EDWARD GARCIAROSALES CICLO 2012-II Módulo:I Unidad:05 Semana:03 FISICA II DINAMICA DE LOS FLUIDOS Fluidos Hidrodinámica Muchas de las características del movimiento de los fluidos se comprenden examinando el comportamiento de un fluido ideal, el cual satisface las condiciones siguientes: • El fluido es no viscoso: no hay fuerzas de fricción internas entre capas adyacentes. • El fluido es incompresible: significa que su densidad es constante. • El movimiento del fluido es estable: la velocidad, la densidad y la presión en cada punto del fluido no cambian en el tiempo. • El fluido se mueve sin turbulencia: esto implica que cada elemento del fluido tiene una velocidad angular de cero en torno a su centro. Esto es, no puede haber corrientes de remolino presentes en el fluido en movimiento. Fluidos Hidrodinámica La figura representa un fluido que fluye en el interior de un tubo de tamaño no uniforme, en un flujo estable. En un intervalo de tiempo pequeño At, el fluido que entra por el extremo inferior del tubo recorre una distancia AX 1 = v 1 At donde v 1 es la rapidez del fluido en ese punto. Si A 1 es el área de la sección transversal en esa región, entonces la masa contenida en la región interior más oscura es, AM 1 = µA 1 AX 1 = µA 1 v 1 At Donde µ es la densidad del fluido. Fluidos Hidrodinámica PUCV, Facultad de Ciencias, Instituto de Física, Pedagogía en Física Análogamente, el fluido que sale del extremo superior del tubo en el mismo intervalo At, tiene una masa AM 2 = µA 2 v 2 At Dado que la masa se conserva y el flujo es estable, la masa que entra por el fondo del tubo a través de A1 en el tiempo At debe ser igual a la masa que sale a través de A2 en el mismo intervalo. AM 1 = AM 2 µA 1 v 1 At = µA 2 v 2 At A 1 v 1 = A 2 v 2 Fluidos Hidrodinámica PUCV, Facultad de Ciencias, Instituto de Física, Pedagogía en Física A 1 v 1 = A 2 v 2 Se conoce como la ecuación de continuidad. La condición Av = constante, equivale al hecho de que la cantidad de fluido que entra por un extremo del tubo en un intervalo de tiempo dado es igual a la cantidad de fluido que sale del tubo en el mismo intervalo, suponiendo que no hay fugas. Marco Teórico “El caudal de un río es la cantidad de agua que pasa por un punto determinado en un tiempo concreto. Este dato se toma en las estaciones de desplazamiento, y se expresa en litros/s o en metros cúbicos por segundo (l/seg o m³/seg) ”. El caudal D1, m D2, m v2 v1 Ecuación de Continuidad A1 A2 A1V1=A2V2= CAUDAL ECUACION DE CONTINUIDAD La trayectoria que toma una partícula de fluido bajo flujo estable se llama línea de corriente, la velocidad de la partícula siempre es tangente a la línea corriente como muestra la figura: Para demostrar consideramos un fluido ideal através de una tubería de tamaño como se ve en la figura: Como se trata del mismo fluido la densidad es la misma: Ecuación de continuidad Fluidos Hidrodinámica O sea 2 1 Constante 2 P v gy µ µ + + = La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial por unidad de volumen, tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente. Fluidos Hidrodinámica Un dispositivo que utiliza la ecuación de Bernoulli para medir la rapidez de flujo de los fluidos, es el llamado “tubo de Venturi” mostrado en la figura. Comparemos la presión en el punto 1 con la presión en el punto 2. Puesto que el tubo es horizontal y 1 = y 2 La ecuación de Bernoulli nos dará 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 P v P v µ µ + = + Dado que el agua no retrocede en el tubo, su rapidez en el estrechamiento, v 2 , debe ser mayor que v 1 . Como v 2 >v 1 significa que P 2 debe ser menor que P 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 P v P v µ µ + = + ECUACION DE BERNOULLI En la figura consideramos las fuerzas que ejerce el fluido sobre el extremo tiene una magnitud P 1 A 1 el trabajo invertido por esta fuerza sobre el segmento en un intervalo de tiempo es: Mientras que en el punto 2 el trabajo es: Entonces el trabajo neto invertido es: ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación de Bernoulli muestra que la presión de un fluido disminuye conforme la rapidez del fluido aumenta. Además la presión disminuye conforme aumenta la elevación. cte Z g v w p = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Z g v w p Z g v w p + + = + + u u ma Fx = E ) / ( ) ( dt dv g wdAdx wdAdxsen dA dp p pdA = ÷ + ÷ u ) / ( ) ( dt dx g wdv wdxsen dp = ÷ ÷ u 0 / ) ( = ÷ ÷ ÷ g vdv dxsen w dp u dZ LEY DE BERNOULLI 0 = ÷ ÷ ÷ g vdv dZ w dp 0 = + + dZ g vdv w dp cte Z g v w p = + + 2 2 Sen =dz/dx u PROBLEMA Nº 1: Un tanque cerrado lleno de agua tiene una presión manométrica de 0,8 kg/cm 2 , 2m por debajo de la tapa del tanque. Si se hace un agujero en la tapa del tanque, sale un chorro verticalmente hacia arriba. ¿Qué altura alcanzará por encima de la tapa del tanque? P 1 = 0.80 kg/cm 2 = 8000 kg/m 2 Solución: Aplicando la ecuación de Bernoullí en los puntos 1 y 2, tomando como plano de referencia el plano horizontal que pasa por 1. P1 = 8000 kg/m2 v1 = 0 z1 = 0 P2 = 0 (presión manométrica) v2 = 0 z2= h + 2 Reemplazando valores obtenemos: h = 8 – 2 = 6 m A1 * v1 = A2 * v2 13.5*v1 = 40.5*5.4 v1=16.2 m/s Q = A1 * V1 Q = 0,00135 m2 * 16,2 m /seg. Q = 0,0218 m3 /seg. • 4) Un tubo horizontal de sección 40,5 cm2 se estrecha hasta 13,5 cm2. Si por la parte ancha pasa el agua con una velocidad de 5,4 m /seg. Cual es la velocidad en la parte angosta y el caudal? A1 A2 Prob.¿ Cuál es la presión a 1 m y a 10 m de profundidad desde la superficie del mar?. densidad = 1,03 X 10 3 Kg/m3 como densidad del agua de mar y que la presión atmosférica en la superficie del mar es de 1,01 X 10 5 Pa. Además que a este nivel de precisión la densidad no varía con la profundidad. Solución: En función de la profundidad la presión es: P = P 0 + d g h por tanto: P = 1,01x10 5 Pa + (1,03x10 3 Kg/m 3 )(9,81 m/s 2 )( h) si h = 1 m : P = 1,11 x 10 5 Pa. si h = 10 m : P = 2,02 x 10 5 Pa Prob. La presión atmosférica es 0.95x10 5 N/m2 ¡ Cual será la altura de la columna de mercurio en un tubo barométrico cuyo diámetro interior es de 2 mm? Angulo de contacto 140°, Tensión superficial del mercurio es 0.465 N/m densidad del mercurio es 13600 kg/m3. . g r Cos g P h µ ¸ µ ° ÷ = 40 2 0 = ° ÷ = 2 3 2 3 2 5 / 8 . 9 . / 13600 . 001 . 0 40 . 2 . N/m 0.465 / 8 . 9 . / 13600 / 10 95 . 0 s m m kg m Cos s m m kg m N x h 0 40 2 0 40 2 2 2 0 2 0 = ÷ ° ÷ = ÷ ° ÷ hg r rCos r P W rCos r P µt t ¸ t t ¸ t 0 = ¿Fy g r Cos g P h µ ¸ µ ° ÷ = 40 2 0 cm h 7 . 70 = ) 35 . 0 .( ) 75 . 0 .( 2 Hg O H B s w Z w P p + + + = 3 / 13600 m Kgf w Hg = B A R S mercurio agua Diámetro A 30 cm VENTURIMETRO 35cm Z 75 cm Diámetro B 15 cm En el Venturimetro calcular el caudal que pasa por el punto A w PB g VB ZB w PA g VA ZA + + = + + 2 2 2 2 ) (Q caudal V A V A B B A A = = ) 35 . 0 .( 2 Z w P p O H A R + + = 3 2 / 1000 m Kgf w O H = ) 35 . 0 .( ) 75 . 0 .( 2 Hg O H B S w Z w P p + + + = 3 / 13600 m Kgf w Hg = EL TUBO DE VENTURI Se utiliza para medir la velocidad de un fluido incompresible. Consiste en un tubo con un estrechamiento, de modo que las secciones antes y después del estrechamiento son A1 y A2, con A1 > A2. En cada parte del tubo hay un manómetro, de modo que se pueden medir las presiones respectivas p1 y p2. Para ello aplicamos la ecuación de Bernoulli y consideramos que: De la ecuación de continuidad LEY DE TORRICELLI Consideramos: Entonces: Pero la presión en los puntos 1 y 2 son iguales por lo que entonces: Po+1/2dv 1 2 = P +dg(y 2 -Y 1 ) 1/2dv 1 2 =( P-Po) +dgh dv 1 2 =2( P-Po) +2dgh v 1 2 =2( P-Po)/d +2gh Considerando la Ley de Torricelli A2 bastante mayor que A1 calcular la velocidad en 1. P=3x10 5 Pa, P0=1.01x10 5 Pa, densidad del agua 1 gr/cm3, Y 2 = 8m, Y 1 = 3m 2 / 1 5 ) 5 )( 8 . 9 ( 2 1000 10 ). 01 . 1 3 ( 2 1 ( ¸ ( ¸ + ÷ = v s m v / 27 . 22 1= VISCOSIDAD La viscosidad vendría a ser algo así como el grado de " pegajosidad " que tiene un líquido. Hablando un poco más claro te diría que la viscosidad es el rozamiento que tienen los líquidos. El rozamiento en el movimiento de los fluidos se cuantifica a través del concepto de viscosidad, , que se define como: El coeficiente de viscosidad tiene unidades de N s/m 2 . LEY DE POISEUILLE Permite determinar el flujo laminar estacionario caudal de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. El caudal total que circula por un cilindro de radio R y longitud L sometido a una diferencia de presiones P1 − P2 es: GRACIAS