09 EAC Proj Vest MAT Módulo 2 Geometria Espacial

MÓDULO II – PARTE 9Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 1 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular Poliedros É o sólido limitado unicamente por superfície plana. Elementos: Faces – São as superfícies planas que limitam o sólidos. (ABCD, EFGH, CBFG, ...) Arestas – são as interseções das faces, duas a duas. ...) , BF , CD , BC , AB ( Vértices – São os pontos comuns a três ou mais arestas. (A, B, C, D, E. ...) Diagonais – São os segmentos de reta que unem dois vértices, não pertencentes a uma mesma face. ...) , BH , AG ( - Poliedro Convexo. Um poliedro é convexo quando fica inteiramente situado num mesmo semi-espaço limitado por qualquer uma de suas faces. Caso contrário, é chamado de poliedro não convexo. 5. Teorema de Euler: Em todo poliedro convexo, número de arestas A aumentado de 2 unidades é igual ao número de vértices V aumentado do número de faces F. V + F = A + 2 Obs.: Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo. - Cálculo do número de arestas O número de arestas de um poliedro é dado por: A = 2 F . n ∑ Onde: F – é número de faces n - é o número de lados de cada face - Poliedros regulares ou poliedros de Platão. São aqueles em que todas as faces são polígonos regulares congruentes e todos os ângulos poliédricos são congruentes. Só existem cinco poliedros regulares, são eles: Tetraedro – as faces são triângulos equiláteros. Hexaedro – as faces são quadrados. Octaedro – as faces são triângulos equiláteros. Dodecaedro - as faces são pentágonos regulares. Icosaedro – a faces são triângulos equiláteros. Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro Regular Dodecaedro regular Icosaedro regular H G C B F E A D Convexo Não Convexo MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 2 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular EXERCÍCIOS 01) Um poliedro convexo é formado por 6 faces quadrangulares e oito faces triangulares. Determine o número de arestas e o número de vértices desse poliedro. 02) Um poliedro convexo tem 6 vértices e 8 faces. Qual o número de arestas desse poliedro ? 03) Um poliedro convexo que só tem faces triangulares e quadrangulares tem 20 vértices. Calcule o número de faces do poliedro sabendo que o número de faces triangulares é o dobro do número de faces quadrangulares. 04) (UERJ) Um Icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 3 1 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras: Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: (A) 7,0m (B) 6,3m (C) 4,9m (D) 2,1m 05) Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi denominada fulereno. Determine o número de átomos de carbono (vértices) nessa molécula e o número de ligações entre eles (arestas). (A) 65 átomos e 40 ligações (B) 60 átomos e 90 ligações (C) 60 átomos e 45 ligações (D) 80 átomos e 90 ligações (E) 60 átomos e 30 ligações 06) (uerj-2005-2f) O poliedro acima, com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um dado, em um jogo. Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada. Calcule: a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez; b) o número de vértices do poliedro. Prismas 1. Superfície Prismática: É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca paralelamente a uma direção dada (d) e apoiando-se numa linha poligonal plana (diretriz). A superfície prismática pode ser aberta ou fechada, se a linha poligonal for aberta ou fechada, respectivamente. As geratrizes que passam pelos vértices da diretriz chamam-se arestas da superfície. 2. Prisma: É o sólido limitado por uma superfície prismática fechada e por dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes. g d B C D A MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 3 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular As faces ABCD e EFGH são polígonos congruentes chamadas de bases do prisma. As demais faces, chamadas de faces laterais, são paralelogramos. 3. Elementos dos prisma: Arestas da base: EH AD , GH CD , FG BC , EF AB = = = = Arestas laterais: DH CG BF AE = = = Altura: h (distância entre as duas a bases). 4. Classificação dos Prismas: 1º)Quanto aos Polígonos das bases: Podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc. 2º) Quanto as arestas laterais: Podem ser: reto ou oblíquo. Prisma reto – As arestas laterais são perpendiculares às bases. Prisma oblíquo – as arestas laterais são oblíquas às bases (Prisma Oblíquo) 5. Prisma Regular: É todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares. 6. Áreas do Prisma: 1º) Área lateral (Al) É a soma das áreas das face laterais 2º) Área total. (At). É a soma da área lateral (Al) com a área das bases (Ab). At = Al + 2Ab 7. Volume: Pelo princípio de CAVALIÉRE, o volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base (Sb) pela altura h. V = Ab . h Exercícios 07) Dadas as figuras dos prismas abaixo: a) Paralelepípedo Retângulo b) Cubo ou Hexaedro Calcule a área total, o volume e as diagonais de ambos em função de suas arestas. H G F E D C A B α β H F E D C A B G h h (Prisma Reto) h c a b d D D a a a d MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 4 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 14 cm 10 cm 13 cm 08) Quantos litros de água cabem em um reservatório em forma de paralelepípedo medindo internamente 2 m por 2 m de base e 1,2 m de altura? (A) 800 (B) 1.200 (C) 1.600 (D) 4.800 (E) 5.200 09) (PM-00) O perímetro do polígono formado pelos segmentos que unem os centros das quatro faces laterais de um cubo de aresta medindo 4 cm é: (A) 2 2 (B) 2 8 (C) 2 4 (D) 2 6 (E) 16 10) (PM-04) Seis blocos de concreto, em forma de paralelepípedo retângulo, foram utilizados na construção da escada representada abaixo: ] Se esses blocos são congruentes, a expressão algébrica que corresponde ao volume de concreto necessário para a construção da escada é: (A) 18 x 2 y (B) 18 xy 2 (C) 12 xy 2 (D) 12 x 2 y 11) (UERJ-UENF-2001-2ªF) Na construção de um hangar, com a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas abaixo. Calcule o volume mínimo desse hangar. 12) (PM-05-1) Um tijolo de sorvete de meio litro tem duas de suas dimensões iguais a 16,5 cm e 4,0 cm. A terceira dimensão mede aproximadamente: (A) 6,0 cm (B) 6,5 cm (C) 7,0 cm (D) 7,6 cm 13) (ENEM – 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue. O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza: (A) massa. (B) volume. (C) superfície. (D) capacidade. (E) comprimento. 14) (UFF-01) Uma piscina tem a forma de um prisma reto, cuja base é um retângulo de dimensões 15 m e 10 m. A quantidade necessária de litros de água para que o nível de água da piscina suba 10 cm é: (A) 0,15 L (B) 1,5 L (C) 150 L (D)1.500 L (E) 15.000 L 15) (ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a: (A) 5 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm (E) 25 cm 16) (UFF) Uma caixa de papelão, na forma de um paralelepípedo retângulo, é obtida dobrando-se o molde abaixo nas linhas tracejadas. O volume da caixa, em cm 3 , é: (A)120 (B) 180 (C) 240 (D) 480 (E) 540 3y 3x 2y MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 5 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 17) Na fabricação da peça abaixo, feita de um único material que custa R$ 5,00 o cm 3 , deve-se gastar a quantia de: (A) R$ 400,00 (B) R$ 380,00 (C) R$ 360,00 (D) R$ 340,00 (E) R$ 320,00 18) (UERJ-2004-1ª fase) As esferas da figura abaixo representam os íons formadores de um cristal de cloreto de sódio. Considere que o íon com maior número de camadas eletrônicas é representado pela esfera de maior raio e que a distância entre os núcleos dos íons X e Y vale 3 10 unidades de comprimento. O símbolo do elemento formador do íon de menor tamanho e a menor distância, na mesma unidade de comprimento, entre o núcleo de um cátion e o núcleo de um ânion, são: (A)Cℓ, 3 (B) Na, 3 (C) Cℓ, 5 (D) Na, 5 19) (PUC) Se a área da base de um prisma diminui de 10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: (A) aumenta de 8% (B) aumenta de 15% (C) aumenta de 108% (D) diminui de 8% (E) não se altera. 20) (UFF – 98) Em um cubo de aresta l , a distância entre o ponto de encontro de suas diagonais internas e qualquer de suas arestas é: (A) l 3 (B) l 2 (C) l 3 2 (D) l 2 2 (E) l 2 21) (UFRJ-2003-PNE) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra pedra, do mesmo material, que tem a forma de um paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura e 3 cm de espessura? 22) (UFRJ) Os pontos J e I são os pontos médios das arestas do cubo sugerido na figura: a) Calcule, em função da medida a da aresta do cubo, a distância de I e J. b) Determine a medida θ θθ θ do ângulo J K ˆ I . 23) (UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de leite tem a forma e um paralelepípedo retângulo de dimensões internas a = 10 cm, b = 7 cm e c = 16 cm. Inclina-se a caixa de 60º em relação ao plano horizontal de modo que apenas uma das menores arestas fique em contato com o plano, como mostra a figura: Calcule o volume do leite derramado. 24) (UERJ-2004-2F) Dois prismas regulares retos P1 e P2 , o primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, têm a mesma área da base e a mesma área lateral. A razão entre o volume de P1 e o de P2 equivale a: (A) 3 2 (B) 3 6 (C) 2 3 (D) 1 θ J I 60º b a c MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 6 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 25) (UFRJ-04-PNE) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com forma de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo plano que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na figura 1. O sólido ABCDFG obtido, foi cortado, mais uma vez, pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são, respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, CG e DF, como ilustrado na figura 2. Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ resultante deste segundo corte (ilustrado na figura 3) e o volume da barra de sabão original. 26) (UFRJ-06-PE) A figura abaixo corresponde à planificação de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da base igual a 3a. Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma. 27) (UERJ-03-2ªF)Para uma demonstração prática, um professor utiliza um tanque com a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas correspondem a 30 cm de largura, 60 cm de comprimento e 50 cm de altura. Esse tanque possui uma torneira que pode enchê-lo, estando ele completamente vazio, em 10 minutos, e um ralo que pode esvaziá-lo, estando ele completamente cheio, em 18 minutos. O professor abre a torneira, deixando o ralo aberto, e solicita que um aluno registre o tempo decorrido até que o tanque fique totalmente cheio. Estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno. 28) (AFA-97) Qual deve ser a medida da altura de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que seu volume tenha valor a 3 ? (A) a 3 4 (B) 3 3 4 a (C) a 3 3 (D) 4 3 3 a 29) Uma caixa d\'água tem o espaço interno na forma de cubo com 1 metro de aresta. Retira-se um litro de água da mesma o que baixa o nível da água em seu interior. De quanto baixa esse nível? (A) depende de quanta água havia (B) 1 metro (C) 10 centímetros (D) 10 milímetros (E) 1 milímetro 30) (UERJ – 2011 -1º ex) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. Em relação ao prisma, considere: - cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120º; - as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m 2 e que 3 = 1,73. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: (A) 0,50 (B) 0,95 (C) 1,50 (D) 1,85 31) (ENEM – 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de: (A) 12 cm 3 (B) 64 cm 3 (C) 96 cm 3 (D) 1 216 cm 3 (E) 1 728 cm 3 MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 7 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 32) (UERJ-2010-1ºEX) A figura abaixo representa uma piscina completamente cheia de água, cuja forma é um prisma hexagonal regular. Admita que: – A, B, C e D representam vértices desse prisma; – o volume da piscina é igual a 450 m 3 e – um atleta nada, em linha reta, do ponto A até o ponto médio da aresta CD,utilizando apenas glicose como fonte de energia para seus músculos. A velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a 1,0 m/s. O intervalo de tempo, em segundos, gasto nesse percurso equivale a cerca de: (A) 12,2 (B) 14,4 (C) 16,2 (D) 18,1 Cilindros 1. Superfície Cilíndrica: É a superfície gerada por uma reta móvel g (geratriz) que se desloca paralelamente a uma direção (∆) e apoiando- se numa linha curva dada d (diretriz). A superfície cilíndrica pode ser aberta ou fechada e conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular, elíptica, parabólica, etc. No nosso caso estudaremos somente as circulares. 2. Cilindro: É o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes. 0 e 0’ → centros das bases. g → geratriz h → altura 3. Classificação dos cilindros: São classificados de acordo com o ângulo formado pela geratriz com os planos das bases. • •• • Cilindro reto; A geratriz (g) é perpendicular às bases. Neste caso, a medida da geratriz é igual à altura (h), (g = h). Obs.: Todo cilindro reto pode ser obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um dos seus lados. Por isso ele também é chamado de cilindro de revolução. − ' 00 é o eixo de rotação. • •• • Cilindro oblíquo: A geratriz (g) é oblíqua às bases. g d ∆ r r 0 0’ g h h 0’ 0 g r r 0 0’ g h 0’ 0 h = g r r MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 8 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 4. Secções • •• • Secção transversal: É obtida seccionando o cilindro por um plano paralelo à base. Essa secção é um círculo congruente à base. • •• • Secção Meridiana: É obtida seccionando o cilindro por um plano que contém o seu eixo. Obs.: A secção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo. Se h = 2r, essa secção é um quadrado, nesse caso, dizemos que o cilindro é equilátero. 5. Áreas e volume de um cilindro: Planificando o cilindro (Fig. 1) Teremos: • Área lateral (Al) • Área da Base (Ab) Al= 2πrh Ab = πr 2 • Área Total (At) At = Al + 2Ab At = 2πr (h + r) • •• • Volume (V) V = Ab . h V = πr 2 . h Exercícios 33) (UFF) - Um reservatório, na forma de um cilindro circular reto, tem raio da base r, altura h e volume V. Deseja-se construir outro reservatório que tenha, também, a forma de um cilindro circular reto, volume V, porém, raio da base igual a 2 r e altura H. A relação entre as alturas desses reservatórios é dada por: (A) H = 4h (B) H = 2h (C) H = 2 h (D) H = 4 h (E) H = h 34) (UFRJ) A casa da Moeda está cunhando moedas de ouro de raios diferentes e mesma espessura. A moeda de 1,5 cm de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm de raio ? 35) (UERJ – 2001 -2º EXAME) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a: (A) 2 10 (B) 3 2 10 (C) 12 10 (D) 3 12 10 r r h 0’ 0 h = 2r r r 0’ 0 r h 0’ 0 h Sl r 0 2 r π 0’ (Fig. 1) MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 9 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 45º 36) (UFF)- Um tonel de forma cilíndrica, cheio d’água, é inclinado conforme mostra a figura, derramando parte de seu conteúdo. Se a altura desse tonel é o quádruplo do raio de sua base, pode-se afirmar que a razão entre a quantidade de água derramada e a quantidade de água que ainda ficou no tonel é: (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 3/4 (E) 2 2 37) (UERJ-2006-1ºEX) Para a obtenção do índice pluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da chuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado pluviômetro. A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de captação de 0,5 m 2 e raio interno do cilindro de depósito de 10 cm. Considere que cada milímetro de água da chuva depositado no cilindro equivale a 1 L/m 2 . No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, aproximadamente: (A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45 38) (ENEM-08) A figura ao lado mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação, (A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3. (B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm. (C) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros. (D) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50. (E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas. 39) (ENEM-2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos. Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá: (A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. (B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. (C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 10 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 40) (ENEM-2010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximando de π, então o preço dessa manilha é igual a: (A) R$ 230,40. (B) R$ 124,00. (C) R$ 104,16. (D) R$ 54,56. (E) R$ 49,60 41) (ENEM-2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça é igual a: (A) 1 cm. (B) 2 cm. (C) 3 cm. (D) 4 cm. (E) 5 cm. 42) Determine o volume do sólido abaixo: 43) (UFRJ-2011) Considere a superfície cilíndrica S obtida a partir da superposição dos segmentos AB e DC do retângulo ABCD indicado a seguir. Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a superfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q. Determine o comprimento desse caminho. Cone 1. Superfície Cônica: É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca passando sempre por um ponto fixo V(vértice) e apoiando-se numa linha curva plana dada d (diretriz). V A superfície cônica pode ser aberta ou fechada e conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular ou elíptica. No nosso caso, estudaremos somente as circulares. 2. Cone: É o sólido limitado por uma superfície cônica fechada e por um plano que interpreta todas as geratrizes. 0 → centro da base g → geratriz h → altura V 0 → eixo V → vértice r → raio 10 6 2 2 0 d g g V r r 0 h MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 11 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 3. Classificação dos cones: São classificados de acordo com a inclinação de seu eixo. • •• • Cone Reto: O eixo é perpendicular à base. Neste caso, a medida do eixo é igual a altura. Relação Métrica: g 2 = h 2 + r 2 Obs. Todo cone reto pode ser obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Por isso ele também é chamado de cone de revolução. • •• • Cone Oblíquo O eixo é oblíquo à base. 4. Secções: • •• • Secção transversal: É obtida seccionando o cone por um plano paralelo à base. Essa secção é um círculo. • •• • Secção Meridiana: É obtida seccionando o cone por um plano que contém o seu eixo. Obs.: A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles. Quando esse triângulo é equilátero (g = 2r), o cone é chamado cone equilátero. 5. Áreas e volume de um cone: Planificando o cone (Fig. 1) • •• • Área lateral (Al): É obtida calculando-se a área do setor circular de raio g, através de uma regra de três simples, ou seja: Área Comprimento do Arco πg 2 2πg Al 2πr r r 0 h g r 0 h g V r 0 V h r r 0 g g V r r 0 g = 2r V C = 2 r π Sb 0 r Sl g g g 0 r (Fig 1) V MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 12 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular l A g 2 π = r 2 g 2 π π , simplificando: Al = πrg • •• • Área da base (Ab): Ab = πr 2 • •• • Área total (At): At = Al + Ab = πrg + πr 2 At = πr (g + r) • •• • Volume: O volume do cone é igual a 1/3 do vlome do cilindro V = 3 1 . Ab . h V = 3 h r 2 ⋅ π Exercícios 44) A figura abaixo representa um lápis de 8 mm de diâmetro apontado: Use π=3 Determine o volume deste lápis. 45) (AFA-97) A razão entre os volumes de dois cones eqüiláteros de alturas h e 2h é (A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/8 46) Calcule o raio do cone da figura abaixo, sabendo que inicialmente o cone estava vazio e o cilindro totalmente cheio e na situação abaixo o cone encontra-se totalmente cheio. Sabe-se que a altura do cone é de 6dm e que a altura e o raio da base do cilindro medem respectivamente 9dm e 2dm . 47) (UFRJ-01-PNE) Um recipiente em forma de cone circular reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a borda, comporta 400 ml. Determine o volume de líquido quando o nível está em 2 h . 48) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo. Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: (A) ½ (B) ¾ (C) 5/6 (D) 7/8 49) (UFF) Considere um cone equilátero de raio r e volume V. Seccionou-se este cone a uma distância h do seu vértice por um plano paralelo a sua base; obteve-se, assim, um novo cone de volume 2 V . Expresse h em termos de r. 50) (UFRJ-01-PE) Dois cones circulares retos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do outro. Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior e s r x = , determine x. 8 mm 12 cm 2 cm MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 13 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 51) (AFA-01) A área total do sólido gerado pela rotação do polígono ABCDE em torno do eixo y, que contém o lado AE, é, em m 2 , igual a (A) 144π (B) 150π (C) 168π (D) 170π 52) (UERJ-2010-2ºEX) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%. Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a : (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 Pirâmides 1. Superfície Piramidal: É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca passando sempre por um ponto fixo V (vértice) e apoiando-se numa linha poligonal plana dada (diretriz). A superfície piramidal pode ser aberta ou fechada, respectivamente. 2. Pirâmide: É o sólido limitado por uma superfície piramidal fechada e por um plano que intercepta todas as geratrizes. O polígono ABCD é a base da pirâmide. AD , CD , BC , AB . São as arestas da base da pirâmide. VD , VC , VB , VA são as arestas laterais da pirâmide. AVB, BVC, CVD, AVD são as faces laterais da pirâmide. A distância h do ponto V ao plano da base é a altura da pirâmide. Quanto ao polígono da base a pirâmide é triangular (tetraedro), quadrangular, pentagonal, etc. 3. Pirâmide Regular: É aquela cuja base é um polígono regular e a projeção do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base. ABCD é o polígono da base, nesse caso é um quadrado. O é o centro da base. V é o vértice da pirâmide. h VO = é a altura da pirâmide. m 3 CD m 6 BC m 6 AB m 2 AE = = = = Dados: A B D C y E A B C D V g D V A B C h D V A B C h O MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 14 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 4. Elementos de uma pirâmide regular: M a Apótema da pirâmide (Ap) – é a altura em relação em relação à base, de uma de suas faces laterais, que são triângulos isósceles. Ap = VM Apótema da base da pirâmide OM= An. Raio do círculo circunscrito à base = = = = OD OC OB OA R. Arestas da base = = = = AD CD BC AB A. Arestas laterais = = = = VD VC VB VA A 5. Tronco de Pirâmide: É a porção da pirâmide compreendida entre a base e uma seção plana que intercepta todas as arestas laterais. Quando a seção for paralela à base, temos um tronco de pirâmide de bases paralelas. A distância entre as bases é a altura do tronco. H é a altura do tronco. Sendo A’B’C’D’ paralelo a ABCD a razão entre as áreas é dada por: 2 h d ABCD área D' C' B' A' de área | ¹ | \ | = 6. Volume da Pirâmide: Todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si. Seja o prisma triangular ABCVXZ. Se cortarmos esse prisma pelos planos ACV e CVZ, as pirâmides são equivalentes, por terem bases congruentes e a mesma altura (bases e altura do prisma). As pirâmides VACZ e VCXZ também são equivalentes, por terem a mesma altura, distância de V à face ACXZ do prisma, e bases equivalentes, ACZ e CZX, como metades do paralelogramo ACXZ. Portanto as três pirâmides VABC, VCXZ e VACZ são equivalentes. Como as três pirâmides têm o mesmo volume, cada uma delas terá um terço do volume do prisma, ou seja: V pirâmide = ⋅ 3 1 V prisma 3 h Ab pirâmide V ⋅ = , onde: Ab – é a área da base. h – é a altura. Obs: Tal fórmula é válida para qualquer pirâmide, pois sempre podemos dividir uma pirâmide em várias de bases triangulares. Área Total At = Al + Ab C V D A B O Ap R Al An D’ A’ C’ B’ O’ D A B C O V d H h Z X V C B A MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 15 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular Al – Somatórios das áreas dos triângulos das faces laterais Ab – Área do polígono da base Tetraedro Regular Quando todas as suas faces são triângulos eqüiláteros. V – Vértice G – Baricentro da base VG – Altura do tetraedro → 3 6 a h = AM – Altura da base 12 2 3 3 2 a V a A T = = EXERCÍCIOS PROPOSTOS 53) (uff-2005-1f) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja a altura relativa à base mede 179 m. A área da base dessa pirâmide, em m 2 , é: (A) 13.272 (B) 26.544 (C) 39.816 (D) 53.088 (E) 79.432 54) (UERJ – 2002 -1º EXAME) Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de- mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm 3 , igual a: (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 55) (UFF–00) No tetraedro regular representado na figura, R e S são, respectivamente, os pontos médios de NP e OM. A razão MN RS é igual a: (A) 3 (B) 2 3 (C) 2 (D) 2 2 (E) 3 2 56) (UFRJ-00-PNE) Uma pirâmide regular tem base quadrada de área 4. Ela é seccionada por um plano paralelo à base de modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base superior de área 1. Determine o valor da aresta lateral do tronco de pirâmide. 57) (UERJ-93-2ª FASE) ABCD é um tetraedro regular de aresta a. O ponto médio da aresta AB é M e o ponto médio da aresta CD é N. Calcule: a) MN b) seno do ângulo NMD $ . M G C B V A . . P R O M N S MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 16 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 58) (AFA-06) Um cubo tem quatro vértices nos pontos médios das arestas laterais de uma pirâmide quadrangular regular, e os outros quatro na base da pirâmide, como mostra a figura abaixo. A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide é: (A) 4 3 (B) 2 1 (C) 8 3 (D) 8 1 59) (UFRJ-2010) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura ao lado. Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. 60) (UERJ-2001-2ªF) A figura acima representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo retângulo isósceles em que cm CD BC AB 2 = = = . Dobrando-a nas linhas CE BE = ,constrói-se um objeto que tem a forma de uma pirâmide. Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC. 61) (UNICAMP – 2003) Considere um cubo cuja aresta mede 10cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros congruentes. a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. b) Calcule o volume do mesmo octaedro. ESFERAS 1. Definição: É o sólido gerado pela rotação completa de um semi-círculo em torno de seu diâmetro. • Superfície esférica – é a superfície gerada pela semi- circunferência 2. Secções : Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Quando o plano da secção passa pelo centro da esfera, temos um círculo máximo. R – raio da esfera 0 – centro da esfera 0’ – centro da secção d – distância do centro da esfera à secção. Da figura temos: R 2 = d 2 + r 2 R R 0’ r d 0 R MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 17 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 3. Pólos: Denominamos pólos de um círculo da esfera as extremidades do diâmetro perpendicular ao plano dessa secção. O pólo de um círculo da esfera é eqüidistante de todos os pontos da circunferência desse círculo. • P 1 e P 2 são os pólos. • A P 1 e A P 2 são as distâncias polares. • No triângulo retângulo P 1 AP 2 , temos: ) d R ( R 2 A P ) d R ( R 2 A P 2 2 2 1 + = − = 4. Considerando a superfície esférica de eixo e: Teremos: • Meridiano (M) – é a secção determinada por um plano que contém o eixo e. • Equador (E) – é a secção determinada por um plano perpendicular ao eixo e e passando pelo centro da esfera. • Paralelos (P) – são as secções obtidas por planos perpendiculares ao eixo e, e que não passam pelo centro da esfera. 5. Zona esférica: É a porção da superfície esférica compreendida entre dois planos paralelos. Os círculos determinados pelos dois planos paralelos são as bases da zona e a distância entre eles é a altura (h). Obs.: Se um dos planos for tangente à esfera, uma das bases reduzirá a um ponto, teremos a zona de uma só base, que se denomina Calota Esférica. 6. Fuso esférico É a porção da superfície esférica compreendida entre duas semi-circunferências máximas de mesmo diâmetro. Os semi-planos e os semi-círculos formam um diedro, cujo ângulo plano θ é o ângulo do fuso. P 1 P 2 d 2R A 0 P 1 P 2 0 P E M e 0 R R θ Fuso Esférico 0 h Zona esférica 0 h Calota Esférica MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 18 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 7. Área e volume: Demonstra-se que a área da superfície esférica de raio R é dada por: At= 4πR 2 O volume é dado por: V = 3 R 3 4 π Exercícios 62) (UFF – 97) Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h — um cilindro, uma semi-esfera e um prisma — cujos volumes são , respectivamente. A relação entre é: (A) V 3 < V 2 < V 1 (B) V 2 < V 3 < V 1 (C) V 1 < V 2 < V 3 (D) V 3 < V 1 < V 2 (E) V 2 < V 1 < V 3 63) (UERJ – 2001 -1º EXAME) O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi construido a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita, é: (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 4 3 64) (UFRJ-2003-PNE) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura abaixo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos. 65) (UFRJ-2004-PE) Uma esfera de vidro, de diâmetro interno 10 cm, está cheia de bolas de gude perfeitamente esféricas, de raio 1 cm. Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera, indique qual das opções a seguir é verdadeira: Opção I : n > 125 Opção II : n = 125 Opção III : n < 125 Justifique a sua resposta. 66) (UFRJ-02-PE) Considere uma esfera E 1 , inscrita, e outra esfera E 2 circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm. Calcule a razão entre o volume de E2 e o volume de E 1 . 67) (UFRJ-98-PE) Ping Oin recolheu 4,5 m 3 de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em comemoração à chegada do verão no Pólo Sul. O boneco será composto por uma cabeça e um corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3. Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas. MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 19 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 68) (UFF-1ªfase-2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%. Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu volume aumenta x %. Dessa forma, é correto afirmar que 69) (UFRJ-2008-PE) Um cone circular reto de altura H circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a seguir. A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o volume da menor. Determine H. 70) A escultura sólida abaixo foi feita toda em bronze pelo escultor Zé Roscof, sendo ABCD a base quadrada (da pirâmide regular onde VA = VB = VC = VD = AB = BC= 2 m) ; totalmente inscrita no círculo máximo da semi-esfera. Calcule: a) o volume de bronze utilizado. b) A quantidade de litros de impermeabilizante, utilizado em todo o sólido, sabendo que 300 ml de impermeabilizante, impermeabiliza uma área de 1 m 2 (use 7 , 1 3 4 , 1 2 ; 3 = = = e π ) GABARITOS 01) A=24 e V=12 02) A=12 03) F=27 04) B 05) B 06) a) ½ b) V=32 07) a) At = 2(ab + ac + bc) ; V = a.b.c ; D = 2 2 2 c b a + + b) At = 6a 2 ; V = a 3 ; D = 3 a 08) D 09) B 10) C 11)140392,14 12) D 13) B 14) E 15) B 16) C 17) B 18) D 19) A 20) D 21) 60 kg 22) a) 2 6 a b) | | ¹ | \ | = 15 5 4 arccos θ 23) 3 3 3 350 cm V = 24) B 25) 1/8 26) 2 a 27) 22 min 30s 28) D 29) E 30) B 31) D 32) D 33) A 34) 50g 35) D MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 20 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 36) B 37) 38) B 39) A 40) D 41) B 42) 8π 43) 2 3 44) V=6,08 cm 3 45) D 46) r = 3dm 47) 50 ml 48) D 49) r h 2 4 3 3 ⋅ = 50) 2 5 1+ − = x 51) C 52) B 53) D 54) D 55) D 56) 2 2 3 = l 57) a) 2 2 a b) 3 3 58) D 59) a/3 60) 3 6 61) a) CD = 2 5 cm b) 3 500 cm 3 62) E 63) C 64) ( ) 12 2 3 2 y x y V − = π 65) opção III 66) 3 3 67) ½ e 1 68) D 69) h=10 e H = 40 70) em aula. Questão 4) Cada um dos 12 vértices serão arrancados do icosaedro, por isso teremos 12 pirâmides. Não é difícil visualizar que cada uma dessas pirâmides tem base pentagonal, ou seja, o polígono resultante terá 12 faces pentagonais (gomos pretos), e as demais faces serão hexagonais uma para cada face do antigo icosaedro, logo 20 faces hexagonais (gomos brancos). Daí teremos: 12 faces pentagonais = 12 . 5 = 60 arestas 20 faces hexagonais = 20 . 6 = 120 arestas Daí o poliedro resultante terá: 90 2 180 2 120 60 = = + = A Como o poliedro que irá gerar a bola terá 90 arestas e estas serão costuradas com 7 cm de linha, usaremos um total de 7 x 90 = 630 cm de linha = 6,3 m de linha (LETRA B). Questão 6 a) Múltiplos de 5 ⇒ B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} P(AUB) = 2 1 = = − + 30 15 30 1 30 6 30 10 b) 60 A 2A 4F faces nº F arestas nº A = ⇒ = ) ` ¹ = = V = nº de vértices 32 = ⇒ + = + V 2 A F V Questão 50) Sejam H e h respectivamente as alturas do cone de raio menor r e do cone de raio maior s. Por semelhança de triângulos temos: Como os cones têm o mesmo volume, Hr 2 = hs 2 . Logo, Daí, obtemos: Dividindo ambos os lados da equação em por s 3 , obtemos: Como x = r/s, podemos expressar a equação ) na forma: x 3 + 2x 2 − 1 = 0 Obtemos: 2 5 1 2 5 1 2 1 − − = + − = x e x Como x é positivo temos: 2 5 1+ − = x Questão 56) Primos ⇒ A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 21 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular Sejam A, B, C e D os vértices da base da pirâmide, A’, B’, C’ e D’ os respectivos vértices da base superior do tronco de pirâmide ( como na figura) e l o valor da aresta AA’. Considerando-se o triângulo com vértices em AA’P, onde P é a projeção ortogonal do vértice A sobre a base da pirâmide, temos: A´P = 2. Como 2 ´ ´ 2 2 = = C A e AC , concluímos que: 2 2 = AP , pelo teorema de Pitágoras : 4 18 2 = l 2 2 3 = l Questão 61) Do enunciado temos a figura, onde os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices do octaedro regular: A) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CMD, temos: (CD) 2 = (CM) 2 + (MD) 2 (CD) 2 = 5 2 + 5 2 ∴ CD = 2 5 cm B) b) O volume do octaedro regular é igual a ( ) 5 2 5 3 1 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ , ou seja, 3 500 cm 3 . Questão 64) Questão 65) Opção III, já que o volume interno do recipiente é de 125 . 3 4 π cm 3 e o volume de cada bola de gude é π 3 4 cm 3 , mas há espaços vazios. Questão 66) A razão entre os volumes é o cubo da razão entre os diâmetros. A medida do diâmetro de E 1 (d 1 ) é igual à medida da aresta do cubo (1cm). A medida do diâmetro de E 2 (d 2 ) igual à medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são a aresta e a diagonal da face (a), como mostra a figura ao lado. Questão 69) Sejam e Rr respectivamente os raios das esferas maior e menor. Então podemos escrever H = 2R + 2r + h, sendo h a distância entre o vértice do cone e a esfera menor. Por hipótese, C E F B M ▪ 5 D A 10 5 10 5 5 cotada em cm MÓDULO II – PARTE 9 Geometria Espacial MATEMÁTICA 2011 22 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular Para determinar h, consideremos os triângulos retângulos e ABCADE. Por semelhança, temos: Portanto, h=10 e H = 40