I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a CPRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 1 AULA 01 NÚMEROS PROPORCIONAIS 1. Razões e Proporções Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade. Então, dados dois números a eb , denomina-se razão ao quociente de a por b e indica-se por b a Obs.: a razão b a é usualmente lida assim: “a está para b”. A igualdade entre duas razões é uma proporção. Representação: d c b a = onde: a, d =extremos b, c =meios A expressão d c b a = lê-se assim: a está para b assimcomo c está para d Observações: Considere os conjuntos A ={a, b, c} e B ={d, e, f} duas sucessões numéricas dadas nessa ordem. • A e B são diretamente proporcionais se: k f c e b d a = = = k é a constante de proporção. Propriedade: f e d c b a f c e b d a + + + + = = = • A e B são inversamente proporcionais se: a . d =b . e =c . f =k Propriedade: a . d =b . e =c . f = f 1 c e 1 b d 1 a = = Exercícios de Sala 01) Um automóvel percorre 160kmem 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: 02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é 42 e que a razão entre eles é 4 3 . 03) a) Dividir 150 empartes diretamente proporcionais a 3, 5 e 7. b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4. Tarefa Mínima 01) Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos para o curso de Odontologia. Sabendo que foram fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de candidatos em relação ao número de vagas? 02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é 60 e que a razão entre eles é 3 2 . 03) Determinar os valores de x e y sendo: x – y =10 e 3 1 x y = 04) Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x =1 e y =6 b) x =2 e y =12 c) x =1 e y =12 d) x =4 e y =2 05) Divida o número 360 em partes proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6. Tarefa Complementar 06) Divida o número 220 em partes inversamente proporcionais aos números 7 4 4 3 , 3 2 e . 07) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos e estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas. 08) ( PUC-SP ) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejamdiretamente proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade 20 5 8 x y 9 = = , os valores de x e y devem ser respectivamente: a) 2 e 36 b) 5 1 e 4 1 c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.d.a. 09) ( F.Carlos Chagas ) Se as seqüências (a, 2, 5) e (3, 6, b) são de números inversamente proporcionais e a +mb =10, então m é igual a: a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0 10) p é inversamente proporcional a q +2. Sabendo que p =1 quando q =4, quanto vale p quando q =1? a) – 2 b) 0 c) 0,5 d) 2 e) 3 11) ( UFMG ) Sabendo-se que x +y +z =18 e que 4 3 2 z y x = = , o valor de x é: Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 2 12) ( UFSC ) O perímetro de um terreno é 72 m. As medidas de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno, é: 13) ( UFBA ) Sabe-se que das 520 galinhas de umaviário, 60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de mortas para o número de vivas é: 1 1 4 4 a) b) c) d) e) n.d.a. 4 5 1 5 14) ( FUVEST ) Na tabela abaixo, y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m. x y 1 2 2 p m 8 15) Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25 litros de gasolina. Determinar as razões das medidas. a) do óleo para a gasolina b) da gasolina para a mistura c) do óleo para a mistura AULA 02 GEOMETRIA PLANA 1. Ângulos Ângulo é a região formada por duas semi retas que têma mesma origem (vértice). O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual: OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice 2. Unidades angulares Sistema Sexagesimal (Grau) 1 grau é 360 1 da circunferência. Submúltiplos do Grau: 1° =60´ e 1´=60´´ Os ângulos recebemnomes especiais de acordo com a sua abertura. Ângulo Agudo Ângulo Reto Ângulo Obtuso Dois ângulos α e β podem ser: a) complementares: α +β =90º b) suplementares: α +β =180º c) replementares: α +β =360º 3. Ângulos opostos pelo vértice Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes 4. Ângulos formados por duas paralelas e uma transversal 5. Triângulos Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se triângulo A, B, C (indicado por: ∆ABC) à reunião dos segmentos AB, AC e BC. Pode-se classificar umtriângulo segundo dois critérios: Quanto aos lados I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 3 Quanto aos ângulos CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e considerando a, o lado maior temos: • a 2 <b 2 +c 2 ⇔ triângulo acutângulo • a 2 =b 2 +c 2 ⇔ triângulo retângulo • a 2 >b 2 +c 2 ⇔ triângulo obtusângulo 6. Ângulos num Triângulo A + B + C = 180° 6.1. Triângulo Equilátero Se AB =BC =AC então A =B =C =60° 6.2. Triângulo Retângulo Exercícios de Sala 01) ( UFMA ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x +10° e x +50°. Um deles mede: 02) Umângulo mede a metade do seu complemento. Então esse ângulo mede: a) 30° b) 45° c) 60° d) 80° e) 15° 03) Em cada figura abaixo, determine o valor de x. a) r //s b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo equilátero. Tarefa Mínima 01) ( ACAFE ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x – 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é: a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10° 02) Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede: a) 45° b) 135° c) 100° d) 175° 03) Determine o valor de x na figura abaixo: x s r s // 25º 130º 04) Nas figuras abaixo, o valor de x é: a) b) c) d) Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 4 05) ( FUVEST ) Na figura, AB =BD =CD. Então: a) y =3x b) y =2x c) x +y =180° d) x =y e) 3x =2y Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus, do arco x é: 07) ( UECE ) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede: a) 100° b) 144° c) 36° c) 80° e) n.d.a. 08) ( UFSC ) Dados os ângulos: Â =22°32'15'' C ∧ = 75°01'52'' B ∧ =17°49'47'' D ∧ =32°44'20'' Calcular o valor, em graus, da expressão: A C B D ∧ + ∧ | \ | . | − ∧ + ∧ | \ | . | 09) ( UFSC ) Na figura abaixo, o valor em graus da diferença x − y é: 23 o y x 112 o r s t r // s // t 10) ( UFSC ) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo y, emgraus, é: 11) ( Cesgranrio ) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal de modo que a soma de dois ângulos agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos obtusos formados mede: a) 142° b) 144° c) 148° d) 150° e) 152° 12) ( Fuvest-SP ) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, emgraus, do ângulo 3 é: a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100 13) Sabendo que o complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em graus, a medida do ângulo 14) Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y. 60° 70° Y r s 15) Na figura , o valor de x é: I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 5 AULA 03 ESTUDO DOS POLÍGONOS 1. Elementos 2. Classificação Os polígonos podem ser classificados quanto o número de lados. Os mais conhecidos são: • Triângulos - 3 lados • Quadriláteros - 4 lados • Pentágono - 5 lados • Hexágono - 6 lados • Heptágono - 7 lados • Octógono - 8 lados • Eneágono - 9 lados • Decágono - 10 lados • Undecágono – 11 lados • Dodecágono - 12 lados • Pentadecágono – 15 lados • Icoságono - 20 lados Observação: Umpolígono é dito regular se for equilátero (lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais) 3. Número de Diagonais O número de diagonais de umpolígono de n lados é dado pela expressão: 4. Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n ≥ 3) é dado pela expressão: 5. Soma dos ângulos externos A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n ≥ 3) é sempre igual a 360° Observações • Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes relações: • Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par, então n/2 é o número de diagonais que passampelo centro. • Se n é ímpar, não há diagonais que passampelo centro. POLÍGONOS REGULARES Um polígono é regular quanto tem lados congruentes e ângulos congruentes. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a numa circunferência. Nomenclatura é o lado do polígono R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a é o raio da circunferência inscrita ou apótema Triângulo Equilátero h Quadrado Hexágono Regular Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 6 Exercícios de Sala 01) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais? a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18 02) Emum icoságono regular ABCDE... calcule: a) a soma dos ângulos internos b) a soma dos ângulos externos c) cada ângulo interno e externo 03) Dado um triângulo eqüilátero de lado 2 3cm, determine: a) altura do triângulo b) raio da circunferência circunscrita c) raio da circunferência inscrita 04) Numquadrado de lado 10cm está circunscrita uma circunferência cujo raio, emcm, é igual a: a) 5 2 b) 10 c) 10 2 d) 20 2 e) 3 2 05) ( VUNESP ) A distância entre dois lados paralelos de umhexágono regular é igual a 2 3cm. A medida do lado desse hexágono, emcentímetros, é: a) 3 b) 2 c) 2,5 d) 3 c) 4 Tarefa Mínima 01) O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono e) não existe 02) Cada ângulo interno de umdecágono regular mede: a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150° 03) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo? a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono 04) Dado uma círculo de raio 10cm. Determine: a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo 05) O lado de umtriângulo eqüilátero inscrito numa circunferência mede 2 6cm. Determine a medida da altura do triângulo. a) 2 2 b) 2 c) 3 2 d) 2 e) n.d.a. 06) ( ACAFE-SC ) O diâmetro mínimo de um tronco de árvore, para que dele se possamfazer postes quadrados, cujas arestas das bases meçam20cm, é: a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20 2cm e) 80 cm Tarefa Complementar 07) ( UNICAMP ) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1.440° temexatamente: a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais 08) ( UNIFEI-MG ) Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3. 09) ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 10) ( PUC-SP ) A figura mostra um hexágono regular de lado “a”. A diagonal AB mede: A B a) 2a b) a 2 c) 2 3 a d) a 3 e) 3 2 a 2 I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 7 11) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 2 3 e ) 2 3 12) ( FUVEST ) A, B, C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, emgraus de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 150 13) Calcule a medida do ângulo central de um eneágono Regular. 14) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado a? 15) Determinar em função do raio R, o lado de um decágono regular inscrito numa circunferência de raio R. AULA 04 CIRCUNFERÊNCIA 1. Elementos Raio: segmnento CB. Corda: segmento MN. Diâmetro: segmento AB. 2. Ângulos da circunferência 2.1. Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da circunferência. 2.2. Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na circunferência. Propriedade: Conseqüências Se umtriângulo inscrito numa semicircunferência tem umlado igual ao diâmetro, então ele é umtriângulo retângulo. 2.3. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior 2.4. Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior 2.5. Quadrilátero Inscrito na circunferência 3. Segmentos Tangentes 4. Teorema de Pitot Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois: Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS TRIÂNGULO RETÂNGULO Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim tem- se: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = = = = = F ˆ C ˆ k f c e b d a então E ˆ B ˆ D ˆ A ˆ : Se k é a constante de proporção ou constante de semelhança Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer. Triângulo Retângulo – relações métricas Considere o triângulo abaixo, retângulo emA. Seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa à hipotenusa n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Relações Métricas Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as seguintes relações: a 2 =b 2 +c 2 (teorema de Pitágoras) a.h =b.c b 2 =a.n c 2 =a.m h 2 =m.n Exercícios de Sala 01) Determine o valor de x em cada caso abaixo: a) b) x 20° O c) 02) Determine o valor do complemento do ângulo x indicado na figura abaixo: x 40° 03) A circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB=8, AC=9 e BC=7 . Então x vale: A B P C x a) 1,5 b) 2,8 c) 3,0 d) 4,6 e)5,0 04) Na figura abaixo os ângulos CÂD e A B ˆ D são congruentes. Então o valor de x é: a) 42 b) 32 c) 21 d) 60 e) 10 Tarefa Mínima 01) Nas figuras abaixo, determine o valor de x I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 9 02) ( ACAFE-SC ) Na figura a seguir, o valor de x é: 3x 150° A B C O a) 25° b) 30° c) 50° d) 75º e) 100° 03) ( PUC-SP ) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos arcos (AC) mede: 40° A B C 04) ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é: 3 x 2 10 05) ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. Nessas condições, determine o valor de x +y. A y D 18 B 15 C E 10 x 10 Tarefa Complementar 06) ( FUVEST ) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: 07) (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A medida, emgraus, do ângulo α é: 08) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo. 09) Na figura, PA =16 cm e A, B e C são pontos de tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS. 10) Sendo O o centro da circunferência circunscrita no pentágono abaixo, calcule x + y. 11) Determine o perímetro do quadrilátero a seguir: 3x +1 3x 2x x+1 12) ( ACAFE ) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm. a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm e) 5cm, 14cm e 19cm 13) ( UNICAMP ) A figura mostra um segmento AD dividido em três partes: AB =2cm, BC =3cm e CD =5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´ são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dos segmentos AB´, B´C´ e C´D´ 14) ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é: A B C M N Q P a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16 Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 10 15) Na figura abaixo as circunferências de centros A e B têmraios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule, emcentímetros, a medida do segmento CD. AULAS 05 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Triângulos Quaisquer Triângulo Equilátero Quadriláteros PARALELOGRAMO A =a.h Círculo e suas partes Círculo A =πR 2 Coroa Circular A =π (R 2 – r 2 ) Setor Circular A = 360 απR 2 Exercícios de Sala 01) ( FCC-SP ) O retângulo ABCD temárea 105 m 2 . O lado do quadrado EFGD mede, em m: A B C D E F 10 2 a) 4 b) 5 c) 2 5 d) 5 2 e) 6 02) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a umquadrado de lado 3 é: a) 2,25π b) 5π c) 4π d) 2π e) 8π I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 11 Tarefa Mínima 01) ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a figura, é: 120° A B C 4 3 a) 3 b) 2 3 c) 3 d) 4 3 e) 6 02) ( CEFET-PR ) A área do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 2 é igual a: a) 3 3 cm 2 b) 3 2cm 2 c) 2 3 cm 2 d) 2 2 cm 2 e) n.d.a. 03) ( UFSC ) O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é: 04) ( UFPR ) Um retângulo de 6m por 12m está dividido em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e umterço da de C. A B C Com base nessas informações, é correto afirmar: 01. A soma das áreas de A, B e C é 72m 2 . 02. A área de A é 1/6 da área de C. 04. A área de A é 24m 2 . 08. Umdos lados de A mede 2m. 16. Umdos lados de C mede 8m. 05) ( UFSC ) Na figura, a seguir, a área hachurada é de 16 π cm 2 . Sabendo-se que a diferença entre os dois raios é 2cm, determine o valor numérico do produto desses raios. Tarefa Complementar 06) ( FUVEST ) No triângulo ABC, AB =20cm, BC =5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango de área 8cm 2 A B C M N P A medida, emgraus, do ângulo BNP é: a) 15 b) 30 c) 45 c) 60 d) 75 07) ( CESGRANRIO ) A base de um retângulo de área S é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é: a) 1,04 S b) 1,02 S c) S d) 0,98 S e) 0,96 S 08) ( CESCEM-SP ) O quadrilátero ABCD é um retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é: A B C E F G D a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/9 e) 1/10 09) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é igual a: A B C O 10) ( MACK-SP ) No círculo da figura, de centro O e raio 1, a área do setor assinalado é: 9 8π e) 9 5π d) 18 5π c) 18 7π b) 9 7π a) Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 12 11) ( UEM ) Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Umretângulo inscrito nesse triângulo temo lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima? 12) ( VUNESP ) Um cavalo se encontra preso numcercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40mque está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando π =3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado. a) 1244 b) 1256 c) 1422 d) 1424 e) 1444 13) ( UFRGS ) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área cresce: a) 14% b) 14,4% c) 40% d) 44% e) 144% 14) ( UFSC ) Considere as circunferências C1 de raio r e C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados, calcule em cm 2 , a área do círculo limitado pela circunferência C2. 15) ( FUVEST-2003 ) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC =10. Calcule AB. AULAS 06 GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos. Relação de Euler: V +F =A +2 Soma dos ângulos internos: Si =360º (v – 2) onde “v” é o número de vértices. Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de umpoliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais? Poliedros Regulares Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais. Exercícios de Sala 01) Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e vértices. 02) Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices. 03) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de aresta l Tarefa Mínima 01) (FISS – RJ) Umpoliedro convexo é formado por 20 faces triangulares. O número de vértices desse poliedro é: a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24 I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 13 02) (CEFET – PR) Umpoliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: a) 3240º b) 3640º c) 3840º d) 4000º e) 4060º 03) (PUC –PR) Umpoliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 8 04) (PUC – PR) Umpoliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 05) (PUCCAMP – SP) Sobre as sentenças: I . Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas: a) I é verdadeira b) II é verdadeira c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras. Tarefa Complementar 06) Some as alternativas corretas: 01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vértices. 02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente faces triangulares possui 9 arestas. 04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 15 arestas. 08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices pentaédricos possui 12 faces. 16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui umnúmero par de arestas. 07) (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais? 08) (CESGRANRIO – RJ ) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 180 b) 360 c) 540 d) 720 e) 900 09) (UFRGS) Umoctaedro regular possui: a) mais diagonais do que vértices; b) mais faces que arestas; c) mais vértices do que faces; d) menos diagonais que faces; e) igual número de vértices e de arestas. 10) (PUC – PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4 AULAS 07 PRISMAS 1. Definição Prismas são poliedros que possuemduas faces paralelas e congruentes denominadas bases e as demais faces emforma de paralelogramos. 2. Elementos BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´; BCB´C; CDC´D´; …… ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´; CC´; DD´ e EE´ ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada altura do Prisma ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´; C´D´ ; D´E´ e E´A´ 3. Nomenclatura O nome do prisma dá-se através da figura da base. • Prisma Triangular: As bases são triangulares. • Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros. • Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos Observação: Se o polígono da base for regular, o prisma também será chamados de Regular. 4. Classificação De acordo com sua inclinação umprisma pode ser: Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos da base. Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos da base. No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a altura. Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 14 4. Fórmulas Considere um prisma reto regular com n lados da base. Exercícios de Sala 01) Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine: a) a área total do prisma b) o volume do prisma 02) ( UFSC ) O volume de umprisma hexagonal regular de 2cm de aresta da base é 42 3cm 3 . A medida, em cm 2 , da área lateral desse prisma é: Tarefa Mínima 01) ( ACAFE ) Um prisma de 8dmde altura tempor base um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é: 02) ( UFSC ) Um prisma triangular regular tem uma área total de ( 96 +2 3) cm 2 . Sabe-se que a aresta da base mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do prisma é: 03) ( PUC-PR ) O volume do prisma reto de 3m de altura, cuja base é umhexágono de 2m de lado, é: a) 3m 3 b) 3 3 m 3 c) 9 m 3 d) 3 m 3 e) 8 3m 3 04) ( Mack-SP ) Numprisma de base triangular, a altura é 6 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em cm 3 : Tarefa Complementar 05) ( PUC-SP ) Se a área da base de umprisma diminui 10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: a) aumenta 8% b) aumenta 15% c) aumenta 108% d) diminui 8% e) não se altera 06) ( UFCE ) Um prisma reto tem por base um losango cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse prisma, em cm 3 , é: 07) ( ITA-SP ) Considere P umprisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3me com área total de 80m 2 . O lado dessa base quadrada mede: 08) ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de base triangular. Se AB =17cm, AE =8 cm e ED =14 cm, a área total desse prisma, emcm 2 , é: a) 1852 b) 1016 c) 926 d) 680 e) 508 09) ( UFSC-2005 ) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam4cm um do outro. Calcule o volume (emcm 3 ) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios. AULAS 08 TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS Paralelepípedo reto retângulo Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são paralelogramos a as faces opostas são retângulos congruentes. I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 15 Possui três dimensões: • comprimento (a) • largura (b) • altura (c) Fórmulas Área Total: ST = 2(ab + ac + bc) Volume: V = a.b.c Diagonal: D 2 = a 2 + b 2 + c 2 RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c) 2 = D 2 + ST Cubo – Hexaedro Regular Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais. Todas as faces são quadrados Fórmulas Área Total: ST = 6 2 Volume: V = 3 Diagonais: d = 2 D = 3 Exercícios de Sala 01) ( UFSC ) O volume de umparalelepípedo retângulo é 24 m 3 . Sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo. 02) No cubo da figura, área da secção o ABCD é 8 cm 2 . Calcule o volume do cubo. Tarefa Mínima 01) ( UFSC ) Na figura abaixo, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 2) cm. Calcule o volume do cubo emcm 3 . 02) ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em dm 2 , a área total desse paralelepípedo. 03) ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m 2 de área total. Em quanto deve ser aumentada a sua aresta em metros, para que seu volume se torne igual a 216 m 3 ? 04) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm 3 , é: 05) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm 2 , é: Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) A área total de umparalelepípedo reto retângulo é de 376 m 2 e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o resultado para o cartão resposta. 07) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm 3 , então a soma das áreas de suas faces é: a) 292cm 2 b) 298cm 2 c) 296cm 2 d) 294cm 2 e) 290cm 2 08) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto. 01. A área do triângulo ABC é 2 dm 2 . 02. AD = 2 6 dm. 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm 3 16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm. 09) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é: 10) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 128litros de água de uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm. a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa b) calcule sua capacidade em litros Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 16 AULA 09 PIRÂMIDES 1. Definição Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares. Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular 2. Nomenclatura Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base. Observe alguns exemplos. • Pirâmide Triangular → a base é umtriângulo • Pirâmide quadrangular → a base é um quadrado • Pirâmide Pentagonal → a base é um pentágono 3. Pirâmides Regulares Se a base de uma pirâmide reta for umpolígono regular, a pirâmide é regular. Elementos e Formulário • aresta da base - ℓ • aresta lateral -aℓ • altura – h • apótema da base – ab • apótema da pirâmide – ap • Raio da circunferência circunscrita – R Para uma pirâmide de regular com n lados da base vale as seguintes relações: Área da Base: SB =é a área do Polígono que está na base Área Lateral : SL = n. . ap 2 Área Total: ST =SB +SL Volume V = 3 .h SB Relações Auxiliares na Pirâmide • ap 2 =H 2 +ab 2 • a 2 =ap 2 + 2 2 | \ | . | • a 2 =H 2 +R 2 Exercícios de Sala 01) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a aresta da base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide. 02) Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja altura mede 3 3 m e o perímetro da base mede 12 m? 03) ( UFSC-2006 ) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m 2 de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m 2 de área. Qual a altura da pirâmide? Tarefa Mínima 01) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada, temaresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm 3 , o volume dessa pirâmide. 02) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 2 3cm. Determine a área total, emcm 2 , dessa pirâmide. 03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm 3 , é: 04) ( Cescem-SP ) Emuma pirâmide com 12cm de altura, tendo como base umquadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é: a) 240cm 2 b) 260cm 2 c) 340cm 2 d) 400cm 2 e) n.d.a. I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 17 05) ( Osec-SP ) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo 2. Então, a sua altura mede: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.d.a. Tarefa Complementar 06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm 3 de volume e 4 3cm de altura. Qual a medida da aresta da base? 07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de umquadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é: 08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro da base, e esta é umquadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. ( Divida o resultado obtido emm 2 por dez ) 09) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm. a) 4 3 cm 2 b) 8 3 cm 2 c) 12 3 cm 2 d) 16 3 cm 2 e) 24 3 cm 2 10) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação de um sólido. O volume desse sólido é de: a) 1152cm 3 b) 1440cm 3 c) 384cm 3 d) 1200cm 3 e) 240cm 3 11) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: 1 3 2 5 3 a) V b) V c) V d) V e) V 2 4 3 6 8 12) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm. a) 4 3 cm 2 b) 8 3 cm 2 c) 12 3 cm 2 d) 16 3 cm 2 e) 24 3 cm 2 13) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, emm 2 . a) 6.10 -4 b) 6.10 -2 c) 12.10 -4 d) 12.10 -2 e) 15.10 -4 14) ( EE Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem225 cm 2 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm 2 de área. A altura da pirâmide é: a) 4,5 cm b) 7,5 cm c) 1,5 cm d) 9,5cm e) 3,5cm AULAS 10 CILINDRO, CONE e ESFERA 1. Cilindro de Revolução Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta, uma região retangular. Tambémé chamado de cilindro circular. Elementos Se as geratrizes foremperpendiculares ao plano da base dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g =h Fórmulas Considere um cilindro reto. Área da Base: SB =πr 2 Área Lateral: SL =2πrh Área Total: ST =2SB +SL Volume: V =πr 2 h Secção Meridiana: A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a secção é um quadrado temos umcilindro eqüilátero (g =h =2r) 2R h Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 18 2. Cone de Revolução Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um triângulo retângulo em torno de umde seus catetos. Este cateto é a altura do cone o outro é o raio do cone, e a hipotenusa é a geratriz do cone. Fórmulas Área da Base: SB =πr 2 Área Lateral: SL =πrg Área Total: ST =SB +SL Volume: V = 3 h πr 2 Relação auxiliar: g 2 =h 2 +r 2 Secção Meridiana No cone reto temos a secção sendo umtriângulo isósceles. Quando a secção meridiana for umtriângulo eqüilátero teremos um cone eqüilátero ( G =2R ) h g 2R 3. Esfera Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também pode ser considerada um sólido determinado pela rotação de um círculo em torno de um de seus diâmetros. Secção de uma esfera Qualquer plano α que secciona uma esfera de raio R determina como secção plana um círculo de raio r. d é a distância entre o plano α e o centro da esfera. R é o raio da esfera. r é o raio da secção. Relação: R 2 = r 2 + d 2 Fórmulas da esfera superfície esférica: As =4πR 2 volume: V = 3 πR 3 4 Exercícios de Sala 01) ( ACAFE-SC ) O volume de umcone circular reto é de 27π dm 3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é: a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm 02) ( UFSC ) Determinar 1 π do volume em m 3 de umcone de revolução cujo diâmetro da base mede 8me a área lateral, 20π m 2 . 03) ( UFES ) Enche-se umtubo cilíndrico de altura h =20cm e raio da base r =2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: a) 102 π 3 cm 3 b) 80 π 3 cm 3 c) 40 π cm 3 d) 160 cm 3 e) 80 π cm 3 Tarefa Mínima 01) ( UFSC ) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de 36πm 2 . O valor, emm 3 , de 1 π do volume desse cilindro é: 02) ( UFSC ) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, de 15 π cm de altura e 12 cm de raio da base. O volume, em cm 3 , de ferro que sobrou após a modelagem, é: 03) UDESC ) Uma caixa d’água de forma cilindrica tem1,5 mde diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é: a) 3,2 m b) 3,6 m c) 4,0 m d) 4,8 m 04) ( SUPRA ) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água emseu interior, a água: a) ultrapassa o meio do cano b) transborda c) não chega ao meio do cano d) enche o cano até a borda e) atinge exatamente o meio do cano I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 19 05) ( FUVEST ) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência, em cm, é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Um cilindro reto tem63πcm 3 de volume. Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura. 07) ( UFCE ) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de: a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) n.d.a. 08) ( PUC-PR ) Umtriângulo retângulo isósceles, de hipotenusa 3 2cm, gira emtorno de um dos catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado? a) 3 2cm 3 b) 9 π cm 3 c) 18 π cm 3 d) 27 π cm 3 e) 1/3 π cm 3 09) Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm)da secção. a) 39 b) 36 c) 32 d) 65 e) n.d.a. 10) ( UFSC ) A razão entre o volume de um cubo e sua área total é 2. O valor de 1 3π do volume da esfera, inscrita nesse cubo, é: 11) ( UFSC ) O volume, em cm 3 , de um cubo circunscrito a uma esfera de 16π cm 2 de superfície é: 12) ( F.Porto-Alegrense-RS ) Se umcone e uma esfera têmo mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é: a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 d) 2/3 e) 1 13) ( Santa Casa -SP ) O raio da base de umcone eqüilátero mede 6 3cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em cm 3 , é: a) 144π b) 152π c) 192π d) 288π e) 302π 14) ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces emformato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é: a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100 15) ( UFSC ) A geratriz de umcone eqüilátero mede 3 2 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm 2 , multiplique o resultado por 3 e assinale o valor obtido no cartão-resposta. AULA 11 PROGRESSÃO ARITMÉTICA 1. Conceitos Iniciais Vamos considerar a seqüência (a n ) onde a n =3n +1, sendo n inteiro positivo. Temos: a 1 =4, a 2 =7, a 3 =10, a 4 =13 e assim por diante. (4, 7, 10, 13, ...........) Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor mantém-se igual a 3. Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas. 2. Definição Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a partir do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da P.A. e é indicada por r. Veja que para a seqüência a 1 .a 2 .a 3 ...a n ser uma P.A. é necessário que: a 2 − a 1 = a 3 − a 2 = ...... a n − a n−1 = ..... = r Veja os exemplos: a) a seqüência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois 5 – 2 =8 – 5 =..... Sua razão é igual a 3. b) a seqüência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois 4 – 1 ≠ 5 – 4. 3. Classificação da P.A. Uma P.A. pode ser classificada de acordo comvalor da razão. Observe o quadro abaixo: r > 0 ⇔ P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r =2 r < 0 ⇔ P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r =–3 r = 0 ⇔ P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r =0 4. Fórmula do Termo Geral da P.A. Considere a seqüência (a 1 , a 2 , a 3 ......a n ). Partindo da definição temos: a 2 =a 1 + r a 3 =a 2 +r =a 1 +r +r =a 1 + 2r a 4 =a 3 +r =a 1 +2r +r =a 1 + 3r . . a n = a 1 + (n – 1).r Importante: Se a n e a k são dois termos quaisquer de uma P.A. , da fórmula do termo geral temos: a n =a 1 +(n – 1)r (1) a k =a 1 +(k – 1)r (2) Subtraindo-se (1) de (2) vem: a n – a k =(n – 1)r – (k – 1)r a n – a k =(n – 1 – k +1) r a n =a k +(n – k)r Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 20 Logo, para dois termos quaisquer a n e a k , podemos escrever: a n = a k + (n – k).r Exemplos: a 12 =a 3 +9r; a 20 =a 6 +14r; a 8 =a 2 +6r Representações Especiais Para facilitar a resolução de problemas emP.A. podemos utilizar os seguintes artifícios: • Três termos em P.A. : x – r . x . x + r • Quatro termos emP.A : x – 3r . x – r . x + r . x + 3r • Cinco termos em P.A. : x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r Propriedades da P.A. Dada um Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades: • Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior 2 1 n a 1 n a n a + + − = Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23) 2 14 8 11 + = • Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos. Observação: Se dois termos a p e a q são eqüidistantes dos extremos tem-se: p +q =n +1 Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são eqüidistantes dos extremos ou não. Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a 16 e a 35 são eqüidistantes dos extremos, pois 16 +35 =50 +1. 3. Interpolação Aritmética Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com m + 2 elementos. Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.A. 4. Soma dos Termos da P.A. .n 2 n a 1 a n S | | . | \ | + = Exercícios de Sala 01) A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos consecutivos de uma P.A. Então o valor de x é: 02) Em uma P.A., a 5 =30 e a 16 =118. Calcular a razão da P.A. 03) ( UFSC ) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição correta. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 1e1995, é 01. 198.000 02. 19.950 04. 199.000 08. 1.991.010 16. 19.900 Tarefa Mínima 01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as seqüências representemtrês números consecutivos em P.A. a) (3x - 1, x +3 e x +9 ) b) (2x – 3, 2x +1, 3x +1) c) (x +4) 2 , (x – 1) 2 , (x +2) 2 02) ( FGV-SP ) A seqüência ( 3m; m +1; 5 ) é uma progressão aritmética. Sua razão é: 03) ( PUC-SP ) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é: 04) Calcular a razão de uma P.A sabendo que a soma do terceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o décimo segundo é 110. 05) ( LONDRINA ) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo quinto termo vale: 06) ( PUC-SP ) Três números positivos estão em PA. A soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é: 07) ( U.F OURO PRETO ) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é dada por: a) n 2 b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n 3 08) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é: a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840 Tarefa Complementar 09) ( UFSC ) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma dos termos extremos é 92, e a diferença entre os dois primeiros termos é − 5. O valor do 1º termo é: 10) O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e 623 é: I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 21 11) ( U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 – 3x, x – 2, 2x +1…) é uma P.A, então o décimo termo da P.A. (5 – 3x, x +7, ….) é: a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56 12) ( PUC ) Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A, nessa orden. O lado do quadrado mede: a) 2 b) 2 2 - 1 c) 1 + 2 d) 4 e) 2 13) ( CEFET-PR ) O número de inteiros compreendidos entre 200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são divisíveis por 15, é: a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80 14) ( POLI ) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da P.A. 15) ( Unicamp-SP ) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo. 16) ( UFSC ) As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida do maior lado desse triângulo. 17) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine o raio da circunferência inscrita nesse triângulo. 18) ( UFSC ) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. cujo primeiro termo e último termos são respectivamente, −7 e 17 é: 19) ( UFSC ) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., na qual o primeiro termo é igual a razão e a 3 +a 8 =18 é: 20) ( UFSC ) Qual deve ser o número mínimo de termos da seqüência (−133, −126, −119, −112...) para que a soma de seus termos seja positiva. AULA 12 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1. Definição É uma seqüência de números não nulos em que cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da PG. Representação: :: a 1 : a 2 : a 3 : .... :a n onde a 1 é o primeiro termo a 2 é o segundo termo a 3 é o terceiro termo an é o enésimo ou último termo n é o número de termos q é a razão da P.G. q a a a a a a a a n n = = = = − 2 1 3 2 4 3 1 2. Classificação da P.G. 1ºcaso: a 1 > 0 Se q > 0 → P.G. crescente → ( 2, 6, 18, 54,...) Se q = 1 → P.G. constante → ( 5, 5, 5, 5,...) Se 0 < q < 1 → P.G. decrescente → ( 256, 64, 16,...) 2º caso: a 1 < 0 Se q > 0 → P.G. decrescente →(-2, -10, -50,..) Se q = 1 → P.G. constante → ( -3, -3, -3,...) Se 0 <q <1 → P.G. crescente → ( -40, -20, -10,...) Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas em que cada termo temsinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre quando q <0. 3. Termo Geral Considere a seqüência (a 1 , a 2 , a 3, ......... , a n ). Partindo da definição temos: a 2 =a 1 .q a 3 =a 2 .q =a 1 .q.q =a 1 .q 2 a 4 =a 3 .q =a 1 .q 2 .q =a 1 .q 3 . . an = a 1 .q n - 1 Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. a m e a k , podemos dizer que: a m = a k .q m - k 1. Representação de três termos em P.G. x x x q q , , ⋅ 2. Propriedades 1ª Propriedade: Dada uma P.G com três termos consecutivos (a 1 , a 2 , a 3 ), podemos dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a 1 ) e o seu posterior (a 3 ), ou seja: a 2 2 = a 1 .a 3 ou a n 2 = a n - 1 .a n + 1 2ª Propriedade Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos. Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ). Observe que: 2.64 =4.32 =8.16 =128 3. Interpolação Geométrica Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m + 2 elementos. Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.G. Mat emát i c a C I nc l usão par a a Vi da PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 22 3. Soma dos termos de uma P.G. finita. A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela expressão: 1 1 1 1 1 n n a q a a q Sn q q . ( ) − − = = − − Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos uma P.G. constante, e a soma dos termos dessa P.G será dada por: S n = n. a 1 4. Soma dos termos de uma P.G. infinita. Dada uma P.G. com: n → ∞ ea n → 0, sua soma pode ser calculada pela expressão: q a S − = 1 1 0 < |q| < 1 5. Produto dos termos de uma P.G. finita O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão: |P n | = n ) . n 1 a ( a Exercícios de Sala 01) ( UEL-PR ) A seqüência (2x +5, x +1, 2 x , ....) é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência é: a) 2 b) 3 -10 c) 3 d) 3 10 e) 3 12 02) ( MACK-SP ) Em uma progressão geométrica o primeiro termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é: a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486 03) Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S 10 =3069 e que a razão vale 2, o valor do quinto termo é: a) 46 b) 47 c) 48 d) 24 e) 56 04) A solução da equação: x x x x + + + +. = 3 9 27 15 .. é: Tarefa Mínima 01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as seqüências representemtrês números consecutivos em P.G. a) (x +1; x +4; x +10) b) (4x, 2x +1, x – 1) 02) Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa P.G. 03) ( Fuvest-SP ) Numa P.G. de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão. 04) ( UFES-ES ) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde a soma de seus termos é 14 e o produto 64? a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1 05) ( UFCE ) A solução da equação x x x x + + + +. = 3 9 27 60 .. é: a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 51 06) A soma dos termos da P.G. (2, 6, ......, 486) é: a) 567 b) 670 c) 728 d) 120 e) n.d.a. Tarefa Complementar 07) ( UFPA ) A seqüência (a, ab, 3a), com a ≠ 0, é uma P.G. Então, o número b é: a) o triplo de a. b) a terça parte de a. c) racional d) irracional e) n.d.a. 08) ( UFPA ) A razão da P.G. obtida ao somarmos um mesmo número a 1,3 e 2, nessa ordemé a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3 09) ( FGV-SP ) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então a medida da base vale: 10) ( UFSC ) Em uma progressão geométrica o 3º termo é 16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo. 11) ( UFSC ) Na progressão geométrica ( 10, 2, 2 5 , 2 25 , ... ), a posição do termo 2 625 é: 12) Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é aumentado, mensalmente, em 12% sobre o preço anterior. Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês, obteremos uma progressão: a) aritmética de razão 12 b) aritmética de razão 0,12 c) geométrica de razão 12 d) geométrica de razão 1,12 e) geométrica de razão 0,12 13) ( UFSC ) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do 1º termo com o último é 12500. Determine o valor do 3º termo. Obs.: Considere a P.G. de termos positivos. 14) ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8 e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º termo dessa seqüência. a) 648 b) 78 c) 102 d) 354 e) 245 I nc l usão par a a vi da Mat emát i c a C PRÉ-VESTI BULAR DA UFSC 23 15) ( UFSC ) Sejam x, 6, y uma progressão aritmética onde x e y são dois números positivos. A sucessão x, 10, y +40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de 11y - 7x é: 16) ( UDESC ) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se os meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtém- se um novo quadrado, e assimsucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os quadrados obtidos. 17) ( IME ) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo, de uma altura de h metros. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine a distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetória até atingir o repouso. 18) ( FGV-SP ) O conjunto solução da equação 2 1 ... 27 9 3 2 − = − − − − − x x x x x é: a) { 2 1 , 1} b) {– 2 1 , 1} c) {1, 4} d) {1, - 4} e) {1, 2} 19) Considere a expressão A = ... 81 4 27 3 9 2 3 1 + + + + em que os numeradores formam uma P.A. e os denominadores formam uma P.G. Determine o valor de 12A 20) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. Existem64 múltiplos de 7 entre 50 e 500. 02. O valor de x que satisfaz a equação (x +1) +(x +4) +(x +7) +..... +(x +28) =155 é x =1 04. O oitavo termo da P.G. ( 2 , 2, ....) é a 8 =16. 08. A soma dos termos da P.G. 1 3 2 9 4 27 , , ,... | \ | . | é igual a 1. GABARITO – MAT C AULA 1 1) 34,50 cand/vaga 2) 24 e 36 3) x =15 e y =5 4) c 5) 48, 72, 96, 144 6) 72, 64, 84 7) 35 anos e 20 anos 8) a 9) d 10) d 11) 04 12) 10 13) a 14) p = 2 1 m = 2 1 ± 15) 6 1 , 6 5 , 5 1 AULA 2 1) c 2) b 3) 75° 4) a) 20° b) 44° c) 20° d) 30 o 5) a 6) 85° 7) a 8) 47 9) 21 10) 80 11) b 12) e 13) 30° 14) 130° 15) 120 AULA 3 1) b 2) c 3) c 4) a) 10 3 b) 10 c) 10 2 5) c 6) d 7) e 8) quadrado e dodecágono 9) d 10) d 11) a 12) d 13) 40 o 14) 2 15) R 2 1 5− AULA 4 1) a) 43° b) 50° c) 75° 2) a 3) a 4) 3/5 5) 29 6) a 7) c 8) 50° 9) 32 10) 215° 11) 20 12) b 13) 2,6; 3,9; 6,5 14) b 15) 20 AULA 5 1) c 2) a 3) 12 4) 13 5) 15 6) b 7) e 8) c 9) 9π cm 2 10) b 11) 03 12) a 13) d 14) 16 15) 20 AULA 6 1) a 2) a 3) a 4) e 5) e 6) 23 7) 18 8) d 9) d 10) a AULA 7 1) 32dm 3 2) 16 3) c 4) 36 5) a 6) 96 7) 04 8) d 9) 72 AULA 8 1) 64 2) 68 3) 02 4) 64 5) 02 6) 48 7) a 8) 13 9) 06 10) a) 80 b) 512 AULA 9 1) 64 2) 48 3) 24 4) b 5) b 6) 03 7) 18 8) 64 9) d 10) c 11) d 12) d 13) a 14) b AULA 10 1) 54 2) 09 3) c 4) a 5) e 6) 07 7) d 8) b 9) a 10) 96 11) 64 12) a 13) d 14) d 15) 09 AULA 11 1) a) – 1 b) 4 c) -9/8 2) 07 3) 01 4) 06 5) 54 6) 04 7) a 8) a 9) 61 10) 120 11) d 12) b 13) b 14) 30 15) 60 16) 99 17) 02 18) 35 19) 90 20) 40 AULA 12 1) a) 2 b) – 1/8 2) 03 3) 03 4) c 5) b 6) c 7) d 8) a 9) 16 10) 16 11) 06 12) d 13) 50 14) a 15) 96 16) 32 17) 3h 18) a 19) 09 20) 15