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TEMA 5.- DE LA LÓGICA CLÁSICA A LA LÓGICA SIMBÓLICA La lógica no siempre ha recibido el mismo nombre. Platón hablaba de la “dialéctica” como la técnica de conocer las relaciones entre las ideas. Platón pensaba que cualquier contenido de la mente existía tal cual en la realidad, en el mundo de las Ideas separadas, el cosmos noetós. Contra estas ideas separadas reaccionó Aristóteles, quien en su Oganon o colección de obras lógicas, emplea la palabra “analítica” para referirse a la lógica. Para Aristóteles las ideas existen sólo en la mente humana, pero se corresponden a la realidad; esto trajo consigo el nacimiento de la lógica. Aristóteles distingue, así, entre la metafísica(ciencia de la realidad o del ser y sus principios más profundos) y la lógica (ciencia de las ideas y procesos de la mente), que Platón identificaba. Por lógica clásica puede entenderse a veces la lógica simbólica moderna estándar, esto es, cálculos como los de Principia Mathematica y sistemas afines, que incluirían la lógica de enunciados, la lógica de predicados de primer orden (incluida la lógica de relaciones) y la lógica de predicados de orden superior. Esto se opondría a las lógicas no clásicas, esto es, aquellas que, o bien no comparten algún presupuesto fundamental de la lógica clásica, o bien constituyen desarrollos complementarios de la lógica clásica (como la lógica modal), o bien constituyen de algún modo concepciones alternativas a la lógica clásica (como la lógica intuicionista). Pero puede entenderse también y más frecuentemente por “lógica clásica) la lógica aristotélica con sus complementos medievales que permaneció con apenas alguna variación hasta Frege. 1. La lógica griega 1.1 Aristóteles La opinión de que la lógica comienza con Aristóteles se debe a varias razones. Una es que fue el primero en formalizar las expresiones, esto es, en emplear variables para los términos, para poder analizar mejor las inferencias entre enunciados. Fue también el primero en concebir la lógica como el estudio de la inferencia formalmente válida, y quien construyó el primer sistema de lógica de términos. Pero, además de la lógica sensu estricto, en las obras de Aristóteles aparecen los siguientes temas: estudios acerca del uso de los términos en el lenguaje ordinario; estudios sobre el arte de la argumentación y de la retórica; estudios de metodología de la ciencia, incluida su concepción del método inductivo; el estudio de la organización de los sistemas deductivos; y finalmente la teoría del razonamiento deductivo o silogístico. En la concepción aristotélica de la lógica hay una vacilación entre dos ideas. Por un lado, la lógica es concebida, en tanto que órgano, como prolegómeno de toda investigación científica, filosófica o simplemente perteneciente al lenguaje ordinario. Por eso la lógica no es una parte de la filosofía; es, a lo sumo, el pórtico que permite pasar a cualquiera de sus partes (la teórica, la práctica y la poética o productiva). Por otro lado, la lógica aparece como el análisis de los principios según los cuales se halla articulada la realidad. Así como el primado de la definición y de la dialéctica en Platón podía ser considerado como la consecuencia del interés de este autor por el “qué” de las cosas, el primado del razonamiento (sobre todo silogístico) en Aristóteles podría ser considerado como la consecuencia del interés de este pensador por el “porqué” de las cosas. La lógica de Aristóteles parece seguir el tratado de una ontología general. Esto se manifiesta en una serie de proposiciones que pueden resumirse del siguiente modo: a) la lógica es un 1 instrumento para el pensar y supone un pensamiento; b) el pensamiento supone una realidad pensada, pues el pensar carece de espontaneidad y es sólo relativo, c) es necesario, en vista de ello, desarrollar una teoría del concepto como expresivo del ser “constitutivo” de lo real, d) la lógica puede de este modo convertirse en ciencia de los principios de lo que es. En MetafísicaXI, 7 afirma que la lógica es una técnica indispensable para la investigación, pero añade que la consideración de los principios silogísticos corresponde al filósofo y a quien especula sobre la naturaleza de cualquier sustancia. Así, él mismo reconduce la lógica a su supuesto indispensable: la teoría de la sustancia. Esta teoría es el fundamento de todo conocimiento intelectual. La forma es a la vez la ratio essendi y ratio cognoscendi del ser: en tanto que ratio essendi es sustancia, en tanto que ratio cognoscendi es concepto. La forma, pues, garantiza la correspondencia entre el concepto y la sustancia y, por tanto, la verdad del conocimiento y la racionalidad del ser. Por esto Aristóteles puede decir que el ser y la verdad se hallan en relación recíproca: que, por ejemplo, si el hombre existe, la afirmación de que el hombre exista es verdadera; y recíprocamente, si es verdadera la afirmación de que el hombre existe, el hombre existe. Pero Aristóteles añade que en esta relación el fundamento es la realidad, y que la realidad no es tal porque la afirmación que le concierne sea verdadera, sino que la afirmación es verdadera porque la realidad es tal como ella la expresa. En otros términos, la verdad del concepto se funda en la sustancialidad de laforma y no viceversa: la metafísica precede y fundamenta la lógica. Por ello, se puede decir que Aristóteles no pretendió fundar la lógica como ciencia formal, en el sentido moderno del término, o sea, de ciencia sin objeto o sin contenido, constituida únicamente por proposiciones tautológicas. Según Aristóteles, la lógica tiene un objeto y este objeto es la estructura de la ciencia en general que luego es la misma estructura del ser que es objeto de la ciencia. Aristóteles afirma que la lógica debe analizar el lenguaje apofántico o declarativo, que es el propio de las ciencias teoréticas, en el cual tienen lugar las determinaciones de verdadero y falso según que la unión o separación de los signos (de que consta una proposición) reproduzca o no la unión o la separación de las cosas. El lenguaje apofántico no tiene nada de convencional. Según Aristóteles, las palabras del lenguaje son convencionales, tanto es así que de una lengua a otra son distintas. Pero las palabras se refieren a “afectos del alma que son los mismos para todos y constituyen imágenes de objetos que son los mismos para todos”. Por tanto, se puede decir que, para Aristóteles, el lenguaje es convencional en su diccionario, no en su sintaxis; en consecuencia, la lógica ha de mirar a esta sintaxis para analizar la estructura fundamental del conocimiento científico y del ser. 1.1.1 Cuantificación de los enunciados Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P” donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso nos las habemos con un enunciado conceptual o general. En los Analíticos Anteriores sólo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos. 2 El enunciado es una oración que afirma o niega algo de algo, y es universal, particular o indefinido. Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad (Analíticos Anteriores, I, 24 a 16) El enunciado universal (afirmativo) contiene un cuantificador universal, es decir, una expresión lingüística como “cada”, “todos”, o “para todo”, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el concepto sujeto. El enunciado particular (afirmativo) contiene un cuantificador particular, es decir, una expresión lingüística como “algún” o “hay” o “para algún”, y atribuye el predicado particularmente al sujeto, es decir, sólo afirma que el concepto-predicado es aplicable a algunas cosas a las que también se aplica el concepto-sujeto. El enunciado indefinido es un enunciado conceptual o general que carece de cuantificadores, por lo que no está claro si el predicado se atribuye universal o particularmente al sujeto. Una de las invenciones más notables de Aristóteles consistió en la introducción de variables o letras esquemáticas en la lógica. No llegó a introducir variables para individuos, pero sí para conceptos o entidades abstractas. Utilizaba letras mayúsculas para referirse indistintamente a conceptos cualesquiera. División aristotélica de los enunciados simples cuantificación y su carácter afirmativo o negativo: Afirmativo S es P Todo S es P Algún S es P S es P en ocho tipos, según su Enunciado Universal Particular Indefinido Negativo S no es P Ningún S es P Algún S no es P S no es P En su exposición definitiva, la lógica aristotélica no conoce mas que cuatro tipos de enunciados (simples), los tipos que los lógicos medievales designaron mediante las letras a, e, i, o, correspondientes a los enunciados universales afirmativos (a), universales negativos (e), particulares afirmativos (i) y particulares negativos (o). A afirmativo Universal E negativo I afirmativo Particular O negativo Algún S no es P P no pertenece a algún S Ningún S es P P no pertenece a ningún S Algún S es P P pertenece a algún S Todo S es P P pertenece a todo S 1.1.2 Oposición entre enunciados Aristóteles inició su estudio sistemático de las relaciones lógicas entre enunciados con la consideración de la oposición. La oposición entre enunciados puede ser de dos tipos: oposición contradictoria y oposición contraria. 3 hemos de afirmar su contradictorio.3. la permutación es imposible. La contradicción se da también – y esto sí juega un papel importante en su lógica – entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado particular negativo. Si (ningún A es B). el otro puede ser tanto verdadero como falso. 4. Igualmente se oponen contradictoriamente un enunciado universal negativo y el correspondiente particular afirmativo. entonces no (ningún A es B) 2. es decir. dos enunciados de los tipos “ningún S es P” y “algún S es P”. La contrariedad se da entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado universal negativo. Si el uno es verdadero. Ahora bien. el otro es falso. Pero si el uno es falso. Si (todo A es B). entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “algún S no es P”. 2. Por el principio del tercio excluso. por tanto. La oposición contraria o contrariedad se da entre dos enunciados que no pueden ser ambos verdaderos. por el principio de contradicción. entonces no (todo A es B). si negamos un enunciado. es decir. “Todo A es B” es el contrario de “ningún A es B” “Ningún A es B” es el contrario de "todo A es B” Leyes de la oposición contradictoria: 1. es decir. es imposible que haga de predicado y. Si Si Si Si no no no no (todo A es B). si el sujeto es un individuo o entidad concreta. También los dos pueden ser falsos. 1. La contradicción se da entre dos enunciados singulares del tipo “s es P” y “s no es P”. Estas dos leyes son inválidas desde el punto de vista de la lógica actual.1. “Todo A es B” es el contradictorio de “algún A no es B” “Ningún A es B” es el contradictorio de “algún A es B” “Algún A es B” es el contradictorio de “ningún A es B” “Algún A no es B” es el contradictorio de “todo A es B” Cada enunciado es equivalente a la negación de su contradictorio. al menos uno de ellos ha de ser verdadero y.La oposición contradictoria o contradicción se da entre dos enunciados de los cuales uno es la negación del otro. Conversión de enunciados Una de las razones por las que Aristóteles prescinde de los enunciados singulares en su lógica madura estriba en su deseo de poder permutar sujeto y predicado en cualquier enunciado. Pero si 4 . el otro ha de ser falso. Pero estos enunciados no juegan ningún papel en la lógica de Aristóteles. entonces (todo A es B) Leyes de la oposición contraria: 1. sino que al menos uno de ellos ha de ser falso. entonces (algún A es B) (algún A es B). 3. Si afirmamos un enunciado hemos de negar su contradictorio. entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “ningún S es P”. entonces (ningún A es B) (algún A no es B). Por tanto. entonces (algún A no es B) (ningún A es B). y sin que sea preciso introducir ningún otro término para justificar la necesidad de la conclusión (Analíticos Anteriores. un concepto nuevo. “algún S es P”. I. en figuras. además. Sin embargo. no más ni menos. Si (ningún A es B). donde S y P son términos generales (o conceptos) cualesquiera. uno en cada premisa y. sino a un tipo muy especial de ella. los enunciados universales afirmativos pueden convertirse sólo a condición de transformar su cuantificación de universal en particular. Si (algún A es B). Si (todo A es B). la formada por tres enunciados (dos premisas y una conclusión). entonces (algún B es A) 3. Naturalmente. no siempre la verdad de un enunciado garantiza la verdad del enunciado que resulta de la permutación de sus conceptos. “ningún S es P”. para que las premisas impliquen la conclusión. como consecuencia suya. cada uno de los cuales es de uno de los cuatro tipos “todo S es P”. Silogismos y figuras Aristóteles define el silogismo del siguiente modo: El silogismo es un discurso en el cual. entonces (ningún B es A) 2. o “algún S no es P”. Aristóteles obtiene las siguientes leyes lógicas de la conversión: 1. Según el análisis que hace Aristóteles. entonces (algún B es A) 1. pero que aparece en ambas premisas (al que llamaremos medio). La conversiónde un enunciado consiste en la permutación de su sujeto y su predicado. es preciso que en ellas aparezcan los dos conceptos de la conclusión (a los que llamaremos extremos). que no aparece en la conclusión.tanto el sujeto como el predicado son conceptos o entidades abstractas.1. Aristóteles usa la palabra “silogismo” para referirse no a cualquier deducción. entonces la permutación es siempre posible. algo distinto de las cosas puestas se sigue necesariamente de ellas. ¿Cómo clasificar estas combinaciones? En primer lugar. Los enunciados universales negativos y los particulares afirmativos pueden convertirse siempre. puestas ciertas cosas. el predicado de la conclusión es predicado de otra premisa y el concepto medio es predicado de una premisa y sujeto de otra. El enunciado conserva los mismos conceptos. y a la inversa. La primera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa. Ejemplo: todo A es B todo B es C ---------------- 5 . y tales que en los tres enunciados juntos aparecen exactamente tres términos o conceptos. los enunciados particulares negativos no pueden convertirse nunca. pero el concepto que hacía de predicado pasa a hacer de sujeto. 24 b 18) Esta definición vale para cualquier deducción.4. Por eso Aristóteles limita su consideración a los enunciados conceptuales o generales. entonces algún a es C (3. entonces ningún A es C (2. entonces algún A no es C La segunda figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa.2) Si todo B es A y algún B no es C. entonces todo A es C (1.3) Si algún B es A y todo B es C.4) Si algún B es A y ningún B es C. entonces algún A no es C (3. entonces ningún A es C (2. entonces algún A no es C La tercera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es predicado de una premisa. (2.3) Si algún A es B y ningún C es B.6) Si todo B es A y ningún B es C.4) Si algún A es B y ningún B es C.2) Si ningún A es B y todo C es B.2) Si todo A es B y ningún B es C. entonces ningún A es C (1.4) Si algún A no es B y todo C es B.todo A es C La formulación aristotélica original de la ley de este ejemplo es la siguiente: Si A se predica de todo B y B se predica de todo C.5) Si todo B es A y todo B es C. el predicado de la conclusión es predicado de la otra premisa y el concepto medio es el sujeto de ambas.1) Si todo A es B y todo B es C. 26 a 37) Cuatro son las combinaciones de la primera figura que Aristóteles reconoce explícitamente como implicaciones. Llamo silogismo imperfecto al que [para hacer evidente la necesidad de la conclusión] necesita de una o varias 6 . entonces algún A es C (3. entonces algún A no es C (3. como silogismos. I. el predicado de la conclusión es sujeto de la otra premisa y el concepto medio es predicado de ambas premisas. También en esta figura reconoce Aristóteles cuatro combinaciones como dando lugar a la implicación de la conclusión por las premisas. y éstas son sus correspondientes leyes lógicas: (1.3) Si algún A es B y todo B es C. como silogismos.1) Si todo B es A y algún B es C. entonces necesariamente A se predica de todo C (Analíticos anteriores. seis silogismos: (3. entonces algún A es C (3. entonces algún A no es C Llamo silogismo perfecto al que no necesita nada fuera de lo puesto en las premisas para hacer evidente la necesidad de la conclusión. entonces algún A es C (1. entonces algún A no es C (2. En esta tercera figura reconoce Aristóteles seis combinaciones en las cuales las premisas implican la conclusión.1) Si todo A es B y ningún C es B. Los principios. del género de sustancias sobre las que versa una ciencia particular. por tanto. más cognoscibles. en el primer silogismo de la primera figura. no son sino definiciones y las definiciones son posibles sólo de la sustancia o de la esencia necesaria. pero su validez no es evidente. según Aristóteles. 24 b 22) Un silogismo perfecto es evidentemente válido. las premisas de donde deriva deben también ser necesarias. 7 . o mejor aún. sino que ha de ser mostrada con ayuda de un silogismo perfecto. Un silogismo imperfecto es igualmente válido. el término medio porque es la razón o la causa por la que el hombre. anteriores a la conclusión y causas de ella. sino que sólo se patentiza reduciéndolos a los de la primera figura. el caballo y el mulo son longevos (segundo término). aunque para el hombre es un procedimiento más fácil y claro. “Inmediatos” quiere decir que son indemostrables. por ser éstos los únicos perfectos y evidentes. otros son principios de cada ciencia.5 La inducción y la deducción La inducción. lo que facilita la intelección. el caballo y el mulo son longevos. principios verdaderos. Aristóteles elige como axiomas de la silogística a los silogismos de la primera figura. Algunos de estos principios son comunes a todas las ciencias. lo que evidencia su papel mediador. menor que la del concepto predicado de la conclusión o concepto mayor. en ser ellos expresión de la sustancia. todo el conocimiento es conocimiento de causas. ya que si no fueran tales. en cuya conclusión aparece el término medio y un extremo. que es el más evidente de todos. Por ejemplo. Además. valiéndose del otro externo. en sí mismas. pues. Por eso afirma Aristóteles que la inducción puede usarse. ¿Por qué son evidentes los silogismos de la primera figura? Porque en esta figura y sólo en ella: 1) la primera premisa acaba con el mismo concepto con que empieza la segunda. consiste. no en la ciencia. 2) el concepto medio ocupa efectivamente el puesto medio. en lugar de deducir un extremo de otro mediante el término medio. La inducción es válida si y sólo si se agotan todos los casos posibles. absolutamente primeros e inmediatos. Los silogismos de las figuras segunda y tercera son válidos. como hace el silogismo. el caballo y el mulo (primer término) son animales sin bilis (término medio) y que el hombre. aunque se siguen necesariamente de ellas (Analíticos anteriores. serían principios de los principios y así sucesivamente hasta el infinito. deduce que todos los animales sin bilis son longevos. De ahí que la inducción sea de uso limitado y no pueda suplantar al silogismo deductivo. y respecto a la conclusión. pero su validez no es evidente. I. 3) el primer y último conceptos del antecedente (o unión de las dos premisas) son el primer y último conceptos del consiguiente (o conclusión). Para que el silogismo concluya necesariamente. y como la sustancia es causa de todas sus propiedades y determinaciones como los principios son causa de las conclusiones que el silogismo deriva de ellos. en este caso. deduce el término medio de un extremo. el concepto sujeto de la conclusión o concepto menor tiene una extensión menor que el concepto medio.1.4 Silogismos: premisas y validez Aristóteles parte del principio que “toda doctrina o disciplina deriva de un conocimiento preexistente”. sobre todos los principios propios. después de haber constatado que el hombre. que tiene una extensión intermedia entre los otros dos y. 1. El “ser sin bilis” es. La validez de los principios en que se funda la ciencia. es una deducción que. como evidentes por sí mismos.cosas que no aparecen explícitamente en las premisas. 1. Y para ser tales.1. según Aristóteles. han de ser. 2 El asentimiento y la epoché Si el recibir una representación determinada. las proposiciones. esto es. la mano cerrada en puño. la cual proporciona la verdadera y completa posesión del objeto. la lógica es dialéctica. y no p. en cambio. El asentimiento constituye el juicio. por ejemplo. es decir. etc. Según Sexto Empírico. renuncia provisional al asentimiento de la representación recibida o a disentir de la misma. en vez de enunciados-premisas condicionales que implican un enunciado-conclusión. La dialéctica se define como “la ciencia de lo que es verdadero y de lo que es falso y de lo que no es ni verdadero ni falso”. como instrumento de ejercicio o persuasión. o discursos. la mano contradía que hace acto de coger. A su vez. Los megárico-estoicos se interesaron por los razonamientos que tienen la forma de argumento y no de una implicación. no está en el poder del que lo recibe. Como ciencia de los dicusos continuos. 1. y p. la acción del objeto sobre el entendimiento. por tanto no p) el silogismo disyuntivo (p o q. sobre cuya verdad o falsedad no se puede decidir. a la comprensión cataléptica. Pero lo más fundamental es que esta lógica investigaba la lógica de las partículas conectivas entre los enunciados. ésta tiene por objeto las representaciones. esto es. por tanto q).1. la dialéctica estoica se divide en cuatro partes. Zenón ponía el significado de la representación cataléptica en su capacidad de alcanzar y comprender el objeto.sino en la dialéctica y en la oratoria. según trate de las palabras o de las cosas que significan las palabras: la que trata de las palabras es la gramática. Según todos los estoicos.2. El criterio de verdad El problema fundamental de la lógica estoica es el del criterio de la verdad. los estoicos posteriores pusieron el criterio de la verdad. no 8 . eran el símbolo de la ciencia. de series de premisas distintas afirmadas y una conclusión derivada de ellas. el cual se define precisamente o bien como asentimientoo como disconformidad o como suspensión. Los estoicos establecieron algunas leyes lógicas. un acto libre. En segundo lugar. Para Sexto Empírico la representación cataléptica es la que viene del objeto real y es impresa y marcada por él en conformidad consigo mismo. esto es. Los estoicos Mediante el término lógica los estoicos expresaban la doctrina que tiene por objeto los lógoi. Él comparaba la mano abierta y los dedos extendidos a la representaciónpura y simple. el asentir a tal representación es.2. ver el color blanco. las relaciones entre enunciados unidos por partículas como ‘y’. y no q. esto es. de modo que no podría nacer de un objeto diverso. etc. los razonamientos y los sofismas. como el Modus Ponens (si p entonces q. con gran fuerza. las dos manos apretadas una sobre otra. Con la expresión “lo que no es ni verdadero ni falso” los estoicos probablemente entendían los sofismas o las paradojas. Dos interpretaciones son posibles del significado de esta expresión. Los megáricos y los estoicos fueron los primeros en estudiar la lógica de enunciados. como ciencia de los discursos divididos en preguntas y respuetas. la lógica es retórica. porque depende del objeto del cual se origina la sensación. ‘o’. puede ser la representación impresa en el entendimiento por el objeto. En fin. 1. la fantasía puede consistir en la acción del intelecto que se apodera y comprende el objeto. ‘si … entonces’.. el Modus Tollens (si p entonces q. por tanto q). al asentimiento. En primer lugar. la que trata de las cosas significadas es la lógica en sentido propio: por lo tanto. aunque ellos los entendieron como reglas de inferencia. el criterio de la verdad es la representación cataléptica o conceptual. que no tiene otra especie debajo de sí. los estoicos pusieron la teoría del significado. pues la información en que consiste el significado no tiene más función que la de hacer posible y orientar tal referencia. son reducidos por los estoicos a cuatro: 1) el sustrato o sustancia. El significado es la cosa señalada por la voz y a la que nosotros unimos pensando en la cosa correspondiente. extensión. un concepto más extenso que éste. por ejemplo.3 El nominalismo estoico Los conceptos no tienen para los estoicos ninguna realidad objetiva: lo real es siempre individual y el universal subsiste solamente en las anticipaciones o en los conceptos. denotación. De esto se deriva que la representación cataléptica es la que está dotada de evidencia no contradicha. y no puede tener esta cualidad si no subsiste por sí. incapaces de toda conexión con las cosas. Los conceptos más generales. Como fundamento de esta parte de su doctrina. nada puede tener un carácter relativo. Math. Consecuentemente. uno es incorpóreo. sino en la representación cataléptica “que no tenga nada contra sí”. intensión. de Sócrates. acompañadas de razonamiento y afirmaban que no hay ciencia sin dialéctica. si no tiene una cualidad fundamental que lo diferencia de los demás. lo que significa y lo que es. tal que solicite con gran fuerza al hombre a prestar su asentimiento.en la simple representación cataléptica. y es sustancia. De hecho. definían la ciencia como una representación cataléptica o un hábito inmutable para aceptar tales representaciones. Estas cuatro categorías están entre sí en una relación tal que la siguiente encierra la precedente y la determina. El significado es aquella función o representación o concepto que nos viene a la mente cuando oímos una palabra y que nos permite referir la palabra a una cosa determinada. las categorías. es libre.. Lo que significa es la voz. 4) el modo relativo. si no tiene un modo de ser. la expresión verbal) y la cosa real o corpórea. el cual. es el sujeto externo.2. por cuanto todo en cierto modo es. En la lógica medieval y moderna. es el de especie. siendo propio de la dialéctica presidir los razonamientos. el individuo. no puede tener un modo de ser. 1. con todo. porque puede darse el caso de representaciones catalépticas que no sean dignas de asentimiento por las circunstancias en que son recibidas. lo que los estoicos llamaban significado ha sido expresado con otros nombres como connotación. “Dios”. significado. mientras que la referencia ha sido llamada suposición. El concepto “animal racional” es el significado que permite la referencia de las palabras al objeto existente. el significado mismo. el mismo Dios (Sexto Empírico. y no hay. la voz y lo que es. 1. dos son corpóreos. por tanto. es un aspecto íntimamente unido a ella. un nominalismo. El concepto más determinado. VIII. Tres son los elementos que se coligan: el significado. 3) el modo de ser. por lo menos. por ejemplo. orientada de esta manera la referencia al objeto de las expresiones lingüísticas que de otra manera serían puros sonidos. 12) De estos tres elementos conexos. por ejemplo. pues. comprensión. Lo que es. Adv. El concepto más alto y más amplio es el concepto de ser. 9 . la referencia a la cosa es parte integrante del significado o.2. 2) la cualidad. Por lo tanto. El estoicismo es. esto es. en cambio.4 La proposición y el razonamiento La parte de la lógica estoica que ha ejercido mayor influencia en el desarrollo de la lógica medieval y moderna es la que concierne a la proposición y al razonamiento. Este concepto sirve de camino entre la palabra (y en general. Según los estoicos. hay tinieblas. En suma. En cambio. es decir. pero es de noche. Luego es de día (A ∨B. Como para Diodoro la verdad del condicional sólo se da si constituye una implicación material siempre verdadera. de modo que no sea posible que siendo el antecedente verdadero el consecuente sea falso. Luego no es de día (A →B. según Diodoro de Cronos. Este es el tipo de implicación que se da para Aristóteles entre las premisas y la conclusión de un razonamiento. ¬B. ¬B. hacen evidente el recuerdo de la cosa que primero ha sido observada en conexión con ellos y ahora no es manifiesta. Luego no es de noche (A ∨B. A.I. Este condicional fue denominado por Russell implicación material. La falta de estos caracteres permite que los estoicos distingan la concluyencia de un razonamiento de su verdad. 4º) O es de día o es de noche. ¬B). podemos llamarlo implicación material permanente. corresponde a la situación de hecho. Sobre ellos se modelan los razonamientos demostrativos. independientemente de cuando se emita. 3º) Si no es de día. Según Filón de Megara. Pero no es de noche. A. Uno de los temas más debatidos fue la lógica de los condicionales. pues le faltan sus caracteres fundamentales: es inmediato (no tiene término medio) y no es necesario. Son evidentes por sí mismos y son los siguientes: 1º) Si es de día hay luz. Sin embargo. y es el usado normalmente en lógica desde Frege. Luego no es de noche (¬A →B. los enunciados del tipo “si … entonces” sólo son falsos cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. porque la conexión de las premisas con la conclusión es correcta. Dos fueron las interpretaciones principales que se dieron acerca de las condiciones de verdad de los condicionales. Luego hay luz (A → B. ¬B [SD1]). pero no siempre son verdaderos. sino que además manifiestan algo que antes era “oscuro”: o sea. Lewis ha denominado implicación estricta. Por contra. Pero es de día. es concluyente en todo caso. A. El razonamiento consiste en una conexión entre proposiciones simples del tipo siguiente: “si es de noche. la conclusión necesariamente lo sería. ya que son verdaderos solamente cuando la premisa es verdadera. algo que no es inmediatamente manifiesto a la representación cataléptica que se ve siempre limitada al aquíy ahora. Estos esquemas de razonamientos son siempre válidos. sólo en la implicación estricta el consecuente es deducible del antecedente. Hubo incluso quienes pensaban que sólo tiene sentido considerar a un condicional verdadero cuando se da algún tipo de relación entre el contenido del antecedente y el del consecuente. para que un enunciado condicional sea verdadero es menester. en cuanto se presentan. B [MP]). sólo la proposición es un significado completo. De este modo. Pero es de día. El razonamiento demostrativo lo llaman los estoicos un signo indicativo por cuanto permite poner en claro que antes era oscuro. sino que es menester que si las premisas fueran verdaderas. ¬A [MT]). que no sólo son concluyentes. luego hay tinieblas”. un significado es completo si puede expresarse en una frase. A [SD2]). no meramente que no sea –en ese instante– el antecedente verdadero y el consecuente falso. sino que nunca sea el antecedente verdadero y el consecuente falso. son signos rememorativos aquellos que. “si es de día entonces es de noche” es siempre falso. Pero es de día. en todos los demás casos es verdadero. El razonamientos antes expuesto es verdadero sólo si es de noche. 2º) Si es de día hay luz. Los tipos fundamentales de los razonamientos concluyentes los llaman los estoicos apodícticos o razonamientos no demostrativos. 5º) O es de día o es de noche. 2. Pero no hay luz. Del medievo al álgebra lógica 10 . Por lo tanto. es de noche. Este tipo de razonamiento no tiene nada de común con el silogismo aristotélico. de modo que el que las premisas de un razonamiento sean falsas no basta para justificar la validez del razonamiento. Esto es lo que en este siglo C. pero es falso si es de día. Prior destaca cuatro aportaciones nuevas y fundamentales de la Escolástica: (1) una teoría general de la referencia (suppositio terminorum). base de la enseñanza elemental medieval. Summulae Logicales. y Sic et Non. El autor más representativo de esta lógica moderna es Pedro Hispano. o «nueva lógica». y a la lógica moderna. en especial. con más de 150 ediciones. y por otra. la lógica basada en estas nuevas obras se conoció con el nombre de ars nova. Durante un largo período de tiempo. Tales tratados. al 11 .N. la lógica moderna se instala en Oxford. Sus obras de mayor interés son la Dialéctica. la lógica queda relegada a estas nociones elementales de las artes liberales. (2) una teoría general de la implicación (consequentia). un condicional o un argumento con la partícula «ergo» uniendo enunciados. donde consigue sus momentos más álgidos con Roberto Kilwarby. «Consecuencia» es. XIII. Guillermo de Occam. aunque no eran independientes de la lógica aristotélica. de la silogística aristotélica. La doble dirección en el estudio de la lógica que existió en éstas –por un lado. A. –entendiendo por tal la que se desarrolla en el occidente cristiano durante la Edad Media. Juan Duns Escoto (aunque los tratados lógicos se atribuyen a un Pseudo-Escoto) y. singulares e indefinidas. de Alcuino. particulares. representa una de las influencias de la lógica estoica sobre la medieval. se conocen ya en occidente el resto de obras lógicas de Aristóteles. del s. llevado a cabo por las facultades de teología. un estudio de la lógica en consonancia con la metafísica aristotélica y Analíticos segundos. En la proposición indefinida el predicado se atribuye o se niega de un sujeto. Apuleyo. recogen algunas de las leyes fundamentales de la lógica de enunciados. para los medievales. XI al XV-.dio origen a la lógica antiqua. Tópicos y Elencos sofísticos. La aparición de los «dialécticos» del s. XII. basado en las primeras obras conocidas del Organon aristotélico. o de la significación de un mismo término según el lugar que ocupa en un enunciado. más fieles al pensamiento aristotélico. que se dividen en universales. en la que introduce uno de los procedimientos más característicos del estudio de las cuestiones en la Escolástica. obra escrita en forma de diálogo para ser utilizada en el trivium. que Alcuino restaura a iniciativa del emperador Carlomagno. La doctrina sobre las consecuencias. XIII. Una proposición particular es aquella en la que el predicado se atribuye o se niega sólo de algunos de los entes abarcados por el sujeto: “algunos hombres son filósofos”. fueron los manuales usuales durante los siglos XIV y XV. desarrollada de un modo especial durante esta época. es heredera de la lógica griega y. (3) un desarrollo de la lógica de las modalidades. el estudio más formal de la lógica desarrollado con cierta libertad e independencia por las facultades de artes. XI y las primeras discusiones sobre la naturaleza de los universales renuevan el interés por la lógica y su relación con la gramática. más Analíticos primeros. 2. Una proposición es universal cuando el predicado es atribuido o negado con respecto a todos los entes abarcados por el sujeto: “todos los hombres (o: ningún hombre) son filósofos”. de las facultades teológicas. y (4) el tratamiento de paradojas y problemas lógicos del lenguaje.1 Boecio y el “cuadrado lógico de la oposición” de las proposiciones categóricas En De philosophia rationali Apuleyo se interesa por las relaciones entre las cuatro proposiciones clásicas. A partir de la segunda mitad del s.La lógica medieval. Se añade la teoría de la suppositio. Tenemos una proposición singular cuando el predicado se afirma o se niega de un solo individuo: “Juan es filósofo”. sobre todo. de las facultades de artes. la usada ya en las universidades del s. sus obras de lógica. en la que reelabora la herencia lógica dejada por Boecio. pero sin precisas a cuántos individuos se hace referencia: “el tren corre”. A finales del s. Estas teorías guardan relación con la teoría moderna de la cuantificación. Se discute intensamente cuáles son las condiciones de verdad tanto de los condicionales como de estos argumentos y se escriben al respecto tratados titulados De Consequentiis. El primer lógico medieval importante es Pedro Abelardo. El primer tratado medieval de lógica es la Dialéctica. las contrarias (incongruae) y las subcontrarias (suppares). Colocando de manera oportuna las formas normales de las proposiciones categóricas. afirma que es conveniente presentarlas en quadrata formula. Boecio vuelve a tomar el cuadrado lógico de Apuleyo. contrariae. y las dispone de esta manera de conformidad con el siguiente cuadro: En este cuadro aparecen las contradictorias (alterutrae). Faltan las subalternas. El cuadrado lógico completado y estructurado por Boecio se presenta del siguiente modo: Más tarde los medievales indicarán mediante letras las cuatro proposiciones clásicas (véase Pedro Hispano). O y E. pero lo completa con la subalternación. no pueden ser ambas verdaderas. subcontrariae y subalternae. Habla de proposiciones contradictoriae. pero pueden ser ambas falsas. Introduce asimismo términos como “sujeto”. “predicado” y “contingente”.tratar y analizar todas estas proposiciones. 12 . A. I siempre son una verdadera y otra falsa. se obtiene el clásico cuadrado de la oposición: donde A y E son una verdadera y la otra falsa. O es verdadera I es verdadera: E es falsa. y A la tiene per accidens: además de cambiar la posición de los términos. O es falsa E es verdadera: A es falsa. un silogismo es una inferencia mediata. por A y E. sustituyendo el término-predicado por su complemento. I es falsa. mientras que la inferencia: “todos los hombres son justos y. O es verdadera O es falsa: A es verdadera. su término-predicado se sustituye por el complemento de su término-sujeto. Pueden resumirse así estos tipos de inferencias inmediatas: CONVERSIÓN Convertenda A: Todo S es P E: Ningún S es P I: Algún S es P O: Algún S no es P OBVERSIÓN Obvertencia Conversa Algún P es S (per accidens) E: Ningún P es S I: Algún P es S No existe conversa Obversa 13 . A y O son indeterminadas O es verdadera: A es falsa. y E sólo la tiene per accidens. de universal a particular. pero se cambia la cualidad. Este cuadrado no fue concebido como un juego elegante. E es falsa. es preciso cambiar también la cantidad de la proposición. sino que se consideró que las relaciones lógicas ilustradas mediante el presente diagrama proporcionaban una base lógica que garantizaba la validez de ciertas formas elementales de razonamiento. E e I son indeterminadas E es falsa: I es verdadera. Éstas eran las que concernían a las inferencias inmediatas. esto es.y no pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas. La conversión se realiza mediante el intercambio de las respectivas proposiciones de los términos del sujeto y del predicado de una proposición. Así. por eso. por obversión y por contraposición. O no tiene proposición conversa. Estamos ante una contraposición cuando en una proposición categórica se sustituye su términosujeto por el complemento de su término predicado y. aquellas inferencias en las que la conclusión surge inmediatamente de la premisa. I es verdadera. A y O son indeterminadas I es falsa: A es falsa. La contraposición se aplica a A y a O. La obversión se aplica a los cuatro tipos de proposiciones categóricas. I es verdadera Otros tipos de inferencias son aquellos que se obtienen por conversión. E es verdadera. sin mediación de una segunda premisa. y también permanece incambiada la cantidad de la proposición que se desea obvertir. I y O resultan implicadas. Se produce obversión cuando el término-sujeto permanece incambiado. E e I son indeterminadas A es falsa: O es verdadera. En este caso. al mismo tiempo. Por ejemplo: la conversa de “todos los perros son animales” es “algunos animales no son perros”. respectivamente. que pueden enumerarse así: • • • • • • • • Si Si Si Si Si Si Si Si A es verdadera: E es falsa. I no tiene proposición contrapuesta. algún hombre es justo” es inmediata. se trata de la conversio simplex y se aplica a E y a I. El cuadrado tradicional nos ofrece la base lógica para un número considerable de inferencias inmediatas de este tipo. sed universaliter ambae. al decir “si el fuego es cálido. etc. sed particulariter ambae. Celarent. el cielo es redondo. el cielo es redondo”. Darii. es propia no del término aislado sino del término en cuanto se repite en las proposiciones y constituye su dimensión semántica. negat E. sino sencillamente que al mismo tiempo que el fuego es cálido.2 Pedro Hispano En las Summulae logicales aparecen por primera vez las vocales. En el libro 7 de esta obra incluye la lógica terminalista. la ampliación. la restricción. >Para indicar las figuras y los modos del silogismo emplea las palabras mnemónicas Barbara. cuyas vocales indican la cantidad y la cualidad de las proposiciones que constituyen las premisas y conclusiones del silogismo. Pero la más importante de todas ellas es la suposición. Distingue entre dos tipos de proposiciones hipotéticas: el primer tipo se da cuando el consecuente está vinculado al antecedente de una manera accidental. no pretendemos afirmar que el cielo es redondo porque el fuego sea cálido. negat O. Ferio. con la E la universal negativa.. se indica con la A la proposición universal afirmativa. el consecuente es una consecuencia natural del antecedente. por ejemplo. con la I la particular afirmativa y con la O la particular negativa. 14 . Así. Las propiedades de los términos son la suposición. con arreglo a los siguientes versos: A adfirmat. Por ejemplo.A: Todo S es P E: Ningún S es P I: Algún S es P O: Algún S no es P CONTRAPOSICIÓN Premisa A: Todo S es P E: Ningún S es P E: Ningún S es no-P A: Todo S es no-P O: Algún S no es no-P I: Algún S es no-p Contrapuesta A: Todo no-P es no-S O: Algún no-P no es no-S (por limitación) No existe contrapuesta I: Algún S es P O: Algún no-P no es no-S O: Algún S no es P Para Boecio las proposiciones hipotéticas son más generales que las categóricas: es posible expresar una proposición categórica a través de una proposición hipotética. la apelación. palabras y versos mnemotécnicos que luego se emplearon corrientemente en la enseñanza de la lógica. 2. I firmat. a diferencia de ésta. en el segundo tipo. la distribución. La suposición se distingue de la significación en que. pero no es posible llevar a cabo la operación inversa. sino que tienen que unirse a términos dotados de una significación propia o “categorema”. o proposiciones que. En cambio. Con la suposición hay que relacionar la “copulación”. en lugar de Sócrates. en el “hombre es sustantivo”. o a cualquier otra razón. en realidad. 03). se llama así a la acepción en que es tomado un nombre. en el “hombre corre”. La significación es antes que la suposición. en la frase “el hombre es animal”. por una palabra. Otro concepto importante es el de “suposición”. hay suposición personal cuando el término común está en lugar de los individuos comprendidos por el mismo. Por eso los lógicos componen tratados que dan las reglas a seguir en las disputationes. . de ahí proviene su nombre. la palabra hombre “supone por” una especie. Enumeraron y analizaron palabras tales como cada. para que el maestro desarrolle un punto particular de la disciplina que enseña. en muchos casos. Además de la teoría de las consecuencias. como en la proposición “el hombre corre”. o cualquier otro. por un individuo. que es “sincategoremas”. debido a una falta o a una ambigüedad de construcción. donde el término hombre está en lugar de los individuos humanos. caso en que un nombre es empleado para designar no sólo los objetos presentes. o sea. y en la práctica escolar sirve de ocasión. de Platón y de otros. Casos particulares de sophismatason: los “insolubles”.La suposición y la significación difieren en que la significación es la imposición de una voz a la cosa significada mientras que la suposición es la acepción del mismo término ya significante para cualquier otra cosa. 2. Un sophisma no es un sofisma. era estudiar el único instrumento de razonamiento de que se disponía: la lengua latina. esa proposición es estudiada por sí misma. los lógicos se ocuparon también de los términos y de sus relaciones en la proposición. pero cuyo sentido en la historia de la lógica es sin duda más importante. que afecta del mismo modo al predicado. Distingue entre suposición simple y suposición personal. en los que la contradicción no se solventa por una simple distinción lógica. a Platón. cuando se dice “el hombre corre” este término “hombre” alude a Sócrates.. y. como ocurre en el caso de los “insolubles”. se contradicen (como “yo digo mentira”). o. como cuando se dice “el hombre es una especie”: en cuya proposición el término “hombre” está en lugar del hombre en general y no por un individuo humano determinado. Lo que los lógicos medievales pretendían. su característica común es que no significan por sí mismas. sino también los pasados. Existe suposición simple cuando el término común se emplea para la cosa universal que el mismo representa. se encuentran los tratados “sobre las controversias”. o por lo menos no lo es necesariamente (como la fallacia). y un estudio más intenso de la sofística. 6.3 De Llull a Leibniz En la Edad Media. todo. no. pero no son idénticas ya que el significar es propio de la voz y el suponer lo es del término ya compuesto de voz y significación (Summulae. Por ejemplo. es una proposición que contiene alguna dificultad. tomadas al pie de la letra. el uso de la disputatio como ejercicio escolar produjo un desarrollo del arte de discutir. de la dialéctica propiamente dicha. los “imposibles”. que estudian las inferencias entre proposiciones simples y compuestas y los sophismata.. por ejemplo. es decir. futuros y posibles: esto afecta necesariamente al sentido de la proposición en que se encuentra. de ahí se derivaron análisis más detallados sobre las relaciones entre proposiciones y sobre el sentido de los términos. Los lógicos 15 . Junto a los tratados sobre las disputationes. Queda aún la “amplificación”. eran elementos simples a los que se reducen todas las proposiciones y. Creía. capaz de combinar y clasificar todos los conceptos. pensaba. muy influido por el agustinismo que imperaba entre los franciscanos a los que Llull estaba próximo. la silogística de Aristóteles. Esto es posible. de manera que se pudiera discutir y razonar sin errores. en Llull se trata de poco más que de una idea visionaria. Pero para captar el orden divino deben establecerse unos principios generales. válido para todas las verdades. grandeza. y los combina entre sí. 2. fin. círculos gráficos y círculos concéntricos móviles (el más complejo de estos instrumentos es denominado figura univeralis. se puede considerar un precedente de la lógica moderna). En tanto que los principios generales o elementos simples son el fundamento de todo lo real. debían hacer posible una presentación unitaria. se podrían enumerar todos los predicados posibles de un sujeto y determinar de acuerdo con las reglas lógicas. Pensaba que así incluso se podría demostrar lógicamente el misterio de la Trinidad. tablas. de manera móvil. sino que es capaz de descubrir las nuevas. por tanto. y la naturaleza es como un libro en el que pueden leerse los designios de la divinidad. en un fundamento lógico y racional universal. nueve son los atributos divinos. virtud. De esta manera. La lógica en la que se basaba era. Los diversos razonamientos para solventar todos los problemas (tanto de la religión como de las ciencias) surgían de todas las combinaciones posibles. que se obtienen a partir de maximizar en grado supremo las perfecciones de los seres creados: bondad. aunque basándose en la lógica demostrativa de Aristóteles. Llull menciona dieciocho principios generales. de esta manera. Llull defendió también una metafísica ejemplarista y un realismo neoplatónico. y consideraba que había la posibilidad de encontrar todos los términos medios posibles que unan cualquier sujeto con el predicado que le conviene. fuera posible hallar conceptos nuevos así como razonar acerca de ellos sin error. eternidad. minoría. cuáles le pertenecían. fundamentalmente. que no se limita a resolver las verdades conocidas. porque hay un único fundamento racional. a manera de un cálculo. Dichos principios generales –que son los que estaban en la base de su Ars–. pueden demostrarse por deducción lógica. voluntad. Cada uno de estos elementos es representado por letras o por otros símbolos. que afecta también a las verdades de la fe que. Los otros nueve señalan las relaciones entre los seres creados y contingentes: principio. De ellos.1 Raimundo Lulio Entre estos lógicos medievales destaca Ramón Llull. igualdad y mayoría. que posee catorce círculos concéntricos). dispuestos de modo que. Llull piensa que el ser de las criaturas es como una imitación de Dios. verdad y gloria. Fue Descartes quien concibió la idea de un lenguaje general como una suerte de 16 . a partir de los conceptos fundamentales. diferencia. por intermedio de éste. Ramón Llull la concebía como una lógica capaz de ser inventiva. Además de este cálculo general. contrariedad. poder. debidamente combinados. rigurosa y encadenada de todo el saber. y el auténtico conocimiento es una visión mística en Dios.construyeron un álgebra del lenguaje y se esforzaron mucho por disipar sus ambigüedades y extraer las reglas de su uso exacto. medio. concordancia. incluidas las de la religión. Recurrió a diagramas. una especie de precursora de las computadoras.3. en círculos concéntricos. Llull proyectó una especie de máquina con ruedas de conceptos. que supone unos principios ciertos (que incluso los infieles han de aceptar). para Llull hay una coincidencia entre lógica y ontología. que influyó decisivamente en Leibniz (y que. sabiduría. No obstante. De esta manera. Cayo es más bajo que Tito”. Sin embargo.2 Leibniz Para Leibniz el saber conceptual se reducirá en último término a descubrir todas las combinaciones posibles de los primeros elementos primitivos y sus conexiones en este reino de las verdades esenciales. “aritmetizando” la lógica. En verdad.. por ejemplo. sino ejemplos sujetos a nociones universales. como parte del método de una filosofía verdadera. 2) utilizó letras en lugar de números. mediante la combinación de sus letras y el análisis de las palabras compuestas de aquéllas. En Algunas dificultades de la lógica. los argumentos por inversión de la relación. o sea.3. En De arte combinatoria pensó en la creación de una característica universalis o lenguaje simbólico universal que fuese un instrumento de cálculo del pensamiento. formas de silogismo válidos. tomarían sus plumas y dirían: “Calculemus”. no llegó a crear una lógica de relaciones debido a que pensaba que éstas podían reducirse a conjunciones o concatenaciones de predicados monádicos. Quería además crear una lógica del descubrimiento o lógica inventiva. A la lógica basada en esta idea se le ha llamado lógica intensional. sino cuatro. no considerando las nociones. independientemente de la existencia o no existencia del objeto designado por el sujeto. Leibniz era un gran admirador de la silogística aristotélica. De acuerdo con eso. en la escolástica] hablan de otra manera. descubrir y juzgar todo lo demás”.e. porque no dependen de la existencia de los individuos». 2. 3) elaboró un cálculo de la inclusión. obteniéndose entonces veinticuatro. que permitiera.. aunque no creía que todos los argumentos pudiesen ponerse en forma de silogismo. De acuerdo con su tesis de que el concepto de predicado está incluido en el concepto de sujeto. Por tanto. que tendría por cometido “hallar una especie de alfabeto de los conocimientos humanos. Leibniz ensayó varios cálculos lógicos: 1) trató de simbolizar los conceptos mediante números enteros. y no catorce.. Ya a sus veinte años había escrito sobre un género de arte combinatoria. los disputantes se sentarían. y 4) esbozó un cálculo con el concepto de sustracción (diferente del de negación) de las comprensiones de los términos. intentó elaborar una lógica en que lo importante fuese la relación conceptual entre el predicado y el sujeto. «En las escuelas [ i. Sostuvo también que las figuras de los silogismos no son tres. si bien se cuidó de tratar él mismo de constituir tal lenguaje y lo planteó como un proyecto para la posteridad. Son las siguientes: Todo A es B Algún A no es B Ningún A es B Algún A es B AB = A AB ≠ A AB ≠ AB ente AB = AB ente A no B es no-ente A no B es ente AB es no ente AB es ente 17 . Leibniz propone dos lecturas de las proposiciones categóricas. como “Tito es más alto que Cayo. una lógica intencional.aritmética. preferí considerar las nociones universales o las ideas y sus compuestos. Su ideal era que las disputas y diferencias de opinión se pudiesen resolver mediante el cálculo. unidas por la cópula (llamadas oraciones de tercer adyacente) son equivalentes a oraciones en que el sujeto es la unión del sujeto y predicado. la literatura y la vida. Éste es el que debe permitir una interpretación de la forma y no es la forma la que impone el significado». Por consiguiente. ayudándonos a remontarnos desde la forma hasta el significado. «no debemos creer siquiera que tal utilidad vaya muy lejos. afirma en el fondo una identidad (o su negación). de los que se extraen consecuencias erróneas». es decir. es decir. La forma lingüística no debe torcer o viciar las operaciones lógicas. La intención específica de dicha Gramática general es el llegar a aquellas estructuras fundamentales que rigen la mente humana en general.4 La lógica de Port-Royal Los lógicos de Port-Royal no conciben la lógica como una ciencia. la lógica escolástica se propone ofrecernos las reglas de los razonamientos correctos. pero el lenguaje no debe enclaustrar o distorsionar el pensamiento. Más aún. sin que les corresponda de algún modo una intuición. Sin sensibilidad no se nos daría ningún objeto y sin intelecto no podría pensarse ninguno. deducir consecuencias basándose en premisas) debe estar precedido por el arte de pensar (el arte que enseñe a establecer premisas válidas). Si la enseñanza quiere ser no sólo entretenida. sino como un arte: el arte que enseña no a combinar palabras y fórmulas. de manera que ni los conceptos. tanto A como el predicado B están incluidos en el sujeto A. lo que ocurre es que a menudo juzgan equivocadamente. es inútil perder el tiempo con silogismos elaborados mediante ejemplos del todo artificiosos. La noción de un pensamiento que está por debajo de las más diversas formas lingüísticas condujo a la concepción de una gramática general. Los pensamientos sin contenido están vacíos. ya que la mayor parte de los errores humanos no consiste en verse engañados por consecuencias erróneas. para su demostración por parte de nosotros (no de Dios). una aproximación continua e interminable a una identidad que sólo es vista por la mente divina. Así. sino también conseguir resultados valiosos y útiles. sin los conceptos. pueden darnos un conocimiento. Sin embargo. arte de pensar. sino a pensar correctamente. un “análisis infinito”. sino que es problema de la verdad. En resumen: no es cuestión de corrección. Y «la función de la lógica. razonan en general de un modo correcto. la lógica tiene que convertirse en un instrumento adecuado para servir a las demás ciencias. las intuiciones sin 18 . sino en caer en juicios falsos. y que puede constatarse en el interior de las diferencias existentes entre las lenguas históricas.5 Kant: lógica formal y lógica trascendental Para Kant la intuición y los conceptos constituyen los elementos de todos nuestros conocimientos. ni la intuición. Los hombres. no saber establecer las premisas. La versión de la tercera columna muestra que todas las oraciones de sujeto-predicado. Además. es decir. en suma. pero también podemos ver que A ⊂ AB. dada la tesis de la contención o inclusión del predicado en el sujeto. 2. debe basarse en ejemplos de razonamientos que se utilicen de modo efectivo en los diversos ámbitos del saber. no se engañan al extraer determinadas consecuencias de las premisas. y su utilidad consiste sin duda en tales reglas. ésta se demuestra en un número finito de pasos. y esto se debe a que para Leibniz todo enunciado o proposición. 2. si es una verdad de hecho. tanto de razón como de hecho.En la versión de la segunda columna puede observarse que. AB ⊂ A. por lo cual el arte de razonar (esto es. es decir. se necesita. del cual se predica la entidad o la no entidad (oraciones de segundo adyacente). consiste justamente en poner en claro el auténtico pensamiento que se halla debajo de las apariencias de la forma verbal. ninguna de estas dos facultades debe anteponerse a la otra. El pensamiento asume la forma de lenguaje. Si la identidad es una verdad de razón. según los pasos que parecían más “naturales”. hasta el punto de que “no tuvo que dar ningún paso atrás” y se ha limitado a sufrir correcciones sólo de detalle. El fin de la teoría era obtener un conocimiento del modo en que tales ecuaciones podían ser manipuladas para asignarles valores numéricos que las hiciesen verdaderas.conceptos son ciegas. a efectos deductivos. que los signos de las operaciones no tienen.6 El siglo XIX Entre 1825 y 1900 el álgebra y la geometría experimentaron grandes cambios. Defendía. Hasta 1825 el álgebra no era sino la teoría de las ecuaciones. otros sentidos que aquellos que les han sido asignados por leyes. Una ecuación es un enunciado que establece que dos grupos de números o de signos representativos de ellos son iguales. además de las formas mismas del pensamiento? Kant distingue entre conceptos empíricos y conceptos puros. sin los cuales no existiría una utilización del intelecto. En el siglo XIX también merece un lugar destacado la lógica de Stuart Mill. A Kant. Y estas leyes implican siempre una conexión y dependencia entre un A y un B. No se pensaba que fuese necesario el establecimiento de tales reglas. ¿Cuál será el contenido que la lógica trascendental tiene por objeto. que hacia 1900 dieron lugar a una nueva concepción de la filosofía de la matemática. 2. no pudiéndose usar ninguna propiedad de una operación si no ha sido puesto de manifiesto que tal propiedad pertenece a esa operación. Rationative and Inductive establece las siguientes reglas: 19 . Sin embargo. éstas son ciertas y contra ellas no hay apelación. que no prescinde del contenido. Kant distingue entre la ciencia de las leyes de la sensibilida den general –la estética– y la ciencia del intelecto en general –la lógica. El conocimiento sólo puede surgir de su unión. Las reglas que las apoyaban continuaban en la oscuridad. Pero no todo es percepción inmediata. sino la trascendental. etc. en la Crítica de la razón pura no le interesa la lógica formal. y no se ha establecido como una ley verdadera desde el comienzo o no ha sido obtenida por deducción a partir de las leyes iniciales. Peacock adelantó la idea de que el álgebra es una ciencia deductiva como la geometría. Las cuatro operaciones básicas se efectuaban siguiendo un criterio más o menos intuitivo. en cambio. que todos los procesos del álgebra habrán de estar basados en un establecimiento completo del cuerpo de leyes que conciernen a las operaciones utilizadas en esos procesos. los empíricos son aquellos conceptos que contienen elementos sensibles. Para Mill la lógica es una elaboración posterior de nuestras intuiciones sensibles. puros. según Kant. Después de las observaciones particulares siempre queremos establecer leyes generales y conceptos. El intelecto no puede intuir nada y los sentimientos nada pueden pensar. En segundo lugar. como también obtener un conocimiento de las condiciones que controlan la existencia entre esos valores numéricos. En A System of Logic. Esta es la célebre lógica formal descubierta por Aristóteles y que. nació casi perfecta. primero. La lógica se divide en a) lógica general y b) lógica trascendental. son aquellos que no están mezclados con ninguna sensación. La lógica general prescinde de los contenidos y se limita a estudiar las leyes y los principios en general del pensamiento. la mayor parte de nuestro saber lo obtenemos por deducciones. C. El nombre que se emplea en lógica y matemáticas para designar un grupo formado por todas las cosas que poseen una cierta propiedad es el de clase o conjunto. Boole da cuenta de la antigua lógica como un álgebra. en que no está presente A.1. Boole esta influido. Método de concordancia: si dos o más casos. Este es el cambio de “todo S es P” a “todos los S son P” (p. queda también comprobado en qué grado depende W de A3. S y P se convierten en signos de las cosas mismas que poseen las cualidades (y no como signos de cualidades. Si se tiene en cuenta también la cuantificación de predicados. aproximando de este modo la lógica al álgebra. cómo las consecuencias necesarias de cualquiera de estos enunciados pueden obtenerse algebraicamente partiendo de su ecuación correspondiente. de modo que todo aumento o disminución de U va acompañadio de un aumento o disminución de W. Método de diferencia : si dos casos contienen un fenómeno W siempre que se da la circunstancia A. además de por las ideas de la lógica clásica. Hamilton advirtió dos tipos de enunciados universales: “Todo S es todo P” y “Todo S es algún P”. entonces todo enunciado de la forma sujeto-predicado puede transformarse en una ecuación o en la enunciación de que esa ecuación es falsa. Método combinado de concordancia y diferencia : si varios casos. 3.1 Boole Probablemente puede considerarse El análisis matemático de la lógica de Boole como el nacimiento de la lógica matemática. relativas a la teoría que se basaba en el cambio de las cuatro formas de enunciado categórico (A. mostrando cómo los enunciados A. y así un avance más rápido. tal como ocurría en Aristóteles). cómo la validez de un silogismo puede comprobarse convirtiendo el grupo de enunciados que lo integran en un sistema de ecuaciones simples y viendo si la ecuación correspondiente a la conclusión puede ser obtenida algebraicamente a partir de las ecuaciones 20 . Por ejemplo. E y O) en un número mayor en las cuales se toma en consideración la cuantificación del predicado.. I. Este cambio de un enfoque intensional (en términos de cualidades de las cosas) por uno extensional (en términos de clases de objetos) permitió una estricta matematización de la lógica. contienen un fenómeno W. pues los conceptos extensionales siempre poseen unos criterios de aplicación más claros. Método de las variaciones concomitantes : si un fenómeno W cambia siempre que cambia otro (fenómeno U). por las de Hamilton y De Morgan. en que está presente A. W depende de U.e. no contiene W. ésta es causa o efecto de aquel fenómeno. de “toda hoja es verde” a “todas las hojas son verdes”). y de las cosas que poseen esa propiedad se dice que son elementos de la clase o del conjunto. mediante la comprobación de las dependencias de A1 y A2. W depende de A. 5. 4. 5. y no la contienen si A falta. A es condición de W. y otros casos. en los que tiene lugar un fenómeno. El resultado de la teoría de Hamilton y De Morgan fue posibilitar una concepción de la lógica como un álgebra de clases. A2. 2. Las ideas de clase y elemento son básicas en la matemática actual. I. E y O pueden traducirse en forma de ecuaciones simples. Y Boole fue el primero en tener claramente esta concepción. tienen una única circunstancia común. Método de los residuos: si W depende de A = A1. En la teoría de Hamilton y De Morgan. A3. sino su derivabilidad. presenta el lenguaje ordinario. para proceder desde allí al concepto de número. “x ( y” es la clase de elementos comunes a x e y. Pero esas cuatro fórmulas significan respectivamente en lógica de enunciados: “lo verdadero”. pero no de ambos. y finalmente que x es verdadero e y es verdadero. pero sin especificar conclusión alguna. Traducido a notación actual tendríamos. alejada de la influencia de la gramática y del lenguaje usual. aquí. Pero Boole expuso. que todos los conceptos de la matemática pueden reducirse a los de la aritmética y los de ésta a los números naturales. En la Conceptografía señala que existen dos tipos de juicios. que x es verdadero o y es verdadero. La lógica simbólica 6. Frege adopta sobre sí la tarea de derivar estos últimos por medios estrictamente lógicos. la misma que la del álgebra de clases. Con ello lograría establecer que toda la matemática es reducible a la lógica. en cuanto al concepto. en álgebra de clases “1” significa “todo”. el álgebra de Boole es como una teoría con dos interpretaciones. derivar los conceptos de la aritmética de conceptos lógicos y deducir los principios aritméticos de los principios lógicos. fue el primero en ofrecer una teoría unificada de la lógica. Y en vista de estos objetivos.correspondientes a las premisas. 6. Para esta labor tiene que cumplir dos objetivos: (1) precisar qué entiende por lógica y enumerar los conceptos lógicos con los que poder definir los aritméticos. Explica. y las leyes del álgebra tienen su equivalente en leyes de la lógica de enunciados. además. “A ∪ B” o “A ∩ B” respectivamente. De este modo. en cuanto a la forma. “p ∨ q” o “p ∧ q” que tienen sus equivalentes en álgebra de clases: “A >⊂ B”. “lo falso”. No se tiene en cuenta. en forma estrictamente lógica. Admitido por todos los matemáticos. Así. para lo que debe crear un simbolismo adecuado. Para realizar esta tarea encuentra el lenguaje ordinario inadecuado. Tal objetivo se condensa en lo que se conoce como programa logicista en la fundamentación de la matemática: reducir la aritmética a lógica. expresiones de la lógica de enunciados como “p → q”. pero no ambos. o sea. a continuación que la etapa inicial de su trabajo se centra en reducir el concepto de orden en una sucesión al de consecuencia lógica. la clase que no tiene por elemento nada que sea elemento de “todo”. esto es. Frege estima que los aritméticos son juicios analíticos. de las definiciones. una lógica del pensamiento puro. Frege dará un primer paso: construir una lógica que le sea válida para su objetivo. es posible obtener algebraicamente de ellos una conclusión necesaria partiendo de sus correspondientes ecuaciones.1 Gottlob Frege El objetivo de Frege es fundamentar la aritmética y aclarar de una vez para siempre la naturaleza de los números naturales. los analíticos y los sintéticos. debe 21 . Como su teoría de la lógica de enunciados fue. la clase de todos los elementos posibles. En particular. a partir de 1872. Agregará que una de las tareas de la filosofía debe consistir en liberar el espíritu humano de los errores que. Esta tarea será acometida en la Conceptografía y en las leyes físicas de la aritmética. Esto último obliga a especificar cuáles son los primeros principios lógicos y cuáles son las reglas de inferencia. la deducción. “0” es “nada”. una teoría de la lógica de enunciados considerada como un álgebra. pero entiende por juicio analítico aquel que puede derivarse. por ejemplo. el contenido de dicho juicio. (2) demostrar que los teoremas aritméticos son derivables de los principios lógicos mediante el único proceso válido. contra el sentir kantiano. y cómo si se dan ciertos enunciados como premisas de un silogismo. “x + y” es la clase cuyos elementos son las cosas de “todo” que son elementos de x o y de y. es decir. Contenido que puede ser 22 . de la representación sensorial del mismo. por tanto. Lo único que importa en la Conceptografía es el contenido judicativo. El cálculo no debe considerarse como otra cosa que como un complemento de dicha lingua. lo que importa es el pensamiento puro. Y ello hasta el extremo de que si se partiera de un cálculo al estilo del álgebra lógica se está condenando a mantenerse en una especie de álgebra abstracta. “Los griegos vencieron a los persas en Platea” y “los persas fueron vencidos por los griegos en Platea” son dos expresiones diferentes. expone. El hombre no crea los conceptos. Para conseguir estos fines. además. dedica su atención a construir un lenguaje de fórmulas. Y es este “sentido” el que Frege denomina pensamiento. lo segundo. en la primera parte. Para Frege. Según Frege. deductiva. el mismo contenido. la noción de “sucesión”. Estos dos objetivos le llevan a dividir la Conceptografía en dos partes: en la primera dará una descripción semántica de los símbolos que emplea.eliminarse la confusa terminología entre “sujeto” y “predicado” en beneficio de “argumento” y “función”. el hombre no crea sistemas matemáticos. Y Frege insiste en que tales cálculos. y la de orden lineal o cadena. a semejanza del aritmético. pues. pero presentan el mismo pensamiento. se mostrarán impotentes para la expresión de los conceptos y relaciones estrictamente lógicos. de la actividad psicológica o espiritual más o menos subjetiva. La Conceptografía pretende ser una conceptografía que permita la traducción a signos que reflejen las relaciones entre los conceptos simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especificadas. lo segundo. imagine o piense. vacía. En otras palabras. su objetivo es conseguir un cálculo lógico al estilo de lo preconizado por Leibniz pero que. Frege distingue tres planos: expresión. lo primero es el concepto. los contenidos conceptuales puros son independientes de que el hombre los perciba. mientras que puede concebirse una lingua characterica que no aboque en un cálculo por el mero cálculo. a los aspectos psicológicos. así como mostrar que el principio de inducción completa puede describirse por medio de su Conceptografía. lo que hoy se conoce como lógica de primer orden –que incluye la lógica proposicional–. el signo con que pueden representarse tales contenidos o pensamientos. por su punto de partida. para Frege ello equivale a partir del signo material para alcanzar el concepto. yo no he querido hacer un simple calculos ratiocinator sino una lingua charaterica [sic] en el sentido de Leibniz». en momento alguno. no la génesis del mismo. realizará una representación sistemática. del pensamiento puro. independiente. los aprehende. «En realidad. contenido judicativo de esa expresión y aserción o juicio del contenido o pensamiento. aplicará su Conceptografía para definir. refleje el pensamiento puro. Frente a los formalistas. en la segunda. de algunos juicios del pensamiento puro. sino que éstos preexisten conceptualmente al mismo. En lógica. el signo con el cual se representa el concepto. Una proposición lógica no es más que un signo compuesto con arreglo a una regla determinada. por los medios estrictamente lógicos. por vez primera. el signo es inseparable del contenido que representa. para Frege. lo primero es el contenido conceptual o de juicio. que llegan a identificar numeral y número. en matemáticas. porque Boole parte en su labor de la construcción de un cálculo formal que permite ulteriores interpretaciones distintas. Y un contenido que no hace referencia. En el segundo apartado. Esta convicción lleva a Frege a oponerse a los métodos de Boole. pero que permita un análisis lógico del razonamiento matemático. La Conceptografía no es una mera búsqueda de un simbolismo más o menos arbitrario y que refleje el lenguaje ordinario. signo que posee un “sentido” que se mantendrá en cualquier lengua a la que se traduzca la proposición anterior. puede ocurrir que todo término que se reemplace en el argumento de una función posea esta propiedad. Así. La única diferencia que importa entre contenidos judicativos es la que existe entre universales y particulares. mientras que la propiedad que los mismos poseen. como indeterminadas. porque dicha distinción lo es en cuanto a contenido conceptual y no sólo en cuanto a expresiones. con lo que estamos ante un cuantificador universal. Representación que Frege hace por “ Φ(A)” para la función de un argumento y “Φ(A. las restantes constantes lógicas que explicitará Frege. Ello conduce a rechazar la distinción entre sujeto y predicado. Desde este enfoque que diferencia radicalmente lógica de gramática y de teoría del conocimiento. De este modo quedan fuera de la lógica las viejas distinciones entre juicios categóricos. por una letra. la expresión seguirá siendo válida. Es el análisis de una proposición en letra funcional y argumento el que permite superar a Frege la distinción entre sujeto y predicado. en otras palabras. Igualmente. La introducción de los cuantificadores universal y existencial le lleva a introducir las nociones de variable libre y variable ligada. conduce a admitir que la negación se aplica a contenidos de juicios y no a la sola expresión de los mismos. igualmente. “vaca” poseerá la propiedad de comer hierba. Y lo será cuando el término sea conveniente. es decir. Si al reemplazar “convenientemente” la letra entre paréntesis resulta que el contenido obtenido es capaz de ser convertido en juicio. Si en lugar de “La vaca” ponemos “la oveja”. Todos aquellos términos que permitan cubrir el espacio vacío constituirán los argumentos. aunque sea independiente de tal aserción e incluso puedan existir contenidos que carezcan de la expresión asociada correspondiente. en lugar de “Jorge” y “Luisa” pueden colocarse otros términos por argumentos. entonces es que el argumento satisface la función. al cubrir ese espacio vacío por un término conveniente se tenga la expresión completa que podrá o no ser judicable. posee la propiedad determinada por la misma. disyuntivos. Si ahora se toma la expresión “Jorge ama a Luisa”.. La negación del cuantificador universal nos permite hacer aserciones existenciales. Más arriba se ha dicho que Frege sustituye los conceptos de sujeto y predicado por los de argumento y función. Se puede reemplazar el término “vaca” por otros términos o. en nuestro ejemplo. una distinción modal de posiiblidades o de necesidad se refiere más al fundamento cognoscitivo que se tiene en el momento de enunciarla. en cuyo caso dicho término poseerá la propiedad indicada por la otra parte de la expresión. constituye la función para tales argumentos. la de “comer hierba”. “es posible que la Tierra choque algún día con otro cuerpo celeste” es una expresión en la cual quien la afirma no conoce las leyes de las cuales pueda seguirse la negación. en aserción. Análisis por el cual puede establecerse uno de los logros más definitivos de la lógica matemática: la teoría de la cuantificación. que al contenido del juicio. por modo exclusivo. Frege se ve obligado a rechazar la posibilidad de distinciones modales como tema propio de la lógica. generalizando. hipotéticos.B)” para la función de dos argumentos. Siguiendo con la función. Desde esta posición se invalida cualquier construcción lógico-modal. por un lugar vacío: “( ) come hierba”. mientras que la propia función se representará.. El proceso puede continuar generalizándose para obtener funciones pluriargumentales. válida fundamentalmente para la expresión gramatical y no para el contenido judicativo ni para el conceptual. contenidos a los que harán referencia.convertido en aserción. y ello de manera tal que. por lo que la expresión general tendría dos espacios vacíos “( ) ama a ( )” y la función “ama a” será una función de dos argumentos. ¿Cómo se hace esto? Sea una expresión como “La vaca come hierba”. Los espacios vacíos se representarán por letras entre paréntesis. El cuantificador universal debe estar 23 . se constató la posibilidad. Peano emprendió la tarea de descubrir todas las ideas y leyes de la lógica que se usan en matemáticas y de inventar un conjunto de signos para la notación de esas ideas y la clara enunciación de esas leyes. gracias a la lógica. asimismo empezamos siempre a contar en algún punto. 6.2 Giuseppe Peano Al principio. y cuando numeramos lo que estemos contando. La variable que acompaña al cuantificador aparece como una variable ligada y. pasamos de un número al siguiente (al que podemos llamar su sucesor). por ello. para agrupar complejos de signos. c) el uso de puntos en lugar de los signos (.1 La formalización de la aritmética Cuando contamos pasamos de una cosa a la siguiente. como Frege o Pierce. de suerte que. con Peano. Así. Entre sus descubrimientos e invenciones destacan: a) la definición de una clase por medio e un enunciado de la forma: “la clase de los x tales que P(x)” (que simbolizó como “x ∈ px”). antes de Peano nadie usó la lógica de enunciados para clarificar los argumentos de la matemática ordinaria. ).sometido a que cualquier sustitución que pueda hacerse en una función tiene que dar un contenido que pueda convertirse en juicio: «Si una combinación de signos que siguen a un trazo de contenido puede convertirse en juicio. h) la notación del cuantificador existencial mediante ∃. de poner todos los enunciados de la matemática –y no sólo la aritmética. es diferente a una variable libre. como creía Frege– en forma de un lenguaje artificial de signos. y construir las demostraciones de todos los teoremas matemáticos mediante cambios y sustituciones de tales signos partiendo de axiomas y definiciones. viendo así en la lógica un instrumento para aclarar y dar rigor al razonamiento matemático. de modo que al numerar hay siempre un primer número que posee la singularizadora propiedad de no ser sucesor de ningún otro. el fin de la lógica es sólo la teoría de enunciados y su principal partícula conectiva es alguna especie de implicación. ]. b) la idea de que los enunciados con variables libres difieren de un modo importante de los bivalentes. cobró fuerza en seguida entre los precursores de la lógica. la lógica matemática se redujo a la teoría de clases.2. e) la distinción clara de la relación de ser elemento de una clase respecto de la de ser parte de una clase. por ser implicaciones casi todos los enunciados verdaderos en cualquier sistema matemático. Nadie antes de Peano puso de relieve que la implicación es la relación fundamental en matemáticas. g) la notación del cuantificador universal escribiendo las variables en la parte inferior derecha del conector de enunciados. Según su punto de vista. y la implicación jugó un papel esencial en sus sistemas. Ambos se interesaron por la lógica de enunciados como una rama del álgebra de clases. por lo regular suponemos también que al contar no nos quedaremos sin números. 6. siendo denotada la primera por ∈ y la segunda por ⊂. f) la idea de “el tal y tal” (tan usada luego por Russell) que resulta necesaria para el tratamiento de propiedades de las que tenemos que decir que las posee sólo un individuo. La idea de que la raíz de la lógica matemática es la teoría de enunciados y no la teoría de clases y de que la implicación es su relación principal. McColl fue el primero en sostener que la teoría de enunciados era más importante. entonces esa posibilidad permanece inalterada por una sustitución» (parágrafo 11). Para poner las demostraciones de las matemáticas de forma rigurosamente razonada. d) el uso de signos diferentes a los matemáticos para las operaciones y relaciones lógicas cuando puede haber peligro de lectura errónea. No obstante. Pero. [. el logro más importante de Peano fue la formalización de la aritmética. por grande que sea el grupo de cosas 24 . términos primitivos no definidos (“0”. su sucesor asimismo la tiene Este último axioma se refiere a la llamada inducción matemática. teoremas demostrables apoyándose en I) a IV). por lo cual consideraremos que la relación sucesor de es asimétrica. Los elementos del sistema formal de Peano son: I. finalmente. pero además es intransitiva. “número” y “sucesor”). empleando 0. el primer número la tiene. y b. y enuncia la fuerte intuición aritmética que nos lleva a concluir. reglas de formación y transformación: son las reglas de construcción de fórmulas bien formadas (o enunciados admisibles) de la teoría. y b. cuando ordenamos cosas contándolas queremos lograr la unicidad de tal orden. supongamos. 0 es un número. Definiciones para suma y multiplicación: 25 . no zSx”. cabe eliminar efectuando la reducción a estos últimos (pero las deducciones facilitan los métodos de inferencia). Para nuestros fines adoptaremos la siguiente forma de los axiomas. si x es un número. y que. que permiten “pasar” de un enunciado a otro. utilizaremos la notación Sx en lugar de sucesor de x. que “si (xSy. III. estos axiomas son las fórmulas o enunciados primitivos de la teoría. IV. si un número cualquiera la tiene. número y sucesor (para abreviar. que algo lo cumplen todos los números. 4. 5. V. es evidente. y sucede que a. podremos continuar contando indefinidamente. requisito que podemos formular diciendo que no hay dos números (distintos) que tengan el mismo sucesor. P(0). siendo x una variable que pueda representar cualquier número): I. IV. a partir de uno o dos casos. n es un número el sucesor de un número es un número no hay dos números que tengan el mismo sucesor n no es el sucesor de ningún número todos los números (naturales) tienen cierta propiedad. P(Sx). suponemos que no hay un último número. III. de los que se derivan. que tomamos dos números ordinales tales que y sea el sucesor de x. por demostración. ya que “si zSy e ySz. los axiomas I a IV. y para ello no contamos dos veces la misma cosa ni asignamos el mismo número a dos cosas distintas. y las reglas de inferencia. en los que aparecen dichos términos primitivos. por consiguiente. entonces. definiciones que introducen términos definidos valiéndose de los no definidos. Podemos reunir en una cómoda lista estas tan conocidas propiedades de la operación de contar del siguiente modo: 1. P(x). es decir. 2. V.que contemos. II. Podemos caracterizar la relación “sucesor de” por sus propiedades formales. todos los demás. II. no ySx)”. si para cualquier x. en efecto. 3. Sx será un número no hay dos números que tengan el mismo sucesor 0 no es el sucesor de ningún número todos los números tienen la propiedad P si a. y el número cardinal cero como la clase de todas las clases carentes de miembros. (0’)’ es un número (en virtud de 1 y el axioma II) 4. Ahora bien. y semejantes clases de un solo miembro. una propiedad: la de tener un solo miembro. de una sustitución y el axioma II) 8. Por consiguiente. a su vez. nos acercamos más a las intuiciones que tenemos acerca de ellas. “1” y “+” no significan más que lo que expresan sus definiciones a base de los términos primitivos. veamos la demostración de que 3+1=4 1. 2’ es un número (en virtud de 3. y no otra. lo que querremos decir al pronunciar uno será esa propiedad común compartida por todos los miembros de cierta clase. esto es. Si adoptamos esta manera de expresarnos. “0”. etc. “número” y “sucesor”. en el sentido de la numerosidad de los miembros de cada clase de clases igualmente 26 . exactamente lo mismo podríamos haber escrito en su lugar. x · Sy = (x · y) + x Como ejemplo de la utilidad de esta formalización. x · 0 = 0 2. de una sustitución y el axioma II) 6. o conjunto único de propiedades que la hagan ser esa cosa. Los números ordinales proyectados por los axiomas de Peano representan relaciones de orden o sucesión. podemos “entender” o “constituir” los números de tal modo que lleguemos a interpretar los números naturales a base de la cardinalidad. (3 + 0)’ = 3’ = 4 (por sustitución y en virtud de 11 y 8) 13. las expresiones “3”. en virtud de su singular identidad como esa cosa.D1. 0’ = 1 (por definición) 3. “C” y “%”. se define el cardinal dos como la clase de todas las clases dotadas de dos miembros. (3 + 1) = (3 + 0’) (por definición de adición (parte 2)) 11. tales como “primero”. “4”. y cabrá sostener que cuanto sea uno constituirá una clase de un solo miembro. (3 + 1) = 4 (por sustitución y en virtud de 9 y 12) En este sistema formal. o sea. “refunfa” y “expeditor” en lugar de los términos primitivos que hemos utilizado. la clase de las clases unitarias. 3’ es un número (en virtud de 5. comparten. x + Sy = S(x + y) D2. (3 + 1) = (3 + 0’) (por sustitución y adición) 10. De ahí que podamos definir el número cardinal uno como la clase de todas las clases con un solo miembro. (0’)’ = 1’ = 2 (por sustitución y definición) 5. (3 + 0) = 3 (por definición de adición (parte 1)) 12. “A”. de igual manera que hubiera sido posible escribir “*”. puede decirse que todas las cosas del universo son idénticas a sí mismas. Si decimos de las cosas susceptibles de ser contadas que son miembros de conjuntos o clases de cosas. “B”. 2’ = 3 (por definición) 7. 3’ = 4 (por definición) 9. y. Multiplicación “·”: 1. pero en la medida en que son discriminablemente únicas cada una de ellas tiene su propia identidad. o clase vacía. análogamente. 0’ es un número (por los axiomas I y II) 2. Adición (“+”): 1. si atendemos sólo a los fines sintácticos. “segundo”. o clases unitarias. x + 0 = x 2. ¿Cómo salvar tal dificultad? El razonamiento de Russell es el siguiente: supongamos que tenemos n objetos ante nosotros. la clase que contenga como único miembro la clase unitaria cuyo solo miembro es la clase vacía será 2. de donde. 27 .3 Russell y los Principia Mathematica La obra Principia Mathematica de Russell y Whitehead es a la lógica moderna lo que el Organon de Aristóteles para la lógica clásica. adoptándolo como primer número. Ahora bien. El objeto primario de los Principia fue mostrar que toda la matemática pura se sigue de premisas puramente lógicas. y que emplea solamente conceptos definibles por medio de términos lógicos. No afirma ni niega nada. una clase de n términos tiene 2n subclases.3. 0. conocida con el nombre de paradoja de Russell (la paradoja de la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas). del mismo modo. la teoría de cuantores o enunciados con variables de individuo (lógica de predicados monádicos). y así sucesivamente. basándolas enteramente en la lógica. Pero no se ofrecía un desarrollo detallado ni de las definiciones ni de las demostraciones lógicas en términos de las cuales fundamentar las matemáticas. La solución de este problema llegó cuando Russell se dio cuenta de que la dificultad residía más en la lógica que en las matemáticas y que. o sea. Es la síntesis y culminación de todos los desarrollos de la segunda mitad del siglo XIX. se llega a la conclusión de que existen más clases de cosas que cosas. luego. las clases son meramente conveniencias del discurso. ahora bien. decir que algunas veces es verdadera. Si a está en el rango. fx. por tanto.1 La teoría de los tipos En los Principios de la matemática Russell había sostenido que toda la matemática es reducible a la lógica. pueden hacerse otras dos cosas con una función proposicional: una es afirmar que siempre es verdadera. Hay. Esta es la tarea principal de los Principia. se ocupa de las ideas necesarias para definir “número cardinal” y para poder construir una aritmética de los números cardinales con los pilares de la lógica. una vez generados los cardinales correspondientes a cada término sucesivo de la serie de los números naturales. Una clase. la segunda es afirmar todos los valores de la función. Cantor había demostrado que 2n es mayor que n. y la teoría de clases y relaciones (lógica de predicados poliádicos) como un álgebra. existe cierto rango de valores de x para los cuales esta función es “significativa”. y lo entendemos como la clase vacía. Aplicando esto a todas las cosas del universo. La segunda parte. desarrolla la teoría de los juntores o conectivas (lógica de enunciados). 2. 6. como la clase cuyo único miembro sea la clase vacía. La función proposicional en sí misma no es más que una expresión. pues. Dicho en otras palabras: dada cualquier función proposicional. Los volúmenes 2 y 3 estudian en detalle las aritméticas de los números cardinales y ordinales. podemos “generar” el segundo. tres cosas que pueden hacerse con una función proposicional: la primera es sustituir la variable por una constante. la otra. es tan sólo una expresión.dotadas de ellos. Además de sustituir la variable x por una constante. El número de modo es 2n. 1. y la tercera es afirmar algunos valores o al menos uno de los valores. y que queremos saber de cuántos modos existen de elegir ninguno. las clases no son “cosas”. es decir. titulada Prolegómenos a la aritmética cardinal. aquí apareció una dificultad. algunos todos los n objetos. era la lógica lo que había que modificar. … Si partimos de “0”. La primera parte. titulada Lógica matemática. “1”. 6. 3. fa es una proposición verdadera o falsa. El no hacer esta distinción nos lleva a defender la existencia de objetos inexistentes. logramos salvar la paradoja del mentiroso. por tanto. Las que se refieren a una totalidad de proposiciones nunca pueden ser miembros de tal totalidad. por tanto. La respuesta de Russell es que este enunciado es claramente una identidad.Por otro lado. proposiciones de segundo orden. o falsa. Ahora bien.3. y proposiciones que no lo hacen. es obvio que hay algo que estáis diciendo que no existe. según Russell. aunque la “montaña de oro” pueda ser gramaticalmente el sujeto de una proposición con significado. Meinong decía: si decís que la montaña de oro no existe. quería saber si Scott era el autor de Waverley. ha de haber un determinado total de posibles valores de x. Si ahora creo nuevos valores. los valores que x puede tomar deben ser definidos. pues. vuestra afirmación de que la montaña de oro no existe no tendría significado. un nombre no puede aparecer significativamente en una proposición a menos que haya algo que denomine. Scott es un nombre. de otro modo. cuando se analiza correctamente.2 La teoría de las descripciones La teoría de las descripciones está considerada como la aportación más importante de Russell a la lógica. Para explicarla utilizaremos el ejemplo de Russell. Esto demuestra. sino que debemos utilizar un lenguaje L + 1. si era cierta. Esto parece evidente. en consecuencia. “el autor de Waverley” es una descripción. y así ad infinitum. los nuevos valores que a él se refieren se referirán a ese total aumentado. argumenta Russell. definidos en términos de ese total. conocida como teoría de los tipos. a las que se refieren a totalidades de proposiciones de primer orden. si era falsa. que es necesario distinguir entre un nombre y una descripción. Otra diferencia entre nombre y descripción consiste en que. no debemos nunca hablar de las proposiciones de un lenguaje L en ese mismo lenguaje L. la montaña de oro debe subsistir en algún oscuro mundo platónico del ser. Básicamente la teoría consiste en negar la posibilidad de la autorreferencia. 6. el problema? Antes de Russell los lógicos solían pensar que si dos frases denotan el mismo objeto. una proposición que contenga a una de ellas puede ser reemplazada siempre por una proposición que contenga a la otra. Mediante esta teoría. Podemos definir como proposiciones de primer orden las que no se refieren a una totalidad de proposiciones. pero no quería saber si Scott era Scott. la montaña de oro. si esto fuese cierto la proposición verdadera “Jorge IV quiso saber si Scott era el autor de Waverley” se convierte (sustituyendo ‘el autor de Waverley’ por Scott) en la proposición falsa “Jorge IV quiso saber si Scott era Scott”. cuando afirmo todos los valores de una función fx. porque. tal proposición. si lo que estoy afirmando ha de ser definido. deja de tener tal sujeto. El punto esencial de la teoría de las descripciones es que. que distinguir entre proposiciones que se refieren a un determinado total de proposiciones. Tendremos. La proposición “la montaña de oro no existe” se convierte en «la función proposicional 28 . es decir. dicho total aparece por ello aumentado y. ¿Expresa el enunciado “Scott es el autor de Waverley” una identidad o una tautología?. Es decir. sin dejar de ser verdadera. mientras que una descripción no está sujeta a esta limitación. ¿dónde está. porque cuando Jorge IV preguntó quién era el autor de Waverley. El punto central de esta teoría es que una frase puede contribuir al significado de una oración sin tener significado en absoluto aisladamente. como en la famosa argumentación de Meinong sobre la montaña de oro. es decir. s. etc. y. puede afirmarse solamente de una descripción.{}. La teoría de las descripciones. arroja luz sobre el significado de “existencia”.3. la frase “el autor de Waverley” ya no aparece. Podemos decir “el autor de Waverley existe” y podemos decir “Scott es el autor de Waverley”. X ( Y también lo es 29 . q. la completud o la decidibilidad). si X es una fbf. etc. r. Esto es. o bien como un cálculo. de fórmulas tomadas como verdaderas por definición dentro del sistema. no es correcto gramaticalmente decir “que existe”. El enunciado «Scott es el autor de Waverley” se convierte en “para todos los valores de x. las conectivas: ¬. La existencia. esto es. una variable proposicional sola es una fórmula bien formada del cálculo 2. En el mejor de los casos. puede interpretarse su significado como “la persona llamada ‘Scott’ existe”. pero “Scott existe” no es gramaticalmente correcto. cuando se analiza. entonces ¬X también lo es 3. que no se refiere a nada y en cuanto tal carece de significado (excepto el puramente sintáctico) con vistas al estudio de sus propiedades metalógicas (como la consistencia.) Como símbolos definidos aparecen: ∧[(X ∧ Y =def ¬(¬X ∨ ¬Y)] → [X → Y =def ¬X ∨ Y ↔ [X ↔ Y =def {¬(¬X ∨ Y) ∨ ¬(¬Y ∧ X)}] Se emplean. un conjunto de símbolos primitivos con los cuales se construirán los símbolos derivados. Si a ello le añadimos un número de axiomas. y entonces se dice que el cálculo está axiomatizado.‘x es de oro y una montaña’ es falsa para todos los valores de x». y alguna regla de transformación de expresiones. la lógica puede concebirse o bien como un sistema de reglas de deducción natural (reglas de inferencia) destinadas a su aplicación a los razonamientos del lenguaje ordinario.) 2. ∨ 3. Si X e Y son fbfs. En Principia Mathematica aparecen como símbolos primitivos 1. en este sentido. no un nombre. 6. además. los diversos signos de puntuación ((). además. se descubre que es un caso de función proposicional que es verdadera por lo menos para un valor de la variable. Como es sabido. []. pero (la persona llamada ‘Scott’( es una descripción. las variables proposicionales (p. el cálculo se convierte en un sistema formal.3 Los Principia Mathematica En esta obra aparece la primera axiomatización de la lógica. En un cálculo han de presentarse sólo los elementos imprescindibles –todos ellos perfectamente determinados– y en términos de éstos se irán construyendo los demás. En este último caso se trata de un algoritmo bien definido. Aquí. cuatro reglas de formación: 1. ‘x escribió Waverley’ es equivalente a ‘x es Scott’». Cuando quiera que un nombre se emplea correctamente como tal nombre. unas reglas de formación de expresiones bien formadas o fórmulas. “El autor de Waverley existe” quiere decir «hay un valor de c para el cual es cierta la función proposicional: ‘x escribió Waverley’ es siempre equivalente a ‘x es c’». Herder. 1978 30 . y φ(x. Por ejemplo. como se demostró más tarde. 3. 6. también. Estas son todas las reglas de formación el cálculo (esta última regla tiene un carácter metalingüístico respecto de las anteriores –y metalingüístico respecto al cálculo)– y se establece para dejar sentado que todas las reglas están explicitadas) Aparecen. Trillas. E. formulan el “axioma de identificación de variables reales”. sino de cualquier sistema formal que podamos inventar y que. Este será el caso si ambas aserciones presentan x como el argumento de alguna función. México. 1988 Arnaz. Con los Principia Mathematica queda definitivamente establecida la lógica moderna como un sistema formal axiomático. y siempre por el mismo sustituto (regla de sustitución) b.4. con tal de que cada variable sea sustituida siempre que aparece. Con estos elementos pueden comenzar a deducirse todos los teoremas de la lógica elemental de enunciados. sobre la incompletud de los sistemas formales. Madrid. en el que se unifican y se establecen claramente las relaciones entre la lógica de enunciados y la de predicados. A. plenamente simbolizado. lo que esté implicado por una premisa verdadero es verdadero p∨p→p q → (p ∨ q) (p ∨ q) → (q ∨ p) [p ∨ (q ∨ r)] → [q ∨ (p ∨ r)] (q → r) → [(p ∨ q) → (p ∨ r)] Además de estas proposiciones primitivas. J. y los es también X ( Y. es decir. este no es un borrón de los Principia solamente. …) es un constituyente de la otra. puede usarse una sola conectiva para definir todas las demás: la barra de Sheffer (p | q que se lee “no conjuntamente p y q” o “p y q son incompatibles”). En realidad.. y.. Ahora bien. 2. 5. en donde x es indeterminado. frecuentemente es importante saber si podemos identificar la x de una aserción con la x de la otra. Cuando tenemos aseveradas por separado dos funciones de x diferentes. El único borrón que se le puede achacar a este sistema son los resultados de Gödel de 1931. con más generalidad. y los predicados de orden superior (la cuantificación de las variables de predicado). algunas o todas esas variables por fbfs del cálculo será también una tesis del cálculo. Tratados de lógica. Gredos. Si X es una tesis del sistema. BArcelona. 7. Iniciación a la lógica simbólica. lo que viene a demostrar es que no podemos demostrar que las matemáticas no son contradictorias. en definitiva. z. u. v. entonces Y es una tesis del sistema (regla de separación o modus ponens) Además. dos reglas de transformación: a. Russell y Whitehead formularon los siguientes seis axiomas: 1. Bibliografía • • • Agazzi. si f x es un componente de ambas aserciones o. los diversos tipos de predicados de primer orden. …) es un constituyente en una aserción. La lógica simbólica. 1973 Aristóteles. 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