11 7. Matemáticas financieras - Tasas de interés, Valor Presente, Valor Futuro y TIR • Razones para no estar indiferentes entre $1.000.000 hoy y $1.000.000 al cabo de 6 meses • Reglas basadas en VP y VF • Supuestos 2 Convenciones sobre tasas de interés • Unidad de tiempo de la tasa de interés es fundamental • Tasa de interés efectiva (compuesta) periódica • P. Ej.: tasa de interés efectiva mensual es 0,5% ¿Es 6% la tasa de interés efectiva anual equivalente? • Si r A = 12%, ¿tasa efectiva mensual? • Tasa de interés efectiva equivalente 2 3 Convenciones... • Interés simple versus compuesto: • Bcos. Tasa base anual a 90 días – 4,5% – ¿Efectiva anual? • Frecuencia de la composición – Supongamos que la tasa de interés anual está fija en 12%, y se compone m veces en el año. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual? 4 Flujos y tasas de interés nominales y reales • Sup.: Hay sólo un bien en la economía y dinero. I t es el precio de dicho bien en el momento t (expresado en pesos). – I 0 = 100; I 1 = 120 • Flujo “nominal” (FC t ): • Flujo “real”: • Interés nominal i N : • Interés real ganado i R : • Ecuación de Fisher: 3 5 Valores nominales y reales – Inflación entre fines de 1 y fines de 3 – Inflación acumulada vs. de cada período – Cambio de base – Flujo Real RECIBIDO t EN MONEDA DE T = – Ejemplo: interés nominal anual entre fines de 2 y fines de 5 fue 20% – ¿Interés real anual? 6 Valor Futuro • Tenemos $1.000.000 hoy y no lo vamos a gastar. • La tasa de interés mensual efectiva es 0,5%. • Cantidad acumulada en el banco al cabo de un mes: C 1 = ? • VF(C 0 ; N; r) = • Si r es la tasa de interés efectiva trimestral: • ¿Indiferencia entre C 0 hoy y C N al cabo de N períodos? 4 7 Valor Presente • VF(C 0 ; N; r) = C 0 (1+r) N = Π {i=1...N} (1+r i ) = C N • VP(C N ; N; r) = C 0 = C N (1+r) -N = C N [Π {i=1...N} (1+r i )] -1 – VP(12.106.842; N=500; r=0,5%) = 12.106.842(1+0,5%) -500 = 1.000.000 VALOR PRESENTE Y FUTURO Co=1.000.000; r=0,5% 0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000 0 100 200 300 400 500 Número de Períodos (N) V F , V P VALOR PRESENTE Y FUTURO Co=1.000.000; N=5,10 1,000,000 6,000,000 11,000,000 16,000,000 21,000,000 26,000,000 31,000,000 36,000,000 0% 10% 20% 30% 40% 50% Tasa de Interés (r) V F , V P 8 Sensibilidades (Elasticidades) • VF(C 0 ; N; r) = C 0 (1+r) N VP(C N ; N; r) = C N (1+r) -N ∆°VF/∆N = ∆°VP/∆N = ∆°VF/∆r = ∆°VP/∆r = 5 9 Fórmulas de Valor Presente y Futuro - Perpetuidad • V P,1 : mínimo valor que habría que “meter al banco” hoy para poder retirar flujos de 200 a perpetuidad a partir de t=1. • ¿Qué podemos retirar? • A(C; r; N = ∝) = • ¿Qué tipo de tasa de interés estamos usando? 0 1 200 2 200 3 200 4 200 5 200 ... ... V P,1 10 Fórmulas de Valor Presente y Futuro - Pagos periódicos idénticos (Anualidades) • V A,10 : mínimo valor que habría que “meter al banco” hoy para poder retirar flujos de 200 hasta el año 10. • ¿Qué podemos retirar? • A(C; r; N) = • Otra derivación: por progresión geométrica 0 1 200 2 200 ... ... 10 200 11 0 ... 0 V A,10 6 11 Fórmulas de Valor Presente y Futuro - Pagos periódicos idénticos (Anualidades) • A(C; r; N) = (C/r)[1-(1+r) -N ] A($1; r=10%; N) $0 $1 $2 $3 $4 $5 $6 $7 $8 $9 $10 0 10 20 30 40 50 12 Fórmulas de Valor Presente y Futuro - Perpetuidad creciente (a tasa constante) • Supongamos que no hay instrumentos que protegen de la inflación. Esta será 4% anual indefinidamente. Necesitamos $500M el primer año y que los retiros siguientes mantengan el valor real constante. Si la tasa (nominal) de interés es 10%. ¿Cuánto debemos depositar en el banco? • ¿Cuánto podemos retirar? • A(C 1 ; r; N= ∝; g) = • Otra derivación: por progresión geométrica 0 1 500 2 520 ... ... 10 711,7 11 740,1 12... 769,7 V P,1,4% ... 7 13 Fórmulas de Valor Presente y Futuro - Perpetuidad creciente A(C 1 ; r; N= ∝; g) = C 1 /[r-g] ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | + + − − = + + = ∑ = N N t t t- r g g r C r) ( g) ( C ; r; N; g) A(C 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 VP Perpetuidad (C1=$1; r=15%) 0 50 100 150 200 0% 5% 10% 15% 20% g V P P e r p e t u i d a d - Flujos crecientes (a tasa constante) N finito VP Perpetuidad (C1=$1; g=5%) 0 50 100 150 200 0.0% 5.0% 10.0% 15.0% 20.0% r V P P e r p e t u i d a d 14 Ejercicio • Los afiliados a los fondos de pensiones normalmente cotizan durante un período activo de entre 35 y 45 años. El capital acumulado en el fondo de pensiones luego lo retira en cuotas mensuales, ya sea hasta su muerte o la de sus beneficiarios. – 1) Un afiliado cotiza un 10% de su renta de 60 UF mensuales durante 40 años, (a) cuánto capital acumula si en promedio la rentabilidad del fondo es 8% anual (b) si viviera 25 años más ¿cuál es la máxima pensión mensual? Para este segundo período se supone una rentabilidad de 4%; (c) si quiere vivir con la misma renta que antes, ¿le sobra dinero al jubilar? (¿hay retiro de libre disponibilidad?) – 2) Encuentre una expresión que relacione la pensión que recibirá con el monto acumulado de la riqueza. ¿Cuánto aumenta la pensión si la cotización aumenta en 10%? – 3) Las autoridades estimaron que con una cotización del 10% del salario durante 40 años se alcanzaría una jubilación equivalente al 70% del sueldo activo. ¿Qué rentabilidad promedio se supuso? – 4) Se analiza las siguientes posibilidades de aumentar la pensión futura: a) contratar un asesor que indique la AFP que será más rentable lo que generará una rentabilidad adicional de 1% - cobra 10% de la riqueza final; b) aumentar la cotización de 10% a 10%(1+x); c) postergar la jubilación durante ∆N años. 8 15 Ejercicio – 1(a) – 1(b) – 1(c) – 2) – 3) – 4a) – 4b) – 4c) 16 Tasa Interna de Retorno (TIR) - Usos y problemas • TIR: tasa de descuento ρ que hace cero el VPN – ¿TIR de una perpetuidad? • Un período • En general 9 17 TIR - Ejemplo 1 – Flujos: C 0 =-2.000.000; C 1 =1.000.000; C 2 =2.000.000 18 TIR - Ejemplo 2 – Empresa emite un bono por $1.000.000 a una tasa de interés de 10%. Durante la vida del bono (10 años) paga sólo los intereses. Paga el saldo de la deuda al final. – Si B 0 es $1.000.000, ¿TIR? – Si B 0 = $886.996, ¿TIR? – Puntos de Vista • COMPRADOR: • VENDEDOR : 0 1 -100 2 -100 ... ... 10 -1100 11 0 ... 0 +B 0 10 19 TIR - Interés Implícito • Conceptual: Sup. pagarés de deuda externa se transan a un 60% de su valor par • Ejemplo: Almacenes Madrid ofrece – (1) Compra a crédito de una Lavadora en $252.800, 10 cuotas iguales sin intereses – (2) Contado: $197.000 – TIR si la primera cuota fuera adelantada – TIR si pre-pagamos luego de un mes • COROLARIO: 20 Tasa Interna de Retorno (TIR) - Problemas • PROBLEMAS PROPIOS – 1) Qué somos, ¿inversionistas o deudores? – 2) Múltiples TIR – 3) ¿Con qué tasa comparamos? • PROBLEMAS DE COMPARACION – 1) Escala – 2) Horizonte 11 21 TIR - PROBLEMAS DEL TIR - PROPIOS • 1) Signos de los flujos • 2) Múltiples TIR 22 TIR - PROBLEMAS DEL TIR - COMPARACIONES • 1) Escalas de inversión – Si escogemos en base a TIR – Problema: • 2) Horizontes de inversión – Problema: 12 23 VPN - Calculo correcto del VPN • 1) Sólo considerar Flujos de Caja relevantes: incrementales • 2) Consistencia en el tratamiento de la inflación • 3) Separar la valoración del activo de su financiamiento (salvo que sea financiamiento atado) – No considerar los intereses ni amortizaciones en el flujo del activo 24 VPN - Flujos relevantes o incrementales + FLUJO DE CAJA CON PROYECTO – FLUJO DE CAJA SIN PROYECTO = FLUJO DE CAJA DEL PROYECTO • • ANTES y DESPUES