01 Teoria de Conjuntos (Acad. Honores)

ACADEMIA PRE-POLICIAL “D´HONORES”AV. ARIAS GRACIANI S/N YUNGAY ARITMÉTICA TEORIA DE CONJUNTOS I. NOCION DE CONJUNTO: Un conjunto es un ente matemático por lo cual se puede tener una idea subjetiva de ello, como colección agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados elementos. Ejemplos: - Los días de la semana. - Los países de América del Sur. - Los jugadores de un equipo de fútbol. 1.1 NOTACION DE CONJUNTO Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus elementos mediante variables o letras minúsculas separados por comas y encerrados con llaves. Ejemplos: A a, e, i, o, u B = {los días de la semana} C = {cara, sello} 1.2 RELACION DE PERTENENCIA Se establece esta relación sólo de elemento a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado. “. . . pertenece a . . .” : “. . . no pertenece a . . .” : Ejemplo: C 1; 2 ; 1,2 ; 5 ; 6 * 2 C * 8 C * {1; 2} C * 5 C * 6 C 1.3 DETERMINACION DE UN CONJUNTO Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas: Por Extensión (forma tabular) Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los elementos. Ejemplos: A a, e, i, o, u D 2,4,6,8 Es evidente que el orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él. De este modo en el conjunto. A a, e, i, o, u a, o, u, i, e No todos los conjuntos pueden ser determinados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación. Por Comprensión (forma constructiva) Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada. ACADEMIA PRE–POLICIAL “D´HONORES” YUNGAY 2014 Nº 01 Esquema: F “tal que” .... ..........  / ..........   ..........   Características o Forma propiedad común de General la variable que del Elemento forma el elemento Ejemplos: A = {n/n es una vocal} B = {los números pares menores que 13} C = {n2 - 1 / n es entero 1 n 7} 1.4 DIAGRAMA DE VENN - EULER Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos, así: .... Ejemplo: A .1 A 1, 8 , 27 , 64 .8 .64 .27 Observación: Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es: DIAGRAMA DE LEWIS CARROL Hombres Mujeres Fuman No Fuman Se observa que: Hombres que fuman Mujeres que no fuman 1.5 NUMERO CARDINAL El número cardinal de un conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee y se denota por: n(A). Ejemplos: * A = {5, 6, 6, 5} n(A) = 2 * B = {x/x N 3 < x < 9} n(B) = 5 II. CLASES DE CONJUNTOS Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto tenemos: 2.1 FINITO Si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento. Ejemplo: * K = {3n + 2 / n Z 1 n 4} Pág. 1 .1 . 5.11 B n(A) = n(B) IV. 3. 7. Ejemplo: A = {2. 3.5 CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES “Para hablar de éstos conjuntos de alguna forma.3 4.6 .} Z+ es infinito pues n(Z+) = . 5. 6} U = {x/x N} Pág.5 .4 CONJUNTOS DISJUNTOS Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. 4. ? Z+ = {1. Ejemplo: A = {3n+2 / n Z 1 n 4} B = {5. . No existe un conjunto universal absoluto. 7} Gráfica: A<>B D A Simbólicamente: B Se define: A = B 3.s A B ó B Ejemplo: A = {3. 4. Ejemplo: M = {x/x Q 1 x 2} M es infinito pues n(M) = . 3. 9} A y B son comparables. 2.q . Se denota: A B Se lee: “A está incluido en B” “A está contenido en B” “A es subconjunto de B” Representación: A Gráficamente: B x A:x A A . porque A 2) D = {2. n. 2.3 CONJUNTOS COMPARABLES Dos conjuntos A y B son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro. 3. . 2. 11. 6} A . s} A x . 5. 2. 14. 5. r. Ejemplo: A = {x/x Z 10 < x < 12} = {11} B = {2. .2 CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. 4.6 E = {1. 5} 3. CONJUNTOS ESPECIALES . 2. 2.7 E . es decir: B A ACADEMIA PRE–POLICIAL “D´HONORES” YUNGAY 2014 A=B= = { } Nota: El conjunto vacío “ ” es subconjunto de todo conjunto. 5} B = {2. 6. 2 . si todos los elementos de A pertenecen a B. 3. p} . Ejemplo: A = {x/x es el actual INCA del Perú} B = {x/x N 7 < x < 8} Notación: “ ” ó { } Se observa que D no está contenido en E. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 3. .1 CONJUNTO NULO O VACIO Es aquel conjunto que carece de elementos. el proceso de contar sus elementos siempre termina”. q} B B = {p. . 4} A y B son disjuntos B = {5. 12} A y B son equipotentes B = {m.4 B . ? III. en ese caso se denota: D E Observaciones: * Todo conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí mismo.2 . . 7} U = {1. Ejemplo: A = {10.4 B. } = {2} 4. 4.3 CONJUNTO UNIVERSAL (U) Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular. 5. 3. 8. 4. .8 .2 .3 .5 . . Dos conjuntos serán coordinables cuando el número de sus elementos son iguales.1 INCLUSION Se dice que A está incluido en otro conjunto B.5 A . . 7} . 4. 5.p . A : A A * El conjunto vacío está incluido en todo conjunto. q. 2. que contiene a todos los conjuntos considerados. 11} se observa: A = B A B . .2 IGUALDAD Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos. 6.ARITMETICA K es finito pues n(K) = 4 * L = {x/x es un día de la semana} L es finito pues n(L) = 7 2. Ejemplo: A = {1.2 INFINITO Si posee una cantidad ilimitada de elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca. A : A 3. 3.14 . 3. B = {1.r B B A Ejemplos: 1) A = {p. 6} Podrían ser conjuntos universales U = {1. . 5} a) 30 d) 33 7.ARITMETICA * Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante el rectángulo. . {2. p} M II) b M V) {{b}. 8. 15}. 4. 49 y 100 c) 45. b. b}. c}. 12} . 8 } Se observa que: A es familia de conjuntos B no es familia de conjuntos 4.5 . según corresponda: I) {7} A ( ) IV) {9} A ( ) II) 9 A ( ) V) A ( ) III) 7 A ( ) VI) 10 A ( ) a) 1 d) 4 n Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A. hallar “a2 + b2” A = {a + b. b. según corresponda: I) 7 A ( ) III) {10} A ( ) II) 9 A ( ) IV) {15} A ( ) a) VVFF d) VFFF . {m}} M III) {{m}} M VI) m M a) 3 d) 6 Ejemplo: Si n(A) = 5 entonces el número de subconjuntos es: nP A b) VFFVVF e) N. c) VVFF Dado el conjunto A = {5. Indicar verdadero (V) o Falso (F). a) VFVFVF d) VVFFFV A} Observaciones: * Si un conjunto A tiene “n” elementos entonces el número de subconjuntos de A es 2 n .A. el conjunto potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A.3 .6 1. DIAGRAMAS LINEALES Son representaciones gráficas que sirven para indicar relación de inclusión o igualdad. 2 3. c. 3. c}. 5 < x < 10} C = {x2 + 1/ x Z. b}. {7}. además # subconjuntos propios de A = 2 5 * 1 31 Para determinar la cantidad de subconjuntos K-arios de un conjunto A. a) 40. p}. B = {4. {a. ACADEMIA PRE–POLICIAL “D´HONORES” YUNGAY 2014 b) 2 e) 5 c) 3 Hallar la suma de elementos de cada conjunto: A = {x/x N. b + 4. 9. {b}.1 .4 Ejemplo: Si: A Si: A = B . c} } vacío unitarios n [ P (A) ] = 23 = 8 Simbólicamente: B | A A EJERCICIOS DE APLICACIÓN U=N P (A) = { B b) 80 e) 83 c) 81 Dado: A = {5. 3 . {6. es decir: nP A B Dado el conjunto A = {7. 3}. 41 y 50 b) 43. {b. {a}. {2}} A ( ) a) FVVF d) VFFV b) FVFV e) VVFF c) FVVV Pág. Si el conjunto “A” es unitario. 1 25 32 .a . {3}. se utiliza la fórmula: # de subconjuntos de “k” elementos = C nk( A ) V. 10. entonces: b) VFFV e) N. c} Subconjuntos propios de A binarios P (A) = {X/X ternario * 2. {m}. 6}. Indicar (V) o (F) según corresponda: I) {5} A ( ) III) {9} A ( ) II) {7} A ( ) IV) {5. {a. {a. Notación: P ( A ) Ejemplo: A = {a. 46 y 130 5. a . {b}. d) 47. Ejemplo: A = {x/x es peruano} B = {x/x es colombiano} C = {x/x es mexicano} U = {x/x es americano} 4.A. {c}. {a}. } B = { {a. Ejemplos: A = { {2. {7}. 12}. c}.4 CONJUNTO DE CONJUNTOS O FAMILIA DE CONJUNTOS Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. 6 < x < 12} B = {x + 4/ x Z . c) VVVFFF Dado el conjunto M = {a. 3 < x < 8} b) 4 e) 7 c) 5 ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos? b) 31 e) 34 c) 32 Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios. # de subconjuntos propios de A = 2 n 6.5 .5 CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES Dado un conjunto A. 45 y 129 e) N. hallar “a + b”: A = {7. b. {2}}.A. {6}. Indicar (V) o (F).b} a) 79 d) 82 8.2 . 9. ¿Cuántas proposiciones son falsas? I) {b} M IV) {{b}. 3. 7. 4. Dados los conjuntos: A = {x/x N. 10} A ( II) 5 A ( ) IV) n(A) = 6 ( a) VFVF d) FVVF b) VFVV e) FFVV Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ) ) c) VFFV 10. 7} e) {4. 5. Dado: A = {x/x N. Dado el conjunto A = {7.ARITMETICA 9. 1 < n < 13} 13. 5. 5. I) {B} P(A) ( ) II) {10. 2 < x < 15} ? a) 8 d) 32 a) b) c) d) e) 9 Hallar: A c) 32 17. 9. 0 < x < 10} A = {x/x N. Hallar la suma de elementos del conjunto: A = {3a2 + 5 / a Z. 9. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios. 3. m. a. u} b) {a. 11} A ( ) III) {8. 5. n N. 8} b) {4. b < 3x < a} A={ a + b) 255 e) 512 ) ) ) ) ) 18. 9} 23. 6 < n < 17} d) A = {x/x = 2n + 1. m.b } C = {x + 1 / x Z. 6 < x < 18} b) A = {x/x = 2n. 5} . ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? A = {a. 11. 13. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A”. 8} ( ) a) VFVVF d) VFFVF b) VFFFV e) VFVFV c) VFFFF 19. n N. 6} ACADEMIA PRE–POLICIAL “D´HONORES” YUNGAY 2014 2 1 B 7 8 B a) {4. 7. Dados los diagramas de Venn c) 16 A 5 16. Indicar (V) o (F). 7} ( ) d) B’ – A = {4. 9. 7. c. 6. 8. i} e) {a} c) {a. 2. e} d) {a. 17} Determinarlo por comprensión: a) A = {x/x N. 7. 15. d. 2. e} d) {a. 5. i. 4. 12} P(A) ( ) III) 10 P(A) ( ) IV) P(A) ( ) V) P(A) ( ) a) VVFVF d) VFFVV b) FVVFV e) VVFVV c) FVFVV 14. 4. Indicar (V) o (F) según corresponda: I) {7. 2. 5 < x < 12} . Dados los conjuntos: A = {1. 5} B = {2. Si: A = {a. 12}. 8} ( ) c) A’ B = {6. 5. a . 6} B – A = {6. si P(A) representa el conjunto potencia de A. o. d} B = {x/x es una vocal} Hallar: A B a) {a. o. u} b) {a. 3. 1} c) {4. n. 3 < n < 8} c) A = {x/x = n +1. s} a) 64 y 32 d) 32 y 64 b) 128 y 64 e) 128 y 32 c) 64 y 64 11. 6. 7. 3. 10. 4 . o} 20. B = {h. 8} a) FVFVV d) FVFFF c) FVVVF Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) A’ = {6. 8} B C = {1. r. Dado el conjunto: A = {7. Dados los conjuntos: A = {1. 4 < x < 9} B = {x/x N. b. 1 < a < 6} a) 172 d) 156 b) 182 e) 192 c) 148 12. 8} d) {4. 5. 3. cuántos subconjuntos propios tendrá el conjunto “C” b . e. 6. a} . 5. 3. 4. Si: A = {a. 6} A – C = {2. 4. 6} U = {1. e. n N. o} 21. 8} 4 a) 128 d) 256 ( ( ( ( ( b) FVVFF e) FVVVV a) {1} d) {4} 15. 2. 2. 8} ( ) e) A’ U = {6. 5 < x < 15} B = {x/x N. 5} B C = {4. e. 8} ( ) b) B’ = {7. 5. 7. si A = { 2x 1 N / x N. Si: U = {x/x N. b. 8. B = {2. 4 < x < 12} B = {x/3 Z / x A} a) 8 d) 15 b) 6 e) 20 c) 12 b) 4 e) 64 A C = {1. 4. 8} C = {1. 2 < n < 9} e) A = {x/x = n + 5. según corresponda. 3 < x < 10} ¿Cuántos subconjuntos tiene A B? Pág. Dados los conjuntos: A = {x + 1 / x Z . 5. 3 < x < 8} Hallar: A’ – B’ b) {2} e) {5} c) {3} 22. i} e) {a} c) {a. 3. n N. 12} B = {2. t} B = {x/x es una vocal de la palabra martes} Hallar: B – A a) {a. C) (B . 8} Hallar el cardinal de (B B B? c) 8 30.C B) . 4} II. ¿Qué operación representa la región sombreada? ACADEMIA PRE–POLICIAL “D´HONORES” YUNGAY 2014 B) C) B) C A C d) (A C) B e) (A . 5. 3. (A B)’ C = {1. ¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada? Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. 10} A = {x/x N. n(B) = 18 y n(A Hallar: n(A B) a) (A B) – C b) (A B) C c) (A .ARITMETICA a) 4 d) 32 b) 8 e) 64 c) 16 U A 24.C) c) (B A’) d) (A C) e) (A’ C’) C A N/x N. 5 .APLICACIONES Para este capítulo es necesario tener en cuenta conocimientos previos aprendidos en el capítulo anterior. 1 < x < 12} ¿Cuántos subconjuntos tiene: A a) 16 d) 32 b) 18 e) 64 B C C a) (A b) (B c) (A 29. 1 < x < 15} N/x N.C) C B B 34. 8} R a) M Q b) (M Q) c) (M R) R (Q .B) (B C) CONJUNTOS . Pág. 2. Dados los conjuntos: A = {2x / x N.A) d) (Q R) (M Q) e) (Q R) M 32. 8} a) VFV d) VVV d) (A . 9} III. / x a) 1 d) 4 C) a) 12 d) 31 Q c) 3 B) = 7 b) 16 e) 15 c) 20 27. 3. Si: n(A) = 12.B? a) 4 d) 32 C b) 8 e) 64 c) 16 25. 7. Dado los conjuntos: x 1 A={ 3 x 1 B={ 2 (B C) (B .R) C c) FVV a) (A b) (A c) (A d) (A e) (A B A b) VVF e) FFV A C B A a) (A B) b) (A . 5. 7. ¿Qué relación conjuntista expresa mejor la siguiente región sombreada? 28.C) B 31.C C) B C) – B 33. 4 < x < 10} B = {x/x N. 2. 1 < x < 7} B={ x 2 N. 2. x 2} ¿Cuántos subconjuntos tiene A .C) A c) (A . A’ B = {2.C) B e) (A C) B M A b) 2 e) 5 26. Dados los conjuntos: A = {x + 2 / x N. ¿Qué operación representa la región sombreada? N. 1 < x < 7} C = {1. Dados los conjuntos: U = {1. …. 1 < x < 10} C = {1. A C’ = {6. La región sombreada corresponde a: a) (A B) – C b) (B .B B) C B) . 2 < x < 10} B = {3x / x N. ¿Qué operación representa la región sombreada? B d) A B e) A . elementos que no pertenecen ni a A ni a B. Hallar el número de elementos que tiene la intersección de los complementos de estos dos conjuntos. Sabiendo que un conjunto tiene 40 elementos y otro conjunto 60 y además la intersección de ellos tiene 30 elementos. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades. ¿Cuántas personas prefieren Expreso y Comercio? a) 120 b) 130 c) 150 d) 160 e) 180 U = Conjunto Universal elementos que pertenecen solo al Conjunto A elementos que pertenecen solo al Conjunto B elementos que pertenecen solo al Conjunto C elementos que pertenecen a A y B pero no C elementos que pertenecen a B y C pero no A elementos que pertenecen a A y C pero no B elementos que pertenecen a A. 180 prefieren Expreso y 70 otros diarios. 5. ni aC PROBLEMAS PROPUESTOS 1. 18 personas fuman y beben. a) 60 b) 50 c) 40 d) 35 e) 70 h g U a c g b f d e h 6. ¿Cuántos hablan solo castellano? a) 150 d) 100 W z A 4. elementos que pertenecen tanto a A como B. no pertenece a ningún conjunto pero esto incluido como subconjunto en todos los conjuntos. Se realizó una encuesta a 400 personas sobre el diario de su preferencia y se observó que 280 prefieren El Comercio.ARITMETICA Los elementos se relacionan con los conjuntos mediante pertenencia. ¿Cuántos alumnos tiene la academia? a) 130 d) 165 Tres conjuntos A c) 83 2. B y C a la vez elementos que no pertenecen ni a A. ni a B. ¿Cuántos alumnos practican solo uno de estos deportes? a) 30 b) 38 c) 20 d) 44 e) 25 3. A B = (A . 120 hablan inglés y el 10% hablan los dos idiomas. ¿Cuántos se inscribieron en ambas disciplinas? a) 25 d) 0 c b) 120 e) N. Los conjuntos se relacionan entre sí mediante inclusión. 20 practican atletismo y 6 practican fulbito y atletismo. 70 a entrenamientos de diferentes deportes y 5 no se interesan ni en computación ni en deportes. Todo conjunto tiene 2n(A) subconjuntos donde n(A) es la cantidad de elementos. Si 30 asisten tanto a deportes como a computación. elementos que sólo pertenecen a B. En una encuesta realizada a 120 alumnos sobre cierta preferencia se obtuvo las respuestas “si” de parte de 80 alumnos y “por supuesto” respondieron 50 alumnos. B x A b) 62 e) 31 b) 30 e) 5 c) 35 e d f C = = = = = = = = 7.A) En gráficos: Dos conjuntos A a) 74 d) 48 y A La academia “D´Honores” tiene 80 alumnos de los cuales 30 no practican ni atletismo ni fulbito. 6 . ¿Cuántas personas no fuman ni beben? ACADEMIA PRE–POLICIAL “D´HONORES” YUNGAY 2014 Pág.B) (B . sabiendo que el cardinal de U es 120. 160 se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia.A. U U x z y w = = = = = Conjunto Universal elementos que sólo pertenecen a A. ¿Cuántos alumnos no respondieron las frases anteriores si el número de alumnos que respondieron “si” “por supuesto” es la cuarta parte de los que dijeron “si” solamente? a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 8. La quinta parte de ellas fuman. En un avión viajan 120 personas de las cuales: La tercera parte de ellas beben. B b a c) 140 b) 175 e) 160 c) 135 De 300 integrantes de un club deportivo. Noventa alumnos de la academia “D´Honores” asisten a la clase de computación. En una reunión se observa que el 70% de las personas hablan castellano. ¿Cuántas personas hablan inglés si todos hablan por lo menos uno de estos idiomas? a) 13 d) 24 a) 25 d) 32 c) 55 11. de los cuales 100 estudian guitarra. 8 de oro y bronce. 46 guitarra y trompeta. 28 hablan alemán y 10 solamente alemán. 8 personas visitaron solo Huaraz y el mismo número visitaron Cuzco y Huaraz. 7 conquistaron medallas de oro y plata. ¿Cuántos turistas conocen Arequipa pero no Cuzco? a) 21 d) 15 15. además 54 estudian guitarra y violín. p2 .ARITMETICA 9. 5 hablan francés pero no inglés. 30 mujeres eran limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños. ¿Cuántos hombres hay en el aula? a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 c) 46 Si: n(A) = 12 n(B) = 18 a) 12 d) 31 13. De un grupo de turistas:  9 conocen Cuzco o Piura pero no Arequipa. 10} A = {x/x N. 2. …. c) 20 Si los conjuntos A y B son iguales a) 7 d) 10 N) b) 8 c) 9 e) 12 Dados los conjuntos: U = {1. 8} a) VFV d) VVV 4. ¿Cuántos hablan inglés y alemán pero no francés? a) 3 d) 11 b) 41 e) 42 DEMUESTRO LO APRENDIDO c) 13 12. 120 violín y 100 trompeta. 3 personas visitaron las tres ciudades. En una competencia atlética conformada por 15 pruebas participaron 50 atletas. 8} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: c) 8 e) 15 ACADEMIA PRE–POLICIAL “D´HONORES” YUNGAY 2014 n(A Hallar: “m + p” (m y p A = {10. 2. 4 personas visitaron Iquitos y Cuzco. 5. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas? a) 28 d) 22 b) 26 e) 20 c) 24 10. En el conservatorio de música hay 250 alumnos. También se sabe que 1 habla los 3 idiomas mencionados. 26 hablan francés y 12 solamente francés. x A} b) 11 e) 14 c) 12 Pág. B) = 7 Hallar: n(A B) b) 10 e) 15 3. 9} III. 7. ¿Cuántas personas no estudian ninguno de estos instrumentos? a) 60 d) 72 b) 150 e) 50 b) 20 e) 17 b) 18 e) 27 1. De un grupo de 60 personas. 4} II. A C’ = {6. 4 < x < 10} B = {x/x N. 1 < x < 7} C = {1. ¿Cuántas personas visitaron Cuzco o Huaraz? I. 30 hablan inglés y 8 solamente inglés. 3.3} B = {13. 2. b) VVF e) FFV c) FVV Hallar n(A) + n(B) si se tiene: A = {2x/x B={ a) 10 d) 13 x N. De un grupo de 60 turistas que viajó al interior del país se obtuvo la siguiente información: 20 personas visitaron solo Cuzco. (A B)’ C = {1. En una estación de transporte. 10 hablan inglés pero no francés y además se sabe que el número de personas que hablan sólo español es el doble de los que hablan inglés y francés. Observándose que al final: 4 conquistaron medallas de oro. 40 violín y trompeta. De un grupo de 39 personas.15} c) 21 14. 7 . 16 personas visitaron solo Iquitos. A’ B = {2. b) 7 2. m2 . de los cuales 8 conocen Cuzco y 4 conocen Piura. habían 100 personas de las cuales 40 hombres eran provincianos. además 10 personas estudian todos los instrumentos. plata y bronce. 3.  4 conocen las tres ciudades. x < 9} 4 3 N. 7 personas visitaron Huaraz e Iquitos. 6 plata y bronce.  25 han visitado Arequipa o Piura de los cuales 9 conocen Cuzco. Si a todos les gusta al menos uno de los dos cursos mencionados. A tiene 8 subconjuntos. 63 son mujeres. 3 < x < 26 } C = {x/x N. si 36 varones no trabajan? a) 16 d) 32 b) 20 e) 38 c) 24 15. A tiene 4 subconjuntos unitarios. b) FVV e) VFV x 1 3 N/x N. Hallar la suma de elementos de A. si A B B= B’ b) VVV e) FFV c) VFV 13. Se realizó una encuesta a un grupo de personas y se sabe que 52 de ellos trabajan. ¿Cuántas mujeres no estudian ni trabajan. III. x < 6} N. En una conferencia internacional se observa que 68 banderas empleaban los colores rojo. ¿A cuántos les gusta solo Historia o solo Lenguaje? a) 15 d) 23 8. 11. a) 8 d) 32 b) 29 e) 22 (A B) II. A–B=A (A ACADEMIA PRE–POLICIAL “D´HONORES” YUNGAY 2014 B) = A B. ¿Cuántas banderas empleaban los 3 colores mencionados? a) 5 d) 11 b) 7 c) 4 e) 12 14. 2. 15 el rojo y blanco y 36 el blanco y azul. {5}.A. A B=A III.( B-C)'} {( A C) (A B) (B-C)} (A B) (A B) (A B C) (A C) Pág. Cada una empleaba por lo menos dos colores y 25 de ellas empleaban el rojo y el azul. azul o blanco. -4 < x < 3} a) 18 d) 45 N/x b) 4 a) FVV d) FVF B? c) 13 ¿Cuántos subconjuntos tiene A? 12. a) 15 d) 18 ¿Cuál de l as s i gu ien te s o pera c ion es repre s ent a la part e som brea da? a) b) c) d) e) {(A. 1 < x < 15} B={ x 1 2 N/x N. 5 < x < 16} A = {x/x Z. 3. 2 < x < 15} e) 64 I. P(A) a) VVF d) VFF 6. c) 8 En la sección de 4to hay 25 alumnos. Dados los conjuntos: U = {x/x N. A tiene 31 subconjuntos propios. 1 < x < 12} a) 16 d) 32 b) 12 e) 20 c) 18 De un grupo de 100 turistas europeos se sabe que: 36 visitaran Argentina 20 visitaran Brasil 25 visitaran Colombia 12 visitaran Argentina y Colombia 9 visitaran Brasil y Colombia 10 visitaran Argentina y Brasil 6 visitaran los tres países mencionados ¿Cuántos visitaron Brasil o Argentina pero no Colombia? a) 4 d) 17 9. Dado el conjunto: A = {2. de las cuales 12 estudian pero no trabajan de los varones. 8 . II. x > 10} Hallar: n(A) + n(B) + n(C) c) 16 Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: c) 38 10. {5}} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. si: A = {x2 + 2 / x Z. b) 18 e) 64 b) 31 e) N.B)' . A={ b) 17 e) 20 Si: A = { 2x 1 c) FFV Dados los conjuntos: ¿Cuántos subconjuntos tiene A 7.B)' -( B-C)'} (A C)' {(A. IV. se sabe que a 12 alumnos les gusta el curso de Historia y 18 el curso de Lenguaje.ARITMETICA 5. 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian. En e l d iagr ama : B A C c) 31 B = {x/x N. Documents Similar To 01 Teoria de Conjuntos (Acad. 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