ELETROSULConhecimentos Gerais (comum para todos os cargos) Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. ....................................... 1 Frações e operações com frações. .................................................................................................... 34 Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas. ............................................................................................................. 43 Candidatos ao Concurso Público, O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail
[email protected] para dúvidas relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom desempenho na prova. As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar em contato, informe: - Apostila (concurso e cargo); - Disciplina (matéria); - Número da página onde se encontra a dúvida; e - Qual a dúvida. Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. Bons estudos! . 1 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas, enviar material complementar (caso tenha tempo excedente para isso e sinta necessidade de aprofundamento no assunto) e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo email: professores @maxieduca.com.br CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que estes números. Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números. Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} Subconjuntos notáveis em N: 1 – Números Naturais não nulos N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 2 – Números Naturais pares Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 3 - Números Naturais ímpares Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 4 - Números primos P={2,3,5,7,11,13...} A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um número natural. a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 3 é 4. - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: 1 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 7 e 8 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos. - Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 7, 8 e 9 são consecutivos. c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Operações com Números Naturais Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. - Adição de Números Naturais A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Exemplo: 5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total -Subtração de Números Naturais É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b tal que a≥ ?. Exemplo: 254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 061 a diferença. Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. - Multiplicação de Números Naturais É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. Exemplo: 2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. - 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” (vezes) utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação). - Divisão de Números Naturais 2 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA uma cantina escolar adotou um sistema de recebimento por cartão eletrônico. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) A partir de 1º de março. (b. a divisão não é fechada. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais Para todo a. No conjunto dos números naturais. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.A divisão de um número natural n por zero não é possível pois. ele anotou o seu consumo e os pagamentos na seguinte tabela: 3 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .Dados dois números naturais.Em uma divisão exata de números naturais. Enzo toma lanche diariamente na cantina e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. o divisor deve ser menor do que o dividendo.(b +c ) = ab + ac 8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a . 35 = 5 x 7 .(b –c) = ab –ac 9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e vão sendo debitados os gastos. O resultado da divisão é chamado quociente. Relações essenciais numa divisão de números naturais: . 35 : 7 = 5 .c) 5) Comutativa da multiplicação: a.c = a. se admitíssemos que o quociente fosse q.b = b.1 = a 7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a. b e c ∈ ? 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b + a 3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 4) Associativa da multiplicação: (a. então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim. pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. Ao final de março. às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor.b). continua como resultado um número natural. É possível o saldo negativo.a 6) Elemento neutro da multiplicação: a.Em uma divisão exata de números naturais. Questões 01. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas duas zonas eleitorais.100. (Pref. Enzo observou que tinha (A) crédito de R$ 7.00 (D) R$ 1665. participei de um campeonato com meus amigos e perdi 67 bolinhas.00. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela com os resultados da eleição. mas ganhei outras 90. (D) débito de R$ 5. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS .00 03.00 (C) R$ 1675.00. (C) R$ 200. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200. (B) R$ 175. IMARUI/2014) José. (Professor/Pref. depois de participar do campeonato? (A) 368 (B) 270 (C) 365 (D) 290 (E) 376 06.00. (B) débito de R$ 7. PREF.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10.00 de INSS e R$ 35.00.00 de sindicato. recebe salário bruto de R$ 2. pagará uma prestação de: (A) R$ 150.00.000.00. Multiplicando-se o dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Ontem.No final do mês. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em uma loja. Sendo assim. Porém. (PREF. eu tinha 345 bolinhas de gude em minha coleção. (PREF. 05. (E) empatado suas despesas e seus créditos. hoje. qual a quantidade de bolinhas que tenho agora.00.00. Qual o salário líquido de José? (A) R$ 1800. (D) R$ 225. 02.00 em 12 vezes.00 (B) R$ 1765. o quociente da nova divisão será: (A) 2 (B) 5 (C) 25 (D) 50 (E) 100 04. (C) crédito de R$ 5. funcionário público. A quantidade de eleitores desta cidade é: João Maria Nulos Brancos Abstenções 1ª Zona Eleitoral 1750 850 150 18 183 (A) 3995 (B) 7165 (C) 7532 (D) 7575 (E) 7933 4 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA 2ª Zona Eleitoral 2245 2320 217 25 175 . as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros.PREF. Se João comprar uma geladeira no valor de R$ 2.00. 7 Ele tem um débito de R$ 7. quantos bombons ao todo Joana possui? (A) 24. Respostas 01. cada região contou com um número de voluntários igual a: (A) 2500 (B) 3200 (C) 1500 (D) 3000 (E) 2000 08. Resposta: B. (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP/2012) O sucessor do dobro de determinado número é 23. (C) 4 093. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Joana pretende dividir um determinado número de bombons entre seus 3 filhos. 03. (B) 22. (B) 25. (C) 20. e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa. 10. Sendo assim. (D) 18. (E) 4 256. Considerando que. após imprimir 5 calendários perfeitos (P). dobrado será igual a (A) 24. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Durante um mutirão para promover a limpeza de uma cidade. 02. Resposta: E.07. D= dividendo d= divisor Q = quociente = 10 5 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . (PREF. (E) 16. os 15. a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP/2014) Em uma gráfica. e. Esse mesmo determinado número somado a 1 e. os cinco primeiros saíram perfeitos e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote. (E) 28 09. conforme mostra o esquema. Resposta: B. (B) 3 828. é correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi (A) 3 642. o próximo sai com defeito (D). Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29. (D) 4 167. ao se imprimir um lote com 5 000 calendários. (D) 27. (C) 26.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco regiões de tal cidade. Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 120 – 127 = .00.765. 2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 O salário líquido de José é R$ 1.00. depois. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em alemão). Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 5000 / 6 = 833 + resto 2. Resposta: D. 2100 = 175 50? ? 2 → ? = 50?.. devemos fazer 27 + 1 = 28. ? . para sobrar 1.. são 4167 calendários perfeitos. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0. Resposta: E. 3 = 27 e que. Resposta: A. 08. isolando Q temos: ?= 04. Resposta: D. 1. Sabemos que 9.10 + 0 D = 10d Pela nova divisão temos: ? ? 5? = 2 . 2 → ? = 50. 6 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. 5 = 4165 calendários perfeitos. Resposta: A.Q + R D = d. portanto o número é 11.. 09. ? → 5.2 → ? = 100 ? 12 Cada prestação será de R$175.. 4. Se o sucessor é 23. Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 07. Resposta: B. o dobro do número é 22. Assim.00 05.R= resto = 0 (divisão exata) Equacionando: D = d. 345 – 67 = 278 Depois ganhou 90 278 + 90 = 368 06.. Resposta: E. (11 + 1)2 = 24 10.}. 2. 15000 = 3000 5 Cada região terá 3000 voluntários.. (10?) = 2 . 3. Isto significa que saíram 833.. n. mais 2 calendários perfeitos que restaram na conta de divisão. O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0} - O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N - O conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero. Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. 7 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. A subtração é a operação inversa da adição. Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 4+5=9 4 – 5 = -1 Considere as seguintes situações: 1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e está repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Divisão de Números Inteiros 8 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA - Divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (– 20): (+ 5) = q (+ 5) . q = (– 20) q = (– 4) Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro. - No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. - Não existe divisão por zero. - Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão: → Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. → Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. Potenciação de Números Inteiros A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multiplicado por a n vezes Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 - Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 - Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 - Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 - Propriedades da Potenciação: 1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 9 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA 4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. = –2. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros Para todo a. Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 Radiciação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a.b). Exemplos: (a) (b) (c) (d) 3 8 3 8 = 2. pois (–3)³ = -27. 10 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . não existe raiz de número inteiro negativo.(b +c ) = ab + ac 9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a . 3 27 = 3. pois 2³ = 8. 3 27 = –3. continua como resultado um número natural. é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. tal que. concluímos que: (1) Se o índice da raiz for par.c) 6) Comutativa da multiplicação : a. Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros.a 7) Elemento neutro da multiplicação: a.(b –c) = ab –ac 10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: 9 = ± 3.1 = a 8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a. b e c ∈ ? 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b +a 3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a 4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 5) Associativa da multiplicação: (a. pois (–2)³ = -8. Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros. z x z–1 = z x (1/z) = 1 11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural. (2) Se o índice da raiz for ímpar. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. pois 3³ = 27. existe um inverso z –1 = 1/z em Z.c = a. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. O certo é: 9 = +3 Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. mas isto está errado.b = b. (b. 00 DVD: R$ 399.00 (E) R$ 16.00 (D) R$ 26.00 (B) R$ 74. atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (1) a cada atitude negativa. o total de pontos atribuídos foi (A) 50.00 Na aquisição dos produtos. Solicitou-se que cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa.200.49 (E) – 42 04.00 (C) R$ 36.213. conforme as condições mencionadas. (A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. (D) 36.00 03.56 (D) .FCC/2012) Em um jogo de tabuleiro. Durante uma ronda dos agentes de trânsito.63 (C) .POLÍCIA MILITAR/MG . o resultado encontrado será (A) . (D) Carla e Mateus empataram. foi observado que o número total de rodas nesse 11 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .00 e deseja gastar a maior quantidade possível.ASSISTENTE ADMINISTRATIVO . (C) 42. Verificou o preço de alguns produtos: TV: R$ 562.72 (B) . bem como da preservação predial. o troco recebido será de: (A) R$ 84. 05. realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”.00 Geladeira: R$ 1. (E) 32. e pagando a compra em dinheiro. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE UFT/2013) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. sem ficar devendo na loja. Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados: Carla 1ª Partida Ganhou 520 pontos 2ª Partida Perdeu 220 pontos 3ª Partida Perdeu 485 pontos 4ª partida Ganhou 635 pontos Mateus 1ª Partida Perdeu 280 pontos 2ª Partida Ganhou 675 pontos 3ª Partida Ganhou 295 pontos 4ª partida Perdeu 1155 pontos Ao término dessas quatro partidas.8. (B) 45. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas. (B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. (C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. no entendimento dos elementos do grupo. (SEPLAG .00 Micro-ondas: R$ 429. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Ruth tem somente R$ 2.Questões 01 (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP/2013) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas. 02. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que . (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Um menino estava parado no oitavo degrau de uma escada.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros. Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento.estacionamento era de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). o número de livros na pilha é: (A) 10 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 22 10. com duas escalas. Os números positivos indicam a quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos.00. A escada tinha 25 degraus.00 por mês. o número de meses que ele levará para adquirir a televisão será: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 09. e que os livros restantes possuem espessura de 3cm. Logo em seguida. obtendo uma única pilha 52cm de altura. Supondo que durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e Belém. (Pref. é CORRETO afirmar que estavam estacionados: (A) 19 carros (B) 25 carros (C) 38 carros (D) 50 carros 06. O menino subiu mais 13 degraus. desceu 15 degraus e parou novamente. uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. a diferença de temperatura entre o dia e noite. em ºC será de: (A) 10 (B) 35 (C) 45 (D) 50 (E) 55 08. A quantos degraus do topo da escada ele parou? (A) 8 (B) 10 12 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . (Pref.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa R$ 420. Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm. contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). a quantidade dos que desceram em cada cidade.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. (Pref. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35. Curitiba Rio de Janeiro Brasília +240 -194 +158 -108 +94 O número de passageiros que chegou a Belém foi: (A) 362 (B) 280 (C) 240 (D) 190 (E) 135 07. Maior inteiro menor que 8 é o 7 Menor inteiro maior que . Resposta: B. Resposta: E.10) = 55 08.16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 36 : 3 = 12 livros de 3 cm O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204. extrapola o orçamento Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174.2 = 16 cm Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm.7.(C) 11 (D) 15 (E) 19 Respostas 01. Troco:2200 – 2174 = 26 reais 03.194 + 158 . Resposta: D. Resposta: D.2=24 124-24=100 100/4=25 carros 06. 50-20=30 atitudes negativas 20. Resposta: E. 240 . São 8 livros de 2 cm: 8. Portanto: 7(.280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 05. Resposta: D.(-1)=-30 80-30=50 02.49 04. Resposta: A. é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento.7) = . Resposta: C. Resposta: D.108 + 94 = 190 07. Resposta: D. temos: 52 . 420 : 35 = 12 meses 09.4=80 30. 45 – (.8 é o . 10. 8 + 13 = 21 21– 15 = 6 25 – 6 = 19 13 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos Mateus: . Moto: 2 rodas Carro: 4 12. .Q+ = conjunto dos racionais não negativos. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui. Representação Decimal das Frações Tomemos um número racional p ..333. q basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.Q*+ = conjunto dos racionais positivos.75 4 153 = 3.Q*_ = conjunto dos racionais negativos.Q _ = conjunto dos racionais não positivos.. .53030.CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q m . razão pela qual. 3 1 = 0. é comum encontrarmos na literatura a notação: Um número racional é o que pode ser escrito na forma Q={ m : m e n em Z. infinitos algarismos (nem todos nulos). 66 14 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . n diferente de zero} n No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: . onde m e n são números inteiros. . após a vírgula.. . o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q.Q* = conjunto dos racionais não nulos.. 22 167 = 2. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n.. números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros.. Decimais Exatos: 2 = 0.4 5 1 = 0.06 50 2º) O numeral decimal obtido possui. um número finito de algarismos.04545. Assim. repetindose periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 1 = 0. Como podemos observar. tal que p não seja múltiplo de q. sendo n que n deve ser diferente de zero.25 4 35 = 8. Para escrevê-lo na forma decimal. após a vírgula. 1717. procuremos escrevê-lo na forma de fração. ???? ∶ 99 99 Assim. 1/101 + 3 . Observe também que o 5 é a parte inteira. = 3.. 333. seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 9 10 57 5..333. Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal. é a fração 512 . 1/104 .005 = = 1000 200 0. com uma característica especial: existe um período. O período que se repete é o 17. é a fração 3 .. vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: Exemplos: 1) Seja a dízima 0.76 = 100 348 3. logo ele vem na frente: 5 17 512 → ????? ??? ???çã? ?????.. Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3) então vamos colocar um 9 no denominador e repetir no numerador o período.. 9 2) Seja a dízima 5. para tanto. 99 15 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .1717.. Aproveitando o exemplo acima temos 0.9 = 2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada. Assim..333..99 + 17) = 512.7 = 10 76 0. 1/103 + 3 . Temos dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1... a geratriz de 0. ???????????? → (5. a geratriz de 5... 1/102 + 3 . logo dois noves no denominador (99).Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas.48 = 100 1 5 0... . Indica-se = 2 2 2 2 2) Módulo de + 3 3 3 3 é . 23434. O número 234 é a junção do ante período com o período. As distâncias dos pontos – e ao ponto zero da reta são iguais. 3) Seja a dízima 1. neste caso 0(um zero). Neste caso temos um dízima periódica é composta. 1 232 1222 → ????? ??? ???çã? ?????.? ≠ ? = ( ) . o numerador.. pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. 2 2 Números Opostos: Dizemos que – Inverso de um Número Racional ? −? ? ? ( ) . obtemos x = 611 . Exemplos: 1) Módulo de – 3 3 3 3 é .990 + 232) = 1222. 23434.. a fração geratriz da dízima 1. ???? ∶ 990 990 Simplificando por 2. obtemos 232. Indica-se = 2 2 2 2 3 3 e são números racionais opostos ou simétricos e cada um 2 2 3 3 deles é o oposto do outro.. neste caso 99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período. ???????????? − ? → (1. Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2). 495 Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero. Neste caso temos um ante período (2) e o período (34).? ≠ ? ? ? 16 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o dígito 9 no denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período. Para realizar a multiplicação de números racionais. isto é: p – q = p + (–q) ad bc a c = b bd d Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração. da mesma forma que o produto de frações. b em Q: a + b = b + a 4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q. devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo. c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 7) Comutativa da multiplicação: Para todos a. mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 2) Associativa da adição: Para todos a. b. isto é: q + 0 = q 5) Elemento oposto: Para todo q em Q. que multiplicado por todo q em Q.Representação geométrica dos Números Racionais Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 3) Comutativa da adição: Para todos a. tal que q + (–q) = 0 6) Associativa da multiplicação: Para todos a. definimos a a c adição entre os números racionais e . da mesma forma que a soma de frações. (+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1) Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação.c/d . proporciona o próprio q. que adicionado a todo q em Q. existe -q em Q. isto é. Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração. a soma e a multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. a/b. b. proporciona o próprio q. b em Q: a × b = b × a 8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q. definimos o a c produto de dois números racionais e . através de: b d ad bc a c + = b bd d Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q. através de: b d ac a c x = bd b d O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d. isto é: q × 1 = q 17 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . q diferente de zero. × q. ? ? ? ? Potenciação de Números Racionais A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. 1 9 9 = 4 4 3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. = 8 2 2 2 2 3 . = 5 5 5 5 125 3 a) 1 1 1 1 1 b) = . isto é: p ÷ q = p × q-1 ? ? ? ? : = . b. (q aparece n vezes) Exemplos: 8 2 2 2 2 = . .Propriedades da Potenciação: 1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 0 2 = 1 5 2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. = 27 3 3 3 3 3 5) Toda potência com expoente par é um número positivo. .a em Q. qn = q × q × q × q × . . c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) Divisão(Quociente) de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q.. = 5 5 5 25 2 18 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .. 2 2 3 5 25 = = 9 5 3 4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 1 1 1 1 = . existe : b b a b q-1 = em Q: q × q-1 = 1 x =1 b a a 9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 10) Distributiva da multiplicação: Para todos a. 2 2 2 2 8 = . 6 é a raiz cúbica de 0. (PREF. qual fração representa os alunos que têm ciências como disciplina favorita? (A) 1/4 19 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .216 Representa o produto 0. dá o número zero ou um número racional positivo. 3 3 3. ou . então cada fator é chamado raiz do número. 5 5 5 5 5 5 5 5 23 2 5 5 7) Quociente de potências de mesma base.6)3. 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais. pois tanto como .6 ou (0.Logo. 0. quando elevado ao quadrado. 9 3 3 3 9 3 Indica-se 1 1 = 9 3 2) 0.2 6 2 2 2 2 2 2 3 2 6 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ou . 2 O número não tem raiz quadrada em Q.6 . 9 Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.6) Produto de potências de mesma base. . Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente. ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita. quando elevados ao 9 3 3 100 quadrado. Logo.6.216 = 0. Indica-se 3 0. . Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência. 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 . 3 3 3 3 3 5 2 5 2 3 . Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência. pois não existe número racional que elevado ao quadrado 3 2 dê . conservamos a base e multiplicamos os expoentes. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Na escola onde estudo. 2 2 8) Potência de Potência. 3 3 3 3 : 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 . . . é a raiz quadrada de . os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.216.6 . 3 Questões 01. . 100 10 10 O número não tem raiz quadrada em Q. Logo. dão . conservamos a base e subtraímos os expoentes. Um número racional. conservamos a base e somamos os expoentes. 9/20 têm a matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. . . = . Exemplos: 2 1) 1 1 1 1 1 1 Representa o produto . 0. Sendo assim. No mês passado.16 e uma gratificação de R$ 185. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) Em um estado do Sudeste. (Pref. .51. .5+ 4 3 : (A) ½ (B) 1 (C) 3/2 (D) 2 (E) 3 06. √25 3 14 (?) − 4. (E) 10. −4. Após todos os jogadores receberem seus cartões. seu salário totalizou (A) R$ 810.30. 2/9 estudam francês. sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. venceu o jogador que apresentou a sequência 14 (?) − 4. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. cada jogador tem direito a 5 cartões marcados com um número. 3 14 (?) − 1. 04. .00 03. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Em um jogo matemático. √16.81.15. (C) 8. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) De um total de 180 candidatos.(B) 3/10 (C) 2/9 (D) 4/5 (E) 3/2 02. Quantos reais ela recebeu de troco? (A) R$ 40. (E) R$ 870. realizam uma determinada tarefa que também é sorteada.00 (E) R$ 48. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. 2/5 estudam inglês. em cada uma delas.00 (D) R$ 46. −4. √25 3 14 (?) − 1. Em uma rodada em que a tarefa era colocar os números marcados nos cartões em ordem crescente. (C) R$ 838.00 (B) R$ 42. No mês passado.31. √16. (D) R$ 841. √25. −1.91. O número de candidatos que estuda alemão é: (A) 6. 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. ele fez 8 horas extras a R$ 8. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8. √16. (B) R$ 821.50 cada hora.31. Niterói) Simplificando a expressão abaixo 3 2 1. √16. √25 3 14 (? ) − 4. (B) 7. . −1. √25 3 20 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . aleatoriamente. (D) 9. √16. um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617. mas precisou faltar um dia e foi descontado em R$ 28. .40. −1.00 (C) R$ 44.3333…+ Obtém-se 1. 05. Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 (D) 260 (E) 120 10. Sendo assim. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: − 1 real: ¼ das moedas − 50 centavos: 1/3 das moedas − 25 centavos: 2/5 das moedas − 10 centavos: as restantes Mariana totalizou a quantia contida no cofre em (A) R$ 62. (E) R$ 66.20. 2 2 1 +9+3 5 Mmc(3. Resposta: B.3 ∙ 7 = 58. Somando português e matemática: 1 9 5 + 9 14 7 + = = = 4 20 20 20 10 O que resta gosta de ciências: 7 3 1− = 10 10 02. (D) R$ 56. Dirce pagou 58 reais Troco:100 – 58 = 42 reais 03. verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Resposta: B. (B) 35 anos. e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado. Sendo assim. (C) R$ 50. (D) 5/2. o professor de matemática respondeu: “O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. (E) 42 anos. (B) R$ 52. (C) 45 anos.1 Como recebeu um desconto de 10 centavos. 08. (PREF. podemos afirmar que o professor tem: (A) 40 anos. (D) 30 anos. x é igual a (A) 52/25. (E) 47/23. que abordou 800 pessoas.07.20.20. (C) 7/3. 09. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Quando perguntado sobre qual era a sua idade.20. Respostas 01. Já entre as mulheres abordadas. 8. (B) 13/6. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina. o número 5. Resposta: C. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2014) Somando-se certo número positivo x ao numerador.9)=45 21 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .20. 1/8 foram detidas.5. 14 .15 = 802.5 ∙ 8 = 68 ?ê? ???????: 802.25 + 2 ∙ 0.= 12/9 = 4/3 1. Resposta: B. Resposta: D. 1/4 eram mulheres 1 800 ∙ 4 = 200 ???ℎ???? ou 800-600=200 mulheres 1 200 ∙ 8 = 25 ???ℎ??? ??????? 22 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 3 800 ∙ 4 = 600 ℎ????? 1 600 ∙ 5 = 120 ℎ????? ??????? Como 3/4 eram homens. Resposta: A. Resposta: D. 3 √25 07.40 = 841. Resposta: A. 1. 2+? =5 3−? 15 − 5? = 2 + ? 6? = 13 13 ?= 6 08.91.31 + 68. ???á??? ??????: 617. 09. √16.20.3333.00 − 28.5 = 15/10 = 3/2 4 3 3+2= 3 4 2+3 17 6 =1 17 6 06.91 Salário foi R$ 841. 05.10 = 62.67 3 A ordem crescente é : −4.. Resposta B.20 Mariana totalizou R$ 62.5 + 48 ∙ 0.. 1 1 ????: 120 ∙ = 30 ?????? 4 1 50 ????????: 3 ∙ 120 = 40 ?????? 2 25 ????????: 5 ∙ 120 = 48 ?????? 10 ????????: 120 − 118 ?????? = 2 ?????? 30 + 40 ∙ 0.31 ℎ???? ??????: 8. √16 = 4 √25 = 5 14 = 4. −1.16 + 185.18+10+15 45 43 = 45 O restante estuda alemão: 2/45 180 ∙ 2 45 =8 04. resolvemos os parênteses ( ). Quando o sinal de subtração (-) anteceder um parêntese. subtrações. na ordem resolução. deveremos eliminar o parêntese. {100 – 413 x 0 + 25} : 5 {100 – 0 + 25} : 5 {100 + 25} : 5 125 : 5 25 23 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . efetuando as operações seguindo a ordem. o colchete ou chaves. em seguida. quando acabarem os cálculos dentro dos parênteses. divisões. colchetes chaves. ou de ou de Exemplos: A) {100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 → Inicialmente devemos resolver os parênteses. mas como dentro dos parênteses há subtração e multiplicação. vamos resolver a multiplicação primeiro. que podem aparecer em uma única expressão. 27 2º) Quando aparecem os sinais de associações os mesmos tem uma ordem a ser seguida. vamos resolver as chaves. reescrevendo os números internos com o seus sinais invertidos. resolvemos os colchetes [ ]. {100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 {100 – 413 x (20 – 20) + 25} : 5 {100 – 413 x 0 + 25} : 5 Eliminado os parênteses. 9 75 675 ∙ = = 45 ???? 5 3 15 EXPRESSÕES NÚMERICAS Expressões numéricas são todas sentenças matemáticas formadas por números. devemos resolver as potenciações e/ou radiciações primeiramente. em qualquer ordem. suas operações (adições. colchetes chaves. também em qualquer ordem. o colchete ou chaves. Para resolvermos devemos estar atentos a alguns procedimentos: 1º) Nas expressões que aparecem as operações numéricas. resolvemos as chaves. e quando não houver mais o que calcular dentro dos colchetes { }. Exemplos: A) 10 + 12 – 6 + 7→ primeiro resolvemos a adição e subtração em qualquer ordem 22 – 6 + 7 16 + 7 23 B) 15 x 2 – 30 ÷ 3 + 7 → primeiro resolveremos a multiplicação e a divisão.Total de pessoas detidas: 120+25=145 10. Quando o sinal de adição (+) anteceder um parêntese. potenciações e radiciações) e também por símbolos chamados de sinais de associação. resolvemos a subtração. Resposta: C. na ordem resolução. 30 – 10 + 7 → Agora resolveremos a adição e subtração. Primeiro. na ordem que elas aparecem e somente depois as multiplicações e/ou divisões (na ordem que aparecem) e por último as adições e subtrações também na ordem que aparecem. multiplicações. reescrevendo os números internos com o seus sinais originais. deveremos eliminar o parêntese. Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5. 4.}. . 14. 28. porque 5 x 6 = 30. 6. 24 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .2²).6. 21. 7.3 + 36 : 3 ] : 5 = [1. 1 – 16 : 2²] → resolva as potências dentro do colchetes.Todo número natural é múltiplo de 1. Podemos dizer então que: “30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30. tem infinitos múltiplos.. – 62 : (– 2) – [– 2 – 4] = – 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete. temos que: 30 é múltiplo de 6.Todo número natural é múltiplo de si mesmo.5)2 + (3 + 8 : 4)]2 [5² + (3+2)]2 [25 + 5]2 302 900 MÚLTIPLOS E DIVISORES Sabemos que 30 : 6 = 5. por exemplo. 2. Observações: . 1. – 62 : (– 2) – [– 2 . (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²] → elimine os parênteses. diferente de zero. Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 0. (2 – 1)² – 16 : 2²] → continue eliminando os parênteses.3 + (13 – 7)² : 3] : 5 [(25 – 6. 1 – 16 : 4] → resolva as operações de multiplicação e divisão nos colchetes. e 6 é divisor de 30. 3.. . multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos naturais: 7x0=0 7x1=7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 5 = 35 ⋮ O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0...B) – 62 : (– 5 + 3) – [– 2 .. b = a.O zero é múltiplo de qualquer número natural. se existir um número natural c. Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7. – 62 : (– 2) + 6 = efetue a potência.3 + 12] : 5 = [3 + 12 ] : 5 = 15 : 5 = 3 ? D) [(?? − ?√???) + (? + ?? : ?)]? [(10 . – 62 : (– 2) – [– 2 .Todo número natural. tal que c . – 62 : (– 2) – [– 2 . 31 + 6 = 37 C) [(5² . não-nulo. .3 + 6² : 3] : 5 = [(25 – 24).” Um número natural a é divisível por um número natural b.4).. 5. 417 – 4 = 413 3. b) 7235 é divisível por 5. e 24 é divisível por 4. O mesmo se aplica para os números inteiros. pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). 4190 – 18 = 4172 2. pois termina em 24. 2. e 27 é divisível por 3. pois termina em 6. b) 80530 não é divisível por 6. Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o último algarismo do número. 35 é multiplo de 7. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. ou seja..Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares. 41 – 6 = 35 . 25 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . sem efetuarmos a divisão. 6 ou 8. e a fórmula geral desses números é 2k + 1 (k N). Exemplos: a) 430254 é divisível por 6. Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9. Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0. Exemplos: a) 536400 é divisível por 4. Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8. pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27. Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). c) 76315 não é divisível por 4. multiplicado por 2. pois termina em 0. pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17. c) 531561 não é divisível por 6. subtraído do número sem o algarismo. Exemplos: a) 9656 é divisível por 2.2 = 4 . resulta em um número múltiplo de 7. que é divisível por 8. e a fórmula geral desses números é 2k (k N). pois seus três últimos algarismos formam o número 24.2 = 6 . pois termina em 1.2 = 18 . b) 4321 não é divisível por 2. pois seus três últimos algarismos são 000. o processo será repetido a fim de diminuir a quantidade de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7. c) 6324 não é divisível por 5. b) 67024 é divisível por 8. b) 653524 é divisível por 4. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. e 17 não é divisível por 3. pois termina em 15. tendo k Z. Exemplos: a) 57000 é divisível por 8. Exemplos: a) 35040 é divisível por 5. e não é par. pois termina em 4. 4. pois não é divisível por 2. b) 15443 não é divisível por 3. quando ele é par. Os demais são chamados de números ímpares. pois termina em 00. e 15 não é divisível por 4. Exemplos: a) 65385 é divisível por 3. e é par. Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro. Neste. pois termina em 5. c) 673225 não é divisível por 15.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15. Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. c) 863104 não é divisível por 12. Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11 ou quando essas somas forem iguais. Logo 83415721 não é divisível por 11.c) 34125 não é divisível por 8. pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. Logo 43813 é divisível por 11. O produto de todos os fatores primos representa o número fatorado. -83415721: b) 1º 3º 5º 7º (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19) 8 3 4 1 5 7 2 1 2º 4º 6º 8º (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12) 19 – 12 = 7 diferença que não é divisível por 11. pois não é divisível por 4 (termina em 11). Exemplos: a) 563040 é divisível por 10. que não é divisível por 8. pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25). pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).43813: a) 1º 3º 5º Algarismos de posição ímpar. b) 325103 não é divisível por 9. dividimos o mesmo pelo seu menor divisor primo. Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. pois não termina em zero. pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). pois seus três últimos algarismos formam o número 125. b) 723042 não é divisível por 15. pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9.(Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 15 – 4 = 11 diferença divisível por 11. Para decompormos um número natural em fatores primos.) 4 3 8 1 3 2º 4º Algarismos de posição par. Exemplos: a) 650430 é divisível por 15. 26 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Exemplos: . b) 246321 não é divisível por 10. Exemplos: a) 6253461 é divisível por 9. Exemplos: a) 78324 é divisível por 12. Fatoração numérica Essa fatoração se dá através da decomposição em fatores primos. Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número divisível por 9. Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando seu algarismo da unidade termina em zero. b) 652011 não é divisível por 12. após pegamos o quociente e dividimos o pelo seu menor divisor. pois termina em zero. e assim sucessivamente até obtermos o quociente 1. pois não é divisível por 5 (termina em 2). 31=2. Logo o número de divisores de 12 são: 2 ⏟2 . 31=3 21 . (Professor/Pref. 6.2 = 12 divisores inteiros. 30=2 21 . 30=4 O conjunto de divisores de 12 são: D(12)={1. 3.21 e 22 . (Pedagogia/DEPEN) Considere um número divisível por 6.: para sabermos o conjunto dos divisores inteiros de 12. 31=4. 12} A soma dos divisores é dada por : 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 Obs.Exemplo: Divisores de um número natural Vamos pegar como exemplo o número 12 na sua forma fatorada: 12 = 22 . teremos: 20 .4. um negativo e o outro positivo).(1 + 1) = 3. 30=1 20 .3=6 22 . basta multiplicarmos o resultado por 2 ( dois divisores. (Fuvest-SP) O número de divisores positivos do número 40 é: (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (E) 20 02. 2.6. 31 = 30 e 31.7}. composto por 3 algarismos distintos e pertencentes ao conjunto A={3.Itaboraí) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 4 e o produto dos mesmos 96. 31 22 = 20. Questões 01.3=12 22 . Exemplo: 12 = 22 .2 = 6 divisores naturais (2+1) (1+1) Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos cada fator da decomposição e seu respectivo expoente natural que varia de zero até o expoente com o qual o fator se apresenta na decomposição do número natural. O número de divisores positivos do mínimo múltiplo comum desses números é: (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 03. 4. Assim teremos que D(12) = 6.A quantidade de números que podem ser formados sob tais condições é: 27 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .5. ⏟ 31 (2 + 1). 31 O número de divisores naturais é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de 1. B) = A. (Pref. x representa um algarismo de a. B) = 24 . 02.B. (BANCO DO BRASIL/CESGRANRIO/2014) Em uma caixa há cartões. B) = 96/4 MMC(A. Resposta: D.de Niterói) No número a=3x4. então pegamos os resultados e multiplicamos 4. Não há dois cartões com o mesmo número escrito. B). logo temos 8 divisores de 40. quantos cartões restarão na caixa? (A)12 (B)11 (C)3 (D)5 (E) 10 06. O total de pares de valores (X. Em cada um dos cartões está escrito um múltiplo de 4 compreendido entre 22 e 82.em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades respectivamente. 10n + 1 III) 10n+3 – 10n Quais são divisíveis por 6? (A) apenas II (B) apenas III (C) apenas I e III (D) apenas II e III (E) I. MMC(A. II e III Respostas 01.MMC(A.2 = 8. (METRÔ/SP 2012 . e a quantidade de cartões é a maior possível. B) = 4 e o produto entre eles 96. Se forem retirados dessa caixa todos os cartões nos quais está escrito um múltiplo de 6 menor que 60.FCC . temos que MDC(A. 51 .ASSISTENTE ADMINISTRATIVO JÚNIOR) Seja o número inteiro 5X7Y. I) 10n + 2 II) 2 . a soma dos valores possíveis para o algarismo x vale: (A) 2 (B) 5 (C) 8 (D) 12 (E) 15 05.(A) 6 (B) 7 (C) 9 (D) 8 (E) 10 04. pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente: 3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2 . B) = 96 MMC(A. Vamos decompor o número 40 em fatores primos. 40 = 23 . Resposta: A.que tornam tal número divisível por 18. Sabendo-se que a é divisível. logo: 4 . fatorando o número 24 temos: 28 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Sabemos que o produto de MDC pelo MMC é: MDC(A. (BRDE-RS) Considere os números abaixo.Y).é (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 (E) 4 07. sendo n um número natural positivo. 8 Fazendo cada caso temos: y = 0.(1 + 1) = 4. Temos que para 5X7Y ser divisível por 18 ele também divisível por 9 5 + x + 7 + y = 9k x = 9k – (12 + y). logo temos 8 números.o número 18 e os seus divisores naturais: D+ (18) = {1. 29 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . logo 2 + 5 + 8 = 15 05. x = 9k – (12 + 0) x = 9k – 12 k = 2. 546. 4). para determinarmos o número de divisores. 564. Um número é divisível por 3 quando a sua soma for múltiplo de 3. 8) ao todo 6 pares. 48. 28. 4. mantemos o raciocínio acima temos: k = 2.. Resposta: C. (2. n ∈ N divisíveis por 6: N 1 2 3 4 I) 10n+2 10 + 2 = 12 100 + 2 = 102 1000 + 2 = 1002 10000 + 2 = 10002 II) 2 x 10n+1 20 + 1 = 21 200 + 1 = 201 2000 + 1 = 2001 20000 + 1 = 20001 III) 10n+3 – 10n 999 x 10 = 9990 999 x 100 = 99900 999 x 1000 = 999000 999 x 10000 = 999000 I) É divisível por 2 e por 3. Consideremos: . x = 9. (0. x = 9k – (12 + 2) x = 9k – 14. (7. 9. Temos para y = 0. Resposta: D. 3 + x + 4 = . 78. (4. 0). 60. 56. 2. x = 9k – (12 + 8) k = 3. 654. somamos 1 a cada expoente e multiplicamos o resultado: (3 + 1). 44. 36 e 48 (3 ao todo) Logo : 15 – 3 = 12 06. os valores possíveis de x são 2. 2). 68. logo é por 6. Resposta: C. Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. então k = 3 . Resposta: E. 52. Logo os finais devem ser 4 e 6: 354. e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3. Vamos enumerar todos os múltiplos de 4: 24. Retirando os múltiplos de 6 menores que 60 temos: 24. 6). 534.. 40. logo precisa ser par.3 . 456. 72. x = 18 – 18 x = 0 e x = 27 – 18 x = 9 y = 8 . por que um número que multiplicado por 9 (para ser múltiplo) que seja próximo de 12 é . (Verdadeira) II) Os resultados são ímpares. e por isso deverá ser par também. pela mesma razão que a I MDC O máximo divisor comum(MDC) de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de todos os números dados. 32.2 – 12 x = 18 – 12 x = 6 y = 2 . onde k é natural Para ser divisível por 18 o algarismo da unidade tem que ser divisível por 2. Resposta: A.24 = 23 . 756. Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. x = 18 – 14 x = 4 y = 4 . 5 e 8.2 = 8 03. 36. 3. 76. 64. Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. 2. 04. k = 2 e o próximo múltiplo seria 27. (9. x = 9k – (12 + 4) x = 9k – (16). x = 27 – 20 x = 7 Montando os pares temos: (6. 18}. 6). logo não são por 2. 6. x = 9k – (12 + 6) x = 9k – (18). pela regra. 6. 576. k = 2 x = 18 – 16 x = 2 y = 6 . 07. (Falsa) III) É Verdadeira.. 48. agora.o número 24 e os seus divisores naturais: D+ (24) = {1.} Observando os múltiplos comuns. os múltiplos positivos comuns: M*+ (6) M*+ (8) = {24. Consideremos: .. 54. 6}. 12.. ou seja: MDC (18.Decompomos cada número dado em fatores primos. 24}. 24) = 6. 48. cada um deles elevado ao seu menor expoente.O número 8 e os seus múltiplos positivos: M*+ (8) = {8. cada um deles elevado ao seu maior expoente. 2. 2. 8) = 24 Outra técnica para o cálculo do MMC: Decomposição isolada em fatores primos Para obter o MMC de dois ou mais números por esse processo.} Podemos descrever. 36.O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos. 4. . . podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8. 56. 72. 6. 16. 3. 48. 12. 24. ou seja: MMC (6.O número 6 e os seus múltiplos positivos: M*+ (6) = {6.. podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24. 32. 3. 42. 30 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 8... . 30. 24. 18.O MMC é o produto dos fatores comuns e não-comuns. os divisores comuns a 18 e 24: D+ (18) ∩ D+ (24) = {1. 40. Outra técnica para o cálculo do MDC: Decomposição em fatores primos Para obtermos o MDC de dois ou mais números por esse processo. 64. Podemos descrever. agora.. . Observando os divisores comuns. procedemos da seguinte maneira: . procedemos da seguinte maneira: ..} . Exemplo: MMC O mínimo múltiplo comum(MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números dados. .Decompomos cada número dado em fatores primos. percebeu que.8 minutos. esses três pagamentos irão coincidir. colocando 8 ou 9 ou 12 ovinhos em cada pacotinho sempre sobrariam 3 ovinhos no pote.MMC(A. todos com a mesma quantidade de ovinhos. Sabendo-se que ela pagou as três contas juntas em março deste ano. (C) 75. (B) 7 minutos e 12 segundos.Exemplo: O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo: MDC(A. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) Fernanda divide as despesas de um apartamento com suas amigas.8 em 1.4 minutos. (B) 60. (SAAE/SP – Técnico em Informática – VUNESP/2014) Uma pessoa comprou um pote com ovinhos de chocolate e. ao fazer pacotinhos. os trens partem de 1. troca informações sobre as ocorrências.B)= A. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC/2014) Na linha 1 de um sistema de Metrô. (E) 6 minutos e 48 segundos. novamente. O tempo mínimo em minutos. (D) 7 minutos e 20 segundos. Se dois trens partem. O menor número de ovinhos desse pote é (A) 38.B). 04. em 31 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas. divididos da seguinte maneira: Toda vez que o grupo completo se encontra. À Fernanda coube pagar a conta de água a cada três meses. 02. o próximo horário desse dia em que partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas. (A) 10 minutos e 48 segundos. os trens partem 2. (D) 86. entre dois encontros desse grupo completo será: (A) 160 (B) 200 (C) 240 (D) 150 (E) 180 03. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) O policiamento em uma praça da cidade é realizado por um grupo de policiais. no ano que vem.B Questões 01. a conta de luz a cada dois meses e o aluguel a cada quatro meses. (C) 6 minutos e 30 segundos.4 em 2. (E) 97. Na linha 2 desse mesmo sistema. ele observou que todas as entregas do dia poderão ser divididas igualmente entre 4.Infraestrutura – VUNESP/2014) Uma pessoa comprou um pedaço de tecido de 3 m de comprimento por 1. 32 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP/2014) Dois produtos líquidos A e B estão armazenados em galões separados. ao mesmo tempo. sem desperdiçá-los e sem misturá-los. Todos os caminhões a cada 8 meses. No início do seu turno. sem deixar sobras. (D) 12. (E) 2015. 07. o próximo em maio e assim sucessivamente). então a próxima vez que os bazares dessas três entidades irão coincidir no mesmo mês será no ano de (A) 2019. Carlos precisa distribuir esses líquidos. (A) 48 (B) 60 (C) 80 (D) 120 (E) 180 06. (UNIFESP – Mestre em Edificações . (C) abril. (B) 2018. B e C. (D) maio. (D) 2016. (E) 14. (B) março. Após essa distribuição. três entidades filantrópicas (sem fins lucrativos) A. 6. há 42 litros do produto B. Todos os automóveis a cada 6 meses. de forma que cada galão menor tenha a mesma quantidade e o maior volume possível de cada produto. Sabendo-se que a entidade A realiza bazares a cada 4 meses (isto é. a cada 6 meses. Esses veículos são revisados periodicamente. (C) 10. com a seguinte frequência: Todas as motocicletas a cada 3 meses. o número total de galões menores será (A) 6. faz o bazar em janeiro. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP/2014) Em janeiro de 2010. 8. decide cortar esse tecido em pedaços quadrados.(A) fevereiro. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Osvaldo é responsável pela manutenção das motocicletas. o número mínimo de meses para que todos eles sejam revisados juntos novamente é: (A) 48 (B) 32 (C) 24 (D) 16 (E) 12 08. 09. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Marcelo é encarregado de dividir as entregas da empresa em que trabalha. no dia 19 de maio de 2014. Se todos os veículos foram revisados. dos automóveis e dos caminhões de sua empresa. Para isso. (E) junho. todos de mesmo tamanho e de maior lado possível. realizaram bazares beneficentes para arrecadação de fundos para obras assistenciais. em galões menores. a entidade B realiza bazares a cada 5 meses e C. 10 ou 12 entregadores. 05.40 m de largura para confeccionar lenços. Em um dos galões há 18 litros do produto A e no outro. (C) 2017. Assinale a alternativa que representa o menor número de entregas que deverão ser divididas por ele nesse turno. (B) 8. assim acharemos os minutos Mmc(18. Resposta: C. (D) 5 (E) 7.20.80) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240 03. é correto afirmar que às 8 h 25 min.8 minutos.Sabendo que não ocorreu nenhuma sobra de tecido e que o tecido todo custou R$ 31. em tecido.50. vamos achar o mmc(18.d. desde o início do treinamento.30. então o preço de custo.15. Lucas demora 18 minutos para completar cada volta.60.24)=72 Portanto. Resposta: C. (E) R$ 0. (C) R$ 0.4 e 1. 10. enquanto Daniel completa cada volta em 15 minutos. (8. 9. Resposta: B. (D) R$ 0. Mantendo velocidades constantes.80) ???(40. Desse modo.2 minutos 1 minuto---60s 0.60. será 7. 12) = 72 Como sobram 3 ovinhos. (UNIFESP – Engenheiro Mecânico – VUNESP/2014) Iniciando seu treinamento. (C) 4. dois ciclistas partem simultaneamente de um mesmo ponto de uma pista. de cada lenço foi de (A) R$ 0. Devemos achar o mmc (40. (B) R$ 0. Respostas 01. (B) 3. m.24) e dividir por 10.25. Sabe-se que às 9 h 10 min eles passaram juntos pelo ponto de partida pela primeira vez. Como os trens passam de 2.2--------x x = 12 segundos Portanto se encontrarão depois de 7 minutos e 12 segundos 33 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 72 + 3 = 75 ovinhos 02.c.10. Daniel já havia completado um número de voltas igual a (A) 2. para indicar em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou todo) e que dá nome a cada parte e. m. que indica o número de partes que foram reunidas ou tomadas da unidade e. 20 = 400 cm² * Área Total: 300 .c. por essa razão. Resposta: A. 8) = 24 meses 08.m. Resposta: B. (3. 4) = 12 meses Como ela pagou as três contas juntas em MARÇO. Resposta: B. chama-se denominador da fração. 6.m. 12) = 120 06. chama-se numerador da fração.30 (preço de 1 lenço) 10.d. por isso. Devemos fazer o m.c. Resposta: D. 05. O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos da fração. NÚMEROS FRACIONÁRIOS Quando um todo ou uma unidade é dividido em partes iguais.04.c. Como 9h10 – 8h25 = 45 min.50 / 105 = R$ 0. m. Resposta: C. (3. Para se representar uma fração são. 10. Observe a figura abaixo: 34 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .m.m. após 12 meses.c. 2. m. Resposta: E.c.c. m. (140. Daniel completou: 90 / 15 = 6 voltas. Frações e operações com frações. 8. (4. m. uma dessas partes ou a reunião de várias formam o que chamamos de uma fração do todo. (18. (4. 2010 + 5 = 2015 07. (15. 18) = 90 min = 1h30 Portanto. 6. necessários dois números inteiros: a) O primeiro. 6) = 60 meses 60 meses / 12 = 5 anos Portanto. 300) = 20 cm * Área de cada lenço: 20 . portanto.m.d. 140 = 42000 cm² 42000 / 400 = 105 lenços 31. Resposta: C. equivale à metade do que Daniel percorreu.c. temos que: 6 / 2 = 3 voltas. 42) = 6 Assim: * Produto A: 18 / 6 = 3 galões * Produto B: 42 / 6 = 7 galões Total = 3 + 7 = 10 galões 09. m. às 9h10. b) O segundo. 5. pagará as três contas juntas novamente em MARÇO. 0/5=0 2. a fração é igual ao denominador: 25/1 = 25. No figura acima lê-se: três oitavos. sextos. em seguida.Frações Impróprias: Numerador é maior ou igual ao denominador. pois representa a fração cheia. -Frações com denominadores de 1 a 10: meios. Exemplos: 8 ?ê − ?? ∶ ???? ????? ????? ????. Exemplos: 1 – Se o numerador é igual a zero.Frações aparentes: Numerador é múltiplo do denominador. … . . -Frações com denominadores potências de 10: décimos. oitavos.A primeira nota dó é 14/14 ou 1 inteiro. o denominador seguido da palavra “avos”. terços.Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enuncia-se o numerador e. 6 8 4 Exemplos: . 5 .Frações Próprias: Numerador é menor que o denominador. Nomenclaturas das Frações Numerador Indica quantas partes tomamos do total que foi dividida a unidade. décimos de milésimos. As mesmas pertencem também ao grupo das frações impróprias.Se o denominador é 1. . Denominador Indica quantas partes iguais foi dividida a unidade. 100 Tipos de Frações . dividimos esta pelo denominador e multiplicamos pelo numerador. … . 1 5 3 Exemplos: 6 .Frações particulares: Para formamos uma fração de uma grandeza. a fração é igual a zero: 0/7 = 0. . nonos e décimos. quintos. 325/1 = 325 35 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . centésimos de milésimos etc. centésimos. 25 2 ?ê − ?? ∶ ???? ????é?????. 4 . 8 . a ré é 12/14 e assim sucessivamente. 6 8 4 Exemplos: 5 . … 1 4 2 . milésimos. quartos. 3 . sétimos. Simplificação: É dividir os termos por um mesmo número até obtermos termos menores que os iniciais. Exemplo: 4: 4 1 4: 2 2 2: 2 1 = .7) = 42 7..Compararmos as frações: 49/42 > 18/42. Podemos transformar uma fração imprópria na forma mista e vice e versa. .Quando duas frações tem o mesmo denominador. Exemplos: ?) ⇒ 25 4 =3 7 7 4 25 ?) 3 = 7 7 ⇒ .Quando os denominadores são diferentes. ?? = . o resultado da divisão é sempre 1.Fazer o mmc dos denominadores mmc(6. .Quando o denominador é zero. Exemplo: 5/11 . . a maior será aquela que possuir o maior numerador. 8 4 2 -Frações irredutíveis: Frações onde o numerador e o denominador são primos entre si.Números mistos: Números compostos de uma parte inteira e outra fracionária.6 49 18 ? → ? 42 42 42 42 2º . devemos reduzi-lo ao mesmo denominador.Quando o numerador e denominador são iguais. 5/3 Comparação e simplificação de frações -Comparação: . 17/29. Com isso formamos frações equivalentes a primeira. Exemplo: 5/7 >3/7 .Frações equivalentes: Duas ou mais frações que apresentam a mesma parte da unidade. ?? = 8: 4 2 8: 2 4 4: 2 2 As frações 4 2 1 . pois a divisão por zero é impossível. Exemplo: 7/6 e 3/7 1º .7 3. Exemplo: 4: 4 1 = 8: 4 2 36 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . e são equivalentes. a fração não tem sentido. Com denominadores diferentes: Reduz-se ao mesmo denominador através do mmc entre os denominadores. O processo é valido tanto para adição quanto para subtração. Exemplo: Podemos ainda simplificar a fração resultante: 288: 2 144 = 10: 2 5 Simplificando a fração resultante: 168: 8 21 = 24: 8 3 NÚMEROS DECIMAIS O sistema de numeração decimal apresenta ordem posicional: unidades.Divisão: O quociente de uma fração é igual a dados e dos denominadores dados. etc.Multiplicação: É produto dos numerados .Adição e Subtração Com mesmo denominador: Conserva-se o denominador e somase ou subtrai-se os numeradores. dezenas. Multiplicação e Divisão . centenas. primeira fração multiplicados pelo inverso da Exemplo: segunda fração. Operações com frações . Leitura e escrita dos números decimais Exemplos: 37 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 6 cinco inteiros e seis décimos.Colocamos os números um abaixo do outro. acrescentando zeros. 472.professornews.1256 quatrocentos e setenta e dois inteiros e mil. 38 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .Igualamos o número de casas decimais. . deixando vírgula embaixo de vírgula. . . Transformação de frações ordinárias em decimais e vice-versa A quantidade de zeros corresponde ao números de casas decimais após a vírgula e viceversa (transformar para fração). Operações com números decimais . cinquenta e seis décimos-milésimos.Adição e Subtração Na prática.Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números naturais.br/index. trezentos e sessenta e oito inteiros e quatrocentos e treze milésimos. duzentos. 0. a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a seguinte regra: .(Fonte: http://www.php/utilidades/dicas-de-redacao/5620-como-escrever-numeros-decimais-por-extenso) Lê-se: Quinhentos e setenta e nove mil.9 nove décimos.Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos números dados.com. 5. . .775 : 15.03 Disposição prática: 2) 3.5 Disposição prática: Nesse caso. colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às dos outros fatores.Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor.Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os números fossem naturais.No resultado.Divisão Na prática.5 Disposição prática: 39 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .2 x 2.Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais. o resto da divisão é igual a zero. Exemplos: 1) 652.5 Disposição prática: . a divisão é chamada de divisão exata e o quociente é exato. Exemplos: 1) 24 : 0. Assim sendo. a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: .Exemplos: . 2) 31. a divisão entre números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: .Multiplicação Na prática.49 x 2. Acrescentamos ao divisor a quantidade de zeros para que ele fique igual ao dividendo, e assim sucessivamente até chegarmos ao resto zero. 3) 0,14 : 28 Disposição prática: 4) 2 : 16 Disposição prática: Questões 01. (EBSERH/HUPES – UFBA – Técnico em Informática – IADES/2014) O suco de três garrafas iguais foi dividido igualmente entre 5 pessoas. Cada uma recebeu 3 (A) do total dos sucos. (B) (C) (D) (E) 5 3 do suco de uma garrafa. 5 5 do total dos sucos. 3 5 do suco de uma garrafa. 3 6 do total dos sucos. 15 02. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Uma 1 revista perdeu 5 dos seus 200.000 leitores. Quantos leitores essa revista perdeu? (A) 40.000. (B) 50.000. (C) 75.000. (D) 95.000. (E) 100.000. 03. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Dona Amélia e seus quatro filhos foram a uma doceria comer tortas. Dona Amélia comeu 2 / 3 de uma torta. O 1º filho comeu 3 / 2 do que sua mãe havia comido. O 2º filho comeu 3 / 2 do que o 1º filho havia comido. O 3º filho comeu 3 / 2 do que o 2º filho havia comido e o 4º filho comeu 3 / 2 do que o 3º filho havia comido. Eles compraram a menor quantidade de tortas inteiras necessárias para atender a todos. Assim, é possível calcular corretamente que a fração de uma torta que sobrou foi (A) 5 / 6. (B) 5 / 9. (C) 7 / 8. (D) 2 / 3. (E) 5 / 24. 04. ((PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 40 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA (D) 260 (E) 120 05. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Uma pessoa está montando um quebra5 cabeça que possui, no total, 512 peças. No 1.º dia foram montados 16 do número total de peças e, no 2.º 3 dia foram montados 8 do número de peças restantes. O número de peças que ainda precisam ser montadas para finalizar o quebra-cabeça é: (A) 190. (B) 200. (C) 210. (D) 220. (E) 230. 06. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM/2014) A mãe do Vitor fez um bolo e repartiu em 24 pedaços, todos de mesmo tamanho. A mãe e o pai comeram juntos, ¼ do bolo. O Vitor e a sua irmã comeram, cada um deles, 1/4do bolo. Quantos pedaços de bolo sobraram? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12 07. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais ela recebeu de troco? (A) R$ 40,00 (B) R$ 42,00 (C) R$ 44,00 (D) R$ 46,00 (E) R$ 48,00 08. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Certa praça tem 720 m2 de área. Nessa praça será construído um chafariz que ocupará 600 dm2. Que fração da área da praça será ocupada pelo chafariz? 1 (A) 600 1 (B) 120 1 (C) 90 1 (D) 60 (E) 1 12 09. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Se 1 7 kg de um determinado tipo de carne custa R$ 45,00, quanto custará 5 desta mesma carne? (A) R$ 90,00. (B) R$ 73,00. (C) R$ 68,00. (D) R$ 63,00. (E) R$ 55,00. 10. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM/2014) Paulo recebeu R$1.000,00 de salário. Ele gastou ¼ do salário com aluguel da casa e 3/5 do salário com outras despesas. Do salário que Paulo recebeu, quantos reais ainda restam? 41 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA (A) R$ 120,00 (B) R$ 150,00 (C) R$ 180,00 (D) R$ 210,00 (E) R$ 240,00 Respostas 01. Resposta: B. 3 3: 5 = 5 02. Resposta: A. 1 . 200000 = 40000 5 03. Resposta: E. Vamos chamar a quantidade de tortas de (x). Assim: ? ? * Dona Amélia: ? . ? = ? * 1º filho: ? ? . * 2º filho: ? ? .? = ? ? * 3º filho: ? ? . ? ? = ? ? * 4º filho: ? ? . ? ? = ? ? +?+ ? ? + ? ? ? ? =? + ?? ? ?? ? ?? + ?? + ?? + ?? + ?? ?? = ??? ?? ?? = ? . ?? + ?? ?? =?+ ?? ?? Ou seja, eles comeram 8 pizzas, mais 19/24 de uma pizza. Por fim, a fração de uma torta que sobrou foi: ?? ?? − ?? ?? = ? ?? 04. Resposta: A. 3 800 ∙ 4 = 600 ℎ????? 1 600 ∙ 5 = 120 ℎ????? ??????? Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 1 800 ∙ 4 = 200 ???ℎ???? 1 200 ∙ 8 = 25 ???ℎ??? ??????? Total de pessoas detidas: 120+25=145 05. Resposta: D. 5 * 1º dia: 16 . 512 = 2560 16 = 160 ??ç?? * Restante = 512 – 160 = 352 peças * 2º dia: 3 8 . 352 = 1056 8 = 132 ??ç?? 42 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA Resposta: B. Dirce pagou 58 reais Troco:100 – 58 = 42 reais 08. As grandezas proporcionais são aquelas que relacionadas a outras. Equacionando temos: 100 km ------. porcentagem e problemas. 1 Aluguel:1000 ∙ = 250 4 3 Outras despesas: 1000 ∙ 5 = 600 250 + 600 = 850 Restam :1000 – 850 = R$ 150. Do dicionário.x litros Se aumentarmos a Km aumentaremos também a quantidade de litros gastos. Resposta: D. quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape? A) 60 B) 50 C) 40 D) 70 E) 80 Observe que há uma relação entre as grandezas distância (km) e óleo diesel (litros). 7 . Elas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. 1 1 1 3 + + = 4 4 4 4 Sobrou 1/4 do bolo. RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS Grandeza é tudo aquilo que pode ser contado e medido. Resposta: B. Resposta: B. 600 dm² = 6 m² 6 720 ∶ 6 6 = 1 120 09.* Ainda restam = 352 – 132 = 220 peças 06. 1 24 ∙ 4 = 6 ????ç?? 07. 43 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Logo Resolvendo: as grandezas são diretamente proporcionais.1 Como recebeu um desconto de 10 centavos. divisão em partes proporcionais.00 Números e grandezas proporcionais: razões e proporções.). 45 = 7 . Resposta: B.Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e meio de óleo diesel.3 ∙ 7 = 58. sofrem variações. 8. Se a distância entre a cidade A e a cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo diesel. regra de três.25 litros Observe que: 500 km ------. tudo o que pode aumentar ou diminuir (medida de grandeza. Exemplos: 1 . 9 = 63 5 10. 5 tanques -----. Tempo (horas) 6 3 2 . 15.} e os valores entre suas razões são iguais a k (constante de proporcionalidade).. Considerando a estimativa feita.000 no salão maior. Matematicamente podemos escrever da seguinte forma: ?? ?? ?? = = =⋯=? ?? ?? ?? Onde a grandeza A ={a1.000 no menor e os demais no intermediário. nesse espaço.500. Logo as grandezas são inversamente proporcionais.6 → 240? = 240 → ? = 1 ∴ ???? ? ???? ???á ? ???????? ?? 1 ℎ???.. a outra varia na mesma razão da outra.. diminuímos de forma proporcional ao tempo. Como a faculdade conta atualmente com apenas 44.. composto por três salões.b3. Logo 1 tanque dessa picape cabe 50 litros . uma quantidade de livros diretamente proporcional à respectiva capacidade máxima de armazenamento. uma delas variando. a resposta correta esta na alternativa B.5x = 1.6 horas 240 km ----.000 livros.x litros 2... poderão ser armazenados até 120.. Se sua velocidade aumentar para 240 km/h. ? 500 ? = 500. Estimase que.125 litros 1 tanque ------. triplicando uma delas.. neste exemplo optamos por inverter a grandeza tempo.x horas Observe que: Se aumentarmos a velocidade. a quantidade de livros que a bibliotecária colocará no salão intermediário é igual a A) 17. 40 ? = → 240? = 40. Isto é.a2.Grandezas diretamente proporcionais (GDP) São aquelas em que. vamos encontrar o valor que cabe em 1 tanque: 2. a bibliotecária decidiu colocar.. Como sabemos que ele gasta 2.000 livros.25 100x = 12500 x = 12500/100 x = 125 Este valor representa a quantidade em litros gasta para ir da cidade A à B.5 x = 50 litros. sendo 60. em cada salão. B) 17.000. a grandeza B= {b1. Exemplos: 1 . E assim por diante. em quantas horas ele fará o percurso? Podemos pegar qualquer velocidade para acharmos o novo tempo: 40 km -----.125 x = 125/2.} .100 25 = → 100. a outra também triplica. dobrando uma delas. a outra também dobra.a3.b2. 44 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA ..Uma faculdade irá inaugurar um novo espaço para sua biblioteca. duas grandezas são diretamente proporcionais quando. . 2 – A tabela a seguir mostra a velocidade de um trem ao percorrer determinado percurso: Velocidade (km/h) 40 80 120 . 240 6 Observe que invertemos os valores de uma das duas proporções (km ou tempo).5 tanques para completar esse percurso. divididas à terça parte a outra também é dividida à terça parte. triplicando uma delas. variando uma delas. A quantidade de triângulos e quadrados somada supera a quantidade de hexágonos em A) 108..} será inversamente a outra B= {b1. de 9 anos. Isto é.500..} .27 = 162 189-162= 27 Resposta B *Se uma grandeza aumenta proporcionais.500 livros. C) 35.b3. Então. ???â??????: 3? ????????: 4? ℎ??á????: 6? 3? + 4? + 6? = 351 13? = 351 ? = 27 3? + 4? = 3. E) 81. a outra se reduz para à terça parte. de12 anos. e a outra também . percebe-se que é a metade dos livros. Matematicamente podemos escrever da seguinte forma: ??. e a outra também *Se uma grandeza diminui diretamente proporcionais. Resposta C 2 . O valor que caberá a Fábio será de: A) R$ 3.00 de forma inversamente proporcional à idade de seus dois filhos: Marcos.400.a3.. no salão menor é 1/8 dos livros.. como tem 44. D) 162.500 livros. A quantidade de polígonos de cada tipo é proporcional ao número de lados do próprio polígono.000 livros. quadrados e hexágonos. podemos analisar da seguinte forma: No salão maior. B) 27. dobrando uma delas.000. Como é diretamente proporcional.. 22000+5500=27500 Salão intermediário:44. os produtos entre os valores de A e B são iguais.27 + 4. a outra varia na razão inversa da outra. E) 18.b2. E assim por diante.500.00 45 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .500=16.27 = 81 + 108 = 189 6? = 6. ?? = ??. o salão maior ficará com 22. e Fábio. duas grandezas são inversamente proporcionais quando.000 e o salão menor com 5. a outra se reduz pela metade. ?? = ⋯ = ? Uma grandeza A ={a1. ?? = ??.C) 16. se e somente se.a2.Carlos dividirá R$ 8.600. Exemplos: 1 .000-27.Um mosaico foi construído com triângulos.Grandezas inversamente proporcionais (GIP) São aquelas quando. elas são diretamente .. D) 18. elas também são . Sabe-se que a quantidade total de polígonos do mosaico é 351. 36 Dividindo-se os denominadores por 4. 504 1 28 + 1 32 + 1 . 4 = 4800 7 9 7 1 1 36 Resposta B 2 . 32 e 36 anos.00 Marcos: a Fábio: b a + b = 8400 ? ? ?+? + = 1 1 1 1 12 9 12 + 9 ? 8400 = 1 3 4 9 36 + 36 7 8400 ?= →?= 36 9 8400 9 → ? = 8400 .00 C) R$ 7. elas também são INTERPRETAÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS O uso de tabela e gráficos vem sido cobrado em várias provas e para interpreta-los devemos ter em mente algumas considerações: 46 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . *Se uma grandeza diminui inversamente proporcionais.B) R$ 4. ou seja: 1 7 1 8 1 9 72+63+53 504 191 . é correto afirmar que o número de processos arquivados pelo mais velho foi: A) 112 B) 126 C) 144 D) 152 E) 164 382 Somamos os inversos dos números.800. ficamos com: + + = = Eliminando-se os denominadores. 36 → ????????????? ????? ???: 1200 .00 D) R$ 5.56 = 112 *Se uma grandeza aumenta proporcionais. Dividindo-se a soma pela soma: 382 / 191 = 2. em quantidades inversamente proporcionais as suas respectivas idades: 28. temos 191 que corresponde a uma soma.Três técnicos judiciários arquivaram um total de 382 processos.600.000. e a outra diminui e a outra aumenta . Nessas condições. elas são inversamente . comparando dados dos anos 1995. Esta informação é extraída através de leitura direta do gráfico: em 2003 a participação era de 28. a participação volta a aumentar. B) 2001 e 2003. em termos percentuais.83% em 2005. Resolução: Segundo o gráfico apresentado na questão. São Paulo: Abril. refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra. em meados de setembro. Almanaque abril 2010. absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico. em milhões de quilômetros quadrados. E) 2003 e 2008. 2005 e 2007. Resposta: C (Enem 2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo. pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos. C) 2003 e 2006. Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que pede o enunciado. caiu para 27.28%.92% em 2006 – depois deste período. Observar primeiramente quais informações/dados estão presentes nos eixos vertical e horizontal. ocasionando derretimento crescente do gelo. D) 2003 e 2007.79% em 2004. serviços para a zona rural. 47 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . por sua vez. Exemplos: (Enem 2011) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária. 2000. ano 36 (adaptado) Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação. 1998. 25. Águas de oceanos escuros. chegando a 23. para então fazer a leitura adequada do gráfico. o período de queda ocorreu entre os anos de A) 1998 e 2001. Segundo o gráfico. Fazer a leitura isolada dos pontos. o período de queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. D)2005.Com base no gráfico e nas informações do texto. 48 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . é 2007. O ano que. apresenta a menor extensão de gelo marítimo. segundo o gráfico. E)2007. B)1998. Resolução: O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante. é possível inferir que houve maior aquecimento global em A)1995. sendo chave para a resolução da questão. quanto menor for a extensão de gelo marítimo. Logo. Resposta: E Mais alguns exemplos: 1) Todos os objetos estão cheios de água. menor será o resfriamento e portanto maior será o aquecimento global. C) 2000. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e consequentemente ao resfriamento da Terra. 5 m de lado. em bilhões de reais. (B) 80. (C) manteve-se constante nos quatro anos. a arrecadação anual de impostos federais: (A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais. Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D.Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água? (A) A caneca (B) A jarra (C) O garrafão (D) O tambor O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia a dia e conhecer unidades de medida. Nesse período. (D) foi maior em 2006 que nos outros anos. a sequência de números da coluna A é inversamente proporcional à sequência de números da coluna B. 02. (E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais. Quanto tempo ele gastaria. Preste atenção na palavra exatamente. logo a resposta está na alternativa B. o litro. no caso. (D) 84. A letra X representa o número (A) 90. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB/ 2014) Um pintor gastou duas horas para pintar um quadrado com 1. se o mesmo quadrado tivesse 3 m de lado? (A) 4 h (B) 5 h (C) 6 h (D) 8 h (E) 10 h 49 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . (C) 96. encontra-se representada. 2) No gráfico abaixo. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Na tabela abaixo. Questões 01. a arrecadação de impostos federais no período de 2003 a 2006. (B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais. (E) 72. então em 2013 a quantidade de radares e o valor aproximado da arrecadação.5 m de comprimento. é igual a (A) 9. 06. seriam.8 milhões 260 328 milhões 2013 7. (D) 6500. enquanto que as respectivas medidas. nessa ordem. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP/2014) Moradores de certo município foram ouvidos sobre um projeto para implantar faixas exclusivas para ônibus em uma avenida de tráfego intenso. é (A) 1 140. em litros. (C) 12. 05. compara o número de veículos da frota. 16. (C) 4000. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP/2014) Um centro de imprensa foi decorado com bandeiras de países participantes da Copa do Mundo de 2014. 50 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . em centímetros. 04. então o número total de pessoas ouvidas nesse levantamento. o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios. A tabela. na bandeira alemã. (B) 6000. indicado por T na tabela. (E) 9000. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP/2014) A tabela. (A) 336 e 424.04. relativos aos anos de 2004 e 2013: Ano Frota Radares Arrecadação 2004 5. em milhões de reais (desconsiderando-se correções monetárias). é igual a (A) 8000. Sabe-se que as medidas de comprimento e largura da bandeira brasileira são diretamente proporcionais a 10 e 7. (E) 15. o número de radares e o valor total. (B) 10. Se todas as bandeiras foram confeccionadas com 1. mostra os resultados obtidos nesse levantamento. (D) 14.5 milhões 601 850 milhões (Veja São Paulo.03 .2014) Se o número de radares e o valor da arrecadação tivessem crescido de forma diretamente proporcional ao crescimento da frota de veículos no período considerado. (D) 334 e 430. entre as medidas da largura das bandeiras brasileira e alemã. ambos contrários à implantação da faixa exclusiva para ônibus é de 3/10. Assim. na qual alguns números foram substituídos por letras. A razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5. então a diferença. e a soma desses volumes é 14m³. em reais. arrecadado com multas de trânsito. são diretamente proporcionais a 5 e 3. (E) 330 e 432. Se a razão entre o número de mulheres e o número de homens. (B) 336 e 426. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP/2014) Foram construídos dois reservatórios de água. respectivamente. (B) 1 200. (C) 334 e 428. com dados relativos à cidade de São Paulo. para conservação de cadáveres. ele deve colocar leite e banana nas seguintes quantidades. (B) 9 / 50 de volta em sentido horário. Se a engrenagem P gira 1 / 5 de volta em sentido anti-horário. (E) 275 e 172. Dessa forma. ele gastará (A) 5 kg de sabão. (B) 6 kg de sabão.2. o auxiliar de autópsia gasta 3. formando um sistema de transmissão de movimento.3. Então.FUNIVERSA/2015) A geladeira. 110 homens. (D) 1 / 4 de volta em sentido anti-horário. considerando-se os anos de 2012. de 18 dentes. nos anos de 2012 e 2013. respectivamente. (E) 1 320. (B) 160 e 170. (C) 6 / 25 de volta em sentido horário. Para a limpeza de 7 dessas gavetas. 2013 e 2014. o número total de pessoas que essa instituição pretende atender em 2014 e o número médio anual de atendimentos a mulheres que se pretende atingir. (SEGPLAN-GO . então a engrenagem Q irá girar (A) 2 / 9 de volta em sentido horário.5 kg de sabão. 51 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . (C) 180 e 120. (Câmara Municipal de Sorocaba/SP – Telefonista – VUNESP/2014) O copeiro prepara suco de açaí com banana na seguinte proporção: para cada 500 g de açaí. 07. para a limpeza das 12 gavetas.(C) 1 280. (D) 275 e 115. em 2014. respectivamente. 10.Auxiliar de Autópsia . (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP/2014) O gráfico apresenta informações sobre a relação entre o número de mulheres e o número de homens atendidos em uma instituição. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Uma engrenagem circular P. (A) 160 e 113. são. 08. (E) 6 / 25 de volta em sentido anti-horário. Na sua casa. essa instituição pretende atender. mantendo a mesma proporção. de 20 dentes. (A) 80 ml e 1 (B) 100 ml e 1 / 2 (C) 120 ml e 1 / 2 (D) 150 ml e 1 / 4 (E) 200 ml e 1 09. com apenas 25 g de açaí. do necrotério de determinada cidade possui 12 gavetas de mesma medida. ele gasta 2 litros de leite e 10 bananas. Mantendo-se a mesma relação de atendimentos observada em 2012 e 2013. (D) 1 300. está acoplada a uma engrenagem circular Q. 5 = 328 ? 5. (D) 8 kg de sabão. 4 = 8h). 2 = 4). Como a medida do lado dobrou (1.5 . Chamando os radares de 2013 de ( x ).L = 7.5 ? 5.2=4 Segundo=5. 2 = 3). 10.(C) 7 kg de sabão. 150 L = 1050 / 10 L = 105 cm ?′ ? * Bandeira Alemã: ?′ = ? . Resposta: B. como se trata de área. ou seja. o tempo também vai dobrar (2 .1 (aproximado) 04. 1. mas. 5.5 .C’ 5. 260 x = 1950 / 5. ou seja.8 x = 336. x = 7. temos que: 5. 150 L’ = 450 / 5 L’ = 90 cm Então a diferença é: 105 – 90 = 15 cm 05. vamos calcular a arrecadação em 2013: 5. 16 12 1 = 1 60 ? 16 ∙ 60 = 12 ∙ ? X=80 02. Resposta: D.2 (aproximado) Por fim. Resposta: A. Resposta: E. (E) 9 kg de sabão.8 7.L’ = 3.L = 7 .2=10 Diferença=10-4=6m³ 1m³------1000L 6--------x X=6000 l 52 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .5 .8 .C 10.5 m = 150 cm ? ?? * Bandeira Brasileira: ? = ? . 328 x = 2460 / 5.8 . 03. x = 7.8 260 = 7.L’ = 3 . o valor vai dobrar de novo (2 . Resposta: B. Primeiro:2k Segundo:5k 2k+5k=14 7k=14 K=2 Primeiro=2.8 x = 424. Respostas 01. * Número médio anual de mulheres: ?= ??+???+??? ? = ??? ? = ??? ???????? 08. ? = ?? .2000 25 -----------.p = 3 . Resposta: D. 110 m = 6600 / 40 m = 165 mulheres (em 2014) Assim. 110 + 165 = 275 pessoas (em 2014). Sabendo que se mantém a proporção. logo são diretamente proporcionais): ? ?? = ?? ? * Número total em 2014: (h = 110) ? ??? ?? ?? = 40. vamos calcular a razão entre mulheres e homens (observe que os dados do gráfico se mantém na mesma proporção. Resposta: B. ? ? = ?? ??? 10.06.m = 60 . ???? ? = ????? ??? ? = ??? ?? ?? ????? * Açaí e banana: açaí banana 500 --------. Vamos utilizar a Regra de Três Simples Direta duas vezes: * Açaí e leite: açaí leite 500 --------. Primeiramente.10 25 ---------.x ??? ?? = ???? ? ???. 600 p = 1800 / 10 p = 180 mulheres * Total de Mulheres: q = 300 + 180 = 480 * Total Geral: T = 480 + 720 = 1200 pessoas 07.y ??? ?? = ?? ? 53 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . temos grandezas diretamente proporcionais. Resposta: B. Observa-se que se aumentarmos o número de gavetas iremos gastar mais sabão.x Invertendo uma das Grandezas. nessa ordem. foi de ?ú???? ?? ????? 150 1 = = ?ú???? ?? ?????????? 3600 24 Lemos a fração como: Um vinte e quatro avós. ? = ?? . RAZÃO É o quociente entre dois números (quantidades. os candidatos obtiveram os seguintes resultados: − Alana resolveu 11 testes e acertou 5 − Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 − Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 − Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 54 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 10. 2 .???.5 12 ? 42 = → 7? = 12. x = 1/5 .5 7 Logo.Em um processo seletivo diferenciado.Em um vestibular para o curso de marketing. participaram 3600 candidatos para 150 vagas.3. teremos: 18 . 20 x = 4 / 18 (: 2/2) x=2/9 Será no sentido horário porque a outra engrenagem está no sentido anti-horário. Observe que as grandezas são inversamente proporcionais (pois quanto mais dentes. grandezas). menos voltas serão dadas). Gavetas Sabão(kg) 12 x 7 3. Sendo a e b dois números a sua razão. chama-se razão de a para b: Onde: ? ?? ?: ? .5 → 7? = 42 → ? = → ? = 6 ?? 7 3. medidas. A razão entre o número de vagas e o número de candidatos. ??? ? ≠ 0 ? Exemplos: 1 .1 / 5 18 ----------. logo as grandezas são diretamente proporcionais. Resposta: A. Resposta: B. será gasto 6kg de sabão para limpeza de 12 gavetas. Vamos utilizar a Regra de Três Simples para resolução: Dentes Volta 20 ----------. ?? ? = ??? ??? ? ? = ? ?????? 09. . então utilizamos a escala. entre outras. Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 . . m/s. .Razões Especiais Escala Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida.. ?= ?????? ?? ???? ?????? ???? Velocidade média É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. 55 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .46 = 0.− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 O candidato contratado.42 Daniel teve o melhor desempenho.O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando. entre outras. Exemplo: 1 .47 9 ?????: 21 = 0. (razão de acertos para número de testes). As unidades utilizadas são km/h. As unidades utilizadas são g/cm³. kg/m³.42 ?????: 14 ?????????: 8 ??????: 17 7 15 = 0. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 . ? ? Dada as razões ? e ? . que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade).. ?= ????â???? ????????? ????? ????? Densidade É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume.Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza. a distância percorrida.45 11 6 ???????: = 0. à setença de igualdade Onde: ? ? ? = ? chama-se proporção. minuto a minuto. ????? ?? ????? ?= ?????? ?? ????? PROPORÇÃO É uma igualdade entre duas razões. foi: 5 = 0. de melhor desempenho. essas devem ser expressas na mesma unidade.. . c Exemplo: 45 9 Na proporção 30 = 6 . assim como cada antecedente está para o seu consequente. assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).Propriedade Fundamental O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.4..Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 2 =2.A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo).Propriedades da Proporção 1 . a . .6 = 30.8.). ? ? ?−? ?−? ?−? ?−? = → = ?? = ? ? ? ? ? ? Exemplo: 2 6 2 − 3 6 − 9 −1 −3 2 − 3 6 − 9 −1 −3 = → = → = = −6 ?? = → = = −9 3 9 2 6 2 6 3 9 3 9 4 .(lê-se: “45 esta para 30 .2.. assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). ? ? ?−? ? ?−? ? = → = ?? = ? ? ?−? ? ?−? ? 56 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .). assim como cada antecedente está para o seu consequente.4.A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes. isto é.. temos: 45..3.A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes. =2 2 3 4 Então: 2 4 6 8 = = = 1 2 3 4 Dizemos que os números da sucessão (2.9 = 270 2 .. 1 4 6 8 =2 .6.A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo).3. aplicando a propriedade fundamental . d = b . ? ? ?+? ?+? ?+? ?+? = → = ?? = ? ? ? ? ? ? Exemplo: 2 6 2 + 3 6 + 9 5 15 2 + 3 6 + 9 5 15 = → = → = = 30 ?? = → = = 45 3 9 2 6 2 6 3 9 3 9 3 . assim como 9 esta para 6.) são diretamente proporcionais aos números da sucessão (1. =2 . ? ? ?+? ? ?+? ? = → = ?? = ? ? ?+? ? ?+? ? Exemplo: 2 6 2+6 2 8 2 2+6 6 8 6 = → = → = = 24 ?? = → = = 72 3 9 3+9 3 12 3 3+9 9 12 9 5 . 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados. nessa ordem. verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e o número de atendimento total aos usuários (internos e externos). o número de usuários atendidos foi: A) 84 B) 100 C) 217 D) 280 E) 350 Resolução: Usuários internos: I Usuários externos : E Sabemos que neste dia foi atendidos 140 externos E = 140 ? 3 ? = 5 = ?+140 .Em uma fundação. foi de: A) 2:3 B) 1:3 C) 1:6 D) 3:4 E) 2:5 57 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . A razão do número de candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: A) 2/3 B) 3/5 C) 5/10 D) 2/7 E) 6/7 Resolução: Resposta “B” 3 . nessa escola.Problemas envolvendo razão e proporção 1 . nessa ordem. usando o produto dos meios pelos extremos temos ?+? 5I = 3(I + 140) 5I = 3I + 420 5I – 3I = 420 2I = 420 I = 420 / 2 I = 210 I + E = 210 + 140 = 350 Resposta “E” 2 – Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. em um determinado dia.Em um dia de muita chuva e trânsito caótico.Exemplo: 6 2 6−2 6 4 6 6−2 2 4 2 = → = → = = 36 ?? = → = = 12 9 3 9−3 9 6 9 9−3 3 6 3 . pode-se afirmar que nesse dia. no total. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140. sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. foi de 3/5. pode-se concluir que. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no horário. a razão entre o número de alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário. é igual a (A) 8000. em litros. Assim. Qual foi a velocidade média do ônibus durante este trajeto. (D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. (E) 9000. o restante era composto por várias “outras ervas”. (PREF. (EBSERH/ HUPAA-UFAL . (C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. (B) 6000. A razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5. seis são do sexo feminino. IMARUÍ/2014) De cada dez alunos de uma sala de aula. entre outros. (C) 4000. Supondo que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus. 03. e a soma desses volumes é 14m³. tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. o perito constatou que o produto apreendido não era maconha pura. fretado para uma excursão. quantos são do sexo masculino? (A) Doze alunos. na produção de 5 kg desse produto. era uma mistura da Cannabis sativa com outras ervas. Nesse caso. 04. em km/h? (A) 71 km/h (B) 76 km/h (C) 78 km/h 58 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP/2014) Foram construídos dois reservatórios de água. o traficante revelou que. (D) Vinte alunos.Resolução: Se 2/5 chegaram atrasados 1− 2 3 = ?ℎ?????? ?? ℎ??á??? 5 5 2 1 1 ∙ = ??????? ???? ?? 30 ??????? ?? ?????? 5 4 10 1 ??????? ???? ?? 30 min ?? ?????? 10 ???ã? = = 3 ?ℎ?????? ?? ℎ??á??? 5 ???ã? = 1 5 1 ∙ = ?? 1: 6 10 3 6 Resposta “C” Questões 01. aproximadamente. isto é. (B) Quatorze alunos. Na análise laboratorial. Sabendo que nesta sala de aula há dezoito alunos do sexo feminino. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. (B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. velocidade média. é correto afirmar que. o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios. (D) 6500. ele usava apenas 2 kg da Cannabis sativa. 02. para fabricar todo o produto apreendido. foram apreendidos 1 traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. (E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. Interrogado.Técnico em Informática – IDECAN/2014) Entre as denominadas razões especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA/2015) Em uma ação policial. o traficante usou (A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. (C) Dezesseis alunos. 06. Sabendo que a razão entre o número de pacotes de guardanapos na cor verde e o número de pacotes de 5 guardanapos na cor amarela. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) Em uma edição de março de 2013. quantos ml de tinta branca sobraram? 59 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 07. (D) 125 km. (D) 28. então. com 120 km de vias. alguns na cor verde e outros na cor amarela.(D) 81 km/h (E) 86 km/h. 51 km de vias congestionadas. (D) 80. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Um restaurante comprou pacotes de guardanapos de papel. Com base nesse título. (E) 127 km. (B) 70. é . para transportá-los utiliza caixas que comportam exatamente 80 blocos médios. (E) 85. ela misturou certa quantidade de tinta branca com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca. é (A) 119 km. 09. (B) 24. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) Uma cidade A. então. (C) 75. 05. o número de pacotes de guardanapos na cor 7 amarela supera o número de pacotes de guardanapos na cor verde em (A) 22. (C) 26. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Maria tinha 450 ml de tinta vermelha e 750 ml de tinta branca. O número de quilômetros de vias congestionadas numa cidade B. que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A. totalizando 144 pacotes. pela manhã. o número de blocos pequenos que poderão ser colocados no espaço disponível na caixa será: (A) 60. Para fazer tinta rosa. (E) 30. apresentava. (B) 121 km. conclui-se corretamente que a razão entre o número de jovens que fazem ou já fizeram trabalho voluntário no Brasil e o número de jovens que não fazem parte desse referido grupo é 3 (A) 4 2 (B) 3 (C) 1 2 1 (D) 3 1 (E) 4 08. Feita a mistura. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Uma gráfica produz blocos de papel em dois tamanhos diferentes: médios ou pequenos e. nessa ordem. se em uma caixa dessas forem colocados 50 blocos médios. (C) 123 km. um telejornal apresentou uma reportagem com o título “Um em cada quatro jovens faz ou já fez trabalho voluntário no Brasil”. Sabendo que 2 blocos médios ocupam exatamente o mesmo espaço que 5 blocos pequenos. 18 ??/ℎ 5. 7.5h. então o número mínimo de ladrilhos necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a (A) 588. (C) 454. logo : 2 .a ( II ) 60 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA 6 4 .Então temos a seguinte razão: 6 4 = 18 ? 6x = 72 x = 12 03. (D) 476. ou seja. 150 = 60?? ?? ???????? ?????? ∴ 150 − 60 = 90?? ?? ?????? ????? 5 02. No piso desse salão. no sentido do comprimento do piso. O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 2 ervas. Resposta: B. recebeu 28 ladrilhos. (B) 350. Podemos escrever em forma de razão 5.2=10 Diferença: 10 – 4 = 6 m³ 1m³------1000L 6--------x x = 6000 l 04. transformando tudo em hora e suas frações. foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros. Se cada fileira de ladrilhos. Resposta: A. Resposta: C. 430 = 78. Vamos chamar a quantidade de pacotes verdes de (v) e.(A) 75 (B) 125 (C) 175 (D) 375 (E) 675 10. Como 6 são do sexo feminino. de (a). Respostas 01. revestindo-o totalmente. a de amarelos. Primeiro:2k Segundo:5k 2k + 5k = 14 7k = 14 k=2 Primeiro: 2. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP/2014) A medida do comprimento de um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. Assim: v + a = 144 . 4 são do sexo masculino (10-6 = 4) .2 = 4 Segundo5. 5h30 = 5. Resposta: B.5 05. (E) 382.v = 5. v = 144 – a ( I ) ? ? = 5 7 . ou seja. Resposta: C. .y. 280 x = 14280 / 120 x = 119 km 09. 61 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Resposta: A. Resposta: C. Resposta: D.4 1 ???ã? = 4 = = 3 3.Já há 50 blocos médios: 80 – 50 = 30 blocos médios (ainda cabem). (– 1) 12a = 1008 a = 1008 / 12 a = 84 amarelos Assim: v = 144 – 84 = 60 verdes Supera em: 84 – 60 = 24 guardanapos. que fica 4L = 3C ? Fazendo C = 28 e substituindo na proporção.. Jovens que fazem ou fizeram trabalho voluntário: 1 / 4 Jovens que não fazem trabalho voluntário: 3 / 4 1 1. ? 2 = 5 .) previamente determinados.x = 51 .) que.4 3 4 08. 3 x = 1350 / 2 x = 675 ml de tinta branca Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 10.z.c. mantêm-se uma razão que não tem variação. 2p = 5. divididos por quocientes(x.a 1008 – 7a = 5a – 7a – 5a = – 1008 .30 p = 150 / 2 p = 75 blocos pequenos 07. 06. ou seja . Resposta: A. Chamemos de (m) a quantidade de blocos médios e de (p) a quantidade de blocos pequenos. 2p = 5m ? . 21 = 588 DIVISÃO PROPORCIONAL Uma forma de divisão no qual determinam-se valores(a. (144 – a) = 5.80 p = 400 / 2 p = 200 blocos pequenos .Vamos substituir a equação ( I ) na equação ( II ): 7 . ? 4 = 3 . temos: 28 4 = ? 3 4L = 28 . 2 450 = ? 3 2x = 450. Resposta: A. 51 ? = 120 280 120. 3 L = 84 / 4 L = 21 ladrilhos Assim.80 blocos médios correspondem a: 2p = 5.b.. o total de ladrilhos foi de 28 . 25 Mônica:1. em reais.5. O valor. Divisão Diretamente Proporcional .q Exemplos: 1) Para decompor o número 200 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3. sua irmã.75 1. Os mais altos querem que seja divisão proporcional à altura.p e B = K.q . montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas.00. mas ? ? = ? ? A solução segue das propriedades das proporções: ? ? ?+? ? = = = =? ? ? ?+? ?+? O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K.3 = 120 2) Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3. com 1. C) 300. Os mais velhos querem que seja divisão proporcional à idade. Para resolver este problema basta tomar A – B = 40 e escrever: ? ? ? − ? 40 = = = =? 8 3 5 5 Fazendo A = K.q . que Mônica recebeu a mais do que pela divisão no outro critério.9000=13500 Pela idade: ? ? 29250 + = = 650 25 20 45 Mônica:20. de modo que a soma das partes seja A + B = M.3 = 24 3) Repartir dinheiro proporcionalmente às vezes dá até briga. Resolução: Pela altura: R + M = 29250 ? ? 29250 29250 + = = = 9000 1.650 = 13000 13500 – 13000 = 500 Resposta A 62 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .75 m e 25 anos e Mônica.p e B = K. Roberto com 1. E) 50. é igual a A) 500. Mônica ganhou e decidiu a maneira que mais lhe favorecia. sabendo-se que a diferença entre eles é 40. Nesse caso. B) 400.50 1. Decidiram.75 + 1. temos que A = 40.Divisão em duas partes diretamente proporcionais Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q. quem escolheria um dos critérios: altura ou idade. montaremos o sistema de modo que A + B = 200.2 = 80 e B=40. no par ou ímpar. temos que A = 8.p e B = K.250.50 m e 20 anos precisavam dividir proporcionalmente a quantia de R$ 29.8 = 64 e B = 8.5 3. cuja solução segue de: ? ? ? + ? 200 = = = = ?? 2 3 5 5 Fazendo A = K. D) 250. Exemplos: 1) Para decompor o número 240 em três partes A. de modo que 2A + 3B .240 e C = .Divisão em várias partes diretamente proporcionais Para decompor um número M em partes x1.. deve-se montar o sistema tal que A + B = 120.Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8.6 −8 Logo: A = .6 = . ?. Para resolver este problema.2 + 3. Assim: 63 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . respectivamente.. ?1 ?2 ?? = =⋯= ?1 ?2 ?? A solução segue das propriedades das proporções: ?1 ?2 ?? ?1 + ?2 + ⋯ + ?? ? = =⋯= = = =? ?1 ?2 ?? ?1 + ?2 + ⋯ ?? ? Observa-se que partimos do mesmo princípio da divisão em duas partes proporcionais. devese montar um sistema com n equações e n incógnitas. x2. sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Assim: ? ? ? ? + ? + ? 240 = = = = = ?? 2 4 6 ? 12 Logo: A = 20. .4 − 4. ? = = = = =? 1/? 1/? 1/? + 1/? 1/? + 1/? ?+? O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q.60.360. . tomamos A – B = 10.2 = -120 . B e C diretamente proporcionais a 2. + pn = P..4C = 480 A solução segue das propriedades das proporções: ? ? ? 2? + 3? − 4? 480 = = = = = −?? 2 4 6 2..2 = 40. Exemplos: 1) Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3. Desse modo: ? ? ?+? ? ?. p2.. 4 e 6..6 = = = = = 144 1/2 1/3 1/2 + 1/3 5/6 5 Assim A = K/p A = 144/2 = 72 e B = K/q B = 144/3 = 48 2 . B e C diretamente proporcionais a 2.4 = . xn diretamente proporcionais a p1. Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A + B = M. Também existem proporções com números negativos.4 = 80 e C = 20. B = 20.... deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q..6 =120 2) Determinar números A. + xn= M e p1 + p2 + . devese montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A + B + C = 240 e 2 + 4 + 6 = P. Divisão Inversamente Proporcional . que são..60. B = . 4 e 6. os inversos de p e q. pn.Divisão em duas partes inversamente proporcionais Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q. sendo as somas x1 + x2 + .60. de modo que: ? ? ?+? 120 120. Desse modo: ? ? ? ?+?+? 220 = = = = = 240 1/2 1/4 1/6 1/2 + 1/4 + 1/6 11/12 A solução é A = K/p1 A = 240/2 = 120. . B = K/p2 B = 240/4 = 60 e C = K/p3 C = 240/6 = 40 2-Para obter números A... c e d e inversamente proporcionais a p e q. B = 30/13 e C = 20/13 Existem proporções com números fracionários! Divisão em partes direta e inversamente proporcionais . Exemplos: 1) Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3. xn diretamente proporcionais a 1/p1. de modo que A + B + C = 220. . B e C inversamente proporcionais a 2. + xn= M e além disso ?1 ?2 ?? = =⋯= 1/?1 1/?2 1/?? Cuja solução segue das propriedades das proporções: ?1 ?2 ?? ?1 + ?2 + ⋯ + ?? ? = =⋯= = = =? 1 1 1 1 1 1 1 1/?1 1/?2 + + ⋯ + + ⋯ + ?? ?1 ?2 ?? ?1 ?2 ?? Exemplos: 1-Para decompor o número 220 em três partes A. e. pn. x2.c/p e B = K. deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q. 4 e 6.Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a. 1/pn. 4 e 6.d/q.... B e C inversamente proporcionais a 2...? ? ?−? 10 = = = = 240 1/6 1/8 1/6 − 1/8 1/24 Assim A = K/p A = 240/6 = 40 e B = K/q B = 240/8 = 30 . A montagem do sistema com n equações e n incógnitas. ? + ?..Divisão em várias partes inversamente proporcionais Para decompor um número M em n partes x1. . deve-se montar as proporções: ? ? ?+? 58 = = = = 70 2/5 3/7 2/5 + 3/7 29/35 64 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 1/p2. ? = = = = =? ?/? ?/? ?/? + ?/? ?/? + ?/? ?.. .. devemos montar as proporções: ? ? ? 2? + 3? − 4? 10 120 = = = = = 1/2 1/4 1/6 2/2 + 3/4 − 4/6 13/12 13 logo A = 60/13. p2. xn inversamente proporcionais a p1. ?.4C = 10. basta decompor este número M em n partes x1. de modo que 2A + 3B ... devese montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas. x2. inversamente proporcionais a 5 e 7. basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A + B = M e além disso: ? ? ?+? ? ?. assume que x1 + x2 + . ? O valor de K proporciona a solução pois: A = K... Na família de Alda são três pessoas e na de Berta.d/q = (3/7)..p1/q1 = 50/69.c/p = (4/6). x2. xn diretamente proporcionais a p1/q1. p2. 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2. de modo que 2A + 3B . sabendo-se que a diferença entre eles é 21.. B = K. Alda e Berta. xn diretamente proporcionais a p1. num certo mês foi de R$ 1.p3/q3 = 40/69 Problemas envolvendo Divisão Proporcional 1) As famílias de duas irmãs. + xn = M e além disso ?1 ?2 ?? = =⋯= ?1 /?1 ?2 /?2 ?? /?? A solução segue das propriedades das proporções: ?1 ?2 ?? ?? + ?2 + ⋯ + ?? = =⋯= ? =? ?2 ?? = ? ? 1 ?1 /?1 ?2 /?2 + + ⋯ + ?? ?1 ?2 ?? Exemplos: 1) Para decompor o número 115 em três partes A. Se a despesa.. .00 C) 450..d/q = (3/8)...280. qn. 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4. a família de Alda? A) 320..72 = 27 Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais Para decompor um número M em n partes x1. .72 = 48 e B = K. quanto pagou.. pn/qn.p2/q2 = (2/5)100 = 40 e C = K. B e C diretamente proporcionais a 1.00 Resolução: Alda: A = 3 pessoas Berta: B = 5 pessoas A + B = 1280 65 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . x2... em reais. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que x1 + x2 + .p1/q1 = (1/4)100 = 25.70 = 30 2) Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8. ..p3/q3 = (3/6)100 = 50 2) Determinar números A..00 E) 520. Para resolver este problema basta escrever que A – B = 21 resolver as proporções: ? ? ?−? 21 = = = = 72 4/6 3/8 4/6 − 3/8 7/24 Assim A = K.. deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A + B + C = 115 e tal que: ? ? ? ?+?+? 115 = = = = = 100 1/4 2/5 3/6 1/4 + 2/5 + 3/6 23/20 Logo A = K. A montagem do problema fica na forma: ? ? ? 2? + 3? − 4? 10 100 = = = = = 1/2 10/4 2/5 2/2 + 30/4 − 8/5 69/10 69 A solução é A = K.00..00 B) 410. B = K.00 D) 480. 5 e 6. cinco. pn e inversamente proporcionais a q1. .c/p = (2/5). q2.Assim A = K. . p2/q2. 4 e 5. B e C diretamente proporcionais a 1. vivem na mesma casa e a divisão de despesas mensais é proporcional ao número de pessoas de cada família...p2/q2 = 250/69 e C = K.4C = 10..70 = 28 e B = K. basta decompor este número M em n partes x1. Um total de 150 processos foi dividido entre elas. ?. uma com 20 anos de idade e a outra com 30.1/v 9 = 288/v v = 32 anos Resposta A 3) Em uma seção há duas funcionárias. Qual o número de processos recebido pela mais jovem? A) 90 B) 80 C) 60 D) 50 E) 30 Estamos trabalhando aqui com divisão em duas partes inversamente proporcionais.1/24 12 = k/24 k = 288 A quantidade de caixas carregadas pelo mais velho é: 21 – 12 = 9 Pela regra geral da divisão temos: Qv = k. na razão inversa de suas respectivas idades. que tinha 24 anos. eles dividiram o total de caixas entre si.? ? ? + ? 1280 + = = = 160 3 5 3+5 8 A = K. então. ? = = = = =? 1/? 1/? 1/? + 1/? 1/? + 1/? ?+? O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q. 66 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades.30 90000 = = = = = = ???? 1/? 1/? 1/20 + 1/30 1/20 + 1/30 20 + 30 50 A = k/p A = 1800 / 20 A = 90 processos. para a resolução da mesma temos que: ? ? ?+? ? ?. Se ao mais jovem. a idade do ajudante mais velho.3 = 480 Resposta D 2) Dois ajudantes foram incumbidos de auxiliar no transporte de 21 caixas que continham equipamentos elétricos. logo cada uma ficará com A e B partes que totalizam 150: A + B = 150 processos ? ? 150 150 150. Vamos chamar as funcionárias de p e q respectivamente: p = 20 anos (funcionária de menor idade) q = 30 anos Como será dividido os processos entre as duas.p = 160. em anos era? A) 32 B) 34 C) 35 D) 36 E) 38 Resolução: v = idade do mais velho Temos que a quantidade de caixas carregadas pelo mais novo: Qn = 12 Pela regra geral da divisão temos: Qn = k. coube transportar 12 caixas. Para executar essa tarefa.20. Sendo assim.5 milhões. a quantia que o projeto mais importante receberá ultrapassa a metade do total da verba em 67 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .000. o número de anos dedicados para a empresa.000.00. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Uma prefeitura destinou a quantia de 54 milhões de reais para a construção de três escolas de educação infantil.500 m².000.5 milhões. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal . (Pref.000. Sabendo que Maria tem 8 anos.000. 2. Dessa maneira. (E) 4.00. Fortes é (A) 17. 1. é igual a (A) 5. em partes diretamente proporcionais aos anos dedicados para a empresa. 4 e 7.00.00 (B) R$ 250. (E) 21. (C) 2. Matilde recebeu a menos que o Sr.00 deve ser repartida entre três herdeiros. Será feita uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles.00 06. 1. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA/2014) Uma herança de R$ 750.000. em partes proporcionais a suas idades que são de 5.100.00 (E) R$ 30.000.700. O mais velho receberá o valor de: (A) R$ 420.75 milhões.250. (A) R$ 36. Matilde trabalhou durante 3 anos e 2 meses. a quantia destinada à construção da escola com 1. Sabe-se que dentre esses quatro funcionários um deles já possui 2 anos trabalhados. 8 e 12 anos. Dessa maneira.750.00. outro possui 7 anos trabalhados.00 (B) R$ 60. (C) 15 milhões.00 (E) R$ 350. Júlia e Carla dividirão R$ 72.200 m² e 900 m² e a quantia destinada à cada escola é diretamente proporcional a área a ser construída. (D) 17. 24.00. 03. 04.00 (D) R$ 24. Sr.000. outro possui 6 anos trabalhados e o outro terá direito. (B) 13.00 (D) R$ 400. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses e Srta.Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática – FUNCAB/2014) Maria. em reais. desse último funcionário citado. que são. (B) 7. determine quanto receberá quem ficar com a maior parte da divisão. (D) 27 milhões.00.Questões 01.000.000.00 será alocada a três projetos diferentes. nessa divisão. (B) 5.00 (C) R$ 48. à quantia de R$6. A área a ser construída em cada escola é.000.000.00. (PC/SP – Fotógrafo Perito – VUNESP/2014) Uma verba de R$ 65. (D) 3. em reais.800. Júlia.000. A divisão desse dinheiro será realizada de forma diretamente proporcional aos graus de importância dos projetos. um bônus de R$36. 05.00 02. O valor.500 m² é. (E) 15. (TRF 3ª – Técnico Judiciário – FCC/2014) Quatro funcionários dividirão. respectivamente. (C) 22. Sra.00 (C) R$ 360.000. que a Srta.000. (SABESP – Atendente a Clientes 01 – FCC/2014) Uma empresa quer doar a três funcionários um bônus de R$ 45.000. respectivamente.00 em partes inversamente proporcionais às suas idades.00. igual a (A) 22.12 e Carla. Fortes trabalhou durante 12 anos e 8 meses. 00. (C) R$450. Roberto com 1. (C) 300. (B) R$ 165. com 1. Respostas 01. recebeu R$210. e Bianca.(A) R$ 2.000.000. o Estado de São Paulo receberia o valor. é igual a (A) 500.00. (E) 50.00. 07. Decidiram.00. A parte devida a Carla foi de (A) R$400.500. Nesse relatório.000 O mais velho receberá: 1230000=360000 68 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Mônica ganhou e decidiu a maneira que mais lhe favorecia.00. (UFABC/SP – TRADUTOR E INTÉRPRETE DE LINGUAGENS DE SINAIS – VUNESP/2013) Alice. Como cada uma delas trabalhou um número diferente de horas.000 x = 30.00. quem escolheria um dos critérios: altura ou idade. (B) R$425. que Mônica recebeu a mais do que pela divisão no outro critério. no par ou ímpar. (PC/SP – Atendente de Necrotério Policial – VUNESP/2014) No ano de 2008. respectivamente.00. (E) R$500. Nesse caso.5. (C) 76 metros. 5x + 8x + 12x = 750. (C) R$ 98.000 25x = 750. a Secretaria Nacional de Segurança Pública divulgou o Relatório Descritivo com o Perfil dos Institutos de Medicina Legal (IML) brasileiros. (METRÔ/SP .00. (B) 400. de (A) R$ 128. Os mais altos querem que seja divisão proporcional à altura. O maior pedaço deverá medir: (A) 78 metros. 2. 20. (EMTU/SP – AGENTE DE FISCALIZAÇÃO – CAIPIMES/2013) Uma calçada retilínea com 171 metros precisa ser dividida em três pedaços de comprimentos proporcionais aos números 2. as quantidades de IMLs nos Estados do Espírito Santo.50 m e 20 anos precisavam dividir proporcionalmente a quantia de R$ 29. (B) 82 metros. em milhões. (E) R$ 7. 9 e 64. em 2006. 10.00. (D) 250. de Minas Gerais. as três decidiram que a divisão do dinheiro deveria ser proporcional ao tempo trabalhado. sua irmã. 08. receberam como pagamento um total de R$900. (D) R$ 156. (D) 80 metros.00.75 m e 25 anos e Mônica.00.00. do Rio de Janeiro e de São Paulo eram. Supondo-se que uma verba federal de R$ 190 milhões fosse destinada aos IMLs desses Estados. O valor. em reais. 3 e 4.FCC/2013) Repartir dinheiro proporcionalmente às vezes dá até briga. (C) R$ 1.AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I . (D) R$ 5. Resposta: C.000. juntas.250. (B) R$ 9. consta que. 09. (D) R$475. e a divisão dessa verba fosse feita de forma diretamente proporcional a essas quantidades de IMLs por estado. Alice trabalhou por 4 horas.500.00. Bianca e Carla trabalharam na organização da biblioteca da escola e. que trabalhou 30 minutos menos do que Alice.5. Os mais velhos querem que seja divisão proporcional à idade. (E) R$ 47. 04. Resposta: A. Resposta: A. por grau de importância temos: A = K.3 = 6000 03.15000 = 22500000 = 22. Temos que A + B + C = 65 000. pois 2000. ? ? ? ?+?+? ????? = = = = = ??? ??? ??? ?? ??? + ??? + ?? ??? Agora.2 B = K. Assim: 8. 4 = 288000 = 1 1 1 3+2+1 6 6 . Resposta: A.000.00 Por fim. 24 = 72000 .4 C = K. * Fortes: 12 anos e 8 meses = 12.12 + 8 = 144 + 8 = 152 meses * Lourdes: 9 anos e 7 meses = 9.00 06. 2x + 7x + 6x + 6000 = 36000 15x = 30000 x = 2000 Como o último recebeu R$ 6. L e M.12 + 2 = 36 + 2 = 38 meses * TOTAL: 152 + 115 + 38 = 305 meses * Vamos chamar a quantidade que cada um vai receber de F.1 8 12 24 24 24 A maior parte ficará para a mais nova (grandeza inversamente proporcional).? 1 = 288000 8. 1500x + 1200x + 900x = 54000000 3600x = 54000000 x = 15000 Escola de 1500 m²: 1500.M = 288 000 M = 288 000 / 8 M = R$ 36 000.02. a diferença é: 22 800 – 5700 = R$ 17 100. M + J + C = 72000 ? ? ? ? +?+? 72000 1 = 1 = 1 = 1 1 = 72000 . 150 = R$ 5 700. vamos calcular o valor que M e F receberam: ? ?? = ??? M = 38 . 150 = R$ 22 800.00 05.12 + 7 = 108 + 7 = 115 meses * Matilde: 3 anos e 2 meses = 3.5 milhões. Resposta: A.00 ? ??? = ??? F = 152 . Resposta: D.00. significa que ele se dedicou 3 anos a empresa.7 Aplicando na propriedade da divisão proporcional: 69 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 00 Carla: Y 240 + 210 + Y = 900 Y = 900 .75 1. Resposta: A. logo 35 000 – 32 500 = 2 500 07. Pela altura: R + M = 29250 ? ? 29250 29250 + = = = 9000 1.5 3. vamos descobrir o valor atribuído a cada um projeto: A = 5000 . Resposta: A. Temos que E + M + R + S = 190 milhões Então: ? ? ? ? ?+?+?+? 190 000 0000 + + + = = = 2 000 000 2 20 9 64 2 + 20 + 9 + 64 95 Como queremos saber de o valor de São Paulo: S = 2 000 000 .650 = 13000 13500 – 13000 = 500 REGRA DE TRÊS SIMPLES Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático. Resposta: C.9000=13500 Pela idade ? ? 29250 + = = 650 25 20 45 Mônica:20. chamado regra de três simples. temos: Metade da verba total = 65 000/2 = 32 500 Como o valor do projeto de maior importância é 35 000.5. 08. Alice: 4horas = 240 minutos Bianca: 3 horas 30 minutos = 210 minutos K: constante 210. 64 = 128 000 000 ou 128 milhões.19 = 76 metros 10. ? ? ? 171 + + = = 19 2 3 4 9 y = 19.50 1. cada hora vale R$ 1.? ? ? ? + ? + ? 65 000 + + = = = 5000 2 4 7 2+4+7 13 Temos que K = 5000.4 = 20 000 C = 5000.4 = 76 ou 2x + 3x + 4x = 171 9x = 171 x = 19 Maior pedaço: 4x = 4. Resposta: C.450 Y = 450 09.2 = 10 000 B = 5000.25 Mônica:1. aplicando acima.75 + 1.7 = 35 000 Como ele quer saber quanto o projeto de maior importância superou a metade da verba total.k = 210 k = 1. Vejamos a tabela abaixo: 70 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha: Distância (km) 180 210 Litros de álcool 15 x Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”). No esquema que estamos montando. ?????: = 210 ? 210: 30 ? 1806 15 = → ????????????? ???????(??????? ?? ???? ????? ????????) → 6? = 7. indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”: Distância (km) Litros de álcool 180 15 x 210 As setas estão no mesmo sentido Armando a proporção pela orientação das flechas.Grandezas Relação Nº de funcionário x serviço Direta Nº de funcionário x tempo Inversa Nº de funcionário x eficiência Inversa Nº de funcionário x grau dificuldade Direta Serviço x tempo Direta Serviço x eficiência Direta Serviço x grau de dificuldade Inversa Tempo x eficiência Inversa Tempo x grau de dificuldade Direta Descrição MAIS funcionários contratados demanda MAIS serviço produzido MAIS funcionários contratados exigem MENOS tempo de trabalho MAIS eficiência (dos funcionários) exige MENOS funcionários contratados Quanto MAIOR o grau de dificuldade de um serviço. ? 6 71 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. se duplicarmos a distância. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km? O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. MAIS funcionários deverão ser contratados MAIS serviço a ser produzido exige MAIS tempo para realiza-lo Quanto MAIOR for a eficiência dos funcionários. MAIS tempo será necessário para realizar determinado serviço Exemplos: 1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. temos: 180 15 180: 30 15 = → ???? 180 ? 210 ????? ??? ????????????? ??? 30. MENOS serviços serão produzidos Quanto MAIOR for a eficiência dos funcionários. MENOS tempo será necessário para realizar um determinado serviço Quanto MAIOR for o grau de dificuldade de um serviço. MAIS serviço será produzido Quanto MAIOR for o grau de dificuldade de um serviço. o consumo de álcool também duplica. Então. vamos colocar uma flecha: Distância (km) 180 210 Litros de álcool 15 x Observe que.15 2107 ? 105 6? = 105 → ? = = ??. Queremos determinar um desses valores. as grandezas são inversamente proporcionais. Assim. logo.5 L de álcool. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.375 x 60 minutos). Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores da grandeza tempo (20 s e x s). que tempo teria gasto no percurso? Vamos representar pela letra x o tempo procurado. imprimindo a velocidade média de 180 km/h. à velocidade de 50 km/h. o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade. eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. um competidor. No nosso esquema.5 = 8.375 corresponde 22 minutos (0. esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”: Velocidade (km/h) 50 80 Tempo (h) 7 x As setas estão em sentido contrário Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. ?????????? ???? ???? → = 5 → 7. Velocidade (km/h) 180 300 Tempo (s) 20 x Se duplicarmos a velocidade inicial do carro. os números 180 e 300 são inversamente proporcionais aos números 20 e x. 2) Viajando de automóvel.375 ℎ???? ? 50 ? 50 8 Como 0. 3) Ao participar de um treino de fórmula Indy.20 = 300. então o percurso será feito em 4 horas e 22 minutos aproximadamente. em quanto tempo farei esse percurso? Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. vamos colocar uma flecha: Velocidade (km/h) 50 80 Tempo (h) 7 x Observe que. se duplicarmos a velocidade. Daí temos: 3600 180. faz o percurso em 20 segundos. temos: 7 80 7 808 35 = . Assim. o tempo fica reduzido à metade. ? → ? = → ? = 4. temos: Velocidade (km/h) 50 80 Tempo (h) 7 x Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”). Se a sua velocidade fosse de 300 km/h. conhecidos os outros três. ? → 300? = 3600 → ? = → ? = 12 300 72 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Aumentando a velocidade para 80 km/h.Resposta: O carro gastaria 17. IMARUÍ/2014) Manoel vendeu seu carro por R$27. até 28 de abril de 2014.50. teria gasto 12 segundos para realizar o percurso. em termos reais. Questões 01. 03. por quanto Manoel adquiriu o carro em questão? (A) R$24. (E) 50%.000. (Pref.00. então.Conclui-se. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315.000. cuja escala era 1:15.00 (E) R$36.50.104. era de 12 centímetros.000.00 (B) R$29. De acordo com essas informações.00 (C) R$30. de (A) 70%.00. Paulo publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. medida com a régua. é de aproximadamente: 73 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . (B) 65%. (PREF. (B) R$ 346. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP/2014) Um título foi pago com 10% de desconto sobre o valor total. teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007. (E) R$ 360. a menor distância entre dois pontos A e B. que se o competidor tivesse andando em 300 km/h.700.000. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Em um mapa.00(vinte e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. Isso significa que essa distância.300. o número de casos registrados na cidade de Campinas.00. (C) R$ 350. aproximadamente.00. é correto afirmar que o valor total desse título era de (A) R$ 345. 02. (D) 55%. o jornal Folha de S. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em 3 de maio de 2014.00 (D)R$33. (D) R$ 358.00 04. (C) 60%. (A) 180 quilômetros. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa para consumo próprio. Por ano. Rio de Janeiro: ed. o jornal Folha de S. (E) 6. (B) 5. (D) 180 metros. 2014.170. o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: (A) 5.60. (C) 6.4. ele terá que vender cada bala restante na caixa por: (A) R$ 0. p.800 metros. então.. Paulo publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento. O Globo.65.) é o maior produtor de cobre do Brasil. Globo. (D) R$ 0. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas e irá vender cada uma delas por R$ 0.50. aproximadamente.00.6. em metros cúbicos por segundo (m3/s): De acordo com essas informações. 07. (B) 1. saem do estado 280 mil toneladas. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO/2014) A Bahia (. (C) 18 quilômetros. (E) R$ 0. (D) 6.8. (B) R$ 0.70.55. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em 25 de maio de 2014. 12 mar.9.. para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas. é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 74 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 05. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) Certo material para laboratório foi adquirido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. 08. (A) 29% (B) 36% (C) 40% (D) 56% (E) 80% 06. Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia.3. das quais 80 mil são exportadas. são exportados. (C) R$ 0.45. 24. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi R$ 1. 46 (B) 1. do total de atendimentos do IML.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.agricultura. Disponível em: <http://www. (Adaptado).285. neste ano. (E) R$ 1. Se três deles quebrassem. (C) R$ 1. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG/2014) Leia o fragmento a seguir A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13.32 (D) 1.00. (C) 2200. Segundo esta expectativa. a produção de arroz excederá a produção de 2013. 10. 2014. 09. correspondendo a 588. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Numa transportadora.0001 da capacidade de um microcomputador. De acordo com as informações. (D) 3200.300. (B) 1600.00. (D) 100000. em 2023.00. (B) 1000.37 (C) 1. Joel é de 75 anos e.387. em milhões de toneladas. 15 caminhões de mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal (IML) é a necropsia. o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é (A) 100.22 13. 12. em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? (A) 3 h 12 min 75 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Do restante dos atendimentos. Num determinado período. (E) 1800. Acesso em: 24 fev.gov.00. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML. todos feitos a indivíduos vivos. correspondendo a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. (E) 1000000. nesse período. foi (A) 2500. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) A expectativa de vida do Sr.32 milhões de toneladas. 30% foram necropsias.00. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) Foram digitados 10 livros de 200 páginas cada um e armazenados em 0. pode-se afirmar que a fração de vida que ele já viveu é 4 (A) 7 5 (B) 6 (C) 4 5 3 (D) 4 (E) 2 3 11. Utilizando-se a capacidade total desse microcomputador. (D) R$ 1. 14% procediam de acidentes no trânsito.(A) R$ 1.400.pdf>.315. em: (A) 1. (C) 10000. ele completa 60 anos. (B) R$ 1. 10%). Se R$ 315. sobrarão na lata de tinta comprada por ele (A) 6. rende 200m² com uma demão de tinta. teremos 50% 02. (C) 10.00 já está com o desconto de 10%. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Uma receita para fazer 35 bolachas utiliza 225 gramas de açúcar. Assim.90 x ------. ou seja.000 cm no tamanho real. 15.6L. Utilizaremos uma regra de três simples: ano % 11442 ------.8L. Resposta: C. Resposta: C.90 X ------.4 quilogramas.x = 17136 . (B) 1. (E) 7.Resposta: C. Resposta: E. quer dizer 27000 é 90% do valor total.9 quilogramas.100 27000 ? 909 = 10010 27000 ? 9 = 10 9. (B) 6. depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta látex. a quantidade de açúcar necessária para fazer 224 bolachas é (A) 14. faremos uma regra de três simples: mapa real 76 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Utilizaremos uma regra de três simples: $ % 315 ------.100 90.8% (aproximado) 149.x = 315 .x = 27000.8 quilogramas.10 9x = 270000 x = 30000. (D) 7. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350. e sem desperdício.100 17136 ------.88 quilogramas.8% – 100% = 49.2L.00 equivale a 90% (100% . 04. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC/2014) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que. Como ele teve um prejuízo de 10%. Se Laerte seguir corretamente as instruções da lata. teremos 150.104 equivale a 1:150000. Respostas 01. (C) 1.00 03. Valor % 27000 -----. então R$ 315.8L. (D) 1. 1: 15.8L. de acordo com as instruções na lata.44 quilogramas. Mantendo-se as mesmas proporções da receita.x 11442.8% Aproximando o valor.(B) 5 h (C) 5 h 30 min (D) 6 h (E) 6 h 15 min 14. para cada 1 cm do mapa. 100 x = 1713600 / 11442 = 149. (E) 0. Faremos uma regra de três simples: cobre % 280 --------. Vamos utilizar uma regra de três simples: Balas $ 1 ----------. 100 x = 8000 / 280 x = 28.x = 33 . Resposta: E.1 5 ------.100 90.30 70.x = 0.800.x 1. Resposta: B. Resposta: D.x 1.150000 12 --------.x = 588 .x = 1170 .y = 1 .y 81.40.50 / 81 y = R$ 0.50 (cada bala) 07. 1 x = 33 / 5 = 6.00 09.000 cm = 18 km 05.0. Resposta: A. Utilizaremos uma regra de três simples: $ % 1170 ------. 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) Total: atendimentos % 4200 -----------. 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 77 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .70 x -----------.50 1 -----------.57% 06. 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.50 (total) * 90 – 9 = 81 balas Novamente. 150000 x = 1.x = 4200 .90 x ------. Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: m3 seg 33 ------.x = 12 .x 5.14 x -----------. vamos utilizar uma regra de três simples: Balas $ 81 ----------.1 --------.100 14. O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) Utilizaremos uma regra de três simples: Restante: atendimentos % 588 -----------.6 seg 08.50 y = 40. 40.300.45 90 ---------. 90 x = R$ 40.x = 80 . Resposta: A.100 80 ---------x 280.45 . utilizaremos uma regra de três simples: idade fração 75 -----------. Bolachas açúcar 35----------------225 224----------------x 224. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”).000 livros 12. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.x 12.44 ??????????? 35 15. Toneladas % 13.111 x ------------.2L REGRA DE TRÊS COMPOSTA O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas.8=7.1 60 -----------. pra 120m²(duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10.225 ?= = 1440 ?????? = 1.52 / 111 x = 1. utilizaremos uma regra de três simples: livros capacidade 10 -----------.11 111 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 11. Considerando 75 anos o inteiro (1). 15 x = 60 / 12 x=5h 14. Resposta: C.0. quanto menos caminhões tivermos. Resposta: C. pois.1 0. coloquemos uma flecha: 78 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Resposta: D. diretamente ou inversamente proporcionais. Resposta: C. Neste caso.4 (15 – 3) ------------. 1 x = 10 / 0.x = 4 .10.0001 x -----------. a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 18L----200m² x-------120 x=10. Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa. Resposta: E.8 l.x = 60 . Exemplos: 1) Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças.x 75.0001 = 100.32 . Assim.32 13. mais horas demorará para transportar a carga: caminhões horas 15 ---------------.8L Ou seja. é chamado regra de três composta. Resposta: B.32 ----------.0001. x = 13. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças? Indiquemos o número de dias por x. 11 x = 146.x = 10 . então sobraram: 18-10. 5 → ? = → ? = 10 ? 5 2 Resposta: Em 10 dias.5 = → 2? = 4. Pessoas 210 x Estrada 75 225 Tempo 4 8 Sentido contrários 79 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . que é 4 . No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: Máquinas 8 6 Peças 160 300 Dias 4 x Mesmo sentido As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas. Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x. igualando a razão que contém o x. o número de dias fica reduzido à metade). com o produto das x 6 160 outras razões. obtidas segundo a orientação das flechas . apenas 75 km estavam pavimentados.Máquinas 8 6 Peças 160 300 Dias 4 x Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x. 2) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. : 8 300 Simplificando as proporções obtemos: 4 2 4. As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: Máquinas 8 6 Peças 160 300 Dias 4 x Sentido contrários Agora vamos montar a proporção. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 1 1 Em 3 de ano foi pavimentada 4 de estrada. Após 4 meses de serviço. trabalhando por dia. realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². trabalhando 10 horas por dia. (PREF. (D) 7 horas e 30 minutos. logo 315 – 210 = 105 pessoas. trabalhando uma hora a mais por dia. (B) 9 horas. o tempo de (A) 8 horas e 15 minutos. Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas.000 m² de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas. (C) 7 horas e 45 minutos. de mesma capacidade que a primeira citada. para atender certo número de pessoas.As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de pessoas. em um dia. Mantendo-se as mesmas proporções. 15 varredores varrerão 7. (D) 28. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou. 02. (C) 33. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: Como já haviam 210 pessoas trabalhando. CORBÉLIA/PR – CONTADOR – FAUEL/2014) Uma equipe constituída por 20 operários. (E) 31. possam imprimir 3360 cópias é de 80 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Questões 01. (E) 5 horas e 30 minutos. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP/2014) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia.500 m² de calçadas. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: Pessoas 210 x Estrada 75 225 Tempo 4 8 Mesmo sentido As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. o tempo fica reduzido à metade). faria o calçamento de uma área igual a: (A) 4500 m² (B) 5000 m² (C) 5200 m² (D) 6000 m² (E) 6200 m² 03. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras. durante 27 dias. trabalhando 8 horas por dia durante 60 dias. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) O trabalho de varrição de 6. (B) 30. será: (A) 29. (TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias em 1 minuto e 15 segundos. no mesmo ritmo de trabalho. durante 80 dias. 04. Se essa equipe fosse constituída por 15 operários. trabalhando 6 horas por dia. (E) 31. (D) 4 minutos e 50 segundos. executarão a tarefa em quantos dias? (A) 14 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 24 07.000 fichas de cadastro. de mesma capacidade produtiva. um fazendeiro usou 15 trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. em quantos dias uma família de 5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? (A) 10 (B) 16 (C) 20 (D) 32 (E) 40 08. o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários. (B) 3 minutos e 45 segundos. (D) 20. Este ano. será (A) 29. (E) 32. terminariam a obra em 42 dias. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO/2014) No Brasil. Dez assistentes. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB/ 2014) Para digitalizar 1. o fazendeiro plantou 480 hectares de cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou. trabalhando uma hora a mais por dia. trabalhando oito horas por dia. (D) 28. 05. (B) 30. Mantida a mesma proporção.(A) 15 minutos. O número de operários contratados.Assistente em Administração – COVEST/2014) Na safra passada. (C) 7 minutos e 30 segundos. (C) 80. contratados para os trabalhos finais. (A) 10 dias (B) 11 dias (C) 12 dias (D) 13 dias (E) 14 dias 09. Trabalhando 7 horas por dia. o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas. no mesmo ritmo de trabalho. (B) 16. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. os trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. para atender certo número de pessoas. seis horas por dia. durante 27 dias. (UFPE . uma família de 4 pessoas produz. foi igual a (A) 40. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias. em média. para digitalizar 2. além dos 128 que já estavam trabalhando. 06. (E) 7 minutos. o prefeito autorizou a contratação de mais operários. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Administração de Empresas – FCC/2014) Para inaugurar no prazo a estação XYZ do Metrô. 81 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . (C) 33. 13 kg de lixo em 5 dias. Em quantos dias o trabalho ficará concluído? Obs. para que a obra seja concluída em 24 dias.000 fichas do mesmo modelo de cadastro. 16 assistentes trabalharam durante dez dias. e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por dia. 02. mais horas (inversamente proporcionais) 5 6000 15 = ∙ ? 7500 18 6000 ∙ 15 ∙ ? = 5 ∙ 7500 ∙ 18 90000? = 675000 ? = 7. o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 45 clientes é de: (A) 45 minutos. todos os caixas trabalham com a mesma eficiência e que a média citada sempre é mantida. nesta condições temos: Funcionários horas dias 10---------------8--------------27 8----------------9-------------. (E) 10 minutos. Operários horas dias área 20-----------------8-------------60-------4800 15----------------10------------80-------. Resposta: B. com os afastamento esse número passou para 8. nesta agência. M² varredores horas 6000--------------18-------------.5 7500--------------15--------------. Respostas 01. Quanto mais horas por dia.9 = 27.x Todas as grandezas são diretamente proporcionais. logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. Resposta: D.27 10----------------8----------------x 27 ? 8 9 = 10 ∙ 8 x. logo: 4800 ? 20 8 60 = ∙ ∙ 15 10 80 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ ? = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 9600? = 57600000 ? = 6000?² 03. dois caixas atendem em média seis clientes em 10 minutos. (D) 15 minutos. Temos 10 funcionários inicialmente. (C) 20 minutos.8.se cada grandeza com aquela onde esta o x. passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas. Considere que. (BNB – Analista Bancário – FGV/2014) Em uma agência bancária.5 h equivale a 30 minutos.10.5 ℎ???? Como 0.x Quanto menos funcionários.8 72x = 2160 x = 30 dias. Funcionários horas dias 8---------------9-------------. menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais).x Quanto mais a área. Resposta: D. Se eles trabalham 8 horas por dia . 82 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Comparando. Assim. (B) 30 minutos. mais horas (diretamente proporcionais) Quanto menos trabalhadores.10. mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 24 Quanto mais operários.42 x ------------. Resposta: C.8 Quanto mais fichas.7.x -------------.8 2000 -------------. Fichas Assistentes dias horas 1000 --------------.04.24 ? 6 42 = ∙ 128 8 24 ? 1 42 = ∙ 128 8 4 ? 1 21 = ∙ 128 8 2 16? = 128 ∙ 21 ? = 8 ∙ 21 = 168 168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados.x -------------. Máquina cópias tempo 7----------------80----------75 segundos 1--------------3360--------. Fichas Assistentes dias horas 1000 --------------. Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias.3360 560x = 252000 x = 450 segundos Transformando 1minuto-----60segundos x-------------450 x = 7.x 75 ? 7 80 = 1 ∙ 3360 x. Quanto menos assistentes.80 = 75. invertendo os valores de” máquina”. 05.42 128 -----------.5 minutos = 7 minutos e 30segundos.16 -------------.8 -------------. Resposta: A. Quanto mais horas por dia.10 -----------. Vamos utilizar a Regra de Três Composta: Operários horas dias 128 ----------. 06.6 83 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .10 -------------. mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais).16 -------------.10 -----------. Resposta: E. menos dias (inversamente) Operários horas dias x -------------. mais tempo (flecha mesma posição) Máquina cópias tempo 1----------------80-----------75 segundos 7--------------3360-----------x Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma.6 2000 -------------. menos horas trabalhadas (inversamente) Quanto mais funcionários.1.6 -------------. mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais).6 -------------. menos dias (inversamente proporcionais).8 -------------.10 -------------. Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais).x = 5 .9 ----------.x Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas inversamente proporcionais).65 -----------. Quanto mais horas por dia. Resposta: C. 5 ? = 5 4 13 5 ? = 65 260 .8 ----------.x Quanto menos funcionários. mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais).10 ? 10 ? 1000 2000 = ∙ 10 16 .480 ---------------. Resposta: B. Faremos uma regra de três composta: Trabalhadores Hectares h / dia dias 15 -----------------. 480 . Funcionários horas dias 10 ----------------.5 5 -----------. Resposta: C. menos dias (inversamente proporcionais). 6 20 210 6 = 15 .6 ----------------. Faremos uma regra de três composta: Pessoas Kg dias 4 -----------. 8 6 80000 = 192000 80.7 ----------------. 260 x = 1300 / 65 x = 20 dias 08.210 ---------------. Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). ? = 192. Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente proporcionais).10 ?= 1920 80 ? = 24 ???? 07. 50400 x = 302400 / 25200 x = 12 dias 09. Funcionários horas dias 84 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .27 8 -----------------.x = 6 . 65 65.13 -----------.6 20 -----------------. 7 ? 6 ? = 25200 50400 25200.x Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente proporcionais). x 8 -----------------.45 ----------. ???? ?????. ?% = ? ??? Exemplos: 1) A tabela abaixo indica. para isso. ???? ?????.9 ----------. 400 Quem obteve melhor rentabilidade? Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100). Resposta: B.45 ----------. caixas clientes minutos 5 ----------------. ?? ????? ?.10 ----------------.6 ----------. 500 50 .10 5 ----------------. vamos simplificar as frações acima: 85 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .10 2 ----------------.8 ----------. Oscar Marta Banco A B Saldo em 02/02/2013 500 400 Saldo em 02/02/2014 550 450 Rendimento 50 50 Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 50 .x Quanto mais caixas. ? = 90. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" se está referenciando. menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). em reais. mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais).x 10 ? 5 6 2 45 10 ? = ∙ 30.10 = 30 90 ? = 900 30 ? = 30 ??????? PORCENTAGEM Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou simplesmente de porcentagem.6 ----------. caixas clientes minutos 2 ----------------. Quanto mais clientes. os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 02/02/2013 e 02/02/2014. Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”).27 ? 27 = 10 8 ∙ 8 9 72? = 2160 ? = 30 ???? 10. ?? ????? ?. 5 = . Poderíamos ter divido 18 por 30. Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). isto é.00 a) b) 2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. Caso a diferença seja positiva. O valor do preço de custo é: 86 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda.60(. temos prejuízo(P). Resolução: Preço de custo + lucro = preço de venda 75 + lucro =100 Lucro = R$ 25. caso seja negativa.00. obtendo: 18 = 0. Devemos expressar essa razão na forma centesimal. 2) Em uma classe com 30 alunos.5% 400 100 Com isso podemos concluir. temos o lucro(L). precisamos encontrar x tal que: 18 ? = ⟹ ? = 60 30 100 E a taxa percentual de rapazes é 60%. 100%) = 60% 30 . Podemos ainda escrever: C + L = V ou L = V . = 12.Lucro e Prejuízo É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes na classe? Resolução: 18 A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 30 .C P = C – V ou V = C .P A forma percentual é: Exemplos: 1) Um objeto custa R$ 75. Determinar: a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo. Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. = 10% 500 100 50 12.00 e é vendido por R$ 100.????? ⇒ ????? ⇒ 50 10 = .00. V = 0.b da área inicial.V . p = 8% e V =? é o valor que queremos achar.V.38.92 V = 125 O valor antes do desconto é de R$ 125.25 .V 3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%. V 115 = (1-0. equivale a multiplicá-lo por (? − ???).V 3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115. pois: 20 (1 − 100).(b.A) R$ 25.20).40).V = (1+2).V 2) Diminuir um valor V de 40%. ? C + L = V C + 0.50 C) R$ 75.08).60. pois: 20 (1 + 100). pois: 40 (1 − 100). V = (1-0.Aumento e Desconto Percentuais ? A) Aumentar um valor V em p%. 87 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .80. o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC).a.V = 1. C = 100 C = 80.20) 1.00. ? V D = (1 − 100).V Exemplos: 1) Diminuir um valor V de 20%.1. equivale a multiplicá-lo por (? + ). pois: 200 (1 + 100).V 2 . Resposta E ? B) Diminuir um valor V em p%. respectivamente. equivale a multiplicá-lo por 1.00 Resposta D . V = 0.25 .00. Logo o aumento foi de 38%.00 E) R$ 125.20. a área do retângulo é aumentada de: A)35% B)30% C)3.1. ??? Logo: ? VA = (? + ).15). equivale a multiplicá-lo por 3 .20).92V V = 115/0.Aumentar um valor V de 200% . equivale a multiplicá-lo por 0.00 Resolução: ? .V = (1+0.V = 3. V = (1-0. 80. Logo: ? V D = (? − ???).V 115 = 0. 100% = 25% ⇒ 0. equivale a multiplicá-lo por 0.b Com aumento: (a.00 B) R$ 70.V ??? Exemplos: 1 .5% D)3. 60.00 D) R$ 80.Aumentar um valor V de 20% .C = V 1. Qual era o seu valor antes do desconto? Temos que V D = 115.25.20.8% E) 38% Resolução: Área inicial: a. concluímos que esses dois aumentos significam um único aumento de 21%.18 0. Para efetuar os respectivos descontos ou aumentos.Decréscimo 10% 1.64.V V. 3) Certo produto industrial que custava R$ 5. 88 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .(0. 0.00 sofreu um acréscimo de 30% e.. 0.21 Analisando o fator de multiplicação 1.64 .1 .14 100% 2 0 .Acréscimo Fator de multiplicação .3 . 0.3) = 6500 e VD = 6500 .1 V.00. 1.00.000.00.1 . é o que chamamos de fator de multiplicação.8 63% 1. como são dois de 10% temos V.37 86% 1. (B) R$ 72.1 0. muito útil para resolução de cálculos de porcentagem. 1. (D) R$ 78. 2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: ? Utilizando VD = (1 − 100). observamos que esse percentual não representa o valor do desconto. juntar tudo em uma única equação: 5000 .00.9 15% 1.Aumentos e Descontos Sucessivos São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente.? ? A esse valor final de (? + ???) ou (? − ???).00.64% = 36% Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%.8 V.. (E) R$ 80. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 100% .8 = 5200 Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.(1. Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: % Fator de multiplicação . Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? ? ? Utilizando VA = (1 + 100).63 0. mas sim o valor pago com o desconto.85 18% 1.Técnico em Informática – AOCP/2014) Uma loja de camisas oferece um desconto de 15% no total da compra se o cliente levar duas camisas. podemos. Se o valor de cada camisa é de R$ 40.15 0. para agilizar os cálculos. temos: VA = 5000 . (EBSERH/ HUSM-UFSM/RS .80) = 5200. fazemos uso dos fatores de multiplicação.00 Questões 01.8 . Vejamos alguns exemplos: 1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de. quanto gastará uma pessoa que aproveitou essa oferta? (A) R$ 68.21.? ? Utilizando VA = (1 + 100). 0. 1. em seguida.86 0. 1.82 20% 1.00.V.200. 1. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no valor do produto.V V. um desconto de 20%. .2 0. (C) R$ 76. Analisando o fator de multiplicação 0. Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%.V para o aumento e VD = (1 − 100). De acordo com especialistas.00.000. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer Gráfico – VUNESP/2014) O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários. com a cotação do hidratado chegando a R$ 1. realizando-se a compra de um sofá e um tapete.000 reais vendidos no mês.00 (C) R$ 2. da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a (A) 42.113. Com base nisso. 06.010.039.03 / saca de 50 kg no dia 28.160.00 e R$ 1.48 (D) 54.00 (E) R$ 2.. registrando alta de 6.0% no mês anterior.00 e R$ 1.2%. atingindo R$ 45. as cotações do açúcar fecharam o último mês com alta de 1.017.00. R$ 380. têm 8% de desconto.000 reais.00 vendidos. Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 . em reais. (D) R$ 1.00 e R$ 1. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários.03 05. quanto será a comissão do vendedor? (A) R$ 2. (B) R$ 1.00.000. 03. (E) 258. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 36.02. segundo o Cepea/Esalq. Nos pagamentos com cartão de crédito. (C) 2/5. nos pagamentos no boleto.017.122.86 (C) 44. (C) R$ 1.00 (D) R$ 2. 6% nos próximos 10. (D) 2/9.. além da firmeza nas negociações por parte dos vendedores.72 (B) 43.00 e R$ 1. Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Quando calculamos 32% de 650. (ALMG – Analista de Sistemas – Administração de Rede – FUMARC/2014) O Relatório Setorial do Banco do Brasil publicado em 02/07/2013 informou: [. sendo que 15% deles são estagiários.180. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA/2014) Em determinada loja. a fração de estagiários é igual a (A) 1/5.00.] Após queda de 2. A demanda aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam cenário mais positivo para o combustível. um sofá custa R$ 750. e 7% no valor das vendas que excederem 20.00 (B) R$ 2. (B) 208. os produtos têm 10% de desconto e. (E) 3/5. o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade. (D) 243. (UFPE .Assistente em Administração – COVEST/2014) Um vendedor recebe comissões mensais da seguinte maneira: 5% nos primeiros 10. e um tapete.60.1631/litro (sem impostos). é CORRETO afirmar que o valor.publicado em 02/07/2013.120. o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar.00.115. respectivamente: (A) R$ 1. Em relação ao total de funcionários desses dois departamentos. (C) 213. sendo 20% estagiários.40.00 89 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . os valores totais a serem pagos pelos produtos nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão. Durante o mês de junho.100.140. 04.5%. obtemos como resultado (A) 198. (B) 1/6.220. (A) R$ 7.00 (C) R$ 1.40 (D) R$ 40.500. Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada. Usando o fator de multiplicação temos 1-0.00 40% Calcule o valor total gasto por essa família. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Numa liquidação de bebidas. Em quantos por cento.780.00 Respostas 01. descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço.20 10.345.2 = 80. três aparelhos de ar-condicionado.00 (E) R$ 1.00 30% Máquina de lavar R$ 1.500. uma geladeira e uma máquina de lavar.330.07.80 (E) R$ 43. (D) 63%.00 (C) R$ 5. os quais constituem o lucro líquido do vendedor.315. aproximadamente. Na liquidação. o preço de venda é superior ao de compra? (A) 67%. Resposta: A.000.00 08. (E) 69%.300.00 10% Geladeira R$ 900.00 (E) R$ 8. o preço de revenda do televisor é diminuído em 35%.000. ganhe 25% de desconto no valor da segunda embalagem.0. (B) 61%. Como são duas camisas 40.400. supera o preço de compra em 40%. Qual o preço do televisor na liquidação? (A) R$ 1. O lucro obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: (A) R$ 33.00 (B) R$ 1.00 20% Ar condicionado R$ 1.340.50.840. (UFPE .60 (C) R$ 26. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) O preço de venda de um produto.85 = 68.365. 09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Na queima de estoque de uma loja.40 a unidade.00 (B) R$ 9. um atacadista fez a seguinte promoção: Cerveja em lata: R$ 2. Produtos Valores unitários antes da liquidação Desconto Televisor R$ 2. Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3. uma família comprou dois televisores.60 (B) R$ 28.00 (D) R$ 6.00 90 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA .00 (D) R$ 1.00 e os revende com um acréscimo de 40%.85 (ele pagou 85% do valor total): 80 .430.Assistente em Administração – COVEST/2014) Uma loja compra televisores por R$ 1. (C) 65%.00 O desconto é dado em cima do valor das duas camisas.15 = 0. 67 ? 0. Resposta: B. 1.8 Ar-condicionado:1-0. Preço de venda: V Preço de compra: C V – 0. 2. 09.6 91 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . 650 = 10 = 100 2080 10 = 208 04. Resposta: A.02. 16000 = 1120 Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220.54 Como no mês anterior houve queda.4 1130 – 90.2=0. Cartão de crédito: 10/100 . 10000 = 600 7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100 . (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90.60 06. Resposta: E. R. Resposta: B. Resposta: A.54 = 44. Resposta: A. assim teremos o valor de cada item. 32 32 .2% de 45.9 Geladeira:1-0.00 07.49 05. 5% de 10000 = 5 / 100 .80 + 21.40 = ?$33. Resposta: E.40 ∙ 12 = 28. (750 + 380) = 1/10 . 10000 = 500 6% de 10000 = 6 / 100 .60 ?? ???? ??????????: 28.00 ?????: ?$84. Televisor:1-0.03 = 0.7 Máquina:1-04=0. 1500 = 1500 + 600 = 2100 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100 .80 ∙ 0.: ∗ ????? = 20 .16V = 1.65 .1=0.3=0. vamos fazer uma subtração. 45.80 ??????? ?????????: 28.00 Boleto: 8/100 .60 10. 15 30 * Dep. Como é desconto. Preço de revenda: 1500 + 40 / 100 . devemos fazer cada porcentagem: 1-desconto.03 – 0.00 08.4C 0.84V = 1.2 1.60 O lucro de Alexandre foi de R$ 33.4C ? 1. 1130 = 113 1130 – 113 = R$ 1017.75 = 21.5 ∙ 24 = 84.4 = R$ 1039. 20 = 10 = 3 3 (estagiários) * Dep. Contabilidade: 100 .4 = = 1.00 − ?$50. Resposta: C.H. Resposta: B.03 = 100 .40 ???????: 3. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365. 45.60 = 50. 10 100 = 200 100 = 2 2 (estagiários) ?ú????? ??????á???? 5 1 = = ?ú????? ?? ???????á???? 30 6 03.84 O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. brasilescola.430.9 = 900 ?????????: 900 ∙ 0.com.?????????: 2.000 ∙ 0.com 92 1203267 E-book gerado especialmente para PEDRO ACACIO DE SOUZA . Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. Gelson – Matemática .7 = 630 ?á?????: 1.infoenem.6 = 900 1600 ∙ 2 + 900 ∙ 3 + 630 + 900 = 7430 O valor total gasto pela família foi de R$7.ufrgs.600 ?? − ????????????: 1. Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier.infoescola. http://mat.br http://www. 2013.com http://www. Gelson .500 ∙ 0. NUNES.com.2013.Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções IEZZI.com/expnumericas http://www.8 = 1. Mauro César – Matemática básica explicada passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier. MARIANO.porcentagem. Luiz Claudio.org http://www.dicio.00. 11 – Financeira e Estatística Descritiva CABRAL.000 ∙ 0.br http://quimsigaud. Referências IEZZI.Volume Único IEZZI.br https://www.tripod. 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