. h(b) = 25 + b 2 , D = (0, + ∞), I = (5, + ∞) 2 5. P( x ) = 2( x + 64) . D = (0, + ∞) x 6. a) P = T ; 4V b) 1.56 atmósferas 2 7. a) v = c l ; 4π b) 1039. 92 cm3 8. a) m( x ) = 8 x + 400 − 12 ; b) 102.66 pies x 9. C(v) = 100 v + 20000 v 10. a) 1000; b) s( R) = 500 R 4500 − R 11. a) 4.88, b) x ( D) = 2.9988 + 3.46479 D − 2.8 Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. a) i b) ii c) i 7.2 Modelación 2. a) ii b) iv c) i 3. d 4. d 5. a) n, V y T b) [0, + ∞) c) aumenta 6. b 511 512 Unidad 7: Funciones 7.3 La función lineal ¡Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad! Albert Einstein Introducción n En muchas situaciones, la relación funcional entre las variables es tal que a medida que la variable independiente aumenta, la dependiente aumenta o disminuye de manera “proporcional” a aquélla. Cuando esto ocurre, la función correspondiente puede ser modelada de manera muy simple a través de una función conocida como función lineal. La siguiente situación ilustra la importancia de este tipo de funciones: El negocio de la telefonía móvil A partir de 1990, los teléfonos móviles se convirtieron en un significativo medio de comunicación. Se reportó que en 1994 el uso mundial de teléfonos fue de 37.5 millones y de 70 millones en 1998, así como que en el 2002 alcanzó los 102.5 millones. Podemos decir que cada año hay mayor demanda de teléfonos. Para las empresas de telefonía, esta tendencia se traduce en un gran negocio y en una gran estrategia de operación, así que recurren a analistas que emplean datos como los anteriores para estimar el número de usuarios para el futuro, sus producciones, sus campañas de ventas y, por supuesto, sus ganancias. ¿Cómo hacen las empresas de telefonía móvil para predecir, a partir de los datos anteriores, el número de usuarios que habrá para el 2005? Las empresas recurren a la modelación matemática, ya que contar con una ecuación que describa con precisión el comportamiento de las variables hace posible realizar estimaciones, predicciones y planeaciones como las del caso citado. En esta sección definiremos la función lineal; asimismo, analizaremos situaciones de crecimiento y decrecimiento, pero también realizaremos el planteamiento matemático de situaciones donde la relación entre las variables sea lineal. 513 7.3 La función lineal Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Definir y reconocer las características de una función lineal. • Analizar el crecimiento y decrecimiento de una función lineal. • Modelar situaciones que den lugar a una función lineal. La función lineal Una función f es una función lineal si es de la forma: f(x) = mx + b donde m y b son números reales y m ≠ 0. El nombre que recibe esta función se debe a que su gráfica es una línea recta. Obtener la gráfica de una función lineal es equivalente a graficar la ecuación lineal: y = mx + b que es la ecuación de una recta con pendiente m e intersección con el eje y igual a b (ordenada al origen). El dominio de una función lineal es el conjunto de todos los números reales, debido a que la ecuación de la recta representa un número real para todo número real x. Como la definición de la función exige que m≠ 0, la gráfica no puede corresponder a una función horizontal de ecuación f(x)=b, lo que implica que la imagen de la función lineal también es el conjunto de los reales. Hay dos tipos de rectas que no son gráficas de funciones lineales: la recta vertical de ecuación x = a, que ni siquiera corresponde a una función, y la recta horizontal f(x)= b, que aunque sí pasa la “prueba de la recta vertical” y es función, no es una función lineal; nos referiremos a ella con el nombre de función constante. Crecimiento y decrecimiento Cuando la variable dependiente aumenta a medida que la variable independiente lo hace, decimos que hay un crecimiento. Tal situación de crecimiento está indicada en la ecuación de una recta, cuando el signo de la pendiente es positivo. Además, el valor numérico de la pendiente indica cuánto crece la variable dependiente por incremento unitario de la variable independiente. Por ejemplo, el perímetro (P) de un cuadrado es un ejemplo de crecimiento, dado que a medida que el lado (l) aumenta, el perímetro también lo hace de manera lineal, como se aprecia en la ecuación del perímetro de un cuadrado P = 4l (observa su similitud con la ecuación lineal de una recta). El signo positivo de la pendiente es congruente con la situación de crecimiento y su valor de 4 indica que el perímetro aumenta cuatro veces por cada unidad que la longitud aumente. En caso de que la variable dependiente disminuya cuando la variable independiente aumente, hablaremos de decrecimiento. El decrecimiento está indicado por el signo negativo de la pendiente, en tanto que su valor numérico representa la disminución de la variable dependiente por incremento unitario de la variable independiente. Un ejemplo ilustrativo es la construcción de una barda. Si un albañil levanta una barda en un día y dos albañiles (con capacidad de trabajo equiparable) emplean medio día, 514 Unidad 7: Funciones observamos que el tiempo (t) de construcción disminuye linealmente a medida que el a 3 número de albañiles (a) aumenta. El modelado de esta función es: t ( a) = − + (co2 2 rresponde a una ecuación lineal). Observa el signo negativo de la pendiente y su valor 1/2 en esta situación de tiempo decreciente. Modelación de funciones lineales La modelación de una situación donde se obtiene una función lineal se realiza de manera similar a lo que vimos en la sección anterior. Un método para crear un modelo matemático a partir de una colección de datos en situaciones donde la relación de entre las variables sea lineal, consiste en construir una gráfica con los datos, ubicando a la variable dependiente en el eje de las abscisas y la dependiente en el eje de las ordenadas, para después encontrar una línea de ajuste que se aproxime lo mejor posible a la mayor cantidad de puntos. Una vez conocida la línea de ajuste, es posible hallar la fórmula o regla de correspondencia, emplearla para resolver un problema y realizar predicciones. En cambio, cuando la relación de las variables está denotada por los datos de un enunciado, y no se tiene mucha experiencia, puede simplificarse el modelado empleando los pasos que a continuación se recomiendan: 1. Identifica las variables dependiente y la independiente, así como las cantidades constantes. 2. Asigna una notación adecuada a las variables. 3. Escribe la función lineal de la forma f(x) = mx + b en términos de la notación elegida para las variables. 4. Plantea las ecuaciones lineales necesarias para encontrar las cantidades desconocidas a partir de los datos del problema. 5. Resuelve la ecuación lineal o el sistema de ecuaciones lineales resultante, mediante el método de tu elección para encontrar las cantidades constantes. 6. Sustituye las cantidades constantes para obtener la regla de correspondencia buscada. Ejemplos Ejemplo 1 Para los datos que a continuación se muestran, emplea una gráfica para calcular la pendiente y la ordenada al origen. Encuentra la función lineal correspondiente: X 1 2 6 8 10 12 Y 2 6 4 8 7 9 515 7.3 La función lineal solución Para encontrar la gráfica de la función, ubicamos en un sistema cartesiano a cada par ordenado (x, y), ya sea en una hoja cuadriculada o bien en una hoja de aplicación de Excel. Empleando esta herramienta, obtenemos la gráfica de la figura 7.33: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Figura 7.33 12,9 8,8 10,7 6,4 2,3 1,2 0 2 4 6 8 10 12 14 Representación de los pares ordenados (x, y) para la colección de datos del problema. Una vez obtenida la gráfica anterior, encontraremos la línea de ajuste, la que está más cerca del mayor número posible de la colección de puntos. Ésta puede trazarse manualmente o bien empleando las herramientas estadísticas del software. Una posible línea de ajuste se muestra en la figura 7.34. Esta línea fue trazada uniendo el punto inicial con el final. Otra posible línea se muestra en la figura 7.35. Observa que esa otra línea no toca a ninguno de los puntos, pero representa adecuadamente su comportamiento. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12,9 8,8 10,7 6,4 2,3 1,2 0 2 Figura 7.34 4 6 8 10 12 Línea de ajuste para los datos graficados 14 516 Unidad 7: Funciones Observa que la situación corresponde a una función creciente, dado que la pendiente es positiva. Para encontrar la ordenada al origen (intersección con y), basta con extrapolar la gráfica hasta hacer que cruce al eje y, como se muestra en la gráfica de la figura 7.35. 12 10 8 6 4 2 −2 0 0 2 Figura 7.35 4 6 8 10 12 14 16 Extrapolación para encontrar la intersección con y Recuerda que para obtener la ecuación de una línea recta se requiere conocer la pendiente m, y la ordenada al origen, o bien, conocer dos puntos por donde pase la recta. Para encontrar el valor de la pendiente, tomamos dos puntos cualesquiera de la línea de ajuste, para aplicarlos en la fórmula de la pendiente. En la figura 7.35, elegimos los puntos P1 (0,0) y el punto P2 (5,8), luego sustituimos para obtener el valor de la pendiente: m= y2 − y1 8 − 0 8 = = x 2 − x1 5 − 0 5 Sustituyendo en la definición de función lineal el valor de la pendiente y de la ordenada al origen, encontraremos que la regla de correspondencia que modela los datos corresponde a: f ( x) = 8 x 5 Ejemplo 2 Las dos escalas de temperatura Celsius (C) y Fahrenheit (F) se relacionan linealmente. Se sabe que el agua se congela a 0°C o 32° F, mientras que hierve a 100°C o 212°F. 517 7.3 La función lineal a) Indica si la situación lleva a una función creciente o decreciente. b) Expresa a F en función de C. c) Encuentra el valor de la temperatura en F cuando el agua está a 58°C solución a) La situación corresponde a un crecimiento, dado que a medida que aumentan los grados centígrados de temperatura, también lo hacen los grados Fahrenheit. b) Para plantear dicha función lineal procedemos a seguir los pasos recomendados: i. La variable dependiente es F y la independiente es la C. ii. La notación ya está asignada en el enunciado. iii. La función lineal f(x) = mx + b, en términos de la notación de las variables de este ejemplo, corresponde a: F (C) = mC + b iv. Sustituimos los datos proporcionados en el problema en la forma anterior para obtener un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: 32 = m(0) + b 212 = m(100) + b (1) (2) v. Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales, obtenemos el valor de m y el valor de b. m= 9 5 y b = 32 vi. Sustituyendo los valores de m y de b en la función F(C) obtenemos la regla de correspondencia que modela la situación planteada: F (C ) = 9 C + 32 5 c) Sustituyendo 58°C en la ecuación obtenida, los grados Fahrenheit equivalentes son: F= 9 (58) + 32 5 F = 136.4 Ejemplo 3 Una compañía compró una computadora en $20,000 y supuso que su valor de recuperación sería de $2,000 después de 10 años. Si su valor se deprecia linealmente de $20,000 hasta $2,000 en 10 años, encuentra: 518 Unidad 7: Funciones a) La función lineal de la depreciación D como una función lineal del tiempo t. b) El valor de la computadora después de cuatro años c) ¿Cuál es la disminución del valor de la computadora por año? solución a) i. La variable dependiente es D y la independiente es t. ii. La notación ya está asignada en el enunciado. iii. La función lineal f (x) = m x + b, en términos de la notación de las variables de este ejemplo corresponde a: D(t) = mt + b iv. Sustituimos los datos proporcionados en el problema en la forma anterior para obtener un sistema de dos ecuaciones lineales: 20000 = m(0) + b 2000 = m(10) + b (1) (2) v. Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos el valor de m y el valor de b. m = −1800 y b = 20000 vi. Si sustituimos los valores de m y b en la función D (t) tenemos: D(t) = −1800t + 20000 b) El valor de la computadora, después de cuatro años, se obtiene al sustituir ese valor de tiempo en la ecuación anterior: D(4) = −1800(4) + 20000 D(4) = $12,800 c) El valor numérico de la pendiente representa la disminución del valor de la computadora por año y es de $1800 por año. Ejemplo 4 A menudo, la estatura E (en pulgadas) es una función lineal de la edad t (en años) para los niños entre seis y 10 años. Si un menor mide 48 pulgadas a los seis años y 50.5 pulgadas a los siete, a) Expresa la estatura como una función lineal de la edad. b) Interpreta el valor de la pendiente. c) Pronostica la estatura del niño a los 10 años. 519 7.3 La función lineal solución a) i. La notación ya está asignada en el enunciado. ii. La función lineal f (x) = m x + b en términos de la notación de las variables de este ejemplo corresponde a: E(t) = mt + b iii. Sustituimos los datos proporcionados en el problema en la forma anterior para obtener un sistema de dos ecuaciones lineales: 48 = m(6) + b 50.5 = m(7) + b (1) (2) iv. Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales y obtenemos el valor de m y el valor de b. m = 2.5 y b = 33 v. Sustituyendo los valores de m y b en la función E (t) obtenemos la regla de correspondencia que modela la situación planteada: a) E( t ) = 2.5t + 33 b) El valor de la pendiente denota que la edad aumenta 2.5 pulgadas por cada año de edad. c) La estatura del niño a los 10 años se calcula sustituyendo en la regla de correspondencia obtenida: E(10) = 2.5(10) + 33 E(t) = 58 pulgadas Ejemplo 5 A partir de las marcas olímpicas, la distancia ganadora en el lanzamiento de disco puede calcularse mediante la ecuación d = 1.065t + 181, donde d está en pies y t = 0 corresponde a 1948. a) Pronostica la distancia ganadora para los Juegos Olímpicos del verano del 2008. b) Calcula el año en que la distancia ganadora será de 235 pies. solución a) Para obtener la distancia ganadora en los Juegos Olímpicos del verano 2008, calculamos el número de años de 1948 a 2008: t = 60 Sustituimos en la regla de correspondencia dada en el enunciado: d= 1.065(60) + 181 = 244.9 pies 520 Unidad 7: Funciones b) Para determinar el año en que la distancia ganadora será de 250 pies, debemos despejar de la regla de correspondencia el tiempo y sustituir el valor de 250: t= d − 181 1.065 t = 64.78 años Considerando que el tiempo t = 0 equivale a 1948, debemos sumar 64.78 años a 1948 para encontrar el año en que será alcanzada esta distancia; esto es el año: 1948 + 64.7 ≈ 2012 Ejercicios y problemas 1. Para la función lineal f(x) = − 2x + 2 ¿cuál es la pendiente? 2. Para una determinada temporada se sabe que la temperatura exterior es función lineal del tiempo. ¿Cómo cambia la temperatura si la pendiente es negativa? ¿Cómo si la pendiente es positiva? 3. El impuesto predial de una casa habitación en la ciudad de Querétaro fue de $198.5 en el 2001, de $232.63 en el 2002, de $324.5 en el 2003, de $434.8 en el 2004, ¿cuál será el impuesto predial de la casa para el 2005? 4. Una compañía de teléfonos calcula los cargos por instalación de teléfono con la ecuación c = 15 + 0.7x, donde c es el cargo por instalación en dólares y x es el tiempo gastado en minutos al realizar la instalación. ¿Cuál es el cargo de instalación si el tiempo empleado fue de 65 minutos? 5. A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. La temperatura del aire A, en grados Celsius a una altitud x kilómetros, está dada por la ecuación A = 25 – 9x. ¿A qué altura la temperatura del aire es de −10°C? 6. Un modelo matemático para las ventas y de una empresa farmacéutica está dado por y = 5.74 + 0.97x millones, donde x = 0 corresponde a 1988. ¿Cuáles serán las ventas en el 2005? 7. Durante un viento tranquilo, la altura de las olas en el océano está relacionada aproximadamente de manera lineal con el tiempo en que el viento ha estado soplando. Durante una tormenta con vientos de 50 nudos, la altura de las olas después de nueve horas era de 23 pies y después de 24 horas de 40 pies. a) Si t = 0 es la hora en que comenzaron a soplar vientos de 50 nudos y h es la altura de la ola en pies, escribe una ecuación lineal que exprese la altura h en términos del tiempo t. b) ¿Cuánto tiempo tendrá que estar soplando el viento para que las olas alcancen una altura de 50 pies? 7.3 La función lineal 521 8. Un almacén de ropa vende una camisa que cuesta $20 en $33 y una chamarra que cuesta $60 en $93. a) Si se supone que la política de aumento de precios del almacén para el aumento de artículos que cuestan más de $10 es lineal, encuentra la función que exprese el precio de venta al menudeo R, en términos de C (precio de venta al mayoreo). b) ¿Cuánto paga el almacén por un traje que vende al menudeo a $240? 9. Conforme un buzo desciende en el océano, la presión aumenta linealmente con la profundidad. La presión es de 15 libras por pulgada cuadrada en la superficie y de 30 libras por pulgada cuadrada a 33 pies debajo de la superficie. ¿Hasta qué profundidad puede descender un buzo si, dado su grado de experiencia, puede tolerar 40 libras por pulgada cuadrada? 10. El gerente de una fábrica de muebles establece que cuesta $220,000 fabricar 100 sillas por día y $480,000 fabricar 300 sillas también por día. a) Asumiendo que la relación entre el costo (C), y el número de sillas (s) es lineal, encuentra la ecuación que exprese esta relación. b) ¿Cuál es el número de sillas que se fabricarían con un costo de $150,000? Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Escribe todas las características de una función lineal y todos aquellos elementos necesarios para modelar una función lineal. Planteen un ejemplo de función lineal en su área de interés profesional y realicen el modelado de la misma. ¿Qué significado tiene el valor de la pendiente? ¿Para qué puedes emplear la regla de correspondencia obtenida? 2. Discutan la situación planteada en la introducción de esta sección: El negocio de la telefonía móvil. 522 Unidad 7: Funciones 1. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función decreciente? a) b) c) d) Figura 7.36 2. El peso de la materia que hay en el Universo depende de la atracción gravitacional, si en la Tierra el peso de un objeto es p y en la luna es p/6, la situación corresponde a una función: a) Creciente b) Decreciente 3. En 1980 el precio promedio de una casa en México era de $97,000. En 1986, el precio aumentó a $121,000. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representan el modelo lineal del precio P de la casa como función del tiempo t en años? Considera que 1980 corresponde al tiempo t = 0. a) P = 121,000 – 24000 t b) P = 24,000 t + 97,000 c) P = 121,000 t + 97,000 d) P = 4000 t + 97,000 4. Identifica en cuál de las siguientes gráficas la relación entre las variables se comporta linealmente: a) b) c) d) 523 7.3 La función lineal 5. El dueño de la zapatería “La Zapatilla de Cristal” compró una camioneta de carga en el 2002 a un precio de $ 210,000, actualmente (2005) la agencia le ofrece por su camioneta $160,000. Asumiendo que la depreciación de la camioneta es lineal en los primeros cinco años, ¿cuál será el precio de la camioneta para el año entrante? a) $ 123,000 b) $143,333 c) $152,667 d) $83,330 6. En el estado de Hidalgo existe un poblado llamado Mineral del Chico, especialmente pintoresco en época invernal dado que nieva. En el invierno del 2002, en uno de los días más fríos, la nieve alcanzó los 35 cm a las 18:00 horas y a las 23:00 horas los 50 cm. En promedio, ¿cuánto aumentó el nivel de nieve por hora? a) 2 cm / hora b) 2.5 cm / hora c) 3 cm / hora d) 5 cm / hora Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. −2 2. Para una pendiente negativa la temperatura disminuye, para una pendiente positiva aumenta. 3. Aproximadamente $450.50 4. $60.5 5. 3.88 km 6. 22.33 millones 7. a) h(t ) = 17 t + 12.8 b) 32.82 h 15 8. a) R(C ) = 3 C + 3 b) $158 2 9. 103 pies de profundidad. 10. a) C(s) = 1300s + 90,000; b) Aproximadamente 46 sillas. 524 Unidad 7: Funciones Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. c a d a b c 525 7.4 La función cuadrática 7.4 La función cuadrática El progreso y el perfeccionamiento de la matemática están íntimamente ligados a la prosperidad del Estado. Napoleón I Introducción n Uno de los grandes retos de la humanidad es realizar construcciones grandiosas con el propósito de facilitar la vida diaria de un pueblo o una nación; este es el caso del puente colgante Akashi-Kaikyo, que se construyó en Japón. Los puentes colgantes El puente colgante Akashi-Kaikyo recibe tal nombre porque la palabra kaikyo significa estrecho; el puente está sobre el Estrecho de Akashi, ubicado entre Awaji y Honshu. La construcción del Puente Akashi comenzó en mayo de 1988 y concluyó en 1998. Es un puente colgante de tres tramos de longitud 960 m,1990 m, 960 m, lo que da un total de 3910 metros. Por otro lado, las torres del puente, hechas de acero, tienen una altura de 283 m por encima de los pilares y de 297 m, medidos desde el nivel del agua. Por la curvatura de la superficie terrestre, la distancia entre las torres es de 93 mm más larga en lo alto que en la base. El peso de cada sección del puente colgante se distribuye de manera uniforme entre las torres gemelas; de igual manera, el cable sujeto entre los extremos de las torres tiene la forma de una parábola y su punto central está a 3 m sobre la autopista. Supongamos que se introducen ejes coordenados, ¿qué ecuación representará a la gráfica que describen los cables colgantes, si cada uno de los 127 alambres de alta resistencia consta de 290 cordones de alambres paralelos para sostener el puente? ¿Cuál es la longitud total de tales soportes? El Akashi-Kaikyo es el puente de tramo más largo del mundo. (Fotografía tomada desde la Torre Maiko, cerca del anclaje norte del lado de Kobe, por Leena Virola.) 526 Unidad 7: Funciones Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Analizar crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática. • Modelar situaciones que den lugar a una función cuadrática Análisis de la gráfica de una función cuadrática Definición Una función f es una función cuadrática si y sólo si f(x) puede escribirse en la forma f (x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0. La gráfica de función cuadrática tiene una forma parecida a las curvas: Gráfica de y = –3 + 2x + 3x2 10 Gráfica de y = 6 − 5x − 2x2 10 7.5 5 5 0 2.5 x −5 0 x −10 −2.5 −15 −5 −20 −7.5 −25 −2 −1 0 1 2 −4 −2 0 2 La función cuadrática suele expresarse en la forma estándar vista en la sección 6.3 de la unidad anterior y = a(x − h)2 + k; entonces, completando el cuadrado tenemos: ⎛ b2 ⎞ b2 f ( x ) = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx + c = ⎜ ax 2 + bx + ⎟ + c − = 4a ⎠ 4a ⎝ ( ) 2 ⎛ b b2 ⎞ b2 b b2 = a⎜ x 2 + x + 2 ⎟ + c − = a⎛ x + ⎞ + c − ⎝ 4a ⎠ 4a 2a ⎠ 4a a ⎝ A partir de las gráficas y de lo anterior concluiríamos lo siguiente: 527 7.4 La función cuadrática ⎛ b b2 ⎞ ⎛ b ⎛ b ⎞⎞ a) El vértice de la parábola es ⎜ − , c − ⎟ o bien ⎜ − , f − ⎟ ⎝ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎠ 4a ⎠ ⎝ 2a Si a > 0, la gráfica se extiende hacia arriba de manera indefinida; entonces, decimos que la parábola abre hacia arriba. b) f(x) es decreciente si x< −b , o bien f(x) decrece en el intervalo 2a b x ∈⎛ − ∞, − ⎞ ⎝ 2a ⎠ −b b o bien f(x) crece en el intervalo x ∈⎛ − , ∞⎞ ⎝ 2a ⎠ 2a c) f(x) es creciente si x > ⎛ b b2 ⎞ ⎛ b⎞ d) En el vértice ⎜ − , c − ⎟ ; f(x) tiene un mínimo: f ⎝ − ⎠ es el valor más 2a 4 ac ⎠ ⎝ 2a pequeño que toma la función. Si a < 0, entonces la parábola abre hacia abajo. e) f(x) es creciente si x < b⎞ −b ⎛ , o bien f(x) crece en el intervalo x ∈ − ∞, − ⎝ 2a ⎠ 2a −b ⎛ b ⎞ , o bien f(x) decrece en el intervalo x ∈⎝ − , ∞⎠ 2 a 2a ⎛ b b2 ⎞ ⎛ b⎞ f) En el vértice ⎜ − , c − ⎟ , f(x) tiene un máximo; entonces, f ⎝ − ⎠ es el 2 a 4 ac ⎝ ⎠ 2a valor más grande que toma la función. d) f(x) es decreciente si x > Ejemplos Realiza la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas, indica el vértice, intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Ejemplo 1 y = 3x2 – 6x + 1 528 Unidad 7: Funciones solución Primer método Completamos cuadrados y = 3(x2 – 2x + 1 − 1) + 1 = 3(x2 – 2x + 1) + 1 – 3 = 3(x − 1)2 − 2, de aquí concluimos que a = 3 > 0; por lo tanto, la parábola abre hacia arriba y el vértice es (1, −2); luego, la parábola decrece en el intervalo x∈ (− ∞, 1) y crece en x∈ (1, ∞). Segundo método Identificamos a = 3 > 0, por lo que la parábola abre hacia arriba b = −6, c = 1; luego, el vértice se en⎛ b b 2 ⎞ ⎛ −6 ( −6) 2 ⎞ cuentra en ⎜ − ,c − ⎟ = ⎜− ,1 − ⎟ = (1, −2); por lo tanto, la parábola decrece en el interva4 a ⎠ ⎝ 2(3) 4(3) ⎠ ⎝ 2a lo x∈ (− ∞, 1) y crece en x∈ (1, ∞). La gráfica es: Gráfica de y = 1 − 6x + 3x2 6 4 2 0 x −2 −4 −6 −0.5 Ejemplo 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y = −4x2 + 2x + 3 solución Primer método 2 1 1 1 Completamos cuadrados y = −4⎛ x 2 − x ⎞ + 3 = −4⎛ x 2 − x + ⎞ + 3 + = −4⎛ x − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 4 2 16 4 1 ⎞ 2 13 + ; de 4⎠ 4 1 13 aquí concluimos que a = −4 < 0; por lo tanto, la parábola abre hacia abajo y el vértice es ⎛ , ⎞ ; luego, ⎝4 4⎠ 1 1 la parábola crece en el intervalo x ∈⎛ − ∞, ⎞ y decrece para x ∈⎛ , ∞⎞ ⎝ ⎝4 ⎠ 4⎠ Segundo método Identificamos a = −4 < 0, por lo que la parábola abre hacia abajo b = 2, c = 3; luego, el vértice se en⎛ b b2 ⎞ ⎛ 2 (2) 2 ⎞ ⎛ 1 13 ⎞ cuentra en ⎜ − ,c − ⎟ = ⎜− ,3 − , ; por lo tanto, la parábola crece en el in⎟= 4 a ⎠ ⎝ 2( −4) 4( −4) ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ ⎝ 2a 1 1 tervalo x ∈⎛ − ∞, ⎞ y decrece para x ∈⎛ , ∞⎞ ⎝4 ⎠ ⎝ 4⎠ 529 7.4 La función cuadrática La gráfica es: Gráfica de y = −4x2 + 2x + 3 6 4 2 0 x Κ−2 Κ−4 Κ−6 Κ−8 −1 0 Ejemplo 3 1 2 3 y = x2 + x. solución Resolveremos usando el segundo método. Identificamos a = 1 > 0; por lo tanto, la parábola abre hacia arriba b = 1, c = 0; luego, el vértice se en⎛ b b2 ⎞ ⎛ 1 (1) 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ,c − ⎟ = ⎜− ,0 − cuentra en ⎜ − ⎟ = − , − , por lo que la parábola decrece en el in4 a ⎠ ⎝ 2(1) 4(1) ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2a 1⎞ 1 ⎛ tervalo x ∈ − ∞, − y crece para x ∈⎛ − , ∞⎞ ⎝ ⎝ 2 ⎠ 2⎠ La gráfica es: Gráfica de y = x2 + x 10 8 6 4 2 x 0 −3 −2 −1 0 1 2 3 530 Unidad 7: Funciones Modelación de problemas que dan lugar a una función cuadrática En esta sección trabajaremos modelando problemas que nos llevarán a una función cuadrática; para ello, recordaremos lo visto en la sección 2 de este capítulo. Resumimos el proceso para modelar problemas en los pasos siguientes: a) Identifica las variables. Reconoce la cantidad que se te pide determinar. Generalmente, se identifica mediante una lectura cuidadosa del problema. Introduce una notación para la variable y denótala con x o cualquier otra letra. Asegúrate de escribir claramente lo que representa la variable. b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable. Lee cada una de las frases del problema y expresa todas las cantidades mediante la variable definida. Para organizar tal información, algunas veces resulta útil dibujar un diagrama o elaborar una tabla. c) Relaciona las cantidades. Identifica la condición del problema que relaciona dos o más de las expresiones establecidas en el paso anterior. d) Establece una función. Plantea una función que exprese la condición del problema identificada en el paso c). e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta. Resuelve el problema, verifica que la solución satisface el problema original y expresa la respuesta en la forma de un enunciado, que responda a la pregunta planteada. Ejemplos Ejemplo 1 La fábrica de textiles “Ilasol” produce toallas de medio baño a un costo de $20 por unidad. Las toallas se venden a $50 cada una; por este precio, el gerente de ventas, Carlos Sotomayor, se dio cuenta que los consumidores han comprado 4000 toallas al mes. El gerente planea aumentar el precio de las toallas y estima que por cada $5 de incremento en el precio se venderán 400 toallas menos cada mes. Sotomayor necesita conocer el precio de las toallas que le generará mayor utilidad mensual. a) Identifica las variables: La variable es el precio de venta nuevo de las toallas = x. b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla). Analizamos para aumentos de $5 el número de toallas que se vende. Precio Número de toallas vendidas 50 4000 – 400(0) = 4000 55 4000 – 400(1) = 3600 60 4000 – 400(2) = 3200 65 4000 – 400(3) = 2800 531 7.4 La función cuadrática Por lo anterior inferimos que: Cantidad de toallas vendidas = 4000 – 400 (número de aumentos de $5). Número de aumentos de $5 = ( precio venta nuevo − precio antiguo) ( x − 50) = 5 5 ⎛ Por lo tanto: cantidad de toallas vendidas = 4000 − 400 ⎝ De los datos del problema obtenemos:: x − 50 ⎞ 5 ⎠ Utilidad por toalla = precio de venta nuevo – precio de fabricación = x – 20. c) Relaciona las cantidades: Con todo el análisis anterior, concluimos que: Utilidad = (cantidad de toallas vendidas) (utilidad por toalla). x − 50 ⎞ ⎞ ⎛ U ( x ) = ⎜ 4000 − 400⎛ ( x − 20). ⎝ 5 ⎠ ⎟⎠ ⎝ d) Establece una función Nuestra función que modela la situación es: U ( x ) = ( 4000 − 80( x − 50))( x − 20) = −160000 + 9600 x − 80 x 2 e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta Al igual que en la sección anterior, analizamos la función U(x) = −80x2 + 9600x − 160000 Identificamos a = − 80 > 0, por lo que la parábola abre hacia abajo b = 9600, c = −160000; lue⎛ b b 2 ⎞ ⎛ 9600 (9600) 2 ⎞ ,c − ⎟ = ⎜− , −160000 − go, el vértice se encuentra en ⎜ − ⎟ = (60, 128000); 4 a ⎠ ⎝ 2( −80) 4( −80) ⎠ ⎝ 2a por lo tanto, la parábola tiene un máximo en x = 60, por lo que el precio de las toallas que generará la mayor utilidad es de $60 y la utilidad máxima será de U(60) = 128000. Verificamos nuestra respuesta, haciendo la gráfica de la función utilidad: U(x) = −80x2 + 9600x − 160000 Utilidad 140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 precio 0 0 20 40 60 80 100 120 532 Unidad 7: Funciones Ejemplo 2 Carlos Sánchez Márquez, dueño del taller “Herrería Veloz”, que se dedica a elaborar puertas y ventanas de aluminio, ha recibido como pedido hacer una ventana normanda que deje pasar la mayor cantidad de luz posible, para lo que desea que se utilicen 2 metros de perfil blanco de aluminio; para ello, el cliente le entregó la figura siguiente (un rectángulo coronado por un semicírculo de diámetro igual al ancho del rectángulo) al señor Sánchez: El dueño del taller necesita conocer las dimensiones que debe tener la ventana para elaborarla según las indicaciones de su cliente. solución a) Identifica las variables ancho de la ventana = x; largo del rectángulo = y; diámetro del semicírculo = x . b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla) La ventana que deje pasar mayor luz = ventana de mayor área . Área de la ventana = (área del rectángulo) + (área del semicírculo). Área del rectángulo = ancho x alto = x y. Área del semicírculo = π(radio)2. Radio del semicírculo = (1/2)(diámetro). 2 Luego, área de la ventana = x π π⎛ ⎞ ⎝ 2⎠ xy + = xy + 2 ⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ πx 2 = xy + 2 8 c) Relaciona las cantidades El cliente desea que se usen 2 metros de perfil de aluminio para la fabricación de la ventana, por lo cual el perímetro de la ventana debe ser de 2 metros. Perímetro de la ventana = (ancho) + 2(largo del rectángulo) + (perímetro del semicírculo): 2 = x + 2y + πx 2 533 7.4 La función cuadrática de esta ecuación despejamos y; entonces, tenemos que y = πx 2 = 1 − x − πx = 1 − ⎛ 1 + π ⎞ x ⎝ 2 4⎠ 2 2 4 2−x− Ahora escribamos el área de la ventana en términos sólo de su ancho: πx 2 1 π ⎞ πx 2 1 π ⎛ Área de la ventana = x ⎜1 − ⎛ + ⎞ x ⎟ + = x − ⎛ + ⎞ x2 + ⎝ 2 4⎠ ⎝ ⎝ 2 4⎠ ⎠ 8 8 d) Establece una función Nuestra función que modela la situación es: 1 π 1 π π 1 π 1 π πx 2 A( x ) = x − ⎛ + ⎞ x 2 + = x + ⎛ − − + ⎞ x2 = x + ⎛ − − ⎞ x2 = x − ⎛ + ⎞ x2 ⎝ 2 4⎠ ⎝ 2 4 8⎠ ⎝ 2 8⎠ ⎝ 2 8⎠ 8 e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta ⎛ 1 + π ⎞ x2 Analizamos la función A( x ) = x − ⎝ 2 8⎠ ⎛ 1 π ⎞ < 0, Identificamos a = − + por lo que la parábola abre hacia abajo b = 1, c = 0; luego, el ⎝ 2 8⎠ vértice se encuentra en: ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ 1 ⎛ b b2 ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎛ 4 2 ⎞ (1) 2 = ,c − ⎟ = ⎜− ,0 − , , ; por ⎟ =⎜ ⎜− ⎟ π π ⎝ 4a ⎠ ⎜ ⎛ ⎛ 1 π ⎞ ⎞ 4+π 4+π⎠ ⎝ 2a ⎛ ⎛ 1 π ⎞⎞ ⎟ ⎜1 + + ⎟ 2 2 4 − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎝ 4 2⎠ ⎝ ⎝ 2 8 ⎠ ⎠ ⎟⎠ ⎝ 2 8 ⎠⎠ ⎝ lo tanto, la parábola tiene un máximo en x = A= 4 ≈ 0.56 m y el valor del área en ese punto es: 4+π 2 ≈ 0.28 m 2 4+π Las dimensiones de la ventana deben ser: ancho = 4 ≈ 0.56 m y 4+π 1 π 1 π 4 ⎞ 2 + π ⎞⎛ 4 ⎞ l arg o = 1 − ⎛ + ⎞ x = 1 − ⎛ + ⎞ ⎛ = 1− ⎛ = 0.28m ⎝ 2 4⎠ ⎝ 2 4 ⎠⎝ 4 + π ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 4 + π ⎠ Verificamos nuestra respuesta haciendo la gráfica de la función área: 534 Unidad 7: Funciones Área A( x ) = x − 0.5 ⎛1 ⎝2 + π 8 ⎞ x2 ⎠ 0.4 0.3 0.2 0.1 Ancho 0 −0.1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Ejemplo 3 Luis Ramos Vázquez, director del Departamento de Obras Públicas del Municipio de Cuautitlán, estado de México, desea construir un parque deportivo al lado del Río San Javier, pero sólo cuenta con 600 metros de malla ciclónica. Se le ha sugerido cercar sólo los tres lados no adyacentes al río, pero desea cercar el terreno de mayor área posible. Ayuda al licenciado Ramos a buscar las dimensiones del parque deportivo: Río San Javier Parque Deportivo solución a) Identifica las variables ancho del parque = x; largo del parque = y b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla) Área del parque deportivo = área del rectángulo. Área del rectángulo = ancho x alto = x y. Luego, el área del parque es = x y . c) Relaciona las cantidades El Departamento de Obras Públicas tiene 600 metros de maya ciclónica para cercar el parque deportivo, por lo cual los tres lados que se van a cercar deben sumar 600 metros. Suma de los tres lados = (ancho) + 2 (largo del rectángulo) : 600 = x + 2y 535 7.4 La función cuadrática de esta ecuación despejamos y: tenemos que y = 600 − x x = 300 − 2 2 Ahora escribamos el área del parque deportivo en términos sólo de su ancho: x⎞ ⎛ Área del parque = xy = x 300 − ⎝ 2⎠ d) Establece una función Nuestra función que modela la situación es: x x2 A = x ⎛ 300 − ⎞ = 300 x − ⎝ 2⎠ 2 e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta x2 Analizamos la función A = 300 x − 2 1 Identificamos a = − < 0, por lo que la parábola abre hacia abajo b = 300, c = 0; luego, el vértice 2 ⎞ ⎛ ⎛ b b2 ⎞ ⎜ 300 (300)2 ⎟ ⎛ 300 90000 ⎞ = = (300, 45000); por lo ,c − ⎟ = ⎜− ,0 − , se encuentra en ⎜ − ⎠ 1⎞ ⎟ ⎝ 1 4a ⎠ ⎜ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎝ 2a ⎛ 4 − ⎟ 2 − ⎝ 2⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ tanto, la parábola tiene un máximo en x = 300 m y el valor del área en ese punto es A = 45000 m2. Las dimensiones del parque deportivo deben ser: ancho = 300 m, largo = ⎛ ⎝ 600 − x ⎞ ⎛ 600 − 300 ⎞ = = 150 m. ⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 Verificamos nuestra respuesta haciendo la gráfica de la función área: Área A = 300 x − 50000 x 2 2 40000 30000 20000 10000 0 Ancho −10000 0 200 400 600 536 Unidad 7: Funciones Ejercicios y problemas 1. Dada una función cuadrática, explica la manera de obtener el vértice, los intervalos en los cuales crece y en los que decrece, el valor máximo o mínimo. 2. Realiza un esbozo gráfico de las funciones cuadráticas siguientes, indicando su vértice, hacia dónde abre, y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento: a) f(x) = −3x2 – 5x − 2 b) f(x) = x2 – 4x + 8 c) f(x) = −4x2 – 8x + 1 d) f(x) = 2x2 + 3x − 1 3. Resuelve los problemas siguientes: a) Un fabricante de dulces típicos vende un cierto tipo de dulce a $6 cada uno, a cuyo precio los consumidores han comprado 3000 dulces por mes. El fabricante desea aumentar el precio de los dulces y estima que por cada incremento de $1 en el precio se venderán 1000 dulces menos cada mes. Los dulces pueden producirse a un costo de $4 cada uno. Expresa la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al que se venden los dulces, dibuja la gráfica y calcula el precio óptimo de venta. b) En el rancho “Loma Bonita”, en Veracruz, el administrador Juan Martínez Navarro estima que si se plantan 60 árboles de mango cada árbol producirá en promedio 400 mangos. La producción media disminuirá en cuatro mangos por cada árbol adicional plantado en la misma área. El señor Martínez necesita conocer la cantidad total de árboles que debe plantar para obtener la máxima producción. c) Ramón Fernández López es agricultor y desea cercar un campo rectangular, al lado del campo paso un arroyo (y no requiere cerca ); el señor Fernández sólo tiene 1000 metros de malla ciclónica para cercar el terreno, por lo que, antes de hacerlo, desea saber las dimensiones del ancho y lo largo del terreno que le proporcionen el área más grande. d) Fernando Granados López, gerente de la compañía de autobuses “Turismo México”, desea aumentar el número de clientes de su empresa; un estudio de mercado le indica que si renta sus autobuses a grupos de 30 personas la tarifa diaria que deben pagar es de $600 cada una, pero en grupos mayores si reduce la tarifa diaria de todas las personas en $5 por cada una adicional sus ingresos diarios aumentarán. Antes de poner en funcionamiento esta medida, Granados desea saber el tamaño del grupo que maximizará los ingresos. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. El puente colgante Akashi-Kaikyo recibe su nombre porque la palabra kaikyo significa estrecho y el puente está sobre el Estrecho de Akashi ubicado entre Awaji y Honshu. La cons- 7.4 La función cuadrática trucción del Puente Akashi se comenzó en mayo de 1988 y terminó en 1998; es un puente colgante de tres tramos de longitud 960 m, 1990 m, 960 m, lo que hace un total de 3910 metros; las torres del puente fueron hechas de acero, tienen una altura de 283 m por encima de los pilares y de 297 m medidos desde el nivel del agua. Por la curvatura de la superficie terrestre, la distancia entre las torres es 93 mm más larga en lo alto que en la base. El peso de cada sección del puente se distribuye de manera uniforme entre las torres gemelas, en tanto que el cable sujeto entre los extremos de las torres tiene la forma de una parábola y su punto central está a 3m sobre la autopista. Supongamos que se introducen ejes coordenados, ¿qué ecuación representará a la gráfica que describen los cables colgantes, si cada cable consta de 290 cordones de alambres paralelos, cada uno con 127 alambres de alta resistencia, para sostener el puente? Indica la longitud total de tales soportes. 2. Aselín y Promotores, S. A., es una inmobiliaria que posee 180 departamentos en una zona residencial del Distrito Federal; el gerente de la compañía, Manuel Reyes, se dio cuenta que todos los departamentos se mantienen ocupados cuando la renta es de $8000 al mes. Reyes también observó que por cada $100 de aumento en la renta, se desocupan tres departamentos. El gerente desea saber cuál debe ser el monto de la renta de los departamentos de forma que la compañía reciba el máximo ingreso mensual 3. La compañía de televisión de paga “TV Cable Digital” da servicio a 5000 usuarios y cobra $20 por mes. Fernando Montes Roca ha hecho un estudio de mercado, el cual le indica que por cada dólar menos en la tarifa mensual se suscribirán 500 nuevos clientes. Antes de poner en funcionamiento la medida, Montes desea saber con cuál tarifa obtendrá un ingreso máximo. 1. Indica la opción que contiene el vértice, los intervalos de crecimiento y el decrecimiento de f (x) = −4x2 + 8x + 1 a) Vértice = (1,5), decrece para x∈ (− ∞, 1), crece para x∈ (1, ∞) b) Vértice = (2,8), crece para x∈ (− ∞, 2), decrece para x∈ (2, ∞) c) Vértice = (1,5), crece para x∈ (− ∞, 1), decrece para x∈ (1, ∞) d) Vértice = (−2,8), decrece para x∈ (− ∞, −2), decrece para x∈ (−2, ∞) 2. Halla la opción que contiene la solución de Un granjero tiene ocho árboles de manzanas en 10 m2 de terreno, que producen un total de 1600 manzanas al día. Por cada árbol nuevo que se planta, la producción media por árbol disminuye en 10 manzanas diarias. ¿Cuántos árboles adicionales se deben plantar para obtener la mayor producción de manzanas diaria? a) 10 árboles b) 14 árboles c) 20 árboles d) 15 árboles 537 538 Unidad 7: Funciones 3. Halla la opción que contiene la solución de La distribuidora de artículos de papelería “Haro” vende pedidos de 100 cuadernos profesionales de 200 hojas a $55 cada cuaderno. Por cada cuaderno más que tenga el pedido, la distribuidora ofrece disminuir el precio de cada cuaderno en 30 centavos. ¿Cuál es la cantidad de cuadernos que da un precio de venta total mayor? a) 109 cuadernos b) 140 cuadernos c) 150 cuadernos d) 125 cuadernos 4. Encuentra la opción que contiene la solución de El propietario de un huerto de cocos calcula que si siembra 24 palmeras por hectárea, entonces cada palmera adulto dará 600 cocos al año. Por cada tres palmeras más que se planten por hectárea, el número de cocos que produce cada palmera disminuye en 12 al año ¿Cuántas palmeras se deben de plantar por hectárea para obtener al mayor número posible de cocos al año? a) 70 b) 90 c) 87 d) 100 5. Encuentra la opción que contiene la solución de El departamento de carreteras planea construir un área de picnic para automovilistas al lado de una carretera principal. Será rectangular, se cuenta con 600 metros de malla ciclónica y estará cercada en los tres lados no adyacentes a la carretera. Determina las dimensiones del terreno de mayor área que puede cercarse. a) 5000 metros x 500 metros b) 4000 metros x 1000 metros c) 2000 metros x 2000 metros d) 3000 metros x 1500 metros Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Leer la primera parte de esta sección. 539 7.4 La función cuadrática 2. 10 0.2 x 0 x –10 0 –20 −0.2 –30 –40 −0.4 0 0.5 1 1.5 −4 a) 50 50 40 40 30 30 20 20 10 10 x 0 −4 −2 0 2 4 6 c) 3. 0 −2 2 4 b) 8 x 0 10 −4 −2 0 2 4 d) a) $6.50 b) 80 c) largo = 500m, ancho = 250m d) 75 personas Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. c b d c d 540 Unidad 7: Funciones 7.5 Funciones que forman parte de una cónica No hay ninguna rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real. Lobachevsky Introducción Quizás el más impresionante resultado obtenido por el cálculo en el siglo XVII fue la resolución de cuestiones teóricas muy antiguas relacionadas con fenómenos naturales. Algunas de tales cuestiones suponen profundos conocimientos de física para su comprensión, pero otras pueden ser rápidamente explicadas con un mínimo de antecedentes científicos. Una de las más simples se relaciona con el comportamiento de la luz. Cuando la luz incide en un espejo o en cualquier otra superficie, siempre sus rayos se reflejan de manera tal que su ángulo de incidencia es igual a su ángulo de reflexión. Esta ley de reflexión fue descubierta por Euclides mucho antes del siglo XVII. El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión Más tarde, el matemático griego Herón de Alejandría, quien vivió alrededor de siglo I, probó que esta ley se sigue lógicamente de la hipótesis de que los rayos de la luz viajan de un punto a otro tomando la trayectoria más corta posible, Herón efectúo la demostración usando los principios de la geometría euclidiana. Cuando un rayo de luz pega en una superficie curva, se aplica la misma ley de reflexión. La superficie actúa como si fuera plana en ese punto, en tanto que su tangente determina la dirección en que se refleja el rayo. Este principio físico se usa comúnmente en el diseño de los reflectores parabólicos para lámparas fotográficas y para los faros de los autos. La superficie interior de uno de estos reflectores es un paraboloide, tal como se ejemplificó en la sección anterior 541 7.5 Funciones que forman parte de una cónica Otra aplicación de la ley de reflexión ocurre en el diseño de “galerías murmurantes”, cuyos techos y paredes están construidos en la forma de un elipsoide. Un elipsoide es una superficie oval, generada por la revolución de una elipse alrededor de su eje mayor. En una galería murmurante, cuando una persona se encuentra de pie en un foco de las paredes y el techo, dirigida hacia el otro foco de la elipsoide, otra persona que se encuentre ahí podrá oír el murmullo con claridad. Una galería murmurante La ley de refracción correcta fue descubierta en 1621 por un matemático holandés llamado Wilebrod Snell, por lo que esta ley es conocida como la ley de Snell. Originalmente Snell justificó su ley basándose en experimentos físicos, pero más tarde Fermat demostró que la ley podía ser probada sólo con razonamientos matemáticos. Parte de la demostración de Fermat descansa en el uso del cálculo, mientras que su deducción matemática de la ley de la refracción está basada en la hipótesis del “tiempo mínimo”. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: 1. Graficar las funciones f ( x ) = ± ax 2 + bx + c 2. Analizar crecimiento y decrecimiento. 2 3. Modelar situaciones que den lugar a funciones f ( x ) = ± ax + bx + c 4. Graficar funciones seccionadas. 5. Modelar situaciones que den lugar a funciones seccionadas. Graficación de funciones f ( x ) = ± ax 2 + bx + c Análisis de crecimiento y decrecimiento En la sección 7.1 definimos qué es una función y aprendiste a diferenciar las relaciones de las funciones utilizando la prueba de la recta vertical. En general, si tomas cualquier ecuación de las cónicas vistas en la unidad anterior no todas son funciones; por ejemplo: la elipse, la parábola horizontal, las hipérbolas con eje focal sobre el eje y o sobre el eje x. 542 Unidad 7: Funciones Es posible definir las funciones radicales al despejar y en la ecuación de la forma estándar y tomar sólo la parte positiva o bien la parte negativa; por ejemplo: 1. En la ecuación de la parábola horizontal y2 = ax + b, despejamos y = ± ax + b ; de aquí obtenemos: f ( x ) = ax + b o bien f ( x ) = − ax + b . Sus gráficas son de la forma: a>0 a>0 − b a y = ax + b y = − ax + b −b a a<0 a<0 y = ax + b −b a De las figuras, concluimos que: y = − ax + b − b a 543 7.5 Funciones que forman parte de una cónica Para a > 0, las semiparábolas horizontales abren hacia la derecha. Además, b f ( x ) = ax + b es creciente en su dominio, el intervalo x ≥ − y f ( x ) = − ax + b a es decreciente en el mismo intervalo. Para a < 0, las semiparábolas horizontales abren hacia la izquierda. Además, b y f ( x ) = ax + b es decreciente en su dominio, el intervalo x ≤ − a f ( x ) = − ax + b es creciente en el mismo intervalo. 2. La ecuación del círculo de radio a es x2 + y2 = a2; despejamos y = ± a 2 − x 2 , de donde obtenemos: f ( x ) = a 2 − x 2 o bien f ( x ) = − a 2 − x 2 . Sus gráficas son de la forma: y = a2 − x 2 a −a y = − a2 − x 2 −a a a −a De las figuras, concluimos que: El semicírculo f ( x ) = a 2 − x 2 es creciente en el intervalo −a ≤ x ≤ 0 y es decreciente en el intervalo 0 ≤ x ≤ a. Su dominio es el intervalo −a ≤ x ≤ a; tiene un máximo en x = 0. El semicírculo f ( x ) = − a 2 − x 2 es decreciente en el intervalo −a ≤ x ≤ 0 y es creciente en el intervalo 0 ≤ x ≤ a.Su dominio es el intervalo −a ≤ x ≤ a; tiene un mínimo en x = 0. 3. En la ecuación de la hipérbola con eje focal el eje x: y=± x 2 y2 − = 1 , despejamos a2 b2 b b x 2 − a 2 ; haciendo = 1, obtenemos: f ( x ) = x 2 − a 2 , o bien, f ( x ) = a a − x 2 − a 2 . Sus gráficas son: 544 Unidad 7: Funciones y = − x 2 + b2 y = x 2 + b2 −a −a a a De las figuras, concluimos que: La semihipérbola f ( x ) = x 2 − a 2 es decreciente en el intervalo − ∞ < x ≤ −a y es creciente en el intervalo a ≤ x < ∞. Su dominio es x ∈ (− ∞, a] ∪ [a, ∞). La semihipérbola f ( x ) = − x 2 − a 2 es creciente en el intervalo − ∞ < x ≤ −a y es decreciente en el intervalo a ≤ x < ∞. Su dominio es x ∈ (− ∞, −a] ∪ [a, ∞). 4. En la ecuación de la hipérbola con eje focal el eje y: y=± a 2 x + b 2 ; haciendo b a = 1 , obtenemos: b y2 x 2 − = 1 , despejamos a2 b2 f ( x) = x 2 + b2 f ( x) = − x 2 + b2 y = − x 2 + b2 a y = x 2 + b2 −a o bien 545 7.5 Funciones que forman parte de una cónica De las figuras, concluimos que: La semihipérbola f ( x ) = x 2 + b 2 es decreciente en el intervalo − ∞ < x ≤ 0 y es creciente en el intervalo 0 ≤ x < ∞. Su dominio son todas las x ∈ y tiene un mínimo en (0, a). La semihipérbola f ( x ) = − x 2 + b 2 es creciente en el intervalo −∞ < x ≤ 0 y es decreciente en el intervalo 0 ≤ x < ∞. Su dominio son todas las x ∈ y tiene un máximo en (0, −a). Ejemplos Grafica las funciones siguientes; indica dominio, así como los intervalos de crecimiento y de decrecimiento Ejemplo 1 f ( x) = 2 x + 3 solución 3 ; como a = 3 > 0, la parábola abre a la derecha; luego, es crecien2 te en todo su dominio y su gráfica es: El dominio de la función es x ≥ − 15 y 12.5 10 7.5 5 2.5 x 0 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 546 Unidad 7: Funciones Ejemplo 2 f ( x ) = −2 x + 5 solución 5 ; como a = −2 < 0, la parábola abre a la izquierda; luego, es decre2 ciente en todo su dominio y su gráfica es: El dominio de la función es x ≤ y 8 6 4 2 x 0 -2 -8 -6 Ejemplo 3 -4 -2 0 2 f ( x ) = −3 x − 1 solución −1 ; como a = −3 < 0, la parábola abre a la izquierda; luego, es decre3 ciente en todo su dominio y su gráfica es: El dominio de la función es x ≤ y 8 6 4 2 x 0 -2 -8 -6 -4 -2 0 2 547 7.5 Funciones que forman parte de una cónica Ejemplo 4 f ( x ) = 25 − x 2 solución El dominio de la función es −5 ≤ x ≤ 5; el semicírculo es creciente en −5 ≤ x ≤ 0 y decreciente en 0 ≤ x ≤ 5, y su gráfica es: y 6 4 2 x 0 -2 -4 -2 0 2 4 6 Ejemplo 5 f ( x) = − 8 − x 2 solución El dominio de la función es − 8 ≤ x ≤ 8 ; el semicírculo es decreciente en − 8 ≤ x ≤ 0 y creciente en 0 ≤ x ≤ 8 , y su gráfica es: y 2 1 x 0 -1 -2 -3 -4 -5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 548 Unidad 7: Funciones Ejemplo 6 f ( x) = − x 2 + 6x − 1 solución La función no tiene la forma estándar vista en el apartado anterior, pero podemos llevarla a esa forma completando cuadrados dentro del radical, es decir: ( ) ( [ ) 2 ] f ( x ) = − x 2 + 6 x − 1 = − x 2 − 6 x − 1 = − x 2 − 6 x + 9 − 9 − 1 = − ( x − 3) − 9 − 1 = 2 = 9 − ( x − 3) − 1 = 8 − ( x − 3) 2 que representa una semicircunferencia con radio 8 y centro (3, 0). El dominio de la función es − 8 + 3 ≤ x ≤ 8 + 3; el semicírculo es creciente en − 8 + 3 ≤ x ≤ 0 y decreciente en 0 ≤ x ≤ 8 + 3 , y su gráfica es: 3 y 2.5 2 1.5 1 0.5 x 0 -0.5 0 1 2 3 4 5 6 Ejemplo 7 f ( x) = x 2 − 9 solución El dominio de la función es x ∈ (− ∞, −3] ∪ [3, ∞); la semihipérbola es decreciente − ∞ < x ≤ −3 y es creciente en 3 ≤ x < ∞, y su gráfica es: 549 7.5 Funciones que forman parte de una cónica y 15 12.5 10 7.5 5 2.5 x 0 -2.5 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 Ejemplo 8 f ( x) = − x 2 − 7 solución ] [ ( El dominio de la función es x ∈ − ∞, − 7 ∪ decreciente en ) 7 , ∞ ; la semihipérbola es creciente −∞ < x ≤ − 7 y 7 ≤ x < ∞ , y su gráfica es: y 2.5 x 0 -2.5 -5 -7.5 -10 -12.5 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 Ejemplo 9 f ( x ) = x 2 − 2 x − 24 solución La función no tiene la forma estándar vista en el apartado anterior, pero podemos llevarla a esa forma completando cuadrados dentro del radical, es decir: 550 Unidad 7: Funciones f ( x ) = x 2 − 2 x − 24 = (x 2 ) ( x − 1)2 − 25 − 2 x + 1 − 1 − 24 = que representa una semihipérbola horizontal con centro (1, 0), así como vértices en (6, 0) y (−4, 0). El dominio de la función es x ∈ (− ∞, −4] ∪ [6, ∞); la semihipérbola es decreciente en − ∞ < x ≤ −4, y creciente en 6 ≤ x < ∞, y su gráfica es: y 20 15 10 5 x 0 -5 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 Ejemplo 10 f ( x) = x 2 + 9 solución El dominio de la función es x ∈ ; la semihipérbola es decreciente en − ∞ < x ≤ 0 y creciente en 0 ≤ x < ∞, y su gráfica es: y 15 12.5 10 7.5 5 2.5 x 0 -2.5 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 Ejemplo 11 f ( x ) = − x 2 + 25 10 551 7.5 Funciones que forman parte de una cónica solución El dominio de la función es x ∈ ; la semihipérbola es creciente en − ∞ < x ≤ 0 y decreciente en 0 ≤ x < ∞, y su gráfica es: y 2.5 x 0 -2.5 -5 -7.5 -10 -12.5 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 Ejemplo 12 f ( x ) = x 2 − 10 x + 29 solución La función no tiene la forma estándar, pero podemos llevarla a esa forma completando cuadrados dentro del radical, es decir: f ( x ) = x 2 − 10 x + 29 = (x 2 ) − 10 x + 25 − 25 + 29 = ( x − 5)2 + 4 que representa una semihipérbola vertical con centro (5, 0) y vértice en (5, 2). El dominio de la función es x ∈ ; la semihipérbola es decreciente en − ∞ < x ≤ 5 y creciente en 5 ≤ x < ∞, y su gráfica es: y 20 15 10 5 x 0 -5 -5 0 5 10 15 20 552 Unidad 7: Funciones Modelación de problemas Desde problemas muy simples de situaciones cotidianas hasta situaciones más complejas como la teoría de la relatividad es posible modelarlas con funciones radicales; los ejemplos siguientes muestran algunos de ellos: Ejemplos Resuelve los problemas siguientes Ejemplo 1 Un avión sale del aeropuerto de la ciudad de México y vuela a una altura de 3700 pies. El piloto debe comunicarse a la torre de control hasta que la distancia en diagonal del avión al aeropuerto sea de 7000 pies. El piloto necesita conocer la distancia horizontal que habrá recorrido el avión en ese momento y la gráfica de la distancia. solución a) Identifica las variables Sea x la distancia en diagonal del aeropuerto al avión y sea d la distancia horizontal recorrida por el avión. b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla) Avión x 3700 ft Aeropuerto Distancia horizontal = d Usando el teorema de Pitágoras, la distancia horizontal es de d ( x ) = x 2 − (3700) 2 c) Establece una función La función que modela la distancia horizontal recorrida por el avión es: d ( x ) = x 2 − (3700) 2 d) Resuelve el problema y verifica tu respuesta Hay que encontrar el valor de la distancia horizontal cuando x = 7000 pies; evaluando, tenemos: d = (7000) 2 − (3700) 2 = 5942.22 ft La representación gráfica es la semihipérbola horizontal: 553 7.5 Funciones que forman parte de una cónica d( x) = 10000 2 x − (3700 ) 2 8000 6000 4000 2000 x 0 4000 5000 6000 7000 8000 Verificamos nuestra respuesta comparando nuestra gráfica con el resultado que obtuvimos y observamos que los valores de la función distancia son iguales. Ejemplo 2 La población de San Juan desea construir un puente de un arco de piedra sobre el río del mismo nombre que vaya de orilla a orilla. El río mide 10 metros de ancho y desean que bajo el puente pasen botes de 2 metros de alto; por ello, le han sugerido al arquitecto Luis Fuentes que deje un espacio libre de 1 metro hacia arriba. El arquitecto desea graficar la función que represente el arco del puente, pero además se ha enterado de que las embarcaciones miden cuatro metros de ancho y desea saber si la altura del arco es suficiente para librar un bote que pase exactamente por el centro del río. solución a) Identifica las variables Si tomamos el centro del río como el origen de coordenadas, tenemos que el puente debe tener el diagrama siguiente: 3 metros 10 metros b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable De los datos, suponemos que el puente tomará la forma de una semielipse horizontal; recordando la sección 6.4, la forma estándar de la ecuación de la elipse es: x 2 y2 + =1 a2 b2 554 Unidad 7: Funciones c) Relaciona las cantidades De los datos, concluimos que el semieje mayor es de cinco metros y el semieje menor es de tres pulx 2 y2 gadas, por lo que la ecuación queda como: + =1 25 9 d) Establece una función ⎛ x2 ⎞ 3 Luego, la función que representa la semielipse es y = ⎜1 − ⎟ 9 = 25 − x 2 25 ⎠ 5 ⎝ La gráfica que representa esta función es: 6 4 2 x 0 -2 -4 -2 -4 0 2 4 6 e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta. Cuando el bote pase exactamente por el centro del río es cuando x = 2; la altura del arco será: y= 3 3 25 − 2 2 = 21 ≈ 2.75m 5 5 luego, el barco tendrá suficiente espacio para cruzar debajo del puente, lo cual comprobaremos al comparar nuestro resultado con la gráfica obtenida. Ejemplo 3 Un barco parte de un muelle a las 2:00 de la tarde y se dirige hacia el sur a una velocidad de 20 kilómetros/hora. Otro barco ha estado dirigiéndose al este a 15 kilómetros/hora y llega al mismo muelle a las 3:00 de la tarde, ¿en qué momento estuvieron los barcos más cercanos entre sí? solución a) Identifica las variables Sea t el tiempo en horas, después de las 2:00 de la tarde; realizamos un diagrama para ayudarnos a establecer la función y colocamos el muelle como el origen de coordenadas: 555 7.5 Funciones que forman parte de una cónica N 15 km/h muelle W E D 20 km/h S b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable Utilizando: distancia recorrida = velocidad × tiempo. La posición del bote que se dirige al sur es (0, − 20t). La posición del bote que se dirige al este es (−15 + 15t, 0) puesto que llega al muelle una hora más tarde. c) Relaciona las cantidades y establece una función Sea D la distancia entre los botes en el tiempo t, podemos representar la distancia entre los barcos como la distancia entre los puntos anteriores: D(t ) = (20t ) 2 + (15(t − 1)) 2 Al simplificar, la podemos escribir como: 2 2 ⎛ 450 225 ⎞ 18 9 9 9⎞ D(t ) = 625t 2 − 450t + 225 = 625⎛ t 2 − t+ = 625⎜ t 2 − t+⎛ ⎞ −⎛ ⎞ + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 625 625 25 25 25 25 ⎠ ⎝ O bien, como: 2 2 2 2 ⎛ ⎛ 9 12 18 9 144 ⎞ 18 9 ⎞ 144 D(t ) = 25 ⎜ t 2 − t+⎛ ⎞ + = 25 ⎜ t 2 − t+⎛ ⎞ ⎟ + = 25 ⎛ t − ⎞ + ⎛ ⎞ ⎟ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 25 ⎠ 25 ⎝ 25 ⎠ 625 ⎠ 25 ⎝ 25 ⎠ ⎠ 625 ⎝ ⎝ d) Resuelve el problema y verifica tu respuesta 9 Cuya gráfica representa una semihipérbola vertical con centro en ⎛ , 0⎞ , por lo cual la función ⎝ 25 ⎠ 9 tendrá un mínimo en t = ≈ 0.36 ; luego, el tiempo en el cual los barcos están más cerca es: 25 9 t= ≈ 0.36 horas . 25 556 Unidad 7: Funciones La gráfica que representa la distancia es la siguiente: 300 250 200 150 100 50 t 0 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Graficación de funciones seccionadas Algunas funciones se definen por secciones usando distintas fórmulas para diferentes partes del dominio; a estas funciones se les llama funciones seccionadas. Ejemplos Grafica las funciones siguientes: Ejemplo 1 La función valor absoluto ⎧− x si x =⎨ ⎩ x si x<0 x≥0 solución Dividimos en dos partes la recta real, para x ∈ (− ∞, 0); luego, graficamos la recta y = −x de pendiente −1, por lo cual f (x) decrece en este intervalo, y para x ∈ [0, ∞) graficamos la recta y = x de pendiente 1; por ello, f (x) crece en este intervalo, como se muestra en la figura siguiente: 557 7.5 Funciones que forman parte de una cónica 5 4 3 2 1 0 -4 -2 0 2 4 Ejemplo 2 ⎧ 3 ⎪ f ( x) = ⎨ 1 − x ⎪6 − x 2 ⎩ si x < −1 si −1 ≤ x ≤ 2 si x>2 solución Dividimos en tres partes la recta real, para x ∈ (− ∞, −1); luego, graficamos la recta y = 3, que es la función constante; para x ∈ [−1, 2], graficamos la recta y = 1 − x, que tiene pendiente −1 y corta al eje y en 1; finalmente, para x ∈ (2, ∞), graficamos la parte de la parábola y = 6 − x2, como se muestra en la figura siguiente: y 4 2 0 x -2 -4 -6 -8 -4 -2 0 2 Ejemplo 3 ⎧ 1 − x si f ( x) = ⎨ ⎩ x − 1 si x <1 x ≥1 4 558 Unidad 7: Funciones solución Dividimos en dos partes la recta real; para x ∈ (− ∞, 1), graficamos la recta y = 1 − x, que tiene pendiente −1 y corta al eje y en 1; para x ∈ (1, ∞), graficamos la semiparábola horizontal y = x − 1 , como se muestra en la figura siguiente: y 6 5 4 3 2 1 0 x −4 −2 0 2 4 Ejemplo 4 ⎧− x 2 − 1 si x < −1 ⎪⎪ 2 f ( x) = ⎨ 1 − x si −1 ≤ x ≤ 1 ⎪ x 2 − 1 si x >1 ⎪⎩ solución Dividimos en tres partes la recta real; para x ∈ (− ∞, −1), graficamos la mitad de la hipérbola y = − x 2 − 1 ; para x ∈ [−1, 1], graficamos la semicircunferencia y = 1 − x 2 , finalmente, para x ∈ (1, ∞), graficamos la mitad de la hipérbola y = x 2 − 1 , como se muestra en la figura siguiente: y 5 4 3 2 1 x 0 -1 −4 −2 0 2 4 559 7.5 Funciones que forman parte de una cónica Ejemplo 5 La función mayor entero ⎧ ⎪−1 si ⎪ ⎪0 si ⎪ f(x) = [[x]] = n; si n ≤ x < n + 1; o bien, f ( x ) = [[ x ]] = ⎨ 1 si ⎪2 si ⎪ si ⎪3 ⎪ ⎩ −1 ≤ x < 0 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 2≤ x<3 3≤ x < 4 solución Graficando la función constante correspondiente en cada intervalo, obtenemos: y 5 4 3 2 1 0 x −1 −4 −2 0 2 4 Modelación de problemas Diferentes situaciones de la vida diaria pueden representarse mediante funciones seccionadas; en los ejemplos siguientes, se analizarán diversos tipos. Usaremos el método seguido en la sección anterior. 560 Unidad 7: Funciones Ejemplos Resuelve los problemas siguientes: Ejemplo 1 Teléfonos de México, S.A. de C.V. (Telmex), cobra $36.97 los primeros tres minutos y $12.92 cada minuto o fracción adicional por una conferencia telefónica de larga distancia internacional de México a Arizona. Determina la función que especifique el costo total de una llamada de larga distancia internacional a Arizona de x minutos y encuentra cuánto costarían los primeros cinco minutos de una conferencia telefónica. solución a) Identifica las variables La variable es el número de minutos que dura la conferencia telefónica = x. b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla): Analizamos el costo para algunas llamadas: Minutos Costo De 0 a 3 minutos $36.97 De 3 minutos y fracción a 4 minutos $36.97 + 1(12.92) De 4 minutos y fracción a 5 minutos $36.97 + 2(12.92) De 5 minutos y fracción a 6 minutos $36.97 + 3(12.92) Inferimos que el costo de una llamada es una función seccionada; debemos considerar los primeros tres minutos como una parte de la función y otra definición para los minutos posteriores. c) Relaciona las cantidades Con todo el análisis anterior es posible concluir que la función que representa el costo de una conferencia telefónica es: Costo = (costo de primeros 3 minutos) + (minutos adicionales)(costo por minuto adicional o fracción). Lo cual escribiremos como: 36.97 si 0 ≤ x ≤ 3 ⎧ ⎪ 36.97 + 1(12.92) si 3 < x ≤ 4 ⎪⎪ si 4 < x ≤ 5 C( x ) = ⎨ 36.97 + 2(12.92) ⎪ ⎪ ⎪⎩36.97 + (n − 2)(12.92) si n < x ≤ n + 1; n ≥ 3 561 7.5 Funciones que forman parte de una cónica d) Establece una función Nuestra función que modela la situación es: 36.97 si 0 ≤ x ≤ 3 ⎧ ⎪ 49.89 si 3 < x ≤ 4 ⎪⎪ 62.81 si 6 < x ≤ 5 C( x ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩36.97 + (n − 2)(12.92) si n < x ≤ n + 1; n ≥ 3 e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta. Graficamos la función: costo 70 60 50 40 30 20 10 minutos 0 -1 0 1 2 3 4 5 Verificamos nuestra respuesta comparando nuestra gráfica con la tabla que obtuvimos al inicio, mientras observamos que los valores de la función costo son iguales en intervalos de tiempo similares. Ejemplo 2 La compañía “Poder y Energía, S. A.”, generadora de energía eléctrica, cobra a sus clientes 0.0511 dólares por kilowat-hora (kWh) por los primeros 1000 kWh, 0.0532 dólares por los siguientes 4000 kWh y 0.0577 por cualquier kWh que pase de 5000. Encuentra una función definida que represente para la cuenta de x kWh de un cliente. solución a) Identifica las variables La variable es el número de kWh consumidos = x. b) Expresa todas las cantidades en términos de la variable (diagrama o tabla) Analizamos el costo para diferentes valores de x: 562 Unidad 7: Funciones Minutos Costo De 0 a 1000 kilowats (número de kWh)(0.0511) Más de 1000 kWh hasta 5000 (0.0511)(1000) + (número de kWh − 1000)(0.0532) Más de 5000 kWh (0.0511)(1000) + (4000)(0.0532) + (número de kWh-5000)(0.0577) Inferimos que el costo del consumo de energía eléctrica es una función seccionada; debemos considerar los primeros 1000 kWh como una parte de la función, de 1000 a 5000 kWh otra parte de la función y otra definición para más de 5000 kWh. c) Relaciona las cantidades Con todo el análisis anterior, concluimos que la función que representa el costo del consumo de electricidad es: x (0.0511) ⎧ ⎪ C( x ) = ⎨ (1000)(0.0511) + ( x − 1000)(0.0532) ⎪(1000)(0.0511) + ( 4000)(0.0532) + ( x − 5000)(0.0577) ⎩ si 0 ≤ x ≤ 1000 si 1000 < x ≤ 5000 si x > 5000 d) Establece una función Nuestra función que modela la situación después de simplificar es: ⎧ (0.0511) x ⎪ C( x ) = ⎨ (0.0532) x − 2.1 ⎪(0.0577) x − 24.6 ⎩ si 0 ≤ x ≤ 1000 si 1000 < x ≤ 5000 si x > 5000 e) Resuelve el problema y verifica tu respuesta Graficamos la función: 600 costo 500 400 300 200 100 kwh 0 0 2000 4000 6000 8000 Ejemplo 3 En México, el quinto párrafo del artículo 177 de la Ley del Impuesto sobre la Renta establece que las tarifas que se utilizan para el cálculo de impuestos y retenciones se modificarán hasta que haya una in- 563 7.5 Funciones que forman parte de una cónica flación acumulada superior al 10%, desde la fecha en la que se actualizaron por última vez. Debido a ello, durante 2004 se utilizaron las mismas tarifas que estuvieron vigentes en 2003, puesto que en dicho año la inflación acumulada sólo fue del 3.98%. La tabla de impuestos para el primer semestre de 2003 y 2004 es la que se muestra en seguida: a) Determina y dibuja la gráfica de la tasa de impuesto en función del ingreso. b) Dibuja la gráfica del total de impuesto a pagar en función del ingreso. Tabla para el primer pago semestral por los meses de enero a junio de 2003 –Precalculada– Límite de ingresos inferior $ Límite de ingresos superior $ Tasa % 0.01 69, 231.37 0.50 69,231.38 160,854.58 0.75 160,854.59 225,196.41 1.00 225,196.42 En adelante 2.00 La función que representa el % de impuesto a pagar según el ingreso está dada por: si 0.01 ≤ x ≤ 69231.37 ⎧ 0.5 ⎪0.75 si 69231.38 ≤ x ≤ 160854.58 ⎪ I( x) = ⎨ si 160854.59 ≤ x ≤ 225198.41 ⎪ 1 ⎪⎩ 2 si x ≥ 225196.42 cuya gráfica es: % impuesto 2.5 2 1.5 1 0.5 ingreso 0 0 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000 20 564 Unidad 7: Funciones La función que representa la cantidad en pesos a pagar de impuesto según el ingreso está dada por: 0.005 x ⎧ ⎪ ( 0.005)( 69231.37 ) + ( 0.0075)( x − 69231.37 ) P( x ) = ⎨ ( 0.005)( 69231.37 ) + (160854.59 − 69231.37 )( 0.0075) + ( 0.01)( x − 160854.59 ) ⎪( 0.005)( 69231.37) + (160854.59 − 69231..37)( 0.0075) + ( 225196.41 − 16854.59 )( 0.01) + (.02 )( x − 225196.41) ⎩ 0.01 ≤ x ≤ 69231.37 si si 69231.38 ≤ x ≤ 180854.58 si 180854.59 ≤ x ≤ 225196.41 si x ≥ 225196.42 Simplificando: 0.005 x si 0.01 ≤ x ≤ 69231.37 ⎧ ⎪−173.078 + (0.0075) x si 69231.38 ≤ x ≤ 180854.58 ⎪ P( x ) = ⎨ si 180854.59 ≤ x ≤ 225196.41 ⎪ −625.215 + (0.01) x ⎪⎩ −2877.18 + (.02) x si x ≥ 225196.42 Su gráfica es: impuesto 4,000 3,000 2,000 1,000 ingreso 0 -1000 0 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000 Ejercicios y problemas 1. Realiza un resumen de las gráficas de funciones de la forma f ( x ) = ± ax + b y f ( x ) = ± a 2 ± x 2 , indicando dominio, gráficas e intervalos de crecimiento y decrecimiento. 7.5 Funciones que forman parte de una cónica 565 2. Realiza un esbozo gráfico de las funciones siguientes, indicando dominio e intervalos de crecimiento y de decrecimiento: a) f ( x ) = − x 2 + 2 x + 15 b) f ( x ) = x 2 − 8 x + 41 c) f ( x ) = x 2 − 20 x − 150 d) f ( x ) = 150 − 20 x 3. Resuelve los problemas siguientes: a) La velocidad v del sonido en el aire varía con la temperatura. Se puede calcular en pies por segunT + 273 do con la ecuación v = 1087 , donde T es la temperatura (en °C). Grafica la función, cal273 cula v cuando T = 20°C y determina la temperatura al grado más cercano, tanto en forma algebraica como gráfica, cuando la velocidad del sonido sea 1000 pies/segundo. b) Un barco sale a mediodía del Puerto de Veracruz y navega hacia el norte a una velocidad de 10 nudos. Otro barco se ha estado dirigiendo al Oeste a una velocidad de 15 nudos y llega al mismo puerto a las 3:00 de la tarde. ¿En qué momento estuvieron los barcos más cercanos entre sí? (1 nudo = 1 milla marítima/hora.) c) Una puerta normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por una semielipse. El rectángulo mide 90 cm de ancho por 200 cm de largo. La semielipse tiene 30 cm de alto en el centro. Determina la función y la gráfica que representa la semielipse, luego encuentra la altura de la puerta a 40 cm pulgadas del centro a uno de los extremos. d) Un transbordador para pasajeros viaja desde una población hasta una isla que dista siete millas de la población y tres millas en línea recta de la playa (véase figura). El transbordador navega a lo largo de la playa hasta algún punto y luego avanza directamente hacia la isla. Si el transbordador navega a 12 mi/h a lo largo de la playa y a 10 mi/h cuando avanza hacia el mar, determina las rutas que tengan un tiempo de recorrido de 45 minutos. 566 Unidad 7: Funciones Isla 3 millas Población 7 7mmillas ill a s e) Cierto país latinoamericano grava con 15% los primeros $200,000 de ingreso personal anual, con 20% todo ingreso que esté entre $200,000 y $400,000 y con 30% todo ingreso que rebase dicha cifra. Encuentra una función que especifique el impuesto total sobre ingresos y realiza su gráfica. f ) Una compañía de taxis cobra $70 por los primeros 15 kilómetros (o fracción) y $10 por cada kilómetro siguiente (o fracción). Expresa el costo de un recorrido en función de la distancia x recorrida (en kilómetros) para los primeros 50 kilómetros y dibuja la gráfica de la función. Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. La ley de refracción correcta fue descubierta en 1621 por Wilebrod Snell; esta ley es conocida como la ley de Snell. Originalmente, Snell justificó su ley basándose en experimentos físicos, pero más tarde Fermat demostró que la ley podía ser probada sólo con razonamientos matemáticos. Parte de la demostración de Fermat descansa en el uso del cálculo; su deducción matemática de la ley de la refracción está basada en la hipótesis del “tiempo mínimo”. Realiza la demostración de la ley de refracción siguiendo el desarrollo que hizo Fermat; para ello, sigue los pasos siguientes: a) Investiga los conocimientos en física sobre la luz que se tenían hasta el momento en que Fermat hizo la demostración (por ejemplo: cómo viaja la luz y velocidad de la luz en diferentes medios). b) Determina cómo es la velocidad del rayo de luz durante la reflexión. c) Determina la relación que existe entre la trayectoria de la distancia mínima y la trayectoria del tiempo mínimo de un rayo de luz al viajar de un punto a otro. d) Deduce la ley de Snell de la refracción. Supón que tienes dos medios, cada uno de densidad uniforme; por ejemplo, aire y agua. Ayúdate con la figura siguiente, que es la usó Fermat. 567 7.5 Funciones que forman parte de una cónica P ϕ1 Medio 1 a xx R c Medio 2 b ϕ2 Q e) Determina el principio que explica ambos fenómenos ópticos: reflexión y refracción 2. Teléfonos de México, S.A. de C.V., necesita colocar un poste en la calle de Insurgentes de la población de San Pedro (véase la figura), para tender cables a dos casas vecinas. Los técnicos de la compañía desean conocer el lugar en el cual deben colocar el poste, de tal manera que se use la menor cantidad de cable. 30 m. 20 m. 50 50 mm Calle Insurgentes 3. En Estados Unidos fue publicada la siguiente tabla que se utilizará para el cálculo del impuesto federal de 2005, para una pareja casada que presenta una declaración conjunta. Determina una función que represente el pago de impuesto y grafícala. (El impuesto está basado en varios rangos de ingreso gravable) de acuerdo con la tabla Y-1 del Servicio de Recaudación (IRS, por sus siglas en inglés; véase la figura). 568 Unidad 7: Funciones Si el monto de la forma 1040, línea 38 es mayor a- Pero no mayor a- 0$ $43,850 ——— 15% 0$ 43,850 105,950 $6,577.50 28% 43,850 105,950 161,450 23,965.50 31% 105,950 161,450 288,350 41,170.50 36% 161,450 288,450 ———- 86,854.50 39.60% 288,450 Ingrese en la forma 1040, línea 39 del monto que excede a- 4. En décadas recientes, los cambios en la tecnología han transformado la industria de la comunicación. Los cambios han tenido sus pros y sus contras. Por ejemplo, considera el problema de elegir un plan de telefonía celular. En la mayoría de las áreas urbanas, los usuarios de teléfonos celulares literalmente tienen docenas de planes para elegir. Los planes incluyen tarifas de accesos mensuales, minutos libres, cobros por tiempo aire adicional, tarifas por roaming regional yroaming nacional, tarifas por horas pico y horas no pico, así como tarifas por larga distancia (sin mencionar costos por activación, gastos por cancelación y cuestiones por el estilo). Dados todos estos factores, ¿cómo puede un consumidor hacer una elección inteligente? Toma en cuenta los planes ofrecidos por una sola compañía de telecomunicaciones, Iusacel, y supón que la mayor parte de las llamadas son locales, hechas (o recibidas) en la ciudad durante las horas pico. En diciembre de 2004, esta compañía ofreció los planes siguientes: a) Básico: $19.99 mensual compra 60 minutos. El tiempo adicional cuesta $0.4 por minuto. b) Advantage I: $29.99 mensual compra 120 minutos tiempo aire. El tiempo adicional cuesta $0.30 por minuto. c) Advantage II: $39.99 mensual compra 200 minutos. El tiempo adicional cuesta $0.30 por minuto. d) Advantage III: $49.99 mensual compra 400 minutos. El tiempo adicional cuesta $0.30 por minuto. e) Premier; $59.99 mensual compra 450 minutos. El tiempo adicional cuesta $0.35 por minuto. Representa en forma matemática estos planes, haz tus gráficas en un solo sistema de coordenadas e indica cuál es el mejor plan para consumos de 0 a 85 minutos y para 550 minutos o más. 569 7.5 Funciones que forman parte de una cónica 1. Indica la opción que representa la función cuya gráfica es: y 2 1 0 x -1 -2 -1 0 1 2 3 4 a) y = − x 2 − 2 x + 4 b) y = − x 2 + 2 x + 5 c) y = −2 + − x 2 + 2 x + 3 d) y = −2 + − x 2 + 2 x + 3 2. Halla la opción que contiene la solución del problema: Se piensa instalar una línea eléctrica de la planta eléctrica “El Caracol” a través del Río Balsas de una milla de ancho, hasta la población de San Pedro, que está a cinco millas corriente abajo. El tendido de un cable bajo el agua cuesta $7,500 por km y en tierra, $6,000 por km. Determina cómo debe instalarse el cable si se dispone de $35,000 para este proyecto. San Pedro 1 milla Planta millas 55m ill a s 570 Unidad 7: Funciones a) Tender el cable por debajo del agua hasta el punto que está a 1.8 millas en línea recta de la planta a la otra orilla del río y 3.2 millas a lo largo de la playa hasta San Pedro. b) Tender el cable por debajo del agua hasta el punto que está a 2 millas en línea recta de la planta a la otra orilla del río y 3 millas a lo largo de la playa hasta San Pedro. c) Tender el cable por debajo del agua hasta el punto que está a 1.25 millas en línea recta de la planta a la otra orilla del río y 2.75 millas a lo largo de la playa hasta San Pedro. d) Tender el cable por debajo del agua hasta el punto que está a 2.28 millas en línea recta de la planta a la otra orilla del río y 2.72 millas a lo largo de la playa hasta San Pedro. 3. Resuelve el siguiente problema: Durante una sequía, los residentes de Santa Ana, California, tuvieron que hacer frente a una severa escasez de agua. Para impedir el consumo excesivo de agua, las autoridades del distrito de agua del condado fijarón drásticos aumentos de tarifas. La tarifa mensual para una familia de cuatro miembros fue de 1.22 dólares por 100 pies3 de agua para los primeros 1200 pies3, 10 dólares por cada 100 pies3 de agua para los 1200 pies3 siguientes y 50 dólares por cada 100 de allí en adelante. Expresa la factura mensual del agua para una familia de cuatro miembros como una función de la cantidad del agua consumida. si 0 ≤ x ≤ 1200 122 x ⎧ ⎪ a) C( x ) = ⎨ 0.1x − 105.36 si 1200 < x ≤ 2400 ⎪0.5 x − 1094.64 si x > 2400 ⎩ si 0 ≤ x ≤ 1200 ⎧1.22 x ⎪ b) C( x ) = ⎨ 10 x si 1200 < x ≤ 2400 ⎪ 50 x si x > 2400 ⎩ si 0 ≤ x ≤ 1200 ⎧1.22 x ⎪ c) C( x ) = ⎨ 0.1x si 1200 < x ≤ 2400 ⎪ 0.5 x si x > 2400 ⎩ si 0 ≤ x ≤ 1200 1.22 x ⎧ ⎪ d) C( x ) = ⎨ 0.1x − 14.64 si 1200 < x ≤ 2400 ⎪0.5 x − 134.64 si x > 2400 ⎩ 4. Indica la opción que representa la solución del problema: “Discolandia”, un almacén de discos que ofrece la siguiente venta especial: si se compran cinco discos compactos, a $100 cada uno, pueden obtenerse discos adicionales a mitad de precio. Hay un límite de nueve discos por cliente. Indica la función que representa el costo de los discos en términos de la cantidad comprada 571 7.5 Funciones que forman parte de una cónica ⎧100 x si 0 < x ≤ 5 a) C( x ) = ⎨ ⎩ 50 x si 5 < x ≤ 9 100 x si 0 < x ≤ 5 ⎧ b) C( x ) = ⎨ ⎩500 + 50( x − 5) si 5 < x ≤ 9 si 0 < x ≤ 5 ⎧ 100 x c) C( x ) = ⎨ ⎩50( x − 5) si 5 < x ≤ 9 si 0 < x ≤ 5 ⎧ 100 x d) C( x ) = ⎨ ⎩500 + ( x − 5) si 5 < x ≤ 9 Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Revisa la sección. a) 2. b) 5 50 4 40 3 30 2 20 1 0 x 10 -1 0 -2 -4 -2 0 2 4 x -40 6 c) -20 0 20 40 60 d) 80 80 60 60 40 40 20 20 0 x -40 -20 0 20 40 60 80 0 x -80 -60 -40 -20 0 20 572 Unidad 7: Funciones 3. 2000 1500 1000 500 T 0 -500 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 a) 1126.11 pies/segundo − 41.95°C b) t = 27 ≈ 2.07692 horas 13 c) f ( x ) = 2 10 17 ( 45) 2 − x 2 ; f ( 40) = ≈ 13.74 cm 3 3 d) Una ruta es navegar 249.263 millas a lo largo de la playa y luego avanzar hacia la isla. si 0 < x ≤ 200, 000 0.15 x ⎧ ⎪ e) C( x ) = ⎨0.2 x − 10, 000 si 200, 000 < x ≤ 400, 000 ⎪0.3 x − 50, 000 si x > 400, 000 ⎩ 70 si 0 ≤ x ≤ 15 f) C( x ) = ⎧⎨ 10 80 x − si x > 15 ⎩ Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. c d a b 573 7.6 Funciones polinomiales 7.6 Funciones polinomiales Cualquier polinomio de grado n tiene n raíces reales o complejas. Enunciado por primera vez por: Jean Le Rond d’Alembert en 1746. Introducción n En secciones pasadas estudiamos el concepto de función mediante los acercamientos numérico, gráfico y algebraico. Asimismo, usamos las funciones lineales y cuadráticas para modelar diversas situaciones económicas y físicas. Toca el turno a las funciones polinomiales que generalizan a las anteriores y que tienen múltiples usos en la física, la economía y las matemáticas. Primero analizaremos las funciones potenciales, luego usaremos métodos gráficos para construir graficas de funciones polinomiales. Finalizaremos presentando un método algebraico para determinar las regiones de crecimiento y de decrecimiento. La utilidad de las funciones polinomiales se ilustra en la siguiente situación: Cajas y más cajas La empresa “Cajas y Envases, S. A.”, tiene un contrato para construir cajas con tapas para esferas navideñas. Para construir las cajas se utilizarán hojas de cartón con las siguientes dimensiones: 30 centímetros por 80 centímetros. En cada hoja se cortarán cuadrados en las esquinas y en la parte central, como se muestra en la figura 7.37. Posteriormente se doblarán los lados y se obtendrá la caja. La x x 30 cms 80 cms Figura 7.37 Diseño de una caja cerrada para esferas de Navidad. 574 Unidad 7: Funciones pregunta clave que habrán de responder los diseñadores de la empresa es: ¿qué dimensiones debe tener la caja para encerrar el mayor volumen posible? Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Definir y graficar funciones potenciales y polinomiales. • Analizar crecimiento y decrecimiento de funciones polinomiales. • Analizar el comportamiento de estas funciones cuando x S ±∞. • Determinar las curvas asintóticas de las funciones polinomiales. • Modelar situaciones que den lugar a funciones polinomiales. Funciones potenciales Antes de iniciar el estudio de las funciones polinomiales, definamos sus componentes básicos: las funciones potenciales. Definición Se define la función potencial de grado n por medio de la regla de correspondencia f(x) = xn. El dominio de cualquier función de este tipo es Dom(f ) = R. La imagen depende del valor de n. Para el caso de que n sea impar, la imagen es Img(f ) = R. En caso de que n sea par, la imagen es Imag(f ) = [0, ∞). Para graficar tales funciones, haremos una tabulación. En la tabla siguiente mostramos lo que resulta de aplicar diferentes funciones potenciales a puntos dentro del intervalo (−3, 3). x y = x2 y = x3 y = x4 y = x5 −3 9 −27 81 −243 −2 4 −8 16 −32 −1 1 −1 1 −1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 3 9 27 81 243 575 7.6 Funciones polinomiales Las gráficas correspondientes a las anteriores funciones potenciales se muestran en la figura 7.38. De la tabla y de las gráficas se pueden sacar algunas conclusiones acerca de la variación (regiones de crecimiento y de decrecimiento) de las funciones potenciales. Por ejemplo, cuando el exponente es impar, la función es creciente en (− ∞, ∞) en tanto que cuando es par la función decrece de (− ∞, 0) y crece de (0, ∞). También es posible observar que cerca del 0 las funciones se achatan más y más, a medida que aumentamos el valor de n. f(x) = x3 f(x) = x2 −3 −3 −2 −2 −1 20 20 15 15 10 10 5 5 0 −5 1 2 3 −3 −2 −1 0 −5 −10 −10 −15 −15 −20 −20 f(x) = x3 f(x) = x5 20 20 15 15 10 10 5 5 −1 0 −5 1 2 3 −3 −2 −1 0 −5 −10 −10 −15 −15 −20 −20 Figura 7.38 1 2 3 1 2 3 Gráficas de funciones potenciales A partir de las funciones potenciales podremos construir la gráfica de una amplia gama de funciones aplicando sólo operaciones de traslación y escala. Por ejemplo, en la función F(x) = A(x − B)n + C, el parámetro C sube o baja la gráfica, el parámetro B la mueve hacia la derecha o a la izquierda y el parámetro A reescala los ejes y/o invierte la gráfica de la función potencial original. En las figuras 7.39, 7.40 y 7.41 se muestran los efectos de los parámetros A, B y C sobre las curvas y = x3 y y = x4. 576 Unidad 7: Funciones Efecto del parámetro A en y = Ax2 Efecto del parámetro A en y = Ax4 10 y 10 y 5 5 Figura 7.39 Efectos del parámetro A en funciones potenciales. Las curvas punteadas tienen parámetro A en el intervalo (0,1). Las curvas o trozos tienen parámetro A mayor que 1 −3 −2 −1 0 1 x 3 2 −3 −2 −5 −5 −10 −10 Efecto del parámetro B en y = (x−B)2 2.5 x −1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 0 −1 −2.5 −5 −5 Efecto del parámetro C en y = x3 + C Figura 7.41 Efectos del parámetro C en funciones potenciales. Las curvas punteadas tienen parámetro C negativo. Las curvas a trozos tienen parámetro C positivo −4 −3 −2.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 1 2 x 4 3 Efecto del parámetro C en y = x4 + C 15 y −2 −1 −2.5 0 −5 −7.5 −10 −12.5 −15 x 3 2 5 y 2.5 −4 −3 −2 1 Efecto del parámetro B en y = (x−B)4 5 y Figura 7.40 Efectos del parámetro B en funciones potenciales. Las curvas punteadas tienen parámetro B negativo. Las curvas a trozos tienen parámetro B positivo −1 0 y 12.5 10 7.5 5 x 1 2 3 2.5 4 −4 −3 0 −2 −1−2.5 x 1 2 3 4 −5 −7.5 −10 Sin embargo, dichas transformaciones no producen todas las formas posibles de cúbicas y cuárticas, por lo que tendremos que esperar a la siguiente subsección para estudiar funciones más generales. 577 7.6 Funciones polinomiales Ejemplos Ejemplo 1 Elabora un bosquejo de la gráfica de la función f(x) = 0.3(x + 4)3 + 8 solución Primero, observemos que el coeficiente 0.3 produce un reescalamiento del eje y. La gráfica así obtenida se traslada cuatro unidades hacia la izquierda y ocho unidades hacia arriba. En la ilustración siguiente se muestran los efectos sobre la gráfica original. Las funciones y = x3; y = 0.3x3 e y = 0.3 (x + 4)3 + 8 Las funciones y = x; e y = 0.3x3 40 40 y 30 30 20 20 10 y 10 x 0 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −10 x 0 −8 −7 −6 −5 −4 −3−2 −1 −10 1 2 3 4 5 6 −20 1 2 3 4 5 6 −20 Figura 7.42 Proceso para construir la gráfica de y = 0.3 (x + 4)3 + 8 Ejemplo 2 Propón expresiones algebraicas para las gráficas siguientes: Gráfica 2 Gráfica 1 20 20 y 15 y 10 10 5 5 x −2 −1 0 1 2 3 −1 0 −5 1 2 −10 −5 −5 −10 −20 Figura 7.43 ¿Qué funciones tienen las gráficas de las figuras? x 3 578 Unidad 7: Funciones solución La gráfica 1 de la figura 7.43 corresponde a una cúbica invertida que ha sido trasladada cinco unidades hacia arriba y dos hacia la derecha. Una expresión que cumple con estas condiciones es: f(x) = −A(x − 2)3 + 5 Para determinar el valor de A, consideremos que la curva pasa por el punto con coordenadas (0,20). Tenemos entonces que: 20 = − A(0 − 2)3 + 5 20 = 8 A + 5 8 A = 20 − 5 = 15 A= La expresión algebraica pedida es f ( x ) = − 15 8 15 ( x − 2)3 + 5 8 En el caso de la gráfica 2, se tiene una función cúbica recorrida una unidad hacia la derecha y cinco unidades hacia abajo. La función que cumple tales características tiene la forma: f (x) = A(x − 1)3 − 5 Como la curva pasa por el punto (2,0): 0 = A(2 − 1)3 − 5 0=A−5 A=5 La expresión algebraica pedida es f (x) = 5(x − 1)3 − 5 Funciones polinomiales Pasemos a estudiar funciones más complejas, las funciones polinomiales. Iniciemos con la siguiente definición: Definición La función polinomial (o polinómica) de grado n se define por medio de la regla de correspondencia P(x) = a0 + a1x + a2x2 … + anxn con an ≠ 0. El dominio de cualquier función polinomial es: Dom(P) = R, en tanto que la imagen depende del valor de n. En el caso de n, impar la imagen es Imag(P) = R. 579 7.6 Funciones polinomiales Determinar la imagen, para el caso de que n sea impar, o construir la gráfica de funciones polinomiales no son problemas sencillos. Para responder a estos problemas necesitamos construir argumentos matemáticos que nos ayuden. Método numérico Una primera estrategia se basa simplemente en hacer una tabla de puntos (x, P(x)). Este método es una excelente herramienta para plantear conjeturas y elaborar esbozos de gráficas de funciones polinomiales. Por ejemplo, para esbozar la gráfica de la función P(x) = x5 − 3x4 + x3 +3x2 − 2x en el intervalo (−1.5, 2.5), construimos la tabla de valores siguiente: x −1.50 −1.25 −1.00 −0.75 −0.50 P(x) −16.41 −5.14 0.00 1.58 1.41 −0.25 0.00 0.25 0.66 −0.31 -0.28 0.00 0.50 0.75 1.00 −0.10 0.00 1.25 1.50 −0.13 −0.47 −0.68 La gráfica que obtenemos es la siguiente: Gráfica de P(x) = x5 − 3x4 + x3 + 3x2 − 2x 2 y 1 x −2 −1 0 1 2 −1 −2 1.75 Figura 7.44 Método numérico para graficar funciones polinomiales Método gráfico de suma de funciones El método permite elaborar la gráfica de una función polinomial a partir del conocimiento de las gráficas de las funciones potenciales que la forman y del conocimiento de los puntos donde cada función potencial cruza el eje de las x. Con tales puntos obtendremos una idea cualitativa de la gráfica de la función. 2.00 2.25 2.50 0.00 2.86 9.84 580 Unidad 7: Funciones Por ejemplo, para graficar la función f(x) = x3 + x2 habrá que construir primero las gráficas de h(x) = x3 y g(x) = x2. Estas gráficas son casos particulares de las gráficas de funciones potenciales y se muestran en la figura 7.45. Algunas observaciones que haremos son: 1. En el punto x = 0 las dos funciones cortan el eje de las x. Por esa razón, la función suma también corta el eje horizontal en x = 0. 2. Las dos funciones componentes son crecientes en el intervalo (0, ∞); en consecuencia, la función suma también es creciente en ese intervalo. 3. En el intervalo (− ∞, 0) la función h(x) crece, mientras que la función g(x) decrece. 4. En x = −1, las dos funciones componentes tienen el mismo valor en magnitud, pero de signo contrario. En ese punto: f (−1) = 0. 5. Para valores de x en el intervalo (−1, 0), se cumple que |x3| < x2, así que f (x) > 0 en ese intervalo. 6. Para el caso en el cual los valores de x se encuentren en el intervalo (− ∞, −1) se tiene que |x3| > x2, así que f(x) < 0 en ese intervalo. 7. Observa también que f(1) = 2. La gráfica de la función f(x) se muestra abajo. Gráfica de g(x) = x2 4 3 −2 −1 4 y 3 2 2 1 1 0 −1 x 1 Gráfica de g(x)3 + x3 Gráfica de g(x) = x3 2 −2 −1 0 −1 4 y 3 y 2 x 1 2 1 −2 −1 0 −1 −2 −2 −2 −3 −3 −3 −4 −4 −4 1 x 2 Figura 7.45 El método de la suma gráfica en la construcción de gráficas de funciones polinomiales Método gráfico de multiplicación de funciones Este método se basa en el comportamiento asintótico de la función y en el conocimiento de las raíces de una función polinomial. Con las raíces, ordenadas de menor a mayor, se divide el eje real en regiones o intervalos que no se traslapan. Si evaluamos la función en todos los puntos pertenecientes a una región obtendremos el mismo signo. Por esa razón, basta con evaluar en un punto prueba de cada región para ubicar si la gráfica está arriba o abajo del eje x en toda esa región. ¿Por qué crees que esta última afirmación es correcta? 581 7.6 Funciones polinomiales Por ejemplo, consideremos la función P(x) = 4(x − 1)3 (x − 2)(x − 3)2. Cuando |x| es grande, la función se comporta como la función potencial y = 4x6. Además, P(x) tiene las raíces x = 1, con multiplicidad 3; x = 2, con multiplicidad 1, y x = 3, con multiplicidad 2. Estos puntos dividen el eje real en cuatro regiones. En la tabla siguiente se muestran las regiones, los puntos prueba en cada región y el signo de la función en ese intervalo. A partir de ahí construimos la gráfica de la función (véase la figura 7.46). Intervalo Punto prueba P(punto prueba) Signo Conclusión (−∞, 1) 0 72 + La función decrece en el intervalo porque se comporta como y = 4x6. En x = 1, la curva cruza el eje de las x porque la multiplicidad de la raíz es impar. En el cruce la curva tiende a achatarse. (1, 2) 1.5 −0.5625 − La gráfica de la función está bajo el eje x. En x = 2, la curva cruza el eje porque la multiplicidad de la raíz es impar. (2, 3) 2.5 1.6875 + La gráfica de la función está sobre el eje x. En x = 3, la curva no cruza el eje, porque la multiplicidad de la raíz es par. (3, ∞) 4 216 + La función crece en el intervalo, porque se comporta como y = 4x6. La gráfica entonces es: 2 Gráfica de P(x) = 4(x − 1)3(x − 2)(x − 3)2 y 1 0 x 0 1 2 3 −1 Figura 7.46 El método gráfico de la multiplicación en la construcción de gráficas de funciones polinomiales 582 Unidad 7: Funciones Ejemplos Ejemplo 1 A partir de la gráfica de las funciones g(x) = x3/2 y h(x) = −(x − 2)2, construye la gráfica de la función f ( x) = x3 − ( x − 2)2 2 solución En la ilustración 1 de la figura 7.47 se muestran las gráficas de las dos funciones g(x) y h(x). Para graficar la función f (x), utilizamos el procedimiento siguiente: 1. Observemos que para valores grandes de |x| la gráfica de f (x) se comporta como la gráfica de g(x). Es decir, la curva g(x) es curva asintótica de f (x). 2. Determinamos los puntos donde g(x) y h(x) tienen la misma magnitud absoluta, pero con signos contrarios. En este ejemplo encontramos tres puntos; uno de ellos se encuentra en el intervalo (−2, −1), otro en (1, 2) y el último está en (2, 3). Es claro que al sumar g(x) más h(x) en estos puntos el resultado es 0. Es decir, en los puntos encontrados hay una raíz para la función f(x). Estos puntos se muestran en la ilustración 2. Ilustración 1: suma de una función potencial cúbica y una parábola 8 6 Ilustración 2: raíces de la función f(x) 8 6 y 4 3 2 1 2 0 2 4 x 0 1 2 3 −3 −2 −1 −4 −6 −8 −8 2 0 −1 −2 −4 x 0 1 2 3 Ilustración 4: la gráfica de f(x) 8 6 y 4 − −2 −6 Ilustración 3: puntos adicionales por donde cruza la gráfica de f(x) −3 2 0 −4 8 6 y y 4 2 0 x 0 1 2 3 − −2 −1 −2 −4 −6 −6 −8 −8 x 0 1 2 3 Figura 7.47 El método de la suma gráfica en la construcción de gráficas de funciones polinomiales 583 7.6 Funciones polinomiales 3. Determinamos ahora los puntos donde la cúbica y la parábola cortan al eje horizontal. Estos puntos son x = 0 y x = 1. En la ilustración 3 mostramos los puntos por donde debe pasar la curva. Agregamos el punto donde la parábola alcanza su máximo; como la cúbica está bajo el eje x, el resultado de la suma será menor al máximo de la parábola. También agregamos el punto con abscisa x = 2. En ese caso, la curva está levemente abajo del eje x. 4. La gráfica de la función pasa por todos esos puntos; la gráfica obtenida se muestra en la Ilustración 4. Ejemplo 2 Grafica la función f (x) = x3 − 2x + 5. solución La función f (x) se puede expresar como la suma de las dos funciones g(x) = x3 y h(x) = −2x + 5. Las gráficas de estas dos últimas funciones se muestran en la ilustración 1 de la figura 7.48. Sigamos ahora el procedimiento del ejemplo anterior: 1. Para valores de |x| grandes la función dominante será g(x). 2. La función h(x) es el término dominante cuando x toma valores cercanos al 0. En la ilustración 2, se muestran las gráficas en el intervalo (−1, 1). Claramente la función suma se comportará como la recta definida por h(x) para valores pequeños de |x|. El término cúbico adquiere mayor importancia para valores de x que cumplan |x| > 0.5. 3. En la ilustración 3 se muestran algunos puntos importantes para la construcción de la gráfica. La suma de las dos funciones es casi igual a 0 en x ≈ −2. La cúbica corta el eje horizontal en el punto x = 0. En ese punto la función suma toma el valor de la función lineal. La cúbica y la recta cortan al eje horizontal en x = 2.5. En los puntos x = 0, −2.5, ocurre algo similar. Los otros dos puntos que aparecen se obtienen al sustituir los valores x = −1, 1 en la función suma. 4. Unimos los puntos para construir la gráfica que se muestra en la ilustración 4. Ilustración 2: las gráficas de g(x) y h(x) en el intervalo (−1, 1) 20 y Ilustración 1: las gráficas de las funciones y = g(x) e y = h(x) 20 y 15 15 10 10 5 5 x 0 −4 −3 −2 −1 −5 −10 −15 −20 0 1 2 3 4 x 0 −1 −0.5 −5 0 0.5 −10 −15 −20 Figura 7.48 La suma gráfica de dos funciones potenciales (continúa) 1 584 Unidad 7: Funciones Ilustración 3: Puntos importantes de la curva y = f(x) 20 y −3 −2 −1 20 15 15 10 10 5 5 x 0 −4 Ilustración 4: La gráfica de y = f(x) −5 0 2 1 3 y x 0 4 −4 −3 −2 −1 −5 −10 −10 −15 −15 −20 −20 0 1 2 3 4 Figura 7.48 Continuación Ejemplo 3 Grafica la función f(x) = x(x − 1)(x + 1) solución Las tres raíces x = −1, 0, 1 son de multiplicidad 1; por lo tanto, la curva cruzará el eje x tres veces. Además, la función se comporta como y = x3 para valores grandes de |x|. En la tabla siguiente mostramos las cuatro regiones que determinan las raíces del polinomio: Intervalo (− ∞, −1) Punto prueba −2 P(punto prueba) Signo Conclusión −6 − La curva está abajo del eje horizontal. (−1, 0) −0.5 0.375 + La curva está arriba del eje horizontal. (0, 1) 0.5 −0.375 − La curva está abajo del eje horizontal. (1, ∞) 2 6 + La curva está arriba del eje horizontal. En la figura siguiente se muestra la gráfica de la función y las rectas y = x, y = x − 1 e y = x + 1, que son los factores de la función f (x). Observa que cuando las tres rectas están arriba del eje x, la curva también, y cuando dos rectas están arriba y otra abajo entonces la curva está abajo del eje. 585 7.6 Funciones polinomiales Rectas y = x, y = x + 1, y = x − 1 y la curva y = x (x − 1)(x + 1) 3 y 2 1 −2 −1 0 −1 x 1 0 2 −2 −3 Figura 7.49 La gráfica de la función y = x(x + 1) (x − 1) por el método gráfico de la multiplicación Máximos y mínimos de funciones polinomiales En la sección anterior construimos la gráfica de la función P(x) = 4(x − 1)3 (x − 2) (x − 3)2. En la siguiente ilustración se señalan las regiones donde la función crece o decrece. También se indican los puntos donde ocurren valores máximos y mínimos de la función. Intuitivamente, la función crece si al movernos hacia la derecha los valores de la función son mayores y es decreciente cuando los valores disminuyen. El punto donde ocurre el máximo de la función es el punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Para un mínimo, la situación es similar: la función pasa de ser decreciente a creciente. Gráfica de P(x) = 4(x − 1)2(x − 2)(x − 3)2 2 P(x) es creciente en y Máximo local de P(x) 1 P(x) es decreciente en Mínimos locales de P(x) 0 x 0 1 2 3 −1 Figura 7.50 Extremos locales y regiones de crecimiento y decrecimiento de una función polinomial 586 Unidad 7: Funciones Estos conceptos se definen formalmente como sigue: Definición 1. Una función polinomial y = P(x) es creciente en el punto x1 si existe un intervalo (x1, x1 + h) con h > 0, donde f (x1 + h) − f (x1) > 0. De manera análoga, y = P(x) es decreciente en el punto x1, si existe un intervalo (x1, x1 + h), con h > 0, donde f (x1 + h) − f (x1) < 0. 2. La función polinomial y = P(x) tiene un máximo local en x = a si la función cambia de creciente a decreciente en x = a. Análogamente, y = P(x) tiene un mínimo local en x = a si la función cambia de decreciente a creciente. La primera definición sugiere calcular la expresión f (x1 + h) − f (x1) y simplificar al máximo hasta obtener una expresión que indique dónde crece o decrece la función. En el proceso será necesario considerar que h es pequeña. Con tales definiciones y con los ejemplos ilustrativos de esta sección, se justifica el siguiente criterio sobre la variación de una función: Criterio para crecimiento y decrecimiento de una función polinomial La función polinomial con P(x) = a0 + a1x + a2x2 … + anxn con an ≠ 0 es creciente en el intervalo donde se cumple que a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + nanxn −1 > 0 y decreciente cuando a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + nanxn −1 < 0. Los puntos donde se satisface a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + nanxn −1 = 0 son puntos donde posiblemente ocurrirán los valores máximos y mínimos de la función polinomial. Ejemplos Ejemplo 1 Determina las regiones de crecimiento y de decrecimiento de la función f (x) = x3 − 3x solución Recordemos que una función es creciente si f (x1) > f (x) cuando x1 > x. Para nuestro ejemplo, consideremos que h > 0 y que x1 = x + h. Nuestro problema se reduce a buscar los puntos x que satisfacen f (x + h) − f (x) > 0. 587 7.6 Funciones polinomiales En este caso tenemos: f ( x + h) − f ( x ) = ( x + h)3 − 3( x + h) − ( x 3 − 3 x ), 3 2 2 desarrollando; 3 3 = x + 3 x h + 3 xh + h − 3 x − 3h − x + 3 x, simplificando; = 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − 3h, 2 2 = 3h( x − 1) + 3 xh + h factorizando h; 3 Para valores de h suficientemente pequeños, los términos 3xh2 y h3 son despreciables respecto de 3h(x2 −1). Como además supusimos que h > 0, entonces f (x + h) − f (x) > 0 cuando x2 − 1 > 0. Es decir, la función será creciente en el intervalo (− ∞, −1) ∪ (1, ∞) y decreciente en el intervalo (−1, 1). En x = −1 la función tiene el valor máximo local f (−1) = 2. En x = 1, la función tiene un valor mínimo local f (1) = −2. Resumimos estos resultados en la tabla siguiente: (− ∞, −1) x = −1 La función crece. (−1, 1) x=1 La función tiene La función un máximo local. decrece. (1, ∞) La función tiene La función crece. un mínimo local. Ejemplo 2 Construye la gráfica de la función g(x) = 3x5 − 5x3 solución Determinamos primero las raíces del polinomio. De la expresión g(x) = 3x5 − 5x3 = x3 (3x2 − 5) obtenemos que x = 0 es una raíz triple y que x = ± 5 / 3 ≈ 1.29099 son raíces simples, para las regiones de crecimiento y decrecimiento. Consideremos h > 0 y calculemos g(x + h) − g(x): g( x + h) − g( x ) = 3( x + h) 5 − 5( x + h)3 − (3 x 5 − 5 x 3 ) ( ) ( ) = 3 x 5 + 5 x 4 h + 10 x 3 h 2 + 10 x 2 h 3 + 5 xh 4 + h 5 − 5 x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − (3 x 5 − 5 x 3 ) = h(15 x 4 − 15 x 2 ) + O(h 2 ) En la expresión O(h2), hemos colocado todos los términos que contienen factores con h2 o con potencias superiores de h. Estos términos son despreciables para h suficientemente pequeños. Los mínimos y máximos se encuentran, posiblemente, en los puntos que satisfacen 0 = 15x4 − 15x2 = 15x2(x2 − 1) 588 Unidad 7: Funciones Los tales son x = 0, ±1. En la tabla siguiente presentamos algunas conclusiones sobre la variación de la función. Posteriormente mostramos su gráfica: Intervalo Punto prueba Valor de 15x2(x2 - 1) Signo de 15x2(x2 - 1) (− ∞, −1) −2 180 + La función crece (−1, 0) −0.5 −2.8125 − La función decrece y tiene máximo en x = −1. El valor máximo es g(−1) = 2 (0, 1) 0.5 −2.8125 − La función decrece (1, ∞) 2 180 + La función crece y tiene mínimo en x = 1.El valor mínimo es g(1) = −2 Conclusión Gráfica de g(x) = 3x5 − 5x3 3 y 1.5 −2 −1 0 0 1 x 2 −1.5 −3 Figura 7.51 La gráfica de la función y = 3x5 − 5x3 y sus extremos locales Ejemplo 3 El Servicio Postal Mexicano tiene por norma limitar el tamaño de los paquetes que se envían por correo. La regulación indica que “sólo se podrán enviar los paquetes que cumplan que la suma de su altura y el perímetro de su base no sea mayor a 2.75 metros”. ¿Qué dimensiones debe tener el paquete de mayor volumen posible? 589 7.6 Funciones polinomiales Consideremos sólo el caso del paquete de base cuadrada que cumple que la suma de su altura y el perímetro de la base es de 2.75 metros. En la figura 7.52 se muestra un paquete de altura igual a “x” y con lados de la base iguales a “y”. El perímetro de la base es P = 4y, en tanto que la restricción postal es: x + 4y = x + P = 2.75 de donde se obtiene: P = 2.75 − x x x y y Figura 7.52 Paquete para enviarse por correo El volumen de la caja es: 2 2.75 − x ⎞ P V = x y2 = x⎛ ⎞ = x⎛ ⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠ 2 Las raíces de la función son x = 0 y x = 2.75. Desarrollando la expresión del volumen tenemos: 2 2.75 − x ⎞ V = x⎛ ⎝ 4 ⎠ 1 7.5625 x − 5.5 x 2 + x 3 = 16 ( ) Para determinar las regiones de crecimiento y decrecimiento elegimos h > 0 y calculamos V ( x + h) − V ( x ) = 1 ⎛ + h) − 5 .5 ( x+ h )2 + ⎜ 7.5625 ( x 16 ⎜⎝ 7. 2 2 5625 x + 7.5625 h 5.5 x +11 xh + 5.5 h = ⎞ 1 3 2 3 ( x + h ) ⎟⎟ − 16 7.5625 x − 5.5 x + x x 3 +3 hx 2 +3 h 2 x + h3 ⎠ 1 (7.5625h − 11hx − 5.5h 2 + 3hx 2 + 3h 2 x + h 3 ) 16 ⎛ 7.5625 − 11x + 3 x 2 ⎞ 1 2 ⎛ 3 x − 5.5 ⎞ = h⎜ + h3 ⎛ ⎞ ⎟ +h ⎝ ⎝ 16 ⎠ 16 16 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 7.5625 − 11x + 3 x 2 ⎞ ≈ h⎜ ⎟ 16 ⎝ ⎠ ( ) 590 Unidad 7: Funciones Donde, sobre todo en la última expresión, hemos despreciado la contribución de los términos cuadráticos y cúbicos en h, de forma que la función será creciente cuando 7.5625 − 11x + 3x2 > 0. Para resolver la desigualdad, encontremos primero las raíces de la ecuación cuadrática 7.5625 − 11x + 3x2 = 0. Estas raíces son x = 0.916667, x = 2.75. En la tabla siguiente mostramos algunas conclusiones de la función: Intervalo Punto prueba Valor de 7.5625 – 11x + 3x2 Signo de 7.5625 – 11x + 3x2 Conclusión (− ∞, 0.916667) 0 7.5625 + La función crece (0.916667, 2.75 1 −0.4375 − La función decrece y tiene máximo en x = 0.916667. El valor máximo es V (0.916667) = 0.192564 (2.75, ∞) 3 1.5625 + La función crece y tiene mínimo en x = 2.75. El valor mínimo es V(2.75) = 0 En conclusión, el valor máximo del volumen es 0.192564 m3 en tanto que las dimensiones de la caja con la que se obtiene este volumen son: altura = 0.916667 m lado de la base = 0.45833325 m Ejercicios y problemas 1. Si f (x) = x3 + x, calcula: a) f (w + h) − f (h) b) f ( w + 1) − f (1) w c) f ( w + 3) − f ( w ) 3 d) f ( w + h) − f ( w ) h 591 7.6 Funciones polinomiales 2. Propón funciones para las siguientes gráficas: 1 a) b) 4 y .5 −2 −1 0 0 1 2 −0.5 −1 −3 −1 0 5 4 3 2 1 1 x 2 −3 −2 −1 −2 3. 3 2 2 1 0 1 0 2 0 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −2 c) x −1−1 0 −2 1 2 3 f) 2 y y 1 0 1 2 x 3 −3 −2 −1 0 −1 1 2 3 x 4 −2 −3 −4 Construye gráficas de las siguientes funciones en las regiones indicadas, elaborando una tabla de valores adecuada: a) y = x3 + 5x2 + 4x − 2 en (−5, 2) b) y = 2x4 − 3x2 + x + 1 en (−2, 2) c) y = −x4 − x3 + x + 1 en (−2, 2) d) y = x5 − x4 − 5x3 − x2 + x + 2 en (−2, 2) e) y = −x3 − x2 + x + 1 en (−2, 2) f) y = x4 − 5x2 − 2x − 1 en (−3, −3) 4. x 1 −2 e) d) 1 −2 3 −2 −1 −1 0 2 y 0 4 y Realiza la suma gráfica de las siguientes funciones: a) g(x) = x3 y h(x) = x2 − 4x + 4 b) g(x) = −x3 y h(x) = x2 − 4x + 4 c) g(x) = 2x3 y h(x) = −x2 + 4x − 4 d) g(x) = −2x3 y h(x) = −x2 + 4x − 4 e) g(x) = x4 y h(x) = x2 − 4x + 4 f) g(x) = x4 y h(x) = −x2 + 4x − 4 592 Unidad 7: Funciones 5. Construye las gráficas de las siguientes funciones: y = f (x); utilizando el método de operaciones (multiplicación): a) y = 2x(x − 2)(x + 3) b) y = 2x2(x − 2)(x + 3) c) y = 2x(x − 2)2(x + 3) 3⎞ ⎛ d) y = 3 x − ( x + 4)( x − 3)( x + 7) ⎝ 2⎠ ⎛ e) y = 3 x − ⎝ 3 1⎞ ( x + 4) 2 ( x − 3)( x + 7) 2⎠ f ) y = (x − 1)4 (x − 2)2 (x + 2)3 (x + 1) 6. Determina regiones de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes: a) f(x) = −24x + 3x2 + x3 b) f(x) = −15x + 6x2 + x3 c) f(x) = −30x − 33x2 − 4x3 e) f(x) = 12x − 3x2 − 2x3 f ) f(x) = 12x2 − 4x3 − 3x4 g) f(x) = −48x2 − 8x3 + 3x4 7. Determina los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones: a) f(x) = 12x − 9x2 + 2x3 b) f(x) = −48x − 6x2 + 2x3 c) f(x) = 48x + 18x2 + 2x3 d) f(x) = 6x2 + 2x3 e) f(x) = 6x2 − 2x3 8. Determina las curvas asintóticas, las raíces, las regiones de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones. Utiliza esta información para construir la gráfica: a) f(x) = 2x3 − 3x2 b) f(x) = 3x4 − 4x3 c) f(x) = x4 − 8x2 9. Estudios médicos indican que la velocidad del aire en la tráquea en un estornudo V(r) depende del radio r de la misma tráquea. Si V(r) = ar2(r0 − r), con a una constante positiva, encuentra el valor de r que maximiza la velocidad V(r). 10. El Canal 4 de televisión abierta realizó un estudio sobre el número de televidentes N(t) (en miles) que sintonizan el canal después de las 12 del día. El resultado mostró que N(t) = 25.3 + 3.6t − 1.425t2 + 0.1t3. Elabora una gráfica de la función indicando a que hora se tiene el mayor número de televidentes y el menor número. 7.6 Funciones polinomiales Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. Para la situación Cajas y más cajas, que aparece en la introducción de esta sección, responde el cuestionario siguiente. Determina una fórmula para relacionar el volumen de la caja con la longitud x. Elabora una tabla que contenga x, la longitud del lado cuadrado recortado, y el volumen. Elabora una gráfica del volumen contra x. ¿En cuáles valores de x crece el volumen? ¿En cuáles decrece? ¿En qué valor de x se obtiene el volumen máximo? ¿Cuál es este volumen máximo? Al elaborar cuatro cajas de este tipo se obtienen 24 cuadrados de lado . Si juntamos cuatro cuadrados para formar un lado, entonces podemos, con los 24 cuadrados, formar una caja cúbica cerrada. Suma el volumen de las seis cajas originales más el de esta última caja, ¿cuál es el volumen máximo que puedes obtener? ¿Cambia en algo la respuesta al inciso anterior? g) Reflexiona sobre las estrategias o los caminos que seguiste para resolver el problema. ¿Por qué fueron buenas? ¿Por qué no? a) b) c) d) e) f) 2. Sobre movimiento a) Carlos ha sido comisionado por su empresa para llevar urgentemente varios paquetes a una sucursal que se encuentra fuera de la ciudad. Él viaja inicialmente con velocidad de 50 kilómetros/hora, después de t = 0.4 horas se da cuenta que no llegará a tiempo y sube su velocidad a 80 kilómetros/hora, velocidad con la que viaja durante una hora, y llega a su destino. El regreso lo hace a velocidad constante, de tal manera que hace dos horas de viaje redondo. i.Elabora una gráfica de la velocidad de Carlos en el tiempo. ii.¿A qué distancia de la empresa está la sucursal? iii.¿A qué velocidad regresó Carlos? iv.¿Qué distancia total recorrió en el viaje? v.¿Qué distancia había recorrido después de una hora?, ¿de hora y media?, ¿de hora 3/4? vi.¿Qué tan lejos estaba de su lugar de origen una hora después de su salida?, ¿y a la hora y media?, ¿y a la hora 3/4? vii.Elabora una gráfica de la posición de Carlos en el tiempo. b) Carlos tiene que regresar a la sucursal porque olvidó entregar dos paquetes. Su nuevo viaje lo empieza con velocidad de 80 kilómetros/hora y la aumenta constantemente hasta alcanzar los 90 kilómetros/hora a los 30 minutos. En ese momento acelera para llegar más rápido. A los 75 minutos de su salida, Carlos entrega los paquetes y se regresa con velocidad de 100 kilómetrros/hora, aumentándola constantemente para hacer el viaje de ida y vuelta en dos horas. Responde las preguntas i, iii, v, vi y vii del inciso a). 593 594 Unidad 7: Funciones c) Una semana después Carlos lleva otros paquetes a la misma sucursal; con la experiencia de sus viajes anteriores, decide ir con la velocidad cambiante en el tiempo v(t) = 400t3 − 1200t2 + 800t con 0 ≤ t ≤ 2 Responde las preguntas i., v., vi. y vii. del inciso a). 3. Curvas de Bézier Los fundamentos teóricos de las curvas de Bézier fueron desarrolladas independientemente por los diseñadores de automóviles Bézier (de Renault) y De Casteljau (de Citröen). Ellos pensaron en construir curvas suavizadas generadas por n + 1 puntos a partir de ecuaciones paramétricas polinomiales de grado n: x = f(t) y = g(t) En la actualidad, esta teoría es de suma utilidad para los diseñadores gráficos e industriales. Por ejemplo, la curva de Bézier generada por los puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3), tiene ecuaciones paramétricas donde x(t) = B0(t)x0 + B1(t)x1 + B2(t)x2 + B3(t)x3 y(t) = B0(t)y0 + B1(t)y1 + B2(t)y2 + B3(t)y3 B0(t) = (1 − t)3, B1(t) = 3(1 − t)2t, B2(t) = 3(1 − t)t2, y B3(t) = t3 Se conocen como polinomios de Berstein de grado 3. a) Construye las gráficas de los polinomios de Berstein de grado 3. ¿Qué observas? b) Determina los valores máximos de los polinomios de Berstein. ¿Encuentras alguna regularidad? c) Calcula el valor de B(t) = B0(t) + B1(t) + B2(t) + B3(t). ¿Qué significado tiene el resultado? d) Demuestra que Bi(t) = B3 − i(1 − t). e) Construye los polinomios x(t) y y(t) generados por los puntos (−2, 5), (0, −10), (2, 12), (4, −2). f) Grafica los polinomios x(t) y y(t) en planos x, t y y, t, respectivamente. g) Elabora una tabla de valores t, x, y, usando incrementos en el tiempo de 0.1. Grafica ahora la curva que pasa por los puntos x y y que obtuviste. ¿Pasan los puntos generadores por esta curva? h) Repite los incisos e, f y g para los siguientes conjuntos de puntos: i. ii. iii. iv. v. (−3, 2), (0, 4), (2, −10), (5, 5) (−5, 0), (0, 10), (5, −10), (10, 0) (0, 2), (2, 8), (5, −12), (6, −2) (−2, 2), (1, −15), (−1, 12), (2, −2) (−2, 4), (0, −15), (2, 12), (−2, 4) i) ¿Cómo construirías curvas de Bézier que pasarán por cinco puntos? j) Investiga la utilidad de estas curvas en el diseño automotriz. 595 7.6 Funciones polinomiales 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la gráfica de la curva que se muestra abajo?: a) y = x(x − 8)2 b) y = x(x − 8)(x + 8) c) y = x(x + 2)(x + 4) d) y = x(x + 8)2 200 y 100 −12 −8 −4 0 x 4 0 −100 −200 2. Determina la región de decrecimiento de f (x) = x2(x + 8) a) (− ∞, 0) b) (− ∞, 0) ∪ (6, ∞) c) (0, 6) d) (− ∞, 9) 3. ¿Qué expresión tiene como gráfica la curva que se muestra abajo?: a) y = x(x + 3)(x − 2) b) y = 4x2(x − 3)(x − 2) c) y = x(x − 3)2(x − 2) d) y = x2(x + 3)(x + 2) 6 y 4 2 0 −4 −3 −2 −1 −2 0 x 1 596 Unidad 7: Funciones 4. En la empresa “Cajas y Envases, S. A.”, tienen la estrategia siguiente para construir cajas de cartón. En cinco piezas rectangulares de dimensiones de 2 metros de largo y 5 metros de ancho se cortan cuadrados iguales en sus esquinas. Las cinco piezas resultantes se doblan y unen para formar cinco cajas sin tapas. Los 20 pequeños cuadrados restantes se agrupan de cuatro en cuatro para formar cinco cuadrados grandes, los cuales se unen para formar otra caja cúbica sin tapa. ¿Cuál es el volumen total máximo posible de las seis cajas que se construyen de esta forma? a) 11.0091 b) 10.1591 c) 8.0000 d) 10.239 5. Relaciona las funciones polinomiales que aparecen en la columna A con afirmaciones acerca de sus características que parecen en la columna A: Columna A Columna B a) y = x3 − 3x i. Su valor máximo es 35/6 b) y = x4 − 2x2 ii. Decrece en (0, 1) c) y = 3 3 x − x2 + 2x + 5 3 2 d) y = 4x5 − 5x4 iii. Tiene mínimo en x = 3 iv. Tiene máximo en x = 3 v. Tiene máximo en x = 1 vi. Crece en (1, ∞) vii Tiene máximo en x = 0 viii. Decrece en (1, 2) Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. a) f(w + h) − f(h) = w3 + 3w2h + 3wh2 + w b) f ( w + 1) − f (1) = w 2 + 3w + 4 w c) f ( w + 3) − f ( w ) = 3w 2 + 9w + 10 3 d) f ( w + h) − f ( w ) = 3w 2 + 3wh + h 2 + 1 h 597 7.6 Funciones polinomiales 2. a) y = x2 − x b) y = x2(x + 2) c) y = −x2(x − 2) d) y = x4 − 2x2 f) y = (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2) g) y = (x − 3)(x − 1)(x + 1)(x + 2)/6 3. Gráfica de y = x^3 + 5x^2 + 4x − 2 6 y 4 −4 −2 4 y 4 2 −6 Gráfica de y = − x^4 − x^3 + x + 1 Gráfica de y = 2 x^4 − 3 x^2 + x + 1 6 0 −2 0 2 2 −4 2 −2 −1 0 0 0 x 1 −2 2 −2 −6 a) 5 y 0 2 −3 −1 −2 0 x 0 1 2 −2 −4 d) e) −2 Gráfica de y = x^4 − 5 x^2 − 2 x − 1 4 y 2 0 2 c) Gráfica de y = −x^3 − x^2 + x + 1 4 y 1 −4 b) Gráfica de y = x^5−x^4−5 x^3−x^2+x+2 −2 −1 x 0 −1 −5 x 0 1 −1.5 2 −2 −10 −4 −15 f) x 0 1.5 3 598 Unidad 7: Funciones 4. 15 10 y 10 −3 x 0 −2 0 −1 −5 1 2 −4 −3 −2 3 0 5 −1 0 −5 1 −3 −2 15 y 20 15 y 5 x 2 4 3 0 −2 −1 −10 −15 y 5 x 0 1 2 −3 −2 −5 0 0 −1 −5 x 1 2 3 4 −10 −15 −10 d) 4 10 5 1 3 y = x4 −x2 + 4x−4 10 10 0 −1 −5 2 c) y = x4 + x2 −4x + 4 0 x 1 −15 b) y = −2x3 −x2 + 4x−4 0 −1 0 −5 −10 −15 a) 20 15 5 3 2 y 10 x −10 −10 −3 −2 20 15 y 5 5 −4 y = 2x3 −x2 + 4x−4 y = −x^ 3 + x^ 2 −4x + 4 y = x3 + x2 −4x + 4 f) e) 5. Gráfica de y = 2 x (x−2)^3 (x+3) 300 y Gráf ica de y = 2*x^2*(x−2) *(x+3) 100 y Gráf ica de y = 2*x*(x−2)*(x+3) 100 y 200 50 50 100 0 −4 −2 x 0 2 4 0 −4 −50 a) −2 x 0 2 4 x 0 −4 −50 b) 0 −2 −100 c) 2 4 599 7.6 Funciones polinomiales 600 1600 y 400 x 0 d) −6 −4 0 −2 −200 40000 y 2 4 −6 −4 −2 −400 −800 −600 −1600 20000 x 0 −8 y 30000 800 200 −8 Gráfica de y = 3(x −0.5)^3(x − 4)^2(x − 3)(x + 7) Gráfica de y = 3 (x −0.5) (x + 4)^2 (x − 3) (x + 7) Gráfica de y = 3 (x − 1.5) (x + 4) (x − 3) (x + 7) 0 2 10000 4 e) −8 −6 −4 0 0 −2 −10000 x 2 4 f) 6. a) Crece en (− ∞, −4) ∪ (2, ∞) y decrece en (−4, 2) b) Crece en (− ∞, −5) ∪ (1, ∞) y decrece en (−5, 1) d) Crece en (−5, −1/2) y decrece en (− ∞, −5) ∪ (−1/2, ∞) e) Crece en (−2, 1) y decrece en (− ∞, −2) ∪ (1, ∞) f) Crece en (− ∞, −2) ∪ (0, 1) y decrece en (−2, 0) ∪ (1, ∞) g) Crece en (−2, 0) ∪ (4, ∞) y decrece en (− ∞, −2) ∪ (0, 1) 7. a) Máximo en x = 1, mínimo en x = 2 b) Máximo en x = −2, mínimo en x = 4 c) Máximo en x = −4, mínimo en x = −2 d) Máximo en x = −2, mínimo en x = 0 e) Máximo en x = 1, mínimo en x = −1 8. a) Curva asintótica y = 2x3. Crece en (− ∞, 0) ∪ (1, ∞), decrece en (0, 1). Máximo en x = 0, mínimo en x = 1. b) Curva asintótica y = 3x4. Crece en (1, ∞), decrece en (− ∞, 0) ∪ (0, 1). Mínimo en x = 1. c) Curva asintótica y = x4. Crece en (−2, 0) ∪ (2, ∞), decrece en (− ∞, 2) ∪ (0, 2). Máximo en x = 0, mínimo en x = −2, 2. 4 3 2r ar0 9. En r = 0 se tiene el máximo. El valor máximo es Vmax = 27 3 10. El mínimo se tiene a las 13:30 horas y el máximo a las 20:00 horas. 600 Unidad 7: Funciones Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. a c d a [a) v., vi., ii.], [b) vii., ii., vi.], [c), v., viii., i.], [d), vi., ii., v.] 601 7.7 Funciones racionales 7.7 Funciones racionales Hemos superado la noción de que las verdades matemáticas poseen existencia independiente y aparte de nuestras mentes. Hasta nos sorprende que tal noción haya podido existir. Edward Kasner Introducción n El concepto de función es extremadamente útil para describir el comportamiento de una variable que depende de otra u otras variables; al mismo tiempo, es una excelente herramienta que permite vincular el lenguaje coloquial con el lenguaje simbólico. Son incontables los usos que una función tiene, más aún de aquellas funciones con nombre propio que componen el bagaje elemental que todo alumno universitario debe conocer; entre éstas, se encuentran las funciones racionales. Te presentamos una situación donde se requiere el uso de este tipo de funciones. ¿Cómo diseñar un espacio con el menor costo? En una licitación para la construcción de una plaza comercial en la ciudad de León, Guanajuato, se coloca para concurso el anteproyecto que distribuya de la manera más económica posible ocho locales comerciales sobre 1200 m2; conforme al croquis que se muestra en la siguiente figura: A C E G 6 metros B D F x metros y metros H 602 Unidad 7: Funciones Los locales A y B son del mismo tamaño entre sí; de igual manera, los locales C, D, E, F, G y H son todos del mismo tamaño entre sí y hay un pasillo de seis metros en medio, como se muestra en el plano. Además, los locales A y B deberán tener el doble del largo que el local C y una altura de tres metros. Los costos de construcción para la obra incluyen material y mano de obra, además de que se rigen de acuerdo con la siguiente tabla: Costo por metro cuadrado (pesos) Tipo Piso 350. 00 Divisiones de vidrio (representadas por líneas punteadas) 150.00 Paredes (marcadas en el plano con línea doble) 170.00 Techo 200.00 La gran pregunta es: ¿Qué dimensiones se deben proponer con la finalidad de “ganar” el derecho de construir la plaza comercial? El caso presentado es sólo uno de las muchas situaciones donde se presentan las funciones racionales. Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Reconocer una función racional y sus elementos principales para graficarla. • Analizar el comportamiento de estas funciones cuando la variable toma valores numéricos positivos o negativos muy grandes. • Determinar las líneas guía de una función racional; esto es, sus asíntotas. • Modelar situaciones que dan lugar a funciones racionales. Funciones racionales Las funciones racionales tienen la forma: f ( x) = p( x ) q( x ) donde las funciones p y q son funciones polinomiales. Un rasgo distintivo de las funciones racionales es que en muchos casos se presentan asíntotas. Intuitivamente, una asíntota es una línea recta a la cual la curva que representa a la función se aproxima más y más a medida que la curva se extiende más y más en el plano coordenado. 603 7.7 Funciones racionales Siendo la asíntota una línea recta, ésta puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares. Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal; si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical; pero si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, entonces será una asíntota oblicua. Notas: 1 Una función racional puede tener varias asíntotas verticales y no más de una asíntota horizontal. 2 Para hallar las asíntotas verticales de una función racional, debes factorizar los polinomios del numerador y el denominador, simplificar y posteriormente igualar con 0 el denominador. Cabe añadir que una función racional cuyo denominador no pueda ser 0 para ningún valor de x, no tiene asíntotas verticales. 3 Para determinar las asíntotas horizontales puedes recurrir a uno de los siguientes dos métodos: p( x ) , para x en función de a) Para los casos más simples, resuelves la ecuación y = q( x ) y; y después repites el procedimiento descrito en la nota 2. b) Considera la función racional: f ( x) = an x n + + a0 ; an ≠ 0, bm ≠ 0 bm x m + + b0 Entonces: • Si n < m, la gráfica tiene una asíntota horizontal, concretamente y = 0 a • Si n = m, la gráfica tiene una asíntota horizontal con ecuación: y = n bm • Si n > m, la gráfica no tiene asíntotas horizontales. 4 Se ha señalado que una asíntota es una recta; no obstante, la idea puede extenderse para hablar de curva asintótica. Si una función racional presenta una curva asintótica, resulta conveniente investigar el comportamiento de la función cuando la variable x toma valores cada vez más grandes en valor absoluto. 5 En general, las asíntotas actúan como rectas o curvas guía de la gráfica de una función. 6 En el ejemplo 3, describiremos un método algebraico que te permitirá encontrar el máximo o mínimo (extremo) de una función racional cuando éste exista. Ejemplos Ejemplo 1 x2 − 4 Determina las raíces y las asíntotas horizontales y verticales de la función y = f ( x ) = 2 . Obtenix −1 da esta información, grafica la función. 604 Unidad 7: Funciones solución Un aspecto importante en la graficación de toda función es, sin duda, la determinación de su dominio. En este caso, el dominio de la función es Df = ℜ {−1, 1}, puesto que el denominador es 0 cuando x = −1 o x = 1 Raíces: recuerda que las raíces de una función se determinan localizando los puntos donde la gráfica corta al eje X; esto es, donde y = 0, es decir, hallado el dominio, determinamos las raíces resolviendo la ecuación: x2 − 4 =0 x2 −1 Es muy importante, en todo caso, que consideres como raíz sólo aquellos valores de x que pertenecen al dominio de la función. Al resolver la última ecuación, hallamos que tanto x = −2 como x = 2 pertenecen al dominio; luego, ambos valores son raíces de la función. Observación: de manera práctica, las raíces de una función racional se obtienen simplemente igualando con 0 al numerador y determinando, de los valores resultantes, cuáles pertenecen al dominio de la función. Asíntotas horizontales: ya que los grados de los polinomios del numerador y denominador son iguales, 1 concluimos que la función tiene una asíntota horizontal con ecuación y = = 1 1 Asíntotas verticales: factorizamos el numerador y el denominador buscando simplificar factores comunes; tenemos: f ( x) = ( x + 2)( x − 2) ( x + 1)( x − 1) Vemos que la función tiene dos asíntotas verticales: x = −1 y x = 1 Para elaborar la gráfica de la función, es conveniente tabular valores que indiquen la ubicación de la gráfica respecto de sus asíntotas. y Ubicación de ex Ubicación de ey 15 x < −2 y>0 x = −2 y=0 −2 < x < −1 y<0 −1 < x < 1; x = 0 y > 0; y = 4 1<x<2 y<0 −10 x>2 y>0 −15 10 5 −4 −2 −5 2 4 x 605 7.7 Funciones racionales Ejemplo 2 Si existen, determina las raíces, así como las asíntotas horizontales y verticales de cada una de las siguientes funciones racionales: a) f ( x ) = x −1 x2 + x − 2 b) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 x2 − x − 2 c) f ( x ) = 3 x 2 − 11x − 4 2 x 2 + 7x + 5 solución a) Si factorizamos f ( x ) = x −1 x −1 = , resulta que Df = ℜ {−2, 1}; aquí mismo vemos x 2 + x − 2 ( x + 2)( x − 1) que la función tiene sólo una asíntota vertical, x = −2, y una asíntota horizontal, y = 0. De la expresión simplificada para f; esto es, f ( x ) = 1 concluimos que la función no tiene raíces. x+2 ( x − 2)3 x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = . Aquí, ( x − 2)( x + 1) x2 − x − 2 es fácil ver que el dominio de la función es Df = ℜ {−1, 2}. Ahora bien, si simplificamos: b) Si factorizamos la función f, encontraremos que: f ( x ) = f ( x) = ( x − 2)2 x 2 − 4 x + 4 = x +1 x +1 Por lo tanto, f no tiene asíntotas horizontales, así como que x = −1 es su única asíntota vertical y no tiene raíces, ya que (x − 2)2 = 0 implica que x = 2, pero 2 ∉ Df. 3 x 2 − 11x − 4 (3 x + 1)( x − 4) = . De aquí, 2 x 2 + 7 x + 5 (2 x + 5)( x + 1) Df = ℜ − {−5/2, −1}. La función f tiene dos asíntotas verticales: x = −5/2 y x = −1, lo mismo que dos c) Nuevamente factorizamos la expresión para f: f ( x ) = raíces: x = −1/3 y x = −4, así como una asíntota horizontal: y = 3/2 Ejemplo 3 Determina el máximo o el mínimo (si existen) de cada una de las siguientes funciones: a) f ( x ) = x2 − 4 , la función del ejemplo 1. x2 − 1 606 Unidad 7: Funciones b) f ( x ) = x2 − 2x + 8 x2 − 2x + 5 c) f ( x ) = 2x −1 x −1 solución a) x (el incremento de x es de h = 0.02) f( x ) Diferencias f ( x + h ) - f ( x ) -0.2 4.125 -0.024545267 -0.18 4.10045473 -0.021636999 -0.16 4.07881773 -0.018842214 -0.14 4.05997552 -0.016144351 -0.12 4.04383117 -0.013528139 -0.1 4.03030303 -0.010979359 -0.08 4.01932367 -0.008484651 -0.06 4.01083902 -0.006031328 -0.04 4.00480769 -0.003607212 -0.02 4.00120048 -0.00120048 0 4 0.00120048 0.02 4.00120048 0.003607212 0.04 4.00480769 0.006031328 0.06 4.01083902 0.008484651 0.08 4.01932367 0.010979359 0.1 4.03030303 0.013528139 0.12 4.04383117 0.016144351 0.14 4.05997552 0.018842214 0.16 4.07881773 0.021636999 0.18 4.10045473 0.024545267 0.2 4.125 -4.125 El método sobre el cual calcularemos el máximo y/o el mínimo (extremo de una función), cuando exista, se intuye del comportamiento numérico detectado en la tercera columna de la tabla adjunta; a saber: si la función racional tiene un extremo en x = x0, entonces para h “suficientemente pequeño”, su variación local: Δ f (x0) = f (x0 + h) – f (x0) es prácticamente nula. Aplicamos esta idea para localizar el mínimo que la gráfica delata para la función f ( x) = x2 − 4 x2 −1 Consideramos, Δ f ( x 0 ) = f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = ( x 0 + h) 2 − 4 x 0 2 − 4 − ( x 0 + h) 2 − 1 x 0 2 − 1 ⎡ ⎤ 3(h + 2 x 0 ) = h⎢ ⎥ 2 2 ⎣ [( x 0 + h) − 1][ x 0 − 1] ⎦ Si h fuese pequeño, garantizaríamos que Δ f(x0) fuera prácticamente nulo, siempre y cuando: 3(h + 2 x 0 ) 3(2 x 0 ) ≈ 2 =0 2 2 [( x 0 + h) − 1][ x 0 − 1] [ x 0 − 1][ x 02 − 1] 607 7.7 Funciones racionales Resolviendo la ecuación anterior, deducimos que el mínimo de la función se alcanza para x0 = 0. b) La gráfica de esta función aparece abajo: y 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 −1 1 Tenemos: 2 3 x Δ f ( x 0 ) = f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = ( x 0 + h ) 2 − 2( x 0 + h ) + 8 x 0 2 − 2 x 0 + 8 − ( x 0 + h ) 2 − 2( x 0 + h ) + 5 x 0 2 − 2 x 0 + 5 ⎡ ⎤ 6 − 3h − 6 x 0 + 2 hx 0 = h⎢ ⎥ 2 2 ⎣ [( x 0 + h) − 2( x 0 + h) + 5][ x 0 − 2 x 0 + 5] ⎦ Para hallar el máximo debe cumplirse que: 6 − 3h − 6 x 0 + 2hx 0 6 − 6 x0 =0 ≈ 2 2 [( x 0 + h) − 2( x 0 + h) + 5][ x 0 − 2 x 0 + 5] [ x 0 − 2 x 0 + 5][ x 0 2 − 2 x 0 + 5] 2 esto es, 6 – 6x0 = 0. De aquí resulta que el máximo de la función se alcanza para x0 = 1 c) La gráfica de la función f ( x ) = 2x − 1 es como se muestra en la siguiente figura: x −1 y 10 5 −2 1 −1 −5 −10 2 3 x 608 Unidad 7: Funciones La función tiene dos asíntotas: una horizontal, y = 2, y otra vertical, x = 1. En la gráfica se observa, además, que f no posee máximo ni mínimo. Por otro lado, si aplicamos el método utilizado en los dos incisos anteriores hallaremos que: Δ f ( x 0 ) = f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = 2( x 0 + h ) − 1 2 x 0 − 1 − x0 + h − 1 x0 − 1 ⎛ ⎞ −1 = h⎜ ⎟ ⎝ ( x 0 + h − 1)( x 0 − 1) ⎠ −1 −1 ≈ ≠ 0; por lo tanto, con este método ( x 0 + h − 1)( x 0 − 1) ( x 0 − 1) 2 también concluimos que no hay máximo ni mínimo para la función dada. Resulta ahora que para cualquier x0, Ejemplo 4 Resuelve gráficamente las siguientes desigualdades: a) x +3 ≥5 x−2 b) 2x2 − x <x x +1 solución a) x+3 x+3 13 − 4 x ≥5⇔ −5≥0 ó ≥ 0. Esto es, queremos determinar dónde la gráfica de la funx−2 x−2 x−2 ción y = 13 − 4 x está por encima o toca al eje X. Ahora bien, la gráfica de esta función es: x−2 y 15 10 5 −2 −5 2 4 6 x −10 −15 −20 Observamos que la raíz es determinante para dar la respuesta; la raíz es: x = 13/4, así que el conjunto solución de la desigualdad planteada es: S = (2, 13/4] 609 7.7 Funciones racionales b) 2x2 − x x2 − 2x <x⇔ < 0; por lo tanto, buscamos el conjunto solución donde la gráfica de la funx +1 x +1 ción y = x2 − 2x quede estrictamente por debajo del eje X. La gráfica de la citada función es: x +1 y 20 y 10 −3 −2.5 −2 −1.5 0.6 −1 −0.5 .5 x 0.4 0.2 −10 0.5 −20 1 1.5 2 2.5 3 x −0.2 −30 −0.4 Gráfica completa Gráfica a la derecha de la asíntota vertical Las raíces de la función son: x = 0 y x = 2. Concluimos que el conjunto solución es S = ( − ∞ , −1) ∪ ( 0 , 2 ) Ejercicios y problemas 1. La gráfica de una función racional y = f (x) se ve en la siguiente figura: y 2 1.5 1 0.5 −10 −5 5 10 x 610 Unidad 7: Funciones Si f(x) = g(x)/h(x), y g ( x ) y h ( x ) son funciones cuadráticas, determina las fórmulas posibles para g (x) y h (x). (Hay muchas respuestas posibles.) 2. Determina el dominio, las raíces, así como las asíntotas horizontales y verticales (si existen) de cada una de las siguientes funciones: a) f ( x ) = 3 −x x b) f ( x ) = 2x2 + 4x − 6 x 2 − 3x + 2 3. Utiliza el método gráfico descrito en los ejemplos para resolver las siguientes desigualdades: x −1 ≤x x+3 2 b) x > 1 + x a) Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo, discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. ¿Cómo diseñar un espacio con el menor costo? Supongan que su equipo desea defender el anteproyecto de construcción propuesto en este problema. Discutan y defiendan con argumentos las dimensiones que propondrían con la finalidad de “ganar” el derecho de construir la plaza comercial descrita. 2. Optimización de recursos Latas Metálicas, S. A., requiere fabricar un lote de 50,000 latas cilíndricas con una capacidad aproximada de 942.478 mililitros para envasar productos en conserva. Cada lata se fabrica con 5 cm de radio y 12 cm de altura, con un costo por concepto de material de 0.5 centavos por cm2. a) Determinen el costo por concepto de material que representa para la fábrica la manufactura de las 50,000 latas bajo las condiciones actuales. b) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de las latas para usar la menor cantidad de material en su fabricación? c) ¿Cuál sería el costo de material si el lote de latas se fabricara de acuerdo con las dimensiones halladas en el inciso anterior? d) Tomen una lata de algún producto en conserva y determinen sus dimensiones. Indiquen si se ha fabricado buscando minimizar el costo de la lata. Si no es el caso, discutan las razones por las cuales creen que esto no es así. 611 7.7 Funciones racionales 1. Sea f ( x ) = ax + b ; elige la opción que contiene la proposición verdadera. cx 2 + 16 a) Para c ≤ 0, la función tiene al menos una asíntota vertical. b) y = 0 es una asíntota horizontal para cualquier elección de los valores a, b y c. c) Para c ≤ 0, la función no tiene ninguna asíntota vertical. d) Para cualquier selección de las constantes a, b y c, x = −b/a es la única raíz de la función. 2. ¿Cuál(es) de las funciones (a) – (c) cumple(n) simultáneamente con las siguientes condiciones? i. Asíntota horizontal y = 1 ii. No tiene raíces. iii. Asíntotas verticales x = ±1 a) y = x −1 x2 + 1 b) y = x2 − 1 x2 + 1 c) y = x2 +1 x2 −1 3. “Trajes Deportivos, S.A.”, fabrica chamarras para vender en librerías estudiantiles en lotes hasta de 500. El costo en pesos, para una corrida de x chamarras, es C( x ) = 20000 + 100 x + 2 x 2 ¿Cuántas chamarras debe fabricar “Trajes Deportivos” por corrida, para minimizar el C( x ) costo promedio: C = ? x 4. Encuentra en la columna B la respuesta que corresponda a la pregunta de la columna A. Columna A a) Asíntotas verticales de la función f ( x) = 2 x − 2x + 1 x 2 + 5x − 6 b) Asíntotas horizontales de la función 3 x − 2x + 1 x 2 + 5x − 6 c) Raíces de la función f ( x) = 3 x 2 − 18 x − 81 x 2 + 10 x + 21 d) Para x > 0, mínimo de la función: 2x2 + 2 y= x f ( x) = Columna B i. y = 0 ii. x = 9 iii. No tiene iv. x = −3, x = 9 v. y = 4 vi. x = 1, x = −6 vii. y = −4 viii. x = −6 612 Unidad 7: Funciones Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. Una propuesta general es f ( x ) = lar es: f ( x ) = ax 2 , donde a , b > 0, y a es el doble de b. Un caso particubx 2 + c 2 2x2 x2 + 4 2. a) Df = ℜ − {0}, raíces x = ± 3. Asíntotas, vertical: x = 0; no tiene horizontal. b) Df = ℜ − {1, 2}, raíces x = −3. Asíntotas, vertical: x = 2; horizontal: y = 2. 3. a) S = ( − 3 , + ∞ ) b) S = ( − 1 , 0 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. 2. 3. 4. a c 100 chamarras (a, viii), (b, iii), (c, ii), (d, v) 613 7.8 Funciones trigonométricas 7.8 Funciones trigonométricas Si se propone una función f(x), cuyo valor está representado en un intervalo determinado, desde x = 0 hasta x = X, por la ordenada de una curva trazada arbitrariamente, se podrá desarrollar esta función en una serie que no contendrá más que los senos y cosenos de los arcos múltiples... Jean- Baptiste Joseph Fourier, en Théorie analytique de la chaleur, 1822. Introducción n En la naturaleza hay gran diversidad de fenómenos que se caracterizan por su periodicidad. El ir y venir de las olas marinas, el movimiento de las ramas de los árboles debido al viento, el movimiento pendular, las pulsaciones del corazón de cualquier mamífero, así como el crecimiento y decrecimiento de poblaciones en sistemas depredador-presa son ejemplos de fenómenos periódicos. Las funciones trigonométricas son las herramientas matemáticas básicas para analizar y describir estos fenómenos. La siguiente situación relacionada con ganancias por temporadas ilustra su uso. Ganancias por exportaciones Las ganancias por exportaciones mensuales de una empresa mexicana en los últimos dos años muestran una tendencia creciente y oscilante. Los dueños de la empresa quieren invertir sus ganancias en tecnología los próximos tres años para hacer más competitiva la empresa. Si las tendencias de los últimos años continúan ¿cuánto debieran invertir mensualmente los dueños para no descapitalizarse? En la tabla siguiente se muestran las ganancias en dólares obtenidas en los últimos dos años. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Año 1 32090 31997 32080 32095 32005 Año 2 32037 32069 32042 32066 32094 Jul. Ago. Sep. 31913 32099 31985 32056 31919 32058 Oct. Nov. Dic. 32096 31984 32067 32000 31934 31984 32020 32023 614 Unidad 7: Funciones Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Definir las seis funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. • Determinar la gráfica, dominio e imagen de cada una de ellas. • Analizar crecimiento y decrecimiento de las funciones trigonométricas • Determinar asíntotas verticales de las funciones trigonométricas • Definir y analizar las seis funciones trigonométricas inversas. • Modelar situaciones que den lugar a funciones de este tipo. Funciones trigonométricas Recuerda que las funciones trigonométricas surgen del estudio de los cocientes de los lados del triángulo rectángulo. Por ejemplo, por medio del triángulo de la figura 7.53 se definen las funciones trigonométricas seno y coseno Definición Considera un triángulo rectángulo con lados a y b e hipotenusa igual a c. Si x es el ángulo entre la hipotenusa y el lado b definimos los siguientes cocientes como las funciones seno y coseno. a cateto opuesto = c hipotenusa b cateto adyacente cos( x ) = = c hipotenusa sen( x ) = c a x b Figura 7.53 El triángulo rectángulo de catetos a y b y con hipotenusa c Construyamos ahora la gráfica de la función sen(x), para ello considera una circunferencia de radio igual a la unidad. Sobre el círculo coloca un triángulo rectángulo, como el mostrado en la figura 7.53, con hipotenusa igual a uno. En esta situación el cateto opues- 615 7.8 Funciones trigonométricas to al ángulo x es igual a sen(x) y el cateto adyacente a cos(x). Observa que si aumentas el valor del ángulo x de 0 a π/2 radianes entonces aumenta el valor de sen(x) de 0 hasta 1. La longitud del cateto opuesto disminuye hasta llegar a 0 a medida que se avanza en el ángulo de π/2 a π radianes. Cuando el ángulo x está en el intervalo (π, 3π/2) la función sen(x) decrece, su mínimo valor es −1. En el intervalo (3π/2, 2π) la función crece hasta llegar nuevamente al 0. Si seguimos aumentando el ángulo observaremos que la gráfica se repite cada 2π radianes. En la figura 7.54 mostramos un esquema sobre la construcción de la función seno. Este método es muy antiguo, data del año 1525, y se debe al alemán Alberto Durero, quien es célebre por sus grabados y por su trabajo en geometría. Construcción de la gráfica de la función y = sen(x) 1.5 1 0.5 0 −2 −1 −0.5 0 1 2 3 4 5 6 −1 −1.5 Figura 7.54 Construcción de la curva sen(x). Ahora bien, de la misma forma en que se ha construido la función sen(x) se puede construir la función cos(x). En la figura 7.55 se muestra un esquema de su construcción a partir de un círculo unitario. Construcción de la gráfica de la función y = cos(x) 1.5 1 0.5 0 −2 −1 −0.5 0 1 2 3 4 −1 −1.5 Figura 7.55 Construcción de la curva cos(x). 5 6 616 Unidad 7: Funciones A partir de las gráficas de las funciones sen(x) y cos(x) se infieren las siguientes propiedades: Propiedades Función sen(x) cos(x) Dominio (− ∞, ∞) (− ∞, ∞) Imagen [−1, 1] [−1, 1] Paridad La función es impar, es decir sen(−x) = −sen(x) La función es par, es decir cos(−x) = cos(x) Periodicidad La función tiene periodo igual a 2π, es decir: sen(x + 2π) = sen(x) La función tiene periodo igual a 2π, es decir: cos(x + 2π) = cos(x). El valor máximo de la función es 1 y se obtiene en: x = − El valor mínimo de la función es −1 y se obtiene en: x = , 7π 3π π 5π 9π ,− , , , , 2 2 2 2 2 −5π π 3π 7π 11π ,− , , , , 2 2 2 2 2 x = 0, ± 2π, ± 4π,… x = ± 2π, ± 3π, ± 3π,… Para construir funciones más generales necesitamos la siguiente definición. Definición La funciones sinusoidales se definen ya sea como: f (x) = A sen(w(x – x0)) + B o como: f (x) = A cos(w(x – x0)) + B Donde los parámetros A, w, x0, B se conocen con los siguientes nombres • |A| es la amplitud. • w es la frecuencia. • x0 es el ángulo de fase o desfasamiento. • B es el valor promedio de f (x). La gráfica de cualquiera de las funciones sinusoidales se construye aplicando las diversas operaciones de traslación y escala a las funciones básicas sen(x) y cos(x). En efecto, los parámetros w y A reescalan los ejes x e y respectivamente. La constante x0 indica una traslación de x0 unidades hacia la derecha del origen si es positivo o hacia la izquierda si 617 7.8 Funciones trigonométricas es negativo. Mientras que el término B nos señala una traslación hacia arriba si es positivo o hacia abajo en el caso negativo. Para relacionar el periodo con la frecuencia, consideremos que un periodo de la gráfica empieza cuando el argumento es cero y termina cuando el argumento es igual a 2π. En términos algebraicos, esto significa que el periodo empieza cuando: w(x – x0) = 0 y termina cuando: w(P + x – x0) = 2π Restando estas dos últimas ecuaciones se obtiene que: wP = 2π Resumiendo, el periodo de cualquier función sinusoidal se determina por medio de la fórmula: P= 2π w En las figuras 7.56 y 7.57 se muestran gráficas sinusoidales típicas: f(x) = A sen (w(x − x0)) + B f(x) = A sen (w(x − x0)) + B y B y x0 B A 2π/w x0 A 2π/w x Caso A > 0 Caso A < 0 Figura 7.56 Tipos de gráficas de la función sinusoidal f (x) = A sen(w(x – x0)) + B x 618 Unidad 7: Funciones f(x) = A cos (w(x − x0)) + B f(x) = A cos (w(x−x0)) + B y B y A A x0 B x0 2 π /w x 2π/w x Caso A > 0 Caso A < 0 Figura 7.57 Tipos de gráficas de la función sinusoidal f (x) = A cos(w(x – x0)) + B Ejemplos Ejemplo 1 Determina la amplitud, el periodo, el ángulo de fase y el valor promedio de la función f (x) = 4sen(3x – 7) + 2. Posteriormente grafica la función. solución Primero escribimos la ecuación en la forma general 7 ⎞ ⎛ f ( x ) = 4sen⎜ 3⎡⎢ x − ⎤⎥⎟ + 2 ⎝ ⎣ 3 ⎦⎠ Identificamos ahora los coeficientes. • La amplitud es A = 4 > 0 • La frecuencia es w = 3 • El ángulo de fase es x0 = 7/3 • El promedio es B = 2 2π De estos resultados deducimos que el periodo es P = . Para construir la gráfica observamos que un 3 periodo inicia cuando: 619 7.8 Funciones trigonométricas 3x0 − 7 = 0 7 x0 = 3 x 0 ≈ 2.333 y termina cuando 3 x f − 7 = 2π 2π + 7 xf = 3 x f ≈ 4.42773 Dividamos el intervalo que definen x0 y xf en cuatro subintervalos de longitud igual. Evaluando a continuación la función sinusoidal en los puntos extremos de estos subintervalos obtenemos la tabla de valores adjunta. Reuniendo todos estos elementos construimos la gráfica de la función, ver figura 7.58. f(x) = 4 sen ( 3x − 7 ) + 2 x f(x) 2.33 2 2.86 6 4 3.38 2 2 3.90 −2 0 4.43 2 8 y 6 −2 x 0 2 4 6 −4 Figura 7.58 La gráfica de la función sinusoidal f (x) = 4 sen (3x − 7) + 2. En la figura, la curva sólida corresponde a los datos de la tabla. Ejemplo 2 La temperatura en el puerto de Acapulco varía aproximadamente de forma sinusoidal durante el año. Si la máxima temperatura es de 32°C el primero de agosto y la mínima de 27°C el primero de febrero determina una expresión para la temperatura en el puerto durante el año y después grafícala. solución Con estos datos podemos determinar muchas fórmulas. Consideremos por ejemplo una función sinusoidal del tipo f (x) = A cos(w(x – x0)) + B Como el periodo es de doce meses, se tiene que la frecuencia es: w= 2π 2π π = = P 12 6 620 Unidad 7: Funciones Como la unidad de tiempo es el mes, el primero de febrero corresponde a t = 2. Como además ese día se tiene la mínima temperatura podemos suponer que el coeficiente A es negativo. El valor mínimo de la función sinusoidal propuesta se obtiene cuando, (recuerda que A es negativa): A + B = 27 y el valor máximo cuando: −A + B = 32 Si sumamos estas dos ecuaciones se obtiene 2B = 59 B = 59/2 = 29.5 De manera similar, si restamos la segunda ecuación de la primera resulta: 2A = 27 – 32 = −5 A = −5/2 = −2.5 Por lo tanto, una función que cumple las condiciones del problema es: π f ( x ) = −2.5 cos⎛ ( x − 2)⎞ + 29.5 ⎝6 ⎠ Finalmente, la gráfica de temperaturas de Acapulco en el año es: 35 y 32.5 30 27.5 x 25 0 Figura 7.59 3 6 9 12 15 Gráfica de las temperaturas en la ciudad de Acapulco en un año. 621 7.8 Funciones trigonométricas Ejemplo 3 Un sistema masa resorte oscila sinusoidalmente una vez cada 1.3 segundos entre 0.04 y 0.025 metros determina: • La frecuencia de oscilación, • una función que describa el movimiento y • la gráfica de esta función. solución Proponemos que el movimiento se describa por la función: f (t) = A cos(w(t – t0)) + B Sin perder generalidad, podemos suponer que t0 = 0. En el enunciado del problema se dice que el periodo es de 1.3 segundos, entonces la frecuencia es: 2π 2π = ≈ 4.83322 P 1.3 Como la función varía de 0.04 a 0.025 metros se tiene que: w= A + B = 0.04 −A + B = 0.025 Resolviendo este sistema de ecuaciones nos queda: B = 0.0325 A = 0.0075 Reuniendo todos estos resultados obtenemos la función que describe el movimiento de la masa: 2π t ⎞ f (t ) = 0.0075 cos⎛ + 0.0325 ≈ 0.0075 cos( 4.8332t ) + 0.0325 ⎝ 1.3 ⎠ La gráfica de esta función es: f(t) = 0.0075 cos( 4.8332 t ) + 0.0325 0.05 Y 0.04 0.03 0.02 0.01 t 0 0 1 2 3 4 Figura 7.60 Gráfica del movimiento en un sistema masa resorte. 622 Unidad 7: Funciones Ejemplo 4 Usa el método de la suma gráfica para construir la gráfica de las funciones • f (x) = x + 3 + 2sen(x) • g(x) = sen(x) + sen(2x) solución En la ilustración (1) de la figura 7.61 se muestran las gráficas de la funciones y1 = x + 3 y y2 = 2sen(x). La función y1 nos indica la tendencia de la gráfica mientras que la función y2 señala aspectos periódicos. Para elaborar la gráfica de la suma en un periodo primero detectamos cuatro puntos básicos, a saber: los puntos donde la función seno alcanza sus valores máximo y mínimo y los puntos donde vale cero. Usamos esos valores para construir algunos puntos por donde pasa la función. En la ilustración (2) mostramos los puntos usados y la gráfica de la suma en un periodo de la función sinusoidal, finalmente en la ilustración (3) se muestra la función suma en un intervalo mayor. Ilustración 1: Suma de una función lineal y una función sinusoidal. 12 y 10 8 6 4 2 0 x −2 0 1 2 3 4 5 6 7 −4 Figura 7.61 Ilustración 2: Puntos importantes para la construcción. 12 y 10 8 6 4 2 0 x −2 0 1 2 3 4 5 6 7 −4 Ilustración 3: La gráfica de la función suma en un intervalo mayor. 20 y 15 10 5 0 −5 0 3.5 7 10.5 x 14 Gráfica de la función f (x) = x + 3 + 2 sen(x). Para construir la grafica de la función g(x), observemos primero que la funciones sen(x) y sen(2x) son periódicas de periodos 2π y π respectivamente. Además tenemos que considerar los puntos donde las funciones alcanzan sus valores máximos y mínimos y donde cruzan el eje x. En la ilustración (1) de la figura 7.62 se muestran las dos gráficas por separado, en la ilustración (2) hemos agregado los puntos a considerar y en la ilustración (3) se muestra la figura obtenida. 623 7.8 Funciones trigonométricas Ilustración 1: Las funciones a sumar. 2 y 1.5 1 0.5 0 −0.5 0 1 −1 −1.5 −2 2 3 4 5 6 x 7 Ilustración 2: Puntos importantes para la gráfica de la suma. 2 y 1.5 1 0.5 0 x −0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 −1 −1.5 −2 Figura 7.62 Ilustración 3: Gráfica de la función. 2 y 1.5 1 0.5 0 −0.5 0 1 −1 −1.5 −2 2 Gráfica de la función f (x) = sen(x) + sen(2x). Otras funciones trigonométricas En el mismo triángulo de la figura 7.53 podemos considerar otros cuatro cocientes diferentes a los usados para definir las funciones sen(x) y cos(x). Recuerda: Definición Las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante se definen por los cocientes siguientes de los lados del triángulo de la figura 7.53. a cateto opuesto = b cateto adyacente b cateto adyacente cot( x ) = = a cateto opuesto tan( x ) = c hipotenusa = b cateto adyacente c hipotenusa csc( x ) = = a cateto opuesto sec( x ) = En muchas ocasiones es más sencillo trabajar con las siguientes identidades que relacionan estas cuatro funciones con las funciones sen(x) y cos(x): Identidades básicas tan(x) = sen( x ) cos( x ) cot(x) = cos( x ) sen( x ) sec(x) = 1 cos( x ) cot(x) = 1 sen( x ) 3 4 5 6 x 7 624 Unidad 7: Funciones La gráfica de la función tan(x) se construye a partir de las gráficas de las funciones sen(x) y cos(x) y de las observaciones siguientes: • La función tangente no está definida en los puntos x = − 5π 3π π π 3π ,− ,− , , , 2 2 2 2 2 5π , porque allí la función cos(x) es igual a cero. Más aún, cerca de esos pun2 tos la función crece sin medida en magnitud, por eso se dice que la función tiene asíntotas verticales en esos puntos. , • La función tangente es cero en los puntos x = 0, ± π, ± 2π porque la función sen(x) es igual a cero en esos puntos. • La función tangente es creciente en todo su dominio. En efecto en el intervalo (0, π/2) la función crece porque tanto sen(x) como 1/ cos(x) son positivas y crecientes. En el intervalo (−π/2, 0) la función crece porque sen(x) es creciente y negativa y 1/cos(x) es decreciente y positiva. Las gráficas de las otras tres funciones se construyen haciendo observaciones similares y se muestran en la figura 7.63. f(x) = tan(x) 4 y f(x) = cot(x) 4 y 2 −6 −3 0 −2 2 x 0 3 6 −6 −3 −4 −6 Figura 7.63 −3 −2 x 0 3 6 −4 f(x) = sec(x) 4 y 2 0 0 0 3 f(x) = csc(x) 4 y 2 x 6 −6 −3 0 −2 −2 −4 −4 0 3 x 6 Las gráficas de las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante. 625 7.8 Funciones trigonométricas Algunas propiedades que tienen estas funciones se presentan en la tabla siguiente. Propiedades Función Dominio Imagen Paridad Periodicidad tan(x) ⎫ ⎧ (2 n + 1)π n ∈Ζ ⎬ ℜ−⎨ 2 ⎭ ⎩ ℜ tan(−x) = −tan(x) tan(x) = tan(x + π) cot(x) ℜ − {nπ n ∈ Ζ} ℜ cot(−x) = −cot(x) cot(x) = cot(x + π) sec(x) ⎫ ⎧ (2 n + 1)π n ∈Ζ ⎬ ℜ−⎨ 2 ⎭ ⎩ ( − ∞, −1] ∪ [1, ∞) sec(−x) = sec(x) sec(x) = sec(x + 2π) csc(x) ℜ − {nπ n ∈ Ζ} ( − ∞, −1] ∪ [1, ∞) csc(−x) = −csc(x) csc(x) = csc(x + 2π) Al igual que para las funciones sinusoidales, cuando necesitemos graficar funciones más complejas podemos aplicar operaciones de traslación y escala. Ejemplos Ejemplo 1 Determina las regiones de crecimiento y de decrecimiento y las ecuaciones de las asíntotas verticales. Con esa información construye la gráfica de la función. f ( x ) = 2 tan⎛ ⎝ π ( x − 6) ⎞ 4 ⎠ solución π ( x − 6) ⎞ La función f ( x ) = 2 tan⎛ es creciente en su dominio porque el coeficiente 2, que multiplica ⎝ 4 ⎠ a la tangente, es positivo. El dominio consta de todos los puntos donde el argumento es diferente de π 3π 5π ,± , Estos puntos satisfacen que: ± ,± 2 2 2 π ( x − 6) π 3π 5π ≠± ,± ,± , 4 2 2 2 x − 6 ≠ ±2, ± 6, x ≠ 6 ± 2, 6 ± 6, 626 Unidad 7: Funciones Es decir: Dom( f ) = R − {6 ± 2, 6 ± 6,} La curva cruza el eje x cuando el argumento de la tangente es cero. Es decir, cuando: π ( x − 6) =0 4 x−6= 0 x=6 Las asíntotas verticales se obtienen cuando el argumento de la función es igual a ± π/2. Es decir, cuando: π ( x − 6) π =± 4 2 x − 6 = ±2 ⎧8 x =6±2= ⎨ ⎩4 Como la distancia entre dos asíntotas consecutivas es igual al periodo tenemos que la función se repite cada cuatro unidades. En conclusión, las ecuaciones de las asíntotas son x = 4n con n ∈ Z. Con esta información y tomando como base la gráfica de la función tan(x) se obtiene la gráfica pedida. f(x) = 2 tan (π(x − 6)/4) 10 y 5 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −5 −10 Figura 7.64 Gráfica de la función f (x) = 2 tan(π(x − 6)/4) Ejemplo 2 Aplicando operaciones de traslación y escala construye la gráfica de la función π g( x ) = −3 sec⎛ πx + ⎞ − 2 ⎝ 4⎠ Determina también las ecuaciones de las asíntotas verticales. 627 7.8 Funciones trigonométricas solución Para aplicar las operaciones de traslación y escala observemos que: • El coeficiente −3 reescala el eje y e invierte la gráfica. • El término −2 baja la gráfica dos unidades. • El factor π reescala el eje x. 1 • Como el argumento de la función secante se puede escribir como π ⎛ x + ⎞ sabemos que la gráfi⎝ 4⎠ ca original se traslada 1/4 unidades hacia la izquierda. • Con esta información construimos la gráfica de la función. g(x) = −3 sec(πx + π/4) − 2 10 y 5 0 0 1 2 x 3 −5 −10 Figura 7.65 Gráfica de la función g(x) = −3 sec(πx + π/4) −2 Por otra parte, algunas asíntotas verticales se obtienen cuando el argumento de la función es igual a ± π/2. Es decir, cuando: 1 π π⎛ x + ⎞ = ± ⎝ ⎠ 4 2 1 1 x+ =± 4 2 1 1 ⎧ 1/ 4 x=± − =⎨ 2 4 ⎩−3 / 4 En general, las ecuaciones de las asíntotas son: x =n+ 1 con n ∈ Z 4 Como la distancia entre dos asíntotas consecutivas es igual a la mitad del periodo tenemos que el periodo de la función es 2. 628 Unidad 7: Funciones Ejemplo 3 Las autoridades del Distrito Federal quieren construir un andador que una las calles de Thiers y Gutenberg, ver figura 7.66. En la esquina que forman las dos calles se encuentra un edificio que ocupa un área de 9 por 16 metros. Escribe una ecuación de la longitud del andador como función del ángulo que hace el mismo andador con la calle de Thiers. d2 9m d1 θ 16 m G u t e n b e r g Thiers Figura 7.66 El problema del andador solución De la figura tenemos que: cos(θ ) = 9 16 y sen(θ ) = d2 d1 de donde se tiene que: d2 = 9 16 = 9 sec(θ ) y d1 = = 16 csc(θ ) cos(θ ) sen(θ ) La longitud del andador es entonces: d = d1 + d2 = 16 csc(θ) + 9 sec(θ) 629 7.8 Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas inversas En la resolución de problemas prácticos muchas veces se requiere conocer no tanto el valor de las funciones trigonométricas, sino el valor del ángulo. En esos casos se hace necesario utilizar las que llamaremos funciones trigonométricas inversas y que definimos a continuación. Definición Si x = sen(y) entonces decimos que y es el arco seno de x y lo denotamos por y = arcsen(x). Si x = cos(y) entonces decimos que y es el arco coseno de x y lo denotamos por y =Definición arccos(x). Si x = tan(y) entonces decimos que y es el arco tangente de x y lo denotamos por y = arctan(x). Si x = cot(y) entonces decimos que y es el arco cotangente de x y lo denotamos por y = arccot(x). Si x = sec(y) entonces decimos que y es el arco secante de x y lo denotamos por y = arcsec(x). Si x = csc(y) entonces decimos que y es el arco cosecante de x y lo denotamos por y = arccsc(x). Para construir la gráfica de arcsen(x) considera nuevamente un triángulo rectángulo con hipotenusa uno dentro de un círculo unitario. Si x denota la longitud del lado opuesto al ángulo α entonces arcsen(x) es la longitud del arco tal y como se muestra en la figura 7.67: f(x) = arcsen (x) 1.6 y 0.8 0 arcsen (x) x α Figura 7.67 −1 −0.5 0 −0.8 0.5 −1.6 La definición y la gráfica de la función arco seno. x 1 630 Unidad 7: Funciones Claramente si x aumenta de 0 a 1 entonces el arcsen(x) aumenta de 0 a π/2. No podríamos aumentar el valor de arcsen(x) porque entonces para un mismo valor de x tendríamos que aceptar que arcsen(x) fuera multivaluada. Para conservar que arcsen(x) sea una función debemos restringir el dominio al intervalo [−1, 1] y la imagen a [−π/2, π/2]. En la figura 7.67 se muestra la gráfica de la función. En forma similar, si x es el cateto adyacente al ángulo α, entonces arccos(x) es la longitud de arco sobre el círculo. Nuevamente se tiene que restringir el dominio a [−1, 1] y la imagen a [0, π], para que arccos(x) sea una función. Finalmente, si x mide el lado opuesto a α, en un triángulo con cateto opuesto tangente al círculo unitario, entonces el arctan(x) es la longitud del arco, observa la figura 7.69. En este caso el dominio está formado por todos los números reales mientras que la imagen es el intervalo (−π/2, π/2). En las figuras 7.68 y 7.69 mostramos ilustraciones que muestren tanto las definiciones como las gráficas de las funciones. f(x) = arccos (x) 3.2 y 2.4 1.6 0.8 arccos (x) c 0 α −1 x Figura 7.68 −0.5 0 0.5 x 1 Definición y gráfica de la función arco coseno f(x) = arctan (x) 1.6 y 0.8 arctan (x) ) x −8 −4 0 −0.8 0 −1.6 α Figura 7.69 Definición y gráfica de la función arco tangente 4 8 x 631 7.8 Funciones trigonométricas Las gráficas de las funciones restantes se muestran en la figura 7.70 y su construcción es similar a las presentadas aquí. En la tabla siguiente se resumen las propiedades de las funciones trigonométricas inversas. Función arcsen(x) arccos(x) Dominio [−1, 1] [−1, 1] Imagen ⎡− π , π ⎤ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ arctan(x) arccot(x) ℜ ℜ ⎛− π , π ⎞ ⎝ 2 2⎠ [0, π] f(x) = arccot (x) 4 y −8 −4 (0, π) 2.625 2 1.75 1 0.875 x 0 Figura 7.70 4 arccsc(x) (− ∞, −1] ∪ [1, ∞) (− ∞, −1] ∪ [1, ∞) ⎡0, π ⎞ ∪ ⎛ π , π ⎤ ⎢⎣ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎥⎦ ⎡− π , 0⎞ ∪ ⎛ 0, π ⎤ ⎢⎣ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎥⎦ f(x) = arcsec (x) 3.5 y 3 0 arcsec(x) 8 −3 −1.5 0 f(x) = arccsc (x) 1.75 y 0.875 −3 x 0 1.5 3 0 −1.5 0 −0.875 1.5 x 3 −1.75 Gráficas de las funciones arco cotangente, arco secante y arco cosecante. Ejemplos Ejemplo 1 Construye la gráfica de la función f(x) = 5 arctan(x − 2) −3. solución La gráfica se obtiene haciendo operaciones de traslación y escala en la gráfica de arctan(x). Observemos que: • La función arctan(x – 2) corta el eje x en el punto x = 2. • El factor 5 reescala el eje y. 632 Unidad 7: Funciones • El término −3 baja la gráfica tres unidades, de manera que la imagen es: ⎡− 5π − 3, 5π − 3⎤ ≈ -10.854, 4.85398 ] ⎢⎣ 2 ⎥⎦ [ 2 En la figura 7.71 se muestra la gráfica de la función. f(x) = 5 arctan (x − 2) − 3 4 y x 0 −8 −4 −4 0 4 8 −8 −12 Figura 7.71 Gráfica de la función f(x) = 5 arctan (x − 2) −3 Ejemplo 2 Una cámara de televisión está filmando el lanzamiento de un cohete, cuando éste sale la cámara gira para seguir su movimiento. Si la velocidad inicial del cohete es 80 kilómetros por segundo y durante 3 segundos viaja en línea recta, grafica el ángulo que hace la cámara de televisión con un eje horizontal. Supón que la distancia de la cámara al punto de lanzamiento es de 5 kilómetros. solución En la figura 7.72 se muestra un triángulo con las variables del problema. 5 h 80 t (km ) θ 5 (k m) Figura 7.72 El problema de cámara de televisión y el cohete. 633 7.8 Funciones trigonométricas De allí podemos inferir que: tan(θ ) = h 80t = = 16t 5 5 Despejando θ, usando la función arco tangente, se tiene: θ = arctan (16t) En el tiempo inicial t = 0 el ángulo es θ = 0, mientras que al tiempo t = 3 segundos el ángulo es: θ = arctan(48) = 1.54997 rad = 88.8067° La gráfica es entonces: (t) = arctan (16t) 3 θ 2 1 0 0 0.5 1 1.5 t 2 Figura 7.73 La gráfica de movimiento angular de la cámara de televisión. Ejemplo 3 Un anuncio espectacular de 12 metros de altura, se encuentra montado 4 metros por encima del nivel visual de un observador. Encuentra una ecuación para el ángulo subtendido por el observador como función de la distancia x al espectacular. 12 β θ α x 4m Figura 7.74 El problema del anuncio espectacular 634 Unidad 7: Funciones solución Observemos en la figura 7.74 que los ángulos α y β satisfacen: tan(α ) = 4 16 y tan( β ) = x x Despejando de aquí los ángulos se tiene: 4 16 α = arctan⎛ ⎞ y β = arctan⎛ ⎞ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ el ángulo que subtiende el observador es θ, de donde obtenemos: 16 4 θ = β − α = arctan⎛ ⎞ − arctan⎛ ⎞ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ En la figura 7.75 se muestra una tabla de valores del ángulo contra la distancia y la gráfica correspondiente. De estos datos, podemos inferir que el observador verá mejor el espectacular si se encuentra a una distancia aproximada de 8 metros. x θ 4.0 0.540 5.0 0.593 6.0 0.624 0.750 7.0 0.639 8.0 0.644 0.688 9.0 0.640 10.0 0.632 11.0 0.620 12.0 0.606 13.0 0.590 Figura 7.75 y 0.625 0.563 0.500 6.0 7.0 x 8.0 9.0 10.0 11.0 Tabla de valores y la gráfica del ejemplo del anuncio espectacular 7.8 Funciones trigonométricas 635 Ejercicios y problemas 1. Usa operaciones de traslación y escala sobre la función f(x) = sen(x) para obtener las gráficas de las funciones siguientes: a) f (x) = sen(2x) b) f (x) = 2sen(2x) c) f (x) = 2sen(2x) + 4 ⎛ x⎞ d) f ( x ) = −sen⎝ ⎠ 2 ⎛ x⎞ e) f ( x ) = 3sen⎝ ⎠ + 5 2 ⎛ x +π⎞ +5 f) f ( x ) = −3sen⎝ 2 ⎠ 2. Construye la gráfica de las siguientes funciones sinusoidales, determina también la imagen de cada función. a) f (x) = 3 sen(3x) b) f (x) = −2 cos(3x + 1) c) f (x) = 4 cos(2x + 1) − 5 d) f (x) = −3 cos(4x + π) + 1 e) f (x) = −3 cos(−2x + 1) + 2 f) f (x) = 4 sen(5x − 2) − 4 3. Construye la gráfica de las siguientes funciones. a) f (x) = −2 tan(4x) + 2 b) f (x) = −3 cot(x + 2) + 1 c) f (x) = 4 tan(2x + 1) − 2 d) f (x) = 2 sec(−2x + 4) − 1 e) f (x) = 4 csc(5x − 5) + 3 f) f (x) = 3 csc(x + 2) − 3 4. La profundidad del agua en un tanque oscila de forma sinusoidal una vez cada 4 horas. Si la profundidad más pequeña es de 0.95 metros y la más grande es de 2.05 metros, halla una fórmula para la profundidad en términos del tiempo. 5. Un sistema masa resorte colocado sobre una mesa sin fricción oscila de forma sinusoidal con periodo de 0.5 segundos. El resorte está conectado en un extremo a la masa y en el otro a un punto fijo P sobre la mesa. Si la mayor distancia de la masa al punto P es de 12 centímetros y la menor de 8cm, determina una expresión para la distancia de la masa al punto P como función del tiempo, medido en segundos. 636 Unidad 7: Funciones 6. Una población de conejos en una granja varía de forma sinusoidal entre 800 el 1 de enero y 1500 el 1 de julio. Encuentra una fórmula para la población como función del tiempo t, medido en meses desde el inicio del año. 7. Construye la gráfica de las siguientes funciones usando el método de la suma gráfica de funciones. Determina después en que región crece y donde decrece. a) f (x) = sen(x) + cos(x) en el intervalo (−2π, 2π) b) f (x) = 3sen(x) + 2cos(x) en el intervalo (−2π, 2π) c) f (x) = sen(2x) + cos(x) en el intervalo (−2π, 2π) d) f (x) = 3sen(2x) + 2cos(x) en el intervalo (−2π, 2π) e) f (x) = 3sen(2x) + 2sen(x) en el intervalo (−2π, 2π) f) f (x) = 3sen(2x) − 2cos(x) en el intervalo (−2π, 2π) 8. Construye la gráfica de las siguientes funciones usando el método de la suma gráfica. a) f (x) = (x/3) + sen(x) en el intervalo (0, 4π) b) f (x) = 2x + 3sen(2x) en el intervalo (0, 2π) c) f (x) = x + 2 + 4 cos(x) en el intervalo (−2π, 2π) d) f (x) = 4x − 2 + 5cos(2x) + cos(x) en el intervalo (−2π, 2π) e) f (x) = x + 2 + 3cos(2x) + cos(x) en el intervalo (−2π, 2π) f) f (x) = 3x + 2 + 3sen(x) en el intervalo (−2π, 2π) 9. Construye la gráfica de las funciones trigonométricas inversas siguientes. a) f (x) = 2 arccos(2x) + 3 b) f (x) = 3 arctan(4x) − 2 c) f (x) = −2arccos(x + 2) + 1 d) f (x) = −3arccos(2x + 5) + 1 e) f (x) = arccos(2x + 5) + 5 f) f (x) = −arccos(x − 2) + 1 10. Sobre un edificio de 100 m, hay un anuncio de 12 m de altura. Desde la calle, una persona trata de ver, con los ojos a 1.6 m del suelo, lo mejor posible el anuncio. a) Si la persona está separada 300 m del edificio, ¿bajo que ángulo ve el edificio, con todo y el anuncio? b) Si la persona está separada 50 m del edificio, ¿cuál es el ángulo bajo el que ve todo el anuncio? ¿y si la persona está separada 150 m? c) Si sabemos que podrá ver mejor el anuncio si el ángulo bajo el que lo ve es mayor, ¿dónde debe colocarse la persona para leer mejor el anuncio? 11. Actualmente se presenta la pintura “El beso atrapado” en el Museo de Arte Moderno de la ciudad de México. La pintura tiene una altura de 2 metros y está colgada de tal manera que su extremo inferior 637 7.8 Funciones trigonométricas se encuentra a una distancia 0.5 metros por encima del ojo de un observador. Supón que θ es el ángulo que subtiende el ojo (observa la figura). a) b) c) d) Si el observador está a una distancia de 4 metros ¿cuál es el valor de θ? Si el observador está a una distancia de x metros, encuentra θ como función de x. Elabora una tabla de valores de θ contra x y después grafica la función. Estima el valor de x donde se encuentra el valor máximo de θ. ¿Qué interpretación tiene este ángulo? 2m 0.5m θ x Problemas para trabajar en equipo Con tu equipo de trabajo discutan y resuelvan todas las preguntas que se hacen en cada situación. 1. Para la situación “Ganancias por exportaciones” presentada en la introducción responde las siguientes preguntas: a) Grafica los datos de la tabla de ganancias en los últimos dos años. b) Observa que hay una tendencia a crecer en las ganancias, pero al mismo tiempo hay aspectos oscilatorios que pudieran deberse a que el producto de la empresa se vende mejor en unos meses que en otros, a este fenómeno en las ventas se le llama estacionalidad. ¿Cómo determinarías una ecuación para la tendencia? ¿Cómo determinarías una función que sólo considerara el efecto estacional? c) Un buen modelo para ajustar los datos es f (x) = asen(x) + bx + c. Determina los valores de a, b y c que mejor ajustan los datos. d) ¿Cómo esperas sean las ganancias en los próximos tres años? e) ¿Cómo sugerirías invertir las ganancias al dueño de la empresa para que pueda lograr su objetivo? 638 Unidad 7: Funciones 2. El elevador En algunas plazas comerciales existen elevadores panorámicos que suelen estar a la vista de los visitantes. Supón que en un centro comercial de 20 metros de altura se tiene uno de estos elevadores y que estás parado a una altura de 10 metros del suelo, a una distancia horizontal de 15 metros del elevador y que el elevador desciende con una velocidad de 2 metros por segundo. a) Elabora un dibujo que muestre la situación. Supón que θ es el ángulo entre tu línea horizontal y la línea con la que observas el elevador. b) Encuentra la altura del elevador h(t) sobre el nivel del suelo a medida que baja desde lo alto de la plaza. c) Encuentra ahora una fórmula para calcular θ en cualquier tiempo. d) Construye una tabla con una columna para el tiempo y otra para los ángulos, considera intervalos de tiempo de un segundo e) Elabora una gráfica del ángulo contra el tiempo. f) Estima la velocidad con la cambia el ángulo en los tiempos t = 1, 2, 3,…, 10 ¿A qué altura estará el elevador cuando parezca moverse más rápidamente? 3. El clima de la ciudad de Veracruz La siguiente tabla muestra la temperatura promedio mensual (más alta y mas baja) del puerto de Veracruz durante dos años consecutivos (2001-2002). Este conocimiento permite a los hoteleros del lugar promoverse presentando las bondades del clima. 2001 Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Alta 25 25.6 26.7 28.3 30 30.6 31.7 31.1 30.6 29.4 27.2 25.6 Baja 18.9 19.4 20.6 22.8 24.4 24.4 23.9 23.9 23.9 22.8 20.6 19.4 2002 Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Alta 25 25.6 26.7 28.3 30 30.6 31.7 31.1 30.6 Baja 19.1 19.5 20.4 23.1 24.3 24.4 23.8 23.7 Cuestionario Sep. Oct. Nov. Dic. 29.4 27.2 25.6 23.8 22.6 20.4 19.2 a) Grafica los datos. A partir de la gráfica explica las características de la temperatura en el puerto. b) Ajusta una función trigonométrica que se aproxime a los datos. La variable independiente debe ser el tiempo en meses. Para hacer esto, será necesario que encuentres la amplitud, el periodo de los datos y el momento en que ocurre el máximo. c) Estima la temperatura que habrá los días 10 de mayo, 16 de septiembre y 25 de diciembre. d) En la tabla siguiente te presentamos las temperaturas promedio mensuales en el año 2002 en varios municipios del estado de Sonora. Cada miembro de tu equipo debe elegir dos ciudades y ajustar una función trigonométrica para la temperatura. ¿Qué temperatura esperan en cada ciudad el 2 de noviembre? 639 7.8 Funciones trigonométricas Temperatura media mensual (°C) en el estado de Sonora Estación Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Agua Prieta 7.2 9.1 12.2 15.5 19.9 25.3 26.6 25.6 23.1 17.6 11.5 7.4 Arizpe 11.6 14.1 15.6 18.6 22.2 27.4 28.5 27.3 25.8 21.6 15.5 12.1 Bahía Kino 13.6 14.7 15.9 18.1 20.8 25.1 28.5 29.2 27.6 22.8 17.1 14.2 Cananea 7.8 9.2 10.9 14.2 18.1 23.7 23.4 22.4 20.7 17.4 12.1 8.3 Guaymas 18.0 19.2 20.8 23.3 26.2 29.3 31.0 30.9 30.2 27.0 22.5 19.2 Hermosillo 16.9 18.6 20.7 23.6 26.9 31.3 32.3 31.6 30.8 27.1 21.2 17.4 Huatabampo 16.5 17.0 18.4 21.1 23.6 27.8 30.2 30.1 29.6 26.0 21.0 Nacozari 11.1 13.3 16.3 20.6 25.6 30.1 28.8 27.8 26.8 22.0 15.7 11.8 Navojoa 17.7 18.7 20.6 23.3 27.2 30.4 31.8 31.4 30.8 27.6 22.6 19.0 Sonorita 11.5 13.4 15.8 19.6 23.4 28.5 31.9 31.2 28.6 23.0 16.1 12.0 1. Determina el periodo y la amplitud de la función sinusoidal siguiente f(x) = 5sen (4x + 2) a) π/2, 5 b) 8π, 5 c) π/2, 10 d) 8x, 10 2. Determina el dominio de la función y = 2 tan(3x + 4). π 3π 5π a) ℜ − ⎧⎨± , ± ,± ,⎫⎬ 2 2 ⎩ 2 ⎭ ⎧ 3π , ± 6π , ± 9π ,⎫ b) ℜ − ⎨± ⎬ 2 2 ⎭ ⎩ 2 π 3π 5π c) ℜ − ⎧⎨± , ± ,± ,⎫⎬ 6 6 ⎩ 6 ⎭ d) ℜ − {±π , ±3π , ±5π , } 17.3 640 Unidad 7: Funciones 3. Determina la imagen de la función y = 2arctan(3x) + 2π a) (−π, π) b) [−π/2, π/2] c) (π, 3π) d) (−π/2, π/2) 4. Un sistema masa-resorte oscila entre 0.20 y 0.32 metros. Si el tiempo de una oscilación es de 2 segundos determina una ecuación que describa su movimiento. a) y = 0.006 cos(t) + 0.26 b) y = 0.26 cos(πt) + 0.06 c) y = 0.26 cos(t) + 0.06 d) y = 0.06 cos(πt) + 0.26 5. Relaciona la afirmación de la columna B con la funciones que aparecen en la columna A. Columna A Columna B a) f (x) = 2sen(2πx) i. Periodo = 2 b) f (x) = 4sen(2πx) + 3 ii. Periodo = 1 c) f (x) = 5tan(2πx) iii. Amplitud = 1 d) f (x) = 4arctan(2x) iv. Amplitud = 2 v. Imagen = [−2, 2] vi. Imagen = [−1, 7] vii. Imagen = [−2π, 2π] viii. Asíntota x = 1/4. 641 7.8 Funciones trigonométricas Respuestas a los Ejercicios y problemas 1. y = 2sen(2x) 3 y 2 y = sen(2x) 1.5 y 1 −4 0.5 0 −2 −0.5 0 1 0 x 2 4 −4 −2 −1 1 −2 x 0 2 4 −3 −1.5 a) −4 b) 1 0.5 0 x 0 −8 −6 −4 −2 2 4 6 −1 7 7.5 5 5 2.5 x 1 −8 −6 −4 d) 4 y = 3 sen((x + π)/2) + 5 10 y 3 8 −1..5 x c) y = 3 sen(x/2) + 5 9 y y = − sen(x/2) 1.5 y y = 2sen(2x) + 4 7 y 6 5 4 3 2 1 −2 0 2 −2 0 2 4 6 x 0 8 e) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 f) 2. 2 2 0 −4 −2 −2 y = 4 cos(2x + 3) − 5 2 y x 0 0 4 −4 −2 −2 2 y = − 2 cos(3x + 1) 4 y y = 3 sen(3x) 4 y 0 −4 a) Imag(f)= [-3,3] 0 x 2 4 −4 −2 0 −2 −4 b) Imag(f)= [-2,2] x 2 4 −4 −6 −8 −10 c) Imag(f)= [-9,-1] 8 642 Unidad 7: Funciones 6 y 4 0 4 2 0 −4 y = 4 sen(5x − 2) − 4 2 y y = −3 cos(−2x + 1) + 2 6 y y = −3 cos(4x + π) + 1 2 4 −4 d) Imag(f)= [-2,4] −2 −2 2 4 −6 x 0 −4 −2 x −4 2 x 0 −2 −2 −4 0 0 −2 2 −8 4 −10 e) Imag(f)= [-1,5] f) Imag(f)= [-8,0] 3. 4 0 −1 −0.5 4 0 0.5 −4 x 1 −4 −8 −4 0 x4 2 2 0 −1 −2 −4 −6 0 −2 1 2 4 0 −1.5 −0.75 −4 e) 1 2 c) 8 3 x −6 y = 4 csc(5x − 5) + 3 12 y x −1 −2 0 −4 b) y = 2 sec(− 2x + 4) − 1 6 y 4 d) −2 0 2 0 −8 a) −2 y = 4 tan(2x + 1) − 2 6 y 4 y = − 3 cot(x + 2) 1 8y y = − 2 tan(4 x) + 2 8 y 0 x y = 3 csc(x + 2) − 3 8 y 4 0 0 −4 −2 2 −4 −8 −12 0.75 1.5 −16 f) x 4 643 7.8 Funciones trigonométricas 4. x(t) = 0.55 cos(πt/2) + 1.5 5. x(t) = 2 cos(4πt) + 10 6. P(t) = 350 cos(πt/6) + 1150 7. y = sen(x) + cos(x) 2 y 1 0 −7 −3.5 y = sen(2x) + cos(x) 2 y y = 3sen(x) + 2cos(x) 4 y 1 2 0 3.5 x 0 7 −7 −3.5 −1 −2 0 −2 3.5 7 −3.5 −1 0 x 7 −7 −3.5 −2.5 −5 0 x 3.5 7 0 −7 −3.5 −2.5 0 x 3.5 7 −5 −5 d) 7 2.5 2.5 3.5 3.5 y = 3 sen(2x) − 2 sen(x) 5 y 5 2.5 0 x c) y = 3 sen(2x) + 2 sen(x) y = 3 sen(2x) + 2 cos(x) 5 y 0 −2 b) −3.5 0 −2.5 −7 −4 a) −7 0 x e) f) 8. y = (x/3) + sen(x) 5 15 y y 2.5 −5 a) y = x + 2 + 4cos(x) 15 y 10 10 x 0 −2.5 y = 2x + 3sen(2x) 0 3.5 7 10.5 14 5 5 0 −5 b) 0 3.5 x 7 −7 −3.5 c) 0 −5 x 0 3.5 7 644 Unidad 7: Funciones y = 4x − 2 + 5cos(2x) 15 y y = x + 2 + 3cos(2x) 8 y 10 5 16 12 8 4 0 4 0 −3.5 −8 −12 −16 −20 4 x 0 −7 y = 3x + 2 + 3sen(x) 20 y −3.5 0 3.5 x 0 7 −7 −10 −3.5 −15 0 −7 3.5 7 −4 d) e) x 3.5 7 f) 9. y = 2 arccos(2x) + 3 10 y = 3arctan(4x) − 2 6 y y 7.5 x 0 0 0.25 a) 1.5 2 1 −3 −2 −1 −0.5 −2 0 0.25 2 1 x 0 4 −3.5 e) a) 24.88° = 0.434244rad b) θ = arctan(2.5/x) - arctan(0.5/x) 0.5 y = − arctan(x − 2) + 1 3 y y 6 −6 d) 10 8 0 −4 −8 −0.25 c) x −2 x 0 y = arccos(2x + 5) + 5 y 2 0 10. 4 b) y = −3arccos(x + 2) + 1 −4 0.5 x −6 0.5 y 6 0 −1.5 −1 −0.5 0 −3 2.5 −0.25 8 3 5 −0.5 y = −2arcsen(2x) + 3 −3 −2.5 −2 x −10 −1.5 f) −5 −1 0 5 10 645 7.8 Funciones trigonométricas c) x q 0.25 0.364 0.50 0.588 0.75 0.691 1.00 0.727 1.25 0.727 1.50 0.709 0.250 1.75 0.682 2.00 0.651 0.000 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 2.25 0.619 2.50 0.588 y = arctan(2.5/x)-arctan(0.5/x) 1.000 y 0.750 0.500 x d) Entre 1.0 y 1.25 metros, es donde se ve mejor. Respuestas a los ejercicios de autoevaluación 1. a 2. c 3. c 4. d 5. [a) i., ii., v.], [b) vii.], [c) viii.], [d) ii., iv., vi.] Índice cubo de un, 32 producto de dos, 32 A Álgebra, 166, 358-361 definición de, 30, 31 función del, 30 principios de, 31 Ángulo 293, 294 agudo 295, 336 central 296, 302 complementario, 295 coterminal, 294 cuadrangular, 335 cuadrantal, 294, 335 llano, 295 negativo, 294 obtuso, 295 positivo, 294 suplementario, 295 Ángulos especiales, 333 manejo de, 334, 339 Arco circular, longitud de, 302, 308-309 Área de sectores circulares, 303 Asíntota, 457, 459 de hipérbola, 458 Axioma de orden, 253 B Binomio(s) al cuadrado, 32 conjugado, 32 C Cardinalidad de conjunto, 14 y probabilidad de evento, 20 Cateto adyacente, 320 opuesto, 320 Centro, 433 Circunferencia(s), 405 complejas, 412 degeneradas, 412 ecuaciones de la, 406 Círculo, 405 Conjugado de un número complejo, 134 Conjunto(s) cardinalidad de un, 14 complemento, 4, 5 de números complejos 131 definición de, 2 diferencia de, 4, 5 finito, 14 definición de, 14 propiedades del, 14 igualdad de, 4 imagen de, 476 inclusión de, 4 intersección de, 4, 5 lenguaje de, 3-12 648 Índice no pertenencia en, 3 pertenencia en, 3 solución de, 256-258, 267 teoría de, 1-2, 4, 13 demografía y, 13 unión de, 4-5 universal, 3 vacío, 4 Convenio de notación, 212 Conversión de grados a radianes, 298 Cosecante, 319, 342, 623 Coseno 319, 342, 623 Cotangente, 319, 342, 623 Coulomb, ley de, 83 Cramer, regla de, 172, 180, 184-185 Crecimiento, 513 análisis de, 541 Cuadrado de un trinomio, 32 Cuadrados, principio de complementación de, 203 Cubos diferencia de, 32 suma de, 32 Curva plana 352 D Decrecimiento, 513 análisis de, 541 Desigualdades, 251 ejemplos sobre las definiciones de, 254 notación de, 256, 257, 258 problemas de, 267 solución de, 260 y valor absoluto, 281 Desplazamiento horizontal, 480 vertical, 479 Diagramas de Venn, 5, 19 Diferencia de cubos, 32 de potencias enésimas, 32 Directriz, 420, 440 Distancia, 281 focal 434, 454 División, 60 entre un monomio, 61 de fracciones algebraicas, 75 multiplicación y, 75-82 de un polimonio, 60 guía para la, 61 reglas de la, 60 sintética, 64 Dominio 476 E Ecuación, 373 lineal, 374 forma punto pendiente de la, 375 trigonométrica, 351 Ecuaciones, 147 condicionales, 351 con radicales, 212 cuadráticas definición de, 202 raíces de una, 204 de la circunferencia, 406 de primer grado con dos incógnitas, 162 de segundo grado, 203-204 equivalentes, 174 lineales, 148, 158 con varias variables, 162 en forma general, 177 representación gráfica de, 163 sistema de, 159-162, 175-179 método, 166 algebraico de, 166 aritmético de, 166 de eliminación, 176 de determinantes, 170, 174-176, 182 de igualación, 167-168, 174, 176 de sustitución, 168 gráfico, 166 numérico y gráfico, 174-176 por eliminación de, 169, 174, 180 por suma o resta de, 169, 180 polinomiales, 224, 226 resolución y factorización de, 227 tipo de solución de, 174 valor absoluto en, 281 Eje, 420 horizontal, 336 649 Índice imaginario, 454 mayor, 433 menor, 433 principal, 433 real, 454 secundario, 433 transverso, 454 Elegibilidad, ley de, 3-4 Elipse, 432, 439 definición de, 440 Espacio muestral, 20 Evento, 20 probabilidad del, 20 propiedades del, 20 Excentricidad, 440 Expansiones y contracciones horizontales, 480 verticales, 480 Exponentes enteros, 98-111 fraccionarios y radicales, 112-128 leyes de, 32, 102, 358 Expresiones algebraicas, 29- 251 división de, 59-60 multiplicación de, 75-82 trigonométricas, 352 F Factores del coeficiente del término de mayor grado, 234, 238 de polinomio, 232 del término independiente, 233, 238 de su término independiente, 234, 238 Factorización, 42, 359-361 de productos notables, 47 de trinomios cuadrados de la forma ax2 + bx + c, 49 método de, 49 perfectos, 45 por agrupamiento, 43 Foco, 420, 433 Focos, 454 Fracciones algebraicas división de, 358-361 dominio de, 73 multiplicación y división de, 59, 60-82 simplificación de, 358 suma y resta de, 83-97 Función, 477 cuadrática, 525 análisis de la gráfica de una, 526 modelación de problema de una, 530 definición de gráfica de una, 478 efectos geométricos en la gráfica de una, 479 formas de representación de una algebraica, 477 numérica, 477 verbal, 477 visual, 478 lineal 512, 513 modelación de, 514 valor absoluto de una, 556 Funciones, 473 conceptos básicos de, 474 evaluaciones de, 477 gráficas de, 541 método gráfico de, 579-580 polinomiales, 226, 573, 578 criterio para crecimiento y decrecimiento de, 586 definición de, 586 máximos y mínimos de, 585 raíz o solución de, 226 potenciales, 574 que forman parte de una cónica, 540 racionales, 601-602 seccionadas, graficación de, 556 sinusoidales, 616 trigonométricas, 316, 319, 613-614, 623 de ángulos especiales, 333 de triángulos rectangulares, 336, 355 definición de, 317 inversas, 629 para cualquier ángulo, 355 G Geometría analítica, 371 Grados, 295 conversión de radianes a, 298 relación de radianes a, 298 650 Índice Gráfica, 352 de sistemas de desigualdad lineal, 388 Gráficas de funciones, 575, 624 Gnomon, 99 H Hipérbola(s), 453 degeneradas, 457-458 forma general de la ecuación de la, 457 horizontal, 457, 459 vertical, 459 y gráficas, 457 Hipotenusa, 320 I Identidad, 351 cociente de, 358-361 fundamental, 352 recíproca, 358 Identidades, 351 demostración de, 357 de paridad, 341 fundamentales o básicas, 351, 354 para el doble de un ángulo, 356 para la mitad de un ángulo, 356 pitagóricas, 355, 358-361 recíprocas, 336, 359-361 Impedancia, 129 de los elementos de un circuito, 130 Incógnitas, 162 Intersecciones, 373 Intervalo, 255 cerrado, 256 infinito, 256 notación de, 256 semiabierto, 256 semicerrado, 256 Irreducibilidad, 206, 207 criterios de, 207 para expresiones cuadráticas, 207 L Lado, 293 inicial, 294 recto, 420, 433 terminal, 294 Lenguaje de conjuntos, 2-12 Ley de Coulomb, 83 Ley de elegibilidad, 3-4 Leyes de exponentes, 32, 102, 358 Línea(s) paralelas, 383 perpendiculares, 383 recta, 163, 373 Longitud de un arco circular, 302, 308-309 M Magnitud de un número complejo, 134 Manejo de ángulos especiales, 339 Matrices, 171-173, 180-182, 185 Máximo común divisor, 43-44 Mayor que, menor que e igual que, definición de las relaciones de, 253, 254 y notación de intervalos, 253 Método(s) de solución de ecuaciones, 166 algebraico, 166 aritmético, 166 de determinantes, 170, 176, 180, 185 de eliminación, 176 de igualación, 167, 176 gráfico, 166 numérico y gráfico, 176 por reducción o eliminación, 169, 180 por suma o resta, 169, 180 por sustitución, 168 gráfico de multiplicación de funciones, 580 gráfico de suma de funciones, 579 numérico, 579 Mínimo común múltiplo, 84 de una resta, 84 de una suma, 84 Modelación, 499-500 de funciones lineales, 514 de problemas, 552, 559 Monomio, 43-44 651 Índice Multiplicación y división de expresiones algebraicas, 75-82 Múltiplo común, 84 N Notación de desigualdades, 256-258, 267 de intervalos, 253, 256-258, 267 Número(s) complejo, 129 magnitud de, 134 operaciones con, 132 cuadrado, 99, 100 real, 278 conjugado de un, 134 conjunto de, 131 definición de, 131 magnitud de, 134 P Parábola, 419-420 compleja, 422 degenerada, 422 forma general de la, 422 horizontal, 421 imaginaria, 422 real, 422 Parámetro(s), 352 efecto de los, 575-576 uso de la trigonometría para eliminar un, 352 Pendiente, 373 de la recta, 375 Polinomio, 44, 84, 207, 224 de segundo grado, 232 Principio de complementación de cuadrados, 203 Probabilidad del evento, 20 y cardinalidad, 20 Problemas de conteo, 1, 13-27 Productos notables definición de, 31 tabla de, 32 Propiedad aditiva, 259 de la tricotomía, 259 del cuadrado, 259 del recíproco, 259 demostración de una, 260 multiplicativa, 259 transitiva, 259 Propiedades, 259 del conjunto, 14 del evento, 20 del valor absoluto, 283 Punto crítico, 264 R Radián, 297 Radianes, 295-297 conversión de grados a, 298 relaciones entre grados y, 298 Radicales, 113-128 Radios vectores, 454 Raíz cuadrada positiva, 212 Raíces de la función, 230 polinomial, 233 Recta de los números reales, 255-258 distancia de un punto a una, 392 forma general de la, 375 gráfica de, 256 numérica, 255-258 pendiente de la, 375 Reflexiones, 481 Regla de Cramer, 172, 180, 184-185 Regla de los signos, 31 Relaciones entre grados y radianes, 298 <, >, <, >, 253 Restas, 83, 86 S Secante, 319, 342, 623 Sectores circulares, 302, 303 Segundos, 296 Semicírculo, 543 Semiparábola, 543 Seno, 319, 342 Signos, regla de los, 31 Símbolo, 3 652 Índice Simplificación de expresiones racionales, 74 de fracciones, 358 Sistema de ecuaciones dependientes, 174-179 inconsistentes, 174-179 independientes, 177-179 lineales, 159-162 con tres incógnitas, 177-178 método de solución de, 179 Suma(s), 83, 86 de cubos, 32 y restas de fracciones algebraicas 83, 86 T Tangente, 319, 342, 623 Teorema, 383 de la raíz racional, 231 de las n raíces, 231 de Pitágoras, 319 del factor, 230-232 Teoría de conjuntos, 1-4, 13 Triángulo de referencia, 318 equilátero, 337 rectángulo, 337-338, 614 funciones trigonométricas del, 336 Trigonometría, 291 uso de la, 352 para eliminar un parámetro, 352 Trinomios cuadrados perfectos 45 V Valor absoluto, 278-279 aplicación de, 280 en ecuaciones y desigualdades, 281, 285 propiedades del, 283 crítico, 264-266 de prueba, 265, 267 extremo 266 Variable dependiente, 476-477 independiente, 476-477 Vértice, 293-294, 420, 454