05-CURSO MATEMÁTICA PASSO A PASSO

March 22, 2018 | Author: mariana margem melandis marquezini | Category: Prime Number, Division (Mathematics), Decimal, Set (Mathematics), Multiplication
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MATEMÁTICA PASSO A PASSO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS  Sistema de Numeração Decimal O Sistema de Numeração Decimal se baseia na posição que um algarismo tem no numeral. As regras que definem ordens, classes e nomes que resumimos no seguinte quadro: A Numeração Decimal 314 537 012 423 bilhões dezena de bilhões centena de bilhões milhões dezena de milhões unidade milhares dezena de milhares unidade dezena de centena de milhões centena de milhares centena de unidade Classe dos bilhões Classe dos Milhões Classe dos Milhares Classe das unidades 314 unid. de 10º orde Unid. de 11º ordem unid. de 12º ordem 537 unid. de 7º ordem unid. de 8º ordem unid. de 9º ordem 012 unid. de 4º ordem unid. de 5º ordem unid. de 6º ordem 423 unid. de 1º ordem unid. de 2º ordem unid. de 3º ordem cada algarismo situado à esquerda de outro tem um valor dez vezes maior que se estivessem no lugar desse outro. 8 MATEMÁTICA PASSO A PASSO  Tabuada da Adição 4+ 1= 5 4 + 2 = ___ 4+ 3= 7 4+ 4= 8 4 + 5 = ___ 4 + 6 = ___ 4 + 7 = 11 4 + 8 = ___ 4 + 9 = 13 4 +10= ___ 9 + 1 = ___ 9 + 2 = 11 9 + 3 = 12 9 + 4 = 13 9 + 5 = ___ 9 + 6 = ___ 9 + 7 = 16 9 + 8 = 17 9 + 9 = ___ 9 +10= 19 5 + 1 = ___ 5 + 2 = ___ 5+ 3= 8 5 + 4 = ___ 5 + 5 = 10 5 + 6 = ___ 5 + 7 = ___ 5 + 8 = 13 5 + 9 = 14 5 +10= ___ 10 + 1=___ 10 + 2= 12 10 + 3= 13 10 + 4=___ 10 + 5=___ 10 + 6= 16 10 + 7= 17 10 + 8=___ 10 + 9= 19 10 +10=___ 6 + 1 = ___ 6+ 2= 8 6+ 3= 9 6 + 4 = ___ 6 + 5 = 11 6 + 6 = 12 6 + 7 = ___ 6 + 8 = 14 6 + 9 = ___ 6 +10= 16 11 + 1= 12 11 + 2=___ 11 + 3=___ 11 + 4= 15 11 + 5= 16 11 + 6=___ 11 + 7=___ 11 + 8= 19 11 + 9= 20 11 +10=___ 7+ 1= 8 7 + 2 = ___ 7 + 3 = 10 7 + 4 = ___ 7 + 5 = ___ 7 + 6 = 13 7 + 7 = ___ 7 + 8 = 15 7 + 9 = 16 7 +10= ___ 12 + 1=___ 12 + 2= 14 12 + 3= 15 12 + 4=___ 12 + 5= 17 12 + 6= 18 12 + 7=___ 12 + 8= 20 12 + 9= 21 12 +10=___ 3 + 1 = ___ 3+ 2= 5 3 + 3 = ___ 3 + 4 = ___ 3+ 5= 8 3 + 6 = ___ 3 + 7 = ___ 3 + 8 = 11 3 + 9 = ___ 3 +10= ___ 8 + 1 = ___ 8 + 2 = ___ 8 + 3 = 11 8 + 4 = 12 8 + 5 = ___ 8 + 6 = 14 8 + 7 = 15 8 + 8 = ___ 8 + 9 = ___ 8 +10= ___  Adição - Passo a Passo Adição é a operação onde juntamos quantidades Em adições usa-se o sinal de “ + “ (mais). Parcelas são os termos da adição. O resultado da adição chama-se soma ou total Ao efetuarmos uma adição, colocamos. ● • • unidade embaixo de unidade dezena embaixo de dezena centena embaixo de centena A soma sempre se inicia Pela direita. + C D 2 4 1 3 3 7 U 2 5 7 parcela parcela soma ou total 9 PROF. WELLINGTON BRITO  Adição com reserva C D U +1 +1 2 1 6 6 + 6=12 5 8 9 1 6 2 + Soma-se as unidades: 6unidades + 6unidades = 12 unidades, que corresponde a 1 dezena e 2 unidades.Escreve-se o 2 na ordem das unidades e o 1 vai para a ordem das dezenas. O mesmo acontece com as centenas. Soma-se as dezenas:1 dezena + 1 dezena + 9 dezenas = 11 dezenas, que corresponde a :1 centena e 1 unidade.Escreve –se o primeiro 1 na ordem das dezenas e segundo 1 vai para a ordem das centenas. • Prova Real da Adição Para sabermos se uma conta está correta usamos a operação inversa. A operação inversa da ADIÇÃO é SUBTRAÇÃO. Prova Real Parcela 2 4 2 3 7 7 3 7 7 + ou parcela 1 3 5 1 3 5 2 4 2 soma 3 7 7 2 4 2 1 3 5 ou total A soma ou total menos uma das parcelas é sempre igual a outra parcela.  Tabuada da Subtração 2–2= 3–2=1 4 – 2 = ___ 5 – 2 = ___ 6–2=4 7–2=5 8 – 2 = ___ 9 – 2 = ___ 10 – 2 = 8 11 – 2 = 9 7 – 7=___ 8 – 7= 1 9 – 7= 2 10– 7= 3 11– 7=___ 3 – 3= 0 4 – 3=___ 5 – 3= 2 6 – 3= 3 7 – 3=___ 8 – 3= 5 9 – 3= 6 10– 3=___ 11– 3=___ 12– 3=___ 8 – 8= 0 9 – 8=___ 10– 8=___ 11– 8= 3 12– 8= 4 4 – 4=___ 5 – 4=___ 6 – 4= 2 7 – 4= 3 8 – 4=___ 9 – 4= 5 10– 4= 6 11– 4=___ 12– 4= 8 13– 4=___ 9 –9=___ 10– 9= 1 11– 9=___ 12– 9=___ 13– 9=___ 5 – 5=0 6 – 5=___ 7 – 5=___ 8 – 5= 3 9 – 5= 4 10– 5= 5 11– 5=___ 12– 5=___ 13– 5= 8 14– 5=___ 10 – 1=___ 10 – 2=___ 10 – 3= 7 10 – 4= 6 10 – 5= 5 1 – 1 =___ 2–1=1 3–1=2 4 – 1 = ___ 5–1=4 6–1=5 7 – 1 =___ 8–1=7 9–1=8 10 – 1 = ___ 6 – 6=___ 7 – 6=___ 8 – 6= 2 9 – 6= 3 10– 6= ___ 10 11– 6= ___ 12– 6= 6 13– 6= 7 14– 6= ___ 15– 6= ___ MATEMÁTICA PASSO A PASSO 12– 7=___ 13– 8=___ 14– 9= 5 13– 7= 6 14– 8=___ 15– 9= ___ 14– 7=___ 15– 8= 7 16– 9= 7 15– 7=___ 16– 8= 8 17– 9=___ 16– 7= 9 17– 8=___ 18– 9= 9 10 – 6= 4 10 – 7=___ 10 – 8=___ 10 – 9= 1 10 –10=___  Subtração - Passo a Passo Subtração é a operação onde retiramos uma quantidade menor de uma maior. O subtraendo não pode ser maior que o minuendo. Em subtrações usamos o sinal “–“ (menos). O minuendo e o Subtraendo são termos da subtração. O resto ou diferença é o resultado da subtração. A subtração sempre se inicia pela direita Na subtração, colocamos: C D U ● unidade embaixo de unidade; 7 4 1 minuendo • dezena embaixo de dezena; 3 2 1 subtraendo • centena embaixo de centena. 4 2 0 resto ou diferença  Subtração com Recurso C D U Não se pode tirar 8 unidade de 3 unidades, 3 1 pois o 8 é maior que 3. Então pedimos 1 Minuendo 4 3 dezena emprestada a ordem das dezenas subtraendo 1 8 e juntamos às unidades. resto ou 2 5 D U 3 diferença 4 3 +1 10 +3 = 13 Agora de 13, podemos tirar 8. 13 unidades - 8 unidades 5 unidades Em 4 dezenas, emprestamos 1 dezena. Ficaram 3 dezenas. 4 dezenas - 1 dezena 3 dezenas o 4 ficou valendo 3. • Prova Real da Subtração. A operação inversa à SUBTRAÇÃO é a ADIÇÃO. Prova Real Minuendo 7 8 6 2 + 11 PROF. WELLINGTON BRITO subtraendo resto ou diferença 1 6 6 2 1 7 6 8  Tabuada da Multiplicação 3 x 1=___ 3 x 2=___ 3 x 3=___ 3 x 4= 12 3 x 5=___ 3 x 6= 18 3 x 7=___ 3 x 8=___ 3 x 9= 27 3 x10=___ 8 x 1= 8 8 x 2=___ 8 x 3=___ 8 x 4=32 8 x 5=___ 8 x 6=___ 8 x 7=56 8 x 8=___ 8 x 9=___ 8 x 10=___ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 x 1= 4 x 2= 8 x 3=___ x 4=___ x 5=___ x 6=24 x 7=28 x 8=___ x 9=___ x 10=40 x 1=___ x 2=18 x 3=___ x 4=36 x 5=___ x 6=___ x 7=63 x 8=___ x 9=___ x 10=90 5 x 1= 5 5 x 2=___ 5 x 3=___ 5 x 4=20 5 x 5=___ 5 x 6=30 5 x 7=___ 5 x 8=___ 5 x 9=45 5 x 10= __ 10 x 1=10 10 x 2=20 10 x 3=30 10 x 4=__ 10 x 5=50 10 x 6=__ 10 x 7=__ 10 x 8=80 10 x 9=90 10 x 10=__ 6 x 1= 6 6 x 2=___ 6 x 3=___ 6 x 4=24 6 x 5=30 6 x 6=___ 6 x 7=___ 6 x 8=48 6 x 9=___ 6 x10=___ 11 x 1=__ 11 x 2=__ 11 x 3=33 11 x 4=44 11 x 5=55 11 x 6=__ 11 x 7=__ 11 x 8=88 11 x 9=__ 11 x 10=__ 2 x 1=___ 2 x 2= 4 2 x 3= 6 2 x 4=___ 2 x 5=___ 2 x 6=12 2 x 7=14 2 x 8=___ 2 x 9=___ 2 x10=___ 7 x 1=___ 7 2=___ 7 x 3=21 7 x 4=28 7 x 5=___ 7 x 6=___ 7 x 7=49 7 x 8=___ 7 x 9=___ 7 x 10=70  Multiplicação - Passo a Passo Multiplicação é uma adição de parcelas iguais. Apresentamos a multiplicação com o sinal “ x “ (vezes). O multiplicando e o multiplicador são chamados fatores. O resultado chama-se produto. Observe quantas figuras há nos quadrados.       São três quadrados com quatro       livros. então: 4 + 4 + 4 = 12 ou 3 x 4 = 12 4 multiplicando Fatores x3 multiplicador 12 Produto se multiplicarmos um número qualquer por 0 (zero) seu produto será sempre zero. Veja: 9 x 0 = 0, pois 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0  Multiplicação sem Reserva 12 MATEMÁTICA PASSO A PASSO C D U 1 4 2 x 2 2 8 4 - Multiplica-se: primeiro a ordem das unidades (U) segundo a ordem das dezenas (D) e por fim, a ordem das centenas (C).  Multiplicação com Reserva Multiplica-se as unidades: C D U 3 x 6 = 18 unidades ou 1 dezena e 8 unidades 1 6 Coloca-se o 8 na ordem das unidades e o 1 vai para X 3 a ordem das dezenas. 4 8 Multiplica-se as dezenas: 3 x 1 = 3 “mais” 1 “que foi” são 4. Resultado final: 48 Multiplicação com mais de um Algarismo no Multiplicador 1 1  2 x 5 26 32 6 1 3 9 2 9 2 8 8 multiplicando multiplicador 1º produto parcial 2º produto parcial produto final Primeiro multiplica-se o 2 pelo 9, depois pelo 6 somando-se com o 1 que foi, em seguida multiplica-se o 2 pelo 2 somando-se com o 1 que foi. Achamos, assim, o primeiro produto parcial. Ao multiplica-se o 1 pelo 9 depois pelo 6 e depois pelo 2 encontrase o segundo produto parcial, que deverá ser afastado uma casa para a esquerda. Sempre iremos afastar uma casa para a esquerda para cada produto parcial: Veja mais um exemplo: 1 4 3 x 1 3 22 81 6 42 9 6 1 43 2 1 89 0 2  2 multiplicando 2 multiplicador 4 produto parcial produto parcial produto parcial 4 produto final Multiplicação por 10, 100 e 1000 Para multiplicar um número por 10 basta acrescentar um zero à direita desse número. 13 000 E por 1000. WELLINGTON BRITO Exemplos: 9 x 10 = 90 15 x 10= 150 130 x 10= 1.000 Prova Real da Multiplicação A operação inversa à multiplicação é a divisão.  Tabuada Da Divisão 2 ÷ 2=__ 4 ÷ 2=__ 6 ÷ 2= 3 8 ÷ 2= 4 10 ÷ 2= 5 12 ÷ 2= 6 14 ÷ 2=__ 16 ÷ 2=__ 18 ÷ 2= 9 20 ÷ 2=__ 7 ÷ 7=__ 14 ÷ 7= 2 21 ÷ 7= 3 28 ÷ 7= 4 35 ÷ 7=__ 3 ÷ 3=__ 6 ÷ 3=__ 9 ÷ 3= 3 12 ÷ 3=__ 15 ÷ 3=__ 18 ÷ 3= 6 21 ÷ 3=__ 24 ÷ 3= 8 27 ÷ 3=__ 30 ÷ 3=10 8 ÷ 8=__ 16 ÷ 8= 2 24 ÷ 8= 3 32 ÷ 8= 4 40 ÷ 8=__ 4 ÷ 4= 1 8 ÷ 4= 2 12 ÷ 4=__ 16 ÷ 4=__ 20 ÷ 4= 5 24 ÷ 4= 6 28 ÷ 4=__ 32 ÷ 4=__ 36 ÷ 4= 9 40 ÷ 4=10 9 ÷ 9= __ 18 ÷ 9= 2 27 ÷ 9= 3 36 ÷ 9= 4 45 ÷ 9=__ 5 ÷ 5=__ 10 ÷ 5= 2 15 ÷ 5= 3 20 ÷ 5= 4 25 ÷ 5= 5 30 ÷ 5=__ 35 ÷ 5=__ 40 ÷ 5= 8 45 ÷ 5= 9 50 ÷ 5=10 10 ÷ 10= 1 20 ÷ 10= 2 30 ÷ 10=__ 40 ÷ 10= 4 50 ÷ 10= 5 1 ÷ 1=___ 2 ÷ 1= 2 3 ÷ 1=___ 4 ÷ 1= 4 5 ÷ 1= 5 6 ÷ 1=___ 7 ÷ 1=___ 8 ÷ 1= 8 9 ÷ 1=__ 10 ÷ 1=10 6 ÷ 6= 1 12 ÷ 6= 2 18 ÷ 6= 3 24 ÷ 6=__ 30 ÷ 6=__ 14 .PROF.000 40 x 1000= 40. Prova Real 4 multiplicando 8 2 fatores 0 4 x 2 multiplicador 8 produto Divide-se o produto por um dos fatores e encontra o outro fator.600 200 x 100=20. acrescenta-se três zeros à direita do número: Confira: • 7 x 1000= 7.300 Se for multiplicar por 100 são acrescidos dois zeros à direita do número: Veja: 8 x 100= 800 16 x 100= 1.  7 2 Na prática        1 3 resto 1 São 7 borboletas. 4 para chegar no 4 não falta nada. Formamos 4 conjuntos e não sobrou nada do lado de fora. 15 . o resto será sempre zero.4 2 resto x divisor quociente 0 4 dividido por 2 são 2. é só multiplicarmos o divisor pelo quociente. então é O (zero). pois a divisão é por 2. 12 3 veja na prática 0 4 •• •• •• •• •• •• São 12 biscoitos.36 ÷ 6= 6 42 ÷ 6= 7 48 ÷ 6=__ 54 ÷ 6=__ 60 ÷ 6=10 MATEMÁTICA PASSO A PASSO 42 ÷ 7= 6 48 ÷ 8= 6 54 ÷ 9=__ 49 ÷ 7=__ 56 ÷ 8= 7 63 ÷ 9= 7 56 ÷ 7= 8 64 ÷ 8=__ 72 ÷ 9= 8 63 ÷ 7= 9 72 ÷ 8= 9 81 ÷ 9= 9 70 ÷ 7=10 80 ÷ 8=10 90 ÷ 9=__ 60 ÷ 10=__ 70 ÷ 10=__ 80 ÷ 10= 8 90 ÷ 10=__ 100÷10=10  Divisão . a divisão é exata! • Prova Real da Divisão Exata Para tirarmos a prova real da divisão exata. pois a divisão é por 3. cercadas de 2 em 2. 2vezes 2 são 4. cercados de 3 em 3.Passo a Passo Divisão é a operação onde separamos uma quantidade em partes iguais.  Divisão Exata Na divisão exata. Representamos a divisão pelos sinais: ÷ ou : dividendo resto 4 2 0 2 divisor quociente dividendo 4 2 . Prova Real 68 2 3 4 08 3 4 x 2 0 6 8 Divisão Inexata ou Aproximada Em uma divisão inexata o resto será diferente de zero e sempre menor que o divisor. Por isso. 20 para chegar no 22 faltam 2. que multiplicado por 5 são 5. é só multiplicarmos o divisor pelo quociente e somarmos este resultado com o resto Vejamos: 72 22 2 5 14 Prova Real 14 x5 70 +2 72 resto : Vamos entender o processo da divisão com 7’2’ 5 ? 7 dividido por 5 é 1. mas 1 borboleta sobrou. fecha-se a conta com resto 2. que dará 4. Esse número é 3. Observe : 2 x 1= 2 2x2=4 2x3=6 é o mais próximo e menor que 7 2x4=8 é maior que 7 2 x 5 =10 • Prova Real da Divisão Aproximada Para tirarmos a prova real da divisão inexata. Tendo agora 22 para dividir por 5. 4 multiplicado por 5 são 20. 5 para chegar no 7 faltam 2. Como não há mais números para “abaixar”.Então. procura-se o maior número que multiplicado por 2 dê um resultado próximo (porém nunca maior) que 7. WELLINGTON BRITO Formamos 3 conjuntos. 16 . Abaixa-se o outro 2 do dividendo.PROF. Na tabuada de x 2 não existe um número que multiplicado por 2 dê como resultado 7. Obs2: O maior resto de uma divisão aproximada é o divisor menos a unidade.2 = 10  EXERCÍCIO .MATEMÁTICA PASSO A PASSO Obs1: Numa divisão o divisor deve ser diferente de zero. [ ] colchêtes e { } chaves permite calcular em cada caso: a) 9 – (5+3) ou 9 – 8 = 1 b) 15 – [ 12 – (7 + 2) ] Que indica: 15 – [12-9] E ainda: 15 – 3 = 12 c) 12 – { 10 – [7 + (5 – 4) ] } indica: 12 – { 10 – [ 7 + 1] } Ou: 12 – { 10 – 8} 12 .  EXPRESSÕES ARITMÉTICAS O uso dos sinais auxiliares ( ) parêntese.EXPRESSÕES ARITMÉTICAS ( I ) Resolver as seguintes expressões aritméticas: a) b) c) d) e) f) g) h) 100 – 80 + 40 – (30+5) 45 – (120 – 100) + 120 – (100 + 10) (7 + 5) + [ 6 – (9 – 5) + (15 + 1) 58 + [48 – (31 – 10) + 15 ] 38 – { (51 – 15) + [ 5 + (3 – 1)] – 10} { 108 – [ 15 + (13 – 10) ] } + 58 528 – { 675 – [ 255 – (15 + 13 ) ] } { 57 – [ 108 – (71 + 26) ] } – { 177 – [ 96 + (51 – 16 ) ] } 17 . . WELLINGTON BRITO Respostas a) 25 b) 35 c) 30  d) 100 e) f) 5 148 g) 80 h) Zero Expressões Aritméticas contendo as Quatro Operações: Nestas expressões obedece-se à seguinte ordem de operações: 1º — As multiplicações e divisões. em geral.PROF. Exemplos: 1) [ ( 18 + 3 x 2 ) ÷ 8 + 5 x 3] ÷ 6 + (625 – 11 x 5 ) ÷ 10 = [ ( 18 + 6) ÷ 8 + 15] ÷ 6 + (625 – 55 ) ÷ 10 = = [24 ÷ 8 + 15] ÷ 6 + 570 ÷ 10= [ 3 + 15 ] ÷ 6 + 57 = = 18 ÷ 6 + 57= 3 + 57 = 60 2){ 240 – 3 x [ 24 – ( 2 + 5 ) x (9 – 6 ) ] – 180 ÷ 9 } x ( 2 + 36 ÷ 3) = { 240 – 3 x [ 24 – 7 x 3 ] – 20 } x ( 2 +12) = = { 240 – 3 x [ 24 – 21 ] – 20 } x 14 = = { 240 – 3 x 3 – 20} x 14 = { 240 – 9 – 20 } x 14 = = { 231 – 20 } x 14 = 211 x 14 = 2. seguidos dos colchetes. 2º — As adições e subtrações A eliminação de parênteses. chaves etc. chaves etc. colchetes. são os parênteses. é feita a partir dos mais internos que.954  EXERCÍCIO – EXPRESSÕES ARITMÉTICAS ( II ) Resolver as seguintes expressões aritméticas: a) 15 + 8 x ( 40 – 5 x 6 ) b) 28 – 5 x 4 – (40 – 8 x 4 ) + 10 c) 105 – 6 x [ ( 12 – 5 ) x ( 11 – 9 ) + ( 3 + 2 ) x ( 4 – 3 ) ] d) 8 + [ ( 255 – 21 x 3 ) ÷ 6 ] e) f) [ 9 + ( 585 – 15 x 6 ) ] ÷ 56 100 ÷ 25 + 58 x 3 + 20 x 5 – 1864 ÷ 8 g) [ 30 – ( 17 – 8 ) x 3 + 25 ] ÷ 7 h) [ ( 18 + 6 ) ÷ 3 + 4 x 5 ] ÷ ( 4 + 3 ) + ( 125 x 5 – 55 ) ÷ 10 i) j) { 48 ÷ [ 57 – ( 2 + 15 ) x 3 ] + 12 } ÷ 4 720 ÷ { 3 x [ 67 – ( 10 + 3 x 9 ) ] } – ( 79 – 15 ) ÷ 8 18 . (TRE) Dividindo-se um número natural X por 5. (UNIFOR) O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de números inteiros.O dividendo é igual a: a) 379 b) 378 c) 376 d)377 e) 375 5. b e c são números desconhecidos. Qual o valor da soma a + b + c? a) 5 b) 8 c) 11 d) 14 e)17 3. ( FUVEST) MATEMÁTICA PASSO A PASSO . no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras x. (CEF) 1 2 X 5Y + Z 3 0 2 1 7 4 W1 Determinando-se esses algarismos para que a soma seja verdadeira. 7 3 x 7 -y 4 9 z 2 t 4 9 Reconstituindo-se essa subtração.k) { 11 x [ 2 x ( 42 + 37 ) – 41 ] } ÷ [ 143 x ( 17 – 8 ) ] Respostas a) 95 e) 9 i) 5 b) 10 f) 45 j) zero c) . (MPU) Numa divisão.9 g) 4 k) 1 d) 40 h)61  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES: 1. verifica-se que: a) Y – W = X c) Y = 8 e) X + Z = W b) X = 2 d) Z = 4 1 a b c 3 a b c 4 Acima está representada uma multiplicação onde os algarismos a. obtém-se: a) x = y = 2 e z = 2t d) y = 2t e x = 2z b) x = z = 4 e y = 2t e) t = 2x e z = 2y c) y = z = 8 e x = 4t 4. Esse número X é: a) menor que (1) uma centena d) cubo perfeito b) maior que (2) duas centenas e) igual a (3) três centenas c) quadrado perfeito 19 x 2. z e t. y. o divisor é 14 o quociente é 26 e o resto é o maior possível. obtém quociente 33 e o resto é o maior possível. a fim de torná-la verdadeira. PROF. Exemplos: 27 é um numeral formado pelos algarismos 2 e 7. Um número pode ser representado de várias formas. O resto da divisão de 4n por 5 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Respostas 1)E 2) D 3) E 4) D 5) C 6) B  NÚMERO. (UECE) Um certo inteiro n quando dividido por 5 deixa resto 3. O número de borboletas é representado pelo numeral "5". 3ª etapa: de 100 até 999 → temos 900 números (900x30) = 2700 algarismos. NUMERAL E ALGARISMO   1 2  3  4  5 Os números são representados por numerais. etc. O número é a idéia da quantidade de elementos. (PRF) Para enumerar as páginas de um livro de 468 páginas. WELLINGTON BRITO 6. quantos algarismos são escritos? b) 936 c)1296 d) 1324 e) 1428 a) 468 comentário: a quantidade de algarismos é a soma de todos os símbolos usados até a última página do livro. Para representar os numerais existem símbolos chamados algarismos 0–1–2–3–4–5–6–7–8–9 Eles se chamam Algarismos indo-arábicos. 5    3+2 cinco 6-1 5x1 5:1  Questões comentadas: Problemas de Contagem 1. 2ª etapa: de 10 até 99 → temos 90 números (90x2) = 180 algarismos. 20 . (468 que é um numeral de 3 algarismos) como é constante o número de algarismos chegamos a seguinte relação: 1ª etapa: de 1 até 9 → temos 9 números (9x1) = 9 algarismos. 107 algarismos 9 + 180 + 1. porém com as operações inversas. respectivamente).296 algarismos: Resposta c) 2. 903 / 3 = 301 cadeiras Agora. usaremos a mesma resolução. 468→ temos 369 páginas (369 x 3) = 1. precisamos apenas calcular a quantidade de algarismos da 3ª etapa somar com +9 +180 (que representam a quantidade de algarismos da 1ª e 2ª etapas. chegamos em 903 algarismos. será: 9 + 90 + 301 = 400 cadeiras Resposta b) 21 . Solução: subtraindo do total de algarismos (1092) -9 -180. agora é só dividir por 3 e temos o número de cadeiras na 3ª etapa. Quantas cadeiras possui o auditório? b) 400 c) 300 d) 401 e) 1092 a) 301 Comentário: para encontrarmos o total de números (cadeiras). 100 até Pág.107 = 1.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Solução: conhecendo a relação. não podemos esquecer que o total de cadeiras do auditório. (B) Para numerar seguidamente as cadeiras de um auditório foram necessários 1092 algarismos. assim temos: Pág. mais um. o número aumenta em 18 unidades. WELLINGTON BRITO  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1. (BB) Para numerar as páginas de um livro. foram empregados 10681 algarismos. mais um. O número de páginas desse livro é: a) 490 b) 489 c) 488 d) 487 e) 485 3. forma-se um novo número de três algarismos. colocando “1" à direita do número original. a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 24 7. contados com as repetições. foram escritos 1359 algarismos. numeradas de 1 a 300. a) 101 b) 103 c) 105 d) 107 e) 109 6. b) Cem vezes o número original.(PUC) Para numerar as páginas de um livro. o valor de a + b é: 22 .determine quantas vezes aparecerá o algarismo 8. c) Cem vezes o número original d) Dez vezes o número original. a) 2947 b) 2951 c) 2955 d) 2959 e) 2963 4. o novo número assim formado é: a) Dez vezes o número original. Se trocarmos a ordem desses algarismos. 8.(UECE) Sejam ab e ba dois números de dois algarismos.(UECE) Dado um número de dois algarismos. (PRF) Escrevendo-se os inteiros de 1 até 537. Determine a terça parte desse número. A quantidade de vezes que o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro é: a) 140 b) 142 c) 150 d) 154 e) 160 5.PROF.(UECE) O número de algarismos.(BB) A soma dos dois algarismos de um número é 12. Determine quantas páginas tem o livro. (CEF) Um livro tem 300 páginas. Se a média aritmética entre estes dois números é 66. necessários para numerar as 96 páginas de um livro é igual a: a)180 b) 181 c)183 d) 185 2. o novo número assim formado excede N em 27 unidades. Se BA é o número obtido permutando-se os algarismos A e B. qual o valor de N ? a) 29 b) 38 c) 47 d) 56 e) 65 10. B 6. (UFC) Um número positivo N. C 7) A 8.597.(UNIFOR) Seja o número AB. C 10) E 11) C 12) B b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 23 . de dois algarismos.MATEMÁTICA PASSO A PASSO a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 9. C 9.582. (AMC) Quantos números de dois algarismos distintos existem cuja soma dos algarismos é 8? a)6 Respostas 1. é tal que. respectivamente. B 3. onde A e B são os algarismos das dezenas e das unidades. obtendo-se como resultado. C 2. ao inverter-se os dois algarismos. A 4. 92. somando-se uma única vez os números de um algarismo obtidos dos algarismos que compõem o número de habitantes desse estado obtém-se: a) 16 b) 41 c) 14 d) 51 e) 15 12. Se a soma dos algarismos de N é igual a 11. (BNB) Do maior número possível de ser digitado em uma calculadora com lugar para oito algarismos foi subtraído o número de habitantes de um dos estados do Nordeste. então AB – BA é sempre: a) Zero b) Número Primo c) Quadrado perfeito d) Divisível por 5 e) Múltiplo de 9 11. E 5. PROF. e c é igual a: + c 1 9 2 3 8 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 9 5 7 16) 2 x y z x 4 1 0 1 z 8 Determinando-se os algarismos x. verifica-se que: a) z = 7 b) x = y + z c) x = 2z d) y = x e) x + y – z = 0 17) Escrevendo de 385 a 829 incluídos esses números. WELLINGTON BRITO EXERCÍCIOS Resolver as seguintes expressões aritméticas: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 31 + {18 + [ ( 7+ l5 ) + 2 + (3+1) ] + 15} 7+5x8–2x4 8+7x4–3x5+7 28 – 5 x 4 – (40 – 8 x 4) + 10 ( 5 x 7 + 3 ) x 6 + ( 12 – 3 x 2) x 5 123 – { 150 + [ 36 – ( 7 x 4 + 3 x 2 ) + 5 ] } x 2 285 – 3 x { 25 + 2 x [18 – 3 x (15 – 2 x 5 ) ] } [ 12 – ( 3 + 2 x 3 ) ] + 15 – (2 + 6 : 2) (13 + 7) : 5 + 24 : [ 12 – ( 3 + 2 x 3) ] – 15 : (2 + 6 : 2) 10) [40 – (11 – 6) x 2 + 15 ] : [ 3 + 3 x (12 – 5 x 2)] 11) { 16 + 8 x [ 28 – (15 – 3) : (5 + 1) ] – 24 : 3 } : (14 – 2 x 3) 12) { 230 – 3 x [ 24 – 6 x (11 – 2 x 4) : (5 x 4 – 11)] : 11} x 3 + 4 13) [ 60 : (5 x 12 – 50) ] : { 55 : [ 40 : 2 : ( 4 + 8 x 2) ] – 52 } 14) { 120 : [ 72 : ( 53 x 13 – 680 ) + 22 ] } + (10 + 5 ) 15) Observe a soma abaixo: 1 a 3 A soma dos algarismos representados 1 7 b por a. quantos números inteiros existem? a) 440 b) 442 c) 443 d) 444 e) 445 24 . y e z para que a multiplicação seja verdadeira. b. MATEMÁTICA PASSO A PASSO 18) Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de 1 até 88. sabendo-se que ela cobra R$ 0. quantas vezes aparecerá o algarismo 8? a) 101 b) 102 c) 103 d) 104 e) 105 25) Determine o número de vezes que o algarismo 4 aparecerá quando se escreve de 1 até 327. Quantas páginas tem esse livro? a) 126 b) 125 c) 124 d) 123 e) 120 22) Uma pessoa. Assim. inclusive. a) 65 b) 64 c) 63 d) 62 e) 60 26) Escrevendo-se a série natural dos números inteiros.. obtém-se: 1234567891011121314. que algarismo ocupará a 1536º posição? a) 5 b) 6 c) 7 d)8 e) 9 25 . a) 167 b) 168 c) 169 d) 170 e)171 19) Quantos algarismos são necessários para numerar as 934 páginas de um livro? a) 2684 b) 2690 c) 2692 d)2694 20) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números pares de 6 até 281.. Quantas páginas tem o álbum. sem separar os algarismos. para numerar as páginas de um álbum. sem separar os algarismos. a) 361 b) 363 c) 365 d) 367 e)369 21) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algarismos.000? a) 280 b) 300 c) 350 d) 380 e) 400 24) Escrevendo-se os inteiros de 1 até 537.30. a partir da unidade e sem separar os algarismos. a) 5 b) 6 c) 7 d)8 e) 9 28) Escrevendo os números inteiros. Determine o algarismo que ocupa 0 1200º lugar. o algarismo que ocupa o 1173º lugar é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 27) Escrevendo-se a série natural dos números inteiros. cobrou R$ 15.05 por algarismos? a) 160 b) 157 c) 138 d)153 e)155 23) Determine o número de vezes que o algarismo 8 aparece na sucessão dos números de 1 até 1. WELLINGTON BRITO Respostas 1) 92 8) 13 2) 39 9) 9 3) 28 10) 5 4) 258 11) 27 5) 192 12) 676 13) 2 14) 19 15) D 16) B 17) E 18) A 19) D 20) C 21) A 22) C 23) B 24) C 25) D 26) E 27) B 28) D  MÚLTIPLOS E DIVISORES  Múltiplo e Divisor de um número Consideremos os termos divisível.} Podemos.c = a Então..n } e os subconjuntos de IN que indicaremos por M(6).3.4.2...se existir um natural c tal que b...18. podemos afirmar equivalentemente: b é divisor de a ou c é divisor de a a é divisível por b ou a é divisível por c a é múltiplo de b ou a é múltiplo de c 26 . divisor e fator.1..6} Um número b é divisor de um número a.12. pois.2.3... quando b . ou conjunto dos divisores de 6. ou conjunto dos múltiplos de 6. Nos seguintes produtos observemos que: 0 é divisível por 3 3x0 =0 0÷3 =0 3 é divisor de 0 3 é divisível por 3 3x1= 3 3÷3 = 1 3 é divisor de 3 6 é divisível por 3 3x2= 6 6÷3= 2 3 é divisor de 6 3x2 =6 6÷3 = 2 3x1 = 3 3÷3 = 1 Também poderíamos dizer: 0 é múltiplo de 3 3x0 = 0 0÷3 =0 3 é fator de 0 3 divide o 0 3 é múltiplo de 3 3 é fator de 3 3 divide o 3 6 é múltiplo de 3 3 é fator de 6 3divide o 6 De um modo geral. dar as definições: Múltiplo de um número é o produto desse número por um natural qualquer. c = a.PROF. divide. D(6) = {1. e D(6).24. consideremos o conjunto: IN = { 0.6. Assim: M(6) = { 0. a)Zero não é divisor de número algum b) Todo número é múltiplo de si mesmo b)Todo número é divisor de si mesmo c)O conjunto dos múltiplos de um c) O conjunto dos divisores de um número é infinito. 3 divide 6 12 é múltiplo de 6 18 é múltiplo de 6 3 divide 12 ou 3 divide 18 1º Princípio: 2º Princípio: Se um número a divide outros dois.100 etc. Deduz-se um conjunto de regras que permitem verificar quando um número é divisível por um segundo.Passo a Passo Para se verificar se um número é divisível por outro. Essas regras constituem o que se chama os Caracteres de Divisibilidade. III) Divisibilidade por 5 Um número é divisível po 5 quando o algarismo das unidades for zero ou 5. Múltiplos a) Zero é múltiplo de qualquer número.  Princípios Gerais de Divisibilidade. 2 E 5 I) Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando termina em zero.200 etc. 5 divide 50 5 divide (50 + 20) ou e 5 divide 70 5 divide 20 5 divide (50 . Exemplos: 160. 1. quando o algarismo das unidades for par.20) ou 5 divide 30. também os múltiplos de b.MATEMÁTICA PASSO A PASSO • Observações: Divisores b é fator de a ou c é fator de a. número é finito. 27 . 310. Se um número a divide um b e c.120. Exemplos: 405. entãoa divide a soma e a número b então a divide diferença destes números.  DIVISIBILIDADE POR 10. Divisibilidade . em todos casos efetuar-se a divisão. não é necessário.  DIVISIBILIDADE POR 4 E 25. II) Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2.31. quando os algarismos das centenas. Procedese do seguinte modo: a) Separa-se.E 12 também é divisível por 3. do número dado. WELLINGTON BRITO Um número é divisível por 4 ou por 25. quando terminar em 00. 9 + ( 7 + 4 + 3 + 4) II) Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos der um número divisível por 3. 204150 é divisível por 25 porque termina em 50 que é divisível por 25.  DIVISIBILIDADE POR 7 E POR 11. ou quando os algarismos dasdezenas e unidades formarem um número divisível por 4 ou 25. o algarismo das unidades. formarem um número divisível por 8 ou 125.6 dobro de 3 28 . Esquematicamente: 3 4 3 34 . I) Divisibilidade por 7 Vamos verificar se o número 343 é divisível por 7. E 10 não é divisível por 3. Tomando-se um número qualquer como exemplo: 7 434 – podemos decompô-lo em suas unidades. dezenas e unidades forem 000.PROF. Exemplos: 1016 é divisível por 4 porque 16 também o é. DIVISIBILIDADE POR 8 E 125 Um número é divisível por 8 ou por 125. O dobro deste subtrai-se do número que se obteve com essa separação. 54 104 é divisível por 8 porque 104 o é. 2) 5014 não é divisível por 3 porque 5 + 0 + 1 + 4 = 10. ou seja: 7 434 = m .  Exemplos: 24 000 é divisível por 8 e por 125. Exemplo: 1) 57 é divisível por 3 porque 5 + 7 = 12 .  DIVISIBILIDADE POR 3 E 9 I) Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número divisível por 9. ou. 321 250 é divisível por 125 porque 250 o é. nessa ordem. então. 47 – 12 = 35 Como 35 é divisível por 7. Exemplo: 1) Verificar se 4 802 é divisível por 7. 2) Verificar e 7 425 é divisível por 11 Aplicando-se sucessivamente a regra anterior: a) 7 4 2 5 (separamos o 5) b) 742 – 5 = 737 (subtraímos o 5). 4 7 6 O dobro de 6 é 12.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 2 8 diferença b) Se a diferença obtida for um múltiplo de 7 (no caso obtivemos 28 que é múltiplo de 7). então. II) Divisibilidade por 11 A divisibilidade por 11 é semelhante à divisibilidade por 7 e mais simples ainda. b) Subtrai-se esse número. o número 4 802 também o é. Exemplos: 1) Verificar se 121 é divisível por 11. a) Separa-se o algarismo das unidades e dobra-se o valor desse número. o algarismo das unidades. então. agora com o número 476. o número dado também será múltiplo de 7. do número dado. Basta obedecer à regra: a) Separa-se. 29 . do número que ficou após sua retirada. então. Se a diferença for um número divisível por 11. b) Subtrai-se esse dobro. a) Separa-se o último algarismo da direita: 1 2 1 (separamos o número 1) b) Subtrai-se 12 – 1 = 11 Como 11 é divisível por 11. 480 2 E o dobro de 2 é 4. Concluímos que 343 é múltiplo de 7. repete-se o processo. 121 também o é. o número dado também será divisível por 11. que é representado pelo algarismo das unidades. do número que ficou após retirado o algarismos das unidades: 480–4=476 Como ainda não se sabe se 476 é divisível por 7. então ele é divisível por: a) 5 b) 12 c) 6 d) 9 7) Se um número é divisível por 9. WELLINGTON BRITO Deve-se verificar. então 7 425 também o é. então ele: a) sempre é divisível por 3 c) é divisível por 3. d) Todo número terminado em 5 é divisível por 5. pelo mesmo processo. Então: a) 3 divide 15 + 12 c) 3 não divide 15 x 12 30 .PROF. se 737 é divisível por 11. a) 7 3 7 (separamos o 7). b) Todo número impar é divisível por 3.  EXERCÍCIO: MÚLTIPLOS E DIVISORES 1) O menor número de dois algarismos que se deve colocar à direita do número 356 para que o mesmo seja divisível por 2. c) Todo número terminado em 0 é divisível por 5. b) 73 – 7 = 66 (subtraímos o 7 e obtivemos 66). Como 66 é divisível por 11. algumas vezes b) nunca é divisível por 3 d) é divisível por 6 8) Se um número é divisível por 3 e por 4. ele: a) é divisível por 18 c) nunca é divisível por 12 b) sempre é divisível por 7 d) sempre é divisível por 12 9) O número 3 divide 12 e também divide 15. então. 3 e 5 é: a) 10 b) 20 c) 40 d) 22 2) O menor número que se deve adicionar a 58315 para se obter um número divisível por 6 é: a)1 b) 5 c) 15 d) 2 3 3) O menor número que se deve subtrair de 3101 para se obter um número divisível por 8 é: a) 3 b) 23 c) Zero d) 5 4) Qual das afirmações abaixo é falsa: a) Todo número par é divisível por 2. 5) Qual das afirmações abaixo é verdadeira: a) 15 é divisor de 5 c) 13 é divisor de 39 b) 2 divide 15 d) 15 divide 3 6) Se um número é divisível por 2 e 3. podemos dizer que: a) 12 é divisível por 4 x 6 b) 12 é divisível por 6 – 4 c) 12 é divisível por 6 : 4 d) 12 é divisível por 6 + 4 número número número número 11) Se 2 é o resto da divisão de um número por 3. c) adicionando-se 1 ao dividendo obtém-se um divisível por 3. b) subtraindo-se 1 do dividendo obtém-se um divisível por 3.MATEMÁTICA PASSO A PASSO b) 3 não divide 15 – 12 d) 3 divide 15 : 12 10) O número 12 é divisível por 4 e por 6 (dentre outros números). d) dividindo-se o dividendo por 2 obtém-se um divisível por 3. 12) O resto da divisão de um número por 5 é 2 então: a) (n+2) é divisível por 5 b) (n–2) é divisível por 5 c) (n+1) é divisível por 5 d) (n–1) é divisível por 5 13) Colocar V ou F nas seguintes afirmações. então. conforme elas sejam verdadeiras ou falsas: a) 4 314 é divisível simultaneamente por 2 e por 3 b) 5 314 é divisível simultaneamente por 2 e por 5 c) 2 130 é divisível simultaneamente por 6 e por 5 d) 43 186 é divisível por 11 e) 20 010 é divisível por 6 e por 9 f) 41 310 é divisível por 2 e por 9 g) 37 212 é divisível por 2 e por 9 h) 32 715 é divisível por 5 e por 9 i) 5 101 350 é divisível por 5 e por 6 j) 5 002 446 é divisível por 2. 3 e 9 Respostas 1) A 4) B 7)A 31 10)B ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) . então: a) adicionando-se 2 ao dividendo. obtém-se um divisível por 3. 2.. 3.13.3.11.se Pé o conjunto dos números primos.Passo a Passo O reconhecimento dos números primos se faz por um processo prático que se baseia no fato que: Todo número múltiplo admite pelo menos um divisor primo O reconhecimento se baseia na regra prática: 32 .5.}  Números Primos .. e 4 5 é divisível por 1 e 5 6 é divisível por 1. Números Compostos ou Múltiplos: aqueles que admitem outros divisores além deles próprios e da unidade..7. 2.então: P = { 2.. é fácil ver que.3 e 6 7 é divisível por 1 e 7 Categoria P Categoria C Ora..n} verifica-se que: O é divisível por qualquer número ≠ O 1 é divisível apenas por 1 2 é divisível por 1 e 2 3 é divisível por 1 e 3 4 é divisível por 1. os números se dividem em duas categorias: Números Primos: aqueles que somente são divisíveis por si mesmo e pela unidade.2.. WELLINGTON BRITO 2) B 3) D 13) a) V f) V 5) C 6) C b) F g) F 8)D 9)A c) V h) V 11)C 12)B d)V i) V e) F j) F NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS  Definições Na sucessão IN = { 0.PROF. com exceção da unidade. 1.. Logo. 13.obtendo-se um quociente e um resto. 7.11. 289 não é divisível por 2.. 3. 19. faz-se: 47 3 47 5 47 7 17 15 2 9 5 6 2 Neste instante..MATEMÁTICA PASSO A PASSO Divide-se o número dado pelos números da sucessão dos números primos: 2.7. obtivemos o quociente 6 e o divisor 7. Exemplos: 1) Verificar se o número 47 é primo ou composto: Pela regra. Basta usar o clássico processo e fazer: 8 2 12 2 15 3 4 2 6 2 5 5 2 2 3 3 1 1 1 33 28 2 14 2 7 7 1 . então 289 é múltiplo de 17. 5.Afirmamos: o número 47 é primo 2) Verificar se 289 é primo. 17.  Fatoração • Decomposição de um Número em Fatores Primos Veja: 8 = 2 x 2 x 2 = 23 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 Todo número múltiplo pode ser 15 = 3 x 5 decomposto de um só modo no 28 = 2 x 2 x 7 produto de vários fatores primos.5... 11.3. isto é. vejamos por 13.. Se o resto for diferente de zero até o instante em que o quociente se torna menor ou igual ao divisor. 289 13 29 22 3 289 17 119 17 00 Como o resto é zero. o quociente menor que o divisor. pode-se afirmar que o número é primo. 30. 1 90 2 2 45 3 3 – 6 15 3 9 – 18 5 5 5 – 10 – 15 – 30 – 45 – 90. Não se repetem na multiplicação os divisores iguais. 1 90 2 45 3 15 3 5 5 1 b) Uma linha acima do 1º fator primo e à direita do segmento vertical coloca-se o número 1.Passo a Passo Um Processo prático consiste em se fazer como no exemplo que segue. Os números à direita do traço vertical são os divisores do número pedido. Multiplicam-se os seguintes fatores primos pelos números que estiverem à direita do traço vertical e acima desse fator. vem: 180 2 60 2 90 2 30 2 45 3 15 3 34 . a) Decompõe-se o número em seus fatores primos e à direita da decomposição obtida traça-se um segmento de reta vertical. para o número 90. 9. todos os fatores primos de 60 também são fatores primos de 180.PROF. 45 e 90. 3. 6. sendo 60 um divisor de 180. 18. Decompondo-se em fatores primos. 2. 10.  Questões Comentadas 1) Verificar se. 1 Os divisores de 90 são: 1. WELLINGTON BRITO 8 = 23 12 = 22 x 3 15 = 3 x 5 28 = 22 x 7  Divisores de um Número . colocando-se o produto (2) à direita do traço. 15. 5. Efetua-se o produto do 1º fator primo (2) pelo número 1. vem: 210 = 2 x 3 x 5 x 7 84 = 22 x 3 x 7 Ao 210 falta apenas o fator 2. 504 2 210 2 252 2 105 3 126 2 35 5 63 3 7 7 21 3 1 7 7 1 504 = 2 3 x 32 x 7 210 = 2 x 3 x 5 x 7 Com exceção do fator 5.  EXERCÍCIO: NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO 1) Reconhecer se são primos os seguintes números: a) 289 e) 521 b) 343 f) 421 c) 731 g) 997 d) 1. multiplicando-se 504 por 5. 3) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 210 a fim de se obter um número divisível por 84? Decompondo-se em fatores primos.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 15 3 5 5 1 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 Ou: 180 = 22 x 32 x 5 5 5 1 60 = 2 x 2 x 3 x 5 Ou: 60 = 22 x 3 x 5 2) Verificar que fator falta ao 504 para que se tenha um número divisível por 210. obtém-se 2 520 que é múltiplo de 210. Todos os outros fatores de 84 pertencem a 210. pois 2 1 é fator de 210 e 22 é fator de 84. todos os fatores de 210 estão contidos nos fatores de 504. De fato. portanto falta ao 504 o fator 5.111 h) 409 2) Decompor em fatores primos os seguintes números: a) 160 f) 1024 b) 210 g) 729 c) 250 h) 1728 35 . se 4374 é divisível por 686. verificar. qual o maior divisor de A e de B simultaneamente? 12) Sendo A = 23 x 52 x 7n determinar n. sem efetuar a divisão. 9) Sendo A = 23 x 3 x 52 e B = 2n x 5.PROF. 10) Sendo A = 3x x 52 x 7 e B = 35 x 7. 13) Sendo A = 2 x 3x determinar x. Respostas 1) a) b) c) d) Compostos 2) e) f) g) h) Primos 3) a) 27 x 33 x 5 x 7 b) 24 x 37 x 5 7)Não 8) 2 9) 3 10) 5 36 . de modo que A seja múltiplo de B. de modo que A tenha 60 divisores. de modo que A tenha 18 divisores. 11) Se: A = 23 x 52 x 11 e B = 22 x 3 x 52. WELLINGTON BRITO d) 289 e) 243 i) 11907 3) Decompor em fatores primos os seguintes números. determinar qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 3 675 a fim de se obter um número divisível por 490. de modo que B seja divisor de A. decomposição em fatores primos: dar a sua a) 8403 b) (2432)3 c) (1202)3 d) (10243)4 5) Dizer quantos divisores possui cada um dos números seguintes. determinar o menor valor possível de x. sem dizer quais são: a) 420 a) 105 b) 960 b) 240 c)1260 c) 840 6) Dizer quais são os divisores dos números seguintes: 7) Pela decomposição em fatores primos. 8) Pela decomposição em fatores primos. determinar o maior valor possível de n. sem efetuar a multiplicação indicada: a) 504 x 240 b) 720 x 243 4) Sem efetuar as seguintes potências. 2.3. de vários números.2.2. o conjunto interseção de D(12).Passo a Passo 1º Processo: Decomposição em Fatores Primos Para se calcular o m.d.4.18} D (30) = { 1. b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns a essas decomposições. 30) = 6  Cálculo do m.5.c (12. 540): 720 = 24 x 32 x 5 420 = 23 x 3 x 5 x 7 37 .d.d.3. D(18) e D(30). Logo: m.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 4) a) 29 x 33 x 53 x 73 b) 330 c) 218 x 36 x 56 d) 2120 5) a) 24 b) 28 c) 36 11) 100 12) 4 13) 8   MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MULTIPLO COMUM Máximo Divisor Comum ( m.9.6. Exemplo: Calcular o m. 420. 18. D (12) = { 1.6.c (720.2.6} Então.6. que são finitos e ordenados.c) Sejam os números 12.3.12} D (18) = { 1. D(12) ∩ D(18) ∩ D(30) = {1. isto é.15. ao maior valor da interseção dos conjuntos dos divisores dos números dados.10.d.30} Consideremos agora o conjunto dos divisores comuns.3. definimos: Chama-se Máximo Divisor Comum de dois ou mais números. conclui-se a regra: a) Decompõe-se os números dados em seus fatores primos.d. 18 e 30 e os conjuntos D(12).c .c. D(18) e D(30) de seus respectivos divisores. cada um deles tomado com o menor dos expoentes que esse fator possui nas decomposições. PROF. WELLINGTON BRITO 540 = 2 2 x 33 x 5 m.d.c. (720,420,540) = 22 x 3 x 5 m.d.c. (720,420,540) = 60  Numeros Primos Entre Si Procuremos o m.d.c entre 25 e 36. Sabe-se que: 25 = 52 e 36 = 2 2 x 32 Neste caso, os números não têm fatores primos comum – com exceção da unidade. Dizemos que o máximo divisor comum é o número 1. Estes números são chamados primos entre si, definindo-se, pois: Números primos entre si divisor comum é a unidade. são aqueles cujo único 2º) Processo: Método das divisões sucessivas (I) O número maior é divisível pelo menor. Seja calcular o m.d.c. entre 30 e 6. Como 6 divide 30 e ele próprio, então 6 é o maior divisor comum podendo-se escrever. m.d.c. (6, 30) = 6. E concluímos: Se o maior número é divisível pelo menor, então, este menor é o m.d.c de ambos. (II) O número maior não é divisível pelo menor. Para se achar o m.d.c. de dois números, divide-se o maior pelo menor. A seguir, divide-se o menor pelo resto da divisão entre o maior e o menor. A seguir divide-se o 1º resto pelo 2º resto e assim sucessivamente. Quando se obtiver um resto zero,o último divisor é o m.d.c. procurado. Exemplo: Calcular o m.d.c (45, 36) Na prática, faz-se 45 38 1 4 36 9 quociente divisores MATEMÁTICA PASSO A PASSO 9 00 resto Isto é, quando o resto é zero, o último divisor (9) é o m.d.c.  Máximo Divisor Comum de Mais de Dois Números Calcular o m.d.c. (240, 180, 72, 54). Neste caso, basta usar qualquer um dos esquemas seguintes, onde chamamos de R 1 e R2 os resultados parciais e R o resultado final. ESQUEMA 240 – 180 – 72 – 54 R1 R 1 3 240 180 60 060 00 R1 = 60 3 60 18 6 00 R=6 final R2 1 3 72 54 18 18 00 R 2 = 18 3 6 ou m.d.c (240, 180, 72, 54) = 6  EXERCÍCIOS: MÁXIMO DIVISOR COMUM 1) Calcular o máximo divisor comum, pelo processo das divisões sucessivas dos seguintes números: a) 576 e 96 c) 168, 252 e 315 b) 576 e 708 d) 192, 256 e 352 e)1 980, 2 700 e 3 060 2) No Cálculo do m.d.c. de dois números, pelas divisões sucessivas, obteve-se o seguinte esquema. Preencher com números os lugares assinalados com x. 2 6 1 2 x x x x 6 x x x 0 39 PROF. WELLINGTON BRITO 3 )No m.d.c. de dois números, pelas divisões sucessivas, obtevese como quociente os números 3, 6, 1 e 3. Sabendo-se que o m.d.c. é 4, determinar os números 4) O m.d.c. de dois números é 12 e os quocientes obtidos no esquema das divisões sucessivas são 1, 3 e 2. Quais são os números ? 5) Calcular o máximo divisor comum, pelo processo da decomposição em fatores, dos seguintes números: a) 1414, 910, 700 b) 264, 360, 432 e 378 e) 625,1331,343 e729 6) Sendo A = 23 x 32 x 5x e B = 2y x 37 x 53 e sendo C = 22 x 32 o m.d.c. de A e B, determinar os valores de x e y 7) Sendo A = 32 x 5m x 74 e B = 54 x 73 x 11 e sendo C = 7n o m.d.c. de A e B, determinar m e n. 8) Quais são os menores números pelos quais devemos dividir, respectivamente, 12 e 15 a fim de obter quocientes iguais? 9) Quais são os menores números pelos quais devemos dividir, respectivamente, 216 e 168 a fim de obter quocientes iguais? 10) Calcular, pela decomposição em fatores primos o m.d.c. das potências seguintes, sem efetuá-las: (72.4 e (324)3 11) Calcular, sem efetuar as potências, o m.d.c. dos seguintes números: (350)2 e (450)4 12) Comprei uma partida de feijão de três qualidades A, B, e C. A rimeira qualidade veio em sacas de 60 kg; a segunda qualidade em sacas de 72kg e a terceira em sacas de 42kg. Desejo vende-las a varejo em sacas de igual peso, sem misturar as qualidades e sem perder com restos. Devo acondicioná-los em sacos de quantos quilogramas? Respostas 1) a) 96 b) 12 c) 21 c) 441, 567, 630 e 1029 d) 363, 2541, 3993 5) a) 14 b) 6 c) 21 d) 363 e) 1 – são primos entre si 40 MATEMÁTICA PASSO A PASSO d)32 2) 2 6 258 120 18 18 12 6 3) 340 e 108 4) 108 e 84 1 2 12 6 0 6) x = 0 y = 2 7) m = 0 n=3 8) 4 e 5 9) 9 e 7 10) 26 x 38 11) 22 x 54 12) 6 kg  Mínimo Múltiplo Comum - (m.m.c) Consideremos os números 3, 4, e 6 e o conjunto dos seus múltiplos, que chamaremos M(3), M(4) e M(6). M(3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15,18,......} M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,.........} M(6) = { 0, 6, 12 , 18, 24, 30,............} Cada um desses conjuntos é infinito. O conjunto interseção também será infinito, como se vê: M(3) ∩ M(4) ∩ M(6) = { 12, 24, 36,.....} Chama-se Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números dados ao menor valor da interseção dos conjuntos dos múltiplos desses números. Logo: m.m.c. (3,4,6) = 12  Cálculo do m.m.c - Passo a Passo 1º Processo: Pela decomposição em fatores primos a) Decompõem-se os números em fatores primos. b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns a essas decomposições, cada um deles tomado com o maior dos exponentes que esse fator possui nas decomposições. Exemplo: Calcular o m.m.c. dos números 105, 625 e 343 Decompondo-se, vem: 105 = 3 x 5 x 7 625 = 5 4 343 = 7 3 m.m.c. (105,625,343) = 3 x 54 x 73 = 3 x 625 x 343 m.m.c (105,625,343) = 643125 41 PROF. WELLINGTON BRITO Na prática, pode-se realizar a decomposição num único dispositivo, conde os fatores primos comuns e não comuns ficam dispostos à direita de um traço vertical que separa os números dados desses fatores, como segue: Calcular o m.m.c. de 90, 105 e 135: 90 – 105 – 135 45 – 105 – 135 15 – 35 – 45 5 – 35 – 15 5 – 35 – 5 1– 7– 1 1– 1– 1 2 3 3 3 5 7 m.m.c.(90,105,135) = 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7= 2 x 33 x 5 x 7. Ou: m.m.c. (90,105,135) = 1890.  Propriedades do m.m.c. 1ª Propriedade No m.m.c. de dois ou mais números, se o maior deles é o múltiplo dos outros, então o maior é o mínimo múltiplo comum de todos. Exemplo: m.m.c.(60,12,15,10) 60 é múltiplo de si mesmo e também de 12, 15 e 10 Logo: Ou: 60 é o m.m.c. dos números: 60,12,15 e 10 m.m.c. (60,12,15,10) = 60 2ª Propriedade O produto de dois números, A e B, é igual ao produto do m.d.c. pelo m.m.c desses números A e B. Sejam os números: A = 15 e B = 18. Teremos: m.d.c (15, 18) = 3 m.m.c(15, 18) = 90 Representando-se o m.d.c. (15,18) por (15,18) e o m.m.c (15,18) por (15,18), virá: 42 MATEMÁTICA PASSO A PASSO (15,18) x (15,18) = 3 x 90 = 270 E: Donde: 15 x 15 x 18 = 270 18 = (15, 18) x (15, 18).  Questões Comentadas: 1) Determinar o m.m.c. entre os números 12 e 13. Como 12 e 13 são consecutivos e todos os consecutivos são primos entre si, pela primeira propriedade: m.m.c. (12,13) = 12 x 13 = 156. 2) Determinar os menores números pelos quais se devem multiplicar 50 e 75, a fim de se obter produtos iguais. Basta determinar o m.m.c.(50,75) que é 150 e depois efetuar as divisões: 150 ÷ 50 = 3; 150 ÷ 75 = 2 Então, deve-se multiplicar 50 por 3 e 75 por 2, obtendo-se o produto 150 em ambos os casos. 3) Numa avenida que mede 4500 metros, a partir do início, a cada 250m há uma parada de ônibus e a cada 225 metros uma de bonde. Pergunta-se: a) A que distancia do início coincide a primeira parada de ônibus com a de bonde? b) Quantos são os pontos comuns de parada de ônibus e bonde? Raciocinando: 1) A primeira parada comum de bonde e ônibus é o menor múltiplo comum de 250m e 225m. Logo: m.m.c. (250, 225) = 2250m. Portanto: A primeira parada comum está a 2250m do inicio. 43 Um deles é 13. 30 e 48 d) 200. b e c. 3) Sendo A = 33 x 5x x711 e B = 25 x 38 e sendo C = 2y x 3z x 711 x 54. é 120. de dois números é a unidade e o mínimo múltiplo comum deles é 29403. determinar. 5) Calcular o m. WELLINGTON BRITO As outras paradas serão múltiplas de 2250m. 110. 64 e 512 d) 121. Um dos números é 112. que são múltiplos de 36. x. 40.m.m.c.m.d. onde termina a avenida (4500m).c. 50 e 20 b) 120. Qual o outro? 44 .m.c. de dois números primos entre si é 221.c.d.PROF. 9 e 30? 7) Quais os números compreendidos entre 100 e 2000. 512. múltiplos ao mesmo tempo de 12.c.m. Calcular o m. 84. o m. 729 e 81 2) Sendo A = 25 x 3a x 5b e B = 2c x 37 e sendo C = 27 x 38 x 52. z 4) Sendo A = 22 x 3 x 53 e B = 23 x 52 x 11. Um dos números é 20.d.c.c. determinar a. y. 72 e 108 c) 1225. Determinar o outro. 300 e 450 e) 60. 132 e 120 c) 18 e 108 f) 1024. 10) O produto de dois números é 1470 e o seu m. pelo seu m.  EXERCÍCIOS: MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 1) Calcular o m. dos seguintes números pela decomposição em fatores primos: a) 18. é 7. dos números seguintes pela decomposição simultânea em fatores primos: a) 42.m. A 2 x 2250m estará a segunda parada comum. de dois números é 20 e o seu m. 11) O m.c. 1715 e 70 b) 160.c.m. 45 e 54? 8) Quais são os menores números pelos quais se devem multiplicar respectivamente 63 e 42 a fim de se obter produtos iguais? 9) O m. 66 e 363 6) Quais os números compreendidos entre 100 e 1000. Quanto vale o outro? 12) O m.c de A e B.d. determinar o quociente da divisão do seu m.c. 5 e 9? a) Nenhum b) um c) dois d) três 03).C. B = 23 x 3y x 52 e C = 24 x 34 x 5z é igual a 180. outra a cada 6 meses e outra a cada 8 meses.D. divisíveis simultaneamente por 2. Se os dois carrinhos partiram 45 . dos números A= 2x x 33 x 54.(CEF) Numa pista circular de autorama. no qual B e A representam os algarismos das unidades e das centenas.540. calcule quantas possibilidades de escolha temos para A7B. em 2000. a próxima coincidência de época das palestras será em: a) Junho de 2001 c) Julho de 2001 e) Julho de 2003 b) Junho de 2002 d) Julho de 2002 07.1620 b) 2560 8) 2 e 3 c) 17 150 9) 120 d) 3 630 10) 210 11) 17 12) 243 4) 330 6) 180.(TRT) A associação de funcionários de certa empresa promove palestras regulares: uma a cada 3 meses. (UNIFOR) Seja n a diferença entre o maior número inteiro com 6 algarismos distintos e o maior número inteiro com 5 algarismos distintos.1080.(TRE) Sabe-se que o M. A soma dos algarismos de n é um número: a) Primo c) divisível por 11 e) múltiplo de 5 b) Par d) quadrado perfeito 05. (UNIFOR) Se o máximo divisor comum dos números inteiros A=23 x 33. B= 23 x 3s x 7 e C= 2t x 34 é igual a 12. (UECE) Quantos números naturais existem entre 10 e 100. respectivamente. as três palestras foram dadas em julho. (TRT) Seja A7B um número inteiro e positivo de três algarismos.360. Se.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Respostas 1)a) 720 2) a = 8 b)1800 b=2 c) 342 c)= 7 d) 200 e)9240 f )746496 3) x = 4 y=5 z=8 5) a) 1512 7) 540.720. um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. a) 6 b) 7 c) 8 d)9 e)10 02). então: a) t=3 b) t=2 c) s=0 d)s=2 e)t=1 04). Para que esse número seja divisível por 15. Nessas condições x+ y + z é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d)5 e)6 06.900  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01). o segundo com 105 e o terceiro com 135 pastas. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma 46 . quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida? a) 7 b) 8 c)9 d)10 e)11 08. um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi: a) 18/09/02 c))18/08/02 e)18/07/02 b) 17/09/02 d)17/07/02 09.PROF. todos iguais e de maior área possível. ao final de seu trabalho.304cm2 e 1296cm2. inclusive aos sábados. outro a cada 15 dias. ambas quadradas e com superfície de 2. O lado de cada quadradinho. domingos e feriados. Um funcionário deve empilhá-las. Ela deverá distribuí-los em recipientes iguais. colocando cada lote de modo que. em centímetros. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão.(TRT) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. WELLINGTON BRITO juntos.(TRT) No almoxarifado de certa repartição pública há três lotes de pastas iguais: o primeiro com 60.(UECE) Dois relógios tocam uma música periodicamente.(BB) Uma pessoa tem duas folhas de cartolina. cada um.(TRT) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias. e o terceiro a cada 20 dias. o menor número de pilhas que ele obterá é: a) 10 b) 15 c)20 d)60 e)120 11. Nestas condições. ele tenha obtido pilhas com igual quantidade de pastas. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas.Ela deseja recortá-las em pequenos quadrados. que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após às 10 horas? a) 10 horas e 31 minutos b) 10 horas e 41 minutos c) 10 horas e 51 minutos d) 11 horas e 01 minuto 10. medirá: a) 11 b) 12 c)13 d)14 e)15 12. a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. contendo. 00 1º Sem.. 2º Semestre Lucro de R$ 20.000.MATEMÁTICA PASSO A PASSO quantidade de medicamento. -3.0.R$ 40. .. pelo Zero e por todos os números inteiros Positivos é chamado de Conjunto dos Números Inteiros Relativos. Assim: Ζ = { . +1. +3. podemos indicar o Lucro com o sinal de + e o Prejuízo com o sinal de – . +2.} Observações: Todo elemento do conjunto dos números naturais (IN) é também elemento do conjunto dos números inteiros relativos (Ζ) Daí: IN ⊂ Ζ  Representação Geométrica dos Números Inteiros ..000.Passo a Passo: 47 .000. O conjunto dos números inteiros relativos é indicado pela letra Ζ.000.00 +R$ 20. foram:   1º Semestre Prejuízo de R$ 40. nos dois semestres.  O Conjunto dos Números Inteiros O conjunto formado por todos os números inteiros Negativos.00 Para diferenciar essas duas situações.-2. 2º Sem..00 ... o número de recipientes necessários para essa distribuição é: a) 24 01)A 02)B 03)B 04)D b) 20 05)D 06)D 07)C 08)D c) 18 Respostas 09)A 11)B 10)C 12)A d)16 e)12  NÚMEROS INTEIROS  Introdução LUCROS E PREJUÍZOS Os resultados financeiros de uma empresa.-1.. que chamamos de origem. representamos à esquerda de 0 os números inteiros Negativos. Exemplos: -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Ζ 3 I–3I=3  I3I=3 I0I=0 I–1I=1 3 I 10 I = 10 Números Opostos ou Simétricos 48 . (–) Negativo 0 (+) Positivo Ζ  Escolhemos uma medida conveniente ( 1cm. a distância do ponto correspondente a um número inteiro até o referencial zero. distantes entre si 1cm. D' C' B' A' 0 A B C D Ζ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A reta assim marcada é chamada Reta Numérica Inteira. escrevendo-se número entre duas barras I n I (lê-se: módulo de n).PROF.  Valor Absoluto ou Módulo Valor absoluto ou módulo de um número inteiro relativo. ou seja. WELLINGTON BRITO  Marcamos arbitrariamente sobre uma reta um ponto 0. por exemplo) e marcamos à direita de 0 pontos consecutivos. estabeleceremos um sentido Positivo (+) e um sentido Negativo(–).  O ponto C' é a imagem geométrica do Número Inteiro – 3. Temos:  O ponto B é a imagem geométrica do Número Inteiro 2. Para cada um desses pontos faremos corresponder um número inteiro Positivo. Esse ponto representa o número zero. A partir de 0. Indica-se o módulo. 0 A B C D Ζ 0 1 2 3 4 De maneira análoga. é o número sem o sinal. a e b. 1 > -8 2 > -2 5 > -10 4º) Entre dois inteiros positivos. o maior é o que possui o menor módulo. significa verificar se: a=b ou a>b ou a<b 1º) O zero é maior que qualquer número inteiro negativo.Passo a Passo Comparar dois números inteiros. -1 > -3 -5 > -10 -3 > -5 EXERCÍCIO – NÚMEROS INTEIROS Diga quantas unidades aumentamos ( ou diminuímos) ao passar de: a) – 4 para +4 d) –5 para 0 b) +4 para -1 e) –6 para -2 c) +1 para -3 f) –3 para -10 Observe a figura e responda: D C P -4 -2 0 49 1) 2) A 1 B 4 Ζ .MATEMÁTICA PASSO A PASSO Os pontos que representam os números inteiros – 3 e 3 estão a mesma distância da origem. Por esse motivo. 0 > -1 0 > -13 0 > -20 2º) O zero é menor que qualquer número inteiro positivo.4 é o oposto de 4 x é o oposto de -x  Comparação de Números Inteiros . dizemos que – 3 e 3 são Números Opostos ou Números Simétricos. 3>1 5>3 10 > 5 5º) Entre dois inteiros negativos. o maior é o que possui o maior módulo. Exemplos: 5 é o oposto de –5 -n é o oposto de n . 0<1 0<3 0 < 10 3º) Qualquer inteiro positivo é maior do que qualquer inteiro negativo. -102. b) –90. -30. -15. ______. -10. 9. -5. -104. 8 7) a) 8) Escreva em ordem decrescente: –3. -103.10 b) –1. -2 b) 1. ______. 1. 18. -3. WELLINGTON BRITO a) b) c) d) e) Qual o número inteiro cuja imagem geométrica é o ponto A? Qual o número inteiro cuja imagem geométrica é o ponto D? O número inteiro –2 é abscissa de qual ponto? O número inteiro 4 é abscissa de qual ponto? Qual o ponto da abscissa zero ? 3) Calcule o módulo: a) I 5 I c) I –3I e) – I15 I b) I –10I d) I10 I f) – I– 20I 4) Encontre o oposto: a) – (-2) c) – (-4) e) . c) –20. -5. 0. 4. -1. ______. -5.( +5)] 5) Complete usando > ou <: a) –15 _____ -12 d) – 8 _____ -4 g) 4 _______0 b) – 5 _____ 0 e) 0 _____ -10 h) 2 _______11 c) –10 _____ 2 f) –10_____ -3 i) -1 _______-8 6) Escreva em ordem crescente: a) 4. -1. -3.PROF. ______. ______. 0.(+9) b) – (+12) d) – [. -80. ______. 5. Respostas 01) a) Aumentamos 8 unidades b) Diminuímos 5 unidades c) Diminuímos 4 unidades 02) a) 1 03) a) 5 04) a) –2 b) –4 b) 10 b) 12 c) C c) 3 c) – 4 d)B d) 10 d) 3 d) Aumentamos 5 unidades e) Aumentamos 4 unidades f) Diminuímos 7 unidades e)P e)-15 e) 9 f) –20 f) –5 50 . 1. 5. -15. -10.3) ] f) -[ . -18 Quais os três próximos números de cada seqüência? a) -105.( . ______. -70. ______. 0. -20. ______. -3.4.-1.0.-1.-99 b) –60. Dá-se o sinal do maior módulo e subtraí-se Exemplos: a) (+ 7) + (– 2) = +( 7 – 2 )=+ 5 c) (–12) + (+5) = .-5 b) 0. 0. -40 c) –5.7 b) (+ 3) + (– 4) = –( 4 – 3 )= – 1 d) (– 6 ) + (+8) = +( 8 – 6 ) = + 2  Subtração .-18 08) a) –101.18 07) a) 10. 5  OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Adição .-100.-1.Passo a Passo Para subtrair Números Inteiros Relativos.9.8.1.Passo a Passo 1º Caso) Os números possuem o mesmo sinal.0.4.-5.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 06) a) –3.(12 – 5) = .5 b) –30.1.-10.-2.-20. soma-se ao primeiro.5) – (+5) = – 5 – 5 = – 10 Multiplicação . -50. Dá-se o sinal comum e soma-se os valores absolutos Exemplos: a) (+2) + (+5) = + (2 + 5) = + 7 c) (– 4) + (– 2) + (– 3) = b) (– 1) + (– 4) = – (1 + 4) = – 5 = – (4 + 2 + 3) = – 9 2º Caso) Os números possuem sinais contrários.-15.-5.o simétrico do segundo.5.-3.Passo a Passo 51 . Exemplos: a) c)  (+9) – (– 2) = + 9 + 2 = + 11 (+3) – (+4) = + 3 – 4 = – 1 b) (.1. segue os mesmos critérios da multiplicação.PROF. 4) = – 12  Divisão . ou seja. Exemplos: a) (– 9 ) ÷ (– 3) = + ( 9 : 3) = + 3 c) (– 8) ÷ (+2) = – ( 8 : 2) = – 4 b) (+10) ÷ (+2) = + ( 10 : 2) = +5 d) (+12) ÷ (-4) = – (12: 4) = – 3  EXPRESSÕES ARITMÉTICAS Acompanhe os exemplos: a) –20 + 15 – 18 + 37 Termos Positivos: +15 + 37 = +52 Termos Negativos: . resultado Positivo Sinais diferentes resultado Negativo Exemplos: a) (+ 2) x (+3) = + ( 2 . 3) = +6 c) (+ 5) x (–2) = – ( 5 .Passo a Passo A divisão de números relativos. 2) = +8 d) (– 3) x (+4) = – ( 3 .(20+18) = – 38 Resultado: + 52 – 38 = + (52 – 38 ) = + 14 b) 17 – 5 – 8 + 5 – 17 + 3 = 17 – 17 – 5 + 5 – 8 + 3 =–8+3=–5 c) 7 – ( 8 – 5 + 12) = 7 – ( 3 + 12) = 7 – ( +15) = 7 – 15 = – 8 52 A soma de dois números opostos é sempre zero . sinais iguais resultado positivo e sinais diferentes resultado negativo. WELLINGTON BRITO A multiplicação de números inteiros segue os critérios: Sinais iguais.20 – 18 = . 2) = – 10 b) (– 4) x (– 2) = + ( 4 . a) b) c) Determine A metade de – 50 A terça parte de 243 A quarta parte de – 1200 53 . Escreva o dobro. quádruplo e o quíntuplo de: a) 4 b) – 4 c)10 d)– 10 6. calcule: a) x – ( y + 4) b) 15 + ( x + y) c) y – ( x – 4 ) d) 8 – ( y – x ) 5. Complete a tabela abaixo: g) 4 + 5 + 3 – 7 – 2 – 8 h) – 7 + 15 – 3 + 9 – 4 – 1 i) – 53 + 79 – 18 – 7 + 15 – 39 + 18 j) – 43 + 13 – 104 + 300 – 148 + 31 3. Sendo x = 3 e Y = – 2. Calcule o valor das expressões: a) 2 – (– 5 + 3 – 1) d) 35 – [ 4 + (18 – 15) – 3 ] b) – 3 – (– 5 – 4) + (– 2 – 17) e) – { – 12 + [ 5 – 10 – (3 –25) –37 ] } 4.MATEMÁTICA PASSO A PASSO d) 50 – { – 18 + [ 7 – ( 8 – 15) ] } =50 – { – 18 + [ 7 – (– 7) ] } =50 – { – 18 + [ 7 + 7] } =50 – { – 18 + 14 } = 50 – {– 4} = 50 + 4 = 54 EXERCÍCIO – EXPRESSÕES ARITMÉTICAS 1. Resolva as expressões: a) 5 + 3 – 1 b) 10 – 3 – 7 c) 15 – 18 + 5 – 3 d) 38 – 15 + 12 – 5 e) 104 – 30 –10 + 16 f) 108 + 40 – 108 – 30 X Y X+Y 2 –7 6 –5 –5 –9 –1 –9 0 –8 –4 –8 2. triplo. PROF. WELLINGTON BRITO d) A quinta parte de – 175 7. Sendo a = 30, encontre o valor das expressões: a) 10a c) 3a : 2 b) a : 3 – 1 8. Resolva as Expressões a) 20 : 5 – 3 b) – 5 + 7 . 3 – 4 : 2 a) x : (– 30) = 3 b) (– 100) : y = –1 c) z : 153 = 0 c) (– 5) : 5 – (–5) : (–5) d) 5 . 8 – (–4) : 4 + 3 (– 5) + 12 : (– 4) d) t : (– 8) = 7 e) (f + 1) : (– 5) = – 1 f) (30 + m ) : 16 = 2 d) (a + 5 ) : (– 7) –2 9. Qual o número inteiro que cada letra está representando: 10. Determine os próximos três números inteiros de cada seqüência abaixo: a) –2, 4 , –8, 16, _____, _____, _____. b) 1, –2, 6, –24, _____, _____, _____. c) 128, 64, 32, 16, _____, _____, _____. d) 5040, –720, 120, –-24, _____, _____, _____. Respostas 01. a) b) 7 0 c) – 1 d) 30 b) – 13 b)16 e) 80 f) 10 c) 31 c) – 1 c) 20, 30, 40, 50 d) –20, –30, –40, –50 c) – 300 d) – 35 b) 9 b)14 c) 45 c) –2 d) –7 d)23 g) – 5 h) 9 d) 32 d)13 i) –5 j) 49 03. a) 5 04. a) 1 05. a) 8, 12, 16, 20 b) –8, –12, –16, –20 06. a) –25 b) 81 07. a) 300 08. a) 1 09. 54 MATEMÁTICA PASSO A PASSO a) x = -90 b) y = 100 10. a) –32, 64, -128 b)120, -720, 5040 c) z = 0 d) t = -56 c) 8, 4, 2 d) 6,-2, 1 e) f= 4 f) m = 2  EQUAÇÕES DO 1º GRAU  Introdução EQUAÇÃO é toda sentença matemática expressa por uma igualdade ( = ), onde os números desconhecidos são representados por Letras ( incógnitas). Exemplos:  2x – 3 = 15  3x – 4y = 6  Membros e Termos Equação na incógnita X. Equação nas incógnitas X e Y Numa equação, a expressão situada à esquerda do sinal = é chamada de 1º membro da equação, e a expressão situada à direita do sinal = é chamada de 2º membro da equação. Exemplo: – 2x + 10 1º membro = 3x – 5 2º membro Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada de Termo da Equação. Exemplo: 5x – 1 = – 2x + 8 Termos  Resolução de uma equação do 1º grau - Passo a Passo 1º Caso) Resolver a equação 4x – 3 = 2 (2x + 1) – 5 solução 4x – 3 = 2 (2x + 1) – 5 4x – 3 = 4x + 2 – 5 4x – 3 = 4x – 3 Prop. Distributiva 55 PROF. WELLINGTON BRITO 4x – 4x = – 3 + 3 0 = 0 A igualdade se faz verdadeira, a equação é chamada Indeterminada, e seu conjunto- solução será o Universo. (S = U) 2º Caso) Resolver a equação Solução x + x = 5 + 5x 3 2 6 2x + 3x = 30 + 5x 6 6 x + x = 5 + 5x 3 2 6 Reduzimos as frações ao mesmo denominador comum(m.m.c) 2x + 3x = 30 + 5x 5x – 5x = 30 0 = 30 A igualdade não se faz verdadeira, a equação é chamada Impossível, e seu conjunto – solução será Vazio. (S = Ø) 3º Caso) Resolver a equação 2x - 1 - x + 1 = 1 3 2 2 Solução 2x - 1 - x + 1 = 1 3 2 2 2(2x – 1) – 3(x + 1) = 3 6 6 6 Reduzimos ao menor denominador comum 2 (2x – 1) – 3 ( x + 1) = 3 Prop. Distributiva 4x – 2 – 3x – 3 = 3 x = 3 + 5 ∴x = 8 A equação é chamada Determinada, e seu conjunto – solução é a raiz encontrada. (S={8}) 56 MATEMÁTICA PASSO A PASSO EXERCÍCIO – EQUAÇÃO DO 1º GRAU Resolva as equações ( U = IR) 1) 3x + 5 = 20 2) 2x = - 6 3 15) x + x + 3x = 18 2 4 4 2 2 16) 3x = 5x – 7 3) 5x – 2 ( 3x + 2) = 7x – 2 ( 4x + 3) 4) 5 ( x + 12) = x 5) 4 ( x – 1 ) = 2 (x – 4 ) 6) 7) 2x = 5 ( x + 3 ) 5 (1 – x ) – 2x + 1 = - 3 ( 2 + x ) 2 5 3 17) x + x = 7 + 2x 3 2 18) 7x + 4 – x = 3x – 5 19) 4x – 6 – 3x – 8 = 2x – 9 – x – 4 2 12 4 6 8) x + x = 15 3 8 9) x – 4 = 8 12 5 4 x 5 8 6 10 20) 4x – 5x + 18 = 4x + 1 5 2 4 3 4 3 2 4 9 6 3 2 21) 3x + 1 – 2x = 10 + x – 1 22) 3x – 2 – 4 – x = 2x – 7x – 2 23) x + 2 – x – 3 = x – 2 – x – 1 10) 3x – 7 + x – 1 = 2x – 3 11) 2 + 2( x – 3 ) = x – x – 3 12) 2 ( 5 + 3x ) = 5 ( x + 3 ) – 5 13) 7 ( x – 3 ) = 9 ( x + 1 ) - 38 14) x + x – x = 14 2 3 4 6) S = {- 5 } 7) S = { 3 } 8) S = { 18 } Respostas: 1) S= { 5 } 2) S= { - 9 } 3) S= ∅ {7} 11) S = { - 7/2} 12) S = {0} 13) S = { 4 } 16) S = { 2 } 21) S = { 14 } 17) S = { 14 } 22) S = { 2 } 18) S = { 3 } 23) S = 57 PROF. WELLINGTON BRITO 4) S = { -15} 9) S = { - 20 / 3} 14) S = { 24 } 15) S = { 8 } 19) S = { 4 } 20) S = { 20 } 5) S = { - 2 } 10) S = { 5 }  SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU  Introdução Equações do tipo ax + by = c, isto é, do primeiro grau com duas variáveis, possuem uma infinidade de soluções. Resolver um sistema de duas equações é achar os valores das variáveis x e y, que satisfaçam, ao mesmo tempo, cada uma das equações. Logo, as equações que constituem um sistema deverão admitir a mesma solução. Equações desse tipo são chamadas de equações simultâneas. Na resolução de um sistema de duas equações simultâneas do primeiro grau, empregamos os processos de Adição e Substituição, os quais passaremos a estudá-los separadamente.  Adição - Passo a Passo a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja eliminar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários; b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma incógnita; c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita; d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita. Exemplos: 01) Resolver o sistema x + 2y = 11 x – y= 5 Solução: Como a variável y já possui sinais contrários, basta multiplicarmos a segunda equação por 2, no que resulta 58 MATEMÁTICA PASSO A PASSO x + 2y = 11 2x – 2y = 10 Somando, membro a membro, as duas equações, vem: 3x = 21, logo: x = 7. Substituindo o valor de x na primeira equação, resulta: 7 + 2y = 11, que resolvida dará: Y = 2. Logo, S = { (7,2) } que é o conjunto verdade da equação. 02) Resolver o sistema : 2x + 3y = 8 5x – 2y = 1 Solução: Multiplicando-se a primeira equação por 2 e a segunda por 3, temos: 4x + 6y = 16 15x – 6y = 3 Somando, membro a membro, teremos: 19x = 19, onde x =1. Substituindo na primeira equação, o valor de x, vem: 2 + 3y = 8, que resolvida dará: y = 2. Então, o conjunto solução será: S = { (1,2) }.  Substituição - Passo a Passo a) Resolve-se uma das equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar; b) Substitui-se, na outra equação, a incógnita pelo seu valor obtido na primeira; c) Resolve-se a equação resultante dessa substituição; encontrando-se, dessa forma, o valor dessa incógnita; d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita e, em conseqüência, a solução do sistema. Exemplos: 1) Resolver o sistema Solução: Resolvendo a primeira equação, em relação a x, temos: x = 1 – 2y. 59 x+ 2y = 1 2x – y = 7 o valor de x. temos: x = 10 – y.PROF. x + y = 10 2) Resolver o sistema: x–y=2 Solução: Tirando o valor da variável x na primeira equação. o valor de x. na segunda equação. EXERCÍCIO – EQUAÇÕES DO 1º GRAU 1. que resolvida. dará: y = – 1. temos: x = 3. Substituindo o valor de y em x = 1 – 2y. Substituindo. Resolver os sistemas abaixo. Logo: S = { (3. pelo método da ADIÇÃO. WELLINGTON BRITO Substituindo na segunda equação. a) b) c) x + 2y = 3 3x + y = 4 x + 3y = – 4 2x – y = 6 2x + 5y = 17 3x – 2y = 16 a) x + y = 11 x–y=1 b) f) e) d) 2x + 3y = 7 4x + y = 9 x+y=5 x–y=1 x + 2y = 7 x – 2y = 3 x + y = 46 x – y = 14 c) x + y = 3 x–y=1 2. Então. Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações do sistema ou na expressão x = 10 – y. 4) }. o conjunto solução será: S = { ( 6. vem: 10 – y – y = 2. 1 – 2y. -1)} que é o conjunto verdade da equação. 2 (1 – 2y) – y = 7 que resolvida. Resolver os sistemas abaixo. vem: 2x – y = 7. resulta: y = 4. encontraremos o valor da variável x que será: x = 6. isto é. 60 . pelo método da SUBSTITUIÇÃO. -1)} c) S = {(6.1)} b) S= {(30.3)} 61 d) S= {(3.16)} f) S = {(1.2)} c) S = {(2.1)} b) S = {( 2.6)} h) S={(2.3y = 5 2x + 3y = 5 7x – 3y = 4 x+y = y+2 3 2 x–y = x–1 2 3 .MATEMÁTICA PASSO A PASSO d) 2x + y = 12 y = 2x g) 2x + y = 11 2x – 3y = – 1 e) x + 2y = 7 x – 2y = 3 f) 2x + y = 4 x – y = -1 h) 3x – 7y = 13 4x – 5y = 13 i) 2x + 5y = 17 3x – 2y = 16 3. 1)} d) S = {( 2.a) S = {(1.– 2)} f) S = {(5. a) S= {(6.1)} e) S = {(3.2)} 2.1)} g) S = {(4.5)} e) S= {(5.1)} h) f) b) x + 2y = 9 x – 2y = 1 d) 3 (x – y ) + 5 ( y – x ) = 18 2x + 3y = 37 2x + 3y = 23 5x . Resolver os sistemas abaixo a) 2x + y = 13 x -y=8 c) x + 2y = 1 2x – y = 7 e) x – y=2 3 2 x – y=3 2 3 g) x+y=7 3x – y = 5 j) i) 2x + 4y = 16 5x – y = 7 Respostas: 1. Forma: x = o número 2x = o seu dobro 3x = o seu triplo 2) Representar duas quantidades.-1)} g) S = {(3. onde uma tem cinco unidades mais que a outra.-1)} e) S= {(6. 1ª forma x = a idade menor x + 10 = a idade maior 4) São dados três números: o 1º é 5 unidades maior que o 2º e este tem três unidades menos que o 3º. a) S= {(7.PROF. x = o menor Donde: x = 8 62 .2)} c) S= {(3.2)} f) S = {(4.11)} h) S={(1.1)} 3. WELLINGTON BRITO i) S= {(6. seu triplo etc. Vejamos: 1) Representar um número ou uma quantia.5)} j) S= {(4.0)} i) S= {(2. sendo o maior o quádruplo do menor. o seu dobro.1)}  PROBLEMAS COM NÚMEROS INTEIROS  Introdução Antes de resolver um problema devemos obter uma forma de representação para o que ele propõe. Forma: x é a quantia menor x + 5 = a quantia menor mais cinco unidades 2ª forma x = a idade maior x – 10 = a idade menor 3) Representar duas idades que diferem 10 anos.4)} d) S={(2. Forma: x : o segundo número x + 5 : o primeiro número x + 3 : o terceiro número  Questões Comentadas 1) Determinar dois números cuja soma é 40.3)} b) S= {(5. e a seguir. 00 mais que Duda que é a mais nova. Determiná-los. receba $ 12.00 mais que Luís e este receba $ 6.00 = $ 28. Luís e Duda: ---.00 + $ 6. x = o menor número 3x = o maior número 3x – x = 2x é a diferença entre o maior e o menor.00=$40.00 Luís: $ 22. Quais as idades de cada um hoje? Há seis anos 54 – 2 X 6 = 54 – 12 = 42 anos x é a idade do filho 5x a idade do pai 5x + x = 6x 6x = 42 anos 63 x = 42 anos ÷ 6 = 7 anos o filho. 35 anos Hoje 7 + 6 = 13 anos o filho. 7 anos o pai. . que é a mais velha.Vou repartir entre vocês a importância de $ 90. x = a quantia de Duda x + 6 = a quantia de Luis x + 6 + 12 = a quantia de Conceição Ou: x x+6 = 90 x + 18 3x + 24 = 90 Pela inversa da adição: 3x = 90 – 24 Duda: $ 22.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 4x = o maior 4x + x = 40 5x = 40 x = 40 ÷ 5 = 8 e 4x = 32 8 + 32 = 40 2) A diferença entre dois números é 18 e o maior é o triplo do menor.00 3x = 66 pela inversa da multiplicação x = 66 ÷ 3 = 22 4) A soma das idades de um pai e um filho é hoje 54 anos. 2x = 18 x = 18 ÷ 2 = 9 x=9 3x = 27 3) Um pai diz a seus três filhos: Conceição. Há 6 anos a idade do pai era o quíntuplo da idade do filho.00 Conceição:$ 28.00 de modo que Conceição.00+$12. 17 = 4 problemas. Significa que deixou de ganhar a diferença. Isto é. Pergunta-se: errado? ___ Por que deixou de ganhar $ 0.60 . Entretanto recebeu apenas $ 1. 68.68 e o prejuízo por problema foi de $ 0. isto é: $ 2.00. são $ 0.10 por problema certo e paga multa de $ 0. Ganha $ 0.00 – $ 1.32.17 por problema ___ Claro.07 de multa. acertou 16 problemas.10 = $ 2.32.17 basta efetuar a divisão: $ 0. primeiro não ganhou $ 0. em cada problema errado.07 por problema que erra. Como o prejuízo total foi de $ 0.07 x 4 = $ 0.28 Recebeu $ 1. WELLINGTON BRITO 35 + 6 = 41 anos o pai 5) Cândida faz problemas. logicamente. Cândida errou 4 problemas e. Problemas certos: Prova: Problemas errados: $ 0.10 x 16 = $ 1.32 64 $ 0. Fez 20 problemas e recebeu $ 1.PROF. Cândida deixou de ganhar: $ 0. Logo.68 ÷ $ 0.17 de prejuízo por problema errado.10 que seria o prêmio do acerto e segundo pagou $ 0. Quantos problemas acertou e quantos errou? Vejamos: Neste problema deve-se raciocinar: Se Cândida acertasse todos os problemas ganharia: 20 problemas x $ 0. Entretanto.17.32 = 0. II) Cândida destinara aos óbolos: 24 X $ 1. teria gasto $ 8.00.00 ÷ $ 0.(De fato. Determinar o preço de cada animal.00. Desse modo.00 – $ 800. Se tivesse deixado $ 1. a sobra de $ 4.00 foi necessária para adquirir os restantes 17 bois. gastaria $ 36.00 = $ 1. ou seja:$ 1. isto é. Quantas igrejas Cândida visitou e quanto pensara gastar com as esmolas? Vejamos: I) Deixando $ 1.00 do dinheiro destinado às esmolas.00 em cada igreja sobram $ 4.00 Deixando $ 1. a importância restante.50 = 24 igrejas.00 $ 28.00 de óbolo em cada igreja que visitou e. ao fim das visitas.00 ÷ 17 = 60. $ 8.820.00.00 e mais os $ 8.820. 00.50 em cada igreja faltam $ 8.00 Vê-se assim.50 em cada igreja.00 nas despesas de Cândida.020. sabendose que um boi e um novilho juntos custam $ 100.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 6) Cândida foi a Bahia e deixou $ 1.00 Vejamos: Como um boi e um novilho juntos valem $ 100. que um acréscimo de 0.) Logo as igrejas são: $ 12.020. se desse $ 1. 7) Um boiadeiro comprou 25 bois e 8 novilhos pela importância de $ 1.00 distribuídos + $ 4. $ 1.00 mais do que previra.00 = $ 24.50 em cada igreja. isto é.00 Prova: De fato. então os oito novilhos e os oito bois custaram $ 800.50 em cada óbolo provoca um acréscimo de $ 12. sobraram $ 4.00 mais do que esperara gastar com os óbolos.00 que despenderia.00 Logo: 65 . um trem com 105 km/h demoraria 3 horas para percorrer os 315 km. ao se cruzarem.00 8 novilhos + 25 bois = $ 320. Isto é. um único trem deveria ter uma velocidade V igual à soma entre as velocidades V1 e V2 .00 + $ 40. basta. P 180 km 315 km 135 km 66 . partem simultaneamente dois trens.820. Pergunta-se: depois de quanto tempo se cruzarão e a que distância de A? Vejamos: teremos: Representando-se esquematicamente o problema.00 = $ 1. P 1º trem 315 km 2º trem V1 = 60 km/h V2 = 45 km/h A B Como os trens se deslocam em sentidos contrários.00 . O que parte de A se dirige em direção a B com a velocidade média de 60km por hora e o que parte de B se dirige para A com a velocidade média de 45km por hora. e $ 100.500. Prova: Um boi + um novilho = $ 60. WELLINGTON BRITO $ 60. se encontrará 3 horas.00.00 é o preço de cada boi. 45 km/h x 3 horas = 135km.$ 60.00 = $ 100. os dois trens que partem de A e B.PROF. cuja distância é 315km. a soma dos percursos realizados é igual à distância entre A e B que é de 315 km.00 é o preço de cada novilho. 8) De duas cidades A e B. como acima. De fato: 315km ÷ 105 km/h = 3 horas. Para realizar o mesmo percurso. no mesmo tempo.00 + $ 1. Da mesma forma. 60km/h x 3 horas = 180 km. Para isso. V = 60 km/h + 45 km/h = 105 km/h Ora.00 = $ 40. então dividir o percurso de 315 km pela soma de suas velocidade e. 6) Quando João nasceu. 3) A minha idade é o quadruplo da idade de meu filho e juntos temos 45 anos. Quais são as nossas idades? 4) A soma de dois números é 43 e um deles excede o outro de 5 unidades. Determinar o outro . Determiná-los. ele vai vender-me a parte necessária à razão de $ 180.800 e um deles é 170. Quanto deverei pagar? 11) Se eu tivesse $ 14.904 litros? 10) O terreno de meu vizinho é 80m 2 maior que o meu.00 o metro quadrado. Quais são os números? 5) A diferença entre dois números é 7 e a soma deles é 29. A soma das idades hoje é 31 anos. sabendo que sua capacidade é de 1. Pergunta-se: ao fim de quantos minutos o recipiente ficará cheio. Quais as idades? 7) O produto de dois números é 6. Cândida tinha 5 anos. então você ficará com tantas figurinhas quanto "eu". multipliquei-o por 3. Determiná-los.00 mais do que tenho. Quais são os números? 2) A diferença entre dois números é 45 e o maior deles é igual ao sêxtuplo do menor. Qual o número pensado? 9) Um recipiente é alimentado por duas torneiras: a primeira despeja 64 litros de água por minuto e a segunda despeja 48 litros de água por minuto.640.MATEMÁTICA PASSO A PASSO EXERCÍCIOS – NÚMEROS INTEIROS 1) A soma de dois números é 52 e um deles é o triplo do outro.00 o metro quadrado. somei 12 ao resultado. 8) Pensei em um número. poderia comprar um terreno que tem 320m2 cujo valor é $ 120. Quanto eu possuo? 12) Luís diz a Marcos: "Se eu lhe der 14 figurinhas das que eu tenho. 67 . A fim de ficarmos com terrenos iguais. dividi esse resultado por 3 e obtive 19. 20 em cada igreja. Calculá-los.PROF. minha idade era o quádruplo da sua". Quanto deve receber cada um? 16) A soma das idades de um pai e de um filho é hoje 72 anos. 5. $ 0. 15) Um pai deseja distribuir a quantia de $ 115. 21) Aumentando-se um certo número de 126 unidades. Há 12 anos passados. há três anos passados. Faz 20 problemas e recebe $ 20. obtémse o quadruplo do número. Entretanto. Quantos são os perus e quantos são os coelhos? 23) Um aluno ganha $1. Tendo deixado $ 0. No fim de quantos anos será a idade do avô igual à soma das idades dos netos? 20) A soma de quatro números inteiros consecutivos é 86.80. a título de multa. Determiná-las.00 mais a Sidônio do que a Roberto e $15.50 por problema que acerta e paga. 7. Cristina nasceu 6 anos antes que Marcelo e este é 4 anos mais velho que Frederico. 22) Num quintal existem perus e coelhos. Clara tinha 4 anos e Lourdes tinha 6 anos. Quais são as idades hoje? 17) A soma das idades de um pai e um filho é hoje 30 anos. Daqui a 12 anos a idade do pai será o dobro da idade do filho. WELLINGTON BRITO Sabendo que juntos possuem 120 figurinhas. ao todo 62 cabeças e 148 pés. Quais são essas idades? 19) Um avô tem 74 anos e seus 4 netos.40. Quantos acertou e quantos errou? 24) Uma pessoa dá esmolas às igrejas que visita. Calculá-lo. Hoje.90 por problema errado. 68 . Quer dar $ 10.00 entre seus três filhos.00 mais a Roberto do que a Francisco. Marcelo e Frederico é 20 anos. 11 e 12 anos. Quais as idades hoje? 18) Um pai diz a seu filho: "A soma de nossas idades hoje é 36 anos. pergunta-se: quantas têm cada um? 13) A soma das idades de Cristina. a soma das idades dos três é 22 anos. Quais são as idades dessas crianças? 14) Quando Fábio nasceu. a idade do pai era 7 vezes a idade do filho. ainda lhe sobraram $ 1. 11 laranjas e ainda lhe restariam 4 laranjas. sabendo que um frango e um peru custam juntos $ 7.80 em notas de $0. ao mesmo tempo que o outro parte de B em direção a A.00 pelo lote. Sabendo-se que a despesa foi de $ 1. Pergunta-se: a) Ao fim de quanto tempo se encontraram? b) A que distância da cidade A se dá o encontro? 33) Durante uma viagem.70. Determinar o preço de cada animal. 31) São dados três números: a soma dos dois primeiros é 20. Quantas notas eu tenho de cada espécie? 28) Augusto diz a João: "Eu tenho $1.05. $0. sobrando ainda 3 laranjas.950.15 no bolso com igual número de notas de $0. As importâncias em dinheiro que possuo de cada espécie são iguais. Quantas notas eu tenho de cada espécie? 29) Uma pessoa compra 12 frangos e 20 perus pela importância de $ 124. a soma dos dois últimos é 15 e a soma do primeiro com o último é 19. Quantos meninos eram? 26) Uma pessoa querendo distribuir laranjas entre vários meninos. teria ficado com 8. ter-lheiam sobrado apenas $ 0. cuja distância é 120 km.10 e $0. Mas tendo um menino recusado a sua parte. pergunta-se: quanto pagou cada um? 69 .30 de esmola a cada igreja. sabendo que um burro e um cavalo custam juntos $ 700. O primeiro desenvolve uma velocidade de 24 km por hora e o segundo 16 km por hora.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Entretanto.00.20.600.05. 30) Um criador compra 40 burros e 52 cavalos pagando $ 31. Quantas foram as igrejas visitadas e quanto levava essa pessoa no bolso? 25) Dei três laranjas a cada menino e fiquei com vinte. Quais são esses números? 32) Um ciclista parte da cidade A em direção a B.00. calculou que poderia dar a cada um. uma caravana pousou num motel. Se tivesse dado 5 a cada menino. cada um dos outros recebeu 14 laranjas. se desse $ 0.00. Determinar o preço de cada ave. $ 0. Os homens pagaram o dobro que as senhoras e estas pagaram o triplo que as crianças. 15 senhoras e 30 crianças.20.00 e que existiam 20 homens. Quantos meninos havia e quantas laranjas a pessoa possuía? 27) João diz a augusto: "Eu tenho $ 3.10 e $ 0. Após 3 horas.00 31) 1º número: 12 2º número: 8 3º número: 7 32) a) 3 horas b) 72 km 33) Crianças:$ 10. que alcança o primeiro quando decorreram 5 horas da partida do segundo.00 16) Pai: 54 anos – Filho: 18 anos 17) Pai: 24 anos – Filho 6 anos 18) Pai: 27 anos – Filho 9 anos 19) 13 anos 20) 20.00 Peru: R$ 5.200.00 Francisco: R$ 25.00 30) Burro: R$ 400.00 11) R$ 23.05 6 de $ 0.00 Roberto:R$ 40.00 Senhoras:$ 30.PROF.00 Cavalo: R$ 300.20 29) Frango: R$ 2. WELLINGTON BRITO 34) De uma estação parte um trem que desenvolve 50km por hora.700.00 25) 6 meninos 26) 5 meninos-59 laranjas 27) 9 notas 28) 12 de $ 0.21.00 Homens: $ 60.00 12) Luís: 74 – Marcos: 46 13) Cristina:12 anos Marcelo: 6 anos Frederico: 2 anos 14) Lourdes: 10 anos Clara: 8 anos Fábio:4 anos 15) Sidônio: R$ 50.10 3 de $ 0.00 34) 80 km por hora . Pergunta-se: qual a velocidade média do segundo trem? Respostas 1) 13 e 39 2) 9 e 54 3) Pai: 36anos – Filho: 9 anos 4) 19 e 24 5) 11 e 18 6) Cândida: 18 anos – João:13 anos 7) 40 8) 15 9) 17 minutos 10) R$ 7.22.23 70 23) Acertou:16 problemas Errou: 4 problema 24 11 Igrejas e R$ 4. parte outro trem no mesmo sentido. z.(CMF) Um pai tem 36 anos e seus três filhos 3.(BB) Hoje eu tenho a idade que meu amigo Paulo tinha quando eu nasci. w. Daqui a 15 anos terei 3/5 da idade de Paulo.(BNB) O sistema de equação abaixo: 2x + y + z + w = 1 x + 2y + z + w = 2 x + y + 2z + w = 3 x + y + z + 2w = 4 Possui uma única solução x. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Achar a razão entre as idades de A e B. (BB) Em um pátio existem automóveis e bicicletas. em anos. Qual é a idade atual de Paulo? a) 45 anos b) 50 anos c) 55 anos d) 60 anos e) 65 anos 03. Decorridos 17 anos. a idade de "A" era o triplo da de "B".MATEMÁTICA PASSO A PASSO 21) 42 22) Perus: 50 – Coelhos 12  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01. qual é diferença. y. Assim.(UFC) Quando José nasceu. 5 e 8 anos. No fim de quanto tempo a idade do pai será igual a soma das idades dos filho? a) 10 anos b) 12 anos c) 15 anos d) 18 anos e) 20 anos 02. e daqui a 4 anos a idade de "B" será os 5/9 da de "A". entre as idades de Bruno e José? a) 13 b) 4 c) 21 d) 5 e) 17 05. o número total de veículos é igual a: 71 . Pode-se afirmar que a soma S= x + y + z + w é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 06). Bruno tinha 4 anos de idade. a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) 3 04.(CEF) Há 8 anos. 47.00 e) R$ 45. As patas dos bípedes são a metade das dos quadrúpedes. 25 centavos.(CEF) O Sr. assinale a opção que contém o número de salgadinhos preparados pelo buffet. WELLINGTON BRITO a) 39 b)42 c) 49 d) 52 e)59 07). todas em quantidades iguais. notou que havia 2 a mais do que o encomendado. dão aulas particulares e sabe-se que "A" cobra R$ 2. Se.N.00 a mais que "B" receberia ministrando 20 horas aula. foi contar seu patrimônio e encontrou apenas moedas de 1 centavo.00 09. a) 108 b)114 c)120 d)126 e) 132 Respostas 01. Por outro lado.A 02.00 b) R$ 35.00 a mais que "B" por hora de trabalho.B .R. O número total de animais que havia no terreiro é: a) 150 b) 300 c) 350 d) 450 e)600 08.D 72 07.E 10.00 e) R$ 4. distribuindo exatamente 6 salgadinhos para cada convidado presente.00 b) R$ 3.00 c) R$ 40. B 04.75 d) R$ 4. J.B 06.B 08. D 03. B 05. num total de 900 patas. Com base nessas informações. compareceram à recepção 3 convidados a mais que o esperado.PROF.(TJ) Em um terreiro havia um certo número de bípedes e de quadrúpedes.00 d) R$42. e 50 centavos. por 30 horas de aula. 10 centavos. A soma das quantias que cada um cobra por hora de trabalho é: a) R$ 32. ao receber os salgadinhos. Qual a importância que o desafortunado tem em moedas de 25 centavos? a) R$ 3. "A" receberá R$ 210.A 09. No dia da recepção. 5 centavos.(UFC) Uma dona de casa programou uma recepção no aniversário de seu marido e solicitou a um buffet que fizesse 7 salgadinhos de um certo tipo para cada convidado. A dona de casa resolveu o imprevisto.50 c) R$ 3.(TTN) Dois professores "A" e "B".25 10. totalizando RF$ 15. chamam-se de Termos da fração ao conjunto do numerador e denominador. são necessários dois números naturais: a) O primeiro. Nesses novos símbolos 3 2 ou 5 2 etc. b) O segundo indicando em quantas partes. o primeiro elemento chama-se Numerador e o segundo elemento denominador dos números fracionários ou frações..MATEMÁTICA PASSO A PASSO  O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS  A Idéia de Número Racional 2 4 ( 2. de igual valor.4 ) 2 3 ( 2. o inteiro foi dividido.3 ) Para se representar numericamente uma ou mais partes de um inteiro. De modo geral.  Frações Equivalentes É fácil ver que um mesmo número fracionário pode ser representado por vários símbolos ou vários numerais. indicando quantas partes tomamos do inteiro. Vejamos: I) II) 2 4 2 6 1 2 1 3 2÷2 4÷2 2÷2 6÷2 1 2 1 3 III) IV) 3 4 1 1 12 16 2 2 3x 4 4x 4 1x 2 1x 2 12 16 2 2 73 . a 2 e 3. chamam-se 2 Frações 4 e 12 que equivalem. As frações restantes se dizem próprias. são frações aparentes. 74 . 2 4 respectivamente. Os números fracionários 4 3 e 7 . Fração aparente é aquela cujo numerador é múltiplo do denominador.PROF.  Classificação Fração Imprópria é aquela cujo numerador é maior que o denominador. obtém-se uma fração equivalente à fração dada. Exemplos: Os números fracionários Impróprias. WELLINGTON BRITO Dizemos então: 2 4 2 6 3 4 1 1 e 1 são frações equivalentes ou 2 ~ 1 2 4 2 e 1 são frações equivalentes ou 2 ~ 1 3 6 3 e 12 são frações equivalentes ou 3 ~ 12 16 4 16 e 2 são frações equivalentes ou 1 ~ 2 2 1 2 Propriedade Fundamental Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma fração por um número natural ≠ 0. 48 Basta aplicar a propriedade fundamental e dividir sucessivamente os termos da fração por um fator comum. g) 3 > 2 2 2 ( ( ( Resposts: a) V  b) F c) F d) F e) V f) V g) V h) F i)V j)V Simplificação de Frações.c. ) c)Toda fração aparente é imprópria ( d)Toda fração imprópria é aparente ( e) 7 > 1 2 f) 2 < 1 3. I) Toda fração imprópria é maior que toda fração própria.48) = 12 36 ÷12 3 36 3 48 ÷12 4 48 4 Assim concluímos: Simplificar uma fração a significa transformá-la numa b fração c de modo que c e d sejam primos entre si. Obter uma fração equivalente a 36 de modo que os termos sejam primos entre si. d 75 . ). ( ). ( ) ). ). ).MATEMÁTICA PASSO A PASSO EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Colocar V ou F conforme cada uma das seguintes sentenças matemáticas sejam verdadeiras ou falsas: a) 2 e 4 são frações equivalentes ( 3 6 b) 3 5 6 5 ( ). (36. J) Qualquer fração própria é menor que o inteiro.d. Exemplo: 36 ÷ 2 18 ÷ 2 9÷3 3 36 3 48 ÷ 2 24 ÷ 2 12 ÷ 3 4 48 4 Também se pode dividir os termos de 36 pelo seu máximo divisor comum: 48 m. h) 2 < 1 5 5 ( ) ). . temos as seguintes propriedades: I . 2 = ..PROF. 2 1 = 1 = 2 = 3 =.. 1 2 3 =... 1 2 3 Assim. Exemplos: 3.. 1 são heterogêneas... Q ⊃ IN Q ⊃ Z 2= 2 = 2 = 1 -1 -4 = 4 = 6 Exercício de Fixação Colocar V ou F em cada uma das sentenças matemáticas seguintes. de um modo geral.... WELLINGTON BRITO Conjunto dos Números Racionais Q Vimos que. 1 2 3 De fato: -1= -1 = 1 = 1 -1 –2 = -2 -2 = .. conforme elas sejam verdadeiras ou falsas: a) se a ∈ IN b) se a ∈ Q c) IN = Q d) Q ⊂ IN e) 2/3 ∈ Q  a∈Q ( ) f) 3/5 ⊂ Q g) Q ⊃ 0 h) IN ⊃ 0 i) 0 ∈ Q j) 0 ∈ IN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a ∈ IN ( ) ( ) ( ) ( ) Respostas: a)V b)F c)F d)F e)V f)F g)F h)F i)V j) V Frações Homogêneas e Frações Heterogêneas Duas ou mais frações que têm denominadores diferentes. podemos concluir que: IN ⊂ Q Z ⊂ Q ou. todo número que pode ser representado na Forma de Fração é um Número Racional. 5 4 2 76 ...... 1...... Portanto. se dizem heterogêneas... ou....Todo número natural é racional II – Todo número inteiro é racional De fato: 0 = 0 = 0 = 0 =.. 2. 1. 3 < 3 < 3 7 5 4 77 Comparar: . a maior delas é a que tem maior numerador. Pela propriedade fundamental obter-se-á uma fração equivalente à primeira. 3. teremos: 1. Temos 3 casos a examinar. elas se dizem homogêneas. Sejam as frações: 1 .3.c.m. 5 2 3 4 6 6 .6) = 12 b) Divide-se o m. Exemplos: 3. dos denominadores: m.m. 8 . 3 e 5 7 7 7 Quando várias frações são homogêneas. 2 3 4 6 a) Determina-se o m. (2. 7 7 7 Portanto. O quociente obtido em cada caso deve ser multiplicado pelos termos da fração. 9 .m. achado (12) pelos denominadores das frações. 10 12 12 12 12  Comparação de Frações – Passo a Passo Comparar duas ou mais frações significa determinar uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas. Assim. Comparar: 2. 1º) As frações são homogêneas. 5 são homogêneas.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Quando duas ou mais frações têm denominadores iguais. significa tornálas homogêneas. a maior delas é a que tem menor denominador.4. reduzir frações ao mesmo denominador. 3 e 5.c.c. 3. 2 < 3 < 5 7 7 7 2º) As frações têm numeradores iguais. 2 . 3 e 3 5 4 7 Quando várias frações têm o mesmo numerador. Reduz-se 12/18 à sua forma mais simples e equivalente: 12 = 2 . 3 = 45 4 60 3. 3 x 10 = 30 5x2 10 5 x 3 15 5 x 10 50 2) Obter uma fração equivalente a 3/4 cujo denominador seja 60. 10 12 12 12 12 Como as frações resultantes são homogêneas. Como 60 = 4 x 15. Mais simplesmente ao menor denominador comum. 3 x 2 = 6 . Basta tomar os termos da fração 3/5 e multiplicá-los por um mesmo número diferente de zero. ordenando-se crescentemente: 1 < 2 < 3 < 5 2 3 4 6  Questões Comentadas 1) Obter três frações equivalentes a 3/5. ou seja: 6 < 8 < 9 < 10 12 12 12 12 Ou. 5 3 4 2 6 Neste caso deve-se reduzir as frações a um denominador comum. 9 . 1. isto é. Basta multiplicar numerador pelo mesmo fator 15.) Obter duas frações equivalentes a 12/18 cujos denominadores sejam 30 e 42. 3. WELLINGTON BRITO 3º) As frações são heterogêneas.PROF. 2. múltiplo de 4. 6 . o problema é possível. 18 3 2 = x 3 30 Comparar : 78 . recaímos no primeiro caso. 3 x 3 = 9 . 8 . 4.) Escrever uma fração equivalente a 5/6 cuja soma dos termos seja 88. para se determinar o fator pelo qual se multiplicarão os termos de 5/6. cujo denominador seja 27 d) 2/5. faz-se: 88 ÷ 11 = 8 8 é o fator procurado. cujo denominador seja 56 b) 8/16. 10 x 2 = 20. cujo denominador seja 21 f) 255/315. Como a soma dos termos de 5/6 é 11.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Para determinar o valor desconhecido (x) do numerador da nova fração faz-se: 30 : 3 = 10. 14 x 2 = 28. cujo numerador seja 64 e) 255/315. Logo: Analogamente: 2 = 20 3 30 2 = y 3 42 Donde: 2 = 28 3 42 Para se determinar o o numerador y. cujo numerador seja 51 2) Simplificar as seguintes frações: a) 180 240 b) c) 625 2500 121 2057 d) 343 490 e) 1920 2520 f) 1728 2880 g) 729 1728 h) 289 2057 i) 1350 2800 79 . cujo denominador seja 36 c) 15/45. Logo: 5 x 8 = 6x8 = 40 48 De fato: 40 + 48 = 88 EXERCÍCIO – NÚMEROS RACIONAIS 1) Escrever frações equivalentes a: a) 3/4. faz-se: 42 : 3 = 14. 3 4 5 6 8 c) 3 . 10 . 1 . 8 . 1 . 45 d) 48 . 7 15 12 18 30 e) 11 . 17 . 8 . 3 . 2541 120 120 120 120 180 180 180 180 5929 5929 5929 5929 4) a) 7 > 5 > 3 > 1 8 8 8 8 b) 8 > 8 > 8 > 8 3 5 7 11 c) 11 > 11 > 11 > 11 2 5 8 13 d) 4 > 6 > 5 > 3 3 5 6 4 e) 8 > 9 > 11 > 5 12 24 30 18 80 . 100 . 11 18 12 24 30 h) 17/121 i) 27/56 c) 36 . 11 2 5 13 8 Respostas 1) a) 42/56 b) 18/36 2) a) 3/4 g) 27/64 b) 1/4 c) 9/27 c) 1/17 d) 64/160 d) 7/10 e) 17/21 e) 16/21 f) 51/63 f) 3/5 e) 5 . 11 . 3 . 110 . 77 3 7 4) Escrever em ordem decrescente de seus valores cada um dos seguintes grupos de frações: a) 3 . 11 . 8 .PROF. 1 2 3 4 6 b) 3 . 5 .1089 . 6 8 8 8 8 3 4 6 5 b) 8 . 42 f) 147 . 4 . 2 . 7 d) 4 . 5 . 121 49 5 . 5 . 4. 5 . 170 . 1 . WELLINGTON BRITO 3) Reduzir ao menor denominador comum os seguintes grupos de frações: a) 1 . 5 . 8 7 12 42 21 d) 4 . 8 3 5 11 7 c) 11 . 380 5400 5400 5400 5400 3) a) 6 . 385 . 1 . 7 . 32 84 84 84 84 e) 495. 242 . 121. 75. 19 120 540 600 270 f) 3 . 9 . 11 . 96 . 2 12 12 12 12 b) 90 . 3º) Inteiro e Fração. 2º) As frações são heterogêneas. m.3 = 8–3 = 5 12 12 12 12 E procede-se como no primeiro caso.1 = 2x4-1 = 7 4 4 4 4 4 4 e que é uma forma prática de se efetuar tais cálculos. Seja: 2+ Seja: 1 2.1 1 4 1 4 Reduzindo-se ao menor denominador comum: 8+1 = 9 8–1 = 7 4 4 4 4 Nota-se em ambos os casos que se fez: 2 + 1 = 2x4+1 = 9 2 .MATEMÁTICA PASSO A PASSO Operações Com Números Racionais • Adição e Subtração – Passo a Passo Distinguiremos três casos: 1º) As frações são homogêneas.c. (3.1 3 4 3 4 Reduzem-se as frações ao menor denominador comum. Se as frações são homogêneas subtraem-se os numeradores e dá-se ao resultado o denominador comum.2 = 3-2 = 1 7 7 7 7 7 7 7 7 Conclui-se: Se as frações são homogêneas somam-se os numeradores e dá-se ao resultado o denominador comum. 3 + 2 = 3 + 2 = 5 ou: 3 .4) = 12 8 + 3 = 8 + 3 = 11 12 12 12 12 8 .m. 81 . Seja: seja: 2 + 1 2 .1 4 4 Basta tomar o número 2 e escrevê-lo sob a forma racional 2 teremos: 1 2 + 1 2 . dividese o numerador pelo denominador da mesma. Assim: 2 1 = 2 x 4 + 1 = 9  4 4 4 é a forma habitual de se transformar o número misto em fração imprópria.  Extração de Inteiros de uma Fração Imprópria regra: Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria. Extrair os inteiros: 2 2 2 3 5 5 Exemplo: Transformar em fração imprópria: 1) 3 1 = 3 x 5 + 1 = 16 5 5 5 1) 12 5 12 5 2 17 2 2) 4 1 3 = 4x3+1 3 = 13 3 2) 17 5 3 2 3  Questões Comentadas Efetuar as seguintes operações: 1) 3 1 + 1 1 + 1 4 3 2 Reduzindo-se os números mistos a frações vem: 13 + 4 + 1 4 3 2 Reduzindo-se ao menor denominador comum : 39 + 16 + 6 = 61 = 5 1 12 12 12 12 12 82 . que se lê: dois inteiros e 4 um quarto. O quociente indicará a parte inteira do número misto e o resto será o numerador da parte fracionária que conserva o denominador primitivo. (inteiro e fração) é chamado 4 misto e costuma ser representado por 2 1 .PROF. WELLINGTON BRITO Número Misto O número expresso por 2 + 1 . onde o numerador é o produto dos numeradores e o denominador o produto dos denominadores das frações dadas. No produto anterior ficaria: 1 1 3 x 1 x 5 = 1 5 4 6 8 1 2 2) Efetuar: 1 x1 1 x 1 3 4 13 6 Em primeiro lugar reduzem-se os números mistos a frações impróprias. Exemplos: 1) Efetuar os produtos: 3 x 1x 5 = 3 x 1 x 5 5 4 6 5 x 4 x 6 Antes de efetuar a multiplicação convém realizar a simplificação pelo cancelamento.44 ) 8 13 8 – 20 1 = 13 – 3 65 40 –2 = 2 91 120 13 3 = 520 120 – 189 120 = 331 120  A Multiplicação e Divisão de Números Fracionários • Multiplicação .Passo a Passo O produto de duas frações é uma fração.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 2) 4 1 3 _ (1 1 8 13 3 13 3 13 3 + 1 2 ) _ (2 ( 8 1 4 _2 1 5 ) 4 = – 11 5 – – – – 63 40 9 + 1 2 )–( 9 20 ) = = ( 9 + 4 ) – ( 45 . resultando: 13 x 14 x 1 4 13 6 A simplificação dará: 1 x 7 x 1 = 7 2 1 6 12 83 . Assim: 1) 2 de 1 = 2 x 1 = 2 = 1 3 2 3 2 6 3 2) 1 de 5 4 6 = 1 x 4 5 = 5 6 24 3) 3 de 2 = 3 x 2 = 6 = 3 8 8 1 8 4 84 . Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda.• PROF.Passo a Passo 2 ÷ 3 = 2 x 5 3 5 3 3 Do que se conclui: Note a equivalência: Para se dividir uma primeira fração por uma segunda. WELLINGTON BRITO Divisão . Exemplos: 1 2)2 3)  Fração de Fração Seja calcular: 2 de 1 3 2 pela operação 1 3 5 ÷ 1 2 3 ÷ 6 10 5 ÷31 = 2 7 3 = 3 x 5 = 1 10 6 4 ÷ 2 1 = 7 2 = 10 7 3 x 2 7 = 3 2 = 5 x Na prática substitui-se a preposição "de" multiplicação. MATEMÁTICA PASSO A PASSO EXERCÍCIO – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES I) 1) 2) 3) 4) ) ( )( )( ( ) ) ( 4 + 1 7 ( – – – Resolver as seguintes expressões fracionárias 2 3 +2 – 5 21 7+ 1 5 – 2 +3 + 1 3 – 3 14 2 3 7 ) ( 3 2 + 1 4 + 11 3 – 4 + 1 9 7 63 7 12 + 1 3 – 1 4 + 5 6 + 5 – 3 – 8 – 19 8 3 8 2 5 ) + 5 – 77 12 2 1 5) 6) 7) 8) 9) 17 5 – 2 15 + 3 5 – ( ) ( 3 – 3 8 + 1+ + 1+ 2 – 10) 11) 12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( )( ( )( ) ( 8 – 2 + 11 – 5 3 11 17 2 7 – 3 – 3 33 11 3 + 11 –1 +4 – 89 + – 1+ 19 – 7 + 2 13 26 13 2 13 ( ) ( ) ) ( ) 3 + 3+ 7 + 70 7+ 1+ 33 4 + 3 1 – 11 2 8 – 15 26 1 + 1 – 8 X 9 + 3 – 5 +1 X 2 + 2 7 2 7 27 16 7 42 11 5 X 8 + 1 X 4 X 15 + 11 + 7 + 2 X 20 9 – 4 9 12 15 3 7 9 8 4 – 1 + 7 X 7 + 21 X 5 – 31 – 7 X 2 3 12 3 4 20 3 10 2 2 + 1 X 28 + 1 – 3 X 94 – 124 77 X 55 62 + 4 7 17 5 35 47 21 ) X 1 90 9 X 4 X 1 + 8 X 5 X 15 + 4 X 14 111 70 3 15 12 7 3 13) ( 2 11 X 143 6 + 7 3 ) : 40 21 + ( 5 7 X 7 – 4 ) 85 . 14) 15) 16) 17) 18) 19) ( ( 13 84 + 5 56 ) 25 9 : 205 48 + ( ) 5 – 2 3 + – 1 PROF. WELLINGTON BRITO : 65 12 + 2 3 + 1 21 20) 21) 22) 23) 24) )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( )( ) ( ( )) ) ( ) ( ) 14 : X 5 : 21 6 5 : 5 3 10 : 5 + 126 35 X + 18 43 3 14 X 5 : 5 – 2 65 – 5 7 4 14 X 3 12 4 29 – 4 : 10 + 8 3 + 3 : 21 + 23 + 5 + 1 5 35 21 5 11 10 25 14 – 1 4 11 55 7– 3 15 4 X 1 + 7 5 – 2 +4 : 7 – 5 13 3 6 8 : 5 – 3 X : 27 : 1+ 25 : 4 + 7 + 1 8 2 14 25 40 2 3 3 2 : 3 – 5 + 2 2 8 11 1 + X 3 33 X 24 – 1 55 88 4 3 + 5 2 – 2 2 21 16 : 14 30 + 5 8 : 847 96 8 9 – 5 21 1 3 2 4 3 6 2 6 7 9 + 1 – 10 9 : 3 + 72 3 – 5 X 3 35 + 1 49 + + X 9 2 + 1 3 x 1 2 + 1 4 : 11 : 5 – 7 4 6 x – 5 – 14 3 2 3 – 11 5 x 7 3 – 3 2 : 5 + 1 7 1 + 1 5 2 + 3 5 : 3 Respostas 1) 1 5 7) 4 1 7 2 2) 2 2 8) 1 3 3) 1 8 9) 21 9 2 4) Zero 10) 1/6 5) 4 4 11) 1 5 10 6) 3 1 12) 2 3 9 13) 9 2 14) 11 7 15) 39 86 16) 1 17) 2 1 11 18) 7 8 19) 1 35 20) 2 10 11 21) 1 1 14 22) 1 23) 2 9 24) 1 3  PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS 86 . Qual o Devem ser somados os percursos que o auto realizou. Se: 2 $ 48.00 = $ 72. Ainda faltam 7200 metros a percorrer. Então: 3 3 x $ 24. Portanto: A estrada toda tem 19 200 metros. 3 3 Sabendo-se 1/3. pergunta-se qual o preço do muro todo? Raciocinando: Nestes problemas deve-se sempre encontrar em primeiro lugar a unidade em relação à qual o problema se identifica. 87 . faltam 3/8 para percorrer. Logo: a entrada toda tem 540km.00. 3) Um ciclista percorre 1/4 do percurso entre duas cidades e depois mais 3/8 dessa estrada e ainda faltam 7 200 m para percorrer.00.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Questões Comentadas 1) Se 2/3 de um muro custaram $ 48. Aqui a unidade é 1/3. saber-se-á o custo do muro todo que é representado por 3/3. 00 : 2 $ 24.00 então: 1 $ 48. Teremos então: 3/8 7200 m 1/8 7200 ÷ 3 = 2400m E: 8/8 8 x 2400m = 19 200m. Donde: 1/9 E: 9/9 300km : 5 = 60 km.00 3 2) Um auto percorre 2/9 de uma estrada e depois percorre mais 1/3 da mesma e desse comprimento da estrada? Raciocinando: modo rodou 300 km. Qual a distância entre as cidades? Raciocínio: Somamos inicialmente os percursos realizados: 1 + 3 = 2 + 3 = 5 4 8 8 8 8 Logo. ou seja: 2 + 1 = 2 + 3 = 5 9 3 9 9 9 Percorreu o carro 5/9 e desse modo 5/9 300 km. 9 x 60 km = 540 km. correspondem ao que sobrou em dinheiro. que representam o 2º resto. tem-se: 9 – 2 = 7 7 = 1º resto 9 9 9 9 Em segundo lugar.00.00. WELLINGTON BRITO 4) Uma senhora vai à feira e gasta. representado-se por 9/9 a quantia toda.00 = $ 18. uma fábrica de automóveis que trabalha 9 horas por dia. Quanto eu tenho? Em virtude da paralisação da energia elétrica. Quanto ela tem? Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada toda que mede 120 km. Quantos minutos estudou? 5) 88 .PROF. trabalhou apenas 7/9 do tempo habitual.00 9/9 $ 9 x $ 2. quem tinha 7/9 e gasta 1/3 fica com: 7 – 1 = 7 – 3 = 4 4 = 2º resto 9 3 9 9 9 9 Estes 4/9. Quanto percorreu? Os 3/4 do que eu possuo eqüivalem a $ 180.00 : 4 = $ 2. Minha irmã Lúcia tem 2/3 do que possuo. De fato.00 ao sair de casa.00 Portanto : A senhora levava $ 18.  1) 2) 3) 4) EXERCÍCIO – PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS Eu tenho hoje $ 72. 2/9 do que tem na bolsa. Gasta depois 3/7 do resto em verduras e ainda lhe sobram $ 8. ou seja: 3 de 7 = 3 x 7 = 1 7 9 7 9 3 Ora. Hoje esteve ocupado com sua mãe e por esse motivo estudou apenas 1/8 do tempo habitual.00 1/9 $ 8. E dessa forma: 4/9 $ 8. em frutas. então fica com 7/9. Quanto levava ao sair de casa? Podemos usar o seguinte raciocínio: Se uma pessoa gasta 2/9 do que tem.00. Qual foi esse tempo? Marcelo estuda para os exames durante 4 horas por dia. gasta 3/7 deste primeiro resto. Ficou ainda com a importância de $2 400. Qual foi a herança de Salim? 11) O numerador da fração 2/9 foi duplicado. 12) O numerador da fração 9/15 foi dividido por 3. Pergunta-se: a) A fração aumentou ou diminuiu? b) De quanto foi o decréscimo ou acréscimo? 13) O denominador da fração 3/8 foi dividido por 2.00 e essa quantia é os 3/4 do que eu possuía ontem. Qual a encomenda toda? 17) Uma estante tem quatro prateleiras. 8) Eu moro numa rua que mede 3 240 metros. Pergunta-se: a) Quantos metros cada um já construiu?b)Quantos metros faltam ainda para construir? 7) Joaquim e Geraldino são pedreiros que constroem um muro. Pergunta-se: a) A fração aumentou ou diminuiu? b) Quanto aumentou ou quanto diminuiu? 14) Duplicou-se o numerador da fração 3/4 e depois dividiu-se o denominador da mesma por 2. 15) O numerador da fração 18/21 foi dividido por 3 e do mesmo modo. Quanto eu tinha ontem? 9) 10) Salim herdou 5/8 de uma herança e depois deu para uma instituição de caridade 3/8 do que recebeu. O número de minha casa é os 2/3 da metragem da rua. o denominador foi também dividido por 3. Quanto tempo levará para fazer a obrigação? Joaquim já fez 3/7 do muro e Geraldino 2/7 apenas. Pergunta-se: a)A fração aumentou ou diminuiu? b)De quanto foi o acréscimo ou decréscimo?. Que fração da estante medem as outras duas prateleira juntas? 89 . tece mais 3/8 da encomenda. Pergunta-se: o que aconteceu com o valor da fração? 16) Num dia.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 6) Se Maria Cândida estudar 3 horas por dia ela terá feito apenas 3/4 de sua obrigação diária. A segunda mede 1/4 da altura da estante. A primeira mede 1/8 da altura da estante. O muro todo deverá medir 84 metros. Qual é o número de minha casa? Eu possuo hoje $ 72. Desse modo. Pergunta-se: a) A fração final ficou aumentada ou diminuída? b) Se aumentou ou diminuiu.00. diga quantas vezes ela ficou aumentada ou diminuída. No dia seguinte. o teor completou 540 metros. um tear tece 1/4 de uma encomenda de pano. somadas. verificou que essa importância correspondia a 5/7 do que havia depositado. Quais são as idades de Maria Clara e Marcelo? 22) Marcos Aurélio depositou uma certa quantia num banco. Quanto obteve cada um? 28) Os 5/8 dos 4/6 de minha mesada são $ 60. Qual foi o depósito inicial? 23) Uma peça de fazenda custou $ 540. Quais as nossas idades". Tenho ainda $ 72. Dar a área de cada um. Após essa 2ª 90 . O terreno de meu vizinho é 9/7 do meu. Qual a minha mesada? 20) Maria Cândida diz a Luis: "Eu tenho hoje 2/3 de sua idade e juntos temos 30 anos. A nota de Luís é 7/9 da nota de Osvaldo. 27) Luís e Osvaldo obtiveram notas em matemática que.40.00 do banco. Determinar qual o preço de 5/6 da peça.00. Gasta 3/10 do que levava em tecidos e 2/7 do que lhe restara em sapatos e desse modo gastou ao todo $ 253.00. Quanto possuía na carteira antes das compras? 30) Uma senhora faz compras. em metros.00. 24) Uma peça de 18 metros de brim custou $ 216.00.PROF. se o comprimento da piscina é igual a 60 m? 19) O ingresso de um cinema custa 1/8 da minha mesada. Qual a minha mesada? 29) Gastei 2/7 do que tinha na carteira em livros. Que fração da piscina nadaram juntos? Quanto isso representa. Quando retirou $ 120. Fui três vezes ao cinema e gastei $ 8. WELLINGTON BRITO 18) Conceição nadou os 2/3 do comprimento de uma piscina e seu irmão nadou 3/4 da mesma. Numa segunda etapa roda 3/8 do que resta do percurso. Dar o preço dos 3/4 de um metro dessa fazenda. Pergunta-se: Que área tinha o terreno? 26) Meu terreno e do meu vizinho têm juntos 3 200 metros quadrados.75. 21) Maria Clara diz a Conceição: "Nosso primo Marcelo tem 3/5 da minha idade e juntos temos 16 nos". resultaram 16. e 1/3 em roupas. Quanto levava em dinheiro? 31) Um auto percorre inicialmente os 3/11 de uma estrada. 25) 5/8 da área de um terreno foram ocupados com uma construção que usou 400 metros quadrados do mesmo. 91 . Ao primeiro deu 5/3 do que deu ao segundo e a este 3/2 do que deu ao terceiro. Quanto tempo levará para pintar duas paredes iguais a essa? 37) Uma sociedade é formada por 3 pessoas. Aos 2/5 do resto a percorrer o engenho abandona o segundo estágio propulsor e nesse instante ainda restam para alcançar a órbita 153 km. Pergunta-se:a) Quanto percorreu até esse momento? b) Quanto mede o seu percurso todo? 34) Numa indústria 2/3 dos trabalhadores são homens e 1/4 são mulheres.00. A primeira entra com 2/5 do capital. Quanto tem cada uma? 33) Um trem percorre 4/13 de seu percurso e depois roda mais 112 km e assim chega aos 2/3 de seu caminho.00. 1/2 por moças e ainda existem 6 carteiras vazias. Nair possui os 15/13 do que possui Lúcia. Qual a capacidade dessa classe? 36) Um pintor pode pintar 3/8 de uma parede em uma jornada de 9 horas de trabalho. Qual a parte de cada sócio e qual o capital da sociedade? 38) Se de 5 2 1 kg de uma substância custam $ 14. Os restantes 30 são meninos. a segunda com 1/3 do capital. Quanto recebeu cada um? 40) Uma cápsula espacial é lançada para ser colocada em órbita após percorrer determinada distância. Quantos são os homens e as mulheres? 35) Numa sala de aula 3/8 das carteiras individuais estão ocupados por rapazes. Pergunta-se: a que altura a cápsula entrou em órbita?. Qual a medida da estrada toda? 32) A diferença das quantias de Nair e Lúcia é $ 68.00.MATEMÁTICA PASSO A PASSO etapa ainda lhe faltam 340 km para percorrer.800. qual o preço 3 3 kg da mesma substância? 5 39) Um pai repartiu $ 20. Aos 3/8 desse percurso o engenho solta seu primeiro foguete propulsor.00 a seus três filhos.000. e a terceira com $12. $ 4.$ 10.50 31) $ 748 km 32) Nair: $ 510.00 23) $ 450. 16) 864 m 17) 5 8 18) 17 12 .00 40) 408 km 12) a) diminuiu 13) a) aumentou b) o aumento foi de 3/8 14) a) aumentou b) a fração ficou aumentada 2 vezes 15) O valor da fração não se alterou.$ 6.00 O 2º .00 30) $ 507.$ 19.000.00 29) $ 189.00 Total: $ 48.00 2ª pessoa.00 72 km $ 240.00 85 m 38) $ 33.00 Lúcia: $ 442.00 7 horas 30 min 4h a) Joaquim: 36m ---Geraldino: 24m b) 24 m 2 160 $ 96.200.60 39) O 1º . 19) $ 22.000.PROF.600.00 33) a) 208 km b) 312 km 34) Homens: 240 Mulheres: 90 35) 48 alunos 36) 48 horas 37) 1ª pessoa .00 25) 640 m2 26) Meu: 1 400m2 do vizinho: 1 800m2 27) Luís: 7 Osvaldo:9 28) $ 144. WELLINGTON BRITO Respostas 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) $ 48.000.00 O 3º .000.00 a) aumentou b) o acréscimo foi de 2/9 b) o decréscimo foi de 6 = 2 15 5 21) Maria Clara: 10 anos Marcelo: 6 anos 22) $ 168.00 $ 9.$ 16.00 24) $ 9.40 20) $ Maria Cândida: 12 anos Luís: 18 anos 92 .000. Calcular a área primitiva desse terreno. a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 2)(TTN)Os 5 de 2 do preço de uma geladeira equivalem a 2 de 3 3 3 5 2 do preço de um freezer que custa R$ 2. .087m2 c) 3.200 e) 10. em reais.470m 2.708m2 d) 3. em reais.807m2 4)(CEF) Retirei. respectivamente.00. é: a) 2. 2/5 e 2/15 do resto.000 b) 1. saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram R$ 7. Depois.500 c) 12.440 d) 2. após a última venda. o saldo inicial? a) 12.00. então: 5 a) seu quíntuplo é 18 d) sua metade é 2 b) seu quadruplo é 4 5 c) seu dobro é 12 e) sua terça parte é 1 5 5 6)(UECE) Considere a expressão algébrica x+ 1 x –1 1 seu valor numérico para x = .2 .750 b) 12. uma quinta parte de minha conta bancária. inicialmente. Qual era.x ≠ 0 e x ≠ 1. x+1 1–x 1 2 é: a) 5 –1 5 b) negativo c) 2.5 93 d) 5.250 d) 10.500. Então o preço da geladeira.300 3)(BB) Alberto comprou 1/6 de certo terreno.780m2 e) 3. Bento e Carlos compraram. sabendo que dele sobraram 1.500 5)(UNIFOR) Se o triplo de um número é 18 .296 c) 1.870m2 b) 3.160 e) 1.400. a) 3.MATEMÁTICA PASSO A PASSO  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1)(BB) Qual é o número cuja oitava parte multiplicada por 12 e dividida po 5/6 resulta 144. respectivamente. Na primeira loja gastou 2 do que possuía.00 e 2 do que restou. Se 1 do total dos funcionários deverão ir para o segundo andar.00. onde: S= –8 a) 36 () ( ) 1 1 2 x 1– 2 c) 34 – 4 + 5 d) 33 e) 32 b) 35 10)(TRT) O primeiro andar de um prédio vai ser reformado e os funcionários que lá trabalham serão removidos. determine p + q. ao sair de casa. 5 Sabendo-se que no final das compras ficou com R$ 60. Rita tinha a importância de: 94 . José e Pedro receberam. 3 2 do total para o terceiro andar e os 28 restantes para o quarto 5 andar. onde p e q são números inteiros primos entre si. e 1/9 de uma determinada herança. o número de funcionários que serão removidos é: a) 50 b) 84 c) 105 d) 120 e) 150 11)(TJ) Rita sai de casa para fazer compras com certa quantia. na segunda loja gastou 3 R$ 30.PROF. Maria. A fração desta herança que não foi distribuída entres estes irmãos foi de: a) 2/3 b) 8/9 c) 1/2 d) 1/18 e) 5/6 8)(UFC) Se 3 a) 15 1 1 + 1 4 b) 16 2 = p q . 1/3. 1/2. c) 17 d) 18 e)19 9)(UFC) Determine o valor de S. na terceira R$ 10. WELLINGTON BRITO 7)(UFC) Três irmãos. 00 12)(TRT) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos um dia e retornou à sua casa decorridos 13 do mesmo dia. D 02. A 10. B 03. D 08. C 11. C 07.C 95 . 5 de 18 d) 13 horas e 10 minutos e) 12 horas e 50 minutos.MATEMÁTICA PASSO A PASSO a) R$ 420. E 09. A 12. D 04.00 b) R$ 300. b) 13 horas e 50 minutos. se 1 do tempo que resta do dia é igual ao tempo já decorrido? 4 a) 8 horas b) 4 horas c) 4 horas e 48 minutos d) 6 horas e 38 minutos e) 5 horas e 15 minutos Respostas 01. C 06.00 c) R$ 360. c) 13 horas e 30 minutos. 13)(TTN) Que horas são agora. E 13. 16 Permaneceu fora de casa durante um período de: a) 14 horas e 10 minutos.00 e)R$ 450.00 d)R$ 330. B 05. 0. O esquema seguinte dá uma idéia: Unidade 4 8 3 1. 121 cujos denominadores são 100 1000 potências de 10 são chamados frações decimais.um décimo 96 .PROF.03 são também numerais do mesmo 100 número.  Leitura dos Números Decimais As ordens decimais recebem nomes especiais. observar os nomes que recebem as diferentes ordens decimais menores que a unidade.1 ----. WELLINGTON BRITO  NÚMEROS DECIMAIS  Representação Decimal Os números fracionários 3 10 . Assim: 3 e 0. 3 representam 3 partes de um inteiro que se dividiu 100 em 100 partes iguais . Como já se viu: 3 representam 3 partes de um inteiro que se dividiu 10 em 10 partes iguais. 0.3 são numerais do mesmo número. 4 2 5 Convém.3 e 0. então.03 são chamados numerais decimais. e 10 3 e 0. Algumas vezes utiliza-se simplesmente a forma números decimais. 17 . um décimo de milésimo 0. basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. por exemplo: 2. diz-se: "2 inteiros e 437 milésimos".01 ----. 4 décimos.005 4) 1231 100 = 12.um centésimo 0.um milésimo 0.31 Transformação de Números Decimais em Frações Decimais Passo a Passo. Regra: Todo número decimal é igual a uma fração.437.437 são: "2 inteiros.7 2)  5 1000 = 0.000000001 ----.00001 ----. onde o numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é a unidade. Exemplos: 97 .0000001 ----. Regra: Para se transformar uma fração decimal. 3 centésimos e 7 milésimos". Exemplos: Transformar: 1) 31 100 = 0. Ou: 2.um décimo milionésimo -------------------------------------------------------0.um milionésimo 0.31 3) 47 10 = 4. em número decimal.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 0.0001 ----.001 ----. seguida de tantos zeros quantos forem as ordens decimais do número dado.um centésimo milésimo 0.000001 ----. Transformação de Fração Decimal em Número Decimal Passo a Passo.um bilionésimo Para se ler. por 1000. Exemplos: 1. Propriedade: Um número decimal não se altera quando se acrescenta um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.3 = 0. e simplificar quando for o caso: 15 3 1) 0. pela propriedade fundamental das frações.30 = 300 = 3 000 o que prova a propriedade 2ª. 1ª .24 x 1000 = 1 240 3ª Propriedade: 98 ..4 1.24 x 100 = 124 1. por 100. que 10 sempre obteremos frações equivalentes a 3 assim: 10 3 = 30 = 300 = 3000 10 100 1000 10 000 Ou. três....PROF.. duas.24 x 10 = 12. casas decimais. etc. Ora. WELLINGTON BRITO Transformar. na forma de números decimais: 0.. por 1000 etc. em frações decimais.25 = = = 1  Propriedades de Números Decimais.015 = = 1000 200 125 100 5 4 1 4 2) 1. basta afastar a vírgula para a direita uma.etc. podemos multiplicar os termos de 3 por 10. por 100. Propriedade: Para se multiplicar um número decimal por 10. . Escrevendo-os sob a forma de frações.25 – 8. 100.27 + 0.375 Igualando-se as "casas" (ordens) decimais Que lê-se: "19 inteiros e 845 milésimos  Subtração de Decimais . O exemplo acima serve para justificar os seguintes fatos tradicionais: 1) Igualam-se as casas decimais – o que eqüivale a homogeneizar as frações. três. duas.845 1000 1000 1000 1000 Evidentemente não se fará a transformação em frações todas as vezes.3872  Adição de Decimais .075 Igualando-se as ordens decimais.2 + 15.Passo a Passo Efetuar a soma: 4.200 15..375 19.72 387. vem: 14. efetuar: 14. reduzindo-as ao mesmo denominador comum: 4200 + 15 270 + 375 + 19845 = 19. casas decimais.250 99 4. Exemplos: 387.845 . teríamos 42 10 + 1527 100 + 375 1000 Ou.2 : 100 = 3.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Para se dividir um número decimal por 10. basta afastar a vírgula para a esquerda uma.872 387. Na prática faremos: 4. 2) Coloca-se vírgula debaixo de vírgula – o que eqüivale a somar apenas as unidades de uma mesma ordem entre si.2 : 1000 = 0.27 0.2 + 15.270 + 0.. etc. 1000 etc.2 : 10 = 38.Passo a Passo Segundo as considerações anteriores.375. vem: 13 x 4271 = 10 100 55 523 = 55. significa multiplicar dividendo e divisor por 100 ( no caso presente). Exemplo: 8. Colocando-se (para fins de justificar as conclusões ) sob a forma de fração decimal. Resulta.175  Multiplicação de Decimais .71.Passo a Passo Seja o produto: 1.  Divisão de Decimais – Passo a Passo Estudaremos os seguintes casos: 1) Divisão de inteiro por decimal Seja: 5 : 0.PROF.25 5. então: 500 25 000 20 Logo: 5 : 0.25 = 20 2) Divisão de decimal por inteiro Dividir: 0. 1000 Conclui-se pois: Multiplicam-se os números decimais como se fossem números Inteiros e dá-se ao produto tantas casas decimais quantas unidades somarem as casas decimais do multiplicando e do multiplicador.00 100 . O quociente não se altera. WELLINGTON BRITO 8.075 – 6.523.45 1.25 : 5 Acertados as ordens decimais.3 x 42. vem: 0.25 Cortam-se as vírgulas Justificativa: Eliminar as vírgulas.5 x 4225 845 12.675 Que se lê: "12 inteiros e 675 milésimos". após o acerto das ordens. 5 : 41 = 0. 1000 2) Dividir 2. o resultado é: 2. Dividindo-se o quociente por 1000. com a vírgula após o primeiro zero. Logo: 31:7 = 4.060). 25 5 00 0.05 Exemplos: 1) Dividir 31 por 7 com erro a menos de 100 Faz-se o produto do dividendo por 100: 3100 7 30 442 20 6 Dá-se duas ordens decimais ao quociente (4. 2.5 x 1000 = 2500 2500 41 040 60 (60 : 1000 = 0. a menos de 1 1000  CONVERSÃO DE FRAÇÕES ORDINÁRIAS EM NÚMEROS DECIMAIS ----DIZIMAS PERÍODICAS ----101 . 0.42). Dividir-se-á o quociente por 1000 ao final. 1 . 2 500 500 0.42 a menos de 1 100 1 .MATEMÁTICA PASSO A PASSO Suprimidas as vírgulas.060.0 A divisão se processa normalmente como divisão de inteiros a partir desse instante.25 : 5 = 0.5 por 41 a menos de Multiplica-se o dividendo por 1000. fica: 25 500 Acrescenta-se ao dividendo quantos zeros forem necessários para tornar a divisão possível. O mesmo número de zeros colocar-se-á no quociente.05 Portanto:  Quocientes Aproximados. 75 0 3 = 0.PROF.8333. 20 20 2. = 2. Diz-se que o período é 36. que se repete na parte decimal.. 4 II) 4 11 40 11 70 0. Exemplos: a) 0. que desejamos transformar em números decimais: I) 3 ... ∴ 4 = 0.363636. 333. vem: I) 3 4 30 4 20 0. 5 6 = 0.. III) 5 6 50 6 20 0.414141. A dízima periódica é simples quando o período tem início logo após a parte inteira. b) 2. 6 Como uma fração indica a divisão do numerador pelo denominador... Mais precisamente: é uma dízima periódica simples... 4 II) 4 .41 dízima periódica simples..3 dízima periódica simples...83 é uma dízima periódica composta  Frações Geratrizes das Dízimas Periódicas As geratrizes se determinam segundo as regras seguintes: 102 . WELLINGTON BRITO Sejam as frações seguintes.. é uma decimal não exata.3636.8333.75 é uma decimal exata... 11 III) 5..= 0. formado por mais de um algarismo.. Isto é: o número. = 0. 40 70 4. é chamado período.. 4222. seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. é uma fração.. as seguintes frações decimais: a) 3 d) 51 g) 137 10 100 1000 b) 1 e) 71 h) 15 431 1000 10000 100 c) 5731 f) 5731 i) 5731 10 100 1000 2) Efetuar as seguintes operações. Exemplos: Achar as geratrizes das seguintes dízimas: 1) 0. onde o numerador é formado pela parte não periódica. de uma dízima periódica composta. Exemplos: Determinar as geratrizes de: 1) 2. apenas com a mudança da vírgula: 103 .. é uma fração que tem como numerador o período e como denominador tantos noves quantos algarismos tiver esse período. = 2...3 = 3 9 2) 0. = 5. menos a parte não periódica.32121.321 = 5 321 – 3 990 = 5 = 2– 38 90 318 990 = 5 = 2 19 .5 = 2 . de uma dízima periódica simples. O denominador possui tantos noves quantos são os algarismos do período.423 = 423 999 5 9 = 47 111 A geratriz. 3) 0. seguida do período.42 = 2 42 – 4 90 2) 5..MATEMÁTICA PASSO A PASSO A fração geratriz. 45 53 165 EXERCÍCIOS – NÚMEROS DECIMAIS 1) Transformar.36 = 36 99 = 1 3 = 4 11 4) 2. em números decimais. 2 : 0.1 x [ ( 17.6 ) + 15 ) ( ( ( ) 1 – 15 + 1 – 3 2 25 + 0.111 + 0.5] e) 0.435 : (104)2 3) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta a menos de 1 : 100 a) 7 : 11 d) 0.4 : 2.79 – 0.17 + 6.414141.8 – (11.4215 i) 1..00035 b) 15.1 e) 35.08 h) 7.3 – + 0.22 h) 0.17) x 0.4231 f) 0.4 – 0.022 : 2.4x100 b) 137.PROF.05 + 15.2314 : (10 2)3 p) 1672.2 : 7. d) 0.384 x 0.005 + 7.12 1 18 104 ) – 17 50 0.05 x 105 g) 0.506 – 7.25 : 10 3 o) 853.21: 10 j) 345.1 f) 5..7 x 0.45 4) Converter em números decimais as seguintes frações ordinárias: a) 2 d) 11 g) 4 i) 1 5 18 11 125 b) 5 e) 3 h) 4 k) 213 6 8 33 200 c) 7 f) 6 i) 4 l) 134 4 7 99 135 5) Obter as frações geratrizes das seguintes dízimas periódicas: a) 0.42 : 2.0005) + 0.5 ) .0001:1000 m) 72 : 102 n) 540.0000001x (10 ) i) 345.7 – 5..0003 x (102)3 h) 0.1 + 1 + 3 ( 2 + 34 f) ( 5.0005 x 104 e) 103 x 12.42 : 5 f) 123.21 : 1000 l) 5000..1 c) 3.21 : 100 4 2 k) 345.92 d) 5.1 c) 16.421 x 1000 c) 0.54 e) 2.2 b) 35.0102 g) 0.12 6) Efetuar as seguintes expressões: a) 53. WELLINGTON BRITO a) 12.40501 c) 5.0008 + 2.83 + 32.005 : 15 g) 0.8 b) 2.0001 j) 3.752 + 0.0003 : 0.0001 x 10000 d) 0. 11 (TRE) Efetuando-se a) 25 8 b) 15 4 ( c) 0.1 e) 2.01 ) a) 0. (TRT) Resolver a seguinte expressão: ( ) ( 3 2 – 1 +1 ÷ 3 + 1 – 1 6 2 4 2 ) ) a) 3 b) 4 6.15 c) 5.01 é de: 0.45 e) 9.25 2.5 – 7 3 7 11 ) 29 + – + ( 25 – 0.25 d) 12.5 obtém-se: ( 0.002 0. (BB) Valor de x nas expressões x = (4.12 0.4 é: a) 2.7 + 2.2 + i) ( 4.02) ÷0.MATEMÁTICA PASSO A PASSO g) (3.5 5.47 – 2 + ( 4 33 – 0.8 – 1.45 2 e) 12.2 – 0.5 ÷ 0.93 + ( ) 4 9 + 3.015 + 0.04 obtém-se d) 25 4 e) 35 4 4.01 ÷ 0.7 (TRT) Simplificando-se a expressão: 0.75 d) 9.2 c) 1.1 x 0. c) 4 11 d) 5 3 e) 3 16 (CEF) O valor da expressão x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 .025 5 c) 35 8 ) d) 1.7)+ 4 + 2 + 3 15 5 + 3 1 + 3 10 5 x 18 7 11 6 h) 8.41 – ( ) 7 330  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1.025 3.01 ) 50 j) 3.3 + 0.09 ) + 1.0003 0.5 – 0.41 – 1.25 1 – 0.245 1.8 – 3. b) 4. (PRF) O valor de a) 0.75 b) 1. para x = 1/2 e y = – 1/2 é: a) –1 b) – 1/5 c) 0 105 d) 1/8 e) 1 . b) 0. WELLINGTON BRITO 7..... qual o dia da semana que encontramos? a) Quarta-feira b) Quinta-feira c)Sexta-feira d) Sábado 1 .2666.. obtém-se: a) 3 4/9 b) 29/9 c) 0..011363636.2 d) 29 198 e) 0.x≠0 x+1 1-x 106 x+1 14. é igual a: a) 5 11 b) 8 55 8.0404. o traço horizontal sobre o número indica o período da dízima periódica: 0.1666.. (UECE) Se contarmos 2000 dias a partir de amanhã (Terçafeira). então m + n é igual a: a) 88 b) 89 c) 90 d) 91 0.84 c) 29 180 d) 3.333.+ 0. (TJ) O valor da expressão 0..PROF. (TRT) Na expressão abaixo. (UECE) Na seqüência SPMSQSPMSQSP. que letra ocupa a 90ª posição? a) S b) P c) M d) Q 13...98 d) 51 e) 92 1 é: e)50 10..6 x 1 + 4 3 5 a) 54 b)53 c)52 + + 11.1454545.– 2. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma irredutível m / n.4166. x 0. e) 145 999 (DNER) A dízima periódica 0. 9.. (UECE) Considere a expressão algébrica x . resolvendo essa expressão. após a virgula.222... (PRF) 0 1994º algarismo. (BNB) A expressão decimal 0. : 0. x 3 2 – 1..1 1– . é uma dízima periódica composta.166.. na representação decimal de 12/37 é: a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e)5 12. 53 4) a) 0.36 h) 0.61 e) 0.83 c) 1.75 d) 0.731 3) a) 0. 1000 = 1 x 103 e 0. por uma potência de 10.1228 b) 24. O valor de 0.137 h) 154.7885 c) 0.51 e) 0.08 x 10-3 b) 3.6 x 10-2 c) 4.36 g) 0. (UNIFOR) Na "Notação científica.12 f) 5) a) 41 99 b) 229 90 c) 54 177 9 990 d) 101 9 900 e) 220 99 12 99 g) 4173 9900 h) 1 9000 i) 17 j) 1 6) a) 62.001 c) 573.08 x 10-2 Respostas – Questões de Concursos e Vestibulares 1) 2) 3) D D C 4) D 5) A 6) E 7) A 8) B 9) B 10) C 11) B 12) D 13) D 14) C 15) A Respostas – Exercícios Números Decimais 1) a) 0.08 x 10-4 e) 3.63 b) 2. Por exemplo.14 c) 3.5 x 10-7 d)9.02 = 2 x 10-2. os números são escritos como produto de um número x.1 d) 0.857142 g) 0.73122 d) zero e) 2 f)1 43 45 g) 3 h) 10 i) 1 7 33 3 11 2) a) 1240 b) 137421 c) 1 d) 5 e) 12100 f) 505000 g) 300 h) 10 107 .5 é: d) 5.4 b) 0.3 b) 0.00015 x 24000 x 0.00 e) 440 f) 50.28 d) 0.2 15.85 h) 3.375 f) 0.MATEMÁTICA PASSO A PASSO e x ≠ 1 seu valor numérico para x = 2 5 a) 5-1 b) negativo c) 2.31 g) 0.0071 f) 57.31 i) 5.0003 é: a) 1. 008 k) 1.065 l) 0. medida sobre um meridiano Esse comprimento. 9925 9 j) 340 161 99 900  SISTEMA MÉTRICO DECIMAL  Definição Chama-se metro linear ao comprimento equivalente à fração1/10 000 000 da distância que vai de um polo até a linha do equador. na França.34521 l) 5. Polo  Múltiplos e Submúltiplos do Metro Linear Os múltiplos e submúltiplos do Sistema Métrico Decimal têm seus nomes formados com os seguintes prefixos de origem grega: quilo – que significa mil vezes hecto – que significa cem vezes deca – que significa dez vezes deci – que significa décima parte centi – que significa centésima parte mili – que significa milésima parte Desse modo temos o seguinte quadro: Múltiplos Unidade Submúltiplo decímetro centímetro milímetro quilômetro hectômetro decâmetro metro 108 .00001672435 i) 0. O Museu Nacional.521 j) 3. no Estado da Guanabara. tem uma cópia do metro padrão.0008532314 p) 0.04 j) 0.0000001 m)0.72 n) 0.54025 o) 0. após calculado . encontrase assinalado sobre uma barra de metal nobre (platina e irídio ) que está depositado no Equador Museu Internacional de pesos e medidas em Sévres. WELLINGTON BRITO i) 34.4521 k) 0.PROF. MATEMÁTICA PASSO A PASSO 1 000m km 100m hm 10m dam 1m m 0,1m dm 0,01m cm 0,001m mm Exemplos: 1) 4,52 km, lê-se sob uma das seguintes formas: "4 quilômetros e 52 centésimos de quilômetros", ou: "4 quilômetros e 52 decâmetros". 2) 123,425 m "123 metros e 425 milésimos do metro", ou: "123 metros e 425 mlímetros".  Transformações de Unidades – Passo a Passo As mudanças de unidades do sistema linear de medidas (medidas de comprimento) fazem-se com base no fato seguinte: Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, para se passar de km para hm multiplica-se por 10 e para passar de dm para m deve-se dividir por 10. Exemplos: 1) 0,02 hm em metros 2) 54,36 dm em dam 3) 0,425 km em cm 0,02hm = (0,02 x 100) m = 2m 54,36dm = (54,36 ÷ 100) dam = 0,5436dam 0,425 km = (0,425 x 100 000) cm = 42 500 cm Na prática, cada mudança de vírgula para a direita ( ou multiplicação por 10) transforma uma unidade na imediatamente inferior a cada mudança da vírgula para a esquerda ( ou divisão por 10) transforma uma unidade na imediatamente superior.  Perímetro de um Polígono 1) O perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de seus lados. D No polígono ABCDE o perímetro é a soma das medidas dos lados,ou seja: C med AB + med BC + med CD+ med DE + med EA. E Representando-se o perímetro por 2P teríamos: 2P=med AB+med BC+ med CD + med DE + med EA A B 109 PROF. WELLINGTON BRITO 2) Num retângulo, como o da figura seguinte, o perímetro 2P fica: W Z med base = b med altura = h h X b 2P = 2b + 2h O que significa: O Perímetro do retângulo é igual a duas vezes Y a medida da base mais duas vezes a medida da altura. 3) No quadrado o perímetro é quatro vezes o lado. D C OU 2P = 4 . L A B 4) No triângulo eqüilátero o perímetro é três vezes a medida do lado. A OU 2P = 3 . L B C 5) Na circunferência o perímetro pode ser calculado fazendo-se o seguinte: Chamando-se o comprimento da circunferência r de C e o seu diâmetro de 2 r (dois raios = 1 diâmetro), teremos: C C = 3,14 2r E,na definição de divisão exata, vem: C = 2 x 3,14 x r Costuma-se representar o número 3.14 pela letra π (pi) do alfabeto grego. Assim: C=2xπxr Exemplos: 110 MATEMÁTICA PASSO A PASSO 1) Calcular qual a medida do contorno de um aquário de forma circular, sabendo que o diâmetro do mesmo é 6 metros. Temos: o raio vale 3 metros. Logo: C = 2 x π x r Donde: ou: C = 2 x 3,14 x 3m C = 18,84m 2) A medida que vai do centro da roda de minha bicicleta até a face externa do pneu é 28 cm. Quando a roda dá uma volta, quantos centímetro percorri? Sendo r = 28 cm, vem: C = 2 x π x r C = 2 x 3,14 x 28 C = 175,84 cm 1,7584 metros.  EXERCÍCIOS – SISTEMA MÉTRICO DECIMAL - I : I) Expressar em metros as seguintes grandezas: 1) 0,005 hm 2) 1,2 km 3) 134,2 dm 4) 1/4 hm 5) 5/6 km 6) 3/8 dam 7) 1 8) 3 9) 4 1 4 3 8 1 6 II) Expressar em dm os seguintes resultados: 1) 2,5 m + (5,4 hm – 48 dam) 2) 5,28 dm + [ 85 dam – (4,5 km – 42 hm)] 3) 4,2 km – [( 65 dm + 8,5 m) + ( 25 dam – 240 m)] 4) 0,08 hm + [ 0,05 km + (120 hm – 11,2 km)] 5) 120 hm – [ 10 dam – (120 m – 1120 dm)] III) Resolver os problemas: 1) Calcular o perímetro de um polígono de 5 lados, onde o menor lado vale 4dm e os outros são números consecutivos a este. D E C 111 cm hm dm PROF. WELLINGTON BRITO A B 2) Determinar o perímetro de um retângulo, onde um dos lados vale 12 cm e o outro é os 5/4 do primeiro. . h b 3) O perímetro de um retângulo é 60 cm e a base é o dobro da altura. Calcular base e altura. h b 4) Um triângulo é isósceles (tem dois lados iguais). A soma da base (lado desigual) com um dos lados é 28 cm. Calcular o perímetro sabendo que o lado é o triplo da base. Z L L X b Y 5) Num triângulo retângulo, os catetos (lados que formam o ângulo reto) somam 16 cm e um deles é 5/3 do outro. Calcular esses catetos. C x y A z B 6) O comprimento de uma circunferência é 18,84 cm. Calcular o raio da mesma . r 112 MATEMÁTICA PASSO A PASSO 7) Calcular o comprimento de uma circunferência cujo raio vale 10cm. Respostas I) II) III) 1) 0,5 m 1) 625 dm 1) 30 dm 2)1200 m 2) 5 505,28 dm 2) 54 cm 3)13,42 m 3) 41750 dm 3) b = 20 cm; h= 10 cm 4) 25 m 4) 8580 dm 4) 49 cm 5) 833,3 m 5) 119080dm 5) b= 6cm ; c = 10cm 6) 3,75 m 6) r = 3 cm0,125 m7) 62,8 7) 337,5 m 7) 62,8 8) 0,0416 m  Superfície Da Área A Idéia de superfície é conhecida. É uma noção que se diz intuitiva porque a conhecemos sem necessidade de defini-la. Assim, a superfície da mesa, do assoalho do vidro, da janela, são superfícies planas. A superfície de uma bola de futebol é esférica. No momento, vamos nos preocupar com as superfícies planas.  Metro Quadrado D C 1m Chama-se metro quadrado ao quadrado que tem um metro de lado A  1m B Múltiplos e Submúltiplos do Metro Quadrado Múltiplos Unidade Submúltiplo quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado 1 000 000 10 000 100 1 0,01 0,0001 0,000 001 m km2 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m2 mm2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 113 PROF. WELLINGTON BRITO  Transformações de Unidades – Passo a Passo I) Para se converter um número, medido numa unidade, para a unidade imediatamente inferior, deve-se multiplicá-lo por 100. II) Para se converter um número, medido numa unidade, para a unidade imediatamente superior, deve-se dividi-lo por 100. Na prática afasta-se a vírgula para a direita (I) e para a esquerda (II) de duas em duas ordens decimais. Exemplos: Transformar: 1) 5,24 dam2 em dm2 5,24 dam2 = 52 400 dm2 2) 241,2 cm2 em dam2 241,2cm2 = 0,000 2412 dam2  Unidades Agrárias A medida de terras se faz segundo unidades especiais ditas agrárias. A unidade fundamental é are. Chama-se are ao quadrado que tem 10 metros de lado . As unidades agrárias se resumem no seguinte quadro: UNIDADES AGRÁRIAS Hectare Are Centiare ha a ca 100 a 1a 0,01a 10.000 m2 100 m2 1 m2 EXERCÍCIOS –SISTEMA MÉTRICO DECIMAL – (II) I) Calcular, em metros quadrados, as seguintes grandezas: 1) 5/4 dam2 2) 3) 4) 3/5 cm2 2 7) 1 2 1 dam2 ( ( 1 1 3 0,2 + 1 + 0,2 mm 5) 1 2 4 ) ) dm ( ( 3 1 +1 mm 8) 0,125+ 8 2 4 1 3 2 1 ) 6) 2 + 0,02 km ( ) ( 9) 4 0,25+1 1 4 ) ) 2 hm 2 km ) II) Efetuar as seguintes operações em dm2 114 25 km2 – ( 80 hm2 – 120 dm2 ) 0. ou seja: b=3xh (que lê-se: "base é igual a 3 alturas) Donde: 1h = 6 cm Logo: b = 18 cm Logo: 3h + h = 24 cm 4h = 24 cm.6 m2 – 120 dm2)] 54. Teremos a solução: h b=3xh I) Cálculo da base e da altura Como o perímetro vale 48 cm então: base + altura = 24 cm Ou: b + h = 24 cm Mas a base vale 3 alturas.00006 m2 4) 10080 dm2 4) 1545 m2 5) 0.5a 6) 10 ha – 10a III)Transformar. então: b = 3 x 6 cm II) Cálculo da área: 115 .4 hm2 – [ ( 5. a medida da base por b e a medida da altura por h.45a 5) 120 ca + 15. vem: S=bxh Exemplo: O perímetro de um retângulo é 48 cm e a base é o triplo da altura.00001875 m2 5) 23834.2 dam2 – ( 8.333 m2 6) 99000 m2  ÁREAS PLANAS  Área do Retângulo A área do retângulo é igual ao produto da base pela altura Representando-se a área por S.5 dm2 3) 10101 m2 4) 0.5 dm2 – [ 0. Determinar a área desse retângulo.8 m2) 4) 15. em metros quadrados. Mas como: b = 3 x h.6 dm2 5) 1670m2 6) 2 353333.000 00153 m 8) 3 750m2 2) 348740 dm2 2) 110500 m2 3) 0.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 1) 2) 3) 4) 5) 2.0145 m2 9) 1500000m2 3) 51.4 dam2 + 120 dm2) – ( 540 cm2 + 2.04 m2 – ( 12 dm2 – 1100 cm2)] 100 m2 + [ 120 dm2 – (12400 cm2 – 84 dm2)] (2. as seguintes medidas agrárias: 1) 120 ha 2) 10 ha + 105 a 3) 1 ha + 1a + 1ca Respostas I) 1) 125m2 7) 125 m2 II) 1) 145000120dm2 III) 1) 1200000 m2 2 2) 0. PROF. Calcular a área. 116 Os catetos sãoindiferentemente base e altura do triângulo. WELLINGTON BRITO S=bxh Ou: S = 18 cm x 6 cm = 108 cm2 S = 108 cm 2  L L Donde: A área do quadrado é igual ao quadrado dos lados Área do Quadrado O quadrado é um retângulo que tem lados de medidas iguais Logo: S = L x L ou S = L2 Exemplo: O perímetro de um quadrado mede 96 dm. conforme está assinalado na figura abaixo. Os lados que formam o ângulo reto são catetos e o terceiro lado chama-se hipotenusa. seus lados têm nomes próprios. Ou: S=bxh A C y Área Do Triângulo D C A área do triângulo é igual ao semiproduto da base pela altura. ou: L = 96 dm ÷ 4 = 24 dm S = L2 Donde: S = 24 dm x 24 dm ou: S = 576 dm2  D h A E  b Área do Paralelogramo C B A área do paralelogramo é igual ao produto da base pela altura. . O lado é a quarta parte do perímetro. h B Ou: S= bxh b 2 x Caso Particular: Se o triângulo é retângulo. z 2 Área do Trapézio W X b´ b Z Y A área do trapézio é igual ao produto da semi-soma das bases.  Ou: S = y . r A área do círculo é igual ao produto do número π (3. que vamos dividir no maior número possível de partes de medidas iguais.14) pelo quadrado do raio.MATEMÁTICA PASSO A PASSO A z Assim: B A área do triângulo retângulo é igual ao semi-produto dos catetos. S = ( b + b´ ) x h 2  P Àrea Do Losango D Q A área do losango é igual ao semi-produto de suas diagonais. S=πr2  Questões Comentadas 1) Calcular a área do losango onde a soma das diagonais vale 30 cm sendo uma o dobro da outra. 117 . d A C Ou: S = d x d´ 2 S B R d´  Àrea Do Circulo Seja um círculo de raio r. pela altura. tem-se: d + d´ = 30 cm d Como d é o dobro de d´.28 r = 3dm Calculando-se a área vem: S = π r = 3.14 x 9 ou S=28.84 dm C=2πr Ou: 6. Pelos dados do problema temos: vem: b = 10 m Como: h = 2 x 10m = 4m b´= 8 m 5 h = 2/5 b S = (b + b´) x h = (10 + 8) x 4 Ou: S = 36 m2 2 2 3) Calcular a área do círculo.2 m e a base é o triplo da altura. Raciocínio: Como temos: C = 18.84 dm. WELLINGTON BRITO Raciocínio: Chamando as diagonais de d e d `. h h b 118 . Calcular a área. sabendo-se que o comprimento é 18.84dm dm r = 18.26dm2  EXERCÍCIO – ÁREAS PLANAS 1) Calcular a área do retângulo cuja base vale 1.84 dm 2 π r = 18.25m e cuja altura é 1/5 da base.28 r = 18.84 dm ÷ 6. vem: d = 2d´ Ou: 2d´+ d´ = 30 cm 3d´ = 30cm d´ = 10 cm e d = 20 cm Donde: S = d x d´ = 20 x 10 = 100 cm 2 ou 2 2 S = 100 cm2 d´ 2) Calcular a área de um trapézio onde as bases medem 8m e 10m e a altura é 2/5 da base maior.PROF. h b 2) A soma entre a base e a altura de um retângulo é 7.14 x 32 = 3. h L b 4) O perímetro de uma circunferência é 314m. Calcular a área. Calcular a área do círculo cujo contorno é essa circunferência.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 3) O perímetro de um quadrado é 60 cm. a base vale 0. A base é os 9/7 da altura. Calcular a área h b r 6) Calcular a área do retângulo cuja base vale 150cm e cuja altura mede 12 dm h b 7) A soma entre a base e a altura de um retângulo é 36cm e a base é o dobro da altura. Qual é sua área 119 .54m e a altura é 2/3 da base. h b 9) O perímetro de um quadrado é 30cm. 5) Num triângulo. Calculara área do retângulo. h b 8) O perímetro de um retângulo é 160mm.Calcular a área do retângulo cuja base é o lado desse quadrado e cuja altura é a metade desse lado. sabendo-se que a soma dos catetos é de 32cm e um deles é o triplo do outro. Calcular a área do terreno se o comprimento é o triplo da distância que vai da frente ao fundo. S1 A S2 14) Calcular a área do círculo cujos 3/5 do raio medem 15metros. Calcular a área de cada um desse quadrados. h b 13) Sobre os catetos de um triângulo constroem-se quadrados. WELLINGTON BRITO 10) Para cercar um terreno retangular com 3 voltas de arame. Calcular a área do triângulo. respectivamente. foram gastos 216m. 15) Calcular a área do losango onde as diagonais medem 6 dm e 54 cm. C b 12) A soma entre a base e a altura de um triângulo é 72cm sendo a base o dobro da altura. a b 11) Num triângulo a soma dos catetos é 20cm e um deles é os 7/3 do outro. Qual a área.PROF. B 120 . Paguei R$2400. respectivamente.60m. A altura vale 10 dm e as bases 8 e 14dm. Calcular a área.20 m de lado.4m por 9. que tem forma retangular e mede 6. h b 17) Um trapézio é retângulo (tem um ângulo reto).MATEMÁTICA PASSO A PASSO 16) Num trapézio a altura vale 6cm e as bases medem respectivamente. a) Calcular a área do mesmo. comprei ladrilhos quadrados de 0. b´= 12 cm h = 6 cm b=18 cm 20) Comprei uma chácara de forma retangular que mede 120m de frente por 200 m da frente até o fundo. a) Quantos ladrilhos foram ocupados? b) Quanto gastei se paguei R$ 8.00 por cento? 121 . b) Calcular a área que pertence ao trapézio e não per tence a um círculo que tem centro no ponto médio do lado AD do trapézio e raio igual à metade desse lado. 8 e 10cm.00 quanto me custou a chácara? 21) Para ladrilhar a área de minha casa. D C h A B 18) Calcular a área do círculo cujos 7/3 do raio medem 42 cm 19) Calcular a área dos seguintes triângulos Assinalados que fazem parte do trapézio isósceles abaixo. WELLINGTON BRITO 22) A área de um triângulo é 54 dm2 e sua altura é 12 dm.5 m2 15) 1620 cm2 16) 54 cm2 17) a) 110 dm2 b) 70. Calcular a base do triângulo.72 m2 3) 112.00 21) a) 1536 ladrilhos b) R$ 122.760. 122 . Respostas 1) 3125 cm2 2) 9.PROF. Chama-se metro cúbico ao volume de um cubo cuja aresta mede 1 metro.36 cm2 19) 9 cm2 20) R$ 5. 1m Abrevia-se metro cúbico pelo símbolo m3.25 cm2 10) 243 m2 11) 42 cm2 2 12) 576 m2 13) S1 = 64 cm2 S2 = 576 cm2 14) 1962.75 dm2 18) 1017.5 cm 4) 7850 m2 5) 972 cm2 6) 180dm2 7) 288 cm2 8) 1575 mm2 9) 56. 1m 1m Múltiplos Unidade Submúltiplo decímetro centímetro milímetro cúbico cúbico cúbico dm3 cm3 mm3 quilômetro hectômetro decâmetro metro cúbico cúbico cúbico cúbico km3 hm3 dam3 m3 Os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico relacionam-se entre si segundo a tabela acima.88 22) 9 dm  UNIDADES DE VOLUME E DE CAPACIDADE  Metro Cúbico A unidade fundamental para medida de volume é o metro cúbico. 4 cm3 em m3 3421.  Transformações De Unidades Passo A Passo. Esta relação pode ser resumida no quadro seguinte: 1 hectolitro = 100 ℓ = 100 dm3 1 litro 1 mililitro  = = 1ℓ 0.1 ℓ dℓ 0.000 0001 hm3 em mm3 0.000 0001 hm 3 = 100 000 000 mm3  Unidades de Capacidade A unidade fundamental para medir capacidade é o litro que se abrevia ℓ.0034214 m3 3) 0.0025 km 3 = 2 500 dam3 2) 3421.001 ℓ mℓ  Relações entre as unidades de Volume e de Capacidade 1 litro = 1 dm3 relaciona as unidades de capacidade e volume. estabelecem-se os mútiplos e submúltiplos do litro que resumiremos no seguinte quadro: Múltiplos quilolitro hectolitro decalitro 1 000 ℓ kℓ 100 ℓ hℓ 10 ℓ da ℓ Unidade litro 1ℓ ℓ Submúltiplos decilitro centilitro mililitro 0.4 cm3 = 0. anteriores.0025 km3 em dam3 Do mesmo modo que as unidades de medida.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Onde cada unidade é 1000 vezes maior que a unidade é imediatamente inferior. 0. Converter: 1) 0. Define-se: O litro é o volume equivalente a um decímetro cúbico.01 ℓ cℓ 0.001 ℓ 123 = = 1 dm3 1 cm3 A definição de litro. isto é: Transformações de Unidades Passo a Passo . c.4 hl em L 4) 58 450 dl em dam3 1. indica área da base.005845 dam3 3) 22. E como:1L = 1dm3 2) 53 825 ml em dal 58 450 dl = 5 845 dm3 53 825 ml = 5. e c a profundidade.E como: 1 dm3 = 1 l 22. diríamos: O volume do paralelepípedo retângulo é igual ao produto da área da base pela altura. a é a largura. b. c. poderemos escrevê-la: V = (a. c.4. b.4 hl = 140L 58 450 dl = 5 845L..5 m = 22 500 dm . b.c) .5 m3 em l Então: 58 450 dl = 0. b é a altura. b E como a. Assim: V = 5.5 m3 = 22 500 l  VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS  Volume do Paralelepípedo Seja o paralelepípedo da figura abaixo e digamos que suas medidas sejam: a = 5 cm b = 4 cm c = 6 cm b a c O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto de suas três dimensões a. Ou: V = a. 6 V = 120 cm3  Volume do Cubo 124 .3825 dal E: 5845 dm3 = 0. WELLINGTON BRITO Converter: 1) 1.PROF. c Onde: V é o volume . Se observarmos a fórmula: V = a.005845 dam3 3 3 22. Conclui-se que: O volume do cone é a terça parte do h volume do cilindro que tem a mesma base e a mesma altura do cone. r O volume ficará: 125 . r r Assim: V = 1 B. para encher o cilindro. sendo a altura o triplo do raio. Vem: r + 3r = 36 cm h Ou: 4r = 36 cm Donde: r = 9 cm e h = 27 cm. h 3 1 V= 3 π r2 h  Questões Comentadas 1) Calcular o volume do cone onde a soma entre o raio da base e a altura é 36 cm.MATEMÁTICA PASSO A PASSO a Como o cubo é um paralelepípedo retângulo de arestas iguais. então: V = π r2 h h B  Volume do Cone Consideremos um cone e um cilindro cujas bases têm o mesmo raio e cujas alturas sejam iguais. Raciocínio: Como r + h = 36 cm e h = 3r. a a  Volume do Cilindro chamando-se de B a área da base e h altura do cilindro. Experimentalmente comprova-se que são necessários 3 cones de água. ou outra qualquer substância. ou areia. teremos: V=Bxh E como: B = π r2. chamando-se essas arestas de a. vem: V=axaxa Ou: O volume do cubo é dado pelo ou V = a3 cubo de sua aresta. 80m de aresta está cheio dágua até seus 3/4.2 hm 7) 123 125 cm3 3) 3/2 de hm3 8) 1 1 de dam3 4 PROF.5 dm3 cm3 ( 10) ( 9) 2 3 1 31 2 ) + 0.60 dm r o raio da base é 3/5 dessa altura.V = 1 π r2 h Ou: V= 1 x 3.5 dm3 3 2) 4. o consumo 126 .14 x 3 2 x 10 10 m V = 282.20m e o comprimento do tanque é 6 metros.60m por 0.5m e a altura é 5m. WELLINGTON BRITO ( ( 5) 4) 1 + 1 + 0. 5) Um reservatório de água de forma cilíndrica está cheio até os seus 5/8.005 km3 6) 5421. O raio da circunferência da base é 1.40 m x 1m. vem: V = 282600 dm3 em litros. 3m em hectolitros ficará: V = 2826 hl EXERCÍCIO – UNIDADE DE VOLUME E CAPACIDADE I) Escrever.60 m3 3 Como:1 dm = 1 I. em metros cúbicos. cujas arestas medem 0.5 8 41 – 4 ) ) 0. h V = 3.14 x 92 x 27 3 3 Donde: V = 2 289.2) + 0. Quantos litros contém? 3) Um tanque de gasolina tem forma cilíndrica. Raciocínio: V = π r2 .06 cm3 2) Calcular em hl a capacidade de um silo de forma cilíndrica. onde o raio da base vale 3 m e a altura é 10m.O raio da base é 2.2 hm3 km3 II) Resolver os seguintes problemas: 1) Determinar qual a capacidade em litros de uma caixa dágua que tem forma de paralelepípedo. Calcular seu volume. sabendo-se que se pode colocar o líquido até os 8/9 de sua capacidade pergunta-se: quantos litros cabem no tanque? 4) A altura de um cone é 0. 2) Um cubo de 0. as seguintes grandezas: 1) 0. Quantas latas de 0.081 388 8 dm3 5) 0.4 cm 3. pergunta-se durante quantas horas a cidade atendida pelo reservatório terá água? 6) A quantos hectolitros corresponde o volume de 152.4215 m 6) 0.123 125 m3 7) 125300 cm3 8) 1250 m3 8) 2500 frascos 9) 2 533 333.8cm3 serão necessários para conter o ácido diluído? 10) Uma indústria importa vinho estrangeiro em 20 barris de 160 litros cada. As balanças usuais medem a massa dos corpos e não do seu peso.80 000 L 3 2) 4 200 000 m 2) 384 L 12) 3850 cm3 – 1050 cm3 3) 1 500 000 m3 3) 24 115.75 litros cada. Qual a capacidade de cada um em litros? 12) A diferença dos volumes de dois frascos é 280 cl e o menor é os 3/11 do maior. 7) Dizer quantos cm3 estão contidos em 1253 dl.2 L 4) 0.000 00375 m3 5) 10 horas 3 6) 5.125 decilitros por hora.MATEMÁTICA PASSO A PASSO de água exige 61328. estão cheio de ácido que vai ser diluído em água em partes iguais.6 garrafas  UNIDADES DE MASSA Introdução O que comumente se chama como peso de um corpo é. Com essa água apenas. Perguntase: quantos frascos terá para vender? 9) Dois tambores de 200 litros cada. Quantas serão as garrafas de vinho? 11) A soma dos volumes de dois cubos é 2200 hl e o volume do maior é 7/4 do volume do menor. na realidade matemática e física.001 625 m3 4) 0. Quantos cm 3 contêm cada um? Respostas I) II) 1) 5 000 000 m3 1) 240 L 11) 140000 L . 8) Uma indústria farmacêutica importa 10 frascos de 5 l cada. de vacinas antipólio pretende revender a vacina em frascos de 20 cm 3. a massa do corpo. O peso de um corpo é a resultante da ação da gravidade sobre a 127  . Vai engarrafá-lo em frascos que contêm 0.3 m3 9) 1000 000 latas 10) 3 700 000 000 m3 10) 4266.001524 hl 7) 0. 128 .4 hg? Como: 8 432 738.PROF. toma-se como referência o grama . o peso varia conforme o local em que se acha o corpo.50 cg = 5.50 cg em hg 57. WELLINGTON BRITO massa desse corpo. a partir da unidade fundamental que é o quilograma.Passo a Passo As conversões se fazem facilmente.1 g dg 0. enquanto a massa é constante.001 do quilograma". O Quilograma O quilograma é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 40 C. Estudaremos as unidades de massa.27384 t. pois cada unidade de massa do quadro anterior é 10 vezes maior que a imediatamente inferior (exceção aos múltiplos especiais). porque a ação da gravidade varia de local para local da terra.4 hg = 843 273. Desse modo. que são: Tonelada (t) = 1000 kg Megatonelada (megaton) = 1000 t ou 1000 000 kg Quilate = 0. Assim teremos:  Múltiplos Uni dade 100 g hg 10 g dag 1g g Submúltiplo quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama 1 000 g kg 0. "massa equivalente a 0.2 kg em dg 2) 58342.4 hg = 843.01 g cg 0.2g O quilate serve para medir a massa de pedras e metais preciosos. Vem: 8 432 738. Para identificar múltiplos e submúltiplos das unidades de massa. Converter: 1) 57.001 g mg Existem outros múltiplos especiais do quilograma e um submúltiplo.  Mudanças de Unidades . Indica-se por kg.84 kg e valendo a tonelada 1000kg.2 kg = 572000 dg 58342.83425hg 2) Quantas toneladas estão contidas em 8 432 738. entre si. Isto é. Diz-se então que o número 9 h 10 min 30 seg é um número complexo. 52 g 3) 0.000 5312 kg 4) 0.5 hg 7) 3 1 cg 5 2 4 2) 3 hg 4) 0. definindo-se de um modo geral: 129 . Esse tempo.5 g + ( 5.000 075 kg 3) 0.05 kg + (120 hg – 11.5 g 2) 37.66 g 5) 859 g  UNIDADES DE TEMPO E ÂNGULO  Introdução: Digamos que sejam decorridos.2 kg)] Respostas I) 1) 4.2 + 1 ( 3 ) ( 8 ) ( 1 6 ) dag III) Efetuar em gramas as operações seguintes: 1) 3.5 g 7) 0.2 hg 9) 2 1 + 0.2 kg – [ (60 dg + 8.001 kg 6) 831.12 cg 2) 3 dg 4) 1 1 hg 4 6 II) Expressar em gramas as seguintes grandezas: 1) 4 kg 3) 7 1 dg 5) 34. e Um minuto = 60 segundos.6 hg – 49 dag) 2) 5. não se trata de uma variação decimal.09 hg + [0. É uma variação sexagesimal. as seguintes relações: Uma hora = 60 minutos.032 5 g 2) 550. assim expresso.116 kg II) 1) 800 g 6) 8 314.4 g) + (25 dag – 240 g)] 4) 125 hg – [ 10 dag – ( 130g – 1120 dg)] 5) 0.42 dag 8 8) 4 1 + 0. 9 horas.3 g 3) 4175. reúne as seguintes unidades de medida: 1) horas.MATEMÁTICA PASSO A PASSO EXERCÍCIO – UNIDADE DE MASSA I) Expressar em kg as seguintes grandezas: 1) 4213 g 3) 53.2 g III) 1) 73.3 kg – 40 hg) ] 3) 4. 10 minutos e 30 segundos do dia. 2) minutos e 3) segundos Essas unidades têm. até agora.75 g 8) 453.6 g 4) 1 g 9) 225 g 4) 12 418 g 5) 3 450 g 10) 13.213 kg 2) 0.20 dg + [ 85 dag – (4.125 hg 10) 0. PROF. Daremos a seguir as relações entre essas unidades. Exemplos: 1) Tempo: 2 dias.  Unidades de Medida de Tempo NOME Ano comercial Mês comercial Um dia Uma hora Um minuto Um segundo SÍMBOLO a me d ou da h min s ou seg VALORES 360 dias 30 dias 24 horas 60 minutos 60 segundos do dia médio solar 1 86400  Unidades de Medida de ângulo. 3 horas. WELLINGTON BRITO Chama-se número complexo aquele que expressa uma determinada grandeza. Um ângulo se mede com um transferidor. 20 minutos e 10 segundos. em diferentes unidades que não têm entre si relações decimais. pois as seguintes unidades de medida de ângulo. Um transferidor de meia circunferência tem 180 graus que se indica 180o. 2) Ângulos: 15 graus e 18 minutos. Temos. NOME Um ângulo raso Um ângulo reto Um grau Um minuto de grau = = = = VALORES E SIMBOLOS 180 graus ou 180 0 90 graus ou 900 60 minutos de grau ou 60´ 60 segundos de grau ou 60" Experimentamos um ângulo segundo os exemplos seguintes: â = 300 20´ 42" b = 1350 10´ 40" ângulo reto = 900 = 890 60´ = 890 59´ 60" ângulo raso = 1800 = 1790 60´ = 1790 59´ 60" 130 . faz-se o empréstimo de um minuto de grau para aquela ordem: 20 0 14´ 90" 100 10´ 40" 10 0 4´ 50"  Para a adição e subtração de números complexos. já existentes darão: 2 h. ou: 2 h = 2 x 60 min = 120 minutos + 10 " 130 “ Mas. somados aos 20 seg.Passo a Passo Seja efetuar: 200 15´ 30" 100 10´ 40" Como a subtração é impossível na ordem dos segundos de grau. minutos e segundos. 53 min. 10 min e 20 seg. Deveremos transformar todo o tempo em segundos. donde: S = 18 h. 130 min = 130 x 60 seg = 7 800 seg que. 46 min e 10 seg  Adição de Complexos . o tempo de 24 370 segundos.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Questões Comentadas 1) 2 h.Passo a Passo Seja efetuar: 3 h 42 min 30 seg 15 h 10 min 40 seg S = 18 h 52 min 70 seg Ora. os 70 seg se reduzem a 1 min e 10 seg. Como cada 60 seg perfazem 1 minuto. 10 seg Subtração de Complexos . 10 min e 20 seg = 7 820 seg 2)Transformar. vem: 24 370 60 0 370 406 min 10 seg E como cada 60 minutos perfazem uma hora. teremos: 406 min 60 46 min 6 h ou 24 370 seg = 6 h. conclui-se: 131 . em horas. somados aos 18` existentes. Ou: 75 h 51 min 40 seg Multiplica-se o fator inteiro pelas unidades do número complexo e reduzem-se os resultados incomplexos aos equivalentes complexos. Estes 318`são divididos em 6 partes. foram gastos 15 h 30 min de trabalho. reduzindo-se nos resultados os valores incomplexos aos equivalentes complexos. 2) Divisão de incomplexos por complexos: Para o revestimento e pintura de 50º de um reservatório de água de forma circular.PROF.  Multiplicação e Divisão de Números Complexos Passo a Passo O produto de números complexos envolve: Multiplicação de inteiro por complexo: Seja efetuar: (15 h 10 min 20 seg ) x 5 = 75 h 50 min 100 seg. WELLINGTON BRITO Somam-se ou subtraem-se cada unidade da mesma espécie. transforma-se em minutos (´) obtendo-se 300 ´ que. Isto é: A divisão de números complexos envolve dois casos: 1) Divisão de complexos por incomplexos: Seja dividir o ângulo de 245 0 18 min 24 seg em 6 partes iguais. resto de 5º. dando o quociente 53´. produzem 318`. ( 2450 18´ 24" ) : 6 Ou: 2450 18´ 24" 6 050 300´ + 00 400 53´ 4" x 60´ 318´ 24" 300´ 18 00 Isto é: o 1o. Quantos graus em média foram realizados por hora de trabalho? Deve-se efetuar: 132 . Que horas são? 10 9) São decorridos 3 do ano. 2 31 31 Ou: 100 31 07 3º 13´ 32" e 28 x 60´ 31 420´ 110 17´ x 60 1020" 90 28 Em cada hora faz-se o revestimento e a pintura de: 3º 13´ 32" e 28 " do reservatório.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 50º : (15 h e 30 min). devemos transformar 15 h e 30 minutos em número fracionário: 15 h e 30 min = 15 h + 30 h = 15 h + 1 h = 31 de hora. 60 2 2 Logo: 50º : 31 de h = 50 x 2 = 100 graus por hora. Como o problema pede "quantos graus por hora". ( ) 31 ) EXERCÍCIO – UNIDADE DE TEMPO E ÂNGULO I) Escrever os seguintes números complexos na unidade pedida: 1) 10 h 20 min 15 seg em segundos 2) 5º 10´ 18" em segundos (") 3) 3 d 20 h 15 min em minutos 4) 118º 25´ 30" em segundos (") 5) 37º 38´ 5" em segundos (") 6) Quantos minutos há num dia? 7) Quantos segundos de ângulo existem em 180º ? 8) Decorreram 7 do dia. Quantos meses e dias se passaram? 8 II) Transformar em números complexos as seguintes grandezas: 1) 42 351 seg 2) 35 400" 3) 75 358 seg 4) 25 001 min 5) 2 535 " 6) 2 437 min 133 . Respostas I) II) 1) 11h 45min e 51 seg 2) 9º 50´ 3) 20h 55min e 58 seg 4) 17 d 8h e 41 min 5) 42´ 15" 6) 40 h e 37 min 1) 37 215 seg 2) 18 618" 3) 5 535 min 4) 426 330 seg 5) 135 485 " 6) 1 440 min 7) 648 000 " 8) 9) III) 1) 1d 6h 53 min e 8 seg 2) 51º 6´ 2" 3) 8d 19 h e 10 min 4) 1 h 54 min e 50 seg 16 h e 48 min 4 m e 15 d 134 .PROF. Dividir o ângulo de 32º em 6 partes iguais. WELLINGTON BRITO III) Efetuar as seguintes operações: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 20 h 40 min 16 seg + 10 h 12 min 52 seg 30º 15´ 42" + 20º 50´ 20" 5 d 22 h 40 min + 2 d 20 h 30 min 12 h 15 min 30 seg – 10 h 20 min 40 seg 25º 8´ 10" – 10º 15´ 30" 3 d 20 h 10 min 20 seg – 22 h 20 min 20 seg ( 4 h 10 min 20 seg ) x 5 ( 3º 40´ 30" ) x 6 (20 h 40 min 12 seg) x 3 5 (30º 15´ 40" ) x 3 4 (15 h 20 min 48 seg) : 6 ( 42º 10´ 15" ) : 12 Dividir o tempo de 17 horas em 5 partes iguais. temos medicamento suficiente para um tratamento de no máximo: a) 40 dias b) 35 dias 2) c) 30 dias d) 20 dias e) 25 dias (TJ) Quantos cm3 existem em 10 litros? a) 10 b)100 c) 1000 d)10.000 e)100. Então. plantadas a mesma distância. uma da outra.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 5) 14º 52´ 40" 6) 2 d 21 h 50 min 7) 20 h 51min 40seg 8) 22º 3´ 9) 12 h 24 min e 7 1 seg 5 10) 22º 41´ 45" 11) 2 h 33 min e 28 seg 12) 3º 30´ 5 1 1 " 4 13) 3 h e 24 min 14) 5º 20´  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1) (INFRAERO) A dose diária recomendada de um remédio líquido é de 40 gotas. 5 x 10-2 gramas. quanto da substância existe em um litro de solução? a) 200 mg b) 2g c) 20g d) 200g e) 2kg 4) (ECT) Contornou-se com 319 palmeiras. um terreno retangular com 380 dm de 135 . Uma gota desse medicamento pesa em média.000 3) (TJ) Se uma solução contém 2mg/ml de uma substância dissolvida. num frasco contendo 80 gramas desse remédio. O tempo necessário.2 dam. WELLINGTON BRITO frente por 60 dam de fundo. O volume da segunda caixa d´água.2m x 0. – Aresta de 200cm. a segunda. possuem as seguintes dimensões: – Base 6m por 40dm e altura 0. está sendo abastecida de água à razão constante de 50 litros por minuto. De quantos em quantos metros foram plantadas as palmeiras? a) de 2m em 2m b) de 7m em 7m 5) c) de 5m em 5m d) de 4m em 4m e) de 6m em 6m (UECE) Duas caixas d´água. a primeira. em horas. a primeira em forma de um paralelepípedo e a segunda em forma cúbica.PROF. 4m de largura e 2m de altura. em litros. para encher esta piscina. sem desperdício de água. de uma caixa de formato cúbico que tem 50 centímetros de aresta é de: a) 625 b) 500 c) 375 d) 250 e) 125 6) 7) (UFC) Uma piscina na forma de um paralelepípedo retângulo de 9m de comprimento. comparado com o volume da primeira é: a) a metade b) um terço c) um sexto d) um oitavo (UFC) A capacidade.2m são precisos para revestimento de uma sala de 5m de comprimento por 6m de largura? a) 600 b) 650 c) 700 d) 750 e) 800 9) (TRT) A velocidade de 180 km/h eqüivale a quantos metros por segundo? a) 5 b) 30 c) 50 d) 300 e) 500 136 . é: a) 26 b) 24 c)22 d) 20 e) 18 8) (BB) Quantos labirintos de 0. A razão de 3 para 12 é : 3 = 1 12 4 2.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 10) (UECE) Quando um relógio de ponteiros.Passo a Passo 1. a medida do ângulo menor entre os ponteiros (das horas e dos minutos) é: a) 850 Respostas 1) A 03)B 05)C 06)E 07)B 08)D 09)C 10)C b) 800 c) 750 d) 700 02) D 04)D  RAZÃO E PROPORÇÃO Razões . Razão de dois números Razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Exemplos: 1. a é chamado antecedente e b. A razão de 20 para 5 é : 20 = 4 5 3. conseqüente da razão. a ou a : b (lemos: a para b ) b Os números a e b são os termos da razão. A razão entre 5 e 1 é : 137 5 = 5x 2 = 10 Indicamos: . marca exatamente 3h 30min. Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 27 km e 3L de álcool d) 20 cm e 4dm 3 b) 40 g e 5 cm e) 20 d e 2 me 15 d ( ) 138 . Calcule a razão entre os números: a) 256 e 960 c) 5 e 1 e) 2 . Exemplo: Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. Razão de duas grandezas 1 2 1 Razão de duas grandezas. Se as grandezas são da mesma espécie.1 e 3 3 5 b) 1. Neste caso.PROF. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: 160 km = 160 km/h = 80 km/h 2h 2 Podemos dizer. A razão de 30 dm para 6m é: 30 dm = 3 m = 1 6m 6m 2 2 Observação: Se as grandezas não são da mesma espécie. a razão é um número puro. então. A razão de 2m para 3m é: 2m = 2 3m 3 1 2. WELLINGTON BRITO 2 2. a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.25 e 3.  Exercício – Razão 1.2 2 2. Exemplos: 1. que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora ou 80 km/h.75 d) 1 e 0. é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. dadas em uma certa ordem. suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. 18 27.20 e 4). = . b. nesta ordem. em uma certa ordem. quatro números (a. 3.3. dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d). 20 e 4. como a razão entre os dois primeiros números(15 e 3) é igual à razão entre os dois últimos (20 e 4). forma uma proporção. Essas anotações põem em evidência o fato de que uma proporção é uma igualdade entre duas razões. que expressamos mediante a igualdade das duas razões: 15 3 = 20 4 Assim: Dados.pois = 2: = x =6e = x = 6 1 3 1 3 1 3 2 3 1 1 3 4 3 4 139 . Simbolicamente. Exemplos: 1. representamos uma proporção por: a = c b d e lemos: "a está para b. 18 27 = pois =3 e =3 6 9 6 9 9 9 3 2 2 2 2 1 2 3 2 9 4 2. 4 dizemos que os números 15.Passo a Passo  Definição Dados quatro números (15. c e d) diferentes de zero.MATEMÁTICA PASSO A PASSO c) 24 kg e 80 kg  Proporções . assim com c está para d". isto é: 15 = 5 3 e 20 = 5. o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. b. formam uma proporção e. c e d são termos ( 1º. tais que: a c b d Em toda proporção. b) Temos: 2 x 15 = 30 e 3 x 12 = 36 logo. b. em caso afirmativo. 7. 3º e 4º termos. respectivamente) a e c são os antecedentes b e d são os conseqüentes a e d são os extremos b e c são os meios  Propriedade fundamental Sejam a. não obrigatoriamente nesta ordem. WELLINGTON BRITO  Elementos Na proporção: a c b d temos: a. é verdadeira.PROF. Resolução: Temos: 3 x 35 = 105 e 7 x15 = 105 140 3 x 35 = 7 x 15 . c e d números reais diferentes de zero. escreva-a. 15 e 35. 2º.  Questões Comentadas 1) Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções: a) 6 7 24 28 b) 2 3 12 15 6 x 28 = 7 x 24 2 x 15 ≠ 3 x 12 Resolução: a) Temos: 6 x 28 = 168 e 7 x 24 = 168 logo. é falsa 2) Comprove se os números 3. MATEMÁTICA PASSO A PASSO Logo: 3 7 15 35 3) Calcule x nas proporções: a) 15 20 60 x b) 7 6 x 5 3 2 Resolução: a) Temos. 141 . a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente.. 12 . 10 . m b d n • Propriedade Em uma série de razões iguais. podemos escrever: 6 10 12 8 3 5 6 4 Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla. aplicando a propriedade fundamental: 4 15 X x = 20 x 60 x = 20 x 60 x = 80 15 Logo: x = 80 1 b) Temos: 1 5x = 7 4 7 x=4 5 x=7x1 4 5 x= 7 20 5Xx=7x3 622 Logo: x = 7 20  Razões Iguais – Passo a Passo Considerando as razões: 6 . 8 3 5 6 4 vemos que todas são iguais a 2. Em símbolos: a c . Logo.. vem : 47 = x ou y 10 2 8 Daí : 47 = x x = 47 x 2 = 94 = 9.6 10 10 142 . Determine os antecedentes de uma proporção. sabendo que x = y = z e x + y + z = 420. y e z. Calcule x. 9 11 15 Resolução: Temos. WELLINGTON BRITO Exemplo: 6 10 3 5 12 6 8 4 6+10+12+8 3+5+6+4 6 ou 10 ou 12 ou 8 3 5 6 4  Questões Comentadas 1. y = 132 e z = 180 2. sabendo que sua soma é 47 e que os conseqüentes são 2 e 8. pela propriedade fundamental da série de razões iguais: x+y+z = x ou y ou z 9 + 11 + 15 9 11 15 Como: x + y + z = 420.PROF. chamando de x e y os antecedentes: x y = e x + y = 47 2 8 Pela propriedade fundamental da série de razões iguais. Resolução: Temos. podemos escrever: x + y = x ou y 2 + 8 2 8 como : x + y = 47 . podemos escrever: 12 420 = x ou y ou z Daí: 420 = x x = 420 x 9 = 108 35 9 11 15 35 9 35 1 12 420 = y y = 420 x 11 = 132 35 11 35 1 12 420 = z 35 15 z = 420 x 15 = 180 35 1 Logo: x = 108 .4 10 2 10 10 47 = y 10 8 y = 47 x 8 = 376 = 37. 725 m e 5.6. respectivamente.4 + 37.75 c) 12 e 9 30 12 d) ( 2 + 3 5 4 ) ( e 15 4 – 2 5 8 ) 2) Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 80 m e 48 dam b) 150 m2 e 45 ares 3 c) 0. os antecedentes são 9.0.1 200 c) = 1 25 5) Calcule o valor de x na proporção: a) 2 3 x 7 5 4 5 7 2 1 2 2 3 1 2 1 1 143 e) 1 + 1 4 3 2 2 3 5 x 0.2 3 ) 2 8 g) 3 .  E XERCÍCIO – RAZÃO E PROPORÇÃO 1) Determine a razão entre os números: a) 226 e 1.01 = 20 0.25 e 0.017 b) 1.6 = 47.5 6 1.0 Logo.5 4 f) 4 ( 1 .3 .2 a b) 0.4 e 37.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 9. 4) Verifique se as seguintes expressões formam proporção: 3 a) 4 5 8 5 2 25 12 1 3 1 2 1 3 1 5 .1 2 + x x 3 – 1 7 3 x 1 +1 4 2 b) x 5 1 7 c) x .000 L d) 9d 17h 20min e 8d 12h 10min 3) Verifique se a razão de 6 me 20 d para 3a 5me 20 d é igual à razão de 640 L para 2 m3. qual a idade de cada um? 3 14) Decomponha o número 35 em duas partes. estão na relação 8. tais que a razão entre elas seja 3.1 – 1 x 0. cujo conseqüente seja 4 1 5 conseqüentes sejam 28 e 36. Quais 13) A idade de um pai está para a de seu filho como 7 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Se a soma das idades é 52.1 ( 1 – 0. cuja diferença é 12.PROF. guardam entre si a relação 3. WELLINGTON BRITO d) 0. cujo antecedente seja 5 . O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. 4 c) 1 e x+y= 6 x = y 8 3 e x – y = 85 8) Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a 1 e cujos 9) Calcule x e y . 4 3 7) Escreva uma razão igual a 1. Quais são esses números? são esses números? 5 4 12) Dois números. 6 2 15) Qual o número que. está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? 17) A soma de três números é igual a 555. sabendo que sua soma é 169 e que a razão é 4 9 11) Dois números. diminuído de 3 unidades. sabendo que: a) x 5 b) 1 2 x y e x + y = 187 12 1 3 y 10) Calcule dois números.aumentado de 2 unidades.4 4 x h) 2 x ( x 2 2 +1 4 ) 6 6) Escreva uma razão igual a 15.está para 5 assim como 28 está para 20? 16) Qual é o número que. cuja soma é 28. Quais são os três números? 144 .1 ) 0. 52 e 117 11. Não 4. 32 e 20 13. 12 e 16 12. Segundo tal lei. 184. 5 3 4 9 7. as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente proporcionais. e que a parte da segunda está para a da terceira como 7 para 9. quando uma delas varia. a) sim b) sim c) não 5. A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas em relação à outra. 145 . Respostas 1. 42 anos e 10 anos 14. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados. como conseqüência varia também a outra. a) x = 55 e y = 132 b) x = 1 e y = 1 10 15 c) x = 136 e y = 51 28 36  GRANDEZAS PROPORCIONAIS  Introdução A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas relacionadas de tal forma que. 7 9 e) 105 64 f) 3 5 g) 2 h) + 3 2 10. 5 6 4 1 6 8. Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda como 5 para 7.5 6. a) 2 b) 5 c) 8 d) 46 9 3 15 45 2. a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. Assim. R$ 196 e R$ 252 7 e 7 2 3 b) 1 c) 29 d) 8 30 200 7 09. determine as três partes.R$ 140. 115 e 256 18. a) 1 6 3. 23 17. a) 8 c) – 5 21 3 b) 4 d) 2.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 18) A importância de R$ 588 foi dividida entre três pessoas. 15. 5 16. 5). vemos que a grandeza massa depende da grandeza volume.3. y2) pares de valores correspondentes de duas grandezas proporcionais. podemos escrever: y2 y1 x2 x1 Alternando os extremos.PROF. 3. obtemos: x1 y1 x2 y2 que nos dá a propriedade característica das grandezas diretamente proporcionais: Dadas duas grandezas diretamente proporcionais. a outra (massa) também aumenta. podemos.20) e (2. nas mesmas condições. esses números não são 2 3 6 proporcionais 146 . já que aumentando uma (volume). 4.12. uma barra de 200 cm 3 pesará 540 g e uma de 30 cm3. 810 g. 2) Os números das seqüências (6.350 Examinando a tabela. y1) e (x2. 15) e (2. escrever a seguinte tabela: Volume (cm3) 100 200 300 500 Massa (g) 270 540 810 1. essas seqüências de números são diretamente proporcionais e a razão de proporcionalidade é 3. a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.9. WELLINGTON BRITO  Grandezas Diretamente Proporcionais  Definição Uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g.6) são proporcionais? Resolução: Temos: 6 = 9 ≠ 20 Logo.  Questões Comentadas 1) Verifique se são diretamente proporcionais as seqüências de números (6.9.  Propriedade Fundamental Sendo (x1. então. Resolução: Temos: 6 = 9 = 12 = 15 = 3 2 3 4 5 Logo. 105) 3) Qual é a razão de proporcionalidade entre as seqüências de números diretamente proporcionais ( 5. 3 e 1 ? 3 4 6 Resolução Vamos multiplicar cada um dos números dados pelo menor múltiplo comum dos denominadores. 88)? 4) Determine os valores de a e b nas seqüências de números proporcionais (6. determine os três menores 147 . Como o m. 5) Dados os números 1 . b).6) =12.9 e 2 EXERCÍCIO – GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 1) O número de dias gastos na construção de um muro é diretamente proporcional ao número de operários empregados nesse serviço? Por quê? 2) Verifique se são ou não proporcionais os números das seqüências: a) (40.m. 11) e (40.c. 5. calcule os valores de a e b: x y 7 9 b 21 a 39 Resolução: Sendo k a razão de proporcionalidade.21) e (2. 3 x 12 = 9 .4. 64. 7. 38. 35) e (8. os números pedidos são 8. temos: 21 k = =3 7 Logo: a = 3 a=9x3 a = 27 9 39 = 3 b x 3 = 39 3b = 39 b = 39 b 3 Assim: a = 27 e b = 13 b = 13 4) Quais os menores números inteiros proporcionais aos números 2 . 1 x 12 = 2 31 41 61 Logo. 5) b) (5. 7) e (75. temos: 4 3 2 2 x 12 = 8 . 6. 8.a.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 3) Sendo x e y grandezas diretamente proporcionais. (3. 90. 3 e 7 . y2) partes de valores correspondentes de duas grandezas inversamente proporcionais. já que aumentando a velocidade o tempo diminui. Respostas 1) Não. em 6 horas. também aqui. em 12 horas. podemos escrever: x1. então. y1 = x2. y1) e (x2. Podemos. em 4 horas. diminuirá. a uma velocidade de 200 km/h. a razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.  Propriedade Fundamental Sendo (x1. o número de dias gastos na construção. e a uma velocidade de 300 km/h.  Questões Comentadas 148 . 2) a) Não b) sim 3) k = 8 4) a = 15 e b = 7 5) 6. a grandeza tempo depende da grandeza velocidade. y2 ou: x1 y2 x2 y1 característica das que nos dá a propriedade inversamente proporcionais: grandezas Dadas duas grandezas inversamente proporcionais.PROF. WELLINGTON BRITO 5 6 10 números inteiros proporcionais a esses números.200 km pode ser percorrida por um avião. Aumentando o número de operários. escrever a tabela: Velocidade (km/h) Tempo (h) 100 12 200 6 300 4 400 3 Vemos que. a uma velocidade de 100 km/h.15 e 21  GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS  Definição Uma distância de 1. são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 90. a. b) e ( 15. 5).12) 3) 4) 5) b) (1.2. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as seqüências de números: a) (20.30.3.2. -4) e (4. 3.20) Qual é o fator de proporcionalidade entre as seqüências de números inversamente proporcionais ( 1.12. determine a e b.30.10) e (6.3. a. b) Temos: 2 x 40 ≠ 5 x 30 Logo.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 1) Verifique se são ou não inversamente proporcionais as seqüências de números: a) (2.20.10) e (45.5) e (60.8) e (40. O produto de dois números é direta ou inversamente proporcional a cada um de seus fatores? Por quê? 149 . 2) Determine os valores de a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais ( 2.20) Resolução: a) Temos: 2 x 45 = 3 x 30 = 6 x 15 = 10 x 9 = 90 Logo.b) são inversamente proporcionais. não são inversamente proporcionais.6. Resolução: Temos: Daí: k´ = 2 x 15 3a = 30 5b = 30 k´ = 30 a = 30 3 a = 10 b= 6 b = 30 5 Logo: a = 10 e b = 6 EXERCÍCIO – GRANDEZAS PROPORCIONAIS 1) 2) Dê um exemplo de grandeza inversamente proporcionais.15.9) b) (2.10.8.5 ) e (4.5.12)? Sabendo que os números das seqüências (1. p. proporcionais.8. 2 .035 10. 2. 9 150 .10 e 5 20.24. 35 e 32 13) Determine os valores de x e y e z nos seguintes grupos de números diretamente proporcionais: a) x y 0. 2 5 6 e 36 2 3 12) Determine o coeficiente de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números inversamente proporcionais: a) 6. determine o coeficiente de proporcionalidade: a) 120. 9. 42.8 e 36 11) Determine o fator de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números proporcionais: a) 4.7 2 5 2 b) x. 0. 0.05 10) Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sucessões de números a seguir. z 5 14) Determine os valores de m e n e p nos seguintes grupos de números inversamente proporcionais: a) 5 . 3 .21 e 0.42 e 56 b) 0. em caso afirmativo. 16 e 20 12.60 e 45 28.45. em caso afirmativo. 7 b) 8 .PROF. 0. WELLINGTON BRITO 6) 7) O quociente é direta ou inversamente proporcional ao divisor? Por quê? Diga se são direta ou inversamente proporcionais as seguintes grandezas: a) quantidade de metros de arame e preço. determine o coeficiente de proporcionalidade: a) 90. n . b) Velocidade e tempo c) Tempo e número de operários empregados para um determinado serviço d) Salário e número de horas de trabalho: e) Quantidade de alimento e número de pessoas a serem alimentadas Dê exemplo de: a) grandezas diretamente proporcionais.15 0. 3 4 . 0. 12 e 24 b) 2 . y . b) grandezas inversamente 8) 9) Verifique se são ou não proporcionais as seguintes sucessões de números. 48 e 60 b) 1 e 22 . p . 5 3 7 .5. 72 e 150 b) 0.7 e 0. 4 e 7 3 5 8 .3. 180 e 375 48.12 e 0. 2 . n = 45/19 e p = 1 15) a) 45.8 e 3. n = 14 e p = 4 b) m = 9/8. 8 15) 5 m .4 4 5 menores números inteiros inversamente proporcionais aos 3. 4.5. 2. 0.24. devemos verificar que: 151 . Isso significa dividir o número 180 em três parcelas. Assim. 9.1 Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: 5 e 8 b) 0.5 e 8? b) Não 10) a) sim. 192 b) 50.4. 150. 340 16) 40.75 b) x = 9/2. n . 80.2 .7 e y 1. chamando de x.MATEMÁTICA PASSO A PASSO m .1 5) Diretamente 6) Inversamente d) Direta e) Direta b) Inversa b) k = 3/5 12) a) k = 120 b) k = 28 13) a) x = 0. 5 e 11. y = 4/3 e z = 10/7 14) a) m = 11. y e z. cada uma dessas parcelas.30.15 7) a) Direta b) Inversa 9) a) sim. respectivamente. 237.37. 14 . tais que a razão da primeira parcela para o número 2 seja igual à razão da segunda parcela para o número 5 e igual à razão da terceira parcela para o número 11. 80. k = 5/2 b) não  DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE   Divisão Proporcional Divisão em partes diretamente proporcionais Suponhamos que você queira dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2. 8 3 16) Quais os números Respostas: 2) 2) a) Sim 3) k = 60 4) a = 2 e b = . k = 2520 11) a) k = 1/3 b) Não a) 3 . 3 e 5. com x. chamamos. concluímos que as partes procuradas são: 20. y e z são as parcelas em que dividimos o número 180.  Questões comentadas 1. devemos ter: x + y + z = 180 Como 1 é uma série de razões iguais. Observação: • Por convenção. y e z. podemos escrever. simplesmente.PROF. Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2. de divisão proporcional a divisão diretamente proporcional. devemos ter: x 2 x = y = z 70 y 3 sendo 2 3 5 z 5 x + y + z = 70 10 Como: = 70 Vem: x = 2 x 7 = 14 k=7 k 152 . 50 e 110. pela propriedade: x + y + z = x = y = z 2 + 5 + 11 2 5 11 180 = x = y = z 18 2 5 11 180 = 10 temos: 18 x = y = z = 10 2 5 11 x = 10 x = 2 x 10 = 20 2 y = 10 y = 5 x 10 = 50 5 z = 10 z = 11 x 10 = 110 11 x = y = z ou: Como: Daí Sendo 20 + 50 + 110 = 180. Resolução: Indicando as partes por x. WELLINGTON BRITO 1 2 5 11 Além disso. podemos afirmar que as partes são: 48. 64 e 72  Divisão em partes inversamente proporcionais Suponhamos. agora. 5 e 6. 3 x 12 = 9 2 3 4 1 1 1 Resulta. então: x 6 x = y = z 184 y 8 sendo 6 8 9 z 9 x + y +z = 184 23 Como : k = 184k = 8 23 vem: x = 6 x 8 = 48 y = 8 x 8 = 64 z = 9 x 8 = 72 184 10 Logo. temos: 10 6 5 153 . 21 e 35 2.m. obtemos uma seqüência de números inteiros que mantém a proporcionalidade e facilita os cálculos: 6 4 3 1 x 12 = 6. 6 ) = 30. determinar parcelas x. Isso significa dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3. as partes procuradas são: 14.c. dos conseqüentes (12). 5. ( 3. multiplicando todos os números da seqüência 1 . Divida 184 em partes diretamente proporcionais a 1. isto é.c. 5 e 6. que você queira dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3.MATEMÁTICA PASSO A PASSO y = 3 x 7 = 21 z = 5 x 7 = 35 70 Logo. y e z. 2 x 12 = 8.m. 2 e 3 pelo 2 3 4 m. tais que: x = y = z 1 1 1 3 5 6 Como o m. 2 e 3 2 3 4 Resolução De acordo com a propriedade dos números proporcionais. c.PROF.   Questões Comentadas 1. bb´. Resolução Temos: 2 x 3 = 6. 3 x 5 = 15. portanto. para efeito de raciocínio. aos produtos aa´. y. c´.5.7. b´. Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2. 4 e a 3. x. 3. b´. c e também aos números a´. os valores das partes pedidas. 1 x 30 = 5 5 6 1 1 10 x = y = z 6 sendo 10 6 5 5 x + y + z = 210 21 210 k = 10 21 x = 10 x 10 = 100 y = 6 x 10 = 60 z = 5 x 10 = 50 210 k= Logo. c´. y. Sejam x. 4 x 7 = 28 x 6 x = 6 x 8 = 48 392 y 15 k = 392 = 8 y = 15 x 8 = 120 z 28 49 z = 28 x 8 = 224 49 392 154 . são proporcionais. b´. b. b. podemos achar o processo de resolução do problema. b. o problema consiste em dividir um número em partes direta ou inversamente proporcionais a certos números a. 60 e 50 Divisão Proporcional Composta Neste caso. Como x. o caso da divisão da grandeza de valor n em partes proporcionais aos números a. c e. em partes direta ou inversamente proporcionais a outros tantos números a´. WELLINGTON BRITO 1 x 30 = 10 3 1 Logo: x 210 y z Como: Vem: 1 x 30 = 6. respectivamente. são grandezas compostas. Tomando por base o que vimos sobre grandezas proporcionais a várias outras. z são proporcionais a a. Consideremos. cc´. e também a a´. as partes procuradas são: 100. simultaneamente. c´. respectivamente. 4 e. 4 ao mesmo tempo.DIVISÃO PROPORCIONAL 1) Divida o número 2. 3 x 1 = 1 .MATEMÁTICA PASSO A PASSO Logo. inversamente proporcionais a 3 . 2 a 8. 2) Divida 183 em partes proporcionais a 1 . se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas. 155 . 2. temos: 1ª 1 2ª 2x1=2 3ª 4x2=8 Como o problema resulta em dividir 363 em partes diretamente proporcionais a 1. 3. 66 e 264 363 y z y = 2 x 33 = 66 z = 8 x 33 = 264 363 EXERCÍCIO. 4 3 3 6 2 1 2 4 x 1 =2 2 1 Daí: 175 x y z 5 1 2 2 10 3 3 x = 10 x 7 = 70 k = 175 = 7 25 y = 3 x 7 = 21 x = 12 x 7 = 84 175 12 25 Logo as partes são: 70. 120 e 224 2. Como devem repartir essa quantia. 3.990 em partes proporcionais a 5. 7 e 11. 3 e 4. 1 e 3 4 1 7 3) Dois operários contratam um serviço por R$ 180. Divida 363 em três partes. 4 Resolução: 1 1 2 Temos: 5 x 4 = 5 . sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço? 4) Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2. as partes são: 48. temos: x 1 x = 1 x 33 = 33 2 k = 363 = 33 8 11 11 Logo as partes são: 33. 6 . Divida 175 em partes diretamente proporcionais a 5 . de modo que a Segunda seja o dobro da primeira e a terceira o quádruplo da segunda. Resolução: Considerando a primeira parte proporcional a 1. 21 e 84. 7) Divida 6. a um tempo. 156 . por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos sócios ou da admissão de um novo sócio.430 2) 84. diretamente proporcionais a 2. o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que empregaram. 12 e 28 anos. 7.5 e 6 e a 4.9. 8) Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3. inversamente proporcionais a 3. 3. 1. 8. 72 e 40   Introdução REGRA DE SOCIEDADE A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional.470. Respostas 1) 650. WELLINGTON BRITO 5) Um pai deixou R$ 2.PROF. 910 e 1.00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa das suas idades: 8. R$ 980 e R$ 420 6) 360. Tem por objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade.250 8) 180.6.800 e 2. 5 e a 6. 630 e 1200 7) 2000.870. 6 e 9. Quanto recebeu cada um? 6) Divida o número 2.190 em três partes que sejam. levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social. ao mesmo tempo. 63 e 36 3) R$ 84 e R$ 96 4) 120. 5 e 6 e diretamente proporcionais a 4. 80 e 60 5) R$ 1.050 em três partes que sejam. Por convenção. Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio. Sabendo que seus capitais eram iguais.350 z = 360 x 0.Passo a Passo Classicamente.02 = 10. Porém.000 e R$ 360. porque.02 y = 450 x 0. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido. dividimos o lucro ou prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios. procede-se a uma reforma do contrato social. R$ 450.600 = 74.0 Logo. em uma sociedade. R$ 9. verificou-se um prejuízo de R$ 27. o lucro ou o prejuízo correspondente a cada sócio seria determinado dividindo-se o lucro ou o prejuízo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos tempos. na prática este caso não ocorre. respectivamente.200 3º) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais.000.000: x 540 x = 540 x 0. Teoricamente.000.800. o prejuízo corresponde a cada sócio é. os sócios não podem permanecer por tempos desiguais. A fim de obtermos a parte de cada sócio. calculando-se o Ativo e o Passivo.MATEMÁTICA PASSO A PASSO  Regra de Sociedade . dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles.2 1350 27. após o Balanço.000 e R$ 7.02 = 9.200 3 Logo. há quatro casos a considerar: 1º) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.02 = 7. a parte de cada um no lucro é de: R$ 74. Neste caso. 157 . vamos determinar a parte de cada um nos lucros: 222. Exemplo: Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222. de: R$ 10.200 2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.8 27 y 450 k = 27 = 0.0 z 360 1.600. sabendo que seus capitais são de R$ 540. Exemplo: Por ocasião do Balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios. 04 = 4. tendo completado seu capital em 1º de agosto.000.500. 158 .PROF.  Questão Comentada Antonio e José organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 2.000.4.500.000 e a José.000. Antonio integralizou sua quota e José contribuiu com apenas R$ 700.4.000. diretamente proporcional a 1. 5 e 3 4 8 2 3) Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0. 2) Divida 3.4 185 185 7.000. Assim. • EXERCÍCIO–DIVISÃO PROPORCIONAL/REGRA DE SOCIEDADE 1) Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7. seu lucro é diretamente proporcional a 7.4 k = 0. terá um lucro diretamente proporcional a esse capital durante os 10 meses (1º de março a 31 de dezembro).000. responsabilizando-se por integralizar sua quota após 5 meses. 10 e 12.500. WELLINGTON BRITO 4º) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais.000 e a segunda.04 y = 85 x 0.000 = 8.000 x 10 ou 7.000.000 x 5 ou 1.000. Em 31 de dezembro foi procedido o Balanço. No ato da organização. isto é.então: x 100 x = 100 x 0.000. 5 e 9.000.000.000. 4) Divida o número 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3.000 x 10 ou 10. Também neste caso vale a observação feita para o caso anterior.000 durante 5 meses (1º de agosto a 31 de dezembro). 1º de março.000. Teoricamente.751 em partes diretamente proporcionais a 7 .000 em 1º de março. R$ 340. tendo integralizado seu capital de R$ 1. as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos produtos dos capitais pelos respectivos tempos.000 durante 10 meses (1º de março a 31 de dezembro) e outra relativa aos restantes R$ 300.000 + 1.000. a 300.04 = 3. tendo sido apurado um lucro de R$ 740. devendo cada um deles entrar com R$ 1. a Antonio devem ser creditados R$ 400.4 Logo.4 y 85 k = 7. Temos. 1.0 7. Qual a parte a ser creditada a cada sócio? Resolução: Antonio.000.2 e 3. a primeira é diretamente proporcional a 700. José. terá uma parte do seu lucro correspondente a R$ 700. Observação: Não devemos confundir este caso com aquele em que os sócios integralizam suas quotas de capital em épocas diferentes. 4. 4 e 6.4. ao mesmo tempo. quanto recebeu cada homem. ao morrer. ao mesmo tempo.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 5) Divida o número 3. 5 e 3 e inversamente 4 a 2 . que cada mulher recebeu 3/4 da quantia de um homem e que cada menor recebeu 4/5 da quantia de cada mulher.720. 30 dias à razão de 5 horas por dia. simultaneamente.000. Quanto recebeu cada um? 3 5 3 13) Para a execução de um serviço. 2 e 8 e 2.000. respectivamente. 25 dias à razão de 4 horas por dia. aos números 3. 8 e 10 e a 5. 10) Divida o número 1. foram empregados 12 homens. Qual será a parte de cada um? 159 .2 e 6. O primeiro trabalhou 15 dias à razão de 6 horas por dia. 1 e 1 . 6 e 7.080 em partes diretamente proporcionais a 1 e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 6. deixou a herança de R$ 21. 3. e o terceiro. aos números 3.550. 20 mulheres e 30 menores.000 e obtiveram um lucro liquido de R$ 27. Quanto recebeu cada um deles? 12) Uma pessoa.161 em partes inversamente proporcionais a 2 . 3 e 1. R$ 22. 4 e 7 . 8) Divida o número 1. Sabendo que o pagamento total foi de R$ 16. os capitais de R$ 18. simultaneamente. em partes diretamente proporcionais a 3. 7) Divida o número 414 em partes diretamente proporcionais a 4. 5 e 9 e 1 . o segundo. 2 4 11) Três técnicos receberam ao todo R$ 2.500 e R$ 27. 3 5 8 6) Decomponha 760 em partes inversamente proporcionais a 0. cada mulher e cada menor? 14) Três sócios empregaram.842 em partes diretamente proporcionais.00 para ser repartida entre três herdeiros. ao mesmo tempo. 5 6 8 9) Divida o número 330 em partes inversamente proporcionais.200. 800  REGRA DE TRÊS  Introdução Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.218.000 e R$ 3. 600 e 810 9) 176. R$ 9.000 e R$ 10. WELLINGTON BRITO Respostas: 1) 210. 605 e 1452 3) 26. 132 e 22 10) 480 e 600 11) R$ 675 R$ 750 e 1. 144.015 e 928 6) 640.240 13) R$ 360.78 e 221 4) 450.270 e 150 5) 1.694. 160 . R$ 270 e R$ 216 14) R$ 7. 80 e 40 7) 60. 300 e 360 2) 1.480 R$ 12.PROF. 1. 210 8) 432.125 12) R$ 6.200. . Se as grandezas forem diretamente proporcionais.. 3. obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira. que envolve mais de duas grandezas. o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza.00. Podemos. Devemos. colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. como no nosso exemplo. em uma primeira linha horizontal. dispomos. em uma segunda linha.  Regra de Três Simples Neste caso. são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra. e a composta.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Temos dois tipos de regra de três: a simples. os valores conhecidos das duas grandezas que se correspondem e. colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra o x. concluir que estamos trabalhando com grandezas diretamente proporcionais.  Questões Comentadas 1) Comprei 6m de tecido por R$ 15. então. então. Se o comprimento for multiplicado por 2. Assim: 6 15 161 . . Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m? Resolução: Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Chamamos de x o valor que desejamos conhecer (preço de 8m de tecido).. o outro valor conhecido da primeira e o x. que representa o valor correspondente da segunda e que se quer conhecer: Comprimento Preço (m) (R$) 6 15 8 x Em seguida... 3. o preço ficará multiplicado por 2. com a ponta voltada para ele. que trabalha com apenas duas grandezas.. . em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? Resolução: Temos: Operários Dias 6 10 20 x Se o número de operários for multiplicado por 2.... Logo.3 . 3. o preço procurado é: R$ 20.00 • Observações: I) É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas na mesma unidade de medida. as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais.PROF. o número de dias ficará dividido por 2. II) Quando as grandezas que figuram no problema são diretamente proporcionais. respectivamente.. seguindo as setas: 6 8 = 15 x x= x = 20 e determinamos o valor de x: 8 x 15 6 Logo.. Assim. dizemos que a regra de três é direta. 2) Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias. WELLINGTON BRITO 8 x pelas razões que Armamos a proporção formada construímos. . de sentido contrário ao da primeira: 6 10 20 x 162 . a coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical. da 163 . 2) Convém observar que. Quanto tempo durarão os víveres se o navio receber mais 100 marinheiros? Respostas: 1) R$ 1. a quantos litros equivalem 32.5 litros 4) 40 dias Regra de Três Composta Como dissemos antes. Neste caso de cada grandeza são dados dois valores.463. percorrendo-se 200 km por dia? 3) Se 1 cℓ de álcool pesa 8 g.  EXERCÍCIO – REGRA DE TRÊS 1) Um operário recebe R$ 836.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Em seguida. geralmente são consideradas condições iguais.00 por 20 dias de trabalho. invertemos os valores da coluna do número de operários (por ser uma grandeza inversamente proporcional à de número de dias): 20 10 6 x 3 1 Daí: 20 = 10 x = 6 x 10 x =3 6 x 20 10 1 Logo. dizemos que a regra de três é inversa. Quantos dias seriam empregados para fazer a mesma viagem. a regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si.4 kg de álcool? 4) Em um navio com uma tripulação de 800 marinheiros há víveres para 45 dias. supõe-se que os operários produzam igualmente e que as condições de trabalho também sejam iguais. nos problemas de Matemática. No problema 2. percorrendo-se 150 km por dia.00  2) 9 dias 3) 40. Quanto receberá por 35 dias? 2) Uma viagem foi feita em 12 dias. serão necessários: 3 dias • Observações: 1) Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais. com exceção de uma delas. por exemplo. imprimirão 350. Assim temos: 87.000 87. em que tempo 7 rotativas.Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro.500 x 7 x 350. Fixando.000 desses exemplares? Resolução: Temos a seguinte disposição prática dos dados: Exemplares Rotativos Tempo (min) 87.PROF.500 5 56 350.500 350. agora. construíram 36 m de muro em 16 dias. pois duplicando o número de exemplares. trabalhando 9 h por dia. pois duplicando o número de rotativas. pela propriedade da grandeza proporcional a várias outras: 56 = 87.vemos que a segunda e a terceira são inversamente proporcionais. a primeira grandeza. trabalhando 8 h por dia? Resolução : Temos: operários jornadas comprimentos dias 164 . o tempo empregado duplicará.500 350. vemos que a primeira grandeza (número de exemplares) e a terceira (tempo) são diretamente proporcionais.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min.000 5 7 7 5 56 x 56 x Invertendo os valores da segunda grandeza.000 7 x Fixando a segunda grandeza (número de rotativas).  Questões Comentadas 1) Se para imprimir 87. o tempo necessário se reduzirá à metade.500 x 7 1 1 Isto é: x = 160 min ou x = 2 h 40 min 2) Quinze operários. relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas. iguais às primeiras. vem: O que nos permite escrever.000 x 5 x = 160 87. WELLINGTON BRITO qual é dado apenas um valor.000 x 5 Daí: 8 4 x = 56 x 350. um trabalho cuja dificuldade é representada por 0.5 km em 28 min. em 12 dias. a quanto 165 . Tendo conseguido apenas 12 operários. com facilidade. trabalhando 8 h por dia? 7) Em um acampamento militar com 300 soldados há víveres para 20 dias.2. em 54 min? 4) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias. temos: 18 8 36 16 15 9 60 x 1 5 2 10 1 5 Calculando o valor de x: x = 16 x 60 x 9 x 15 = 5 x 5 x = 25 18 x 8 x 36 2 1 6 1 2 1 Logo os operários farão o muro em 25 dias  EXERCÍCIO – REGRA DE TRÊS –SIMPLES/COMPOSTA 1) Se 35 m de um tecido custam R$ 140. Assim: 15 9 36 16 18 8 60 x Invertendo os valores da primeira e da segunda grandezas. poderia fazê-lo. Que distância percorreria.MATEMÁTICA PASSO A PASSO (h) (m) 15 9 36 16 18 8 60 x Verificaremos. empregando 15 operários. que a quarta grandeza (número de dias) é diretamente proporcional à terceira (comprimento) e inversamente proporcional à primeira (número de operários) e à segunda (jornada de trabalho diário). em quantos dias terminará o mesmo trabalho? 5) Um operário faz. Em quantos dias. Tendo chegado mais 140 soldados.25? 6) Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. nas mesmas condições. Em quantos dias poderia fazer outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 0. quantos tratores o fariam em 4 dias? 3) Um trem percorreu 24. com a mesma velocidade. quanto se pagará por 12 m? 2) Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho. WELLINGTON BRITO se deve reduzir a ração diária para que o alimento dure ainda o mesmo tempo? 8) Uma lebre está 80 m à frente de um cão que a persegue. 2 “afrouxando” em 1 a sua velocidade e viajando 6 h por dia. no mesmo tempo? 12) Duas polias. viajando 4 1 h por dia. 25 abacates valem 15 maçãs. 10 quantos dias levará para percorrer a mesma distância? 16) Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais. correndo com uma velocidade e 84 km/h. e 16 laranjas valem 12 abacates. quantas voltas dá a menor? 13) Para fazer um muro de 52 m de comprimento. Enquanto a maior dá 540 voltas. quantos metros fará do segundo.trabalhando 5 h diárias. Um operário. Enquanto a lebre percorre 19 m. Depois de 3 h de viagem houve um desarranjo no motor e o automóvel teve de parar durante 45 min. que faz 20 m do primeiro trabalho.8 cm e 11. respectivamente estão ligadas por uma correia de transmissão.400. numa velocidade de 80 km/h. percorreu certa distância em 6 dias. o cão percorre 21 m. 30 operários gastam 15 dias de 8 h.PROF.com a velocidade que torna o rendimento 1 maior? 166 . Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar ao ponto final na hora fixada? 10) Se 4 de uma obra foram avaliados em R$ 268. Quantas laranjas poderão ser trocadas por 9 peras? 15) Um motoqueiro.2 cm de diâmetro. deve percorrer uma certa distância em 9 h. verificamos que 15 peras valem 9 maçãs. qual é o 5 valor de 5 da mesma obra? 11 11) As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre? 9) Um automóvel. Quantos dias levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar o triplo do trabalho anterior. que trabalham 6 h diárias em 15 dias. de 16. Quantos dias de 9 h gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual? 14) Comparando-se os preços pelos quais são vendidas diversas frutas. J) A razão entre dez minutos e um dia é de: a) 1:120 b) 1:144 c) 1:180 d)1:196 e) 1:240 167 . Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24 homens houvessem trabalhado desde o começo? Respostas: 1) R$ 48.00 18) 25 dias  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1) (T. Sabendo que a velocidade do primeiro está para a do segundo como 3 está 4. qual foi o preço do segundo? 18) Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias em seguida trabalharam 24 homens durante 10 dias.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 8 17) Dois cavalos foram pagos em razão direta de suas velocidades e inversa de suas idades.00 11) 15 metros 12) 810 voltas 13) 12 dias 14) 12 laranjas 15) 5 dias 16) 38 dias e 2horas 17) 17)R$ 450. que as idades do primeiro e do segundo são respectivamente. 3 anos e 9 meses e 5 anos e 4 meses. 00. e que pelo primeiro foram pagos R$ 480.00 2) 30 tratores 3) 47.500.25 km 4) 40 dias 5) 15 dias 6) 18 dias 7) Reduzida em 7/22 8) 840 metros 9) 96 km/h 10) R$ 152. aproximadamente.J) Em 4 horas duas torneira enchem um tanque.680m2 e 4. Qual é a porção de cada um se o primeiro entrou com R$ 16.000.E. a) 37 e 16anos b) 36 e 15anos c) 49 e 18anos d) 35 e 14 anos e) 33 e 12anos (T. Se A e B trabalharem juntos.700m2 e 4.E) A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como cinco está para dois. em quanto tempo.F) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas.880m2. qual a parte do lucro que coube a cada uma se lucraram. sabendo que a diferença entre elas é de 21 anos. em metros quadrados. uma delas encheria o tanque em 7 horas. de uma sala cujas medidas na planta são de 12cm e 14cm é: a) 24 b) 28 c) 42 d) 48 e) 54 (SEFAZ) A miniatura de um foguete balístico foi feita na escala de 1/400.R.000.000m2.880m2. (T. 3.00.600m2 e 4.00? 168 . o segundo com R$ 20. no fim de 1(um) ano R$ 96.00 e a segunda com R$ 40.120m2 3) 4) 5) 6) 7) 8) (T.800m2.600m2 e 4.R. espera-se que o serviço seja feito? a) 2 horas e 7 min.9dm d) 0. d) 1 hora e 43 min. Então.00? a) 3.00 e o terceiro com R$ 24. 3. sabendo-se que a primeira afundou a firma e a segunda participou durante 6 meses.320m2 b) 3. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. 2.800m2 e 4. 3.880m2.220m2 e) 2.00.000.E.J) A planta de uma casa foi elaborada na escala 1:50.000m2 c) 2. Sozinha.800m 2. b) 2 horas e 5 min. a área real.J) Duas pessoas associam-se entrando a primeira com R$ 60. WELLINGTON BRITO 2) (C.34m e)3. O comprimento real do foguete é 116m.000. Quanto tempo seria necessário para a segunda torneira encher o tanque? a) 9 h b) 9h 20min c)9h 30min d) 9h 40min e) 9h 50min (T. e) 1 hora e 36 min. O comprimento correspondente na miniatura é de: a) 0. c) 1 hora e 57 min.44dm (T.PROF.029cm b) 4. Calcule essas idades.) Três amigos comparam um terreno de 10. 3.320m2 d) 3.000.000.6m c) 2. 00 e R$ 44.400. que jorra 20 litros d´agua por minuto. então a parte do meio será: a) 9 1 b) 13 c) 17 1 d) 18 1 e) 26 3 3 3 11) (TTN) Dividi-se 315 em três partes. em relação a divisão do restaurante do lucro obtido pela empresa: a) Ana recebeu R$ 600.00.000.00 b) R$ 50.00 9) (T. respectivamente. assinale a opção correta.00 c) R$ 74.000. cada sócio teria recebido 4% a mais do que efetivamente recebeu.000.000. Qual o tempo em que encherá o mesmo tanque uma torneira que deite 30 litros d´água por minuto? 169 . c) Carla recebeu mais de R$ 500. 1/3 e 1/16.00 e R$ 24.00 d) R$ 70.000.200. com um capital de R$ 2.00: passados mais seis meses.00 e R$ 46. Considerando que o contrato de formação da empresa estabelece que 4% do lucro apurado destinam-se à constituição de um fundo de reserva.00: decorridos seis meses.) Uma pequena empresa foi assim constituída: Ana investiu um capital de R$ 1. com um capital de R$ 800. enche um tanque em 6 horas. B.00.000. A.00: d) Ana e Carla receberam juntas mais de 80% do lucro rateado. que são ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 3. C. foi admitida Carla.000. 10) (BB) Se 78 é dividido em 3 partes proporcionais a 1. 2 e 5 e inversamente proporcionais a 5.000.00 e R$ 22.00 e) R$ 52.000.00 e R$ 26.J.00.000. 3 e 6. ingressou Bia.000. Após dois (2) anos de funcionamento.MATEMÁTICA PASSO A PASSO a) R$ 72. b) Bia recebeu 50% da quantia que coube a Ana. O maior valor dessas partes é: a) 225 b) 156 c) 145 d) 100 e) 125 12) (TJ) Uma torneira. a empresa apresentou um lucro de R$ 1. e) Se não existisse o fundo de reserva. 000 km/ano. Um pneu de qualidade inferior roda 32. encontrou alguns náufragos durante a viagem e reduziu a ração de cada homem de 48 dag para 288g. Carlos também o abandona. consegue 170 .PROF.00. Os dois começaram a trabalhar juntos. e se o número de operários fosse reduzido de 2.000 litros. Se tivessem trabalhando 12 horas diárias. mas após 6 dias. sozinho.79 14) (TTN) Um navio. com 30 homens de tribulação. sabendo-se que os novos sapatos apresentam o dobro da dificuldade dos primeiros? a) 85 b) 135 c) 240 d) 480 e) 960 17) (BB) Trabalhando 10 horas.00 b) R$ 45.80 d) R$ 45. é interessante adquirir o pneu de qualidade inferior até o preço máximo de: a) R$ 50. trabalhando 40 dias de 6 horas. WELLINGTON BRITO a) 10 horas b) 09 horas c) 08 horas d) 04 horas e) 02 horas 13) (TJ) Um pneu de boa qualidade roda em média 40. Nessas condições. João levaria 30 dias e Carlos 25 dias. João deixa o trabalho. em 30 dias manufaturam 900 pares de sapatos.20 e) 44. 2 dias após a saída deste. necessita de 120. 8 pedreiros fizeram uma parede de concreto de 48m 2. trabalhando 8 horas por dia. com guarnição de 300 homens. Quantos pares serão manufaturados por 8 operários. Determine qual poderá ser a duração da viagem. a) 24 dias b) 22 dias c) 20 dias d) 18 dias e) 16 dias 15) (TJ) Um navio cargueiro. Quantos eram os náufragos? a) 40 b) 35 c) 30 d) 20 e) 25 16) (BB) 15 operários.000 km/ano e custa R$ 56.00 c) R$ 46. durante 15 dias. quantos dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro daquela? a) 33d b) 33d 8h c)33d 4h d)33d 6h e)33d 5h 18) (PRF) Para construir um muro. Antonio. Aumentando a guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros de água para efetuar uma viagem de 20 dias. 686kg b) 3. constrói 15 unidades da citada peça em: a) 2 dias b) 5 dias c) 4 dias d) 3 dias e) 6 dias 23) (BB) Um bloco de concreto de 3 metros de comprimento. o automóvel de Pascoal gasta 0. sozinho. o que significa que aquele caminhão pode transportar. 3 (três) robôs. Pascoal gastou 54. ele poderá transportar.MATEMÁTICA PASSO A PASSO termina-lo em 24 dias. 1.004km de altura. Numa viagem.2 m de comprimento. O percurso teve então a seguinte quantidade de quilômetros: a) 776 b) 732 c) 688 d) 654 e)586 22) (BNB) Em uma fábrica de automóveis. 0. acham-se ligadas duas torneiras que fornecem. Uma equipe de 5 (cinco) robôs trabalhando 6 (seis) horas por dia.09 litro de combustível.8 171 .690kg c) 3. no máximo uma tonelada de carga.966kg e) 0 3. a seguinte quantidade de caixas. Quanto pesará um outro bloco do mesmo concreto com 2. respectivamente 0.300 kg. com segurança.9 litros de combustível. no máximo.Cada caixa tem um peso bruto de 4.969kg 24) (BB) A uma caixa de água que mede 2. a) 23 b) 24 c)205 d) 235 e) 2350 21) (ANTT) A cada 1200m rodados em viagem. O caminhão será abastecido com caixas de um certo produto.Nesse caso.250g. 80 cm de largura e 90 cm de espessura? a) 3.696kg d) 3. constroem em 6 (seis) dias.5 metros de largura e 60 cm de espessura pesa 6. 8hl de água por hora. Antonio levaria: a) 50 dias b) 45 dias c) 40 dias d) 35 dias e) 30 dias 19) (SEFAZ) Se x = y = z e 2x + 3y – z = 42.9kl e 20. 6 3 7 então 3x + 2y + Z é igual a: a) 91 b)93 c) 95 d) 97 e)99 20) (ANTT) Um adesivo colado em um caminhão de carga indica: “carga máxima 1 ton”. trabalhando 8(oito) horas por dia. 36 unidades de uma peça nobre utilizada na construção automobilística. Para realizar a construção do muro.5 m de largura. Há um escape continuo que perde 0.5 dam de comprimento e 0. Nestas condições. Determinar em quantas horas a caixa ficará cheia.PROF. e a segunda esteja para a terceira assim como 6 está para 12. a terceira parte vale: a) 120 Respostas: 1) 2) 3) 4) 5) B D B D C 06) C 07) E 08) A 09) B 10) C 11) E 12) D 13) E 14) D 15) D 16) C 17) C 18) A 19) B 20) D 21) B 22) A 23)C 24)C 25)D b) 150 c) 320 d) 300 e) 250  PERCENTAGEM  Introdução 172 . funcionando conjuntamente ambas as torneiras e o escape? a) 22 horas b) 21 horas c) 20 horas d) 19 horas e) 18 horas 25) (TTN) Dividir o número 570 em três partes. de tal forma que a primeira esteja para a segunda assim como 4 está para 5. WELLINGTON BRITO dal por minuto. 99% em dezembro. 12 das 15 questões apresentadas.. é substituir o conseqüente 100 pelo símbolo % (que lemos: por cento).  Elementos do Cálculo Percentual 12 = 80 15 100 Neste exemplo.8 = 8 = 80 = .93%.” “O rendimento da caderneta de poupança foi de 1. chamando o 12 de percentagem.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como estas: “Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.. em um exame. obtemos as seguintes definições: Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. ela é chamada razão centesimal. o 15 de principal e o 80 de taxa.” “Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira. 173 . Assim: 80 = 80% (lemos: oitenta por cento) 100 Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual.  Taxa Percentual Suponhamos que um aluno tenha acertado. A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é: 12 = 4 = 0. 80 . temos: Percentagem = Principal taxa 100 Vimos que: Daí.’’ “A inflação registrada em dezembro foi de 1.” Todas estas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem.. 100 ) 80 100 ) Uma outra forma de representarmos as razões centesimais. 15 5 10 100 ( Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100 neste caso. muito usada principalmente no universo econômico-financeiro. designarmos a taxa percentual simplesmente por percentagem. A taxa por r. em uma situação qualquer. lucro etc. é muito comum: ---. A percentagem por p. O principal. WELLINGTON BRITO Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra. Qual sua comissão numa venda de R$ 3. a resposta e: 75 % 2) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. multa. genericamente:  Questões Comentadas 1) Escreva a razão 3 em forma de taxa percentual. abatimento.PROF. parte. a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual. proporcionalmente a uma taxa. Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem. tanto faz dizermos. comissão. Assim. p P =r 100 Representando: Temos. 4 Resolução: 25 Temos: 3 4 = x 100 ⇒ x = 3 x 100 = 4 1 75 Logo.600? Resolução: 174 .empregarmos as palavras desconto. quota. que o lucro foi de R$ 80 ou de 20%  Problemas de percentagem • • • O principal por P. prejuízo. • Observação: Na prática. ---. em lugar de percentagem. 600 x 3 100 = 108 Logo. o lucro foi de: 8%  EXERCÍCIO .000 = 8 Logo. se elas são em número de 182? Resolução: Temos: Assim: 182 P p = 182 r = 26 = 26 100 ⇒ P = 182 x 100 26 = 700 Logo.PERCENTAGEM –( I) 1) Exprima sob a forma de taxa percentual as razões: 175 .MATEMÁTICA PASSO A PASSO Temos: Assim: p 3. Qual a percentagem de lucro? Resolução: Temos: Assim: 400 p = 5. Quantos alunos possui o colégio.000 100 ⇒ r = 400 x 100 5.600 r =3 3 100 ⇒ p= 3. o colégio possui : 700 alunos 4) Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000 r = 400 r = 5.000 e vendido com um lucro de R$ 400.600 = P = 3. a comissão é de: R$ 108 3) Em um colégio 26% dos alunos são meninas. 400. algumas vezes. necessário) tomarmos como valor referencial a unidade. tendo sido de 5% a taxa de comissão.800 pela venda de duas casas. uma camisa que custava R$ 24 foi vendida com 25% de abatimento.2 ⇒ Logo.000.05? Resolução: 176 . Assim: 25 i 25 = = 0.000 e pagou R$ 7. isto é: 25 = 25% 100 Porém. i = 0.25 = = 25% 100  Questões comentadas 1) Qual a taxa unitária correspondente a 20%? Resolução: Temos: 20% = 20 100 = 0. De quanto foi o abatimento? 3) Um corretor recebe R$ 2. obtendo o que chamamos de taxa unitária (simbolizada por i).25 ⇒ i = 100 1 100 Temos.2 2) Qual a taxa percentual correspondente a 0.PROF. Qual o valor de venda das propriedades? 4) Uma pessoa devia R$ 20. então: 25 i = 0.00 b) 47. é mais prático (e. WELLINGTON BRITO a) 2 25 b) 19 40 c) 1 4 2) Em uma liquidação.00 4) 37%  Taxa Unitária Vimos que a taxa percentual se refere a 100. na resolução de muitas questões. Quantos por cento da dívida foram pagos? Respostas: 1) a) 8% 2) R$ 6.5% c) 25% 3) R$ 56. 045 a resposta é : 4. que corresponde a 154 ha.15 = 0.7 100 P = p i = i ⇒ Pi = p ⇒ P = 154 = 220 0. Quantos por cento dos alunos foram reprovados? 177 .5% Então: 30% de 15% = 0.3 de 0.15 0. i = 5% 3) Calcule 30% de 15% Resolução: Temos: Como: 30% = 0.15 100 Vem: p = 540 x 0.5% 4) Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540 com um lucro de 15% sobre esse valor. foram reprovados 9. a área total é de : 220 ha 6) Em uma turma de 60 alunos. Quanto ganhou? Resolução: Temos: P = 540 i = 15% = Como: p = i ⇒ p = Pi P 15 = 0. Qual a área total do terreno? Resolução: Temos: p = 154 i = 70% Como: Vem: P p = 70 = 0.05 = 5 100 = 5% ⇒ Logo.3 e 15% = 0.045 = 4.15 = 81 ⇒ Logo.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Temos: 0.15 = 0.7 ⇒ Logo.3 x 0. o comerciante ganhou: R$ 81 5) Um terreno tem 70% de sua área plantada. 5 g são de 73 kg. b) 936 g são de 15.2% e) 18. d) 45 ℓ são de 180 dm3 178 .4% de 550 4 1 b) 15% de R$ 160 d) 6.012 2) Escreva as taxas percentuais abaixo como razões. WELLINGTON BRITO Resolução: Temos: P = 60 p= 9 Como: Vem: p P i= = i ou i = p p 9 = 0. sob a forma de taxa percentual.125 h) 0.600g.5% de 1. cada uma das seguintes razões: a) b) 1 20 2 5 c) 5 2 d) 3 1 4 e) 37 80 f) 0. foram reprovados : 15% dos alunos  EXERCÍCIO .24 g) 0.48% 3) Calcule: a) 20% de 300 c) 9% de 50 e) 0.PERCENTAGEM (II) 1) Exprima.PROF.15 = 15 = 15 % 60 100 Logo.6% f) 2 % 3 g) 0.054% h) 2 1 % 4 b) 66% d) 0. c) 912.200 kg f) % de 750 2 4) Calcule quantos por cento: a) R$ 121 são de R$ 484. sob a forma mais simples possível: a) 80% c) 25. 40% dos alunos são meninas. foi paga com um desconto de R$ 250.000 de anúncios. Qual o preço da mercadoria? 17) Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. cujo valor era de R$ 5.268. 14) Em uma escola. Calcule a comissão. Qual será a nova receita diária do jornal? 12) Em quanto por cento aumentou a população de um cidade que era de 67. qual a quantidade de sacas para este consumo? 11) Um jornal recebia por dia R$ 42.000.000.5% b) R$ 280 representam 8% d) R$ 320 representam 1.400 habitantes? 13) Um terreno foi vendido por R$ 9. 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres.000 sacas de café.500? 179 .600. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno. recebendo o intermediário de 3% de comissão. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 8. Qual a taxa de desconto? 10) Em São Paulo colhem-se 1.25% 6) Meio representa quantos por cento de 7) 8) 9) Qual o número cujos 7% valem 28? 5 8 ? Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 70 para obter um lucro de 30%? Uma nota promissória. Qual a população da cidade.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 5) Calcule a quantia da qual: a) R$ 42 representam 5% c) R$ 33 representam 5.200 habitantes e agora é de 92.000? 16) Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 160 e uma de R$ 180.700 e R$ 9. Os preços dos anúncios foram aumentados em 6%. R$ 3. O total dos alunos é 750. Quantos são os meninos? 15) Em uma cidade. se o número de crianças é de 8. Determine a dívida inicial. Revendendo o cereal a R$ 1 o quilograma. Vendeu a metade a R$ 10 e o restante a R$ 12.180 em impostos e reparos. Por quanto devo vender o metro do tecido restante? 25) Um comerciante adquiriu 3 sacos de 60kg de certo cereal. durante o ano. . um desconto de 5% e teve uma despesa de transporte se R$ 5. qual será a percentagem de lucro? 26) Em uma partida de futebol.680 ele pagou 35% do restante. Quero vendêlas com um lucro de 30%. que está alugada por R$ 9. Vendo a terça parte à razão de R$ 11 o metro.600 ao ano. Obteve.uma contém 24ℓ de álcool e120ℓ de água e a outra. 21ℓ de álcool e 112ℓ de água. O custo do telegrama foi de R$ 2 e a comissão.000. Qual foi a taxa de rendimento do capital empregado? 24) Comprei 6 peças de tecido de 50 m a R$ 9 o metro.bolas chutadas fora: 10. à razão de R$ 48 o saco. De quanto por cento foi o lucro? 20) Um comerciante pagou 20% de uma dívida. . de 1 % . por ter pago à vista. . De quanto por cento foi o número de carros que não terminaram a corrida? 19) Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8 cada um.bolas defendidas pelo goleiro adversário:6. Qual é a mais forte e em quanto por cento? 23) Uma casa.PROF. R$ 1. 180 .gols: 2. O proprietário gastou com ela.bolas na trave: 2. sabendo que com R$ 43. um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol: . Qual o valor da ordem? 8 22) Têm-se duas misturas de álcool com água. foi comprada por R$ 98. 21) Uma pessoa entregou a um banco a quantia de R$ 562 para pagamento de uma ordem a ser expedida por telegrama. WELLINGTON BRITO 18) Em um dos Grandes Prêmios de Formula 1 largaram 24 carros e terminaram a competição 10 carros. Se o pagamento for à vista. 117 aprovados. Sabendo que o preço do quilo dessa carne é de R$ 2 e que.33% 19) 35. paga 2/5 à vista e o restante em 3 prestações.5% h) 1.Como a pessoa não pode fazê-lo.5% e) 46. a carne perde 15% de seu peso. Vende ⅔ a R$ 95 cada um e o restante a R$ 102 cada um.25% f) 24% g) 12. num outro. qual o peso do pedaço de carne cozida? 29) Em um concurso prestado por certo número de candidatos houve 18% de aproveitamento.MATEMÁTICA PASSO A PASSO a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora? c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário? 27) Um relojoeiro adquire um lote de 120 relógios à razão de R$ 80 cada um. Ao desossá-lo. ou seja. 30) Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada por R$ 460. De quanto por cento foi o lucro? 28) Uma dona de casa compra um pedaço de carne com osso e paga R$ 3. a que concorreram 350 candidatos. houve 22% de aproveitamento.a loja oferecerá um desconto de 5%. durante o cozimento. Determine quantos candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos foram reprovados no segundo. percebe que os ossos correspondem a 12% do peso total.sofrendo um aumento de 25% sobre a parte relativa às prestações. a) b) Qual o preço à vista da televisão? Qual o valor de cada prestação? Respostas 1) a) 40% b) 5% c) 250% d) 325% 15) 32.2% 2) a) 4 5 e) 93 f) b) 33 50 1 g) c) 63 250 27 d) 3 625 h) 9 181 .000 16) R$ 880 17) R$ 636 18) 58. 5 400 20) R$ 156.5% 13) R$ 288 14) 450 meninos  OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS.25% 23) 8. vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de venda de mercadorias.00 e) 2.7% 28) 1. 000 11) R$ 44.  Vendas com Lucro A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.2 b) 6% f) 33.PROF. isto é.000 21) R$ 559 22) A primeira.75 c) 1. ● Observação: 182 .9% 26)a)10% b) 50% c) 30% 27) 21.000 c) 4.PASSO A PASSO  Introdução O que vamos estudar neste capítulo são os problemas de percentagem ligados às operações de compra e venda de mercadorias.600 24) R$ 12 80% 400 25) 26.500 c) R$ 600 d) R$ 25.25% d) 25% a)R$ 840 b)R$ 3. WELLINGTON BRITO 500 3) a) 60 d) 78kg 4) 5) 6) 7) a) 25% 150 50.122kg 29) 650 e 273 30)a) R$437 b) R$115 8) R$ 91 9) 5% 10) 317.59% b) R$ 24.520 12) 37. 1. 08) x preço de custo = = 1. das despesas de administração e funcionamento da empresa.08 x preço de custo = = ( 1 + 0. Lucro Sobre o Preço de Custo – Passo a Passo  Consideremos o seguinte problema: Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo.MATEMÁTICA PASSO A PASSO • Preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição. sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500.08 do preço de custo. temos: preço de venda = preço de custo + 0.08 x 500 = 540 Logo. Determine o preço de venda. o preço de venda é de : R$ 540 • Fórmula: Chamando de : V C L i o preço de venda o preço de custo o lucro a taxa unitária do lucro Vem: V=C+L Como : L = i x C 183 . ainda. Sabemos que: ● preço de venda = preço de custo + lucro Como o lucro é de 8% sobre o preço de custo. isto é: Lucro = 0. acrescido das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e. conhecidos o preço de custo e a taxa de lucro sobre o preço de venda. WELLINGTON BRITO Temos: V = C + i x C Logo : V=(1+i)C que nos dá o preço de venda.25 x preço de venda = preço de custo ( 1 – 0. isto é: Lucro = 0. uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. Vendas Com Prejuízo Analogamente ao que ocorre com o lucro. conhecidos o custo e a taxa de lucro sobre o custo.75 Logo.25) x preço de venda = preço de custo Ou: Ou ainda: Preço de venda = preço de custo = 60 0.25 do preço de venda Temos: preço de venda – 0.75 = 80 1–i Que nos dá o preço de venda.PROF.  Lucro Sobre o Preço de Venda – Passo a Passo Comprou-se um objeto por R$ 60 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. o preço de venda deve ser de : R$ 80 • Fórmula: Temos Como: Vem: Logo V–L=C L=ixV V–ixV=C ⇒ (1–i)V=C V= C 0. 184  . Qual deve ser este preço? Sabemos que: preço de venda – lucro = preço de compra Como o lucro é de 25% sobre o preço de venda. conhecidos o custo e a taxa do prejuízo sobre o custo. o preço de venda foi de : R$ 18 • Fórmula: Chamando de P o prejuízo.6 x 30 = 18 Logo. Calcule o preço de venda. Sabendo que esse objeto custou R$ 30.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Prejuízo Sobre o Preço de Custo – Passo a Passo Considere o seguinte problema: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo.4) x preço de custo = = 0.4 do preço de custo Temos: preço de venda = preço de custo – 0. isto é: prejuízo = 0.000 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. 185  . Prejuízo Sobre o Preço de venda – Passo a Passo Uma casa que custa R$ 96. vem: V= C–P Como: Temos: Logo: P= i x C V = C – iC V = (1 – i ) C que nos dá o preço de venda.4 x preço de custo= = ( 1 – 0.6 x preço de custo = 0. qual foi o preço de venda ? Sabemos que: preço de venda = preço de custo – prejuízo  Como o prejuízo é de 40% sobre o preço de custo. 15 ⇒ C = 240 V= .2 Logo.15 Como: V = C(1+ i ) ou C( 1 + i) = V Vem: C ( 1 + 0. isto é: prejuízo = 0. Quanto custou o objeto? Resolução: Temos: V = 276 i = 15% = 0.2) x preço de venda = preço de custo ou ainda: preço de venda = preço de custo = 96. o objeto custou: R$ 240 2) Comprei uma mercadoria por R$ 480.2 x preço de venda = preço de custo ou: ( 1 + 0.000 = 80.  Questões Comentadas 1) Vendi um objeto por R$ 276 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo.PROF.2 do preço de venda.2 1. Sendo minha intenção vendê-la com um lucro de 20% sobre o preço de venda. WELLINGTON BRITO Sabemos que: preço de venda + prejuízo = preço de custo Como o prejuízo é de 20% sobre o preço de venda. conhecidos o preço de custo e a taxa do prejuízo sobre o preço de venda. qual deve ser este último ? 186 276 1.000 • Fórmula: Como: Temos: Logo: V+P = C e P=i x V V + iV = C ⇒ ( 1 + i ) V = C C 1+i que nos dá o preço de venda.000 1.15) = 276 ⇒ 1. o preço de venda será de: R$ 80.15 x C = 276 ⇒ C = Logo. temos: preço de venda + 0. MATEMÁTICA PASSO A PASSO Resolução: Temos: C = 480 r = 20% = 0.500 65 Vem: 5.000 ( 1+ i ) = 6.000 e vendido por R$ 6.8 x C = 248 ⇒ C = Logo. Quanto havia custado? Resolução: 187 248 0.8 ⇒ C = 310 .8 Logo. o lucro sobre o custo foi de: 30% ⇒i= 65 – 50 ⇒ i = 15 ⇒ i = 0.2) = 248 ⇒ 0.600.500.3 4) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo? Resolução: Temos: V = 248 i = 20% = 0.2 Como: Vem: V = V = C 1–i 480 = 480 ⇒ V = 600 1 – 0.2 Como: V = C(1 – i ) ou C( 1 – i ) = V Vem: C ( 1 . De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra? Resoluçaõ Temos: C = 5. o objeto custou: R$ 310 5) Um terreno foi vendido por R$ 50. dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda.2 0.000 50 50 50 Logo.500 Lembrando que: V = C(1 + i ) ou C( 1 + i ) = V 6.000 V = 6.0.500 ⇒ 1 + i = ⇒i = -1⇒ 5. o preço de venda deve ser de: R$ 600 3) Um terreno foi comprado por R$ 5. 648  EXERCÍCIO – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIA .600 x 1. calcularmos os líquidos parciais correspondentes aos abatimento oferecidos. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo? 4) Um objeto foi vendido.775 Descontos Sucessivos – Passo a Passo Nesse item. Consideremos o seguinte problema: Uma firma distribuidora oferece. com prejuízo de 10%. até obtermos o liquido final.648 1+ 0.600 ⇒ C = 50. chamando o valor liquido de L. Quanto havia custado? 5) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.08 ⇒ C = 54.(I) 1) Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 650. WELLINGTON BRITO Temos: V = 50. respeitando a ordem das taxas.PROF. pelo preço de R4 36. temos: 188 . qual ao valor líquido da mesma? Basta. os descontos sucessivos de 10%.08 Logo.500. Qual o lucro obtido. evidentemente.600 i = 8% = 0. Sabendo que na venda teve um prejuízo de 15% sobre o preço de venda.600 ⇒ C = 50. o terreno havia custado: R$ 54. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48. sabendo que o mesmo foi calculado na base de 25%? 3) Um objeto comprado por R$ 80 foi revendido por R$ 104.08 1. sobre o valor de uma fatura.08 C 1+i ou C = 1+i V Lembrando que: V = Vem: C = 50. 4% e 5%. Assim.vamos aprender a calcular os descontos sucessivos sobre uma importância resultante de um negócio efetuado. quanto custou esse carro? Respostas: 01) R$ 845  02) R$ 72 03) 30% 04) R$ 40 05) R$ 9.000. Por quanto deverá revende-la para obter um lucro de 30%? 2) Um aparelho de som foi vendido por R$ 360. in . sobre o valor de uma fatura. 05 ) = = 48.000 x 0.200 x 0.05 L = 48. temos M = P ( 1 + i1 ) ( 1 + i2 ) ( 1 + i3 ).04) ( 1 – 0..472 x 0.728 ⇒ L2 = 43.1 i2 = 4%= 0.96 x 0. ( 1 – in ) Onde: i1 . ( 1 + in )  Questões Comentadas 1) Uma firma distribuidora oferece. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48. qual o valor liquido da mesma? Resolução: Temos: Assim: P = 48. 4% e 5%.000 i1 = 10% = 0..MATEMÁTICA PASSO A PASSO P = 48.800 = 43. i3 .200 p2 = L1 x i2 ⇒ p2 = 43.000 i1 = 10% = 0. ● Observação: • Para aumentos sucessivos.05 = 2.000 – 4.500 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%.4 i2 = 4% = 0.398.073.9 x 0.6⇒ L3 = 41.1 ) ( 1 – 0.398..04 = 1.728 = 41.398  Fórmula do Desconto sucessivo L = P ( 1 – i1 ) ( 1 – i2 ) ( 1 – i3 )..000 x 0.000 ( 1 – 0.800 ⇒ L1 = 48. os descontos sucessivos de 10%.000.05 O valor líquido da fatura é de: R$ 39.1= 4.Qual o preço final desse artigo? Resolução: 189 .472– 2. são taxas sucessivas.472 p3 = L2 x i3⇒ p3 = 41.398 2) Sobre um artigo de R$ 2.. i2 .1 Como: p1 = P x i1 ⇒ p1 = 48.95 = 39.073.04 i3 = 5% = 0.6 = 39. 4 O valor líquido da fatura é de: R$ 39.04 i3 = 5% = 0..200 – 1. qual será a percentagem de lucro? 3) Um objeto foi revendido por R$ 701. dando um lucro de 35% sobre o custo.04 Assim: M= 2. dando um prejuízo de 20% sobre o custo. o preço final é de: R$ 2. Se tivesse vendido por mais R$ 20.1 x 1.04) = 2. WELLINGTON BRITO Temos: P = 2.700. para ganhar 30% sobre o preço de venda.04 = 2. tendo perdido 20% do preço de venda. com um lucro de 20% sobre o preço de venda. tive um prejuízo de 18% sobre o preço de venda.1 i2 = 4% = 0. tendo uma perda de 15% sobre o preço de compra. Por quanto comprei? 10) Vendi um objeto por R$ 280.500 x 1. 8) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 540. 9) Vendendo um imóvel por 120. Qual foi o meu lucro? 190 .860  EXERCÍCIO – Operações sobre mercadoria – (II) 1) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40 para ganhar 15% sobre o custo? 2) Vendendo por R$ 56 um objeto que custou R$ 50.000.PROF.1 ) ( 1 + 0. 7) Calcule o preço de venda de um objeto comprado por R$ 84.500 i1 = 10% = 0. Quanto havia custado? 4) Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por R$ 238 um objeto que custou R$ 280? 5) Uma casa foi vendida por R$ 53. Qual o preço de compra? 11) Quanto por cento ganhei sobre o preço de venda de um objeto que me custou R$ 360 e foi vendido por R$ 450 12) De quanto por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou R$ 280 e foi vendido por R$ 250? 13)Vendi um objeto por R$ 120. meu lucro seria de 50% do preço da nova venda. Quanto havia custado/ 6) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 450.860 Logo.500 ( 1 + 0. comprada por R$ 540. Por quanto foi vendido cada um. nessa transação. Sabendo que a venda de todo estoque.7% sobre o preço de compra. Quanto tenho? 16) Certa mercadoria foi vendida por R$ 3. 15) Se eu tivesse mais 50% da quantia que tenho poderia pagar uma dívida de R$ 5.410. vendi 600 kg com um lucro de 25% sobre o preço de compra e o resto com 12% de lucro sobre o preço de venda da primeira parte. Calcule o lucro total 20) Sobre o preço de compra de uma mercadoria incide uma despesa de 15%. quanto fez cada soldado? 18) Calcule o liquido de uma duplicata no valor de R$ 8. se os dois foram vendidos por R$ 2.800 (preço de tabela) com desconto de 2. Vendeu 340 unidades com 30% de lucro. em cada caso. 24) Um objeto foi vendido com 25% de lucro e outro com 30%. Por quanto devemos vender essa mercadoria. ao custo de R$ 420 a unidade.232. deixou R$ 38.600 que sofreu a redução de 15% sobre esse valor total e.142? 191 .660 de lucro líquido.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 14) Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.000 kg de feijão. No dia seguinte. a unidade do eletrodoméstico. para que tenhamos um lucro de 25% sobre o preço de compra. vendeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço da tabela. Se os dois juntos fizeram 720 pontos. com o prejuízo de 8. outro abatimento de 8% sobre o líquido da primeira redução. a R$ 1 o quilo. em seguida. calcule o preço pelo qual foi vendida.000 e ainda ficaria com R$ 700. a quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo. Depois vendeu o restante com certo prejuízo. Por quanto deveria ser vendida para dar lucro de 12% sobreo seu preço de custo? 17) Em um exercício de tiro ao alvo um soldado fez 40% a mais do que outro. Qual foi a taxa percentual de lucro total dessa pessoa? 22) O que significa a expressão “4% dos 5% de uma grandeza? 23) Um comerciante comprou 450 unidades de um certo eletrodoméstico.5%. perdendo. repassando a despesa para o comprador? 21) Uma pessoa comprou um automóvel de R$ 15. 19)comprei 2. nas condições acima. a R$ 546 e110und a R$ 382 24) R$ 1. Ao todo. com lucro de 15%: em seguida. pagou 20% e com R$ 28. 27) Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro com 35% de lucro.000 foram feitos descontos sucessivos de 8%. em quatro empresas.000 liquidou a dívida.2% da Grandeza 23) 340und.800 16) R$ 3. Determine o valor da dívida.62% 22) 0.778 15) R$ 3. ganhou ou perdeu? Quantos por cento? 26) Um comerciante pagou 30% de uma dívida.95% 29) 22. Na primeira apurou 100% e em cada uma das outras perdeu 15%. sucessivamente. se os dois foram vendidos por R$ 748? 28) Certa mercadoria foi vendida por R$ 7.000 4) 15% 6) R$ 383 7) R$ 120 8) R$ 450 10) R$ 224 5) R$ 39. do restaurante.390 21) 4.092 25) Ganhou 0.725 28) 29.200 e uma certa quantidade de arroz por R$ 29.000. Quanto ganhou sobre o capital primitivo? 30) sobre uma fatura de R$ 150.825% 30) R$ 128. Por quanto foi vendido cada um.478 9) R$ 141. Qual é o valor líquido da fatura? Respostas: 1) R$ 46 2) 12% 3) R$ 876 11) 20% 12) 12% 13) R$ 50 14) R$ 1.PROF.050 e R$ 1. 5% e 2%.447.965 17) 420 e 300 27) R$ 289 e R$ 459 18) R$ 6.63% 26) R$ 50. Vendeu o tecido com 8% de prejuízo e o arroz com 12% de lucro. WELLINGTON BRITO 25) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 38.600 19) R$ 710 20) R$ 776  TEORIA DOS CONJUNTOS 192 . foi revendida por R$ 8. De quanto por cento foi o lucro final sobre o valor inicial dessa mercadoria? 29) Uma pessoa empregou seu capital.475. u 2) I.Conjunto Vazio Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. nos exemplos anteriores. b ∈ A e d ∉ A Conjunto Unitário . d. escrevemos: x∉A É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linhafechada e não entrelaçada.. isto é. y. . Indicamos um conjunto.. coleção. escrevemos: x∈A Para indicar que x não é elemento do conjunto A.  a ∈ A. i. Sejam A um conjunto e x. 11. . Eis alguns exemplos : 1) Conjunto das vogais 2) Conjunto dos algarismos romanos 3) Conjunto dos números ímpares positivos Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. são consideradas noções primitivas: a) conjunto b) elemento c) pertinência entre elemento e conjunto Representação – Relação De Pertinência A noção matemática de conjunto é praticamente mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento. com uma letra maiúscula. 193 . um elemento. em geral. Assim. Assim.MATEMÁTICA PASSO A PASSO  Conceitos Primitivos: Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição. D. na representação abaixo temos: A  a b c * Nota: No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto. e um elemento com uma letra minúscula. M 3) 1. X. L. 7. 5. c.... Se x pertence ao conjunto A.. a. C. V. A. B.. C. classe. x. estaremos usando d o assim chamado diagrama de Euler-Venn.. temos os elementos: 1) a. sistema. 3. e. b. 9.. o. Branco} 2. x = 2} 4 5 C = { x x é inteiro e x2 = 3} D = { x 2x + 1 = 7 } 4. e. O símbolo usual para o conjunto vazio é ∅. Exemplos: 1º) { x  x ≠ x } = ∅ 2º) { x  x é impar e múltiplo de 2 } = ∅  EXERCÍCIO – CONJUNTOS ( I ) 1. ∅ } ( ) g) { 1 } ∈ { 1. inteiros e positivos: {1} 2º) Conjunto das soluções da equação 3x + 1= 10: {3} Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. t.2 } ( ) d) ∅ ∈ { 1. c } B = { Verde. a. 2 } ( ) e) {1. Azul.2} ∈ {1. Quais dos conjuntos abaixo são unitários? 9 ex> 6 B = { x 0 . ∅ } ( i) ∅ ∉ { 1. Amarelo. i.x=0} C = { x  x é divisor de zero } B = x x > 9 e x < 6 D = { x  x é divisível por zero} A= x x < 4 5 Respostas: 1. todo elemento de B pertence a A. 2} ( ) f) ∅ ∈ { 1. Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto por meio de uma propriedade P logicamente falsa. B = ∅ D = ∅  Conjuntos Iguais Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e reciprocamente. Complete com (V) se verdadeiro ou (F) se falso as afirmações: a) 0 ∈ Ν ( ) b) 0 ∉ ∅ ( ) c) {1} ∈ { 1. A = { m. Dê os elementos dos seguintes conjuntos: A = { x  x é letra da palavra matemática} B = { x  x é cor da bandeira brasileira } 2. Quais dos conjuntos abaixo são vazios? A={x0. {1} } ( ) ) ) 3. a) V b) V c) F d) F e) F f) V g) V h) F i)F 3. 194 . {1} } ( h) { 1 } ∉ { 1.PROF. WELLINGTON BRITO Exemplos: 1º) Conjunto dos divisores de 1. D = { 3 } 4. c. c. c. também O símbolo ⊂ é denominado sinal de podemos escrever B ⊃ A. 2) Com a notação A ⊄ B A ⊂ B ⇔ (∀x) ( x ∈ A ⇒ x ∈ B) indicamos que “A não está contido em B”. Inclusão. a.. c. . d } = { d. d}  Subconjuntos – Conjuntos Das Partes – Inclusão Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Em símbolos: A = B ⇔ ( ∀x) (x ∈ Α ⇔ x ∈ B ) Exemplos: 1º) { a. isto Exemplos: é. d } = { d. b. e somente se . positivo e impar} 3º) { x 2x + 1 = 5 } = { 2 } * Nota: Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos. b}  Conjunto Das Partes 3) È evidente que A ⊄ B somente se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B.9. 195 . b.d} 2º) {a} ⊂ {a.. b.b} ⊂ {a. b} ⊂ {a. 3. b} 3º) {a.} = { x  x é inteiro. c. 5. a } 2º) { 1. portanto: { a. b. Em símbolos. A Com a notação A ⊂ B indicamos que “A ésubconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “ A é parte de B”.7. a} = { b. a definição que lê-se “B contém A” fica assim. c. a negação de A ⊂ B. 1º) {a. * Notas: 1) Quando A ⊂ B. todo B elemento de A pertence também a B. b. *Nota: A quantidade de subconjuntos é determinada pela potência: n[ p (A) ] = 2n(A)  Propriedades Da Inclusão Sendo A. Sendo A = {1. B = {2. {a} }.{b}.c}.valem as seguintes propriedades: 1ª) ∅ ⊂ A 2ª) A ⊂ A (reflexiva) 3ª) (A ⊂ B e B ⊂ A ) ⇒ A = B (anti-simétrica) 4ª) (A ⊂ B e B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C (transitiva) P (A) = { x x ⊂ A}  Questões Comentadas 1.{b}. b} isto é: P (A) = { ∅.isto é: P (A) = { ∅.{a. b}.{b}. B e C três conjuntos arbitrários. {c. chama-se o conjunto das partes de A . Resolução: 1ª) 3 ∈ A ( V ) 3ª) B ⊂ A ( V ) 5ª) 4 ∈ B ( V ) 2ª) 1 ∉ B ( V ) 4ª) B = A ( F ) 2.{a.2.3}. {a}.3.c}. a) escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 1ª) 3 é elemento de A 4ª) B é igual a A 2ª) 1 não está em B 5ª) 4 pertence a B 3ª) B é parte de A b) classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira.3.c} e {a. {c}.PROF. Em símbolos: Exemplos 1º) Se A = {a}. 4 }. os elementos de P (A) são ∅ e {a}. {a}. 3º) Se A = {a. isto é: P (A) = { ∅.}. 3. os elementos de P (A) são ∅.{a.notação P (A) – aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. b. {c}. b} }. 2.{b.b}. 196 .2}.c}. b}.{b.4} e D = {1. {a}. {a. C= {1.b. c.4}. {a. 2º) Se A = {a.{b}. os elementos de P (A) são ∅. Dados A = { 1. {a}.b.c} }. {a. 4 } e B = { 2.a}. WELLINGTON BRITO Dado um conjunto A. pois 2 ∈ B. pois 1 ∈ A e 1 ∉ B c) F. B e C conjuntos quaisquer.c.e}  Propriedades da reunião Sendo A. b} ∪ {c.b. pois 2 ∈ B e 2 ∉ C d) V. A ∪ B = { x  x ∈ A ou x ∈ B } * Nota: O conjunto A ∪ B (lê-se “ A reunião B” ou A ∪ B” ) é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. 1 ∈ D.e} = {a.c.b} ∪ {a.} ∪ {c.d. valem as seguintes propriedades: 1ª) A ∪ A = A ( idempotente) 2ª) A ∪ ∅ = A (elemento neutro) 3ª) A ∪ B = B ∪ A (comutativa) 4ª) (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa) 197 . {a} } g) {a} ⊂ {a.b.d.b. {a}} j) {a.b.b. {a} } i) ∅ ∈ { ∅. 2 ∈ A e 2 ∈ D b) F.d} Operações Entre Conjuntos  União – Passo a Passo Dados dois conjuntos A e B. {a} } h) ∅ ⊂ { ∅ . a) 0 ∈ { 0. chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Exemplos: 1º) {a.c. 3. 2 ∈ D.d} 2º) {a. 3 ∈ B e 3 ∈ D  EXERCÍCIO – CONJUNTOS (II) Diga se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo.d} = {a.d} 3º) {a. 1. pois 2 ∈ D e 2 ∉ C f) V.c.MATEMÁTICA PASSO A PASSO classifique em V ou F cada sentença abaixo e justifique: a) A ⊂ D b) A ⊂ B Resolução: c) B ⊂ C d) D ⊃ B e) C = D f) A ⊄ C e) F.b} c) ∅ ∈ {0} d) 0 ∈ ∅ e) {a} ⊂ ∅  f) a ∈ {a.b. pois 1 ∈ A. 4 } b) {a} ∈ {a. pois 2 ∈ A e 2 ∉ C a) V. 2.c.c.b} ∈ {a.d} = {a. então os possíveis elementos de X são: 1.5}.2.d. X = {1. c} 4º) {a.2.PROF. Dados:A ={1. B= {3. B ∩ X = {3} e A U B U X = { 1.c} 2º) {a. isso significa que x pertence a A e também x pertence a B. 2 ∉ X e 4 ∉ X) (A U B U X = { 1.c.b} ∩ {a.e} = {b.3. Dados os conjuntos A = {1. d} = ∅  Propriedades da interseção Sendo A.2. O conectivo ∩ colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas ao mesmo tempo. 5 ∉ A e 5 ∉ B) ⇒ (5 ∈ X) Logo.2} e B={2.3. Exemplos: 1º) {a.c} = {a.b.3.2} e A ∩ X = {1}) ⇒ (1 ∈ X e 2 ∉ X ) (B = {2.4.} ∩ { b.5} 198 .c} ∩ {a. A ∩ B = { x x ∈ A e x ∈ B } * Nota: Se x ∈ A ∩ B.3.determine o conjunto X tal que A ∩ X = {1}.b. Resolução a) X U B = { 1.4}.3. e C conjuntos quaisquer.3. 2.c. b) X ∩ B = ∅ ⇒ 3 ∉ X e 4 ∉ X Conclusão: X = {1. chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.2} 2. valem as seguintes propriedades: 1ª) A ∩ A = A 2ª) A ∩ U = A (idempotente) ( elemento neutro) 3ª) A ∩ B = B ∩ A ( comutativa ) 4ª) A ∩ ( B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa)  Questões Comentadas 1.} e B ∩ X = {3} ) ⇒ (3 ∈ X.4.4}. ( A = {1. determine o conjunto X tal que X U B = A U C e X ∩ B = ∅. 3 e 4.3}. b} ∩ {c.b.2.4} e C = { 1.d} = {a.4. b. b} 3º) {a.2.c. WELLINGTON BRITO  Intersecção – Passo a Passo Dados dois conjuntos A e B.b.4}. B.5}. c.d. c. Determine C.2} ⊂ X ⊂ {1.2.3.c.5. um de cada vez. 2) Dados os conjuntos A = {a.f}. B com 3 elementos.d.b. e}. B ∩ C e A ∩ B ∩ C. B U C e A U B U C .d. descreva A ∩ B. A ∩ C. os seguintes conjuntos: a) A ∩ B ∩ C b) A ∩ (B U C) c) A U (B ∩ C) B A C d) A U B U C 8) Sejam os conjuntos A com 2 elementos. determine A U B. d} U X = {a.e}. {c.e.b. B = {c.b.MATEMÁTICA PASSO A PASSO  EXERCÍCIO – CONJUNTOS ( III ) 1) Dados os conjuntos A = {a.d. A ∩ C = {2.e} e {b.b.6} e A U B = { n ∈ Ν  1 ≤ n ≤ 8}.7}. A ∩ B= {2. Qual é o número máximo de elementos de (A∩B)∩C? 9) Classifique em V ou F: a) ∅ ⊂ (A ∩ B ) b) A ⊂ (A ∩ B ) c) A ∈ (A ∩ B) d) (A ∩ B) ⊂ (A ∩ B) e) (A ∩ B) ⊂ B f) (A ∩ B) ⊃ ( A ∩ B ∩ C) 199 .c.d} U X = {a. A U C.4}.d} ∩ X = {c} 5) Sabe-se que A U B U C = { n ∈ Ν  1 ≤ n ≤ 10}.}.d} e C = {c.c.c. C com 4 elementos.c}.3. B = {b. 7) Assinale no diagrama abaixo. 6) Determine o número de conjuntos X que satisfazem a relação {1.e} e C = {c. 3) Classifique em V ou F: a) ∅ ⊂ (A U B) b) (A U B ) ⊂ A d) (A U B ) ⊂ (A U B) e) B ⊂ (A U B) c) A ⊃ ( A U B) f ) (A U B) ⊂ (A U B U C) admitindo que A. B e C são conjuntos quaisquer 4) Determine o conjunto X tal que: {a.8}. B ∩ C ={2. d. Com o símbolo B AB A B B ∁ OU B Indicamos o complementar de B em relação a A * Nota B Temos que ∁ A B só é definido para B ⊂ A. a) V b) F c) F d) V e)V f)V 4.b} 4º) {a. 7.2.c} = {a} 3º) {a.e} = {a} 2º) {a.d. e} 5.c} – {b. a) V  b) F f) V c) F d) V e)V Diferença – Passo a Passo Dados dois conjuntos A e B. Isto é. 5. {1. tais que B ⊂ A.4} 8.3.e} = ∅ 4) Complementar – Passo a Passo Dados dois conjuntos A e B.b} – {a. c.2 }. {1. são eles: { 1.f} = {a.3}.c. B e C são conjuntos quaisquer. c.e. 9.c} – {b. aí temos: = A–B 200 ∁ A . chama-se Complementar de B em relação a A o conjunto A – B. 6. o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Respostas: 3.2. C = { 2. X = { a. 4.b.b. A–B ={xx∈A e x ∉ B} Exemplos 1º) {a.PROF. 2 elementos 9. WELLINGTON BRITO admitindo que A. { 1.4}. chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. 10} 6.b} – {c.2.d.b. c.c} e A ∩ X ≠ ∅) ⇒ (b ∉ X.h} B ∩ C = {e. B = {a.b.f.d.e. c. b. e} e B = { c. A ∩ X ≠ ∅ e Ac ∩ X = ∅.f. c.b. b.g. c.} .b. e. d } = A  Questões Comentadas 1) Dados A = {a. b. c ∉ X e a ∈ X) (Ac = {d. e}.c}. d} = B. f} Logo Ac – ( B ∩ C) = {d. c}. g} e considerando o conjunto Universo U = {a.c.b.c}. d. b. então: ∁A ∁ A B B = { a.e.g.f.c. f. b} 2º) Se A = { a.f} e C = { d. então: = ∅ B 3º) Se A = { a.c. e ∉ X e f ∉ X ) Então X = {a} U Em diagrama: A •b x a• •c 201 •d •e •f Ac .f} consideremos o subconjunto A = {a. então: ∁A = { a. A – X = {b.e. Determinar o subconjunto X tal que A – X = { b.h} b) A U C = {a.d. b. d} e B = ∅.d.g} ( B U C) c = U – (B U C) = {b.h} b) (A U C) – ( B U C) c Logo A U C – ( B U C) c = {a.c.c. d.d. c.g} 2) No conjunto universo U = {a.e.f.h} determine: a) Ac – (B ∩ C) Resolução a) Ac = U – A = {d.g} B U C = {a.f} e Ac ∩ X = ∅ ) ⇒ (d ∉ X.e.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Exemplos 1º) Se A = { a. Resolução (A = { a.d.e.e.b.g.f.e. c. 8 jogam vôlei e basquete. 13 jogam basquete.PROF. 8 jogam futebol e basquete e 4 praticam os três esportes. • que pertencem a A e a B: há n (A ∩ B) elementos. Então: n(A U B)=[ n (A) – n ( A ∩ B) ]+ [ n(B) – n (A ∩ B)] + n (A ∩ B) n (A U B) = n (A) + n(B) . depois completamos o conjunto C (tem 28 elementos – como 8 são comuns há mais 20 que pertencem só a C) e o conjunto M (tem 12 elementos – como 8 são comuns há mais 4 que pertencem só a M) 5) Numa classe de 36 alunos temos: 19 jogam futebol.n (A ∩ B) 4) Num grupo de motoristas há 28 que dirigem carro. Resolução Notemos que A U B é formado pelos elementos A A – (A ∩ B) B A∩ B – (A ∩ B) B • que pertencem só a A: há n (A) – n ( A ∩ B) elementos. Quantos motoristas há nesse grupo? Quantos só dirigem carro? Resolução C = Conjunto dos que dirigem carro M = Conjunto dos que dirigem moto Número total de motoristas: n(C U M) = n(C) + n (M) – n (C ∩ M) = 28 + 12 – 8 = 32 Número dos que dirigem só carro: n (C) – n (C ∩ M) = 28 – 8 = 20 C Também podemos resolver o problema construindo M 8 o diagrama ao lado. Determine: a) quantos alunos da classe não praticam estes esportes? b) quantos praticam exatamente um destes esportes? c) quantos praticam exatamente dois destes esportes? 202 3 8 9 4 4 4 4 .determinar o número de elementos de AU B. n(B) = número de elementos do conjunto B e n (A ∩ B) = número de elementos de A∩B. WELLINGTON BRITO 3) Sendo conhecidos n (A) = número de elementos do conjunto A. 12 que dirigem moto e 8 que dirigem carro e moto. 12 jogam futebol e vôlei. • que pertencem só a B: há n (B) – n ( A ∩ B) elementos. 25 jogam vôlei. Marcamos os 8 elementos 4 20 comuns. 6. Depois completamos F ∩ V (12 elementos). B = {1.2.3. B={1.2.d.5.5}.3}. b. a) a ∈ E b) {a} ∈ E c) a ⊂ E d) {a} ⊂ E e) ∅ ∈ E f) ∅ ⊂ E 2) Sejam os conjuntos A = {a.g} e C = { b.5} e C = {2.4. {a}}.f.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Resolução Construímos o diagrama começando pelos 4 elementos que praticam os três esportes ( F ∩ V ∩ B).2. d}.3} determine: 203 . c. Finalmente completamos F (19 elementos). B = {c. Como marcamos 4+8+4+4+3+9+1= 33 elementos e a classe tem 36 alunos.4.8} e C={2.4. V (25 elementos) e B ( 13 elementos).e.d. determine: a) A – A a)BCA b) A – ∅ b) ) C Bc c) ∅ – A c) C Ac 5) Dados A = {1.2.g}. Determine: a) A – B c) C – B e) A – ( B ∩ C) b) B – A d) (A U C) – B f) (A U B ) – (A ∩ C) 3) Dados os conjuntos A={1. As respostas São: a) 3 b) 3 + 9 + 1 = 13 c) 8 + 4 + 4 = 16 U F 3 9 V 8 4 4 4 1 3 B 1  EXERCÍCIO – CONJUNTOS ( IV) 1) Seja E = { a. obtenha um conjunto X tal que X ⊂ A e A – X = B ∩ C.e. 4) Sendo A um conjunto qualquer.4.3. há 3 que não praticam nenhum dos esportes.7}. Diga quais das proposições abaixo são verdadeiras. V ∩ B (8 elementos) e F∩ B(8 elementos. 2.8. a) (A – B) U ( B – A ) A B b) ( A U B ) – ( A ∩ B) A B 8) Denominamos diferença simétrica dos conjuntos A e B ao conjunto A ∆ B ( leia: A delta B) dado por A ∆ B = (A – B ) U ( B – A ).8.7.15. e) (A – B) c = (A ∩ B c ) c = Ac U B.12} determine A ∆ B.3. B e C.5.3.4.10} os subconjuntos A = {2.7} e B = {1. isto é (Ac) c = A.6.12.PROF.6.9. 221 estudam inglês. colheram-se os resultados tabelados abaixo: Marca número de A B C A e B B e C C e A A.6.5.7. Determine: a) Ac b) Bc c) (A ∩ B) c d) (A U B) c 10)Classifique em verdadeiro ou falso. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? 12) Uma população consome três marcas de sabão em pó: A.9. 9) Considere no conjunto universo U = {1.4.3.3. supondo que A e B são subconjuntos quaisquer de um universo U: a) A – B = A ∩ Bc b) A – B c = A ∩ B c) Ac – B c = B – A d)O complementar de Ac é A.2.10. 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. B e C Nenhuma das três 41 28 5 115 consumidores 109 203 162 25 204 . Feita uma pesquisa de mercado.9}. Dados A={0.5. WELLINGTON BRITO 6) Sombreie o conjunto pedido em cada diagrama a) A – (B ∩ C) A b) A – (B U C) B A B C C 7) Sombreie o conjunto pedido em cada diagrama. 11) Em uma escola que tem 415 alunos.18} e B = { 0. preta e amarela.x.q.z} 16) Considerando os conjuntos A. t} 5ª) A U C = {p.r.u.q.s.x. A firma tem a matriz na capital e somente duas filiais.u. 30% optaram por um plano de assistência médica.r.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Forneça: a) o número de pessoas consultadas b) o número de pessoas que só consomem a marca A. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos empregados trabalham na filial de Santos.v. calcule: a) n (A – B) b) n (A ∩ B ∩ C) c) n (B – ( C U A) ) d) n ((A ∩ B) – C) e) n ( B – (A ∩ B) ) 205 A C B .q. c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C.t.s} 3ª) B ∩ C = {s.p} 2ª) A ∩ B = {r. Sabendo que 20% dos empregados da capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o fizeram.s.x} 6ª) A U B = {p. B.s. d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas 13) Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca. uma em Santos e outra em Campinas. x} 4ª) C ∩ A = {s.t.t. responda: a) quantos indivíduos tem a comunidade? b) quantos são os indivíduos amarelos? 14) De todos os empregados de uma firma.v. 350 não são pretos e 50% são amarelos. e sabendo que: n (A U B) = 24 n (A ∩ B) = 4 n (B U C) = 16 n (A – C ) = 11 n (B – C ) = 10. representados ao lado. qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que optaram pelo plano? 15) Determine os conjuntos A. B e C.r. Sabendo que 70 são brancos. e C que satisfazem as seguintes seis condições: 1ª) A U B U C = { z. 9.q.6.10} d){4.18} c){1.10} 11) 332 e 83 10) a) V b) V c) V d) V e) V 12) a) 500 b) 61 c) 257 d) 84 13) a) 560 b) 280 14) 40% 15) A = { p.10} b){2.5} 4) 5) 8) a) ∅ b) A c)∅ a) {4.10} 9) a){1.3.x.b} e) { a. b.4.5} b) {1.15.8.9. d.8.t } B = { r.f.s.10.g} 3) X = {1.b} b) {e.u.6. g} c) {b} d) {a.PROF.2.5} c {1} A ∆ B = {2.v.8.3.t.9.4. f.4.c.8. c} f) {a.e.s. b.4.r.6.z } C = { s.8.6.x } 16) a) 8 b) 1 c) 7 d) 3 e) 12 206 . f 2) a) {a. WELLINGTON BRITO Respostas 1) a.4. então [(A – B) U (B – C) U (A ∩ B)] ∩ [ (A ∩ C) U (B ∩ A ∩ C)] é: a) { a.e}. c. b} e) {b.d.4} e) U d) {a.c. Se A e B são dois conjuntos.2. b. n (Y) = 90. e ∅ é o conjunto vazio. n (X – ( Y U Z) ) = 50. não vazios.H e M 5 Outras Atividades 115 109 203 162 Com base nessas informações.MATEMÁTICA PASSO A PASSO  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01) (Guarda-M) Numa academia de ginástica foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas matriculadas em alongamento (A).d. Ye Z três conjuntos tais que: n ( X ) = 100. seja n(A) o número de elementos de A. d}.e} b) { a. chegando-se ao seguinte resultado: Atividade Física Número de Pessoas A H M AeH 25 AeM 28 HeM 41 A. sejam X. n ( X ∩ Y ∩ Z) = 10 e n ( X ∩ Y ) = n( X ∩ Z) = n (Y ∩ Z) Nestas condições o número de elementos que pertencem a mais de um conjunto é: a) 70 b) 80 c) 90 d) 100 03) (FGV) Dados os conjuntos A = {a. C= {a. O conjunto B tal que B ∩ A = {1} e B ∪ A = U é: a) ∅ b) {1} c) {1.d} c) {a. hidroginástica (H) e musculação (M). B = {b. d} .3. então: a) { x  x ∈ A e x ∈ B} = A U B b) B ⊃ ( A ∩ B) c) A ∩ ∅ = {∅} d) B – A = x implica C B A = x e) A ⊂ A ∩ B 05) (CESGRANRIO) Sejam os conjuntos U = { 1.c} 04) (FATEC) Assinale a alternativa verdadeira. f}.c. c. n (z) = 80. pode-se concluir que a pesquisa foi feita com: a) 500 pessoas b) 573 pessoas c) 600 pessoas d) 688 pessoas 02) (UECE) Se A é um conjunto finito. b. c. 4} e A = {1.2} 207 d) {1. c.b. 3. 2 }. estão representados os conjuntos A.c}.PE) Considere os seguintes conjuntos: A = {1. B = {a. {1.PROF. WELLINGTON BRITO 06) (PUC-RS) Dados os conjuntos A = { a.F.2}}.F.RS) O conjunto A é subconjunto de B e A ≠ B.b. o conjunto X tal que A U C = B U X e B ∩ X = ∅ é: a) {a} b) {b} c) {c} d) {a.c} 07) (U. B e C não vazios.2 }} a) A ∩ B = { 2 } b) B ∩ C = {{1}} c) B – C = A ∩ B d) B ⊂ A e) A ∩ P (A) = {{1.F.2. A região sombreada representa o conjunto: a) (A ∩ B) – C b) ( A U B U C) – C c) ( A – B) – C d) (B U C) ∩ A e) A ∩ B ∩ C C A B 10)(U.b} e) {b. onde P (A) é o conjunto dos subconjuntos de A B= {{1}. {2}} Assinale abaixo a alternativa falsa: 208 . A U (B – A) é: a) B b) A c) ∅ d) A – B e) A ∩ B 08) (U.SANTANA) Na figura abaixo.b.{1}. 2} e C = {1.RN) A parte hachurada do gráfico abaixo corresponde a: a) ( A ∩ B) – B A b) (A ∩ C) – B B c) (B ∩ C) – A d) (A ∩ C) – A e) (A ∩ B) – C C 09) (F.d} e C = {a.d}. a 13) (FGV) Numa universidade com N alunos. 14) (PUC) Em um exame vestibular. apenas o produto B. 50 pessoas compram os produtos B e C.a.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 11) (FGV) Numa pesquisa de mercado. a) 210. 70 pessoas compram os produtos A e C. 210.d. 90 Biologia. 20 pessoas compram os 3 produtos. 250 pessoas compram o produto C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 pessoas compram o produto A.B e C. 55 Química. 80 estudam Física. Qual a porcentagem dos candidatos que já têm emprego? a) 60% b) 40% c)30% c) x∈ C A ∩ C B d) x ∈ A ∩ C B 209 d) 24% e) 12% 16) (PUC) sejam A. foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos:A. 250 b) 150. Já têm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. 23 Química e Física. Quantas pessoas foram entrevistadas ? a) 670 b) 970 c) 870 d) 610 e) 510 12) (FGV) No problema anterior. Se x ∈ C (A ∪ B). quantos alunos estão matriculados na Universidade? a) 304 b) 162 c) 146 d) 154 e) n. 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos.d. Do total dos candidatos. 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades.150 d) 120. 60 pessoas compram os produtos A e B. 210 pessoas compram o produto B.120.140.170 e) n. 100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos. 150. B ⊂ U. qual a porcentagem dos que optaram por Direito? a) 50% b) 20% c) 10% d)6% e) 5% 15) (PUC) Dentre os inscritos em um concurso público.Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades. 60% são homens e 40% são mulheres. calcular quantas pessoas compram apenas o produto A. 180 c) 100. Apenas o produto C. 32 Biologia e Física. então: a) x ∈ A ∩ B b) X ∈ A ∪ B e) x ∈ C A ∩ B . 20% optaram pelo curso de Direito. 3.3} ⊂ A b) 2 ∈ A c) ∅ ∉ A d) 3 ⊂ A e) {3} ∈ A 19) (MACK-SP) Seja o conjunto A = {3.} e B {7.4.2}} pode-se afirmar que: a) {1} ∉ A b) {1} ⊂ A c) {1} ∩ {2} ⊄ A d) 2 ∈ A e){1} ∪ {2} ∈ A 23)(FUNVEST-SP) Seja A ∆ B a diferença simétrica dos conjuntos A e B.8. Se A = {a.d. 21) (UF-Uberlândia) Se A = {3.}.{3}. ( 2 ) {3} ⊂ A ( 3 ) {3} ∈ A 20) (FEC-SP) Dados os conjuntos: M = {3.3}}.e.7.5.f} c) ∅ d) {a} e) A ∩ B 210 . e) nenhuma proposição é verdadeira. Sabendo-se que o conjunto A possui x subconjuntos a mais que o conjunto B e que o conjunto B possui 15 subconjuntos a mais que o conjunto C.6. então: a) { 2 .d.d. então: a) {7} ∈ B b) A ∩ B = {∅} d) A ∪ B = { x ∈ R  3 ≤ x ≤ 9} c) {5. {1. definida pela igualdade: A ∆ B = ( A – B ) ∪ (B – A ).7} e P={6.Carlos Chagas-SP) Se A = { ∅.9}. {2}.f} b) {b.PROF. o valor de x é: a) 60 b) 120 c) 180 d) 240 18) (F. {2. {3}} e as proposições: (1)3∈A então: a) apenas (1) e (2) são verdadeiras b) apenas (2) e (3) são verdadeiras c) apenas (1) e (3) são verdadeira d) todas as proposições são verdadeiras.6.5.d. N = {5.a. WELLINGTON BRITO 17) (G.6.c.c} e B {b. podemos afirmar que: a) M ∩ N = ∅ b) 8 ⊂ P c) 3 ∈ M ∩ N d)n.f} então A ∆ B é o conjunto: a) {a.Municipal) Um conjunto A possui o dobro do número de elementos de um conjunto B e o conjunto B possui mais elementos que o conjunto C.6} ⊂ A e) ∁BA = B 22) (MACK-SP) Sendo A = {{1}.b.e.c.8}. (2) quando chove de manhã não chove a tarde.c } e B = { a.Casa-SP) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas. {1. {1}. 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator Rh negativo. um estudante observa que: (1) Choveu 7 vezes. 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. de manhã ou à tarde. Nessas condições.2}.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 24) (UFOP – MG) Numa sala de aula com 60 alunos.d.2} ∈ [1.c. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é: a) 40 b) 65 c) 80 d) 120 e) 135 26) (UFC) Depois de n dias de férias. constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo. b) 29 são homens e) 9 homens jogam xadrez.3} e) 1 ∈ X b) ∅∈ X d) {1. Conclui-se. dois dos quais são: A = {a. c) 29 mulheres não jogam xadrez 25) (STA. e} Respostas: 01) A 02) A 03) C 04) D 05) D 06) E 07) A 08) B 09) A 10) D 11) D 12) C 13) B 14) D 15) A 16) C 17) D 18) E 19) D 20) D 21) C 211 22) E 23) A 24) C 25) C 26) B 27) B 28) E .3}} e seus elementos. (3) houve 5 tardes sem chuva.e }.2.2.2. {1.b} b) X = {a. é correto afirmar que: a) {1} ⊂ X c) {1. Então n é igual a: a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 13 27) (UNIFOR) Relativo ao conjunto X = {∅. é verdade que: a) X – B = {a. (4) houve 6 manhãs sem chuva.d} c) X = A ∩ B d) X = B – A e) X – A = { d. b. b. portanto que: a) 31 são mulheres d) 23 homens não jogam xadrez.3} ⊂ X 28) (UNIFOR) Um conjunto X tem 32 subconjuntos.b. 11 jogam xadrez. • Não são consideradas proposições as frases: f) g) h) Três vezes cinco mais um. há mais de dois mil anos. (9 ≠ 5) Sete é maior que três. estabelecendo Regras para distinguir os que são verdade daqueles que não o são. encandeadas adequadamente. Cada proposição que fazemos. Esse filósofo pode ser considerado o primeiro a se preocupar com o estabelecimento de regras para Proposição. ( 4 x 5= 20) • Dessas proposições. dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F). foi um deles. por mais complicada que pareça. ( 3x – 1 = 11) 212 . tem sujeito e predicado. Aristóteles. que viveu no século IV antes de Cristo . Proposição Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Exemplos São proposições a) b) c) d) e) Nove é diferente de cinco. todas são verdadeiras exceto d. ( 2 ∈ Ζ ) Três é divisor de onze. ( 3 x 5 + 1) A raiz quadrada de dois é um número racional? (√2 ∈ Q ?) O triplo de um número menos um é igual a onze. ( 7 > 3) Dois é um número inteiro. viveram inúmeros pensadores cujas idéias permanecem vivas até os dias de hoje. 3ª) tem um. 2ª) é declarativa ( não é exclamativa nem interrogativa ). Estudar matemática pode ser um exercício permanente de Lógica. ( 3/11 ) Quatro vezes cinco é igual a vinte. pode ser sempre justificada a partir de outras mais simples. WELLINGTON BRITO  RACIOCÍNIO LÓGICO .PROF.  Observemos que toda proposição apresenta três características obrigatórias: 1ª) sendo oração.QUANTITATIVO  O Estudo da Lógica Na Grécia antiga. Ele fez um estudo minucioso de certos tipos de proposições. e somente um. isto é. denominada tabela-verdade da proposição ~ p Assim. Negação A partir de uma proposição p qualquer. Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição ~ p tem sempre o valor oposto de p. ~ p é verdadeira quando p é falsa e ~ p é falsa quando p é verdadeira. ( 3 11) e) p: Quatro vezes cinco é igual a vinte. ( 4 x 5= 20) ~ p: Quatro vezes cinco é diferente de vinte. reexaminando os exemplos anteriores. quais são verdadeiras? a) 5 x 4 = 20 b) 5 – 4 = 3 c) 2 + 7 x 3 = 5 x 4 + 3 d) 5(3 + 1) = 5 x 3 + 5 x 1 213 e) 1 + 3 ≠ 1 + 6 f) ( – 2)5 ≥ ( – 2)3 g) 3 + 4 > 0 h) 11 – 4 x 2 .  Exemplos a) p: Nove é diferente de cinco (9 ≠ 5) ~ p: Nove é igual a cinco ( 9 = 5) b) p: Sete é maior que três. ( 2 ∈ Ζ ) ~ p: Dois não é um número inteiro. Esse critério está resumido na tabela ao lado. temos que ~ p é verdadeiro no exemplo d e ~ p é falsa nos demais. (2 ∉ Ζ ) d) p: Três é divisor de onze: ( 3/11 ) ~ p: Três não é divisor de onze.  P ~p F V V F EXERCÍCIO – RACIOCÍNIO LÓGICO ( I ) 1) Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições.MATEMÁTICA PASSO A PASSO A frase f não é tem predicado. ( 7 > 3) ~ p: Sete é menor ou igual a três ( 7 ≤ 3) c) p: Dois é um número inteiro. sempre podemos construir outra. denominada negação de p e indicada com o símbolo ~ p. ( 4 x 5 ≠ 20) Para que ~ p seja realmente uma proposição devemos ser capazes de classifica-la em verdadeira (V) ou falsa (F). a frase g é interrogativa e a frase h não pode ser classificada em verdadeira ou falsa. d. 8. • existe um único elemento de A que é impar. 12} podemos dizer que: • qualquer que seja o elemento de A. c. temos: ∀x ∈ A : qualquer que seja x pertencente a A. e. b. WELLINGTON BRITO 2) Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras? a) 3 x 7 = 21 b) 3 x (11 – 7 ) ≠ 5 c) 3 x 2 + 1 > 4 d) 5 x 7 – 2 ≤ 5 x 6 Respostas 1) São proposições: a. chamados quantificadores. são os seguintes: ∀ ( leia: qualquer que seja) ∃ ( leia: existe) ∃ ( leia: existe um único) ∃ ( leia: não existe) Colocando-se x ∈ A ao lado de cada um deles.PROF. c. d. • Não existe elemento de A que é número primo. 10. 9. e f. 214 . ( ou para todo x pertencente a A) ∃x ∈ A : existe x pertencente a A.g 2) a) 3 x 7 ≠ 21( F) e) f) () () 1 7< 1 2 2 √2 < 1 3 h) 3 7 g) – (– 4 ) ≥ 7 d) 5 x 7 – 2 > 5 x 6 (V) e) f) √2 ≥ 1 (V) g) – (– 4) < 7 (V) () () 1 7≥ 2 h) 3 1 3(F) 2 () b) 3 (11 – 7 ) = 5 ( F ) c) 3 x 2 + 1 ≤ 4 (F)  Os Quantificadores 7 ( V) Em relação ao conjunto A = { 6. g São verdadeiras: a. ele é um número natural. Em Matemática dispomos de símbolos próprios para representar as expressões grifadas acima. • existe elemento de A que é um número par. Estes símbolos. Em outras palavras a sentença (∀x ∈ A. Quando de uma afirmação a podemos tirar uma conclusão b dizemos que a implica b. ( È lógico que também podemos tirar outras conclusões como. por exemplo.  Implicação e Equivalência Se for verdade que “todo brasileiro entende de futebol”. Dizemos que a sentença (∃x ∈ A x não é par) é a negação lógica da sentença (∀x ∈ A. ou ainda. ∃x ∈ A x é par. Quando uma sentença é a negação lógica da outra. podemos dizer “não existe menino de cabelos verdes” ou “nenhum menino tem cabelos verdes”. então também é verdade que “todo maranhense entende de futebol” (porque. ∃ x ∈ A : não existe x pertencente a A. Isto significa que da afirmativa a. ou se a então b) Se também de b podemos tirar como conclusão a.10. todo gaúcho entende de futebol e até todo carioca entende de futebol. equivalentemente. a negação de “todo sorvete é gostoso” é “existe sorvete que não é gostoso”. Neste caso indicamos: 215 . dizemos que a e b são equivalentes. x é natural. Já a sentença (∀x ∈ A. x é par) é falsa porque (∃x ∈ A x não é par) é verdadeira. sendo uma delas verdadeira a outra é falsa. x é par). porque 9 ∈ A e 9 não é par. x não tem a propriedade P). “todo menino não tem cabelos verdes”. no caso do conjunto A = { 6.9. ∃ x ∈ A  x é primo. A negação lógica de uma sentença do tipo ( ∃x x tem a propriedade P ) é a sentença ( ∃ x tem a propriedade P) ou. afinal.∃  x ∈ A: existe um único x pertencente a A. x é par) é falsa. Por exemplo. (∀x. os maranhenses também são brasileiros). por exemplo. “todo brasileiro entende de futebol”. A negação lógica de uma sentença tipo (∀x. Indicamos: a ⇒ b ( leia: a implica b. MATEMÁTICA PASSO A PASSO Então. todo paulista entende de futebol.). ∃  x ∈ A  x é ímpar. para negar que “existe menino de cabelos verdes”.12} temos: ∀x ∈ A.8. x tem a propriedade P) é a sentença (∃xx não tem a propriedade P).podemos tirar como conclusão b: “todo maranhense entende de futebol”. então x ∉ E. temos que: x = 2 ⇒ x2 = 4 Notemos que de x2 = 4 não podemos tirar a conclusão de que x = 2 (porque poderíamos ter x = . Assim x 2 = 4 não implica x = 2 . x∈E⇒x∈F F X E PROF. ( x ∈ A ⇒ ∈ B) x é baiano ⇒ x é brasileiro A=B⇔(A⊂BeB⊂A) x não é brasileiro⇒ x não é baiano E temos também que: A ⊄ B ⇔ ∃x  x ∈ A e x ∉ B brasileiros baianos 216 . então x ∈ F. que pode ser positivo. logo x2 = 4 não equivale a x = 2. WELLINGTON BRITO E também podemos afirmar que se x ∉ F. quando a ⇒ b Também temos que : ~ b ⇒ ~ a E F X Na verdade. Costumamos representar a negação de uma afirmativa a pelo símbolo ~ a ( leia : não a). De modo geral. Quando a não implica b escrevemos: a ⇒ b ( leia: a não implica b) Quando a não equivale a b escrevemos: a ⇔ b ( leia: a não equivale a b) 2) Imaginemos agora que E é um subconjunto de um conjunto F e seja x um elemento qualquer.2). vale a equivalência: ( a ⇒ b ) ⇔ (~ b ⇒ ~ a) 3) Com os símbolos estudados podemos escrever as definições de subconjuntos e da igualdade de conjuntos como segue: A ⊂ B ⇔ ∀x. nulo ou negativo. x ∉F⇒x∉E A afirmativa x ∉ F é a negação de x ∈ F. Podemos afirmar que se x ∈ E. ou a se e somente se b) Exemplos: 1) sendo x um número inteiro.a ⇔ b ( leia: a é equivalente a b. j)∀x.3.classifique em verdadeiro ou falso: a) a – b = 0 ⇔ a = b b) a + b = 0 ⇔ (a = 0 e b ≠ 0) .(x é número primo⇒x∈A). como se representam num diagrama os conjuntos A e B? 3) A negação da sentença A ⊂ B (“todo elemento de A pertence a B”) é a sentença A ⊄ B (“existe elemento de A que não pertence a B”). classifique em verdadeiro ou falso: a)∀x ∈ A.5. 6) Dê a negação (lógica) de cada sentença. Admitindo que é verdadeira a frase “ todo carioca é inteligente”. 217 . h) ∃x ∈ A  x é maior que 10. x é menor que 20. f)∀x. d) ∃x ∈ A x é par. c) ∃x ∈ Ax é impar. Então. carioca não inteligente e inteligente que não é carioca c) Existe carioca não inteligente. i) ∃ x ∈ A x é negativo.17.MATEMÁTICA PASSO A PASSO  EXERCÍCIO – RACIOCÍCIO LÓGICO ( II ) 1) Sendo A = { 2.(x∈A ⇒ x é número primo).13.(x∈A⇒x é maior que 10). e supondo que “exista carioca que não é inteligente” podemos ter os seguintes casos: I II III A B A B A B Associe cada caso a uma das seguintes sentenças: a) Nenhum carioca é inteligente b) Existe carioca inteligente.11. e) ∃x ∈ Ax é maior que 10. b)∀x. qual é a negação da frase “todo carioca é inteligente” ? 4) considerando os conjuntos A e B do exercício 2.19}.g) ∃x ∈ A  x é maior que 10.7. b) Todo menino gosta de futebol. mas todo inteligente é carioca 5) Sendo a e b números quaisquer. 2) Seja A o conjunto de todos os cariocas e B o conjunto de todas as pessoas inteligentes. a) Existe menina feia. b) Existe menino que não gosta de futebol (ou também: nem todo menino gosta de Futebol. b) Que o aluno não gosta de Matemática c) Não. Ricardo anda de bicicleta. a) Qual é a negação lógica de a? b) Se a é verdadeira. 7) Em todo sábado que não chove. WELLINGTON BRITO c) Nenhuma menina gosta de futebol.) c) Existe menina que gosta de futebol. d) Nem tudo o que é bom engorda. 218 . 4) a) II 5) a) V b) I b) F c) III 6) a) Nenhuma menina é feia. d) Tudo que é bom engorda. o que se pode concluir a respeito de um aluno que não gosta de poesia? c) Se a é verdadeira e Adriana não gosta de Matemática.) 7) Sábado passado choveu. Se no sábado passado Ricardo não andou de bicicleta. o que você pode concluir? 8) Considere a afirmativa a: “todo aluno que gosta de Matemática também gosta de poesia”. (ou também: existe o que é bom e não engorda.PROF. 8) a) Existe aluno que gosta de Matemática e não gosta de poesia. pode-se concluir que Adriana não gosta de poesia? Respostas 1) a) V b) V e) F f) F i) V j) F c) V g) V d) V h) F 2) B A 3) Existe carioca que não é inteligente. então p ∨ q é falsa. p V V F F q V F V F p∨q V V V F 219 . Exemplos  1) p: 5 > 0 ( cinco é maior que 0) q: 5 > 1 ( cinco é maior que um) p ∨ q: 5 > 0 ou 5 > 1(cinco é maior que zero ou maior que um) 2) p: 3 = 3 ( três igual a três) q: 3 < 3 ( três menor que três) p ∨ q: 3 ≤ 3 (três menor ou igual a três) 3) p: 10 é um número primo q: 10 é um número composto q ∨ q: 10 é um número primo ou composto 4) p: 34 < 26 q: 22 < ( .MATEMÁTICA PASSO A PASSO  Os Conectivos – Passo a Passo A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: Conectivos ∧ (lê-se: e) e o conectivo ∨ (lê-se: ou). se p e q são ambas falsas.3 )5 Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: A disjunção p ∨ q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira. p v q. denominada disjunção das sentenças p e q. Conectivo v ( ou ) Colocando o conectivo v entre duas proposições p e q. Esse critério está resumido na tabela ao lado. Denominada tabela-verdade da proposição p ∨ q.3 )5 p ∨ q: 34 < 26 ou 22 < ( . obtemos uma nova proposição. 3 )5 ( F ) então: p ∨ q: 34 < 26 ou 22 < ( .  Exemplos 1) p: 2 > 0 q: 2 ≠ 1 p ∧ q: 2 > 0 e 2 ≠ 1 2) p: – 2 < – 1 q: (– 2)2 < (– 1)2 p ∧ q: – 2 < – 1 e (– 2)2 < (– 1)2 3) p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a q: um quadrado de lado a tem área a2 p ∧ q: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a2 4) p: 2 / 5 ( 2 é divisor de 5) q: 3 / 5 ( 3 é divisor de 5) p ∧ q: 2 / 5 e 3 / 5 ( 2 e 3 são divisores de 5) Vamos postular um critério para estabelecer um valor lógico ( V ou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos(conhecidos ) das proposições p e q: A conjunção p ∧ q é verdadeira se p ∧ q são ambas 220 . ∧ entre duas proposições p e q. obtemos uma nova proposição. WELLINGTON BRITO Revendo os exemplos anteriores. temos: 1) p: 5 > 0 ( V ) q: 5 > 1 ( V ) então: p ∨ q: 5 > 0 ou 5 > 1(V) 2) p: 3 = 3 ( V ) q: 3 < 3 ( F ) então: p ∨ q: 3 ≤ 3 ( V ) 3) p: 10 é número primo ( F ) q: 10 é número composto ( V ) então: p ∨ q: 10 é número primo ou composto ( V ) 4) p: 34 < 26 (F) q: 22 < ( .PROF. denominada conjunção das sentenças p e q.3 )5 ( F ) Conectivo ∧ ( e ) Colocando o conectivo. p ∧ q. Esse critério está resumido na tabela ao lado. p q p ∧q em que são examinadas todas as possibilidades para p e q. F V F F F F Reexaminando os exemplos anteriores. V V V Essa tabela é denominada V F F tabela-verdade da proposição p ∧ q. (2) João é distraído. b) Nenhum professor é distraído. então p ∧ q é falsa. (F) Classifique em V ou F as seguintes conclusões: a) João não é professor. temos: 1) p: 2 > 0 (V) q: 2 ≠ 1 (V) então: p ∧ q: 2 > 0 e 2 ≠ 1 ( V ) 2) p: – 2 < – 1 (V) q: (– 2)2 < (– 1)2 ( F ) então: p ∧ q: – 2 < – 1 e (– 2)2 < (– 1)2 MATEMÁTICA PASSO A PASSO (F) 3) p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a ( F ) q: um quadrado de lado a tem área a2 (V) Então:p ∧ q: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a2 ( F ) 4) p: 2 / 5 ( F ) q: 3 / 5 (F) então: p ∧ q: 2 / 5 e 3 / 5  Questões Comentadas Admitindo verdadeiras as premissas: (1) O professor não erra.verdadeiras. se ao menos uma delas for falsa. (3) Quem é distraído erra. Resolução P = Conjunto dos professores D = Conjunto dos distraídos E = Conjunto dos que erram (1)⇒P∩E=∅ ( 2 ) ⇒ João ∈ D (3)⇒D⊂E 221 P E João D . 4) Forme a negação de cada sentença.RACIOCÍNIO LÓGICO ( III ) 1) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: a) 3 > 1 e 4 > 2 e) 1 < 3 ou 5 b) 3 > 1 ou 3 = 1 2 4 11 Respostas: c) 2/4 ou 2/(4 + 1) d) 3( 5 + 2 ) = 3 x 5 + 3 x 2 e 3/7 f) (– 1)6 = – 1 e 25 < (– 2)7 g) √16 = 6 ou mdc (4. 222 . (2) Todo repórter é formado em jornalismo. III – Se G não é escolhido. X. Z o é. logo João ∉ P ) b) V ( pois D ∩ P = ∅ )  EXERCÍCIO .H) e 4 mulheres ( W. b) Sandro não pratica natação ou não pratica corrida. O grupo deverá ter pelo menos 2 homens e as seguintes condições deverão ser respeitadas: F se recusa a trabalhar com Y G se recusa a trabalhar com W Y se recusa a trabalhar com Z a) Se Y pertence ao grupo. quais serão os outros membros? b) Classifique em Verdadeiro ou Falso: I – Se F não é escolhido. Pode-se concluir que: a) Adelaide é esperta? b) Jamil é repórter? c) Há jornalistas espertos? 3) Forme a negação de cada frase. 4) a) Osmar não é palmeirense e não é vascaíno. WELLINGTON BRITO 2) Partindo das premissas: (1) Todo repórter é esperto. Respostas: 1) a) V b) V c) V d)F e)V f)F g) F 2) a) não b) não c) sim 3) a) Juliana não é alta ou não é loira.a) V (pois D ∩ P = ∅ e João ∈ D. escolhendo-se entre 3 homens ( F.Y. a) Juliana é alta e loira b) Sandro pratica natação e corrida. 5) (GV-SP) Um grupo de 4 pessoas será formado.Z).G. W o é. a) Osmar é palmeirense ou vascaíno b) Simone gosta de ler ou de ouvir música. II – Se H não é escolhido.7) = 2 PROF. (3) Jamil é esperto. W também não o é. (4) Adelaide é jornalista. p → q é verdadeiro. obtemos uma nova proposição.. 5) a) 6. H e X b) I) V II) V III) F. ( 1 < 1 2 3 ) ( ) ) O condicional p → q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa.. então três é divisor de dez (2x5=10 → 3/10) 3) p: cinco é menor que dois ( 5 < 2) q: dois é número inteiro ( 2 ∈ Ζ ) p → q: se cinco é menor que dois. Exemplos 1) p: dois é divisor de quatro ( 2/4 ) q: quatro é divisor de vinte ( 4/20 ) p → q: se dois é divisor de quatro.) Colocando o condicional → entre duas proposições p e q.( Símbolo ↔). a proposição p é chamada antecedente e q é chamada conseqüente...então. então dois é número intero (5 < 2 → 2 ∈ Ζ) 4) p: um meio é menor que um terço q: três é igual a cinco ( 3 = 5) p → q: se um meio é menor que um terço....MATEMÁTICA PASSO A PASSO b) Simone não gosta de ler e não gosta de ouvir música. .. caso contrário.  Condicional → ( se. e somente se. 223 . No condicional p → q. então. que lê-se: “se p.. “q é condição suficiente para p”... se. então q”. p → q.  Os Condicionais – Passo a Passo Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: o condicional se.. “p é condição necessária para q”.. (Símbolo: → ) e o condicional . então três é igual a cinco 1 < 1 → 3=5 2 3 Vamos postular um critério de classificação para a proposição p → q baseado nos valores lógicos de p e q. então quatro é divisor de vinte (2/4 → 4/20) 2) p: dois vezes cinco é igual a dez ( 2 x 5 = 10) q: três é divisor de dez (3/10) p → q: se dois vezes cinco é igual a dez. então p ↔ q é V 2) p é V e q é F. WELLINGTON BRITO Esse critério está resumido na tabela ao lado. e somente se) Colocando o condicional ↔ entre duas proposições p e q. Revendo os exemplos dados temos: 1) p é V e q é V. Exemplos 1) p: 2 / 12 q: 2 x 7 /12 x 7 p ↔ q: 2/12 ↔ 2 x 7/12 x 7 3) p: 6 = 12 : 3 q: 3. então p → q é V 2) p é V e q é F.6 = 18 p ↔ q: 6 = 12 : 3 ↔ 3 x 6 = 18 2) p: 3 = 6 4) p: 4 ≤ 3 2 4 q: 4 x 5 ≤ 3 x 5 q: 3 x 4 ≠ 6 x 2 p ↔ q: 4 ≤ 3 ↔ 4 x 5 ≤ 3 x 5 p ↔ q: 3 = 6 ↔ 3 x 4 ≠ 6 x 2 2 4 Vamos postular para o condicional classificação: p ↔ q o seguinte critério de O condicional ↔ é verdadeiro somente quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.PROF. q”. então q” e reciprocamente. e somente se. “q é condição necessária e suficiente para p ou “ se p. então p → q é V 4) p é F e q é F. denominada tabela-verdade da proposição p → q. então p ↔ q é F 224 p V V F F q V F V F p↔q V F F V . Revendo os exemplos dados temos: 1) p é V e q é V. p ↔ q. o condicional ↔ é falso. Assim a tabela-verdade da proposição p ↔ q: é a que está ao lado. então p → q é F 3) p é F e q é V. então p → q é V  p q p→q V F V V V V F F V F V F Condicional ↔ ( se. que lê-se: “p se. “p é condição necessária e suficiente para q”. se isso não acontecer. obtemos uma nova proposição. 225 . s ( F). determine o valor ( V ou F) de cada proposição abaixo. então p ↔ q é V  EXERCÍCIO – RACIOCÍNIO LÓGICO ( IV ) 1) Escreva a tabela-verdade contendo duas proposições p e q com possíveis resultados dos conectivos e condicionais. q (V). r ( F). q.. s.r.8) = 2 b) 22 = 4 ↔ ( .6) = 1 ↔ 4 é número primo f) 6 ≤ 2 ↔ 6 – 2 ≥ 0 g) 3 < 2 → 3 x 7 = 2 x 5 5 7 MATEMÁTICA PASSO A PASSO 3) Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falsa. q.) mediante o emprego de conectivos ( ∨ ou ∧ ) ou de modificador ( ~ ) ou de condicionais (→ ou ↔). classifique em verdadeira ou falsa as afirmações p. então p ↔ q é F 4) p é F e q é F.3) p é F e q é V. a) p → r b) p ↔ q c) r → p d) (p ∨ r) ↔ q e) p → ( q → r) f) p → ( q ∨ r ) g) ~ p ↔ ~ q h) ~ p ↔ r 4) Sendo a proposição p → ( r ∨ s) falsa e a proposição (q ∧ ~ s ) ↔ p verdadeira.  Tautologias Seja v uma proposição formada a partir de outras (p. Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p.q. Respostas: 2) a) V b) v c) V d)V e) F f) F g) V d) V e) F f) V g) V h) V 3) a) F b) V c) V 4) p (V). 2) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo... a) 2 – 1 = 1→ 5 + 7 = 3 x 4 e) 2/8 → mmc (2. r.2)2 = 4 c) 5 + 7 x 1 = 10 → 3 x 3 = 9 d) mmc (3. etc. q. etc. WELLINGTON BRITO Assim a tabela – verdade de uma tautologia v apresenta só V na coluna de v. Dizemos que ƒ é uma proposição logicamente verdadeira quando ƒ tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de p. q... pois: p V F ~p F V p ∧ ~ p F F 226 . r.) mediante o emprego de conectivos ( ∨ ou ∧ ) ou de modificador ( ~ ) ou de condicionais (→ ou ↔). pois: p p) V V V F F F F F V V V V q ~p p ∧ ~ p q ∨ p ( p ∧ ~ p) → (q ∨ 2) ~ (p ∧ q ) ↔ (~ p ∨ ~ q) é uma tautologia.PROF. Exemplos 1) p ∧ ~ p é proposição logicamente falsa. Assim a tabela – verdade de uma proposição logicamente falsa ƒ apresenta só F na coluna de ƒ . pois: p q p ∧ q ~(p ∧ q) ~ p ~ q ~ p ∨ ~ q ~ (p ∧ q)↔(~p∨ ~q) V V  V F F F F V Proposições Logicamente Falsas Seja ƒ uma proposição formada a partir de outras ( p. Exemplos 1) ( p ∧ ~ p ) → (q ∨ p) é uma tautologia.. q: o triângulo ABC é eqüilátero.  Negação de uma disjunção ( p ∨ q) Tendo em vista que ~ (p ∨ q) ⇔ ( ~ p ∧ ~ q). conectivas e condicionais. Exemplos 1) p: o triângulo ABC é isósceles. Exemplos 1) p: a ≠ 0 q: b ≠ 0 p ∧ q: a ≠ 0 ou b ≠ 0 227 2) p: 2/4 q: 3/9 p ∧ q: 2/4 e 3/9 . podemos estabelecer que a negação de p ∧ q é a proposição ~ p ∨ ~ q. podemos estabelecer que a negação de p ∨ q é a proposição ~ p ∧ ~ q. p v q: o triângulo ABC é isósceles ou eqüilátero ~ (p ∨ q) : o triângulo ABC não é isósceles e não é eqüilátero.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 2) ( p ∨ ~ q ) ↔ (~ p ∧ q ) p q ~ p ~qp ∨ ~q ~ p∧ q V V V F F V  F F V F V F V V F F F V ( p ∨ ~ q ) ↔ (~p ∧ q) F F F Como Negar Proposições – Passo a Passo para negar Vamos destacar os resultados obtidos proposições compostas. 2) p: a = 0 q: b = 0 (p ∨ q): a = 0 ou b = 0 ~ (p ∨ q): a ≠ 0 e b ≠ 0  Negação de uma conjunção (p ∧ q) Tendo em vista que ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q. Exemplos: 1 1 1 1)sentença:(∃ a) 2)sentença:(∃ a) a + ∈ R ≥ a 2 3 negação ( ∀ a) ( ( 1 a ∉ R ) ) negação:( ∀ a) a + ( ( 1 2 < 1 3 ) ) ) )  Questões Comentadas 1) A negação de x ∈ A ∩ B é x ∉ A v x ∉ B. Assim.5  Negação de proposições quantificadas a)Uma sentença quantificada com o quantificador universal do tipo (∀x ) (p (x)). a negação da sentença “Chico é cantor e compositor” é a sentença “Chico não é cantor ou não é compositor”.~ (p ∧ q): a = 0 ou b = 0  PROF. do tipo (∃x)( p(x)). obtendo: (∃x) (~ p(x)). 228 . WELLINGTON BRITO ~ (p ∧ q): 2 4 ou 3 9 Negação de um condicional Já que ~ (p → q) ⇔ p ∧ ~ q. podemos estabelecer que a negação de p → q é a proposição p ∧ ~ q.é negada assim: substitui-se o quantificador pelo universal e nega-se p(x). a) (∀x ) ( x + 3) = 5 ( ~ ) (∃x) ( x + 3 ≠ 5) b) Uma sentença quantificada com o quantificador existencial. Exemplos: 1) p: 2 ∈ ℤ q: 2 ∈ ℚ p → q: 2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ ~ (p → q): 2 ∈ ℤ e 2 ∉ ℚ 2) p: 52 = (− 5) 2 q: 5 = – 5 p → q: 52 = (– 5)2 → 5 = – 5 ~ (p → q): 52 = (– 5)2 e 5 ≠ . obtendo:(∀x)( ~p (x)). é negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se p(x). Resolução: Se Raul não briga com Carla então: Carla não fica em casa Se Carla não fica em casa. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. 3) Verifique. a equivalência da proposição: ( p → q ) ⇔ ( ~ q → ~ p). a negação da sentença “Regina gosta de cinema ou gosta de teatro é a sentença “Regina não gosta de cinema e não gosta de teatro”.2) A negação de x ∈ A ∪ B é x ∉ A ∧ x ∉ B. então Carla fica em casa. então Glória não vai ao cinema Se Glória não vai ao cinema. Ora. por meio da tabela-verdade. Raul não briga com Carla. d) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. então Beto não briga com Glória 229 . se Glória vai ao cinema. Logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. então Glória vai ao cinema. Resolução: ( p → q ) ⇔ ( ~ q → ~ p) p V V F q V F V p →q V F V MATEMÁTICA PASSO A PASSO ~ q F V F ~ F F V p ~ q → V F V ~ p Resposta: A coluna ( p → q ) apresenta o mesmo resultado da coluna ( ~ q → ~ p). Assim. 4) Se Beto briga com Glória. Se Carla fica em casa. então Raul briga com Carla.o que significa dizer que é verdadeiro o bi condicional ( p → q ) ⇔ ( ~ q → ~ p). então Carlos não é mais velho que Pedro Logo. Se João é mais moço do que Pedro.  EXERCÍCIO – RACICÍNIO LÓGICO ( V ) i) Todo número inteiro é primo é impar.3) ≠ 6 b) 3 = 6 ou 3 x 10 ≠ 6 x 5 5 10 c) 3 ≥ 1 e – 3 ≥ – 7 7 d) 22 = 4 → √4 = 2 e) (– 3 )2 = 9 → √ 9 ≠ – 3 230 . e João é mais moço do que Pedro. então Carlos é mais velho do que Maria.PROF. Ora. então João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro. Então: a) Carlos não é mais velho do que Leila. e João é mais moço do que Pedro. j) Todo triângulo isósceles é eqüilátero k) Existe um losango que não é quadrado l) Existe um número cuja raiz quadrada é zero m) Todo triângulo que tem três ângulos 1) Diga qual é a negação de cada proposição abaixo . b) Carlos é mais velho que Pedro. e Maria e Julia não tem a mesma idade.a única opção correta é “é”: Carlos não é mais velho do que Pedro. Se Maria e Julia tem a mesma idade. Resolução: Se Carlos não é mais velho do que Maria. Carlos não é mais velho do que Maria. a) mdc (2. e Maria e Julia não tem a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. então João não é mais moço que Pedro Se João não é mais moço que Pedro. então: Maria e Julia não tem a mesma idade Se Maria e Julia não tem a mesma idade. d) Carlos é mais velho do que Pedro. então Maria e Julia tem a mesma idade.3) = 1 ou mmc (2. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. 5) Se Carlos é mais velho do que Pedro. e Maria e Julia tem a mesma idade. WELLINGTON BRITO Logo a única opção correta é “ a “. f) 2 ≤ 5 → 32 ≤ 52 x MATEMÁTICA PASSO A PASSO congruentes tem três lados congruentes. Em quantas meias deve pegar para ter a certeza de conseguir. q. para ter a certeza de formar um par da mesma cor? a) 2 b) 20 c) 3 d) 4 e) 40 6) Timóteo tem na sua cômoda. maior. Estas palavras seguem uma Regra Lógica. 3) Verifique. r são proposições quaisquer. a) nenhuma mulher é desonesta d) Nenhuma mulher é honesta b) Todas as mulheres são honestas e) Algumas mulheres são desonestas. malas. ∨ é uma tautologia e ƒ uma proposição logicamente falsa. um par da mesma cor? a) 6 b) 5 c) 4 d)3 e)2 7) Trens. Das palavras seguintes. por meio das tabelas-verdades. 18 meias azuis. c) Algumas mulheres são honestas 5) Numa gaveta há 20 meias pretas e 20 marrons. pega em algumas. a) da conjunção c) da conjunção relativamente à disjunção p ∧q⇔q∧p p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) p∧p⇔p p∧(p∨q)⇔p p∧v⇔p p∨(p∧q)⇔p p∧ f⇔f b) da disjunção d) da negação p∨q⇔q∨p ∼(∼p)⇔p (p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) ∼ ( p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q p∨ p⇔p ∼ ( p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q p∨ v⇔v p∨f⇔p em que p. 4) A negação da frase “Todas as mulheres são honestas” é. 12 amarelas. no escuro.30 verdes e 2 roxas.As meias estão todas misturadas Timóteo. 2 g) (∀x ) ( x > 2 → 3 > 3 ) h) ( ∃x ) (√ x < 0 ) 2) Classifique em V ou F as negações construídas no exercício anterior. 8 cor de laranja. qual o número mínimo de meias que uma pessoa deve retirar. pelo menos. a validade das equivalências abaixo. qual poderá continuar a série? 231 . às escuras. se lhes ver a cor. verde e amarela. 66. 19. WELLINGTON BRITO a) Parti b) aulas c) calma b) boião e)menor 8)Esta série de palavras segue uma Regra Lógica: Água. 11.amarela e verde e)azul. 11) 4. a)branca. ao dormir. 59. fantástico.PROF. azul. ao amanhecer do 1º dia. 43. qual poderá continuar a série: a) Honrado c) Constituinte e) Profícuo b) Abstêmio d) Equivalente 9) Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o diaele sobe 3 metros e durante a noite. de acordo com as afirmativas abaixo.A bola que está imediantamente após a azul é maior do que a que está antes desta. 10. verde e amarela. 17. 33. Que dia é hoje? a)1º de Abril b) 31 de dezembro 232 c) 1º de Janeiro . Das palavras abaixo. Sabendo-se que iniciou a subida da base. _____ a) 31 a) 18 a) 71 b) 30 b) 8 b) 132 c) 32 c) 17 c) 72 d) 29 d) 7 d) 144 e) 33 e) 4 e) 73 12) 67. desce 2 metros. sabendo que as seqüências seguem uma ordem lógica.azul e verde b)branca. d)azul. 5. 26. quantos dias gastará o caramujo para chegar ao topo? a) 9 dias e meio b) 10 dias c) 10 dias e meio d) 11 dias e)12 dias 10) Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatro bolas. 22. pranto. açor._____ 13) 2. 32. I – A bola amarela está depois da branca II – A bola azul está antes da verde III .amarela. ela vai fazer 20 anos.branca. IV .azul. 28. _______ 14) Anteontem Maria tinha 17 anos. 52. 14. * Nos exercícios 11 a 13. 31. No ano que vem. 64.A bola verde é a menor de todas. corpo. cristal.amarela e verde c) branca. assinale a opção que contém o numeral correto. 29.branca. Sabendo-se que apenas um dos quatro não falou a verdade. logo: a) A praia está movimentada e o pássaro voa. então o pássaro não canta. fazem as seguintes declarações: Ari: “Belo é o culpado”. ruivo. Belo: “Denis é o culpado”. 233 . é correto concluir que André. Interrogados. moreno. Ora. outro é moreno e o outro ruivo. Beto afirma: Eu sou loiro ou Carlos é ruivo. ruivo. Carlos afirma: Beto é ruivo. b) A praia está movimentada e o pássaro não voa. então os pássaros voam. tem as seguintes características: um dos três é louro. louro. Beto e Carlos. Carlos mente quando Beto mente.MATEMÁTICA PASSO A PASSO d) dia do seu aniversário e) um dia antes do seu aniversário 15) Se a praia não está movimentada. Belo. Se a praia está movimentada. 16) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: Ari. ruivo. e) Se o pássaro canta. d) A praia não está movimentada e o pássaro não voa. louro e) Moreno. então eles não voam. André mente sempre que Beto diz a verdade. Beto e Carlos são. c) A praia não está movimentada e o pássaro voa. Caio e Denis. respectivamente caracterizada como: a) Louro. Denis: Belo mente quando diz que sou culpado”. Cada um dos meninos faz uma afirmação:    André afirma: Eu sou brasileiro ou não sou brasileiro. cujos nomes são André. moreno. Caio: “Eu não sou culpado”. o pássaro canta. d) Ruivo. louro. quem é o culpado do crime cometido? a) Ari b) Belo c) Caio d) Denis 17) Três meninos. moreno c) Louro. moreno b) Ruivo. Considerando as características e as afirmações citadas. e) As afirmações são inconsistentes. Paulo mente sempre na sexta. c) P e Q falam verdade d) P e Q mentem. Sabe-se ainda que:    Logo: a) b) c) d) e) Se o cozinheiro é inocente. Certo dia. Paulo: “Hoje é terça-feira” Em que dia da semana ocorreu esse diálogo? a) segunda-feira c) quarta-feira e) domingo b) terça-feira d) sábado 234 .PROF. e Q afirmar que P e eles são tipos opostos de indivíduos. em um pequeno grupo de pessoas – G – envolvidas em um acidente. haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. então a governanta é culpada. nesse caso. O mordomo não é inocente A governanta e o cozinheiro são culpados Somente o cozinheiro é inocente Somente a governanta é culpada O cozinheiro e o mordomo são os culpados Somente o mordomo é culpado. dialogando entre eles. Sabe-se que o crime foi efetivamente por um ou por mais de um deles. 20) Marcos e Paulo pertencem a um grupo de mentirosos programados. Marcos mente sempre na terça. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada. quarta e quinta. já que podem ter agido individualmente ou não. é correto concluir que: a) apenas P fala a verdade. sábado e domingo. WELLINGTON BRITO 18) Considere que. 19) Há três suspeitos de um crime: A governanta o cozinheiro e o mordomo. b) apenas Q fala a verdade. dizendo a verdade nos outros dias da semana. então. o individuo P afirmar que o individuo Q fala a verdade. mas não os dois. Marcos: “Eu mentirei amanhã assim como ontem”. dizendo a verdade nos outros dias. Se no conjunto G. afirmam. Por outro lado. Ora. Se W = 4p + 3r.3) = 6 j) Existe um triangulo isósceles e não eqüilátero. ou Éden é espanhol. ou W = 0. e) Éden é espanhol ou Albert não é alemão. uma preta. Assim: a) Pedro é português e Fred é francês. então W + S = 5. então Albert não é alemão. então W = 2s – 3r. Nela encontra-se sete gravatas azuis. então W = 4p + 3r . W = 2a + 3b. nem Éden é espanhol nem Isa é Italiana. m)Existe um triângulo eqüiângulo e não eqüilátero 2)a)F b)F c)V d)F e)F f)F g)F h)V i)V j)V k)F L)F m)F 4)C 5) C 6) A 7) D 8) C 9)A 10)B 11)C 12)E 13) C 14)C 15)C 16)B 17)D 18)D 19)D 20)B 21)B 22)E 23) A c) 3 < 1 ou – 3 < – 7 7 d) 22 = 4 e √4 ≠ 2 e) ( – 3 )2 = 9 e √ 9 = − 3 f) 2 > 5 e 32 > 52 g) (∃ x ) ( x > 2 e 3x ≤ 32 h) ( ∀x ) ( √ x ≥ 0 ) i) Existe um número inteiro primo e par 235 . Se W = 0.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 21) Se Fred fala francês. Se Pedro não é português. b) 3 ≠ 6 5 10 ou 3 x 10 = 6 x 5 k) Todo losango é quadrado. O número mínimo de gravatas que Paulo deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é: a) 6 b) 8 c) 18 d) 23 e)22 Respostas 1) a) mdc(2. 22) Se W = 2a + 3b. W + S ≠ 5. b) Pedro é português e Albert é Alemão c) Pedro não é português e Albert é alemão d) Eden é espanhol ou Fred é francês. Uma noite.3) ≠ 1e mmc(2. então Fred é francês. Ou Albert é a alemão. Ora. Então a) 2s – 3r = 0 d) 2a + 3b ≠ 2s – 3r b) 4p + 3r ≠ 2s – 3r e) W = 2s – 3r c) W ≠ 2a + 3b 23) Paulo guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. três verdes e três vermelhas. l)Todo número tem raiz quadrada diferente de zero. Paulo abre a gaveta e pega algumas gravatas. no escuro. nove amarelas. x – a ≠ b 5) (UNESP) Uma pessoa que gosta de todas e apenas das pessoas que não gostam de si mesmas: a) gosta de si mesma. x – a = b e) ∀x.d.PROF. c) não existe. (2) Nenhum homem é bom motorista. (3) Todos os homens são maus motoristas. 236 . (5) Todos os homens são bons motoristas. (4) Pelo menos um homem é mau motorista. e) não gosta de ninguém. d) gosta de alguém. a negação de (5) é: a) (1) b) (2) c) (3) d) (4) e) n. então amanhã choverá d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá 3) (FEI-SP) Dadas as proposições: (1) Toda mulher é boa motorista. b) não gosta de si mesma. WELLINGTON BRITO  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1) (PUC-SP) A negação da proposição x ∈ ( A ∪ B) é: a) x ∉ ( A ∩ B ) b) x ∉ A ou x ∈ B c) x ∉ A e x ∈ B d) x ∈ A ou x ∉ B e) x ∉ A e x ∉ B 2) (UF-BA) A negação de Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá é: a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá c) Hoje não é segunda-feira.a 4) (PUC-RS) A sentença (∃x x – a = b) é a negação de: a) ∃x x – a ≠ b b) ∃x x – a > b c) ∃x x – a < b d) ∀x. -GO) A negação de x ≥ − 2 é: a) x ≥ 2 b) x ≤ − 2 c) x < − 2 d) x < 2 e) x ≤ 2 10) (FUVEST) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro lado uma letra. 8) (MACK-SP) Duas grandezas x e y são tais que: “se x = 3. b) se y = 7.Antonio só é amigo de todos os amigos de Roberto. então x = 3. Para verificar se tal afirmação é verdadeira: a) é necessário virar todos os cartões b) é suficiente virar os dois primeiros cartões c) é suficiente virar os dois últimos cartões. então y ≠ 7. Pode-se concluir que: a) se x ≠ 3. então a) Antonio é amigo de Mário b) João é amigo de Roberto c) Mário é amigo de Roberto d) Antonio não é amigo de João. e) é suficiente virar o primeiro e o ultimo cartão. d) se x = 5. A B C 2 3 Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. pode-se tirar a conclusão seguinte: a) “Existem corintianos inteleigentes”. então y = 5. e) n.d. e) nenhuma das conclusões anteriores é valida 9) (U.Todos os amigos de João são amigos de Mário II. c) se y ≠ 7.a 7) (FEI-SP) Dadas as premissas: “Todos os corintianos são fanáticos” – “Existem fanáticos inteligentes”.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 6) (FATEC-SP) Considere verdadeiras as três seguintes afirmações: I . b) “Todo corintiano é inteligente. Se Roberto é amigo de Paulo. e) Não se pode tirar conclusão. d) “Todo inteligente é corintiano”. então x ≠ 3. então y = 7”.” c) “Nenhum corintiano é inteligente”. d) é suficiente virar os dois cartões do meio.Mário não é amigo de qualquer amigo de paulo III . 237 .F. a bola B é verde e a bola C amarela. a bola B é amarela e a bola C é azul.F. foram pintadas: uma verde. b) p e q são falsas e r. q e r são verdadeiras. 238 . c) A bola A é amarela. d) não existe um real x tal que y ≤ x para todo real y e) para todos reais x. para todo x. y = sen(x). uma de amarelo e uma de azul. a bola B é azul e a bola C verde d) A bola A é amarela.RS) A negação da proposição “para todo y. d) Existe um y tal que. y ≠ sen(x). a bola B é verde e a bola C azul e) A bola A é azul. e) p. 13) (U. d) p. c) Existe um y e existe um x tal que y = sen(x). 14) (U. existe um real z com x < z < y. verdadeira. não necessariamente nesta ordem.11) (PUC-RS) Sejam p e q duas proposições. B. A negação de p ∧ q equivale a: a)∼ p ∨ ∼ q b)∼ p ∧ ∼ q c)∼ p ∨ q d)∼ p ∧ q e) p ∧ ∼ q 12)(VUNESP)A negação de “para todo real x existe um real y tal que y < x”é equivalente a: a) existe um real x tal que x ≤ y para todo real y. q e r são falsas. c) existe um real x tal que y ≤ x para todo real y. 15)(U. b) A bola A é verde. existe um x tal que y = sen(x). e) Existe um y tal que. b) não existe um real x tal que x ≤ y para todo real y.F. WELLINGTON BRITO 16)(UFC) Três bolas A. podemos afirmar corretamente que: a) A bola A é verde. para todo x. existe um x tal que y = sen(x)” é: a) Para todo y.RS)A negação da proposição( ∀ x ∈ R) ( ∃ y ∈ R) [xy = 1] é: a) ( ∃ x ∈ R ) ( ∀ y ∈ R ) [xy = 1] b) (∀ x ∈ R) ( ∃ y ∈ R ) [ xy ≠ 1] c) (∃ x ∈ R ) ( ∀ y ∈ R) [ xy ≠ 1] d) (∀ x ∈ R) ( ∀ y ∈ R) [xy ≠ 1] e) (∃ x ∈ R ) (∃ y ∈ R ) [xy ≠ 1] PROF. verdadeira. b) Para todo y e para todo x.F. c) p e r são falsas e q.BA) A proposição ∼ p ∨ q ⇒ q ∧ r é verdadeira. C. falsa. a bola B é azul e a bola C amarela. y. Leia atentamente as declarações abaixo: I) B não é azul II) A é azul III) C não é amarela Sabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira. se: a) p e q são verdadeiras e r. com x < y. y = sen(x). no escuro.e Daniela não abraça Paulo. c)João está feliz. e Maria sorri. 6 12 23 44 7 14 26 48 5 10 20 40 Complete o último círculo e encontre a soma dos seus três números. também. determine o número N. e Daniela não abraça Paulo.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 17) (UECE) Em cada círculo. b)João não está feliz. Assim. os números estão colocados de acordo com um raciocínio lógico matemático. e Daniela não abraça Paulo. e Maria não sorri. e) João não está feliz. Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. que Daniele abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. 38 20 N X 3 a) 10 b) 11 c)12 4 X 1 d) 13 e)14 18 Observando os números. 19)(MPU) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto.e Maria não sorri. Uma noite. e Daniela abraça Paulo. quando Sandra não abraça Sérgio. Sabe-se. Nela encontram-se sete blusas azuis. a)João está feliz. e Maria sorri. atentamente. três verdes e três vermelhas. d)João não está feliz. uma preta. a) 250 b) 255 c) 260 d) 265 e)270 18)(UECE) Os números colocados nos quadrados seguem uma organização lógica. e Daniela abraça Paulo. e Maria sorri. 239 . nove amarelas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é: a) 6 b)4 c) 2 d) 8 e)10 20) (MPU) Sabe-se que João estar feliz é a condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. mas falam apenas no idioma local. e quem vai sacar é a equipe visitante. e a Ulbra está perdendo este set.  E a tua aldeia é maior do que a desse homem? – voltou Sócrates a perguntar. Ele sabe. conseqüentemente. qual o resultado até o momento. e a Ulbra está ganhando este set”. Conclui. e a Ulbra venceu o primeiro set. também. o escore está 13 a 12” Berenice: “O escore não está 13 a 12. WELLINGTON BRITO 21) (MPU) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Denise: “O escore não está 13 a 12. e a Ulbra está vencendo este set. formado por apenas duas aldeias. que estão assistindo à partida. mas não sabe qual delas significa “sim” e nem. desde o inicio. Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. qual significa “não. Sabe. que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade. e a Ulbra já ganhou o primeiro set”. que “Milango” e Nabungo” são palavras no idioma local que significam “sim” e “não”. Um dia. uma grande e outra pequena. e apontando para o casal. e a Ulbra não está vencendo este set. 22) (MPU) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país. então. e a Ulbra venceu o primeiro set. Ela pergunta às suas amigas. corretamente que: a) o escore está 13 a 12.PROF. Sócrates pergunta:  Meu bom jovem. desconhecido por Sócrates. e quem vai sacar é a equipe visitante” “Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante. e quem vai sacar é a equipe visitante. e) o escore não está 13 a 12. e os da aldeia maior sempre mentem. a Ulbra está perdendo este set. 240 . contudo. e quem vai sacar é a equipe visitante. e a Ulbra está vencendo este set. Os habitantes entendem perfeitamente o português. Dirigindo-se a ele. a favor da Ulbra. Conhecendo suas amigas. é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?  Milango – reponde o jovem. Camila: “ Este set está 13 a 12. c) o escore não está 13 a 12. d) o escore está 13 a 12. b) o escore está 13 a 12 e a Ulbra vai sacar. Suas amigas dizem-lhe: Amanda: “Neste set. então dar aos barcos os nomes de suas filhas. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. c) O jovem mente. e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. e) Nédio é engenheiro. uma profissão diferente. cada um. e Luis é mais velho do que o matemático. Décio. e o arquiteto é mais velho do que o matemático. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o 241 MATEMÁTICA PASSO A PASSO . Felipe e Gil compraram. ambos. e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro. O economista. 24) (MPU) Caio. e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. e o matemático é mais velho do que o agrônomo. e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena d) o jovem diz a verdade. o matemático e Luis são. Éder. diz-me ainda. b) Oscar é engenheiro. Milango – tornou o jovem a responder  E. Logo. conclui corretamente que: a) o jovem diz a verdade. torcedores do Flamengo. e todas tem nomes diferentes. és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates  Nabungo – disse o jovem. Combinaram. como o agrônomo e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que o Oscar. e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena 23)(MPU) Cinco irmão exercem. e o economista é mais novo do que Luis. Luis é paulista. dar seus barcos o nome de Laís. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro. um barco. e) O jovem mente. a) Luis é arquiteto e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo e Pedro é mais velho do que o matemático. todos. d) Pedro é matemático. sorrindo. e Mário é mais velho do que o economista. Décio e Éder desejavam. cada um. o economista e Mário residem no mesmo bairro. Sócrates. c) Mário é engenheiro. por sua vez é mais moço do que o arquteto. b) O Jovem mente. e o matemático é mais velho do que o agrônomo. este. e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. O agrônomo. Cada um tem uma única filha. e Oscar é mais velho do que o agrônomo. Ema. Ana. Décio. Ana. entre elas. Olga. c)Lais. Olga. Déa. Olga. Déa e Ema estão sentadas. Nair. nessa ordem e em sentido horário.Paula. Laís. encontra-se à frente de Paulo. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. Déa. Bia. encontram-se sentados quatro sindicalista. e assim por diante). Déa e Ema fora. pai de Olga). para: a) Emma. Clô. concluíram que cada um havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é. o mais antigo entre eles. Ema. Clô b) Clô. 242 e) Déa. Vasconcelos. c) Clô. que não é carioca. Déa. b)Lais. Os votos de Ana. d) Déa. Bia. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. Oliveira. 26)(MPU) Em torno de uma mesa quadrada. a)Mara. no barco dele. pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. 25) (MPU) Ana. Nair. Após conversarem sobre tão inusitado resultado. Há também um paulista. . a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. Feita a votação. Ana. Èder. Olga. Paula. respectivamente. Bia. à direita do paulista. Bia.Olga. Bia. Lais. Clô. Nair. Ana. As filhas de Caio. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Bia. Ana. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.Paula.Nair. Laís. Mara e) Nair. verificou-se que nenhuma fôra eleita. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco ( isto é. Felipe e Gil são. Clô.Mara. Norton.Mara. Paula. coube o nome de Olga. coube o nome de Nair e ao barco do pai de Nair. Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana. Por sua vez. d) Paula. é mineiro. Assim. Bia. Um carioca e um baiano. WELLINGTON BRITO barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Clô. passará a ser a representante do grupo. respectivamente. Mara.PROF. Ema. Ema. em torno de uma mesa redonda. Ao barco de Caio. Elas estão reunidas para eleger aquela que. Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda e Bia. e estou deprimida. Portanto hoje. Assim. a) vejo Carlos. e um visor no qual aparece um número inteiro x. c) Fulano é culpado e Beltrano é inocente. e Beltrano é inocente. e chove. e Beltrano é culpado.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 27) (MPU) Quando não vejo Carlos. Quando chove. e não chove. Se Fulano é inocente. b) não vejo Carlos. o número do visor é substituído por 2x + 1.e não chove. e Sicrano é culpado. Quando se aperta a tecla B. passeio. e não estou deprimida. a) Fulano é inocente.não passeio. 29)(MPU) Uma curiosa máquina tem duas teclas. são culpados. 28) (MPU) Se fulano é culpado. e) Fulano é culpado. então Beltrano é inocente. e faz calor. o maior número de dois algarismos que se pode obter. e Sicrano é inocente. Quando não faz calor e passeio. ou ambos. A e B.Quando se aperta a tecla A. e Sicrano é culpado. e chove. não passeio ou fico deprimida. ∇ 3⅔ − (√2 ) Ω 21 è igual a a) 15 b) 20 c) 25 d) 45 e) 30 243 . então Beltrano é culpado. e) vejo Carlos. c) vejo Carlos. e não estou deprimida. b) Fulano é culpado. d) Fulano é inocente. e Sicrano é inocente. é. e a operação Ω x é definida como o inverso de x. e Sicrano é inocente. não passeio e fico deprimida. não vejo Carlos. d) não vejo Carlos. Se Sicrano é culpado então Fulano é culpado.e não faz calor. o valor da operação. e Beltrano é culpado. e não chove. Logo. Hoje. e Beltrano é culpado. Beltrano e Sicrano. Se no visor está o número 5. e faz calor. a) 87 b) 95 c)92 d)85 e)96 30)(MPU) A operação ∇ x é definida como o triplo do cubo de x. e faz calor. então ou Beltrano é culpado ou Sicrano é culpado.e estou deprimida. Quando não chove e estou deprimida. e faz calor. o número do visor é substituído por 3x – 1. e estou deprimida. apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B. Se Sicrano é inocente. seja qual for a natureza dos guardas. no atual semestre. P2 a Damião. é igual a: a) 99 b)93 c)103 d)110 e)114 32) (MPU) Você está á frente de duas portas. entre os 45. escolhendo-as da seguinte relação: P1: O outro guarda é da mesma natureza que você ( isto é. P2 a Cosme e) P4 a Cosme. P3 a Cosme c) P3 a Cosme. Você não sabe s ambos são mentirosos. P2 a Damião 244 . ambos podem sempre dizer a verdade ou um sempre dizer a verdade e 5 outro sempre mentir. Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente. basquete e vôlei. seambos são verazes.  17 alunos praticam futebol e vôlei. Mas.  45 alunos praticam futebol e basquete. P4 a Cosme d) P1 a Cosme. P1 a Cosme. é. não praticam vôlei O número total de alunos do colégio. P2 a Cosme. se você é mentiroso ele também o é. Uma das conduz a um tesouro. ambos os guardas podem sempre mentir. no atual semestre. que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro. a outra.  21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei  O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei. 30. a uma sala vazia. a) P2 a Cosme. Sabe-se que. WELLINGTON BRITO 31)(MPU) Um colégio oferece a seus alunos a pratica de um ou mais dos seguintes esportes: futebol. você pode fazer três ( e apenas três) perguntas aos guardas.PROF. enquanto Damião guarda a outra. P2 a Damião.e se você é veraz também o é)? P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro? P3: O outro guarda é mentiroso? P4: você é veraz? Então. Cosme guarda uma das portas. ou seja. uma possível seqüência de três perguntas que é logicamente suficiente para assegurar.  20 alunos praticam vôlei e basquete  60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete. para descobrir qualdas portas conduz ao tesouro. P1 a Damião. ou se um é veraz e o outro é mentiroso. P3 a Damião b) P3 a Damião. Finalmente. então Júlio está enganado. Tânia e Angelica.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 33) (AFTN) Três amigas. Logo a) o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido. b) Luis e Júlio não estão enganados. A que está sentada à esquerda. Janete e Tânia d) Angélica. a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. Maria. então Luis está enganado. então o filme não está sendo exibido . Seus amigos. Janete. mas não Júlio. 34) (AFTN)José que ir ao cinema e assistir ao filem “Fogo contra fogo”. Se Maria estiver certa. Angélica e Janete. Tânia sempre fala a verdade. Ora. A que está sentada à esquerda diz: Tânia é quem está sentada no meio”. e) José não irá ao cinema Respostas: 01) E 02) B 03) D 04) E 05) C 06) D 07) E 08) A 09) C 10)E 11)A 12)A 13)D 14)E 15)C 16)C 17)B 18)B 19) A 20) D 21) D 22) B 23) C 24) B 25) B 26) A 27) C 245 28) E 29) B 30) C 31) A 32) D 33) B 34) E . estão sentada lado a lado em um teatro. ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. têm opiniões discordantes sobre o filme está ou não em cartaz. e Angélica. Tânia. Tânia e Janete e) Tânia. Janete às vezes fala a verdade . mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Angélica e Tânia. ou o filme “Fogo contra fofo está sendo exibido. “Eu sou Janete”. A que está sentada no meio diz. c) Angélica. Luis e Julio. e Angélica nunca fala a verdade. mas não Luis d) Luis está enganado. Se Júlio estiver enganado. c) Júlio está enganado. a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são respectivamente: a) Janete. b) Janete. 4 ) 246 . 1 ) 2-------------.( 1. Podemos formar idéia de par ordenado. 3. 2 ) ( 2.Y ) é par ordenado de 1º termo X e 2º termo Y. 4 ) 1 1-------------.( 1. 2 ) 3 -------------. WELLINGTON BRITO   FUNÇÃO POLINOMIAL Par Ordenado A noção de par ordenado será aqui adotada como conceito primitivo. b) = (3. na representação do par ordenado utilizamos parênteses e não chaves como nos conjuntos em geral.2. 1 ) ( 2. Impomos que dois pares ordenados são iguais somente se tiverem os primeiros termos iguais entre si e também os segundos termos iguais entre si: (a. Assim.  Produto Cartesiano Dados os conjuntos A = { 1.PROF. 1º termo 2º termo Par Ordenado A 1• 2• 3• B • 1 • 2 2 • 3 • 4 3 1 2 3 4 ----------------------------------------------------( 3. b) = (c. 4 ) 1-------------2 -------------3 -------------4 --------------( 2. 3 ) 4 -------------. b) = (5. 3 ) ( 3.1) ⇔ ( a = 5 e b = 1) 2) (a . d) ⇔ ( a = c e b = d) Exemplos: 1) (a . 3} e B = { 1.( 1. imaginando-o como um conjunto de dois elementos considerados numa dada ordem. 4} vamos formar pares ordenados que têm o 1º termo em A e o 2º termo em B. 3 ) ( 2. Para lembrar que a ordem está sendo considerada. ( X. 2.3) ⇔ ( a = 3 e b = 3) Nota: Observe que num par ordenado podemos ter os dois termos iguais. Observe no esquema que cada flecha determina um par. 2 ) ( 3. 1 ) ( 3.( 1. n } determinar os conjuntos A x B. (a.3.e).m).  Relação Retomando os conjuntos A = { 1. (3. A2 = A x A e B2 = B x B. m) ∈ A x B mas (a. então A x B tem 5 x 7 = 35 elementos. (a.a).n). (3.3 ). (1.1 ). A •1 B 1• • 2 2• • 3 3• • 4 R = { ( 1.m) ∉ B x A) A2 = A x A = {(a. (a.4). (1.e).i). (3.4 ).e). (i.a). tem 3 x 4 = 12 elementos. No exemplo anterior A tem 3 elementos.n)} 2) Se A tem 5 elementos e B tem 7 elementos. n pares ordenados. (m.e). (e.1 ).m).4} vamos formar agora o conjunto R dos pares ordenados que têm 1º termo em A e 2º termo em B.i).2 ).i) } B2 = B x B = {(m. tais que o 1º termo é menor que o 2º.2. Exemplos 1) Dados A = { a.2). A x B = {(1. (2.(1. (n.i). (m. (n.3 ). (1. Temos. (3. (i.a). (2.o par (a.2 ).m).a). B tem 4 elementos e AxB.3). (1.y)│x∈Aey∈B} Nota: Observamos que os elementos dos conjuntos A x B são pares ordenados.4) } 247 .1).e). o conjunto A x B é formado por m . i } e B = { m. (2. e. AxB={(x.m).2 ).4). 4 )} De maneira geral.3). (n.n). o produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto A x B formado pelos pares ordenados que têm 1º termo em A e 2º termo em B.m).a). (3. (n.4 ).MATEMÁTICA PASSO A PASSO O Conjunto formado pelos pares ordenados obtidos é denominado produto cartesiano de A por B e o indicamos por A x B (leia: A cartesiano B). (2. (e. (m. (i. então.2. (e. B x A.i)} Note que: A x B ≠ BxA (por exemplo. Podemos constatar que quando A tem m elementos e B tem n elementos. (2. Temos: A x B = { (a.3) e B = { 1.3 ). (e.n) B x A = { (m. (i. (n. (i.n). (2. (e. 3} e B = { 4. 4• • 7 x + y = 6 Estes pares são (1.PROF.3) e (5. y) ∈ A x B x + y = 12} b) S = {(x. y) ∈ A x B │ 2xy < 25} 7)Determine as seguintes relações no conjunto dos números naturais: a) R = {(x.3). y). é exemplo de uma relação de A em B. y) ∈ N x N │ x2 + y2 = 25} 248 c) T = {(x.(3.5).4.9}.7.6. y) ∈ A x B │ x + y ≥ 15} 6)Dados A = {3.2.y) ∈ A x B │ x + y < 8}  . quantos elementos tem A x B? e B x A? Os conjuntos A x B e B x A são iguais? 5)Dados A= {1.4.8.10}. que é subconjunto de A x B.5. 1} d) A = { 3. R é uma relação de A em B ⇔ R ⊂ A x B Exemplo Dado A = {1.1)} pares com soma = 6 EXERCÍCIO – FUNÇÃO (I) 1) Dados A = {1.5 } e B = {9} c) A = { 7 } e B = {5} b) A = { -1 . determine: a)R = {(x. y. R = {(1.3.2. x ∈ A e y ∈ B. y ) ∈ A x B │ xy ≤ 6 } A relação R é formada pelos pares (x. WELLINGTON BRITO Este conjunto R.b} e B = { x.5).7. De modo geral.8} e B = {2.2.9} determinar as relações de A em B: a) R = { (x. 6.9. y) ∈ A x B│x2 + y2 < 50} b) S = {(x.3. forme todos os pares ordenados que têm o primeiro termo em A e o segundo em B.1).12} e B = {1. 2) Sendo A = {a.7.5. 9 } e B = ∅ 4)Se um conjunto A tem 5 elementos e B tem 10 elementos. (3. 1 } e B = { -1. 3) Determine A x B e B x A nos casos: a) A = {1. 5• • 9 Logo.(5. determine os conjuntos: A x B e B x A.4.5}.3. y) ∈ A x B │ x < y } c)T= {(x. z}. y) ∈ N x N │2x + y = 10 } b) S = {(x.6.5} e B = {1. forme as seguintes relações de A em B: a) R = {(x.2. com a soma dos termos . y) ∈ A x B │ x + y = 6 } A 1• 2• 3• •1 B • 3 • 5 b) S = { (x.4. 0. denominamos relação de A em B a todo subconjunto de A x B.3.5.3.6. Empregamos também a seguinte notação. determine R ∩ S. para indicar o conjunto-imagem de f. para indicar que y é a imagem de x. 2a + 3) = (6. 2b) = (3. ab) = (8. 10) Calcule a e b de modo que se verifique a igualdade dos pares ordenados em cada caso: a) ( a. a – b) = (12. Para dar nomes às funções costumamos usar as letras f. d) o subconjunto de B.8) Quantos pares pertencem à relação R= {(x. 5) c) ( 2a. é denominado conjunto-imagem (ou apenas imagem) da função. y ) ∈ N2 │ x + y = 10} e S = { ( x. para indicar uma função f de A em B. Im ou Im(f) (leia: imagem de f). 4) d) (a + 2b. é denominado imagem de x. uma função de A em B é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B. h e outras. y ) ∈ N2 │ x – y = 2 }. b) o conjunto B é o contradomínio da função. f : A → B ( leia: f de A em B). 249 . y) ∈ ℤ2│x2 + y2 = 25} ? 9) Se R={ ( x. Notemos que: A B 1º) todo elemento de A deve ser associado • • a algum elemento de B. D ou D(f) (leia: D de f). 5a + 3b ) = ( 21. associado ao elemento x de A. 2b – 1 ) = ( -1 . • • • • Empregamos a seguinte linguagem: a) o conjunto A é o domínio da função. x• •y • 2º) para um dado elemento de A associamos • • • • um único elemento em B.5) b) ( a + 1.12) f) (3a + 4b. formado pelos elementos que são imagens dos elementos de A. 13) MATEMÁTICA PASSO A PASSO  FUNÇÃO  Definição Dados dois conjuntos não vazios A e B. c) o elemento y de B. para indicar o domínio da função f. g. y = f(x) (leia:y = f de x).0 ) e) (2a + b. 2.3. 250 . qual é o valor de f(1) + f(2) + f(3)? ( ) 1 4) Seja A={0. f(– 2) = (– 2) – (– 2) + 10 = – 8 + 2 + 10 = 4 – 2• 3 Para x = – 1. f (1) = 2 . Temos: Para x= 1. Determine a imagem de f. 8 }. 3 = 6 Para x = 4. 16}  EXERCÍCIO – FUNÇÃO ( II ) 1) Seja f : R → R a função definida por f(x) = 3x2 + 1.4} e f:A → R a função definida por f(x)=(x + 1) 2. 3 3• = Para x = – 2. 2) Determinar a imagem da função f: D → R definida por f(x) = x3 – x + 10. 10. 1. 4 = 8 R 1• •2 •4 •6 •8 A imagem da função é Im(f) = { 2. WELLINGTON BRITO Exemplos 1) Dado A = { 1.2. f(– 1) = (– 1) – (– 1) + 10 = – 1 • •4 = – 1 + 1 + 10 = 10 0• • 10 Para x = 0 . f(3) = 2 . Temos: 1.PROF. f(2) = 2 – 2 + 10 = = 8 – 2 + 10 = 16 Logo. f(4) = 2 . f(0) = 03 – 0 + 10 = 10 4 • 1• • 16 3 Para x = 1.1. Im(f) = { 4. 1 = 2 A Para x = 2.3. 6. 2 = 4 Para x = 3. 4 . Calcule: a) f(5) b) f(– 5) c) f (⅔) 2) Seja f:R → R a função definida por f(x) = a) f(– 1) 3) Se f(x) = 1 x 1 x+1 b) f 2 . f(2) = 2 . 2 }.4} consideremos a função f : A → R definida por f(x) = 2x. Calcule X +1 2 c) f (√ 2 ) 2 . – 2 • 0. f(1) = 1 – 1 + 10 = 10 2• 3 Para x = 2. sendo D = { – 2. 2}.2. 1 2 . 5}. calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 2. Qual é o domínio de f? função definida por 9) Examine cada relação e diga se é ou não uma função de A em B.16. 2. 1.4. – 1. 8) Uma f (x) = x – 1 tem imagem 2x + 1 Im = { – 3. 1.9.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 5) Determine a imagem de cada função: a) f: A → R dada por f(x) = x + 1 e A = x 1 3 .4} 6) x = 3 7) x = 3 9) a) é função b) não é função:existe elementos em A sem corresponder em B c)não é função:existe elemento em A com mais de um correspondente em B. 2 3 2 b) Im (f) = {1. d) é função b) 8/5 c) 2/3 251 . a) A • • • • b) A • • • • x B x x x x x x x x x c) 7/3 c) A • • • • • • • • x x x x x x x x x x B d) A B Respostas 1) a) 76 b) 76 2) a) 1 3) 3/4 4) Im(f) = {1. 3.3. 6) Na função f:R → R definida por f(x) = 7x – 3. para que valor de x tem-se f (x) = 18? 7) Dada f(x)= √ x + 1. – 1.25} 5) a) Im (f) = 10 . 1. 5 . 3 b) f: D → R dada por f(x) = │x – 1 │ + 1 e D = { – 2. Justifique. 0. – 2 . dizemos que essa função é crescente. y = f(– 1) = 2(– 1) + 1 = – 1 -2 -1 0 1 2 3 4 O gráfico é a reta desenhada na figura ao lado • -1Observe que D(f) = Im(f) = R. 0 . com f(x) = ax + b (∀ x ∈ R) Esta função é denominada função polinomial do 1º grau (ou também função afim). -22) f(x) = – 2x + 3. sendo a ≠ 0. isto é. – 4 .y = f(0) = –2 . da esquerda para a direita. 1 + 1 = 3 2Para x = 2. WELLINGTON BRITO 8) D(f) = – 2 . y = f(2) = 2 .  -2 y 6•--5 43• 21---• -1 0 1 2 3 4 5 -1------• x Função Crescente e função decrescente Observando o gráfico de f(x) = 2x + 1 (exemplo 1) notamos que. 5 --------• Temos: 4 Para x = 0. y = f(1) = –2 . O gráfico é uma reta não paralela a nenhum dos eixos coordenados. – 2 7 5 3  Função Polinomial do 1º Grau Dados os números reais a e b.y = f(1) = 2 . podemos considerar a função que a todo número real x faz corresponder o número ax + b: f: R → R. aumentando os valores de x. 0 + 3 = 3 Para x = 1. onde a = – 2 e b = 3. 2 + 3 = – 1 O gráfico é a reta desenhada na figura ao lado Observe que D(f) = Im(f) = R. 0 + 1 = 1 3 ----•Para x = 1 . vão também aumentando as ordenadas y dos pontos do gráfico.PROF. 2 + 1 = 5 1• Para x = – 1. 1 + 3 = 1 Para x = 2. Por isso. onde a = 2 e b = 1. y = f(– 1) = – 2(– 1)+ 3 = 5 Para x = 0 . 252 . y = f(2) = – 2 . Exemplos y 1) f(x) = 2x + 1. y = f(0) = 2 . Temos: Para x = – 1. A função é crescente. a raiz de f(x) = ax + b é o número a  Nota: Notemos que. vão diminuindo as ordenadas y dos pontos do gráfico. temos y = f – b a a e portanto a raiz da função é a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x. A função é decrescente. Exemplos 1) Em f(x) = 2x + 1 temos a = 2.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Já na função f(x) = – 2x + 3 (exemplo 2) notemos que. para x = – b . a função f(x) = ax + b é crescente Se a < 0. portanto a< 0. Raiz de uma função Denominamos raiz (ou zero) de uma função f a todo valor de x para o qual se tem f(x) = 0. da esquerda para a direita.0 a ) . No caso da função afim temos –b f(x) = 0 ⇔ ax + b = 0 ⇔ ax = – b ⇔ x = a –b Logo. portanto a > 0. a função f(x) = ax + b é decrescente. Por isso. 253 ( ) ( = 0 –b . 2) Em f(x) = – 2x + 3 temos a = –3. dizemos que essa função é decrescente y y f(x2) ------------f(x1) ----0 x1 x2 x f(x1) ----f(x2) ------------0 x1 x2 x função crescente x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Nota: função decrescente x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Se a > 0. 1/2 -1 1. caso a > 0 y y>0 y<0 –b a x y>0 –b a y<0 x y = 0 ou y < 0 y caso a < 0 Para a função afim f(x) = ax + b temos dois casos a considerar. Exemplos 1) Sinais da função f(x) = 2x + 1.-1 Sinais da função afim Estudar os sinais de uma função y = f(x) significa estabelecer.PROF. WELLINGTON BRITO Exemplo Determinar a raiz de f(x) = 2x + 1. Então: x =_ 1 ⇒y = 0 2 _ 1 x < ⇒ y < 0 2 (x < _ 1 ) 2 y < 0 254 .0 2 0 1 ( ) ------. Temos 1 f(x) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ x = – 2 y y > 0 1 2 (x> 1 ) 2 x a = 2 ⇒ a > 0 ⇒ f crescente. Temos: 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = – 1 ⇔ x = – 1 1 2 2 Portanto. para cada x ∈ D(f).  3 -----21. qual das sentenças é verdadeira: y > 0. O gráfico corta o eixo dos x no ponto . a raiz é – . Então: x= 3 ⇒y=0 2 < 3 ⇒y>0 x 2 x > 3 ⇒ y<0 2 Função Constante  y y>0 (x > 3 ) 2 3 2 y<0 x (x < 3 ) 2 Dado um número real c. temos y = f(3) = 2 32255 . O gráfico é a reta paralela ao eixo dos x. Temos: f(x) = 0 ⇔ – 2x + 3 = 0 ⇔ x = 3 2 a = – 2 ⇒ a < 0 ⇒ f decrescente. passando pelos pontos de ordenadas y = c. dada por f(x) = 2. temos y = f(0) = 2 Para x = 1. com f(x) = c (∀x ∈ R) Esta função é denominada função constante. temos y = f(2) = 2 Para x = 3. é a reta paralela ao eixo dos x pelos pontos de ordenadas y = 2. Note que: Para x = 0 . temos y = f(1) = 2 Para x = 2. y c 0 x Exemplo O gráfico da função f: R → R. podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número c: f: R → R. Observe que o domínio é D(f) = R e a imagem é Im (f) = {c}.MATEMÁTICA PASSO A PASSO x > _ 1 2 ⇒ y > 0 2) Sinais da função f(x) = – 2x + 3. definida em R.( III ) 1) Faça o gráfico de cada função polinomial abaixo.PROF. 4) Dada f(x) = x – 1 . WELLINGTON BRITO 1-1 0 1 2 3 4 x  EXERCÍCIO FUNÇÃO . 2 3) Represente no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de y=x+1 e y=–x–1. y = 2x e y = . qual é o valor de f(1) – f( – 1) ? 3 2 6) Diga se é função crescente ou função decrescente: a) y = 2x + 8 d) y = – 2x – 6 g) y = 1 + x 2 x 3x b) y = 3x – 9 e) y = – 1 h) y = 1 – 5 2 c) y = – 4x + 6 f) y = 2x – 1/2 7) Calcule a raiz e dê os sinais da função: a) y = 4x – 8 b) y = – x + 2 2 c) f(x) = x d) f(x) = – 3x 5 8) Determine m para que f seja crescente nos casos: a) f(x) = ( m – 1 ) x – 1 b) f(x) = (2m + 1)x + (m – 1) 9) Para que valores de m a função f é decrescente? a) f(x) = (5m – 2) x + 4 b) f(x) = 1 – ( 3 – m ) x 256 . a) f(x) = 2x – 4 c) f(x) = 5 – 2x b) f(x) = – x + 2 d) f(x) = x – 1 2 3 2) Represente no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de x y = x . calcule: 5 2 a) f 5 ( 2) b) f 2 ( 5) 5) Se f(x) = 2x + 1 . para que valores de x temos 4 2 10 f(x) > g(x)? 12) O gráfico de y = 2x + b corta o eixo dos x no ponto ( 3. 1). e f(x) = –1 para todo x < 0. f(0). se x < 0 Dê os valores de f(1). f(x) = – 1 c) f: R → R. f(– 1). Qual a imagem de f? 18) Examine o gráfico de cada relação. f(3). f(– 2) e f((– 3). dê o domínio e a imagem e diga se é ou não gráfico de uma função. Faça o gráfico de f. determine 4 a) os valores de x para os quais f(x) ≤ 1 b) os valores de x para os quais f(x) > 0 c) 11) se f(x) = 3x e g(x) = 1 – x .0). 14) Calcule a e b sabendo que o gráfico de y = ax + b passa nos pontos (4. 5 a) b) c) 17) Uma função f: R → R é definida por f(x) = 1 para todo x ≥ 0. Dê o domínio e a imagem de cada uma. a) f: R → R. a) y 5432– 1– 0 1 2 3 4 5 6 x 257 c) 3 2 1 -3 0 -2 -1 1 2 3 y .MATEMÁTICA PASSO A PASSO 10) Dada f(x) = 3x – 1 .1).2). Indicamos: 1. Qual é o valor de b? 13) Calcule o valor de a sabendo que o gráfico de y = ax + 3 passa no ponto (– 1. 15) Determine a função polinomial do 1º grau cujo gráfico passa nos pontos(1. f(x) = 3 b) f: R → R. 16) Faça o gráfico de cada função.0) e (0. f(2). f(x) = 5 2 d) f:R + → R.-1)e(2. se x ≥ 0 F(x) = – 1. f(x) = – 1. f(2) = 1.PROF.5} 258 13) a = 2 15) f(x) = 2x – 3 . f(– 1) = – 1 . f(– 2) = – 1 e f(– 3) = – 1 c) Im(f) = { – 1. WELLINGTON BRITO 1 2 b) 4 3 2 1 y d) y 2 1 -1 0 1 -1 -2 -2 x 5) 2 3 b) raiz: x = 4 x=4⇒ y=0 x<4⇒ y>0 x>4⇒ y<0 b) m > – 1 2 b) m < 3 b) x > 1 3 2 0 1 2 3 4 5 Respostas 4) a) 0 b) – 21 50 6) crescente : a) b) e) f) g) decrescente : c) d) h) c) raiz: x = 0 x=0⇒ y=0 x<0⇒ y<0 x>0⇒ y>0 d) raiz: x = 0 x=0⇒ y=0 x<0⇒ y>0 x>0⇒ y<0 7) a) raiz : x = 2 x=2⇒ y=0 x<2⇒ y<0 x>2⇒ y>0 8) a) m > 1 9) a) m < 2 5 10) a) x ≤ 5 3 11) x > 10 17 12) b) = – 6 14) a = – 1 . f(3) = 1 f (0) = 1.6} b) D(f) = { 0. b = 2 2 17) a) f(1) = 1. 1} 18) a) D(f) = { 1. respectivamente: y > 0. y Isto pode ser feito analisando-se os sinais da função y = ax + b. Convém notar. 2 2 temos y ≥ 0 para x ≥ 2. cada uma das inequações: f (x) . 259 . g(x) < 0. ax + b ≥ 0. g(x) ≥ 0.2} Im(f) = {-2. ax + b ≤ 0 onde a e b são números reais conhecidos.  Inequação – Produto: Passo a Passo f(x) . Temos: x x –1 ≥ 0 ⇔ ≥2⇔x≥2 2 2 S = { x ∈ R  x ≥ 2} Note que sendo y = x 0 –1 1 2 Gráfico de y = x – 1 – 1. e x é incógnita. g(x) > 0. ax + b < 0.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Im(f) = {1.4} Não é função É função c) D(f) = { -3. a ≠ 0.4} Im(f) = {0. 3} d) D(f) = { -2.2} Não é função Não é função  INEQUAÇÕES DO 1º GRAU  Introdução: Chamamos inequações do 1º grau às sentença: ax + b > 0. é denominada inequação-produto. resolver cada inequação acima significa determinar para quais valores reais de x temos. Exemplo: 1) Resolver a inequação 2 x – 1 ≥ 0. porém que fazendo-se y = ax + b. y ≥0 (x ≥ 2) y ≥ 0. f(x) . g(x) ≤ 0 Dada as funções f: R → r e g: R → r.2} Im(f) = {-2. f(x) . y < 0. y ≤ 0. g(x) – + – + + + 10 3 + – – 3 a = – 3 ⇒ a < 0 ⇒ g é decrescente 3º) Sinais de f(x) .  Questões Comentadas 1) Resolva a inequação (2x – 5) (10 – 3x ) ≥ 0. WELLINGTON BRITO Para resolver tais inequações procuraremos estudar os sinais dos fatores f(x) e g(x) e. Fazendo y1 = x. 2º) Sinais de g(x) 10 – 3x = 0 ⇒ x = 10 g >0 10 3 5 2 f(x) g(x) f(x) . g (x) ≥ 0. g(x) f<0 y y f>0 5 2 g<0 x (Note que 5 < 10 ) Como queremos f (x) . determinar para cada x o sinal do produto f (x) .PROF. g(x). Fazendo f(x) = 2x – 5 e g(x) = 10 – 3x temos: 1º) Sinais de f(x) 5 2x – 5 = 0 ⇒ x = 2 2 a = 2 ⇒ a > 0 ⇒ f é crescente. 1º) Sinais de y1 y2 = x – 1 e y3 = 2x – 1 temos: 2º) Sinais de y2 260 3º) Sinais de y3 . Feito isto. então. podemos estabelecer facilmente o conjunto-verdade da inequação dada. 2 3 o conjunto-verdade é { x ∈ R  5/2 ≤ x ≤ 10/3 } 2) Resolver a inequação x ( x – 1) (2x – 1) < 0. y2 . o subconjunto-verdade é 1 { x ∈ R  x < 0 ou < x < 1} 2  EXERCÍCIO – INEQUAÇÃO DO 1º GRAU ( I ) 1) Resolva as inequações do 1º grau: a) 3x + 8 ≤ x + 2 b) 2(1 + 2x) – 3 (1 – x ) > 0 2) Resolva as inequações: a) 6x – 2 6x – 3 – < 5 3 2 3) Resolva as equações: a) (4x – 1) (3x + 1) > 0 b) (2x + 6) (5 – x ) > 0 4) Resolva as inequações: a) x (x + 3 ) ( 4 – x ) > 0 c) x – x ≥ 1 4 2 d) 3(4x – 7 ) – (4x – 9 ) ≤ 8x – 11 b) 3x + 1 5 – 6x + 1 2 > 0 c) ( – x + 2) (2x – 1) ≤ 0 d) (10x – 3 ) (5 – 2x) ≥ 0 b) (x + 1) (x – 2 ) (2x + 1) < 0 5) Resolva a inequação 3x (x + 3) (3x + 3) ≥ 0. y3 < 0. y2 . y2 . y3 0 y1 y2 y3 y 1 . y3 1 2 1 – + + + – – – + – – + + – + – + iiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiii Como queremos y1 . 6) Determine os números inteiros x que verificam 261 .MATEMÁTICA PASSO A PASSO y y1 > 0 y1 < 0 0 x y2 < 0 y y2 > 0 1 x y3 < 0 y y3 > 0 1 2 4º) Sinais de y1 . cada uma das inequações: f (x) g (x) > 0. WELLINGTON BRITO 7) Dê o conjunto-solução em Ν da inequação (5x + 3) (4x – 6) ( – 3x + 14) > 0.– 1.3.4} 7) S= {2. f (x) g (x) ≥ 0.x ( x + 2) (x – 2) (x – 4) ≤ 0.0.4} 8) 5 elementos. PROF.  Inequação – Quociente: Passo a Passo Dadas as funções f: R → R e g: R → R. f (x) g (x) 262 < 0. f (x) g (x) ≤0 .3.2. 8) Quantos são os elementos do conjunto {x ∈ N (x – 1)(7 – x ) >0}? Respostas: 1) a) S = { x ∈ R  x ≤ – 3} b) S = { x ∈ R  x > 1 } 7 2) a) S = { x ∈ R x > – 25 } 6 c) S = { x ∈ R  x ≤ – 4} d) S = R b) S = { x ∈ R  x < – 1 } 8 c) S = {x ∈ R x ≤ 1 ou x ≥ 2} 2 d) S = { x ∈ R 3 ≤ x ≤ 5 } 10 2 3) a) S = { x ∈ R x < – 1 ou x > 1 } 3 4 b) S = { x ∈ R – 3 < x < 5} 4) a) S = {x ∈ R x < – 3 ou 0 < x < 4} b) S = { x ∈ R  x < – 1 ou – 1 < x < 2} 2 5) a) S = { x ∈ R – 3 ≤ x ≤ – 1 ou x ≥ 0} 6) { – 2 . Devemos nos g (x) lembrar ao dar a resposta que. devemos ter g(x) ≠ 0. fazendo um quadro de sinais para o quociente f (x) .  Questões Comentadas 1) Resolver a inequação 3x + 2 ≥ 0. em qualquer dos casos acima.MATEMÁTICA PASSO A PASSO é denominada inequação – quociente. Para resolve-las procedemos como no caso da inequação-produto. 4x – 1 Primeiro vamos colocá-la na forma de inequação – quociente. deixando “zero” no segundo membro: 2x+1 2x+1 2x+1– (4x–1) – 2x + 2 < 0 <1 – 1< 0 <0 4x–1 4x–1 4x – 1 4x – 1 2) Resolver a inequação 4x – 1 263 . o conjunto–verdade é g(x) 2 3 x∈R x ≤ – ou x > 3 2 2x + 1 f(x) < 1. 2x – 3 Façamos f(x) = 3x +2 e g(x) = 2x – 3. Temos: Sinais de f(x) y f>0 f<0 2 3 x g<0 3 2 x sinais de g(x) y g>0 f(x) g(x) sinais de f(x)/g(x) _ 2 3 3 2 – + – – – + + + f(x)/g(x) + Como queremos ≥ 0. WELLINGTON BRITO Agora façamos f(x) = – 2x + 2 e g(x) = 4x – 1. o conjunto –solução é 1  ou x > 1 4 EXERCÍCIO – INEQUAÇÃO DO 1º GRAU (II) a) 2x – 8 4x – 3 c) >0 b) 5x – 1 10x – 1 d) x – 4x – 5 b) ≤ 0 x ∈ R x < 1)Resolva as inequações 6 – 3x x+4 >0 <0 2) Resolva as inequações a) x 8x – 1 >2 3x – 2 >0 (2x + 1) (1 – x ) Respostas: 1) a) S= { x ∈ R x < 3/4 ou x > 4} c) {x ∈ R – 4 < x < 2} b) S= { x ∈ R 1/10 < x ≤ 1/5 } d) {x ∈ R x < – 5/4 ou x > 0} 2) a) {x ∈ R 1/8 < x < 2/15} b) {x ∈ R x < – 1/2 ou 2/3 < x < 1}  Sistema De Inequações: Passo a Passo Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente (ligadas pelo conectivo e). Temos: sinais de f(x) y f>0 1 f<0 x g<0 1 4 sinais de g(x) y g>0 x sinais de f(x)/g(x) _ 1 4 1 + + – – + + f(x) g(x) f(x)/g(x) – + – Como queremos f(x) g(x) < 0. O conjunto-verdade do sistema é a intersecção dos conjuntosverdades das inequações que o formam.PROF.  Questões Comentadas 1) Resolver o sistema 264 x–1 – x+1 3 2 ≥ 4 (I) . – 29] 2) Resolver as inequações simultâneas 2x + 4 ≤ 3x + 8 ≤ 2x + 12 Note que devemos ter 2x + 4 ≤ 3x + 8 e 3x + 8 ≤ 2x + 12.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 1 – x + 2 ≥ 0 (II) 3 Primeiro resolvemos cada inequação do sistema: (I) x – 1 x +1 x–1 x+1 – –6 ≥ 4⇔6 ≥ 24 ⇔ 3 2 3 2 ⇔ 2(x – 1 ) – 3 (x + 1) ≥ 24 ⇔ 2x – 2 – 3x – 3 ≥ 24 ⇔ – x ≥ 29 ⇔ x ≤ – 29 (II) 1– x+2 3 ≥ 0 ⇔ 3 – (x + 2) ≥ 0 ⇔ 3 – x– 2 ≥ 0⇔ – x ≥ – 1 ⇔ x ≤ 1 Agora determinamos o conjunto – solução do sistema. que é a intersecção de (I) e (II). – 29 (I) ıııııııııııııııııı ıııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııı 1 (I) ∩ (II) ııııııııııııııı – 29 S = { x ∈ R x ≤ – 29} = ]– ∞ . Portanto temos que resolver o sistema Temos: 2x +4 ≤ 3x + 8 (I) (II) 3x + 8 ≤ 2x + 12 (II) (I) 2x + 4 ≤ 3x + 8 ⇔ 2x – 3x ≤ 8 – 4 ⇔ – x ≤ 4 ⇔ x ≥–4 (II) 3x + 8 ≤ 2x + 12 ⇔ 3x – 2x ≤ 12 – 8 ⇔ x ≤ 4 –4 (I) ıııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııı 4 (II) ııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııı –4 ııııııııııııııııııııııııı 4 265 (I) ∩ (II) . onde a = 4.  Questões Comentadas 1) Resolver a equação x2 – 2x = 0 Começamos colocando x em evidencia: x . onde a = 1. 3) 4 x2 – 1 = 0. Exemplos 1) 2x2 + 3x + 1 = 0. b. 266 . Assim. 1) 3x – 6 > 0 3) 2(x – 1) – ( 2x – 1 ) ≤ 0 – 3x + 12 > 0 5x – 2( x – 2 ) ≤ 0 2) 5x + 1 < 3x + 2 6x – 2 < 8x +4 4) 1 – 3(2 – x) ≥ 2 (5x – 1 ) 6x – 3(x + 1 ) ≥ 1 – 7x PROF.S = { x ∈ R  – 4 ≤ x ≤ 4} = [ – 4. 2) x2 – 2x = 0. e c. b = 3 e c = 1. Nota: Estaremos considerando equações no conjunto universo U = R. b = 0 e c = – 1. a ≠ 0 e x é a incógnita. estaremos sempre interessados em calcular as raízes reais da equação. WELLINGTON BRITO Resolva as inequações simultâneas.4]  EXERCÍCIO INEQUAÇÃO DO 1º GRAU – ( III ) Resolva os sistemas. b = – 2 e c = 0. 5) x – 1 ≤ 3 – 2x ≤ 3x – 2 6) – 1 < 6x – 1< 6( 1 – x ) 7) x < x + 1 < 4x – 2 2 Respostas: 1) S = { x ∈ R 2 < x < 4} 3) S= {x∈ R x ≤ – 4/3 } 6) S= { x ∈ R 0 < x < 7/12} 2) S= { x ∈ R  – 3 < x < 1/2 } 4) S = φ 5) S= { x ∈ R 1 ≤ x ≤ 4/3 } 7) S={ x ∈ R x > 1}  FUNÇÃO DO 2º GRAU  Equação do 2º Grau Chamamos equação do 2º grau à sentença: ax2 + bx + c = 0 onde a. são números conhecidos. onde a = 2. exceto quando for citado outro universo.  Resolução das equações incompletas: Passo a Passo As equações do 2º grau que têm b = 0 ou c = 0 são chamadas equações incompletas. (x – 2) = 0. MATEMÁTICA PASSO A PASSO Lembrando que um produto é igual a zero somente se pelo menos um dos fatores é zero, devemos ter: x = 0 ou x – 2 = 0 Logo, o conjunto solução é S = { 0; 2}. 2) Resolver a equação 4x2 – 1 = 0. Temos: 4x2 – 1 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ± 1 = ± 1 4 4 2 O conjunto-solução é S = _ 1 ; 1 2 2 3) Resolver a equação 2x2 + 8 = 0 Nenhum número real é raiz da equação, porque x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. Então, o conjunto-solução é S = ∅  Equações Completas: Passo a Passo Vamos resolver a equação ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0. Temos: x = –b± b2 – 4ac 2a Temos: 2x2 + 8 = 0 ⇔ x2 = – 4 Nota: Denominamos b2 – 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que representamos pela letra grega ∆ ( leia: Delta).  Questão Comentada Resolver a equação 2x2 + 3x + 1 = 0 Como a = 2, b = 3 e c = 1 temos: x= –3 ± 32 – 4 . 2 . 1 2.2 – 3 ± √1 4 –3 ± 1 4 x’ = = –3 ± 9–8 4 –3 + 1 4 = = –2 4 = –1 2 x = = x” = –3 – 1 = – 4 = –1 4 4 – 1 2 267 ; –1 O conjunto – solução é S = PROF. WELLINGTON BRITO  Condições de Existência de Raízes Reais: Observando a dedução da fórmula de Báscara podemos concluir que: a equação do 2º grau tem raízes reais se, e somente se, ∆ ≥ 0 As raízes são dadas por: x= – b ± √∆ 2a Temos ainda: ∆ > 0 ⇨ as duas raízes são números reais e distintos. ∆ = 0 ⇨ as duas raízes são números reais iguais. ∆ < 0 ⇨ não existem raízes reais. Exemplos. 1) Na equação 2x2 + 4x + 1 = 0, ∆ = b2 - 4ac = 42 – 4 . 2 . 1 = 16 – 8 = 8 Como ∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas. 2) Na equação 9x2 + 12x + 4 = 0, ∆ = b2 - 4ac = 122 – 4 . 9 . 4 = 144 – 144 = 0 Como ∆ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais. 3) Na equação 2x2 + 5x + 9 = 0, ∆ = b2 - 4ac = 52 – 4 . 2 . 9 = 25 – 72 = – 47 Como ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. O conjunto- solução em R = ∅  EXERCÍCIO EQUAÇÃO DO 2º GRAU 1) Resolva as equações (no conjunto universo U = R ): a) x2 – 36 = 0 e) 2x2 – 1 = 0 i) x2 + 5x = 0 2 2 b) 9x – 4 = 0 f) 3x – 16 = 0 j) 2x2 – 11x = 0 2 2 c) 5x – 1 = 0 g) 25x – 8 = 0 k) 3x2 – 4x = 0 x d) 2x2 + 18 = 0 h) 9x2 + 1 = 0l) x2 + =0 2 2) Resolva as equações: a) x2 + 2x – 15 = 0 e) 12x2 – 5x – 3 = 0 2 b) 2x – 5x + 2 = 0 f) x2 – 6x + 7 = 0 2 c) x – 6x – 7 = 0 g) x2 + 2x – 2 = 0 268 MATEMÁTICA PASSO A PASSO d)– 6 x2 + 5x – 1 = 0 h) 4x2 – 4x – 17 = 0 3) Resolva a equação x3 + x2 ( x – 1) + x ( x – 2 ) – 3 ( x – 3) = 7 4) Resolva as equações: x2 x 2 x+1 x2 – 1 a) – + = 0 b) – =0 12 2 3 2 3 5) Calcule ∆ e diga, quantas raízes reais distintas possui cada equação. a) 9x2 + 6x + 2 = 0 b) 9x2 + 6x + 1 = 0 c) 9x2 + 6x – 1 = 0 d) x2 + 5x + 4 = 0 e) x2 + 4x + 4 = 0 f) x2 + 3x + 4 = 0 6) Para que valores de m a equação 9x2 + 6x + m = 0 admite raízes reais? 7) Para que valores de k a equação x2 + k x + 4 = 0 possui raízes reais e iguais? 8) Para que valores de m a equação 2x2 + x + m = 0 possui raízes reais distintas? 9) Para que valores de p a equação px2 + 2x + 3 = 0 não possui raízes reais? 10)Ache c de modo que a equação x2 + 8x – 2c = 0 tenha raízes reais. 11) Calcule os valores de r para os quais a equação x2 + 2rx + (r + 2) = 0 possui raízes reais iguais. Respostas: 1- a) S = { – 6, 6 } e) S = – √2 , √2 2 b) S = – 2 , 2 3 3 c) S = – √5 , √5 5 5 d) S = ∅ 2- a) S = { – 5, 3} b) S = 1 , 2 2 2 i) S = { 0, – 5 } j) S = k) S= 0 , 11 2 0, 4 3 f) S= – 4 √3 , 4√3 3 3 g)S= – 2 √2 , 2√2 5 5 h) S = ∅ e) S= –1,3 3 4 L) S= – 1 , 0 2 f) S = { 3 – √2 , 3 + √2 } 269 PROF. WELLINGTON BRITO c) { – 1 , 7 } d)S= 3- S= 1 , 1 3 2 2,1 2 g) S= {–1–√3, –1+ √3 } h) S = 1 + 3 √2 , 1 – 3√2 2 2 4 - a) S = { 4,2} b) S = – 1, 5 2 5 - a) ∆ = – 36 , nenhuma b) ∆ = 0 , duas iguais c) ∆ = 72 , duas distintas 6- m≤1 7- k=±4 8- m < 1 8 9- p > 1 3 d) ∆ = 9 , duas distintas e) ∆ = 0 , duas iguais f) ∆ = –7 , nenhuma 10- c ≥ – 8 11- R = 2 ou R = – 1  Função Do 2º Grau Dados os números reais a, b e c, sendo a ≠ 0, podemos considerar a função que a todo número real x faz corresponder o número ax2 + bx + c. f: R → R, com f (x) = ax2 + bx + c. (∀x ∈ R) Esta função é denominada função polinomial do 2º grau ( ou também função quadrática). O gráfico é uma curva denominada parábola. Exemplos 1) f(x) = x2 – 4x + 3, onde a = 1, b = – 4 e c = 3. Temos: y s Nota: -O gráfico é a parábola desenhada na figura -8 -7 -6 -5 -4 3 21ao lado. Observe que: D( f ) = R e Im ( f) = { y ∈ Ry ≥ – 1} =[– 1;∞[. Dizemos que essa parábola tem concavidade para cima. A curva é simétrica em relação à reta s assinalada na figura. O ponto v onde o eixo de simetria s corta a curva é denominada vértice da parábola. 270 MATEMÁTICA PASSO A PASSO -2 -1 0 1 2 3 4 - 1---- - v -2 Y 4 ----- V 3 --------210 -1 1 2 3 –2 –3 –4 –5 5 x 2) f(x) = – x2 + 2x + 3, onde a = – 1, b = 2 e c = 3. Temos: Nota: O gráfico é a parábola desenhada na figura ao lado. Observe que D(f )=R e Im(f )={y∈Ry ≤ 4} = ]∞; 4]. 4 x -2 Dizemos que essa parábola tem concavidade para baixo.  Concavidade Na função y = ax2 + bx + c, quando a > 0, o gráfico é uma parábola de concavidade para cima; quando a < 0, o gráfico é uma parábola de concavidade para baixo. Observe no exemplo 1 que a = 1, portanto a > 0 e a parábola é côncava para cima.No exemplo 2 temos a = – 1, portanto a < 0 e a parábola é côncava para baixo.  Vértice – Passo a Passo Quando vamos desenhar uma parábola é importante que fique bem claro qual é o vértice da mesma. Por isso, é interessante que saibamos previamente determinar o vértice. y Cálculo da abscissa do vértice xv O fato da curva ser simétrica s eixo de simetria em relação à reta s significa que se tomamos dois pontos y1=y2 ---------------------da parábola de abscissas yv -------------- v xv + k e xv – k, ∀k ∈ R, esses pontos têm a mesma ordenada y. –b xv= 2a Cálculo da ordenada do vértice y v 271 xv – 1 xv xv + 1 x PROF. WELLINGTON BRITO O cálculo de yv pode ser feito substituindo x por – b temos: xv na função. Para x = xv = 2a –∆ v y = 4a Exemplo Em y = x2 – 4x + 3 temos a = 1, b = – 4 e c = 3. –b – (– 4) 4 xv = = = = 2 e yv = 22 – 4 . 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1 2a 2.1 2 – b2 + 4ac – (– 4)2 + 4 . 1 . 3 – 4 –∆ Ou então:, yv = = = = =–1 4a 4a 4.1 4 Logo, V = ( 2; – 1).  EXERCÍCIO FUNÇÃO DO 2º GRAU – ( I ) c) y = 4x2 + 2x + 1 d) y = x2 + √2x 1) Determine o vértice de cada parábola. a) y = 3x2 – 6x – 2 b) y = x2 + x _ 1 2 4 2) Para que valores de m o gráfico de y = (m – 4) x2 – 2x + m é uma parábola côncava para cima? 3) O vértice da parábola y = x2 + bx + c e o ponto V (– 3;1). Calcule b e c. 4) Sabe-se que a parábola y = x2 + bx + 2b passa pelo ponto (1;7). Qual é o valor de b? 5) Calcule b e c sabendo que a parábola y = x2 + bx + c passa pelos pontos (1;1) e (2.6). Nos exercícios de 6 a 10 temos funções quadráticas f(x) = ax2 + bx + c. para cada uma delas diga se o gráfico é parábola côncava para cima ou para baixo, ache o vértice e depois faça o gráfico. 6) f(x) = x2 – 2x + 2 272 xv ] e crescente –b em [ xv . a função Im 2 f(x) = ax + bx + c tem imagem Im = { y ∈ R  y ≥ yv }. Em x = xv = a função tem o seu 2a –∆ valor mínimo. – 5 4 16 2) m > 4 3) b = 6 e c = 10  d) V= _√ 2 . x 273 . neste caso. v os valores da função vão diminuindo até chegarmos em x = xv e depois eles vão aumentando.3 4 4 b) V = – 1 . 1 2 2 4) b = 2 5) b = 2 e c = – 2 Valor Máximo ou Mínimo: Vamos determinar a imagem da função quadrática f(x) = ax 2 + bx +c: Im = { y ∈ R (∃x ∈ R  f(x) = y)} Devemos descobrir os valores de y para os quais existe x real satisfazendo f(x) = yv Temos: Caso a > 0. – 5 ) c) V = –1 . yv Observamos que. + ∞[ . que é f(x) = yv = .MATEMÁTICA PASSO A PASSO 7) f(x) = x2 – 2x – 3 8) f(x) = – x2 + 5x – 3 9) f(x) = x2 – 2x + 1 10) f(x) = – x2 + 4x Respostas: 1) a) V = ( 1.Também se diz 4a que x = xv é ponto de mínimo de f. da esquerda para a direita. Dizemos xv que f é decrescente no intervalo ] –∞. –b –3 xv = = y 2a 4 v – ∆ –b2 + 4ac 23 yv = = = 4a 4a 8 – 32 + 4 . 4 23 = = _ 3 x 4.Caso a < 0. + ∞ [. 1 . portanto a > 0 (parábola côncava para cima). y ---------v v xv Neste caso a função é crescente no intervalo ] –∞. 2a –∆ que é f(x)= yv= . xv ] e descrescente em [ xv . –b Em x = xv = a função tem o seu valor máximo. Exemplos 1) Na função f(x) 2x2 + 3x + 4 temos a = 2. a função PROF. que 4a x = xv. é ponto de máximo de f. neste caso.Também se diz . portanto a < 0 (parábola côncava para baixo) y xv = yv = = –b 2a –∆ = –2 = 1 4 -= 4 3 1 274 x –6 3 –b2 + 4ac = = 4a 4a – 22 + 4 . WELLINGTON BRITO f(x) = ax2 + bx + c tem imagem Im = { y ∈ R  y ≤ yv }. 2 .2 8 4 O ponto de mínimo de f é x =_ 3 Im (f ) = y ∈ R y ≥ 23 o valor mínimo de f é : 23 4 8 8 2) Na função f(x) – 3x2 + 2x + 1 temos a= – 3. (– 3) . (– 1) . 0 – 100 yv = = = = = 25 4a 4a 4 . o valor máximo ou mínimo de f e determine a imagem dela. com a = – 1 < 0. Como o perímetro é 20 cm vem: x 2x + 2h = 20 ⇒ x + h = 10 ⇒ h = 10 – x Logo. Calcule: a) o tempo decorrido até a bola chegar à altura máxima. Lembremos que a área S do retângulo de base x e altura h é S = x . (– 1) –4 A área máxima é 25 cm2. 1) f(x) = 5x2 + x + 2 2) f(x) = – x2 + 3x + 6 3) f(x) = 8 x + 2x2 4) f(x) = 6 – x – x2 5) Calcule m de modo que a função f(x) = mx2 + 2x + 1 tenha um valor mínimo igual a 1 4 6) Para que valor de x na função f(x) = 3 x 2 –12x + 7 tem o seu valor mínimo? 7)Uma bola é lançada para cima. h h S = x (10 – x ) = 10x – x2 = – x2 + 10x x Observe que a área S é uma função quadrática de x. h. c) o tempo decorrido até a bola cair no solo (isto é. verticalmente. b) a altura máxima da bola. até que se tenha novamente h=0) 275 .MATEMÁTICA PASSO A PASSO 4 (– 3) 3 1 3 3 Im (f ) = y ∈ R y ≤ 4 3 O ponto de máximo de f é x = o valor máximo de f é: 4 / 3  Questão Comentada Determinar a área máxima que pode ter um retângulo de perímetro igual a 20 cm. Então S tem um valor máximo que é: –∆ –b2 + 4ac –102 + 4 . tem sua altura h (medida em metros) dada em função do tempo t decorrido após o lançamento ( t medido em segundos) pela fórmula h = 20t – 5t 2.  EXERCÍCIO FUNÇÃO DO 2º GRAU – ( II ) Nos exercícios de 1 a 4 dê o ponto de máximo ou de mínimo de f. Im (f) = { y ∈ R y ≥ – 8} 4)O ponto máximo é _ 1 2 O valor máximo de f é 25 4 Im (f) = y ∈ R y ≤ 25 4 5) m = 4 3 6) x = 2 8) 100 cm2 9) 1 4 7) a) 2 segundos b) 20 metros c)4segundos  Raízes e sinais da função quadrática : Passo a Passo Para encontrar as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c. WELLINGTON BRITO 8) Calcule a área máxima que pode ter um retângulo de perímetro igual a 40 cm. O valor mínimo de f é – 8. Respostas. devemos resolver a equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0 2 Sendo ∆ = b – 4ac os seguintes casos podem ocorrer: 1º) ∆ > 0 ⇒ há duas raízes reais distintas x’ e x” Neste caso a parábola corta o eixo dos x nos pontos de abscissas x’ e x”. Vejamos como são os sinais de f(x).PROF. a ≠ 0. 9) Calcule o valor máximo que pode ter o produto pq sabendo que p e q são números reais positivos e p + q = 1. 4 Im (f) = y ∈ R  y ≤ 33 4 3)O ponto mínimo é – 2. Caso a > 0 y + x” – x’ + – x y Caso a < 0 + x” x’ – x ( x < x” ou x > x’ ) ⇒ f(x) > 0 x" < x < x’ ⇒ f(x) < 0 ( x = x” ou x = x’ ) ⇒ f(x) = 0 276 ( x < x” ou x > x’ ) ⇒ f(x) < 0 x" < x < x’ ⇒ f(x) > 0 ( x = x” ou x = x’ ) ⇒ f(x) = 0 . 1)O ponto mínimo é _ 1 10 O valor mínimo de f é 39 20 Im (f) = y ∈ R  y ≥ 39 20 3 . 2) O ponto máximo é 2 O valor máximo de f é 33 . ∆ = ( – 6) 2 – 4 . 1 . Caso a > 0 Caso a < 0 y y – – – + + + x x f(x) > 0.Vejamos os sinais de f(x).MATEMÁTICA PASSO A PASSO 2º) ∆ = 0 ⇒ há duas raízes reais iguais x’ = x” Neste caso a parábola tangencia o eixo dos x no ponto de abscissa x’. Vejamos os sinais de f(x). ∀x ∈ R f(x) < 0. Caso a > 0 Caso a < 0 y y x’ – – + x’ x ≠ x’ ⇒ f(x) > 0 x = x’ ⇒ f(x) = 0 + x x ≠ x’ ⇒ f(x) < 0 x = x’ ⇒ f(x) = 0 3º) ∆ < 0 ⇒ não há raízes reais Neste caso a parábola não tem nenhum ponto comum com o eixo dos x. ∀x ∈ R Exemplos 1) Estudar os sinais de f(x) = x2 – 6x + 8. 8 = 4 x’ = 4 277 y . Começando calculando ∆ e determinando as raízes de f(x). ela tem concavidade para cima. ∀x ∈ R. 1) f(x) = 6x2 – 5x + 1 2) f(x) = –x2 – 2x + 3 3) f(x) = x2 + 4x + 4 4) f(x) = x – x2 5) f(x) = x2 – 9 6) Determine os valores de c para os quais temos: x2 + 4x + c > 0. 7) Calcule os valores de m para os quais temos: – 2x2 + 6x + (m – 1) < 0. ela tem concavidade para baixo. WELLINGTON BRITO x” = 2 + 2 – 4 + x A parábola corta o eixo dos x nos pontos de abscissas 2 e 4. Respostas 1) f > 0 ⇒ x < f<0⇒ 1 3 1 3 ou x > 1 2 1 6) c > 4 7) m < _ 7 2 278 < x < 1 f=0⇒x= 2 1 ou x = . Temos. então: x ≠ 1 ⇒ f(x) < 0 x = 1 ⇒ f(x) = 0 raízes: x = –2 ± 0 y 1 x – –  EXERCÍCIO FUNÇÃO DO 2º GRAU (III) Nos exercícios de 1 a 5 estude os sinais de f(x). ∀x ∈ R. (– 1) ( – 1) = 0 =1 –2 A parábola tangencia o eixo dos x no ponto de abscissa 1. então: (x < 2 ou x > 4) ⇒ f(x) > 0 (x = 2 ou x = 4) ⇒ f(x) = 0 2 < x < 4 ⇒ f(x) < 0 2) Estudar os sinais de f(x) = – x2 + 2x – 1 Temos: ∆ = 22 – 4 .raízes: x = 6 ± √4 2 PROF. como a =1 > 0. Como a = – 1< 0. b e c são números reais conhecidos. 2 .  Questões Comentadas 1. y < 0.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 3 2 2) f > 0 ⇒ – 3 < x < 1 f < 0 ⇒ x < – 3 ou x > 1 f = 0 ⇒ x = – 3 ou x = 1 3) f > 0 ⇒ x ≠ . ax2 + bx + c ≥ 0. y ≤ 0 2 Isto pode ser feito analisando-se os sinais da função y = ax 2 + bx + c. a ≠ 0. resolver cada inequação acima significa determinar para quais valores reais de x temos. Resolver a inequação 2x2 – 5x + 2 > 0. e x é a incógnita. y ≥ 0. respectivamente: y > 0. Começamos estudando os sinais de y = 2x2 – 5x + 2. 2 = 9 279 + + y .2 f<0⇒∄x∈R f=0⇒x=–2 4) f > 0 ⇒ 0 < x < 1 f < 0 ⇒ x < 0 ou x > 1 f = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 5) f > 0 ⇒ x < – 3 ou x > 3 f<0⇒ –3< x<3 f = 0 ⇒ x = – 3 ou x = 3  INEQUAÇÃO DO 2º GRAU  Introdução: Chamamos inequações do 2º grau às sentenças: ax + bx + c > 0. ∆ = (– 5)2 – 4 . ax2 + bx + c ≤ 0 onde a. ax2 + bx + c < 0. Fazendo y = ax2 + bx + c. Observando o gráfico notamos que y > 0 é verdadeiro para x < 1 ou x > 2. Resolver a inequação x2 – 6x – 7 ≤ 0 2 y Fazemos y = x – 6x – 7 ∆ = (– 6)2 – 4.  Inequações Produto e Quociente: Passo a Passo Novamente. (– 7) = 64 + + 6 ± 8 x’ = 7 raízes:x = 2 x” = – 1 –1 – 7 x a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima. e y = 0 para x = – 1 ou x = 7. 2 1 Resposta: S= x ∈ R  x < ou x > 2 2 2. Logo. a solução será feita analisando-se os sinais das funções y = ax + b e y = ax2 + bc + c. WELLINGTON BRITO x’ = 2 1 2 – 2 x x” = 1 2 a = 2 > 0 ⇒ parábola côncava para cima. Resolver a inequação 3x2 – 2x – 1 < 0. S = { x ∈ R  – 1 ≤ x ≤ 7 }.raízes: x = 5 ± 3 4 PROF. Resolvendo 2x2 – 5x + 2 > 0 significa dar os valores de x que tornam verdadeira a sentença y > 0. y ≤ 0 para – 1 ≤ x ≤ 7. 1 .  Questões Comentadas 1. 1 – 4x2 1º) Sinais de y1 = 3x2 – 2x – 1 y + _ 1 3 + _ 1 x _ 1 2 – – + 2º) Sinais de y2 = 1 – 4x2 y + _ 1 2 1 + – – 1 2 _ x 3º) Sinais de y1 / y2 _ 1 _ 1 2 3 y1 + + – y2 – + + y1 / y2 – + – 280 . Temos y < 0 para – 1 < x < 7. resolva as inequações do 2º grau: 281 . y2 > 0.+∞[  EXERCÍCIO INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 1) Sendo U = R. Façamos y1 = x2 + 2x – 3 e y2 = 4x – 1. y2 . 1 4 [∪]1. Vamos estudar os sinais y1 e y2 separadamente e depois montar o quadro de sinais do produto y1 . ( – 3) = 16 1 raízes: x = – 2 ± 4 2 –3 a = 1 > 0 ⇒ conc._ [∪]– . a resposta é: S = x ∈ R– 3 < x < 1 4 ou x > 1 = ]–3. 1º) Sinais de y1 ∆ = 22 – 4. 1 . [∪] 1.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 1 < 0 a resposta é: y2 1 1 1 S = x ∈ R  x < _ ou _ < x < ou x > 1 2 3 2 1 1 1 = ] –∞. y2 -3 y1 y2 y 1 . y2 + – – – – + 1 4 – + – 1 + + + + – – + y Como queremos y1. Resolver a inequação (x2 + 2x – 3 ) (4x – 1) > 0. para cima 2º) Sinais de y2 = 1 – 4x2 raiz: 4x – 1 = 0 ⇒ x = a = 4 > 0 ⇒ y2 1 4 _ 1 4 3º) Sinais de y1 . ∞ [ 2 3 2 Como queremos y = 2. WELLINGTON BRITO h) (x + 5 )2 ≤ 20x i) 4m – 3 ≥ 3 + m(m – 1) 2 4 j) (t + 1) ( t – 1) ≥ – 3 k) (a + 2)2 ≥ 4(a2 + 2) L) x (x2 + 1) + (x + 2) (x – 2) ≥ x2 ( 2 + x) m) r3 – 1 < (r – 1) (r2 + 4 ) n) t2 < 5 h) 2 f) x2 + 2x ≤ 12x – 1 g) m2 – m + 1 < 2m2 + m + 2 a) ( x2 – 5x + 4 ) ( 2x2 – x – 1) > 0 b) ( x – 4) (2x – x ) ≥ 0 2 2 2) Determine o conjunto-solução das inequações abaixo.sendo U=R: x2 – 16 4 – x2 x + 6x + 5 2 2 < 0 ≤ 0 ≥0 x + 4x + 3 i) j) c) ( x + x2 ) ( 5x – 1) < 0 d) x (x + 3x +2 ) ≤ 0 e) (2x – 3) (x – 3x – 10) (1 – x ) > 0 2 2 5x – 2 x (x – 9 ) 2 f) x ( x + 1) (x – 1 ) ≥ 0 2 g) 4x – 3x – 1 > 0 2x2 – x – 1 2 Respostas: 1)a) S= {x ∈ Rx < – 1 ou x > 10 } b) S= {x ∈ R0 < x < 6} c) S= {x ∈ Rx ≤ – 2 ou x ≥ 2} d) S= {x ∈ Rx ≠ 6} e) S= {x ∈ R1 – √5 < x < 1 + √5 } 2 2 1 f) S = _ 2 g) S = { m ∈ R  m ≠ – 1 } 2) a) S = x ∈ R  x < _ 1 ou x > 4 2 282 h) S = { 5 } i) S = { 3/2} j) S = R k) S = ∅ l) S = ∅ m) S = { r ∈ R  1 < r < 3} n) S= { t ∈ R– √5 < t < √5 } .a) x2 – 9x – 10 > 0 b) 6x – x2 > 0 c) x2 ≥ 4 d) x2 + 36 > 12x e) x2 < x + 1 2 8 PROF. 0). (–1. (1. (2.( 2 .3) . 2) e (4.3).5. b) (1.4) são elementos do conjunto A x B.3) e (1. c) (1.7.4) estão necessariamente em A x B. e) Os elementos dados podem ser únicos de A x B. (2.8}. (3. 0 ).E.4) estão necessariamente em A x B.( 2 . 2).2) e (4.b) S = { x ∈ R  – 2 ≤ x ≤ 0 ou x = 2 } c) S = x ∈ R  x < – 1 ou 0 < x < 1 5 MATEMÁTICA PASSO A PASSO d) S = { x ∈ R  x ≤ – 2 ou – 1 ≤ x ≤ 0 } e) S = x ∈ R  x < – 2 ou – 1< x < 1 ou f) S = { x ∈ R  x ≤ 0 ou x ≥ 1 } g) S = x∈Rx < _ 1 2 ou _ 1 4 3 2 < x< 5 < x < 1 ou x > 1 h) S = { x ∈ R – 4 < x < 1 ou 3 < x < 4 } i) S = { x ∈ R  x < – 5 ou – 2 ≤ x < – 1 ou x ≥ 2 } j) S = x ∈ R  x < – 3 ou 0 < x ≤ 2 5 ou x > 3  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01-(PUC-SP)Os pares ordenados (2.3) . então o número de elementos do conjunto W = {(x. 1) estão necessariamente em A x B.4) e (3.SANTANA) Seja a relação R. Então: a) (1.4) estão necessariamente em A x B.2).3) . (2.2. definida por . x < y} é: a) 8 b) 9 c) 10 283 d) 11 04-(F.E) Se P = { 1.1) . 02-(UF–MT)Sejam os conjuntos A e B tais que: A x B = {( – 1. 2).y) ∈ p2.(– 1. d) (3. (2.C.4) e (3. de A em A.(2.3)} O número de elementos do conjunto A ∩ B é: a) 0 b) 1 c)2 d)3 e)4 03-(U.1) . (PUC-SP) Os conjuntos A e B possuem.4. assinale a única alternativa que define uma função de A em B. (0. 09 – (U.1). 2} e B {0.4)} e) {(– 1. –1.3). (0. (2. (4. 1.1. (1. 2.1). (1. e:ƒ : x → x – 1 é uma função de B em A.2} em B = {-2.(U.1).3).(a.0).5}.1).(U. (0. b.PA) Sejam os conjuntos A ={1. entre as relações seguintes.2). (1. (0.c). (c.2 } 284 e){0. 1. d} e B = {1.1.PE) Dados os conjuntos A = { a. (1.a). 3. (4. Qual das afirmativas abaixo é verdadeira? a:ƒ : x → 2x é uma função de A em B. 4} qual. a) { – 1. a){(a. d:ƒ : x → x2 – x é uma função de B em A.F. (a. (0.2} e B = {0.2). 4.0).2)} b){(a. 0). respectivamente.1)} c) {(a. (2. 1} c) {0. (b. 6.1. 1.2}.2).F. c:ƒ : x → x2 – 3x + 2 é uma função de A em B. qual o conjunto imagem de ƒ?. 8.(2.0.3).2} definida por ƒ(x) = x – 1.1. 3. 0 . o número de pontos do gráfico cartesiano de R é: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 05. (c.(UF-Uberlândia) Dados os conjuntos A = {–1.5)} e) {(1.1)} 08.(5. 7.1).d).a)} . representa uma função de A em B? a) {(– 1.b).4).3). se x é par y = x + 1.y) ∈ R ⇔ PROF.1). WELLINGTON BRITO y = √x . c. (3.2)} c) {(0. (b.5). (1. se x é impar Se A = { 0. b:ƒ : x → x + 1 é uma função de A em B. 2. 0. (1.2)} d) {(– 1.4)} 06.0).2. 1). – 4) b) {(–1. Quantas funções de A em B têm o conjunto imagem igual a B? a) nenhuma b)34 c)43 d)3! e) 4! 07. 3 e 4 elementos.F. (a. 5. – 1). (a.1).4). (b. (d.(a. 9}. 1).-1. (c. (2.3).1).1).(x.PA) Dada a função ƒ de A = { 0.3.1). (2. (1.2} d) {(a.1). – 1. podemos afirmar que: a) o acréscimo de um funcionário aumenta a produção mensal em 50 unidades. b) o acréscimo de 15 funcionários aumenta a produção mensal em 75 unidades.Com relação a essa experiência ƒ (n) = 3 + n pode-se afirmar que o camundongo : a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos.(BB) Suponha-se que o número ƒ(x) de funcionários necessários para distribuir. 285 . d) o acréscimo de 51 funcionários aumenta a produção mensal em 120 unidades. c) o acréscimo de 32 funcionários aumenta a produção mensal em 100 unidades. – 1. 11. na enésima tentativa. 0. as contas de luz foi de 75.MATEMÁTICA PASSO A PASSO b) {– 2. a porcentagem de moradores que as receberam é: a)25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50 12 – (BB) Em uma experiência realizada com camundongos. 0} 10-(GV-SP) O número de unidades produzidas (y) de um produto. foi observado que o tempo requerido para um camundongo percorrer um labirinto. seja dado pela função. em um dia. era dada pela função 12 minutos. 300x ƒ(x) = 150 – x Se o número de funcionários necessários para distribuir. Se 49 funcionários estão empregados. durante um mês. b) gasta cinco minutos e 40 segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. contas de luz entre x por cento de moradores. 2} d) {– 2. em um dia. numa determinada cidade. 1. é função do número de funcionários empregados (x) de acordo com a relação: y = 50√x . a equação ax = b. d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. onde a e b são números reais. na incógnita x: a)não pode ter infinitas soluções d)tem infinitas soluções se b≠ 0 b) sempre tem solução e) tem solução única se a ≠ 0 c) só tem solução se a ≠ 0 17 – (PUC-MG) Uma função do 1º grau é tal que ƒ (– 1) = 5 e ƒ ( 3)= – 3.1 . e) percorre o labirinto. então ƒ ( 3) é o número: a) 1 b) 3 c) – 3 d) 5 e) – 5 19. – 3) e (2. é crescente se.03x 14 – ( U.PROF.97x c) f(x) = 1.BA)A função ƒ.(U.E.2) e ( .3x d) f(x) = – 3x e) f(x) = 1. em três minutos e 30 segundos.E.x + 3. o valor de m + n é: a) _ 13 b) 22 c) 7 d) 13 e) 2. Se ƒ (– 1) = 3 e ƒ ( 1) = – 1.4 5 5 5 5 16 – (PUC-SP) No conjunto dos números reais. WELLINGTON BRITO c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. numa das tentativas. e somente se: a) k ≠ 1 e k ≠ – 1 b) k = 1 ou k = – 1 c) k > 0 d) – 1 < k < 1 286 . Assim.definida porƒ (x) = (k2 – 1) . Então ƒ (0) é igual a: a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) – 1 18-( UF-Viçosa) Uma função ƒ é dada por ƒ (x) = ax + b. 13 – (CEF) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor de x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0. 0) pertencem ao gráfico de ƒ. 6). de R em R. então a + b é igual a: a) 9 b) 3 c) 2 d) _ 3 e) – 1 2 3 2 15 – (FGV) O gráfico da função ƒ(x)= mx + n passa pelos pontos (4.Londrina) Seja a função ƒ : R tal que ƒ(x) = ax + b. Se os pontos (0. no 30º dia. a planta terá.CVU=$ 2. através do aumento em Q. Q = quantidade produzida e vendida.000.00. CVU = custo variável unitário. resulta a figura ao lado.00 A Metalúrgica Atlas.00. CF=$ 100.Se for mantida sempre esta relação entre tempo e altura.000. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico. todos os dias. independentemente da quantia produzida.( FUVEST) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do equador) em função da profundidade: Profundidade Temperatura Superfície 27º C 100m 21ºC 500m 7º C 1 000m 4º C 3 000m 2. onde : P = preço de venda unitário: CF = Custo fixo. a fim de enfrentar seus concorrentes. a partir do qual a firma começa a ter lucro? a) 1 800 b) 2 500 c) 3 600 d)4 000 e) 5 000 21 – (BB)Um botânico mede o crescimento de uma planta. Além disso. mas pretende obter o mesmo lucro. há uma despesa fixa se $ 4. para a qual são conhecidos os seguintes dados (mensais): P = $ 5.000.20 por unidade.000. uma firma gasta $ 1.8º C 287 .A.00. Este aumento (em %) deverá ser de: a) 20% b) 150% c) 40% d) 50% e) 10% 23.em centímetros. O preço de venda é de $ 2. decide reduzir em 20% o preço de venda unitário (P).00 .000.e) k < – 1 ou k > 1 MATEMÁTICA PASSO A PASSO 20 – (CEF) Para produzir um objeto.Lucro= L = RT – CT = 800. Qual é o número mínimo de unidades. produz uma peça. A Metalúrgica Atlas S. uma altura igual a: a) 5 cm altura em cm b) 6 cm 2 c) 3 cm d) 15 cm 1 e) 30 cm 5 10 tempo em dias 22-(BB) Duas funções importantes em finanças são: Receita Total: RT = P x Q e Custo Total: CT = CF + CVU x Q.00 por unidade. 5º e) 8º C 24. –3 e) 288 . WELLINGTON BRITO Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade.3. a temperatura prevista para a profundidade 400m é de: a) 16º C b) 14º C c) 12. 5 2 c) d) .E.3) 4–x a) 2 1+x b) 3 c) (0. 29-(UF-SE) O conjunto solução da inequação é: a) .(UF-GO) O menor múltiplo de 3 que satisfaz a inequação x + 5 < 2x – 1 é: a) 12 b) 9 c) 6 d) 3 e) 0 25-(UF-SE) Quantos números inteiros.3. 5 2 b) . 5 2 –∞.5ºC d) 10. em R . satisfazem a inequação: 3 x+ < 3x – 4 ? 2 a) nenhum b) dois c) três d) quatro e) infinitos 26-(PUC-SP) O menor número inteiro k que satisfaz a inequação 8 – 3(2k – 1) < 0 é: a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 27-(CESGRANRIO) Os valores positivos de x. para os quais (x – 1) (x – 2) (x +3) < 0.+ ∞ 2 e) 6 ≤ 0.2) 28-(U.3. – 3 ∪ 5 .3) d) (0. 1) e)(1. constituem o intervalo aberto: a) (1.PROF.Londrina)Quantos números inteiros satisfazem a inequação ≥ 0? c) 4 d) 5 x+3 2x – 5 – ∞.3 ) b) (2. estritamente positivos. Pode-se afirmar corretamente que: a) o vértice do gráfico de ƒ é o ponto (1.Santana) sejam 5 e _ 3 . + 1 ) V = (3.1 ) V = (.3. + 1 ) V = (3. sendo e) um mínimo.(U.(PUC-MG) O ponto extremo V da função quadrática ƒ(x) = x2 – 6x + 8 é: a) um máximo. O valor de b + c é: a) – 8 b) – 2 c) 1 d) 2 e) 8 d) f(x) = x2 + 10x + 21 e) f(x) = – x2 + 9 33.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 30. sendo V = (3.1 ) 34 . . x > 7} b) { x ∈ R . a soma e 2 2 o produto das raízes da equação 2x2 + bx + c = 0. 2 ≤ x < 7 } d) { x ∈ R . c) ƒ atinge um máximo para x = 1 d) o gráfico de ƒ é tangente ao eixo das abscissas. 4). respectivamente. b) ƒ possui dois zeros reais distintos. 5) ? a) f(x) = 5x2 + 30x + 45 b) f(x) = _ 5 x2 _ 5 x + 15 4 4 2 c) f(x) = – 5x2 – 20x – 15 32. sendo b) um mínimo. +1 ) V = (. sendo c) um máximo. .(UFC) O domínio da função real g(x) = a) { x ∈ R . 35-(UC-MG) O valor máximo da função f(x) = – x 2 + 2x + 2 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)6 289 . definida por ƒ(x) = x2 – 2x + 5.2 .3. sendo d) um mínimo. x ≤ 2} x – 2 x–7 é: c) { x ∈ R . x ≤ 2 ou x > 7} 31-(PUC-SP) Qual é a função do 2º grau cuja única raiz é – 3 e cujo gráfico passa pelo ponto A = ( .(F.Fortaleza) Considere a função ƒ: R → R. Então o maior valor da área do triângulo APQ é: D C Q A a) 1 2 b) 1 8 c) 1 4 e) 1 16 P B 38-(GV-SP) A equação da parábola é: a) y = – 2x2 + 4x – 6 b) y = – 2( x – 3 ) (x – 1) c) y = 2 (x + 3 ) ( x – 1) d) y = – 2(x + 3 ) ( x – 1) + 6 e) y = – 2x2 – 4x + 6 v 8 6 y –3 1 x ≤ 0 e) x ≥ 1 4 4x – 1 39-(CESGRANRIO) Os valores de x tais que 2 são aqueles que satisfazem: x – 2x + 1 a) x > 4 b) x ≥ 4 c) x ≤ 1 4 290 d) x ≠ 1 .PROF. São tomados dois pontos P ∈ AB e Q ∈ AD tais que PA + AQ = AD. O valor do custo mínimo é: a) 3 250 b) 3 750 c) 4 000 d) 4 500 e) 4 950 37-(UN-Fortaleza) ABCD é um quadrado de área igual a 1(um). WELLINGTON BRITO 36-(GV-SP) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 – 100x + 5000. ao final desse prazo. dos juros. de R$ 36 como uma compensação financeira denominada juro. temos: R$ 100 são o capital R$ 36 são o juro O estudo que vamos iniciar agora – Matemática Financeira – . 291 . isto é. é comum que. a qualquer título. podemos dizer que: Juro é a remuneração. atribuída ao capital.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Respostas: 01) A 02) B 03) C 04) B 05) D 06) A 07) C 08) C 09) A 10) C 11) B 12) E 13) B 14) D 15) B 16) E 17) C 18) E 19) E 20) E 21) B 22) D 23) D 24) B 25) E 26) E 27) D 28) A 29) C 30) D 31) A 32) A 33) E 34) A 35) B 36) B 37) B 38) E 39)C  JURO SIMPLES  Introdução Se A empresta a B a importância de R$ 100 pelo prazo de um ano. B devolva a A a importância de R$ 100 acrescida. é feito em função do crescimento de uma certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo. Designando por capital a quantia emprestada. digamos. Assim. com todas as suas fórmulas e fatores. apenas o capital inicial rende juro. por convenção. pelo prazo de 2 anos. o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital para.a. também.o capital inicial ou principal. j=Cx i x n que é a fórmula de cálculo do juro simples. que os juros não são capitalizados.  Questões Comentadas 1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.3 x 2 ⇒ j = 720 → Logo. neste caso.  Cálculo do Juro Simples: Passo a Passo Por definição. Assim. o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação.3 a. • j . sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. • i . sendo: • C .o tempo de aplicação. isto é.200 x 0.  Nota: é importante observar que essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada. Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial . render juro no período seguinte.a. o juro a ser pago é de: R$ 720 292 . Como: j = C x i x n Temos: j = 1. Qual será o valor do juro a ser pago? Resolução: Temos: C = 1. à taxa de 30% ao ano. = 0. WELLINGTON BRITO  Juro Simples No regime de capitalização a juro simples. • n .o juro simples.200 n=2a i = 30% a.a taxa de juro unitária. dizemos.PROF.200. m. por exemplo. respectivamente. relativas. são proporcionais.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 2) Aplicou-se a importância de R$ 3.000 n = 3 me i = 1. as taxas de 18% ao ano e 1.5 1 0. pelo prazo de 3 meses. 30  Taxas Equivalentes 293 = 2.4% a.5% a.2% a. temos: Ik= 30 12 2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0.2% ao mês. reduzidos à mesma unidade.4 Isto é: 2.000 x 0. Resolução: Lembrando que 1me = 30 d. à taxa de 1. Como: j = 3.08 = ⇒ i = 0. pois: 18 12 0.18 12 = ou = (1 ano = 12 meses) 1.08% ao dia.m. aos tempos n e n’.015 1  Questões Comentadas: 1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. Resolução: Lembrando que 1a = 12 me.5 Isto é: 2.012 x 3⇒ j = 108→O juro a receber é de:R$ 108  Taxas Proporcionais Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos. = 0.m .m. Dadas duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i’.5% ao mês. temos: i 0.012 a. Qual o valor do juro a receber? Resolução: Temos: C = 3. temos: i n = 1 i’ n’  Nota: As taxas i e i’ devem ser ambas percentuais ou ambas unitárias. referidos à mesma unidade. Assim.000.08 x 30 = 2.  Nota: Assim podemos concluir que: Em regime de juro simples.400 n = 10 me i = 25% a.12 x 2 ⇒ j = 480 → → isto é.aplicadas a um mesmo capital. Logo: j = 2. = 0. durante o mesmo período.m. podemos dizer que 4% a. e 12% a.o juro produzido é de R$ 480.25 0. Resolução: Temos: C = 2.25 12 x 10⇒ j = 500 → Isto é.a. à taxa de 25% ao ano. o juro produzido é de R$ 480. No primeiro caso. o juro é de:R$ 500 294 a.m . temos: C = 2.000 n = 2 trimestres i = 12% a.a = (0.00 No segundo caso.t.04 a. são taxas equivalentes. produzem o mesmo juro.t. Como o tempo é dado em meses e a taxa é dada ao ano. • à taxa de 12% ao trimestre.m. WELLINGTON BRITO Duas taxas são equivalentes quando.000 n = 6 me i = 4% a. = 0. durante 2 trimestres.m.m.12 a. antes de aplicarmos a fórmula devemos determinar a taxa mensal proporcional à dada: i = 0.00 Como os juros produzidos são iguais.25 a. Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$ 2.25 : 12) a.a.400 é aplicado durante 10 meses. durante 6 meses. duas taxas proporcionais são Equivalentes  Questões Comentadas 1) Um capital de R$ 2.04 x 6 ⇒ j = 480 → isto é.PROF. Daí: j = 2.000 x 0.000 x 0. = 0.400 x 0. temos: C = 2.000: • à taxa de 4% ao mês. = Logo: j = 2.25 a.t.Determine o juro obtido. s.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 12 2) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18. então: C = 18. durante 3 meses. 6) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.d = 0. a primeira coisa a ser feita é a obtenção do número de dias correspondentes. 4) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9. à taxa de 18% ao ano.725  EXERCÍCIO JURO SIMPLES – ( I ) 1) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% a.t.001 a. 5) Um capital de R$ 56. à taxa de 0.a.5% a. à taxa de 36% ao ano.500. 4 meses e 10 dias.05% a. 360 Daí: j = 18. = 0.durante 3 trimestres.725 → Isto é.75% ao mês.04% a.800 foi empregado.1% a. 295 .d.500. lembrando que: 1a = 360 d e 1 me = 30 d Assim: 2a 4 me 10 d = ( 2 x 360 + 4 x 30 + 10) d = 850 d* Temos. durante 2. = 36 % a.d d) 0. o juro é de: R$ 15.500 n = 850 d i = 36% a.5 meses. b) 8% a. aplicado durante 2 anos . 2) Calcule a taxa anual proporcional a: 3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre.001 x 850 ⇒ j = 15.d.s.200.m.d.t c) 21% a. à taxa de 5% ao trimestre.500 x 0. Calcule o juro produzido. Resolução: Como o tempo foi dado sob a forma de numeral complexo. b) 24% a. a) 1. c) 0. 000 (1 + 0.a. designando o montante por M.03 a.a. WELLINGTON BRITO 7) Calcule o juro de um capital de R$ 5.600. Isto é: M = R$ 40. c) 42% a. = 0. Respostas: 1) a) 3% a.a. isto é: montante = capital inicial + juro ou valor nominal = valor atual + juro Assim.600  Nota: 296 . durante 2 anos e 4 meses.463  Montante Já vimos que o montante (ou valor nominal) é igual à soma do capital inicial (ou valor atual) com o juro relativo ao período de aplicação.800  Questões Comentadas 1) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28. b) 32% a. colocando C em evidência: M = C (1 + in) d) 18% a. à taxa de 24% ao ano.m.03 x 15) = 28.m. Lembrando que: M = C(1 + in) vem: M = 28.2% a. 3) 32% a.PROF.a.45 = 40.000 durante 15 meses. à taxa de 3% ao mês? Resolução: Temos: C = 28.065 4) R$ 1.m.000 x 1. em regime de juro simples. c) 1.000.m.380 6) R$ 1.m b) 4% a. 2) a) 18% a.000 n = 15 me i = 3% a. temos: M = C+j Lembrando que: j=Cxixn a fórmula pode ser escrita assim: M = C + C x i x n ou. 7) R$ 2.a 5) R$ 1. 04) ou: C (1 + 18 x 0.03 x 15 = 12.600 Como: M = C + j Vem : M = 28.000 de entrada e o restante após 4 meses.605 3) Uma concessionária vende um automóvel por R$ 15.m.600. então: C = 11. 0. Isto é: M = R$ 40.72 x C = 14.000 à vista. no regime de juro simples? Resolução: Temos: M = 14.800 ⇒ C = ⇒ C = 8.04) = 14.800 n = 18 me i = 48% a.m. a uma taxa de 48% ao ano.800 14.600 2) Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de 14.000) após o prazo de 4 meses. A prazo.m.04a.540 (16. Temos. vende por R$ 16. então.65 1.000 x 0.540.72 Isto é: C = R$ 8. O fato se passa.a. como se o cliente tivesse recebido R$ 11. Substituindo esses valores na fórmula do montante obtemos: 14800= C(1+ 18 x 0.000) .800 daqui a 18 meses. sendo R$ 4.= (48 : 12)%a.604.000 – 4.000 + 12.000 (15. receberá financiamento para apenas R$ 11.= 4%a.540 – 4.800 Daí: 1.000 n = 4 me Como: M = C ( 1 + in) 297 M = 12.600 = 40.MATEMÁTICA PASSO A PASSO A solução deste problema também pode ser obtida do seguinte modo: j = 28.000 emprestados com o compromisso de devolver R$ 12.540 . Qual é a taxa de juro mensal cobrada? Resolução: Se o cliente resolver comprar a prazo. 14 – 1 ⇒ i = 0.PROF. sabendo que em 8 meses os juros totalizaram R$ 912. em 1 ano.m. = 0. 5) Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu.200.800 i2 = 24% a.000( 1 + 4i ) = 12. determine a taxa correspondente.02 a.m. sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 2) Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.m.000 ⇒ 4i = 1.000 rende R$ 1.a.⇒ Logo a taxa de juro cobrada é de: 3.540 ⇒ 1 + 4i = ⇒ 1 + 4i = 1.540 = 11.800 a 24% ao ano. Resolução: Temos: C = 4.  EXERCÍCIO – JURO SIMPLES ( II ) 1) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3. aplicado durante 10 meses. Qual foi esse capital? 298 .800 x 0.m.800 i1 = 3% a.800 x 0. Determine o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao mês. = 2% a. 4) Uma pessoa aplica R$ 4.000.000 ( 1 + 4i) 12. 2 meses e 15 dias. rende juro de R$ 6.03 x n = 144 n j2 = 4.m. n2 = 8 – n Logo: j1 = 4. a taxa é aumentada para 3% ao mês.540 ou: 11.035a.m.500 a ser resgatado por R$ 2.03 a. n1 = n C = 4.14 ⇒ i = 0.000.035 4 Isto é: i = 0.5% a.02 x ( 8 – n ) = 96 ( 8 – n ) Como: j1 + j2 = 912 Vem : 144n + 96 ( 8 – n ) = 912 ⇒ 144 n + 768 – 96 n = 912 ⇒ 144 n – 96 n = 912 – 768 ⇒ 48 n = 144 ⇒ n = 144 ⇒ n = 3 48 Isto é o prazo foi de 3 meses.= 0. pelo prazo de 18 meses.700 no final de 2 anos? 3) A que taxa o capital de R$ 24.080 em 6 meses? 4) Um capital de R$ 30.14 ⇒ 11. Após algum tempo.830. o juro de R$ 7. WELLINGTON BRITO Vem: 12. a 2.5% ao mês. rende R$ 79. Qual foi a taxa anual? 8) Qual é o tempo em que um capital de R$ 96. recebeu o montante de R$ 180. 10) Um capital emprestado a 1 3 % ao mês rendeu. à taxa de 2. 7) Uma pessoa aplicou R$ 90. Qual foi esse capital? 11) Qual o capital que. um ganho anual de R$ 8. calcule o prazo.000 à taxa de 8% ao trimestre.510 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano? 17) Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000 no mercado financeiro e. a 25% ao ano.000 de um banco sob a condição de liquidar o débito ao fim de 3 meses e pagar ao todo R$ 22. a que taxa foi empregado esse capital? 16) É mais vantajoso empregar R$ 5.395 de juro? 9) Sabendo que o juro de R$ 120.000? 299 .000. obtendo-se. o juro de R$ 19.5% ao mês durante 2 anos.MATEMÁTICA PASSO A PASSO 6) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5. Qual é o valor desse capital? 19) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200. à taxa de 2% ao mês. assim.584.000.000 foi obtido com uma aplicação de R$ 150. A que taxa de juro obteve aquele capital? 13) Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4 do capital? 5 14) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 15) Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples.5% ao mês. rende juro de R$ 126. durante 2 anos. 18) Empregam-se 2 de um capital a 24% ao ano e o restante a 3 32% ao ano. à taxa de 2.640. renda um montante de R$ 240. 5 1 mês e 10 dias.000. após 5 anos. em 1 ano.000.575.260 a 24% ao ano ou R % 3.000 em 3 anos? 12) Uma pessoa sacou R$ 21.480. rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês.a 3) 0. 9) 2 anos 6 me 10) R$ 91. 15d. 16) indiferente 17) R$ 7.728 2) R$ 40% a. A primeira.m 5) R$ 27. obtendo com isso um abatimento denominado desconto. é normal que entregue ao credor um título de crédito.340  DESCONTO SIMPLES  Introdução Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura. 8) 3 anos. 13) 2 anos 14) 10 anos 15) 12. Respostas: 1) R$ 1. 3me.PROF. Além disso: • dia do vencimento é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação. colocada a 4% ao mês.m.000 7) 20% a.m 4) 2% a.5 % a.000 12) 2. porém. Todo título de crédito tem uma data de vencimento.75% a. que é o comprovante dessa dívida.5% a.812 foi dividido em duas partes.a. o devedor pode resgatá-lo antecipadamente.400 18) R$ 32. 300 .400 19) 8 meses 20) R$ 3.000 6) R$ 8.a.472 e R$ 4. Calcule o valor de cada parte. O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.800 11) R$ 140. WELLINGTON BRITO 20) O capital de R$ 7. à taxa fixada.  Valor atual comercial 301 . MATEMÁTICA PASSO A PASSO  Valor do desconto comercial Chamando de: d o valor do desconto comercial N o valor nominal do título A o valor atual comercial ou valor descontado comercial n o tempo i a taxa de desconto Temos. O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou valor atual. então. é denominado desconto comercial. No primeiro caso. bancário ou por fora o equivalente ao juro simples.  Desconto Comercial: Passo a Passo  Definição Chamamos de desconto comercial. Assim: Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal. desconto racional. ou. pela definição: d=Nxixn que é o valor do desconto comercial.• valor nominal é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento). isto é. incluindo o primeiro e não o último. • tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento. no segundo. a diferença entre o valor nominal e o valor atual. • valor atual é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento. produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente. incluindo o último e não o primeiro. 021 a. Faltando 45 dias para o vencimento do título.PROF. Isto é.d Vem: A = 6.m.000 vai ser descontado à taxa de 2. determine: a) o valor do desconto comercial. Sabemos que:d = N x i x n Logo: d = 6.d.811  Taxa de Juro Efetiva A taxa de juro que no período n torna o capital A igual ao montante N é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto.m. temos: C (1 + if x n) = M (valor do montante) Como: C = A e M = N Temos: A (1 + if x n ) = N Daí: if = 302 d . vem: A=N–Nxixn Daí: A =N(1–ixn) que é o valor atual comercial.000x 0. Assim.1% a. o valor atual comercial é de: R$ 5. Resolução: Temos: N = 6. Isto é. simbolizando a taxa efetiva pó if . = 0. WELLINGTON BRITO O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por: A=N–d Substituindo d pelo seu valor obtido no desconto comercial. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva.811. o desconto comercial é de: R$ 189 Como: A = N . pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.000 n = 45 d i = 2.  Questão Comentada Um título de R$ 6. = 0.0007 a. b) o valor atual comercial.000 – 189 ⇒ A = 5.  Nota: O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos.1% ao mês.0007x 45 ⇒ d = 189. ou if =2.MATEMÁTICA PASSO A PASSO A x n  Questão Comentada Um título de 6.m.17% a. Qual o desconto comercial? 2) Um título no valor nominal de R$ 8.000 foi descontado à taxa de 2. faltando 45 dias para seu vencimento.m.  Nota: Assim.1% ao mês. Sabendo que o desconto comercial foi de R$ 189.811 189 189 Vem: if = = ⇒ if = 0. com vencimento em 18/10.000 – 189 ⇒ A = 5.0217 a. Resolução: Temos: N = 6.000 d = 189 n = 45 d Como: A = N – d ⇒ A = 6.476. qual é o valor comercial descontado? 3) Um titulo de R$ 4. à taxa de 30% ao ano.d.811x 45 261. 495 Isto é: if = 0.400. calcule o tempo de antecipação do resgate.0007227 5. é resgatado em 20/07. é necessário que a taxa de juro seja maior que a taxa de desconto.4% ao ano.000. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32. para que haja igualdade entre o capital empregado e o valor atual do título.800 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4. ou if = 0. calcule a taxa de juro efetiva. cuja relação nos é dada pela fórmula: if = d Axn  EXERCÍCIO DESCONTO SIMPLES– ( I ) 1) Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 2.000723 a. foi resgatada 2 meses antes do vencimento. 303 . 000 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$ 21. à taxa de 2. vencível em 3 meses.m.   Desconto Racional Definição Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. Respostas: 1) R$ 100 2) R$ 7. if = 2.m. pela definição: dr = Ar x i x n  O valor do desconto racional em função do valor nominal Como: A r = N – dr Daí : dr= Nxixn 1+ixn que é o valor do desconto racional em função do valor nominal do título.5% ao mês. qual o valor nominal comercial do novo título? 5) 6) Um título de valor nominal igual a R$ 6. vem 304 .660 4) i = 2.000.300 para 90 dias deverá ser substituído por outro para 150 dias. por outro com vencimento em 5 meses.46% a.266 3) 2 meses e 15 dias 5) R$ 5. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3.5% ao mês.424 6) R$ 6.068.  Nota: Lembrando que d = N x i x n e substituindo em d r . Quero substituir um título de R$ 5. WELLINGTON BRITO 4) Uma duplicata de R$ 23.25% a.  Valor do desconto racional Chamando de: d r o valor do desconto racional A r o valor atual ou valor descontado racional Temos. Calcule o valor nominal do novo título.PROF. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva. b) o valor atual racional.000–183.1% a. Qual é a taxa de desconto? 305 . Como: A r = N – d.600 com antecipação de 90 dias.0315 ⇒ d r = 183. comprovamos a afirmação de que o desconto racional é menor do que o comercial. ⇒ isto é A r = R$ 5.00 b. vem: A r = 6.817  Nota: Comparando o valor do desconto racional (R$ 183) com o valor do desconto comercial obtido (R$ 189).000 n = 45 d i = 2.MATEMÁTICA PASSO A PASSO dr = d 1 + in .22 ⇒ isto é dr = R$ 183.0007 x 45 1.000.000 vai ser descontado à taxa de 2. = 0.1% ao mês.d.0007 x 45 = 189 1+ 0. = 0. resgatada 75 dias antes do vencimento 2) Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 234.  Questão Comentada Um título de R$ 6. a. Como: d r = N x i x n 1+ixn vem: d r = 6.07 a. o que nos permite concluir que o desconto racional é menor que o desconto comercial. à taxa de 40% ao ano.  EXERCÍCIO DESCONTO SIMPLES – ( II ) 1) Determine o desconto* de uma promissória de R$ 3.d.0007 a. Faltando 45 dias para o vencimento do título.m. determine: a)o valor do desconto racional. Resolução: Temos: N = 6. recebo um desconto de R$ 486.000 x 0. Qual o seu valor nominal? 3) Ao pagar um título de R$ 3.375 cinqüenta dias antes de seu vencimento. à taxa de 45% ao ano. Sabendo que o desconto foi de R$ 1.m 7) R$ 20.000.077 2) R$ 250. você deve subentender “desconto comercial” Respostas 1) R$ 250 5) 135 dias 9) dr = 1923 Ar = 48. WELLINGTON BRITO 4) O valor atual de um título de R$ 4. Nele.000 foi descontado faltando 60 dias para o seu vencimento. à taxa comercial de 36% ao ano.5% a. com vencimento daqui a 150 dias.800. qual o tempo de antecipação? 5) Uma duplicata de R$ 69.133 3) 4. Daí afirmamos que neste regime “o juro rede juros”.sempre que o “desconto” não for explicitado. Sabendo que a taxa bancária de desconto é de 3.5% ao mês. mais 1.790? 7) Um comerciante vai a um banco e desconta uma nota promissória para 90 dias.  JURO COMPOSTO  Definição O regime de capitalização que vamos estudar é o mais comumente usado.000 4) 75 dias 8) 40% a. * Neste texto. sabendo que a diferença entre os seus descontos comercial e racional.000 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 58.PROF. 306 . o juro. a partir do segundo período.a.909. calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva ao ano. 9) Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 50.800 é de R$ 4. para que possa adquirir mercadorias no valor de R$ 6. à taxa de 3% ao mês.86% a. 10) Calcule o valor nominal de um título com vencimento para 60 dias. e 42.380. à taxa de 3% ao mês. qual o tempo de antecipação? 4 6) Uma empresa possui um titulo cujo valor nominal é de R$ 7.Sabendo que a taxa de desconto foi de 3 1 % ao mês. qual o valor da promissória? 8) Um título de R$ 27. Quantos dias antes do vencimento deve descontá-lo. Sabendo que o liquido creditado para o comerciante foi de R$ 17.000 6) 30 dias 10) R$ 120.a. é calculado sobre o montante do período anterior. disponível dentro de 40 dias. é de R$ 408. à taxa de 3% ao mês.000.5% de comissão.900.   Questão comentada Calcule o montante produzido por R$ 2. = 0. durante 2 meses. a partir do segundo. também chamada fórmula fundamental do juro composto. é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.m. a unidade para a resolução de um problema determinada pelo período financeiro a que se refere. como em juro simples.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Juro Composto é aquele que em cada período financeiro.000. O fator ( 1 + i )n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. aplicado em regime de juro composto à taxa i. Nota: Ainda aqui.m 307 . aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês. Temos: Período 1º 2º 3º Juro j1 = C x i j2 = M1 x i j 3 = M2 x i Montante M1 = C + j1 = C + Ci ⇒ M1 = C(1 + i ) M2 = M1+ j2 = M1 + M1 x i = M1 (1+i ) = C(1+i ) (1+ i) ⇒ M2 = C(1+i)2 M3 = M2 + j3 = M2 + M2 x i = M2 (1+i ) = C(1+i ) (1+ i )2 ⇒ M3 = C(1+ i)3 o que nos permite escrever. agora. um capital C. para o enésimo período: Mn = C( 1 + i )n Esta é a fórmula do montante em regime de juro composto. para um número inteiro de períodos.  Cálculo Do Montante: Passo a Passo Consideremos.05 a. Resolução: Temos: C = 2.000 n = 2 me i = 5% a. assim. n é o número de anos. = 0.03)16 = 1.1025 ⇒ M2 = 2.m. a juro de 3% ao mês. Isto é. O valor de (1 + 0. Na primeira coluna procuramos o valor 5 de n.a.2) 5 é aquele que se encontra na intersecção da quinta linha com a segunda coluna: 2.000 n = 10 me i = 3% a.2)5 = 2. designaremos por tabela) e na primeira coluna dessa tabela o valor de n.03 a. n=5a Queremos determinar o valor de (1 + 0.03 a.000 emprestados. 60471  Questões Comentadas 1) Uma pessoa toma R$ 3. O valor de ( 1 + i )n é aquele que figura na intersecção da segunda coluna com a linha do número de períodos (n). n é o número de meses etc. Logo: ( 1 + 0.205  Tábua Financeira: Passo a Passo Para localizarmos nessa Tábua determinado valor de (1+ i ) n procuramos o quadro da taxa percentual correspondente a i (que.a. a tabela correspondente a i = 20%. pela tabela correspondente a 3%.m. Nessa Tábua. pelo prazo de 10 meses.000 x 1.m. se a taxa é anual. se mensal.2) 5 Localizamos.05 )2 Logo: M2 = 2.000( 1 + 0.2 a. inicialmente.000 ( 1 + 0.m. Exemplos: 1º) Temos: i = 20% a. por questão didática.PROF.com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resolução: Temos: C = 3. o número de períodos é dado na unidade de tempo da taxa.03 )10 308 .48832 2º) Temos: i = 3% a. o montante é de: R$ 2. n = 1 a 4 me = 16 me Logo. WELLINGTON BRITO Substituindo esses valores em Mn vem: M2 = 2. = 0.000 x 1. vem: ( 1 + 0.052 = 2.48832. = 0. Como: Mn = C( 1 + i )n vem: M10 = 3.205. 01136 Tábua Financeira: Pesquisando na tabela correspondente à taxa de 15%.15 n = 2.800.15 a. Isto é.000 i = 15% a. Logo: n=5 isto é. na segunda coluna. à taxa de 3. vem: 22. Substituindo esses valores na fórmula fundamental. obtemos: (1 + 0.MATEMÁTICA PASSO A PASSO Consultando a Tábua Financeira. em regime de juro composto.15) n ou: 1.125.s.s.76.000 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.031. a 5% ao mês.000 ⇒ 1.000. a quantia a ser devolvida é de: R$ 4.000. pelo prazo de 14 meses.125 11. o prazo é de: 5 semestres ou 2 anos e 6 meses  EXERCÍCIO – JURO COMPOSTO 1) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.032 2) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.8% ao mês? 309 . sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto.34392 Logo: M10 = 3. capitalizado mensalmente durante 8 meses.34392 ⇒ M10 = 4.000 (1 + 0. 2) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20. Resolução: Temos: Mn = 22.125 C = 11. aplicado durante 4 meses. verificamos que para n = 5 temos( 1 + i) n = 2. = 0.03)10 = 1. à taxa de 3% ao mês.15n = 22.000 x 1. 125 = 11. 3) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.01136. 5% ao ano.00 3)R$ 7. em regime de juro composto.00 2)R$ 9. contratado a juros simples.000. produzirá um montante de R$ 146. é igual ao dobro do seu valor inicial.894. WELLINGTON BRITO 4) Em que prazo uma aplicação de R$ 100. capitalizado mensalmente? Respostas: 1) R$ 12. Qual é o prazo de aplicação? a) 4 meses c) 1 ano e) 8 anos 310 .00 4)13 meses  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01) (BNB) Em juros simples.101.PROF. Sabe-se que a taxa de juros da operação foi de 12.00 à taxa de 3% ao mês. a taxa de juros anual equivalente a 6% ao bimestre é: a) 18% ao ano b) 72% ao ano c) 36% ao ano d) 12% ao ano e) 6% ao ano 02) (BNB) O valor futuro de um título.549.853. 749.00 c) R$ 1.00 por um ano. a uma taxa de juros anuais de 15%.04 05) (SEFAZ) Um título de valor nominal de R$ 9.728. que José deveria receber hoje.56 d) R$ 5. 90 dias antes do seu vencimento.834. dentro de 60 dias.00.400.750. é de: a) R$ 9. O capital aplicado por essa pessoa foi de: a) R$ 6.00 b) R$ 5.00 d) R$ 1.60 b) R$ 1.00 da venda de seu carro em duas parcelas de R$ 5.50 e) R$ 1.65 c) R$ 9. no regime de juros simples comerciais.000. Passados 2 anos e 8 meses.662.453.000.709.00 sofreu um desconto bancário à taxa de 60% ao ano.00 d) R$ 1.00 e) R$ 1. com a certeza de estar recebendo o mesmo valor que irá receber no pagamento.MATEMÁTICA PASSO A PASSO b) 4 anos d) 8 meses 03) (TJ) Aplicado R$ 1.500.850. pode-se afirmar que o desconto bancário foi de: a) R$ 1.200. tinha valor nominal em reais.00 b) R$ 1. sendo que o último era de valor nominal 50% superior ao primeiro.00 sejam depositados numa caderneta de poupança que não possui correção monetária e 311 .65 b) R$ 9.739.800. No regime de juros simples.079. a juros simples. 3/5 do seu capital a 7% ao mês e o restante a 66% ao ano.700.30 06) (TTN) José descontou 2 duplicatas em um banco.729.719.618. obtive juros de R$ 405. o valor atual.574.20 c) R$ 1.697.50 o titulo que produziu o maior desconto.000.079. Sabendo-se que as taxas e comissões cobradas pelo banco importaram em 2.04 c) R$ 5.65 d) R$ 9.900.5% do valor nominal do título. O primeiro título vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias. sendo a primeira dentro de 30 dias e a segunda. recebeu um total de R$ 12.65 e) R$ 9.65 08) (CEF) Suponha que R$ 20. de: a) R$ 1.00? a) 4 meses e 15 dias b) 4 meses c) 2 meses e 20 dias d) 2 meses e 10 dias e) 3 meses e 15 dias 04) (TJ) Uma pessoa aplicou.00 07) (BB) José vai receber os R$ 10.500. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês. Sabendo-se que os dois descontos somara o valor de R$ 382. por quanto tempo eu devo aplicar o mesmo valor para obter uma renda de R$ 135.60 de juros.00.00 e) R$ 6. (3) A variância dos preços é igual a 0.80 d) R$ 7.480.205.77 c) R$ 7. b)A média aritmética é zero e a variância 4.00 d) R$ 5.00 em 05/09/03.70 09) (CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano. 11) (T. 4. b) A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas partes de igual freqüência.50.4 e a variância 4.Dados essas informações. José depositou R$ 2.) Os preços do pacote de café (500g) obtidos em diferentes supermercados locais são: R$ 3. a nova variância será exatamente igual à anterior. e 6: a)A média aritmética é 3.00 b) R$ 5. -7.720. d) A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da distribuição. o novo preço médio será de R$ 1.80 e) R$ 7.000.000.00 e) R$ 5. c) A média harmônica é a média geométrica dos inversos das determinações da variável.N) Assinale a opção correta: a) A moda. Se o banco pagou juros composto à taxa de 10% ao trimestre. 2. o coeficiente de variação dos preços não se altera.204.00 c) R$ 5.U.00 em 05/06/2003 e R$ 3. 5. c)A média aritmética é zero e a variância 16. compostos semestralmente. d)A média aritmética é 3.4 e a variância 16. (5) Se todos os preços tiverem um aumento de 50%. 312 .50. a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de medida da variável a que se referem. R$ 1. julgue os itens que se seguem: (1) O preço médio do pacote de 500g de café é de R$ 2.206. em 05/12/03 José tinha um total de: a) R$ 5. e)A média aritmética é zero mas a variância é impossível calcular. Se nenhuma retirada e nenhum deposito adicional foram feitos. WELLINGTON BRITO que rende 8% de juros ao semestre. (2) Se todos os preços tiverem uma redução de 50%. 12) (T. -1. -2. pois a dispersão não será afetada.625. (4) Se todos os preços tiverem um aumento de % R$ 1.00.00 10) (CSD-SP) Para a série de valores: 0.202.50 e R$ 1.PROF.C.00. R$ 2.209. -3.00.80 b) R$ 7. então o valor total dos juros creditados no final de 2 anos é de: a) R$ 7. -4.680.T.00.620.320. Freqüências simples absoluta 6 8 12 10 4 14) ( T.N) a) Mais de 85% as observações têm diâmetro não inferior a 6cm. 14.15 cm c) 9.T. e) Coincide com o ponto médio de um intervalo de classe.MATEMÁTICA PASSO A PASSO e) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da distribuição.T.80 cm e) 8.4 cm b) 9. Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir para responder às questões: 17. b) 75% das observações estão no intervalo 6 ⊢ 12.T. Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir para responder às questões . c) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior à soma das freqüências absolutas simples.3 cm 16) (T.5 cm c) 9.N) A moda da distribuição é igual a: a) 9. 19 e 20. d) e) 28% das observações estão no quarto intervalo de classe. d) È inferior à média aritmética. Menos de 25% das observações têm diâmetro abaixo de 10 cm.T. b) É eqüidistante da média aritmética e da moda.N) A mediana da distribuição: a) Pertence a um intervalo de classe distinto do que contém a média aritmética.90 cm b) 9.7 cm d) 9.6 cm 15) (T. 18.00 cm d) 8. c) È igual à média aritmética.70cm e) 9.N) A média aritmética da distribuição é igual a: a) 8. 15 e 16 Diâmetro (cm) 4⊢ 6 6⊢ 8 8 ⊢ 10 10 ⊢ 12 12 ⊢ 14 13) (T. 313 . 13. T. b) É um valor inferior à média aritmética e à mediana.20kg d) 5.00kg 20) (T.27kg e) 5.T.21kg b) 5. Respostas: 1) C 2) E 3) B 4) A 12) A 13) B 14) A 15) D 314 .N) A média aritmética da distribuição á igual a: a) 5. d Coincide com o limite superior de um intervalo de classe.30kg e) 5.19kg c) 5.T. c) 8% das observações têm peso no intervalo de classe 8 ⊢ 10.N) a) Menos de 20 das observações têm peso igual ou superior a 4kg: b) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior ao tamanho da amostra.N) A moda da distribuição: a) É maior do que a mediana e do que a média geométrica.T. d) 65% das observações têm peso não inferior a 4kg e inferior a 10 kg.N) A mediana da distribuição é igual a: a) Menor que 5kg b) 5. c) Pertence a um intervalo de classe distinto do da média aritmética. e) Mais de 65% das observações têm peso maior ou igual a 4 kg. e) Coincide com o ponto médio de um intervalo de classe.PROF. 18) (T.24 kg 19) (T. WELLINGTON BRITO Peso (kg) 2⊢ 4 4⊢ 6 6⊢ 8 10 ⊢ 12 8 ⊢ 10 Freqüências simples absoluta 9 12 6 2 1 17) (T.30kg d) 5.10kg c) 5. MATEMÁTICA PASSO A PASSO 5) C 6) A 7) A 8) C 9) E 10) C 11) (1) certo (2) (3) (4) (5) errado 16) E 17) E 18) B 19) E 20) B 315 .
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