UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de ingeniería CivilCurso: DINÁMICA Cinética partículas Profesor: Dr. Miguel Díaz Figueroa Departamento Académico de Estructuras Introducción Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante. 𝐹1 𝐹2 𝐹3 = = = ⋯ = constante 𝒶1 𝒶2 𝒶3 𝐅 = 𝑚 a 𝐅 = 𝑚 a Cantidad de movimiento lineal de una partícula Se reemplaza la aceleración por la derivada de la velocidad en función del tiempo. 𝑑𝐯𝐅 = 𝑚 𝑑𝑡 Cantidad de movimiento… 𝑑𝐅 = (𝑚𝐯) 𝑑𝑡 𝐋= 𝑚 v 𝐅= 𝐋 Ecuaciones del movimiento (coordenadas cartesianas) 𝐅 = 𝑚 a (𝐅x 𝐢 + 𝐅y 𝐣 + 𝐅z 𝐤) = 𝑚 (𝒶x 𝐢 + 𝒶y 𝐣 + 𝒶z 𝐤) 𝐅x = 𝑚 𝒶x 𝐅y = 𝑚 𝒶y 𝐅z = 𝑚 𝒶z 𝐅x = 𝑚 x 𝑚 x = 0 𝐅y = 𝑚 y 𝑚 y = −W 𝐅z = 𝑚 z 𝑚 z = 0 x=0 y= − W = −g 𝑚 z = 0 . Equilibrio dinámico 𝐅 − 𝑚 a = 0 𝐅x = 0 𝐅y = 0 . 37 × 106 m (depende del punto elegido) 𝐺 = 66.73 ± 10−10 m3 kg ∙ s2 .81 m/s2 𝐺𝑀 𝑔 = 2 𝑅 𝑅 = 6.Aplicación: Ley de gravitación de Newton La fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masa 𝑚 ubicado en el espacio a una distancia 𝑟 de su centro… 𝐅 = 𝐺 𝑀𝑚 𝑟 2 Cerca de la superficie… 𝐺𝑀 W = 𝑚𝑔 = 2 𝑚 𝑅 𝐺𝑀 = 𝑔 𝑅2 𝑔 = 9. Ecuaciones del movimiento (coordenadas normal-tangencial) 𝐅 = 𝑚 a 𝐅t = 𝑚 𝒶t 𝐅n = 𝑚 𝒶n 𝑣 2 𝐅n = 𝑚 𝝆 𝐅b = 0 𝐅t = 𝑚 𝑑v 𝑑𝑡 . Ecuaciones del movimiento (coordenadas cilíndricas) 𝐅z 𝑘 𝐅θ 𝑒θ 𝐅 = 𝑚 a 𝑚 𝐅r 𝑒𝑟 𝐅r 𝑒𝑟 + 𝐅r = 𝑚 𝒶r 𝐅θ 𝑒θ + 𝐅z 𝑘 = 𝑚 𝒶r 𝑒𝑟 + 𝑚 𝒶θ 𝑒θ + 𝑚 𝒶𝑧 𝑘 𝐅θ = 𝑚 𝒶θ 𝐅𝑧 = 𝑚 𝒶𝑧 𝐅r = 𝑚 (𝑟 − 𝑟 𝜃 2 𝐅𝜃 = 𝑚 (𝑟𝜃 − 2𝑟𝜃 . determine: a) El peso de los paquetes. . b) La carga indicada por la báscula de resorte y la masa necesaria para equilibrar la báscula de brazo cuando el elevador asciende con una aceleración de 2 ft/s2 . y se les cuelgan paquetes idénticos en la forma mostrada.Problemas Problema: Una báscula de resorte A y una báscula de brazo B que tienen brazos de palanca iguales se fijan al techo de un elevador. Si se sabe que cuando el elevador se mueve hacia abajo con una aceleración de 2 ft/s2 la báscula de resorte indica una carga de 7 lb. La longitud no alargada del resorte es 𝑙 . determine la magnitud de la velocidad del collarín cuando pasa por el punto C. . Si se suelta el collarín desde el reposo en 𝑥 = 𝑥0 y se desprecia la fricción entre el collarín y la varilla horizontal.Problemas Problema: Un resorte AB de constante 𝑘 se une a un soporte A y a un collarín de masa 𝑚. determine la fuerza que ejerce sobre ella el asiento del jet cuando éste se encuentra en el punto B. 3600 ft . Si se sabe que los pesos aparentes de la piloto en los puntos A y C son respectivamente de 380 lb y 80 lb.Problemas Problema: Un piloto de 120 lb vuela un jet de entrenamiento en una media vuelta vertical de 3600 pies de radio de manera que la velocidad del jet disminuye a razón constante. Cantidad de movimiento angular 𝐇𝑂 = 𝐫 × 𝑚𝐯 𝐇𝑂 = 𝐢 𝑥 𝑚 𝑣x 𝐣 𝑦 𝑚 𝑣y 𝐇𝑂 𝐤 𝑧 𝑚 𝑣z H𝑥 = 𝑚 (𝑦 𝑣z − 𝑧 𝑣y ) H𝑦 = 𝑚 (𝑧 𝑣x − 𝑥 𝑣z ) H𝑧 = 𝑚 (𝑥 𝑣y − 𝑦 𝑣x ) En el plano xy… 𝐻𝑂 = 𝑟𝑚𝑣 𝑠𝑖𝑛 ∅ = 𝑟𝑚𝑣𝜃 𝐻𝑂 = 𝑚𝑟 2 𝜃 𝐇 = 𝒓 × 𝑚𝐯 + 𝐫 × 𝑚𝐯 = 𝐯 × 𝒎𝐯 + 𝐫 × m𝐚 𝐻𝑂 = 𝐻𝑧 = 𝑚 (𝑥 𝑣𝑦 − 𝑦 𝑣𝑥 ) Suma de los momentos alrededor de O… 𝐌𝑂 = 𝐇𝑂 . Trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza central Cuando la única fuerza que actúa sobre la partícula es una fuerza dirigida hacia O alejándose de un punto fijo O. se dice que dicha partícula se esta moviendo bajo una fuerza central. 𝐌𝑂 = 𝐇𝑂 = 𝟎 𝐇𝑂 = constante r × 𝑚v = 𝐇𝑂 = constante 𝑟 𝑚 𝑣 𝑠𝑒𝑛 ∅ = 𝑟0 𝑚 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 ∅0 𝑚𝑟 2 𝜃 = 𝐇𝑂 = constante 𝑟 2 𝜃 = ℎ ℎ: movimiento angular por masa unitaria . Trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza central Componente radial 𝑚 𝑟 − 𝑟 𝜃 2 = −𝐹 𝑟 2 𝜃 𝜃 = =ℎ 𝑑𝜃 𝑟 =ℎ 𝑑𝑡 2 Componente transversal 𝑚 𝑟𝜃 + 2𝑟𝜃 = 0 ó 𝑑𝜃 ℎ = 2 𝑑𝑡 𝑟 𝑟 = 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 1 𝑑𝑟 𝑑 1 = =ℎ 2 = −ℎ 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 ℎ 𝑑𝑟 𝑟 = = = 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑟 2 𝑑𝜃 ℎ 𝑑 𝑑 1 𝑟 = 2 −ℎ 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑟 ℎ2 𝑑 2 1 𝑟 = − 2 2 𝑟 𝑑𝜃 𝑟 𝑑 2 𝑢 𝐹 + 𝑢 = 𝑑𝜃 2 𝑚ℎ2 𝑢2 𝑢 = 1 𝑟 . 𝑢 = 𝐶 cos 𝜃 − 𝜃0 1 𝐺𝑀 = 𝑢 = 2 + 𝐶 cos 𝜃 𝑟 ℎ 𝐶 𝐶ℎ2 𝜀 = = 𝐺𝑀 ℎ2 𝐺𝑀 1 𝐺𝑀 = 2 1 + 𝜀 cos 𝜃 𝑟 ℎ La solución particular 𝜀 : excentricidad de la sección cónica .Mecánica espacial 𝑀𝑚 F = 𝐺 2 = 𝐺𝑀𝑚𝑢2 𝑟 𝑑 2 𝑢 𝐺𝑀 + 𝑢 = 𝑑𝜃 2 ℎ2 La solución general 𝐺𝑀 𝑢 = 2 ℎ 𝜃0 =0. considerando fijo el eje polar. 2 h = 𝑟0 𝜃0 = 𝑟0 𝑣0 𝐶 = 1 𝐺𝑀 − 𝑟0 ℎ2 Mecánica espacial 𝑣0 = 2𝐺𝑀 𝑟0 𝑣𝑒𝑠𝑐 = 2𝐺𝑀 = 𝑟0 𝐺𝑀 = 𝑟0 2𝑔𝑅2 𝑟0 𝑔𝑅2 𝑟0 𝑣𝑐𝑖𝑟𝑐 = Periodo orbital 2𝜋𝑎𝑏 𝜏 = ℎ 𝑟0 + 𝑟1 = 2𝑎 1 𝑎 = 𝑟 + 𝑟1 2 0 𝑏 = 𝑟0 𝑟 1 . 5 s. 𝑡 en segundo y 𝜃 en radiantes.Problema Problema: La varilla OA gira alrededor de O en un plano horizontal. . Determine las componentes radial y transversal de la fuerza ejercida sobre el collarín cuando: t=0 y t=0. donde 𝑟 se expresa en milímetros. EL movimiento del collarín B de 400 gramos se define mediante las relaciones 𝑟 = 500 + 300 sen 𝜋𝑡 y 𝜃 = 2𝜋 𝑡 2 − 2𝑡 . Problema Problema: Un satélite describe una órbita circular a un altitud de 19110 km sobre la superficie de la tierra. . Determinar: a) El incremento de velocidad requerida en el punto A para que el satélite logre la velocidad de escape y entre a un órbita parabólica. b) El decremento en velocidad requerida en el punto A para que el satélite entre en una órbita elíptica de una mínima altitud de 6370 km. c) La excentricidad de la órbita elíptica. 𝑑𝒓 𝑈1→2 = 𝑈1→2 = 𝑆2 𝑆1 𝐴2 𝐴1 F cos 𝛼 𝑑𝑠 = 𝑆2 𝑆1 𝑭𝒕 𝑑𝑠 F𝑥 𝑑𝑥 + F𝑦 𝑑𝑦 + F𝑧 𝑑𝑧 𝑈1→2 = F cos 𝛼 ∆𝑥 . 𝑑𝒓 𝑑𝑈 = F 𝑑𝑠 cos 𝛼 𝑑𝑈 = F𝑥 𝑑𝑥 + F𝑦 𝑑𝑦 + F𝑧 𝑑𝑧 𝐴2 𝐴1 𝑈1→2 = 𝐅 .Trabajo de una fuerza 𝑑𝑈 = 𝐅 . Trabajo de una fuerza Trabajo de una fuerza constante en 𝑈 1→2 = F cos 𝛼 ∆𝑥 movimiento rectilíneo Trabajo realizado por la fuerza de la gravedad 𝑈1→2 = −𝑊 𝑦2 − 𝑦1 = −𝑊 ∆𝑦 . Trabajo de una fuerza Trabajo realizado por la fuerza que ejerce un resorte 𝐹 = 𝑘𝑥 𝑈1→2 = − 1 F + F2 ∆𝑥 2 1 Trabajo realizado por una fuerza gravitacional F = 𝐺 𝑀𝑚 𝑟 2 𝑈1→2 = − 𝑟2 𝑟1 𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀𝑚 𝑑𝑟 = − 𝑟 2 𝑟2 𝑟1 . Energía cinética de una partícula. Principio del trabajo y la energía 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 𝐹𝑡 = 𝑚 𝑆2 𝑆1 𝐹𝑡 = 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑠 𝑑𝑣 = 𝑚𝑣 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑣2 𝑣1 𝐹𝑡 𝑑𝑠 = 𝑚 1 1 2 2 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣1 2 2 Energía cinética 1 𝑇 = 𝑚𝑣 2 2 𝑈1→2 = 𝑇2 − 𝑇1 𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2 . Aplicaciones del Principio del trabajo y la energía Péndulo 𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2 0 + 𝑊𝑙 = 𝑣2 = 1 𝑊 2 𝑣 2 𝑔 2 2𝑔𝑙 La aceleración? 2 𝑊 𝑣2 𝑃 − 𝑊 = 𝑚𝑎𝑛 = 𝑔 𝑙 𝑊 2𝑔𝑙 𝑃 = 𝑊 + = 3𝑊 𝑔 𝑙 𝑎𝑛 = 0 . Problemas 500 N 20 kg 10 kg 60 cm Problema: El sistema que se muestra.1 N. compuesto por un collarín A de 20 kg y un contrapeso B de 10 kg está en reposo cuando se aplica una fuerza constante de 500 N al collarín A. a) Determine la rapidez de A justo antes de que golpee el soporte en C. suponiendo que el contrapeso B se sustituye por una fuerza hacia debajo de 98. b) Resuelva lo anterior. . Nota: No tomar en cuenta la fricción ni las masas de las poleas. determine la distancia que recorre el collarín. suponiendo que: a) Ninguna fricción entre el collarín y la varilla. b) Un coeficiente de fricción 𝜇𝑘 =0.Problemas Problema: Un collarín C de 4 kg se desliza sobre una varilla horizontal entre los resortes A y B.35 400 mm 150 mm 3 N/mm 2 N/mm . Si se empuja el collarín hacia la derecha hasta que el resorte B se comprime 50 mm y se suelta. Potencia y eficiencia Tasa en el tiempo a la cual se efectúa el trabajo 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = ∆𝑈 ∆𝑡 𝑑𝑈 𝐅 . m 𝑠 1 hp = 550 ft . 𝑑𝒓 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐅 .356 W = 746 W = 0.746 kW .356 W 1 hp = 550 1.356 J s = 1. lb 𝑠 = 1. lb 𝑠 1 ft . 𝐯 potencia de salida 𝜂 = potencia de entrada Unidades 1W = 1 J s = 1 N . Energía Potencial Debido a la gravedad 𝑈1→2 = Wy1 − Wy2 𝑈1→2 = 𝑉 𝑔 𝑉 𝑔 = 𝑊 𝑦 1 − 𝑉 𝑔 2 Debido a la fuerza elástica Debido a la fuerza gravitacional 𝑈1→2 𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀𝑚 = − 𝑟2 𝑟1 𝑊𝑅2 𝑉 𝑔 = − 𝑟 𝐺𝑀𝑚 𝑉 = − 𝑔 𝑟 1 1 2 2 𝑈1→2 = 𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 2 2 𝑈1→2 = 𝑉 𝑒 1 − 𝑉 𝑒 2 1 𝑉 𝑘𝑥 2 𝑒 = 2 . 𝑧2 ) 𝑈1→2 = 𝑉1 − 𝑉2 Independiente de la trayectoria. 𝑑𝑈 = 𝑉 𝑥.𝑧) 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 = − 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐹𝑥 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝐹𝑦 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝜕𝑉 𝐹𝑧 = − 𝜕𝑧 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝐢 + 𝐣 + 𝐤 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐅 = −𝐠𝐫𝐚𝐝 𝑉 𝐅 = 𝐹𝑥 𝐢 + 𝐹𝑦 𝐣 + 𝐹𝑧 𝐤 = − Gradiente de la función escalar . sólo depende de la posición del punto de aplicación.𝑧 − 𝑉 𝑥+𝑑𝑥.𝑧1) − 𝑉(𝑥2.𝑧+𝑑𝑧 𝐅 .𝑦.𝑦+𝑑𝑦.𝑦2. 𝑑𝐫 = 0 𝑑𝑈 = −𝑑𝑉(𝑥.Fuerzas conservativas 𝑈1→2 = 𝑉(𝑥1.𝑦1.𝑦. Conservación de la Energía Energía potencial 𝑈1→2 = 𝑇2 − 𝑇1 Energía cinética 𝑈1→2 = 𝑉2 − 𝑉1 𝑉1 − 𝑉2 = 𝑇2 − 𝑇1 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2 Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas. la suma de la energía cinética y de la energía potencial de la partícula permanece constante Energía mecánica total 𝐸 = 𝑇 + 𝑉 Ejemplo: 𝑇1 = 0 𝑉1 = 𝑊𝑙 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑊𝑙 𝑇2 = 1 1 𝑊 2 𝑚𝑣2 = 2𝑔𝑙 2 2 𝑔 = 𝑊𝑙 𝑇2 + 𝑉2 = 𝑊𝑙 𝑉2 = 0 . Si se sabe que el collarín está en equilibrio en A y se le da un ligero impulso para ponerlo en movimiento. El resorte tiene una longitud no deformada de 7 in y una rigidez de 1. 6 in 8 in . determine la velocidad del collarín a) cuando pasa por B. b) cuando pasa por C.5 lb/in.Problemas Problema: Un collarín de 3 lb está unido a un resorte y se desliza sin fricción a lo largo de una varilla circular en un plano horizontal. Principio del impulso y la cantidad de movimiento 𝑑 𝐅 = (𝑚𝐯) 𝑑𝑡 𝐅 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑚𝐯) 𝑡2 𝑡1 𝑡2 𝑡1 𝐅 𝑑𝑡 = 𝑚 𝐯2 − 𝑚𝐯1 𝑚𝐯1 + 𝑡2 𝑡1 𝐅 𝑑𝑡 = 𝑚𝐯2 𝑡2 𝑡1 𝑡2 𝑡1 𝑡2 𝑡1 𝐈𝐦𝐩1→2 = 𝐅 𝑑𝑡 = 𝐢 𝐅𝒙 𝑑𝑡 + 𝐣 𝐅𝑦 𝑑𝑡 + 𝐤 𝐅𝑧 𝑑𝑡 𝑚𝐯1 + 𝐈𝐦𝐩1→2 = 𝑚𝐯2 𝑚𝐯1 + 𝐈𝐦𝐩1→2 = 𝑚𝐯2 En un sistema de partículas 𝑚𝐯1 + 𝐈𝐦𝐩1→2 = 𝑚𝐯1 = 𝑚𝐯2 𝑚𝐯2 La cantidad de movimiento total de las partículas se conserva . Impacto Cuando dos cuerpos ejercen fuerzas relativamente grandes entre sí en un choque en un intervalo muy pequeño de tiempo. De acuerdo a la línea de impacto… . Impacto central directo 𝑚𝐴 𝐯𝐴 + 𝑚𝐵 𝐯𝐵 = 𝑚𝐴 𝐯′𝐴 + 𝑚𝐵 𝐯′𝐵 𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣′𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣′𝐵 𝑚𝐴 𝑣𝐴 − 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴 𝑢 𝑅 𝑑𝑡 𝑃 𝑑𝑡 𝑒 = 𝑚𝐴 𝑢 − 𝑅 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴 𝑣′𝐴 𝑒 = 𝑣′𝐵 − 𝑢 𝑢 − 𝑣𝐵 𝑢 − 𝑣′𝐴 𝑣𝐴 − 𝑢 𝑣′𝐵 − 𝑣 ′𝐴 = 𝑒(𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 ) . Impacto central oblicuo (𝑣𝐴 )𝑡 = (𝑣 ′𝐴 )𝑡 (𝑣 ′ 𝐵 )𝑛 − 𝑣 ′𝐴 (𝑣𝐵 )𝑡 = (𝑣 ′ 𝐵 )𝑡 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 )𝑛 + 𝑚𝐵 (𝑣𝐵 )𝑛 = 𝑚𝐴 (𝑣 ′𝐴 )𝑛 + 𝑚𝐵 (𝑣 ′ 𝐵 )𝑛 𝑛 = 𝑒 (𝑣𝐴 )𝑛 −(𝑣𝐵 )𝑛 𝜃: ángulo entre el eje horizontal y la línea de impacto 𝑚𝐴 𝑣𝐴 − 𝑒 = 𝑅 𝑑𝑡 𝑃 𝑑𝑡 𝑃 𝑑𝑡 cos 𝜃 = 𝑚𝐴 𝑢 𝑢 − 𝑣′𝐴 𝑒 = 𝑣𝐴 − 𝑢 𝑚𝐴 𝑢 − 𝑅 𝑑𝑡 cos 𝜃 = 𝑚𝐴 𝑣′𝐴 𝑢𝑛 − 𝑣 ′𝐴 𝑛 𝑒 = 𝑣𝐴 𝑛 − 𝑢𝑛 . b) las velocidades de B y C inmediatamente después de la segunda colisión. Después de ser jaladas hacia atrás y soltadas.Problemas Problema: Tres esperas de acero de igual masa están suspendidas en un techo mediante cuerdas de igual longitud las cuales están espaciadas una distancia ligeramente mayor que el diámetro de las esferas. determinar la velocidad de la ultima espera después de que este sea golpeado la primera vez. la cual golpea la esfera C. determine a) las velocidades de A y B inmediatamente después de la primera colisión. d) usar el resultado obtenido en la parte c para determinar la velocidad de la ultima esfera cuando 𝑛=8 y 𝑒=0. la esfera A golpea la esfera B. Denotando mediante 𝑒 el coeficiente de restitución entre las A’ esferas 𝑣𝑜 la velocidad de A justo antes de golpear B. A B C . c) asumiendo ahora que son n esferas son suspendidas del techo y que la primera esfera es jaladas y soltada como se describe arriba.9. 5 lb que se mueve a una velocidad con magnitud de 18 ft/s golpea. 𝑣𝐵 = 12 ft/s . Si se sabe que el 𝑣𝐴 = 18 ft/s coeficiente de restitución es de 0. determine la velocidad de cada pelota después del impacto. a una pelota B de 2. como se muestra en la figura.Problemas Problema: Una pelota a de 1.8 y se supone que no hay fricción.5 lb que tiene una velocidad con magnitud de 12 ft/s.