Clase 1Modelos, Computadoras y Análisis de Error Métodos numéricos Técnicas que permiten resolver problemas matemáticos (de cierta complejidad) a través de (una gran cantidad de) operaciones aritméticas. Solución de Problemas en Ingeniería Los Métodos Numéricos y la Práctica en Ingeniería ● ➢ Razones para estudiar Métodos Numéricos: Los Métodos Numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas Permiten interpretar adecuadamente los fundamentos del software "enlatado" (i.e., software estándar o comercial) Posibilitan desarrollar software "propietario" (cuando el software "enlatado” no es apropiado) Permiten cuantificar y acotar los errores de aproximación que producen las computadoras (al aplicar estos métodos) Ayudan a reforzar los conocimientos de distintas ramas de la Matemática ➢ ➢ ➢ ➢ Resumen (1) . Resumen (2) . Organización . Modelos Matemáticos ● Formulación (o ecuación) que expresa las características esenciales de un sistema físico: variable variables términos =f . dependiente independientes fuente ● Los modelos matemáticos tienen un rol importante a la hora de solucionar problemas en Ingeniería . parámetros . Ejemplo: Problema del Paracaidista ● Modelo matemático F=ma Es decir dv F = dt m siendo F = F D F U con F D = m g . F U =− c v . Ejemplo: Problema del Paracaidista Reemplazando y reordenando. dv c = g− v t dt m que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) ¿Cómo se resuelve? (dos enfoques) ● ● Por métodos analíticos → Análisis Matemático Por Métodos Numéricos . Solución Analítica gm v t = 1− e c ● − c t m Datos: m = 68.87 47.1 kg .40 27.00 16.10 44. s 0 2 4 6 8 10 12 ∞ v m/s 0.64 41.49 53.77 35.5 kg/s t.39 . c = 12. Solución Numérica (1) Reemplazamos derivada por cociente incremental: d v v v t i 1 − v t i ≈ = dt t t i 1− t i Reemplazando y reordenando: c v t i 1 = v t i g − v t i t i 1− t i m Método de Euler [ ] . 8 − 19.00 39.Solución Numérica (2) Con mismos parámetros.96 53.5 v = 0 9.60 32. ● Para ti+1 = 2 s Para ti+1 = 4 s t.39 ● 12.00 m / s 68.82 47.60 9. s 0 2 4 6 8 10 12 ∞ v m/s 0.1 12.85 44.00 19.60 m / s 68.8 − 0 2 = 19.1 [ [ ] ] .97 49.60 2 = 32.5 v = 19. Leyes de Conservación e Ingeniería ● Principios fundamentales en Ingeniería que tienen la forma: Cambio = incremento – decremento Si el problema es estacionario (i..e. cambio = 0). incremento = decremento ● ● Ejemplo: Problema de Flujo en Tuberías (conservación masa) . Leyes de conservación e ingeniería . 1 a 1.18 (p.Problemas 1. 22) . Decisión y Repetición .Programación y Software (1) ● Programa Computacional: conjunto de instrucciones que se dirigen a una computadora para realizar ciertas tareas Objetivo (en Métodos Numéricos): Realizar numerosos cálculos en forma rápida y eficiente Dos paradigmas: ● ● ● ● Planilla de cálculo Programación estructurada: basada en tres tipos de estructuras de control: – Secuencia. . endfor . case valor_2 Instruccion. endswitch while condicion Instruccion. [else Instrucción.. . for variable = rango Instruccion. endfor for var=v_in:[paso:]v_fin Instruccion. otherwise Instruccion.Estructuras de Control (GNUOctave) ● Decisión ● Repetición if condicion Instruccion.] endif switch expresion case valor_1 Instruccion. endwhile do Instruccion. until condicion. ● . Comparar las soluciones numérica (aproximada) con la solución analítica (exacta). para t entre 0 y 10 s.1 s.Programación y Software (2) Ejemplo: ● Resolver numéricamente el problema del paracaidista con un paso Δt = 0. 20 (p. 48) .m Problemas 2.ods Con un programa en GNUOctave (MATLAB): ● Código: paracaidista.1 a 2.Solución ● ● Con planilla de cálculo: paracaidista. Errores Numéricos ● De redondeo: ● Capacidad limitada de almacenamiento de las computadoras Diferencia entre la formulación matemática exacta y la aproximación numérica ● De truncamiento: ● . número de dígitos certeros. más uno estimado) .e..Cifras Significativas ● Cifras (dígitos) que componen a un número que pueden utilizarse en forma confiable (i. Exactitud vs. Precisión ● Exactitud: ¿Qué tan cercano está el valor calculado (o medido) respecto del valor verdadero? Precisión: ¿Qué tan cercanos se ubican entre sí los distintos valores calculados? ● . Definiciones de Error (1) ● Valor verdadero = Valor aproximado + Error Et = Valor verdadero – Valor aproximado Error relativo verdadero = Error verdadero Valor verdadero εt = Error verdadero x 100% Valor verdadero ● ● . ant. x 100% aprox. actual – aprox.Definiciones de Error (2) ● Si se desconoce el valor verdadero: εa = error aproximado x 100% Valor aproximado En métodos iterativos: εa = aprox.5 × 10 2− n . Actual Las iteraciones siguen hasta que ● ● ● ∣ a∣ s ● Tolerancia porcentual Para asegurar "n" cifras significativas: s = 0. 5 con 3 cifras significativas .Ejemplo de Aplicación (1) ● Estimación del error con métodos iterativos Expansión en serie de McLaurin de la función exponencial: x x x e = 1 x . 2! 3! n! x 2 3 n Estimar el valor de e0... ods .5 × 10 2− 3 %= 0.Ejemplo de Aplicación (2) ● Tolerancia porcentual s = 0.05 % ● Cálculo: e_ala_05. Errores de Redondeo ● Origen: Cantidad limitada de cifras significativas al manejar magnitudes en una computadora Representación de números en la computadora: ● ● ● Sistema numérico binario (base 2) Palabra (secuencia de bits .0s o 1s) . Notación Posicional . Representación Entera ● ● Primer bit reservado para el signo de la magnitud Ejemplo: Almacenar el número -173 en un registro de computadora de 16 bits . e: exponente e ● Ejemplo: el número 156. ≤ m1 b m: mantisa .Representación en Punto Flotante 1 m⋅b .78 se representa como: 0. b: base.15678 × 10 3 . Ejemplo de Aplicación (1) ● Determine el conjunto de números con punto flotante que puede representar una máquina que guarda información usando registros de 7 bits . ..093750)10 0111111 = (1x2-1+0x2-2+0x2-3)x2-3=(0.187500)10 0110111 = (1x2-1+1x2-2+1x2-3)x2-2=(0.078125)10 0111110 = (1x2-1+0x2-2+0x2-3)x2-3=(0.109375)10 0110100 = (1x2-1+0x2-2+0x2-3)x2-2=(0.125000)10 0110101 = (1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-2=(0. 0011111 = (1x2-1+1x2-2+1x2-3)x23=(7)10 .0625)10 0111101 = (1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-3=(0..218750)10 .156250)10 0110110 = (1x2-1+1x2-2+0x2-3)x2-2=(0.Ejemplo de Aplicación (2) 0111100 = (1x2-1+0x2-2+0x2-3)x2-3=(0. Ejemplo de Aplicación (3) 1) Rango de cantidades limitado 2) Número finito de cantidades 3) El error de cuantificación es proporcional a la magnitud del número representado . 004381 x 10¹ 0.1557 x 10¹ 0.1600 x 10¹ .160081 x 10¹ se trunca a 0.4381 x 10-1 = 0.1557 x 10¹ + 0.Manipulación Aritmética ● Ejemplo: sumar dos números en una computadora con mantisa de 4 dígitos y exponente de 1 dígito: 0. Ejemplo de Aplicación ● Sumar 1/10 10 millones de veces ● Script en Python: suma_redondeo.7 y 3.8 Problemas 3.11 .py ● Ver ejemplos 3.1 a 3. Por ejemplo: d v v v t i 1 − v t i ≈ = dt t t i 1− t i .Errores de Truncamiento ● Se presentan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. x i ≤ ≤ x i 1 n 1 ! n 1 . x i 1− x i R n 3! n! Haciendo h = xi+1 ..Serie de Taylor (1) f ' ' xi 2 f x i 1 = f x i f ' x i x i 1 − x i x i1− x i 2! n f ' ' ' xi f xi 3 n x i 1− x i .xi f ' ' xi 2 f xi 3 f xi n f x i 1 = f x i f ' x i h h h ... h Rn 2! 3! n! 3 n con f n 1 Rn = h .. 5 x − 0.Serie de Taylor (2) ● Aproximación por series de Taylor de f x =− 0.1 x − 0.2 4 3 2 con xi = 0 y h = 1 .25 x 1.15 x − 0. Serie de Taylor (3) ● Aproximación de: f x = x . Utilidad de la Serie de Taylor: Estimación Errores Truncamiento (1) ● Diferenciación numérica (caso 1) Considerando la expansión de Taylor de orden 1. v t i 1 = v t i v ' t i h R1 Despejando y reemplazando. v t i 1 − v t i R1 v t i 1 − v t i v ' ' h 2 v ' t i = − = − t i 1− t i h t i 1 − t i 2! h Que también se puede escribir como fi f ' x i = O h h Diferencia finita dividida hacia adelante . f x i − f x i −1 f ' ' x i f ' x i = h − . 2! Despejando..Utilidad de la Serie de Taylor: Estimación Errores Truncamiento (2) ● Diferenciación Numérica (caso 2): Tomando -h = xi-1 – xi f ' ' xi 2 f x i − 1 = f x i − f ' x i h h − .. Es decir.. h 2! ∇ fi f ' x i = O h h Diferencia finita dividida hacia atrás .. .. 2! 3! f ' ' ' xi 3 f x i 1 − f x i − 1 = 2 f ' x i h 2 h . f x i 1 − f x i − 1 2 Diferencia finita dividida f ' x i = O h centrada 2h . f ' ' xi 2 f ' ' ' x i 3 f x i 1 = f x i f ' x i h h h ..Utilidad de la Serie de Taylor: Estimación Errores Truncamiento (3) ● Diferenciación Numérica (caso 3) Restando miembro a miembro.... 3! Reordenando. 2! 3! f ' ' xi 2 f ' ' ' x i 3 f x i − 1 = f x i − f ' x i h h− h . Diferenciación Numérica: Interpretación . Error Numérico Total ● Es la suma de los errores de truncamiento y de redondeo . Resumen: Información Importante .