Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Germán Elías Pomachagua Pérez
[email protected] CLASE03: DISTRIBUCION NORMAL Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 La curva normal es una distribución muy importante en todas las ciencias: • Muchos fenómenos naturales están distribuidos normalmente: si medimos la altura, peso, presión sanguínea en un gran número de personas (como mínimo 1000), y trazamos los polígonos de frecuencia de nuestros datos, cada uno de ellos se aproximará a la curva normal. • La mayoría de los test estadísticos dan por supuesto que los datos provienen de una distribución normal, DISTRIBUCIÓN NORMAL Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal es la distribución probabilidades, más conocida y utilizada en la estadística. Es simétrica de forma acampanada y definida para valores de -∞ hasta +∞. La distribución normal se define a través de sus parámetros media y varianza. X ~ N ( μ, σ² ) Se lee la variable X sigue una distribución normal con media µ y varianza o 2 Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 µ o 2 DISTRIBUCION NORMAL X~ N ( µ, o 2 ) +∞ -∞ 2 1 2 1 ( ) 2 x f x e µ o to ÷ | | ÷ | \ . = Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. P(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 % P(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 % P(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 % Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 µ = 0 o 2 = 1 DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR O TIPIFICADA Z ~ N (0, 1 ) o µ ÷ = x z · s s · = ÷ z - e z f z 2 1 ) ( 2 2 1 t Es una distribución normal con μ = 0 y σ 2 = 1 Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 3.9 3.8 0.9744 1.9 . 0.3 0.2 0.1 0 0.09 0.08 ….0.05…. 0 0.00 Z P(Z ≤ 1.95) USO DE TABLAS Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 CASOS MÁS FRECUENTES CASO I Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 CASOS MÁS FRECUENTES CASO II Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 CASOS MÁS FRECUENTES CASO III Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 CASOS MÁS FRECUENTES CASO IV | | ) ( ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( a Z P a Z P a Z P a Z P s = < ÷ ÷ = ÷ s ÷ = ÷ > Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo 1: Sea X las notas del curso de Estadística y esta se distribuye en forma normal X ~N(10,4). Si se selecciona un alumno al azar. a)Cuál es la probabilidad de que tenga una nota entre 11 y 13.6 ) 6 . 13 11 ( s s X P 2726 . 0 6915 . 0 9641 . 0 ) 8 . 1 5 . 0 ( ) 5 . 0 ( ) 8 . 1 ( ) 8 . 1 5 . 0 ( 2 10 6 . 13 2 10 2 10 11 = ÷ = s s s ÷ s = s s \ | | . | ÷ s ÷ s ÷ Z P Z P Z P Z P X P Solución: Sea X: Notas Hallar Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo2: El nivel del colesterol en la población tiene distribución normal, con media 200 y desviación 10. a) ¿Qué porcentaje de individuos tiene colesterol inferior a 210? b) ¿Cuál es el mínimo valor del colesterol, del 10% de los individuos que tienen los mas altos niveles de colesterol? d) ¿Entre que par de valores esta el 50% de los niveles centrales de colesterol? c) ¿Cuál es el máximo valor del colesterol, del 10% de los individuos que tienen los mas bajos niveles de colesterol? Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo3: Los sueldos de 10,000 empleados del Sector Salud tiene una distribución normal con promedio de $ 500 mensual y desviación estándar de $ 100. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar empleados con sueldo menor a $ 600 y cuantos empleados esperaría encontrar? 8413 . 0 ) 1 ( 100 500 600 ) 600 ( = s = ( ¸ ( ¸ ÷ s ÷ = s Z P X P X P o µ b) El gobierno dará una bonificación al 35% de los empleados que menos ganan. ¿Cuánto deberá ganar para obtener la bonificación y cuantos son? Rpta $461 d) ¿Cuántos empleados ganan menos de $650 dólares o mas de $850 dólares? e) Si se eligen 4 empleados en forma independiente, ¿Cuál es la probabilidad de que mas de 2 tengan un sueldo menor que $600 dólares ? c) ¿Entre que intervalos esta el 50% de los sueldos centrales? Rpta $ 433 y $ 567 Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo4: La longitud de los clavos fabricados por una máquina, en milímetros, es una variable aleatoria X que sigue una distribución normal. Se sabe que el 80% de los clavos fabricados miden menos de 11mm, y que el 90% de los clavos fabricados miden menos de 12mm. ¿Cuál es la media y la varianza de los clavos producidospor la máquina? Sabemos que P(X <11) = 0,8 y P (X < 12) = 0,9. Estandarizamos y nos queda que Solución: 80 . 0 11 = | . | \ | ÷ < o µ Z P 90 . 0 12 = | . | \ | ÷ < o µ Z P De la tabla obtenemos que F(0,8416) = 0,8 y F(1,2816) = 0,9. Planteamos: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = ÷ = ÷ 28 . 1 12 84 . 0 11 o µ o µ µ= 9.09 σ= 2,27 Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Sean X 1 , X 2 , ……….X n ,n variables aleatorias independientes con distribución normal N(µ i , σ 2 i ) i = 1,…….n Si W = α 1 X 1 +…………….+ α n X n , luego W~N(Σ α i µ i , Σ α 2 i σ 2 i ) Ejemplo 1: Una consultora de Opinión Publica tiene tres tipos de ingresos mensuales independientes A, B y C que siguen distribuciones normales N(14, 2), N(12, 4) y N(3, 5), respectivamente, medidos en millones de soles. Se pide a) Calcular la probabilidad de que los ingresos mensuales sean mayores de 30 millones. Rpta:0.3821 b) Calcular la probabilidad de no cubrir los gastos si estos se estiman en 20 millones mensuales Rpta:0.0034 c) Si consideramos 12 meses. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un mes no se cubran los gastos? Rpta:0.040046 PROPIEDAD REPRODUCTIVA DE LA DISTRIBUCION NORMAL Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo 3: Carl Lewis puede correr los 100 metros llanos en un tiempo distribuido normalmente N(7;9) en segundos. Su rival Ben Johnson puede hacer esa misma distancia en un tiempo distribuido normalmente según N(9;4) en segundos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Carl Lewis le gane a Ben Johnson? Rpta: 0.7088 b) ¿Cuál es la probabilidad de que le gane Carl Lewis aunque le de 1 segundo de ventaja? Rpta: 0.6103 Ejemplo2: El precio de venta que se fija para cierto tipo de bien tiene distribución normal con una media $50 y una desviación estándar de $5. Los compradores desean pagar una cantidad que también tiene distribución normal con media de $45 y una desviación estándar de $2.50. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga lugar una transacción?. Solución X es el precio de venta X ~ N(µ 1 = 50; o 1 2 = 5 2 ) Y es el precio de compra Y ~ N(µ 2 = 45; o 2 2 =2,5 2 ). La transacción se da, siempre y cuando: X s Y, lo que significa calcular P(X s Y) = P(X - Ys 0) Es decir, se tiene que obtener la distribución: W = X - Y ~ N( 5; 5,592) De modo que: 185541 , 0 ) 0 ( = s W P Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 CUANDO Z NO PARECE EN LA TABLA a) Calcular P(Z≤1.342)=? El valor se encuentra entre 1.34 y 1.35, usaremos interpolación lineal ) ( 0 1 0 1 0 0 P P Z Z Z Z P P ÷ | | . | \ | ÷ ÷ + = 9115 . 0 35 . 1 ? 342 . 1 9099 . 0 34 . 1 1 1 0 0 = ¬ = = ¬ = = ¬ = P Z P Z P Z ) 9099 . 0 9115 . 0 ( 34 . 1 35 . 1 34 . 1 342 . 1 9099 . 0 ÷ | . | \ | ÷ ÷ + = P 9102 . 0 = P b) El caso inverso, hallar P(Z≤z)=0.675 El valor se encuentra entre 0.6736 y 0.6772, usaremos interpolación lineal ) ( 0 1 0 1 0 0 Z Z P P P P Z Z ÷ | | . | \ | ÷ ÷ + = 6772 . 0 46 . 0 6750 . 0 ? 6736 . 0 45 . 0 1 1 0 0 = ¬ = = ¬ = = ¬ = P Z P Z P Z ) 45 . 0 46 . 0 ( 6736 . 0 6772 . 0 6736 . 0 675 . 0 45 . 0 ÷ | . | \ | ÷ ÷ + = Z 454 . 0 = Z Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Muchas veces se hace difícil conseguir datos reales para corroborar un método estadístico, una manera de resolver dicho problema es hacer que la computadora produzca mediante simulación dichos datos. Ejemplo: Supongamos que deseamos simular 30 notas de una población normal que tiene media 14 y desviación estándar 4. SPSS Transformar / Calcular variable En variable destino: Notas En Expresión Numérica: RV.NORMAL(14,4) MINITAB Calc/Datos aleatorios/Normal SIMULANDO DATOS DE UNA DISTRIBUCIÓN CONOCIDA Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 1) La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una máquina es 1,275 cm. y la desviación típica de 0,0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm. a 1,29 cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente. 2) Se tiene un programador de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es auto administrativo, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 h. y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 h. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 h. para completar el programa?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 h. y 650 h. para completar el programa de entrenamiento?. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 3) Suponga que el ingreso familiar mensual, X, en una comunidad tiene una distribución normal con media $ 400 y una desviación estándar de $ 50. a) Si el 10% de las familias con mayores ingresos debe pagar un impuesto, a partir de qué ingreso familiar se debe pagar dicho impuesto? Rpta: 464 b) Si el ahorro familiar está dada por la relación Y = (1/4) X – 50. ¿Cuál es la probabilidad de que el ahorro sea superior a $75? Rpta 0.0228 4) El tiempo de duración de los chips producidos por un fabricante de semiconductores es una variable aleatoria cuya distribución es aproximadamente normal con µ = 5106 horas y o = 250 horas. a) En términos del enunciado, ¿cómo interpreta el valor del cuartil 1? b) Un ensamblador de computadoras está dispuesto a comprar una gran cantidad de chips siempre que el 90% del lote tenga un tiempo de vida superior a 4800 horas. ¿Qué decisión debería tomar en vista de la información disponible?. Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 5) Las horas productivas por mes de un departamento de administración se distribuyen mediante una Normal. Se sabe que en el 2.56% de los meses las horas productivas son menos de 1305 y que el 15.87% de los meses las horas productivas son más de 1600. a) ¿Cuál es el número de horas productivas por término medio? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se trabajen entre 1450 y 1550 horas? c) Si se seleccionan 5 meses al azar, ¿cuál es la probabilidad de que en 3 de ellos se hayan trabajado entre 1450 y 1550 horas? 6) Una empresa puede comprar materia prima a dos proveedores y le preocupa la cantidad de impurezas que posee. El examen de los datos de cada proveedor indica que los niveles porcentuales de impurezas de los envios de la materia prima recibidos siguen distribuciones normales que tienen las medias y las desviación estandar en las tabla. La empresa tiene especial interes en que interes en que el nivel de impurezas no supere el 5% y quiere comprar al proveedor que tenga mas probabilidades de cumplir esa condicion. ¿Què proveedor debe elegir Proveedor Media Desviación estandar A 4.4 0.4 B 4.2 0.6 Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL n 1 n 2 n 3 n 4 n m N Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Factor de Corrección para Poblaciones Finitas, Se usa cuando se está haciendo un muestreo sin reemplazo, y el tamaño de la muestra excede al 5% de la población ) 05 . 0 ( > N n Se hacen los siguientes ajustes Luego 1 ÷ ÷ ÷ = N n N n X Z o µ Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 ? ) 775 ( = < X P Solución: X: duración en horas 16 40 800 = = = n y o µ | | . | \ | ÷ < ÷ 16 / 40 800 775 / n X P o µ 0062 . 0 ) 5 . 2 ( = ÷ < Z P Ejemplo 1: La Compañía Phillips fabrica focos, para las salas de emergencia de un hospital que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas a) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. b) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas, si conocemos que N =200? 05 . 0 08 . 0 200 16 > = = N n Como Aplicamos factor de corrección para poblaciones finita 1 ÷ ÷ = N n N n X o o 0047 . 0 ) 60 . 2 ( 199 16 200 16 40 800 775 1 = ÷ < = | | | | . | \ | ÷ ÷ < ÷ ÷ ÷ Z P N n N n X P o µ Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 9938 . 0 ) 50 . 2 ( ) 5 / 10 80 75 ( ) / ( ) 75 ( = ÷ > = ÷ > = ÷ > = > Z P Z P n X Z P X P o µ Ejemplo2: El coeficiente intelectual (C.I.)de los alumnos de un centro especial se distribuye normalmente con media 80 y desviación típica 10. ) 100 , 80 ( N X ¬ Solución :X: coeficiente intelectual a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga como mínimo 75 puntos en coeficiente intelectual ?. Si extraemos una muestra aleatoria simple de 25 alumnos: c) ¿ Cuál es la probabilidad de que el promedio del C.I. sea como máximo 83? d) ¿Cuál es el mínimo promedio del C.I. , del 15% de los alumnos que tienen los mas altos coeficientes? 6915 . 0 ) 50 . 0 ( ) 10 80 75 ( ) ( ) 75 ( = ÷ > = ÷ > = ÷ > = > Z P Z P X Z P X P o µ 9332 . 0 ) 50 . 1 ( ) 5 / 10 80 83 ( ) / ( ) 83 ( = s = ÷ s = ÷ s = s Z P Z P n X Z P X P o µ 08 . 82 5 / 10 80 04 . 1 04 . 1 85 . 0 ) ( 85 . 0 = ¬ ÷ = ¬ = ¬ = s K K Z K X P b) ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del C.I. sea mayor que 75? ) 4 , 80 ( N X ¬ Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo3: El gasto mensual de la familia Gonzales sigue una distribución normal de media de 3,000 soles y varianza 500. Supongamos que el gasto de cada mes es independiente de los otros meses. Si el ingreso anual es de 37,000 soles. a) Si extraemos una muestra de 4 meses. ¿Cuál es la probabilidad de que gasten en promedio mensual mas de 4,000 soles? Rpta b) ¿Cuál es la probabilidad de que no gasten más de lo que ganan a año? c) ¿Cuánto deberían ganar para tener una seguridad del 99% de que no gastarán más de lo que han ganado durante el año? b) Solución: Sea: el gasto anual X i el gasto mensual en el mes i ) 1 , 0 ( ~ / 1 N n n x n X Z n i i o µ o µ ¿ = ÷ = ÷ = 1 ) 91 . 12 ( ) 12 500 000 , 3 12 000 , 37 ( ) 000 , 37 ( 12 1 = < = ÷ < = < ¿ = Z P x Z P x P i i Podemos aseguran con un 100% de certeza que no gastaran mas de los que ganan c) 99 . 0 ) 4597 . 77 000 , 36 ( ) 12 500 000 , 3 12 ( ) ( 12 1 = ÷ < = ÷ < = < ¿ = G Z P x G Z P G x P i i 4811 . 180 , 36 33 . 2 4597 . 77 000 , 36 = ¬ = ÷ G G ¿ = 12 1 i i x Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo4: Consideremos las alturas de los estudiantes de EPEL. Supongamos que sabemos que se trata de una variable aleatoria normal de media 172 cm y desviación típica 11 cm. Entonces podemos contestar preguntas del tipo siguiente: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia entre la media muestral y la media poblacional sea menor que 1 cm, en una muestra de 300 estudiantes? 8836 . 0 ) 57 . 1 57 . 1 ( ) 635 . 0 1 635 . 0 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( = < < ÷ = < < ÷ = < ÷ < ÷ = < ÷ Z P Z P X P X P µ µ b) ¿Cuál será el tamaño de la muestra para tener una probabilidad del 0.95 de la media muestral difiera de la media poblacional en menos de 1 cm? 5 . 464 96 . 1 / 11 1 = ¬ = n n 95 . 0 ) / 11 1 / 11 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( = < < ÷ = < ÷ < ÷ = < ÷ n Z n P X P X P µ µ Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo5 La variable X se distribuye normalmente con media 50 y desviación típica 12. a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos una puntuación de 45? b) Si extraemos una muestra aleatoria simple de 16 alumnos:. ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea menor de 58? c) ¿Qué tamaño tendría que tener la muestra para que la probabilidad de encontrar medias superiores a 52 fuese 0,2578? Rpta: a) 0.6628; b) 0.9962; c) n=15 Ejemplo6: El proceso de envasado de cierto producto tiene un distribución normal con una desviación estándar de 20 gramos y con una media μ que debe ser bien regulada. a) La media μ del proceso este bien regulada si sólo el 1% de los pesos de las bolsas producidas tienen pesos mayores a 546,6 gramos. ¿Cuánto vale la μ bien regulada? Rpta: μ=500 b) Con la media del proceso bien regulada, se programará el siguiente control: cada hora se escogerán al azar 4 bolsas , si el promedio de los pesos no esta en el intervalo [480, 520] gramos, se para el proceso para realizar un mantenimiento, en caso contrario, se continua con el proceso. ¿ Cuál es la probabilidad de que se pare el proceso cuando realmente este bien regulado? Rpta: 0.0456 c) Si el proceso este bien regulado. ¿Con que tamaño de muestra se consigue que el peso promedio muestral sea a lo mas 490.2 gramos con probabilidad igual a 0.025? Rpta: n=16 Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo7 Calvin Ensor, presidente de la General Telephone Corps., está preocupado por el número de teléfonos producidos por su empresa que tienen auriculares defectuosos. En promedio, 110 teléfonos al día son devueltos por este problema, con una desviación estándar de 64. El señor Ensor ha decidido que a menos que pueda estar 80% seguro de que, en promedio, no se devolverán más de 120 teléfonos al día durante los siguientes 48 días, ordenará una reparacióngeneral del proceso. ¿Se ordenará la reparación general?. Sol: No se ordenará la reparación general (0,8599 > 0,8) Ejemplo 8: Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300 Kg. Si el peso de un individuo sigue una distribución N( 71,7 ), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos supere los 300Kg. Ejemplo 10: El precio promedio de los computadores personales, para una configuración definida, es de US$ 1.100, con una desviación estándar de US$ 200. Si se toma una muestra aleatoria de 40 distribuidores de este tipo de computador. ¿ Qué porcentaje de distribuidores comercializan el computador a un valor promedio inferior o igual a US$ 999?. Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo 9: Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un paquete, con una desviación típica de 8 minutos. Supongamos que durante el día de hoy han repartido doscientos paquetes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de entrega de hoy esté entre 30 y 35 minutos? Rpta 0.5 b) ¿Cuál es la probabilidad de que, el tiempo total, para los doscientos paquetes sea de a lo más 115 horas? Rpta 0.8106 Ejemplo 10: El número de libros encuadernados diariamente por una máquina automática sigue una variable aleatoria cuya distribución no se conoce, con una desviación típica de 16 libros por día. Si se selecciona una muestra aleatoria de 49 días. a) Determinar la probabilidad de que el número medio de libros encuadernados durante esos días (la media muestral) se encuentre a lo sumo a 3 libros de la verdadera media poblacional Rpta 0.8098 b) Determinar el tamaño de la muestra para que la media muestra1 se encuentre a lo sumo a 3 libros de la media poblacional con una probabilidad del 0,95. Rpta 110 Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Distribución de una media muestral con varianza poblacional conocida 1) Una máquina empaqueta un determinado producto cuyo peso en gramos se distribuye normalmente con una desviación estándar de 20 gramos y una media μ de 500 gramos que debe ser regulada constantemente a) La media μ se encuentra bien regulada solo si el 1% de los pesos de los paquetes que produce la máquina tienen pesos mayores a 546.5 gramos. ¿Cuanto deberá valer? Rpta μ=500 b) Con la media bien regulada, se programa el siguiente control del peso del producto: cada hora se escogen 4 paquetes, si el promedio no esta entre 480 y 520 gramos se para la máquina para mantenimiento. En caso contrario continua el proceso . ¿Cual es la probabilidad de parar la máquina cuando en realmente este bien regulada? Rpta 1-0.9545=0.0455 c) Si la máquina fue bien regulada ¿Con qué tamaño de muestra se consigue que la media muestral sea a lo mas 409.2gramos con probabilidad igual a 0.025 Rpta n=15.999~16 Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Distribución de una media muestral con varianza poblacional desconocida Sea x 1 ,x 2 ,….x n una muestral aleatoria con reemplazo de tamaño n recogida de una distribución normal N(μ, σ 2 ), donde la varianza poblacional es desconocida entonces la variable aleatoria : n s x t / µ ÷ = La distribución t de Student tienen (n-1) grados de libertad NOTA: Tener presente que la distribución de la variable X debe ser Normal de otro modo este resultado es inaplicable Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo1: Hemos hecho una encuesta entre los hombres de una población determinada y, a partir de los resultados, deducimos que el peso de los hombres de esta población sigue una distribución normal de media 72 kg. Para saber si los datos que hemos obtenido son fiables, pesamos a cuatro de los encuestados y obtenemos una media de 77,57 kg, con una desviación típica de 3,5 kg. ¿Tenemos suficientes motivos para pensar que los encuestados han mentido cuando nos han dicho su peso? Solución: ) 4 / 5 . 3 57 . 5 / 4 / 5 . 3 57 . 5 ( 1 ) 57 . 5 57 . 5 ( 1 ) 57 . 5 ( < ÷ < ÷ ÷ = < ÷ < ÷ ÷ = > ÷ n s X P X P X P µ µ µ 05 . 0 95 . 0 1 ) 18 . 3 18 . 3 ( 1 ) 57 . 5 ( 3 = ÷ = < < ÷ ÷ = > ÷ t P X P µ Así pues, parece que nos han mentido, ya que la probabilidad de que la diferencia entre las medias de los pesos que nos han dicho y 72 es muy pequeña, del orden de 0,05. Si esta probabilidad fuese pequeña, nos indicaría que los encuestados seguramente han mentido sobre su peso Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA PROPORCION Si de una población distribuida Binomialmente con probabilidad de éxito p, se extrae una muestra aleatoria de tamaño n, entonces se puede mostrar que la media de X: número de éxitos en la muestra, es µ= np y que su varianza es σ 2 = npq npq np x n pq p p z ÷ = ÷ = Donde: PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION DE LA PROPORCIONAL MUESTRAL 1. La distribución es aproximadamente normal y la aproximación se considera buena para np≥0.5 y n(1-p)≥0.5 2. Donde y p p = µ n pq p = o muestral proporción n x p l poblaciona Proporción p : : = Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo1 Se ha estimado que el 43% de los egresados de Ingeniería consideran que es muy importante que se imparta un curso de Ética. De una población de 800 egresados se tomó una muestra de 80. a) Calcular la probabilidad de que más de la mitad de ellos opinen de ese modo. El factor de corrección esta dado por: 05 . 0 1 . 0 800 80 > = = N n 0525 . 0 1 800 80 800 80 57 . 0 * 43 . 0 1 = ÷ ÷ = ÷ ÷ = N n N n pq p o Luego : Solución: La probabilidad que nos piden es: 0918 . 0 ) 33 . 1 ( 0525 . 0 43 . 0 5 . 0 ) 5 . 0 ( = > = | . | \ | ÷ > = > Z P Z P p P Hay una probabilidad del 9.18% de que mas de la mitad de los estudiantes considera necesario que se imparta el curso de Ética b) ¿Cuantos egresados deben ser seleccionados para tener un margen de error de estimación menor del 2% con un 96% de probabilidad? Material de Clases © G.P.P 26-dic-12 Ejemplo8 : Suponga que el 15% de los artículos que se producen en una línea de ensamble son defectuosos, pero que el gerente de producción no se ha enterado. También suponga que el departamento de aseguramiento de la calidad prueba 50 piezas para determinar la calidad de la operación de armado. Sea p la proporción muestral de piezas defectuosas que encontró la prueba de aseguramiento de calidad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de la muestra esté a ± 0,03 o menos de la proporción de piezas defectuosas en la población? Sol: 0,4448 b) Si la prueba indica que p = 0,10 o más, de piezas defectuosas, la línea de ensamble se para y se investiga la causa de los defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de 50 piezas lleve a la conclusión de que debe pararse la línea de ensamble? Sol: 0,8389 Ejemplo9 Una encuesta realizada en 1993 por Datamotion encontró que el 34% de los encuestados utilizaban aplicaciones basadas en Windows en su computadora. a) Si se toma una muestra de 500, ¿cuál es la probabilidad de que el error muestral sea superior al 3%? Sol: 0,1528 b) Si se toma una muestra de 1000. ¿Cuál es la probabilidad de que el error muestral sea superior al 3%? Sol: 0,0456 Material de Clases © G.P.P 26-dic-12