01 RESUMEN DE FÍSICA I. I UNIDAD 2011-1

APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC.JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 1 APUNTES DE FÍSICA I PRIMERA UNIDAD DE APRENDIZAJE. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA. MEDICIONES Y VECTORES CAPACIDADES A DESARROLLARSE EN LA UNIDAD DE APRENDIZAJE: 1. Comprender la importancia de la Física como una actividad mental del hombre para describir y explorar Universo. 2. Definir el campo de estudio de la Física, su método y su aplicación en beneficio del hombre. 3. Identificar, dominar e interrelacionar las diferentes clases de Magnitudes Físicas. 4. Repasar los elementos matemáticos más importantes para el estudio de la Física. 5. Utilizar apropiadamente el Sistema Internacional de Unidades. 6. Aplicar correctamente las reglas básicas del Análisis Dimensional y sus principales usos. 7. Discriminar magnitudes escalares y vectoriales en la descripción de los fenómenos físicos. 8. Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores ACTITUDES ANTE EL ÁREA Muestra seguridad y perseverando a resolver situaciones problemáticas y comunicar resultados Muestra rigurosidad para representar reacciones, planear argumentos y comunicar resultados Toma la iniciativa para formular preguntas, buscar conjeturas y plantear situaciones problemáticas Actúa con honestidad en la evaluación de su aprendizaje Valora aprendizajes desarrollados en el área como pare de su prOceso formativo Colabora permanentemente en el logro de su aprendizaje, cumpliendo con las actividades propuestas por el profesor Valora la importancia del curso, como elemento importante en el desarrollo de su capacidad de razonamiento. Cumple con sus tareas en los plazos establecidos Porta materiales en buen estado y en los plazos establecidos Participa individual y grupalmente de manera activa en las diferentes actividades Respeta la opinión de sus compañeros Es creativo y ordenado en su participación y presentación de sus trabajos. CAPACIDADES FUNDAENTALES • Pensamiento critico • Pensamiento creativo • Solución de problemas • Toma de decisiones MOTIVACION: Estudiar física es una aventura interesante y estimulante. Ser un físico o ingeniero profesional es aún más interesante. Es aun más una de las actividades mas placenteras del saber humano desde que, en opinión del autor, nada atrae más a la mente que aprender sobre el mundo en que vivimos y descubrir los secretos de la naturaleza. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 2 EL UNIVERSO INTRODUCCION Las observaciones astronómicas llevaron a Galileo a obtener sus conclusiones que condujeron al descubrimiento del principio de inercia. El admite que, en condiciones normales, en el medio terrestre es difícil demostrar que un cuerpo puede moverse uniformemente en línea recta, mientras no se apliquen fuerzas externas. Newton descubrió la ley de la gravitación universal, mediante un análisis minucioso del movimiento de la Luna alrededor de la Tierra y no por la observación del fenómeno de atracción mutua entre dos objetos sobre la superficie terrestre, puestos que estas fuerzas son extremadamente pequeñas,; la ley de la gravitación universal predice con gran precisión en movimiento de la Luna, el Sol y los planetas, y sobre ella se basa el logro tecnológico de la puesta en órbita de los satélites artificiales. Eisntein postulo su teoría general de la relatividad a partir de datos obtenidos según escalas astronómicas, dada la limitación de las escalas terrestres cuando es considerada la velocidad de la luz. Para Einstein, los instrumentos intelectuales de que dispone hoy en día, sin los cuales sería imposible el desarrollo moderno de la ciencia y la tecnología, generalmente son consecuencia de observaciones de tipo astronómico. Las observaciones astronómicas permitieron así mismo el descubrimiento de los espectros de radiación y emisión y de muchos otros fenómenos registrados en la naturaleza. A su vez, los avances de la física terrestre han permitido explorar y explicar lo que sucede en lugares muy lejanos del universo, a distancias insospechadas de nuestro planta. Aunque brevemente, nos ocuparemos a continuación del estudio de las concepciones modernas de la estructura del universo y de las teorías que predominan hoy en día acerca de su origen y desarrollo; el propósito de nuestro estudio consiste en adoptar una visión cosmologíca (del griego cosmos y gónos, generación u origen), sobre ese enigmático universo del que formamos parte. EL UNIVERSO. ANTECEDENTES HISTORICOS El filosofo griego Aristóteles (384-322 a.C.) concebía la Tierra como el centro del universo, alrededor de la cual, en orbitas circulares, se movían el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas. Más tarde, Ptolomeo (siglo II de nuestra era) propuso un modelo, conocido como sistema de Aristóteles y Ptolomeo o modelo geocéntrico. En cada esfera se movían la Luna, el Sol, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno, que eran los únicos planetas conocidos en ese tiempo, y en la octava esfera se hallaban fijas las estrellas. En el siglo XVI un cura, astrónomo y medico polaco, Nicolás Copernico (1437-1543), propuso en forma clandestina otro modelo: el Sol era el centro del universo, al tiempo que la Tierra y los planetas giraban a su alrededor en orbitas circulares (teoría heliocéntrica del universo). La Iglesia tenia como verdad única la idea de un universo en que la Tierra fuera el centro (modelo geocéntrico), y mantenía una posición férrea a cualquier negación en ese sentido, persiguiendo a los defensores de las ideas copernicanas. Es hasta el siglo XVII cuando Galileo Galilei (1564-1642), Johanes Kepler (1571-1630) y Tycho Brahe (1546-1601), cada uno por separado y basados en la observación directa (Brahe), luego con la ayuda del telescopio (Galileo), y mediante la incorporaron de cuidadosos cálculos matemáticos (Kepler), comprueban como valida la teoría propuesta por Copernico. Así Kepler descubre que las orbitas no eran circulares, sino elípticas (este termino proviene de elipse, que es una especie de circunferencia alargada), en uno de cuyos focos estaba el Sol; sólo siendo elípticas, lograban ajustarse sus cálculos a las observaciones astronómicas. En cuanto a Galileo, aquellos fueron tiempos difíciles para él, quien fue acusado de herejía, juzgado por la Santa Inquisición y condenado prisión domiciliaria en Florencia, donde finalmente, murió ciego. Más tarde, Isaac Newton (1642-1727) quien nace el mismo año en que muere Galileo, presenta una teoría que explica el movimiento de los cuerpos en el espacio y en el tiempo, y desarrolla la complicada matemática con que analiza esos movimientos, convirtiendo los principios físicos en resultados directamente verificables por la observación. LA GRAN EXPLOSION Todos los esfuerzos experimentales realizados hasta la fecha arrojan indicios de que el universo comenzó como una bola de materia con densidad y temperatura extraordinariamente altas, que exploto violentamente hace unos 15 mil millones de años. A partir de esa explosión, conocida como big bang, el universo comenzó su expansión y evolución en forma natural; tal expansión es fácilmente observable desde la Tierra, con el uso de instrumentos apropiados. La teoría del big bang supone que, antes de la explosión, la distancia entre las galaxias era cero. Después de la explosión, todo el material empezó a expandirse y a enfriarse y, por efectos gravitacionales, se formaron concentraciones de materia, las cuales constituyeron posteriormente las galaxias. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 3 La bola de materia primitiva, decíamos anteriormente, consistía en una enorme masa de densidad y temperatura altísimas; en esas condiciones, para las capas exteriores sería muy difícil separarse y escapar, dada la enorme fuerza gravitacional que aquella masa de materia poseía. Lo explicaremos mediante un ejemplo comparativo: para que un proyectil pueda escapar de a fuerza de atracción terrestre, requiere un impulso inicial vertical, desde la superficie de la Tierra, que le imprima una velocidad mayor de 40 000 km/h (unos 11 000 m/s); esta velocidad se conoce como velocidad de escape, y en el caso del Sol, ésta es de 617 000 m/s. Pensemos ahora en la velocidad mínima necesaria de a materia de la bola de fuego, cuya masa equivalía a una cantidad inimaginable de veces la masa de la Tierra, para vencer su atracción; sin embargo, debido a las elevadísimas temperaturas, las reacciones térmicas en el interior de la bola produjeron fuerzas tales que vencieron a las fuerzas gravitacionales, de modo que luego sobrevino la gran explosión. A partir de ese momento, el universo consistía en energía y materia extraordinariamente caliente, y conforme se expandía y enfriaba, en el transcurso de cientos de miles de años, se formaron los electrones y núcleos, uniéndose luego para formar átomos. ¿Terminará la expansión del universo en algún instante y vendrá luego la contracción para volver a la bola de fuego primitiva? No lo sabemos; sin embargo son tales las dimensiones en el universo que, en este retroceso, se necesitarían miles de millones de años para que se produjera el gran colapso, o big crunch, como también se conoce. DESPLAZAMIENTO HACIA EL ROJO Un fenómeno interesante que se presenta ante nuestra vista con alguna frecuencia, lo constituye el arco iris; las gotas de agua suspendidas en el aire, por efecto de la refracción, hacen que la luz blanca proveniente del Sol se descomponga en majestuosos colores, que forman lo que se conoce como espectro luminoso. Igual resultado se obtiene cuando la luz pasa a través de un prisma óptico: la luz se presenta en los diversos colores que la componen, es decir, su espectro. Cuando los astrónomos enfocan con sus telescopios alguna estrella, pueden obtener de ella el espectro de luz correspondiente, y como cada elemento químico absorbe un conjunto característico de colores, se puede determinar los elementos que constituyen la atmósfera de la estrella. El análisis espectral de la radiación luminosa permite estudiar la composición química, la temperatura superficial, el estado físico (gravedad superficial, velocidad de rotación, etcétera), las propiedades magnéticas y la velocidad de la estrella por el espacio. Cuando una fuente emite ondas, ya sea sonoras de luz o de radio, la frecuencia con que son detectadas )o sea, el numero de vibraciones por segundo) es constante, siempre y cuando la fuente y receptor esté a una distancia fija; pero ¿Qué sucedería en caso de que la fuente o el observador, o ambos se acercaran o alejaran entre ellos? Aquí interviene la presencia de un fenómeno conocido como efecto Doppler, que consiste en la variación de la frecuencia, real o percibida, de un sistema (emisor) de ondas de propagación, a causa del movimiento relativo de la fuente emisiva y del observador (receptor de ondas); de esta manera, si la fuente y el observador se aproximan, la frecuencia aumenta (es decir, llegan más ondas por segundo al observador); por el contrario, si se alejan, la frecuencia es menor. Un ejemplo práctico de este principio es el caso de una motocicleta cuando se nos acerca por la carretera. Conforme se aproxima, su motor suena mas agudo, como consecuencia de una frecuencia mayor de las ondas sonoras, y a medida que se aleja produce un sonido más grave, el mismo comportamiento se advierte con las sirenas de las ambulancias. Las ondas de radio y las ondas de luz se comportan de igual forma. De acuerdo con la frecuencia de los pulsos de ondas de radio que refleja un vehículo, el policía de transito determina, con la ayuda de un radar, la velocidad con que este se desplaza por la carretera, así también, cuando este principio se aplica a las ondas luminosas, el astrónomo determina si una estrella o una galaxia se acercan o se alejan y además con qué velocidad lo hacen. La luz tiene diferentes frecuencias, cada una de las cuales corresponde a los distintos colores que el ojo humano pueda ver; así, el extremo rojo del espectro corresponde a las frecuencias más bajas y el extremo azul a las frecuencias más altas, mayor y menor longitud de onda, respectivamente. El desplazamiento hacia el rojo, en relación con la expansión del universo, puede explicarse de la siguiente manera: al observar una estrella o una galaxia, el espectro de su luz presenta un corrimiento hacia el rojo, ello indica necesariamente que dicha estrella o galaxia se aleja de nosotros, y se acercaría, en el caso de que la luz presentara en su espectro un corrimiento hacia el azul. En 1929, el astrónomo estadounidense Edwin Hubble, descubrió que la mayoría de las galaxias observadas presentan un corrimiento hacia el rojo, y que, además, cuanto más lejos esté una galaxia con mayor velocidad se aleja; así, el universo está en continua expansión, porque la distancia entre las galaxias aumenta ininterrumpidamente. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 4 LAS GALAXIAS Y SU ORIGEN Cuando en una noche clara observamos el cielo nocturno, podemos advertir una gran banda luminosa que atraviesa la bóveda celeste; ésta es un asomo de la configuración de la Vía Láctea, el nombre de la galaxia a la que el Sol y los planetas de su sistema pertenecen. Si un observador la contemplara desde otra galaxia percibiría la Vía Láctea como una enorme configuración en espiral. La Vía Láctea tiene un diámetro aproximado de cien mil años luz (una año luz es la distancia que recorre la luz en un año, siendo su velocidad de 300 000 km/s) y se calcula que posee, aproximadamente, cien mil millones de estrellas. Una galaxia es una agrupación de estrellas y nuestra galaxia, la Vía Láctea, no es la única, existen cientos de miles de millones de galaxias, cada una con cientos de miles de millones de estrellas; la estrella más cercana después del Sol está aproximadamente a cuatro años luz de la Tierra; se trata de Próxima Centauro. Esto significa que su luz tarda cerca de cuatro años en llegar hasta la Tierra. Otras estrellas visibles están a algunos cientos de años luz. De manera similar a como los planetas giran alrededor del Sol, las estrellas lo hacen alrededor del centro de la galaxia para no colapsarse (contraerse hacia el centro), debido a las fuerzas de atracción gravitatoria entre sus partes; el Sol gira alrededor del centro de la galaxia a una velocidad de 280 km/s y completaría una vuelta cada 200 millones de años. Es precisamente este movimiento giratorio el que mantiene a las galaxias aisladas en el universo, con tamaños casi fijos, y separadas una de las otras por distancias de cientos de miles o de millones de años luz, alejándose continuamente de ellas. Las galaxias se originaron posiblemente como a continuación se describe. Mas de un millón de años después del big bang, el universo continuaba su expansión y enfriamiento, pero algunas zonas más densas formadas por nubes de polvo mostraban una expansión retardada, debido posiblemente a la atracción gravitatoria de la materia circundante y empezaban a colapsarse (contraerse) de nuevo; conforme estas regiones se contraían, giraban sobre si mismas cada vez más rápido, de la misma manera en que un niño, por ejemplo, sentado sobre una silla giratoria puede controlar la rapidez de su giro con solo extender o encoger sus brazos, o del mismo modo en que un patinador que se desliza sobre el hielo gira más aprisa cuando encoge sus brazos, y más lentamente cuando los extiende. Esa simple diferencia de la distribución de la masa provoca variaciones en la rapidez de la rotación; este principio se basa en la ley de conservación del momento angular. Así, la masa adquirió un giro suficientemente rápido para compensar la atracción gravitatoria, y tener una región casi estable de forma de disco; a estas regiones se les llamo galaxias giratorias. Hay una variedad de tipos de galaxias en el universo, y pueden presentar varias formas esféricas, elipsoides, espirales (como la Vía Láctea), barradas e irregulares. LAS ESTRELLAS Sigamos con el proceso de expansión a partir del big bang. Las nubes galácticas estaban formadas por regiones gaseosas, y aquellas cuya densidad era mayos atraían a las nubes vecinas, debido a la intensidad de su campo gravitacional. De esta manera, una gran cantidad de hidrogeno comienza a contraerse sobre si mismo, los átomos chocan entre si cada vez con mayor violencia y el gas está tan caliente que los núcleos de hidrogeno se fusionan para formar núcleos de helio. Esta reacción provoca el desprendimiento de una enorme cantidad de energía térmica y radiante que hace que la nube de gas y polvo brille, y la energía adicional aumente la presión de expansión del gas, hasta equilibrar la atracción gravitatoria y frenar la contracción; ha nacido una estrella que permanecerá estable por un largo periodo, siempre y cuando las fuerzas nucleares de expansión y las fuerzas gravitacionales de contracción se equilibren. El resultado de las reacciones nucleares es la energía irradiada en forma de luz y calor. Algunas estrellas son muy masivas y tienen combustible para más de cien millones de años; otras, como nuestro Sol, tienen combustible para aproximadamente cinco mil millones de años, de manera que, considerando la escala del tiempo de los seres humanos, no debemos preocuparnos, pues tenemos Sol para rato. No se dispone de pruebas definitivas sobre la formación de las estrellas; su origen pretende explicarse con teorías muy diversas, una de las cuales es la expuesta anteriormente. Pero es opinión generalizada que las estrellas se formaron a partir de la contracción de nubes de masas enormes de hidrogeno frío. Una vez conformadas, son enormes masas esféricas, que durante largo tiempo mantienen su tamaño, forma y propiedades muy estables. De acuerdo con su tamaño, las estrellas presentan diferencias abismales, desde las llamadas enanas, algunas de las cuales tienen un diámetro cercano al de la Tierra, hasta las denominadas gigantes, cuyo diámetro equivale a más de 1000 veces el diámetro del Sol; las enanas y las gigantes constituyen cerca del 10 % del total de las estrellas. Estos cuerpos celestes presentan también diferencias según su masa, densidad, color y temperatura; la composición química de las estrellas es similar en todas, y aunque el hidrogeno y el helio son APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 5 las sustancias que predominan, también intervienen en su composición otros elementos en una proporción insignificante; sus temperaturas superficiales varían desde los 2000 ºC a los 25 000 o C. LAS ESTRELLAS DE HIDROGENO. SU EVOLUCION Las estrellas parecidas al Sol constituyen la mayoría en el universo y, por lo mismo, se conocen como estrellas de la secuencia principal; la estrella de estas características produce su energía mediante el consumo de hidrogeno en el núcleo (el núcleo ocupa alrededor de un 15 % del volumen total de la estrella), a través de reacciones termonucleares que se llevan a cabo a temperaturas elevadísimas; la envoltura de la estrella no produce energía, sino que solo la transmite. Estas estrellas se mantienen así durante millones y miles de millones de años. Cuando se agota todo el hidrogeno del núcleo, éste es ocupado en su totalidad por helio; el hidrogeno de las capas exteriores reacciona expandiendo la estrella, su radio aumenta 500, 1000 o más veces, y su densidad disminuye, produciéndose, como consecuencia, una enorme esfera con una atmósfera abundante en hidrogeno; esta estrella se ha convertido en una gigante roja. Las estrellas gigantes se forman en un lapso de unos 5000 millones de años, y luego agotan rápidamente las reservas de combustible nuclear. Al expulsar sus envolturas exteriores, queda en ellas sólo su parte densa central y en la etapa final de su desarrollo se convierten en enanas blancas; en esta etapa, casan las reacciones en el núcleo, se enfrían al transcurrir el tiempo, su radiación disminuye y, finalmente, se hacen invisibles y mueren. Nuestro Sol se convertirá, dentro de unos 5000 millones de años, en una gigante roja y permanecerá así durante centenares de millones de de años. Llegando a tal punto, su radio crecería lo suficiente para sobrepasar la orbita terrestre y evaporar la Tierra,; sufrirá luego una contracción prolongada, produciendo explosiones como una nova, para convertirse, finalmente en una enana blanca y luego morir, convertida en una enana negra. LAS ESTRELLAS ENANAS BLANCAS Son estrellas con un tamaño semejante al de la Tierra, aún más pequeñas y una masa semejante a la del Sol; su superficie es muy caliente y su brillo muy débil. Así, son estrellas en proceso de enfriamiento, de color blanco, muy pequeñas, muy calientes y en sus extrañas hay enormes temperaturas y presiones; cada vez emiten menos radiación, y en su interior poseen una densidad mucho mayor que la del Sol. Ello significa que en un centímetro cúbico cabría más de una tonelada de esa materia; un objeto parecido a un lápiz, por ejemplo, compuesto de la materia de una enana blanca pesaría cerca de diez toneladas. Una enana blanca es superdensa, de modo que en un volumen pequeño almacena una extraordinaria cantidad de masa. Su densidad se estima aproximadamente en 10 9 kg/m 3 , lo cual quiere decir que un volumen de 1 m 3 de materia tendría una masa de mil millones de kilogramos, o sea, un millón de toneladas. Puesto que una enana blanca ha convertido todo su hidrogeno en helio y éste, a su vez, se habrá convertido en elementos más pesados, cesan las reacciones termonucleares y todos los procesos que causaban la liberación de energía. Ahora, más bien la estrella requiere que se le suministre energía. La enana blanca representa un estado al que llegará una estrella cuya masa sea similar o menor a la del Sol, en el proceso de su evolución (lo mismo se cree que sucede con las estrellas de neutrones y con los agujeros negros). Se conocen más de cien enanas blancas, las más cercanas; pero se supone que en el universo existe una cantidad considerablemente grande de ellas. Una, de las primeras que se descubrieron, fue la compañera de la estrella más brillante de nuestro firmamento, Sirio. Las enanas blancas pueden ser estudiadas detalladamente porque son visibles, se encuentran en proceso de enfriamiento y su muerte se produce como un evento que no presenta espectacularidad alguna. LAS ESTRELLAS GIGANTES ROJAS Las estrellas gigantes rojas son extraordinariamente grandes, su diámetro supera cientos de veces el del Sol, tienen gran luminosidad y una densidad millones de veces menor que la del Sol. Cuando el hidrogeno del núcleo de una estrella ordinaria como el Sol se agota, es porque se ha convertido todo en helio; la ausencia de las reacciones termonucleares del hidrogeno provoca un desequilibrio del que surge una contracción gravitatoria adicional, lo que provoca a la vez que en el núcleo se generen otras reacciones nucleares como la del helio, en la que tres núcleos de este elemento (partículas alfa) se fusionan para formar un núcleo de átomos de carbono. Esto se conoce como proceso triple alfa. Las capas calientes que envuelven al núcleo se dilatan, y en las capas exteriores permanece el hidrogeno intacto, al tiempo que su radio aumenta cerca de 500 veces su dimensión original. Como la masa de la estrella se mantiene casi constante y el volumen aumenta considerablemente, su densidad será, en esta situación, menos de una millonésima de la densidad original. Esta estrella que permanece así durante millones de años es una gigante roja, de proporciones inmensas. Con un núcleo muy caliente y su parte externa relativamente fría y muy luminosa. Se cree que finalmente se colapsará (se contraerá) para convertirse en enana blanca. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 6 LAS ESTRELLAS NOVAS No es frecuente observar cambios significativos en el estado físico de las estrellas, por ser cuerpos muy estables, sin embargo, se han observado variaciones en algunas estrellas, sobre todo variaciones frecuentes del brillo. Se trata de estrellas que lanzan violentamente su materia, liberando en explosiones enormes cantidades de energía; las novas son un tipo particular de estrellas que en un tiempo muy corto, uno o dos días , incrementa su luminosidad con una rapidez extraordinaria y explotan repentinamente para lanzar al espacio una enorme cantidad de materia, en forma de una nube esférica de gas; que se desplaza hacia fuera de la estrella con una rapidez cercana a los 600 km/s. Son estrella de una masa cercana a la del Sol, y apenas visible; en ese estado, se conocen como prenovas. En el estado de explosión, ya es una nova, y su luminosidad es de 60 000 a 100 000 veces mayor que en el estado de la prenova. A partir de ese momento, empieza a disminuir, pero en forma muy lenta; la capa que se forma alrededor de la estrella después de la explosión se expande muy rápido y adquiere dimensiones considerables; esto la hace aparecer como una estrella gigante cuya radio es ahora unas cien veces el radio de la prenova. La nube expulsada se expande, se enfría y en algunos años desparecerá por completo; sin embargo, esta estrella que sufre tan espectacular explosión permanece casi inalterada con respecto a su estado original, porque expulsó cerca de una cienmilésima parte de su masa total; ésta es la característica principal de una nova; sufrir explosiones espectaculares y permanecer casi como en su estado original. En algunas han ocurrido explosiones hasta tres veces; expulsan materia, pero ahí permanecen. Esta cantidad de materia expulsada tan rápidamente corresponde a una cantidad de energía tal que, de no ser por la explosión, la estrella tardaría en emitida alrededor de diez mil años. LAS SUPERNOVAS El fenómeno de la supernova es, en el mundo de las estrellas, la explosión más grandiosa y espectacular. Se trata de estrellas más masivas que el Sol, aunque no necesariamente más grande; consumieron su combustible y llegan a un estado se compresión tal que, en su interior (núcleo), los núcleos atómicos se tocan. La estrella comienza a dilatarse y en una violenta explosión que dura unos cuantos minutos, sus capas externas son arrojadas a velocidades mayores de 5000 km/s. Durante la explosión, la masa de los gases lanzados puede superar varias veces la masa del Sol. Es tal la cantidad de energía irradiada por este acontecimiento, que podría superar en brillo a todas las estrellas juntas de su galaxia, con una luminosidad aproximada de más de 100 mil millones de veces a la del Sol. El fenómeno supernova es similar al de una nova aunque a escalas mucho mayores. La supernova lanza al espacio una parte considerable de su masa en forma tan violenta que provoca la formación de una nebulosa irregular, y lo que queda en una estrella con una masa aproximada a 1,5 veces la masa del Sol. Esta estrella no se puede convertir en una enana blanca, sino que será, finalmente, una estrella de neutrones o un agujero negro. Los astrónomos chinos registraron una explosión de supernova que fue observada en el año 1054; esto significa que el estallido se produjo unos seis mil años antes de 1054, ya que la luz tardaría ese tiempo en llegar hasta nosotros. Los residuos de dicha explosión dejaron como resultado la Nebulosa del Cangrejo, que forma parte de nuestra galaxia. Otras dos explosiones fueron en 1572 y en 1604, explosiones tan próximas que fueron observadas a simple vista; en 1885 fue detectada otra explosión supernova en la galaxia de Andrómeda. El 23 de febrero de 1987 fue observada la supernova más cercana en los últimos cuatrocientos años, a 50 000 años luz de la Tierra, en la Nube de Magallanes, galaxia vecina a la Vía Láctea. LAS ESTRELLAS DE NEUTRONES Son estrellas cuya masa es mayor a la del Sol, en aproximadamente 1,5 o 2 veces esa masa, y su radio es cercano a los 15 o 20 km, por lo que su densidad media es de miles de millones de millones de toneladas por metro cúbico, esto es, una densidad aproximada a 10 18 kg/m 3 . Son más pequeños que las enanas blancas y tienen un periodo de rotación (tiempo que tardan en dar una vuelta) de fracciones de segundo, de manera que dan varias vueltas en un segundo; las hay las que realizan 30 vueltas por segundo. La materia que conforma una estrella de neutrones presenta un estado de compresión de los máximos posibles. Bajo tales presiones, los núcleos se tocan entre si, los electrones y los protones se fisionan y se originan los neutrones. El neutrón es la forma más estable de la materia en el estado descrito; la materia, entonces, no está en este caso compuesta de protones, neutrones y electrones, sino solamente de neutrones; por esta razón, se le llama estrella de neutrones. Estas estrellas se conocen también como pulsares, porque según la conservación del momento angular, en su rápido giro, a velocidades elevadísimas emiten radiaciones o pulsaciones periódicas. Precisamente los pulsares constituyen la evidencia de que existen estrellas de neutrones. De la misma forma, estas ultimas constituyen la explicación de los púlsares; periodos tan pequeños y regulares de 0,03 s hacen que se piense en pulsaciones que proceden de una estrella de neutrones giratoria. Aquellas estrellas con masas de 2 a más veces la masa del Sol son inestables, y algunas APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 7 que se colapsan forman estrellas de neutrones con un radio de pocos kilómetros, como mencionábamos al inicia de este apartado. Suponiendo que el Sol se colapsara de esa forma, efectuaría una revolución en torno a su eje en 2 diezmilésimas de segundo, girando a una velocidad casi igual a la velocidad de la luz (el Sol gira en torno a su eje una vez cada 25 días). EL PULSAR El pulsar es una fuente emisora de ondas de radio de baja frecuencia emitida en lapsos regulares y muy breves, que van de 0,03 s a 3 s; alguno de ellos, muy pocos entre los conocidos, emiten destellos de luz visible en sincronización perfecta con las ondas de radio. Son objetos muy pequeños que emiten una cantidad enorme de energía, y como son del tamaño de las estrellas de neutrones, es posible que sean estrellas giratorias de neutrones; de esta manera, su enorme energía cinética de rotación es la fuente que produce la energía de radiación; ésta es una de las explicaciones razonables de la radiación. Podríamos comparar estos objetos celestes con un faro luminoso que despide destellos de luz en forma intermitente en lapsos iguales. Los púlsares fueron descubiertos en 1967 por Jocelin Bell, una estudiante de investigación de Cambrigde, Inglaterra, quien creyó que había establecido contacto con seres extraterrestre; no se trataba de eso, sino de estrellas de neutrones en rotación que emitían pulsos de ondas de radio muy cortos, de un segundo o fracciones, rigurosamente periódicos. Esta fue la primera evidencia de que las estrellas de neutrones existían; la rigurosidad de su periodo fue explicada por la rapidez de su rotación. En 1969, se detecto un púlsar con destellos de radio y de luz visible en el centro de la Nebulosa del Cangrejo; es el periodo más corto de todos los conocidos, 0,033 s, y centellea 30 veces cada segundo. Se trata del pulsar del Cangrejo, que se halla a 6000 años luz de la Tierra y emite luz, rayos X y ondas de radio. En los últimos años se ha detectado un sistema llamado PSR 1913+16 (PSR son sus siglas en ingles, la primera de las cuales se refiere a pulsar), formado por dos estrellas de neutrones que giran una alrededor de la otra en forma de espiral. En la actualidad están registrados más de 300 púlsares. LOS QUASARES Las observaciones radioastronómicas permitieron el descubrimiento de estos maravillosos objetos celestes en 1963; son de aspecto similar a las estrellas, pero por la enorme distancia a la que se encuentran aparecen como objetos brillantes muy pequeños. Con un diámetro del orden de 10 11 km, emiten ondas de luz y de radio con una potencia que supera cientos de veces la potencia, en conjunto, de los centenares de miles de millones de estrellas que conforman una galaxia. Casi todos los quasares conocidos son objetos solitarios y con grandes corrimientos hacia el rojo, lo que indica que están alejándose de la Tierra a velocidades extraordinarias. Si recibimos ondas de luz y de radio provenientes de los quasares con tanta intensidad, se desprende que estos objetos pueden producir energía en una forma gigantesca. Los quasares se conocen como objetos cuasiestelares, es decir como fuentes de radioemisión que se comportan como estrellas. Son fuentes poderosas de ondas de radio, pero están tan lejos de nosotros que su observación no nos puede proporcionar evidencias sobre qué procesos físicos se llevan a cabo para liberar tan enormes cantidades de energía; al parecer, son cuerpos esféricos en rotación compuestos de plasma en un campo magnético muy fuerte. Se ha requerido comparar a los quasares con los núcleos de las llamada galaxias activas, debido a la similitud de ambos como fuentes de radiación electromagnética de excepcional potencia; sin embargo, su diferencia radia en que la potencia de radiación de los quasares es mayor . Al mismo tiempo, surgen muchas ideas que suponen que en el centro de estos se puede encontrar agujeros negros súper masivos, y son, precisamente, los que proporcionan la inmensa cantidad de energía que estos sorprendentes cuerpos celestes son capaces de emitir. Todo lo anterior constituye suposiciones que podrían ser desechadas o, de tener fundamento, guiarnos hacia hallazgos sorprendentes. AGUJEROS NEGROS Trataremos ahora algunas características acerca de ciertas zonas invisibles en el universo, que provocan en sus cercanías comportamientos misteriosos de la materia circundante. Nos referimos a los agujeros negros, los objetos cósmicos más extraños en el universo, ya que no irradian luz y por lo tanto son invisibles. Se cree que los agujeros negros constituyen las etapas finales en la vida de las estrellas masivas, aquellas cuya masa equivales a 3 o más veces la masa del Sol. Se sabe que se formaron a partir de la explosión de una supernova; la materia resultante se contrae continuamente (se colapsa) hacia su centro de gravedad y forma un objeto gravitacional de una densidad tan extraordinaria que ni siquiera la luz puede escapar de él; es decir, los agujeros negros son objetos con mayores compresiones que las de las estrellas de neutrones, las cuales si permiten la salida de la luz. El agujero negro es una estrella que se encuentra en proceso de contracción gravitatoria y, conforme se contrae, la intensidad de campo gravitatorio en su superficie aumenta. Según la APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 8 teoría de la relatividad de Einstein, la rapidez con que viaja la luz en el vació no puede ser superada por nada; es la máxima velocidad permitida en el universo (300 000 km/s); así si la luz no puede escapar de esta atracción (reacuérdese la velocidad de escape, a que nos hemos referido anteriormente), ningún otro objeto, partícula o señal física lo puede hacer; por eso, un agujero negro no deja escapar nada (ni materia ni radiación), y al mismo tiempo puede absorber la materia circundante para aumentar su masa. Una región de estas características es lo que se conoce como agujero negro (también suele denominarse hoyo negro); se trata de una región de espacio-tiempo, desde donde no se puede escapar, y en donde todo es arrastrado hacia adentro, dada la enorme intensidad del campo gravitacional. Los agujeros negros no tienen tamaño ni forma definida según lo entendemos de manera convencional, pero típicamente tienen unos 15 km de diámetro. Poseen masas que van desde unas tres veces la masa del Sol, a cientos de millones de veces esa cantidad y absorben toda la materia o energía que se encuentra a una distancia crítica llamada horizonte de eventos. En esta zona u horizonte de sucesos, la materia es arrastrada hacia un remolino que la captura y la convierte en parte del espacio curvo del agujero negro. Las ondas gravitatorias que un agujero negro emite en el momento del colapso serían una evidencia de su existencia, si éstas lograran ser detectadas, pero ésta es una tarea que se ha tomado realmente difícil. Así, en la actualidad, se trabaja en al construcción de detectores de ondas gravitacionales con una mayor sensibilidad. La alternativa más viable para localizar un agujero negro consiste es ubicarlo en un sistema binario de estrellas en el que giran una en torno a la otra, una brillante y la otra invisible, y esta ultima constantemente absorbe, de la primera, materia y radiación. El material de la estrella, al caer al agujero negro, emite radiación en rayos X que se puede detectar en la Tierra. Este el caso de la fuente Cisne X-1 el la constelación del Cisne, descubierta en 1972, y desde 1974 considerada por los astrónomos como un agujero negro. Se encontró otro con características similares a Cisne X-1 en la Constelación del centauro, Centauro X-3, y otro denominado Lobo X-1 en la Constelación del Lobo. Se cree que existen muchos más, muy masivos, en los centros de algunos grupos nebulosos. Pero los agujeros negros ¡no son negros!. El físico británico Stephen Hawking mostró en 1974 que los agujeros negros emiten radiación con una temperatura característica de la masa que éstos mismos poseen. Este descubrimiento causó gran sorpresa, pues el fuerte campo gravitacional de su superficie impide que lo que se encuentra dentro de él se escape incluyendo la luz. Hawking mostró que las partículas pueden vencer la enorme atracción de la superficie del agujero negro y escapar. La revelación de estos asombrosos resultados permitió utilizar por primera vez las leyes de la mecánica cuántica en conjunción con la relatividad general. Este sorprendente hallazgo lo describe el propio Hawking de esta manera “Descubrí, con una gran sorpresa por mi parte, que el agujero negro parecía emitir partículas a un ritmo constante. Como todo el mundo, entonces, yo aceptaba el dogma de que un agujero negro no podía emitir nada.. El aguajero negro crea y emite partículas como si fuese un cuerpo calido ordinario, con una temperatura directamente proporcional a la gravedad e inversamente proporcional a la masa” . Otras investigaciones han confirmado posteriormente este resultado. EL ORIGEN DEL SISTEMA SOLAR NUESTRO SISTEMA SOLAR Nuestro sistema solar está conformado por el Sol y nueve planetas, éstos a su vez, orbitados por satélites. Se considera que han transcurrido cerca de 4500 millones de años desde el momento en que los planetas y el Sol se originaron. La explicación de los detalles de la constitución de nuestro sistema solar en la actualidad es bastante satisfactoria (véase la tabla 1.1). Hemos llegado muchos más lejos, según podemos observar por lo tratado en los apartados anteriores de este capitulo, pero el origen de este enjambre planetario, de forma paralela con el origen de nuestro universo, constituye para la ciencia uno de los mayores retos a los que se enfrenta. Los detalles del origen de nuestro sistema solar son los que no están claros. Se cree que, por ser el Sol una estrella de segunda o tercera generación, se formó a partir del material (gas y polvo) expulsado por la explosión de una supernova. Las hipótesis modernas del origen del sistema solar se sustentan en la idea de su formación a partir de una nube de gas y polvo; una nube giratoria de gas, que contenía las partículas de polvo, restos de supernovas anteriores, conformaban un disco plano. La mayor parte del gas de la nube se concentró en forma de una enorme bola de fuego, formada casi en su totalidad por elementos más livianos, como el hidrogeno y el helio, convirtiéndose en el Sol. Las partículas de polvo no estaban distribuidas homogéneamente, sino que se APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 9 concentraban en zonas especificas para formar masas más grandes. Estas masas estaban formadas por elementos más pesados de la nube original, y constituyeron los planetas. Tabla 1.1 NUESTRO SISTEMA SOLAR PLANETA PERIODO DE LA ORBITA (Años) RADIO DE LA ORBITA (Km) MASA (Kg) DENSIDAD (kg/m 3 ) RADIO (Km) PERIODO DE ROTACION (Dias) SATELITES CONCOCIDOS (Número) GRAVEDAD (m/s 2 ) MERCURIO 0,241 5,79 x 10 7 3,28 x 10 23 5600 2450 58 - 3,6 VENUS 0,615 1,08 x 10 8 4,83 x 10 24 4860 6050 243 - 8,9 TIERRA 1,000 1,49 x 10 8 5,98 x 10 24 5500 6370 1 1 9,8 MARTE 1,882 2,28 x 10 8 6,40 x 10 23 4000 3350 1,02 2 3,8 JUPITER 11,86 7,78 x 10 8 1,90 x 10 27 1300 69 000 0,41 16 26,6 SATURNO 29,46 1,43 x 10 9 5,68 x 10 26 700 59 250 0,43 17 10,8 URANO 84,01 2,87 x 10 9 8,67 x 10 25 1500 23 450 0,45 15 10,5 NEPTUNO 164,7 4,49 x 10 9 1,05 x 10 26 1200 22 250 0,66 8 14,2 PLUTON 248,9 5,93 x 10 9 1,80 x 10 22 2100 1150 6,4 1 0,9 SOL (1) 2 X 10 8 1,92 x 10 16 1,98 x 10 30 1400 696 000 25,5 9 272,6 LUNA (2) 27,33 días 3,82 x 10 5 7,34 x 10 22 3320 1740 27,33 - 1,6 (1) Alrededor de la Vía Láctea (2) Alrededor de la Tierra LA RADIASTRONOMIA Las ondas de radio son invisibles y, por lo tanto, imposibles de detectar por medio de telescopios comunes; por ello, es necesario utilizar antenas receptoras para captarlas igual que cualquier otra transmisión de radio. Las ondas de radio generan corrientes eléctricas que fluyen en la antena y son transformadas en sonidos. Si se utilizan receptores debidamente diseñados, es posible penetrar en el espacio a distancias de miles de millones de años luz y captar las señales emitidas en las longitudes de onda de las radiofrecuencias provenientes de una galaxia, de una estrella, de un planeta o de nuestro Sol. Estos receptores se conocen como radiotelescopios y, cuanto mayor es su tamaño, mayor es la cantidad de ondas de radio que pueden captar. Una pantalla cóncava de que están provistos reflejan las ondas y las concentra en la antena. La radioastronomía es la ciencia que estudia la radiación emitida por los cuerpos celestes en el dominio de las radiofrecuencias, desde los lugares más recónditos del universo., es de gran utilidad, porque después de detectar las señales, se enfocan los telescopios ópticos, para descubrir la fuente de la que provienen dichas señales. Así, un radiotelescopio consta básicamente de un enorme pantalla cóncava que refleja las ondas recibidas y las concentra en una antena direccional, conectada a un receptor de radio sensible. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 10 INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA FISICA La vida de todo ser humano es un continuo batallar contra una serie de problemas que se presentan por la interrelación establecida entre los hombres, y entre el hombre y la naturaleza que lo rodea. Hablar de naturaleza aquí es hablar de Universo en un término más general; saber qué lugar ocupamos; dónde y en qué momento nos encontramos es poner la primera piedra de un hermoso e impresionante edificio llamado FÍSICA. La física es una de las creaciones más sorprendentes de la mente humana: representa el esfuerzo permanente del hombre para resolver problemas, contestar, comprender, interpretar, predecir y aprovechar el comportamiento de la naturaleza. En pocas palabras, la Física mediante el pensamiento nos lleva hacia lo desconocido; nuestra inteligencia nos permite literalmente penetrar en el firmamento, llegando a nuevas fronteras en busca de conocimientos, de la compresión de un orden para el Universo. Albert Einstein dijo alguna vez: “LA FÍSICA ES AVENTURA DEL PENSAMIENTO” EL COSMOS. Actualmente los científicos consideran que nuestro mundo y todo lo que rodea en un espacio-tiempo unidos solidariamente, cuya forma puede cambiar según el modelo que se utilice para describirlo. La agrupación de materia en el Cosmos da lugar a inmensos cuerpos brillantes constituidos por el 90 % por hidrógeno, y casi todo el resto por helio, los dos átomos más simples que existen en la naturaleza. En su mayoría, los cuerpos brillantes del Cosmos tienen dimensiones fabulosas y se denominan estrellas, las que se agrupan en Galaxias. Nosotros vivimos en una galaxia llamada Vía Láctea, en donde existen cien millones de estrellas, siendo una de ellas el Sol, el mismo que posee nueve planetas que giran a su alrededor. El Sol es un inmenso horno en cuya superficie la temperatura es de unos 6 000 grados. El Sol es nuestra principal fuente de energía y equivale a la explosión controlada de diez mil millones de grandes bombas de hidrógeno cada segundo y desde hace 5 000 millones de años. LA TIERRA. Nuestro planeta es uno de los nueve que giran alrededor del Sol, que conforman el sistema planetario solar. La edad de la Tierra es prácticamente la misma que la del Sol, pero su composición es abismalmente diferente, pues contiene grandes cantidades de hierro, níquel, oxígeno, cobre, etc; algo así como una pequeña contaminación concentrada en un lugar determinado, de sustancias poco comunes a las que predomina en el resto del Cosmos, un pequeño lugar donde hay vida. EL HOMBRE. Es evidente que el Universo presenta un orden determinado, y los seres vivos que son más que una característica adicional a este orden. El hombre es la criatura que tiene la facultad de pensar, razonar y por ende comprender todo aquello que lo rodea. La necesidad del hombre por explicar todo lo que ocurre en el Cosmos ha devenido en la elaboración de las ciencias. CIENCIA. Es el conocimiento cierto de las cosas por sus principios y causas. Está formada por un conjunto de conocimientos coherentes lógicamente ordenados y metódicamente utilizados que permiten conocer, comprender, emplear, transformar y preveer fenómenos naturales y sociales. CIENCIAS NATURALES. Designamos con este nombre a aquellas ciencias que se encargan de estudiar todos aquellos fenómenos físicos, químicos, biológicos, astronómicos, etc. Entre las más conocidas podemos citar a: Física, Química, Biología, Astronomía, Geología, etc. Actualmente fenómenos descubiertos han obligado al hombre a interrelacionar algunas de estas ciencias originándose así otras como la Astrofísica, la físico-química, la Bioquímica, la Biofísica, etc. FENÓMENO. Denominamos así a todo aquel cambio que se produce en el Universo. Estos cambios pueden ser del orden físico, químico, biológico, social, político, etc. FENÓMENO FÍSICO. Es todo cambio que se produce en la naturaleza, en donde existe materia, energía y estas experimentan cambios con énfasis en la energía. FENÓMENO QUÍMICO. Es aquel tipo de fenómeno en donde los cuerpos participantes experimentan cambios radicales en su estructura interna, originándose nuevos cuerpos. En la mayoría de los casos estos fenómenos suelen ser irreversibles. FÍSICA: Es una ciencia cuyo objetivo es estudiar los componentes de la materia y sus interacciones mutuas. En función de estas interacciones el científico explica las propiedades de la materia en conjunto, así como los otros fenómenos que observamos en la naturaleza. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 11 Características de la Física. Se interesa por lo que podemos ver y experimentar. Es experimental y depende de la observación y la medición. Es probablemente filosófica. Influye en nuestra cultura y costumbres. Está constituida por leyes cualitativas y cuantitativas. Emplea la matemática para expresar sus leyes cuantitativas, o sea que traduce a números sus razonamientos. Es una ciencia de vasto alcance, desde el análisis de las partículas sub-atómicas hasta las distantes galaxias. De la Física Clásica a la Física Moderna. Se denomina Física Clásica a las pautas y conceptos básicos desarrollados en esta ciencia hasta antes del año 1900, porque este es el año que postulan la teoría de la relatividad y la teoría cuántica, estas ideas dieron lugar a cambios profundos en los conceptos tradicionales denominándose a esta “Física Moderna”. Antes del año 1900, la Física se conceptuaba como una ciencia formada por las siguientes ramas especializadas: la mecánica, que estudia todo lo relacionado con el movimiento y las causas que lo provocan, la termodinámica, que se ocupa de la relación entre el calor y las restantes formas de energía; el electromagnetismo, que estudia la relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos; la óptica, que trata de la naturaleza y el comportamiento de la luz y otras radiaciones; y la acústica, que estudia los fenómenos relacionados con el sonido, su producción y sus propiedades. Este cuerpo coherente de conocimientos es lo que llamamos hoy la Física Clásica. La Física Moderna no inválida de ningún modo a la Física Clásica, sino que demuestra que la Física Clásica tiene límites, por ejemplo en la mecánica clásica las leyes conocidas hasta antes del año 1900 no pueden describir los fenómenos cuando las velocidades de las partículas son cercanas a la velocidad de la luz. A partir del año 1900 se llevaron a cabo descubrimientos de gran trascendencia en la Física Atómica y Nuclear. La Física Clásica no podía explicarlos, de manera que se hizo necesaria la introducción de varios principios nuevos, que incluso contravenían algunos principios de la física Clásica. Estos nuevos principios se resumen en la Mecánica Cuántica, teoría del movimiento de las partículas atómicas que intenta explicar los fenómenos en el átomo, y la Relatividad, teoría que pretende explicar el comportamiento de los cuerpos a velocidades muy grandes, cercanas a la velocidad de la luz. La física Cuántica y la Física Relativista constituyen lo que hoy denominamos Física Moderna. La Física Moderna es la Física de la s altas velocidades mientras que la Física Clásica es aplicable a partículas cuyas velocidades son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. FÍSICO. Es el científico que tiene como principal actividad desarrollar una actitud de investigación frente a los fenómenos físicos y descubrir las leyes o principios que los rigen. INGENIERO. Es la persona que conociendo las leyes de la naturaleza, ordena las cosas para que se produzcan fenómenos o movimientos útiles, que sirvan para hacer cómoda la vida del hombre. RAMAS DE LA FÍSICA. Para un mejor estudio de los fenómenos físicos, la Física se divide en ramas: a) Mecánica. Estudia el movimiento de los cuerpos. b) Calor: Estudia los fenómenos térmicos. c) Electricidad. Estudia los fenómenos eléctricos d) Magnetismo. Estudia los fenómenos magnéticos e) Electromagnetismo. Estudia la interrelación entre la electricidad y magnetismo f) Acústica. Estudia el sonido. g) Optica. Estudia la luz. h) Física Nuclear. Estudia el átomo y sus componentes. i) Física Moderna. Estudia la teoría de la relatividad y las características ondulatorias de las partículas subatómicas. FÍSICA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA. La ciencia procura comprender los fenómenos de la naturaleza y de la sociedad, y explicarlos mediante leyes, principios y teorías. La Física es esa parte de la ciencia que aborda los fenómenos propios de la naturaleza. La tecnología moderna es el conjunto de medios desarrollados para APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 12 aplicar los conocimientos científicos a las actividades humanas como son: Ingeniería, Medicina, Sociología, etc. EL MÉTODO CIENTÍFICO O EXPERIMENTAL: A fin de cumplir con sus objetivos la física, como todas las ciencias naturales puras o aplicadas, dependen de la observación y de la experimentación. La observación consiste en un examen crítico y cuidadoso de los fenómenos, notando y analizando los diferentes factores y circunstancias que parecen influenciarlos. La experimentación consiste en la observación del fenómeno bajo condiciones preparadas de antemano y cuidadosamente controladas. El método científico sigue la siguiente secuencia: a) Observación. Reconocimiento de un suceso y sus características. b) Medición. Toma de datos de todas las magnitudes que participan. c) Control de variables. Conocimiento de las magnitudes que varían cuando se desarrolla el suceso. d) Hipótesis. Formulación de una posible explicación e) Experimentación. Repetición controlada del suceso, en donde se prueba la veracidad de la hipótesis. f) Formulación de inferencias. Luego de múltiples experimentos podemos establecer un resultado general: LEY MATEMÁTICAS APLICADA A LA FÍSICA. Para aprovechar racionalmente la naturaleza y conservar así sus recursos es necesario conocer las Ciencias naturales, y en particular la Física. Dominarla muy bien nos evitará incurrir en excesos, fallas o malos cálculos que a la postre perjudicarían nuestro medio ambiente, tal como viene ocurriendo actualmente en casi todo el mundo. Como es lógico, para hacer cálculos correctos es imprescindible tener un conocimiento básico de Matemáticas, que es uno de los objetivos principales de esta unidad de aprendizaje. No debes olvidar que una valiosa herramienta en el trabajo de la Física es la Matemática. REPASO DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS DE FISICA Se pretende que estos repasos de matemáticas sean un breve repaso de operaciones y métodos. Desde el principio, conviene que se esté completamente familiarizado con las técnicas algebraicas básicas, la geometría analítica y la trigonometría. Los repasos sobre cálculo diferencial e integral son más detallados y están dirigidos a aquellos estudiantes que tienen dificultades en la aplicación de los conceptos del cálculo a las situaciones físicas. SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA = igual a α proporcionalidad ⊥ es perpendicular ≠ diferente de ∧ y ∞ infinito ≈ aproximadamente ∨ 0 (x,y) par ordenado mayor que ∴ por tanto % porcentaje < menor que ⇒ entonces ∑ sumatoria ≥ mayor o igual que ⇔ si y solo si ∆ variación ≤ menor o igual que // es paralelo a ∆x = x 2 – x 1 (variación de x) ARITMÉTICA a) Suma b) Resta c) Multiplicación d) División e) Fracciones f) Razones geométricas: Se tiene que: “A es a B como C es a D”. Entonces se establecerá que: A B C D A D B C = ⇒ = . . g) Proporciones i) Proporcionalidad directa: A es directamente proporcional a B (A α B) A B A k B α ⇒ = ii) Proporcionalidad inversa: A es inversamente proporcional a B APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 13 k AB B A = ⇒ 1 α h) Porcentaje: 100 % exp x V V V e teorico erimental teorico − = i) Regla de tres simple ALGEBRA Algunas reglas básicas Cuando se realizan operaciones algebraicas, se aplican las leyes de la aritmética. Símbolos tales como x, y y z son utilizados para representar cantidades que no son especificadas, a las que se llama incógnitas. Primero, considérese la ecuación 8 x = 32 Si se desea despejar x, se puede dividir (o multiplicar) cada lado de la ecuación por el mismo factor sin destruir la igualdad. En este caso, si se dividen ambos lados por 8, se tiene 8 32 8 8 = x 4 = x Ahora considérese la ecuación 8 2 = + x En este tipo de expresiones, se puede sumar o restar la misma cantidad de cada lado. Si se resta 2 de cada lado, se obtiene: 2 8 2 2 − = − + x 6 = x En general, si x + a = b, entonces x = b − a. Ahora considérese la ecuación 9 5 = x Si se multiplica cada lado por 5, se obtiene: 5 9 ) 5 ( 5 x x = | ¹ | \ | 45 = x En todos los casos, cualquier operación que se realice del lado izquierdo de la igualdad debe ser realizada del lado derecho. Las siguientes reglas para multiplicar, dividir, sumar, y restar fracciones deben ser recordadas, donde a, b y c son tres números: Regla Ejemplo Multiplicación: d b c a d c b a = | ¹ | \ | | ¹ | \ | 15 8 5 4 3 2 = | ¹ | \ | | ¹ | \ | APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 14 División: c b d a d c b a = Suma: d b c b d a d c b a ± = ± 12 10 4 3 5 2 5 4 3 2 = = x x 15 2 15 12 10 ) 5 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 2 ( 5 4 3 2 − = − = − = − EJERCICIOS En los siguientes ejercicios, despeje x: 1. x a + = 1 1 2. 13 5 3 = − x 3. 2 5 + = − x b x a 4. 8 4 3 6 2 5 + = + x x Potencias Cuando potencias de una cantidad dada x están multiplicándose, se aplica la siguiente regla: n m n m x x x + = (B-3) Por ejemplo: 6 4 2 4 2 x x x x = = + Cuando potencias de una cantidad se están dividiendo, la regla es: n m n m x x x − = (B-4) Por ejemplo: 3 2 5 2 5 x x x x = = − Una potencia que es una fracción, tal como 1/3 , corresponde a una raíz como sigue: n n x x = / 1 (B-5) Por ejemplo: 5874 , 1 4 4 3 3 / 1 = = Se utiliza una calculadora científica para tales cálculos. Finalmente, cualquier cantidad x que es elevada a una potencia m es: mn n m x x = ) ( (B-6) La tabla l resume las reglas de los exponentes. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 15 Tabla 1. Regla de exponentes: 1 0 = x x x = 1 n m n m x x x + = n m n m x x x − = mn n m x x = ) ( EJERCICIOS Verifíquese lo siguiente: . l. 3 2 x 3 3 = 243 2. x 5 x −8 = x −3 3. 15 5 10 5 10 x x x x = = + − 4. 5 1/3 = 1.709975 (Utilícese la calculadora.) 5. 60 1/4 = 2.783158 (Utilícese la calculadora.) , 6. (x 4 ) 3 = x 12 Factorización Algunas formulas útiles para factorizar una ecuación son: ax + ay + az = a(x + y + x) factor común a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 cuadrado perfecto a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) diferencia de cuadrados Ecuación cuadrática 1 La forma general de una ecuación cuadrática es: 0 2 = + + c x b x a (B-7) donde x es la cantidad desconocida y a, b y c son factores numéricos conocidos como coeficientes de la ecuación. Esta ecuaci6n tiene dos raíces, dadas por: a c a b b x 2 4 2 − ± − = (B-8) Si b 2 ≥ 4ac, las raíces serán reales. EJEMPLO 1 La ecuación x 2 + 5x + 4 = 0 tiene las siguientes dos raíces correspondientes a los signos de la raíz cuadrada: 2 3 5 2 9 5 2 16 25 5 ) 1 ( 2 ) 4 ( ) 1 ( 4 5 5 2 ± − = ± − = − ± − = − ± − = x esto es, APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 16 1 2 2 2 3 5 1 − = − = + − = x 4 2 8 2 3 5 2 − = − = − − = x donde x 1 se refiere a la raíz correspondiente al signo positivo y x 2 se refiere a la raíz correspondiente al signo negativo. EJERCICIOS Revuélvanse las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1. x 2 + 2x −3 = 0 2. 2 x 2 − 5x + 2 = 0 3. 2 x 2 − 4 x − 9 = 0 Ecuaciones lineales Una ecuación lineal tiene la forma general b x a y + = (B-9) donde a y b son constantes. Esta ecuación se conoce como lineal debido a que la gráfica de y en función de x es una línea recta, como se muestra en la figura. La constante b, llamada ordenada al origen, representa el valor de y al cual la línea recta intersecta al eje y. La constante a es igual a la pendiente de la línea recta y es también igual a la tangente del ángulo que la línea hace con el eje x. Si dos puntos cualesquiera de la línea son especificados por las coordenadas (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ), como en la figura l, entonces la pendiente de la línea recta puede ser expresada como: θ tan 1 2 1 2 = ∆ ∆ = − − = x y x x y y Pendiente (B-10) Figura 1 Nótese que a y b pueden tener valores positivos o negativos. Si a > 0, la línea recta tiene una pendiente positiva, como en la figura 1. Si a < 0, la línea recta tiene una pendiente negativa; En la figura 1, tanto a como b son positivas. Otras tres posibles situaciones se muestran en la figura 2: a > 0, b < 0; a < 0, b > 0; y a < 0, b < 0. Figura 2 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 17 EJERCICIOS l. Trácese las gráficas de las siguientes líneas rectas: a) y = 5 x + 3 b) y = −2 x + 4 c) y = −3 x − 6 2. Encuéntrese las pendientes de las líneas rectas descritas en el ejercicio l. 3. Encuéntrese las pendientes de las líneas rectas que pasan a través de los siguientes puntos: a) (0, −4) y (4, 2); b) (0, 0) y (2, -5), c) (−5, 2) y (4, −2) Solución de ecuaciones lineales simultáneas Considérese una ecuación del tipo 3x + 5y = 15, la cual tiene dos incógnitas, x y y. Dicha ecuación no tiene una solución única. Es decir, (x = 0, y = 3), (x = 5, y = 0), y (x = 2, y = 9/5) son todas soluciones a esta ecuación. Si un problema tiene dos incógnitas, una soluci6n única es posible solo si se tienen dos ecuaciones. En general, si el problema tiene n incógnitas, su solución requiere n ecuaciones. La forma de resolver dos ecuaciones simultáneas que impliquen dos incógnitas, x y y, es despejar de una de las ecuaciones x en términos de y y sustituir esta expresión en la otra ecuación. EJEMPLO 2 Despeje las siguientes ecuaciones simultáneas: (1) 8 5 − = + y x (2) 4 2 2 = − y x Solución De la ecuación (2), x = y + 2. Sustituyendo esto en la ecuación (1) obtiene: 5 (y + 2) + y = − 8 6 y = −18 y = −3 x = y + 2 = −1 Solución alternativa Multiplíquese cada término en la ecuación (1) por el factor 2 y sume el resultado a la ecuaci6n (2): 10 x + 2 y = −16 2 x − 2 y = 4 12 x = −12 x = −l y = x − 2 = −3 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas también se pueden resolver por método gráfico. Si las líneas rectas correspondientes a las dos ecuaciones son gráficas en un sistema coordenado convencional, la intersecci6n de las líneas representa la soluci6n. Por ejemplo, considérense las dos ecuaciones: x − y = 2 x − 2 y = − 1 Éstas son gráficas en la Figura 3. La intersecci6n de las dos líneas tiene las coordenadas x = 5, y = 3. Esto representa la solución a las ecuaciones. Puede verificarse esta solución por la técnica analítica descrita anteriormente. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 18 Figura 3 EJERCICIOS Resuelva los siguientes pares de ecuaciones simultáneas que contienen dos incógnitas: Ejercicio Respuesta 1. 8 = + y x 2 = − y x 5 = x , 3 = y 2. a T 10 98 = − a T 5 49 = − 65 = T , 27 , 3 = a 3. 6 2 6 = + y x 28 4 8 = − y x 2 = x , 3 − = y Logaritmos Supóngase que la cantidad x se expresa como una potencia de alguna cantidad a: y a x = (B.11) El número a se llama número base. El logaritmo de x con respecto a la base a es igual al exponente al cual se debe elevar la base de manera que satisfaga la expresi6n x = a y : x y a log = (B.12) Del mismo modo, el antilogaritmo de y es el número x: y anti x a log = (B.13) En la práctica, las dos bases más utilizadas son la base 10, llamada logaritmo común, y la base e = 2.718., llamada logaritmo natural. Cuando el logaritmo común se utiliza, x y 10 log = (o x = 10 y ) (B.14) Cuando el logaritmo natural se utiliza: x y e ln = (o x = e y ) (B.15) Por ejemplo, log 10 52 = 1,716, así que el antilog 10 1.716 = 10 1.716 = 52. Del mismo modo, ln e 52 = 3.951, y su antilog e 3.951 = e 3.951 = 52. En general, obsérvese que se puede convertir entre base 10 y base e con la equivalencia . x x e 10 log ) 302585 , 2 ( ln = (B.16) Finalmente, algunas propiedades útiles de los logaritmos son las siguientes: log(ab) = log a + log b log(a/b) = log a -log b log(a n ) = n log a ln e = 1 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 19 In e a = a a a ln 1 ln − = | ¹ | \ | ... B.3 GEOMETRIA La distancia d entre dos puntos cuyas coordenadas son (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) es: 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( y y x x d − + − = (B.17) La medida en radianes: la longitud del arco s (Fig. B.4) es proporcional al radio r, para el valor de θ medido en radianes. θ r s = (B.18) r s = θ Figura B-4 En la tabla B.2 se dan las áreas y los volúmenes de algunas formas geométricas utilizadas en este texto: TABLA B.2 Información utilizada en geometría Forma Figura Área o volumen Rectángulo w A l = Circulo r ncia Circunfere π 2 = 2 2 4 d r A π π = = Triangulo h b A 2 1 = Esfera 2 4 r A π = 3 3 4 r V π = Cilindro l 2 r V π = Caja rectangular ) ( 2 hw w h A + + = l l h w V l = La ecuación de una línea recta (Figura B.5) está dada por: b x m y + = (B.19) APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 20 Figura B-5 donde b es la intersección con y y m la pendiente de la línea. La ecuación de círculo de radio R centrado en el origen es 2 2 2 R y x = + (B.20) La ecuación de una elipse con el origen como su centro (Fig. B.6) es: 1 2 2 2 2 = + b y a x (B.21) donde a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor. Figura B-6 La ecuación de la parábola cuyo vértice está en y = b (Figura B.7) es: b x a y + = 2 (B.22) Figura B-7 La ecuación de una hipérbola rectangular (Figura B.8) es: te cons y x tan = (B.23) Figura B-8 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 21 B.4 TRIGONOMETRIA La parte de las matemáticas que se basa en las propiedades especiales de los triángulos rectos se llama trigonometría. Por definición, un triángulo recto es el que contiene un ángulo de 90°. Considérese el triángulo recto de la figura B.9, donde el lado a es opuesto al ángulo θ, el lado b es adjunto al ángulo θ y el lado c es la hipotenusa del triángulo. Las tres funciones trigonométricas básicas definidas para tales triángulos son las funciones seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan). Figura B-9 En términos del ángulo θ, estas funciones se definen por: c a hipotenusa opuesto cateto sen = = θ c b hipotenusa adyacente cateto = = θ cos (B 24) b a adyacente cateto opuesto cateto = = θ tan El teorema de Pitágoras da la siguiente relación entre los lados de un triángulo: 2 2 2 b a c + = (B.27) De las definiciones anteriores y del teorema de Pitágoras, se sigue que: 1 cos 2 2 = + θ θ sen θ θ θ cos tan sen = Las funciones cosecante, secante y cotangente están definidas como: θ θ sen 1 csc = θ θ cos 1 sec = θ θ tan 1 cot = Las relaciones anteriores se siguen directamente de un triángulo recto mostrado en la figura B.9: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = − = − = ) º 90 ( tan cot ) º 90 ( cos ) º 90 ( cos θ θ θ θ θ θ sen sen Algunas de las propiedades de las funciones trigonométricas son las siguientes: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = − = − − = − θ θ θ θ θ θ tan ) ( tan cos ) ( cos ) ( sen sen APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 22 Figura B-10 Las siguientes relaciones se aplican a cualquier triángulo como el de la figura B.10: º 180 = + + γ β α Ley de los cosenos: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + + = − + = − + = γ β α cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a c c a c a b c b c b a Ley de los senos: ¹ ´ ¦ = = γ β α sen c sen b sen a La tabla B.3 lista un buen número de identidades trigonométricas útiles. 1 cos 2 2 = + θ θ sen ) cos 1 ( 2 1 2 2 θ θ − = sen B sen A B A sen B A sen cos cos ) ( ± = ± θ θ 2 2 cot 1 csc + = ) cos 1 ( 2 1 2 cos 2 θ θ + = B sen A sen B A B A m cos cos ) cos( = ± θ θ 2 2 tan 1 sec + = 2 2 cos 1 2 θ θ sen = − | ¹ | \ | | ¹ | \ | ± = ± 2 cos 2 2 B A B A sen B sen A sen m θ θ θ cos 2 2 sen sen = θ θ θ 2 tan 1 tan 2 2 tan − = | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + = + 2 cos 2 cos 2 cos cos B A B A B A θ θ θ 2 2 cos 2 cos sen − = θ θ θ cos 1 cos 1 2 tan + − = | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + = − 2 2 2 cos cos A B sen B A sen B A EJEMPLO 3 Considérese el triángulo recto de la figura B.11, en el cual a = 2, b = 5, y c es desconocida. Figura B-11 Del teorema de Pitágoras, se obtiene 29 25 4 5 2 2 2 2 2 2 = + = + = + = b a c 39 , 5 29 = = c Para determinar el ángulo θ, se observa que 400 , 0 5 2 tan = = = b a θ De una tabla de funciones o de una calculadora, se obtiene º 8 , 21 ) 400 , 0 ( tan 1 = = − θ APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 23 donde tan −1 (0.400) es la notación para decir "el ángulo cuya tangente es 0.400", algunas veces se escribe como arctan (0.400). EJERCICIOS l. En la figura B.12, determínese: a) el lado opuesto a O, b) el lado adyacente a φ, c) cos θ, d) sen φ y e) tan φ Figura B-12 Respuesta a) 3, b) 3, c) 4/5, d) 4/5 y e) 4/3 2. En cierto triángulo recto, los lados que son perpendiculares uno del otro son de 5 m y 7 m de longitud. ¿Cuál es la longitud del tercer lado del triángulo? Respuesta 8.60 m 3. Un triángulo recto tiene una hipotenusa de 3 m de largo, y uno de sus ángulos es de 30°. ¿Cuál es la longitud: a) del lado opuesto al ángulo de 30° y b) del lado adyacente al ángulo de 30º? Respuesta a) 1.5 m b) 2.60 m B-5 DESARROLLOS EN SERIE ( ) ..... ! 2 ) 1 ( ! 1 2 2 1 + − + + = + − − b a n n b a n a b a n n n n ( ) ..... ! 2 ) 1 ( 1 1 2 + − + + = + x n n x n x n ! 3 ! 2 1 3 2 x x x e x + + + = ...... 3 1 2 1 ) 1 ( ln 3 2 + ± − ± = ± x x x x ...... ! 5 ! 3 5 3 − + − = x x x x sen ...... ! 4 ! 2 1 cos 4 2 − + − = x x x 2 ...... 15 2 ! 3 tan 5 3 π < + + + = x x x x x Para x << 1 se pueden utilizar las siguientes aproximaciones: x n x n + = + 1 ) 1 ( x e x + ≈1 x x ± ≈ ± ) 1 ln( x x sen ≈ 1 cos ≈ x x x ≈ tan FUNCIONES Y GRAFICAS La posición de un cuerpo se determina con respecto a otros cuerpos. Los sistemas de referencia nos solucionan estos problemas. Las leyes físicas se traducen por ecuaciones matemáticas que muestran una magnitud que llamaremos función y que depende de otras magnitudes que denominaremos variables. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 24 Representaremos estas funciones por medio de gráficas, lo que nos permitirá apreciar mejor y “visualizar” las variaciones de las funciones. SISTEMA DE REFERENCIA a) De una dimensión Sobre una recta orientada de x’ hacia x (figura 3.1) se toma un punto fijo O como origen de una graduación que será positiva a la derecha de O y negativa a la izquierda de O. Un punto P sobre esta recta se definirá por una sola cifra (positiva o negativa) llamada abscisa; la que corresponde a su graduación. Figura 3.1. Se dice que esta recta es un espacio en una dimensión. Ejemplo En la figura 3.1, la abscisa de P es 3 y la de Q es -2. b) De dos dimensiones Sobre un plano se dibujan dos rectas orientadas x’x y y’y y rectangulares, llamadas ejes de coordenadas, que se cortan en el punto O, origen de la graduación de las dos rectas. El plano queda dividido en 4 cuadrantes. I, II, III y IV como se ve en la figura 3.2. De un punto P del plano, tracemos las rectas paralelas a los ejes y que cortan estos en P x y P y . Diremos que la distancia OP x = x es la abscisa de P y que la distancia OP y = y es la ordenada de P. Así, cualquier punto del plano se define por dos números, su abscisa (escrita siempre primero) y su ordenada. Figura 3.2. El plano es un espacio en dos dimensiones Ejemplo En la figura 3.2, las coordenadas de P son 3,2. c) De tres dimensiones En el espacio ordinario, en donde vivimos, se dibujan tres rectas orientadas rectangulares de origen común O. De un punto P del espacio, tracemos la distancia a los tres ejes de coordenadas (figura 3.3). Las distancias OP x = x, OP y = y y OP z = z, son las coordenadas de P. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 25 Figura 3.3. De donde, cualquier punto del espacio de define por tres número. Ejemplo En la figura 3.3, las coordenadas de P son: 3, 3, y 4 Estos sistemas de ejes se denominan sistemas de referencia rectangulares o cartesianos, del nombre de Descartes. Existen otros sistemas que hacen intervenir los ángulos. FUNCIONES Se dice que una magnitud y es función de otra magnitud x llamada variable, cuando su valor es determinado por el valor de la variable. Una función se escribirá simbólicamente: ) (x f y = Ejemplos x y 3 = Si a la variable x, damos valores 1, 2, -4,…, la función y tendrá los valores 3, 6, -12, …. Son otras funciones: 5 2 3 + = x y 2 2 ) 2 ( + − = x x y Existen también funciones de dos o tres o más variables. Se escribirán: ) , ( y x f z = ) , , ( z y x f u = TABLA DE DATOS Para investigar una relación entre dos cantidades, es necesario efectuar una serie de experimentos que nos darán dos números para cada experimento. El conjunto de los datos experimentales se disponen en forma de tablero a dos columnas o filas. Es lo que se denomina tabla de datos. Esta tabla contiene todos los resultados de los experimentos, pero es muy incómoda si los datos son numerosos y no permite prever ningún otro resultado. Una representación gráfica elimina estos inconvenientes. GRAFICAS Para cada par de la tabla de datos, se dibuja, en el plano, un punto que tenga para abscisa la variable y por ordenada la función. Se unen estos puntos por una línea de curvatura suave, porque se piensa que una variación continua de la variable arrastra una variación continua de la función. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 26 Si queremos saber cuánto vale la función para un valor dado de la variable, escogido entre dos valores experimentales, la gráfica nos lo dará inmediatamente; se dice que se hizo una interpolación gráfica. La extrapolación lleva la gráfica más allá de los limites de sus datos experimentales, hacia la izquierda o hacia la derecha. Se debe llevar con mucha prudencia; nada nos garantiza que la ley en estudio siempre se cumpla. Así una gráfica nos da información no sólo sobre los puntos experimentales, sino también sobre todos los puntos de la gráfica. Nos indica cómo se comporta un fenómeno y permite descartar puntos experimentales que están muy alejados de la gráfica. PRINCIPALES GRAFICAS Estudiaremos las gráficas más usuales de la Física: a) Grafica de una función (se conoce solo la tabla de datos): Por ejemplo, durante el día, a cada hora se notan las siguientes temperaturas: Tiempo (H) 2 3 4 5 6 7 8 Temperatura ( o C) -5 0 8 16 20 15 11 ¿Representar gráficamente la temperatura en función de la hora de observación? Se toma el eje x como eje del tiempo (en horas) y el eje y como el eje de la temperatura (en o C) figura 3.4. Figura 3.4 Se colocan los diferentes puntos de la tabla de datos y se trata de unirlos por medio de una curva continua y suave. Es de notar que los puntos son experimentales, por tanto sujetos a errores; esto explica que la curva no necesariamente pasa por todos los puntos. b) Gráfica de la función: y = ax Se elabora una tabla de datos con algunos valores de x (a es una constante) x -2 0 1 2 3 y -2ª 0 a 2a 3a Se nota que los puntos están dispuestos sobre una recta (figura 3.5) Figura 3.5 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 27 Demostración Sea un punto A de abscisa 1 y de ordenada a. Dibujemos la recta OA y sea B un punto de la recta con abscisa x y de ordenada y. Los dos triángulos OAA x y OBB x son semejantes, por lo tanto se deduce que: x x x x OA OB AA BB = o sea: 1 x a y = ó x a y = La relación y = ax es correcta para cualquier punto de la recta; concluimos que la gráfica de la función y = ax es una recta que pasa por el origen. El coeficiente a se denomina pendiente de la recta; determina la inclinación de la recta con respecto a los ejes. Si a es positivo, se observa que la recta está en el primer y tercer cuadrante. Si a es negativo, la recta está en el segundo y cuarto cuadrantes. Como dos puntos son suficientes para definir una recta, nuestra tabla de datos puede simplificarse y contener solamente los datos correspondientes a dos puntos, el punto de origen y el otro punto cualquiera. Ejemplos: Si y = 2x (figura 3.6) x 0 2 y 0 4 Figura 3.6 Si y = - 3x (figura 3.7) x 0 1 y 0 - 3 Figura 3.7 c) Gráfica de la función: y = ax + b Se dibuja la recta I de ecuación y = ax y se desplaza arriba una cantidad vertical b, obteniendo así la recta II (figura 3.8) APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 28 Figura 3.8 El punto M e la recta I tiene por abscisa x y por ordenada ax. Un punto N de la recta II (sobre la vertical de M) tiene por abscisa x y por ordenada ax + b. Por tanto, la gráfica de y = ax + b es una recta paralela a la recta y = ax y que corta el eje y en un punto de ordenada b, llamado la ordenada al origen (intercepto) El coeficiente a es la pendiente de la recta. Dos puntos son suficientes para definir una recta. En general se toman los puntos de intersección de la recta con los ejes, es decir, los puntos para los cuales tenemos x = 0 y y = 0. Ejemplos: Si y = 2x + 1 (figura 3.9) x 0 -1/2 y 1 - 0 Figura 3.9 Si y = - 3x – 2 (figura 3.10) x 0 -2/3 y - 2 0 Figura 3.10 d) Gráfica de la función: y = b Es un caso particular de la ecuación anterior: la pendiente es 0. Para cualquier valor de x, siempre la ordenada es b. Por tanto la gráfica es una recta paralela al eje x y que corta al eje y a una distancia b (figura 3.11) Figura 3.11 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 29 e) Gráfico de la función x = c Para cualquier valor de y, siempre la ordenada es c, por tanto, la gráfica es una recta paralela al eje y y que corta al eje x de abscisa c (figura 3.12) Figura 3.12. En resumen, oda ecuación de primer grado de tipo 0 = + + C By Ax se puede también escribir como B C x B A y − − = , se representa por una recta; se dice que es una ecuación lineal y la función y es una función lineal. Del primer grado pasamos ahora a la representación gráfica de algunas ecuaciones del segundo grado f) Gráfica de la función: y = ax 2 Se construye una tabal de datos x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9ª 4a a 0 A 4a 9a La curva es simétrica con respecto al eje y; se denomina parábola (figura 3.13) Figura 3.13 Ejemplos Si y = - 2x 2 (figura 3.14) x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 Figura 3.14 La grafica de la función y = ax 2 + bx + c nos daría una curva análoga pero desplazada con respecto a los ejes Si y = -2x 2 + 4x (figura 3.15) x -1 0 1 2 3 y -6 0 2 0 -6 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 30 Figura 3.15 En resumen, a toda ecuación de primer grado en y pero de segundo grado en x, corresponde una curva llamada parábola. g) Gráfico de la ecuación x 2 + y 2 = r 2 La hipotenusa del triangulo rectángulo de la figura 3.16, vale 2 2 y x + , por tanto el punto M(x,y) describe un circulo centrado en ) y de radio r. Figura 3.16 APLICACIONES RESOLUCION GRAFICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS Si dos curvas dibujadas en el mismo sistema de referencia, se cortan en un punto M, las coordenadas de M verifican las dos ecuaciones; constituyen por tanto, la solución del sistema propuesto. Recíprocamente, a toda solución de un sistema de dos ecuaciones de dos incógnitas, corresponde un punto común a las curvas. Este método gráfico permite verificar un resultado obtenido por el cálculo o hallar un valor aproximado cuando el sistema no se puede resolver por cálculo. a) Resolver gráficamente el sistema: 2 2 − = − y x 6 2 3 = + y x Las tablas de datos de las rectas dan: x 0 -2 y 1 0 x 0 2 y 3 0 La grafica se representa en la figura 3.1A: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 31 Figura 3.1A La intersección es en el punto (1, 3/2), solución del sistema. Se puede comprobar por calculo. b) Resolver gráficamente el sistema: 6 + = x y 2 x y = Las tabla de datos dan: x 0 -6 y 6 0 x -2 -1 0 1 2 3 y 4 1 0 1 4 9 La grafica se representa en la figura 3.2A Figura 3.2A Las intersecciones están en los puntos (3,9) y (-2,4) , soluciones del sistema que se pueden comprobar por cálculo. TRANSFORMACION DE UNA ECUACION DE GRADO n EN UNA ECUACION DE PRIMER GRADO Siendo la recta la gráfica más simple y de la cual se pueden obtener informaciones precisas como la pendiente y la ordenada al origen (intercepto), es útil y muy conveniente para las prácticas de laboratorio tratar de transformar, con ayuda de una variable auxiliar, las ecuaciones de grado n en ecuaciones de primer grado. La operación no siempre es posible. Algunos ejemplos se utilizan en la Guia de laboratorio, nos indicarán algunos caminos que se deben seguir. Ejemplo 1. La grafica de y = ax 2 es una parábola. Si tomamos una nueva variable X de tal manera que X = x 2 , tendremos ahora: y = aX, ecuación de una recta de pendiente a. 2. Considérese la siguiente tabla de datos: x 0 1 2 3 4 y 0 1,4 2 2,5 2,8 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 32 Se saben que estos datos satisfacen la ecuación y 2 = a x. ¿Cuál es el valor de a? Hagamos la tabla de datos de Y (Y = y 2 ) en función de x. x 0 1 2 3 4 Y 0 1,96 4 6,25 8,84 La grafica representa una recta (figura 3.3A). Figura 3.3A Dividiendo la ordenada de un punto por la abscisa correspondiente, se obtiene la pendiente o sea a = 2, aproximadamente. 3. La grafica de y = at 2 + bt es una parábola. Dividiendo por t, tenemos: b t a t y + = Escogiendo la variable auxiliar: t y Y = , se tiene: b t a Y + = ECUACIONES PARAMETRICAS Algunas veces, las coordenadas cartesianas se dan independientemente, por medio de una tercera variable, por ejemplo t. Se dice que las ecuaciones x = f (t); y = g (t) son las ecuaciones paramétricas de la función y = h (x). ¿Cuál es la gráfica de y en función de x? Simplemente eliminando t entre las dos ecuaciones, tendremos una ecuación que se puede representar en el plano. Ejemplos 1. ¿Cual es la curva: 2 2t x = ; y 1 2 + = t y ? Despejando t 2 de la primera y reemplazando en la segunda o sea 2 2 x t = y por tanto 1 2 + = x y La ecuación es una recta. 2. ¿Cuál es la curva t k x = ; y t b t a y + = 2 ? Con a, b y k constantes. Despejando t de la primera ecuación: k x t = y reemplazando en la segunda ecuación tenemos: x k b x k a y + = 2 2 el resultado es una parábola. 3. ¿Cuál es la curva t x − = 2 y 9 2 + = t y ? APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 33 Despejando t de la primera ecuación: 2 x t − = Reemplazando en la segunda, tenemos: 9 2 2 + − = x y ; o sea 9 2 2 = + y x , ecuación de un circulo de radio 3. B.6 CÁLCULO DIFERENCIAL En diversas ramas de la ciencia, es necesario a veces, utilizar las herramientas básicas del cálculo, ideadas por primeras vez por Newton, para describir un fenómeno físico. El uso del cálculo es fundamental en el tratamiento de varios problemas en la mecánica newtoniana, en la electricidad y en el magnetismo. En esta sección, simplemente se enunciarán algunas propiedades básicas y "reglas empíricas", lo cual debe constituir un repaso útil para el estudiante. En primer lugar, debe especificarse una función que relaciona una variable con otra (como la coordenada en términos del tiempo). Supóngase que una de las variables se llama y (variable dependiente), otra x (variable independiente). Se podría tener una relación funcional como: d x c x b x a x y + + + = 2 3 ) ( donde a, b, c, y d son constantes conocidas, entonces y puede ser calculada para cualquier valor de x. Por lo común se tratan de funciones continuas, esto es, aquellas para las cuales y varía "suavemente" con x. La derivada de y con respecto de x se define como el límite de las pendientes de la cuerdas trazadas entre dos puntos de una curva de y en función de x cuando ∆t se aproxima a cero. Matemáticamente, se puede escribir esta definición como: x x y x x y ite t y ite dx y d t t ∆ − ∆ + = ∆ ∆ = → ∆ → ∆ ) ( ) ( lim lim 0 0 (B.28) donde ∆y y ∆x están definidas como ∆x = x 2 − x 1 y ∆y = y 2 − y 1 (véase la figura B.13). Figura B-13 Una expresión útil que debe recordarse es que la derivada cuando y(x) = ax n , donde a es una constante y n es cualquier número positivo o negativo (entero o fracción), es: 1 − = n x a n dx y d (B.29) Si y(x) es un polinomio o una función algebraica de x, se aplica la ecuación B.29 a cada término del polinomio y se toma da/dx = 0. Es importante hacer notar que dy/dx no significa que dy se ha dividido entre dx sino que es una notación simplificada del proceso de tomar el límite como está definido por la ecuación B.28. En los ejemplos del 4 al 7, se evalúan las derivadas de varias funciones de comportamiento regular. EJEMPLO 4 Supóngase que y(x) (es decir, y como función de x) está dado por: y(x) = ax 3 + bx + c APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 34 donde a y b son constantes. Entonces se sigue que: y(x + ∆x) = a(x + ∆x) 3 + b(x + ∆x) + c y(x + ∆x) = a(x 3 + 3x 2 ∆x + 3 x ∆x 2 + ∆x 3 ) + b(x + ∆x) + c así ∆y = y(x + ∆x) − y(x) = a(3 x 2 ∆x + 3 x ∆x 2 + ∆x 3 ) + b ∆x Sustituyendo esto en la ecuación B.28 se obtiene [ ] b ax x x x x a ite x y ite x d y d x x + = ∆ + ∆ + = ∆ ∆ = → ∆ → ∆ 2 2 2 0 0 3 3 3 lim lim EJEMPLO 5 y(x) = 8 x 5 + 4 x 3 + 2 x + 7 Solución Aplicando la ecuación B.29 a cada uno de los términos independientemente y recordando que d/dx (constante) = 0, se tiene 2 12 40 0 ) 1 ( 2 ) 3 ( 4 ) 5 ( 8 2 4 0 2 4 + + = + + + = x x x x x dx y d Propiedades especiales de la derivada A. Derivada de un producto de dos funciones. Si una función y está dada por el producto de dos funciones, como g(x) y h(x), entonces la derivada de y esta definida como: [ ] dx g d h x d h d g x h x g x d d x f x d d + = = ) ( ) ( ) ( (B-30) B. Derivada de la suma de dos funciones Si una función y es igual a la suma de dos funciones, entonces la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas: [ ] dx h d dx g d x h x g x d d x f x d d + = + = ) ( ) ( ) ( (B-31) C. Regla de la cadena del cálculo diferencial Si y = f(x) y x es una función de alguna otra variable z, entonces dy/dx puede ser escrita como el producto de dos derivadas: x d z d z d y d dx y d = (B.32) D. Segunda derivada La segunda derivada de y con respecto a x está definida como la derivada de la función dy/dx (o, la derivada de la derivada). Esto usualmente se escribe | | ¹ | \ | = x d y d x d d x d y d 2 2 (B.33) EJEMPLO 6 Encuéntrese la primera derivada de y(x) = x 3 /(x + 1) 2 con respecto a x. Solución Se puede reescribir esta función como y(x) = x 3 (x + 1) −2 y aplicar la ecuación B.30 directamente: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 35 3 2 2 2 2 3 3 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( − − − − + − + + = + + + = x x x x x x d d x x x d d x x d y d 3 3 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 + − + = x x x x x d y d EJEMPLO 7 Una fórmula útil que se obtiene de la ecuación B.30 es la derivada de un cociente de dos funciones. Demuéstrese que la expresión está dada por: 2 ) ( ) ( h dx dh g x d dg h x h x g x d d − = ( ¸ ( ¸ Se puede escribir el cociente como gh −1 y entonces aplicar las ecuaciones B.29 y B.30: ( ) x d g d h x d h d h g g x d d h h x d d g h g x d d h g x d d 1 2 1 1 1 ) ( ) ( − − − − − + − = + = = | ¹ | \ | 2 ) ( ) ( h dx dh g x d dg h x h x g x d d − = ( ¸ ( ¸ Algunas de las derivadas de las funciones más utilizadas están listas en la tabla B.4. TABLA B.4. Derivada de algunas funciones Función Derivada de la función a x f = ) ( 0 ) ( = a x d d xn a x f ( ) ( = 1 ) ( − = n n x a n x a x d d x a e x f = ) ( x a ax e a e x d d = ) ( ax sen x f = ) ( ax a ax sen x d d cos ) ( = ax s co x f = ) ( ax sen a ax x d d − = ) (cos ax x f tan ) ( = ax a ax x d d 2 sec ) (tan = ax x f cot ) ( = ax a x a x d d 2 csc ) (cot − = x x f sec ) ( = x x tn x x d d sec ) (sec = x x f csc ) ( = x x x x d d csc cot ) (csc − = ax x f ln ) ( = x a ax x d d = ) (ln Nota: las letras a y n son constantes APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 36 B.7 CÁLCULO INTEGRAL Piénsese la integración como la inversa de la derivación. Como un ejemplo, considérese la expresión b x a dx dy x f + = = 2 3 ) ( la cual fue el resultado de la diferenciación de la función c x b x a x y + + = 3 ) ( en el ejemplo 4. Se puede escribir la primera expresión dy = f(x) dx = (3ax 2 +b) dx y obtener y(x) al "sumar" sobre todos los valores de x. Matemáticamente, se escribe esta operación inversa como: ∫ = dx x f x y ) ( ) ( Para la función f(x) dada antes: ∫ + = dx b x a x y ) 3 ( ) ( 2 donde c es una constante de la integración. Este tipo de integrales se llaman integrales indefinidas ya que su valor depende de la elección de la constante c. En general la integral indefinida I(x) se define como: ∫ = dx x f x I ) ( ) ( (B.34) donde f(x) se llama el integrando y dx x I d x f ) ( ) ( = Para una función continua general f(x), la integral puede ser descrita como el área bajo la curva limitada por f(x) y el eje x, entre dos valores de x, a saber, x 1 y x 2 , como en la figura B.14. Figura B.14 El elemento de área sombreada es aproximadamente f 1 ∆x 1 . Si se suman todos estos elementos de área desde x 1 hasta x 2 y se toma el límite de esta suma cuando ∆x→ 0, se obtiene la verdadera área bajo la curva limitada por f(x) y x, entre los límites x 1 y x 2 : ∑ ∫ = ∆ = → ∆ i x x i i x dx x f x x f ite Area 2 1 0 ) ( ) ( lim (B.35) Integrales del tipo definido por la ecuación B.35 son llamadas integrales definidas. El tipo más común de integral que aparece en situaciones prácticas tiene la forma: c n x dx x n n + + = + ∫ 1 1 (n ≠ −1) (B.36) Este resultado es obvio ya que la diferenciación del lado derecho con respecto a x da f(x) = x n directamente. Si los límites de integración son conocidos, esta integral viene a ser definida y se escribe: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 37 1 1 1 1 2 2 1 + − = + + ∫ n x x dx x n n x x n (n ≠ − 1) (B.37) Ejemplos l. ∫ = = a a a x dx x 0 3 0 3 2 3 3 2. 2 / 5 0 2 / 5 0 2 / 3 5 2 2 / 5 b x dx x b b = = ∫ 3. 8 2 16 2 9 25 2 3 5 2 2 2 5 3 2 5 3 = = − = − = = ∫ x dx x Integral por partes Algunas ocasiones es útil aplicar el método de la integración por partes para evaluar ciertas integrales. El método utiliza la propiedad de que: ∫ ∫ − = du v v u dv u (B.38) donde u y v son cuidadosamente seleccionadas de tal forma de que reduzcan una integral compleja en una integral sencilla. En varios casos, tiene que realizarse varias reducciones. Considérese el ejemplo ∫ = dx e x x I x 2 ) ( Ésta puede ser evaluada por integración por partes dos veces. Primero, si se elige u = x 2 , v = e x se obtiene: ∫ ∫ ∫ + − = = 1 2 2 2 2 ) ( c dx x e e x e d x dx e x x x x x Ahora, en segundo término, se escoge u = x, v = e x , lo cual da: ∫ ∫ + + = 1 2 2 2 c dx e e x dx e x x x x o bien ∫ + + − = 2 2 2 2 2 c e e x e x dx e x x x x x Diferencial exacta Otro método útil para recordar es el uso de la diferencial exacta. Es decir, si se puede observar que un cambio de variable es tal que la diferencial exacta de una función es la diferencial de la variable independiente que aparece en el integrando. Por ejemplo, considérese la integral: ∫ = xdx sen x x I 2 cos ) ( Est9 es fácil de evaluar si se reescribe la diferencial como d(cos x)= −sen x dx. La integral queda como: ∫ ∫ − = ) (cos cos cos 2 2 x d x dx x sen x Si ahora se cambia la variable, considerando y = cos x, se tiene: ∫ ∫ + − = + − = − = c x c y dy y dx x sen x 3 cos 3 cos 3 3 2 2 La tabla B.5 lista algunas útiles integrales indefinidas. La tabla B.6 da integrales de probabilidad de Gauss y otras integrales definidas. Una lista más completa puede encontrarse en varios libros de texto, tales como The Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 38 TABLA B.5 Algunas integrales indefinidas (una constante arbitraria debe sumarse a cada una de estas integrales) ∫ + = + 1 1 n x dx x n n (con tal que n ≠ − 1) ∫ ∫ = = − x dx x x dx ln 1 ∫ + = + ) ( ln 1 bx a b bx a dx ∫ + − = + ) ( 1 ) ( 2 bx a b bx a dx ∫ − = + a x a x a dx 1 2 2 tan 1 ∫ − + = − a x a x a x a dx ln 2 1 2 2 (x 2 − a 2 > 0) ∫ + − = − a x a x a a x dx ln 2 1 2 2 (x 2 − a 2 > 0) ∫ ± ± = ± ) ln( 2 1 2 2 2 2 x a x a dx x ∫ − − − = = − a x a x sen x a dx 1 1 2 2 cos (a 2 − x 2 > 0) ) ln( 2 2 2 2 ∫ ± + = ± a x x a x dx ∫ − − = − 2 2 2 2 x a x a xdx ∫ ± = ± 2 2 2 2 a x a x xdx | ¹ | \ | + − = − − ∫ a x sen a x a x dx x a 1 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 / 3 2 2 2 2 2 1 x a dx x a x − − = − ∫ ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 1 a x x a a x x dx a x ± + ± ± = ± ∫ ( ) ( ) ∫ ± = ± 2 / 3 2 2 2 2 3 1 a x dx a x x ∫ = x a x a e a dx e 1 ∫ − = x ax x axdx ) ln ( ln ∫ − = ) 1 ( 2 ax a e dx e x x a x a ∫ + − = + ) ln( 1 x c x c e b a ac a x e b a dx ∫ − = ax a axdx sen cos 1 ∫ = ax sen a dx ax 1 cos ) (sec ln 1 ) (cos ln 1 tan ax a x a dx ax = − = ∫ ∫ = ) ( ln 1 cot ax sen a axdx ∫ + = ) tan ln(sec 1 sec ax ax a dx ax ∫ − = ) cot ln(csc 1 csc ax ax a dx ax ∫ − = a ax sen x dx ax sen 4 2 2 2 ∫ + = a ax sen x dx ax 4 2 2 cos 2 ∫ − = ax a ax sen dx cot 1 2 ∫ = ax a ax dx tan 1 cos 2 ∫ − = x ax a dx ax ) (tan 1 tan 2 ∫ − − = x ax a dx ax ) (cot 1 cot 2 ∫ − + = − − a x a ax sen x dx ax sen 2 2 1 1 1 ) ( ∫ − − = − − a x a ax x dx ax 2 2 1 1 1 ) (cos cos ∫ + = + 2 2 2 2 / 3 2 2 ) ( a x a x a x dx APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 39 ∫ + = + 2 2 2 2 / 3 2 2 1 ) ( a x a a x dx x TABLA B.6. Probabilidad integral de Gauss e integrales relacionadas ∫ ∞ − = = 0 0 2 1 2 a dx e I x a π (Integral de la probabilidad de Gauss) a dx e x I x a 2 1 0 1 2 = = ∫ ∞ − 3 0 0 2 2 4 1 2 a da dI dx e x I x a π = − = = ∫ ∞ − 2 1 0 3 3 2 1 2 a da dI dx e x I x a = − = = ∫ ∞ − 5 2 0 2 0 4 4 8 3 2 a da I d dx e x I x a π = − = = ∫ ∞ − 3 2 1 2 0 5 5 1 2 a da I d dx e x I x a = − = = ∫ ∞ − 0 2 ) 1 ( I a d d I n n n n − = 1 1 2 ) 1 ( I a d d I n n n n − = + APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 40 MEDICIONES Y ANÁLISIS DIMENSIONAL ¿A QUÉ LLAMAMOS MAGNITUD? En nuestro universo sabemos por propia experiencia que hay cosas que pueden comparar entre sí y otras no. Por ejemplo, podemos comparar la altura de un árbol con la altura de un edificio, en cambio no podemos comparar el amor que sentimos por nuestra madre con el que sentimos por nuestros hijos. Por esto, todo aquello que sea susceptible a aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud. Así entonces, la longitud (L), la masa (m), el tiempo (t), …,etc., son magnitudes. ¿QUÉ ES UNA CANTIDAD? Cuando nos fijamos en el largo de la pizarra, en la masa de carne de un cerdo o en la duración de la clase, estamos hablando de cantidades. De esto diremos: Cantidad es una porción definida de una magnitud ¿A QUÉ LLAMAMOS UNIDAD DE MEDIDA? Llamamos unidad de medida a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida. ¿QUÉ ES LA MEDICIÓN? Si por salvar la vida tuviéramos que averiguar el ancho que tiene la puerta del aula, y usando nuestros zapatos encontramos que en ella caben cuatro, lo que habríamos hecho es simplemente una medición. Luego: Medición es la operación realizada por el hombre, y que consiste e averiguar las veces en que una unidad de medida está contenida en otra cantidad de su misma especie. Por ello, el resultado de toda medición es un número. ¿DE CUANTAS CLASES PUEDEN SER LAS MEDICIONES? Las mediciones pueden ser de dos clases: a) Medición directa b) Medición indirecta. MEDICIÓN DIRECTA. Es aquella que se realiza comparando directamente la unidad de medida con la cantidad a medir. Ejemplo. Para medir la longitud de una mesa de laboratorio debemos de tener en cuenta lo siguiente: a) Instrumento de medición b) Precisión del instrumento de medición c) Incertidumbre o error del instrumento de medición MEDICIÓN INDIRECTA. Es la que se efectúa por medio de una fórmula y/o utilizando instrumentos de medición. Ejemplo Para medir el área de la mesa de laboratorio debemos tener en cuenta lo siguiente: a) Medir la longitud de la mesa b) Medir el ancho de la mesa c) Conocido el largo y el ancho de la mesa usar la fórmula correspondiente para el área: b A = a.b a APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 41 ERRORES DE MEDICIÓN Cuando contamos los alumnos del aula, encontramos a 55. En este caso nuestra medida de la población del aula es exacta y precisa. Si en cambio usando una regla graduada en milímetros medimos el largo del cuaderno y obtenemos 255 mm y fracción (más o menos), nuestra medición es imprecisa. Así, si consideramos sólo al 255 para nuestros cálculos posteriores, lo que estaríamos cometiendo serían “errores de medición” Cuando se realizan determinaciones de cualquier naturaleza, jamás puede llegarse al conocimiento verdadero de la magnitud buscada, sean cuales fueren los instrumentos empleados y la habilidad de los observadores. Los resultados que se obtienen son, pues aproximados y los más precisos son los que más se acercan al verdadero. La diferencia entre los valores aproximados y el valor verdadero, serían los errores verdaderos, que tampoco se pueden conocer. En la práctica se busca el valor de la magnitud llamado más probable o medio. Para llegar a él se hacen varias determinaciones del valor de la magnitud y si los resultados no se diferencian mucho, se toma como valor más probable el promedio de los valores así obtenidos: es decir, el cociente de dividir la suma de los valores observados por el número de observaciones. La diferencia entre cada observación y el valor medio es el error de cada observación. Estos errores inevitables, se llaman fortuitos y no deben confundirse con las equivocaciones ni con los errores sistemáticos, que se repiten con cierta regularidad, debido a los defectos de los instrumentos de medida o del observador. Conocido el error de una magnitud y su valor, su error relativo es la relación entre el error verdadero o absoluto y el valor de la magnitud. En la práctica se emplee siempre un límite superior del error relativo, pero nunca el verdadero error, pues hemos visto la imposibilidad de conocerlo. Al hacer operaciones con cantidades afectadas de errores, conviene saber cual es la parte exacta del resultado y para ello es bueno recordar que el error relativo de una suma, de una diferencia, de un producto, o de un cociente, es la suma de los errores relativos de sus términos; el error de una potencia es el producto del exponente por el error de la magnitud; el error de la raíz en cambio, es el cociente del error relativo del número por el índice de la raíz. Cálculo de errores de una medición directa Valor Medio o Valor más Probable Si: X 1 , X 2 , X 3 , . . . . . . . . . . . . .X n , es un conjunto de n medidas de una magnitud física, el valor medio o valor más probable de dicha magnitud es la media aritmética de tales medidas, que se calcula usando la ecuación: n n i n m X X . . . . . . . . . . X X X X 3 2 1 Σ ΣΣ Σ = + + + = ( 1 ) Desviación (δ δδ δX i ) de una medida es la diferencia entre la medida X i y el valor medio X m de las medidas tomadas. Esto es: δ X i = X i - X m (2) Error Absoluto de la medición o desviación estandar de una medición de una serie de n medidas está dado por: ) 1 ( ) 2 − Σ = ∆ n n i X ( X δ (3) Valor real de la medición. Al efectuar varias medidas de la misma magnitud X, el resultado de la medición es el valor medio más o menos el error medio del promedio, esto es: X = X m ± ∆X (4) Error Relativo. Es el cociente entre el error medio y el valor medio o más probable. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 42 m r X X e ∆ = (5) Error Porcentual. Es el error relativo multiplicado por 100. e% = e r (100 ) (6) Ejemplo. Al hacer la determinación de una longitud utilizando un vernier se han obtenido los resultados siguientes en mm: 53.81, 53.83, 53.80, 53.82, 53.81, 53.81, 53.79, 53.82, 53.78 y 53.84. ¿Calcular el valor más probable? Solución Utilizando tablas estadísticas tenemos: N Li (mm) δLi (mm) (δLi) 2 mm 2 1 53.81 0.00 0.0000 2 53.83 0.02 0.0004 3 53.80 -0.01 0.0001 4 53.82 0.01 0.0001 5 53.81 0.00 0.0000 6 53.81 0.00 0.0004 7 53.79 -0.02 0.0004 8 53.82 0.01 0.0001 9 53.78 -0.03 0.0009 10 53.84 0.02 0.0004 a) Valor medio de la medición: L L mm mm m i i = = = = ∑ 1 10 10 53811 10 53 81 . , b) Error absoluto de la medición ∆L L n n mm mm mm i i = − = = = = ∑ ( ) ( ) . . . δ 2 1 10 2 2 1 0 0028 90 0 000051 0 0056 c) Error relativo: e L L mm mm R m = = = ∆ 0 0056 53 81 0 0001 . , , d) Error porcentual % 01 , 0 100 % = = x e e R e) El valor más probable de la medición es: L L L mm m = ± = ± ∆ ( , , ) 53 81 0 0056 Cálculo de errores de una medición indirecta Sea R un a medición indirecta que depende de X, Y y Z y esta dada por la siguiente expresión: ) , , ( Z Y X f R = Se define el error absoluto de R a la siguiente expresión: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 43 Z Z R Y Y R X X R R ∆ | ¹ | \ | ∂ ∂ + ∆ | ¹ | \ | ∂ ∂ + ∆ | ¹ | \ | ∂ ∂ = ∆ donde ∆X, ∆Y y ∆Z son las incertidumbre absolutas de medir X, Y y Z directamente. Ejemplo 1: Si el volumen de un cilindro está dado por la siguiente expresión: h D V 2 4 π = La incertidumbre absoluta del volumen es: h h V D D V V ∆ | | ¹ | \ | ∂ ∂ + ∆ | | ¹ | \ | ∂ ∂ = ∆ h h D h D h D D V ∆ ( ¸ ( ¸ | | ¹ | \ | ∂ ∂ + ∆ ( ¸ ( ¸ | ¹ | \ | ∂ ∂ = ∆ 2 2 4 4 π π h h h d d D D D D d d h V ∆ | | ¹ | \ | + ∆ | | ¹ | \ | = ∆ ) ( 4 ) ( 4 2 2 π π h D D D h V ∆ + ∆ = ∆ ) 1 ( 4 ) 2 ( 4 2 π π h D D h D V ∆ + ∆ = ∆ 2 4 2 π π Ejemplo 2. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en el volumen de una esfera cuyo radio es m r ) 03 , 0 48 , 2 ( ± = Solución Sabemos que el volumen de la esfera es: 3 3 3 89 , 63 ) 48 , 2 )( ( 3 4 3 4 m m r V = = = π π La incertidumbre absoluta del volumen de la esfera es: ( ) 3 2 2 2 3 32 , 2 ) 03 , 0 ( ) 48 , 2 )( ( 4 4 3 3 4 ) ( 3 4 m m m r r r r r r r d d r r V V = = ∆ = ∆ = ∆ | | ¹ | \ | = ∆ | | ¹ | \ | ∂ ∂ = ∆ π π π π La incertidumbre porcentual es: % 63 , 3 100 89 , 63 32 , 2 100 % 3 3 = = ∆ = x m m x V V e APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 44 MAGNITUDES FÍSICAS En el Universo existen magnitudes de todo tipo: Físicas, Químicas, Biológicas, Económicas, .., etc. Nosotros sólo estudiaremos los que se encuentran vinculados estrechamente con el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Física. Estas magnitudes se clasifican en dos formas: a) De acuerdo con su origen: i) Magnitudes Fundamentales ii) Magnitudes Auxiliares, iii) Magnitudes Derivadas b) De acuerdo a su naturaleza i) Magnitudes Escalares ii) Magnitudes vectoriales y iii) Magnitudes Tensoriales. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en todos o casi todos los fenómenos físicos. Estas son la base de todo sistema de unidades. Actualmente para muchos científicos éstas son: la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, la corriente eléctrica, la intensidad luminosa y la cantidad de substancia. MAGNITUDES AUXILIARES. Es un pequeño grupo que al medirse no se pueden comparar con ninguna de las magnitudes fundamentales. Ellas son: el ángulo plano y el ángulo sólido. MAGNITUDES DERIVADAS. En número es el grupo más grande (ilimitado) en el que cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Veamos algunos ejemplos: a) El área de una superficie rectangular se consigue multiplicando dos longitudes. b A a b = . a b) El volumen de un cilindro se obtiene al multiplicar el área de su base por su altura. h V A h r h D h D h = = = = . ( ) π π π 2 2 2 2 4 D c)La densidad de un cuerpo está dado por el cociente obtenido al dividir su masa entre su volumen. ρ = m V SISTEMA DE UNIDADES Durante la Revolución Francesa (1790) se creó un sistema de unidades que debería ser simple y científico. El nombre metro fue asignado a la unidad de longitud, del vocablo griego METRON, que significa la medida. Es a partir de esta unidad que se estableció el sistema métrico, el cual es un conjunto de unidades obtenidas mediante múltiplos y/o submúltiplos de orden 10 de las unidades básicas: metro, kilogramo y segundo. En la actualidad se utilizan dos grandes sistemas de unidades: El Sistema Internacional (SI) y el sistema inglés (FPS) Sistema Absoluto. Es un conjunto de unidades que data desde 1820, basado en el sistema métrico, y que consideraba a la longitud, la masa y el tiempo como las magnitudes fundamentales, y cuyas unidades básicas eran las que se indican: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 45 Sub Sistema L M T c.g.s Cm G S M.K.S. M Kg. S F.P.S. Pie Lb S Sistema Técnico. Es un conjunto de unidades que considera como magnitudes fundamentales a la longitud, la fuerza y el tiempo., es muy empleado en muchos sectores de ingeniería. Sub Sistema L F T c.g.s Cm gr-f S M.K.S. M kg-f S F.P.S. Pie lb-f S SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) A partir del 14 de Octubre de 1960 , la onceava Conferencia General de Pesas y Medidas (Organización Internacional reunida en París, Francia) da a conocer oficialmente un sistema de unidades basado en el sistema métrico decimal, en el que se consideran siete (07) magnitudes físicas fundamentales y dos (02) auxiliares o complementarias, las mismas que tendrían sólo una unidad básica. La siguiente tabla muestra las siete magnitudes fundamentales del Sistema Internacional de Unidades (SI) MAGNITUD FUNDAMENTAL UNIDAD BÁSICA Nombre Símbolo Nombre Símbolo 1. Longitud L metro m 2. Masa M kilogramo kg. 3. Tiempo T segundo s 4. Temperatura Termodinámica θ kelvin K 5. Intensidad de Corriente Eléctrica I ampere A 6. Intensidad Luminosa J candela cd 7. Cantidad de Sustancia N mol mol Unidades Suplementarias de Sistema Internacional MAGNITUDES AUXILIARES UNIDAD BÁSICA Nombre Nombre Símbolo 1. Ángulo Plano Radian rad 2. Ángulo Sólido Estereoradian sr NOTA IMPORTANTE. Al multiplicar varias unidades de medida, el SI recomienda utilizar el siguiente orden: ( ) ............( , , ,..., exp cos) X m kg s K A cd mol rad sr a b c i onentes numeri a b c d e f g h i = = PREFIJOS UTILIZADOS POR EL SISTEMA INTERNACIONAL PREFIJO SIMBOLO FACTOR POR EL QUE SE MULTIPLICA LAS UNIDADES NOMBRE DEL VALOR NUMERICO M U L T I P L O S Yota Zeta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca Y Z E P T G M K H D 10 24 10 21 10 18 10 15 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10 1 Cuatrillon Mil trillones Trillón Mil billones Billones Mil millones Millón Mil Cien Diez UNIDAD 10 0 Uno APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 46 S U B M U L T I P L O S Deci Centi Mili Micro Nano Pico Femto Atto Zepto yocto d c m µ n p f a z y 10 -1 10 -2 10 -3 10 -6 10 -9 10 -12 10 -15 10 -18 10 -21 10 -24 Décima Centésima Milésima Millonésima Mil millonésima Millonésima Mil millonésima Trillonesima Mil trillonesima Cuatrillonesima DEFINICIONES DE ALGUNAS UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL Unidad de masa La unidad SI para la masa, el kilogramo (kg.), se definió originalmente como la masa de un litro de agua a 4 °C. Dificultades prácticas para obtener agua pura y el hecho de que en esta definición incluía otra cantidad, la temperatura, llegó a ser reemplazado. La unidad SI de masa (1 kg.) se define actualmente como la masa de un cilindro de platino e iridio que se guarda en el Buró Internacional de Pesas y medidas de Sévres, Francia. Con este estándar puede medirse la masa con una precisión de 1 en 10 8. A nivel atómico, es conveniente tener una unidad secundaria de masa llamada unidad de masa atómica unificada (u). La masa de un de un átomo de carbono 12 es exactamente 12 u. la relación entre estas unidades es 1 u = 1.66 x 10 -27 kg. Unidad de tiempo La unidad SI para el tiempo es el segundo (s). Originalmente se definió como 1/86 400 de un día solar medio. (Al intervalo de tiempo en que el Sol alcanza el punto más alto en días consecutivos recibe el nombre de día solar. En virtud de las variaciones con la estación y las fluctuaciones al azar, se toma el valor medio de un año.) Ya que la razón de rotación de la Tierra ha disminuido gradualmente, se eligió el día solar medio el correspondiente al año 1900. ¡Este es un estándar difícilmente reproducible!. En 1967, se volvió a definir al segundo en término de cierta radiación emitida por los átomos del cesio 133. Específicamente, en un segundo hay 9 162 631 770 vibraciones en la radiación. El reloj atómico de cesio es tan estable que su precisión es de 1 s en 30 000 años. Otras unidades secundarias del tiempo incluyen el minuto, la hora, el día, el año y el siglo. Unidad de longitud La unidad SI de longitud es el metro (m). Originalmente se definió el metro (en el siglo XVIII) como la diez millonésima parte (10 -7 ) de la distancia del Ecuador al Polo Norte. En nuestro siglo, pero antes de 1960, se definió como la distancia entre dos marcas muy finas en una barra de platino e iridio conservada en condiciones controladas en Sévres, Francia. El uso de la barra estándar tenía dos inconvenientes. Primero, aunque la mayoría de los países industrializados disponían de copias de esta barra, era preferible tener un estándar que pudiera reproducirse n un laboratorio bien equipado. Segundo, el ancho de las marcas se volvió un factor limitante. Así, en 1960 el metro estándar se midió con la mayor precisión en términos del número número de longitudes de onda de la luz anaranjada emitida por el kriptón 86. Se definió entonces el metro como 1 650 763.73 longitudes de onda de esta luz. Cuando las técnicas se mejoraron (a través del desarrollo del láser) , la precisión con que podía especificarse la longitud de onda de kriptón se volvió una limitación. En 1983 se redefinió el metro como la distancia recorrida por la luz en el vació en 1/299 792 458 segundo. Este estándar de longitud, que depende de la definición del segundo define que la velocidad de la luz en el vació es exactamente de 299 792 458 m/s. La velocidad de la luz se convirtió así en un estándar primario, y cualquier mejora que se haga para medir el metro o el segundo se refleja automáticamente en el otro. En el sistema británico, usado todavía en varios países, las unidades base son la libra (lb) para la fuerza, el pie (ft) para la longitud y el segundo (s) para el tiempo. Virtualmente, los datos científicos se expresan en la actualidad en unidades SI. CONVERSIÓN DE UNIDADES A menudo es necesario convertir la unidad de una cantidad física. Por ejemplo, se desea convertir millas por hora (millas/h) a metro por segundo (m/s). Dado que una milla = 1.609 km. La razón (1.609)/(1 milla), que tiene el valor de uno, se llama factor de conversión. Empleando apropiadamente tales razones, se puede eliminar una de las unidades para obtener otra. Esto es: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 47 s m s hora km m milla km hora millas hora millas v 2 . 2 ) 3600 1 )( 1 1000 )( 1 609 . 1 )( 1 0 . 5 ( 0 . 5 = = = Cuando el estudiante sustituya en una ecuación, procure no mezclar unidades SI con unidades del sistema británico. NOTACIÓN EN POTENCIAS DE 10 Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS Suponga que se le pide a Ud. comparar el tamaño de un átomo de 0.000 000 000 2 m con el de un núcleo de 0. 000 000 000 000 005 m. Es difícil manejar estos números expresados en esta forma. Conviene así, emplear la notación de potencia de diez para expresar números muy grandes o muy pequeños. Así, pues el tamaño del átomo es 2 x 10 -10 m y el del núcleo 5 x 10 -15 m; la razón de los tamaños es: 2 10 5 10 2 5 10 0 4 10 4 10 10 15 10 15 5 4 x x x x x − − − + = = = . A menudo es conveniente designar la potencia de diez por un prefijo en la unidad. Por ejemplo, la palabra kilo significa mil, de modo que 2.36 kN = 2.36 x 10 3 N; mili significa una milésima, de modo que 6.4 ms = 6.4 x 10 -3 s. Los valores numéricos obtenidos a partir de mediciones siempre tienen alguna inexactitud o incertidumbre. Por ejemplo, el resultado de una medición puede ser 15.6 m con una incertidumbre de 2 %. Como el 2 % de 15.6 es aproximadamente 0.3, el resultado es (15.6 ± 0.3) m. El valor verdadero se encontrará entre 15.3m y 15.9 m. En lugar de una especificación explícita de la incertidumbre, la precisión de un resultado suele indicarse por el número de dígitos retenidos. Decimos que 15.6 tiene tres cifras significativas, entendiéndose que la última cifra (6) puede no ser exacta. El resultado 15.624 tiene cinco cifras significativas, con la incertidumbre en el 4. Los ceros que sirven sólo para indicar la potencia de 10 no cuentan, pero si los que se encuentran al final. Por ejemplo, 0.0002560 tiene cuatro cifras significativas. El número de cifras significativas de 12 000 no está claro, mientras que 12 000.0 tiene, definitivamente, seis cifras significativas. La notación en potencias de 10 es útil en estos casos. Así, 1.2 x 10 4 tiene dos cifras significativas, mientras que 1.200 x 10 4 tiene cuatro. Para asegurarse de que los resultados no se especifiquen con precisión injustificada, puede emplearse la regla siguiente: En productos y divisiones, el número de cifras significativas en el resultado final deberá ser igual al factor con el número de cifras significativas. Así, por ejemplo, 36 479 2 6 14 85 6 387 6 4 . . . . . x = = Aunque las cifras extra pueden conservarse en los pasos intermedios, la respuesta será de 2.6, esto es, con dos cifras significativas. En sumas y restas, sólo se conservará el último número en los lugares decimales. Así, 17.524 + 2.4 - 3.56 = 16.364 = 16.4. A menos que se indique lo contrario, puede suponerse que todos los valores dados son lo suficientemente precisos como para que la respuesta final tenga tres cifras significativas. Así, 5 m se tomará como 5.00 m ORDEN DE MAGNITUD Es necesario tener una idea clara de lo grande o pequeño que es un número escrito en notación científica, al mismo tiempo que es importante referirnos a su orden de magnitud, o sea, a su valor aproximado, utilizando únicamente la potencia de 10; así, en: 1 000 000 = 10 6 , su orden de magnitud es 10 6 (millones) 255 = 2,55 x 10 2 , su orden de magnitud es 10 2 (centenas) 0,75 = 7,5 x 10 -1 , su orden de magnitud es 10 - 1 (décimas) 0,000 03 = 3 x 10 -5 . Su orden de magnitud es 10 - 5 (cienmilésimas) A menudo oímos decir que “son trillones las estrellas en el universo” o que “una montaña pesa billones de toneladas”. La palabra “trillón” y “billón” en realidad quiere decir “muchos, muchísimos, ..” si que tenga un sentido intuitivo de la razonabilidad de las afirmaciones. Aunque tales cifras rebasan nuestra imaginación, es posible llegar a una estimación burda del tamaño de alguna cantidad. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 48 Para hacerlo el científico piensa en órdenes de magnitud. Esto significa que desea tener una idea aunque vaga del tamaño de alguna cosa sólo dentro de un factor de 10. Una estimación del orden de magnitud de algún fenómeno complejo, implica, por lo general, conocimientos y experiencia para saber que es importante para nuestro objetivo y qué no lo es. Resulta irónico que en esta ciencia “exacta” como es la física, a menudo al físico se le respeta por dar rápidas estimaciones de ordenes de magnitud, esto es, por ser inexactos. Esta habilidad le permite ahorrarse todo el palabrerío de una presentación, y juzgar mediante el cálculo hecho “en el reverso de un sobre” si una teoría es razonable. Para obtener una estimación del orden de magnitud, los datos deberán tener precisamente una cifra significativa. Por ejemplo: 1937 39 64 8 71 2 10 4 10 9 1 10 2 1 3 . . . ( )( ) x x x x ≈ ≈ Para ciertos propósitos esto estaría suficientemente cercano a la respuesta correcta, que sería alrededor de 881. Supongamos que un científico o un ingeniero desean medir alguna cantidad física o construir un instrumento. Al hacer un cálculo del orden de magnitud basado en la sensibilidad de un instrumento, las propiedades de los materiales que va a utilizar, el tamaño del mismo fenómeno, y así sucesivamente, puede juzgarse la factibilidad de un proyecto. Veamos un ejemplo al respecto. Ejemplo. Un ingeniero quiere diseñar un marcapaso para pacientes cardiacos. Para una mujer de 20 años, ¿cuántas veces deberá el dispositivo latir para que la persona tenga una esperanza normal de vida? Solución Se necesitan varios cálculos: 1) Si la persona vive hasta los 75 años, el dispositivo deberá durar, por lo menos, 60 años. 2) ¿Cuántas veces por segundo deberá latir el dispositivo? El ritmo normal en una persona es de una 76 pulsaciones por minuto; es decir, alrededor de un latido por segundo. 3) ¿Cuántos segundos hay en un año? ( )( )( ) . 365 24 3600 3 10 7 dias año horas dia seg hora x seg año ≈ 4) El número total de pulsaciones es: ( . )(( )( . ) 1 60 3 10 2 10 7 9 pulsacion seg años x seg año x pulsaciones ≈ Sería prudente incluir un factor de seguridad de, digamos, 2, por ejemplo. En consecuencia el marcapasos deberá efectuar 4 x 10 9 pulsaciones antes de dejar de funcionar. Debe cultivarse el hábito de conocer los órdenes de magnitud de cantidades físicas que se usan frecuentemente, como el tamaño de un átomo, del núcleo, la masa y la carga de un electrón, la velocidad de la luz, la masa y el radio de la Tierra, la distancia al Sol, etcétera. Esto ayuda a desarrollar la visión y también evita que caigamos en respuestas absurdas. A menudo, después de un cálculo que implicaría sólo un pequeño error, un estudiante podría afirmar que la deflexión del electrón en un tubo de televisión es de 10 +12 m. Un momento de reflexión revelaría que ¡esta cantidad es mayor que la distancia de la Tierra al Sol. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 49 ANALISIS DIMENSIONAL El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo propiamente matemático. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos de los que en adelante llamaremos dimensiones, los mismos que aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales. Un análisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes físicas nos permitirá: 1) Relacionar una magnitud física con otras elegidas como fundamentales. 2) Establecer el grado de verdad de una fórmula. 3) Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo. FÓRMULAS EMPÍRICAS Es aquella relación obtenida en base a una comprobada dependencia de una magnitud (a) con otras magnitudes (b,c,d,..), las mismas que se podrán relacionar mediante una constante numérica (k), tal que: a k b c d x y z = donde x, y y z tienen valores apropiados que permiten verificar la igualdad. FÓRMULAS DIMENSIONALES Designamos con este nombre a aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general. Así, si x es una magnitud derivada, se establece que [x] es la fórmula dimensional de x, tal que: [ ] x L M T I J N a b c d e f g = θ Aquí se debe reflexionar en torno a: “Las fórmulas dimensionales se obtienen a partir de fórmulas matemáticas o físicas” Ejemplos a) Para hallar la fórmula dimensional del área debemos de seguir el siguiente procedimiento: b i) Figura geométrica: Rectángulo a ii) Fórmula matemática: A = a.b iii) Fórmula dimensional: [A] = [a][b] = L L = L 2 b) Para hallar la fórmula dimensional del volumen de un cuerpo. i) Figura geométrica: Paralelepípedo c ii) Fórmula matemática: V = a.b.c b iii) Fórmula dimensional: [V] = [a] [b] [c] = L L L = L 3 a ECUACIÓN DIMENSIONAL. Es aquella igualdad matemática que muestra la relación que existe entre una magnitud derivada y las que asume como magnitudes fundamentales. La dimensión de una “magnitud física” se representa del siguiente modo: Sea A la magnitud física, entonces, la dimensión de la magnitud física “A” o ecuación dimensional de A es: [A] Ejemplos: 1. [Longitud] = L 2. [masa] = M 3. [tiempo] = T 4. [intensidad de corriente] = I 5. [temperatura] = θ 6. [intensidad luminosa] = J 7. [cantidad de sustancia] = N APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 50 REGLAS IMPORTANTES 1) Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las leyes de la adición o sustracción, pero si con las demás operaciones aritméticas. a) L 2 + L 2 + L 2 = L 2 b) LT -2 - LT -2 = LT -2 2) Todos los números en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, y sus fórmulas dimensionales es la unidad. a) [ ] 3 1 = b) [ ] 2 1 π rad = c) [sen ] 45 1 ° = d) [log ] 55 1 = PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones, y si en ambos miembros de la igualdad aparecen las mismas magnitudes afectadas de los mismos exponentes. Si: A = B + C + D + E + …… Entonces dimensionalmente se debe cumplir que: [A] = [B] = [C] = [D] = ….. FINES Y OBJETIVOS DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL 1. Expresar las magnitudes derivadas en función de las denominadas magnitudes fundamentales 2. Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de homogeneidad dimensional 3. Determinar fórmulas empíricas a partir de datos experimentales ECUACIÓN EMPÍRICA. Es aquella relación obtenida en base a una comprobada dependencia de una magnitud (a) con otra (b,c,d), las mismas que se podrán relacionar mediante una constante numérica (k) tal que: a kb c d x y z = donde x, y, z tienen valores apropiados que permiten verificar la igualdad. EJERCICIOS RESUELTOS 1. La potencia de una hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: P kR x y z = ω ρ donde: k es un número, R es el radio de la hélice en m, ω es la velocidad angular en rad/s y ρ es la densidad del aire en kg/m 3 . Utilizando análisis dimensional encontrar la ecuación empírica para la potencia de la hélice. Solución Sabemos que: P kR x y z = ω ρ Dimensionalmente: [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P kR P k R ML T L T ML ML T M L T x y z x y z x y z z x z y = = = = − − − − − − ω ρ ω ρ 2 3 1 3 2 3 3 1 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 51 Igualando exponentes: Para M z Para L x z Para T y : : : 1 2 3 3 = = − − = − Desarrollando el sistema de ecuaciones tenemos: 5 = x , 3 = y , 1 = z Por tanto la ecuación correcta es: P k R = 5 3 ω ρ 2. Cinco mediciones de una longitud dan en cm: 50,3; 52,7; 55,0; 57,6 y 59,4. (a) Encontrar el valor medio de la medición y (b) Encontrar la incertidumbre absoluta de la medición, (c) Encontrar la incertidumbre relativa de la medición, (d) Encontrar la incertidumbre porcentual de la medición. (e) ¿Qué valor tiene el periodo del péndulo simple para esta longitud promedio. Solución Tabla estadística: N Li (cm) δ L (cm) (δ L) 2 cm 2 1 50,3 -4,7 22,09 2 52,7 -2,3 5,29 3 55,0 0,0 0,00 4 57,6 2,6 6,76 5 59,4 4,4 19,36 Σ 275,0 53,5 a) Valor medio de la longitud: cm cm n L L i 0 , 55 5 0 , 275 = = >= < ∑ b) Error absoluto de la longitud ( ) cm cm cm N N L L i 6 , 1 675 , 2 20 5 , 52 ) 1 ( 2 2 2 = = = − = ∆ ∑ δ c) Error relativo de la longitud 029 , 0 0 , 55 6 , 1 = = > < ∆ = cm cm L L e r d) Error porcentual de la longitud: % 9 , 2 ) 100 ( ) 029 , 0 ( 100 % = = = x e e r e) Periodo s s s cm cm g L T 49 , 1 050 . 0 2 / 980 0 , 55 2 2 2 2 = = = = π π π 3. Se mide el diámetro de una esfera sólida y da por resultado (13,000 ± 0,002) cm; y la medida de su masa es de (1,850 ± 0,001) kg. Encontrar: (a) El volumen de la esfera con su incertidumbre, (b) La densidad de la esfera con su incertidumbre. Solución Datos: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 52 m x cm D 2 10 ) 002 , 0 000 , 13 ( ) 002 , 0 000 , 13 ( − ± = ± = g kg M ) 1 850 1 ( ) 001 , 0 850 , 1 ( ± = ± = a) Volumen de la esfera con su incertidumbre 3 3 3 3 3 , 150 1 ) 13 ( 6 6 3 4 cm cm D R V = = = = π π π D D D D D D D D D V V ∆ = ∆ = ∆ ∂ ∂ = ∆ ∂ ∂ = ∆ 2 2 3 2 ) 3 ( 6 ) 6 ( π π π 3 2 5 , 0 ) 002 , 0 ( ) 13 ( 2 cm cm cm V = = ∆ π Por lo tanto: 3 ) 5 , 0 3 , 150 1 ( cm V ± = b) Densidad de la esfera con su incertidumbre 3 3 3 / 2 , 608 1 / 6082 , 1 3 , 150 1 850 1 m kg cm g cm g V M = = = = ρ 3 2 3 3 3 2 / 09 , 1323190 925 3 , 150 1 ) 3 , 150 1 ( ) 5 , 0 ( ) 850 1 ( ) 1 ( ) 3 , 150 1 ( cm g cm cm g g cm V V M M V + = + = ∆ + ∆ = ∆ρ 3 3 3 / 6 , 1 / 10 6 , 1 m kg cm g x = = ∆ − ρ Por lo tanto: 3 / ) 6 , 1 2 , 608 1 ( m kg ± = ρ 4. Rocío, una eficiente enfermera ha observado que la potencia (P) con que aplica una inyección depende de la densidad (ρ) del liquido encerrado, de la velocidad (v) del émbolo al expulsar el liquido y del tiempo de aplicación de la inyección (t). Martín, un estudiante de ingeniería de la UPAO le ha conseguido una formula con los datos que ella le ha proporcionado. Si ρ = 800 kg/m 3 , v = 5,00 X 10 -2 m/s y t = 2 s, entonces P = 0,9 watts. Utilizando análisis dimensional ¿Cuál será la fórmula descubierta? Solución Como sabemos por enunciado: ) , , ( t v f P ρ = La ecuación empírica tiene la forma: z y x t v k P ρ = Dimensionalmente: [ ] 3 2 − = ( ¸ ( ¸ = T L M t W P [ ] 1 = k APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 53 [ ] 3 − = ( ¸ ( ¸ = L M V m ρ [ ] 1 − = T L v [ ] T t = Reemplazando tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) z y y x x z y x T L M T T L L M T L M + − + − − − − = = 3 1 3 3 2 1 Igualando exponentes: Para M: x = 1 Para L: y x + − = 3 2 ⇒ y + − = ) 1 ( 3 2 ⇒ 5 = y Para T: z y + − = − 3 ⇒ z + − = − 5 3 ⇒ 2 = z Resultando: 2 5 t v k P ρ = Calculo de la constante k: 900 ) 2 ( ) 10 5 ( ) / 800 ( / 9 , 0 2 5 2 3 3 2 2 5 = = = − s m x m kg s m kg t v P k ρ Resultando: 2 5 900 t v P ρ = 5. Un grupo de estudiantes realizó 5 mediciones de la longitud de un tornillo luego de los cual se reportaron los siguientes resultados: 2,72 cm, 2,68 cm, 2,71 cm, 2,69 cm y 2,73 cm. Calcúlese: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición. (c) El valor real de la medición, (d) La incertidumbre relativa de la medición y (e) La incertidumbre porcentual de la medición. Solución Tabla estadística: N Li (cm) δLi (cm) (δLi) 2 (cm 2 ) 1 2,72 0,01 0,0001 2 2,68 - 0,03 0,0009 3 2,71 0,00 0,0000 4 2,71 - 0,02 0,0004 5 2,73 0.02 0,0004 Σ Σ Li = 13,53 cm Σ (δLi) 2 = 0,0018 cm 2 a) Valor medio de la medición: cm cm cm N L L i m 71 , 2 706 , 2 5 53 , 13 = = = = ∑ b) Incertidumbre absoluta: ( ) cm cm cm cm cm N N L L i 01 , 0 009 , 0 00009 , 0 20 0018 , 0 ) 1 5 ( 5 0018 , 0 ) 1 ( 2 2 2 = = = = − = − = ∆ ∑ δ APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 54 c) Valor real de la medición: ( ) cm L L L m 01 , 0 71 , 2 ± = ∆ ± = d) Error relativo: 004 , 0 71 , 2 01 , 0 = = ∆ = cm cm L L e m r e) Error porcentual % 4 , 0 ) 100 )( 004 , 0 ( 100 % = = = x e e r 6. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en el volumen de una esfera cuyo radio es r = (2,84 ± 0,03) cm? Solución Volumen de la esfera: ( ) ( ) 3 3 3 3 97 , 95 91 , 22 3 4 84 , 2 3 4 3 4 cm cm cm r V = = = = π π π Error absoluto del volumen de la esfera: ( ) r r r r r r r d d r r r r r V V ∆ = ∆ = ∆ | | ¹ | \ | = ∆ | ¹ | \ | ∂ ∂ = ∆ ∂ ∂ = ∆ 2 2 3 3 4 3 3 4 3 4 3 4 π π π π ( ) ( ) 3 2 04 , 3 03 , 0 84 , 2 4 cm cm cm V = = ∆ π La incertidumbre porcentual del volumen de la esfera es: % 2 , 3 100 97 , 95 04 , 3 100 % 3 3 = = ∆ = x cm cm x V V e % 2 , 3 % = e 7. Un terreno rectangular tiene 100,0 pies por 150,0 pies. Determine el área de terreno en m 2 , sabiendo que 1 m = 3,281 pies. Solución Pos datos tenemos: Largo: m pies m pies l 5 , 30 281 , 3 1 0 , 100 = | | ¹ | \ | = Ancho: m pies m pies w 7 , 45 281 , 3 1 0 , 150 = | | ¹ | \ | = Área del terreno: ( )( ) 2 2 9 , 1393 85 , 1393 7 , 45 5 , 30 cm cm cm cm w x l A = = = = 2 9 , 1393 cm A = 8. Una criatura se mueve a una rapidez de 5 estadios por quincena (no es una unidad muy común para la rapidez). Dado que 1 estadio = 220 yardas y 1 quincena = 14 días, determine la rapidez de la criatura en m/s. (La criatura es probablemente un caracol) Solución APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 55 s m x s m s dia dias quincena pie m yarda pies estadio yardas quincena estadios v 4 10 32 , 8 6 , 3968697 3300 400 86 1 14 1 281 , 3 1 1 3 1 220 5 − = = | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = s m x v 4 10 32 , 8 − = 9. Un hito importante en la evolución del Universo, justo después de la Gran Explosión es la masa de Planck, m p , cuyo valor depende de tres constantes fundamentales (1) la velocidad de la luz (la constante fundamental de la relatividad, c = 3 x 10 8 m/s; (2) la constante de gravitación de Newton (la constante fundamental de la gravedad) G = 6,67 x 10 -11 m 3 /s 2 kg.; y (3) la constante de Planck (la constante fundamental de la mecánica cuántica), h = 6,63 x 10 -34 kg. m 2 /s. Con base en un análisis dimensional, halle el valor de la masa de Planck (considere K = 1). Solución La funciones: ( ) h G c f m P , , = La ecuación empírica es: c b a P h G c k m = Las dimensiones de cada uno de los términos son: [ ] M m P = [ ] 1 = k [ ] 1 − = LT c [ ] 2 1 3 − − = T M L G [ ] 1 2 − = T ML h Reemplazando las dimensiones en la ecuación empírica tenemos: ( )( ) ( ) ( ) c b a T L M T M L LT M 1 2 2 1 3 1 1 − − − − = ( )( )( ) c c c b b b a a T L M T M L T L M − − − − = 2 2 3 c b a c b a c b T L M T L M − − − + + + − = 2 2 3 0 0 Igualando exponentes: Para M: c b + − = 1 de aquí: b c + =1 Para L: c b a 2 3 0 + + = Para T: c b a − − − = 2 0 Resultando: 2 1 = a 2 1 − = b 2 1 = c Por lo tanto la ecuación empírica es: G h c k h G c k m p = = − 2 / 1 2 / 1 2 / 1 reemplazando valores, tenemos: ( )( ) ( ) kg x kg x s kg m x s m kg x s m x m P 8 2 15 2 3 11 2 34 8 10 46 , 5 10 67 , 6 89 , 19 / 10 67 , 6 / 10 63 , 6 / 10 3 ) 1 ( − − − − = = = kg x m P 8 10 46 , 5 − = APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 56 ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR: Es un ente matemático, que se representa mediante un segmento de recta orientado, dentro del espacio euclidiano tridimensional. En física, el vector, sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. NOTACIÓN. Como se muestra en la figura, un vector se representa con cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior de la letra o también con letras negritas. Y Z O P P P A A θ 0 X 0 Y X r A = A, se lee: vector A O: origen del vector P: extremo del vector También se denota: r A = A = OP r ELEMENTOS DE UN VECTOR 1. Módulo. Indica el valor de una magnitud vectorial. Geométricamente es el tamaño del vector y se determina con la siguiente fórmula: En un dimensión: A En dos dimensiones: A A A x y = + ( ) ( ) 2 2 En tres dimensiones: A A A A x y z = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2. Dirección. Es la orientación que tiene el vector, respecto al sistema de coordenadas cartesianas. 3. Sentido. Indica hacia que lado de la dirección (Línea de acción) actúa el vector. Gráficamente se representa por una cabeza de flecha. La dirección y sentido se determina mediante el ángulo que forma el vector con respecto a los ejes de coordenadas en una, dos o tres dimensiones. En una dimensión, se mide el ángulo con respecto al eje positivo del sistema de coordenadas que puede ser o°, 90°, 180°, 270° o 360°. En dos dimensiones (o en el plano) se define mediante el ángulo que forma el vector respecto del eje (+) : se utiliza la función tangente para determinar la dirección y sentido del vector y se debe tener en cuenta en que cuadrante se encuentra el vector: tan y x arc tan y x θ θ = ⇒ = ( ) En tres dimensiones se utiliza los cosenos directores para determinar la dirección y sentido del vector con respecto a los ejes de coordenadas: cos α = A A x cos β = A A y cos γ = A A z APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 57 CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES 1. Vectores colineales. Son aquellos dos o más vectores que tienen una misma línea de acción o todos ellos están contenidos en una misma recta. A B C Los vectores A, B y C son colineales 2. Vectores paralelos. Son aquellos vectores que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas. A L 1 B C L 2 Si L 1 es paralelo a L 2 , entonces: A es el paralelo de B y A es paralelo con el vector C 3. Vectores opuestos. Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, igual módulo, pero sentidos opuestos. La suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo (Tamaño igual acero) A L 1 B L 2 Si L 1 es paralelo con L 2 , o son iguales los módulos: A = B y sentidos opuestos A + B = 0 4. Vectores iguales. Dos vectores serán iguales, cuando tienen sus tres elementos respectivamente iguales. A L 1 B L 2 Igual dirección: L 1 || L 2 Igual módulo: A = B Igual sentido: θ 1 = θ 2 5. Vectores coplanares. Dos o más vectores se denominan coplanares, cuando todos ellos están contenidos en un mismo plano. 6. Vectores concurrentes. Dos o más vectores se denominan concurrentes, cuando todos ellos tienen un mismo punto de aplicación o sus líneas de acción se intersectan en un mismo punto. A 0 B C A; B y C son vectores concurrentes y coplanares. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 58 OPERACIONES CON VECTORES 1. SUMA DE VECTORES COLINEALES Y PARALELOS. Dado que todos los vectores tienen la misma dirección, entonces el vector resultante también tendrá la misma dirección, por consiguiente la suma se realiza algebraicamente teniendo en consideración los signos (sentidos) A B C 2. SUMA DE DOS VECTORES (Método del paralelogramo). Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye un paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. Geométricamente el módulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen a los vectores β B R = A + B α γ θ A CASOS PARTICULARES 1. RESULTANTE MÁXIMA. La resultante de dos vectores es máxima cuando forman entre sí un ángulo igual a cero, por consiguiente tienen igual dirección y sentido. R max = A + B 2. RESULTANTE MÍNIMA. La resultante de dos vectores es mínima cuando forman entre sí un ángulo igual a 180° por consiguiente tienen sentidos opuestos, R min = A - B 3. USO DEL TEOREMA DE PITAGORAS. Cuando los vectores A y B forman entre si un ángulo de 90°, la resultante de estos dos vectores se obtiene utilizando el teorema de Pitágoras. R A B = + 2 2 SUMA DE N VECTORES (Método del polígono). Consiste en construir un polígono con los vectores sumandos, manteniendo constante sus tres elementos (módulo, dirección y sentido), uniendo el origen del segundo vector con el extremo del primero, el origen del tercero con el extremo del segundo, así sucesivamente hasta el último vector. El módulo del vector resultante se determina uniendo el origen del primero con el extremo del último vector. R = A + B + C = ( 2 ) + ( 5 ) + (- 4) = 3 El vector resultante es: R = A + B Su módulo: R = A B AB 2 2 2 + + cosθ Su dirección A B R Sen sen sen α γ β = = APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 59 R = A + B + C + D D A C D A C B B POLIGONO CERRADO. Si el polígono vectorial resulta cerrado, entonces el módulo del vector resultante es igual acero. R = 0 DIFERENCIA DE VECTORES. La diferencia o sustracción de vectores se expresa en términos de la suma de vectores y del opuesto de un vector. Por definición: D = A - B = A + (- B) En la figura se muestra la sustracción de vectores B A D = A - B - B VECTOR UNITARIO. Es aquel vector cuyo módulo es la unidad de medida y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. El vector unitario se define como la relación del vector A entre su módulo. Vector: A = A u vector unitario: u = r A A En dos dimensiones: r A A i A j x y = + $ $ ; y A A A x y = + ( ) ( ) 2 2 En tres dimensiones: r A A i A j A k x y z = + + $ $ ; $ ; y A A A A x y z = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 En caso general: $ $ $ $ ( ) ( ) ( ) $ $ $ (cos ) $ (cos ) (cos ) $ u A A A i A j A k A A A A A i A A j A A k i j k x y z x y z x y z = = + + + + = | \ | ¹ | + | \ | ¹ | + | \ | ¹ | = + + r 2 2 2 α β γ MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Cuando sumamos cantidades escalares, los sumandos deben tener las mismas dimensiones, y la suma tendrá igualmente las mismas dimensiones: La misma regla se aplica a la suma y diferencia de dos cantidades vectoriales. Por otra parte podemos multiplicar cantidades escalares de dimensiones diferentes y obtener un producto de dimensiones posiblemente diferentes de cualquiera de las cantidades que han sido multiplicadas, por ejemplo: distancia = velocidad x tiempo. Como los escalares, los vectores de diferentes clases pueden multiplicarse por otro para generar cantidades de dimensiones físicas nuevas. A causa de que los vectores tienen tanto magnitud como dirección, el vector de APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 60 multiplicación no puede seguir exactamente las mismas reglas que las reglas algebraicas de la multiplicación escalar. Debemos establecer nuevas reglas de multiplicación para los vectores. Consideramos útil definir tres clases de operaciones de multiplicación con vectores: (1) multiplicación de un vector por un escalar, (2) multiplicación de dos vectores de modo tal que den por resultado un escalar (producto escalar) y (c ) multiplicación de dos vectores de modo tal que den por resultado otro vector (producto vectorial). Existen aún otras posibilidades que no consideraremos aquí. MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR OTRO ESCALAR La multiplicación de un vector por un escalar tiene un significado sencillo: el producto de un escalar c y un vector A, escrito cA, se define que es un nuevo vector cuya magnitud de c multiplicado por la magnitud de A. El nuevo vector tiene la misma dirección que A si c es positivo y la dirección opuesta si c es negativo. Para dividir un vector por un escalar simplemente multiplicamos el vector por el reciproco del escalar . A menudo el escalar no el un número puro sino una cantidad física con dimensiones y unidades. Ejemplos 1) Si c = 5 unidades y A = 2 i + 3 j + 5 k, el nuevo vector será: P = c A = (5) (2 i + 3 j + 5 k) = 10 i + 15 j + 25 k 2) Cuál es la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa 5 kg que tiene una aceleración de (4 i + 5 j + 6 k) m/s 2 Por la segunda ley de Newton tenemos: F = m a = (5 kg) (4 i + 5 j + 6 k)m/s 2 = (20 i + 25 j + 30 k)kg.m/s 2 F = (20 i + 25 j + 30 k) N PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO INTERNO Dados dos vectores A y B dos vectores como se muestran en la figura siguiente: B θ A El escalar o producto punto o producto interno A.B se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman. Por lo tanto: A.B = ABcos θ 0 ≤ ≤ θ π Obsérvese que A.B es un escalar, un número, y no un vector. Casos particulares: i) Si θ = 0°, entonces cos 0° = 1: A.B = A B cos 0° = A B ii) Si θ = 90°, entonces cos 90° = 0: A.B = A B cos 90° = 0 iii) Si θ = 180°, entonces cos 180° = -1: A.B = A B cos 180° = - A B Las propiedades del producto escalar son: Propiedad Conmutativa: A.B = B.A Propiedad distributiva del producto escala con respecto a la suma: A . (B + C) = A.B + A.C Si m es un escalar: m (A.B) = (mA). B = A . (mB) = (A . B) m Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero: A.B = 0 Con respecto a los vectores unitarios: i.i = j.j = k.k = i i cos 0° = 1 i.j = j.k = k.i = i j cos 90° = 0 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 61 Si: A = A x i + A y j + A z k y B = B x i + B y j + B z k, el producto escalar se define por: A . B = (A x i + A y j + A z k).( B x i + B y j + B z k) = A x B x + A y B y + A z B z Caso particular: Si A = A x i + A y j + A z k, entonces. A . A = A x 2 + A y 2 + A z 2 Proyección de un vector: Sea A y B dos vectores no nulos. Sea además A = W 1 + W 2 , donde W 1 es paralelo a A y W 2 es perpendicular o ortogonal a A. i) W 1 se llama la proyección de A sobre B o el vector componente de A según B, y se denota: W 1 = Proyección B A ii) W 2 = A - W 2 se llama el vector componente de A ortogonal a B iii) Si A y B son vectores no nulos, entonces la proyección de A sobre B viene dado por: W 1 = Proyección B A = ( . ) A B B B 2 PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO EXTERNO Dados los vectores A y B como se muestra en el figura. C = A x B B θ A Se define su producto vectorial o producto cruz o producto externo a otro vector C = A x B. El módulo de A x B es el producto de módulos por el seno del ángulo θ que forman. La dirección de C = A x B es la perpendicular al plano que forman A y B, y su sentido es tal que A, B y C forman un triedro a derechas. Por lo tanto: C = A x B = (A B sen θ) u 0 ≤ ≤ θ π Siendo u un vector unitario que indica la dirección y sentido del producto A x B. Si A = B, o bien si A tiene la misma dirección que B, sen θ = 0, con lo que A x B = 0. Las propiedades del producto vectorial son: 1) El producto vectorial no es conmutativo: A x B = - B x A 2) El producto vectorial si es distributivo: A x (B + C) = A x B + A x C 3) Si m es un escalar: m (A x B) = (m A) x B = A x (m B) = (A x B) m 4) Con los vectores unitarios se cumple: i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x i = -k j x k = i k x j = -i k x i = j i x k = -j 5) Dados: A = A x i + A y j + A z k y B = B x i + B y j + B z k se encuentra que: i j k A x B = A x A y A z = (A y B z – A z B y ) i + (A z B x –A x B z ) j + (A x B y – A y B x ) k B x B y B z APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 62 6) El módulo de A x B representa el área del paralelogramo de lado A y B. 7) Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es cero: A x B = 0 PRODUCTOS TRIPLES Por medio de productos escalares y vectoriales de tres vectores A, B y C se pueden formar vectores de la forma: i) (A . B) C ii) A . ( B x C) se denomina triple producto escalar. iii) A x (B x C) se denomina triple producto vectorial. Se puede comprobar que: A x A y A z A • •• • ( B x C) = B x B y B z C x C y C z DERIVACIÓN DE VECTORES Si r A u ( ) es un vector función de la variable escalar u, en estas condiciones la derivada de r A u ( ) con respecto al escalar u se define por: dA du Limite A du Limite A u u A u u u u r r r r = | \ | ¹ | = + − | \ | ¹ | → → ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 ( ) ( ) Si: r A u A i A j A k x y z ( ) $ $ $ = + + Entonces: dA du dA du i dA du j dA du k x y z r = | \ | ¹ | + | \ | ¹ | + | \ | ¹ | $ $ $ Las reglas usuales en el cálculo diferencial puede ser extensiva a los vectores, aunque el orden de los factores en los productos de vectores puede ser muy importante. Por ejemplo, si se tiene r r r A u B u y C u ( ), ( ) ( ) , se verifica: 1. d du A B dA du dB du ( ) r r r r + = + 2. ( ) d du A B A dB du dA du B r r r r r r • = • + • 3. ( ) d du A B A dB du dA du B r r r r r r × = × + × ( ) ( ) 4. ( ) d du A dA du d du A ϕ ϕ ϕ = + r r 5. ( ) [ ] d du A B C A B dC du A dB du C dA du B C r r r r r r r r r r r r • × = • × + • × + • × ( ) ( ) ( ) 6. ( ) d du A B C A B dC du A dB du C dA du B C [ ( )] r r r v r r r r r r r r × × = × × | \ | ¹ | + × × | \ | ¹ | + × × 7. d A B A dB dA B ( ) ( ) ( ) r r r r r r • = • + • APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 63 8. d A B A dB dA B ( ) ( ) ( ) r r r r r r × = × + × 9. Si r r A A x y z = ( , , ) , se tiene: dA A x dx A y dy A z dz r r r r = | \ | ¹ | + | \ | ¹ | + | \ | ¹ | ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ INTEGRACIÓN DE VECTORES Si r A u A u i A u j A u k x y z ( ) ( ) $ ( ) $ ( ) $ = + + es una función vectorial de u, se define la integral indefinida de r A u ( ) como: ( ) ( ) ( ) r A u du A u du i A u du j A u du k x y z ( ) ( ) $ ( ) $ ( ) $ = + + ∫ ∫ ∫ ∫ OPERADORES DIFERENCIALES VECTORIALES a) EL OPERADOR NABLA. Es un operador vectorial y goza de las propiedades análogas a los vectores ordinarios, es de gran utilidad en la práctica en operaciones llamadas gradiente, divergencia y rotacional, se representa por ∇y se define: ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x i y j z k $ $ $ b) GRADIENTE: Si ϕ ϕ = ( , , ) x y z , es una función escalar, el gradiente de ϕ representado por ∇ϕ está dado por: ∇ = + + ϕ ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ( ) $ ( ) $ ( ) $ x i y j z k c) DIVERGENCIA. Dado r A x y z A i A j A k x y z ( , , ) $ $ $ = + + una función vectorial definida y derivable en cada uno de los puntos (x, y, z) de una cierta región del espacio, la divergencia de r A, representada por ∇• r A ó div A r , tiene la siguiente forma: ( ) ∇• = + + | \ | ¹ | • + + = + + r A x i y j z k A i A j A k A x A y A z x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ $ $ $ $ $ $ El resultado de esta operación es una magnitud escalar. d) ROTACIONAL. El rotacional de cualquier campo vectorial derivable tal como r A, se representa por ∇× r A ó rot A r y tiene la siguiente forma: ( ) ∇× = + + | \ | ¹ | × + + r A x i y j z k A i A j A k x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ $ $ $ $ $ $ Utilizando determinantes, tenemos: ∇× = r A i j k x y y A A A x y z $ $ $ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ El resultado de esta operación es una magnitud vectorial. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 64 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS EL UNIVERSO 1. El Desplazamiento hacia el rojo, en el espectro de la luz de una estrella enfocada con un telescopio desde la Tierra, indica que dicha estrella: A) es roja B) es amarilla C) se aleja de nosotros D) se acerca a nosotros. 2. Si un astro nos muestra en su espectro un desplazamiento hacia el rojo, ello nos indica que la frecuencia con que las ondas nos llegan: A) es nula B) aumenta C) disminuye D) no ha variado 3. Según el desplazamiento hacia el rojo en los espectros de la luz que proviene de las galaxias, el universo muestra una estructura que: A) se contrae B) se expande C) tiene tamaño fijo D) se contrae y expande de manera alterna 4. Según la teoría de la gran explosión, la edad del universo se estima en unos: A) mil millones de años B) quince mil millones de años C) dos mil cuatro años D) cuatro mil quinientos millones de años 5. La mayoría de las estrella que están en la Vía Láctea son: A) las de neutrones B) los pulsares y las enanas blancas C) las enanas blancas y las gigantes rojas D) las de secuencia principal, o sea, las de hidrogeno. 6. Aquellas estrellas que producen su energía por el consumo de hidrogeno en el núcleo, se conocen con el nombre de estrellas: A) de hidrogeno B) de neutrones C) enanas blancas D) gigantes rojas 7. La mayoría de las estrellas en el universo, mas del 90 %, se identifican como: A) enanas B) gigantes C) de neutrones D) de la secuencia principal 8. El Sol es una estrella que presenta las características de las estrellas que pertenecen a la secuencia principal, de manera que, en su evolución, en la siguiente fase el Sol se convertirá en: A) un quasar B) una gigante roja C) una enana blanca D) una estrella de neutrones 9. El Sol y sus planetas pertenecen a una galaxia conocida con el nombre de: A) cangrejo B) Andrómeda C) Vía Láctea D) Sistema solar APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 65 10. Según los tipos de galaxias conocidas, la nuestra, denominada Vía Láctea, presenta en el espacio una forma: A) espiral B) esférica C) irregular D) de barras 11. Las estrellas con características similares a las del Sol, en la etapa final de su evolución, se convertirán en: A) novas B) enanas bancas C) gigantes rojas D) estrella de hidrogeno 12. Una estrella de neutrones que gira a una velocidad extraordinaria y, mientras lo hace, emite intermitentemente ondas de luz y de radio, se conocen con el nombre de: A) nova B) pulsar C) quasar D) supernova 13. Considere los siguientes tipos de estrellas; de hidrogeno, de neutrones, enanas blancas y gigantes rojas. La de mayor densidad y menor densidad son, respectivamente, las: A) de neutrones y de hidrogeno B) de neutrones y gigantes rojas C) gigantes rojas y enanas blancas D) enanas blancas y gigantes rojas 14. Para que una estrella se convierta en supernova, su masa: A) puede ser de cualquier magnitud B) debe ser mayor que la masa del sol C) debe ser aproximadamente igual a la del Sol D) tiene que ser bastante más pequeña que la del Sol 15. En galaxia semejantes a la Vía Láctea , las estrellas que las conforman con respecto al centro de la galaxia, están: A) acercándose a él B) alejándose de él C) en una posición fija D) girando alrededor de él 16. Aquellas estrellas que después de una espectacular explosión han expulsado gran parte de su masa y energía y, según se cree, terminan como una estrella de neutrones o un agujero negro, se conocen con el nombre de: A) Novas B) Supernovas C) gigantes rojas D) enanas blancas 17. La estrella próxima Centauro es la más cercana al Sol y está aproximadamente a una distancia de: A) 300 000 km B) 4,3 años luz C) 430 años luz D) 4 000 años luz 18. De las estrellas del Universo, relativamente muy pocas de ellas pertenecen a las llamadas: A) supernovas B) gigantes rojas C) enanas blancas D) estrellas de secuencia superior 19. Aquellos cuerpos celestes que impiden la salida de la luz, porque su campo gravitacional es demasiado fuerte se conocen con el nombre de: A) novas B) pulsares APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 66 C) quasares D) agujeros negros 20. La energía que mantiene al Sol en una forma estable en su evolución proviene de la: A) fisión del uranio en su interior B) combustión del hidrogeno y el carbono C) fusión de núcleos de hidrogeno para formar núcleos de helio D) fusión de núcleos de hidrogeno para formar núcleos de carbono INTRODUCCION A LA FISICA REPASO DE MATEMATICAS Evaluar O simplificar las siguientes cantidades 1. 2 4 2. 3 2 3. (2 2 )(2 3 ) 4. (x 5 )(x 3 )(x) 5. 5 -2 6. (5 -3 )(5 4 ) 7. (x 4 )(x)(x -3 ) 8. x 4 /x 2 9. x 4 /y 4 10. (a 2 x 4 ) 1/2 11. (a 3 x 6 ) 1/2 12. (x 2 y 6 ) 1/2 13. (x 4 y 4 ) -1/2 14. (1000) 1/3 15. (10 000) -1/4 16. x 2 (x 6 ) -1/3 17. (125) -1/3 18. 2 / 1 2 64 | | ¹ | \ | x 19. (x 4 y -8 ) 1/2 20. (10 4 ) 3/4 Resolver las siguientes ecuaciones: 21. 3 7 = − x 22. x x 6 4 7 3 + = + 23. 7 2 , 0 1 = + x 24. 13 4 2 = + x 25. 13 4 2 / 1 = + x 26. 15 2 7 4 + = + − x x 27. ( ) 2 3 / 2 / 1 = x 28. 2 16 64 0 t − = 29. 63 1 3 = − x 30. ( )( ) 0 4 2 = + + x x APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 67 31. 0 2 3 2 = + + x x 32. 0 5 2 3 2 = − + x x 33. x x 4 4 2 − = + 34. x x 3 2 2 − = 35. 0 5 2 3 2 = − + − x x 36. 1 ; 5 = − = + y x y x 37. a T a T 4 ; 3 2 = = − 38. 10 2 ; 9 3 = − = + y x y x 39. 6 ; 10 2 = + = − y x y x 40. 4 2 3 ; 2 7 3 = − = − y x y x Dibujar las graficas de las siguientes ecuaciones 41. 7 3 − = x y 42. 2 2t x = 43. 3 2 4 − = x y Trigonometría 44. Si dos ángulos de un triangulo miden 29º y 111º, ¿Cuánto vale el tercer ángulo? 45. Hallar sen 120º, cos 120º, tan 120º 46. Hallar sen 270º , cos 270º , tan 270º 47. ¿Para que ángulo o ángulos entre 0 o y 360º el sen θ es igual a 0, + 1 o – 1? Dar los ángulos correspondientes para el coseno y la tangente. Desarrollo en serie 48. ¿Cuál es el porcentaje de error cometido al utilizar sen x = x, cuando x = 10º =0,1745 rad? ¿Cuál es el error de 30º ¿ 49. Para x = 0,1, e x = 1,105. ¿Cuántos termino se necesitarían en un desarrollo en serie de e x para obtener esta precisión? 50. (a) Escribir los tres primeros términos de las series para ( ) x x + = + 1 1 2 / 1 (b) ¿Qué da esta aproximación para x = 0,1? Compárese este resultado con el resultado exacto hasta cinco cifras decimales, 1,04881. Derivadas Hallar las derivadas de las expresiones siguientes 51. 7 3 + = t x 52. 3 4t x = 53. t x / 1 1− = 54. e t x 3 4 − = 55. t sen x π 2 10 = Evaluar las cantidades siguientes con la ayuda, cuando sea necesaria, de tablas o de una calculadora de bolsillo 56. Hallar e 2 , e 3 , e 4 57. Hallar e 0,5 , e 1,5 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 68 58. Hallar ln e 3 , ln 10, ln 4, ln 0,75, ln 2 59. ¿Cuánto vale x si su logaritmo natural es 0,5; 0,1; 1; -1; 2; 2,5. 60. ¿Cuál es el logaritmo vulgar de 10, 100, 1000, 5, 0.5 y e? 61. ¿Cuánto vale x si su logaritmo vulgar es 0,5; 0,1; -1; 2; 2,5. Desarrollar las siguientes integrales 62. ( ) ∫ − 2 0 2 1 3 dx x 63. ( ) ∫ + + − 5 0 2 3 cos 5 3 cos 4 2 dt t t e t Simplificar las siguientes expresiones 64. log (x 4 ) 65. ln (x/y 2 ) 66. ln ( 2 ) 67. log (1/x 3 ) 68. )] ( [ ln b a x + MEDICIONES Calculo de una medición con su incertidumbre Medición Directa 1. Diez mediciones de corriente en la rama de un circuito dan los valores de 50,2; 50,6; 49,7; 51,1; 50,3; 49,9; 50,4; 49,6; 50,3 y 51,0. Supóngase que sólo se tienen errores aleatorios en el sistema de medidas, calcúlese: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición. (c) La incertidumbre relativa de la medición y (d) La incertidumbre porcentual de la medición. 2. Los valores siguientes de voltajes están listados en una hoja de datos como valores obtenidos al medir un determinado voltaje: 21,45; 21,74; 21,66; 19,07; 21,53 y 21,19 V. Del examen de los números, calcúlese: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición. (c) La incertidumbre relativa de la medición y (d) La incertidumbre porcentual de la medición. 3. Los siguientes valores se obtuvieron de las mediciones del valor de una resistencia: 147,2; 147,4; 147,9; 148,1; 147,1; 147,5; 147,6; 147,4; 147,6 y 147,5 0hmios (Ω). Del examen de los números, calcúlese: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición. (c) La incertidumbre relativa de la medición y (d) La incertidumbre porcentual de la medición. 4. Seis mediciones de una cantidad están asentadas en la hoja de datos y se presentan para su análisis: 12,35; 12,71; 12,48; 12,24; 12,63 y 12,58. Hay que examinar los datos y con base en las conclusiones calcular: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición. (c) La incertidumbre relativa de la medición y (d) La incertidumbre porcentual de la medición. Medición Indirecta 5. Si se mide la longitud y el ancho de una placa rectangular y resulta (15,30 ± 0,05) cm y (12,80 ± 0,05) cm, respectivamente, calcule el área de la placa y la incertidumbre correspondiente a dicha área. 6. Se mide el radio de una esfera sólida y da por resultado (6,50 ± 0,20) cm; y la medida de su masa es de (1,85 ± 0,02) kg. Determine en kg/m 3 la densidad de la esfera y la incertidumbre de la densidad. 7. Un granjero mide la distancia de la línea que rodea a un terreno rectangular. La longitud de cada uno de los lados más largos del rectángulo dio por resultados 38,44 m, y la longitud de cada uno de los lados más cortos de 19,5 m. ¿Cuál es la distancia total que rodea al terreno?. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 69 8. Se construye una banqueta alrededor de una alberca que mide (10,0 ± 0,1) m x (17,0 ± 0,1) m. Si la banqueta mide (1,00 ± 0,01)m de ancho y (9,0 ± 0,1) cm de espesor, ¿qué volumen de concreto se necesitará , y cuál es aproximadamente la incertidumbre de este volumen?. 9. En forma aproximada, ¿cuál es la incertidumbre porcentual para la medida 9,7 m? 10. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en la medida (3,86 ± 0,17) s? 11. ¿Cuál es el área e incertidumbre aproximada, de un círculo de radio 6,7 x 10 4 cm? 12. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en el volumen de una esfera cuyo radio es r = (2,84 ± 0,03) m? 13. Se efectúan dos mediciones: t = 69 segundos con un cronometro que aprecia hasta 1/10 segundos y L = 75 cm con una regla milimetrada. Determinar: (a) El error relativo y porcentual de t. (b) El error relativo y porcentual de L. (c) Cuál de las dos mediciones está mejor realizada. Justificar su respuesta. 14. Un vehículo que parte del reposo y se mueve con movimiento uniformemente acelerado, recorre 900 m en medio minuto. Sabiendo que el tiempo se determino con un cronometro al 1/10 segundos y que su contribución al error de la aceleración es de ¼ del error total, Hallar: (a) El error absoluto, relativo y porcentual cometidos al determinar la aceleración. (b) Los errores absolutos, relativo y porcentual del espacio. 15. Al calcular la masa de un cuerpo se ha cometido un error de 1 %. Calcular los errores del peso y la aceleración de la gravedad, sabiendo que ambas magnitudes contribuyen de igual manera al error total. El peso de 400 kg fue determinado con un dinamómetro, en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,8 m/s 2 . 16. Una fuerza cumple con la siguiente ley: F = 8t + 16t 2 - 2t 3 . Si el tiempo medido en un punto dado es: t = 2 segundos y el error del tiempo es 0,2 segundos. Hallar los errores absoluto, relativo y porcentual de la fuerza F (los números tienen dimensiones, tal que la ecuación es homogénea). Trabajar en el sistema internacional. 17. De acuerdo con la segunda ley de newton F = m.a, siendo F la fuerza aplicada, m la masa del cuerpo y a la aceleración adquirida por el cuerpo. Conociendo los valores de la fuerza y la aceleración y que el error porcentual de la masa es 5. calcular: (a) el error relativo de la masa. (b) Los errores relativo y porcentual de la fuerza y la aceleración, sabiendo que ambas magnitudes contribuyen de igual manera. 18. Se desea medir el volumen de un cilindro de 5 m de altura y 3 m de radio, con un error máximo del 2 %. Calcular los errores absoluto del radio y la altura para que contribuyan por igual al error del volumen. Considerar π = 3.14. 19. Se calcula radio, altura y peso de un cuerpo de forma cónica con el objeto de medir su peso especifico. Los valores obtenidos fueron: radio = 0,02 m, peso = 500 g, altura = 5 cm. Sabiendo que el error máximo admitido en el peso especifico es de 0,3 g/cm 3 , y suponiendo que π es constante. Calcular: (a) Los errores del volumen y del peso para que sus contribuciones al error del peso especifico sean iguales. (b) Los errores del radio y la altura para que la contribución del radio sea 1/3 del error del volumen. (c) El error porcentual del peso especifico. 20. Se mide la altura de dos capas de nubes con un error del 5 %. Suponiendo h = 3200 m y h’ = 5 400 m. Hallar: (a) El error absoluto de h y h’. (b) Si se desea calcular la diferencia de altura entre ambas capas. ¿Cuál será el error de esa diferencia? 21. Sea la magnitud M = 4a 2 b 4 c 3 , conocidos los valores a a, b y c y sabiendo que el error porcentual de M es del 4 %. Calcular los errores relativos de a, b y c, si todos contribuyen de igual manera. 22. Al determinar la posición de equilibrio de una balanza en un trabajo de laboratorio se obtienen los siguientes valores: 10,7; 10,5; 9,8; 10,0; 10,2; 10,5; 10,3; 9,9; 9,9 y 10,2 gramos. Determinar: (a) El valor medio. (b) El error estándar. (c) La probabilidad de que un nuevo valor se halle entre 10,0 y 10,2. 23. En una medición del peso de un cuerpo se obtuvo como valor más probables 148,2 kg y un error estándar de 13,17 kg. Calcular la probabilidad de que un nuevo valor caiga : (a) entre 116 kg y 137 kg. (b) en el intervalo 145 kg – 151 kg. (c) entre infinito y menos infinito y (d) en el intervalo 150 kg – 154 kg. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 70 24. En una experiencia para determinar el coeficiente de restitución de una bolita de acero contra un vidrio, se han obtenido los siguientes valores del alcance para una misma altura, expresada en cm. 59,1 59,3 59,5 59,7 61,2 61,3 58,9 58,2 62,3 58,3 58,4 59,6 61,4 62,5 39,3 58,1 58,4 59,4 57,2 58,6 59,5 60,1 60,6 60,8 60,0 59,2 59,4 59,6 59,1 60,1 59,5 57,1 59,1 57,2 60,2 59,2 58,6 61,5 62,6 60,0 57,3 58,2 58,5 57,3 60,1 59,7 60,2 60,7 59,9 60,0 (a)Construya el histograma correspondiente. (b) Calcule el valor medio, la desviación estándar de cada medición. (c) Trace la curva teórica. (d) Determine la probabilidad de que un valor esté entre los intervalos (i) 59,59 cm y 62, 6 cm; (ii) 59,59 cm y 57,5 cm y (iii) 57,5 cm y 62,5 cm.(Sugerencia: Considere un intervalo con 7 intervalos de clase Notación Científica 25. ¿Qué es ) 10 7 )( 10 5 ( 8 3 x x x = ? 26. ¿Cuántos átomos hay en el universo? 27. ¿Cuál es la masa de un átomo de hidrógeno? 28. Expresar en notación científica los números siguientes: a. 10 000 b. 700 000 c. 100 000 000 d. 36 400 29. Expresar en notación convencional los números siguientes: a. 10 7 b. 4,76 x 10 4 c. 2 x 10 3 d. 1,4862 x 10 3 30. Expresar en notación científica los números siguientes: a. 0,00479 b. 173,28 c. 378 300 d. 0,00000305 31. Expresar en notación convencional los números siguientes a. 2 x 10 -3 b. 1,46 x 10 -5 c. 76,254 x 10 -4 d. 578,935 x 10 2 32. Calcular las expresiones siguientes: a. ) 10 3 , 3 )( 10 3 , 1 ( 3 5 x x b. ) 10 0 , 5 )( 10 4 , 2 ( 9 14 x x c. 2 8 10 1 , 2 10 4 , 8 x x d. 25 19 10 5 , 2 10 5 , 7 x x APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 71 e. ) 10 1 , 4 )( 10 2 , 9 ( 7 3 x x − f. ) 10 1 , 6 )( 10 9 , 3 ( 5 17 − − x x g. 05 , 6 ) 69 , 4 )( 15 , 3 ( h. 15 , 9 ) 20 , 5 )( 86 , 7 ( i. ) 05 , 1 )( 15 , 8 ( 17 , 6 j. ) 71 , 5 )( 17 , 3 ( 05 , 9 k. 149 ) 8 , 29 )( 10 07 , 6 ( 13 x l. 16 17 10 15 , 6 ) 10 08 , 1 )( 25 , 183 ( x x − m. 15 29 7 10 15 , 9 ) 10 76 , 6 )( 10 96 , 7 ( x x x n. 27 2 9 10 81 , 4 ) 10 47 , 6 )( 14 , 3 ( − x x 33. Empleando potencia de 10, calcular con dos cifras significativas el número de segundos que tiene un año. 34. La velocidad de la luz es 3 x 10 8 m/s. ¿Qué distancia recorre en un año una vibración luminosa? 35. ¿Cuál es el logaritmo de 510? 36. ¿Cuál es el logaritmo de 1,8 x 10 -5 ? 37. ¿Utilizando logaritmo, cuál es la raíz cúbica de 2200? 38. Expresar en radianes los siguientes ángulos: a. 10° b. 35° c. 150° d. 290° 39. Expresar en grados los siguientes ángulos: a. 0,5 rad b. ¾ π rad c. 2 rad d. 10 rad 40. ¿Cuál es la longitud del arco subtendido por un ángulo de 32° con centro en un círculo de radio 25 cm? Conversión de unidades 41. Convierta el volumen de 8,50 pulgadas cúbicas a m 3 , recordando que 1 pulgada = 2,54 cm y 1 cm = 10 -2 m. 42. Un terreno rectangular tiene 100,0 pies por 150,0 pies. Determine el área de terreno en m 2 , sabiendo que 1 m = 3,281 pies. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 72 43. Un objeto de forma de paralelepípedo rectangular mide 2,0 pulgadas x 3,5 pulgadas x 6,5 pulgadas. Determine el volumen del objeto en m 3 . 44. Una criatura se mueve a una rapidez de 5 estadios por quincena (no es una unidad muy común para la rapidez). Dado que 1 estadio = 220 yardas y 1 quincena = 14 días, determine la rapidez de la criatura en m/s. (La criatura es probablemente un caracol) 45. Una sección de tierra tiene un área de una milla cuadrada y contiene 640 acres. Determine el número de metros cuadrados que hay en un acre. 46. Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 24,94 g y un volumen de 2,10 cm 3 . De estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades SI (kg/m 3 ). 47. Un contenedor de helado, de un cuarto de galón, está hecho en forma de un cubo. ¿Cuál será la longitud de un lado en cm? (Use la conversión 1 galón = 3,786 litros) 48. Estime la edad de la Tierra, en años, sabiendo que su edad es 1,3 x 10 17 s. (use los factores de conversión apropiados) 49. El protón, que es un núcleo del átomo de hidrógeno, se puede imaginar como una esfera cuyo diámetro es 3 x 10 -13 cm, y con una masa de 1,67 x 10 -24 g. Determine la densidad del protón en unidades SI (kg/m 3 ) y compare este número con la densidad del plomo, la cual tiene un valor de 11,3 x 10 3 kg/m 3 . 50. Usando el hecho de que la rapidez de la luz en el vacío es aproximadamente 3,00 x 10 8 m/s, determine cuántas millas viajará el pulso (o la luz) de un láser en una hora. 51. Un pintor está recubriendo las paredes de un cuarto de 8 pies de altura y 12 pies de cada lado. ¿Cuál es la superficie en metros cuadrados que debe recubrir? 52. (a) Encuentre un factor de conversión para convertir de millas/h a km/h. (b) Hasta hace poco, la ley federal asignó por mandato que la rapidez en las carreteras debería ser de 55 millas/h. Utilice el factor de conversión de la parte (a) para encontrar la rapidez en km/h. (c) La máxima rapidez en las carreteras ha sido elevada a 65 millas/h en algunos lugares. ¿Cuánto aumentó, en km/h, respecto al límite de 55 millas/h? 53. (a) ¿Cuántos segundos hay en un año? (b) Si un micrometeorito (una esfera con un diámetro de 10 -6 m)golpea un metro cuadrado de la Luna, por cada segundo, ¿cuántos años se llevaría en cubrir toda la Luna, a una profundidad de 1 m? (Sugerencia: Considere una caja cúbica sobre la Luna de 1 m por lado, y determine cuánto se tardará en llenar la caja) 54. Una casa tiene 50 pies de largo, 26 pies de ancho y 8 pies de altura. ¿Cuál es el volumen de la casa en metros cúbicos? 55. La base de una pirámide cubre un área de 13 acres (1 acre = 43 566 pie 2 ) y tiene una altura de 481 pies. Si el volumen de una pirámide esta dada por la expresión V = (1/3) Bh, donde B es el área de la base y h es la altura, encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos. 56. La pirámide descrita en el ejercicio anterior contiene aproximadamente dos millones de bloques de piedra que en promedio pesan 2,50 toneladas cada una. Determine el peso de la pirámide en libras. 57. Una parte de un motor para una aeronave se fabrica de acero (de igual densidad que el hierro 7 800 kg/m 3 ), y tiene una masa de 4,86 kg. Si se fabricara dicha parte con una aleación de magnesio-aluminio (densidad = 2,55 g/cm 3 ) ¿Cuál sería su masa? 58. Las ondas de radio son ondas electromagnéticas y viajan a una rapidez de aproximadamente 3,00 x 10 8 m/s en el vacío. Use este hecho y los datos siguientes para determinar el tiempo que le tomaría a un pulso electromagnético hacer un recorrido desde la Tierra a la Proxima Centauri, la estrella mas cercana al Sol. (Distancia del Sol a la estrella más cercana alfa centauri =2 x 10 22 m) 59. El radio promedio de la Tierra es de 6,37 x 10 4 m, y el de la Luna es de 1,74 x 10 8 cm. Con estos datos calcule la razón entre el área superficial de la Tierra y de la Luna. Recuerde que el área superficial de una esfera es 4πr 2 y el volumen de la esfera es (4/3)πr 3 . APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 73 60. Del hecho de que la densidad promedio de la Tierra es de 5,5 g/cm 3 y su radio promedio es de 6,37 x 10 6 m, calcule la masa de la Tierra. 61. La masa de un átomo de cobre es de 1,06 x 10 -22 g, y la densidad del cobre es de 8,9 g/cm 3 . Determine el número de átomos, en 1 cm 3 de cobre. 62. El aluminio es un metal muy ligero, con una densidad de 2,7 g/cm 3 . ¿Cuál es el peso en libras de una esfera sólida de aluminio de un radio igual a 50 cm? El resultado lo puede sorprender. (Nota: Un peso de 1 kg corresponde a un peso de 2,2 libras) 63. Un cubo sólido de aluminio (densidad 2,7 g/cm 3 ) tiene un volumen de 0,2 cm 3 . ¿Cuántos átomos de aluminio están contenidos en el cubo? Cálculos de orden de magnitud 64. Estime el número de veces que el corazón de un humano late en una vida promedio de 70 años. (Tiempo entre los latidos normales del corazón = 0,8 s) 65. Calcule el número de pelotitas de ping-pong que podrían caber en un cuarto de tamaño 4 m x 4 m x 2,5 m sin aplastarlas. 66. Determine el número aproximado de ladrillos necesarios para cubrir los cuatro lados de una casa de tamaño regular. (tamaño de la casa: 8 m de ancho por 20 m de largo por 2,5 m de alto; tamaño del ladrillo: 10 cm de ancho, por 10 cm de alto por 20 cm de largo). Cifras significativas 67. Determine el número de cifras significativas en los siguientes números: (a) 23 cm; (b) 3,589 s; (c) 4,67 x 10 3 m/s (d) 0,0032 m. 68. Calcule: (a) La circunferencia de un círculo de radio 3,5 cm; (b) el área de un círculo de radio 4,65 cm. 69. Efectúe las siguientes operaciones aritméticas: (a) la suma de los números 756, 37.2, 0.83 y 2.5 (b) el producto 3.2 x 3.563; (c) el producto 5.6 x π. 70. ¿Cuántas cifras significativas habrá: (a) 78,9 ± 0,2 (b) 3,786 x 10 9 (c) 2,46 x 10 -6 y (d) 0,0053. 71. Exprese las siguientes cantidades usando los prefijos utilizados en Física: (a) 10 6 voltio; (b) 10 -6 metros; (c) 4 x 10 7 días; (d) 2 x 10 3 dólares; (e) 2 x 10 -9 piezas. ANALISIS DIMENIONAL Ecuaciones dimensionales 72. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de A y B para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta: A W m B S = + sen ( ) θ 2 , siendo: W = Trabajo, m = masa y S = área. 73. De la siguiente ecuación dimensional: V a t h b c = + − 3 3 , siendo V = volumen, t = tiempo, h = altura, determinar la expresión dimensional de E b a c = . 74. Si la rigidez (P) de una cuerda está dada por la fórmula: P a Q R bd = + 2 , siendo: P = fuerza en (N), R = radio, Q = presión, d = densidad. Qué dimensiones deben tener a y b para que dicha fórmula sea dimensionalmente correcta. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 74 75. En la siguiente fórmula empírica: F v d v L = + | \ | ¹ | α β 2 , donde: F = fuerza de rozamiento, d = diámetro de la tubería, v = velocidad lineal, L = longitud, α = coeficiente experimental dimensional. Determinar las dimensiones del coeficiente β. 76. La ecuación que permite calcular el caudal (Q) del escape de agua por un orificio es la siguiente: Q C A A B g p R = − − 1 2 2 1 ( / ) ( ) γ , siendo: Q = m 3 /s, C = coeficiente de descarga, A = área del tubo, g = aceleración de la gravedad, p 1 0 presión en el tubo y γ = peso específico. Considerando dimensionalmente correcta a la ecuación dada. ¿Cuáles son las dimensiones de B, C y R? 77. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, encontrar la fórmula dimensional de E: P Q Rv a E E F Q . ( ) log = − + ¦ ´ ¹ ¹ ` ) 4 siendo P = peso, R = trabajo, v = velocidad y a = aceleración. 78. Sabiendo que la ecuación : F q E q v B = + es dimensionalmente correcta, determinar la fórmula dimensional de B, siendo E = intensidad de campo eléctrico y v = velocidad lineal. 79. Determinar la fórmula dimensional de A en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta: A Bk Ck = − 3 , siendo B = calor específico y C = aceleración angular. 80. La ecuación propuesta es dimensionalmente correcta, p C B nH m n A D D = − + | \ | ¹ | ¦ ´ ¹ ¹ ` ) ( ) / 2 3 2 , siendo p = presión, B = diámetro, A = área, m y n = adimensionales. Cuáles deben ser las dimensiones de C, H y D? 81. De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, hallar: ( ) E x p z y = − − ( 9 , sí: ( ) ( ) ( ) ( ) I m R R R R n n x n n y n z n n p = − − ¦ ´ ¦ ¹ ¦ ¹ ` ¦ ) ¦ − − − − 3 1 1 1 1 π θ θ θ θ cos cos sen sen Siendo: I = momento de inercia = masa . (longitud) 2 , m = masa, R n , R n-1 = radios; θ n , θ n-1 = ángulos. 82. ¿Bajo qué condiciones la ecuación propuesta ( cos ) ( ) / cos W p d mg W pv x y θ θ 2 1 + = es dimensionalmente correcta? Siendo W = peso, m = masa, g = aceleración de la gravedad, v = velocidad, θ = π/3, p = 4,44 m 2 .kg/s. 83. Determinar el valor de R x y w r = + + + , si la ecuación propuesta es dimensionalmente correcta: αω π ρ sec / 30 2 2 °− = ± Pt m v d b x y z w r siendo: P = potencia, t = tiempo, m = masa, v = velocidad, d = densidad, ρ = peso específico, b = espacio recorrido, α = magnitud desconocida. 84. Si la expresión propuesta es dimensionalmente correcta, hallar la fórmula dimensional de Q. W mv Ag h Bx PC = + − + ° α sec 60 Se sabe que: W = trabajo, m = masa, v = velocidad, g = aceleración de la gravedad, h = altura, x = distancia y P = potencia y Q A B C = α α α / 85. Si la siguiente expresión contiene n términos y es dimensionalmente correcta: W k v k v k v = + + + 1 1 2 2 2 3 3 3 2! 3! ......... Siendo: W = energía, v i = velocidad n! = factorial n, k i = constante física. Determinar la fórmula dimensional de E, si E k k k = 9 17 12 . / APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 75 86. En un experimento de Física se comprobó que la relación: pF FAV UNA = ( ) es dimensionalmente correcta, siendo : p = presión, F = fuerza, A = área, V = volumen y U = energía. ¿Cuáles son las dimensiones de N? 87. Determinar las dimensiones de A e y para que la expresión: y Ape mA v = ( / ) 4 sea dimensionalmente correcta, siendo: p = presión, m = masa, v = velocidad y e = base de los logaritmos neperianos. 88. Si la ecuación dimensional: mv y x y 2 2 sen( ) / ω φ π − = es dimensionalmente correcta, determinar las dimensiones de x e y, siendo m = masa, v = velocidad y ω = velocidad angular. 89. Determinar las dimensiones de de E, si: E xz y = / 2 , sabiendo asimismo que la expresión: d v mx t y ym z log tg | \ | ¹ | = + | \ | ¹ | θ es dimensionalmente correcta, siendo: d = densidad, m = masa, v = velocidad y t = tiempo. Ecuaciones Empíricas 90. Una masa m oscila al final de un resorte de amplitud x (donde 2x es la distancia total recorrida en una oscilación, medida en metros). Usando el análisis dimensional determine la forma del periodo, que puede depender de m, x y la constante de rigidez del resorte k. (k se define como F/x donde F es la fuerza necesaria para estira el resorte una distancia x) 91. Una partícula de masa m gira en un círculo de radio r con una velocidad v. La partícula tiene una aceleración a (m/s 2 ) llamada “aceleración centrípeta”. Use el análisis dimensional para encontrar la forma de a c . 92. La relación de Louis de Broglie para la interpretación física de la dualidad onda-partícula establece que cualquier masa o partícula que se mueve a cierta velocidad tiene asociada una onda electromagnética cuya longitud de onda (λ) depende de la constante de Planck (h) y de su cantidad de movimiento (p), tal que: λ = Kh x p y . ¿Cuáles son los valores de x e y que logra homogenizar la fórmula dada? 93. La potencia (P) que requiere la hélice mayor de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: P kR D x y z = ω siendo k = número adimesional, R = radio de la hélice, ω = velocidad angular, D = densidad del aire. hallar la expresión final de la fórmula empírica. 94. La frecuencia de oscilación f en s -1 de un péndulo simple depende de su longitud l y de la aceleración de la gravedad (g) de la localidad. Determinar la fórmula empírica para la frecuencia. 95. La presión (P) que ejerce un chorro de agua sobre una placa vertical viene dada por la siguiente fórmula empírica: P kQ d A x y z = siendo: k constante numérica; Q = caudal en m 3 /s, d = densidad del agua (kg/m 3 ) y A = área de la placa. Determinar la expresión final de la fórmula. 96. El periodo de un planeta que gira en una órbita circular depende del radio de la órbita (R), de la masa de la estrella (M) y de la constante de gravitación universal (G). determinar la fórmula empírica del periodo. 97. Rocío, una eficiente enfermera ha observado que la potencia (P) con que se aplica una inyección depende de la densidad (d) del líquido encerrado, de la velocidad (v) del émbolo al expulsar el líquido y del tiempo de aplicación de la inyección (t). Martín un estudiante de Ingeniería Electrónica de la UPAO le ha conseguido una fórmula con los datos que ella le ha proporcionado. Si d = 0,8 g/cm 3 , v = 5 cm/s y t = 2 s, entonces P = 0,9 watts. ¿Cuál será la fórmula descubierta? 98. Si se tomara como magnitudes fundamentales la aceleración (A), la masa (M) y el tiempo (T). ¿Cuál sería la fórmula dimensional de la constante de gravitación universal (G)? APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 76 99. Se forma un sistema de unidades tomando como unidades fundamentales: U(L) = 3m, U(M) = 5 kg, U(T) = 3 s. Si la unidad de potencia en el sistema internacional es el watt, hallar la relación con la unidad de potencia U(P) del nuevo sistema formado. 100. Se forma un sistema cuyas unidades son: (a) Velucio (velocidad de la luz = 300 000 m/s) (b) Gravio (aceleración de la gravedad) y (c) Trevio ( trabajo necesario para elevar una masa de 1 kg hasta una altura de 1 m. Hallar la equivalencia entre la unidad de masa del sistema dado y la unidad de masa del sistema CGS absoluto. 101. La resistencia W que ofrece el aire en kg/m 2 está dado por: W v = 0 05 2 , , siendo v la velocidad en km/h. ¿Cuál será la expresión que nos permite calcular W en N/m 2 cuando v se da en m/s? ( 1 kg = 9,8 N; 1 km = 1000 m y 1 h = 3 600 s) 102. Un hito importante en la evolución del Universo, justo después de la Gran Explosión es e tiempo de Planck, tp, cuyo valor depende de tres constantes fundamentales (1) la velocidad de la luz (la constante fundamental de la relatividad, c = 3 x 10 8 m/s; (2) la constante de gravitación de Newton (la constante fundamental de la gravedad) G = 6,67 x 10 -11 m 3 /s 2 kg.; y (3) la constante de Planck (la constante fundamental de la mecánica cuántica), h = 6,63 x 10 -34 kg. m 2 /s. Con base en un análisis dimensional, halle el valor del tiempo de Planck (considere K = 1) 103. Un hito importante en la evolución del Universo, justo después de la Gran Explosión es la masa de Planck, m p , cuyo valor depende de tres constantes fundamentales (1) la velocidad de la luz (la constante fundamental de la relatividad, c = 3 x 10 8 m/s; (2) la constante de gravitación de Newton (la constante fundamental de la gravedad) G = 6,67 x 10 -11 m 3 /s 2 kg.; y (3) la constante de Planck (la constante fundamental de la mecánica cuántica), h = 6,63 x 10 -34 kg. m 2 /s. Con base en un análisis dimensional, halle el valor de la masa de Planck (considere K = 1). 104. Un hito importante en la evolución del Universo, justo después de la Gran Explosión es la longitud de Planck, l p , cuyo valor depende de tres constantes fundamentales (1) la velocidad de la luz (la constante fundamental de la relatividad, c = 3 x 10 8 m/s; (2) la constante de gravitación de Newton (la constante fundamental de la gravedad) G = 6,67 x 10 -11 m 3 /s 2 kg; y (3) la constante de Planck (la constante fundamental de la mecánica cuántica), h = 6,63 x 10 -34 kg. m 2 /s. Con base en un análisis dimensional, halle el valor de la longitud de Planck (considere K = 1) ANALISIS VECTORIAL 105. Dados los vectores: a = 3i – 2j, b = - 4i + j. calcular: (a) El vector suma y su modulo, (b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX. (c) El vector c = 2a - 3b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c. 106. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F 1 = 5 kgf y F 2 = 7 kgf, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60 0 y – 30 0 . calcular: (a) La fuerza resultante. (b) su modulo. (c) Angulo que forma con el eje OX. 107. Deseamos volar en un avión a 500 km/h hacia el E, la velocidad del viento es 80 km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad y rumbo de nuestro avión? (a) Si el viento sopla hacia el S. (b) Si el viento sopla hacia el SE. (c) Si el viento sopla hacia el SO. 108. Se tiene tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son F 1 = 6 kgf, F 2 = 3 kgf y F 3 = 4 kgf, que forman respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45 0 , 30 0 y -60 0 . Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del ángulo que forman con el eje OX. 109. Teniendo en cuenta que la fuerza de interacción Newtoniana entre dos partículas de masa m y m’ que distan entre si una distancia r, es: F = Gmm’ r / r 3 , donde G = 6,67 x 10 -11 N.m 2 /kg 2 , resolver el siguiente problema: Supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda influencia de cuerpos celestes) definimos un sistema de ejes rectangulares. Tres partículas de masa 4 kg las colocamos en (0,0), (2,2) y (2, -2) medidas estas coordenadas en metros. Calcular la fuerza que ejercerán sobre una partícula de masa 1 kg colocada en (4,0)m. 110. Si la expresión de la ley de Coulomb es: F = K 0 qq’ r /r 3 (K 0 = 9 x 10 9 N.m 2 /C 2 ). Calcular la fuerza que actúa sobre una carga de 1 µC colocada en el punto (6, 0) m debida a la siguiente distribución: En el origen de coordenadas una carga q 1 = 2 µC, en el punto (0, 3)m una carga q 2 = 3 µC y en el punto (0, -3)m una carga q 3 = -3 µC (suponemos las cargas en el vació). APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 77 111. Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60 0 y tiene de módulo 4 unidades. Calcular: (a) Sus componentes coordenadas. (b) Angulo que forman con el eje Z. 112. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular: (a) Componentes del vector OP. (b) Módulo y cosenos directores . (c) Un vector unitario en su dirección pero de sentido contrario. 113. Dados los vectores a(2,4,6) y b(1,-2,3). Calcular: (a) El vector suma a + b, su módulos y coseno directores. (b) El vector diferencia a – b y el vector unitario que define su dirección y sentido. 114. Dados los vectores: a de modulo 3 unidades y cosenos directores proporcionales a 2, 1 y -2, b que tiene de origen respecto de cierto sistema el punto O(-1, -2, 1) y de extremo el punto P(3,0,2) y el vector c(2,0,-3). Calcular: (a) 2a - 3b + c. (b) | 3a - 2b +2c|. 115. Dados los vectores: a(1,-1,2) y b(-1,3,4). Calcular: (a) El producto escalar de ambos vectores. (b) El ángulo que forman. (c) La proyección de b sobre a. 116. Demostrar que el vector unitario a, cuyos cosenos directores son: cos α = 1/3, cos β = 2/3 y cos γ > 0 es perpendicular al vector b(6,-9,6). 117. Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo módulo, entonces son perpendiculares. 118. Hallar el vector unitario paralelo al plano OYZ, y perpendicular al vector v = 2i + j – 3k. 119. Dado el vector v = 4i – j + 2k, calcular su proyección sobre la recta que pasa por los puntos A(0,1,2) y B(2,2,1). 120. Se tienen los vectores v 1 = 2i – 2j + k y v 2 = i – 2j, aplicados en el origen de coordenadas. Calcular las componentes del vector u, unitario, perteneciente al plano determinado por v 1 y v 2 , y perpendicular al vector v = v 1 – 2v 2 . 121. Dados los vectores a(2,1,-3) y b(1,0,-2); hállese un vector unitario que sea perpendicular a ambos. 122. Dados los siguientes vectores: a = 1/7 (2i + 3j + 6k), b = 1/7(3i – 6j + 2k), c = 1/7 (6i + 2j – 3k), demuéstrese: (a) Que sus respectivos módulos valen la unidad. (b) Que son perpendiculares entre si. (c) Que c es el producto vectorial de a por b. 123. Si el producto vectorial de dos vectores a x b = 3i – 6j + 2k y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar. 124. Dados los vectores: a(2,-1,0), b(3,-2,1). Calcular: (a) (a + b) . c (b) (a – b) x c (c) (a x b) . c (producto mixto) = abc (d) (a . b)c (e) (a x b) x c (doble producto vectorial). 125. Dados los vectores: a(1,0,-1), b(1,3,0), c(2,-1,1) y d(0,-2,-1). Calcular: (a) (a . b) (c . d) (b) (a x b) . (c x d) (c) (a . b) (c x d) (d) (a x b) x (c x d). 126. Demuéstrese que si a + b + c = 0, se verifica que a x b = b x c = c x a. 127. Demostrar las identidades de Lagrange: (a x b) 2 + (a . b) 2 = a 2 b 2 , siendo (a x b) 2 = (a x b) . (a x b) y (a . b) 2 = (a . b) (a . b) 128. Demostrar que el producto vectorial de cuatro vectores verifica: (axb)x(cxd) = (abd)c- (abc)d. 129. Definido u sistema de referencia cartesiano en el plano OXY; y en el dos vectores unitarios cualesquiera u 1 y u 2 que forman los ángulos α y β respectivamente con la dirección positiva del eje OX. (a) Demostrar que: u 1 = cosα i + senα j y u 2 = cosβ i + senβ j (b) Calcular por aplicación del producto escalar de u 1 y u 2 los valores de cos (α – β) (c) Calcular por aplicación del producto vectorial de u 1 y u 2 los valores de sen (α – β). APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 78 130. Dados los vectores a(1,3,-2 y b(1,-1,0). Calcular: (a) Su producto vectorial. (b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados. (c) Un vector c de modulo 6, perpendicular al plano en que se encuentra a y b. 131. Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura sabiendo que O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2,- 3,1), expresado en metros. 132. Los tres vértices de un triangulo son: A(2,1,3), B(2,-1,1) y C(0,-2,1). Calcular: (a) Área del triangulo, (b) Angulo A. 133. Tres vértices de un paralelogramo ABCD tienen por coordenadas A(2,0,2), B(3,2,0), y D(1,2,-1). Calcular: (a) Las coordenadas del vértice C. (b) Área del paralelogramo. (c) Angulo en B. 134. Deducir la ley de los cosenos de un triangulo, por medio del producto escalar. 135. Deducir la ley de los senos de un triangulo por medio del producto vectorial. 136. Demostrar que las alturas de un triangulo se cortan en un punto. 137. Se tienen tres vectores no coplanares OA = a, OB = b y OC = c. Designamos por M el punto medio del segmento rectilíneo AB y por G el baricentro del triangulo ABC. Se pide obtener razonada y sucesivamente: (a) Expresión de OM en función de a y b. (b) expresión de MC en función de OM y c, así como la de GC en función de MC. (c) Expresión de OG en función de a, b y c. TEORIA DE MOMENTOS 138. El origen de un vector es el punto A(3, -1,2) y su extremo B(1,2,1); calcular su momento respecto a C(1,1,2) 139. El punto de aplicación del vector v(6, -3, 4) es el P(3, -6, 2) referidos a un sistema OXYZ. Calcúlese: (a) Momento del vector respecto al origen O. (b) Momento del vector respecto al punto O’(2,3,1). 140. Hallar el valor de la expresión: a x N c siendo: a(2,-1,2); b(1, -2, 1) y N c el momento del vector b aplicado en el punto B(2,3,1) con respecto al punto C(1,1,1). 141. Las coordenadas del origen de cierto vector son proporcionales a 1, 5 y α, y sus componentes lo son a 1, α y β. Además sus momentos respecto de los ejes de coordenadas, so proporcionales a 1, 2 y 3. Calcular los valores de α y β. 142. Dados los vectores deslizantes: v 1 (-2,3,-3) y v 2 (-1,3,2) que pasan por los puntos P1(2,-6,4) y P2 (4,- 1,-1) , respectivamente. Calcúlese: (a) La resultante del sistema de los dos vectores. (b) El momento resultante con respecto al origen. (c) El momento resultante referido al punto O’(2,-1, 5). 143. Dados los vectores v 1 (-2,3,-3) y v 2 (-1, 3,2) ambos aplicados en el punto P(2,3,2). Calcular el momento del sistema respecto del punto A(-1,0,2) y compruébese que la suma de los dos momentos es igual al momento de la resultante respecto de A aplicado en P. 144. Dado el vector v(3,-6,8) cuyo origen es el punto P(2,1,-2). Calcular su momento respecto al eje : (x - 2)/2 = (y - 5)/3 = (z - 3)/6. 145. Calcular el momento del vector v(1,-3,2) de origen P(1,1,0) respecto al eje que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(2,1,1). 146. Dado el sistema de vectores: v 1 (3,-6,2) de origen P 1 (1,3,-2); v 2 (2,4,-60 de origen P 2 (3,-2,1), v 3 (1,-1,1) de origen P 3 (1,3,0), encontrar la ecuación del eje central y el momento mínimo. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 79 147. Dado el sistema de vectores deslizantes: v 1 (1,2,0) que pasa por el punto P 1 (1,1,1), v 2 (-1,-1,1) que pasa por el punto P 2 (2,2,2), v 3 (0,1,1), que pasa por el punto P 3 (0,1,2), v 4 (2,2,2) que pasa por el punto P 4 (1,0,1). Calcular el torsor del sistema. 148. Sobre tres aristas de un cubo de lado a se consideran los tres vectores de la figura. Calcular: (a) La resultante general. (b) El momento del sistema respecto al origen. (c) La ecuación del eje central. 149. Se tiene un sistema de tres vectores paralelos, v 1 (2,1,-1), v 2 (8,4,-4) y v 3 (-4,-2,2), aplicados en los puntos P 1 (0,1,2), P 2 (1,-1,0) y P 3 (2,2,0), respectivamente. (a) Hallar su centro. (b) Obtener la ecuación del eje central del sistema. 150. Dos sistemas de vectores tienen resultantes generales R 1 = 10i y R 2 = 6i + 8j; los respectivos momentos mínimos tienen por módulos 15 y 25. Calcular: (a) El eje central del sistema total, (b) El momento mínimo resultante. 151. Dados los vectores deslizantes v 1 (a,1,0), v 2 (1,1,1) y v 3 (-,-1,2), cuyas rectas soporte pasan, respectivamente, por los puntos P 1 (1,2,1), P 2 (1,1,2) y P 3 (1,1,1); calcular el valor de a tal que el sistema se reduzca solamente a su resultante, y encontrar la ecuación del eje central. 152. De un sistema de vectores sabemos que su resultante es R 1 = 2i + j + 3k y que el momento respecto del origen tiene por modulo 2 6 y es paralelo al vector d = 2i + j – k. Al añadir un nuevo vector v, el sistema se reduce a su resultante que tiene como recta soporte el eje OZ. Obtener las componentes de v y su recta soporte.. CALCULO INFINITESIMAL VECTORIAL 153. Demostrar aplicando el concepto de limite de un vector la formulas: → → → → → → • + • = | ¹ | \ | • b dt a d dt b d a b a dt d → → → → → → + = | ¹ | \ | × b x dt a d dt b d x a b a dt d 154. Dado el vector: a = A (cos ωt i + sen ωt j) donde A y ω son constantes y t es la variable escalar independiente, se pide: (a) Hallar su modulo y la derivada de este. (b) da/dt y |da/dt| (c) demostrar que a y da/dt son perpendiculares. 155. Si v es un vector función de un parámetro t demostrar que: (a) Si v constante en dirección, entonces v x dv/dt = 0, (b) Si v es constante en módulo, entonces v . dv/dt = 0. 156. Dados los vectores: a(2t, sen t, 0); b(0, 2cost, t 2 ). Calcular: (a) d(a + b) /dt. (b) d(a . b)/dt (c) d(a x b)/dt. (d) d|a x b|/dt (e) d/dt (da/dt . b) (f) d/dt (a x b /a . b) 157. Dados los vectores: a(t 2 , t , 1), y b(1, t, t + 1). Calcular: (a) ∫ | ¹ | \ | + → → dt b a (b) ∫ | ¹ | \ | • → → dt b a (c) ∫ | ¹ | \ | × → → dt b a . 158. Dado el escalar (función de punto): y y x yz x a − + = 2 2 3 ; calcular la integral de línea: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 80 ∫ → c r d a donde k dz j dy i dx r d + + = → 159. Dado el vector (Vector de campo): ( ) j xy i y x v + + = → . Calcular la integral (circulación): ∫ → → • c r d v donde j dy i dx r d + = → 160. Dado el vector: ( ) ( ) k z y j x i z x v 2 2 − + + + = → . Calcular la integral de línea: ∫ → → × c r d v donde k dz j dy i dx r d + + = → . A lo largo de la curva x = y 2 , z = 0, cuando pasa desde el punto A(1,1,0) al B(4,2,0). PRODUCTOS TRIPLES 161. Demostrar que el valor absoluto se A . (B x C) es igual al volumen de un paralelepípedo de aristas A, B y C. 162. Hallar la ecuación del plano formado por los puntos P 1 (2, -1, 1), P 2 (3, 2, -1) y P 3 (-1, 3, 2). 163. Hallar el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son: A = 2i - 3j + 4k, B = i + 2j - k; C = 3i - j + 2k. DERIVACIÓN DE VECTORES 163. Sea: r A t i t t j t t k = + + + − ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 . Hallar para t = 1 s: a) dA dt r b) d A dt 2 2 r 163. Si: r r a t b t = + cos( ) sen( ) ω ω , donde a y b son vectores constantes cualesquiera no colineales y ω es un escalar constante. demostrar que: a) r r r r r dr dt a b × = × ω( ) b) d r dt r 2 2 0 r r + = ω 164. Si: r A t i t k = − ( ) (sen ) y r B t i t j k = + + (cos ) (sen ) . Hallar d dt A B ( ) r r • 165. Demostrar que: d dt A B A dB dt dA dt B ( ) r r r r r r × = × + × donde A y B son funciones diferenciales de t. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 81 INTEGRACIÓN DE VECTORES 166. Si: r A t t i t j t k ( ) ( ) ( ) ( ) = − − + + 4 1 2 3 6 2 . Calcular: a) r A t dt ( ) 2 3 ∫ b) [ ] [ ( ) ] ti k A t dt − • ∫ 2 1 2 r 167. Hallar el vector B(t) tal: d B dt t i t j k 2 2 2 6 8 12 r = − + donde: r r B i k y dB dt i j para t = − = + = 2 3 5 0 168. Demostrar que: r r r r r r A d A dt dt A dA dt C Donde C es un vector constante × = × + ∫ 2 2 169. Si r R x y i y z j xy z k = − + 2 2 2 2 2 $ $ $ Hallar: ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 R x R y × Para el punto (2, 1, -2) 170. Si r A x i y j xz k = − + 2 y v B yi x j xyz k = + − Hallar: ( ) ∂ ∂ ∂ 2 x y A B r r × en el punto (1, -1, 2). COORDENADAS POLARES 171. Una recta dista del origen de coordenadas una longitud ρ y forma con el semieje OX positivo un ángulo α. Tomando el origen como polo y el eje OX como eje polar, obtener la ecuación de la recta en coordenadas polares. 172. Dos puntos están definidos por sus coordenadas polares (r 1 , φ 1 ) y (r 2 , φ 2 ). Obtener la expresión de la distancia entre ambos. 173. Obtener la ecuación en coordenadas polares de una elipse, considerando un foco como polo y el eje mayor como eje polar. 174. Obtener la ecuación de una parábola en coordenadas polares, considerando el foco como polo y el eje polar perpendicular a la directriz. 175. Cambiar las coordenadas cartesianas a coordenadas polares, según corresponda, las expresiones de las curvas siguientes: (a) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 y x y x − = + . (b) ( ) ϕ ϕ tan 1+ = sen r APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 82 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 176. Si: r A xz i x y j yz k = + − − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 y φ = + 3 2 2 3 x y y z . Hallar .en el punto (1, -1, 1): (a) ∇φ (b) → • ∇ A (c) → × ∇ A 177. Si φ = + + xy yz zx y r A x yi y z j z x k = + + 2 2 2 . Hallar en el punto (3, -1, 2): a) r A• ∇φ b) φ∇• r A c) ( ) ∇ × φ r A 178. Demostrar que si U, V, A y B tienen derivadas parciales continuas, entonces: a) ( ) ∇ + = ∇ + ∇ U V U V b) ( ) ∇• + = ∇• + ∇• r r r r A B A B c) ( ) ∇× + = ∇× + ∇× r r r r A B A B 179. Demostrar que: ( ) ∇× = r r 2 0 r donde r r r xi yj zk y r r = + + = 180. Probar que: a) div rot A r = 0 y b) rot d gra φ = 0 con la condiciones dadas de r A yφ 181. Si ( ) ( ) ( ) r A x yz i y xz j x z k = − + − + 2 2 2 2 2 3 y φ = − + x y xz xyz 2 2 3 2 . Demostrar directamente que: div rota A y rot d r = = 0 0 gra φ 182. Si: r A xz i yz j x z k = − + + 3 2 2 ( ) . Hallar: rot rot A r 183. Demostrar que: ( ) ( ) ∇× ∇× = −∇ + ∇ ∇• r r r A A A 2 184. Demostrar que: a) ( ) ( ) ( ) ∇× = ∇ × + ∇× UA U A U A r r r b) ( ) ( ) ( ) ∇• × = • ∇× − • ∇× r r r r r r A B B A A B 185. Si φ = = − + x yz y A xzi y z j x y k 2 2 2 2 2 r Encontrar: a) ∇φ b) ∇•φ 186. (a) Si: r A xy z i x y j xz k = + + + + − ( ) ( ) ) 2 2 3 2 3 2 2 . Demostrar que ∇× = φ 0 (b) Hallar la función escalar φ tal que r A = ∇φ APUNTES DE FISICA I 2 ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 EL UNIVERSO INTRODUCCION Las observaciones astronómicas llevaron a Galileo a obtener sus conclusiones que condujeron al descubrimiento del principio de inercia. El admite que, en condiciones normales, en el medio terrestre es difícil demostrar que un cuerpo puede moverse uniformemente en línea recta, mientras no se apliquen fuerzas externas. Newton descubrió la ley de la gravitación universal, mediante un análisis minucioso del movimiento de la Luna alrededor de la Tierra y no por la observación del fenómeno de atracción mutua entre dos objetos sobre la superficie terrestre, puestos que estas fuerzas son extremadamente pequeñas,; la ley de la gravitación universal predice con gran precisión en movimiento de la Luna, el Sol y los planetas, y sobre ella se basa el logro tecnológico de la puesta en órbita de los satélites artificiales. Eisntein postulo su teoría general de la relatividad a partir de datos obtenidos según escalas astronómicas, dada la limitación de las escalas terrestres cuando es considerada la velocidad de la luz. Para Einstein, los instrumentos intelectuales de que dispone hoy en día, sin los cuales sería imposible el desarrollo moderno de la ciencia y la tecnología, generalmente son consecuencia de observaciones de tipo astronómico. Las observaciones astronómicas permitieron así mismo el descubrimiento de los espectros de radiación y emisión y de muchos otros fenómenos registrados en la naturaleza. A su vez, los avances de la física terrestre han permitido explorar y explicar lo que sucede en lugares muy lejanos del universo, a distancias insospechadas de nuestro planta. Aunque brevemente, nos ocuparemos a continuación del estudio de las concepciones modernas de la estructura del universo y de las teorías que predominan hoy en día acerca de su origen y desarrollo; el propósito de nuestro estudio consiste en adoptar una visión cosmologíca (del griego cosmos y gónos, generación u origen), sobre ese enigmático universo del que formamos parte. EL UNIVERSO. ANTECEDENTES HISTORICOS El filosofo griego Aristóteles (384-322 a.C.) concebía la Tierra como el centro del universo, alrededor de la cual, en orbitas circulares, se movían el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas. Más tarde, Ptolomeo (siglo II de nuestra era) propuso un modelo, conocido como sistema de Aristóteles y Ptolomeo o modelo geocéntrico. En cada esfera se movían la Luna, el Sol, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno, que eran los únicos planetas conocidos en ese tiempo, y en la octava esfera se hallaban fijas las estrellas. En el siglo XVI un cura, astrónomo y medico polaco, Nicolás Copernico (1437-1543), propuso en forma clandestina otro modelo: el Sol era el centro del universo, al tiempo que la Tierra y los planetas giraban a su alrededor en orbitas circulares (teoría heliocéntrica del universo). La Iglesia tenia como verdad única la idea de un universo en que la Tierra fuera el centro (modelo geocéntrico), y mantenía una posición férrea a cualquier negación en ese sentido, persiguiendo a los defensores de las ideas copernicanas. Es hasta el siglo XVII cuando Galileo Galilei (1564-1642), Johanes Kepler (1571-1630) y Tycho Brahe (1546-1601), cada uno por separado y basados en la observación directa (Brahe), luego con la ayuda del telescopio (Galileo), y mediante la incorporaron de cuidadosos cálculos matemáticos (Kepler), comprueban como valida la teoría propuesta por Copernico. Así Kepler descubre que las orbitas no eran circulares, sino elípticas (este termino proviene de elipse, que es una especie de circunferencia alargada), en uno de cuyos focos estaba el Sol; sólo siendo elípticas, lograban ajustarse sus cálculos a las observaciones astronómicas. En cuanto a Galileo, aquellos fueron tiempos difíciles para él, quien fue acusado de herejía, juzgado por la Santa Inquisición y condenado prisión domiciliaria en Florencia, donde finalmente, murió ciego. Más tarde, Isaac Newton (1642-1727) quien nace el mismo año en que muere Galileo, presenta una teoría que explica el movimiento de los cuerpos en el espacio y en el tiempo, y desarrolla la complicada matemática con que analiza esos movimientos, convirtiendo los principios físicos en resultados directamente verificables por la observación. LA GRAN EXPLOSION Todos los esfuerzos experimentales realizados hasta la fecha arrojan indicios de que el universo comenzó como una bola de materia con densidad y temperatura extraordinariamente altas, que exploto violentamente hace unos 15 mil millones de años. A partir de esa explosión, conocida como big bang, el universo comenzó su expansión y evolución en forma natural; tal expansión es fácilmente observable desde la Tierra, con el uso de instrumentos apropiados. La teoría del big bang supone que, antes de la explosión, la distancia entre las galaxias era cero. Después de la explosión, todo el material empezó a expandirse y a enfriarse y, por efectos gravitacionales, se formaron concentraciones de materia, las cuales constituyeron posteriormente las galaxias. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 3 La bola de materia primitiva, decíamos anteriormente, consistía en una enorme masa de densidad y temperatura altísimas; en esas condiciones, para las capas exteriores sería muy difícil separarse y escapar, dada la enorme fuerza gravitacional que aquella masa de materia poseía. Lo explicaremos mediante un ejemplo comparativo: para que un proyectil pueda escapar de a fuerza de atracción terrestre, requiere un impulso inicial vertical, desde la superficie de la Tierra, que le imprima una velocidad mayor de 40 000 km/h (unos 11 000 m/s); esta velocidad se conoce como velocidad de escape, y en el caso del Sol, ésta es de 617 000 m/s. Pensemos ahora en la velocidad mínima necesaria de a materia de la bola de fuego, cuya masa equivalía a una cantidad inimaginable de veces la masa de la Tierra, para vencer su atracción; sin embargo, debido a las elevadísimas temperaturas, las reacciones térmicas en el interior de la bola produjeron fuerzas tales que vencieron a las fuerzas gravitacionales, de modo que luego sobrevino la gran explosión. A partir de ese momento, el universo consistía en energía y materia extraordinariamente caliente, y conforme se expandía y enfriaba, en el transcurso de cientos de miles de años, se formaron los electrones y núcleos, uniéndose luego para formar átomos. ¿Terminará la expansión del universo en algún instante y vendrá luego la contracción para volver a la bola de fuego primitiva? No lo sabemos; sin embargo son tales las dimensiones en el universo que, en este retroceso, se necesitarían miles de millones de años para que se produjera el gran colapso, o big crunch, como también se conoce. DESPLAZAMIENTO HACIA EL ROJO Un fenómeno interesante que se presenta ante nuestra vista con alguna frecuencia, lo constituye el arco iris; las gotas de agua suspendidas en el aire, por efecto de la refracción, hacen que la luz blanca proveniente del Sol se descomponga en majestuosos colores, que forman lo que se conoce como espectro luminoso. Igual resultado se obtiene cuando la luz pasa a través de un prisma óptico: la luz se presenta en los diversos colores que la componen, es decir, su espectro. Cuando los astrónomos enfocan con sus telescopios alguna estrella, pueden obtener de ella el espectro de luz correspondiente, y como cada elemento químico absorbe un conjunto característico de colores, se puede determinar los elementos que constituyen la atmósfera de la estrella. El análisis espectral de la radiación luminosa permite estudiar la composición química, la temperatura superficial, el estado físico (gravedad superficial, velocidad de rotación, etcétera), las propiedades magnéticas y la velocidad de la estrella por el espacio. Cuando una fuente emite ondas, ya sea sonoras de luz o de radio, la frecuencia con que son detectadas )o sea, el numero de vibraciones por segundo) es constante, siempre y cuando la fuente y receptor esté a una distancia fija; pero ¿Qué sucedería en caso de que la fuente o el observador, o ambos se acercaran o alejaran entre ellos? Aquí interviene la presencia de un fenómeno conocido como efecto Doppler, que consiste en la variación de la frecuencia, real o percibida, de un sistema (emisor) de ondas de propagación, a causa del movimiento relativo de la fuente emisiva y del observador (receptor de ondas); de esta manera, si la fuente y el observador se aproximan, la frecuencia aumenta (es decir, llegan más ondas por segundo al observador); por el contrario, si se alejan, la frecuencia es menor. Un ejemplo práctico de este principio es el caso de una motocicleta cuando se nos acerca por la carretera. Conforme se aproxima, su motor suena mas agudo, como consecuencia de una frecuencia mayor de las ondas sonoras, y a medida que se aleja produce un sonido más grave, el mismo comportamiento se advierte con las sirenas de las ambulancias. Las ondas de radio y las ondas de luz se comportan de igual forma. De acuerdo con la frecuencia de los pulsos de ondas de radio que refleja un vehículo, el policía de transito determina, con la ayuda de un radar, la velocidad con que este se desplaza por la carretera, así también, cuando este principio se aplica a las ondas luminosas, el astrónomo determina si una estrella o una galaxia se acercan o se alejan y además con qué velocidad lo hacen. La luz tiene diferentes frecuencias, cada una de las cuales corresponde a los distintos colores que el ojo humano pueda ver; así, el extremo rojo del espectro corresponde a las frecuencias más bajas y el extremo azul a las frecuencias más altas, mayor y menor longitud de onda, respectivamente. El desplazamiento hacia el rojo, en relación con la expansión del universo, puede explicarse de la siguiente manera: al observar una estrella o una galaxia, el espectro de su luz presenta un corrimiento hacia el rojo, ello indica necesariamente que dicha estrella o galaxia se aleja de nosotros, y se acercaría, en el caso de que la luz presentara en su espectro un corrimiento hacia el azul. En 1929, el astrónomo estadounidense Edwin Hubble, descubrió que la mayoría de las galaxias observadas presentan un corrimiento hacia el rojo, y que, además, cuanto más lejos esté una galaxia con mayor velocidad se aleja; así, el universo está en continua expansión, porque la distancia entre las galaxias aumenta ininterrumpidamente. APUNTES DE FISICA I 4 ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 LAS GALAXIAS Y SU ORIGEN Cuando en una noche clara observamos el cielo nocturno, podemos advertir una gran banda luminosa que atraviesa la bóveda celeste; ésta es un asomo de la configuración de la Vía Láctea, el nombre de la galaxia a la que el Sol y los planetas de su sistema pertenecen. Si un observador la contemplara desde otra galaxia percibiría la Vía Láctea como una enorme configuración en espiral. La Vía Láctea tiene un diámetro aproximado de cien mil años luz (una año luz es la distancia que recorre la luz en un año, siendo su velocidad de 300 000 km/s) y se calcula que posee, aproximadamente, cien mil millones de estrellas. Una galaxia es una agrupación de estrellas y nuestra galaxia, la Vía Láctea, no es la única, existen cientos de miles de millones de galaxias, cada una con cientos de miles de millones de estrellas; la estrella más cercana después del Sol está aproximadamente a cuatro años luz de la Tierra; se trata de Próxima Centauro. Esto significa que su luz tarda cerca de cuatro años en llegar hasta la Tierra. Otras estrellas visibles están a algunos cientos de años luz. De manera similar a como los planetas giran alrededor del Sol, las estrellas lo hacen alrededor del centro de la galaxia para no colapsarse (contraerse hacia el centro), debido a las fuerzas de atracción gravitatoria entre sus partes; el Sol gira alrededor del centro de la galaxia a una velocidad de 280 km/s y completaría una vuelta cada 200 millones de años. Es precisamente este movimiento giratorio el que mantiene a las galaxias aisladas en el universo, con tamaños casi fijos, y separadas una de las otras por distancias de cientos de miles o de millones de años luz, alejándose continuamente de ellas. Las galaxias se originaron posiblemente como a continuación se describe. Mas de un millón de años después del big bang, el universo continuaba su expansión y enfriamiento, pero algunas zonas más densas formadas por nubes de polvo mostraban una expansión retardada, debido posiblemente a la atracción gravitatoria de la materia circundante y empezaban a colapsarse (contraerse) de nuevo; conforme estas regiones se contraían, giraban sobre si mismas cada vez más rápido, de la misma manera en que un niño, por ejemplo, sentado sobre una silla giratoria puede controlar la rapidez de su giro con solo extender o encoger sus brazos, o del mismo modo en que un patinador que se desliza sobre el hielo gira más aprisa cuando encoge sus brazos, y más lentamente cuando los extiende. Esa simple diferencia de la distribución de la masa provoca variaciones en la rapidez de la rotación; este principio se basa en la ley de conservación del momento angular. Así, la masa adquirió un giro suficientemente rápido para compensar la atracción gravitatoria, y tener una región casi estable de forma de disco; a estas regiones se les llamo galaxias giratorias. Hay una variedad de tipos de galaxias en el universo, y pueden presentar varias formas esféricas, elipsoides, espirales (como la Vía Láctea), barradas e irregulares. LAS ESTRELLAS Sigamos con el proceso de expansión a partir del big bang. Las nubes galácticas estaban formadas por regiones gaseosas, y aquellas cuya densidad era mayos atraían a las nubes vecinas, debido a la intensidad de su campo gravitacional. De esta manera, una gran cantidad de hidrogeno comienza a contraerse sobre si mismo, los átomos chocan entre si cada vez con mayor violencia y el gas está tan caliente que los núcleos de hidrogeno se fusionan para formar núcleos de helio. Esta reacción provoca el desprendimiento de una enorme cantidad de energía térmica y radiante que hace que la nube de gas y polvo brille, y la energía adicional aumente la presión de expansión del gas, hasta equilibrar la atracción gravitatoria y frenar la contracción; ha nacido una estrella que permanecerá estable por un largo periodo, siempre y cuando las fuerzas nucleares de expansión y las fuerzas gravitacionales de contracción se equilibren. El resultado de las reacciones nucleares es la energía irradiada en forma de luz y calor. Algunas estrellas son muy masivas y tienen combustible para más de cien millones de años; otras, como nuestro Sol, tienen combustible para aproximadamente cinco mil millones de años, de manera que, considerando la escala del tiempo de los seres humanos, no debemos preocuparnos, pues tenemos Sol para rato. No se dispone de pruebas definitivas sobre la formación de las estrellas; su origen pretende explicarse con teorías muy diversas, una de las cuales es la expuesta anteriormente. Pero es opinión generalizada que las estrellas se formaron a partir de la contracción de nubes de masas enormes de hidrogeno frío. Una vez conformadas, son enormes masas esféricas, que durante largo tiempo mantienen su tamaño, forma y propiedades muy estables. De acuerdo con su tamaño, las estrellas presentan diferencias abismales, desde las llamadas enanas, algunas de las cuales tienen un diámetro cercano al de la Tierra, hasta las denominadas gigantes, cuyo diámetro equivale a más de 1000 veces el diámetro del Sol; las enanas y las gigantes constituyen cerca del 10 % del total de las estrellas. Estos cuerpos celestes presentan también diferencias según su masa, densidad, color y temperatura; la composición química de las estrellas es similar en todas, y aunque el hidrogeno y el helio son en esta etapa. al tiempo que su radio aumenta cerca de 500 veces su dimensión original. en esta situación. LAS ESTRELLAS GIGANTES ROJAS Las estrellas gigantes rojas son extraordinariamente grandes. se hacen invisibles y mueren. muy pequeñas. Ello significa que en un centímetro cúbico cabría más de una tonelada de esa materia. compuesto de la materia de una enana blanca pesaría cerca de diez toneladas. su radio aumenta 500. su radio crecería lo suficiente para sobrepasar la orbita terrestre y evaporar la Tierra. Las estrellas gigantes se forman en un lapso de unos 5000 millones de años. fue la compañera de la estrella más brillante de nuestro firmamento. la ausencia de las reacciones termonucleares del hidrogeno provoca un desequilibrio del que surge una contracción gravitatoria adicional. muy calientes y en sus extrañas hay enormes temperaturas y presiones. a través de reacciones termonucleares que se llevan a cabo a temperaturas elevadísimas. y en las capas exteriores permanece el hidrogeno intacto. un objeto parecido a un lápiz. de modo que en un volumen pequeño almacena una extraordinaria cantidad de masa. Estas estrellas se mantienen así durante millones y miles de millones de años. en una gigante roja y permanecerá así durante centenares de millones de de años. sus temperaturas superficiales varían desde los 2000 ºC a los 25 000 oC.. se encuentran en proceso de enfriamiento y su muerte se produce como un evento que no presenta espectacularidad alguna. por ejemplo. menos de una millonésima de la densidad original. convertida en una enana negra. su diámetro supera cientos de veces el del Sol. son estrellas en proceso de enfriamiento. Así. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 5 las sustancias que predominan. un millón de toneladas. una enorme esfera con una atmósfera abundante en hidrogeno. las más cercanas. su radiación disminuye y. el hidrogeno de las capas exteriores reacciona expandiendo la estrella. su superficie es muy caliente y su brillo muy débil. sino que solo la transmite. finalmente. La enana blanca representa un estado al que llegará una estrella cuya masa sea similar o menor a la del Sol. SU EVOLUCION Las estrellas parecidas al Sol constituyen la mayoría en el universo y. más bien la estrella requiere que se le suministre energía. pero se supone que en el universo existe una cantidad considerablemente grande de ellas. también intervienen en su composición otros elementos en una proporción insignificante. Las enanas blancas pueden ser estudiadas detalladamente porque son visibles. de color blanco. Una enana blanca es superdensa. Se conocen más de cien enanas blancas. Las capas calientes que envuelven al núcleo se dilatan. Llegando a tal punto. Su densidad se estima aproximadamente en 109 kg/m3. y en su interior poseen una densidad mucho mayor que la del Sol. sufrirá luego una contracción prolongada. para convertirse. de proporciones inmensas. tienen gran luminosidad y una densidad millones de veces menor que la del Sol. Esto se conoce como proceso triple alfa. Como la masa de la estrella se mantiene casi constante y el volumen aumenta considerablemente. 1000 o más veces. LAS ESTRELLAS ENANAS BLANCAS Son estrellas con un tamaño semejante al de la Tierra. Nuestro Sol se convertirá. cada vez emiten menos radiación. dentro de unos 5000 millones de años. produciéndose. éste es ocupado en su totalidad por helio. o sea. se conocen como estrellas de la secuencia principal. Una. LAS ESTRELLAS DE HIDROGENO. a su vez. ELECTRONICA MsC. lo cual quiere decir que un volumen de 1 m3 de materia tendría una masa de mil millones de kilogramos. y luego agotan rápidamente las reservas de combustible nuclear. lo que provoca a la vez que en el núcleo se generen otras reacciones nucleares como la del helio. Puesto que una enana blanca ha convertido todo su hidrogeno en helio y éste. la envoltura de la estrella no produce energía. queda en ellas sólo su parte densa central y en la etapa final de su desarrollo se convierten en enanas blancas. Cuando el hidrogeno del núcleo de una estrella ordinaria como el Sol se agota. cesan las reacciones termonucleares y todos los procesos que causaban la liberación de energía. Se cree que finalmente se colapsará (se contraerá) para convertirse en enana blanca. es porque se ha convertido todo en helio. Con un núcleo muy caliente y su parte externa relativamente fría y muy luminosa.APUNTES DE FISICA I ING. por lo mismo. y su densidad disminuye. de las primeras que se descubrieron. la estrella de estas características produce su energía mediante el consumo de hidrogeno en el núcleo (el núcleo ocupa alrededor de un 15 % del volumen total de la estrella). su densidad será. Al expulsar sus envolturas exteriores. se enfrían al transcurrir el tiempo. Ahora. Cuando se agota todo el hidrogeno del núcleo. como consecuencia. esta estrella se ha convertido en una gigante roja. Esta estrella que permanece así durante millones de años es una gigante roja. en el proceso de su evolución (lo mismo se cree que sucede con las estrellas de neutrones y con los agujeros negros). se habrá convertido en elementos más pesados. finalmente en una enana blanca y luego morir. aún más pequeñas y una masa semejante a la del Sol. Sirio. . produciendo explosiones como una nova. en la que tres núcleos de este elemento (partículas alfa) se fusionan para formar un núcleo de átomos de carbono. casan las reacciones en el núcleo. que se desplaza hacia fuera de la estrella con una rapidez cercana a los 600 km/s. explosiones tan próximas que fueron observadas a simple vista. las novas son un tipo particular de estrellas que en un tiempo muy corto. Los astrónomos chinos registraron una explosión de supernova que fue observada en el año 1054. Estas estrellas se conocen también como pulsares. estas ultimas constituyen la explicación de los púlsares. con una luminosidad aproximada de más de 100 mil millones de veces a la del Sol. En algunas han ocurrido explosiones hasta tres veces. la materia. porque expulsó cerca de una cienmilésima parte de su masa total. En el estado de explosión. no está en este caso compuesta de protones. El fenómeno supernova es similar al de una nova aunque a escalas mucho mayores. sino que será. se enfría y en algunos años desparecerá por completo.5 veces la masa del Sol. Aquellas estrellas con masas de 2 a más veces la masa del Sol son inestables. por ser cuerpos muy estables. los electrones y los protones se fisionan y se originan los neutrones. La estrella comienza a dilatarse y en una violenta explosión que dura unos cuantos minutos. esto es. a 50 000 años luz de la Tierra. De la misma forma.5 o 2 veces esa masa. en forma de una nube esférica de gas. pero ahí permanecen. la capa que se forma alrededor de la estrella después de la explosión se expande muy rápido y adquiere dimensiones considerables. Se trata de estrellas más masivas que el Sol. Son estrella de una masa cercana a la del Sol. Otras dos explosiones fueron en 1572 y en 1604. Precisamente los pulsares constituyen la evidencia de que existen estrellas de neutrones. que podría superar en brillo a todas las estrellas juntas de su galaxia. esto significa que el estallido se produjo unos seis mil años antes de 1054.03 s hacen que se piense en pulsaciones que proceden de una estrella de neutrones giratoria. Los residuos de dicha explosión dejaron como resultado la Nebulosa del Cangrejo. las hay las que realizan 30 vueltas por segundo. expulsan materia. en la Nube de Magallanes. sino solamente de neutrones. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 LAS ESTRELLAS NOVAS No es frecuente observar cambios significativos en el estado físico de las estrellas. los núcleos se tocan entre si. El neutrón es la forma más estable de la materia en el estado descrito. Se trata de estrellas que lanzan violentamente su materia. porque según la conservación del momento angular. a velocidades elevadísimas emiten radiaciones o pulsaciones periódicas. uno o dos días . pero en forma muy lenta. Son más pequeños que las enanas blancas y tienen un periodo de rotación (tiempo que tardan en dar una vuelta) de fracciones de segundo. esto la hace aparecer como una estrella gigante cuya radio es ahora unas cien veces el radio de la prenova. Esta estrella no se puede convertir en una enana blanca. la explosión más grandiosa y espectacular. los núcleos atómicos se tocan. ya es una nova. ésta es la característica principal de una nova. sin embargo. Bajo tales presiones. La materia que conforma una estrella de neutrones presenta un estado de compresión de los máximos posibles. sus capas externas son arrojadas a velocidades mayores de 5000 km/s. Durante la explosión. se le llama estrella de neutrones. por lo que su densidad media es de miles de millones de millones de toneladas por metro cúbico. LAS SUPERNOVAS El fenómeno de la supernova es. en ese estado. sufrir explosiones espectaculares y permanecer casi como en su estado original. y su luminosidad es de 60 000 a 100 000 veces mayor que en el estado de la prenova. finalmente. por esta razón. y lo que queda en una estrella con una masa aproximada a 1. que forma parte de nuestra galaxia. la masa de los gases lanzados puede superar varias veces la masa del Sol.APUNTES DE FISICA I 6 ING. en su interior (núcleo). esta estrella que sufre tan espectacular explosión permanece casi inalterada con respecto a su estado original. y apenas visible. Es tal la cantidad de energía irradiada por este acontecimiento. consumieron su combustible y llegan a un estado se compresión tal que. se conocen como prenovas. El 23 de febrero de 1987 fue observada la supernova más cercana en los últimos cuatrocientos años. neutrones y electrones. liberando en explosiones enormes cantidades de energía. ELECTRONICA MsC. empieza a disminuir. ya que la luz tardaría ese tiempo en llegar hasta nosotros. en aproximadamente 1. aunque no necesariamente más grande. sin embargo. de manera que dan varias vueltas en un segundo. La nube expulsada se expande. incrementa su luminosidad con una rapidez extraordinaria y explotan repentinamente para lanzar al espacio una enorme cantidad de materia. en 1885 fue detectada otra explosión supernova en la galaxia de Andrómeda. periodos tan pequeños y regulares de 0. A partir de ese momento. Esta cantidad de materia expulsada tan rápidamente corresponde a una cantidad de energía tal que. entonces. y algunas . en su rápido giro. una densidad aproximada a 1018 kg/m3. sobre todo variaciones frecuentes del brillo. de no ser por la explosión. la estrella tardaría en emitida alrededor de diez mil años. LAS ESTRELLAS DE NEUTRONES Son estrellas cuya masa es mayor a la del Sol. y su radio es cercano a los 15 o 20 km. galaxia vecina a la Vía Láctea. se han observado variaciones en algunas estrellas. La supernova lanza al espacio una parte considerable de su masa en forma tan violenta que provoca la formación de una nebulosa irregular. una estrella de neutrones o un agujero negro. en el mundo de las estrellas. rayos X y ondas de radio. AGUJEROS NEGROS Trataremos ahora algunas características acerca de ciertas zonas invisibles en el universo. Suponiendo que el Sol se colapsara de esa forma. en conjunto. ELECTRONICA MsC. emiten ondas de luz y de radio con una potencia que supera cientos de veces la potencia. Los púlsares fueron descubiertos en 1967 por Jocelin Bell. guiarnos hacia hallazgos sorprendentes. Con un diámetro del orden de 1011 km. de tener fundamento. de un segundo o fracciones. debido a la similitud de ambos como fuentes de radiación electromagnética de excepcional potencia. Se cree que los agujeros negros constituyen las etapas finales en la vida de las estrellas masivas. los objetos cósmicos más extraños en el universo. que se halla a 6000 años luz de la Tierra y emite luz. que van de 0. alguno de ellos. se detecto un púlsar con destellos de radio y de luz visible en el centro de la Nebulosa del Cangrejo. una estudiante de investigación de Cambrigde. Al mismo tiempo. Son fuentes poderosas de ondas de radio. Se ha requerido comparar a los quasares con los núcleos de las llamada galaxias activas.03 s a 3 s. precisamente. ya que no irradian luz y por lo tanto son invisibles. emiten destellos de luz visible en sincronización perfecta con las ondas de radio. la materia resultante se contrae continuamente (se colapsa) hacia su centro de gravedad y forma un objeto gravitacional de una densidad tan extraordinaria que ni siquiera la luz puede escapar de él. sino de estrellas de neutrones en rotación que emitían pulsos de ondas de radio muy cortos. es el periodo más corto de todos los conocidos. los que proporcionan la inmensa cantidad de energía que estos sorprendentes cuerpos celestes son capaces de emitir. la primera de las cuales se refiere a pulsar). rigurosamente periódicos. es posible que sean estrellas giratorias de neutrones. conforme se contrae. formado por dos estrellas de neutrones que giran una alrededor de la otra en forma de espiral. Si recibimos ondas de luz y de radio provenientes de los quasares con tanta intensidad. los agujeros negros son objetos con mayores compresiones que las de las estrellas de neutrones. Son objetos muy pequeños que emiten una cantidad enorme de energía. y centellea 30 veces cada segundo. que provocan en sus cercanías comportamientos misteriosos de la materia circundante. su diferencia radia en que la potencia de radiación de los quasares es mayor . se desprende que estos objetos pueden producir energía en una forma gigantesca. de los centenares de miles de millones de estrellas que conforman una galaxia. surgen muchas ideas que suponen que en el centro de estos se puede encontrar agujeros negros súper masivos. girando a una velocidad casi igual a la velocidad de la luz (el Sol gira en torno a su eje una vez cada 25 días). Se trata del pulsar del Cangrejo. es decir. son cuerpos esféricos en rotación compuestos de plasma en un campo magnético muy fuerte. LOS QUASARES Las observaciones radioastronómicas permitieron el descubrimiento de estos maravillosos objetos celestes en 1963. ésta es una de las explicaciones razonables de la radiación. Se sabe que se formaron a partir de la explosión de una supernova. pero están tan lejos de nosotros que su observación no nos puede proporcionar evidencias sobre qué procesos físicos se llevan a cabo para liberar tan enormes cantidades de energía. muy pocos entre los conocidos. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 7 que se colapsan forman estrellas de neutrones con un radio de pocos kilómetros. al parecer. El agujero negro es una estrella que se encuentra en proceso de contracción gravitatoria y. como mencionábamos al inicia de este apartado. En la actualidad están registrados más de 300 púlsares. y son. lo que indica que están alejándose de la Tierra a velocidades extraordinarias.APUNTES DE FISICA I ING. y como son del tamaño de las estrellas de neutrones. efectuaría una revolución en torno a su eje en 2 diezmilésimas de segundo. Todo lo anterior constituye suposiciones que podrían ser desechadas o. la rigurosidad de su periodo fue explicada por la rapidez de su rotación. Podríamos comparar estos objetos celestes con un faro luminoso que despide destellos de luz en forma intermitente en lapsos iguales. Según la . Nos referimos a los agujeros negros. En los últimos años se ha detectado un sistema llamado PSR 1913+16 (PSR son sus siglas en ingles. quien creyó que había establecido contacto con seres extraterrestre. En 1969. sin embargo. aquellas cuya masa equivales a 3 o más veces la masa del Sol. Los quasares se conocen como objetos cuasiestelares. 0. pero por la enorme distancia a la que se encuentran aparecen como objetos brillantes muy pequeños. no se trataba de eso. es decir como fuentes de radioemisión que se comportan como estrellas. Inglaterra. las cuales si permiten la salida de la luz.033 s. EL PULSAR El pulsar es una fuente emisora de ondas de radio de baja frecuencia emitida en lapsos regulares y muy breves. son de aspecto similar a las estrellas. Casi todos los quasares conocidos son objetos solitarios y con grandes corrimientos hacia el rojo. Esta fue la primera evidencia de que las estrellas de neutrones existían. la intensidad de campo gravitatorio en su superficie aumenta. su enorme energía cinética de rotación es la fuente que produce la energía de radiación. de esta manera. APUNTES DE FISICA I 8 ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 teoría de la relatividad de Einstein, la rapidez con que viaja la luz en el vació no puede ser superada por nada; es la máxima velocidad permitida en el universo (300 000 km/s); así si la luz no puede escapar de esta atracción (reacuérdese la velocidad de escape, a que nos hemos referido anteriormente), ningún otro objeto, partícula o señal física lo puede hacer; por eso, un agujero negro no deja escapar nada (ni materia ni radiación), y al mismo tiempo puede absorber la materia circundante para aumentar su masa. Una región de estas características es lo que se conoce como agujero negro (también suele denominarse hoyo negro); se trata de una región de espacio-tiempo, desde donde no se puede escapar, y en donde todo es arrastrado hacia adentro, dada la enorme intensidad del campo gravitacional. Los agujeros negros no tienen tamaño ni forma definida según lo entendemos de manera convencional, pero típicamente tienen unos 15 km de diámetro. Poseen masas que van desde unas tres veces la masa del Sol, a cientos de millones de veces esa cantidad y absorben toda la materia o energía que se encuentra a una distancia crítica llamada horizonte de eventos. En esta zona u horizonte de sucesos, la materia es arrastrada hacia un remolino que la captura y la convierte en parte del espacio curvo del agujero negro. Las ondas gravitatorias que un agujero negro emite en el momento del colapso serían una evidencia de su existencia, si éstas lograran ser detectadas, pero ésta es una tarea que se ha tomado realmente difícil. Así, en la actualidad, se trabaja en al construcción de detectores de ondas gravitacionales con una mayor sensibilidad. La alternativa más viable para localizar un agujero negro consiste es ubicarlo en un sistema binario de estrellas en el que giran una en torno a la otra, una brillante y la otra invisible, y esta ultima constantemente absorbe, de la primera, materia y radiación. El material de la estrella, al caer al agujero negro, emite radiación en rayos X que se puede detectar en la Tierra. Este el caso de la fuente Cisne X-1 el la constelación del Cisne, descubierta en 1972, y desde 1974 considerada por los astrónomos como un agujero negro. Se encontró otro con características similares a Cisne X-1 en la Constelación del centauro, Centauro X-3, y otro denominado Lobo X-1 en la Constelación del Lobo. Se cree que existen muchos más, muy masivos, en los centros de algunos grupos nebulosos. Pero los agujeros negros ¡no son negros!. El físico británico Stephen Hawking mostró en 1974 que los agujeros negros emiten radiación con una temperatura característica de la masa que éstos mismos poseen. Este descubrimiento causó gran sorpresa, pues el fuerte campo gravitacional de su superficie impide que lo que se encuentra dentro de él se escape incluyendo la luz. Hawking mostró que las partículas pueden vencer la enorme atracción de la superficie del agujero negro y escapar. La revelación de estos asombrosos resultados permitió utilizar por primera vez las leyes de la mecánica cuántica en conjunción con la relatividad general. Este sorprendente hallazgo lo describe el propio Hawking de esta manera “Descubrí, con una gran sorpresa por mi parte, que el agujero negro parecía emitir partículas a un ritmo constante. Como todo el mundo, entonces, yo aceptaba el dogma de que un agujero negro no podía emitir nada.. El aguajero negro crea y emite partículas como si fuese un cuerpo calido ordinario, con una temperatura directamente proporcional a la gravedad e inversamente proporcional a la masa” . Otras investigaciones han confirmado posteriormente este resultado. EL ORIGEN DEL SISTEMA SOLAR NUESTRO SISTEMA SOLAR Nuestro sistema solar está conformado por el Sol y nueve planetas, éstos a su vez, orbitados por satélites. Se considera que han transcurrido cerca de 4500 millones de años desde el momento en que los planetas y el Sol se originaron. La explicación de los detalles de la constitución de nuestro sistema solar en la actualidad es bastante satisfactoria (véase la tabla 1.1). Hemos llegado muchos más lejos, según podemos observar por lo tratado en los apartados anteriores de este capitulo, pero el origen de este enjambre planetario, de forma paralela con el origen de nuestro universo, constituye para la ciencia uno de los mayores retos a los que se enfrenta. Los detalles del origen de nuestro sistema solar son los que no están claros. Se cree que, por ser el Sol una estrella de segunda o tercera generación, se formó a partir del material (gas y polvo) expulsado por la explosión de una supernova. Las hipótesis modernas del origen del sistema solar se sustentan en la idea de su formación a partir de una nube de gas y polvo; una nube giratoria de gas, que contenía las partículas de polvo, restos de supernovas anteriores, conformaban un disco plano. La mayor parte del gas de la nube se concentró en forma de una enorme bola de fuego, formada casi en su totalidad por elementos más livianos, como el hidrogeno y el helio, convirtiéndose en el Sol. Las partículas de polvo no estaban distribuidas homogéneamente, sino que se APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 9 concentraban en zonas especificas para formar masas más grandes. Estas masas estaban formadas por elementos más pesados de la nube original, y constituyeron los planetas. Tabla 1.1 NUESTRO SISTEMA SOLAR PLANETA PERIODO RADIO DE DE LA ORBITA (Años) MERCURIO VENUS TIERRA MARTE JUPITER SATURNO URANO NEPTUNO PLUTON SOL (1) LUNA (2) (1) (2) 0,241 0,615 1,000 1,882 11,86 29,46 84,01 164,7 248,9 2 X 10 8 MASA (Kg) DENSIDAD (kg/m ) 3 RADIO (Km) PERIODO DE ROTACION (Dias) SATELITES CONCOCIDOS (Número) GRAVEDAD (m/s2) LA ORBITA (Km) 5,79 x 107 1,08 x 10 1,49 x 10 2,28 x 10 8 8 8 3,28 x 1023 4,83 x 1024 5,98 x 10 6,40 x 10 24 23 5600 4860 5500 4000 1300 700 1500 1200 2100 1400 3320 2450 6050 6370 3350 69 000 59 250 23 450 22 250 1150 696 000 1740 58 243 1 1,02 0,41 0,43 0,45 0,66 6,4 25,5 27,33 1 2 16 17 15 8 1 9 - 3,6 8,9 9,8 3,8 26,6 10,8 10,5 14,2 0,9 272,6 1,6 7,78 x 108 1,43 x 109 2,87 x 10 9 1,90 x 1027 5,68 x 1026 8,67 x 10 25 4,49 x 109 5,93 x 109 1,92 x 10 16 1,05 x 1026 1,80 x 1022 1,98 x 10 30 27,33 días 3,82 x 105 7,34 x 1022 Alrededor de la Vía Láctea Alrededor de la Tierra LA RADIASTRONOMIA Las ondas de radio son invisibles y, por lo tanto, imposibles de detectar por medio de telescopios comunes; por ello, es necesario utilizar antenas receptoras para captarlas igual que cualquier otra transmisión de radio. Las ondas de radio generan corrientes eléctricas que fluyen en la antena y son transformadas en sonidos. Si se utilizan receptores debidamente diseñados, es posible penetrar en el espacio a distancias de miles de millones de años luz y captar las señales emitidas en las longitudes de onda de las radiofrecuencias provenientes de una galaxia, de una estrella, de un planeta o de nuestro Sol. Estos receptores se conocen como radiotelescopios y, cuanto mayor es su tamaño, mayor es la cantidad de ondas de radio que pueden captar. Una pantalla cóncava de que están provistos reflejan las ondas y las concentra en la antena. La radioastronomía es la ciencia que estudia la radiación emitida por los cuerpos celestes en el dominio de las radiofrecuencias, desde los lugares más recónditos del universo., es de gran utilidad, porque después de detectar las señales, se enfocan los telescopios ópticos, para descubrir la fuente de la que provienen dichas señales. Así, un radiotelescopio consta básicamente de un enorme pantalla cóncava que refleja las ondas recibidas y las concentra en una antena direccional, conectada a un receptor de radio sensible. APUNTES DE FISICA I 10 ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA FISICA La vida de todo ser humano es un continuo batallar contra una serie de problemas que se presentan por la interrelación establecida entre los hombres, y entre el hombre y la naturaleza que lo rodea. Hablar de naturaleza aquí es hablar de Universo en un término más general; saber qué lugar ocupamos; dónde y en qué momento nos encontramos es poner la primera piedra de un hermoso e impresionante edificio llamado FÍSICA. La física es una de las creaciones más sorprendentes de la mente humana: representa el esfuerzo permanente del hombre para resolver problemas, contestar, comprender, interpretar, predecir y aprovechar el comportamiento de la naturaleza. En pocas palabras, la Física mediante el pensamiento nos lleva hacia lo desconocido; nuestra inteligencia nos permite literalmente penetrar en el firmamento, llegando a nuevas fronteras en busca de conocimientos, de la compresión de un orden para el Universo. Albert Einstein dijo alguna vez: “LA FÍSICA ES AVENTURA DEL PENSAMIENTO” EL COSMOS. Actualmente los científicos consideran que nuestro mundo y todo lo que rodea en un espacio-tiempo unidos solidariamente, cuya forma puede cambiar según el modelo que se utilice para describirlo. La agrupación de materia en el Cosmos da lugar a inmensos cuerpos brillantes constituidos por el 90 % por hidrógeno, y casi todo el resto por helio, los dos átomos más simples que existen en la naturaleza. En su mayoría, los cuerpos brillantes del Cosmos tienen dimensiones fabulosas y se denominan estrellas, las que se agrupan en Galaxias. Nosotros vivimos en una galaxia llamada Vía Láctea, en donde existen cien millones de estrellas, siendo una de ellas el Sol, el mismo que posee nueve planetas que giran a su alrededor. El Sol es un inmenso horno en cuya superficie la temperatura es de unos 6 000 grados. El Sol es nuestra principal fuente de energía y equivale a la explosión controlada de diez mil millones de grandes bombas de hidrógeno cada segundo y desde hace 5 000 millones de años. LA TIERRA. Nuestro planeta es uno de los nueve que giran alrededor del Sol, que conforman el sistema planetario solar. La edad de la Tierra es prácticamente la misma que la del Sol, pero su composición es abismalmente diferente, pues contiene grandes cantidades de hierro, níquel, oxígeno, cobre, etc; algo así como una pequeña contaminación concentrada en un lugar determinado, de sustancias poco comunes a las que predomina en el resto del Cosmos, un pequeño lugar donde hay vida. EL HOMBRE. Es evidente que el Universo presenta un orden determinado, y los seres vivos que son más que una característica adicional a este orden. El hombre es la criatura que tiene la facultad de pensar, razonar y por ende comprender todo aquello que lo rodea. La necesidad del hombre por explicar todo lo que ocurre en el Cosmos ha devenido en la elaboración de las ciencias. CIENCIA. Es el conocimiento cierto de las cosas por sus principios y causas. Está formada por un conjunto de conocimientos coherentes lógicamente ordenados y metódicamente utilizados que permiten conocer, comprender, emplear, transformar y preveer fenómenos naturales y sociales. CIENCIAS NATURALES. Designamos con este nombre a aquellas ciencias que se encargan de estudiar todos aquellos fenómenos físicos, químicos, biológicos, astronómicos, etc. Entre las más conocidas podemos citar a: Física, Química, Biología, Astronomía, Geología, etc. Actualmente fenómenos descubiertos han obligado al hombre a interrelacionar algunas de estas ciencias originándose así otras como la Astrofísica, la físico-química, la Bioquímica, la Biofísica, etc. FENÓMENO. Denominamos así a todo aquel cambio que se produce en el Universo. Estos cambios pueden ser del orden físico, químico, biológico, social, político, etc. FENÓMENO FÍSICO. Es todo cambio que se produce en la naturaleza, en donde existe materia, energía y estas experimentan cambios con énfasis en la energía. FENÓMENO QUÍMICO. Es aquel tipo de fenómeno en donde los cuerpos participantes experimentan cambios radicales en su estructura interna, originándose nuevos cuerpos. En la mayoría de los casos estos fenómenos suelen ser irreversibles. FÍSICA: Es una ciencia cuyo objetivo es estudiar los componentes de la materia y sus interacciones mutuas. En función de estas interacciones el científico explica las propiedades de la materia en conjunto, así como los otros fenómenos que observamos en la naturaleza. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 11 Características de la Física. Se interesa por lo que podemos ver y experimentar. Es experimental y depende de la observación y la medición. Es probablemente filosófica. Influye en nuestra cultura y costumbres. Está constituida por leyes cualitativas y cuantitativas. Emplea la matemática para expresar sus leyes cuantitativas, o sea que traduce a números sus razonamientos. Es una ciencia de vasto alcance, desde el análisis de las partículas sub-atómicas hasta las distantes galaxias. De la Física Clásica a la Física Moderna. Se denomina Física Clásica a las pautas y conceptos básicos desarrollados en esta ciencia hasta antes del año 1900, porque este es el año que postulan la teoría de la relatividad y la teoría cuántica, estas ideas dieron lugar a cambios profundos en los conceptos tradicionales denominándose a esta “Física Moderna”. Antes del año 1900, la Física se conceptuaba como una ciencia formada por las siguientes ramas especializadas: la mecánica, que estudia todo lo relacionado con el movimiento y las causas que lo provocan, la termodinámica, que se ocupa de la relación entre el calor y las restantes formas de energía; el electromagnetismo, que estudia la relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos; la óptica, que trata de la naturaleza y el comportamiento de la luz y otras radiaciones; y la acústica, que estudia los fenómenos relacionados con el sonido, su producción y sus propiedades. Este cuerpo coherente de conocimientos es lo que llamamos hoy la Física Clásica. La Física Moderna no inválida de ningún modo a la Física Clásica, sino que demuestra que la Física Clásica tiene límites, por ejemplo en la mecánica clásica las leyes conocidas hasta antes del año 1900 no pueden describir los fenómenos cuando las velocidades de las partículas son cercanas a la velocidad de la luz. A partir del año 1900 se llevaron a cabo descubrimientos de gran trascendencia en la Física Atómica y Nuclear. La Física Clásica no podía explicarlos, de manera que se hizo necesaria la introducción de varios principios nuevos, que incluso contravenían algunos principios de la física Clásica. Estos nuevos principios se resumen en la Mecánica Cuántica, teoría del movimiento de las partículas atómicas que intenta explicar los fenómenos en el átomo, y la Relatividad, teoría que pretende explicar el comportamiento de los cuerpos a velocidades muy grandes, cercanas a la velocidad de la luz. La física Cuántica y la Física Relativista constituyen lo que hoy denominamos Física Moderna. La Física Moderna es la Física de la s altas velocidades mientras que la Física Clásica es aplicable a partículas cuyas velocidades son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. FÍSICO. Es el científico que tiene como principal actividad desarrollar una actitud de investigación frente a los fenómenos físicos y descubrir las leyes o principios que los rigen. INGENIERO. Es la persona que conociendo las leyes de la naturaleza, ordena las cosas para que se produzcan fenómenos o movimientos útiles, que sirvan para hacer cómoda la vida del hombre. RAMAS DE LA FÍSICA. Para un mejor estudio de los fenómenos físicos, la Física se divide en ramas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Mecánica. Estudia el movimiento de los cuerpos. Calor: Estudia los fenómenos térmicos. Electricidad. Estudia los fenómenos eléctricos Magnetismo. Estudia los fenómenos magnéticos Electromagnetismo. Estudia la interrelación entre la electricidad y magnetismo Acústica. Estudia el sonido. Optica. Estudia la luz. Física Nuclear. Estudia el átomo y sus componentes. Física Moderna. Estudia la teoría de la relatividad y las características ondulatorias de las partículas subatómicas. FÍSICA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA. La ciencia procura comprender los fenómenos de la naturaleza y de la sociedad, y explicarlos mediante leyes, principios y teorías. La Física es esa parte de la ciencia que aborda los fenómenos propios de la naturaleza. La tecnología moderna es el conjunto de medios desarrollados para Medicina. dependen de la observación y de la experimentación. para hacer cálculos correctos es imprescindible tener un conocimiento básico de Matemáticas. Entonces se establecerá que: A C = ⇒ A. La observación consiste en un examen crítico y cuidadoso de los fenómenos. Dominarla muy bien nos evitará incurrir en excesos. en donde se prueba la veracidad de la hipótesis. D = B. EL MÉTODO CIENTÍFICO O EXPERIMENTAL: A fin de cumplir con sus objetivos la física. f) Formulación de inferencias. la geometría analítica y la trigonometría. Luego de múltiples experimentos podemos establecer un resultado general: LEY MATEMÁTICAS APLICADA A LA FÍSICA. Toma de datos de todas las magnitudes que participan. d) Hipótesis. notando y analizando los diferentes factores y circunstancias que parecen influenciarlos. Repetición controlada del suceso. y en particular la Física. como todas las ciencias naturales puras o aplicadas.APUNTES DE FISICA I 12 ING. ELECTRONICA MsC. Sociología. La experimentación consiste en la observación del fenómeno bajo condiciones preparadas de antemano y cuidadosamente controladas. Los repasos sobre cálculo diferencial e integral son más detallados y están dirigidos a aquellos estudiantes que tienen dificultades en la aplicación de los conceptos del cálculo a las situaciones físicas. b) Medición. C B D g) Proporciones i) Proporcionalidad directa: A es directamente proporcional a B (A α B) A α B ⇒ A= kB ii) Proporcionalidad inversa: A es inversamente proporcional a B . REPASO DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS DE FISICA Se pretende que estos repasos de matemáticas sean un breve repaso de operaciones y métodos. No debes olvidar que una valiosa herramienta en el trabajo de la Física es la Matemática. Desde el principio. fallas o malos cálculos que a la postre perjudicarían nuestro medio ambiente. Para aprovechar racionalmente la naturaleza y conservar así sus recursos es necesario conocer las Ciencias naturales. El método científico sigue la siguiente secuencia: a) Observación. conviene que se esté completamente familiarizado con las técnicas algebraicas básicas. c) Control de variables. SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA = ≠ ≈ < ≥ ≤ igual a diferente de aproximadamente mayor que menor que mayor o igual que menor o igual que α ∧ ∨ ∴ ⇒ ⇔ // proporcionalidad y 0 por tanto entonces si y solo si es paralelo a ⊥ es perpendicular ∞ infinito (x.y) par ordenado % porcentaje ∑ sumatoria ∆ variación ∆x = x2 – x1(variación de x) ARITMÉTICA a) Suma b) Resta c) Multiplicación d) División e) Fracciones f) Razones geométricas: Se tiene que: “A es a B como C es a D”. etc. tal como viene ocurriendo actualmente en casi todo el mundo. Conocimiento de las magnitudes que varían cuando se desarrolla el suceso. Formulación de una posible explicación e) Experimentación. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 aplicar los conocimientos científicos a las actividades humanas como son: Ingeniería. Como es lógico. Reconocimiento de un suceso y sus características. que es uno de los objetivos principales de esta unidad de aprendizaje. sumar.APUNTES DE FISICA I ING. se puede dividir (o multiplicar) cada lado de la ecuación por el mismo factor sin destruir la igualdad. En este caso. Si se resta 2 de cada lado. si se dividen ambos lados por 8. dividir. se obtiene:  x   (5) = 9 x 5 5 x = 45 En todos los casos. se obtiene: x+2−2 =8−2 x=6 En general. donde a. Primero. ELECTRONICA MsC. Las siguientes reglas para multiplicar. se tiene 8 x 32 = 8 8 x=4 Ahora considérese la ecuación x+2=8 En este tipo de expresiones. y y z son utilizados para representar cantidades que no son especificadas. a las que se llama incógnitas. Símbolos tales como x. Ahora considérese la ecuación x =9 5 Si se multiplica cada lado por 5. cualquier operación que se realice del lado izquierdo de la igualdad debe ser realizada del lado derecho. entonces x = b − a. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 13 Aα 1 B ⇒ AB = k h) Porcentaje: e % = Vteorico − Vexp erimental Vteorico x 100 i) Regla de tres simple ALGEBRA Algunas reglas básicas Cuando se realizan operaciones algebraicas. se aplican las leyes de la aritmética. b y c son tres números: Regla Multiplicación:    Ejemplo  a  c  a c =  b  d  b d  2  4  8    =  3   5  15 . considérese la ecuación 8 x = 32 Si se desea despejar x. si x + a = b. se puede sumar o restar la misma cantidad de cada lado. y restar fracciones deben ser recordadas. la regla es: xm = x m− n n x Por ejemplo: (B-4) x5 = x 5− 2 = x 3 2 x Una potencia que es una fracción. corresponde a una raíz como sigue: x1 / n = n x Por ejemplo: (B-5) 41 / 3 = 3 4 = 1. Finalmente. 4.APUNTES DE FISICA I 14 ING. 2. despeje x: 1. a= 1 1+ x 3 x − 5 = 13 ax−5 = bx+2 5 3 = 2x+6 4x+8 Potencias Cuando potencias de una cantidad dada x están multiplicándose. tal como 1/3 . (B-6) . ELECTRONICA MsC.5874 Se utiliza una calculadora científica para tales cálculos. cualquier cantidad x que es elevada a una potencia m es: ( x m ) n = x mn La tabla l resume las reglas de los exponentes. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 División: a b = ad c bc d 2 3 = 2 x 5 = 10 4 3 x 4 12 5 2 4 (2) (5) − (4) (3) 10 − 12 2 − = = =− 3 5 (3) (5) 15 15 Suma: a c ad ± bc ± = b d bd EJERCICIOS En los siguientes ejercicios. se aplica la siguiente regla: x m x n = x m+ n Por ejemplo: (B-3) x 2 x 4 = x 2+ 4 = x 6 Cuando potencias de una cantidad se están dividiendo. 3. 32 x 33 = 243 x5 x−8 = x−3 x 10 = x10+ 5 = x 15 −5 x 51/3 = 1.709975 (Utilícese la calculadora.783158 (Utilícese la calculadora. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 15 Tabla 1. 2. ELECTRONICA MsC.APUNTES DE FISICA I ING.) . 6. dadas por: − b ± b2 − 4 a c x= 2a Si b2 ≥ 4ac. Esta ecuaci6n tiene dos raíces. (x4)3 = x12 Factorización Algunas formulas útiles para factorizar una ecuación son: ax + ay + az = a(x + y + x) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − b2 = (a + b)(a − b) Ecuación cuadrática 1 La forma general de una ecuación cuadrática es: factor común cuadrado perfecto diferencia de cuadrados a x2 + b x + c = 0 (B-7) donde x es la cantidad desconocida y a. Regla de exponentes: x0 = 1 x1 = x x m x n = x m+ n xm = x m− n xn ( x m ) n = x mn EJERCICIOS Verifíquese lo siguiente: . b y c son factores numéricos conocidos como coeficientes de la ecuación. EJEMPLO 1 (B-8) La ecuación x2 + 5x + 4 = 0 tiene las siguientes dos raíces correspondientes a los signos de la raíz cuadrada: − 5 ± 5 2 − 4 (1) (4) − 5 ± 25 − 16 − 5 ± 9 − 5 ± 3 x= = = = 2 (1) 2 2 2 esto es. l. 3. 4. 5. las raíces serán reales.) 601/4 = 2. . llamada ordenada al origen. En la figura 1. x2 + 2x −3 = 0 2 x2 − 5x + 2 = 0 2 x2 − 4 x − 9 = 0 Ecuaciones lineales Una ecuación lineal tiene la forma general y = ax+b (B-9) donde a y b son constantes. entonces la pendiente de la línea recta puede ser expresada como: Pendiente = y 2 − y1 ∆ y = = tan θ x 2 − x1 ∆ x (B-10) Figura 1 Nótese que a y b pueden tener valores positivos o negativos. Esta ecuación se conoce como lineal debido a que la gráfica de y en función de x es una línea recta. la línea recta tiene una pendiente negativa. b > 0. como se muestra en la figura. y a < 0. La constante a es igual a la pendiente de la línea recta y es también igual a la tangente del ángulo que la línea hace con el eje x. 3. ELECTRONICA MsC. EJERCICIOS Revuélvanse las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1. Si a > 0. como en la figura 1. y2). tanto a como b son positivas. b < 0. b < 0. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 x1 = −5+3 −2 = = −1 2 2 x2 = −5−3 −8 = = −4 2 2 donde x1 se refiere a la raíz correspondiente al signo positivo y x2 se refiere a la raíz correspondiente al signo negativo. Otras tres posibles situaciones se muestran en la figura 2: a > 0. 2. representa el valor de y al cual la línea recta intersecta al eje y. La constante b. la línea recta tiene una pendiente positiva. como en la figura l.APUNTES DE FISICA I 16 ING. a < 0. Figura 2 . y1) y (x2. Si dos puntos cualesquiera de la línea son especificados por las coordenadas (x1. Si a < 0. b) (0. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 17 EJERCICIOS l. 2). -5). Si las líneas rectas correspondientes a las dos ecuaciones son gráficas en un sistema coordenado convencional. La forma de resolver dos ecuaciones simultáneas que impliquen dos incógnitas. 2. (x = 5. 0) y (2. es despejar de una de las ecuaciones x en términos de y y sustituir esta expresión en la otra ecuación.APUNTES DE FISICA I ING. (x = 0. −4) y (4. y = 9/5) son todas soluciones a esta ecuación. Esto representa la solución a las ecuaciones. Encuéntrese las pendientes de las líneas rectas que pasan a través de los siguientes puntos: a) (0. Dicha ecuación no tiene una solución única. y = 3. La intersecci6n de las dos líneas tiene las coordenadas x = 5. c) (−5. Es decir. x y y. y (x = 2. En general. la cual tiene dos incógnitas. . y = 3). Trácese las gráficas de las siguientes líneas rectas: a) y = 5 x + 3 b) y = −2 x + 4 c) y = −3 x − 6 Encuéntrese las pendientes de las líneas rectas descritas en el ejercicio l. Si un problema tiene dos incógnitas. una soluci6n única es posible solo si se tienen dos ecuaciones. su solución requiere n ecuaciones. y = 0). Por ejemplo. si el problema tiene n incógnitas. considérense las dos ecuaciones: x−y=2 x−2y=−1 Éstas son gráficas en la Figura 3. x y y. x = y + 2. la intersecci6n de las líneas representa la soluci6n. −2) Solución de ecuaciones lineales simultáneas Considérese una ecuación del tipo 3x + 5y = 15. Sustituyendo esto en la ecuación (1) obtiene: 5 (y + 2) + y = − 8 6 y = −18 y = −3 x = y + 2 = −1 Solución alternativa Multiplíquese cada término en la ecuación (1) por el factor 2 y sume el resultado a la ecuaci6n (2): 10 x + 2 y = −16 2x−2y= 4 12 x = −12 x = −l y = x − 2 = −3 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas también se pueden resolver por método gráfico. EJEMPLO 2 Despeje las siguientes ecuaciones simultáneas: (1) 5 x + y = −8 (2) 2x−2y = 4 Solución De la ecuación (2). 3. ELECTRONICA MsC. Puede verificarse esta solución por la técnica analítica descrita anteriormente. 2) y (4. 12) x = anti log a y (B. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Figura 3 EJERCICIOS Resuelva los siguientes pares de ecuaciones simultáneas que contienen dos incógnitas: Ejercicio 1.15) Por ejemplo. así que el antilog10 1.11) El número a se llama número base. 3.718. y = 3 x− y =2 98 − T = 10 a T − 49 = 5 a 6x+2y = 6 8 x − 4 y = 28 T = 65 . lne 52 = 3.27 x = 2 .716 = 101.. el antilogaritmo de y es el número x: (B.16) .951 = 52. llamada logaritmo común. y la base e = 2. y = log10 x Cuando el logaritmo natural se utiliza: (o x = 10y) (B. En general. Cuando el logaritmo común se utiliza. ELECTRONICA MsC. x+ y =8 2.951 = e3. log10 52 = 1.APUNTES DE FISICA I 18 ING.716 = 52. Respuesta x = 5. a = 3.302585) log10 x Finalmente. Del mismo modo.716.951.13) En la práctica.14) y = ln e x (o x = ey) (B. y su antiloge3. El logaritmo de x con respecto a la base a es igual al exponente al cual se debe elevar la base de manera que satisfaga la expresi6n x = ay: y = log a x Del mismo modo. las dos bases más utilizadas son la base 10. algunas propiedades útiles de los logaritmos son las siguientes: log(ab) = log a + log b log(a/b) = log a -log b log(an) = n log a ln e = 1 (B. llamada logaritmo natural. ln e x = (2. obsérvese que se puede convertir entre base 10 y base e con la equivalencia . y = −3 Logaritmos Supóngase que la cantidad x se expresa como una potencia de alguna cantidad a: x = ay (B. para el valor de θ medido en radianes.APUNTES DE FISICA I ING.5) está dada por: y = m x +b (B.18) s θ= r Figura B-4 En la tabla B.2 se dan las áreas y los volúmenes de algunas formas geométricas utilizadas en este texto: TABLA B..17) La medida en radianes: la longitud del arco s (Fig.4) es proporcional al radio r. y1) y (x2.19) ..3 GEOMETRIA La distancia d entre dos puntos cuyas coordenadas son (x1. B. ELECTRONICA MsC. y2) es: d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 (B. s=rθ (B. a B.2 Información utilizada en geometría Forma Figura Área o volumen A=l w Rectángulo Circunferencia = 2 π r Circulo A = π r2 = A= π 4 d2 Triangulo 1 bh 2 A = 4 π r2 Esfera V= 4 3 πr 3 Cilindro V = π r2 l Caja rectangular A = 2 (lh + lw + hw) V = l wh La ecuación de una línea recta (Figura B. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 19 In ea = a 1 ln   = − ln a . ELECTRONICA MsC. La ecuación de círculo de radio R centrado en el origen es x2 + y2 = R2 La ecuación de una elipse con el origen como su centro (Fig. (B.23) Figura B-8 . B.8) es: x y = cons tan te (B.22) Figura B-7 La ecuación de una hipérbola rectangular (Figura B.20) x2 y2 + =1 a2 b2 donde a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor.21) Figura B-6 La ecuación de la parábola cuyo vértice está en y = b (Figura B.6) es: (B.APUNTES DE FISICA I 20 ING.7) es: y = a x2 + b (B. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Figura B-5 donde b es la intersección con y y m la pendiente de la línea. un triángulo recto es el que contiene un ángulo de 90°. estas funciones se definen por: cateto opuesto a = hipotenusa c cateto adyacente b cos θ = = hipotenusa c sen θ = tan θ = cateto opuesto a = cateto adyacente b (B 24) El teorema de Pitágoras da la siguiente relación entre los lados de un triángulo: c2 = a2 + b2 De las definiciones anteriores y del teorema de Pitágoras. Considérese el triángulo recto de la figura B. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 21 B. se sigue que: (B.9: sen θ = cos (90º −θ )  cos θ = sen (90º −θ ) cot θ = tan (90º −θ )  Algunas de las propiedades de las funciones trigonométricas son las siguientes: sen (−θ ) = − sen θ  cos (−θ ) = cos θ tan (−θ ) = − tan θ  . Las tres funciones trigonométricas básicas definidas para tales triángulos son las funciones seno (sen).4 TRIGONOMETRIA La parte de las matemáticas que se basa en las propiedades especiales de los triángulos rectos se llama trigonometría.9. el lado b es adjunto al ángulo θ y el lado c es la hipotenusa del triángulo. Figura B-9 En términos del ángulo θ. coseno (cos) y tangente (tan). donde el lado a es opuesto al ángulo θ. ELECTRONICA MsC.APUNTES DE FISICA I ING.27) sen 2 θ + cos 2 θ = 1 tan θ = sen θ cos θ Las funciones cosecante. Por definición. secante y cotangente están definidas como: csc θ = 1 sen θ sec θ = 1 cos θ cot θ = 1 tan θ Las relaciones anteriores se siguen directamente de un triángulo recto mostrado en la figura B. se observa que tan θ = a 2 = = 0.10: α + β + γ = 180º a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α  2 2 2 b = a + c − 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 + 2 a b cos γ  Ley de los cosenos: Ley de los senos:  a b c = =   sen α sen β sen γ La tabla B.400) = 21.8º . Figura B-11 Del teorema de Pitágoras. se obtiene c 2 = a 2 + b 2 = 2 2 + 5 2 = 4 + 25 = 29 c = 29 = 5. y c es desconocida. ELECTRONICA MsC.11.3 lista un buen número de identidades trigonométricas útiles. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Figura B-10 Las siguientes relaciones se aplican a cualquier triángulo como el de la figura B. se obtiene θ = tan −1 (0.APUNTES DE FISICA I 22 ING. b = 5.400 b 5 De una tabla de funciones o de una calculadora.39 Para determinar el ángulo θ. sen 2θ + cos 2 θ = 1 csc 2 θ = 1 + cot 2 θ sec 2 θ = 1 + tan 2 θ 1 (1 − cos θ ) 2 2 θ 1 cos 2 = (1 + cos θ ) 2 2 sen 2 = 1 − cos θ = 2 sen 2 θ sen( A ± B ) = sen A cos B ± cos A sen B cos( A ± B ) = cos A cos B m sen A sen B θ 2 sen 2 θ = 2 sen θ cos θ cos 2 θ = cos 2 θ − sen 2 θ tan 2θ = 2 tan θ 1 − tan 2 θ tan θ 2 = 1 − cos θ 1 + cos θ  A± B  Am B sen A ± sen B = 2 sen   cos    2   2   A+ B  A− B cos A + cos B = 2 cos   cos    2   2   A+ B  B − A cos A − cos B = 2 sen   sen    2   2  EJEMPLO 3 Considérese el triángulo recto de la figura B. en el cual a = 2. . 1! 2! n (n − 1) 2 x + .. EJERCICIOS l.. 3! 5! ex = 1+ x + x2 x4 cos x = 1 − + − .12. En cierto triángulo recto..... algunas veces se escribe como arctan (0..400".. ELECTRONICA MsC.APUNTES DE FISICA I ING.. ¿Cuál es la longitud: a) del lado opuesto al ángulo de 30° y b) del lado adyacente al ángulo de 30º? Respuesta a) 1.. 2! 4! tan x = x + x3 2 x5 + + ... Los sistemas de referencia nos solucionan estos problemas...400). JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 23 donde tan−1(0.. 2 3 3 5 x x sen x = x − + − ... .. Las leyes físicas se traducen por ecuaciones matemáticas que muestran una magnitud que llamaremos función y que depende de otras magnitudes que denominaremos variables..400) es la notación para decir "el ángulo cuya tangente es 0.. En la figura B. 3 ! 15 x < π 2 ln(1 ± x) ≈ ± x tan x ≈ x Para x << 1 se pueden utilizar las siguientes aproximaciones: (1 + x) n = 1 + n x sen x ≈ x ex ≈ 1+ x cos x ≈ 1 FUNCIONES Y GRAFICAS La posición de un cuerpo se determina con respecto a otros cuerpos. b) el lado adyacente a φ.60 m B-5 DESARROLLOS EN SERIE (a + b )n (1 + x )n = an + n (n − 1) n − 2 2 n n −1 a b+ a b + . c) cos θ. b) 3.. c) 4/5.. determínese: a) el lado opuesto a O. d) 4/5 y e) 4/3 2. ¿Cuál es la longitud del tercer lado del triángulo? Respuesta 8. 2! = 1+ n x + x2 x3 + 2 ! 3! 1 1 ln (1 ± x) = ± x − x 2 ± x 3 + . Un triángulo recto tiene una hipotenusa de 3 m de largo....5 m b) 2... d) sen φ y e) tan φ Figura B-12 Respuesta a) 3. y uno de sus ángulos es de 30°. los lados que son perpendiculares uno del otro son de 5 m y 7 m de longitud.60 m 3. APUNTES DE FISICA I 24 ING. Figura 3.2. I. tracemos las rectas paralelas a los ejes y que cortan estos en Px y Py. SISTEMA DE REFERENCIA a) De una dimensión Sobre una recta orientada de x’ hacia x (figura 3. cualquier punto del plano se define por dos números. III y IV como se ve en la figura 3.1.2. Un punto P sobre esta recta se definirá por una sola cifra (positiva o negativa) llamada abscisa. origen de la graduación de las dos rectas. Diremos que la distancia OPx = x es la abscisa de P y que la distancia OPy = y es la ordenada de P. se dibujan tres rectas orientadas rectangulares de origen común O. De un punto P del plano. son las coordenadas de P.2. El plano es un espacio en dos dimensiones Ejemplo En la figura 3. II.2. llamadas ejes de coordenadas. ELECTRONICA MsC. Figura 3. que se cortan en el punto O.3). OPy = y y OPz = z. la abscisa de P es 3 y la de Q es -2. la que corresponde a su graduación.1. Así. en donde vivimos. b) De dos dimensiones Sobre un plano se dibujan dos rectas orientadas x’x y y’y y rectangulares.1) se toma un punto fijo O como origen de una graduación que será positiva a la derecha de O y negativa a la izquierda de O. Ejemplo En la figura 3. lo que nos permitirá apreciar mejor y “visualizar” las variaciones de las funciones. Se dice que esta recta es un espacio en una dimensión. . Las distancias OPx = x. El plano queda dividido en 4 cuadrantes. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Representaremos estas funciones por medio de gráficas. De un punto P del espacio. las coordenadas de P son 3. tracemos la distancia a los tres ejes de coordenadas (figura 3. c) De tres dimensiones En el espacio ordinario. su abscisa (escrita siempre primero) y su ordenada. …. cualquier punto del espacio de define por tres número. y ) u = f ( x. Existen otros sistemas que hacen intervenir los ángulos. las coordenadas de P son: 3. del nombre de Descartes. -4. porque se piensa que una variación continua de la variable arrastra una variación continua de la función. pero es muy incómoda si los datos son numerosos y no permite prever ningún otro resultado. y 4 Estos sistemas de ejes se denominan sistemas de referencia rectangulares o cartesianos. se dibuja. damos valores 1. y . 6. .….3. GRAFICAS Para cada par de la tabla de datos. ELECTRONICA MsC. Es lo que se denomina tabla de datos. un punto que tenga para abscisa la variable y por ordenada la función. la función y tendrá los valores 3. De donde. Ejemplo En la figura 3. es necesario efectuar una serie de experimentos que nos darán dos números para cada experimento. z ) TABLA DE DATOS Para investigar una relación entre dos cantidades.3. Una función se escribirá simbólicamente: y = f (x) Ejemplos y =3x Si a la variable x. 2.APUNTES DE FISICA I ING. FUNCIONES Se dice que una magnitud y es función de otra magnitud x llamada variable. Se escribirán: z = f ( x. -12. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 25 Figura 3. Esta tabla contiene todos los resultados de los experimentos. en el plano. Son otras funciones: y = 2 x3 + 5 y = ( x 2 − x + 2) 2 Existen también funciones de dos o tres o más variables. El conjunto de los datos experimentales se disponen en forma de tablero a dos columnas o filas. 3. cuando su valor es determinado por el valor de la variable. Se unen estos puntos por una línea de curvatura suave. Una representación gráfica elimina estos inconvenientes. APUNTES DE FISICA I 26 ING.5) Figura 3. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Si queremos saber cuánto vale la función para un valor dado de la variable. ELECTRONICA MsC. durante el día. se dice que se hizo una interpolación gráfica. Figura 3. sino también sobre todos los puntos de la gráfica.4. hacia la izquierda o hacia la derecha. la gráfica nos lo dará inmediatamente. escogido entre dos valores experimentales.4 Se colocan los diferentes puntos de la tabla de datos y se trata de unirlos por medio de una curva continua y suave. Es de notar que los puntos son experimentales. Así una gráfica nos da información no sólo sobre los puntos experimentales. por tanto sujetos a errores. esto explica que la curva no necesariamente pasa por todos los puntos.5 . Nos indica cómo se comporta un fenómeno y permite descartar puntos experimentales que están muy alejados de la gráfica. La extrapolación lleva la gráfica más allá de los limites de sus datos experimentales. PRINCIPALES GRAFICAS Estudiaremos las gráficas más usuales de la Física: a) Grafica de una función (se conoce solo la tabla de datos): Por ejemplo. a cada hora se notan las siguientes temperaturas: Tiempo (H) Temperatura (oC) 2 -5 3 0 4 8 5 16 6 20 7 15 8 11 ¿Representar gráficamente la temperatura en función de la hora de observación? Se toma el eje x como eje del tiempo (en horas) y el eje y como el eje de la temperatura (en oC) figura 3. b) Gráfica de la función: y = ax Se elabora una tabla de datos con algunos valores de x (a es una constante) x y -2 -2ª 0 0 1 a 2 2a 3 3a Se nota que los puntos están dispuestos sobre una recta (figura 3. nada nos garantiza que la ley en estudio siempre se cumpla. Se debe llevar con mucha prudencia. El coeficiente a se denomina pendiente de la recta. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 27 Demostración Sea un punto A de abscisa 1 y de ordenada a. nuestra tabla de datos puede simplificarse y contener solamente los datos correspondientes a dos puntos. por lo tanto se deduce que: BB x OB x = AAx OAx o sea: y x = a 1 ó y=ax La relación y = ax es correcta para cualquier punto de la recta. Los dos triángulos OAAx y OBBx son semejantes. ELECTRONICA MsC. Dibujemos la recta OA y sea B un punto de la recta con abscisa x y de ordenada y. Como dos puntos son suficientes para definir una recta.3x (figura 3.6 Si y = . el punto de origen y el otro punto cualquiera. concluimos que la gráfica de la función y = ax es una recta que pasa por el origen.APUNTES DE FISICA I ING. se observa que la recta está en el primer y tercer cuadrante.7 c) Gráfica de la función: y = ax + b Se dibuja la recta I de ecuación y = ax y se desplaza arriba una cantidad vertical b. Si a es negativo. obteniendo así la recta II (figura 3. Ejemplos: Si y = 2x (figura 3. determina la inclinación de la recta con respecto a los ejes.6) x y 0 0 2 4 Figura 3.7) x y 0 0 1 . Si a es positivo. la recta está en el segundo y cuarto cuadrantes.8) .3 Figura 3. 8 El punto M e la recta I tiene por abscisa x y por ordenada ax. Para cualquier valor de x. los puntos para los cuales tenemos x = 0 y y = 0. Un punto N de la recta II (sobre la vertical de M) tiene por abscisa x y por ordenada ax + b.11 . Por tanto.3x – 2 (figura 3. Ejemplos: Si y = 2x + 1 (figura 3.11) Figura 3. siempre la ordenada es b.0 Figura 3. ELECTRONICA MsC. la gráfica de y = ax + b es una recta paralela a la recta y = ax y que corta el eje y en un punto de ordenada b.APUNTES DE FISICA I 28 ING. Por tanto la gráfica es una recta paralela al eje x y que corta al eje y a una distancia b (figura 3. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Figura 3.10 d) Gráfica de la función: y = b Es un caso particular de la ecuación anterior: la pendiente es 0.10) x y 0 -2 -2/3 0 Figura 3.9) x y 0 1 -1/2 .9 Si y = . es decir. Dos puntos son suficientes para definir una recta. En general se toman los puntos de intersección de la recta con los ejes. llamado la ordenada al origen (intercepto) El coeficiente a es la pendiente de la recta. APUNTES DE FISICA I ING. se dice que es una ecuación lineal y la función y es una B B función lineal. la gráfica es una recta paralela al eje y y que corta al eje x de abscisa c (figura 3. ELECTRONICA MsC.2x2 (figura 3. siempre la ordenada es c.13 Ejemplos Si y = . oda ecuación de primer grado de tipo Ax + By + C = 0 se puede también escribir como y=− A C x − . En resumen. se representa por una recta.14) x y -3 -18 -2 -8 -1 -2 0 0 1 -2 2 -8 3 -18 Figura 3.12) Figura 3. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 29 e) Gráfico de la función x = c Para cualquier valor de y. por tanto. se denomina parábola (figura 3.15) x y -1 -6 0 0 1 2 2 0 3 -6 .14 La grafica de la función y = ax2 + bx + c nos daría una curva análoga pero desplazada con respecto a los ejes Si y = -2x2 + 4x (figura 3.12. Del primer grado pasamos ahora a la representación gráfica de algunas ecuaciones del segundo grado f) Gráfica de la función: y = ax2 Se construye una tabal de datos x y -3 9ª -2 4a -1 a 0 0 1 A 2 4a 3 9a La curva es simétrica con respecto al eje y.13) Figura 3. x 2 + y 2 .APUNTES DE FISICA I 30 ING.y) Figura 3.15 En resumen. constituyen por tanto. Recíprocamente. por tanto el punto M(x. se cortan en un punto M. las coordenadas de M verifican las dos ecuaciones.16 APLICACIONES RESOLUCION GRAFICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS Si dos curvas dibujadas en el mismo sistema de referencia. corresponde una curva llamada parábola.16. corresponde un punto común a las curvas. a) Resolver gráficamente el sistema: x − 2 y = −2 3x + 2 y = 6 Las tablas de datos de las rectas dan: x y x y 0 1 0 3 -2 0 2 0 La grafica se representa en la figura 3. vale describe un circulo centrado en ) y de radio r. Este método gráfico permite verificar un resultado obtenido por el cálculo o hallar un valor aproximado cuando el sistema no se puede resolver por cálculo. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Figura 3. la solución del sistema propuesto. g) Gráfico de la ecuación x2 + y2 = r2 La hipotenusa del triangulo rectángulo de la figura 3. a toda solución de un sistema de dos ecuaciones de dos incógnitas. a toda ecuación de primer grado en y pero de segundo grado en x. ELECTRONICA MsC.1A: . Algunos ejemplos se utilizan en la Guia de laboratorio.5 4 2. solución del sistema. Ejemplo 1. 2. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 31 Figura 3.4) .APUNTES DE FISICA I ING. es útil y muy conveniente para las prácticas de laboratorio tratar de transformar. tendremos ahora: y = aX.1A La intersección es en el punto (1.9) y (-2.8 .4 2 2 3 2. soluciones del sistema que se pueden comprobar por cálculo. La operación no siempre es posible. Considérese la siguiente tabla de datos: x y 0 0 1 1.2A Figura 3. con ayuda de una variable auxiliar. La grafica de y = ax2 es una parábola. TRANSFORMACION DE UNA ECUACION DE GRADO n EN UNA ECUACION DE PRIMER GRADO Siendo la recta la gráfica más simple y de la cual se pueden obtener informaciones precisas como la pendiente y la ordenada al origen (intercepto). Se puede comprobar por calculo. Si tomamos una nueva variable X de tal manera que X = x2. b) Resolver gráficamente el sistema: y=x+6 y = x2 Las tabla de datos dan: x y x y 0 6 -2 4 -6 0 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 La grafica se representa en la figura 3. nos indicarán algunos caminos que se deben seguir. 3/2). ecuación de una recta de pendiente a. las ecuaciones de grado n en ecuaciones de primer grado.2A Las intersecciones están en los puntos (3. ELECTRONICA MsC. Figura 3. por ejemplo t. Despejando t de la primera ecuación: t = x y reemplazando en la segunda ecuación tenemos: k a 2 b x + x k k2 y= el resultado es una parábola. 3. 3. se tiene: Y = a t + b t Escogiendo la variable auxiliar: Y = ECUACIONES PARAMETRICAS Algunas veces. Se dice que las ecuaciones x = f (t). y y = t 2 + 1 ? Despejando t2 de la primera y reemplazando en la segunda o sea t 2 = La ecuación es una recta. La grafica de y = at2 + bt es una parábola. x Y 0 0 1 1. tenemos: y = at + b t y . y = g (t) son las ecuaciones paramétricas de la función y = h (x).84 La grafica representa una recta (figura 3. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Se saben que estos datos satisfacen la ecuación y2 = a x. ELECTRONICA MsC. b y k constantes.25 4 8. ¿Cual es la curva: x = 2t 2 . x x y por tanto y = + 1 2 2 ¿Cuál es la curva x = k t . aproximadamente. Ejemplos 1.3A Dividiendo la ordenada de un punto por la abscisa correspondiente. ¿Cuál es la gráfica de y en función de x? Simplemente eliminando t entre las dos ecuaciones.96 2 4 3 6. las coordenadas cartesianas se dan independientemente. ¿Cuál es el valor de a? Hagamos la tabla de datos de Y (Y = y2) en función de x.3A). ¿Cuál es la curva x 2 = − t y y 2 = t + 9 ? . Dividiendo por t.APUNTES DE FISICA I 32 ING. se obtiene la pendiente o sea a = 2. 2. tendremos una ecuación que se puede representar en el plano. por medio de una tercera variable. y y = a t 2 + b t ? Con a. tenemos: y 2 = − x 2 + 9 . donde a es una constante y n es cualquier número positivo o negativo (entero o fracción).28) Figura B-13 Una expresión útil que debe recordarse es que la derivada cuando y(x) = axn. se aplica la ecuación B. y d son constantes conocidas. y como función de x) está dado por: y(x) = ax3 + bx + c . entonces y puede ser calculada para cualquier valor de x.29 a cada término del polinomio y se toma da/dx = 0.13). Matemáticamente. se puede escribir esta definición como: dy ∆y y ( x + ∆x) − y ( x) = lim ite = lim ite ∆t →0 ∆t → 0 dx ∆x ∆t donde ∆y y ∆x están definidas como ∆x = x2 − x1 y ∆y = y2 − y1 (véase la figura B. La derivada de y con respecto de x se define como el límite de las pendientes de la cuerdas trazadas entre dos puntos de una curva de y en función de x cuando ∆t se aproxima a cero. ecuación de un circulo de B. ideadas por primeras vez por Newton.29) Si y(x) es un polinomio o una función algebraica de x. En esta sección. en la electricidad y en el magnetismo. Supóngase que una de las variables se llama y (variable dependiente).APUNTES DE FISICA I ING. es: dy = n a x n −1 dx (B. b. ELECTRONICA MsC. (B.6 CÁLCULO DIFERENCIAL En diversas ramas de la ciencia. aquellas para las cuales y varía "suavemente" con x. El uso del cálculo es fundamental en el tratamiento de varios problemas en la mecánica newtoniana. EJEMPLO 4 Supóngase que y(x) (es decir. otra x (variable independiente). JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 33 Despejando t de la primera ecuación: t = − x 2 Reemplazando en la segunda. Se podría tener una relación funcional como: y ( x) = a x 3 + b x 2 + c x + d donde a. Es importante hacer notar que dy/dx no significa que dy se ha dividido entre dx sino que es una notación simplificada del proceso de tomar el límite como está definido por la ecuación B. En primer lugar. debe especificarse una función que relaciona una variable con otra (como la coordenada en términos del tiempo). En los ejemplos del 4 al 7. para describir un fenómeno físico. utilizar las herramientas básicas del cálculo. o sea radio 3. se evalúan las derivadas de varias funciones de comportamiento regular. Por lo común se tratan de funciones continuas. x 2 + y 2 = 9 . c. lo cual debe constituir un repaso útil para el estudiante. es necesario a veces.28. simplemente se enunciarán algunas propiedades básicas y "reglas empíricas". esto es. 32) Segunda derivada La segunda derivada de y con respecto a x está definida como la derivada de la función dy/dx (o. Entonces se sigue que: y(x + ∆x) = a(x + ∆x)3 + b(x + ∆x) + c y(x + ∆x) = a(x3 + 3x2 ∆x + 3 x ∆x2 + ∆x3) + b(x + ∆x) + c así ∆y = y(x + ∆x) − y(x) = a(3 x2 ∆x + 3 x ∆x2 + ∆x3) + b ∆x Sustituyendo esto en la ecuación B. entonces la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas: d d f ( x) = [g ( x ) + h ( x ) ] = d g + d h dx dx dx dx (B-31) C.APUNTES DE FISICA I 34 ING. Derivada de un producto de dos funciones.30 directamente: . Esto usualmente se escribe d2y d d y   = 2 d xd x dx   EJEMPLO 6 Encuéntrese la primera derivada de y(x) = x3/(x + 1)2 con respecto a x. entonces la derivada de y esta definida como: d d f ( x) = [g ( x) h( x)] = g d h + h d g dx dx dx dx (B-30) B.29 a cada uno de los términos independientemente y recordando que d/dx (constante) = 0. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 donde a y b son constantes. la derivada de la derivada). (B. como g(x) y h(x). ELECTRONICA MsC. Derivada de la suma de dos funciones Si una función y es igual a la suma de dos funciones. Si una función y está dada por el producto de dos funciones. Regla de la cadena del cálculo diferencial Si y = f(x) y x es una función de alguna otra variable z. entonces dy/dx puede ser escrita como el producto de dos derivadas: dy dy dz = dx d z d x D. se tiene [ ] dy = 8 (5) x 4 + 4 (3) x 2 + 2 (1) x 0 + 0 = 40 x 4 + 12 x 2 + 2 dx Propiedades especiales de la derivada A. Solución (B.33) Se puede reescribir esta función como y(x) = x3(x + 1)−2 y aplicar la ecuación B.28 se obtiene ∆y dy = lim ite = lim ite 3 a x 2 + 3 x ∆x + ∆x 2 = 3ax 2 + b ∆x → 0 ∆ x ∆x →0 dx EJEMPLO 5 y(x) = 8 x5 + 4 x3 + 2 x + 7 Solución Aplicando la ecuación B. ELECTRONICA MsC. TABLA B.4.4. Derivada de algunas funciones f ( x) = a Función Derivada de la función f ( x ) = ( a xn f ( x) = e a x f ( x) = sen ax f ( x) = co s ax f ( x) = tan ax f ( x) = cot ax f ( x) = sec x f ( x) = csc x f ( x) = ln ax d (a) = 0 dx d (a x n ) = n a x n −1 dx d (e ax ) = a e a x dx d ( sen ax) = a cos ax dx d (cos ax) = − a sen ax dx d (tan ax) = a sec 2 ax dx d (cot a x) = − a csc 2 ax dx d (sec x) = tn x sec x dx d (csc x) = − cot x csc x dx d a (ln ax) = dx x Nota: las letras a y n son constantes . JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 35 dy d d = ( x + 1) − 2 (x3 ) + x3 ( x + 1) − 2 = ( x + 1) − 2 (3 x 2 ) + x 2 (−2) ( x + 1) −3 dx dx dx dy 3 x2 2 x3 = − d x ( x + 1) 2 ( x + 1) 3 EJEMPLO 7 Una fórmula útil que se obtiene de la ecuación B.30 es la derivada de un cociente de dos funciones.29 y B.30: dh dg d g d d d g h −1 = g (h −1 ) + h −1 ( g ) = − g h −2 + h −1  = d x h d x dx dx dx dx h dg dh −g dx dx 2 h ( ) d  g ( x)  = d x  h( x)    Algunas de las derivadas de las funciones más utilizadas están listas en la tabla B. Demuéstrese que la expresión está dada por: d  g ( x)  = d x  h( x)    h dg dh −g dx dx 2 h Se puede escribir el cociente como gh−1 y entonces aplicar las ecuaciones B.APUNTES DE FISICA I ING. la integral puede ser descrita como el área bajo la curva limitada por f(x) y el eje x. Este tipo de integrales se llaman integrales indefinidas ya que su valor depende de la elección de la constante c. como en la figura B. ELECTRONICA MsC. se obtiene la verdadera área bajo la curva limitada por f(x) y x. Si los límites de integración son conocidos. Si se suman todos estos elementos de área desde x1 hasta x2 y se toma el límite de esta suma cuando ∆x→ 0. a saber. se escribe esta operación inversa como: y ( x) = ∫ f ( x) dx Para la función f(x) dada antes: y ( x) = ∫ (3 a x 2 + b) dx donde c es una constante de la integración. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 B. esta integral viene a ser definida y se escribe: . entre dos valores de x. Se puede escribir la primera expresión dy = f(x) dx = (3ax2 +b) dx y obtener y(x) al "sumar" sobre todos los valores de x.APUNTES DE FISICA I 36 ING.35) x1 Integrales del tipo definido por la ecuación B.34) d I ( x) dx Para una función continua general f(x). Como un ejemplo.14 El elemento de área sombreada es aproximadamente f1 ∆x1. Figura B.36) Este resultado es obvio ya que la diferenciación del lado derecho con respecto a x da f(x) = xn directamente.14.35 son llamadas integrales definidas. El tipo más común de integral que aparece en situaciones prácticas tiene la forma: x n +1 ∫ x dx = n + 1 + c n (n ≠ −1) (B. Matemáticamente. entre los límites x1 y x2: Area = lim ite ∑ f i ( x) ∆xi = ∆x → 0 i x2 ∫ f ( x) dx (B. x1 y x2. considérese la expresión f ( x) = dy = 3a x2 + b dx la cual fue el resultado de la diferenciación de la función y ( x) = a x 3 + b x + c en el ejemplo 4.7 CÁLCULO INTEGRAL Piénsese la integración como la inversa de la derivación. En general la integral indefinida I(x) se define como: I ( x) = ∫ f ( x) dx donde f(x) se llama el integrando y f ( x) = (B. 6 da integrales de probabilidad de Gauss y otras integrales definidas. En varios casos.5 lista algunas útiles integrales indefinidas. se tiene: cos 3 x y3 ∫ cos x sen x dx = −∫ y dy = − 3 + c = − 3 + c 2 2 La tabla B. x2 ∫ x dx = 2 3 5 5 2 − 3 2 25 − 9 16 = = = =8 2 2 2 Integral por partes Algunas ocasiones es útil aplicar el método de la integración por partes para evaluar ciertas integrales.38) donde u y v son cuidadosamente seleccionadas de tal forma de que reduzcan una integral compleja en una integral sencilla. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 37 x2 n ∫ x dx = x1 n x 2 +1 − x1n+1 n +1 (n ≠ − 1) (B. El método utiliza la propiedad de que: ∫ u dv = u v − ∫ v du (B. lo cual da: 2 e x dx = x 2 e x + 2 ∫ e x dx + c1 e x dx = x 2 e x − 2 x e x + 2 e x + c 2 ∫x Diferencial exacta 2 Otro método útil para recordar es el uso de la diferencial exacta. tiene que realizarse varias reducciones. Considérese el ejemplo I ( x) = ∫ x 2 e x dx Ésta puede ser evaluada por integración por partes dos veces. en segundo término. ELECTRONICA MsC.37) Ejemplos l.APUNTES DE FISICA I ING. La tabla B. v = ex se obtiene: ∫x ∫x o bien 2 e x dx = ∫ x 2 d (e x ) = x 2 e x − 2 ∫ e x x dx + c1 Ahora. considerando y = cos x. considérese la integral: I ( x) = ∫ cos 2 x sen xdx Est9 es fácil de evaluar si se reescribe la diferencial como d(cos x)= −sen x dx. CRC Press. Primero. 2 ∫ x dx = 0 a x3 3 a 0 = a3 3 2. Es decir. Por ejemplo. La integral queda como: ∫ cos 2 x sen x dx = − ∫ cos 2 x d (cos x) Si ahora se cambia la variable. Una lista más completa puede encontrarse en varios libros de texto. 3/ 2 ∫ x dx = 0 b x5/ 2 b 2 5/ 2 b 0= 5/ 2 5 5 3 3. v = ex. si se puede observar que un cambio de variable es tal que la diferencial exacta de una función es la diferencial de la variable independiente que aparece en el integrando. si se elige u = x2. . se escoge u = x. tales como The Handbook of Chemistry and Physics. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 TABLA B.APUNTES DE FISICA I 38 ING. ELECTRONICA MsC.5 Algunas integrales indefinidas (una constante arbitraria debe sumarse a cada una de estas integrales) n ∫ x dx = x n +1 n +1 (con tal que n ≠ − 1) ax ∫ x e dx = ea x (ax − 1) a2 x 1 − ln(a + b e c x ) a ac 1 ∫ dx = x −1 dx = ln x x ∫ dx 1 ∫ a + be dx cx = ∫ a + bx = b ln (a + bx) ∫ sen axdx = − a cos ax ∫ cos ax dx = a sen ax ∫ tan ax dx = − a ln (cos x) = a ln (sec ax) ∫ cot axdx = a ln (sen ax) ∫ sec ax dx = a ln(sec ax + tan ax) ∫ csc ax dx = a ln(csc ax − cot ax) ∫ sen ∫ cos 2 ∫ (a + bx) ∫a ∫a ∫x ∫a 2 dx 2 =− 1 b (a + bx) 1 dx 1 x = tan −1 2 a a +x dx 1 x+a ln = (x2 − a2 > 0) 2 2a x − a −x dx 1 x−a = ln 2 2a x + a −a (x2 − a2 > 0) 1 1 1 2 1 2 2 x dx 1 = ± ln(a 2 ± x 2 ) 2 2 ±x 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫x ∫ dx a −x 2 2 = sen −1 x x 2 2 = − cos −1 (a − x > 0) a a ax dx = ax dx = x sen 2ax − 2 4a x sen 2ax + 2 4a dx x2 ± a2 xdx a2 − x2 xdx x2 ± a2 2 2 = ln( x + x 2 ± a 2 ) 2 =− a −x 2 2 ∫ sen ∫ cos ∫ tan ∫ cot dx 2 1 = − cot ax a ax = 1 tan ax a 1 (tan ax) − x a dx 2 = x ±a 2 2 ax 1 x a − x dx =  x a 2 − x 2 + a 2 sen −1  2 a 1 a 2 − x 2 dx = − a 2 − x 2 2 2 ax dx = ( ) 2 3/ 2 1 ax dx = − (cot ax) − x a 1 x 2 ± a 2 dx = x x 2 ± a 2 ± a 2 ln x + x 2 ± a 2 2 [ ( )] −1 −1 ∫ sen ax dx = x( sen ax) + 1− a2 x2 a 1− a2 x2 a 1 2 2 ∫ x x ±a dx = 3 x ± a 2 2 ( ) ( ) 3/ 2 −1 −1 ∫ cos ax dx = x(cos ax) − 1 ax e a ∫ ln axdx = ( x ln ax) − x ax ∫ e dx = ∫ (x 2 dx x = 2 3/ 2 +a ) a2 x2 + a2 . ELECTRONICA MsC.6.APUNTES DE FISICA I ING. Probabilidad integral de Gauss e integrales relacionadas I 0 = ∫ e − a x dx = 2 ∞ 0 ∞ 1 π 2 a 1 2a (Integral de la probabilidad de Gauss) I 1 = ∫ x e − a x dx = 2 0 ∞ I 2 = ∫ x 2 e −a x dx = − 2 0 ∞ dI 0 1 π = da 4 a 3 dI 1 1 = da 2 a 2 d 2 I0 3 π = 8 a5 da 2 d 2 I1 1 = 3 2 da a I 3 = ∫ x 3 e − a x dx = − 2 0 ∞ I 4 = ∫ x 4 e −a x dx = − 2 0 ∞ I 5 = ∫ x 5 e − a x dx = − 2 0 I 2 n = (−1) n dn I0 d an dn I1 d an I 2 n +1 = (−1) n . JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 39 ∫ (x 2 x dx 1 = 2 3/ 2 2 +a ) a x2 + a2 TABLA B. Por ejemplo. Así entonces. De esto diremos: Cantidad es una porción definida de una magnitud ¿A QUÉ LLAMAMOS UNIDAD DE MEDIDA? Llamamos unidad de medida a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. …. Es la que se efectúa por medio de una fórmula y/o utilizando instrumentos de medición. el resultado de toda medición es un número. Ejemplo Para medir el área de la mesa de laboratorio debemos tener en cuenta lo siguiente: a) Medir la longitud de la mesa b) Medir el ancho de la mesa c) Conocido el largo y el ancho de la mesa usar la fórmula correspondiente para el área: b A = a. en cambio no podemos comparar el amor que sentimos por nuestra madre con el que sentimos por nuestros hijos. lo que habríamos hecho es simplemente una medición. y usando nuestros zapatos encontramos que en ella caben cuatro. la masa (m). Luego: Medición es la operación realizada por el hombre. Por ello. la longitud (L). estamos hablando de cantidades. en la masa de carne de un cerdo o en la duración de la clase. y que consiste e averiguar las veces en que una unidad de medida está contenida en otra cantidad de su misma especie. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida. son magnitudes. Es aquella que se realiza comparando directamente la unidad de medida con la cantidad a medir. Para medir la longitud de una mesa de laboratorio debemos de tener en cuenta lo siguiente: a) Instrumento de medición b) Precisión del instrumento de medición c) Incertidumbre o error del instrumento de medición MEDICIÓN INDIRECTA. ¿QUÉ ES UNA CANTIDAD? Cuando nos fijamos en el largo de la pizarra.etc. ELECTRONICA MsC. ¿DE CUANTAS CLASES PUEDEN SER LAS MEDICIONES? Las mediciones pueden ser de dos clases: a) Medición directa b) Medición indirecta. MEDICIÓN DIRECTA. es una magnitud. ¿QUÉ ES LA MEDICIÓN? Si por salvar la vida tuviéramos que averiguar el ancho que tiene la puerta del aula.b a .APUNTES DE FISICA I 40 ING. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 MEDICIONES Y ANÁLISIS DIMENSIONAL ¿A QUÉ LLAMAMOS MAGNITUD? En nuestro universo sabemos por propia experiencia que hay cosas que pueden comparar entre sí y otras no. podemos comparar la altura de un árbol con la altura de un edificio. todo aquello que sea susceptible a aceptar una comparación con otra de su misma especie.. Por esto. Ejemplo. el tiempo (t). . es la suma de los errores relativos de sus términos. su error relativo es la relación entre el error verdadero o absoluto y el valor de la magnitud. sean cuales fueren los instrumentos empleados y la habilidad de los observadores. Al hacer operaciones con cantidades afectadas de errores. es un conjunto de n medidas de una magnitud física. En este caso nuestra medida de la población del aula es exacta y precisa. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 41 ERRORES DE MEDICIÓN Cuando contamos los alumnos del aula. . el valor medio o valor más probable de dicha magnitud es la media aritmética de tales medidas. ELECTRONICA MsC.APUNTES DE FISICA I ING. Estos errores inevitables. jamás puede llegarse al conocimiento verdadero de la magnitud buscada. Cálculo de errores de una medición directa Valor Medio o Valor más Probable Si: X1 . Al efectuar varias medidas de la misma magnitud X. es el cociente del error relativo del número por el índice de la raíz. En la práctica se busca el valor de la magnitud llamado más probable o medio. el error de la raíz en cambio. + X n Σ X i = n n (1) Desviación (δXi ) de una medida es la diferencia entre la medida Xi y el valor medio Xm de las medidas δ tomadas. Así. . En la práctica se emplee siempre un límite superior del error relativo. de un producto. de una diferencia. si consideramos sólo al 255 para nuestros cálculos posteriores. se toma como valor más probable el promedio de los valores así obtenidos: es decir. . pues aproximados y los más precisos son los que más se acercan al verdadero. . Los resultados que se obtienen son. La diferencia entre los valores aproximados y el valor verdadero. . . encontramos a 55. . Conocido el error de una magnitud y su valor. debido a los defectos de los instrumentos de medida o del observador. . conviene saber cual es la parte exacta del resultado y para ello es bueno recordar que el error relativo de una suma. esto es: X = Xm ± ∆X Error Relativo. lo que estaríamos cometiendo serían “errores de medición” Cuando se realizan determinaciones de cualquier naturaleza. pero nunca el verdadero error. . que tampoco se pueden conocer. . . (4) . el resultado de la medición es el valor medio más o menos el error medio del promedio. o de un cociente. que se repiten con cierta regularidad. se llaman fortuitos y no deben confundirse con las equivocaciones ni con los errores sistemáticos. . que se calcula usando la ecuación: X m = X1 + X 2 + X 3 .X n. Para llegar a él se hacen varias determinaciones del valor de la magnitud y si los resultados no se diferencian mucho. nuestra medición es imprecisa. el cociente de dividir la suma de los valores observados por el número de observaciones. . pues hemos visto la imposibilidad de conocerlo.Xm (2) Error Absoluto de la medición o desviación estandar de una medición de una serie de n medidas está dado por: ∆X = Σ (δ X i ) 2 n(n − 1) (3) Valor real de la medición. X3 . . Es el cociente entre el error medio y el valor medio o más probable. . . . X2 . . . . el error de una potencia es el producto del exponente por el error de la magnitud. serían los errores verdaderos. Si en cambio usando una regla graduada en milímetros medimos el largo del cuaderno y obtenemos 255 mm y fracción (más o menos). Esto es: δ Xi = Xi . La diferencia entre cada observación y el valor medio es el error de cada observación. . Y .81 0. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 er = ∆X Xm (5) Error Porcentual.82 0. Y y Z y esta dada por la siguiente expresión: R = f ( X . ELECTRONICA MsC.03 10 53. Al hacer la determinación de una longitud utilizando un vernier se han obtenido los resultados siguientes en mm: 53. 53.00 7 53.84.000051 mm2 = 0.80.0056) mm Cálculo de errores de una medición indirecta Sea R un a medición indirecta que depende de X.81.82.78 -0. e% = er (100 ) Ejemplo.81 mm 10 b) Error absoluto de la medición ∑ (δL ) ∆L = i =1 i 10 2 n (n − 1) = 0. Z ) Se define el error absoluto de R a la siguiente expresión: .81. 53.0004 0.APUNTES DE FISICA I 42 ING. Es el error relativo multiplicado por 100.81.0004 a) Valor medio de la medición: ∑L Lm = i =1 10 i 10 = 53811 mm .83. 53. = 53.00 2 53.79 -0.0000 0.78 y 53.81 ± 0.81 0.79.02 3 53.0001 Lm 53.01 4 53.84 0.0001 0.0001 0.82.0009 0. 53.83 0.01% e) El valor más probable de la medición es: L = Lm ± ∆L = (53.81 mm d) Error porcentual e% = e R x100 = 0. ¿Calcular el valor más probable? Solución Utilizando tablas estadísticas tenemos: N Li (mm) δLi (mm) 1 53. 53.01 9 53.0056 mm = = 0.02 8 53.0056 mm 90 c) Error relativo: eR = ∆L 0.0004 0.01 5 53.80 -0.0000 0.02 (6) (δLi)2 mm2 0.81 0. 53.0001 0.82 0. 53. 53.0028 mm2 = 0.0004 0.00 6 53. Y y Z directamente. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en el volumen de una esfera cuyo radio es r = ( 2.32 m 3 e% = x 100 = x100 = 3.48 ± 0.32 m        ( ) La incertidumbre porcentual es: ∆V 2. Ejemplo 1: Si el volumen de un cilindro está dado por la siguiente expresión: V = π 4 D 2h La incertidumbre absoluta del volumen es:  ∂V   ∂V  ∆V =   ∂ D  ∆D +  ∂ h  ∆h         ∂  π 2   ∂  π 2  ∆V =  D h  ∆h  D h  ∆D +      ∂ D  4  ∂  4h ∆V = π  d π 4  π 2 d 2  h    d D ( D )  ∆D + 4 D  d h (h)  ∆h  4     h(2 D) ∆D + D h ∆D + ∆V = ∆V = π 4 D 2 (1) ∆h π 2 π 4 D 2 ∆h Ejemplo 2.03) m Solución Sabemos que el volumen de la esfera es: 4 4 V = π r 3 = (π )(2.48 m)3 = 63.APUNTES DE FISICA I ING.03 m) = 2. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 43  ∂R   ∂R   ∂R  ∆R =  ∆X +  ∆Y +  ∆Z  ∂X   ∂Y   ∂Z  donde ∆X. ELECTRONICA MsC. ∆Y y ∆Z son las incertidumbre absolutas de medir X.89 m 3 .63 % V 63.48 m) (0.89 m3 3 3 La incertidumbre absoluta del volumen de la esfera es:  ∂V  4  d 3  4 2 2 2 3 ∆V =   ∂ r  ∆r = 3 π  d r (r )  ∆r = 3 π 3r ∆r = 4 π r ∆r = 4(π )(2. potenciación y radicación. la corriente eléctrica. MAGNITUDES DERIVADAS. la masa y el tiempo como las magnitudes fundamentales. la temperatura. Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en todos o casi todos los fenómenos físicos. basado en el sistema métrico. división. Es a partir de esta unidad que se estableció el sistema métrico. Ellas son: el ángulo plano y el ángulo sólido. Biológicas. Nosotros sólo estudiaremos los que se encuentran vinculados estrechamente con el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Física. b A = a .b a b) El volumen de un cilindro se obtiene al multiplicar el área de su base por su altura.. Estas magnitudes se clasifican en dos formas: a) De acuerdo con su origen: i) Magnitudes Fundamentales ii) Magnitudes Auxiliares. y cuyas unidades básicas eran las que se indican: . . Es un pequeño grupo que al medirse no se pueden comparar con ninguna de las magnitudes fundamentales. Estas son la base de todo sistema de unidades. El nombre metro fue asignado a la unidad de longitud. Veamos algunos ejemplos: a) El área de una superficie rectangular se consigue multiplicando dos longitudes. Económicas.. Es un conjunto de unidades que data desde 1820. h V = A. la intensidad luminosa y la cantidad de substancia. iii) Magnitudes Derivadas b) De acuerdo a su naturaleza i) Magnitudes Escalares ii) Magnitudes vectoriales y iii) Magnitudes Tensoriales. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación. del vocablo griego METRON. el cual es un conjunto de unidades obtenidas mediante múltiplos y/o submúltiplos de orden 10 de las unidades básicas: metro. y que consideraba a la longitud. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. la masa. MAGNITUDES AUXILIARES. h = π r 2 h = π ( π D 2 ) h = D2 h 2 4 D c)La densidad de un cuerpo está dado por el cociente obtenido al dividir su masa entre su volumen. que significa la medida. Actualmente para muchos científicos éstas son: la longitud. ELECTRONICA MsC. En número es el grupo más grande (ilimitado) en el que cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. el tiempo. Químicas.APUNTES DE FISICA I 44 ING. En la actualidad se utilizan dos grandes sistemas de unidades: El Sistema Internacional (SI) y el sistema inglés (FPS) Sistema Absoluto. etc. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 MAGNITUDES FÍSICAS En el Universo existen magnitudes de todo tipo: Físicas. kilogramo y segundo. ρ= SISTEMA DE UNIDADES m V Durante la Revolución Francesa (1790) se creó un sistema de unidades que debería ser simple y científico. g. Temperatura Termodinámica θ 5..P..P.. Ángulo Sólido Estereoradian sr NOTA IMPORTANTE.K.. en el que se consideran siete (07) magnitudes físicas fundamentales y dos (02) auxiliares o complementarias.S. es muy empleado en muchos sectores de ingeniería.s M. Intensidad de Corriente Eléctrica I 6. F. la onceava Conferencia General de Pesas y Medidas (Organización Internacional reunida en París.S.S. Cantidad de Sustancia N UNIDAD BÁSICA Nombre Símbolo metro m kilogramo kg.g. b .. Francia) da a conocer oficialmente un sistema de unidades basado en el sistema métrico decimal. segundo s kelvin K ampere A candela cd mol mol Unidades Suplementarias de Sistema Internacional MAGNITUDES AUXILIARES UNIDAD BÁSICA Nombre Nombre Símbolo 1. F.( a . Al multiplicar varias unidades de medida. la fuerza y el tiempo.. Tiempo T 4. L Cm M Pie F gr-f kg-f lb-f T S S S SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) A partir del 14 de Octubre de 1960 .. i = exp onentes numeri cos) PREFIJOS UTILIZADOS POR EL SISTEMA INTERNACIONAL PREFIJO SIMBOLO FACTOR POR EL QUE SE MULTIPLICA LAS UNIDADES 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 NOMBRE NUMERICO Cuatrillon Mil trillones Trillón Mil billones Billones Mil millones Millón Mil Cien Diez Uno DEL VALOR M U L T I P L O S Yota Zeta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca Y Z E P T G M K H D UNIDAD .S.. c. L Cm M Pie M G Kg.K...APUNTES DE FISICA I ING.s M. Intensidad Luminosa J 7. Longitud L 2. Masa M 3. el SI recomienda utilizar el siguiente orden: ( X ) = ma kg b s c K d Ae cd f mol g rad h sr i ... Lb T S S S Sistema Técnico.. Sub Sistema c.. La siguiente tabla muestra las siete magnitudes fundamentales del Sistema Internacional de Unidades (SI) MAGNITUD FUNDAMENTAL Nombre Símbolo 1. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 45 Sub Sistema c. Ángulo Plano Radian rad 2.. las mismas que tendrían sólo una unidad básica. ELECTRONICA MsC. Es un conjunto de unidades que considera como magnitudes fundamentales a la longitud.. La razón (1. Por ejemplo. los datos científicos se expresan en la actualidad en unidades SI. En 1983 se redefinió el metro como la distancia recorrida por la luz en el vació en 1/299 792 458 segundo. se toma el valor medio de un año. Específicamente. Esto es: . JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Deci Centi Mili Micro Nano Pico Femto Atto Zepto yocto d c m µ n p f a z y 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24 Décima Centésima Milésima Millonésima Mil millonésima Millonésima Mil millonésima Trillonesima Mil trillonesima Cuatrillonesima DEFINICIONES DE ALGUNAS UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL Unidad de masa La unidad SI para la masa. la precisión con que podía especificarse la longitud de onda de kriptón se volvió una limitación. las unidades base son la libra (lb) para la fuerza. En nuestro siglo. La masa de un de un átomo de carbono 12 es exactamente 12 u. La velocidad de la luz se convirtió así en un estándar primario. El uso de la barra estándar tenía dos inconvenientes. se puede eliminar una de las unidades para obtener otra. se desea convertir millas por hora (millas/h) a metro por segundo (m/s).609 km. que depende de la definición del segundo define que la velocidad de la luz en el vació es exactamente de 299 792 458 m/s.APUNTES DE FISICA I 46 S U B M U L T I P L O S ING. El reloj atómico de cesio es tan estable que su precisión es de 1 s en 30 000 años. el ancho de las marcas se volvió un factor limitante. Empleando apropiadamente tales razones. la temperatura. el año y el siglo. Se definió entonces el metro como 1 650 763. En virtud de las variaciones con la estación y las fluctuaciones al azar. aunque la mayoría de los países industrializados disponían de copias de esta barra. que tiene el valor de uno. la hora. en un segundo hay 9 162 631 770 vibraciones en la radiación. el día.66 x 10-27 kg. Primero. y cualquier mejora que se haga para medir el metro o el segundo se refleja automáticamente en el otro. Unidad de longitud La unidad SI de longitud es el metro (m). Con este estándar puede medirse la masa con una precisión de 1 en 108. Unidad de tiempo La unidad SI para el tiempo es el segundo (s). el pie (ft) para la longitud y el segundo (s) para el tiempo.609)/(1 milla). ELECTRONICA MsC.73 longitudes de onda de esta luz. se llama factor de conversión. A nivel atómico. Otras unidades secundarias del tiempo incluyen el minuto. en 1960 el metro estándar se midió con la mayor precisión en términos del número número de longitudes de onda de la luz anaranjada emitida por el kriptón 86. Originalmente se definió como 1/86 400 de un día solar medio. era preferible tener un estándar que pudiera reproducirse n un laboratorio bien equipado. Dificultades prácticas para obtener agua pura y el hecho de que en esta definición incluía otra cantidad. se definió como la distancia entre dos marcas muy finas en una barra de platino e iridio conservada en condiciones controladas en Sévres. el kilogramo (kg. usado todavía en varios países. (Al intervalo de tiempo en que el Sol alcanza el punto más alto en días consecutivos recibe el nombre de día solar. Virtualmente.) se define actualmente como la masa de un cilindro de platino e iridio que se guarda en el Buró Internacional de Pesas y medidas de Sévres. En 1967. se volvió a definir al segundo en término de cierta radiación emitida por los átomos del cesio 133. pero antes de 1960. Francia. se definió originalmente como la masa de un litro de agua a 4 °C. CONVERSIÓN DE UNIDADES A menudo es necesario convertir la unidad de una cantidad física. La unidad SI de masa (1 kg. Segundo. Así. Dado que una milla = 1. es conveniente tener una unidad secundaria de masa llamada unidad de masa atómica unificada (u).). Cuando las técnicas se mejoraron (a través del desarrollo del láser) . Originalmente se definió el metro (en el siglo XVIII) como la diez millonésima parte (10-7) de la distancia del Ecuador al Polo Norte. Este estándar de longitud. En el sistema británico.) Ya que la razón de rotación de la Tierra ha disminuido gradualmente. la relación entre estas unidades es 1 u = 1. ¡Este es un estándar difícilmente reproducible!. llegó a ser reemplazado. Francia. se eligió el día solar medio el correspondiente al año 1900. 9 m. 0.364 = 16. al mismo tiempo que es importante referirnos a su orden de magnitud. emplear la notación de potencia de diez para expresar números muy grandes o muy pequeños.5 (cienmilésimas) A menudo oímos decir que “son trillones las estrellas en el universo” o que “una montaña pesa billones de toneladas”. Los ceros que sirven sólo para indicar la potencia de 10 no cuentan.85 Aunque las cifras extra pueden conservarse en los pasos intermedios.5 x 10-1.6 es aproximadamente 0. Es difícil manejar estos números expresados en esta forma. Así. El valor verdadero se encontrará entre 15. definitivamente. a su valor aproximado.55 x 102.0 tiene. de modo que 6.. así.APUNTES DE FISICA I ING. .2 x 104 tiene dos cifras significativas. Así. de modo que 2.4 14.36 kN = 2.6 = 6.2 hora 1hora 1milla 1km 3600 s s Cuando el estudiante sustituya en una ecuación. sólo se conservará el último número en los lugares decimales. la precisión de un resultado suele indicarse por el número de dígitos retenidos.4 x 105 = 4 x 104 − 15 = 5 x 10 5 A menudo es conveniente designar la potencia de diez por un prefijo en la unidad. comparar el tamaño de un átomo de 0. Conviene así. mientras que 1.” si que tenga un sentido intuitivo de la razonabilidad de las afirmaciones. utilizando únicamente la potencia de 10.1 (décimas) 0. Así. el resultado es (15. Así. El número de cifras significativas de 12 000 no está claro. 17.6 ± 0.56 = 16.0002560 tiene cuatro cifras significativas. A menos que se indique lo contrario. 36.200 x 104 tiene cuatro.3. 1. entendiéndose que la última cifra (6) puede no ser exacta. La palabra “trillón” y “billón” en realidad quiere decir “muchos.36 x 103 N. por ejemplo. Por ejemplo. pero si los que se encuentran al final.000 000 000 2 m con el de un núcleo de 0.3m y 15. En lugar de una especificación explícita de la incertidumbre. es posible llegar a una estimación burda del tamaño de alguna cantidad. Su orden de magnitud es 10. procure no mezclar unidades SI con unidades del sistema británico.4. puede emplearse la regla siguiente: En productos y divisiones. Por ejemplo.6 m con una incertidumbre de 2 %. Por ejemplo.4 . el número de cifras significativas en el resultado final deberá ser igual al factor con el número de cifras significativas. muchísimos. con la incertidumbre en el 4. su orden de magnitud es 10.6 tiene tres cifras significativas. en: 1 000 000 = 106.00 m ORDEN DE MAGNITUD Es necesario tener una idea clara de lo grande o pequeño que es un número escrito en notación científica. pues el tamaño del átomo es 2 x 10-10 m y el del núcleo 5 x 10-15 m. Para asegurarse de que los resultados no se especifiquen con precisión injustificada. La notación en potencias de 10 es útil en estos casos.524 + 2. puede suponerse que todos los valores dados son lo suficientemente precisos como para que la respuesta final tenga tres cifras significativas. En sumas y restas. 5 m se tomará como 5. seis cifras significativas. Así. 000 000 000 000 005 m.000 03 = 3 x 10-5. mili significa una milésima. NOTACIÓN EN POTENCIAS DE 10 Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS Suponga que se le pide a Ud. el resultado de una medición puede ser 15. esto es. mientras que 12 000. con dos cifras significativas. Aunque tales cifras rebasan nuestra imaginación. ELECTRONICA MsC.387 = 6. o sea.479 x 2.3) m.609 km 1000 m 1hora millas m =( )( )( )( ) = 2 .4 x 10-3 s. Como el 2 % de 15.75 = 7.624 tiene cinco cifras significativas.6.0millas 1. su orden de magnitud es 102 (centenas) 0. la palabra kilo significa mil.4 ms = 6. Los valores numéricos obtenidos a partir de mediciones siempre tienen alguna inexactitud o incertidumbre. . JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 47 v = 5 . la razón de los tamaños es: 2 x 10−10 2 x 10−10 +15 = 0. su orden de magnitud es 106 (millones) 255 = 2. El resultado 15.0 5. Decimos que 15. la respuesta será de 2.3. un estudiante podría afirmar que la deflexión del electrón en un tubo de televisión es de 10+12 m. digamos. como el tamaño de un átomo. 2. y juzgar mediante el cálculo hecho “en el reverso de un sobre” si una teoría es razonable. año Sería prudente incluir un factor de seguridad de.7 x 39. . por lo menos. 60 años. las propiedades de los materiales que va a utilizar. y así sucesivamente. Para obtener una estimación del orden de magnitud. Resulta irónico que en esta ciencia “exacta” como es la física. es decir. por ejemplo. por ser inexactos. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 Para hacerlo el científico piensa en órdenes de magnitud. etcétera. Un momento de reflexión revelaría que ¡esta cantidad es mayor que la distancia de la Tierra al Sol.71 9 Para ciertos propósitos esto estaría suficientemente cercano a la respuesta correcta. 3) ¿Cuántos segundos hay en un año? ( 365 dias horas seg seg . Supongamos que un científico o un ingeniero desean medir alguna cantidad física o construir un instrumento. el tamaño del mismo fenómeno. Al hacer un cálculo del orden de magnitud basado en la sensibilidad de un instrumento.APUNTES DE FISICA I 48 ING. después de un cálculo que implicaría sólo un pequeño error. )(( 60 años)( 3 x 107 ) ≈ 2 x 109 pulsaciones seg . la masa y la carga de un electrón. 2) ¿Cuántas veces por segundo deberá latir el dispositivo? El ritmo normal en una persona es de una 76 pulsaciones por minuto. que sería alrededor de 881. la masa y el radio de la Tierra. esto es. Ejemplo. Veamos un ejemplo al respecto. En consecuencia el marcapasos deberá efectuar 4 x 109 pulsaciones antes de dejar de funcionar. Una estimación del orden de magnitud de algún fenómeno complejo. el dispositivo deberá durar. Esta habilidad le permite ahorrarse todo el palabrerío de una presentación. a menudo al físico se le respeta por dar rápidas estimaciones de ordenes de magnitud. la velocidad de la luz. por lo general. Por ejemplo: 193. Esto ayuda a desarrollar la visión y también evita que caigamos en respuestas absurdas. del núcleo. Esto significa que desea tener una idea aunque vaga del tamaño de alguna cosa sólo dentro de un factor de 10. alrededor de un latido por segundo. Para una mujer de 20 años. la distancia al Sol. los datos deberán tener precisamente una cifra significativa. Un ingeniero quiere diseñar un marcapaso para pacientes cardiacos. puede juzgarse la factibilidad de un proyecto. conocimientos y experiencia para saber que es importante para nuestro objetivo y qué no lo es.64 ( 2 x 102 )( 4 x 101 ) ≈ ≈ 1 x 103 8. A menudo. implica. ¿cuántas veces deberá el dispositivo latir para que la persona tenga una esperanza normal de vida? Solución Se necesitan varios cálculos: 1) Si la persona vive hasta los 75 años. Debe cultivarse el hábito de conocer los órdenes de magnitud de cantidades físicas que se usan frecuentemente. )( 24 )( 3600 ) ≈ 3 x 107 año dia hora año 4) El número total de pulsaciones es: (1 pulsacion seg . tal que: [ x ] = La M b T c θ d I e J f N g Aquí se debe reflexionar en torno a: “Las fórmulas dimensionales se obtienen a partir de fórmulas matemáticas o físicas” Ejemplos a) Para hallar la fórmula dimensional del área debemos de seguir el siguiente procedimiento: b i) Figura geométrica: Rectángulo a ii) Fórmula matemática: A = a. [Longitud] = L 2.d. 2) Establecer el grado de verdad de una fórmula. 3) Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo. la dimensión de la magnitud física “A” o ecuación dimensional de A es: [A] Ejemplos: 1. Es aquella igualdad matemática que muestra la relación que existe entre una magnitud derivada y las que asume como magnitudes fundamentales. Así. FÓRMULAS DIMENSIONALES Designamos con este nombre a aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 49 ANALISIS DIMENSIONAL El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto de leyes.b iii) Fórmula dimensional: [A] = [a][b] = L L = L2 b) Para hallar la fórmula dimensional del volumen de un cuerpo.b..c. [masa] = M 3. entonces. i) Figura geométrica: Paralelepípedo ii) Fórmula matemática: V = a.). Un análisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes físicas nos permitirá: 1) Relacionar una magnitud física con otras elegidas como fundamentales. y y z tienen valores apropiados que permiten verificar la igualdad. [tiempo] = T 4. las mismas que se podrán relacionar mediante una constante numérica (k).. [temperatura] = θ 6. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos de los que en adelante llamaremos dimensiones. [intensidad de corriente] = I 5. FÓRMULAS EMPÍRICAS Es aquella relación obtenida en base a una comprobada dependencia de una magnitud (a) con otras magnitudes (b. tal que: a = k bx cy d z donde x.c iii) Fórmula dimensional: [V] = [a] [b] [c] = L L L = L3 c b a ECUACIÓN DIMENSIONAL. se establece que [x] es la fórmula dimensional de x. los mismos que aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales. [intensidad luminosa] = J 7. La dimensión de una “magnitud física” se representa del siguiente modo: Sea A la magnitud física. si x es una magnitud derivada. reglas y propiedades en un campo propiamente matemático.APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. [cantidad de sustancia] = N . z tienen valores apropiados que permiten verificar la igualdad. Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de homogeneidad dimensional 3..c. y sus fórmulas dimensionales es la unidad.APUNTES DE FISICA I 50 ING.d). y si en ambos miembros de la igualdad aparecen las mismas magnitudes afectadas de los mismos exponentes. R es el radio de la hélice en m. a) L2 + L2 + L2 = L2 b) LT-2 . ELECTRONICA MsC. y. La potencia de una hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: P = kR x ω y ρ z donde: k es un número. FINES Y OBJETIVOS DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL 1. EJERCICIOS RESUELTOS 1. a) b) c) d) [ 3] = 1 [ 2 π rad ] = 1 [sen 45° ] = 1 [log 55] = 1 PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones. Utilizando análisis dimensional encontrar la ecuación empírica para la potencia de la hélice. ω es la velocidad angular en rad/s y ρ es la densidad del aire en kg/m3. Solución Sabemos que: P = kR x ω y ρ z [ P] = [ kR x ω y ρ z ] Dimensionalmente: [ P] = [ k ][ R] x [ω ] y [ ρ ] z ( ML2 T −3 ) = (1) ( L) x (T −1 ) y ( ML−3 ) z ML2 T −3 = M z Lx −3z T − y . Si: A = B + C + D + E + …… Entonces dimensionalmente se debe cumplir que: [A] = [B] = [C] = [D] = ….LT-2 = LT-2 2) Todos los números en sus diferentes formas son cantidades adimensionales. las mismas que se podrán relacionar mediante una constante numérica (k) tal que: x y z a = kb c d donde x. pero si con las demás operaciones aritméticas. Determinar fórmulas empíricas a partir de datos experimentales ECUACIÓN EMPÍRICA. Es aquella relación obtenida en base a una comprobada dependencia de una magnitud (a) con otra (b. Expresar las magnitudes derivadas en función de las denominadas magnitudes fundamentales 2. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 REGLAS IMPORTANTES 1) Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las leyes de la adición o sustracción. 7 55.002) cm.6 y 59.0 cm L = 2π = 2 π 0.6 4. 57.0 cm = 55.3 52.6 cm 20 Error relativo de la longitud er = d) ∆L 1.0 2.3 0. (c) Encontrar la incertidumbre relativa de la medición.029) (100) = 2.5 cm 2 = 2.00 6.3.7 -2. Solución Tabla estadística: N 1 2 3 4 5 Σ a) Li (cm) 50. (d) Encontrar la incertidumbre porcentual de la medición.49 s 2 g 980 cm / s Se mide el diámetro de una esfera sólida y da por resultado (13.000 ± 0.APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. (a) Encontrar el valor medio de la medición y (b) Encontrar la incertidumbre absoluta de la medición.0 Valor medio de la longitud: δ L (cm) -4.0 cm 5 Error absoluto de la longitud ∆L = c) ∑ (δ L ) i 2 N ( N − 1) = 52.001) kg.36 53. (b) La densidad de la esfera con su incertidumbre.0 cm Error porcentual de la longitud: e % = er x 100 = (0.0. y la medida de su masa es de (1.0 57.029 < L > 55. 55.675 cm 2 = 1. z =1 Desarrollando el sistema de ecuaciones tenemos: Por tanto la ecuación correcta es: 2.4 275.6 cm = = 0. Solución Datos: .9 % e) Periodo T = 2π 3.4 (δ L)2 cm2 22.7. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 51 Igualando exponentes: Para M : 1 = z Para L: 2 = x − 3z Para T: − 3 = −y x = 5.6 59. Encontrar: (a) El volumen de la esfera con su incertidumbre. 55.09 5.5 < L >= b) ∑L n i = 275. P = k R5 ω 3ρ Cinco mediciones de una longitud dan en cm: 50. 52.4.850 ± 0.29 0. (e) ¿Qué valor tiene el periodo del péndulo simple para esta longitud promedio.050 s 2 = 1.76 19. y = 3. v.5) cm 3 b) Densidad de la esfera con su incertidumbre ρ= 1 850 g M = = 1.APUNTES DE FISICA I 52 ING. t ) La ecuación empírica tiene la forma: P = k ρ x vy tz Dimensionalmente: [P] = W  = M L2 T −3   t  [k ] = 1 . v = 5. entonces P = 0.000 ± 0.9 watts.850 ± 0.09 V (1 150.5 cm 3 ) 1 150. P = f ( ρ .002 cm) = 0.3 cm V ∆ M + M ∆ V (1 150.002) x 10 −2 m M = (1.3 cm 3 3 6 6 ∆V = ∂V ∂ π 3 π π ( D )∆D = (3 D 2 ) ∆D = D 2 ∆D ∆D = 6 2 ∂D ∂D 6 ∆V = π 2 (13 cm) 2 (0.6) kg / m 3 Rocío. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 D = (13. ELECTRONICA MsC.00 X 10-2 m/s y t = 2 s. Martín. una eficiente enfermera ha observado que la potencia (P) con que aplica una inyección depende de la densidad (ρ) del liquido encerrado.6 kg / m 3 Por lo tanto: ρ = (1 608.6082 g / cm 3 = 1 608. un estudiante de ingeniería de la UPAO le ha conseguido una formula con los datos que ella le ha proporcionado.2 kg / m 3 3 V 1 150.000 ± 0. Si ρ = 800 kg/m3.5 cm 3 Por lo tanto: V = (1 150.6 x 10 −3 g / cm 3 = 1.002) cm = (13.3 cm 3 ) (1 g ) + (1 850 g ) (0.2 ± 1. de la velocidad (v) del émbolo al expulsar el liquido y del tiempo de aplicación de la inyección (t).3 ± 0.3 cm ) ∆ ρ = 1. Utilizando análisis dimensional ¿Cuál será la fórmula descubierta? Solución Como sabemos por enunciado: 4.001)kg = (1 850 ± 1) g a) Volumen de la esfera con su incertidumbre 4 π π V = π R 3 = D 3 = (13 cm) 3 = 1 150.3 + 925 ∆ρ = = = g / cm 3 2 3 2 1323190. (c) El valor real de la medición. a) Valor medio de la medición: Lm = ∑L N i = 13.0000 0. 2.0009 0.72 cm.0.0. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 53 [ρ ] =  m  = M L−3   V  [v] = L T −1 [t ] = T Reemplazando tenemos: M L2 T −3 = (1) M L−3 Igualando exponentes: Para M: 1 = x Para L: 2 = −3 x + y Para T: − 3 = − y + z Resultando: ( ) (L T ) (T ) x −1 y z = M x L−3 x + y T − y + z ⇒ ⇒ 2 = −3 (1) + y − 3 = −5 + z ⇒ ⇒ y=5 z=2 P = k ρ v5 t 2 Calculo de la constante k: k= 0.69 cm y 2.0001 0.706 cm = 2.009 cm = 0.01 .0004 Σ (δLi)2 = 0.02 (δLi)2 (cm2) 0.0018 cm 2 = = = 0.68 2.0018 cm 2 0. 2.73 cm.71 cm 5 b) Incertidumbre absoluta: ∆L = ∑ (δ L ) i 0. (d) La incertidumbre relativa de la medición y (e) La incertidumbre porcentual de la medición.02 0.71 2.53 cm = 2.68 cm.9 kg m 2 / s 3 P = = 900 ρ v 5 t 2 (800 kg / m 3 ) (5 x10 −2 m) 5 (2 s ) 2 Resultando: P = 900 ρ v 5 t 2 Un grupo de estudiantes realizó 5 mediciones de la longitud de un tornillo luego de los cual se reportaron los siguientes resultados: 2.73 Σ Li = 13.71 2.72 2.53 cm δLi (cm) 0.00 .71 cm.APUNTES DE FISICA I ING.0018 cm2 5.00009 cm = 0.03 0. Calcúlese: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición. ELECTRONICA MsC.0004 0.01 cm N ( N − 1) 5(5 − 1) 20 2 . 2. Solución Tabla estadística: N 1 2 3 4 5 Σ Li (cm) 2. 01) cm d) Error relativo: er = ∆ L 0. (La criatura es probablemente un caracol) Solución 8.01 cm = = 0.5 cm )(45.04 cm 3 x 100 = x 100 = 3.APUNTES DE FISICA I 54 ING.281 pies  = 30.97 cm 3 3 3 3 Error absoluto del volumen de la esfera: ( ) ∆V = ∂V ∂ 4 4  d 3 4 3 2 2 ∆r =  π r ∆r = π  d r r  ∆ r = 3 π 3r ∆ r = 4π r ∆ r  ∂r ∂r 3 3    ( ) ∆ V = 4 π (2. Determine el área de terreno en m2. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en el volumen de una esfera cuyo radio es r = (2. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 c) Valor real de la medición: L = Lm ± ∆ L = (2.281 pies. .03) cm? Solución Volumen de la esfera: 4 4 4 3 V = π r 3 = π (2.84 ± 0.7 cm ) = 1393.281 pies  = 45.5 m    Ancho: w = 150.9 cm 2 Una criatura se mueve a una rapidez de 5 estadios por quincena (no es una unidad muy común para la rapidez).0 pies   3.0 pies. Solución Pos datos tenemos: Largo: l = 100. Dado que 1 estadio = 220 yardas y 1 quincena = 14 días. Un terreno rectangular tiene 100. sabiendo que 1 m = 3.7 m    Área del terreno:  1m   1m  A = l x w = (30.71 ± 0.0 pies   3. ELECTRONICA MsC.03 cm ) = 3.4 % 6.004)(100) = 0.2 % 7.71 cm e) Error porcentual e % = e r x 100 = (0.91 cm 3 = 95.04 cm 3 2 La incertidumbre porcentual del volumen de la esfera es: e %= ∆V 3.0 pies por 150.2 % V 95.85 cm 2 = 1393. determine la rapidez de la criatura en m/s.004 Lm 2.84 cm ) (0.97 cm 3 e % = 3.9 cm 2 A = 1393.84 cm ) = π 22. 89 x10 − 15 kg 2 = 5. (2) la constante de gravitación de Newton (la constante fundamental de la gravedad) G = 6.. G. m2/s. tenemos: m P = (1) (3 x 10 m / s )(6. Solución La funciones: m P = f (c. y (3) la constante de Planck (la constante fundamental de la mecánica cuántica). Con base en un análisis dimensional. [m P ] = M M = (1) LT − 1 [k ] = 1 [c] = LT − 1 [G ] = L3 M − 1T − 2 [h] = ML2T −1 Reemplazando las dimensiones en la ecuación empírica tenemos: ( ) (L a 3 M − 1T − 2 ) (M L b 2 T −1 ) c M = La T − a L3 b M − b T − 2b M c L2 c T − c M L0 T 0 = M − b + c La + 3 b + 2 c T − a − 2b − c Igualando exponentes: Para M: 1 = − b + c Para L: 0 = a + 3b + 2c Para T: 0 = − a − 2b − c Resultando: ( )( )( ) de aquí: c = 1 + b a= 1 2 b=− 1 2 c= 1 2 Por lo tanto la ecuación empírica es: m p = k c 1 / 2 G − 1 / 2 h1 / 2 = k ch G reemplazando valores.281 pie  14 dias  86 400 s        3300 m 3968697.67 x 10 m / kg s ) 8 − 34 − 11 3 2 2 /s )= 19.32 x 10 − 4 s = 8. cuyo valor depende de tres constantes fundamentales (1) la velocidad de la luz (la constante fundamental de la relatividad.APUNTES DE FISICA I ING.32 x 10 − 4 Un hito importante en la evolución del Universo.67 m P = 5.6 s m s m v = 8. mp.67 x 10-11 m3/s2 kg. ELECTRONICA MsC.46 x 10 − 8 kg . h ) La ecuación empírica es: m P = k c a G b h c Las dimensiones de cada uno de los términos son: 9. c = 3 x 108 m/s. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 55 v=5 = estadios  220 yardas  3 pies  1 m  1 quincena  1 dia        quincena  1 estadio  1 yarda  3.63 x 10 kg m (6.46 x 10 − 8 kg 6.63 x 10-34 kg. halle el valor de la masa de Planck (considere K = 1). justo después de la Gran Explosión es la masa de Planck. h = 6. Indica el valor de una magnitud vectorial. En física. dos o tres dimensiones. se mide el ángulo con respecto al eje positivo del sistema de coordenadas que puede ser o°. con una pequeña flecha en la parte superior de la letra o también con letras negritas. Sentido. 180°. La dirección y sentido se determina mediante el ángulo que forma el vector con respecto a los ejes de coordenadas en una. Es la orientación que tiene el vector. 90°. que se representa mediante un segmento de recta orientado. sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR: Es un ente matemático. Geométricamente es el tamaño del vector y se determina con la siguiente fórmula: En un dimensión: A En dos dimensiones: A = En tres dimensiones: A = ( Ax ) 2 + ( Ay ) 2 ( Ax ) 2 + ( Ay ) 2 + ( Az ) 2 2. Dirección. Módulo. 3. ELECTRONICA MsC. respecto al sistema de coordenadas cartesianas. En una dimensión. se lee: vector A O: origen del vector P: extremo del vector r r También se denota: A = A = OP ELEMENTOS DE UN VECTOR X 1. el vector. un vector se representa con cualquier letra del alfabeto. 270° o 360°.APUNTES DE FISICA I 56 ING. En dos dimensiones (o en el plano) se define mediante el ángulo que forma el vector respecto del eje (+) : se utiliza la función tangente para determinar la dirección y sentido del vector y se debe tener en cuenta en que cuadrante se encuentra el vector: tan θ = y x ⇒ θ = arc tan ( ) y x En tres dimensiones se utiliza los cosenos directores para determinar la dirección y sentido del vector con respecto a los ejes de coordenadas: cos α = Ax A cos β = Ay A cos γ = Az A . Como se muestra en la figura. Indica hacia que lado de la dirección (Línea de acción) actúa el vector. dentro del espacio euclidiano tridimensional. Y O P A θ 0 X 0 Y P A Z P r A = A. Gráficamente se representa por una cabeza de flecha. NOTACIÓN. 6. . pero sentidos opuestos. Son aquellos dos o más vectores que tienen una misma línea de acción o todos ellos están contenidos en una misma recta. A L1 B L2 Igual dirección: L1 || L2 Igual módulo: A = B Igual sentido: θ1 = θ2 5. Dos vectores serán iguales. Vectores iguales. Dos o más vectores se denominan coplanares. Vectores opuestos. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 57 CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES 1. B y C son vectores concurrentes y coplanares. cuando tienen sus tres elementos respectivamente iguales. La suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo (Tamaño igual acero) A L1 B L2 Si L1 es paralelo con L2. Vectores colineales. Vectores concurrentes. B y C son colineales 2. Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección. cuando todos ellos tienen un mismo punto de aplicación o sus líneas de acción se intersectan en un mismo punto. cuando todos ellos están contenidos en un mismo plano. A B C Los vectores A. ELECTRONICA MsC. entonces: A es el paralelo de B y A es paralelo con el vector C 3. igual módulo. o son iguales los módulos: A = B y sentidos opuestos A + B = 0 4. A B C 0 A. Vectores coplanares. Vectores paralelos. A L1 B C L2 Si L1 es paralelo a L2. Son aquellos vectores que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas. Dos o más vectores se denominan concurrentes.APUNTES DE FISICA I ING. Cuando los vectores A y B forman entre si un ángulo de 90°. el origen del tercero con el extremo del segundo. por consiguiente tienen igual dirección y sentido. así sucesivamente hasta el último vector. por consiguiente la suma se realiza algebraicamente teniendo en consideración los signos (sentidos) A R=A+B+C = ( 2 ) + ( 5 ) + (. Geométricamente el módulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen a los vectores El vector resultante es: R=A+B Su módulo: R= β B R=A+B α A CASOS PARTICULARES γ θ A2 + B 2 + 2 AB cosθ Su dirección A B R = = sen α sen γ Sen β 1. entonces el vector resultante también tendrá la misma dirección. uniendo el origen del segundo vector con el extremo del primero. R= A2 + B 2 SUMA DE N VECTORES (Método del polígono). ELECTRONICA MsC.B 3. Dado que todos los vectores tienen la misma dirección. Rmin = A . SUMA DE DOS VECTORES (Método del paralelogramo). RESULTANTE MÁXIMA. manteniendo constante sus tres elementos (módulo. . La resultante de dos vectores es máxima cuando forman entre sí un ángulo igual a cero. La resultante de dos vectores es mínima cuando forman entre sí un ángulo igual a 180° por consiguiente tienen sentidos opuestos.4) B =3 C 2. Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen. Rmax = A + B 2.APUNTES DE FISICA I 58 ING. El módulo del vector resultante se determina uniendo el origen del primero con el extremo del último vector. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 OPERACIONES CON VECTORES 1. RESULTANTE MÍNIMA. dirección y sentido). la resultante de estos dos vectores se obtiene utilizando el teorema de Pitágoras. Consiste en construir un polígono con los vectores sumandos. USO DEL TEOREMA DE PITAGORAS. SUMA DE VECTORES COLINEALES Y PARALELOS. trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. se construye un paralelogramo. entonces el módulo del vector B A D=A-B -B VECTOR UNITARIO. Es aquel vector cuyo módulo es la unidad de medida y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. Vector: A = A u r A vector unitario: u = A $ $ En dos dimensiones: A = Axi + Ay j . A causa de que los vectores tienen tanto magnitud como dirección. los sumandos deben tener las mismas dimensiones. R=0 DIFERENCIA DE VECTORES. por ejemplo: distancia = velocidad x tiempo. y la suma tendrá igualmente las mismas dimensiones: La misma regla se aplica a la suma y diferencia de dos cantidades vectoriales.B = A + (. Por otra parte podemos multiplicar cantidades escalares de dimensiones diferentes y obtener un producto de dimensiones posiblemente diferentes de cualquiera de las cantidades que han sido multiplicadas.B) En la figura se muestra la sustracción de vectores resulta cerrado. Como los escalares.APUNTES DE FISICA I ING. La diferencia o sustracción de vectores se expresa en términos de la suma de vectores y del opuesto de un vector. y j En caso general: r A $ u= = A  A   Ay  A$ $ =  x  i$ +   $ +  z  k = (cos α )i$ + (cos β ) j + (cos γ ) k j 2 2 2  A  A  A ( Ax ) + ( Ay ) + ( Az ) $ Axi$ + Ay $ + Az k j MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Cuando sumamos cantidades escalares. El vector unitario se define como la relación del vector A entre su módulo. el vector de . Por definición: D = A .+ Az k . y r r A= ( Ax ) 2 + ( Ay ) 2 A = ( Ax ) 2 + ( Ay ) 2 + ( Az ) 2 $ En tres dimensiones: A = Axi$ + Ay $ . ELECTRONICA MsC. los vectores de diferentes clases pueden multiplicarse por otro para generar cantidades de dimensiones físicas nuevas. Si el polígono vectorial resultante es igual acero. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 59 R=A+B+C+D D A C D A C B B POLIGONO CERRADO. entonces cos 90° = 0: A. Para dividir un vector por un escalar simplemente multiplicamos el vector por el reciproco del escalar .APUNTES DE FISICA I 60 ING.j = j. Debemos establecer nuevas reglas de multiplicación para los vectores.B = 0 Con respecto a los vectores unitarios: i.B = A B cos θ Obsérvese que A.B es un escalar. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 multiplicación no puede seguir exactamente las mismas reglas que las reglas algebraicas de la multiplicación escalar.B = A B cos 0° = A B ii) Si θ = 90°. B = A . A menudo el escalar no el un número puro sino una cantidad física con dimensiones y unidades.j = k.A B Las propiedades del producto escalar son: Propiedad Conmutativa: A.k = i i cos 0° = 1 i.B) = (mA). B) m Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero: A.A Propiedad distributiva del producto escala con respecto a la suma: A .C Si m es un escalar: m (A.i = i j cos 90° = 0 0≤θ ≤π .B = B. (B + C) = A. se define que es un nuevo vector cuya magnitud de c multiplicado por la magnitud de A. Consideramos útil definir tres clases de operaciones de multiplicación con vectores: (1) multiplicación de un vector por un escalar. (mB) = (A . y no un vector. ELECTRONICA MsC.B = A B cos 90° = 0 iii) Si θ = 180°.B = A B cos 180° = . MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR OTRO ESCALAR La multiplicación de un vector por un escalar tiene un significado sencillo: el producto de un escalar c y un vector A.B + A. un número. Ejemplos 1) Si c = 5 unidades y A = 2 i + 3 j + 5 k.m/s2 F = (20 i + 25 j + 30 k) N PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO INTERNO Dados dos vectores A y B dos vectores como se muestran en la figura siguiente: B θ A El escalar o producto punto o producto interno A.B se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman. entonces cos 0° = 1: A. escrito cA. (2) multiplicación de dos vectores de modo tal que den por resultado un escalar (producto escalar) y (c ) multiplicación de dos vectores de modo tal que den por resultado otro vector (producto vectorial). entonces cos 180° = -1: A.k = k. Por lo tanto: A. Casos particulares: i) Si θ = 0°. el nuevo vector será: P = c A = (5) (2 i + 3 j + 5 k) = 10 i + 15 j + 25 k 2) Cuál es la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa 5 kg que tiene una aceleración de (4 i + 5 j + 6 k) m/s2 Por la segunda ley de Newton tenemos: F = m a = (5 kg) (4 i + 5 j + 6 k)m/s2 = (20 i + 25 j + 30 k)kg. El nuevo vector tiene la misma dirección que A si c es positivo y la dirección opuesta si c es negativo. Existen aún otras posibilidades que no consideraremos aquí.i = j. o bien si A tiene la misma dirección que B. Las propiedades del producto vectorial son: 1) El producto vectorial no es conmutativo: A x B = . el producto escalar se define por: A . donde W1 es paralelo a A y W2 es perpendicular o ortogonal a A. B = (Axi + Ayj + Azk). y su sentido es tal que A. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 61 Si: A = Axi + Ayj + Azk y B = Bxi + Byj + Bzk.W2 se llama el vector componente de A ortogonal a B iii) Si A y B son vectores no nulos. i) W1 se llama la proyección de A sobre B o el vector componente de A según B. La dirección de C = A x B es la perpendicular al plano que forman A y B. El módulo de A x B es el producto de módulos por el seno del ángulo θ que forman. entonces. Si A = B.APUNTES DE FISICA I ING. Por lo tanto: C = A x B = (A B sen θ) u 0≤θ ≤π Siendo u un vector unitario que indica la dirección y sentido del producto A x B. C=AxB B θ A Se define su producto vectorial o producto cruz o producto externo a otro vector C = A x B.B x A 2) El producto vectorial si es distributivo: A x (B + C) = A x B + A x C 3) Si m es un escalar: m (A x B) = (m A) x B = A x (m B) = (A x B) m 4) Con los vectores unitarios se cumple: ixi=jxj=kxk=0 ixj=k j x i = -k jxk=i k x j = -i kxi=j i x k = -j 5) Dados: A = Axi + Ayj + Azk y B = Bxi + Byj + Bzk se encuentra que: i A x B = Ax Bx j Ay By k Az Bz = (AyBz – AzBy) i + (AzBx –AxBz) j + (AxBy – AyBx) k . Sea además A = W1+ W2 . con lo que A x B = 0. ELECTRONICA MsC. y se denota: W1= Proyección B A ii) W2 = A .( Bxi + Byj + Bzk) = AxBx + AyBy + AzBz Caso particular: Si A = Axi + Ayj + Azk. A = Ax2 + Ay2 + Az2 Proyección de un vector: Sea A y B dos vectores no nulos.B )B B2 PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO EXTERNO Dados los vectores A y B como se muestra en el figura. sen θ = 0. A . entonces la proyección de A sobre B viene dado por: W1 = ProyecciónB A = ( A . B y C forman un triedro a derechas. iii) A x (B x C) se denomina triple producto vectorial. r r r d r r dA dB ( A + B) = + du du du r r Por ejemplo. en estas condiciones la derivada de A( u ) con respecto al escalar u se define por: r r r r  ∆A   A( u + ∆u ) − A( u )  dA = Limite  = Limite  ∆u → 0  du  ∆u → 0  du ∆u  Si: r $ A( u ) = Axi$ + Ay $ + Az k j r dA  dAx   dAy   dAz  $ Entonces: j =  i$ +  k  $+  du  du  du   du  Las reglas usuales en el cálculo diferencial puede ser extensiva a los vectores. [ ] 6. B y C se pueden formar vectores de la forma: i) (A . r r r dB dA r d r r ( A • B) = A • du + du • B du r r r dB d r r dA r ( A × B) = ( A × du ) + ( du × B ) du r d dA dϕ r (ϕ A) = ϕ du + du A du r r r r r dC r dB r dA r r d r r r A • ( B × C) = A • ( B × ) + A• ( × C) + • (B × C) du du du du 3. 4. 2. 7) Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es cero: A x B = 0 PRODUCTOS TRIPLES Por medio de productos escalares y vectoriales de tres vectores A. B ( u ) y C ( u ) . 5. ELECTRONICA MsC. Se puede comprobar que: A • ( B x C) = Ax Bx Cx Ay Az By Bz Cy Cz DERIVACIÓN DE VECTORES r r Si A( u ) es un vector función de la variable escalar u.APUNTES DE FISICA I 62 ING. B) C ii) A . ( B x C) se denomina triple producto escalar. aunque el orden de los factores en los productos de vectores puede ser muy importante. . si se tiene A( u ). r r r r r r r v  r dC  r  dB r  dA d r  + A× [ A × ( B × C )] = A ×  B × × C + × ( B × C) du du    du  du r r r r r r d ( A • B) = ( A • dB) + (dA • B) 7. se verifica: 1. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 6) El módulo de A x B representa el área del paralelogramo de lado A y B. y . Si A = A( x . ELECTRONICA MsC. Dado A( x . z) de una cierta región del espacio. z ) . el gradiente de ϕ representado por b) GRADIENTE: Si ∇ϕ está dado por: ϕ = ϕ (x . r d) ROTACIONAL. z ) . JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 63 8. divergencia y rotacional.APUNTES DE FISICA I ING. . es de gran utilidad en la práctica en operaciones llamadas gradiente. y. tiene la siguiente forma: r  ∂ ∂ ∂ $ ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az $ $+ ∇• A =  i$ + j k  • Ax i$ + Ay $ + Az k = j + + ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z ∂ x ( ) El resultado de esta operación es una magnitud escalar. z ) = Ax i + Ay j + Az k una función vectorial definida y derivable en cada uno de los puntos (x. ∇ϕ = ( r ∂ϕ $ ∂ϕ $ ∂ϕ $ )i +( ) j+( )k ∂x ∂y ∂z r $ $ $ c) DIVERGENCIA. y . la divergencia de A . El rotacional de cualquier campo vectorial derivable tal como A . se representa por r r ∇ × A ó rot A y tiene la siguiente forma: r  ∂ ∂ $ ∂ $ $ ∇× A =  i$ + j+ k  × Ax i$ + Ay $ + Az k j ∂y ∂z  ∂ x ( ) Utilizando determinantes. r r r r r r d ( A × B ) = ( A × dB ) + ( dA × B ) r r 9. Es un operador vectorial y goza de las propiedades análogas a los vectores ordinarios. tenemos: i$ r ∇× A = $ j $ k ∂ ∂x Ax ∂ ∂y Ay ∂ ∂y Az El resultado de esta operación es una magnitud vectorial. se tiene: r r r r  ∂ A  ∂ A  ∂ A dA =   dx +   dy +   dz  ∂ x  ∂ y  ∂ z INTEGRACIÓN DE VECTORES $ $ Si A( u ) = Ax ( u ) i + Ay ( u ) $ + Az ( u ) k es una función vectorial de u. y . se define la integral indefinida de j r A( u ) como: r r ∫ A(u)du = ( ∫ A (u) du) i$ + ( ∫ A (u) du) j$ + ( ∫ A (u) du) k$ x y z OPERADORES DIFERENCIALES VECTORIALES a) EL OPERADOR NABLA. representada por r r ∇ • A ó div A . se representa por ∇ y se define: ∇= ∂ $ ∂ $ ∂ $ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z es una función escalar. .APUNTES DE FISICA I 64 ING. 3. 5. 7. indica que dicha estrella: A) es roja B) es amarilla C) se aleja de nosotros D) se acerca a nosotros. o sea. las de hidrogeno. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS EL UNIVERSO 1. El Desplazamiento hacia el rojo. en la siguiente fase el Sol se convertirá en: A) un quasar B) una gigante roja C) una enana blanca D) una estrella de neutrones El Sol y sus planetas pertenecen a una galaxia conocida con el nombre de: A) cangrejo B) Andrómeda C) Vía Láctea D) Sistema solar 2. la edad del universo se estima en unos: A) mil millones de años B) quince mil millones de años C) dos mil cuatro años D) cuatro mil quinientos millones de años La mayoría de las estrella que están en la Vía Láctea son: A) las de neutrones B) los pulsares y las enanas blancas C) las enanas blancas y las gigantes rojas D) las de secuencia principal. en su evolución. Si un astro nos muestra en su espectro un desplazamiento hacia el rojo. Aquellas estrellas que producen su energía por el consumo de hidrogeno en el núcleo. ELECTRONICA MsC. en el espectro de la luz de una estrella enfocada con un telescopio desde la Tierra. mas del 90 %. 4. de manera que. el universo muestra una estructura que: A) se contrae B) se expande C) tiene tamaño fijo D) se contrae y expande de manera alterna Según la teoría de la gran explosión. 9. se identifican como: A) enanas B) gigantes C) de neutrones D) de la secuencia principal El Sol es una estrella que presenta las características de las estrellas que pertenecen a la secuencia principal. se conocen con el nombre de estrellas: A) de hidrogeno B) de neutrones C) enanas blancas D) gigantes rojas La mayoría de las estrellas en el universo. 8. 6. ello nos indica que la frecuencia con que las ondas nos llegan: A) es nula B) aumenta C) disminuye D) no ha variado Según el desplazamiento hacia el rojo en los espectros de la luz que proviene de las galaxias. La estrella próxima Centauro es la más cercana al Sol y está aproximadamente a una distancia de: A) 300 000 km B) 4. de neutrones. emite intermitentemente ondas de luz y de radio. su masa: A) puede ser de cualquier magnitud B) debe ser mayor que la masa del sol C) debe ser aproximadamente igual a la del Sol D) tiene que ser bastante más pequeña que la del Sol 15. de hidrogeno. se conocen con el nombre de: A) Novas B) Supernovas C) gigantes rojas D) enanas blancas 17. Para que una estrella se convierta en supernova. las: A) de neutrones y de hidrogeno B) de neutrones y gigantes rojas C) gigantes rojas y enanas blancas D) enanas blancas y gigantes rojas 14. porque su campo gravitacional es demasiado fuerte se conocen con el nombre de: A) novas B) pulsares . se convertirán en: A) novas B) enanas bancas C) gigantes rojas D) estrella de hidrogeno 12. Aquellos cuerpos celestes que impiden la salida de la luz. en la etapa final de su evolución. presenta en el espacio una forma: A) espiral B) esférica C) irregular D) de barras 11. la nuestra. las estrellas que las conforman con respecto al centro de la galaxia. están: A) acercándose a él B) alejándose de él C) en una posición fija D) girando alrededor de él 16. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 65 10.APUNTES DE FISICA I ING. denominada Vía Láctea. La de mayor densidad y menor densidad son. ELECTRONICA MsC. De las estrellas del Universo. se conocen con el nombre de: A) nova B) pulsar C) quasar D) supernova 13. Considere los siguientes tipos de estrellas. Las estrellas con características similares a las del Sol. respectivamente. enanas blancas y gigantes rojas. En galaxia semejantes a la Vía Láctea .3 años luz C) 430 años luz D) 4 000 años luz 18. terminan como una estrella de neutrones o un agujero negro. según se cree. Aquellas estrellas que después de una espectacular explosión han expulsado gran parte de su masa y energía y. relativamente muy pocas de ellas pertenecen a las llamadas: A) supernovas B) gigantes rojas C) enanas blancas D) estrellas de secuencia superior 19. Una estrella de neutrones que gira a una velocidad extraordinaria y. mientras lo hace. Según los tipos de galaxias conocidas. (a2x4)1/2 11. (x4y4)-1/2 14. x − 7 = 3 22. (x2y6)1/2 13. (a3x6)1/2 12. x 3 − 1 = 63 30. 24 2. (10 000)-1/4 16. (x4y-8)1/2 20. 32 3. ELECTRONICA MsC. − 4 x + 7 = 2 x + 15 27. (5-3)(54) 7. x 2 + 4 = 13 25. La energía que mantiene al Sol en una forma estable en su evolución proviene de la: A) fisión del uranio en su interior B) combustión del hidrogeno y el carbono C) fusión de núcleos de hidrogeno para formar núcleos de helio D) fusión de núcleos de hidrogeno para formar núcleos de carbono INTRODUCCION A LA FISICA REPASO DE MATEMATICAS Evaluar O simplificar las siguientes cantidades 1. 5-2 6. (x4)(x)(x-3) 8. (x5)(x3)(x) 5. (1000)1/3 15. ( x + 2 )( x + 4 ) = 0 . 3 x + 7 = 4 + 6 x 23. x4/x2 9. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 C) quasares D) agujeros negros 20. ( x / 3) 1/ 2 =2 28. (104)3/4 Resolver las siguientes ecuaciones: 21. x2 (x6)-1/3 17.   64     1/ 2 19. 0 = 64 − 16t 2 29. (22)(23) 4. 1 + 0.2 x = 7 24. x1 / 2 + 4 = 13 26.APUNTES DE FISICA I 66 ING. x4/y4 10. (125)-1/3  x2  18. y = 2 x 4 − 3 Trigonometría 44. x = 4t 3 53. cos 120º. x = 1 − 1 / t 54. e4 57. e3. Derivadas Hallar las derivadas de las expresiones siguientes 51. Hallar e0. 39. Hallar sen 120º. de tablas o de una calculadora de bolsillo 56. tan 270º 47. x 2 + 4 = −4 x 34. 41. x + y = 5. − 3 x + 2 x 2 − 5 = 0 36.APUNTES DE FISICA I ING. 3 x 2 + 2 x − 5 = 0 33.04881. 38. cos 270º .1745 rad? ¿Cuál es el error de 30º ¿ 49. cuando sea necesaria. Desarrollo en serie 48.1? Compárese este resultado con el resultado exacto hasta cinco cifras decimales. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 67 31. 2 x − y = 10. y = 3 x − 7 42. x + 3 y = 9. tan 120º 46. cuando x = 10º =0. ¿Para que ángulo o ángulos entre 0o y 360º el sen θ es igual a 0. ELECTRONICA MsC. ¿Cuántos termino se necesitarían en un desarrollo en serie de ex para obtener esta precisión? 50. x 2 + 3 x + 2 = 0 32. Hallar e2.5. e1. x = 3t + 7 52. x − y = 1 37. ¿Cuál es el porcentaje de error cometido al utilizar sen x = x. Hallar sen 270º . 2 x 2 = − 3 x 35. 1.5 . Si dos ángulos de un triangulo miden 29º y 111º. 2 − T = 3a.1. 3 x − 7 y = 2. ¿Cuánto vale el tercer ángulo? 45. ex = 1. x = 2t 2 43.105. 40. + 1 o – 1? Dar los ángulos correspondientes para el coseno y la tangente. x = 10 sen 2π t Evaluar las cantidades siguientes con la ayuda. (a) Escribir los tres primeros términos de las series para (1 + x ) 1/ 2 T = 4a x − 2 y = 10 x+ y =6 3x − 2 y = 4 Dibujar las graficas de las siguientes ecuaciones = 1 + x (b) ¿Qué da esta aproximación para x = 0. x = 4 −3t e 55. Para x = 0. 74.6. 21.1.05) cm y (12. Los siguientes valores se obtuvieron de las mediciones del valor de una resistencia: 147. 49.20) cm. Hallar ln e3. y la medida de su masa es de (1. 147. 100. 50.45. 50.53 y 21. ¿Cuánto vale x si su logaritmo vulgar es 0.6. 147. 19.35.58. 12. 49. 2. 3. ln 10. Supóngase que sólo se tienen errores aleatorios en el sistema de medidas. ln 2 59. ¿Cuánto vale x si su logaritmo natural es 0. 4.4. calcule el área de la placa y la incertidumbre correspondiente a dicha área. ¿Cuál es el logaritmo vulgar de 10. Seis mediciones de una cantidad están asentadas en la hoja de datos y se presentan para su análisis: 12.07. log (x4) 65. ln 0.5.3. Los valores siguientes de voltajes están listados en una hoja de datos como valores obtenidos al medir un determinado voltaje: 21. 148. 147.4. 2. ln ( 2 ) 67. 7. ∫ (3 x 2 0 2 − 1 dx + 4 cos 3t + 5 cos 3t dt ) 63.05) cm.19 V. -1. ln 4. 1. ¿Cuál es la distancia total que rodea al terreno?. Se mide el radio de una esfera sólida y da por resultado (6.5. calcúlese: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición. 60.44 m.1.0. 1000.2. 50. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 58. 2. Un granjero mide la distancia de la línea que rodea a un terreno rectangular. 147. (c) La incertidumbre relativa de la medición y (d) La incertidumbre porcentual de la medición.3 y 51. 2.5 m.5. 21.80 ± 0. ELECTRONICA MsC. ∫ (2e 5 0 − 2t ) Simplificar las siguientes expresiones 64.9.63 y 12.48. 12.24. 6. 21. Si se mide la longitud y el ancho de una placa rectangular y resulta (15.7. 147. 0. . Determine en kg/m3 la densidad de la esfera y la incertidumbre de la densidad. respectivamente.1.APUNTES DE FISICA I 68 ING. 50. ln [ x ( a + b)] MEDICIONES Calculo de una medición con su incertidumbre Medición Directa 1. 147. Desarrollar las siguientes integrales 62. Del examen de los números. 0. 147.6 y 147.1. 5.71. Hay que examinar los datos y con base en las conclusiones calcular: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición.50 ± 0. 12.1. -1.4. log (1/x3) 68.30 ± 0. 12. (c) La incertidumbre relativa de la medición y (d) La incertidumbre porcentual de la medición. y la longitud de cada uno de los lados más cortos de 19. 0. La longitud de cada uno de los lados más largos del rectángulo dio por resultados 38.02) kg.2. 51. Diez mediciones de corriente en la rama de un circuito dan los valores de 50.5.5 0hmios (Ω). ln (x/y2) 66. 49.66.5 y e? 61.5.6. Del examen de los números. 2. (c) La incertidumbre relativa de la medición y (d) La incertidumbre porcentual de la medición. calcúlese: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición. (c) La incertidumbre relativa de la medición y (d) La incertidumbre porcentual de la medición. calcúlese: (a) El valor medio de la medición (b) la incertidumbre absoluta de la medición.9. Medición Indirecta 5.85 ± 0.75. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 69 8. Hallar: (a) El error absoluto de h y h’.1) cm de espesor.7 m? 10. Sabiendo que el tiempo se determino con un cronometro al 1/10 segundos y que su contribución al error de la aceleración es de ¼ del error total. (b) en el intervalo 145 kg – 151 kg.14. (b) Si se desea calcular la diferencia de altura entre ambas capas. Trabajar en el sistema internacional. 17. 9.9.9 y 10. Al calcular la masa de un cuerpo se ha cometido un error de 1 %. Calcular los errores relativos de a. ELECTRONICA MsC. conocidos los valores a a. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en la medida (3. 9.7.1) m. Suponiendo h = 3200 m y h’ = 5 400 m. El peso de 400 kg fue determinado con un dinamómetro.a. Al determinar la posición de equilibrio de una balanza en un trabajo de laboratorio se obtienen los siguientes valores: 10.3 g/cm3. Se mide la altura de dos capas de nubes con un error del 5 %. 19. relativo y porcentual de la fuerza F (los números tienen dimensiones. Conociendo los valores de la fuerza y la aceleración y que el error porcentual de la masa es 5. 23. con un error máximo del 2 %. 15.0. Determinar: (a) El valor medio. relativo y porcentual del espacio.84 ± 0. 10. y cuál es aproximadamente la incertidumbre de este volumen?. Sea la magnitud M = 4a2b4c3. m la masa del cuerpo y a la aceleración adquirida por el cuerpo. 9. ¿cuál es la incertidumbre porcentual para la medida 9. Hallar: (a) El error absoluto. Justificar su respuesta. Un vehículo que parte del reposo y se mueve con movimiento uniformemente acelerado. De acuerdo con la segunda ley de newton F = m. relativo y porcentual cometidos al determinar la aceleración.7 x 104 cm? 12. Calcular los errores del peso y la aceleración de la gravedad. y suponiendo que π es constante. Una fuerza cumple con la siguiente ley: F = 8t + 16t2 .APUNTES DE FISICA I ING.0 ± 0. Los valores obtenidos fueron: radio = 0. Si la banqueta mide (1. Calcular los errores absoluto del radio y la altura para que contribuyan por igual al error del volumen.0 y 10.2t3.2 gramos. b y c y sabiendo que el error porcentual de M es del 4 %. Si el tiempo medido en un punto dado es: t = 2 segundos y el error del tiempo es 0. (c) entre infinito y menos infinito y (d) en el intervalo 150 kg – 154 kg.5. altura = 5 cm. ¿qué volumen de concreto se necesitará . peso = 500 g. de un círculo de radio 6. recorre 900 m en medio minuto. calcular: (a) el error relativo de la masa.1) m x (17. Se calcula radio. Hallar los errores absoluto.17) s? 11.0 ± 0.86 ± 0. 10. altura y peso de un cuerpo de forma cónica con el objeto de medir su peso especifico.2 kg y un error estándar de 13. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en el volumen de una esfera cuyo radio es r = (2.03) m? 13. sabiendo que ambas magnitudes contribuyen de igual manera. (c) El error porcentual del peso especifico.8 m/s2. ¿Cuál será el error de esa diferencia? 21. En una medición del peso de un cuerpo se obtuvo como valor más probables 148. 10. 16. 10. Calcular la probabilidad de que un nuevo valor caiga : (a) entre 116 kg y 137 kg. sabiendo que ambas magnitudes contribuyen de igual manera al error total.5. Se construye una banqueta alrededor de una alberca que mide (10.0 ± 0.2. Considerar π = 3. 20.17 kg.01)m de ancho y (9. Se efectúan dos mediciones: t = 69 segundos con un cronometro que aprecia hasta 1/10 segundos y L = 75 cm con una regla milimetrada. (b) Los errores del radio y la altura para que la contribución del radio sea 1/3 del error del volumen. (b) El error estándar. 22. (b) El error relativo y porcentual de L.00 ± 0. (b) Los errores relativo y porcentual de la fuerza y la aceleración. (c) Cuál de las dos mediciones está mejor realizada.8.2 segundos. 9.3. siendo F la fuerza aplicada.02 m.2. si todos contribuyen de igual manera. 10. En forma aproximada. (c) La probabilidad de que un nuevo valor se halle entre 10. (b) Los errores absolutos. Calcular: (a) Los errores del volumen y del peso para que sus contribuciones al error del peso especifico sean iguales. . tal que la ecuación es homogénea). Determinar: (a) El error relativo y porcentual de t. Se desea medir el volumen de un cilindro de 5 m de altura y 3 m de radio. ¿Cuál es el área e incertidumbre aproximada. 14. en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9. Sabiendo que el error máximo admitido en el peso especifico es de 0. 18. b y c. 6 58.4 x1014 )(5.4 x10 8 2.6 59.5 cm. 59. 173. 2 x 103 d.4 59.59 cm y 62.5 x10 25 d.3 58. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 24.28 c.6 58.2 60. 100 000 000 d. 2 x 10-3 b.5 59.00000305 31. (2.4 60.0 (a)Construya el histograma correspondiente.1x10 2 7. .3 58.9 61.1 57. 578. Calcular las expresiones siguientes: a. ¿Qué es x = (5 x10 3 )(7 x10 8 ) ? 26. 700 000 c.4 57. Expresar en notación convencional los números siguientes a. (1.1 59.9 59.5 59.5 58.3 x10 5 )(3. 1. (c) Trace la curva teórica.4862 x 103 30. Expresar en notación convencional los números siguientes: a.5 x1019 2.1 61. (d) Determine la probabilidad de que un valor esté entre los intervalos (i) 59.6 59.5 60.7 62. ¿Cuál es la masa de un átomo de hidrógeno? 28.2 59.APUNTES DE FISICA I 70 ING.5 58.3 59. ¿Cuántos átomos hay en el universo? 27. En una experiencia para determinar el coeficiente de restitución de una bolita de acero contra un vidrio.59 cm y 57. 36 400 29.2 57.3 x10 3 ) b.7 59.46 x 10-5 c.6 57.3 59.935 x 102 32.1 60. Expresar en notación científica los números siguientes: a. 378 300 d. c.3 58.0 60. expresada en cm. la desviación estándar de cada medición. 107 b.5 cm y (iii) 57.6 60.2 58. Expresar en notación científica los números siguientes: a.(Sugerencia: Considere un intervalo con 7 intervalos de clase Notación Científica 25.7 59. 0. 4.2 60.5 cm y 62.254 x 10-4 d. 0.0 x10 9 ) 8.3 39. 76.1 61.1 58. se han obtenido los siguientes valores del alcance para una misma altura.00479 b.4 60.5 57. ELECTRONICA MsC. 1.1 60.76 x 104 c.1 59. 10 000 b.2 62.2 59.0 60. (b) Calcule el valor medio.4 58.2 61. 6 cm.8 59.2 60.3 62. (ii) 59. 8 x 10-5? 37. ¿Cuál es el logaritmo de 1. 0. f.07 x1013 )(29.05) 9.5 rad b. calcular con dos cifras significativas el número de segundos que tiene un año. ¿Cuál es la longitud del arco subtendido por un ángulo de 32° con centro en un círculo de radio 25 cm? Conversión de unidades 41. Expresar en grados los siguientes ángulos: a. 150° d.8) 149 h.0 pies.0 pies por 150. 9. j. ¿Qué distancia recorre en un año una vibración luminosa? 35. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 71 e.50 pulgadas cúbicas a m3. 290° 39. 34.15)(4. 10° b. i. cuál es la raíz cúbica de 2200? 38.20) 9. l. sabiendo que 1 m = 3. ¾ π rad c. (183.96 x10 7 )(6.15 x1016 (7. (3.14)(6. Determine el área de terreno en m2. 35° c.81x10 −27 33. 2 rad d.76 x10 29 ) m. Expresar en radianes los siguientes ángulos: a.1x10 −5 ) (3. Convierta el volumen de 8. Un terreno rectangular tiene 100. recordando que 1 pulgada = 2.17 (8. 10 rad 40.47 x10 9 ) 2 4.15 x1015 n.APUNTES DE FISICA I ING. k.1x10 7 ) (3.25)(1. 42. ¿Cuál es el logaritmo de 510? 36. (9.281 pies.9 x10 −17 )(6.17)(5.08 x10 −17 ) 6.15)(1.69) 6. ELECTRONICA MsC. g. Empleando potencia de 10. La velocidad de la luz es 3 x 108 m/s.05 (3. ¿Utilizando logaritmo.86)(5.2 x10 −3 )(4.54 cm y 1 cm = 10-2 m.71) (6.05 (7. .15 6. 00 x 108 m/s en el vacío. (a) Encuentre un factor de conversión para convertir de millas/h a km/h. El protón. Un contenedor de helado. está hecho en forma de un cubo. La base de una pirámide cubre un área de 13 acres (1 acre = 43 566 pie2) y tiene una altura de 481 pies. 56. y el de la Luna es de 1. Las ondas de radio son ondas electromagnéticas y viajan a una rapidez de aproximadamente 3. la ley federal asignó por mandato que la rapidez en las carreteras debería ser de 55 millas/h. determine cuántas millas viajará el pulso (o la luz) de un láser en una hora. Estime la edad de la Tierra. Recuerde que el área superficial de una esfera es 4πr2 y el volumen de la esfera es (4/3)πr3. Un objeto de forma de paralelepípedo rectangular mide 2.3 x 1017 s. (a) ¿Cuántos segundos hay en un año? (b) Si un micrometeorito (una esfera con un diámetro de 10-6 m)golpea un metro cuadrado de la Luna. en km/h. 26 pies de ancho y 8 pies de altura. Determine el número de metros cuadrados que hay en un acre. a una profundidad de 1 m? (Sugerencia: Considere una caja cúbica sobre la Luna de 1 m por lado.37 x 104 m. ¿Cuál será la longitud de un lado en cm? (Use la conversión 1 galón = 3. que es un núcleo del átomo de hidrógeno. 51. en años. La pirámide descrita en el ejercicio anterior contiene aproximadamente dos millones de bloques de piedra que en promedio pesan 2. de un cuarto de galón. y con una masa de 1.94 g y un volumen de 2. y tiene una masa de 4. Dado que 1 estadio = 220 yardas y 1 quincena = 14 días. 46.67 x 10-24 g. (b) Hasta hace poco. ¿Cuál es el volumen de la casa en metros cúbicos? 55. Utilice el factor de conversión de la parte (a) para encontrar la rapidez en km/h. por cada segundo.86 kg. De estos datos. Con estos datos calcule la razón entre el área superficial de la Tierra y de la Luna. 47. ¿Cuál es la superficie en metros cuadrados que debe recubrir? 52. Usando el hecho de que la rapidez de la luz en el vacío es aproximadamente 3. Determine el volumen del objeto en m3. (c) La máxima rapidez en las carreteras ha sido elevada a 65 millas/h en algunos lugares. ELECTRONICA MsC.786 litros) 48. El radio promedio de la Tierra es de 6. se puede imaginar como una esfera cuyo diámetro es 3 x 10-13 cm.0 pulgadas x 3.APUNTES DE FISICA I 72 ING.5 pulgadas. . y determine cuánto se tardará en llenar la caja) 54. determine la rapidez de la criatura en m/s.10 cm3. (Distancia del Sol a la estrella más cercana alfa centauri =2 x 1022 m) 59. Determine la densidad del protón en unidades SI (kg/m3) y compare este número con la densidad del plomo. Determine el peso de la pirámide en libras. Una criatura se mueve a una rapidez de 5 estadios por quincena (no es una unidad muy común para la rapidez). 50. la estrella mas cercana al Sol. (use los factores de conversión apropiados) 49. encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos. donde B es el área de la base y h es la altura. Una casa tiene 50 pies de largo. la cual tiene un valor de 11. ¿cuántos años se llevaría en cubrir toda la Luna.55 g/cm3) ¿Cuál sería su masa? 58. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 43. 57. Si el volumen de una pirámide esta dada por la expresión V = (1/3) Bh.74 x 108 cm. Una sección de tierra tiene un área de una milla cuadrada y contiene 640 acres.50 toneladas cada una. Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 24. Una parte de un motor para una aeronave se fabrica de acero (de igual densidad que el hierro 7 800 kg/m3). (La criatura es probablemente un caracol) 45. 44. calcule la densidad del plomo en unidades SI (kg/m3).00 x 108 m/s.5 pulgadas x 6. ¿Cuánto aumentó. respecto al límite de 55 millas/h? 53. Un pintor está recubriendo las paredes de un cuarto de 8 pies de altura y 12 pies de cada lado. Use este hecho y los datos siguientes para determinar el tiempo que le tomaría a un pulso electromagnético hacer un recorrido desde la Tierra a la Proxima Centauri. Si se fabricara dicha parte con una aleación de magnesio-aluminio (densidad = 2. sabiendo que su edad es 1.3 x 103 kg/m3. Calcule el número de pelotitas de ping-pong que podrían caber en un cuarto de tamaño 4 m x 4 m x 2. en 1 cm3 de cobre. m( B 2 + S ) 73.0053. ¿Cuántos átomos de aluminio están contenidos en el cubo? Cálculos de orden de magnitud 64.46 x 10-6 y (d) 0. Del hecho de que la densidad promedio de la Tierra es de 5. 0.6 x π. d = densidad. (Nota: Un peso de 1 kg corresponde a un peso de 2. Determine el número aproximado de ladrillos necesarios para cubrir los cuatro lados de una casa de tamaño regular. (d) 2 x 103 dólares. Cifras significativas 67. Estime el número de veces que el corazón de un humano late en una vida promedio de 70 años. con una densidad de 2. ELECTRONICA MsC.APUNTES DE FISICA I ING. y la densidad del cobre es de 8.2 libras) 63. Efectúe las siguientes operaciones aritméticas: (a) la suma de los números 756.8 s) 65. 68.67 x 103 m/s (d) 0. Si la rigidez (P) de una cuerda está dada por la fórmula: P = aQ + b d 2 . siendo: W = Trabajo. ¿Cuál es el peso en libras de una esfera sólida de aluminio de un radio igual a 50 cm? El resultado lo puede sorprender. siendo: P = fuerza en (N).563.786 x 109 (c) 2. Un cubo sólido de aluminio (densidad 2. m = masa y S = área.5 cm. h = altura. siendo V = volumen. tamaño del ladrillo: 10 cm de ancho. Q = presión.9 ± 0.65 cm. (c) el producto 5. (e) 2 x 10-9 piezas. t3 c b determinar la expresión dimensional de E = . (c) 4 x 107 días. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 73 60.0032 m.5 m sin aplastarlas. (Tiempo entre los latidos normales del corazón = 0. 69.06 x 10-22 g.589 s.5 g/cm3 y su radio promedio es de 6. 71.2 (b) 3. ac 74. 66. ANALISIS DIMENIONAL Ecuaciones dimensionales 72. La masa de un átomo de cobre es de 1. 70. calcule la masa de la Tierra.7 g/cm3) tiene un volumen de 0.2 cm3. Determine el número de cifras significativas en los siguientes números: (a) 23 cm. ¿Cuántas cifras significativas habrá: (a) 78.5 m de alto.7 g/cm3.2. t = tiempo. (b) el área de un círculo de radio 4. R R = radio. 61. (tamaño de la casa: 8 m de ancho por 20 m de largo por 2. Qué dimensiones deben tener a y b para que dicha fórmula sea dimensionalmente correcta. (b) 10-6 metros. El aluminio es un metal muy ligero.2 x 3. (b) 3. Calcule: (a) La circunferencia de un círculo de radio 3. De la siguiente ecuación dimensional: V = 3a h − b + .37 x 106 m. .83 y 2. (c) 4. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de A y B para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta: A= W sen θ . 37. Determine el número de átomos.5 (b) el producto 3. Exprese las siguientes cantidades usando los prefijos utilizados en Física: (a) 106 voltio. por 10 cm de alto por 20 cm de largo).9 g/cm3. 62. La ecuación propuesta es dimensionalmente correcta. 78. v = velocidad. m = masa. sí: I= x y 3  ( Rn cosθn ) − ( Rn − 1 cosθn −1 )    m z p π  ( Rn sen θ ) − ( Rn −1 sen θn −1 )    Siendo: I = momento de inercia = masa . Rn. θn. Determinar la fórmula dimensional de A en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta: A = B k − C k 3 . d = diámetro  v  de la tubería. h = altura. A = área. siendo: Q = m3/s. 2! 3! Siendo: W = energía. ¿Cuáles son las dimensiones de B. hallar: E = ( x − p) (z − y9 . C y R? 77. Rn-1 = radios. C = coeficiente de descarga. ELECTRONICA MsC. 2   n A   3/ 2 80. siendo p =  D   presión. encontrar la fórmula dimensional de E:  Rv − aE  P. donde: F = fuerza de rozamiento. v = velocidad lineal. θn-1 = ángulos. p = 4. Cuáles deben ser las dimensiones de C. siendo E = intensidad de campo eléctrico y v = velocidad lineal. 76. si la ecuación propuesta es dimensionalmente correcta: α ω sec 30°− P t = π 2 mx v y ± d z ρ wb r / 2 siendo: P = potencia. 84. H y D? 81. d = densidad. Determinar el valor de R = x + y + w + r . Considerando dimensionalmente correcta a la ecuación dada. m = masa. m y n = adimensionales. si E = k 9 . A = área del tubo..... Q =    E ( F + Q)  log 4 siendo P = peso. α = coeficiente experimental dimensional. Si la expresión propuesta es dimensionalmente correcta. g = aceleración de la gravedad. ki = constante física. En la siguiente fórmula empírica: F =  α + β 2  d v L . p1 0 presión en el tubo y γ = peso específico. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta. α = magnitud desconocida. Determinar la fórmula dimensional de E. v = velocidad y a = aceleración. determinar la fórmula dimensional de B... R = trabajo. t = tiempo.44 m2. B = diámetro. 82. W = mvα + A g h − B x sec 60° + P C Se sabe que: W = trabajo. hallar la fórmula dimensional de Q. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 75. g = aceleración de la gravedad. L = longitud.APUNTES DE FISICA I 74 ING. Si la siguiente expresión contiene n términos y es dimensionalmente correcta: W = k1v1 + 3 k 2 v2 2 k 3v3 + + .. v = velocidad. Determinar las dimensiones del coeficiente β. siendo B = calor específico y C = aceleración angular.. vi = velocidad n! = factorial n. m = masa. 79. θ = π/3. x = distancia y P = potencia y Q = Aα α B / Cα 85. (longitud)2. 83. p = C ( B − nH )m +   D . ρ = peso específico.kg/s. g = aceleración de la gravedad. Sabiendo que la ecuación : F = q E + q v B es dimensionalmente correcta. m = masa. La ecuación que permite calcular el caudal (Q) del escape de agua por un orificio es la siguiente: Q= CA 1 − ( A / B) 2 2 g ( p1 − R ) γ . De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. b = espacio recorrido. ¿Bajo qué condiciones la ecuación propuesta (W p x cos θ ) 2 + d mg = (W p v y )1/cos θ es dimensionalmente correcta? Siendo W = peso. v = velocidad. k17 / k12 . F = fuerza. ¿Cuáles son las dimensiones de N? 87. ELECTRONICA MsC. En un experimento de Física se comprobó que la relación: pF = ( FAV )UNA es dimensionalmente correcta. x y la constante de rigidez del resorte k. v = 5 cm/s y t = 2 s. R = radio de la hélice. 88. siendo m = masa. Rocío. de la velocidad (v) del émbolo al expulsar el líquido y del tiempo de aplicación de la inyección (t). La partícula tiene una aceleración a (m/s2) llamada “aceleración centrípeta”. ¿Cuáles son los valores de x e y que logra homogenizar la fórmula dada? La potencia (P) que requiere la hélice mayor de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: siendo k = número adimesional. 93. determinar la fórmula empírica del periodo. ¿Cuál sería la fórmula dimensional de la constante de gravitación universal (G)? 91. Ecuaciones Empíricas 90. la masa (M) y el tiempo (T). 96. La relación de Louis de Broglie para la interpretación física de la dualidad onda-partícula establece que cualquier masa o partícula que se mueve a cierta velocidad tiene asociada una onda electromagnética cuya longitud de onda (λ) depende de la constante de Planck (h) y de su cantidad de movimiento (p). JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 75 86. V = volumen y U = energía. . entonces P = 0. La presión (P) que ejerce un chorro de agua sobre una placa vertical viene dada por la siguiente fórmula empírica: P = kQ x d y A z siendo: k constante numérica. determinar las dimensiones de x e y. una eficiente enfermera ha observado que la potencia (P) con que se aplica una inyección depende de la densidad (d) del líquido encerrado. siendo : p = presión. siendo: p = presión. medida en metros). Determinar las dimensiones de de E. La frecuencia de oscilación f en s-1 de un péndulo simple depende de su longitud l y de la aceleración de la gravedad (g) de la localidad. v = velocidad y e = base de los logaritmos neperianos. (k se define como F/x donde F es la fuerza necesaria para estira el resorte una distancia x) Una partícula de masa m gira en un círculo de radio r con una velocidad v. Determinar las dimensiones de A e y para que la expresión: y = A p e( 4 mA / v ) sea dimensionalmente correcta. ω = velocidad angular. Martín un estudiante de Ingeniería Electrónica de la UPAO le ha conseguido una fórmula con los datos que ella le ha proporcionado.9 watts. A = área. Si d = 0. que puede depender de m. tal que: λ = Khxpy. D = densidad del aire. d = densidad del agua (kg/m3) y A = área de la placa. de la masa de la estrella (M) y de la constante de gravitación universal (G). Usando el análisis dimensional determine la forma del periodo. sabiendo asimismo que la expresión: 89. Una masa m oscila al final de un resorte de amplitud x (donde 2x es la distancia total recorrida en una oscilación. m = masa. v = velocidad y ω = velocidad angular. 94. si: E = xz / y 2 . 97. Si la ecuación dimensional: mv 2 sen(ωy − φ ) = π x / y 2 es dimensionalmente correcta. v = velocidad y t = tiempo. ym  mx   d v log  = y tgθ +   t   z  es dimensionalmente correcta. hallar la expresión final de la fórmula empírica. El periodo de un planeta que gira en una órbita circular depende del radio de la órbita (R).APUNTES DE FISICA I ING. Determinar la fórmula empírica para la frecuencia. 98. siendo: d = densidad. Determinar la expresión final de la fórmula. 92. Q = caudal en m3/s. P = kR xω y D z 95. Use el análisis dimensional para encontrar la forma de ac.8 g/cm3. ¿Cuál será la fórmula descubierta? Si se tomara como magnitudes fundamentales la aceleración (A). m = masa. m2/kg2. donde G = 6. -2) medidas estas coordenadas en metros. y (3) la constante de Planck (la constante fundamental de la mecánica cuántica). Las tres fuerzas están en el mismo plano. que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 600 y – 300.63 x 10-34 kg.67 x 10-11 N. la velocidad del viento es 80 km/h. justo después de la Gran Explosión es la masa de Planck. (b) su modulo. (c) Si el viento sopla hacia el SO. mp. 102. U(M) = 5 kg. ELECTRONICA MsC. h = 6. en el punto (0. 104. U(T) = 3 s. La resistencia W que ofrece el aire en kg/m2 está dado por: W = 0. (2. halle el valor de la masa de Planck (considere K = 1). ¿Cuál debe ser la velocidad y rumbo de nuestro avión? (a) Si el viento sopla hacia el S. (c) Angulo que forma con el eje OX. cuyo valor depende de tres constantes fundamentales (1) la velocidad de la luz (la constante fundamental de la relatividad. Dados los vectores: a = 3i – 2j. Tres partículas de masa 4 kg las colocamos en (0. h = 6. calcular: (a) El vector suma y su modulo.0)m. ¿Cuál será la expresión que nos permite calcular W en N/m2 cuando v se da en m/s? ( 1 kg = 9. calcular: (a) La fuerza resultante.APUNTES DE FISICA I 76 ING. resolver el siguiente problema: Supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda influencia de cuerpos celestes) definimos un sistema de ejes rectangulares. Hallar la equivalencia entre la unidad de masa del sistema dado y la unidad de masa del sistema CGS absoluto.3b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c. es: F = Gmm’ r / r3 . Calcular el módulo de la resultante y el coseno del ángulo que forman con el eje OX. y (3) la constante de Planck (la constante fundamental de la mecánica cuántica).2) y (2. Con base en un análisis dimensional. 106. hallar la relación con la unidad de potencia U(P) del nuevo sistema formado. c = 3 x 108 m/s. 101. cuyo valor depende de tres constantes fundamentales (1) la velocidad de la luz (la constante fundamental de la relatividad. (2) la constante de gravitación de Newton (la constante fundamental de la gravedad) G = 6. justo después de la Gran Explosión es la longitud de Planck.67 x 10-11 m3/s2 kg.. (b) Si el viento sopla hacia el SE. (b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX. c = 3 x 108 m/s. justo después de la Gran Explosión es e tiempo de Planck.0). (2) la constante de gravitación de Newton (la constante fundamental de la gravedad) G = 6.67 x 10-11 m3/s2 kg. h = 6.8 N. y (3) la constante de Planck (la constante fundamental de la mecánica cuántica). m2/s. b = . 0) m debida a la siguiente distribución: En el origen de coordenadas una carga q1 = 2 µC.63 x 10-34 kg. Se forma un sistema de unidades tomando como unidades fundamentales: U(L) = 3m. Se tiene tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son F1 = 6 kgf. Si la expresión de la ley de Coulomb es: F = K0 qq’ r /r3 (K0 = 9 x 109 N. Calcular la fuerza que ejercerán sobre una partícula de masa 1 kg colocada en (4. . 3)m una carga q2 = 3 µC y en el punto (0. 110. halle el valor del tiempo de Planck (considere K = 1) Un hito importante en la evolución del Universo. (c) El vector c = 2a . Con base en un análisis dimensional. Si la unidad de potencia en el sistema internacional es el watt. Calcular la fuerza que actúa sobre una carga de 1 µC colocada en el punto (6.63 x 10-34 kg. F2 = 3 kgf y F3 = 4 kgf. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 99. que forman respectivamente. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 = 5 kgf y F2 = 7 kgf. lp. (2) la constante de gravitación de Newton (la constante fundamental de la gravedad) G = 6.05 v 2 . Deseamos volar en un avión a 500 km/h hacia el E. 300 y -600. 109.67 x 10-11 m3/s2 kg. los siguientes ángulos con el eje OX: 450. c = 3 x 108 m/s. 103. cuyo valor depende de tres constantes fundamentales (1) la velocidad de la luz (la constante fundamental de la relatividad. tp.m2/C2). Un hito importante en la evolución del Universo. Con base en un análisis dimensional.4i + j. siendo v la velocidad en km/h. -3)m una carga q3 = -3 µC (suponemos las cargas en el vació). 1 km = 1000 m y 1 h = 3 600 s) Un hito importante en la evolución del Universo. ANALISIS VECTORIAL 105.. 108. m2/s. 107. Se forma un sistema cuyas unidades son: (a) Velucio (velocidad de la luz = 300 000 m/s) (b) Gravio (aceleración de la gravedad) y (c) Trevio ( trabajo necesario para elevar una masa de 1 kg hasta una altura de 1 m. halle el valor de la longitud de Planck (considere K = 1) 100. m2/s. Teniendo en cuenta que la fuerza de interacción Newtoniana entre dos partículas de masa m y m’ que distan entre si una distancia r. 124. calcular su proyección sobre la recta que pasa por los puntos A(0.4. b)c (e) (a x b) x c (doble producto vectorial).-3). 121. 118. Dados los vectores: a(1. c = 1/7 (6i + 2j – 3k). 112. hállese un vector unitario que sea perpendicular a ambos. su módulos y coseno directores. Dados los siguientes vectores: a = 1/7 (2i + 3j + 6k). (a x b) y (a . b) (a .0.1) y d(0.-2).-2.2) y el vector c(2. y perpendicular al vector v = 2i + j – 3k. Calcular las componentes del vector u. b = 1/7(3i – 6j + 2k). 2. (b) El vector diferencia a – b y el vector unitario que define su dirección y sentido.4). 113. y perpendicular al vector v = v1 – 2v2.2) y B(2. demuéstrese: (a) Que sus respectivos módulos valen la unidad. 116.0). 129. . Dados los vectores: a(2. Si el producto vectorial de dos vectores a x b = 3i – 6j + 2k y sus módulos son 4 y respectivamente. Dados los vectores: a de modulo 3 unidades y cosenos directores proporcionales a 2. Demuéstrese que si a + b + c = 0. Dados los vectores a(2. 128. Calcular: (a) 2a .1. c(2. b)2 = a2 b2.3). y en el dos vectores unitarios cualesquiera u1 y u2 que forman los ángulos α y β respectivamente con la dirección positiva del eje OX.-1).3. 120. (b) Módulo y cosenos directores .3b + c. 115.6) y b(1. 125. b(3.-9. aplicados en el origen de coordenadas.3.1. 1) y de extremo el punto P(3. b) (c x d) (d) (a x b) x (c x d). Se tienen los vectores v1 = 2i – 2j + k y v2 = i – 2j. cos β = 2/3 y cos γ > 0 es perpendicular al vector b(6. Dados los vectores: a(1.-1. c (b) (a – b) x c (c) (a x b) . Demostrar las identidades de Lagrange: (a x b)2 + (a . Calcular: (a) El producto escalar de ambos vectores. 1 y -2. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O(-1. c (producto mixto) = abc (d) (a . b(1. (b) Que son perpendiculares entre si. Hallar el vector unitario paralelo al plano OYZ. 123. siendo (a x b)2 = (a x b) .0. (b) | 3a . b)2 = (a . Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 600 y tiene de módulo 4 unidades.1). Dados los vectores a(2. (c) Que c es el producto vectorial de a por b. (b) Angulo que forman con el eje Z.-1). ELECTRONICA MsC. b que tiene de origen respecto de cierto sistema el punto O(-1.0. calcular su producto escalar. Definido u sistema de referencia cartesiano en el plano OXY. Calcular: (a) Sus componentes coordenadas. (c) Un vector unitario en su dirección pero de sentido contrario. b) (c . 127.-2. Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo módulo. cuyos cosenos directores son: cos α = 1/3. 0) y de extremo P(3.0).2) y b(-1. se verifica que a x b = b x c = c x a. 117. Demostrar que el vector unitario a. (c) La proyección de b sobre a.2. entonces son perpendiculares. -1.0. 126. d) (b) (a x b) . (b) El ángulo que forman.APUNTES DE FISICA I ING.2b +2c|. Calcular: (a) (a . perteneciente al plano determinado por v1 y v2. 2). 122. (a) Demostrar que: u1 = cosα i + senα j y u2 = cosβ i + senβ j (b) Calcular por aplicación del producto escalar de u1 y u2 los valores de cos (α – β) (c) Calcular por aplicación del producto vectorial de u1 y u2 los valores de sen (α – β). (c x d) (c) (a . 7.1). JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 77 111.-1. -2. Calcular: (a) Componentes del vector OP. 119.-1. Calcular: (a) El vector suma a + b. b) Demostrar que el producto vectorial de cuatro vectores verifica: (axb)x(cxd) = (abd)c.6). 114.-3) y b(1.-2.(abc)d. unitario. Dado el vector v = 4i – j + 2k. Calcular: (a) (a + b) . Calcular: (a) Su producto vectorial.1) de origen P3 (1. 145.-1.6. 135.-3) y v2(-1.1. α y β. Calcular: (a) Área del triangulo. así como la de GC en función de MC. Las coordenadas del origen de cierto vector son proporcionales a 1.2.1) con respecto al punto C(1.1. v2(2. 143.1).2) de origen P(1. Dados los vectores a(1. 133.1. (c) Expresión de OG en función de a. 139.-1.0. Calcular los valores de α y β. so proporcionales a 1.1). Deducir la ley de los cosenos de un triangulo.1. B(2.-2. Se tienen tres vectores no coplanares OA = a.1).1) y C(0.0. 5 y α. -1.-1. -3.-1.3.3. (b) Momento del vector respecto al punto O’(2.1. 2 y 3.4) y P2 (4. Hallar el valor de la expresión: a x Nc siendo: a(2. (b) Angulo A. TEORIA DE MOMENTOS 138.0.APUNTES DE FISICA I 78 ING. A(3.1). B(2. expresado en metros. 146.2. Dado el vector v(3. El origen de un vector es el punto A(3.2) de origen P1(1.8) y C(2.1). -6. Además sus momentos respecto de los ejes de coordenadas.-1).-2. Dados los vectores deslizantes: v1(-2. 3.1). Calcular su momento respecto al eje : (x 2)/2 = (y .-60 de origen P2(3.-2). 131.2) y su extremo B(1. OB = b y OC = c.3). Calcular el momento del sistema respecto del punto A(-1.0. (b) El momento resultante con respecto al origen. perpendicular al plano en que se encuentra a y b.3.0).-6. Los tres vértices de un triangulo son: A(2.-3) y v2 (-1.-1) y B(2. b(1. calcular su momento respecto a C(1.2) que pasan por los puntos P1(2.3. 132. Demostrar que las alturas de un triangulo se cortan en un punto.2) y compruébese que la suma de los dos momentos es igual al momento de la resultante respecto de A aplicado en P.-6.4.2). Calcular: (a) Las coordenadas del vértice C. b y c. B(3.2.3. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 130.-1. Deducir la ley de los senos de un triangulo por medio del producto vectorial. Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura sabiendo que O(1.4). v3(1.0).2. respectivamente. ELECTRONICA MsC. Calcúlese: (a) Momento del vector respecto al origen O. . 134. y sus componentes lo son a 1. Tres vértices de un paralelogramo ABCD tienen por coordenadas A(2.3. (b) Área del paralelogramo.2) ambos aplicados en el punto P(2. (b) expresión de MC en función de OM y c. 5).5)/3 = (z .8) cuyo origen es el punto P(2. (c) Un vector c de modulo 6.2). 137.3.0) respecto al eje que pasa por los puntos A(1. por medio del producto escalar. 144.2). Se pide obtener razonada y sucesivamente: (a) Expresión de OM en función de a y b. 140. encontrar la ecuación del eje central y el momento mínimo. (b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados. 141. Calcúlese: (a) La resultante del sistema de los dos vectores. (c) El momento resultante referido al punto O’(2.1. Dado el sistema de vectores: v1(3. (c) Angulo en B.0).2).3. 1) y Nc el momento del vector b aplicado en el punto B(2.1).-2). Calcular el momento del vector v(1.-1) . 136. Designamos por M el punto medio del segmento rectilíneo AB y por G el baricentro del triangulo ABC.2) El punto de aplicación del vector v(6. Dados los vectores v1(-2.1. 4) es el P(3. 2) referidos a un sistema OXYZ.3)/6.-3. y D(1.-6. -2. 142.3.3.-2 y b(1. entonces v x dv/dt = 0. b) (f) d/dt (a x b /a . (a) Hallar su centro. b(0.2). Calcular: (a) → → 155.   158. (b) Obtener la ecuación del eje central del sistema. P2(1. 1).4. 152. el sistema se reduce a su resultante que tiene como recta soporte el eje OZ. v4(2.1. CALCULO INFINITESIMAL VECTORIAL 153.1). (b) Si v es constante en módulo. aplicados en los puntos P1(0. (b) d(a . 148.2). Demostrar aplicando el concepto de limite de un vector la formulas: → → d → → → d b d a → + •b  a• b  = a • dt  dt dt  d → → → d b d a → + xb a × b = a x dt  dt dt  154.1. Dos sistemas de vectores tienen resultantes generales R1 = 10i y R2 = 6i + 8j.1).1. que pasa por el punto P3(0. t . y encontrar la ecuación del eje central. se pide: (a) Hallar su modulo y la derivada de este.1. v3(0. v2(8.0). ∫  a + b  dt   → →  (b) ∫  a • b  dt   → →  (c) → → ∫  a × b  dt . b) Dados los vectores: a(t2. entonces v .2.2) y P3(1. Al añadir un nuevo vector v. Calcular el torsor del sistema.1). 149.0) que pasa por el punto P1(1. por los puntos P1(1. ELECTRONICA MsC.. respectivamente. Calcular: (a) d(a + b) /dt.0) y P3(2.2. Sobre tres aristas de un cubo de lado a se consideran los tres vectores de la figura. calcular el valor de a tal que el sistema se reduzca solamente a su resultante. t2). Calcular: (a) La resultante general. (d) d|a x b|/dt (e) d/dt (da/dt . Dados los vectores: a(2t.1. 0). Dado el escalar (función de punto): a = x 2 yz + 3 x 2 y − y .2). calcular la integral de línea: . 156.APUNTES DE FISICA I ING.-1. v2(-1. 151. v2(1. Dado el sistema de vectores deslizantes: v1 (1.1.1) que pasa por el punto P2(2. t.2. cuyas rectas soporte pasan.0).1). Se tiene un sistema de tres vectores paralelos. dv/dt = 0.-1). P2(1.2) que pasa por el punto P4(1. 2cost.-2. (b) El momento del sistema respecto al origen.1). (b) da/dt y |da/dt| (c) demostrar que a y da/dt son perpendiculares.2.2). Si v es un vector función de un parámetro t demostrar que: (a) Si v constante en dirección. t + 1).1.2). 157. Dados los vectores deslizantes v1(a. (c) La ecuación del eje central. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 79 147. b)/dt (c) d(a x b)/dt.0. Dado el vector: a = A (cos ωt i + sen ωt j) donde A y ω son constantes y t es la variable escalar independiente.1. y b(1.-1. (b) El momento mínimo resultante. sen t.2.-4) y v3(-4.1) y v3(-.-1. Obtener las componentes de v y su recta soporte. v1(2. los respectivos momentos mínimos tienen por módulos 15 y 25. respectivamente.1. Calcular: (a) El eje central del sistema total. 150. De un sistema de vectores sabemos que su resultante es R1 = 2i + j + 3k y que el momento respecto del origen tiene por modulo 2 6 y es paralelo al vector d = 2i + j – k. Demostrar que: r r r dB dA r d r r ( A × B) = A × + ×B dt dt dt donde A y B son funciones diferenciales de t. B = i + 2j . (B x C) es igual al volumen de un paralelepípedo de aristas A. 3. Dado el vector: → → v = (x + z ) i + x j + ( y − z ) k . Demostrar que el valor absoluto se A . Hallar la ecuación del plano formado por los puntos P1 (2.0). -1. 2). ELECTRONICA MsC. 163. 2. Si: A = ( t )i − (sen t ) k y d r r (A • B) dt r r B = (cos t )i + (sen t ) j + k . -1) y P3 (-1. C = 3i . PRODUCTOS TRIPLES 161. z = 0.0) al B(4.1. B y C.APUNTES DE FISICA I 80 ING. r r dA dt r d2A dt 2 Si: r = a cos(ω t ) + b sen( ω t ) . A lo largo de la curva x = y2. donde a y b son vectores constantes cualesquiera no colineales y ω es un escalar constante. DERIVACIÓN DE VECTORES 163.3j + 4k. P2 (3. 1). Hallar 165. . 2 2 → → Calcular la integral de línea: ∫ v ×d r c donde d r = dx i + dy j + dz k . cuando pasa desde el punto A(1.2.k. Calcular la integral (circulación): → → ∫v • d r c donde d r = dx i + dy j 160. demostrar que: a) b) r r r dr r r r× = ω (a × b ) dt r d 2r r 2 +ω r = 0 dt 164.j + 2k. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 ∫ad r c → donde d r = dx i + dy j + dz k 159. Sea: A = ( 3t ) i + ( t 2 + t ) j + ( t 3 − 2 t 2 ) k . Hallar el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son: A = 2i . Hallar para t = 1 s: a) b) 163. → 162. Dado el vector (Vector de campo): → → v = ( x + y )i + xy j . (b) r = ( ) sen ϕ (1 + tan ϕ ) . considerando un foco como polo y el eje mayor como eje polar. según corresponda. Obtener la ecuación de una parábola en coordenadas polares. -1. Calcular: 3 r a) ∫ A(t )dt 2 2 r b) ∫ [ti − 2k ] • [ A(t )dt ] 1 r 167. 174. Cambiar las coordenadas cartesianas a coordenadas polares. 173. 175. considerando el foco como polo y el eje polar perpendicular a la directriz. ( ) 2 = 4 x 2 − y 2 . Si: A(t ) = 4(t − 1)i − (2t + 3) j + (6t 2 ) k . las expresiones de las curvas siguientes: (a) x 2 + y 2 172. Obtener la ecuación en coordenadas polares de una elipse. v B = yi + x j − xyz k ∂2 r r Hallar: ( A × B) en el punto (1. Obtener la expresión de la distancia entre ambos. Tomando el origen como polo y el eje OX como eje polar. Demostrar que: r r r d2A r dA r ∫ A × dt 2 dt = A × dt + C r Donde C es un vector constante r 169. obtener la ecuación de la recta en coordenadas polares. φ1) y (r2. Hallar el vector B(t) tal: r d 2B = 6t i − 8t 2 j + 12 k dt 2 donde: r B = 2i − 3k y r dB = i + 5j dt para t = 0 168. ∂ x∂ y COORDENADAS POLARES 171. $ $ $ Si R = x 2 y i − 2 y 2 z j + xy 2 z 2 k Hallar: ∂2R ∂2R × ∂ x2 ∂ y2 Para el punto (2. Una recta dista del origen de coordenadas una longitud ρ y forma con el semieje OX positivo un ángulo α. -2) Si A = x 2 i − y j + xz k y r 170.APUNTES DE FISICA I ING. Dos puntos están definidos por sus coordenadas polares (r1. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 81 INTEGRACIÓN DE VECTORES 166. ELECTRONICA MsC. 1. 2). φ2). Si: A = ( xz )i + ( 2 x 2 − y ) j − ( yz 2 ) k ∇φ (a) (b) (c) 177. 1): ∇• A ∇× A → → Si φ = xy + yz + zx a) b) c) r A • ∇φ r φ∇ • A y A = x 2 yi + y 2 z j + z 2 x k . Probar que: r a) div rot A = 0 y b) rot gra d φ = 0 con la condiciones dadas de A y φ 181. (a) Si: A = ( 2 xy + z 3 )i + ( x 2 + 2 y ) j + 3xz 2 − 2) k . 184. ELECTRONICA MsC. Si y r A = xz i − y 2 z j + 2 x 2 y k Encontrar: a) ∇φ b) ∇•φ 186. Hallar en el punto (3. A y B tienen derivadas parciales continuas. Demostrar que si U. Demostrar que: ∇ × ( ∇ × A) = −∇ 2 A + ∇( ∇ • A) Demostrar que: a) ∇ × (UA) = ( ∇U ) × A + U ( ∇ × A) b) r r r r r r r r r r r r ∇ • ( A × B) = B • (∇ × A) − A • (∇ × B) φ = x 2 yz 2 185. Si: A = 3xz 2 i − yz j + ( x + 2 z ) k . DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 176. -1. Demostrar que: ∇ × ( r 2 r ) = 0 donde r r r = xi + yj + zk y r = r 180. V. r r Hallar: rot rot A 183. entonces: a) ∇(U + V ) = ∇U + ∇V b) c) 179. 2): r ( ∇φ ) × A r r r r r ∇ • ( A + B) = ∇ • A + ∇ • B r r r r ∇ × ( A + B) = ∇ × A + ∇ × B r 178.APUNTES DE FISICA I 82 ING. Si A = 2 x 2 − yz i + y 2 − 2 xz j + ( x 2 z 3 ) k y φ = x 2 y − 3xz 2 + 2 xyz . Demostrar que ∇ × φ = 0 (b) Hallar la función escalar φ tal que A = ∇φ r r . Hallar . Demostrar directamente que: r r r div rota A = 0 y ( ) ( ) rot gra d φ = 0 182.en el punto (1. r y φ = 3x 2 y + y 2 z 3 . JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO UPAO SEMESTRE 2011-1 GRADIENTE. -1.