MATEMÁTICASUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMO .................................................................... 02 2. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS; CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS .................................... 07 3. TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES .......................................................................... 12 4. RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS ........................................................................................ 14 5. PLANO DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ................................ 15 6. CÁLCULO FINANCEIRO E ANÁLISE DE INVESTIMENTO ....................................................... 19 7. TAXAS DE RETORNO ................................................................................................................ 20 8. EXERCÍCIOS ................................................................................................................................ 22 Matemática 1 POTÊNCIA Exemplo: INTRODUÇÃO: EXPONENCIAIS E LOGARÍTMO EXPONENCIAÇÃO Exemplos: 1) 2) É um produto de fatores iguais. 23 = 2 . 2. 2 = 8 Temos: PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS 1ª. MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE: Conserva-se a base e soma-se os expoentes. 2 é a base 3 é o expoente 8 é a potência a Exemplos: m .a n =a m+n Sendo a um número real e n um número inteiro, maior que 1, define-se: an = a . a . a ... a (n fatores) Exemplos: 1) 32 = 3 . 3 = 9 2) 53 = 5 . 5 . 5 = 125 3) 4) (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = - 8 5) (-7)2 = (-7) . (-7) = 49 OBSERVAÇÕES: • Potência com a base positiva e com expoente par (ou ímpar): a potência é positiva. • Potência com base negativa e com expoente par: a potência é positiva. • Potência com base negativa e com expoente ímpar: a potência é negativa. • Toda potência de expoente 1 é igual à base (a1 = a). Exemplos: 1) 2 = 2 1 1) 23 . 2 . 22 = 23 + 1 + 2 = 26 2) 53 . 54 = 53 +4 = 57 2ª. DIVISÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE: Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. Exemplos: 3ª. POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. (a m) Exemplos: 1) (34) 5 = 34 x 5 = 320 2) (2-3) -2 n =a mxn = 2-3 x (-2) = 26 2) • Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo. 4ª. POTÊNCIA DE UM PRODUTO: Eleva-se ao expoente a cada fator. (a . b) n =an.b n 2 Matemática Matéria Exemplos: 1) (2 . 3) 2 = 22 . 32 2) (52 . 2) 3 = (52)3. 23 = 56 . 23 Exemplos: RAIZ Sendo a e b números reais positivos e n um número inteiro positivo, podemos escrever: Divisão Propriedade do radical de um quociente: Exemplos: Para dividir radicais de índices iguais, usamos a propriedade do radical de um quociente. Exemplos: RADICAIS SEMELHANTES: Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Exemplos: Potenciação Conservar o índice e elevar o radicando à potência indicada. OPERAÇÕES Adição e subtração Só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes. Exemplos: Radiciação Exemplos: Conservar o índice e elevar o radicando à potência indicada. Exemplos: Multiplicação Propriedade do radical de um produto: OBSERVAÇÃO: Para multiplicar radicais de índices iguais, aplicamos a propriedade do radical de um produto. • Se o índice (ímpar) for igual ao expoente do radicando, a raiz será igual à base do radicando. 3 3x – 27 = 0 (3x)2 – 6 . a raiz será dada pelo módulo do radicando. Fatorando o 8 obtemos: 3) Resolva a equação 32x – 6 . 4 . logo x = 0.Matemática Exemplos: Exemplos (2º caso): • Caso o índice (par) e o expoente do radicando sejam iguais. Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: 32x – 6. A função f:IR IR+ definida por f(x)=ax. aplicando Bhaskara encontramos y’ = –3 e y’’= 9 Para achar o x. devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x = y: 3x’ = –3 não existe x’. 3x – 27 = 0. Exemplos: am = an ⇒ m = n (a ≠ 1 e a > 0) 1) 3x = 81 Resolução: Como 81 = 34. Exemplos: EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.10 = 22x-1 (a solução é x = 1) 4) 32x-1 . maiores que zero). aplicando as propriedades. a solução é x=2. • Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita em forma de radical. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos. Exemplos de equações exponenciais: 1) 3x = 81 (a solução é x = 4) 2) 2x-5 = 16 (a solução é x = 9) 3) 16x . obtemos: y2 – 6y – 27 = 0 . devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base. com a IR+ e a 1. é chamada função exponencial de base a.3x . 3x – 27 = 0 Fazendo 3x=y. podemos escrever 3x = 34 E daí. 2º) aplicação da propriedade: Exemplos: Simplificação de radicais • Simplificar um radical significa escrevê-lo com termos mais simples. 2) 9x = 1 Resolução: 9x = 1 9x = 90 . Exemplos (1º caso): FUNÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. x = 4. pois potência de base y’ = –3 positiva é positiva y’’ = 9 3x’’ = 9 3x’’ = 32 x’’= 2 Portanto.3x-1 + 1 = 0 (as soluções são x’ = 0 e x’’ = 1) Para resolver equações exponenciais. Racionalização de denominadores Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador.42x-1 . quando 0<a<1. LOGARITMOS a x = b ⇔ x = log a b sendo b>0 . c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva). logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y. x>0 e m ) log a x m = m. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base. obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x y -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 ⎛x⎞ log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y ⎜ y⎟ ⎝ ⎠ 3) Logaritmo da potência: (a>0. temos a seguir.Matemática GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos 2 casos a considerar: quando a>1. algumas consequências da definição de logaritmo: log a 1 = 0 log a a = 1 log a a m = m a loga b = b log a b = log a c ⇔ b = c PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 1) Logaritmo do produto: (a>0. y ) = log a x + log a y 2) Logaritmo do quociente: (a>0. podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. x>0 e y>0) log a ( x.1). x>0 e y>0) 1) y=2x (nesse caso. é necessário fazer. a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente.a>0 e a 1 e m um número real qualquer. a=2. b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b. logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y. portanto o conjunto imagem é Im=IR+.a>0 e a 1 log a x = log b x log b a 5 . obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x y -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 log a n x m = log a x n = m . a função não tem raízes. log a x Caso particular: m 2) y=(1/2)x (nesse caso. obtemos: a= base do logaritmo b= logaritmando ou antilogaritmo x= logaritmo Exemplos: 1) log2 32 = 5 pois 25 = 32 2) log4 16 = 2 pois 42 = 16 3) log4 1 = 0 pois 50 = 1 Consequências da definição Sendo b>0 . usa-se: Nos dois exemplos. antes. log a x n MUDANÇA DE BASE Em algumas situações. a=1/2. a 1. a 1. a 1. Essa conversão chama-se mudança de base. Acompanhe os exemplos seguintes: Na igualdade X = loga b. podemos observar que: a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal. 50515 1.913814 1.176091 1.908485 1.30103 1.653213 1.880814 1.919078 1.591065 1.897627 1.763428 1.986772 1.94939 1.672098 1.875061 nº 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 log 1.944483 1.792392 1.579784 1.90309 1.954243 1.845098 1.477121 1.755875 1.041393 1.982271 1.954243 1 1.255273 1.740363 1.748188 1.60206 0.531479 1.633468 1.991226 1.963788 1.838849 1.869232 1.857332 1.90309 0.977724 1.69897 nº 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 log 1.568202 1.716003 1.230449 1.819544 1.60206 1.995635 2 ANOTAÇÕES ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 6 .491362 1.361728 1.863323 1.690196 1.662758 1.939519 1.079181 1.612784 1.929419 1.845098 0.851258 1.934498 1.78533 1.544068 1.69897 0.278754 1.477121 0.342423 1.681241 1.462398 1.70757 1.113943 1.924279 1.30103 0.414973 1.732394 1.643453 1.778151 0.778151 1.826075 1.623249 1.812913 1.959041 1.724276 1.556303 1.968483 1.20412 1.892095 1.322219 1.Matemática Matéria Logaritmos Decimais nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 0.39794 log nº 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 log 1.447158 1.770852 1.431364 1.380211 1.518514 1.146128 1.973128 1.799341 1.886491 1.832509 1.80618 1. .a. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. durante 145 dias. Valor Atual.t.q. . Em inglês. 0.00 à taxa de 18% a. t = 145 dias Nesse caso.Matemática JUROS SIMPLES E COMPOSTOS. significa ao quadrimestre) MONTANTE Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Os juros que pagarei serão: C = 1000 i = 8% a. que no exercício é anual para taxa diária. significa ao trimestre). Ou seja. ou seja: M=C+J J= J = 160. . JUROS SIMPLES O juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. n = 2 meses Observe que a taxa de juros e o número de períodos estão em meses. CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. J= Onde: J C i n juros principal (capital) taxa de juros número de períodos 2 OBSERVAÇÃO: A taxa de juros e o número de períodos devem estar na mesma unidade de tempo. Exemplos: 1. C = 70000.10 a. em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: Exemplos: 8 % a.(a.00. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. antes de somarmos os juros. com isso já podemos partir para a fórmula de juros simples: JUROS Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. significa ao ano). usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).(a.q.m. significa ao mês). Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70. há uma diferença nas unidades de tempo da taxa de juros e número de período.a. Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária. CAPITAL O Capital é o valor aplicado por meio de alguma operação financeira.m. Tenho uma dívida de R$ 1000. .00 O montante é o resultado da soma do capital e o juros: M=C+J M = 70000 + 5075 M = 75075. Ela vem normalmente expressa da forma percentual.15 a.00 que deve ser paga com juros de 8% a.a. Temos: Jogando na fórmula de juros simples: JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o Capital. Valor Presente ou Valor Aplicado.a. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.m. que é igual a taxa percentual dividida por 100.t. Para resolver isso. passaremos a taxa. será de R$ 160.000.(a. Concordando com o período da aplicação.00 7 .00 Portanto o juros que pagarei. Também conhecido como: Principal. 2. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. JUROS COMPOSTOS O juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de o correspondente intervalo.00 i = 18% a. 10 % a.(a. TAXA DE JUROS A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado para um determinado período. sem o símbolo %: 0.m. Capital ou valor principal é o valor inicial emprestado ou aplicado. Transformando em fórmula temos: J= J = 5075. o juro obtido. temos: 1º mês: M = C • (1 + i) 8 .00 c) R$ 2400.5Cn = 0 C(100 – 12. Calcular os juros simples de R$ 1200. n = 1 mês J = 70 JUROS COMPOSTOS O ganho.00 d) R$ 6000.00. n = 1 ano n = 12 meses Resposta: Alternativa C.m. n = 1 mês J = 3000 Aplicando a fórmula.m.00 após 30 dias. durante 1 ano. Já sabemos que o capital é R$ 10000. J= J= 200C – 100C = 12. n = 4 meses e 15 dias 4.d.5 = 0 -12. Por esta razão. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao capital.00. 2. o juro obtido. A taxa mensal de juros cobrada pela loja é: a) 3. o saldo cresce em progressão geométrica. A primeira é quando o capital é aplicado a uma taxa de juros simples de 1% a. que é trimestral. A segunda situação apresentada é a seguinte: “Sabendo-se que ele foi aplicado a uma taxa de juros simples de 2% a.m.5n) = 0 300 = C = 10000 30C = 300000 C= C = 0 ou 100 – 12.m. ele renderia R$ 3000. É uma metodologia mais complexa que a dos juros simples e a utilizada em. durante 1 mês. i = 30% a. C M=C+J i= 2C = C + % a.a M = 2. em reais. Após três meses de capitalização.t.00 a 13 % a. quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado por meio de capitalização simples? i = 150% a. durante 1 ano.t. após cada período. Dessa maneira podemos escrever: i = 1% a.5 meses Podemos considerar o período de 4 meses e 15 dias. durante 1 mês.5% b) 5% c) 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. C = 1200 i = 13% a.Matemática 3. foi de: a) R$ 1800. temos então: C = 10000 i = 2% a.m i = 12. temos: J= J= J =234. por sua vez. por 4 meses e 15 dias.00. já que sobre a entrada não pode incidir juros.00. passa a render juros.d. todas as formas de empréstimos das financeiras e instituições bancárias. é também conhecido como “juros sobre juros”.00 b) R$ 2000.00 4. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano.5 meses.5n = -100 (-1) 12. praticamente.5Cn 100C – 12.5n = 100 n = ____ 100 12. O preço à vista de um Notebook(computador portátil) é R$ 2400.5 n = 8 meses Portanto.5% a. Usando a fórmula de juros simples: J= 1400i = 7000 i= i = 5% 70 = Resposta: Alternativa B. é incorporado ao principal e. ele renderia R$ 3000. como simplesmente 4.5% d) 8% Solução O capital financiado é R$ 1400. Já a taxa.00.5Cn = 0 Resolvendo a segunda equação: 100 – 12. Se certo capital fosse aplicado a uma taxa de juros simples de 1% a. foi de”.m. C = 1400 n = 30 d. Sabendose que ele foi aplicado a uma taxa de juros simples de 2% a.00 de entrada e R$ 1470. em reais. ou seja. serão necessários 8 meses para duplicar o capital.d. transformaremos em mensal dividindo por 3.00 Solução Nesta questão existem duas situações. O comprador deu R$ 1000. basta isolarmos cada um dos três elementos. mas também o Capital.00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 20% ao mês. Para isso. Um montante de R$ 15790.97. 0. valor pago. com cada elemento isolado. que pode ser obtida através de uma tabela financeira.728 M = 345.56 foi gerado de um capital de R$ 8000. São exemplos de título de crédito as letras de câmbio. um certo capital. mas isto não acontecerá sempre assim. Muitos exercícios omitem esta informação.00 que ficou aplicado a uma taxa composta de 12% ao ano.m.12) = 0. DESCONTOS Denomina-se desconto ao abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. Capital Inicial ou Principal.m. i = 0. o capital ficou aplicado durante 6 anos. é o valor do título de crédito. o saldo cresce em progressão geométrica. aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do título. Calcular o montante desta aplicação após 3 meses.2953 e log(1. (dados: log(1. • Num regime de capitalização a juros compostos. ou seja. Calcule o tempo que durou esta aplicação.Matemática 2º mês: o capital é igual ao montante do mês anterior: M = C • (1 + i) • (1 + i) 3º mês: o capital é igual ao montante do mês anterior: M = C • (1 + i) • (1 + i) • (1 + i) Generalizando. o saldo cresce em progressão aritmética.2)3 Portanto.049218) Solução M = 15790. 9 .a. A diferença entre o valor nominal e o valor líquido é o que se denomina desconto.02)10 M = 200 (1 + 0. Essa tabela nos mostra os resultados do cálculo de (1 + i)n.02 n = 10 meses M C = ______ (1+ i)n 3656. Solução C = 200 i = 20% a.21899) Solução M = 3656.2953 n = _________ 0.049218 n=6 Exemplos: 1. Qual o valor desse capital? (dado: 1.23 M = 200 • 1. notas promissórias e as duplicatas. a taxa de juros e o número de períodos da aplicação. No juros compostos.m. C = 8000 Importante: a taxa i medida de tempo de n. Valor Nominal (VN) também chamado valor de face. à taxa de juros de 2% a.. i = 0. 3. M C i n Montante. número de períodos.97 i = 2% a.97382) = 0. rendeu um montante de R$ 3656. Podemos. basta diminuir o principal do montante ao final do período: J=M–C A fórmula M = C • (1 + i)n é a fórmula fundamental dos juros compostos. calcular não somente o montante. Para facilitar o trabalho algébrico. e o montante está isolado. Um capital de R$ 200. após 10 meses. Para calcularmos apenas os juros.00.97 C = __________ (1+0. taxa de juros. para diversos valores de i (que varia a cada coluna) e de n (que varia a cada linha).0210 = 1. valor Valor Líquido (VL) descontado.0210. tem que ser expressa na mesma Portanto. OBSERVAÇÃO: • Num regime de capitalização a juros simples.60 2.2 n = 3 meses M = C (1 + i)n M = 200 • 1. foi dado o valor de 1. obtemos a fórmula: M = C • (1 + i)n Onde. também chamado valor atual.12 i = 12% a.56 i = 0. é o intervalo de tempo entre Prazo de Antecipação (PA) a data em que o título é negociado e a data de vencimento do mesmo. a partir dela. o capital investido foi de R$ 3000. apresentaremos abaixo a mesma fórmula. OBSERVAÇÃO: Nesta questão. porém. é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes da data de vencimento do título. classificado em duas modalidades: desconto racional composto e desconto comercial composto. Neste caso. 10 . => n = 2 meses. com taxa composta de 10% ao mês. ou seja. Vamos começar com o D(desconto comercial composto) usando a fórmula: L = N • (1 – i)n Temos: L = 24200 • (1 – 0.00 VN = VN = 800 Portanto o Valor Nominal do título era R$ 800. Na verdade é uma comparação entre o dois tipos de desconto composto.m. 100% é o Valor Nominal. pois sabemos que o desconto (D) é a diferença do Valor Nominal (VN) e o Valor Líquido (VL). em reais..500 D = 150 DESCONTO COMPOSTO Na capitalização composta. também. pois valor descontado é diferente de desconto) A taxa total de desconto é de 24%. A taxa total de desconto é de 30%. resultou num valor descontado de R$ 608. o desconto pode ser classificado em duas modalidades: desconto racional simples e desconto comercial simples.200. 1. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO Conhecido também como desconto financeiro. e será calculado por meio da fórmula: A • (1 + i)n = N ou ainda A = N (1 + i) n Onde DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO É calculado usando-se uma taxa de juros composta postecipada.VL.1 Para esta questão teremos que calcular o desconto comercial composto e o desconto racional composto.VL = 650. 2. o valor líquido será o 100% e portanto o valor nominal 130%. c) 397.00. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. e será calculado por meio da fórmula: A = N • (1 – i)n Exemplo: (CAIXA-2008)Um título de valor nominal R$ 24. Solução n = 60 dias = 2 meses i = 12% a. pois foram 2 meses de antecipação. A diferença D-d. VL = 608 (muito cuidado.00. é calculado usando-se uma taxa de juros composta antecipada.VL D = 650 . como o desconto é racional.m.9)2 L = 24200 • (0.m. 60 dias antes do vencimento e à taxa de 12% a. ou seja. pois foram 2 meses de antecipação.00. na conta. vale: a) 399. e) 395. Desconto racional simples “desconto por dentro” é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor líquido.00.00. 100% é o valor líquido. ou seja. na conta.Matemática DESCONTO SIMPLES Na capitalização simples. o desconto pode ser. precisamos achar o Valor Líquido. Usando uma regra de três: 130% ---------650 100%----------VL VL = 500 Portanto o desconto dado ao título foi de R$ 150. Solução VN = 650 => i = 15% a. pois o valor nominal sofreu um desconto à taxa de 24%.81) L = 19602.1)2 L = 24200 • (0. b) 398.00 será descontado dois meses antes do vencimento. Solução N = 24200 I = 10% = 0. descontado 2 meses antes de seu vencimento. descontado comercialmente. D = VN .00. Exemplo: b) Determinar o valor nominal de um título que. o valor nominal será o 100% e portanto o valor líquido será 76%. à taxa de 15% a.. Desconto comercial simples “desconto por fora” é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o Valor Nominal.m. d) 396.00.100 D = VN .608 D = 192 Onde 130 . como o desconto agora é comercial. Usando uma regra de três: 76% ---------608 100%----------VN 76 • VN = 608 • 100 Caso o exercício pedisse o valor de desconto dado ao título: D = VN – VL D = 800 . Exemplo: a) Determinar o desconto por dentro sofrido por um título de R$ 650.00.00. 1) n Assim tendo o valor de D e de d.00 A= 24200 1. já podemos fazer a diferença D-d: D – d = 4598 – 4200 D – d = 398.00 A= A= N (1 + i) n 24200 (1 + 0.21 A = 2000.A.00 O valor do desconto d será dado por: d = N . assim d = 24200 – 20000 d = 4200.12 Agora vamos calcular o d(desconto racional composto) usando a fórmula: A • (1 – i)n = N Temos: A = 24200 1.00 ANOTAÇÕES ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 11 .Matemática Matéria Sabemos que o valor do desconto é dado por D = N . portanto D = 24200 – 19602 D = 4598.L. 68%.68%. veja: (1 + it)1 = (1 + im)3 Sabemos que im = 20%a. c) 13.8% a.08%. 1 trimestre equivale a 3 meses. d) 1. OBSERVAÇÃO: Usaremos.2)3 1 + it = 1. b 04.08%. corresponde a uma taxa bimestral equivalente a: a) 8%. b) 8. 03. 02.23 1 + it = 1.. Quando isso não ocorrer ela será chamada Taxa Nominal. corresponde a uma taxa mensal equivalente a: a) 2.t. d) 14. d) 1.00. 02. Note que basta uma simples regra de três para calcular taxas proporcionais.1 it = 0. produzirem juros iguais.t.000. A taxa de 4% ao mês. corresponde a uma taxa anual equivalente a: a) 12.00%. CONVERSÃO DA TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA A conversão será feita usando uma regra de três simples.m.00%. quando capitalizada com juros compostos. A taxa de 1% ao mês. b) 12. b Exemplo: Qual a taxa trimestral de juros compostos equivalente à taxa composta de 20% a. c) 2.? Temos que.0816%.728 it = 1. TAXAS PROPORCIONAIS Duas ou mais taxas são proporcionais se.Matemática 3 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES c) 1. produzirem juros iguais. quando capitalizada com juros compostos. com taxa de 2% ao mês.00%. ao longo de nossos estudos.68%. Exemplos: Taxas Nominais EXERCÍCIOS 01. desta maneira 1 e 3 serão os expoentes. ajustando assim a taxa nominal proporcionalmente ao período 12 . 04.16%. = 0. b) 8. e) 2. aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo período de tempo. equivale à taxa 8% ao quadrimestre. é a taxa trimestral equivalente a taxa mensal de 20%a. no regime de juros compostos. percebemos que a única diferença é o regime de juros.m. por um período de 4 meses (juros simples). c) 1.16%. no regime de juros simples. nos juros compostos. podemos afirmar que a taxa de 2% ao mês e 8% ao quadrimestre são proporcionais. aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo período de tempo. corresponde a uma taxa bimestral equivalente a: a) 8%. 72. a 03. e) 16%. A taxa de 15% ao semestre. a seguinte convenção para taxa efetivas: GABARITO 01. e TAXAS EFETIVAS E TAXAS NOMINAIS Uma taxa é chamada Efetiva quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros coincide com a unidade de tempo do período de capitalização.36%. Nas definições de taxas proporcionais e equivalentes.728 .728% a.17%.m. b) 2. e) 16%.2.728 it = 0. quando capitalizada com juros simples. A taxa de 4% ao mês. Portanto. Exemplo: Uma aplicação de R$ 1. e) 15.0816%. Portanto.49%. d) 2.50%. TAXAS EQUIVALENTES Duas ou mais taxas são equivalentes se. daí (1 + it)1 = (1 + 0. As taxas unitária e real relacionam-se da seguinte forma: (1 + iR) • (1 + iI) = (1 + iA) Portanto. quase sempre desconsideramos um detalhe muito importante: a inflação. em mãos. podemos resumir a questão em: Qual a taxa efetiva semestral equivalente à taxa efetiva de 20% a. capitalizados trimestralmente..a.. Qual deverá ser a taxa mensal que usaremos para calcular o montante? Resposta: letra B. Ao considerarmos a inflação chamaremos de Taxa Real. Qual é a taxa de juros efetiva trimestral praticada nesta aplicação? TAXA REAL E TAXA APARENTE Quando em um exercício falamos em taxa de juros de uma aplicação financeira.1 Já com a taxa Efetiva de 20% a.t. é chamada de Taxa Aparente.5% Resolução Temos uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre.a.0% c) 67.06 iA = 0.0% d) 64.a. qual foi a taxa real dessa aplicação? Solução iR = ? iI = 0. no sistema de juros compostos.. a taxa nominal de 72% a.8% e) 60. a taxa apresentada sem considerar a inflação. capitalizada bimestralmente. Sendo assim.? ANOTAÇÕES ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 13 . capitalizada bimestralmente? a) 75.b.. Se.m. corresponde à taxa efetiva de 6% a. EXERCÍCIO RESOLVIDO (CAIXA-2009-ACRE) Qual a taxa efetiva semestral.4% b) 72. A primeira providência deve ser convertêla em taxa Efetiva: Onde { iR ii iA Taxa Real Taxa de Inflação Taxa Aparente Exemplo: Consideremos que um banco tenha oferecido uma determinada aplicação pagando uma taxa efetiva de 10% a.b.Matemática Matéria de capitalização. b) Um problema de juros compostos faz referência a uma taxa de juros de 8% ao ano.a. Ela faz a taxa apresentada não representar a realidade. equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre. Portanto. corresponde à taxa efetiva de 2% a. período for registrada uma inflação da ordem de 6% a. no mesmo. a taxa nominal de 8% a.. Vejamos alguns exemplos: a) Uma aplicação financeira paga juros compostos de 72% ao ano com capitalizações mensais. são pagamentos sucessivos para um investimento (Capitalização) ou para a quitação de uma dívida (Amortização).Matemática 4 RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS Rendas Certas. ou também chamadas séries periódicas uniformes. As rendas podem ser classificadas: ANOTAÇÕES ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 14 . valor financiado. 5 Exemplos: 1. também conhecido como SACRE – Sistema de Amortização Crescente e por último o SAA – Sistema de Amortização Americano. pois o juro diminui e a prestação mantém-se constante. prestações iguais. • Fórmula para calcular-se o valor da prestação R é: Pelo gráfico observamos que a amortização é constante.05 Aplicando a fórmula: SISTEMA FRANCÊS OU PRICE O sistema Francês foi utilizado primeiramente na França.000 n=3 i=5%=0. pois as parcelas são iguais. Principal.00 será pago em três prestações mensais iguais. para n períodos e taxa i de juros P Capital. qual o valor das prestações? Solução Sabemos que o sistema de Amortização do exercício é o Francês. os juros de cada parcela também serão calculados a partir do saldo devedor do período anterior à parcela.Sistema de Amortização Constante. 15 . pois é calculado a partir do saldo devedor do período imediatamente anterior. ou ainda Onde: R valor da prestação Fator da tabela Price. (Prestação=Cota de Amortização+Juros) Os principais e mais utilizados sistemas de amortização são: SAF . ou seja.000.. no século XIX. SAC . que o valor das prestações são decrescentes. Como o próprio nome diz. P=200.Matemática PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS PLANOS DE AMORTIZAÇÃO A amortização é o processo pelo qual uma dívida é paga progressivamente por meio de prestações que por sua vez representa a soma da amortização do período (cota de amortização) com os juros do saldo devedor. Considerando uma taxa de juros de 5% a. • A cota de amortização é crescente. Começaremos com o mais utilizado no Brasil. Daí percebe-se que as prestações serão decrescentes: Vamos a algumas características do Sistema Francês: • O valor das prestações é constante.Sistema de Amortização Francês. por isso o nome. Um empréstimo de R$ 200. e os juros decrescem em função do saldo devedor. Mas também é chamado de Tabela Price em homenagem ao inglês Richard Price que foi o responsável em incorporar a teoria de Juros Compostos às amortizações de empréstimos. basta dividir o Principal (P) pelo número de prestações (n). CÁLCULO DA COTA DE AMORTIZAÇÃO Como a amortização (A) é constante. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) No SAC. • O juro pago em cada prestação é decrescente. no século XVIII. o que seria feito caso o financiamento fosse sem juros. as cotas de amortização são constantes. SAM – Sistema de Amortização Misto.m. não é necessário calcular o saldo devedor do período anterior. SDK-1=Saldo devedor após o pagamento da prestação K-1. a escolha da fórmula para o saldo devedor. c) O valor do juro pago na sétima parcela. c) Juro pago na 7ª prestação Aqui também usaremos as duas fórmulas apresentadas: • Na segunda fórmula de juros apresentada. Ao substituirmos na fórmula o SDK-1 pela segunda fórmula de b) Saldo devedor na sexta prestação Como vimos podemos utilizar duas fórmulas para o cálculo: • Fica assim ao critério do leitor considerando as restrições de cada exercício. Exemplo: Alexandre e Thatiane fazem um empréstimo de R$ 6 000. n número de prestações. CÁLCULO DO JURO O Juro do período será calculado a partir do saldo devedor do período anterior. Calcule: a) O valor da cota de amortização. teremos: ou Onde: SDK Saldo devedor após pagamento da prestação de número K. ficando assim mais prática que a primeira. o mesmo acontecendo para o cálculo do juro que faremos a seguir. b) O saldo devedor após terem pagado a sexta prestação. K número da última parcela paga. i taxa de juros do financiamento. no período k-1. d) O valor da sétima prestação. Solução P=6 000 n=10 i=15%=0. a taxa de 15% ao ano.Matemática CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR O saldo devedor do período será calculado a partir do saldo devedor do período anterior menos a cota de amortização. 16 . que só será prática caso o leitor já tenha em mão o saldo devedor como foi o nosso caso aqui no exercício. saldo devedor.00 em um banco por meio do SAC em 10 prestações anuais.15 a) Cota De Amortização Onde: JK Juro pago na prestação de número K. A Cota de amortização. P Principal ou Capital. Cálculo da 9ª prestação pelo SAM: Basta achar a média aritmética entre a 9ª prestação pelo SAF e a 9ª prestação pelo SAC: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO Neste sistema o Principal(P) é pago apena no fim do financiamento. não haverá juros.Matemática Matéria d) O valor da 7ª prestação SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) No sistema SAM. Preencheremos a linha n=0 com traços. que se mantém J=100 000·0. Complete a planilha.00 100 000. Lembrando que a amortização só será feita na última prestação (n=3). Em raros casos. os juros são capitalizados e pagos juntamente com o Principal no fim do prazo acertado. o mesmo. Como J = SD.00 n=12 i=2%=0. Cálculo da 9ª prestação pelo SAF: 3. Exemplo: Um empréstimo de R$ 12 000.i 17 . calcule a 9ª prestação. Exemplo: Um fazendeiro comprou um terreno por R$ 100 000.00 até n=2. Solução P=12 000.02 K=9 1. n 0 1 2 3 Juros Amortização Prestação Saldo Devedor Consultando a tabela 3. pois não há amortização até n=3. por isso. temos que 2. o tomador do empréstimo paga os juros periodicamente.00 100 000. amortização e muito menos prestação no período n=0. ou seja. cada prestação será obtida pela média aritmética entre a prestação do sistema Francês e a prestação do SAC. e só amortiza a dívida no final com um único pagamento.2 e 3 são iguais pois.03 ( J=3 000.00). Sabendo que a taxa é de 2% ao mês.00 em 3 prestações. por meio de uma parcela única. a serem pagas a juros de 3% ao ano. será pago em 12 prestações mensais pelo Sistema de Amortização Misto. serão calculados a partir do saldo devedor do período anterior.00 .00 Os juros para n igual a 1. exceto para o Saldo devedor que será de R$ 100 000. Nossa planilha ficará assim: n 0 1 2 3 Juros - Amortização - Prestação - Saldo Devedor 100 000. Cálculo da 9ª prestação pelo SAC: Devemos perceber que é uma renda postecipada. 00 100 000.Matemática Matéria n 0 1 2 3 Juros 3 000.00 3 000.00 3 000.00 100 000.00 100 000.00 3 000.00 100 000. por isso.00 3 000.00 Saldo Devedor 100 000.00 - ANOTAÇÕES ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 18 .00 Amortização Prestação 3 000.00 3 000.00 Prestação 3 000.00 Note que já preenchemos as prestações R1 e R2 com o mesmo valor dos juros.00 Saldo Devedor 100 000. No terceiro ano o fazendeiro pagará a última prestação.00 3 000. lembrando que R=A+J.00 Amortização 100 000. ficando assim a planilha: n 0 1 2 3 Juros 3 000. deve amortizar a dívida.00 103 000. O rendimento gerado na produção é aplicado aonde e como? A este processo pelo qual um capital inicial C produz um juro. REGIME DITO SIMPLES O juro periódico não é pago no fim do respectivo período. ou seja. chama-se processo de capitalização.Matemática CÁLCULO FINANCEIRO E ANÁLISE DE INVESTIMENTO PROCESSO DE CAPITALIZAÇÃO 6 Um dos temas que a Ciência Econômica aborda diz respeito à aplicação do rendimento. 19 .n Na contagem do juro periódico e na formação do capital acumulado há a considerar três regimes de capitalização: REGIME PURO SIMPLES O juro periódico é pago no fim do respectivo período e sai do processo de capitalização. a um certo tempo.i. vai ser adicionado ao capital existente em cada período de capitalização. vai ser adicionado ao capital existente em cada período de capitalização. J = C. e entra no processo de capitalização. REGIME COMPOSTO O juro periódico não é pago no fim do respectivo período ou seja. mas não entra no processo de capitalização. A TIR é um número intrínseco ao projeto e não depende de nenhum parâmetro que não os fluxos de caixa esperados desse projeto. • Se a taxa de retorno for menor que a taxa de juros do mercado. é encontrado um único valor real para a TIR. Esses exemplos de fluxos futuros de caixa são no entanto algumas das possibilidades de fluxos de caixa que o mercado financeiro pode proporcionar. não é rentável fazer o investimento. Quanto maior for a taxa de retorno maior. O VP portanto será igual a zero. Substituindo 15% na equação acima acharíamos um VP de -2.751. Se Substituirmos i por 0. Assim sendo a TIR admite a hipótese matemática de se encontrar até 10 valores para i inclusive valores negativos. a equação é de 2º grau. CÁLCULO DA TIR Vamos utilizar um exemplo para descrever como a TIR é calculada. Logo seu comportamento descreverá uma parábola conforme a figura. Os investidores dispõem de diversos métodos para a análise de um investimento.000 + 10. Uma outra curiosidade é que o denominador dos fluxos de caixa é representado por (1+i)t. Visualizando as operações da empresa teríamos a seguinte equação. R$ 12. Se a taxa de juros fosse de 20% as possibilidades de lucros seriam duas vezes maior pois o projeto seria lucrativo a qualquer taxa de juros desde que esta não ultrapassasse 20%. A utilização da TIR tenta reunir em apenas um único número o poder de decisão sobre determinado projeto.000.000. o investimento é indiferente pois a rentabilidade é nula. O que aconteceria se a taxa de juros do mercado fosse de 6%? Substituindo 6% na equação acima acharíamos um VP de 2. 20 .000.149. UTILIZAÇÃO DA TIR Fizemos o cálculo da TIR e encontrarmos 10%.768.1.000.377.358 + 10.565.000.310. Mas o que isso quer dizer? Quer dizer que a taxa de 10% esse projeto é economicamente indiferente pois não trará lucro nem prejuízo. é rentável fazer o investimento. Nessa situação a possibilidade de múltiplas respostas no cálculo da TIR é verdadeira dificultando uma análise simples como a descrita no caso da Empresa WYS. Interpretar o significado financeiro de número enorme de soluções para a TIR é um tanto trabalhoso. Vejamos agora como seria calculada a TIR. • Quando a taxa de retorno se equivale a taxa de juros do mercado.000.338 + 8.541).000. Entretanto.000. fato esse que faz com que a TIR seja um método difícil de se calcular e que dependendo das respostas encontradas difícil de se avaliar.000 + 10. O uso da TIR deve servir para comparações com a taxa de juros do mercado.648 (-30.903 (-30. Vamos supor que no caso da Empresa WYS. Existem situações nas quais o fluxos futuros de caixa podem ser positivos e negativos aleatoriamente.000.000 + 10.321.000 + 10.000 ao longo de três anos. Quando existe a situação inversa na qual o fluxo de caixa no período zero é positivo e os demais fluxos são negativos. O Pay Back é extremamente voltado para a variável tempo enquanto o Valor Presente Líquido volta-se para o valor dos fluxos de caixas obtidos a data base.00. Suponha que a empresa WYS necessita investir R$ 30. Teremos que VP = -30.333).533. mesmo com o problema das múltiplas raízes quando o fluxo no período zero é negativo e os demais fluxos são positivos.957 + 11.Matemática 7 TAXAS DE RETORNO Através de nossos cálculos chegamos a seguinte conclusão: • Se a taxa de retorno for maior que a taxa de juros do mercado. Esse número não depende da taxa de juros de mercado vigente no mercado de capitais (Daí o nome Taxa Interna de Retorno).100. Se fizermos uma análise mais apurada do cálculo da TIR iremos perceber uma enorme dificuldade matemática para seu cálculo caso o nº de períodos seja maior que 2. maior será o nº de possibilidades de um investimento ser lucrativo.175.000. verifica-se também um único número real para o cálculo da TIR. dessa vez voltada para a variável taxa. Agora vamos supor que a taxa de juros do mercado seja de 15%.000 + 9.00 para obter fluxos futuros de R$ 11.00 e R$ 13. Assim sendo se tivermos uma quantidade de fluxos igual a 10 por exemplo iremos nos deparar com um denominador representado por um polinômio de décimo grau que seria (1+i)10 . PROBLEMAS COM A TIR Até o presente momento a TIR parece ser um modelo de análise de investimento eficaz pois utiliza-se apenas de um único número para análise. achássemos como solução da TIR 2% e 10%.1. É uma taxa tal que se utilizada fará com que o lucro do seu projeto seja nulo ou VPL = 0. A ideia da TIR surgiu como mais um modelo de análise de investimento. No exemplo a taxa de juros é de 10%. Se VP for igual a zero a única resposta seria 0. Isso quer dizer que o projeto será lucrativo a qualquer taxa menor que 10%. A TIR é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor ao presente das saídas de caixa do investimento. Como analisaríamos se esse projeto é viável ou não? Como nesse caso são duas soluções. Concluímos a taxa interna de retorno do projeto é de 10% ao ano. Para que seja calculada a TIR devemos considerar que VP seja igual a zero.000.217 + 9. Cada um destes enfoca uma variável diferente.000. Isso quer dizer que a TIR é a taxa que “zera” o seu investimento. No entanto quanto maior for o período. Outro impasse é que as taxas de juros do mercado mudam constantemente. Se houver mais de uma TIR. Como determinar com exatidão os fluxos de caixa esperados? E se houver risco? Questões como essa fazem com que os investidores muitas vezes desmeresçam o método da TIR e procurem outros métodos de avaliação. Uma outra desvantagem é que embora a taxa de juros do mercado não afete o cálculo da TIR. projetos que prometiam uma alta rentabilidade podem de repente transformar-se em verdadeiros prejuízos por conta do enorme número de intervalos de lucratividade e prejuízo que um número grande de soluções para a TIR poderá proporcionar. As conclusões que o gráfico nos mostra são as seguintes: Abaixo de 2% Lucro 2% Nulo Entre 2% e 10% Prejuízo 10% Nulo Acima de 10% Lucro ANOTAÇÕES ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 21 . Como 2% e 10% fazem o VP ser igual a zero são portanto as raízes da equação.Matemática Matéria Assim sendo mesmo com mais de uma solução é possível utilizar a TIR. a TIR depende dos fluxos de caixa futuros. maior poderá ser o nº de raízes dificultando o cálculo. d) 2. e) n. 04. e) n.d. O valor de x nesta equação exponencial é: a) 4 1 = 81 b) . O valor de x nesta função exponencial é: a) 2 52x+ 3 = 125x b) 3 c) 1 2 d) 1 3 e) n.1 4 e) n. c) 15. 3x – 2 – 32x – 4 = 0 b) 3. e) n. c) 4. c) 2. d) 27. Se 9X = 243 .d. c) 5 4 d) 4 5 e) n. 55x – 4 – 5 = 0 b) 1. então. 01. 4x – 8 = 0 b) 3/2. e) n.a. 06. e) n.d.d. 102x . c) 2. 13.d. O valor de x nesta função exponencial é: 9x + 3 = 81x a) 2.d.d. o valor de x é: a) 1/2. O valor de x nesta equação exponencial é: a) 2.a. 05.Matemática 8 EXPONENCIAL EXERCÍCIOS 08. 12. 10. 15.d.a.a. O valor de x nesta equação exponencial é: a) 0. d) 3. c) 4. e) n. d) 25. d) 8. O valor de x nesta equação exponencial.a. c) 9. d) 8. e) n.a. e) n. c) 6.2. 3x = 5√81 b) 4. O valor de x na equação exponencial abaixo é: a) . 2x – 3 = 16 b) S = { 5 }.a. b) 3.d.4 3x c) 1 4 d) .d. é: a) 3. x é igual a: a) 5 2 b) 5 3 c) 2 5 d) 27 e) n.a. 3x = 81 b) 4. 14.d. 22 . 02. o valor de x é: a) -4. Nesta equação exponencial. 03.a. O valor de x nesta equação exponencial é: a) 1 83x + 1 – 8x = 0 b) 2 c) – 2 d) – 1 2 e) n.4 = 1 b) . 09. A equação exponencial abaixo tem como solução: a) 5.a.a. Esta equação tem seu conjunto solução igual a: a) S = { 7 }.d. c) 1. Na equação exponencial abaixo.a. d) – 1. O valor de x nessa equação exponencial é: a) 1 22x + 5 = 64 2 b) 2 c) 6 d) 1 6 e) n. 11.d.a. b) 4. O valor de x nesta equação exponencial é: a) 2.a. 07. d) 5.a.d. d) S = { 1 }. c) S = { 4 }. e) n.d.1. 5x = 125 b) 5. .88 = 3.67 e R$ 333. a 14.600. e) todas as alternativas acima estão erradas. DESCONTOS 01.00. 03. b) R$ 80. b) R$ 75. respectivamente. c) desconto composto “por fora”.883. d 22. 21. O valor de x na equação exponencial abaixo é: a) 2.a.d.116. b) desconto simples “por fora” (ou bancário ou comercial). é resgatada dois meses antes do vencimento.00.00. d 11.00. 02. b 17. c) R$ 86. a 05.19.88 Desconto: 100. b 03.00.00 e R$ 400.00 e R$ 360. referentes a diferentes maneiras com que uma nota promissória pode ser descontada: a) (.33. há um desconto simples (comercial) de 30%. d) R$ 1.5% ao mês.d. d) 7. a3x = ax -10 b) 5.a. GABARITO 01.02) = 96. e) n. d) – 2. e) n. o valor atual segundo o desconto comercial será sempre menor que o valor 18. utilizou-se o cálculo abaixo: 100.00 / (1.00. c) 2.00.Matemática 16. Se um título de R$ 575. Uma duplicata. b) -3.. d) R$ 79. d 21.666.00.12. d 02.a. A solução da equação exponencial abaixo é: a) + 4.) Se for calculado a uma mesma taxa. b) 3. d) R$ 90.000. c) R$ 1.00 e R$ 360. Para cálculo do desconto do valor de R$ 100. b 04.a. b) R$ 1. e) desconto comum.92. A solução da equação em lR é: a) 3 52x -1 = 1 5 625 b) 2 3 c) 2 3 d) 3 2 e) n. qual o valor do desconto? a) R$ 50. O desconto simples “por fora” também é conhecido como: a) desconto racional.a. O valor de x nesta equação é: a) 3. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês.d. O valor de x que satisfaz a equação abaixo em lR é: a) 3 5 b) 2 5 c) -3 5 d) 5 3 e) n.653. d 23 .a. d) desconto de juros fixos. d 20. b) R$ 75. 06. e) R$ 82. d 10. e) R$ 150. c) 2. c) R$ 77. 19. b 06.00. a 15. a 08. c) R$ 30.00 e R$ 380. podemos afirmar que foi utilizado: a) desconto simples “por dentro” (ou racional). e) R$ 76. 20. 17. d) desconto composto “por dentro”. b) 2.50. e) R$ 1. 22. Qual o preço à vista? a) R$ 70. c) desconto bancário ou comercial. b 16.00 em dois meses e taxa de juros de 2% ao mês.12 Com base no descrito acima. e) n. b 09. qual o valor do desconto? a) R$ 50.02 x 1. c) 0. b) desconto por dentro. Uma loja vendia uma determinada peça de roupa por R$ 100 para pagamento em 30 dias. a 19.d.620. O valor de x nesta equação exponencial é: 8 . d) R$ 71.116.a.d. c) 6.00.00 vence em dois meses e para o seu pagamento à vista há um desconto simples racional (por dentro) de 7. Se um título de R$ 575. e) n.5% ao mês.d. c) 4.00 vence em dois meses e para o seu pagamento à vista há um desconto composto racional (por dentro) de 7. O valor de x na equação abaixo é: 5x – 1 = 1 125 a) 1.00 – 96. b) + 3.43. Julgue os itens a seguir. d) + 2. d) 5.000. a 07. 05. 07. b 13.640.d.00. 04. obedecendo ao critério de desconto comercial composto. o valor descontado e o valor do desconto são. e) n.00. 22x + 1 = 1024 a) 2.00. b 12. Para pagamento à vista. de: a) R$ 1. d) 5.25. b 18. no valor de R$ 2.00.000.000. 17. Um título seis meses de valor nominal igual a R$200.d.00. d) R $ 21 900. pelo critério do desconto racional composto..a.00. 10. que foi calculado com base na taxa de 20% a. o valor do desconto é: a) R$60.) No desconto comercial.00 foi descontado sob o regime de juro simples por R$190. e) n.a. a taxa implícita na operação é sempre menor que a taxa estabelecida.00. O valor do desconto é: a) R$10.d.00.75% ao mês (ver a tabela a seguir).a.d.) Se uma nota promissória – com valor de R$ 1. a) 0. d) 18% ao ano de taxa de desconto composto. Sendo R$ 31. 13. Determine a taxa de desconto simples mensal desta operação.00 deverá ser descontada 3 anos antes do seu vencimento a uma taxa de 25% a. c) 23.30.2%.00 foi descontado sob o regime de juro simples a uma taxa de desconto comercial de 2% ao mês. d) R$181.3% a. 14. a taxa de desconto é: a) 20%.5%. Um título.013.12% ao mês. b) 46. 24 . então a taxa anual de juros compostos que está sendo paga pelo cliente é superior a 24% a. 18. d) R$2.000. b) 22.000. b) R$220. b) 28% a.000.d.000.00 foi descontado sob o regime de juro simples a uma taxa de desconto igual a 20% ao ano.000. c) R$120.86% ao mês.00.d. proporcionando valor atual de R$89.a.000. Uma empresa possui um borderô de duplicatas. aumenta à medida que a data do desconto aproxima-se da data do vencimento. Antecipando em dois meses o pagamento de um título. 15.. b) (.a.000. a) R$2.00. 12. em um banco que pratica uma taxa de desconto bancário simples de 18% a. Um título de seis meses de valor nominal de R$100.46% ao mês. e) n..042. Neste caso.. d) 18. c) R$8. c) 18% ao ano de taxa de juro composto em um empréstimo.00.00. e) n.00 na data de vencimento.000..00. d) R$14. Neste caso.a. 16. e) n. e) n. A empresa XYZ precisa de recursos por dois anos e consegue diversas propostas alternativas. c) R $ 21 800. e) n. c) 25% a.00.a. e) n.000.a.a. c) R$ 21800.75.000.000. e) n. taxa de 24% ao ano. com valor nominal de R$100.2%.a.000.000. b) R$12.a. em 2 anos – é descontada 2 anos antes do vencimento.7%. d) R$ 21900.d. d) R$90.23.00. Um título de seis meses de valor nominal igual a R$ 250.) A diferença entre os descontos racional e comercial. a uma mesma taxa.. b) R$1.. as quais serão descontadas à taxa de desconto simples de 2. a taxa de juro simples que gera os mesmos valores numéricos da operação de desconto é: a) 24%.800. b) R$ 21700. 09.d. e) n. o valor descontado do título é: a) R$180.m. foi descontado 90 dias antes de seu vencimento. Uma duplicata de R$ 3000.000.00. Sendo R$ 31104.00.00. obtive um desconto racional composto.000. c) 3. quanto paguei por ele? a) R$ 21600.a. que foi calculado com base na taxa de 20%a.1%.Matemática atual segundo o desconto racional.d. b) 18% ao ano de taxa de juro simples em um empréstimo. d) 20% a.a. d) 3. e) (. c) R$201.a.00 (desconto comercial ou bancário).57% ao mês. Considere uma operação de desconto comercial (ou bancário) de dois anos.3%.00 foi descontado por R$90.104.00.00.045. Calcule o valor total de desconto. Neste caso.. Antecipando em dois meses o pagamento de um título.a.00. 08. c) R$160. 11.00 o valor nominal do título. c) (.. Um título cinco meses de valor nominal igual a R$100.00.00.d.000. b) 11.00 o valor nominal do título.625.m. obtive um desconto racional composto . e) 18% a.) O desconto bancário nada mais é do que o desconto comercial acrescido de uma taxa a título de despesas bancárias.000.a.00.00. d) (. quanto paguei por ele? a) R $ 21 600. Qual seria a taxa anual a ser adotada para obter-se um desconto igual pelo critério de desconto comercial composto? a) 33. b) R$10.d.00.000. d) 24. A alternativa que lhe acarreta o menor custo financeiro é: a) 18% ao ano de taxa de desconto comercial (ou bancário).00.000..a. b) R $ 21 700. e) n.a. Neste caso.00. c) 38. a 15. c) 25% a.00 e R$ 400.a.682. d) US$ 729.00. b) R$ 430.305.00. e) n. a 14. 27. b 03. 22.000. b 20.00. Considerando que uma mesma taxa i seja utilizada para determinação dos descontos compostos racional. Dc < DR.m.00.9 % a . João tem um compromisso representado por 2 (duas) promissórias: uma de R$ 200. a 27. O valor do desconto será: a) R$ 487.305. vencíveis em quatro e seis meses.573.00. Um título de R$ 5.a. obtenha o valor do resgate: a) US$ 751. c 06.314. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 5% a.00.m..382.a. d 23. b) US$ 750.00.85. e) R$ 1.33. de: a) R$ 1. d) R$ 1. a 12.728.00.00 e R$ 360. c) US$ 748.67 e R$ 333.653. DR.50. com vencimento daqui a 3 anos. b) R$ 2.703. b) Dc > DR para qualquer prazo. d) R$ 450. Um “comercial paper” com valor de face de US$ 1. Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 500. c) Dc < DR para qualquer prazo. b) $186. é resgatada dois meses antes do vencimento.000. 25.750. d) $ 116.000.000.400. e) US$ 700. Uma duplicata de R$ 3. c) $ 166. b 07. Qual seria a taxa anual a ser adotada para obter-se um desconto igual pelo critério de desconto comercial composto? a) 33. d 21.00. Uma duplicata.80.m. obedecendo ao critério de desconto comercial composto.00.00 e outra de R$ 150.000. d) R$ 449.a. 60 (sessenta) dias antes do vencimento. b) R$ 1.640.000. c) R$ 1.00.600. Uma empresa tomou emprestada de um banco.97. pelo critério do desconto racional composto. b 19. b 10. e) 18% a. c) R$ 445. b) R$ 311. d 26.00. 21.535. o valor do desconto racional será de: a) $194.400. b) R$464.00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional.433.723. c) R$ 433. no valor de R$ 2.000. 28.620. de mesmo valor nominal cada. pode-se afirmar que: a) Dc = DR para qualquer prazo.304.00. o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final): a) R$ 429. 23.00 deverá ser descontada 3 anos antes do seu vencimento a uma taxa de 25% a. a 05. a quantia de R $ 1 000 000.00.a. e) R$4.00.00 e R$ 380.666. sob o regime de desconto racional composto.00. b) 28% a.00. Qual o valor a ser pago. b) R$ 440.00. 26.400. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês. Admitindo-se que foi utilizado o sistema de capitalização composta. por 6 meses.500. d 04.600. se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% a. sabendo-se que a taxa de juro composto utilizada é de 8% ao semestre e a taxa de juro composto do desconto é de 10% ao semestre: a) R$ 511.000.00.700. c 08. de um mesmo título e para um mesmo prazo de antecipação.785. GABARITO 01.000. c 28.00.000. e) para prazos menores que 1 período de capitalização tem-se Dc < DR. Calcular o valor nominal das novas letras.089.3% a.a. e Dc = DR.305. No entanto. d) R$ 411.000.Matemática 19.000.00. e) n.345.00.? Considere 1. e) R$ 456. à taxa de 8% a.00. d) 20% a.a. o valor da nova nota promissória é de (desprezar os centavos no resultado final): a) R$ 420.512. o valor descontado e o valor do desconto são.00..d. respectivamente. d 25. a 18.000. d) R$ 2. respectivamente.00 e R$ 360.a. 1 mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Obs. Uma empresa estabelece um contrato de “leasing” para o arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma promissória no valor nominal de $ 1. e) R$ 451. deve ser substituída por duas letras de câmbio. c) R$ 2. d 17.00. b 25 .50. com capitalização mensal.740. Uma letra de câmbio no valor de R$ 800. e comercial.15.166. a 22. Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas. d 13. CCEEC 11.00.a. a 02. a 16. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a. e 24. e) R$ 382.000.00. descontada dois meses antes de seu vencimento. com vencimentos daqui a 2 anos e 5 anos respectivamente.000. d) dependendo do prazo.640.00.829.624.d. solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 (dez) meses. DC. a) R$ 2.00 será descontado 2 meses antes do vencimento pelo critério de desconto comercial à taxa de 60% a.00.: 24.a.996 = 2.50. c) R$ 446. podem ocorrer Dc > DR.00 à taxa de juros compostos de 19. 20.m .00. c) R$ 512.000. d) R$ 4. d 09. c) log10 100 = 10. e) n. Está INCORRETO o seguinte logaritmo: a) log3 27 = 3. Está INCORRETO o seguinte logaritmo: a) log2 8 = 4. 11.01 = 10.2. d) log4 42 = 2.a. Está CORRETA a afirmativa: a) log2 6 = 3.3.a. c) 4.d. b) ab = c. c) .3.d.a.d. e) n. b) 5. c) x < .a. O valor de x neste logaritmo é: log10 0. 08. e) n. b) 3.d.a. 16. c) log10 0.a.d. Está CORRETO o seguinte logaritmo: a) log25 5 = 5.1 0. c) 1. 07. b) log2 64 = 6. b) x > . c) 32. 13. b) log 0 = .d. O logaritmo de 125 na base 5 é: a) 1. 4 e) n.d. e) n. b) log2 16 = 8. para determinar o valor desse logaritmo é a e b sejam positivos. Com relação a logaritmos. A condição de existência do logaritmo log (x + 3) é: a) x = . d) positivo e diferente de 1. d) log0.3.log3 27 b) 3. 14. Calculando o valor do logaritmo log½ 64 obtemos: a) . 03. 12. necessário que: a) os valores de b) os valores de c) o valor de b seja positivo. e) n.d.d. c) 6. d) ba = c. 04.d.d.32. b) 4. 02. b) log5 25 = 2. 10. Se logb a = c. c) log2 8 = 3.1. log5 125 b) 3. b) 8.3.a.a.a. b) negativo. 17.d. então é verdadeira a seguinte igualdade: a) bc = a. d) log2 23 = 3 + log2 2. e) n.d. O resultado da operação log2 64 é: a) 32. d) a potência de base a e expoente b.Matemática LOGARITMO 01.6.d.a. o resultado é: a) o número ao qual se eleva b para obter a.a. e) n. d) log1 10 = 10.d. d) 1/3. e) n. e) n. O valor desta expressão é igual a: a) 2. b) o número ao qual se eleva a para obter b. No logaritmo de a na base b. log3 1 b) 0. O resultado da operação log4 64 é: a) 16. 15.a. Se loga b. d) log2 . e) n. d) . 09. d) log2 1 = 2.a. c) log6 6 = 1. 05. e) n. e) n.d. 06.001 = x a) 0.d. c) log1/3 9 = 2. 26 . 18. d) 25.d. log2 32 .1 = . b) log3 1 = 0.a. O resultado da operação abaixo é: a) .a. e) n. c) a potência de base b e expoente a.2 = . e) n. c) log2 32 = 5. e) n. O logaritmo abaixo só existirá se a base x for qualquer número: logx 7 a) positivo.3. b) log2 4 = . c) 3. d) 2. a e b sejam negativos.3. d) 3.a.1. e) n. c) ac = b. c) 15. d) x < .a. É CORRETO afirmar que: a) log3 1 = 0. c) diferente de zero.a. e) n. d) 5. d) o valor de a b seja positivo. seja positivo e diferente de 1 e o valor de a seja positivo e diferente de 1 e o valor de d) 3. está INCORRETA a seguinte opção: a) log2 1 = 0. Dados: log 5 = 0. y = 12 log x = 4 c) log x = 4 y 3 log y = 3 d) log x y e) n.88. d) 10. b) 32.d. Nesta equação logarítmica.0. e) n. A expressão que possibilita a mudança de loga b para a base c é: a) logc b logc a b) logc a logc b c) loga c logb c d) logb c loga c e) n. c) 2. 29.30.1. e) n.a. d) 1. d) 10. o valor de x é: a) 1/3.9) = 2 b) 15. log5 (3x . Com base nos logaritmos abaixo.d.a.d. 30. e) n. d) . b) é igual a: a) 3. 26.d. O valor de x nesta equação é: a) 2. c) . pode afirmar que log 15 é igual a: a) 0.48 Com base nesses dados.a. b) = 48. c) . 32.d. d) 0. 27.78. 21. c) 25. d) O logaritmo de um produto é igual ao produto dos logaritmos dos fatores.62.a. log3 x = 4 b) 64. b) 0. Nesta equação logarítmica. Resolvendo a equação logarítmica abaixo.48 Com base nesses dados. c) 1.a.70 e log 3 = 0. e) n. e) n. o valor de x é: a) 64. 20. d) 18. 25. 23. d) log (x . O valor de x neste logaritmo é: a) 81. d) 3. Dados: log a = 5 e log b = 2 Com base nos dados acima.1. 35. e) n.a.d.a. 22.70 e log 3 = 0.d.a.d. 34.a.d. Nesta equação logarítmica.18. b) logx 1 = x.d. pode afirmar que log 75 é igual a: a) 1.a.d. d) 1.48 33. b) 5. e) n. d) 3. e) n. c) log (x y) = log x log y. encontra-se o valor de x. é CORRETO afirmar que: a) logy y = y. que é igual a: a) 0. é INCORRETO afirmar que: a) O logaritmo da própria base é igual a 1.a.a.log5 x = 0 b) . 27 . e) n.30 O valor de log 6 é: a) 0. pode-se afirmar que: a) log x . Com relação às propriedades do logaritmo. log2 3x = 0 b) 2/3. b) log x . 24. c) .18. aplicando-se as propriedades de logaritmo temos que: a) log (a . O valor de x na equação logarítmica abaixo é: a) a. é CORRETO afirmar que log (a .a. c) Os logaritmos decimais de números iguais são iguais.a. d) 12. y) = log x + log y. b) 2. log2 (2x + 4) = 1 b) 1.18. o valor de x é igual a: a) 2 log8 x = 1 b) 3 3 c) 1 2 d) 1 3 e) n.86. e) n.d. b) 0.a.d. 31.a. e) n. e) n. e log 3 = 0. c) 7.78. b c) log b2 = 16. o valor de x é: a) 2.781. e) n. No logaritmo log2 x = 5.6) .d. loga (5x + 2) = loga (3x + 6) b) 1.d. c) 1.Matemática 19.d. log3 (x .a. 28. d) log √a = 24. Com relação às propriedades de logaritmos.2. c) 1. Dados: log 5 = 0. b) log a = 8. e) n. Se log a = 12 e log b = 4. c) 27. y = 64.22. c) 17. Dados: log 2 = 0. d) 0.14440.2. b) O logaritmo decimal de 1 é igual a zero. = 1.d. e) n.d. e) n. c 32. a 26.9%. a 17.8%. d 40. d 11.a. a 20. Considere uma taxa nominal de 19% ao ano e sua respectiva taxa efetiva de 20. 37. b) Devem aplicar no banco de Maria.75% ao ano. a 21.d.00. 06. c) 1. b) R$ 1. a 16.log A a) logb (AB) = 9.d.d. Considere as propriedades operatórias dos logaritmos: Considere logb A = 6 e logb B = 3.a. e) n.180. c) 22% ao ano de taxa nominal com capitalização bimensal. c 13.000. 39. a 30. e) n. pode-se afirmar que: a) log AB2 = log A – 2logB – log C. d 31.1%.000. b) 2. Condição de existência: c) x > ½ .232. d) 100.a.00. Qual a melhor alternativa? a) Devem aplicar no banco de José. a 07.a. d 33. b 10.00 por seis meses à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal.100.00. Com base nas propriedades acima.a. d 22. GABARITO 01. 03.00.9%. a 25. b) Bimensal. d) 4. Com base nas mesmas propriedades dadas na questão anterior. d) 1. a 02. a ≠ 1 e b > 0 d) x > -2.a. 07. Neste caso. d 36. d 28.a.700. b 29.000. c) 3. O valor a ser devolvido após os seis meses é próximo de: a) R$ 225. então o valor de é: a) 4.00. Só existe log3 (5x – 10) para: a) x > 5. a capitalização ocorre de forma: a) Mensal.d.B = log A – log B. d 23. a 09. b 03. e) n. A empresa XYZ tomou um empréstimo de R$200. A melhor alternativa é: a) 24% ao ano de taxa nominal com capitalização semestral.000. b) 2. e) n. a 38. Se a e b são raízes da equação x2+8x+8=0. d 08. c 12. José conseguiu com seu gerente uma taxa nominal anual de 12% ao ano capitalizada bimestralmente. e) n. d) log A2 = 2log A + log B.d.a. C b) log A3 = 3log A – log B. 40. JUROS 01. O valor resgatado após os 12 meses foi de: a) R$ 1. b 35. B e) n.d.710. a taxa efetiva ao mês é: a) 2%. 02. b 14. b 05. d) R$ 1.a. d 27. d) Semestral.000.a. b) 10. c 39.a. c) R$ 222.192.d. b 28 . d) 16. b) 17.d. c 37. c) Trimestral.188. d) 21% ao ano de taxa nominal com capitalização mensal. c) 12.00.a. 38. d) logb (B)2 = 9. e) n.193. d) R$ 226. O banco XYZ fez uma aplicação de R$1. B c) log A. 04.300. e) n. c) Tanto faz. a 06. d 04. b) 23% ao ano de taxa nominal com capitalização trimestral. as duas alternativas geram o mesmo rendimento. d 34. log3 (x – 1) = 1 O valor de x nessa equação logarítmica é: a) 1. b) x > 2 . 05.d. logab a > 0. Considere uma empresa que precisa tomar um empréstimo de seis meses.8%. b) R$ 224. c) 16. Considere uma taxa nominal igual a 24% ao ano com capitalização mensal.d.log B B Log (a)n = n.1%. e) n. d) Devem aplicar 50% em cada alternativa.165. b 15.00.d.Matemática 36. pode-se afirmar que: log(AB) = log A + log B log A = log A . c 18. A taxa efetiva ao ano que equivale a uma taxa nominal igual a 16% ao ano com capitalização trimestral é mais próxima da taxa de: a) 17%. enquanto que Maria conseguiu uma taxa efetiva anual de 12% ao ano. c) R$ 1. José e Maria estão discutindo sobre fazer um investimento pelos próximos 180 dias corridos.00 por 12 meses a uma taxa de 18% ao ano com capitalização semestral. e) n. b 19.00. b) logb (A/B)=2. Neste caso. c 24. c) logb (AB) = 19. e) n. c) 40% em 8 meses.00 ao final do período. d) Nunca são iguais. c) 14% ao ano. Considere as seguintes taxas de juro simples: (I) 2% ao mês.d.d. (III) 24% ao ano de taxa de juro nominal com capitalização mensal.52%. Considere uma empresa que precisa de recursos por 12 meses e encontra diversas alternativas: (I) 24% ao ano de taxa de juro efetiva. 21. a uma taxa proporcional a 2. 12.d. 10. b) 25%. 16. b) 6% ao semestre. c) 102% de seu valor de face. c) São iguais apenas por acaso. com capitalização semestral.000. 20.d. 09.000.000.d.a. 15. e) n. e) n. Determine o retorno do conjunto dessas aplicações no semestre: a) 6.d.08%. e) n. d) 17% ao ano. (III) e (II). o preço de mercado deste título é perto de: a) 101.00 por seis meses.d. b) R$18. c) 23%. 18.a. e) n. simultaneamente.5% ao trimestre? a) 15% ao ano.d.a.d.a.000.a. Qual é a taxa proporcional ao ano de uma taxa de 3. b) São iguais apenas se o prazo de definição de uma taxa é múltiplo do outro. (II) 24% ao ano de taxa de juro nominal com capitalização semestral. (II) e (I). devolvendo R$550. d) 7.1% ao ano.d. Quando duas taxas de juro simples proporcionais são trazidas para o prazo de um ano: a) Sempre são iguais para qualquer prazo de definição das taxas. igual a 8% ao ano. Um fundo fez uma aplicação de seis meses em um título de mesmo período que rende uma taxa de juro simples de 14% ao ano.00 ao emitir um CDB de 12 meses com uma taxa efetiva de 24% ao ano. b) R$ 28.00.a.44% ao ano com capitalização semestral.a. (III) e (I).000.44%.00 a 9% ao ano. e) n. d) 50% em 8 meses. b) 35% em 8 meses. (II) 6% ao semestre e (III) 12% ao ano. b) 16% ao ano. e) n.000. c) 2.5% ao mês.8% ao semestre. e) n. 17.d. duas aplicações de seis meses cada com títulos que retornam juros simples.5% ao ano.a. 11.000. Dada uma taxa efetiva igual a 25. e) n.00 a 12% ao ano e a segunda de R$30.00.00 de lucro.a. também por seis meses.000. O resultado do banco foi: a) R$28. b) 11. 19. Qual a taxa de juro proporcional a 12 meses desta aplicação? a) 12. A taxa de retorno proporcional do fundo no período é próxima de: a) 7% ao semestre. Este título está sendo negociado a uma taxa de juro nominal. Classifique as alternativas da melhor para a pior: a) (I). e.242.000.a. e) n. Um banco captou R$1. A primeira delas no valor de R$50. Um investidor fez. Qual a taxa proporcional em seis meses de uma taxa igual a 16% para oito meses? a) 12% ao semestre. A taxa proporcional para oito meses deste empréstimo é: a) 45% em 8 meses. d) R$24.000.a. d) 7. d) 26%. d) 13% ao semestre. Um título cambial vai vencer em 180 dias pagando 106% de seu valor de face. d) (II).5% ao bimestre. e) n. Uma empresa tomou R$400. Neste caso.9% ao ano. d) 102.5% ao bimestre.8% ao ano. Qual é a taxa proporcional ao bimestre de uma taxa de 18% ao ano? a) 3% ao bimestre.000.000. e) n.2% de seu valor de face. 29 . Este valor foi emprestado por 12 meses a uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. c) 6. b) 100. d) 1.2% ao semestre.d. d) R$ 32.00. c) (III). c) 6. Uma empresa aplicou R$800.00 de prejuízo.00.1% de seu valor de face. O lucro desta operação foi: a) R$ 30.Matemática 08.9% de seu valor de face.000.a. (II) e (III). b) 2% ao bimestre.d. Um banco captou R$1. b) 11% ao semestre. 13.00 por seis meses a uma taxa proporcional a 24% ao ano e aplicou.a. b) (I).000. e) n. c) 10% ao semestre.00 de lucro. 14.5%. d) 12. c) R$ 26.342. c) 12. b) 5. c) Zero. então a correspondente taxa nominal ao ano é mais próxima da taxa de: a) 24%.00 após dois anos.00 e resgatou R$1.000. a.d. e) n. b) 18. b) 5.491.a. c) 5.000. também por seis meses. A afirmação: “As taxas proporcionais estão para os juros simples. c) É falsa apenas para prazos menores que um ano.000. A taxa proporcional.72.05)12 = 1.d. c) A taxa ao ano é igual a duas vezes a taxa semestral. 26.5% em sete meses? a) 11. 33. 30 .a. pois as taxas são equivalentes.d. 27. c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.72. c) A taxa efetiva mensal é menor que a taxa proporcional mensal. c) 7% ao trimestre.920.00 por seis meses a uma taxa equivalente a 24% ao ano e aplicou.83% ao semestre. (II) e (III) são proporcionais entre si.00 para pagar R$430.. b) A taxa efetiva mensal é maior que a taxa proporcional mensal. Um capital de US$ 2. c) US$ 3. Considere uma aplicação que rendeu em quatro meses uma taxa equivalente a 20% ao ano. b) (I) e (II) são afirmações falsas.25% ao mês (mês 1).a.d.a. a) (I) e (II) são afirmações verdadeiras. c) Apenas as taxas (II) e (III) são proporcionais entre si. (II) a uma taxa de 21% ao ano. estima-se inflação de 3. d) É verdadeira apenas para prazos menores que um ano. Uma empresa necessita de recursos por seis meses e conseguiu as alternativas abaixo (juros simples). d) 6. c) 17. Indique qual que possui a melhor taxa proporcional para o período: a) 24% ao ano. c) 62. b) 11% ao ano.d. Um banco tomou R$1. e) n. e) n.a. e) n. desta aplicação é mais perto da taxa: a) 18. Então: a) A taxa ao ano é maior que duas vezes a taxa semestral.a. Então: a) A taxa efetiva mensal é igual à taxa proporcional mensal.950. Uma instituição exige taxa real de juro de 1. b) A taxa ao ano é menor que duas vezes a taxa semestral.610.000. 28. (II) quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo período geram mesmo valor de juro. c) 19% ao ano.a. Um investidor tem duas alternativas para investir R$ por um mesmo prazo: (I) a uma taxa de 10% ao semestre. Qual a taxa equivalente ao ano? a) 18.d. Neste caso: a) As duas alternativas são idênticas.d. Nestes meses. e) n. c) A melhor alternativa é a alternativa (II). 79586.d.d.2% ao ano. d) (I) é falsa e (II) é verdadeira. d) A taxa efetiva mensal é igual a taxa nominal dividida pela taxa proporcional. O lucro desta operação foi próximo a: a) R$ 12.000.56%.75% ao mês (mês 2) e 1. b) 65.d.391.72. e) n.2% ao ano.m. d) 11. Qual é a taxa equivalente ao ano de uma taxa de 6.33% ao ano .a.000. d) US$ 3. a uma taxa equivalente a 2% ao mês.26% ao semestre. Considere uma taxa de juros composta definida ao semestre e sua equivalente taxa ao ano. e) n. d) 3% ao bimestre. b) Apenas as taxas (I) e (II) são proporcionais entre si.00.95% ao mês (mês 3).00. 34. c) 11. Considere uma taxa nominal ao ano com capitalização mensal. 2.d.6% ao ano.a. Duas taxas de juro são ditas equivalentes quando: (I) são taxas de juro compostas e.05%. aplicado à taxa racional composta de 5% a. assim como as taxas equivalentes estão para os juros compostos”: a) É verdadeira sob quaisquer circunstâncias.95% ao ano. em 1 ano produz um montante de quantos dólares? Dado: (1.a. e) n. d) 20.a. e) n.02% ao ano.Matemática Então: a) As taxas (i).8% ao ano. d) 19. a) US$ 3. Uma empresa tomou um empréstimo de R$400. d) A melhor alternativa é a (II) para prazos iguais ou menores a um ano. d) 51%. b) US$ 3.591.291. 24. e) n. 32.96%. O prazo da aplicação é de 90 dias.14% ao semestre. d) A taxa ao ano pode ser maior ou menor que taxa semestral.00 em cinco meses.00.72. d) Nenhuma taxa é proporcional à outra. b) A melhor alternativa é a alternativa (I). b) R$ 11. b) É falsa sob quaisquer circunstâncias. b) 19. e) n. e) n. em 12 meses. 31. 22. 23. Qual é a taxa equivalente ao semestre de uma taxa de 12% ao ano? a) 6.d.00.00.d. 30.d.6% ao ano. e) n.39% ao semestre.4% ao ano. e) n. 29.a. 25. d) R$ 11.6% ao mês para sua aplicação.57% ao ano.a. b) 2% ao mês.580. Determine a taxa de juro composto ao ano que satisfaz as exigências do investidor: a) 45. c) R$ 13. deve-se investir.: (1..6%. Qual o desconto comercial simples à mesma taxa de 10% ao mês? a) R$ 313.045. c) 5.00.00 foi depositado por um prazo de 4 trimestres à taxa de juros de 10% ao trimestre. rendendo uma taxa de 1% ao dia útil.00 a juros compostos de 15% a. c) 19.00. e) 84.15)3 = 1.00.8%.00 durante 2 meses? a) R$ 801. b) (. c) R$ 16. c) R$ 202. b) 4. 41. com capitalização mensal. e) R$ 222. Obs. o montante da aplicação ao final do prazo era de: a) R$ 16. A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a. d) R$ 804.20%. 196%.) Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes. A taxa de 30% ao trimestre.00. e) R$ 251.a. b) R$ 16. d) 72. com capitalização diária.60%. c) 15%. e) 110%. 36. Um capital de R$ 100.a. 31 . capitalizados trimestralmente. c) 22%. c) 3 meses e meio.. pagamentos de menor periodicidade implicam uma taxa efetiva mais elevada. b) R$ 285.) Quanto maior o número de capitalizações.590. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis.86. e) n. d) 18.. b) 21%. 15%. d) R$ 212.d. b) 19. c) R$ 803. a quantia de: a) R$ 171.00%. quando produzem o mesmo montante no final de determinado período de tempo.9%. a uma taxa de juros de 40% a. c) R$ 190.b. com capitalização mensal.a.25% a..40%.045.. 46.) Para uma mesma taxa nominal.. e) 18%.31. e) 3 meses. d) R$ 16.065.00.d. e) 4.. (CESPE/UnB . d) R$ 259.. com correção monetária trimestral igual à inflação. 37. c) R$ 281. b) R$ 153. pelo prazo de 3 anos e 8 meses. 44. No Brasil as cadernetas de poupança pagam. c) 1.00.43. A taxa efetiva bimestral é então de: a) 1. c) 68.) Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o valor obtido pela soma do capital inicial e dos juros acumulados até o período anterior. b) 1..065.b. d) 5 meses.000. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês.00.00.. 0025% a.00.00.a. no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais: a) 20. Admitindo-se a convenção linear. 6147%. a taxa de inflação foi de 100%. deverá ser resgatado um mês antes do seu vencimento. b) 66. Uma empresa aplica $ 300. Admitamos que as taxas de inflação trimestrais observadas foram de 10%. aproximadamente: a) R$ 123.TCU/AFCE/96) Acerca das taxas utilizadas em juros compostos. A disponibilidade do depositante ao final do terceiro trimestre é de. 174%. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: a) 4.045.000.000.00. A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano. e) R$ 220. Uma pessoa aplicou R$ 10.80%. 42.705. e) n.698. é equivalente a uma taxa trimestral de: a) 60.00. vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês.00. em termos nominais. Para que se obtenha R$ 242.0%. 38.00. 45.00. d) 23%.00. 39.00.00. 324%. corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20%. juros compostos à taxa nominal de 6% a. e) 24%.a. maior é a taxa efetiva.000. Certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses.00.37. 47.Matemática 35.b. d) (. e) R$ 16.5209. 43. ao final de seis meses. com capitalização mensal.4%.26.. b) 6 meses. 20% e 25% respectivamente. b) R$ 802.602. A taxa de 40% ao bimestre.b. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80. c) (.81. 00025% a. b) R$ 172. 40. d) 105%. pela aplicação de um mesmo capital inicial. Essa aplicação renderá 700% de juros em: a) 5 meses e meio.. O crescimento da renda real foi então de: a) 5%. b) 10%. julgue os itens a seguir: a) (. hoje. Um título de valor inicial R$ 1. d) 5.a. d) 1. d) R$ 200.730.84. além da correção monetária. Nesse mesmo período. 025% a. capitalizada mensalmente no regime de juros compostos.00 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. b) R$3. e) O bem jamais poderá ser adquirido com o montante obtido.69. a 02.635.a..45% ao mês. a 35.350.25.070.000. Admita que um mês possua 30 dias corridos.620. o montante da aplicação será 40% do valor do bem naquele momento.000. pelo prazo de 51 dias. log 0. d 48.. Assinale a opção CORRETA: a) Ao final do primeiro ano de aplicação. d) Decorridos 10 meses.00. b) R$46. igual a R$100. a 12. 07.000..250.200..00.00 GABARITO 01.00. b) R$312. d) R$126.946. b 41.00.00? a) R$58. c) R$38. b) R$6. a 09.00 à taxa de 1. à mesma taxa estabelecida.) A taxa de capitalização semestral do capital C 1.87.021. Considere as aproximações: log 3 = 0. a 37.00. a 11.d.00. d JUROS SIMPLES 01.894.000.Senado Federal/96) Acerca de uma aplicação realizada na mesma data e referente a dois capitais (C1 e C2) de valores iguais. e) n. no regime de capitalização simples. Considerando que a taxa de juro foi de 1.Matemática e) (. b) (. Sabendo que a amortização será feita seis meses após a contratação do empréstimo.d.9% ao mês.47. único.854. o montante de C 2 (ao final do 2° ano de aplicação) será igual ao montante de C1. c) O número mínimo de meses de aplicação necessários a aquisição do bem será 23. d 23. 02. capitalizadas semestralmente.936. e) n.000.CCEEC 03. a 29. Sabendo que a amortização será feita cinco meses após a contratação do empréstimo. c) (. a 20.7% ao mês.2X.00.650.00. a 25.00 a uma taxa de juro simples de 12% ao ano a ser pago em dois anos.d. d 39. 03. c) 8. e) n. (CESPE/UnB .00 por cinco meses à taxa de 0. então. calcule o montante a ser pago no final deste período: a) R$166.000. à taxa mensal de 26%.a. Um agente financeiro aplica R$85. a 06. d) R$45. considerando um regime de capitalização simples? a) R$3. b 44..383.27. c) R$52. log 105 = 2. a 33. b 40. 06. Uma empresa toma empréstimo de R$150. d) R$166.) A taxa de capitalização semestral do capital C1. mas dispõe-se apenas de 1/3 desse valor. d 10.11% ao mês. a 30. A quantia disponível é.a.00.00. Deseja-se comprar um bem que custa X cruzeiros. d) 1. cuja taxa de juro é de 14% ao ano e o valor de resgate.00. a 08.CEECC 05. c 46. c) R$45.a. a 45.) Se apenas o capital C2 for reaplicado por mais um ano.00 à taxa de 1. b 32. 32 .. é exatamente o dobro da taxa de capitalização semestral do capital C 2. d) R$59. (ao final do 1° ano de aplicação). e) n. 08.8% ao mês no regime de capitalização simples. b 38.. b 42.00. o bem poderá ser adquirido com o montante obtido.04. qual o valor a ser pago no final deste período? a) R$153. o valor de resgate desta operação. a 19. a 27. calcule.a. à taxa nominal de 42% ao ano. b 24. c 26.00.18% ao mês. Qual é a taxa de juro simples ao mês dessa operação? a) 2. c 18. a 07.54 = -0. c 04.. d) R$45.000. a 31.546. e 43. é igual a 20%.73. capitalizados semestralmente.00..825.26 X/3 = X + n 0.) O montante do capital C 1 é 21% maior que o montante do capital C 2. b 47.823.109. Um investidor faz empréstimo de R$140. Se aplicarmos a quantia de R$50.) A taxa nominal. enquanto que o bem sofre mensalmente um reajuste de 20%. e) n.350. para o capital C 1.114. c) R$151. e) (. para a aplicação do capital C 2 .95% ao mês no regime de capitalização simples.00. a 34. é igual a 20% ao ano. Foi totalizada uma quantia de R$15.000. a) R$46. Um agente financeiro aplicou R$85. b) O número n de meses necessários para o investimento alcançar o valor do bem é dado pela fórmula: X/3 + n 0. e 49.) A taxa efetiva de 21% ao ano corresponde à taxa nominal anual de 20%. e) n. 04.82.. pelo prazo de um ano. no prazo estabelecido para a aplicação..d. Qual foi o juro obtido nessa aplicação. 49. a 21. Um agente de mercado aplicou R$45. e) n.000.200. para o capital C 2. julgue os itens abaixo: a) (. aplicada em um Fundo de Aplicações Financeiras. c) R$4. d) R$4.a.270.00 em determinado papel. e à taxa efetiva de 21 % ao ano. 05. a 36.d.030. a 13. b) R$140. c) R$152. b) R$51. d 28.09% ao mês. Você fez um empréstimo de R$5.48. Qual o valor presente de uma aplicação em juros simples de cinco anos. a 22. b) 2. teremos como remuneração desse capital a quantia de R$4.783..500.00. a 17.d.00 pelo prazo de quatro meses. a 15. O valor a ser pago é próximo de: a) R$6. 48.325.382. d) (.d.00.00. a 14.00 em um período de 173 dias.a. a 16. c) 80 meses.25% ao trimestre ao longo de 1 ano e 9 meses.a.000.m.m. Quanto se deve aplicar hoje em uma instituição que paga juro simples de 3% a.m.000. considerando o regime de capitalização simples? Admita que um mês tenha 30 dias corridos. o montante de R$13.000.000. Qual é a taxa de juro mensal desta aplicação. Qual os juros simples produzido pela aplicação de um capital de R$ 13.. às taxas variáveis de 5% a. Determinar a taxa trimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 5 anos (=20 trimestres). b) 2% a. Determinar os juros e o montante de uma aplicação de R$ 300. d) 19.48% ao mês.Matemática de juro.00. c) 25. d) 53.000. rendendo uma taxa de juros simples de 24% a.500.67.a.95% ao mês.000.(durante 12 dias).m.00.d.00.00 a taxa de juros simples de 11. Um capital rendeu juros equivalentes a 15% de seu valor.00 está sendo pago com atraso de cinco meses.00 durante 30 dias.5% ao mês? a) 66. d) R$83. sabendo-se que a taxa de juros diária é de 1.7% a.500.500.5%. c) 2. a) 2.866.d.00 no fim de 29 dias? 27. (durante 8 dias) e 4.33. 24. 18. após 7 meses.5% ao ano no regime de capitalização simples. produz. por 19 meses. com um rendimento financeiro de R$ 7. Um imposto no valor de R$ 410. Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 28.480. Em quanto tempo um capital aplicado com juros simples 8% ao semestre. b) 4.33 meses. 10. 7.67% a.149. Você aplicou R$5.m.2% e 9. 13.67.000.65 meses. c) 2. 3. e) n.5% a. 23. Qual a taxa de juros equivalente linear mensal que o aplicador recebeu? 15.546. b) R$126. Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de juros simples de 13% a. Quantos dias esteve aplicado. Uma pessoa aplicou R$ 12.00. e) n. Uma pessoa dispondo de R$ 22. a juros simples comerciais. Qual o juro obtido? 32.d.80.400. Aplica-se R$ 15. ao final de determinado período.m. calcule o montante a ser pago no final deste período: a) R$80.67% a. lucrando R$ 42.00. quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% a.500. 11.m. 16.00 à taxa de 14. e) n. Um capital de R$ 56.000. triplica? 33 . à taxa linear de 42% a.00 foi aplicado num fundo de poupança por 5 meses. a) 3% a.2%.00 resgatando no final R$ 31. Quantos anos serão necessários para triplicar o valor? a) 31 anos. (durante 10 dias)? 17. duplica seu valor inicial? 30.71% ao mês. qual o acréscimo que o contribuinte deverá pagar? 21.67 meses. d) 3. Em quantos meses um capital quintuplica na capitalização simples à taxa de 7. Calcular a taxa de juros simples em bases mensais e anuais desta operação. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação.d.740.a.00 daqui a 10 meses.000.a.00 foi resgatado 7 meses depois pelo valor de R$ 40. Se uma pessoa necessitar de R$ 100. Pede-se calcular os juros simples totais ao fim do prazo da aplicação. a taxa de juros mensal aplicada? 31. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação. Uma empresa toma empréstimo de R$80. Que taxa de juros simples mensal faz com que um capital de R$ 160. Qual o capital acumulado ao fim do período? 26.q. Uma empresa aplica durante 34 dias um capital de R$ 120. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi de 120 dias.a.733. 7.m.? 19. aplicado à taxa de juros simples de 3.00 aumente para R$ 340.00. 09.966. c) R$87. c) 15 anos. Uma aplicação de R$ 345. Sabendo que a amortização será feita quatro meses após a contratação do empréstimo. 29. 14. b) 3. Se a Prefeitura cobrar juros de 32. e) n.m. Um empréstimo de R$ 33. Um capital de R$ 55.000.00 para receber juros simples de 2.50% ao ano.a. 22. b) 25 anos.5%.00 à taxa de juro simples de 13% ao ano. 12.a.67% a.25% ao ano durante 109 dias.00.000.00 quatro meses depois. d) 22 anos.16% ao mês.00. Calcular o prazo da operação. juros no valor de R$ 165.00 de juros. durante 15 meses? 28.8% a. para se obter R$ 32. 25.a.00.600.000. qual o montante? 20.000.00.00 numa Instituição Financeira resgatando.000. Qual o juro simples total pago pelo empréstimo de R$ 100.5%?. a uma taxa de 42% ao ano durante 2anos e 8 meses. Paulo emprestou R$ 150.00 faz um contrato com certa instituição para receber durante um ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples: 6. 096.Matemática GABARITO 01. 1.580. 7% a.000. a) R$ 2.00 à taxa de juros compostos de 10% a.t. 25 semestres 03.00. R$ 6.Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção linear. c) R$ 1.429.358.52 23.7 anos 32.00. c) R$ 10. A aplicação de R$ 5. R$ 4.00.000.a. o montante de: a) R$ 10.295.00. d) R$ 3.120.00. R$ 90.00.a.50% a. 10 dias 31. se aplicado à taxa de juros compostos de 4% a. b) R$ 2.d. b) R$ 1.378. e) R$ 25. e) n.m. R$ 32.500.627. e 34. c) Decrescente. mas não é proporcional ao prazo.226. 04.300.200. 2 anos 26.00. b 09.368. e) M2 > M1 para qualquer t > 0.98 em cinco meses.00 à taxa de juros compostos de 20% a. c) R$ 3. Um investidor aplicou a quantia de R$ 20. 08.00.? Despreze os centavos: a) R$ 5. 2.2% a.056 = 1.d.500.00 durante três anos.Montante calculado no regime de juros simples.388. à taxa de 12% a.620.00 J = R$ 199.94 02. Sabendo que o valor devolvido após dois anos foi R$500.50 22.29? (dado 1.700.00.630.000.m.00. 05.200.512.d. Se para um mesmo capital. 20.620. Que montante este capital irá gerar após 3 meses? a) R$ 26.500.600.00.00. 7. e) R$ 5.00.00. b) Crescente e proporcional ao prazo. b) R$ 22. c 15. 30. b 10.459. R$ 15.00.? Despreze os centavos.625.00. 09. 07.550. M = R$ 499.00.045 = 1. b) R$ 5. a 08. irá gerar. a) R$ 21.00.m. após 4 meses.00. 03. b) M3 = M 1 para qualquer 0 < t < 1. a 04. d 13.00. 16.266.00.846% a.76% a.00 28. e) n. c 14.m.m. M2.a.450.a. para receber juros compostos de R$ 1.00 19. chamarmos: M1.000.00 24.00.m.685. d 06. d) Decrescente e proporcional ao prazo. 17. aplicado durante qualquer período de tempo maior do que zero e a uma certa taxa. a 05.a.00. R$ 55.d.00.m.00. c) M3 < M2 para qualquer t > 0.09 21. e) R$ 3. c) R$ 5. d) R$ 10. 2.00. Qual o montante de R$ 5. e) n. 02. d) R$ 1.m. mas não é proporcional ao prazo.400.00 quando aplicados por quatro meses à taxa de juros compostos de 3% a.00 25. d) R$ 5. então. b 11.00. Quais os juros compostos gerados pela aplicação de R$ 60. e) R$ 1.000.00. c) R$ 26. c) R$ 23.420. R$ 67.520.500. 34 . Que capital produz um montante de R$ 1. d) M3 < M2 quando t é inteiro.500.00. b) R$ 10. M3 .a. b) R$ 403. R$ 123. d) R$ 26. b) R$ 26.909.720. taxa de juro compostos de 12% ao ano.m.597. e) n.000. JUROS COMPOSTOS 01.216)) a) R$ 1. Quanto deverei aplicar por seis meses a 5% a.621.00.020. d) R$ 24. desde que não seja inteiro. 27. 7. 10 a. Teremos: a) M3 > M 1 para qualquer t > 0. d) R$ 423.07 29. c) R$ 446.m. d 12. a 07. Uma empresa tomou um empréstimo de dois anos.840. 06.00.152% a.Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção exponencial. o empréstimo inicial é mais próximo do valor de: a) R$ 398.34). R$ 510.400.00. Em capitalização composta o valor dos juros é sempre: a) Crescente. .00 18. ?(dado 1.00.600. resulta.00.00.75. c) R$ 220. d) superior a R$ 13.00. 13. d) R$ 238. desprezados os centavos.65.00 à taxa de 1% ao mês. 35 . aproximadamente. a uma taxa de 10% ao mês.491. c 09.00. e) R$ 30.00.847.229.a.746. d) R$ 10. no regime de capitalização composto. Um agente de mercado aplicou em título de renda fixa. b) R$ 142. A aplicação de um capital de Cz$ 10. O preço de uma mercadoria é R$ 2. d) R$ 33.410.75. 11. Um agente financeiro emprestou R$25. c 14. d) No pagamento a prazo. b) R$ 25. pelo período de três meses. Qual é o juro recebido nesta operação.00.a. d) R$ 146. e) n.a. d 05.000.746. b) R$ 564. d) 10 anos. d) R$ 30.000. b) R$ 240.00. c 04. O mercado financeiro oferece rendimento de 35% ao mês.00. b 18. Assinale a opção CORRETA: a) A melhor opção é o pagamento à vista.d. b) R$ 10.847.000. b) R$ 875.472. O preço de um automóvel é de R$ 500. b 11. e) R$ 10.00.00. na base de 10% ao ano. b) R$ 79.d.00 em um fundo que rende 1 % ao mês. d) R$ 220.a. b) Não há diferença entre as duas modalidades de pagamento.00. c) R$ 31.00. e) n. pelo prazo de oito meses.a.000.69.151. c) No pagamento a prazo. Um agente realiza investimento no banco GOHL no valor de R$ 220. Que montante este capital irá gerar após 4 meses? a) R$ 140.410.00. no regime de juros compostos. 03. e) n. o comprador lucra. Quantos anos.000.00 à taxa de juros compostos de 10% a. Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos.06) a) 8 anos.000. e) de R$13.40.92. a 07.410.410. a 12. Depositando mensalmente R$ 10.m. seu montante final é: a) 30% superior ao capital inicial. 16.a.d. b) 1.00 à taxa de juro composto de 14% ao ano. d 16. considerando o regime de capitalização composto? a) R$ 6. A qual taxa de juro (ao mês) um capital quintuplica de valor no regime de capitalização composto no final de 12 meses? a) 60% ao mês. Um comprador ofereceu R$ 200.000. aproximadamente: a) R$ 10. Sabe-se que o rendimento deste título é 2% ao mês. a 10. Você aplicou R$30.400. é: a) R$ 36.20. 17. e) n. e) n. e) R$ 202.00. 12. c) R$ 5.d. Um investidor aplicou a quantia de R$ 100. d) 14. d) R$ 76. b) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples.000.00. no final do terceiro mês. c 17.a.m.00.847. A taxa de juros compostos é de 5% a. O valor de cada prestação é de.d.477 e log 1.00. GABARITO 01.000.00.694. 14. b 06. o montante imediatamente após o 20° depósito será de: a) R$ 244. Qual é o valor aplicado? a) R$ 92.Matemática 10. num montante acumulado: a) de R$ 3.80.695.125.60.00.35% ao mês.000. sendo que tal resgate será feito daqui a nove meses.96. d 08. serão necessários para triplicar o valor? (Considere log 3 = 0.20. e) n. Calcule o valor de resgate desta operação: a) R$ 242.00.d.000.000. Tomou-se um empréstimo de R$ 100. 18. c) 2 anos. c) 41. c) R$ 93.00 e o comprador tem um mês para efetuar o pagamento. c) R$ 144.00.14 = 0. d PLANOS DE AMORTIZAÇÃO 01. a juros de 1% ao mês. a primeira prestação sendo paga um mês após o empréstimo. R$ 192.847. 02. d) aproximadamente 133% do capital inicial.00.000. b 13.59. mensais. para pagamento em 10 prestações mensais sucessivas iguais.209. 15.00.00. no fim do mês.00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações iguais.00. a 02.04. c) inferior a R$ 13.09.20. O valor de resgate é R$95.00 a serem pagos após sete meses à taxa de 3% ao mês. o comprador lucra. R$ 210.67% ao mês. e) n. no fim do mês. a loja dá um desconto de 20%.. b) 130% do valor do capital inicial. O valor de cada prestação.a. c) aproximadamente 150% do capital inicial.00.12% ao mês.d. e) n.847. c) R$ 10. c) R$ 222. d 03.d. b) 25 anos. Caso queira pagar à vista. d 15. utilize os dados da tabela abaixo.8%.898. e a taxa de juros efetiva cobrada.737. 04. b) 8/16. c TÉCNICO BANCÁRIO C.57. d 07. que é calculada por .239. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a. Nessas condições.a.764. e) R$ 858 e 24. sem entrada. c) 8/20. Uma roupa é vendida por R$ 4. qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens? a) 0.00. na sexta prestação. Idades (anos) 14 15 16 17 18 19 20 Frequência Acumulada 2 4 9 12 15 18 20 01.43. Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades.78. A 1ª prestação vence 1 mês após a compra.00. capitalizados mensalmente (juros compostos).83. b) $ 10. segundo vencimento ao final do segundo trimestre).223. e) $ 12. Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$ 2.64 cada uma. a parcela referente à amortização do capital aumenta.8%.8%.20. capitalizados trimestralmente. que apresenta as frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos. Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23. GABARITO 01. b) R$ 858 e 26. b 06. Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses.33.652. a 02. e) $ 95.000. A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. utilizandose o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price). d) 3/14.000. d) $ 12. são. d) 3.350. Qual é o 70º termo da sequência de números (an) definida acima? a) 2.00.a. 08. julgue os itens seguintes e marque a alternativa CORRETA. 02. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos. aproximadamente: a) R$ 403. O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: a) $ 10. a) A parcela de amortização do capital é obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de juros. 05.E. d) R$ 412. b) 1. c) R$ 410. e) – 3.. Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: a) $ 70. e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais. o saldo devedor é igual a R$ 522.00 deverá ser liquidado em 6 prestações mensais e iguais a R$ 137. A taxa de juros é de 24% a. c) $ 86. e) A parcela de amortização do capital. e paga mais 4 prestações mensais.60 na compra de um equipamento.23.35. b) R$ 408. d) Na segunda prestação está incluído o valor da parcela de juros correspondentes aproximadamente a R$ 52. b) A medida que a parcela referente aos juros diminui. sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais? a) 8/14.. iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre.15.Matemática 04. com taxa de juros de 10% ao mês. 03.000. e) R$ 420.. 07. c) 1. c 05.00 à vista ou financiada em 5 prestações iguais.20. iguais e sucessivas no valor de $14. c) $ 11.881. mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de 96% a.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano. e) 3/16. Um empréstimo de R$ 600. desprezados os centavos. em termos anuais. Uma das medidas de dispersão é a variância populacional. d) – 2. d 08. é igual ao saldo devedor obtido após o pagamento da quinta prestação. b) 0.a.000. d) R$ 848 e 26.8%.2008 Para responder às questões de nos 1 e 2.433. c 04. c) – 1. respectivamente: a) R$ 848 e 24. c) R$ 878 e 26. 06.00.225.600. d) $ 88.8%. O valor da prestação. a 03.42.235. “Tabela Price”.. e) 3.800. utilizando-se a “tabela price”. Um empréstimo de $ 20. 36 .00.00. c) Após o pagamento da primeira parcela. o total de juros pagos pelo comprador é de.F.56. Um desses jovens será escolhido ao acaso. b) $ 76. e) 20%.200. se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). com juros de 10% ao mês. b) 23.F. b) compostos. b) 142. uma dívida é submetida a juros compostos com taxa mensal de 8%. A soma de todos os números do conjunto P.00. em meses. 05. Em um caminho retilíneo há um canteiro formado por 51 roseiras. Um título de valor nominal R$ 24.00. equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre. e) 395. b) 55. e) 10. Em uma urna há 5 bolas verdes. b) 3.4%. e) simples. vale: a) 399. d 07. se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. c) 23. em reais. 08.00. se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto.5. e) 232. em reais. c) 60. Sabendo-se que log102 = 0. d) 396. e) 27. 06. a) 24. numeradas de 1 a 5. incluindo o próprio N. e) 11.0%.O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos./2008 01. b 04. d 08. M é dado em unidades monetárias e t. A diferença D – d. Após a data de seu vencimento. para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que a dívida original. c) simples. Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000? a) 90.8%. c) 397.30 e log103 = 0. sempre. b) 12%.00. c 10. e 05. na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada. com taxa composta de desconto de 10% ao mês. ambos à mesma taxa de juros. Qual a taxa efetiva semestral. sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo. d) 11. d) 64. c) 5. 07. d) 65.Matemática Valor (Milhares de reais) Período (anos) 50 35 22 012 Analisando-se o gráfico. b TÉCNICO BANCÁRIO CARREIRA ADMINISTRATIVA C.00. 10. e) 70.00 será descontado dois meses antes do vencimento. sempre.00. numeradas de 1 a 6. b) 20.5%. da terceira prestação será: a) 50. determine o tempo mínimo necessário.0%. sucessivamente e sem reposição. d) 18%. Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par? a) 15. d) 7. como ilustra- 37 .00. 03. 02.00. A taxa interna de retorno anual é igual a: a) 10%. além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a 2% da dívida original. d) simples.00. e seja P o conjunto de todos os números distintos de dois algarismos formados com os algarismos de N. 09. b 06. a 09.5. c 03. d) 229.00. qualquer que seja N. c) 15%. e 02. b) 72. Um empréstimo de R$ 200. b) 398. c) 67. capitalizada bimestralmente? a) 75. c) 13. e 6 bolas brancas. e) 60. é divisível por: a) 2.48 e utilizando-se para todo o período o sistema de capitalização composta.E. duas bolas. Dessa urna retiram-se. no sistema de juros compostos. O valor. conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros: a) compostos. d) 25. todas enfileiradas ao longo do caminho. GABARITO 01. c) 220.00 será pago em 4 prestações mensais. encaminha-se para a 1ª roseira. d) 7. d) R$ 2.00. c) 106. caminha até a 2ª roseira. não viciado.00. c) 75/216. Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111. b 04. c 06. b) 6%. esvaziando o regador. b) 5.000. molha-a e. a 10. considerando-se 0. tem capacidade para molhar 3 roseiras. deve ser: a) 216. sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. e) 102. Fez ainda pagamentos de R$ 159. e) 8. . quando cheio. 06.5. seu detentor receber o valor de R$ 4. Nesse caso. d 07. d 09.00.610. até que se obtenha 6 pela primeira vez. A distância entre quaisquer duas roseiras consecutivas é 1. 08.0 m da primeira roseira.00.00 será pago em 6 prestações mensais. b) 448.00 e R$ 206.81. há ainda uma torneira a 10. e) 2128.00.5.00.00.F.95 como valor aproximado de 1. utiliza um regador que. e se o prazo dessa operação for de 2 meses. será paga em 4 prestações mensais. Gabriel volta à torneira. d) 1368. d) 56.5. 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. d 03. e) 748. 05. b TÉCNICO BANCÁRIO NOVO C. Júlio fez uma compra de R$ 600. c) 7%.000.29% ao mês. b) 91/216. e) 9%.00. Joga-se N vezes um dado comum. e) 220.00. equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre.00. caminha até a 3ª roseira.00. c) 6. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é: a) 150/216. b) 52.5. em reais. molha-a. Uma dívida no valor de R$ 10. A taxa efetiva anual de 50%. 04. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho.600.00. c) R$ 2. com juros de 1. c) 1241. a) 50. então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a a) 5%. e 05.0. e) R$ 2.00. d) 833. 07.00.00. d) 8%.00. Dessa forma.E. sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. respectivamente. e 02. pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150.5 m. quanto deverá pagar. Gabriel enche o regador na torneira. enche o regador e repete a rotina anterior para as três roseiras seguintes. Cada vez que o regador fica vazio. cada prestação será igual a a) R$ 2.0.00. c) 420.0.00. O valor.00. quantas vezes o algarismo 1 é escrito? a) 481. d) 104. no regime de juros compostos. com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor. Um empréstimo de R$ 300. da quarta prestação será: 38 . b) 1224.Matemática do. no sistema de juros compostos. O número de divisores inteiros positivos de i é: a) 4. 09.00 10. em milhares de reais.00. GABARITO 01.620. a seguir. em reais. d) 55/216.00.03. No momento em que acabar de regar a última das roseiras. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra. b 08. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês.0129-4.5. Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100. 02. capitalizada bimestralmente. em reais? a) 110. Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%. b) R$ 2.00. de seis faces. o valor de P.00. c) 218. c) 1496. Se. será: a) 1200. ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5. b) 217.0. Nesse caminho.580.200. e) 58. No ato da compra. sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo. contraída pelo sistema francês de amortização (tabela Price). A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. b) 1581. d) 219.CARREIRA ADMINISTRATIVA 2010 01. c) 54. b) 108.0.21. d) 300. o valor do resgate. e) 289. Para isso. e) 25/216.590. molhando-a também. quantos metros Gabriel terá percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez? a) 1666. d) 3%.99.800. com a primeira prestação vencendo depois de 2 meses da negociação. III. investida pelo período de 6 meses.750. e) A opção menos vantajosa financeiramente para o devedor é a IV.382.00. Pagar em 4 prestações mensais.080. e se a taxa de inflação no período for de 3. e) 2. com a primeira prestação vencendo no ato da negociação.00 no ato da negociação. GABARITO 01.582 como valor aproximado para 1. e ANOTAÇÕES _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 39 .5%. e supondo que o devedor poderá aplicar. 1. iguais e consecutivas. IV. assinale a opção correta.00. no ato da negociação e a juros compostos de 1% ao mês. considerando-se 0.00. Pagar em 2 prestações mensais. então a taxa real de juros desse investimento no período será de a) 4.070. no ato da negociação. 04. produzir o montante de R$ 5. d 02. b 04. Nesse caso.5%. o devedor desembolsará R$ 9. o preço à vista do computador será igual a a) R$ 2. iguais e consecutivas. com desconto de 1. c) R$ 2. se a primeira prestação for paga um mês após a compra. e 05. 05. d) A opção mais vantajosa financeiramente para o devedor é a I.000.Matemática Matéria 03.00. o devedor deverá aplicar. I. quantias necessárias ao pagamento da dívida.00.00.5%. Pagar em 3 prestações mensais. c) Se escolher a opção I. sem se descontar a inflação verificada no período. b) Para ter quantias suficientes para pagar as prestações ao escolher a opção III.050. Se a quantia de R$ 5.00. Os juros cobrados no financiamento desse computador correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. sem desconto. b) R$ 2.01-1.090. II. e 03. o credor ofereceu as seguintes opções para o devedor.8% sobre o valor da dívida. no ato da negociação. a opção III é financeiramente mais vantajosa que a II. consecutivas e iguais a R$ 350. d) R$ 2.000. c) 3.00. sem desconto. com a primeira prestação vencendo um mês após a negociação. e) R$ 2.060.00. iguais e consecutivas. 1. Pagar toda a dívida.01-3. Um computador é vendido em 8 prestações mensais.00. R$ 9. Na negociação de uma dívida no valor de R$ 10.07-8.98 e 0. b) 4%.97 como valores aproximados para 1. respectivamente. sem desconto. 0.01-2. Considerando 0. a) Para o devedor.5%.