04-Vibrações forçadas em umsistema com 1 grau de liberdade sem amortecimento Prof. Jorge Formiga [email protected] Objetivos: -Identificar os diversos tipos de vibração forçadas; -Equacionar um sistema massa-mola com força externa sem amortecimento; -Resolver exercícios aplicados . Como proceder isto? Até o final deste capítulo. Na situação hipotética descrita acima. o estudante terá uma idéia de como realizar este projeto. Inicialmente iremos considerar apenas o caso em que a excitação é do tipo harmônica. A abordagem de solução das equações do movimento para sistemas com 1 grau de liberdade (livre ou forçado) por métodos numéricos. Também são introduzidos alguns conceitos básicos de análise espectral e formas de se estimar as funções de resposta ao impulso (IRF) e função de resposta em freqüência (FRF).Introdução Imagine a seguinte situação prática e bastante comum em um ambiente industrial: Você trabalha em uma empresa que recebeu um compressor alternativo de grande dimensão e precisa instalá-lo. que podem ser de diferentes tipos. Caso isto não seja bem feito é possível que a vida útil da máquina seja reduzida devido a vibração excessiva. as máquinas e sistemas estruturais vibram devido não somente às condições iniciais e na frequência natural (amortecida ou não) e sim em função também de forças de excitação externa F(t). e em muitas outras. Para isto deve especificar uma fundação composta por absorvedores com determinada rigidez e amortecimento para reduzir a vibração da máquina. 4 Introdução Diz-se que um sistema mecânico ou estrutural sofre vibração forçada sempre que energia externa é fornecida ao sistema durante vibração. Força aplicada energia externa Excitação de deslocamento . Tais como: Força harmônica: quando uma amplitude de oscilação é aplicada harmonicamente.5 De acordo com a força que age no sistema mecânico as respostas de vibração podem ter característica diferentes. 10 5 2 4 6 8 10 5 10 Força periódica: quando a excitação externa se repete após um período não de forma exatamente igual. ex: rotores desbalanceados. . ventos em pontes. . impacto. Força aleatória: quando a excitação externa não descreve um padrão determinístico. Ex: explosão. Ex: fenômenos aeroelástico.6 Força transitória: quando a excitação externa é caracterizada pela liberação de energia muito grande em um curto intervalo de tempo. a equação do movimento é escrita da seguinte forma: (1) Isto é (2) .7 . Vibração por excitação harmônica Resposta de um sistema não amortecido Se uma força F(t)= F0 cos(ωt) agir sobre a massa m de um sistema não amortecido. x(t) = xh(t) + xp(t) Quando F(t) = 0 Depende da freqüência de excitação . Assim a solução da equação do movimento (2) é formada pela soma de duas soluções. ou seja.8 Um método que pode ser usado envolve aplicar o método dos coeficientes indeterminados. uma primeira homogênea xh(t) e uma segunda particular xp(t). ω é a frequência forçante. X é uma constante que denota a máxima amplitude da solução particular xp: 𝐹0 𝑋= 𝑘 − 𝑚𝜔 2 9 .. Cuja solução é: 𝐹0 𝑥0 𝐹0 𝑥 𝑡 = 𝑥0 − 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 + 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑘 − 𝑚𝜔 2 𝜔𝑛 𝑘 − 𝑚𝜔 2 C1 C2 (3) X Onde ωn é a frequência natural do sistema. 10 Podemos escrever X como: 𝐹0 𝑋= = 2 𝑘 − 𝑚𝜔 𝑋 → = 𝛿𝑠𝑡 1 𝜔 1− 𝜔𝑛 2 𝛿𝑠𝑡 𝜔 1− 𝜔𝑛 Deflexão estática 2 Coeficiente de amplitude (4) . X delta (5) 4 2 1 2 3 4 5 w wn 2 4 •Se ω/ωn=1 -> ressonância Observações: •Se 0<ω/ωn <1-> a resposta do sistema está em fase com a força externa: •Se ω/ωn>1 a resposta do sistema está defasada de 180 graus e relação a força externa.. 11 . 1000}] 12 .k=100. podemos obter considerando as ω<ωn ω>ωn 0.m=100.010 200 400 600 800 1000 F0=1.{t.005 0.0. comportamentos distintos frequências envolvidas.. Através da equação 3.00011 0.00007 0.w=0.00010 0. Plot[F0/(k (1-(w/wn)^2)) (Sin[w t]-(w/wn) Cos[wn t]).00009 200 400 600 800 1000 0.005 0.010 0.09.00008 0.001. wn=. {t.200}] .wn=1. Plot[F0/(2k) Sin[wn t]-t Cos[wn t]. (3) é transformada em: 𝐹0 𝑥 𝑡 = 𝑆𝑖𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 2𝑘 A simulação abaixo representa a evolução de uma vibração nas vizinhanças da ressonância que foi realizanda considerando m=100kg. k=100 N/m. m=100.13 Para analisar a evolução da resposta do sistema oscilatório nas vizinhanças da ressonância. 100 50 20 50 40 60 80 100 Código para o mathematica F0=1. a eq.k=100. F0=1 N e frequencia forçante igual 1.0. conforme figura abaixo.(espessura)3 14 . Determine a amplitude de vibração da placa. Dados: E=2.51m de largura e 2.68 cos (62.5m de comprimento.Ip)/L3 Ip=(1/12).. Exemplo 1: uma bomba alternativa com 150 kg está montada no meio de uma placa de aço de 0.E.013 m de espessura.06 1011 N/m2 K=(192.83t). a placa é sujeita a uma força harmônica. 0. Durante a operação da bomba. F(t)=22.(largura). Quando opera e uma velocidade de 32 Hz.5 mm. a amplitude em regime permanente Xp é medida a partir de um teste experimental e corresponde a 1. Qual a magnitude da força que excita esta máquina nesta velocidade? .105 N/m em cada mola.Exercício 1: Uma máquina com 45 kg é montada em cima de um isolador não amortecido composto por quatro molas em paralelo com rigidez de 2. res:0.0125m b) O deslocamento estático da mola devido à máxima força aplicada.019 m .2: Um peso de 50 N está suspenso por uma mola de rigidez 4. Res:-0.Determine: a) A extensão da mola devido ao peso suspenso.015 m c) A amplitude de movimento forçado do peso. res: 0.16 Exercício .000N/m e sujeito a uma força harmônica de amplitude 60 N e frequência 6Hz. 08 cos 30 t. . •X0= 0.18 cos 20 t-0. velocidade inicial=10 m/s.18 cos 20 t+0.08 cos 30 t.08 cos 30 t.0. b) x(t)=0. velocidade inicial=10 m/s.17 Exercício 3: Considere um sistema massa-mola com k=4000N/m e m=10 kg sujeito a uma força harmônica F(t)=400 cos (30t) N.Determine e construa um gráfico de resposta total do sistema sob as condições iniciais: •X0= 0.1m. Resposta: a) x(t)=0. •X0= 0 .5 sen 20 t-0. c) x(t)=0.1m.08 cos 20 t+0.5 sen 20 t . velocidade inicial=0. 4145. Determine a amplitude de vibração em regime permanente desconsiderando a massa da viga. Dados: E=2. Uma força rotativa de magnitude Fo =5000N é desenvolvida devido ao desequilíbrio do rotor do motor.Ip)/L3 Fo t L/2 L/2 .10-3 m K=(192. E . como mostra a figura abaixo.1 de espessura.5m de largura e 0. 0. suporta um motor elétrico de 75 kg de massa e velocidade 1200 rpm no meio do vão.18 Exercício 4: Uma viga de aço fixa dos dois lados. com 5m de comprimento. 1011 N/m2 Resp: 0.06. 12 kg Exercício 6: O sistema massa mola com m=10kg e k=5000N/m está sujeito a uma força harmônica de amplitude 250N e frequência w. Resp: 15. determine o valor de w.81 rad/s .19 Exercício 5: Uma massa m está suspensa de uma mola de rigidez 4. Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é de 20 mm. Resp: 9. Determine o valor de m.000 N/m e está sujeita a uma força harmônica de amplitude 100 N e frequência 5Hz. Se for constatado que a amplitude máxima da massa é de 100 mm. medições de vibrações e deste material. Imprimir o integrador de blocos e os gráficos e anexar na lista.2. Simular com e sem amortecimento e tirar suas próprias conclusões.81 rad/s . Valor deste exercício: até 1.8 pontos são referentes aos exercícios de decremento logarítimo.20 Exercício 7: Construir um simulador de vibrações no scilab para os exercícios 1 e 4 considerando um amortecedor hipótético para o sistema em ambos os casos. Os resto dos 0. Resp: 15. Anexo 1 . Dr. S. São Paulo-SP. Vibrações mecânicas.Referências • Rao.. 2008. S. • Apostila do curso de fundamentos de vibrações do professor Dr. Newton Sure Soeiro • Apostila do curso de vibrações mecânicas do Prof. Samuel da Silva do Centro de Engenharia e ciências Exatas da Universidade Estadual do Paraná . Pearson Prentice Hall.
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