02 Raciocinio Logico e Matematico (1)

Empresa Maranhense de Serviços Hospitalares - EMSERHAgente de portaria, Atendente de Consultório Médico, Atendente de Consultório Odontológico, Auxiliar Administrativo, Auxiliar de Farmácia, Faturista, Lactarista, Motoristas Categoria D, Recepcionista. Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagens, sequências (com números, com figuras, de palavras). ........................................................................................................................ 1 Raciocínio lógico-matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos. ................................................................................................................................................... 89 Candidatos ao Concurso Público, O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail [email protected] para dúvidas relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom desempenho na prova. As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar em contato, informe: - Apostila (concurso e cargo); - Disciplina (matéria); - Número da página onde se encontra a dúvida; e - Qual a dúvida. Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. Bons estudos! . 1 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagens, sequências (com números, com figuras, de palavras). CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que estes números. Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números. Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} Subconjuntos notáveis em N: 1 – Números Naturais não nulos 2 – Números Naturais pares N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 3 - Números Naturais ímpares 4 - Números primos Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N P={2,3,5,7,11,13...} A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um número natural. a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 3 é 4. - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 7 e 8 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos. - Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 7, 8 e 9 são consecutivos. c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. . 1 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Operações com Números Naturais Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. - Adição de Números Naturais A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Exemplo: 5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total -Subtração de Números Naturais É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b tal que a≥ 𝑏. Exemplo: 254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 061 a diferença. Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. - Multiplicação de Números Naturais É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. Exemplo: 2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. - 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” (vezes) utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação). - Divisão de Números Naturais Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. . 2 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 : 7 = 5 .Em uma divisão exata de números naturais. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e vão sendo debitados os gastos. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais Para todo a.c = a. Enzo toma lanche diariamente na cantina e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) A partir de 1º de março. o quociente da nova divisão será: (A) 2 . uma cantina escolar adotou um sistema de recebimento por cartão eletrônico. (Professor/Pref. b e c ∈ 𝑁 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b + a 3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 4) Associativa da multiplicação: (a.PREF. se admitíssemos que o quociente fosse q.c) 5) Comutativa da multiplicação: a. o divisor deve ser menor do que o dividendo. (E) empatado suas despesas e seus créditos. (b.00.00 de sindicato. Ao final de março. ele anotou o seu consumo e os pagamentos na seguinte tabela: No final do mês. (B) débito de R$ 7.(b –c) = ab –ac 9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural. (C) crédito de R$ 5. Enzo observou que tinha (A) crédito de R$ 7. 35 = 5 x 7 . então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim. (D) débito de R$ 5.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. 02. (PREF.A divisão de um número natural n por zero não é possível pois. funcionário público. a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.00.b).00 (C) R$ 1675. Multiplicando-se o dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade.00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200.00 (B) R$ 1765.00 de INSS e R$ 35. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS .000.Em uma divisão exata de números naturais.(b +c ) = ab + ac 8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .Relações essenciais numa divisão de números naturais: . Qual o salário líquido de José? (A) R$ 1800. É possível o saldo negativo.00.a 6) Elemento neutro da multiplicação: a. 3 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Questões 01. continua como resultado um número natural.00 03.b = b. IMARUI/2014) José.00. recebe salário bruto de R$ 2.00 (D) R$ 1665.1 = a 7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em uma loja. pagará uma prestação de: (A) R$ 150. (Pref. PREF.00. 05. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Durante um mutirão para promover a limpeza de uma cidade. 4 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .(B) 5 (C) 25 (D) 50 (E) 100 04. (D) 27. participei de um campeonato com meus amigos e perdi 67 bolinhas. (PREF. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela com os resultados da eleição.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco regiões de tal cidade. Se João comprar uma geladeira no valor de R$ 2. hoje. (E) 28 .00. depois de participar do campeonato? (A) 368 (B) 270 (C) 365 (D) 290 (E) 376 06. qual a quantidade de bolinhas que tenho agora. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas duas zonas eleitorais. quantos bombons ao todo Joana possui? (A) 24. (D) R$ 225. Sendo assim. Sendo assim. as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. A quantidade de eleitores desta cidade é: João Maria Nulos Brancos Abstenções 1ª Zona Eleitoral 1750 850 150 18 183 2ª Zona Eleitoral 2245 2320 217 25 175 (A) 3995 (B) 7165 (C) 7532 (D) 7575 (E) 7933 07. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Ontem. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Joana pretende dividir um determinado número de bombons entre seus 3 filhos. Porém.00. cada região contou com um número de voluntários igual a: (A) 2500 (B) 3200 (C) 1500 (D) 3000 (E) 2000 08. mas ganhei outras 90. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29. os 15.100. (C) R$ 200. e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa. eu tinha 345 bolinhas de gude em minha coleção. (C) 26.00 em 12 vezes. (PREF. (B) R$ 175. (B) 25.00. 7 Ele tem um débito de R$ 7.10 + 0  D = 10d Pela nova divisão temos: 𝑑 𝑑 5𝐷 = 2 .09.00 05. após imprimir 5 calendários perfeitos (P). 𝑄 → 5. Resposta: B. Esse mesmo determinado número somado a 1 e. 2100 = 175 12 𝑄= Cada prestação será de R$175. isolando Q temos: 50𝑑 2 → 𝑄 = 50𝑑.765. (D) 4 167. (E) 4 256. Resposta: B. Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 120 – 127 = . (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP/2012) O sucessor do dobro de determinado número é 23. Resposta: E. Considerando que. Resposta: A.2 → 𝑄 = 100 𝑑 𝑑 2 04. (B) 22. (D) 18. dobrado será igual a (A) 24. conforme mostra o esquema. 𝑄 .00. e. ao se imprimir um lote com 5 000 calendários.00. 2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 O salário líquido de José é R$ 1. 03. (B) 3 828. o próximo sai com defeito (D). D= dividendo d= divisor Q = quociente = 10 R= resto = 0 (divisão exata) Equacionando: D = d. os cinco primeiros saíram perfeitos e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote.Q + R D = d. 02. 5 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (E) 16. (C) 4 093. a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito. 10. (10𝑑) = 2 . Resposta: B. (C) 20. é correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi (A) 3 642. 345 – 67 = 278 Depois ganhou 90 278 + 90 = 368 . → 𝑄 = 50. depois. Respostas 01. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP/2014) Em uma gráfica. 2. 0} . devemos fazer 27 + 1 = 28..O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {.. O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: .O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {.. -1. 4. 1. Se o sucessor é 23. -3. 3 = 27 e que. Resposta: E..O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0. Resposta: E. 6 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Isto significa que saíram 833. 1. Resposta: D. 2... o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero.. mais 2 calendários perfeitos que restaram na conta de divisão. são 4167 calendários perfeitos. -4. 09.. Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 07. 3. 15000 = 3000 5 Cada região terá 3000 voluntários..}. Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 5000 / 6 = 833 + resto 2. -2.} .} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N . 2.. Assim. -2. n. 3.. 1. 4.. para sobrar 1. Sabemos que 9. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0. -1. o dobro do número é 22.06. 3.. 3.. (11 + 1)2 = 24 10.. Resposta: D. Resposta: A. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em alemão)... 08. Z* = Z – {0} . -5..O conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1. 4... portanto o número é 11. -4. 2.}... -3. 4. 5 = 4165 calendários perfeitos. -1} Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero. Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero.4) = (. 7 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3).O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {.Na terça-feira. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro.Na segunda-feira. ou simétrico. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (. de a é – a. Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 . Representa-se o módulo por | |. a temperatura baixou de 3 graus.3) O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado. associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder..7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (. Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação.. . Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando: . era de +6 graus. particularmente o oposto de zero é o próprio zero.8) + (+ 5) = (. dizemos que o oposto. pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 No geral. -5.5) = (+ 3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades.Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade.Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra. À Noite. Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 4+5=9 4 – 5 = -1 Considere as seguintes situações: 1 . Exemplo: O oposto do número 3 é -3. diferente de zero. durante o dia. assim. e o oposto de -3 é 3. -3. na reta numérica inteira.3) + (. a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2 . os pontos que os representam distam igualmente da origem. -2.Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.. e vice-versa. é sempre positivo. a temperatura de Monte Sião. mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. . -4. A subtração é a operação inversa da adição.. significa ganhar 30 objetos e está repetição pode ser indicada por um x. Na multiplicação o produto dos números a e b.4 Considerando os exemplos dados. colchetes.. a . chaves.Não existe divisão por zero. (-) (+) = resultado sempre negativo.. 8 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . diferente de zero. números. b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. (-) (-) = resultado sempre positivo. Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. pois o resultado não é um número inteiro. + (–2) = 30 x (-2) = –60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.No conjunto Z. Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão: → Sinais iguais (+) (+). entre outros. q = (– 20)  q = (– 4) Logo: (– 20): (+ 5) = . precedidos de sinal negativo. . Fique Atento: todos parênteses. Divisão de Números Inteiros . a é multiplicado por a n vezes . ou seja. é dado o seu oposto. obteremos: 2 + 2 + 2 + . + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2. tem o seu sinal invertido. a divisão não é comutativa. ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas..Zero dividido por qualquer número inteiro.an = a x a x a x a x .. dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.. pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. .. para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro.(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. Veja o cálculo: (– 20): (+ 5) = q  (+ 5) . obteremos: (–2) + (–2) + . não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. pode ser indicado por a x b. x a . → Sinais diferentes (+) (-). O número a é denominado a base e o número n é o expoente. é zero. diferente de zero.Divisão exata de números inteiros. como por exemplo.. + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade. isto é: 1 + 1 + 1 . Potenciação de Números Inteiros A potência an do número inteiro a... concluímos que. é definida como um produto de n fatores iguais. . . Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z... Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.Propriedades da Potenciação: 1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. 9 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . O certo é: 9 = +3 Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplos: (a) (b) (c) 3 8 3 8 3 = 2. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Exemplo: (–5)3 = (–5) . pois 3³ = 27.Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. pois 2³ = 8. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: 9 = ± 3.Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 . (–5) . Exemplo: (– 8)2 = (–8) . . pois (–2)³ = -8. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. = –2. [(-8)5]2 = (-8)5 . Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. (–8) = +64 . (13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. (+3) = +9 . (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 27 = 3. Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 Radiciação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Exemplo: (+3)2 = (+3) . A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. (–5) = –125 . 2 = (-8)10 4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. mas isto está errado. (–7)3 . 00 Na aquisição dos produtos.b = b. tal que.00 e deseja gastar a maior quantidade possível. pois (–3)³ = -27. 02. (D) 36. não existe raiz de número inteiro negativo. Solicitou-se que cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas. (2) Se o índice da raiz for ímpar. continua como resultado um número natural.00 Geladeira: R$ 1.00 DVD: R$ 399. o total de pontos atribuídos foi (A) 50. o troco recebido será de: (A) R$ 84. z x z–1 = z x (1/z) = 1 11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural.00 (C) R$ 36.1 = a 8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a. b e c ∈ 𝑍 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b +a 3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a 4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 5) Associativa da multiplicação: (a.c = a. no entendimento dos elementos do grupo.(d) 3  27 = –3.200.(b –c) = ab –ac 10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero. (B) 45. (b.b). Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros Para todo a. (C) 42. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Ruth tem somente R$ 2.213.00 (E) R$ 16. (E) 32.00 . Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros.00 Micro-ondas: R$ 429.(b +c ) = ab + ac 9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a . e pagando a compra em dinheiro. concluímos que: (1) Se o índice da raiz for par. atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (1) a cada atitude negativa. bem como da preservação predial. Verificou o preço de alguns produtos: TV: R$ 562.c) 6) Comutativa da multiplicação : a.a 7) Elemento neutro da multiplicação: a. sem ficar devendo na loja. realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”.00 (D) R$ 26. 10 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . existe um inverso z –1 = 1/z em Z.00 (B) R$ 74. conforme as condições mencionadas. Questões 01 (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP/2013) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas. é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. FCC/2012) Em um jogo de tabuleiro.8. (SEPLAG .03.56 (D) .de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Curitiba Rio de Janeiro Brasília +240 -194 +158 -108 +94 O número de passageiros que chegou a Belém foi: (A) 362 (B) 280 (C) 240 (D) 190 (E) 135 07. Os números positivos indicam a quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos. Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento. o resultado encontrado será (A) . (A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. em ºC será de: (A) 10 . 11 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos.72 (B) . com duas escalas. Durante uma ronda dos agentes de trânsito.POLÍCIA MILITAR/MG .49 (E) – 42 04.63 (C) . foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). (D) Carla e Mateus empataram.ASSISTENTE ADMINISTRATIVO . a diferença de temperatura entre o dia e noite. (Pref. 05. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE UFT/2013) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e Belém. Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados: Carla Mateus 1ª Partida Ganhou 520 pontos 1ª Partida Perdeu 280 pontos 2ª Partida Perdeu 220 pontos 2ª Partida Ganhou 675 pontos 3ª Partida Perdeu 485 pontos 3ª Partida Ganhou 295 pontos 4ª partida 4ª partida Ganhou 635 pontos Perdeu 1155 pontos Ao término dessas quatro partidas. é CORRETO afirmar que estavam estacionados: (A) 19 carros (B) 25 carros (C) 38 carros (D) 50 carros 06. Supondo que durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC. (B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que . a quantidade dos que desceram em cada cidade. desceu 15 degraus e parou novamente. é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento. 12 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . A escada tinha 25 degraus. Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos Mateus: .de Niterói) Um estudante empilhou seus livros. Resposta: D. (Pref.8 é o .00 por mês. 50-20=30 atitudes negativas 20. Maior inteiro menor que 8 é o 7 Menor inteiro maior que .49 04.00. o número de livros na pilha é: (A) 10 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 22 10. A quantos degraus do topo da escada ele parou? (A) 8 (B) 10 (C) 11 (D) 15 (E) 19 Respostas 01.4=80 30.7. Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm. Resposta: A. o número de meses que ele levará para adquirir a televisão será: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 09. Portanto: 7(. Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204. O menino subiu mais 13 degraus. Troco:2200 – 2174 = 26 reais 03. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35.7) = . Resposta: D.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa R$ 420. Logo em seguida.280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos Diferença: 575 – 450 = 125 pontos . (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Um menino estava parado no oitavo degrau de uma escada. e que os livros restantes possuem espessura de 3cm.(B) 35 (C) 45 (D) 50 (E) 55 08. extrapola o orçamento Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174.(-1)=-30 80-30=50 02. obtendo uma única pilha 52cm de altura. contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). Resposta: C. (Pref. 2 = 16 cm Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm. 10. . Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Resposta: D. Resposta: E.Q*+ = conjunto dos racionais positivos.05.Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 13 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . razão pela qual. Resposta: B. Como podemos observar. 420 : 35 = 12 meses 09. temos: 52 .Q* = conjunto dos racionais não nulos. Resposta: D. .2=24 124-24=100 100/4=25 carros 06. onde m e n são números inteiros. Moto: 2 rodas Carro: 4 12. 240 . .194 + 158 .Q _ = conjunto dos racionais não positivos. números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros.16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 36 : 3 = 12 livros de 3 cm O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. 45 – (.10) = 55 08. Assim.Q+ = conjunto dos racionais não negativos. sendo n que n deve ser diferente de zero. São 8 livros de 2 cm: 8. Resposta: E. 8 + 13 = 21 21– 15 = 6 25 – 6 = 19 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q m . é comum encontrarmos na literatura a notação: m Q = { : m e n em Z. . Resposta: D. n diferente de zero} n Um número racional é o que pode ser escrito na forma No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: . .108 + 94 = 190 07. Aproveitando o exemplo acima temos 0. um número finito de algarismos. com uma característica especial: existe um período.Representação Decimal das Frações Tomemos um número racional p .. 1/103 + 3 .. 22 167 = 2. 3 1 = 0.. tal que p não seja múltiplo de q. após a vírgula. 66 Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas.. Temos dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1.. infinitos algarismos (nem todos nulos).04545. 1/104 .75 4 153 = 3.. Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal..53030. repetindose periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 1 = 0. 1/101 + 3 .9 = .. após a vírgula.333.333...06 50 2º) O numeral decimal obtido possui.005 = = 1000 200 0.48 = 100 5 1 0. q basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.76 = 100 348 3. 1/102 + 3 . seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 9 10 57 5.25 4 35 = 8. Para escrevê-lo na forma decimal.4 5 1 = 0. = 3. Decimais Exatos: 2 = 0. 14 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .7 = 10 76 0. procuremos escrevê-lo na forma de fração. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui. .. neste caso 99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período. 1717. 23434. o numerador.. é a fração 512 . é a fração 3 . obtemos x = 611 ..333. obtemos 232. . a geratriz de 5. 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5. 23434. Observe também que o 5 é a parte inteira. 99 Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o dígito 9 no denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima. Assim. 333.. logo ele vem na frente: 5 17 512 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎. 15 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1. Neste caso temos um ante período (2) e o período (34)...99 + 17) = 512.. 3) Seja a dízima 1. 495 Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero. a geratriz de 0. Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3)  então vamos colocar um 9 no denominador e repetir no numerador o período. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período. 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 990 990 Simplificando por 2. pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: Exemplos: 1) Seja a dízima 0. 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 99 99 Assim.990 + 232) = 1222.. para tanto. O período que se repete é o 17.... 9 2) Seja a dízima 5. a fração geratriz da dízima 1. neste caso 0(um zero). O número 234 é a junção do ante período com o período. Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2)..1717.2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada.. logo dois noves no denominador (99). 1 232 1222 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎. Neste caso temos um dízima periódica é composta. c/d . Para realizar a multiplicação de números racionais.Exemplos: 1) Módulo de – 3 3 3 3 é . isto é: p – q = p + (–q) ad  bc a c = b bd d Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração. através de: b d ad  bc a c + = b bd d Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q. 16 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Indica-se  = 2 2 2 2 3 3 e são números racionais opostos ou simétricos e cada um 2 2 3 3 deles é o oposto do outro. devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo. definimos o a c produto de dois números racionais e . As distâncias dos pontos – e ao ponto zero da reta são iguais. mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo. Indica-se  = 2 2 2 2 2) Módulo de + 3 3 3 3 é . 2 2 Números Opostos: Dizemos que – Inverso de um Número Racional 𝒂 −𝒏 𝒃 𝒏 ( ) . através de: b d ac a c x = bd b d O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d. a/b.𝒃 ≠ 𝟎 𝒃 𝒂 Representação geométrica dos Números Racionais Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. da mesma forma que o produto de frações. definimos a a c adição entre os números racionais e . da mesma forma que a soma de frações.𝒂 ≠ 𝟎 = ( ) . Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração. . b em Q: a + b = b + a 4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. tal que q + (–q) = 0 6) Associativa da multiplicação: Para todos a. b. isto é: q + 0 = q 5) Elemento oposto: Para todo q em Q. que multiplicado por todo q em Q.   =  5   5   5   5  125 3  1  1  1  1 1 b)    =    . 1  9 9   =  4  4 . b. c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )  Divisão(Quociente) de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q. 2) Associativa da adição: Para todos a.(+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1)  Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação. a soma e a multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 7) Comutativa da multiplicação: Para todos a. existe : b b a b q-1 = em Q: q × q-1 = 1 x =1 b a a 10) Distributiva da multiplicação: Para todos a. b.    =  8  2  2  2  2 3 . c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 3) Comutativa da adição: Para todos a. 𝒃 𝒅 𝒃 𝒄 Potenciação de Números Racionais A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. isto é: q × 1 = q a 9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = em Q. 17 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . proporciona o próprio q.    . existe -q em Q. × q. q diferente de zero. isto é. qn = q × q × q × q × . b em Q: a × b = b × a 8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q.Propriedades da Potenciação: 1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 0  2   = 1  5 2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.. proporciona o próprio q.. que adicionado a todo q em Q. isto é: p ÷ q = p × q-1 𝒂 𝒄 𝒂 𝒅 : = .   . (q aparece n vezes) Exemplos: 8  2 2 2 2 a)   =   . é a raiz quadrada de . conservamos a base e subtraímos os expoentes. . pois tanto  como  . 2 3  2  2  2 2 2 2 2  2   .     2 2 2 2 2 2 2 2  2    2   Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais. 9 3 3 3 9 3 Indica-se 1 1 = 9 3 2) 0.216 = 0. 100 10 10 O número  não tem raiz quadrada em Q.6 ou (0. 2 2 5 2 8) Potência de Potência.6)3. conservamos a base e somamos os expoentes.6 é a raiz cúbica de 0.      5  5   5 5 5 5 5  5 23 2   5 5 7) Quociente de potências de mesma base.   =  5   5   5  25 2 6) Produto de potências de mesma base. 9 .Logo. conservamos a base e multiplicamos os expoentes. . 0. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência. 0. dá o número zero ou um número racional positivo. então cada fator é chamado raiz do número. quando elevado ao quadrado. . Exemplos: 2 1 1 1 1 1 1 1) Representa o produto . Indica-se 3 0.6 . 3 3 3 3 3 5 2 3 . 2 2  3  5 25   =   = 9  5  3 4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 3 3 3 3 2 2 2 2 2 :            3 3 2 2 2 2 . Logo. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente. .  . 8  2 2 2 2   =  .6 .216. Um número racional.216 Representa o produto 0. Logo. 3 3 2 2 2 3.2 2 2 2 3 2 6 6  1  2   1  2  1 1 1 1 1 1 1 1       ou                . . .   =  . 18 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .6.  =  3   3   3   3  27 3 5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 0. quando elevados ao 9 3 3 100 quadrado. os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.  . Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência. ou   .  1   1   1  1   =   . dão .3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior. pois não existe número racional que elevado ao quadrado 3 2 dê . mas precisou faltar um dia e foi descontado em R$ 28. 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. Niterói) Simplificando a expressão abaixo 3 2 1. (C) R$ 838. Quantos reais ela recebeu de troco? (A) R$ 40. No mês passado.91. seu salário totalizou (A) R$ 810.00 03. (B) R$ 821. Sendo assim.3333…+ Obtém-se 1. ele fez 8 horas extras a R$ 8. 3 Questões 01. qual fração representa os alunos que têm ciências como disciplina favorita? (A) 1/4 (B) 3/10 (C) 2/9 (D) 4/5 (E) 3/2 02. (D) R$ 841. (E) R$ 870.30.31. 9/20 têm a matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. (Pref.5+ 4 3 : (A) ½ (B) 1 (C) 3/2 (D) 2 (E) 3 . 2/9 estudam francês. (B) 7. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Na escola onde estudo. um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617. (PREF.00 (D) R$ 46. (C) 8. O número de candidatos que estuda alemão é: (A) 6. No mês passado. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8. 19 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .40.Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. (D) 9.16 e uma gratificação de R$ 185. 2 O número não tem raiz quadrada em Q.51. (E) 10. 05. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) De um total de 180 candidatos. 2/5 estudam inglês.00 (E) R$ 48. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) Em um estado do Sudeste. ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita.50 cada hora.81. em cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos.31.15.00 (C) R$ 44.00 (B) R$ 42. 04. (B) 35 anos. 09. (B) R$ 52. √16. . Em uma rodada em que a tarefa era colocar os números marcados nos cartões em ordem crescente. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: − 1 real: ¼ das moedas − 50 centavos: 1/3 das moedas − 25 centavos: 2/5 das moedas − 10 centavos: as restantes Mariana totalizou a quantia contida no cofre em (A) R$ 62. Após todos os jogadores receberem seus cartões. √16. o número 5. √25. Já entre as mulheres abordadas.20. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina. . −4. (E) 47/23. √25 3 07. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2014) Somando-se certo número positivo x ao numerador. (D) R$ 56. √16. (E) R$ 66. o professor de matemática respondeu: “O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. Sendo assim. −1. √16. . verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. . −1.20. √25 3 14 (𝐸 ) − 4. . 3 14 (𝐵) − 1. 1/8 foram detidas. 08. cada jogador tem direito a 5 cartões marcados com um número. √25 3 14 (𝐷) − 4. 20 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (D) 30 anos. −4. (B) 13/6. (PREF. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Em um jogo matemático. e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. (C) 45 anos. −1. √16. aleatoriamente. (C) 7/3. Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 (D) 260 (E) 120 10. (D) 5/2. .06. (C) R$ 50. que abordou 800 pessoas. realizam uma determinada tarefa que também é sorteada. x é igual a (A) 52/25. podemos afirmar que o professor tem: (A) 40 anos. sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. (E) 42 anos.20. venceu o jogador que apresentou a sequência 14 (𝐴) − 4. √25 3 14 (𝐶) − 1. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Quando perguntado sobre qual era a sua idade.20. Sendo assim.20. 9)=45 18+10+15 45 43 = 45 O restante estuda alemão: 2/45 2 180 ∙ 45 = 8 04.31 + 68. 3 √25 07.91. Resposta: C.Respostas 01. Resposta: D. 8. Resposta: B.3 ∙ 7 = 58. √16 = 4 √25 = 5 14 = 4.15 = 802. 21 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .. 1. √16. Resposta: B. 2 2 1 +9+3 5 Mmc(3. 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617. Somando português e matemática: 1 9 5 + 9 14 7 + = = = 4 20 20 20 10 O que resta gosta de ciências: 7 3 1− = 10 10 02. Resposta B.31 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8. 14 .16 + 185.3333.67 3 A ordem crescente é : −4.00 − 28.5 = 15/10 = 3/2 4 3 3+2= 3 4 + 2 3 17 6 =1 17 6 06. Resposta: D.5 ∙ 8 = 68 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802. Resposta: B. 05..= 12/9 = 4/3 1.5. Dirce pagou 58 reais Troco:100 – 58 = 42 reais 03. 2+𝑥 =5 3−𝑥 15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 6𝑥 = 13 13 𝑥= 6 .40 = 841.91 Salário foi R$ 841. −1.1 Como recebeu um desconto de 10 centavos. que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico.3 / 2 = .. conhecidos como números irracionais.75 = 0. Pi (𝜋) = 3.20 Mariana totalizou R$ 62.10 = 62. 333333. com a condição de que b seja diferente de zero.25 + 2 ∙ 0.5 + 48 ∙ 0.08. 0000. 1/4 eram mulheres 1 800 ∙ 4 = 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 1 200 ∙ 8 = 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 Total de pessoas detidas: 120+25=145 10.I Os números racionais. outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b.. . 50000.141592653589793238462643. uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero.... .. 1 / 3 = 0.. também conhecido como dízima periódica. Exemplo: O número real abaixo é um número irracional.. 22 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes. 3 800 ∙ 4 = 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 1 600 ∙ 5 = 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 Como 3/4 eram homens.718281828459045. Resposta: C.10100100010000100000.. Vimos também. 1 1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙ = 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 4 1 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 3 ∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 2 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 5 ∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 30 + 40 ∙ 0...20.0. .1. 09. Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. 000. Resposta: A. entretanto. 333333. são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são dois números inteiros. Resposta: A.. 4 / 3 = 1.1. são: e = 2. Vejam os exemplos de números racionais a seguir: 3 / 4 = 0.2 / 3 = .. 2 / 1 = 2 = 2. Existe.5 = . 0 = 0.. embora pareça uma dízima periódica: x = 0. 666666...... 9 75 675 ∙ = = 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 5 3 15 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS . 750000... 3) √5 .Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. pode ser um número racional. multiplicações. etc. . pode ser um número racional.Todas as dízimas periódicas são números racionais. . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional. centros de gravidade.Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Pode-se dizer que existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos). Simbolicamente.  Identificação de números irracionais Fundamentado nas explanações anteriores. é igual ao conjunto vazio ( ∅ ). . portanto.A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais. volumes.Todas as frações ordinárias são números racionais. conforme o teorema de Abel-Ruffini.Todas as raízes inexatas são números irracionais. . .Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas.√3 = 0 e 0 é um número racional. por exemplo: . resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais. como pi ( ) e o número de Euler ( ).Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. não possui elementos comuns e. A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de radicais. . . teremos: Q∪I=R Q∩I=∅ . . .A diferença de dois números irracionais. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas. .O quociente de dois números irracionais.A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.  Classificação dos Números Irracionais Existem dois tipos de números irracionais: . previsão populacional. podemos afirmar que: .Todos os números inteiros são racionais. .O produto de dois números irracionais.A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. Várias constantes matemáticas são transcendentes. subtrações. pode ser um número racional. divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico. 2) √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional. Exemplos: 1) √3 . 23 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos. 24 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (B) Se x é um número irracional e y é um número racional. (B) Números racionais. (D) Números racionais e irracionais. (DPE/RS – ANALISTA ADMINISTRAÇÃO – FCC/2013) A soma S é dada por: 𝑆 = √2 + √8 + 2√2 + 2√8 + 3√2 + 3√8 + 4√2 + 4√8 + 5√2 + 5√8 Dessa forma. Qual das expressões apresenta como resultado um número natural? (A) yw – xz. y = √6. É CORRETO afirmar: (A) Se x e y são números racionais e não inteiros.MAKIYAMA/2013) Assinale a seguir o conjunto a que pertence o número √2: (A) Números inteiros.4444 … ) : 135 = 30 4 4 III. (E) I. (C) Números inteiros e naturais.II. S é igual a (𝐴) √90 (𝐵) √405 (𝐶) √900 (𝐷) √4050 (𝐸) √9000 03. tem-se 4𝑥−1 +4𝑥 +4𝑥+1 4 𝑥−2 +4 𝑥−1 II. = 16. (E) Números irracionais. (B) xw + yz. (C) Apenas II e III são verdadeiras. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) O resultado do produto: (2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) é: (𝐴) √2 − 1 (B) 2 (𝐶) 2√2 (𝐷) 3 − √2 04. (D) Apenas uma é verdadeira. x é um número racional e não inteiro. Relativamente a essas afirmações.8 1 3 11 (8 + 0. 05.II e III são falsas. z = √12 e w = √24. (D) xz(y + w). (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Considere as seguintes afirmações: I. então y+ x é um número irracional. (B) Apenas I e II são verdadeiras. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN/2014) Sejam os números irracionais: x = √3. Efetuando-se ( √6 + 2√5) 𝑥( √6 − 2√5) obtém-se um número maior que 5. . Para todo número inteiro x. (DETRAN/RJ.Assistente Técnico de identificação Civil . então y. (C) xy(w – z). 02. e III são verdadeiras.Questões 01. 06. (UFES – Técnico em Contabilidade – UFES/2015) Sejam x e y números reais. é certo que (A) I. I 4𝑥 (4−1 +1+4) 4 𝑥 (4 −2 +4 −1 ) 1 +5 4 1 1 + 16 4 II 1 = 1+20 4 1+4 16 = 21 4 5 16 = 21 16 ∙ 5 4 = 21∙4 5 = 16. 2 (2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) = 2(√2) − 2√2 + √2 − 1 = 4 − √2 − 1 = 3 − √2 04. 02. 25 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (D) Se x é um número irracional e y é um número racional..(C) Se x e y são números racionais e não inteiros. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS . Esta questão pede as propriedades dos números irracionais: -A soma de um número racional r com um número irracional i é um número irracional r'. 12 = √144 − √36 = 12 − 6 = 6 05. então y. Resposta: D.. não nulo. Resposta: D.. (E) Se x e y são números irracionais.4444. não tem raiz exata. 24 − √3 . 2 𝑆 = √4050 03. 9x = 4 x = 4/9 4 11 (2 + 9) : 135 = 18+4 135 ∙ 11 9 = 22 135 ∙ 11 9 = 2∙135 9 = 30 III 4 4 √62 − 20 = √16 = 2 Portanto. Vamos testar as alternativas: A) √6 . √12 = √6 .. Resposta: E. Como √2. 𝑆 = 15√2 + 15√8 √8 = 2√2 𝑆 = 15√2 + 30√2 = 45√2 𝑆 = √452 . . por um número irracional i é um número irracional r'. logo é um número Irracional 06. -Na letra E não é aplicável a propriedade do fechamento para os irracionais. mas também todos os números irracionais. x é um número irracional. √24 − √3 . Resposta: A. apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. então y + x é um número racional e não inteiro.. então y. Resposta: B. x é um número irracional. -O produto de um número racional r. positivos e negativos.4444.R O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários.. -Vejam que a D só estaria correta se cita-se "não nulo".8 3 83 = √8 = 2 10x = 4. Assim temos: . Resposta: B. Respostas 01.x = 0. subtração. com a < b. assim como os conceitos de módulo. Sejam os números a e b . Intervalos reais O conjunto dos números reais possui também subconjuntos. É assim que vamos trabalhar as operações adição. obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um número Real.= {x ϵ R| x < 0} Representação Geométrica dos números reais Propriedades É válido todas as propriedades anteriormente vistos nos outros conjuntos. não irracional. Ordenação dos números Reais A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. multiplicação e divisão. sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional.R = Q U I .Conjunto dos números reais negativos: R*.Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} . menores. uma série de recomendações úteis para operar com números Reais. Relacionamos. números opostos e números inversos (quando possível).Conjunto dos números reais não positivos: R. que são determinados por meio de desiguladades.Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} . Os números Reais positivos são maiores que zero e os negativos. podemos construir o diagrama abaixo: O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: . em seguida. Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q . 26 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b.= {x ϵ R| x ≤ 0} . a≤b↔b–a≥0 Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0  Operações com números Reais Operando com as aproximações. denominados intervalos. .Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} . e vice-versa). a[ = { x ϵ R| x < a} Exemplo: ] -∞.b[ = { x ϵ R| a ≤ x < b} Exemplo: [3.]a.] -∞.[a.1º . a] = { x ϵ R| x ≤ a} Exemplo: ] -∞. ] .5[ = { x ϵ R| 3 < x < 5} 2º .+ ∞ [ = { x ϵ R| x ≥ a} Exemplo: [3.5] = {x ϵ R| 3 ≤ x ≤ 5} 3º .< . utilizamos os símbolos: > . 27 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .+ ∞ [ = { x ϵ R| x ≥ 3} 8º .A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número).b] = { x ϵ R| a ≤ x ≤ b} Exemplo: [3. 3] = { x ϵ R| x ≤ 3} 6º .Intervalo aberto à esquerda( ou fechado à direita) de extremos a e b é o conjunto ]a. utilizamos os símbolos: .5[ = { x ϵ R| 3 ≤ x < 5} 4º .+ ∞ [ = { x ϵ R| x > 3} Em termos gerais temos: .b] = { x ϵ R| a <x ≤ b} Exemplo: ]3.5] = { x ϵ R| 3 <x ≤ 5} 5º . [ .A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número).] -∞.Intervalo aberto de extremos a e b é conjunto ]a.Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [a. 3[ = { x ϵ R| x < 3} 7º .Intervalo aberto à direita ( ou fechado à esquerda) de extremos a e b é o conjunto [a.+ ∞ [ = { x ϵ R| x > a} Exemplo: ]3.b[ = { x ϵ R| a < x < b} Exemplo: ]3. aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em sentidos opostos.b[ = [a.b] . b) Se os numerais possuem sinais diferentes. [a.b) a) Às vezes. b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação. Exemplos: .b[ = (a. tanto para o lado direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos). para indicar as extremidades abertas dos intervalos. como as medidas de temperatura ou reais em débito ou em haver etc. 28 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .4 = .b[ = (a.24 .b) Observações Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] . que se estendem indefinidamente.b) . ]a.b[ = [a.b] = (a. Operações com Números Relativos 1) Adição e Subtração de números relativos a) Se os numerais possuem o mesmo sinal..10 -2+7=5 2) Multiplicação e Divisão de Números Relativos a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. são chamados números relativos. diferindo apenas o sinal. b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos.b) .b] . ]a. basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal..≤. para indicar as extremidades abertas dos intervalos.6 . c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral.b] = (a.≥. sem o sinal.20 (-4) = + 5 . e ]a. [a.3 x 8 = . subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do maior numeral.] Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] . Exemplos: 3+5=8 4-8=-4 . Esses números. e ]a.[. ou seja. maiores ou acima de zero (positivos). (Pref. (A) 36. o 3 1 ponto que melhor representa a diferença − na reta dos números reais é: 4 2 (A) P. B) apenas I e II são verdadeiras. (B) 5. equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na partida anterior. (D) 92. II e III são verdadeiras. (B) Q. se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN/2014) Mário começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. sobram 2 lâmpadas na caixa.(20 m) é um número menor que 20. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP/2014) Para ir de sua casa à 3 escola. sobrará uma única lâmpada. então. 03. sabendo que esta comporta um máximo de 100 lâmpadas. Ao retirá-las de 3 em 3 ou de 5 em 5. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Considere m um número real menor que 20 e avalie as afirmações I. a soma dos algarismos da quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a (A) 4. (D) 8. II.(20 m) é um número maior que 20. a 2 (A) 3 3 (B) 4 . II e III são falsas. Zeca percorre uma distância igual a da distância percorrida na volta.6 x (-7) = + 42 28 2 = 14 Questões 01. então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde. de um quilômetro. (Pref. Considere que a cada partida ele conseguiu melhorar sua pontuação. D) apenas II e III são falsas. 29 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (C) 78.(20 – m) é um número menor que 20.. III. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Na figura abaixo. C) I. 05.Técnico Judiciário – TJ/PR/2014) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. 04. (TJ/PR . (C) 7.791 pontos. (B) 57. II e III: I. Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 5 de um quilômetro. Entretanto. que é feita por um trajeto 4 7 diferente. 02. (D) S. Se na quinta partida ele marcou 3. (C) R. (E) 10. Assinale a alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa. É correto afirmar que: A) I. (E) 47/23. 35. a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a (A) 5/16. . 30 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . a soma obtida ao final é igual a (A) 87.001 mL por cada algarismo impresso. e que Denis ficou com as 5 cotas restantes.561. que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional ao número de cotas de cada um.003.002 mL e 0. (C) 7/3. Por exemplo. (D) 5/2. Sendo assim. (D)1/ 4. 07. 10. (B) 2. (D) 65.00. ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. será (A) 1. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Quatro números inteiros serão sorteados.000. Se o número sorteado for par. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro.AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP/2013) Para numerar as páginas de um livro. (B) 1/6. se Breno recebeu R$ 62. respectivamente. para numerar as páginas 7. Essa aposta foi premiada com um determinado valor. 0. x é igual a (A) 52/25. (TJ/SP .00. Se o número sorteado for ímpar. (E) 2/5. (B) R$ 93. (D) 1. o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4 a semana. 08.893. (E) 2. e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado.003 mL de tinta. (E) 63.003. uma impressora gasta 0. (C) 28. (B) 59. então Carlos recebeu (A) R$ 74. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana.000. 66 e 27.00. (C) 8/24.1 (C) 2 4 (D) 5 3 (E) 5 06.000. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. 0. Dessa forma. 58 e 290 gasta-se. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno. ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Sabendo que os números sorteados foram 40. Na 2 a semana.111. Na 3a e 4a semanas. (B) 13/6. que Carlos ficou com a quarta parte das cotas. os quatro resultados obtidos deverão ser somados. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP/2014) O valor de uma aposta em certa loteria foi repartido em cotas iguais. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2014) Somando-se certo número positivo x ao numerador.AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO . o número 5. Após esse procedimento. em mL.001 mL. Sendo assim. 09. (C) 2. ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. (D) R$ 102. sem que o total ultrapasse 100: 7 . 14 + 1 = 99.4 20 15𝑥 + 20𝑥 = 28 35𝑥 = 28 28 𝑥 = 35 (: 7/7) .00. (não convém) 7 . Ida + volta = 7/5 . Resposta: C. Resposta: D. vamos calcular o valor de w. Pontuação atual = 2 .00. Precisamos calcular os múltiplos de 3. Vamos chamar as retiradas de r.3𝑥+ 20𝑥=7. Resposta: D.x – 15 2.x = 959 + 15 x = 974 / 2 x = 487 * 1ª partida: 487 = 2. a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. r + 2 = Total De 5 em 5: 5 . 02. Falso. s + 2 = Total De 7 em 7: 7 . Falso.. r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 .x – 15 2. s e w: e de T o total de lâmpadas. r + 2 = 99 vai dar que r = 32. 3 1 3−2 1 − = = = 0. 31 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .333. partida anterior – 15 * 4ª partida: 3791 = 2. s + 2 = 92 vai dar s = 18. mas 3 .. pois m é Real e pode ser negativo. Respostas 01.00. (E) R$ 106.x = 487 + 15 x = 502 / 2 x = 251 Portanto. III. pois m é Real e pode ser negativo.x = 1903 + 15 x = 1918 / 2 x = 959 * 2ª partida: 959 = 2. Resposta: E. pois m é Real e pode ser positivo. 1 3 7 .000.(C) R$ 98.000. Falso. 03.000.x – 15 2. e 3 .x = 3791 + 15 x = 3806 / 2 x = 1903 * 3ª partida: 1903 = 2. Resposta: A.25 4 2 4 4 04. 05. II. 13 + 1 = 92. w + 1 = Total Primeiramente. 5 e de 7. separando um múltiplo menor do que 100 que sirva nas três equações abaixo: De 3 em 3: 3 .𝑥 + 𝑥 = 5 4 5.x – 15 2. I. Seu maior divisor é 27. Resposta: C.009 ml De 10 a 99. temos que saber quantos números tem. .0019 = 0. 3ªsemana: 2y 4ª semana: y 1 2𝑦 + 𝑦 = 𝑥 1 2 3𝑦 = 2 𝑥 1 𝑦 = 6𝑥 08. 90 números de 2 algarismos: 0.00290 = 0.7 + 0. Tarefa: x Primeira semana: 3/8x 1 3 1 2 semana:3 ∙ 8 𝑥 = 8 𝑥 3 1 4 1 1ª e 2ª semana: 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 8 8 8 2 Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade.003 = 2.004 = 2.18 + 2.009 + 0. 5 = 3 5 06. Seu maior divisor é 7. 35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 * número 66: é par.7 ml 1000 = 0. 2+𝑥 =5 3−𝑥 15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 6𝑥 = 13 13 𝑥= 6 09. 1 a 9 = 9 algarismos = 0. Resposta: B. 66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 * número 27: é ímpar. Resposta: B. OBS: soma 1. 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟑 . Assim: * Breno: 𝟏 𝟏 .004ml Somando: 0. 32 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . * número 40: é par.4 𝑥 = 5 (volta) 3 4 Ida: 4 . 27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 * Por fim. Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). 40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 * número 35: é ímpar. vamos somar os resultados: 37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 10.893 07.18ml De 100 a 999 999 – 100 + 1 = 900 números 9000. pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. Resposta: B. 99 – 10 + 1 = 90. Resposta: B. 𝟎𝟎 NÚMEROS FRACIONÁRIOS Quando um todo ou uma unidade é dividido em partes iguais. em seguida. que indica o número de partes que foram reunidas ou tomadas da unidade e. . Observe a figura abaixo: A primeira nota dó é 14/14 ou 1 inteiro. sétimos.00 * Carlos: 𝟏 𝟒 . quintos. milésimos. 33 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . quartos. pois representa a fração cheia. uma dessas partes ou a reunião de várias formam o que chamamos de uma fração do todo. centésimos. o denominador seguido da palavra “avos”. para indicar em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou todo) e que dá nome a cada parte e. terços. 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎. 100 . por essa razão.Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enuncia-se o numerador e. sextos. necessários dois números inteiros: a) O primeiro.  Nomenclaturas das Frações Numerador  Indica quantas partes tomamos do total que foi dividida a unidade. 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 x = 62000 . centésimos de milésimos etc.𝟏 𝟔 . Exemplos: 8 𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑜𝑖𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑎𝑣𝑜𝑠. 25 2 𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠. 6 x = R$ 372000. O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos da fração. -Frações com denominadores potências de 10: décimos. Denominador  Indica quantas partes iguais foi dividida a unidade. chama-se numerador da fração. Para se representar uma fração são. nonos e décimos. b) O segundo. No figura acima lê-se: três oitavos. a ré é 12/14 e assim sucessivamente. -Frações com denominadores de 1 a 10: meios. por isso. portanto. oitavos. chama-se denominador da fração. décimos de milésimos. 34 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Tipos de Frações . 17/29. a fração é igual a zero: 0/7 = 0. Exemplos: 𝑨) 25 4 =3 ⇒ 7 7 4 25 𝑩) 3 = ⇒ 7 7 . As mesmas pertencem também ao grupo das frações impróprias.Frações Próprias: Numerador é menor que o denominador. Exemplo: 5/7 >3/7 .Quando o denominador é zero. 0/5=0 2.Frações equivalentes: Duas ou mais frações que apresentam a mesma parte da unidade. 325/1 = 325 . 8 . 8 4 2 -Frações irredutíveis: Frações onde o numerador e o denominador são primos entre si. . a fração não tem sentido. pois a divisão por zero é impossível. 6 8 4 Exemplos: 1 . Podemos transformar uma fração imprópria na forma mista e vice e versa. a maior será aquela que possuir o maior numerador.Quando duas frações tem o mesmo denominador. 4 . 𝑜𝑢 = . e são equivalentes.Quando os denominadores são diferentes. … . devemos reduzi-lo ao mesmo denominador. 1 5 3 Exemplos: 6 .Quando o numerador e denominador são iguais.Frações aparentes: Numerador é múltiplo do denominador. o resultado da divisão é sempre 1. Exemplo: 5/11 . dividimos esta pelo denominador e multiplicamos pelo numerador. 5 . … .Frações Impróprias: Numerador é maior ou igual ao denominador. . a fração é igual ao denominador: 25/1 = 25. 𝑜𝑢 = 8: 4 2 8: 2 4 4: 2 2 As frações 4 2 1 . . 5/3  Comparação e simplificação de frações -Comparação: . Exemplos: 1 – Se o numerador é igual a zero. 4 . … . 6 8 4 Exemplos: 5 .Se o denominador é 1.Frações particulares: Para formamos uma fração de uma grandeza.Números mistos: Números compostos de uma parte inteira e outra fracionária. 3 . Exemplo: 4: 4 1 4: 2 2 2: 2 1 = . 2 . Com isso formamos frações equivalentes a primeira. primeira fração multiplicados pelo inverso da Exemplo: segunda fração.Adição e Subtração Com mesmo denominador: Conserva-se o denominador e somase ou subtrai-se os numeradores. O processo é valido tanto para adição quanto para subtração.Simplificação: É dividir os termos por um mesmo número até obtermos termos menores que os iniciais.Exemplo: 7/6 e 3/7 1º .7) = 42 7. Com denominadores diferentes: Reduz-se ao mesmo denominador através do mmc entre os denominadores. .6 49 18 𝑒 → 𝑒 42 42 42 42 2º .7 3.Fazer o mmc dos denominadores mmc(6. Exemplo: 4: 4 1 = 8: 4 2  Operações com frações . Exemplo: Podemos resultante: ainda simplificar a fração 288: 2 144 = 10: 2 5 . Simplificando a fração resultante: 168: 8 21 = 24: 8 3 35 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .  Multiplicação e Divisão .Compararmos as frações: 49/42 > 18/42.Multiplicação: É produto dos numerados .Divisão: O quociente de uma fração é igual a dados e dos denominadores dados. NÚMEROS DECIMAIS O sistema de numeração decimal apresenta ordem posicional: unidades. 0.9 nove décimos.  Transformação de frações ordinárias em decimais e vice-versa A quantidade de zeros corresponde ao números de casas decimais após a vírgula e viceversa (transformar para fração). 472. 36 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . trezentos e sessenta e oito inteiros e quatrocentos e treze milésimos. dezenas. 5. a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a seguinte regra: .  Leitura e escrita dos números decimais Exemplos: (Fonte: http://www. cinquenta e seis décimos-milésimos.com. etc.  Operações com números decimais .1256 quatrocentos e setenta e dois inteiros e mil.6 cinco inteiros e seis décimos. duzentos.professornews.br/index.php/utilidades/dicas-de-redacao/5620-como-escrever-numeros-decimais-por-extenso) Lê-se: Quinhentos e setenta e nove mil.Adição e Subtração Na prática. centenas. 37 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .No resultado.Divisão Na prática.Igualamos o número de casas decimais.775 : 15. . o resto da divisão é igual a zero.Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os números fossem naturais.49 x 2.Colocamos os números um abaixo do outro. acrescentando zeros.5 Disposição prática: .03 Disposição prática: 2) 3. . 2) 31. colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às dos outros fatores.Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos números dados. a divisão é chamada de divisão exata e o quociente é exato.Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números naturais. Exemplos: .. deixando vírgula embaixo de vírgula.Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais.Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor. .Multiplicação Na prática. Assim sendo.5 Disposição prática: .2 x 2. .5 Disposição prática: Nesse caso. a divisão entre números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: . a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: . . Exemplos: 1) 24 : 0. Exemplos: 1) 652. (E) 5 / 24.000.Acrescentamos ao divisor a quantidade de zeros para que ele fique igual ao dividendo. Assim.000. 02. 5 Quantos leitores essa revista perdeu? (A) 40. 38 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (EBSERH/HUPES – UFBA – Técnico em Informática – IADES/2014) O suco de três garrafas iguais foi dividido igualmente entre 5 pessoas. 03. e assim sucessivamente até chegarmos ao resto zero. (D) 95. O 2º filho comeu 3 / 2 do que o 1º filho havia comido. (B) 50. O 3º filho comeu 3 / 2 do que o 2º filho havia comido e o 4º filho comeu 3 / 2 do que o 3º filho havia comido. Cada uma recebeu 3 (A) 5 do total dos sucos. (B) 5 / 9.14 : 28 Disposição prática: 4) 2 : 16 Disposição prática: Questões 01. é possível calcular corretamente que a fração de uma torta que sobrou foi (A) 5 / 6. Eles compraram a menor quantidade de tortas inteiras necessárias para atender a todos. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Uma 1 revista perdeu dos seus 200. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Dona Amélia e seus quatro filhos foram a uma doceria comer tortas. 6 (E) 15 do total dos sucos. . 5 (D) 3 do suco de uma garrafa. (C) 7 / 8. O 1º filho comeu 3 / 2 do que sua mãe havia comido.000. (D) 2 / 3.000. (C) 75. (E) 100. 3 (B) 5 do suco de uma garrafa. Dona Amélia comeu 2 / 3 de uma torta.000 leitores. 3) 0. 5 (C) 3 do total dos sucos.000. No 1.º 3 dia foram montados 8 do número de peças restantes. Já entre as mulheres abordadas. (C) 210. no total. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Certa praça tem 720 m2 de área. no 2. 1/4do bolo. em cada uma delas. verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos.º dia foram montados 16 do número total de peças e.00. ((PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina. (B) R$ 73. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Uma pessoa está montando um quebra5 cabeça que possui. Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 (D) 260 (E) 120 05. Nessa praça será construído um chafariz que ocupará 600 dm2. . Quantos pedaços de bolo sobraram? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12 07. ¼ do bolo.00 08. (D) 220. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. A mãe e o pai comeram juntos. 39 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 1/8 foram detidas. O Vitor e a sua irmã comeram. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Se 1 7 kg de um determinado tipo de carne custa R$ 45. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8. O número de peças que ainda precisam ser montadas para finalizar o quebra-cabeça é: (A) 190.00 (D) R$ 46.00.00 (B) R$ 42.04. cada um deles. Que fração da área da praça será ocupada pelo chafariz? 1 (A) 600 1 (B) 120 1 (C) 90 (D) 1 60 1 (E) 12 09. todos de mesmo tamanho. 512 peças. que abordou 800 pessoas. (E) 230. Quantos reais ela recebeu de troco? (A) R$ 40.30. 06.00. quanto custará 5 desta mesma carne? (A) R$ 90.00 (E) R$ 48.00 (C) R$ 44. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM/2014) A mãe do Vitor fez um bolo e repartiu em 24 pedaços. (B) 200. (C) R$ 68,00. (D) R$ 63,00. (E) R$ 55,00. 10. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM/2014) Paulo recebeu R$1.000,00 de salário. Ele gastou ¼ do salário com aluguel da casa e 3/5 do salário com outras despesas. Do salário que Paulo recebeu, quantos reais ainda restam? (A) R$ 120,00 (B) R$ 150,00 (C) R$ 180,00 (D) R$ 210,00 (E) R$ 240,00 Respostas 01. Resposta: B. 3 3: 5 = 5 02. Resposta: A. 1 . 200000 = 40000 5 03. Resposta: E. Vamos chamar a quantidade de tortas de (x). Assim: 𝟐 𝟐 * Dona Amélia: 𝟑 . 𝟏 = 𝟑 * 1º filho: 𝟑 𝟐 . * 2º filho: 𝟑 𝟐 .𝟏 = 𝟑 𝟐 * 3º filho: 𝟑 𝟐 . 𝟑 𝟐 = 𝟗 𝟒 * 4º filho: 𝟑 𝟐 . 𝟗 𝟒 = 𝟐 𝟑 +𝟏+ 𝟑 𝟐 + 𝟗 𝟒 𝟐 𝟑 =𝟏 + 𝟏𝟔+ 𝟐𝟒 + 𝟑𝟔 + 𝟓𝟒 + 𝟖𝟏 𝟐𝟒 𝟐𝟕 𝟖 𝟐𝟕 𝟖 = 𝟐𝟏𝟏 𝟐𝟒 𝟐𝟒 = 𝟖 . 𝟐𝟒 + 𝟏𝟗 𝟐𝟒 =𝟖+ 𝟏𝟗 𝟐𝟒 Ou seja, eles comeram 8 pizzas, mais 19/24 de uma pizza. Por fim, a fração de uma torta que sobrou foi: 𝟐𝟒 𝟏𝟗 − 𝟐𝟒 𝟐𝟒 = 𝟓 𝟐𝟒 04. Resposta: A. 3 800 ∙ 4 = 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 1 600 ∙ 5 = 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 1 800 ∙ 4 = 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 1 8 200 ∙ = 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 Total de pessoas detidas: 120+25=145 . 40 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA 05. Resposta: D. 5 * 1º dia: 16 . 512 = 2560 16 = 160 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 * Restante = 512 – 160 = 352 peças * 2º dia: 3 8 . 352 = 1056 8 = 132 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 * Ainda restam = 352 – 132 = 220 peças 06. Resposta: B. 1 1 1 3 + + = 4 4 4 4 Sobrou 1/4 do bolo. 1 24 ∙ 4 = 6 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 07. Resposta: B. 8,3 ∙ 7 = 58,1 Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais Troco:100 – 58 = 42 reais 08. Resposta: B. 600 dm² = 6 m² 6 720 ∶ 6 6 = 1 120 09. Resposta: D. 7 . 45 = 7 . 9 = 63 5 10. Resposta: B. 1 Aluguel:1000 ∙ = 250 4 3 Outras despesas: 1000 ∙ 5 = 600 250 + 600 = 850 Restam :1000 – 850 = R$ 150,00 CONJUNTOS Conjunto é uma reunião, agrupamento de pessoas, seres, objetos, classes…, que possuem a mesma característica, nos dá ideia de coleção. Noções Primitivas Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definições: - Conjunto; - Elemento; - E a pertinência entre um elemento e um conjunto. Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos. Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto. Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. A relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. . 41 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x  A. Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x  A. Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. Como representar um conjunto 1) Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. Exemplos: {a, e, i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais {1, 2, 5,10} indica o conjunto formado pelos divisores naturais de 10. 2) Pela sua característica Escrevemos o conjunto enunciando uma propriedade ou característica comum de seus elementos. Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: {x, | (tal que) x tem a propriedade P} Exemplos: - {x| x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u} - {x | x são os divisores naturais de 10} é o mesmo que {1, 2, 5,10} 3) Pelo diagrama de Venn-Euler Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma figura em forma de elipse, chamada diagrama de Venn. Exemplos: - Conjunto das vogais - Conjunto dos divisores naturais de 10 Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos A = B são ditos iguais (ou idênticos) se todos os seus elementos são iguais, e escrevemos A = B. Caso haja algum que não o seja dizemos que estes conjuntos são distintos e escrevemos A ≠ B. Exemplos: 1) A = {3, 5, 7} e B = {x| x é primo e 3 ≤ x ≤ 7}, então A = B. 2) B = {6, 9,10} e C = {10, 6, 9}, então B = C, note que a ordem dos elementos não altera a igualdade dos conjuntos. . 42 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA Z = {. . Exemplo: Conjunto dos números inteiros. Relação de Pertinência A pertinência é representada pelo símbolo ∈ (pertence) ou não pertence). São Paulo. -2. 3. 6  B . Exemplos: . 4.C = {2. 43 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Espirito Santo. -1. 0. 3. 5 . 3. 5.. pois 2  {2.6} . 4. pois 7  {2. 3 ϵ B. Exemplos: .. 9 B Subconjuntos Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um outro conjunto B. 5..B = {2. 5. pois 2 ϵ {2. Exemplo: Seja o conjunto B={1. 3} e 3 ϵ {2.Conjuntos Finitos e Infinitos Finito = quando podemos enumerar todos os seus elementos.Tipos de Conjuntos .. 3. 5.Conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 4. Podemos dizer ainda que subconjunto é quando formamos vários conjuntos menores com as mesmas caraterísticas de um conjunto maior.}. 5.. 7.Conjunto Vazio Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. B = {.Conjunto Unitário Conjunto caracterizado por possuir apenas um único elemento. 6} e 4  {2. 2. 3} . 6} . 6}. 3}. dizemos que A é subconjunto de B. 4. 4. 5 ϵ B * 2 B. 3. S= {Rio de Janeiro. temos como Conjunto Universo os números inteiros positivos. 3.D = {2. A reticências representa o infinito. Minas Gerais} Infinito = contrário do finito. Exemplo: A = {x| x é natural e menor que 0} . 7} * 1ϵ B. 3}  E = {2. simplesmente { }. 4. .Conjunto dos números inteiros negativos compreendidos entre -5 e -7.Conjunto Universo Reunião de todos os conjuntos que estamos trabalhando. A = {3} . 4. 1. 5. 4}  A = {2. Representa-se por 0 ou. Exemplo: Conjuntos dos Estados da Região Sudeste. 4}  A = {2. 3. 6}. Exemplo: Quando falamos de números naturais. Ele relaciona elemento com conjunto.6} . Simbolicamente: A  B = {x | x  A ou x B} Exemplos: .1) Todo conjunto A é subconjunto dele próprio. temos as partes de B: B= {{ }. 3} .{4}.{2. 3. 4} = {1. 6} .{2.{2. Representa-se por A  B. 5} = {3} . basta calcularmos aplicando o fórmula: Números de elementos(n)= 5 → 2n = 25 = 32 subconjuntos. b} . 3) O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. 2. 3}  {4. Se quiséssemos saber quantos subconjuntos tem o conjunto A (exemplo acima).{2. 3. 5. 4}  {3. 3. 5. é subconjunto de qualquer conjunto. 6} = {2. portanto. simultaneamente. 5} = {2. Exemplo: Pegando o conjunto B acima. Simbolicamente: A  B = {x | x  A e x  B} Exemplos: .{2.União de conjuntos A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. 3. incluindo o vazio e ele próprio.{2}. 4}  {3. 3. por convenção. 3.{a.{2. 3. 3} . verificando se um conjunto é subconjunto ou não de outro conjunto.B} Podemos concluir com essa propriedade que: Se B tem n elementos então B possui 2n subconjuntos e. 5. Representamos as relações de inclusão pelos seguintes símbolos: Está contido Não está contido  Contém Não contém Operações com Conjuntos . 3}  {1. 3. P(B) possui 2n elementos. 5} = {2. a A e a B. 7} =  . 2. Representa-se por A  B. 4} = {2. 4. 4}  {3. 2) O conjunto vazio. 44 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 3}  {1. 5} . b}   = {a. 4} .{1. 2. 4. Relação de inclusão Deve ser usada para estabelecer relação entre conjuntos com conjuntos. 3}  {2.Intersecção de conjuntos A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem. 4. 2. Diferença A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 45 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B. como vemos na figura abaixo. Observações: a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro.Propriedades dos conjuntos disjuntos 1) A U (A ∩ B) = A 2) A ∩ (A U B) = A 3) Distributiva da reunião em relação à intersecção: A U (B U C) = (A U B) ∩ (A U C) 4) Distributiva da intersecção em relação à união: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) . 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas vezes.Observação: Se A  B =  . podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos. B e C conjuntos quaisquer. ainda assim a relação dada será verdadeira. Observe o diagrama e comprove: 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) . Simbolicamente: A – B = {x | x  A e x  B} . b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência. . dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Para determinar a diferença entre conjuntos. Representa-se por A – B. basta observamos o que o conjunto A tem de diferente de B. valem as seguintes propriedades: 1) Idempotente: A U A = A e A ∩ A= A 2) Elemento Neutro: A U Ø = A e A ∩ U = A 3) Comutativa: A U B = B U A e A ∩ B = B ∩ A 4) Associativa: A U (B U C) = (A U B) U C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C .Propriedades da União e Intersecção de Conjuntos Sendo A. 5. Quantas pessoas responderam a pesquisa? Resolução pela Fórmula » n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) » n(A U B) = 92 + 80 – 35 » n(A U B) = 137 Resolução pelo diagrama: . 6}. Noventa e duas disseram que gostam do partido A. então o número de pessoas que responderam à pesquisa foi: 57 + 35 + 45 = 137.Complementar Dados dois conjuntos A e B. 5.A = {0. 46 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 2. chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A . oitenta pessoas disseram que gostam do partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. 3. . 2. 4}  A – B = {1} e B – A = {4} . 6} b) B = {3. 3} e B = {0.A . 45 responderam que gostam somente do partido B e 35 responderam que gostam dos dois partidos políticos. isto é. Exemplos: Seja S = {0. 3. Então: a) A = {2. então o número de pessoas que gostam somente do partido A é: 92 – 35 = 57.5}  A – B = {0. 2} c) C =   C = S Resolução de Problemas Utilizando Conjuntos Muitos dos problemas constituem. 4. 2. o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.3 . Exemplos: 1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos.A = {1.A = {0.Se 80 pessoas responderam gostar do partido B e 35 delas responderam gostar dos dois partidos. 2. 3. 3} e B – A =  . tarefas a serem executadas. então o número de operários que gostam somente do partido B é: 80 – 35 = 45. .B. 3.se de perguntas. 5. 4. 2. . 3} e B = {2. 2}  A – B = {1. 4} e B = {1 . 5} Note que A – B ≠ B . A e B. Nos utilizaremos dessas informações e dos conhecimentos aprendidos em relação as operações de conjuntos para resolvê-los. 1.Se 92 pessoas responderam gostar do partido A e 35 delas responderam que gostam de ambos. 1. 1. 4}  A = {0. Dizemos complementar de B em relação a A.Se 57 gostam somente do partido A. tais que B ⊂ A (B é subconjunto de A).Exemplos: . 4} e B – A = {1. obteve-se os seguintes resultados. 1. 6 }  B = {0. 20% utilizam as duas empresas. há 28 que dirigem automóvel. Resposta: B 3) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo. 13 dele não se inscreveram nas comissões de Educação. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Dos 43 vereadores de uma cidade. 47 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . O número de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a (A) 15. Sabendo que todo estudante da cidade é usuário de pelo menos uma das empresas. Questões 01. qual o % deles que utilizam as duas empresas? (A) 20% (B) 25% (C) 27% (D) 33% (E) 35% Resolução: 70 – 50 = 20. Quantos motoristas há no grupo? (A) 16 motoristas (B) 32 motoristas (C) 48 motoristas (D) 36 motoristas Resolução: Os que dirigem automóveis e motocicleta: 8 Os que dirigem apenas automóvel: 28 – 8 = 20 Os que dirigem apenas motocicleta: 12 – 8 = 4 A quantidade de motoristas é o somatório: 20 + 8 + 4 = 32 motoristas. Doze deles se inscreveram apenas nas comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e Saneamento Básico. (E) 16. Sete dos vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. (D) 27. Resposta: A. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. Saúde e Saneamento Básico. . A e B. 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem automóveis e motocicleta. (B) 21. Exatamente 70% dos estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B.2) Num grupo de motoristas. (C) 18. quantos por centos não leem nenhum dos dois jornais? (A) 15% (B) 25% (C) 27% (D) 29% (E) 35% 03. eles somam um total de (A) 58. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Considere dois conjuntos A e B. (C) 52. 4 deles também são capazes de classificar processos. menores que 31? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13 06. e 7% leem os jornais A e B. bronze). mas não são capazes de arquivar documentos. ao todo. 45% lê o jornal B. 1.Tecnólogo em Radiologia . 2. 04. (B) 29. (PREF. Dentre esses últimos técnicos mencionados.AOCP /2014) Em uma pequena cidade. (EBSERH/HU-UFS/SE . Sabe-se que aqueles que classificam processos são. Sabe-se ainda que cada atleta da delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do mesmo tipo (ouro.3} (B) {0. 2 atletas da delegação desse país ganharam. 05. 48 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Sendo assim. 3. assinale a alternativa que apresenta o conjunto B. A análise adequada do diagrama permite concluir corretamente que o número de medalhas conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de (A) 15. (E) 40. cada um. Considerando que todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente. CAMAÇARI/BA – TÉC. (E) 95. Sabese que esse país conquistou medalhas apenas em modalidades individuais. (PREF.3} . Uma pesquisa realizada com os moradores dessa cidade mostrou que 33% lê o jornal A. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Qual é o número de elementos que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3. (D) 46. 2}.02. (D) 53. circulam apenas dois jornais diferentes. 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1. (METRÔ/SP – OFICIAL LOGISTICA –ALMOXARIFADO I – FCC/2014) O diagrama indica a distribuição de atletas da delegação de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. (A) {1. 27 técnicos. CAMAÇARI/BA – TÉC. O jornal A e o jornal B. Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público.2. (TRT 19ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar documentos 15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para atender ao público. apenas uma medalha de ouro. por exemplo. (B) 65. (C) 76. 𝐴 ∪ 𝐵 = {0. prata. De acordo com o diagrama. sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT/2014) Em uma pesquisa realizada com alunos de uma universidade pública sobre a utilização de operadoras de celular. pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três) APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico.3.5} (D) {3. De acordo com os dados temos: 7 vereadores se inscreveram nas 3.2. Nessa. foram servidos os salgados pastel e casulo. . investigou como eram utilizadas as três linhas: A. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS/2014) Numa recepção. Quantas pessoas não comeram nenhum dos dois salgados? (A) 0 (B) 5 (C) 1 (D) 3 (E) 2 10. (B) 26. Portanto. constatou-se que 300 alunos utilizam a operadora A.(C) {0. (C) 56.3. Resposta: C. 30 – 7 – 12 – 8 = 3 Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores. 7 comeram casulo e 3 comeram as duas. das quais 5 comeram pastel. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. é representado: (A) 26% (B) 40% (C) 34% (D) 78% (E) 38% 08. 150 utilizam as duas operadoras (A e B) e 80 utilizam outras operadoras distintas de A e B. (E) 18.5} (E) {0. as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total de 60 pessoas. conclui-se corretamente que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a (A) 50. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS/2014) Numa biblioteca são lidos apenas dois livros. com 200 pessoas. 09. 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. (METRÔ/SP – ENGENHEIRO SEGURANÇA DO TRABALHO – FCC/2014) Uma pesquisa. 49 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Utilizam as linhas A e B um total de 38 pessoas. APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma fazer nos conjuntos.1. a opção que corresponde ao percentual de frequentadores que leem ambos.5} 07. Verificouse que 92 pessoas utilizam a linha A. K e Z. Desta maneira. 270 utilizam a operadora B. 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Sabendo-se que todo frequentador é leitor de pelo menos um dos livros. B e C do Metrô de uma cidade. (D) 10. Quantas pessoas foram consultadas? (A) 420 (B) 650 (C) 500 (D) 720 (E) 800 Respostas 01. pois 13 dos 43 não se inscreveram. estavam presentes 10 pessoas. São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões. Resposta: B. 50 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Resposta: B. Somando todos os valores obtidos no diagrama teremos: 31 + 15 + 7 + 4 + 8 = 65 técnicos. Se nos basearmos na tabuada do 3. devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três medalhas multiplica-se por 3. teremos o seguinte conjunto . 26 + 7 + 38 + x = 100 x = 100 . Intersecções: 6 ∙ 2 = 12 1∙2=2 4∙2=8 3∙3=9 Somando as outras: 2 + 5 + 8 + 12 + 2 + 8 + 9 = 46 05.71 x = 29% 03. 04. logo apenas 11 4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público. Resposta: D.Em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18 02. Resposta: D. Técnicos arquivam e classificam: 15 Arquivam e atendem: 46 – 15 = 31 Classificam e atendem: 4 Classificam: 15 + 4 = 19 como são 27 faltam 8 Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capazes de classificar processos. O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas. No caso das intersecções. x] + 94 . 30} 10 elementos. 06. 5}. 92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200 92 . tiramos que B = {0.x] + 110 . Então de A  B. 2 + 3 + 4 + x = 10 x = 10 .[102 . 07. 18.140 x = 40% 08. 21. 12.9 x=1 .x = 100 . 9. 27. 15. 80 – x + x + 60 – x = 100 . 51 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .[80 . mostra que 3 é elemento de B. Resposta: E. Resposta: B. 24. 6. 3. Resposta: E.A = {3.[98 . A – B são os elementos que tem em A e não em B.x] + 38 + 42 – x + 60 – x + 26 = 200 92 – 80 +x + 94 – 98 +x + 110 – 102 + x + 166 -2x = 200 x + 462 – 280 = 200  x + 182 = 200  x = 200-182  x = 18 09. A intersecção dos dois conjuntos. Resposta: C. = 12. 𝒙% = Exemplos: 𝒙 𝟏𝟎𝟎 1) A tabela abaixo indica. vamos simplificar as frações acima: 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒ 50 10 = . os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 02/02/2013 e 02/02/2014. Qual é a taxa percentual de rapazes na classe? Resolução: .10. 18 são rapazes e 12 são moças.5% 400 100 Com isso podemos concluir. = 10% 500 100 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒ 50 12.5 = . 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟. Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. Resposta: C. 400 Quem obteve melhor rentabilidade? Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100). Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" se está referenciando. 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴. Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎. em reais. para isso. Banco Oscar Marta A B Saldo em 02/02/2013 500 400 Saldo em 02/02/2014 550 450 Rendimento 50 50 Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 50 . 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 2) Em uma classe com 30 alunos. 300 – 150 = 150 270 – 150 = 120 Assim: 150 + 120 + 150 + 80 = 500(total) PORCENTAGEM Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou simplesmente de porcentagem. 52 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 500 50 . Caso a diferença seja positiva.00.00.P A forma percentual é: Exemplos: 1) Um objeto custa R$ 75. isto é. O valor do preço de custo é: A) R$ 25. b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. caso seja negativa.00 e é vendido por R$ 100. 100%) = 60% 30 . Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). Devemos expressar essa razão na forma 30 centesimal. precisamos encontrar x tal que: 18 𝑥 = ⟹ 𝑥 = 60 30 100 E a taxa percentual de rapazes é 60%.25.25 . o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 100% = 25% ⇒ 0.00 B) R$ 70. Resolução: Preço de custo + lucro = preço de venda  75 + lucro =100  Lucro = R$ 25.18 A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é . Determinar: a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem.00 D) R$ 80. 53 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Poderíamos ter divido 18 por 30.60(. C = 100  C = 80.C = V  1.00 a) b) 2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100.00 Resposta D . temos prejuízo(P). obtendo: 18 = 0.50 C) R$ 75.25 .C P = C – V ou V = C . Podemos ainda escrever: C + L = V ou L = V .Lucro e Prejuízo É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.00 E) R$ 125. temos o lucro(L). 𝐶 C + L = V  C + 0.00 Resolução: 𝐿 . p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. a área do retângulo é aumentada de: A)35% B)30% C)3.60.92  V = 125 O valor antes do desconto é de R$ 125.20). Logo o aumento foi de 38%. equivale a multiplicá-lo por 1.b da área inicial. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no valor do produto.a.V = 1.9 0.Aumento e Desconto Percentuais 𝒑 A) Aumentar um valor V em p%.V Exemplos: 1 .V = 3. pois: 200 (1 + 100).15). pois: 20 (1 + 100). Logo: 𝒑 VA = (𝟏 + 𝟏𝟎𝟎). Qual era o seu valor antes do desconto? Temos que V D = 115. V  115 = (1-0.V Exemplos: 1) Diminuir um valor V de 20%. muito útil para resolução de cálculos de porcentagem. 𝒑 𝒑 A esse valor final de (𝟏 + ) ou (𝟏 − ).V  115 = 0.Aumentar um valor V de 20% .00.1 1. V = 0.20. 𝑝 V D = (1 − 100).V 2 .20.5% D)3. equivale a multiplicá-lo por (𝟏 + 𝟏𝟎𝟎).V 2) Diminuir um valor V de 40%.b Com aumento: (a. Logo: 𝒑 V D = (𝟏 − 𝟏𝟎𝟎). respectivamente. V = 0. Resposta E 𝒑 B) Diminuir um valor V em p%.8% E) 38% Resolução: Área inicial: a.(b..92V  V = 115/0.20).Acréscimo 1.V 3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115. pois: 40 (1 − 100). equivale a multiplicá-lo por (𝟏 − 𝟏𝟎𝟎).1. é o que chamamos de fator de 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 multiplicação.20)  1. 80.80.85 54 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .40).V.Aumentar um valor V de 200% .V = (1+0. equivale a multiplicá-lo por 3 .1. V = (1-0. V = (1-0.15 .V = (1+2). equivale a multiplicá-lo por 0. pois: 20 (1 − 100).38. Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: % 10% 15% Fator de multiplicação .08). Fator de multiplicação . 60.V 3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%.V . equivale a multiplicá-lo por 0.00.Decréscimo 0. 00 sofreu um acréscimo de 30% e. 1.37 0.14 0 .V para o aumento e VD = (1 − ). (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer Gráfico – VUNESP/2014) O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários.3) = 6500 e VD = 6500 ..21 Analisando o fator de multiplicação 1.00.2 1.00 Questões 01. 1.63 1.64. concluímos que esses dois aumentos significam um único aumento de 21%. (EBSERH/ HUSM-UFSM/RS . como são dois de 10% temos  V.00.(0. 1.86 2 0. Para efetuar os respectivos descontos ou aumentos.00. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 100% .V  V. 100 observamos que esse percentual não representa o valor do desconto. um desconto de 20%.V.00. juntar tudo em uma única equação: 5000 . para agilizar os cálculos.8 0. (C) R$ 76. 0. Se o valor de cada camisa é de R$ 40.000. a fração de estagiários é igual a (A) 1/5. fazemos uso dos fatores de multiplicação.? 𝑝 Utilizando VA = (1 + 100). sendo que 15% deles são estagiários.80) = 5200. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários.18 1. mas sim o valor pago com o desconto.Técnico em Informática – AOCP/2014) Uma loja de camisas oferece um desconto de 15% no total da compra se o cliente levar duas camisas.82 0. quanto gastará uma pessoa que aproveitou essa oferta? (A) R$ 68. 3) Certo produto industrial que custava R$ 5. podemos.64% = 36% Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. Analisando o fator de multiplicação 0. Em relação ao total de funcionários desses dois departamentos. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 𝑝 𝑝 Utilizando VA = (1 + ). temos: 100 100 VA = 5000 .8 = 5200 Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.3 . 0. (D) 2/9. sendo 20% estagiários. 55 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .21. (E) R$ 80.Aumentos e Descontos Sucessivos São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente.64 . 1. 2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 𝑝 Utilizando VD = (1 − ). 1.(1. 0.18% 20% 63% 86% 100% 1. (B) R$ 72.8  V. (B) 1/6. Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%.1  V. . (D) R$ 78. 02. (E) 3/5.V  V.200.1 .1 . Vejamos alguns exemplos: 1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de. ..00.8 . 0.00. em seguida. (C) 2/5. 2%. (B) R$ 1. Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil. (UFPE . 6% nos próximos 10. registrando alta de 6.03 / saca de 50 kg no dia 28. Qual o preço do televisor na liquidação? (A) R$ 1.00 vendidos.00 (D) R$ 2. (C) R$ 1. o preço de revenda do televisor é diminuído em 35%.00 e os revende com um acréscimo de 40%. nos pagamentos no boleto.00 07.00. os valores totais a serem pagos pelos produtos nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão.140.300.330. um sofá custa R$ 750.365.345.00 08.03 05.] Após queda de 2.40. o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade. realizando-se a compra de um sofá e um tapete..Assistente em Administração – COVEST/2014) Um vendedor recebe comissões mensais da seguinte maneira: 5% nos primeiros 10. respectivamente: (A) R$ 1.00 (D) R$ 1.000.500.220. (ALMG – Analista de Sistemas – Administração de Rede – FUMARC/2014) O Relatório Setorial do Banco do Brasil publicado em 02/07/2013 informou: [.113. (E) 258.00 (C) R$ 2. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA/2014) Em determinada loja. 56 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .00. descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço.017.000 reais vendidos no mês. (D) R$ 1.60.017. R$ 380.100. (B) 208. (D) 243.00 (B) R$ 1.00 (C) R$ 1. De acordo com especialistas.000 reais.48 (D) 54. Durante o mês de junho.00 e R$ 1.publicado em 02/07/2013. o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar.010. da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a (A) 42.00 e R$ 1.86 (C) 44.180.00 e R$ 1. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Quando calculamos 32% de 650..120. (UFPE . em reais.00 (E) R$ 2.00 (E) R$ 1.039. têm 8% de desconto.Assistente em Administração – COVEST/2014) Uma loja compra televisores por R$ 1.000. A demanda aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam cenário mais positivo para o combustível. Com base nisso. obtemos como resultado (A) 198. as cotações do açúcar fecharam o último mês com alta de 1.00. (C) 213.72 (B) 43. os quais constituem o lucro líquido do vendedor. segundo o Cepea/Esalq.115. e um tapete.00. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) O preço de venda de um produto. com a cotação do hidratado chegando a R$ 1. atingindo R$ 45. Na liquidação. Nos pagamentos com cartão de crédito. 04.00 e R$ 1.315. quanto será a comissão do vendedor? (A) R$ 2. o preço de venda é superior ao de compra? . Em quantos por cento. e 7% no valor das vendas que excederem 20.0% no mês anterior.160.00 (B) R$ 2.5%. os produtos têm 10% de desconto e.00. além da firmeza nas negociações por parte dos vendedores.1631/litro (sem impostos). aproximadamente.122. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 36.03. Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 . é CORRETO afirmar que o valor. supera o preço de compra em 40%. 06. 00 (B) R$ 9. 15 30 * Dep.60 (C) R$ 26. 09.00 Respostas 01. Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada.000.H. uma família comprou dois televisores.00 30% Máquina de lavar R$ 1.400.20 10. Contabilidade: 100 .00 02.00 10% Geladeira R$ 900. Resposta: B.00 (D) R$ 6.00 20% Ar condicionado R$ 1.430.40 a unidade. Resposta: A. Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3.00 (C) R$ 5. (E) 69%. (A) R$ 7. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Numa liquidação de bebidas.0. (B) 61%. O lucro obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: (A) R$ 33. Usando o fator de multiplicação temos 1-0. 10 = 100 = 2  2 (estagiários) ∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠 5 1 = = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠 30 6 03. 20 = 10 = 3  3 (estagiários) 20 200 * Dep.780. Resposta: B.85 = 68. três aparelhos de ar-condicionado.85 (ele pagou 85% do valor total): 80 .00 O desconto é dado em cima do valor das duas camisas. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Na queima de estoque de uma loja.80 (E) R$ 43.65 . R.000.00 40% Calcule o valor total gasto por essa família.(A) 67%. Como são duas camisas 40.340.2 = 80.: 100 . 650 = = 100 10 2080 10 = 208 . uma geladeira e uma máquina de lavar.15 = 0. Produtos Valores unitários antes da liquidação Desconto Televisor R$ 2. um atacadista fez a seguinte promoção: Cerveja em lata: R$ 2. ganhe 25% de desconto no valor da segunda embalagem.00 (E) R$ 8.60 (B) R$ 28.500. (C) 65%.840. 57 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 32 32 .50. (D) 63%.40 (D) R$ 40. 9 Geladeira:1-0.00 − 𝑅$50.03 – 0.84V = 1. 45. Resposta: A.16V = 1.60 10. adotando a 1 para o 1º termo. Resposta: B. Resposta: C. 5% de 10000 = 5 / 100 .60 = 50.03 = 100 . Resposta: A. ou seja.430.3=0. Como é desconto.4C 𝑉 1.00 07.40 = 𝑅$33.600 𝑎𝑟 − 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜: 1. Televisor:1-0.00 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜: 𝑅$84.8 Ar-condicionado:1-0.1=0. assim teremos o valor de cada item. adotar para essas sequências uma ordem numérica.00.6 = 900 1600 ∙ 2 + 900 ∙ 3 + 630 + 900 = 7430 O valor total gasto pela família foi de R$7.4C 0.2=0.500 ∙ 0.8 = 1. SEQUÊNCIAS Podemos. Podemos. 16000 = 1120 Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220.75 = 21.03 = 0.00 08.54 = 44.67 𝐶 0.4 = R$ 1039.84 O preço de venda é 67% superior ao preço de compra.40 ∙ 12 = 28.60 O lucro de Alexandre foi de R$ 33.80 ∙ 0.40 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎: 3.4 = = 1. 1. 1500 = 1500 + 600 = 2100 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100 .000 ∙ 0. 10000 = 600 7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100 .80 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑎𝑔𝑒𝑚: 28. a sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola. também. Resposta: E. 09.04.49 05. 1130 = 90.2 1. estabelecer diversas sequências como.54 Como no mês anterior houve queda. Dizemos que o termo an é também chamado . Resposta: E.5 ∙ 24 = 84. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365. 10000 = 500 6% de 10000 = 6 / 100 .7 = 630 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎: 1. Cartão de crédito: 10/100 .4 1130 – 90. (750 + 380) = 1/10 . vamos fazer uma subtração. Resposta: A. 1130 = 113 1130 – 113 = R$ 1017. a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Preço de revenda: 1500 + 40 / 100 . (750 + 380) = 8/100 . devemos fazer cada porcentagem: 1-desconto.000 ∙ 0.00 Boleto: 8/100 . 45. no nosso dia-a-dia.7 Máquina:1-04=0.60 06. Preço de venda: V Preço de compra: C V – 0.6 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟: 2. por exemplo.80 + 21. 58 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .60 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠: 28. 2.9 = 900 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎: 900 ∙ 0.2% de 45. a4 = 3. daremos atenção ao estudo das sequências numéricas.. .com n ∈ N*.se n = 5 ⇒ a5 = 3. 15. na mesma ordem.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 .se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2 . 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 . 5. a4 = 7.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 . .3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 . com n ∈ N*.Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: an = 45 – 4n. 8. a4 = 7.). 13. dependendo da posição do termo.. com n ∈ N*. Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se. pois. e somente se. infinitas.se n = 2 ⇒ a2 = 3. 9. a2 = 3.Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a: an = n – 2n. apresentarem os mesmos termos. 5. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 . eles estão em ordem diferente. Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 2. x = 5. 6.se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2 . 5) e (5. 17. .se n = 5 ⇒ a5 = 55 – 5 . 3.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = .Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: an = 3n + 2. 7. a6 = 5. As sequências podem ser finitas. em que n é um número natural diferente de zero. 2.Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0.1 .se n = 1 ⇒ a1 = 3. Notemos que as sequências (0. Notemos que esta é uma sequência finita com a1 = 0.se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4 . Teremos: .se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4. 3. 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 . a10 = 9. a3 = 5.Sequência dos números primos positivos: (2. a9 = 8. ou seja. 17) se. embora apresentem os mesmos elementos. ou. a7 = 6. a8 = 7. 1. . y. Esta formula que determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão. quando apresentam um último termo. Igualdade As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 2. a5 = 11. 19. 11. a2 = 1. 0) são diferentes. 4. Exemplos: .1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 .se n = 1 ⇒ a2 = 22 – 2 . e somente se.). a2 = 3. a3 = 5. Exemplos: . 1. 4.3 . As sequências infinitas são indicadas por reticências no final.. 8. a5 = 9. z = 15. Exemplo A sequência (x. 59 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . t) poderá ser considerada igual à sequência (5. e t = 17. 4. 2.se n = 4 ⇒ a4 = 3. a5 = 4. z. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 . Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 1. 7. 3. 1.termo geral das sequências. Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes. Evidentemente.. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = . y = 8. . 5. Formula Termo Geral Podemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo a n em função do valor de n. 3. 2. quando não apresentam um último termo. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 . 11. 1. Teremos: . a3 = 2. a6 = 13 etc. 7.Sequência dos números ímpares positivos: (1. a6 = 11 etc.se n = 3 ⇒ a3 = 3. 9). 9.a1 = 12 ...se n = 2 ⇒ a2+1 = 2. .(23.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = . a3.. 25. Observação 3 Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*. 21.. Teremos: o primeiro termo já foi dado. a4.A.Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: a1 = 3 e an+1 = 2an – 4 . onde a1 = 23 e razão r = ..se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 . uma delas a Progressão Aritmética. 23.se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 Observação 1 Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica.8 – 4 = . é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo imediatamente anterior a ele.) é uma P. 30... Lembrando que n é sempre um número natural. Observação 2 Algumas sequências não podem. = an – an – 1 Exemplos: .(-4) – 4 ⇒ a5 = .. Exemplos: . 17.... temos que o primeiro valor adotado é n = 4.an.) é uma P.12 .(5.2..) é uma P..se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.A. a2.. onde a1 = 2 e razão r = 7 .. Lei de Recorrências Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.A.. Essa forma de apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. o primeiro valor adotado é n = 1. é igual ao termo anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r). 16.. A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências.. ..47 3.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 .a4 – 4 ⇒ a5 = 2.. visto que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários..(2.se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.a1 = 3 ... Cálculo da razão: a razão de uma P...) Definição: é uma sequência numérica em que cada termo.. Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1..a2 – 4 ⇒ a3 = 2. pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem. 60 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .. a partir do segundo termo.4 . .se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 . 19.. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P. onde a1 = 5 e razão r = 4 .. como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências...se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 . 21.A.se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 ...A. ser definidas nem pela lei das recorrências. No entanto de no enunciado estiver n > 3..0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = ...se n = 3 ⇒ a3+1 = 2. 15. em que n ∈ N*. nem pela formula do termo geral.Determinar o termo a5 de uma sequência em que: a1 = 12 e an+ 1 = an – 2. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos. 17. em que n ∈ N*. 9. 13. r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = . .. 2. se tivermos três termos consecutivos.A. .... 11. 3. é classificada de acordo com a razão. .Se r > 0 ⇒ a P.Numa P.A.) . o termo médio é igual à média aritmética dos anterior com o posterior...) <==> a2 = a3 a1 . . .A. só existe termos médio se houver um número ímpar de termos. . 8. a2. Exemplo: . Neste caso sobrou um termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. . . 𝐫 Fórmula da soma dos n primeiros termos 𝐒𝐧 = (𝐚𝟏 + 𝐚𝐧 ). 20. . . 5. 𝐧 𝟐 Propriedades: 1. temos um número ímpar de termos.A... cada termo é o anterior somado com a razão. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Fórmula do Termo Geral Em toda P. 26. Porém.como podemos observar neste exemplo. 3. 2. 9. 7. então temos: 1° termo: a1 2° termo: a2 = a1 + r 3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r ..) Exemplo 2: (2. 14.A.. é constante.A.Se r < 0 ⇒ a P. 61 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA ... a3.Se r = 0 ⇒ a P.Numa P. 38. . . Exemplo 1: (1. é decrescente. . Ou seja. 32. ... .Classificação: uma P. . (a1. 1.A. . é crescente.. . n° termo é: 𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏). q = a1.Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior.q = a1. .(15.q = a1.(.(0. ..2 e razão q = 3 . 5. é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). . . – PROGRESSÃO GEOMETRICA Definição: é uma sequência numérica em que cada termo.. 3. 24. 62 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 5..q2. 0.Singular: quando zero é um dos seus termos.243. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1..q = a1q2 4° termo: a4 = a3.(-36. 0. 5. . 5...qn – 1 Soma dos n primeiros termos 𝐒𝐧 = 𝐚𝟏 .q = a1. 48. .G. Fórmula do termo geral Em toda P.. .) é uma PG de primeiro termo a1 = .Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior.54. 0. cada termo o anterior multiplicado pela razão. . 𝑞= 𝑎2 𝑎1 = 𝑎3 𝑎2 = 𝑎4 𝑎3 = ⋯……… = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 Exemplos: . Cálculo da razão: a razão de uma P. então temos: 1° termo: a1 2° termo: a2 = a1. n° termo é: an = a1.(1. a2.. 0.G. Isto ocorre quando q = 1. . (𝐪𝐧 − 𝟏) 𝐪−𝟏 . 0. a4... . ...6.. 9.) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 −9 −9 1 . . Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. 0..3 .. 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria. 5.) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 3 . .an. 12. 9. Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1. .Crescente: quando cada termo é maior que o anterior... .. . -18...q 3° termo: a3 = a2..G. a partir do segundo termo.. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada Classificação: uma P. 6.(3. 1. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo imediatamente anterior a ele..P. 2. . 3..2. 5.36 e razão q = 5 5 2 4 1 2 .. Isto ocorre quando q < 0.. . .Constante: quando todos os termos são iguais.. -9.27.q3 5° termo: a5 = a4. 5. 0.) é uma PG de primeiro termo a1 = . a3..(5.3. -18.. 0. 0.) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = .q = a1.(7.q4 .) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 . ..G. 4. . .q. 81.) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 . Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1..q3.. . é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. ) Exemplo 2: (1.0625..) . logo dizemos que esta P. 63 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .875 3.. Exemplos 1: (3. 4. 2.. 96. .. 6.75 3. b) se n é ímpar: o produto é negativo....G.Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) Vamos ver um exemplo: 1 Seja a P. 12.875 + 0.G. 1/8.125 = 3. com n termos. já que esta fórmula está em módulo: 1.Numa P.) de a1 = 2 e q = 2 se colocarmos na forma decimal..O produto de n números positivos é sempre positivo. 0.9375 3. 32.125.5 = 3.9375 + 0.5 + 0. 1.) se efetuarmos a somas destes termos: 2+1=3 3 + 0. 48. temos (2.03125. ¼. 384.. 192. Produto da soma de n termos |𝐏𝐧 | = √(𝐚𝟏 . 0.96875 ..5.. Propriedades 1. 24.25 = 3...75 + 0. (2.G. 8.0625 = 3. 0.5 3.03125 = 3. 0. ½. tem um limite que tenda a 4. o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos. . 1. Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo limite...... 1/16. 64. 𝐚𝐧 )𝐧 Temos as seguintes regras para o produto. 16. Então temos a seguinte fórmula: 𝐒= Utilizando no exemplo acima: 𝑆 = 2 1− 1 2 = 2 1 2 𝐚𝟏 → −𝟏 < 𝐪 < 𝟏 𝟏−𝐪 = 4. 2. 1/32.No produto de n números negativos: a) se n é par: o produto é positivo.. 9. em que n pertence a N*. então a30 + a55 é igual a: (A) 58 (B) 59 (C) 60 (D) 61 (E) 62 04. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO/2014) Descubra o 99º termo da P.07. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Observe a sequência: 1.) <==> a2 = √a3 .. 0. se tivermos três termos consecutivos. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Uma sequência inicia-se com o número 0. (D) –0. 48. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3. 8. 999 (E) 4 05.1.9 (C) 3.G.. (45. Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? (A) 192 (B) 184 (C) 160 (D) 128 (E) 64 .. 8... A partir do 2º termo.. (C) –3. 9.1 (B) 3. Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é (A) –6. 2. Ou seja. (E) –0.7.. o termo médio é igual à média geométrica do termo anterior com o termo posterior.Numa P. 0. Porém. …) obedecem a uma lei de formação. 11. 13. 51.como podemos observar neste exemplo. 10. só existe termos médio se houver um número ímpar de termos.23. 4. Os termos da sequência (10. temos um número ímpar de termos. a1 . 64 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .. …) é: (A) 3.09.A. Neste caso sobrou um termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. a2. a3.03. a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0. (B) 0.99 (D) 3. 03.23.3.) (A) 339 (B) 337 (C) 333 (D) 331 02. 2. Exemplo: Questões 01..009. (a1.. é o termo de ordem n dessa sequência. (Pref. Se an. 12. 0. (E) 42. 64 grãos na quarta. 15. em centímetros. 07. (D) 2128. (B) 250. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN/2013) O primeiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são. r2 = 144 cm. Sendo assim. (C) 266. Se r + r1 + r2 = 52 cm. o total de algarismos 9 que serão usados no processo completo de numeração das peças é igual a (A) 20. 16 grãos na terceira. 19. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo de 0 a 9. 65 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . a (A) 36. (E) 39 10. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC/2014) O setor de almoxarifado do Metrô necessita numerar peças de 1 até 100 com adesivos. 23. Se fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa. (B) 2126.. então r + r2 é igual. (C) 360. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Observe a sequência numérica a seguir: 11. nessa ordem. (PREF. Por exemplo. (D) 480. (E) 520. (B) 31. r1 e r2 estão.. A soma do segundo e quarto termos dessa sequência é igual a (A) 210. 09. (C) 39. conforme mostrado na figura. (D) 37. (TRF 3ª – Analista Judiciário . Qual é o sétimo termo desta sequência? (A) 27.06. . (E) 2256. o total de grãos de arroz que deveria ser colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a (A) 264. (B) 38. um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P. 256 na quinta. 4 e 100. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP/2014) Planejando uma operação de policiamento ostensivo.Informática – FCC/2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. 08. para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um algarismo 1 e dois algarismos 0). respectivamente. (D) 40. e assim sucessivamente. e r . 4 grãos na segunda. em progressão geométrica.. (C) 35. Sabe-se que as medidas dos raios r. 9/0.(B) 10. Assim. Resposta: D.Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i . 11.1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] . 8.9 = 0. 13.03 03.1 se n é par Logo: a30 = 8 + (30/2) . ou seja. 66 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 32. (E) 9.1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) . Assim: S = 3 + S1 Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: S1 = 0..0. 28.…) de razão q = 0. Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 (8. Resposta: A. as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a1 + (i . r = 48 – 45 = 3 𝑎1 = 45 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 02. 0. cujos oito primeiros elementos são dados a seguir. 16. 0.1). . Primeiro.07 = −0. i = (n + 1)/2. Assim: 𝑎6 = 26−1 = 25 = 32 .1 = 8 + 15 . 11.0. Resposta: C.3 − 6. 11.07 = 0.9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 05. (D) 18. …). 20. 04.1 = a1 + i – 1 Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência.009. Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0.ADMINISTRATIVO – FCC/2013) Considere a sequência numérica formada pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4. Daqui e de (1) obtemos que: an = 10 + [(n + 1)/2] . (C) 19.3 − 3. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO. (4. 10.1.. portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59.09 − 0.09/0.1) = 0. observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 (10. Resposta: E. 12.09.9/(1 . que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: .. 𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 𝑎4 = 0.12 𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0.0. Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 . 12.) O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 Respostas 01. 9. 24.09 𝑎7 = 0. Resposta: B.9.12 = −0. …).1.Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.1 = 37 E. Pelos valores apresentados. 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 10𝑛 − 10 + 9 = 99 𝑛 = 10 Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 99 = 90 + (𝑛 − 1) 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 São 19 números que possuem o algarismo 9. Resposta: E. o último algarismo é 6. 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟1 . então: Assim: 𝑟1 2 = 144 𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 Sabemos que r + r1 + r2 = 52. 𝑎1 = 11. mas o 99 possui 2 19+1=20 11. Resposta: A. Resposta: D. Resposta: D. Resposta: C. Se estão em Progressão Geométrica. Resposta: B. r=4 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 Portanto.4 = 11 + 24 = 35 10. 𝑟 = 15 − 11 = 4 Assim. 𝑟2. é uma PG de razão 4 A64 = ? a1 = 1 q=4 n = 64 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛−1 𝑎𝑛 = 1 ∙ 463 = (22 )63 = 2126 08. 09. 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛−1 𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞 2 100 = 4 ∙ 𝑞 2 𝑞 2 = 25 𝑞=5 𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 07. 𝑎7 = 11 + (7 − 1). . Assim: 𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 𝑟 + 𝑟2 = 40 𝑟1 𝑟 = 𝑟2 𝑟1 . ou seja. Trata-se de uma Progressão Aritmética. 06. 67 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 4 = 11 + 6.𝑎8 = 28−1 = 27 = 128 A soma fica: 32 + 128 = 160. cuja fórmula do termo geral é 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑛 = 7. sendo parte do pensamento. Sequência de Números Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número. os números primos e os quadrados perfeitos. Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número. a série de Fibonacci. 3. ACFJOU Observe que foram saltadas 1. este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo. pessoas. Logo. Neste. para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações. ou não. Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão. 68 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . devemos escrever todo o alfabeto (observando se deve. 1 1 2 3 5 8 13 Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 2. Em geral. Algumas sequências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las. 1 4 9 16 25 36 49 Sequência de Letras As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. 2 3 5 7 11 13 17 Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais. figuras.LÓGICA SEQUENCIAL O Raciocínio é uma operação lógica. o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize a lógica de sua formação. y e w) e circular as letras dadas para entender a lógica proposta. letras. contar com k. entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua lógica. resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas. Sequências Lógicas As sequências podem ser formadas por números. Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático. 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. falsas ou prováveis. etc. . Existem várias formas de se estabelecer uma sequência. tais como as progressões aritméticas e geométricas. o intelecto humano utiliza uma ou mais proposições. que prescinde de dados empíricos. Série de Fibonacci: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores. discursiva e mental. quais são os dados que levam às respostas verdadeiras. Veja: 1 + 1 = 2. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2. associou-se letras e números (potências de 2). obtemos um retângulo 5 x 3.. Sendo assim. a sequência se repete a cada seis termos. 2. 13. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam a sequência de Fibonacci. 3 e 1 posições. 3. 1. alternando a ordem. 8º. 3. 6º. …). 12º. Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida como uma das maravilhas da Matemática. 1. 89. 3 + 2 = 5 e assim por diante. Sequência de Figuras Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente sofrer rotações.. podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. é obtido somando-se os dois anteriores. obtemos um novo retângulo 3 x 2. 8.. 5. 9º.. As letras saltam 1. Sequência de Fibonacci O matemático Leonardo Pisa. ABCDEFGHIJKLMNOPQRST Sequência de Pessoas Na série a seguir. além do próprio Fibonacci. como nos exemplos a seguir.) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna. dedicaram-se ao estudo da sequência que foi proposta.. 4º. e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais. muitos matemáticos. 21. 55. a partir do terceiro. conhecido como Fibonacci. 6º. 69 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . A partir de dois quadrados de lado 1. a sequência numérica: (1. Desde o século XIII. temos sempre um homem seguido de duas mulheres. aqueles que estão em uma posição múltipla de três (3º. propôs no século XIII. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3. 2 + 1 = 3. 1. 3.). ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º.. ou seja.ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU B1 2F H4 8L N16 32R T64 Nesse caso. . tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento. 34. encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da sequência de Fibonacci. hoje em ruínas. O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias.61803398875 Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 𝜃= 1 + √5 2 Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo como o caso da fachada do Partenon. A fachada principal do edifício.Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado. 𝑦 𝑎 Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 𝑎 = 𝑏 (1). Essa forma sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada retângulo áureo ou retângulo de ouro. Resolvendo a equação: 𝑦= 𝑎(1±√5 2 Logo: 𝑦 𝑎 = em que ( (1+√5 2 1−√5 2 < 0) não convém. Veja os exemplos: Exemplo 1 . = 1. As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Como: b = y – a (2). 70 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 13 – 10 = 3 17 – 13 = 4 22 – 17 = 5 28 – 22 = 6 35 – 28 = 7 Exemplo 3 Multiplicar os números sempre por 3. 1x3=3 3x3=9 9 x 3 = 27 27 x 3 = 81 81 x 3 = 243 243 x 3 = 729 729 x 3 = 2187 Exemplo 4 A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 24 – 22 = 2 28 – 24 = 4 . 6 x 4 = 24 24 x 4 = 96 96 x 4 = 384 384 x 4 = 1536 Exemplo 2 A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 71 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . o total de pontos da figura de número 15 deverá ser: (A) 69 (B) 67 . para obter as figuras subsequentes.34 – 28 = 6 42 – 34 = 8 52 – 42 = 10 64 – 52 = 12 78 – 64 = 14 Questões 01. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério. Se tal critério for mantido. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte: A carta que está oculta é: (A) (B) (D) (E) (C) 02. 72 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (C) 65 (D) 63 (E) 61 03.. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos. (A) 800 (B) 790 (C) 780 (D) 770 04. ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. 850. 970. A única alternativa cuja figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é: (A) (B) (C) (D) . Ao montar o cubo. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um. 990.. da figura abaixo. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados conforme indicado abaixo: ..... observa-se a ausência de um deles que pode ser: (A) 76 (B) 10 (C) 20 (D) 78 05. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000. . 900....... 73 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . números de 1 a 6.. 940. 1° 2° 3° Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? (A) 20 palitos (B) 25 palitos (C) 28 palitos (D) 22 palitos 06.. . 12. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. 16. 10. Observe a sequência: 3. Observe a sequência: 2. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo. 18..(E) 07. 17. 74 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . obtém-se exatamente 16 círculos completos na: (A) 36ª figura (B) 48ª figura (C) 72ª figura (D) 80ª figura (E) 96ª figura 08.13.. 19. pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é: (A) (D) (B) (C) (E) 09. Qual é o próximo número? (A) 20 (B) 21 (C) 100 (D) 200 10.. Analise a sequência a seguir: Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma. Qual é o próximo número? (A) 4 (B) 20 (C) 31 (D) 21 11. Continuando essa sequência. 30. . LACRAÇÃO  cal AMOSTRA  soma LAVRAR  ? . . Os números X e Y. a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é: (A) (B) (C) (D) (E) 13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de formação. Segundo o padrão estabelecido. segundo determinado critério. são tais que X + Y é igual a: (A) 40 (B) 42 (C) 44 (D) 46 (E) 48 14. “W” e “Y”. 75 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo. linha a linha. segundo determinado padrão. Observe que as figuras abaixo foram dispostas. a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: (A) P (B) O (C) N (D) M (E) L . a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: (A) alar (B) rala (C) ralar (D) larva (E) arval 12. Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”. obtidos segundo essa lei.Segundo o mesmo critério. O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é: (A) 9 (B) 8 (C) 6 (D) 3 (E) 1 16. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3...15. __. 1234567891011121314151617181920. a figura que deve substituir o ponto de interrogação é: (A) (B) (C) (D) (E) 17. na sucessão de figuras abaixo. o número que deverá substituir o ponto de interrogação é: (A) 32 (B) 36 (C) 38 (D) 42 (E) 46 18. (B) 40. 108. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e positivos.. Segundo esse mesmo padrão. Observe que. 27. . os números que foram colocados nos dois primeiros triângulos obedecem a um mesmo critério. O número que preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é: (A) 36.. Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita. Em cada linha abaixo. sem que os algarismos sejam separados.. 12. 76 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão. 75. (B) 876132. (D) VIM DA LOJA. o “B” vira “F”.(C) 42. 2 . (E) 218763. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para.) o próximo numero será: 1 (A) 24 1 (B) 30 (C) 1 36 1 (D) 40 20. Na série de Fibonacci. Então. (C) RIO ME QUER. o “A” vira “E”. são 0 e 1. 20 .. (E) 48 1 1 1 1 19. 77 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA ..” é melhor completada por: (A) 326187. de modo que o “U” vira “A” e assim por diante. . Observando a sequência (1. 6 . por definição. . Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. (C) 286731. (D) 827361.. 23. (B) DIA DO LOBO. (E) VOU DE AZUL. (D) 44. o sexto termo da série é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 22. o “C” vira “G” e assim por diante. Sabendo-se que os dois primeiros termos. Do seguinte modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Decifrei o código e li: (A) FAZ AS DUAS. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. O código é “circular”. Considere a sequência abaixo: BBB XBX BBB BXB XBX BXB XXB XBX BXX O padrão que completa a sequência é: (A) XXX XXX XXX (B) XXB XBX BXX (D) XXX XBX XXX (E) XXX XBX BXX (C) XXX XXX XXB 21.. 12 . cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. 24. o 47. TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da tabela abaixo.. Os nomes de quatro animais – MARÁ.765 86. 36  4  5 48  6  9 54  9  7 = = = 14 17 ? Para que o resultado da terceira linha seja o correto. de acordo com o critério estabelecido. então..675 Quantidade de números de 2 algarismos em comum 1 0 2 1 O número procurado é: (A) 87456 (B) 68745 (C) 56874 (D) 58746 (E) 46875 26. possa ser lido o nome de um novo animal. 5. na diagonal sombreada. . em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – . Repare que com um número de 5 algarismos.” é melhor completada pelo seguinte número: (A) 53452. 6. a letra que deverá anteceder o número 12 é: (A) J (B) L (C) M (D) N (E) O 28. Y e W. a fim de se obter o resultado correspondente. o 71 e o 12. Veja abaixo alguns números desse tipo e. que se encontra na coluna da extrema direita. foi construída a sucessão seguinte. Procura-se um número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4. Por exemplo: de 34. Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K. a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o número procurado. (D) 43525.547 87. Considere que os símbolos  e  que aparecem no quadro seguinte. 25. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para. podem-se criar o 34.712.465 48. 78 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . PERU.. o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número: (A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12 27.. de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e.. (C) 34552. ao lado de cada um deles. Segundo determinado critério. substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha. sem repetição. respeitada a ordem dada. (E) 53542. 7 e 8. Número dado 48. podem-se criar 4 números de dois algarismos. (B) 23455. aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação.. W e Y.000. 79 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 29.Excluídas do alfabeto as letras K.. em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas. (D) Compreendido entre 700 e 1. 32. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0. ou seja.. Para responder às questões de números 32 e 33. A = 1. (E) Maior que 1. ABCA: DEFD: HIJH: ? (A) IJLI (B) JLMJ (C) LMNL (D) FGHF (E) EFGE 31. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogação. Arborizado  azar Asteróide  dias Articular  ? . 1. a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critério. 12.000.. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K. C = 3.). B = 2. Z = 23). A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas. Segundo essa lei. (C) Compreendido entre 500 e 700. a soma dos números que correspondem às letras que compõem o nome do animal é: (A) 37 (B) 39 (C) 45 (D) 49 (E) 51 Nas questões 29 e 30. CASA: LATA: LOBO: ? (A) SOCO (B) TOCO (C) TOMO (D) VOLO (E) VOTO 30. 3. 4. o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: (A) Menor que 200.. 123.. (B) Compreendido entre 200 e 400. W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja. Ardoroso  rodo Dinamizar  mina Maratona  ? (A) mana (B) toma (C) tona (D) tora (E) rato 33. observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras.. você deve observar que. 222. 39. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço? 36.345. . Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 37. 144. Durante o dia.. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1. 8. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de lá. escorrega 1 metro.666. 2. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.(A) luar (B) arar (C) lira (D) luta (E) rara 34. __. enquanto dorme.679 × 27 = 333.. 55. 35. __.333.345. __.333 .679 × 18 = 222. mas à noite. 34. Quantos quadrados existem na figura abaixo? 38.21. 80 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 12. 1. ela consegue subir 2 metros pela parede. 41..345..666 ..679 × 54 = 666. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo? 40. Observe as multiplicações a seguir: 12. __.222 12.. 5. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito.679 por quanto? 42. segundo uma relação lógica.999. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos. 81 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . sabendo que K vale 13. Mova dois palitos e faça com que fique de frente para a estrada asfaltada. Q vale 12.999 devemos multiplicar 12. Qual é a carta que está faltando. 46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência abaixo? 47.345.Para obter 999. 43. J vale 11 e A vale 1? 45. . 44. que ainda não foi considerado. Respostas 01. Agora. Resposta: B. Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo  10 pontos no total. a 3ª carta. Resposta: D. tomando o eixo vertical como eixo de simetria. tomando o eixo horizontal como eixo de simetria. além disso. dentro das opções dadas só pode ser a da opção (A). Observe que. . 50. tem-se: Na figura 1: 01 ponto de cada lado  02 pontos no total. o naipe não se repete. 49. entre 940 e 900 é 40.48.n pontos no total. Na figura 4: 04 pontos de cada lado  08 pontos no total. Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo  2. Em particular: Na figura 15: 15 pontos de cada lado  30 pontos no total. em cada linha. entre 990 e 970 é 20. Na figura n: n pontos de cada lado  2. tem-se: Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo  04 pontos no total. Resposta: A. Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo  06 pontos no total. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados. pois: 850 – 790 = 60. temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos.(n+1) pontos no total. Em particular: Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo  32 pontos no total. tem como resultado o valor da 3ª carta e. dessa forma concluímos que o próximo número é 790. Na figura 2: 02 pontos de cada lado  04 pontos no total. 82 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Incluindo o ponto central. Na figura 3: 03 pontos de cada lado  06 pontos no total. Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo  08 pontos no total. entre o 970 e 940 é 30. observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10. 02. 03. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas. Nessa sequência. A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos. portanto entre 850 e o próximo número é 60. entre 900 e 850 é 50. Assim. da mesma forma. da palavra LAVRAR. Enfim. Treze. As mãos das figuras estão levantadas. Resposta: B. as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda. 09. A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que inicia cada número. A figura de número 277 ocupa. entre 52 e 42 é 10. não formando um lado. Nessa sequência lógica. pelas 4 primeira letras invertidas. Observe a tabela: Figuras N° de Palitos 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 4 7 10 13 16 19 22 Temos de forma direta. entre 42 e 34 é 8. com n ∈ N. 11. portanto. Esta sequência é regida pela inicial de cada número. pela contagem. O próximo só pode ser o número Trinta e um. Resposta: C. na 48ª figura existirão 16 círculos. o 5 estaria em face oposta ao 3. obtém-se ARVAL. observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2. Feito isto. Na figura apresentada na letra “B”. Dezessete. a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2. a obtenção de um lado. Resposta: D. então. para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 16: 3.04. Resposta: B. Da mesma forma. a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. continua-se a sequência de 5 em 5 elementos. em linha reta ou abaixadas. 12. impossibilitando. mas na ordem invertida. Portanto. Dezesseis. o 1 não estaria em face oposta ao número 6. na 2ª linha. Três. a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA. Como na 3ª figura completou-se um círculo. Resposta: E. Logo. ao se retirarem as 5 primeiras letras. Na 3ª linha já há cabeças com círculo e com triângulo. 10. a 277ª figura corresponde à 2ª figura. Trinta. Resposta: A. que é representada pela letra “B”. 08. somando 10 unidades. o próximo só pode iniciar também com “D”: Duzentos. Assim. na ordem invertida. ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Resposta: D.. 07. 16 = 48. pois o 4 estaria do lado oposto ao 6.. as cabeças são formadas por quadrado. a figura que falta deve ter as mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). Portanto. triângulo e círculo. fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade de palitos da 7ª figura. entre 28 e 24 é 4.... 83 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Assim. “Dois. Na figura apresentada na letra “C”. Já na figura apresentada na letra “E”. a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO. Resposta: D. Dezenove. Desta forma. a figura que está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. não é possível obter a planificação de um lado. portanto entre o próximo número e 64 é 14. entre 64 e 52 é 12. somando 8. Resposta: C. podemos concluir que a planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado. a figura tem a cabeça quadrada. Em cada linha apresentada. Na figura da letra “D”. basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior acrescida de 3 palitos. 06. Dezoito. . a quantidade de palitos das três primeiras figuras. pois: 76 – 64 = 14. Dez. . A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. não determinando um lado. Nesse caso. As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas. Doze. Ou seja. dessa forma concluímos que o próximo número é 78. Com isso. entre 34 e 28 é 6. 05. pois ele inicia com a letra “T”. Na 1ª linha. Logo. o 2 estaria em face oposta ao 4. Com isso. Resposta: B. já do 2º termo para o 3º. Observe que 3x3. Resposta: E. o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 : 5 = 21 13 = 8. Dado os números 3. No 1º triângulo. A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo. e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”. X = 10. Mas essa lista contém todos os algarismos dos números. “M”. 11 e 12. Resposta: B. Resposta: B. Assim. a 3ª figura também não terá orelhas externas. 3x9. A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Do número 10 até o número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Y é igual a 10 multiplicado por 3. Portanto. 19. “O”. 15. 16. 3x11. Esse fato acontece. 15. internamente em relação às figuras.13. Observe que o numerador é fixo. tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3. 3x7. 27. ocorreu uma multiplicação por 2. Na 2ª linha. também. Resposta: A. Somando todos os valores. 17. A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 . mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas. continua pela 3ª e 5ª linhas. sem ocorrer a separação. __. obteve-se os seguintes 9. isto é. houve uma subtração de 2 unidades. Logo. Logo 3x7 = 21 e 3x 9 = 27. Logo. Por exemplo: 101112 representam os números 10. a 1ª figura possui 2 “orelhas”. internamente. na 3ª linha ocorrerá essa regra. uma em cima e outra em baixo. Resposta: D. Na 1ª linha. ou seja. da direita para a esquerda. Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. __. já do 2º termo para o 3º. Então: 21 + 27 = 48. Vejamos: BBB XBX BBB 7B e 2X BXB XBX BXB XXB XBX BXX 5B e 4X 3B e 6X . aumenta a direita para a esquerda. mas na parte de cima e na parte de baixo. 18. tem-se que: do 1º termo para o 2º termo. Na parte superior. O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. 33 intervalos. a mesma regra deve existir no 3º triângulo: ? ÷ 3 = 19 – 7 ? ÷ 3 = 12 ? = 12 x 3 = 36. as letras são. 3x5. 84 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .17 = 6. Y = 30. Assim. X + Y = 10 + 30 = 40. Resposta: D. “N”. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas. Assim. __. pela letra “A”. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 algarismos. 12. que aparece no número 128. conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição é o número 8. 75. 14. X é igual a 5 multiplicado por 2. 108. Resposta: A. do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª linha até a 2ª linha. então. houve uma subtração de 3 unidades. Com isso. tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. mas o denominador é formado pela sequência: Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto 1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 20. Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Na parte inferior. na 2ª linha. 3. nada mais é. sendo esta a resposta. a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Logo a 4ª figura é: XXX XBX XXX 1B e 8X 21. 13. 21. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida temos: 25435 vira 53452. 2. A resposta da questão é a alternativa “D”. 2 + 3 = 5 22. LmnoP: P na verdade é L. o número procurado. nos informa que o código é “circular”. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de modo que: VxzaB: B na verdade é V. A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem. em seguida. enquanto que o receptor. nos foi dada a frase para ser decifrada. sim. OpqrS: S na verdade é O. na questão. tem-se.547.675. temos: 231678 viram 876132. Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP.875. DefgH: H na verdade é D. Observando as duas palavras dadas. nos traz uma sequência numérica. e em seguida. 85 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. 5. nesse número a coincidência se dá no número 75. Resposta: E. UvxaA: A na verdade é U. Do número 48. Montando a série de Fibonacci temos: 0. 24. sendo colocados. 65. Tal ordem. 1. só que não estão sendo retirados. tem-se que 86. vê-se. nos traz uma sequência numérica. Para decifrarmos. notem também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma forma. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida.. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência numérica fornecida. 54 e 47 não acontecem no número procurado. O emissor ao escrever a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja. 8. Resposta: D. de maneira que SALTA vira ATLAS. deve fazer o contrário. que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2. temos que perceber a posição do emissor e do receptor. 34.. ocupamos a posição de receptores. de maneira que. 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. pois. EfghI: I na verdade é E. Essa ordem diferente nada mais é. 23. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. UvxzA: A na verdade é U. Pelo número 86. ZabcD: D na verdade é Z. do que a primeira palavra de trás para frente. Observando as duas palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra. do que a primeira palavra de trás para frente. de maneira que SOCIAL vira LAICOS. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e. contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. então. pois como a questão nos diz. de modo que a letra “U” vira “A”. as opções 48. cada letra será substituída pela letra que ocupa a quarta posição. que. além disso. Portanto. Resposta: B.Vê-se. sendo esta a resposta. 25. . cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. 1. Resposta: E. AbcdE: E na verdade é A. Como o único número apresentado nas alternativas que possui a sequência 75 é 46. No caso. Resposta: A. estão. considerando as letras “i” e “u”. Considerando a ordem do alfabeto. 28. Resposta: B. 12º termo = 363 + 1 = 364. na 3ª linha. Portanto. 9º termo = 40 . Portanto.26. as vogais são as mesmas: letra “A”. a 4ª sequência de letras é: T. ter-se-á: 54  9 + 7 = 6 + 7 = 13. a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência. Com isso. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. T = 19 e 0 = 14. Do 1º termo para o 2º termo. Portanto. Da palavra “ardoroso”. Logo. as vogais da 4ª sequência de letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. obtém-se na tabela: P M T U E A A R R R T S U A U O O nome do animal é PATO. Portanto. da palavra “dinamizar”. deve ocorrer o mesmo fato. Resposta: E. Resposta: D. Na primeira sequência. ou seja. Do 2º termo para o 3º termo. PERU. 10ª letra: I e 12ª letra: J. retiram-se as sílabas “na” e “mi”. obtém-se a palavra “luar”. 27. TATU e URSO. Na 2ª linha. ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e. TOCO. 3 = 363. ou seja. criando-se a palavra “tora”. Na 1ª e na 2ª sequências. temse: 36  4 + 5 = 9 + 5 = 14. O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Somando esses valores. A = 1. podemos concluir que da palavra “maratona”. e as 2 primeiras letras. formando-se DEF. 3 = 120. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Logo. Com isso. 31. Logo. podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número 13. 30. 8º termo = 39 + 1 = 40. C. Com isto. ocorreu um acréscimo de 1 unidade.000. Já a sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E”. na 4ª sequência de letras. continuando por M e N. a 3ª letra é a próxima letra depois de “B”. Com isso. para a palavras “articular”. volta-se para a 1ª letra da sequência. TATU e URSO. O. voltando-se novamente. continua-se da 3ª letra da sequência anterior. a letra “C”. a 4ª sequência da letra é: LMNL. 6ª letra: G. Com isto. 10º termo = 120 + 1 = 121. em seguida. ocorreu a multiplicação do termo anterior por 3. a 4ª sequência iniciará pela letra L. Resposta: A. MARÁ. 3 = 1. 86 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . mas em ordem invertida. Com isso. Resposta: D. tem-se: 48  6 + 9 = 8 + 9 = 17. 33. até que para o 7º termo temos 13 . . Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”. voltando para a letra L. tem-se: P = 15. A palavra “dias” foi obtida da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência. As letras “a” e “s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. 11º termo = 121 . Resposta: A. que estão na ordem invertida. voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. O. definindo-se a palavra “rodo”. 4ª letra: F. para a 1ª letra desta sequência: D. mas em ordem invertida. entre a 1ª letra da 3ª sequência e a 1ª letra da 4ª sequência. podemos concluir que o 13º termo da sequência é um número maior que 1. na 1ª linha. Em relação à primeira letra. Resposta: D. definindo-se a palavra “mina”. na seguinte ordem: PERU. obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49. na 3ª sequência. Da mesma forma.092. As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem. têm-se as letras HIJ. Resposta: C. 32. 8ª letra: H. Na 1ª sequência de letras. 29. Portanto. Na 2ª sequência. E assim por diante. 13º termo = 364 . 3 = 39. a 1ª letra da 4ª sequência é a letra “T”. tem-se uma diferença de 7 letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. e continua de acordo com a sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E. Portanto. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. 2. 40. 233. 87 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 8. O número que vem é sempre a soma dos dois números imediatamente atrás dele.. 5. A sequência correta é: 1. 34. 55. Assim. 36.34. 39. o próximo símbolo será 88. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. depois de 9 dias ela chegará na saída do poço. Dia 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º Subida Descida 2m 1m 3m 2m 4m 3m 5m 4m 6m 5m 7m 6m 8m 7m 9m 8m 10m ---- Portanto. 35. 3. 13. Os símbolos são como números em frente ao espelho. .. 144. 38. 37. há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados. 1. 89. 21. = 16 = 09 = 04 =01 Portanto. são necessários 20 algarismos. 43. .222 12.41. 12. Observe que: 3 6 18 72 360 2160 15120 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Portanto..345.679 por (9x9) = 81 42.333. Sendo A = 1. Q = 12 e K = 13.999. 45. a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus sempre forma par com o naipe de espadas.345.120 x 8 = 120.679 × (2×9) = 222.679 × (3×9) = 333. 44. 46.679 × (4×9) = 666.960 47.. a próxima pedra terá que ter o valor: 15. a carta que está faltando é o 6 de espadas.222. . 12.. para obter 999. 48. J = 11.345.333 .666 Portanto. Portanto.999 devemos multiplicar 12. 88 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .666.345.. O método científico que ele preconizava assentava nos seguintes fases: 1. Falar de Lógica durante séculos. a qual tratava de mostrar o caminho correto para a investigação. A lógica matemática consiste em um sistema dedutivo de enunciados que tem como objetivo criar um grupo de leis e regras para determinar a validade dos raciocínios. O estudo das estruturas lógicas. 89 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . conectivos. Assim. Intuição dos princípios gerais (universais) a que os mesmos obedeciam. argumentos válidos. o conhecimento e a demonstração científicas. Juízo. 50. constituindo-a como uma ciência autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito. equivalência e implicação lógica. sem ter em conta qualquer conteúdo material. 2. Conceito de proposição Chama-se proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de sentido completo. os sequências de números. 3. Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionado a maneira específica de raciocinar de forma acertada. era o mesmo que falar da lógica aristotélica. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o aprendizado. Por este e outros motivos Aristóteles é considerado o pai da Lógica Formal. A lógica de Aristóteles tinha objetivo metodológico. Dedução a partir deles das causas dos fenômenos particulares. A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. Demonstração) do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica. um raciocínio é considerado válido se é possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras.49. a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que envolvem questões matemáticas. Apesar dos enormes avanços da lógica. a matriz aristotélica persiste até aos nossos dias. Raciocínio lógico-matemático: proposições. Observação de fenômenos particulares. entre outros e de desenvolver essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio. CONCEITOS LÓGICOS A lógica a qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles. isto é. Raciocínio. sobretudo a partir do século XIX. . consiste em aprendemos a associar determinada preposição ao conectivo correspondente. palavras. isto é..Estudou ontem? – Fez Sol ontem? b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso! c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. II – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa. mesmo assim. NUNCA existindo um terceiro caso. Classificação de uma proposição Uma proposição pode ser classificada como: 1) Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!). ela poderá ser verdadeira (do ponto de vista da religião espírita) ou falsa (do ponto de vista da religião católica). portanto. 90 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . se a proposição é verdadeira (V). podemos afirmar que: “Toda proposição tem um.” Consideremos as seguintes proposições e os seus respectivos valores lógicos: a) A velocidade de um corpo é inversamente proporcional ao seu tempo. as proposições transmitem pensamentos. Assim. C) Todos os músicos são românticos. afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes. (F) A maioria das proposições são proposições contingenciais. que são: V ou F. . Observe que a todas as frases podemos atribuir um valor lógico (V ou F). – Desligue a televisão. ou seja. Vejamos alguns exemplos de proposições: A) Júpiter é o maior planeta do sistema Solar. d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas. Com base nas duas regras fundamentais que norteiam a Lógica Matemática (Princípios da não Contradição e do Terceiro Excluído). (V) b) A densidade da madeira é maior que a da água. Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos verdade e falsidade respectivamente. Valores lógicos das proposições Chamamos de valor lógico de uma proposição a verdade. em ambos os casos. ambíguas. e a falsidade. seu valor lógico é único — ou verdadeiro ou falso. B) Salvador é a capital do Brasil. dos valores. senão a frase em si não constituirá uma proposição lógica. A Lógica matemática adota como regra fundamental dois princípios (ou axiomas): I – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tempo. se a proposição é falsa (F)..Assim.): “esta frase é verdadeira” (expressão paradoxal) – O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 3 + 7 . São consideradas sentenças abertas: a) Frases interrogativas: Quando será prova? . paradoxais. dependem do contexto para sua análise. se considerarmos a proposição simples: “Existe vida após a morte”. e sim apenas uma frase. verificamos sempre um desses casos. Esses fatos ou juízos afirmados pela proposição em questão deverão sempre ter um valor verdadeiro (V) ou um valor falso (F). por exemplo. e somente um. não é considerada frase lógica. Proposições simples (ou atômicas).2) Sentença fechada: quando a proposição admitir um único valor lógico. Proposições quantificadas (ou funcionais). e estar sujeita à apreciação de julgamento de ser verdadeira (V) ou falsa (F). é pela presença de: . é representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. agora. c) x = 3 se. Proposições categóricas. e somente se. ou sentença. toda proposição simples é verdadeira ou falsa . nesse caso. determinamos o seu valor lógico partindo das proposições simples que a compõe.sujeito simples: "Carlos é médico". 91 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Conceito de Tabela Verdade É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Uma forma de identificarmos se uma frase simples é ou não considerada frase lógica.sujeito composto: "Rui e Nathan são irmãos". Partimos do Princípio do Terceiro Excluído. será considerada uma frase. uma frase com mais de um verbo. Observação: Os termos “atômicos” e “moleculares” referem-se à quantidade de verbos presentes na frase. não será considerada proposição. caso contrário. Classificação das proposições As proposições podem ser classificadas em quatro tipos diferentes: 1. pois se refere a mais de um átomo (mais de um átomo = uma molécula).verbo. então ela será dita molecular. Nela. 3. 2. . Proposições compostas (ou moleculares. . então ela será dita atômica. proposição ou sentença lógica. Observe mais alguns exemplos: Frase Maria é baiana Lia e Maria têm dois irmãos Ventou hoje Um lindo livro de literatura Manobrar esse carro Existe vida em Marte Sujeito Maria (simples) Lia e Maria (composto) Verbo É (ser) Têm (ter) Conclusão É uma frase lógica É uma frase lógica Inexistente Um lindo livro Ventou (ventar) Frase sem verbo É uma frase lógica NÂO é uma frase lógica Frase sem sujeito Vida Manobrar Existir NÂO é uma frase lógica É uma frase lógica Sentenças representadas por variáveis a) x + 4 > 5. b) Se x > 1.sujeito inexistente: "Choveu" . ou ainda proposição. seja ele verdadeiro ou falso. x + y = 15. Consideremos uma frase com apenas um verbo. pois se refere a apenas um único átomo (1 verbo = 1 átomo). tendo os valores lógicos V (verdade) ou F (falsidade). que representa a ação praticada por esse sujeito. 4. Atenção: orações que não tem sujeito NÃO são consideradas proposições lógicas. então x + 5 < 7. . consideremos. Quando trabalhamos com as proposições compostas. . Resposta 01. (E) O que é isto? .Q.. ESTRUTURAS LÓGICAS – ESTUDO DAS PROPOSIÇÕES E DOS CONECTIVOS Definições . ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados. (C) três proposições. • Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.R.Proposições compostas (ou moleculares): aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. também podemos atribuir valores lógicos (não estamos considerando a quantidade certa de gols. Exemplos r: Carlos é careca.O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples componentes.como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase interrogativa.” • A expressão x + y é positiva. chamadas letras proposicionais.r. (C) O valor de √4 + 3 = 7. não podemos atribuir valores lógicos a ela. (D) quatro proposições.. Resposta: B. As proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p. . não temos como atribuir valores lógicos. . (B) A expressão x + y é positiva. 92 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .q. s: Pedro é estudante.. s. (B) duas proposições. logo não é sentença lógica. também chamadas letras proposicionais. apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a sentença).. Analisemos cada alternativa: (A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”. é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos. • O que é isto? Há exatamente: (A) uma proposição. Elas também são chamadas de estruturas lógicas. independente do resultado que tenhamos (D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. • O valor de √4 + 3 = 7. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas P.. logo não é uma sentença lógica. (E) todas são proposições. Questão 01. a: O céu é verde.Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. R. (Cespe/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir: • “A frase dentro destas aspas é uma mentira. semelhantes a aritmética sobre números. Então uma frase que contenha um verbo é uma proposição simples. ENTÂO Portugual não será campeã.. seja ela qual for. efetuamos cálculos proposicionais. que contenha mais de um verbo é uma proposição composta.. . Este conceito não foge ao aplicado aos do princípios lógicos. Exemplo: Não vou trabalhar neste sábado. . então é triste. Operadores Lógicos Temos dois tipos . Pedro arranjar um emprego (conectivo “se. então”) 4) Luciana casa SE.”) Em Lógica são considerados operadores lógicos as seguintes palavras: Também podemos representar a negação utilizando o símbolo “ ¬” (cantoneira).(concectivo “ se . E SOMENTE SE. (conectivo “e”) 2) OU Carlos viaja OU Pedro trabalha.os modificadores: têm por finalidade modificar (alterar) o valor lógico de uma proposição. Exemplos: 1) O número 2 é par E o número 16 é um quadrado perfeito. ou seja. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. Observamos que todas as proposições compostas são formadas por duas proposições simples. de forma a determinarmos os valores das proposições.. No campo gramatical conseguimos identificar uma porposição simples ou composta pela quantidade de verbos existentes na frase.Exemplos P: Carlos é careca e Pedro é estudante. e somente se. unindo-se ou conectando-se duas ou mais proposições simples. 93 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . R: Se Carlos é careca. Estudo dos Operadores e Operações Lógicas Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas. (conectivo “ou”) 3) SE o Brasil jogar com seriedade.os conectivos (concectores lógicos): palavras usadas para formar novas proposições a partir de outras. (o não modificou o valor lógico). 2. entre si. Simbolicamente temos: “p ^ q” (lê-se: “p E q”). Pela tabela verdade temos: Simbolicamente temos: ~V = F . cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições. em termos de valores lógicos. ~F = V V(~p) = ~V(p) Exemplos Proposição (afirmações): p Carlos é médico Juliana é carioca Nicolas está de férias Norberto foi trabalhar Negação: ~p Carlos NÂO é médico Juliana NÂO é carioca Nicolas NÂO está de férias NÃO É VERDADE QUE Norberto foi trabalhar A primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras. p e q. p:” Netuno é o planeta mais distante do Sol”. sendo iguais pela natureza de seus valores lógicos. Assim “não p” tem valor lógico oposto daquele de p. vamos obter a seguinte proposição ~p: “Netuno NÂO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planta mais distante do Sol”. Pela tabela verdade temos: Exemplos (a) .1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. logo ao negarmos temos passam a ter como valor lógico a falsidade. Saturno é um planeta do sistema solar. conclui-se que essas proposições são equivalentes. Sete é um número real maior que cinco. 94 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . que são ambos verdadeiros (V).Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas. p ≡ ~(~p) Observação: O termo “equivalente” está associado aos “valores lógicos” de duas fórmulas lógicas. são ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. . sendo seu valor verdadeiro ao negarmos “p”. Exemplo: 1. Logo a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua proposição primitiva. 2) Conjunção – produto lógico (^): chama-se de conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”. Sabendo-se da realidade dos valores lógicos das proposições “Saturno é um planeta do sistema solar” e “Sete é um número rela maior que cinco”. sendo seu valor lógico verdadeiro (V). (V) V(p v q) = V(p) v V(q) = V v V = V (b) p: A neve é azul.Analogamente. exprime-se que “p” é falsa (F). “Q”. é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são falsas. terão seus respectivos valores lógicos representados por: V(P). V(Q). (V) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V (b) p: A neve é azul. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. Assim. (F) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ F = F (c) p: Pelé é jogador de futebol. pelas letras maiúsculas “P”. Pela tabela verdade temos: Exemplos (a) p: A neve é branca. (V) q: 3 < 5. p e q. (F) V(p v q) = V(p) v V(q) = F v F = F (c) p: Pelé é jogador de futebol. cujo valor lógico é verdade (V) quando pelo menos umas proposições. (F) q: 7 é número impar. (F) q: 6 < 5.O valor lógico de uma proposição simples “p” é indicado por V(p). por exemplo. Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”). V(R). escrevendo: V(p) = F . (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. “R”. 95 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .As proposições compostas. escrevendo: V(p) = V . V(S) e V(T). (V) q: 3 < 5. (V) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F . 3) Disjunção inclusiva – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção inclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”. (F) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ F = F (d) p: A neve é azul. (F) q: 6 < 5. exprime-se que “p” é verdadeira (V).p: A neve é branca. (F) V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V . representadas. “S” e “T”. p é o antecendente e q o consequente e “→” é chamado de símbolo de implicação. Reescrevendo: Mario é carioca v Mario é paulista. (F) q: 6 < 5. Simbolicamente: “p v q” (lê-se. cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdade e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Pela tabela verdade temos: Exemplos (a) p: A neve é branca. (V) V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V 4) Disjução exclusiva ( v ): chama-se dijunção exclusica de duas proposições p e q. cujo valor lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira. as duas coisas não podem acontecer ao mesmo tempo – disjunção exlcusiva). mas não ambos. q é condição necessária para p). 5) Implicação lógica ou condicional (→): chama-se proposição condicional ou apenas condicional representada por “se p então q”. Pela tabela verdade temos: Para entender melhor vamos analisar o exemplo. p: Nathan é médico ou professor. Podemos escrever: Nathan é médico ^ Nathan é professor q: Mario é carioca ou paulista (aqui temos que se Mario é carioca implica que ele não pode ser paulista. 96 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (F) q: 7 é número impar. (V) V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V (b) p: A neve é azul. MAS NÃO AMBOS”). Exemplos a) Plínio pula ou Lucas corre. b) Ou Plínio pula ou Lucas corre. (V) q: 3 < 5.(d) p: A neve é azul. ele pode ser as duas coisas ao mesmo tempo. (F) . “OU p OU q. “OU p OU q”. uma condição não exclui a outra – disjunção inclusiva). (ambas podem ser verdeiras. Simbolicamente: “p → q” (lê-se: p é condição suficiente para q. mas não quando p e q são ambas veradeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas veradeiras ou ambas falsas. (F) q: 7 é número impar. (V) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F Transformação da linguaguem corrente para a simbólica Este é um dos tópicos mais vistos em diversas provas e por isso vamos aqui detalhar de forma a sermos capazes de resolver questões deste tipo. (F) V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F (d) p: A neve é azul. Simbolicamente: “p ↔ q” (lê-se: p é condição necessária e suficiente para q. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. 97 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (V) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V (b) p: A neve é azul. (F) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ F = F (d) p: A neve é azul. q é condição ncessária e suficiente para p). . (V) q: A seleção brasileira é octacampeã.V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V (c) p: Pelé é jogador de futebol. cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas e a falsidade (F) nos demais casos. (F) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V (c) p: Pelé é jogador de futebol. (V) V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V 6) Dupla implicação ou bicondicional (↔):chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional representada por “p se e soemnete se q”. q: João bebe. (F) q: 6 < 5. “q” e “r” representadas por: p: Luciana estuda. r: Carlos dança. Pela tabela verdade temos: Exemplos (a) p: A neve é branca. (F) q: 7 é número impar. Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”. (V) q: 3 < 5. por exemplo. . colocando parêntesis as seguintes proposições: a) ((p ^ q) → r) v s b) p ^ ((q → r) v s) c) (p ^ (q → r)) v s d) p ^ (q → (r v s)) e) (p ^ q) → (r v s) Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. desde que. As quais apresentam significados diferentes. Q: É falso que João bebe ou Carlos dança. Porém existem muitos casos que os parêntesis são suprimidos.Sejam. vajamos: Juntando as informações temos que. João não bebe. “Q ”. as seguintes proposições compostas denotadas por: “P ”. mas Luciana estuda. (II) p ^ (q v r) Conectivo principal é da conjunção. “T ”. 98 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Depois reescrevermos de forma simbólica. “S ”. agora. nos dá a seguinte proposições: (I) (p ^ q) v r Conectivo principal é da disjunção. p ^ q v r. naturalmente. “É mentira que” e “É uma falácia que”. R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se. R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se. e somente se. P: (p ^ q) → ~r Continuando: Q: É falso que João bebe ou Carlos dança. das quais duas são particularmente importantes: 1ª) A “ordem de precedência” para os conectivos é: (I) ~ (negação) . “V ” e “X ” representadas por: P: Se Luciana estuda e João bebe. então Carlos não dança. mas Luciana não estuda. as frases subsequentes. dá lugar. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a algumas convenções. e somente se. assim na proposição. João não bebe. a fim de simplificar as proposições simbolizadas. Agora observe a expressão: p ^ q → r v s. quando iniciam as frases negam. Simbolicamente temos: Q: ~ (q v r ^ ~p). pois os conectivos principais de cada proposição composta dá valores lógicos diferentes como conclusão. “R ”.O uso de parêntesis A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de ambiguidade. “Não é verdade que”. (p v r) ↔ ~q Observação: os termos “É falso que”. por completo. “U ”. O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições. ambiguidade alguma venha a aparecer. possui o valor lógico V (verdade) ou o valor lógico F (falsidade). e. vamos relembrar: O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples componentes. toda proposição simples “p” é verdadeira ou falsa. 99 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . como sendo verdadeiras (V) ou falsas (F). os possíveis valores lógicos que as proposições simples podem assumir.Outros símbolos para os conectivos (operadores lógicos): “¬” (cantoneira) para negação (~). é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. se faz com base no seguinte princípio. permite definir a solução de uma determinada fórmula (proposição composta). “●” e “&” para conjunção (^).ESTUDO DA TABELA VERDADE Sabemos que tabela verdade é toda tabela que atribui. ou seja. ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados. Para convertê-la numa condicional há que se usar parêntesis: p →( q ↔ s ^ r ) E para convertê-la em uma conjunção: (p → q ↔ s) ^ r 2ª) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido. por consequência. Em que figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (sua .com. De acordo com o Princípio do Terceiro Excluído. conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes. “‫( ”ﬤ‬ferradura) para a condicional (→). as duas seguintes proposições se escrevem: Proposição Nova forma de escrever a proposição ((~(~(p ^ q))) v (~p)) ~~ (p ^ q) v ~p ((~p) → (q → (~(p v r)))) ~p→ (q → ~(p v r)) . previamente.) ESTRUTURA LÓGICA . Em se tratando de uma proposição composta.(II) ^ (conjunção) (III) → (condicional) (IV) ↔ (bicondicional) Portanto o mais “fraco” é “~” e o mais “forte” é “↔”. Exemplo p → q ↔ s ^ r . Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões (Fonte: http://www laifi. fazendo-se a associação a partir da esquerda. Segundo estas duas convenções. a determinação de seu valor lógico. Para determinarmos esses valores recorremos a um dispositivo prático que é o objeto do nosso estudo: A tabela verdade. suprimem-se os parêntesis. a primeira parte dela corresponde a árvore de possibilidades e a segunda a tabela propriamente dita. -1 (Fonte: http://www.solução) correspondente a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. seguidos de 2n – 1 valores F. (Fonte: http://www.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”) Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um para a segunda proposição “q”. fazendo os cálculos temos: 2n =23 = 8 linhas e 2n – 1 = 23 = 4.com. FV e FF. temos para a 1ª proposição 2 valores V e 2 valores F se alternam de 2 em 2 . para a 2ª proposição temos que os valores se alternam de 1 em 1 (ou seja metade dos valores da 1ª proposição). além disso.html) . VV. VF.1 = 2.html) 2) Neste caso temos 3 proposições simples. então temos 2n linhas. Se há n proposições simples componentes. para a 2ª proposição temos que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos valores que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição). Exemplos: 1) Se tivermos 2 proposições temos que 2n =22 = 4 linhas e 2n – 1 = 22 . temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 . sendo dado pelo seguinte teorema: “A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simpleste componentes contém 2n linhas. e assim por diante. 100 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .colegioweb. e. Construção da tabela verdade de uma proposição composta Para sua construção começamos contando o número de proposições simples que a integram. em suas respectivas colunas. atribuimos a 1ª proposição simples “p1” 2n / 2 = 2n -1 valores V . Observe a ilustração. Número de linhas de uma Tabela Verdade O número de linhas de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram. em cada linha.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade. Feito isso.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade. são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”. segundo ensina a Análise Combinatória.com.colegioweb. Em seguida a coluna para ~q . p q ~ (p ^ ~ q) V V V F F V F F Depois completamos.Exemplo Vamos construir a tabela verdade da proposição: P(p. 101 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . P(F V) = V. cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte: . P(F F) = V A proposição P(p.F}. p q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q) V V V V V V V F V V F V F V F V V F F V F V F V F F V F F F F F F F V F 1 1 1 2 1 p V V F F q V F V F ~ (p ^ V V F F V V V F F V F F 4 1 3 escrevendo em cada uma delas os p q ~ (p ^ V V V F V F V V F V F F F F F F 1 3 ~ q) F V V F F V V F 2 1 ~ q) F V V F F V V F 2 1 Observe que vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F). FF} um ÚNICO elemento do conjunto {V. FV. VF.q): U → {V. depois resolvemos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que correspondem a todas possíveis atribuições de p e q de modo que: P(V V) = V. depois traçar colunas para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que compõem a proposição composta. atribuindo todos os valores lógicos possíveis de acordo com os operadores lógicos. isto é. p V V F F q ~q p ^~q ~ (p ^ ~q) V F F V F V V F V F F V F V F V 2º Resolução) Vamos montar primeiro as colunas correspondentes a proposições simples p e q .q) associa a cada um dos elementos do conjunto U – {VV.q) outra coisa não é que uma função de U em {V.q) = ~ (p ^ ~q) 1º Resolução) Vamos formar os par de colunas correspondentes as duas proposições simples p e q. P(p. depois a coluna para p ^ ~q e a útima contento toda a proposição ~ (p ^ ~q).F} P(p. em uma determinada ordem as colunas valores lógicos.F} . P(V F) = F. Temos os verbos “andar’. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada: ~ (p ^ V V F F V V V F F V F F 4 1 3 ~ q) F V V F F V V F 2 1 Vejamos mais alguns exemplos: (FCC) Com relação à proposição: “Se ando e bebo.r. (D) 16.q. (C) 8.. Contradição e Contigência Tautologia: possui todos os valores lógicos. (E) 32. F (falsidades). p V V F F q V F V F ~p → q F V V F V F V V V V F F . p V V F F v q V V V F V V F F 102 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . então teremos: Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas. Conceitos de Tautologia . Resposta D. O número de linhas da tabela-verdade da proposição composta anterior é igual a: (A) 2. Resposta D. são CONTRADIÇÕES.) são ambas TAUTOLOGIAS. Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima. quando mesmo possuindo estruturas lógicas diferentes. Contradição: possui todos os valores lógicos. apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade. então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a: (A) 2. Contigência: possui valores lógicos V e F .) e Q(p. (E) 32. (D) 16. Aplicando a fórmula do número de linhas temos: Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas.3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas às proposições simples componentes p e q. V (verdades).q. então caio. Exemplo: Dada as proposições “~p → q” e “p v q” verificar se elas são equivalentes. “cair” e “dormir”. (B) 4..r. Se as proposições P(p. (C) 8.. mas não durmo ou não bebo”. Vamos montar a tabela verdade para sabermos se elas são equivalentes. “C” e “D” forem proposições simples e distintas. então são EQUIVALENTES. Vamos contar o número de verbos para termos a quantidade de proposições simples e distintas contidas na proposição composta.. da tabela verdade (última coluna). “B”. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS Diz-se que duas ou mais proposições compostas são equivalentes.. “beber”. (Cespe/UnB) Se “A”.da tabela verdade (última coluna). (B) 4. ou então. da tabela verdade (última coluna).. Observamos que as proposições compostas “~p → q” e “p ∨ q” são equivalentes.) ENTÃO P(p.. 1 – Simetria (equivalência por simetria) a) p ^ q ⇔ q ^ p p q V V V F F V F F b) p v q ⇔ q v p p q V V V F F V F F p V V F F ^ V F F F q V F V F q V F V F ^ p V V F V F F F F p V V F F v V V V F q V F V F q V F V F v p V V V V V F F F p V V F F v F V V F q V F V F q V F V F v p F V V V V F F F c) p ∨ q ⇔ q ∨ p p V V F F q V F V F d) p ↔ q ⇔ q ↔ p p q V V V F F V F F p ↔ q V V V V F F F F V F V F q ↔ p V V V F F V V F F F V F 2 .) ⇔ R(p.) ⇔ Q(p.q. (p ^ q) v (p ^ r) V V V V V V V V V V V V F F V F F V V V V 103 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .r....q... Equivalências notáveis: 1 .r.. onde “≡” e “⇔” são os símbolos que representam a equivalência entre proposições.q... ~p → q ≡ p ∨ q ou ~p → q ⇔ p ∨ q..q.r..) ⇔ R(p..Reflexiva (equivalência por reflexão) p→ p⇔p→ p p p V V F F p → p V V V F V F p → p V V V F V F 3 – Transitiva Se P(p. Equivalência fundamentais (Propriedades Fundamentais): a equivalência lógica entre as proposições goza das propriedades simétrica.) E Q(p.r...) . reflexiva e transitiva.q.r..r.Distribuição (equivalência pela distributiva) a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p q r V V V V V F V F V p ^ (q v r) V V V V V V V V V F V V F V V ...q.. Associação (equivalência pela associativa) a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p V V V V F F F F ^ (q ^ r) V V V V F V F F F F F V F F F F F V V V F V F F F F F V F F F F (p V V V V F F F F ^ q) ^ (p ^ r) V V V V V V V V F V F F F F F V V V F F F V F F F V F F F V F V F F F F F F F F F V F F F F F F p V V V V F F F F v (q v r) V V V V V V V F V F V V V F F F V V V V V V V F V F V V F F F F (p V V V V F F F F v q) v (p v r) V V V V V V V V V V V F V F V V V V V F V V V F V V V F V V V V V F F F F F V F V V F F F F F F b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F 3 – Idempotência a) p ⇔ (p ∧ p) p p V V F F p V F ^ V F p V F p p V V F F p V F v V F p V F b) p ⇔ (p ∨ p) .V F F F F F V V F F F V F V F V F F F F F F F F F F V V F F F V V V F F V F V F V F F F F F F F F F F V V F F F F F F F V F F F F F F F F F F V F V F p V V V V F F F F v (q ^ r) V V V V V V F F V F F V V F F F V V V V F V F F F F F V F F F F (p V V V V F F F F v q) ^ (p v r) V V V V V V V V V V V F V F V V V V V F V V V F V V V F V V V V F F F F F F F F V V F F F F F F b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F 2 . 104 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . por definição p V V F F q V F V F p ↔ q V V V V F F F F V F V F (p → q) ^ (q → p) V V V V V V V V F F F F V V F V V F V F F F V F V F V F b) (p ↔ q) ⇔ (~q → ~p) ∧ (~p → ~q). então não é professor. 2º caso: (~p → q) ⇔ (~q → p) p V V F F q V F V F ~p → q F V V F V F V V V V F F ~q → p F V V V V V F V F V F F Exemplo: ~p → q: Se André não é professor. ~q → ~p: Se André não é pobre.Pela contraposição: de uma condicional gera-se outra condicional equivalente à primeira. então não é professor. 1º caso – (p → q) ⇔ (~q → ~p) p V V F F q V F V F p → q V V V V F F F V V F V F ~q → ~p F V F V F F F F V V F V Exemplo: p → q: Se André é professor. apenas invertendo-se e negando-se as proposições simples que as compõem. então é pobre. então é pobre. 5 . 3º caso: (p → ~q) ⇔ (q → ~p) p V V F F q V F V F p → ~q V F F V V V F V F F V V q → ~p V F F F V F V V V F V V Exemplo: p → ~q: Se André é professor. 105 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . aplicando-se a contrapositiva às partes p q V V V F F V F F p ↔ q V V V V F F F F V F V F (~q → ~p) ^ (~p → ~q) F V F V F V F V F F F F V V F V V F V F F V V V V V V V . então não é pobre.4 . ~q → p: Se André não é pobre. então é professor.Pela bicondicional a) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p). q → ~p: Se André é pobre. Exemplos: p → q: Se T é equilátero. (V) q → p: Se T é isósceles. então) Chama-se proposições associadas a p → q as três proposições condicionadas que contêm p e q: – Proposições recíprocas: p → q: q → p – Proposição contrária: p → q: ~p → ~q – Proposição contrapositiva: p → q: ~q → ~p Observe a tabela verdade dessas quatro proposições: Note que: Observamos ainda que a condicional p → q e a sua recíproca q → p ou a sua contrária ~p → ~q NÃO SÃO EQUIVALENTES. (F) Exemplo: Vamos determinar: a) A contrapositiva de p → q .Pela exportação-importação [(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)] p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [(p V V V V F F F F ^ q) → r] V V V V V V F F F F V V F F V F F V V V F V V F F F V V F F V F [p → (q → r)] V V V V V V F V F F V V F V V V V F V F F V V V V F V V F F F V F V V F V F V F Proposições Associadas a uma Condicional (se. então T é equilátero. 106 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .c) (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) p V V F F p ↔ q V V V V F F F F V F V F q V F V F (p V V F F ^ q) v (~p ^ ~q) V V V F F F F F F F F V F V F V F F F F V V V V 6 . então T é isósceles. . simbolicamente temos: P(p.r. quando a condicional P → Q for uma tautologia.) ⇒ Q(p. 107 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . por isso (p ^ q) ⇒ (p ↔q)..q. ou então que P → Q é uma tautologia.. O primeiro (“→”) representa a condicional..r..Somente uma contradição implica uma contradição: p ^ ~p ⇒ p v ~p → p ^ ~p p ~p p ^ ~p p v ~p → p ^ ~p V F F F F V F F Propriedades da Implicação Lógica A implicação lógica goza das propriedades reflexiva e transitiva: .q..... que é um conectivo.. a proposição P implica a proposição Q. Em particular: .r..) se Q(p.. Representamos a implicação com o símbolo “⇒”. ou ainda que o valor lógico da condicional P → Q será sempre V.q. Observação: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos.r.q.Toda proposição implica uma Tautologia: p ⇒ p v ~p p p v ~p V V F V .q.)... Exemplo: A tabela verdade da condicional (p ^ q) → (p ↔ q) será: p V V F F q V F V F p^q V F F F p↔q V F F V (p ^ q) → (p ↔ q) V V V V Portanto. ou seja.. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou não existir entre duas proposições.) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p.. A não ocorrência de VF na tabela verdade de P → Q...r. (p ^ q) → (p ↔ q) é uma tautologia.b) A contrapositiva da recíproca de p → q c) A contrapositiva da contrária de p → q Resolução: a) A contrapositiva de p → q é ~q → ~p A contrapositiva de ~q → ~p é ~~p → ~~q ⇔ p → q b) A recíproca de p → q é q → p A contrapositiva q → q é ~p → ~q c) A contrária de p → q é ~p → ~q A contrapositiva de ~p → ~q é q → p IMPLICAÇÃO LÓGICA Uma proposição P(p.r.) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p.) é verdadeira (V).q. p → q e q → p..r...r..) Uma proposição complexa implica ela mesma Transitiva: Se P(p..Reflexiva: P(p. então P(p. p v q .) ⇒ R(p..Dada a proposição: (p v q) ^ ~p sua tabela verdade é: Esta proposição é verdadeira somente na 3ª linha e nesta linha a proposição “q” também verdadeira.r.. logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA.r.. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já existentes.) e Q(p. p ↔ q é: A proposição “p ^ q” é verdadeira (V) somente na 1ª linha..q....).q.q..r.q. denominada Regra do Silogismo disjuntivo.) ⇒ Q(p. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições..q.q. 108 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .q..) Se P ⇒ Q e Q ⇒ R.r.. ..) ⇒ P(p.... Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. e também nesta linha as proposições “p v q” e “p → q” também são.... então P ⇒ R Exemplificação e Regras de Inferência Inferência é o ato de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamente verdadeiras. Então: p↔q⇒p→q e p↔q ⇒q → p 3 .r. Então: p^q⇒pvq p^q⇒p→q A tabela acima também demonstram as importantes Regras de Inferência: Adição – p ⇒ p v q e q ⇒ p v q Simplificação – p ^ q ⇒ p e p ^ q ⇒ q 2 – A tabela verdade das proposições p ↔ q.) ⇒ R(p. é: L 1ª 2ª 3ª 4ª p V V F F q p↔q p→q q→p V V V V F F F V V F V F F V V V A proposição “p ↔ q” é verdadeira (V) na 1ª e 4ª linha e as proposições “p → q” e “q → p” também são verdadeiras.r. Vejamos as regras de inferência obtidas da implicação lógica: 1 – A tabela verdade das proposições p ^ q..q. (p v q) ^ ~p ⇒ q É válido também: (p v q) ^ ~q ⇒ p 4 – A tabela verdade da proposição (p → q) ^ p é: A proposição é verdadeira somente na 1ª linha, e nesta linha a proposição “q” também é verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, também denominada Regra de Modus ponens. (p → q) ^ p ⇒ q 5 – A tabela verdade das proposições (p → q) ^ ~q e ~p é: A proposição (p → q) ^ ~q é verdadeira somente na 4º linha e nesta a proposição “~p” também é verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada de Regra Modus tollens. (p → q) ^ ~q ⇒ ~p Observe que “~p” implica “p → q”, isto é: ~p ⇒ p → q Recapitulando as Regras de Inferência aplicadas a Implicação Lógica: p⇒pvq q⇒pvq Simplificação p^q⇒p p^q⇒q Silogismo disjuntivo (p v q) ^ ~p ⇒ q (p v q) ^ ~q ⇒ p Modus ponens (p → q) ^ p ⇒ q Modus tollens (p → q) ^ ~q ⇒ ~p Adição LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. A argumentação faz uso de vários tipos de raciocínio que são baseados em normas sólidas e argumentos aceitáveis. A lógica de argumentação é também conhecida como dedução formal e é a principal ferramenta para o raciocínio válido de um argumento. Ela avalia conclusões que a argumentação pode tomar e avalia quais dessas conclusões são válidas e quais são inválidas (falaciosas). O estudo das formas válidas de inferências de uma linguagem proposicional também faz parte da Teoria da argumentação. . 109 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA Conceitos Premissas (proposições): são afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. Com base nelas que os argumentos são compostos, ou melhor, elas possibilitam que o argumento seja aceito. Inferência: é o processo a partir de uma ou mais premissas se chegar a novas proposições. Quando a inferência é dada como válida, significa que a nova proposição foi aceita, podendo ela ser utilizada em outras inferências. Conclusão: é a proposição que contém o resultado final da inferência e que está alicerçada nas premissas. Para separa as premissas das conclusões utilizam-se expressões como “logo, ...”, “portanto, ...”, “por isso, ...”, entre outras. Sofisma: é um raciocínio falso com aspecto de verdadeiro. Falácia: é um argumento válido, sem fundamento ou tecnicamente falho na capacidade de provar aquilo que enuncia. Silogismo: é um raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a conclusão é verdadeira e deriva logicamente das duas primeiras premissas, ou seja, a conclusão é a terceira premissa. Argumento: é um conjunto finito de premissas – proposições –, sendo uma delas a consequência das demais. O argumento pode ser dedutivo (aquele que confere validade lógica à conclusão com base nas premissas que o antecedem) ou indutivo (aquele quando as premissas de um argumento se baseiam na conclusão, mas não implicam nela) O argumento é uma fórmula constituída de premissas e conclusões (dois elementos fundamentais da argumentação). Alguns exemplos de argumentos: 1) Todo homem é mortal João é homem Logo, João é mortal Premissas Conclusão 2) Todo brasileiro é mortal Todo paulista é brasileiro Logo, todo paulista é mortal 3) Se eu passar no concurso, então irei viajar Passei no concurso Logo, irei viajar Premissas Conclusão Premissas Conclusão Todas as PREMISSAS tem uma CONCLUSÃO. Os exemplos acima são considerados silogismos. Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q, indica-se por: . 110 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA P1, P2, ..., Pn |----- Q Argumentos Válidos Um argumento é VÁLIDO (ou bem construído ou legítimo) quando a conclusão é VERDADEIRA (V), sempre que as premissas forem todas verdadeiras (V). Dizemos, também, que um argumento é válido quando a conclusão é uma consequência obrigatória das verdades de suas premissas.Ou seja: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Um argumento válido é denominado tautologia quando assumir, somente, valorações verdadeiras, independentemente de valorações assumidas por suas estruturas lógicas. Argumentos Inválidos Um argumento é dito INVÁLIDO (ou falácia, ou ilegítimo ou mal construído), quando as verdades das premissas são insuficientes para sustentar a verdade da conclusão. Caso a conclusão seja falsa, decorrente das insuficiências geradas pelas verdades de suas premissas, tem-se como conclusão uma contradição (F). Um argurmento não válido diz-se um SOFISMA. - A verdade e a falsidade são propriedades das proposições. - Já a validade e a invalidade são propriedades inerentes aos argumentos. - Uma proposição pode ser considerada verdadeira ou falsa, mas nunca válida e inválida. - Não é possível ter uma conclusão falsa se as premissas são verdadeiras. - A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e conclusões. Critérios de Validade de um argumento Pelo teorema temos: Um argumento P1, P2, ..., Pn |---- Q é VÁLIDO se e somente se a condicional: (P1 ^ P2 ^ ...^ Pn) → Q é tautológica. Métodos para testar a validade dos argumentos Estes métodos nos permitem, por dedução (ou inferência), atribuirmos valores lógicos as premissas de um argumento para determinarmos uma conclusão verdadeira. Também podemos utilizar diagramas lógicos caso sejam estruturas categóricas (frases formadas pelas palavras ou quantificadores: todo, algum e nenhum). Os métodos constistem em: 1) Atribuição de valores lógicos: o método consiste na dedução dos valores lógicos das premissas de um argumento, a partir de um “ponto de referência inicial” que, geralmente, será representado pelo valor lógico de uma premissa formada por uma proposição simples. Lembramos que, para que um argumento seja válido, partiremos do pressuposto que todas as premissas que compõem esse argumento são, na totalidade, verdadeiras. Para dedução dos valores lógicos, utilizaremos como auxílio a tabela-verdade dos conectivos. . 111 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA a rainha fica na masmorra. então o príncipe foge a cavalo. P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo.Exemplo Sejam as seguintes premissas: P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra. P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. já que a verdade implica outra verdade (vide a tabela-verdade da condicional). então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra. se a 1ª parte de uma condicional for verdadeira. a 2ª parte deverá ser. será falsa (4º passo). então o bárbaro usa a espada. P4: Ora. P2: Se o rei fica nervoso. então todas premissas que compõem o argumento são necessariamente verdadeiras (V). 112 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (1º) V Como a premissa P1 é formada por uma disjunção simples. implicará que a 2ª parte também deverá ser verdadeira (2º passo). a rainha fica na masmorra. então o bárbaro usa a espada. . P3: Se a rainha fica na masmorra. (2º) V (3º) V P4: Ora. P2: Se o rei fica nervoso.P3 e P4) forem válidos. compõem esse argumento. P2: Se o rei fica nervoso. servirá de “referencial inicial” para a dedução dos valores lógicos das demais proposições que. P3: Se a rainha fica na masmorra. (1º) V Já sabemos que a premissa simples “a rainha fica na masmorra” é verdadeira. por ser uma proposição simples e verdadeira.P2. então o príncipe foge a cavalo. então o príncipe foge a cavalo. P2: Se o rei fica nervoso. P3: Se a rainha fica na masmorra. necessariamente. também. lembramos que ela será verdadeira. a 1ª parte da disjunção simples da premissa P1. então o bárbaro usa a espada. Sabendo-se que sua 1ª parte é falsa. tal valor lógico confirmará como verdade a 1a parte da condicional da premissa P3 (1º passo). (2º) V P4: Ora. verdadeira (5º passo). então o bárbaro usa a espada. então o bárbaro usa a espada. a rainha fica na masmorra. Se todos os argumentos (P1. então o príncipe foge a cavalo. E portanto pela premissa simples P4: “a rainha fica na masmorra”. “o bárbaro não usa a espada”. então o bárbaro usa a espada. P4: Ora. logo. P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra. P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (1º) V Lembramos que. logo. a rainha fica na masmorra. Assim teremos como valor lógico da premissa uma verdade (V). (4º) F P2: Se o rei fica nervoso. (4º) F (5º) V P2: Se o rei fica nervoso. Teremos com isso então: P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. então o príncipe foge a cavalo. se pelo menos uma de suas partes for verdadeira. (1º) V Confirmando-se a proposição simples “o bárbaro usa a espada” como verdadeira (3º passo). portanto. a rainha fica na masmorra. (2º) V (3º) V P4: Ora. pela disjunção exclusiva ou pela bicondicional. (6º) F P3: Se a rainha fica na masmorra. e. as premissas e as conclusões afim de chegarmos a validade do argumento. . caso existam. Observe que onde as proposições são falsas (F) utilizamos o não para ter o seu correspondente como válido. .A rainha fica na masmorra. a rainha fica na masmorra. (1º) V E. (2º) V (3º) V P4: Ora.O bárbaro usa a espada. Caso o argumento não possua uma proposição simples “ponto de referência inicial”. a rainha fica na masmorra. a P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. caso não exista tal conjunção. devemos confirmar. 113 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . então o príncipe foge a cavalo. (4º) F (5º) V P2: Se o rei fica nervoso. 2) Método da Tabela – Verdade: para resolvermos temos que levar em considerações dois casos. 1º caso: quando o argumento é representado por uma fómula argumentativa. (7º) F (6º) F P3: Se a rainha fica na masmorra. Exemplo: A → B ~A = ~B Para resolver vamos montar uma tabela dispondo todas as proposições. então. devemos confirmar como falsa a 2a parte da condicional “o príncipe foge a cavalo” da premissa P2 (6o passo). devem-se iniciar as deduções pela conjunção. .(2º) V P4: Ora. então o príncipe foge a cavalo. (4º) F (5º) V P2: Se o rei fica nervoso. ao confirmar a 2a parte de uma condicional como falsa. sua 1 parte como falsa (7o passo). também. então o bárbaro usa a espada. então o bárbaro usa a espada. expressando uma conclusão verdadeira. (1º) V Através da analise das premissas e atribuindo os seus valores lógicos chegamos as seguintes conclusões: .o príncipe não foge a cavalo. por último. P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (2º) V (3º) V P4: Ora. a rainha fica na masmorra.O rei não fica nervoso. . (1º) V (3º) V Ao confirmarmos como verdadeira a proposição simples “o príncipe não foge a cavalo”. teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa desse argumento: P1 ∧ P2 → C Representando inicialmente as proposições primitivas “leio”. Exemplo: “Se leio. na linha 4. Se o argumento acima for válido. Chegamos através dessa análise que o argumento não é valido. Se entendo.Observe também. sendo a última sua conclusão.marilia. por “p”. então não compreendo. então entendo.unesp. P2: Se entendo. então. 114 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . compreendo. “entendo” respectivamente. Logo. e é questionada a sua validade. 2o caso: quando o argumento é representado por uma sequência lógica de premissas. [(p → q) ∧ (q → ~r)] → (~r) ou 𝑝→𝑞 𝑞 → ~𝑟 𝑟 Montando a tabela verdade temos (vamos montar o passo a passo): p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [(p → q) ^ (q → ~r)] → (~r) V V V V F F V V V V V V V F F F F F V F F F V V F V V V F F F V V V V V F V F F F F F V F F V V 1º 2º 1º 1º 1º 1º p V V V V q r V V V F F V F F [(p → q) ^ (q → ~r)] → (~r) V V V V F F F V V V V V V V V F F F V F F V F F F V V V . então não compreendo. C: Compreendo. então entendo. que as premissas são verdadeiras e a conclusão é verdadeira. “q” e “r”.br) O caso onde as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa esta sinalizada na tabela acima pelo asterisco. teremos a seguinte fórmula argumentativa: P1: p → q P2: q → ~r C: r e “compreendo”.” P1: Se leio.(Fonte: http://www. Método da adição (AD) p ou p → (p ∨ q) p ∨ q Prova real: p V V F F q V F V F p → (p v q) V V V V V F F F V F F F 1º 1º 1º p → (p v q) V V V V V V V F F F V V F F F F 1º 1º 2º 1º p → (p v q) V V V V V V V V V F F V F V V F V F F F 1º 3º 1º 2º 1º A solução pode ser observada no 3º passo e trata-se de uma tautologia.2 . 115 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Utilizaremos a tabela verdade apenas para tirarmos a prova real. Implicações tautológicas: a utilização da tabela verdade em alguns casos torna-se muito trabalhoso. Podemos chamar esse argumento de sofisma embora tenha premissas e conclusões verdadeiras.F F F F V V V F F V F F F F F F 1º V V V V 2º V V F F 1º V V F F 1º F V V V 3º F V F V 1º F V F V 1º p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [(p → q) ^ (q → ~r)] → (~r) V V V F V F F F V V V V V V V V V F F F F V F F V F F F F V V V F V V F V F F F F V V V V V V V F V F V F V F F F V F V F V V V 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 1º p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [(p → q) ^ (q → ~r)] → (~r) V V V F V F F V F V V V V V V V V V V F F F F V F V F V F F F F V V V V F V V F V F F V F F V V V V V V V V F V F V F V F F F F V F V F V V V V 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 5º 1º Sendo a solução (observado na 5a resolução) uma contingência (possui valores verdadeiros e falsos). principlamente quando o número de proposições simples que compõe o argumento é muito grande.1 . 3. logo.Método da adição (SIMP) 1º caso: . logo. então vamos aqui ver outros métodos que vão ajudar a provar a validade dos argumentos. 3. esse argumento é dito válido. esse argumento não é válido. ^ V F p) V V (p V V ^ V F q) → (q V V V F V F ^ V F p) V V 116 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 2º caso: p ∧q ou (p ∧ q) → q p Prova Real: p V V F F q V F V F (p ^ q) → q V V V V F F F V V F F F 1º 1º 1º (p ^ q) → q V V V V V F F F F F V V F F F F 1º 2º 1º 1º (p ^ q) → q V V V V V V F F V F F F V V V F F F V F 1º 2º 1º 3º 1º A solução pode ser observada no 3º passo e trata-se de uma tautologia. esse argumento é dito válido. logo.3 . logo. 2º caso: p q q∧p ou (p ∧ q) → (q ∧ p) Prova Real: p q V V V F (p ^ q) → (q ^ p) V V V V V F F V (p V V ^ V F q) → (q V V F F . logo. esse argumento é dito válido. 3.p ∧q ou (p ∧ q) → p p Prova Real: p V V F F q V F V F (p ^ q) → p V V V V F V F V F F F F 1º 1º 1º (p ^ q) → p V V V V V F F V F F V F F F F F 1º 2º 1º 1º (p ^ q) → p V V V V V V F F V V F F V V F F F F V F 1º 2º 1º 3º 1º A solução pode ser observada no 3º passo e trata-se de uma tautologia. esse argumento é dito válido.Método da conjunção (CONJ) 1º caso: p q p∧q ou (p ∧ q) → (p ∧ q) Prova Real: p V V F F q V F V F (p ^ q) → (p ^ q) V V V V V F V F F V F V F F F F 1º 1º 1º 1º (p ^ q) → (p ^ q) V V V V V V V F F V F F F F V F F V F F F F F F 1º 2º 1º 1º 2º 1º (p ^ q) → (p ^ q) V V V V V V V V F F V V F F F F V V F F V F F F V F F F 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º A solução pode ser observada no 3º passo e trata-se de uma tautologia. 3. logo.Método da absorção (ABS) p→q ou (p → q) → [p → p ∧ q)] p → (p ∧ q) Prova real: p V V F F q V F V F (p → q) → [(p → (p ^ q)] V V V V V V F V V F F V F F V F F F F F 1º 1º 1º 1º 1º (p → q) → [(p → (p ^ q)] V V V V V V V V F F V V F F F V V F F F V F V F F F F F 1º 2º 1º 1º 1º 2º 1º p V V F F q V F V F (p → q) → [(p → (p ^ q)] V V V V V V V V V F F V F V F F F V V F V F F V F V F F V F F F 1º 2º 1º 1º 3º 1º 2º 1º (p → q) → [(p → (p ^ q)] V V V V V V V V V V F F V V F V F F F V V V F V F F V F V F V F V F F F 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 2º 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia. logo.4 . ^ F F F ~q] F V F → ~p F F V [(p V V F → V F V q) V F V ^ F F F ~q] F V F → V V V ~p F F V 117 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .F F V F F F 1º V F 1º V F 1º F F 1º F F V F F F 1º 2º 1º V F F F F F 1º 2º 1º F F V F F F 1º 2º 1º V V 3º V F F F F F 1º 2º 1º A solução pode ser observada no 3º passo e trata-se de uma tautologia.5 – Modus Ponens (MP) p→q p q ou [(p → q) ∧ p] → q Prova Real: p V V F F q V F V F [(p V V F F 1º → q) V F V F 1º ^ p] V V F F 1º → q V F V F 1º [(p V V F F 1º → V F V V 2º q) V F V F 1º ^ p] V V F F 1º → q V F V F 1º [(p V V F F 1º → V F V V 2º q) V F V F 1º ^ V F F F 3º p] V V F F 1º → V V V V 4º q V F V F 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia. esse argumento é dito válido.6 – Modus Tollens (MT) p→q ~q ~p ou [(p → q) ∧ ~q] → p Prova Real: p V V F q V F V [(p V V F → q) V F V ^ ~q] F V F → ~p F F V [(p V V F → V F V q) V F V . esse argumento é dito válido. logo. 3. esse argumento é dito válido. 3. F F F 1º F 1º V 1º V 1º F 1º V 2º F 1º V 3 V 1º V 1º F 1º V 2º F 1º V 3º V 1º V 4º V 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia. logo. esse argumento é dito válido. 3. ^ V F V (p V V V v V V V r)] → (q V V V V F V v V V V s) V F V 118 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA .7 – Dilema construtivo (DC) p→q r →s p ∨r ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) ] → (q ∨ s) q∨s Prova Real: p V V V V V V V V F F F F F F F F q V V V V F F F F V V V V F F F F r V V F F V V F F V V F F V V F F s V F V F V F V F V F V F V F V F [(p → q) ^ (r → s) ^ (p v r)] → (q v s) V V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V F V V V V F F V F V F V F V V V V F V V F V F V V F F V F F V V F F V V F F F V F F F F V V V F V V V F V V F F V V F F V F V F F V V F V F F F F V F F F V V F V F V F F V F F V F F F F F V F F F V F F F F F F F F 1º 1º 1º 1º 1º 1º 1º 1º [(p → q) ^ (r → s) ^ (p v r)] → (q v s) V V V V V V V V V V V V V V V V F V F F V V V V V F V V V V F V V V V F V V V V V V V F V F V V F V V F V F F F V V V V V V F V V V F F F V F F V V V F F F V F F F F V V V V F F V V V F F F F V F V V F F F F F V V V V V V F V V V V V F V V F V F F F V V V V F F V V V F V V F F F V V V F V V V F V F F F F V V F F V F V V V V F V V F V V F V F F V F F F V V F F F F V F V F V V F F F F V V F V F V F V F F F F F F F 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º [(p → q) V V V V V V V V V ^ V F V (r V V F → V F V s) V F V . 7 – Dilema destrutivo (DD) p→q r →s ~q ∨ ~s ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s) ] → (~p ∨ ~r) ~p ∨ ~r Prova Real: p V V V V V V V V F F q V V V V F F F F V V r V V F F V V F F V V s V F V F V F V F V F [(p → q) ^ V V V V V V V V V F V F V F V F F V F V (r V V F F V V F F V V → . 3.V V V V V F F F F F F F F 1º V F F F F V V V V V V V V 2º V V F F F V F F V F F F F F F V V V V F V V V F V V F F V V F F V F V F F V F 1º 3º 1º V V F V V V F V V V F V V 2º F V V V F V F V V V F F V V V V F V V F F F V V F V V F V V F F F V V V F F F F F F F F F V V F V V F F F V V V F F F F F F F F F 1º 4º 1º 2º 1º V V F F V V F F F F V V F F F V V V V V F V V V V V F F V V F F F F V V F F F 1º 2º 1º [(p → q) ^ (r → s) ^ (p v r)] → (q v s) V V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F F F V V V V V V F V V V V F V V V V V F V V V V V V V V F V F V V V F V V V F V F F F V V V F V V V V F V V V F F F V F F F V V V V F F F V F F F F V V F V V F V F V V V F F F F V F F V V F V F F F F V V V V V V V F V V V V V V F V V F V F F F F V V V V V F F V V V F V V F F F F V V V V F V V V F V F F F F F V V V F F V F V V V V V F V V V F V V F V F F V F F F F V V V F F F F V F V F V V F F F F V F V V F V F V F V F F F F F V F F F 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º 4º 1º 2º 1º 5º 1º 2º 1º A solução pode ser observada no 5º passo e trata-se de uma tautologia. s) V F V F V F V F V F ^ (~q v ~s)] → (~p v ~r) F F F F F V F F F F F V F V F V V F F F V V F F V F F V V V F V F F V F F V V F 119 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . logo. esse argumento é dito válido. F F F F F F V F V V F F F V V F V F F F V F F F F F F F F F 1º V V F F F F 1º F F V V F F 1º V F V F V F 1º F F V V V V 1º F V F V F V 1º V V V V V V 1º V V F F V V 1º [(p → q) ^ (r → s) ^ (~q v ~s)] → (~p v ~r) V V V V V V F F F F F F V V V V F F F V V F F F V V V F V V F F F F V V V V V F V F F V V F V V V F F V V V V V F F V F V F F V F F V V V F F F V F F F V V V V F F V V V F F F V F V V V F V V F V V V V V F F F V V F F V V V F F F V V V V F F V V F V V F F F V V V F V V F V F F V V V V V F V F V V V V V F V V F F V F V F F V V V V V F F V F F V V V V F V V V F V F F V F V V V V V V 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º [(p → q) ^ (r → s) ^ (~q v ~s)] → (~p v ~r) V V V V V V V F F F F F F V V V F V F F F V V F F F V V V V F V V F F F F V V V V V V F V F F V V F V V V F F F V V V V V F F V F V F F F V F F V V V F F F V F F F F V V V V F F V V V F F F F V F V V V F V V F V V V V V V F F F V V F F V V F V F F F V V V V F F V V V F V V F F F V V V F V V V F V F F V V V V V F V F V V V V V V F V V F F V F F V F F V V V V V F F V F V F V V V V F V V V F V F V F V F V V V V V V 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º [(p → q) V V V V V V V V V V V V V F F V F F V F F V F F F V V ^ V F V V F F F F V (r V V F F V V F F V → V F V V V F V V V s) V F V F V F V F V ^ F F F V F F F F F . (~q F F F F V V V V F v F V F V V V V V F ~s)] → (~p F V F V V F F V F V V F F V F V V F F V F V V F F V V v F F V V V F V V V ~r) F F V V F F V V F 120 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 2º caso: p ∨q ~q ou [(p ∨ q) ∧ ~q] → p p Prova real: p V V F F q V F V F [(p V V F F 1º v q) V F V F 1º ^ ~q] F V F V 1º → p V V F F 1º [(p V V F F 1º v V V V F 2º q) V F V F 1º ^ F V F F 3º ~q] F V F V 1º → p V V F F 1º [(p V V F F 1º v V V V F 2º q) V F V F 1º ^ F V F F 3º ~q] F V F V 1º → V V V V 4º p V V F F 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia. 3. logo. 121 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . logo. esse argumento é dito válido.9 – Silogismo hipotético (SH) p →q q→r ou [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) p→r Prova real: . esse argumento é dito válido.F F F F F F F 1º V V V V V V V 2º V F V V V F V V F F V V F F V F V F F V F 1º 3º 1º F V V V F V V 2º F F V F F V V V F F V V F V 1º 4º F F F V V V V 1º V F V V V V V 2º V F V F V F V 1º V V V V V V V 5º V V V V V V V 1º V V V V V V V 2º F V V F F V V 1º A solução pode ser observada no 5º passo e trata-se de uma tautologia. esse argumento é dito válido. logo.8 – Silogismo disjuntivo (SD) 1º caso: p ∨q ~p ou [(p ∨ q) ∧ ~p] → q q Prova real: p V V F F q V F V F [(p V V F F 1º v q) V F V F 1º ^ ~p] F F V V 1º → q V F V F 1º [(p V V F F 1º v V V V F 2º q) V F V F 1º ^ F F V F 3º ~p] F F V V 1º → q V F V F 1º [(p V V F F 1º v V V V F 2º q) V F V F 1º ^ F F V F 3º ~p] F F V V 1º → V V V V 4º q V F V F 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia. 3. p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [(p V V V V F F F F 1º [(p V V V V F F F F 1º → V V F F V V V V 2º q) V V F F V V F F 1º → V V F F V V V V 2º ^ V F F F V F V V 3º q) V V F F V V F F 1º (q V V F F V V F F 1º ^ → V F V V V F V V 2º (q V V F F V V F F 1º → V F V V V F V V 2º r)] V F V F V F V F 1º → r)] V F V F V F V F 1º → V V V V V V V V 4º (p V V V V F F F F 1º → V F V F V V V V 2º (p V V V V F F F F 1º → V F V F V V V V 2º r) V F V F V F V F 1º r) V F V F V F V F 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia. logo. 122 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 1º caso: Exportação (p ∧ q) → r ou [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)] p → (q → r) Prova real: p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [(p ^ q) → r] → [p → (q → r)] V V V V V V V V V V V V V F F V F V F F V F F V V V V F V V V F F V F V V F V F F F V V V F V V V V F F V V F F V V F F F F F V V F V F V V F F F V F F V F V F 1º 2º 1º 3º 1º 1º 3º 1º 2º 1º [(p ^ q) → r] → [p → (q → r)] V V V V V V V V V V V V V V F F V V F V F F V F F V V V V V F V V V F F V F V V V F V F F F V V V V F V V V V F F V V F V F V V F F F F F V V V F V F V V F F F V F V F V F V F 1º 2º 1º 3º 1º 4º 1º 3º 1º 2º 1º . esse argumento é dito válido. 3.10 – Exportação e importação. esse argumento é dito válido. logo. resultando em uma condicional denominada condicional conclusiva. 2º caso: Importação p → (q → r) ou [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] (p ∧ q) → r Prova real: p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F [p → (q → r)] → [(p ^ q) → r] V V V V V V V V V V V F V F F V V V F F V V F V V V F F V V V V F V F V F F V F F V V V V F F V V V F V V F F F F V V F F V F V V F F F V V F V F V F F F F V F 1º 3º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 3º 1º [p → (q → r)] → [(p ^ q) → r] V V V V V V V V V V V V F V F F V V V V F F V V F V V V V F F V V V V F V F V V F F V F F V V V V V F F V V V F V V F F V F F V V F F V F V V V F F F V V F V F V F V F F F V F 1º 3º 1º 2º 1º 4º 1º 2º 1º 3º 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia. condicionais. apenas. decorrente ou resultante de várias outras premissas formadas por. eliminam-se as proposições simples iguais que se localizam em partes opostas das condicionais que formam a premissa do argumento.quando a condicional conclusiva é formada pelas proposições simples que aparecem apenas uma vez no conjunto das premissas do argumento. Ao efetuar o produto lógico.A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia. Produto lógico de condicionais: este produto consiste na dedução de uma condicional conclusiva – que será a conclusão do argumento –. 123 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Vejamos o exemplo: Nós podemos aplicar a soma lógica em três casos: 1º caso . . esse argumento é dito válido. logo. Exemplo Dado o argumento: Se chove. Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: P1: Se chove. então o dia está claro. 124 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . então Beto não estuda. Vamos denotar as proposições simples: p: chover q: fazer frio r: nevar s: existir nuvens no céu t: o dia esta claro Montando o produto lógico teremos: 𝑝→𝑞 𝑝→𝑞 𝑟→𝑞 𝑟→𝑞 𝑟→𝑝 𝑟→𝑝 𝑟→𝑠 𝑟→𝑠 𝑥{ ⇒ 𝑥{ ⇒ 𝑥 {𝑞 → 𝑠 ⇒ 𝑥 { 𝑞 → 𝑠 ⇒ 𝑥 { ⇒ 𝑥{ ⇒𝑟→𝑡 𝑞→𝑠 𝑞→𝑠 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 Conclusão: “Se neva. para que ocorram os devidos reajustes entre as proposições simples de uma determinada condicional que resulte no produto lógico desejado. então faz frio. 2º caso . P4: Se há nuvens no céu. necessariamente VERDADEIRA.quando a condicional conclusiva é formada por. P2: Se neva. P2: Se Carlos não estuda. então chove. P3: Se faz frio. (p → q) ⇔ ~q → ~p Exemplo Seja o argumento: Se Ana trabalha. na condicional conclusiva. Ana viaja. então Beto não trabalha. uma proposição simples que aparece em ambas as partes da condicional conclusiva. e a 2ª parte. Observe que: As proposições simples “nevar” e “o dia está claro” só apareceram uma vez no conjunto de premissas do argumento anterior. então Beto não trabalha. então há nuvens no céu. Se Carlos viaja. P3: Se Carlos estuda. Se neva. Tome Nota: Nos dois casos anteriores. então faz frio. Se Carlos não viaja. Denotando as proposições simples teremos: p: Ana trabalha q: Beto estuda r: Carlos viaja Montando o produto lógico teremos: . apenas. Ana trabalha. As demais proposições simples são eliminadas pelo processo natural do produto lógico. então o dia esta claro”. então chove. sendo uma a negação da outra. Se faz frio. então há nuvens no céu. Neste caso. então o dia está claro. Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: P1: Se Ana viaja. então Beto não estuda. Se há nuvens no céu. a 1ª parte deverá necessariamente ser FALSA. pode-se utilizar o recurso de equivalência da contrapositiva (contraposição) de uma condicional. uma parte das premissas do argumento. Exemplo Se Nivaldo não é corintiano. 3º caso .P3) teremos: ~𝑝 → 𝑞 {~𝑞 → ~𝑟 ~𝑟 → ~𝑝 ~𝑟 → 𝑞 ⇒ {~𝑞 → ~𝑟 ⇒ ~𝑞 𝑞 ⏟ →⏟ 𝐹 𝑉 Conclusão: “ Márcio é palmeirense”. Denotando as proposições temos: p: Nivaldo é corintiano q: Márcio é palmerense r: Pedro é são paulino Efetuando a soma lógica: 𝑃1: ~𝑝 → 𝑞 𝑃2: ~𝑞 → ~𝑟 { 𝑃3: 𝑝 → 𝑟 (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝑃4: 𝑝 → ~𝑞 𝑃1: ~𝑝 → 𝑞 𝑃2: ~𝑞 → ~𝑟 ⇒ { 𝑃3: ~𝑟 → ~𝑝 𝑃4: 𝑝 → ~𝑞 Vamos aplicar o produto lógico nas 3 primeiras premissas (P1. então Pedro não é são-paulino. (D) “Se o número inteiro m > 2 não é primo. P2: Se Márcio não é palmeirense. (DPE/RR Administrador – FCC/2015) Dentro de um envelope há um papel marcado com um número. o número é 1. (E) “O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar". Pedro é são-paulino. então o número inteiro m > 2 não é primo".aplicam-se os procedimentos do 2o caso em. Questões 01. Afirma-se sobre esse número que: I. II. então Pedro não é são-paulino.P2. Então as presmissas que formam esse argumento são: P1: Se Nivaldo não é corintiano. Pedro é são-paulino. (B) “Se o número inteiro m > 2 não é primo. então Márcio é palmeirense. então o número m não é ímpar". o número não é 2. Se Nivaldo é corintiano. então o número m é ímpar". Se Nivaldo é corintiano. apenas. então o número m é ímpar" pode ser expressa corretamente por: (A) “O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar". 02.𝑝 → ~𝑞 𝑝 → ~𝑞 𝑟 → ~𝑞 𝑞 → ~𝑞 {~𝑟 → ~𝑞 (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) ⇒ 𝑥 { 𝑞 → 𝑟 ⇒ 𝑥 { 𝑞 → 𝑟 ⇒ ⏟ ⏟ 𝑟→𝑝 𝑟→𝑝 𝐹 𝑉 Conclusão: “Beto não estuda”. P3: Se Nivaldo é corintiano. . 125 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . P4: Se Nivaldo é corintiano. então Márcio não é palmeirense. então Márcio é palmeirense. Se Márcio não é palmeirense. (TRE/MT – Técnico Judiciário – CESPE/2015) A negação da proposição: “Se o número inteiro m > 2 é primo. (C) “Se o número m não é ímpar. então Márcio não é palmeirense. III. o número é 3; IV. o número não é 4. Sabendo que três das afirmações são verdadeiras e uma é falsa, é necessariamente correto concluir que (A) I é verdadeira. (B) II é falsa. (C) II é verdadeira. (D) III é verdadeira. (E) IV é falsa. 03. (TCE/SP – Auxiliar da Fiscalização Financeira II – FCC/2015) Considere a afirmação condicional: Se Alberto é médico ou Alberto é dentista, então Rosa é engenheira. Seja R a afirmação: 'Alberto é médico'; Seja S a afirmação: 'Alberto é dentista' e Seja T a afirmação: 'Rosa é engenheira'. A afirmação condicional será considerada necessariamente falsa quando (A) R for verdadeira, S for falsa e T for verdadeira. (B) R for falsa, S for verdadeira e T for verdadeira. (C) R for falsa, S for falsa e T for falsa. (D) R for falsa, S for falsa e T for verdadeira. (E) R for verdadeira, S for falsa e T for falsa. 04. (ICMS) Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo, (A) mesmo que se esforce, você não vencerá. (B) seu esforço é condição necessária para vencer. (C) se você não se esforçar então não irá vencer. (D) você vencerá só se se esforçar. (E) seu esforço é condição suficiente para vencer. 05. (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se p e q são proposições, então a proposição “Se p então q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ~p, a negação da proposição p, terá valores lógicos contrários aos de p. (p v q, lida como “p ou q”, terá valor lógico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, será V. Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 50 da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B = C é V. Certo ou Errado? 06. Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes: A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance; A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências; A3: buscou evitar situações procrastinatórias. Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão comtempladas na tabela a seguir, em cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso) caso . 126 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA contrário. Roberta Rejane Renata A1 F A2 A3 V Com base nessas informações, julgue o item seguinte: Se p for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e q for a proposição” Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição p→q tem valor lógico V. Certo ou errado? 07. (FCC - Oficial de Justiça - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também mentirei amanha”? (A) Terça e quinta-feira. (B) Terça e sexta-feira. (C) Quarta e quinta-feira. (D) Quarta-feira e sábado. (E) Quinta-feira e domingo. 08. Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado. Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que: P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”; Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”; R= “ele sempre leva um guarda-chuva”; S= “ele sempre leva dinheiro trocado”. (A) P (Q  R) (B) (P  Q)  R (C) (P  Q)  (R  S) (D) P  (Q  (R  S)) 09. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: (A) p v ~q (B) p → q c) ~p ∧ ~q (C) p ↔ ~q e) (p v ~q) ↔ (q ∧ ~p) 10. Considere as proposições p: A Terra é um planeta e q: A Terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: (A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. (B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. (C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. (D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. (E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol. (Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”) . 127 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA 11. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível. (A) É falso que não está frio ou que está chovendo. (B) Se as ações caem aumenta o desemprego. (C) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis. (D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica. (E) Jorge estuda física mas não estuda química. (Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”) 12. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ímpar”, determine: (A) a contrapositiva (B) a recíproca 13. (A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine V(p → r Λs). (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine V(p), V(q) e V(r). (C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r). 14. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique as seguintes proposições: (A) (p v q) Λ ~p (B) p Λ (p → q) Λ (p →~q) (C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q (D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q)) (E) ~p → (p v ~(p v ~q)) 15. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificá-las e fazer novos esquemas. (A) (B) 16. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade: (A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r (B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p ∧ s) (C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r (D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessária e suficiente para inflação cair é que os impostos sejam aumentados. Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir. Se a inflação cair, os impostos não serão aumentados. Portanto, os impostos não serão aumentados. 17. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas: (A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0 (B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0 18. Dê a negação das seguintes proposições: (A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever. . 128 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA que a condicional p  q  q  V Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência. Ora. (B) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. é da forma ps. ou Artur não gosta de Lógica. Daí segue-se que. a condição suficiente para ser par é ser igual a 2. (D) Lógica é difícil e Geografia é difícil. Por outro lado. 23. . 129 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . (C) Para todo número primo. Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se Débora fala dinamarquês. ~q  q é uma tautologia) ~p  V  (pela lei da identidade ~p  V é um tautologia) V Portanto. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100. Usando as regras de equivalência.(B) Toda pessoa culta é sábia se. (A) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. Ou Lógica é fácil. então Ana fala alemão. ou seja. Logo. está provado que p  q  q é uma tautologia (B) Regra da adição: p  p  q (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p  q)  ~q  p (D) Regra de Modus Ponens: (p  q)  p  q (E) Regra de Modus Tollens: (p  q)  ~q  ~p 21. (D) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. (E) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. (B) Lógica é fácil e Geografia é difícil. p2. Demonstre. então: (A) Se Geografia é difícil. se Artur gosta de Lógica. 25. e somente se. então Lógica é difícil. então tem somente dois divisores. ps são os divisores positivos de n. é igual a: (A) 25 (B) 87 (C) 112 (D) 121 (E) 169 24. Se Iara fala italiano. (E) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. tem-se: p  q  q  (aplicando-se a equiv. que têm exatamente três divisores positivos. Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio . Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. 1 e n. mostre a seguinte tautologia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) 22. se Geografia não é difícil. (C) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. de reescrita da condicional) ~(p  q)  q  (aplicando-se a Lei de Morgan) ~p  ~q  q  (aplicando-se lei complementar. então 1. 19...Se n é primo. utilizando as equivalências notáveis. Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. ou seja. Se Iara não fala italiano. que as relações de implicação são válidas: (A) Exemplo: Regra da simplificação: p  q  q Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p  q  q é tautológica. Elton fala espanhol. a saber. então Lógica é difícil.. então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis: (A) p  q  r  (p  q)  (p  r) (B) p  q  r  (p  q)  (p  r) (C) p  (r  s  t)  (p  r)  (p  s)  (p  t) (D) p  q  r  p  (q  r) (E) ~(~p  ~q)  ~p  q 20. for inteligente. Se n é uma potência de um primo p. p. (C) Lógica é fácil e Geografia é fácil. então o Conde encontrou a princesa. (B) Se o duque não saiu do castelo. apenas. a qual fora de. 26.00.00.00 que ele retirou. já com a gorjeta incluída. a cada um dos suspeitos. R$ 200. o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10. mas do Basílio não sei dizer. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. (E) Eduardo. (D) Danton. um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. estava a nota de R$ 50. Eu vi quando ele pagou. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido. o culpado sou eu”. e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim.00 de troco. apontando para o de camisa azul: “Sim. Imediatamente após essas falas. (C) O rei não foi à caça e o Conde não encontrou a princesa. Viajo ou não caso. (FCC . (E) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 28. Disse o de camisa branca. dividiram igualmente a conta. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. Ora. formados por uma nota de R$ 100. (B) Basílio. Sabe-se. Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta.00. (A) não viajo e caso. ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. 130 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . por fim. Basílio: — Aquela nota de R$ 100. Danton: — Carlos também pagou. que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo.000. ele é o culpado”. (E) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade. Mais tarde. Logo: (A) A duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a princesa. (B) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. O velho e sábio professor de Lógica. o garçom. Por outro lado. (D) compro uma bicicleta e não viajo. as seguintes declarações.00 e quatro de R$ 10.Perito Criminal – FUNIVERSA) Cinco amigos encontraram-se em um bar e.00 ali foi o Antônio quem colocou. uma de R$ 20. o garçom fez a pergunta a (A) Antônio. não vou morar em Passárgada. O barão não sorriu. (C) não vou morar em Passárgada e não viajo. então. qual entre eles era o culpado. 29. Um dos suspeitos estava de camisa azul. que dos outros dois (isto é.professor de Lógica. o .Auditor Fiscal da Receita Federal) Caso ou compro uma bicicleta. sorriu e concluiu corretamente que: (A) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. todas verdadeiras: Antônio: — Basílio pagou. exatos. Seguiram-se. (C) Carlos. outro de camisa branca e o outro de camisa preta. (PC-DF . 27. dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: — O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto. (B) viajo e caso. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa. depois de algumas horas de muita conversa. Assim.Técnico Judiciário) A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3. o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha.00 por mês”. dos suspeitos que são inocentes).00. O velho e sábio professor perguntou.00. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Disse. (C) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. (ESAF . o total colocado sobre a mesa era de R$ 160. Carlos: — Sim.TST . também. (D) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. eu vi quando ele pegou seus R$ 60. (E) compro uma bicicleta e viajo. consultando seus arquivos.00 que o Eduardo colocou na mesa. (D) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e nos R$ 60. então. comparando as hipóteses 1 e 2. Resposta: C. percebemos que somente na afirmação II. Jane deixa de fazer o almoço e. devemos ter: V→F Portanto a afirmação (T: Rosa é engenheira) tem que ser falsa. se Jane não faz o almoço. Carlos não almoça em casa. 31.00 por mês. .000. Veja que a hipótese 2 nos diz que o número é 1 (I-Verdadeiro) e o número é 3(III-Verdadeiro) Na hipótese 4 a mesma situação. então o instrumento soa bem. 30. (B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha. (C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o almoço. Respostas 01.TJM-SP) Se afino as cordas. no máximo. (D) mesmo afinado o instrumento não soa bem. I II III IV Hipótese 1 Hipótese 2 Hipótese 3 Hipótese 4 F V V V V V F V V V F V V V V F Essas duas hipóteses não se contradizem. (E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham.diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração.00 por mês.00 por mês.000. a afirmação II é verdadeira. há um grupo que não possui plano de saúde. Dessa forma. necessariamente. Agora. (D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3. ou quinta ou sexta-feira. Quer dizer que: o número não é 2. elas são verdadeiras.Analista de Sistemas) Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira. mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas.Chesf . conclui-se que (A) sonho dormindo. Quando Pedro tem aula de futebol ou natação. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima apresentadas textualmente. 03. (VUNESP. Pedro não teve aulas. então toco muito bem. (D) não é segunda. (B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira. Pedro terá aula de futebol ou natação. se Carlos almoçou em casa hoje. Portanto. e Jane não fez o almoço. 131 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Resposta: E. (CESGRANRIO . (E) toco bem acordado e dormindo. (B) o instrumento afinado não soa bem. nem quarta.000. podemos começar analisando por elas. Resposta: E. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Jane o leva até a escolinha esportiva. Dessa forma. então hoje (A) é terça. R$ 3. Se o instrumento soa bem. (C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3. R$ 3. ou Jane não fez o almoço.000. no máximo. RvS→T Para a condicional ser falsa. conclui-se que. P: O número inteiro m>2 é primo Q: o número m é ímpar Então temos: p→q A negação de uma condicional é dada por: p^~q Portanto: O número inteiro m>2 é primo e o número m não é ímpar 02. (E) não é segunda.00 por mês. (C) as cordas não foram afinadas. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Ao levar Pedro até a escolinha. (A) dentre todos os funcionários da empresa X. ou seja. sejam elas simples ou compostas. ou seja.E para RvS ser verdadeira. O número de linhas de uma tabela verdade é dado por: 2n onde n = número de proposições simples. Lembrando pela tabela verdade de cada uma: Condicional Disjunção 04. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q. → q é conhecida como condição necessária para que p ocorra. p q pq V V V V F F F F V F V V Poderíamos resumir a tabela verdade do conectivo “se então” pela seguinte regra: “A implicação p→q só será FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA. se q não ocorrer então p também não irá ocorrer. basta que p ocorra para q ocorrer. 132 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Observe que para quaisquer valores lógicos de p e q (na realidade uma combinação de valores de verdadeiros e falsos poderá ocorrer e está sendo estudada logo abaixo). Para analisarmos esta afirmação devemos conhecer um novo conectivo. o conectivo “não” ou “negação”. ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. nesta ordem”. Observe que estamos falando da segunda linha. Na tabela verdade são duas proposições simples e ao todo 22 = 4 linhas. as duas só não podem ser falsas. Observe também que todos os demais valores lógicos de p→q que não se tratam da regra passam a ser verdadeiros (1ª. cuja tabela verdade se verifica a seguir: p ~p V F F V . ou seja: → p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente → q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente → Se p então q também pode ser lido como p implica em q → p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra. Agora por definição informamos que dado que p→q se verifica então também se verifica que ~q→~p. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se você se esforçar então irá vencer) formada por duas proposições simples (você se esforçar) (irá vencer). 3ª e 4ª linhas). Resposta: E. Tabela Verdade é a forma de representar todas as combinações possíveis de valores verdadeiros ou falsos de determinadas proposições. Logo a seguir está a tabela verdade do “se então”. vejamos. observe através da tabela verdade: p V V F F q V F V F ~p F F V V ~q F V F V pq V F V V ~q~p V F V V Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possíveis valores de p→q e de ~q→~p são exatamente iguais. por mais absurdo que pareça basta estar na forma do conectivo “se então” que as regras acima transpostas estão logicamente corretas. afirmar uma não quer dizer afirmar a outra. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente. o que equivale a afirmar que são expressões logicamente equivalentes. a) errada. então ~p é falsa e viceversa. b) errada. se a proposição p é falsa. na forma p→q. o que não é verdade. a proposição composta “B . seu esforço (você se esforçar) é condição suficiente para que você vença. ou seja. basta que você se esforce que você irá vencer. e a afirmação nega isto.é verdadeira. esta afirmação sempre vai cair em prova. basta completar a tabela de acordo com os dados do enunciado: A1 A2 A3 Roberta F V F Rejane V F F Renata F F V . indica que seu esforço é condição necessária para você vencer. Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das atitudes. ~p é verdadeira. se você não se esforçar você poderá ou não vencer. Analisando as proposições: A: “A prática do racismo é crime afiançável”. Resposta: Certo. ou seja. Se você se esforçar então irá vencer é uma equivalente lógica de Se você não venceu então você não se esforçou. ou seja. a alternativa “A” encontra erro uma vez que você se esforçar é a condição suficiente para que você vença. 133 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . C: “Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado” . o p é o antecedente e condição suficiente para que q ocorra. 05.é falsa B: “A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado” . e) correta.O “~” representa o conectivo “não” e a tabela verdade do conectivo não é a inversão do valor lógico da proposição. Ou seja.é falsa. se a proposição p é verdadeira. pela regra do conectivo → (implica). dado que p→q posso afirmar que negando a condição necessária eu nego a condição suficiente. e se você não se esforçar. Observe que as proposições p→q e ~p→~q não apresentam os mesmos valores lógicos. d) errada. Dado p→q é uma equivalente lógica de: ~q→~p. Resposta: Errado. Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro. → irá vencer é a proposição q também conhecida como consequente. você vencerá só se se esforçar. Na tabela verdade é possível comprovar que (Se você se esforçar então irá vencer p→q) e (Se você não se esforçar então não irá vencer ~p→~q) não são equivalentes lógicas.C” pode ser traduzida em “V > F” e. Assim sendo. Vamos analisar as alternativas: Se você se esforçar então irá vencer. a proposição composta terá valor lógico F. Sabendo um pouco mais a respeito do “se então” vamos ao exercício: Se você se esforçar então irá vencer → você se esforçar é a proposição p também conhecida como antecedente. Observe que p e q podem ser quaisquer conjuntos de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo. Então. c) errada. 06. ao afirmar: Se você se esforçar então irá vencer a única conclusão possível é de que basta que você se esforce que você irá vencer. ora se não ocorreu a condição suficiente nada posso afirmar. → você se esforçar é a proposição p também conhecida como condição suficiente para que ocorra q→ irá vencer é a proposição q também conhecida como condição necessária para que ocorra q→. Usando estes resultados em (1) obtemos: V(p) = V(q) = V. 10. 134 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Assim. mas como a pessoa mente na quarta. essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P  Q. 08. nesse problema. V(p v r → q v r) = V. há contradição. como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado. (B) “As ações caem e não aumenta o desemprego”. Solução: De (2) temos que V (r) = V(s) = F. logo V (r) = V. Logo. interligando as duas partes da proposição. temos uma contradição.(A) “Não está frio ou está chovendo”. Reunindo então as duas partes da proposição original. . Na primeira parte da proposição.Domingo. não há contradição. (D) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático então sabe lógica” cuja negação é “É um bom matemático e não sabe lógica”. Nesse caso. sabemos que a pessoa só fala mentiras as terças. A proposição composta original possui uma divisão principal. 12. ambas as sentenças devem ser verdadeiras. (E) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”. Com o conectivo “e”. (B) “Está frio se e somente se não está chovendo”. mas como a pessoa sempre mente na terça e na quinta. sábado: a sentença é falsa. Pelo enunciado. V(p → r Λ s) = F (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V (1) e V(p v r → q) = F (2). Solução: De (1) concluimos que V(p) = V e V(q v r) = V e de (2) temos que V(q) = F. o que contradiz V(p → q) = V. 13. Analogamente. 09. (C) Supondo V(p → q) = V.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F(1) e V(~r Λ ~s) = V (2). Já na parte final da proposição. logo. essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R  S. pois nesses dias a pessoa fala a verdade. (A) (p∨q) ∧ ~p ↔ (p∧~p) ∨ (q∧~p) ↔ F ∨ (q∧~p) ↔ (q∧~p) . determine V(p → r Λ s). (C) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem olhos azuis e não tem cabeloslouros”.Quarta: a sentença é verdadeira. é preciso analisar dia a dia e procurar um em que não ocorra contradição. 07. o que nos permite concluir que V(p) = V(r) = V e V(q) = F. para se ter uma verdade.Analisando a questão: Como (a proposição p) “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” tem valor lógico F e (a proposição q) “Renata buscou evitar situações procrastinatórias” tem valor lógico V. . segunda. sexta. quartas e quintas-feiras.Terça e quinta: a sentença é falsa.(A) ~(p v q) (B) p → q (C) ~(p v ~q) (D) q ↔ ~p (E) ~p ∧ ~q 11.(A) “Não está frio e não está chovendo”. Portanto. outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r). (C) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”. Resposta: C. que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus ou metrô. Portanto. mostramos que V(p v r → q v r) = V. o conectivo  é o principal. Temos assim que V(p Λ r) = V e V(q Λ r) = F. a alternativa “A” satisfaz ao enunciado. obtém-se (P  Q)  (R  S). pela regra do conectivo → (implica).(A) contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par então p não é primo”. determine V(p). Resposta: A. . Então. ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô. V(q) e V(r). Solução: Vamos supor V(p Λ r →q Λ r) = F. (B) recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar então p é primo”. 14. a proposição “p → q” pode ser traduzida em “F → V” e. o valor lógico da proposição é V. (A) Válido (B) Válido (C) Sofisma. (B) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que é inteligente e não é sábia”. (A) (p∧q) ∨ ((p∧q) ∨ q) ∧ p ↔ ((p∧q) ∧ p ↔ q∧p (B) ((p∨q) ∧ r)) ∨ ((q∧r) ∨ q)) ↔ ((p∨q) ∧ r) ∨ q ↔ (p∨q∨q) ∧ (r∨q) ↔ (p∨q) ∧ (r∨q) ↔ q ∨ (p∧r) 16. (A) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”. (A) R. (C) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é 19.{2} (B) [-2. q: A inflação cai. r →p. Considerando V(p) = V(q) = V( r ) = F e V(s) = V. 2[ 18. (A) p  q  r  (p  q)  (p  r) pqr ~p  (q  r)  (reescrita da condicional) (~p  q)  (~p  r)  (distributiva) (p  q)  (p  r) (reescrita da condicional) (B) p  q  r  (p  q)  (p  r) pqr ~p  (q  r)  (reescrita da condicional) ~p  q  r  (associativa) ~p  ~p  q  r  (idempotente. q →~r ╞ ~r (Válido) 17. Analise o argumento: p → (q↔r).(B) p ∧ (p→q) ∧ (p→~p) ↔ p ∧ (~p∨q) ∧ (~p∨~q) ↔ p ∧ ((~p ∨ (q∧~q)) ↔ p ∧ (~p ∨ F) ↔ p ∧ ~p ↔ F (C) p ∧ (p∨q) → (p ∨q) ∧ q ↔ p→q (D) ~(p→q) ∧ ((~p∧q)) ↔ (p∧~q) ∧ ((~p∧q) ∨ (~p∧~q)) (p∧~q) ∧ ((~p ∧ (q∨~q)) ↔ (p∧~q) ∧ (~p∧V) ↔ (p∧~q) ∧ ~p (p∧~p) ∧ ~q ↔ F ∧ ~q ↔ F (E) ~p → (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ p ∨ (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ (p ∨ (~p∧q)) ↔ (p∨~p) ∧ (p∨q) ↔ V ∧ (p∨q) ↔ p∨q 15. pois ~p  ~p  ~p) (~p  q)  (~p  r)  (associativa) (p  q)  (p  r) (reescrita da condicional) (C) p  (r  s  t)  (p  r)  (p  s)  (p  t) p  (r  s  t)  p  (r  (s  t))  (associativa em s  t) (p  r)  (p  (s  t))  (distributiva) (p  r)  (p  s)  (p  t) (distributiva) (D) p  q  r  p  (q  r) . r: Os impostos são aumentados. (D) Considere p: O déficit público não diminui. adicionei um ~p. todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. 135 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . pqr ~(p  q)  r  (reescrita da condicional) ~p  ~q  r  (De Morgan) ~p  (~q  r)  (associativa) ~p  (q  r)  (reescrita da condicional) p  (q  r) (reescrita da condicional) (E) ~(~p  ~q)  ~p  q ~(~p  ~q)  ~(~~p  ~q)  (reescrita da condicional) ~(p  ~q)  (dupla negação) ~p  ~~q  (De Morgan) ~p  q (dupla negação) 20. (B) Regra da adição: p  p  q p  p  q  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) ~p  (p  q)  (condicional) ~p  p  q  (associativa) V  q  (complementares ~p  p) V (identidade) (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p  q)  ~q  p (p  q)  ~q  p  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (p  ~q)  (q  ~q)  p  (distributiva) (p  ~q)  F  p  (complementares) (p  ~q)  p  (identidade) ~(p  ~q)  p  (condicional) ~p  ~q  p  (De Morgan) (~p  p)  ~q  (associativa) V  ~q  (complementares) V (identidade) (D) Regra de Modus Ponens: (p  q)  p  q (p  q)  p  q  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p  q)  q  q  (condicional) (q  ~p)  (q  q)  q  (distributiva) (q  ~p)  q  q  (idempotente) ~((q  ~p)  q)  q  (condicional) (~(q  ~p)  ~q)  q  (De Morgan) ((~q  p)  ~q)  q  (De Morgan) (~q  ~q)  (~q  p)  q  (distributiva) ~q  (~q  p)  q  (idempotente) (~q  q)  (~q  p)  (associativa) V  (~q  p)  (complementares) V (identidade) (E) Regra de Modus Tollens: (p  q)  ~q  ~p (p  q)  ~q  ~p  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p  q)  ~q  ~p  (De Morgan) (~q  ~p)  (~q  q)  ~p  (Distributiva) (~q  ~p)  F  ~p  (Complementares) (~q  ~p)  ~p  (Identidade) ~(~q  ~p)  ~p  (condicional) ~~q  ~~p  ~p  (De Morgan) q  p  ~p  (Dupla Negação) . 136 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . ou seja. ou ambas verdadeiras ou ambas falsas. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se. logo. Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Elton fala espanhol. o ou exclusivo. ou seja. Se o consequente deu falso. Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. (P3) Se Débora fala dinamarquês. pois F Î F = V. Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras. só vai ser falso se ambas forem verdadeiras. então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira. ou seja. esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico. ou seja: Elton não fala espanhol. Ou. vamos reparar no consequente. cuja regra é. . (P1) Se Iara não fala italiano. Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia. desse modo: Ana fala alemão. (P2) Se Iara fala italiano. a conclusão também for verdadeira. observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras. então Ana fala alemão. Elton fala espanhol. então Ana fala alemão. neste caso. 137 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso. temos: F ou exclusivo F = F. de fato: Ordem Proposição 1 (p → q) → r ⇔ 2 ⇔(~p ∨ q) → r ⇔ 3 ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔ 4 ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q) 5 r ∨ (p ∧ ~q) 22. então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Ao todo são cinco premissas. Ora ocorreu o antecedente. logo: Iara não fala italiano. (temos um ou exclusivo. formadas pelos mais diversos conectivos (Se então.. logo: Débora não fala dinamarquês. no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês. para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente. Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano. a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso. então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (P5) Ora. da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol. Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo e. Se e somente se. e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações: Francisco não fala francês Ching não fala chinês Elton não fala espanhol Débora não fala dinamarquês Iara não fala italiano Ana fala alemão. como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala. Da premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês. (P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o então). ele deverá ser falso. Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado.. Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano. Vamos analisar o consequente do se então. ou ambas falsas). pois é. E).q  V  (complementares) V 21. Observe que ao analisar todas as premissas. sabemos que: Francisco não fala francês Ching não fala chinês Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. posso afirmar que o conjunto de cavalos é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas. ou seja. 24. Veja que este argumento é válido. onde p é um número primo. Resposta: B. 25. Todo número composto pode ser escrito como uma combinação de números primos. Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas. posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas. 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos menores do que 100. P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão C. Resposta: B. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras. O problema informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p 2. que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87. estaremos diante de um argumento válido. 23. resposta do problema. 138 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Observe que ao unir as premissas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas. A validade de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa. 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números 9. a conclusão sempre se verifica. O número 4 é um número composto. posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas. 5 e 7 são números primos.A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (A). O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas iniciais (Premissas) e uma proposição final (conclusão). O número que não é primo é denominado número composto. Observe os seguintes números: 1 2 22 (4) 1 3 3² (9) 1 5 5² (25) 1 7 7² (49) 1 11 11² (121) Veja que 4 têm apenas três divisores (1. Observe: . (C) Todo cavalo tem asas. ou seja. ou seja. pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. observe a seguir: Todo cavalo tem 4 patas (P1) Todo animal de 4 patas tem asas (P2) Logo: Todo cavalo tem asas (C) Observe que se tem um argumento com duas premissas. veja: 70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7. a conclusão também for verdadeira. onde 2. (P2) Todo animal de 4 patas tem asas. ou seja.é o antecedente do se então. qual a conclusão que torna o argumento válido. o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua vez é subconjunto dos animais que tem asas. onde temos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Do se então já sabemos que: Geografia não é difícil . então Lógica é difícil. (P2) Artur gosta de Lógica (P3) Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras. ou seja. ou seja. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas. 139 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . aquela que já vai lhe informar algo que deseja. Lógica é difícil . Lógica é fácil. Artur gosta de Lógica. quer dizer que para P1 ser verdadeira. p também será verdadeira. ou seja.é o consequente do se então. inicie sua análise pela premissa mais fácil. Sabendo que Lógica é fácil. ou Artur não gosta de Lógica (P1) Observe que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira. a premissa q é falsa. veja que para ela ser verdadeira. temos um se então. observe a premissa três. Observe a tabela verdade do “ou exclusivo” abaixo: p q pVq V V F V F V F V V F F F Sendo as proposições: p: Lógica é fácil q: Artur não gosta de Lógica p v q = Ou Lógica é fácil. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica. Chamando: r: Geografia é difícil ~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil) p: Lógica é fácil (não p) ~p: Lógica é difícil ~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação do consequente gera a negação do antecedente. Vejamos: Ou Lógica é fácil. ou seja. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras. então Lógica é difícil. ou Artur não gosta de Lógica (P1) Se Geografia não é difícil.Desse modo. Se Geografia não é difícil. ou seja: ~(~p) → ~(~r). vamos para a P2. ou seja. a conclusão se verifica. De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que: Artur gosta de Lógica Lógica é fácil Geografia é difícil Vamos agora analisar as alternativas. Com esta informação vamos até a premissa um. Dessa forma. p → r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil. logo temos um argumento. ou seja. todo cavalo tem asas. as linhas 2 e 3 da tabela verdade. só nos restando a linha 2. em qual delas a conclusão é verdadeira: . Chamando A (proposição rei ir à caça) e B (proposição duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A.a) Se Geografia é difícil. ou seja. nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro. 140 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Lembrese de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”. → Se p então q também pode ser lido como p implica em q. então Lógica é difícil. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q. também não teríamos resposta. se q não ocorrer então p também não irá ocorrer. (F ^ V = F) e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (V ^ V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem forem verdadeiras. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. 26. (F v F = F) a regra do “ou” é que só é falso quando as proposições que o formarem forem falsas. ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. ou seja. → p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra. logo ele é o inocente que está sempre mentindo. III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta. (V → F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (duque sair do castelo) (rei ir à caça). II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta. (V ^ F = F) d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. que trata do uso do conectivo “se então” também representado por “→”. pois o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo. Resposta: C. um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. não teríamos resposta. Sabe-se. Uma questão de lógica argumentativa. basta que p ocorra para q ocorrer. O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A). também. → q é conhecida como condição necessária para que p ocorra. Vamos a um exemplo: Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. → q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente. ou seja: → p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente. 25. O de camisa preta é inocente e afirma que roubou. Vamos às informações do problema: 1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de camisa azul. ele é o inocente que sempre fala a verdade. observem: Ele é inocente e afirma que o de camisa branca é culpado. observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente. dos suspeitos que são inocentes). . que dos outros dois (isto é. O de camisa branca é o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele está dizendo a verdade). Com os dados fazemos a tabela: Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Resposta: A. e E. . então podemos concluir que: 1 .compro uma bicicleta (F) . e E. 28. 1°: separar a informação que a questão forneceu: "não vou morar em passárgada". Danton: . Basílio: . então. Logo: . 27. ora chamamos de E (proposição barão sorriu).00 de troco que.00 que o Eduardo colocou. D.00 e pegou os R$ 60. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional. Chamando A (proposição rei ir à caça) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C.caso (V) .Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10. Eduardo: . um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo). Carlos: . Restam D. Observe entre as alternativas.não compro uma bicicleta (V) . onde poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D. C e E. Resta somente D (Dalton) a pagar.Basílio pagou. e E.00 que ele retirou. 4 . justamente. Se ~C se verifica e A → C. A única informação claramente dada é que o barão não sorriu. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.B. Se ~A se verifica e B → A. 3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. Dado que ~E se verifica e D ↔ E.vou morar em passárgada ou não compro uma bicicleta. com os R$ 100. estavam os R$ 50.00. Se ~D se verifica e C → D. D. e E.caso ou compro uma bicicleta. Lembre-se de que ser condição suficiente é ser antecedente no “se então”. ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: esse modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa). Como todas as informações dadas são verdadeiras. ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C → ~A (então o rei não foi à caça).2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. 2 . . 2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro tem de haver pelo menos uma proposição verdadeira.Aquela nota de R$ 100. Logo barão não sorriu = ~E (lê-se não E). estava a nota de R$ 50.Sim. que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a alternativa C. 4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim.Antônio pagou. Restam A.00 ali foi o Antônio.viajo ou não caso..não caso (F) .Basílio pagou. Restam A.00.. pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.Eduardo pagou com a nota de R$ 50.D. D. Resposta: D.Carlos também pagou.vou morar em pasárgada (F) . Antônio: . segundo Carlos.Carlos pagou.viajo (V) . O único que escapa das afirmações é o Danton.00 pagos por Eduardo. Outra forma: 5 amigos: A. e nos R$ 60. 3 . Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C então D ou C → D. ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A → ~B (então o duque não saiu do castelo). Restam A. 141 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . 3°: destacando-se as informações seguintes: . Resposta: B. ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D → ~C (a duquesa não foi ao jardim).C. A negação dela ~pv~q ~(p^q) ↔ ~pv~q (negação todas “e” vira “ou”) A 1ª proposição tem um Todo que é quantificador universal.00. Logo: basta que uma das proposições seja falsa para a declaração ser falsa. um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3. Resposta: C. é ganha até 3. necessariamente. 2ª Proposição: ganha mais de R$ 3.000. para negá-lo utilizamos um quantificador existencial. A declaração dizia: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.00 por mês. 142 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . portanto. existe um.00 para invalidar.000. desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro. negar a declaração.000.00 por mês”. que obrigaria que o erro da declaração fosse nas duas.Conclusão: viajo. . Proposição composta no conectivo “e” .“Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3. existem.. Lembre-se que no enunciado não fala onde foi o erro da declaração do gerente. Outra forma: c = casar b = comprar bicicleta v = viajar p = morar em Passárgada Temos as verdades: c ou b v ou ~c p ou ~b Transformando em implicações: ~c → b = ~b → c ~v → ~c = c → v ~p → ~b Assim: ~p → ~b ~b → c c→v Por transitividade: ~p → c ~p → v Não morar em passárgada implica casar. A questão pede a negação da afirmação: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde “e” ganha mais de R$ 3.000. pelo menos.000.000. pode ser na primeira proposição e não na segunda ou na segunda e não na primeira ou nas duas que o resultado será falso. caso. Na alternativa C a banca fez a negação da primeira proposição e fez a da segunda e as ligaram no conectivo “ou”.00 por mês.000. A negação de ganha mais de 3.00 por mês. Essa fica assim ~(p ^ q). tornando-a desse modo FALSA.. No caso da questão ficou assim: Um funcionário da empresa não possui plano de saúde “ou” ganha até R$ 3. ou seja. 29. o diretor percebeu que havia se enganado. Logo. Porém. Não morar em passárgada implica viajar.000. basta que um funcionário não tenha plano de saúde ou ganhe até R$ 3.00 por mês”.00 por mês. Atenção: A alternativa “E” está igualzinha.00 por mês. não compro uma bicicleta. pois no conectivo “ou” tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira.000. só muda o conectivo que é o “e”. 1ª Proposição: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde. Pode ser: um. agora analisando individualmente S V Q como falsa. V = conectivo ou e → = conectivo Se. tratando PF V PN como uma proposição individual e sabendo que Je é falsa. o enunciado diz que Carlos almoçou em casa. 31. temos: PF V PN → Je Je → ~Ja ~Ja → ~C Em questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são verdadeiras. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C = Carlos não almoça em casa.30. temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra já citada. Ora. temos: S V Q → PF V PN Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação. Resposta: C. Resposta: B.. então. ~Ja → ~C Para a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira. então ~Ja também é falsa. ~Ja → ~C Na proposição acima desta temos que Je → ~Ja. contudo já sabemos que ~Ja é falsa.. Pedro tem aula de Natação = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF. S = SONHO acordado.A → I . . Representação lógica de todas as proposições: S V Q → PF V PN (f) (f) (f) (f) F F PF V PN → Je F F Je → ~Ja F F ~Ja → ~C F F Conclusão: Carlos almoçou em casa hoje. para esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa. E da mesma maneira tratamos PF V PN. I = INSTRUMENTO soa bem. esta só pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas.. Dê nome: A = AFINO as cordas. . Pela mesma regra do conectivo Se. Sendo: Segunda = S e Quarta = Q. temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição composta seja verdadeira. Ora. 143 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Bem. para esta ser verdadeira S V Q tem que ser falsa. Montando as proposições: 1° .. ou seja Jane não leva Pedro a escolinha. logo a proposição ~C é Falsa. Pedro não teve aula de futebol nem de natação e também não é segunda nem quarta. Na proposição acima temos que PF V PN → Je. Jane fez o almoço e não levou Pedro à escolinha esportiva. na primeira proposição composta da questão. T = TOCO bem. então. Agora é só marcar a questão cuja alternativa se encaixa nesse esquema. Referências IEZZI. Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. então o instrumento não soa bem. Deu não toco muito bem e não sonho acordado. última frase: Não sonho acordado será VERDADE Admita todas as frases como VERDADE Ficando assim de baixo para cima Ou não toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = V Se o instrumento soa bem (F) então toco muito bem (F) = V Se afino as cordas (F).Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier. então não afino as cordas. 144 1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA . Luiz Cláudio Durão. 11 – Financeira e Estatística Descritiva GONÇALVES.2° .com .Volume Único IEZZI. (D) mesmo afinado (Falso deu que não afino as cordas) o instrumento não soa bem. Mauro César – Matemática básica explicada passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier. Gelson . Gelson – Matemática .. Antônio R.Matemática para Cursos de Graduação – Contexto e Aplicações CABRAL. . Extraindo as conclusões temos que: Não toco muito bem. Luiz Claudio. ~T = VERDADEIRO. Se o instrumento soa bem deu falso. 2013. (C) Verdadeira: as cordas não foram afinadas.porcentagem. Mauro César de Abreu . (E) toco bem acordado e dormindo. absurdo. NUNES. então o instrumento soa bem (F) = V A dica é trabalhar com as exceções: na condicional só dá falso quando a primeira V e a segunda F. sendo assim o F passa para trás.br http://www.infoescola. CABRAL. 2013. é um macete que funciona nos exercícios “lotados de condicionais”. só temos como verdade que não sonho acordado.~T V S (ou exclusivo) Como S = FALSO.I → T 3° . Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol.br http://www. Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de conclusão. Se afino as corda deu falso. (B) o instrumento afinado não soa bem deu que: Não afino as cordas. ~A = Verdadeiro = As cordas não foram afinadas. escolha UM”).com. NUNES. A = FALSO.org http://interna. ~T = V T=F I→T (F) Em muitos casos.. Com isso. pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso “ou isso ou aquilo. não sonho acordado como verdade. pode ser que você nem sonhe).coceducacao.Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções IEZZI. Assim: I = F Novamente: A → I (F) O FALSO passa para trás.ufrgs. ALENCAR FILHO. ou) as divergentes se atraem o que dá verdade. http://mat. Joga nas alternativas: (A) sonho dormindo (você não tem garantia de que sonha dormindo. Na disjunção exclusiva (ou.