Comportamiento Mecánico de los MaterialesAntonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias Experimentales – Universidad de Almería DEFORMACIONES 1. Sean x, y, z la posición inicial de una partícula cuyo movimiento está descrito en un sistema lagrangiano por: X = 2( x − y )(e t − 1) + ( y − x)(e − t − 1) + x Y = ( x − y )(e t − 1) + ( y − x)(e −t − 1) + y Z=z Encuentre: a) el vector desplazamiento en coordenadas lagrangianas; b) el vector desplazamiento en coordenadas eulerianas. r 2. El vector desplazamiento u de un punto en un material tiene por componentes: u x = 4ax 2 ; u y = 8az 2 ; u z = −2ay 2 estando expresadas en metros y siendo a = 10-4 m-1. Se pide: a) el tensor de deformaciones de Cauchy; b) los valores y direcciones principales en P = (1/2, 1, 1). 3. El vector desplazamiento para los puntos de un determinado material viene dado por: a 2 z 3 siendo a una constante. Se pide: a) calcular la matriz de giro en un entorno del punto P = (2,1,-3/2) y el vector asociado a ella; b) ¿en qué se transforma una esfera centrada en P? u x = ax + 4ay; u y = 2az 2 − ay 2 ; u z = ay 2 − 2ax 2 − 4. Una placa rectangular ABCD se deforma hasta A’B’C’D’ según se indica en la figura. Se pide: a) la matriz de deformación para los puntos de la placa; b) las deformaciones y direcciones principales. 1 Las deformaciones longitudinales son ε x ' = 0. 9. La matriz de deformación de un punto material referida a un sistema ortogonal es: 3k 0 − k k 2k ε = 0 − k 2k 2k siendo k una constante.00227. Se pide: a) hallar las deformaciones y direcciones principales. El ángulo es 45º. 7. c) las direcciones que sólo experimentan deformación transversal. referida a cierto sistema de referencia OXYZ. 5 5 ( ) 8.001 y γ xy = −0.Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias Experimentales – Universidad de Almería 5.00347 y ε y ' = −0. 0 .004. b) calcular la deformación longitudinal unitaria correspondiente a la dirección que forman ángulos de 45º y 60º con los ejes OX y OY respectivamente. Las componentes de la deformación plana en un punto P de un material son ε x = 0. 10.003.0048. Las componentes de la deformación plana de un punto material son ε x = 0. Se pide: a) la deformación unitaria longitudinal en la dirección r u1 = 1 . 1 . ε y ' y γ xy '. 2 . 6. En un punto de un material plano se colocan tres galgas extensiométricas tal y como se indica en la figura.006.003.004 . Calcular la deformación angular del ángulo recto definido por los ejes de las galgas a y b. es: 0 − 4a 4a 0 ε = 0 3a − 4a 0 − 2a siendo a una constante. ε y = −0.002 y ε c = −0. Las componentes de la deformación plana de un punto material son ε x = 0. Utilice el círculo de Mohr para encontrar ε x ' . ε b = 0. 2 . 2 referida a dicho sistema. Utilice el círculo de Mohr para determinar γ xy ' y el ángulo θ . La matriz de deformación de un material en un punto. Utilice el círculo de Mohr para determinar las deformaciones principales y la deformación máxima por esfuerzo cortante y obtenga las orientaciones de los elementos sujetos a estas deformaciones. ε y = 0.0012 y γ xy = 0. Se sabe que tg θ = 3 y que 4 después de cargar el material los alargamientos unitarios en cada galga son ε a = 0.0024. ε y = 0 y γ xy = 0. b) calcular la variación experimentada en la 3 3 3 r r deformación por el ángulo definido por u1 y u 2 = − 2 . ε xz = ε yz = ε z = 0 donde k y k’ son constantes pequeñas y distintas de cero no es posible.Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias Experimentales – Universidad de Almería 11. Mediante un sistema de galgas extensiométricas se han medido directamente las deformaciones que se indican en la figura y sus valores son: ε A = 6 ⋅ 10 −3 . 15.008.5 ⋅ 10 −3 . la deformación máxima por esfuerzo cortante y las orientaciones de unas y otras. -1) de un material es: r u = ( 2 x1 x 22 eˆ1 − x 23 eˆ2 + x12 x3 eˆ3 ) ⋅ 10 −5 cm Calcular: a) el tensor W correspondiente al giro. utilice el círculo de Mohr para determinar las componentes principales. ε C = 3 ⋅ 10 −3 . ε y = 0. c) las componentes intrínsecas de la deformación experimentada por el vector: r v = 2 eˆ1 − 2 eˆ2 + eˆ3 d) el giro correspondiente al vector anterior. Las deformaciones principales para un punto material se han encontrado que son: ε I = 21 ε II = 15 ε III = 6 Con ayuda de los círculos de Mohr encuentre el valor de la máxima deformación cortante y la orientación de esta. b) el tensor ε de deformaciones. ε E = 0 y ε F = 3 ⋅ 10 −3 .5 ⋅ 10 −3 .012 . c) la representación de Mohr y sobre ella el esfuerzo ε A . El campo vectorial de desplazamientos en el entorno del punto P(1. ε y = k ( y 2 + z 2 ) . 2. 13. ε B = 4. 12. b) las deformaciones y direcciones principales. 3 . En el estado ε x = −0.006 y γ xy = −0. 14. Determinar: a) el tensor de deformaciones. ε D = 1. Demostrar que el estado de deformaciones en un punto de un material definido en coordenadas cartesianas en la forma: ε x = k ( x 2 + y 2 ) . ε xy = k ' xyz . ¿Cuál es la distancia entre los puntos P y Q en el material deformado? 4 . Un punto de la suspensión de apoyo MacPherson está sujeto a un estado de deformación plana εx= -0. el material que contiene estos dos puntos está sujeto a un estado de deformación dado por εx = 0. Las deformaciones medidas mediante la roseta de deformación son εa = 0. Dos puntos P y Q del ala del avión Concorde se encuentran separados 1 mm cuando el ala no está sometida a esfuerzo. εb = 0. 17.0.0088.0024 y γxy = -0.001. En una condición particular de vuelo.0. εy = 0.002 y γxy = -0. En un acelerómetro se han montado unas galgas extensiométricas tal y como muestra la figura.0036.006. 18. (2 puntos).Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias Experimentales – Universidad de Almería 16.003. Determine la deformación por esfuerzo cortante γxy. εy = .001 y εc = . Determine la deformación máxima absoluta por esfuerzo cortante.003. En un material en estado de deformación plana se sabe que el lado horizontal de un cuadrado de 10 mm x 10 mm se alarga en 4 µm. Para la deformación de la figura se pide: a) Tensor de deformaciones.10-3 rad. b) deformaciones principales. mientras que el lado vertical permanece constante. determine: a) orientación de los ejes principales. 21.4. c) Calcule con ayuda del círculo las deformaciones normal y tangencial según los planos de máxima deformación tangencial y de un plano que forma 60º con el eje X1. b) Valores propios de los tres tensores. 20. b) Dibuje el círculo de Mohr y determine las deformaciones principales con ayuda del mismo. c) deformación cortante máxima. c) Invariantes del tensor desviador. Utilizando el círculo de Mohr. el ángulo en la esquina izquierda inferior aumenta en 0.Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias Experimentales – Universidad de Almería 19. Sea el tensor de deformaciones en un material isótropo: 0 1 0 ε = 0 10 − 6 0 − 6 10 calcule: a) el tensor octaédrico y desviador. 5 .