07 Ecuaciones lineales.doc

June 10, 2018 | Author: AmandaPavetti | Category: Equations, Fraction (Mathematics), Linearity, Logic, Mathematical Concepts


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0.7 ECUACIONES, EN PARTICULAR ECUACIONES LINEALES Ecuaciones Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que forman una ecuación se le denomina lados ( o miembros), y están separadas por el signo de igualdad, =. Ejemplo 1 Ejemplo de ecuaciones. a. x  2  3 b. x 2  3 x  2  0 c. y 6 y4 d. w  7  z En el ejemplo 1 cada ecuación tiene una variable. Una variable es un símbolo que puede ser reemplazado por un número cualquiera de un conjunto de números diferentes. los símbolos más comunes para las variables son las últimas letras del alfabeto. x, y, z, w, t. Nunca, se permite que en una ecuación haya una variable que tenga un valor para el cual esa ecuación no esté definida. Por ejemplo, en y 6 y4 y no puede ser 4, porque provocaría que el denominador fuese cero; mientras que en x3  9 Debe cumplirse que x  3 , de manera que la expresión dentro del símbolo raíz cuadrada no es negativa. (No es posible dividir entre cero ni obtener raíces cuadradas de números negativos.) Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para los cuales es verdadera. Estos valores se denominan soluciones de la ecuación y se dice que satisfacen la ecuación. Cuando sólo está involucrada una variable, la solución también se le conoce como raíz. Al conjunto de todas las soluciones se le llama conjunto solución de la ecuación. En ocasiones, a una letra que representa una cantidad desconocida en una ecuación se le denomina simplemente incógnita. Ejemplo 2 Terminología de las ecuaciones a. En la ecuación x  2  3 , la variable x es la incógnita. Obviamente, el único valor de x que satisface la ecuación es 1. Que aquí que 1 sea una raíz y el conjunto solución sea 1. b. -2 es una raíz de x 2  3x  2  0 porque al sustituir -2 por x se logra que la ecuación sea verdadera:   2 2  3  2   2  0. Así que -2 es un elemento del conjunto solución, pero en este caso no es el único. Existe uno más, ¿podría usted encontrarlo? 1 precisamente. 2 . Sumar (o restar) el mismo polinomio a (de) ambos lados de una ecuación. Multiplicar ambos lados de una ecuación por una expresión que involucre la variable. Por ejemplo. donde el polinomio está en la misma variable que aparece en la ecuación. Resolver una ecuación puede implicar el realizar operaciones con ella. ¿Podría pensar en otra? Ecuaciones equivalentes Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si ambas tienen las mismas soluciones. Reemplazar cualquiera de los lados de una ecuación por una expresión equivalente. existe un número infinito de soluciones. Una solución es el par de valores w  4. Dividir ambos lados de una ecuación por una expresión que involucre la variable. Multiplicar (o dividir) ambos lados de una ecuación por la misma constante distinta de cero. Operaciones que pueden no producir ecuaciones equivalentes. lo que significa. Existen tres operaciones que garantizan dicha equivalencia: 1. 6. entonces al sumar 6x en ambos lados se obtiene la ecuación equivalente  5 x  6 x  5  6 x  6 x. si 10 x  5 . w  7  z es una ecuación con 2 incógnitas.5 2. que el conjunto solución de una es igual al conjunto solución de la otra. que a su vez equivale a x  . Elevar ambos lados de una ecuación al mismo exponente. que también equivale a x  . En resumen. si  5 x  5  6 x. 10 10 2 3. 4. 5. Pas operaciones 4 a 6 aumenta o disminuye las restricciones. Sin embargo. Las de 1 a 3 nunca afectará. Por ejemplo. Es preferible que al aplicar cualquiera de tales operaciones se obtenga una ecuación equivalente. una ecuación puede pensarse como un conjunto de restricciones sobre cualquier variable de la ecuación. Las opciones 4 a 6 pueden aumentar o disminuir las restricciones. z  3 .c. entonces al dividir ambos lados entre 10 se obtiene la ecuación equivalente 10 x 5 1  . ( al sumar -3x en ambos lados) 2 x  6  0 ……………………… (al simplificar. Ejemplo 4 Resolución de una ecuación lineal Resuelva 2 p  4  7 p  2 Solución: Primero. esto es.ECUACIONES LINEALES Los principios presentados aquí demostraran ahora en la solución de una ecuación lineal.  Ejemplo 3 resolución de una ecuación línea Resuelva 5 x  6  3 x Solución: Se empieza por dejar los términos que incluyen x en un lado y las constantes en el otro. Después se agrupan los términos semejantes y se resuelve. Una ecuación lineal también se lo puede llamar de primer grado o de grano uno. Entonces se despeja x por medio de las operaciones matemáticas adecuadas. 5 x  6    3 x   3 x    3x  ………………. se quitan los paréntesis.. operación 3) x  6 x  600  6  0  6 …………(al sumar +6 en ambos lados) 2 x  6 …………. Se tiene 5 x  6  3x …………………….(al simplificar) 2x 6  ……………………(al dividir ambos lados por 2) 2 2 x3 Resulta claro que 3 es la única raíz de la última ecuación. DEFINICION Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse e la forma ax  b  0 Donde a y b son constantes y a  0. Se tiene que 2 p  4   7 p  2 2p 8  7p  2 ……………(propiedad distributiva) 3 . puesto que la potencia más alta de la vibración que aparece en la ecuación (15) es la primera. puesto que la potencia más alta de la variable. Exprese r en términos de I. Así. Se tiene I  Pr t 4 . esta letra es considerada la incógnita. Solución: Aquí se considera que r es la incógnita. se divide ambos lados entre Pt. se llaman ecuaciones con literales y las letras se conocen como constantes literales. 7x  3 9x  8  4.( al restar 14 de ambos miembros) x2 ………. pueden considerarse como ecuacion con literales.. en la ecuación con literales x  a  4b. que expresa una relación entre ciertas cantidades. Después se realizan varias operaciones algebraicas para obtener una solución.  24 2 4 2 7 x  3   9 x  8  24 ……… (propiedad distributiva) ………. Ejemplo 6 Resolución de ecuaciones literales a. Ecuaciones con literales Las ecuaciones con literales en las que algunos de los componentes no están especificadas pero están representadas con letras a. Si se quiere expresar una letra en particular en términos de las otras.( al dividir ambos lados entre 5) Cada ecuación de los ejemplos 3 a 5 tiene una sola raíz.( al simplificar) 5 x  10 ……….  7x  3 9x  8  4    4 6  2 4   4. Para aislar r.( al restar 8 en ambos miembros) ……………. que es 4. 2 4 Solución: Primero se eliminan las fracciones al multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo (MCD). Las fórmulas como I  Pr t . Esto es cierto para toda ecuación lineal en una sola variable. La ecuación I  Pr t es la fórmula para el interés simple I sobre un capital P en dólares a una tasa de interés anual r en un periodo de t años. o d.( al simplificar) 14 x  6  9 x  8  24 ………. b. P y t.( al retar 7p en ambos lados) 5 6 5 p 6 p ………………( al dividir ambos lados entre -5) Ejemplo 5 Resolución de una ecuación lineal Resuelva 7 x  3 9x  8   6. c. puede considerarse a y b como constantes arbitrarias..2p  7p 6  5 p  6 ………….( propiedad distributiva) 5 x  14  24 ……………. Por ejemplo.. . Se sabe que : precio  impuesto  recibo (monto) Si se escribe P para denotar el precio (el cual todavía no se conoce). que se mencionó en el problema que aparece en los primeros párrafos de este capitulo. el impuesto es  p / 100 100 P de manera que se tiene P P PR 1 r 5 .. Se harán suposiciones semejantes al resolver otras ecuaciones con literales. Solución: S  P  Pr S  P 1  rt  …. Ahora se generalizara esa situación para ilustrar con mayor profundidad el uso de las ecuaciones literales. Resuelva P.I Ptr  Pt Pt I I  entonces r  Pt Pt Cuando se divide ambos lados entre Pt. La ecuación S  P  Pr t es la fórmula para el valor de S de una inversión de un capital de P dólares a una tasa de interés anual simple r durante un periodo de t años. b. Lesley desea conocer la cantidad que fue pagada por concepto de impuesto sobre la venta.(al dividir ambos lados entre 1  rt ) 1  rt Ejemplo 7 Resolución de una ecuación con literales Resuelva  a  c  x  x 2   x  a  2 Solución: Primero debe simplificarse la ecuacion y después colocar todos los términos que incluyan a x en un lado:  a  c x  x 2   a  c 2 ax  cx  x 2  x 2  2ax  a 2 ax  cx  2ax  a 2 x c  a   a 2 x a2 ca Ejemplo 8 Resolución del problema del "Impuesto en un recibo" Recuerde a Lesley Griffith. Lesley tiene un recibo por una cantidad R y ella sabe que la tasa del impuesto sobre las ventas es p. puesto que no es posible dividir entre 0. se supone que Pt  0 . (al factorizar) S  P ………. 6  0.6 18 . Recuerde que el impuesto francés es de 19. se demostrara que al resolver una ecuación no lineal de este tipo puede obtenerse una ecuación lineal. mientras que para un 119 . Se concluye que Lesley sólo tiene que multiplicar un recibo francés por 19. recibo italiano debe multiplicar por 118 Ecuaciones fraccionarias Una ecuación fraccionaria es una ecuación en la que hay una incógnita en un denominador.6% y el impuesto italiano 18%. 6 .16388 para determinar el impuesto que contiene. Ejemplo 9 Resolución de una ecuación fraccionaria Resuelva 5 6  x4 x3 Solución: Estrategia: Primero se escribe la ecuación de manera que no tenga fracciones: Después se utilizan las técnicas algebraicas estándar para resolver la ecuación lineal resultante. si fuera necesario.p   P 1   R 100   R P  p   100  R p  1  100   1  P      R 100  p 100 100 R 100  p Si se sigue que el impuesto pagado es RP R   100 R 100  p    R   R 1  100  p 100  p    100  p  Donde sería necesario verificar las manipulaciones con fracciones y proporciones más detalle. En esta sección. que se denota por Ø. Como 5 5  1 94 5 y 6 6  1 96 6 Se observa que 9 sí satisface la ecuación original. En este caso se deduce que el conjunto solución es el conjunto vacío.  x  2 x  4 x4   x2  x  2 x  4   x  4 3x  4   x  2 3x  5  12  3 x 2  8 x  16  3 x 2  x  10  12  3 x  8 x  16  3 x  x  10  12  9 x  6  12  9 x  18 x  2 2 2 Sin embargo. Ejemplo 10 Resolución de ecuaciones fraccionarias 3x  4 3x  5 12   2 x2 x4 x  2x  8 a. as. Algunas ecuaciones que no son lineales no tienen solución. 7 . de modo que no existen raíces. esto significa que no se tiene garantía de que la última ecuación sea equivalente a la original. Así que es necesario verificar si 9 satisface o no la ecuación original.  x  4  x  3 . se obtiene 3x  4 3x  5  12     x  2 x  4 . la ecuación original no está definida para x  2 ( no es posible dividir entre cero). se tiene  x  4 x  3 5   6     x  4  x  4     x 4  x 3 5 x  3  6 x  4  5 x  15  6 x  24 9x …….Al multiplicar ambos lados por el MCD. Resuelva Solución: Al observar los denominadores y notar x 2  2 x  8   x  2  x  4  se concluye que el MCD es  x  2  x  4 . el conjunto solución es Ø. se multiplica cada lado por una expresión que incluya a la variable x. Al multiplicar ambos lados por el MCD. Como se menciono con anterioridad.. aunque -2 es una solución de de ecuación (2). (Ecuación lineal) En el primer paso. no lo es de la ecuación original. está en el denominador. x 2  33  x  3 x  33   x  3 ---------------. Esta operación no garantiza la equivalencia. Resuelva 4 x5  0 Solución: La única manea en que una fracción puede ser igual cero es cuando el numerador es 0. Como el numerador . primero se quitan las fracciones y después se resuelve para u. au  v Estrategia: Como la incógnita.( al elevar al cuadrado ambos lados) 2 2 x 2  33  x 2  6 x  9 24  6 x 4x 8 .b. pero su denominador no. u. de modo que es necesario verificar las "soluciones" resultantes. exprese u en términos de las letras restantes. Ejemplo 12 Resolución de una ecuación con radicales. S u au  v s  au  v   u sau  sv  u sau  u   sv u  sa  1   sv u  sv sa  sa  1 1  sa Ecuación con radicales Una ecuación con radicales es aquella en la que una incógnita aparece en un radicando. Los dos ejemplos siguientes ilustran las técnicas empleadas para resolver tales ecuaciones. esta es. Ejemplo 11 Ecuación con literales Si s  u . Se comienza por aislar en un lado. Resuelva x 2  33  x  3 Solución: Para resolver esta ecuación radical. Después se elevan al cuadrado ambos lados y se despeja utilizando las técnicas estándar. resuelva para u.4. nunca es 0. el conjunto solución es Ø. se elevan ambos lados a la misma potencia para eliminar el radical. Así. primero se escribe de modo que cada lado haya un radical. 1.0. x 2   2 2 13. 15. .4 2 2 12  7 x   x 4. si es que lo hace. x x  1 2  x  2   0. 2 x  x 2  8  0. Problemas 0. 17 6.2. si es posible. 2 7. -3.4 3.7 En los problemas 1 a 6.  x  3 x  11 x  7    x  3 x  2  2 x 3 x  1  2 x x  4.3 5. x  4. x  1 2 2 9. x 2  2  11. Después se eleva al cuadrado y se resuelve. x 6  x   2 x  1  5 x  4.0 4. x 3  64 10.0 2.Por sustitución debe mostrarse que 4 es en realidad una raíz. 12. determine por sustitución cuales de los números dados satisface la ecuación. puede ser necesario elevar ambos lados a la misma potencia en más de una ocasión. Establezca si las operaciones garantizan o no que las ecuaciones sean equivalentes.1. x 2  1  3 x  1 x 1 14. x  2 2  x x  2  x 2  x  2 8. 8 x  4  16. No resuelva las ecuaciones. Ejemplo 13 Resolución de una ecuación con radicales. 2 x  3 3 x  1   x  4  2 x  3 1 9 16 2 x 2  9  x. no existe solución. Con algunas ecuaciones radicales.2. 5 7 x 2 2 9 . x  5  4 x  10. Esto es. 4 En los problemas 7 a 16 se aplicaron qué operaciones se aplicaron a la primera ecuación para obtener la segunda. 9 x  x 2  0. x 2  2 x  0. Resuelva y 3  y  3 Solución: Cuando una ecuación tiene dos términos que involucran radicales. Como este resultado no es igual al lado derecho.2 z  3 z  4   5. Se obtiene: y 3  y 3 y 3  y 6 6 y 9 y  12 y 2 y4 Al sustituir 4 en el lado izquierdo de la ecuación original se obtiene 1  4 que es -1. x  4 x  15  x  x2. 2 x 2  4  5 x  7. el conjunto solución es  .1. x 2  0 x2 1  3. 27. 4  5 x  2  7 x   5 x  2  3 5  25 47. x 1 3  x 59. 45.  4  3 5 34. 7  p  1 56.  x  6 12  7 73. 3 x 3 7  51. 44. x3 x3 66. 4x  6    3 x  3  13 x  5 x  7 2 x 2 4 2 x 1 3x  5 0 50. 3 y  0 20. x 2 1  2 3 72. 36. y2  6  9  y 4p 77. 4  3x  1  0 71. 3x  4  8  0 70. x x 3x  4   2 x3 x 3 x 9 67. 33. 3x  2 3x  1  2x  3 2x  1 x  2 x 1  0 60. 4  7 x  3 23. 5  2x 2 q 1 53. 4  3x   x  5 3 4 2x  5  27 y  23 78. y  48. 30. x 7 0 49. 4 r 5 3 x 1 3x   5   5 x 5 5 2y  3 6y  7  4 3 w w w w    120 2 6 24 x2 2 x   x2 3 6 9  3  x   3  x  3 5 4 35. x  5  4 68. 5q  4  3 1 2 55. 3x 5 x  9 5 3 y y y y y    2 3 4 5 t 5 7  t   t  1 4 3 2 7  2 x  1 6 x  3 5 x 2 x  4  7 5 10 2 y  7 8y  9 3y  5   3 14 21 46. z2 3 69. 39. 76. x  x  1  1 10 . 42. 7  9 2 29. 28. 25. x 5 74. 2 x  4 x  5 21.  8 x  12  20 22. 41. 4 x  10 18. 54.Resuelva las ecuaciones 17 a 80 17. r  37.2 x  7 19.  2 x  5 2 5 7 11   2 x  3 3  2 x 3x  5 1 3 4   x  3 x  2 1  2x 9 3x  65. 7 x  7  2 x  1 26. 0. 38. 2x  3 6 4x  5 75. t  2  2 2t  31  t   64. 2x  3  8 5y 6   2  4y 7 7 x x 32. 43. 40. x3 x3 2  52. 5 p  7   2 3 p  4   3 p x  2x  6 5 4x x  31. 4 s  3s  1  41 63. y  2  y  3 61. 5 x  3  9 24. 1  p  p  2 y6 6 y6   y y y6 y2 y2 62. Entonces el valor V ( en dólares) del articulo al final de n años esta dado por n  V  C 1   N  Si el mobiliario nuevo de una oficina se compró por $3200. r 86. se envía una señal que es reflejada por el automóvil en 11 . entre su vida útil. ¿Cuántos niños necesita inscribirse mensualmente para alcanzar el punto de equilibrio. p  8q  1. Señal de radar Cuando se utiliza un radar para determinar la velocidad de un automóvil en una carretera. Depreciación lineal Si usted compra un articulo para uso empresarial. I  Pr t . 94. r  89. 81.  n    R 1  1  i  . puede repartir su costo entre toda la vida útil del articulo cuando prepare la declaración de impuestos.R i n R 1  i   1 88. w 5w  2 57.I B n  1 xa xb  . Ingreso El ingreso mensual total de una guardería por concepto del cuidado de x niños está dado por r  450x. Suponga que el costo es C en dólares.t 1  dt 1 1 1 92. r  B  n  1 90. en el cual la depreciación anual se calcula al dividir el costo del articulo. P 1   p    R  0. esto se denomina depreciación. tiene una vida útil de 8 años y no tiene valor se rescate. Escriba una ecuación que representa el costo total c de un articulo que cuesta x dólares. q 93. Geometría Use la formula V  r 2 h para encontrar la altura h de una lata de refresco cuyo volumen V es de 355 ml y cuyo radio r es 2 cm.R i 87. 96. P 100  83.1 1 3   x 7 7 1 2  0 80. 58. menos su valor de rescate. z 2  2 z 03  z En los problemas 81 a 92. En otras palabras. 95. S  P1  rt  . exprese el símbolo indicado en términos de los símbolos restantes. r  2mI . q 84. p  q  f . la vida útil es N años y no hay valor de rescate.n 91.25%. r  82. 2 3  x 1 x  2 79. Impuesto de venta Un agente de ventas necesita calcular el costo de un articulo cuyo impuesto es de 8. 97. Después de cuántos años tendrá un valor de $2000? 98. S  . p  3q  6. y sus costos mensuales totales son c  380 x  3500. q 85.x bx ax 2mI . Geometría Use la fórmula P  2l  2 w para encontrar la longitud l de un rectángulo cuyo perímetro es de 660 m y cuyo ancho w es de 160m. ¿cuándo los ingresos alcanzan a los costos?. A  d . Un método de depreciación es la depreciación lineal. cada uno la quinta parte de sus salarios. Horas de servicio Suponga que fuera constante la razón del número de horas que una tienda de video está abierta. el número de clientes es 46 menos que el número máximo de clientes. entre los dos. Escriba una ecuación que describa esta situación y determine el número máximo de clientes diarios. al número de clientes diarios.4 x 1  0. el numero y de larvas de polilla que ha consumido un solo escarabajo a lo largo de un periodo determinado está dado por y 1. y se observa que la diferencia de frecuencias es de 495 ciclos por minuto.00 por hora y recibe un ingreso adicional de $18. Escriba una ecuación 12 . el experimento se repitió con varias densidades de los discos( numero de discos con 9 pies cuadrados). el "depredador". 102. Un oficial de policía dirige la señal de radar con una frecuencia de 2450 megaciclos por segundo a su auto. quieren al menos $550. La diferencia F (en ciclos por segundo) de la frecuencia entre la señal original y la frecuencia esta dada por F  vf 334. Ahorros Bronwyn y Steve quieren comprar una casa. por declinar las prestaciones de la compañía. 103. Siempre que se encontraba con disco lo retraba y reanudaba la búsqueda. si necesita consumir 10 larvas a lo largo del periodo dado. mientras que Steve gana $35. se realizó un experimento en el que un sujeto con los ojos vendados. Cuando la tienda esta abierta 10 horas.00 por hora más las prestaciones. Bronwyn gana $27. de manera que han decidido ahorrar.¿Cuantas horas debe trabajar cada uno de ellos cada semana? 100 Relación presa-depredador Para estudiar cierta relación presa-depredador.00 a la semana. ¿ qué densidad de larvas le permitiría sobrevivir a un escarabajo. Durante un minuto el "depredador" buscó los discos palpando con dedo.8 donde v es la velocidad del automóvil en millas por hora y f es la frecuencia de la señal original ( en megaciclos por segundo). Densidad de Presos En cierta área.00 cada semana. el numerador.. Cuando la tienda está abierta 8 horas. b 101.movimiento. se estimó que se han retirado en 1 minuto cuando hay x discos sobre la mesa . Tiempo de viaje El tiempo que le toma a un bote viajar una distancia dada río arriba ( en contra de la corriente) puede calcularse al dividir la distancia entre la diferencia de la velocidad del bote y la velocidad de la corriente. Suponga que usted está manejando en una autopista que tiene un limite de velocidad de 65 millas por hora. se puso al frente de una mesa cuadrada de 3 pies por lado en la que se colocaron discos de papel de lija. a manera de "presa". ¿Puede reclamarle por conducir a exceso de velocidad? 99. el número de clientes es 92 menos que el número máximo de clientes. entonces y  a 1  by  x donde a y son constantes: Resuelva esta ecuación para y.09 x donde x es la densidad de presos( el numero de larvas por unidad de área). . 105. ¿Qué porcentaje de los recibos que trajo Tom de nueva Escocia son por HST? En los problemas 108 a 111 utilice una calculadora para determinar cuáles de los números especificados son raíces de las ecuaciones dadas. Interés ganado Allison Bennett descubre que tiene $1257 en una cuenta de ahorros que no ha usado por un año. Resuelva la ecuación y posteriormente determine la distancia desde la punta de la torre hasta la casa. recorrer une distancia d. 1 14 1 2 2 3 109. Tom Wood viaja desde Alberta. Concreto 0.5 1. aproximadamente cuántos pies derraparía un automóvil en un camino de concreto seco? redondee su respuesta al pie más cercano.8t  2 52 61 13 . La literal f es el coeficiente de fricción. que tiene solo el impuesto federal GST (por bienes y servicio) de 7%. Resuelva su ecuación para c. hasta Nueva Escocia una conferencia sobre química. . asfalto.4 0.3% compuesto anualmente.1t  7 47 14  7. Escriba una ecuación para la diferencia en términos de la distancia horizontal desde la base de la torre hasta la casa. el contador con el problema del multiplicador usual 7 para determinar los impuestos sobre el recibo 100 no produce los resultados correctos. determinado por la clase de camino {como concreto. Cuando después envía su reporte de gastos en Alberta.¿Cuánto interés ganó por esa cuenta a lo largo del ultimo año? 107 Impuesto a un recibo En Nueva escocia los consumidores pagan HST (un impuesto de ventas) de 15%. . Derrape de un automóvil La policía ha usado la fórmula s  30 fd para estimar la velocidad s ( en millas por hora) de un automóvil. 6 . Un ingeniero determina electrónicamente que la distancia desde la punta de la torre hasta una casa cercana es 1 metro mayor que la distancia horizontal desde la base de la torre hasta la casa. 8 x 3  11x  21  58 x 2 . La tasa de interés fue de 7. .0 106. 112 x 2  6 x  1. ¿A 45 millas por hora. derrapó un tramo de d pies al frenar.para calcular el tiempo t que le toma a un bote. que se mueve a una velocidad r en contra de la corriente c. 110.8 Húmedo Seco Chapopote 0. 1 2 8 5 108. Torre inalámbrica Una torre inalámbrica tiene 100 metros de altura.5. 104. 3. En la tabla 0. 4.1 se dan algunos valores de f. grava o chapopote (brea)} y si está húmedo o seco. 0. 4 3 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 14 . v    v  3   2  v. 27 13 .111.
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