Raz.Matemático 1 Situaciones Lógicas y Recreativas OBJETIVOS: Utilizar sus habilidades creativas con sentido lógico al afrontar la resolución de nuevas situaciones proble-máticas. Descubrir lo ameno que es jugar con las matemáticas. Nociones Previas Resolución: Los ejercicios tratados en este capítulo muestran situaciones, a veces familiares pero relacionadas con el pensamiento creativo, y a medida que los vayas resolviendo, amigo lector, mejorará notoriamente tu capacidad de razonamiento. ♦ Jueves < > + 1 + 0 Jueves < > + 1 (Dato) ♦ Piden: -2 +1 + 2 = +1 < > Jueves ∴ Rpta.: d Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar conclusiones con solamente un criterio lógico, sin hacer uso de conocimentos profundos de la matemática y la lógica. Se verán problemas sobre relación de tiempos, ejercicios con cerillos, problemas sobre parentescos, problemas sobre traslados, problemas sobre calendarios, problemas sobre certezas y problemas sobre orden de información. Ejemplo 2: Siendo el mañana de pasado mañana martes, ¿qué día será el anteayer del ayer de mañana? a) sábado d) jueves b) miércoles e) domingo c) lunes Resolución: ♦ Dato : +1 + 2 = +3 < > martes Piden : -2 -1 + 1 = -2 “Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensardemaneraerrónea es mejor que no pensar”. J V S D L M -2 -1 0 +1 +2 +3 (Piden) Hipatía (Dato) ∴ Rpta.: e I. PROBLEMAS SOBRE RELACIÓN DE TIEMPOS Ejemplo 1: Siendo jueves el mañana de hoy, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? a) miércoles d) lunes b) jueves e) sábado c) martes * SISTEMA RELACIÓN - TIEMPO Ejemplo 3: Si el anteayer de dentro de 5 días es domingo, ¿qué día será el pasado mañana de ayer de hace 3 días del pasado mañana de mañana? a) lunes d) viernes b) sábado e) jueves c) martes 9 5to Secundaria Resolución: Dato: -2 + 5 <> domingo +3 <> domingo ... (I) Resolución: Hagamos un gráfico Piden: +2 - 1 - 3 + 2 + 1 = 1 ...(II) ahora de (I) y (II): Dato +1 +3 +2 viernes sábado domingo abuelo Incógnita ∴ Rpta.: e Ejemplo 4: Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿qué día fue el ayer del ayer de anteayer? Ejemplo 2: En un restaurante estaban presentes: 1 padre, 1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno consumió un menú de 5 soles, ¿cuánto gastaron en total, como mínimo? Resolución: Dato: Anteayer del mañana de +1 a) 30 soles b) 40 soles d) 50 soles e) 60 soles pasado mañana <> martes +2 ⇒ -2 + 1 + 2 <> martes +1 <> martes Piden: Ayer del ayer de anteayer -1 -1 -2 = -1 - 1 - 2 = - 4 retroceder -4 -2 -3 jueves viernes es el abuelo de Camila. ∴ Rpta.: d a) lunes d) sábado b) martes e) viernes c) jueves -1 ∴ Del gráfico se deduce que el hermano de ese hombre -4 sábado domingo 0 Dato c) 20 soles Resolución: En este tipo de problemas debemos tener en cuenta, en el momento de la resolución, que cada uno de los integrantes de la familia puede desempeñar en un mismo problema papeles diferentes. Así por ejemplo, una misma persona puede ser padre e hijo a la vez. Luego haciendo un esquema utilizando la menor cantidad de personas, se tiene: +1 lunes martes Incógnita ∴ Rpta.: c II. PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO Ejemplo 1: Camila ve en la vereda a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila? a) padre d) abuelo 10 b) tío e) suegro c) tío abuelo ∴ Como mínimo estuvieron 4 personas. Luego pagaron 4(S/. 5) = S/. 20 ∴ Rpta.: b Raz. Matemático 1 ¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo 3 para formar siete cuadrados? La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: Resolución: Resolución: Rpta: 2 Rpta: ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo 4 para obtener una verdadera igualdad? ¿Qué parentesco tiene conmigo, la hija de la nuera de la mamá de mi madre? Resolución: Resolución: Rpta: Rpta: 11 5to Secundaria Rosa ve en el mercado a un hombre y dice: “El 5 único hermano de ese hombre es el padre de la mañana de hace 3 días es miércoles. ¿qué día suegra de mi esposo”. Si el ayer del pasado mañana del mañana de anteayer de mañana es jueves. 5 miércoles y 5 jueves. ¿Qué parentesco tiene el será el ayer del pasado mañana del mañana del hermano de ese hombre con Rosa? pasado mañana? Resolución: Resolución: Rpta: Rpta: 7. De las fichas que se muestran en la figura. Si el presente mes tiene 5 martes. ¿qué día caerá el 20 de dicho mes? c) 1 y 3 e) 1 y 2 a) sábado d) jueves e) viernes b) lunes c) domingo . ¿qué día fue ayer? a) lunes d) jueves b) martes e) domingo c) miércoles 9. El hermano de Sofía tiene un hermano más que hermana. ¿cuáles deben ser invertidas para que la suma de los puntos de la parte superior sea el triple de la suma de las partes de la parte inferior? (1) (2) (4) a) 2 y 5 b) 3 y 4 d) 2 y 4 12 Si el mañana del pasado mañana del ayer de 6 8. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Sofía? a) 3 b) 1 d) 5 (3) (5) c) 2 e) 4 10. De como respuesta la suma de los números que van en los vértices (x + y + z + w). de manera que las sumas de los números de cada lado sea igual a 20. 12. Si hoy es jueves. Mi nombre es Mentorcito y mi hermano Miguelito. Martín se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano. uno por círculo. Matemático 11. 1. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la nuera de la mamá de mi madre? a) mi hermana d) prima b) tía e) abuela c) madre 13 . ¿qué día de la semana fue hace 100 días? a) lunes d) viernes b) martes e) domingo c) sábado 2.Raz. En la siguiente figura. w y z 4. ¿por qué? d) viernes e) sábado ¿Cuántos cerillos se debe mover como mínimo para obtener 5 cuadrados iguales a los mostrados? x a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 3. de modo que la suma de los números que se hallan en cada lado del cuadrado sea 22. Da como respuesta la suma de los números que van en los vértices. ¿Qué es respecto a mí el abuelo materno del mellizo de Leonel si la madre de Leonel es la hermana de mi hermano gemelo? a) abuelo b) hijo c) tío d) padre e) yerno a) es su mamá b) es su hermano c) es su hermana d) es su tío e) es su abuela 6. además mi abuela tuvo un hijo solamente. Si el ayer del anteayer de mañana es sábado. Coloca los números del 1 al 9. distribuye los números del 1 al 12. ¿qué día será el mañana del mañana del pasado mañana de ayer? a) lunes b) miércoles c) jueves 5. En un mes hay 5 jueves. En cada viaje puede ir uno de los profesores o las dos alumnas. ¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 9. Saúl. ¿Cuál es el mínimo número de veces que la canoa tiene que cruzar el río en cualquier sentido para que todos logren cruzar dicho río? 12. por lo que podemos deducir que: a) 12 b) 16 d) 21 14 c) 3m e) 1 c) 17 e) 9 a) 1 b) 2 d) 4 c) 3 e) ninguno a) Anibal y Marco son pediatras. Cuatro profesores de la academia y 2 alumnas tienen que cruzar un río en una canoa. Anibal y Marco afirman que uno de ellos es cardiólogo y el otro es pediatra. . Siendo viernes el mañana de mañana de hace 5 días. b) Saúl es pediatra. pero no un profesor y una alumna a la vez.5to Secundaria 7. e) Saúl es cardiólogo. ¿qué día será el anteayer del anteayer de dentro de 4 días? a) lunes b) martes c) jueves d) sábado e) viernes 11. d) Anibal es cardiólogo y pediatra. Dos de ellos son cardiólogos y uno pediatra. 5 viernes y 5 sábados. Si m = 2m. c) Anibal y Marco son cardiólogos. Anibal y Marco son médicos. ¿Cuántos palitos se debe mover como mínimo para dejar la basurita fuera del recogedor? m+m+m+m+m a) 5m b) m d) 0 8. calcula: 10. b) Ordenamiento por posición de datos. Orden de Información II c) Relación de datos (cuadro de afirmaciones). ( ) El más bajo es Martín. ( ) Lucy es la más baja. Debemos verificar que la respuesta final que hallamos cumpla con las condiciones del problema. d) Ordenamiento circular. Potenciar la habilidad analítica. Pedro y Martín. ubicando los datos en forma vertical u horizontal. al final de un examen un alumno se acercó a Albert Einstein y le comentó sorprendido: “¡Las preguntas del examen de este año son las mismas que las del año pasado!” “Sí” . según la manera de ordenar la información. Nociones Previas En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente: La información que nos da el problema necesita ser ordenada. ( ) Genio e Ingenio Durante su etapa como profesor activo. ORDENAMIENTO LINEAL En este caso se procede a ordenar la información. a) Creciente o decreciente Ejemplo 1: En una fiesta se encuentran 4 amigos Sandro. A. Diego y Juan son de la misma talla. “pero este año las respuestas son totalmente diferentes”. 15 . Juan es 5 cm más bajo que Carlos. Pedro es más alto que Sandro. en: Orden de Información I a) Ordenamiento lineal.le contestó Einstein-. según corresponda. Luis. Lucy es 3 cm más baja que Diego. ( ) Es imposible que Pedro sea el más alto. Juan es 2 cm más bajo que Diego. Ejercitar la capacidad recreativa con la matemática. El más alto de los 4 es Luis. Matemático 2 Orden de Información (Horizontal y Vertical) OBJETIVOS: Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio. Indica verdadero (V) o falso (F). Se comienza el ordenamiento utilizando la información precisa o la más relacionada. ( ) Ejemplo 2: Se sabe que: Carlos es 3 cm más alto que Diego. según corresponda. Para su mejor estudio han sido agrupados. ( ) Diego es el más alto.Raz. Además: Sandro es más alto que Martín pero más bajo que Luis. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. El verde está entre el azul y el rojo. El libro de Trigonometría está a la derecha del de Aritmética y a la izquierda del libro de Física. y en ese caso se deja un asiento desocupado. según corresponda. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOS En este tipo de ejercicios algunos datos ya tienen una posición determinada y la ubicación de los otros está en función de ellos. El de color habano está entre el negro y el gris. El rojo está entre el verde y el lila. para que una afirmación sea verdadera debe cumplirse en todos los posibles ordenamientos. ( ) El libro que está a la izquierda de los demás es el libro de Aritmética. El gris entre el lila y el habano. significa que A puede ser mayor o igual que B. según corresponda. izquierda ↔ derecha oeste ↔ este occidente ↔ oriente Ejemplo 2: Un postulante a la Católica compra 6 libros y los ubica en un estante de su biblioteca de la siguiente manera: El libro de Aritmética está siempre junto y a la izquierda del de Álgebra. ( ) La quinta posición a partir del extremo derecho está vacía. Indica verdadero (V) o falso (F). significa que A pued e ser menor o igual que B. ( ) Braulio se sienta junto a Lucía. Indica verdadero (V) o falso (F). El libro de Geometría está a la izquierda del de Álgebra. Mario vive abajo de Jorge y Willy vive en el piso inmediatamente superior al de Mario. ( ) La quinta posición a partir del extremo izquierdo está vacía. Alianza Lima y ocupan 7 asientos seguidos en fila. El negro está después del habano. b) Lateral El procedimiento es similar al seguido en el ordenamiento creciente o decreciente. Braulio está entre Leandro y Lucía. ( ) El cuarto libro contando desde el extremo derecho es el libro de Álgebra. Boris está a la izquierda de Leandro que está sentado junto a Susy. y cada uno de ellos es de un color determinado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . El libro que está a la derecha de los demás es el libro de Química. ( ) El quinto libro contando desde el extremo izquierdo es el libro de Física. ( ) ¡Cuidado! Existen ejercicios en los que hay más de un ordenamiento. Si Arturo vive en el primer piso. sabiendo que: El primero es blanco. El libro de Física está siempre junto y a la izquierda del libro de Química. Lucía se sienta en el extremo izquierdo. ¿en qué piso vive Willy? 4 3 2 1 Ejemplo 2: Se observa nueve automóviles estacionados en fila. Se desea saber el color del auto que está en el segundo lugar. 16 Ejemplo 2: Cinco amigos van al estadio Monumental a ver el clásico “U” vs. entonces un jugador desde el campo observa que: Susy está en el extremo derecho.5to Secundaria Nota Las proposiciones: A no es mayor que B. Si se sientan juntos siempre que no sean del mismo sexo. El de color arena está al último. Ejemplo 1: Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Los problemas más comunes son los problemas de edificios y los de carreras. A no es menor que B. ( ) B. sólo es posible (1). Los Gómez no viven en el 4. Ejemplo 6: Dada la siguiente información: I) Aristóteles es menor que José.º piso. obtengo: Resolución: Renán 21 Walter . veamos: Pepe Pedro 4. * Ahora utilicemos el vínculo que los relaciona: “Pedro” es menor que “Pipo” Pino Pipo Pepe Pedro Resolución: Según el primer dato hay 2 posibilidades: (1) Barrera ∴ Se aprecia que el mayor es Pino. En conclusión Gómez Barrera Muñoz Aburto 2° Durán 1° Calderón 6° 5° 4° 3° Resolución: Pepe Mario Cano Ñol Mario Cano Kilito Makito “Makito” y “Kilito” Resolución: Empecemos representando en segmentos verticales la información inicial con precisión. ¿En qué piso viven los Muñoz? Nótese que es necesario trazar 2 segmentos.° 1.° 5. los Aburto viven 2 pisos más arriba que los Calderón y 2 pisos más abajo que los Barrera. Kilito y Makito). Ñol llegó antes que Pepe y después que Mario. Cano.° Calderón Pep e 6. Mario llegó después que Cano y éste después que Kilito.° 2.° rio 5.= 22 1 “Pipo” es menor que “Pino” José Pino Pipo ∴ 22 años. Matemático Ejemplo 3: Un edificio de 6 pisos está ocupado por 6 familias. Si resto las edades de Renán y José. III) Walter es 21 años menor que Renán.° 3° (2) ∴ En cuarto lugar Mario.° l Ejemplo 4: “Pedro” es menor que “Pepe” Ño 2.° Ma Pedro es menor que Pepe. Aburto Ejemplo 5: En la llegada a la meta de 100 metros planos en Madrid. debido a que no se presenta ningún vínculo entre las anteriores proposiciones.º En consecuencia los Muñoz viven en el 4. cada familia ocupa un piso . los Durán viven en el segundo piso y los Gómez no viven adyacentes con los Aburto. un periodista hizo las siguientes anotaciones de los siete atletas participantes (Ñol. Mario. ¿cuál es el mayor? 6.° 1. no debemos suponer lo que el enunciado no indique. ¿Quién llegó en cuarto lugar? Barrera Aburto Calderón Puesto que los Durán viven en el 2. Trilcito llegó antes que Cano.° 4.º piso. Pepe. Aristóteles 17 . sino en el 6. II) José es un año menor que Walter.° Ca n o 3.º piso.Raz. Pipo es menor que Pino y Pepe es menor que Pipo. plumón. pinta verde. IV. ¿qué objeto está? Resolución: Resolución: Rpta: 18 Rpta: . ¿quién se ¿En qué piso viven los “Mendez”? sienta al lado de Silvia? Resolución: Resolución: Rpta: 2 3 Rpta: En un edificio Beatriz vive más arriba que Álex. Si Silvia y Manuel la familia “Prado”. familia “Dueñas” vive más arriba que la familia Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan y “Prado” y la familia “Mendez” más abajo que Zarahí está en un extremo. un color y un Javier más arriba que Saúl y éste más arriba que plumón. La familia “Mendez” vive el parque. Si Beatriz y Javier viven en el mismo piso. Entonces al extremo derecho. Si sabemos que: Álex. Javier vive más arriba que Álex. A la izquierda del que pinta azul está el que I. La Zarahí y Pedro se ubican en forma adyacente. - A la izquierda del color hay un lapicero. están peleados (no se sientan juntos). . Beatriz vive más arriba que Saúl. A la derecha del plumón está el que pinta azul. 4 Sobre una mesa hay un lapicero. II. ubicados uno a continuación de otro. verdaderas? . un piso más arriba que la familia “García”. A la derecha del que pinta rojo hay un III. Beatriz adora a Javier.5to Secundaria 1 Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada Cinco amigos están sentados en una banca en piso vive una familia. ¿cuáles de las afirmaciones son necesariamente . Javier vive más abajo que Álex. - Milena aventajó a Rosa en 3 puestos. A los Pérez les hubiera gustado vivir en el último piso. Sara obtuvo menos puntaje que Nataly. Vanessa menor puntaje que Karina. cada uno en un piso diferente. Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. II. Pérez e Islas cada una en pisos diferentes. Vanessa el mismo puntaje que Nataly e Irene más que Karina. ¿Quién ganó la carrera? . Matemático 5 En una competencia de motocrós participan 6 6 En una carrera participan 4 amigas: Milena. Zanabria. primos. Los Flores viven en el piso dos. Los Pérez viven en el piso tres. Si del orden en que lle- del 1 al 6. pero antes que E. Los Flores viven lo más alejado de los Miranda. Rpta: En cierto examen. Resolución: ¿Qué moto se encuentra a dos lugares de la moto número 1? Resolución: Rpta: 7. Seis amigos viven en un edificio. D llegó antes que E. . C. La moto 6 llegó inmediatamente después del 1. En una carrera participan 6 personas: A. E llegó en sexto lugar. El tercer piso lo ocupa: 19 . y B llegó inmediatamente después que A. Sara más que Silvia. Los Islas viven encima de los Zanabria. - Úrsula y Katy llegaron una detrás de otra con numeración de los primeros números en orden alfabético. pero más arriba que David. Los Miranda no pueden subir las escaleras. 10. E y F. D.Raz. Carlos vive más abajo que Bica. II. Son ciertas: I. Los Miranda viven en el piso uno. III. . La moto de cuarto lugar es la semisuma de ¿Quién llegó tercera? los números de las motos de lugares extremos. personas cada una con sus motos numeradas Rosa. Se sabe que: garon se conoce: - Los tres últimos lugares lo ocupan motos . Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos. C llegó en segundo lugar. B. pero 2 puestos después que F. Se puede afirmar que: I. 9. Se sabe que A llegó antes que D. En un edificio de 5 pisos viven las familias: Flores. Katy y Úrsula. . . . ¿Quién obtuvo menos puntaje? 8. III. La diferencia entre el quinto y el segundo es 4. . Miranda. Irene el mismo puntaje que Susana. Ni las trampas ayudaron a ganar a Rosa. . Parodi. C vive más arriba que A. Son verdaderas: a) Sólo I b) II y III c) I y III d) Todas e) I y II En una banca en el parque se sientan Juana a la derecha de María y Ana a la izquierda de Juana. álgebra. . historia y geometría. - D obtuvo un punto más que C. . C. . c) Juana está a la izquierda.D. II. 3. Si María es mayor que Lucía. ¿quién no es mayor ni menor? a) María b) Lucía c) Irene d) Ninguna e) F. D vive adyacente a A y C. B vive en el sexto piso. b) Juana está a la derecha. De derecha a izquierda. Si se sabe que: . Si: . a) Medrano b) Cartolín c) Fernández d) López e) Parodi 2. cada uno en un piso diferente. Cinco profesores: Medina. - E obtuvo dos puntos menos que D. Irene es menor que María y Lucía es menor que Irene. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso? 4. El libro de aritmética está junto y a la izquierda del de álgebra. El libro de historia está junto y a la izquierda del de geometría. ¿Quién estaba en el medio? 12. Se colocan en un estante seis libros de razonamiento matemático. III. El libro de física está a la derecha del de aritmética y a la izquierda del de historia. d) Ana está al medio. Seis amigas están escalando una montaña. 5. aritmética. Parodi está en el extremo de una fila y Fernández en el otro extremo. quien está más abajo que Rosa. B obtuvo un punto más que D. que se encuentra entre Juana y Tania. a) ABCDE b) EDCBA c) ECDBA d) CBADE e) ABDCE . Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania. Carla está más abajo que Juana. El libro de razonamiento matemático está a la izquierda del de álgebra. Fernández. Cinco personas rinden un examen. D y E viven en un edificio de 6 pisos. 20 Cinco amigos A. Ordénalos de mayor a menor puntaje. El departamento del cuarto piso está desocupado. Si se sabe que: . E no vive en el último piso. B. física. - B obtuvo dos puntos menos que A. Cartolín y López están sentados en fila. Se afirma: I. quien se encuentra un lugar más abajo que María. A no vive en el tercer piso. e) María está al medio.5to Secundaria 11. Cartolín estaba al lado de Parodi y Medina al lado de Fernández. . por lo tanto: a) Juana está al medio. el cuarto libro es de: 1. Toño. Dante. ¿quién obtuvo el mayor puntaje? a) Luis c) Álex e) Cristian b) Jessica d) Ábner 11. En un examen de Razonamiento Matemático Luis obtuvo menos puntos que Álex.° e) 24. Toño está junto y a la izquierda de Beto. y Noemí más que Lucía.Raz. a) Todas b) II y III c) I y II d) Sólo una es cierta e) I y III 8. Carlos a la derecha de Toño entre Flavio y Dante. Ricardo y Mónica son de la misma talla. Alberto vive en el primer piso. Hay 2 castigados que inicialmente ocuparon lugares consecutivos.° b) 2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? I. Ruth es 4 cm más baja que Julio. 10. ¿Cuáles son esos lugares? a) 8.° y 17. Julio es más alto. De un total de 30 inculpados.° y 21.° lugar. Ricardo es 7 cm más bajo que Pablo. Martín vive más abajo que José y Walter vive en el piso inmediatamente superior a Martín. Si Jessica obtuvo más puntos que Álex.° d) 20. D y E una por día desde el lunes hasta el viernes. En un examen de Razonamiento Matemático Rosa obtuvo menos puntos que María. Carlos.° y 3. B. habían 8 que El Chino quería castigar y a los demás dejarlos libres. Noemí el mismo puntaje que Sara. Se deben realizar cinco actividades A.° y 25.° y 9. Rosa más que Sofía. C se realiza el jueves o el miércoles. Beto y Flavio se ubican en 6 asientos contiguos en una hilera de un teatro.° c) 16. Laura menos puntos que Lucía. Erick. C. Laura el mismo puntaje que María. ¿Quién ocupa el tercer asiento si los contamos de izquierda a derecha? a) Carlos b) Flavio c) Erick d) Toño e) Dante 9. ¿En qué piso vive Walter? a) Primero b) Cuarto c) Segundo d) Tercero e) F. a) AECBD c) AECDB e) CAEDB b) CEADB d) EACBD 12. Ábner menos puntos que Luis y Cristian más puntos que Jessica. D se realiza el jueves o el viernes. II. III. Puso a los 30 en círculo y castigó a cada uno que ocupara el 8. Se sabe que Pablo es 4 cm más alto que Julio. Ruth es la más baja. Mónica es 3 cm más baja que Julio. Matemático 6. ¿Quién obtuvo menos puntaje? a) Laura b) Sofía c) María d) Sara e) Rosa 7. Cuatro amigos viven en un edificio de 4 pisos. y Dante está junto y a la izquierda de Erick.° 21 . Halla la secuencia en que se realizan las actividades si A se realiza antes que E. B se realiza después de D.D. RELACIÓN DE DATOS (CUADRO DE AFIRMACIONES) Se debe construir una tabla en la cual se relacionan los datos proporcionados. El maestro. levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. ¿Qué color de polo tiene cada una? Resolución Primero construimos un cuadro con todas las posibilidades. Fátima y Milagros comentan sobre el color de polo que llevan puesto. 22 Azul Rojo Verde Carmen X X Fátima X X Milagros X X Por lo tanto: Carmen Verde . entonces usa polo verde.5to Secundaria 3 Orden de Información (RelacióndeDatos-CuadrodeDecisiones) C. Azul Rojo Verde Carmen Fátima Milagros Primer Dato: Como Carmen no usa polo rojo ni azul. . Carmen Azul Rojo Verde X X Fátima X Milagros X Tercer Dato: Fátima tiene polo rojo. Ejemplo 1: Tres amigas: Carmen. Carmen dice: “Mi polo no es rojo ni azul como los de ustedes”. a la edad de diez años su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo. Fátima Rojo ∴ Milagros Azul Gauss. quedó asombrado cuando Gauss. Fátima dice: “Me gusta mi polo rojo”. marcando las relaciones correctas y eliminando las negativas. Reto ¿Cuántas cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 . . el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra. . Milagros dice: “Me gustaría tener un polo verde como el tuyo”. Medicina Ingeniería Matemática Derecho Mily No No Sí No Pili Sí No No No Lenín No No No Sí Ely No Sí No No Ejemplo 3: Tres amigos en el bar Les voy a contar una vieja historia que muy bien pudiera ser real: Van tres amigos a tomarse un refresco. por favor. es donde viene el lío. Si cada uno puso 100 ptas y le devuelven 10 ptas. El nombre correcto es: a) Betty Ruiz d) Carmen Páez b) Betty Páez e) Carmen Ruiz c) Ana Páez 23 . nos trae la cuenta. lo ve el jefe y le dice: . Cóbrales sólo 250 ptas.Jefe : No. - Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a Matemática. Ahora es cuando viene el problema. Pili no estudia Derecho. Se tiene: . - Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a Matemática. ¿qué estudia Pili? Viuda Ruiz Quiroz Páez Ana No Sí No Carmen Sí No No Betty No No Sí ∴ Betty Páez ∴ Rpta. ¿DÓNDE ESTÁN LAS OTRAS 10 PESETAS ? De tres amigas se sabe que: - Ana y la divorciada visitan siempre a Carmen. - Ely quiere empezar a estudiar Matemática. Pili si estudia Medicina. Les devuelve a cada uno 10 ptas. 90 x 3 = 270 ptas. Lenín estudiaria Medicina si Pili no lo hiciera. - Lenín no estudia Medicina. Y cada uno de ellos pone 100 pesetas. al pedir la cuenta. Ingeniería. caballeros.Camarero: Son 300 pesetas. Lenín no estudia Ingeniería. . - Pili hubiera estudiado Derecho si Lenín hubiera estudiado Ingeniería. Reto Medicina Mily Ingeniería Matemática Derecho No Pili No Lenín No Ely . Me quedaré con 20 ptas y les devuelvo 30. Ely no estudia Matemática. Mily estudia Matemática. - La viuda y Betty son menores que la señora Quiroz.Amigos : Camarero. se sabe que: - Mily no estudia Medicina. El camarero se da cuenta que si devuelve las 50 ptas puede haber problema para repartirlas y decide lo siguiente: . Si añadimos las 20 que se queda el camarero son 290 ptas. Cuando el camarero va a poner el dinero en caja. Lenín no estudia Medicina. - Ana era muy amiga del fallecido esposo de la señora Cruz. esos son amigos míos. . realmente puso cada uno de ellos 90 ptas. Pili. Matemático Resolución Ejemplo 2: Mily. . Matemática y Derecho.: b Resolución * De los dos primeros enunciados: .Raz. . - Lenín estudiaría Medicina si Pili no lo hiciera. - La señora Páez es bien alegre. Lenín y Ely terminaron sus estudios de Medicina. diez para cada uno.Camarero: Ya está. Después de tomarlo. Ejemplo 1: Seis amigos se sientan a comer helados alrededor de una mesa. ∴ Rpta. - Julio está al lado de Carlos y al frente de Ana. .: d A - “Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío”. Se sientan alrededor de una mesa redonda con seis asientos distribuidos simétricamente y se sabe que: - Ana se sienta junto a Ely y Daniel. Regina está junto y a la izquierda de Coquito. D E A Julio Ana Carlos - Frente a Ely se sienta Betty. este último por razones de trabajo no pudo asistir. tendremos: P L R S C ∴ A la derecha de Coquito esta Silvia. Resolución Carlos Julio Ana (Primera posibilidad) Resolución D * Empezandopor el último dato. B D E (Segunda posibilidad) Al analizar las alternativas. Coquito no está al lado de Piero ni de Liz. Coryna. D) Ana y Carlos están separados por un asiento. ¿Quién está sentado junto y a la derecha de Coquito? 24 B C D E A ∴ Ely se sienta entre Ana y Corina. observamos que la que cumple en ambas posibilidades es la “D” (no es necesario el segundo dato). B) David está a la derecha de Julio. - David no se sienta nunca al lado de Ana y de Carlos. Ely y Felipe. - Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío.5to Secundaria C. Piero no está al lado de Liz ni de Silvia. luego: Ejemplo 2: Seis amigos juegan dominó alrededor de una mesa redonda. formando así una línea cerrada (circunferencia). ORDENAMIENTO CIRCULAR En estos casos se presenta la información indicando que se ubican los datos alrededor de un objeto. C) David está a la izquierda de Julio. dicho asiento debe de estar entre las dos mujeres. - Frente a Ely se sienta Betty. Ejemplo 3: Ana invita a cenar a sus amigos: Betty. Entonces. Entonces es siempre cierto que: A) Ana y Carlos se sientan juntos. ¿Entre quiénes se sienta Ely? Resolución - Ana se sienta junto a Ely y Daniel. Daniel. David no está al lado de Coquito ni de Silvia. en su propio distrito. A se sienta junto a Y. San Isidro. Carlos. E no se sienta junto a C. por lo cual ellos no aceptan ir a ese correctas? distrito. Pueblo Libre. Daniel y Carlos harán 4 En una mesa circular de 7 sillas se sientan a una encuesta en cinco distritos de Lima: La discutir cuatro obreros A. El pintor es muy amigo de Pedro y del mecánico. Marco vive en Lince y es el único que en- III. Z. B. I. Además: El comerciante es familia de Bruno. distribuidos simétricamente. ¿Cuál es la ocupación de Carlos? ¿Entre quiénes se sienta F? Resolución: Resolución: Rpta: 2 Rpta: Felipe. y se sabe que: raflores cada uno en un distrito diferente. Raúl es comerciante. Pedro. sabe que: B se sienta junto a D. E y F se sientan alre- ocupaciones y se sabe que: dedor de una mesa circular con seis asientos Raúl y el gasfitero son amigos del mecánico. Carlos es amigo del mecánico. Pedro y Bruno tienen diferentes 3 Seis amigos A. pero Z no se sienta Felipe irá a La Molina. C. D. Resolución: ¿Dónde encuesta Carlos? Resolución: Rpta: Rpta: 25 . Daniel vive en Pueblo Libre. C y D y tres em- Molina. Y. D no se sienta junto a B. Entre D y Z hay por lo menos 2 asientos. A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C. Y se Ningún empleado se sienta junto a otro empleado. cuesta en su distrito. Matemático 1 Raúl. pero Marco la hará junto a ellos. X se sienta junto a B.Raz. II. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son Las suegras de Pedro y Daniel viven en San Isidro. Lince y Mi- pleados: X. Marco. B. Resolución: III. Además. Francis y Edith tienen diferentes profesiones: periodista. de los profesionales son: Pedro. Luis no es liberal. D y E se sientan alred- 6 En una mesa circular hay 6 asientos y se sien- edor de una mesa circular y se sabe que: tan 4 amigos: A. que es uno de los amigos. B. Luis no está en el Cusco. . 3. kinesiólogo y matemático y viven en las ciudades X. Si llega un amigo más. B. ¿Qué profesión tiene Alicia? 8. Carmen. Juan y Luis. 2. ¿Cómo se llama el estudiante? 26 Rpta: 9. Cusco e Iquitos. D se sienta junto a A. ni tímido. C y D. Las 5 sillas se encuentran distribuidas simé- Nadie se ha sentado junto a A. Además se sabe que quien vive en Iquitos es agresivo. un abogado y un médico. dice el médico a Roberto. B se sienta junto a D. Diego es pariente del abogado y éste es amigo de Luis. un contador.5to Secundaria 5 Cinco amigos A. podría estar junto a A se sienta junto a B. Tito comenta: “El banco que más interés paga es el Wiese”. Están en una sala de conferencia: un ingeniero. Resolución: Rpta: 7. Marcos no está en Lima. Diego. Alicia. Y si se sabe que: 1. aunque no necesariamente en ese orden. El que está en Lima no es tímido. ¿Quién es el médico? 10. Juan se lleva muy bien con el médico. El médico vive en X. pero cada uno tiene carácter diferente: tímido. médico. Alicia vive en W. D no se sienta junto a C. Podemos afirmar con certeza que: ¿Quién está frente a C? I. Z y W. II. El abogado dice: “¨Mi secretaria lleva mi dinero al Banco de Lima” El tercer personaje se llama José. El periodista nunca ha emigrado de Z. Los nombres. agresivo y liberal. Edith es kinesióloga. 4. El ingeniero es muy amigo de Luis y del médico. Y. Se quiere saber en qué ciudad vive Víctor. Frente a D no hay nadie. B. E se sienta junto a C. un médico y un abogado comentan que cada uno de ellos ahorra en un banco diferente: “Yo ahorro en Interbank”. Un estudiante. tricamente. y qué carácter tiene. Juana tiene un amigo en cada una de las ciudades siguientes: Lima. Pedro y el contador no se llevan bien. se sabe que: Francis no vive en X ni en Y. C. Betty gana más dinero que Carol. Gerardo. Raúl. el médico y el abogado juegan ajedrez. Guisela y Francisco. Manuel y Jesús (no necesariamente en ese orden). Carol y Dina son 4 señoritas cuyas ocupaciones son: enfermera. Fabiola. ¿Qué ocupación tiene Carol? 1. médico y electricista. Se pregunta: ¿Quién tiene A libros? a) X b) Y c) Z d) X o Z e) Y o Z 27 . “D”. Determina quién es moreno y quién es “A”. Matemático 11. Ana. “A” y “B” trabajan en la misma fábrica. Beto no es el electricista. “C” es moreno. La única vez que la secretaria vio a la actriz detuvo su auto para pedirle un autógrafo. Carlos. “C” y “D” fueron al teatro juntos. en cambio. La actriz no vive cerca de la casa de la profesora. Z disponen de A. Beto y Carlos tienen diferentes profesiones. profesora. En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan cinco hermanos: Erica. el abogado y el médico juegan fútbol. ¿Qué profesión tiene Pedro? a) Ingeniero b) Médico c) Abogado d) Profesor e) Contador 12. “C” y “D” corresponden a los nombres de Roberto. Se sabe que: Francisco y Miluska no se sientan juntos. profesor. profesor. ¿Cuál es la profesión de Carlos? a) Profesor b) Contador c) Médico d) Mecánico e) Electricista 2. Tres amigos: Ana. Fabiola se sienta frente a Guisela. Y se sabe que: Carlos. “A”. Ana le gana siempre a Dina jugando casino. Miluska. secretaria y actriz (aunque no en ese orden necesariamente). Además se sabe lo siguiente: Ana y Betty son vecinas y se turnan para llevarse el auto al trabajo. Y. ¿Quién se sienta frente al sitio vacío? a) Erica b) Guisela c) Miluska d) Fabiola e) Francisco 4. Gerardo. Además se conoce que: Y le dice a la que tiene B que la otra tiene A libros. no necesariamente en ese orden y se sabe que: Ana es el médico.Raz. Roberto. La enfermera camina siempre a su trabajo. Pedro y Bruno tienen diferentes profesiones: ingeniero. B y C libros aunque no necesariamente en ese orden. Gerardo es de tez blanca. Betty. “C” y Manuel concurren a los juegos mecánicos con regularidad. “A”. Raúl. Tres personas X. 3. La actriz gana más dinero que la profesora o la secretaria. “B”. pero no tiene auto. Z le dice a la que tiene A que tiene sed. abogado y médico pero ninguno en ese orden. Guisela se sienta junto a Erica y Francisco. “B” y Jesús juegan en el mismo equipo. Marcos. Cada uno ordenó un sabor diferente. Pérez no sabe de medicina ni de leyes. Manuel y Magaly son hinchas de los siguientes equipos (no necesariamente en ese orden): Boys. no conoce a Carlos ni al que dicta Aritmética.. abogado. que debería vacunarlo contra la rabia. 6. tomaron helado de chocolate.V. Entonces: a) El gordo para alegre b) El flaco para triste c) El enano para triste d) El flaco para alegre e) El gordo para colérico 7. San Borja y Miraflores.V.V. aunque no necesariamente en ese orden. . y C le dice a la que tiene el perro.M. Judith.V.M. Rommel. Sánchez. Si sabemos que Magaly es hincha de Universitario y su en amorado es hincha de Cristal y es el único amigo de Marcos. Luis y César. el que juega por el verde es atleta. Los cursos de R.R. Y se sabe que: Luis no vive en Los Olivos ni en Breña. Los señores Pérez. Pérez? a) Médico d) Matemático b) Abogado e) Pintor c) Ingeniero 11. A. los rojos no juegan básquet y Gustavo participa por el verde.Álgebra d) Carlos . un flaco y un enano que tienen diferentes temperamentos. Breña.M. fresa. Armando y su prima Marilyn ordenaron helados de sus sabores favoritos. ingeniero y matemático. Sánchez no sabe de números ni de planos García sabe los códigos legales y Lazo no sabe medicina ni tampoco de construcción. ¿Qué ordenaron Armando y Marilyn. cada deporte se identifica con un color: azul. Marilyn solía tomar marrasquino pero se cansó de éste. Si B le dice al que tiene el gato. El profesor de R. Janeth. Uno para alegre.R. vainilla y marrasquino. y se sabe que: Luis es amigo del profesor de R. ¿hincha de qué equipo es Marcos? a) Universitario b) Boys d) Boys y Cristal c) Cristal e) Alianza 12. Entonces la relación correcta es: a) César . Cristal y Alianza. El atleta vive en Los Olivos.Álgebra b) Luis . Aritmética y Álgebra son dictados por Andrés. B y C tienen una mascota cada uno. atletismo. y viven en los distritos de Los Olivos. c) Andrés . el otro colérico y el otro triste y se sabe que: Al gordo nunca se le ve reír. respectivamente? a) Natación y básquet b) Básquet y atletismo c) Atletismo y natación d) Natación y atletismo e) Faltan datos 28 c) Fútbol e) Básquet 9. García y Lazo son médico. ¿Qué profesión tiene el Sr. Rommel vive en Miraflores. gato y mono. Álex. Marcos no es hincha de Boys y su amigo tampoco. natación y tenis. Juan no sabe nadar. ¿Qué deporte le corresponde a Alberto y Gustavo. El enano para molesto porque siempre lo fasti dian por su tamaño. e) Andrés . César y el profesor de Aritmética son amigos en común con el profesor de R. atletismo o básquet.5to Secundaria 5. Luis y Eduardo practican los siguientes deportes: fútbol. Luis. ¿Qué deporte practica Rommel? a) Natación b) Atletismo d) Tenis 8. Eduardo es futbolista. perro. Tres hermanos practican natación. Universitario. El nadador nunca ha emigrado de San Borja. A Armando y Marilyn no les gusta la fresa.R. que la otra tiene un perro. respectivamente? a) Chocolate y fresa b) Vainilla y fresa c) Marrasquino y chocolate d) Marrasquino y vainilla e) Fresa y marrasquino 10. Carlos. Judith tomó chocolate. El único amigo de Andrés es Carlos. entonces: a) A tiene el mono b) C tiene el gato c) B tiene el perro d) A tiene el gato e) B tiene el gato Por mi casa vive un gordo.M. y R. rojo o verde. (145)2 = 210 25 ¡Con decimales! 72 .b2 Ejemplos 1.2(a)(b). Resolver las situaciones complejas con fluidez y habilidad. Ejemplos 1...2(8)(3). 25 = 11 664 2... (35)2 = 12 25 x4 2. basándonos en las propiedades básicas de las matemáticas...8) (108+8)+ 82 =(100) (116) + 64 272 . (83)2 = ? (83)2 = 82 . (108)2=(108 .. (212)2 =(212 . (8..a) (N + a) + a2 Donde “a” es el C. 2) CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS Nociones Previas En este capítulo aprenderemos técnicas y formas de solución que nos permitan efectuar operaciones aritméticas con mayor rapidez que lo común. para ello utilizaremos un poco de habilidad matemática.. adición... para aplicarlos en la multiplicación.12) (212+12) + 122 =(200) (224) + 144 = 44 944 29 . (16.2(2)(4). 25 x9 4.42 1) CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA llevo 1 EN 5 (N5)2 = .A...... CÁLCULO DE NÚMEROS AL CUADRADO Desarrollo del Binomio 2 (ab) = a2 .5)2 = no llevo (N)2 = (N .. potenciación. para ser un múltiplo de 10 una unidad inmediata superior o inferior. Matemático 4 Habilidad Matemática OBJETIVOS: Dominar métodos prácticos en las operaciones..32 Ejemplos llevo 4 1.Raz... etc.. (24)2 = ? (24)2 = 22 .25 llevo 1 576 2.5)2 = x 17 6889 3) CUADRADO DE UN NÚMERO CUALQUIERA x 15 3. ..4)par = .. 3...6)par = .5)n = .1 Ejemplos 1. profundo e infestado de cocodrilos... 5Y6 (..0 (.4)impar = ......9 (.8)4 = . En la otra orilla ven a dos muchachos nativos con una canoa.. ¿Cómo conseguirán los soldados atravesar el río sin “alimentar” a los cocodrilos? Solución: La clave de la solución depende del hecho de que la canoa pueda transportar a los dos muchachos. ¿En qué cifra termina 20042004 (2004)2004 = (.. A = 99999 par = ..6 terminan en “1” 2. (26)2 = 676 terminan en “6” (16)2 = 256 2) PARA NÚMEROS QUE TERMINAN EN: 4 Y 9 (..2)1 = ..6 (... o a los dos muchachos. Así pues. .5to Secundaria ¿Cómo lo hizo? 3) PARA NÚMEROS QUE TERMINAN EN: 2.9)impar = ..7)4 = . 1. Basta repetir la maniobra tantas veces como soldados haya.2)4 = ....6)n = .4)par = . A continuación este muchacho se baja y el primer soldado con todo su equipo cruza el río....6 ∴ Termina en 1 ° ° 4 4 ° + 3 4+3 ° ∴ RM = (.. La canoa sólo puede transportar a un soldado con su fusil y su mochila. (11)2 = 121 (31)2 = 961 ∴ 9763 E = (..1 1. ¿cómo lo hizo? 5 7 3 24 x 171972 (. se encuentra de pronto con un gran río. Si A = 99999 hallar la cifra terminal...... 5Y8 Una profesora sacó a un alumno a la pizarra para multiplicar: 57 324 x 236 el alumno multiplicó comenzando por la izquierda y sorprendió a todos..1 30 (..4 (.7 Soldados en apuros Una patrulla de soldados. uno de los muchachos lleva la canoa hasta la orilla en que se encuentran los soldados.. ¿En qué cifra termina el desarrollo de RM = (5673)9763? Resolución: En el exponente: 63 4 3 15 9763 = 9700 + 63 2..3)4+3 = (..3)4 = ...2 1) PARA NÚMEROS QUE TERMINEN EN: 0. Ya están los dos muchachos y la canoa como al principio...5 (.. allí desembarca y el segundo muchacho regresa con la canoa y recoge de vuelta a su compañero. pero sólo se necesita a uno de ellos para llevar la canoa de una orilla a la otra..1 Ejemplos 236 ° (...1)n = .3)3 = ..6 ° ° Resolución: En el exponente: 343944 13528464 61 4 1 15 CIFRAS TERMINALES ° (.. (15)2 = 225 terminan en “5” (65)2 = 4225 4..... ¿En qué cifra termina el desarrollo de: E = 3256261 ? 114648 ° (.....6? ∴ Termina en 6 2222 555 33 2..2)4 + 1 = (.. hasta que el último haya cruzado el río..0)n = ..... de maniobras por la jungla..1 1.. (20)2 = 400 terminan en “0” (40)2 = 1600 3. SAN 8 20 sumandos Halla: S + A + N Resolución: Resolución: Rpta: 2 Rpta: Halla la suma de las cifras de la operación: 4 J = 24363548 (99999999) Halla: L + U + I + S en 99 2 + 2 8 2 8 2 2 8 2 8 Resolución: .Raz.....= . 28 sumandos L U I S Resolución: Rpta: Rpta: 31 .. Matemático 1 3 Halla la cifra terminal de “A” A = (9971+2345)(9971+2345) 999 Si: 3+35+353+3535+ ... ...z) 7 4 3 2 ..(111. ¿Cuál es el resultado de la expresión? E=(x .c) . ¿En qué cifra termina: Calcula: (F ..E)3 E= (87654) (976660) + 9 F= (87654) (87662) + 16 Calcula la suma de cifras del resultado: E= (111..11)2 50 cifras 32 16 Resolución: Resolución: 7. (x .5to Secundaria 5 Calcula la suma de cifras del resultado: P= 64 6 (2+1)(22+1)(24+1).b) (x .a) (x ..1113)2 .(218+1)+1 P= Rpta: 8.. 2x4 x10 x 82x 6562 x(38x38+1)+1 Rpta: 9. Calcula: 50 cifras A = (88888) 77777 +(99999) 22222+5 10. 4. Calcula: c) 12 e) 8 (20032003)2 .(222223)2 a) 60 b) 30 d) 42 5.99) 30 cifras 40 cifras a) 270 b) 300 d) 400 3... Matemático 11. Halla la cifra terminal en el desarrollo total de “A”: c) 360 e) 630 A=999 x 888 x 777 x 666 x 222 a) 1 b) 2 d) 6 c) 4 e) 8 5 ( Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar: P = (777778)2 ...Raz..16 n cifras n≥6 Calcula: 40 cifras ( 1....99 = . Halla el resultado de efectuar “E”: E = (107 + 1)2 . b) 30 x 106 6 e) 40 x 10 Indica la suma de las cifras del resultado de efectuar: (353535.634528 40 cifras 252525 393939..(20032001)2 e indica la suma de cifras del resultado. Después de efectuar: A+B+C+D E+F c) 35 e) 43 E = 10305050301 + 2040604020 calcula la suma de las cifras del resultado: a) 10 b) 9 d) 6 6. Si: ABCDEF x 999.(9999999)2 a) 15 x 106 c) 20 x 106 d) 18 x 106 2..35) (9999. Calcula: 12... a) 27 b) 11 d) 17 c) 19 e) 8 33 .39 + 161616 161616. ... 10. M I N A a) 17 b) 18 d) 16 9..LIMA 24 sumandos Halla: L + I + M + A a) 10 b) 18 d) 15 O=(13+1)(23+1)(33+1)(43+1)..83 1111111088888889 123456787654322 .017838 + 0..7 34 M = (333.982081 + 0.81 e) 0.. = .3) c) 19 e) 20 Calcula la suma de las cifras del resultado de: (P + Q + M) a) 225 b) 255 d) 125 c) 155 e) 120 12... 15 cifras Halla: M + I + N + A si: 9+ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 Q = (222.9 9 9 9 .000081 c) 0.1) 8......(203+1) c) 16 e) 17 a) 1 b) 0 d) 3 c) 2 e) 6 11.. Se sabe que: P = (111.. ¿Cuál es la última cifra del producto? Si: 4 + 44 + 444 + . Halla el valor de: a) 1 b) 2 d) 0.1 a) 1 b) 2 d) 3 c) 9 e) 4 .5to Secundaria 7...2) 30 cifras 21 sumandos 60 cifras . Simplifica: E= N = 0. . con la particularidad de que la validez de las últimas se deduce de la validez de las primeras. tenemos: 2 .. Dotar al estudiante de herramientas metodológicas adecuadas para la resolución de problemas que exigen el uso del pensamiento creativo. menos mal que las jóvenes de hoy saben hacerse respetar”. ninguno conocía a los demás. S1 = 1 S2 = 1 + 3 S3 = 1 + 3 + 5 S10 = 1+3+5+7+... Lógica Inductiva Ejemplo 2: Consiste en la observación y análisis de casos particulares lo cuál nos permite el descubrimiento de leyes generales. .. Hubo de pronto un corte de energía.+19= 100 = 102 Vemos que el resultado de sumar números impares consecutivos es de la forma n2 donde “n” es la cantidad de números impares que se suman. ¿Sabrías deducirlo? 35 .Raz.. El ascensor se detuvo.. quizás el francés ha querido abusar de la joven y ésta me ha pegado por error”.. enrolado en la resistencia. La joven pensó: “¡Vaya gustos raros que tienen estos alemanes!. se oyó el chasquido de un beso.. uno de los ocupantes era un oficial alemán.. las luces se fueron y todo quedó en profunda oscuridad. en lugar de besarme a mí ha debido besar a esta señora mayor o a este joven tan atractivo. ¡No me lo explico!”. seguido por el retallar de un bofetón. ... = 16 = 42 . S4 = 1 + 3 + 5 + 7 . una dama de edad.. durante la Segunda Guerra Mundial.... El oficial lucía un enorme chichón junto a un ojo.. . Un instante después volvieron las luces. un civil francés. El alemán pensó: “¿pero qué ha pasado? ¡Yo no he hecho nada!... 25 cifras Resolución: Por inducción: Para 2 cifras: (11)2 = 121 Suma de cifras = 4 = (1 + 1)2 2 cifras GENERAL 2 Para 3 cifras: (111) = 12321 Suma de cifras=9 = (1+1+1)2 Casos Particulares 3 cifras Razonamiento Inductivo 2 Para 4 cifras:(1+1+1+1) = 1234321 Suma de cifras=16=(1+1+1+1)2 Ejemplo 1: 4 cifras Al sumar números impares consecutivos en forma ordenada... y la cuarta. Sólo el francés conocía exactamente lo ocurrido. = n2 (n sumandos) Reto La siguiente anécdota ocurrió en la ocupación de Francia por los alemanes. Halla la suma de cifras de: E = (111. otro. Sn = 1+3+5+7+ . La tercera ocupante era una atractiva joven. La señora mayor pensó: “¡Bien merecido lo tiene!.111)2 CASO CASO CASO I II III CASO .. Cuatro personas subían en el ascensor de un hotel. =1 =1 = 4 = 22 = 9 = 32 . de uniforme. Matemático 5 Cálculo Inductivo OBJETIVOS: Desarrollar la capacidad de observación para establecer relaciones que permitan llegar a la solución de un problema. 1+2+3 = 6 . sumando 7. Para averiguar la suma. 9 = 90 L 2 9 16 23 M 3 10 17 24 M 4 11 18 25 J 5 12 19 26 2... 1 2 3 ∴ Suma de esferas del arreglo triangular 5050..° esferas de la base En general N. En este caso se trata del número 7.+100 = 2 = 5050 1 2 3 36 98 99 100 En cualquier hoja de calendario se pasa de un número al que hay debajo de él. .. = 3x4 2 N. Los nueve números de cada cuadrado de números se pueden escribir en función del número que ocupa el centro del cuadrado. Suma de números en un calendario Se trata de poder sumar los nueve números contenidos en el cuadrado seleccionado en el calendario.. 9 = 135 OCTUBRE L M M J V S D 1 2 3 4 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 98 99 100 Resolución: Debido a que la distribución de las esferas responde a una forma triangular..° esferas de la base V 6 13 20 27 S 7 14 21 28 D 8 15 22 3. # esferas 1.. los casos iniciales a dicha formación. .er caso 1 Números triangulares = 1 = 1x2 2 N. debemos sumar 8 y después multiplicar por 9: (7 + 8) .. En cualquier cuadrado de nueve números. También se puede hacer cuando los días están ordenados en vertical. se pasa del número menor al que ocupa el centro sumando 8... La suma de los nueve números contenidos en el cuadrado es: (2 + 8) .... recurriendo a la inducción. entonces analizaremos.+1) 2 = 25 = 625 25 veces Ejemplo 3: Calcula la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo...° esferas de la base Al número que te den le sumas 8 y esta suma la multiplicas por 9.5to Secundaria Se concluye que la suma de cifras del resultado de efectuar “E” sería: 2 Suma de cifras = (1+1+1+.º caso 1 2 1+2 = 3 = 2x3 2 N. bastando que nos digan el número menor del cuadrado..er caso .° esferas de la base 100 x 101 1 + 2 + 3 + . 1 ......... debe ser el 3.......1 Suma = 27= ( 3 )3 N. 11 12 3 4 5 6 ... ¿Cómo saber cuál de los apagadores enciende el foco de la habitación recorriendo el pasillo una sola vez? Enciendes el apagador 1 y esperas 5 minutos.er caso 1 ..° de Filas # maneras que se puede leer 1.caso caso 2. 10 11 3 4 5 6 .Raz..er caso Analizamos casos particulares: 1 Suma = 1 = ( 1 )3 N. aplicando inducción tendremos: 1. 18 19 Resolución: S . .er caso 18 19 ∴ Suma de todos los elementos 1000 Reto Estas frente a tres apagadores.... 11 12 4 5 6 7 ..° de Filas .° de Filas 3. 3.. 9 10 2 3 4 5 . .... 9 10 11 12 .. A A 1 2 3 2 3 4 3 4 5 N° esferas de la base En general 23 . Matemático Ejemplo 4: Ejemplo 5: ¿De cuántas formas distintas se puede leer “SAN MARCOS” en el siguiente arreglo? Halla la suma de todos los elementos de la siguiente matriz...° de Filas .º caso S 2 = 22 .. = . Recorres el pasillo y abres la puerta: Si el foco está encendido... S .. 12 13 = 21 ... . 17 18 10 11 12 13 ... un pasillo y al fondo una habitación con la puerta cerrada.. 37 .. Resolución: Sumar los 100 elementos que conforman la matriz va a ser demasiado operativo. 12 13 Suma = ( 10 ) = 1000 N.er caso 2. 10 11 12 En general S A A N N N M M M M = S S S 29 .. 10 11 3 4 5 .º 1 2 2 3 Suma = 8 = ( 2 )3 N..... A A N N N N° esferas de la base . el apagador 2 es el bueno..1 N° esfera de la base 1er.1 N° esferas de la base = 256 S S S ∴ Maneras distintas de leer “San Marcos”: 256 . 9 10 2 3 4 .. S A A N N N M M M M A A A A A R R R R R R C C C C C C C O O O O O O O O S S S S S S S S S 1 2 3 4 . si está apagado pero caliente es el 1 y si está frío.. 4 1 2 3 ... lo apagas y enciendes el 2. . .. si: 4 2 ducto: A = (333.. 3 si: Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar: E =(333......33)2 P = 997 x 998 x 999 x 1000+1 40 cifras Resolución: Resolución: Rpta: 2 Rpta: Calcula la suma de cifras de “A”.34) Halla la última cifra luego de efectuar el pro- 100 cifras R=(22004+1)(22003+1)(22002+1).(22 + 1) Resolución: Resolución: Rpta: 38 Rpta: ...5to Secundaria 1 Calcula la suma de cifras del resultado en “E”.. Matemático 5 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer 6 Halla el valor de la F(100).+ 33 3333 333333 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer “JESSICA”? J EEE SSSSS SSSSSSS I I I I I I I I I CCCCCCCCCCC AAAAAAAAAAAAA 2 4 6 . 10. si: MENTOR en el siguiente arreglo? M M E M M E N E M M E NT N E M M E NT OT N E M M E NT O R OT N E M F(1) = 1 F(2) = 3 + 5 F(3) = 7 + 9 + 11 F(4) = 13 + 15 + 17 + 19 Resolución: Resolución: Rpta: 7.. 22 24 8..2 333... 9. 18 20 4 6 8 .. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra “RECONOCER” pudiendo repetir letras? R 222..3 E C n cifras O N E C O N C O N O N N 39 ..... 20 22 6 8 10 ... Rpta: Halla la suma de los elementos de la siguiente matriz de 10 x 10.Raz.. 36 38 Halla el valor de n si: n cifras 22= 22+ 2222 + 222222 +... 34 36 20 22 24 . 18 20 22 .. .... Si: 1 1.66)2 I I N I I N G N I I N G E G N I I N G E N E G N I I N G E N I N E G N I I N G E N I O I N E G N I 12 cifras a) 108 b) 102 d) 104 c) 110 e) 103 2.. a) 900 b) 925 d) 90 .. 4 .... 3 .995)2 a) 128 b) 127 d) 125 c) 126 e) 124 5.. Calcula la suma de cifras del resultado de: B = (999.... 2 3 48 49 50 4.........5to Secundaria 11.. Halla el total de palitos en: 12. Calcula la suma de cifras del resultado de: N........... ¿Cuál fue la nota que obtuvo en el décimo segundo examen? a) 120 b) 146 d) 148 c) 145 e) 150 ....... Los puntajes que tiene un alumno en la academia en sus exámenes son: 101 cifras c) 625 e) 907 3.....º examen 1 .... Calcula la suma de cifras de: M(1) = 4 x 1 + 1 M(2) = 8 x 4 + 8 M(3) = 12 x 9 + 27 Calcula el valor de x. 2 . si: M(x)= 4 x 104 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra INGENIO en el siguiente arreglo? M = (666.. M = 100 x 101 x 102 x 103+1 a) 5 b) 6 d) 8 40 c) 7 e) 10 Puntaje 2 5 10 17 ... En la siguiente secuencia gráfica..... 10 11 3 4 5 6 . Halla la suma de todos los elementos de la siguiente matriz: 10. halla el número total de cuadrados de la figura 60.. 11 12 4 5 6 7 . ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “INGRESO”? a) 16 b) 24 d) 20 c) 24 e) 989 12... 9 10 2 3 4 5 . c) 8 e) 9 1 2 3 4 .. ¿En qué cifra termina: P = 4+(10700 +1) ...... Calcula: c) 1000 e) 3000 24 cifras E= 35 + 3535 + 353535 +. Matemático 6... 12 13 a) 120 b) 200 d) 240 c) 100 e) 241 11. (103+1) (102 + 1) (10+1)? a) 1 b) 4 d) 5 7.12 1 2 3 4 38 39 40 24 cifras a) 35 d) 20 b) 12 e) 24 c) 13 9. 17 18 10 11 12 13 . 9 10 11 12 .+ 12 1212 121212 3535...35 1212..Raz. 1 8 a) 100 b) 500 d) 1001 8.. Halla el total de palitos que conforman la figura.. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer trotamundos? I NN G G G R R R R E E E S S O a) 1 599 b) 1 521 d) 1 650 O N D R T M N O T O A U D S R T M N O O U D N c) 14 e) 30 U a) 130 b) 128 d) 166 c) 135 e) 120 41 . etc. el heroísmo de un soldado. La suma de dos números consecutivos es 99. Incluso muchas veces los he retado con ayuda de mis amigas las fracciones. la habilidad de una persona.. 42 . La suma de tres números impares consecutivos es 45. je. je. La suma de tres números pares consecutivos es 36. ? ¡Hola! me llamo incógnita. el número de alumnos de un aula. pero ellos se sonríen y siguen jugando.) y en otros no pueden ser medidos (la alegría de un estudiante. En este tema nos ocuparemos de aquellas expresiones que sí podemos representar matemáticamente: * Traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados: LENGUAJE COMÚN (VERBAL) LENGUAJE MATEMÁTICO (Forma simbólica) El triple de un número. aumentado en cinco. Ejecutar la capacidad de abstracción para representar y relacionar simbólicamente los datos de un problema con las variables elegidas para las incógnitas. El número de varones es la quinta parte del total de los reunidos. pero son muy pocos los que me encuentran. la altura de un estudiante. mi juego favorito son las escondidas. Tal regocijo me causa ver sus rostros demacrados por la derrota. aumentado en su mitad.). como si supiesen que van a ganarme. El cuadrado de un número. Me agrada ver sufrir a los que no logran hacerlo.. Nociones previas Plantear una ecuación es traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) lo expresado en un lenguaje común (verbal).5to Secundaria 6 Ecuaciones OBJETIVOS: Relacionar matemáticamente hechos de nuestra vida diaria. Mas aquéllos que me encuentran me causan admiración por su gran habilidad y perseverancia. Nuestro lenguaje está lleno de expresiones que en algunos casos puede ser medido (el costo de un libro. Gastó la tercera parte de lo que no gastó. El triple de un número aumentado en su mitad. muchos me buscan. etc. ¡Me temen! Je. El cuadrado de un número aumentado en cinco. Resolución: Longitud del puente: “x” metros Planteamos la ecuación: 6x ... gastando la misma cantidad de cera en las celdillas. 300. Reto Las arañas y los escarabajos Un chiquito cazó varias arañas y escarabajos. Matemático Ejemplo 1: Si ganara S/. Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal.300 tendría: x + 300 Si perdiera S/. 300.. ¿Cuánto tengo? Resolución: Tengo al inicio “S/.x 1200 = 2x 600 = x ∴ Tengo S/.L= 2 2C = 10 2x -50 = x + 50 2x .. L De los datos planteamos las ecuaciones: 7C + 3L = 44 . Curiosidades Las abejas. 44.300 = 3x . entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro. tendría el triple de lo que me quedaría si hubiera perdido S/. (2) (1)+(2): 10(C + L)=80 ⇒ C+L= 8 (1)-(2): 4(C . Solo podrían hacerlo con triángulos. consiguen mayor superficie para guardar su miel. 3. Resolución: Número de hojas “x” Si arranco 25 hojas me quedaría: x .. gasto S/.60 3x = 240 x = 80 ∴ Longitud del puente 80 metros.60 6x . (1) 3C + 7C = 36 . x” Si ganara S/.x = 50 + 50 x = 100 ∴ Número de hojas 100. 5 y 1 lapicero cuesta S/. Por eso.300 me quedaría: x .. La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego «igual perímetro»). 36. cuando guardan la miel. tienen que resolver varios problemas.900 300 + 900 = 3x . ¿Cuánto cuesta 1 cuaderno y cuánto 1 lapicero? Resolución: Costo de 1 cuaderno: S/. pero si compro 7 lápices y 3 cuadernos. encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. La pregunta es: ¿y quién le enseñó esto a las abejas?.M. que posee un número infinito de lados.... Necesitan guardar la miel en celdillas individuales.300) x + 300 = 3x .. C=5 Por tanto: L=3 ∴ 1 cuaderno cuesta S/. y los guardó en una caja. si sabemos que si arrancamos 25 quedarán la mitad de hojas que si el libro tuviera 50 hojas más. gasto S/. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas. cuadrados y hexágonos. C Costo de 1 lapicero: S/.25 = 1 (x + 50) 2 Ejemplo 3: Halla la longitud de un puente si sabemos que el séxtuplo de dicha longitud disminuido en 300 metros es equivalente al triple de dicha longitud disminuido en 60 metros. en total ocho.300 Planteamos la ecuación: x + 300 = 3(x . ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja? 43 . Ejemplo 4: Si compro 7 cuadernos y 3 lápices... 600 Ejemplo 2: Halla el número de hojas de un libro de R. ya que hay que aprovechar el espacio al máximo.3x = 300 .25 Si tuviera 50 más tendría: x + 50 Planteamos la ecuación: x . si son mas difíciles de construir?.L)= 8 ⇒ C . la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo. ¿Por qué eligieron entonces los hexágonos.Raz. Papus había demostrado que. de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas.. ya que. 5to Secundaria 1 De los 200 soles que tenía. ¿Cuántos libros hay en dicha reunión? de letras únicamente se pueden colocar? Resolución: Resolución: Rpta: . ¿Cuántos soles gasté? Compré un lote de pantalones a 180 soles el ciento y vendí a 24 soles la docena. Si la diferencia entre el número de ciencias y 6 libros de letras o 18 librosde de mujeres y hombres es 80. ganando en el negocio 600 soles. gasté la tercera parte 3 de lo que no gasté. ¿cuántas mujeres letras y 10 libros de ciencias. la cuarta parte de las personas 4 Sobre un estante se pueden colocar 30 libros son hombres. ¿Cuántos cientos de Resolución: pantalones compré? Resolución: Rpta: 2 Rpta: 44 Rpta: En una reunión. 5 es 2 veces más que la cantidad que pagó con monedas de S/. a cada habitante le correspondía 6 En un asamblea todos deben votar a favor o en 60 litros de agua por día. En una reunión se contaban tantos caballeros como 3 veces el número de damas. 2 en 15. Nandito pagó una deuda con monedas de S/. corresponden ahora 2 litros menos por los que votaron en contra ganaron por 20 vo- semana.Raz. ¿Cuál es el valor de la deuda? 45 . 2.5 y S/. ¿En qué relación están los hombres que bailan y las mujeres que no bailan? 9. Se tiene un número impar. 12. se le añade el par de números impares que le anteceden y los tres números pares que son inmediatamente anteriores a dicho número. los que bailan y los que no bailan están en la relación de 2 a 3. ¿Cuántas fichas deben intercambiarse para que ambos adquieran el mismo peso? 11. y ahora por cada dama hay 5 caballeros. en una segunda vuelta se aprobó la moción por una diferencia de 10 votos. y la cantidad de dinero que pagó con monedas de S/. ¿Cuántas damas habían al comienzo? 8. Después llegaron 300 caballeros más y 40 damas más. dando un resultado de 939 unidades. el número de monedas de S/.2. como llegan 40 per- contra de una moción. Halla el número. En una primera rueda. Se tiene un grupo de 84 fichas de 10 gramos cada una y otro grupo de 54 fichas de 25 gramos cada una. Matemático 5 En un pueblo. 10. En una reunión se observa que los hombres y las mujeresestánenlarelaciónde3a5respectivamente.5 excede a las de S/. ¿Cuántas personas hay en el pueblo? tos. sonas. Calcula la suma de cifras del número impar mencionado. ¿Cuántos asambleístas cambiaron de opinión? Resolución: Resolución: Rpta: Rpta: 7. El exceso de 6 veces un número sobre 50 equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el número. Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8. 45 e) S/. 50 6. Tengo cierta cantidad de nuevos soles. ¿Cuántos lapiceros había inicialmente en la caja con menor cantidad? a) 18 b) 28 d) 20 9. Si el triple del dinero que tiene Omar excede en S/. ¿Cuánto tengo? a) 6x . Si cada falda cuesta S/. a) 13 b) 10 d) 3 2.14 e) S/. se le suma los dos números impares que le anteceden y los dos números pares que le preceden. El producto de los dígitos del número par de referencia. Si Nicolás le diera 15 soles a Víctor. 15 más que un polo. a) S/. ¿ganan o pierden? y ¿cuánto? a) Ganan 10 soles b) Pierden 20 soles c) Pierden 10 soles d) Pierden 5 soles e) Ganan 15 soles 11. 25 b) S/. 15 c) 7 e) 8 a) S/. 30 d) S/.9 b) 10x . 37 c) S/. 60 c) 16 e) 15 c) 8x . ¿cuánto más tiene Alex que Omar? a) S/. otro alumno tiene 30 caramelos y los vende a 2 caramelos por 10 soles. Alex y Omar juntos tienen S/.5to Secundaria 1. es: a) 10 b) 14 d) 60 5. 10 b) S/. 12 d) S/. 21 b) S/. Nicolás tiene tres veces más dinero de lo que tiene Víctor.3). Del producto de dos números enteros positivos consecutivos se resta la suma de los mismos y se obtiene 71. 25 d) S/. 80. En dos cajas de lapiceros hay 68 de éstos. Juan dice: “Al contar mi dinero. 16 10. ¿Cuánto tienen entre los dos? c) 145 e) 135 c) 16 e) 12 c) S/. he contado mal porque me confundí contando por 1 sol las monedas que son de 5 soles. ¿Cuánto no llegó a gastar el niño? 8. Pedro paga por 2 polos y 5 faldas un total de 495 soles. En una fiesta los invitados ingresaban de la siguiente manera: un caballero con 2 damas o una dama con tres niños. A cierto número par. Si regalara (2x .6). Si en total hay 220 asistentes y además ingresarontantasdamasconloscaballeroscomodamas con los niños. El número mayor es: 12. obteniéndose en total 630. Entonces. 5 al doble de lo que tiene Alex. Si de la caja con más lapiceros extraemos 14 de éstos y los colocamos dentro de la otra. me quedaría (8x . Los alumnos juntan sus caramelos y los venden a 5 caramelos por 20 soles. halla el número de niños asistentes. ¿cuántos soles cuestan un polo y una falda juntos? a) 120 b) 105 d) 95 4. Un niño le dice a su padre: “de los 140 soles que me diste. 41 3. ¿Cuántas monedas fueron las que conté mal? a) 6 b) 7 d) 9 46 c) S/.9 d) 6x + 3 7. Un alumno tiene 30 caramelos y los vende a 3 caramelos por 10 soles. 31 e) S/.3 e) 9x -10 c) 8 e) 10 a) 120 b) 130 d) 150 a) 200 b) 120 d) 60 c) 140 e) 160 c) 48 e) 240 . logramos que ambas cajas tengan la misma cantidad. gasté 58 soles más de los que no gasté”. así que al final tuve que agregar a ese conteo 240 soles”. entonces tendrían la misma cantidad.