CICLO 2015-I Módulo:2Unidad: 3 Semana: 4 INVESTIGACION OPERATIVA Lic. Máximo Tejero Alegre 1 MÉTODO SIMPLEX Variable de Holgura y Exceso 2 ORIENTACIONES • Cuando Usted estudie; contraste y relacione la información recién adquirida con su conocimiento y experiencia anterior. Para ello es útil que revise los resúmenes, esquemas, cuadros comparativos o mapas conceptuales elaborados previamente en su texto. • Recuerde que la Investigación Operativa se aprende practicando, utilice un block para repetir los ejercicios. 3 mediante el método formal analítico Simplex . 4 .Objetivos de la Unidad Saber encontrar esa solución óptima. Aprender a solucionar problemas de real importancia industrial.L. Usar el algoritmo del método simplex para resolver problemas de P. como gerente del departamento de producción. formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada. 5 . Fresh Dairy Faros tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada.5min/lb Máquina2 0.Ejercicio 1.2 min/gal 0.22/gal $0.2min/lb Ganancia $0. mantequilla o queso.3min/gal 0.38/lb $0.72/lb neta Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente. 200 libras de mantequilla 100 libras de queso.5min/lb 1.7min/lb 1. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporciona en la siguiente tabla: LECHE MANTEQUILL DESCREMADA A QUESO Máquina 1 0. 72/lb Variables X1 = Cantidad de glns de leche descremada a producir X2 = Cantidad de lbrs a producir de mantequilla X3 = Cantidad de lbrs de queso a producir Función objetivo Max Z = 0.2 X1 + 0.5min/lb 1. Pasos para la Formulación LECHE DESCREMADA MANTEQUILLA QUESO Máquina 1 0. 2 X1 > = 300 Requerimiento mínimo de leche descremada X2 > = 200 Requerimiento mínimo de lbrs de mantequilla X3 > = 100 Requerimiento mínimo de lbrs de queso Condición de no negatividad X1 >= 0 .2min/lb Requerimiento Mínimo 1 Mínimo Ganancia 1 $0.7min/lb 1.38 X2 + 0.22/gal 8 hrs 8 hrs 480 min. X3 >= 0 6 . 300 glns 200 lbrs 1 Mínimo Disponibili dad $0.Solución 1.1 0. X2 >= 0 .3 X1 + 0.7 X2 + 1.5min/lb Máquina2 0.22 X1 + 0.2 X3 <= 480 tpo.5 X2 + 1.3min/gal 0. 480 min.38/lb 100 lbrs $0. Disponible maq.2 min/gal 0. Disponible maq.5 X3 <= 480 tpo.72 X3 Restricciones 0. Se hace un pedido a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho.000 de 56 pulgadas. ¿cómo deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mínimo desperdicio de papel? Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 30 pulg. 18 45 pulg 56 pulg 18 52 30 pulg. 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1. 22 45 pulg 7 56 pulg Disponibilidad rollos de 108" 266. Si la papelería tiene solamente rollos de 108 pulgadas de ancho.6666667 rollos de 108" 250 rollos de 108" 1000 rollos de 108" Disponibilidad rollos de 52" 800 rollos de 52" 500 rollos de 52" 7 .Ejercicio 2. Alternativa 10 56 pulg 48 Alternativa 7 Alternativa 9 45 pulg 45 pulg Disponibilidad rollos de 108" 400 rollos de 108" 500 rollos de 108" Disponibilidad rollos de 48" 500 56 pulg 3 18 7 rollos de 48" Disponibilidad rollos de 63" 400 rollos de 63" 500 rollos de 63" 1000 rollos de 63" 8 . Alternativa 6 63 30 pulg. Alternativa 8 Alternativa 11 45 pulg 56 pulg 3 30 pulg.30 pulg. Definir las restricciones 9 . Alternativa 15 56 pulg Disponibilidad rollos de 108" 45 pulg 3 rollos de 108" Disponibilidad rollos de 78" 500 rollos de 78" 22 1000 rollos de 78" 56 pulg Disponibilidad rollos de 33" 800 rollos de 33" Tenemos que: Desarrollar el Modelo Matemático de Programación Lineal: 1. Definir la función objetivo 3. Alternativa 12 45 pulg 78 30 pulg. Alternativa 13 800 45 pulg 56 pulg 33 Alternativa 14 30 pulg. Definir las variables 2.30 pulg. X15 + X16 + X17 Condición de no negatividad X1 + X2 + ….Variables Restricciones x1 Cantidad de papel corrugado de 3 * 30" a cortar de rollos de 108" x2 Cantidad de papel corrugado de 2 * 45" a cortar de rollos de 108" x3 Cantidad de papel corrugado de 56" a cortar de rollos de 108" x4 Cantidad de papel corrugado de 2 * 30" a cortar de rollos de 108" x5 Cantidad de papel corrugado de 30" a cortar de rollos de 52" x6 Cantidad de papel corrugado de 45" a cortar de rollos de 52" x7 Cantidad de papel corrugado de 1 * 30" a cortar de rollos de 108" x8 Cantidad de papel corrugado de 30" a cortar de rollos de 48" x9 Cantidad de papel corrugado de 45" a cortar de rollos de 48" x10 Cantidad de papel corrugado de 1 * 30" a cortar de rollos de 63" x11 Cantidad de papel corrugado de 2 * 30" a cortar de rollos de 63" x12 Cantidad de papel corrugado de 45" a cortar de rollos de 63" x13 Cantidad de papel corrugado de 1 * 30" a cortar de rollos de 78" x14 Cantidad de papel corrugado de 2 * 30" a cortar de rollos de 78" x15 Cantidad de papel corrugado de 45" a cortar de rollos de 78" x16 Cantidad de papel corrugado de 56" a cortar de rollos de 78" x17 Cantidad de papel corrugado de 1 * 30" a cortar de rollos de 33" Función objetivo <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= 266 rollos se 108" 250 rollos se 108" 1000 rollos se 108" 400 rollos se 108" 800 rollos se 52" 500 rollos se 52" 800 rollos se 108" 800 rollos se 48" 500 rollos se 48" 800 rollos se 63" 400 rollos se 63" 500 rollos se 63" 800 rollos se 78" 400 rollos se 78" 500 rollos se 78" 1000 rollos se 78" 800 rollos se 33" MIN Z = X1 + X2 + …. X15 + X16 + X17 0 METODO SIMPLEX 10 . que puede utilizarse para resolver problemas de P. Llega a la solución optima por medio de iteraciones a pasos sucesivos.L. el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. a los largo de la cual f aumenta 11 . ¿Cuál es la idea? Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera. La búsqueda continúa hasta que la función objetivo ya no admita mejoramiento. con el cual se examinan los puntos en las esquinas de una manera metódica hasta conseguir la mejor solución: la mayor utilidad o el menor costo. entonces hay una arista que parte de A. o aristas del poliedro. Este método es un algoritmo o conjunto de instrucciones. con un número muy grande de restricciones y variables. f. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono. Se basa en la propiedad: si la función objetivo. no toma su valor máximo en el vértice A.Método Simplex Es un método algebraico general. Programación lineal – Método Simplex Soluciones Teorema básico: “Si existe una solución del problema lineal. existe un vértice solución” – Importancia de los vértices: • Basta con buscar soluciones en vértices (número finito) – Método Simplex: • Probar vértices eficientemente hasta encontrar la solución 12 . 2. entonces se le agrega una variable artificial “y1” siendo su valor 0.Metodología del Método Simplex Requisitos 1. Todas las variables están restringidas a valores no negativos. aquella que se le resta a un miembro de la ecuación para compensar al otro. La constante del miembro derecho no puede ser negativa para una restricción. Todas las restricciones deben formularse como ecuaciones. es necesario formar una base matriz. De exceso. Variable artificial Para resolver algunos problemas usando el método simplex. Variable de holgura y de exceso Se llama de holgura a aquella que se le suma al miembro de la inecuación para compensar al otro miembro. 13 . 3. y1 y y2 son variables artificiales max Z = 5x1 + 3x2 – My1 – My2 sujeto a x1 + 2x2 = 2 entonces x1 + 2x2 + y1 = 2 sujeto a 3x1 + 2x2 = 4 entonces 3x1 + 2x2 + y2 = 4 14 . y1 y y2 son variables artificiales min Z = 2x1 – x2 + 0x3 + 0x4 + y1 + y2 sujeto a x1 + 2x2 5 entonces x1 + 2x2 – x3 + y1 = 5 sujeto a 3x1 + 2x2 2 entonces 3x1 + 2x2 – x4 + y2 = 2 Ejemplo 3: x3 y x4 Son variables de exceso.n a x ij j bi j 1 a x ij j a x j j 1 bi n a x ij j 1 xn 1 bi xn 1 Variable de holgura j 1 n ij n j xn 1 bi xn 1 Variable de exceso Ejemplo 1: x3 y x4 Son variables de holgura max Z = x1 + x2 + 0x3 + 0x4 sujeto a x1 + 2x2 4 entonces x1 + 2x2 + x3 = 4 sujeto a 3x1 + 2x2 2 entonces 3x1 + 2x2 + x4 = 2 Ejemplo 2: x3 y x4 Son variables de exceso. En este proceso iterativo se obtienen diferentes soluciones factibles. Nos referimos a las n-m variables que se hacen cero como variables no básicas (externas). En un PL con m ecuaciones y n incógnitas. o solución no acotada. Se dice que una solución básica es factible si todos los valores de su solución son no negativos. Para este fin se utiliza la llamada transformación elemental de pivotaje. y la restricción asociada. y a las m variables restantes como variables básicas (siempre que exista una solución única). Fase de Iniciación: Una de las peculiaridades del Método Simplex consiste en incorporar una nueva variable Z. igual a la función objetivo del problema.Soluciones factibles y básicas Etapa de Iteraciones Estándar En esta etapa los coeficientes de la función de costo se transforman en no positivos y el valor de la función de costo se mejora iterativamente. 15 . se detecta solución no factible. hasta obtener la solución óptima. Álgebra del Método Simplex Ejemplo: Max Z = f (x.y) = 3x + 2y 2x + y 18 2x + 3y 42 3x + y 24 Sujeto a: x0.y0 1. Escribir la tabla iteración inicial simplex Variab decisión Variable de holgura Base x y h s d ValorSoluc h 2 1 1 0 0 18 s 2 3 0 1 0 42 d 3 1 0 0 1 24 Z –3 –2 0 0 0 0 Columna pivote 18/2 = 9 42/2 = 21 24/3 = 8 Fila pivote 4. Encontrar variable decisión que entra y 16 variable holgura que sale . Igualamos la f a cero 2x + 3y + s = 42 3x + y + d = 24 – 3x – 2y + Z = 0 3. Convertir las desigualdades en igualdades Sujeto a: 2x + y + h = 18 2. 5. Escribir la tabla iteración inicial simplex Variab decisión Variable de holgura Base x y h s d ValorSoluc h 2 0 1 1 0 0 18 s 2 0 3 0 1 0 42 d 3 1 1/3 1 0 0 1/3 1 24 8 Z –03 –2 0 0 0 0 Variab decisión Variable de holgura Base x y h s d ValorSoluc h 0 1 1 0 0 18 s 0 7/3 3 0 1 -2/3 0 42 26 Nueva fila de S x 1 1/3 0 0 1/3 24 8 Nueva fila pivote Z –03 –2 0 0 0 0 s 2 3 0 1 0 42 Vieja fila s x -2 -2/3 0 0 -2/3 -16 Nueva fila pivote*-2 Sumamos Obtenemos nueva fila S . Variab decisión Variable de holgura Base x y h s d ValorSoluc h 0 1/3 1 1 0 -2/3 0 18 2 Nueva fila h s 0 7/3 3 0 1 -2/3 0 42 26 Nueva fila de S x 1 1/3 0 0 1/3 24 8 Nueva fila pivote Z –03 –1 2 0 0 0 1 24 0 h 2 1 1 0 0 18 Vieja fila h x -2 -2/3 0 0 -2/3 -16 Nueva fila pivote*-2 Sumamos Obtenemos nueva fila h Z -3 –2 0 0 0 0 Vieja fila Z x 3 3/3 0 0 3/3 24 Nueva fila pivote*+3 Sumamos Z 0 –1 0 0 1 Obtenemos nueva fila Z 24 COLUMNA PIVOTE . Hay que repetir el proceso . significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima.Variab decisión Variable de holgura Base x y h s d ValorSoluc h 0 1/3 1 1 0 -2/3 0 18 2 s 0 7/3 3 0 1/3 1 -2/3 0 42 26 x 1 1/3 0 0 1/3 24 8 Z –03 –1 2 0 0 0 1 24 0 Variab decisión 2 / 1/3 = 6 26 / 7/3 = 78/ 7 8/ 1/3 = 24 Variable de holgura Base x y h s d ValorSoluc h y 0 1/3 1 1 3 0 -2/3 0 -2 18 2 6 s 0 7/3 3 0 0 1/3 1 -2/3 0 42 26 x 1 1/3 0 0 0 1/3 24 8 Z –03 –01 2 0 0 0 1 24 0 2 / 1/3 = 6 Fila pivote Se sigue operando en forma análoga a la anterior Si en los últimos elementos de la fila hay uno negativo. CONCEPTOS BASICOS Algoritmo Simplex Iteracción Prueba de optimalidad Forma estándar Variable de holgura Variable de superávit Variable no básica Variable básica Solución básica Solución factible básica 20 . 60 unidades de trabajo y 55 unidades de metal y vende los banjos a 200 u.m. 2.. Banjo Guitarra Mandolina Madera 1 2 1 Mano de obra 1 2 2 Metal 1 1 1 La empresa dispone de 50 unidades de madera. guitarras y mandolinas utiliza madera.m..um Encontrar la producción que maximiza el ingreso. las guitarras a 175 u. mano de obra y metal. Las cantidades de estos imputs precisas para realizar una unidad de cada instrumento musical se muestran en la siguiente tabla. y las mandolinas a 125. Variables de decisión Función Objetivo: Restricciones: X1 = El número de banjos a producir X2 = El número de guitarras a producir X3 = El número de mandolinas a producir Max Z = 200x1 + 175 x2 + 125x3 1x1 2 x2 1x3 50 1x1 2 x2 2 x3 60 1x1 1x2 1x3 55 xi 0.Una empresa que produce banjos. i 1.Ejemplo.3 Disponibilidad de madera Disponibilidad de trabajo Disponibilidad de metal Condición de no negatividad 21 . estas incógnitas deberán figurar con coeficiente cero es decir: Función objetivo s. para que no alteren dicha función objetivo.a.3. MaxZ 200x1 175x2 125x3 0x4 0x5 0x6 1x1 2 x2 13x3 x4 50 1x1 2 x2 2 x3 x5 60 1x1 1x2 1x3 x6 55 xi 0.. 2. Sin embargo.. i 1.6 Definimos variables básicas y no básicas Variables no básicas Variables básicas x1 0 x4 50 x2 0 x5 60 x3 0 x6 55 z0 22 .Para Estandarizar el modelo introducimos variables de holgura x4 .. x5 . x6 respectivamente. 1x1 2 x2 13x3 x4 50 1x1 2 x2 2 x3 x5 60 1x1 1x2 1x3 x6 55 xi 0. i 1.3.. 2. 6 Vamos a confeccionar el tablero Simplex MaxZ 200x1 175x2 125x3 0x4 0x5 0x6 Variable que ingresa Elemento pivote Variable que sale z 1 2 3 4 5 z b 6 1 2 1 1 0 0 0 50 50/1=50 5 1 2 2 0 1 0 0 60 60/1=60 6 1 1 1 0 0 1 0 55 55/1=55 -200 -175 -125 0 0 0 1 0 4 Indicador más negativo 23 ... ..z 1x1 2 x2 3 1x3 x4 50 1x1 2 x2 2 x3 x5 60 1x1 1x2 1x3 x6 55 x 0..3. 6 b i Vamos a confeccionar el tablero Simplex MaxZ 200x1 175x2 125x3 0x4 0x5 0x6 2 3 4 5 6 4 1 2 1 1 0 0 0 50 5 1 2 2 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 60 55 0 0 0 1 0 6 z 1 -200 -175 -125 Fila x4 (por -1) + Fila x5 Fila x4 (por -1) + Fila x6 50/1=50 60/1=60 55/1=55 -1 1 -2 2 -1 2 -1 0 0 1 0 0 0 0 -50 60 0 0 1 -1 1 0 0 10 -1 1 -2 1 -1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -50 55 0 -1 0 -1 0 1 0 5 24 . 2. i 1. 1 2 3 4 5 6 z b 4 1 2 1 1 0 0 0 50 5 1 2 2 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 60 55 6 z -200 -175 -125 0 Fila x4 (por +200) + 200 400 200 200 0 -200 -175 -125 0 0 Fila Z 225 75 200 0 0 1 2 3 z 4 5 6 0 0 0 0 1 10000 0 0 1 10000 b 1 1 2 1 1 0 0 0 50 5 0 0 1 -1 1 0 0 10 6 0 -1 0 -1 0 1 0 5 0 225 75 200 0 0 1 10.000 z 25 . Plan de producción: 1 2 3 = 50 Banjos = 0 Guitarras = 0 Mandolinas Max Z = 200 (50) + 175 (0) + 125 (0) = 10 000 26 2 3 4 =0 =0 =0 .Indicadores positivos fin del proceso 1 1 5 6 z Las variables básicas son: 1 0 0 0 2 3 z 2 1 1 0 1 -1 -1 0 -1 225 75 200 1 5 6 = 50 = 10 =5 5 4 0 1 0 0 b 6 0 0 1 0 0 50 0 10 0 5 1 10.000 Las variables no básicas son: La respuesta la damos en función a las variables de decisión. o. X2 : El numero de mecedoras a producir. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos. mecedoras y tumbonas. MaxZ = 6x1 +8x2 +12x3 Variables de decisión: Sea X1 : El numero de sillas a producir.Ejemplo Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas. $8 y $12 respectivamente. y aluminio como se indica en la siguiente tabla. Cada silla. plástico. ¿Cuál es el ingreso máximo total que puede ser obtenido? Determinar las posibles órdenes de producción que generarán ese ingreso. . 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. X3 : El numero de tumbonas a producir. Solución Función objetivo f . La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera. mecedora y tumbona se venden en $6. Cada uno requiere madera. x6 respectivamente. Sin embargo. estas incógnitas deberán figurar con coeficiente cero.Para estandarizar el modelo introducimos variables de holgura: x4 . es decir: Definimos variables básicas y no básicas . para que no alteren dicha función objetivo. x5 . Confeccionar el tablero Simplex MATRIZ INICIAL ITERACCION ITERACCION ITERACCION x1 x2 x3 x4 x5 x6 z x4 1 1 1 1 0 0 0 400 400/1= 400 x5 1 1 2 0 1 0 0 600 600/2 = 300 x6 2 3 5 0 0 1 0 1500 1500/5 = 3003 z -6 -8 -12 0 0 0 1 0 x4 1/2 1/2 0 1 -1/2 0 0 100 x3 1/2 1/2 1 0 1/2 0 0 300 x6 -1/2 1/2 0 0 -5/2 1 0 0 z 0 -2 0 0 6 0 1 3600 x4 1 0 0 1 2 -1 0 100 100/2= 50 x3 -1 0 1 0 3 -1 0 300 300/3 = 100 x2 -1 1 0 0 -5 2 0 0 z -2 0 0 0 -4 4 1 3600 x5 1/2 0 0 1/2 1 -1/2 0 50 x3 -1/2 0 1 -3/2 0 0 150 x2 3/2 1 0 5/2 0 -1/2 0 250 z 0 0 2 0 2 1 3800 0 1/2 100/1/2= 50 300/1/2 = 150 *12 * -1 *-5 0/1/2 = 0 *0/-5 -1/2= 0 *2 *4 . = 250 X3 : El numero de tumbonas a producir. 1 2 3 4 5 z 6 b 5 1/2 0 0 1/2 1 -1/2 0 50 3 -1/2 0 0 -3/2 0 1/2 0 150 2 3/2 1 0 5/2 0 -1/2 0 250 z 0 0 0 2 0 2 1 3800 1 0 0 1 1 -1 0 100 0 0 1 -1 1/2 0 0 200 2 0 1 0 1 3/2 1 0 100 z 0 0 0 2 0 2 1 3800 1 Para ver si tiene solución múltiple bastará observar si existe un indicador igual a cero de una variable no básica. = 0 X2 : El numero de mecedoras a producir. 1 es no básica y su indicador en la tabla final es igual a cero. = 150 =0 =0 =0 1 4 6 Hacemos ingresar no básica que 1 tiene indicador igual a cero.o. Por ejemplo. la cual sugiere la posibilidad de solución múltiple. x f .Indicadores positivos fin del proceso. Variables básicas 5 =50 3 =150 2 =250 Variables no básicas Variables de decisión: X1 : El numero de sillas a producir. MaxZ 6x1 8x2 12x3 0x4 0x5 0x6 x1 x2 x3 : 0 sillas a producir : 250 mecedoras a producir : 150 tumbonas a producir Z óptimo =3800 . html Programa para Resolver problemas de Programación Lineal Usando el Algoritmo Simplex http://soft.zweigmedia.php 31 .lindo.com/MundoReal/LPGrapher/lpg.arquimedex.com/programacion_lineal.com Descarga la versión de prueba o demostración gratuita LINGO Graficador Programación Lineal http://www.Para resolver problemas de Optimización www. Software SOFTWARE PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE IO (a entregar a los participantes) • WinQSB y su manual de usuario. • OTROS • El CD del libro LIEBERMAN . • LINDO y su manual • LINGO y su manual • LPSOLVE y su manual • Ejemplos resuelto en EXCEL con SOLVE. Donde quiera que usted vea un negocio exitoso. alguien ha tomado una decisión valiente. SEAMOS DUEÑOS DE NUESTRO PROPIO DESTINO GRACIAS 33 .