Capa1 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS. 1.1. Números naturais e números inteiros: indução finita, divisibilidade, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, decomposição em fatores primos. 1.2. Números racionais e noção elementar de números reais: operações e propriedades, ordem, valor absoluto, desigualdades. 1.3. Números complexos: representação e operações nas formas algébrica e trigonométrica, raízes da unidade. 1.4. Sequências: noção de sequência, progressões aritmética e geométrica, noção de limite de uma sequência, soma da série geométrica, representação decimal de um número real. 1.5. Grandezas direta e inversamente proporcionais. 1.6. Porcentagem; juros simples e compostos ......................................................................... 1 2. POLINÔMIOS. 2.1. Polinômios: conceito, grau e propriedades fundamentais. 2.2. Operações com polinômios, divisão de um polimônio por um binômio da forma x-a, divisão de um polinômio por outro polinômio de grau menor ou igual ..................................................... 75 3. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. 3.1. Equações algébricas: definição, conceito de raiz, multiplicidade de raízes, enunciado do Teorema Fundamental da Álgebra. 3.2. Relações entre coeficientes e raízes. Pesquisa de raízes múltiplas. Raízes: racionais, reais e complexas............................................................................................................................. 84 4. ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE. 4.1. Princípio fundamental de contagem. 4.2. Arranjos, permutações e combinações simples. 4.3. Binômio de Newton. 4.4. Eventos. Conjunto universo. Conceituação de probabilidade. 4.5. Eventos mutuamente exclusivos. Probabilidade da união e da intersecção de dois ou mais eventos. 4.6. Probabilidade condicional. Eventos independentes ......................................................... 88 5. NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA 5.1. Representação gráfica (barras, segmentos, setores, histogramas). 5.2. Medidas de tendência central (média, mediana e moda) ............................................... 103 6. MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES. 6.1. Matrizes: operações, matriz inversa. 6.2. Sistemas lineares. Matriz associada a um sistema. Resolução e discussão de um sistema linear. 6.3. Determinante de uma matriz quadrada: propriedades e aplicações, regras de Cramer ... 129 2 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO 7. GEOMETRIA ANALÍTICA. 7.1. Coordenadas cartesianas na reta e no plano. Distância entre dois pontos. 7.2. Equação da reta: formas reduzida, geral e segmentária; coeficiente angular. Intersecção de retas, retas paralelas e perpendiculares. Feixe de retas. Distância de um ponto a uma reta. Área de um triângulo. 7.3. Equação da circunferência; tangentes a uma circunferência; intersecção de uma reta a uma circunferência. 7.4. Elipse, hipérbole e parábola: equações reduzidas ........................................................ 177 8. FUNÇÕES. 8.1. Gráficos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras; função composta; função inversa. 8.2. Função e função quadrática. 8.3. Função exponencial e função logarítmica. Teoria dos logaritmos; uso de logaritmos em cálculos. 8.4. Equações e inequações: lineares, quadráticas, exponenciais e logarítmicas ................. 216 9. TRIGONOMETRIA. 9.1. Arcos e ângulos: medidas, relações entre arcos. 9.2. Razões trigonométricas: Cálculo dos valores em /6, /4 e /3. 9.3. Resolução de triângulos retângulos. 9.4. Resolução de triângulos quaisquer: lei dos senos e lei dos cossenos. 9.5. Funções trigonométricas: periodicidade, gráficos, simetrias. 9.6. Fórmulas de adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos. Transformações de somas de funções trigonométricas em produtos. 9.7. Equações e inequações trigonométricas ...................................................................... 283 10. GEOMETRIA PLANA. 10.1. Figuras geométricas simples: reta, semirreta, segmento, ângulo plano, polígonos planos, circunferência e círculo. 10.2. Congruência de figuras planas. 10.3. Semelhança de triângulos. 10.4. Relações métricas nos triângulos, polígonos regulares e círculos. 10.5. Áreas de polígonos, círculos, coroa e sector circular ................................................... 313 11. GEOMETRIA ESPACIAL. 11.1. Retas e planos no espaço. Paralelismo e perpendicularismo. 11.2. Ângulos diedros e ângulos poliédricos. Poliedros: poliedros regulares. 11.3. Prismas, pirâmides e respectivos troncos. Cálculo de áreas e volumes. 11.4. Cilindro, cone e esfera: cálculo de áreas e volumes. ................................................... 344 Candidatos ao Concurso Público, O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail
[email protected] para dúvidas relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom desempenho na prova. As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar em contato, informe: - Apostila (concurso e cargo); - Disciplina (matéria);- Número da página onde se encontra a dúvida; e - Qual a dúvida.Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. Bons estudos! 3 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS. 1.1. Números naturais e números inteiros: indução finita, divisibilidade, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, decomposição em fatores primos. 1.2. Números racionais e noção elementar de números reais: operações e propriedades, ordem, valor absoluto, desigualdades. 1.3. Números complexos: representação e operações nas formas algébrica e trigonométrica, raízes da unidade. 1.4. Sequências: noção de sequência, progressões aritmética e geométrica, noção de limite de uma sequência, soma da série geométrica, representação decimal de um número real. 1.5. Grandezas direta e inversamente proporcionais. 1.6. Porcentagem; juros simples e compostos. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números. Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} Subconjuntos notáveis em N: 1 – Números Naturais não nulos 2 – Números Naturais pares N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 3 - Números Naturais ímpares Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 4 - Números primos P={2,3,5,7,11,13...} A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um número natural. a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 3 é 4. 1 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 7 e 8 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos. - Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 7, 8 e 9 são consecutivos. c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Operações com Números Naturais Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. - Adição de Números Naturais A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. -Subtração de Números Naturais É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b tal que a≥ 𝑏. Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. - Multiplicação de Números Naturais É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. 2 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO - 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” (vezes) utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação). - Divisão de Números Naturais Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. Relações essenciais numa divisão de números naturais: - Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5 - Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7 - A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais Para todo a, b e c ∈ 𝑁 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b + a 3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua como resultado um número natural. Questões 01. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloc a-se crédito e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e os pagamentos na seguinte tabela: 3 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO No final do mês, Enzo observou que tinha (A) crédito de R$ 7,00. (B) débito de R$ 7,00. (C) crédito de R$ 5,00. (D) débito de R$ 5,00. (E) empatado suas despesas e seus créditos. 02. (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS - PREF. IMARUI/2014) José, funcionário público, recebe salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? (A) R$ 1800,00 (B) R$ 1765,00 (C) R$ 1675,00 (D) R$ 1665,00 03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: (A) 2 (B) 5 (C) 25 (D) 50 (E) 100 04. (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar uma geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: (A) R$ 150,00. (B) R$ 175,00. (C) R$ 200,00. (D) R$ 225,00. 05. PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Ontem, eu tinha 345 bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e perdi 67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, depois de participar do campeonato? (A) 368 (B) 270 (C) 365 (D) 290 (E) 376 06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: João Maria Nulos 1ª Zona Eleitoral 1750 850 150 2ª Zona Eleitoral 2245 2320 217 4 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Resposta: B.Brancos Abstenções 18 183 25 175 (A) 3995 (B) 7165 (C) 7532 (D) 7575 (E) 7933 07. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Durante um mutirão para promover a limpeza de uma cidade. e. depois. dobrado será igual a (A) 24. (PREF.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco regiões de tal cidade. 10. os cinco primeiros saíram perfeitos e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote. após imprimir 5 calendários perfeitos (P). e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa. (C) 20. (E) 16. (D) 27. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Joana pretende dividir um determinado número de bombons entre seus 3 filhos. (B) 3 828. (E) 4 256. Sendo assim. (B) 25. Respostas 01. (E) 28 09. Esse mesmo determinado número somado a 1 e. (B) 22. Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 5 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . é correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi (A) 3 642. a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito. quantos bombons ao todo Joana possui? (A) 24. (D) 4 167. cada região contou com um número de voluntários igual a: (A) 2500 (B) 3200 (C) 1500 (D) 3000 (E) 2000 08. ao se imprimir um lote com 5 000 calendários. Considerando que. o próximo sai com defeito (D). os 15. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP/2014) Em uma gráfica. (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP/2012) O sucessor do dobro de determinado número é 23. (C) 26. conforme mostra o esquema. (C) 4 093. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29. (D) 18. 6 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Se o sucessor é 23. 5 = 4165 calendários perfeitos. 345 – 67 = 278 Depois ganhou 90 278 + 90 = 368 06. (10𝑑) = . Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 07. mais 2 calendários perfeitos que restaram na conta de divisão. Resposta: E. Resposta: D.00. 08.765. o dobro do número é 22. são 4167 calendários perfeitos. 3 = 27 e que.Q + R D = d. Resposta: B. Isto significa que saíram 833. (11 + 1)2 = 24 10. Assim. 03. Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 5000 / 6 = 833 + resto 2. Resposta: E.00. Resposta: B.120 – 127 = . 𝑄 → 5. Resposta: A. Resposta: E. D= dividendo d= divisor Q = quociente = 10 R= resto = 0 (divisão exata) Equacionando: D = d. 15000 = 3000 5 Cada região terá 3000 voluntários. Sabemos que 9. 2 → 𝑄 = 50. 02.00 05. portanto o número é 11.2 → 𝑄 = 100 𝑑 04. Resposta: D. 2100 = 175 12 Cada prestação será de R$175.10 + 0 D = 10d Pela nova divisão temos: 𝑑 𝑑 5𝐷 = . Resposta: A. 2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 O salário líquido de José é R$ 1.7 Ele tem um débito de R$ 7. isolando Q temos: 2 𝑄= 50𝑑 𝑑 2 2 → 𝑄 = 50𝑑. 𝑄 . 09. para sobrar 1. devemos fazer 27 + 1 = 28. .} .. 4.... 2..O conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1.O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {. o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Exemplo: O oposto do número 3 é -3. -2..CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0. pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 No geral.. Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero.}... -1} Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero. diferente de zero. -2. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). de a é – a. 0} . é sempre positivo. -4.. na reta numérica inteira. 4.. e vice-versa. 4. O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: . e o oposto de -3 é 3. -3.. 2. 1.. Representa-se o módulo por | |.. 2.. 3.. 1. -3. particularmente o oposto de zero é o próprio zero.}. -4. -5. -5. n. 2. 4... ou simétrico.O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {. 3. 7 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . -3..O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {. -1. dizemos que o oposto... -4.. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro. -1. 3. 1. -2.O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0.. assim. Z* = Z – {0} .} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z + = N . 3.. os pontos que os representam distam igualmente da origem. Na terça-feira. entre outros..Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.. . Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação. precedidos de sinal negativo. chaves. verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). é dado o seu oposto. Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando: . a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. era de +6 graus. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado. .Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra.Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade. a temperatura de Monte Sião. . durante o dia. colchetes. ou seja. A subtração é a operação inversa da adição. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades. Fique Atento: todos parênteses. mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2. tem o seu sinal invertido. Considere as seguintes situações: 1. Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. números. associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. a temperatura baixou de 3 graus. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 8 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Na segunda-feira. . À Noite. diferente de zero. significa ganhar 30 objetos e está repetição pode ser indicada por um x..an = a x a x a x a x . Exemplo: 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 Potenciação de Números Inteiros A potência an do número inteiro a.Não existe divisão por zero. a divisão não é comutativa.Zero dividido por qualquer número inteiro. pois o resultado não é um número inteiro. isto é: 1 + 1 + 1 . a . é definida como um produto de n fatores iguais. a é multiplicado por a n vezes 9 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . x a . Na multiplicação o produto dos números a e b. não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. . obteremos: 2 + 2 + 2 + . pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. obteremos: (–2) + (–2) + . q = (–20) q = (–4) Logo: (–20) : (+5) = +4 Considerando os exemplos dados. diferente de zero. é zero.. ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas. dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.. Veja o cálculo: (–20) : (+5) = q (+5) . como por exemplo. para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro.. b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.No conjunto Z.Divisão exata de números inteiros.quantidade. Exemplo: (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z. Divisão de Números Inteiros . . + (–2) = 30 x (-2) = –60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.... .. + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2. pode ser indicado por a x b. concluímos que. Exemplo: (+3)2 = (+3) . Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–5) = –125 . O certo é: 9 = +3 10 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. (–8) = +64 .Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. (+3) = +9 . [(-8)5]2 = (-8)5 .Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo.Propriedades da Potenciação: 1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. mas isto está errado. A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. (–7)3 . Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: 9 = ±3. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). (13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1.Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 . 2 = (-8)10 4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 Radiciação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. (–5) . e pagando a compra em dinheiro. z x z–1 = z x (1/z) = 1 11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural. Com base nessa definição.00 Na aquisição dos produtos. conforme as condições mencionadas. existe um inverso z –1=1/z em Z. tal que. 3 27 = 3. (b. concluímos que: (1) Se o índice da raiz for par. (E) 20. pois 3³ = 27. (d) 3 27 = –3. (c) Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros. 8 = –2.00 (B) R$ 74. Questões 01. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Uma operação λ é definida por: wλ = 1 − 6w. 02.(b +c ) = ab + ac 9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a . b e c ∈ 𝑍 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b +a 3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a 4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 5) Associativa da multiplicação: (a.00 Micro-ondas: R$ 429. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros Para todo a. continua como resultado um número natural. pois (–2)³ = -8.1 = a 8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a. para todo inteiro w. (C) −12. é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.b). o troco recebido será de: (A) R$ 84. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a.a 7) Elemento neutro da multiplicação: a.c) 6) Comutativa da multiplicação : a.Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.00 11 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . não existe raiz de número inteiro negativo.200.00 DVD: R$ 399.213.(b –c) = ab –ac 10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero.00 e deseja gastar a maior quantidade possível. (2) Se o índice da raiz for ímpar. sem ficar devendo na loja. Verificou o preço de alguns produtos: TV: R$ 562. pois 2³ = 8. Exemplos: (a) 3 (b) 3 8 = 2. (D) 15.b = b. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Ruth tem somente R$ 2.c = a. (B) −15. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. é correto afirmar que a soma 2 λ + (1λ) λ é igual a (A) −20. pois (–3)³ = -27.00 Geladeira: R$ 1. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que .72 (B) .Coronel Fabriciano/MG) Quantos são os valores inteiros e positivos de 𝑥+15 x para os quais é um número inteiro? 𝑥+5 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 06. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num vôo entre Curitiba e Belém. (Operador de máq.00 (D) R$ 26. (C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. em ºC será de : (A) 10 12 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .8. a diferença de temperatura entre o dia e noite. Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados: Ao término dessas quatro partidas. com duas escalas./Pref.00 03. Os números indicam a quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos. (D) Carla e Mateus empataram. (Pref.FCC/2012) Em um jogo de tabuleiro.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. (B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. o resultado encontrado será (A) .00 (E) R$ 16.POLÍCIA MILITAR/MG .56 (D) . a quantidade dos que desceram em cada cidade. (A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos.(C) R$ 36. (SEPLAG . Curitiba +240 Rio de Janeiro -194 +158 -108 +94 Brasília O número de passageiros que chegou a Belém foi: (A) 362 (B) 280 (C) 240 (D) 190 (E) 135 07.ASSISTENTE ADMINISTRATIVO . Supondo que durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC.63 (C) . uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. 05.49 (E) – 42 04. é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento. (Pref. e que os livros restantes possuem espessura de 3cm. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Um menino estava parado no oitavo degrau de uma escada. Resposta: D.7. Logo em seguida.00 por mês.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa R$ 420. O menino subiu mais 13 degraus. Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204. Resposta: E. Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 13 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . o número de livros na pilha é: (A) 10 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 22 10. o número de meses que ele levará para adquirir a televisão será: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 09. Troco:2200 – 2174 = 26 reais 03. Pela definição: Fazendo w = 2 2𝜆 = 1 − 6 ∙ 2 = −11 1𝜆 = 1 − 6 ∙ 1 = −5 𝜆 (1𝜆 ) = 1 − 6 ∙ (−5) = 31 𝜆 2𝜆 + (1𝜆 ) = −11 + 31 = 20 02. Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm. obtendo uma única pilha 52cm de altura.8 é o . Maior inteiro menor que 8 é o 7 Menor inteiro maior que . extrapola o orçamento Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros.(B) 35 (C) 45 (D) 50 (E) 55 08. Portanto: 7(-7) = . desceu 15 degraus e parou novamente.00. (Pref.49 04. contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A quantos degraus do topo da escada ele parou? (A) 8 (B) 10 (C) 11 (D) 15 (E) 19 Respostas 01. A escada tinha 25 degraus. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35. Resposta: D. Resposta: C. tal que c . Ao contar os degraus. por exemplo. 10. devemos descontar um deles.. 2. dois números 06. Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 0. Fazendo substituição dos valores de x.. Resposta: C. 6.}. porque 5 x 6 = 30. 14. Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7. Resposta: D.” Um número natural a é divisível por um número natural b. pois é o que se encontra parado. 7. 420 : 35 = 12 meses 09. 240 . Podemos dizer então que: “30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30. 6 20 10 7 = 2 . b = a. Resposta: D. São 8 livros de 2 cm: 8.. 5.2 = 16 cm Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm. temos: 52 . multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos naturais: 7x0=0 7x1=7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 5 = 35 ⋮ O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0. logo os únicos números que satisfazem a condição é x = 0 e x = 5 ..Mateus: .280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 05. = 3 x=1 = 𝑛ã𝑜 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 ∴ 𝑥 = 2 = 𝑛ã𝑜 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 5 𝑥=5 apenas. não-nulo. Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5. Resposta: D. se existir um número natural c.. Resposta: E. 45 – (-10) = 55 08. e 6 é divisor de 30. 4.108 + 94 = 190 07.16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 36 : 3 = 12 livros de 3 cm O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 1. Resposta: E. 3. 21.194 + 158 .. dentro dos conjuntos do inteiros positivos temos: 15 16 17 x=0 . 14 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 28. (8 – 1) + 13 = 7 +13 = 20 (20 – 1) – 13 = 19 – 13 = 6 25 – 6 = 19 MÚLTIPLOS E DIVISORES Sabemos que 30 : 6 = 5. temos que: 30 é múltiplo de 6. pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). pois termina em 1.Observações: .Todo número natural. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. e não é par. e a fórmula geral desses números é 2 k (k N). c) 6324 não é divisível por 5. e 15 não é divisível por 4. b) 15443 não é divisível por 3. . Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos: a) 65385 é divisível por 3.Todo número natural é múltiplo de 1. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. sem efetuarmos a divisão. o processo será repetido a fim de diminuir a quantidade de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7.Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares. . pois termina em 4. pois termina em 0. e é par. Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. 15 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . b) 7235 é divisível por 5. b) 80530 não é divisível por 6. O mesmo se aplica para os números inteiros. pois termina em 6. diferente de zero. Exemplos: a) 9656 é divisível por 2. pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27. quando ele é par. separadamente.O zero é múltiplo de qualquer número natural. e 17 não é divisível por 3. tendo k Z. subtraído do número sem o algarismo. . Os demais são chamados de números ímpares. tem infinitos múltiplos. Neste. Exemplos: a) 536400 é divisível por 4. resulta em um número múltiplo de 7. ou seja. pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). pois termina em 24. 6 ou 8. 2. c) 76315 não é divisível por 4. pois termina em 15. Exemplos: a) 430254 é divisível por 6. pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17. b) 4321 não é divisível por 2. pois termina em 00. e 24 é divisível por 4. Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0. . e 27 é divisível por 3. Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o último algarismo do número. 4. b) 653524 é divisível por 4. pois termina em 5. Exemplos: a) 35040 é divisível por 5. c) 531561 não é divisível por 6. pois não é divisível por 2. multiplicado por 2. Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro.Todo número natural é múltiplo de si mesmo. e a fórmula geral desses números é 2 k + 1 (k N). 4174 = 413 3. Logo 43813 é divisível por 11. -83415721: b) 1º 3º 5º 7º (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19) 8 3 4 1 5 7 2 1 2º 4º 6º 8º (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12) 19 – 12 = 7 diferença que não é divisível por 11.4190-18=4172 2.2=6 . 41-6=35 . pois seus três últimos algarismos formam o número 24. Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11.) 4 3 8 1 3 2º 4º Algarismos de posição par. que é divisível por 8. 35 é multiplo de 7 = 5. Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8.(Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 15 – 4 = 11 diferença divisível por 11. pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22). Exemplos: a) 78324 é divisível por 12. c) 863104 não é divisível por 12. b) 246321 não é divisível por 10. pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). Logo 83415721 não é divisível por 11. b) 652011 não é divisível por 12. separadamente. pois não termina em zero. pois termina em zero. pois seus três últimos algarismos formam o número 125. separadamente. Exemplos: . Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15. c) 34125 não é divisível por 8.43813: a) 1º 3º 5º Algarismos de posição ímpar.2=4 . pois não é divisível por 4 (termina em 11). Exemplos: a) 6253461 é divisível por 9. pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9. Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: a) 563040 é divisível por 10. Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número divisível por 9. 16 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . b) 325103 não é divisível por 9. b) 67024 é divisível por 8.2=18 . Exemplos: a) 57000 é divisível por 8. que não é divisível por 8.Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9. pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando seu algarismo da unidade termina em zero. pois seus três últimos algarismos são 000. dividimos o mesmo pelo seu menor divisor primo. Para decompormos um número natural em fatores primos. 31=2. e assim sucessivamente até obtermos o quociente 1. b) 723042 não é divisível por 15. c) 673225 não é divisível por 15.21 e 22 .12} A soma dos divisores é dada por : 1+2+3+4+6+12 = 28 Obs. 31 = 30 e 31.6. pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).Exemplos: a) 650430 é divisível por 15.3. (Fuvest-SP) O número de divisores positivos do número 40 é: (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 17 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Logo o número de divisores de 12 são: 22 . pois não é divisível por 5 (termina em 2). 31 O número de divisores naturais é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de 1. 30=1 20 . Questões 01.3=12 22 . 31 22 = 20. um negativo e o outro positivo).2. 31=4. teremos: 20 . Fatoração numérica Essa fatoração se dá através da decomposição em fatores primos.4. O produto de todos os fatores primos representa o número fatorado. basta multiplicarmos o resultado por 2 ( dois divisores.: para sabermos o conjunto dos divisores inteiros de 12.3=6 22 . pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). Exemplo: Divisores de um número natural Vamos pegar como exemplo o número 12 na sua forma fatorada: 12 = 22 . 31=3 21 . Exemplo: 12 = 22 . após pegamos o quociente e dividimos o pelo seu menor divisor. 30=4 O conjunto de divisores de 12 são: D(12)={1.(1+1) = 3. 30=2 21 .2 = 12 divisores inteiros. Assim teremos que D(12) = 6.2 = 6 divisores naturais (2+1) (1+1) Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos cada fator da decomposição e seu respectivo expoente natural que varia de zero até o expoente com o qual o fator se apresenta na decomposição do número natural. ⏟ ⏟ 31 (2+1). composto por 3 algarismos distintos e pertencentes ao conjunto A={3. (Pref. (Professor/Pref.que tornam tal número divisível por 18. (Pedagogia/DEPEN) Considere um número divisível por 6. 10n + 1 III) 10n+3 – 10n Quais são divisíveis por 6? (A) apenas II (B) apenas III (C) apenas I e III (D) apenas II e III (E) I.A quantidade de números que podem ser formados sob tais condições é: (A) 6 (B) 7 (C) 9 (D) 8 (E) 10 04. x representa um algarismo de a.Y). e a quantidade de cartões é a maior possível. a soma dos valores possíveis para o algarismo x vale: (A) 2 (B) 5 (C) 8 (D) 12 (E) 15 05. O número de divisores positivos do mínimo múltiplo comum desses números é: (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 03. I) 10n + 2 II) 2 . sendo n um número natural positivo. O total de pares de valores (X. (BANCO DO BRASIL/CESGRANRIO/2014) Em uma caixa há cartões.4. (BRDE-RS) Considere os números abaixo. quantos cartões restarão na caixa? (A)12 (B)11 (C)3 (D)5 (E) 10 06.Itaboraí) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 4 e o produto dos mesmos 96.5.7}. Em cada um dos cartões está escrito um múltiplo de 4 compreendido entre 22 e 82. Se forem retirados dessa caixa todos os cartões nos quais está escrito um múltiplo de 6 menor que 60. II e III 18 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .(E) 20 02. ( METRÔ/SP 2012 .é (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 (E) 4 07.de Niterói) No número a=3x4.FCC .6. Não há dois cartões com o mesmo número escrito.ASSISTENTE ADMINISTRATIVO JÚNIOR) Seja o número inteiro 5X7Y.em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades respectivamente. Sabendo-se que a é divisível. por que um número que multiplicado por 9(para ser múltiplo) que seja próximo de 12 é . Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. temos que MDC(A.28.. Vamos decompor o número 40 em fatores primos. Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.2-12 x=18-12 x=6 y=2 . mantemos o raciocínio acima temos: k=2. somamos 1 a cada expoente e multiplicamos o resultado: (3+1).MMC(A. Temos que para 5X7Y ser divisível por 18 ele também divisível por 9 5+x+7+y = 9k x = 9k-(12+y). Resposta: A. logo temos 8 números. para determinarmos o número de divisores. x=9k-(12+4) x=9k-(16). logo precisa ser par.. Um número é divisível por 3 quando a sua soma for múltiplo de 3.6).64.756.2.32.(4.2=8. Logo os finais devem ser 4 e 6: 354.4). x=9k-(12+8) k=3..(2. e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3.4.B)=96/4 MMC(A.B)=24 . logo 2+5+8=15 05. x=18-18 x=0 e x=27-18 x=9 y=8 .6.2).456.B)=4 e o produto entre eles 96. Resposta: C.Respostas 01.68. fatorando o número 24 temos: 24 = 23 . x=27-20 x=7 Montando os pares temos: (6.(9.564. logo é por 6.48.60.76. k=2 x=18-16 x= 2 y=6 . x=9k-(12+2) x= 9k-14.(0. Resposta: E. Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente: 3+1 = 4 e 1+1= 2 . n ∈ N divisíveis por 6: I) É divisível por 2 e por 3. MMC(A.546. 02.B)=96 MMC(A. Resposta: D. então pegamos os resultados e multiplicamos 4.44.576. 04.3 .654. 40 = 23 . logo temos 8 divisores de 40. Sabemos que o produto de MDC pelo MMC é: MDC(A.8 Fazendo cada caso temos: y=0. pela regra. Retirando os múltiplos de 6 menores que 60 temos: 24.B)=A.56. Resposta: D.72. x = 9k-(12+0) x= 9k-12 k=2. (Verdadeira) 19 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .0).0). k=2 e o próximo múltiplo seria 27.B). x=9k-(12+6) x=9k-(18).2 = 8 03.78. e por isso deverá ser par também. então k=3 .36 e 48 (3 ao todo) Logo : 15-3 = 12 06.8) ao todo 6 pares. logo: 4 . x=18-14 x=4 y=4 . Vamos enumerar todos os múltiplos de 4: 24. 07.(1+1) = 4. onde k é natural Para ser divisível por 18 o algarismo da unidade tem que ser divisível por 2.36. Resposta: A. Resposta: C. Temos para y = 0.52.40.5 e 8. x=9.(7. os valores possíveis de x= 2. 3+x+4= . 51 .B.534. 36. agora. Exemplo: MMC O mínimo múltiplo comum(MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números dados. 48. logo não são por 2.. 40. Consideremos: . 2. Consideremos: . agora..O número 6 e os seus múltiplos positivos: M*+ (6) = {6. . 3. (Falsa) III) É Verdadeira..} Observando os múltiplos comuns.II) Os resultados são ímpares. . 4. 56. 24}. os divisores comuns a 18 e 24: D+ (18) ∩ D+ (24) = {1. Observando os divisores comuns. 42. 9. podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8. 30..24) = 6.Decompomos cada número dado em fatores primos. 32. 6.O número 8 e os seus múltiplos positivos: M*+ (8) = {8. 48. ou seja: MMC (6. 16. Podemos descrever. 2. 64.O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos. pela mesma razão que a I MDC O máximo divisor comum(MDC) de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de todos os números dados.. 8. 54.. 3.o número 18 e os seus divisores naturais: D+ (18) = {1. os múltiplos positivos comuns: M*+ (6) M*+ (8) = {24. ou seja: MDC (18. podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24. Outra técnica para o cálculo do MDC: Decomposição em fatores primos Para obtermos o MDC de dois ou mais números por esse processo. .o número 24 e os seus divisores naturais: D+ (24) = {1. 6. 18. 24. procedemos da seguinte maneira: . . 72. cada um deles elevado ao seu menor expoente. 18}.8) = 24 Outra técnica para o cálculo do MMC: 20 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 2. 12. . 48. 24.} Podemos descrever. 6}. 3. 12.} . 4 minutos. cada um deles elevado ao seu maior expoente. todos com a mesma quantidade de ovinhos. (D) 86. (E) 97. Na linha 2 desse mesmo sistema. colocando 8 ou 9 ou 12 ovinhos em cada pacotinho sempre sobrariam 3 ovinhos no pote. ao fazer pacotinhos. (C) 75.O MMC é o produto dos fatores comuns e não-comuns. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) O policiamento em uma praça da cidade é realizado por um grupo de policiais. . entre dois encontros desse grupo completo será: (A) 160 (B) 200 (C) 240 (D) 150 (E) 180 03. 21 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .MMC(A. troca informações sobre as ocorrências. percebeu que. (SAAE/SP – Técnico em Informática – VUNESP/2014) Uma pessoa comprou um pote com ovinhos de chocolate e. (B) 7 minutos e 12 segundos. Se dois trens partem.4 em 2. procedemos da seguinte maneira: . os trens partem 2. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC/2014) Na linha 1 de um sistema de Metrô.B Questões 01. (A) 10 minutos e 48 segundos. (B) 60. o próximo horário desse dia em que partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas.B)= A. simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas. Decomposição isolada em fatores primos Para obter o MMC de dois ou mais números por esse processo.8 em 1.B). 02. O tempo mínimo em minutos. Exemplo: O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo: MDC(A.Decompomos cada número dado em fatores primos. divididos da seguinte maneira: Toda vez que o grupo completo se encontra. os trens partem de 1. O menor número de ovinhos desse pote é (A) 38.8 minutos. sem deixar sobras. (C) 2017. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Marcelo é encarregado de dividir as entregas da empresa em que trabalha. Após essa distribuição. (E) 2015. no ano que vem. três entidades filantrópicas (sem fins lucrativos) A. (D) 7 minutos e 20 segundos. em galões menores. Sabendo-se que a entidade A realiza bazares a cada 4 meses (isto é. (E) junho. Sabendo-se que ela pagou as três contas juntas em março deste ano. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP/2014) Em janeiro de 2010. Carlos precisa distribuir esses líquidos. (B) março. Todos os automóveis a cada 6 meses. 10 ou 12 entregadores. Em um dos galões há 18 litros do produto A e no outro. 22 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP/2014) Dois produtos líquidos A e B estão armazenados em galões separados. no dia 19 de maio de 2014.(C) 6 minutos e 30 segundos. o número mínimo de meses para que todos eles sejam revisados juntos novamente é: (A) 48 (B) 32 (C) 24 (D) 16 (E) 12 08. Todos os caminhões a cada 8 meses. 05. (A) 48 (B) 60 (C) 80 (D) 120 (E) 180 06. (D) maio. Esses veículos são revisados periodicamente. À Fernanda coube pagar a conta de água a cada três meses. então a próxima vez que os bazares dessas três entidades irão coincidir no mesmo mês será no ano de (A) 2019. há 42 litros do produto B. ao mesmo tempo. realizaram bazares beneficentes para arrecadação de fundos para obras assistenciais. faz o bazar em janeiro. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) Fernanda divide as despesas de um apartamento com suas amigas. 8. 04. novamente. esses três pagamentos irão coincidir. o número total de galões menores será (A) 6. Assinale a alternativa que representa o menor número de entregas que deverão ser divididas por ele nesse turno. sem desperdiçá-los e sem misturá-los. (B) 2018. em (A) fevereiro. (D) 2016. B e C. No início do seu turno. com a seguinte frequência: Todas as motocicletas a cada 3 meses. dos automóveis e dos caminhões de sua empresa. 07. a entidade B realiza bazares a cada 5 meses e C. ele observou que todas as entregas do dia poderão ser divididas igualmente entre 4. a conta de luz a cada dois meses e o aluguel a cada quatro meses. (E) 6 minutos e 48 segundos. (C) abril. 6. Se todos os veículos foram revisados. a cada 6 meses. de forma que cada galão menor tenha a mesma quantidade e o maior volume possível de cada produto. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Osvaldo é responsável pela manutenção das motocicletas. o próximo em maio e assim sucessivamente). Resposta: B. Sabendo que não ocorreu nenhuma sobra de tecido e que o tecido todo custou R$ 31. Respostas 01. 72 + 3 = 75 ovinhos 02. (D) R$ 0. (D) 5 (E) 7.4 e 1. Sabe-se que às 9 h 10 min eles passaram juntos pelo ponto de partida pela primeira vez. (C) 10.40 m de largura para confeccionar lenços. (B) R$ 0. 12) = 72 Como sobram 3 ovinhos.60. assim acharemos os minutos 23 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (D) 12. Lucas demora 18 minutos para completar cada volta. então o preço de custo.Infraestrutura – VUNESP/2014) Uma pessoa comprou um pedaço de tecido de 3 m de comprimento por 1. desde o início do treinamento. (B) 3. Desse modo. 10.Resposta: C. enquanto Daniel completa cada volta em 15 minutos. 9. (C) R$ 0.24) e dividir por 10.20.(B) 8.Resposta: C. (E) 14. de cada lenço foi de (A) R$ 0. dois ciclistas partem simultaneamente de um mesmo ponto de uma pista. (8. Daniel já havia completado um número de voltas igual a (A) 2. (UNIFESP – Mestre em Edificações . (UNIFESP – Engenheiro Mecânico – VUNESP/2014) Iniciando seu treinamento.80) 𝑚𝑚𝑐(40.c. Devemos achar o mmc (40. (E) R$ 0. todos de mesmo tamanho e de maior lado possível.60. decide cortar esse tecido em pedaços quadrados.8 minutos. Para isso. Mantendo velocidades constantes. vamos achar o mmc(18.25. (C) 4.15.30.80) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240 03. em tecido. 09.10. m. Como os trens passam de 2.d.50. é correto afirmar que às 8 h 25 min. (140. (3.24)=72 Portanto. (3. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como 9h10 – 8h25 = 45 min.c. 6.m.30 (preço de 1 lenço) 10.50 / 105 = R$ 0. (18.Resposta: B. Resposta: C.c.Resposta: C. o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. 2010 + 5 = 2015 07. 6.Mmc(18. 6) = 60 meses 60 meses / 12 = 5 anos Portanto. Assim.d.c.m. 8) = 24 meses 08. sendo n que n deve ser diferente de zero. 5. m. equivale à metade do que Daniel percorreu. às 9h10. 18) = 90 min = 1h30 Portanto. 300) = 20 cm * Área de cada lenço: 20 . m. (4. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q m .m. 12) = 120 06. razão pela qual. 8.c. (15. 20 = 400 cm² * Área Total: 300 . pagará as três contas juntas novamente em MARÇO. Devemos fazer o m. (4.m. m. Resposta: A. 140 = 42000 cm² 42000 / 400 = 105 lenços 31.d.Resposta: D. Resposta: B. será 7. números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros. Como podemos observar. 4) = 12 meses Como ela pagou as três contas juntas em MARÇO.c. é comum encontrarmos na literatura a notação: Um número racional é o que pode ser escrito na forma 24 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 2.c. 42) = 6 Assim: * Produto A: 18 / 6 = 3 galões * Produto B: 42 / 6 = 7 galões Total = 3 + 7 = 10 galões 09. temos que: 6 / 2 = 3 voltas.c.Resposta: E. Daniel completou: 90 / 15 = 6 voltas. 05. m. m. 10.m. após 12 meses. m.2 minutos 1 minuto---60s 0. onde m e n são números inteiros.2--------x X=12 segundos Portanto se encontrarão depois de 7 minutos e 12 segundos 04. Q*+ = conjunto dos racionais positivos. Para escrevê-lo na forma decimal.Q*_ = conjunto dos racionais negativos.. infinitos algarismos (nem todos nulos)..75 4 153 = 3. . q basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. repetindose periodicamente.06 50 2º) O numeral decimal obtido possui.. . n diferente de zero} n No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: .. seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 9 10 57 5.04545. um número finito de algarismos.9 = 25 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 1 = 0. Representação Decimal das Frações Tomemos um número racional p .Q+ = conjunto dos racionais não negativos. após a vírgula.. 3 1 = 0.25 4 35 = 8.53030.. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui. Temos dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1.4 5 1 = 0. . tal que p não seja múltiplo de q.7 = 10 0. Decimais Exatos: 2 = 0. após a vírgula.333. .Q* = conjunto dos racionais não nulos. 22 167 = 2. 66 Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal.Q={ m : m e n em Z.Q _ = conjunto dos racionais não positivos. procuremos escrevê-lo na forma de fração. o numerador. vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: Exemplos: 1) Seja a dízima 0. Assim. Neste caso temos um ante período (2) e o período (34)... 23434. logo dois noves no denominador (99).. é a fração 512 . Observe também que o 5 é a parte inteira.99 + 17) = 512.333. 333.76 100 348 3.990 + 232) = 512. O número 234 é a junção do ante período com o período. logo ele vem na frente: 5 17 512 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎.1717. 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 99 99 Assim. Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3) então vamos colocar um 9 no denominador e repetir no numerador o período. 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 990 990 26 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 99 Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o dígito 9 no denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima. 3) Seja a dízima 1. Neste caso temos um dízima periódica é composta......48 = 100 1 5 0. neste caso 0(um zero).76 = 2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada. 1 232 1222 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎. para tanto. Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2).005 = = 1000 200 0. . neste caso 99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período. 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1. . 9 2) Seja a dízima 5. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período... pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5. é a fração 3 . 1717. a geratriz de 0. obtemos 232. O período que se repete é o 17. a geratriz de 5. As distâncias dos pontos – e ao ponto zero da reta são iguais.𝒂 ≠ 𝟎 = ( ) .. 495 Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero. obtemos x = 611 . isto é: p – q = p + (–q) a ad bc c = b bd d 27 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Indica-se = 2 2 2 2 2) Módulo de + 3 3 3 3 é . Indica-se = 2 2 2 2 3 3 e são números racionais opostos ou simétricos e cada 2 2 3 3 um deles é o oposto do outro. definimos a a c adição entre os números racionais e .Simplificando por 2. 23434. a fração geratriz da dízima 1. da mesma forma que a soma de frações. Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração.𝒃 ≠ 𝟎 𝒃 𝒂 Representação geométrica dos Números Racionais Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. Exemplos: 1) Módulo de – 3 3 3 3 é .. 2 2 Números Opostos: Dizemos que – Inverso de um Número Racional 𝒂 −𝒏 𝒃 𝒏 ( ) . através de: b d a ad bc c + = b bd d Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q. Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração. c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) Divisão(Quociente) de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q. definimos o a c produto de dois números racionais e . c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 7) Comutativa da multiplicação: Para todos a. b. × q. isto é. b. isto é: p ÷ q = p × q-1 𝒂 𝒄 𝒂 𝒅 : = . isto é: q + 0 = q 5) Elemento oposto: Para todo q em Q. que adicionado a todo q em Q. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. proporciona o próprio q. c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 3) Comutativa da adição: Para todos a.. (q aparece n vezes) 28 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . a soma e a multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. da mesma forma que o produto de frações. devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo. 2) Associativa da adição: Para todos a. q diferente de zero. a/b. b. existe -q em Q.c/d .. através de: b d ac a c x = bd b d O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d. tal que q + (–q) = 0 6) Associativa da multiplicação: Para todos a. b em Q: a × b = b × a 8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q. existe : b b a b q-1 = em Q: q × q-1 = 1 x =1 b a a 10) Distributiva da multiplicação: Para todos a. Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação. isto é: q × 1 = q a 9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = em Q. que multiplicado por todo q em Q. qn = q × q × q × q × . b em Q: a + b = b + a 4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q. 𝒃 𝒅 𝒃 𝒄 Potenciação de Números Racionais A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo. Para realizar a multiplicação de números racionais. proporciona o próprio q. Exemplos: 8 2 2 2 2 a) = . . 3 3 3 3 2 2 2 2 2 : 3 3 2 2 2 2 . 1 9 9 = 4 4 3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior. 1 1 1 1 = . 2 2 8) Potência de Potência.2 6 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ou .Propriedades da Potenciação: 1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. . . = . 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 . . conservamos a base e multiplicamos os expoentes. = 8 2 2 2 2 3 . 2 2 3 5 25 = = 9 5 3 4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 6 3. = 5 5 5 5 125 3 1 1 1 1 1 b) = . conservamos a base e somamos os expoentes. 5 5 5 5 5 5 5 5 23 2 5 5 7) Quociente de potências de mesma base. conservamos a base e subtraímos os expoentes. 3 3 3 3 3 5 2 5 2 3 . . . . . Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente. = 27 3 3 3 3 3 5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 0 2 = 1 5 2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência. 8 2 2 2 2 = . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 29 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . = 5 5 25 5 2 6) Produto de potências de mesma base. . dá o número zero ou um número racional positivo. ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Na escola onde estudo. Indica-se 3 0. (B) 7. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos.30. os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. pois tanto como . qual fração representa os alunos que têm ciências como disciplina favorita? (A) 1/4 (B) 3/10 (C) 2/9 (D) 4/5 (E) 3/2 02.216. é a raiz quadrada de . 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. 100 10 10 O número não tem raiz quadrada em Q.216 Representa o produto 0. (PREF. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) De um total de 180 candidatos.00 (D) R$ 46.00 (E) R$ 48. 9/20 têm a matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. 0. 3 Questões 01. 2 O número não tem raiz quadrada em Q.6 ou (0. pois não existe número racional que elevado ao quadrado 3 2 dê .6 .216 = 0. O número de candidatos que estuda alemão é: (A) 6. ou . 2/9 estudam francês.00 (C) R$ 44.6 . quando elevado ao quadrado. (D) 9. 9 3 3 3 9 3 Indica-se 1 1 = 9 3 2) 0. (C) 8. 9 Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. Logo. (E) 10. em cada uma delas.6)3.6. 0. dão . (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8. Quantos reais ela recebeu de troco? (A) R$ 40. Exemplos: 2 1) 1 1 1 1 1 1 Representa o produto . 2/5 estudam inglês. Um número racional. 30 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .00 03. quando elevados ao 9 3 3 100 quadrado. Logo.00 (B) R$ 42. Sendo assim.6 é a raiz cúbica de 0. então cada fator é chamado raiz do número. 0. Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais.Logo. (D) R$ 841. −1. −1. sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números.20.20. x é igual a (A) 52/25. √25 3 14 (𝐷) − 4. −4. 05. o número 5.15. (C) R$ 50.5+3 : (A) ½ (B) 1 (C) 3/2 (D) 2 (E) 3 06. (C) 7/3. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. (Pref.04.31.91. (B) R$ 821. um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617. √25. (C) R$ 838. mas precisou faltar um dia e foi descontado em R$ 28. −4. √16. e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado.3333+2 4 1. √16.40.51. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2014) Somando-se certo número positivo x ao numerador. 31 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Em um jogo matemático. cada jogador tem direito a 5 cartões marcados com um número. (B) 13/6. √16. √25 3 14 (𝐸 ) − 4. (E) R$ 870. .20. realizam uma determinada tarefa que também é sorteada. (D) R$ 56. −1. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) Em um estado do Sudeste.81.50 cada hora. Após todos os jogadores receberem seus cartões. (D) 5/2. (E) R$ 66. . No mês passado. . √25 3 07.31. . venceu o jogador que apresentou a sequência 14 (𝐴) − 4. Sendo assim. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: − 1 real: ¼ das moedas − 50 centavos: 1/3 das moedas − 25 centavos: 2/5 das moedas − 10 centavos: as restantes Mariana totalizou a quantia contida no cofre em (A) R$ 62. Em uma rodada em que a tarefa era colocar os números marcados nos cartões em ordem crescente. No mês passado. √25 3 14 (𝐶) − 1. seu salário totalizou (A) R$ 810. (E) 47/23. . aleatoriamente. √16.16 e uma gratificação de R$ 185. (B) R$ 52. 08.20.20. ele fez 8 horas extras a R$ 8. 3 14 (𝐵) − 1. √16. Niterói) Simplificando a expressão abaixo 3 Obtém-se 1. Resposta: D. Resposta: B. Já entre as mulheres abordadas. 05.3 ∙ 7 = 58. Somando português e matemática: 1 9 5 + 9 14 7 + = = = 4 20 20 20 10 O que resta gosta de ciências: 7 3 1− = 10 10 02. 2 2 1 + + 5 9 3 Mmc(3.31 + 68.3333= 12/9 = 4/3 1.15 = 802. 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617. 1.5.91 Salário foi R$ 841. Resposta: B. podemos afirmar que o professor tem: (A) 40 anos. (PREF. o professor de matemática respondeu: “O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Quando perguntado sobre qual era a sua idade.5 = 15/10 = 3/2 32 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Respostas 01.91.16 + 185.1 Como recebeu um desconto de 10 centavos. 1/8 foram detidas. Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 (D) 260 (E) 120 10. 8.5 ∙ 8 = 68 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802. (E) 42 anos.31 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8.40 = 841. Resposta: C. Resposta: B.9)=45 18+10+15 43 = 45 O restante estuda alemão: 2/45 45 180 ∙ 2 45 =8 04. (B) 35 anos. Sendo assim.00 − 28. (C) 45 anos. verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos.09. Dirce pagou 58 reais Troco:100 – 58 = 42 reais 03. que abordou 800 pessoas. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina. (D) 30 anos. 2+𝑥 =5 3−𝑥 15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 6𝑥 = 13 13 𝑥= 6 08. positivos e negativos.R O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários. √16. √16 = 4 √25 = 5 14 = 4. 09.10 = 62.4 3 + 3 2= 3 4 + 2 3 17 6 =1 17 6 06.25 + 2 ∙ 0. Resposta: C. mas também todos os números irracionais. Resposta: D. 1/4 eram mulheres 1 800 ∙ = 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 4 1 200 ∙ = 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 8 Total de pessoas detidas: 120+25=145 10.67 3 A ordem crescente é : −4.20 Mariana totalizou R$ 62. Resposta B. 33 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 3 800 ∙ = 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 4 1 600 ∙ = 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 5 Como 3/4 eram homens. sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional. 1 1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙ = 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 4 1 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: ∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 3 2 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: ∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 5 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 30 + 40 ∙ 0. √25 07. Assim temos: R = Q U I .5 + 48 ∙ 0. Resposta: A.20. não irracional. 9 75 675 ∙ = = 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 5 3 15 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS . 14 3 . Resposta: A. −1. e vice-versa). Ordenação dos números Reais A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles.Conjunto dos números reais negativos: R*.= {x ϵ R| x < 0} Representação Geométrica dos números reais Propriedades É válido todas as propriedades anteriormente vistos nos outros conjuntos.Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} .= {x ϵ R| x ≤ 0} . podemos construir o diagrama abaixo: O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: . menores.Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} .Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q . assim como os conceitos de módulo.Conjunto dos números reais não positivos: R.Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} . Os números Reais positivos são maiores que zero e os negativos. 34 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . números opostos e números inversos (quando possível). Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b. a[ = { x ϵ R| x < a} Exemplo: ] -∞.a≤b↔b–a≥0 Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0 Operações com números Reais Operando com as aproximações.5] = { x ϵ R| 3 <x ≤ 5} 5º .] -∞.5[ = { x ϵ R| 3 ≤ x < 5} 4º .Intervalo aberto à esquerda( ou fechado à direita) de extremos a e b é o conjunto ]a. 1º . que são determinados por meio de desiguladades.b] = { x ϵ R| a <x ≤ b} Exemplo: ]3.5] = { x ϵ R| 3 ≤ x ≤ 5} 3º .Intervalo aberto à direita ( ou fechado à esquerda) de extremos a e b é o conjunto [a. É assim que vamos trabalhar as operações adição. em seguida. Sejam os números a e b . denominados intervalos. 3[ = { x ϵ R| x < 3} 35 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .b[ = { x ϵ R| a < x < b} Exemplo: ]3.] -∞. a] = { x ϵ R| x ≤ a} Exemplo: ] -∞. multiplicação e divisão.b[ = { x ϵ R| a ≤ x < b} Exemplo: [3. uma série de recomendações úteis para operar com números Reais. subtração.b] = { x ϵ R| a ≤ x ≤ b} Exemplo: [3. obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um número Real. Intervalos reais O conjunto dos números reais possui também subconjuntos. Relacionamos.5[ = { x ϵ R| 3 < x < 5} 2º . 3] = { x ϵ R| x ≤ 3} 6º . com a < b.Intervalo aberto de extremos a e b é conjunto ]a.Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [a. 7º .b) .≤.+ ∞ [ = { x ϵ R| x ≥ 3} 8º .A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número). (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN/2014) Mário começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame.] E assim sucessivamente para todos os intervalos. e ]a.]a. sejam eles de ambos os lados.[.b] = (a.+ ∞ [ = { x ϵ R| x > a} Exemplo: ]3. para indicar as extremidades abertas dos intervalos. Considere que a cada partida ele 36 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .+ ∞ [ = { x ϵ R| x > 3} Em termos gerais temos: .< . ]a. utilizamos os símbolos: > .b) Questões 01. utilizamos os símbolos: ≥.A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número). como apenas aberto/ fechado de um dos lados. Observação Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] .+ ∞ [ = { x ϵ R| x ≥ a} Exemplo: [3.b[ = [a. [a.b] .b[ = (a. [ . ] .[a. É correto afirmar que: A) I. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Considere m um número real menor que 20 e avalie as afirmações I.(20 m) é um número menor que 20.791 pontos. (C) 78. Ao retirá-las de 3 em 3 ou de 5 em 5. (C) 7. II e III são verdadeiras. (Pref. se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7. (A) 36. II e III são falsas. Assinale a alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa. C) I. equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na partida anterior. Entretanto.(20 – m) é um número menor que 20. (TJ/PR . 04. (B) 57. Se na quinta partida ele marcou 3. (D) S. 03. (D) 8. (B) Q. de um quilômetro. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP/2014) Para ir de sua casa à 3 escola. 05. (C) R. D) apenas II e III são falsas. II. (E) 10. sabendo que esta comporta um máximo de 100 lâmpadas.(20 m) é um número maior que 20. então. o 3 1 ponto que melhor representa a diferença − na reta dos números reais é: 4 2 (A) P.Técnico Judiciário – TJ/PR/2014) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas.conseguiu melhorar sua pontuação. II e III: I. B) apenas I e II são verdadeiras. III. 02. Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a de um 5 quilômetro. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Na figura abaixo. que é feita por um trajeto 4 7 diferente. a 2 (A) 3 (B) (C) (D) (E) 3 4 1 2 4 5 3 5 37 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Zeca percorre uma distância igual a da distância percorrida na volta. (B) 5. sobram 2 lâmpadas na caixa. sobrará uma única lâmpada. a soma dos algarismos da quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a (A) 4. (D) 92. então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde. (Pref. 003 mL de tinta. (D) R$ 102.001 mL por cada algarismo impresso. uma impressora gasta 0. (B) R$ 93. 09. o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4 a semana.000. a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a (A) 5/16.00. (B) 13/6. Sendo assim. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno. Sabendo que os números sorteados foram 40. que Carlos ficou com a quarta parte das cotas. e que Denis ficou com as 5 cotas restantes.002 mL e 0.00. 38 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (B) 59. (C) R$ 98. (D)1/ 4. respectivamente. (TJ/SP . (D) 65. que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional ao número de cotas de cada um.00. os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Se o número sorteado for par. 58 e 290 gasta-se. Por exemplo.893. 07. (E) 2/5. 35.000. e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado. 10.561. (B) 2. se Breno recebeu R$ 62. (C) 8/24. 66 e 27. então Carlos recebeu (A) R$ 74. Se o número sorteado for ímpar.06. 08. ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. o número 5. (E) 63. (E) 47/23. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP/2014) O valor de uma aposta em certa loteria foi repartido em cotas iguais.111. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro. Essa aposta foi premiada com um determinado valor. Sendo assim. em mL. (E) R$ 106.000. (D) 5/2. (B) 1/6. Dessa forma.000. será (A) 1. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2014) Somando-se certo número positivo x ao numerador. (C) 28.000. Na 3a e 4a semanas. 0. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Quatro números inteiros serão sorteados.000. para numerar as páginas 7.003.00.00. a soma obtida ao final é igual a (A) 87.AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO . (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. 0. x é igual a (A) 52/25. (C) 2. (E) 2.001 mL. ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Na 2 a semana.00.AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP/2013) Para numerar as páginas de um livro.003. (C) 7/3. Após esse procedimento. (D) 1. Falso. Resposta: D. pois m é Real e pode ser negativo. 3 1 3−2 1 − = = = 0.x – 15 2. Resposta: C. 14 + 1 = 99. r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . 05. Pontuação atual = 2 . a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8.x = 959 + 15 x = 974 / 2 x = 487 * 1ª partida: 487 = 2.x – 15 2. separando um múltiplo menor do que 100 que sirva nas três equações abaixo: De 3 em 3: 3 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. Resposta: A. I.4 20 15𝑥 + 20𝑥 = 28 35𝑥 = 28 𝑥= 28 𝑥= 4 35 5 (: 7/7) (volta) 39 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . sem que o total ultrapasse 100: 7 . s e w: e de T o total de lâmpadas. 1 3 7 . partida anterior – 15 * 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 2. 03. 02.. Resposta: D. r + 2 = 99 vai dar que r = 32.Respostas 01. Vamos chamar as retiradas de r. pois m é Real e pode ser negativo. 5 e de 7. II.x = 487 + 15 x = 502 / 2 x = 251 Portanto. w + 1 = Total Primeiramente. e 3 .𝑥 + 𝑥 = 4 5 5. (não convém) 7 .3𝑥+ 20𝑥=7. Falso. vamos calcular o valor de w.x – 15 2. 13 + 1 = 92.25 4 2 4 4 04.x = 1903 + 15 x = 1918 / 2 x = 959 * 2ª partida: 959 = 2. Ida + volta = 7/5 . III.x = 3791 + 15 x = 3806 / 2 x = 1903 * 3ª partida: 1903 = 2. pois m é Real e pode ser positivo. s + 2 = Total De 7 em 7: 7 . Precisamos calcular os múltiplos de 3. Resposta: E..333. r + 2 = Total De 5 em 5: 5 . mas 3 . Falso. Resposta: B. Resposta: B. 1 a 9 = 9 algarismos = 0. 66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 * número 27: é ímpar. Assim: * Breno: 𝟏 𝟏 .009 + 0. = 06. 99 – 10 + 1 = 90. 27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 * Por fim. 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 40 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .00290 = 0. 40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 * número 35: é ímpar. Tarefa: x Primeira semana: 3/8x 1 3 1 2 semana: ∙ 𝑥 = 𝑥 3 8 3 8 1 4 1 1ª e 2ª semana: 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 8 8 8 2 Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade.004 = 2. 2+𝑥 =5 3−𝑥 15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 6𝑥 = 13 13 𝑥= 6 09.893 07.003 = 2.0019 = 0. Resposta: B. 35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 * número 66: é par. 90 números de 2 algarismos: 0. . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 . temos que saber quantos números tem.004ml Somando: 0.Ida: 3 4 4 3 5 5 .18 + 2. Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ).7 ml 1000 = 0. vamos somar os resultados: 37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 10. * número 40: é par.18ml De 100 a 999 999 – 100 + 1 = 900 números 9000. Resposta: B.009 ml De 10 a 99. pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 3ªsemana: 2y 4ª semana: y 1 2𝑦 + 𝑦 = 𝑥 1 2 3𝑦 = 𝑥 1 2 𝑦= 𝑥 6 08. Resposta: C. OBS: soma 1. Seu maior divisor é 7. Seu maior divisor é 27.7 + 0. se z 1 = a + bi e z2 = c + di. y) = x + yi Exemplos: (5.z2 = a. 0)(0.0) + (y. 3) = 5 + 3i (2. o conjunto de pares ordenados. as partes reais e imaginárias desses números. onde temos: x = Re(z).00 * Carlos: 𝟏 𝟒 . temos: z1. nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). 1) = 2 + i (-1. convenção que utilizamos até os dias atuais.d)i Multiplicação de números complexos: Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de dois binômios. por definição.4ac) na resolução da equação do 2º grau.ci + b.1). apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim. e representa-se por C. se z1 = a + bi e z2 = c + di. y) pode ser escrito na forma z = x + yi.c + a. 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎. todo o números complexo z = (x. podemos escrever que: z = (x. Então. 𝟎𝟎 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS – C Quantas vezes. separadamente.R). vários matemáticos estudaram este problema. Assim. temos que: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i Subtração de números complexos: Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos. que representamos por C. A partir daí. 6 x = R$ 372000. temos que: z1 = z2 <==> a = c e b = d Adição de números complexos: Para somarmos dois números complexos basta somarmos. que passamos a chamar de unidade imaginária.1) onde i = (0.bd Agrupando os membros: 41 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . se z 1 = a + bi e z2 = c + di. sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números.di + b.z2= ac + adi + bci . chamado de números complexos. Números Complexos Chama-se conjunto dos números complexos. Assim: √−1 = i . Assim. se z 1 = a + bi e z2 = c + di. conhecido como forma algébrica. ao calcularmos o valor de Delta (b 2. Nesse caso. observando os valores das potência de i. 3) = . separadamente. Assim. o matemático suíço Leonhard Euler passou a representar √−1 por i. sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais.c) + (b . se z = (x.1 + 3i Dessa forma. temos que: z1. e somente se. parte imaginária de z Igualdade entre números complexos: Dois números complexos são iguais se. y) = (x. y) onde x ∈ a R e y ∈ a R. parte real de z y = Im(z). ou seja: z = (x. as partes reais e imaginárias desses números.x = 62000 . temos que: z1 – z2 = (a . No século XVIII.di2 Como i2 = -1. . a distância entre a origem (O) do plano de Gauss e o afixo de z (P). com n variando. no início. Conjugado de um número complexo: Dado z = a + bi. logo i63= i3 = -i Módulo de um número complexo: Dado z = a+bi. temos que i = . = = 𝑧2 𝑐 + 𝑑𝑖 (𝑐 − 𝑑𝑖) 𝑐 2 − 𝑐𝑑𝑖 + 𝑑𝑖𝑐 − 𝑑 2 𝑖 2 𝑐 2 + 𝑑2 𝑧1 𝑎𝑐 + 𝑑𝑏 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 =( 2 )+( 2 )𝑖 2 𝑧2 𝑐 +𝑑 𝑐 + 𝑑2 Potências de i Se.7i z = 3 ==> 𝑧̅ = 3 Propriedade: O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real.i= i i6 = i5. temos que: 𝑧1 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑐 − 𝑑𝑖) 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖 2 (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖 = .. Assim. subtração e multiplicação válidas para os Reais são válidas para os números complexos. os valores repetemse de 4 em 4 unidades.5i ==> 𝑧̅ = 3 + 5i z = 7i ==> 𝑧̅ = .i2=-1.bi Exemplo: z = 3 . a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo..(-1)1/2.z1. por definição. indicado por |z| ou 𝜌 . i =(-1). se z 1= a + bi e z2= c + di.. Observamos que no desenvolvimento de i n (n pertencente a N. define-se como conjugado de z (representase por 𝑧̅) ==> 𝑧̅ = a .z2= ac – bd + adi + bci (ac – bd) + (ad + bc)i Nota: As propriedades da adição. representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira 42 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .i = -i i4 = i2. Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3. | z |= 𝜌 =√ 𝑎2 + 𝑏 2 Interpretação geométrica: Como dissemos.. i =i.i= -i .i=i2= -1 i7 = i6.i = -1. 𝑧̅ ∈ 𝑅 Divisão de números complexos: Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. então: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2. Assim. 𝑧. 1=1. chama-se módulo de z. para calcularmos i n basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.-1= 1 i5 = i4. Desta forma. 1. 𝑠𝑒 𝑏 > 0 𝑎 =0 𝑒𝑏 ≠0→ { 𝜃 = 270°. temos que: a)Multiplicação Divisão Potenciação Radiciação para n = 0.. 2. . n-1 43 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO ... Então. 3. Exemplo: Operações na forma polar Sejam z1=𝜌1(cos 𝜃1+ i sen𝜃1 ) e z2=𝜌1(cos𝜃2 +i sen𝜃2 ). 𝑠𝑒 𝑏 < 0 Forma polar dos números complexos: Da interpretação geométrica. 𝑠𝑒 𝑎 < 0 𝜃 = 90°.Em particular temos que: 𝜃 = 0°. temos que: que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo. 𝑠𝑒 𝑎 > 0 𝑎 ≠0 𝑒𝑏= 0→{ 𝜃 = 180°. (E) primo. (B) quadrado perfeito. 05. (Professor/Pref Itaboraí) O inverso do número complexo (𝐴) 1 + √5𝑖 2 (𝐵) 1 − √5𝑖 2 1+√5𝑖 2 é: (C) 1 − √5𝑖 (𝐷) 1 + √5𝑖 3 44 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Questões 01. 𝑧= (A) 36. (E) Um número irracional menor que 2. (C) 5. i = (6 − x) + 2yi . 03. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Considere a igualdade x + (4 + y) . (C) Um número racional menor que 2. (1 + 2𝑖)2 𝑖 02. (B) 25. (PM/SP – CABO – CETRO/2012) Assinale a alternativa que apresenta o módulo do número complexo abaixo. (D) 6. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) Assinale a alternativa correspondente à forma trigonométrica do número complexo z=1+i: 𝜋 𝜋 (A) 𝒛 = √2(cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ) 4 4 𝜋 𝜋 (B) 𝑧 = 2(cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ) 4 4 (C) 𝑧 = 𝜋 𝜋 √2 (cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ) 2 4 4 1 𝜋 𝜋 (D) 𝑧 = (cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ) 2 4 4 (E) 𝑧 = 𝜋 𝜋 √2 (cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ) 2 3 3 04. (B) Um número irracional maior que 5. O módulo do número complexo z = x + yi. (C) irracional. (D) Um número irracional maior que 3. em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. é um número (A) maior que 10. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) O valor do módulo do número complexo (i 62+i123) é: (A) Um número natural. (D) racional não inteiro. (Mack – SP) O conjugado de (A) 1 . (UFPA) A divisão (A) (B) (C) (D) −1 3 − 𝑖 2 1 2 dá como resultado 3 + 𝑖 2 2 2 1−𝑖 2 −1 1 1+2𝑖 3 + 𝑖 2 3 − 𝑖 2 07. é igual a : (A) . (UCMG) O complexo z.3i (C) 1 + 2i (D) 2 + 4i (E) 3 + i 2+3𝑖 09.2i (B) 1 + 2i (C) 1 + 3i (D) -1 + 2i (E) 2 . x=6-x x=3 4+y=2y y=4 |𝑧| = √32 + 4² = 5 45 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .i 2−𝑖 𝑖 . Resposta: C. 1 + 4𝑖 − 4 −3 + 4𝑖 𝑖 𝑧= = ∙ = 3𝑖 + 4 𝑖 𝑖 𝑖 |𝑧| = √32 + 4² = 5 02. Resposta: E.= 12 +16i . (PUC-SP) Se f(z) z2 z 1.2 + 2i (B) 2 . tal que 5z + z. (Viçosa – MG) A parte real de é: 2−3𝑖 (A) -2/13 (B) -5/13 (C) -1/13 (D) -4/13 10. vale: Respostas 01. então f(1i) é igual a: (A) i (B) i 1 (C) i (D) i 1 (E) i 1 08.(𝐸) 1 − √5𝑖 3 06. (−3) 4 − 9 −5 ( 2 )= = 2 2 + (−3) 4 + 9 13 10. 𝜌 = √12 + 1² = √2 1 √2 𝑐𝑜𝑠𝜃 = = = 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 √2 𝜋 𝜃= 4 𝜋 𝜋 𝑧 = √2(cos + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ) 4 4 04.1 – i + 1=-i 08. Lembre-se que i2 =-1 2 − 𝑖 −𝑖 −2𝑖 + 𝑖 2 −2𝑖 − 1 . O inverso de z é 1/z : 2 2 1 − √5𝑖 2 − 2√5𝑖 2 − 2√5𝑖 2 − 2√5𝑖 1 − √5𝑖 = .i)2 – (1 .1 − (1.1 Através da fórmula já vista vamos efetuar a divisão: 𝑎𝑐 + 𝑑𝑏 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 1. A formula do número complexo é z=a+bi Logo temos: 5. Resposta: D.i) + 1 1 . Resposta: C. Resposta: D. 2 2.(a + bi) + (a . Temos q a = 1. 𝑎𝑐 + 𝑑𝑏 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 ( 2 ) + ( )𝑖 𝑐 + 𝑑2 𝑐 2 + 𝑑2 Como queremos a parte real. vamos utilizar a primeira parte da fórmula: 2. para um número complexo ser igual ao outro. c = 1. 4bi = 16i b = 4 Montando o complexo: z=a+bi z= 2 + 4i 09. como 𝑖 = √−1 62 𝑖 + 𝑖 123 = −1 − √−1 05. Resposta: B.03. → → → −2𝑖 − 1 𝑖 −𝑖 −𝑖 2 −(−1) Temos que o conjugado de um número complexo é: a+bi a-bi. como i2 = . vamos igualar a parte real com a imaginária: 6a = 12 a = 2 . b = 2 . logo -1 – 2i -1 + 2i 46 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .1 + (−1).2 + 3. Resposta: C. Resposta: E. f(z) = z2 – z + 1 (1 . Resposta: E. Resposta: A. Vamos multiplicar o denominador e numerador pelo conjugado do denominador – i. 62/4=15 e resto 2 então i62=i2= -1 123/4=30 e resto 3 então i123=i3=-i. (−1)) ( 2 )+( 2 )𝑖 → ( 2 )+( 2 )𝑖 → 2 2 2 𝑐 +𝑑 𝑐 +𝑑 1 + (−1) 1 + (−1)2 1−2 2+1 −1 3 + 𝑖→ + 𝑖 2 2 2 2 07. = = = = 1 − 5𝑖 2 6 3 1 + √5𝑖 1 + √5𝑖 1 − √5𝑖 12 − (√5𝑖)2 06.bi) = 12 + 16i 5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i 6a + 4bi = 12 + 16i . d = . então: .2i + i2 – 1 + i +1 i2 – i + 1 .1. z = 15. a2 = 22 – 2 .. Evidentemente. 8. t) poderá ser considerada igual à sequência (5. 13. em que n é um número natural diferente de zero. ou. a5 = 3 .). e somente se. a7 = 6. 7. 11. Notemos que as sequências (0. 17) se. 3. 5) e (5. a3 = 32 – 2 . 3..Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a: an = n – 2n. apresentarem os mesmos termos. As sequências podem ser finitas.. a3 = 5. a3 = 3 . e somente se. 5. eles estão em ordem diferente. a8 = 7. x = 5. 4. . 1 + 2 ⇒ a1 = 5 2 + 2 ⇒ a2 = 8 3 + 2 ⇒ a3 = 11 4 + 2 ⇒ a4 = 14 5 + 2 ⇒ a5 = 17 47 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Determinar os cinco primeiros termos da seqüência cujo termo geral é igual a: an = 3 . a5 = 9. a5 = 11. 3.PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P. 3. dependendo da posição do termo.A. a2 = 3. embora apresentem os mesmos elementos. ou seja. na mesma ordem.com n € N*⇒ Teremos: a1 = 12 – 2 .). a6 = 11 etc. a2 = 1. 2. 11. Notemos que esta é uma sequência finita com a1 = 0. Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes. a5 = 4. 1. a4 = 42 – 4 . Igualdade As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 3. a6 = 5. y. Dizemos que o termo an é também chamado termo geral das sequências. 5. 15. e t = 17.Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0. quando não apresentam um último termo. a6 = 13 etc. também. Formula Termo Geral Podemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo an em função do valor de n. Esta formula que determina o valor do termo a n e chamada formula do termo geral da sucessão. 7. 7. 2. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. Exemplos: . 2.Sequência dos números primos positivos: (2. a4 = 3. n + 2. 4. por exemplo. estabelecer diversas sequências como. 4. pois. a5 = 55 – 5 . 2. ou seja. a2 = 3. 1. 1) são diferentes. . 17. infinitas. 1 ⇒ a1 = 1 2 ⇒ a2 = 0 3 ⇒ a3 = 3 2 ⇒ a4 = 8 2 ⇒ a5 = 15 .. Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 2. Podemos. 8. 9. no nosso dia-a-dia. 1. a4 = 3 . Exemplos .Sequência dos números ímpares positivos: (1. quando apresentam um último termo. Exemplo A sequência (x. a10 = 9. a sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola. 9). adotando a1 para o 1º termo. . com n € N*. . Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se. a4 = 7. a1 = 3 . a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. 5. adotar para essas sequências uma ordem numérica.) Podemos. 19. daremos atenção ao estudo das sequências numéricas. a3 = 2. Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 1. y = 8. a4 = 7. a9 = 8. 6. z. a2 = 3 . a3 = 5. 23 ⇒ a23 = -47 3. an .Determinar os números a. 3 – 4 ⇒ a2 = 2 = 2 . 4. Observação 2 Algumas sequências não podem. Assim. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos. como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. Exemplo . 12 ⇒ a12 = -3 a23 = 45 – 4 . a e (a + r). razão igual a r. teremos: (b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5. Teremos: a1 = 3 a2 = 2 . a3 a5 = 2 .. em que n € N*. igual a 15. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.(-4) – 4 ⇒ a5 = -12 . a2 a4 = 2 . (a – r). ser definidas nem pela lei das recorrências. Lei de Recorrências Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma formula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. 48 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (a – r). 2 . em que n € N*. (a + r) e (a + 2r). b e c cuja soma é. o termo médio da PA. (a + r) e (a + 3r). já é conhecido. nem pela formula do termo geral. razão igual a r. razão igual a 2r. PA com quatro termos: (a – 3r). 0 . um dos números. a2 = a1 – 2 → a2 = 12 – 2 → a2=10 a3 = a2 – 2 → a3 = 10 – 2 → a3 = 8 a4 = a3 – 2 → a4 = 8 – 2 → a4 = 6 a5 = a4 – 2 → a5 = 6 – 2 → a5 = 4 Observação 1 Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica. com n € N*. Exemplos . Teremos: a12 = 45 – 4 .Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: a1 = 3 e an+1 = 2 . através de artifícios de resolução. pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem.4 ⇒ a4 = -4 = 2 . visto que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários. Teremos: Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15. PA com cinco termos: (a – 2r).4. a.Determinar o termo a5 de uma sequência em que: a1 = 12 e an+ 1 = an – 2. Artifícios de Resolução Em diversas situações. é possível. o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: an = 45 – 4 + n. a1 a3 = 2 .4 ⇒ a3 = 0 = 2 . quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA. a4 – 4 ⇒ a2 – 4 ⇒ a3 – 4 ⇒ a4 – 4 ⇒ a5 = 2 . tornar o procedimento mais simples: PA com três termos: (a – r). 5 e ( 5 + r ). b = 5 e c= 7. an-2... o termo médio é a média aritmética dos outros dois termos. r Considerando que p + k = n + 1. na sucessão: (a1. temos: a2 e an-1 são termos equidistantes dos extremos. Notemos que sempre que dois termos são equidistantes dos extremos. a2. r – r + a1 + k . numa PA de n termos. (5 + r) = 105 → 52 – r2 = 21 r2 = 4 → 2 ou r = -2. ap e ak termos equidistantes dos extremos. se os termos ap e ak são equidistantes dos extremos. Propriedade Numa PA com n termos. dizemos que dois termos são equidistantes dos extremos se a quantidade de termos que precederem o primeiro deles for igual à quantidade de termos que sucederem ao outro termo. Propriedades P1: para três termos consecutivos de uma PA.r 2an = an -1+ an + 1 Logo: an = an-1 + an+1 2 Portanto. teremos a = 3. então: p + k = n+1.. Finalmente.ap = a1 + (p – 1) . Assim. a3 e an-2 são termos equidistantes dos extremos.. r – r II .an = an+ 1 –r Fazendo I + II. para três termos consecutivos de uma PA o termo médio é a média aritmética dos outros dois termos.ak = a1 + (k – 1) . r – r Fazendo I + II. Exemplo Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: an-1. Sendo a PA crescente.. Exemplo Sejam. a4 an-3 são termos equidistantes dos extremos.an = an-1 + r II . r ap + ak = a1 + a1 + (n – 1) .. ap. Teremos. an-1. então: I . Termos Equidistantes dos Extremos Numa sequência finita.. a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos... a4. Assim sendo. 6. a soma dos seus índices é igual ao valor de n + 1. teremos: Ap + ak = a1 + p . an). an-3. 5. r ⇒ ak = a1 + k . an e an+1.. r ⇒ ap = a1 + p .5 .. cujo produto é igual a 105. ak. ou seja: (5 – r) . r – r Ap + ak = a1 + a1 + (p + k – 1 – 1) . a3. podemos generalizar que. obteremos: 2an = an-1 + r + an +1 . ficamos com: ap + ak = a1 + a1 + (n + 1 – 1) . ficaremos apenas com r= 2..Dessa forma a sequência passa a ser: (5 – r). Podemos afirmar que: I . r 49 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . n 2 Exemplo . a2. colocadas entre parênteses.…. A m = a1 + an 2 7.. an-1. são formadas por termos equidistantes dos extremos e que a soma destes termos é igual à soma dos extremos. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA Vamos considerar a PA (a1.an-2.). assim. 5. temos: 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …+ (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1) Considerando que todas estas parcelas. finalmente: Sn = (a1 + an) . temos: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + +… + (a1 + an) → 2Sn = ( a1 + an) . em que n é um número ímpar. o termo médios (am) é a média aritmética dos extremos. 8. n E. a3. a partir do segundo.an ) e representar por Sn a soma dos seus n termos. an+1 = an .. 60 2 S60 = 5430 Resposta: 5430 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.ap + ak = a1 + an Portanto numa PA com n termos. Dados: a1 = 2 r=5–2=3 Calculo de a60: A60 = a1 + 59r → a60 = 2 + 59 . é o anterior multiplicado por uma constante q chamada razão da PG.Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 .. ou seja: Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an (igualdade I) Podemos escrever também: Sn = an + an-1 + an-2 + . 3 a60 = 2 + 177 a60 = 179 Calculo da soma: Sn = (a1 + an) n → S60 = (a1 + a60) .. 60 2 2 S60 = (2 + 179) .+ a3 + a2 + a1 (igualdade II) Somando-se I e II..) PG é uma sequência numérica onde cada termo.G. q Com a1 conhecido e n € N* Exemplos 50 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 3 9 3 . 9. procurando estabelecer..) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2. 0. qn-1 Exemplos .) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1. → a6 = 2 81 51 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . . basta efetuar o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido pelo anterior.(0. . 81. Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razão q.) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q qualquer..Constante: Quando todos os termos são iguais.(5.. . se quisermos determinar o termo a6 desta PG.) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = -3. 0. -3. .Classificação As classificações geométricas são classificadas assim: . . . 48... a partir da lei de recorrências. .Numa PG de termo a1 = 15 e razão q = .... 5 5 A6 = 15 . 2.(7. . Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. q2 a4 = a3 . 0. 5.(-36... -243. 5. q = a1 . .. -18. q = an+1 an (an 0) 1. qn-1 → an = 2 . Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1. e nós já aprendemos nos módulos anteriores que a formula do termo geral é mais pratica. 0. . estaremos. 6. .. -54.(15. .Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. neste item... .Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. temos o termo geral na igual a: 3 an = a1 . Assim. . 1n-1 3 Assim. 3n-1 Assim.(-2. q = a1 .(1. . a fórmula do termo geral da progressão geométrica.. temos o termo geral na igual a: an = a1 . 2 5 5 4 1 2 . an= a1 . Por isso. qn-1 → an = 15 .. 0. q3 a5 = a4 . −9 −9 1 . q a3 = a2 . se quisermos determinar o termo a5 desta PG. 5. teremos: a2 = a1 . q = a1 . . A PG constante é também chamada de PG estacionaria.Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3.) é uma PG de primeiro termo a1= -36 e razão q = . 5. q4 .) é uma PG de primeiro termo a1 = -2 e razão q = 3... 12.. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.(3. . 34 → a5 = 162 1 . . -9. 0.. 5.Singular: Quando zero é um dos seus termos. -27. -18. 24.. Isto ocorre quando q < 0. Isto ocorre quando q = 1. Observação: Para determinar a razão de uma PG. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1. 0.) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = . 0. 0..Fórmula do Termo Geral A definição de PG está sendo apresentada por meio de uma lei de recorrências. 5. .) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0.Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. -6. faremos: (1) .. faremos: A5 = 2 . 0. o termo médio será a média geométrica dos outros dois: an = √an-1 . aq3 𝑞³ 𝑞 PG com cinco termos: 𝑎 𝑎 . PG com três termos: 𝑎 a. Assim. 𝑞 Temos: 3 + 3 +3q = 13 → 3q2 – 10q + 3 = 0⇒ 𝑞 q = 3 ou q = 1 3 Sendo a PG crescente. an e an+1. a. q). é possível através de alguns elementos de resolução. (-3)n-1 Assim. Determine esta PG sabendo que a soma destes números é 13 e o produto é 27. aq. an+1 q Logo: (an)2 = an-1 . se quisermos determinar o termo a4 desta PG. Exemplo Vamos considerar três termos consecutivos de uma PG: an-1. obteremos: (an)2 = (an-1 . Vamos considerar a PG em questão formada pelos termos a.Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razão = -3 temos o termo geral na igual a: an = a1 . quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PG. tornar o procedimento mais simples. qn-1 → an = 1 . faremos: A4 = 1 . 4. 3 e 9. . q. aq 𝑞 PG com quatro termos: 𝑎 𝑎 . q II – an = an+1 q e Fazendo I . bq = 27 → b3 = 27 → b = 3. Podemos afirmar que: I – an = an-1 . assim. o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois. 𝑏 . onde a = 𝑏 𝑞 e c = b . b . an+1 Observação: Se a PG for positive. b e c. ( an+1 ) ⇒ (an )2 = an-1 . consideramos apenas q = 3.Propriedades P1: Para três termos consecutivos de uma PG.Artifícios de Resolução Em diversas situações. (-3)3 → a4 = -27 3. E. aq2 𝑞² 𝑞 Exemplo Considere uma PG crescente formada de três números. II. a nossa PG é dada pelos números: 1. aq.. . an+1 52 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . onde n é um número ímpar... teremos: q . an-2. an-2 + + q . numa PG. (q – 1) = = a1 . o termo médio (am) é a média geométrica dos extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos. teremos: q . (qn – 1) E assim: Sn= a1 . qp-1+k-1 Considerando que p + k = n + 1. então: I – ap = a1 ...Soma dos termos de uma PG -Soma dos n Primeiros Termos de uma PG Vamos considerar a PG (a1. com n termos.. a3 + . ak = a1 .P2: Numa PG. membro a membro. qn – a1 → sn . an-1.. multiplicando-se. a1 . ak = a1 . (qn – 1) q–1 Se tivéssemos efetuado a subtração das equações em ordem inversa. Exemplo Sejam. a n = a1 . + an-2 + an-1 + an + a1 . a1 + q . (1 – qn) 1–q 53 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . a2 + q . qp-1 II – ak = a1 . ficaremos com: ap . Teremos. com q diferente de 1 e representar por Sn a soma dos seus n termos. an). qk-1 Multiplicando I por II.+an-2 + an-1 + an ( igualdade I) Podemos escrever. a2. qk-1 ap . ficamos com: ap . am = √a1 . com n termos. Sn = q .+ q .. a3. ap e ak dois termos equidistantes dos extremos. o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos. qn-1.. . numa PG de n termos. a1 . o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos. Sn – Sn = a1 . a fórmula da soma dos termos da PG ficaria: Sn = a1 .. an-1 + q . qp-1 . ak = a1 . an Utilizando a formula do termo geral da PG. Observação: Numa PG positiva. an Portanto. an 5. ou seja. ou seja: Sn = a1 + a2 + a3 + . qn (igualdade II) Subtraindo-se a equação I da equação II. a igualdade ( I ) por q: q . com n termos. Sn = a2 + a3 + . 9921875 Devemos notar que a cada novo termo calculado. S4. numa PG com primeiro termo a1 = 4 e razão q = . . 9375 = + 1 32 255 32 1 64 + = 7. a2.. Dizemos que esta é uma progressão geométrica convergente. 1 Os termos que vão determinar a progressão geométrica são: (4. vamos dar a esta discussão um caráter matemático.+ an-2 + an-1 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . S3. 1. an). S2. 1 . an-2. Assim.. Bem. 4. nota-se claramente que este valor limite é o número 8. na PG. sn. 1. 1. a5. S5. a1 6. Sn-2... 984375 1 128 = 1023 128 = 7. 1. Por outro lado. temos que: 54 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . é necessário que cada termo seja. a4. 1. Observação: Para q = 1... estudado anteriormente.) E. é cada vez menor a parcela que se acrescenta..tal que: S1 S2 S3 S4 S5 = a1 = a1 = a1 = a1 = a1 + a2 + a2 + a3 + a2 + a3 + a4 + a2 + a3 + a4 + a5 . É somente uma questão de forma de apresentação. 1 128 . Desta forma. 1. 2. um valor absoluto. Sn-2 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . para a PG ser convergente.+ an-2 + an-1 + an 1 Vamos observar como exemplo.. No exemplo numérico. 8... a série correspondente será: S1 = 4 S2 = 4 + 2 = 6 S3 = 4 + 2 + 1 = 7 1 15 S4 = 4 + 2 + 1 + = = 7. 96875 = 1 64 511 + 64 = 7.+ an-2 Sn-1 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . sn-1. . 32. . portanto. 2.. 64. .. 875 = + + 1 1 1 1 2 4 8 16 S10 = 4 + 2 + 1 + + + + 127 16 1 32 1 32 + = 7.Série Convergente – PG Convergente Dada a sequência ( a1. inferior ao anterior a ele..Evidentemente que por qualquer um dos “caminhos” o resultado final é o mesmo. 16. an-1... na série. 5 2 2 1 1 31 2 4 4 S5 = 4 + 2 + 1 + + = = 7. 75 1 1 1 63 2 4 8 8 S6 = 4 + 2 + 1 + + + = 1 1 1 1 2 4 8 16 1 1 1 1 2 4 8 16 1 1 1 1 2 4 8 16 S7 = 4 + 2 + 1 + + + + S8 = 4 + 2 + 1 + + + + S9 = 4 + 2 + 1 + + + + = 7. É claro que.. 1 256 512 2 . o seu valor numérico cada vez mais se aproxima de zero. teremos sn = n . o ultimo termos da série vai tendendo a um valor que parece ser o limite para a série em estudo. a3. à série que ela vai 2 gerar. chamamos de serie a sequência S 1. a série é divergente. que é o Sn para quando n tende ao infinito. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO/2014) Descubra o 99º termo da P. obtémse o segundo triângulo equilátero. Questões 01. assim.. estabelecermos a soma dos infinitos termos da PG convergente. Unindo-se os pontos médios de seus lados. devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 30.A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Para valores extremamente grandes de n não constitui erro considerar que q n é igual a zero. S = a1 → s = 30 1−𝑞 = 30 1− 1 2 15 2 1 .. E. 51. Solução: Temos: perímetro do 1º triangulo = 30 perímetro do 2º triangulo = 15 15 perímetro do 3º triangulo = 2 Logo. Exemplos .. pois estamos somando os infinitos termos desta PG. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos. Séries divergentes não apresentam soma finita. ou seja. sendo n um expoente que tende a um valor muito grande.. 48. e assim por diante. na qual a1 = 30 e q = . teremos: S = a1 1–q Observação: Quando a PG é não singular (sequência com termos não nulos) e a razão q é de tal forma que q 〡 ≥ 1.PG convergente → 〡q〡 < 1 ou PG convergente → -1 < 1 Resta estabelecermos o limite da série. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triangulo equilátero.. 2 = 60.. (1 – qn) 1–q Estando q entre os números -1e 1 e. indefinidamente. 15. (45. (Pref.A. Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG: Sn = a1 .) (A) 339 55 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . obtém-se um terceiro. é fácil deduzir que q n vai apresentando um valor cada vez mais próximo de zero. Informática – FCC/2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se an.9 (C) 3. A soma do segundo e quarto termos dessa sequência é igual a (A) 210. …) é: (A) 3.03.(B) 337 (C) 333 (D) 331 02. (PREF. o total de grãos de arroz que deveria ser colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a (A) 264. a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0. (E) 520. 9. (C) –3. 8. (B) 2126.3.7. Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é (A) –6. …) obedecem a uma lei de formação.23. 03. 56 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 10. (C) 266.1 (B) 3. 16 grãos na terceira. 07. Se fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa. (E) –0. 0. 256 na quinta. 64 grãos na quarta.07.9. Os termos da sequência (10. 0.09. 4 e 100. (D) 2128.23. (D) –0. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Uma sequência inicia-se com o número 0. 11. em que n pertence a N*. 13. 4 grãos na segunda..1.. é o termo de ordem n dessa sequência. 0. (B) 250. (C) 360. 2. então a30 + a55 é igual a: (A) 58 (B) 59 (C) 60 (D) 61 (E) 62 04. Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? (A) 192 (B) 184 (C) 160 (D) 128 (E) 64 06. e assim sucessivamente.. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3. 999 (E) 4 05. 8. (B) 0.99 (D) 3.009. respectivamente. A partir do 2º termo. 12. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN/2013) O primeiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Observe a sequência: 1. 4. (D) 480. (TRF 3ª – Analista Judiciário . 16.(E) 2256. (C) 39. 32. cujos oito primeiros elementos são dados a seguir. (D) 40. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP/2014) Planejando uma operação de policiamento ostensivo. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Observe a sequência numérica a seguir: 11. 24. 23. 15. (C) 35. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo de 0 a 9.) O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 57 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . r1 e r2 estão. um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P. 20. (E) 39 10. Se r + r1 + r2 = 52 cm. 28.. nessa ordem. em centímetros. conforme mostrado na figura.. Por exemplo. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC/2014) O setor de almoxarifado do Metrô necessita numerar peças de 1 até 100 com adesivos. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO. (4.. (D) 37. (B) 31. (E) 42. (D) 18. (E) 9. e r . em progressão geométrica.. Sendo assim. a (A) 36.. r2 = 144 cm.ADMINISTRATIVO – FCC/2013) Considere a sequência numérica formada pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4. (C) 19. 19. 12. 09. então r + r2 é igual. 08.. 11. Qual é o sétimo termo desta sequência? (A) 27. Sabe-se que as medidas dos raios r. (B) 10. 8. para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um algarismo 1 e dois algarismos 0). (B) 38. o total de algarismos 9 que serão usados no processo completo de numeração das peças é igual a (A) 20. 1.1 = 8 + 15 . ou seja. 12.09 𝑎7 = 0. …).09 − 0.1 se n é par Logo: a30 = 8 + (30/2) .09.03 03.9. Daqui e de (1) obtemos que: an = 10 + [(n + 1)/2] . 0. Resposta: A. Assim: 𝑎6 = 26−1 = 25 = 32 𝑎8 = 28−1 = 27 = 128 A soma fica: 32 + 128 = 160.Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 .Respostas 01.3 − 3.009.1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) .Resposta: C. as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a1 + (i .(10.07 = −0.9/(1 . portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59. Resposta: E.…) de razão q = 10 .1 = 0. 11. .1) = 0. 04. r=48-45=3 𝑎1 = 45 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 02. Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 . Resposta: E. i = (n + 1)/2. 10.1 = 37 E. 06. 𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 𝑎4 = 0. que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: .Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i .0. 13.12 𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0.12 = −0.9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 05.0. Resposta: B. …).0.07 = 0.1 = a1 + i – 1 Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência. 11. 0.9/0. 9. Resposta: D. Solução: Sejam S as somas dos elementos da sequência e S 1 a soma da PG infinita (0.1. Solução: Primeiro. 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛−1 𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞 2 100 = 4 ∙ 𝑞 2 𝑞 2 = 25 𝑞=5 𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 58 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Assim.(8.3 − 6.1).1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] . observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 . Assim: S = 3 + S1 Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S 1: S1 = 0. Se estão em Progressão Geométrica. 𝑟 = 15 − 11 = 4 Assim.𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 07.A tabela abaixo indica. r=4 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 Portanto. o último algarismo é 6. cuja fórmula do termo geral é 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). Assim: 𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 𝑟 + 𝑟2 = 40 𝑟1 𝑟 = 𝑟2 𝑟1 .Resposta: D. 𝑟2. Resposta: D. 𝒙 𝒙% = 𝟏𝟎𝟎 Exemplos: 1 . 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 10𝑛 − 10 + 9 = 99 𝑛 = 10 Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 99 = 90 + (𝑛 − 1) 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 São 19 números que possuem o algarismo 9. ou seja.4 = 11 + 24 = 35 10. em reais. 𝑎1 = 11. 59 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 4 = 11 + 6. Pelos valores apresentados. os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 02/02/2013 e 02/02/2014. 𝑎7 = 11 + (7 − 1). mas o 99 possui 2 19+1=20 11. 𝑟 𝑛 = 7. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" se está referenciando.Resposta: A. Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 𝑟1 .Resposta: C. então: Assim: 𝑟1 2 = 144 𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Trata-se de uma Progressão Aritmética. 𝑟1 = 𝑟 . é uma PG de razão 4 A64=? a1=1 q=4 n=64 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛−1 𝑎𝑛 = 1 ∙ 463 = (22 )63 = 2126 08. PORCENTAGEM Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou simplesmente de porcentagem. 09.Resposta: B. 5 = . temos prejuízo(P). = 10% 500 100 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒ 50 12. Poderíamos ter divido 18 por 30. 100%) = 60% 30 . temos o lucro(L). 18 são rapazes e 12 são moças. 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. = 12. para isso. vamos simplificar as frações acima: 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒ 50 10 = . isto é.Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 50 . Devemos expressar essa razão na forma 30 centesimal. 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟. 2 – Em uma classe com 30 alunos.Lucro e Prejuízo É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Lucro (L) = Preço de Venda (PV) – Preço de Custo (PC). obtendo: 18 = 0. 500 50 .60(. Qual é a taxa percentual de rapazes na classe? Resolução: 18 A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é . Podemos ainda escrever: PC + L = PV PC – P = PV A forma percentual é: 60 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Caso a diferença seja positiva.5% 400 100 Com isso podemos concluir. 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴. 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎. 400 Quem obteve melhor rentabilidade? Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100). caso seja negativa. precisamos encontrar x tal que: 18 𝑥 = ⟹ 𝑥 = 60 30 100 E a taxa percentual de rapazes é 60%. Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 00 E) R$ 125. 𝑃𝐶 PC + L = PV PC + 0.PC = PV 1.00 e é vendido por R$ 100. o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC).O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100.00 B)R$ 70.Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%.Exemplos: 1 .respectivamente. b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. equivale a multiplicá-lo por (𝟏 + ).20.Aumentar um valor V de 20% . equivale a multiplicá-lo por 1.V 100 2 .00 Resolução: 𝐿 .00.50 C) R$ 75.00 D) R$ 80.25 . a área do retângulo é aumentada de: A)35% B)30% C)3.V 𝟏𝟎𝟎 Exemplos: 1 . O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem.V = 1.20).8% E) 38% 61 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .25.00 a) b) 2 . Determinar: a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo. pois: 20 (1 + ). PC = 100 PC = 80.V = (1+0. Resolução: Preço de custo + lucro = preço de venda 75 + lucro =100 Lucro = R$ 25. O valor do preço de custo é: A)R$ 25.Um objeto custa R$ 75.V 100 3 .V .V = (1+2).25 . equivale a multiplicá-lo por 3 .Aumentar um valor V de 200% . pois: 200 (1 + ).V = 3.00 Resposta D .5% D)3. 100% = 25% ⇒ 0.00.Aumento e Desconto Percentuais 𝒑 Aumentar um valor V em p%. 𝟏𝟎𝟎 Logo: 𝒑 VA = (𝟏 + ).20. 9 0. muito útil para resolução de cálculos de porcentagem.V = (1-0. 𝑝 V D = (1 − ).Diminuir um valor V de 20% .b Com aumento : (a.V.86 2 Fator de multiplicação .V Exemplos: 1 .V = 0.80.1.O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115.20).(b.Acréscimo 1.V = (1-0.V 100 3 .60 . O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no valor do produto.V = 0.00.08).63 1.equivale a multiplicá-lo por (𝟏 − Logo: V D = (𝟏 − 𝒑 𝟏𝟎𝟎 𝒑 𝟏𝟎𝟎 ). p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. Fica a Dica !!! 𝒑 𝒑 A esse valor de final de (𝟏 + ) ou (𝟏 − ). 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 é o que chamamos de fator de multiplicação.80.Diminuir um valor V de 40% .V 115 = (1-0.18 1.Resolução: Área inicial: a.Decréscimo 0.V 115 = 0. Qual era o seu valor antes do desconto? Temos que V D = 115 .15 1.37 0.1.60.15). Logo o aumento foi de 38%. Resposta E Diminuir um valor V em p% .38. Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: % 10% 15% 18% 20% 63% 86% 100% Fator de multiplicação . ).b da área inicial.85 0. pois: 40 (1 − ). equivale a multiplicá-lo por 0.82 0.14 0 62 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .00.1 1.V 100 2 .8 0.40).2 1.20) 1. equivale a multiplicá-lo por 0.92V V = 115/0.92 V = 125 100 O valor antes do desconto é de R$ 125.a. pois: 20 (1 − ). 63 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .8 = 5200 Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.V V.80) = 5200.1 . 1. 100 concluímos que esses dois descontos significam um único desconto de 44%.00.Técnico em Informática – AOCP/2014) Uma loja de camisas oferece um desconto de 15% no total da compra se o cliente levar duas camisas.3 .00. 1.Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 𝑝 Utilizando VD = (1 − ).00 sofreu um acréscimo de 30% e.21 Analisando 100 o fator de multiplicação 1. juntar tudo em uma única equação: 5000 . Observe que : esses dois descontos de 20% equivalem a 44% e não a 40%. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer Gráfico – VUNESP/2014) O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários. concluímos que esses dois aumentos significam um único aumento de 21%. Para efetuar os respectivos descontos ou aumentos.00. 1. 1. 0. 1. 02 . Se o valor de cada camisa é de R$ 40.V para o aumento e VD = (1 − ). Observe que : esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. a fração de estagiários é igual a (A) 1/5. um desconto de 20%.2 .000. fazemos uso dos fatores de multiplicação. quanto gastará uma pessoa que aproveitou essa oferta? (A) R$ 68. Em relação ao total de funcionários desses dois departamentos. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Quando calculamos 32% de 650. (B) R$ 72.44.1 . (D) 243. . (B) 1/6.? 𝑝 Utilizando VA = (1 + ). podemos. (C) R$ 76.V V. (C) 213. (C) 2/5. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 𝑝 𝑝 Utilizando VA = (1 + ). 1. 1. 2 .44 . 3 . (B) 208. Vejamos alguns exemplos: 1 . 1.200.(0. como são dois de 10% temos V.. sendo 20% estagiários.00.00.Certo produto industrial que custava R$ 5.V. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários.(1.1 V.. 03 . (E) R$ 80. (D) R$ 78. (D) 2/9. para agilizar os cálculos.2 V. (EBSERH/ HUSM-UFSM/RS .00.Analisando o fator de multiplicação 1.3) = 6500 e V D = 6500 .Aumentos e Descontos Sucessivos São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente.00 Questões 01 .21. obtemos como resultado (A) 198..Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de. sendo que 15% deles são estagiários. em seguida. (E) 3/5. temos: 100 100 VA = 5000 . De acordo com especialistas. A demanda aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam cenário mais positivo para o combustível. os produtos têm 10% de desconto e. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA/2014) Em determinada loja. Em quantos por cento.315.160.00 08 .72 (B) 43. segundo o Cepea/Esalq.00.00 e R$ 1.0% no mês anterior. Qual o preço do televisor na liquidação? (A) R$ 1. atingindo R$ 45.48 (D) 54.120.220. o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade.365. além da firmeza nas negociações por parte dos vendedores.00 e R$ 1.00 (C) R$ 1.(E) 258.00 e os revende com um acréscimo de 40%.60. as cotações do açúcar fecharam o último mês com alta de 1.039. um sofá custa R$ 750. da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a (A) 42.publicado em 02/07/2013.122. nos pagamentos no boleto. o preço de venda é superior ao de compra? (A) 67%. Durante o mês de junho.00 (B) R$ 2. aproximadamente.00 e R$ 1. R$ 380.00. 6% nos próximos 10.. (B) R$ 1..03 05 .000.00.40. Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil.2%.00.00 e R$ 1. Nos pagamentos com cartão de crédito.00 (C) R$ 2. e 7% no valor das vendas que excederem 20. os valores totais a serem pagos pelos produtos nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão.300.140.Assistente em Administração – COVEST/2014) Um vendedor recebe comissões mensais da seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.00 vendidos. têm 8% de desconto. Com base nisso.Assistente em Administração – COVEST/2014) Uma loja compra televisores por R$ 1. os quais constituem o lucro líquido do vendedor.500. em reais.115.100.5%.03 / saca de 50 kg no dia 28.00.00 (D) R$ 1. 04 . (UFPE . é CORRETO afirmar que o valor.00 (D) R$ 2. o preço de revenda do televisor é diminuído em 35%.00 (B) R$ 1.00 (E) R$ 2.180.330. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 36.113. o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar. e um tapete. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) O preço de venda de um produto.017. registrando alta de 6. supera o preço de compra em 40%. (UFPE .345. (C) R$ 1. Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 . (B) 61%. (D) 63%. com a cotação do hidratado chegando a R$ 1.000 reais.017. (ALMG – Analista de Sistemas – Administração de Rede – FUMARC/2014) O Relatório Setorial do Banco do Brasil publicado em 02/07/2013 informou: [.00 (E) R$ 1.86 (C) 44. (D) R$ 1.00 07 . 64 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço.000 reais vendidos no mês.010. realizando-se a compra de um sofá e um tapete. 06 . Na liquidação. quanto será a comissão do vendedor? (A) R$ 2. respectivamente: (A) R$ 1.000. (E) 69%.] Após queda de 2. (C) 65%.1631/litro (sem impostos). 00 (C) R$ 5. 650 = = 100 15 100 10 2080 10 = 208 65 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .09 .85 (ele pagou 85% do valor total) : 80 .0.60 (B) R$ 28.340.80 (E) R$ 43.H.00 02. três aparelhos de ar-condicionado.50. Resposta: B. 20 = 30 10 = 3 3 (estagiários) = 2 2 (estagiários) 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠 5 1 = = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠 30 6 03. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Numa liquidação de bebidas.00 O desconto é dado em cima do valor das duas camisas.2 = 80. Resposta: B.780.400. Como são duas camisas 40. Usando o fator de multiplicação temos 1-0. uma geladeira e uma máquina de lavar.00 (E) R$ 8.40 (D) R$ 40. uma família comprou dois televisores. O lucro obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: (A) R$ 33. Contabilidade: * Dep.00 (D) R$ 6.00 (B) R$ 9.: ∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 20 100 . Calcule o valor total gasto por essa família.65 .20 10 .15 = 0.85 = 68.840. * Dep. (A) R$ 7. 32 32 . 10 = 200 100 . um atacadista fez a seguinte promoção: Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Na queima de estoque de uma loja. R.430. Resposta: A.60 (C) R$ 26.00 Respostas 01 . 80 + 21. Cartão de crédito: 10/100 . Resposta: C. As operações aqui são de curtíssimo prazo. Resposta: E.1=0. entre outros.000 ∙ 0.03 = .8 Ar-condicionado:1-0. 1130 = 113 1130 – 113 = R$ 1017. Preço de revenda: 1500 + 40 / 100 .49 05.7 = 630 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎: 1.40 ∙ 12 = 28. 1. 45. Preço de venda: PV Preço de compra: PC PV-0.60 06. 1500 = 1500 + 600 = 2100 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100 .84PV=1. 66 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Como é desconto. vamos fazer uma subtração. Resposta: B.4 = = 1. (750 + 380) = 1/10 .4 1130 – 90.6 = 900 1600 ∙ 2 + 900 ∙ 3 + 630 + 900 = 7430 O valor total gasto pela família foi de R$7. exemplo: desconto simples de duplicata.3=0. (750 + 380) = 8/100 .67 𝑃𝐶 0. Resposta: A. o juro é determinado tomando como base de cálculo o capital da operação. 16000 = 1120 Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220. 10000 = 500 6% de 10000 = 6 / 100 .6 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟: 2.00 Boleto: 8/100 . 10000 = 600 7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100 .4PC 𝑃𝑉 1.2% de 45.60 = 50. 1130 = 90. devemos fazer cada porcentagem: 1-desconto. Resposta: A.00 − 𝑅$50.60 O lucro de Alexandre foi de R$ 33. 09.4PC 0.04.7 Máquina:1-04=0.03 = 0.40 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎: 3.60 10.80 ∙ 0.2 1.5 ∙ 24 = 84. 45.54 100 Como no mês anterior houve queda.40 = 𝑅$33.4 = R$ 1039.00 08.84 O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. Resposta: A.9 Geladeira:1-0.8 = 1.03 – 0.75 = 21. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365.000 ∙ 0.600 𝑎𝑟 − 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜: 1. Resposta: E.60 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠: 28. Televisor:1-0.80 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑎𝑔𝑒𝑚: 28.00 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜: 𝑅$84. 2.00 07. JUROS SIMPLES Em regime de juros simples (ou capitalização simples).500 ∙ 0.16PV=1.54 = 44.2=0.9 = 900 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎: 900 ∙ 0. 5% de 10000 = 5 / 100 . e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da operação.430. assim teremos o valor de cada item.00. 00 . deverão ser pagos R$ 600. a juros simples.No final do 5º período (5 meses). (= ao mês) Fazendo o cálculo. mês a mês: .Os juros são representados pela letra J.00 . os juros serão: R$ 480. no final da aplicação. .Capital aplicado (C): R$ 4. 000.00 = R$ 480.O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. os juros serão: R$ 360.00 + R$ 120.* .03 a. pelo prazo de 5 meses.00 = R$ 240.00 de juros. É representado pela letra i e utilizada para calcular juros. .00 = R$ 600.m. Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. Quanto deverá ser pago de juros? Resolução: .00 .Taxa (i): 3% ou 0.00 Desse modo.000.00 + R$ 120.00 = R$ 360.03 x R$ 4.No final do 1º período (1 mês). *Varia de acordo com a literatura estudada.Tempo de aplicação (t): 5 meses .00 + R$ 120.00 = R$ 120.00. os juros serão: R$ 120. 67 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . à taxa de 3% ao mês.A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo.00 + R$ 120.O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n. os juros serão: R$ 240.00 . .000.No final do 2º período (2 meses). os juros serão: 0.No final do 4º período (4 meses). a quantia de R$ 4. Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade: Taxa anual Tempo em anos Taxa mensal Tempo em meses Taxa diária Tempo em dias E assim sucessivamente Exemplo: 1) Uma pessoa empresta a outra.00 .No final do 3º período (3 meses).No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. temos quatro variáveis.t Observações: 1) O capital cresce linearmente com o tempo.C -----------------------------------------------------------------------------. ou seja: Na fórmula J= C . os juros serão: i. i .) C = R$ 25.00 1 2 Meses(t) 3 4 5 Fazendo o cálculo.. os juros serão: i.00 t = 3 anos j = R$ 45.00 300..00 480.C + i.00 120.00 0.Juros(J) Juros a serem Pagos 700.(1+i.i.000.00 360.i. a taxa i deve ser expressa na forma decimal.i 3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. em 3 anos.00 500.t 100 45 000 = 25000.No final do 3º período.00 100.000.C + i.00 240.C + i.000. temos: J=C.00 400. 2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.No final do período t.00 600. 5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros. M = C + J M = C.C + .C . R$ 45.No final do 1º período.C .t) Exemplos: 1) A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000.3 100 68 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .00 600. os juros serão: i. Se três delas forem valores conhecidos. + i.C + i.C + i.00 200.00 de juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.00 para render. período a período: .No final do 2º período.i. t.C Portanto. os juros serão: i. 4) Nessa fórmula. podemos calcular o 4º valor.00 i = ? (ao ano) j= C. . a saber: Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial.1)3 .1)2 Após o 3º mês. JUROS COMPOSTOS O capital inicial (principal) pode crescer........ a taxa será trimestral.03 x 15 i = 3% a m. Vamos calcular os montantes (capital + juros). e assim sucessivamente......1 = 1650 = 1500(1 + 0.500. i i= 45. Exemplo: Considere o capital inicial (C) $1500... pelo prazo de 15 meses..... mês a mês: Após o 1º mês..00 j = PV ... j= 4..m..... sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a m......00 j =? Quando o prazo informado for em dias. as empresas.... a taxa será mensal.)..? Dados: Solução: PV = 10...5 = 1500(1 + 0.... teremos: M1 = 1500 x 1. o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. a taxa resultante dos cálculos será diária.. se o prazo for em meses... Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada período. o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia..... Na prática.000.1) Após o 2º mês.....1 = 1815 = 1500(1 + 0.. teremos: M2 = 1650 x 1.. como já sabemos.. n n = 15 meses j = 10... 2) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10... segundo duas modalidades. Também conhecido como "juros sobre juros".......00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i = 10% a.000 750 i = 60 Resposta: 60% ao ano.. Na verdade.. 69 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO ... teremos: M3 = 1815 x 1....00 x 0... órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras.... devido aos juros......... i ....000...... se for em trimestre....45 000 = 750 ....1 = 1996.00..000. principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. . portanto tem um crescimento muito mais "rápido". tem de ser necessariamente iguais. i = taxa de juros e t = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL.Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples. C = capital. (1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital Na fórmula acima. teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0. aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante o período (t): M = C (1 + i)t Onde: M = montante. as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t). . É muito comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR.O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros compostos. Exemplos: 70 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . teremos para um capital C. .Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos.1) t De uma forma genérica. sendo M o montante. se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos. por exemplo.Após o nº (enésimo) mês. deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses. Juros Compostos e Logaritmos Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos. que não pode ser esquecido! Assim. precisamos ter conhecimento de conceitos de logaritmos. Este é um detalhe importantíssimo. Graficamente temos. GEOMÉTRICO e. investido no sistema de juros simples e à taxa mensal de 2. Quando o capital inicial estiver duplicado.02 = 0.02 = 2/100 = 2%] Simplificando.Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t).00860 = 35 Nota: log2 = 0.1) Expresse o número de períodos t de uma aplicação. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado? Solução: Sabemos que M = C (1 + i)t. .Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i).t J= C. o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal). produzirá um montante de R$ 3. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB/ 2014) Qual é o capital que. Teremos então: t = log1. 2) Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a. que é uma equação exponencial simples. fica: 2 = 1.022 = log2 /log1. em função do montante M e da taxa de aplicação i por período. . poderemos escrever: t = log (1+ i ) (M/C) .00 (B) R$ 2.i. teremos M = 2C. o que equivale a 2 anos e 11 meses.[(1+i)t -1] M= C. Portanto. vem: 2C = C(1+0. usando logaritmo decimal (base 10).02t . dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos. o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários.t) M= C. estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas.900.log(1 + i) = logM – logC Deste exemplo. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso.00 71 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .00860.30103 / 0.02 = 0.02)t [Obs: 0.(1+i. vem: 𝒕= 𝐥𝐨𝐠 𝑴|𝑪 𝐥𝐨𝐠 𝑴 − 𝐥𝐨𝐠 𝑪 = 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝒊) 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝒊) Temos também da expressão acima que: t.00 em oito meses? (A) R$ 1.225. Substituindo. Resposta: 2 anos e 11 meses. Fórmulas Juros Simples Juros Compostos J= C.). Solução: Temos M = C(1+i)t Logo. M/C = (1+i)t Pelo que já conhecemos de logaritmos.650. pode-se colocar na mesma unidade de (i) ou (t).m. ou então permitir o uso de calculadora na prova. o que não é comum no Brasil.5 %.(1+i)t Questões 01.30103 e log1. Portanto. (D) 10%. O quarteto detido foi multado em R$1.00. (Pref. 04.. (C) R$ 5. no sistema de juros simples.54 06.0%. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Polícia autua 16 condutores durante blitz da Lei Seca No dia 27 de novembro. corretamente. 05.6% ao ano.050. o total de juros obtidos será: (A) R$2..595.08 (D) R$9. que o valor emprestado foi de (A) R$ 4. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) Por um empréstimo com período de 45 dias foram pagos R$ 18. a uma taxa de 14. (UNIFESP – Engenheiro Mecânico – VUNESP/2014) Certo capital C foi aplicado a juros simples. pode-se afirmar. Sabendose que o montante a ser pago na data de vencimento do empréstimo será igual a R$ 5.460.821. foi igual a 1. 72 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .00.950.27 (C) R$3.500.54 cada e teve a Carteira Nacional de Trânsito (CNH) suspensa por um ano. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Um capital foi aplicado por um período de 3 anos. (Fonte: PM/SE 28/11/13.5%.300.00.00 02. comandante da CPTran. (E) 10.].10% do capital aplicado.00.00 (D) R$ 3.000. então é verdade que a taxa anual correspondente de juros simples cobrada foi de (A) 8. (B) 31.00.910. (B) R$ 4. 12 pessoas foram notificadas por infrações diversas e quatro por desobediência à Lei Seca[. modificada) Investindo um capital inicial no valor total das quatros mulas durante um período de dez meses. É correto afirmar que essa aplicação rendeu juros que corresponderam a.20% do capital aplicado.70 (E) R$1.250.552.100. a polícia autuou 16 condutores. (D) 33. (D) R$ 5. Durante a ação.910. (D) 1 ano e 5 meses.768. ao final da aplicação. (E) R$ 5. exatamente: (A) 30% do capital aplicado.900. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP/2014) Considere um empréstimo de certo valor por 5 meses.15 (B) R$1.37%. com taxa de juros compostos de 10% ao ano.75 de juros. com juros de 5% ao mês.(C) R$ 3. (E) 1 ano e meio.4% ao ano. (B) 1 ano e 3 meses. (C) 32% do capital aplicado. Esse capital permaneceu aplicado durante (A) 1 ano e 2 meses. uma equipe da Companhia de Polícia de Trânsito(CPTran) da Polícia Militar do Estado de Sergipe realizou blitz da Lei Seca na Avenida Beira Mar.00.12 C.00 (E) R$ 3.00. Segundo o capitão Fábio <achado. e o montante resgatado. 03. a uma taxa de 9. Se o capital emprestado foi de R$ 1. contraído no sistema de juro simples. (C) 1 ano e 4 meses. (C) 9.500.35%. (B) 9. C = 390000 C = 390000 / 120 C = R$ 3250.07. Após 3 meses. (E) R$62. (A) 240.854. João pagou R$600.400.2. que fica: j = 3900 – C ( I ) Agora. e não fizer nenhuma retirada. 08. 09. em regime de juros compostos.75 = 1500 .00 (C) 429. 10.00 num fundo de investimento.75 . Desse modo. 𝑖 = 18. O valor desse último pagamento foi.0278 (ao dia) 73 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .C = – 390000 .00 (D) 489.00.854. o montante que José Luiz poderá sacar é (A) R$63. liquidou o empréstimo.00 Respostas 01. em regime de juros compostos. (D) R$62.000. Resposta: D.672. 𝐶.00.00 num fundo de investimento.5. é correto afirmar que a taxa anual de juros considerada nessa simulação foi de (A) 12%. ou seja: j = M – C . se ele aplicar hoje R$ 10.00. um investidor fez uma simulação.𝑖. aproximadamente.58. Montante = Capital + juros.400.58.8 3900 − 𝐶 = 100 390000 – 100. em reais.45.000.00. (B) 15%. é só substituir ( I ) na fórmula do juros simples: 𝑗= 𝐶. (D) R$62. (D) 20%. (PM/SP – OFICIAL – VUNESP/2013) Pretendendo aplicar em um fundo que rende juros compostos.00 a juros compostos de 10% ao mês. um mês após esse pagamento.00 e. 8 .425.00 02.𝑖.5 .000.𝑡 𝑗= 100 18. (C) R$63.00 (E) 538. (C) 18%.00 e R$ 20.600. (E) 21%.48. Após 3 meses. C – 100. (B) R$63. Dois meses depois.00.C – 20.𝑡 100 𝐶. Na simulação feita.400.672. (B) R$63.600. com taxa de 2% ao mês. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) José Luiz aplicou R$60.C = 2. (C) R$63. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) José Luiz aplicou R$60.00. Resposta: C.𝑖 . com taxa de 2% ao mês. o saldo daqui a dois anos será de R$ 38.48. 100 𝑖= 1875 67500 = 0.000.00 daqui a um ano. (– 1) 120. (BANCO DO BRASIL – ESCRITURÁRIO – CESGRANRIO/2012) João tomou um empréstimo de R$900. (E) R$62.00 (B) 330.45 100 1500.425.00. o montante que José Luiz poderá sacar é (A) R$63. C – C = 0.00 05.C 6.48. 𝟓 𝟓𝟑𝟎𝟎 − 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 6.08 O juros obtido será R$3.16 .02 . C2º ano = 20. Resposta: D.1)3 𝑀 = 𝐶 .𝟐 . 𝑡 . 𝐶 . Resposta: C. M = C + j .𝑡 100 𝐶 . M = C + j .0278 .6 t = 1.4% a. Resposta: C.6 .C – C = j j = 0.𝑡 0. 𝟏. C 0. i = 2% a. Resposta: D. 𝑚 = 0.12. 𝒕 𝒋= ( II ) 𝟏𝟎𝟎 Vamos substituir a equação ( I ) na equação ( II ): 𝑪 .331 .1)3 𝑀 = 1. 365 = 10.1% 03.331. 𝐶 = 0. Resposta: B. 𝐶 = 100 9.C + 100. 𝑡 𝐽 = 7642.12.672.54 ∙ 4 = 7642. ou seja.331.C = C + j. 𝑖.Ao ano: 0.331 = 33. (1 + 0.6 .C = 100 .C = 530000 – 100. Para fazer os cálculos. C=60.08. 𝐶 = 1910. j = M – C .000 .9.12. (1. t = 3m 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 ⇒ 𝑀 = 60000(1 + 0.2% a. 10% = 0.12 .821.10% 07.25 ano = 1 ano + 0.000 𝑀1 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 74 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . C1º ano = 10. temos: j = 1. 12 = 3 meses Portanto. 𝐶 Como.02)3 ⇒ 𝑀 = 60000 + (1. 1. 𝑡 = 10𝑚 𝐽 = 𝐶. 08. / 12 = 1.C = 530000 106.16 ∙ 0.25 de ano 0. j = 5300 – C ( I ) 𝑪 . (5300 – C) 6. * Montante: 𝑴 = 𝑪 + 𝒋 5300 = C + j .1 𝑀 = 𝐶 . Resposta: B.12.C 𝑗= 𝐶 .25 . (1 + 𝑖)𝑡 𝑀 = 𝐶 .𝑖 . 06.48 O montante a ser sacado será de R$ 63.C = 530000 C = 530000 / 106 C = R$ 5000.000 .m = 0. devemos trabalhar com meses. ou seja .02)3 ⇒ 𝑀 = 63672.m. que fica 1. 100 t = 12 / 9. ou seja.05 ∙ 10 = 3821. 𝑖 = 5%𝑎.10 / 100 = 33.a.𝒊 . Assim: 14.05 . t = 1 ano e 3 meses 04. potenciação e radiciação. 1089-600=489 𝑀 = 489(1 + 0.𝑀1 = 10000(1 + 𝑖)2 𝑀2 = 20000(1 + 𝑖)1 M1+M2 = 384000 38400 = 10000(1 + 𝑖)2 + 20000(1 + 𝑖) (: 400) 96 = 25(1 + 2𝑖 + 𝑖 2 ) + 50 + 50𝑖 96 = 25 + 50𝑖 + 25𝑖 2 + 50 + 50𝑖 25𝑖 2 + 100𝑖 − 21 = 0 Têm se uma equação do segundo grau. t = 2m . POLINÔMIOS. . 2. 2. grau e propriedades fundamentais.48 10. esse será o grau do polinômio.Polinômio é uma expressão algébrica racional e inteira. divisão de um polimônio por um binômio da forma x-a.90 2. 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 𝑀 = 60000(1 + 0.m=0. por exemplo: 75 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . divisão. subtração.00 Depois de dois meses João pagou R$ 600.02)3 𝑀 = 60000(1.3xy é monômio.00 e liquidou após 1 mês 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 𝑀 = 900(1 + 0. multiplicação. assim podemos dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio). i = 10% a. mas também considerado polinômio.2. basta observar o grau do maior monômio. Polinômios: conceito. pagou 2 meses depois R$ 600. usa-se então a fórmula de Bháskara: ∆= 1002 − 4 ∙ 25 ∙ (−21) = 12100 −100±110 𝑖= 𝑖1 = 50 −100+110 50 −100−110 = 10 50 = 0. binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). Operações com polinômios.02)3 =63672. Resposta: B.1)1 = 537. Em resumo: . Como os monômios. Para polinômios podemos encontrar várias definições diferentes como: Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. C = 900 .3x + 5 é um polinômio e uma expressão algébrica. divisão de um polinômio por outro polinômio de grau menor ou igual.00.10 .2 𝑖2 = = −4.1)2 → 𝑀 = 1089. Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição. Para identificar o seu grau. Resposta: E. os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados.1. .4 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 50 É correto afirmar que a taxa é de 20% 09. 4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 4x2 – 4x + 7 Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 Subtração Exemplos: 1 . 2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 0x³ – 6x² + x + 16 – 6x² + x + 16 Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16 3 . +(–3x2) = –3x2 +(+8x) = +8x +(–6) = –6 x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.x2y 3x – 2y x + y5 + ab . -5xy6 → -5 é o coeficiente e xy6 parte literal Operações com Polinômios . que possui apenas coeficiente e parte literal.Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12. (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. jogo de sinal. Calcule: 76 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes. Por exemplo: a2 → 1 é o coeficiente e a2 parte literal.Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5 teremos: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 –2x2 + 5x – 7 Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7 2 . 3x2y → 3 é o coeficiente e x2y parte literal. 5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 8x2 – 19x – 2 Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 2 .Adição O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes. (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.Monômio é um tipo de polinômio que possui apenas um termo.Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15.Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6. operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. – (–3x2) = +3x2 – (+10x) = –10x – (–6) = +6 5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. Exemplos: 1 . teremos: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. ou seja. 5x – 2x2 . 3) Multiplicação de polinômio com polinômio. (-1) 15x3 + 9x2 – 3x Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x . 77 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 3x .Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente. teremos: -2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva. 2 – 1 . 2 15x3 + 6x – 5x2 – 2 Portanto: (3x – 1) .Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2) (3x – 1) .10x3 + 2x2 Portanto: -2x2 (5x – 1) = . 5 6x2 + 3x + 15. (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2). 3x . x + 3 . Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15. am = a n + m .Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5).Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1). (5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva. teremos: 3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva. (-1) . 2x2 + 3 . 3 . 5x2 + 3x . As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades: .Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1).Propriedade da base igual e expoente diferente: a n . -2x2 . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2 . 5x2 + 3x . teremos: 3x . 3) Multiplicação de polinômio com polinômio . 3x + 3x .10x3 + 2x2 2) Multiplicação de número natural . 5x2 – 1 . 2) Multiplicação de número natural com polinômio. teremos: (2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.a) A + B + C (6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20) 6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20 6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20 9x³ + 6x² – 8x + 45 A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 b) A – B – C (6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20) 6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20 6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20 6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 3x³ + 4x² – 8x – 15 A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15 . 1) Multiplicação de monômio com polinômio .Multiplicação A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas: 1) Multiplicação de monômio com polinômio. Exemplos: 6x3 ÷ 3x = 6 . para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. Dessa forma. veja: (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) Assim. para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. Exemplo 1: (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) O dividendo 10a3b3 + 8ab2 é formado por dois monômios. irá dividir cada um deles. repete a base e subtrai os expoentes. 5x + 1 . que é um monômio. (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) = 5a2b + 4 Exemplo 2: (9x2y3 – 6x3y2 – xy) ÷ (3x2y) O dividendo 9x2y3 – 6x3y2 – xy é formado por três monômios. 5x + x . Depois de relembrar essas definições veja alguns exemplos de como resolver divisões de polinômio por monômio. veja: Assim. transformamos a divisão de polinômio por monômio em duas divisões de monômio por monômio. ou Portanto. 78 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . x3 = 2x2 3x2 Observação: ao dividirmos as partes literais temos que estar atentos à propriedade que diz que base igual na divisão. Dessa forma. (-2) + 1 . (-2) + x . o divisor 3x2y.2x2 . que é um monômio irá dividir cada um deles. Portanto. (-2) 10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2 10x3+ x2 + 3x – 2 Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2 . o divisor 2ab 2. transformamos a divisão de polinômio por monômio em três divisões de monômio por monômio. Portanto. (5x) + 2x2 .Divisão 1) Divisão de monômio por monômio Ao resolvermos uma divisão onde o dividendo e o divisor são monômios devemos seguir a regra: dividimos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x). que satisfaçam as duas condições abaixo: 1ª) Q(x). Resolução: Aplicando o método da chave.1 (x 2 3x . P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). 2) Divisão de Polinômio por polinômio Sejam dois polinômios P(x) e D(x). temos: x 4 x3 7 x 2 9 x 1 x 2 3x 2 x 4 3x3 2 x 2 x 2 2 x 1 Q( x) 2 x3 5 x 2 9 x 1 2 x3 6 x 2 4 x x2 5x 1 x 2 3x 2 2 x 1 R( x) Verificamos que: 4 2 x x 3 - 7x 9x . com D(x) não nulo.2) (x 2 . R(x) é o resto da divisão. ou seja. D(x) é o divisor.Portanto. Q(x) é o quociente. Se D(x) é divisor de P(x) R(x)=0 Exemplo: Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2.2x 1) (2x 1) P(x) D(x) Q(x) R(x) O dispositivo de Briot-Ruffini 79 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata.D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 P( x) D( x ) R( x) Q( x) Nessa divisão: P(x) é o dividendo. (E) 368. que é igual ao resto da divisão. 4) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo. então o valor de P(3) é: (A) 386. vamos seguir o passo a passo abaixo: 1) Vamos achar a raiz do divisor: x-2 =0 x=2 . (D) 81. (B) 405. Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4. (Guarda Civil SP) O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é: (A)1 (B)2 (C)10 (D)11 (E) 12 02. então m é igual a: (A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)1 (E) 2 80 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .1. Resolução: Para resolvermos este problema. 6) Separamos o último número formado. colocando o resultado abaixo deste. 03. e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente. colocando o resultado abaixo deste. 5) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente.Utiliza-se para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b). (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 . (Guarda Civil SP) Considere o polinômio Sabendo que P(1) = 2. 3) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo. como mostra a figura acima. Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2). Questões 01. Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x). e assim sucessivamente. pois o divisor é de grau 1. (C) 324. 2) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da reta.1 é divisível por x2 + x . (UF/AL) Seja o polinômio do 3° grau p = ax³ + bx² + cx + d cujos coeficientes são todos positivos. (FUVEST) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c. (MACK) P(x) x – 2 4 Q(x) Q(x) x – 6 1 Q1(x) Considerando as divisões de polinômios acima. então o valor de P (5) é: (A) 48 (B) 32 (C) 27 (D) 16 (E) 12 81 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . de coeficientes reais: A(x)= x3 + ax2 + bx + c B(x)= bx3 + 2x2 + cx +2 Teremos que A(k)=B(k).1 ou 1 (D) ± √c/a (E) 0 ou ± √-c/a 05 . (FGV) Sabe-se que o polinômio f = x4 – x3 – 3x2 + x + 2 é divisível por x2 – 1. quando: (A) a=c=2 e b=1 (B) b=c=1 e a=2 (C) a=b=c=1 (D) a=b=c=2 (E) nunca 06. podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por x2 – 8x + 12 é: (A) 3x – 2 (B) x + 1 (C) 2x + 2 (D) 2x + 1 (E) x + 2 08. Qual o valor de P(2)? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 07. P(–x) + P(x) = 0. O n° real k é solução da equação p(x) = p(. qualquer que seja x real.x) se. Um outro divisor de f é o polinômio: (A) x2 – 4 (B) x2 + 1 (C) (x + 1)2 (D) (x – 2)2 (E) (x – 1)2 09. Sendo P (0) = 27 e P (2) = –1. (FGV) Um polinômio P (x) do 4o grau é divisível por (x – 3)3. qualquer que seja o número real k. satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0. e somente se.04. (UFSM) Considere os polinômios. k é igual a: (A) 0 (B) 0 ou 1 (C) . .. vale: 𝑚 (A) 2/5 (B) – 5/14 (C) 7/2 (D) 2/7 (E) 1/2 Respostas 01... p(x)=p(-x) ax³+bx²+cx+d=-ax³+bx²-cx+d 2ax³+2cx=0 2(ax³+cx)=0 ax³+cx=0 Como k é solução da equação ax³+cx=0... Resposta: E.1 – 2... assim teremos que m-2=0 m=2 04. teremos: P(3) = 4x4 + 3x³ + 2x² + x – 4 P(3) = 4....81 + 3. Resposta: A. (m≠ 0).. e fazendo P(3).. teremos 82 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .(3)2 + 3 -4 P(3) = 4.27 – 2.1 + 1 + k =2 P(1) =4 + 3 – 2 + 1+ k = 2 10 + k = 2 k=2–6 k=–4 Substituindo k...𝑘 10. P(1)=4.9 + 3 – 4 P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4 P(3) = 386 03.(m-1)x²+x-1 ..... (MACK) Se P (x) = x3 – 8 x2 + kx – m é divisível por (x – 2) (x + 1) então .. -1x²-x-1 .(3)4 + 3.x+1 ...1 + 3... 02.(m-2) o resto deve ser igual a zero.. Resposta: D. x³+mx²+0x-1 |x²+x-1 -x³ -x²+x .(3)3 + 2... Resposta: E... P(x) = Q (x) (x – 2) + 4. então se b=1 e b=2 . a=2 . c=0 Substituindo em a+b+c= -1. b=-1 P(2) = 23 -1. x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) x4 – x3 – 3x2 + x +2 x2 – 1 0 x2 – x – 2 = (x + 1) (x – 2) x4 – x3 – 3x2 + x + 2 = (x + 1)2 . Resposta: E. Q(2) = –1 ⇒ Q(2) = 1 P(5) = ? Q(x) = ax + b Q(0) = b = –1 Q(2) = 2a – 1 = 1 a = 1 Q(x) = x – 1 P(5) = (5 – 3)3 . Q(5) P(5) = 8 . Q(x) + R(x) P(0) = –27 .14 (2+k-7)x – (14+m) 2+k-7 = 0 k=5 -14-m=0 m= -14 83 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: E. c=2 . daí tiramos: b=1 .bx3 -2x2 – cx -2 =0 x3 (1-b) + x2(a-2) + x(b-c) +c – 2 =0. Resposta: E. b=c . 06. logo não existe resposta correta. (x – 2) 09. Q(x) = Q1 (x) (x – 6) + 1 P(x) = (Q1 (x) (x – 6) + 1) (x – 2) + 4 P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + x – 2 + 4 P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + (x + 2) R(x) = x + 2 08. A(x)=B(x) x3 +ax2 + bx +c = bx3 +2x2 + cx+2 x3 +ax2 + bx +c . Resposta: E.p(k)=ak³+ck=0 ak³+ck=0 k(ak²+c)=0 k=0 ou ak²+c=0 k²=-c/a k=±√-c/a 05. P(x)= x3+ax2+bx+c P(1) = 13+a12+b1+c a+b+c=-1 P(-x)+P(x)= -x3+ax2-bx+c + x3+ax2+bx+c 2ax2+2c=0 ax2+c=0 a=0 . b não pode ter dois valores.2 = 8-2 = 6 07. (x – 1) . Resposta: B. Resposta: C. Q(0) = 27 ⟹ Q(0) = –1 P(2) = –1 . P(x) = (x – 3)3 . (5 – 1) = 32 10. Resolução: x3 – 8x2 + kx – m x2 – x – 2 – x3 + x2 + 2x x–7 2 -7x + (2+k)x – m +7x2 + 7x . b=2 . A equação x100 + x12 = 0. . os complexos conjugados 3 . isto é. então P(x) é divisível por (x – b) . admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS. conceito de raiz.Se o número complexo (a + bi) for raiz de P(x) = 0 . as raízes da equação algébrica. concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5. .2i e 4 + 3i são também raízes. Exemplo: a equação x3 . 84 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . -1}. Equações algébricas: definição. o que se consegue dividindo P(x) por x . Outro exemplo: a equação x3 = 0.3i. 3. possui duas raízes reais iguais a 4. 1.8x + 16 = 0. Ora. . enunciado do Teorema Fundamental da Álgebra.3. A equação do segundo grau x2 .Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes. será também o grau da equação.Se b for raiz de P(x) = 0 .Toda equação de termo independente nulo.40 = 0. das quais duas são nulas. (x’ = x’’ = 4). Portanto.Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0. .2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau Propriedades importantes: .Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k. Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui cinco raízes.4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. ou seja. possui 100 raízes. Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS OU POLINOMIAIS Sendo P(x) um polinômio em C. multiplicidade de raízes. Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10. Exemplo: 3x4 . . então o conjugado (a – bi) também será raiz . reais e complexas.b. 3. Raízes: racionais. pela propriedade P3. Relações entre coeficientes e raízes. Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x . possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas). Logo. então a unidade é raiz da equação (1 é raiz). são as mesmas do polinômio P(x). 40 – 10 + 10 – 40 = 0. 3 + 2i e 4 .1. Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0. por P1. P(x) possui no mínimo 5 raízes. chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0. O grau do polinômio.x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Pesquisa de raízes múltiplas.2. aplicando Briot-Ruffini. Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. Exemplo: a equação (x . pois a soma dos coeficientes é igual a zero. das quais 12 são nulas. sabendo-se que três de suas raízes são os números 5. sabendo-se que 1 + i é uma de suas raízes.x3 + x1.x2. portanto: ±1.x3. Se fosse de grau 4 (x4 ) precisaríamos descobrir duas raízes. temos as seguintes relações de Girard : x1 + x2 + x3 = . x3 . portanto: ±6.x3. temos as seguintes relações de Girard : x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a.x4 + x3.d/a Para uma equação do 4º grau.. x = c/a . ±3.x2. x3 e x4 .x4 = c/a.. x1.b/a. os possíveis valores da fração são p/q: ±6.) . Podemos afirmar que o grau dessa equação é. 02.. x2 .54x2 + 51x + 106 = 0 . (C) igual a três. . (x – 53) = 0 . São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica. Substituindo-se esses valores na equação.x4 = e/a NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( .x3 = .x3 + x2. ±1. então podemos escrever: (x + 1) . Exemplo: Queremos saber se a equação x3 – x2 + x – 6 = 0 possui raízes racionais: p deve ser divisor de 6. Exemplo: Se . (x –2) .x3 + x1. necessariamente: (A) par. sendo x1 . (D) menor ou igual a seis. que desenvolvida fica : x3 . da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 . .x3. ±2. Relações de Girard . x1. (B) ímpar. (E) maior ou igual a cinco.x2 + x1. Sendo 4 + e raízes do polinômio P(x) = 2x5 – 22x4 + 74x3 + 2x2 – 420x + 540. (x – x2) .. (x – xn) = 0.x3 + x2. 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau .Se x1 ..x4 + x2.x4 + x2. Como esse polinômio é de grau 3 (x3 ) é necessário descobrir apenas uma raiz para determinar as demais.. x1. 03.d/a e x1.x2. x2 e x3 as raízes . então ela pode ser escrita na forma fatorada : a0(x – x1) .1 .x3 = c/a e x1. já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2 : x2 + x2 = . . Teorema das Raízes Racionais O Teorema das raízes racionais é um recurso para a determinação de raízes de equações algébricas. (x – x3) . . então a soma dos quadrados das raízes reais desse polinômio é: (A) 17 (B) 23 (C) 19 (D) 25 (E) 21 85 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .x3 + x1. Segundo o teorema. sendo as raízes iguais a x1 .x2 + x1. Para uma equação do 3º grau. da forma ax2 + bx + c = 0 ..b/a e x . + an = 0 . ±2 e ±1.x2. 1 – i e 0. As demais raízes podem facilmente ser encontradas utilizando-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini e a fórmula de Bhaskara. Portanto. da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 . com e primos entre si (ou seja. Para uma equação do 2º grau. Questões 01. é uma fração irredutível). x2 . xn são raízes da equação a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + . tornando fácil a memorização das fórmulas.x4 = . ±3. Resolver a equação x3 – 5x2 + 8x – 6 = 0. q deve ser divisor de 1. Uma equação algébrica com coeficientes reais admite como raízes os números complexos 2 + i.Albert Girard (1590-1633). se o número racional. é uma raiz da equação polinomial com coeficientes inteiros então é divisor de e é divisor de. descobrimos que 2 é uma de suas raízes. o valor de k é: (A) – 8 (B) – 4 (C) 0 (D) 4 (E) 8 08. já temos duas das três raízes da equação. (C) as raízes constituem uma progressão geométrica. (D) as raízes constituem uma progressão aritmética. o valor de é: (A) (B) (C) (D) (E) 07.Entre as frações podem ser raízes da equação 16x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + 45 = 0. temos: x1+ x2 + x3 = . pode-se afirmar a respeito das raízes que: (A) são todas iguais e não nulas. Sendo a equação de coeficientes reais. (Fuvest-SP) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Obter todas as raízes. 1 + i. c. da equação: x3 – 4x2 + x + 26 = 0. (B) somente uma raiz é nula. então 1 – i também será raiz desta equação. Pelas relações de Girard. d e e números inteiros. (ITA-SP) Se . 1 – i e zero. Assim. . (E) nenhuma raiz é real. Então. (UFSCar-SP) Sabendo-se que a soma de duas das raízes da equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 é igual a 5. Como a equação tem coeficientes reais. se 1 + i é uma raiz. além das raízes 2 + i. com a. b. 3} 86 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .04. as frações: 05. 06.Resposta: E. são raízes da equação x3 – 2x2 + 3x – 4 = 0. o menor grau possível para essa equação é 5. ou seja. Respostas 01. (1+ i) + (1– i) + x3 = 5 x3 = 3 V = {1 – i. ela admite também 2 – i e 1 + i como raízes. 02. reais e não reais. então. Logo. Pelas relações de Girard. 07. Sendo a equação de coeficientes inteiros. 3 + 2i. ± 2. já temos quatro das cinco raízes da equação. 87 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .– e 3.Resposta: C. se 4 + e são raízes. ou seja. Em todas as alternativas. Para x = – 2. x=3 As raízes reais são: . temos: x1+ x2 + x3 + x4 + x5 = . 05. Resposta: A. { ± 1. temos: Portanto. ± 26} (possíveis raízes racionais). ± 13. Assim. ± 2.03. ± 13. então 4 – e– também são raízes desta equação. – 2 é uma raiz V = {– 2. P Assim. exceto a primeira. ± 26} e q {± 1} { ± 1. 3 – 2i} 06.Resposta: A. em pelo menos uma das frações ou o numerador não é divisor inteiro de 45 ou o denominador não é divisor inteiro de 16. A soma dos quadrados das raízes reais é: 04.Resposta: C. 4. por Briot-Ruffini. 4. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer? Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem. Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto.08. Eventos. Desse modo. • O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. 4.5. vinho. vermelho e prata. um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer.3. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades: 88 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Princípio fundamental de contagem. Alice tem 3×5 opções para fazer. 4. 2.Resposta: C. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes: • O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos. x2 e x3 Informação: x1 + x2 = 5 Girard: x1 + x2 + x3 = 7 5 + x3 = 7 x3 = 2 Como 2 é raiz.ela poderá optar por 15 carros diferentes. Arranjos. temos x2 – 5x + 4 = 0 x = 1 ou x = 4 S = {1.4. Eventos mutuamente exclusivos.2.1. 4. azul. Eventos independentes. Probabilidade condicional. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena. Conjunto universo. e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Fox e Astra. ou seja. 4} 4. ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE. Conceituação de probabilidade. sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto.6. Binômio de Newton. podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . 4. Probabilidade da união e da intersecção de dois ou mais eventos. permutações e combinações simples. x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 Raízes: x1. n Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo. neste caso. 3. são iguais. ac e ca”. n2. A4. ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos elementos.. A = {0. n2.Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes. Em alguns problemas de contagem. pois indicam números diferentes. 2. ab e ac são agrupamentos sempre distintos. quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos. Considere A = {a. b. … . n3. e os agrupamentos ab. Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos.. ac ≠ ca. 89 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . com n1. pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento. neste caso os agrupamentos são denominados arranjos. 1. 2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos. neste caso os agrupamentos indicam a mesma reta. os problemas de contagem serão agrupados e considerados distintos. d. os agrupamentos de 13 e 31 são considerados distintos. ac = ca. A2. nk Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa a ordem. A = {A1. …. A3. neste caso os agrupamentos são denominados combinações. …. A9}. A5…. e com estes algarismos pretendemos obter números. n3. c. Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam. 1. j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes. e com estes pontos pretendemos obter retas. pois Conclusão: Os agrupamentos. nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n 1. os agrupamentos serão considerados distintos. … . Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos. 9}. (n – 2). 3.1! = 1 . 5. .Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.Combinação: a ordem dos elementos não importa. Quantos números diferentes e de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1. FATORIAL (!) Por definição temos: .0! = 1 ..(n – 3). temos (fórmulas de arranjo.n! = n. três técnicas de contagem: . combinação e permutação simples): ARRANJO 𝑛! 𝐴𝑛.(n – 1).2.. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1. 7 e 8? 90 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 4 e 7? 02. em particular. Um usuário deseja fazer um saque de 100 reais. Fórmulas: .. .𝑘 = (𝑛 − 𝑘)! COMBINAÇÃO 𝑛! 𝐶𝑛.𝑘 = 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! PERMUTAÇÃO 𝑃𝑛 = 𝑛! Questões 01.1 Exemplo: 5! = 5.Sendo n o total de elementos e k o número de elementos utilizados. De quantas maneiras diferentes a caixa eletrônica poderá fazer esse pagamento? (A) 5 (B) 6 (C) 11 (D) 15 (E) 20 03.1 =120 TÉCNICAS DE CONTAGEM A matemática estuda. 2.4. 3.Arranjo: a ordem dos elementos é importante. Uma caixa automática de banco só trabalha com notas de 5 reais e 10 reais.2.Permutação: é um arranjo de ordem máxima. 2..3.3. Quantos números diferentes e de três algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração? 04. Temos 5 algarismos. Para sacar R$ 100.5. (ENEM) Uma família de 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. (E) Dois arranjos. três a três não colineares. (C) Um arranjo e uma permutação. Quantos anagramas da palavra REPITO tem as letras REP juntas? 08. Para escolher a centena temos 5 chances. O enunciado diz que temos que formar número de três algarismos e não diz que são distintos (diferentes).05. Quantos são os anagramas da palavra BONITA? 06. (B) Uma combinação e um arranjo.5 = 125. Cada seleção participante da copa do mundo de futebol inscreve 23 jogadores. sendo necessariamente três goleiros. Se apenas uma pessoa dirige. de quantas maneiras diferentes os passageiros podem se acomodar no carro para uma viagem? (A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 36 (E) 120 Respostas 01. dois jogadores de cada seleção são escolhidos entre 0s 23 inscritos para o exame anti-doping. calculadas através de: (A) Um arranjo e uma combinação. De quantas maneiras possíveis estes dois jogadores podem ser escolhidos? 11. sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo e o segundo seria o time visitante. Então: 91 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Em seguida. (D) Duas combinações. 12. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o grupo A. Resposta: C. 02. Num plano são dados 10 pontos.00 o número de notas de R$ 5. (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. Resposta: 125. mas são descartadas as possibilidades de que os dois jogadores escolhidos sejam goleiros. A quantidade total de escolhas possíveis para o grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser. Quantos anagramas da palavra REPITO tem as letras REP juntas e nessa ordem? 09. Em cada partida. Quantos são os anagramas da palavra BONITA que começam com vogal e terminam por consoante? 07. entre os times do grupo A. então podemos repetir os algarismos. foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio.00 não pode ser ímpar. Pergunta-se: Qual o número total de retas determinadas por esses pontos? Qual o número total de triângulos com vértices nesses pontos? 10. para a dezena 5 chances e para a unidades 5 chances 5. respectivamente. 8! 90 𝐶10. Resposta: 250.4. Para escolher a centena temos somente 9 chances (não podemos começar um número por zero. José ou João são os mesmos dois jogadores) então temos uma combinação onde n = 23 e k = 2. Resposta: 720. Temos somente P4 = 4. 03. Resposta: 120. porém temos que descontar a possibilidade de sorteio de dois goleiros. Resposta: 24. REP _ _ _.3.Contando na tabela acima temos 11 chances para sacar o dinheiro. mas podemos colocar o zero) e para a unidades 8 chances 9.9.8! 2 b) para formar triângulos temos que unir 3 pontos distintos entre os 10 dados.2. Resposta: 144.P4 = 9. 10! 10.1 = 216.1 = 24. A palavra BONITA tem seis letras. No enunciado foi dito que as letras REP tem que ficar juntas.2. para a dezena 5 chances e para a unidade 4 chances 6. P4.5.2. portanto temos uma permutação de 4. A ordem para sorteio de antidoping não é importante (João ou Jose. 023 = 23) . A palavra REPITO tem seis letras.3. porém agora estas três letras tem que ficar nesta ordem então não haverá permutação entre elas.3. Temos 6 algarismos.9. No sistema decimal temos 10 algarismos (0 a 9).P3 = 4!.2. para formar anagramas (palavras com ou sem sentido usando todas as letras de uma outra) teremos uma permutação de 6 P6 = 6! = 6. A ordem para unir estes 2 pontos não é importante.8 = 648. então temos uma combinação onde n = 10 e k = 3.4. Formar números de três algarismos distintos (sem repetição). Como os anagramas tem que começar por vogal e terminar por consoante: Para a 1ª letras 3 chances (Vogais) e para a última 3 chances (Consoantes) e sobra uma permutação de 4 letras no meio. 09.1. Resposta: 648.1 = 720 06.3! = 4.3 = = = = 120 3! (10 − 3)! 3. 08. sobrando outras 3. temos como no item anterior uma combinação onde n = 10 e k = 3. Para escolher a centena temos 6 chances. Respostas: a) 45 retas e b) 120 triângulos a) para formar retas temos que unir 2 pontos distintos entre os 10 dados.8.1. então consideramos estas três letras como um bloco só.2.2. basta substituir na fórmula. porém as letras REP podem permutar entre si.9. Mesmo raciocínio da questão anterior. V _ _ _ _ C 3.1.5. A palavra BONITA tem três vogais e três consoantes. 10! 10.7! 6 10.3. outra combinação onde n = 3 e k = 2: 92 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: 216.3.7! 720 𝐶10.1 = 144. para a dezena 9 chances (não podemos repetir o primeiro algarismo escolhido.2 = = = = 45 2! (10 − 2)! 2.3.4 = 120 05. 04. 07. O enunciado diz que temos que formar número de três algarismos distintos (sem repetição). REP formam um bloco. Resposta: B.um evento número par. todos com chances iguais. . Para a escolha dos dois times para o jogo de abertura a ordem é importante. Para a escolha do Grupo a ordem dos 4 clubes sorteados não é importante. 4.Se A for o complemento de A em S. Temos 5 pessoas para permutar em cinco lugares dentro do carro. devemos considerar: Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.2 = 23! 3! 23. pois o primeiro sorteado fará o jogo em seu estádio. porém só uma delas dirigi e obrigatoriamente será o motorista. Demonstração das Propriedades 93 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .um espaço amostral. .2. pois 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴1 ) 𝑁(𝑆) 3 1 6 2 = = Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio .a probabilidade do evento número par é 1/2. numerados de 1 a 6. neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1. 12. então temos um arranjo. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1. Espaço Amostral e Evento Em uma tentativa com um número limitado de resultados. e observar o lado virado para cima. 6} C S. que seria o conjunto A1 = {2. 5.22. Representando: 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑁(𝑆) Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados. Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S. temos: . que seria o conjunto S {1. Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral. 4. pois o grupo será o mesmo. . Resposta: C.3. Conceito de Probabilidade As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. então temos uma combinação.2. Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis.2 − 𝐶3. será representado por A e o número de elementos do evento por n(A). é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Ø = evento impossível.1. 6}. 2. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A.1! 2 11. .o número de elementos do evento número par é n(A 1) = 3. logo sobram 4 pessoas para permutar os outros 4 lugares. portanto são eventos.21! 3. neste caso: P(A) = 1 .P(A). Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1.21! 2.1! 506 − = − = − 3 = 253 − 3 = 250 2! (23 − 2)! 2! (3 − 2)! 2. 3. S = evento certo. que é simbolizada por P(A). será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S). P4 = 4! = 4.𝐶23.1. . de um espaço amostral S ≠ Ø.Se A for um evento qualquer de S.1 = 24 PROBABILIDADE Ponto Amostral.Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. …. Quando os eventos A1. temos: { { 𝑛(∅) = 0 → 𝑃(∅) = 𝑃(𝑆) = 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) 0 𝑛(𝑆) → 𝑃(∅) = 0 → 𝑃(𝑆) = 1 ∅ ∁ 𝐴 ∁ 𝐴 ↔ 𝑛(∅) ≤ 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝑆) ↔ ↔ 𝑛(∅) 𝑛(𝑆) ≤ 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) ≤ 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) ↔ 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 ̅ { 𝐴 ∪ 𝐴̅ = 𝑆 𝐴∩𝐴 = ∅ { 𝑛(𝐴) 𝑛(𝐴̅) 𝑛(𝑆) ↔ 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐴̅) = 𝑛(𝑆) ↔ + = ↔ 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) ↔ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴̅) = 1 ↔ 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) União de Eventos Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S. A3. Observe que A ∩ B = 0. A2..Considerando S como um espaço finito e não vazio. analogicamente: P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + . portanto: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).. de dois em dois. A2. estes serão denominados exaustivos se A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …∪ An = S 94 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . temos: A B S 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ↔ 𝑛(𝐴∪𝐵) 𝑛(𝑆) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) + 𝑛(𝐵) 𝑛(𝑆) − 𝑛(𝐴∩𝐵) 𝑛(𝑆) Logo: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) . mutuamente exclusivos. + P(An) Eventos Exaustivos Quando os eventos A1. nesse caso temos.P(A ∩ B) Eventos Mutuamente Exclusivos A B S Considerando que A ∩ B. …. finito e não vazio. A3. An de S forem. de dois em dois. An de S forem. sempre mutuamente exclusivos. podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. finito e não vazio. P(B/A) P(A ∩ B) = P(B) . finito e não vazio. P(A/B) Considerando A e B como eventos independentes. É representada por P(B/A). Veja a representação: A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. logo P(B/A) = P(B). P(B) 95 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . finito e não vazio.Então. + P(An) = 1 Probabilidade Condicionada Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S. P(A/B) = P(A). sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . Estes serão independentes somente quando: P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B) Intersecção de Eventos Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S... Veja: 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑛(𝐴∩𝐵) 𝑛(𝐴) Eventos Independentes Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S. P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes. logo: { 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛) 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … 𝐴𝑛) = 𝑃(𝑆) = 1 Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + . logo: 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑛(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑛(𝐴∩𝐵) 𝑛(𝐴) 𝑛(𝐵) = 𝑛(𝐴∩𝐵)+𝑛(𝑆) = 𝑛(𝐴∩𝐵)+𝑛(𝑆) 𝑛(𝐴)+𝑛(𝑆) 𝑛(𝐵)+𝑛(𝑆) = 𝑃(𝐴∩𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵) Assim sendo: P(A ∩ B) = P(A) . qual a probabilidade de se obt er um rei ou uma dama? 04.Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p. de acordo com a quantidade de filhos. ordenadamente. Lei Binominal de Probabilidade Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é (A) 1 3 (B) 1 4 (C) 7 15 (D) 7 23 (E) 7 25 03.Se num total de n experiências.k. (1 – p)n-k Questões 01. e portanto a probabilidade desejada é: Cn. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais? 05.As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. .k . portanto Cn. A distribuição das mulheres. pk . Várias delas haviam se casado e tido filhos. é mostrada no gráfico abaixo. (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑝. há Cn. . ocorrer somente k vezes o evento A. . (1 − 𝑝) … . numeradas de 1 a 500. em cada tentativa ocorre. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é. um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p. 𝑝 … . nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A. Uma urna contém 500 bolas. de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes? Resolução: . exatamente.Sendo assim. ⏟ ⏟ (𝑛−𝑘)𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑘 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 . 4 bolas brancas. dentro das mesmas condições. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. numeradas de 1 a 6.k eventos distintos. e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. obrigatoriamente. Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. é: (1 − 𝑝). mas que possuem a mesma probabilidade pk . A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é (A) 10% (B) 12% (C) 64% 96 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 3 vermelhas e 5 azuis é: (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 1 4 (D) 1 12 (E) 1 8 02. nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A. 𝑝 . (1 – p)n-k. Sendo que. 𝑝. (1 − 𝑝) = 𝑝𝑘 . . Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja. abacaxi e limão. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais). A partir da distribuição apresentada no gráfico: 08 mulheres sem filhos. Uma urna contém 4 bolas amarelas.3. Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos. há 25 laranjas. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é: (A) 1 81 (B) 16 81 (C) 4 (D) 81 24 81 (E) 2 81 10.(D) 82% (E) 86% 06. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%. Num espaço amostral. a probabilidade pedida é: 9 6 3 12 1 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = + − = = 36 36 36 36 3 05. Sendo Ω. são 36 casos possíveis. para o décimo cliente. de acertar.7 09. respectivamente. o conjunto espaço amostral. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) = 4 52 + 4 52 = 8 52 = 2 13 04.8 e P(A) = 0. Nestas condições. dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0.6 (D) 7/15 (E) 0. Retirando-se uma bola ao acaso. Para fazer um suco de laranja.5 (B) 5/7 (C) 0. são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. No lançamento de dois dados de 6 faces. então a probabilidade de que. temos n(Ω) = 500 97 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é: (A) 1 (B) 1 39 (C) 1 38 (D) 2 3 (E) 2 37 Respostas 01. 03. 𝑃(𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) = 4 12 = 1 3 02. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas. 07 mulheres com 1 filho. 02 mulheres com 3 filhos. a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é: (A) 42% (B) 45% (C) 46% (D) 48% (E) 50% 08. Se na lanchonete. a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25. Podemos concluir que o valor de P(B) é: (A) 0. sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca? 07. 2 brancas e 3 bolas vermelhas. 06 mulheres com 2 filhos. numeradas de 1 a 6. . B2}. 10 → n = 50 Dessa forma. A2. Temos: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A) . B1. B2} → n(S) = 9 A: retirada de bola amarela = {A1. Sejam A1. 09.. A = {100. 30% P (A ∪ B) = 0. temos: 500 = 100 + (n – 1) . A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10. temos: 𝑃(𝐵1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝑃4 ) = 𝑃(𝐵1 ). n(B) = 2 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) 𝑛(𝐵) 𝑛(𝑆) 4 → 𝑃(𝐴) = ≅ 44. 110. 500}. A2. 20. 10 → n = 41 e p(A∩B) = 41/500 Por fim. . A3. V3 B1.Se apenas um deve acertar o alvo. temos: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) P (A ∪ B) = 40% .5 P(B) = 5/7.70 + 0. Temos S = {A1.Sendo A e B eventos independentes.8 = 0.28 + 0.60 . 𝑃(𝑃2 ).B) = 401 500 + 50 500 − 41 500 = 41 50 = 82% 06.A..4% 2 9 → 𝑃(𝐵) = ≅ 22. 70% + 60% . B = {10. 0. V2. De an = a1 + (n – 1) . Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.2% 9 Como A∩B = ∅. n(A) = 401 e p(A) = 401/500 B: o número sorteado é múltiplo de 10. 102..7 . 101. P(A∩B) = P(A) ... Representando por 𝑃(𝐵1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝑃4 ) a probabilidade pedida. A2.. 𝑃(𝑃4 ) = 2 4 2 4 2 2 4 2 4 6 6 6 6 6 6 81 . B2 as brancas e V1. n(A) = 4 B: retirada de bola branca = {B1.( ) = 98 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 499. ou (B) “A” erra e “B” acerta.. A Ω B = {100. = ( ) . P(B) 0. 500}.. .. 0. A4}.0% 9 9 9 9 07. P(B) e como P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B). A4 as bolas amarelas. então podem ocorrer os seguintes eventos: (A) “A” acerta e “B” erra. r.A: o número sorteado é formado por 3 algarismos. em que a1 = 10 an = 500 r = 10 Temos an = a1 + (n – 1) . Assim.. 500}. .3 . . p(A. V2. P(B) 0. 𝑃(𝐵3 ).30 P (A ∪ B) = 0.40 .3 + P(B) – 0.18 P (A ∪ B) = 0. A4. V1. V3 as vermelhas. A3. 4 2 6 2 Logo: P(A∪B) = P(A) + P(B) = + = → 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = ≅ 67. p(B) = 50/500. A e B são eventos mutuamente exclusivos. r → 500 = 10 + (n – 1) . A3.46 P (A ∪ B) = 46% 08. (PB) = 0. Como cada suco de laranja utiliza três laranjas. ( ) = 1 e ( ) = 𝑛 0 𝑛 1 TRIÂNGULO DE PASCAL Definição: é uma tabela formada por números binomiais dispostos de tal forma que os binomiais de mesmo numerador situam-se na mesma linha e os mesmo denominador na mesma coluna. se n < k 𝑘 . temos que se os números naturais n. 99 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . =( ) 𝑘 𝑘+1 𝑘+1 𝑛 𝑛 𝑛 d) Temos que ( ) = 1 . k e p 𝑘 𝑛−𝑘 𝑛 𝑛 forem tais que n ≥ k e n ≥ p ( ) = (𝑝) k = p ou k + p = n. pois seriam necessárias 27 laranjas. ( ) .Propriedades dos binomiais: 𝑛 𝑛 a) ( ) = ( ). ( ) = 9. como consequência dessa propriedade. . é necessário que.Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente. e um deles tenha pedido outro suco. oito tenham pedido sucos de laranjas.8 . ou simplesmente o binomial n sobre k é um novo número natural representado por: 𝑛 𝑛! ( )= . o número binomial de ordem n e classe k. entre os nove primeiros.10. 𝑘 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 b) ( )+( )=( ) 𝑘 𝑘 −1 𝑘 𝑛 𝑛−𝑘 𝑛 c) ( ) . Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos. se n ≥ k 𝑘 𝑘!(𝑛−𝑘)! 𝑛 ( ) = 0. = NÚMERO BINOMIAL Sendo n e k dois números naturais. A probabilidade de isso ocorrer é: 1 8 2 1 1 2 2 3 3 38 3 37 𝐶9. II. não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes. então: I. por exemplo. 35 × 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105 ÷ 5 = 21. a todo binômio da forma (a + b) n. temos: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 . o coeficiente do 6º termo (21 a2b5)? Pela regra: Coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5. Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Exemplo: B = (3x . no desenvolvimento de (a + b)n são iguais .Resolvendo os números binomiais. conforme se vê acima. BINÔMIO DE NEWTON Denomina-se Binômio de Newton. para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos: 5 × 4 = 20. Então. 2) O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos . 100 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . O resultado será o coeficiente do próximo termo. . senão vejamos: Vamos tomar. 4) A soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n . já que elas possuem uma lei de formação bem definida. que é o coeficiente do sexto termo. agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20 ÷ 2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado. igual a 5. b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ). Observações: 1) O desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio. A partir do segundo termo. Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton: a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5 Nota: Não é necessário memorizar as fórmulas acima. Usando a regra prática acima. Assim por exemplo. por exemplo. sendo n um número natural. 3) Os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos . .2y)4 ( onde a = 3x. o item (d) acima: Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio. o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b) 7 será: (a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7 Como obtivemos. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2). os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização: Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. ou seja. 02. 𝑘 Sendo (𝑛𝑘) = 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)! Questões 01. (3y)4 = . Desenvolvendo o binômio (2x .6 . Para isto. sendo k um número natural. Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9.3 . 02. Calcular ( ). (2x)9 .8 .4! 8 T4+1 = T5 = ( ).6! 9 T6+1 = T7 = ( ).4!] (4! . Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio. desenvolvido segundo as potências decrescentes de x. 1 = . Qual o valor de n? 04. 3 2𝑥 2𝑥 07. Calcular 5!. Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8? 03. 81y4 [(8−4)! . 5 06.8𝑥³ = 672𝑥³ [(9−6)! ×6!] 3 . an – k . Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton Um termo genérico Tk + 1 do desenvolvimento de (a + b)n. (1)6 = . feito segundo os expoentes crescentes de a.2. fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados.ak .7 . Teremos: 8! 8 . porque n = 8. basta fazer k = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes.4 . Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1 6 ).6! 6 Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.1 4 101 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 𝑘 𝑛 b) T k + 1 = ( ). Solução: Primeiro temos que aplicar a fórmula do termo geral de (a + b) n. obtemos um polinômio de 16 termos. onde: a = 2x b=1 n=9 Como queremos o sétimo termo. bn – k . o nosso problema resume-se ao cálculo do T5. Temos então: 9! 9 . 𝑥 05.1 . Logo. Solução: Temos: a = 2x b = 3y n=8 Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos. Resposta “672x3”. Resposta “90720x4y4”. (2x)8-4 .5 . o termo do meio (termo médio) será o T 5 (quinto termo). é dado por: 𝑛 a) Tk + 1 = ( ) . 16x4 . (3y)4 = .6 .2 . 𝑥−1 3 Respostas 01. (2x)4 .7 . feito segundo os expoentes decrescentes de a. (2𝑥)3 . bk. Resolver a equação ( ) = ( ).3y)3n. Resposta: x = 2 ou x = 4 Resolução esses dois números binomiais são iguais se: x – 1 = 3 ou x – 1 + 3 = 2x x = 3 + 1 ou 2 = 2x – x x=4 ou x=2 102 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Solução: Ora.1 = 120 06. y4 = 90720x4y4 . x6 . teremos o termo procurado. Resposta: 120 Resolução: 5! = 5.4.k = ( ).81. 𝑥 𝑘 𝑘 𝑘 Ora. podemos escrever: 1 6 6 6 Tk + 1 = ( ). x6 . aquele que não possui x. ( )k = ( ).2. x. então o expoente do binômio é igual a 15. 3n = 15 de onde se conclui que n = 5.16. Solução: Sabemos que o termo independente de x é aquele que não depende de x.2 .4 20 5 Resolução: ( ) = = = = = 10 3!(5−3)! 3!.3. Logo. se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos. 03. 05. x6 . Temos no problema dado: a=x 1 b= 𝑥 n = 6. Resposta “5”. Logo. Pela fórmula do termo geral.x4 .2p .3! 5.Fazendo as contas vem: T5 = 70.3!] 3! .k .3! 6 T3+1 = T4 = ( ).4 . 04. que é o termo médio procurado. o expoente desta variável deve ser zero. para que o termo seja independente de x.2! 2. Resposta “20”. pois x0 = 1. obtemos k = 3. ou seja.1 3 Logo.1 2 3 07.4. x0 = = = 20 [(6−3)! . fazendo 6 – 2k = 0.k . o termo independente de x é o T 4 (quarto termo) que é igual a 20.5 . Substituindo então k por 6. Resposta: 10 5! 5. Temos então: 6! 6 . Babilônia e no Egito. já se faziam censos na China. um resultado é significante. Ao divisar um teste de hipóteses. O nível de significância de um resultado é também chamado de α e não deve ser confundido com o valor p (p-value). Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. um resultado que é "significante ao nível de 1%" é mais significante do que um resultado que é significante "ao nível de 5%". um teste ao nível de 1% é mais susceptível de padecer do erro de tipo II do que um teste de 5% e por isso terá menos poder estatístico. político… Todavia. o nível de 5% de significância anteriormente escolhido) exceder o valor crítico. o valor é menos provavelmente um extremo em relação ao valor crítico. social. A expressão teste de significância foi cunhada por Ronald Fisher. em alguns casos. NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA 5. 103 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . então é significante "ao nível de 5%". no teste de hipóteses com base em frequência estatística.5. Mais concretamente.C. econômico. um instrumento útil e. Existem indícios que há 300 mil anos a. muitas vezes decisões rápidas. segmentos. antes de chegarmos à parte de interpretação para tomadas de decisão. portanto. histogramas). Esta confusão é infelizmente propagada por muitos livros de estatística.1. indispensável para tomadas de decisão em diversos campos: científico. Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão através da análise dos dados que possuímos. o técnico deverá tentar maximizar o poder de uma dada significância. No entanto. Medidas de tendência central (média. entre os erros de tipo I e tipo II. hoje em dia. mas não sendo improvável caso a hipótese base seja falsa. mas ultimamente tem de reconhecer que o melhor resultado que se pode obter é um compromisso entre significância e poder. Deste modo. a significância de um teste é a probabilidade máxima de rejeitar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira (uma decisão conhecida como erro de tipo I). Representação gráfica (barras. tem significância estatística. dada a verdade da hipótese nulo. se for improvável que tenha ocorrido por acaso (que em estatística e probabilidade é tratado pelo conceito de chance). em outras palavras. Em Estatística. Se o valor estatístico calculado (ou seja. podemos escolher um nível de significância de. No nosso quotidiano. 5%. 5. ser 5%. setores. há que proceder a um indispensável trabalho de recolha e organização de dados. Por exemplo. Censos estes que se destinavam à taxação de impostos. Valor da Estatística Conceitos Básicos A estatística é. É importante ressaltar que os valores p Fisherianos são filosoficamente diferentes dos erros de tipo I de Neyman-Pearson. Se o nível de significância (ex: 5% anteriormente dado) é menor. mediana e moda). precisamos tomar decisões. digamos. e calcular um valor crítico de um parâmetro (por exemplo a média) de modo que a probabilidade de ela exceder esse valor.2. caso uma determinada hipótese nula seja verdadeira. sendo a recolha feita através de recenseamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou sondagens. Análise da Sobrevivência: Função de sobrevivência .Análise de variância.Modelos Lineares Generalizados .Teste Exata de Fisher .Amostragem sistemática . .Séries Temporais: Modelos para séries temporais .Amostragem: Amostragem aleatória simples (com reposição.t de Student . neste sentido. esses termos também são usados em estudos em que não se manipulam variáveis independentes. . os dados experimentais podem demonstrar conclusivamente relações causais (causa e efeito) entre variáveis.Potência . são "independentes" dos padrões de reação inicial. mas apenas se designam sujeitos a "grupos experimentais" baseados em propriedades pré-existentes dos próprios 104 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Mediana .Análise fatorial Análise discriminante .Teste Kolmogorov-Smirnov (uma amostra.Gama . elas dependem "do que os sujeitos farão" em resposta.Modelos para Dados Longitudinais. Contrariando um pouco a natureza da distinção.Kaplan-Meier .Análise de "Cluster" (Análise de agrupamento) .Hipergeométrica Binomial . k amostras independentes) .Método dos mínimos quadrados .Inferência Estatística: Testes de hipóteses . Harmônica.Estatística Descritiva: Média (Aritmética. . onde algumas variáveis são manipuladas. Pesquisa "Correlacional" X Pesquisa "Experimental": A maioria das pesquisas empíricas pertencem claramente a uma dessas duas categorias gerais: em uma pesquisa correlacional (Levantamento) o pesquisador não influencia (ou tenta não influenciar) nenhuma variável.Análise de Correspondência. A análise dos dados em uma pesquisa experimental também calcula "correlações" entre variáveis.estimador razão . Ponderada) .Teste dos Sinais . por exemplo. Os termos variável dependente e independente aplicam-se principalmente à pesquisa experimental. duas amostras independentes) .F-Snedecor.Teste de McNemar .Teste T . Em uma pesquisa experimental (Experimento) o pesquisador manipula algumas variáveis e então mede os efeitos desta manipulação em outras variáveis. literalmente falando. uma vez que se esteja acostumado a esta distinção ela se torna indispensável. aumentar artificialmente a pressão sangüínea e registrar o nível de colesterol.Correlação: Variável de confusão .Modelos sazonais.Análise Multivariada: Distribuição normal multivariada .Erro de tipo II .Proportional hazards models. Por exemplo.De Poisson .Regressão não-linear . Panorama Geral: Variáveis: São características que são medidas.Tendência e sazonalidade .Amostragem estratificada .Hipótese nula/Hipótese alternativa . e.Coeficiente de correlação tau de Kendall). mas não podem ser conclusivamente provar causalidade. Geométrica. intenções e características dos sujeitos da pesquisa (unidades experimentais).Taxa de falha . controladas ou manipuladas em uma pesquisa.Amostragem por conglomerados . se o pesquisador descobrir que sempre que muda a variável A então a variável B também muda. Dados de uma pesquisa correlacional podem ser apenas "interpretados" em termos causais com base em outras teorias (não estatísticas) que o pesquisador conheça. Variáveis dependentes e variáveis independentes: Variáveis independentes são aquelas que são manipuladas enquanto que variáveis dependentes são apenas medidas ou registradas.Teste de Wilcoxon .Modelos de suavização exponencial .Moda Variância .Distribuição t de Student .estimador regressão.Teste de Friedman.Teste Q de Cochran . . sem reposição) .Componentes principais .Divisão da Estatística: .Coeficiente de correlação de Pearson .Teste de Walsh .De Pareto . Ou seja.Teste de Kruskal-Wallis .Estatística Não-Paramétrica: Teste Binomial . como pressão sangüínea e nível de colesterol. duas amostras independentes.Desvio padrão .Erro de tipo I .Teste Qui-quadrado (uma amostra.Espera-se que outras variáveis sejam "dependentes" da manipulação ou das condições experimentais.Normalização Valor p .Beta .Distribuição de Probabilidade: Normal .Teste log-rank .Coeficiente de variação. Entretanto.Teste Z . . .ARIMA . mas apenas as mede e procura por relações (correlações) entre elas.Regressão logística . especificamente entre aquelas manipuladas e as que foram afetadas pela manipulação. Regressão: Regressão linear . Diferem em muitos aspectos.Binomial negativa .De Bernoulli . . Esta distinção confunde muitas pessoas que dizem que "todas variáveis dependem de alguma coisa".Significância .Coeficiente de correlação de postos de Spearman . Entretanto. então ele poderá concluir que A "influencia" B. . principalmente no papel que a elas é dado em uma pesquisa e na forma como podem ser medidas. Por exemplo. Há obviamente algum erro em cada medida.Variáveis intervalares permitem não apenas ordenar em postos os itens que estão sendo medidos. o que determina o "montante de informação" que se pode obter. sexo e WCC seriam relacionados se a maioria dos homens tivesse alta WCC e a maioria das mulheres baixa WCC. Por exemplo. altura é relacionada ao peso porque tipicamente indivíduos altos são mais pesados do que indivíduos baixos. mas basicamente o fator que determina a quantidade de informação que uma variável pode prover é o seu tipo de nível de mensuração. Níveis de Mensuração: As variáveis diferem em "quão bem" elas podem ser medidas. Importância das relações entre variáveis: Geralmente o objetivo principal de toda pesquisa ou análise científica é encontrar relações entre variáveis. A própria distinção entre mensuração nominal. A filosofia da ciência ensina que não há outro meio de representar "significado" exceto em termos de relações entre quantidades ou qualidades.sujeitos. isto é. por exemplo). Por exemplo. . ordinais e intervalares. etc. mas extremamente importante. diz quão provável será encontrar uma relação similar se o experimento fosse feito com outras amostras retiradas da mesma população. poderia-se dizer que a magnitude da relação entre as duas variáveis (sexo e WCC) é muito alta em nossa amostra. mas não se pode quantificar nem mesmo ordenar tais categorias. se em uma pesquisa compara-se a contagem de células brancas (White Cell Count em inglês. Por exemplo. pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos da variável A (sexo. raça. Sob este prisma as variáveis são classificadas como nominais.I. medida em graus Celsius constitui uma variável intervalar. Se o estudo atender certos critérios específicos (que serão mencionados posteriormente) então a confiabilidade de uma 105 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . se cada homem em nossa amostra tem um WCC maior do que o de qualquer mulher da amostra. Relaciona-se à "representatividade" do resultado encontrado em uma amostra específica de toda a população. elas podem ser medidas apenas em termos de quais itens pertencem a diferentes categorias. Relações entre variáveis: Duas ou mais variáveis quaisquer estão relacionadas se em uma amostra de observações os valores dessas variáveis são distribuídos de forma consistente. bem como nas pesquisas experimentais. lembrando que o maior interesse está na população. cidade. que é 18% mais alta.'s mais altos cometem menos erros. mas não se pode dizer. as variáveis estão relacionadas se seus valores correspondem sistematicamente uns aos outros para aquela amostra de observações. Um exemplo típico de uma variável ordinal é o status sócio-econômico das famílias residentes em uma localidade: sabe-se que média-alta é mais "alta" do que média. por exemplo. e ambos os casos envolvem relações entre variáveis. Por exemplo. ordinal e intervalar representa um bom exemplo de uma variável ordinal: pode-se dizer que uma medida nominal provê menos informação do que uma medida ordinal. Exemplos típicos de variáveis nominais são sexo. WCC) de homens e mulheres. ou vice-versa.Confiabilidade é um conceito muito menos intuitivo. sexo pode ser chamada de variável independente e WCC de variável dependente. mas ainda não permitem que se diga "o quanto mais".I. o experimento já mencionado de comparar WCC em homens e mulheres pode ser descrito como procura de uma correlação entre 2 variáveis: sexo e WCC. poderia-se prever uma baseada na outra (ao menos na amostra em questão).Variáveis nominais permitem apenas classificação qualitativa. Q. O interesse na amostra reside na informação que ela pode prover sobre a população. . em quanta informação seu nível de mensuração pode prover. mas também quantificar e comparar o tamanho das diferenças entre eles.Magnitude é muito mais fácil de entender e medir do que a confiabilidade. Por exemplo. Em outras palavras. A Estatística nada mais faz do que auxiliar na avaliação de relações entre variáveis. mas não se pode dizer "quanto menos" ou como esta diferença se compara à diferença entre mensuração ordinal e intervalar. . temperatura. Aspectos básicos da relação entre variáveis: As duas propriedades formais mais elementares de qualquer relação entre variáveis são a magnitude ("tamanho") e a confiabilidade da relação. . Ou seja. mas não se pode dizer qual deles "tem mais" da qualidade representada pela variável. o avanço da ciência sempre tem que envolver a descoberta de novas relações entre variáveis. Assim. está relacionado ao número de erros em um teste se pessoas com Q.Variáveis ordinais permitem ordenar os itens medidos em termos de qual tem menos e qual tem mais da qualidade representada pela variável. . Em outras palavras. Pode-se dizer que a temperatura de 40C é maior do que 30C e que um aumento de 20C para 40C é duas vezes maior do que um aumento de 30C para 40C. Em pesquisas correlacionais a medida destas relações é feita de forma bastante direta. Em outras palavras. eles não são totalmente independentes. assumindo que não haja relação entre aquelas variáveis na população. Quanto mais alto o nível-p. a decisão final depende usualmente de: se o resultado foi previsto a priori ou apenas a posteriori no curso de muitas análises e comparações efetuadas no conjunto de dados. Por que a significância de uma relação entre variáveis depende do tamanho da amostra: Se há muito poucas observações então há também poucas possibilidades de combinação dos valores das 106 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . porém. poderia-se esperar que em aproximadamente 20 realizações do experimento haveria apenas uma em que a relação entre as variáveis em questão seria igual ou mais forte do que a que foi observada naquela amostra anterior. Significância Estatística (nível-p): A significância estatística de um resultado é uma medida estimada do grau em que este resultado é "verdadeiro" (no sentido de que seja realmente o que ocorre na população. pode não sê-lo a 0. Resultados com um nível-p 0. o nível-p de 0. seja um "acaso feliz". Assumindo que não há relação entre as variáveis na população.05. Na prática. Então a magnitude e a significância de uma relação aparentam estar fortemente relacionadas. incluem alguma "correção" ou ajuste para o número total de comparações. Entretanto. seria razoável esperar encontrar por acaso que cerca de dois (um em cada 20) coeficientes de correlação são significantes ao nível-p 0. no total de evidências consistentes do conjunto de dados.relação observada entre variáveis na amostra pode ser estimada quantitativamente e representada usando uma medida padrão (chamada tecnicamente de nível-p ou nível de significância estatística).05 (1/20) indica que há 5% de probabilidade de que a relação entre as variáveis.05 é costumeiramente tratado como um "limite aceitável" de erro. Como determinar que um resultado é "realmente" significante: Não há meio de evitar arbitrariedade na decisão final de qual nível de significância será tratado como realmente "significante". mesmo que os valores das variáveis sejam totalmente aleatórios. Entretanto. o valor do nívelp representa um índice decrescente da confiabilidade de um resultado. e aquelas variáveis não se correlacionem na população. isso é válido apenas se o tamanho da amostra é mantido constante. Especificamente. o nível-p representa a probabilidade de erro envolvida em aceitar o resultado observado como válido. em uma amostra de um certo tamanho quanto maior a magnitude da relação entre variáveis. muitos métodos estatísticos (especialmente análises exploratórias simples de dados) não oferecem nenhum remédio direto para este problema. em muitas ciências resultados que atingem nível-p 0. e seria possível calcular a significância a partir da magnitude e vice-versa. e o experimento de interesse seja repetido várias vezes. Em geral.005 ou nível-p 0. Mais tecnicamente. ou seja no sentido de "representatividade da população"). Alguns métodos estatísticos que envolvem muitas comparações. como "representativo da população". isto é. porque uma relação de certa força poderia ser tanto altamente significante ou não significante de todo dependendo do tamanho da amostra. o resultado mais provável deveria ser também não encontrar relação entre as mesmas variáveis na amostra da pesquisa. um nível-p de 0. Ou seja. Cabe então ao pesquisador avaliar cuidadosamente a confiabilidade de descobert as não esperadas. Assim. Estas classificações. a seleção de um nível de significância acima do qual os resultados serão rejeitados como inválidos é arbitrária. mas este nível ainda envolve uma probabilidade de erro razoável (5%).01 são comumente considerados estatisticamente significantes. e portanto uma boa chance para tais erros.05.05 são considerados estatisticamente significantes. Em outras palavras. menos se pode acreditar que a relação observada entre as variáveis na amostra é um indicador confiável da relação entre as respectivas variáveis na população. mais os resultados atingirão "por acaso" o nível de significância convencionado. mais confiável a relação. quanto mais forte a relação encontrada na amostra menos provável é a não existência da relação correspondente na população. Em muitas áreas de pesquisa. e com nível-p 0.001 são freqüentemente chamados "altamente" significantes. Por exemplo. Uma conseqüência óbvia é que um resultado considerado significante a 0. Por exemplo. encontrada na amostra.01. Contudo. são convenções arbitrárias e apenas informalmente baseadas em experiência geral de pesquisa. ao calcular correlações entre dez variáveis (45 diferentes coeficientes de correlação). e nas "tradições" existentes na área particular de pesquisa. por exemplo. Significância estatística e o número de análises realizadas: Desnecessário dizer quanto mais análises sejam realizadas em um conjunto de dados. Tipicamente. Força X Confiabilidade de uma relação entre variáveis: Foi dito anteriormente que força (magnitude) e confiabilidade são dois aspectos diferentes dos relacionamentos entre variáveis. Com que freqüência isso acontece? Quanto menor a amostra em cada experimento maior a probabilidade de obter esses resultados errôneos. um par de amostra apresentará uma diferença entre homens e mulheres consideravelmente diferente de zero. Mais um exemplo: Se uma moeda é ligeiramente viciada. certo dia. Por exemplo. mesmo que tal relação não exista na população.variáveis. Por exemplo. baixa) e há apenas quatro sujeitos na amostra (2 homens e 2 mulheres). Nisbett et al. há uma chance em oito de que os dois homens tenham alta WCC e que as duas mulheres tenham baixa WCC. então poderá ser considerada significante mesmo em uma pequena amostra. Contudo. Agora considere-se a probabilidade de obter tal resultado por acaso se a amostra consistisse de 100 sujeitos: a probabilidade de obter aquele resultado por acaso seria praticamente zero. se a relação é grande. que. e isso também inclui todos os resultados de "relação inexistente". o tamanho de amostra necessário para prová-lo aproxima-se do infinito. Assim. A significância estatística representa a probabilidade de que um resultado similar seja obtido se toda a população fosse testada. A probabilidade de se encontrar.. muitas pessoas considerariam isso prova suficiente de que há "algo errado" com a moeda. neste caso. uma relação de 100% entre as duas variáveis pode ser tão alta quanto 1/8. por definição. Na maioria dos experimento os resultados das diferenças serão próximos de zero. Por que pequenas relações podem ser provadas como significantes apenas por grandes amostras: Os exemplos dos parágrafos anteriores indicam que se um relacionamento entre as variáveis em questão (na população) é pequeno. Em outras palavras. mesmo que o resultado obtido (6 caras e 4 coroas) seja perfeitamente representativo do viesamento da moeda. Isso quer dizer que. qualquer coisa que fosse encontrada após testar toda a população seria. Em que hospital isso provavelmente aconteceu? A resposta é óbvia para um estatístico. se o efeito em questão for grande o bastante. que teoricamente é considerado infinitamente grande. Pode uma "relação inexistente" ser um resultado significante: Quanto menor a relação entre as variáveis maior o tamanho de amostra necessário para prová-la significante. de vez em quando. indicariam a existência de uma relação entre sexo e WCC obtida de uma população em que tal relação não existe. se a relação em questão é muito grande na população então poderá ser constatada como altamente significante mesmo em um estudo baseado em uma pequena amostra. Então dez lançamentos não seriam suficientes para convencer alguém de que a moeda é viciada. e cada lançamento produzisse caras. 107 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Explicando. puramente por acaso. Assim. Supondo um experimento em que se retiram pares de amostras (homens e mulheres) de um certo tamanho da população e calcula-se a diferença entre a média de WCC em cada par de amostras (supor ainda que o experimento será repetido várias vezes). e então a probabilidade de obter por acaso uma combinação desses valores que indique uma forte relação é relativamente alta. mas não tão óbvia para os leigos: é muito mais provável que tal fato tenha ocorrido no hospital menor. Observando um exemplo mais geral. ou vice-versa. os dez lançamentos serão suficientes. então não há meio de identificar tal relação em um estudo a não ser que a amostra seja correspondentemente grande. A razão para isso é que a probabilidade de um desvio aleatório da média da população aumenta com a diminuição do tamanho da amostra (e diminui com o aumento do tamanho da amostra). o tamanho mínimo de amostra necessário cresce na mesma proporção em que a magnitude do efeito a ser demonstrado decresce. Observe-se mais um exemplo ("razão meninos para meninas". em um dos hospitais nasceram duas vezes mais meninas do que meninos.000001 %! Então. WCC: alta. se quase não há relação entre duas variáveis o tamanho da amostra precisa quase ser igual ao tamanho da população. de tal forma que quando lançada é ligeiramente mais provável que ocorram caras do que coroas (por exemplo uma proporção 60% para 40%). mulher. Mesmo que a amostra seja de fato "perfeitamente representativa" da população o efeito não será estatisticamente significante se a amostra for pequena. 1987): Há dois hospitais: no primeiro nascem 120 bebês a cada dia e no outro apenas 12. Analogamente. seria considerada prova convincente de que a população teórica de um número infinito de lançamentos desta moeda teria mais caras do que coroas. imagine-se quantos lançamentos seriam necessários para provar que uma moeda é viciada se seu viesamento for de apenas 0. Em média a razão de meninos para meninas nascidos a cada dia em cada hospital é de 50/50. Entretanto. Considere-se o seguinte exemplo: Há interesse em duas variáveis (sexo: homem. dez lançamentos não são suficientes para provar nada? Não. Imagine-se uma população teórica em que a média de WCC em homens e mulheres é exatamente a mesma. imagine-se que a moeda seja tão viciada que não importe como venha a ser lançada o resultado será cara. Quando a magnitude do efeito aproxima-se de zero. Se tal moeda fosse lançada dez vezes. significante ao mais alto nível possível. Contudo. 40% da variação global ser explicada pela relação entre duas variáveis é suficiente para considerar a relação significante? "Depende". em amostras muito grandes mesmo relações muito pequenas entre variáveis serão significantes. seguem um princípio geral: elas procuram avaliar a relação comparando-a de alguma forma com a "máxima relação imaginável" entre aquelas variáveis específicas. Infelizmente. Como já foi explicado. Seria ideal se a função de probabilidade fosse linear.Como medir a magnitude (força) das relações entre variáveis: Há muitas medidas da magnitude do relacionamento entre variáveis que foram desenvolvidas por estatísticos: a escolha de uma medida específica em dadas circunstâncias depende do número de variáveis envolvidas. Esta hipótese "alternativa" (de que não há relação na população) é usualmente chamada de hipótese nula. este valor é uma medida muito pobre. 100% das diferenças observadas entre os sujeitos relativas a suas WCC's devem-se a seu sexo. ou seja. em média. em muitos casos. e então calcular qual parte desta "diferença global disponível" seria detectada na ocasião se aquela diferença fosse "comum" (fosse apenas devida à relação entre as variáveis) nas duas (ou mais) variáveis em questão. Assim. e isso permitiria conhecer a probabilidade de erro envolvida em rejeitar a idéia de que a relação em questão não existe na população. O termo é usado apenas para denotar a variação comum às variáveis em questão. Esta razão é usualmente chamada de razão da variação explicada pela variação total. em certo sentido. e não é sempre exatamente a mesma. Como é calculado o nível de significância estatístico: Assuma-se que já tenha sido calculada uma medida da relação entre duas variáveis (como explicado acima).Se todos os valores de WCC estão em um intervalo de 0 a 1000. toda boa medida das relações entre variáveis tem que levar em conta a diferenciação global dos valores individuais na amostra e avaliar a relação em termos (relativos) de quanto desta diferenciação se deve à relação em questão. a mesma diferença (de 2) entre a WCC média de homens e mulheres encontrada no estudo seria uma parte tão pequena na diferença global dos valores que muito provavelmente seria considerada desprezível. a direção da diferença. etc. Outro exemplo: Em uma amostra o índice médio de WCC é igual a 100 em homens e 102 em mulheres. compara-se "o que é comum naquelas variáveis" com "o que potencialmente poderia haver em comum se as variáveis fossem perfeitamente relacionadas". sua forma é conhecida e isso pode ser usado para determinar os níveis de significância para os resultados obtidos em amostras 108 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Tecnicamente. ou seja. Poderiase dizer que nesta amostra sexo é perfeitamente correlacionado a WCC. natureza das relações. e por exemplo. dependendo do tamanho da amostra. Falando menos tecnicamente. um sujeito a mais que fosse considerado poderia mudar. porque não diz quão relativamente grande é aquela componente em relação à "diferença global" dos valores de WCC.Se todos os valore de WCC de homens são exatamente iguais a 100 e os das mulheres iguais a 102 então todos os desvios da média conjunta na amostra seriam inteiramente causados pelo sexo. Portanto. níveis de mensuração usados. apenas tivesse diferentes inclinações para diferentes tamanhos de amostra. Entretanto. Em outras palavras. Assim. Quase todas. a parte da variação de uma variável que é "explicada" pelos valores específicos da outra variável e vice-versa. poderiase dizer que. teria-se uma razão da parte da diferenciação global dos valores de WCC que podem se dever ao sexo pela diferenciação global dos valores de WCC. representa uma medida da relação entre sexo e WCC. "Formato geral" de muitos testes estatísticos: Como o objetivo principal de muitos testes estatísticos é avaliar relações entre variáveis. Há duas possibilidades extremas: S . ou mesmo reverter. assumindo que não há tal relação entre aquelas variáveis na população". eles representam uma razão de alguma medida da diferenciação comum nas variáveis em análise (devido à sua relação) pela diferenciação global daquelas variáveis. para determinar o nível de significância estatística torna-se necessária uma função que represente o relacionamento entre "magnitude" e "significância" das relações entre duas variáveis. o desvio de cada valor da média de ambos (101) contém uma componente devida ao sexo do sujeito. Tecnicamente. A próxima questão é "quão significante é esta relação"? Por exemplo. Especificamente. . Este valor. e o tamanho desta componente é 1. Contudo. enquanto que em amostras muito pequenas mesmo relações muito grandes não poderão ser consideradas confiáveis (significantes). muitos desses testes seguem o princípio exposto no item anterior. porém. aquela função forneceria o nível de significância (nível-p). a função é mais complexa. a significância depende principalmente do tamanho da amostra. Tal função diria exatamente "quão provável é obter uma relação de dada magnitude (ou maior) de uma amostra de dado tamanho. Por exemplo. Em estatística o termo variação explicada não implica necessariamente que tal variação é "compreendida conceitualmente". um modo comum de realizar tais avaliações é observar quão diferenciados são os valores das variáveis. Por exemplo. os estudos de Monte Carlo foram 109 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . mas muitos são ou baseados na distribuição normal diretamente ou em distribuições a ela relacionadas. Ilustração de como a distribuição normal é usada em raciocínio estatístico (indução): Retomando o exemplo já discutido. os resultados de tais repetições são "normalmente distribuídos". Uma propriedade característica da distribuição normal é que 68% de todas as suas observações caem dentro de um intervalo de 1 desvio padrão da média. de vez em quando um par de amostras apresentará uma diferença substancialmente diferente de zero. Quão frequentemente isso ocorre? Se o tamanho da amostra é grande o bastante. Primeiramente. filosoficamente. conhecendo a forma da curva normal pode-se calcular precisamente a probabilidade de obter "por acaso" resultados representando vários níveis de desvio da hipotética média populacional 0 (zero). Todos os testes estatísticos são normalmente distribuídos: Não todos. onde pares de amostras de homens e mulheres foram retirados de uma população em que o valor médio de WCC em homens e mulheres era exatamente o mesmo. mesmo que a distribuição da variável em questão não seja normal. o que é outra razão por que a distribuição normal representa uma "característica geral" da realidade empírica. Como se conhece as consequências de violar a suposição de normalidade: Embora muitas das declarações feitas anteriormente possam ser provadas matematicamente. Lembrando ainda que a hipótese nula foi considerada apenas por "razões técnicas" como uma referência contra a qual o resultado empírico (dos experimentos) foi avaliado. dividida pelo desvio padrão). Por que a distribuição normal é importante: A "distribuição normal" é importante porque em muitos casos ela se aproxima bem da função introduzida no item anterior. Esta última opção é baseada em um princípio extremamente importante que é largamente responsável pela popularidade dos testes baseados na distribuição normal. Em tais casos há duas opções. Embora o resultado mais provável para tais experimentos (um par de amostras por experimento) é que a diferença entre a WCC média em homens e mulheres em cada par seja próxima de zero. ou seja. Muitas daquelas funções são relacionadas a um tipo geral de função que é chamada de normal (ou gaussiana). e que podem ser derivadas da normal. estes testes requerem que as variáveis analisadas sejam normalmente distribuídas na população. Nestes experimentos grandes números de amostras são geradas por um computador seguindo especificações pré-designadas e os resultados de tais amostras são analisados usando uma grande variedade de testes. A forma exata da distribuição normal (a característica "curva do sino") é definida por uma função que tem apenas dois parâmetros: média e desvio padrão. algumas não têm provas teóricas e podem demonstradas apenas empiricamente via experimentos Monte Carlo (simulações usando geração aleatória de números). Muitas variáveis observadas realmente são normalmente distribuídas. e assim. Em outras palavras. quanto mais o tamanho da amostra aumente. um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valores. A distribuição de muitas estatísticas de teste é normal ou segue alguma forma que pode ser derivada da distribuição normal. Este princípio é chamado de Teorema Central do Limite. Tipicamente. Nominalmente. Neste sentido. Alternativamente. mas isso é freqüentemente inconveniente porque tais testes são tipicamente menos poderosos e menos flexíveis em termos dos tipos de conclusões que eles podem proporcionar. e 99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 desvios padrões da média. O problema pode surgir quando se tenta usar um teste baseado na distribuição normal para analisar dados de variáveis que não são normalmente distribuídas.de certo tamanho. Se tal probabilidade calculada é tão pequena que satisfaz ao critério previamente aceito de significância estatística. F ou Chi-quadrado (Qui-quadrado). mais a forma da distribuição amostral (a distribuição de uma estatística da amostra) da média aproxima-se da forma da normal. como as distribuições t. então pode-se concluir que o resultado obtido produz uma melhor aproximação do que está acontecendo na população do que a "hipótese nula". e seu status pode ser comparado a uma das leis fundamentais das ciências naturais. Este é o modo empírico de avaliar o tipo e magnitude dos erros ou viesamentos a que se expõe o pesquisador quando certas suposições teóricas dos testes usados não são verificadas nos dados sob análise. a distribuição normal representa uma das elementares "verdades acerca da natureza geral da realidade". em uma distribuição normal as observações que tem um valor padronizado de menos do que 2 ou mais do que +2 tem uma frequência relativa de 5% ou menos (valor padronizado significa que um valor é expresso em termos de sua diferença em relação à média. em muitos casos ainda se pode usar um teste baseado na distribuição normal se apenas houver certeza de que o tamanho das amostras é suficientemente grande. que elas atendam à "suposição de normalidade". pode-se usar algum teste "não paramétrico" alternativo (ou teste "livre de distribuição"). verificada empiricamente. Especificamente. 4 10.8 5.5 9. para a população de onde os dados provêm.3 6.5 7.Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto.4 6.6 8. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados.7 7.2 6.7 8.9 11.9 6 6.3 6.Definir o número de classes (K).3 5.6 9.4 6.2 11.1 8.2 10. Quando de posse dos dados. sendo assim. procura-se agrupá-los e reduzi-los.2 9.7 8. na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo.8 10. ou seja.7 8.8 8.3 12.3 6. não precisamos comer todos os tipos de saladas.9 6. deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados. sob forma de amostra. A conclusão geral destes estudos é que as conseqüências de tais violações são menos severas do que se tinha pensado a princípio.4 7. .1 6. . O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias. Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20. de sobremesas e de carnes disponíveis. de modo que.5 7. estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra.9 8 8 8. dando-nos ainda uma medida do erro cometido.1 7.2 7.usados extensivamente com testes baseados na distribuição normal para determinar quão sensíveis eles eram à violações da suposição de que as variáveis analisadas tinham distribuição normal na população.8 6.5 8. Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos. CONSTRUÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA Distribuição de Frequência: Quando da análise de dados.5 7.7 14. os quais são muitas vezes incompletos.Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações: .5 6. posteriormente.8 6.2 7. organizar.Com o conhecimento da amplitude de cada classe. na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população. utilizando-se técnicas estatísticas convenientes. .2 10. para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. isto é.1 7.4 9.6 7.5 9. Exemplo: Ao chegarmos a uma churrascaria.8 7. resumir. analisar e apresentar dados. tais como média ou desvio padrão.6 7.4 9.5 11.8 9 9 10 10. verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe.Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações. Basta que seja provado um tipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está dentro dos padrões.2 6. as quais realçam toda a potencialidade da Estatística.2 6. deixando de lado a aleatoriedade presente. que será calculado usando .Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: .9 Regras para elaboração de uma distribuição de frequências: . é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente mais amigáveis.4 6. elas aumentaram a popularidade geral dos testes estatísticos dependentes da distribuição normal em todas as áreas de pesquisa.8 8.6 5. Trata de parâmetros extraídos da população. é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.9 8.6 10.6 7.9 6.9 9 9.3 5.1 5.1 9.Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto: 110 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Objeto da Estatística: Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar.9 7 7.8 12. define-se os limites para cada classe (inferior e superior) Exemplo: 5. Embora estas conclusões não devam desencorajar ninguém de se preocupar com a suposição de normalidade. .5 8. se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo.4 6.3 7.7 7. baseando-se numa pequena amostra.6 7.3 6. 1 Valor máximo: 14. define-se os limites para cada classe (inferior e superior).75% 10.82 a 10.10 a 06. Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20. aproximadamente. estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino.29 11.25% 26.34 a 07.81 08.Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: No exemplo.23.Valor mínimo: 5. 111 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .33 06.23.Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações: LI: 5.25% 80 100% Distribuições Simétricas: A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica.75% 1.1 e o limite superior será 15 + 1.1 . relativamente a uma classe média. 8. Neste caso.06 a 11.Com o conhecimento da amplitude de cada classe.94.53 12.05 13 21 22 15 13 34 56 71 16. Distribuições Assimétricas: A distribuição das frequências apresenta valores menores num dos lados: Distribuições com "caudas" longas: Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição.25% 1.30 a 12. Caso especial de uma distribuição simétrica: Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal.57 07. será igual a: 1.50% 18. K é igual a 8.9 .54 a 13. que será calculado usando . Intervalo de Classe Frequência Frequência Frequência Absoluta Acumulada Relativa 05. .Definir o número de classes (K).01 4 3 1 1 75 78 79 80 5.25% 27. onde limite Inferior será 5. .58 a 08.Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações: LS:15 .78 a 15.77 13.00% 3. 4 0.80.67 Então. 68.500-0.39. ou quando z tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e -1. Para se obter a probabilidade sob a curva normal. 112 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .30= 0. (2) mais de 1.500-0. Propriedade 2: "f(x) possui um máximo para z=0.DP.50 e 1. com desvio padrão em 0. Propriedade 1: "f(x) é simétrica em relação à origem. A dois desvios padrões. Exemplo: As alturas de grupo de crianças são tidas como normais em sua distribuição.48-1. (B) 36. Considerando a probabilidade de ocorrência. Podemos concluir que quanto maior a variabilidade dos dados em relação à média. x = média = 0.60)/0. mais área compreendida abaixo da curva haverá.30m e média em 1.infinito.30=-0.2486) = 37.Distribuição Normal: A distribuição normal é a mais importante distribuição estatística.60.30 =-0.85% (3) Z1= (1.73% => 3 desvios Na figura acima.60)/0.26% => 1 desvio 95.44% dos dados compreendidos e finalmente a três desvios. Quanto mais afastado do centro da curva normal.44% => 2 desvios 99. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) Identifique a alternativa que apresenta a frequência absoluta (fi) de um elemento (xi) cuja frequência relativa (fr) é igual a 25 % e cujo total de elementos (N) da amostra é igual a 72. z1 (0.26% das observações contidas. a área sob sua curva soma 100%.75 e menos de 1. considerando a questão prática e teórica. Propriedade3: "f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou .30 0.1293) + z2 (0.30=0.46% Questões 01. possuímos 95.80-1.79% (2) z1= (1.60)/0.33 z2= (1.50)/0. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos.1915 = 30. temos 68. simétrica em relação a sua média.73%. maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal.48? (1) z1= (1.75-1. temos 99. Já vimos que esse tipo de distribuição apresenta-se em formato de sino. utilizamos a tabela de faixa central.50-1.1554 = 34. tem as barras na vertical representando os desvios padrões. e nesse caso sua ordenada vale 0. Qual a probabilidade de um aluno medir (1) entre 1. (A) 18. unimodal. Propriedade4: "f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média . A um desvio padrão. (C) 9. (D) 54. (E) 45. 02. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Em uma faculdade, uma amostra de 120 alunos foi coletada, tendo-se verificado a idade e o sexo desses alunos. Na amostra, apurou-se que 45 estão na faixa de 16 a 20 anos, 60, na faixa de 21 a 25 anos, e 15 na faixa de 26 a 30 anos. Os resultados obtidos encontram-se na Tabela abaixo. Quais são, respectivamente, os valores indicados pelas letras P, Q, R e S? (A) 40 ; 28 ; 64 E 0 (B) 50 ; 28 ; 64 E 7 (C) 50 ; 40 ; 53,3 E 7 (D) 77,8 ; 28 ; 53,3 E 7 (E) 77,8 ; 40 ; 64 E 0 03. (IMESC – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP/2013) Na tabela a seguir, constam informações sobre o número de filhos dos 25 funcionários de uma pequena empresa. Com base nas informações contidas na tabela, é correto afirmar que o número total de filhos dos funcionários dessa pequena empresa é necessariamente (A) menor que 41. (B) igual a 41. (C) maior que 41 e menor que 46. (D) igual a 46. (E) maior ou igual a 46. Respostas 01. Resposta: A. f_r=f_i/N f_i=0,25∙72=18 02. Resposta: B. Pela pesquisa 45 alunos estão na faixa de 16 a 20 São 10 do sexo masculino, portanto são 45-10=35 do sexo feminino. 70---100% 35----P P=50% 70---100% Q---40% 113 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Q=28 35+28+S=70 S=7 Pela última coluna(% de sexo masculino): 20+R+16=100 R=64 P=50; Q=28; R=64; S=7 03. Resposta: E. 1 filho: 7 pessoas -7 filhos 2 filhos: 5 pessoas – 5.2=10 filhos 3 filhos: 3 pessoas – 3.3=9 Já são 26 filhos. Temos mais 5 pessoas que tem mais de 3 filhos, o número mínimo são 4 filhos. 5.4=20 26+20=46 filhos no mínimo. ESCALAS – TABELAS – GRÁFICOS Tipos de gráficos: Os dados podem então ser representados de várias formas: Diagramas de Barras Diagramas Circulares Histogramas 114 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Pictogramas 1ª (10) 2ª 3ª (8) (4) 4ª 5ª (5) (4) = 1 unidade Tabela de Frequências: Como o nome indica, conterá os valores da variável e suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou simplesmente, frequências. No caso de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela de freqüência consiste em listar os valores possíveis da variável, numéricos ou não, e fazer a contagem na tabela de dados brutos do número de suas ocorrências. A frequência do valor i será representada por ni, a frequência total por n e a freqüência relativa por fi = ni/n. Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qualitativas ordinais e quantitativas em geral), faz sentido incluirmos também uma coluna contendo as frequências acumuladas f ac, obtidas pela soma das frequências de todos os valores da variável, menores ou iguais ao valor considerado. No caso das variáveis quantitativas contínuas, que podem assumir infinitos valores diferentes, é inviável construir a tabela de frequência nos mesmos moldes do caso anterior, pois obteríamos praticamente os valores originais da tabela de dados brutos. Para resolver este problema, determinamos classes ou faixas de valores e contamos o número de ocorrências em cada faixa. Por ex., no caso da variável peso de adultos, poderíamos adotar as seguintes faixas: 30 |— 40 kg, 40 |— 50 kg, 50 |— 60, 60 |— 70, e assim por diante. Apesar de não adotarmos nenhuma regra formal para estabelecer as faixas, procuraremos utilizar, em geral, de 5 a 8 faixas com mesma amplitude. Eventualmente, faixas de tamanho desigual podem ser convenientes para representar valores nas extremidades da tabela. Exemplo: 115 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Gráfico de Barras: Para construir um gráfico de barras, representamos os valores da variável no eixo das abscissas e suas as frequências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada valor da variável desenhamos uma barra com altura correspondendo à sua frequência ou porcentagem. Este tipo de gráfico é interessante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite investigar a presença de tendência nos dados. Exemplo: Diagrama Circular: Para construir um diagrama circular ou gráfico de pizza, repartimos um disco em setores circulares correspondentes às porcentagens de cada valor (calculadas multiplicando-se a frequência relativa por 100). Este tipo de gráfico adapta-se muito bem para as variáveis qualitativas nominais. Exemplo: Histograma: O histograma consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas. Exemplo: 116 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Gráfico de Linha ou Sequência: Adequados para apresentar observações medidas ao longo do tempo, enfatizando sua tendência ou periodicidade. Exemplo: Polígono de Frequência: Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das classes. Exemplo: Gráfico de Ogiva: Apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal ascendente utilizando os pontos extremos. 117 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO MEDIDAS DE DISPERSÃO As medidas de tendência central fornecem informações valiosas mas, em geral, não são suficientes para descrever e discriminar diferentes conjuntos de dados. As medidas de Dispersão ou variabilidade permitem visualizar a maneira como os dados espalham-se (ou concentram-se) em torno do valor central. Para mensurarmos esta variabilidade podemos utilizar as seguintes estatísticas: amplitude total; distância interquartílica; desvio médio; variância; desvio padrão e coeficiente de variação. - Amplitude Total: é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Ex.: dados: 3, 4, 7, 8 e 8. Amplitude total = 8 – 3 = 5 - Distância Interquartílica: é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil de um conjunto de dados. O primeiro quartil é o valor que deixa um quarto dos valores abaixo e três quartos acima dele. O terceiro quartil é o valor que deixa três quartos dos dados abaixo e um quarto acima dele. O segundo quartil é a mediana. (O primeiro e o terceiro quartis fazem o mesmo que a mediana para as duas metades demarcadas pela mediana.) Ex.: quando se discutir o boxplot. - Desvio Médio: é a diferença entre o valor observado e a medida de tendência central do conjunto de dados. - Variância: é uma medida que expressa um desvio quadrático médio do conjunto de dados, e sua unidade é o quadrado da unidade dos dados. - Desvio Padrão: é raiz quadrada da variância e sua unidade de medida é a mesma que a do conjunto de dados. - Coeficiente de variação: é uma medida de variabilidade relativa, definida como a razão percentual entre o desvio padrão e a média, e assim sendo uma medida adimensional expressa em percentual. Boxplot: Tanto a média como o desvio padrão podem não ser medidas adequadas para representar um conjunto de valores, uma vez que são afetados, de forma exagerada, por valores extremos. Além disso, apenas com estas duas medidas não temos idéia da assimetria da distribuição dos valores. Para solucionar esses problemas, podemos utilizar o Boxplot. Para construí-lo, desenhamos uma "caixa" com o nível superior dado pelo terceiro quartil (Q3) e o nível inferior pelo primeiro quartil (Q1). A mediana (Q2) é representada por um traço no interior da caixa e segmentos de reta são colocados da caixa até os valores máximo e mínimo, que não sejam observações discrepantes. O critério para decidir se uma observação é discrepante pode variar; por ora, chamaremos de discrepante os valores maiores do que Q3+1.5*(Q3-Q1) ou menores do que Q1-1.5*(Q3-Q1). O Boxplot fornece informações sobre posição, dispersão, assimetria, caudas e valores discrepantes. O Diagrama de dispersão é adequado para descrever o comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas. Cada ponto do gráfico representa um par de valores observados. Exemplo: Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra. Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir. 118 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Variância: Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um. Desvio-Padrão: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são: o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. Exemplo: Em uma turma de aluno, verificou-se através da análise das notas de 15 alunos, os seguintes desempenhos: Conceito Alunos na Prova 1 4,3 2 3 4 5 4,5 9 6 8 6 7 8 9 6,7 7,5 10 7,5 10 11 12 13 6,3 8 5,5 9,7 14 15 Total Média 9,3 7,5 109,8 7,32 Desvio Padrão 1,77 Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrão em 1,77. Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55. Vejamos de outra forma: Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra. 119 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO relativamente à sua média. Poderíamos ter utilizado módulos..3. e representa-se por s2.21 3. Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados. o restante fica automaticamente calculado. e dividindo pelo número de observações da amostra menos um: Se afinal pretendemos medir a dispersão relativamente à média.1 3.o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior. Por que é que não somamos simplesmente os desvios em vez de somarmos os seus quadrados? Experimenta calcular essa soma e verás que (x1-x) + (x2-x) + (x1-x) + .61 8. quanta mais variabilidade houver entre os dados. maior será a dispersão dos dados.2.1 . mas é mais fácil trabalhar com quadrados.9 0.61 8.9 .41 1.1. Algumas propriedades do desvio padrão. dividimos por (n1)? Na realidade.1 15. têm uma dispersão bem diferente: Como a medida de localização mais utilizada é a média. + (xn – x) ≠ 0.se s = 0. como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra.a variância..9 .01 9. tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for. uma vez que a sua soma é igual a zero.2. só aparentemente é que temos “n” desvios independentes.61 120 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Pretendendo determinar a dispersão dos tempos de cálculo.9 1. a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados.81 0.41 0. para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados.21 65. será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão . observam-se 10 alunos durante a realização da tarefa. para evitar que os desvios negativos. apresentada a seguir. . Define-se a variância. Assim.Repare-se nas duas amostras seguintes. Exemplo: Na 2ª classe de certa escola o professor deu uma tarefa constituída por um certo número de contas para os alunos resolverem. Costuma-se referir este fato dizendo que se perdeu um grau de liberdade. são: . os dados são todos iguais.9 -0. que é o número de desvios.1 8. que embora tenham a mesma média. então não existe variabilidade. tendo-se obtido os seguintes valores: Aluno i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tempo (minutos) xi 13 15 14 18 25 14 16 17 20 . se calcularmos (n-1) desvios. não concorda?! E por que é que em vez de dividirmos pó “n”. isto é. que resultam imediatamente da definição. isto é. pois é influenciado por valores ou muito grandes ou muito pequenos (o que seria de esperar já que na sua definição entra a média que é não resistente). ou seja. como seria de esperar.54. respectivamente sobre a localização do centro da distribuição dos dados e sobre a variabilidade.01 112.0 0. Estas medidas só dão informação útil.Aproximadamente 68% dos dados estão no intervalo . também o desvio padrão é uma medida pouco resistente.1 0. Uma vez calculada a média foi possível calcular a coluna dos desvios.54 9 O tempo médio de realização da tarefa foi de aproximadamente 17 minutos com uma variabilidade medida pelo desvio padrão de aproximadamente 3. A soma dos quadrados dos desvios permite-nos calcular a variância donde s = 3. uma para colocar os desvios das observações em relação à média e a outra para escrever os quadrados destes desvios. é a seguinte: Aproximadamente 68% dos dados estão no intervalo . Propriedades para dados com distribuição aproximadamente normal: Uma propriedade que se verifica se os dados se distribuem de forma aproximadamente normal. a soma dos desvios é igual a zero.Aproximadamente 95% dos dados estão no intervalo . se as distribuições dos dados forem aproximadamente simétricas. quando o histograma apresenta uma forma característica com uma classe média predominante e as outras classes se distribuem à volta desta de forma aproximadamente simétrica e com frequências a decrescer à medida que se afastam da classe média.9.5 minutos.90 Resolução: Na tabela anterior juntamos duas colunas auxiliares. não é conveniente utilizar a média como medida de localização. nem o desvio padrão como medida de variabilidade. que nos permitiu calcular a média = 16.9 s2 = = 12. Assim. Repare-se que. A partir da coluna das observações calculamos a soma dessas observações. se a distribuição dos dados for bastante enviesada. Na representação gráfica ao lado visualizamos os desvios das observações relativamente à média (valores do exemplo anterior): Do mesmo modo que a média.10 17 169 0. 112. Desvio Padrão: Propriedades para dados com distribuição aproximadamente normal: .Aproximadamente 100% dos dados estão no intervalo 121 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . uma solução de compromisso. concluímos que 50% dos elementos do meio da amostra. e não propriamente a variabilidade dos dados. A partir da definição de variância. uns relativamente aos outros.. 122 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Mas.Como se depreende do que atrás foi dito. A informação que o desvio padrão dá sobre a variabilidade deve ser entendida como a variabilidade que é apresentada relativamente a um ponto de referência . relativamente à presença de "outliers". definida como sendo a diferença entre a maior e a menor das observações: r = xn:n . que é mais sensível aos dados. Amplitude inter-quartil 1. sobretudo se se verificar a existência de "outliers". na amostra. Esta medida é não negativa e será tanto maior quanto maior for a variabilidade nos dados.a média. pela existência de um número pequeno de observações demasiado grandes ou demasiado pequenas. . já não se pode estabelecer uma relação análoga à anterior. define-se uma outra medida.x1:n. Amplitude inter-quartil ou desvio padrão: Do mesmo modo que a questão foi posta relativamente às duas medidas de localização mais utilizadas .A amplitude inter-quartil é mais robusta. onde representamos por x1:n e xn:n. de um modo geral. x2. pois não é afetada. respectivamente o menor e o maior valor da amostra (x1. verifica-se a seguinte relação. xn). que é. sob o ponto de vista computacional. Amplitude Inter-Quartil: A medida anterior tem a grande desvantagem de ser muito sensível à existência. é a amplitude amostral r.Q1/4 Do modo como se define a amplitude inter-quartil. Assim.. .Para uma distribuição dos dados aproximadamente normal. . de acordo com a notação introduzida anteriormente. . Amplitude inter-quartil = Q3/4 . estão contidos num intervalo com aquela amplitude. ao contrário do que acontece com o desvio padrão.3 x desvio padrão. uma amplitude inter-quartil nula. a amplitude inter-quartil. para a amostra ordenada. do que o desvio padrão. para calcular ou a variância ou o desvio padrão e que é a seguinte: Amplitude: Uma medida de dispersão que se utiliza por vezes. mas pode acontecer que o desvio padrão seja muito superior à amplitude inter-quartil. não significa necessariamente. então estão praticamente todos concentrados num intervalo de amplitude igual a 6 vezes o desvio padrão. de uma observação muito grande ou muito pequena. que os dados não apresentem variabilidade.média e mediana. pode-se deduzir sem dificuldade uma expressão mais simples. se os dados se distribuem de forma aproximadamente normal. Esta medida é definida como sendo a diferença entre os 1º e 3º quartis.Se a distribuição é enviesada. também aqui se pode por o problema de comparar aquelas duas medidas de dispersão. em certa medida.. x2. por definição: x + x + x + . 6. Pn. Média Aritmética Definição A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética. Cálculo da média aritmética ponderada Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1. xn} com “pesos” P1. então.. Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o resultado da operação citada seja o mesmo diz-se.. xn}. 9. 9. . x3... e 13.. 4.. MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Definição A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada... que x será a média dos elementos de A relativa a essa operação. x = x1+ x2+ x3+ .. Assim: 𝑥= 3 + 4 + 6 + 9 + 13 35 ↔𝑥= ↔𝑥=7 5 5 A média aritmética é 7. então. .+ xn e. respectivamente.. então x será a soma dos 5 elementos. x2..+ xn ↔ n . 13).. x2. P3.. Cálculo da média aritmética Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1. x3. 6. x3.. dividida pelo número de elementos n. . portanto.. . por definição.. n parcelas 𝑥= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + … + 𝑥𝑛 𝑛 Conclusão A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus elementos.. 4.. + x = x1+ x2+ x3+ . Exemplo Calcular a média aritmética entre os números 3. xn} e efetue uma certa operação com todos os elementos de A. por definição: 123 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .MÉDIAS Noção Geral de Média Considere um conjunto numérico A = {x1. dividida por 5. P2. Resolução Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3. dividida pela soma dos pesos. = Pn = 1.35 + 3 . x + P3 . (E) 3. A seguir parte da pirâmide etária da população brasileira disponibilizada pelo IBGE..Auxiliar TJ-SC) Os censos populacionais produzem informações que permitem conhecer a distribuição territorial e as principais características das pessoas e dos domicílios. (BNDES – Técnico de Arquivo – CESGRANRIO) Numa turma de 35 alunos. x = = P1 . (B) – 2. Resolução Se x for a média aritmética ponderada. Sem a nota desses alunos. deve ser entendida como média aritmética. 3 alunos faltaram à prova.gov.. e planejar adequadamente o uso sustentável dos recursos.. 𝑥3 . x3 + . então: 𝑥 = 𝑥1 .P1 . e suas notas foram x. acompanhar sua evolução ao longo do tempo.shtm (Acesso dia 29/08/2011) Um dos resultados possíveis de se conhecer. xn e. a média dos 32 alunos foi x. 3. então: 𝑥= 2 .. + Pn . + Pn) . 𝑃𝑛 𝑥𝑛 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + … + 𝑃𝑛 Observe que se P1 = P2 = P3 = . 𝑥= 𝑃1 . xn ↔ (P1 + P2 + P3 + . + Pn .. x + P2 . 02 . agora com 35 alunos.10 70 + 60 + 50 180 ↔𝑥= ↔𝑥= ↔ 𝑥 = 18 2+3+5 10 10 A média aritmética ponderada é 18. …. 𝑃2 𝑥2 . Conclusão A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso. 𝑥2 . e encontrou o resultado y. x1 + P2 . http://www. 𝑥1 .br/home/estatistica/populacao/censo2010/default. Qual o valor da diferença y – x? (A) – 3.Técnico Judiciário . Exemplo Calcular a média aritmética ponderada dos números 35. x2 + P3 . respectivamente. é a distribuição entre homens e mulheres no território brasileiro..ibge. x1 + P2 .20 + 5 . O professor recalculou a média da turma. e 5.. 𝑃3 𝑥3 .. portanto. bairros e localidades. (TJ/SC . sem especificar se é aritmética.. rurais ou urbanos – cujas realidades socioeconômicas dependem dos resultados censitários para serem conhecidas. x2 + P3 . 20 e 10 com pesos 2. Constituem a única fonte de referência sobre a situação de vida da população nos municípios e em seus recortes internos – distritos. (C) 0. Observação: A palavra média. 𝑥𝑛 𝑛 que é a média aritmética simples. + Pn . Os 3 alunos fizeram a segunda chamada da prova. (D) 2.. x + . sendo imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de decisões de investimento. x3 + . … . x + 1 e x – 1. Questões 01 . x = = P1 . 124 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (B) 8. (D) 16. saíram do carro. será (A) 861. Se o número de mulheres excede o de homens em 8. (E) 30%.Sargento .Oficial Administrativo – VUNESP) A altura média. (D) 29%.php (Acesso dia 29/08/2011) O quadro abaixo. (E) 3 cm menor. mostra a distribuição da quantidade de homens e mulheres. 04 . por faixa etária de uma determinada cidade. (E) 20. (TJM-SP – Oficial de Justiça – VUNESP) Ao encerrar o movimento diário. (B) 35%. Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos homens é 6.Todas as Áreas – EB) Em uma turma a média aritmética das notas é 7. (C) 862. 125 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Conhecimentos Gerais . 05 .br/censo2010/piramide_etaria/index. (Dados aproximados) Considerando somente a população masculina dos 20 aos 44 anos e com base no quadro abaixo a frequência relativa. é (A) 3 cm maior. da classe [30. que vende à vista e a prazo.5. montou uma tabela relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia com o respectivo prazo. 03 . cujas alturas somavam 3. (C) 12.45 m. em relação à média original y.ibge. (C) igual. dos homens. (D) 2 cm menor. (B) 862.http://www. (SAP/SP .gov. (D) 863.5. em g/l. Quando dois deles. (C) 25%. 34] é: (A) 64%. pode-se afirmar que o número total de alunos da turma é (A) 4. (B) 2 cm maior. em metros. (EsSA . um atacadista. dos cinco ocupantes de um carro era y. 06 .5. a altura média dos que permaneceram passou a ser 1. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Um líquido L1 de densidade 800 g/l será misturado a um líquido L 2 de densidade 900 g/l Tal mistura será homogênea e terá a proporção de 3 partes de L 1 para cada 5 partes de L2 A densidade da mistura final. em dias. para que o pagamento seja efetuado.8 m que. em dias. da venda de uma camiseta foi de: (A) 20. (B) 67. (SAP/SP . pode-se concluir que o salário de cada um dos dois gerentes é de (A) R$ 2. contabilidade com peso 3 e português com peso 4. Qual a média de um aluno que tirou 8. (B) 20. para pagamento das vendas efetuadas nesse dia.00 e de malha especial custa R$30. (SEDUC/RJ . O preço médio.900.2 09 . de malha superior custa R$24. peso 2 na segunda prova e peso 3 na terceira. 150 de malha superior e 70 de malha especial.Professor – Matemática – CEPERJ) Uma loja de roupas de malha vende camisetas com malha de três qualidades. segundo os cargos que ocupam.0 na terceira? (A) 7. 07 . (C) 60. 6. (D) 57. é igual a (A) 75.5.5. (E) 11. é a seguinte: Sabendo-se que o salário médio desses funcionários é de R$ 1. a loja vendeu 180 camisetas de malha comum. (E) 55. nota 6 em contabilidade e 2 em português.0 (B) 8.00. Certo mês. Cada camiseta de malha comum custa R$15.0 na primeira. (CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP – Programador de Computador – FIP) A média semestral de um curso é dada pela média ponderada de três provas com peso igual a 1 na primeira prova. (D) 21.0 (C) 7.00.4 (E) 7.O prazo médio. em reais. e um candidato obteve 5 em matemática.00. (C) 21.AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP/2013) Em uma seção de uma empresa com 20 funcionários. a sua média aritmética ponderada será: (A) 2 (B) 8 (C) 6 (D) 4 (E) 3 10 .490. 126 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Na realização de um concurso onde foram dadas provas de matemática com peso 2. a distribuição dos salários mensais.8 (D) 8. 08 .00.5 na segunda e 9. sendo S a soma das notas: 𝑆 𝑚+ℎ A média das mulheres é 8. Sendo S a soma das alturas e y a média.00.5(m + h) 8m + 6h = 7. (E) R$ 3.5m = 7. Resposta: C.5. A média da turma é 7. sendo S 1 a soma das notas: A média dos homens é 6. [30.200. somatória de todos os homens é: 300+400+600+500+200= 2000 600 300+400+600+500+200 = 600 2000 = 0. x + 1 e x – 1 e sendo y a nova média: 32x + 3x = 35y 35x = 35y x=y x–y=0 𝑆+𝑥+𝑥+1+𝑥−1 35 =y 02 . Resposta: C.800+5.400. (C) R$ 2.00.00.5 𝑚 = 3ℎ h + 8 = 3h 8 = 3h – h 8 = 2h h = 4 m = 4 + 8 = 12 Total de alunos = 12 + 4 = 16 05 . 3. Resposta: A.5 𝑆 = 7.(B) R$ 4. sendo S 2 a soma das notas: = 7.5m + 7. 34] = 600.3 .5(𝑚 + ℎ) 𝑆1 𝑚 𝑆2 ℎ = 8 𝑆1 = 8𝑚 = 6 𝑆2 = 6ℎ Somando as notas dos homens e das mulheres: S1 + S2 = S 8m + 6h = 7. Resposta: D.900 3+5 = 2400+4500 8 = 6900 8 = 862.5h 1. (100) = 30% 03 . Respostas 01 .5ℎ 𝑚= 0.5 04 . (D) R$ 1.00. temos: 𝑆 5 = 𝑦 S = 5y 127 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Do enunciado temos m = h + 8 (sendo m = mulheres e h = homens).100.5h – 6h 0.900.5m =1. Sendo S a soma dos 32 alunos e x a média: 𝑆 32 = 𝑥 S = 32x Incluindo-se as notas x. Resposta: E.5h 8m – 7. 120 = 15+20+35+20+10 = 600+2100+1800+1200 = 5700 = 100 100 = 57 07 . Resposta: D.4 + 3.90+10.00 128 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .24+70.0+20. Também média aritmética ponderada. Resposta: C. 180.77 = 0.8 S – 3.3 8 + 13 + 27 48 𝑀𝑃 = = = = 8.5.80 – 1. Média aritmética ponderada: multiplicamos o porcentual pelo prazo e dividimos pela soma dos porcentuais. Resposta: B.45 S = 8.30 180+150+70 = 2700+3600+2100 = 8400 400 400 = = = 21 08 . então: 5y = 8.85 y = 8. 15. 5.2 + 9.77 3 1. Resposta: C.30+35. Resposta: D.𝑆−3.60+20.85 : 5 = 1.85. assim temos: 8.45 = 1.3 + 2.3 S – 3. 𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 1490 = 2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200 20 2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200 20 2𝑥 + 13600 + 12000 = 29800 2𝑥 = 4200 𝑥 = 2100 Cada um dos gerentes recebem R$ 2100.45 = 1.8.4 10 + 18 + 8 36 𝑀𝑃 = = = =4 2 +3+4 9 9 10 . Na média ponderada multiplicamos o peso da prova pela sua nota e dividimos pela soma de todos os pesos.1 + 6.4 S = 5.03 m = 3 cm a mais.45 = 5. 06 .2 + 6.15+150.0 1+2+3 6 6 09 . DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES. Paulo – 23/10/01 Observando a tabela. podemos tirar conclusões por meio de comparações das informações apresentadas. 6.3. MATRIZES.6. n elementos (informações) dispostos em m linhas e n colunas Exemplos: 129 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Sistemas lineares. Campeonato Paulista – Classificação Time Pontos 1º Tilibra/Copimax/Bauru 20 2º COC/Ribeirão Preto 20 3º Unimed/Franca 19 4º Hebraica/Blue Life 17 5º Uniara/Fundesport 16 6º Pinheiros 16 7º São Caetano 16 8º Rio Pardo/Sadia 15 9º Valtra/UBC 14 10º Unisanta 14 11º Leitor/Casa Branca 14 12º Palmeiras 13 13º Santo André 13 14º Corinthians 12 15º São José 12 Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete) Folha de S. matriz inversa. Matriz associada a um sistema. regras de Cramer. Resolução e discussão de um sistema linear. 6.1.2. Determinante de uma matriz quadrada: propriedades e aplicações. MATRIZ A tabela seguinte mostra a situação das equipes no Campeonato Paulista de Basquete masculino. por exemplo: COC/Ribeirão lidera a classificação com 20 pontos juntamente com Tilibra/Bauru Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna. 6. Definições Chamamos de matriz m x n (m Є N* e n Є N*) qualquer tabela formada por m . Matrizes: operações. um elemento genérico da matriz A é representado por aij. Assim. b21 = 2. b22 = -1. que indicam a linha e a coluna que o elemento ocupa na matriz. b23 = 4 Observação: O elemento b23. é representada por: Matrizes Especiais Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matrizes especiais: 130 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . afetadas por dois índices. por exemplo. e o segundo índice. A. a mesma do nome de matriz. i. de ordem m x n. por exemplo. Exemplo: Na matriz B de ordem 2 x 3 temos: 𝐵=[ 1 0 3 ] 2 −1 4 b11 = 1. b13 = 3. enquanto os elementos da matriz são indicados por letras latinas minúsculas. a matriz A. j. O primeiro índice. indica a linha que esse elemento ocupa na matriz. a coluna desse comando. b12 = 0.O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiúsculas do alfabeto latino. lemos assim: “b dois três” De uma forma geral. matriz quadrada de ordem 2. Dada uma matriz quadrada de ordem n. ela é chamada de retangular. Exemplos: 1) {a11.Matriz Quadrada É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de linhas igual ao número de colunas. chamamos de diagonal principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem índices iguais. chamamos de diagonal secundária da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1. Exemplos: 𝐴 = [2 3 5] 𝐵 = [−1 0] .Matriz Coluna É a matriz que possui uma única coluna. não pertencentes à diagonal principal. .Matriz Diagonal É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos. Exemplo: 𝑨=[ 𝟏 𝟑 ]. a33. Exemplos: 𝟎 𝑨 = [−𝟏] 𝟑 𝟎 𝑩=[ ] 𝟐 . a23. 3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n.. a22. a32.Matriz Linha É a matriz que possui uma única linha. a44} é a diagonal principal da matriz A. Exemplo: 131 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . iguais a zero. 2) {a14. a41} é a diagonal secundária da matriz A. 𝟐 −𝟏 Observações: Quando uma matriz não é quadrada.Matriz Nula É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Exemplos: 𝟎 𝟎 𝑨=[ ] 𝟎 𝟎 𝑩=[ 𝟎 𝟎 𝟎 ] 𝟎 𝟎 𝟎 . têm a mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais.Matriz Identidade É a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Exemplo: 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟑 𝑨=[ ] . suas linhas por colunas.Definição Duas matrizes A e B são iguais se.Matriz Transposta Dada uma matriz A. Igualdade de Matrizes Sendo A e B duas matriz de mesma ordem. e somente se. . 𝑎11 𝐴 = [𝑎 21 𝑎12 𝑏11 𝑎22 ] 𝑒 𝐵 = [𝑏21 𝑏12 ] 𝑏22 São elementos correspondentes de A e B. a12 e b12. Indica-se: A=B Então: A = (aij)n x n e B = (bij)p x q 132 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . a21 e b21. é de ordem n x m.. chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-se “ordenadamente”. transposta de A. Indicamos a matriz transposta de A por A t. Representamos a matriz identidade de ordem n por In. 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝑨𝒕 = [𝟎 𝟏] 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟒 Observação: Se uma matriz A é de ordem m x n. os pares: a11 e b11. Exemplo: Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2. a22 e b22. Exemplos: Observação: Para uma matriz identidade I n = (aij)n x n . dizemos que um elemento de matriz A é correspondente a um elemento de B quando eles ocupam a mesma posição nas respectivas matrizes. a matriz At. valem as seguintes propriedades.A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto) . B e C matrizes m x n e O a matriz nula m s n. cujos elementos são obtidos quando somamos os elementos correspondentes das matrizes A e B. Exemplo: 𝐴=[ 3 −1 −3 1 ] 𝑒𝐵=[ ] 2 4 −2 −4 . Indicamos: C=A +B Assim: .Observações: Dada uma matriz A = (aij)m x n . Ī ≤ j ≤ n. Ī ≤ i ≤ m.Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é simétrica quando aij = aji para todo i. . . Indicamos que B = -A. Ī ≤ j ≤ n. ambas de mesma ordem m x n.Definição da Subtração Consideremos duas matrizes A e B. Isto é.Propriedades da Adição Sendo A. Ī ≤ i ≤ m. A = At. A – B = A + (B) Exemplo: 133 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .A + O = O + A = A (elemento neutro) . denominamos soma da matriz A com a matriz B à matriz C. e todo j. A é anti-simétrica quando At = -A. e todo j. Adição e Subtração de Matrizes . Ī ≤ i ≤ m. dizemos que uma matriz B = (bij)m x n é oposta de A quando bij = -aij para todo i. Isto é.Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é anti-simétrica quando aij = -aij para todo i.(A + B)t = At + Bt . de mesma ordem m x n. de ordem m x n. Ī ≤ j ≤ n.Definição da Adição Dadas duas matrizes A e B.A + B = B + A (comutativa) .(A + B) + C = A + (B + C) (associativa) . e todo j. Chamamos de diferença entre A e B (indicamos com A – B) a soma de A com a oposta de B. e somando-se os produtos assim obtidos. basta subtrairmos os elementos correspondentes. Indicamos: B= . é do tipo m x n.Multiplicação de Matrizes O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n. e um número real. de ordem m x n. decorre que: . Indicamos: B= . .Só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. obtida quando multiplicamos cada elemento de A por. Multiplicação de Matrizes por um Número Real . temos A 2 A = Matrizes – Produtos .Definição Consideremos uma matriz A.A Da definição. para obtermos a subtração de matrizes de mesma ordem.A matriz C. 134 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . O produto de por A é uma matriz B.Observação: Na prática. produto de Am x p por BP x n. de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.A Exemplo: Sendo . de ordem m x n. = 1 4 1 1 0 A. existe um número b.( A . 2 1 .(A . denominado inverso de a. In = Im . diz-se inversível se. são válidas as seguintes propriedades. B) . a matriz B é a inversa de A. B)t = Bt . A=B-1. 1 1 1 4 0 1 B. e somente se. C = A .Verifique que a matriz B= Resolução 1 3 4 3 1 . B) .b=b.A .Encontre a matriz inversa da matriz A= 135 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . B = A-1. . C + B (distributiva pela direita) . quando dizemos que as matrizes são comutáveis. B (distributiva pela esquerda) . existir uma matriz B.C . ( . A). a matriz A também é a inversa de B.Propriedades Sendo A uma matriz de ordem m x n. para todo a ≠ 0.A . A = A (elemento neutro) . quadrada de ordem n. Exemplos: 4 3 1 3 é a inversa da matriz A= 1 1 1 4 . A = In A matriz B é denominada inversa de A e indicada por A-1. A = Op x n . a Analogamente para as matrizes temos o seguinte: . B = B . satisfazendo a condição: a.( . Devemos levar em consideração os fatos seguintes: 1º) (A + B) ≠ A2 + 2AB + B2. tal que: A . B = A . quadrada de ordem n. A = 12. At Observação: Para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa (A . On x p = Om x p e Op x m . Bt. Observação: É bom obser4varmos que. A=(A-1)-1. B = B . pois (A + B)2 = (A + B)(A+B) + A2 + AB + BA + B2 2º) (A . Esta propriedade só é verdadeira em situações especiais.(A + B) . isto é. A + C . (A . pois. pela 7ª propriedade. B)t ≠ At . B)t = Bt . B ) = .B= 0 1 4 3 1 3 1 0 = . (A + B) = C . B ≠ B . se existir. de acordo com a definição. At Matriz Inversa No conjunto dos números reais. C) (associativa) .Definição Uma matriz A. ou seja. isto é. C = A . A) .a=1 Normalmente indicamos o inverso de a por 1 ou a-1. devemos ter (A . (B . B e C matrizes convenientes e.A= Como A . 3 1 . se existir A-1.B= 1 a b 1 0 . B= Por outro lado: 1 1 3 1 1 0 = . dizemos que ela é uma matriz singular.A= Portanto. Exemplo Sendo A. encontramos: A = 1. Propriedades Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e inversíveis. a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz: 1 1 2 3 B=A-1= Observação: Quando uma matriz é inversível.(A.A)-1=B A-1. temos as seguintes propriedades: .(A-1)-1 = A .(A-1)t = At)-1 . B e X matrizes inversíveis de ordem n.A)-1-=B. = 1 c d 0 1 3a c 3b d 1 0 2a c 2b d = 0 1 Assim: 3a c 1 2 a c 0 e 3b d 0 2b d 1 Resolvendo os sistemas. 2 3 2 1 0 1 B.Dada A..c = -2 e d = 3 1 1 2 3 Assim.A-1 .b = -1. caso a matriz não seja inversível. dizemos que ela é uma matriz não-singular. temos: c d Supondo que B= 3 2 A.B)-1=B-1. então A-1 é única. Resolução (X.X-1=B Multiplicando os dois membros à esquerda por A. isolar X em (X.Resolução a b é a matriz inversa de A. encontramos: 136 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . A-1 O sistema obtido está escalonado e é do 2º Questões 01. O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma das regiões da cidade durante uma semana. Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da semana.X-1=A. para obter o determinante de uma matriz quadrada.B Como In é elemento neutro na multiplicação de matrizes.A.DETERM(A1:D4)” e essa planilha fornece o valor do determinante: Se em uma outra planilha forem armazenados os valores representados a seguir.X-1=A. então: In. uma planilha fornece rapidamente esse valor.B)-1 Assim. sejam acadêmicas ou profissionais. temos: X-1=A. somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno do 7º dia será: (A) 61 (B) 59 (C) 58 (D) 60 (E) 62 02. Na matemática.B Elevando os dois membros da igualdade. com um simples comando. temos: (X-1)-1=(A.B Como A. temos os valores armazenados em suas células: Para obter o determinante de uma matriz utiliza-se o comando “=MATRIZ. Em uma planilha eletrônica. ao expoente -1. (SEAP /PR – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – PUC/PR/2013) As planilhas eletrônicas facilitaram vários procedimentos em muitas áreas.A-1=In.B)-1. X=(A.A-1. ou então X=B-1. 137 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) Assinale a alternativa que apresente o resultado da multiplicação das matrizes A e B abaixo: 2 1 0 4 −2 𝐴=( ) ∙𝐵 =( ) 3 −1 1 −3 5 −1 −5 1 (A) ( ) 1 15 11 1 51 (B) ( ) −1 15 − 11 1 5 −1 (C) ( ) 1 −15 11 1 51 (D) ( ) 1 15 11 −1 5 − 1 (E) ( ) 1 15 − 11 05. (CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA/2013) Para que a soma de uma 𝑎 𝑏 matriz 𝐴 = [ ] e sua respectiva matriz transposta At em uma matriz identidade.DETERM(A1:C3)” o valor do determinante é: (A) 1512 (B) 7 (C) 4104 (D) 2376 (E) 8424 02. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) O elemento da segunda 1 0 1 linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz (2 1 0) é: 0 1 1 2 (A) 3 (B) 3 2 (C) 0 (D) -2 (E) − 1 3 03. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes: 138 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . são condições a serem 𝑐 𝑑 cumpridas: (A) a=0 e d=0 (B) c=1 e b=1 (C) a=1/c e b=1/d (D) a²-b²=1 e c²-d²=1 (E) b=-c e a=d=1/2 04.ao acionar o comando “=MATRIZ. forneceu dados processados ao longo do tempo e que permitiram a construção do quadro abaixo. O valor do determinante associado à matriz M é (A) 42 (B) 44 (C) 46 (D) 48 (E) 50 Respostas 01. (D) 10.B=I 𝑎 𝑏 𝑐 1 0 1 1 0 0 ( 2 1 0 )∙ ( 𝑑 𝑒 𝑓 ) = ( 0 1 0 ) 0 1 1 𝑔 ℎ 𝑖 0 0 1 𝑎 +𝑔 𝑏+ℎ 𝑐+𝑖 1 0 0 ( 2𝑎 + 2𝑑 2𝑏 + 𝑒 2𝑐 + 𝑓 ) = ( 0 1 0 ) 0 0 1 𝑑 +𝑔 𝑒+ℎ 𝑓+ 𝑖 Como queremos saber o elemento da segunda linha e terceira coluna(f): 𝑐+𝑖 =0 {2𝑐 + 𝑓 = 0 𝑓 +𝑖 = 1 Da primeira equação temos: c=-i substituindo na terceira: f-c=1 139 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Turno i –linha da matriz Turno j. utilizado para controle de uma rede automatizada. (TRANSPETRO – ENGENHEIRO JÚNIOR – AUTOMAÇÃO – CESGRANRIO/2012) Um sistema dinâmico. (C) 8. construiu-se uma matriz M. (A) 4.coluna da matriz 2º turno do 2º dia – a22=18 3º turno do 6º dia-a36=25 1º turno do 7º dia-a17=19 Somando:18+25+19=62 02. mantendo-se a mesma disposição. assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. Resposta: A. Resposta: E. (B) 6. 06.6 𝑦 7 7 1 −3 ( )+( )=( ) 8 5 15 7 7 2 Diante do exposto. 1 3 2 0 3 1 0 2 2 3 0 1 0 2 1 3 A partir dos dados assinalados. A. Resposta: D. O cofator é dado pela fórmula: 𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 ∙ 𝐷. 𝑎 𝐴 + 𝐴𝑡 = [ 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 2𝑎 𝑏+𝑐 1 0 ]+[ ]=[ ]=[ ] 𝑏 𝑑 𝑏+𝑐 2𝑑 0 1 𝑑 2a=1 a=1/2 b+c=0 b=-c 2d=1 D=1/2 04. 3 1 2 𝐶13 = (−1)4 ∙ | 2 3 1 | 0 2 3 𝐶13 = 27 + 8 − 6 − 6 = 23 A13=2. Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna. Dica: pela fileira que possua mais zero.{ 2𝑐 + 𝑓 = 0(𝑥 − 1) 𝑓−𝑐=1 { −2𝑐 − 𝑓 = 0 𝑓 −𝑐 = 1 Somando as equações: -3c=1 C=-1/3 f=2/3 03. calcular os cofatores. 𝐴∙𝐵 =( 2∙0+1∙1 2 ∙ 4 + 1 ∙ (−3 ) 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 5 ) 3 ∙ 0 + (−1) ∙ 1 3 ∙ 4 + (−1) ∙ (−3) 3 ∙ (−2) + (−1) ∙ 5 1 51 𝐴∙𝐵 =( ) −1 15 − 11 05. Para isso precisamos. Resposta: E. 1 3 2 0 𝑀 = (3 1 0 2) 2 3 0 1 0 2 1 3 Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace.23=46 1 3 𝐶43 = (−1)7 | 3 1 2 3 0 2 | 1 140 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: D. Resposta: B. 6+1 = 7 𝑦 −3 = 7 ( ) 7 + 8 = 15 2 + 5 = 7 y=10 06. Esquematicamente: det A= a11 a12 a 21 a 22 = a11. um único número real que denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras verticais.a12 Para facilitar a memorização desse número.𝐶43 = −(1 + 12 − 6 − 9) = 2 A43=1.A=[-2] → det A=-2 . assunto que estudaremos a seguir.B=[5] → det B=5 .2=-7 141 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .2=2 D=46+2=48 DETERMINANTES Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII. Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A.A= det A=1.a22-a21.a22-a21. que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema linear”.3-5. como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa. podemos dizer que o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.a12 Exemplos 1 2 5 3 .C=[0] → det C=0 Determinante de uma Matriz de ordem 2 Seja a matriz quadrada de ordem 2: a11 a12 a 21 a 22 A= Chamamos de determinante dessa matriz o número: det A= a11 a12 a 21 a 22 =a11. como no exemplo abaixo: 12 1 2 → det A= 45 4 5 A= Definições Determinante de uma Matriz de Ordem 1 Seja a matriz quadrada de ordem 1: A=[a11] Chamamos determinante dessa matriz o número: det A=[ a11]= a11 Exemplos . ao invés de repetirmos a 1º e 2º colunas. usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus: .a32 a23 a11 Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3.a31 a22 a13 + -a12 a21 a33 . a seguir.I Apresentamos.Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz.Multiplicando os termos entre si. seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos produtos. Determinantes – Propriedades .2 1 2 3 . algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes: 142 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 .3-2.B= det B=2.(-1)=8 Determinante de uma Matriz de Ordem 3 Seja a matriz quadrada de ordem 3: a11 a12 a13 A= a21 a 22 a23 a31 a32 a33 Chamamos determinante dessa matriz o número: detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 . temos: detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a13 a21 a32-a13 a22 a31+ -a11 a23 a32-a12 a21 a33 Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas. Assim. então: detB = -detA Exemplo a b c d e B= c d a b A= B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A.A)=kn.Sendo A uma matriz quadrada de ordem n. então: det(k.Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At. detA = ad-bc debt = BC-ad = -(ad-bc) = -detA Assim. Justificativa: A matriz que obtemos de A. é igual a A. de acordo com a propriedade 2. então detB = k. a matriz k. c d c d .detA Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante. quando multiplicamos uma de sua filas (linha ou coluna) por uma constante k. A é obtida multiplicando todos os elementos de A por k. quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna “iguais”. quando trocamos entre si a posição de duas filas paralelas.detA Exemplo a b c ka kb kc A= d e f k. podemos “colocar em evidência”um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna). escrevemos que detA = -detA Assim: detA = 0 Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A. Exemplo ka kb a b = k. detB = -detA Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais”tem determinante igual a zero.A= kd ke kf g h i kg kh ki 143 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Exemplo a b a c At= c d b d det A ad bc t det A det A t det A ad bc A= Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A. k.Propriedades 5 (Teorema de Jacobi) O determinante não se altera. teremos: a b c ma abc a b ma d e f md (P 4) d e f d e md g hi g h i mg g h mg a b c ma aba d e f md det A m d e d g hg g h i mg Igual a zero a b c ma d e f md = detA g h i mg 144 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Exemplo: abc Considere o determinante detA= d e f g hi Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m.k. quando adicionamos uma fila qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número. d e f g hi kg kh ki Assim: det(k.A)=k3. B e C são iguais entre si. em que os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B. então.ka kb kc abc det(k. exceto os de uma fila. B e C são matrizes quadradas de mesma ordem.detA Propriedade 4: Se A.A)= kd ke kf =k. tais que os elementos correspondentes de A. detC = detA + detB Exemplos: ab x abr a b xr c d y +c d s =c d ys e f z e f t e f z t Propriedades dos Determinantes . o determinante é igual a zero. 8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 5 = 2(4) + 3(-1) = 8 . . detB Exemplo: 1 2 detA=3 0 3 4 3 detB=-2 B= 2 1 A= 145 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . pela consequência da propriedade 5. somar com a 3ª coluna e calcular: 1 0 5 1 0 D1= 2 4 5 = 2 4 5 2 4 5 0 12 5 0 5 0 12 1 0 5 D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52 Observe que D1=D. 1 0 1 0 3 3 1 D= 2 4 1 = 2 4 1 2 5 0 5 0 2 2 5 0 4 0 D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52 Em seguida.B) = detA . D = 0 Use a regra de Sarrus e verifique. vamos multiplicar a 1ª coluna por 2. então: det(A.Consequência Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas). Exemplo: Seja D= 1 2 8 3 2 12 4 1 05 Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª coluna multiplicada por 3. de acordo com a propriedade.Propriedade 6 (Teorema de Binet) Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem. .Exemplo: Vamos calcular o determinante D abaixo.3 Portanto. Determinantes – Teorema de Laplace . Exemplo: 1 Sendo A= 4 2 M11= 1 0 1 4 M12= 2 4 M13= 2 3 1 0 . detB Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e n N*.Mij. temos: detA-1= 1 det A Justificativa: Seja A matriz inversível. Exemplo: 3 1 4 Sendo A 2 1 3 .A) = det I detA-1.B)=-6 6 3 A. det(AB)=detA. que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. temos: 1 3 0 146 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . A-1. temos: 1 2 =2 2 0 =8 2 1 2 1 =2 Chamamos co-fatorn do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.A=I det(A-1. em que Mij é o menor complementar de aij. chamamos menor complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1. temos: det(Na) = (detA)n Sendo A uma matriz inversível.detA = det I detA-1= 1 det A Uma vez que det I=1.Menor complementar e Co-fator Dada uma matriz quadrada A=(aij)nxn (n 2).B= Logo.8 5 det(A. onde i é a matriz identidade. A11=(-1)1+1. temos: 4 2 1 0 1 1+1 A11=(-1) . A. 4 1 1 3 4 2 3 2 0 1 =-7 =10 =-3 1 2 =3 1 1 1 3 1 0 =-3 Assim: 2 1 3 2 5 2 cof A= 1 7 10 e adj A= 5 7 3 3 3 3 2 10 3 Determinante de uma Matriz de Ordem n -Definição Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1.M33=(-1)6. que indicamos por adj. A33=(-1)3+3. A transposta da matriz co-fatora de A é chamada de matriz adjunta de A. 2 e 3. =-3 1 0 A33=(-1)3+3. A22=(-1) . =1 2 1 1 2 2+2 A13=(-1)1+3. 3 1 2 1 =5 Dada uma matriz A=(aij)nxm . com n 2. =-5 4 1 1 0 =2 4 2 3 2 A21=(-1)2+1. A23=(-1)2+3. 1 3 =-9 3 0 2 3 A12=(-1)1+2. chamamos matriz co-fatora de A a matriz cujos elementos são os co-fatores dos elementos de A.M11=(-1)2. A32=(-1)3+2. A31=(-1)3+1. =2 2 1 1 1 A12=(-1)1+2.M12=(-1)3. 147 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Exemplo: 1 3 2 Sendo A= 1 0 1 . indicamos a matriz co-fatora por cof A. . temos: 23 5 4 3 0 2 9 3 detA = 3....|a22| = a22 A12 = (-1)1+2... onde: A11 = (-1)1+1. n 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos co-fatores..|a21| = a21 Assim: detA = a11.A11+a12... ann ou seja: detA = a11.(-11) det A=- 33 Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha.Seja A uma matriz quadrada de ordem n.A12. 0 0 0 3 1 2 3 2 . A12 0.. Então: . o determinante de uma matriz quadrada de ordem n. 148 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .. a2 n 21 det A a1 j ....Para n 2: a11 a12 .Sendo A= .. 1 4 3 =-11 3 0 2 1+1 Assim: detA = 3.A11 + a12.a22 ....a12 Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente.. temos: a21 a22 Sendo A= detA = a11..A11 + 0. mais o cálculo é facilitado.A1n Então.. a1n a n a22 .a21...Para n = 1 A=[a11] det A=a11 .. j 1 an1 an 2 .(-a21) detA = a11. A14 zero 2 3 2 A11 = (-1) ..A12+…+a1n..a22 + a12. A13 0.. Exemplos: a11 a12 ... A1 j A= . até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3. aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna: 149 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . recaímos em determinantes de ordem n-2. . teremos que calcular apenas um co-fator.A14 + 0. e assim sucessivamente. fazendo isso. Para facilitar.A44 3 2 1 A14=(-1)1+4 4 1 0 =+21 3 2 2 detA = 2 . Nos dois casos. Assim: detA = 2.A24 + 0.O cálculo de um determinante fica mais simples. teremos: A= 1 1 0 7 7 4 0 2 3 0 1 2 3 0 1 2 Agora. que calculamos com a regra de Sarrus. 21 = 42 Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n. seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores. por exemplo. neste caso.Teorema de Laplace Seja A uma matriz quadrada de ordem n. pois.A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace. Exemplo: 5 0 3 2 Sendo A= 4 1 3 2 1 1 0 2 2 0 0 0 Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace. vamos “fazer aparecer zero”em A31=-2 e A41=3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha. Exemplo: 1 2 3 0 1 2 Calcule det A sendo A= 2 3 1 3 4 6 1 1 2 3 A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros.A34 + 0. . calcularemos ainda três co-fatores. e no cálculo destes. recaímos em determinantes de matrizes de ordem n-1.. quando escolhemos uma fila com a maior quantidade de zeros. n 2. se aplicarmos o teorema de Laplace. … ......1 1 2 7 4 = 7 0 2 3 1 2 detA=1. ann detA=a11. Assim: 1ª.ann 1 0 0 0 1 0 In= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 detIn=1 150 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . se ela for triangular superior...a33.a22.14 + 12 + 0) detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14 detA = -35 .a22. e através da 1ª linha.... A é triangular superior a11 0 A= 0 ... ann detA=a11. a3n ... a2 n a33 ...... .. … ..a33. 0 a13 . a n1 a12 a22 a32 . e através da 1ª linha..... 0 . a1n a23 .Uma aplicação do Teorema de Laplace Sendo A uma matriz triangular. . 0 a12 a22 0 .. 7 7 2 3 1+1 1 4 0 Aplicamos a regra de Sarrus.. podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna. 1 7 1 1 4 7 2 7 2 3 2 7 0 2 3 + + + det A = (0 – 16 – 21) .. A é triangular inferior a11 a21 A= a31 .. se ela for triangular superior. .( . a1n 0 . an 2 a13 ..ann 2ª.. se ela for triangular inferior.. a2 n a33 ..... o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. a3n .. .(-1) . an 3 .. Exemplo: Calcule o determinante: 1 2 4 detA= 1 4 16 1 7 49 Sabemos que detA=detAt. então: detA = (4 – 2). é igual a: 2𝑥 + 𝑦 = 8 151 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Determinante de Vandermonde de ordem 4 1 a 1 1 1 b c d a2 b2 c2 d 2 a 3 b3 c3 d 3 Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos.Determinante de Vandermonde e Regra de Chió Uma determinante de ordem n 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das potências se. na 3ª.(7 – 2).Propriedade Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindose de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes. (COBRA Tecnologia S-A (BB) . números quaisquer. .Determinante de Vandermonde de ordem 3 1 1 1 a b c a2 b2 c2 . na 4ª. e somente se. em que x e y são as coordenadas da solução do sistema determinante da matriz [ 2 𝑦 𝑥 + 2𝑦 = 7 { . Exemplos: . 5 . independente da ordem do determinante.(7 – 4)=2 . 3 = 30 Questões 01. então: 1 1 1 detA = 2 4 7 t 1 16 49 Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3.ESPP/2013) O valor de b para que o 𝑏 𝑥 2 ] seja igual a 8. na 2ª. os seus quadrados. na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1.. os seus cubos e assim sucessivamente.Analista Administrativo . (C) 0. (C) 4. 02. (D) –1. 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗 SANEAMENTO – CETRO/2012) Dada a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )3𝑥3 .(A) 2. (D) -1. ARARAQUARA/SP – AGENTE DA ADMINISTRAÇÃO DOS SERVIÇOS DE 2. (B) –2. (B) 2. 03. Respostas 01. Resposta: B. (C) -2. (PREF. (D) 4. (C) -1. (B) -2. (COBRA TECNOLOGIA – TÉCNICO DE OPERAÇÕES – DOCUMENTOS/QUALIDADE 𝑏 𝑥 2 ] seja igual a 8. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) É correto afirmar que o determinante | 1 𝑥 |é igual −2 4 a zero para x igual a (A) 1. em que x e y são as ESPP/2012) O valor de b para que o determinante da matriz [ 2 𝑦 𝑥 + 2𝑦 = 7 coordenadas da solução do sistema { é igual a: 2𝑥 + 𝑦 = 8 (A) 2. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF/2012) Calcule o determinante da matriz: 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ( ) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 (A) 1 (B) 0 (C) cos 2x (D) sen 2x (E) sen x/2 04. onde 𝑎𝑖𝑗 = { . (B) -8. 05. 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗 alternativa que apresenta o valor do determinante de A é (A) -9. (C) 4. 𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2) { 2𝑥 + 𝑦 = 8 −2𝑥 − 4𝑦 = −14 { 2𝑥 + 𝑦 = 8 -3y=-6 Y=2 X=7-2y x=7-4=3 152 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . assinale a −1. .𝑏 |3 2| = 8 2 2 6-b=8 B=-2 02. a2. −1 −1 −1 𝐴 = ( 2 −1 −1 ) 2 2 −1 −1 −1 −1 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = | 2 −1 −1| 2 2 −1 detA=-1-4+2-(2+2+2)=-9 05. mais precisamente aqueles com duas equações e duas incógnitas. xn são as incógnitas. sistemas de equações do primeiro grau com qualquer número de equações e incógnitas... D=4-(-2x) 0=4+2x X=-2 03. quando possível... onde a1.. Esses métodos nos permitirão não só resolver sistemas. { 𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2) 2𝑥 + 𝑦 = 8 { −2𝑥 − 4𝑦 = −14 2𝑥 + 𝑦 = 8 Somando as equações: -3y=-6 Y=2 X=7-4=3 𝑏 𝐷𝑒𝑡 = |3 2 | 2 2 6–b=8 B = -2 SISTEMA LINEAR O estudo dos sistemas de equações lineares é de fundamental importância em Matemática e nas ciências em geral. a3. an e b são números reais e x1. Resposta: A. Equações Lineares Equação linear é toda equação do tipo a1 x1 + a2x2 + a3x3+.. Resposta: B. an são chamados de coeficientes e b é o termo independente.. x2. det=cos²x-sen²x det=cos 2x 04. Vamos ampliar esse conhecimento desenvolvendo métodos que permitam resolver. mas também classificá-los quanto ao número de soluções.. a3. 153 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Os números reais a1.anxn = b. Você provavelmente já resolveu sistemas do primeiro grau.. a2. Resposta: C.. Resposta: C. x3. Exemplos - São equações lineares: x1 - 5x2 + 3x3 = 3 2x – y 2z = 1 0x + 0y + 0z = 2 0x + 0y + 0z = 0 - Não são equações lineares: x3-2y+z = 3 (x3 é o impedimento) 2x1 – 3x1 x2 + x3 = -1 (-3x1 x2 é o impedimento) 2x1 – 3 ( 3 + x3 = 0 x2 3 é o impedimento) x2 Observação: Uma equação é linear quando os expoentes das incógnitas forem iguais a l e em cada termo da equação existir uma única incógnita. Solução de ama Equação Linear Uma solução de uma equação linear a1 xl +a2 x2 +a3 x3+...anxn = b, é um conjunto ordenado de números reais α1, α2, α3,..., αn para o qual a sentença a1{α1) + a2{αa2) + a3(α3) +... + an(αn) = b é verdadeira. Exemplos - A terna (2, 3, 1) é solução da equação: x1 – 2x2 + 3x3 = -1 pois: (2) – 2.((3) + 3.(1) = -1 - A quadra (5, 2, 7, 4) é solução da equação: 0x1 - 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0 pois: 0.(5) + 0.(2) + 0.(7) + 0.(4) = 0 Conjunto Solução Chamamos de conjunto solução de uma equação linear o conjunto formado por todas as suas soluções. Observação: Em uma equação linear com 2 incógnitas, o conjunto solução pode ser representado graficamente pelos pontos de uma reta do plano cartesiano. Assim, por exemplo, na equação 2x + y = 2 Algumas soluções são (1, 0), (2, -2), (3, -4), (4, -6), (0, 2), (-1,4), etc. Representando todos os pares ordenados que são soluções da equação dada, temos: 154 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Equação Linear Homogênea Uma equação linear é chamada homogênea quando o seu termo independente for nulo. Exemplo 2x1 + 3x2 - 4x3 + 5x4 - x5 = 0 Observação: Toda equação homogênea admite como solução o conjunto ordenado de "zeros" que chamamos solução nula ou solução trivial. Exemplo (0, 0, 0) é solução de 3x + y - z – 0 Equações Lineares Especiais Dada a equação: a1 x1 + a2 x2 +a3 x3+...anxn = b, temos: - Se a1 = a2 = a3 =...= na = b = 0, ficamos com: 0x1 + 0x2 +0x3 +...+0xn, e, neste caso, qualquer sequências (α1, α2, α3,..., αn) será solução da equação dada. - Se a1 = a2 = a3 =... = an = 0 e b ≠ 0, ficamos com: 0x1 +0x2 + 0x3 +...+0xn= b ≠0, e, neste caso, não existe sequências de reais (α1, α2, α3,...,αn) que seja solução da equação dada. Sistema Linear 2 x 2 Chamamos de sistema linear 2 x 2 o conjunto de equações lineares a duas incógnitas, consideradas simultaneamente. Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo: a1 x b1 y c1 a2 b2 y c2 Um par (α1, α2) é solução do sistema linear 2 x 2 se, e somente se, for solução das duas equações do sistema. Exemplo (3, 4) é solução do sistema x y 1 2 x y 10 pois é solução de suas 2 equações: (3) - (4) = -1 e 2.(3) + (4) = 10 Resolução de um Sistema 2 x 2 Resolver um sistema linear 2 x 2 significa obter o conjunto solução do sistema. Os dois métodos mais utilizados para a resolução de um sistema linear 2x2 são o método da substituição e o método da adição. 155 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2 x 2 abaixo usando os dois métodos citados. 2x + 3y = 8 x - y = - 1 1. Método da Substituição: 2x + 3y = 8 x - y = - 1 (I) (II) Da equação (II), obtemos x = y -1, que substituímos na equação (I) 2(y- 1) +3y = 8 → 5y = 10 → y = 2 Fazendo y = 2 na equação (I), por exemplo, obtemos: Assim: S = {(1,2)} 2. Método da Adição: 2x + 3y = 8 x - y = - 1 (I) (II) Multiplicamos a equação II por 3 e a adicionamos, membro a membro, com a equação I. 2x 3y 8 3x 3 y 3 5x 5 x 5 1 5 Fazendo x = 1 na equação (I), por exemplo, obtemos: Assim: S = {(1,2)} Sistema Linear 2 x 2 com infinitas soluções Quando uma equação de um sistema linear 2 x 2 puder ser obtida multiplicando-se a outra por um número real, ao tentarmos resolver esse sistema, chegamos numa igualdade que é sempre verdadeira, independente das incógnitas. Nesse caso, existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema. Exemplo 2 x 3 y 8( I ) 4 x 6 y 16( II ) Note que se multiplicando a equação (I) por (-2) obtemos a equação (II). Resolvendo o sistema pelo método da substituição temos: 8 2x Da equação (I), obtemos y = , que substituímos na equação (II). 3 8 2x = - 16→ - 4 x- 2 (8 - 2 x) = -1 6 3 - 4 x - 6 . - 4 x- 1 6 +4 x= - 16→ - 16 =- 1 6 - 16= -16 é uma igualdade verdadeira e existem infinitos pares ordenados que sejam soluções do sistema. 5 8 2 3 Entre outros, (1, 2), (4, 0), ,1 e 0, são soluções do sistema. 156 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Sendo 𝛼, um número real qualquer, dizemos que , 8 2 é solução do sistema. 3 8 2 substituindo x =α na equação (I)). 3 Sistema Linear 2 x 2 com nenhuma solução Quando duas equações lineares têm os mesmos coeficientes, porém os termos independentes são diferentes, dizemos que não existe solução comum para as duas equações, pois substituindo uma na outra, obtemos uma igualdade sempre falsa. (Obtemos Exemplo 2x + 3y = 6 (I) e 2x + 3y = 5 (II) Substituindo 2x + 3y da equação (I) na equação (II) obtemos: 6 = 5 que é uma igualdade falsa. Se num sistema 2 x 2 existir um número real que, multiplicado por uma das equações, resulta uma equação com os mesmos coeficientes da outra equação do sistema, porém com termos independentes diferentes, dizemos que não existe par ordenado que seja solução do sistema. Exemplo x 2 y 5( I ) 2 x 4 y 7( II ) Multiplicando-se equação (I) por 2 obtemos: 2x + 4y = 10 Que tem os mesmo coeficientes da equação (II), porém os termos independentes são diferentes. Se tentarmos resolver o sistema dado pelo método de substituição, obtemos uma igualdade que é sempre falsa, independente das incógnitas. x 2 y 5( I ) 2 x 4 y 7( II ) Da equação (I), obtemos y 5 x , que substituímos na equação (II) 2 5 x = 7 → 2x + 2(5 – x) = 7 2 2x - 4 . 2x + 10 – 2x = 7 → 10 = 7 10 = 7 é uma igualdade falsa e não existe par ordenado que seja solução do sistema. Classificação De acordo com o número de soluções, um sistema linear 2 x 2 pode ser classificado em: - Sistemas Impossíveis ou Incompatíveis: são os sistemas que não possuem solução alguma. - Sistemas Possíveis ou compatíveis: são os sistemas que apresentam pelo menos uma solução. - Sistemas Possíveis Determinados: se possuem uma única solução. - Sistemas Possíveis Indeterminados: se possuem infinitas soluções. Sistema Linear m x n Chamamos de sistema linear M x n ao conjunto de m equações a n incógnitas, consideradas simultaneamente, que podem ser escrito na forma: 157 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO a11x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a x a x a x ... a x b 2n n 2 21 1 22 2 23 3 a x a x a x ... a x b 31 1 32 2 33 3 3n n 3 ......................................................... am1 x1 am 2 x2 am3 x3 ... amn xn bm Onde: X1, x2, x3,…, xn são as incógnitas; aij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ n, são os coeficientes das incógnitas; b i, com 1 ≤ i ≤ m, são os termos independentes. Exemplos x 2 y 3z 5 x y z 2 1. (sistema 2 x 3) x1 3x2 2 x3 x4 0 2. x1 2 x2 3x3 x4 2 x x x x 5 1 2 3 4 (sistema 3 x 4) x 2 y 1 3. x y 4 2 x 3 y 0 (sistema 3 x 2) Matriz Incompleta Chamamos de matriz incompleta do sistema linear a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. a a12 a13 a1n 11 a21 a22 a23 a2 n A a31 a32 a33 a3n ..................................... am1 am 2 am 3 amn Exemplo No sistema: x y 2z 1 z0 x x y 5 A matriz incompleta é: 158 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO 1 1 2 A 1 0 1 1 1 0 Forma Matricial Consideremos o sistema linear M x n: a11x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 a2 n xn b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 a3n xn b3 ........................................................ am1 x1 am 2 x2 am 3 x3 amn xn bm Sendo A a Matriz incompleta do sistema chamamos, respectivamente, as matrizes: x1 x2 X x3 xn e b1 b2 B b3 bm de matriz incógnita e matriz termos independentes. E dizemos que a forma matricial do sistema é A . X = B, ou seja: a11 a12 a13 a1n a a22 a23 a2 n 21 a31 a32 a33 a3n ................................... am1 a m 2 am 3 amn x1 x2 x3 xn b1 b2 b3 bm Sistemas Lineares – Escalonamento (I) Resolução de um Sistema por Substituição Resolvemos um sistema linear m x n por substituição, do mesmo modo que fazemos num sistema linear 2 x 2. Assim, observemos os exemplos a seguir. Exemplos - Resolver o sistema pelo método da substituição. 159 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO x 2 y z 1 ( I ) 2 x y z 5 ( II ) x 3 y 2 z 4( III ) Resolução Isolando a incógnita x na equação (I) e substituindo nas equações (II) e (III), temos: x + 2y – z - 1→ x = -2y + z - 1 Na equação (II) 2(-2y + z - 1) – y + z = 5 → -5y + 3z = 7 (IV) Na equação (III) (-2y + z - 1) + 3y - 2z = -4 → y – z = -3 (V) Tomando agora o sistema formado pelas equações (IV) e (V): 5 y 3z 7 ( IV ) y z 3 (V ) Isolando a incógnita y na equação (V) e substituindo na equação (IV), temos: y – z = -3 → y = z - 3 -5 (z - 3) + 3z = 7→ z = 4 Substituindo z = 4 na equação (V) y – 4 = -3 → y = 1 Substituindo y = 1 e z = 4 na equação (I) x + 2 (1) - (4) = -1 →x = 1 Assim: S={(1, 1, 4)} - Resolver o sistema pelo método da substituição: x 3 y z 1 (I ) y 2 z 10 ( II ) 3z 12 ( III ) Resolução Isolando a incógnita x na equação (I) e substituindo nas equações (II) e (III), temos: x + 2y – z = -1 → x = -2y + z - 1 160 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO 4 = 10 → y = 2 Substituindo z = 4 e y = 2 na equação (I). temos: y – z = -3 → y = z .1) – y + z = 5 →5y + 3z = 7 (IV) Na equação (III) (-2y + z .(4) = -1 → x = 1 Assim: S={(1. 1. 2.Na equação (II) 2(-2y + z . 4)} 161 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 4)} 2º) Resolver o sistema pelo método da substituição: x 3 y z 1 (I ) y 2 z 10 ( II ) 3z 12 ( III ) Resolução Na equação (III).2z = -4 → y – z = -3 (V) Tomando agora o sistema formado pelas equações (IV) e (V): 5 y 3z 7 ( IV ) y z 3 (V ) Isolando a incógnita y na equação (V) e substituindo na equação (IV).3) + 3z = 7 → z = 4 Substituindo z = 4 na equação (V) y – 4 = -3 → y = 1 Substituindo y = 1 e z = 4 na equação (I) x + 2(1) . obtemos: x + 3 . 2 – 4 = 1 → x = -1 Assim: S{(-1.1) + 3y . obtemos: 3z = 12 → z = 4 Substituindo z = 4 na equação (II).3 -5(z . obtemos: y + 2 . ...... a seguir.. sendo D o determinante da matriz dos coeficientes (incompleta). antes do primeiro coeficiente não-nulo......... Sistemas Lineares Escalonados Dizemos que um sistema linear é um sistema escalonado quando: . a11x1 a12 x2 a13 x 3 a1n xn b1 a22 x2 a23 x3 a2 n xn b2 a33 x33 a3n xn b3 .. de equação para equação”..... y 2z 3 z 1 x y z t 5 3...Observação: Podemos observar que a resolução de sistemas pelo método da substituição pode ser demasiadamente longa e trabalhosa. como transformar um sistema linear m x n qualquer em um sistema equivalente na “forma escalonada”. . Veremos. que denominamos “forma escalonada”..Em cada equação existe pelo menos um coeficiente não-nulo. a resolução pelo método da substituição é rápida e fácil..... ann xn bn Notamos que os sistemas deste tipo podem ser analisados pelo método de Cramer. Exemplos: 2 x y z 3 1.. quando o sistema apresenta a forma simples do segundo exemplo...... x 2 x3 x 4 0 3 x4 5 Existem dois tipos de sistemas escalonados: Tipo: Número de equações igual ao número de incógnitas....... y t 2 2 x1 3 x2 x3 x4 1 4..O número de coeficiente nulos....... cresce “da esquerda para a direita. 2 y 3z 2 x 2 y 3z 4 2... quando os sistemas não apresentam alguma forma simplificada como no primeiro exemplo.. Assim. temos: 162 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .. pois são sistemas n x n. No entanto. . 2. devemos transformá-los em sistemas do 1º tipo. 2 = 9 → y = 2 Substituindo t = 2. assim. temos: 2x + 2 – 1 + 2 = 5 → x = 1 Assim: S {(1. Exemplo: Resolver o sistema: 2 x y z t 5( I ) y z 3t 9( II ) 2 z t 0( III ) 3t 6( IV ) Resolução Na equação (IV). 163 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO ....a33.. temos: y + 1 +3 . temos: 2z – 2 = 0 → z = 1 Substituindo t = 2 e z = 1 na equação (II). por substituição nas equações anteriores.a11a12a13 a1n 0 a22a23 a2 n D 0 0 a33 a3n D a11. para obtermos a solução única. temos: 3t = 6 → t = 2 Substituindo t = 2 na equação (III).….. do seguinte modo: . xn-2. partimos da n-ésima equação que nos dá o valor de xn. os sistemas deste tipo são possíveis e determinados e...a22 .. Para resolvermos os sistemas lineares deste tipo. 2)} Tipo: Número de equações menor que o número de incógnitas. x2 e x1. na equação (I). um sistema em que consideramos incógnitas apenas as equações que “sobraram” nos primeiros membros... z = 1 e y = 2.ann 0 . 0 0 0 ann Como D ≠ 0.. Exemplo Resolver o sistema: x y 2z 1 2y z 2 Resolução A variável z é uma “variável livre” no sistema. e resolvemos o sistem a por substituição. na verdade “valores variáveis”. x3. 1.. Obtemos...As incógnitas que não aparecem no início de nenhuma das equações do sistema.Atribuímos às variáveis livres valores literais. chamadas variáveis livres... devem ser “passadas” para os segundos membros das equações. obtemos sucessivamente os valores de xn-1.. temos: 2 x 2 1 2 2 Agora para continuar fazemos o mmc de 2. . R 2 2 Observações: Para cada valor real atribuído a α. encontramos uma solução do sistema.A quantidade de variáveis livres que um sistema apresenta é chamada de grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema. . 164 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . . através das transformações elementares a seguir: .Trocar a ordem em que as equações aparecem no sistema. Sistemas Lineares – Escalonamento (II) Escalonamento de um Sistema Todo sistema linear possível pode ser transformado num sistema linear escalonado equivalente. temos: x y 1 2 2y 2 2y = 2 + α → y = 2 2 Substituindo y = 2 na 1ª equação. o que permite concluir que o sistema é possível e indeterminado.Inverter a ordem em que as incógnitas aparecem nas equações. e teremos: 2𝑥 + 2𝛼 = 2(1 − 2𝛼) 2𝑥 + 2𝛼 = 2 − 4𝛼 4𝛼 + 2𝑥 + 2 + 𝛼 − 2 = 0 5𝛼 + 2𝑥 = 0 2𝑥 = −5𝛼) 𝑥= − 5𝛼 2 Assim: 5 2 S . Exemplo x 3 y 2 2 x y 5 (S ) ~ ( S1 ) 2 x y 5 x 3 y 2 .Então: x y 1 2z 2y 2 z Fazendo z = α. equivalente e escalonado (S1). Exemplos .“Abandonamos”a 1ª equação e repetimos os dois primeiros passos com as equações restantes.Usando a quarta transformação elementar. para obtermos S1.Usando os recursos das três primeiras transformações elementares. devemos obter um sistema em que a 1ª equação tem a 1ª incógnita com o coeficiente igual a 1.Adicionar a uma equação outra equação do sistema. Para transformarmos um sistema linear (S) em outro. .Exemplo x 2 y z 5 2 y z x 5 (S ) x 2 z 1 ~ ( S1 ) 2z x 1 3x 5 3x 5 .Multiplicar (ou dividir) uma equação por um número real não-nulo. . até a penúltima equação do sistema. previamente multiplicada por um número real não-nulo.Escalonar e classificar o sistema: 2 x y z 5 3x y 2 z 2 x 2 y z 1 Resolução x 2 y z 1 3x y 2 z 2 2x y z 5 x 2y z 1 ~ 3 x y 2 z 2 2x y z 5 3 2 x 2 y z 1 ~ 7 y z 5 3 y 3z 3 : 3 165 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Exemplo x 3 y 5 (S ) 2 x y 3 x 3 y 5 ~ ( S1 ) 5 y 7 Multiplicamos a 1ª equação do S por -2 e a adicionamos à 2ª equação para obtermos s1. devemos “zerar” todos os coeficientes da 1ª incógnita em todas as equações restantes. . seguimos os seguintes passos: . e assim por diante. Exemplo x 2 y 3 ( S ) 3x y 1 x 2y 3 ~ ( S1 ) 6 x 2 y 3 Multiplicamos a 2ª equação de S por 2. 166 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . no passo seguinte obteríamos na terceira equação: 0x + 0z = 0. visto que ela é equivalente à segunda equação.Escalonar e classificar o sistema: 2 x 5 y z 5 x 2y z 3 4 x 9 y z 8 Resolução 2 x 5 y z 5 x 2y z 3 4 x 9 y z 8 x 2 y z 3 ~ y 3 z 1 0 y 0 z 3 x 2y z 3 ~ 2 x 5 y z 5 4 x 9 y z 8 2 4 x 2 y z 3 ~ y 3 z 1 y 3 z 4 1 1 O sistema obtido é impossível. portanto. é um sistema possível e indeterminado. pois a terceira equação nunca será verificada para valores reais de y e z. . . (*) A terceira equação foi eliminada do sistema. que é uma equação satisfeita para todos os valores reais de x e z. Se nós não tivéssemos percebido essa equivalência. é um sistema possível e determinado.Escalonar e classificar o sistema: 3x y z 3 2 x y 3 z 5 8 x y z 11 Resolução 3x y z 3 2 x y 3 z 5 8 x y z 11 y 3x z 3 ~ y 2 x 3 z 5 y 8 x z 11 1 1 y 3x z 3 y 3x z 3 ~ 5x 2 z 8 ~ 5x 2 z 8 5 x 2 z 8(*) O sistema obtido está escalonado e é do 2º tipo (nº de equações menor que o nº de incógnitas). portanto. x 2 y z 1 x 2 y z 1 ~ 7 y z 5 ~ y z 1 y z 1 7 y z 5 x 2 y z 1 ~ y z 1 6 z 12 7 O sistema obtido está escalonado e é do 1º tipo (nº de equações igual ao nº de incógnitas). temos: a ≠ 6 → SPD (Sistema possível e determinado) a = 6 → SI (Sistema impossível) .Se D ≠ 0. para discutirmos o sistema. que terá nº de equações igual ao nº de incógnitas (possível e determinado). indeterminado ou impossível.Se D = 0.Discutir. devemos conseguir um sistema escalonado equivalente pelo método de eliminação de Gauss. o sistema é possível e determinado. quando ele é: . em função de a. Para identificarmos se o sistema é possível. o sistema é possível e indeterminado ou impossível. para a ≠ 6. temos: x 3 y 5 2 x 6 y 1 2 x 3 y 5 ~ 0 x 0 y 9 Que é um sistema impossível.Possível e determinado (solução única). No entanto.Possível e indeterminado (infinitas soluções).Impossível (nenhuma solução). Assim.Discutir.Observação: Dado um sistema linear. sempre podemos “tentar” o seu escalonamento. Exemplos . isto ficará evidente pela presença de uma equação que não é satisfeita por valores reais (exemplo: 0x + 0y = 3). Sistemas com Número de Equações Igual ao Número de Incógnitas Quando o sistema linear apresenta nº de equações igual ao nº de incógnitas. inicialmente calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes (incompleta). e: . Caso ele seja impossível. o sistema é possível e determinado. . Para a ≠ 6. Sistemas Lineares – Discussão (I) Discutir um sistema linear é determinar. . o sistema: x y z 1 2 x 3 y az 3 x ay 3z 2 167 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . . o sistema: x 3 y 5 2 x ay 1 Resolução D 1 3 2 a a6 D 0 a6 0 a 6 Assim. se o sistema é possível. Este tratamento dado a um sistema linear para a sua resolução é chamado de método de eliminação de Gauss. em função de a. nós sempre conseguimos um sistema escalonado equivalente. em função de um ou mais parâmetros presentes no sistema. Estudaremos as técnicas de discussão de sistemas com o auxílio de exemplos. ou então o nº de equações será menor que o nº de incógnitas (possível e indeterminado). temos: x y z 1 2 x 3 y 3z 3 x 3 y 3z 2 2 1 x y z 1 ~ y z 1 4 y 4 z 1 4 x y z 1 ~ y z 1 y z 5 sistema impossível Para a = 2. k ≠ 0 ou k ≠ 1. temos: 168 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . temos: x y z 1 2 x 3 y 2 z 3 2 x 2 y 3z 2 1 x y z 1 ~ y 4z 1 y 4z 1 x y z 1 ~ y 4z 1 sistema possível in det er min ado Assim. em função de m e k. Para m = -1. Para a = -3. Para m = 1. o sistema é possível e indeterminado. ou seja.Discutir. o sistema é impossível. o sistema é possível e determinado. para a ≠ -3 e a ≠ 2. o sistema: mx y k 2 x my k Resolução D m 1 1 m m2 1 D = 0 → m2 – 1 = 0 → m = +1 ou m = -1 Assim. o sistema é possível e determinado. temos: x y K x y K ~ x y K 2 2 1 0 x 0 y K K Se –k + k2 = 0. k = 0 ou k = 1. para m ≠ +1 e m ≠ -1. Se –K + k2 ≠ 0. temos: a ≠ -3 e a ≠ 2 → SPD a = -3 → SI a = 2 → SPI . ou seja.Resolução 1 11 D2 3 1 9 a 2a 3 6 a 2 1 a 3 D = 0 → -a2 – a + 6 = 0 → a = -3 ou a = 2 Assim. k = 0 k = -1. Assim. Se k2 + k ≠ 0. ou seja. x y K x y k2 x y k x y K2 ~ ~ x y K 1 Ox Oy k 2 k Se k2 + k = 0. o sistema: 169 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Discutir. em função de m.Discutir. para discuti-lo. temos: m ≠ -1 → SI m = -1 → SPD . temos: 2 m 1 e m 1. k R SPD m 1 e k 0 ou k 1 ou SPI m 1 e k 0 ou k 1 m 1 e k 0 ou k 1 ou SI m 1 e k 0 ou k 1 Sistemas com Número de Equações Diferente do Número de Incógnitas Quando o sistema linear apresenta número de equações diferente do número de incógnitas. o sistema é possível e indeterminado. o sistema é indeterminado. k ≠ 0 k ≠ -1. em função de k. devemos obter um sistema escalonado equivalente pelo método de eliminar de Gauss. Exemplos . ou seja. o sistema: x y 3 2 x 3 y 8 x my 3 Resolução x y 3 2 z 3 y 8 2 ~ x my 3 1 x y 3 ~ y2 (1 m) y 0 1 m x y 3 ~ y 2 0 y 2 2m 2 + 2m = 0 → m = -1 Assim. portanto será sempre possível. Discussão e Resolução Lembre-se que: Todo sistema linear homogêneo tem ao menos a solução trivial. para k R . 0) é solução do sistema 01 e a terna (0. Todo sistema linear homogêneo admite como solução uma sequência de zero. São homogêneos os sistemas: 3x 4 y 0 x 2 y 0 1. 0. x 2y z 5 2 x 5 y 3 z 12 3 x 7 y 2 z 17 5 x 12 y kz 29 Resolução x 2y z 5 x 2 y z 5 x 2 y z 5 2 x 5 y 3z 12 2 yz 2 yz 2 ~ ~ y 5 z 2 1 4z 0 3x 7 y 2 z 17 3 (3 K ) z 0 5 x 12 y kz 29 5 2 y (5 K ) z 4 2 x 2 y z 5 x 2 y z 5 x 2 y z 5 y z 2 y z 2 ~ ~ ~ yz 2 z 0 3 K z 0 z0 (3 K ) z 0 0z 0 Assim. 4 Sistemas Lineares – Discussão (II) Sistema Linear Homogêneo Já sabemos que sistema linear homogêneo é todo sistema cujas equações têm todos os termos independentes iguais a zero. apresentar outra solução além da solução trivial. Vejamos alguns exemplos: 170 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 0) é solução do sistema 02. 3x y z 0 5 x 3 y 7 z 0 Observe que a dupla (0. Observamos também que todo sistema homogênea é sempre possível. chamada solução nula ou solução trivial. o sistema é possível e determinado. eventualmente. que é chamada solução própria. podendo. x 2 y 2z 0 2. Classifique e resolva o sistema: a b 2c 0 a 3b 2c 0 2 a b c 0 Resolução 1 1 2 D 1 3 2 0 2 1 1 Como D = 0. t R Note que variando t obteremos várias soluções.0. t . 171 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . inclusive a trivial para t = 0. logo: S 0.. então: a b 2c 0 bc 0 Fazendo c = t.0 . o sistema homogêneo é indeterminado. teremos: b = -c → b = -t a – t + 2t = 0 → a = -t Portanto: S t . Fazendo o escalonamento temos: a b 2c 0 a 3b 2c 0 2a b c 0 a b 2c 0 ~ 0 4b 4c 0 0 3b 3c 0 a b 2c 0 ~ 0 b 4c 0 0 0 0 0 Teremos.Classifique e resolva o sistema: 3x y z 0 x 5 y z 0 x 2 y z 0 Resolução 3 1 1 D 1 5 1 12 1 2 1 Como D ≠ 0. o sistema é possível e determinado admitindo só a solução trivial.t . para que o sistema seja possível e determinado: 03.my = 10 3x + 5y = 8. 2 x y 2 z 5 3x y mz 0 05. 𝛾) é solução. qual o valor de p? 06.Determine K de modo que o sistema abaixo tenha solução diferente da trivial. seja impossível. para apresentar soluções diferentes da trivial. 𝛽. 08.7y + 2z = 5. Resolver e classificar o sistema: 2 x 3 y 5 x my 2 02.2y + z = 14. Resolver e classificar o sistema: 3x y z 5 x 3 y 7 2 x y 2 z 4 x 2 y z 5 04. 07. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x . Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo. devemos ter D = 0 1 1 1 D 1 k 1 k 2 2k 1 (k 1) 2 0 k 1 k 11 k = -1. Se os sistemas: S1: x + y = 1 e X – 2y = -5 S 2: ax – by = 5 ay – bx = -1 São equivalentes. então o valor de a2 + b2 é igual a: (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 9 172 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . p) é solução da equação linear 6x . Determinar m real.. Se o terno ordenado (2. sabendo que o terno ordenado (𝛼. 2x . 5. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado. x y z 0 x ky z 0 kx y z 0 Resolução O sistema é homogêneo e. Questões 2 x 3 y 8 3x 2 y 1 01. 3 2 02. em que: 173 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 2)}”. 2. (E) Os vetores linha (1. (B) O sistema possui uma única solução (1. devemos ter D ≠ 0. 3/2) e (2.(E) 10 09. (UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE/2013) Considere o seguinte sistema de equações lineares Assinale a alternativa correta. 1. Dx e Dy: D 2 3 3 2 8 Dx Dy 1 2 3 4 9 13 3 2 8 1 16 3 13 2 24 26 Como D =-13 ≠ 0. 3) não são colineares. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: x + 3y . (C) O sistema possui infinitas soluções. Resposta “ m R / m ”. Resolver o sistema 11. 2)} e o sistema são possíveis e determinados. 4.y + z = 12 4x + 3y . Resposta “S= {(1. x 5 y 2 10. Respostas 01. (A) O determinante da matriz dos coeficientes do sistema é um número estritamente positivo. o sistema é possível e determinado e: x D y 26 Dx 13 2 1 e y D 13 D 13 Assim: S= {(1.5z = 6 2 x y 7 .2z = 3 2x . Solução: Calculemos inicialmente D. Solução: Segundo a regra de Cramer. (D) O posto da matriz ampliada associada ao sistema é igual a 3. -1). devemos ter D ≠ 0. 2. os valores reais de m. Assim: 174 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta “ S = {(1. 2. 04. Resposta “ m R / m 3”. Dy e Dz 3 1 1 D1 0 18 0 1 6 0 2 25 3 2 1 2 5 1 1 Dx 7 0 30 0 7 12 0 14 25 3 2 1 2 3 5 1 Dy 1 7 0 42 0 4 14 0 10 50 242 3 1 Dz 1 2 3 5 7 36 14 5 30 21 4 100 1 4 Como D= -25 ≠ 0. Solução: Calculemos inicialmente D. Dx. o sistema é possível e determinado e: x D y 50 Dx 25 2. z Dz 100 4 1. para que o sistema seja possível e determinado. 4)} e o sistema são possíveis e determinados. y D 25 D 25 D 25 Assim: S = {(1.D 2 3 2m 3 1 m 3 2 Então. 4)}”. são dados pelos elementos do conjunto: Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠ 3 m R / m 2 03. Solução: Segundo a regra de Cramer. na primeira equação: x = (10 + my) / 2 Substituindo o valor de x na segunda equação. 3m + 10 = 0. Por exemplo. 2 – 7 . β. β. 3y = 6 \ y = 2. Observe que se arbitrando os valores para α e β. Verificamos. em consequência não exista o valor de x. eles possuem a mesma solução.(-5). Solução: Teremos. Solução: Teremos por simples substituição. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e. já que . 06. 14 . Vamos resolver o sistema: S1: x + y = 1 x . 08.5α + 2β ). e assim. Logo. 1 + 2 . o terno (1. teremos: γ = 14 . de onde se conclui m = -10/3. os valores reais de m. Resposta “14”. 5 + 2 . ou seja.2β + γ = 14. sendo o terno ordenado (α. p = 14. sucessivamente. Resposta “E”. vem: 3[(10+my) / 2] + 5y = 8 Multiplicando ambos os membros por 2.x + y . para que o sistema seja possível e determinado. y = 5 e z = p. 12 . são dados pelos elementos do conjunto: m R / m 3 05. para que o sistema seja impossível. 6 .1 2 D 2 1 3 1 1 2 m 12 2 3 2 4m m D = -5m + 15 Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3 Então. Portanto.(-2y) = 1 .2y = -5 Subtraindo membro a membro. não possua solução. 3. deveremos ter o denominador igual a zero.5α + 2β.5 α + 2 β = 14 – 5 . expressando x em função de m. Logo. pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada. 07. para que não exista o valor de y e. 3 = 15.5 α + 2 β) a solução genérica. p = 5.35 + 2p = 5. a solução genérica será o terno ordenado (α. fazendo-se α = 1. Portanto. vem: 3(10+my) + 10y = 16 30 + 3my + 10y = 16 (3m + 10)y = -14 y = -14 / (3m + 10) Ora. ou seja. 14 . portanto. desenvolvendo e simplificando. a terceira variável ficará determinada em função desses valores. não existe divisão por zero. 175 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . vem: x . tiramos: γ = 14 . β = 3. como sabemos. Solução: Como os sistemas são equivalentes. observando que x = 2. Solução: Podemos escrever: 5α . 15) é solução. Daí. teremos: 2 a + (-3) = -1 \ a = 1. 2. substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.Portanto. pela regra de Cramer.4b = 10 Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação. o conjunto solução do sistema dado é S = {(5. Portanto. 09. substituindo em S 2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1. teremos: x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5 x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2 x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4 Logo.3 Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul). portanto S = {(-1. Solução: 2 1 A det A 11 1 5 7 1 A1 det A1 33 2 5 2 7 A2 det A2 11 1 2 176 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Solução: Teremos: Portanto. vem: a(-1) . O conjunto solução é. 4)}”.b(2) = 5 → . Logo. Como os sistemas são equivalentes.2b = 5 a(2) . fica: -2 a . 10. a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.b (-1) = -1 → 2 a + b = -1 Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2. como x + y = 1. fica: -3b = 9 \ b = . 2. Resposta “S = {(5. 4)}. 2)}. vem.a . a solução acima é também solução do sistema S 2. 7. 3 1 2 𝐷 = | 2 1 2 | = 3 + 12 + 4 − 3 − 4 − 12 = 0 1 2 4 3 O sistema pode ser SI(sistema impossível) ou SPI(sistema possível indeterminado) Para ser SI Dx=0 e SPI Dx0 3 3 2 9 9 2 | = + 6 + 24 − − 6 − 12 = 12 𝐷𝑥 = | 2 2 2 2 1 1 3 4 3 Dx0. tangentes a uma circunferência. GEOMETRIA ANALÍTICA. portanto o sistema tem infinitas soluções. Estudo dos Postulados Na Geometria de Posição. 7. 7. Feixe de retas. GEOMETRIA DE POSIÇÃO A geometria de posição estuda os três entes primitivos da geometria ponto. das posições relativas entre estes entes. Equação da circunferência.det A1 33 3 det A 11 Resposta: S 3. b) Numa reta e fora dela existem infinitos pontos. Distância de um ponto a uma reta.1 y x det A2 11 1 det A 11 11. geral e segmentária. Distância entre dois pontos. Isto é. (este postulado também é chamado de postulado fundamental da geometria de posição). Coordenadas cartesianas na reta e no plano. intersecção de uma reta a uma circunferência. Intersecção de retas. 7.2. reta e plano no espaço. Equação da reta: formas reduzida. Teorema: são afirmações que tem demonstração.3. Elipse. 7. porém não tem como ser demonstradas.4. Temos o estudo dos postulado. Postulado: são afirmações que são aceitas sem demonstração. hipérbole e parábola: equações reduzidas. 177 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . coeficiente angular. sabemos que são verdadeira. os postulado se dividem em quatro categorias: I) Postulados da existência: a) No espaço existem infinitos pontos. retas paralelas e perpendiculares. Área de um triângulo. Na matemática nós temos afirmações que são chamadas de postulados e outras são chamadas de teoremas.1. retas e planos. Resposta: C. b.Concorrentes Não coplanares: .c) Num plano e fora dele existem infinitos pontos e retas. IV) Postulados da divisão.Reversas No esquema acima.Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano. II) Postulados da determinação: a) Dois pontos distintos determinam uma única reta.3) duas retas concorrentes determinam um único plano.Coincidentes Coplanares: (mesmo plano) . agora. b. Podem ser: 178 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . tem que ser não colineares e não somente três pontos).Distintas . temos também: b. (Observe que as palavras não colineares estão destacadas. c) Um plano divide o espaço em dois semiespaços. então a reta está contida no plano.Paralelas: . I) Posições relativas entre duas retas. b) Uma reta divide um plano em dois semiplanos. (Observe que a palavra distintos esta destacada. tem que ser distintos e não somente dois pontos).2) duas retas paralelas distintas determinam um único plano. a) Um ponto divide uma reta em duas semirretas. . as posições relativas entre duas retas. III) Postulado da inclusão.como consequência deste postulado. Estudo das posições relativas Vamos estudar.1) uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano. sempre existe um outro ponto. d) Entre dois pontos distintos. temos: a) Retas coplanares estão no mesmo plano. entre dois planos e entre um plano e uma reta. b) Três pontos não colineares determinam um único plano. . . - Retas paralelas distintas: não tem nenhum ponto em comum. - Retas paralelas coincidentes: tem todos os pontos em comum. Temos duas retas, sendo uma sobre a outra. representamos por r ≡ s - Retas concorrentes: tem um único ponto em comum. Observação: duas retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto (90°) são chamadas de perpendiculares. b) Retas não coplanares não estão no mesmo plano. São: - Retas Reversas: não tem ponto em comum. Observação: duas retas reversas que “formam” entre si um ângulo reto (90°) são chamadas de ortogonais. Como podemos verificar, retas paralelas distintas e retas reversas não tem ponto em comum. Então esta não é uma condição suficiente para diferenciar as posições, porém é uma condição necessária. Para diferenciar paralelas distintas e reversas temos duas condições: - Paralelas distintas não tem ponto em comum e estão no mesmo plano (coplanares). - Reversas não tem ponto em comum e não estão no mesmo plano (não coplanares). II) Posições relativas entre reta e plano. a) Reta paralela ao plano: não tem nenhum ponto em comum com o plano. A intersecção da reta com o plano é um conjunto vazio. 179 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Observação: uma reta paralela a um plano é paralela com infinitas retas do plano, mas não a todas. b) Reta contida no plano: tem todos os pontos em comum com o plano. Também obedece ao postulado da Inclusão. A intersecção da reta com o plano é igual à própria reta. c) Reta secante (ou incidente) ao plano: tem um único ponto em comum com o plano. A intersecção da reta com o plano é o ponto P. III) Posições relativas entre dois planos a) Planos paralelos: não tem nenhum ponto em comum. A intersecção entre os planos é um conjunto vazio. b) Planos coincidentes: tem todos os pontos em comum. c) Planos secantes (ou incidentes): tem uma única reta em comum. A intersecção entre os planos é uma reta. Podem ser oblíquos (formam entre si um ângulo diferente de 90°) ou podem ser perpendiculares (formam entre si um ângulo de 90°). 180 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Questões 01. Dadas as proposições: É correto afirmar que: (A) Todas são verdadeiras. (B) Todas são falsas. (C) Apenas I e II são falsas. (D) Apenas II e III são falsas. (E) Apenas I e III são falsas. 02. Assinale a alternativa verdadeira: (A) Todas as afirmações podem ser demonstradas. (B) Plano, por definição, é um conjunto de pontos. (C) Ponto tem dimensão. (D) Para se obter um plano basta obter 3 pontos distintos. (E) Reta não tem definição. 03. Assinala a alternativa falsa: (A) Duas retas não coplanares são reversas. (B) Se uma reta não tem ponto em comum com um plano, ela é paralela a ele. (C) Duas retas que tem ponto em comum são concorrentes. (D) Dois planos sendo paralelos, toda reta que fura um fura o outro. (E) Dois planos sendo paralelos, todo plano que intercepta um intercepta o outro. 04. Se a reta r é paralela ao plano α, então: (A) Todas as retas de α são paralelas a r. (B) Existem em α retas paralelas a r e retas reversas a r. (C) Existem em α retas paralelas a r e retas perpendiculares a r. (D) Todo plano que contém r intercepta α, segundo uma reta paralela a r (E) Nenhuma das anteriores é verdadeira. 181 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO 05. Complete a seguinte frase: “Duas retas que não tem ________________________ ou ____________________________ . pontos em comum são 06. Assinale V ou F, conforme as sentenças sejam verdadeira ou falsas: ( ) Ponto não tem definição. ( ) Dois planos que não tem pontos em comum são paralelos. ( ) Duas retas que são paralelas a um mesmo plano podem ser paralelas entre si. ( ) Teorema é sempre um Postulado. 07. Sejam r e s duas retas distintas, paralelas entre si, contidas em um plano α. A reta t, perpendicular ao plano α, intercepta a reta r em A. As retas t e s são: (A) Reversas e não ortogonais. (B) Ortogonais. (C) Paralelas entre si. (D) Perpendiculares entre si. (E) Coplanares. 08. Assinale a alternativa correta: (A) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. (B) Uma condição suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas de um sejam paralelas ao outro. (C) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. (D) Se duas retas quaisquer são paralelas a um plano, então elas são paralelas uma à outra. (E) Um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpendicular a este último plano. 09. Assinale a alternativa falsa: (A) Dois pontos distintos determinam uma reta. (B) Três pontos não colineares determinam um plano. (C) Uma reta divide o espaço em dois semiespaços. (D) Um ponto divide uma reta em duas semirretas. (E) Entre dois pontos distintos, sempre existe um outro ponto. 10. Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente, completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG . A formiga chegou ao vértice: (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E Respostas 01. Resposta: D. I) V, II) F e III) F 02. Resposta: E. 03. Resposta: C. 182 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO 04. Resposta: B. 05. Resposta: paralelas distintas – reversas. 06. Respostas: V – V – V – F. 07. Resposta: B. 08. Resposta: E. 09. Resposta: C. 10. Resposta: E. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL (OU PLANO CARTESIANO) Temos dois eixos orientados, um horizontal e outro vertical, perpendiculares entre si. O eixo horizontal é chamado de “eixo das abscissas” e o eixo vertical e chamado de “eixo das ordenadas”. Estes eixos dividem o plano em quatro partes chamadas de “quadrantes”. O ponto O e chamado de ponto “Zero” ou “Ponto de Origem” do sistema. - Propriedades do Sistema Cartesiano. Sendo um ponto p(x, y), temos: 1) Se P ∈ ao 1° quadrante: x > 0 e y > 0 2) Se P ∈ ao 2° quadrante: x < 0 e y > 0 3) Se P ∈ ao 3° quadrante: x < 0 e y < 0 4) Se P ∈ ao 4° quadrante: x > 0 e y < 0 5) Se P ∈ ao eixo das abcissas: y = 0 6) Se P ∈ ao eixo das ordenadas: x = 0 7) Se P ∈ à bissetriz dos quadrantes ímpares (1° e 3° quadrantes): x = y 8) Se P ∈ à bissetriz dos quadrantes pares (2° e 4° quadrantes): x = - y 183 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO PONTO MÉDIO Sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos do sistema cartesiano: - se M(xM, yM) é ponto médio do segmento AB, temos a fórmula do ponto médio: xM = xA + xB 2 𝑦𝑀= 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵 2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - de acordo com o Teorema de Pitágoras, temos a fórmula da distância: 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 ÁREA DO TRIÂNGULO E CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Sejam os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) os três vértices de um triângulo ABC, para calcular a área desse triângulo temos a fórmula: A= |D| 2 , onde xA D = |x B xC yA 1 yB 1| yC 1 E a condição para que os três estejam alinhados (mesma linha ou mesma reta) é que D = 0. Questões 01. O ponto A(2m + 1, m + 7) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. Então, o valor de m é: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 02. O ponto P(2 + p, 4p – 12) pertence ao eixo das abscissas, então: 184 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO (A) P(2 ,0) (B) P(3, 0) (C) P(- 5, 0) (D) P(5, 0) (E) P(- 2, 0) 03. O ponto médio entre A(4, - 1) e B(2, 5) é: (A) M(- 3, 2) (B) M(3, - 2) (C) M(- 3, - 2) (D) M(3, 2) (E) M(1, 2) 04. Se M(4, 5) é ponto médio entre A(6, 1) e B. As coordenadas xB e yB, respectivamente, são iguais a: (A) 2 e 9 (B) 2 e 7 (C) 9 e 2 (D) 3 e 9 (E) 1 e 8 05. Calcular a distância entre os pontos abaixo: a) A(3, 1) e B(7, 4) b) C(- 1, 8) e D(2, - 3) 06. Se a distância entre os pontos A(8, 2) e B(3, y) é igual a 5√2, sendo B é um ponto do 1° quadrante, então o valor de y é: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 07. Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c, 3), (2, c) e (14, - 3) sejam colineares? (A) 4 e 5 (B) 5 e – 6 (C) – 5 e 6 (D) – 4 e 5 (E) 6 e 5 08. A área de um triângulo que tem vértices nos ponto A(2, 1), B(4, 5) e C(0, 3), em unidades de área, é igual a: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 2 09. Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a: (A) 2 (B) 0 (C) – 2 (D) 1 (E) ½ 185 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Solução: xM = 4= xA +xB yM = 2 6+xB 5= 2 yA +yB 2 1+yB 2 6 + 𝑥𝐵 = 2.4 1 + 𝑦𝐵 = 2. 0) 03.Respostas 01. Resposta: A. Solução: se P pertence ao eixo das abscissas y = 0. Solução: se o ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares temos que x = y. Respostas: Soluções: a) 5 b) √𝟏𝟑𝟎 a) 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 𝑑𝐴𝐵 = √(7 − 3)2 + (4 − 1)2 = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5 b) 𝑑𝐶𝐷 = √(𝑥𝐷 − 𝑥𝐶 )2 + (𝑦𝐷 − 𝑦𝐶 )2 2 𝑑𝐶𝐷 = √(2 − (−1)) + (−3 − 8)2 = √(2 + 1)2 + (−11)2 = √32 + 121 = = √9 + 121 = √130 186 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: D. Solução: xM = xA +xB xM = 4+2 2 2 e yM = yA +yB = 3 e yM = 2 −1+5 2 =2 04. Resposta: B. Resposta: D.5 𝑥𝐵 = 8 − 6 = 2 𝑦𝐵 = 10 − 1 = 9 05. x=y 2m + 1 = m + 7 2m – m = 7 – 1 m=6 02. y=0 4p – 12 = 0 4p = 12 p = 12/4 p=3 x=2+p x=2+3 x=5 Logo: P(5. (−3) − 3. 𝑐. 14 − 𝑐. b = .5 + 2 y=7 ou y = .30 ∆= 121 − 120 = 1 c= −b±√∆ c= −(−11)±√1 2a 2. 𝑐 ∆= (−11)2 − 4. Resposta: C.3 − 1.4. 𝑎.2. Solução: 𝑑𝐴𝐵 = 5√2 √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 = 5√2 (elevando os dois membros ao quadrado) 2 (√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 ) = (5√2) 2 (3 − 8)2 + (𝑦 − 2)2 = 25. 1.1 + 1.5.2.5 y = 5 + 2 ou y = .1 = 0 3 1 0 3 = 10 + 0 + 12 – 0 – 6 – 4 = 22 – 10 = 12 187 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .0 − 2. Resposta: B.1. equação do 2° grau em que a = 1. (−3) − 1. ∆= 𝑏 2 − 4. os pontos dados devem estar alinhados. Solução: colineares (mesma linha) ou seja. 𝑐. Resposta: E.14 + 1. y > 0 y = 7 07.0 + 1.11 e c = 30 (lembrando que o c que queremos determinar não é o mesmo c da equação). repetimos as 1ª e 2ª colunas) 14 −3 1 𝑐 3 1 𝑐 3 𝐷=|2 𝑐 1| 2 𝑐 = 𝑐.1. |D| Solução: a fórmula da área do triângulo é A = .06.3 − 1. A condição para isto é que D = 0. 1 + 3.1.1.1 = 14 −3 1 14 −3 = 𝑐 2 + 42 − 6 − 14𝑐 + 3𝑐 − 6 = = 𝑐 2 − 11𝑐 + 30 Então: 𝐷 = 0 𝑐 2 − 11𝑐 + 30 = 0.3 como o ponto B está no 1° quadrante.2 (−5)2 + (𝑦 − 2)2 = 50 25 + (𝑦 − 2)2 = 50 (y – 2)2 = 50 – 25 (y – 2)2 = 25 𝑦 − 2 = ±√25 𝑦 − 2 = ±5 y – 2 = 5 ou y – 2 = .1 = 11±1 2 𝑐= 11+1 2 = 12 2 =6 ou 𝑐 = 11−1 2 = 10 2 =5 08. 𝑐 3 1 𝐷=|2 𝑐 1| = 0 (para resolver o determinante D.4. 2 2 1 1 2 1 𝐷 = |4 5 1| 4 5 = 2.5. temos: 1) Se r e s são paralelas: mr = ms 2) Se r e s são concorrentes: mr ≠ ms 3) Se r e s são perpendiculares: mr. 188 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 00POSIÇÕES ENTRE DUAS RETAS PARALELISMO E PERPENDICULARISMO Considere-se no Plano Cartesiano duas reta r e s. sendo mr e ms.2 = 2n n=-2:2 n=-1 Logo: m n = 2-1 = ½ (expoente negativo. 2n). y r α s α x Se as retas são paralelas. Solução: do enunciado temos que (m + 2n.ms = . m – 4) = (2 – m. invertemos a base e o expoente fica positivo.A= |12| 2 =6 09.1 Observação: para que o produto de dois números seja igual a – 1. respectivamente os coeficientes angulares de r e s. Resposta: E. substituindo (II) em (I).+ 4 3m = 6 m=6:3 m = 2 (substituindo 2 em (II)) 2 – 4 = 2n . se esses dois pontos são iguais: m + 2n = 2 – m (I) e m – 4 = 2n (II). Este ângulo nos dá o valor do coeficiente angular da reta e. mr e ms devem ser inversos e opostos. temos: m +m –4=2 –m 2m – 4 = 2 – m 2m + m = 2. o ângulo 𝛼 de inclinação em relação ao eixo x é o mesmo. Então.s = |−10−5| √4 2+32 = |−15| √16+9 = 15 √25 = 15 5 =3 Exemplo 2 : Calcular a distância entre as retas (r) 3x – 2y + 8 = 0 e (s) 6x – 4y – 12 = 0.r = |3x+4y−1| substituindo x = 1 e y = 2 (coordenadas do ponto P) √32+4 2 |3.𝐬 = |𝐜 − 𝐜′| √𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 Exemplo 1: Calcular a distância entre as retas (r) 4x + 3y – 10 = 0 e (s) 4x + 3y + 5 = 0.1. dP.r = dP.10). pois a = 2 e b = . então. Isto é: (r) ax + by + c = 0 e (s) ax + by + c’ = 0. (r) 3x + 2y – 10 = 0 e (s) 6x + 4y + 30 = 0 são paralelas. dr.P r d Para calcular a distância d entre o ponto P e a reta r temos a seguinte fórmula: 𝐝𝐏.2−1| √9+16 = |3+8−1| √25 = |10| 5 = 10 5 =2 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS Só existe distância entre duas retas r e s se elas forem paralelas.1+4. b = 4 e c = .𝐫 = |𝐚𝐱𝐨 + 𝐛𝐲𝟎 + 𝐜| √𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 Exemplo: Qual é a distância entre a reta (r) 3x + 4y – 1 = 0 e o ponto P(1. c = 10 e c’ = 5 (ou c = 5 e c’ = . E. 189 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Exemplos: (r) 2x – 3y + 8 = 0 e (s) 2x – 3y – 7 = 0 são paralelas. pois na reta r a = 3 e b = 2 e na reta s a = 6 e b = 2 são proporcionais (o dobro). yo): . para calcular a distância entre as retas r e s temos a seguinte fórmula: 𝐝𝐫. sendo diferente somente o valor de c.3 nas duas equações. Solução: temos que a = 4 e b = 3 nas duas equações e somente o valor de c é diferente. Se dividirmos por 2 os coeficientes a e b da reta (s) obtemos valores iguais.DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Seja uma reta (r) de equação geral ax + by + c = 0 e um ponto P(xo. 2)? Solução: temos uma equação de reta em que a = 3. neste caso. os valores de a e b na equação geral da reta são iguais ou proporcionais. Conclui-se que o triângulo é: (A) equilátero (B) retângulo (C) escaleno (D) acutângulo (E) obtusângulo 04. 2a) pertence ao 1° quadrante e que a distância desse ponto até a reta (r) 3x + 4y = 0 é igual a 22. c = 8 e c’ = . Dada uma reta r de equação 3x + 4y + 15 = 0. b = . (s) 6x – 4y – 12 = 0 :(2) 3x – 2y – 6 = 0 Logo.2. dr. Para qual valor de a as retas (r) ax – 2y + 3 = 0 e (s) 2x + y – 1 = 0 são perpendiculares? (A) 1 (B) – 1 (C) 2 (D) – 2 (E) 0 05. Sabendo que o ponto P(a.5 (D) 2 (E) 8 02. √13 √13 √13 = 14√13 13 Questões 01. (CESGRANRIO-RJ) As retas x + ay – 3 = 0 e 2x – y + 5 = 0 são paralelas se a vale: (A) – 2 (B) – 0. neste caso temos que racionalizar o denominador multiplicando em cima e em embaixo por √13. .6 (ou c = . 𝑛 = −6 (E) 𝑚. para que as retas de equações (r) 2x – my + 1 = 0 e (s) nx + 3y + 5 = 0 sejam paralelas. (UFMG) A relação entre m e n.1 e 0. 3) à reta r é igual a: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 06. 𝑛 = 6 03.s = 14 . o valor de a é: (A) 11 (B) – 11 (C) – 10 190 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .5 (C) 0.Solução: primeiro temos que dividir a equação da reta (s) por dois para que a e b fiquem iguais nas duas equações. a = 3.s = |8−(−6)| √32+(−2)2 = |8+6| √9+4 = |14| √13 = 14 √13 . (FUVEST) Os coeficientes angulares dos lados de um triângulo são: 1. a distância do ponto P(1. é: 𝑚 3 (A) = − (B) 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 =− 2 2 2 3 (C) = 𝑛 3 (D) 𝑚.6 e c’ = 8) dr. a distância entre estas duas retas é: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 08.2. na reta (s) a = 2 e b = 1 191 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: D.1). b) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. os seus coeficientes angulares são: (A) Iguais (B) Inversos (C) Opostos (D) Inversos e opostos.5 2 02. Resposta: B.(1) = . determine: a) o coeficiente angular de r. Solução: na reta (r) a = 2 e b = . Solução: vamos denominar as retas de (r) x + ay – 3 = 0 e (s) 2x – y + 5 = 0 e utilizando a fórmula −𝑎 𝑚= para calcular o coeficiente angular das retas. 𝑛 = −6 03. 𝑛 = 3.2 −𝑚. Logo se o produto dos coeficientes angulares de duas retas é igual a – 1 então as retas são perpendiculares. Solução: dois dos coeficientes angulares dados são 1 e – 1.m. o triângulo é retângulo. Resposta: A. . portanto. Sendo (r) 5x + 12y – 15 = 0 e (s) 5x + 12y – 2 = 0.(D) 10 (E) 20 07. Respostas 01. O produto destes dois coeficientes é 1. na reta (s) a = n e b = 3. 09.1 𝑚𝑠 = −2 −1 =2 para que r e s sejam paralelas: m r = ms −1 𝑎 = 2 1 2a = .1 −1 𝑎 = = −0. Resposta: B. Solução: na reta (r) a = a e b = .1. 𝑚𝑟 = −2 −𝑚 = 2 𝑚 e 𝑚𝑠 = −𝑛 3 Retas paralelas: m r = ms 2 𝑚 = −𝑛 3 −𝑚. Se duas retas são perpendiculares. 04. 𝑛 = 6 x(-1) 𝑚. 𝑏 (r) a = 1 e b = a 𝑚𝑟 = −1 𝑎 (s) a = 2 e b = . (VUNESP) Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P(2. −2 = −1 . Solução: nas duas equações a = 5 e b = 12.2.𝑟 = |3𝑥+4𝑦+15| 𝑑𝑃.𝑟 = |3. porém c = . Solução: na reta r (r) a = 3 e b = 4. Solução: teórico. os coeficientes são inversos e opostos. Resposta: D.15 e c’ = .1+4.ms = . (𝑥 − 2) 2 2.2𝑎| √32 +42 = 22 |3𝑎+8𝑎| √9+16 = 22 |11𝑎| √25 = 22 |11𝑎| 5 = 22 |11𝑎| = 5. Respostas: Solução: −𝑎 −4 a) 𝑚𝑟 = 𝑚𝑟 = = .1 −𝑎 2 . b = 4 e c = 15 𝑑𝑃. (𝑥 − 2) 2𝑦 + 2 = 𝑥 − 2 𝑥 − 2 − 2𝑦 − 2 = 0 𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 1 192 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .a = . a > 0.𝑠 = +𝑏 2 |−15−(−2)| √52 +122 = |−15+2| √25+144 = |−13| √169 = 13 13 =1 08. portanto a = 10 07.𝑚𝑟 = −𝑎 −2 = 𝑎 𝑚𝑠 = e 2 −2 1 = −2 Retas perpendiculares: m r. Resposta: C. o inverso de 2 é ½). (𝑦 + 1) = 1.2 𝑏 2 b) se r e s são perpendiculares. O ponto P nos dá o valor de xo e yo. |𝑐−𝑐′| 𝑑𝑟. Resposta: D.3+15| √𝑎 2 +𝑏 2 √32 +42 substituindo x = 1 e y = 3 (coordenadas do ponto P) = |3+12+15| √9+16 = |30| √25 = 30 5 =6 06.10 Como P pertence ao 1° quadrante. 2 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚.𝑠 = √𝑎 2 𝑑𝑟. (𝑥 − 𝑥0 ) 1 𝑦 − (−1) = .22 |11𝑎| = 110. Resposta: A.𝑟 = 22 |3𝑥+4𝑦| √𝑎 2 +𝑏 2 = 22 (substituindo x = a e y = 2a) |3. 09. Solução: a reta r tem a = 3.1 x(-1) a = 1 05. então: 11a = 110 a = 110 : 11 a = 10 ou 11a = .110 a = . 𝑑𝑃.110 : 11 a = . Portanto se 𝑚𝑟 = −2 𝑚𝑠 = (um é positivo e o outro é negativo.𝑎+4. ESTUDO DA RETA INCLINAÇÃO DE UMA RETA Considere-se no Plano Cartesiano uma reta r.se m = 0 a reta é paralela ao eixo x. isto é. Chama-se inclinação de r à medida de um ângulo α que r forma com o eixo x no sentido anti-horário. tal que 0° < α < 90°. temos: . y r α x COEFICIENTE ANGULAR DA RETA Definimos o coeficiente angular (ou declividade) da reta r o número m tal que 𝐦 = 𝐭𝐠𝛂.se m > 0 temos um ângulo α. Sendo A e B dois pontos pertencentes a uma reta r. temos: No triângulo retângulo: tgα = cateto aposto cateto adjacente . O ângulo α é agudo.se m = ∄ (não existe) a reta é perpendicular ao eixo x.se m < 0 temos um ângulo α. tal que 90° < α < 180°. . . isto é. a partir do próprio eixo x. O ângulo α é obtuso. Então. α = 90°. então temos que o coeficiente angular m é: m= yB −yA xB −xA m= ∆𝐲 ∆𝐱 193 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . . α = 0°. Determinar a equação fundamental dessa reta. Com esses dois pontos pertencentes à reta r.1.Uma reta passa pelos pontos A(3. então: y − yo = m. b = . Exemplos: (r) 2x – 3y + 8 = 0 a = 2. Isto é se a = 0 b ≠ 0 e se b = 0 a ≠ 0. Tomamos outro ponto B(x. temos uma nova fórmula para o coeficiente angular: 𝐦= −𝐚 𝐛 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Para determinar a equação reduzida da reta. b = 0 e c = 10 (t) 3y – 7 = 0 a = 0. com a condição de que a e b não sejam nulos ao mesmo tempo. (x − 2) (esta é a equação fundamental da reta) EQUAÇÃO GERAL DA RETA Toda reta tem uma Equação Geral do tipo: 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 + 𝐜 = 𝟎 . b = 5 e c = 0 Da equação geral da reta. podemos calcular o seu coeficiente angular. ax + by + c = 0 by = −ax − c 194 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . -1) e B(5. basta “isolar” o y. multiplicando em “cruz”: y – yo = m(x – xo). Exemplos: 1.3 e c = 8 (s) – x + 10 = 0 a = . b = 3 e c = . m= ∆y ∆x m 1 = y−y0 x−x0 . Solução: o ponto por onde a reta passa são os valores de xo e yo para substituir na fórmula. y) genérico diferente de A. 8).Uma reta passa pelo ponto A(2. 4) e tem coeficiente angular m = 5. Solução: m = ∆y ∆x = yB −yA xB −xA m= 8−(−1) 5−3 m= 9 2 3. fórmula da equação fundamental da reta. b e c são os coeficientes da equação e podem ser qualquer número real.Uma reta tem inclinação de 60° em relação ao eixo x. onde a.7 (u) x + 5y = 0 a = 1. Determinar o coeficiente angular dessa reta.EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA Considerando uma reta r e um ponto A(x0. y0) pertencente à reta. Qual é o coeficiente angular desta reta? Solução: m = tgα m = tg60° m = √3 2. (x − x o) y − 4 = 5. 4) e m = 7 b) P(0. a equação reduzida é da forma: −c b é o coeficiente y = mx + q O coeficiente linear q é o ponto em que a reta “corta” o eixo y. (4. 4) e cujo coeficiente angular é ½ é: (A) x + 2y + 11 = 0 (B) x – y + 11 = 0 (C) 2x – y + 10 = 0 (D) x – 2y + 11 = 0 (E) nda 5.3). O coeficiente angular dessa reta é: (A) 1 (B) – 1 (C) 0 (D) √3 195 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo ponto A(.3. II) As retas de inclinação igual a 90° (reta vertical ao eixo x) não possuem equação reduzida. 0) é: (A) 1 (B)– 1 (C) 0 (D) 3 (E) 1/3 𝑘 02. então k é igual a: 2 (A) – 12 (B) – 6 (C) 6 (D) 12 (E) 18 03. 3) e B(3. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto P e tem coeficiente angular m nos seguintes casos: a) P(1. Observações: I) A equação reduzida de uma reta fornece diretamente o coeficiente angular e o coeficiente linear. Questões 01. 3) e (5. .2 04. 5) e m = . Então. (MACK-SP) Se os pontos (2. (FGV-SP) A declividade do segmento de reta que passa pelos pontos A(0.1) e m = 3 c) P(.2. Uma reta forma com o eixo x um ângulo de 45°. ) estão numa mesma reta. .y= Na equação reduzida da reta temos que −a −ax c − b b é o coeficiente angular (m) da reta e b linear (q) da reta. 3). . B(4. 5). Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B em cada caso abaixo: a) A(1. Solução: como temos dois pontos. de A(2. A equação geral dessa reta é: (A) 𝑦 = 𝑥 − 3 𝑥 (B) 𝑦 = − 3 2 (C) 𝑦 = 𝑥 + 3 𝑥 (D) 𝑦 = + 3 2 (E) 𝑦 = 2𝑥 + 3 08. Este trajeto ficou bem definido através da equação: (A) y = 2x – 1 (B) y = . A equação geral de uma reta é – 2x + 4y + 12 = 0. 3) e B(2. passando pelo ponto de coordenadas (3. ∆x =-1 02. Considere a reta (r) de equação 2x – 3y + 7 = 0. Dê o coeficiente angular da reta em cada caso abaixo: a) x – y + 3 = 0 b) 2x + 3y – 1 = 0 c) 2y – 4 = 0 d) 3x + 5 = 0 Respostas 01. Resposta: B. 5) b) A(0. a) pertença a esta reta é: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 10. temos: mAB = m BC (os coeficientes angulares de pontos que estão na mesma reta são iguais) yB −yA xB −xA = yC −yB xC −xB 196 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . O barco seguiu a direção que forma 45° com o sentido positivo do eixo x. fazendo o percurso em linha reta.3x + 14 (C) y = x + 2 (D) y = . Resposta: D. Para tanto. respectivamente. 3) e C(5. 1) 09. . o coeficiente angular é dado por m = 𝑚= 𝑦𝐵 −𝑦𝐴 𝑥𝐵 −𝑥𝐴 𝑚= 0−3 3−0 = −3 3 ∆y . fez uso do sistema de eixos cartesianos para melhor orientação. (UEPA) O comandante de um barco resolveu acompanhar a procissão fluvial do Círio-2002. O valor de a para que o ponto P(1.1) e B(4. 𝑘 Solução: chamando os pontos. ) e se esses três pontos 2 estão numa mesma reta.(E) – √3 06.x + 8 (E) y = 3x – 4 07. yo = 4 e m = 1/2. Respostas: Solução: utilizar a fórmula y – yo = m(x – xo). Solução: dada a equação geral da reta. onde xo e yo são do ponto P. y – yo = m(x – xo) 1 y – 4 = . Resposta: D. Resposta: C.(. Respostas Solução: primeiro calcular o coeficiente angular e depois podemos escolher qualquer um dos pontos A ou B para ter o valor de xo e yo.2(x – (-2)) y – 5 = . Nesta questão as alternativas estão na forma de equação geral.1) = 3. a) y – 4 = 7(x – 1) b) y – (.(y – 4) = 1(x + 3) 2y – 8 = x + 3 2y – 8 – x – 3 = 0 .x + 2y – 11 = 0 .1) x – 2y + 11 = 0 05. yo = 5 e 𝑚 = 𝑡𝑔45° = 1. 197 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . para determinar a reduzida basta isolar o y.(x – 3) y–5=x–3 y=x–3+5 y=x+2 07.3−(−3) 4−2 6 2 = 3= = k −3 2 5−4 k−6 2 1 k−6 2 k–6=6 k=6+6 k = 12 03.3.(x – 0) y + 1 = 3. então: y – yo = m(x – xo) y – 5 = 1. Resposta: A. Resposta: B.2(x + 2) 04.2x + 4y + 12 = 0 4y = 2x – 12 (passamos o 4 dividindo para o segundo membro separadamente cada termo) 𝑦= 2𝑥 4 − 12 4 𝑥 𝑦 = −3 2 08. 𝑚 = 𝑡𝑔45° m = 1 06.(x – (-3)) (passamos o 2 multiplicando o 1° membro da equação) 2 2.(x – 0) c) y – 5 = . Solução: xo = . Solução: xo = 3. então temos que desenvolver a equação fundamental. Solução: o coeficiente angular é dado por 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼. As alternativas estão na forma de equação reduzida. . 3a = .3a = .9 x(-1) 3a = 9 a=9:3 a=3 10. Respostas Solução: utilizar a fórmula m = −a b a) x – y + 3 = 0 a = 1 e b = .1 – 3.2x + y – 1 = 0 x(-1) 2x – y + 1 = 0 b) 𝑚𝐴𝐵 = 1−(−1) 4−0 = 1+1 4 2 1 4 2 = = 1 y – 1 = . =1 b) 2x + 3y – 1 = 0 a = 2 e b = 3 𝑚= −2 3 c) 2y – 4 = 0 a = 0 e b = 2 𝑚= a) 𝑚= −0 2 =0 3x + 5 = 0 a = 3 e b = 0 −3 0 = ∄ (não existe) 198 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .1 𝑚= −1 −1 .a) 𝑚𝐴𝐵 = ∆𝑦 ∆𝑥 𝑚𝐴𝐵 = 5−3 2−1 =2 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) y – 3 = 2.(y – 1) = x – 4 2y – 2 – x + 4 = 0 . porém é bom que o a seja um número positivo) .(x – 4) (o dois passa multiplicando o 1° membro da equação) 2 2.(x – 1) y – 3 = 2x – 2 y – 3 – 2x + 2 = 0 . Solução: No ponto P x = 1 e y = a.x + 2y + 2 = 0 x(-1) x – 2y – 2 = 0 09.a + 7 = 0 2 – 3a + 7 = 0 . basta substituir esses valores na equação. Resposta: A. 2x – 3y + 7 = 0 2.2 – 7 .2x + y – 1 = 0 (não é obrigatório. y) um ponto genérico dessa circunferência. 2) e raio r = 5. (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 (x – 3)2 + (y – 2)2 = 52 (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 Equação Geral de uma circunferência Para se obter a equação geral de um circunferência basta fazer o desenvolvimento da equação reduzida: (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 x 2 − 2ax + a2 + y 2 − 2by + b2 = r 2 𝐱𝟐 + 𝐲 𝟐 − 𝟐𝐚𝐱 − 𝟐𝐛𝐲 + 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 − 𝐫 𝟐 = 𝟎 199 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Equação Reduzida de uma circunferência Considerando uma circunferência de centro C e raio r. temos que a distância entre C e P é igual ao raio. e sendo P(x. 𝐝𝐂𝐏 = 𝐫 √(𝐱 − 𝐚)𝟐 + (𝐲 − 𝐛)𝟐 = 𝐫 . Resolução: As coordenadas do centro são os valores de a e b para substituir na fórmula.elevamos os dois membros da equação acima ao quadrado: 𝟐 (√(𝐱 − 𝐚)𝟐 + (𝐲 − 𝐛)𝟐) = 𝐫 𝟐 .ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA Os elementos principais de uma circunferência são o centro e o raio. b). Na geometria analítica o raio é representado por r e o centro por C(a. temos a seguinte fórmula: (𝐱 − 𝐚)𝟐 + (𝐲 − 𝐛)𝟐 = 𝐫 𝟐 Exemplo: Determinar a equação reduzida da circunferência que tem centro C(3.então. .3.3. Resposta: C.numa equação de circunferência: 1) sempre começa por x2 + y2. . (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 2)2 + (y – 4)2 = 52 (x – 2)2 + (y – 4)2 = 25 02. é: (A) x2 + (y – 3)2 = 0 (B) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 (C) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 8 (D) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 16 (E) x2 + (y – 3)2 = 8 03. 5) e r = 7 (C) C(. Uma circunferência tem equação reduzida (x – 3)2 + (y – 5)2 = 49. . com centro no ponto C(2. o centro e o raio dessa circunferência igual a: (A) C(3.Observações: . 4) e que tangencia o eixo x é: (A) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 16 (B) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 9 (C) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 16 (D) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 9 (E) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 16 04.5) e r = 49 (D) C(3. O raio não foi dado no enunciado. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 2)2 + (y – 1)2 = r2 (como a circunferência passa pelo ponto P.. (VUNESP) A equação da circunferência. 1). então a = 2 e b = 1. 5) e r = 49 05. 4) e raio 5. Uma circunferência tem centro C(2. 4). e raio r = 5.. determinar o centro e o raio dessa circunferência. 200 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 3). então a = 2 e b = 4. 5) e r = 7 (B) C(.5) e r = 7 (E) C(3. (CESGRANRIO-RJ) Uma equação da circunferência de centro C(. 1) e que passa pelo ponto P(0. Uma circunferência tem equação geral igual a x2 + y2 – 4x + 2y – 31 = 0. Solução: temos C(2. Solução: temos que C(2. 2) não existe termo xy. 3) r > 0 Questões 01.3.. basta substituir o x por 0 e o y por 3 para achar a raio. Respostas 01. Resposta: D. A equação reduzida dessa circunferência é: (A) (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25 (B) (x + 2)2 + (y + 4)2 = 25 (C) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5 (D) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 25 (E) (x + 2)2 + (y – 4)2 = 25 02. 2 −2 −2 ) (2.1) Para determinar o raio temos que: a2 + b2 – r2 = . Resposta: C(2 . elipse e a circunferência. um aspecto singular: podem ser obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – (-3))2 + (y – 4)2 = 42 (x + 3)2 + (y – 4)2 = 16 04.1) e r = 6 Solução: a equação geral é dada por x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0. Resposta: E. parábola. o coeficiente de x é – 4 e o coeficiente de y é 2. conforme mostrado na figura a seguir: 201 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . possuem todas elas. (x – 3)2 + (y – 5)2 = 49 a = 3 e b = 5 C(3.(0 – 2)2 + (3 – 1)2 = r2 (. Solução: Através da fórmula (x – a)2 + (y – b)2 = r2. para determinar o centro e o raio temos: x2 + y2 – 4x + 2y – 31 = 0. Hipérbole e Parábola As cônicas – hipérbole. Resposta: A. então: a = . Através do gráfico. Porém foi dito que a circunferência tangencia o eixo x. 5) e r 2 = 49 r = √49 r = 7 05.2)2 + 22 = r2 4 + 4 = r2 r2 = 8 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 8 03.31 22 + (-1)2 + 31 = r2 4 + 1 + 31 = r2 r2 = 36 r = √36 r=6 Elipse. Solução: neste caso temos que fazer um gráfico para determinar o raio que não foi dado no enunciado. . comparando com a fórmula. temos que dividir estes coeficientes por – 2 para determinar o centro. −4 C( . . podemos ver que o raio vale 4 (distância do centro ao ponto de tangência no eixo x).3 e b = 4. No caso da hipérbole. vem que: Ora. a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja: 0 < e < 1. no caso da elipse. como c < a. vem imediatamente que e < 1. portanto. teremos uma hipérbole equilátera. os valores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse. como a e c são distâncias e portanto. ou seja a = b. resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima. No caso da elipse já sabemos que: excentricidade = e = c/a Como é válido na elipse que a2 = b2 + c2 . positivas. Em resumo. observe que sendo e a excentricidade de uma cônica: Cônica Circunferência Elipse Hipérbole e 0 0<e<1 e>1 202 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . ou seja e > 1. Também. (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência. A circunferência é então. Neste caso. o que significa que a excentricidade de uma hipérbole é um número real maior do que a unidade.A circunferência é. c > a. uma elipse perfeita. Resumindo. Raciocinando opostamente. na realidade. se o valor de c se aproxima de zero. uma elipse de excentricidade nula. cuja excentricidade é nula. vem que e > 0. Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da unidade estiver a sua excentricidade. Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais. no caso extremo de c = 0. já sabemos que c2 = a2 + b2 e. cuja excentricidade será igual a e = Ö 2. sendo A. B. Elipse: é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e maior que a distância entre eles. (1) com A. (1) é a equação de uma hipérbole. sendo c2 = b2 − a2 203 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Se B2 − 4AC > 0. (0. Vamos desenvolver este assunto a seguir: Equação Geral das Cónicas (eq. de 2ograu em x e y): Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. 0) . a excentricidade da parábola é igual a 1.±b) Equação Reduzida Focos: (0. . (1) é a equação de uma elipse. (1) é a equação de uma parábola. sendo c2 = a2 − b2 Eixo maior = 2a Eixo menor = 2b Distância focal =2c Vértices: (±a. C. podemos dizer. . Equação Reduzida Focos: (±c. D. . B e C não simultaneamente nulos. F ∈ IR.Se B2 − 4AC < 0. 0) .Se B2 − 4AC = 0.±c) . E. que a sua excentricidade será igual a 1? Em a realidade.Quanto à parábola. (0. Equação Reduzida y2 = 2px (p > 0) Equação Reduzida y2 = −2px (p > 0) 204 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 0) .±b) Equação Reduzida da Elipse centrada em (α. β): Parábola: é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta (diretriz). que não contém o ponto.Eixo maior = 2b Eixo menor = 2a Distância focal =2c Vértices: (±a. Equação Reduzida x2 = 2py (p > 0) Equação Reduzida x2 = −2py (p > 0) 205 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Equação Reduzida da Parábola com vértice em (α. β): (y − β)2 = 2p (x − α) (x − β)2 = 2p (y − α) Hipérbole: é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e menor que a distância entre eles. 206 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . β): 207 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Equação Reduzida Equação Reduzida Equação Reduzida da Hipérbole centrada em (α. x + e2.(x – d)2 x2 – 2.x + y2 + f2– e2.d2 = 0 Ou finalmente: x2(1 – e2) + y2 + 2(e2d – f)x + f2 – e2d2 = 0 208 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . pela condição dada.d. onde F é um ponto fixo do plano denominado foco e d uma reta denominada diretriz.x2 – 2.d2 = 0 x2(1 – e2) + y2 + (2e2d – 2f)x + f2– e2. fica: onde e é uma constante real. para ilustrar o desenvolvimento do tema Temos então. PF = e . Veja a figura abaixo. vem: (x – f)2 + y2 = e2 .f.x + f2 + y2 = e2 (x2– 2.Considere o seguinte problema geral: Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x.x + d2) x2 – e2.2. sendo e uma constante real. Pd.f.d. Pd. Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expressão acima. y) do plano cartesiano que satisfazem à condição PF = e . Usando a fórmula de distância entre dois pontos. entre outros. uma parábola ou uma hipérbole. um campo da Física e da Química. os quais por refletirem a luz solar para um só ponto. vamos obter elipses.Fazendo e = 1 na igualdade acima. Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone. para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som. por vezes. cujo quebra luz (abajur) é aberto segundo uma circunferência. A constante e é denominada excentricidade. isto é. Já no ambiente terrestre. na horizontal.x + f2 – d2 = 0 Fazendo d = . Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem. alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superfície. Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Assim. Como a parábola é um caso de equilíbrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a excentricidade da parábola é igual a um).f. dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra. e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. as diferenças entre as trajetórias elípticas e as parabólicas são quase indiscerníveis. foram usados para incendiar os barcos romanos quando das invasões de Siracusa. uma elipse. Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio. na economia. pelo que. a superfície do líquido nele inserido será a de um paraboloide. Na astronomia. Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato. pode-se facilmente verificar estes fatos tomando atenção ao jato de água de uma mangueira. A audiometria usa este fato. Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede. entre outros. obteremos y2 + 2(d – f). Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede. lanternas. O som emitido por um avião a jato supersônico tem a forma de um cone. 209 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas.. conforme vimos no texto correspondente. Certos candeeiros de cabeceira. etc. incluindo a astronomia. Arquimedes construiu espelhos parabólicos. vem: y2 – 4fx = 0 ou y2 = 4fx. pelo que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo. faz uso deste fato para determinar o local da queda de um projétil.. essas trajetórias são elípticas. Lembre-se que a concentração de energia gera calor. No entanto. para construírem candeeiros. parábolas ou hipérboles. pelo que. No estudo dos átomos. as órbitas dos elétrons em torno do núcleo são elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas. as quais têm o sol num dos focos. que a excentricidade de uma parábola é igual a 1 Algumas Aplicações das Cônicas O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. onde f = p/2. sendo circular apenas no caso em que o copo está direito. Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas. num ambiente sob a ação da força de gravidade. Fazendo uso da propriedade refletora da parábola. Vê-se pois. está alinhado com o nível. A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica. onde existe a resistência do ar. assim se obtém uma circunferência. na engenharia e em muitas outras situações. que é uma parábola da forma y2 = 2px. ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cónica. Também as trajetórias dos projéteis. estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da física. Mas isso não impede a existência de satélites com esta trajetória. cuja abertura está inclinada para cima. são parabólicas. os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade. arcos de elipses. desenham na parede uma hipérbole e no teto uma elipse. De fato. A balística ciência que estuda as trajetória de projéteis. mais propriamente. a probabilidade de existir algum satélite com órbita parabólica é quase nula. as propriedades refletoras das cônicas. facilmente verificamos que o cabo principal. este tipo de asa diminuía a resistência do ar. e não somente as da parábola. Só para dar uma amostra de objetos mais vulgares que usam a propriedade refratora das cônicas. Propriedades Refletoras A elipse. Esta técnica foi usada na II grande Guerra. e se a partir deste traçarmos outro segmento que faça com a curva um ângulo igual ao do primeiro segmento. Embora a razão da sua escolha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar munições.. aquele que passa pelos pilares da ponte. os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica. ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado. faz uso das hipérboles confocais.. tem forma de uma parábola. A propriedade de reflexão da elipse é a seguinte: A partir de um dos focos tracemos um segmento de reta qualquer. A partir da propriedade refletora das parábolas.) Esta propriedade faz com que a elipse tenha várias aplicações práticas. O caso da elipse A elipse é uma curva fechada para a qual existem dois pontos especiais. para detectar barcos japoneses. onde os radares estão nos focos. Este segmento encontra a elipse num ponto. radares. Na verdade. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco. usado com grande sucesso na I grande Guerra. Se imaginarmos os cabos que predem o tabuleiro da ponte como raios de luz. faróis. A ideia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares. alguns dos objetos mencionados também obedecem à propriedade refratora das cônicas. O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (Long RAnge Navigation). lanternas.De fato. antenas. As extremidades das asas do famoso avião britânico spitfire. as lupas e os microscópios. 210 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . O mapa assim construído apresenta curvas hiperbólicas. mencionamos os seguintes: os óculos graduados. têm contribuído para a construção de telescópios. (Nota: Os ângulos com as curvas são os ângulos com as respectivas tangentes nos pontos em causa. sendo um dos radares comum aos dois pares. favorecendo melhores performances ao avião em voo. ópticas dos carros. Aqui vamos ocupar-nos apenas das chamadas propriedades de reflexão dessas curvas. Esta propriedade está intimamente ligada à propriedade refletora. os focos. pelo que os seus estudos são muito idênticos. relacionadas com pontos especiais chamados focos. o segundo segmento passa pelo outro foco. eram arcos de elipses. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. Uma aplicação óptica vê-se no dispositivo de iluminação dos dentistas. etc. a parábola e a hipérbole são curvas que possuem propriedades que as tornam importantes em várias aplicações. O caso da parábola A parábola é uma curva com um foco. que são espelhados por dentro e em que se coloca a lâmpada no foco. 211 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . mesmo que seja baixo. Uma aplicação óptica são os faróis dos automóveis e das motocicletas. que concentram num aparelho receptor os sinais vindos de um satélite de televisão. o segundo segmento passa pelo foco. Existem salas deste tipo (às vezes chamadas “galerias de murmúrios”) em vários edifícios públicos na Europa e nos Estados Unidos. a outra ouvirá perfeitamente. Se duas pessoas se colocarem nos focos e uma delas falar. isto é. Um exemplo são as vulgares antenas parabólicas. e se a partir deste traçarmos outro segmento que faça com a curva um ângulo igual ao do primeiro segmento. Este segmento encontra a parábola num ponto. da reta definida pelos dois focos).Uma ilustração acústica da propriedade de reflexão da elipse pode encontrar-se em salas que têm a forma de meio elipsoide (um elipsoide é um sólido que se obtém rodando uma elipse em torno do seu eixo. Esta propriedade faz com que a parábola tenha várias aplicações práticas. ainda que a sala seja grande e haja outros ruídos. A propriedade de reflexão da parábola é a seguinte: A partir de um ponto qualquer tracemos um segmento de reta paralelo ao eixo da parábola. Os dois espelhos dispõemse de modo que os eixos da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da primeira coincida com um dos da segunda. Por exemplo. A propriedade de reflexão da hipérbole é a seguinte: A partir de um ponto qualquer tracemos um segmento de reta dirigido a um dos focos da hipérbole. o que já não acontece se for de reflexão. pela propriedade de reflexão desta os raios de luz refletem-se no espelho hiperbólico e seguem em direção ao outro foco da hipérbole. e outro menor. um maior. Este segmento encontra o correspondente ramo da hipérbole num ponto. o segundo segmento passa pelo outro foco. que chega finalmente aos olhos do observador ou à película fotográfica. de lentes) com o mesmo poder de ampliação. sendo pequena e manejável. e se a partir deste traçarmos outro segmento que faça com a curva um ângulo igual ao do primeiro segmento. chamado primário. É constituído basicamente por dois espelhos. Esta propriedade faz com que a hipérbole tenha várias aplicações práticas. Um exemplo de uma aplicação óptica é o chamado telescópio de reflexão.O caso da hipérbole A hipérbole é uma curva com dois ramos e dois focos. A vantagem deste tipo de telescópio reside no facto de ter um comprimento muito menor do que os telescópios de refração (isto é. uma objetiva fotográfica com 500 mm de distância focal é muito grande e pesada se for de refração. Quando os raios de luz se refletem no espelho parabólico são dirigidos para o foco. pela propriedade de reflexão da parábola. Os raios de luz passam através de um orifício no centro do espelho primário. atrás do qual está uma lente-ocular que permite corrigir ligeiramente a trajetória da luz. que é parabólico. Como este também é foco da hipérbole. que é hiperbólico. o que pode ser vantajoso. 212 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . é: A) I. as imagens que o telescópio Hubble recolhe do espaço são muito mais claras e rigorosas do que as recebidas pelos telescópios utilizados no solo. I e IV D) III. Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da parábola de equação y = x² . A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia de cima para baixo.25 e excentricidade e = 3/5. 04. que se baseia nestas propriedades de reflexão. Um telescópio de refracção com o mesmo poder de ampliação do Hubble seria tão grande e pesado que nenhum foguetão seria capaz de o pôr em órbita. V. QUESTÕES 01. A distância entre o centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 6y = 0 e o foco de coordenadas positivas da elipse de equação é: 03. IV. IV. II. Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita. Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna. I e V E) IV. V e III B) I. II.Outro exemplo é o telescópio Hubble (em órbita desde 1990 a 600 km da Terra). III.16y² = 144 213 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . V. pois os raios de luz não são absorvidos nem distorcidos pela atmosfera. V. O seu espelho primário tem 2. II. Encontre a equação da parábola que passa pelo ponto P(0. III.4 metros de diâmetro. Como está fora da atmosfera. I e III 02.10) e pelos focos da hipérbole de equação 9x² . IV e II C) II. item (IV) Parábola: temos só x² ou só y². 214 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .3) e é perpendicular à reta que passa pelo centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 4y + 11 = 0 e pelo foco de coordenadas positivas da hipérbole de equação . 03. item (III) Alternativa letra A 02. observe: Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(2. nem y podem estar no denominador. Respostas 01. nesse caso item (II) Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² nesse caso o item (V) Elipse: os números que multiplicam x² e y² são diferentes e temos uma soma de x² e y². Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas características das equações. item (I) Hipérbole: temos uma subtração de x² e y².05. sendo que nem x. 05. 215 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .04. 8. 8. função é uma relação binária de A em B de tal maneira que todo elemento x. Gráficos de funções injetoras. sobrejetoras e bijetoras. função inversa. pertencente ao conjunto B.4. função composta.3. Equações e inequações: lineares. 8. quadráticas.8. Teoria dos logaritmos. não-vazios.2. FUNÇÕES. pertencente ao conjunto A. exponenciais e logarítmicas. tem para si um único correspondente y. uso de logaritmos em cálculos. que é chamado de imagem de x. FUNÇÃO DO 1º GRAU Dados dois conjuntos A e B. Função e função quadrática. 216 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 8. Função exponencial e função logarítmica.1. . Contradomínio: Conjunto dos elementos que se colocam à disposição para serem ou não imagem dos elementos de A. Portanto. ou seja. graficamente. D = A. Exemplo Consideremos os conjuntos A = {0. f: A B y = f(x) = x + 1 Tipos de Função Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no contradomínio. Conjunto Imagem: Subconjunto do conjunto B formado por todos os elementos que são imagens dos elementos do conjunto A. 3. Tomamos um elemento do conjunto A. 3. no exemplo anterior: Im = {a. ou seja. b. 5. CD = B. 217 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . todo conjunto B. qualquer que seja interceptar o gráfico da função.Todo elemento do conjunto A tenha algum correspondente (imagem) no conjunto B. 2. Reconhecemos. representado por x. c}. f(x) é injetora g(x) não é injetora (Interceptou o gráfico mais de uma vez) Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. representada por y. representarem uma função é preciso que: . 1.Para cada elemento do conjunto A exista um único correspondente (imagem) no conjunto B. ou seja. uma reta horizontal. Vamos definir a função f de A em B com f(x) = x + 1. 2. 5} e B = {0. que são relações especiais. usamos para as funções. uma função injetora quando. para uma relação binária dos conjuntos A e B. nesta ordem. 4. Portanto. 7. efetuamos as operações indicadas e o resultado será a imagem do elemento x. a seguinte linguagem: Domínio: Conjunto dos elementos que possuem imagem. 1. todo o conjunto A. uma única vez. Assim como em relação. substituímos este elemento na sentença f(x). 6.Notemos que. 8}. num determinado intervalo. uma função sobrejetora quando. num determinado intervalo. Função crescente: A função f(x). elementos distintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos do contradomínio são imagens de pelo menos um elemento do domínio. interceptar. com x1<x2. x1<x2 → f(x1)<f(x2) Função decrescente: Função f(x). pelo menos uma vez o gráfico da função. x1<x2 → f(x1)>f(x2) 218 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . para quaisquer x1 e x2 pertencentes a este intervalo. é crescente se. f(x) é sobrejetora g(x) não é sobrejetora (não interceptou o gráfico) Bijetora: Quando apresentar as características de função injetora e ao mesmo tempo. de sobrejetora. é decrescente se. ou seja. para quaisquer x1 e x2 pertencente a este intervalo. tivermos f(x1)>f(x2). qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo no contradomínio. graficamente.Reconhecemos. com x1 < x2. tivermos f(x1)<f(x2). também. não só na Matemática como nos diversos ramos dos estudos científicos. Exemplo para a > 0 Consideremos f(x) = 2x – 1. Vamos construir uma tabela fornecendo valores para x e. Exemplo Consideremos a função real f(x) = 2x – 1. num determinado intervalo. Gráficos de uma Função A apresentação de uma função por meio de seu gráfico é muito importante. obteremos as imagens y correspondentes. para quaisquer x1 < x2. por meio da sentença f(x). x –2 –1 0 1 2 3 y = 2x – 1 –5 –3 –1 1 3 5 Transportados os pares ordenados para o plano cartesiano. 219 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . vamos obter o gráfico correspondente à função f(x). tivermos f(x1) = f(x2).Função constante: A função f(x). é constante se. isto é. Exemplo Determinar o zero da função: y = 2x – 4. Zeros da Função do 1º grau: Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b o valor de x que anula a função. Conclusão: O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta crescente para a > 0 e uma reta decrescente para a < 0. Assim. basta resolver a equação ax + b = 0. o valor de x para que y seja igual à zero. para achar o zero da função y = ax + b.Exemplo para a < 0 Consideremos f(x) = –x + 1. em que x0 é a raiz da função f(x). 2x – 4 = 0 2x = 4 220 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Consideremos a função f(x) = ax + b com a ≠ 0. A função seja negativa (y < 0).A função se anule (y = 0). b) Quais valores de x tornam positiva a função? y>0 2x – 4 > 0 2x > 4 x> 4 2 x>2 221 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . no ponto de abscissa 2. No plano cartesiano. o zero da função do 1º grau é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. que é o zero da função. podemos esboçar o gráfico da função. Estudo do sinal da função do 1º grau: Estudar o sinal da função do 1º grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: .x= 4 2 x=2 O zero da função y = 2x – 4 é 2.2) Observe que a reta y = 2x – 4 intercepta o eixo x no ponto (2. x 1 y –2 (x.y) (1. – 2) 3 2 (3.A função seja positiva (y > 0). ou seja. Conhecido o zero de uma função do 1º grau e lembrando a inclinação que a reta pode ter. Exemplo Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). a) Qual o valor de x que anula a função? y=0 2x – 4 = 0 2x = 4 x= 4 2 x=2 A função se anula para x = 2.0). . . b) = (c. Assim. ao saldo de gols. Observações: (a. na verdade. o somente se. já tendo combinado. Consideremos um campeonato de futebol e que desejamos apresentar. podemos fazer a indicação (12. Portanto. d) se.Para x < 2 temos y < 0.A função é positiva para todo x real maior que 2. o total de pontos ganhos e o saldo de gols. b) = (b. A x B= x. que o primeiro número se refere ao número de pontos ganhos. trataremos o par ordenado como um conceito primitivo e vamos utilizar um exemplo para melhor entendê-lo. previamente. Relação Binária Par Ordenado Quando representamos o conjunto (a. Para isso. assim.Para x > 2 temos y > 0. a) estamos. estabelecida a idéia de par ordenado: um par de valores cuja ordem de apresentação é importante. c) Quais valores de x tornam negativa a função? y<0 2x – 4 < 0 2x < 4 x< 4 2 x<2 A função é negativa para todo x real menor que 2. . 5) é totalmente diferente da situação (5. a = c e b = d (a. .Para x = 2 temos y = 0.3). chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis pares ordenados. pois a situação (3. A princípio. de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença ao 2º conjunto (B). e o segundo número. a) se. é conveniente distinguir a ordem dos elementos. -8) entenderemos. 18). que esta equipe apresenta 2 pontos ganhos e saldo de gols -8. Note que é importante a ordem em que se apresenta este par de números. em alguns casos. representando o mesmo conjunto. usamos a idéia de par ordenado. Fica. y / x A e y B 222 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Porém. de cada equipe. para uma equipe com 12 pontos ganhos e saldo de gols igual a 18. b) ou (b. a = b Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B. quando tivermos para outra equipe a informação de que a sua situação é (2. Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: . e somente se. e apresentá-lo de várias formas. por meio de pontos. 2).(2.(4. no exemplo dado. Vejamos. 3)} Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): B x A = {(2.(3. podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa. 4). teremos: n(A x B) = n(A) x n(B). quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam o conjunto.(2. também chamado A cartesiano B. 9). Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas (horizontais ou verticais). 9)}.(3. 4. por meio de o exemplo a seguir. no plano cartesiano. teremos: A e B = {(1. 1). ou seja. e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e. quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B. no plano cartesiano. 3}. quando representamos cada um dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn. cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A).(9. marcamos os elementos desses conjuntos. 9} e B = {2. b) Diagrama de flechas Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas. Observando A x B e B x A. Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B. 3). Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem conjuntos iguais. 3). 223 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Exemplo Sejam A = {1. o produto cartesiano A x B fica assim representado no diagrama de flechas: c) Plano cartesiano Apresentamos o produto cartesiano. 1). 2). Assim. 4). a) Listagem dos elementos Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem.Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A. teremos pontos que estarão representando.(3. e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). A x B é diferente de B x A. Nos cruzamentos dessas retas. Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo.(1.(9. as formas de apresentação do produto cartesiano. 2). podemos representar A x A = A2.(4. na função f(x) = ( x 1) . ou seja. Para determinarmos o domínio de uma função. será necessária. com elementos no conjunto dos números reais e imagens também no conjunto dos números reais. Nesse caso. alguns valores reais não apresentam imagem real. A) f(x)=3x2 + 7x – 8 D=R B) f(x)= x 7 x – 7 ≥ 0→ x ≥ 7 D = {x R/x ≥ 7} C) f(x)= D=R 3 x 1 Observação: Devemos notar que. apenas. precisamos limitar o conjunto de partida. apenas algumas situações nos causam preocupação e elas serão estudadas a seguir. inclusive o valor negativo. o número real 0 não apresenta imagem real e. Exemplos: Determine o domínio das seguintes funções reais. Por exemplo. Porém. f(x) características de função. D) f(x)= 3 x 8 x + 8 > 0 → x > -8 D = {x R/x > -8} x5 x 8 x–5≥0→x≥5 E) f(x)= 224 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . basta garantirmos que as operações indicadas na sentença são possíveis de serem executadas. portanto.Domínio de uma Função Real Para uma função de R em R. eliminando do conjunto dos números reais os elementos que. não apresentam imagem. para algumas sentenças. bastaria estabelecermos como domínio da função f(x) o conjunto D = {x R/x ≥ 1}. a apresentação da sentença que faz a “ligação” entre o elemento e a sua imagem. 1ª) y= 2 n f ( x) 2ª) y= f(x)≥(n N*) 1 f(x)≠0 f ( x) Vejamos alguns exemplos de determinação de domínio de uma função real. para essa sentença. o radicando pode assumir qualquer valor real. Dessa forma. portanto. para raiz de índice ímpar. 02.553. 04. (B) R$ 3. o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final.50t (D) T = 3t + 7. (C) x = -6. Portanto.25. então (A) x = 5. (D) R$ 3. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio de oxigênio. o valor de T: (A) T = 3t (B) T = 3t + 2. em reais.00. (PM/SP – CABO – CETRO/2012) O gráfico abaixo representa o salário bruto (S) de um policial militar em função das horas (h) trabalhadas em certa cidade. de um atleta de 70 kg ao praticar natação. uma taxa fixa de R$ 2. em função do tempo.50 (C) T = 3t + 2.50 (E) T = 7. sabendo que f(x) = 35.50t + 3 03.487. (C) R$ 3. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Dada a função f(x) = −4x +15 . durante 10 minutos de prática de natação? (A) 50.534. Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta.50.50 é somada à tarifa final. (D) x = -5. Além disso.00.x–8≥0→x≠8 D = {x R/x ≥ 5 e x ≠ 8} Questões 01.0 225 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (PREF. em litros. assinale a seguir a equação que descreve. (B) x = 6.00 por hora que o veículo permanece estacionado. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA/2013) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3. o valor que este policial receberá por 186 horas é (A) R$ 3.506. Qual será. levando-se em conta somente as informações do gráfico e as afirmações subsequentes? (A) apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e II (E) apenas I e III 07.00 (C) R$ 15.00 (D) R$ 18. em função do rendimento-base.00 está isenta de IR. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO/2012) de domínio real. II) Sendo x o rendimento base e o y o imposto e se 10800 ≤ x < 21600 então y = 0.0 05. o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 2 𝑥 2 + 10000. e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 𝑥. está representado pelo gráfico abaixo: Considere.5 (E) 60.00 (B) R$ 13. (TRT – Técnico Judiciário) O imposto de renda (IR) a ser pago.(B) 52. f(5x) = 5f(x).000. então f(1) é igual a: 226 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .15x – 1620. para todo x (A) 15 R. considerando x e y em reais.000. m − p é igual a (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64 (E) 7 06. as proposições abaixo: I) A pessoa com rendimento-base menor que R$ 10800. Se f(25) = 75. Quais são verdadeiras. A função f de R em R é tal que.000.0 (D) 57.00 (E) R$ 20. durante o ano de 2000.000. Para que a firma não tenha 3 prejuízo. (BRDE-RS) – Numa firma. com base no gráfico. o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: (A) R$ 10. então.5 (C) 55.000. III) O imposto a pagar é sempre o produto do rendimento-base por uma constante.00 08. Resposta: A.(B) 10 (C) 5 (D) 3 (E) 1 09. e acrescentado 2. (B) – 2. (D) 13. x real. A proporção de oxigênio/tempo: 10.50 02.1 x=6 f(6) = 6m .Soldado da Polícia Militar – ISAE) Se f(x) = 3 – 2x. Sabendo que a função é tal que para qualquer x e y pertencentes ao seu domínio f(x+y) = f(x) + f(y) e f(3) = 1. Respostas 01.1 227 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 35 = .4x = 20 x=-5 04. podemos afirmar que: (A) f(4) = 3 + f(1) (B) f(4) = f(3) + 1 (C) f(4) = f(3) . Aplicando segundo as condições mencionadas: x=1 f(1) = 2. 300 16 = 750 40 = 𝑥 186 40𝑥 = 750 ∙ 186 𝑥 = 3487. (C) 7. Resposta: E.5litros----70kg x-------------80kg x = 60 litros 05. Resposta: C. pois depende da quantidade de tempo. (PM/AM .1 .4x + 15 . Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t.0 𝑥 = = 2 4 10 4x = 210 x = 52. Resposta: D. Resposta: B.5 21. então f(–5) é igual a: (A) – 7. f(1) 1 (E) f(4) = 1 + 3 10.p f(1) = m .5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 52.50 03.50 fixo T = 3t + 2. (1) (D) f(4) = 3 . Resposta: D. Utilizando a regra novamente 5f(1) = 15 228 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .1 . portanto. igualando as duas equações: 2 2 23 = 6m . utilizando a regra dada no exercício. f(5) = 15 f(5.00.1) = 5 06. 5) = 5. 𝑥 C(x) = + 10000 2 2 F(x) = 𝑥 3 f(x) > c(x) 2 3 2 3 𝑥 𝑥 > + 10000 2 𝑥 4𝑥−3𝑥 2 6 𝑥 − > 10000 x > 10000 4𝑥−3𝑥 6 x > 10000 x > 10000 1 6 x > 60000 Substituindo 𝑥 60000 C(x) = + 10000 = + 10000 = 30000 – 10000 = 20000 2 2 2 F(x) = 60000 = 40000 3 Fm = 40000 – 20000 Fm = 20000 Portanto o resultado final é de R$ 20. podemos dizer que f(5 . 10800 – 1620 y = 1620 – 1620 y=0 III – Falsa São duas funções (2 constantes) 07.1) = 15 Agora o nosso x é 1.p = m . I – Verdadeira II – Verdadeira y = 0. f(5 . 5) = 75 e agora. que diz que f(5x) = 5f(x) então f(5 .6+4 42+4 𝑓(6) = = = 23 .15 .15x – 1620 y = 0.1 m=4 Como queremos m – p .15 .f(5) pois o nosso x é 5. 5) = 75 75 = 5f(5) f(5) = 75 5 f(5) = 15 Agora podemos utilizar novamente a regra dada. 2–p=4-1 p=-1 m – p = 4 .7. Resposta: E.000. 21600 – 1620 y = 3240 – 1620 y = 1620 y = 0. Resposta: D.(. igualando as duas novamente. Sabendo que f(25) = 75. temos: 2 . 08. portanto: f(3) = 1 f(2 + 1) = 1 f(2) + f(1) = 1 E ainda podemos dizer que f(2) = f(1 + 1). é o valor de f(4). portanto: 10. Atribuindo à variável x qualquer valor real. b e c reais e a ≠ 0. e utilizando a regra.f(1)=3 09. obteremos em correspondência os valores de y: 229 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . b = 0 e c = – 9 . b = 0 e c = 0 Representação gráfica da Função do 2º grau Exemplo Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 – 2x – 3.(-5) = 3 + 10 = 13 FUNÇÃO DO 2º GRAU Chama-se função do 2º grau ou função quadrática toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c . Se f(x) = 3 – 2x f(-5) = 3 – 2.y = x2. Exemplo . Olhando para as respostas. b = – 5 e c = 4 . temos f(4) = f(3 + 1) = f(3) + f(1) Sabemos o valor de f(3). vemos que o que o exercício quer na verdade. temos: O que o exercício quer é o valor de f(4). Resposta: E. sendo a = 1. com a. podemos escrever f(4) como sendo f(3 + 1) e utilizando a regra dada no exercício. É dado o valor de f(3). sendo a = 1.y = x2 – 5x + 4. que é f(x + y) = f(x) + f(y) podemos escrever f(2 + 1) = f(2) + f(1). pois é dado no exercício f(3)=1 e o valor de f(1) já calculamos.y = x2 – 9. sendo a = 1. Resposta: D. podemos dizer que f(3) = f(2 + 1) e utilizando a regra dada. 0) (4. a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). –3) (1. –4) (2. Assim. D = [a. Domínio: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo x.y) (–2. Concavidade da Parábola No caso das funções do 2º grau. O ponto V indicado na figura chama-se vértice da parábola. reconhecer o seu domínio e o conjunto imagem. Consideremos a função f(x) definida por A = [a.0) (0.5) O gráfico da função de 2º grau é uma curva aberta chamada parábola.5) (–1. Podemos por meio do gráfico de uma função. b] = A 230 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . b] em R. –3) (3.Para x = –2 temos y = (–2)2 – 2(–2) –3 = 4 + 4 – 3 = 5 Para x = –1 temos y = (–1)2 – 2(–1) –3 = 1 + 2 – 3 = 0 Para x = 0 temos y = (0)2 – 2(0) –3 = – 3 Para x = 1 temos y = (1)2 – 2(1) –3 = 1 – 2 – 3 = –4 Para x = 2 temos y = (2)2 – 2(2) –3 = 4 – 4 – 3 = –3 Para x = 3 temos y = (3)2 – 2(3) –3 = 9 – 6 – 3 = 0 Para x = 4 temos y = (4)2 – 2(4) –3 = 16 – 8 – 3 = 5 x –2 –1 0 1 2 3 4 y 5 0 –3 –4 –3 0 5 (x. d].c 2.a As raízes (quando são reais). Zeros da Função do 2º grau As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e. portanto.Conjunto Imagem: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo y.a. 231 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . x b . onde. = b2 – 4. ax2 + bx + c = 0 A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. Assim. o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. Im = [c. as soluções da equação do 2º grau. à ordenada do vértice (y v). Cálculo da abscissa do vértice: 232 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Exemplo Vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola da seguinte função quadrática: y = x2 – 8x + 15. As coordenadas do vértice são: xV b 2a e yV 4a O Conjunto Imagem de uma função do 2º grau está associado ao seu ponto extremo. ou seja.Coordenadas do vértice da parábola A parábola que representa graficamente a função do 2º grau apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta o gráfico num ponto chamado de vértice. Nesse caso. –1) yV (2). o vértice é chamado ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função.2 – 4.0) 4 3 (4. Nesse caso. o vértice é ponto de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. .3) 1 0 (1. o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. é dado por V (4.–1)Vértice 3 0 (3. .Se a > 0. .3) 233 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau .Determinamos as coordenadas do vértice. vértice dessa parábola. –1). Exemplo y = x2 – 4x + 3 Coordenadas do vértice: xV b 4 4 2 2a 21 2 V (2. Construção do gráfico da função do 2º grau .Se a < 0. .Traçamos a curva. .Construímos assim uma tabela de valores.0) 2 –1 (2.Atribuímos a x valores menores e maiores que xv e calculamos os correspondentes valores de y. o ponto V.(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = –1 Tabela: Para x = 0 temos y = (0)2 Para x = 1 temos y = (1)2 Para x = 3 temos y = (3)2 Para x = 4 temos y = (4)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 – 4(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0 – 4(3) + 3 = 9 – 12 + 3 = 0 – 4(4) + 3 = 16 – 16 + 3 = 3 X y (x.y) 0 3 (0.xV b 8 8 4 2a 21 2 Cálculo da ordenada do vértice: Substituindo x por 4 na função dada: yV = (4)2 – 8(4) + 15 = 16 – 32 + 15 = –1 Logo.Marcamos os pontos obtidos no sistema cartesiano. é correto afirmar que. Portanto. (C) 27 metros. em metros. (B) 20 metros. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Sabe-se que. tem-se o gráfico de uma parábola. (D) 32 metros. a bala atingirá: (A) 18 metros. negativa ou nula. depois de 3s. Exemplo y = x2 – 6x + 8 Zeros da função: y = x2 – 6x + 8 = (–6)2 – 4(1)(8) = 36 – 32 = 4 = 4=2 Esboço do gráfico: Estudo do sinal: x 62 2 62 8 4 2 2 Para x < 2 ou x > 4 temos y > 0 Para x = 2 ou x = 4 temos y = 0 62 4 2 2 2 Para 2 < x < 4 temos y < 0 Questões 01. a altura h atingida por uma bala. (PM/SP – OFICIAL – VUNESP/2013) Na figura. em função do tempo t. 234 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . em segundos. 02. sob um certo ângulo de tiro. é dada por h(t)=-3t²+15t.Gráfico: Estudos do sinal da função do 2º grau Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função positiva. sendo que os vértices A e B estão sobre o eixo das abscissas e o vértice V é o ponto máximo da parábola. sendo x o preço de venda do produto e R$ 5. A área do triângulo AVB. conclui-se que xQ é igual a (A) 3 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13 04. Para a empresa obter o lucro máximo no mês. obtido com a venda de uma unidade de certo produto é dado pela função L(x) = x – 5.0) e g(x). em centímetros quadrados. cujos gráficos estão representados abaixo. Se g(x) assume valor máximo quando x = xM. cujo gráfico é: 235 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 05.0) e Q(xQ. c > 0 e c R.00 o preço de custo. A quantidade Q vendida mensalmente depende do preço x do produto e é dada por Q(x) = 120 – x. A função f(x) intercepta o eixo das abscissas nos pontos P(xP. em reais. O lucro mensal L de uma empresa. (E) 16. igual a (A) 8.2x² + 4x + 16 e g(x) = ax² + bx + c funções quadráticas de domínio real. cujas medidas dos lados estão em centímetros.Os vértices do triângulo AVB estão sobre a parábola. nos pontos (1. é. 03. (B) 9. (C) 66 à 72. (D) 14. o preço de venda do produto é um número do intervalo de (A) 33 à 50. (C) 12. (B) 51 à 65. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO/2012-Adpatado) Sejam f(x) = .0). (D) 73 à 80.0) e M(xM. Seja f uma função real de variável real definida por f(x) = x2 + c. em reais. (Professor/Pref. Considerando que f(1)=2 o produto de a.b. b = 6. cujos zeros são números naturais consecutivos. c = . c = 17 (B) a = 1. c = 17 (D) a = . de Itaboraí) Seja f a função que associa a cada número real x o menor elemento do conjunto {(1 .17 . (Docente I/Pref. b = . 07. .6. c = .6.Coronel Fabricio) Seja uma função do segundo grau f(x)=x2+ax+b.(2x + 4)}. Determine . . c = 17 (E) a = 1. com .O valor máximo de f(x) é: (A) -1 (B) 1 (C) 2 236 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .17 (C) a = .6.x).c) x Então o gráfico que melhor representa f(x + 1) é: y y A) B) x x y y D) C) x x y E) x 06. é igual a (A) -40 (B) -30 (C) -20 (D) -10 (E) 10 08. Seja a função real dada por as raízes da equação são (A) a = 1. b = . b = 6.1.1.y (0. e sabendo que e . b = . Resposta: B.00 (D) R$ 1605./FCC) Uma empresa de prestação de serviços usa a expressão p(x) = . para calcular o preço.(D) 3 (E) 4 09.2 . (CEF) Seja a função do 2º grau representada no gráfico abaixo: Essa função é dada por: (A) ¼ x2 + x (B) – x2 + 4x (C) ¼ x2 – x (D) ½ x2 .2x Respostas 01.00 (B) R$ 905.(x² .13 = . . a quantia máxima a ser cobrada por essa empresa é: (A) R$ 815. b = 4 .x2 + 80x + 5.00 10.3 -𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 0 ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 4 + 12 = 16 ℎ𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑉𝑦 = − ℎ𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 4 ∆ 4𝑎 Base: -1 até 0 e 0 até 3 Base: 1 + 3 = 4 𝐴𝑡𝑟𝑖Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏 ∙ ℎ 4 = 4 ∙ = 8𝑐𝑚² 2 2 03. a ser cobrado pela manutenção de x aparelhos em um mesmo local. em reais. As raízes são -1 e 3 Sendo função do 2º grau: . (concavidade pra baixo a < 0) -x² + Sx – P = 0 S=-1+3=2 P = .2x² + 4x + 16 = 0 . c = 16 ∆= 16 + 128 = 144 237 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (TÉC.00 (E) R$ 1825. a = .JUD.Sx + P) = 0 . Resposta: A. Resposta: A. 02. ℎ(3) = −3 ∙ (3)2 + 15 ∙ 3 = −27 + 45 = 18 A bala atingirá 18 metros.00 (C) R$ 1215. Nessas condições. 1 Por isso. −𝑏 −2 𝑥𝑣 = = = −1 2.5 2. Resposta: A. Q(x) = (x .1 𝑦𝑣 = −∆ −(−4𝑐) = =𝑐 4. Com esse mesmo raciocínio vemos que também só pode valer ou . vale Isso também acontece para e (todas as raízes de ). o lucro total é dado pelo produto das funções.5)(120 . o gráfico que melhor representa f(x + 1) está na alternativa B.600 essa é uma função do segundo grau e como o coeficiente do x² é negativo ela admite um valor máximo e como queremos saber o preço de venda de x que admite um lucro máximo calculamos o x do vértice: −𝑏 −125 −125 xv = = = = 62. podemos desenhar estas possibilidades em um gráfico cartesiano: 238 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO ou . A questão requer habilidade no uso de gráficos de funções quadráticas.600 + 5x = -x² + 125x . Resposta: B.𝑎 2. Vamos lá. 05.𝑥= −4 ± 12 −4 𝑥1 = −2 𝑥2 = 4 ax² + bx + c 𝑥 = 𝑥𝑚 = − 𝑏 =4 2𝑎 −𝑏 = 8𝑎 A soma das raízes é –b/a 𝑏 − =8 𝑎 Se já sabemos que uma raiz é 1: 1 + 𝑥𝑄 = 8 𝑥𝑄 = 7 04. Assim. 𝑎 4. f(x + 1) = (x + 1)2 + c = x2 + 2x + 1 + c.x² . 𝑎 2. Começamos interpretando as informações dadas a respeito de . então temos que e isso implica que . 06.x) = 120x . Se é raiz de . então: Lucro total= L(x) .5 está entre o intervalo de 51 à 65. O discriminante = 4 – 4 (1 + c) = – 4c é menor que zero. Resposta: B.(−1) −2 O valor de 62. pois cada unidade de um lucro L(x) e eles vendem Q(x) unidades. agora. Agora. e em uma parábola só é possível ter dois pontos com mesma ordenada. assim. note que não podemos escolher todos igual a 12. para desenhar uma parábola nestes pontos. podemos montar um sistema para descobrir a. é como mostrado abaixo: Com esta constatação. Pois. Efetuando os cálculos: Fazemos a terceira equação menos a primeira: Agora substituímos este valor de b na segunda e na quarta equações: Fazendo. teríamos quatro pontos com mesmo valor de Y. a segunda equação menos a primeira: Agora substituímos este valor de "a" na equação : 239 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Os pontos assinalados em azul na figura acima são as possibilidades descritas anteriormente. agora. substituindo estas quatro informações na equação dada no enunciado . Veja que a única configuração que poderia gerar uma parábola com concavidade para cima (pois o enunciado diz que a > 0). temos as informações: E. b e c. (4). ou: 4a + 2b = -1 (equação 2) Com as equações 1 e 2 acima.2 dois números que multiplicados de -2 2. A forma geral de uma função do segundo grau é f(x)= y = ax2 + bx + c Sabemos (do gráfico acima) que 0 e 4 são raízes da equação(onde os valores se anulam).a . (2). como o valor de a é negativo. Como queremos o máximo. Resposta: B. 5) −(6400 + 20) 𝑦𝑣 = → → → → 1605 4𝑎 4𝑎 4.1 P= b x1 .07. pois 'c' é o ponto em que a curva corta o eixo y.2. formada pela junção das funções A e B. sabemos que utilizaremos os valores dos vértices(y v).1 = 1 P = -2/1 = .2 = .(n . Façamos f(1) = 2 2=1+a+ba+b=1 Como as raízes são números naturais consecutivos temos que x1 = n e x2 = n + 1 Pela propriedade Soma e Produto temos: S = .temos que: .1 .1) = b b = n2 + n Como a + b = 1.2 . Dizemos função g composta com a função f.(-1) = .2) 4. Resposta: C. (0) + c. descartamos o . temos: . substituímos em uma expressão: 4a + 2b = .2n .1.6 = -30 08. Vamos resolver a função dada por f(x)=(1 – x).1 1 4a + 2. 240 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (4)2 + b . temos que f: A → B e g: B → C. Resposta: C.(−2) → −(16) −8 →2 09.1 4a .00.1 = .1 16a + 4b = 0 (:-4) 4a +2b = . a quantia máxima a ser cobrada é de R$ 1605.a = 2n + 1 . (−1) −4 Logo.1 4a = -1 + 2 4a = 1 𝑎 = 4 Montando a expressão da função temos: 1 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 4 FUNÇÃO COMPOSTA Função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C.x2 = b n.1 . Matematicamente falando.4a . .a n + n + 1 = . (−1). (0) + b . se procuramos o valor máximo. As raízes naturais consecutivas: n = 2 e n + 1 = 3 As soma das raízes S = a = .b=0 Somando obtemos b = . temos que a concavidade é para baixo. ou seja: 16a + 4b = 0 (equação 1) .(2x + 4) f(x) = 2 – 2x2 .1 Como o enunciado fala de números naturais.1 .0 = a.2 Logo x1 = 2 e x2 = .2n – 1 + n2 + n = 1 n2 – n – 2 = 0 S = 1/1 = 1 dois números que somados de 1 2 . b = 80 . 10.Uma outra equação poderá ser retirada a partir do vértice da parábola: -1 = a. montamos o seguinte sistema: 16a + 4b = 0 4a + 2b = .(-1) = . dado por: (a = . procuramos o valor do y do vértice. Resposta: D. (2)2 + b . h: A → C.1. dado pela fórmula: 𝑦𝑣 = −∆ 4𝑎 → −(𝑏 2 −4𝑎𝑐) 4𝑎 → −(02 −4.5 ou 2 + 3(soma das raízes) O produto é P = b = n2 + n (2)2 + 2 4 + 2 = 6 ou 2. c = 5) −∆ −(𝑏 2 − 4𝑎𝑐) −((80)2 − 4.0 = a .a x1 + x2 = .(−2). donde retiramos o valor de 'c': c = 0. representada por gof.(-1) a = -2n .3 (produto das raízes) Calculando o que o enunciado pede : a.b = (-5). Este ponto também poderia ter sido retirado diretamente do gráfico. denomina a formação da função composta de g com f. Qual será o resultado final se tomarmos um x real e a ele aplicarmos sucessivamente a lei de f e a lei de g? O resultado final é que x é levado a (x +1)2. 02. (SEDUC/RJ – Professor de Matemática – CEPERJ/2013) O gráfico da função f. em relação às funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² – 1. uma parábola cujo vértice é o ponto (2. Determinar g(f(x)) e f(g(x)). cuja lei de formação é g(x) = 2f(x–3) – 4.Exemplo: Dado uma função f(x) = x + 1 e g(x) = x2. 3). Questões 01. é mostrado a seguir: O gráfico que representa a função g. é: 241 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Essa função h de R em R que leva x até (x+1)2 é chamada de função composta. Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos.4 + 1 = 1 = h(x) Logo o gráfico que representa a função h(x) é uma constante passando pelo ponto y = 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL Uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação.2(2) + 1 = 4 . g(f(x)) = 2² . Resposta: D. e/ou uma regra de associação. Observando com atenção a função f(x). temos: f (x) = (10x + 4) / (5x + 2) f (x) = 2 [(5x + 2) / (5x + 2)] f(x) = 2 Assim. tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Como um termo matemático. mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída. Funções 242 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos. "função" foi introduzido por Leibniz em 1694. para descrever quantidades relacionadas a uma curva. a restrição de unicidade da imagem implica em um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.Respostas 01. (g o f)(x) = g(f(x)) g(x) = 4x² – 1 g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1 g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1 g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1 g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1 g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1 g(x + 2) = 4x² + 16x + 15 (g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15 (f o g)(x) = f(g(x)) f(x) = x + 2 f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2 f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2 f(4x² – 1) = 4x² + 1 (f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1 02. Psicologia e outras. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada.Domínio = lR . pois apenas na última casa o total de moedas era de 263.Contradomínio = lR+ Função exponencial a>1 . isto é: Podemos concluir. Durante o Século XIX. A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos.Contradomínio = lR+ 243 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Ampliando a definição de funções. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria. Mais para o final do século. o jogo de xadrez. Astronomia.e:y = F(x). As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. especialmente da função y = 2x. Função Exponencial Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo. Para este tipo de funções. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela. inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros". então. os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. que a função exponencial é definida por: Gráficos da Função Exponencial Função exponencial 0<a<1 . Engenharia. como: Física. pode-se falar em limites e derivadas. Biologia. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro. Tais funções.relacionadas à curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. formando a base do cálculo infinitesimal. i. O rei estava falido! A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponenciais. identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano. então. os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos.Domínio = lR . o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto.2233. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta. os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. então. a fim de diminuir o seu tédio. Definição A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural.1018. Um dos seus súditos inventou. o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. foram já no final do século XX. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Economia. o que corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9. seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. Química. Chamou. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. 244 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . ⍱ x Є lR . temos que: Ln(e) = 1 Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783).lim x→ +∞ ax = 0 . O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais. x = ln(y) .y .f é injectiva .718281828459045235360287471352662497757 Se x é um número real.ln(ex) =x .ex-y = ex/ey .y = ex se. x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional.f(x) > 0 ..(a b)x = ax bx .ey .) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x.(a / b)x = ax / bx .a-x = 1 / ax Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2. e somente se. um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.lim x→ +∞ ax = + ∞ .lim x→ -∞ ax = + ∞ .A função é estritamente .718.ex+y= ex.(ax) y= ax.ex.y = 0 é assimptota horizontal Propriedades da Função Exponencial Se a..f(x) > 0 ..f é continua e diferenciável em lR em lR . para que possamos traçar os pontos no gráfico. isto é: ex = exp(x) Construção do Gráfico de uma Função Exponencial Exemplo: Vamos construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 Vamos atribuir valores a x.f é injetora .k = (ex)k A Constante de Euler Existe uma importantíssima constante matemática definida por e = exp(1) O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial.f é continua e diferenciável . a função exponencial exp(. . ⍱ x Є lR .A função é estritamente decrescente.y = 0 é assimptota horizontal .ax / ay= ax . é: e = 2.y .) . crescente.lim x→ -∞ ax = 0 . então: .ax ay= ax + y . fazendo t = 0: 𝑃(0) = 234 .x 234.382 Por fim. vamos calcular a população após 1 ano. A população será de 50 000 indivíduos daqui a (A) 20 anos.023)𝑡 modela o comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado período de tempo. 1. fazendo t = 1: 𝑃(1) = 234 .𝟏 . (1. Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade? (A) 1.1 t = 20 anos FUNÇÃO LOGARÍTMICA Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada equação logarítmica. 1 = 234 mil Agora.𝒕.Questões 01. segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 .2 / 234 x = 102.𝟏 .023% (B) 1. no instante t = 0.𝟏 .023% (E) 0. vamos utilizar a Regra de Três Simples: População % 234 --------------. Abaixo temos alguns exemplos de equações logarítmicas: 245 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .382 .23% (C) 2.023)𝑡 Primeiramente. vamos calcular a população inicial. (1. A função 𝑃(𝑡) = 234 . t = 2 t = 2 / 0.382 -----------. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP/2014) Uma população P cresce em função do tempo t (em anos).3% (D) 0.23% 02.x = 239.𝒕 = 𝟓𝟐 Vamos simplificar as bases (5).𝟏 .1 . (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT/2014) As funções exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma determinada região em um determinado período de tempo. 𝑃(𝑡) = 234 . (C) 50 anos.3% 102. Respostas 01. (B) 25 anos. (E) 10 anos.100 239. 100 x = 23938. em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde 1980. (1.3% = 100% (população já existente) + 2.023 = 239. Resposta: C.023)0 = 234 . Hoje. 𝟓𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . Assim: 0. a população é de 2 000 indivíduos.023)1 = 234 . sobrando somente os expoentes.3% (crescimento) 02. 𝟓𝟎. Resposta: A. (D) 15 anos. (1.𝒕 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟓𝟎.𝒕 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟓𝟎. Pela definição de logaritmo a base deve ser um número real e positivo além de ser diferente de 1. ou na base de um logaritmo. então S = {25} é o conjunto solução da equação. pois 10 é um valor que atribuído a x satisfaz a condição de existência. pois este valor de x não satisfaz a condição de existência. Se quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos também podemos resolver este exercício assim: Lembre-se que e que log5 625 = 4. já que -10 é um número negativo. começando pela primeira: Segundo a definição de logaritmo nós sabemos que: Logo x é igual a 8: De acordo com a definição de logaritmo o logaritmando deve ser um número real positivo e já que 8 é um número real positivo. Já no caso de x = 10 temos uma solução da equação. pois 54 = 625. Então a nossa condição de existência da equação acima é que: Em relação a esta segunda equação nós podemos escrever a seguinte sentença: Que nos leva aos seguintes valores de x: Note que x = -10 não pode ser solução desta equação. visto que 10 é positivo e diferente de 1. A esta restrição damos o nome de condição de existência. Neste caso temos a seguinte condição de existência: Voltando à equação temos: Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos temos: Como 25 satisfaz a condição de existência.Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando. Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos logaritmos. Solucionando Equações Logarítmicas Vamos solucionar cada uma das equações acima. podemos aceitá-lo como solução da equação. 246 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . temos também a seguinte condição: Portanto a condição de existência é: Agora podemos proceder de forma semelhante ao exemplo anterior: Como x = 2 satisfaz a condição de existência da equação logarítmica. x não é menor que -6. Consideremos uma função logarítmica cuja expressão é dada por y=f1(x)=ln x+k. então x também não satisfaz esta condição de existência. De fato.Neste caso a condição de existência em função da base do logaritmo é um pouco mais complexa: E. mas não é isto que eu quero que você veja. Cada ponto do gráfico é da forma (x. já que não existe nenhuma solução real que satisfaça as condições de existência da equação. também seja positivo para que seja maior que zero. a outra diz que x > 0. onde k é uma constante real. Embora não seja necessário. além disto. Primeiro vamos solucionar a equação e depois vamos verificar quais são as condições de existência: Então x = -2 é um valor candidato à solução da equação. o gráfico se aproxima cada vez mais da reta x=0 O que queremos aqui é descobrir como é o gráfico de uma função logarítmica natural geral. que sendo menor que -6. então 2 é solução da equação. lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. A pergunta natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=f0(x)=ln x ? 247 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . vamos analisar a condição de existência do logaritmando 2x: Como x = -2. O que eu quero que você perceba. este também pode ser solucionado recorrendo-se à outra propriedade dos logaritmos: Neste caso vamos fazer um pouco diferente.x: Veja que embora x ≠ -7. já que nunca conseguiremos satisfazer as duas condições simultaneamente. Qual é o número real que além de ser menor que -6 é também maior que 0? Como não existe um número real negativo. O conjunto solução da equação é portanto S = {}. então sem solucionarmos a equação nós podemos perceber que a mesma não possui solução. a partir das transformações sofridas por esta função. O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. é que enquanto uma condição diz que x < -6. Vamos analisar as condições de existência da base -6 . Assim como no exercício anterior. portanto x = -2 não satisfaz a condição de existência e não pode ser solução da equação. Função Logarítmica A função logaritmo natural mais simples é a função y=f0(x)=lnx. quando comparado ao gráfico de y=ln x. O domínio da função ln é e a imagem é o conjunto . para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências de 10: 0.ln(x+m)+k Conclusão: Podemos.1 = -1 y = log 1 = 0 y = log 10 = 1 248 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . a 0. . 1. Observe que a base a é um valor real constante. mas sim um número real. Função logarítmica de base a é toda função . considerar funções logarítmicas do tipo y = f 4(x) = a In (x + m) + k.ln(x+m) ocorreu mudança de inclinação pois.01. Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando.01 = -2 y = log 0. finalmente. y=a. quando comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de y=a. y=ln(x+m). Se g(x)=3. a função obtida não será logarítmica.ln(x+m). . A função logarítmica de é inversa da função exponencial de e vice-versa.1.1 1 10 y = log x y = log 0. pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das funções esboçados no mesmo referencial cartesiano. não é uma variável. Uma questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo y=f3(x)=ln(x+m). por isto a denominamos função logarítmica.001. 0. Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do gráfico.ln(x-2) + 2/3. o gráfico de y=a. O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações.01 0.ln(x+m)+k. y=ln(x+m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades. escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os respectivos valores de f(x). ou seja. para cada abscissa. Temos então seguinte a tabela: x 0.por fim.a seguir. Analisemos o que aconteceu: . todos num mesmo par de eixos.ln(x+m)+k ficaram acrescidas de k. em seguida.001 0. Observe que se a=0. em primeiro lugar. Vamos representar graficamente a função e como estamos trabalhando com um logaritmo de base 10. onde m é um número real não nulo. pois x=-m exerce o papel que x=0 exercia em y=ln x. y=a. pois: Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a função exponencial. a ordenada é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y=ln(x+m) multiplicada pelo coeficiente a. 0. quando fazemos.Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pela expressão y=f 2(x)=a. portanto.001 = -3 y = log 0. pois.em primeiro lugar. 10 e 2. no gráfico de y=a. as ordenadas dos pontos do gráfico de y=a. definida por com e . y=a. fazendo os gráficos intermediários. pois será a constante real nula. onde o coeficiente a não é zero.ln(x+m)+k sofreu uma translação vertical de k unidades.ln x onde a é uma constante real. em cada ponto. examinando as transformações do gráfico da função mais simples y = f0 (x) = In x. desenhe seu gráfico.ln(x+m) e. que para dois valor de x (x1 e x2). mas de fato nunca chegam a estar. Graficamente vemos que a curva da função é crescente. que . isto para x1. temos que e . no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0. definida por . Note também que neste tipo de função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y.Ao lado temos o gráfico desta função logarítmica. Função Logarítmica Crescente Se temos uma função logarítmica crescente.01 os pontos estão quase sobre o eixo das ordenadas. Por exemplo. qualquer que seja o valor real positivo de x. Também podemos observar através do gráfico. com a > 1. Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica . se passarmos de x = 100 para x = 1000000. Função Logarítmica Decrescente 249 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . a variação de y será apenas de 2 para 6. No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta. também aumenta f(x) ou y. as funções logarítmicas também podem ser classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto porque: Função Crescente e Decrescente Assim como no caso das funções exponenciais. x2 e a números reais positivos. log n = 3 .log 2 é: (A) 2000 (B) 1000 (C) 500 (D) 100 (E) 10 02. (MF – Assistente Técnico Administrativo – ESAF/2014) Sabendo-se que log x representa o logaritmo de x na base 10.Se temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. com a ≠ 1. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2). 0). x2 e a números reais positivos. (PETROBRAS-GEOFISICO JUNIOR – CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 10 de x. Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta.log 2 log n + log 2 = 3 * 1 onde 1 = log 10 então: log (n * 2) = 3 * log 10 log(n*2) = log 10 ^3 2n = 10^3 2n = 1000 n = 1000 / 2 n = 500 02. isto para x1. com 0 < a < 1. isto para x1. Resposta: D. É importante frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente. que . Graficamente observamos que a curva da função é decrescente. o gráfico da função sempre cruza o eixo das abscissas no ponto (1. (A) 5 (B) 4 (C) 1 (D) 2 (E) 3 Respostas 01. y diminui. x2 e a números reais positivos. E = log20 + log5 E = log(2 x 10) + log5 E = log2 + log10 + log5 E = log10 + log (2 x 5) E = log10 + log10 E = 2 log10 E=2 250 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Questões 01. então o valor de n tal que log n = 3 . Resposta: C. calcule o valor da expressão log 20 + log 5. além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o . z..Não são equações: 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x .y..b . onde precisamos achar o valor da variável x.4 = 6x + 8 3a . para manter a balança equilibrada. nem igualdade) Termo Geral da equação do 1º grau Termos da equação do 1º grau Resolução da equação do 1º grau O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita. Vejamos 251 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .c = 0 . Observe a figura: A figura acima mostra uma equação (uma igualdade). isto é.5 < 3 (Não é igualdade) 5 ≠ 7 (não é sentença aberta.. O método mais utilizado para isso é invertermos as operações.EQUAÇÃO DO 1º GRAU Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita ou variável (x. deixar a incógnita sozinha em um dos lados da igualdade.). Exemplos: 2x + 8 = 0 5x . Equacionando temos: x+x+500+100 = x+250+500 2x+600 = x+750. isto é. No registro.Resolvendo a equação 2x+600 = x+750. b = c. 252 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . ou seja. (5) = 10 10 10 – 30x + 4 = 10 x + 5 -30x -10x = 5 – 10 – 4 -40x = -9 (-1) 40x = 9 x = 9/40 x = 0. a parcela b aparece subtraindo no lado direito da igualdade. bastante usado. sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. (10) + 2. invertendo operações. 6 (invertemos a multiplicação por 3). é claro que x é igual a 18 : 3.225 Há também um processo prático. (2) 𝑥. com isso eu posso resolver minha equação. 18 (invertemos a subtração). Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16.Se a . conclui-se que a = c : b. Registro: 3x – 2 = 16 3x = 16 + 2 3x = 18 x= 18 3 x=6 2) Resolução da equação: 1 – 3x + 1 2 = x + . conclui-se que 3x dá 16 + 2. ele aparece dividindo no lado direito da igualdade. o número b aparece multiplicando no lado esquerdo.Se a + b = c. desde que b ≠ 0. na segunda. a parcela b aparece somando no lado esquerdo.b. conclui-se que a = c . efetuando a mesma operação nos dois lados da 5 2 igualdade(outro método de resolução). que se baseia nessas ideias e na percepção de um padrão visual. na segunda. (10) + 1. Se 3x é igual a 18. x = 150 Outros exemplos: 1) Resolução da equação 3x – 2 = 16. são eliminados os denominadores. . Dessa forma. Registro: 1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2 1. 2x – x = 750 – 600. . as operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. eu passo os termos que tem x para um lado e os números para o outro invertendo os sinais.5) = 10. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e isolamos x. (10) − 3𝑥. Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2. Na primeira igualdade. Na primeira igualdade. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação e termina na 18ª estação. por jogo. de um determinado time de futebol. (D) 6. exceto da 1ª para a 2ª. então.00 (D) R$5.50 (C) R$ 1.480. durante esse torneio. IMARUÍ/2014) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente entre três pessoas.700. um total de 28 gols. Questões 01 .400.Para isolar a incógnita. Sabendo que esse time marcou.00 (D) R$ 1. 02 . durante um torneio. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Um grupo formado por 16 motoristas organizou um churrasco para suas famílias. e da 17ª para a 18ª.00 04 . (C) 5. foi: (A) R$ 570. coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro lado. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma.350. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF.00 (B) R$ 980.Sempre que mudar um termo de lado. pelo churrasco.O processo prático pode ser formulado assim: .800.520. cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57. qual foi a quantia dividida inicialmente? (A) R$900. O valor total pago por eles. inverta a operação. cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900.00 (B) R$1. (B) 4. Na semana do evento.00 03 . (PREF. o número de jogos em que foram marcados 2 gols é: (A) 3.00(novecentos reais). (E) 7. . (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) O gráfico mostra o número de gols marcados. seis deles desistiram de participar. cuja distância é o dobro do padrão das demais 253 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .00 a mais. Para manter o churrasco.00 (E) R$ 1.00 (C) R$2. 08 . que tem 7 anos a menos que Felícia. o comprimento total dessa linha de Metrô. (B) Rodrigo tem 30 anos. (B) 21 km e 250 m. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas.estações vizinhas. 07 . (C) 8/24. (E) 2/5. (E) 17 anos. e sabendo que mais nada dessa pizza foi 5 comido. e ele respondeu da seguinte forma: . (E) 26 km e 250 m. (D) 22 km e 500 m. Sendo assim. (D)1/ 4. o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3 a semana executou o dobro do que havia executado na 4 a semana. 06 .2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a (A) 5/16. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. (D) Rodrigo tem 40 anos. Graziela estava conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade. a fração da pizza que restou foi 3 (𝐴) 5 (𝐵) 7 8 (𝐶) 1 10 (𝐷) 3 10 (𝐸) 36 40 254 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m. Na 3 a e 4a semanas. Qual é a idade de Rodrigo? (A) Rodrigo tem 25 anos. (D) 10 anos. O mais velho comeu da pizza que compraram.FCC/2013) Dois amigos foram a 3 uma pizzaria. 05 . (C) 25 km. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Bia tem 10 anos a mais que Luana. Na 2 a semana. (METRO/SP . Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 8 7 da quantidade que seu amigo havia comido. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? (A) 3 anos.AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I . (DAE AMERICANAS/SP – ANALISTA ADMINSTRATIVO – SHDIAS/2013) Em uma praça. (C) 5 anos. Sendo assim. (B) 1/6. (B) 7 anos. é de (A) 23 km e 750 m. ele executou 1/3 do que havia executado na 1 a semana. da primeira à última estação. (C) Rodrigo tem 35 anos. (E) 35. (C) 54. Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. igual a (A) 33.8 + 2. a idade do irmão mais velho será. Glauco pagou pelo álbum o valor. Daqui a dez anos. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço unitário do livro K.00.x – 10. (B) 25. temos: 16.FCC/2013) Glauco foi à livraria e comprou 3 exemplares do livro J.x = 10.09 . Comprou 4 exemplares do livro K. a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio. Exatamente dez anos antes.00.x = 570 6. 0. com preço unitário de 15 reais a mais que o preço unitário do livro J. igual a (A) 55.x = 570 255 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (E) 11.x + 3. em reais.FCC/2013) Hoje.x + 570 16. que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. (D) 50. em anos. Quantidade a ser dividida: x Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900.AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I . 𝑥 𝑥 3 = + 300 3 2 𝑥 𝑥 = + 300 3 6 𝑥 𝑥 − = 300 3 6 2𝑥 − 𝑥 = 300 6 𝑥 = 300 6 x = 1800 03.2 + 1. (D) 44. (METRO/SP . quer dizer que cada uma colocou R$300. (B) 132. Assim: 16 .Resposta: E. (C) 40. a soma das idades de três irmãos é 65 anos. AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I . Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista.Resposta: E.2 = 28 0 + 8 + 2x + 6 = 28 2x = 28 – 14 x = 14 / 2 x=7 02. Respostas 01. (x + 57) (pois 6 desistiram) Combinando as duas equações. x = Total Total = 10 . 10 . Resposta: B. x = 7.x = = 2. Resposta: B. 04.x Assim: 7.x + 2. Resposta: A. 07 .1250 = = 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 05 .1250 + 15. Idade de Rodrigo: x 2 5 2 5 1 𝑥+3 = 𝑥 1 2 𝑥 − 𝑥 = −3 2 Mmc(2. Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. Resposta: B.x = 8750 x = 8750 / 7 x = 1250 m Por fim.x + 15. pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana como consta na fração acima (1/2x).5)=10 4𝑥−5𝑥 10 = −3 4𝑥 − 5𝑥 = −30 𝑥 = 30 256 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . vamos calcular o comprimento total: 17 – 2 = 15 espaços 2. Luana: x Bia: x+10 Felícia: x+7 Bia-Felícia= x+10-x-7 = 3 anos. 3ªsemana: 2y 4ª semana: y 1 2𝑦 + 𝑦 = 𝑥 1 2 3𝑦 = 𝑥 1 2 𝑦= 𝑥 6 06 .x = 570 / 6 x = 95 O valor total é: 16 .1250 + 2. Tarefa: x Primeira semana: 3/8x 1 3 1 3 8 8 2 semana: ∙ 𝑥 = 𝑥 3 1 4 1 8 8 8 2 1ª e 2ª semana: 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade.Resposta: A.00. A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). 95 = R$ 1520. Irmão mais novo: x Irmão do meio: 2x Irmão mais velho:4x Hoje: Irmão mais novo: x+10 Irmão do meio: 2x+10 Irmão mais velho:4x+10 x+10+2x+10+4x+10=65 7x=65-30 7x=35 x=5 hoje: Irmão mais novo: x+10=5+10=15 Irmão do meio: 2x+10=10+10=20 Irmão mais velho:4x+10=20+10=30 Daqui a dez anos Irmão mais novo: 15+10=25 257 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 09 . 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 3 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜: 𝑥 8 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶ 7 3 21 ∙ 𝑥= 𝑥 5 8 40 3 21 𝑥+ 𝑥+𝑦=𝑥 8 40 3 21 𝑦=𝑥− 𝑥− 𝑥 8 40 𝑦= 40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥 4𝑥 1 = = 𝑥 40 40 10 Sobrou 1/10 da pizza.00. Resposta: C. Preço livro J: x Preço do livro K: x+15 𝑥 + 15 á𝑙𝑏𝑢𝑚: 3 Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 3𝑥 + 4(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15 = 197 3 9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15 = 197 3 9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 22𝑥 = 396 𝑥 = 18 𝑥 + 15 18 + 15 á𝑙𝑏𝑢𝑚: = = 11 3 3 O valor pago pelo álbum é de R$ 11.08 . 10 . Resposta: C. Resposta: E. Vejamos. 2 > 3 . isto é. O primeiro membro é x + 6. isto é: 10 > 5. isto é: –16 < –6 Multiplicamos os dois membros por –2 Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um mesmo número negativo. Resolver uma inequação é determinar o seu conjunto verdade a partir de um conjunto universo dado. então 8 . a resolução de inequações do 1º grau. observamos que: A variável é x. A expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. então 8 + 2 > 3 + 2. A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. Mudou de sentido Exemplo: Se 8 > 3. aquelas em que a variável x aparece com expoente 1. O segundo membro é x + 2. através do exemplo. Somamos +2 aos dois membros da desigualdade Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos seus dois membros. (–2) < 3 . 2. então 8 . O primeiro membro é 2x – 4. 258 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Propriedade Multiplicativa: Mesmo sentido Exemplo: Se 8 > 3. Na inequação x + 6 > 12. As inequações x + 6 > 12 e 2x – 4 x + 2 são do 1º grau. isto é: 16 > 6. Propriedades da desigualdade Propriedade Aditiva: Mesmo sentido Exemplo: Se 8 > 3. O segundo membro é 12. Na inequação 2x – 4 x + 2: A variável é x. Multiplicamos os dois membros por 2 Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um mesmo número positivo. por exemplo. INEQUAÇÃO DO 1º GRAU Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade.Irmão do meio: 20+10=30 Irmão mais velho: 30+10=40 O irmão mais velho terá 40 anos. (–2). a) x < 5. ou seja. 2. 2 Vamos determinar o conjunto verdade caso tivéssemos U = Z. transformando cada inequação em outra inequação equivalente mais simples. 1. Exemplo Resolver a inequação 4(x – 2) 2 (3x + 1) + 5.. sendo U = Q Todo número racional menor que 5 é solução da inequação dada. 0. 2. Logo. 3. Assim: V = {x Q / x <5} Resolução prática de inequações do 1º grau: A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo de maneira semelhante à resolução de equações. obtemos: Logo. 1.5 . 4}. V = {. 3 ou 4. b) x < 5. Então V = {0. nós o faremos por meio da propriedade que caracteriza seus elementos. 2x –15 Dividindo os dois membros por 2. 4}. 3. 2. Sendo 15 7. sendo U = Z Todo número inteiro menor que 5 satisfaz a desigualdade.. c) x < 5. –2. vamos indicá-lo na reta numerada: 2 259 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Como não é possível representar os infinitos números racionais menores que 5 nomeando seus elementos. V = x Q | x 2x 15 15 x 2 2 2 15 . sendo U = N Os números naturais que tornam a desigualdade verdadeira são: 0. 4(x – 2) 2 (3x + 1) + 5 4x – 8 6x + 2 + 5 4x – 6x 2 + 5 + 8 –2x 15 aplicamos a propriedade distributiva aplicamos a propriedade aditiva reduzimos os termos semelhantes Multiplicando os dois membros por –1. até se obter o conjunto verdade. 1. –1. sendo U = Z b) x < 5.. sendo U = Q. devemos mudar o sentido da desigualdade. (B) -3. ? 02. . (CFSD/PM/2012) Baseado na figura abaixo. (ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: (A) 06. só parando quando obteve um número negativo. (C) 38. foi subtraindo 6. 260 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (AUX. (B) 87. sucessivamente. (C) -1. (E) 42. 04. TRT 6ª/FCC) Uma pessoa. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6? (A) 88. V = {–7. (B) 08. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação (A) 13.. –6. A seguir. (B) 26. Para que um aluno receba nota correspondente a um número positivo. (E) 5. Questões 01. deverá acertar no mínimo: (A) 3 questões (B) 4 questões (C) 5 questões (D) 6 questões (E) 7 questões 03.. (D) 39. (Tec. (E) 40. (D) 53. (D) 4. brincando com uma calculadora.} ou V = {x Z| x –7}. digitou o número 525. 05. (C) 54.enfermagem/PM) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: (A) -2.Logo. –5. –4. Resposta: D. 48. (E) 0.(C) 10. na compra de batata e de feijão. Resposta: D.1. 11. Indicando por X e Y os valores gastos. 13. respectivamente. 03.2. 261 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: (A) maior que 8. R$ 100. sendo então que x será 10. Como só estamos trabalhando com valores positivos.. logo nosso menor número inteiro é -1.. (UEAP – Técnico em Planejamento. poderá ser 39 valores diferentes. Orçamento e Finanças – Ciências Contábeis – CSUFG/2014) O dono de um restaurante dispõe de. 02. logo a resposta seria 88( maior do que 87.5 .5 (D) x < 2 (E) x ≤ 2 08. a inequação que representa esta situação é: (A) X + Y > 100 (B) X + Y ≤ 100 𝑋 (C) > 100 (D) 𝑌 𝑋 𝑌 ≤ 100 Respostas 01.. 04.5 (C) x > . Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – x)(-1) pontos. (SEE/AC – Professor de Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias – FUNCAB/2014) Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: (A) x > 2 (B) x ≤ . Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 525 – 6x < 0 ( pois o resultado é negativo) -6x < -525.5). (MACK) – Em N.00 para uma compra de batata e feijão.}. Resposta: A. (-1) 6x > 525 x > 87. (C) 2. podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 9 < x < 49.0. 06. no máximo. 4x + 2 – 2 > x -12 4x + 2x – x > -12 +2 5x > -10 x > -2 Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V={-1. (D) 12. 07.. a soma desses valores será positiva quando: 4X + (25 -1 )(-1) > 0 4X – 25 + x > 0 5x > 25 x > 5 O aluno deverá acertar no mínimo 5 questões. Resposta: C. (B) 6. 12.. (E) 14. 14.. (D) 1.. Ou seja. coeficientes.0.. 3𝑥 𝑥 3𝑥 𝑥 2𝑥 +2 ≤ −3 → − ≤ −3 − 2 → ≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 2 2 2 2 2 08. Resposta: B. b.= 0. Em que a.05. c = 6). Resposta: B. 06 . Resposta: B. b. 262 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .2. c são chamados coeficientes da equação: Equação completa e incompleta: . teremos: 3. pois todo número multiplicado por zero será ele mesmo.36 Como tem que ser o menor número inteiro e par. c são números reais e a ≠ 0. os números reais expressos por a. b = 2. Nas equações de 2º grau com uma incógnita.15 = 0 é uma equação completa (a = -3. a equação do 2º grau se diz incompleta.1. 2x ≤ 3+3 2x ≤ 6 x≤3 Como ele pede o produto das soluções. logo: X+Y ≤ 100 EQUAÇÃO DO 2º GRAU Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas. Resposta: E.00( ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor). c = -15).Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0.. 07.(x+5) + 3x + 8 > 80 6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 11x + 10 > 80 11x > 80 -10 x > 70/11 x > 6. Batata = X Feijão = Y O dono não pode gastar mais do que R$ 100.5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1.. expoentes e um sinal de igualdade. a equação do 2º grau se diz completa. -3y2 + 2y . logo teremos 8. b = – 5. . As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 6x – 8 + 2. Exemplos: x2 .Quando b ≠ 0 e c ≠ 0. y ϵ R e x. 1º) Se x ϵ R. por meio de transformações convenientes.y=0. algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0. que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. porém. Primeiramente devemos saber duas importante propriedades dos números Reais que é o nosso conjunto Universo. em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo. 2 1 x x 2 x4 4. S = {0.36 = 0 é uma equação incompleta (b=0).10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). y ϵ R e x2=y. Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. 4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 263 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . podemos reduzilas a essa forma. ao substituir a incógnita de uma equação. x² . aplicando a 1º propriedade dos reais temos: x=0 ou x–9=0 x=9 Logo. Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0. Há. então x= 0 ou y=0 2º) Se x ϵ R.x 4 xx 4 2x 2 2 x x 4 2 x x 4 4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2 4x – 16 – x2 + 4x = 2x2 – x2 + 8x – 16 = 2x2 – x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0 – 3x2 + 8x – 16 = 0 Raízes de uma equação do 2º grau Raiz é o número real que. (x – 9) = 0 . 2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 3x2 – 7x + 3 = 0 Exemplo: Pelo princípio multiplicativo. Exemplo: Pelo princípio aditivo. 2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. transforma-a numa sentença verdadeira. x2 + 9 = 0 colocamos x em evidência x . então x= √y ou x=-√y 1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0.Exemplos: x² . Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita.a. Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal. S = {–4. Temos: a = 3. que é uma diferença de dois quadrados. Duas raízes reais distintas. Δ=0 2º caso 3º caso b 2. A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem. do discriminante Δ = b2 – 4.a x' Δ>0 x’ = x” = (Nulo) Δ<0 (Negativo) b 2a Não temos raízes reais. Logo. b = 7 e c = 9 𝑥= −7 ± √−59 6 Como Δ < 0.x2 – 16 = 0 Fatoramos o primeiro membro. (x + 4) . Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. a equação não tem raízes reais. 264 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (x – 4) = 0. o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ. foi possível chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau de maneira mais simples. (aplicando a segunda propriedade). Nesta fórmula.c. Exemplos: 1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 1º caso (Positivo) Duas raízes reais iguais. aplicando a 1º propriedade dos reais temos: x+4=0 x=–4 x–4=0 x=4 ou x2 – 16 = 0 x2 = 16 √x2 = √16 x = ± 4. 4}. temos então.a b x '' 2. três casos a estudar. exclusivamente. daí o nome que se dá a essa expressão. Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e multiplicados obtemos 12.5.7 = 14 Com esses valores montamos a equação: x2 -9x +14 =0 2) Resolver a equação do 2º grau: x2 -7x +12 =0 Observe que S=7 e P=12. o valor de m deverá. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 1 e 3/2? 265 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . ser diferente de: (A) 1. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA/2013) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma equação de segundo grau. (E) 9.Então: S = ᴓ 2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 Temos que a= 5. logo temos duas raízes reais distintas: 𝑥= 12 ± 8 12 + 8 20 12 − 8 4: 2 2 → 𝑥′ = = = 2 𝑒 𝑥 ′′ = = = 10 10 10 10 10: 2 5 S= {2/5. S= 3+4 = 7 e P = 4.5 10 10 Como Δ > 0. (C) 3. 𝒙𝟐 = 𝒃 𝒂 𝒄 𝒂 Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: x2 – Sx +P=0 Exemplos: 1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. (B) 2. 1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − 2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . são as chamadas relações de Girard. Resolução: Pela relação acima temos: S = 2+7 = 9 e P = 2. necessariamente. logo o conjunto solução é: S={3.4} Questões 01. (D) 0.4 12 ± √144 − 80 12 ± √64 𝑥= = = = 2𝑎 2. 2} Relação entre os coeficientes e as raízes As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes. 02. Aplicando na fórmula de Bháskara: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−12) ± √(−12)2 − 4.3=12. que são a Soma (S) e o Produto (P). b= -12 e c = 4. (PREF. notou que o número de cadernos de uma pilha era igual ao dobro do número de pilhas. (A) 0.5 (E) 1/ 𝜋 05. (B) 14. usando 5=2.62 (B) 0. a soma da idade de ambos será: (A) 48 anos.(A) x²-3x+4=0 (B) -3x²-5x+1=0 (C) 3x²+5x+2=0 (D) 2x²-5x+3=0 03. (D) 289. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN/2014) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB/ 2014) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã. (B) 225.24. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau dada por x²-6x=-8 é: (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 12 04. então o valor de . PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA/2014) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. (D) 36 anos. Daqui a dez anos.62 (D) 0. (E) 32 anos. e o produto das suas idades é 153. 09. O valor de m é: (A) 15 (B) 7 (C) 10 (D) 8 (E) 5 07. então o discriminante dessa equação é igual a (A) 196. Calcule o valor mais próximo de x de maneira que x = (1-x) / x.SP . (E) 20. (C) 256. 266 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF/2012) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas partes com comprimentos x e 1-x respectivamente.é: (A) 1 27 𝑥1 𝑥2 . (PREF.Guarda Civil Metropolitano . (C) 16.Fiscal Leiturista – VUNESP/2014) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao formar pilhas. (Prefeitura de São Paulo . (D) 18. O número de cadernos de uma pilha era (A) 12. (SAAE/SP . 06. 08. todas com o mesmo número de cadernos.38 (C) 1.MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são 1 1 as raízes da equação x2 . (B) 46 anos. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = – 10 e que a + b = 5.27x + 182 = 0. (C) 38 anos. (E) 182 1 14 . 10. (Pref. (E) k = -2. 𝑙𝑜𝑔𝑜: 3m-9≠0 3m≠9 m≠3 02 . (B) k = 3/2. Resposta: A. 1−𝑥 𝑥= 𝑥 x² = 1-x x² + x -1 =0 ∆= (1)2 − 4.1.Professor – Matemática – EXAMES) A soma das raízes da equação (k .8 ⇒ 36 − 32 = 4 𝑥= −(−6)±√4 2.1 𝑥1 = 6+2 𝑥2 = 2 6±2 2 =4 6−2 2 ⇒𝑥= =2 Dobro da menor raiz: 22=4 04 . Resposta: B.1. Respostas 01 . Resposta: D. e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. usando o método da soma e produto. é igual ao produto dessas raízes. x²-6x+8=0 ∆= (−6)2 − 4. Como as raízes foram dadas. (C) k = 1/3.2)x² . Temos: (A) k = 1/2.1 (B) .3kx + 1 = 0. Mogeiro/PB . (D) k = 2/3. 1 (D) . 𝑆 =1+ 𝑃 =1∙ 3 5 = =𝑏 2 2 3 3 = = 𝑐 . S= duas raízes somadas resultam no valor numérico de b. 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 2 2 5 3 𝑥2 − 𝑥 + = 0 2 2 2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 = 0 03 . Nessas condições. para saber qual a equação: x² .Sx +P=0. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 267 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Neste caso o valor de a ≠ 0. Resposta: C. 13 (C) 1. com k ≠ 2. (– 1) b=4.a Como foi dado que a + b = 5.1. a outra é 1.24 = −1.𝑥= −1 ± √5 2 𝑥1 = (−1 + 2. Hoje: J = IR + 8 ( I ) J .62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 2 05.1. temos que P(produto)=6 e se uma das raízes é 6. Resposta: B. serão 19 anos e 27 anos.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝛥 = 82 − 4. Então a soma é 6+1=7 S=m=7 07.a = 5 e a = 1 *b=4. Assim: 5.62 2 𝑥2 = −1 − 2.a = 5.1=4 Falta calcular o valor de c: * Produto das raízes = c / a c / 1 = 6 . 06 . precisamos calcular a. as idades são 9 anos e 17 anos. Daqui a 10 anos. IR = 153 IR² + 8. O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Antes. Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P. (– 10) c = – 60 Por fim. * Soma das raízes = – b / a – b / a = 6 + (– 10) – b / a = – 4 . hoje. (−60) = 16 + 240 = 256 268 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Resposta: C. vamos calcular o discriminante: ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ∆ = 42 − 4. cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. (−153) 𝛥 = 64 + 612 𝛥 = 676 𝑥= −𝑏±√𝛥 2𝑎 𝑥= −8±√676 2. temos que: a + 4.24) = 0.1 𝑥1 = −8+26 𝑥2 = −8−26 2 2 = −8±26 2 = 18 = 34 2 2 =9 = 17 Portanto.Resposta: B. b e c. IR = 153 ( II ) Substituir ( I ) em ( II ): (IR + 8). 08. 269 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 𝑎 𝑎 (k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0. 09 . Estudo da variação de sinal da função do 2º grau: . c são números reais conhecidos.2p = 98 2.3k e c = 1 S=P −𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑎 . b = . −𝑏 𝑐 Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = eP= . Resposta: D. . b.182 ∆ = 729 – 728 ∆=1 𝑥= −𝑏±√∆ 2𝑎 = −(−27)±√1 2.c = 98 (II) Substituindo a equação (I) na equação (II).27 e c = 182 ∆ = b2 – 4. Resposta: C. e x é a incógnita. temos: p.c ∆ = (-27)2 – 4.1.b = c -(-3k) = 1 3k = 1 k = 1/3 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Chamamos inequação do 2º grau às sentenças: ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c 0 Onde a. temos 2.p² = 98 p² = 98 / 2 p = √49 p = 7 pilhas Assim. Primeiro temos que resolver a equação: a = 1.a.Não é necessário que tenhamos a posição exata do vértice. podemos dispensar a colocação do eixo y.7 = 14 cadernos por pilha. e de ( p ) o número de pilhas. b = .Não é preciso estabelecer o ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo y e. considerando que a imagens acima do eixo x são positivas e abaixo do eixo negativas. 𝑥2 14. Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha. a = k – 2.Resposta: B.13 182 10 .p (I) p. temos: c = 2. basta que ele esteja do lado certo do eixo x. a ≠ 0.x2 1 1 𝑥1 − 𝑥2 14 − 13 1 − = = = 𝑥1 𝑥2 𝑥1 .1 = 27±1 2 x1 = 14 ou x2 = 13 O mmc entre x1 e x2 é o produto x1. fazemos com que ele seja o conjunto R dos reais. . os valores de x para os quais y > 0: S = {x R| x < 2 ou x > 4} Observação: Quando o universo para as soluções não é fornecido. Nessas condições. Finalmente. . a população N desses animais passou a ser estimada por N(t) = 35 + 4t – 0. e a existência e quantidade de raízes que ela apresenta.Tomamos.4 t². basta conhecer a posição da concavidade da parábola.Estudamos a variação de sinal da função y.Fazemos y = x2 – 6x + 8. Foram colocados em uma reserva 35 animais ameaçados de extinção. como solução da inequação.Para estabelecermos a variação de sinal de uma função do 2º grau. voltada para cima ou para baixo. Questões 01. Decorridos t anos. com 0 ≤ t ≤ 10. Exemplo Resolver a inequação x2 – 6x + 8 0. . tomamos como solução para inequação as regiões do eixo x que atenderem às exigências da desigualdade. o número máximo que essa população de animais poderá atingir é: (A) 38 (B) 45 (C) 52 (D) 59 (E) 63 270 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Consideremos a função f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0. se n for um número real (A) menor que 8. tem-se 6n < n² + 8 ” será verdadeira. x² + 5x – x – 5 + x ≤ 4x² . (PRF 2013 – Cespe) . e que tenha parado de ingerir bebida alcoólica em t = t1. (D) maior que 2. que apresenta o gráfico da função N(t) para t є [t0.3x + 2 ≥ 0 ∆ = (−3)2 − 4. Com base nessas informações e tomando 24. (E) maior que 3. Respostas 01.2 ∆= 9 − 8 = 1 3±1 𝑥= 2 271 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . ( ) Certa ( ) Errada 04.(-1) x² . (B) menor que 4. voltando a ficar sóbria em t = t2. Como o intervalo de tempo corresponde de 0 a 10 anos e o maior tempo é 10 anos. (C) menor que 2.6 ≤ 0 : (3) .3 como valor aproximado de √589. a inequação (x − 1) (x + 5) + x ≤ (2x − 1)² apresenta como conjunto solução: (A) R (B) {x ∈ R / x ≤ −2 ou x ≥ −1} (C) {x ∈ R / −2 ≤ x ≤ −1} (D) {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 2} (E) {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2} 03. ainda. (SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC/2012) No conjunto dos números reais. em horas. em g/L.Considere que o nível de concentração de álcool na corrente sanguínea. julgue os itens que se seguem.3x² + 9x . partindo de um estado de sobriedade. logo teremos: 02.008(t² – 35t + 34). a figura acima. em função do tempo t.4x +1 . Resposta: D.02. t2]. de uma pessoa. Considere. por fim. seja expresso por N = – 0.1.x² + 3x – 2 ≤ 0 . O nível de concentração de álcool na corrente sanguínea da pessoa em questão foi superior a 1 g/L por pelo menos 23 horas. que essa pessoa tenha começado a ingerir bebida alcoólica a partir de t = t0 (N(t0) = 0). Considere. A proposição funcional “Para todo e qualquer valor de n. Resposta: B. toda equação onde a variável x se encontra no expoente. – 0.3 35 + 24. Como a>0 a parábola tem concavidade para cima: S = n < 2 ou n > 4 EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chama-se equação exponencial.159 = 589 −(−35) ± √589 35 ± 24. Exemplos: 3𝑥 = 1 . RESPOSTA : C.resolvendo pelo método da Soma e Produto.008(t² – 35t + 34) > 1 – 8(t² – 35t + 34) > 1000 t² – 35t + 34 > – 125 t² – 35t + 159 > 0 ∆= b² – 4ac = 35² – 4. n² – 6n + 8 > 0. Vamos relembrar algumas das propriedades da potenciação para darmos continuidade: 272 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .1.𝑥1 = 2 𝑥2 = 1 S={x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 2} 03.65} .22𝑥+2 = 20 Para resolução precisamos achar os valores da variável que a tornem uma sentença numérica verdadeira. Resposta: CERTA.35 2.3 𝑡= = ⇒ 𝑡1 = = 29. diferença entre eles = 24.35 ˂ t ˂ 29.1 2 2 2 S = {5.3 04.3 35 − 24. temos: 𝑏 −(−6) 𝑎 1 Soma = − = Produto = 𝑐 𝑎 = 8 1 =6 =8 Precisamos descobrir dois números cuja soma é 6 e o produto é 8 só podem ser 2 e 4.65 ∴ 𝑡2 = = 5. 5. 1} Questões 01. 02. (D) S = {1/3. A expressão dada pode ser escrita na forma: (3x)2 – 4.1} 273 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . igualamos os expoentes. (B) 2. (B) S = {-1. 1}. (C) 3. as quais possuem nos dois membros potências de mesma base. Fatorando o 8 obtemos 23 = 8 2º) Aplicando a propriedade da potenciação: 2x = 23 base iguais. Fazendo 3x = y. Neste caso o 8 pode ser transformado em potência de base 2. 1}. logo x=3 2) 2m . então 3x = 1 = 0 ou 3x = 3 x = 1 S = {0.4 m = 6 S = {6} 3) 6 2m – 1 : 6 m – 3 = 64 6 (2m – 1 ) – (m – 3) = 64 2m – 1 – m + 3 = 4 2m – m = 4 + 1 – 3 m = 5 – 3 m = 2 S = {2} 4) (3x)2 + 4. (PM/SP – CABO – CETRO/2012) O valor de x na equação é 5 ∙ 3𝑥+1 + 3𝑥−2 = 408 é (A) 1. (C) S = {-2. (D) 4.3x + 3 = 0 Criamos argumentos para resolução da equação exponencial. temos: y2 – 4y + 3 = 0 y = 1 ou y = 3 Como 3x= y.3x + 3 = 0. 24 = 210 2 m + 4 = 210 m + 4 = 10 m = 10 . (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) É correto afirmar que a solução da equação exponencial 3 ∙ 9x − 4 ∙ 3x + 1 = 0 é (A) S = {0. 0}.Vamos ver o passo a passo para resolução de uma equação exponencial: Exemplos: 1) 2x = 8 1º) Algumas equações podem ser transformadas em outras equivalentes. uma espécie de aves. Os biólogos responsáveis por essa área estimam que o número P de aves dessa espécie. é tal que (A) 1 < x ≤ 2. 09. (C) 8 anos. (D) 4 < x ≤ 5.2)x − 1 para estimar o volume de vendas de um produto em um determinado dia.5)𝑡 De acordo com essa estimativa. (PREF. o valor de y² .03. (B) 98. (E) 68. que havia sido extinta nessa reserva.8} (C) {3} (D) {2. 08. então 52x é igual a: (A) 4.Técnico Judiciário – TJ/PR/2014) Após o processo de recuperação de uma reserva ambiental. foi reintroduzida. (C) 10. 4} (C) S = {0. (D) 16 anos. A variável x é um número real e representa a quantidade de horas que a empresa dedicou no dia para vender o produto (0 ≤ x ≤ 6). t anos após ser reintroduzida na reserva. x . 6} (D) S = {-4. Em um dia em que o volume de vendas estimado foi de R$ 500. possa ser calculado pela expressão 𝑃= 300 7 + 8 × (0. o valor utilizado para x. (C) 75. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS –MÚSICA– EXÉRCITO BRASILEIRO/2012) O conjunto solução da equação exponencial 4x-2x=56 é: (A) {-7. (D) 50. (B) 4 anos.3. 06.FUNCAB/2013) Sendo 23X+1 = 128 e y = 5 . (TJ/PR . 04. (E) 100. (BANESE – TÉCNICO BANCÁRIO I – FCC/2012) Uma empresa utiliza a função y = (1. (D) 16. (E) 5 < x ≤ 6. quantos anos serão necessários para dobrar a população inicialmente reintroduzida? (A) 2 anos.8} (B) {3. A variável y representa o volume de vendas em milhares de reais. (B) 8. 3} (B) S = {-1.00.3} (E) {8} 05. (CREA/PR – ADMINISTRADOR – FUNDATEC/2013) Se 5n + 5-n = 10. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2012) Se 5x+2=100. ARARAQUARA/SP – AGENTE DA ADMINISTRAÇÃO DOS SERVIÇOS DE 2 SANEAMENTO – CETRO/2012) O conjunto solução da equação:(16𝑥−1 ) 𝑥+1 = 4𝑥 +𝑥+4 é (A) S = {-2. em horas. é: (A) 49 274 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (C) 3 < x ≤ 4. (SANEAR – FISCAL . (B) 2 < x ≤ 3. o valor de 25n + 25-n é (A) 100. 1} 07. (B) 36 (C) 25 (D) 16 (E) 9 Respostas 01. (3𝑥 )² − 4 ∙ 3𝑥 + 1 = 0 3𝑥 = 𝑦 3𝑦 2 − 4𝑦 + 1 = 0 ∆= 16 − 12 = 4 (4 ± 2) 𝑦= 6 1 𝑦1 = 1 𝑦2 = 3 Voltando: 3𝑥 = 1 3𝑥 = 30 𝑥=0 1 3𝑥 = 3 3𝑥 = 3−1 𝑥 = −1 03. Resposta: D. 3 = 81 3𝑥 = 27 3𝑥 = 33 𝑥=3 02.x2=c/a 𝑏 (− ) 𝑏 𝑎 𝑐 = −𝑐 = 8 𝑎 -b = 8 b = -8 04. Resposta: B. 5𝑥 ∙ 25 = 100 5𝑥 = 4 52𝑥 = (5𝑥 )2 = 42 = 16 275 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 3. 3𝑥+1 (5 + 3−3 ) = 408 1 3𝑥+1 (5 + ) = 408 3 𝑥+1 136 ( 27 27 ) = 408 27 3𝑥+1 = 408 ∙ 136 3𝑥+1 = 81 3𝑥 . Resposta: C. 1 1 + =8 𝑋1 𝑋2 (𝑋2 + 𝑋1 ) =8 𝑋1 ∙ 𝑋2 Sendo x1+x2=-b/a E x1. Resposta: E. 5 = (1. 0. 5−𝑛 = 50 = 1 52𝑛 + 5−2𝑛 = 100 − 2 52𝑛 + 5−2𝑛 = 98 25=5² 09. 2 < x ≤ 3.5𝑡 = 7. Elevando ao quadrado: 52𝑛 (5𝑛 + 5−𝑛 )2 = 102 + 2. 128=27 23X+1 = 27 3X-1=7 X=2 Y=5. Resposta: B. Resposta: A.5).2-3=7 Y²=7²=49 INEQUAÇÂO EXPONENCIAL Assim como as equações exponenciais. (7 + 8 .5 = 1. 20 = 40 Assim: 300 40 = 𝑡 7+8×(0.5𝑡 = 0.5𝑡 ) = 300 300 7 + 8 . 0.44 1. temos que t = 4 anos. Vamos verificar quantos animais foram reintroduzidos inicialmente (t = 0): 300 300 300 𝑃= = = 20 (população inicial) 0 = 7+8×(0. 276 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: B. < .2)x − 1 1.0625 = 0. ≤ ou ≥.54 Excluindo as bases (0.2x 1.2²=1. 0.5𝑛 .5𝑡 = 8 0.5) 7+8 𝑋 1 15 População dobrada: 2 . Resposta: A.5 0.5𝑡 = 40 8 . 5−𝑛 + 5−2𝑛 = 100 5𝑛 . 08.2³=1. 06. São representadas por uma desigualdade > .5) 40 . 2 (42𝑥−2 ) 𝑥+1 = 4𝑥 +𝑥+4 (2x-2)(x+1)=x²+x+4 2x²+2x-2x-2=x²+x+4 x²-x-6=0 =1+24=25 𝑥= 1±5 2 1+5 𝑥1 = =3 2 1−5 𝑥2 = = −2 2 07. 0.05.Resposta: B. as inequações são aquelas cujo a variável se encontra no expoente.5 − 7 0.728 Portanto. resolvendo a equação encontramos as raízes da mesma t’ = 1 e t’’ = 4. Atente-se as regras dos sinais: Caso a > 1. inverta o sinal. Exemplos: A) 2x ≥ 128 Por fatoração. ficamos com: t2 + 4 > 5t t2 – 5t + 4 > 0. Caso 0 < a < 1. 2x Perceba que. observe que caímos em uma equação do 2º grau. 277 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . concavidade fica para cima. Como a > 0. 2x > 4 2x > 22 x > 2. forme uma inequação com os expoentes. E como as bases estão compreendidas entre 0 e 1. 2x Chamando 2 x de t. caso as bases sejam diferentes. por fatoração. e que todo número elevado a zero é igual a 1. ficamos com: t < 1 ou t > 4 Retornando a equação inicial: t = 2x 2x < 1 x < 0 lembre-se que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número. S = {x ϵ R | x > 2} C) 4x + 4 > 5 . 2x ≥ 27 como as bases são iguais e a > 1. Vamos reescrever a inequação. temos: (2x)² + 4 > 5 . logo: x > 2. e isto também significa que estamos procurando valores que tornem a inequação positiva. reduza-as a uma mesma base e. inverte-se o sinal. Antes de resolver uma inequação exponencial. basta formar uma inequação com os expoentes x ≥ 7 S = {x ∈ R | x ≥ 7} 𝟏 𝒙 𝟏 𝟐 𝑩) ( ) < ( ) 𝟑 𝟑 Como as bases são iguais então igualamos os expoentes: x < 2. 128 = 27. para facilitar a resolução. deve-se observar a situação das bases nos dois membros. em seguida.Exemplos: Resolução de inequação exponencial Resolver uma inequação exponencial é achar valores para variável que satisfaça a sentença matemática. 4x = 22x e 22x é o mesmo que (2x)². mantenha o sinal original. Existem quatro tipos de equações logarítmicas: 1º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base: 278 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Vejamos valores entre 0 e 4. (o intervalo menor que o x’. (PUC-SP) Na função exponencial y = 2x2 – 4x . Devemos determinar esta inequação obtendo números em mesma base numérica. podemos escrever essa desigualdade em relação aos expoentes. Como agora temos somente números na base numérica 2. Respostas 01. 𝒂𝒙 = 𝒃 → 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 . A resolução de uma equação desse tipo baseia-se na definição de logaritmo. teremos o seguinte: Portanto. não é um intervalo válido.S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2} Questões 01. A soma das raízes da equação 5x2– 2x+1 = 5625 é: (A) -4 (B) -2 (C) -1 (D) 2 (E) 4 02. 5𝑥 2 −2𝑥+1 = 54 → 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 4 → 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 → 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 − 𝑏 −2 →− =2 𝑎 1 02 . Agora os valores maiores que 4. x2 – 4x = 0 x’ = 0 e x’’ = 4 Devemos comparar a desigualdade em três intervalos. determine os valores de x para os quais 1<y<32. Portanto para a desigualdade 0 < x2 – 4x a solução é: S = { x ϵ R| x < 0 e x > 4} EQUAÇÃO LOGARÍTIMICA Existem equações que não podem ser reduzidas a uma igualdade de mesma base pela simples aplicação das propriedades das potências. Resposta: D. Portanto. Para valores menores que x’’. 𝒄𝒐𝒎 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒃 > 𝟎. o intervalo entre x’ e x’’ e o intervalo maior que x’’). 0 < x2 – 4x < 5 Vamos fazer cada desigualdade separadamente: 0 < x2 – 4x Devemos encontrar as raízes da equação do segundo grau x2-4x=0 e comparar o intervalo de valores em relação à desigualdade. os valores menores que x = 0 satisfazem essa inequação. 3º) Equações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita: Exemplo: (𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝒙)𝟐 − 𝟑.A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = g(x) > 0. S = {3} 2º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos e um número real: A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = ar. ficaremos com: 4º) Equações que envolvem utilização de propriedades ou de mudança de base: Exemplo: 𝐥𝐨𝐠(𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝐥𝐨𝐠(𝒙 + 𝟐) = 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝒙 Usando as propriedades do logaritmo. 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝒙 = 𝟒 Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita: Substituindo na equação inicial. Exemplo: 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟑𝒙 + 𝟏 Temos que: 2x + 4 = 3x + 1 2x – 3x = 1 – 4 –x=–3 x=3 Portanto. podemos reescrever a equação acima da seguinte forma: Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades: 279 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Exemplo: 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟑 Pela definição de logaritmo temos: 5x + 2 = 33 5x + 2 = 27 5x = 27 – 2 5x = 25 x=5 Portanto S = {5}. Vamos retornar à equação: Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos. Sendo assim. Com os valores encontrados para x. assim teremos: 280 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 0<a<1 Nesse caso. mas é preciso ter muito cuidado quando a base for 0 < a < 1. a relação entre f(x) e g(x) tem sentido contrário a desigualdade entre os logaritmos. resulta: S = { x ϵ R| 2/3 < x ≤ 1}.6 Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base devem ser positivos. Exemplo: A inequação 𝐥𝐨𝐠 𝟑(𝟑𝒙 − 𝟐) ≤ 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙 Temos a seguinte condição: 0 < 3x – 2 ≤ x. o logaritmando ficará negativo. basta substituir r por log𝑎 𝑎𝑟 . São dois tipos de inequação logarítmica. a equação não tem solução ou S = ø. 1º) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base: Neste caso há ainda dois casos a considerar a>1 Nesse caso. a relação entre f(x) e g(x) tem o mesmo sentido que a desigualdade entre os logaritmos. segue que: (2x +3)(x + 2) = x2 ou 2x2 + 4x + 3x + 6 = x2 2x2 – x2 + 7x + 6 = 0 x2 + 7x + 6 = 0 x = -1 ou x = . Fazendo cada membro da equação separadamente: 0 < 3x – 2 x > 2/3 (I) 3x – 2 ≤ x 2x ≤ 2 x ≤ 1 (II) Da interseção de (I) com (II). INEQUAÇÃO LOGARITMICA A forma de se resolver a inequação logarítmica é a mesma da equação. 2º) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real: Para resolver uma inequação desse tipo. 4 (D) 7.3 (C) 6.000 (B) .3 = 0 ? (A) . onde |H+|é a concentração de íons H+ nas amostras do efluente. (A) Logb(a.3. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) O logaritmo de um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos de cada fator.2 05.Exemplo: A inequação 𝐥𝐨𝐠 𝟑(𝟒𝒙 − 𝟏) < 𝟑.001 (D) 100 (E) 1. Considerando que a concentração de íons é |H+|=5x10-5 e log 2 = 0.c) = logba + logfc 02. 1 <𝑥<7 4 Questões 01. log3 (4𝑥 − 1) < 3 → log3 (4𝑥 − 1) < log3 33 → 0 < 4𝑥 − 1 < 27 → 1 < 4𝑥 < 28 → S = { x ϵ R| 1/4 < x < 7}.c) = logb (a+c) 281 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: B. os técnicos do 1 departamento de controle ambiental utilizam a fórmula: 𝑝𝐻 = log (|𝐻 +|).log(x²) . (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS –MÚSICA – EXÉRCITO BRASILEIRO/2012) Sabendo que log P = 3loga .log B = 0. teremos: (A) A .4logb + 1/2logc. (dados: a = 4.6 (B) 4. o pH das amostras coletadas desse efluente é de: (A) 3. assinale a alternativa que representa o valor de P. (FUSA/PR – AGENTE COMUNITÁRIO DE SAÚDE – UNIUV/2013) Aplicando as propriedades de logaritmo na equação log A . B = 0 (B) A . b = 2 e c = 16) (A) 12 (B) 52 (C) 16 (D) 24 (E) 73 04. B > 0 (C) A = B (D) A / B = 0 (E) A é o inverso de B 03.000 Respostas 01. (LIQUIGÁS – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2012) Qual é o produto das raízes da equação [log(x)]² . mantendo-se a mesma base.c) = logb(a + c) (C) Logb(a + c) = logba. Logb (a.3. Identifique a alternativa que representa a propriedade do logaritmo anunciada. (SESI/PA – NUTRICIONISTA – FIDESA/2012) Para calcular o pH de um efluente.3 (C) 0.c )= logba + logbc (B) Logb(a.logbc (D) Logb(a + c) = logb(a.c) (E) Loge(a. 1 Produto das raízes: 10000. Resposta: C. 1 pH = log ( ) |5x10−5 | pH = log(0. Resposta: B.2x105 ) pH = log 0.3-1+5=4. log(A/B)=0 Pela propriedade do log: A/B=1 A=B 03.1=100 282 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .2 + log105 2 pH = log ( ) + 5log10 10 pH = log 2 − log 10 + 5log10 pH=0. [log(x)]².02. 4) b = 16 04.2logx .3 05.3 = 0 Fazendo logx=y y²-2y-3=0 =4+12=16 2±4 2 y1 = 3 y2 = −1 𝑦= Substituindo: Log x=3 X=10³=1000 Log x=-1 X=10-1=0. 1 log P = log a3 − logb4 + logc 2 1 log P = log P= 43 √16 24 (a3 c2 . Resposta: D. Resposta: C. Resolução de triângulos quaisquer: lei dos senos e lei dos cossenos.4. é claro. centímetro. 9. Há uma coincidência de nomes. Ao tratarmos de medida(angular) de um arco. então: 1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’) 1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”) Os minutos e os segundos dos ângulos não são. A unidade básica é o grau. Arcos e ângulos: medidas.2. adotamos uma unidade linear do raio: metro.1. duplicação e bissecção de arcos. 283 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 1º 32’ 24” é a medida de um ângulo. na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º.3. 9. Resolução de triângulos retângulos. mas até os símbolos que os indicam são diferentes: 1h 32min 24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia. adotamos o grau(º) ou o radiano(rad). Exemplo: Determine o ângulo α formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar: 16h45min. /4 e /3. Medidas de Ângulos e suas Transformações Quando medimos o comprimento de um arco. simetrias.5. Equações e inequações trigonométricas. 9. Na astronomia. relações entre arcos. Razões trigonométricas: Cálculo dos valores em /6.7. O grau corresponde a 1/360 da circunferência na qual se encontra o arco medido. Temos. etc. 9.6. minuto e segundo. TRIGONOMETRIA.9. gráficos. Funções trigonométricas: periodicidade. 9. subtração. os mesmos do sistema de tempo – hora. Fórmulas de adição. 9. Transformações de somas de funções trigonométricas em produtos. 9. Questões 01. para cada hora (ou 60 minutos).Cada divisão do círculo corresponde 360º/12 = 30º (O relógio tem 12 divisões) α + x = 5.30º α + x = 150º Para calcularmos o restante precisamos achar os valores de α e x: Sabendo-se que. em grau.22.5º α = 127º 30’ Medidas de Arcos e suas Transformações O radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência na qual se encontra o arco a ser medido.x 150º . (Cefet-MG) A medida do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min. é: (A) 90 (B) 105 (C) 110 284 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . montamos a regra de três seguinte: Logo: α = 150º . o ponteiro menor percorre uma divisão do mostrador (ou 30°).5º α = 127. Resposta: E. em 30 minutos percorre 15º. Que horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de 72º? Respostas 01. Sabemos que a cada hora o ponteiro das horas se desloca 30º. (PUC–PR) Um relógio foi acertado exatamente às 6h. (UFES) Uma curva numa linha férrea deve ser traçada em círculo. O raio que deve ser dado ao círculo para que os trilhos mudem 25º de direção numa distância de 40π metros é: (A) 308 m (B) 268 m (C) 258 m (D) 278 m (E) 288 m 03. Resposta: B. o relógio estará marcando 8 horas e 24 minutos. obtermos a fórmula acima. 2π[ Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OPP 2. dessa forma temos que: 72º = 30º + 30º + 12º Deverão passar 2 horas e 24 minutos para que o ponteiro das horas se desloque 72º. para todo x ϵ [0 . Dessa forma. 285 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . IDENTIDADES OU RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS Aqui aprenderemos relações que são fundamentais para a resolução de questões trigonométricas. Então: 3 * 30º + 15º = 90º + 15º = 105º 02. Portanto. Em qualquer relógio analógico o ponteiro das horas percorre um ângulo de 30º em exatamente 1 hora.(D) 120 (E) 150 02. 03. Relação I – sen2 x + cos2 x = 1. por uma reta. notamos que x está no 2º quadrante. o quadrilátero formado confirma o valor acima encontrado. origem da contagem dos arcos. 𝒌 𝝐 𝒁 𝟐 O eixo (vertical) das tangentes é obtido ao se tangenciar.𝒕𝒈𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 2√2 3 𝝅 . . 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ≠ + 𝒌𝝅. temos: 𝜋 √2 𝜋 𝑠𝑒𝑛 4 𝑡𝑔 = = 2 =1 𝜋 4 𝑐𝑜𝑠 √2 4 2 𝒕𝒈 Se observamos a figura ao lado. e consequentemente. Usando a relação fundamental. com π/2 < x < π . cos x < 0. temos: 1 2 1 8 8 2√2 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 → 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − = → 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√ = ± 3 9 9 9 3 Como o intervalo esta compreendido π/2 < x < π. Valores Notáveis 𝝅 𝟒 Pela relação fundamental II. o ciclo no ponto A.Exemplo: Dado sem x = 1/3 . assim teremos 𝑐𝑜𝑠𝑥 = − Relação II . 286 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . obter cos x. 𝒕𝒈 𝝅 𝝅 𝒆 𝒕𝒈 𝟑 𝟔 Pela relação fundamental II. que corresponde a π/2 radianos. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ≠ 𝒌𝝅. devemos unir o centro à extremidade do arco. prolongando esse segmento até o 4 eixo das tangentes. 287 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . temos: 𝜋 √3 𝜋 𝑠𝑒𝑛 3 𝑡𝑔 = = 2 = √3 1 3 𝑐𝑜𝑠 𝜋 3 2 𝜋 1 𝜋 𝑠𝑒𝑛 6 √3 𝑡𝑔 = = 2 = 𝜋 6 𝑐𝑜𝑠 3 √3 6 2 Exemplo: 3𝜋 Para calcular 𝑡𝑔 . porém ele é feito no ponto B. concluímos que: 3𝜋 𝜋 𝑡𝑔 = −𝑡𝑔 = −1 4 4 Podemos resolver também pela relação fundamental II: 3𝜋 √2 3𝜋 𝑠𝑒𝑛 4 𝑡𝑔 = = 2 = −1 3𝜋 4 √2 𝑐𝑜𝑠 − 4 2 7𝜋 √2 − 7𝜋 𝑠𝑒𝑛 4 2 = −1 𝑡𝑔 = = 7𝜋 4 2 √ 𝑐𝑜𝑠 4 2 OUTRAS IDENTIDADES OU RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Relação III .𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 . 𝒌 𝝐 𝒁 Assim como para a tangente para a cotangente também é necessário acoplar um eixo externo. Notando a congruência entre os três ângulos assinalados. Relação IV – 𝐬𝐞𝐜 𝒙 = 𝟏 𝝅 𝒄𝒐𝒔𝒙 Relação V – cossec 𝑥 = , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ≠ + 𝒌𝝅, 𝒌 𝝐 𝒁 𝟐 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍 Exemplos: 1) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 5𝜋 1 1 = = = −√2 5𝜋 4 √2 𝑠𝑒𝑛 − 4 2 5𝜋 1 1 = = =2 5𝜋 1 3 𝑐𝑜𝑠 3 2 5𝜋 √3 − 5𝜋 𝑐𝑜𝑠 6 2 = −√3 3) 𝑐𝑜𝑡𝑔 = = 5𝜋 1 6 𝑠𝑒𝑛 6 2 2) 𝑠𝑒𝑐 Questões 01. (SAMAE – CONTADOR – FUNTEF/PR/2013) Considerando que sen π 10 = √5−1 , 4 o valor de 𝑐𝑜𝑠 𝜋 10 é: √10 + 2√5 4 √10 − 2√5 (𝐵) 4 √12√5 (𝐶) 4 (D) -1/2 (E) 1/4 (𝐴) 02. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB/2013) Sendo cos x =1/2 com 0° < x < 90°, determine o valor da expressão E = sen² x + tg² x. 288 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO (A) 9/4 (B) 11/4 (C) 13/4 (D) 15/4 (E) 17/4 03. (SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC/2012) O gráfico da função f(x) = cos²x – sen²x + cos x, no intervalo [0,2π], intercepta o eixo das abscissas em três pontos distintos (a,0), (b,0) e (c,0), sendo a < b < c. Nessas condições, a diferença (c − b) vale (A) π /3 (B) 2π /3 (C) π (D) π /6 (E) 5π /6 04. (COBRA TECNOLOGIA – TÉCNICO DE OPERAÇÕES – DOCUMENTOS/QUALIDADE ESPP/2012) O valor da expressão sec(180º) +[ sen(-45º)]2 cossec(450º)+ cos2(315º) é igual a: (A) 2 (B) -1 (C) 1 (D) 0 05. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2012) A soma dos valores de m que satisfazem a ambas as igualdades senx=(m+1)/m e cos x=(m+2)/m é (A) 5 (B) 6 (C) 4 (D) -4 (E) -6 Respostas 01. Resposta: A. Sen²x + cos²x = 1 2 √5 − 1 ( ) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 4 2 √5 − 1 = 1−( ) 4 5 − 2√5 + 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 16 6 − 2 √5 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 16 16 6 − 2√5 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = − 16 16 10 − 2 √5 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 16 √10 + 2√5 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 02. Resposta: D. Sen²x + cos²x = 1 1 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + ( ) = 1 2 289 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO 1 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 = 1 − 4 3 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 4 √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = ± 2 Como está no primeiro quadrante √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = + 2 2 𝐸= 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑡𝑔 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 √3 = ( ) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 2 03. Resposta: B. 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥 Substituindo na função: f(x) = cos²x - (1 - cos²x) + cosx f(x)=cos²x + cos²x + cosx - 1 f(x)=2cos²x + cosx - 1 f(x)=0=2cos²x + cosx -1 ( √3 ) 2 2 1 2 ( ) 2 3 3 4 3 15 = + = +3 = 4 1 4 4 4 ∆= 1 + 8 = 9 −1±3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos 𝑥 = cos 𝑥 = 4 −1+3 4 −1−3 4 = 1 2 = −1 5𝜋 𝑐= 3 𝑏=𝜋 5𝜋 2𝜋 𝑐 −𝑏 = −𝜋 = 3 3 04. Resposta: D. 1 sec 180° = = −1 cos 180° 𝑠𝑒𝑛(−45) = −𝑠𝑒𝑛 45 = − √2 2 1 1 = =1 𝑠𝑒𝑛450 𝑠𝑒𝑛90 360 – 315 = 45 √2 cos 315° = cos 45 = 2 Substituindo: 2 2 2 2 √2 √2 −1 + (− ) . 1 + ( ) = −1 + + = −1 + 1 = 0 2 2 4 4 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 450° = 05. Resposta: E. 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 290 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO 𝑚+1 2 𝑚+2 2 ( ) +( ) =1 𝑚 𝑚 𝑚2 + 2𝑚 + 1 𝑚 2 + 4𝑚 + 4 + −1 = 0 𝑚2 𝑚2 𝑚 2 + 2𝑚 + 1 + 𝑚 2 + 4𝑚 + 4 − 𝑚 2 = 0 𝑚 2 + 6𝑚 + 5 = 0 S = -b/a S = -6/1 = -6 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A palavra trigonometria significa: tri (três), gono (ângulo) e metria (medida), traduzido mais ou menos para estudo das medidas de três ângulos. A figura que tem três ângulos chama-se Triângulo. No início estudaremos a trigonometria no triângulo retângulo, ao final deste estudo temos duas leis: Lei dos senos e Lei dos cossenos que “jogam” a trigonometria para os demais triângulos que não são retângulos. Em todo triângulo retângulo os lados recebem nomes especiais. O maior lado (oposto do ângulo de 90°) é chamado de Hipotenusa e os outros dois lados menores (opostos aos dois ângulos agudos) são chamados de Catetos. Observe a figura: - a é a hipotenusa. - b e c são os catetos. Para estudo de Trigonometria, são definidos no triângulo retângulo, três razões chamadas trigonométricas: seno, cosseno e tangente. - 𝑠𝑒𝑛 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 - 𝑐𝑜𝑠 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 - 𝑡𝑔 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 291 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO No triângulo acima, temos: Como podemos notar, 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 e 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼. Em todo triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180°. No triângulo retângulo um ângulo mede 90°, então: 90° + α + β = 180° α + β = 180° - 90° α + β = 90° Quando a soma de dois ângulos é igual a 90°, eles são chamados de Ângulos Complementares. E, neste caso, sempre o seno de um será igual ao cosseno do outro. Valores Notáveis A tabela a seguir representa os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°, considerados os três ângulos notáveis da trigonometria. Relações Fundamentais da Trigonometria I) 𝑠𝑒𝑛 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 = 1 II) 𝑡𝑔𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 III) 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 = VI) 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 V) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 Nestas relações, além do senx e cosx, temos: tg (tangente), cotg (cotangente), sec (secante) e cossec (cossecante). 292 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Questões 01. Um avião levanta voo formando um ângulo de 30° com a horizontal. Sua altura, em metros, após ter percorridos 600 m será: (A) 100 (B) 200 (C) 300 (D) 400 (E) 500 02. (UDESC) Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria. Sabendo-se que cada degrau da escada deverá ter um altura de 20 cm e que a base do plano inclinado medem 280√3 cm, conforme mostra a figura acima, então, a escada deverá ter: (A) 10 degraus (B) 28 degraus (C) 14 degraus (D) 54 degraus (E) 16 degraus 03. (FUVEST) A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo 𝛼, como mostra a figura. Sabendo que sen20° = 0,342 e cos20° = 0,940, a altura da torre, em metros, será aproximadamente: (A) 14,552 (B) 14,391 (C) 12,552 (D) 12,391 (E) 16,552 04. (U. Estácio de Sá) Simplificando a expressão 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛17º. 𝑐𝑜𝑡𝑔17°. 𝑐𝑜𝑡𝑔73°. 𝑠𝑒𝑐73°, encontramos: (A) – 2 (B) – 1 (C) 2 (D) 1 (E) 5 05. Qual das afirmativas abaixo é falsa: 293 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO (A) sen3 x + cos3x = 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 (B) 𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 (C) sen2 x + cos2 x = 1 (D) 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 (E) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 Respostas 01. Resposta: C. Solução: do enunciado temos a seguinte figura. 600 m é a hipotenusa e h é o cateto oposto ao ângulo dado, então temos que usar o seno. sen30° = 1 2 = h 600 cat. oposto hipotenusa 2h = 600 h = 600 : 2 = 300 m 02. Resposta: C. Solução: para saber o número de degraus temos que calcular a altura BC do triângulo e dividir por 20 (altura de cada degrau). No triângulo ABC, BC e AC são catetos, a relação entre os dois catetos é a tangente. tg30° = cat.oposto cat.adjacente = BC AC Número de degraus = 280 : 20 = 14 03. Resposta: A. Solução: observando a figura, nós temos um triângulo retângulo, vamos chamar os vértices de A, B e C. Como podemos ver h e 40 m são catetos, a relação a ser usada é a tangente. Porém no enunciado foram dados o sen e o cos. Então, para calcular a tangente, temos que usar a relação fundamental: 294 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO Solução: temos que usar as relações fundamentais.552 m 04. utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos. Resposta: A.3638 h = 40.0. 𝑦= 𝑐𝑜𝑠17° 𝑠𝑒𝑛73° Sendo 17° + 73° = 90° (ângulos complementares). Resposta: D.cos (180º . então não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Importante sabermos que: sen x = sen (180º . de acordo com o mais conveniente. temos: Iremos aplicar a lei dos senos: Pela tabela de razões trigonométricas: 295 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .x) Lei dos senos: Resolvendo a situação da figura.363 = 0. Solução: teórico.940 ℎ 40 tg𝛼 = 0. resulta que sen73° = cos17°.363 h = 14. PÔR é um triângulo obtusângulo. Na situação abaixo. TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos.x) cos x = . lembrando que quando dois ângulos são complementares o seno de um deles é igual ao cosseno do outro.342 0.𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝛼𝑥 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝑡𝑔𝛼 = 0. Para situações como essa. Então: 𝑦= 𝑐𝑜𝑠17° 𝑐𝑜𝑠17° =1 05. No triângulo abaixo. Observe figura a seguir: 03.2*b*c*cosA b² = a² + c² . Lei dos cossenos a² = b² + c² . 02. Determine a medida do terceiro lado.2*50*80*cos60º x² = 2500 + 6400 – 8000*0. quantos metros de cano seriam gastos? x² = 50² + 80² . Em um triângulo. Questões 01. pede-se determinar o valor de x: 296 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º.2*a*b*cosC Exemplo: Analise o esquema abaixo: Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa.2*a*c*cosB c² = a² + b² .5 x² = 8900 – 4000 x² = 4900 x = 70 m Seriam gastos 70 metros de cano. os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Dessa forma. = 8. o qual é imagem também do número π/2. considerando que o intervalo do círculo é [0. mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º).Respostas 01. Observe: 297 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. 2 2 𝑥 = 8√2 𝑐𝑚 FUNÇÃOTRIGONOMÉTRICA No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta. quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2.2 * 6 * 8 * cos 60º x² = 36 + 64 – 96 * 1/2 x² = 100 – 48 x² = 52 √x² = √52 x = 2√13 03. 𝑠𝑒𝑛45° 1 √2 𝑥. Pela lei dos senos: 𝑥 8 = 𝑠𝑒𝑛45° 𝑠𝑒𝑛30° 𝑥. 2π].2 * 6√3 * 8 * cos 30º x² = 36 * 3 + 64 – 2 * 6√3 * 8 * √3/2 x² = 108 + 64 – 96 * √3 * √3/2 x² = 172 – 48 * 3 x² = 172 – 144 x² = 28 x = 2√7 cm 02. Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º). 𝑠𝑒𝑛30° = 8. De acordo com a situação. Pela lei dos cossenos x² = 6² + 8² . por exemplo. o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. o arco dado pelo número real x = 5π/2. aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira: x² = (6√3)² + 8² . 9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ. e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. então f(x) = senx. x + 2kπ. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes. onde k Є Z. Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno. função cosseno e função tangente. Observe: Gráfico da função f(x) = senx 298 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Características da função seno É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno. então f(x) = tgx.Crescente em cada valor. 299 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Sinais da função tangente: . . Observe: Gráfico da função f(x) = cosx Características da função tangente É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente. Características da função cosseno É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno.Valores negativos nos quadrantes pares. e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. . então f(x) = cosx.Valores positivos nos quadrantes ímpares. O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes. denotada por arcsen. Mas.Gráfico da função tangente Função trigonométrica inversa As funções trigonométricas não são invertíveis em todo o seu domínio. para cada uma delas. podemos restringir o domínio de forma conveniente e definir uma função inversa.Gráfico do Domínio e Imagem do Arsec 300 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . é definida como: .A função inversa do seno. . denotada por arctan.A função inversa do cosseno. denotada por arccos. é definida como: .Gráfico do Domínio e Imagem do Arccos . é definida como: 301 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO ..A função inversa da tangente. Ache o o conjunto solução da equação sen (5x) + sen (2x) = 0 Respostas 302 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Calcule y = tg(arcsen 2/3) 03.. Resolver a equação 2*sen(3x) + 1 = 0 04.Gráfico do Domínio e Imagem do Arctan Questões 01. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x? 02. sen (2x) = sen (. vem finalmente y = (2Ö 5)/ 5 que é o valor de y procurado.q / 2. Podemos escrever: 4x = seny. a e b. Seja w = arcsen 2/3. Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / (Ö 5/3)] = 2/Ö 5 Racionalizando o denominador. 02. Entao: 3x = π + 2kπ x = π/ 3 + 2kπ/ 3. 1/4]. temos: 2*sen 5x + 2x /2*cos 5x . Portanto: 7x = 2kπ x = 2kπ / 7. temos: sen 3x = sen 7π/6 Entao: 3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = . Assim.2x /2 = 0 sen 7x / 2*cos3x /2 = 0 sen 7x/ 2 = 0 ou cos 3x /2 = 0 Para sen 7x/ 2 = sen 0. k E Z. k E R.2x + 2kπ ou 5x = π . Observe que é possível transformar o 1º membro em um produto. lembrando que sen p + sen q = 2*sen p + q / 2* cos p . k E Z.01. p /2].π/18 + 2kπ/3 Concluímos que o conjunto solução é: S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = .π/18 + 2kπ/3. Resposta: D = [-1/4. 1/4] e Im = [-p /2. Domínio = D = [-1/4. sabemos que o arco w pode variar de –90º a +90º. k E Z} Obs: esse mesmo problema poderia ser resolvido assim: sen (5x) + sen (2x) = 0 sen (5x) = . deveremos ter -p /2 £ y £ p /2. Portanto. k E Z. Daí. Podemos escrever senw = 2/3. temos: 7x/ 2 = kπ.Para y: Da definição vista acima.1/2. Mas como w = arcsen 2/3. k E Z. Analogamente definiríamos as funções arco coseno e arco tangente.sen (2x) como: . cos (a + b): 303 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . . além disso. daí obtemos: x = 2kπ/ 7 ou x = π/ 3 + 2kπ/ 3. Precisamos calcular o cosw. Vem: sen2w + cos2w = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria). dobro (ou triplo) de arco e transformações em produto. Seja 2*sen(3x) + 1 = 0 A solução é 3x = 7π/6 rad. temos: 3x / 2 = π/ 2 + kπ. x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = . k E Z. k E Z Para cos 3x/ 2 = cos π/2. Substituindo o valor de senw vem: (2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9. intervalo no qual o coseno é positivo. TRANSFORMAÇÕES Estaremos aqui obtendo fórmulas que possibilitem encontrar funções circulares da soma e diferença de dois arcos. Logo: cosw = +Ö 5 /3. 03. Assim sendo. O conjunto solução é: S = {x E R/ x = π/3 + 2kπ/ 3 ou x = 2kπ/ 7. o 2º membro é zero.Fórmulas de Adição e Subtração de Arcos Observe a figura abaixo: Considerando dois arcos. pois sen 7π/6 = . Logo: cosw = ± Ö 5 / 3. vem: Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4.(-2x) + 2kπ. k E Z} 04.π/6 + 2kπ .2x) desse modo temos: 5x = . sen a).sen b). . 304 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . cos 60º 2) cos 135º = cos (90º + 45º) = cos 90º . sen 45º 3) Demonstre que cos (2π + x) = cos x. as cordas 𝐴𝑄 e 𝑃𝑅 Os arcos 𝐴𝑃𝑄 também têm medidas iguais. sen x = cos x 4) Utilizando as fórmulas da adição. cos x – sen 2π . Q (cos (a + b). sen (a + b) e R (cosb. As coordenadas dos pontos acimas são: A (1. . P (cos a. fazemos b = a. cos 45º – sen 90º . cos 45º + sen 45º . cosseno e tangente do arco (a + b).Arcos Duplos Utilizado quando as fórmulas do seno. sen x = 1 . consequentemente. desenvolva a expressão tg (π + x). cos (2π + x) = cos 2π . Aplicando as fórmulas da distância entre dois pontos chegamos a: Exemplos: 1) sen 105º = sen (60º + 45º) = sen 60º .̂ e 𝑅𝐴𝑃 ̂ possuem a mesma medida (a + b) e.0). cos x – 0 . 4) sen 3a. cos a + sen a . como sen 2a < 0 e cos 2a >o . teremos: 3) O quadrante que está o arco que mede 2a. encontramos o cos através de: sen2 a + cos2 a = 1 cos2 a = 1 – 9/25 cos2 a = 16/25. Resolvendo temos: 1) sen 2ª. Como cos 2a = cos2 a – sen2 a. 4) sen 3a. Como sen 2a = 2. cos a e sabemos que sen a = 3/5 .Arco Metade Vamos achar valores que mede a/2. Vamos analisar. 2 2 2 Para isso utilizaremos a seguinte fórmula: cos 2x = cos2 x – sen2 x Vamos primeiramente ajusta-la ao nosso problema fazendo 2x = a cos a = cos2 a/2 – sen2 a/2 (I) Como temos que o cos2 a/2 = 1 – sen2 a/2: 305 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Como sen 3a = sen (2a + a) sen 3a = sen 2a . Com isso fazemos: 2) cos 2a. com a no 2º quadrante. 𝑐𝑜𝑠 𝑒 𝑡𝑔 . cos 2a . 3) O quadrante que está o arco que mede 2a. Nele é mostrado um arco 𝐴𝑀 Vamos determinar: 1) sen 2a. como sabemos que a pertence ao 2º quadrante. partindo dele determinamos os valores de 𝑎 𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑛 . podemos concluir que o arco que mede 2ª tem extremidade no 4º quadrante. logo o seu cosseno é negativo: cos a = -4/5. conhecendo os valores das funções trigonométricas do arco que mede a.Exemplos: Observe o ciclo trigonométrico: ̂ que mede a.sen a. Vamos determinar os valores partindo do cos a. 2) cos 2a. 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 2 𝒕𝒈 𝒂 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒂 = ±√ 𝟐 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒂 . 𝜋.Funções trigonométricas de arco que mede a. em função da tangente do arco metade.Transformação da soma em produto As fórmulas abaixo relacionadas nos permitirão transformar somas em produtos. 𝑘 𝜖 𝑍) . .cos 𝑎 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝑎 𝑎 𝑎 1 − cos 𝑎 𝒂 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒂 → 2𝑠𝑒𝑛 2 = 1 − cos 𝑎 → 𝑠𝑒𝑛 2 = = 𝒔𝒆𝒏 = ±√ 2 2 2 2 𝟐 𝟐 Se em (I) substituirmos sen2 a/2 por 1 – cos2 a/2 𝑎 𝑎 𝑎 1 + cos 𝑎 𝒂 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒂 cos 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 2 − (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ) → cos 𝑎 = 2𝑐𝑜𝑠 2 = → 𝒄𝒐𝒔 = ±√ 2 2 2 2 𝟐 𝟐 E como: 𝑎 𝑡𝑔 = 2 𝑎 2 𝑎 𝐶𝑂𝑆 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑐𝑜𝑚 𝑎 2 𝜋 ≠ + 𝑘. Exemplos: Vamos transformar em produtos: 306 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 𝑐𝑜𝑠 → 𝑁 = 2. 𝑐𝑜𝑠 (2 ) → 𝑁 = 2. obtemos: 𝑁 = 𝑠𝑒𝑛 − 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 2 Onde: π/2 = p e 4x = q 𝜋 𝜋 − 4𝑥 + 4𝑥 𝜋 𝜋 2 𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛(5𝑥). (SANEAR – FISCAL .1) N = sen 4x + sen 6x Vamos chamar 4x = p e 6x = q Usando a primeira das fórmulas vistas.FUNCAB/2013) Sendo cos x =1/2 com 0° < x < 90°.4 (D) 0.5 (E) 0. Resposta: A. então tg y é igual a: (A) 0. 𝑠𝑒𝑛 ( − 2𝑥) . 𝑠𝑒𝑛 . 𝑐𝑜𝑠 ( + 2𝑥) 2 2 4 4 Questões 01. Resposta: D.2 (B) 0. 𝑠𝑒𝑛 ( ) . cos(−𝑥) → 𝑁 = 2. sen 90°=1 cos〖180°〗= -1 1+(-1)=0 02.6 Respostas 01. 𝑠𝑒𝑛5𝑥. Sen²x+cos²x=1 307 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .3 (C) 0. (A) 9/4 (B) 11/4 (C) 13/4 (D) 15/4 (E) 17/4 03. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2012) A soma dos valores de m que satisfazem a ambas as igualdades senx=(m+1)/m e cos x=(m+2)/m é (A) 5 (B) 6 (C) 4 (D) -4 (E) -6 04. (PUC – SP) Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3. ÁGUAS DE CHAPECÓ/SC – FARMACÊUTICO – ALTERNATIVE CONCURSOS/2013) O valor de (sen 90º + cos 180º) é igual a: (A) 0 (B) 3 (C) -1 (D) -2 02. determine o valor da expressão E = sen² x + tg² x. 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 2 2) N = 1 – sen 4x 𝜋 Vamos substituir 1 por sen π/2. (PREF. obtemos: 4𝑥 + 6𝑥 4𝑥 − 6𝑥 𝑁 = 2. Agora. sen3 x – 3 . para ser uma equação trigonométrica é preciso que. além de ter essas características gerais.3 EQUAÇÕES TRIGNOMÉTRICAS Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma igualdade.1 2 +( ) = 1 2 1 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 − 4 3 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 4 √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = ± 2 Como está no primeiro quadrante √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = + 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 √3 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + =( ) + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 2 2 2 ( √3 ) 2 2 1 2 ( ) 2 3 3 4 3 15 = + = +3 = 4 1 4 4 4 03.tg y = 30 tg y = 30/100 tg y = 0. Resposta: E. sen x = 0 São exemplos de equações trigonométricas. x2 + sen 30° . é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita. tg y 33 – 99. 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 ( 𝑚+1 2 𝑚+2 2 ) +( ) =1 𝑚 𝑚 𝑚 2 + 2𝑚 + 1 𝑚 2 + 4𝑚 + 4 + −1 = 0 𝑚2 𝑚2 𝑚 2 + 2𝑚 + 1 + 𝑚 2 + 4𝑚 + 4 − 𝑚 2 = 0 𝑚 2 + 6𝑚 + 5 = 0 S=-b/a S=-6/1=-6 04. pois a incógnita pertence à função trigonométrica. O cálculo da adição de arcos da tangente é dado por: tg x + tg y 𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) = 1 – tg x . tg y Sabendo que tg (x + y) = 33 e tg x = 3. (x + 1) = 15 308 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: B.tg y = 3 + tg y 100. temos: 3 + tg y 33 = 1 – 3 . sen x = cos 2x sen 2x – cos 4x = 0 4 . Veja a figura: . 309 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Sen x = sen α Para que dois arcos x e α da primeira volta possuam o mesmo seno. .Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica. têm as extremidades coincidentes ou simétricas em relação ao centro do ciclo.α. é necessário que suas extremidades coincidam ou sejam simétricas em relação ao eixo dos cossenos. ou seja. Nessas condições. os valores de x que resolvem a equação sen x = sen α (com α conhecido) são x = α ou x = πα. de um conjunto de valores que a incógnita deverá assumir em cada equação. Assim. é necessário que suas extremidades estejam sobre uma única horizontal. Resolução da 1ª equação fundamental . que ocupem no ciclo a mesma vertical. Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais. em outras palavras. ou seja.Tg x = tg α Dois arcos possuem a mesma tangente quando são iguais ou diferem π radianos. ou.Cos x = cos α Para que x e α possuam o mesmo cosseno. pois a incógnita não pertence à função trigonométrica. representadas da seguinte forma: sen x = sen α cos x = cos α tg x = tg α Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução. Podemos dizer também que basta que suas extremidades coincidam ou sejam simétricas em relação ao eixo dos senos. com α dado. os valores de x que resolvem a equação cos x = cos α são: x = a ou x = 2π. (Bombeiros MG) As soluções da equação trigonométrica sen2x – 1/2 = 0.Temos então: sen2x = 1/2 Os arcos cujo seno é 1/2 são π/6 e 5π/6.Assim temos x = α ou x = α ±π como raízes da equação tg x = tg α Solução geral de uma equação Quando resolvemos uma equação considerando o conjunto universo mais amplo possível. k ϵ Z) Questão 01. Essa solução é composta de todos os valores que podem ser atribuído à incógnita de modo que a sentença se torne verdadeira. uma inequação é dita inequação trigonométrica 310 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resolvendo: 2x = π/6 x = π/12 ou 2x = 5π/6 x = 5π/12 INEQUAÇÕES TRIGNOMÉTRICAS Semelhantemente ao que ocorre com as equações trigonométricas do tipo sen x = sen y e cos x = cos y ou com equações trigonométricas do tipo tg x = tg y. encontramos a sua solução geral. que estão na primeira determinação são: (A) x = π/12 ou x = 3π/24 (B) x = π/12 ou x = 5π/12 (C) x = π/6 ou x = 3π/12 (D) x = π/6 ou x = 5π/24 Resposta 01. Exemplo: Ao resolver a equação sen x = ½ no conjunto dos reais ( U=R). 𝑘 ∈ 𝑍 Obtendo todos os arcos x( por meio da expressão geral dos arcos x) que tornam verdadeira a sentença sen x = ½ Portanto: S= { x ϵ R | x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ. fazemos: 𝜋 5𝜋 6 6 Sen x = ½ sen x = sen π/6 ⌊𝑥 = + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = + 2𝑘𝜋. assim como podemos ver na parte destacada de azul na figura a seguir: Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo sen x > n A solução dessa inequação pode ser dada na primeira volta do ciclo trigonométrico como S = { x | y < x < π – y}. a solução pode ser dada como S = { x | 0 ≤ x ≤ y ou π – y ≤ x ≤ 2π} . A solução deve ser dada a partir de dois intervalos: 0 ≤ n < 1 ou – 1 < n ≤ 0.quando é verificada a ocorrência de alguma função trigonométrica em pelo menos um dos lados da desigualdade. No conjunto dos reais. A figura a seguir representa essa situação: Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo sen x < n Na primeira volta do ciclo. podemos afirmar que S = { x | 2kπ ≤ x < y + 2kπ ou π – y + 2kπ ≤ x ≤ (k + 1). então todo x entre y e π – y é solução da inequação. Veja a figura a seguir: 311 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 3° tipo) cos x > n (cos x ≥ n) Seja n o cosseno de um arco y. k }. k } 2° tipo) sen x < n (sen x ≤ n) Se sen x < n. Vejamos os seis tipos de inequações trigonométricas fundamentais: 1° tipo) sen x > n (sen x ≥ n) Seja n o seno de um arco y qualquer. então a solução é dada por dois intervalos. k } ou S = { x | y + 2kπ < x < (2k + 1)π – y. que é chamada de inequação trigonométrica fundamental. podemos afirmar que S = { x | y + 2kπ < x < π – y + 2kπ. Ao trabalhar com esse tipo de inequação.2π. Se sen x > n. Para estender essa solução para o conjunto dos reais. tal que 0 ≤ n < 1. normalmente é possível reduzi-la a alguma inequação conhecida. tal que – 1 < n < 1. k }. 4° tipo) cos x < n (cos x ≤ n) Nesses casos. Observe a figura a seguir: Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo cos x < n Na primeira volta do ciclo. tal que n > 0. podemos dizer que S = { x | 2kπ ≤ x < π + 2kπ ou 2π – y + 2kπ < x < (k + 1). há apenas um intervalo e uma única solução. Para estender essa solução para o conjunto dos reais. devemos apresentar S = { x | 0 ≤ x < y ou 2π – y ≤ x < 2π }. Se tg x > n. k }. a solução é S = { x | y < x < 2π – y}.2π. No conjunto dos reais. a solução é S = { x | y + 2kπ < x < 2π – y + 2kπ. 5° tipo) tg x > n (tg x ≥ n) Seja n a tangente de um arco y qualquer.Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo cos x > n Para que a solução dessa inequação esteja na primeira volta do ciclo trigonométrico. há duas soluções como podemos ver na figura: Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo tg x > n 312 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . e para dar nome usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. GEOMETRIA PLANA É o estudo das figuras em um só plano. círculos.2.3. temos: Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo tg x < n Na primeira volta do ciclo. Se n > 0. 10. A Geometria estuda.1. Na primeira volta do ciclo. 10. Congruência de figuras planas. temos: S = { x | y < x < π/2 ou y + π < x < 3π/2.4. polígonos planos. GEOMETRIA PLANA. ângulo plano. k }. A (ponto A). segmento. os três princípios fundamentais (ou também chamados de “entes primitivos”) que são: Ponto. ⃡ ). Estes três princípios não tem definição e nem dimensão (tamanho). coroa e sector circular. Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵 313 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome usamos letras minúsculas do nosso alfabeto ou dois pontos por onde esta reta passa. 10. 10. 6° tipo) tg x < n (tg x ≤ n) Esse caso é semelhante ao anterior.π. Figuras geométricas simples: reta. No conjunto dos reais a solução é S = { x | kπ ≤ x < y + kπ ou π/2 + kπ < x < (k + 1). 10. k }. Exemplo: . Semelhança de triângulos. Para representar um ponto usamos. circunferência e círculo. polígonos regulares e círculos. temos como solução: S = { x | 0 ≤ x < y ou π/2 < x < y + π ou 3π/2 < x < 2π}.A solução dessa inequação pode ser dada no conjunto dos reais como S = { x | y + 2kπ < x < π/2 + 2kπ ou y + π + 2kπ < x < 3π/2 + 2kπ}. 10. basicamente. Áreas de polígonos. por isso é chamada de Geometria Plana. semirreta.5. Relações métricas nos triângulos. Reta e Plano. . particularmente. β. tendo como unidade básica o m 2. que é um quadrado que mede 1 m x 1 m. Observação: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 e 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Pode ser representada por S (superfície) ou A (área).. θ.Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um ponto e é infinita. duas partes de uma reta: .).Retângulo: S = b. Exemplo: Partes de uma reta Estudamos. π. Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵). tem origem em A e passa por B. Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵).Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) da reta..Para representar um plano usamos uma figura chamada paralelogramo e para dar nome usamos letras minúsculas do alfabeto grego (α. Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana.. Exemplo: perímetro = 10 + 10 + 6 + 6 = 32 cm Área: é uma medida de superfície. As figuras planas mais conhecidas e estudadas são: ..h h (altura) b (base) 314 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . onde R é o raio e O é o centro. onde D é a diagonal maior e d é a diagonal menor. b h B .Triângulo: 𝑆 = 𝑏.Coroa circular: S = π(R2 – r2) onde R é o raio maior e r é o raio menor. onde B é a base maior. R r 315 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . b é a base menor e h altura.. O R .Paralelogramo: S = b.ℎ 2 .𝑑 2 .Círculo: S = πR2.Trapézio: 𝑆 = (𝐵+𝑏).ℎ 2 h b .Losango: 𝑆 = 𝐷. d D .Quadrado: S = l2.h h (altura) b (base) . onde l é o lado. l l . A altura desse triângulo é 8 m.6 (B) 9. A área desse trapézio é: (A) 156 cm2 (B) 145 cm2 (C) 150 cm2 (D) 125 cm2 (E) 165 cm2 03. de uma coroa circular cujos raios são 9 cm e 5 cm é igual a: (A) 4 π (B) 81 π (C) 56 π (D) 25 π (E) 30 π 02.6 (D) 6.Sendo R = 9 cm e r = 5 cm.6 (C) 7. então a área desse quadrado é: (A) 169 (B) 144 (C) 196 (D) 132 (E) 150 Respostas 01. em cm. é: (A) 8.4 m 2. em cm2. as bases medem 8 cm e 18 cm e os lados transversos medem 13 cm cada um. A área. temos: S = π(R2 – r2) S = π(92 – 52) S = π(81 – 25) = 56 π cm2 02. O perímetro de um quadrado vale 56. são: (A) 6 e 4 (B) 8 e 4 (C) 8 e 10 (D) 6 e 8 (E) 6 e 10 04. em m. Um trapézio isósceles tem dois lados iguais e pelo enunciado.Questões 01. então sua base. . Resposta: C. Resposta: A. A área de um triângulo é igual a 38.6 (E) 10 05. Num trapézio isósceles. Um retângulo tem perímetro igual a 28 cm e sua altura é 3 4 de seu comprimento. temos: 316 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . as medidas dos lados desse retângulo. Pelo teorema de Pitágoras: 132 = h2 + 52 169 = h2 + 25 169 – 25 = h2 h2 = 144 ℎ = √144 = 12 𝑆= (𝐵+𝑏). 04.12 𝑆= 26. os lados medem 6 cm e 8 cm.4 317 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . .x (II). substituindo (II) em (I) 4 4 4x+3x 4 = 14 = 56 4 7x = 56 x= 56 y= 3.Pelo enunciado temos: x + x + y + y = 28 2x + 2y = 28 (2) x + y = 14 (I) y= 3.8 7 4 =8 = 24 4 =6 Assim.ℎ 𝑆= (18+8). Resposta: D. .Pelo enunciado: S = 38.12 2 2 2 = 312 2 S = 156 cm2 03. Resposta: B.x x+ 3. Do polígono: é o ângulo.4 2 b. . Elementos de um ângulo: .4. no exemplo o ponto O.Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Resposta: C. Ângulo Central: .LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 .8 8 b = 9.4 b= 38. 318 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono.h = 38. cuja medida é menor do que 90º.8 2 = 38. Ângulo Agudo: É o ângulo. então: l + l + l + l = 56 4l = 56 l= 56 4 l2 = 14 S= S = 142 S = 196 Ângulos Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. .Perímetro é a soma dos lados.b.2 8 = 76.6 m 05. -VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas. cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são tangentes a ela. cujos lados são semirretas opostas. .É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. Ângulo Reto: . .É aquele. Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência.É o ângulo cuja medida é 180º.É o ângulo cuja medida é 90º. Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 319 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Ângulo Circunscrito: É o ângulo. Ângulo Raso: . se x + y = 360° x e y são Replementares. Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.0 Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90 . se x e y são dois ângulos. 320 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 0 Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360 .se x + y = 90° x e y são Complementares. Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º.se x + y = 180° x e y são Suplementares. . Então. . Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. temos: . As retas f e g são paralelas (f // g). a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado.o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. A B O Na figura ao lado: ̂B e BO ̂C. cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau. Determine a medida do ângulo â. Questões 1. ̂B e BO ̂C são ângulos . AO ̂B e AO ̂C. . E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). nos seguintes casos: a) b) c) 321 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . . Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum.Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum.Os ângulos AO adjacentes. Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais. C Unidades de medida de ângulos: Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais.Os ângulos AO ̂ ̂ BOC e AOC são pares de ângulos consecutivos. As retas a e b são paralelas.2. Quanto mede o ângulo î? 3. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: a) b) c) d) 322 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. Na figura. Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.4. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Qual a medida desses dois ângulos? 8. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 5. 323 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 9. formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 10. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. ê = 80° e ô = 50°. mais a metade do ângulo z. Determine o valor de a na figura seguinte: Respostas 1) Resposta a) 55˚ b) 74˚ c) 33˚ 2) Resposta “130”. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual é o complemento desse ângulo? 7. Sendo assim. Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î. o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y. Qual é a medida desse ângulo? 6. Calcule y. Solução: 324 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . 3) Solução: a) 160° .500”. 138° + x = 180° x = 180° .100° = x + 3x 60° = 4x x = 60°/4 x = 15° Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 6x + 2x = 180° -15° .sendo x o ângulo.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). temos: 6°.x 2x + x = 180° 3x = 180° x = 180° : 3 = 60° 6) Resposta “30˚”. Portanto 6° 15’ equivale a 22.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 4) Resposta 22. o seu suplemento é 180° .5° 8x = 160° x = 160°/8 x = 20° Então.x. Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 4x + 50° = 90° 4x = 40° x = 40°/4 x = 10° d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°. então pelo enunciado temos a seguinte equação: x= 180°−x 2 (multiplicando em “cruz”) 2x = 180° . o ângulo x mede 42°.3x = x + 100° 160° . 5) Resposta “60˚”. 360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 375’.60 = 22.138° x = 42° Logo. 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° c) Sabemos que a figura tem 90°. pois são exatamente a metade de um círculo.500” Solução: Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”. Então. î = 80° + 50° = 130°.Logo. Solução: . 325 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .(90° .os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° 8) Resposta “135˚”.x + 3x | 6x = 180° + 2x 6x – 2x = 180° 4x = 180° x=180°/4 x=45º Agora achar y. E também como x e z são opostos pelo vértice.60° = 30° 7) Resposta “35° e 55°”. o seu complemento é 90° . Calcule y. mais a metade do ângulo z. Solução: Na figura.x = (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 4 4. sabendo que y = 180° .x + 4x 180° = 3x x = 180° : 3 = 60º .45° y=135°.x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 6x = 180°.o ângulo x mede 60º. o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x.x y=180º .180° = .do enunciado temos a seguintes figura: x x + 20° Então: x + x + 20° = 90° 2x = 90° .20° 2x = 70° x = 70° : 2 = 35° .x) = 180° . x = z E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y.4x = 180° . mais a metade do ângulo z. temos: 180°−x 90° . Solução: .sendo x o ângulo.x (aplicando a distributiva) 360° . x = y/6 + z/2 Agora vamos substituir lembrando que y = 180 .x 360° . o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y. Então..x e x = z Então: x = 180° . Então vale lembrar que: x + y = 180 então y = 180 – x. Calcule y. 9) Resposta “11º. . AD. Solução: 3m . (m + 10º) + n = 180º (11º + 10º) + n = 180º 21º + n = 180º n = 180º . É um ângulo oposto pelo vértice. BD. DE e AE. Elementos de um polígono Um polígono possui os seguintes elementos: .Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos: A.12º e m + 10º. Classificação: os polígonos são classificados de acordo com o número de lados. . . BC. .Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos (assinalados em azul na figura): . CE e BE. são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. . .m = 10º + 12º 2m = 22º m = 22º/2 m = 11º m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. logo. 159º”. . . simples. .12º = m + 10º 3m . C.Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC. 10) Resposta “45˚”. conforme a tabela abaixo. POLÍGONOS Um polígono é uma figura geométrica fechada. . formada por segmentos consecutivos e não colineares. 326 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo (assinalados em vermelho na figura): . CD.21º n = 159º Resposta: m = 11º e n = 159º. . . D e E. 3m .Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: AB. são ângulos iguais. B. Exemplo: o quadrado tem os 4 lados iguais e os 4 ângulos de 90°.N° de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 Nome Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono Fórmulas: na relação de fórmulas abaixo temos a letra n que representa o números de lados ou de ângulos ou de vértices de um polígonos.𝐧 . 1- Diagonais de um vértice: dv = n – 3.Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma constante. por isso é um polígono regular.180°. pois um polígono de 5 lados tem também e vértices e 5 ângulos. Qual é o número de diagonais de um icoságono? a) 20 327 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . isto é. 2- Total de diagonais: 3- Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2). além das quatro acima: 𝐚𝐢 = 1- Ângulo interno: 2- Ângulo externo: 𝐚𝐞 (𝐧−𝟐). . Questões 01. E para polígonos regulares temos as seguintes fórmulas.𝟏𝟖𝟎° = 𝐧 𝟑𝟔𝟎° 𝐧 ou 𝐚𝐢 ou 𝐚𝐞 = = 𝐒𝐞 𝐧 𝐒𝐢 𝐧 . Polígonos Regulares: um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes (iguais) e todos os ângulos congruentes. 𝐝= (𝐧−𝟑). A soma dos ângulos internos de um heptágono é: a) 360° b) 540° c) 1400° d) 900° e) 180° 02. Se = 360°. 𝟐 4. 180° Si = (7 – 2). Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°.10 d = 170 328 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Solução: Icoságono (20 lados) n = 20 𝑑= (𝑛−3).20 2 2 = 17. respectivamente. Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. Solução: Heptágono (7 lados) n = 7 Si = (n – 2). O número de lados e diagonais desse polígono.180° Si = 5. O comprador exige que o número de diagonais seja igual ao número de lados.180° = 900° 02. Quantos lados tem esse polígono? a) 20 b) 24 c) 26 d) 30 e) 32 Questões 01. Resposta: D. Num polígono convexo. Sendo assim. Resposta: D.𝑛 𝑑= (20−3). a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. O valor de x na figura abaixo é: a) 80° b) 90° c) 100° d) 70° e) 50° 04. o joalheiro deve produzir uma joia: a) Triangular b) Quadrangular c) Pentagonal d) Hexagonal e) Decagonal 05.b) 70 c) 160 d) 170 e) 200 03. são: a) 54 e 12 b) 18 e 60 c) 12 e 54 d) 60 e 18 e) 15 e 30 06. Resposta: A.180º = 5.180° = 1800° 1800 n–2= 180 n – 2 = 10 n = 10 + 2 = 12 lados 𝑑= (𝑛−3). Resposta: B. Resposta: C.Se (n – 2). Solução: temos que ae = 15° 329 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .n = 2n n–3=2 n=2+3 n = 5 pentagonal 05.6 = 54 diagonais 06.𝑛 𝑑= (12−3).360° (n – 2).𝑛 2 = 𝑛 (passando o 2 multiplicando) (n – 3). devemos ter: d=n (𝑛−3). temos: Si = 5. Solução: Do enunciado. Solução: Sendo d o números de diagonais e n o número de lados. Resposta: C.12 2 2 d = 9. Solução: A soma dos ângulos internos do pentágono é: 04.03. vale.𝑎𝑒 = 360° 𝑛 360° 15° = 𝑛 15n = 360 n = 360 : 15 n = 24 lados POLÍGONOS REGULARES Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. em centímetros: (A) 4 (B) 4√3 (C) 8 330 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . I) Triângulo Equilátero: .Apótema: a = r√3 2 Questões 01. Apótema e um segmento que sai do centro das figuras regulares e divide o lado em duas partes iguais.Lado: l = r√2 .Lado: l = r√3 .Apótema: a = r 2 II) Quadrado: .Apótema: a = r√2 2 III) Hexágono Regular . O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm.Lado: l = r . E temos fórmulas para calcular o lado e o apótema desse triângulo em função do raio da circunferência. O apótema de um quadrado mede 6 dm.√2 √2. o raio dessa circunferência é: (A) 15 cm (B) 10 cm (C) 8 cm (D) 20 cm (E) 25 cm 03. temos: 𝑎= 𝑟√2 6= 𝑟 √2 r= 2 12 √2 𝑟= 𝑟√2 = 2. Resposta: D. Resposta: B. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações. Solução: basta substituir a = 10 na fórmula do triangulo equilátero. O apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 cm.10 r = 20 cm 03. Solução: Basta substituir r = 8 na fórmula do hexágono 𝑎= 𝑟√3 𝑎 = 2 8√3 2 = 4√3 cm 02. vale: (A) 4√2 dm (B) 5√2 dm (C) 6√2 dm (D) 7√2 dm (E) 8√2 dm Respostas 01.√2 𝑟 = 12√2 2 𝑟 = 6√2 dm CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. 331 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . A medida do raio da circunferência em que esse quadrado está inscrito. multiplicando em cima e em baixo por √2) 12. Resposta: C.(D) 8√2 (E) 12 02. Solução: sendo a = 6.6 2 𝑟√2 = 12 (√2 passa dividindo) (temos que racionalizar. em dm. 𝑎= 𝑟 10 = 2 𝑟 2 r = 2. os segmentos de reta OA. Quando a distância é nula. Corda e Diâmetro Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência (ou do círculo) e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. No gráfico acima. Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência. Na figura abaixo. Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Posições relativas de uma reta e uma circunferência Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer. Raio. o círculo se reduz a um ponto. os segmentos de reta AC e DE são cordas. um segmento que une dois pontos de uma circunferência). a circunferência é a linha de cor verde escuro que envolve a região verde claro. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. Na figura 332 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Na figura abaixo.Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência (ou seja. Na figura abaixo. enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência. o segmento de reta AC é um diâmetro. Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. OB e OC são raios. Posições relativas de duas circunferências 333 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Reta externa (ou exterior): é uma reta que não tem ponto em comum com a circunferência.ao lado. Na figura abaixo a reta t é externa. Propriedades das secantes e tangentes Se uma reta s. onde O é o centro e P um ponto da circunferência. passa também pelo ponto médio da corda AB. então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. a perpendicular às retas que passam pelo centro O da circunferência. secante a uma circunferência de centro O. secante a uma circunferência de centro O. intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB. Se uma reta s. o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Seja OP um raio de uma circunferência. intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B. se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. estão no mesmo semi-plano. Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B. um em cada circunferência. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro. estão em semi-planos diferentes. Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. 334 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . então esses segmentos AP e BP são congruentes. são tangentes uma à outra. esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência. um em cada circunferência. Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano. Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2.Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum. temos uma reta tangente comum externa. se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. mas com raios diferentes são circunferências concêntricas. Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano. temos uma reta tangente comum interna. Se os pontos de tangência. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra. O ângulo inscrito determina na circunferência um arco 𝐴𝐵 ̂ AB α= 2 Ângulo Excêntrico Interno: é formado por duas cordas da circunferência. O ângulo central determina na circunferência um arco𝐴𝐵 ̂ α = AB Ângulo Inscrito: é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência. ̂ e sua medida é igual à metade do arco. ̂ e sua medida é igual a esse arco. e a medida do ângulo central e do arco são iguais. 335 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . O ângulo excêntrico interno determina na circunferência dois arcos AB e CD e sua medida é igual à metade da soma dos dois arcos. ̂ + CD ̂ AB α= 2 Ângulo Excêntrico Externo: é formado por duas retas secantes à circunferência.ÂNGULOS (OU ARCOS) NA CIRCURFERÊNCIA Ângulo central: é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Este ângulo determina um arco na circunferência. α= ̂ − CD ̂ AB 2 Questões 01. Na figura abaixo. qual é o valor de y? (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 35° (E) 25° 336 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . O valor de x na figura abaixo é: (A) 90° (B) 92° (C) 96° (D) 98° (E) 100° 02.̂ e 𝐶𝐷 ̂ e sua medida é igual à O ângulo excêntrico externo determina na circunferência dois arcos 𝐴𝐵 metade da diferença dos dois arcos. Resposta: B. portanto é igual à metade do arco x: 46° = 𝑥 2 x = 46°. (D) tem um único ponto em comum. (C) não tem ponto em comum. (E) nda Respostas 01.03. a medida do ângulo x. O ângulo da figura é um ângulo excêntrico externo. Uma reta é tangente a uma circunferência quando: (A) tem dois pontos em comum.2 x = 92° 02. Resposta: D. é: (A) 80° (B) 82° (C) 84° (D) 86° (E) 90° 04. Na figura seguinte. A medida do arco x na figura abaixo é: (A) 15° (B) 20° (C) 25° (D) 30° (E) 45° 05. O ângulo dado na figura (46°) é um ângulo inscrito. em graus. (B) tem três pontos em comum. 𝑦= 110° − 40° 2 𝑦= 70° = 35° 2 337 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . portanto é igual à metade da diferença dos dois arcos dados. 03. É o único polígono que não tem diagonais. 𝑥= 108° + 60° 2 𝑥= 168° = 84° 2 04. É o polígono que possui o menor número de lados. Questão teórica TRIÂNGULOS Triângulo é um polígono de três lados. 338 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. Resposta: A. ângulos. ̂ está dividido ao meio Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. 2. Lados: AB. Ângulos internos: a. Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. b e c. 2 = 95° + 𝑥 110° − 95° = 𝑥 𝑥 = 15° 05. Resposta: C. B e C. medianas e bissetrizes. O ângulo B e neste caso Ê = Ô. 55° = 95° + 𝑥 2 55°. Vértices: A. BH é uma altura do triângulo. 1. BM é uma mediana. Resposta: D. alturas. Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. O ângulo de 55 é um ângulo excêntrico interno.BC e AC. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices. O ângulo x é um ângulo excêntrico interno. 3. lados. portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. m(AB) = m(AC) e dois ângulos iguais. isto é. E ̂ e F̂ (assinalados em vermelho). na figura são D Classificação O triângulo pode ser classificado de duas maneiras: 1- Quanto aos lados: Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais. 339 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . as medidas dos ângulos são menores do que 90º. Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes. este lado. B ̂ e Ĉ Ângulo Interno: Todo triângulo possui três ângulos internos. 2- Quanto aos ângulos: Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos. na figura são A Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente a ̂.̂. m(AB) = m(BC) = m(AC) e os três ângulos iguais. m(AB) ≠ m(AB) ≠ m(BC) e os três ângulos diferentes. Triângulo Isósceles: Tem dois lados com medidas iguais. ̂ = b̂ + ĉ. entre si. os lados correspondentes proporcionais e os ângulos congruentes (iguais). Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90° graus). Dados os triângulos acima. Temos que em todo triângulo cada ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos apostos. onde: AB BC AC = = DE EF DF ̂ =D ̂ ̂ =E ̂ eA B Ĉ = F̂. B ̂ = â + ĉ e Ĉ = â + b̂ A Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se tiverem. então os triângulos ABC e DEF são semelhantes e escrevemos ABC~DEF. possui um ângulo com medida maior do que 90º. isto é. Critérios de semelhança 340 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso. a + b + c = 180º 2.Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC onde as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. Propriedade dos ângulos 1- Ângulos Internos: a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. basta provar que eles tem dois ângulos correspondentes congruentes (iguais). porém o mais utilizado para resolução de exercícios. Questões 01.5 2. Na figura abaixo AB = AC. CB = CD. Nas figuras ao lado: AB BC 6 8 = → = =2 EF FG 3 4 então: ABC ~ EFG 3. dois ângulos correspondentes congruentes iguais. para provar que dois triângulos são semelhantes. entre si. isto é.Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais.Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também são congruentes. então os triângulos são semelhantes.5 2 então: ABC ~ RST Observação: temos três critérios de semelhança. O valor de x na figura abaixo é: (A) 30° (B) 40° (C) 50° (D) 60° (E) 70° 02. então os triângulos são semelhantes. Nas figuras ao lado: 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 3 5 4 = = → = = =2 𝑅𝑇 𝑅𝑆 𝑆𝑇 1.Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem. ̂=D ̂ e Ĉ = F̂ Nas figuras ao lado: A então: ABC ~ DEF 2. então os triângulos são semelhantes.1. a medida do ângulo DĈB é: 341 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . O valor em graus do ângulo CB ̂D é igual a: 03. Em uma cidade do interior. então: 3x = x + 80º 342 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .70 (B) 0. à noite. Um helicóptero do Exército. AB = 1 e AC = 3. em metros.85 (E) 0. surgiu um objeto voador não identificado. situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote. pode-se concluir que a medida. Na figura abaixo. é igual à soma dos dois internos opostos. Solução: Da figura temos que 3x é um ângulo externo do triângulo e. o ângulo AD (A) 120° (B) 110° (C) 105° (D) 100° (E) 95° 04. Resposta: B.80 (D) 0.75 (C) 0. ADEF é um quadrado. o triângulo ABC é retângulo em A. Na figura seguinte. que estacionou a aproximadamente 50 m do solo.90 05.(A) 34° (B) 72° (C) 36° (D) 45° (E) 30° ̂C é reto. em forma de disco. A sombra projetada pelo disco no solo tinha em torno de 16 m de diâmetro. Sendo assim. conforme mostra a figura seguinte. Quanto mede o lado do quadrado? (A) 0. do raio desse disco-voador é aproximadamente: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Respostas 01. portanto. então: O ângulo CB x = 60º + 40° (propriedade do ângulo externo) x = 100° 04. sendo y o ângulo DĈB.3x – x = 80º 2x = 80° x = 80° : 2 x = 40° 02. temos três triângulos: ABC. Resposta :D. ̂C é reto. a soma é igual a 180°. o triângulo ABC tem dois lados iguais. Do enunciado AB = AC. Resposta: B. o ângulo CF̂E é reto e o ângulo AĈB é comum aos triângulos ABC e CEF. Solução: ̂C = 90° (reto). Do enunciado o ângulo AD ̂ ̂ O ângulo BDC = 30° ADB = 60º. As medidas de seus lados correspondentes são proporcionais: AB EF 1 x = = AC CF 3 3−x (multiplicando em “cruz”) 343 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .36° 2x = 144 x = 144 : 2 x = 72 ̂C = 72° Logo: AĈB = AB Também temos que CB = CD. AĈB = AB 36° + x + x = 180° 2x = 180° . Solução: sendo x o lado do quadrado: Temos que provar que dois dos triângulos da figura são semelhantes. CB 72° + 72° + y = 180° 144° + y = 180° y = 180° . A soma dos três ângulos é igual a 180°. o triângulo BCD é isósceles: ̂D = CD ̂B = 72°. Resposta: C.144° y = 36º 03. então ele é isósceles e tem dois ângulos iguais: ̂C = x. Solução: Na figura dada. x 60º ̂D (x) é ângulo externo do triângulo ABD. Na figura temos três triângulos. logo O ângulo BA estes dois triângulos são semelhantes. ACD e BCD. Paralelismo e perpendicularismo. das posições relativas entre estes entes. reta e plano no espaço. GEOMETRIA ESPACIAL. 344 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Retas e planos no espaço. Resposta: A. Então: CG EF 8 = AG AF 80 = 30 8r = 8. E esses dois triângulos são semelhantes.2. Temos o estudo dos postulado. Ângulos diedros e ângulos poliédricos.75 05. porém não tem como ser demonstradas.1.4. Prismas.3. Postulado: são afirmações que são aceitas sem demonstração. 11. Cilindro. GEOMETRIA DE POSIÇÃO A geometria de posição estuda os três entes primitivos da geometria ponto.3x = 1. cone e esfera: cálculo de áreas e volumes. 11. Isto é. Poliedros: poliedros regulares. Solução: da figura dada. 11. pois os dois ângulos das bases de cada um são congruentes. pirâmides e respectivos troncos. Cálculo de áreas e volumes. 11. podemos observar os seguintes triângulos: Os triângulos ABC e ADE são isósceles. Na matemática nós temos afirmações que são chamadas de postulados e outras são chamadas de teoremas. A altura divide as bases em duas partes iguais.(3 – x) 3x = 3 – x 3x + x = 3 4x = 3 x=¾ x = 0. Teorema: são afirmações que tem demonstração.3 r= 3m r 11. sabemos que são verdadeira. 2) duas retas paralelas distintas determinam um único plano. a) Um ponto divide uma reta em duas semirretas. . .3) duas retas concorrentes determinam um único plano. (Observe que a palavra distintos esta destacada. (Observe que as palavras não colineares estão destacadas. entre dois planos e entre um plano e uma reta. b) Três pontos não colineares determinam um único plano.. d) Entre dois pontos distintos. c) Num plano e fora dele existem infinitos pontos e retas. c) Um plano divide o espaço em dois semiespaços. 345 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . . (este postulado também é chamado de postulado fundamental da geometria de posição).Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano.Estudo dos Postulados Na Geometria de Posição. agora. b) Uma reta divide um plano em dois semiplanos. b. os postulado se dividem em quatro categorias: I) Postulados da existência: a) No espaço existem infinitos pontos.como consequência deste postulado. sempre existe um outro ponto.Estudo das posições relativas Vamos estudar. II) Postulados da determinação: a) Dois pontos distintos determinam uma única reta. tem que ser não colineares e não somente três pontos). as posições relativas entre duas retas. temos também: b. b. então a reta está contida no plano. III) Postulado da inclusão. tem que ser distintos e não somente dois pontos). b) Numa reta e fora dela existem infinitos pontos.1) uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano. IV) Postulados da divisão. retas e planos. sendo uma sobre a outra.Retas concorrentes: tem um único ponto em comum.Reversas No esquema acima.Distintas .Retas Reversas: não tem ponto em comum. Observação: duas retas reversas que “formam” entre si um ângulo reto (90°) são chamadas de ortogonais. 346 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Coincidentes Coplanares: (mesmo plano) . b) Retas não coplanares não estão no mesmo plano. s P Observação: duas retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto (90°) são chamadas de perpendiculares. representamos por r ≡ s . r . Podem ser: .Paralelas: . r s representamos por r // s .Concorrentes Não coplanares: . São: . temos: a) Retas coplanares estão no mesmo plano. Temos duas retas.Retas paralelas distintas: não tem nenhum ponto em comum.I) Posições relativas entre duas retas.Retas paralelas coincidentes: tem todos os pontos em comum. . c) Reta secante (ou incidente) ao plano: tem um único ponto em comum com o plano. . 347 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Para diferenciar paralelas distintas e reversas temos duas condições: . A intersecção da reta com o plano é um conjunto vazio. b) Reta contida no plano: tem todos os pontos em comum com o plano.Reversas não tem ponto em comum e não estão no mesmo plano (não coplanares).Paralelas distintas não tem ponto em comum e estão no mesmo plano (coplanares). Também obedece ao postulado da Inclusão. mas não a todas. II) Posições relativas entre reta e plano. A intersecção da reta com o plano é o ponto P.Como podemos verificar. A intersecção da reta com o plano é igual à própria reta. porém é uma condição necessária. retas paralelas distintas e retas reversas não tem ponto em comum. Observação: uma reta paralela a um plano é paralela com infinitas retas do plano. a) Reta paralela ao plano: não tem nenhum ponto em comum com o plano. Então esta não é uma condição suficiente para diferenciar as posições. A intersecção entre os planos é uma reta. (C) Ponto tem dimensão. c) Planos secantes (ou incidentes): tem uma única reta em comum. (B) Todas são falsas. (B) Plano. Questões 01. por definição. é um conjunto de pontos. Dadas as proposições: É correto afirmar que: (A) Todas são verdadeiras. 02. Assinale a alternativa verdadeira: (A) Todas as afirmações podem ser demonstradas. (C) Apenas I e II são falsas. (D) Apenas II e III são falsas.III) Posições relativas entre dois planos a) Planos paralelos: não tem nenhum ponto em comum. A intersecção entre os planos é um conjunto vazio. (D) Para se obter um plano basta obter 3 pontos distintos. Podem ser oblíquos (formam entre si um ângulo diferente de 90°) ou podem ser perpendiculares (formam entre si um ângulo de 90°). 348 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (E) Apenas I e III são falsas. b) Planos coincidentes: tem todos os pontos em comum. (E) Dois planos sendo paralelos. (B) Uma condição suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas de um sejam paralelas ao outro. perpendicular ao plano α. (C) Duas retas que tem ponto em comum são concorrentes. então ela é perpendicular ao plano. (D) Dois planos sendo paralelos. paralelas entre si. Ela partiu do vértice G. então esses planos são paralelos. Assinale V ou F. percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC. conforme as sentenças sejam verdadeira ou falsas: ( ( ( ( ) Ponto não tem definição. (C) Uma reta divide o espaço em dois semiespaços. ela é paralela a ele. completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG . para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e. A formiga chegou ao vértice: 349 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . (B) Existem em α retas paralelas a r e retas reversas a r. ) Teorema é sempre um Postulado. (C) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano. 05. (C) Paralelas entre si. então elas são paralelas uma à outra. intercepta a reta r em A.(E) Reta não tem definição. A reta t. toda reta que fura um fura o outro. Assinale a alternativa correta: (A) Se uma reta é paralela a dois planos. pontos em comum são 06. Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG. (B) Ortogonais. contidas em um plano α. Se a reta r é paralela ao plano α. 10. (D) Perpendiculares entre si. ) Dois planos que não tem pontos em comum são paralelos. Assinale a alternativa falsa: (A) Dois pontos distintos determinam uma reta. todo plano que intercepta um intercepta o outro. (D) Um ponto divide uma reta em duas semirretas. As retas t e s são: (A) Reversas e não ortogonais. seguindo um trajeto especial. 04. Sejam r e s duas retas distintas. sempre existe um outro ponto. 08. 07. (D) Se duas retas quaisquer são paralelas a um plano. então: (A) Todas as retas de α são paralelas a r. 09. segundo uma reta paralela a r (E) Nenhuma das anteriores é verdadeira. (C) Existem em α retas paralelas a r e retas perpendiculares a r. (E) Um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpendicular a este último plano. finalmente. ) Duas retas que são paralelas a um mesmo plano podem ser paralelas entre si. (B) Se uma reta não tem ponto em comum com um plano. Complete a seguinte frase: “Duas retas que não tem ________________________ ou ____________________________ . Assinala a alternativa falsa: (A) Duas retas não coplanares são reversas. 03. (D) Todo plano que contém r intercepta α. (E) Coplanares. (E) Entre dois pontos distintos. (B) Três pontos não colineares determinam um plano. Resposta: E. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS São figuras geométricas que possui três dimensões. 05. 08. cone e esfera. 10. Resposta: C. Resposta: E. Respostas: V – V – V – F. Resposta: paralelas distintas – reversas. I) V. Um sólido é limitado por um ou mais planos. 07. I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. 09. Resposta: E.(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E Respostas 01. cilindro. Os mais conhecidos são: prisma. pirâmide. 350 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: B. 04. Resposta: D. 03. 06. Resposta: B. II) F e III) F 02. Resposta: C. ... f) Altura: distância entre as duas bases......... ..... 351 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO ......................a base é um hexágono......Área Total: 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 2.. ..... e assim por diante.. c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo... como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa....Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°.... ℎ Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais....................Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°)........ ..... se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado... que são: a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares..a base é um quadrilátero.......Prisma hexagonal... ....Quanto à base: .......Quanta à inclinação: ... . 2.........................Volume: 𝑉 = 𝐴𝑏 .. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo...... Fórmulas: ...................Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 .......... e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas... d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais.......a base é um triângulo.Prisma triangular. assim por diante........Prisma pentagonal.a base é um pentágono... E.. b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases...................... Classificação: Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 1.. 𝐴𝑏 ...........Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜....Prisma quadrangular... Elementos de um prisma: a) Base: pode ser qualquer polígono... b. face lateral. Além destes. o apótema da base e o apótema lateral forma um triângulo retângulo. arestas da base. As três dimensões de um cubo comprimento. vértice e altura.Diagonal: D = a√3 II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. Fórmulas: .(ab + ac + bc) .a2 . 352 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Área Total: At = 2. largura e altura são iguais.Área Total: At = 6.Temos três dimensões: a comprimento. b largura e c altura.Volume: V = a3 .Diagonal: D = √a2 + b2 + c 2 b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas.Volume: Va= a. Na figura acima podemos ver que entre a altura. Elementos de uma pirâmide: A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base. arestas laterais. então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. ela também tem um apótema lateral e um apótema da base.c . Fórmulas: . ...... .a base é um pentágono.......Volume: 𝑉 = ........ paralelas e circulares.. ............Pirâmide pentagonal..Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜.....Quanta à inclinação: ............... Elementos de um cilindro: a) Base: é sempre um círculo............ b) Raio c) Altura: distância entre as duas bases...... assim por diante...... ... 2.......a base é um hexágono..... e assim por diante. isto é.. Classificação: Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 1............ ...........Pirâmide Obliqua: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base............... ℎ 3 III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais.........Pirâmide triangular.......Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 ......Pirâmide hexagonal........Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base.................. ... se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado. E...Área Total: At = Al + Ab 1 ..... como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa............... 𝐴𝑏 ... d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral..Pirâmide quadrangular.... 353 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO ...... Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo.......a base é um triângulo.......a base é um quadrilátero...Quanto à base: .......... a face lateral é formada por infinitas geratrizes.... Fórmulas: . Ab .h.π.r. para isto temos que: h = 2r. IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior.Área da Base: Ab = π.r2 .Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°).(h + r) ou At = A l + 2.h Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro.π. ele só pode ser classificado de acordo com a inclinação: .Classificação: como a base de um cilindro é um círculo.r.r2. Logo a área da secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = 2r. O retângulo obtido através desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um quadrado. .h ou V = Ab.Área Total: At = 2. Fórmulas: .Área Lateral: Al = 2. 354 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°.h .Volume: V = π. Classificação: como a base de um cone é um círculo.Área da base: Ab = π.h.r2 .Volume: 𝑉 = . base é 2r e h.Área Lateral: Al = π. 𝑟 2 . 𝜋.Elementos de um cone: a) Base: é sempre um círculo. O triângulo obtido através desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas. .Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. o raio e a altura temos um triângulo retângulo. ℎ ou 𝑉 = .(g + r) ou At = Al + Ab 1 1 3 3 .Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base.Área total: At = π.r. ℎ . 𝐴𝑏 . 355 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .Entre a geratriz. a face lateral e formada por infinitas geratrizes. Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone.r. então: g2 = h2 + r2. b) Raio c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. Logo a área da secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = r.g . Fórmulas: . isto é. d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral. ele só tem classificação quanto à inclinação. . . .Paralelos: são “cortes” feitos na esfera. passando pelo centro da esfera. Fórmulas . Então. determinando círculos. podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: R2 = r2 + d2.Eixo: é um eixo imaginário. V) ESFERA Elementos da esfera . assim.Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo equilátero.Equador: “corte” feito pelo centro da esfera.na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r). determinando. 356 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . a distância do centro ao paralelo ao centro da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. para isto temos que: g = 2r. .Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera. o maior círculo possível. sabendo que seu raio é igual a 5 cm. é: (A) 90π (B) 100π (C) 80π (D) 110π (E) 120π 02. 𝑅 3 𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 = 270° Questões 01. R3 3 Fuso Esférico: Fórmula da área do fuso: 𝛼. 4 cm e 12 cm. O volume desse prisma é: (A) 288√3 cm3 (B) 144√3 cm3 (C) 200√3 cm3 (D) 100√3 cm3 (E) 300√3 cm3 04.π. 𝜋. As dimensões de um paralelepípedo são 3 cm. 03. a área lateral desse cilindro. Calcular a área lateral. π. 357 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. Dado o cilindro equilátero. Seja um cilindro reto de raio igual a 2 cm e altura 3 cm. 𝜋. área total e o seu volume. o volume e a diagonal desse paralelepípedo. 𝑅 2 𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 = 90° Cunha Esférica: Fórmula do volume da cunha: 𝛼. em cm 2.Área: A = 4.Volume: V = .R2 4 .. Pede-se calcular a área total. em cm. Determinar a área do fuso e o volume da cunha obtidos por essa secção.r(h + r) At = 2π.2.3 V = 12π cm2 03. do enunciado temos que a aresta da base é a = 4 cm e a altura h = 12 cm.r. Solução: em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm.π. Respostas 01. é: (A) 6√3 (B) 6√2 (C) 8√2 (D) 8√3 (E) 8 09. Pede-se calcular: a) a altura.π. d) o volume.5 At = 20π cm 2 V = π.2(3 + 2) At = 4π. c) a área total. Solução: o volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab. b) a área lateral. Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. Resposta: B.r2.10 Al = 100π 02. Resposta: A.h Al = 2.5 = 10 cm Al = 2.5.4. h = 2r h = 2. a área total e o volume desse cubo são. Al = 2. b) o volume.22.05.h Al = 2. iguais a: (A) 27 m2 e 54 m 3 (B) 9 m2 e 18 m 3 (C) 54 m 2 e 27 m3 (D) 10 m 2 e 20 m3 06. 10. O volume dessa pirâmide. Foi feito uma secção em uma esfera de raio 4 cm. pelo seu centro.π. respectivamente.π.h V = π. é igual a: (A) 60 (B) 60√3 (C) 80 (D) 80√3 (E) 90√3 07. A altura desse cone. Respostas: Al = 12π cm2. Um cone reto tem raio da base com medida 6 cm e geratriz com medida 10 cm.r. A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular 358 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. em cm 3. Uma esfera tem raio igual a 6 cm. determinando um ângulo equatorial de 60°. 08. Pede-se calcular: a) a área.3 V = π. Um cubo tem aresta igual a 3 m.3 Al = 12π cm 2 At = 2π. At = 20π cm2 e V = 12π cm3 Solução: aplicação direta das fórmulas sendo r = 2 cm e h = 3 cm.h. Respostas: At = 192 cm2.16√3 4 𝐴𝑏 = 6.4 + 3. o cubo tem aresta a = 3 m. Resposta: D.𝑎 2√3 4 6. 𝐴𝑏 .12 + 4. At = 2. Solução: aplicação das fórmulas de cone. Solução: do enunciado a base é um triângulo equilátero. c) At = 96π cm2 e d) V = 96π cm3. V = 144 cm3 e D = 13 cm Solução: aplicação direta das fórmulas sendo a = 3 cm. b = 4 cm e c = 12 cm. 4 Cálculo da área da base: 𝐴𝑏 = 𝐴𝑏 = 𝑎 2 √3 4 82 √3 4 = 64√3 4 𝐴𝑏 = 16√3 Cálculo do volume: 1 𝑉 = .12 V = 144 cm3 D = √a2 + b2 + c 2 D = √32 + 42 + 122 D = √9 + 16 + 144 D = √169 D = 13 cm 05.(12 + 36 + 48) At = 2.4√3 𝐴𝑏 = 24√3 cm2 V = 24√3. Respostas: a) h = 8 cm. Solução: do enunciado.b. b) Al = 60π cm2. 16√3.42 √3 4 𝐴𝑏 = 6. A aresta da base é a = 8 cm e h = 15 cm.12) At = 2.𝐴𝑏 = 𝐴𝑏 = 6.9 At = 54 m2 V = a3 V = 33 V = 27 m3 06.c V = 3.96 At = 192 cm 2 V = a.32 At = 6. E a fórmula da área do triângulo equilátero é 𝐴= 𝑙 2 √3 . At = 6.4.(ab + ac + bc) At = 2.(3. 15 3 𝑉 = 16√3. a)102 = h2 + 62 100 = h2 + 36 100 – 36 = h2 h2 = 64 h = √64 h = 8 cm 359 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO . Resposta: C. ℎ 3 1 𝑉 = .12 V = 288√3 cm3 04.a2 At = 6. 5 𝑉 = 80√3 07. 62 . 𝜋. π.R2 90° 360 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .6. 216 3 V = 288π cm3 10. R3 3 4 V = .10 Al = 60π cm 2 c)At = πr.r. Solução: em um cone equilátero temos que g = 2r.R2 A = 4. Do enunciado o raio é 8 cm.12. 36. ℎ 3 1 V = .π. g2 = h2 + r2 162 = h2 + 82 256 = h2 + 64 256 – 64 = h2 h2 = 192 h = √192 h = √26 . π. π. 63 3 4 V = . π.(10 + 6) At = π.(g + r) At = π.8 V = 96π cm3 08. Af = α. a)A = 4. 8 3 1 V = . Respostas: Af = 𝟑𝟐𝛑 𝟑 cm2 e Vc = 𝟏𝟐𝟖𝛑 𝟗 cm3 Solução: A esfera tem raio R = 4 e o ângulo equatorial α = 60°.16 At = 96π cm 2 1 d)V = . 𝑟 2 . então a geratriz é g = 2.36 A = 144π cm2 4 b)V = .6. 𝜋.π.6.8 3 V = π. Respostas: a) 144π cm2 e b) 288π cm3 Solução: o raio da esfera é 6 cm. Resposta: D. 3 h = 23√3 h = 8√3 cm 09.π.62 A = 4.π.b)Al = π.8 = 16 cm.g Al = π. PACCOLA.br http://www.br http://www. Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier. Edwaldo. Herval – Matemática – Volume 1 http://www.br www.coceducacao.π.64 27 = 384π 27 = 128π 9 cm3 Referências IEZZI.π. Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol.com.dicio.π.infoescola.Fundamentos da Matemática – Volume 3 – Trigonometria IEZZI.π.16 9 = 96π 9 = 32π 3 cm2 α.42 90° = 6.porcentagem.2013. Gelson .org http://interna.br http://www.somatematica.R3 270° 60°.Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções IEZZI. COC de Ensino BIANCHINI.com http://www.br http://www.com.Af = Vc = Vc = 60°.colegioweb.uff.Volume Único IEZZI.com.com. Gelson .brasilescola. Gelson .43 270° = 6.com.com http://ensinandoeaprendendomatematica.Matemática.π. 11 MARIANO.br 361 1104680 E-book gerado especialmente para LUCAS CHAMORRO .blogspot.