06.MATEMATICA - APOSTILA POLÍCIA MILITAR DO PARANÁ - PMPR - FOCUS 2016.pdf

APOSTILAPREPARATÓRIA POLÍCIA MILITAR SOLDADO E BOMBEIRO WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. MATEMÁTICA PROFESSOR Altevir Rossi Formado em Matemática pela Universidade Esta- dual do Oeste do Paraná – UNIOESTE. Especialista em Ensino da Matemática pela Universidade Paranaense – UNIPAR. Mestrando em Educação pela Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE Professor de Matemática, Matemática Financeira, Estatística e Ra- ciocínio Lógico, atua desde 1998 em cursos preparató- rios para concursos e pré-vestibulares. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. ..................................................................................................................................................34 Sequências Numéricas..................................................................... 13 Conjunto dos Números Irracionais (ℚ’ ou 𝕀)........................................................................................................... 44 7.......................27 A Ideia de Função.................................................... 40 Questões Gabaritadas................................................................................................................................................. 23 Problemas com Três Conjuntos......................................................... 07 Conjunto dos Números Racionais (ℚ)....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 39 Função Exponencial........................................................................................... 29 Função Do 1º Grau............................................................................................................ 41 Definição de logaritmo................................ 24 3...................................................................................................................................................................................................................................... 52 Questões Gabaritadas........................................................................................................................... PROPORÇÃO....................................................................................................... GRANDEZAS PROPORCIONAIS E REGRA DE TRÊS..................................................................................... 1 5 Questões Gabaritadas............................................................................................ SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS.. 47 Questões Gabaritadas................................................................................... 47 Juros.......................................................................................................................................................................................... 34 Progressão Geométrica (PG)................................................................................................................................................................................................................................................................................ 22 Problemas com Dois Conjutos......................................................................................................... 43 Regra de Três..................................................................................................................................................................................................................................................................................................... TEORIA DOS CONJUNTOS..........................................................................................................................................................................................................................................CPF: 06342387958..................................................................................................................................................... 06 Máximo Divisor Comum (mdc)....................................................................................................... 28 Notação das Funções....................................................................... 30 Função Do 2º Grau............................................ 27 Definição de Função.....................................................................................................................................................................................................47 Porcentagem........................................................................................................ 20 Subconjuntos....................................................................... 49 Questões Gabaritadas................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 50 Questões Gabaritadas.................................................................................................. 35 Questões Gabaritadas................................................................................................................ 07 Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... É vedado a reprodução total ou parcial.............................................................................................................................................. 40 Inequação Exponencial.............................................. 34 Progressão Aritmética (PA)............................................................................................................................................ 05 Mínimo Múltiplo Comum (mmc).................................................................................................... 21 Operações com Conjuntos....................................................................................................................................................................................................................................................................... 1 5 2.............. 31 Questões Gabaritadas............................................... FUNÇÕES.... 53 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA ......................................... 43 Questões Gabaritadas....... 20 Introdução.......................................................................................................................................................... JUROS SIMPLES E COMPOSTOS..................................................... 41 Logaritmos......................................................................................................................................... 31 03 4......................................................................... 28 Classificação das Funções............................ ...............................50 Equações do 1º grau...................................................05 Conjunto dos Números Naturais (ℕ)........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 5 1 Sistemas de Equações do 1º Grau................................................................................ 20 Conjunto........ EXPONENCIAIS E LOGARITMOS................................................................................................... 23 Questões Gabaritadas.......................... 34 Fórmula da Soma dos Termos da PG Finita................................................................................................................................................................................................................................................................... 09 Frações............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU............................................ FRAÇÕES ORDINÁRIAS E DECIMAIS.................................................................................................................................................... FRACIONÁRIOS E DECIMAIS.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. PORCENTAGEM............................................................................................ 10 Conjunto dos Números Racionais (ℚ)...................................................... 27 Gráfico Cartesiano.................................................................................................................................................................................................42 Razão e proporção..................................................................................................................................................................................................................... 49 8.............................. 42 Grandezas Diretamente Proporcionais e Grandezas Inversamente Proporcionais........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ CONJUNTOS NUMÉRICOS: OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS...................................................................................................................................................................................................................................... 5 1 Questões Gabaritadas.............. PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 22 Leis de Morgan na Teoria dos Conjuntos.......................................................................................................................................................................................................................................................................................39 Equações Exponenciais........................................................................................................................................................................................................................................................... SUMÁRIO SUMÁRIO 1................................................................................................................... 41 6............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... RAZÃO.............. 41 Cologaritmo...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 20 Listagem dos Elementos.................................................................... 20 Diagrama de Euler–Venn......................................................................................................................................................................................................................................... 35 5........................................................................................................................................... 14 Conjunto dos números reais (ℝ)................. SUMÁRIO 9. GRANDEZAS E UNIDADES DE MEDIDA......................................................................................................................................54 Tipos de Grandezas Físicas ................................................................................................................................................................................................................... 54 Medidas de Comprimento....................................................................................................................................................................................................................... 54 Medidas de Superfície.............................................................................................................................................................................................................................. 55 Medidas Agrárias........................................................................................................................................................................................................................................ 56 Medidas de Volume.................................................................................................................................................................................................................................... 56 Medidas de Capacidade............................................................................................................................................................................................................................ 57 Medidas de Massa...................................................................................................................................................................................................................................... 57 Medidas de Tempo...................................................................................................................................................................................................................................... 59 Sistema Monetário..................................................................................................................................................................................................................................... 59 Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 60 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo..................................................................................................................................................................... 62 10.GEOMETRIA PLANA............................................................................................................................................................................63 Conceitos Iniciais........................................................................................................................................................................................................................................ 63 Ângulos........................................................................................................................................................................................................................................................... 64 Alguns Ângulos Notáveis......................................................................................................................................................................................................................... 64 Polígonos......................................................................................................................................................................................................................................................... 66 Polígonos Regulares................................................................................................................................................................................................................................... 66 Triângulos...................................................................................................................................................................................................................................................... 66 Quadriláteros................................................................................................................................................................................................................................................ 67 Triângulo Retângulo.................................................................................................................................................................................................................................. 69 Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 70 Perímetro dos Quadriláteros.................................................................................................................................................................................................................. 70 Polígonos Regulares................................................................................................................................................................................................................................... 7 1 11. GEOMETRIA ESPACIAL......................................................................................................................................................................72 Poliedros......................................................................................................................................................................................................................................................... 72 Prismas............................................................................................................................................................................................................................................................ 74 Paralelepípedo Retângulo....................................................................................................................................................................................................................... 75 Cubo.................................................................................................................................................................................................................................................................. 75 Cilindros Circulares................................................................................................................................................................................................................................... 76 Pirâmides....................................................................................................................................................................................................................................................... 76 Cones Circulares......................................................................................................................................................................................................................................... 78 Esferas............................................................................................................................................................................................................................................................. 79 04 12. PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO........................................................................................................................................................80 Associação Lógica....................................................................................................................................................................................................................................... 80 Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 80 Verdades e Mentiras.................................................................................................................................................................................................................................. 82 Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 83 Sequências Lógicas.................................................................................................................................................................................................................................... 84 Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 85 13. LÓGICA PROPOSICIONAL................................................................................................................................................................89 Proposição Simples.................................................................................................................................................................................................................................... 89 Sentença Aberta.......................................................................................................................................................................................................................................... 89 Proposição Composta................................................................................................................................................................................................................................ 89 Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 90 Tabelas-Verdade.......................................................................................................................................................................................................................................... 91 Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 92 Negação de Proposições Compostas................................................................................................................................................................................................... 93 Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 93 Equivalências................................................................................................................................................................................................................................................ 94 Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 94 Argumento..................................................................................................................................................................................................................................................... 95 Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 97 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. CAPÍTULO 01 - Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros, Fracionários e Decimais. Frações Ordinárias e Decimais 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: Subtração (com a > b) a–b=c OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS, FRACIONÁRIOS Exemplo: 7 – 4 = 3 E DECIMAIS. FRAÇÕES Multiplicação ORDINÁRIAS E DECIMAIS a. b=c A organização dos conceitos matemáticos passou por várias mudanças, até chegar na forma que hoje estu- Exemplo: 3 . 5 = 15 damos. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que Divisão (com a múltiplo de b) pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou a:b=c diversos estudos sobre os conjuntos numéricos, consti- tuindo, assim, a teoria dos conjuntos. Exemplo: 12 : 4 = 3 A construção de todos os conjuntos numéricos que hoje possuímos parte de números inteiros usados apenas Potenciação para contar (números naturais) até os números comple- xos que possuem vasta aplicabilidade nas engenharias, nas produções químicas, entre outras áreas. Podemos afirmar que um conjunto é uma coleção de objetos, números, enfim, elementos com características semelhantes. Sendo assim, os conjuntos numéricos são compre- Exemplo: 35=3·3·3·3·3=243 endidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Particularmente, a2 lê-se “a ao quadrado” e a3 lê-se Vamos estudar os seguintes conjuntos numéricos: “a ao cubo”. Conjunto dos números Naturais (ℕ); Radiciação Conjunto dos números Inteiros (ℤ); 05 Conjunto dos números Racionais (ℚ); Conjunto dos números Irracionais (∥); Conjunto dos números Reais (ℝ); Conjunto dos Números Naturais (ℕ) Particularmente, lê-se “raiz quadrada de a” ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} e, tendo resultado exato, a é chamado quadrado perfeito. Por exemplo, 49 é um quadrado perfeito, pois Um subconjunto importante de N é o conjunto Analogamente, lê-se “raiz cúbica de a” e, tendo ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5,...} resultado exato, a é chamado cubo perfeito. Por exemplo, (o símbolo * exclui o zero do conjunto) 27 é um cubo perfeito, pois Podemos considerar o conjunto dos números naturais Propriedades em ℕ ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo: Associativa da adição Sendo a, b, c ∊ ℕ (a + b) + c = a + (b + c) Associativa da multiplicação Operações em ℕ Sendo a, b, c ∊ ℕ (a . b) . c = a . (b . c) Dados a, b, c, n ∊ ℕ, temos: Comutativa da adição Adição Sendo a, b ∊ ℕ a+b=c a+b=b+a Exemplo: 2 + 3 = 5 Comutativa da multiplicação Sendo a, b ∊ ℕ a.b=b.a Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. MATEMÁTICA Elemento neutro da adição • 1 não é primo, pois tem apenas um divisor. Sendo a ∊ ℕ • 0 não é primo, pois tem infinitos divisores. a+0=0+a=a • 2 é o único número par e primo ao mesmo tempo. Elemento neutro da multiplicação Sendo a ∊ ℕ Números Compostos a.1=1.a=a Chamamos de compostos os números que possuem Distributiva da multiplicação em relação à mais de dois divisores. adição Assim, são compostos os números: Sendo a, b, c ∊ ℕ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ... a . (b + c) = a . b + a . c Note que: Fechamento da adição O número 1 não nem primo, nem composto. A soma de dois números naturais é sempre igual a O número 0 também não é nem primo, nem com- um número natural. posto. Fechamento da multiplicação Decomposição de um Número em Fatores O produto de dois números naturais é sempre igual a Primos um número natural. Para decompor um número em fatores primos, segui- Números Pares e Números Ímpares mos o algoritmo abaixo, dividindo o número dado pelo seu menor divisor primo, repetindo o procedimento da Um número natural p é dito par se p = 2.n, com n ∊ mesma maneira com cada quociente obtido, até obter o ℕ. São números pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... quociente 1. Por exemplo, decompondo o número 72, temos Um número natural i é dito ímpar se i = 2.n + 1, com n ∊ ℕ. São números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... Resolução de Expressões Numéricas Analogamente, decompondo o número 6000, temos 06 Para resolver uma expressão numérica, devemos eli- minar os sinais de pontuação, respeitando a ordem: Mínimo Múltiplo Comum (mmc) • eliminar parêntesis: ( ) • eliminar colchetes: [ ] O mmc entre dois ou mais números é o menor dos • eliminar chaves: { } múltiplos comuns entre os múltiplos dos números dados, excluíndo o zero. Resolvendo as operações de acordo com a ordem de Por exemplo, consideremos os números 6 e 8. Temos: prioridade: Múltiplos de 6: • resolver potenciações e radiciações M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...} • resolver multiplicações e divisões • resolver adições e subtrações. Múltiplos de 8: M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} Como exemplo, vamos resolver a expressão numé- rica: Podemos observar que os números 0, 24, 48, ... são múltiplos comuns do 6 e do 8. Daí, o mínimo múltiplo comum entre 6 e 8 é o número 24. Escreve-se mmc (6, 8) = 24. Para obter rapidamente o mmc entre dois ou mais números dados, basta decompor esses números em fato- Números Primos res primos, simultaneamente. O mmc será o produto dos fatores primos resultantes dessa decomposição. Chamamos de primo o número que possui dois e so- Por exemplo, vamos obter o mmc (6, 8): mente dois divisores: 1 e ele próprio. Assim, são números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... Observe que: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. 2. 12. 24) = 6. 18} O sucessor de um número inteiro é o número que Divisores de 24: está imediatamente à sua direita na reta (em ℤ) e o ante- D(24) = {1. o máximo divisor comum entre • 7 é sucessor de 6 e 6 é antecessor de 7. 3 e 6 são divisores tanto do 18 quanto do 24. à mesma distância do 0 (zero). Módulo de um Número Inteiro Importante: Se o MDC entre dois O módulo ou valor absoluto de um número inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre esse números for igual a 1. merada podemos afirmar que todos os números inteiros Por exemplo.1.-2.. conforme mostra o gráfico abaixo: Máximo Divisor Comum (mdc) Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da es- O MDC entre dois ou mais números é o maior dos querda para a direita..} Mais precisamente. Vamos agora calcular o MDC (168. vamos obter o MDC (18.-5. 2. Fracionários e Decimais.. Por exemplo: Observe ainda que ℤ + = ℕ. verticais | |.. Divisores de 18: Ordem e Simetria no Conjunto ℤ D(18) = {1.2. 3. Baseando-se ainda na reta nu- divisores comuns entre os divisores dos números dados.. logo o oposto de –5 é 5. Por exemplo: Observe que os números 1. 15. • –3 é antecessor de –2 e –2 é sucessor de –3. É vedado a reprodução total ou parcial. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .-1. 18 e 24 é o número 6. ℕ ⊂ ℤ.. Escreve-se MDC (18. Para obter rapidamente o MDC entre dois ou mais números dados. -3.. 24): gem. Daí. 4. 8. 1. 2. • –5 é sucessor de –6 e –6 é antecessor de –5. tomados com o menor expoente. faz-se a decomposição em fatores pri. (lembre-se que o * exclui o zero do conjunto) Operações em ℤ ℤ + = {0. Frações Ordinárias e Decimais Vamos agora obter o mmc (12.. 2. Por exemplo: |0| = 0 Conjunto dos Números Inteiros (ℤ) |3| = 3 |-7| = 7 ℤ = {.-3. 6. isto é. consideremos os números 18 e 24. 3. Todo número inteiro (z).. .} remos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar (conjunto dos inteiros não positivos) (ter) e aos números inteiros negativos a ideia de perder (dever)... 3. na reta que representa o conjunto ℤ. Te. 40): Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta.180): • O oposto de perder é ganhar. possuem um e somente um antecessor e também um e mos: somente um sucessor. associa- ℤ .-4.5.3.CPF: 06342387958.. -2.= {0. separadamente. O MDC será mento denominado simétrico ou oposto (-z) e ele é carac- o produto dos fatores primos que se repentes em todas terizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão as decomposições. Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros. 6. esses números são número e seu oposto. possui um ele- mos de cada número dado. CAPÍTULO 01 .{0} (zero) na reta numerada. 0. 24} cessor de um número inteiro é o número que está ime- diatamente à sua esquerda na reta (em ℤ). É denotado pelo uso de duas barras chamados primos entre si. logo o oposto 07 de +4 é –4. Temos também outros subconjuntos de ℤ: Geometricamente. Por exemplo: • O oposto de ganhar é perder. podemos escrever Note que o conjunto ℕ é subconjunto de ℤ.4. -1. que é considerado a ori- Por exemplo. o módulo de um número intei- ro corresponde à distância deste número até a origem ℤ * = ℤ . exceto o zero. 9.} (conjunto dos inteiros não negativos) Adição Para melhor entendimento desta operação. b em ℤ: z x z-1 = z x (1/z) = 1 a+b=b+a Por exemplo.CPF: 06342387958. a potência a² pode ser lida como “a elevado ao quadrado” e quando o expoente é n = Fechamento 3. isto é. 3x7=7x3 Fechamento O conjunto ℤ é fechado para a adição. b. O número a é denominado base e o número n é o Por exemplo. respeitando a regra dos sinais. Por exemplo. resultado positivo: (+5)2 = (+5) x (+5) = 25 (+). 9 + (–9) = 0 Multiplicação em ℤ (a é multiplicado por a. É vedado a reprodução total ou parcial. que multiplicado por todo z em ℤ. a potência a³ pode ser lida como: “a elevado ao cubo”. Propriedades da multiplicação em ℤ Quando o expoente é n = 2. Assim. 9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1 3+7=7+3 Distributiva 08 Elemento neutro Para todos a. 7+0=7 Potenciação em ℤ Elemento oposto Da mesma forma que em ℕ. 2+(3+7)=(2+3)+7 Elemento inverso Para todo inteiro z diferente de zero. o Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 (-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8 Regra dos sinais (-5)2 = (-5) x (-5) = 25 Sinais iguais. b em ℤ: axb=bxa Propriedades da adição em ℤ Por exemplo.(–) = (–) par é um número positivo e a potência de todo número (–). existe (–z) em ℤ. c em ℤ: Por exemplo. propor. pro- porciona o próprio z. existe um inver- Comutativa so z-1 = 1/z em ℤ. deve-se proceder Exemplos: da forma usual. c em ℤ: ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 ax(bxc)=(axb)xc • (–8) + (+5) = (–3) Por exemplo. Existe 1 em ℤ. a soma Elemento neutro de dois números inteiros é sempre um número inteiro. tal que Para todos a. MATEMÁTICA • (+3) + (+4) = (+7) produto de dois números inteiros é sempre um número ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 inteiro. a+(b+c)=(a+b)+c 5x1=5 Por exemplo. c em ℤ: Existe 0 em ℤ.(+) = (+) (–). perder 8 + ganhar 5 = perder 3 2x(3x7)=(2x3)x7 • –3 + 3 = 0 • 6+3=9 Comutativa • –1 + 5 = 4 Para todos a. é definida como um produto de n fatores iguais z + (–z) = 0 à a. expoente. isto é: Por exemplo. podemos observar que a Sinais diferentes. isto é. resultado negativo: potência de todo número inteiro elevado a um expoente (+). b. n vezes) Para multiplicar números inteiros. O conjunto ℤ é fechado para a multiplicação. ax(b+c)=(axb)+(axc) ciona o próprio z. • (–3) + (–4) = (–7) perder 3 + perder 4 = perder 7 Associativa • (+8) + (–5) = (+3) Para todos a. b. isto é: Associativa zx1=z Para todos a. a potência an do número Para todo z em ℤ.(+) = (–) inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal. . tal que inteiro a. z+0=z 3x(4+5)=(3x4)+(3x5) Por exemplo. que adicionado a cada z em ℤ.(–) = (+) Com os exemplos acima. b ∊ ℤ. infinitos com repetição periódica: Se a < 0 e n par. Respeitando a definição e as observações anteriores. e n. . Temos: Observações: Se a > 0. Se a < 0 e n ímpar. podemos escrever: Expoente negativo É importante considerar a representação decimal de um número racional que se obtém dividindo a por b. o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Exemplos referentes aos decimais exatos ou finitos: Radiciação em ℤ Sejam a e b ∊ ℤ e n ∊ ℕ. m ∊ ℕ. Exemplos referentes aos decimais periódicos ou Não existe resultado para a raiz índice 0 de 0. Propriedades da Radiciação Sejam a. Frações Ordinárias e Decimais Propriedades da Potenciação em ℤ Sejam a. Ou seja. Expoente nulo Exemplos: a0 = 1 (a ≠ 0) Note que todo número inteiro é racional. CAPÍTULO 01 . Temos: Raiz de um quociente Multiplicação de potências de mesma base an . Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros. b ∊ ℤ. É vedado a reprodução total ou parcial.bn Os números racionais são todos aqueles que po- dem ser colocados na forma de fração (com numerador e Potência de um quociente denominador inteiros). Raiz de um Produto Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . am = an + m Raiz de raiz Divisão de potências de mesma base an : am = an-m Potência de potência Raiz de potência (am)n=am·n n Importante: (am)n ≠ am Conjunto dos Números Racionais (ℚ) Potência de um produto (a . então existe a raiz índice n de a. então a raiz existe e será negativa.CPF: 06342387958.b)n = an. temos: Todo decimal exato ou periódico pode ser repre- sentada na forma de número racional. e n. Fracionários e Decimais. então a raiz não é um número real. isto é. m ∊ ℕ. como mos- Base nula tra o exemplo a seguir: 0n = 0 (n ≠ 0) Base 1 09 1n = 1 Assim. Leitura e Classificações das Frações Numa fração. São as frações cujo numerador é um múltiplo do de- nominador. o numerador e. do inteiro. centésimo(s) ou milési- Frações Aparentes mo(s). Frações Impróprias 10 ral entre 2 e 9. do seguinte modo: São as frações cujo numerador é maior ou igual ao denominador. 1000 ou outras potências de 10 são chamadas fra- essa operação por uma fração. Por exemplo. Elas representam partes menores do que um dor e indica quantas partes iguais foram consideradas inteiro. As frações cujos denominadores são os números 10. As demais são chamadas frações ordiná- siderar a figura abaixo: rias. lê-se. minador. c. Elas sempre representam inteiros. o numerador é divisível pelo denomi- nador. mas nem toda fração imprópria é aparente. Por exemplo. 100. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Quando o denominador é um número natu. As frações são exemplos de frações decimais. Elas representam inteiros ou partes maio- res do que um inteiro. a. a sua leitura é feita usando- -se as palavras décimo(s). Quando o denominador é maior que 10 e não é potência de 10. por exemplo. lê-se o número acompanha- do da palavra “avos”. 1000 ou outra potência de 10. poderemos representar 100.CPF: 06342387958. o denominador. das quais tomamos duas. isto é. b. em primeiro lugar. enquanto A figura foi dividida em três partes iguais. Esse fato pode ser representado pela fra- ção são exemplos de frações ordinárias. MATEMÁTICA Frações Frações Ordinárias e Frações Decimais Se dividirmos uma unidade em partes iguais e to. Por exemplo. Quando o denominador é 10. ções decimais. Por exemplo. Observe que toda fração aparente é também impró- pria. a sua leitura é feita. Por exemplo. vamos con. São as frações cujo numerador é menor que o deno- O número que fica em cima é chamado numera. . etc. É vedado a reprodução total ou parcial. (Lemos “dois terços”) Frações Próprias O número que fica embaixo é chamado denomina- dor e indica em quantas partes o inteiro foi dividido. marmos algumas dessas partes. Por exemplo. em seguida. fazemos 2 . Por exemplo. inteira e uma fração própria. Então. Por exemplo. Observe ainda que em uma fração irredutível. Para transformar um número misto em fração 02. multiplicamos a parte inteira pelo denomi. representa 1 inteiro e Redução de Fações ao Mesmo Denominador Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denomina- dor significa obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o mesmo número para denominador. Por exemplo. porém são representa. e preservamos o denominador. dizemos que elas são frações equivalentes. seus ter- mos são números diferentes. preser. Calcula-se o mmc dos denominadores das como um fração imprópria. O conjunto infinito de todas as frações equivalentes a Quando não for mais possível efetuar as divisões a uma certa fração dada é chamado classe de equivalência fração estará simplificada. . quando re- presentam a mesma quantidade. Portanto. basta lembrar que toda fração é uma divisão. Por exemplo. A figura abaixo. Assim. devemos multiplicar e temos ou dividir o numerador por mesmo número diferente de zero. para transformar a fração imprópria Para obter frações equivalentes. 8/12 e 9/12 respectivamente. minador e multiplica-se pelo numerador de cada nador e somamos o resultado com o numerador. Observe que a fração não pode ser mais simplifi- Números Mistos cada. frações. as frações Analogamente. Para transformar uma fração imprópria em número misto. Divide-se o mmc encontrado pelo deno- imprópria. Frações Ordinárias e Decimais Frações Equivalentes (Classe de Equivalência) Duas ou mais frações são equivalentes. O produto encontrado é o novo nu- vando o denominador. nominador. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . procedemos fazendo a divisão do nume- rador pelo denominador. representam a mesma quantidade. Por exemplo. fração 1/2 é o conjunto Por exemplo.CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. porém. ela é uma fração irredutível. A fração própria terá como nume- rador o resto e como denominador o divisor da operação. por um mesmo número inteiro di- 11 ferente de zero. fração dada. Então. para transformar merador. CAPÍTULO 01 . e então é chamada de fração dessa fração. em fração imprópria. observe que o numerador. 5 + 3 = 13 para obter das por números diferentes. Fracionários e Decimais. a classe de equivalência da irredutível. Este será o novo denominador. seguimos os seguintes passos: Observe que todo número misto pode ser escrito 01. Simplificação de Frações Para simplificar frações devemos dividir o numera- dor e o denominador. Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros. o nu- Os números mistos são representados por uma parte merador e o denominador são números primos entre si. por exem- plo. as frações 1/2. 2/3 e 3/4 são equivalentes a 6/12. Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo de- Escrevemos e lemos “um inteiro e um meio”. A parte inteira será o quociente inteiro dessa divisão. Por exemplo. Exemplo: Se duas frações tem denominadores iguais a maior será aquela que tiver maior numerador. Numa multiplicação de frações. Por exemplo. Exemplos: Solução: 01. an- tes de fazer a multiplicação. 02. 03. 4. a. Frações com denominadores diferentes. Exemplos: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Exemplos: Assim. É vedado a reprodução total ou parcial. mmc (2. Exemplo: Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e re- Reduzir ao menor denominador comum as frações pete-se o denominador. Frações de denominadores iguais. temos que Observe que. vamos comparar as frações 4/5 e 4/3 . A soma ou diferença de duas frações é outra fração. b. como no primeiro caso. respectivamente. a solução é dada pelas frações que são respectivamente equivalentes à Compararação de Frações Comparar duas frações significa estabelecer uma re. devemos sim- plificar as respostas e extrair a parte inteira. Multiplicação de Frações de onde concluímos que Para multiplicar duas ou mais frações. MATEMÁTICA Note que esse processo fornece rapidamente frações obtida a partir do estudo dos seguintes “casos”: equivalentes às originais. temos as fra- ções equivalentes 12/15 e 20/15. em seguida. procede-se como nos primeiros casos. 01. reduzimos ao mesmo denominador e de- pois comparamos. Reduzindo as das ao mesmo denominador.CPF: 06342387958. 6) = 12 02. quando for conveniente. porém com denominadores iguais. Nesse caso. Números Mistos 12 lação de igualdade ou desigualdade entre elas. . Com- parando essas últimas. Por exemplo. Temos Primeiramente transformam-se os números mistos dois casos: em frações impróprias e. devemos mul- tiplicar os numeradores entre si e multiplicar os deno- minadores entre si. Frações com denominadores diferentes Reduzem-se as frações ao mesmo denominador atra- vés do mmc e procede-se como no 1º caso. Frações com denominadores iguais. é possível simplificar Adição e Subtração de Frações os fatores comuns ao numerador e ao denominador. CAPÍTULO 01 .749 subconjunto representado por frações cujo denominador é uma potência de 10. chamadas de frações decimais. numerador e o denominador ao expoente dado. Exemplos: No conjunto dos números racionais destaca-se um a. Fracionários e Decimais. Assim. e a quantidade de casas deslocadas é a mesma quan- Para calcular a potência de uma fração. 12 + 0. temos: Escrevendo essas frações na forma de número deci- mal. temos: Divisão de Frações Para dividir duas frações. São exemplos de frações decimais entre infinitas outras.CPF: 06342387958. . Frações Ordinárias e Decimais Escrevendo as frações de nosso exemplo anterior na forma de fração decimal. Exemplo: Adição e Subtração de Números Decimais Para resolver operações de adição e subtração. eleva-se o tidade de zeros do denominador. mon- Conjunto dos Números Racionais (ℚ) tamos o algorítmo da operação deixando vírgula em bai- xo de vírgula. extrai-se a raiz do numerador e do denominador. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . É vedado a reprodução total ou parcial. Exemplo: Veja outros exemplos: Potenciação de Frações Observe que a vírgula muda da direita para a esquer- da. o conjunto dos números decimais é um subconjunto dos números racionais. Sempre que for possível representar um número ra- cional por uma fração decimal diz-se que esse número é decimal.582 + 3. Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros. e somando (ou diminuindo) as unidades de Números Decimais mesma ordem. conserva-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da segunda. Exemplo: 13 Radiciação de Frações Para extrair a raiz de uma fração. quando reali- Antes de iniciar a divisão. tantas casas decimais quantos forem os alga. por exemplo. 3:4 As quatro operações fundamentais. se.1 : 2 = 8. 8. ou seja. Note que os exemplos anteriores nos mostram que considerar as vírgulas). 4.1 : 2. igualamos as ca- sas decimais entre o dividento e o divisor.8 Conjunto dos Números Irracionais (ℚ’ ou 𝕀) Os números irracionais são decimais infinitos não periódicos. como: 14 Divisão de Números Decimais Um número irracional bastante conhecido é o núme- ro pi: Para dividir dois números decimais. No resultado. . e somente se. procedemos a multiplicação como se fossem números inteiros (des. Assim. MATEMÁTICA b. separamos a partir para transformar uma fração em número decimal basta da direita. Exemplo: a. quando realiza- das entre um número racional e outro irracional. Observe divisão propriamente dita. 35.2 – 8. os números que não podem ser es- crito na forma de fração (divisão de dois inteiros). alguns exemplos: 8. São irracionais.57 x 2. É vedado a reprodução total ou parcial. As únicas ca- sos em que isso não ocorre acontecem na multiplicação e na divisão podendo. igualamos as casas deci. ocorrer resultado ra- cional.0 = 81 : 20 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . temos todas as raízes não exatas. dividir o numerador pelo denominador. podem resultar tanto mais e daí ignoramos as vírgulas para depois fazer a em números racionais quanto em irracionais. nesses casos. rismos decimais dos números multiplicados. desconsidera- mos as vírgulas e procemos a divisão entre dois números inteiros. zadas entre números irracionais. o zero for fator da multiplicação ou o numerador da divisão.1:2 As quatro operações fundamentais. Operações entre Racionais e Irracionais Exemplos: a. resul- tam geralmente em um número irracional. Como exemplo de números irracionais. os números: Operações entre Irracionais b.CPF: 06342387958.47 Multiplicação de Números Decimais Para multiplicar dois números decimais. inteiros. CAPÍTULO 01 . Frações Ordinárias e Decimais conjunto dos números reais chamados intervalos. senador. Fracionários e Decimais.2 . 5. O colchete não voltado para o número (para fora) indica que esse número não pertence ao intervalo – intervalo aberto nessa extremi- dade. ℝ= ℚ ∪ 𝕀 03. a votação dura 10 horas. 1. governador de estado. 1. 1. 1. 7[ tos numéricos: O colchete voltado para o número (para dentro) sig- nifica que esse número pertence ao intervalo – o interva- lo é fechado nessa extremidade. existem infinitos números reais: 1. ( ) CERTO ( ) ERRADO Entre os números 5 e 6 existem infini- CESPE . .99 .999 .gov > (com adaptações).500 eleitores. então. cada seção eleitoral possui Observação: entre dois números apenas uma urna. 5. julgue o item a seguir.AJ TRE ES/TRE ES ℝ* = conjunto dos números reais sem o zero. É vedado a reprodução total ou parcial.= conjunto dos números reais não positivos potética. reci- procamente.. 5. Questões Gabaritadas Observe que os números naturais. 1. 1. Notação de intervalo O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjun. 1.999 .1 .2 . que apresenta a quantidade de can- didatos para os cargos de presidente da Repú- blica.5 . CESPE .5 . referente às elei- ções de 2010. Os in- tervalos podem ser escritos de três maneiras: 01..CPF: 06342387958. e a “bolinha” vazia irracionais (𝕀).9999 . 5. Com base na tabela acima. deputado federal e deputado estadual/distrital. 5. Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Como subconjun- tos importantes de ℝ temos: 01. Seguindo o mesmo exemplo: [3 .1 . a reta orientada cujos pontos são associados a números reais. 5. seguida de uma assertiva a ser julgada. Representação gráfica Conjunto dos números reais (ℝ) A “bolinha” cheia ou pintada (●) na extremidade de um intervalo significa que o número associado a essa Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos extremidade pertence ao intervalo. todos os eleitores votam e cada inteiros existem infinitos números reais. entre os números 1 e 2 seções eleitorais.02 . Se em um município que tem 2. bem como Intervalos a quantidade de candidatos considerados aptos pela justiça eleitoral e o total de eleitos para cada Frequentemente usamos alguns subconjuntos do cargo pretendido.. 5.05 . 1. no mínimo..tse. Notação de conjunto Por exemplo: {x∊ℝ / 3≤x<7} 02. eleitor leva 1 minuto e meio para votar.01 .AJ TRE ES/TRE ES tos números reais: 5. nesse município serão necessárias. definimos o conjunto dos números reais ou sem pintar (○) indica que o número associado a essa como: extremidade não pertence ao intervalo.0001 . Com relação a problemas aritméticos e matri- ℝ+ = conjunto dos números reais não negativos ciais. ponto dessa reta.9999 .001 . o próximo item apresenta uma situação hi- 15 ℝ. racionais e irracionais são todos números reais. Representação Geométrica de um Número Real Chamamos de eixo real ou reta real.99 . 7 Por exemplo. cada número real corresponde a um único Internet: <www.01 . 5. Cada ponto dessa reta corresponde a um único número real e. 7. então P(A) será. 4. 11.10.TJ TRE RJ/TRE RJ d. defina P(A) como o produto dos ele. 7. na terceira etapa. O colégio ABC oferece supletivo de 2ª a 6ª feira das 18h30min às 22h. Verificando a tabela. 3. Para cada subconjunto A de Ω = {1. 4.Of Transp (TJ RS) um número ímpar. 6. 2. 7. seis candidatos a prefeito participarão de um debate televisivo. e. b. o saldo de sua conta no dia 3 de junho 16 5. 4. 9. 3. Se A ⊂ Ω e se algum elemento de A é um nú- mero ímpar. o media- dor fará duas perguntas a cada candidato. b. 10}. 7.35. R$500. a. . cada candidato fará uma pergunta a cada um dos outros adversários. 10.25. Na campanha eleitoral de determinado muni- cípio. estadual ou distrital é superior a 100 vezes a quantidade de candidatos ao Senado. R$501. então P(A) = 72.15.10.CPF: 06342387958. TEXTO PARA AS QUESTÕES 6 E 7. CESPE .TJ TRE RJ/TRE RJ Assinale a alternativa que apresenta o saldo de Na terceira etapa do debate serão feitas mais José no dia 6 de junho. R$497. ( ) CERTO ( ) ERRADO b. a. R$62. Na primeira etapa. Menos de 10 perguntas serão feitas na primei. e.462. CETRO . 9. CESPE . 5.AJ TRE RJ/TRE RJ e. R$485. Acerca dessa situação. 6}. 7.595. É vedado a reprodução total ou parcial. R$472. 6. CETRO .35.TJ TRE RJ/TRE RJ seria igual a Mais de 20 perguntas serão feitas na segunda etapa do debate. R$421.AJ TRE RJ/TRE RJ Se A = {1.Of Transp (TJ RS) o segundo responder.Of Transp (TJ RS) ( ) CERTO ( ) ERRADO Se José tivesse pagado o condomínio no dia 2 de junho. julgue os itens a seguir. Com Assinale a alternativa que apresenta o número base nessa situação. CETRO . porém houve um problema na hora da impressão e não apareceu seu saldo total.597. d. ( ) CERTO ( ) ERRADO c. 7. e.35. jul. 3.35. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . ( ) CERTO ( ) ERRADO TEXTO PARA AS QUESTÕES 3 A 5.35. R$612. perguntas que na primeira etapa. ( ) CERTO ( ) ERRADO c. d.592. R$80. o mediador selecionará aleatoriamente dois candi- datos e o primeiro formulará uma pergunta para CETRO . c. CESPE . MATEMÁTICA A quantidade de candidatos a deputado fede- ral.15. na se- gunda. necessariamente. CESPE .468.Of Transp (TJ RS) mentos de A e adote a convenção P(Ø) = 1. que dividido por 13 dá quociente 584 e resto 5. pode- ( ) CERTO ( ) ERRADO -se afirmar que o total de horas do mês de junho foi Considere o quadro abaixo para responder as questões 8 e 9. 8. R$242. a. tirar um extrato. ra etapa do debate. 7. CESPE . José da Silva foi ao caixa eletrônico para re- gue os itens seguintes. 58. d. no fi. 75. Frações Ordinárias e Decimais 15: FGV . con- tinuadamente a cada nove minutos.tse. ( ) CERTO ( ) ERRADO Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . b. Sabe-se que o Senado Federal é composto de 81 e. julgue o item a seguir. O número de pastas que Celso vai conferir é: e. Tam. 92. entre o número de mulheres e do número de ho- mens é 17: CESPE . senadores. FGV . 1/3 dos bandada das 22 horas e 45 minutos. metade dos TEXTO PARA AS QUESTÕES 17 A 19.. a terça parte das mulheres ainda pre.AuxJ II (TJ AM) 17 Três caixas contêm lápis. 10. a diferença assentos passaram a ficar ocupados. FCC . d. que apresenta a quantidade de can- nal. quando o vereador Veron chegou à câmara mu- c. os conteúdos de b. os dias da semana”. e. . d. em embalagens de 7 ovos para ficar de acordo com d.CPF: 06342387958. Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros. No final dessa operação: a. assentos destinados aos vereadores foram ocupa- sentes na festa ia embora. cargo pretendido. Por exemplo. a gaveta e a pasta em si.. 6. Cada pasta é identificada por um símbolo que indica o armário. que menos de cinco assentos estavam ocupados b.AuxJ II (TJ AM) b. CAPÍTULO 01 . Desta forma. deputado federal e deputado estadual/distrital. 101. pela justiça eleitoral e o total de eleitos para cada c. 44. nicipal. 77. B. 12. 112. a. E202.AJ TRE ES/TRE ES cia deles para as suas embalagens de 7 ovos. senador. 88. após a de. continuadamente a cada 15 nicipal de uma pequena cidade. 9. FGV .gov > (com adaptações). c. as três caixas contenham o mesmo número didatos para os cargos de presidente da Repú- de lápis é: blica. a tarefa de conferir. governador de estado. apenas 1/4 dos minutos. desde a pasta C310 até a pasta c. . 60. . 36. dos. 13. 7. sobraram 4 ovos. 14. Certo dia Celso recebeu a. Cada armário tem 5 gavetas numeradas de 1 a 5 e cada gaveta contém 12 pastas numeradas de 01 a 12. sobraram 2 ovos. Certa semana. Com a chegada do vereador Veron. em ordem.TJ (TJ PE) Eram 22 horas e em uma festa estavam 243 ( ) CERTO ( ) ERRADO mulheres e 448 homens. a quantidade de candidatos considerados aptos b. d. A primeira contém Internet: <www. sua propaganda: “Coma um ovo por dia em todos e. ções de 2010. e. Um pequeno mercado do interior vende ovos c. C. sobrou 1 ovo. O menor número de lápis que devem Com base na tabela acima. a segunda contém 25 lápis e a terceira contém 29. Ao iniciar uma sessão plenária na câmara mu- bém se verificou que. o símbolo B307 indica a pasta 07 da gaveta 03 do armário B. o dono do mer- cado comprou 8 dúzias de ovos e fez a transferên- 16: CESPE . 70. bem como a. é correto afirmar a. 14.TJ TRE RJ Nessa situação hipotética. 28. Então é correto concluir que 2323 dos membros dessa Casa foram eleitos em 2010. todas as pastas.TJ (TJ RO) Em uma sala de arquivos há armários dispos- tos em ordem e designados pelas letras A. 80. Verificou-se que. homens ainda presentes na festa ia embora. 18 lápis. É vedado a reprodução total ou parcial. sobraram 5 ovos. 8. sobraram 3 ovos. 65. Fracionários e Decimais. referente às elei- ser transferidos entre as caixas para que. 8. 5 horas e 25 minutos. é pedido para que se coloque 3/4 de xícara de margarina na cobertura O ponto P correspondente ao número a – b en- e 1/2 xícara de margarina na massa. d.TRT . é correto afirmar que ℝ. e. a. dos números racionais. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ e. 120.TJ TRE RJ d. entre 1 e 2. a quantidade de números que per- brou do cliente R$ 168. Os aviões da dias. 90. Existe um elemento em ℤ que é menor que c. CETRO . dos números reais. e.TJ TRT12 Considere os conjuntos: 21. b ∊ ℕtemos a . e. a cada 15 aviões de três companhias aéreas. às nove vereadores.5 xícara. 16h 30min. VUNESP – 2016 – MPE-SP Sistematicamente. e o outro. c. 6 horas e 25 minutos. contra-se assinale a alternativa que apresenta o total de margarina utilizada para fazer esse bolo. da com. 1313 gosta de novela. 1. Descarte dessa lista todos os bradas as frações de horas trabalhadas). 1 xícara. a ∊ ℤ. Nessa situação hipotética. Carlos resolveu o problema e co. Depois desses serviços. entre a e b. Se em 15 de outu- panhia B a cada 30 minutos e da companhia C bro de 2010 ambos cumpriram horas-extras. 200.Of Transp (TJ RS) Em uma receita de bolo. 10. CETRO . b e 2: 20. entre 0 e 1. c. a. situação que voltará a se repetir. 19: CESPE . Em um números que aparecem mais de uma vez. a. dos números inteiros. 17h 30min. dois funcionários de uma No aeroporto de uma pequena cidade chegam empresa cumprem horas-extras: um.b ∊ ℕ b. 25. às 7 horas. e.Of Transp (TJ RS) ℕ. qualquer número inteiro d. nesse todos ocupados somente após a chegada de mais mesmo dia. CESPE . é correto afirmar e. b. É vedado a reprodução total ou parcial. a. a.25. 60. d.1 = 0 não tem solução em ℚ 22. inclusive aos sá- companhia A chegam a cada 20 minutos.14ª Região (RO e AC) Carlos presta serviço de assistência técnica de 26. domingos ou feriados. 27.00 por hora de tra.00 Considere uma lista de trinta números for- para ir até o local. c. A equação 3x . 1. ℤ. a. FCC . 11. Nessa situação hipotética. é correto afirmar chegaram aviões das três companhias ao mesmo que os assentos destinados aos vereadores serão tempo. 5 horas e 15 minutos. Três quintos de um grupo de jovens são moças. a cada 12 dias. Se no ℚ. o número de moças que gosta de novela seria Assinale a alternativa correta. CETRO . FCC . 180. dos descartes. 18 Do grupo de moças. 5 horas e 45 minutos. mada pelos dez primeiros múltiplos naturais dos balho até resolver o problema (também são co.TJ TRT12 Na reta real da figura abaixo estão representa- ( ) CERTO ( ) ERRADO dos os números 0. 4/6 de xícara. MATEMÁTICA 18. uma Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . c.CPF: 06342387958. b. Ele cobra R$ 12. b ∊ ℤ e b ≠ 0 ⇒ a/b ∊ Z e. 18 horas. d. d. Sendo assim. 6 horas e 15 minutos.TJ TRE RJ a cada 44 minutos. 9. à direita de 2. c. b. b. CETRO . dos números naturais. 15. que há mais de 15 assentos destinados aos verea- dores no plenário da câmara. mais R$ 25. a. 24. bados. números 5. à esquerda de 0. o que permite concluir manecem na lista é igual a que ele trabalhou nesse serviço a. ( ) CERTO ( ) ERRADO b. c. 10 e 15. Em um domingo. b. 5/4 de xícara. 18h 30min. 1/3 de xícara. FCC – 2016 . a. grupo tivessem 300 jovens. 17 horas.TJ TRT12 23.TJ TRT12 computadores em empresas. . d. Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros. d.00. de bicicleta que representam as quantidades de pacotes de café e de açúcar é superior a 50. FCC . e o restante de carro e de bicicleta. 9 de dezembro de 2010. ou seja. Considere que foram gastos R$ 1.00 reais ou escolhia 4/5 dos 3/7 34. 10 b.00. 21. Sabendo-se que cada pacote de d. colocando cada lote de modo que. 15 de dezembro de 2010. abastecer com café e açúcar a copa de um escritó- c. É vedado a reprodução total ou parcial. . 8.400. ele tenha obtido pilhas com igual quantidades de b. 35.85 e que cada pacote e. 60. na proporção 2/3. Ele pro- ( ) CERTO ( ) ERRADO pôs as seguintes opções: ou Clarice escolhia 2/5 dos 3/4 dos 1. entre números do d. CESPE – 2005 – TRT16 e. a. 28. b. Se então x + y é igual a TEXTO PARA AS QUESTÕES 32 E 33 a. ao final de seu trabalho. 19 a.400. 17. nessa ordem. o segundo com 105 e o terceiro com 135 pas- do que na outra opção a quantia. 15 31. Ao escolher a opção na qual ca há três lotes de pastas iguais: o primeiro com ganharia mais dinheiro Clarice receberia a mais 60. a multiplicação c. 12 de fevereiro de 2011.25 e ainda que as quantidades de pacotes de açúcar e de pacotes de 29. em reais. FCC .CPF: 06342387958. Nessas condições. o máxi- mo divisor comum de x e y é 1.00. 26.400. 14.00 para b. Um funcionário deve empilhá-las. de 5 kg de açúcar custou R$ 4. é igual a d. No aniversário de Clarice. 120 iguais indicam um mesmo algarismo e símbolos diferentes indicam algarismos diferentes. b. 20 Considere a adição abaixo. CESPE – 2005 – TRT16 respondeu a 4/15 do percurso feito de trem. so. 45. rio de advocacia. ( ) CERTO ( ) ERRADO c.TJ TRT12 café estão. 14 de janeiro de 2011. 53.00. 12 de março 2011. en- O máximo divisor comum entre os números tão. e. a. CAPÍTULO 01 . o viajante percorreu. de tas.563.TJ TRT12 Sejam x e y números inteiros e positivos tais que a fração x/y seja irredutível. seu avô queria dar parte de R$ 1. 500 g de café custou R$ 5. o menor número de pi- c. 420. 125. 63. Frações Ordinárias e Decimais outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em a.00.00 reais. 60 sistema de numeração decimal. O mínimo múltiplo comum entre os números que representam as quantidades de pacotes de 30. Desse percur- os itens seguintes. Se o percurso feito por ele de carro cor- 32. FCC .TJ TRT12 café e de açúcar é inferior a 300. e. 33. pastas. 15. Fracionários e Decimais. lhas que ele obterá é: d. Nestas condições. em que símbolos e. 900. 49. 35. 3/4 ele fez de trem. julgue Um viajante percorreu 420 km.TJ TRT11 c.00 de presente para ela. FCC . A tabela abaixo apresenta os múltiplos po- sitivos de 3 dispostos segundo determinado pa- drão: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . em km. No almoxarifado de certa repartição públi- dos 1. uma mesma propriedade. 16. temáticos. Para a representação de um conjunto. com Nesta representação. a. D A = { x I x é um algarismo par } Lê-se: O conjunto A é formado pelos elementos x. usaremos uma letra maiúscula do nosso alfabeto. pela quantidade. Certo Quando. 6. envolvidos por um par de chaves e separados por ponto-e-vírgula ou por vírgula. e os elementos por letras minúsculas. todos os elementos do conjunto certeza o número 462 pertencerá à são apresentados numa lista. E 15.D creveremos por uma propriedade possuída por todos os seus elementos. 3ª coluna d. Certo 17. 8}. Errado 19. 5ª coluna A = {0. Relação de Pertinência No início do século XX. funções. E 21. A 22. para dar nome aos conjuntos. 6. 4. influenciando de modo indelével as ciências da matemática e da lógica. A 10. E 34. E ver todos os elementos que formam o conjunto. os quais buscavam a mais primitiva e sintética definição de conjunto. utilizaremos uma das três formas seguintes: Listagem dos Elementos Caso esse padrão seja mantido indefinidamente. Errado 5. É vedado a reprodução total ou parcial. A mos pares. TEORIA DOS CONJUNTOS Diagrama de Euler–Venn Introdução Representamos o conjunto por um recinto plano limi- A Teoria dos conjuntos é a teoria matemática tado por uma curva fechada. C Exemplo: Conjunto dos algaris- 26. C 12. o des- 11. como relações. E 24. Tal teoria ficou conhecida também como “teoria ingênua” ou “teoria intuitiva” por causa da descoberta de vários paradoxos associados à ideia central da própria teoria. A 14. C 35. Certo 18. elaborada no século XIX. E 13. Errado 8. Certo 7. 8} Gabarito Propriedade dos Elementos 1. não for conveniente escre- 6. 2. 1ª coluna b. Sua origem pode ser encontrada nos trabalhos do matemá- tico russo Georg Cantor (1845-1918).CPF: 06342387958. e. B 9. B 23. A 29. 2. 2ª coluna Exemplo: Conjunto dos algaris- c. D 25. MATEMÁTICA objetos chamados elementos e que cada elemento é um dos componentes do conjunto. etc. 3∉A Conjunto (o elemento 3 não pertence ao conjunto A) Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de Quando fazemos uso da relação de pertinência. Tais paradoxos levaram a uma axiomatização das teorias matemáticas futuras. Certo 2. esta- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . . temos: como base para o desenvolvimento de outros temas na 2∊A matemática. B 30. análise combinató- (o elemento 2 pertence ao conjunto A) ria. D 28. dedicada ao estudo da associação entre objetos com Ex: Conjunto dos algarismos pares. a teoria original receberia A relação de pertinência indica se um determinado complementos e aperfeiçoamentos feitos por outros ma- elemento pertence ou não a um determinado conjunto. 2. 20 31. tal que x é um algarismo par. 4ª coluna mos pares. E 32. probabilidade. Geralmente. B 27. C 33. O conhecimento prévio de tal teoria serve Exemplo: considerando A = {0. Errado 4. Errado 3. Errado 20. 4. Basta um { } ou ø. subconjunto de qualquer conjunto. Então. Dica Focus: Lembre-se que den- tre os subconjuntos de um dado conjunto. {e. usaremos a notação n(A). Observação: Um elemento per- tence a um conjunto se ele é “visível” ou listado no conjunto. A relação de inclusão indica se um determinado con- junto está contido ou não em um outro conjunto. O Conjunto das partes de um conjunto A. Todo o conjunto A é subconjunto dele conjunto. e}. Assim. {a. i}. A ⊂ A. {a. aparecerem listados ou visíveis. ou seja. um conjunto com 4 elementos. P(X) = {{a}.Teoria dos Conjuntos mos. pois é um elemento do (O conjunto D não está contido no conjunto E) conjunto A. ou seja. o conjunto A Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . terá 24 ele- que: mentos o seu conjunto das partes. e. único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao dentro de um conjunto. diz-se. estão o conjunto vazio e o próprio conjunto. dizemos que A é um subconjunto de B. ou seja A ⊂ B. é “elemento” ∉ “conjunto”. “elemento” ∊ “conjunto” ou 2. junto A. 3}. que tos do conjunto das partes será indicado por n[P(A)]. (O conjunto E não contém o conjunto D) Conjunto das Partes Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos. e. O conjunto vazio. que ø ∊ A. o conjunto vazio segundo para que o primeiro conjunto não esteja contido deverá ser tratado como elemento desse no segundo. conjunto especificado. Assim o conjunto das partes é o conjunto “ conjunto” ⊂ “ conjunto” ou dos subconjuntos. denotado junto.CPF: 06342387958. relacionando um elemento a um 1. . e o número de elemen- quer pertencem a um outro conjunto B. “ conjunto” ⊄ “ conjunto” ou “ conjunto” ⊃ “ conjunto” ou “ conjunto” ⊅ “ conjunto”. pode acontecer: por P(A). ou seja. Observação: Se um conjunto A está contido no conjunto B. {i}. B⊃A (O conjunto B contém o conjunto A) Conjunto Unitário 21 E⊅D É o conjunto que possui apenas um elemento. É vedado a reprodução total ou parcial. ø ⊂ A. Daí: A é um subconjunto de B. pode acontecer: próprio. {a. ø} Subconjuntos Para indicarmos o número de elementos de um con- Quando todos os elementos de um conjunto A qual. CAPÍTULO 02 . i}. por convenção. relacionando um conjunto a outro con. 2. é correto afirmar para o conjunto A D⊄E listado. Assim. Para representarmos o conjunto vazio usaremos os símbolos: { } ou ø. Simbologia: A⊂B Exemplo: Seja o conjunto A = {ø. Conjunto Vazio O Conjunto vazio é o conjunto que não possui ele- Relação de Inclusão mentos. i}. (O conjunto A está contido no conjunto B) 1. Se todos Dica Focus: Quando os símbolos os elementos de um conjunto pertencem a outro. necessariamente. necessariamente. Exemplo: Seja X = {a. é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. n[P(A)] = 2n(A) Dica Focus: Sempre será verdade Assim. então. i}. nesta ordem. então o primeiro conjunto está contido no segundo. {e}. (A1∪A2∪. c. formado por todos os elementos pertencentes a A e B.∩Anc 03. num mesmo conjunto. b. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.y).. para indicar o com- plemento deste conjunto. b. Dados os conjuntos A e B. define-se como diferença mentares desses conjuntos.. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos. Daí... b. simplesmente utilizamos a letra c A∪ B={x | x ∈ A ou x ∈ B} posta como expoente no conjunto. Quando não há dúvida sobre o universo U em que ou seja: estamos trabalhando. (A∩B)c = Ac∪Bc Diferença de Conjuntos 04. a} = { a. Leis de Morgan na Teoria dos Conjuntos 22 01. a. define-se como intersecção (A∪B)c = Ac∩Bc dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A∩B. é a diferença entre os conjuntos A=B⇔A⊂BeB⊂A A e B. onde x é elemento de A e y é Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por: A= { a. Assim. sendo que elementos iguais. formado por todos os pares ordenados (x. É vedado a reprodução total ou parcial. c} = { c. serão considerados uma única vez.∩An)c = A1c∪A2c∪. O complementar da reunião de uma cole- simultaneamente. formado por todos os elementos pertencentes a A. denotado por CAB... c} Complemento de um Conjunto Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica de- finida como: O complemento do conjunto B contido no conjunto A. define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B. O complementar da reunião de dois con- juntos A e B é a interseção dos complementares Intersecção de Conjuntos desses conjuntos. a. é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto Operações com Conjuntos B. O complementar da interseção de uma co- leção finita de conjuntos é a reunião dos comple- Dados os conjuntos A e B. Igualdade de Conjuntos Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresen- tam exatamente os mesmos elementos. b. CAB=A-B={x | x ∈ A e x ∈ B} União de Conjuntos Dados os conjuntos A e B.. Exemplos: Øc = U e Uc = Ø. ou seja: ção finita de conjuntos é a interseção dos comple- A ∩ B={x | x ∈ A e x ∈ B} mentares desses conjuntos. 02. MATEMÁTICA terá no total 16 subconjuntos. chama-se produto carte- siano de A por B ao conjunto A X B. em qualquer or- dem. . b. ou seja. ou seja: A-B={x | x ∈ A e x ∈ B} Produto Cartesiano Dados os conjuntos A e B. formado por todos os elementos pertencentes a A ou B.CPF: 06342387958.∪An)c = A1c∩A2c∩. (A1∩A2∩. entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A – B..∪Anc mas que não pertencem a B. quantas de conjunto. lização de diagramas é fundamental. 20 lêem as revistas A e B.y) | x ∈ A e y ∈ B} Número de Subconjuntos de um Conjunto Se um conjunto A possuir n elementos. ou seja: A X B={(x. 20 leem as revistas ⇔ Se. Normalmente esses problemas ocorrem pessoas foram entrevistadas? com dois ou três conjuntos. observou. Símbolos ∈ Pertence Passos da Resolução ∌ Não pertence Passo 1 ⊂ Está contido Preencher o espaço “A e B” ⊄ Passo 2 Não está contido Preencher os espaços “só A” e “só B” e “nenhum” ⊃ Contém Passo 3 Responder à pergunta ⊅ Não contém / Tal que Exemplo: Em pesquisa realizada numa escola sobre leitura de duas revistas. quantas pessoas foram entrevista.N (A∩B) ℕ Conjunto dos número naturais 𝕀 Conjunto dos número inteiros onde: N (A ∪ B) : significa “número de elementos de A junto ℚ Conjunto dos número racionais com B – União de A com B”. N (A ∩ B) : número de elementos de A e B ao mesmo ℝ Conjunto dos número reais tempo – Intersecção de A com B. o entendimento dos diagramas é fundamental e com isso.Teoria dos Conjuntos elemento de B. observou. que apresentamos abaixo. Vamos resolver a mesma questão utilizando a fór- mula: Problemas com Dois Conjutos Em pesquisa realizada numa escola sobre leitura de duas revistas. CAPÍTULO 02 .CPF: 06342387958. . Na resolução de problemas com esses conjuntos. ⇒ Implica que A e B. e somente se A e B. ℚ’=𝕀 Conjunto dos número irracionais N (B) : número de elementos de B. 50 leem a revista B. 50 lêem a revista B. a uti- esses diagramas. É vedado a reprodução total ou parcial. 23 ∃ Existe das? ∄ A Não existe Fórmula para Resolução Para todo (ou qualquer que seja) Existe ainda a opção de resolver essas questões utili- ∅ zando uma fórmula resolutiva.se que 90 lêem a revista Muitos são os problemas relacionados com a noção A. Na formação desse Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .se que 90 leem a revista A. A e B. Conjunto vazio N (A∪B) = N (A) + N(B) . N (A) : número de elementos de A. então existi- rão 2n subconjuntos de A. Problemas com Três Conjuntos faremos um estudo das possibilidades de formação com Na resolução de problemas com três conjuntos. 3. 11 …} pesquisa sobre as preferências dos alunos quan- e.6.3. 150 liam a revista B. 8} to ao cardápio do Restaurante Universitário.9} e 𝐴∩𝐵∩𝐶={4}. (𝐴−𝐵)∩𝐶={2} Passo 2 b.8} e 𝐶={1.5. entrevistadas a respeito a.2. Exemplo: O quadro abaixo mos- Quantas pessoas foram consultadas? tra o resultado de uma pesquisa realizada com 1.2.4.2} e.2} e 𝑁−𝑀={3.800 pessoas.3.𝑑. O número mero de alunos entrevistados: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .5. a.2.𝑏.6. 210 (N) e Humorismo (H). 40 o complementar de B em A é: c. 6 e. 80 a. Considerando que 20 alunos manifesta- ram-se vegetarianos.4} d.7}. 9 alunos optaram por somente carne de frango.7.𝑐. 10} 8) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma d. 10.2.8}. 𝐴∪𝐵∪𝐶=𝐶 Passo 3 Preencher “só A” e “só B” s “só C” e nenhum descon. bovina e 42 não optaram por peixe.CPF: 06342387958. 2.4}. 𝑀={1. 7}. 8} e B = {2. verificou-se que tando os valores já colocados.5.2. então b. 120 b. 5. Descontando “A e B e C”. . Assi- nale a alternativa correta: a.4. 6) Numa pesquisa realizada. (𝐵−𝐴)∩𝐶={1} Preencher os espaços “só A e B” e “só A e C” e “só B e c. 340 da audiência de três programas favoritos b. 𝐶−𝐵={3.8}.6. 20 liam as duas revistas A e B e 24 110 pessoas não liam nenhuma das duas revistas. 36 não optaram por carne 3) Dados os conjuntos 𝐴={1. Passo 1 então: Preencher o espaço A e B e C a. É vedado a reprodução total ou parcial. {8. das pessoas consultadas. {9.3. {1. 320 de televisão.6.4. O nú- mero de pessoas diferentes de O e com fator Rh positivo é: Questões Gabaritadas a.𝑑} somente por peixe. 3 b.5}. 7 por carne bovina e frango.8. B{1. 5 d. 𝑀={1.3} b. 3. 𝑀={1.𝑐. 𝐵={𝑏. 𝑁={1. constatou-se que: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo. 3. 65 d. 𝑀∩𝑁={1. (𝐴−𝐵)∩𝐶={1} C”.9}. 7. d. e 𝐶={𝑎. a saber: Esporte (E). { } e. MATEMÁTICA diagrama e no seu preenchimento devemos ter muito de elementos do conjunto C é: cuidado. 9. 4 c. 5. 3 2) Dados os conjuntos 𝐴={𝑎.2.6}. Novela d. {8} c. 𝑁={1.6} c. assinale o nú- 𝐶−𝐴={7. 7 4) Considere os conjuntos M e N tais que 𝑀∪𝑁={1.𝑒}.2. 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator Rh negativo. 230 c.𝑐}.5. 100 liam a revista A.8. (𝐵−𝐴)∩𝐶={2} e. Determine o conjunto 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de {(𝐴−𝐶)∪(𝐴∩𝐵∩𝐶)} carne. 𝐵={4.4} 5) Se 𝐴={2. 25 1) Sendo A = {1. Devemos seguir os passos para evitar erros. 7) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas.3. jamento estratégico institucional .CPF: 06342387958. • A2 e A3 realizaram. juntos. • das auditorias que não foram realizadas por Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 A1. técnicos do MPU a respeito da atividade I . entre os quais 24 eram tação. então mais de 25 técnicos gostam das duas atividades. acerca de práticas esportivas de futebol.Teoria dos Conjuntos a. juntos. Gabarito 1.plane. ( ) certo ( ) errado Considerando que os empregados entrevistados dessa empresa pratiquem tênis ou ciclismo e que.se dos dados que a quantidade míni- ma de técnicos desse grupo que gostam das duas ( ) certo ( ) errado atividades é superior a 20. 38 Em uma escola. julgue os itens seguintes. 2) A quantidade máxima de técnicos desse ( ) certo ( ) errado grupo que não gosta de nenhuma das duas ativi- dades é inferior a 7. 78 As quantidades de alunos entrevistados que pra- ticam esses esportes estão mostradas na tabela 9) Num grupo de pessoas detectou-se que 23 abaixo. 9) Mais de 100 auditorias foram realizadas. A respeito das auditorias realizadas pelos au- na entrevista. 58 leibol e natação revelou que cada um dos entre- d. . julgue os itens que se seguem. ( ) certo ( ) errado ( ) certo ( ) errado 3) Se 4 técnicos desse grupo não gostam de ne. 20 auditorias.E 2. julgue os itens II . julgue os próximos itens. 55 auditorias. {b. somente 18 foram realizadas por A2. Com base nessas informações.e da atividade Com base nessas informações.se que: ciclismo. dados . 6. A3. Com base nessas informa. É vedado a reprodução total ou parcial. car tênis e ciclismo é maior que 10. O prefeito de certo município encomendou ( ) certo ( ) errado uma pesquisa para avaliar a adesão da população local às campanhas de vacinação. Determine o número de pessoas não fuman- tes. uma pesquisa. ( ) certo ( ) errado ( ) certo ( ) errado 10) 20 auditorias foram realizadas apenas por A1.realizar estudos.c} 3. ditores A1. 20 praticam voleibol e na- gados de uma empresa. é correto afirmar que a quantidade de • A1 realizou 70 auditorias. juntos. 52 tomam café e todos os fumantes tomam café. A2 e A3 realizaram. vo- c.A 7. do feminino. Uma das per- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . 4) infere. nhuma das atividades citadas. 62 vistados pratica pelo menos um desses esportes. juntos. 42 nos. que não tem proble- mas para pegar no sono. 24 5) Mais de 130 dos alunos praticam apenas 2 dessas atividades esportivas CESPE ( ) certo ( ) errado 1) Uma entrevista foi realizada com 46 empre. ( ) certo ( ) errado • A1 e A2 realizaram. con- cionários gostam de praticar tênis e 28 gostam de cluiu.C 9. • A1. • A1 e A3 realizaram.C 5. pessoas são fumantes. CAPÍTULO 02 . 25 empregados dessa empresa que gostam de prati.C Com base nas informações e na tabela acima. 6) Entre os alunos. consumidoras de café. 8) 23 auditorias não foram realizadas por A1. ções. pesquisas e levantamento de a seguir. A2 e A3 de um tribunal de contas. entre seus alu- b.E 8.C 4. mas não jogam futebol do sexo masculino e 22.revelou que 29 gostam da atividade I e 28 7) 5 auditorias foram realizadas apenas por gostam da atividade II. 10 pessoas sofrem de in- sônia porque fumam e outras 5 só porque tomam café. • A3 realizou 75 auditorias. e. 30 auditorias. 15 auditorias. tenha sido constatado que 30 fun. e se Ω\A é o complementar de A em tivas áreas. então P(A) < P(B). 130 tomaram a ( ) certo ( ) errado primeira e a segunda dose. 240. 3. Se A e dos 80 alunos comeu pelo menos um dos três ali. Nesse sentido. 26 mentos. 8. 9. indique por S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 13) Um treinamento relativo às técnicas cien. Além disso.CPF: 06342387958. Entre esses alunos. 6. s3: quantidade de elementos do conjunto A∪B. 7. 12) Sessenta alunos comeram cachorro-quen. considerando que cada O número de policiais que deverão frequentar dose pode ser tomada independentemente da ou. ( ) certo ( ) errado Com base nessas informações. filhos tinham tomado. A tabela a seguir mostra as frações Ω. um melhor aproveitamento desse treinamento por parte dos policiais. é única. disjuntos. 10}. 6. indique por S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 0. . B são subconjuntos de Ω e A⊂B. 22 comeram salada e 5. ças tomaram apenas a terceira dose da vacina te. frequentar os cursos de nivelamento nas respec. s2. então S(Ω\A) = S(Ω) – S(A). s4: quantidade de elementos do conjunto A∩B. 5. apontou que: 120 crianças tomaram as três doses. julgue o item a seguir. Se A⊂Ω. 7. ( ) certo ( ) errado Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . 5. De acordo com os dados acima. 50 não tomaram ne. 5. 3. Sabendo que cada um base nessa situação. tais que A∪B = Ω e S(A) = S(B). Com comeram os três alimentos. 3. tais que um grupo de 720 policiais pré-selecionados. 2. julgue o item a seguir. se A for um subconjunto de Ω. s5: quantidade de elementos do conjunto A\B. s5 e s6 os tomaram a segunda dose. 16) Para o conjunto Ω = {1. 3. 7. que obteve informa. 9. Nesse sentido. O resultado da pesquisa. 2. 150 tomaram a segun- da e a terceira dose. 8. cachorro-quente e fru. julgue o item a seguir. se A for um subconjunto de Ω. 11) Na situação considerada. para quaisquer conjuntos A e B nas con- Considere que todos os 80 alunos de uma clas. tíficas de investigação está sendo preparado para Se A e B forem subconjuntos de Ω. subcon- juntos de Ω. foi realizada uma ava. é correto afir- mar que. cachorro-quente e salada. 4. 6. química. ( ) certo ( ) errado 10}. Nesse sentido. 9. Para A⊂B. 6. o curso de nivelamento em química é inferior a tra. 42 comeram salada e 50 comeram frutas. 220 tos e não-vazios e sejam s1. Todos os S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = policiais que apresentaram deficiências deverão 0. ( ) certo ( ) errado te. Outra pergunta dessa mes- ma enquete era referente à vacina BCG. se A for um subconjunto de Ω. 38 comeram cachorro-quente e frutas e 15 elementos de A e adote a convenção P(Ø) = 1. defina P(A) como o produto dos frutas. dições especificadas. física e 17) Para o conjunto Ω = {1. 270 tomaram a primeira dose. 4. itens que se seguem. ( ) certo ( ) errado tas. 0. 8. 7. É possível encontrar conjuntos A e B. s6: quantidade de elementos do conjunto B\A. mais de 80 crian. É vedado a reprodução total ou parcial. s3 = s1 + s6. julgue os s2: quantidade de elementos do conjunto B. a fim de que sejam ministrados cursos 10}. MATEMÁTICA guntas feitas aos pais questionava quais doses Com base nessas informações. 10}. julgue o item a seguir. 27 alunos comeram 15) Para cada subconjunto A de Ω = {1. julgue o item entre as três doses da vacina tetravalente seus seguinte. 8. julgue os próximos itens. 4. 9. indique por de nivelamento antes do treinamento. travalente. seguintes números inteiros: nhuma das três doses. s4. 170 tomaram a primeira e a 14) Considere que A e B sejam conjuntos fini- terceira dose. ( ) certo ( ) errado liação para identificar as suas deficiências em conhecimentos básicos de matemática. 2. 2. cuja dose s1: quantidade de elementos do conjunto A. ções advindas de 480 crianças. então 0 < S(A) < S(B) < 55. s3. 4. dos 720 policiais que apresentaram deficiências em uma ou mais dessas áreas básicas ( ) certo ( ) errado 18) Para o conjunto Ω = {1. se foram levados para um piquenique em que foram servidos salada. Daí a importância do seu estudo.65. a ser cobrado e n o núme- ro de fotos impressas. . iremos estudar mais formalmente esse importante conceito. um carro mantém uma velocidade cipe de apenas um único par (x. a distância percorrida depende do intervalo de tempo. Distância versus tempo • É necessário que cada elemento x ∊ A parti- Numa rodovia.Funções Gabarito 3ª.67 nome de função definida em A com imagens em B se.5 2 3 t Distância(km) 45 90 135 180 270 90t A distância percorrida é dada em função do tempo. d = 90t Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Vejamos algumas situações: • Para um dado valor da variável indepen- dente está associado um único valor da variável 1ª.89 Dados dois conjuntos A e B. Número de litros de gasolina e preço a pagar dependente. • A todos os valores da variável independente A ideia de função está presente quando relacionamos estão associados valores da variável dependente. podemos escrever: distância = 90. isto é. elemento de A deve servir como ponto de partida po t (em horas) e a distância d (em quilômetros): de uma única flecha. E então. É vedado a reprodução total ou parcial. 2ª. Esta fórmula nos permite respon- 3.y) ∊ f.80 Escreve-se: f: A → B O preço a pagar é dado em função do número de x↦y = f(x) litros comprados. CAPÍTULO 03 . ticipe de pelo menos um par (x. em reais.n. todo p = 3. Considere a tabela que relaciona o número de litros de gasolina comprados em dezembro de 2006 e o preço As relações que tem essas características são chama- a pagar por eles.89. como por exemplo: a. 16-Errado 17-Certo 18-Errado onde P é o preço. Número de litros Preço a pagar (R$) Definição de Função 1 3. Assim. Esquema de flechas Preço a pagar = 3. 20 77. ou seja. tempo ou simplesmente.n elemento de A deve servir como ponto de partida de flecha. não vazios (formados 2 7. estudaremos as ideias intuitivas ligadas características em comum: à noção de função. uma empresa calcula o preço a ser cobrado usando a fórmula 6-Errado 7-Certo 8-Certo 9-Errado 10-Errado 11-Errado 12-Certo 13-Errado 14-Certo 15-Errado P = 12. o preço a pagar depende do número de litros comprados. Tempo(h) 0. isto é. e somente se.5 1 1. isto é. (x. cada constante de 90 km/h. quantas fo- O conceito de função é um dos mais importantes da tos foram impressas? Matemática e tem lugar de destaque em outras áreas do conhecimento.45. FUNÇÕES der algumas questões. uma relação f de A em B recebe o 3 11.00 + 0.89 vezes o número de litros • É necessário que todo elemento x ∊ A par- comprados ou simplesmente. Quanto pagarei se forem impressas 22 fo- A Ideia de Função tos? b.CPF: 06342387958. duas grandezas variáveis.y) ∊ f. . Veja a tabela que relaciona o tem.y) ∊ f e y = f(x). e em seguida. para todo x ∊ A existe um só y ∊ B tal que . Se paguei a quantia de R$ 33. As três relações que vimos anteriormente têm duas Inicialmente.78 27 por números reais). Preço versus número de fotos reveladas 1-Certo 2-Certo 3-Certo 4-Certo 5-Certo Na impressão de fotos. das funções. para encontrar o valor de y. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . então: a) a imagem de 0 pela função f é 1. Exemplos: Exemplos: Seja a função f: IR → IR tal que y = 2x + 1. em que x ∊ A. Geralmente. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação. e indicamos Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não função. cada elemento x ∊ A é levado a um úni- co elemento y ∊ B. É vedado a reprodução total ou parcial.0). em toda função. Imagem de um Elemento Gráfico Cartesiano Se (a. basta verifi. carmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x. o elemento b é chamado imagem de a pelo valor de f no elemento a. existe uma sentença aberta y = f(x) que ex- pressa a lei mediante a qual.y) ∊ f.CPF: 06342387958.y)| x ∊ A. dado x ∊ A. é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Isso porque. MATEMÁTICA Exemplos: Contraexemplo Notação das Funções Toda função é uma relação binária de A em B. isto é: f(0) = 2. A partir dessa definição. .0+1 ⇒ f(0) = 1. toda função é um conjunto de pares ordenados. devemos ter inicialmente o valor de x. f(a) = b. por- tanto. determina-se Contraexemplos (não são funções) y ∊ B tal que (x.b) ∊ f. então f = {(x. y ∊ B e y = f(x)} 28 Exemplos: f: A → B tal que y = 2x f: IR → IR tal que y = x2 Assim sendo. encontra sempre o gráfico em um só ponto. esse é um exemplo de uma função que não é sobrejetora. Sendo assim. o conjunto imagem é subconjunto do contradomínio. dizemos que uma função é sobrejetora quando todo elemento do conjunto B (contra- domínio) for imagem de algum elemento do conjunto A. portanto. isto é. pelo menos uma seta referente a um elemento do con- não existe elemento da imagem que possui correspon. Im(f) = B. Como. Notemos. todo elemento de A tem essa propriedade. Em outras palavras. Vejamos um exemplo de uma função não injetora. feita a representação cartesiana da função f. D = A. temos nas funções: domínio = con. 29 ou seja.Funções b) a imagem de -2 pela função f é -3.o domínio de f corresponde aos valores do eixo-x Denominamos função sobrejetora a função que para os quais existe a função f. temos que: Função Sobrejetora . leva os elementos do conjunto A aos elementos do con- . temos: Observe que nem todos os elementos do conjunto B são imagens de algum elemento do conjunto A. pela definição de função. temos: Classificação das Funções Função Injetora Denominamos função injetora. Im ⊂ B. Note que dois elementos do domínio possuem mes- ma imagem. Portanto.a imagem de f corresponde aos valores do eixo-y junto B. através do Diagrama de Venn. Em outras palavras. linguagem matemática formal teríamos: Vejamos um exemplo de uma função que não é so- brejetora. existe um x ∈ A tal que f(x) = y. isto é. . É vedado a reprodução total ou parcial. que. observando o Diagrama de Venn: Essa definição que pode ser enunciada da seguinte maneira: No Diagrama de Venn. é uma dência com mais de um elemento do domínio. Em uma função sobrejetora. imagem de algum elemento do conjunto A.CPF: 06342387958. De maneira simplificada. No Diagrama de Venn. CAPÍTULO 03 . para todo y ∈ B. a função que trans- forma diferentes elementos do domínio (conjunto A) em Note que todos os elementos do conjunto B possuem diferentes imagens (elementos do conjunto B). Im(f) = B (O conjunto imagem da função f é igual ao contradomínio B). junto A. isto é: f(–2) = 2. quando qualquer elemento do conjunto B for para os quais existe a função f.(–2)+1 ⇒ f(–2) = –3. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .y)∊f. portanto não podemos afirmar que Im(f) = B. Chamamos de imagem o conjunto Im(f) dos elemen- tos y∊B para os quais existe x∊A tal que (x. ou seja. junto de partida.y)∊f. Domínio e Imagem Chamamos de domínio o conjunto D(f) dos elemen- tos x∊A para os quais existe y∊B tal que (x. 0. cada elemento de x rela. área esta que é informada pela O objetivo de uma função inversa é fazer o “cami. imagem. para en- contrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos.–1. O gráfico de uma função constante será uma reta pa- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . ou seja. os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inver- sa f –1 de tal forma que. e o contradomínio e a imagem possuem a mes. lacionar mais de duas grandezas através de uma mesma ciona-se a um único elemento de f(x). e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5. portanto f –1(x) = x – 5. acontece de dois números distintos possuírem a mesma Vejamos o seguinte exemplo: imagem. Dadas as funções f: A → B e g: B → C. se (x. Veja o diagrama abaixo: Exemplo: Função Constante Note que o domínio na função f vira imagem na f –1(x) Uma função f: IR → IR é chamada de função constan- e vice e versa. a função g(y) depende da Dado os conjuntos A = {–2. Dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5. Represente a função da área do terreno utilizando a área dos lotes. Um terreno foi dividido em 10 lotes.x) ∈ f –1. isto é. É vedado a reprodução total ou parcial.2} e B = {3.y) ∈ f então (y. x = medida de cada lote y = f(x) = área de cada lote g(x) = área do terreno Veja que a área de cada lote é dada pela função f(x): Função Inversa Para calcular a área de todo o terreno. te quando for definida por uma expressão do tipo Dada uma sentença de uma função y = f(x). Nessa função. admite inversa. 7} função f(x). e a função f: A→B dada por f(x) = x + 5. em uma linguagem matemática. f (x) = k serve: onde k é um número real. Ob. pois cada elemento do domí- gof: A → C. veja o diagrama Realizando a composição teremos que: dessa função abaixo: 30 Sendo assim. devemos sa- ber a área de cada lote. função f(x).1.CPF: 06342387958. a função composta de g com f é a função Essa função é bijetora. MATEMÁTICA Função Bijetora Função Composta Uma função é dita bijetora quando é ao mesmo tem. Como temos 10 lotes. nio está ligado com um elemento diferente no conjunto definida por (gof)(x) = g(f(x)). A sua função inversa será indicada por f–1: B→A. . definiremos a função composta. por isso trata-se de uma função composta. Uma função dada terreno será dada pela função: somente admitirá inversa se for bijetora. podemos dizer que essa função. 6. forma quadrada e de mesma área. não função. por ser bijetora. 5. Assim. A função composta é utilizada quando é possível re- po injetora e sobrejetora. pois. todos estes em ma quantidade de elementos. x ∈ A. Veja que para chegar à área do terreno tivemos que Vejamos um exemplo: utilizar a função f(x). 4. teremos que a área do nho contrário” de uma função dada. f (x) = ax² + bx + c 03. deve-se resolver a equação f(x) = 0. b. respectivamente: a) 6 e -1. É vedado a reprodução total ou parcial. os valores de k e p são. Ano: 2015 / Banca: FUNCAB / Órgão: CRF- -RO / Prova: Técnico em Informática Para que a parábola de equação y= k. mo independente b é o coeficiente linear e indica o ponto onde o gráfico corta o eixo-y. ponto onde a reta corta o eixo- -x. e seu gráfico é uma 31 reta que passa pela origem. função é chamada função linear.x+8 tenha 2 e 4 como raízes. a.3x + 5 são: paralela ao eixo-x. Seja o gráfico de uma função do 1º grau. . ax² + bx + c = 0. ou seja. Temos: 02. Ano: 2014 / Banca: CONSULPLAN / Órgão: CBTU-METROREC / Prova: Advogado onde a. enquanto o ter.CPF: 06342387958. Para encontrar a raiz. O gráfico de uma função do 2º grau será uma pará- bola. temos o caso particular onde a d. Função Do 2º Grau b) 6 e 1. ou seja: ∆ > 0 ⇒ x1 ≠ x2 (duas raízes reais distintas) ∆ = 0 ⇒ x1 = x2 (duas raízes reais iguais) ∆ < 0 ⇒ não existe raiz real Vértice é o ponto extremo da parábola. afim. c) 1 e 6. Ano: 2015 / Banca: FUNCAB / Órgão: CRF- -RO / Prova: Técnico em Informática onde a.x2 +p. CAPÍTULO 03 . A função do 1º grau também é chamada função c. com a ≠ 0. e indica o número de raízes da função: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . com a ≠ 0. grau quando for definida por uma expressão do tipo e) 1 e -6. Quando a ≠ 0 e b = 0. e. Delta (ou discriminante) da função do 2º grau é dado por ∆ = b² . As coordenadas do vértice da parábola y = 2x2 O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não . Para encontrar as raízes (ou zeros) basta resolver a equação f(x) = 0.4ac. dado pelas equações: Função Do 1º Grau Uma função f: IR → IR é chamada de função do 1º grau quando for definida por uma expressão do tipo Questões Gabaritadas f (x) = ax + b 01. O fator a é chamado coeficiente angular e indica se a função é crescente ou decrescente. Uma função f: IR → IR é chamada de função do 2º d) -1 e -6. b.Funções ralela ao eixo-x. c ∈ IR. b ∈ IR. x2 0. Ano: 2010 / Banca: UFMT / Órgão: Prefeitu- ra de Cuiabá . Nessas condições. e. 0). (3. . . e. 2 d. 7 e.2. .21 32 d.23 b. possui seu gráfico apresentado a seguir. 9 c. é o ponto V(-1. Qual dos pontos a seguir pertence ao gráfico a. 289. 4y – x – 8 = 0 c. b). 1 c. 4y – x + 8 = 0 c. 196. x + 2y – 8 = 0 a. 10. 3 e.CPF: 06342387958. . O valor de (a+b) é igual a: b. 225. 3 b. Ano: 2011 / Banca: KLC / Órgão: Prefeitura 05.a = A função f : [. Ano: 2013 / Banca: CESGRANRIO / Órgão: de Diadema – SP / Prova: Assistente Legislativo LIQUIGÁS / Prova: Nível Médio O número -1 é a raiz da equação 2x2 . d.24 a. Sabendo que as raízes dessa equação -25). 8 d. 11). Ano: 2012 / Banca: FAURGS / Órgão: TJ-RS e. É vedado a reprodução total ou parcial. 4 a. 1 06.8 é também raiz da CBTU-METROREC / Prova: Advogado função quadrática g(x) = ax2 + bx + c. c. O gráfico que representa essa função é uma parábola. gráfico da função g(x). 6 sui vértice V(a.4 ] → R . . bx + c = 0. 08. (0. (–2. x + 4y + 8 = 0 b. 10). 4). MATEMÁTICA Assinale a alternativa que apresenta uma equação para a reta suporte do segmento oblíquo dessa figura. 5 c. (2. ciente a: a. . então o discri- minante dessa equação é igual a a.22 c. 0 / Prova: Técnico Judiciário . 07. Se o vértice Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2+ da parábola. que pos- a. Ano: 2011 / Banca: FDC / Órgão: CREMERJ / Prova: Técnico de Contabilidade Considere uma função polinomial do segundo O valor máximo assumido pela função f é grau definida por f(x) = x2 – 4x + 3. d.4 b. determine o valor do coefi- + 2x + 3.5x .25 b. Ano: 2014 / Banca: CONSULPLAN / Órgão: A raiz da função f(x) = 2x . 4 d.MT Um medicamento auxiliar no tratamento da diarreia causada por um determinado micróbio é vendido em flaconetes contendo 5 mL do medica- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . d. Ano: 2012 / Banca: CESGRANRIO / Órgão: Transpetro 04. x + 4y – 8 = 0 dessa função? b. a soma a + b + c é igual a são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5. 4 09. 256. .Área Judiciária Considere a figura abaixo. definida por f ( x ) = . Área Administrativa no universo ℕ dos números naturais.00. a altura y atingida pelo corpo em relação ao chão variou em a. ] 5. a. 15.Área Administrativa d. 2. a ser cobrado pela 13. 2 que t é um número que pertence ao intervalo d. d. a quantia máxima cobrada por O produto das raízes da equação de 2º grau essa empresa é a. 3 [ 16.00. Prova: Técnico Judiciário . d. então o conjunto b.0 x 108 x çamento de acordo com a seguinte equação: c. y = 2. e percebeu que eram parabólicas.0 x 10-8 x d. 9.Área Administrativa A análise conjunta dos dois gráficos permite concluir que n é igual a d. Sabendo-se que cada mL contém 50 mi. R$ 1 825. R$ 1 605. e. é: O cientista Galileu Galilei (1564-1642) estudou Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .X² + 80 x + 5. R$ 1 215. y = 5. 33 12. Ano: 2008 / Banca: CONESUL / Órgão: manutenção de x aparelhos em um mesmo local. 2 / 3. ] 2. ] 3. y = 2. c. 17.0m b. a trajetória de corpos lançados do chão sob certo lhões de células que agem no referido tratamento. um cientista observou que a população de certa colônia de bactérias dobrava a cada hora.5 x 108 x função da distância horizontal x ao ponto de lan- b. y = 50 x 106 x 11. 3 a. ângulo. Ano: 2003 / Banca: FCC /Órgão: TRE-AC / c. Se. c. . Ano: 2005 / Banca: FCC / Órgão: TRE-RN / O conjunto solução da inequação Prova: Técnico Judiciário .Área Administrativa 14. Ano: 2009 / Banca: ESAF / Órgão: Receita Federal A altura máxima em relação ao chão atingida / Prova: Auditor Fiscal da Receita Federal pelo corpo foi Considere as inequações dadas por: a. CMR-RO / Prova: Agente Administrativo Nessas condições. 4 [ Prova: Técnico Judiciário . A cau- a expressão matemática que representa o número sa disso. Ano: 2002 / Banca: FCC / Órgão: TRE-PI / Prova: Técnico Judiciário . pode-se afirmar c. 1/4 t horas. b. 6 [ expressão p(x) = . em que 0 < x < 80. b. como sabemos. É vedado a reprodução total ou parcial. e.Funções mento.00.0m é igual a: c. para calcular o preço. Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B o conjunto solução de g(x) . 3. e. 1. Em um lançamento desse tipo. em reais. CAPÍTULO 03 . 3 / 2. ] 4. é a atração gravitacional de células ingeridas y em função do número de da Terra agindo e puxando de volta o corpo para flaconetes administrados x é: o chão.00. a. 1 a dez vezes a população inicial. Ano: 2002 / Banca: FCC / Órgão: TRE-CE / c. R$ 815.CPF: 06342387958. essa população de bactérias correspondia b. após a. 5/2 e. 6. Ano: 2008 / Banca: CESGRANRIO / Órgão: Petrobras / Prova: Técnico em Informática Em um laboratório de pesquisas científicas.00. 5 [ Uma empresa de prestação de serviços usa a e. R$ 905. e. d. 2 [ b. ] 1. 2.. 3. . C é um Números Quadrados (Quadrados Perfeitos) ponto da parábola e D é o ponto de interseção da (1. 36. 7.. 49. Ano: 2014 / Banca: CETRO / Órgão: FUNDAÇÃO CASA / Prova: Agente de Apoio Socioeducativo an = representa o termo procurado A produção de cereais de determinada região. a partir do segundo. . 1ª) Sendo a. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. onde A é a origem do sistema carte- siano. 13. 6.. {0} b. r = representa a razão da PA tidade de grãos em toneladas.. . 20 Termo Geral de uma PA c. . 13.. B é um ponto pertencente ao eixo x. 10. 6. . 1.) Progressão Aritmética (PA) É uma sequência de números reais onde cada termo. 50 a fórmula do termo geral: 19.) gulo ABCD. 5. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade máxima produzida em 2013. c três termos consecutivos de uma PA. tes dos extremos é igual à soma dos extremos. {4} Números Ímpares 18.) e. MATEMÁTICA Sequências Numéricas a.. 3. Ano: 2013 / Banca: CEPERJ / Órgão: CEDERJ (1. é a média arit- c) 700 toneladas. 40 34 Para calcularmos qualquer termo de uma PA usamos e. 2ª) Numa PA finita. {3} Números Pares d. 12. em a1 = representa o primeiro termo da PA 2013. variou de acordo com a função: n = representa o número de termos f(t) = 500 + 10t . 34. 21. (0. central entre eles. 2. 15. 9.) parábola com o eixo y: Sequência de Fibonacci (1. . Para calcularmos a razão de uma PA efetuamos a di- a. mética dos outros dois. 11..) / Prova: Assistente Administrativo A figura a seguir mostra o gráfico da função Números Triangulares f(x) = x² – 4x + 5 e os pontos que formam o retân- (1.. É vedado a reprodução total ou parcial. 16. b. dizemos que o termo b. 10 ferença entre um termo qualquer e seu anterior. b) 735 toneladas. 10. b. 4. 5. 8. 8.. 4. d) 665 toneladas.t2 onde t indica tempo e f(t) a quan. 3. 30 d. a soma de dois termos equidistan- e) 525 toneladas.CPF: 06342387958. 25. é igual ao anterior mais uma cons- A área do retângulo ABCD é: tante (chamada razão). Gabarito Fórmula da Soma dos Termos da PA 1-A 2-E 3-D 4-C 5-C 6-A 7-E 8-D 9-D 10-A 11-C 12-C 13-D 14-D 15-C 16-D 17-C 18-B 19-E Sn = representa a soma dos termos da PA a1 = representa o primeiro termo da PA an = representa o último termo a ser somado da PA 4. n = representa o número de termos somados da PA PROGRESSÃO ARITMÉTICA E Progressão Geométrica (PG) PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Uma Progressão Geométrica é uma sequência de Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Principais Propriedades a) 850 toneladas. 21. {2} São exemplos de sequências numéricas: c. 9.. 28. Concluímos an = representa o último termo a ser somado da PG que a afirmação é certa. q = representa a razão da PG Resposta: certo Fórmula da Soma dos Termos da PG Infinita Convergente Nota: S∞ = representa a soma dos infinitos termos da PG convergente a1 = representa o primeiro termo da PG q = representa a razão da PG Questões Gabaritadas Questões Comentadas 1 . Estatura (em cm) 50 70 86 98 Fórmula do Termo Geral da PG CRIANÇA B Idade (em anos completos) 0 1 2 3 Peso (em kg) 3. o produto de dois termos equi.1 = 0. O pró.6 Ano 1 10.CPF: 06342387958. peso da criança B no 3o ano de vida será igual a distantes dos extremos é igual ao produto dos termos 15. pois 15. desde o nascimento (0 ano) até o 2. 0. vem a PA (0.G. CRIANÇA A Idade (em anos completos) 0 1 2 3 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .5 . desde o nascimento (0 ano) até o 3o ano n = representa o número de termos de vida.8 – 15. o peso da criança B deve a1 = representa o primeiro termo da PG ser 15.0 = 0. CAPÍTULO 04 ..4 – 13. então o termo central é média ge.2011 .4 . Progressão Aritmética e Progressão Geométrica números reais onde cada termo.Petrobrás) (CESPE . estão em ométrica dos outros dois. progressão aritmética.5 Fórmula da Soma dos Termos da PG Ano 2 13.5 igual ao anterior multiplicado por uma constante (cha- mada razão).º ano de vida. . 0.1 13. ( ) certo ( ) errado Comentário: Calculando as dife- renças ano a ano.3 10. que apre- a1 = representa o primeiro termo da PG sentam.3 = 0. extremos.3.2012 – PRF) O gráfico abaixo apresenta o desenvolvimento do refino de petróleo no Brasil. 35 ximo termo. crianças A e B. bem como o peso da criança B.0 15. a partir do segundo.5 = 0. Sabendo que as diferenças entre os pesos das secutivos de uma P. de 2003 a 2009. Isso significa que a diferença entre os pesos no 3º ano deve ser Sn = representa a soma dos termos da PG igual a 0.6 – 10.9 – 3.4 Finita Daí. é correto afirmar que o 2ª) Numa PG finita. .6 . temos: Ano 0 3. o peso e a estatura da q = representa a razão da PG criança A. y.Sequências Numéricas.). 1ª) Se três números quaisquer x. é Peso (em kg) 3. respectivamente. sem a necessidade de fórmu- las.8. Então. z são termos con.6 13.3..3.(Prova: CESGRANRIO .8 kg.9 10. nos respectivos anos. É vedado a reprodução total ou parcial. julgue os Principais Propriedades itens a seguir.4 - an = representa o termo procurado Considerando as tabelas acima. será igual a 0. 22 b. 1786. a3 e a11 estejam. Considere que os termos da sequência seguin. 2. O valor de n é: a. 127. Se x/y é o nono termo dessa sequência.095 c) 1945. em progressão geométrica.. b. Esse cometa será novamente visível no ano de a) 2016 b) 2017 c) 2018 d) 2019 e) 2020 Considerando que o aumento observado de 6 . julgue os itens a se- guir.. nessa ordem. e o quarto ter- mo é 3n.BRB) 8 .2011 . 31. 18 Os números correspondentes à quantidade de d. o segundo 7 . ( ) certo ( ) errado mero inteiro. 20 c.Banco do Brasil ) rior a 130 km. . c. 5 . em que a é o menor termo e. razão seja positiva. descoberto em 1760. an.Banco do Brasil ) 2007 a 2009 seja linear e que assim se mantenha Considere que os termos da sequência seguin- pelos próximos anos. Se a e b são 2 termos de uma progressão geo- d. 2.( Prova: CESPE . 7. c. 16 bombeiros em cada um dos 3 grupos estão em 36 e. 255.. ( ) certo ( ) errado 9 .. 1.PC-ES) a. de 3 termos..150 km2.( Prova: CESPE .2011 . e) 2319.994 a) 1537. 15.2011 . múltiplo de 7. tendo mantido sempre essa regularidade. A área do triângulo retângulo mencionado no A média aritmética de 3 termos quaisquer texto é igual a 12.2011 . 2.026 b) 1929. etc.2011 .) O décimo termo dessa sequência é a. ( ) certo ( ) errado 3 . menor que 400.2011 .( Prova: CESGRANRIO .( Prova: CEPERJ . obtido ( ) certo ( ) errado de acordo com esse critério.CBM-ES) termo é 27–2. e. quadrado perfeito.2011 . d. É vedado a reprodução total ou parcial.Petrobrás ) ( ) certo ( ) errado Certo cometa. 63. então a soma x + y é um número 11 .CBM-ES) Considerando que. ( ) certo ( ) errado te foram obtidos segundo determinado critério: 10 .2011 .2011 . . métrica.SEDUC-RJ) Em uma progressão geométrica.( Prova: CESPE . MATEMÁTICA mente visível da Terra por poucos dias nos anos de 1773.2011 . o terceiro termo é 94. 24 progressão geométrica. 1.( Prova: FCC . e a razão é superior a 3..( Prova: FCC . quantos milhões de barris te foram sucessivamente obtidos segundo deter- diários serão refinados em 2013? minado padrão: (3. 1799. a2 . dessa progressão aritmética será sempre um nú.CBM-ES) A menor distância entre as 3 cidades é infe- 4 .( Prova: CESPE . então a soma dos termos dessa progressão é inferior a 45. em uma progressão arit- mética de termos a1.CPF: 06342387958.( Prova: CESPE . 2 . foi nova- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .CBM-ES) A soma das distâncias entre as 3 cidades é igual a 540 km.. ímpar. maior que 500. a1= 2 e os termos a1...978 b.( Prova: CESPE .228 d) 2047. 00 por mês.900.2012 .( Prova: CESGRANRIO . Seja Sn a soma das áreas dos n comeu 4 balas a mais que ele. 5 13 .2012 . 300 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .3 10.PM-SP. 1. Danilo ganha mensalmente Idade (em anos completos) 0 1 2 3 R$ 1.PC-ES) b. 150 O quarto termo dessa progressão é: d.( Prova: VUNESP .2012. Se a e b são 2 termos de uma progressão arit- mética. e que a1 + a5 = 100 mil reais. nos respectivos anos.550.2011 . 37 Qual é. É vedado a reprodução total ou parcial. S3 = 110 quantas balas Antônio comeu? b. que o primeiro tem altura 1m e. R$ 3. Progressão Aritmética e Progressão Geométrica a.( Prova: CESGRANRIO . respectivamente. Bento.PRF) uma mesma empresa. juntos. julgue os cente de 5 termos.01 para todo natural não nulo n d. 1.1 13.6 13. estão em milhares de reais. CAPÍTULO 04 .( Prova: CESPE .Sequências Numéricas. Seja a progressão geométrica: a.( Prova: PUC-PR . 230 d. bem como o peso da criança B.00 CRIANÇA B b.00 Idade (em anos completos) 0 1 2 3 c. 1. Mas do. 220 ( ) certo ( ) errado c. ( ) certo ( ) errado d. é superior a 81. nessa ordem. Carlos e Danilo trabalham em 18 . uma pro- gressão aritmética.DPE-PR ) e. em cm2 . 0 12 .500. a partir do segun.00 a mais que Álvaro. ) sentam.9 10. juntos.400.700.sa sequência. e Carlos comeu primeiros retângulos des.850. 12 14 .Petrobrás ) Considere uma sequência infinita de retângu.0 15. existe n natural tal que Sn = 111.( Prova: CESGRANRIO .1111111 c.2012 . b. expressa mais balas do que Beatriz. em crianças A e B. 4 irracional b.00 e.( Prova: CESPE . 100 b. enquanto Bento e Peso (em kg) 3.4 - d. igual a progressão aritmética. 125 c. a altura de cada retângulo mede um décimo da Antônio achou a divisão injusta. e os valores de seus sa- CRIANÇA A lários mensais formam. Pode-se afirmar que: Se as quantidades de balas que os três irmãos comeram formavam uma progressão aritmética. Sn < 111. as 36 balas que havia em um pacote.( Prova: CESGRANRIO . Beatriz e Carlos comeram. assinale a 16 .EPE ) los. 280 O sexto termo de uma progressão geométrica é igual a 12500. criança A. então o produto dos termos dessa progressão c.Transpetro ) alternativa correspondente ao terceiro termo.200. reais. o salário mensal de Carlos? Estatura (em cm) 50 70 86 98 a. 6 d. 340 e.2011 . . 1 e. existe n natural tal que Sn é um número a. desde o nascimento (0 ano) até o 3º ano das em contrato para pagamento do valor total de de vida. 17 . que apre- 15 . 8 e. desde o compra de um imóvel constituem uma PA cres.2012 . o peso e a estatura da Os valores das parcelas mensais estabeleci. pode-se afirmar Sabendo que as diferenças entre os pesos das que o valor total de compra desse imóvel foi. Se a razão é igual a 5. 200 15. com razão positiva e inferior a 5. 10 e. Sabendo que a1 + a3 = 60 mil itens a seguir. a. 1. cada um deles com base medindo 1cm e tais Os irmãos Antônio. de 3 termos. já que Beatriz altura do anterior.00 Considerando as tabelas acima.2012 . S7 < 111 c. em reais. 1. 250 19 .Petrobrás) Álvaro.CPF: 06342387958.00 Peso (em kg) 3.8 kg.5 Carlos recebem. nascimento (0 ano) até o 2º ano de vida. é correto afirmar que o peso da criança B no 3º ano de vida será igual a a. MATEMÁTICA cada termo dividido pelo imediatamente anterior 20 - ( Prova: PUC-PR - 2012 - DPE-PR) for igual a uma constante r denominada razão. Considere as informações para uma PA (pro- Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada gressão aritmética): 1º termo é igual a 2, razão um dos termos da sequência (p - 2); p; e (p + 3) ter- equivale a 5. Determine o valor do 17º termo dessa -se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e sequência numérica. da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a a. 74 b. 53 a. (6 - p); 2/3; 21 c. 82 b. (p +6); 3/2; 19 d. 18 c. 6; (6 – p); 21 e. 35 d. (6 - p); 3/2; 19 e. (p - 6); p; 20 21 - ( Prova: COPESE - UFT - 2012 ) Os cubos da sequência a seguir são formados 24 - ( Prova: CEPERJ - 2012 - DEGASE ) com palitos (um palito para cada aresta). Na progressão aritmética 3, 6, 9, 12, 15, ..., o próximo elemento vale: a. 9 b. 12 c. 15 O segundo termo desta sequência é composto d. 18 por 2 cubos, sendo formado pelo primeiro termo e. 27 acrescido de mais palitos. O terceiro termo é com- posto por 3 cubos, sendo formado pelo segundo 25 - ( Prova: CESPE - 2012 - Banco da Amazô- termo acrescido de mais palitos. Continuando a nia) construção da sequência apresentada, com mais 56 palitos, de forma que não sobrem palitos, pode ser construído um termo completo com o total de 38 a. 6 cubos b. 7 cubos. c. 10 cubos d. 12 cubos e. 14 cubos Considerando 7 × 10-3 como valor aproximado 22 - ( Prova: UNICENTRO - 2012 ) para e -5, julgue os próximos itens, relativos à mo- Em Irati, cidade do Paraná, um grupo de se- vimentação de clientes acima descrita. nhoras criou um “Clube de Leitura”. Na sede do A sequência p(0), p(1), p(2), p(3), . . . é uma pro- clube, elas trocavam livros, liam e discutiam so- gressão geométrica de razão menor que 1. bre o assunto de que tratavam. Uma nova mora- ( ) certo ( ) errado dora da cidade ingressou no grupo e descobriu que precisaria ler 8 livros, 1600 páginas, para 26 - ( Prova: CESGRANRIO - 2012 - Banco do acompanhar o bate-papo literário com as novas Brasil) amigas. Resolveu, pois, iniciar a leitura da se- Uma sequência numérica infinita (e1, e2, e3,...., guinte maneira: leria todos os dias, sendo que, no en....) é tal que a soma dos n2 termos iniciais é 1º dia, serem lidas x páginas e, a cada dia, leria igual a n2 + 6n. O quarto termo dessa sequência 2 páginas a mais do que as lidas no dia anterior. é igual a Se completou a leitura das 1600 páginas em 25 dias, então o número de páginas lidas no 1o dia, a. 9 foi igual a b. 13 a. 60 c. 17 b. 50 d. 32 c. 40 e. 40 d. 30 e. 20 27 - ( Prova: FCC - 2012 - TRF ) Considere que os termos da sucessão seguinte 23 - ( Prova: ESAF - 2012 - Receita Federal ) foram obtidos segundo determinado padrão. Uma sequência de números k1 , k2 , k3 , k4 (20, 21, 19, 22, 18, 23, 17, ...) ,....,kn é denominada Progressão Geométrica - PG Se, de acordo com o padrão estabelecido, X e - de n termos quando, a partir do segundo termo, Y são o décimo e o décimo terceiro termos dessa Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. CAPÍTULO 05 - Exponenciais e Logaritmos sucessão, então a razão é igual a (a solução é x = 9) c. 16x - 42x-1 – 10 = 22x-1 a. 44%. (a solução é x = 1) b. 48%. d. 32x-1- 3x - 3x-1 + 1 = 0 c. 56%. (as soluções são x’ = 0 e x’’ = 1) d. 58%. e. 64%. Para resolver equações exponenciais, devemos reali- zar dois passos importantes: 28 - ( Prova: VUNESP - 2013 - SAP-SP) 1º) redução dos dois membros da equação a potências Observe a sequência de figuras com bolinhas. de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: É importante também lembrar as propriedades da Mantendo-se essa lei de formação, o número potenciação. Sendo a, b ∈ Z, e n, m ∈ N, temos: de bolinhas na 13ª posição (P13 ) será de Multiplicação de potências de mesma base a. 91 an . am = an+m b. 74 c. 63 Divisão de potências de mesma base d. 58 an : am = an-m e. 89 Potência de potência 29 - ( Prova: CESGRANRIO - 2013 - BNDES) (am)n=am·n Progressões aritméticas são sequências nu- Atenção:(am)n≠am n méricas nas quais a diferença entre dois termos Potência de um produto consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, (a . b)n = an . bn 17, ..., 68, 71) é uma progressão aritmética finita que possui Potência de um quociente (a : b)n = an : bn 39 a. 67 termos b. 33 termos c. 28 termos d. 23 termos e. 21 termos Expoente nulo a0 = 1 (a ≠ 0) Gabarito Base nula 1-B 2-A 3-C 4-D 5-E 0n = 0 (n ≠ 0) 6-D 7-E 8-C 9-E 10-C Base 1 11-C 12-E 13-D 14-E 15-D 1n = 1 16-D 17-C 18-C 19-A 20-C Expoente negativo 21-C 22-C 23-D 24-D 25-E 26-B 27-C 28-A 29-D Questões Resolvidas 5. EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 01. 3x=81 Equações Exponenciais Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34 Chamamos de equação exponencial toda equação na E daí, x = 4. qual a incógnita aparece no expoente. Exemplos de equações exponenciais: 02. 9x = 1 a. 3x = 81 Resolução: (a solução é x = 4) 9x = 1 ⇒ 9x = 90 ; logo x = 0. b. 2x-5 = 16 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. MATEMÁTICA Temos 2 casos a considerar: 03. • quando a > 1; Resolução: 04. Resolução: • quando 0 < a < 1. 05. 23x-1 = 322x Resolução: 23x-1 = 322x ⇒ 23x-1 = (25)2x ⇒ 23x-1 = 210x Daí 3x – 1 = 10x, de onde x = -1/7. 06. Resolva a equação 32x–6.3x–27=0. Resolução: Vamos resolver esta equação através de uma trans- formação: Nos dois exemplos, podemos observar que 32x – 6.3x – 27 = 0 (3x)2 - 6.3x – 27 = 0 a. o gráfico nunca intercepta o eixo-x. Portan- to, a função não tem raízes; 40 Fazendo 3x = y, obtemos: b. o gráfico corta o eixo-y no ponto (0,1); y2 - 6y – 27 = 0 c. os valores de y são sempre positivos, pois potência de base positiva é positiva. Portanto o Aplicando Bhaskara encontramos conjunto imagem é Im(f)= ℝ+*. y’ = -3 e y’’ = 9 Além disso, podemos estabelecer o seguinte: Para achar o x, devemos voltar os valores para a • quando a > 1: equação auxiliar 3x = y: f(x)=ax é crescente e Im(f)= ℝ+* y’= -3 ⇒ 3x’= -3 ⇒ não existe x’, pois potência de base positiva é positiva. Para quaisquer x1 e x2 do domínio: y’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’ = 2 x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(y1) Portanto a solução é x = 2. (as desigualdades têm mesmo sentido) Função Exponencial • quando 0 < a < 1: f(x)=ax é decrescente e Im(f)= ℝ+* Chamamos de função exponencial aquela na qual temos a variável aparecendo no expoente. Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(y1) A função f:ℝ → ℝ+* definida por (as desigualdades se invertem) f(x)=ax Inequação Exponencial com a ∈ ℝ e a≠1, é chamada função exponencial Chamamos de inequação exponencial toda ine- de base a. O domínio dessa função é o conjunto dos nú- quação na qual a incógnita aparece no expoente. meros reais e o contradomínio é o conjunto dos números Para resolver uma inequação exponencial, devemos reais positivos. realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a potên- cias de mesma base; Gráfico Cartesiano da Função Exponencial 2º) aplicação da propriedade: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. não é? Nestas condições. log416 = 2. Determine x em: 03. Aplicando as propriedades da potenciação. pois 50=1 Consequências da Definição 03. a > 0. pode-se transformar as Questões Resolvidas operações de multiplicação em soma. de divisão em sub- tração. Determine x tal que: ⟹loga1=0 ⟹logaam=m ⟹alogab=b 05. Na igualdade logab=x temos: Questões Gabaritadas • a é a base do logaritmo 41 • b é o logaritmando ou antilogaritmo 01. loga b=x ⟺ ax=b E. É vedado a reprodução total ou parcial.CPF: 06342387958. na linguagem dos logaritmos. Assim. principalmente na área da astronomia. onde 4 é a base. como sabemos que 4² = 16. . pois 42=16 02. a > 0 e a ≠ 1. por exemplo. Resolva as equações: • x é o logaritmo Exemplos: 01. Definição de logaritmo Multiplicando os dois membros por (-1). diremos que 2 é o logarit- mo de 16 na base 4. Resolva as equações: ⟹logab=logac ⇔b=c 06. facilitando Resolva a inequação sobremaneira os cálculos. pois 25=32 02. finalmente. 2 o expoente e 16 a potência. conforme veremos a seguir. Na verdade. entre outras transformações possíveis.Exponenciais e Logaritmos • quando a > 1: am > an ⇒ m > n O conceito de logaritmo foi introduzido pelo mate- (a desigualdade permanece com o mesmo sentido) mático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). entre outras. log232=5. e pode-se dizer que o nome logarit- Resolução: mo é uma nova denominação para expoente. log416=2. log51=0. a ≠ 1 e m um número real qual- quer. escrevemos simbolicamente: Multiplicando os dois membros por 4. Simples. a idéia de logarit- mo é muito simples. Resolva as equações: Propriedades Operatórias dos Logaritmos Logaritmo do produto Logaritmos loga (x∙y)=logax+logay Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . mos a desigualdade e temos como solução x < 0. CAPÍTULO 05 . A descoberta dos • quando 0 < a < 1: logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de am > an ⇒ m < n simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para (a desigualdade inverte o seu sentido) a época. preserva- sendo b > 0. Resolva as equações: Sendo b > 0. Através dos logaritmos. como a base 4 é maior que 1. temos a seguir algumas consequências da defini- ção de logaritmo: ⟹logaa=1 04. é necessário fazer. a ≠ 1) e indicamos por quarta proporcional (no exemplo anterior 10 é a quar- ta proporcional). a ≠ 1. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usa-se: Exemplo: Nesse caso. a conversão dos seus meios. x > 0 e m∊ℝ) nome de proporção. cologab Quando o segundo e o terceiro termos são iguais cha- mamos de proporção contínua. GRANDEZAS PROPORCIONAIS E Numa proporção. Cologaritmo O segundo e o terceiro termos são chamados de meios da proporção (5 e 6 são os meios). x > 0 e y > 0) equivalentes porque representam o mesmo valor e Logaritmo da potência é chamada de forma irredutível porque é a forma mais simplificada possível de se escrever essa razão. toda vez que trocarmos os termos tere- 6. Quando escrevemos dois números na forma de Exemplo: com b ≠ 0. PROPORÇÃO. a ≠ 1. é uma proporção contínua. mos uma nova proporção. O primeiro e o último termos são chamados de ex- tremos da proporção (3 e 10 são os extremos). É vedado a reprodução total ou parcial. Essa conversão chama-se mudança de base. a soma (ou diferença) dos REGRA DE TRÊS antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes assim como cada antecedente está Razão e proporção para seu respectivo consequente. Mudança de Base Exemplo: Em algumas situações podemos encontrar no cálcu- lo vários logaritmos em bases diferentes. dizemos que temos uma razão entre eles. logaxm=m∙logax À igualdade de duas razões equivalentes damos o (a > 0. Caso particular: como temos: Quando escrevemos estamos escrevendo uma proporção que lê-se “3 está para 5 assim como 6 está para 10”. logaritmos de bases diferentes para uma única base con- veniente. Isto é. Como 42 Propriedades das Proporções podemos escrever também que Em toda proporção. Como as pro- priedades logarítmicas só valem para logaritmos numa Uma proporção não se altera ao alternarmos os mesma base. onde a parte de cima é chamada de antecedente e Logaritmo do quociente a de baixo de consequente. x > 0 e y > 0) 3 e 2. contínua o logaritmo inverso desse número b na base a. Chamamos de cologaritmo de um número positivo b Ao último termo de uma proporção chamamos de numa base a (a > 0. As razões são chamadas de razões (a > 0. e nesse caso o último termo (12) é chamado de terceira (a > 0. Por exemplo. a ≠ 1 e b > 0) proporcional. MATEMÁTICA (a > 0.CPF: 06342387958. o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. . ou os seus extremos. Ao escrever estamos escrevendo a razão entre Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . antes. RAZÃO. a ≠ 1. menta. Os valores são tais que os núme. Letícia investiu R$ 48. Como o refresco Vejamos duas aplicações: ficou aguado. 5. 6.CPF: 06342387958. a outra também aumenta. 15} e {2.00. as sequências {1. ( ) CERTO ( ) ERRADO 12. Por exemplo.00. R$ refresco. 8. Gustavo recebeu a quantia de R$ ( ) CERTO ( ) ERRADO 56. 2. sua mãe resolveu acrescentar mais suco concentrado à mistura. É vedado a reprodução total ou parcial. 42.000. Vamos ver agora alguns exemplos de questões que envolvem o cálculo de razões e proporções: Quando isso acontece. Divisão em Partes Diretamente Proporcionais ros de acertos foram proporcionais aos números de questões por prova.Razão. as sequências {3. Luana acertou 10 questões. 4 .000. cada uma delas com quantidade diferen- te de questões. vamos considerar o seguinte problema: divi- Com base nessa situação. julgue o item: dir o número 496 em partes inversamente proporcionais Na 3ª prova. a razão de nú. 3 e 5. 9. porque quando escritas na forma de razão teremos sempre valores pro- porcionais: Nesse caso o resultado da soma ou da diferença é um número proporcional às razões dadas. na mesma proporção. de forma que cada uma receberia um valor inversamente Grandezas Inversamente Proporcionais proporcional ao número de faltas naquele mês. Grandezas Proporcionais e Regra de Três cionais àquelas sequências numéricas nas quais a ra- zão formada pelos seus termos correspondentes é sem- pre constante. ml de suco concentrado na mistura. Consideremos o seguinte problema: dividir o número 360 em partes diretamente proporcionais a 2. 10} são diretamente proporcionais. então pondentes é constante. Chamamos de sequências diretamente propor- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . 12. 6} e {60. 3 e 5. Por exemplo. aos números 2. 6 . Joana e Carolina. Nº de Nº de Aluno questões por Acertos 43 prova Meire 40 25 Fran 8 5 Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Luana 16 X Agora.000. mesmo: mática.00. CAPÍTULO 06 . venderam Com base nessa situação. Após a venda. . julgue o item: aquelas na qual o produto formado pelos termos corres- Se a prova era composta de 35 questões. Depois de um certo tempo. Observe que. No mês de julho Flora decidiu dividir um bônus de Grandezas Diretamente Proporcionais e R$ 160. 1) Na compra de um apartamento em socieda- de de suco correspondesse a 1/5 da quantidade de de.000. 10} são inversamente proporcionais porque o produto formado pelos seus termos correspondentes é sempre o 2) No 1º semestre houve 3 avaliações de mate. Considerando essa A mãe de Ruy precisou acrescentar mais de 40 situação. na medida em que uma sequência au- mero de questões que Talita acertou para o nú. Talita acertou mais de 30 questões. 3. Considerando essa situação. 30. Proporção. ( ) CERTO ( ) ERRADO 3) Ruy fez refresco misturando 100 ml de suco concentrado e 500 ml de água. ( ) CERTO ( ) ERRADO Gabarito 1-Errado 2-Certo 3-Errado 2) Flora tem uma pequena loja de produtos na- turais e duas funcionárias. mero total de questões foi de 5 para 7. julgue o item. julgue o item. julgue o item: o imóvel por R$ 120. A tabela mostra a quantidade de 1·60=2·30=3·20=5·12=6·10=60 (constante) questões que 3 determinados alunos acertaram em cada prova. Com base Sequências inversamente proporcionais são nessa situação. 1) Numa prova de matemática.00 entre as duas funcionárias. 20. temos uma sequência de grandezas diretamente proporcionais. até que a quantida.00 e Gustavo. . 3:4. dizemos que é uma regra de três simples e quando tiver Gabarito três ou mais grandezas é uma regra de três composta. 260. aumenta). 2:3. como. em menos de 20 dias. 245. nessa escola. Sabendo que todos os de- tes. 01) Ano: 2014 Banca: VUNESP Órgão: SAAE-SP Grandezas Diretamente Proporcionais Prova: Técnico em Informática Um marceneiro confeccionou 350 cubos de São aquelas que se comportam de maneiras iguais madeira para uma loja de materiais educativos (à medida que uma grandeza aumenta a outra também e precisa pintar todos eles antes de entregá-los. O passo de Antônio mede 0. 210. Em um dia de muita chuva e trânsito caótico.CPF: 06342387958. após algumas horas de trabalho. mar que nesse dia. Gabarito ( ) CERTO ( ) ERRADO 1-Certo 2-Errado 4) Uma máquina funcionando 6 horas por dia conclui um trabalho de perfuração fazendo 60 fu- ros por minuto durante 10 dias. Quando o problema possui somente duas grandezas. 1) Os 33 alunos formandos de uma escola estão d. Resolução de Problemas de Regra de Três b.000 peças ( ) CERTO ( ) ERRADO do mesmo produto em 20 dias. a razão entre o número de alunos que chegaram com mais de 30 ( ) CERTO ( ) ERRADO minutos de atraso e o número de alunos que che- garam no horário. julgue o item.343 convites. 1. outro. estudantes ficaram encarregados de preparar os convites. Se essa máquina for programada Regra de Três para fazer 50 furos por minuto trabalhando 4 ho- ras por dia. c. por exemplo. ( ) CERTO ( ) ERRADO 03) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: SEJUS- 3) Vinte funcionários de uma indústria produ. c. a tarefa de perfuração será concluída Regra de três é um método para solucionar proble. Certo dia. 1:3. se todos os 33 formandos dos. Nessas Em uma população carcerária de 14 400 pre- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . julgue o item a seguir. Admitindo-se que todos os estudantes sejam 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasa- igualmente eficientes. 275. 30 minutos de atraso. a.10 m. sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de tivessem trabalhado na produção desses convi. d. distância. MATEMÁTICA Se Carolina faltou 3 vezes e Joana faltou 2. 225. sendo uma grandeza algo que pode ser medido. com a tão Joana recebeu mais de R$ 100. nessa ordem. O número de cubos que ainda estavam sem São aquelas que se comportam de maneiras inversas pintura era: (à medida que uma grandeza aumenta a outra diminui). 1:6. Prova: Escrevente Técnico Judiciário sa situação. mas que contém grandezas. Nessas condições. e. número de pessoas etc. A distância de A até B é maior que 300 m. pode-se afir- nas mesmas 4 horas seria superior a 8. deverão produzir 3.00.90 m e o de João. o número de convites que teriam produzido mais alunos chegaram no horário.000. mesma eficiência. foi de 2) João e Antonio têm seus passos aferidos. É vedado a reprodução total ou parcial. organizando a sua festa de formatura e 9 desses e. Para ir de A até B. -ES Prova: Agente Penitenciário zem 2. tem. a ra- zão entre o número de cubos pintados e o número 44 Grandezas Inversamente Proporcionais de cubos sem pintura era 5/9. condições. en. ( ) CERTO ( ) ERRADO po. Assim. Com base nes. 2:5. um deu 60 passos a mais que o b. julgue o item. Esse pequeno grupo trabalhou durante 02) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: TJ-SP 4 horas e produziu 2. a. 1-Certo 2-Errado 3-Certo 4-Certo A primeira coisa que devemos fazer para resolver um problema de regra de três é verificar se as gran- dezas são diretamente proporcionais ou inversamente Questões Gabaritadas proporcionais. julgue o item. 15 funcionários.000 peças em 10 dias de trabalho. resolveu premiar dois de seus jogadores com um prêmio total de R$ 17. pode-se concluir que. o número de usuários rido jogo. Sabendo-se que nessa semana números 5.600. b. b. c.500. da seleção mas. 217. b. c. respectivamente. É vedado a reprodução total ou parcial. será: b. 96. corretamente. no total. é nal a 10. 490. Do total das mulheres.000.Criminalístico número total de alunos matriculados em um cur. pode-se a. 350. O número de trabalhadores x. e. CAPÍTULO 06 . pode- fez 24 pontos. Leandrinho marcou 36 pontos e dia. 04) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: SEJUS. 123. -ES Prova: Agente Penitenciário e.Razão. em 3 grupos 08) Em uma padaria. 640 mulheres. 15 e 25. a ra- Alexandre. A reportagem provisório.200. R$ 8. é de 9 para 7. d. após efetuar os cálculos. 480 mulheres. Nessa si. d. 06) (TJPA 2006/CESPE-UnB) 10) Em uma concessionária de veículos. o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. . 112.00 b. 45. verificou-se que a razão maneira diretamente proporcional ao número de entre o número de atendimentos a usuários in- pontos marcados em um certo jogo e inversamen.00 c. 50. e. nessa ordem.200. a. Alexandre recebe salário superior a R$ c. 2⁄5 estão em regime curso. 112. e. d. d. em um determinado mesma partida. 86. o salário de Jaime é maior que R$ 1. d. 100. 105. Se durante uma semana. 94. 840 mulheres. c. 138.00 de 09) Em uma fundação. de manhã. nessa tuação. 630. a razão entre o número de x. $ 8. que o número total de alu- b. y e z pessoas. so e o número de alunos não concluintes desse ação.000. Proporção. nos matriculados nesse curso é: c. pessoas que tomam café com leite. ternos e o número de atendimento total aos usu. 7 e 9. o número de carros prateados superou o retamente que: número de carros vermelhos em a.00. Com base na reportagem. Grandezas Proporcionais e Regra de Três sos. d. 260. Os 250 trabalhadores de uma instituição serão distribuídos em frentes de trabalho. a diferença entre a 2/3. 11) Ano: 2014 Banca: IESES Órgão: IGP-SC Pro- 07) Segundo uma reportagem. 45 te proporcional ao número de faltas cometidas na ários (internos e externos). 180. 132. -se concluir que. 25. 520. pode-se concluir que o número de pessoas que tomarão café puro a. a razão entre o va: Auxiliar Pericial . 72. 1 200 mulheres. e prateados) foi 168. correspondendo a ainda indica que são 140 os alunos concluintes desse curso. mero de carros prateados vendidos durante uma lários que são diretamente proporcionais aos semana foi de 3/11. A soma dos salários desses 3 o número de carros vendidos (somente vermelhos empregados corresponde a R$ 4. b.00. b.CPF: 06342387958. 84. culina de basquete. e. Jaime e Vítor são empregados de zão entre o número de carros vermelhos e o nú- uma empresa e recebem. R$ 8. a soma do salário de Alexandre com o de a.00 a. 100. e supondo que de trabalhadores será essa razão permaneça a mesma. 1. sa. 280. afirmar. 450 mulheres. de pessoas que tomam café puro e o número de y e z desses grupos será diretamente proporcio. c. Nesse caso.00 e. d. nessa ordem.00. 180 pessoas toma- frente com maior e a frente com menor número rem café de manhã nessa padaria.800. Sabendo que o número cometeu 4 faltas. foi de. c. a. Em 120 dias 9 pedreiros constroem uma resi- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . enquanto que Anderson Varejão de usuários externos atendidos foi 140. 05) O técnico Rubén Magnano. cometendo apenas 3 faltas no refe.000. conclui-se cor. venda. Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime. Quanto recebeu o jogador Leandrinho? atendidos foi a. 75. e.200. R$ 8. R$ 9.00 d. há 1 mulher para cada 11 homens nessa situ. a. lessem um roteiro que tinha escrito. 350. . Essa mesma máquina. dia. Em quantos dias a mais do que Ana: ficará pronto o restante da obra? a. irá levar b. com a mesma força de trabalho dos Para ir de casa ao trabalho. e. 54 c. MATEMÁTICA dência. todos com a mesma for. e. uma quantidade de folhas. 4 min 8 s. Dois sétimos de uma obra foram realizados por 4 trabalha¬ dores. 6 dias. Se esse é cor¬reto afirmar que essa obra foi realizada em mesmo percurso fosse efetuado utilizando-se um número total de dias igual a uma moto a uma velocidade média de 30 quilô- metros por hora. para se consumir? d. locidade média de 300 metros por minuto. a. de porta a porta. 6 min 8 s. 16) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: SEJUS- ça de trabalho. 22 pedreiros. d. mantendo o mesmo funcionamento. para fabricar 3 375 des- a. 5 máquinas de mesmo O fabricante de um cartucho de tôner para rendimento imprimem certo número de cópias impressora infor¬ma que este dura o suficiente de um folheto em 8 horas de funcionamento. 35 min. 19) (SESD-94) 30 operários deveriam fazer um nar a leitura. No sexto dia. 30 minutos 14) Ano: 2014 Banca: FGV Órgão: FUNARTE c. Ana leu 16 páginas por dia. d. 9 dias. dade normal. 320. com o que restou de tôner. levou 15 dias para termi. Es. d. levaria a menos que de bicicleta a. d. e. quanto tempo de funcionamen- 46 1. a. b. 11. to as máquinas restantes levariam para fazer o Após a instalação de um cartucho novo desse tipo. fazem 36m de certo Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . com gráficos de quali.500 folhas com texto simples. ou delas quebrasse. em 90 dias. É vedado a reprodução total ou parcial. 15 min. b. 27 pedreiros. 20 minutos b. b. 10 dias. c. 440. e Bruno leu apenas 10 páginas por serviço em 40 dias. 15. tra- Prova: Agente de Segurança Penitenciária balhando 8 horas por dia. mais um -ES Prova: Agente Penitenciário trabalhador. 5 min 18 s. 8 dias.000 folhas com gráficos de qualidade normal. 10 horas e 20 minutos.500 folhas de texto simples e 80 folhas com gráficos de qualidade normal. c. b. 26 pedreiros. igual a e. 53 b. 30 pedreiros. 12 horas e 33 minutos. sas mesmas peças. c. e. a. 58 e. d. man. 15 horas. 10. Bruno gastou 15 operários deixaram o serviço. a. b. NESP Prova: Auxiliar Administrativo e. 9. 380. 12) Ano: 2014 Banca: VUNESP Órgão: FUNDU. c. a. foi contratado e. Sendo assim. quanto tempo levará c. 10 horas. 3h 18 min xiliares. 45 min. 2h 36 min Prova: Assistente Administrativo d. mesmo serviço? foram impressas 1. 18) (CFO-93) Se uma vela de 360 mm de altura. demais.8 mm por minuto. 1h 15min. 55 min. 14. b.CPF: 06342387958. possa imprimir ainda c. Para fazer a leitura do roteiro. 3h 20 min Um escritor pediu que Ana. c. em 5 dias. 15) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: SAP-SP 20) (FESP-96) Doze operários. 12 horas. 56 d. 7 min 2 s. diminui 1. Quantos pedreiros são necessários para Uma máquina demora 1 hora para fabricar fazer outra residência igual em 40 dias? 4 500 peças. Bruno e seus au. 13) Ano: 2014 Banca: VUNESP Órgão: SAAE-SP Prova: Procurador Jurídico 17) Em certa gráfica. 12 dias. 4 min 48 s. d. 400. 13 dias após o início das obras. até o final da obra. Se 1 para imprimir 2. Elis percorre de bicicleta 3 600 metros a uma ve- tiveram-¬se os cinco trabalhadores. pera¬-se que a impres¬sora com esse cartucho. 1200 = 120 Gabarito 1-B 2-C 3-B 4-C 5-E Questões Gabaritadas 6-A 7-E 8-A 9-E 10-A 11-A 12-A 13-A 14-C 15-E 1) Em 2006. 10 esse número decimal para o cálculo da porcentagem. c. deve-se pegar duas partes. que dá como resultado 0. O núme- ro de horas por dia. 2h37min30s 47 d. traba- significa que devemos pegar o número duzentos e di- lhando 8 horas por dia? vidi-lo por cem. para fazer 12m do 16-A 17-A 18-D 19-B 20-E mesmo tecido. Para isso deve-se b) 3 dias sempre comparar um valor a uma porcentagem.10 . 24) (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias. 30 mas: e. percorre certa distância em três horas e Para isso deve-se escrever uma porcentagem na for- meia. para calcular 10% de 1. d) 6 dias Não se pode esquecer que o “total” de alguma coisa e) 16 dias será o nosso 100%. PORCENTAGEM. 15 O cálculo de porcentagem pode ser feito de três for- d. Nas mesmas condições e com a velocidade ma de fração: de 60km/h. Usando a Representação Decimal de uma dreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias é: Porcentagem a. trabalhando 6 horas por dia levarão: 21-C 22-C 23-C 24-D a. 2h30min30s e. 2h37min8s c. significa que estamos dividindo 10 por b. 2% b. nas mesmas con. fazemos: e. 12 Por exemplo. 10 No caso de 2%. 15 0. JUROS c. Juros Simples e Compostos tecido. Um por cento representa uma parte em cem partes. Podemos afirmar que. 12 dias SIMPLES E COMPOSTOS d. vamos calcular 35% de 580. foram embarcadas. 8 Ao dizer 10%. É vedado a reprodução total ou parcial. 9 100. d. 2h30min18s Como exemplo. CAPÍTULO 07 . Assim.200. 6 Usando Fração 22) (EPCAr) Um trem com a velocidade de 45km/h. que deverão trabalhar 18 pe. 36 dias e. quanto tempo gastará para percorrer 1% =1/100 a mesma distância? 2% = 2/100 20% = 20/100 a. trabalhando 6 horas por dia. o nosso 100% será 580. 15 homens montam 50 máquinas em: A maneira mais usada para o cálculo de porcenta- a) 18 dias gem é através de uma regra de três. 80 dias 7. 20 de 200 é 4. 64 dias Porcentagem 21) (Colégio Naval) Vinte operários constroem O que significa um por cento? um muro em 45 dias. Quantos operários serão necessários para cons- ou seja quando dizemos um por cento (1%) de duzentos truir a terça parte desse muro em 15 dias. c) 20 dias Por exemplo. ou seja. 2h29min28s 23) (ETFPE-91) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas.10. . trabalhando 6 horas por dia.Porcentagem. 90 dias b. O resultado representa 1% de duzentos (200:100=2). no Porto de Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . podemos usar c. 15 operá- rios. com o dobro da largura.CPF: 06342387958. então. Nesse exemplo. vamos calcular 24% de 420: b. Usando Regra de Três dições. a. então 2 é 1% de duzentos. 700. redução de 10% d.1% d.0 m. 12. cerca de 19. 65 6) Uma loja vende seus artigos nas seguintes d. Relativamente d. a d. R$ 10.8% b. 13% venda. No mês de janeiro de 2008.00 lação às detectadas em dezembro. Nesse caso. . aumento de 20% d. 1750 c. pretende dar 9) Uma pequena cidade possui 10. lheres são produtoras rurais. 23% b. 45 e. em sua tabela de preços relação ao mês anterior. e nesse espaço será seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. 6000 5) Em uma sala. 25% 3) João constatou que. 14 m² -se concluir que x é igual a: c.00 amostra do mesmo reservatório. o nú- madamente: mero de habitantes do sexo masculino e que são produtores rurais é igual a: a. É vedado a reprodução total ou parcial. o valor sem de João vendeu 171 garrafas de água mineral em desconto (cheio) para pagamento à vista de seus dezembro e que x representa o número de garra. No mês de fevereiro. o comerciante.00 ao mês de novembro. em relação a 2005. ele teve um aumen- pará 40% desse espaço livre. b. a análise de uma que à vista sai por R$ 7. aumento de 10% e.000. 10% e. Um artigo 2) Em dezembro de 2005. o co. houve. no cartão sairá amostra de água de um reservatório acusou um por: aumento de 18% de impurezas. 15% b. é correto afirmar que. 146 e 152 a. 12% a. R$ 11 . 28% c. observou-se que b. 40% venda de garrafas de água mineral em sua mer- 48 cearia teve um aumento percentual de 14% com 8) Uma empresa tem. analisada outra a. as impurezas aumentaram em: 7) Paulo comprou um aparelho de som e o re- vendeu com um lucro de 20% sobre o preço de a.010.000. 12 m² d. 8 m² b. c. Como a venda do produto caiu. 75% da área total está livre. deu aos clientes um desconto de 50% sobre o va- demos afirmar que x é um número entre: lor da tabela. 152 e 157 b. no mês de dezembro. 80 preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. o desconto passou a 40%. A partir de setembro de 2006. redução de 25% certo produto em 30%. 10) Em agosto de 2006. 4000 e. Pode. 11 . Josué gastava 20% de isto é. Nesse caso.5% o preço de compra é de c. MATEMÁTICA Porto Velho. aproxi. 2400 d.110 tone- ladas. 19% a. 58 c. R$ 13. são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mu- merciante deve anunciar um desconto de. em janeiro. Sabendo que a mercearia de venda de produtos aos clientes. colocado um tapete de 2. Já em fevereiro. em relação ao mês anterior. 75 condições: à vista com 30% de desconto sobre o e.000 habitan- um desconto no novo preço de modo a fazê-lo vol.00. 10 m² a. em relação aos preços. R$ 7. 16 m² madeira aumentou aproximadamente x %.760 toneladas de madeira corresponde a a mais do que em 2005. A área total de sala to de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .4 m por 2. a empresa fas de água mineral vendidas em novembro. o lucro que Paulo obteve sobre b. 139 e 146 c. arrependido. 157 e 164 c. tes.CPF: 06342387958. totalizando 46. Assim. comparativamente a a. que ocu. o embarque de a. b. redução de 20% 4) Um comerciante aumentou o preço de um e. 30% d. dos quais 40% são produtores rurais e 60% tar ao valor anterior ao aumento. Em janeiro de 2006.00 houve uma redução de 5% de impurezas em re. po.000. 132 e 139 janeiro. sem móveis ou objetos. Desse modo. 20% c. 3600 e. 12. produtos. 00. CAPÍTULO 07 . Quando trabalhamos com o sistema composto. o aumento salarial que Paulo obteve foi de O sistema de juro composto é calculado sobre o últi- mo montante. R$ 254.00 Questões Gabaritadas d.000.00 à vista. 30%.00 de entrada e o res- um dinheiro como no caso de uma financeira. ele é atualizado periodicamente. 22. por R$ 22. M=C∙(1+i)n 13) Antônio comprou um aparelho de televisão. para o pa. Juros e. Montante é o valor final da aplicação. R$ 255. 810. para o cálculo dos juros foi compostos.50.975. Entretanto prefe. calcu- b.5% j=C∙i∙n 11) Numa loja. É vedado a reprodução total ou parcial. ou seja: 12) Paulo trabalha em uma empresa e obte- ve uma promoção que acarretou um aumento de M=C+j 20% em seu salário. No mês seguinte. Por exemplo. c. tante daqui a 5 meses. 11-B 12-C 13-B b. 2) Uma concessionária vende um automóvel cação financeira como no caso de uma caderneta de pou. b. o vendedor cobrou juros de 4% ao mês. Na venda a prazo. todos os funcionários da empresa obtiveram um aumen- to salarial de 10%. C: capital ou principal (valor aplicado ou emprestado) te se o desconto fosse feito de uma única vez? i: taxa de juros (sempre na forma centesimal) n: tempo de aplicação a.00.CPF: 06342387958. a. 40%. se a taxa de juros d. 30% Para o cálculo de juro simples usamos a seguinte fór- c. a. 11. A prazo. . 28% for mensal o tempo tem que estar também em meses. Nessas condições.00 1) Aplicando-se R$ 650. 32. Podemos dizer que juro é o rendimento de uma apli. ou é o valor que você paga pelo empréstimo de 24.37. 26. 27. 32%. 1-D 2-C 3-C 4-C 5-A igual a 6-D 7-C 8-A 9-B 10-D a. a porcen- tagem do salário que Josué deverá desembolsar Juros Simples mensalmente é O sistema de juro simples é aquele em que o rendi- a. Juros Simples e Compostos reajustado em 35%. d. A C: capital ou principal (valor aplicado ou emprestado) primeira delas foi paga no ato da compra. sendo R$ 5. Gabarito ao final do período o montante será.75.62. a taxa de juros e o tempo deverão c. onde: cujo preço à vista é R$ 500.5% mento é calculado sobre o capital inicial.2% Nessa fórmula.Porcentagem. lamos o montante da aplicação através da fórmula: 49 c. 25% e. 18. M: montante da aplicação riu fazer o pagamento em duas parcelas iguais.50 b.000. 830. a taxa de Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . d. Assim. En.00 durante quinze me- ses a uma taxa de juros simples de 1. gamento do aluguel após os reajustes. 825. 815. R$ 254. ou seja. n: tempo de aplicação (número de períodos) tão é correto afirmar que o valor de cada parcela Como nos juros simples.8% estar na mesma unidade. em reais.87. o preço de um produto sofreu onde: dois descontos consecutivos: o primeiro de 10% e j: valor dos juros o segundo de 18%. em relação ao salário Juros Compostos antes da promoção. Qual a porcentagem equivalen. 20%. Nessa i: taxa de juros (sempre na forma centesimal) venda.75% ao mês. a taxa e o tempo também deverão estar na mesma unidade.90 c.5% mula: d. 820.82% b. R$ 260. Temos dois tipos de juros: simples e compostos. vende por R$ pança. 3.000.0% 7) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o 3) Um certo capital foi aplicado a juro simples prazo de aplicação for de 2 anos.800. R$ 10. a. R$ 10.00 e R$ 20.00 e R$ 30.989.a.400.000. MATEMÁTICA juros simples mensal cobrada foi de: a.00. R$ 16.00. R$ 255. ao final de um mês esta- 1-A 2-C 3-E 4-B 5-C rá devendo R$ 110. No fim do primeiro trimes- tre de aplicação. R$ 254.500.5% c.310. R$ 16. En- cação de R$ 100.00 b. R$ 254. R$ 7.00 e que seu plano seja pagar R$ 100. 8.00. EQUAÇÕES E SISTEMAS DE R$ 100.00. . ção anterior e gerou R$ 960.90 c.800. R$ 17.00 dos R$ 110.300.67% a. 16.000. Se. 1/5 à taxa de 2% ao mês por um tri. A primeira delas foi paga no ato da compra. o capital inicial b.00 a. a. R$ 99. c.00 e R$ 60. R$ 100.00 mestre e o restante à taxa de 3% ao mês durante um quadrimestre. Nessa 4) Uma entidade assistencial dividiu a apli.90 referente à primeira e à segunda aplicação são. Entretanto prefe- e.00 d. R$ 13.000.m.000.45 a.200.000. 3. o vendedor cobrou juros de 4% ao mês. venda.a. O juro total arrecadado foi de 10) Pedro fez uma certa aplicação a juros com- R$ 580.792. O capital b.00.04% a. R$ 40. EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU da no quarto mês. d. R$10. 6-C 7-A 8-B 9-A 10-B deverá. d.00 aproximadamente c. 200.000.00 e R$ 40.00.00 c.200. 1.900. Imagine que você resolva tomar emprestados R$ 500. se você pegar Gabarito R$ 100. 16. R$ 5. É vedado a reprodução total ou parcial. durante c.012.95 b. 412. a seguinte quantia. você pagar apenas R$ 20.00. d.00 5) Um capital foi aplicado a juros simples da b.000. 2. os juros recebidos a.00 que ficou devendo mais os 10% de juros). 25% a.32 d.00 Nesse caso. o montante era de R$ 20.000.00 a. o capital investido por Pedro foi de. Se. R$ 70.00 em duas aplicações: a tão é correto afirmar que o valor de cada parcela primeira parte rendeu juros de 8% ao ano e a se. R$ 260. R$ 8. no mês seguinte. Nesse caso.00 respectivamente. riu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. Por exemplo. R$ 7. iguais a: d. b.00 seguinte maneira: metade à taxa de 1% ao mês por c.5% e. ao final desse primeiro mês. R$ 13. 3 meses.000.00 ao final do primeiro mês.00. R$ 80. 4.00. 367. R$ 10. 25% a. cujo preço à vista é R$ 500.00 da em um banco que cobra 10% de juros mensal sobre o saldo devedor. inicialmente aplicado foi c. 265.00 ao final do segundo mês.000. O capital inicial era postos de 6% ao mês. R$ 13.00 b. aplicado a juros compostos.00 (os R$90. R$ 7.00.00.m.00. a.0% d. Esse montante foi novamente aplicado por mais 4 meses.00 ao final do terceiro mês e quitar a dívi.00. R$ 7. no prazo de um ano.000. qual será a taxa durante 8 meses. R$ 8. 9) Qual é o montante de um capital de 50 b. R$ 16.000. à taxa de 10% ao mês? d. R$ 12.00 um bimestre.00 6) Você está pensando em contrair uma dívi.CPF: 06342387958. no quarto mês. 8) Antônio comprou um aparelho de televisão. em reais: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .800.67% a. b. R$ 60.50 pelas aplicações foram iguais.m.00.00 e.00 de juros. d. 398. e.00 emprestados. c.600.00.000.00.000. gerando um montante de R$ de juros simples considerada? 9. à mesma taxa de juro da aplica. foi gunda parte foi remunerada a uma taxa de 12% ao ano.100. você terá de pagar. a. nem igualdade) A forma geral de uma equação do primeiro grau é ax+b=0 Gabarito 51 onde a e b são números reais conhecidos e a ≠ 0. Por exemplo. Assim.x=1 4.x=5/2 bros. a letra é a incógnita. Ele ax=-b acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Para resolver uma equação do primeiro grau. 2x+3y = 55 (total de pontos obtidos) Numa equação. incógnita é x. Quantos ar- remessos de 3 pontos ele acertou? (dividindo os dois lados por a) Podemos traduzir essa situação através de duas equações. Costuma-se indicar o sistema usando uma chave.x=-10/9 2. a saber: x+y = 25 (total de arremessos certos) Consideremos a equação 2x – 8 = 3x – 10. 3x e verdadeiras. –8. No exemplo acima. A palavra equação tem Chamamos de raízes de uma equação os números o prefixo equa. 2x – 8 é o 1º membro. tornam a São exemplos de equações do 1º grau: igualdade dada pela equação uma sentença verdadeira. . A palavra in- cógnita significa “desconhecida”. com a diferente de zero. quando substituídos no lugar da incógnita.x=-5 3. enquanto 3x – 10 é o segundo membro. basta 1. Não são equações: Questões Gabaritadas Exemplos: Resolva as equações do 1º grau 4 + 8 = 7 + 5 (não é uma sentença aber- ta) x – 5 < 3 (não é igualdade) 5 ≠ –2 (não é sentença aberta. nenhum outro número 3a . que em latim quer dizer “igual”. podemos escrever: ax+b=0 Sistemas de Equações do 1º Grau Vamos considerar o seguinte problema: (subtraindo b dos dois lados) Ruy. nesse caso. em nosso exemplo. CAPÍTULO 08 . A partir da equação geral. e o que sucede o sinal de igual. Em nosso exemplo. quando trocamos o x por 2 temos uma sentença verdadeira. a Essas equações formam um sistema de equações. 6. Qualquer parcela.Equações e Sistemas de Equações do Primeiro Grau Equações do 1º grau que pode ser escrita na forma ax+b=0. Equação é toda sentença matemática aberta que ex- prime uma relação de igualdade. Resolução de Sistemas Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação A resolução de um sistema de duas equações com Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Note que. que torna ambas as sentenças mo da equação.4 = 6x + 8 pois. 2ºmembro. O par ordenado (20.b . Assim. o número 2 é uma raiz da equação Exemplos: 3x-6=0 2x + 8 = 0 5x . É vedado a reprodução total ou parcial. Logo. –10 são os termos da equação. é chamado solução do sistema. é um ter.x=-2/3 simplesmente isolar a incógnita em um dos dois mem. sendo a e b números reais. que.c = 0 trocado no lugar do x tornaria a equação uma sentença verdadeira.CPF: 06342387958. do 1º ou do 2º membro. 2x.x=3 5. o 2 é a única raiz da equação dada. em sua última partida de basquete. acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. 5). Tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se temos: 1º membro. quantas vezes deve ter ocorrido cara na moeda? 10) Numa lanchonete. ir.50.12 auto.60 Questões Gabaritadas Resolva os sistemas: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . R$ 3. numa mesma casa de câmbio. Nesse show. Se comprar 7 lápis e 3 canetas.coxi- Assim. 1).3) 4-lápis: 5-euro: R$ 1. dá 100 anos.00 e Pedro trocou 50 dólares e 40 euros por R$ 336. . 2 copos de refrigerante e 3 co- xinhas custam R$ 5. ao mesmo tem- po. ela ganha R$ 10. É vedado a reprodução total ou parcial.00. Paulo tro- cou 40 dólares e 20 euros por R$ 225. a solução do sistema é o par ordenado (3. refri- tas 23 anos gerante: R$ 0. Nesse dia.2) 3-(2. Quais são nossas idades? 52 Assim. equações (1) e (2).00. ceram 4000 pessoas. ou 8) Para assistir a um show em um clube. as cara.50.00 e cada vez que ocorre coroa. gastarei R$ 16. temos: 1-(3. 10. essas equações. Cada vez que ocorre Adicionando.35 ve. membro a membro (por coluna). existem 17 veículos e 58 rodas.30. 1) 2-(1. Qual o número de cada tipo de veículo? Finalmente. determinamos o valor de x: 7) Meu irmão é cinco anos mais velho do que eu.2300 9. O triplo da minha idade somado ao dobro da idade dele. 7.70. caneta: dólar: R$ 2. Quais os preços de cada coxinha e cada copo de refrigerante? Finalmente.80 6. x = 3 e y = 1. gastarei R$ 15.CPF: 06342387958. determinamos o valor de y: e cada caneta? 5) Certo dia.50. Qual o número de sócios compa- Vamos considerar o sistema: receu ao show? 9) Uma pessoa participa de um jogo em que uma mo- eda honesta é lançada 100 vezes. por (3) e (4). substituindo o valor de y que encontra- mos em (4) na equação (3). compare- simplesmente. Estudaremos a seguir alguns métodos: Método da Substituição Vamos considerar o sistema: Isolando x na equação (1). Se após os 100 lançamentos a pessoa teve um ganho líquido de R$ 25. 1 euro estava cotado em quanto? E um dólar? 6) Em uma garagem há automóveis e motocicletas. eu:18 8. Contando. temos: (x=4-y (3) 4) Tenho que comprar lápis e canetas. mão: 1. Qual o preço de cada lápis (2).00 R$ 3. temos que a solução do sistema é móveis e 5 anos. temos: perde R$ 5.65. motocicle. tomando a valor de x encontrado na Gabarito equação (3) e substituindo na equação (1). O preço de 3 copos de refrige- rantes e 5 coxinhas é R$ 9.50. 2).00. o número de sócios presentes foi 1100 a menos que o dobro do número de Método da Adição não-sócios presentes. MATEMÁTICA duas variáveis consiste em determinar os valores de x e y (par ordenado) que torne verdadeiras. sócios zes nha: R$ o par ordenado (8. Se comprar 5 lápis e Substituindo o valor de x da equação (3) na equação 4 canetas. CPF: 06342387958. Verifique se o número 9 é raiz da equação x²–11x+18=0. b = 5 e c = -6 completa 3x² .3 = 0 tre a soma e o produto das raízes da equação x2- 30 ≠ 0 4x+1=0. b= –8 b representa o coeficiente de x. 2 c. da seguinte forma: onde: a = 5.7x – 15 = 0 (sim. 2x² . é: (não. existem duas raízes reais distintas. c= 12 c representa o termo independente. x² +3x + 2 = 0 bros são iguais) 5. 7. usamos a fórmula de Báskara. chama-se equação do 2º grau com Para resolver uma equação do 2º grau. 3 não é raiz da equação.3x + 2 = 0 onde: a = 5. 5x² . . b = 0 e c = 0 incompleta (b = 0 e c = 0) • Se Δ>0. 1 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .4x +4 = 0 6.16 = 0 02.2012 . 5x² .Equações e Sistemas de Equações do Primeiro Grau Equações do 2º Grau Resolução de uma Equação do 2º Grau De forma geral. dada por: ax²+bx+c = 0 em que x é a variável e a.1. CAPÍTULO 08 . observe que os dois membros são diferentes) a. Exemplos: Questões Gabaritadas 01. b e c são os coeficientes da Exemplo: equação do 2º grau. Raízes de uma Equação do 2º Grau • Se Δ=0. b = 6 e c = 9 completa -3x² + 7x + 1 = 0 onde: a = -3.3 = 0 9. Exemplos de equações do 2º grau. x² . 2x² + x – 3 = 0 0=0 3. 3x² + 75x = 0 2(3)² + 5(3) . Resolva a equação x² – 8x + 12 = 0 a= 1 a representa o coeficiente de x².6 = 0 onde: a = .125 = 0 (substituímos a variável x por 3) 8. 4x² . existe uma raiz real (duas raízes re- ais iguais).5 incompleta (b = 0) Chamamos de discriminante(Δ) o valor dado por x² + 4x = 0 53 ∆=b2-4∙a∙c onde: a = 1. quando • Se Δ<0. b = . É vedado a reprodução total ou parcial. Resolva as equações do 2º grau: (substituímos a variável x por 9) (9)² . x² . Verifique se 3 é raiz da equação 2x²+5x–3=0. b = 7 e c = 1 completa -x² + 5x . zes complexas). 4 b. observe que os dois mem. 9 é raiz da equação. não existem raízes reais (duas raí- este torna a sentença matemática verdadeira.11(9) + 18 = 0 1.3 e c = 2 completa x² + 6x + 9 = 0 onde: a = 1. na forma ax² + uma variável toda equação que pode ser escrita na forma bx + c = 0.3 = 0 2(9) + 15 .9x +20 = 0 81 . Dizemos que um número é raiz da equação. b = 4 e c = 0 incompleta (c = 0) Esse valor determina a quantidade de raízes reais da 5x² = 0 equação do 2º grau.99 + 18 = 0 2. (FUNCAB . b = 0 e c = . 4.5 = 0 Discriminante de uma Equação do 2º Grau onde: a = 3.SEAD-PB) O quociente en- 18 + 15 . 2b . b . para discutir a adoção de um sistema único de medidas.CAMARA-SJC) Qual é o valor de m para que a equação (m . GRANDEZAS E UNIDADES DE decâmetro (dam) 1 dam = 10 m MEDIDA hectômetro (hm) 1 hm = 100 m Aprendemos desde cedo a medir e comparar gran. m ≠2 vam cada vez mais difíceis a troca de informações e as d. 11. MATEMÁTICA d. É vedado a reprodução total ou parcial. 2. 42 A palavra metro vem do grego métron e significa “o b. Atualmente. (FIP . m ≤ 0 negociações com tantas medidas diferentes.240 = 0 Medidas de Comprimento 11. A 10. A unidade é um nome particular que relacionamos centímetro (cm) 1 cm = 0. comprimento e tempo são d. teria comprado 10 brindes Aceleração.1200 = 0 grandeza física. Com o desenvolvimento do comércio fica- c. contamos com São submúltiplos do metro: ferramentas que nos auxiliam no processo de mensu- decímetro (dm) 1 dm = 0. B cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo. drado o seu quádruplo. 45 que mede”. deci. o número X de soldados em um policiamento um grupo de representantes de vários países reuniu-se 54 ostensivo era tal que subtraindo-se do seu qua.2002 . Sistema Métrico Decimal mita duas raízes reais distintas? Desde a antiguidade. 50 cia do Pólo Norte ao Equador. b + 2b . de X é Metro a. 12.001 m Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . época da Revolução francesa. solução levará ao valor do brinde sem o desconto é dada por: Escalar Grandeza escalar é aquela que precisa somente de a. Foi assim que. m=4 sário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Com um desconto de R$ mine a direção e o sentido. 4 e 5 2. de uma representação espacial que deter- tribuir no fnal de ano.UFRJ) Antônio gastou deza necessita. pressão e corrente elétrica. -1 e -2 5. 52 por Paris. e. (FCC . C 12. que mostra a R$ 240. massa. 2 Múltiplos e Submúltiplos do Metro 5/2 6. . Vetorial Para sua perfeita caracterização. temperatura.2b + 48 = 0 um valor numérico e uma unidade para determinar uma b. -3/4 e 4. Tipos de Grandezas Físicas e. 1 e 3/4 3. -2 e 2 7. c. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928. 0 e -25 9. m > 1 de medida. -5 e 5 8.1) x2+mx+1 = 0 ad. esse tipo de gran- 10. b + 10b .1 m ração.SEAD-AP) Em certo momen.2009 . b . Gabarito 1. Cada um deles possuía suas próprias “unida- b. velocidade e força são exemplos de gran- a mais com os mesmos R$ 240. intensidade. tempo. deca. milímetro (mm) 1 mm = 0.10b + 1200 = 0 exemplos de grandezas escalares.48 = 0 Grandezas como massa. hecto. (NCE-UFRJ . 48 do metro seria a décima milionésima parte da distân- d. o metro. um exemplo é a nossa massa corporal. m ≠1 des-padrão”. os povos criaram suas unidades a. existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos.00 na compra de brindes iguais para dis. O valor Surgia o sistema métrico decimal. to. centi e mili.CPF: 06342387958. C Além da unidade fundamental de comprimento.00. além do valor numérico.01 m às medidas de uma grandeza. Foi estabelecido inicialmente que a medida c. obtinha-se 1 845. A equação cuja dezas vetoriais. no meridiano que passa e. Era neces- e.00 em cada brinde. em 1791. kilômetro (km) 1 km = 1000 m dezas como comprimento.2010 . b . São múltiplos do metro: 9. Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Transformação de Unidades Ano-luz = 9.4 m Observe que: b. Leitura das Medidas de Comprimento 1. Veja as relações entre elas: Pé 30. CAPÍTULO 09 . Jarda 91. 0 4 8 ferentes unidades.69 dam.000 (10 x 10 x 10). 2014 “15 metros e 48 milímetros” Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias. 1. Então.463 x 1.978 4. 55 1 pé = 12 polegadas Para transformar dam em cm (três posições à direita) 1 jarda = 3 pés devemos multiplicar por 1. Exemplos: 6. medida do seu último algarismo e a parte decimal acom- panhada da unidade de medida do último algarismo da mesma: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .4 Milha marítima 1.CPF: 06342387958. Transforme 16. 978 m = 0.48cm Observe as seguintes transformações: Polegada 2. Transforme 978 m em km.978 km.463 dam em cm. angströn (Å) = 10-10 m = 0.584 hm em m. Milha terrestre 1.69 Exemplo: leia a seguinte medida: ou seja: 15.54cm a. É vedado a reprodução total ou parcial. tuada com o auxílio do quadro de unidades.44cm Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 176. Logo. enquanto os submúltiplos. a polegada.9 m em dam.463cm. Para transformar m em dam (uma posição à esquer- da) devemos dividir por 10. Assim. para pe- quenas distâncias.584 hm = 1.609m 16. .Grandezas e Unidades de Medidada Verdade.9 m = 17.658. Então. 82.658. Transforme 176.107 dam lê-se “oitenta e dois decâ- mícron (µ) = 10-6 m = 0.003 m lê-se “três milímetros”.= 7 ou seja: 2º) Colocar o número no quadro de unidades.463 ou seja. km hm dam m dm cm mm 978 : 1. utilizamos: quilômetros e sete decâmetros”.000. 16. c.07 km lê-se “seis são. locali. A leitura das medidas de comprimentos pode ser efe. para a seguir efetuar as operações. São utilizadas em países de língua inglesa.852m ou seja. zando o último algarismo da parte inteira sob a sua res- pectiva unidade.000001 m metros e cento e sete centímetros”.584 x 100 = 1. 176. devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma uni- 3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de dade.000 = 0. Seqüência prática: d. 6 2.5 · 10 km 12 Ano-luz = 9 500 000 000 000 km O pé. Transforme 1.9 : 10 = 17.000 = 1.463dam = 1. a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal.048 m. 1º) Escrever o quadro de unidades: Para transformar m em km (três posições à esquer- da) devemos dividir por 1. em que se exige preci. Importante: Para resolver uma km hm dam m dm cm mm expressão formada por termos com di- 1 5. Para medidas milimétricas.0000000001 m 0. 56 Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadra- • Qual a área desta sala? dos”. completa-se com zero(s). portanto. • Qual a área desse apartamento? Note que cada coluna da tabela corresponde a uma • Quantos metros quadrados de azulejos são unidade de área. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Metro quadrado 0. temos a seguinte tabela de zados para pequenas superfícies.1 mm² = 0. devemos lembrar que. diatamente inferior. de de superfície é 100 vezes maior que a unidade ime- des superfícies. pastos. o centiare (ca).1 hm² = 10 000 1 ca = 0. en- quanto área é a medida dessa grandeza.0001 m² Transformação de Unidades • milímetro quadrado (mm²) . enquanto o dm².36 m2 em mm2. dois algarismos em cada unidade no quadro. na transformação de unidades de superfície. o cm² e o mm² são utili. A principal unidade destas medidas é o are (a). cada unida- O dam².01 m² • centímetro quadrado (cm²) . 91 70 A unidade fundamental de superfície chama-se me- tro quadrado. Lembre-se: 56 São múltiplos do metro quadrado: • 1 hectare corresponde à 100 ares • decâmetro quadrado (dam²) . . Lê-se “9. respondendo a perguntas como: 12. Devemos utilizar porém. respondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. No caso de alguma casa ficar incom- pleta.3 m2 lão? km 2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 • Qual a área pintada dessa parede? 1 78. Então. b.1 dm² = 0. Superficie é uma grandeza com duas dimensões. Medidas Agrárias Múltiplos e submúltiplos do m² As medidas agrárias são utilizadas para medir su- km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 perfícies de campo. necessários para revestir essa piscina? • Qual a área dessa quadra de futebol de sa. fazendas. Leia a seguinte medida: 12.01 a m² • kilômetro quadrado (km²) . Leia a seguinte medida: 0.170 decímetros quadrados”.1 cm² = 0. e um submúltiplo. O metro quadrado (m2) é a medida cor. o hm² e km² são utilizados para medir gran. 30 Superfície e Área Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros qua- drados”. MATEMÁTICA Medidas de Superfície km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 As medidas de superficie estão presentes em nosso cotidiano. o hectare (ha).917 dam2 número. Observe as seguintes transformações: Exemplos: a. plantações. Transformar 2.1 km² = 1 000 É importante saber que: 000 m² 1 ha = 1 hm² = 10 000 m² São submúltiplos do metro quadrado: 1 a = 1 dam² 1 ca = 1 m² • decímetro quadrado (dm²) .01 are • hectômetro quadrado (hm²) . Possui um múltiplo. transformação: Leitura das Medidas de Área A leitura das medidas de área segue o mesmo proce- dimento do aplicado às medidas de comprimento (line- ares). um c.1 dam² = 100 1 ha = 100 a m² • 1 centiare corresponde à 0.000001 m² No sistema métrico decimal. Leia a seguinte medida: 178.CPF: 06342387958. a. etc.56 m2 Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . É vedado a reprodução total ou parcial. consideramos a seguinte tabela de Medidas de Volume transformação: É comum encontrarmos problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento. no siste- querda) devemos dividir por 10. Na transformação de unidades de volume.001 l 75. reita) devemos multiplicar por 1. ou seja. poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.45 m3 para dm3. afinal quando enchemos este recipiente. • hectômetro cúbico (hm³) .1 dam³ = 1 000 m³ A unidade fundamental de capacidade é o litro. . Capacidade é o vo- lume interno de um recipiente.000 mm2 Transformação de Unidades b. São submúltiplos do litro: Exemplos.1 kl = 1 000 l dro. Devemos • hectolitro (hl) .000 = 0. 2.000000001 m³ Leitura das Medidas de Volume São múltiplos do litro: A leitura das medidas de volume segue o mesmo • decalitro (dal) .450 dm3 Múltiplos e submúltiplos do m³ km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ Medidas de Capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente. • decâmetro cúbico (dam³) . O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao Para transformar m³ em dm³ (uma posição para a di- espaço ocupado por um cubo com 1m de aresta. Daí. completa- se com zero(s).1 ml = 0.000 = 2. a. Assim. Metro Cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro Por exemplo.000001 múltiplos submúltiplos m³ • milímetro cúbico (mm³) .1 dl = 0. • kilolitro (kl) .000 (100x100).1 cl = 0. CAPÍTULO 09 .Grandezas e Unidades de Medidada Verdade.000 = 2. 840 Note que cada unidade é 10 vezes maior que a unida- Lê-se “75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos”.36 x 1.000 (100x100x100). 006 400 1 l = l dm3 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . ma métrico decimal.000.2 : 10.001 m³ • centímetro cúbico (cm³) . Lê-se “6400 centímetros cúbicos”. três algarismos em cada unidade no qua. Leia a seguinte medida: 75.1 hl = 100 l utilizar porém. 2014 devemos multiplicar por 1.45 x 1.000.CPF: 06342387958.05802 km2 de volume é 1. É vedado a reprodução total ou parcial. transformar 2.360. No caso de alguma casa ficar incompleta.1 cm³ = 0.1 km³ = 1 000 000 000 m³ 1 l = 1 dm³ São submúltiplos do metro cúbico: Múltiplos e Submúltiplos do Litro • decímetro cúbico (dm³) . devemos lembrar que cada unidade 580.2 dam2 em km2.1 dm³ = 0. largura e altura.1 mm³ = kl hl dal l dl Cl Ml 0.01l • mililitro (ml) . Leia a medida: 0.1 dal = 10l procedimento do aplicado às medidas lineares. cúbico.0064dm3 Relações entre Capacidade e Volume km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 0. São múltiplos do metro cúbico: o líquido assume a forma do mesmo. De posse de tais medidas tridimensionais.000.1 hm³ = 1 000 000 Litro é a capacidade de um cubo que tem 1 dm de m³ aresta. 2. de imediatamente inferior. Transformar 580.84m3 • decilitro (dl) . Para transformar dam2 em km2 (duas posições à es.000 vezes maior que a unidade imediata- mente inferior. b.1 l km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ • centilitro (cl) . 57 • kilômetro cúbico (km³) . devemos multiplicar Relações Importantes por 1 000 (10x10x10). cimal. Leia a seguinte medida: 83.1 cg = 0. cedimento aplicado às medidas lineares do sistema de- dida de massa de um corpo”. para a água Peso de um corpo é a força com que esse corpo é pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a atraído (gravidade) para o centro da terra.01 g • miligrama (mg) . no São múltiplos do grama: sistema métrico decimal. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade ter. Assim 200g. uma vez que são três unidades para 58 a direita. 1 kg ≡ 1 dm³ ≡ 1 l Exemplo: a massa do homem Também são válidas as relações: na Terra ou na Lua tem o mesmo valor.732 hg Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . utilizamos na prática o grama como unidade Lê-se “2 decalitros e 478 centilitros”. 1 m³ ≡ 1000 l ≡ 1 t ra do que na lua. Assim. cabe aqui destacar que para medir 3. grandes massas. Leitura das Medidas de Capacidade Nota: Um quilograma (1 kg) é a A leitura das medidas de capacidade segue o mesmo massa de 1 dm³ de água destilada à tem- procedimento do aplicado às medidas lineares. Para transformar de l em ml. O peso.19l = 3 190 ml.478 dal kl hl dal l dl Cl Ml Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental 2. MATEMÁTICA 1 ml = l cm3 Quilograma 1 kl = 1 m3 A unidade fundamental de massa chama-se quilo- grama.19l em ml. devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade • decagrama (dag) . é seis vezes maior na ter. Então.001 g Por exemplo. podemos utilizar as seguintes unidades especiais: Medidas de Massa 1 arroba ≡ 15 kg Vamos iniciar distinguindo os conceitos de peso de 1 tonelada (t) ≡ 1 000 kg um corpo e massa de um corpo. peraruta de 4°C. Inicialmente. a. vamos transformar 3. tantivo masculino. 4 7 8 de massa. 1 megaton ≡ 1000 t ≡ 1 000 000 kg Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui.1 mg = 0. 1 cm³ ≡ 1 ml ≡ 1 g restre ser 6 vezes superior à gravidade lunar. é um subs. Leitura das Medidas de Massa Observação: A palavra grama. principal de massa. no entanto. as medidas de volume e capacidade. É vedado a reprodução total ou parcial. Por exemplo. constante em qualquer lugar da Podemos ainda relacionar as medidas de massa com terra ou fora dela. lê-se “du- Exemplos: zentos gramas”. A leitura das medidas de massa segue o mesmo pro- empregada no sentido de “unidade de me.CPF: 06342387958. O peso varia seguinte equivalência: de acordo com o local em que o corpo se encontra. • hectograma (hg) . sendo. leia a medida: 2. portanto. Transformação de Unidades Múltiplos e Submúltiplos do Grama Na transformação de unidades de capacidade.1 dg = 0. .1 dag = 10 g imediatamente inferior.1 kg = 1000 g São submúltiplos do grama: • decigrama (dg) .1 g • centigrama (cg) .1 hg = 100 g • kilograma (kg) . 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s 59 A transformação pode ser feita colocando a medida na tabela. temos: como forma de representar 2h40min.7 dag. Assim. A unidade de tempo escolhida como padrão no Siste- kg hg dag g dg cg mg ma Internacional (SI) é o segundo. divisão por 10. • décimo de segundo 4.627 kg em dag. É vedado a reprodução total ou parcial. vamos transformar 4. tais como: Ano comercial 360 Dias • Qual a duração dessa partida de futebol? Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Transformação de Unidades Nota: Um segundo (1 s) é o tempo Para fazer transformações.627 kg na tabela: • centésimo de segundo • milésimo de segundo kg hg dag g dg cg mg Importante: Nunca escreva 2. Existem outras medidas de tempo que são importan- tes e merecem ser citadas aqui: Medidas de Tempo Ano 365 Dias É comum. Observação: Peso bruto: massa do produto com uma vez que a embalagem. 4 6 2.627 kg = 462. de imediatamente inferior. impõe uma multiplicação por 10. devemos considerar que cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unida. pois o sistema de medidas de tempo não é kg hg dag g dg cg mg decimal. como se lê.1 min = 60 s • hora (h) -1 h = 60 min = 3600 s Por exemplo. 6 2 7 mudando a vírgula de kg para dag. cada unidade ou “casa” para a direita. CAPÍTULO 09 . em nosso cotidiano. 7 Note que: Assim.043g por base uma unidade padrão de medida de tempo. equivalente a 1/86400 do dia solar médio. 7 3 1 • Qual o melhor tempo obtido por esse cor- redor? Lê-se “83 hectogramas e 731 decigramas”. .CPF: 06342387958. enquanto As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Mé- que cada unidade ou “casa” para a esquerda impõe uma trico Decimal. temos a tabela: Múltiplos e Submúltiplos do Segundo São múltiplos do segundo: • minuto (min) . Todas essas perguntas serão respondidas tomando b.40h 4. 2014 • Qual o tempo dessa viagem? kg hg dag g dg cg mg • Qual a duração desse curso? 8 3.Grandezas e Unidades de Medidada Verdade. Leia a medida: 0. 0 4 3 Segundo Lê-se “ 43 miligramas”. Peso líquido: massaz somente do pro- duto. 4. e mudando a virgula de lugar para São submúltiplos do segundo: alterar assim a leitura para a nova unidade. 0. • dia (d) . encontrarmos pergun- Ano bissexto 366 Dias tas que envolvem tempo. Logo. O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar. A Fazenda Aurora possui área de 1000 15 passeios com o balão lotado? km2. Resposta D Questões Gabaritadas 4.00 – um real Com base nessas informações. 60. Quantos reais ganharão o baloneiro se fizer re (1 ha).ANÁLISE DE SISTEMAS balão aos visitantes. R$10. 100 milhões.1.11.58.ANALISTA JUDICIÁRIO Num ponto turístico. o sistema monetário adotado é o de- cimal.CONTADOR Segundo o Sistema Internacional de Unidades 1. DNOCS 2010 . 111 000 001.00 – dez reais c. o sistema monetário seja binário. Por exemplo: 205.ANALISTA JUDICIÁRIO - Século 100 Anos TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO Milênio 1000 Anos No Brasil. TRE/PE 2011 . a a.42 reais = (2 × 102 + 0 × 101 + 5 × 100 + 4 × 10−1 Sistema Monetário + 2 × 10−2) reais Valores do nosso sistema monetário Suponha que em certo país.00 – dois reais a.00 – cinquenta reais e. R$ 367. 10 mil. Semestre 6 Meses b. e.54. é: R$1. d.25 – vinte e cinco centavos × 2−2) reais = 6. em hectares. É vedado a reprodução total ou parcial. Cada pessoa paga R$ 24. é oferecido passeio de . se um brasileiro em viagem a esse país quiser converter 385. e que 1 hm2 corresponde a 1 hecta- seio. a quantia que ele receberá.50 c.00 – cem reais 3.94. 110 000 001. MATEMÁTICA Mês 28.01 mumus = (1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 + 0 × 2−1 + 1 R$0.02mm.01 . 110 000 011.OFICIAL LOGÍSTICA (SI). R$ 149. a 100 metros.94. R$50.11. R$ 457.00. em “mumus”.FCC . com aproximação de leitura de Trimestre 3 Meses 0. c.58.00 – cinco reais b. 110 000 111.50 – cinquenta centavos R$1.10 – dez centavos 110. .CPF: 06342387958.FCC . a Quadrimestre 4 Meses a. d.00 d. para reais: R$0.FCC . dada em R$0.05 – cinco centavos R$0. R$100.00 a.um centavo “mumus”. METRÔ/SP 2012 . 10 100 001.00 – um real R$2.FCC . b. corresponde.25 reais 60 R$0. 55.50 b. 1 milhão. 100 mil. 68. Lustro ou quinquênio 5 Anos e. O exemplo Moedas seguinte mostra como converter certa quantia. Em cada viagem o balão leva Sabe-se que 1 hectômetro (1 hm) corresponde 6 pessoas. 30 Ou 31 dias Mês comercial 30 Dias Semana 7 Dias Quinzena 15 Dias A medida representada por “X” na figura Bimestre 2 Meses do paquímetro. TRT 4ª 2011 . em milímetros. R$20.11. Biênio 2 Anos c.50 pelo pas. os nomes dos múltiplos e submúltiplos de ALMOXARIFADO I uma unidade são formados mediante os seguin- Considere a figura abaixo: tes prefixos: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . em que a moeda vigente é o “mumu”. o que corresponde. R$ 2 205. R$5. 10 milhões. 29. 65.1. Década 10 Anos 2. 58.vinte reais d.50 reais para a Cédulas moeda local. Suponha que a moeda oficial de certo país é o Suponha que.ANALISTA JUDICIÁRIO d. c. por exemplo.51 +3. no qual todas as operações financeiras numeração de base 5. 2. notas de 100 reais. CAPÍTULO 09 .52 + 4. Benivaldo visitou Sun. Embora considerado muito venenoso. 3 cédulas de 100 reais. Após ter 2043 suns.50) suns = e cuja unidade monetária era o “delta”.08 x 104.001010101 s. 18 cédulas de 50 reais. É vedado a reprodução total ou parcial. 218.08 x 105. temos: 30 nm (nanômetros) = 30 × na notação científica é: 10−9 m (metros). é um 1 picossegundo (ps) = 10−12 segundo bom fármaco contra as cáries.08 x 103. no Brasil. Benivaldo convenceu o dono então. a.5 Sabe-se que. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . TRF 4ª 2010 . 1. 16 cédulas de 50 reais e 5 de 20 reais. em deltas. 2 187.FCC . SEJUS/ES 2009 .100) reais.FCC . para que ela possa gastar a quantia equi.1875 b.010101 ms. sendo 1 ≤ x < 10 e n um número Assim. 5.Grandezas e Unidades de Medidada Verdade. 375 reais = (3. troco. c. que é operacionalizado em um sistema de certo país. é equivalente a b.875 c. Nessas condições. e.101 + 5. 2014 + 1 000 ps NÃO é igual a a.01 µs. em visita a esse país. a quantia que ele recebeu de a. uma cebendo que dispunha exclusivamente de cinco pessoa gastou 12432 suns em compras diversas. 145. a expressão do número é o metro (m). 155.53 +0. da loja a aceitar o pagamento na moeda brasilei- valente em reais são suficientes: ra.75 8. Assim. 21. 1 010 101 000 ps.FCC . nas operações finan- ceiras é usado o sistema decimal de numeração.GESTÃO E ANÁLISE DE PROJE- tado como: TO DE SISTEMA 61 É sabido que o Real.FCC . por exemplo.102 +7. d. e. se a uni- dade de medida é o litro. Exemplo dessa propriedade é o 1 nanossegundo (ns) = 10−9 segundo flúor. em férias. d. TRF 4ª 2010 . e. b. se a unidade de medida inteiro.INFORMÁTICA Um número escrito na notação científica é expresso pelo produto de um número racio- nal x por 10n. 1 0 101. 134. 1 010 101 ns. 6.INFORMÁTICA e. MPE/SE 2010 . então a expressão a. 2 187. 20 de 20 reais e 29 c.ANALISTA DO MINIS- no qual um número inteiro N pode ser represen- TÉRIO PÚBLICO .5 . 152. moeda oficial brasileira. 143.ANALISTA JUDICIÁRIO .TÉCNICO JUDICIÁRIO - ADMINISTRATIVA 9. d. c. 5 cédulas de 100 reais e 92 de 5 reais. dispondo-se a receber o troco na moeda local.AGENTE DE ES- COLTA E VIGILÂNCIA PENITENCIÁRIO Considere que: Muitas substâncias consideradas tóxicas têm 1 milissegundo (ms) = 10−3 segundo aplicações terapêuticas quando utilizadas em 1 microssegundo (µs) = 10−6 segundo mínimas doses. 16 cédulas de 50 reais e 20 de 10 reais. 2. 0. . a soma 1 ms + 10 µs + 100 ns remédio”. Dessa forma. ou seja. b. era b. 2.88 x 104. TRF 4ª 2010 . 7. Com base nessas informações. é operacionalizado no sistema decimal de numera- ção. a. 2. gasto 2014 deltas em compras numa loja e per- Considerando que. De acordo com o Ministério da Saúde. 273 eram feitas num sistema de numeração de base 6 reais equivalem a (2. 2. Para Paracelsus (1493-1541) “a dose certa diferencia o veneno do Nessas condições. d.CPF: 06342387958.88 x 105. de 10 reais. e.CESPE . 2. 1min 55s 61 centésimos.4. 2 500. está compreendida entre 2 000 e 3 000.6 litros 1-B 2-B 3-B 4-D 5-B a. Com base no texto e nas informações acima. se lá e dos ângulos de um triângulo.06.APOIO ADMINISTRATIVO do Ministério da Saúde. segundo recomendações MINISTRATIVO . está compreendida entre 3 000 e 4 000. é menor que 1 000. a. 11-B 12-A 13-A c. é maior que 4 000. a capacidade do bebedouro. capacidade.CPF: 06342387958.FCC . ANP 2008 . b é o cateto oposto e RIO .6 litros de certo medicamento que devem b. então. 0. c. observou-se que o volu. 6-C 7-D 8-E 9-C 10-A b. fossem colocados mais 0. no momento da observação. . o volume Observe o triângulo retângulo abaixo. dial da prova “200 medley”? JUDICIÁRIA Uma indústria farmacêutica dispõe em esto. 0. nessa data. d. foram necessárias 45 retiradas de garrafas total- As medidas para as colheres de sopa e de chá mente cheias d’água até que o bebedouro ficasse estão apresentadas na tabela a seguir completamente vazio. julgue o item seguintes. c.FCC . Suponha que. 1min 55s 12 centésimos. mento no ato de preenchimento dos frascos.FCC . TRT 15ª 2009 . Qual era. mática que estuda a relação entre as medidas dos lados fício ocupava 1/3 de sua capacidade e que.hannabrasil.24 m3 de água. era a. onde a é a hi- de água na caixa passaria a ocupar os 2/5 de sua potenusa.000003 m³. a quantidade mínima de frascos necessários para Gabarito 62 acomodar os 21.CESGRANRIO . e.ANALISTA JUDICIÁ. uma mesma garrafa foi usada sucessivamente humano é de 1. o cateto oposto. 1min 55s 18 centésimos. sendo aquele que está na frente do ângulo dado. d. d. no instante em que a água de Em relação ao ângulo β.ADMINISTRATIVA c é o cateto adjacente. o nadador brasileiro Thiago Perei- ra completou a prova “200 medley” em 1min 57s ( ) Certo ( ) Errado 79 centésimos. 0. b. MATEMÁTICA o limite máximo de flúor na água para consumo de.5 mg/L. 1 800. em metros cúbicos. Consi- Internet: www. 2 400. Considerando que não há perda de medica. é correto afirmar que a quantidade máxi- ma de flúor para a preparação de um copo de água 13. o número de litros de água que se- riam necessários para enchê-la era a. Definimos como cateto adjacente a um ângulo e.54. b. b é o cateto adjacente e c é um bebedouro ocupava os 5/8 de sua capacida. 1min 55s 98 centésimos. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo 11. dade para 0. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . em relação ao ângulo ∝.TÉCNICO JUDICIÁRIO . 0. É vedado a reprodução total ou parcial. d. está compreendida entre 1 000 e 2 000. cada qual com capaci.6. 1min 54s 98 centésimos. ser colocados em frascos. como sendo aquele que está ao lado do ângulo dado. ângulos de um triângulo e determina um ramo da mate- me de água no interior da caixa d’água de um edi. 5. e. Sabendo que um micrograma (µg) equivale a e. 3 600.com (com adapta. 3 200. Para alcançar o recorde mundial. que 21.054.ADMINISTRATIVA A palavra trigonometria significa medida dos três Num dado momento.TÉCNICO JUDICIÁRIO . Considerando que não foi colocada água no interior da caixa. 12.TÉCNICO AD- de 200 mL é de 300 µg. TRT 15ª 2009 . TJ/AP 2009 . 10-6 g. o recorde mun- 10. b e c são os catetos. Em 2007. Thiago precisaria reduzir seu tempo em 2s e 81 centésimos. Definimos como cateto oposto a um ângulo como c. derando que tal garrafa equivale a 3/4 de litro e ções). Assim. para retirar toda a água do seu interior. é necessário saber os valores trigonométricos fundamentais.GEOMETRIA PLANA a2=b2+c2 Conceitos Iniciais Do Teorema de Pitágoras. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . podemos concluir que. definimos as seguintes ra- zões trigonométricas: Além das razões trigonométricas. então Calcule o valor de x e y nas figuras abaixo: sen ∝ = cos β sen β = cos ∝ Ainda das razões trigonométricas. x = 100√3m e y = 100m ma de Pitágoras. . dividindo todos os termos por a². No triângulo retângulo.Geometria Plana Note que os catetos oposto e adjacente variam de po- sição. sendo os ângulos ∝ e β complementares. temos: Na Geometria. os conceitos de ponto. podemos observar 63 que x = 10m x = 10√3m ou seja: Na resolução de problemas de trigonometria no tri- ângulo retângulo. temos: 30º 45º 60º Para o ângulo ∝: sen Para o ângulo β: cos Os ângulos ∝ e β são complementares.CPF: 06342387958. isto é: ∝ + β = tg 1 90°. e por isso são aceitos sem de- finição. Em nosso triângulo: 10. em todo triângulo retângulo. que afirma que. É vedado a reprodução total ou parcial. CAPÍTULO 10 . uma importante relação é o Teore. Observando os resultados acima. reta e plano são denominados primitivos. o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. dados na tabela a seguir: Em relação ao triângulo dado. conforme o ângulo agudo de referência que ado- tamos. símbolo ∢BAC. A congruência é denotada pelo símbolo. cha- lados e sua origem comum é o vértice do ângulo. Um ângulo é convexo se. escrevemos AB = 4 cm. É vedado a reprodução total ou parcial. dizemos que uma reta de um plano divide esse plano em dois semiplanos opostos. Ângulos Ângulo é qualquer uma das duas regiões do plano Por dois pontos distintos (não-coincidentes) A e B. Esse ponto é a 1’ = 60” (1 minuto = 60 segundos) origem de ambas as semirretas. também do nosso alfabeto. Dados dois pontos distintos A e B de uma reta r. cha- ma-se semirreta AB a união de (AB) com todos os pon- tos X de r. quando não possuem ponto comum. Duas retas distintas do plano podem ser concorren. se um segmento mede 4 cm. enquanto a reta é representada por letras minúsculas. Assim. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . 64 As semirretas que limitam um ângulo são os seus Dados dois pontos distintos A e B de uma reta r.CPF: 06342387958. Dois segmentos com medidas iguais são chamados ou simplesmente por Â. Os pontos A e B são as extremidades (ou extremos) do segmento AB. Essa reta é a origem de ambos os semiplanos. A medida de um ângulo BAC será denotada por BÂC. MATEMÁTICA O ponto é representado por letras maiúsculas do nos- so alfabeto. A medida de (AB) é denotada apenas por AB. Lembre-se que: Dizemos que um ponto qualquer de uma reta divide 1° = 60’ (1 grau = 60 minutos) essa reta em duas semirretas opostas. quando possuem um único ponto comum. ou simplesmente por ∢A. congruentes. Já o plano é de- notado por letras minúsculas do alfabeto grego. O símbolo BAC representa o ângulo convexo de lados (AB) e (AC). tais que B está entre A e X. salvo menção contrária. seu interior. Um ma-se segmento de reta AB a união dos pontos A e B ângulo de vértice A e lados (AB) e (AC) é denotado pelo com todos os pontos de r que estão entre A e B. . passa uma única reta que é denotada pelo símbolo (AB). Caso isso não ocorra. Analogamente. ou para. o ângulo é chamado côncavo. para quaisquer dois pontos tes. limitadas por duas semirretas de mesma origem. P e Q de seu interior. (PQ) está inteiramente contido em lelas. Assim. por exemplo. Os ângulos AOB e BOC são adjacentes. e o outro é chamado ângulo de volta intei.p. Dois ângulos são ditos suplementares se a soma de Ângulo reto é aquele cuja medida é 90°.v. A semirreta que tem origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes é chamada bissetriz. Assim. Nesse caso. . os ângulos de 150° e 30° são suplementares. bissetriz é a semirreta que divide um ângulo ao meio. os ângulos de 70° e 20° são complementares. cada ângulo é chamado complemento do outro. sendo 150° o suplemento de 30° e vice-versa. sendo 70° o complemento de 20° e vice-versa. são Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Pares Importantes de Ângulos Ângulo de meio volta ou ângulo raso é aquele cujos lados são semirretas opostas. Em outras palavras.p. cada ângulo é chamado suplemento do outro.p. Importante: ângulos o.v. Dois ângulos são chamados adjacentes se têm o mesmo vértice. determinam quatro ângulos retos. Nesse caso. Os ângulos AOD e BOC são o. Ângulo agudo é aquele cuja medida está compre- endida entre 0° e 90°.) se os lados de um são as semirretas opostas dos lados do outro. CAPÍTULO 10 . dizemos que duas semirretas coincidentes também determinam dois ângulos: um deles é chamado ângulo nulo e mede 0° (zero grau). Dois ângulos são ditos opostos pelo vértice (o. suas medidas é igual a 180°. Ângulo obtuso é aquele cuja medida está compre- Alguns Ângulos Notáveis endida entre 90° e 180°. um lado comum e não apresentam pon- tos internos comuns. É vedado a reprodução total ou parcial.Geometria Plana Dois ângulos são chamados congruentes quando possuem medidas iguais.p.v.v.CPF: 06342387958. Observação: Duas retas concor- rentes são ditas perpendiculares se elas Os ângulos AOB e COD são o. por exemplo. 65 ra e mede 360°. Sua medida é 180°. Dois ângulos são ditos complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Por extensão do conceito de ângulo. Como os ângulos internos de um polígono regular são congruentes. Então. d e n Observação: Todo polígono regu- Os ângulos alternos internos são congruentes. determinam oito ângulos. 66 Ângulos Alternos Internos c e m. MATEMÁTICA congruentes. isto é. a soma de suas medidas é igual a 180°. Vamos destacar a nomencla- tura e as propriedades dos principais pares de ângulos Soma dos Ângulos Externos formados nessa situação.CPF: 06342387958. isto é. d e q Os ângulos correspondentes são congruentes. Assim. Nº DE NOME Nº DE NOME Ângulos Colaterais Externos LADOS LADOS 3 Triângulo 12 Dodecágono a e q. têm-se: Ângulos Correspondentes a e m. Ângulos Alternos Externos a e p. Polígonos Regulares Um polígono convexo é chamado regular se. lar é inscritível ou circunscritível em algu- possuem a mesma medida. É vedado a reprodução total ou parcial. b e p 4 Quadrilátero 13 Tridecágono Os ângulos colaterais externos são suplementares. possuem a mesma medida. ou seja. Soma dos Ângulos Internos tadas por uma transversal Duas retas paralelas. e so- mente se. . isto é. para um polígono regular de n lados. a soma de suas medidas é igual a 180°. 5 Pentágono 14 Tetradecágono 6 Hexácono 15 Pentadecágono Polígonos 7 Heptágono 16 Hexadecágono Número de Diagonais 8 Octógono 17 Heptadecágono 9 Eneágono 18 Octadecágono Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Ângulos formados por duas retas paralelas cor. conclui-se que seus ângulos externos tam- bém são congruentes. Nomenclatura dos Polígonos isto é. b e n. possuem a mesma medida. possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. isto é. cortadas por uma transversal. b e q Os ângulos alternos externos são congruentes. a partir da figura abaixo. d e m Os ângulos colaterais internos são suplementares. Ângulos Colaterais Internos c e n. ma circunferência. podemos dizer que um polígono regular é equiângulo e equilátero. c e p. possuem medidas iguais. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. É vedado a reprodução total ou parcial. No triângulo isósceles. a medida de um ângulo externo tes. Triângulos Caso L. gruentes – cada um deles mede 60°.A. congruentes. lados adjacentes a esses ângulos também congruente. Triângulo Equilátero é aquele que possui três la- dos congruentes. um par de ângulos adjacentes a esses lados e o par de ângulos opostos a esses lados respectivamente Uma propriedade fundamental da Geometria é a se. e os ângulos com. 67 Congruência de Triângulos Dois triângulos são congruentes se os seus lados e ângulos correspondentes (ou homólogos) forem respecti- vamente congruentes. (lado – ângulo – lado) Dois triângulos são congruentes se dois lados de um são congruentes a dois lados do outro. (lado – lado – lado) Dois triângulos são congruentes se os lados de um 11 Undecágono 20 Icoságono são respectivamente congruentes aos lados do outro. Caso A. (ângulo – lado – ângulo) Quanto aos Ângulos Dois triângulos são congruentes se possuem dois pa.L. Triângulo Acutângulo é aquele que possui três res de ângulos respectivamente congruentes. (lado – ângulo – ângulo oposto) Dois triângulos são congruentes se têm um par de Soma das Medidas dos Ângulos Internos lados. . o lado não-congruente BC é chamado BASE. Todo triângulo equilátero possui os três ângulos con- preendidos entre esses lados também são congruentes.CPF: 06342387958. e o par de ângulos internos agudos. decorre outra propriedade importante: Um triângulo escaleno não possui ângulos congruen- Em todo triângulo.Geometria Plana 10 Decágono 19 Eneadecágono Caso L.L. é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos Triângulo Isósceles é aquele que possui dois lados não-adjacentes a ele. CAPÍTULO 10 .L.A. congruentes. Teorema do Ângulo Externo Da soma das medidas dos ângulos internos do triân- gulo. Classificação dos Triângulos los internos é igual a 180°.A. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . guinte: Em todo triângulo a soma das medidas dos três ângu. Quanto aos Lados Triângulo Escaleno é aquele que não possui lados congruentes.AO.L. Critérios de Congruência Caso L. Classificação dos Quadriláteros Paralelogramo Chama-se paralelogramo todo quadrilátero que pos- sui os pares de lados opostos respectivamente paralelos. P3) Os lados opostos são congruentes. Propriedades: em todo quadrado. Entre os paralelogramos. destacam-se o retângulo. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . pois seus ângulos são retos e seus lados são congruentes. Trapézio Chama-se trapézio todo quadrilátero que tem ape- Para todo paralelogramo valem as seguintes proprie- nas um par de lados opostos paralelos. mos a seguir. Quadrado O quadrado é o paralelogramo que é retângulo e losango ao mesmo tempo. Em todo quadrilátero a soma das medidas dos ângu- los internos é igual a 360°. Retângulo Chama-se retângulo o paralelogramo cujos quatro ângulos internos são retos. . MATEMÁTICA P2) Dois ângulos adjacentes a um mesmo lado são suplementares. É vedado a reprodução total ou parcial. para cada um dos quais valem as quatro propriedades anteriores. as diagonais são Soma das Medidas dos Ângulos Internos perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos. P4) As diagonais dividem-se mutuamente ao meio pelo seu ponto de intersecção. 68 Propriedades: em todo losango. as diagonais são congruentes. as diagonais são congruentes. gulo interno reto. Propriedade: em todo retângulo. dades: P1) Os ângulos opostos são congruentes.CPF: 06342387958. Quadriláteros Losango Chama-se losango o paralelogramo cujos quatro la- dos são congruentes. o losango e o quadrado. e também as que vere- Triângulo Retângulo é aquele que possui um ân. são perpendiculares entre si e são bissetri- zes dos ângulos internos. Triângulo Obtusângulo é aquele que possui um ângulo interno obtuso. retângulo. o tenusa pela altura relativa a ela é igual ao produto dos lado maior – oposto ao ângulo reto. Esse teorema garante que. temos: a2=b2+c2 Trapézio isósceles: os lados transversos são con. a é a hipotenusa enquanto b e c são os catetos. Relações Métricas no Triângulo Retângulo gruentes. cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela. A partir da figura anterior. catetos. o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. isto é: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . enquanto que os lados menores – lados do ângulo reto. dois ângulos adjacentes a qualquer um dos lados transversos são suplementares. 1. ou seja: b2=m. Em todo triângulo retângulo. Em todo triângulo retângulo. É vedado a reprodução total ou parcial.h=b. isósceles e A relação mais utilizada na resolução de problemas retângulo.c Na figura abaixo. a. Nos triângulos retângulos. Na figura abaixo temos os elementos do triângulo retângulo que vamos utilizar nessas rela- ções. Além do Teorema de Pitágoras. isto é: nusa. a – hipotenusa h – altura relativa à hipotenusa b e c – catetos m e n – projeções ortogonais dos catetos sobre a hi- potenusa Triângulo Retângulo A partir desses elementos. é chamado hipote. Em todo triângulo retângulo.a 3. 2. temos as relações: Um triângulo é chamado retângulo quando apresen. . Os trapézios classificam-se em escaleno. Em todo trapézio. enquanto AD e BC são nor- malmente chamados lados não-paralelos ou lados trans- versos. na figura anterior. CAPÍTULO 10 . em todo triângulo congruentes e não possui ângulos retos.a c2=n. a altura relativa à hi- potenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos. o produto da hipo- ta um ângulo interno reto. que envolvem triângulos retângulos é o Teorema de Pi- Trapézio escaleno: os lados transversos não são tágoras. vamos destacar ou- tras relações métricas importantes para o estudo dos tri- ângulos retângulos.Geometria Plana AB e CD são as bases. 69 Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos.CPF: 06342387958. Propriedade: dois ângulos de uma mesma base são congruentes. Assim. são chamados catetos. Assim. a partir da figura ilustrativa abaixo. . Seja ABC um triângulo de lados a = 5. a altura relativa ao vértice A. Para trocar uma lâmpada. o perímetro cia de raio 2 tem dois de seus ângulos iguais a 30° é sempre igual à soma das medidas dos seus lados. Assim. Vamos utilizar o símbolo 2p para representar o pe. 2p é dado pela soma das medidas dos seus lados. a área to Ruy subia os degraus. endido entre eles.8 cm. Calcule a área desse triângulo. Calcular: 2b) a. enquanto a altura mede 4. Perímetro de um Triângulo b. En- tão. Para e 60°. Refeito do susto. na figura ilus. Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm gulo. 2. Pergunta-se: a) Qual a distância entre a parede da casa e o muro? b) Qual é o comprimento da escada de Ruy? Gabarito Questões Gabaritadas 1 . Para os polígonos. Ruy encostou uma esca. a área do paralelogramo é dada por: Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . de modo que o topo da escada Dados dois lados de um triângulo e o ângulo compre- ficou a uma altura de aproximadamente √14 m. como na figura Todo paralelogramo pode ser decomposto em dois abaixo.As projeções medem 6.6 cm. É vedado a reprodução total ou parcial. Ruy observou que. o perímetro de qualquer quadrilátero é dado por: A Fórmula de Herão Área dos Quadriláteros A fórmula de Herão nos permite calcular a área de um triângulo em função dos seus três lados. a base da escada escorregou desse triângulo pode ser calculada por: por 1 m. seu perímetro um lado pela altura relativa a ele. b e c. Dado um Paralelogramos triângulo qualquer. Enquan. Calcular suas projeções sobre a hipotenusa e a Área do triângulo em função de dois lados e do ângu- altura relativa a ela. Um triângulo inscrito em uma circunferên- 70 rímetro de um polígono. como ilustrado na figura abaixo. 3. 4. Logo. temos: triângulos congruentes por uma de suas diagonais. após deslizar. a área desse triângulo.n Questões Gabaritadas Na fórmula de Herão. indo tocar um muro paralelo à parede. sua área é o dobro da área de um desses triângulos. ou seja. a escada pas- sou a fazer um ângulo de 45° com a horizontal. p é o semiperímetro do triân- 1. o caso do triângulo. trativa abaixo.4 cm e 3. b = 6 e 2 a) 3 m c = 7. MATEMÁTICA h2=m. lo compreendido entre eles da na parede de sua casa. e 8 cm.CPF: 06342387958. temos: Gabarito 3 a) 3b) 4- Área de um Triângulo Perímetro dos Quadriláteros A área de um triângulo é dada pelo semiproduto de Como os quadriláteros são polígonos. temos: como ilustra a figura a seguir. de lados a. O perímetro desse terreno. Um terreno retangular de 1000 m² é tal que fórmula: seu comprimento mede 15 m a mais do que sua largura. 40 b. para losango e quadrado. Área do Círculo Quadrilátero Qualquer de Diagonais Perpendiculares 71 Se um quadrilátero possui diagonais perpendicula- res. como ilustra a figura abaixo. 220 7. 130 d. 65 c. Um retângulo tem seus lados proporcionais a 5 e 12. CAPÍTULO 10 . é igual a: a. em metros. É vedado a reprodução total ou parcial. Em um painel de publicidade está desenha- do um triângulo retângulo isósceles cuja hipote- nusa mede 2√2 m. temos também a seguinte 6.Geometria Plana Essa fórmula é válida para todos os paralelogramos. temos: Questões Gabaritadas 5. As- sim.CPF: 06342387958. seu comprimento é dado por Quadrado Observe que o comprimento da circunferência é tam- bém o perímetro do círculo. Note que essa fórmula é válida para o losango e para Qual é a área do retângulo? o quadrado. e está inscrito num círculo de raio R = 13. Na figura ilustrativa abaixo. Se 42% da área desse triângulo já foi colorida. pois suas diagonais são perpendiculares. quantos metros quadrados do tri- ângulo ainda faltam para serem coloridos? Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . sua área pode ser calculada pelo semiproduto das diagonais. Retângulo Comprimento da Circunferência Losango Dada uma circunferência de raio R. . cunscrita num quadrado cujo perímetro é de 16 cm. da área. Observe a figura abaixo.CPF: 06342387958. Poliedros Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . MATEMÁTICA a.Inscrita 4.F.240 2. um polígono convexo é chamado regular se. Nessa aula.V 5-12cm 2. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras iguais a 60°.F. da altura e circunferência de comprimento 5.84 m² c. . do raio da circunferência circunscrita 11. vamos estudar especificamente os três principais polígo- nos regulares: triângulo equilátero. 72 ( ) Considere um quadrado circunscrito a uma cir- cunferência e um triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência. Se o lado do triângulo equilátero mede 6√3 cm. 1. 0. então o lado do quadrado mede 12 cm. ele apresenta os três lados iguais a uma medida l e os três ângulos internos 4. equilátero de lado igual a 9 cm. Se o lado do triângulo Quadrado equilátero inscrito na circunferência mede 6√3 cm. GEOMETRIA ESPACIAL e da área. 1. sendo regular. nos interessa V ou falsas F: saber a medida do raio da circunferência inscrita (apó.C 3. 3- r=2cm. e somente se. ( ) Um quadrado de lado 5/√2 está inscrito numa tema). 1.D Polígonos Regulares Questões Gabaritadas Como já estudamos. en- Quadrado é o polígono regular de quatro lados. Ele tão qual o lado do quadrado circunscrito à circunferên- possui os quatro lados iguais a uma medida l e os três cia é igual a: ângulos internos iguais a 90°. dos. quadrado e hexágo. ( ) A razão entre os comprimentos das circunferên- cias circunscrita e inscrita a um quadrado é √2 . Para o quadrado nos inte- ressa saber a medida do raio da circunferência inscrita (apótema). da dia- gonal e da área. em função da medida do lado l. 12 m² b. Para o hexágono regular nos interessa saber a medida do raio da circunferência inscrita (apótema). esse hexágono. Determine o raio do círculo inscrito num triângulo no regular. possui todos os lados congruen. Triângulo Equilátero 3. 2. Hexágono Regular Circunscrita Hexágono regular é o polígono regular de seis lados. Gabarito 1 .2 m² d. em função da medida do lado l. em função da medida do lado l. Calcule o comprimento da circunferência circunscrita a Triângulo equilátero é o polígono regular de três la. É vedado a reprodução total ou parcial. 5. Lembre-se que.16 m² Gabarito 1. Determine os raios da circunferência inscrita e cir- tes e todos os ângulos internos congruentes. Para o triângulo equilátero. O apótema de um hexágono regular mede 2√3 m. R= Ele possui os seis lados iguais a uma medida l e os seis ângulos internos iguais a 120°. do raio da circunferência circunscrita. do raio da circunferência circunscrita. pertencentes a planos diferen- tes e que têm dois a dois somente uma aresta em co. . sendo m o número de arestas que incidem sobre os vértices. • Satisfaz a relação de Euler. Veja alguns exemplos: convexo. os lados e os m=2∙A vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do po- liedro. existem apenas cinco tipos de po- convexos. Assim.Geometria Espacial ou mais polígonos planos. Observação: Para todo poliedro mum. É vedado a reprodução total ou parcial. liedros de Platão: Quando isso não acontece. A 4 vértices arestas e F faces. o poliedro é denominado côncavo. CAPÍTULO 11 . onde n é o número de lados dos polígonos. conside. contra-se inteiramente no mesmo semiespaço que essa face determina.CPF: 06342387958. vale a relação abaixo. n=2∙A Analogamente. considera- dos separadamente. para todo poliedro convexo. vale a relação: V+F=A+2 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Poliedros de Platão Chama-se poliedro de Platão todo poliedro conve- xo que satisfaz as seguintes condições: • Tem todas as faces com o mesmo número Poliedros Convexos e Côncavos de arestas. • Sobre todos os vértices incide o mesmo nú- Um poliedro é chamado convexo quando. vale a relação: Os polígonos são as faces do poliedro. esse poliedro en. • decaedro: dez faces Sendo assim. existem apenas cinco tipos de poliedros • undecaedro: onze faces que podem ser regulares: • dodecaedro: doze faces • icosaedro: vinte faces Tetraedro Regular Relação de Euler 4 faces que são triângulos equiláteros 6 arestas Para todo poliedro convexo fechado com V vértices. Os principais são: • tetraedro: quatro faces • pentaedro: cinco faces • hexaedro: seis faces Poliedros Regulares • heptaedro: sete faces • octaedro: oito faces Chama-se poliedro regular todo poliedro de Platão • eneaedro: nove faces cujas faces são polígonos regulares congruentes entre si. rando qualquer uma de suas faces. mero de arestas. Tetraedro 4 faces triangulares Observe os exemplos: 73 Hexaedro 6 faces quadrangulares Octaedro 8 faces triangulares Dodecaedro 12 faces pentagonais Icosaedro 20 faces triangulares Nomenclatura Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces. esses poliedros são denominados Nessas condições. .12 12 arestas 6 vértices Prismas 74 Dodecaedro Regular 12 faces que são pentágonos regulares 30 arestas 20 vértices Prismas Retos Os prismas retos são os sólidos geométricos que pos- suem duas bases paralelas e congruentes. 20 faces que são triângulos equiláteros 30 arestas 12 vértices Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .12 2. 2. Icosaedro Regular pentagonal etc. Em um dos vértices de um poliedro conve- xo incidem 5 arestas. quadrangulares.CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial. conforme suas bases sejam triangulares. Quantas faces possui esse polie- dro? 3. MATEMÁTICA Hexaedro Regular (Cubo) Questões Gabaritadas 6 faces que são quadrados 12 arestas 1. pentagonais etc. Calcular o número de vértices de um polie- 8 vértices dro convexo que possui 7 faces triangulares. quadrangular.11 3 . 3 pentagonais e 1 hexagonal. Quantos vértices possui um icosaedro regu- lar? Octaedro Regular Gabarito 8 faces que são triângulos equiláteros 1. Em cinco outros incidem 4 arestas e. em cada um dos cinco restantes inci- dem 3 arestas. e cujas faces laterais são retângulos perpendi- culares em relação às bases. Um prisma é denominado triangular. que são po- lígonos. a área total e o volume Um prisma é denominado regular se ele é reto e suas de um prisma hexagonal regular. Gabarito versões de unidade de volume e capacida- de. quadrangular regular e hexago. dem 8 cm. cujas arestas da bases são polígonos regulares. Observação: São empregadas com bastante frequência as principais con. largura igual a 4 cm e altura igual a 3 cm. nal regular. a saber: 1 dm³= 1 L 1- 1 000 cm³= 1 L 1 m³= 1 000 L Cubo Um cubo (ou hexaedro regular) é o poliedro regular Questões Gabaritadas de 6 faces. Paralelepípedo Retângulo Planificação de um Prisma Reto Um paralelepípedo retângulo (ou ortoedro) é um pris- ma reto onde as faces laterais e as bases são retângulos. Todas essas 6 faces são quadrados congruen- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .Geometria Espacial Prismas Regulares Calcule a área lateral. . a área total e o volume de um paralelepípedo retângulo de comprimento igual a 10 cm. Questões Gabaritadas Calcule a diagonal. Gabarito 1 . Os principais são os pris.Área lateral = 480 cm².CPF: 06342387958. CAPÍTULO 11 . É vedado a reprodução total ou parcial. base medem 10 cm e cujas arestas laterais me- mas triangular regular. Áreas e Volume dos Prismas Retos Diagonal do Paralelepípedo Retângulo 75 Secção Transversal de um Prisma Áreas e Volume do Paralelepípedo Retângulo Chamamos de secção transversal a figura plana for- mada através do corte do prisma por um plano paralelo às suas bases. no mínimo. 300 e. tem as seguintes dimensões internas: 25 cm. em forma de paralelepípedo re- tângulo.20m de altura.Um reservatório tem 1. 240 Cilindro de Revolução d.E Cilindros Circulares Áreas e Volume do Cubo Secção Meridiana e Secção Transversal Chamamos de secção meridiana do cilindro a figura plana formada pelo corte feito por um plano que contém o seu eixo. 24 b. 70 cm b. Já a secção transversal é formada pelo corte 76 feito por um plano paralelo às bases do cilindro. 0. 2. Em quanto é um cilindro circular reto. 30 d. si. H=2·R.C 3. 29 c. 120 b. 2. .5 m de comprimento e 1 metro de altura.2 m de largura. nesse caso. 360 Dando-se uma rotação completa em torno de um dos lados de um retângulo.40m de lepípedo retângulo onde todas as arestas são iguais entre comprimento.Um cubo tem 96 m² de área total. 4.2m 4.7 dm Um cilindro é chamado equilátero quando sua secção e. esta deve atingir a altura de: a. MATEMÁTICA tes entre si. deve ser aumentada sua aresta para que seu volu- me se torne igual a 216 m³? Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . 700 cm meridiana é um quadrado.CPF: 06342387958. 32 e. o sólido gerado por essa rotação 3. Para conter 1. Quantas viagens devem-se fazer. 180 c.07 m c. Calcule quantos cubos de aço de 3 cm de aresta cabem nela. 0. Note que. 20 cm e 16 cm. 33 Diagonal do Cubo Gabarito 1-A 2.Um caminhão tem carroceria com 3.Uma caixa. 7 m Cilindro Equilátero d.260 litros de água. para transportar 336 metros cúbicos de arroz? a. Podemos dizer que um cubo é um parale. 1.50m de largura e 1. a. É vedado a reprodução total ou parcial. Questões Gabaritadas 1. que é um polígono. As faces late- rais das pirâmides são triângulos. Calcule a área lateral. quadrangular regular e hexago- nal regular.Geometria Espacial suem uma base. chamado vértice. As principais são as pirâmi- Áreas e Volume do Cilindro Circular Reto des triangular regular. Uma pirâmide é denominada triangular. pentagonais etc. Gabarito 1- Segmentos Notáveis na Pirâmide Regular Pirâmides OM = r é o raio da circunferência inscrita na base (apótema da base) OA = R é o raio da circunferência circunscrita na base VM = p é o apótema da pirâmide OV = h é a altura da pirâmide AV = a é a aresta lateral da pirâmide AB = b é a aresta da base da pirâmide Pirâmides Retas Secção Transversal de uma Pirâmide As pirâmides são os sólidos geométricos que pos- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Questões Gabaritadas Planificação de uma Pirâmide Reta O raio da base de um cilindro equilátero é igual a 10 cm. quadrangulares. CAPÍTULO 11 . quadrangu- lar. e oposto à essa base apresenta apenas um ponto. Para a pirâmide ser reta. . Planificação do Cilindro Circular Reto Pirâmides Regulares Uma pirâmide é dita regular se ela é reta e suas ba- ses são polígonos regulares.CPF: 06342387958. conforme suas bases sejam triangu- lares. a projeção ortogonal do vértice deve coincidir com o cento do polígono da base. a área total e 77 o volume desse cilindro. É vedado a reprodução total ou parcial. pentagonal etc. A partir dessa observação. Outra observação importante a ser feita é que qual. pirâmide e. 02. Já a secção transversal é formada pelo corte da pirâmide grande. o sólido geométrico chamado tronco de cone. transversal dele. secção transversal dela.CPF: 06342387958. original. estamos determinando uma tas da base medem 12 cm e a altura mede 8 cm. comparando a pirâmide pequena gerada pela secção e a pirâmide grande. MATEMÁTICA Áreas e Volume das Pirâmides Retas Questões Gabaritadas Quando cortamos uma pirâmide por meio de um Numa pirâmide quadrangular regular as ares- plano paralelo à sua base. na razão h/H: feito por um plano paralelo às bases do cilindro. As medidas lineares da pirâmide pequena na formada pelo corte feito por um plano que contém o são proporcionais às respectivas medidas lineares seu eixo. na razão em dois sólidos: na parte de cima. na razão h²/H²: Quando cortamos um cone por meio de um plano paralelo à sua base. Outra observação importante a ser feita é que qual- quer secção transversal de um cone circular é um cír- culo. As áreas da pirâmide pequena são propor- cionais às respectivas áreas da pirâmide grande. na parte de baixo. um novo cone e. o sólido geométrico cha- mado tronco de pirâmide. Observe que esse corte divide Calcule a área lateral. comparando o cone pe- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . É vedado a reprodução total ou parcial. A razão de semelhança é a razão entre a distância do vértice ao plano de sec- 1- ção e a altura da pirâmide. são verdadeiras as seguintes Cones Circulares afirmações: 78 Secção Meridiana e Secção Transversal Chamamos de secção meridiana do cone a figura pla- 01. Gabarito quer secção transversal de uma pirâmide é um polígono semelhante ao polígono da base. . estamos determinando uma secção 03. uma nova sa pirâmide. Observe que esse corte divide o cone cional ao volume da pirâmide grande. na h³/H³: parte de baixo. A partir dessa observação. a área total e o volume des- a pirâmide em dois sólidos: na parte de cima. O volume da pirâmide pequena é propor. . original. As medidas lineares do cone pequeno são proporcionais às respectivas medidas lineares do cone grande. Calcule a área lateral. O volume do cone pequeno é proporcional ao volume do cone grande. é um cilindro circular reto. É vedado a reprodução total ou parcial. chama-se es- fera de centro O e raio R o conjunto de todos os pontos Dando-se uma rotação completa em torno de um dos do espaço situados a uma distância menor ou igual a R lados de um retângulo.CPF: 06342387958. se caso. na ra- zão h²/H²: 03. na razão h/H: 02. são Áreas e Volume do Cone Circular Reto verdadeiras as seguintes afirmações: 01. nes. a área ção meridiana é um triângulo equilátero. geratriz mede 6 cm. o sólido gerado por essa rotação de O.Geometria Espacial queno gerado pela secção e o cone grande. CAPÍTULO 11 . Note que. na razão h³/H³: Questões Gabaritadas Cone Equilátero O raio da base de um cone é igual a 2 cm e a Um cilindro é chamado equilátero quando sua sec. Gabarito 79 1- Esferas Cone de Revolução Dados um ponto O e uma distância R. total e o volume desse cone. Raio e Geratriz nais às respectivas áreas do cone grande. Principais Elementos da Esfera Planificação do Cone Circular Reto Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . G=2·R. As áreas do cone pequeno são proporcio- Relação entre Altura. b) 2 sendo ∝ < 360°. d) 4 e) 5 Calcule a área da superfície e o volume de uma esfe- ra circunscrita a um cubo de 10 cm de aresta. 3- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . podemos calcular a área do fuso: Questões Gabaritadas Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por 80 um plano situado a uma distância de 12 cm do centro dela mesma. O raio da esfera é: Analogamente. MATEMÁTICA Área da Superfície e Volume da Esfera Esfera como Sólido de Revolução Dando-se uma rotação completa em torno do diâme- tro de um semicírculo. em cm. tem raio de base R. 3R/5 R/2 2R/3 Gabarito 1-E 4-A 2. Mergulha-se nesse tanque uma esfera de aço. c) 3 do é chamado cunha esférica. Um semicírculo de 6 cm de raio sofre uma rotação de 45° em torno de seu diâmetro. .CPF: 06342387958. o sólido gera. Calcule o volume e a área total do sólido gerado por essa rotação. o sólido gerado por essa rotação é uma esfera. e o nível da água sobe 9R/16. que contém água. É vedado a reprodução total ou parcial. a superfície gerada é denominada 9R/16 fuso esférico. em torno de seu diâmetro. determinando uma circunferência. Um tanque cilíndrico. O raio Cunha Esférica e Fuso Esférico da circunferência. é: a) 1 Se um semicírculo sofre uma rotação de ∝ graus. se a rotação descrita é aplicada a uma 3R/4 semicircunferência. O volume da cunha esférica pode ser calculado por uma regra de três: Secção da Esfera Também por regra de três. e. e. Alfredo alugou uma casa. • um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e d. apresentou o menor e Mactex o maior. 3) Em 2010. quem está lotado em São Paulo e quem trabalha no complexo computacional são. saíram do trabalho e cada um foi a um local antes de voltar para casa. André.CPF: 06342387958. aquele que foi às montanhas hospedou-se morada. • o técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada. • seus destinos foram: uma praia. Bruno e Carlos. Bruno esqueceu o guarda-chuva. 14 dias. apresentou um modelo diferente do das • O que está lotado em São Paulo trabalha na administração. Mais tarde. a menos do que a Mactex. Macval. cada qual constituído de um sanduíche e Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . cada Nessas condições. • O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte. Hércules. Macmais) partici- pam de uma concorrência para compra • Cássio trabalha na segurança do Sistema de certo tipo de máquina. montanhosa e uma cidade do interior do Estado. • quem hospedou-se em um hotel não foi Car- 1) Certo dia. viajaram em suas férias. Nessas condições. gada. 4) Alcides. uma pousada. Bruno foi a uma pizzaria. CAPÍTULO 12 . Questões Gabaritadas • Alfredo não foi à praia. Cássio e Amanda. d. Alfredo. Carlos foi a um bar. Benício e Carlos. PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO a. Beatriz e Cássio tra- todas as informações são confiáveis. Sabe-se que: b. • O modelo Hércules seria entregue em d. Benício foi às montanhas. É vedado a reprodução total ou parcial. Não há mentiras. • Carlos foi a uma cidade do interior. Associação Lógica c. Carlos hospedou-se em uma pousada. . Sabe-se que: • Sobre os prazos de entrega. Macval É verdade que. cada um percebeu que havia esquecido um objeto no local em que havia a. três técnicos distraídos. • Bruno não esqueceu a agenda e nem a cha- ve de casa. Carlos esqueceu a chave de casa. aquele que foi à cidade hospedou-se em outro. não respecti- vamente. b. Rio de Janeiro ou Porto Alegre. c. c. b. A praça de lotação de cada um deles é: Exemplo: Quatro empresas (Mac. Cássio e Beatriz. los. outro na administração e outro na segurança do Sistema Financeiro. respectivamente. Mactex. putacional. Ferdinando e Reginaldo foram a É verdade que: uma lanchonete e pediram lanches distintos en- tre si. Trata-se de questões de organização que trazem e. 12 e não trabalha na administração. o modelo apresenta- um para um local diferente.Problemas de Raciocínio 12. André esqueceu a agenda. Beatriz e Cássio. Sabe-se que: do pela empresa a) Macval foi o Hércules. uma pousada. Beatriz e Amanda. 81 • Macval não apresentou o modelo Ne- tuno. Netuno. • André esqueceu um objeto na casa da na. Zeus) e os • Amanda não está lotada em Porto Alegre e prazos de entrega variavam de 8. Cada empresa Financeiro. outras (Thor. e) Macval foi o Netuno. São Paulo. um pequeno hotel e uma casa alu- d) Mactex foi o Netuno. em um hotel. muitas informações. estado. Amanda e Cássio. • as acomodações por ele utilizadas foram: c) Macmais foi o Thor.um deles no complexo com- organização. bastando uma boa balham no banco . uma região b) Mactex foi o Thor. é verdade que ao regressarem para casa. 10 dias. três Técnicos Judiciários. 10. normalmente sobre três persona- gens e duas ou três características. com prazo de entrega de 2 dias a. a agenda na pizzaria. 2) Três técnicos: Amanda. Sabe-se que: corte. é correto afirmar que liados para o preenchimento de uma posição em uma empresa. diferentes universidades (USP. anos de idade e não é flautista. tem 25 c. é proprietário do Fusca. 7) Três contadores . • o baterista é o analista de controle externo. Ferdinando pediu o sanduíche de presunto. b. É vedado a reprodução total ou parcial. necessariamente nessa ordem. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Reginaldo pediu suco de laranja. são (3. A loira é Carine e vai à Alemanha. A morena é Anna e vai à Inglaterra. há um guitarrista. • O escritor.estão sendo ava- Nessas condições. • o auditor tem 38 anos de idade e não é bai- 6) Três amigos Ari. Cristóvão e Diogo são qua- Além disso. não estudou na UnB e tem 2 anos de experiência Uma delas é loira. Ari mora em Buritis. A ruiva é Carine e vai à França.se encon. baixista e não se chama Pedro.CPF: 06342387958. é correto afir. um analista de controle exter- 82 • A morena: “Eu e Bruna. Os três moram em quem tem 38 anos de idade? bairros diferentes (Buritis. d. outro tem um Com base nas informações apresentadas. • Armando e Cristóvão assistiram ao show do • O dono do Chevett não mora no Cruzeiro é o cantor. Esses contadores estudaram em a. sabe-se que: tro artistas talentosos. tram todos os fins de semana na feira de carros antigos. de 25. um flautista. • um deles pediu suco de acerola. Beto mora no Cruzeiro. opções: 1º. • Mateus não tem 30 anos de idade. meira posição? Sabe. um procurador do Ministério Público em outra viagem” (PMP) e um técnico de controle externo (TCE). . Nesse grupo de amigos. xista. A partir das informações acima. c. um Fusca. UnB e FGV). 30 e 38 anos.A. Marcos. tem 50 anos • um deles pediu um hambúrguer e um suco de idade e é proprietário do Chevett. O contador C ficou na 3ª posição. • Quando jovens. que: tarra e não é procurador do Ministério Público. Qual dos três contadores ficou com a pri- outra se chama Bruna e a outra se chama Carine. ça” Além disso. suem diferentes tempos de experiência na profis- c. Carlos mora na Praia Grande. Ferdinando pediu suco de acerola. visitaremos Carine no (ACE). dos com idades diferentes. que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à 8) Mateus. Ari mora em Buritis. outra à França e a outra irá à Inglater. • os tipos de sanduíches pedidos eram de pre. mais velho do grupo. b. Sabe-se que: • Beto não mora na Praia Grande é 5 anos mais novo que o dono do Fusca. acertada. to- • A ruiva: “Nem eu nem Bruna vamos à Fran. Pedro e Paulo são funcio- Alemanha. Um deles é pintor. Bruno. pos- b. de laranja. então. planeja escrever uma biografia de Armando. A loira é Bruna e vai à Alemanha. Um deles tem um Chevett. Sabe-se também que: a. e cada um toca somente um instrumento. Praia Grande e Cru- zeiro) e têm idades diferentes (45. misto quente e hambúrguer. já escreveu uma biografia de Dio- mar que go. tem 50 anos de ida- sunto. tem 50 anos de idade e • Alcides pediu um suco de uva. outro é dançarino. Alcides pediu o sanduíche de presunto. O agente sabe que uma delas se chama Anna. de e é proprietário do Chevett. Landau e o terceiro. Nesse o nome e o destino de cada uma. que queria identificar para exercitarem seus dotes musicais. B e C . elas deram as quarteto. 50 e 55 anos). Bruno e o escritor foram re- tratados pelo pintor. A ruiva é Anna e vai à Inglaterra. • Armando nunca conheceu Cristóvão. nários do TCU e encontram-se uma vez por mês ra. 5) Um agente de viagens atende três amigas. tem-se • A loira: “Não vou à França nem à Inglaterra” um auditor (AUD). ainda. um seguintes informações: baterista e um baixista. • Paulo é técnico de controle externo. • Reginaldo pediu um misto quente. posição. sabe-se que: O agente de viagens concluiu. 5 e 8 anos) e foram classificados em três d. tem 27 anos de idade e não é Marcos. outra é morena e a outra é rui. tem 45 anos de idade e é proprietário do Landau. não • Ari não tem um Chevett e mora em Buritis. 27. MATEMÁTICA uma bebida. 2º e 3º. tador A estudou na USP e tem menos de 7 anos de experiência. d. Considere também que o con- e. a menos que o contador que foi classificado na 2a va. a. Alcides pediu o hambúrguer. toca gui- mente. 9) Armando. Ao agente de viagens. outro é cantor e outro é escritor. Beto e Carlos . • o procurador do Ministério Público não é e. Érico: − Ricardo não é culpado. conclui-se que o sobrinho que quebrou o 6-D 7-B 8-Mateus 9-D 10-C vaso e o que disse a verdade são. Zezinho e Huguinho. Márcia realizou seu curso b) Bosco em Belo Horizonte. pela or- dem: Questões Gabaritadas a. Jaime: − eu não sou culpado. o Bosco foi quem quebrou” . Biologia em quando um deles quebrou seu vaso de estimação. Normalmen- te trazem o mesmo contexto: uma situação em que há 2) Miguel. então o crime foi cometido por quebrado. Jaime e Caio são in- um culpado e cada um dos suspeitos dá uma declara- terrogados em um Tribunal para averiguação de ção e a partir delas se determina o culpado. Bosco. Biologia em deles quem havia quebrado o vaso. Interrogados pela mãe. Biologia e Psicologia. cada um fez a se- quantas verdades e quantas mentiras existem nas de- guinte afirmação: clarações. sempre estará determinado na questão dos cinco. zem as seguintes declarações: b. Caio. em provas que cobram problemas de RLM. Be- renice não realizou seu curso em São Paulo e não c) Carlos fez Medicina. Luizinho e Huguinho. . Huguinho e Luizinho. Armando é o escritor Sabendo que apenas um dos quatro dis- 10) Os cursos de Márcia. um esse contexto. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . São geralmente bem fáceis e exigem apenas uma técnica Miguel: − o culpado é Jaime.CPF: 06342387958. Caio: − o culpado é Miguel. Ricardo: − o culpado é Caio. Jaime. CAPÍTULO 12 . Uma delas realizou seu cur- so em Belo Horizonte. É vedado a reprodução total ou parcial.Problemas de Raciocínio Segue-se que: • “Como sempre. Diogo é o pintor disse Daniel e. Verdades e Mentiras c. diga quem quebrou o vaso. Psicologia em Florianópolis Luizinho → “O Zezinho está mentindo!” 83 Gabarito Sabendo que somente um dos três falou a ver- 1-D 2-D 3-E 4-A 5-E dade. Berenice e Priscila são. d. Bruno é o pintor c. se a verdade. o tio perguntou a cada um c. Berenice e Priscila são. Psicologia em São Paulo tas de cada um. Armando é o pintor • “Mãe. Ricardo. Aliado a um crime certamente cometido por. e a) Alysson a outra em São Paulo. sou inocente” . os cursos e os respectivos locais de es- tudo de Márcia. que mostraremos com calma. Florianópolis. Leia as respos- Florianópolis. estavam brincando na casa de seu tio b. d. a. Biologia em Zezinho → “Foi o Luizinho quem quebrou o vaso!” São Paulo. o Daniel foi culpado” . apenas. respectivamente. chega em casa. apropriada. Medicina em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. eles fa. Nos interrogatórios. Medicina em São Paulo. não necessariamente nesta ordem. a. três irmãos Florianópolis. Érico. Exemplo: Quando a mãe de Alys. d) Daniel Assim. Érico. se Alysson e. As questões de verdades e mentiras são frequentes e. Psicologia em 1) Huguinho. Huguinho e Zezinho.disse Bosco a. d.dis. a outra em Florianópolis.disse Carlos b. Psicologia em Florianópolis Huguinho → “Eu não quebrei o vaso!” e. Miguel. b. Cristóvão é o pintor • “Claro que o Bosco está mentindo” - d. c. Biologia em São Paulo gêmeos. Biologia em Belo Horizonte. fato que é indispensável para a solução. Medicina em Belo Horizonte. Medicina em Belo Horizonte. son. Medicina. Ricardo. Zezinho e Luizinho. Se apenas um dos cinco interrogados diz a ver- verifica que seu vaso preferido havia sido dade. Carlos e Daniel. • “Mãe. Luizinho e Zezinho. Medicina em São Paulo Ao saber do ocorrido. Psicologia em Belo Horizonte. d. de jamais dizer a ver. dis.Ebelim: “Abelim é culpado”. C e D. . é certamente João.Marcelo: o culpado está mentindo. julgue o item seguinte. Sabe-se. Rafael e João. Eduardo. e.O terceiro diz: “Eu sou o ladrão. seus quatro asseclas: A. É vedado a reprodução total ou parcial. as seguintes declarações: a. À Sabendo que apenas um dos quatro disse a frente do jovem lógico.não ouviu o que ele disse. Carlos. que o restante é um vulgar culpado. MATEMÁTICA 3) Três homens são levados à presença de um ções: jovem lógico. o jovem lógico pode. honesto e trabalhador. José.que era um pouco surdo . concluir corretamente que: 6) Um policial rodoviário deteve Carlos. é o ladrão. não pode ser determinado com essas infor- mações. esses indivíduos fizeram as seguintes acusados é culpado. . é certamente Eduardo. João. . e. que sempre diz a verdade. ora diz a verdade. Interrogados.um único suspeito sempre mente e todos os demais do pomar real.O segundo diz: “É verdade. c. Marcelo e Roberto. .Dedelim: “Ebelim é culpado”. Na terceiro. O mago Merlim. O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o se. enquanto um deles 5) Um crime é cometido por uma pessoa e há falou a verdade. . gundo. acusados de haver roubado laranjas . . era muito sábio. por isso. A declaração de C não pode ser verdadeira. é certamente André. Abelim. quatro suspeitos: André. é certamente Rafael. c. ladrão que ora mente. que embora um pouco surdo • A afirmou que C matou o líder. • André: Eduardo é o culpado. José. também. esses três homens fazem. apenas um dos cinco rogatório. e ele disse a verdade.existe apenas um único culpado. João. B. que um outro é um pedreiro. O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o ter. O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. declarações. inquirição. os suspeitos afirmaram o seguinte: b. tão baixo que o rei . suspeitos de terem cau- a. é quem. o primeiro a falar. ele. mas que tem o estranho • Rafael: Eu não sou culpado. Com base nestas informações. Marcelo. . O proble- ma é que não se sabe quem. costume de sempre mentir. b. os ou.O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.Bebelim: “Cebelim é inocente”. . c. • João: Eduardo mente quando diz que eu sou dade. . o que acabou de c. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro. não tiveram a.” e. Sabe-se ainda que 84 4) Cinco aldeões foram trazidos à presença de . então. Ebelim da acima e sabendo que três dos comparsas men- tiram em suas declarações. Abelim participação no crime. O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o sado um acidente fatal em uma autoestrada. . O velho rei.Roberto: o culpado não é José. que vira o roubo das laranjas 7) Um líder criminoso foi morto por um de e ouvira as declarações dos cinco acusados.João: o culpado é Marcelo ou Roberto. tros quatro são inocentes e todos os quatro men- tiram”. O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. Durante o inter- se então ao rei: “Majestade. um velho rei. d. ainda. Cebelim d.José: o culpado não é Roberto. . b. . o culpado: ordenadamente. Bebelim • D disse que C não matou o líder. Roberto. verdade. ceiro. Dedelim Considerando a situação hipotética apresenta- e. . Os outros quatro acusados Pode-se concluir que o culpado é disseram: a.Cebelim: “Dedelim é inocente”. falou sempre falam a verdade. o culpado era: • C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e. falar. Sabe-se. igualmente • Eduardo: João é o culpado. entre eles.” d. eles fazem as seguintes declara- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .Carlos: o culpado é João ou José. logo concluiu corretamente que • B afirmou que D não matou o líder.” b.CPF: 06342387958. 34. 23. 2) Qual o próximo termo da sequência 3. Sequências Lógicas . 2. 7. Caio e Décio. o chocolate que estava pre a mesma quantidade no armário. 25.} – multiplica por 2 .. determine a soma do 10º e do 11º dessa 1-A 2-C 3-B 4-C 5-C série numérica. . drão. 8. 64. 222 ..Beto diz que foi Caio. 3. 4) Qual o próximo termo da sequência e. 15. 7.Caio diz que Beto mente. 8.. 8) A sequência numérica 6 . 21. há uma solução diferente. 3. . 64. 100. 366 . 11.Alan diz que foi Beto. . 169. ao que recebeu as seguintes res. A mãe perguntou para cada um quem cometeu o ato. 22 ? d. 12. 144 ? meu o chocolate são. 1. 225. 17.. b. 64. 27. 13.} Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .. 9. 128. 100. 4. 9. 6...} 8) Alan.Problemas de Raciocínio ( ) certo ( ) errada • Fibonacci {1.. 4. 7. respectivamente. 17. Faremos um estudo detalhado a Quando se trata de uma sequência de letras. 55. 6-B 7-C 8-E 6) Qual o próximo número da sequên- cia 1 1 1 3 5 9 17? 85 7) A sequência: 2.Décio diz que não foi ele. 36. 31 ? a. 114 . 3) Qual o próximo termo da sequência c. foi criada com um padrão... 15. 16. . pois em cada caso... 5. sem autorização. 5..aumentam sem- comeu. . 32. 2. 81. 5.} 2) Determine o próximo termo da sequ- ência TQQSS. . Alan e Beto. 13. Sabe-se que apenas um dos quatro {3. comeu o chocolate. 23. es- pecialmente numéricas.. Beto e Caio. É vedado a reprodução total ou parcial. 3. 6.. 144. 33 ? 5) Dada a sequência 2 3 4 5 8 7 16 9 Gabaritos 32. 13. 6. 28. {1. quem foi.. 7. .. 17. .. número. precisa- esse respeito. . 5.. . 19. Beto e Décio. • Números primos {2. 7.} – aumentam de 4 em 4.CPF: 06342387958. 20. 14.} – multiplica por 3 .} – aumentam de 3 em 3. 16. Quais os próximos dois números? As sequências lógicas são compostas por números. O sexto termo dessa sequência é? Sequências de Números Para construir conhecimento a esse respeito. Caio e Décio são irmãos e foram interrogados pela própria mãe para saber quem • Progressões aritméticas . 3. 24. 3.} e outras situações que não são um padrão normal. mos diagnosticar se as letras se apresentam respeitando Apresentamos uma série de sequências prontas: a ordem alfabética ou não. 23. mero da sequência 36. Esse tipo de questão apresenta um pa. 8.. letras ou figuras. 10. 9. 8. 14. a partir do segundo sequentes. 10. CAPÍTULO 12 .. é ne- Sequências de Letras cessário conhecer algumas sequências importantes. 12. a uma determinada lei de forma- ção. 9. obedece. 4. 11. . 15. Beto. 196. 27. 11..} • Sequências fora da ordem alfabética . . 49. dos dias da semana. . 5. {1. • Números triangulares 3) Qual a próxima letra da sequência {1. 121. • Progressões geométricas – multiplica-se postas: sempre pelo mesmo número {2. 11. .} Exemplos: 1) Qual o próximo ter- • Números quadrados perfeitos mo da sequência JJASOND? {1. . Exemplos: 1) Qual o próximo nú- O irmão que fala a verdade e o irmão que co. 3. Alan e Caio. • Números pares {0. 81.. 16. 21. 4.nes- ses casos precisamos pensar em situações que en- • Números ímpares volvam os nomes dos meses. e que os quatro irmãos sabem {5. uma regra que permite determinar os termos sub. 3. 19. 11. 42 . . 11. . ximo termo da sequência abaixo. d. e. c. 2. 3. 45.nesses casos. ob.. b. ROCA. . F. 7. a. lei. lavra que. 25 Considerando que o alfabeto é o oficial.. substituiria corretamente o ponto d. I em sequência. E. MATEMÁTICA UDTQCSS? do quociente entre o 11° e o 10° termo. 15 8) A seguinte sequência de palavras foi escrita b. b.732 • Sequências respeitando a ordem alfabéti. F. qual a próxima letra des. W.. De acordo com essa e. 3. 1.. G De acordo com tal propriedade.. 85( ? )17 d. a pa- 4) A partir da lei de formação da sequência 1. 13. 9. 63(21)9. então. M. devemos escrever o alfabeto e c.? de certo critério..) foram obtidos d. dentre os apresentados. que a completa corretamente é MARCA − BARBUDO − CRUCIAL − ADIDO − FRENTE 86 −? a. a palavra que. 3) C F H K M 4) Considere que a sequência (C. 24. a palavra da direita foi Exemplos: 1) B F H L N R formada a partir da palavra da esquerda. 5. c. utili- 2) A C E G I zando-se um mesmo critério. c. G. 1. par. 23. Q. 21. o 13o termo dessa sequência é um número 3) Na sequência seguinte o número que apare. Questões Gabaritadas d. 3. 4.. d. c. 1) Considere a sequência: (P. junto de palavras seguinte: ros elementos da sequência. formação.) 6) Uma propriedade comum caracteriza o con- De acordo com a lógica observada nos primei. GIGANTE. COAR. de acordo Com base nesse critério. 2) Assinale a alternativa que apresenta o pró. c. 22. 7) Sabe-se que os termos da sequência (8. B. 15. a palavra que substi- com esse critério. N.667 ca . SOLAPAR – RASO LORDES – SELO H. O número que está faltando é e. 44. . RABO. quadrado perfeito. segundo uma lei de formação. CORA. 47. ARCO. b. de acordo com o padrão estabelecido. calcule o valor mais próximo poderia substituir o ponto de interrogação é Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . tui corretamente o ponto de interrogação é sa sequência? a. 19. e. a. ce entre parênteses é obtido segundo uma lei de b.. 12. 1. 4 a. 1. 41. 2 de interrogação é e.. I. Se o alfabeto usado é o oficial. . ILIBADO. b. a. 1.5 5) Observe que em cada um dos dois primeiros pares de palavras abaixo.414 servando que surgirá um padrão. 5. 26. 23 PATA − REALIDADE − TUCUPI − VOTO − ? e. J. 16. e. 19 d.. múltiplo de 4.. C b. a. É vedado a reprodução total ou parcial. O. 1. . 13.618 marcar as letras que aparecem na sequência.) foi formada a partir CORROBORA . 20. 4. . o elemento. 15.CPF: 06342387958. DESDITA. L. 43. 17 obedecendo a um padrão lógico: c. 34. S.. que tem 23 letras. primo. divisível por 3. 186(18)31. 8. HULHA.. FOFURA.. 3 7 5 16 9 d. 17. igual a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é a. Considerando que no alfabeto usado não en- 87 tram as letras K. segundo o critério 11) Na sequência (4.. . YESTERDAY. a. bondade. qualidade. 18 d. c. 6 b. é 65(20)13 – 96(16)24 – 39(52)3 – 336( ? )48 igual a Segundo essa lei. 35.CPF: 06342387958. 15. a. 3 palavra e a quarta.. . e. 10) A diferença entre o 7º termo da sequência (5. . nização. 21. c. 28 d. A diferença numérica entre A e B. b. 24 e. retamente o ponto de interrogação é b. WAFFLE. 65. no a. 32. 335.. −2. 0. a. 280. 29 palavra é e. 12 Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . 51 sentido horário. P e. neira lógica. b. então. 457. nessa ordem. d. 40 c. no esquema abaixo. 11. C c. 2. 4 A mesma relação deve existir entre a terceira c. A alternativa correspondente ao número que falta no espaço vazio é 17) Os números no interior dos setores do cír- culo abaixo foram marcados sucessivamente. QUALIDADE. d. . largueza. É vedado a reprodução total ou parcial. 35. Essa quarta d. e. quando se completa o diagrama de acordo com o padrão. 36 alfabeto dispostas segundo determinado critério. O e. c. 33. c. assinale a alternativa que preenche a vaga as- 16) Observe que. . d. 1 b. 14) Observe o diagrama e seu padrão de orga- e. 189. 756.. 8 1 12 10 14 11 . 761. . o número que substitui cor..) e o 11º termo da sequência (5. mesquinhez. 123. 637. é igual a a. 13) Os números abaixo estão dispostos de ma- b. o número que apa- rece entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação.)..) a diferença utilizado na disposição das letras do triângulo a entre o 6o e o 4o termo é. há uma sinalada pela interrogação: relação entre as duas primeiras palavras: 2 8 5 6 8 ? 11 AUSÊNCIA – PRESENÇA :: GENEROSIDADE – ? a. W e Y.. I d. 7 ção. 40. 9.Problemas de Raciocínio a. c. infinito. 27. 42 a. CAPÍTULO 12 . 95. b.. XAMPU. b. −10. d. −12. 4. 9) Na sequência seguinte. nessa ordem. 32 15) O triângulo abaixo é composto de letras do e. SADIA. c. e. que está faltando. obedecendo a uma lei de forma- b. 567. R 12) Em relação à disposição numérica seguin- te.. drão. 52 lavra que poderia dar continuidade a essa suces- são é: 22) Considere que os termos da sucessão se- guinte foram obtidos segundo determinado pa- a.) d.3. X e Y são o décimo e o décimo terceiro termos dessa 19) Considere que os termos da sequência se.8.3. o número que deve substi- tuir o ponto de interrogação é a. MATEMÁTICA d.CPF: 06342387958. O décimo termo dessa sequência é e. xo. 15. 31.8. . no interior do círculo abai- b. 20) Observe as seguintes sequências de núme- ros: (1.) c. 2319.4. FILANTROPIA. d.0. sucessão. 7. 196 e. 23. (4.3. É vedado a reprodução total ou parcial. uma pa. 206 c.7. 188 Segundo o critério estabelecido.7.4.8. obedecendo a um de- d.. 48%.0. de acordo com o padrão estabelecido. FÁCIL. 50 De acordo com o padrão estabelecido. c.5) – (6. 58%. (9.4.4) 17. e no sentido anti-horário. o número que 18) A sucessão de palavras seguintes obedece a deverá substituir o ponto de interrogação é um padrão lógico: a. 88 b.3.6) – (9.0.9) 21) Os números no interior do círculo repre- sentado na figura abaixo foram colocados a partir do número 2 e no sentido horário. SOPA. sucessivamente c. 1929. (6. 127..8. os números foram colocados. ARREBALDE.1) Sabendo que o primeiro número colocado foi o b. 44 CA – AÉREO – FICTÍCIO c. 46 d.6) e. e. 1537. GELADO. b. 56%. 18. 21. o número a ser colocado no espaço em branco c. 210 b. . (1.5) é Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Segundo essa lei.4. 200 d. Se. então a razão YX é igual a guinte foram sucessivamente obtidos segundo determinado padrão: a. a.. e. obedecendo a um determinado critério.0. (5. e.. 44%. 42 TÓRAX – AMIGÁVEL – SABIÁ – VALENTÃO – CÔNI. 17. (3.4) – (5.7. (20. 64%.1) – (4. 19.9) A sequência que NÃO apresenta as mesmas características das demais é a. terminado critério. 1945. 22. 2047. b. 255. . 63. 23) Considere que.7. N b) exclamativas c. T129 26-C 27-A 28-C 29-D 30-C b. saber o país nada se pode afirmar. 30 c. 32 e. 27) Qual a próxima letra da sequência UDTQ- CSS? Importante: Não serão proposi- ções as seguintes sentenças: a. deter. mas nunca ambas. 11 b. E Perceba que não tem importância o fato de ser ver. 75 de ou não. D d. TQQSS. 27 Sentença Aberta b.CPF: 06342387958. não é possível saber se é verda- d. NÃO É PROPOSIÇÃO! mine a soma do 10º e do 11º dessa série numérica. tem de ser d. 28 b. A b. 1042. J Exemplos: O Brasil fica na Amé- 26) Determine o próximo termo da sequência rica. T c) imperativas d) sentenças abertas 28) Qual o próximo número da sequência 1 1 1 3 5 9 17? a. que pode ser classificada ape- a. 33 falsa ou verdadeira. A nas como falsa ou verdadeira. . a. 1002. b. d. a. 89 c. É vedado a reprodução total ou parcial. Gabarito 24) observe a sequência a seguir: 1-C 2-D 3-A 4-C 5-B 6-A 7-B 8-D 9-C 10-D B3 5F H9 17L N33 65R 11-C 12-B 13-D 14-B 15-D o próximo termo será 16-E 17-A 18-C 19-D 20-D 21-A 22-C 23-A 24-A 25-D a. b. J classificada obrigatoriamente como um dos dois. a. 31 Sentença declarativa que não permite a classificação d. (Qual País? Sem 30) Os números 31 28 31 30 31 30 31 seguem um padrão lógico.) o País fica na América. De acordo com esse padrão. D dadeira ou falsa para ser proposição. 1560. c. CAPÍTULO 13 . LÓGICA PROPOSICIONAL 25) Qual o próximo termo da sequência JJA. 131T c. D d. 1682. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Proposição Simples SOND? Sentença declarativa. 53 Exemplos: x + 4 = 5 (Sem saber o c. Cuba é um país da Europa. 31 d. V129 d. 131V e.Lógica Proposicional a. 64 valor de x.) termine o próximo número dessa sequência. 29) Dada a sequência 2 3 4 5 8 7 16 9 32. 1820. W127 13. Porém. 29 c. de. E c. O a) interrogativas b. É vedado a reprodução total ou parcial. e somente se ↔ bicondicional a seguir. julgue os itens que se seguem. ⋀. então → condicional Considere as proposições P e Q apresentadas Se. considerando os co- V F V nectivos lógicos usuais ¬. →. Tabela verdade da Bicondicional disjunção : utiliza o conectivo ou Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e condicional: utiliza o conectivo se. Tabela verdade da Disjunção Exclusiva ( )Certo ( )Errado Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e Proposição 2 03) Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógi- V V F ca / Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: TJ-SE Julgue os próximos itens. desde que R e S sejam proposições convenientemente escolhidas.. então L será divisível por 15. P: Se H for um triângulo retângulo em que a Tabela verdade da Conjunção medida da hipotenusa seja igual a c e os catetos meçam a e b. acerca de lógica V F F proposicional. Proposição: o Brasil é um País da América. poderá ser corretamente expressa por U∧V∧(¬W). ↔ e que P. a negação de Q...CPF: 06342387958.. MATEMÁTICA 01. . Proposição: Rita Lee morreu em janeiro de 2001. Tabela verdade da Condicional Valor lógico: Falso Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e Proposição 2 V V V Proposição Composta V F F Reunião de duas ou mais proposições simples. Q e R Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e Q: Se L for um número natural divisível por 3 Proposição 2 e por 5. F F V conectivo simbologia operação E ^ conjunção Questões Gabaritadas Ou v disjunção Ou . V V V Tendo como referência as proposições P e Q. entãoc2 = a2 + b2. F V V Valor lógico: Verdadeiro F F F 02. e somente se. V V V V F F Conectivos F V F Fazem a ligação de proposições simples. ⋁. V e W F F F forem as seguintes proposições: U: “ L é divisível por 3”. Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e W: “ L é divisível por 15”. F V V Tipos De Proposição Composta F F V conjunção: utiliza o conectivo e. F V F 01) Se L for um número natural e se U.. então Proposição 2 bicondicional: utiliza o conectivo se. Tabela verdade da Disjunção V: ‘’ L é divisível por 5”. V V V V F V ( )Certo ( )Errado F V V 02) A proposição P será equivalente à propo- F F F sição (¬R) ∨ S. Proposição 2 então a proposição ¬Q. ou ⊻ disjunção exclusiva Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógica / Ano: 2015 / Banca: CESPE / Órgão: TRE-GO 90 Se . Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógica / Ano: 2008 / Banca: CESPE / Órgão: STJ F F V F F F ( )Certo ( )Errado 04) Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógi- ca / Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: CADE O julgamento de uma proposição composta de- Considerando os conectivos lógicos usuais e pende do julgamento que se faz de suas proposi- que as letras maiúsculas representem proposi. V ou F das A sentença “Os candidatos aprovados e nome. a tabela-verdade correspondete será Duas equivalências fundamentais são as deno- a seguinte: minadas Leis de De Morgan: ¬(A⋁B). uma forma simbólica correta para Q é [ A ⋀ (¬B ) ] ⋁ [ ( ¬ A ) ⋀ ( ¬ B ) ]. 6. valores lógicos V ocorram somente nos casos é correto afirmar que. a coluna correspondente à proposição ABQ (P⋁Q)↔(Q⋀R) conterá. ções lógicas simples.Lógica Proposicional representam proposições lógicas simples. Sabendo-se que. apenas A e D são pro- V F F posições. P Q R (P⋁Q)↔(Q⋀R) V V V ( )Certo ( )Errado V V F 7. Raciocínio Lógico/Fundamentos de Lógica/ ( )Certo ( )Errado Ano: 2009/Banca: CESPE/Órgão: TRT . F F V B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10. F V V A: 12 é menor que 6.17ª Região (ES) 9. de cima para baixo e na VFV sequência. V V V julgue os itens que se seguem. 91 síveis julgamentos. então 13 será V F V divisível por 2” é valorada como F. ( )Certo ( )Errado D: Existe vida após a morte. os seguintes elementos: V F F F V F F F. julgue o item seguinte acer. R T (R⋀T)⋁(¬R) Tendo como referência as informações acima. dicadas. considerando-se todos os pos- ca da lógica proposicional. proposições simples A e B. A B A⋀B A⋁B ¬A A→B ( )Certo ( )Errado V V V V F V 05) Raciocínio Lógico/Fundamentos de Lógica/ V F F V F Ano: 2010/Banca: CESPE/Órgão: TRT . julgue os / Ano: 2008 / Banca: CESPE / Órgão: STJ Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Nas sentenças abaixo. significando ¬A⋀¬B. ções componentes mais simples. É vedado a reprodução total ou parcial. das Autar.CPF: 06342387958. FFV Nessa situação. a tabela ta apenas das proposições simples A e B e cujos mostrada abaixo normalmente se faz necessária. quias e das Fundações Públicas Federais” é uma proposição lógica composta. e ¬(A⋀B). A proposição “Se 2 for ímpar. . V F F ( )Certo ( )Errado F V V F V F 8. para a construção da tabela Considere que uma proposição Q seja compos- verdade da proposição (P⋁Q)↔(Q⋀R). Por exemplo. a partir da tabela apresentados na tabela abaixo.21ª Região F V F V V V (RN) F F F F V Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R⋀T)⋁(¬R). Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógica A partir das informações do texto. itens a seguir. ou valorações. CAPÍTULO 13 . tem-se a seguinte ta- ados estarão subordinados ao Regime Jurídico bela-verdade para as proposições compostas in- Único dos Servidores Civis da União. mostrada. signifi- cando ¬A⋁¬B. na última coluna da tabela-verdade.. “. MATEMÁTICA Considerando-se as possíveis valorações V ou tado. Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógica lógico F. e da negação (¬).” (→). 92 Tabelas-Verdade Pelo uso repetido dos conectivos “.” (↔)...... sendo compostas progressivamente mais complexas.” (⋀).. ou . ¬p ⋀ ¬q [A⋁(¬B)]→ [¬(A⋁B)] P Q ¬P ¬Q ¬P⋁¬Q A B ¬B A⋁(¬B) A⋁B ¬(A⋁B) [A⋁(¬B)]→ [¬(A⋁B)] V V F V F F F V V F F V Observação: Quando uma pro- ( )Certo ( )Errado posição composta possui sempre o valor 10.. “. se e somente se . Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: TJ-SE Julgue os itens que se seguem. então. ( )Certo ( )Errado Observação: Quando uma propo- 2. se necessário.Certo 3-Errado 4-Errado 5-Certo 6-Certo 7-Errado 8-Certo 9-Certo 10-Certo Observação: Quando uma propo- sição composta possui sempre o valor lógi- co V. n o número de proposições simples compo- lores lógicos não temos condições de determinar ime. p ⋀ ¬q 1. cujos va... vamos construir a tabela-verdade das seguintes proposições: Questões Gabaritadas a.. . e .. o valor de uma proposição sem- 1 proposição⇒21 = 2 linhas pre pode ser determinado a partir dos valores lógicos das proposições simples componentes e dos conectivos 2 proposições⇒22 = 4 linhas utilizados.. ela é chamada CONTRADIÇÃO.. A sentença “O reitor declarou estar contente com as políticas relacionadas à educação supe- rior adotadas pelo governo de seu país e com os rumos atuais do movimento estudantil” é uma proposição lógica simples.. Um modo organizado e sistemático de fazer 3 proposições⇒23 = 8 linhas isso é a utilização de uma tabela com todas as possíveis 4 proposições⇒24 = 16 linhas combinações entre os valores lógicos das proposições n proposições ⇒ 2n linhas componentes e com o correspondente valor lógico da proposição composta. “ou. / Ano: 2008 / Banca: CESPE / Órgão: INSS Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário c. Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: TJ-SE sição composta possui V e F em seu resul- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . podemos construir proposições de uma tabela-verdade é igual a 2n. lunas da tabela abaixo. Como exemplo.Certo 2.” Importante: O número de linhas (⋁). ela é chamada TAUTOLOGIA.. “se.” (⊻). Então: diatamente. No entanto. p ⋀ ¬p do INSS”. é correto afirmar que a última coluna dessa tabela corres- ponde à tabela-verdade da proposição b.CPF: 06342387958.... ou. relacionados à P Q ¬Q P⋀¬Q lógica proposicional. então é falsa a sentença ∀xP(x) P ¬P P⋀¬P ( )Certo ( )Errado Gabarito 1. F das proposições A e B e completando-se as co.. nentes. É vedado a reprodução total ou parcial. ela é chamada CONTINGÊNCIA. CAPÍTULO 13 . ou ele não obtém o dinheiro”. ( )Certo ( )Errado Exemplo: Sou professor ou sou 3. Ano: 2013 / Banca: CESPE / Órgão: SEGES- P-AL Exemplo: Ou sou professor ou sou Considerando que as letras maiúsculas P. ou o cliente não ob- tém o dinheiro” é logicamente equivalente a “O Negação de Bicondicional cliente aceita as regras ditadas pelo banco se. o cliente não obtém o dinheiro”. Eu fico rico e NÃO compro um carro. Negação da Disjunção nectivos lógicos usuais ¬.CPF: 06342387958. A negação da proposição “Ou o cliente aceita as regras ditadas pelo banco. Negação de Condicional multaneamente verdadeiras. Gabarito 1-Errado 2-Certo 3-Certo 4-Errado 5-Certo Passo e não estudo ou estudo e não pas- so. julgue o item seguinte acer- ca da lógica proposicional. ou ele compro um carro. que as letras maiúsculas representem proposi- ções lógicas simples. e somente se. ⋀. Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: CADE rico. ⋁. A proposição [P→(Q⋀R)]↔{[(¬P)⋁Q]⋀[(¬P)⋁R]} ¬ (A ou B) = ¬ A e ¬ B é uma tautologia. é correto concluir que as proposições Q→P. ¬ (A ↔ B) = A e ¬B ou B e ¬A ( )Certo ( )Errado Exemplos: passo SE. rico. Considerando os conectivos lógicos usuais e NÃO sou professor e NÃO sou rico. ( )Certo ( )Errado ¬ (A → B) = A e ¬ B 93 5. Q e R. ¬(P∧R) e Q∨R não podem ser si. considerando os co. ENTÃO te vai ao banco solicitar um empréstimo. Negação de Proposições Compostas RESUMINDO Negação da Conjunção NEGAÇÃO EQUIVALENTE PROPOSIÇÃO DIRETA DA NEGAÇÃO AeB não (A e B) não A ou não B ¬ (A e B) = ¬A ou ¬B A ou B não (A ou B) não A e não B ou A ou B não (ou A ou B) A se e somente se B Exemplo: Sou feliz e Canto. Negação da Disjunção Exclusiva A proposição (P⋁Q)⋀(R⋁S)↔[Q⋀(R⋁S)]⋁[(P⋀R)⋁(P⋀S)] é uma tautologia. E SOMENTE SE estudo. ¬ (ou A ou B) = A ↔ B ( )Certo ( )Errado 4. Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . Q e rico. aceita as regras ditadas pelo banco.Lógica Proposicional Julgue os próximos itens. ↔ e que P. julgue os itens que se seguem. . →. Q e R representam proposições lógicas simples. É vedado a reprodução total ou parcial. Se A então B não (se A então B) A e não B NÃO sou feliz ou NÃO canto. R representem proposições conhecidas. julgue os Sou professor SE E SOMENTE SE sou próximos itens. Considerando-se as diferentes combinações de valorações verdadeiras ou falsas atribuídas às proposições P. Ano: 2013 / Banca: CESPE / Órgão: TCE-RS Com base na proposição P: “Quando o clien. Exemplo: SE eu fico rico. O juiz não negou a sentença ou o réu entrou Exemplo: Se sou professor. Não vou à academia todos os dias da sema- na e não corro três dias na semana. Questões Gabaritadas mentos de interesse da comunidade. não sou professor ou sou Rico. Marcos não decora e Lívia é estudiosa. Esta Operação não visa a implantação de espaços públicos. haveria d. então não sou profes- objetivos específicos de uma das Operações Urba. Proposições equivalente dizem a mesma coisa. MATEMÁTICA a. 1) Considerando que P seja a proposição “Se os mentos de interesse da comunidade. povos. É vedado a reprodução total ou parcial. seres humanos soubessem se comportar. Esta Operação não visa a implantação de es- paços públicos ou visa a implantação de equipa. Nessa equivalência. Vou à academia quase todos os dias da se- mana e corro dois dias na semana. envolvidas e negamos ambas. mentos de interesse da comunidade. Uma afirmação que choverá” é: corresponde à negação lógica da afirmação ante- rior é a. B mente se B) não A c. paços públicos ou não visa a implantação de equi. trocamos a ordem das proposições 94 c. Questões Gabaritadas e. seguintes. 1-A 2-B 3-D 4-D 5-B d. . Lívia não é estudiosa ou Marcos não decora. entrou com recurso. sou rico. 1) Vou à academia todos os dias da semana e 5) A negação de “hoje é domingo e amanhã não corro três dias na semana. d. trou com recurso. os seres humanos saberiam se comportar”. de formas diferentes. d. A e não B ou B e b. nas do Município de São Paulo. Se esta Operação visa a implantação de espaços públicos. Uma negação lógica dessa afir- mação está contida na alternativa: Exemplo: Se sou professor. então a. ( ) certo ( ) errado 4) Determine a negação da proposição “Lívia é estudiosa e Marcos decora”. b. então corro Equivalências três dias na semana. Lívia é estudiosa ou Marcos decora A se e somente se não (A se e so. Lívia não é estudiosa ou Marcos decora. Nunca vou à academia durante a semana e Gabarito nunca corro durante a semana. Lívia não é estudiosa e Marcos decora. menos conflitos entre os povos”. d. c. então ela visa a implantação de equipamento de interesse (A → B) = ¬ A ou B da comunidade. Esta Operação visa a implantação de espa. 3) Considere a seguinte afirmação associada a Se não sou rico. mas 2) De acordo com o raciocínio lógico-matemá. então ela não visa a implanta. O juiz não negou a sentença ou o réu não Perceba que estamos falando de uma condicional. a negação da frase “O juiz negou a sentença Existem duas equivalências prontas que devemos re- e o réu entrou com recurso” é equivalente a frase. e sim a implantação de equipa. ção de equipamento de interesse da comunidade. b. O juiz não negou a sentença e o réu não en. cordar. Se esta Operação não visa a implantação de proposição “Se houvesse menos conflitos entre os espaços públicos. hoje não é domingo então amanhã choverá na ou não corro três dias na semana. julgue os itens ços públicos e não visa a implantação de equipa. 2) Considerando que P seja a proposição “Se os Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . O juiz negou a sentença ou o réu entrou com (A → B) = ¬ B → ¬ A recurso. A proposição P é logicamente equivalente à e. c. e. Esta Operação não visa a implantação de es. hoje não é domingo ou amanhã choverá a. pamentos de interesse da comunidade. sor. c. então com recurso.CPF: 06342387958. hoje não é domingo e amanhã não choverá b. Se vou todos os dias à academia. tico. sou rico. São elas: a. Não vou à academia todos os dias da sema. hoje não é domingo nem amanhã choverá b. ou ga- proposição “Se um empresário não mereceu rece. ganharei P3: Se ocorre um escândalo no mundo empre. mas ficarei menos tempo no trânsito. atual dirigente da empresa X não apenas não foi 95 tada. P1: Se as ações de um empresário contribuí.Lógica Proposicional seres humanos soubessem se comportar. o bem é de todos. proposição “Se não condenarmos a corrupção por motivos econômicos. tada. menos. A proposição P1 é logicamente equivalente à A proposição P1 é logicamente equivalente à proposição “Eu não aceito o novo emprego. A proposição P é equivalente à proposição “Se A proposição P é logicamente equivalente à o bem é de alguém. P2. não serei feliz. • P4: Se eu ficar menos tempo no trânsito. fica- P4: Se um empresário tem atuação antieconô. serei feliz. seguir. P3 e P4. ber a gratidão da sociedade. social. ( ) certo ( ) errado A proposição P é logicamente equivalente à proposição “Os seres humanos não sabem se 6) A proposição “O candidato não apresenta comportar ou haveria menos conflitos entre os deficiências em língua portuguesa ou essas defi- povos”. bem é público. julgue os Tendo como referência a proposição apresen. capaz de resolver os antigos problemas da empre- A proposição P é logicamente equivalente à sa como também não conseguiu ser inovador nas proposição “Condenaremos a corrupção por ser soluções para os novos problemas”. nharei menos e ficarei menos tempo no trânsito”. P: Se não condenarmos a corrupção por ser ( ) certo ( ) errado imoral ou não a condenarmos por corroer a le- gitimidade da democracia. da sociedade. julgue os itens seguintes. 3) Considere a proposição P a seguir. então não é de ninguém”. ao receber a proposta de novo emprego. A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O atual dirigente da empresa X não ( ) certo ( ) errado foi capaz de resolver os antigos problemas da em- presa ou não conseguiu ser inovador nas soluções 5) Considere as proposições P1. jul. haveria de certos empregos da estrutura social”. menos conflitos entre os povos”. rei menos estressado. ( ) certo ( ) errado gitimidade da democracia. gue os itens seguintes. então ocorre um escândalo no posições abaixo. então é público”. a condenaremos por 7) Considerando que P seja a proposição “Se o motivos econômicos. A partir dessas proposições. julgue os itens seguintes. mundo empresarial. presa. • P1: Se eu aceitar o novo emprego. consumirei menos. . ele merece receber a gratidão • P5: Se eu ficar menos estressado. a manutenção de certos empregos da estrutura • P3: Se eu consumir menos. então as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção ( ) certo ( ) errado Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . CAPÍTULO 13 .CPF: 06342387958. a condenaremos por ser ( ) certo ( ) errado imoral e por corroer a legitimidade da democra- cia”. P: Se não condenarmos a corrupção por ser imoral ou não a condenarmos por corroer a le. 10) Pedro. julgue o item imoral ou por corroer a legitimidade da democra. ciências são toleradas” é logicamente equivalente a “Se o candidato apresenta deficiências em lín- ( ) certo ( ) errado gua portuguesa. fez P2: Se um empresário tem atuação antieconô. mica ou antiética. então não é de ninguém”. ( ) certo ( ) errado rem para a manutenção de certos empregos da estrutura social. então essas deficiências são to- leradas”. É vedado a reprodução total ou parcial. então não é público”. julgue os ( ) certo ( ) errado itens subsequentes. 9) Considerando que P seja a proposição “O Tendo como referência a proposição apresen. apresentadas a seguir. itens subsequentes. julgue o item a Tendo como referência essas proposições. as ações do empresário contribuíram para • P2: Se eu ganhar menos. julgue os itens seguintes. a seguir a respeito de lógica sentencial. para os novos problemas”. A proposição P é equivalente à proposição “Se 4) Considere a proposição P a seguir. um jovem empregado de uma em- ceber a gratidão da sociedade. diversas reflexões que estão traduzidas nas pro- mica ou antiética. então tal empresário merece re. sarial. cia ou por motivos econômicos”. a condenaremos por motivos econômicos. 8) Considerando que P seja a proposição “Se o bem é público. O fato de determinado argumento ser válido implica. missas. o bom entendimento da tabela verdade é Exemplo: São Paulo é uma cidade essencial.CPF: 06342387958. o Brasil não fica na África. pois analisando com a realidade. MATEMÁTICA Gabarito Exemplo: Daniel é aluno (premis- 1-Errado 2-Certo 3-Certo 4-Errado 5-Certo sa 1) 6-Certo 7-Certo 8-Errado 9-Errado 10-Certo Todo aluno é aprovado (premissa 2) Argumento Daniel é aprovado (conclusão) Na lógica proposicional ou sentencial. Não tem nada a ver a Itália ficar (premissa) na Europa com São Paulo ser uma cidade e o Brasil um Conclusão: Roberto é Mortal. O Brasil é desenvolvido. se as premissas forem to- das verdadeiras. P1: todo cachorro é verde. declarações iniciais (premissas) garante a veracidade da Errado! conclusão. Em outras palavras. Toda premissa de um argumento válido é são verdadeiras e a conclusão é falsa. Nesse argumento. é necessário saber algu- mas classificações. Premissas. certamente. Por Essa sequência lógica de declarações chamamos de esse motivo. Veja a análise de alguns argumentos: Errado!! Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . . não queremos discutir se realmen. isto é. que utilizam os conectivos lógicos. Todo país da África é desenvolvido. ela é uma que levam a uma conclusão. Conclusão: todo cachorro é vegetal. Lendo as pre- a formação do argumento. que todas as suas premissas Um argumento é válido sempre que a veracidade das são proposições verdadeiras. o argumento não é ou compostas. Comentário: Não há relação en- tre válido e verdadeiro. Elas são compostas por conectivos lógicos e por esse fato. isto é. Esse argumento é inválido. são desenvolvidos. a conclusão faz sentido. É vedado a reprodução total ou parcial. Ela é óbvia. verdadeira. erradas. (conclu. P2: tudo o que é verde é vegetal. Para uma melhor adaptação. Argumento Hipotético As premissas e a conclusão são proposições simples 3. o argumento é válido. entendemos como argumento uma sequência lógica de declarações Notamos que quando a conclusão é lida. a conclusão necessariamente deve ser verdadeira. ( premissa) Declaração 2: Roberto é um homem. não tem cone- xão com as premissas. O brasil é um país. Argumento Inválido Um argumento é inválido quando todas as premissas 2. Se a conclusão é falsa. Silogismo Errado!! Argumento formado por apenas duas premissas e uma conclusão. Comentário: Não há relação en- tre válido e verdadeiro. 96 do argumento. são elas: Questões Comentadas Argumento Válido 1. o argumento é válido. país. Note que a conclusão não tem sentido. válido. e sim analisar a estrutura. A Itália fica na Europa Exemplo: Declaração 1: Todo ho- mem é Mortal. embora as premissas sejam fala- Observe que não estamos interessados no conteúdo ciosas. tampouco os países da África te todo cachorro é um vegetal. são) Exemplo: O Brasil fica na África. consequência natural das premissas. (verdadeiro) e F (falso). Começando pela conclusão. ele será VÁLIDO. precisamos de uma técnica Reorganizando. C: Se Fred mora em São Paulo. Passo 3: conclusão é falsa. independentemente de seu é INVÁLIDO. Vamos pontuar alguns passos para chegar a P1: = E→A = V conclusão correta. portanto. CAPÍTULO 13 . Passo 5: análise Se tudo der certo. ele será INVÁLIDO. dependendo da estrutura. cio. A todo mo- char o argumento. isto é. F → V = V (tudo certo) Passo 1: simbolização P2: A = V Todas as premissas e a conclusão deverão ser sim. esta análise pode ficar bem complicada e. jul- Conclusão: Carla estudou. P2: Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. os V ou F que encontramos e com isso ir “fechando” o P4: Fred não tem porte de arma. isto é. Se aparecer algum erro. Passo 2: Todas as premissas são verdadeiras. . 1) Suponha que P represente a proposição Hoje choveu. se fechar o argumento. Com base nessas informações e no texto. É vedado a reprodução total ou parcial. mento utilizaremos a tabela verdade e a simbolização de expressões. fechamos o argumento sem pro- Em outras palavras. Toda conclusão. C: E = F tre válido e verdadeiro. ser considerada falsa. Veja que deu certo. às vezes identificar quando o C: E = F (começa pela conclusão. Passo 4: Fecha o argumento com V (verdadeiro) e P3: Se Fred é engenheiro. Se a conclusão é verdadeira. o argumento é válido. conteúdo. Passo 4: Fecha o argumento com V Resolução de Questões de Argumentos . argumento. Questões Gabaritadas tuda. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valora- Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA .Lógica Proposicional Passo 1: simbolização Comentário: Não há relação en- P1: E→A tre inválido e falso. se for impossível fe- classificando-os como válidos ou inválidos. devemos ir substituindo cálculos estruturais. conclusão =F Errado!! P1: = E→A = V P2: A = V Comentário: Não há relação en. Exemplo: Premissa 1: Se Carla es. das pre- missas e do número de premissas. toda e qualquer premissa deverá blemas. P2: A C: E 4. Exemplo: P1: Se Fred é policial. Nessa aula resolveremos questões de argumentos. Passos 2 e 3: premissas = V. nossa análise é de que o argumento 97 ser considerada verdadeira. então ele faz F (falso). gue os itens seguintes. Técnica de Análise de Argumentos P1: = E→A= V P2: A = V Embora pareça fácil. E = F) argumento é válido. então ela consegue ser aprovada no inglês. de análise.CPF: 06342387958. e com isso. então ele é policial. Q represente a proposição José foi à praia Premissa 2: Carla foi aprovada no in- e R represente a proposição Maria foi ao comér- glês. independente do conteúdo deverá então ele tem porte de arma. C: E = F bolizadas. ( ) certo ( ) errado 3) As tabelas de valorações das proposições e são iguais. que podem ou não estar de acordo com o artigo 5. a partir da Constituição Federal. então a sentença representada por é falsa. é correto afirmar que a proposição ( A) ( C) tem valor lógico F. ( ) certo ( ) errado 2) Considere as proposições simples e compos- tas apresentadas abaixo. De acordo com a notação apresentada acima. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer cri- me político em território brasileiro será extradi- tado. . É vedado a reprodução total ou parcial. julgue o item a seguir. MATEMÁTICA da como V. ( ) certo ( ) errado Gabarito 1-Errado 2-Errado 3-Errado 4-Errado 5-Errado Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA . B e C.º da Constituição Federal. ( ) certo ( ) errado 4) As proposições e possuem tabelas de 98 valorações iguais. B e C.CPF: 06342387958. ( ) certo ( ) errado 5) Caso sejam verdadeiras as proposições P e Q. denotadas por A. a proposição (~P Q) (~Q P) será verdadeira.