Física del movimiento.Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 1 En todo momento la velocidad de una partícula es tangente a la trayectoria seguida por dicha partícula aunque, su aceleración en general no lo es. En algunos casos resulta conveniente descomponer la aceleración en dos componentes, una en la dirección de la tangente y otra en la normal – perpendicular- a la trayectoria seguida por la partícula en un determinado punto P (vea la figura). Matemáticamente se puede demostrar que: Donde, se llama la componente tangencial de la aceleración, y , es la normal de la misma. La el término , es llamado el radio de curvatura de la trayectoria en ese punto. Componentes radial y transversa: Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 2 En algunos problemas resulta conveniente utilizar las coordenadas polares , en lugar de las componentes rectangulares o cartesianas por tal razón es necesario escribir la velocidad y la aceleración en esas coordenadas. Se puede demostrar que: En las anteriores ecuaciones tienen la siguiente notación: ̇ , ̈ , ̇ , y ̈ . Es decir, la velocidad en coordenadas polares es: ⃗ ̂ ̂ La aceleración en coordenadas polares es: ⃗ [ ( ) ] ̂ ( ) ( )̂ O sea que, sus componentes escalares son: Cuando la trayectoria seguida por la partícula sea una circunferencia, hablamos del movimiento circular (vea la figura siguiente), y en tal caso las componentes de la velocidad y la aceleración son: ⃗ ⃗ Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 3 Donde: es el radio de la circunferencia, el cual es constante. ̇ Es llamada la velocidad angular de la partícula y sus unidades son ⁄ . ̈ Se llama la aceleración angular y se expresa en ⁄ . Además, cuando la aceleración angular sea igual a cero entonces, la velocidad angular es una constante y se dice que el movimiento es circular uniforme – M.C.U.- PROBLEMA 1-13: Proyectiles – Tiro parabólico Una partícula es lanzada con una velocidad inicial hacia un objetivo B, ubicado a pies por encima de cañón A y a una distancia horizontal de pies del mismo. Despreciando la resistencia del aire, calcule el ángulo de tiro para poder dar en dicho blanco. Resuelva el problema cuando . 1 SOLUCIÓN. El tiro parabólico es un movimiento curvilíneo en el cual, cuando la gravedad es constante y se desprecia la resistencia del aire entonces, dicho movimiento ocurre en un sólo plano, es decir, en dos dimensiones. Por esta razón es más sencillo trabajar en coordenadas rectangulares (x, y) -o cartesianas-. Como se trata pues, de un movimiento parabólico, en el cual la gravedad permanece constante y despreciamos la resistencia del aire, dicho movimiento ocurre en un solo plano. Ese plano lo hacemos coincidir con el plano cartesiano –vea la figura siguiente-. 1 1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas = 0.9144 m, 1 pulgada= 0.0254 m., 1 pie = 12 pulgadas = 0.3048 m, 1 milla = 1760 yardas = 5280 pies = 63360 pulgadas = 1609.344 m. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 4 Estos hechos nos permiten descomponer el movimiento del proyectil en dos movimientos independientes. Un M.R.U. horizontal lo largo del eje X, y un M.R.U.A. en la dirección vertical a lo largo del eje Y. Es decir, el movimiento del proyectil sigue una trayectoria parabólica que resuresulta de la superposición de dos movimientos rectilíneos simultaneos y mutuamente perpendiculares, un M.R.U en el eje X, y un M.R.U.A. el eje Y. Consideremos pues, los movimiento horizontal y vertical separadamente: MOVIMIENTO HORIZONTAL (M.R.U.) Descomponemos el vector velocidad inicial ⃗ en sus componentes rectangulares: ( ) . Como el movimiento es rectilíneo y uniforme se tiene: ……………(1). MOVIMIENTO VETICAL (M.R.U.A.) En este caso las ecuaciones del movmiento son: ( ) ( ) …………….(2). ⃗ ⃗ B Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 5 Reemplazando la ecuación (1) en la (2), se obtiene: ( ) De la trigonometría sabemos que: , Reemplazando y simplificando: ( ) = ……….(3) La ecuación (3) corresponde efectivamente a una parábola. Cuando el proyectil alcance el punto B(X,Y), se tiene: . Como en este problema se nos pregunta por el ángulo de tiro , esta última ecuación se pueden escribir así: ………..(4) La ecuación (4) es una ecuación de segundo grado, en la cual: Su solución es: √ . En particular, si , tendremos: Luego: √ { . Vea la figura siguiente. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 6 EL USO DE LAS TIC EN EL APRENDIZAJE DE LA FÍSICA Actividad: Simulaciones + hoja de cálculo –Excel-. 1. Resuelva el problema anterior utilizando la hoja de cálculo. 2. Consulte las páginas PhET de la universidad de Colorado y, Física con ordenador de la Universidad del País Vasco, utilice estas simulaciones para verificar que dicho problema está bien resuelto. http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_es.html http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm PROBLEMA 1-14 Un carro viaja a a lo largo de una sección curva cuyo radio es de . Se aplican los frenos y el carro disminuye su velocidad a razón constante, sabiendo que .más tarde la velocidad es de , determine la aceleración del carro justo en el momento en el cual se aplicaron los frenos. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 7 La dirección de la aceleración se calcula así: . Vea la figura . Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 8 PROBLEMA 1-15 Se lanza un proyectil desde el borde de un acantilado de 150 metros de profundidad con una velocidad inicial de 180 m/s, formando un ángulo de con la horizontal, despreciando la resistencia del aire calcule: (a) el alcanca, (b) la altura máxima alcanzada por el proyectil. Como se ilustra en la figura siguiente, en este tipo de problemas consideraremos los movimiento horizonta (eje X) y vertical (eje Y) por separado. MOVIMIENTO VERTICAL Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 9 MOVIMIENTO HORIZONTAL Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 10 Demostrar que la altura máxima se calcula así: . PROBLEMA 1-16 Cuando la jugadora hace el lanzamiento se encuentra a 16 ft del t blero. Sabiendo que el balón sale con una velocidad inicial , formando un ángulo de como se muestra en la figura, calcule la rapidez inicial del balón cuando: (a) , . SOLUCIÓN No olvide la estrategia con los problemas de movimiento parabólico: Nuevamente estudiamos por separado las movimientos horizontal y vertical. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 11 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 12 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 13 PROBLEMA 1-17 Determine la velocidad máxima de los carros de la montaña rusa al pasar por el tramo circular AB de la pista, sabiendo que la aceleración normal no puede ser mayor que tres veces la gravedad. SOLUCIÓN Sabemos que: …………………… . Para el arco de circunferencia AB se tiene que: ( ) Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 14 PROBLEMA 1-18 Una pista de atletismo tiene un diámetro de 420 ft. Un corredor aumenta su velocidad a ritmo constante desde los hasta los recorriendo una distancia de 95 ft. Hallar (a) la aceleración del corredor 2 seg. después de haber comenzado a aumentar su velocidad, (b) aceleración angular, velocidad angular y posición angular 2 seg después de haber comenzado a aumentar su velocidad. SOLUCIÓN. (a) La aceleración del corredor es: Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 15 (b) Aceleración angular, velocidad angular y posición angular: Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 16 U.2 Dinámica de la partícula: Las leyes del movimiento de Newton. Sir Issac Newton (Woolsthorpe, Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727). Físico inglés, hijo póstumo y prematuro, su madre preparó para él un destino de granjero; pero finalmente se convenció del talento del muchacho y le envió a la Universidad de Cambridge, en donde hubo de trabajar para pagarse los estudios. Allí Newton no destacó especialmente, pero asimiló los conocimientos y los principios científicos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon, Descartes, Kepler y otros. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 17 PROBLEMAS RESUELTOS. PROBLEM 2.1 Para el sistema mostrado en la figura, utilice la segunda ley del movimiento para determinar: (a) la aceleración de los bloques, (b) la tensión en la cuerda. Considere que la polea y la cuerda son ideales. (c) Resuelva el problema suponiendo que, y SOLUCIÓN Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 18 Marzo de 2013 SEMANA 7. CLASE 14. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 19 PROBLEM 2.2 Los bloques mostrados en la figura parten del reposo. La superficie horizontal es muy pulida y, tanto la cuerda como polea son ideales. Determinar: (a) la aceleración de los bloques, (b) la tensión en la cuerda. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 20 PROBLEMA 2.3 El péndulo de la figura tiene una longitud de y describe un arco de circunferencia en un plano vertical. Si la tensión en la cuerda es veces el peso del cuerpo, para la posición mostrada en la figura encuentre la velocidad y la aceleración. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 21 SOLUCIÓN. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 22 PROBLEMA 2.4 Determine la velocidad máxima a la que puede viajar un carro a lo largo de una curva peraltada a , sabiendo que el radio de curvatura es . Nota: la velocidad máxima en una curva peraltada es aquella velocidad a la cual el carro puede circular sin que se presente fricción lateral entre la vía y los neumáticos. SOLUCIÓN Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 23 NOTA: El valor de ángulo para tener un peralte óptimo en un vía bien diseñada es: . PROBLEM 2.5 Un bloque de 200 lbs se encuentra en reposo sobre un plano horizontal. Encuentre la magnitud de la fuerza ⃗ necesaria para imprimirle una aceleración de sabiendo que el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y el plano es de . SOLUCIÓN OJO CON LAS UNIDADES SI (M-K-S) US (ft-lb-s) Long: 0.3048 m 1ft Masa: 14.59 kg Fuerza: 4.448 N 1 lb La masa del bloque es: . La fuerza de fricción o de rozamiento se define como: ⃗ ⃗ , donde ⃗ es la fuerza normal entre el plano y el bloque. El diagrama de cuerpo libre para el bloque es: Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 24 Las ecuaciones del movimiento -aplicamos la segunda ley de Newton en coordenadas cartesianas- son: + ∑ : . O sea: (1) ∑ . (2) Remplazando (2) en (1) : Despejando se obtiene que: Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 25 PROBLEMA 2.6 Los bloques mostrados en la figura se encuentran inicialmente en reposo. Suponiendo que no hay fricción y que la cuerda y las poleas son ideales, calcule: (a) las aceleraciones de los bloques, (b) la tensión en la cuerda. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 26 PROBLEMA 2.7 Resuelva el problema anterior suponiendo que hay fricción entre el bloque A y el plano, y que sus coeficientes son: . Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 27 PROBLEMA 2.8 El bloque de la figura tiene 20 Kg y se encuentra en reposo sobre un plano inclinado, cuando se le aplica una fuerza ⃗ . Determine la magnitud de dicha fuerza si se requieren 10 seg para que avance 5 m hacia arriba y, los coeficientes de fricción estático y cinético son ambos iguales a 0.3 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 28 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 29 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 30 Marzo de 2013 PROBLEMA 2-9 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 31 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 32 MARZO DE 2013-SEMANA 8-CLASE 16 ¡ ! PROBLEMA 2-10 (Marzo-2013). Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 33 PROBLEM 2-11 (Sept. 27-2012) Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 34 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 35 PROBLEMA 2-12 (Sept. 27 – 2012) Usted está bajando dos cajas, una encima de la otra, por la rampa que se muestra en la figura, tirando de una cuerda paralela a la superficie de la rampa. Ambas cajas se mueven juntas a rapidez constante de 15.0 cm/s. El coeficiente de fricción cinético entre la rampa y la caja inferior es 0.444, en tanto que el coeficiente de fricción estático entre ambas cajas es de 0.800. a) ¿Qué fuerza deberá ejercer para lograr esto? b) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza de fricción sobre la caja superior? SOLUCIÓN Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 36 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 37 PROBLEMA 2-12 (Sept. 27-2012) Los bloques A, B y C se colocan como en la figura y se conectan con cuerdas ideales. Tanto A como B pesan 25.0 N cada uno, y el coeficiente de fricción cinética entre cada bloque y la superficie es de 0.35. El bloque C desciende con velocidad constante. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas que actúan sobre A, y otro para B. b) Calcule la tensión en la cuerda que une los bloques A y B. c) ¿Cuánto pesa el bloque C? d) Si se cortara la cuerda que une A y B, ¿qué aceleración tendría C? OJO…..Vea la parte A en la página 37, para la parte B regrese a la página 36. Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 38 Física del movimiento. Semestre 01-2013 orlando cárdenas estrada http://fisica-y-mundo-de-la-vida.webnode.es - 39 Despejando la aceleración de esta última ecuación se obtiene: . Remplazando los valores se obtiene: Les agradezco las sugerencias y correcciones.
[email protected] 1.