PresentaciónEl Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes. El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él. Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas. Juan Carlos Dianderas Gerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer Libro aritmética.indb 3 15/09/2014 02:08:50 p.m. ÍNDICE Aritmética ●● Promedio................................................................ 7 ●● Mezcla..................................................................... 10 ●● Porcentajes............................................................. 13 ●● Interés..................................................................... 16 ●● Descuento.............................................................. 18 ●● Estadística.............................................................. 21 ●● Estadística II.......................................................... 25 ●● Repaso.................................................................... 29 ÁLGEBRA ●● Función inversa..................................................... 33 ●● Programación lineal I........................................... 36 ●● Programación lineal II......................................... 39 ●● Matrices I............................................................... 43 ●● Matrices II.............................................................. 47 ●● Determinantes....................................................... 51 ●● Matriz inversa........................................................ 54 ●● Repaso.................................................................... 57 GEOMETRÍA ●● Prisma y tronco de prisma................................... 61 ●● Pirámide, cono y tronco de cono........................ 72 ●● Tronco de pirámide y esfera................................ 75 ●● Figuras de revolución y teorema de Pappus...... 79 ●● Geometría analítica.............................................. 83 ●● Circunferencia y parábola.................................... 87 ●● La elipse.................................................................. 91 ●● Repaso.................................................................... 96 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ●● Psicotécnico........................................................... 101 ●● Operaciones matemáticas arbitrarias.................105 ●● Área de regiones sombreadas..............................108 ●● Orden de información..........................................113 ●● Cronometría..........................................................117 ●● Ángulo formado por las manecillas de un reloj 119 ●● Suficiencia de datos...............................................122 ●● Repaso....................................................................125 TRIGONOMETRÍA ●● Resolución de triángulos oblicuángulos I (Senos y proyecciones).........................................................129 Libro aritmética.indb 4 5.° Año ●● Resolución de triángulos oblicuángulos II (Cosenos y Tangentes)......................................... 132 ●● Ecuación trigonométrica.....................................135 ●● Solución general de una ecuación trigonométrica....................................................... 137 ●● Funciones inversas I.............................................139 ●● Funciones inversas II............................................141 ●● Funciones trigonométricas (seno y coseno)...................................................... 143 ●● Repaso....................................................................146 FÍSICA ●● Electrodinámica....................................................151 ●● Circuitos eléctricos...............................................155 ●● Magnetismo...........................................................160 ●● Fuerza magnética..................................................165 ●● Inducción electromágnética................................169 ●● Ondas electromágnéticas.....................................175 ●● Física moderna......................................................182 ●● Repaso....................................................................188 química ●● Electroquímica......................................................193 ●● Química orgánica (Propiedades del átomo de carbono)............................................................ 196 ●● Hidrocarburos.......................................................202 ●● Hidrocarburos cíclicos y compuestos aromáticos........................................ 209 ●● Compuestos oxigenados I (Alcoholes-Aldehidos-Cetonas)......................... 216 ●● Compuestos oxigenados II (Ácidos carboxílicos - Éteres - Ésteres).............. 222 ●● Compuestos nitrogenados...................................227 ●● Repaso....................................................................231 biología ●● Sistema circulatorio comparado.........................237 ●● Sistema excretor comparado...............................243 ●● Sistema reproductor.............................................250 ●● Sistema endocrino................................................259 ●● Sistema nervioso...................................................267 ●● Sistema sensorial...................................................275 ●● Ecología..................................................................283 ●● Repaso....................................................................289 15/09/2014 02:08:51 p.m. indb 5 15/09/2014 02:08:53 p.m. .Aritmética Libro aritmética. .indb 6 15/09/2014 02:08:53 p.Libro aritmética.m. Notas Peso n1 P1 n2 P2 n3 P3 Menor cantidad < promedio < mayor cantidad Se tiene a1..1 Promedio Promedio ponderado Si se tienen dos o más cantidades.º de cantidades PA = Pp = D..... ma > mg > mh a1 + a2 + a3 + . a3. ...° Libro aritmética. Para tres cantidades (a.. Para dos cantidades (a y b) solamente: 2ab a+b mh = ma = mg = a × b a+b 2 C.. an. . «n» cantidades. + Pn A. × an 4(a–b)2 = ma2 × mg2 Promedio armónico = media armónica PH = N.º de cantidades Suma de las inversas de las cantidades Advertencia pre PH = 5.º de cantidades n1P1 + n2P2 +.m.. Para dos cantidades (a y b) solamente: a1 × a2 × a3 . no todas iguales entonces el promedio de un valor de tendencia central siempre se encuentra entre la mayor y la menor de las cantidades.indb 7 AÑO n Recuerda el tema de promedio es evaluado en los exámenes de admisión de las diferentes universidades. + a a1 a2 n 7 ARITMÉTICA 1 15/09/2014 02:08:53 p.. a2. b y c) solamente: 3abc a+b+c mh = ma = mg = abc ab+ac+bc 3 Promedio geométrico = media geométrica PG = P1 + P2 + P3 + .. + an n N. nn Promedio aritmético = media aritmética = Promedio PG = n Pn B. Para dos cantidades (a y b) solamente: Producto de cantidades ma×mh=mg2 E. 1 1 1 + + .. + nnPn Propiedades Suma de cantidades PA = N. 15).m. 81. la producción media por día es: 7. calcula el producto de dichos números. que tienen media aritmética 20... Si la media aritmética de 53 números es 300 y la media aritmética de otros 47 números es 100. Las calificaciones del alumno Pedro en el curso de aritmética son 12.30. Si dichas empresas producen 500.333). 600 y 1000 camisas diarias respectivamente. Resolución: n 2×4×8×16×. Si A = M. La media armónica de 20 números es 12 y la de otros 30 números es 15. 8. Calcula «n».. ¿en cuánto aumenta la media aritmética de los restantes? 6. 8. 3n es 729. . 4.A. Si la media aritmética de dos números es 8 y la media armónica de los mismos es 2. Igualando exponentes n+1 =5 2 10. 11.PROMEDIO Trabajando en clase Integral uNmSm 1. Calcula «n». calcula la media armónica de los 50 números. La media aritmética de 40 números es 74.. calcula la media aritmética de los 100.33.. . 3. 4 y 8. Calcula el promedio aritmético de dichos números. uNI 12. 4 ( a⋅b⋅c⋅d )4 = (3 3 )4 a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = 34 . Resolución: Piden: x = a+b+c+d 4 4 a⋅b⋅c⋅d = 3 3 Elevando la potencia 4 2. . B = Media geométrica de 2.×2n = 32 n 21+2+3+4+. si el promedio geométrico de los números 5x. 5 y 3.. 16.+n = 32 n 2 2 n(n+1) 2 n+1 2 Reconociendo valores a = 1. 1 ARITMÉTICA Libro aritmética. n + 1 = 10 n=9 5. Calcula el promedio. El promedio geométrico de 4 números enteros y diferentes es 3 3 . Si se quitan 4 de ellos. (45. calcula A + B + C.(3.indb 8 8 5. 9. 12 y 4.° AÑO 15/09/2014 02:08:53 p. Calcula el valor de «x». 32 a⋅b⋅c⋅d = 36 Acomodando los factores a⋅b⋅c⋅d = 3⋅32⋅33 a⋅b⋅c⋅d = 1 × 3 × 32 × 33 PuCP 4.×2n = 32 n 21×23×23×24×.. 9 y 15 y los pesos respectivos de dichas notas son 4. b = 3.. 2n es 32. Calcula el promedio aritmético de dichos números. El promedio geométrico de los números 2. d = 27 Finalmente x = 1+3+9+7 4 x = 20 4 = 32 x=5 = 25 9.H. El promedio geométrico de los números 3.... 52x y 53x es 625. Para la producción de camisas para exportación se distribuyó la confección entre 3 empresas en cantidades proporcionales a 6. C = M. El promedio geométrico de 4 números enteros y diferentes es 5 5 . 27. c = 9.. 14. 2.1 C1 = 3k. C3 = 2k El tiempo que demora cada empresa estará dado por: Nro. Calcula el promedio de los perímetros de los «a» cuadrados. días = Cantidad a realizar Producción diaria t1 = C1 ⇒ t1 = 3k 500 500 C t2 = 2 ⇒ t2 = 6k 600 600 C t3 = 3 ⇒ t1 = 2k 1000 1000 13. Si a cada uno de los lados de «a» cuadrados iguales se les disminuye en dos centímetros la suma de sus áreas disminuye en 20a cm2. respectivamente.PROMEDIO Resolución: C1.indb 9 AÑO 9 ARITMÉTICA 1 15/09/2014 02:08:53 p. . C2. C2 = 6k. Un aeroplano que vuela alrededor de un circuito que tiene forma cuadrada emplea velocidades constantes en cada lado. PMD: Sea la producción media diaria. y la velocidad media del aeroplano en su recorrido total es de 192 km/h. C3: Sean las cantidades distribuidas. C 1 = C2 = C3 = k 6 12 4 Reemplazando valores: 3k + 6k + 2k 3k PDM = + 6k + 2k 500 600 1000 Simplificando C1 = C 2 = C 3 = k 3 6 2 Resolviendo: PDM = 611. si dichas velocidades están en relación con los números 1. Finalmente: PDM = Producción total Total de días C1 + C2 + C3 PDM = t1 + t2 + t3 5.° Libro aritmética. 3 y 4.m. Calcula el tercer lado en km/h. ) Si 100 kg cuestan S/. Pn b ARITMÉTICA Libro aritmética.. uno en común para ellos. Segundo caso Conceptualmente hablando.° AÑO 15/09/2014 02:08:53 p. . C2. Cn Precios unitarios: P1.. tratando de obtener de varios precios diferentes.. Comúnmente se presentan dos casos conocidos en la regla de la mezcla. resultando en total 128 litros o 32 nuevos soles el litro.2064 soles 1 kg costará: 2064 = S/.. + Cn Costo total Es decir: P = Cantidad total 2 a × 43 + b × 27 a+b 32a + 32b = 43a + 27b → 5b = 11a Costo parcial (S/.20. b = 88 litros 5.27 I. Ejemplo: Se mezcla un vino de 43 nuevos soles el litro.m. ¿Qué cantidad se tomó de cada uno? Resolución: «a» litros de S/.64 100 P= C1 × P1 + C2 × P2 C1 + C2 Finalmente: 10 a = 40 litros.. Consiste en hallar las cantidades de cada ingrediente. aunque comercialmente se puede afirmar que mezcla es el procedimiento que tiene por finalidad reunir artículos o sustancias de una misma especie.indb 10 → 27 32 Relación ↓ 32 – 27 = 5 43 – 32 = 11 Se cumple: a = 5 → a+b = 5+11 → 128 = 16 b 11 a 5 a 5 C1 × P1 + C2 × P2 + ..43 por dato: a + b = 128 «b» litros de S/. + Cn × Pn C1 + C2 + .) 15 12 30 Se sabe que: P = Reemplazamos: 32 = Por lo tanto: 540 264 1260 2064 a + b = 128 → a + 11a = 128 → 16a = 128 5 5 a = 40 litros.2 Mezcla II.. . b = 88 litros método del aspa Cantidad Precio unitario a 42 → En general: Cantidades: C1. Primer paso Consiste en determinar el precio medio de la mezcla.. se denomina mezcla a la unión íntima de varias sustancias. conociendo el precio medio. .. con otro de 27 nuevos soles el litro. los precios unitarios y la cantidad total. conociendo los precios unitarios (calidades) y las proporciones (cantidades) de cada uno de los ingredientes Ejemplo: ¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta de combinar 36 kg de té a 15 nuevos soles el kg con 22 kg de té a 12 nuevos soles el kg y con 42 kg de té a 30 nuevos soles el kg? Resolución: Cantidad (kg) 36 22 42 100 kg Precio unitario (S/. P2.. Se tiene diferentes volúmenes de alcohol.2. tendrá 100º. gM= (V1×g1)+ (V2×g2)+ (V2×g2)+... ¿cuál será el grado de la mezcla? 11 ARITMÉTICA 2 15/09/2014 02:08:53 p...20 el kg con 30 kilos de otro tipo de café de S/. Si el Sr. . generalmente agua. ¿Cuál es el costo de 25 kg de esta mezcla? A + B = 60 Multiplicando la columna de los precios por 10. del primero se tiene 20 kg a S/. Pizarro vierte en un recipiente 20 litros de alcohol de 82º. significa que el 90% es alcohol y el resto otra sustancia diluyente. Se mezclan 25 litros de alcohol de 20º con 35 litros de 40º y 40 litros 60º. Por ejemplo: Un alcohol de 90º. V3. el grado de pureza de la mezcla se determinará de la siguiente manera: La pureza o concentración de un alcohol se mide en grados que equivalen al porcentaje del alcohol presente en la mezcla.20 y S/.indb 11 uNmSm 8. ¿A qué precio debe venderse el kg de la mezcla para ganar el 20%? Precio 1..2.m.20 el kg. significa que el 75% es alcohol puro (al igual que el anterior caso) y el resto agua.. siendo el resto otra sustancia.2 el kilo.3 el kg. 4 y 5 y cuyos precios por kilo son S/. Se mezcla 3 ingredientes en cantidades que están en la relación de 1. V2.+ (V2×g2) V1 + V2 + V3 + . Se quieren obtener 70 kg de azúcar de S/. g3. Una mezcla alcohólica de 75º.8 el kilo y de S/.3 1.).1.3.3 el kilo.7 el kg y del segundo.).. ¿Cuántos litros de alcohol al 80% se deben añadir a 30 litros de alcohol al 60% para obtener una mezcla de alcohol al 75%? 5.MEZCLA mezclas alcohólicas Una mezcla de alcohol puro.2 el kilo y de S/.1.1. ¿qué cantidades se debe usar de cada uno? PuCP 4. ¿Cuál será el grado medio de la mezcla? 3. + Vn Nota: El agua tiene grado de alcohol igual a cero. Un comerciante mezcla dos tipos de frijoles. Se mezclan 15 kilos de café de S/. ¿Cuál será el precio medio de la mezcla? Reemplazando 5A + 13(60) = 900 5A + 780 = 900 5A = 120 A = 24 ⇒ B = 36 2.. (V1.° AÑO Libro aritmética.13 respectivamente. Trabajando en clase Integral 18A + 13B = 60(15) 18A + 13B = 900 5A + 13A + 13B = 900 5A + 13(A + B) = 900 1. Kilos Precio A 18 B 13 60 15 5. S/.5 el kilo mezclando cantidades convenientes de S/. 30 kg a S/. . con diferentes grados de pureza (g1 g2.8 1. . ¿qué cantidades se debe usar de cada uno? Resolución: Kilos A B 60 6.15. 30 litros de alcohol puro y 15 litros de agua.5 7. Se quieren obtener 60 kg de azúcar de S/.6 el kilo mezclando cantidades convenientes de S/. generalmente agua. Se tiene dos mezclas alcohólicas de 50% y 80%. 5 litros de alcohol de 24º y así sucesivamente hasta lo máximo posible. 20 litros de alcohol puro y 50 litros de agua. ¿Cuál será el grado del alcohol que resulta de mezclar los contenidos restantes? 2 ARITMÉTICA Libro aritmética. De la primera se toma los dos quintos y se mezcla con la mitad de la segunda. Resolución: Litros Grado 1 8 2 12 3 16 4 20 5 24 . 3 litros de alcohol de 16º. 3 litros de alcohol de 20º.indb 12 12 5. Se mezcla alcohol de 45º. . 4 litros de alcohol de 20º. . 13. 4 litros de alcohol de 25º.+ 24×100=300x 4(1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + . . Se mezcla 1 litro de alcohol de 10º. Si Mario vierte en un recipiente 30 litros de alcohol de 50º. + 24×25) = 300x 24 × 25 × 26 = 300x 4 3 9. ¿cuál será el grado de la mezcla? Resolviendo: x = 69. Se intercambian «a» litros de tal forma que cada una contiene b% de alcohol. 2 litros de alcohol de 15º. .MEZCLA uNI Resolución: Litros 20 30 15 65 12. Calcula el grado medio resultante.° AÑO 15/09/2014 02:08:53 p. . 3 y «x». 11. . 2 litros de alcohol de 12º.. 5 litros de alcohol de 30º y así sucesivamente hasta lo máximo posible.333.. Calcula «x» si se sabe que la mezcla es del mismo grado que uno de los tres ingredientes.. Se mezcla 1 litro de alcohol de 8º. 14...m. 100 x Grado 45 100 0 x Simplificando la columna de los litros entre 5 Litros 4 6 3 13 Grado 45 100 0 x 4(45) + 6(100) + 3(0) = 13x 180 + 600 = 13x 780 = 13x 60 = x 1×8 + 2×12 + 3×16 + 4×20 +. alcohol de 60º y alcohol de 90º en la proporción de 2.. Se tienen dos mezclas alcohólicas. una de 80 litros al 30% de alcohol y otra de 20 litros al 40%. Calcula el grado medio resultante. Calcula a + b. obteniéndose una mezcla de 60%. 10. f. Descuentos sucesivos Se denomina tanto por ciento al número de partes que se consideran de las 100 partes iguales en que ha sido dividida una cantidad. d. En general: a por ciento de N = a% de N = Para dos descuentos de a% y b%. Ganancia (G): Es la diferencia que se obtiene cuando la venta es mayor que el costo. Parte de un total como tanto por ciento En general ¿Qué tanto por ciento de a es b? ↓ ↓ total parte A(único) = (a + b)+ a×b 100 Ejemplo: Aumento único de 20% y 30% 20 ⋅ 30 A(único) = (20 + 30) + 100 Parte ⋅ 100% = b ⋅ 100% a Total = 50 + 6 = 56% Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento de 60 es 15? C.indb 13 En general Si hay ganancia Pv = Pc + G 13 Si hay pérdida Pv = Pc – P ARITMÉTICA 3 15/09/2014 02:08:54 p. Precio fijado (Pf): Es el valor inicial que obtiene el comerciante. Precio de venta (Pv): Es lo que el cliente paga.3 Porcentajes tanto por ciento Aplicaciones del tanto por ciento A. N = 100%N Ejemplo: 32%N + 48%N = 80%N A + 25%A = 125%A x – 30%x = 70%x 40%B + 2B – 70%B = 170%B 5. Aplicaciones comerciales Elementos a.m. .° AÑO Libro aritmética. c. D(único) = (a + b)– a ⋅N 100 Ejemplo: Descuento único de 20% y 30% 20 ⋅ 30 D(único) = (20 + 30) – 100 Ejemplo: 30 30% de 600 = 600 = 180 100 a×b 100 = 50 – 6 = 44% 20% del 40% del 80% de 5000 = 20 40 80 ⋅ ⋅ ⋅ 5000 = 320 100 100 100 B. Precio de costo (Pc): Es lo que el comerciante invierte. Aumentos sucesivos Para dos aumentos de a% y b%. 15 ⋅ 100% = 25% 60 Operaciones con porcentajes Importante Toda cantidad representa el 100% de la misma. Pérdida (P): Es la diferencia que se obtiene cuando la venta es menor que el costo. Descuento (D): Es la rebaja que se obtiene al comprar una mercadería. b. e. el 42% son varones y el 50% de los varones tiene más de 30 años. Si 800 disminuye en su 30%. .indb 14 50 42 ⋅ = 168 100 100 800 ⋅ 14 5.° AÑO 15/09/2014 02:08:54 p. ¿cuál es la nueva cantidad? 6. ¿cuál es la nueva cantidad? Resolución: 9. ¿En qué porcentaje varía su área? varones 3.m. GN: Ganancia neta Se cumple: Si hay descuento: Pv = PF – D Pv = Pc + GB GB = GN + Gastos Nota: Generalmente el descuento se represen- ta como un tanto por ciento del precio fijado. Si el largo de un rectángulo aumenta en 20% y su ancho disminuye en 30%. el 45% son patos y el resto gallinas. el 40% son varones y el 30% de estos son solteros. Si se venden la mitad de los pollos. ¿Qué porcentaje del nuevo total son patos? 7. ¿cuál debe ser el precio del artículo para seguir ganando el mismo porcentaje? 5.4000 se vendió con una ganancia del 20%. Trabajando en clase Integral uNmSm 1. Si el 40% del 50% de un número es 800. Un artículo que costó S/. Calcula el precio de venta. el 30% de los animales son pollos. De ellas. En una granja. 4. Si 360 disminuye en su 25%. Una empresa de informática emplea a 800 personas. Si por efecto de la inflación el costo ha aumentado en 10%. ¿Cuántos varones de esta empresa son mayores de 30 años? Resolución: 2. ¿Cuál es el 10% del 20% de dicho número? 8.360 ganándose el 20% del costo. ¿Qué porcentaje del precio de venta se gana si el precio de costo es S/.360 y el precio de venta S/. mayores de 30 años PuCP ∴ hay 168 varones mayores de 30 años. Si A es el 150% de B ¿qué tanto por ciento de B es A + B? 11. 4/9 de los patos y 3/5 de las gallinas.400? 3 ARITMÉTICA Libro aritmética. Una fábrica de embutidos emplea a 600 personas.PORCENTAJES Sea: GB: Ganancia bruta Nota: Generalmente las ganancias o pérdidas se representan como un tanto por ciento del precio de costo. De ellos. Un artículo se vende en S/. ¿Cuántos varones casados hay en la fábrica? 3 75 3 90 ⋅ 360 = ⋅ 360 = 270 100 4 1 4 10. La venta le ocasionó un gasto del 20% de la ganancia bruta. Un comerciante compró corbatas a S/. 12.80 cada una y las vendió con una ganancia neta de S/. Si por todo obtuvo S/. Calcula «n». .m. Un número disminuido sucesivamente en dos porcentajes iguales a n%.510. La venta le ocasionó un gasto del 15% de la ganancia bruta.3800.120 cada una y las vendió con una ganancia neta de S/.4600.indb 15 15 ARITMÉTICA 3 15/09/2014 02:08:54 p. Un comerciante compró camisas a S/. para luego aumentarlo en 30% del valor alcanzado.PORCENTAJES 13. resultando finalmente un aumento porcentual de 5.800.3%. Si por todo obtuvo S/.° AÑO Libro aritmética. ¿cuántas camisas compró? uNI 14. ¿cuántas corbatas compró? Resolución: Sean «n» corbatas compradas: Gneta + gastos = Gbruta ⇒ GB = 600 510 + 15%GB = 6B Pc + G = Pv ↓ 80⋅n + 600 = 3800 → n = 40 5. depositar o alquilar por un determinado periodo de tiempo. Es la ganancia.4 Interés Definición E. Capital (C) Es la suma de dinero o bien material que se va a prestar. Se calcula: I = C×r%×T B. beneficio o utilidad que produce o genera el capital al cabo de cierto tiempo y bajo ciertas condiciones previamente establecidas. Para T = años I= C×r×T 100 I= C×r×T 1200 I= C×r×T 36 000 C. . Interés (I) No olvides que el tiempo y la tasa de interés deben estar expresados en la misma unidad temporal.m. Para T = meses Equivalencias 1. 4 ARITMÉTICA Libro aritmética. Tiempo (T) Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer el capital. Elementos A.° AÑO 15/09/2014 02:08:54 p.indb 16 Para T = días 16 5. Interés simple Es cuando el interés o ganancia que genera el capital de préstamo no se acumula al capital sino hasta el final de todo el proceso de préstamo. ejemplos: 5% mensual <> 60% anual 2% bimestral <> 12% anual 3% semestral <> 6% anual 6% trimestral <> 24% anual 4% cuatrimestral<> 12% anual Advertencia pre D. Tasas. Comerciales de tiempo 1 mes comercial < > 30 días 1 año comercial < > 360 días 2. Monto (M) Es el acumulado de capital con el interés generado. Tasa de interés (%) Nos indica qué tanto por ciento del capital se va a generar al cabo de cierto periodo de tiempo ya especificado. M=C+I Es un procedimiento aritmético que nos permite obtener la ganancia (interés) generada a partir de cierta suma de dinero bajo ciertas condiciones financieras o comerciales. 1100. El Sr.5000 impuesto durante 3 años al 20%. ¿Qué cantidad fue impuesta al 4%? 1.5400 prestado al 18% anual durante 3 años y 4 meses? Resolución: C×r×T I= 1200 I= uNI 12. . Calcula la tasa de interés anual. ¿A qué tasa de interés la suma de S/. Los 2/5 de un capital han sido impuesto al 30% y el resto al 40% si el interés tota anual de S/. Determina el tiempo al que fue impuesto un capital a una tasa de 60%.6000.20 000 llegará a un monto de S/. sabiendo que el capital.m. Calcula el interés producido por S/. 14.6000 5. ¿Qué interés producirá un capital de S/. PuCP 4. interés y monto más capital forman una proporción geométrica continua. C + I = I+M+C ⇒ M = 2M I M+C M+C I M + C = 2I ↓ C + I + C = 2I 2C = I 7. Determina el tiempo al que fue impuesto un capital a una tasa de 30%. ¿Qué interés producirá un capital de S/. calcula el capital. si se hubiera prestado por 2 años. Lopez Meneses impone los 3/8 de su capital al 5% y el resto al 8%. sabiendo que el capital. ¿En cuánto se convertirán S/. el monto sería S/.5500.8000 al 25% anual en 9 meses? 3. ¿Al cabo de cuánto tiempo un capital sujeto al 60% se cuadruplicará? 11.28 000 colocada a interés simple de 1 año y 4 meses? 2. 10.2790. Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual si los intereses producidos alcanzan al 48% del capital? Nos piden 3k → 3(2000) = S/. El monto de un capital durante 1 año y 3 meses es S/.INTERÉS Trabajando en clase Integral 9.3240 C= I I M+C 5.2250 y durante 2 años y 9 meses es S/. resultando en total un interés anual de S/. donde la media proporcional es el interés.° AÑO Libro aritmética. donde la media proporcional es el interés.8500 prestados al 15% anual durante 4 años 2 meses? Aplicando propiedad 6. ¿cuál fue la tasa? ∴ C = C⋅60⋅x → x = 40 meses 1200 uNmSm 8. Torres impone los 4/7 de su capital al 4% y el resto al 5% y resulta un interés anual de S/. Se prestó un capital por 1 año y el monto fue S/.indb 17 17 ARITMÉTICA 4 15/09/2014 02:08:54 p. Resolución: 5400⋅18⋅40 1200 I = S/.9300. interés y monto más capital forman una proporción geométrica continua.3600. ¿Qué cantidad fue impuesta al 5%? Resolución: Sea el capital: 8k 3k⋅5⋅1 5k⋅8⋅1 + = 1100 1000 1000 15k 40k + = 1100 → k = 2000 100 100 13. Valor actual (Va) Llamado también valor efectivo. para T: meses DC = Vn ⋅ r ⋅ t 36 000 para T: días Llamado también descuento interno o matemático. Descuento racional (DR) 5. t 2. Es el periodo desde el momento en que se cancela la deuda hasta la fecha de vencimiento. en el que una persona (deudor) se compromete a pagarle a otra persona (acreedor) un dinero en una determinada fecha (fecha de vencimiento). cuando es pagado con anticipación a su vencimiento. Descuento comercial (Dc) Llamado también descuento extremo o abusivo.° AÑO 15/09/2014 02:08:54 p. 5 ARITMÉTICA Libro aritmética.m. Fórmulas: 3. DR r% letra de cambio Vn VaR Va Va DC = Vn ⋅ r ⋅ t 1200 2. se calcula respecto al valor actual (Va). Letra de cambio o pagaré Dc r% Es un documento comercial. Valor nominal (Vn) DC = Vn ⋅ r ⋅ t para T: años 100 Es la cantidad de dinero que está escrita y especificada en la letra de cambio.indb 18 18 DR = VaR ⋅ r ⋅ t 100 para T: años DR = VaR ⋅ r ⋅ t 1200 para T: meses 5. . Tiempo de descuento (T) D t Vn Vac t r% DR = Vn – VaR Tenemos: D = Vn – Va Fórmulas: Clases de descuento 1. el deudor debe pagar esta cantidad en la fecha de vencimiento. es el que se calcula respecto al valor nominal (Vn). es el valor que toma la letra de cambio al momento de ser cancelada.5 Descuento Elementos 1. 4. Descuento (D) Dc = Vn – Vac Es la rebaja que se le hace a la letra de cambio. uNmSm 3.3982? 2.270 es de S/.675 1200 5. Calcula el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. los descuentos comercial y racional serían de 500 y 460 soles. Calcula el valor nominal de una letra. Calcula el descuento racional si su valor actual racional es S/.100 es S/.5174. 7.DESCUENTO DR = VaR ⋅ r ⋅ t 36 000 para T: días Propiedades Relaciona los descuentos para una sola letra de cambio.4000 que al 4% se ha reducido a S/.6000.7200 al 4% si faltan 5 meses para su vencimiento. ¿Cuánto sería su valor actual racional? Integral 1. La diferencia entre el descuento comercial y racional de una letra de S/.6825 AÑO R 810 = DC ⋅ DR ↓ ↓ 30 27 DC = 7500 ⋅ 9 ⋅ 2 ⋅ 6 = S/. si esta letra se cancelara 6 meses antes de su vencimiento al 9% semestral de descuento. ¿cuál sería su valor actual? Libro aritmética.5. si esta letra se cancelara 5 meses antes de su vencimiento al 4% mensual de descuento racional.12 000 si esta letra se cancelara 3 meses antes de su vencimiento al 5% cuatrimestral de descuento. si faltan 8 días para su vencimiento. Vn > Va Dc ⇒ DR Vac < VaR VaR – Vac = Dc – DR DC – DR = Vn = DR = DR ⋅ r ⋅ T 100 DC ⋅ DR Dc –DR ⇒ Importante Vn ⋅ r ⋅ T 100+r⋅t Trabajando en clase 6. Se firmó una letra de S/.27 675 = 7500 – Va ∴Va = S/.m. descontada al 6% por 30 días. sabiendo que si se descontara en este momento.indb 19 DC ⋅ DR DR = S/.3. 19 ARITMÉTICA 5 15/09/2014 02:08:54 p. La diferencia entre el descuento comercial y racional de una letra de S/. . 8. ¿Cuál es el descuento racional? Resolución: Datos Vn = 270 DC ⋅ DR V = n DC – DR = 3 D –D PuCP 4. Se firmó una letra de S/. ¿cuál es el descuento racional? 5. Calcula el valor nominal de un pagaré por el cual se recibe S/. Se firmó una letra por S/. ¿cuál sería su valor actual? Resolución: 270 = D = Vn – Va 3 9.7500.° C 10. ¿Cuántos días antes de su vencimiento ha sido descontada una letra de S/.27 000 al 20%. ° AÑO 15/09/2014 02:08:54 p. Si faltan 3 meses para su vencimiento.indb 20 20 5. El valor actual comercial de una letra es 19 veces el descuento comercial. DC=k 5 ARITMÉTICA Libro aritmética. El valor actual racional excede al valor actual comercial de una letra en S/.34 560. si el producto de los descuentos es S/. Si faltan 2 meses para su vencimiento.DESCUENTO 11. Resolución: Vac = 24k Vn=25k T = 2 meses 13. . ¿Qué porcentaje del valor nominal es el descuento comercial? Vn ⋅ r ⋅ t 25k ⋅ x ⋅ 2 ⇒ k= ∴ DC = 1200 1200 x = 24% anual = 4% bim. uNI 12.24. 14. El valor actual comercial de una letra es 24 veces el descuento comercial.m. En un pagaré el descuento comercial y el valor actual comercial están en la relación de 1 a 3. determina la tasa semestral de descuento. Calcula el valor nominal de dicha letra. determina la tasa bimestral de descuento. 80 10% 6 4 20 0. Cualitativa Son variables cuyos valores son cualidades que representa la población.6 Estadística Definición Distribución de frecuencias A. Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el número total de datos. h1 + h2 + h3 + .. + fk = n Clasificación A. objetos u observaciones que poseen al menos una característica común. Frecuencia relativa (hi) Es la acumulación sucesiva de las frecuencias absolutas simples.indb 21 n.. . Estadística descriptiva B. B.20 1 20% n=20 hi = 21 fi n ⇒ h1 = 5 = 0.25 0.55 30% 4 3 14 0.70 15% 5 2 16 0. Se clasifican en: A.. Cuantitativa Son variables que se obtuvieron como resultado de mediciones o conteos. a) Discreta: la variable toma solo valores enteros. Frecuencia absoluta (fi) Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección. se cumple: f1 + f2 + f3 + .. hi = Población y muestra Población Es un conjunto de individuos.10 0. Ejemplo: Una persona puede pasar entre 70 kg y 7 kg. Llamada también deductiva. Ejemplo: La variable profesión puede adoptar las modalidades: ingeniero. Ejemplo: El número de miembros de una familia.º de hijos 2 n. + hx = 1 D. fi n . 5.° AÑO Libro aritmética.25 25% 6 11 0. b) Continua: la variable puede tomar cualquier valor comprendido entre otros dos. médico. abogado.. Tiene por objeto deducir leyes de comportamiento de una población a partir del estudio de una muestra. Frecuencia absoluta acumulada (Fc) B. Hi = Fi n Variable estadística Ejemplo: Del siguiente cuadro: Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Estadística inferencial C. Frecuencia relativa acumulada (Hi) Muestra Es una parte o subconjunto representativo de la población. Es el número de veces que aparece un valor de la variable estadística.30 0. etc.. clasificación. o sea: Fi = f1 + f2 + f3 + .. análisis e interpretación de datos para tomar decisiones. + fi Se encarga de describir en forma clara y adecuada los datos que se manejan.º de fam (fi) 5 3 Fi hi Hi hi% 5 0. + hk.25 20 ARITMÉTICA 6 15/09/2014 02:08:55 p. Es la acumulación sucesiva de las frecuencias relativas o sea: Hi = h1 + h2 + h3 + .m.15 0. 12. 13. ¿Cuántos se manifestaron hinchas de la U? Resolución: Total: = 16 200 = 100% = 360º Pero: U = 360º – (100º + 150º) = 110º 360º 16 200 110º x 3. 12. Total = 100% = 360º Trabajando en clase Integral Enunciado Se tienen las notas de 16 alumnos en una examen de química: 12. se ordena los datos en forma creciente y luego: si la cantidad de datos es impar. 6 MA = x = 5 4 3 x1+x2+x3+. 14. El siguiente gráfico registra información sobre las preferencias de 16 200 aficionados al fútbol: 6 ARITMÉTICA Libro aritmética. 10 y 15 SC 100º U 1.ESTADÍSTICA Gráficos o diagramas medidas de tendencia central a) Media aritmética a. Para datos no clasificados.+xn n b) Mediana (Me) Es aquel valor que separa en 2 grupos de igual cantidad de datos. 2 2 3 4 5 6 n.. 13.º hijos b. Gráfico circular: Llamado también de sectores o de pastel.indb 22 AL 150º ∴ x = 4950 22 5. Calcula la media.° AÑO 15/09/2014 02:08:55 p. c. 14. Si el profesor Sarmiento decide aprobar a los alumnos cuya nota sea mayor o igual a la media. 09. se considera el valor más repetitivo.m. Diagrama escalonado: Las frecuencias absolutas o relativas pero acumuladas. 10. la Me será el dato central o si la cantidad es par la Me será el promedio de los dos datos centrales. Para «n» datos no clasificados. 08. 12. que pueden ser uno o más valores. ¿Cuál es la moda? 2. c) Moda (Mo) Es el valor que se representa con mayor frecuencia en un grupo de datos. Para datos no clasificados. Histograma (I vs f o h) f Llamada también media o promedio aritmético. 15. 17.. ¿cuántos aprueban? PuCP ⇒ x = 110º×16 200 360º 4. 12. . 5 2 AÑO F 11.80 ¿Qué porcentaje representan los viudos? Resolución: Del dato n = 50.65 4+6+3+7 Libro aritmética. H 20 12. Del problema anterior (10).m. Según el siguiente cuadro. Dado el siguiente cuadro incompleto de las tablas de distribución de frecuencia de un grupo de 50 personas: Estado civil Soltero Casado Viudo Divorciado f 15 F h H 28 0. calcula la Mo. calcula la frecuencia relativa de los alumnos que tienen 22 años. además H4 = 1 ∴ h4 = 1 – 0. El siguiente gráfico registra información sobre las preferencias de 900 aficionados al fútbol. Edades 25 26 27 28 Realizando la tabla de frecuencia tenemos: Edad Nº de alumnos 4 6 3 7 12 14 15 17 Total 7.º de alumnos 12 8 16 14 Resolución: La moda es el dato con mayor frecuencia Mo = 28 años La mediada es el dato central de un grupo de datos ordenados: 5. calcula la Mo. Según el siguiente cuadro.º de alumnos 3 4 7 6 23 ARITMÉTICA 6 15/09/2014 02:08:55 p.80 = 0. Me y x.20 La media es el promedio aritmético ∴ x = 4(25)+6(26)+3(27)+7(28) = 26.ESTADÍSTICA 9. . Dada la distribución de frecuencia de las edades de cierta cantidad de alumnos. 5. Del problema anterior.º de alumnos (f) Completa el cuadro y responde: ¿Qué porcentaje del total de encuestados tiene por lo menos 14 años? uNmSm Edades 20 21 22 23 N. Se ha encuestado a 20 jóvenes con respecto a las edades que tienen: 12 14 17 12 14 12 15 12 12 12 14 14 15 15 17 17 12 15 14 12 ¿Cuántos se manifestaron hinchas de Inti Gas? 6. Barcelona 140º Edades 14 15 16 17 Real Madrid 120º Inti Gas 10. Me y x. calcula f2 + F3 + h1 + H2 N.indb 23 h uNI ∴ Me = 26 + 27 = 26. calcula: F2 + f3 + h3 + H2 8.° n. Por lo menos el 65% de las familias tiene 3 hijos.º de hijos 0 1 2 3 4 5 también F1 = 15 ⇒ f2 = 28 – 15 = 13 entonces f1 + f2 + f3 + f4 = n 15 + 13 + f3 + 10 = 50 f3 = 12 f3 12 ⇒ h3 = = 0.75 24 5.indb 24 f 24 F h H N. III.m.24 = h3% = 24% ∴ h3 = 50 n 13. .° AÑO 15/09/2014 02:08:55 p. 42 0.º de familias (f) 8 15 12 24 15 26 n= F h H h% ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Completa la siguiente tabla de frecuencias: = n ⇒ f4 = 0. Dado el siguiente cuadro incompleto de las tablas de distribución de frecuencias de un grupo de 100 personas. A lo más el 60% de las familias tiene 4 hijos.ESTADÍSTICA ⇒ f4 h4 14.20 × 50 = 10 N. Ocupación Ingenieros Abogados Médicos Químicos 6 ARITMÉTICA Libro aritmética.75 II. F2 + h5 + H3 = 23. . 38.) de los datos de la variable. Media ( x ) x= x1⋅f1 + x2⋅f2 + .. 12. 26. + xn⋅fn n c. 18. Marca de clase (x1) Es el punto medio de cada intervalo: (Límite inferior) + (Límite superior) xi = 2 5.indb 25 25 ARITMÉTICA 7 15/09/2014 02:08:55 p. Rango o recorrido (R) Es la diferencia entre el mayor (xmáx. las cuales mostramos a continuación: 10. Del ejemplo: la amplitud de cada clase será: R 40 w= ⇒w= =8 k 5 b. 10 – 02 = 8 Donde: Lme: Límite inferior de la clase mediana w: Número total de datos Fme–1: Frecuencia absoluta de la clase mediana d. 27. Amplitud o ancho de clase (w) Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada intervalo.15 Hi 0.322 Log20 = 5. 33 y 34 2+10 =6 2 e. se recomienda tomar 5 intervalos o un valor cercano que podría ser 4 o 6.00 2 = 0. Mediana (Me) n – Fme–1 2 Me = Lme + ×w fme o sea: I1 = [02 – 10〉.25 0.85 1 1.20 0. Número de intervalos de clase (k) Es el número de categorías o intervalos en que se va a dividir la información.30 0. 25.7 Estadística II tabla de frecuencias de una variable continua (agrupación en intervalos) Del ejemplo: x1 = Es aquella tabla en la que los datos originales se clasifican en intervalos de clase. 20.10 0. 17.° AÑO Libro aritmética. 09.32. 27. se observa que en el presente mes se ha atendido un grupo de 1200 personas de las cuales hemos recopilado una muestra de 20 edades.32 si k = 5. 32.55 0. a.10 0. 22. 42. Del ejemplo: el rango es R = 42 –2 = 40 Xi 6 14 22 30 38 fi 2 4 5 6 3 Fi 2 6 11 17 20 n=20 Observación: H = f n b. Las frecuencias absolutas y relativas Se siguen los mismos procedimientos del tema anterior. La razón de la agrupación por intervalos de clase es el gran número de datos.10 20 medidas de tendencia central regla de Sturges (Para datos agrupados) k = 1 + 3. 25. 15.) y el menor (xmín. resumiendo los datos en una tabla: Edades [02 – 10〉 [10 – 18〉 [18 – 26〉 [26 – 34〉 [34 – 42〉 a. Por lo tanto. ⇒ h1 = hi 0.30 0.m. . Ejemplo: En una posta médica de Lima. 27.322 Logn (n: número de datos) Del ejemplo: k = 1 + 3. 02. 7 ARITMÉTICA Libro aritmética.5 8 Trabajando en clase Integral 2. 26 5.m. Me.ESTADÍSTICA II c.° AÑO 15/09/2014 02:08:55 p. ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene 10 o más años de servicio? PuCP 4. 5〉 [5.88 8+9 ∴ x = 17. .8 Me = 17. 10〉 [10.indb 26 Calcula x.8 8 × 4 = 22 + 1.88 = 23. Moda (Mo) Mo = Lmo + Lmo: Límite inferior de la clase modal w: Ancho de la clase modal d1: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y de la clase anterior d2: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y de la clase posterior d1 ×w d1 + d2 Donde: Ejemplo: Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Calcula x. Calcula p + q + r. Calcula el valor de a + b + c. Enunciado Se muestra la siguiente tabla de distribución de los trabajadores de acuerdo con los años de servicio en una empresa: Año de servicio [0. w=4 Lme Lmo Edades [6 – 10〉 [10 – 14〉 [14 – 18〉 [18 – 22〉 [22 – 26〉 [26 – 30〉 Xi 8 12 16 20 24 28 f 6 7 8 4 12 13 Fi 6 13 21 25 37 40 Para ubicar Me fme–1 d1=12–4=8 d2=12–3=9 Para ubicar Mo a) x = 8⋅6+12⋅7+16⋅8+20⋅4+24⋅12+28⋅3 40 c) Mo = 22 + = 17. 20〉 Números de personas 10 5 20 15 F h a b c 50 p q r s 3.5 = 17. 15〉 [15.88 40 – 13 2 b) Me = 14 + × 4 = 14 + 3. Mo.5 Mo = 23. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias: Ii Xi fi [5 – 15 〉 10 6 [15 – 25〉 20 4 [25 – 35〉 30 3 [35 – 45〉 40 7 1. [ .7%. a 〉 [ . En la siguiente tabla de distribución de frecuencias: Ii Xi fi [15 – 25 〉 20 8 [25 – 35〉 30 3 [35 – 45〉 40 4 [45 – 55〉 50 5 [20. Las anchuras de clase son iguales. El gráfico muestra los ingresos y egresos de una compañía durante cuatro años consecutivos: Millones de S/. ingresos egresos 500 450 400 350 300 250 200 150 100 0 Libro aritmética. 5. La siguiente tabla corresponde a la distribución de número de pacientes atendidos en marzo de 1999 por 80 puestos de salud en la selva. Salarios fi Fi hi Hi [300 – 350〉 24 [350 – 400〉 0.12 [500 – 550〉 n = 100 AÑO # de puestos fi Completa y calcula: x4 + f2 + F6 + h5 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? II.34 [400 – 450〉 30 [450 – 500〉 0.° Marca de clase (Xi) 30 Ii h5 = 12 = 0. f1 = n ⋅ h1 2 f1 = 75(0.indb 27 Fi hi 0.5 8. El siguiente cuadro muestra los ingresos semanales de un grupo de trabajadores de la empresa Santiago Export S. [ . [ . ( ) II. La ganancia obtenida en 1999 es la misma que la obtenida en 2000.A. [ . Calcula x 6.5 x= 20 uNmSm ∴ x = 25. .16 75 ∴ 90 + 9 + 69 + 0.m. Los egresos aumentaron porcentualmente de 1999 a 2000 en un 100%.ESTADÍSTICA II Determina el valor de: f5 + F3 + h2 + H4 Resolución: 6×10+4×20+3×30+7×40 = 25.04) = 3 1997 1998 1999 2000 Año También F2 = F1 + f2 12 = 3 + f2 → f2 = 9 Luego: x4 = 80 + 100 = 90 2 F3 = 12 + 15 = 27 F4 = 27 + 21 = 48 F5 = 48 + 12 = 60 F6 = 60 + 9 = 69 7. Los ingresos decrecieron porcentualmente de 1998 en un 66. ( ) 5. Las anchuras de clase son iguales. Completa y calcula: 27 ARITMÉTICA 7 15/09/2014 02:08:56 p.16 9. La siguiente tabla corresponde a la distribución del número de pacientes atendidos en enero de 1998 por 75 puestos de salud en la sierra.16 = 168. [ .04 〉 〉 〉 〉 〉 〉 12 15 21 12 9 Total n = 75 Resolución: 20 + a = 30 → a = 40. ( ) III. 40〉 12 22 8 30 [40. 30〉 12 [30. Libro aritmética. . 0. 60〉 11. En el siguiente diagrama escalonado: uNI 7 fi 13. Dada la siguiente distribución de frecuencias. 20 〉 10 [20. 30〉 10 [30. 28 5. 50〉 [50. 20 〉 fi 10 Fi 10 [20. 〉 [ . 50〉 20 50 10. 40〉 [40. teniendo en cuenta: f1 = 15 = f5 h2 = h4 h5 = 0.15 18 16 20 12 4 w Total n = 80 X5 + f7 + h4 + F6 Li Ii [10. 〉 [ . 50〉 20 ARITMÉTICA 50 – 22 2 = 33. Clases [10 – 〉 [ – 〉 [ – 〉 [ – 〉 [ – 60〉 X fi Fi hi 0. Construye una tabla de distribución de frecuencia con 5 intervalos de clase de ancho común. 30〉 [30.1 Me = 30 + 10 Hi 0. 40〉 8 [40.73 X3 = 63 = x2 + 30 Determina x .m. Ii fi Fi [10. 〉 [ . calcula la mediana. c 〉 [ .° AÑO 15/09/2014 02:08:56 p. 〉 [ . calcula la mediana.15 H3 = 0.ESTADÍSTICA II Ii [10 .3 25 30 Fi–1 9 12 10 16 22 28 34 40 Ii Calcula: X3 + f2 + F4 + h2. 〉 [ .indb 28 fi 24 36 15 25 Fi Fi 20 19 15 12.8 Ii [20. Dada la siguiente distribución de frecuencias. De la siguiente tabla de distribución calcula F2 + w (w: ancho de la clase común).75 8 14. 150〉 Marca de clase (Xi) 30 # de puestos fi Fi Resolución: hi n – Fi – 1 Me = Li + w 2 fi Completando el cuadro: 0. 00 ¿Cuánto es la diferencia entre las cantidades de vino que uso de cada calidad? a) 60 d) 35 b) 25 e) 55 c) 50 8. Juanita mezcla «a» libros de vino de S/.5 e) 16. 2000 b) S/.14 d) 18.4 9. 5000.5 d) 55. 4000 c) S/. 30 b) S/.2 b) 7. 42 6.8 Repaso 1. En la tienda de Marcelino un equipo se vende en S/.00 si en total obtuvo 100 litros de vino de S/. . 1325 ganando el 25%. ¿Cuál es la tasa de interés semestral a la cual se debe imponer un capital para que en 5 años este se triplique? a) 20% b) 40% c) 35% d) 25% e) 10% 2. Si el 40% del 35% de 1650 es «a»? a) 30. Si la cuarta parte de un capital se coloca al 20% y el resto al 25% durante 4 años se obtiene un interés total de S/3600 ¿a cuánto asciende el capital colocado al 25%? a) S/. 36 e) S/.5 10. 8. ¿Cuánto vale el 20% del 40% de «a». 2500 e) S/. 25 c) S/.00 con «b» litros de vino de S/. El promedio aritmético de 2 números es 30 y su promedio geométrico es 15 ¿Cuál será el promedio armónico de los números? a) 10 d) 15.4 3. ¿Cuál es el valor nominal de un pagare que al ser descontado al 20%. Si se tiene 40 litros de una mezcla que contiene 20 litros de alcohol puro y se mezcla con 10 litros de alcohol de 78° se obtiene una mezcla cuyo grado será. 15 y 24 días antes de su vencimiento a una tasa común del 30%? a) S/.12. a) 40. ¿Cuál debe ser el nuevo precio de venta del equipo para que la tiene siga con la misma ganancia? 5.8 c) 13.indb 29 29 ARITMÉTICA 8 15/09/2014 02:08:56 p. Si el promedio de 20 números es 325 y de otros 30 números es 675 ¿Cuál es el promedio de todos los números? a) 535 d) 605 b) 259 e) 370 c) 460 a) 1500. 3500 d) S/. 9. 15 días antes de su vencimiento se le brinda un descuento de S/. 18 d) S/. Si por motivos de la inflación el precio de costo del equipo aumenta en 10%.° AÑO Libro aritmética.5 d) 1595 e) 1635.m.6 b) 25. ¿Cuál es la diferencia de descuentos que sufre un pagare de S/.1 c) 18.5 b) 1625 c) 1457. 6000 4.5 7. 450 al dueño de dicha letra? a) 72 000 b) 45 000 c) 54 000 d) 81 000 e) 36 000 5.89 e) 23.6 b) 50 e) 75 c) 60. San Marcos.45 Recreación a) S/. Hallar «a + b + c + d» si se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias: Equipos de futbol fj Fc Barcelona a Arsenal 100 Real Madrid b Juventus 250 total 1000 a) 1425 b) 1200.indb 30 30 5. 1909 c d d) 1400. 7 636? 5% Claves 54% 20% 60% 1. D 4. Lima. E 9. C 2.m. . UNMSM.REPASO 11. 2006 8 ARITMÉTICA Libro aritmética. B 6.° AÑO 15/09/2014 02:08:56 p.25 e) 1300.25 12. B 3.com 3. C 10. D 8. Óscar: Aritmética. 2013 2. Matemática 1. E Bibliografía 1. 3025 c) S/. FARFÁN. C 7. A 11. E 12. 6300 e) S/. ¿Del siguiente pictograma calcula cual es el monto de su sueldo que destina James a vivienda y recreación si su sueldo asciende a S/.40 c) 1540 Fj Víveres Vivienda Ropa hj 0. Exámenes de admisión UNI. 1500 b) S/. PUPC. www. A 5. 4250 d) S/.