UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Análisis del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) o Método de Evans La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia la cual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto. Sea el siguiente sistema de control La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son G ( s) = K s ( s + 4) C (s ) K = 2 R ( s ) s + 4s + K La ecuación característica de lazo cerrado s + 4s + K = 0 Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son 2 s1 , s 2 = − 2 ± 4 − K INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 1 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA K 0 1 2 3 4 5 8 13 s1 -4 -3.732 -3.414 -3 -2 -2-i -2-2i -2-3i s2 0 -0.267 -0.585 -1 -2 -2+i -2+2i -2+3i Lugar geométrico de las raíces De la grafica: El sistema es estable si K > 0 , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo del plano s . Respuesta transitoria 1. Sobreamortiguada ( ζ > 1) (Polos reales y diferentes) 0<K <4 2. Críticamente amortiguada (ζ = 1) (Polos reales e iguales) K =4 3. Subamortiguada ( 0 < ζ < 1) (Polos complejos conjugados) K >4 4. Sin amortiguamiento (ζ = 0 ) (Polos imaginarios) No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta. INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 2 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Gráfica del lugar geométrico de las raíces Considere el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es C (s ) R(s = G (s ) 1 + G (s ) H (s ) La ecuación característica de este sistema es ) 1+G( s) H( s) =0 o bien G ( s ) H ( s ) = −1 El término G ( s ) H ( s es un cociente de polinomios en s . ) Como G ( s ) H ( s ) es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ángulo Condición de ángulo ∠G ( s ) H ( s ) = ±180º ( 2k + 1) Condición de magnitud ( k = 0, 1, 2,K) G( s) H( s) =1 Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud. Magnitud y Ángulo en el plano s. Por ejemplo Si G ( s ) H ( s es ) G(s)H(s) = K ( s + z1 ) ( s + p1 )( s + p2 )( s + p3 )( s + p4 ) en donde − p2 y − p3 son polos complejos conjugados, el ángulo de G ( s ) H ( s ) es ∠G ( s ) H ( s ) = ∠ ( s + z1 ) − ∠ ( s + p1 ) − ∠ ( s + p2 ) − ∠ ( s + p3 ) − ∠ ( s + p4 ) ∠G ( s ) H ( s ) = φ1 − θ1 − θ 2 − θ 3 − θ 4 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 3 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ C.C. LARA HDZ . ELIZABETH GPE.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA La magnitud de G ( s ) H ( s para este sistema es ) G(s)H(s)= K s + z1 s + p1 s + p2 s + p3 s + p4 K B1 A 1 A 2 A3 A4 G(s)H(s)= INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 4 M. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M. . existe puntos de ruptura en el cuál el lugar de las raíces deja el eje real. 2 Trayectorias sobre el eje real: Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Existen trayectorias sobre el eje real si la cantidad total de polos y ceros reales de G ( s ) H ( s ) a la derecha de un punto de prueba es impar. Ubicación de los ceros infinitos: Cuando el lugar geométrico de las raíces tiende a infinito asintótica (en línea recta).UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces. 2. 1 Inicio y final de las trayectorias Las trayectorias del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto G ( s ) H ( s con K = 0 y terminan en los ceros de G ( s ) H ( s o en el infinito (ceros finitos o ) ) ceros en infinitos) con K = ∞ . 1. a Número de asíntotas 3 ( s → ∞) lo hace en forma (# As ) # As = n p − nz donde: np = nz = b Número de polos de G (s )H (s ) G (s )H (s ) Número de ceros finitos de Centroide de las asíntotas (σ o ) σ o= ∑ Pi − ∑ Zi n p − nz donde: ∑ Pi = Suma de valores de los polos ∑ Z i = Suma de valores de los ceros c Angulo de las asíntotas (∠ As ) ( ) ( k= K 0. ∠ As = 4 ± 180 o 2k + 1 n np − z ) Puntos de quiebre o de ruptura a (S ) q Cuando existen trayectorias entre dos polos o dos ceros reales. C. LARA HDZ . ELIZABETH GPE.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 5 M. R. dK =0 ds 5. c 7. Ganancia de quiebre Es el valor de (K ) q K en el punto de quiebre. esto es cuando Se obtiene sustituyendo 8. El valor de los raíces (polos) cuando se cruza el eje imaginario.R. Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica.R. seleccionar el o los puntos de quiebre del sistema.G.K) ∑ de los angulos de los polos o = ±180 (2k + 1) finitos de G(s)H (s) al punto (s ) del G(s)H (s) al punto (s ) − 9. Frecuencia Critica (ωc ) K=Kc K c en el polinomio auxiliar de la tabla de Routh.G.G. Si G (s )H (s ) = KA(s ) B (s ) 1 + G (s )H (s ) = 1 + KA(s ) 0 B(s ) = B(s ) + KA(s ) = La ec. se establece el rango de valores de K para que el sistema sea estable. despejar K ii) Derivar una vez con respecto a s e igualar a cero la ecuación resultante.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Procedimientos para determinar los puntos de quiebre i) De la ecuación característica. Cálculo de K para cualquier punto s del L. Para que un punto s pertenezca a la trayectoria del L. Sq Se obtiene utilizando la condición de magnitud en el punto 6. 2. iii) Obtener las raíces de la ecuación obtenidas en el inciso (ii) . INGENIERÍA DE CONTROL . característica sería Despejando K K =− B(s ) A(s ) Los puntos de ruptura se determinan resolviendo la siguiente ecuación. Ganancia Critica (K c ) Es el valor de K que hace que el sistema se encuentre en el límite de estabilidad. Los límites de ese rango definirán los K . 1. debe cumplir la condición de ángulo: ∠G (s )H (s ) = ±180º (2k + 1) ∑ de los angulos de los ceros (k = 0. Pertenencia de un punto a la trayectoria del L. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M. LARA HDZ .C. ELIZABETH GPE.C.6 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES M. C.R.K) La condición de magnitud es INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 7 M.5. ELIZABETH GPE. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo). debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos. Ángulo de salida desde un polo complejo = 180° . la condición de ángulo se convierte en ∠G (s )H (s ) = ∠ K = −∠(s ) − ∠(s + 1) − ∠(s + 2 ) = ±180º (2k + 1) s (s + 1)(s + 2 ) (k = 0. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo) Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable. Para el sistema determinado. Gs ( )H( s) = K s (s + 1)(s + 2 ) Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea 0.G. se puede obtener la ganancia K que permite tener ese [ producto de las longitudes entre el punto (s ) y los polos de G(s)H (S )] K = [ producto de las longitudes entre el punto (s ) y los ceros de G(s)H (S )] 10. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M. s pertenece al L. LARA HDZ . 1.(suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos) + (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros) Ángulo de llegada a un cero complejo = 180° .(suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otros ceros) + (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos) Ejemplo 1 Considere el sistema de la figura.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Si un punto punto.C. se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.R. entonces existe un punto de quiebre. ± 180° n p − nz 3 Puntos de quiebre o de ruptura (S ).G. 3. ya que no existen ceros finitos.422)(0. Ganancia de quiebre (K ) Utilizando el punto de quiebre q Sq s q calculamos la ganancia de quiebre con la condición de magnitud K = s(s + 1)(s + 2) = (0. empiezan en los polos de lazo abierto 0.C.C.385 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 8 M.577 Como el punto de ruptura debe estar entre (0 y -1) entonces el punto sería s q = −0. ± 180°(2k + 1) ± 180°(2k + 1) = = ±60°(2k + 1) = ±60°.422 s = −1. 2. y terminan en el infinito con K = ∞ ( ) Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L. ELIZABETH GPE. ( ) ( ) # As = n p − n z = 3 − 0 = 3 ∑ P ∑ Zi (0 − 1 − 2 ) − (0 ) σ0 = i − = = −1 n p − nz 3 ∠As = 4.422 5. − 1 y − 2 con K = 0 . De la ecuación característica despejamos K 1+ K =0 s (s + 1)(s + 2 ) K = − s 3 + 3s 2 + 2s derivando K respecto a s e igualando a ceros ( ) dK ds resolviendo = − 3s ( 2 + 6s + 2 = 0 ) 3s 2 + 6s + 2 = 0 s = −0.G.R. Como existe lugar de las raíces entre dos polos (0 y q -1). sobre el eje real existen entre los polos 0 y − 1 y de − 2 a − ∞ .G.578) = 0.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA G (s) H ( )s= K s(s + 1)(s + 2) =1 K=s s+1 s+2 1. LARA HDZ .R. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M. que tienden a infinito son 3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.578)(1. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar Kc = 6 3sc + Kc = 0 Para determinar la ganancia 2 3sc + 6 = 0 2 sc = ±1.5 Se determina la ecuación de la recta de ζ = 0. que este sobre el L.G. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 6.5) = 60º y = x tan(120º ) = −1.414 j ζ = 0.5 − − β = cos 1 ζ = cos 1 (0. y que este sobre la recta de relación de amortiguamiento ζ = 0.R. Ganancia Critica característica (K c ) : Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación La ecuación característica es La tabla de Routh es s 3 + 3s 2 + 2s + K = 0 2 K ← Polinomio Auxiliar P(s) 0 s s2 s 1 3 1 3 6−K 3 K s0 La ganancia crítica se obtiene de 6 − Kc =0 3 7.732 x INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 9 M. ELIZABETH GPE.C.C.5 K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento Primero se determina el punto s. LARA HDZ . JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.86° -0.333+ j 0.C.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA con esta ecuación de la recta se propone un valor en x y se determina el valor en y − ∠(s + 2 ) -23.5 es K = 1.42º -17º -19.53º -173. ELIZABETH GPE.577 El punto que cumple con las dos condiciones es Aplicando la condición de magnitud s = −0.764) = 1.577 = (0.036 La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento ζ = 0.577 K = s s +1 s + 2 s = −0. LARA HDZ .036 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 10 M.3+j0.11º -36.333+j0.666)(0.882)(1.693 -0.09° = -180° -192.61º -179.C.52 -0.333 + j0.95° el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR s=x+jy − ∠(s ) -120º -120º -120° − ∠(s + 1) -49.61º -40.4+j0. C.G. ± 180°(2k + 1) ± 180°(2k + 1) = = ±90° n p − nz 2 q Puntos de quiebre o de ruptura ( S ).G. sobre el eje real existen entre los polos 0 y − 1 y de − 2 a − 5 . ya que solo existe un cero finito.R. 2. ELIZABETH GPE. G s( H ) (s ) = K (s + 5) s(s + 1)(s + 2 ) Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea 0. ( ) ( ) # As = n p − nz = 3 − 1 = 2 ∑ Pi − ∑ = n p − nz = σ Zi 0 (0 − 1 − 2) − (− 5) 2 = 1 ∠As = 4.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Ejemplo 2 Considere el sistema de la figura. entonces existe un punto de quiebre. LARA HDZ .R. la condición de ángulo se convierte en ∠G(s)H (s ) = ∠ K (s + 5) = ∠(s + 5) − ∠(s) − ∠(s + 1) − ∠(s + 2) = ±180° s(s + 1)(s + 2) La condición de magnitud es G(s)H (s ) = K (s + 5) =1 s(s + 1)(s + 2) K= s s+1 s+2 s+5 1. Para el sistema determinado. De la ecuación característica despejamos K INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 11 M.G. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L. una en − 5 y dos en el infinito con K = ∞ ( ) ( ) Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M. Como existe lugar de las raíces entre dos polos (0 y − 1) .6.R. 3. − 1 y − 2 con K = 0 . Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L. y terminan. empiezan en los polos de lazo abierto 0. que tienden a infinito son 2. 084 4. s(s + 1)(s + 2 ) (s + 5) = Sq s s +1 s + 2 s+5 s = −0.553)(1.609 s = −6. Ganancia de quiebre ( K q ) Utilizando el punto de quiebre quiebre con la condición de magnitud sq calculamos la ganancia de K= 6. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar 3sc2 + 5K c =0 3sc2 + 15 = 0 sc = ±2.447 (0.C.C.553) = 0.553 Ganancia Critica ( K c ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica La ecuación característica es La tabla de Routh es s 3 + 3s 2 + (2 + K )s + 5K = 0 1 2 +K 5K ← Polinomio Auxiliar P(s) 0 s3 s s 1 2 s0 3 6 − 2K 3 5K 6 − 2K c 3 La ganancia crítica se obtiene de =0 Kc =3 7.447 s = −1. ELIZABETH GPE.943 Como el punto de ruptura debe estar entre (0 y -1) entonces el punto sería s q = −0.447)(0.447 5.236 j Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento ζ = 0. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M. LARA HDZ .6 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 12 M.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA K =− s(s + 1)(s + 2 ) (s + 5) derivando K respecto a s e igualando a ceros dK = − 2 s + 9s + 15s + 5 = 0 2 ds (s + 5) s 3 + 9s 2 + 15s + 5 = 0 ( 3 2 ) Resolviendo s = −0. 13° x y se determina el valor en y y = x tan (126.59º -126.632) ζ = 0.532j 6.6) = 53.89º -41.4+0.8º -41.87°) = −1.42º -18.398 +0.6 Se determinan los puntos que estén sobre la recta de 1 β = cos ζ = cos − −1 ζ = 0.G.803)(1.194 (4.R.532 j = (0. y que este sobre la recta de relación de amortiguamiento ζ = 0.398 + 0.664)(0.688) = 0. LARA HDZ .533j 6.46º El punto que cumple con las dos condiciones es s = −0.61º -126.61º -0.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Primero se determina el punto s.31º = -180. que este sobre el L. ELIZABETH GPE. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C.532 Aplicando la condición de magnitud K= s s +1 s + 2 s+5 s = −0.194 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 13 M.C.333 x con esta ecuación de la recta se propone un valor en el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR s=x+j y ∠(s + 5) − ∠(s ) − ∠(s + 1) j − ∠(s + 2) -18.04º -0.398+0.6 (0.37º = -180° = -180.6 es La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento K = 0. C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ .UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 14 M. R. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L. empiezan en los polos de lazo abierto 0. que tienden a infinito son 3. 6. sobre el eje real existen entre 0 y −∞.C. la condición de ángulo es ∠G(s)H (s ) = ∠ K = −∠(s) − ∠(s + 2 + 2 j) − ∠(s + 2 − 2 j) = ±180° s (s + 2 + 2 j )(s + 2 − 2 j ) La condición de magnitud es G (s )H (s) = K =1 s (s + 2 + 2 j )(s + 2 − 2 j ) K=s s+2+2j s+2−2j 1. LARA HDZ . q ): No existe ganancia de quiebre Ganancia Critica ( K c ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica La ecuación característica es La tabla de Routh es s 3 + 4s 2 + 8s + K = 0 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 15 M. ELIZABETH GPE. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L. Gs ( )H( s) = K s s + 4s + 8 ( 2 ) K G s (H )( s )= s(s + 2 + 2 j )(s + 2 − 2 j ) Para el sistema determinado. # As = n p − n z = 3 − 0 = 3 ∑ Pi − ∑ Zi (0 − 2 + 2 j − 2 − 2 j 1.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Ejemplo 3 Considere el sistema de la figura.R.C. 180º n p − nz 3 q σ0 ∠As = 4.G. ya que no existen ceros finitos.G. Puntos de quiebre o de ruptura ( S Ganancia de quiebre ( K ): No existe punto de quiebre.R.333 ) = = =− n p − nz 3 ± 180°(2k + 1) ± 180°(2k + 1) = = ±60°. ( ) 3. 2. − 2 − 2 j y − 2 + 2 j con K = 0 .G. en el infinito con K = ∞ . 5. y terminan. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.828 j 7.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA s3 s s 2 1 1 4 32 − K 4 K 32 − K c 4 8 K ← Polinomio Auxiliar P(s) 0 s0 La ganancia crítica se obtiene de =0 4s c2 + 32 = 0 K c = 32 sc = ±2. ELIZABETH GPE.C.C. LARA HDZ . Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo) Se toma como polo complejo Ángulo de salida = s = −2 + 2 j 180° − (∠(s ) + ∠(s + 2 + 2 j )) = 180° − (135° + 90°) = −45° INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 16 M. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar 4s c2 + Kc = 0 10. R. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L. y terminan. ya que solo existe un cero finito. ( ) 3. sobre el eje real existen entre −4 y−∞ . empiezan en los polos de lazo abierto − 2 + 3 j y − 2 − 3 j K = 0 .R. # As = n p − nz = 2 − 1 = 1 ) −4 σ 0 =∑ Pi − ∑ Zi = (− 2 + 3 j − 2 − 3 j = n p − nz 1 180°(2k + 1) ± 180°(2k + 1) ∠As = ± = ±180° = np − 1 nz 4. G (s )H (s ) = G(s)H(s)= K (s + 4 ) s + 4s + 13 ( 2 ) K ( s + 4) ( s + 2 + 3 j )( s + 2 − 3 j ) Para el sistema determinado.G.R.G. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L. entonces existe un punto de quiebre.G.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Ejemplo 4 Considere el sistema de la figura. Puntos de quiebre o de ruptura ( S q ): Como existe lugar de las raíces entre un cero y el infinito − 4 y − ∞ . que tienden a infinito es 1. ( ) De la ecuación característica despejamos K . K =∞ Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L. una en el cero − 4 y la otra en el ( ) ( ) con infinito con 2. la condición de ángulo es ∠G(s)H (s ) = ∠ K (s + 4 ) = ∠(s + 4) − ∠(s + 2 + 3 j) − ∠(s + 2 − 3 j) = ±180° (s + 2 + 3 j )(s + 2 − 3 j ) La condición de magnitud es G(s)H (s ) = K (s + 4) 1 (s + 2 + 3 j )(s + 2 − 3 j = K= s+2+3j s+2−3j s+4 ) 1. LARA HDZ . JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 17 M.C. ELIZABETH GPE.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C.605 2 Como el punto de ruptura debe estar entre (− 4 y − ∞ ) entonces el punto sería s q calculamos la ganancia de s q = −7. ELIZABETH GPE. Ganancia Critica El punto crítico (K c ) : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario (sc ) : No existe punto crítico Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo) Se toma como polo complejo s = −2 + 3 j Ángulo de salida = 180° − ∠(s + 2 + 3 j ) + ∠(s + 4 ) = 180° − 90° + 56.605 6.C.357)(6. 7.605 = 11.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA K =− derivando (s + 2 + 3 j )(s + 2 − 3 j ) (s + 4) K respecto a s e igualando a ceros dK s 2 + 8s + 3 =0 =− 2 ds (s 4) ( ) resolviendo + s + 8s + 3 = 0 s = −0.394 s = −7.31° INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 18 M.31° = 146.605 5. LARA HDZ . 10.211 s = −7. Ganancia de quiebre ( K q ): Utilizando el punto de quiebre quiebre con la condición de magnitud K= j) (s + 2 + 3 j )(s + 2 − 3 (s + 4) Sq = s+2+3j s+2−3j s+4 (6.357) 3. C.C. LARA HDZ . ELIZABETH GPE. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 19 M. Ubicación de los ceros infinitos: No existen trayectorias del L.G. ( ) ( ) ( )( ) 3.073 Los dos puntos son puntos de ruptura ya que están entre (2 y − 1) y (− 4 y − ∞ ) sq 2 = −3. sobre el eje real existen entre 2 y−1 −3 y−4 . que tiendan a infinito. LARA HDZ .427 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 20 M. K (s + 3)(s + 4 ) G (s )H (s ) = (s − 2 )(s + 1) Para el sistema determinado.073 sq1 = −0. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.C. en los ceros − 3 y − 4 con K = ∞ .R. 2. empiezan en los polos de lazo abierto 2 y − 1 con K = 0 . y terminan. entonces existe un punto de quiebre.G. Puntos de quiebre o de ruptura ( S q ): Como existe lugar de las raíces entre el infinito − 4 y − ∞ .427 resolviendo s = −0. la condición de ángulo se convierte en ∠G(s)H (s ) = ∠ K (s + 3)(s + 4) s 3 s 4 (s 2) (s 1) 180 (s − 2)(s + 1) = ∠( + ) + ∠( + ) − ∠ − − ∠ + = ± ° La condición de magnitud es G(s)H (s ) = K (s + 3)(s + 4) 1 (s − 2)(s + 1) = K= s−2 s+1 s + 3 s +4 1.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Ejemplo 4 Considere el sistema de la figura. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.R. ( ) (2 y − 1) y De la ecuación característica despejamos K K=− derivando (s − 2)(s + 1) (s + 3)(s + 4) K respecto a s e igualando a cero d − (s − 2)(s + 1 ) (8s − 2 + 28s + 2 )= 0 ds= (s + 3)(s + 4) (s + 3) 2 (s + 4) 2 8s 2 + 28s + 2 = 0 s = −3. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C. ELIZABETH GPE.G. 4.R. 167 (3.427 )(2.427 ) = (0.427 )(0.573) = 53. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.427 6.927 ) 0.833 = −3.C.073 (2. Ganancia Critica Punto crítico (K c ) : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario (sc ) : No existe punto crítico INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 21 M. ELIZABETH GPE.073)(0. Ganancia de quiebre ( K q ): Utilizando los puntos de quiebre ganancias de quiebre con la condición de magnitud sq1 y sq 2 .UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 5.927 ) = K q2 = (s − 2)(s + 1) (s + 3)(s + 4) Sq 2 = Sq 2 (5.927 )(3.C. 7. calculamos las K q1 = (s − 2)(s + 1) (s + 3)(s + 4) Sq1 = s − 2 s +1 s+3s+4 s − 2 s +1 s+3s+4 = Sq 1 =−0. LARA HDZ . JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M. LARA HDZ .C. ELIZABETH GPE.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 22 M.C. C.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M. LARA HDZ .UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA K=3 K=4 K=8 K = 13 K = 20 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 23 M. ELIZABETH GPE. 3849 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 24 M. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C.05 K = 0. ELIZABETH GPE.C.2 K = 0.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA Gs ( )H( s) = K s (s + 1)(s + 2 ) K = 0. LARA HDZ . 5 K = 5. LARA HDZ . ELIZABETH GPE.C.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA K = 2.5 K=6 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 25 M. 64 Ts 151 33.96 3. ELIZABETH GPE. LARA HDZ .7 14.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA K=9 K .C.4 17.69 2.05 .3849 1. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.5 5.3 12.8 164 INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 26 M.5 6 9 Mp Tp 16 48 86 5.C.2 .036 2. 05 INGENIERÍA DE CONTROL 27 M.036 K=0. ELIZABETH .5 K=1. LARA HDZ M.UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA K=5.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES GPE.2 K=0.3849 G (s )H (s ) = K s (s + 1)(s + 2 ) K=0.C.5 K=6 K=9 K=2.
Report "08 - Analisis Del Lugar Geometrico de La Raices"