02 Conjuntos

ConjuntosTrabajo Práctico Nº 2 Conjuntos 1) Escribir simbólicamente a) R es un subconjunto de T d) M no es un subconjunto de S b) x es un elemento de Y e) z no pertenece a A c) El conjunto vacío f) R pertenece a A 2) Escribir por extensión los conjuntos : i) A = { x : x es vocal } iv) D = { x : x 2 - 2 = 0 } ii) B = {x es dígito del número 2324} v) E = { x : x 2 = 9 · x - 3 = 5 } iii) C = {x : x es una letra de la palabra ´fallarµ} 3) a) Escribir por comprensión los siguientes conjuntos : A = { 1, 2, 4, 8, 16, . . . . } C = { 1, -1 } B = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . } D = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 } b) Escribir por extensión los siguientes conjuntos definidos por comprensión : A = { x / x N · 3 · x · 10 } B = { x / x N · 5 / x} 4) Sean A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 } ; B = { 2, 4, 6, 8 } ; C = {1, 3, 5, 7, 9 } D = { 3, 4, 5 }; E = { 3, 5 } ¿ Cuáles conjuntos son iguales a X ? , si se da la siguiente información : i) X y B son disyuntos iii) X · A pero A . C ii) X · D pero X . B iv) X · C pero X . A 5) Indicar en cada caso si la proposición es verdadera o falsa : i) { 1, 4, 3 } = { 3, 4, 1 } ii) { 3, 1, 2 } · { 1, 2, 3 } iii) 1 . { 1, 2 } iv) { 4 } { { 4 } } v) { 4 } · { { 4 } } vi) © · { { 4 } } 7) ¿ Cuales de los conjuntos siguientes son finitos ? i) Los meses del año iv) El conjunto Q de los números racionales ii) {1, 2, 3, . . . ., 99, 100} v) El conjunto R de los números reales iii) El número de personas que viven en la tierra. 6) Determine si los conjuntos dados son vacíos : i) X = {x : x 2 = 9 · 2 x = 4 } ii) Y = { x : x = x } iii) Z = { x : x + 8 = 8 } 8) En los siguientes diagramas de Venn, sombree: i) W - V ii) V c W iii) V · W c iv) V c - W c V W V W 9) Dados tres conjuntos A, B y C cualesquiera y un conjunto D disjunto con los anteriores, dibujar su diagrama de Venn y rayar las siguientes zonas :a) A B b) A · B c) (A - C) B d) (A - C) · B e) (A · B · C) D 10) Sean U= {1, 2, . . . . , 8, 9} ; A ={1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6} . Hallar : i) A c ii) A · C iii) (A · C) c iv) A B v) (B - C) 11) Señalar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones : a) A · B ÷ A · ( A · B ) c) C - A = C · A b) B · A ÷ ( A B ) . A d) A = B ÷ A B = A 12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian únicamente francés ; 200 estudian francés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. ¿ Cuántos estudian solo inglés ? a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. b)Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias. 13) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ; 45 estudia biología ; 15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian matemáticas y física ; 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias. 14) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis, el 50% juega fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el 30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis ¿ lo creería ? ; ¿ porqué ? 15) Setenta y cinco niños fueron a un parque de diversiones donde subieron a la rueda de la fortuna, la montaña rusa y al trencito. Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Cada juego cuesta $ 0,50 y el costo total fue de $ 70. Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos. 16) Considere el lenguaje especificado por la gramática G = ( T, N, S 0 , P ) donde T = { a, b, c }; N = { S 0 , A, B }; S 0 es símbolo inicial P = { S 0 pAB, A p ab, A p a A b, B p c, B p B c } Determine si las siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje dado: a a b b a a a b b c a a a b b b c c c a b a b c c 17) Sea : L(G) = { a n c b n ; n u 0 } , encuentre si es posible, una gramática que pueda generar el lenguaje dado. Determinación de conjuntos Para denotar conjuntos utilizaremos letras mayúsculas, y para especificar los elementos que pertenecen (o no) a los conjuntos usaremos letras minúsculas. el elemento a pertenece al conjunto A, simbólicamente a A si el elemento s no pertenece al conjunto A, escribimos s A Si a A ; b A ; c A ; d A y solo a ; b ; c y d pertenecen al conjunto A Podemos escribir : A = { a, b, c, d } Hemos definido el conjunto A por extensión, nominando entre llaves todos y cada uno de los elementos que lo componen Una representación visual de los conjuntos es la de diagramas de Venn A .a .b .c .d 1 1- -2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 Pero también al mismo conjunto A podríamos definirlo por comprensión A = { x /x es una de las primeras cuatro letras del alfabeto } Definimos por comprensión un conjunto, enunciando las propiedades (o características) que son propias de todos los elementos del conjunto y solamente de ellos Ejemplo A = {x / x N · x · 4 } por comprensión A = { 1, 2, 3 } por extensión B = { -2, -1, 0, 1, 2 } por extensión B = {x / x Z · x · 2 } por comprensión Si un conjunto no tiene elementos decimos que está vacío Simbólicamente A = © Cuando el conjunto es infinito, como el conjunto de los números naturales; acudiendo a un abuso de notación puede proponerse una determinación por extensión aparente como: N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . . . . . . . . . . . . } 1 1- -2 2 3 3 6 6 1 1 2 2 3 3 6 6 Por ejemplo: el conjunto de los nombres de los jugadores de un equipo de fútbol Entre los 11 jugadores pueden haber algunos cuyos nombres sean los mismos. Por ejemplo: 3 se laman Juan; 2 se llaman Alberto; y los 6 jugadores restantes tienen nombres diferentes. Cada jugador es un elemento, Sea el conjunto A = { a, a, a, b, c, c } Conformado por 6 elementos de los cuales 1 se repite tres veces, otro dos veces y el tercero aparece una sola vez Decimos que : la multiplicidad del elemento a en el conjunto A es 3 la multiplicidad del elemento b en el conjunto A es 1 la multiplicidad del elemento c en el conjunto A es 2 Multiconjuntos Puede suceder que en un conjunto algunos elementos no sean diferentes (se repiten), este es el caso de un multiconjunto aunque hay elementos que tienen el mismo nombre 1 1- -2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 Puede suceder que todos los elementos de un conjunto, pertenezcan también a otro conjunto. Por ejemplo: A = { x/x es alumno de la carrera Lic. en Sistemas } B = { x/x es alumno de FACENA } Es obvio que todos los alumnos de la carrera de Licenciatura en Sistemas son alumnos de la Facultad de Ciencias Exctas y Naturales y Agrimensura Entonces decimos que: A está incluído en B A · B Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 } en diagramas de Venn A 1 2 3 4 5 B B = { 1, 2, 3, 4 } entonces B · A Todos los elementos de B pertencen al conjunto A Recordá siempre que entre elemento y conjunto la relación es de pertenencia entre conjuntos la relación es de inclusión 4 4 5 i 5 i- -iii iii 5 iv 5 iv- -vi vi 1a) Si decimos R es un subconjunto de T Simbólicamente escribimos R R T b) Si decimos x es un elemento de Y Simbólicamente escribimos x y Y . x c) El conjunto vacío simbólicamente es A = © . a . b A d) Si decimos M no es un subconjunto de S Simbólicamente escribimos M . S M S . a . b e) z no pertenece a A A . a . b f) r pertenece a A A . r . b Simbólicamente escribimos z A Simbólicamente escribimos r A · T también A = { } ó bien M S . a . b . c 2) i) A = { x : x es vocal } por extensión se escribe : A = { a, e, i, o, u } ii) B = { x : x es dígito del número 2324 } por extensión se escribe B = { 2, 2, 3, 4 } con cardinalidad 2 para el elemento 2, si lo tomamos como multiconjunto iii) C = {x : x es una letra de la palabra ´fallarµ} por extensión se escribe C = { f, a, a, l, l, r } con cardinalidad 2 para los elementos ´aµ y ´lµ, si es multiconjunto iv) D = { x : x 2 - 2 = 0 } se buscan los valores de x que verifican la ecuación x 2 = 2 p x 2 = entonces: x 1 = 2 2 D = { 2 , } v) E = { x : x 2 = 9 · x - 3 = 5 } se buscan los valores de x que verifiquen ambas condiciones x 2 = x 1 = 3 9 = 3 9 = y x 1-2 = 8 Los valores que verifican una de las condiciones, no verifican la otra y viceversa en consecuencia E = © 2 B = { 2, 3, 4 } al tomarlo como conjunto al tomarlo como conjunto C = { f, a, l, r } 3) a) A = { 1, 2, 4, 8, 16, . . . . } por comprensión, son números naturales que comienzan en 1 y luego se suceden como el doble del anterior cualquiera sea i u 0 entonces: A = { x / x N · x = 2 i , i u 0 } B = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . } por comprensión son números naturales impares x 1 = 2 0 = 1; x 2 = 2 1 = 2; x 3 = 2 2 = 4; x 4 = 2 3 = 8 . . . . . . . . . . x n = 2 n-1 B = { x / x N · x es impar } ó B = { x / x N · x = 2h - 1, h u 1 } C = {1, -1} por comprensión son números enteros, opuestos (de igual valor absoluto) C = { x / x Z · x= 1 } D = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 } por comprensión son números que resultan de elevar al cuadrado cualquier natural menor que 7 D= { x / x N · x = n 2 , con n N, n · 7 } b) A = { x / x N · 3 · x · 10 } = A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } B = { x / x N · 5 x } = B = { 5, 10, 15, 20, 25, . . . . . . } 4) Representamos en diagrama de Venn A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 } 3 5 2 7 9 4 6 8 1 D E C B A B = { 2, 4, 6, 8 } C = {1, 3, 5, 7, 9 } D = { 3, 4, 5 } E = { 3, 5 } iv) Si X · C pero X . A i) Si X y B son disyuntos en el diagrama se aprecia que ii) Si X · D pero X . B entonces X = E iii) Si X · A pero X . C entonces entonces X = © Esto es imposible, porque en este caso todos los conjuntos dados están incluídos en el conjunto A X = C ó X = E X = B 5) i) { 1, 4, 3 } = { 3, 4, 1 } Es verdadero porque los elementos de los dos conjuntos son los mismos y si dos conjuntos tienen los mismos elementos, son iguales ii) { 3, 1, 2 } · { 1, 2, 3 } Es verdadero los elementos de los dos conjuntos son los mismos podemos decir: A = B y B = A entonces A = A Todo conjunto está incluido en sí mismo iii) 1 . { 1, 2 } 1 { 1, 2 } porque es un elemento del conjunto Al establecerse una relación de pertenencia Negamos que se establezca una relación de inclusión Mas precisamente 1 no está incluido en { 1, 2 } , sino que pertenece a { 1, 2 } Es verdadero 5 iv 5 iv- -vi vi 5) iv) { 4 } { { 4 } } { 4 } es un elemento del conjunto { { 4 } } La relación que se establece entre elemento y conjunto es de pertenencia Es verdadero vi) © · { { 4 } } v) { 4 } · { { 4 } } Es falso © es un conjunto, no es un elemento (en este caso) © está incluido en cualquier conjunto Es verdadero Recuerde siempre que: la pertenencia relaciona elementos con conjuntos la inclusión relaciona conjuntos entre sí el conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos 6) Determine si los conjuntos dados son vacíos : i) X = {x : x 2 = 9 · 2 x = 4 } El conjunto X está conformado por elementos que verifican las dos ecuaciones dadas en la definición por comprensión, pero debe verificar ambas por que los que vincula las ecuaciones es una conjunción 9 x 9 x 2 ± = = x 1 = 3 x 2 = - 3 2 x = 4 p 2 2 4 = = x En ningún caso coinciden x 1 o x 2 con x = 1/2 Entonces: X = © ii) Y = { x : x = x } El conjunto Y estará conformado por elementos x que sean distintos de sí mismos . . . . Esto contradice el primer principio de la lógica clásica ´todo objeto es idéntico a sí mismoµ (P. de Identidad) Entonces : Y = © iii) Z = { x : x + 8 = 8 } p x = 8 ² 8 = 0 Z = { 0 } Entonces : Z = © Si un conjunto tiene un número determinado de elementos, decimos que es un conjunto finito Formalmente, dado un conjunto A (de n elementos) si es posible establecer una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los elementos de A con los elementos de un conjunto B de cardinalidad n A B x 1 x 2 x 3 x n a b c n B es un conjunto finito de n elementos Un conjunto es infinito, si no es finito. Si es posible establecer una relación biunívoca entre los elementos de un conjunto C cualquiera, con los elementos de N (conjunto de números naturales) Tenemos en C un conjunto infinito contable o numerable o lo que es lo mismo, podemos decir que la cardinalidad de C es infinita contable 7 i 7 i- -iii iii 7 iv 7 iv- -v v 7) i) El conjunto de ´los meses del añoµ es un conjunto finito de doce elementos A = { enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre } Es un conjunto finito ii) B = {1, 2, 3, . . . ., 99, 100} son los cien primeros números naturales Es un conjunto finito iii) C = El conjunto de personas que viven en la tierra este es un conjunto que a priori suele ser pensado como infinito, o en el mejor de los casos infinito contable . . . la cantidad de elementos que posee (personas que viven sobre la tierra) nos impacta. debemos reconocer que, si tomamos un instante determinado, la limitación para poder contar los elementos es solo técnica. En el futuro podríamos empadronar a cada una de las personas que viven sobre la tierra establecer una relación biunívoca entre el conjunto C y un conjunto de números naturales cardinalidad n (nº de personas que viven sobre la tierra) Es un conjunto finito 7 iv 7 iv- -v v 7 iv) Q = { x / x Q } R : conjunto de los números racionales Para explicar mejor el problema, analizaremos un intervalo cualquiera de los racionales, por ejemplo el intervalo [0, 1] Intentamos establecer una correspondencia biunívoca entre los racionales de [0, 1] (conjunto A) y algún conjunto B de cardinal n 0 1 A B 1 2 1/2 3 1/4 4 1/8 5 1/16 6 a 0 le corresponde 1 a 1 le corresponde 2 tomamos el valor medio del intervalo [0, 1] a 1/2 le corresponde 3 tomamos el valor medio entre 0 y 1/2 a 1/4 le corresponde 4 tomamos el valor medio entre 1/4 y 0 a 1/8 le corresponde 5 tomamos el valor medio entre 1/8 y 0 a 1/16 le corresponde 6 siempre es posible establecer en A un nuevo número intermedio entre 0 y la última fracción al que le va a corresponder algún elemento de B la cardinalidad de B así no puede determinarse Entonces A es un conjunto infinito Entre cualquier par de valores de Racionales, puede insertarse siempre uno mas En el conjunto de los Reales habrán también números irracionales. . Como A Como A ·· Q resulta que Q es conjunto infinito Q resulta que Q es conjunto infinito R: conjunto de los números reales R es conjunto infinito R es conjunto infinito 7 v) R = { x / x R } Operaciones de Conjuntos ² Operaciones en Diagramas de Venn Unión La unión del conjunto A con el conjunto B queda determinada con todos los elementos que pertenecen al conjunto A A = { 1, 2, 3 } B = { 3, 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Intersección La intersección del conjunto A con el conjunto B queda determinada con los elementos que pertenecen al conjunto A A = { 1, 2, 3 } B = { 3, 4, 5 } A · B = { 3 } y también por los los elementos que pertenecen al conjunto B y al conjunto B (solo a ambos conjuntos) 9 9- -10 10 8 8 8 i 8 i 9 a 9 a- -b b 10 i 10 i- -ii ii 8 ii 8 ii 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv 9 c 9 c- -d d 9 e 9 e 10 iii 10 iii- -iv iv 10 v 10 v Diferencia La diferencia del conjunto A ´menosµ el conjunto B queda determinada con todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B A = { 1, 2, 3 } B = { 3, 4, 5 } A - B = { 1, 2 } Diferencia simétrica La diferencia simétrica del conjunto A con el conjunto B queda determinada con todos los elementos que pertenecen solamente al conjunto A A = { 1, 2, 3 } B = { 3, 4, 5 } A ( B = { 1, 2, 4, 5 } ó al conjunto B (pero no a ambos simultáneamente) 9 9- -10 10 8 8 8 i 8 i 9 a 9 a- -b b 10 i 10 i- -ii ii 8 ii 8 ii 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv 9 c 9 c- -d d 9 e 9 e 10 iii 10 iii- -iv iv 10 v 10 v Conjunto Universal ó Universo Es un conjunto que contiene todos los elementos del universo en el cual están contenidos los restantes conjuntos Por ejemplo: A = { x/x N pares } B = { x/x N impares } U = {x/x N } Universal = todos los números naturales Otro ejemplo: A = { alumnos de Lic. en Sistemas} B = { alumnos de Bioquímica } U = { alumnos de FACENA } Si algunos alumnos estudian las dos carreras Si ningún alumno estudia las dos carreras Si todos los alumnos de Bioquímica también estudian Licenciatura U A B U U A A B B 9 9- -10 10 8 8 8 i 8 i 9 a 9 a- -b b 10 i 10 i- -ii ii 8 ii 8 ii 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv 9 c 9 c- -d d 9 e 9 e 10 iii 10 iii- -iv iv 10 v 10 v El complemento del conjunto A está formado por los elementos que son del Universal pero que no pertenecen al conjunto A A = { 1, 2, 3 } A 1 2 3 4 5 B B = { 3, 4, 5 } U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 6 7 A´ = U ² A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ² { 1, 2, 3 } = A´ = { 4, 5, 6, 7 } A´ también puede escribirse A c ; -A ; A U Al conjunto universal le quitamos los elementos del conjunto A 9 9- -10 10 8 8 8 i 8 i 9 a 9 a- -b b 10 i 10 i- -ii ii 8 ii 8 ii 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv 9 c 9 c- -d d 9 e 9 e 10 iii 10 iii- -iv iv 10 v 10 v 8) i) W - V Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W Luego sombreamos con azul el conjunto W y con verde el conjunto V El resultado es la región sombreada en azul (W) que no fue afectada por la sombra verde Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V · W sombreamos con azul el conjunto W y con verde el conjunto V El resultado sigue siendo la región sombreada en azul (W) (que no fue afectada por la sombra verde) U U W - V W ² V = W ² V = unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 8 ii 8 ii 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv 8 ii) V c W Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W sombreamos con azul el complemento de V (V c ) y con verde el conjunto W Por tratarse de una unión el resultado es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos colores U U lo que no es conjunto V Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V · W sombreamos con azul elcomplemento de V (V c ) y con verde el conjunto W Por tratarse de una unión el resultado es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos colores V c W = V c W = V c W = ( V ² W ) c V c W = U unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv 8 iii) V · W c Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W sombreamos con azul el conjunto V y con verde el complemento de W (W c ) Por tratarse de una intersección el resultado es solamente la región sombreada con los dos colores U U Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V · W sombreamos con azul el conjunto V y con verde el complemento de W (W c ) Por tratarse de una intersección el resultado es solamente la región sombreada con los dos colores que en este caso es vacío V · W c = V · W c = © unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 8 iv 8 iv 8 iv) V c - W c Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W sombreamos con azul el conjunto V c y con verde el complemento de W (W c ) Por tratarse de una diferencia el resultado es la región sombreada con azul pero no con verde Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V · W sombreamos con azul el conjunto V c y con verde el complemento de W (W c ) Por tratarse de una diferencia el resultado es la región sombreada con azul pero no con verde V c ² W c = V c ² W c = unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 9) a) A B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto B A B es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos colores Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto B A · B es la región sombreada solamente con los dos colores 9 b) A · B A B = A · B = U U unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 9 c 9 c- -d d 9 e 9 e 9 c) (A - C) B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C pintamos el resultado A - C Por tratarse de una unión pintamos también todo el conjunto B y así obtendremos que el resultado final es toda la zona pintada 9 d) (A - C) · B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C pintamos el resultado A - C Por tratarse de una intersección, pintamos amarillo la zona identificada con los colores de A-C y de B y así obtenemos que el resultado final sombreamos color naranja el conjunto B (A - C) B = U U (A - C) · B = unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 9 e 9 e 9 e) (A · B · C) D Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A ; B ; C y D sombreamos con azul el conjunto A con verde el conjunto B Por tratarse de una triple intersección, pintamos amarillo la zona identificada con los colores de A , de B y de C simultáneamente y sombreamos color naranja el conjunto C U A · B · C = El conjunto D también sombreamos amarillo, para que quede determinado ( A · B · C ) D = unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 10) Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9} A = {1, 2, 3, 4} 10 i) A c son todos los elementos del conjunto universal, pero no del conjunto A Dibujamos el universal con todos sus elementos Identificamos el conjunto A Sombreamos A c = { 5, 6, 7, 8, 9 } 10 ii) A · C son los elementos del conjunto A y del conjunto C (de ambos) Dibujamos el universal con todos sus elementos e identificamos los conjuntos A y C La región con doble sombras es A · C = { 3, 4 } Sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 10 iii 10 iii- -iv iv 10 v 10 v Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9} A = {1, 2, 3, 4} y C = { 3, 4, 5, 6 } 10 iii) Para hallar ( A · C ) c Usamos como resultado parcial el ejercicio anterior A · C = { 3, 4 } (A · C) c es precisamente todo lo que es universal pero no forma parte de (A · C) ( A ( A · · C ) C ) cc = { 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 } = { 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 } que sombreamos color naranja 10 iv) Si queremos hallar A B Dibujamos en el Universal A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 4, 6, 8 } Sombreamos el conjunto A y también el conjunto B A B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 } unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 10 v 10 v Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9} B = { 2, 4, 6, 8 } y C = { 3, 4, 5, 6 } 10 v) para hallar B - C Sombreamos el conjunto B y luego borranmos la zona sombreada en B que es conjunto C B ² C = { 2, 8 } unión unión - - intersección intersección diferencia diferencia ² ² dif.simétrica dif.simétrica universal universal complemento complemento 11) a) A · B ÷ A · ( A · B ) Si A · B todos los elementos de A pertenecen también al conjunto B A B en ese caso A · B = A y como todo conjunto está incluido en sí mismo A · B ÷ A · ( A · B ) es verdadero 11 b) B · A ÷ ( A B ) . A Si B · A todos los elementos de B pertenecen también al conjunto A B A en ese caso A B = A y como todo conjunto está incluido en sí mismo B · A ÷ ( A B ) . A es Falso 11 c) C - A = C · A C - A es quitarle el conjunto A al conjunto C Lo que tiene resultado diferente de C · A entonces C - A = C · A es Falso 11 d) Si A = B ÷ A B = A Si A = B los elementos del conjunto A son los mismos que los elementos que los del conjunto B la unión de ambos conjuntos es igual a cualquiera de ellos Luego: A = B ÷ A B = A es Verdad 12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian únicamente francés ; 200 estudian francés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. ¿ Cuántos estudian solo inglés ? El conjunto universal es la totalidad de los alumnos que estudian en la escuela de idiomas U = { x / x es alumno de la escuela de idiomas } U = U = 400 F = { x/x estudia solamente francés o francés e ingles } F = 120 + 200 = 320 La cantidad de alumnos que no estudia francés es el complemento de F ( F c ) F c = U - F = 400 ² 320 = 80 Son los que no estudian solamente francés ni francés e inglés juntos De estos 80 alumnos que no estudian francés, hay 50que estudian otros idiomas que no son francés ni inglés I = { x/x estudia solamente inglés } I = F c - O = 80 ² 50 = 30 U I F 50 120 200 30 O = 50 Sean : A = { a, b, c } con A = 3 y B = { b, d, e } con B = 3 A B a b c d e A + B = 3 + 3 = 6 Pero (A B) = 5 si los conjuntos no son disjuntos A + B = (A B) Observe que: (A B) = A + B - (A · B) = 3 + 3 ² 1 = 5 Porque en dos conjuntos rampantes, al sumar la cantidad de elementos de cada conjunto, estamos contando dos veces todos los elementos que son comunes a ambos conjuntos entonces si (A B) = A + B - (A · B) (A B C) parece ser A + B + C - (A · B) - (A · C) - (B · C) deslizamos voluntariamente un error para que aprecie Ud. que : si A = { a, b, c } con A = 3 A B a b c d e aparece ahora el conjunto C = { b, c, e f } f C A + B + C - (A · B) - (A · C) - (B · C) = 3 + 3 + 4 ² 1 ² 2 ² 2 = 5 (A B C) parece ser A + B + C - (A · B) - (A · C) - (B · C) pero al escribir sería entonces y B = { b, d, e } con B = 3 pero ( A B C ) = { a, b, c, d, e, f } ( A B C ) = 6 observando minuciosamente vemos que A · B = { b } A · C = { b, c } B · C = { b, e } el elemento c aparece en dos conjuntos (A y C) pero se descuenta una vez en A · C el elemento e aparece en dos conjuntos (B y C) pero se descuenta una vez en B · C el elemento b que aparece en los tres conjuntos ( A, B y C) ; se se descuenta tres veces descuenta tres veces: en (A · B) ; (A · C) y (B · C) (A B C) = A + B + C - (A · B) - (A · C) - (B · C) + (A · B · C) A B a b c d e f C sucede que todos los elementos que se encuentren en la triple interseción se descontarán una vez mas que lo que corresponde, entonces : a A + B + C - (A · B) - (A · C) - (B · C) vamos a sumarle (A B C) así tenemos : A = 3 B = 3 C = 3 (A · B) = 1 (A · C) = 2 (B · C) = 2 (A · B · C) = 1 entonces (A B C) = 3 + 3 + 3 ² 1 ² 2 ² 2 + 1 = 6 13) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ; 45 estudia biología ; 15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian matemáticas y física ; 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias. a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. b)Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias. Extraemos datos de la consigna: U = 100 M = 32 F = 20 B = 45 O = 30 (M · F) = 7 (M · B) = 15 (F · B) = 10 (M F B) = M + F + B - (M · F) - (M · B) - (F · B) + (M · F · B) Hacemos pasaje de términos para despejar (M · F · B) = (M F B) - M - F - B + (M · F) + (M · B) + (F · B) (M · F · B) = 70 ² 32 ² 20 ² 45 + 7 + 15 + 10 = 5 son datos de la consigna: U = 100 M = 32 F = 20 B = 45 O = 30 (M · F) = 7 (M · B) = 15 (F · B) = 10 M F 15 5 10 8 5 25 B U 2 30 y hemos hallado que (M · F · B) = 5 así : Solo matemática = 32 ² 2 ² 5 ² 10 = 15 Otras materias = 30 Solo biología = 45 ² 10 ² 5 - 5 = 25 (M · F) - (M · F · B) = 7 ² 5 = 2 (M · B) - (M · F · B) = 15 ² 5 = 10 (F · B) - (M · F · B) = 10 ² 5 = 5 Solo física = 20 ² 2 ² 5 - 5 = 8 14) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis, el 50% juega fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el 30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis ¿ lo creería ? ; ¿ porqué ? planteamos la siguiente situación Todos los que juegan tenis y fútbol, también corren; de manera que: (F · T) = (F · T · C) 20% 0% T F C en este caso, si el 40% juega fútbol y corre y tenemos un 20% que además de jugar fútbol y correr, juega tenis; nos quedan entonces el 20% que únicamente juega fútbol y corre 20% Sabemos así, que del 50% que juega fútbol, solo el 10% juega solamente fútbol 10% un 30% juega tenis y corre, pero ya tenemos un 20% que además de jugar tenis y correr; juega fútbol, nos quedan entonces el 10% que únicamente juega tenis y corre 10% sabemos así que del 60% que juega tenis, el 30% juega solamente tenis 30% la suma de los porcentajes de cada una de las regiones del diagrama de Venn, arroja que quedarían solamente un 10% de profesores que solamente corren . . . Ese resultado arroja un total de 60% de profesores que corre y se contradice con la consigna donde son el 70% los profesores que corren 10% ? Los datos son inconsistentes Los datos son inconsistentes (erróneos) 15) Si eran 75 niños en total y los juegos eran tres: la rueda de la fortuna, la montaña rusa y el trencito. Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Cada juego cuesta $ 0,50 y el costo total fue de $ 70. Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos. Los 20 niños que subieron a los tres juegos, gastaron 20 x 3 x 0.50 = $ 30 Si 55 niños subieron al menos a dos de los tres juegos, y sé también que son 20 los niños que subieron a los tres juegos, es evidente que . . . . Los que subieron solamente a dos juegos son 55 ² 20 = 35 niños Que subiendo a dos juegos gastaron 35 x 2 x 0,50 = $ 35 Entre los niños que subieron a dos o tres juegos (55 en total), llevan gastado $ 30 + $ 35 = $ 65 quedan ahora $ 5 y 20 niños que aún no subieron a juego alguno los $ 5 que restan son suficientes para 10 tickets, pero los niños son 20 En el caso que reparta 1 ticket por niño, quedarán 10 sin subir a ningún juego Una Gramática G que genera un lenguaje L, es un cuádruple G (T, N, S 0 , P ) conformado por: T conjunto de símbolos terminales N conjunto de símbolos NO terminales S 0 símbolo inicial P conjunto de Producciones Los símbolos terminales son letras minúsculas y tienen el significado que le asigne cada lenguaje en particular Los símbolos NO terminales son letras mayúsculas y sirven para componer las expresiones (cadenas) del lenguaje Las producciones son las ´leyesµ que rigen en la composición de las cadenas del lenguaje T = { a, b } N = { S 0 , A} P = { S 0 p a A ; A pa A ; A p b } Así desde el símbolo inicial generamos cadenas como S 0 p a A pa a A p a a b S 0 p a A pa a a A p a a a a A pa a a a b L G = { a n b, n u 1 } a n significa que a puede repetirse n veces El símbolo inicial S 0 es un No Terminal, que dá inicio a las secuencias de producciones (a n no es una expresión algebraica de potencia) 16 16 17 17 16) Considere el lenguaje especificado por la gramática G = ( T, N, S 0 , P ) donde T = { a, b, c }; N = { S 0 , A, B }; S 0 es símbolo inicial P = { S 0 pAB, A p ab, A p a A b, B p c, B p B c } Determine si las siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje dado: a a b b a a a b b c a a a b b b c c c a b a b c c Para saber si una cadena pertenece a un determinado lenguaje, debemos verificar si es posible formar dicha cadena con la gramática de dicho lenguaje Así, en el primer caso, la cadena es a a b b a a Y la única producción que involucra al símbolo inicial es S 0 pAB De manera que cualquier cadena de este lenguaje necesariamente comienza en S 0 p AB De observar atentamente el conjunto de producciones, verá Ud. que el símbolo no terminal B produce únicamente B p c ó B p B c Entonces cualquier cadena que se inicia con S 0 p AB debe terminar en c Luego a a b b a a no es una cadena del lenguaje dado Luego a a b b a a no es una cadena del lenguaje dado En el caso de la cadena a b b c Si G = ( T, N, S 0 , P ) donde T = { a, b, c }; N = { S 0 , A, B }; S 0 es símbolo inicial P = { S 0 pAB, A p ab, A p a A b, B p c, B p B c } S 0 pAB pa b B pa b c No es la cadena buscada S 0 pAB pa A b B pa a b b c No es la cadena buscada y podemos notar que cualquier cadena de este lenguaje contendrá igual cantidad de símbolos a que de símboloos b al inicio y luego una ó mas c La cadena a a a b b b c c c Se obtiene haciendo S 0 pA B pa A b B c pa a A b b B c c pa a a b b b c c c Usamos A p a A b y B p B c Finalmente A p a b y B p c Luego, a b b c no es una Luego, a b b c no es una cadena del lenguaje dado cadena del lenguaje dado Luego, a a a b b b c es una cadena del Luego, a a a b b b c es una cadena del lenguaje dado lenguaje dado 17) Sea : L(G) = { a n c b n ; n u 0 } , encuentre si es posible, una gramática que pueda generar el lenguaje dado. Para hallar una gramática que genere un lenguaje dado, debemos definir los conjuibntos que componen el cuádruple que define la gramática, de manera que esa gramática sea capaz dce generar todas las cadenas del lenguaje y solamente de él. En nuestro caso, es evidente que el conjunto de símbolos terminales T estará conformado por los símbolos T = { a, b, c } T = { a, b, c } Al conjunto de símbolos no teminales N le asignamos un elemento S 0 y un no terminal A N = { S N = { S 0 0 , A } , A } Con estos conjuntos proponemos una primera producción S S 0 0 ppa A b a A b Y una segunda y tercera producción pueden ser: A p a A b A p c Con estas producciones se forman cadenas que tienen igual cantidad de a y de b al inicio y al final; y en el medio una c P = { S 0 pa A b; A pA a B; A pc } Pero si L(G) = { a n c b n ; n u 0 } puede suceder que no existan símbolos a ni b, (n = 0) Esto nos lleva a reformular las producciones halladas S 0 pa A b; A pa A b; A pc Porque es fácil advertir que con estas producciones, siempre estarán a y b al comienzo y al final respectivamente Entonces planteamos S 0 pa S 0 b; S 0 pc La gramática G = ( T, N, S 0 , P ) queda conformada con T = { a, b, c }; N = { S 0 }; S 0 es símbolo inicial P = { S 0 pa S 0 b; S 0 pc } Queda en evidencia que un mismo símbolo no terminal, puede producir cosas diferentes, inclusive el símbolo inicial (que es un no terminal) No es perezoso solo el que no hace nada; sino también el que pudiendo hacerlo mejor, no lo hace. Sócrates Trabajo Práctico Nº 2 Conjuntos 1) Escribir simbólicamente a) R es un subconjunto de T b) x es un elemento de Y c) El conjunto vacío d) M no es un subconjunto de S e) z no pertenece a A f) R pertenece a A 2) Escribir por extensión los conjuntos : i) A = { x : x es vocal } ii) B = {x es dígito del número 2324} iii) C = {x : x es una letra de la palabra ´fallarµ} iv) D = { x : x2 - 2 = 0 } v) E = { x : x2 = 9 x - 3 = 5 } 3) a) Escribir por comprensión los siguientes conjuntos : A = { 1, 2, 4, 8, 16, . . . . } C = { 1, -1 } B = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . } D = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 } b) Escribir por extensión los siguientes conjuntos definidos por comprensión : A = { x / x N 3 e x e 10 } B = { x / x N 5 / x} 4) Sean A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 } ; B = { 2, 4, 6, 8 } ; C = {1, 3, 5, 7, 9 } D = { 3, 4, 5 }; E = { 3, 5 } ¿ Cuáles conjuntos son iguales a X ? , si se da la siguiente información : i) X y B son disyuntos iii) X A pero A C ii) X D pero X B iv) X C pero X A 5) Indicar en cada caso si la proposición es verdadera o falsa : i) { 1, 4, 3 } = { 3, 4, 1 } ii) { 3, 1, 2 } { 1, 2, 3 } iii) 1 { 1, 2 } iv) { 4 } { { 4 } } v) { 4 } { { 4 } } vi) { { 4 } } 6) Determine si los conjuntos dados son vacíos : i) X = {x : x2 = 9 2 x = 4 } ii) Y = { x : x { x } iii) Z = { x : x + 8 = 8 } 7) ¿ Cuales de los conjuntos siguientes son finitos ? i) Los meses del año iv) El conjunto Q de los números racionales ii) {1, 2, 3, . . . ., 99, 100} v) El conjunto R de los números reales iii) El número de personas que viven en la tierra. 8) En los siguientes diagramas de Venn, sombree: iii) V Wc i) W - V ii) Vc W V W V W iv) Vc - Wc 4. ¿ Cuántos estudian solo inglés ? . . B = {2. 5. . 4} . 9} .A = C A b) B A ( A B ) A d) A = B A B = A 12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas. dibujar su diagrama de Venn y rayar las siguientes zonas :a) A B b) A B c) (A . .C) 11) Señalar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones : a) A B A ( A B ) c) C .9) Dados tres conjuntos A. 3. A ={1. . . 8} y C = {3. 6} . 120 estudian únicamente francés . 200 estudian francés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. 4. 6. 2. 2.C) B d) (A .C) B e) (A B C) D 10) Sean U= {1. 8. Hallar : i) Ac ii) A C iii) (A C)c iv) A B v) (B . B y C cualesquiera y un conjunto D disjunto con los anteriores. 15 estudian matemáticas y biología . el 70% corre . 32 estudian matemáticas . 20 estudian física . el 30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre.50 y el costo total fue de $ 70. el 50% juega fútbol . Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis ¿ lo creería ? . 45 estudia biología . a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. la montaña rusa y al trencito. 7 estudian matemáticas y física .13) De 100 estudiantes. ¿ porqué ? 15) Setenta y cinco niños fueron a un parque de diversiones donde subieron a la rueda de la fortuna. Cada juego cuesta $ 0. Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. . 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias. b)Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias. el 20% juega tenis y fútbol . 14) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis. Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos. N = { S0. c }. b. n u 0 } . A p a A b. B p c. B }. S0 es símbolo inicial P = { S0 p AB. N. una gramática que pueda generar el lenguaje dado. A p ab. B p B c } Determine si las siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje dado: aabbaa abbc aaabbbccc ababcc 17) Sea : L(G) = { an c bn . P ) donde T = { a. S0. . A.16) Considere el lenguaje especificado por la gramática G = ( T. encuentre si es posible. c.Determinación de conjuntos Para denotar conjuntos utilizaremos letras mayúsculas. b A .a . simbólicamente si el elemento s no pertenece al conjunto A. b . b.d . escribimos a A s A 1 2 3 Si a A . nominando entre llaves todos y cada uno de los elementos que lo componen Una representación visual de los conjuntos es la de diagramas de Venn 1-2 3 A . c y d pertenecen al conjunto A A = { a. y para especificar los elementos que pertenecen (o no) a los conjuntos usaremos letras minúsculas. c A . d } Hemos definido el conjunto A por extensión. el elemento a pertenece al conjunto A. d A Podemos escribir : y solo a .c .b . 2 } B = {x / x Z x e 2 } 4} por comprensión por extensión por extensión por comprensión 1 2 6 3 Cuando el conjunto es infinito. } Si un conjunto no tiene elementos decimos que está vacío 1-2 3 6 Simbólicamente A = . -1. . 10. . enunciando las propiedades (o características) que son propias de todos los elementos del conjunto y solamente de ellos Ejemplo A = {x / x N x A = { 1. . . 2. 3. 3 } B = { -2. . 4. 7. . 2. 5. . . . . . 0.Pero también al mismo conjunto A podríamos definirlo por comprensión A = { x /x es una de las primeras cuatro letras del alfabeto } Definimos por comprensión un conjunto. . acudiendo a un abuso de notación puede proponerse una determinación por extensión aparente como: N = { 1. . 1. 8. como el conjunto de los números naturales. 9. 6. 2 se llaman Alberto. c } Decimos que : la multiplicidad del elemento a la multiplicidad del elemento b la multiplicidad del elemento c 1-2 3 . c. Por ejemplo: 3 se laman Juan. aunque hay elementos que tienen el mismo nombre Conformado por 6 elementos de los cuales 1 se repite tres veces.Multiconjuntos Puede suceder que en un conjunto algunos elementos no sean diferentes (se repiten). este es el caso de un multiconjunto Por ejemplo: el conjunto de los nombres de los jugadores de un equipo de fútbol Entre los 11 jugadores pueden haber algunos cuyos nombres sean los mismos. otro dos veces y el tercero aparece una sola vez en el conjunto A en el conjunto A en el conjunto A es es es 3 1 2 Sea el conjunto A = { a. 1 2 3 Cada jugador es un elemento. a. y los 6 jugadores restantes tienen nombres diferentes. b. a. 5 } B = { 1.Puede suceder que todos los elementos de un conjunto. 4 } entonces Recordá siempre que entre elemento y conjunto la relación es de pertenencia entre conjuntos la relación es de inclusión A está incluído en B en diagramas de Venn Todos los elementos de B pertencen al conjunto A A B A 1 2 3 4 5 B B A . 2. 4. 3. en Sistemas } B = { x/x es alumno de FACENA } 4 5 i-iii i5 iv-vi iv- Es obvio que todos los alumnos de la carrera de Licenciatura en Sistemas son alumnos de la Facultad de Ciencias Exctas y Naturales y Agrimensura Entonces decimos que: Sea A = { 1. pertenezcan también a otro conjunto. Por ejemplo: A = { x/x es alumno de la carrera Lic. 2. 3. c .x M S A c) El conjunto vacío simbólicamente es A = también A = { } d) Si decimos M no es un subconjunto de S Simbólicamente escribimos e) z no pertenece a A Simbólicamente escribimos f) r pertenece a A Simbólicamente escribimos r A z A A M S .b .1a) Si decimos R es un subconjunto de T Simbólicamente escribimos R T R .a T b) Si decimos x es un elemento de Y Simbólicamente escribimos x y Y .a .r .b .a .b A ó bien M S .b .a .b . a. r } con cardinalidad 2 para los elementos ´aµ y ´lµ. 4 } con cardinalidad 2 para el elemento 2. si lo tomamos como multiconjunto al tomarlo como conjunto B = { 2. l. o. a. r } iv) D = { x : x2 . e. 3. l. no verifican la otra y viceversa E= . l. 2. u } ii) B = { x : x es dígito del número 2324 } por extensión se escribe B = { 2. i. 4 } iii) C = {x : x es una letra de la palabra ´fallarµ} por extensión se escribe C = { f.2) i) A = { x : x es vocal } por extensión se escribe : A = { a.2 = 0 } x2 = 2 p x1= se buscan los valores de x que verifican la ecuación x2= 2 2 entonces: D={ 2. a. 2} v) E = { x : x2 = 9 x .3 = 5 } x1= se buscan los valores de x que verifiquen ambas condiciones 9 !3 x2= 9 ! 3 y x1-2 = 8 en consecuencia Los valores que verifican una de las condiciones. si es multiconjunto al tomarlo como conjunto C = { f. 3. 16. . 25. son números naturales que 3) a) A = { 1. -1} ó B = { x / x N x = 2h . 6. 7. 3. . con n N. . 20. . 4. 25. } . 5. 10 } B = { 5. x2 = 21 = 2. . 5. x4= 23 = 8 . 8. 9. 4. 2. opuestos (de igual valor absoluto) C = { x / x Z x= 1 } D = { 1. . } por comprensión son números naturales impares B = { x / x N x es impar } C = {1. xn = 2n-1 cualquiera sea i u 0 entonces: A = { x / x N x = 2i. } comienzan en 1 y luego se suceden como el doble del anterior x1 = 20 = 1. . 36 } por comprensión son números que resultan de elevar al cuadrado cualquier natural menor que 7 D= { x / x N x = n2. 8. 10. . . .1. . . i u 0 } B = { 1. . . 7. . .por comprensión. 4. n b) A = { x / x N 3 e x e 10 } = B={x/xN5x} = 7} A = { 3. . h u 1 } por comprensión son números enteros. . 9. . . . . x3 = 22 = 4. . 9. . 15. 16. 9 } D = { 3. 5 } E = { 3. . 3. 7. 5.. 2. 8. . porque en este caso todos los conjuntos dados están incluídos en el conjunto A . 6. 9 } B = { 2. 8 } C = {1. 4. . .4) Representamos en diagrama de Venn A = { 1. 5 } i) Si X y B son disyuntos X = C entonces entonces XA X = X = E X = B ó X = E X B XC pero A B 2 8 6 4 D C E 1 9 3 5 7 en el diagrama se aprecia que ii) Si X D iii) Si X A pero pero iv) Si XC entonces Esto es imposible. 4. . 4. 2. 4.5) i) { 1. 2 } 5 iv-vi iv- . son iguales ii) { 3. 1 } Es verdadero porque los elementos de los dos conjuntos son los mismos y si dos conjuntos tienen los mismos elementos. 2 } Es verdadero 1 { 1. 3 } = { 3. sino que pertenece a { 1. 2 } { 1. 2 } . 2 } porque es un elemento del conjunto Al establecerse una relación de pertenencia Negamos que se establezca una relación de inclusión Mas precisamente 1 no está incluido en { 1. 3 } Es verdadero Todo conjunto está incluido en sí mismo los elementos de los dos conjuntos son los mismos podemos decir: A = B y B = A entonces A = A iii) 1 { 1. 1. 5) iv) { 4 } { { 4 } } Es verdadero La relación que se establece entre elemento y conjunto es de pertenencia { 4 } es un elemento del conjunto { { 4 } } {4}{{4}} v) Es falso Es verdadero está incluido en cualquier conjunto vi) { { 4 } } es un conjunto. no es un elemento (en este caso) Recuerde siempre que: la pertenencia relaciona elementos con conjuntos la inclusión relaciona conjuntos entre sí el conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos . 6) Determine si los conjuntos dados son vacíos : i) X = {x : x2 = 9 2 x = 4 } El conjunto X está conformado por elementos que verifican las dos ecuaciones dadas en la definición por comprensión. . pero debe verificar ambas por que los que vincula las ecuaciones es una conjunción x !9 2 x!s 9 X= x1 = 3 x2 = . . de Identidad) Entonces : Y= p Z{ x=8²8=0 Z={0} iii) Z = { x : x + 8 = 8 } Entonces : . Esto contradice el primer principio de la lógica clásica ´todo objeto es idéntico a sí mismoµ (P. .3 2x=4 p x ! 4 !2 2 Entonces: ii) En ningún caso coinciden x1 o x2 con x = 1/2 Y={x:x{x} El conjunto Y estará conformado por elementos x que sean distintos de sí mismos . con los elementos de N (conjunto de números naturales) Tenemos en C un conjunto infinito contable o numerable o lo que es lo mismo. Si es posible establecer una relación biunívoca entre los elementos de un conjunto C cualquiera.Si un conjunto tiene un número determinado de elementos. podemos decir que la cardinalidad de C es infinita contable . si no es finito. decimos que es un conjunto finito Formalmente. dado un conjunto A (de n elementos) x1 x2 x3 xn A a b c n B si es posible establecer una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los elementos de A con los elementos de un conjunto B de cardinalidad n 7 i-iii i7 iv-v iv- B es un conjunto finito de n elementos Un conjunto es infinito. julio. . mayo.. 3. este es un conjunto que a priori suele ser pensado como infinito. agosto. abril. .7) i) El conjunto de ´los meses del añoµ es un conjunto finito de doce elementos A = { enero. febrero. la limitación para poder contar los elementos es solo técnica. si tomamos un instante determinado. septiembre. 100} son los cien primeros números naturales Es un conjunto finito iii) C = El conjunto de personas que viven en la tierra la cantidad de elementos que posee (personas que viven sobre la tierra) nos impacta. debemos reconocer que. . o en el mejor de los casos infinito contable . diciembre } Es un conjunto finito ii) B = {1. junio. . octubre. 2. . noviembre. . 99. marzo. En el futuro podríamos empadronar a cada una de las personas que viven sobre la tierra establecer una relación biunívoca entre el conjunto C y un conjunto de números naturales cardinalidad n (nº de personas que viven sobre la tierra) Es un conjunto finito 7 iv-v iv- . 1] a 1/2 le corresponde 3 Entre cualquier tomamos el valor medio entre 0 y 1/2 par de valores de a 1/4 le corresponde 4 Racionales. por ejemplo el intervalo [0. puede insertarse tomamos el valor medio entre 1/4 y 0 siempre uno mas a 1/8 le corresponde 5 tomamos el valor medio entre 1/8 y 0 a 1/16 le corresponde 6 siempre es posible establecer en A un nuevo número intermedio entre 0 y la última fracción al que le va a corresponder algún elemento de B la cardinalidad de B así no puede determinarse Entonces A es un conjunto infinito En el conjunto de los Como A Q resulta que Q es conjunto infinito Reales habrán también números irracionales. 7 v) R = { x / x R } R es conjunto infinito R: conjunto de los números reales . 1] Intentamos establecer una correspondencia biunívoca entre los racionales de [0. 1] (conjunto A) y algún conjunto B de cardinal n A B 0 1/16 1/8 1/4 1/2 1 1 6 5 4 3 2 a 0 le corresponde 1 a 1 le corresponde 2 tomamos el valor medio del intervalo [0.7 iv) Q = { x / x Q } R : conjunto de los números racionales Para explicar mejor el problema. . analizaremos un intervalo cualquiera de los racionales. 8 i Operaciones de Conjuntos ² Operaciones en Diagramas de Venn 8 ii 8 iii 8 iv 9 c-d c10 iii-iv iii9 e 10 v Unión La unión del conjunto A con el conjunto B queda determinada con todos los elementos que pertenecen al conjunto A y también por los los elementos que pertenecen al conjunto B 9 a-b a- A = { 1. 2. 4. 2. 5 } 8 9-10 AB={3} . 5 } Intersección La intersección del conjunto A con el conjunto B queda determinada con los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B (solo a ambos conjuntos) A = { 1. 3. 3 } B = { 3. 3 } B = { 3. 5 } 10 i-ii i- A B = { 1. 4. 2. 4. 2.8 i Diferencia A = { 1. 4.B = { 1. 5 } La diferencia simétrica del conjunto A con el conjunto B queda determinada con todos los elementos que pertenecen solamente al conjunto A ó al conjunto B (pero no a ambos simultáneamente) A ( B = { 1. 5 } La diferencia del conjunto A ´menosµ el conjunto B queda determinada con todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B 8 ii 8 iii 8 iv A . 2 } 9 a-b a10 i-ii i- 9 c-d c10 iii-iv iii- 9 e 10 v Diferencia simétrica A = { 1. 5 } 8 9-10 . 2. 2. 3 } B = { 3. 4. 4. 3 } B = { 3. 8 i Conjunto Universal ó Universo Es un conjunto que contiene todos los elementos del universo en el cual están contenidos los restantes conjuntos Por ejemplo: A = { x/x N pares } U = {x/x N } Otro ejemplo: B = { x/x N impares } 9 a-b a10 i-ii i9 c-d c10 iii-iv iii- 8 ii 8 iii 8 iv 9 e 10 v Universal = todos los números naturales A = { alumnos de Lic. en Sistemas} B = { alumnos de Bioquímica } U A B U A B U = { alumnos de FACENA } U A B Si algunos alumnos estudian las dos carreras 8 9-10 Si ningún alumno estudia las dos carreras Si todos los alumnos de Bioquímica también estudian Licenciatura . 2. 7 } A´ también puede escribirse Ac . 7 } ² { 1. 4. 5. 2. 6. 6. 3. 7 } A = { 1.8 i El complemento del conjunto A está formado por los elementos que son del Universal pero que no pertenecen al conjunto A U = { 1. 2. 3 } B = { 3. 5. A 8 9-10 . 5. 5 } 7 U A 1 2 3 4 5 B 8 ii 8 iii 8 iv 6 9 a-b a10 i-ii i- 9 c-d c10 iii-iv iii- 9 e 10 v A´ = U ² A = { 1. 3 } = Al conjunto universal le quitamos los elementos del conjunto A A´ = { 4. -A . 4. 6. 4. 3. 2. V sombreamos con azul el conjunto W U y con verde el conjunto V El resultado sigue siendo la región sombreada en azul (W) (que no fue afectada por la sombra verde) diferencia ² dif.V Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W U unión intersección Luego sombreamos con azul el conjunto W y con verde el conjunto V El resultado es la región sombreada en azul (W) que no fue afectada por la sombra verde W ² V = Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V W W .8) i) W .simétrica universal complemento W ² V = 8 ii 8 iii 8 iv . 8 ii) Vc W Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W U unión intersección sombreamos con azul el complemento de V (Vc) lo que no es conjunto V y con verde el conjunto W Por tratarse de una unión el resultado es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos colores Vc W = V W = ( V ² W ) c c diferencia ² dif.simétrica universal complemento Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V W sombreamos con azul elcomplemento de V (Vc) y con verde el conjunto W Por tratarse de una unión el resultado es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos colores U Vc W = Vc W = U 8 iii 8 iv . simétrica Por tratarse de una intersección el resultado es solamente la región sombreada con los dos colores V Wc = universal complemento Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V W sombreamos con azul el conjunto V y con verde el complemento de W (Wc) U Por tratarse de una intersección el resultado es solamente la región sombreada con los dos colores que en este caso es vacío V Wc = 8 iv .8 iii) V Wc Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W sombreamos con azul el conjunto V y con verde el complemento de W (Wc) U unión intersección diferencia ² dif. 8 iv) Vc .Wc Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos V y W sombreamos con azul el conjunto Vc y con verde el complemento de W (Wc) unión intersección diferencia ² dif.simétrica universal Por tratarse de una diferencia el resultado es la región sombreada con azul pero no con verde Vc ² Wc = Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V W sombreamos con azul el conjunto Vc y con verde el complemento de W (Wc) complemento Por tratarse de una diferencia el resultado es la región sombreada con azul pero no con verde Vc ² Wc = . C y D U unión intersección diferencia ² dif.simétrica universal sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto B A B es la región sombreada con cualquiera de los dos colores e incluso con ambos colores A B = 9 b) A B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A . C y D U complemento sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto B A B es la región sombreada solamente con los dos colores A B = 9 c-d c9 e .9) a) A B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A . B . B . 9 c) (A . B . C y D sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C pintamos el resultado A .C) B U unión intersección diferencia ² dif. pintamos amarillo la zona identificada con los colores de A-C y de B y así obtenemos que el resultado final (A .simétrica universal (A .C) B = Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A .C sombreamos color naranja el conjunto B U complemento Por tratarse de una intersección.C) B Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A . C y D sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C pintamos el resultado A . B .C) B = 9 e .C Por tratarse de una unión pintamos también todo el conjunto B y así obtendremos que el resultado final es toda la zona pintada 9 d) (A . C y D sombreamos con azul el conjunto A con verde el conjunto B y sombreamos color naranja el conjunto C Por tratarse de una triple intersección. B .9 e) (A B C) D Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn de los conjuntos A . de B y de C simultáneamente A B C = El conjunto D también sombreamos amarillo. pintamos amarillo la zona identificada con los colores de A . para que quede determinado ( A B C ) D = U unión intersección diferencia ² dif.simétrica universal complemento . . 4 } 10 iii-iv iii10 v complemento . pero no del conjunto A Dibujamos el universal con todos sus elementos Identificamos el conjunto A Sombreamos 10 ii) Ac = { 5. 2. 8. .10) Si U= {1. 8. 9 } unión intersección diferencia ² dif. 3. . . 6. 4} 10 i) Ac son todos los elementos del conjunto universal. 7. 9} A = {1. .simétrica universal A C son los elementos del conjunto A y del conjunto C (de ambos) Dibujamos el universal con todos sus elementos e identificamos los conjuntos A y C Sombreamos con azul el conjunto A y con verde el conjunto C La región con doble sombras es A C = { 3. 2. 4. 3. 8. 2. 2. 2. . 6. 7. 8.Si U= {1. 8 } 10 v .simétrica universal ( A C )c = { 1. 4. 6. 9} 10 iii) Para hallar ( A C )c A = {1. . 4. 6. 6 } Usamos como resultado parcial el ejercicio anterior A C = { 3. . . 2. 8 } complemento Dibujamos en el Universal A = { 1. . 2. 3. 9 } Si queremos hallar A B B = { 2. 3. 4} y C = { 3. 5. 4 } Sombreamos el conjunto A y también el conjunto B A B = { 1. 4 } (A C)c es precisamente todo lo que es universal pero no forma parte de (A C) que sombreamos color naranja 10 iv) unión intersección diferencia ² dif. 5. 8 } B . 5. 9} 10 v) para hallar B = { 2. . 6 } Sombreamos el conjunto B y luego borranmos la zona sombreada en B que es conjunto C unión intersección diferencia ² dif. .C y C = { 3. 4. . 2. .simétrica universal complemento B ² C = { 2. . 4. 6.Si U= {1. 8 } . 8. A = C A C .A es quitarle el conjunto A al conjunto C Lo que tiene resultado diferente de C A entonces C .11) a) A B A ( A B ) Si A B todos los elementos de A pertenecen también al conjunto B en ese caso A B = A B A y como todo conjunto está incluido en sí mismo es verdadero A B A B A ( A B ) 11 b) B A ( A B ) A en ese caso A B = A Si B A todos los elementos de B pertenecen también al conjunto A y como todo conjunto está incluido en sí mismo es Falso B A ( A B ) A 11 c) C .A = C A es Falso Si A = B los elementos del conjunto A son los mismos que los elementos que los del conjunto B es Verdad 11 d) Si A = B A B = A la unión de ambos conjuntos es igual a cualquiera de ellos Luego: A = B A B = A . 12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas. 120 estudian únicamente francés . F = 400 ² 320 = 80 De estos 80 alumnos que no estudian francés. 200 estudian francés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. O = 80 ² 50 = 30 30 50 Son los que no estudian solamente francés ni francés e inglés juntos O = 50 I = { x/x estudia solamente inglés } . hay 50que estudian otros idiomas que no son francés ni inglés U F 120 200 I I = Fc . ¿ Cuántos estudian solo inglés ? El conjunto universal es la totalidad de los alumnos que estudian en la escuela de idiomas U = { x / x es alumno de la escuela de idiomas } U = U = 400 F = { x/x estudia solamente francés o francés e ingles } F = 120 + 200 = 320 La cantidad de alumnos que no estudia francés es el complemento de F ( Fc ) Fc = U . c } con A = 3 A a c b d e B y B = { b. (B C) . (A C) . (A B) .Sean : A = { a. (A B) = 3 + 3 ² 1 = 5 Porque en dos conjuntos rampantes. d. (A B) (A B C) parece ser A + B + C . al sumar la cantidad de elementos de cada conjunto. b. e } con B=3 A+B=3+3=6 Pero (A B) = 5 si los conjuntos no son disjuntos A + B { (A B) Observe que: (A B) = A + B . estamos contando dos veces todos los elementos que son comunes a ambos conjuntos entonces si (A B) = A + B . b. e. c. c } B C = { b. (B C) deslizamos voluntariamente un error para que aprecie Ud. (A B) . (A C) . e } (ABC)=6 AB={b} observando minuciosamente vemos que el elemento c aparece en dos conjuntos (A y C) pero se descuenta una vez en A C el elemento e aparece en dos conjuntos (B y C) pero se descuenta una vez en B C . b. (A C) . (A B) . d. e } con B=3 aparece ahora el conjunto C = { b. d. que : si A = { a. c. f } A C = { b. e f } sería entonces A + B + C . (B C) = 3+3+4²1²2²2=5 pero ( A B C ) = { a. c } A a c C f d b e con A = 3 B y B = { b.pero al escribir (A B C) parece ser A + B + C . B y C) . entonces : A + B + C .el elemento b que aparece en los tres conjuntos ( A. (B C) (A B C) así tenemos : (A B C) = A + B + C . (B C) + (A B C) A=3 B=3 C=3 (A B) = 1 entonces (A C) = 2 (B C) = 2 (A B C) = 1 (A B C) = 3 + 3 + 3 ² 1 ² 2 ² 2 + 1 = 6 . (A C) y (B C) veces: A a c C f vamos a sumarle b d e a B sucede que todos los elementos que se encuentren en la triple interseción se descontarán una vez mas que lo que corresponde. (A B) . (A C) . (A B) . (A C) . se descuenta tres veces en (A B) . (F B) + (M F B) Hacemos pasaje de términos para despejar (M F B) = (M F B) . Extraemos datos de la consigna: U = 100 M = 32 F = 20 (M F) = 7 (M B) = 15 B = 45 O = 30 (F B) = 10 (M F B) = M + F + B .13) De 100 estudiantes. B + (M F) + (M B) + (F B) (M F B) = 70 ² 32 ² 20 ² 45 + 7 + 15 + 10 = 5 . F . (M F) . 15 estudian matemáticas y biología . (M B) . 45 estudia biología . b)Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias. 20 estudian física . 32 estudian matemáticas . a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias. M . 7 estudian matemáticas y física . son datos de la consigna: U = 100 M = 32 F = 20 (M F) = 7 (M B) = 15 y hemos hallado que (M F B) = 5 B = 45 O = 30 (F B) = 10 así : U M 15 10 B 2 5 25 8 5 30 F (M F) . (M F B) = 7 ² 5 = 2 (M B) . (M F B) = 10 ² 5 = 5 Solo matemática = 32 ² 2 ² 5 ² 10 = 15 Solo física = 20 ² 2 ² 5 .5 = 25 .5 = 8 Otras materias = 30 Solo biología = 45 ² 10 ² 5 . (M F B) = 15 ² 5 = 10 (F B) . juega tenis. . también corren. juega fútbol. pero ya tenemos un 20% que además de sabemos así que del jugar tenis y correr. si el 40% juega fútbol y corre y tenemos un 20% que además de jugar fútbol y correr. el 20% juega tenis y fútbol . el 30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. el 50% juega fútbol . nos quedan entonces el 20% que únicamente juega fútbol y corre Sabemos así. nos quedan entonces el 10% que 60% que juega tenis. que del 50% que juega fútbol. arroja que quedarían solamente un 10% de profesores que solamente corren . ¿ porqué ? planteamos la siguiente situación F Todos los que juegan tenis y fútbol.14) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis. Ese resultado arroja un total de 60% de profesores que corre y se contradice con la consigna donde son el 70% los profesores que corren 10% ? en este caso. únicamente juega tenis y corre el 30% juega la suma de los porcentajes de cada una de las regiones del diagrama solamente tenis de Venn. Los datos son inconsistentes (erróneos) . . Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis ¿ lo creería ? . de manera que: 10% 20% C 0% 20% 30% 10% T (F T) = (F T C) solo el 10% juega solamente fútbol un 30% juega tenis y corre. el 70% corre . es evidente que . Cada juego cuesta $ 0. quedarán 10 sin subir a ningún juego . Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos. pero los niños son 20 En el caso que reparta 1 ticket por niño.50 y el costo total fue de $ 70. y sé también que son 20 los niños que subieron a los tres juegos.50 = $ 30 Si 55 niños subieron al menos a dos de los tres juegos. Los 20 niños que subieron a los tres juegos.50 = $ 35 quedan ahora $ 5 y 20 niños que aún no subieron a juego alguno los $ 5 que restan son suficientes para 10 tickets. . Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Los que subieron solamente a dos juegos son 55 ² 20 = 35 niños Que subiendo a dos juegos gastaron Entre los niños que subieron a dos o tres juegos (55 en total). llevan gastado $ 30 + $ 35 = $ 65 35 x 2 x 0.15) Si eran 75 niños en total y los juegos eran tres: la rueda de la fortuna. . . la montaña rusa y el trencito. gastaron 20 x 3 x 0. b } N = { S 0. n u 1 } repetirse n veces . N. es un cuádruple G (T. que dá inicio a las secuencias de producciones S0 símbolo inicial 16 17 Los símbolos terminales son letras minúsculas y tienen el significado que le asigne cada lenguaje en particular Los símbolos NO terminales son letras mayúsculas y sirven para componer las expresiones (cadenas) del lenguaje Las producciones son las ´leyesµ que rigen en la composición de las cadenas del lenguaje T = { a. S0. A p b } Así desde el símbolo inicial S0 p a A p a a A p a a b generamos cadenas como S0 p a A p a a a A p a a a a A p a a a a b (an no es una expresión an significa que a puede algebraica de potencia) LG = { an b. A p a A . P ) conformado por: T N P conjunto de símbolos terminales conjunto de símbolos NO terminales conjunto de Producciones El símbolo inicial S0 es un No Terminal.Una Gramática G que genera un lenguaje L. A } P = { S0 p a A . P ) donde T = { a. B p B c } Determine si las siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje dado: aabbaa abbc aaabbbccc ababcc Para saber si una cadena pertenece a un determinado lenguaje. B p c. A. en el primer caso. B }. A p ab. S0 es símbolo inicial P = { S0 p AB. N. A p a A b. debemos verificar si es posible formar dicha cadena con la gramática de dicho lenguaje Así. c }. verá Ud. S0. N = { S0. la cadena es a a b b a a De manera que cualquier cadena de este lenguaje necesariamente comienza en S0 p AB Y la única producción que involucra al símbolo inicial es S0 p AB De observar atentamente el conjunto de producciones.16) Considere el lenguaje especificado por la gramática G = ( T. que el símbolo no terminal B produce únicamente B p c ó B p B c Entonces cualquier cadena que se inicia con S0 p AB debe terminar en c Luego a a b b a a no es una cadena del lenguaje dado . b. c }. a a a b b b c es una cadena del lenguaje dado . S0. N. a b b c no es una cadena del lenguaje dado Se obtiene haciendo S0 p A B p a A b B c p a a A b b B c c p a a a b b b c c c Usamos A p a A b y Bp Bc y Bp c Finalmente A p a b Luego. b. P ) donde T = { a. S0 es símbolo inicial P = { S0 p AB. A p a A b. B }. B p B c } S0 p AB p a b B p a b c S0 p AB p a A b B p a a b b c La cadena a a a b b b c c c No es la cadena buscada No es la cadena buscada y podemos notar que cualquier cadena de este lenguaje contendrá igual cantidad de símbolos a que de símboloos b al inicio y luego una ó mas c Luego. N = { S0. A. B p c. A p ab.En el caso de la cadena a b b c Si G = ( T. A } S0 p a A b Apc ApaAb Con estas producciones se forman cadenas que tienen igual cantidad de a y de b al inicio y al final. encuentre si es posible. En nuestro caso. una gramática que pueda generar el lenguaje dado. A p c } . n u 0 } . A p A a B. c } N = { S0. b. es evidente que el conjunto de símbolos terminales T estará conformado por los símbolos Al conjunto de símbolos no teminales N le asignamos un elemento S0 y un no terminal A Con estos conjuntos proponemos una primera producción Y una segunda y tercera producción pueden ser: T = { a.17) Sea : L(G) = { an c bn . debemos definir los conjuibntos que componen el cuádruple que define la gramática. Para hallar una gramática que genere un lenguaje dado. y en el medio una c P = { S0 p a A b. de manera que esa gramática sea capaz dce generar todas las cadenas del lenguaje y solamente de él. sino también el que pudiendo hacerlo mejor. puede producir cosas diferentes. P ) queda conformada con T = { a. Entonces planteamos Apc S0 p a S0 b. siempre estarán a y b al comienzo y al final respectivamente S0 p c La gramática G = ( T. S0 p c } Queda en evidencia que un mismo símbolo no terminal. Sócrates . Porque es fácil advertir que con estas producciones. b. N = { S0 }. c }. inclusive el símbolo inicial (que es un no terminal) No es perezoso solo el que no hace nada. A p a A b. n u 0 } puede suceder que no existan símbolos a ni b. no lo hace. N. S0 es símbolo inicial P = { S0 p a S0 b.Pero si L(G) = { an c bn . (n = 0) Esto nos lleva a reformular las producciones halladas S0 p a A b. S0.

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